Davis E. - Świat matematyki

SAVE OFFLINE

Biblioteka Raczyńskich

Philip J. Davis, Reuben Hersh Elena Anne Marchisotto »

09F0000873

09F0000873 Jest to jedna z najlepszych książek o matema­ tyce, autorstwa znanych matematyków amery­ kańskich, którzy z różnych punktów widzenia próbują odpowiedzieć na pytania: Jaka jest natura matematyki? Jak się matematykę tworzy? Jak się ją stosuje? Jak ją należy rozumieć? Jakie z niej płyną korzyści? Jakie przynosi szkody? Jakie jest jej znaczenie? Znajdziemy tu także fragmenty metodologiczne, zarys filozoficznych poglądów na matematykę od Platona do Lakatosa oraz przykłady współczesnej twórczości matematycznej. Nowe wydanie książki zawiera szereg zadań i prob­ lemów do samodzielnego rozwiązywania przez Czytelników. Publikacja przeznaczona jest dla matematyków, studentów, licealistów, nauczy­ cieli. Jest to pasjonująca lektura dla wszystkich miłośników matematyki.

ISBN 6 3 - 0 1 - 1 3 5 4 0 - 3

9788301135409

9 7 8 8 3 0 1 13 5 4 0 9 Infolinia: 0 801 351 929 Księgarnia internetowa PWN: w w w .pw n.com .pl

W y d a w n i c t w o N a u k o w e PWN

Dane oryginału Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne M archisotto The Mathematical Experience. Study Edition

SPIS TREŚCI © 1995 Birkhäuser Boston, Cambridge MA, USA

Przedmowa

Projekt okładki i stron tytułowych Andrzej ,Przygodzki

9

Przedmowa do wydania drugiego

11

Wprowadzenie

13

Uwertura

15

1. Pejzaż matematyczny

R edaktor Aldona Krawczyk

; W U F sW

19

Co to jest m atem atyka? Gdzie znajduje się matem atyka? Społeczność matem atyczna Narzędzia rzemiosła Jaka część m atem atyki jest obecnie znana? Dylemat U lam a Ile może być m atem atyki? D odatek A — K rótka tablica chronologiczna do roku 1910 D odatek B — Porównanie klasyfikacji m atematyki z lat 1868 i 1979 Problemy i zadania

\

Tytuł dotow any przez M inistra Edukacji N arodowej

2. Różnorodność doświadczenia matematycznego

ofi«iätis^aaoAefignificapcHicrogIyphica;patcft. T e r n a r i v m quidem.* ex duabus Red is, & Coinmuni vtriique, quafi Copufatiuo P undo. Q j a t s v k vcno-ex4 . R«dis,includentrbus 4. Angjoloa re^ps^&ngpjis, dK bis,(ad hoc)repetitis; (Sicque,ibidcm,ic*crerifi fimc, etiam O c t o n * m m s ,i e ( e o f l e r t ;q a e m , dubito an noftri PrardeceÜores, Magi, vnquam conlpexeriutcMo^ tabisquemaximeOPrinaoru Patrum,&5©pbofum T b r n a r I V S ,M a g itu ? .C q R .P 0 * 9 R IR I r v,4c a n u m a,, cpnftahot. Vndc,M anifcßum bfc Primarid habcmus S b * n w a r 1 v M.Exxiuabgp.nimiwiUiÄedi^iijr Com* tftm iPurjdo.D eiiH iecx^. R p äis, a > V noPun& o, fd e , Scparantibus»

THE OR.

Półokrąg Księżyca pojawia się tutaj, jak zwykł czynić, powyżej okręgu Słońca i chociaż ważniejszy jest od tego ostatniego, to jednak Księżyc szanuje Słońce jako swego pana i władcę. Wydaje się on znajdować tyle upodobania w [jeg0] kształcie i sąsiedztwie, że rywalizuje z nim swoim promieniem (jak sądzi pospólstwo) i zawsze zwraca ku niem u swoje światło. I tak długo nasyca się on prom ieniam i Słońca, że kiedy się weń transformuje, jak zwykł czynić, znika z nieba, póki w parę dni później nie pojawi się ponownie w kształcie rogu, dokładnie tak ja k go przedstawiliśmy. Twierdzenie V Przez połączenie księżycowego półokręgu ze słonecznym dopełnieniem zo­ stał uczyniony z ranka i wieczoru dzień je d e n 38. Niech to będzie także [dzień] pierwszy, od którego mam y światło filozofów. Twierdzenie VI Słońce i Księżyc widzimy jak o spoczywające na prostoliniowym krzyżu, który w świetle interpretacji hieroglificznej może oznaczać równie dobrze potrójne jak poczwórne: potrójne [bo się składa] z dwóch linii prostych i jednego punktu, który m ają one wspólny i który je wiąże; poczwórne [bo się składa] z czterech linii prostych wraz z czterema kątam i prostymi, każda [linia] (w tym celu) podwójnie pow tórzona39.(Pojawia się także porządek ósemkowy, jednakże w sposób najbardziej tajemniczy, co do którego wątpię, czy magowie przed nami kiedykolwiek to dostrzegli. Zasługuje to na specjalne podkreślenie.) Magiczny porządek trójkow y pierwszych [naszych] przodków i mędrców skła­ dał się z ciała, umysłu i duszy. Widzimy tutaj także przedstawiony w za­ dziwiający sposób porządek siódemkowy, [składający się] z dwóch linii pros­ tych i punktu, który m ają one wspólny i z czterech linii prostych wychodzących z jednego punktu.

I tak dalej. Razem dwadzieścia trzy „twierdzenia” . wszystkie trzy wzajemnie powiązane. Genetologia utrzymuje, że znaki niebieskie w momencie narodzin wpływają na bieg życia. Aby ten bieg przewidzieć, trzeba znać dokładny moment i miejsce narodzin. Trzeba obliczyć, gdzie były wtedy planety i zbadać pewne między nimi relacje, takie jak koniunkcje i opozycje. Astrologia katarchiczna utrzymuje, że znaki niebieskie wpły­ wają na każdy czyn w momencie podjęcia o nim myśli. Znając

38 p. Ks. R odzaju I, 5. 39 Ten fragm ent jest trochę niejasny. Znaczy on, że kiedy rozpatruje się krzyż jako utw orzony z czterech kątów prostych, to cztery pary prostych zawierających te kąty liczone są podwójnie.

105

Problemy zewnętrzne

106

zatem przyszłe położenia planet można przewidywać pomyślne daty dla nadejścia ważnych zdarzeń. Astrologia indagacyjna zajmuje się wszelkimi pytaniami. Gdzie zgubiłem swój portfel? Czy powinienem się z nią ożenić? Utrzymuje, że m om ent postawienia pytania wpływa na praw id­ łowość odpowiedzi. W ten sposób astrologia daje odpowiedzi w świecie pełnym gorzkich problemów, gdzie rada jest rzadka i wątpliwej jakości. Praktykow anie astrologii w jej intensywnej postaci wymaga­ ło znajomości astronom ii, m atem atyki, medycyny i wielu jesz­ cze innych rzeczy, jej m etody były bowiem wyszukane. Kiedy pacjent przychodził ze skargą, pierwszą rzeczą było postawienie m u horoskopu. Powinno się to opierać na informacji tak dokładnej, jak ą tylko m ożna mieć, o okolicznościach swoich narodzin. Istniały alm anachy mówiące praktykującem u, jaki był stan nieba w momencie narodzin. Ale jak poznać moment narodzin? Przypomnijmy, że było to w czasach, kiedy przeciętny człowiek nie um iał ani czytać, ani pisać, ani rachować, a znajomość odległości z Londynu do Canterbury była podaw ana jako jeden z poważnych argum entów na rzecz uczenia się arytmetyki. Znając jednak czas narodzin, choćby w przybliżeniu, astrolog-m atem atyk-lekarz mógł już przystąpić do badania objawów pacjenta, w szczególności koloru uryny, by w końcu dać receptę i otrzym ać za to swoje dziesięć dolarów. Oczywiście, jeśli pacjent należał do szlachty lub kleru, albo jeśli sam był astrologiem, takie przybliżenie uznawano za niedostateczne. Niezbędny był dokładny horoskop, a to już kosztowało jakieś sto dolarów. Do tego celu konieczne były dokładne tablice położeń planet, instrum enty o dokładności przewyższającej dokładność przeciętnego astrolabium , dokład­ ne zegary, wygodne i ścisłe metody matematycznych obliczeń. Aby zatem być lekarzem, powiedzmy, w trzynastym wieku, należało teoretycznie być zielarzem, alchemikiem, m atem aty­ kiem, astronom em i wytwórcą instrum entów naukowych. W ą­ tek dokładnej wiedzy o czasie i miejscu prowadzi poprzez Brahego, Keplera, Galileusza i New tona do współczesnej fizyki i m atematyki. A strolodzy zapisywali na swym koncie sporo sukcesów. Nawet rzucanie m onetą bywa użytecznym sposobem ustalania postępow ania i zgodnie z prawem wielkich liczb jest to sposób czasami poprawny.

P od listkiem fig o w ym

■Ij.Tji o'p

*Ti itlua- ■-n»u JT-O

• L łb

' —£. ou (i ■-tv» p-*T° ,.~i [J«4-* -frĄ-o • o • fC-ou »TO

t

y ?

- łi- A . - t o "u

• -fr-f K

-“

v Kg

r'° ay AJ A .

V

1Ccii ć

nwĄocr' X^ 'M Tv ■ ?v« Aft ■-

’i«4 *"

Horoskop grecki z datą 28 października 497 r. Źródło: Hossen.

N eugebauer,

'• -

,V > , < . Wszystkie te znaki nadają zapisowi arytmetycznemu tajemniczą, mistycz­ ną wartość i to do tego stopnia, że kiedy pomyleńcy wymyślają własną m atem atykę, ambitnie dokładają starań, by stworzyć swój własny słownik ekscentrycznych znaków. Dalsze postępy w arytmetyce doprow adzają ucznia do al­ gebry, w której pospolite litery pojawiają się w całkowicie nieoczekiwanym i zadziwiającym kontekście: jako nieznane lub zmienne. Dalsze symbole przynosi rachunek różniczkowy i całkowy: d

^ dx’ X ’ 00 > I™, f a

itd-

Kolekcja powszechnie dziś używanych specjalnych symboli m atematycznych sięga już kilkuset, a co roku przybywają nowe. Spośród wizualnie bardziej interesujących można przyto­ czyć następujące: « => A , V , □ , f, # , J , 0 , 0 , n , u , 3, ~ , V, n, co, N

124

Inform atyka obejmuje różne dziedziny m atematyki, ale ma także symbole własne: E N D , D EC LA R E, IF, W HILE, h- , + , * itd.

Niektóre symbole m ożna przypisać konkretnym autorom . Notację nl dla iloczynu kolejnych liczb 1-2-3-...-« wprowadził Christian K ram p w 1808 r., literę e na oznaczenie liczby 2 71828... zawdzięczamy Eulerowi (1727). Jednakże wynalazcy cyfr 0, 1, 2, ..., 9, czy ich pierwotnych odpowiedników, giną w m rokach czasu. Niektóre symbole są skróconymi postaciami słów: + jest średniowiecznym ściągnięciem słowa et, n oznacza pierwszą literę słowa peripherium, j jest średniowiecznym dłu­ gim s, pierwszą literą słowa summa. Inne są obrazkowe lub ideograficzne: A oznacza trójkąt, Q okrąg. Jeszcze inne wyda­ ją się całkowicie dowolne: h-, . Niewątpliwie istnieje prawo przetrw ania symboli najlepiej przystosowanych. M onum entalne dzieło Cajoriego o symbo­ lach matematycznych jest w części cmentarzyskiem symboli martwych; czytelnik znajdzie w nim wiele symboli przestarza­ łych, przy czym niektóre są tak skomplikowane wizualnie, że niemal komiczne. Jednym z hamulców swobodnej twórczości w zakresie symboliki jest okoliczność, że jeśli rękopis ma być wydany drukiem , trzeba stworzyć nową czcionkę, a to zawsze było drogie. Dzisiaj autorzy często się ograniczają do symboli znajdujących się na standardowej maszynie do pisania, ale ma to wady i prowadzi do nadużywania pewnych symboli, na przykład *. Skom puteryzowany druk oferuje potencjalnie nie­ skończoną liczbę symboli, konstruow anych przez drukarza-programistę, jednakże praktyka ostatnich kilku lat okazała się stosunkowo zachowawcza. Nowy symbol można stworzyć łatwo, jednakże twórca nie może zagwarantować jego szerokiej akceptacji, a bez tego symbol staje się bezużyteczny. Podstawowa funkcja symbolu matematycznego polega na jasnym i wyraźnym oznaczeniu oraz na skróceniu. N agrodą jest to, co Alfred N orth W hitehead tak sformułował: „Przez uwolnienie umysłu od niepotrzebnej pracy dobra notacja daje mu możność skupienia się na problem ach głębszych, powięk­ szając w ten sposób intelektualne możliwości gatunku” . W is­ tocie, porozum iewanie się w m atematyce bez procesu skracania jest właściwie niemożliwe. Dla przykładu rozpatrzm y listę skrótów logiki formalnej, zaczerpniętą z książki W. V .O . Quine’a Mathematical Logic'. D l. ~: — BJioaceHHe; HanoMHHM,* h to b\n = £M n npn Io,o,o n > 2 H= M*; Mj = M i. JTenepb paccMOTpHMoßpaTnoe 0T06pa>KeHne: i|j: TZpn-*B 2n+2 - üycTb a s Sp'n, TorAa a npeACTaBJiaeTCH b BHAe u l l s te iie n ( o ,o , _ i , ,v . , i d e r a u s F i 9U

lo= aY;i*a^ . ... .ayfa (rAeei = ±l); 1< < 2n+ 1;

I 'Jhcjio a Mower ßbiTb npOH3BOJibHO H HeKOTopue Yié; Yic

\

AaTb, T.e. paBencTBa y lb= \ lc paspeuip*" * 6oh sjieMeHT H3 GL¿n (aBTO»*'* 3 = (W lt . . . , W 2r) cno/ rp y n n e S p l Ogjęs a °°e

„ con'P®0 c®*

MoryT

§ 3 zufrlede

coBna- e A ntw ort g.

3K nan

S p ^c zG L ^n , a /notaAaeTCH HaßopoM (W) => -*■ sei ei ie a B TaKOM BHAe b 4op(J)H3MU a no MOAyuio gebe e ln e *■

a (}>H3M ya 3HeMeHT OS1 a e JXanee

nocTpoHM

* lyW M CKBO3H0e OTOO-

m:

* II

eingesetzt, p“w

>)«) konvie r9iere gegei

i s t , konvergiert das Ve, S c h ritt

136

*SL

„ ie

i„

2. A ksjom at zbioru pustego 3 x Vy { ~ y e x ). Istnieje zbiór nie mający żadnych elementów (zbiór pusty). 3. Aksjom at par nieuporządkowanych V x, y J z V w (w ez*-> (w = x v w = yj). Jeśli x i y są zbiorami, to para (nieuporządkow ana) [x, y} jest zbiorem. 4. A ksjom at sumy zbiorów j x ż ł y j z ( z e y 3t (z e 18t t exj).

...=u r r i a n g u l i e run in k tp ro b le m s i t d u rch

(Vz (zexzey) x — y ).

Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy m ają te same elementy.

•/ i

Sp„-!— *Sp„

I s th e c o rr e s p o n d in g m in o r . So

a f I 3um Sun

x + M x-x)

Ip

& i me (Z jest podzbiorem e jest elementem = rów na się me rów na się 0 zbiór pusty

T a b e ll

iäflt sieh , „ ie auch di t von i

Jeśli x jest zbiorem zbiorów, to suma wszystkich jego elementów jest zbiorem. (Na przykład, jeśli x = {{a,b,c}, {a ,c,d ,e}}, to suma obu skład­ ników x jest zbiorem {a, b, c, d, e}). 5. A ksjom at nieskończoności 3 x (0 e x & V y (y e x -< y u {y }e x ). Istnieje zbiór x, który zawiera zbiór pusty i jest taki, że jeśli y należy do x, to suma y i {y} także jest w x. Rozróżnienie między elementem y a zbiorem jednoelementowym {y} ma zasadnicze znaczenie. Aksjom at gwarantuje istnienie zbiorów nieskończonych.

Giuseppe Peano 1 8 5 8 -1 9 3 2

Z ostały tu wypisane aksjom aty Z erm eloFraenkla-Skolema dla teorii mnogości. B y je sformułować, trzeba się posłużyć symbolami te­ orii mnogości, których glosariusz został poda­ ny na początku. Ten system aksjomatyczny wysunęli Ernst Zerm e­ lo, Abraham Fraenkel i Thoralf Skolem:

Problemy wewnętrzne

Formalizacja 6„. A ksjom at zastępowania

V

V x 3 \y A „ (x, y ; t u ..., tk)->V u 3 v B (u ,v )),

gdzie B (u , v) = V r ( r e v < - ^ 3 s ( s e u & A n(s,r; tlt...,łk))). Ten aksjom at trudno wyrazić słowami. Nazywa się go 6„, a nie 6, w istocie jest on bowiem całą rodziną aksjomatów. Przy założeniu, że wszystkie formuły wyrażalne w naszym systemie zostały ponum erowane i «-ta nazywa się A n, aksjom at zastępowania pow iada, że jeśli dła danych tv ...,tk, A n( x ,y ; t1,...,tk) definiuje y jednoznacznie jak o funkcję x, powiedzmy y = q>(x), to dla każdego u obrazem funkcji ę na u jest zbiór. Z grubsza mówiąc, znaczy to, że każda („rozsądna”) własność, która daje się wyrazić w formalnym języku tej teorii, może posłużyć do zdefiniowania zbioru (zbioru rzeczy mających tę własność). 7. A ksjom at zbioru potęgowego V x 3 y V z(zey < -> z ę x). Ten aksjom at pow iada, że dla każdego x istnieje zbiór y wszystkich podzbiorów x. Chociaż y jest w ten sposób zdefiniowany przez pewną własność, nie obejmuje go aksjom at zastępowania, ponieważ nie jest dany jak o dziedzina funkcji. W istocie moc y będzie większa od mocy x , dzięki czemu aksjom at ten pozwala konstruow ać wyższe moce. 8. A ksjom at wyboru Jeśli a -> A a

0 jest funkcją określoną dla wszystkich a e x , to istnieje inna funkcja f( a ) dla a e x taka, że f { a ) e A a.

Jest to dobrze znany aksjom at wyboru, pozwalający na nieskończone „wybieranie” , mimo że nie mam y funkcji definiującej wybór, co pozwoliłoby zastosować 6„. 9. A ksjom at regularności V x 3 y ( x = 0 v (y e x & V z (z e x -+ ~ ze y ))). A ksjom at ten wyraźnie zabrania, na przykład, i6 J t.

138

Póki jednak rozum owanie adresowane było do człowieka, cel ten nie był realizowany. W ielką próbą rzeczywistego prze­ prowadzenia formalizacji m atem atyki były Principia Mathematica Russella i W hiteheada. Zostały uznane za wybitny przy­ kład nieczytelnego arcydzieła. Podczas gdy ludzie m ają nieprzezwyciężalną awersję do języków form alnych, kom putery świetnie na nich prosperują. Z chwilą pojawienia się, wkrótce po zakończeniu I I wojny światowej, elektronicznych kom puterów, języki formalne stały się kwitnącym przemysłem. Pod nazwą „software” (oprog­ ramowanie) teksty pisane w formalnym języku stały się jednym z charakterystycznych artefaktów naszej kultury.

Tekst sformalizowany jest ciągiem symboli. Kiedy jest prze­ twarzany przez m atem atyka czy przez maszynę, zmienia się w inny ciąg symboli. Takie procesy przetwarzania symboli same mogą się stać przedm iotem teorii matematycznej. Myśląc 0 nich jako o dokonywanych przez maszynę, inform atyk nazy­ wa taką teorię „teorią autom atów ” , a logik — „teorią rekursji” . A kiedy się o nich myśli jako o dokonywanych przez matematyka, teoria nazywa się „teorią dow odu” . Jeśli wyobrazimy sobie, że m atematycy pracują w języku formalnym, możemy skonstruować teorię matematyczną o m a­ tematyce. D o uzyskania logicznej analizy m atem atyki niezbęd­ ne jest myślenie o m atematyce jako o teorii wyrażonej w języku formalnym. Przyjmując takie założenia, logicy potrafili stwo­ rzyć imponujące teorie o własnościach systemów m atematycz­ nych. Jednakże rzeczywista praca m atematyczna, włączając w to pracę logików m atematycznych, nadal jest wyrażana w językach naturalnych, uzupełnianych specjalną notacją m ate­ matyczną. Problem wiązania odkryć logiki matematycznej z bieżącą praktyką aktywnych m atem atyków jest trudny, jest to bowiem problem filozoficzny, a nie matematyczny. Może się zdarzyć, że jakaś stronica tekstu matematycznego składa się wyłącznie z symboli matematycznych. Przypadkowe­ mu obserwatorowi może się wydawać, że zachodzi niewielka różnica między taką stronicą zwykłego tekstu matematycznego a tekstem w języku formalnym. Różnica jest jednak istotna 1 nabiera wyrazistości w miarę czytania tekstu. W zwykłym tekście m atem atycznym można pom inąć wszystkie przejścia czysto mechaniczne, wystarczy przedstawić punkt wyjścia i wy­ nik końcowy. Przejścia w takim tekście nie są czysto mechani­ czne, jest w nich jakaś twórcza idea albo wprowadzenie rfowego elementu do obliczeń. Czytanie tekstu matematycznego ze zrozumieniem wymaga odtworzenia tej nowej idei, usprawied­ liwiającej wypisane przejście. M ożna właściwie powiedzieć, że zasady pisania m atematyki na użytek człowieka są przeciwne zasadom pisania m atem atyki na użytek maszyn (tj. w postaci tekstów sformalizowanych). Przed m aszyną niczego nie wolno przemilczeć, niczego pozo­ stawić „w yobraźni” . Człowiekowi nie powinno się dawać nicze­ go, co jest tak oczywiste, tak „mechaniczne” , że utrudnia zrozumienie przekazywanych idei. D a ls z e le k tu r y ( p a trz b ib lio g r a f ia )

P. Cohen, R. Hersh; K. H rbacek, T. Jech; G. Takeuti, W .M . Zaring

139

O biekty i struktury m atem atyczne; istnienie

Problem y wewnętrzne

OBIEKTY I STRUKTURY MATEMATYCZNEISTNIENIE N ieform alna rozm owa matematyczna, traktow ana jak roz­ mowa naturalna, składa się z rzeczowników, czasowników, przym iotników itd. Rzeczowniki oznaczają obiekty m atematy­ czne, na przykład liczbę 3, liczbę u = 2,178..., zbiór liczb pierw­ szych, macierz

^

funkcję dzeta Riemanna £(z). Struk­

tury matematyczne, na przykład system liczb rzeczywistych lub grupa cykliczna rzędu 12, są nieco bardziej złożonymi rzeczow­ nikami i składają się z obiektów matematycznych powiązanych pewnymi związkami lub regułami działań. Symbole działań albo relacji, jak „rów ny” , „większy niż” , dodawanie, różnicz­ kowanie — odgrywają rolę podobną czasownikom. Przymiot­ niki m atematyczne ograniczają lub określają (porównaj: grupa a grupa cykliczna). Nie posuwając tej analogii gramatycznej zbyt daleko, wróć­ my do obiektów i struktur. We współczesnej praktyce struktura m atem atyczna składa się ze zbioru S obiektów, o którym m ożna myśleć jako o nośniku tej struktury, zbioru operacji czy relacji zdefiniowanych na nośniku, oraz zbioru wyróżnionych elementów nośnika, powiedzmy 0, 1 itp. Powiada się, że te podstawowe składniki stanowią sygnaturę struktury, często wyrażaną w postaci układu n symboli. N a przykład 1 2 3 -*■ 1 3 2 - 2 1 3 -> 3 2 1 -*• 2 3 1 ^ 3 1 2

Przyjmijmy, że operacje przeprowadzania symboli 1, 2, 3 w symbole po prawej stronie są oznaczone literami umiesz­ czonymi na lewo. Wówczas litery e, a, b, c, p, q przedstawiają sześć permutacji na trzech obiektach. Przyjmijmy dalej, że te permutacje są w oczywisty sposób składane, czyli „mnożone” . Oznaczmy tę operację przez •, rozumiejąc przez to, że a b jest

permutacją, która wynika z wykonania najpierw a, a potem b. Ąby stwierdzić, jaką permutacją jest a ■b, możemy policzyć a

b

1 -> 1 -> 2 2 —>- 3 —> 3 3 -*■ 2 -> 1

Zatem a - b przeprowadza 1, 2, 3 w 2, 3, 1, co jest dokładnie identyczne z permutacją oznaczoną przez p; możemy napisać a-b=pCała ta informacja kombinatoryczna może być zgrabnie zebrana w postaci następującej tabliczki mnożenia: e

P

9

a

b

c

e

e

P

a

b

c

P

P

9

9 e

c

a

b

9

9

e

b

c

a

a

a

b

P c

e

9

b

b

c

a

P 2, to roz­ wiązaniem równania x" + y ” = z n nie mogą być liczby cał­ kowite y, z takie, że xyz A 0. Twierdzenie to zostało dowie­ dzione w 1979 r. dla wszystkich n < 30 000, ogólne twierdzenie pozostaje jednak zadziwiająco nieuchwytne*. Osobliwa histo­ ria tego problemu przyciągnęła niezmierną liczbę matematycz­ nych pomyleńców i matematycy gorąco pragną, by problem ten został w końcu rozstrzygnięty. Będące przedmiotem tego rozdziału twierdzenie o liczbach pierwszych, wielce atrakcyjne i tajemnicze, ma związek z nie­ którymi podstawowymi wynikami analizy matematycznej. * P a trz przypis n a s. 60 (przyp. tłum.).

Wiąże się ono także z tak zwaną hipotezą Riemanna, praw­ dopodobnie najsłynniejszym z nierozwiązanych problemów matematycznych. Jest to w całej matematyce jeden z najpięk­ niejszych przykładów wydobycia ładu z chaosu. Kiedy dziecko nauczy się mnożyć i dzielić, zauważa, że niektóre liczby są szczególne. Przy dzieleniu liczby podstawowe czynniki rozkładu są liczbami pierwszymi. Tak więc 6 = 2 x 3 , 28 = 2 x 2 x 7, 270 = 2 x 3 x 3 x 3 x 5 i tych rozkładów nie można już dalej poprowadzić. Liczby 2, 3, 5, 7,... są liczbami pierwszymi, liczbami, które same nie dają się już rozłożyć na czynniki. Wśród liczb całkowitych liczby pierwsze grają rolę podobną do pierwiastków w chemii. Napiszmy początek listy liczb pierwszych: 2

35

7 11

31

37 41

43 47

73

7983 89 97

13

17

53

59

19 23 29 61 67 71 101 103 107 109 113 ...

Lista ta nigdy się nie kończy. JużEuklidesudowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Przytoczymy teraz łatwy i elegancki dowód Euklidesa. Załóżmy, że mamy pełną listę wszystkich liczb pierwszych aż do pewnej liczby pierwszej p m. Rozważmy liczbę całkowitą N = (2 ■3 • 5 1 utworzoną przez dodanie 1 do ilo­ czynu wszystkich liczb pierwszych aż do p m. Liczba N jest większa od p m (jest ona co najmniej dwa razy większa). Kiedy dzielimy N przez 2, dostajemy 3 ■5 ■... ■pm i resztę 1, kiedy dzielimy przez 3, dostajemy 2 -5 -...-p m i resztę 1, i podobnie resztę 1 dostajemy przy dzieleniu przez każdą z liczb pierwszych 2, 3, 5,..., p m. Liczba N albo jest liczbą pierwszą, albo nie jest liczbą pierwszą. Jeśli jest liczbą pierwszą, to jest to liczba pierwsza większa od p m. Jeśli nie jest liczbą pierwszą, może być roz­ dzielona na liczby pierwsze. Ale, jak to właśnie widzieliśmy, żadnym z jej czynników pierwszych nie może być 2, 3, 5,..., pm. A zatem istnieje liczba pierwsza większa od pm. To logiczne rozumowanie (w istocie dylemat zmuszający do przyjęcia tej samej konkluzji, którąkolwiek drogą się pójdzie) powiada, że lista liczb pierwszych nigdy się nie kończy. Drugim rysem charakterystycznym listy liczb pierwszych jest brak jakiejkolwiek zasady czy regularności. Oczywiście wszyst­ kie liczby pierwsze, z wyjątkiem 2 , są nieparzyste, a zatem odległość między dwiema kolejnymi liczbami pierwszymi musi

205

Wybrane rozdziały m a tem a tyki

■>

5

Twierdzenie o liczbach pierwszych

14 11677 11681 11689 11699 11701

15 12569 12577 12583 12589 12601

16

17

18

19

20

21

22

23

24

1 2 3 4 5

0 2 3 5 7 11

1 547 557 563 569 571

1229 1231 1237 1249 1259

3 1993 1997 1999 2003 2011

4 2749 2753 2767 2777 2789

3581 3583 3593 3607 HI3

6 4421 4423 4441 4447 4451

7 5281 5297 5303 5309 5323

8 6143 6151 6163 6173 6197

9 7001 7013 7019 7027 7039

10 7927 7933 7937 7949 7951

U 8837 8839 8849 8861 8863

12 9739 9743 9749 9767 9769

13 10663 10667 10687 10691 10709

13513 13523 13537 13553 13567

1453? 14537 14543 14549 14551

15413 15427 15439 15443 15451

16411 16417 16421 16427 16433

17393 17401 17417 17419 17431

18329 18341 18353 ie 3 6 7 18371

19427 19429 19433 19441 19447

20359 20369 20389 20393 20399

21391 21397 21401 21407 21419

6 7 8 Q 10

13 17 19 23 29

577 587 593 599 601

1277 1279 1283 12B9 1291

2017 2027 2029 2039 2053

2791 2797 2801 2803 2819

3617 3623 3631 3637 3643

4457 4463 4481 4483 4493

5333 5347 5351 5381 5387

6199 6203 6211 6217 6221

7043 7057 7069 7079 7103

7963 7993 8009 8011 8017

8867 8887 8893 8923 8929

9781 9787 9791 9803 9811

10711 11717 12611 13577 10723 11719 12613 13591 10729 11731 12619 13597 10733 11743 12637 13613 10739 11777 12641 13619

14557 14561 14563 14591 14593

15461 15467 15473 15493 15497

16447 16451 16453 16477 16481

17443 17449 17467 17471 17477

18379 18397 18401 18413 18427

19457 19463 19469 19471 19477

20407 20411 20431 20441 20443

21433 21467 21481 21487 21491

11 12 13 14 15

31 37 41 43 47

607 613 617 619 631

1297 1301 1303 .1307 1319

2063 2069 2081 2083 2087

2833 2837 2843 2851 2857

3659 3671 3673 3677 3691

4507 4513 451/ 4519 4523

5393 5399 5407 5413 5417

6229 6247 6257 6263 6269

7109 7121 7127 7129 7151

8039 8053 8059 8069 8081

8933 8941 8951 8963 8969

9817 9829 9833 9839 9851

10753 10771 10781 10789 10799

11779 11783 11789 11801 11807

12647 12653 12659 12671 12689

13627 13633 13649 13669 13679

14621 14627 14629 14633 14639

15511 15527 15541 15551 15559

16487 16493 16519 16529 16547

17483 17489 17491 17497 17509

18433 18439 18443 18451 18457

19483 19489 19501 19507 19531

20477 20479 20483 20507 20509

21493 21499 21503 21517 21521

16 17 18 19 20

53 59 61 67 71

641 643 647 653 659

1321 1327 1361 1367 1373

2089 2099 2111 2113 2129

2861 2879 2887 2897 2903

3697 3701 3709 3719 3727

4547 4549 4561 4567 4583

5419 5431 5437 5441 5443

6271 6277 6287 6299 6301

7159 7177 7187 7193 7207

8087 8089 8093 8101 8111

8971 8999 9001 9007 9011

9857 9859 9871 9883 9887

10831 10837 10847 10853 10859

11813 11821 11827 11831 11833

12697 12703 12713 12721 12739

13681 13687 13691 13693 13697

14653 14657 14669 14683 14699

15569 15581 15583 15601 15607

16553 16561 16567 16573 16603

17519 17539 17551 17569 17573

18461 18481 18493 18503 18517

19541 19543 19553 19559 19571

20521 20533 20543 20549 20551

21523 21529 21557 21559 21563

21 22 23 24 25

73 79 83 89 97

661 673 677 683 691

1381 1399 1409 1423 1427

2131 2137 2141 2143 2153

2909 2917 2927 2939 2953

3733 3739 3761 3767 3769

4591 4597 4603 4621 4637

5449 5471 5477 5479 5483

6311 6317 6323 6329 6337

7211 7213 7219 7229 7237

8117 8123 8147 8161 8167

9013 9029 9041 9043 9049

9901 9907 9923 9929 9931

10861 10867 10883 10889 10891

11839 11863 11867 11887 11897

12743 12757 12763 12781 12791-

13709 13711 13721 13723 13729

14713 14717 14723 14731 14737

15619 15629 15641 15643 15647

16607 16619 16631 16633 16649

17579 17581 17597 17599 17609

18521 18523 18539 18541 18553

19577 19583 19597 19603 19609

20563 20593 20599 20611 20627

21569 21577 21587 21589 21599

26 27 28 29 30

101 103 107 109 113

701 709 719 727 733

1429 1433 1439 1447 1451

2161 2179 2203 220ł 2213

2957 2963 2969 2971 2999

3779 3793 3797 3803 3821

4639 4643 4649 4651 4657

5501 5503 5507 5519 5521

6343 6353 6359 6361 6367

7243 7247 7253 7283 7297

8171 8179 8191 8209 8219

9059 9941 9067 9949 9091 9967 9103 9973 9109 10007

10903 10909 10937 10939 10949

11903 11909 11923 11927 11933

12799 12809 12821 12823 12829

13751 13757 13759 13763 13781

14741 14747 14753 14759 14767

15649 15661 15667 15671 15679

16651 16657 16661 16673 16691

17623 17627 17657 17659 17669

18583 18587 18593 18617 18637

19661 19681 19687 19697 19699

20639 20641 20663 20681 20693

21601 21611 21613 21617 21b47

31 32 33 34 35

127 131 137 139 149

739 743 751 757 761

1453 1459 1471 1481 1483

2221 2237 2239 2243 2251

3001 3011 3019 3023 3037

3823 3833 3847 3851 3853

4663 4673 4679 4691 4703

5527 5531 5557 5563 5569

6373 6379 6389 6397 6421

7307 7309 7321 7331 7333

8221 8231 8233 8237 8243

9127 9133 9137 9151 9157

10009 10037 10039 10061 10067

10957 10973 10979 10987 10993

11939 11941 11953 11959 11969

12841 12853 12889 12893 12899

13789 13799 13007 13829 13831

14771 14779 14783 14797 14813

15683 15727 15731 15733 15737

16693 16699 16703 16729 16741

17681 17683 17707 17713 17729

18661 18671 18679 18691 18701

19709 19717 19727 19739 19751

20707 20717 20719 20731 20743

21649 21661 21673 21683 21701

36 37 38 39 40

151 157 163 167 173

769 773 787 797 809

1487 1489 1493 1499 1511

2267 2269 2273 2281 2287

3041 3049 3061 3067 3079

3863 3877 3881 3889 3907

4721 4723 4729 4733 4751

5573 5581 5591 5623 5639

6427 6449 6451 6469 6473

7349 7351 7369 7393 7411

8263 8269 8273 8287 8291

9161 9173 9181 9187 9199

10069 10079 10091 10093 10099

11003 11027 11047 11057 11059

11971 11981 11987 12007 12011

12907 12911 12917 12919 12923

13841 13859 13873 13877 13879

14821 14827 14831 14843 14851

15739 15749 15761 15767 15773

16747 16759 16763 16787 16811

17737 17747 17749 17761 17783

18713 18719 18731 18743 18749

19753 19759 19763 19777 19793

20747 20749 20753 20759 20771

21713 21727 21737 21739 21751

41 42 43 44 45

179 181 191 193 197

811 821 323 827 829

1523 1531 1543 1549 1553

2293 2297 2309 2311 2333

3083 3089 3109 3119 3121

3911 3917 3919 3923 3929

4759 4783 4787 4789 4793

5641 5647 5651 5653 5657

6481 6491 6521 6529 654’

7417 7433 745i 7457 7459

8293 8297 8311 8317 8329

9203 9209 9221 9227 9239

10103 10111 10133 10139 10141

11069 11071 11083 11087 11093

12037 12041 12043 12049 12071

12941 12953 12959 12967 12973

13883 13901 13903 13907 13913

14867 14869 14879 14887 14891

15787 15791 15797 15803 15809

16823 16829 16831 16843 16871

17789 17791 17807 17827 17837

18757 18773 18787 18793 18797

19801 19813 19819 19841 19843

20773 20789 20807 20809 20849

21757 21767 21773 21787 21799

46 47 48 49 50

199 211 223 227 229

839 853 857 859 863

1559 1567 1571 1579 1583

2339 2341 2347 2351 2357

3137 3163 3167 3169 3181

3931 3943 3947 3967 3989

4799 4801 4813 4817 4831

5659 5669 5683 5689 5693

6551 6553 6563 6569 6571

7477 7481 74e7 7489 7499

8353 8363 8369 8377 8387

9241 9257 9277 9281 9283

10151 10159 10163 10169 10177

11113 11117 11119 11131 11149

12073 12097 12101 12107 12109

12979 12983 13001 13003 13007

13921 13931 13933 13963 13967

14897 14923 14929 14939 14947

15817 15823 15859 15077 15881

16879 16883 16889 16901 16903

17839 17851 17863 17881 17891

18803 18839 18859 18869 18899

19853 19861 19867 19889 19891

20857 20873 20879 20887 20897

21803 21817 21821 21839 21841

51 52 53 54 55

233 239 241 251 257

877 881 883 887 907

1597 1601 1607 1609 1613

2371 2377 2381 2383 2389

3187 3191 3203 3209 3217

4001 4003 4007 4013 4019

4861 4871 4877 4889 4903

5701 5711 5717 5737 5741

6577 6581 6599 6607 6619

7507 7517 7523 7529 7537

8389 8419 8423 8429 B431

9293 9311 9319 9323 9337

10181 10193 10211 10223 10243

11159 11161 11171 11173 11177

12113 12119 12143 12149 12157

13009 13033 13037 13043 13049

13997 13999 14009 14011 14029

14951 14957 14969 14983 15013

15887 15889 15901 15907 15913

16921 16927 ¿6931 16937 16943

17903 17909 17911 17921 17923

18911 18913 18917 18919 18947

19913 19919 19927 19937 19949

20899 20903 20921 20929 20939

21851 21859 21863 21871 21881

56 57 58 59 60

263 269 271 277 281

911 919 929 937 941

1619 1621 1627 1637 1657

2393 2399 2411 2417 2423

3221 3229 3251 3253 3257

4021 4027 4049 4051 4057

4909 4919 4931 4933 4937

5743 5749 5779 5783 5791

6637 6653 6659 6661 6673

7541 7547 7549 7559 7561

8443 8447 8461 8467 8501

9341 9343 9349 9371 9377

10247 10253 10259 10267 10271

11197 11213 11239 11243 11251

12161 12163 12197 12203 12211

13063 13093 13099 13103 13109

14033 14051 14057 14071 14081

15017 15031 15053 15061 15073

15919 15923 15937 15959 15971

16963 16979 16981 16987 16993

17929 17939 17957 17959 17971

18959 18973 18979 19001 19009

19961 19963 19973 19979 19991

70947 20959 20963 20981 20983

21893 21911 21929 21937 2)943

61 62 63 64 65

283 293 307 311 313

947 953 967 971 977

1663 1667 1669 1693 1697

2437 2441 2447 2459 2467

3259 3271 3299 3301 3307

4073 4079 4091 4093 4099

4943 4951 4957 4967 4969

5801 5807 5813 5821 5827

6679 6689 6691 6701 6703

7573 7577 7583 7589 7591

8513 8521 8527 8537 8539

9391 9397 9403 9413 9419

10273 10289 10301 10303 10 j 13

11257 11261 11273 11279 11287

12227 12239 12241 12251 12253

13121 13127 13147 13151 13159

14083 14087 14107 14143 14149

15077 15973 15083 15991 15091 16001 15101 16007 15107 16033

17011 17021 17027 17029 17033

17977 17981 17987 17989 18013

19013 19031 19037 19051 19069

19993 19997 20011 20021 20023

21001 21011 21013 21017 21019

21961 21977 21991 21997 22003

66 67 68 69 70

317 331 337 347 349

983 991 997 1009 1013

1699 1709 1721 1723 1733

2473 2477 2503 2521 2531

3313 3319 3323 3329 3331

4111 4127 4129 4133 4139

4973 4987 4993 4999 5003

5839 5843 5849 5851 5857

6709 6719 6733 6737 6761

7603 7607 7621 7639 7643

8543 8563 8573 8581 8597

9421 9431 9433 9437 9439

10321 10331 10333 10337 10343

11299 11311 11317 11321 11329

12263 12269 12277 12281 12289

13163 14153 15121 13171 14159 15131 13177 14173 15137 13183 14177 15139 13187 14197 15149

16057 16061 16063 16067 16069

17041 17047 17053 17077 17093

18041 18043 18047 18049 18059

19073 19079 19081 19087 19121

20029 20047 20051 20063 20071

21023 21031 21059 21061 21067

22013 22027 22031 22037 22039

71 72 73 74 75

353 359 367 373 379

1019 1021 1031 1033 1039

1741 1747 1753 1759 1777

2539 2543 2549 2551 2557

3343 3347 3359 3361 3371

4153 4157 4159 4177 4201

5009 5011 5021 5023 5039

5861 5867 5869 5879 5881

6763 6779 67 81 6791 6793

7649 7669 7673 7681 7687

8599 8609 8623 8627 8629

9461 9463 9467 9473 9479

10357 10369 10391 10399 10427

11351 11353 113o9 11383 11393

12301 12323 12329 12343 12347

13217 13219 13229 13241 13249

14207 14221 14243 14249 14251

15161 15173 15187 15193 15199

16073 16087 16091 16097 16103

17099 17107 17117 17123 17137

18061 18077 18089 18097 18119

19139 19141 19157 19163 19181

20089 20101 20107 20113 20117

21089 21101 21107 21121 21139

22051 22063 22u67 22073 22079

76 77 78 79 80

383 389 397 401 409

1049 1051 1061 1063 1069

1783 1787 1789 1801 1811

2579 2591 2593 2609 2617

3373 3389 3391 3407 3413

4211 4217 4219 4229 4231

5051 5059 5077 5081 5087

5897 5903 5923 5927 5939

6803 6823 6827 6829 6833

7691 7699 7703 7717 7723

8641 8647 8663 8669 8677

9491 9497 9511 9521 9533

10429 10433 10453 10457 10459

11399 11411 11423 11437 11443

12373 12377 12379 12391 12401

13259 13267 13291 13297 13309

14281 14293 14303 14321 14323

15217 15227 15233 15241 15259

16111 16127 16139 16141 16183

17159 17167 17183 17189 17191

18121 18127 18131 18133 18143

19183 19207 19211 19213 19219

20123 20129 20143 20147 20149

21143 21149 21157 21163 21169

22091 22093 22109 22111 22123

81 82 83 84 85

419 421 431 433 439

1087 1091 1093 1097 1103

1823 1831 1847 1861 1867

2621 2633 2647 2657 2659

3433 3449 3457 3461 3463

4241 4243 4253 4259 4261

5099 5101 5107 5113 5119

5953 5981 5987 6007 6011

6841 6857 6863 6869 6871

7727 7741 7753 7757 7759

8681 8689 8693 8699 8707

9539 9547 9551 9587 9601

10463 10477 10487 10499 10501

11447 11467 11471 11483 11489

12409 12413 12421 12433 12437

13313 13327 13331 13337 13339

14327 14341 14347 14369 14387

15263 16187 17203 15269 16189 17207 15271 16193 17209 15277 16217 17231 15287 16223 17239

18149 18169 18181 18191 18199

19231 19237 19249 19259 19267

20161 20173 20177 20183 20201

21179 21187 21191 21193 21211

22129 22133 22147 22153 22157

86 87 88 89 90

443 449 457 461 463

1109 1111 1123 1129 1151

1871 ie 7 3 1877 1879 1889

2663 2671 2677 2683 2687

3467 3469 3491 3499 3511

4271 4273 4283 4289 4297

5147 5153 5167 5171 5179

6029 6037 6043 6047 6053

6883 6899 6907 6911 6917

7789 7793 7817 7823 7829

8713 8719 8731 8737 8741

9613 9619 9623 9629 9631

10513 10529 10531 10559 10567

11491 11497 11503 11519 11527

12451 12457 12473 12479 12487

13367 13381 13397 13399 13411

14389 14401 14407 14411 14419

15289 15299 15307 15313 15319

16229 16231 16249 16253 16267

17257 17291 17293 17299 17317

18211 18217 18223 18229 18233

19273 19289 19301 19309 19319

20219 20231 20233 20249 20261

21221 21227 21247 21269 21277

22159 22171 22189 22193 22229

91 92 93 94 95

467 479 487 491 499

1153 1163 1171 1181 1187

1901 1907 1913 1931 1933

2689 2693 2699 2707 2711

3517 3527 3529 3533 3539

4327 4337 4339 4349 4357

5189 5197 5209 5227 5231

6067 6073 6079 6089 6091

6947 6949 6959 6961 6967

7841 7853 7867 7873 7877

8747 8753 8761 8779 8783

9643 9649 9661 9677 9679

10589 10597 10601 10607 10613

11549 11551 11579 11567 11593

12491 12497 12503 12511 12517

13417 13421 13441 13451 13457

14423 14431 14437 14447 14449

15329 15331 15349 15359 15361

16273 16301 16319 16333 16339

17321 17327 17333 17341 17351

18251 18253 18257 18269 18287

19333 19373 19379 19381 19387

20269 20287 20297 20323 20327

21283 21313 21317 21319 21323

22247 22259 22271 22273 22277

96 97 98 99 100

503 509 521 523 541

1193 1201 1213 1217 1223

1949 1951 1973 1979 1987

2713 2719 2729 2731 2741

3541 3547 3557 3559 3571

4363 4373 4391 4397 4409

5233 5237 5261 5273 5279

6101 6113 6121 6131 6133

6971 6977 6983 6991 6997

7879 7883 7901 7907 7919

8B03 8807 8819 8821 8831

9689 9697 9719 9721 9733

10627 10631 10639 10651 10657

11597 11617 11621 11633 11657

12527 12539 12541 12547 12553

13463 13469 134’ 7 13487 13499

14461 14479 14489 14503 14519

15373 15377 15383 15391 15401

16349 16361 16363 16369 16381

17359 17377 17383 17387 17389

18289 18301 18307 18311 18313

19391 19403 19417 19421 19423

20333 20341 20347 20353 20357

21341 21347 21377 21379 21383

22279 22283 22291 22303 22307

Tabela początkow ych 2500 liczb pierw szych. Źródło: D. N. Lehmer, W ykaz liczb pierwszych od 1 do 10 006 721, Carnegie Institution o f W ashington, Publication N o. 165, W ashington, D. C.,

być liczbą parzystą. Jaka to jednak będzie liczba pierwsza — nie wiadomo; wydaje się, że nie ma tu ładu ni składu. Istnieje dziewięć liczb pierwszych między 9 999 900 a 10 000 000: 9 999 901 9 999 937 9 999 991

9 999 907 9 999 943

9 999 929 9 999 971

9 999 931 9 999 973

Ale między następnymi stu liczbami całkowitymi, od 10 000 000 do 10000 100, są tylko dwie: 10 000 019

i

10 000 079.

„Patrząc na te liczby, doznaje się uczucia obcowania z jedną z niewytłumaczalnych tajemnic stworzenia” — napisał Don Zagier w wybuchu współczesnego mistycyzmu liczbowego. Co wiadomo o liczbach pierwszych, a czego nie wiadomo lub co się o nich przypuszcza — to wszystko wypełniłoby dużą książkę. Oto kilka próbek. Największą liczbą pierwszą znaną w 1979 r. było 221701—1*. Istnieje liczba pierwsza między n a 2« dla każdego n > 1. Czy istnieje liczba pierwsza między «2 a (« + l )2 dla każdego n > 0? Nie wiadomo. Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci n2 + 1, gdzie «jest liczbą całkowitą? Nie wiadomo. Istnieją dowolnie długie ciągi kolejnych liczb całkowi­ tych wolne od liczb pierwszych. Wartości wielomianu o współ­ czynnikach całkowitych w punktach całkowitych nie mogą być wyłącznie liczbami pierwszymi. Istnieje liczba niewymierna A taka, że [A 3"] przyjmuje jedynie wartości pierwsze dla n = 0, 1, 2,... (notacja [oc] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od x). Czy każda liczba parzysta jest sumą dwóch nieparzystych liczb pierwszych? Nie wiadomo, jest to słynna hipoteza Goldbacha. Czy istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych, takich jak 1-1, 13 albo 17, 19, albo 10 006 427, 10 006 429 różniących się o 2? Jest to problem bliźniaczych liczb pierwszych i nikt nie zna odpowiedzi, chociaż większość matematyków jest przekonana, że najprawdo­ podobniej to stwierdzenie jest prawdziwe. Pewien ład zaczyna się z tego chaosu wynurzać, kiedy liczby pierwsze rozważamy nie w ich pojedynczych przypadkach, ale jako mnogość, kiedy rozpatrujemy statystykę zbiorowości liczb pierwszych, a nie ekscentryczność poszczególnych jednostek. Najpierw konstruujemy duże tablice liczb pierwszych. Z ołów­ kiem i kartką papieru jest to trudne i męczące, ale dla współ* N ajw iększą liczbą pierw szą z n an ą w 2000 r. było 2 6972593 — 1(przyp. tłum.).

207

W ybrane rozdziały m a tem a tyki

Twierdzenie o liczbach pierwszych

czesnego komputera jest to łatwe. Następnie zliczamy te liczby, żeby się przekonać, ile ich jest do pewnego miejsca. Definiuje­ my funkcję n(ri) jako liczbę liczb pierwszych mniejszych lub równych liczbie n; funkcja n («) mierzy rozkład liczb pierw­ szych. Po dokonaniu tego rzeczą naturalną będzie policzyć stosunek n/n («), który nam mówi, jak często pośród liczb aż do pewnego miejsca występują liczby pierwsze (w istocie jest to odwrotność tej częstości). Oto wyniki ostatnich obliczeń: n

n(n)

n/n(n)

10 100 1000 10000 100000 1 000000 10 000000 100 000000 1 000000000 10000000000

4 25 168 1229 9 592 78 498 664 579 5 761455 50 847 534 455 052 512

2,5 4,0 6,0 8,1 10,4 12,7 15,0 17,4 19,7 22,0

Zauważmy, że kiedy przesuwamy się o kolejną potęgę 10, to stosunek n/n(n) wzrasta z grubsza o 2,3 (na przykład 22,0 — 19,7 = 2,3). W tym miejscu każdy zasługujący na to miano matematyk pomyśli o loge 10 (= 2,30258...)» i na tej podstawie sformułuje hipotezę, że n(n) jest w przybliżeniu równe «/log«. Bardziej formalne stwierdzenie, że Carl Friedrich Gauss

lim n («) / («/log «) = 1, «—►oo

17 7 7 -1 85 5

Jacques H adam ard

18 6 5 -1 96 3

jest słynnym twierdzeniem o liczbach pierwszych. Odkrycie tego twierdzenia sięga wstecz aż do piętnastoletniego Gaussa (około 1792), ale ścisłe dowody matematyczne pochodzą dopiero z 1896 r. i są niezależnym dziełem C. de la Vallee’a Poussina i Jacąuesa Hadamarda. Z zamętu wyłania się ład, udzielając moralnej lekcji o współistnieniu ekscentryczności oraz prawa i porządku. Chociaż «/log« jest dość prostym przybliżeniem dla n(n), nie jest ono szczególnie dokładne i matematycy interesowali się jego poprawieniem. Uzyskuje się je oczywiście kosztem kompli­ kacji wyrażenia aproksymującego. Jednym z najbardziej zado­ walających wyrażeń aproksymujących dla n(n) jest funkcja *(«)=! + £

208

1

fc= i k C ( k + l )

(log n f k\

gdzie C(z) oznacza słynną funkcję dzeta Riemanna C(z) = 1 + — + — + — + ... Następująca tabelka pokazuje, jak zadziwiająco dobrą apro­ ksymację dla 7i («) stanowi R(n): n(n) 100 000 000 200 000 000

300 400 500 600 700 800 900 1 000

000 000 000 000 000 000 000 000

000 000 000 000 000 000 000 000

5 761 11 078 16 252 21 336 26 355 31 324 36 252 41 146 46 009 50 847

R(ń) 455 937 325 326 867 703 931 179 215 534

5 761 11 079 16 252 21 336 26 355 31 324 36 252 41 146 46 009 50 847

552 090 355 185 517 622 719 248 949 455

Na koniec wróćmy do pytania o pary bliźniaczych liczb pierwszych. Przypuszcza się, że istnieje nieskończenie wiele takich par, ale to jest ciągle jeszcze pytanie otwarte. Dlaczego wierzymy, że tak jest, chociaż nie ma żadnego na to dowodu? Przede wszystkim istnieje argument numeryczny: szuka­ jąc par liczb pierwszych, znajdujemy ich coraz więcej i wydaje się, że nie ma takiego obszaru w układzie liczb naturalnych, który byłby dostatecznie odległy, by znajdować się poza największą parą liczb pierwszych. Ale co więcej, mamy także pewną ideę, ile jest par liczb pierwszych. Możemy do niej dojść zauważywszy, że pojawienie się pary liczb pierwszych wydaje się być wydarzeniem nieprzewidywalnym, czyli losowym. Nasuwa to przypuszczenie,- że szansa, iż z dwóch liczb « i « + 2 obie będą pierwsze, jest podobna jak szansa uzyskania orła przy dwóch kolejnych rzutach monetą. Jeśli dwa kolejne doświadczenia losowe są niezależne, to szansa sukcesu w obu jest równa iloczynowi szans sukcesów w każdym; na przykład, jeśli moneta daje prawdopodobieństwo 1/2 pojawie­ nia się orła, to dwie monety dają prawdopodobieństwo ł x | = i pojawienia się dwóch orłów. Twierdzenie o liczbach pierwszych, które zostało udowod­ nione, powiada, że jeśli « jest dużą liczbą i wybieramy losowo liczbę x pomiędzy 0 a «, to szansa, że x będzie liczbą pierwszą będzie równa „około” l/log«. Im większe «, tym lepsze jest przybliżenie dane przez l/log« dla stosunku liczb pierwszych do wszystkich liczb aż do «.

209

W ybrane rozdziały m atem a tyki

Geometria nieeuklidesowa

Jeśli zaufamy naszej intuicji, że pojawienie się bliźniaczych liczb pierwszych jest jak pojawienie się dwóch orłów, to szansa, że zarówno x jak i x + 2 będą pierwsze, będzie równa około 1/(logu)2. Innymi słowy, będzie około «/(log «)2 par liczb pierw­ szych między 0 a n. Ułamek ten zmierza do nieskończoności wraz z n zmierzającym do nieskończoności, a zatem wyrażałoby to liczbowo nasze przypuszczenie o parach liczb pierwszych. Przyjmując zależność tego, że x + 2 jest liczbą pierwszą, od przypuszczenia, że x jest liczbą pierwszą, należałoby zmodyfi­ kować ocenę n/(logn)2 do (1,32032...)n/(logn)2. Załączamy porównanie tego, co zostało znalezione, z tym, co przewiduje ta prosta formuła. Zgodność jest zadziwiająco duża, ale ostateczne Q.E.D. jest jeszcze do napisania. Przedział

—

1 -1 10 -1 0 100 100 1 000 - 1 000 10 000 - 1 0 000 100 000 - 1 0 0 000 1 000 000 1 000 000 —

100 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Bliźniacze pary oczekiwane znalezione

000 000 150 000 000 000 150 000 000 000 150 000 000 000 150 000 000 000 150 000 000 000 150 000 000 000 150 000 000 000 150 000

584

601

461

466

374

389

309

276

259

276

221

208

191

186

166

161

Dalsze lektury (patrz bibliografia) E. G rossw ald; D . N . L ehm er; D . Z agier; W . N arkiew icz

GEOMETRIA NIEEUKLIDESOWA

210

Pojawieniu się na scenie matematycznej około półtora wieku temu geometrii nieeuklidesowej towarzyszyła nieufność i szok. Dzisiaj istnienie takich geometrii łatwo objaśnić w kilku zdaniach i łatwo to zrozumieć. Każdej teorii matematycznej, jak

arytmetyka, geometria, algebra czy topologia, można nadać postać systemu aksjomatycznego, w którym z aksjomatów logicznie i systematycznie wyciąga się wnioski. Taki schemat logiczno-dedukcyjny można przyrównać do gry, same zaś aksjomaty schematu — do reguł tej gry. Każdy grywający wie, że można wymyślać różne warianty danych gier, czego skutki będą odpowie­ dnio różne. Geometria nieeuklidesowa jest geometrią rozgrywaną według aksjomatów różnych od aksjomatów Euklidesa. Rzecz jasna, to proste wyjaśnienie zadaje gwałt porządkowi historycznemu, opiera się ono bowiem na filozofii matematyki, która pojawiła się właśnie jako rezultat odkrycia takich geo­ metrii. Dla lepszego zrozumienia istoty rzeczy trzeba prze­ śledzić rozwój chronologiczny. Od czasów Greków geometria miała aspekt podwójny. Utrzy­ mywano, że jest ona ścisłym opisem przestrzeni, w której żyjemy, a jednocześnie, że jest dyscypliną intelektualną i ma strukturę dedukcyjną. Dzisiaj te dwa aspekty uważa się za różne, ale nie zawsze tak było. Geometria Euklidesa opierała się na pewnej liczbie aksjomatów i postulatów, z których zacytujemy pięć pierwszych postulatów. (Różnica między słowami aksjomat i pos­ tulat nie jest jasna. Matematyka współczesna używa tych słów niemal zamiennie.) 1. Między każdymi dwoma punktami można poprowadzić linię prostą. 2. Każda ograniczona linia prosta może być przedłużana nieograniczenie. 3. Wokół każdego punktu jako środka i każdym promieniem można zakreślić okrąg. 4. Wszystkie kąty proste są równe. 5. Jeśli dwie linie proste leżące na płaszczyźnie są przecięte trzecią i jeśli suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, to te linie proste się spotkają, jeśli je dostatecznie przedłużyć z tej strony, gdzie suma kątów jest mniejsza od dwóch kątów prostych. Innymi słowy, odwołując się do rysunku, jeśli -p A + B < < 180°, to linie L i i L 2 przetną się w jakimś punkcie po prawej stronie prostej L y

E uklides ok. 300 p rze d Chi

Geometria nieeuklidesowa

W ybrane rozdziały m atem a tyki

N a pow ierzchni sfery ,,linię p ro s tą ” interpre­ tuje się ja k o ,.wielkie k o lo ” (A i B n a g ó r­ nym rysunku). P rzez k ażdą parę punktów antypodycznych (aa' i bb') przechodzi wiele wielkich kól. Jeśli in­ terpretujem y ,.p u n k t” ja k o ,,parę p u n k tó w ”, to pierw szy postulat Euklidesa je s t praw dzi­ wy. Drugi postulat je s t praw dziw y, je ś li p o ­ zw ala się ,.lin iip ro stej” m ieć skończoną dłu­ gość lub nawijać się na siebie wiele razy w okół sfery. T a kże trzeci p o s­ tulat je s t praw dziw y, jeśli długość m ierzy się wzdłuż wielkich kół, które mogą być wielo­ krotnie nawijane; tutaj ,,o k rą g ” znaczy po pro­ stu zbiór punktów na

Według dawniejszego poglądu słowo aksjomat lub postulat oznaczało oczywistą lub powszechnie uznawaną prawdę, przyj­ mowaną bez dowodu. W geometrii dedukcyjnej aksjomat od­ grywa rolę kamienia węgielnego, na którym wznoszą się dalsze konstrukcje, natomiast w geometrii opisowej aksjomat funk­ cjonuje jako prawdziwe i ścisłe stwierdzenie ze świata doświad­ czeń przestrzennych. Ten pierwszy pogląd utrzymał się, ten drugi musiał ustąpić. Jeśli spojrzymy na postulaty 1, 2, 3 i 4, to wydają się one łatwe i wręcz oczywiste. Postulat 5 jest inny, ma skomplikowa­ ne wysłowienie i jest raczej nieoczywisty; wydaje się prze­ kraczać bezpośrednie doświadczenie fizyczne. Postulat 5 jest znany jako postulat równoległych Euklidesa lub, bardziej poto­ cznie, jako piąty Euklidesa, przez analogię do poprawek kon­ stytucji Stanów Zjednoczonych. Od najdawniejszych czasów skupiał na sobie szczególną uwagę. Historyczny rozwój geometrii nieeuklidesowej wynikał z prób uporania się z tym aksjomatem. Zauważmy, że chociaż piąty Euklidesa jest znany jako aksjomat równoległych, to słowo „równoległy” w nim się nie pojawia. Zostało ono wyjaśnione u Euklidesa w definicji 23: „Równoległe linie proste to takie, które leżąc w tej samej płaszczyźnie i przedłużane nieskończenie w obu kierunkach, nie spotykają się w żadnym kierunku” . Powodem, dla którego nazywamy piąty Euklidesa aksjoma­ tem równoległych jest to, że jest on całkowicie równoważny któremukolwiek z następujących stwierdzeń posługujących się słowem równoległy: 1. Jeśli linia prosta przecina jedną z dwóch prostych równo­ ległych, to przetnie i drugą. 2. Linie proste równoległe do tej samej linii prostej są równoległe między sobą. 3. Dwie linie proste, które się przecinają, nie mogą być równoległe do tej samej prostej. 4. Niech na płaszczyźnie będzie dana prosta L i punkt P nie leżący na niej. Wówczas przez punkt P przechodzi jedna i tylko jedna linia prosta równoległa do L. ________________ .P_____________ __________________________________ L

Równoważność oznacza, że każde z tych stwierdzeń wzięte razem z pozostałymi aksjomatami pociąga piąty Euklidesa — i na odwrót.

W ciągu lat, z przyczyn, które są częściowo techniczne, a częściowo estetyczne, sformułowanie 4 stało się standar­ dowym sformułowaniem stwierdzenia Euklidesa o równoległo­ ści. Znane jest jako aksjomat Playfaira w uznaniu dla Brytyj­ czyka Johna Playfaira (1748 —1819). Początkowo badania nad piątym Euklidesa próbowały uza­ sadnić jego słuszność, zmierzając do logicznego wywiedzenia go z pozostałych aksjomatów, które wydawały się oczywiste. Stał­ by się on wówczas twierdzeniem i jego status byłby pewny. Te wysiłki jednak zawiodły i to z istotnego powodu: dzisiaj wiemy, że nie można go tak wyprowadzić. Zostało to ustalone w 1868 r. Wobec niepowodzenia metod bezpośrednich było rzeczą nie­ uchronną, że matematycy sięgną po metody pośrednie. Polega to na tym, że neguje się piąty, a następnie próbuje wyprowadzić stąd sprzeczność. Dwoma znanymi badaczami, posługującymi się metodą reductio ad absurdum, byli Girolamo Saccheri (1667 —1733) i Johann Lambert (1728 —1777). Obaj negowali piąty.

sferze o zadanej wielkokolow ej odległości od danego punktu. Podob­ nie praw dziw y je s t czwarty postulat. P os­ tulat Playfaira je s t fa ł­ szyw y, ponieważ każde dwa wielkie kola się przecinają. T ak więc sfera je s t modelem geo­ m etrii nieeuklidesowej. Podobnie pseudosfera (dolny rysunek), jeśli li­ nie proste interpretuje się ja k o najkrótsze krzyw e łączące dowolne dwa p u n k ty na powierz­ chni. N a pseudosferze je s t wiele ,, linii pros­ tyc h ”, które przechodzą przez dany p u n k t i nie przecinają danej linii prostej.

Saccheri pracował nad czworokątem ABCD, którego kąty w A i B są proste i w którym AD = BC. W geometrii aksjomatycznej jest on dzisiaj znany jako czworokąt Saccheriego. Należy zauważyć, że w geometrii euklidesowej AD byłby rów­ noległy do BC, a zatem kąty w D i C byłyby oba proste. Ale Saccheri, nie zakładając piątego, wnioskował, że istnieją trzy możliwości: 1. Kąty w C i D są oba proste. 2. Są oba rozwarte. 3. Są oba ostre. Niektóre z wniosków płynących z 2 i 3 są dostatecznie wstrząsające, by przeczyć „intuicji” . Saccheri uznał się za pokonanego i obwieścił sprzeczność. Śmielszy i zręczniejszy z nich, Lambert ciągnął parę rund dłużej i nie spoczął, póki nie odkrył, że w ramach stworzonego przezeń nowego, hipotetycznego systemu można udowodnić istnienie absolutnej jednostki długości. Ponieważ, jak wywo-

213

W ybrane rozdziały m a tem a tyki

B ernhard R iem ann

1 8 2 6 -1 8 6 6

Janos B olyai

1 8 0 2 -1 8 6 0

dził, nie może być absolutnej jednostki długości, całe przedsię­ wzięcie musi być błędne. Nie jest naszym zamiarem śledzenie strumienia odkryć i licz­ nych jego dopływów. Wielu matematyków odegrało tu pewną rolę: Gauss, Łobaczewski, Bolyai, Riemann, by wymienić tylko najważniejszych. Odkryciu towarzyszyło wiele nieporozumień, wątpliwości i obaw. Wydawało się ono graniczyć z szaleńst­ wem, a bóle porodowe były ciężkie. Na przykład ojciec Bolyai’a pisał do syna: „Na litość Boską, błagam Cię, daj temu spokój. Lękaj się tego bardziej niż zmysłowych namiętności, potrafi to bowiem pochłonąć cały Twój czas i pozbawić Cię zdrowia, spokoju umysłu i szczęścia w życiu” . Odkryto, że istnieje nie jedna, ale dwie geometrie nieeu­ klidesowe. Dzisiaj przypisuje się im nazwy geometrii Łobaczewskiego (hiperbolicznej) i Riemanna (eliptycznej). Zamiast aksjomatowi Playfaira, te dwie geometrie odpowiadają na­ stępującym aksjomatom: Łobaczewski. Niech na płaszczyźnie będzie dana linia prosta L i punkt P nie leżący na niej. Wówczas istnieją co najmniej dwie linie proste przechodzące przez P i równoległe do L. Riemann. Niech na płaszczyźnie będzie dana linia prosta L i punkt P nie leżący na niej. Wówczas nie ma żadnych linii prostych przechodzących przez P i równoległych do L. Trzy geometrie — Euklidesa, Łobaczewskiego i Riemanna — niosą z sobą trzy różne zbiory wniosków (twierdzeń), o których można szczegółowo przeczytać w książkach trak­ tujących o tym przedmiocie. Geometrie te mają różne wzory na wielkości wyrażające się liczbami i różne własności rzutowe. Najbardziej interesujące jest ich porównywanie, a niektóre z podstawowych różnic są podsumowane w załączonej tabeli. Przedstawimy dwa dalsze porównania. Słynne twierdzenie Pitagorasa przyjmuje trzy postaci. Geometria Euklidesa: c2 = a2 + b2. Geometria Łobaczewskiego: 2 (ec,k + e ~c/k) = [ealk + e a,k) (eb,k + e~ blk), gdzie k jest pewną stałą, a e — 2,718... Geometria Riemanna: forma różniczkowa ds2 = ccdx2 + + 2 ßdxdy + ydy , gdzie ' « A jest dodatnio określona. ß yj

214

Geometria nieeuklidesowa Wzór na C w geometrii Riemanna nie daje się wyrazić w prosty sposób. Pozostaje nam omówić logiczną niesprzeczność geometrii nieeuklidesowych. Do osiągnięcia tego celu wystarczy wszędzie zastąpić słowo „linia prosta” wyrażeniem „wielkie koło” , tj. kolo utworzone na powierzchni sfery przez płaszczyznę prze­ chodzącą przez środek sfery. Aksjomaty traktujemy jako stwier­ dzenie o punktach i wielkich kołach na danej sferze. Co więcej, umawiamy się identyfikować każdą parę punktów antypodycznych sfery, traktując ją jako jeden punkt. Jeśli czytelnik woli, może sobie wyobrazić aksjomaty geometrii nieeuklidesowej przepisane tak, że wszędzie „linia prosta” jest zastąpiona „wiel­ kim kołem” , a słowo „punkt” słowami „para punktów” . Jest wówczas oczywiste, że wszystkie aksjomaty są prawdziwe przy-

Dwie różne p ro ste przecinają się w

Dla danej prostej L i p u n k tu P p oza L istnieje

Prosta

Proste rów noległe Jeśli p ro sta p rzecina je d n ą z dw óch rów noległych, to C zw orokąt Saccheriego m a Dwie różne proste pro sto p a d łe do tej samej p rostej

Euklidesa

Łobaczewskiego

co najwyżej jed n y m '

co najwyżej jed n y m

Pow ierzchnia tró jk ą ta jest

Geometria Euklidesa: C = 2 nr. Geometria Łobaczewskiego: C = n k (e r,k — e r k).

Dwa tró jk ą ty z rów nym i odpow iadającym i sobie kątam i są

Źródło: Prenowitz, Jordan Basic Concepts o f Geometry.

Riemanna jed n y m (pojedyncza eliptyczna)

punkcie

dw óch (podw ójna eliptyczna)

p u n k ta c h

je d n a i tylko je d n a p ro sta

co najm niej dw ie proste

nie istnieje żad n a p ro sta

przechodząca prze; P i rów noległa do L

jest

jest

nie jest

dzielona przez p u n k t n a dwie części

są rów noodległe

nigdy nie są rów noodległe

nie istnieją

m usi

m oże, ale nie m usi

p ro ste

ostre

rozw arte

są rów noległe

są rów noległe

przecinają się

m niejsza niz

w iększa niż

180°

niezależna od

p ro p o rcjo n a ln a do n ied o b o ru d o 180°

p ro p o rcjo n a ln a d o n a d m ia ru p o n a d 180°

sum y k ątów tego tró jk ą ta

po d o b n e

przystające

przystające

Suma k ą tó w w tró jk ącie jest

Obwód C okręgu o promieniu r ma następujący wzór.

Tabela porównująca euklidesow ą i nieeukli­ desowe geom etrie p ła ­ szczyzny.

p rzecm ac d ru g ą kąty

W ybrane rozdziały m a tem a tyki najmniej w takim stopniu, w jakim prawdziwe są nasze zwyczaj­ ne wyobrażenia o sferze. Istotnie, opierając się na aksjomatach geometrii Euklidesa można łatwo udowodnić jako twierdzenie, że powierzchnia sfery jest nieeuklidesową płaszczyzną w sensie właśnie przez nas opisanym. Innymi słowy, widzimy, że gdyby aksjomaty geometrii nieeuklidesowej prowadziły do sprzecz­ ności, to także zwykła geometria euklidesowa sfer prowadziłaby do sprzeczności. W ten sposób uzyskaliśmy względny dowód niesprzeczności: jeśli 3-wymiarowa geometria euklidesowa jest niesprzeczna, to niesprzeczna jest także 2-wymiarowa geometria nieeuklidesowa. Mówimy, że powierzchnia sfery euklidesowej jest modelem dla aksjomatów geometrii nieeuklidesowej. (W tym szczególnym przez nas użytym modelu aksjomat o rów­ noległych zawodzi, ponieważ nie ma linii równoległych. Jest także możliwe skonstruowanie powierzchni, „pseudosfery” , na której postulat o równoległych jest fałszywy, ponieważ istnieje więcej niż jedna linia przechodząca przez punkt i równoległa do danej linii.) Dalsze lektury (patrz bibliografia) A. D . A lexandroff, rozdz. 17; H . Eves, C. V. N ew som ; E. B. Golos; M .J . G reenberg; M . K line [1972], rozdz. 36; W. Prenow itz, M . Jordan; C. E. Sjostedt; S. K ulczycki [1956]

NIECANTOROWSKA TEORIA MNOGOŚCI

216

Ostatnimi laty abstrakcyjna teoria mnogości przeszła rewo­ lucję, która pod wieloma względami jest analogiczna do XIX-wiecznej rewolucji w geometrii. Pokażemy, że opowiada­ nie o geometrii nieeuklidesowej rzuca pewne światło na dzieje niestandardowej teorii mnogości. Zbiór jest oczywiście jedną z najprostszych i najbardziej pierwotnych idei w matematyce; ideą tak prostą, że dzisiaj weszła ona w skład programów przedszkolnych. Nie ma żadnej wątpliwości, że jej rola, jako jednego z najbardziej fundamen­ talnych pojęć w matematyce, z tego właśnie powodu nie była ujawniona aż do lat osiemdziesiątych XIX w. Pierwszego nie­ banalnego odkrycia w teorii mnogości dokonał dopiero Georg Cantor. Cantor wykazał, że w przypadku zbiorów nieskończonych jest sens mówić o liczbie elementów w zbiorze, a przynajmniej

N iecantorowska teoria mnogości stwierdzić, czy dwa różne zbiory mają tę samą liczbę elemen­ tów. Podobnie jak w przypadku zbiorów skończonych, może­ my powiedzieć, że dwa zbiory mają tę samą liczbę elementów — tę samą „moc” — jeśli potrafimy połączyć w pary wszystkie elementy obu zbiorów. Gdy można tak zrobić, wtedy mówimy, że te dwa zbiory są równoliczne. Zbiór wszystkich liczb naturalnych może być połączony w pary ze zbiorem wszystkich liczb parzystych oraz ze zbiorem wszystkich ułamków. Oba te przykłady ilustrują paradoksalne własności zbiorów nieskończonych: zbiór nieskończony może być równoliczny ze swoim podzbiorem. To pociąga, było jednak znane i przed Cantorem. Pojęcie mocy zbiorów nieskończonych stałoby się interesujące dopiero wtedy, gdyby można było pokazać, że nie wszystkie zbiory nieskończone mają tę samą moc. I to właśnie było pierwszym wielkim odkryciem Cantora w teorii mnogości. Za pomocą swego słynnego dowodu przekątniowego pokazał (patrz doda­ tek A), że zbiór liczb naturalnych nie jest równoliczny ze zbiorem punktów odcinka. A więc istnieją co najmniej dwa różne rodzaje nieskoń­ czoności. Pierwszy, nieskończoność liczb naturalnych (i wszy­ stkich równolicznych zbiorów nieskończonych), nazywa się alef zero (K0). Zbiory o mocy K 0 nazywają się przeliczalne. Drugi rodzaj nieskończoności reprezentuje odcinek prostej, a jego moc jest oznaczana małą literą gotycką c (c) — od „continuum” . Każdy odcinek, dowolnej długości, ma moc c. Ma ją także każdy prostokąt na płaszczyźnie, każdy sześcian w przestrzeni i wszystko, co się składa na nieograniczoną przestrzeń «-wymiarową, bez względu na to, czy n jest 1, 2 , 3 czy 1000. Z chwilą uczynienia pierwszego kroku w łańcuchu nieskoń­ czoności, w naturalny sposób robimy następny. Służy do tego pojęcie zbioru wszystkich podzbiorów danego zbioru. Jeśli zbiorem wyjściowym jest A, to ten nowy zbiór nazywamy zbiorem potęgowym i oznaczamy 2A. I podobnie jak otrzymu­ jemy zbiór potęgowy 2A z A, możemy następnie otrzymać 2 ^ z 2A i tak dalej, dowolnie daleko. Cantor udowodnił, że bez względu na to, czy A jest skoń­ czony czy nieskończony, 2A nigdy nie jest równoliczny z A. W ten sposób procedura tworzenia zbioru wszystkich pod­ zbiorów generuje nieskończony łańcuch rosnących, różnych mocy zbiorów nieskończonych. W szczególności, jeśli A jest zbiorem liczb naturalnych, to łatwo dowieść, że 2A (zbiór

Georg Cantor

1 8 4 5 -1 9 1 8

217

W ybrane rozdziały m a tem a tyki

Niecantorowska teoria mnogości

wszystkich podzbiorów liczb naturalnych) jest równoliczny z continuum (zbiorem wszystkich punktów na odcinku). Zapi­ sujemy krótko 2 K° = c.

218

W tym punkcie czytelnikowi może się nasunąć pytanie: czy istnieje zbiór nieskończony o mocy pośredniej między N 0 a c? To znaczy, czy istnieje na odcinku zbiór nieskończony, który nie jest równoliczny ani z całym odcinkiem, ani ze zbiorem liczb naturalnych? Pytanie to nasunęło się Cantorowi, ale nie był on w stanie znaleźć żadnego takiego zbioru. Wnioskował, a raczej przypu­ szczał, że taka rzecz nie istnieje. To przypuszczenie Cantora otrzymało nazwę „hipotezy continuum” . Dowód lub obalenie tej hipotezy znalazło się na pierwszym miejscu słynnej listy nierozwiązanych problemów matematycznych, ułożonej przez Dawida Hilberta w 1900 r. Hipoteza continuum została ostate­ cznie rozstrzygnięta dopiero w 1963 r„ ale rozstrzygnięta w sensie całkowicie odmiennym od tego, jaki miał na myśli Hilbert. Żeby uchwycić ten problem, nie można dłużej opierać się na definicji Cantora zbioru jako „zebrania w jedną całość okreś­ lonych obiektów naszej intuicji lub naszej myśli” . W istocie definicja ta, pozornie tak przejrzysta, kryje w sobie, jak się okazało, zdradzieckie pułapki. Swobodne posługiwanie się po­ chodzącym od Cantora intuicyjnym pojęciem zbioru może prowadzić do sprzeczności. Teoria mnogości może służyć jako bezpieczny fundament matematyki tylko przy bardziej wyrafi­ nowanym podejściu, pozwalającym unikać antynomii w rodza­ ju sprzeczności typu zaproponowanego przez Russella, które się później ujawniły. Zdarzyło się to, nim niepożądane paradoksy wtargnęły do pozornie jasnej teorii matematycznej. Istnieją paradoksy Zeno­ na, które odsłoniły Grekom nieoczekiwane złożoności intuicyj­ nych pojęć linii i punktów. Możemy przeprowadzić analogię: jak Russell znalazł sprzeczności w nieograniczonym posługiwa­ niu się intuicyjnym pojęciem zbioru, tak Zenon znalazł sprzecz­ ności w nieograniczonym używaniu intuicyjnych pojęć „linii” i „punktu” . Na początku, za Talesa w szóstym wieku przed Chr., geo­ metria grecka opierała się na nieokreślonym intuicyjnym poj­ mowaniu „linii” i „punktu” . Jednakże jakieś trzysta lat później Euklides ujął te pojęcia aksjomatycznie. Dla Euklidesa obiekty

geometryczne były nadal intuicyjnie znanymi rzeczywistymi bytami, jednakże jako przedmiot rozumowań geometrycznych zostały określone przez pewne niedowodzone stwierdzenia („ak­ sjomaty” i „postulaty”), na podstawie których wszystkie inne ich własności miały być dowodzone jako „twierdzenia” . Nie wiemy, czy i do jakiego stopnia ten postęp był odpowiedzią na paradok­ sy takie jak Zenona. Nie ma wszakże wątpliwości, że Grekom geometria wydawała się znacznie solidniejsza, zależąc jedynie (tak przynajmniej wierzyli i tak postępowali) od logicznego wywodu z niewielkiej liczby jasno sformułowanych założeń. Analogiczny rozwój teorii mnogości zajął nie trzysta lat, ale tylko trzydzieści pięć. Jeśli Cantor miałby grać rolę Talesa — twórcy dziedziny, który był w stanie opierać się jedynie na intuicyjnym rozumowaniu — to rola Euklidesa przypada Erns­ towi Zermelo, który w 1908 r. położył podwaliny aksjomatycznej teorii mnogości. Oczywiście Euklides był w rzeczywistości tylko jednym z długiego szeregu geometrów greckich, którzy stworzyli „geometrię euklidesową” i podobnie Zermelo był tylko pierwszym z kilku wielkich matematyków budujących aksjomatyczną teorię mnogości. Podobnie jak Euklides wypisał pewne własności punktów i linii, i traktował jako dowiedzione jedynie te twierdzenia geometrii, które mogły być otrzymane z tych aksjomatów (a nie z innych intuicyjnych przesłanek), tak i w aksjomatycznej teorii mnogości zbiór jest traktowany po prostu jako niezdefiniowa­ ny obiekt spełniający pewną listę aksjomatów. Oczywiście chcemy badać zbiory (czy linie), a więc aksjomaty nie są wybierane dowolnie, lecz zgodnie z naszym intuicyjnym poję­ ciem zbioru czy linii. Mimo to intuicji zostaje odebrana jakakol­ wiek przyszła formalna rola: akceptowane są jedynie te zdania, które wynikają z aksjomatów. Fakt, że obiekty opisywane przez te aksjomaty mogą naprawdę istnieć w rzeczywistym świecie, jest dla procesu formalnej dedukcji obojętny (chociaż istotny dla odkrywania). Umawiamy się tak postępować, jak gdyby symbole „linii” , „punktu” i „kąta” w geometrii, czy w teorii mnogości symbole „zbioru” , „jest podzbiorem” i tak dalej, były jedynie znakami na papierze, którymi można manipulować tylko zgodnie z daną listą zasad (aksjomatów i reguł wnioskowania). Jako twier­ dzenia przyjmuje się jedynie te zdania, które otrzymuje się zgodnie z takimi działaniami na symbolach. (W praktyce przyjmuje się te zdania, które w sposób oczywisty można by tak otrzymać, gdyby poświęcić na to dość czasu i starań.)

219

Wybrane rozdziały m a tem a tyki

220

W historii geometrii jeden postulat odgrywał szczególną rolę. Był to postulat równoległych, który powiada, że przez dany punkt przechodzi dokładnie jedna linia prosta równoległa do danej linii (patrz podrozdział o geometrii nieeuklidesowej). Trudność związana z tym stwierdzeniem jako aksjomatem polega na tym, że nie jest on oczywisty, czego się pragnie przy zakładaniu fundamentów teorii matematycznej. W istocie linie proste równoległe definiuje się jako takie linie proste, które się nigdzie nie przecinają, nawet jeśli są przedłużane nieograniczenie („do nieskończoności”). Ponieważ wszystkie linie, jakie rysujemy na papierze czy tablicy, mają długość skończoną, jest to aksjo­ mat, który z samej swojej natury nie może być sprawdzony przez bezpośrednie obserwacje zmysłowe. A mimo to jest on w geome­ trii euklidesowej nieodzowny. Przez wiele stuleci czołowym problemem geometrii było udowodnienie tego aksjomatu równo­ ległych, pokazanie, że można go otrzymać jako twierdzenie na podstawie bardziej oczywistych aksjomatów Euklidesa. Tak się złożyło, że w abstrakcyjnej teorii mnogości także był aksjomat przez sporą część matematyków uznawany za trudny do przyjęcia. Był to aksjomat wyboru, który stwierdza co następuje: jeśli a. jest dowolną rodziną zbiorów parami rozłącz­ nych {A, B,...}, przy czym żaden ze zbiorów tej rodziny nie jest pusty, to istnieje zbiór Z zawierający dokładnie jeden element ze zbioru A, jeden ze zbioru B i tak dalej przez wszystkie zbiory rodziny a. Na przykład, jeśli a składa się z dwóch zbiorów; zbioru wszystkich trójkątów i zbioru wszystkich kwadratów, to cc oczywiście spełnia aksjomat wyboru: wybieramy jeden określo­ ny trójkąt i jeden określony kwadrat i te dwa elementy tworzą Z. Dla większości ludzi aksjomat wyboru, podobnie jak aks­ jom at równoległych, jest intuicyjnie godny zaufania. Trudność leży w zakresie, jaki dopuszczamy dla a: „każda” rodzina zbiorów. Jak widzieliśmy, istnieją nieskończone łańcuchy coraz większych zbiorów nieskończonych. Dla takiej niewyobrażalnie dużej rodziny zbiorów nie ma żadnego konkretnego wyboru z każdego pojedynczego jej zbioru. Jeśli zatem przyjmujemy aksjomat wyboru, to nasza akceptacja jest zwykłym aktem wiary, że taki wybór jest możliwy, tak jak nasza akceptacja postulatu równoległych jest aktem wiary w to, jak proste będą się zachowywać przy przedłużaniu ich do nieskończoności. Okazuje się, że z naszego niewinnie wyglądającego aksjomatu wyboru wynikają niektóre nieoczekiwane, ale bardzo silne wnioski. Na przykład możemy stosować rozumowanie indukcyjne do dowodzenia twierdzeń o elementach dowolnego zbioru

Niecantorowska teoria mnogości w bardzo podobny sposób do tego, w jaki stosujemy indukcję matematyczną do dowodzenia twierdzeń o liczbach natural­ nych 1, 2, 3,... Aksjomat wyboru grał w teorii mnogości specjalną rolę. Wielu matematyków uważało, że gdzie tylko można, należy unikać jego stosowania. Taka postać aksjomatycznej teorii mnogości, w której nie zakłada się, że aksjomat wyboru jest prawdziwy czy fałszywy, byłaby teorią, na której niemal wszys­ cy matematycy byliby gotowi się opierać. W dalszym ciągu będziemy używać terminu „ograniczona teoria mnogości” dla takiego układu aksjomatycznego i terminu „standardowa teo­ ria mnogości” dla teorii opartej na pełnym zbiorze aksjomatów wysuniętych przez Zermelo i Abrahama Fraenkla: ograniczona teoria mnogości plus aksjomat wyboru. W 1938 r. sprawa ta została dogłębnie zbadana przez Kurta Gódla, najbardziej znanego z powodu jego wielkiego twierdzenia o „niezupełności” z lat 1930 —31. Tutaj natomiast odwołujemy się do jego późniejszej pracy, mniej znanej wśród niematematyków. W 1938 r. Godeł uzyskał następujący fundamentalny wynik: jeśli ograniczona teoria mnogości jest niesprzeczna, to także standardowa teoria mnogości jest niesprzeczna. Innymi słowy, aksjomat wyboru nie jest bardziej niebezpieczny niż inne aksjomaty: jeśli można znaleźć sprzeczność w standardowej teorii mnogości, to musi ona już być w ograniczonej teorii mnogości. Ale to nie było wszystko, co Godeł udowodnił. Przypominamy czytelnikowi „hipotezę continuum” Cantora, a mianowicie, że nie istnieje nieskończona liczba kardynalna większa od K0 i mniejsza od c. Godeł pokazał, że także hipotezę continuum możemy bezpiecznie przyjąć jako dodatkowy aksjomat teorii mnogości. Znaczy to, że jeśli hipoteza continuum plus ograniczona teoria mnogości pociągają sprzeczność, to sprzeczność musi się już zawierać wewnątrz ograniczonej teorii mnogości. Była to połowa rozwiązania problemu Cantora: nie był to dowód hipotezy continuum, a jedynie dowód, że nie może być ona obalona. Żeby zrozumieć, jak Gódel doszedł do swoich wyników, musimy zrozumieć, co się pojmuje przez model systemu aks­ jomatycznego. W tym celu wróćmy na chwilę do aksjomatów geometrii płaskiej. Biorąc te aksjomaty i dołączając do nich postulat równoległych, dostajemy aksjomaty geometrii euk­ lidesowej, ale jeśli zatrzymamy wszystkie pozostałe aksjomaty jak przedtem, natomiast postulat równoległych zastąpimy jego negacją, dostaniemy aksjomaty geometrii nieeuklidesowej. W stosunku do obu systemów aksjomatycznych — euklideso-

K urt Gödel

1906-1 9 7 8

W ybrane rozdziały m a tem a tyki

222

wego i nieeuklidesowego — zadajemy pytanie: czy te aksjomaty mogą prowadzić do sprzeczności? Postawienie tego pytania w odniesieniu do systemu euklidesowego może się wydawać nierozsądne. Jak może być coś niedobrego w znanej od dwóch tysięcy lat geometrii szkolnej? Z drugiej strony, dla niematematyka jest oczywiście coś podej­ rzanego w drugim układzie aksjomatów, z jego zaprzeczeniem intuicyjnie godnego zaufania postulatu równoległych. Mimo to, z punktu widzenia XX-wiecznej matematyki, oba rodzaje geometrii są mniej więcej tak samo zasadne. Oba dają się niekiedy zastosować do świata fizycznego i oba są względnie niesprzeczne. Odkrycie geometrii nieeuklidesowej i zrozumienie, że jej niesprzeczność wynika z niesprzeczności geometrii euklidesowej, było dziełem wielu XIX-wiecznych matematyków, w szcze­ gólności wspomnijmy tu nazwisko Bernharda Riemanna. Do­ piero w XX w. zapytano, czy geometria euklidesowa jest, czy też nie jest niesprzeczna. Pytanie to postawił i odpowiedział na nie Dawid Hilbert. Rozwiązanie Hilberta było prostym zastosowaniem idei układu współrzędnych. Każdemu punktowi płaszczyzny możemy przy­ pisać parę liczb: jego współrzędne x i y. W konsekwencji z każdą prostą lub okręgiem możemy związać równanie: zwią­ zek między x i y, który jest prawdziwy tylko dla punktów leżących na tej prostej czy tym okręgu. W ten sposób tworzymy odpowiedniość między geometrią a elementarną algebrą. Dla każdego stwierdzenia w jednej z tych dziedzin istnieje od­ powiadające mu stwierdzenie w drugiej. Wynika stąd, że ak­ sjomaty geometrii euklidesowej mogą prowadzić do sprzecz­ ności tylko wtedy, gdy reguły elementarnej algebry — wła­ sności zwykłych liczb rzeczywistych — mogą prowadzić do sprzeczności. Mamy tu znowu względny dowód niesprzecz­ ności. Geometria nieeuklidesowa była niesprzeczna, jeśli geo­ metria euklidesowa była niesprzeczna; teraz geometria eukli­ desowa jest niesprzeczna, jeśli elementarna algebra jest nie­ sprzeczna. Sfera euklidesowa była modelem płaszczyzny nie­ euklidesowej, zbiór par współrzędnych jest z kolei modelem płaszczyzny euklidesowej. Mając te przykłady przed oczyma, możemy powiedzieć, że dowód Gódla względnej niesprzeczności aksjomatu wyboru i hipotezy continuum był analogiczny do dowodu Hilberta względnej niesprzeczności geometrii euklidesowej. W obu przypadkach standardowa teoria była uzasadniana na gruncie teorii

Niecantorowska teoria mnogości bardziej elementarnej. Oczywiście, nikt nigdy nie wątpił w pew­ ność geometrii euklidesowej, podczas gdy tacy wybitni mate­ matycy jak L. E. J. Brouwer, Hermann Weyl i Henri Poincare mieli poważne wątpliwości co do aksjomatu wyboru. W tym sensie wynik Gódla ma znacznie większe znaczenie i większy wywiera wpływ. Analogiczny do geometrii nieeuklidesowej rozwój dziedziny, którą możemy nazwać niecantorowską teorią mnogości, na­ stąpił dopiero od roku 1963 i pracy Paula J. Cohena. Co się rozumie przez „niecantorowską teorię mnogości”? Podobnie jak geometria euklidesowa i nieeuklidesowa posługują się tymi samymi aksjomatami, z jedynym wyjątkiem aksjomatu równo­ ległych, tak standardowa („cantorowska”) i niestandardowa („niecantorowska”) teorie mnogości różnią się tylko jednym aksjomatem. Niecantorowska teoria mnogości przyjmuje aks­ jomaty ograniczonej teorii mnogości i dołącza do nich nie aksjomat wyboru, ale jakąś formę jego negacji. W szczególno­ ści może przyjąć jako aksjomat negację hipotezy continuum. Na tej drodze, jak to za chwilę objaśnimy, uzyskano dzisiaj pełne rozwiązanie hipotezy continuum. Do odkrycia Gódla, że hipotezy continuum nie można obalić, doszedł fakt, że nie można jej także dowieść. Zarówno wynik Gódla, jak i te nowe odkrycia wymagają konstrukcji modelu, podobnie jak dowody niesprzeczności geo­ metrii, które właśnie opisywaliśmy, też wymagały modelu. W obu przypadkach chcemy udowodnić, że jeśli ograniczona teoria mnogości jest niesprzeczna, to także standardowa (czy niestandardowa) teoria mnogości jest niesprzeczna. Idea Gódla polegała na skonstruowaniu modelu dla ograni­ czonej teorii mnogości i udowodnieniu, że w tym modelu aksjomat wyboru i hipoteza continuum były twierdzeniami. Postępował on w następujący sposób. Posługując się tylko aksjomatami ograniczonej teorii mnogości (patrz ss. 137-138) gwarantujemy sobie na mocy aksjomatu 2 istnienie co najmniej jednego zbioru (zbioru pustego); następnie aksjomaty 3 i 4 gwarantują nam istnienie nieskończonego ciągu coraz większych zbiorów skończonych; z kolei aksjomat 5 zapewnia istnienie zbioru nieskończonego; dalej aksjomat 7 daje nieskoń­ czony ciąg coraz większych (różnej mocy) zbiorów nieskoń­ czonych, i tak dalej. Tak właśnie postępując, Gódel określa pewną klasę zbiorów przez sposób, w jaki dają się one skon­ struować w kolejnych krokach ze zbiorów prostszych. Nazywa te zbiory „konstruowalnymi” , ich istnienie zaś zapewniają

223

W ybrane rozdziały m a tem a tyki

224

aksjomaty ograniczonej teorii mnogości. Następnie pokazuje, że w uniwersum zbiorów konstruowalnych zarówno aksjomat wyboru jak i hipoteza continuum mogą być dowiedzione. Znaczy to, po pierwsze, że z każdej konstruowalnej rodziny zbiorów konstruowalnych (A, B,...) można wybrać konstruowalny zbiór Z składający się z co najmniej jednego elementu z każdego ze zbiorów A, B,... itd. Jest to aksjomat wyboru, który tutaj mógłby być bardziej właściwie nazwany twierdze­ niem o wyborze. I po drugie, jeśli A jest dowolnym nieskoń­ czonym zbiorem konstruowalnym, to nie istnieje żaden konstruowałny zbiór leżący „między” A a 2A (większy od A, mniejszy od zbioru potęgowego 2A i mocy różnej od każdego z nich). Jeśli A ma pierwszą moc nieskończoną, to ostatnie stwierdzenie jest hipotezą continuum. Zatem w przypadku konstruowalnej teorii mnogości „uogól­ niona hipoteza continuum” została dowiedziona. Gdybyśmy byli gotowi przyjąć aksjomat, że istnieją tylko zbiory konstruowalne, to praca Gódla rozprawiłaby się z dwoma naszymi problemami w zupełności. Dlaczego zatem tak nie postąpić? Ponieważ wydaje się nierozsądne domaganie się, by dla uznania zbioru za zbiór prawdziwy, musiałby on być skonstruowany zgodnie z jakąś z góry zadaną formułą. Tak więc w zwyczajnej (niekoniecznie konstruowalnej) teorii mnogości ani aksjomat wyboru, ani hipoteza continuum nie zostały dowiedzione. Co najmniej jednak to było pewne: można założyć każde z nich bez spowodowania jakiejkolwiek sprzeczności, chyba że „bezpiecz­ ne” aksjomaty ograniczonej teorii mnogości same są już sprze­ czne. Każda sprzeczność, którą powodują, musiałaby już być obecna w konstruowalnej teorii mnogości, która jest modelem zwyczajnej teorii mnogości. Innymi słowy, wiadomo było, że żadna nie może być obalona na podstawie pozostałych aks­ jomatów, ale nie było wiadomo, czy mogą być dowiedzione. Tutaj analogia z postulatem równoległych staje się szczegól­ nie trafna. Aż do niedawna przyjmowano, że aksjomaty Eukli­ desa są niesprzeczne. Geometrów interesowało pytanie, czy są one niezależne, to znaczy, czy postulat równoległych może być wywiedziony z pozostałych. Pokolenia geometrów próbowały udowodnić postulat równoległych przez pokazanie, że jego negacja prowadzi do absurdu. Doprowadziło to jednak nie do absurdu, a do odkrycia „fantastycznych” geometrii, których niesprzeczność jest taka sama jak geometrii euklidesowej „rze­ czywistego świata” . A kiedy się to stało, okazało się, że 2 -wymiarowa geometria nieeuklidesowa jest po prostu zwykłą

Niecantorowska teoria mnogości geometrią euklidesową pewnych powierzchni zakrzywionych (sfery i pseudosfery). Analogiczny krok w teorii mnogości polegałby na zaprzecze­ niu aksjomatu wyboru albo hipotezy continuum. Oczywiście rozumiemy przez to, że krok ten polegałby na udowodnieniu, źe taka negacja jest niesprzeczna z ograniczoną teorią mnogości w takim samym sensie, w jakim Godeł dowiódł, że niesprzeczna jest afirmacja. I taki właśnie dowód uzyskano w ostatnich kilku latach. Zapoczątkowało to falę aktywności w logice matematy­ cznej, a jej ostatecznych rezultatów nie sposób dziś przewidzieć. Ponieważ jest to problem względnej niesprzeczności systemu aksjomatycznego, oczywiście myślimy o skonstruowaniu mode­ lu. Jak widzieliśmy, względna niesprzeczność geometrii nieeuk­ lidesowej została stwierdzona z chwilą pokazania, że powierz­ chnie w 3-wymiarowej geometrii euklidesowej są modelami 2-wymiarowej geometrii nieeuklidesowej. Podobnie na to, by wykazać zasadność niecantorowskiej teorii mnogości, w której aksjomat wyboru czy hipoteza continuum są fałszywe, musimy posłużyć się aksjomatami ograniczonej teorii mnogości w celu skonstruowania modelu, w którym negacja aksjomatu wyboru bądź negacja hipotezy continuum mogłyby być dowiedzione jako twierdzenia. Trzeba przyznać, że konstrukcja takiego modelu jest sprawą delikatną i złożoną. Być może należało się tego spodziewać. W modelu Gódla cantorowskiej teorii mnogości, złożonym ze zbiorów konstruowalnych, zadanie polegało na stworzeniu czegoś w istocie identycznego z naszym intuicyjnym pojęciem zbioru, ale łatwiejszego w użyciu. Teraz natomiast stoi przed nami zadanie stworzenia modelu czegoś nieintuicyjnego i dziw­ nego, przy użyciu dobrze znanych cegieł ograniczonej teorii mnogości. Zamiast podnieść ręce do góry i oświadczyć, że opisanie takiego modelu w sposób nietechniczny jest niemożliwe, spró­ bujemy przynajmniej zdać opisową relację z jednej czy dwu wiodących idei. Punktem wyjścia będzie dla nas zwyczajna teoria mnogości (bez aksjomatu wyboru), pragniemy zaś udo­ wodnić jedynie niesprzeczność niecantorowskiej teorii mno­ gości we względnym sensie. Podobnie jak modele geometrii nieeuklidesowej wykazują, że geometria nieeuklidesowa jest niesprzeczna, jeśli niesprzeczna jest geometria euklidesowa, tak też pokażemy, że jeśli zwyczajna teoria mnogości jest nie­ sprzeczna, to pozostaje niesprzeczna także po dołożeniu stwier­ dzenia „aksjomat wyboru jest fałszywy” albo stwierdzenia

225

W ybrane rozdziały m a tem a tyki

226

„hipoteza continuum jest fałszywa” . Jako punkt wyjścia może­ my teraz przyjąć, że mamy model ograniczonej teorii mnogości. Nazwijmy ten model M\ można go traktować jako klasę Godła zbiorów konstruowalnych. Wiemy z pracy Gódla, że na to, by aksjomat wyboru lub hipoteza continuum były fałszywe, musimy dodać do M co najmniej jeden zbiór niekonstruowalny. Jak to jednak zrobić? Wprowadzamy literę a na oznaczenie obiektu, który ma być dodany do M; teraz pozostaje określić, jakiego rodzaju obiek­ tem ma być a. Z chwilą dodania a musimy także dodać wszystko, co może być utworzone z a za. pomocą dopuszczal­ nych operacji ograniczonej teorii mnogości: łączenie dwóch lub więcej zbiorów w celu utworzenia nowego zbioru, tworzenie zbioru potęgowego i tak dalej. Nową rodzinę zbiorów genero­ waną w ten sposób przez M + a oznaczamy przez N. Problem polega na tym, jak wybrać a w taki sposób, by (1) N było modelem ograniczonej teorii mnogości, jak z założenia było nim M, i (2) a nie był konstruowalny w N. Dopiero jeśli to okaże się możliwe, istnieje jakaś nadzieja odrzucenia aksjomatu wyboru lub hipotezy continuum. Mgliste wyobrażenie o tym, co należy zrobić, możemy uzys­ kać, pytając, jak postępowałby geometra z 1850 r., próbując odkryć pseudosferę. Mówiąc bardzo z grubsza, zaczynałby on od krzywej M na płaszczyźnie, a następnie łączył punkt a spoza płaszczyzny ze wszystkimi punktami z M. Ponieważ a został wybrany poza płaszczyzną krzywej M, otrzymana stąd powie­ rzchnia N oczywiście nie będzie tym samym co płaszczyzna euklidesowa. Rozsądne jest uważać, że przy dostatecznej dozie pomysłowości i technicznej zręczności daje się pokazać, iż jest to naprawdę model geometrii nieeuklidesowej. Analogiczna rzecz w niecantorowskiej teorii mnogości pole­ ga na wybraniu nowego zbioru a jako zbioru niekonstruowalnego, a następnie na wygenerowaniu nowego modelu N składa­ jącego się ze wszystkich zbiorów otrzymanych za pomocą operacji ograniczonej teorii mnogości zastosowanych do a i zbiorów z M. Jeśli uda się to zrobić, będzie tym samym wykazane, że aksjomat konstruowalności można bezpiecznie zanegować. Ponieważ Gódel pokazał, że konstruowalność po­ ciąga za sobą aksjomat wyboru i hipotezę continuum, jest to konieczny pierwszy krok w zanegowaniu któregokolwiek z tych stwierdzeń. Na to, by ten krok pierwszy zrobić, należy pokazać dwie rzeczy: że a może być tak dobrane, iż pozostaje niekons-

Niecantorowska teoria mnogości truowalne nie tylko w M, ale także w N i że N, podobnie jak M, jest modelem ograniczonej teorii mnogości. Aby określić a, wybieramy drogę okrężną. Wyobraźmy sobie, że zamierzamy sporządzić listę wszystkich możliwych stwierdzeń o a jako zbiorze w N. Wówczas a będzie określone, jeśli podamy regułę, na mocy której potrafimy określić, czy takie stwierdzenie jest, czy nie jest prawdziwe. Okazuje się, że przełomowa idea polega na wyborze a w po­ staci elementu „generycznego” (rodzajowego), to znaczy na takim wyborze a, że prawdziwe są tylko te stwierdzenia o a, które są prawdziwe dla niemal wszystkich zbiorów w M. Jest to pojęcie paradoksalne. Każdy zbiór w A /m a zarówno specyficzne własności, które go identyfikują, jak i typowe własności ogólne, które dzieli z niemal wszystkimi pozostałymi zbiorami w M. Okazuje się, że to rozróżnienie między własnościami specyficzny­ mi a generycznymi można w precyzyjny sposób uczynić dosko­ nale wyrazistym i formalnym. Jeśli zatem wybieramy a jako zbiór generyczny (czyli nie mający żadnych specjalnych własnoś­ ci odróżniających go od dowolnego innego zbioru w M ), to N jest nadal modelem ograniczonej teorii mnogości. Nowy element a, który wprowadziliśmy, nie ma kłopotliwych własnoś­ ci, które mogłyby zepsuć nasze wyjściowe M. Jednocześnie a jest niekonstruowalne. Każdy zbiór konstruowalny ma specyficzną własność — kroki, w których można go skonstruować — a nasz a jest dokładnie takiej indywidualności pozbawiony. W celu skonstruowania modelu, w którym fałszywa jest hipoteza continuum, musimy dodać do M nie dokładnie jeden nowy element a, ale wiele nowych elementów. W istocie musimy dodać ich nieskończenie wiele. Można to zrobić w taki sposób, żeby z punktu widzenia modelu M elementy dodane miały moc N 2 = 2 (2*0). Tutaj znów może być pomocna dość przybliżona analogia geometryczna. Dwuwymiarowa istota, zanurzona w powierzch­ nię nieeuklidesową, nie potrafiłaby rozpoznać, że jej świat jest częścią 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. My natomiast, stojąc w tej chwili poza M, widzimy, że dorzuciliśmy tam tylko przeliczalnie wiele nowych elementów. Jednak są one takie, że nie można ich policzyć za pomocą żadnego aparatu osiągal­ nego w samym M. Tak więc otrzymujemy nowy model N', w którym hipoteza continuum jest fałszywa. Nowe elementy, które w N ' odgrywają rolę liczb rzeczywistych (to znaczy punktów odcinka), mają moc większą niż 2 N‘°, a zatem istnieje

227

W ybrane rozdziały m a tem a tyki teraz moc nieskończona, mianowicie 2 K°, która jest większa od N0 i mniejsza od c, a to dlatego, że w naszym modelu N' moc c jest równa 2 ( 2Ko) Skoro możemy skonstruować model teorii mnogości, w któ­ rym hipoteza continuum jest fałszywa, to do naszej zwykłej ograniczonej teorii mnogości możemy dodać założenie o fałszywości hipotezy continuum i nie pojawi się żadna nowa sprzeczność, której tam nie było. W tym samym duchu może­ my konstruować modele teorii mnogości, w których zawodzi aksjomat wyboru. Możemy nawet całkiem wyraźnie powie­ dzieć, z których zbiorów nieskończonych możemy „wybierać”, a które są „zbyt duże, by z nich wybierać” . Do swoich wyników Godeł dochodził za pomocą pojedyn­ czego modelu (zbiorów konstruowalnych), natomiast w niecan­ torowskiej teorii mnogości mamy nie jeden, ale wiele modeli, każdy konstruowany w określonym celu. Ważniejsza od każ­ dego z tych modeli wydaje się jednak technika pozwalająca na konstrukcję ich wszystkich: pojęcie „generyczny” i związane z nim pojęcie „wymuszania” (ang. forcing). Bardzo nieprecy­ zyjnie mówiąc, zbiory generyczne mają tylko te własności, które zostały na nich „wymuszone” (ang. forced), by były podobne do zbiorów. Aby określić, czy na a „wymuszono” posiadanie pewnej własności, musimy patrzeć na całe N. A przecież N nie jest w rzeczywistości określone, póki nie wyznaczymy a\ Sposób wyjścia z tego pozornie błędnego koła jest innym kluczowym elementem nowej teorii. W książce Handbook o f Mathematical Logic (red. J. Barwise) znajduje się relacja J. P. Burgessa o późniejszych rozgałęzie­ niach metody Cohena. Pisał on: O d tego czasu m e to d a C o h e n a zo stała zasto so w an a d o d o w o d u niesprzeczności h ipotez w arytm etyce pozaskończonej, kom b in ato ry ce nieskoń­ czonej, teorii m iary, to p o lo g ii prostej rzeczyw istej, algebrze uniwersalnej i teorii m odeli.

Prawdziwość hipotezy continuum pozostaje nierozstrzygnię­ ta. Cohen i Godeł udowodnili, że aksjomaty Zermelo-Fraenkla teorii mnogości nie wystarczają do jej rozstrzygnięcia. Jeśli wierzymy w realność zbiorów, możemy być również przekona­ ni o prawdziwości lub fałszywości hipotezy continuum. W ta­ kim zaś razie musimy odkryć nowy aksjomat, który intuicyjnie będzie budził zaufanie, a jednocześnie byłby dostatecznie silny,

Analiza niestandardowa by rozstrzygnąć problem. Nikt jeszcze takiego nowego aks­ jomatu nie znalazł, przeto akceptacja lub odrzucenie hipotezy continuum pozostaje do naszego swobodnego uznania. Dalsze lektury (patrz bibliografia) J. Burgess; P. J. C o h en [1966]; K . G ödel

DODATEK A Metoda przekątniowa Cantora

Oto prosta jej wersja. Rozważamy wszystkie funkcje / okreś­ lone na liczbach całkowitych 1, 2, 3,... Twierdzenie: Nie można zestawić tych wszystkich funkcji w postaci listy. Dowód: Przy­ puśćmy, że jest to możliwe. Istniałaby wówczas pierwsza funk­ cja na tej liście, oznaczmy ją / 1. Istniałaby druga funkcja / 2, i tak dalej. Dla każdej liczby n, gdzie n przyjmuje wartości 1, 2, 3...., rozważmy liczbę /„(«) + 1. Ten ciąg liczb tworzy funkcję określoną na liczbach całkowitych, a więc na mocy naszego przypuszczenia musi ona pojawić się na liście. Nazwijmy ją f k. Na mocy definicji f k (n) = /„(« ) + ! i to zachodzi dla « = 1 , 2 , 3.... W szczególności zachodzi dla n — k, co daje f k(k) = =fk(k) + 1- Zatem 0 = 1; otrzymaliśmy sprzeczność. Metoda przekątniowa odgrywa szczególnie ważną rolę w te­ orii funkcji rekurencyjnych.

ANALIZA NIESTANDARDOWA Analiza niestandardowa, nowa gałąź matematyki wymyś­ lona przez logika Abrahama Robinsona, oznacza nowy etap w rozwoju kilku sławnych i starożytnych paradoksów. Robin­ son ożywił pojęcie „infinitezymali” — liczby, która jest nie­ skończenie mała, a jednak większa od zera. Pojęcie to ma korzenie sięgające do starożytności. Dla analizy tradycyjnej, czyli „standardowej” , wydaje się ono rażąco sprzeczne wewnęt­ rznie, a mimo to było ważnym narzędziem mechaniki i geomet­ rii co najmniej od czasów Archimedesa. W dziewiętnastym stuleciu infinitezymale zostały z matematyki, jak się wydawało, raz na zawsze usunięte. Aby spełnić wymagania logiki, rachunek infinitezymali Izaaka Newtona i Gottfrieda Wilhelma von Leibniza został przeformułowany

A braham Robinson 1 9 1 8 -1 9 7 4

229

W ybrane rozdziały m a tem a tyki przez Karola Weierstrassa bez infinitezymali. A jednak dzisiaj to właśnie logika matematyczna, z całym swoim współczesnym wyrafinowaniem i potęgą, ożywiła infinitezymale i sprawiła, że stały się znów akceptowalne. W pewnym sensie Robinson przezwyciężył lekkomyślne odrzucenie osiemnastowiecznej ma­ tematyki w imię ciasnego rygoru dziewiętnastego stulecia, do­ dając nowy rozdział w nigdy nie kończącej się wojnie między skończonym a nieskończonym, ciągłym a nieciągłym. W sporach wokół infinitezymali, jakie towarzyszyły roz­ wojowi analizy, geometria Euklidesa była standardem, do którego musieli się stosować moderniści. Euklides świadomie wykluczył zarówno nieskończoność jak i infinitezymale. Czy­ tamy u Euklidesa, że punkt ma położenie, ale nie ma wielkości. Powiada się, że definicja ta jest pozbawiona sensu, ale może jest ona tylko ceną za niepowoływanie się na argumenty infinitezymalne. Stanowiło to odrzucenie wcześniejszych kon­ cepcji myśli greckiej. Atomizm Demokryta rozumiano w od­ niesieniu nie tylko do materii, ale także czasu i przestrzeni. Jednakże argumenty Zenona nie pozwoliły na utrzymanie pojęcia czasu jako ciągu kolejnych chwil czy linii prostej jako szeregu kolejnych „niepodzielnych” . Arystoteles, zało­ życiel systematycznej logiki, usunął z geometrii nieskończenie wielkie i nieskończenie małe. Oto typowy przykład zastosowania w geometrii rozumowa­ nia infinitezymalnego: C hcem y znaleźć zw iązek m iędzy polem koła a jego obw odem . Dla p ro sto ty przyjm ujem y, że k oło m a pro m ień 1. O okręgu m ożna myśleć, że sk ład a się z nieskończenie wielu odcinków prostoliniow ych, rów nych między so b ą i nieskończenie kró tk ich . K olo je st w ów czas sum ą infm itezym alnych tró jk ą tó w , z k tó ry ch w szystkie m ają w ysokość 1. Pole tró jk ą ta jest równe iloczynow i połow y po d staw y i w ysokości. P rz e to sum a pól tró jk ą tó w jest ró w n a połow ie sum y podstaw . Ale sum a pól tró jk ą tó w jest polem kola, a sum a p o d sta w tró jk ą tó w jest jeg o obw odem . Z atem pole koła o prom ieniu 1 jest rów ne połow ie jego obw odu.

230

Ten dowód, który Euklides odrzuciłby, został opublikowany w piętnastym wieku przez Mikołaja z Kuzy. Teza jest oczywiś­ cie prawdziwa, jednakże nietrudno znaleźć zastrzeżenia w sto­ sunku do tego rozumowania. Mówiąc najdelikatniej, nieuch­ wytne jest pojęcie trójkąta o nieskończenie małej podstawie. Oczywiście podstawa trójkąta musi mieć długość, która jest równa zeru bądź większa od zera. Jeśli jest równa zeru, to i pole jest równe zeru i bez względu na to, ile składników dodajemy, nie dostaniemy nic więcej prócz zera. Z drugiej strony, jeśli jest

Analiza niestandardowa ona większa od zera, to bez względu na to, jak jest ona mała, dostaniemy nieskończenie dużą sumę, jeśli tylko będziemy dodawali nieskończenie wiele składników. W żadnym przypad­ ku okrąg o skończonym obwodzie nie będzie sumą nieskoń­ czenie wielu identycznych części. Istotą tej repliki jest twierdzenie, że nawet bardzo mała liczba różna od zera staje się dowolnie duża, jeśli ją dodawać do siebie dostatecznie wiele razy. Ponieważ twierdzenie to po raz pierwszy explicite sformułował Archimedes, nazywa się je własnością Archimedesa liczb rzeczywistych. Infinitezymala, jeśli istnieje, byłaby jednak właśnie liczbą niearchimedesową; liczbą większą niż zero, która jednakże pozostaje mniejsza od, powiedzmy, 1 bez względu na to, jak (skończenie) wiele razy byłaby do siebie dodana. Archimedes utrzymywał w duchu tradycji Arystotelesa i Euklidesa, że każda liczba jest archimedesowa i nie ma żadnych infinitezymali. Jednakże Archimedes był także filozofem przyrody, inżynierem i fizykiem, i w roz­ wiązywaniu problemów geometrii parabol posługiwał się infinitezymalami oraz swoją intuicją fizyczną. Ale że infinitezy­ male „nie istnieją” , udowadniał swoje wyniki, posługując się w tym celu „metodą wyczerpywania” , opierającą się na rozu­ mowaniu pośrednim i konstrukcjach czysto skończonych. Taki ścisły dowód został podany w jego traktacie O kwadraturze paraboli, znanym od czasów starożytnych. Zastosowanie in­ finitezymali do dokonania tego odkrycia znajduje się w pracy 0 metodzie, która pozostawała nieznana aż do czasu jej sen­ sacyjnego odkrycia w 1906 r. Metoda wyczerpywania Archimedesa, która unika infinitezy­ mali, jest bliska duchowi metody „epsilonowo-deltowej” , za pomocą której Weierstrass i jego następcy usunęli w dzie­ więtnastym wieku metody infinitezymalne z analizy. Łatwo to wyjaśnić, jeśli odwołamy się do naszego przykładu koła jako wieloboku o nieskończenie wielu bokach. Chcemy uzyskać logicznie.'akceptowalny dowód zdania „pole koła o promieniu 1 jest równe połowie obwodu” , które odkryliśmy za pomocą logicznie nieakceptowalnego rozumowania. Rozumujemy jak następuje. Cytowane zdanie głosi równość dwóch wielkości związanych z kołem o promieniu 1: jego pola i połowy jego obwodu. Jeśli zatem zdanie to jest fałszywe, to jedna wielkość jest większa od drugiej. Niech A będzie liczbą dodatnią otrzymaną przez odjęcie wielkości mniejszej od więk­ szej. Wokół koła możemy opisać wielokąt foremny o tak wielu bokach, jak chcemy. Ponieważ wielokąt składa się ze skoń­

Archim edes ok. 287—212 przed Chr.

Wybrane rozdziały m atem a tyki

Blaise Pascal 1 6 2 3 -1 6 6 2

232

czenie wielu skończonych trójkątów o wysokości 1, wiemy, ¿e jego pole jest równe połowie obwodu. Dobierając dostatecznie dużą liczbę boków, możemy sprawić, że pole wielokąta będzie się różniło od pola kola mniej niż o połowę A (jakakolwiek jest ta wartość); jednocześnie obwód wielokąta będzie się różnił od obwodu koła mniej niż o połowę A. Ale wówczas pole i połowa obwodu kola muszą się różnić o mniej niż A, co przeczy wyjściowemu założeniu. Zatem założenie to jest niemożliwe i A musi być równe zeru, co chcieliśmy pokazać. Rozumowanie jest logicznie nienaganne. W porównaniu z bezpośredniością pierwszego postępowania jest w nim jednak jakaś drobiazgowość, a nawet pedanteria. A zresztą, jeśli za­ stosowanie infinitezymali daje poprawną odpowiedź, to czy rozumowanie w jakimś sensie nie jest prawdziwe? Nawet jeśli nie potrafimy uzasadnić użytych tam pojęć, jak w istocie może być ono złe, jeśli daje dobre rezultaty? Archimedes takiej obrony infinitezymali nie przeprowadził. W rzeczywistości w traktacie O metodzie zadbał o wyjaśnienie, że „fakt tutaj stwierdzony nie jest w istocie dowiedziony przez przeprowadzone tu rozumowanie” i że ścisły dowód został opublikowany osobno. Z drugiej strony, Mikołaj z Kuzy, który był kardynałem Kościoła, preferował rozumowania z wielkościa­ mi nieskończonymi z powodu swojej wiary, że nieskończone było „źródłem i środkiem, a jednocześnie nieosiągalnym celem wszelkiej wiedzy” . W ślady mistycyzmu Mikołaja szedł Johannes Kepler, jeden z założycieli współczesnej nauki. W pracy mniej dziś znanej niż jego odkrycia w astronomii, Kepler stosował w 1612 r. infinitezymale do znalezienia najlepszych proporcji beczki na wino. Nie martwił się sprzecznościami w swojej metodzie; polegał na boskiej inspiracji i pisał, że „natura uczy geometrii przez sam instynkt, nawet bez rozumowania” . Co więcej, jego wzory na objętość beczek były poprawne. Bez wątpienia najsłynniejszym mistykiem matematycznym był Blaise Pascal. Odpowiadając tym ze współczesnych, którzy podnosili zastrzeżenia przeciwko rozumowaniom z wielkoś­ ciami nieskończenie małymi, Pascal zwykł był mawiać, że to serce dyktuje, jak uczynić pracę jasną. Pascal traktował nie­ skończenie wielkie i nieskończenie małe jako tajemnice, coś, co natura przedstawia człowiekowi nie do rozumienia, ale do podziwiania. Wielki rozkwit rozumowań infinitezymalnych nastąpił w po­ koleniach po Pascalu: Newton, Leibniz, bracia Bernoulli (Jakob i Johann), Leonhard Euler. Fundamentalne twierdzenia

Analiza niestandardowa analizy zostały odkryte przez Newtona i Leibniza w latach sześćdziesiątych i siedemdziesiątych XVII w. Pierwszy podręcz­ nik analizy został napisany w roku 1696 przez markiza de L’Hóspitala, ucznia Leibniza i Johanna Bernoulłiego. Na sa­ mym początku tego podręcznika jest aksjomat stwierdzający, że dwie wielkości różniące się o infinitezymalę można uważać za równe. Innymi słowy, dwie wielkości uważa się jednocześnie za równe i nierówne! Drugi aksjomat stwierdza, że krzywa jest „ogółem nieskończenie wielu odcinków prostych, z których każdy jest nieskończenie mały” . Stanowi to otwarte uznanie metod, które Arystoteles wyjął spod prawa dwa tysiące lat wcześniej. W istocie, jak pisał de L’Hóspital, „zwyczajna analiza zaj­ muje się jedynie wielkościami skończonymi, ta natomiast sięga samej nieskończoności. Porównuje nieskończenie małe różnice wielkości skończonych, odkrywa związki między tymi różnica­ mi i w ten sposób ujawnia związki między wielkościami skoń­ czonymi, które w porównaniu z nieskończenie małymi pozo­ stają nieskończone. Można nawet powiedzieć, że analiza ta rozciąga się poza nieskończoność, nie ogranicza się bowiem do różnic nieskończenie małych, ale odkrywa związki między różnicami tych różnic” . Newton i Leibniz nie podzielali entuzjazmu de L’Hóspitala. Leibniz nie twierdził, że infinitezymale istnieją naprawdę, a tyl­ ko, że można przeprowadzać bezbłędne rozumowania, przyj­ mując ich istnienie. Chociaż Leibniz nie mógł uzasadnić tego twierdzenia, praca Robinsona pokazuje, że w pewnym sensie miał on mimo wszystko rację. Newton próbował unikać in­ finitezymali. W jego Principia Mathematica, podobnie jak u Archimedesa w O kwadraturze paraboli, wyniki pierwothie znalezione metodami infinitezymalnymi były przedstawiane w sposób czysto skończenie euklidesowy. W dostarczaniu pytań dla analizy matematycznej równie ważna jak geometria stała się dynamika. Podstawowym pro­ blemem był związek między „fluentami” a ..fluksjami” , co dzisiaj nazywałoby się chwilowym położeniem Tc h wiIową p rędkością poruszającego sięjjjała. W ezmyTod uwagę spadający kamień. Jego ruch opisuje się przez podanie jego położenia jako funkcji czasu. W miarę jak spada, jego prędkość rośnie, a zatem prędkość w każdej chwili także jest zmienną funkcją czasu. Ngwton nazywa fąpkeję^ położenia ,,AL,enLą_A_a funkeję prędkości „fluksją” . Jeśli jedna ż~rifch jest dana, drugą można wyznaczyć; ten związek należy

Jakob Bernoulli 1 6 5 4 -1 7 0 5

Johann Bernoulli 1 6 6 7 -1 7 4 8

G. F. A . de L H ospital 1 6 6 1 -1 7 0 4

Isaac N ew ton 1 6 4 2 -1 7 2 7

W ybrane rozdziały m a tem a tyki

G otifried W ilhelm

Leifyniz 1646-1716

234

do istoty rachunku infinitezymali kształtowanego przez New­ tona i Leibniza. W przypadku spadającego kamienia „fluenta” jest dana wzorem s = 1612, gdzie i jest liczbą przebytych stóp, a t liczbą sekund, jakie upłynęły od momentu puszczenia kamienia. W miarę jak kamień spada, jego prędkość stale wzrasta. Jak możemy obliczyć prędkość spadającego kamienia w jakiejś chwili, powiedzmy t = 1? Średnią prędkość dla skończonego czasu możemy znaleźć zgodnie z podstawowym wzorem: prędkość równa się odleglości podzielonej przez czas. Czy możemy posłużyć się tym wzorem do znalezienia prędkości chwilowej? Przy infmitezymaInym przyroście czasu przyrost odległości także będzie infinitezymalny; ich stosunek, średnia prędkość w danej chwili, powin­ na być skończoną prędkością chwilową, której szukamy. Niech dt oznacza infinitezymalny przyrost czasu, a ds od­ powiadający mu przyrost odległości (oczywiście ds i dt trzeba traktować jako pojedyncze symbole, a nie jak d pomnożone przez s czy d pomnożone przez t). Chcemy znaleźć stosunek dsjdt, który powinien być skończony. Aby znaleźć przyrost odległości od t = 1 do t = 1 + dt, obliczamy położenie kamie­ nia dla t = 1, które wynosi 16 x 12 = 16 oraz jego położenie dla t = 1 + dt, które wynosi 16 x (1 + dt)2. Posługując się odrobiną elementarnej algebry, stwierdzamy, że ds, przyrost odległości równy różnicy tych dwóch odległości, jest równy 32 dt + 16 dt2. Zatem stosunek dsjdt, wielkość, której poszu­ kujemy, jest równy 32 + 16 dt. Czy rozwiązaliśmy nasz problem? Ponieważ odpowiedź po­ winna być wielkością skończoną, chcielibyśmy się pozbyć infinitezymalnego składnika 16 dt i dostać odpowiedź 32 stopy na sekundę. Jest to dokładnie to, na co nie pozwala nam biskup Berkeley. The Analyst, błyskotliwa i miażdżąca krytyka Berkeleya metody infmitezymalnej, pojawiła się w 1734 r. Książka była adresowana do „niewiernego matematyka” , którym był, jak się powszechnie przypuszcza, przyjaciel Newtona i astronom Ed­ mund Halley. Halley finansował druk Principia i pomagał przygotować je do publikacji. Mówi się też, że tłumaczył przyjacielowi Berkeleya „niepojętość doktryn chrześcijań­ skich” . Biskup odpowiedział, że „fluksje” Newtona są „niejas­ ne, odpychające i wątpliwe” jak nic w teologii. „Zażądam przywileju wolnomyśliciela” , pisał biskup, „i pozwolę sobie wniknąć w przedmiot, zasady i metody dowodzenia

Analiza niestandardowa przyjmowane przez dzisiejszych matematyków, z tą samą swo­ bodą, z jaką wy ośmielacie się traktować zasady i tajemnice Religii” . Berkeley uznał, że postępowanie Leibniza polegające po prostu na „traktowaniu” 32 + 16 dt jako „tego samego” , co 32, było niezrozumiałe. „Nie pomoże też” , pisał, „powiedzenie, że [składnik pominięty] jest wielkością nieskończenie małą; ponieważ powiada się nam, że in rebus mathematicis errores quam minimi non sunt contemnendi”. Jeśli coś jest pomijane, bez względu na to jak jest małe, to nie możemy dłużej utrzymywać, że mamy dokładną prędkość, a jedynie, że jej przybliżenie. Newton, w odróżnieniu od Leibniza, próbował w swoich późniejszych pismach złagodzić „twardość” doktryny infinite­ zymali, posługując się sugestywnym językiem fizyki. „Przez ostateczną prędkość rozumie się tę, z jaką ciało się porusza, nie przed jego dotarciem do końca, kiedy ruch ustaje, ani potem, ale w tej właśnie chwili, kiedy dociera... I podobnie, przez ostateczny stosunek zanikających wielkości rozumie się stosu­ nek wielkości, nie zanim one znikną, ani potem, ale ten, przy którym one znikają” . Kiedy wszakże przechodził do rachun­ ków, musiał uzasadniać pomijanie niepożądanych, „zaniedbywalnych” składników w rachunkowym wyniku. Postępowanie Newtona polegało najpierw na znalezieniu, jak to zrobiliśmy, dsjdt = 32 + \6dt, a następnie na położeniu dt równe zeru, co daje 32 jako dokładną odpowiedź. Ale, pisał Berkely, „powinno być jasne, że takie rozumowa­ nie nie jest ani uczciwe, ani ostateczne” . Przede wszystkim, albo dt jest równe zeru, albo nie jest równe zeru. Jeśli dt nie jest zerem, to 32 + 16 dt nie jest tym samym, co 32. Jeśli zaś iń jest zerem, to przyrost odległości ds także jest zerem i ułamek dsjdt nie jest 32 + 16 dt, ale wyrażeniem 0/0 pozbawionym sensu. „Jeśli bowiem powiada się: niech przyrosty znikają, tzn. niech przyrosty będą niczym, albo niech nie będzie przyrostów, to poprzednie założenie, że przyrosty były czymś, albo że były przyrosty, zostaje unicestwione, a mimo to konsekwencja tego założenia, tzn. wyrażenie otrzymane na jego podstawie, pozo­ staje. Taka droga rozumowania jest fałszywa” . I Berkeley miłosiernie konkluduje: „Czym są owe „fluksje”? Prędkościami zanikających przyrostów. A czym są owe zanikające przyrosty? Nie są to ani wielkości skończone, ani wielkości nieskończenie małe, ani w ogóle nic. Czy nie powinniśmy ich nazywać zjawami minionych wielkości”? Na logikę Berkeleya nie sposób było odpowiedzieć, a mimo to przez całe następne stulecie matematycy nadal używali

235

W ybrane rozdziały m a tem a tyki infmitezymali i czynili to z wielkim powodzeniem, fizycy i in­ żynierowie zaś w istocie nigdy nie zaprzestali ich stosowania. W matematyce czystej powrót do euklidesowej ścisłości doko­ nał się w dziewiętnastym stuleciu, osiągając swoją kulminację pod kierunkiem Weierstrassa w 1872 r. Warto też zauważyć, że wiek osiemnasty, wielki wiek infinitezymali, był okresem, kiedy nie znano barier między matematyką a fizyką; czołowi fizycy i czołowi matematycy byli tymi samymi ludźmi. Kiedy mate­ matyka czysta odrodziła się jako odrębna dyscyplina, matema­ tycy znów się upewniali, że podstawy ich pracy nie zawierają żadnych oczywistych sprzeczności. Współczesna analiza zapew­ niła sobie podstawy, robiąc to, co zrobili Grecy: pozbawiając praw infmitezymali. W celu znalezienia prędkości chwilowej, zgodnie z metodą Weierstrassa, porzucamy myśl obliczenia prędkości jako sto­ sunku. Zamiast tego definiujemy prędkość jako granicę w przy­ bliżeniu równą stosunkowi skończonych przyrostów. Niech At będzie zmiennym skończonym przyrostem czasu, a As niech będzie odpowiednim zmiennym przyrostem drogi. Wów­ czas As/At jest wielkością zmienną 3 2 + 1 6 At. Wybierając At dostatecznie małe, możemy spowodować, że iloraz As/At będzie przyjmował wartości tak bliskie 32 jak tylko chcemy, a stąd na mocy definicji prędkość w chwili t = 1 będzie równa dokładnie 32. Sukces tego podejścia polega na usunięciu wszelkiej wzmian­ ki o liczbach, które nie są skończone. Unika się także przyj­ mowania, że At w ułamku As/At jest po prostu zero. Tak więc uniknęliśmy obu wytkniętych przez biskupa Berkeleya pułapek logicznych. Płacimy za to wszakże pewną cenę. Intuicyjnie jasna i fizycznie mierzalna wielkość, prędkość chwilowa, zo­ stała podporządkowana zadziwiająco subtelnemu pojęciu „gra­ nicy” . Jeśli chcemy dokładnie przesylabizować, co to znaczy, mamy następujący łamaniec językowy: P rędkość je st ró w n a v, jeśli d la dow olnej liczby dodatniej e wartość bezw zględna A s/A t — v je st m niejsza o d e dla w szelkich w artości A t, których w arto ść bezw zględna je st m niejsza o d pewnej innej liczby dodatniej § (zależ­ nej od £ i t).

236

Zdefiniowaliśmy v za pomocą subtelnej relacji między dwie­ ma nowymi wielkościami s i d, które w pewnym sensie nie mają związku z v. W każdym razie nieznajomość e i Ó nigdy nie przeszkadzała Bernoulliemu czy Eulerowi w znajdowaniu prędkości. Prawda jest taka, że zanim poznaliśmy tę definicję,

Analiza niestandardowa w rzeczywistości wiedzieliśmy już, czym jest prędkość chwilo­ wa; z uwagi na logiczną niesprzeczność przyjęliśmy definicję, którą znacznie trudniej zrozumieć od definiowanego pojęcia. Oczywiście, dla wprawnego matematyka definicja epsilonowo-deltowa jest intuicyjna, co pokazuje, do czego mogą prowa­ dzić odpowiednie ćwiczenia. Rekonstrukcja analizy na podstawie pojęcia granicy i jej epsilonowo-deltowej definicji sprowadza się do redukcji analizy do arytmetyki liczb rzeczywistych. Płynący z takiego wyjaś­ nienia podstaw impet prowadził w sposób naturalny do zaata­ kowania logicznych podstaw samego systemu liczb rzeczywis­ tych. Był to powrót, po upływie dwóch i pół tysiąca łat, do problemu liczb niewymiernych, który Grecy po Pitagorasie porzucili jako beznadziejny. Jednym z używanych tu narzędzi była nowo rozwijająca się dziedzina logiki matematycznej lub symbolicznej. Niedawno odkryto, że logika matematyczna dostarcza pod­ staw koncepcyjnych teorii komputerów i programów kom­ puterowych. Ten pierwowzór czystości w matematyce powinien być zatem traktowany teraz jako należący do zastosowań matematyki. Ogniwem łączącym logikę i komputery jest w dużym stopniu pojęcie języka formalnego, tj. takiego rodzaju języka, jaki rozumieją komputery. I właśnie to pojęcie języka formalnego umożliwiło Robinsonowi sprecyzowanie twierdzenia Leibniza, że można rozumować bez obawy błędu, jak gdyby infinitezymale istniały. Leibniz myślał o infinitezymalach jako nieskończenie małych liczbach dodatnich lub ujemnych, zachowujących „te same własności” co zwykłe liczby w matematyce. Na pierwszy rzut oka idea wydaje się w sobie sprzeczna. Jeśli infinitezymale mają te same „własności” co zwykłe liczby, jak mogą mieć one „własność” bycia dodatnimi, a jednak mniejszymi od każdej zwykłej liczby dodatniej? Robinson był w stanie rozwiązać ten paradoks, używając języka formalnego. Pokazał, jak skon­ struować system zawierający infinitezymale, a jednocześnie identyczny z systemem liczb „rzeczywistych” ze względu na wszystkie własności wyrażalne w pewnym języku formalnym. Oczywiście własność bycia dodatnim, a jednocześnie mniejszym od każdej zwykłej liczby dodatniej, okazuje się w tym języku niewyrażalna, co ratuje przed paradoksem. Sytuację tę zna każdy, kto kiedykolwiek komunikował się z komputerem. Na wejściu komputer przyjmuje tylko symbole

237

W ybrane rozdziały m a tem a tyki

238

z pewnej listy, danej użytkownikowi z góry, i symbole te muszą być używane zgodnie z pewnymi zadanymi regułami. Język codzienny, używany w komunikowaniu się między ludźmi, podlega regułom, od których zrozumienia językoznawcy są jeszcze daleko. Jeśli masz komunikować się z komputerem, to jest on „głupi” właśnie dlatego, że w przeciwieństwie do czło­ wieka pracuje w języku formalnym z zadanym słownikiem i zadanym zbiorem reguł. Ludzie pracują w języku naturalnym, którego reguły nigdy nie zostały w pełni wyjaśnione. Matematyka jest oczywiście ludzką aktywnością, jak filozo­ fia czy projektowanie komputerów, i podobnie jak one jest prowadzona przez ludzi posługujących się językami natural­ nymi. Jednocześnie matematyka ma rys szczególny: można ją dobrze opisać w języku formalnym, który w pewnym sensie precyzyjnie oddaje jej zawartość. Można nawet powiedzieć, że możliwość wyrażenia odkrycia matematycznego w języku for­ malnym jest testem, czy jest ono w pełni rozumiane. W analizie niestandardowej jako punkt wyjścia przyjmuje się skończone liczby rzeczywiste oraz całą resztę analizy, tak jak ją znają standardowi matematycy. Nazwijmy to „standardowym uniwersum” i oznaczmy literą M. Język formalny, w którym mówimy o M, oznaczmy przez L. Każde zdanie w L mówi coś o M i oczywiście może być prawdziwe lub fałszywe. Znaczy to, że każde zdanie w L jest bądź prawdziwe, bądź jego negacja jest prawdziwa. Oznaczając zbiór wszystkich zdań prawdziwych przez K, mówimy, że M jest „modelem” dla K. Rozumiemy przez to, że M jest taką strukturą matematyczną, iż każde zdanie w K, jeśli je zinterpretujemy w odniesieniu do M, jest prawdziwe. Oczywiście nie „znamy” K w żadnym efektywnym sensie; gdybyśmy znali, mielibyśmy odpowiedź na każde moż­ liwe pytanie w analizie. Mimo to traktujemy K jako obiekt dobrze określony, w którym możemy przeprowadzać rozumo­ wania i wyciągać wnioski. Istotnym faktem, a zarazem punktem głównym, jest to, że oprócz M, standardowego uniwersum, istnieją także niestan­ dardowe modele dla K. Znaczy to, że istnieją struktury mate­ matyczne M*, istotnie różne od M (w sensie, który wyjaśnimy), a które mimo to są modelami dla K w naturalnym rozumieniu tego terminu: istnieją obiekty w M* i relacje między obiektami w M* takie, że jeśli symbole w L są interpretowane w od­ niesieniu do tych pseudoobiektów i pseudorelacji w odpowie­ dni sposób, to każde zdanie w K pozostaje nadal prawdziwe, chociaż ma inny sens.

Analiza niestandardowa Intuicję może wesprzeć odległa analogia. Niech M będzie zbiorem uczniów ostatniej klasy Sławnego Liceum. Załóżmy, na potrzeby rozumowania, że wszyscy ci uczniowie robią sobie zdjęcia celem umieszczenia w roczniku Liceum, w którym będą one miały kształt kwadratów o boku 5 cm. Wówczas M* może być zbiorem wszystkich 5-centymetrowych kwadratów na każ­ dej stronicy rocznika. Naturalnie, przy oczywistej interpretacji każde prawdziwe stwierdzenie o uczniu Liceum odpowiada prawdziwemu stwierdzeniu o pewnym 5-centymetrowym kwad­ racie w roczniku. A przecież jest wiele 5-centymetrowych kwad­ ratów w roczniku, które nie odpowiadają żadnemu uczniowi. Czyli M* jest znacznie większe od M; oprócz elementów odpowiadających elementom z M, zawiera także wiele innych elementów. Zatem stwierdzenie „Harry Smith jest szczuplejszy niż George Klein” , interpretowane w M*, jest stwierdzeniem o pew­ nych 5-centymetrowych kwadratach. Nie jest prawdziwe, jeśli relacja „szczuplejszy niż” jest interpretowana w standardowy sposób. Zatem „szczuplejszy niż” musi być reinterpretowane jako pseudorelacja między pseudouczniami (zdjęciami uczniów). Możemy zdefiniować pseudorelację „szczuplejszy niż” (w cudzysłowie), powiadając, że 5-centymetrowy kwadrat oznaczony „H arry Smith” jest „szczuplejszy niż” 5-centymetrowy kwadrat oznaczony „George Klein” tylko wtedy, gdy Harry Smith jest w istocie szczuplejszy niż George Klein. W ten sposób prawdziwe stwierdzenia o uczniach są reinter­ pretowane jako prawdziwe stwierdzenia o 5-centymetrowych kwadratach. Oczywiście całe to rozumowanie jest nieco wymyślne. Jeśli wszakże M jest standardowym uniwersum dla analizy, to M*, uniwersum niestandardowe, jest także czymś godnym uwagi i interesującym. Istnienie interesujących niestandardowych modeli zostało zauważone najpierw przez norweskiego logika Thoralfa A. Skolema, który odkrył, że aksjomaty liczenia — aksjomaty opisujące liczby naturalne 1, 2, 3 i tak dalej — mają niestandar­ dowe modele zawierające obiekty „dziwne” , w zwykłej aryt­ metyce nie rozważane. Dzięki wielkiej wnikliwości Robinson dostrzegł, jak ten egzotyczny odprysk współczesnej logiki for­ malnej może stać się podstawą odtworzenia metod infinitezymalnych w rachunku różniczkowym i całkowym. W tym od­ tworzeniu opierał się na twierdzeniu, które pierwszy udowodnił rosyjski logik Anatolij Malcew, a następnie uogólnił Leon

239

W ybrane rozdziały m a tem a tyki

Analiza niestandardowa

A. Henkin z uniwersytetu kalifornijskiego w Berkeley. Jest to twierdzenie o „zwartości” , związane ze słynnym twierdzeniem Kurta Gódla o „zupełności” , stwierdzającym, że zbiór zdań jest logicznie niesprzeczny (żadna sprzeczność nie może być z tych zdań wywnioskowana) wtedy i tylko wtedy, gdy zdania te mają model, to znaczy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje „uniwersum” , w którym wszystkie one są prawdziwe. Twierdzenie o zwartości głosi co następuje: załóżmy, że mamy rodzinę zdań w języku L i że w standardowym uniwer­ sum każdy skończony podzbiór tej rodziny jest prawdziwy; wówczas istnieje niestandardowe uniwersum, w którym cała rodzina jest jednocześnie prawdziwa. Twierdzenie o zwartości łatwo wynika z twierdzenia o zupeł­ ności. Jeśli każdy skończony podzbiór rodziny zdań w L jest prawdziwy w uniwersum standardowym, to każdy skończony podzbiór jest logicznie niesprzeczny. Zatem cała rodzina zdań jest logicznie niesprzeczna (ponieważ każda dedukcja może się posługiwać jedynie skończonym zbiorem przesłanek). Na mocy twierdzenia o zupełności istnieje (niestandardowe) uniwersum, w którym cała rodzina jest prawdziwa. Bezpośrednią konsekwencją twierdzenia o zwartości jest „ist­ nienie” infinitezymali. Ażeby zobaczyć, jak ten zadziwiający rezultat wynika z twierdzenia o zwartości, rozpatrzmy zdania: „C jest liczbą ,,C jest liczbą „C jest liczbą

240

większą niż zero większą niż zero większą niż zero

i mniejszą niż1/2” . i mniejszą niż1/3” . i mniejszą niż1/4” . I tak dalej.

Jest to nieskończona rodzina zdań, z których każde może być napisane w języku formalnym L. W standardowym uniwer­ sum R liczb rzeczywistych każdy skończony podzbiór jest prawdziwy, bo jeśli mamy skończenie wiele zdań postaci „C jest większe niż zero i mniejsze niż 1/«” , to jedno z tych zdań będzie zawierało najmniejszy ułamek 1/« i 1/ 2/7 będzie rzeczywi­ ście większe niż zero i mniejsze od wszystkich ułamków z naszej skończonej listy zdań. A jednak, jeśli rozpatrujemy cały nie­ skończony ciąg tych zdań, jest on fałszywy w standardowym modelu liczb rzeczywistych, bez względu bowiem na to, jak małą liczbę rzeczywistą dodatnią C wybierzemy, l/n będzie mniejsze od C dla dostatecznie dużego n. Twierdzenie o zwartości Malcewa i Henkina powiada, że istnieje niestandardowe uniwersum zawierające zbiór R* liczb pseudorzeczywistych, a wśród nich dodatnią pseudorzeczywistą

liczbę c, mniejszą od każdej liczby postaci l/n. Znaczy to, że c jest infinitezymalą. Co więcej, c ma wszystkie własności standardowych liczb rzeczywistych w doskonale precyzyjnym sensie: każde prawdziwe stwierdzenie o standardowych licz­ bach rzeczywistych, które można wyrazić w języku formalnym L, jest prawdziwe także dla niestandardowych liczb rzeczywis­ tych, włączając infmitezymałę c, przy właściwej interpretacji. (5-centymetrowy kwadrat oznaczony „H arry Smith” nie jest w rzeczywistości szczuplejszy od 5-centymetrowego kwadratu oznaczonego „George Klein” , jednakże stwierdzenie „Harry Smith” jest „szczuplejszy niż” „George Klein” jest prawdziwe przy naszej niestandardowej interpretacji „szczuplejszy niż” .) Z drugiej strony, własności standardowych liczb rzeczywistych mogą nie przechodzić na liczby pseudorzeczywiste, jeśli nie można ich wyrazić w języku formalnym L. Własność Archimedesa (nieistnienie infinitezymali) zbioru R może być wyrażona przez użycie nieskończonego zbioru zdań w L jak następuje (używamy symbolu „ > ” w zwykłym znaczeniu „jest większy niż”). Dla każdego dodatniego elemen­ tu c w R wszystkie, z wyjątkiem skończenie wielu, poniższe zdania są prawdziwe: c > 1, c + c > 1, c+ cT c > 1

i tak dalej.

Nie jest to natomiast prawdą w zbiorze R* liczb pseudo­ rzeczywistych; jeśli c jest infinitezymalą (więc liczbą pseudo­ rzeczywistą), to wszystkie te zdania są fałszywe. Innymi słowy, P rzedstawiono tu rolę ję z y k a f o r ­ malnego w pośredniczeniu pom iędzy uniwersum standardow ym a niestan­ dardowym. J ę z y k fo rm a ln y L opisu­ j e uniwersum standardowe, zaw iera­ ją ce liczby rzeczyw iste m a te m a tyk i klasycznej. Z dania z L , któ re są praw dziw e w uniwersum standardo­ wym, są praw dziw e także w uniwer­ sum niestandardowym , zawierają­ cym dodatkow e obiekty m a tem a ty­ czne, takie j a k infinitezym ale. W ten sposób analiza niestandardo­ wa sprawia, że m etoda infinitezy­ m ali staje się po raz pierw szy p recy­ zyjna.

W ybrane rozdziały m a tem a tyki

242

żadna skończona suma liczb c nie może przekroczyć 1, bez względu na to, ile składników weźmiemy. Fakt, że własność Archimedesa jest prawdziwa w świecie standardowym, ale fałszywa w świecie niestandardowym, dowodzi, iż własność ta nie może być wyrażona przez zdanie z L; użyte przez nas sformułowanie zawiera nieskończenie wiele zdań. I ta właśnie różnica sprawia, że pseudoobiekty są użyteczne. Zachowują się „formalnie” jak obiekty standardowe, a jednak różnią się ze względu na ważne własności, nie dające się w L sformalizować. Chociaż uniwersum niestandardowe różni się pojęciowo od uniwersum standardowego, to jednak pożądane jest wyob­ rażanie go sobie jako powiększenie uniwersum standardowego. Ponieważ R* jest modelem L, każde prawdziwe zdanie o R ma interpretację w R*. W szczególności nazwy liczb w R mają interpretację jako nazwy obiektów w R*. Możemy po prostu identyfikować obiekt w R* zwany „2” ze znaną liczbą 2 w R. Wówczas R* zawiera standardowe liczby rzeczywiste w R wraz z dużą kolekcją wielkości infinitezymalnych i nieskończonych, w których R jest zanurzone. Obiekt w R* (liczba pseudorzeczywista) nazywa się nie­ skończony, jeśli jest pseudowiększy od każdej standardowej liczby rzeczywistej, w przeciwnym razie nazywa się skończony. Liczba pseudorzeczywista dodatnia nazywa się infmitezymalą, jeśli jest pseudomniejsza od każdej dodatniej standardowej liczby rzeczywistej. Jeśli pseudoróżnica dwóch liczb pseudorzeczywistych jest skończona, to mówimy, że obie należą do tej samej „galaktyki” ; oś pseudorzeczywista zawiera nieprzeliczal­ nie wiele galaktyk. Jeśli pseudoróżnica dwóch liczb pseudorzeczywistych jest infmitezymalą, to mówimy, że należą do tej samej „monady” (termin zaczerpnięty przez Robinsona z pism filozoficznych Leibniza). Jeśli liczba pseudorzeczywista r* jest nieskończenie bliska standardowej liczby rzeczywistej r, to mówimy, że r jest standardową częścią r*. Wszystkie standar­ dowe liczby rzeczywiste są oczywiście w tej samej galaktyce, zwanej galaktyką główną. W galaktyce głównej każda monada zawiera jedną i tylko jedną standardową liczbę rzeczywistą. M onada ta jest „infinitezymalnym otoczeniem” r, zbiorem niestandardowych liczb rzeczywistych nieskończenie bliskich r. Jak się okazuje, pojęcie monady można stosować nie tylko do liczb rzeczywistych, ale także do ogólnych przestrzeni metrycz­ nych i topologicznych. W ten sposób analiza niestandardowa nabiera znaczenia nie tylko dla analizy elementarnej, ale dla całego obszaru współczesnej analizy abstrakcyjnej.

Analiza niestandardowa Kiedy mówimy, że infinitezymale czy monady istnieją, po­ winno być jasne, że wcale nie rozumiemy tego w sensie, w jakim to rozumiałby Euklides czy Berkeley. Wszyscy filozofowie i matematycy przyjmowali milcząco jeszcze sto lat temu, że przedmiotem matematyki jest obiektywna rzeczywistość w sen­ sie bliskim tego, w jakim rzeczywisty jest przedmiot fizyki. Pytanie, czy infinitezymale istnieją, czy nie istnieją, niewiele się różniło od pytania, czy materialne atomy istnieją, czy nie istnieją. Dzisiaj wielu, a być może większość matematyków nie ma już takiego przekonania co do obiektywnego istnienia przedmiotu ich studiów. Teoria modeli nie pociąga za sobą żadnego stanowiska co do takich problemów ontologicznych. Od infinitezymali matematycy oczekują nie materialnego ist­ nienia, ale raczej prawa do posługiwania się nimi w dowodze­ niu. W tym zaś celu wszystko, czego potrzeba, to pewność, że dowód posługujący się infinitezymalami jest nie gorszy od takiego, który jest od nich wolny. Posługiwanie się w badaniach analizą niestandardową idzie mniej więcej w takim oto kierunku. Chcemy udowodnić twier­ dzenie odnoszące się jedynie do obiektów standardowych. Jeśli zanurzy się obiekty standardowe w ich niestandardowym roz­ szerzeniu, przy użyciu obiektów niestandardowych, może się udać znaleźć dowód znacznie prostszy i bardziej „wnikliwy” . Takie twierdzenie zostaje dowiedzione przez odwołanie się do niestandardowej interpretacji jego słów i symboli. Te niestan­ dardowe obiekty, które odpowiadają obiektom standardowym, mają tę własność, że zdania o nich są prawdziwe (w niestandar­ dowej interpretacji) tylko wtedy, gdy samo to zdanie jest prawdziwe z odwołaniem się do obiektów standardowych (w standardowej interpretacji). W ten sposób dowodzimy twier­ dzeń o obiektach standardowych przez rozumowanie o obiek­ tach niestandardowych. Przypomnijmy na przykład dowód Mikołaja z Kuzy, że pole koła o promieniu 1 jest równe połowie jego obwodu. Zobacz­ my, w jakim sensie, w teorii Robinsona, dowód Mikołaja jest poprawny. Oto mając do dyspozycji infinitezymale i liczby nieskończone (w niestandardowym uniwersum), można do­ wieść, że pole koła jest standardową częścią sumy (w niestan­ dardowym uniwersum) nieskończenie wielu infinitezymali. A oto jak będzie wyglądał problem spadającego ciała według Robinsona. Definiujemy prędkość chwilową nie jako stosunek infinitezymalnych przyrostów, jak to czynił de L’Hóspital, ale raczej jako standardową część tego stosunku. Wówczas ds, dt

243

Analiza Fouriera

W ybrane rozdziały m atem a tyki

244

i ich stosunek ds/dt są niestandardowymi liczbami rzeczywis­ tymi. Jak poprzednio, mamy ds/dt = 32 + 16 dt, ale teraz na­ tychmiast wnioskujemy, ściśle i bez żadnych ograniczeń, że v, standardowa część ds/dt, jest równe 32. Niewielka modyfikacja metody infinitezymali Leibniza i staranne rozróżnianie między niestandardową liczbą ds/dt a jej standardową częścią v, po­ zwala uniknąć sprzeczności, którą de L’Hóspital po prostu ignorował. Oczywiście potrzebny jest dowód, że definicja Robinsona daje na ogół tę samą odpowiedź, co definicja Weierstrassa. Dowód nie jest trudny, ale nie będziemy go tutaj podawać. Osiągnięcie polega na tym, że po raz pierwszy została sprecy­ zowana metoda infinitezymalna. W przeszłości matematycy musieli dokonywać wyboru. Jeśli posługiwali się infinitezymalami, to dla poprawnego rozumowania musieli polegać na doświadczeniu i intuicji. „Idź tylko naprzód” , miał zapewniać Jean Le Rond d’Alembert wahającego się przyjaciela matema­ tyka, „a wiara wkrótce powróci” . Dla uzyskania pewności trzeba się było odwoływać do niezgrabnej metody wyczer­ pywania Archimedesa czy jej wersji współczesnej, epsilonowo-deltowej metody Weierstrassa. Obecnie metoda infinitezy­ mali, czy ogólniej metoda monad, została podniesiona z pozio­ mu heurystycznego na poziom ścisły. Podejście od strony logiki formalnej okazało się skuteczne przez to, że pozwoliło cał­ kowicie uniknąć pytania, które dawniej ekscytowało Berkeleya i innych polemistów, czy wielkości infinitezymalne rzeczywiście istnieją w jakimś obiektywnym sensie, czy nie istnieją. Z punktu widzenia aktywnego matematyka jest rzeczą waż­ ną, że odzyskał on pewne metody dowodu, pewne sposoby rozumowania, owocne jeszcze przed Archimedesem. Pojęcie otoczenia infinitezymalnego już nie jest sprzecznym wewnętrz­ nie zwrotem retorycznym, ale ściśle określonym pojęciem, uprawnionym jak każde inne w analizie. Omawiane przez nas zastosowania są elementarne, w istocie banalne, ale niebanalne były i są znajdowane. Pojawiła się praca o niestandardowej dynamice i niestandardowej teorii prawdopodobieństwa. Robinson i jego uczeń Allen Bernstein posłużyli się niestandardową analizą do rozwiązania nieroz­ wiązanego wcześniej problemu o liniowych operatorach zwar­ tych. Trzeba jednak powiedzieć, że co do ostatecznego znacze­ nia metody Robinsona wielu analityków zachowuje scepty­ cyzm. Jest przecież prawdą, że cokolwiek można zrobić z infinitezymalami, w zasadzie można zrobić i bez nich. Być może,

jak to bywa z radykalnymi innowacjami, pełny użytek z nowych idei zrobi nowe pokolenie matematyków, które nie wesz}o zbyt głęboko w metody standardowe i może się cieszyć swobodą i siłą analizy niestandardowej.

; '# fi

Dalsze lektury (patrz bibliografia) A. R o b in so n [1966]; M . D avis [1977]

ANALIZA FOURIERA Operę Verdiego Aida można wystawić bez instrumentów dętych blaszanych oraz drewnianych, bez smyczków i perkusji, bez barytonów i sopranów; wszystko co jest potrzebne, to pełny zestaw widełek strojowych i ścisła metoda kontrolowania ich głośności. Jest to zastosowanie do akustyki „twierdzenia Fouriera” , jednego z najbardziej użytecznych faktów w wielu gałęziach fizyki i techniki. Fizyczny „dowód” tego twierdzenia podał Hermann von Helmholtz, demonstrując wytwarzanie złożo­ nych dźwięków muzycznych przez odpowiednie kombinacje elektrycznie poruszanych widełek strojowych (dzisiaj urządzęnia tego rodzaju nazywają się elektronicznymi syntetyzatorami muzycznymi). Posługując się terminologią matematyczną, można powie­ dzieć, że każde widełki strojowe wydają wibrację, której wykres jako funkcji czasu jest falą sinusoidalną:

H erm ann

von

H elm -

holtz, 1 8 2 1 -1 8 9 4

Gdyby to było środkowe C, wtedy odległość od jednego wierzchołka do następnego, czyli okres, wynosiłby 1/264 sekun­ dy. Wysokość każdego wierzchołka jest amplitudą i z grubsza mierzy głośność. Fizyczną podstawę każdego dźwięku stanowią okresowe zmiany ciśnienia powietrza, których wykres może być krzywą jak ta:

245

W ybrane rozdziały m a tem a tyki W interpretacji graficznej twierdzenie Fouriera powiada, że krzywą taką, jak pokazana przed chwilą, można otrzymać przez dodawanie wykresów takich jak pierwszy: Kombinacja trzech to­ nów czystych, których częstotliwości są m ały­ m i liczbam i całkow ity­ mi

W języku analizy matematycznej twierdzenie to mówi, że jeśli y jest funkcją okresową powtarzającą się, powiedzmy, 100 razy na sekundę, to y ma następujące rozwinięcie: y = 7 sin 200n t + 0,3 sin400n t + 0,4 sin600n t + ...

246

W każdym składniku czas t jest przemnożony przez 2n razy częstotliwość. Pierwszy składnik, o częstotliwości 100, nazywa się podstawowym albo pierwszą harmoniczną; wyższe har­ moniczne mają wszystkie częstotliwości będące dokładnie krot­ nościami 100. Współczynniki 7, 0,3, 0,4 i tak dalej muszą być tak dobrane, by odpowiadały temu szczególnemu dźwiękowi, który nazwaliśmy „y”. Trzy kropki na końcu mówią, że rozwinięcie ciągnie się w nieskończoność; im więcej jest wyra­ zów, tym suma jest bliższa y. A co będzie, jeśli funkcja y nie jest okresowa i nie powtarza się, bez względu na to, jak długo czekamy? W takim przypadku możemy myśleć o y jako granicy ciągu funkcji o coraz dłuż­ szych okresach (czyli o coraz mniejszych częstotliwościach). Twierdzenie Fouriera będzie wówczas wymagało sumy zawie­ rającej wszystkie częstotliwości, a nie jedynie krotności danej częstotliwości podstawowej. Rozwinięcie nazywa się wówczas całką Fouriera, a nie szeregiem Fouriera. Z chwilą przełożenia twierdzenia z języka fizyki na język matematyki mamy prawo zapytać o sformułowanie i dowód spełniający standardy matematyczne. Co dokładnie dopusz­ czamy jako funkcję matematyczną y ? Co dokładnie rozumiemy przez sumę szeregu nieskończonego? Pytania te, wysunięte przez praktyczne wymogi analizy Fouriera, skupiały na sobie

Analiza Fouriera uwagę każdego wielkiego analityka od czasów Eulera i Bernoulliego i do dziś otrzymujemy nowe odpowiedzi. Taką nową, bardzo praktyczną odpowiedzią jest efektywna i pomysłowa technika numerycznego przeprowadzania analizy Fouriera na komputerze. J. W. Tukey i J. W. Cooley w słynnej pracy z 1965 r. posłużyli się notacją binarną, leżącą u podstaw dzisiejszych obliczeń komputerowych, w celu uzyskania rady­ kalnych oszczędności czasu obliczeniowego. Wykorzystując do maksimum własności symetrii fal sinusoidalnych, zredukowali oni liczbę operacji potrzebnych do rozwinięcia Fouriera funkcji zadanej w N punktach z N 2 operacji do 2N razy logarytm z N przy podstawie 2. Ta redukcja wystarczyła do tego, że w wielu zastosowaniach efektywne użycie rachunkowe roz­ winięcia Fouriera stało się po raz pierwszy osiągalne. Podano na przykład, że dla N = 8192 obliczenia na IMB 7094 zajęły koło pięciu sekund, podczas gdy konwencjonalne procedury zajmowały pół godziny. W istocie początki szeregów Fouriera sięgają wstecz do problemu ściśle związanego z muzyczną interpretacją analizy Fouriera, od której zaczęliśmy. Jest to problem ruchu drgającej struny. Fale w strunach

„Równanie fali” rządzące wibracjami struny uzyskał w 1747 r. d’Alembert. Znalazł on także rozwiązanie tego rów­ nania w postaci sumy dwóch biegnących fal, o postaci identycz­ nej, ale „dowolnej” , jednej poruszającej się na prawo i drugiej poruszającej się na lewo. Jeśli na początku struna znajdowała się w spoczynku (prędkość zero), to jej przyszły ruch jest całkowicie wyznaczony przez jej początkowe odchylenie od stanu równowagi. W ten sposób mamy w problemie jedną funkcję dowolną (opisującą początkowe położenie struny przed jej uwolnieniem) i jedną funkcję dowolną w rozwiązaniu d’Alemberta (opisującą kształt biegnącej fali). D ’Alembert uważał zatem, że podał ogólne rozwiązanie problemu. Trzeba sobie jednak zdawać sprawę z tego że d’Alembert i jego współcześni rozumieli przez „funkcję” to, co dzisiaj nazwano by „wzorem” czy „wyrażeniem analitycznym” . Euler wskazywał, że nie ma żadnego fizycznego powodu żądać, by początkowe położenie struny było zadawane przez pojedynczą funkcję. Równie dobrze różne części struny mogą być opisywa­ ne przez różne wzory (odcinki prostoliniowe, łuki kołowe i tak

Jean L e R ond d ’A lem bert 1 7 1 7 -1 7 8 3

247

W ybrane rozdziały m a tem a tyki dalej), byle tylko gładko do siebie pasowały. Co więcej, można tę sytuację rozszerzyć także na rozwiązanie biegnącej fali. Jeśli kształt biegnącej fali jest taki jak kształt początkowego od­ chylenia, to Euler twierdził, że rozwiązanie jest nadal popraw­ ne, chociaż nie jest dane przez pojedynczą funkcję, a przez kilka, każdą w innym obszarze. Problem polega na tym, że dla Eulera i d’Alemberta każda funkcja ma wykres, ale nie każdy wykres przedstawia pojedynczą funkcję. Euler utrzymywał, że każdy wykres (nawet taki nie dany przez funkcję) powinien być dopuszczony jako możliwe początkowe położenie struny. D ’Alembert nie akceptował fizycznego argumentu Eulera. W 1755 r. do dyskusji włączył się Daniel Bernoulli. Znalazł on, używając „fal stojących” , inną jeszcze postać rozwiązania problemu drgającej struny. Fala stojąca opisuje taki ruch struny, w którym są ustalone „węzły” i te są stacjonarne, a między węzłami wszystkie odcinki struny poruszają się unisono w górę i w dół. „Podstawowy tryb” to taki, który nie ma węzłów i cała struna porusza się jednocześnie. Nazwę „druga harmoniczna” nadaje się ruchowi z pojedynczym węzłem w środku. „Trzecia harmoniczna” ma dwa równo odległe węzły i tak dalej. W każdej chwili, w każdym z tych trybów, struna ma postać krzywej sinusoidalnej i w każdym ustalonym punk­ cie struny ruch w czasie jest opisany przez funkcję cosinus zależną od czasu. W ten sposób każda „harmoniczna” od­ powiada czystemu tonowi muzycznemu. Metoda Bernoulliego polegała na rozwiązywaniu ogólnego problemu drgającej stru­ ny przez sumowanie nieskończenie wielu fal stojących, co wymagało założenia, że początkowe odchylenie jest sumą nie­ skończenie wielu funkcji sinus. Fizycznie znaczyło to, że każdy dźwięk wydany przez strunę mógł być sumą czystych tonów. Podobnie jak d’Alembert odrzucił argument Eulera, tak teraz Euler odrzucił argument Bernoulliego. Przede wszystkim, jak Bernoulli przyznawał, w pewnym specjalnym przypadku Euler sam znalazł rozwiązanie z falą stojącą. Zarzut Eulera odnosił się do utrzymywania, że rozwiązanie z falą stojącą jest ogólne i daje się zastosować do wszystkich ruchów struny. Pisał on: Pierwsze cztery tryby drgającej struny o usta­ lonych końcach

248

P rzypuśćm y bow iem , że k to ś m a strunę, k tó ra przed jej uw olnieniem ma k sz ta łt nie dający się w yrazić rów naniem y = a sin (n x /a ) + fi sin (2tix/a) + ... N ik t nie w ątp i, że p o gw ałtow nym u w olnieniu stru n a znajdzie się w ruchu. Jest całkow icie jasn e, że k ształt struny, w chwilę p o uw olnieniu,

Analiza Fouriera także będzie różny o d tego ró w n a n ia, a naw et jeśli p o pew nym czasie stru n a będzie o d p o w ia d ać tem u ró w n an iu , n ik t nie m oże zaprzeczyć, że przedtem ruch struny był odm ienny o d tego, co zaw iera się w ro zw ażaniach B ernoul­ liego.

Metoda Bernoulliego pozwalała na przedstawianie począt­ kowego położenia jako nieskończonej sumy funkcji sinus. Taka suma jest konkretnym wyrażeniem analitycznym, które Euler potraktowałby jako pojedynczą funkcję i które przeto, zgodnie z jego sposobem myślenia, nie mogłoby przedstawiać począt­ kowego położenia opisanego za pomocą wielu różnych funkcji razem połączonych. Co więcej, Eulerowi wydawało się oczywis­ te, że szereg sinusów nie mógłby nawet przedstawiać dowolnej pojedynczej funkcji, ponieważ wszystkie jego składniki są okre­ sowe i symetryczne względem początku. Jak zatem może to być równe funkcji, która nie ma tych własności? Bernoulli się nie poddał. Utrzymywał, że skoro jego rozwi­ nięcie zawiera nieskończenie wiele nieokreślonych współczynni­ ków, to można je tak dobrać, by zgadzało się ono z dowolną funkcją w nieskończenie wielu punktach. Dzisiaj ten argument wydaje się słaby, równość bowiem w nieskończenie wielu punk­ tach w żaden sposób nie gwarantuje równości w każdym punkcie. Mimo to, jak się okazało, Bernoulli był bliższy prawdy niż Euler. Euler wrócił do sprawy szeregów trygonometrycznych w 1777 r. Rozpatrywał przypadek funkcji, o której było wiado­ mo, że ma rozwinięcie cosinusowe f{ x ) = a0 + aj cos x + a2cos 2x + ... i chciał znaleźć dogodny wzór na współczynniki a0, a1 itd. Wydaje się dziwne, że ten problem, jak dzisiaj wiemy, roz­ wiązywalny w jednym wierszu, nie został rozwiązany ani przez Bernoulliego, ani przez Eulera. Jeszcze bardziej zadziwiające jest to, że Euler znalazł poprawny wzór, ale dopiero drogą skomplikowanego rozumowania, z wielokrotnym użyciem toż­ samości trygonometrycznych i dwoma przejściami do granicy. A kiedy już doszedł do prostego wzoru na to, co dzisiaj nazywamy „współczynnikami Fouriera” , zauważył łatwy spo­ sób, który dałby natychmiastową odpowiedź. Powiedzmy, że chcemy znaleźć piąty współczynnik a5. Pisze­ my zakładane rozwinięcie / z nieznanymi współczynnikami: f = a0 + n1cosx + ... + a 5cos 5x + ..., mnożymy obie strony przez cos 5x i całkujemy (tj. bierzemy średnią między granicami x = 0 i x = tc).

Fale stojące w strunie; tryb podstaw ow y i dru­ ga harm oniczna

Wykres złożony z dwóch luków kołow ych i od­ cinka prostego. D la Eulera nie je s t to w y­ kres jed n ej funkcji, ale trzech. Dla Fouriera i Dirichleta je s t to w y­ kres jed n ej fu n k c ji, m a ­ ją ce j rozwinięcie w sze­ reg Fouriera.

Wybrane rozdziały m a tem a tyki

Analiza Fouriera

Z prawej strony mamy teraz całkę szeregu nieskończonego. Matematycy z czasów Eulera uznawali za rzecz oczywistą, że można takie wyrażenie obliczyć, całkując każdy wyraz oddziel­ nie, a następnie sumując. Całkując wszakże wyraz po wyrazie odkrywamy rzecz cudowną: wszystkie całki, z wyjątkiem piątej, są równe zeru! Ponieważ łatwo obliczamy , na5 a5(cos 5x) ax = —— ,

o mamy 7i a5 f (x) cos 5x ax = - y ,

o a więc a5

2

f( x ) cos 5x dx.

71

Analogiczne rozumowanie działa oczywiście w stosunku do wszystkich pozostałych współczynników. To cudownie proste rozumowanie opiera się całkowicie na fakcie, że cos m x cos nx dx = 0 , o jeśli m jest różne od n. (Podobny wzór zachodzi dla sinusów.) Ta własność cosinusów jest dzisiaj opisywana przez zdanie „na odcinku od 0 do n cosinusy są ortogonalne” . Uzasadnienie tego języka geometrycznego pojawi się w naszej historii później (ortogonalny znaczy prostopadły). Dla oceny pracy Fouriera istotną rzeczą jest zrozumienie, że Euler do końca wierzył, iż tylko bardzo specjalna klasa funkcji danych wszędzie przez pojedyncze wyrażenie analityczne, może być przedstawiana przez szereg sinusów lub cosinusów. I wie­ rzył, że tylko w specjalnych przypadkach jego wzór na współ­ czynniki jest poprawny. Użycie przez Fouriera sinusów i cosinusów w badaniach przepływu ciepła było bardzo podobne do metody Bernoulliego badania drgań. Fala stojąca Bernoulliego jest funkcją dwóch zmiennych (czasu t i przestrzeni x), mającą bardzo szczególną

własność rozkładania się na iloczyn funkcji przestrzeni oraz funkcji czasu. Aby taki iloczyn spełniał równanie drgającej struny, oba czynniki muszą być sinusami lub cosinusami. Warunki brzegowe (ustalone końce, początkowa prędkość ró­ wna zeru) i długość struny wymuszają to, że będą one postaci sin nx i cos mt. Kiedy Fourier otrzymał swoje równanie przewodzenia ciep­ ła, odkrył, że także ono ma specjalne rozwiązania, które rozkładały się na iloczyn funkcji czasu oraz funkcji przestrzeni. W tym przypadku funkcja czasu jest raczej wykładnicza niż trygonometryczna, ale jeśli ciało, w którym badamy przepływ ciepła, jest prostopadłościenne, znów otrzymujemy trygono­ metryczną funkcję przestrzeni. Przyjmijmy, na przykład, że mamy blok metalu, którego powierzchnia jest utrzymywana w stałej temperaturze. Roz­ ważania fizyczne pokazują wówczas, że rozkład temperatury wewnętrznej w chwili 7 = 0 wystarczy do wyznaczenia wewnęt­ rznego rozkładu w każdej chwili następnej. Ale ten początkowy rozkład temperatury może być dowolny. Mimo to Fourier utrzymywał, że jest on równy sumie szeregu sinusów i cosinusów. Jak dotąd, powtarzał punkt widzenia Bernoulliego, jednakże podczas gdy Bernoulli miał na myśli tylko funkcje wyrażone analitycznie przez jedno wyrażenie, Fourier całkiem wyraźnie włączał tu funkcje (rozkłady temperatury) dane kawałkami przez wiele różnych wzorów. Innymi słowy, utrzymywał on, że różnica między „funkcją” a wykresem, implicite uznawana przez wszystkich poprzednich analityków, nie istnieje; podob­ nie jak każda „funkcja” ma wykres, tak każdy wykres przed­ stawia funkcję — jej szereg Fouriera! Nic dziwnego, że Lagran­ ge, XVIII-wieczny analityk par excellence, uznał twierdzenie Fouriera za trudne do przełknięcia. Jak liczył Fourier?

Rzecz jasna, istotnym krokiem w pracy Fouriera musiało być znalezienie wzoru na współczynniki rozwinięcia. Fourier nie wiedział, że Euler zrobił to już przed nim, więc liczył jeszcze raz. I podobnie jak Bernoulli i Euler przed nim, także Fourier przeoczył cudownie prostą metodę ortogonalności, którą przed chwilą opisaliśmy. Zamiast tego wdał się w niewiarygodne rachunki mogące służyć za klasyczny przykład intuicji fizycz­ nej, prowadzącej do poprawnej odpowiedzi mimo jawnie blędnego rozumowania.

Joseph Fourier

1768-1830

W ybrane rozdziały m a tem a tyki

252

Zaczął od rozwinięcia każdej funkcji sinus w jej szereg potęgowy (szereg Taylora) i zmiany uporządkowania wyrazów, dzięki czemu „dowolna” funkcja była teraz przedstawiona jako szereg potęgowy. Już to budzi zastrzeżenia, te funkcje bowiem, które Fourier miał na myśli, z pewnością nie mają na ogół takich rozwinięć. Mimo to Fourier brnął dalej i znalazł współ­ czynniki w tym nie istniejącym rozwinięciu na szereg potęgowy. Robiąc to, posługiwał się dwoma jawnie sprzecznymi założe­ niami i dochodził do odpowiedzi wymagającej dzielenia przez rozbieżny iloczyn nieskończony (tj. liczbę dowolnie wielką). Jedyną rozsądną interpretacją, jaką można było nadać temu wzorowi na rozwinięcie w szereg potęgowy, było to, że wszyst­ kie współczynniki znikają, tzn. „dowolna” funkcja jest tożsamościowo równa zeru. „Fourier nie miał najmniejszego za­ miaru wyciągać tego wniosku, przeto śmiało kontynuował analizę swojego wzoru” . Jest to komentarz Rudolfa Langera, pochodzący z artykułu, któremu zawdzięczamy to przedstawie­ nie postępowania Fouriera. Z tego mało obiecującego wzoru Fourier zdołał, dzięki coraz to bardziej formalnym manipula­ cjom, dojść wreszcie do tego samego prostego wzoru, który Euler w sposób poprawny i znacznie łatwiej otrzymał trzydzie­ ści lat wcześniej. Należy się hołd przenikliwości Legendre’a, Laplace’a i Lagrange’a, że przyznali Fourierowi, mimo rażących wad jego rozumowania, Wielką Nagrodę Akademii. Mistrzowski pomysł Fouriera ujawnił się bowiem po dojściu przezeń do wzoru Eulera. Zauważył wtedy, podobnie jak Euler, że jeśli posłużyć się ortogonalnością sinusów, to ten prosty wzór daje się otrzy­ mać w jednym wierszu. Ale następnie zauważył on także, czego nikt przed nim nie uczynił, że końcowy wzór na współczynniki i jego uzasadnienie przez ortogonalność sinusów zachowują sens dla każdego wykresu ograniczającego określony obszar, przy czym Fourier miał tutaj na myśli całkiem dowolny wykres. Znał już wtedy szeregi Fouriera dla pewnej liczby specjalnych przypadków i przekonał się rachunkowo, że w każdym z nich suma już kilku pierwszych wyrazów była bardzo bliska rzeczy­ wistego wykresu generującego szereg. Na tej podstawie ogłosił, że każdy rozkład temperatury (albo, jak kto woli, każdy wykres), bez względu na to, z ilu odrębnych części się składa, daje się przedstawić szeregiem sinusów i cosinusów. Powinno być tutaj jasne, że chociaż zestaw przykładów może rodzić takie przekonanie, to jednak Fourier nie przedstawił dowodu w sensie, w jakim to słowo było i jest przez matematyków

Analiza Fouriera rozumiane. „Bez wątpienia” , powiada Langer, „z jego wiel­ kiego lekceważenia ścisłości brała się częściowo zdolność doko­ nywania takich skoków pojęciowych, jakie byłyby kompletnie niemożliwe dla ludzi o bardziej krytycznym umyśle” . Rację miał Fourier, mimo że ani nie sformułował, ani nie udowodnił żadnego poprawnego twierdzenia o szeregach Fou­ riera. Narzędzia, którymi się tak lekkomyślnie posługiwał, przyniosły jego nazwisku zasłużoną nieśmiertelność. Wydoby­ cie sensu tego, co zrobił, wymagało stu lat wysiłków ludzi 0 „bardziej krytycznym umyśle” , a końca jeszcze nie widać. Co to jest funkcja?

Przede wszystkim, co począć z pozornie nieodpartym zarzu­ tem Eulera postawionym pół stulecia wcześniej? Jak to jest możliwe, że suma funkcji okresowych (sinusów i cosinusów) może być równa dowolnej funkcji, która nie musi być okresowa? Bardzo prosto. Dowolna funkcja może być dana tylko w pew­ nym zakresie, powiedzmy od 0 do tc. Fizycznie przedstawia ona odchylenie początkowe struny o długości 71 albo początkową temperaturę pręta o długości n. Tylko w tym zakresie mają znaczenie fizyczne zmienne i właśnie w tym zakresie szereg Fouriera równa się danej funkcji. Jest rzeczą obojętną, czy dana funkcja może mieć kontynuację poza tym zakresem; jeśli ma, nie będzie ona tam na ogół równa szeregowi Fouriera. Innymi słowy, może się zdarzyć, że mamy dwie funkcje, identyczne w pewnym zakresie, powiedzmy od 0 do n, i poza nim nie związane. Jest to możliwość, której d’Alembert, Euler i Lagrange nigdy nie rozważali. Nie tylko umożliwiła ona systematyczne używanie szeregów Fouriera w matematyce stosowanej, ale doprowadziła także do pierwszego dociekliwego i krytycznego studium pojęcia funkcji, które ze wszystkimi swoimi rozgałęzie­ niami jest tak owocne jak żadna inna idea w matematyce. Tym, kto podjął przykłady Fouriera oraz nieudowodnione hipotezy i obrócił je w przyzwoitą matematykę, był Dirichlet (1805 —1859). Podstawowym warunkiem wstępnym była jasna 1 wyraźna definicja funkcji. Dirichlet podał definicję po dziś dzień najczęściej stosowaną. Funkcja y (x) jest dana, jeśli mamy jakąkolwiek zasadę przypisującą określoną wartość y każdemu x z pewnego zbioru punktów. „Nie jest rzeczą konieczną, żeby y podlegał tej samej zasadzie odnoszącej się do x na całym przedziale” , pisał Dirichlet, „w istocie, można nawet nie po­ trafić wyrazić tego związku przez matematyczne operacje [...]

P eter Gustaw Lejeune Dirichlet ¡8 0 5 -1 8 5 9

W ybrane rozdziały m a tem a tyki

254

Nie ma znaczenia, czy [o tej odpowiedniości] myśli się w ten sposób, że różne części dane są przez różne reguły, czy ustala się ją całkowicie bez reguł [...] Jeśli funkcja jest określona tylko na części odcinka, to sposób jej przedłużenia na resztę odcinka jest całkowicie dowolny” . Czy to jest tym, co Fourier rozumiał przez „dowolną funk­ cję”? Z pewnością nie w tym rozumieniu, jakie Dirichlet nadawał wyrażeniu „jakakolwiek zasada” . Rozpatrzmy na­ stępujący słynny przykład, który Dirichlet podał w 1828 r.: definiujemy cp(x) równe 1 dla x wymiernych i równe 0 dla x niewymiernych. Ponieważ każdy przedział, bez względu na to jak mały, zawiera punkty zarówno wymierne jak i niewymier­ ne, jest rzeczą zupełnie niemożliwą narysowanie wykresu tej funkcji. W ten sposób analiza, z definicją Dirichleta funkcji, wyprzedziła geometrię i zostawiła ją daleko w tyle. Podczas gdy XVIII-wieczne pojęcie funkcji nie wystarczało do opisania takich łatwo wyobrażalnych krzywych jak ta na s. 249, to XIX-wieczne pojęcie dowolnej funkcji obejmuje już twory bez żadnej nadziei na ich narysowanie czy wyobrażenie. Jest dość oczywiste, że nie można oczekiwać, by ta 0-1 funkcja Dirichleta dala się przedstawić w postaci szeregu Fou­ riera. W istocie, ponieważ powierzchnia pod taką „krzywą” nie jest określona, a współczynniki Fouriera otrzymuje się przez całkowanie (tj. obliczanie powierzchni), Fourier nie potrafiłby znaleźć ani jednego wyrazu w szeregu Fouriera tego przykładu. Ale, rzecz jasna, praktycznie nastawiony fizyk Fourier nie miał na myśli takich jak ten przewrotnych pomysłów czystej mate­ matyki. Z drugiej jednak strony, Dirichlet udowodnił, poprawnie i ściśle, że jeśli funkcja / ma wykres, który zawiera tylko skończenie wiele punktów zwrotu i jest gładki z wyjątkiem skończenie wielu kątów i skoków, to szereg Fouriera funkcji / ma sumę, której wartość w każdym punkcie jest taka sama jak wartość / w tym punkcie (przyjmując, że w punktach, gdzie / ma skok, przypisuje się jej wartość średnią z wartości lewoi prawostronnej). Jest to rezultat przedstawiany zwykle na staromodnych wykła­ dach matematyki politechnicznej, a to z tej przyczyny, że każda funkcja mogąca się pojawić w fizyce będzie spełniać „kryterium Dirichleta” . Wydaje się, że każda funkcja, którą można naryso­ wać kredą czy piórem, spełnia kryterium Dirichleta. A jednak takie krzywe dalece nie wystarczają do przedstawienia wszystkich sytuacji mających znaczenie fizyczne lub techniczne.

Analiza Fouriera Podkreślmy znaczenie wyniku Dirichleta. Wzór y(x ) = ńjSinA' + ń 2sin2x + ń3sin 3x + ... jest prawdziwy w następującym sensie. Jeśli wybieramy dowol­ ną wartość x 0 między 0 a n, to y ( x 0) jest liczbą i suma po prawej strome jest sumą liczb. Twierdzi się, że jeśli weźmiemy dostatecznie dużo wyrazów szeregu, to suma tych liczb będzie tak bliska wartości y w danym punkcie x0, jak tylko chcemy. Jest to zbieżność punktowa, pozornie najprostsza, a w rzeczywi­ stości najbardziej skomplikowana spośród wielu możliwych pojęć zbieżności. Z czysto matematycznego punktu widzenia wynik Dirichleta nie był końcem, a zaledwie początkiem. Matematyk oczekuje jasnej i wyraźnej odpowiedzi — warunku koniecznego i dostatecznego, jak się to w tym rzemiośle nazy­ wa. Kryterium Dirichleta jest warunkiem dostatecznym, ale w żadnym razie nie koniecznym. Bernhard Riemann (1826—1866) dostrzegł, że dalszy postęp wymaga bardziej ogólnego pojęcia całki, które byłoby do­ statecznie silne, by radzić sobie z funkcjami o nieskończenie wielu nieciągłościach. Przecież wzór Eulera daje współczynniki Fouriera dla / w postaci całka z / razy fala sinusoidalna. Jeśli funkcja / jest tak ogólna, że wykracza poza intuicyjne pojęcie funkcji gładkiej, to i całka z / musi zostać uogólniona poza intuicyjne pojęcie pola pod krzywą. I Riemann takiego uogól­ nienia dokonał. Posługując się swoją „całką Riemanna", był w stanie podać przykłady funkcji nie spełniających warunku Dirichleta, a mimo to spełniających twierdzenie Fouriera. Poszukiwanie warunków koniecznych i dostatecznych, przy których zachodziłoby twierdzenie Fouriera, było długie i mozo­ lne. Ze względu na zastosowania fizyczne oczywiście chciałoby się dopuścić funkcje mające skoki, to znaczy, zgodzić się na to, by / była nieciągła. Ponieważ współczynniki oblicza się przez całkowanie, oczywiście chce się, żeby / była całkowalna. Jeśli teraz wartości f ulegają zmianie w jednym lub kilku punktach, nie wpływa to na wartość całki (która jest średnią z / po wszystkich nieprzeliczalnie wielu punktach między 0 a 7t), przeto współczynniki Fouriera pozostają nie zmienione. Uwaga ta wskazuje, że zbieżność punktowa nie jest naturalnym sposo­ bem studiowania tego problemu, ponieważ mogą być punkty, gdzie dwie funkcje / i g się różnią, a mimo to / i g mogą mieć to samo rozwinięcie Fouriera. W istocie to właśnie próba zrozumienia, które zbiory punktów są obojętne dla szeregów Fouriera, skłoniła Georga Cantora do zrobienia pierwszych

255

W ybrane rozdziały m a tem a tyki

H enri Lebesgue

kroków w kierunku stworzenia jego abstrakcyjnej teorii mno­ gości. Zamiast domagać się zbieżności w każdym punkcie, skrom­ niej i rozsądniej jest żądać, żeby szereg Fouriera funkcji f równał się / wszędzie z ewentualnym wyjątkiem zbioru który jest tak mały, że proces całkowania go nie dostrzega. Takie zbiory, precyzyjnie zdefiniowane przez H. Lebesgue’a (1875—1941), nazywają się zbiorami miary zero i zostały użyte do zdefiniowania jeszcze silniejszego pojęcia całki niż całka Riemanna. O tych zbiorach można myśleć w na­ stępujący sposób: jeśli wybierasz losowo punkt między 0 i 1, to szansa trafienia w dany odcinek jest dokładnie równa długości tego odcinka; jeśli szansa trafienia w dany zbiór punktów jest równa zeru, to mówi się, że ten zbiór ma miarę zero. Długość punktu jest z definicji równa zeru. Jeśli dodamy długości kilku punktów, suma ta także jest zerem, przeto zbiór złożony ze skończenie wielu punktów ma miarę zero. Istnieją także zbiory miary zero o nieskończenie wielu punktach, a na­ wet jest rzeczą możliwą, by zbiór miał miarę zero i jednocześnie był „wszędzie gęsty” , tzn. miał reprezentanta w każdym odcin­ ku, bez względu na to, jak małym. W istocie zbiór wszystkich liczb wymiernych jest takim właśnie wszędzie gęstym zbiorem miary zero. Zatem z punktu widzenia Lebesgue’a funkcja 0-1 Dirichleta ma rozwinięcie Fouriera i każdy współczynnik tego rozwinięcia jest równy zeru, ponieważ funkcja jest zerem „pra­ wie wszędzie” . Jak to Lebesgue określał, jest to ten rodzaj matematyki, który sprawia, że ludzi „praktycznych” przecho­ dzą ciarki. Co za korzyść z rozwinięcia Fouriera, jeśli daje ono złą odpowiedź nie w kilku zaledwie izolowanych punktach, ale na zbiorze wszędzie gęstym? Ale nawet jeśli chcemy zaakceptować zbieżność tylko „pra­ wie wszędzie” (tzn. z wyjątkiem zbioru miary zero), możemy jej nie uzyskać. W 1926 r. Kołmogorow skonstruował funkcję całkowalną, której szereg Fouriera jest wszędzie rozbieżny. Zatem sama całkowalność z pewnością nie stanowi podstawy nawet dla teorii „prawie wszędzie” . Funkcje uogólnione

256

Inne podejście, tkwiące przy tym silnie w głównym nurcie współczesnej analizy, polega na znacznie poważniejszym potraktowaniu „ortogonalności” fali sinusoidalnej. Jeśli f jest

Analiza Fouriera funkcją o okresie n, której kwadrat jest całkowalny, to z orto­ gonalności sinusów wynika, że f 2 = b{ + b22 + b l+ gdzie

dla i = 1, 2, 3... są współczynnikami w rozwinięciu

sinusowym funkcji / . (Dla dowodu liczymy

/ 2

/• /

0 0 przez rozwinięcie każdego czynnika w jego szereg sinusów, mnożymy pierwszy szereg przez drugi i całkujemy wyraz po wyrazie. Z powodu ortogonalności większość całek jest równa zeru, a reszta daje się wyliczyć i otrzymujemy nasz wzór.) Kluczowa idea polega na spostrzeżeniu, że ta suma kwad­ ratów jest analogiczna do tej, która pojawia się w twierdzeniu Pitagorasa z geometrii euklidesowej. Zgodnie z elementarną geometrią euklidesową, jeśli P jest punktem o współrzędnych (x,y) na płaszczyźnie lub (x,y,z) w przestrzeni, to wektor OP od początku układu O do P ma długość, której kwadrat jest równy odpowiednio

0 ? 2 = x 2 + y 2 lub OP 2 = x 2 + y 2 + z2. Analogia ta sugeruje, by o funkcji / myśleć jako o wektorze w pewnego rodzaju przestrzeni supereuklidesowej, mającym prostokątne (ortogonalne) współrzędne bv b2, b3 itd. Oczywiś­ cie będzie to przestrzeń nieskończenie wymiarowa. Wówczas „długość” / będzie miała naturalną definicję jako pierwiastek kwadratowy z — f 2, co jest tym samym co pierwiastek kwadK ratowy z b\ + b\ + b3 + ... „Odległość” między dwoma funk­ cjami / i g będzie „długością” funkcji f — g. Tak zdefiniowana przestrzeń funkcji nazywa się L 2 i jest najstarszym i standardowym przykładem klasy przestrzeni abs­ trakcyjnych znanych jako przestrzenie Hilberta. Dwójka w L 2 pochodzi od wykładnika w operacji podnoszenia do kwadratu, natomiast L przypomina nam, że musimy całkować ze względu na miarę Lebesgue’a. Mamy teraz nową interpretację zbieżno­ ści szeregu Fouriera: żądamy, żeby suma pierwszych 10 000 wyrazów (albo 100000 albo 1 000 000 , jeśli trzeba) była bliska

257

W ybrane rozdziały m atem a tyki

Jest to w ykres fu n kc ji, k tó ra je s t bliska zeru w sensie przestrzeni Hilberta L 2, ale nie w zw y ­ kły m sensie odległości m iędzy krzyw ym i. O st­ rza nie m ają w L 2 zn a ­ czenia, poniew aż obe­ jm ow any p rzez nie ob­ szar je s t bardzo m ały.

N orbert Wiener 1 8 9 4 -1 9 6 4

258

/ w sensie odległości w L 2, a więc żeby różnica, jeśli pod­ niesiemy ją do kwadratu i scałkujemy, była małą liczbą. Z punktu widzenia przestrzeni Hilberta, subtelności i pro­ blemy analizy Fouriera wydają się rozwiewać jak dym. Fakty są dowodzone prosto i prosto formułowane: funkcja jest w L 2 (tzn. jest całkowalna z kwadratem) wtedy i tylko wtedy, gdy jej szereg Fouriera jest zbieżny w sensie L2 (ten fakt jest znany w historii jako twierdzenie Riesza-Fischera). Pozostaje wszakże otwarte pytanie, do jakiego stopnia złe może być punktowe zachowanie funkcji z L 2. W świetle przy­ kładu Kołmogorowa funkcji całkowalnej, której szereg Fourie­ ra jest wszędzie rozbieżny, stało się wielką sensacją, kiedy w 1966 r. Lennart Carleson udowodnił, że jeśli funkcja jest całkowalna z kwadratem, to jej szereg Fouriera jest zbieżny punktowo prawie wszędzie. Zawiera to, jako swój przypadek szczególny, nowy wynik: funkcja ciągła okresowa ma szereg Fouriera, który jest zbieżny prawie wszędzie. Teoria została wzbogacona w tym samym 1966 r., kiedy to Katznelson i Kahane pokazali, że dla każdego zbioru miary zero istnieje funkcja ciągła, której szereg Fouriera jest rozbieżny na tym zbiorze. Interesujące jest spostrzeżenie, że ten współczesny rozwój w istocie pociąga dalszą ewolucję pojęcia funkcji. Przecież element z L 2 nie jest funkcją ani w sensie wyrażenia analitycz­ nego Eulera, ani w sensie jakiejkolwiek zasady Dirichleta, ani też odwzorowania wiążącego jeden zbiór liczb z drugim. Jest on podobny do funkcji w tym sensie, że może być poddany pewnym, zwykle w stosunku do funkcji stosowanym operacjom (dodawanie, mnożenie, całkowanie). Ale skoro uwa­ ża się, że nie ulega on zmianie, jeśli zmienimy jego wartości na dowolnym zbiorze miary zero, z pewnością nie jest on zasadą przypisującą wartości każdemu punktowi z jego dziedziny. Jak widzieliśmy, rozwój analizy Fouriera w XIX w. do­ prowadził wprawdzie do logicznej ścisłości, jednakże za cenę pewnego rozejścia się między punktami widzenia matematyki czystej i stosowanej. Ta różnica nadal istnieje, jednakże znacz­ na część niedawnych i obecnych wysiłków zmierza do ponow­ nego połączenia tych dwóch aspektów analizy Fouriera. Przede wszystkim pojęcie przestrzeni Hilberta, choć abstrak­ cyjne, dostarcza podstaw mechanice kwantowej. Dzięki temu przez ostatnie pięćdziesiąt lat było istotnym tematem matema­ tyki stosowanej. Co więcej, szybka ekspansja analizy Fouriera

Analiza Fouriera w postaci uogólnionej analizy harmonicznej Norberta Wienera czy teorii dystrybucji Laurenta Schwarza jest bezpośrednio motywowana najbardziej konkretnymi zastosowaniami. Na przykład, w technice elektrycznej wyobrażamy sobie często, że obwód jest zamykany momentalnie, co znaczy, że natężenie prądu skoczyłoby z wartości zero, nim obwód został zamknię­ ty, do wartości, powiedzmy, 1, po tym, kiedy obwód został zamknięty. Nie ma oczywiście żadnej skończonej prędkości zmiany natężenia prądu w chwili zamykania. Wyrażając to geometrycznie, dla t = 0 wykres prądu jest pionowy. Jednakże w rachunkach bardzo wygodnie jest posługiwać się fikcyjną prędkością zmiany, równą nieskończoności dla t = 0 (funkcja delta Diraca). Teoria dystrybucji dostarcza logicznych podstaw dla stosowania takich „impulsowych” funkcji czy pseudofunkcji. Teoria ta pozwala nam różniczkować każdą funkcję tyle razy, ile chcemy; jedyny kłopot polega na tym, że musimy się pogodzić z myślą, iż wynik nie jest prawdziwą funkcją, ale „funkcją uogólnioną ’ — dystrybucją. W historycznej perspek­ tywie jest interesujące, że pojęcie funkcji musiało być jeszcze poszerzone poza pojęcia Dirichleta czy Hilberta. Co więcej, jedną z korzyści tego poszerzenia jest w pewnym sensie powrót do ducha Fouriera. Kiedy bowiem konstruujemy rozwinięcia Fouriera dla jednej z tych „funkcji uogólnionych” , otrzymujemy szereg lub całkę, które są rozbieżne w każdym dotychczas rozważanym sensie. Mimo to formalne manipulacje w stylu Eulera czy Fouriera nabierają teraz często, w kontekś­ cie nowej teorii, znaczenia i mocy. Tak się przez półtora stulecia trudzili matematycy, żeby uzasadnić niektóre rachunki Fouriera. Z drugiej strony, niewie­ lu fizyków i inżynierów czuło jakąkolwiek potrzebę uzasad­ niania (ostatecznie czynny mechanizm czy udany eksperyment mówią same za siebie). A jednak wydaje się, że z zadowoleniem przyjęli uprawomocnienie, jakie matematyka im teraz dała. Początkowe stronice nowych podręczników zastosowań są te­ raz upstrzone odniesieniami do Laurenta Schwarza, jak gdyby w intencji usprawiedliwienia „niedozwolonych” poprzednio rachunków.

F unkcja delta Diraca je s t równa zeru poza pojedynczym p unktem , gdzie m a w artość nie­ skończoną. W analizie współczesnej naw et ta niezw ykle ekscentrycz­ na , fu n k c ja " daje się przedstaw ić w postaci nieskończonego szere­ gu cosinusów.

Dalsze lektury (patrz bibliografia) E .T . Bell [1937]; J. W . D au b en ; I. G ra tta n -G u in ess; R. E. L anger; G . W eiss

259

W ybrane rozdziały m atem a tyki

PROBLEMY I ZADANIA Wybrane rozdziały matematyki Teoria grup i klasyfikacja skończonych grup prostych. Niecantorowska teoria mnogości. Geometria nieeuklidesowa. Twierdzenie o liczbach pierwszych. Dodatek A. Analiza niestandardowa. Analiza Fouriera. Problemy do studiowania

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Geometria nieeuklidesowa Sito Erastotenesa Twierdzenie o liczbach pierwszych Symetrie Teoria grup Niecantorowska teoria mnogości Analiza Fouriera Teoria węzłów

Zagadnienia do opracowania

1. Obejrzyj film wideo „Teoria grup” z British Open University i opisz dla licealnego kółka matematycznego, jak urząd pocztowy posługuje się teorią grup przy stemplowaniu znaczków na listach. 2. Opisz, jak dwie wybrane kultury historyczne posługiwały się symetrią w rysowaniu wzorów. 3. Objaśnij symetrię zdolnemu nastolatkowi. 4. Figury geometryczne często ujawniają się w przyrodzie. Określ niektóre z nich i omów te, które dostarczają przykładów symetrii obrotowej i odbić. 5. Opisz rolę ruchów sztywnych w symetrii dla lokalnego klubu artystycznego. Podaj przykłady wzorów fryzowych i po­ każ, jak matematycy pomogli je sklasyfikować. 6 . Jak archeolog podszedłby do symetrii we wzorach fryzowych? Jako przykład rozpatrz zadanie 6 ze str. 269 książki L. A. Steen (red.), For All Practical Purposes, W. H. Freeman, New York 1982. 7. Masz przygotować odczyt dla klasy. Wybierz jeden z te­ matów rozdziału 5. W 2-stronicowym eseju opisz go w pełni, cytując odpowiednie przykłady matematyczne z tej książki, z innych lektur oraz/lub z zajęć. 8 . Napisz dla szerokiej publiczności 2-stronicowy artykuł prasowy o symetriach i grupach. Posługując się definicjami i przykładami, daj swemu czytelnikowi wyobrażenie o tym, jak te dwa tematy są powiązane. Wymyśl dla swego artykułu nagłówek pozwalający Twemu czytelnikowi pojąć jego cele.

Problem y i zadania 9. Objaśnij swemu młodszemu bratu, uczącemu się w liceum geometrii, czym różni się w opisywaniu świata geometria fraktali Benoita M andelbrota od geometrii euklidesowej. 10. Napisz dla magazynu Time artykuł o zastosowaniach symetrii w nauce. 11. Złóż kartkę papieru i wytnij w niej kilka otworów. Rozwiń kartkę i opisz jej wygląd z punktu widzenia symetrii. 12. Wypowiedz się za lub przeciw stwierdzeniu: im więcej symetrii ma budynek, tym przyjemniejszy jest dla oka. 13. Przytocz argumenty Berkeleya i Hume’a przeciwko do­ wolnie małym odcinkom. Przyjrzyj się konstrukcji Euklidesa dwusiecznej dowolnego odcinka. Jak to przeczy Hume’owi i Berkeleyowi? Skomentuj tę niezgodność. 14. Przeczytaj esej o analizie Fouriera, koncentrując się na syntetyzatorach muzycznych i widełkach strojowych. Napisz dla swojej lokalnej gazety artykuł o tym, czego się nauczyłeś. Zadania

1. Chcemy posłużyć się sitem Erastotenesa dla wyznaczenia wszystkich liczb pierwszych mniejszych niż 500. Jaka jest naj­ większa liczba pierwsza, której krotności musimy poskreślać? 2. Sprawdź trzecią kolumnę tabeli liczb n, n(n) i n/n(n) n

n (n)

n /n (ń)

10 100 1000 10000 100 000 1000000 10000000 100000000 1 000 000 000 100 0 0 0 0 0 0 0 0

4 25 168 1229 9592 78 498 664 579 5 761455 50 847 534 455 052 512

2,5 4,0 6,0 8,1 10,4 12,7 15,0 17,4 19,7 22,0

na podstawie dwóch pierwszych. Znajdź log(«) dla niektórych wartości n z tej tablicy i sprawdź wzór lim 7t(ft)/(ft/logn)= 1. n-> oo

Twierdzenie o liczbach pierwszych mówi, że lewa strona zbliża się do 1 coraz bardziej w miarę, jak n staje się coraz większe. Jak duże powinno być n, by błąd był mniejszy niż 0,1? 0,001? 3. Porównaj dwie następujące tablice działań dla (M ,*) i (N ,f) , gdzie M = {p ,q ,r,s,t} i N = {0,1,2,3,4}:

261

Wybrane rozdziały m a tem a tyki *

r

P

p s r ‘1 t s r q t s p q t r p

Problemy i zadania t

f

0

1

2

3

4

q

0 1 2 3 4

2 4 0 1 3

3 2 1 4 0

0 1 2 3 4

4 0 3 2 1

1 3 4 0 2

s

t

p

P s r

q r r P s t t s

q

(a) Czy M jest zamknięty ze względu na * ? Czy N jest zamknięty ze względu na / ? (b) Czy (M ,*) ma identyczność? Czy (N, / ) ma iden­ tyczność? (c) Czy każdy element w M ma element odwrotny wzglę­ dem *? (d) Czy każdy element wJ Vma element odwrotny wzglę­ dem / ? (e) Czy (M , *) jest grupą? Czy (N, f ) jest grupą? 4. Niech S = {a,b,c}. Opracuj tablicę działań dla (S, *) mającą następującą własność: (S , *) ma identyczność, ale żaden inny element, poza identycznością, nie ma odwrotności. 5. Niech R = {q, r, s, t} i niech # będzie operacją określoną na R. Ponadto załóż następujące własności: q jest elementem identycznościowym, r jest odwrotnością dla s, r # r = 5 # i = t, {R, # ) jest grupą. Ułóż tablicę działań dla (R , # ). 6 . Patrząc na poniższą tablicę działań, odpowiedz na na­ stępujące pytania:

262

*

a

b

c

d

a b c c d

a b c c d

b d a a c

c a d d b

d c b b a

(a) Czy ten zbiór jest zamknięty ze względu na *? Dlacze­ go tak lub dlaczego nie? (b) Czy jest w nim identyczność? Jeśli tak, to co nią jest? A jeśli nie, to dlaczego? (c) Czy każdy element ma odwrotność? Jeśli tak, zestaw każdy element z elementem do niego odwrotnym. Jeśli nie, to pokaż, które elementy nie mają odwrotnych i wyjaśnij dlaczego. (d) Podaj przykład wskazujący, że działanie * jest łączne w zbiorze. (e) Czy ta tablica opisuje grupę? Dlaczego?

7. Uzupełnij każdą z niżej podanych tablic, aby otrzymać grupę, o ile to możliwe. A jeśli nie jest możliwe, to wyjaśnij dlaczego. *

r

r

i

s

s

2.

#

1

$

a

1

2

a

b

2

2

b

3

2

3

3.

c d

b

c

d

c d a

8. Utwórz tablicę działań dla S =

{a, b, c}, spełniającą podany warunek, lub wyjaśnij, dlaczego nie jest to możliwe. (a) Działanie w S jest przemienne, ale S nie ma identy­ czności. (b) S ma identyczność, ale nie każdy element ma od­ wrotność. (c) S ma identyczność, ale żaden element nie ma od­ wrotności. 9. Wypisz symetrie trójkąta równobocznego w postaci tab­ licy działań. 10. Utwórz tablicę działań odpowiadającą wszystkim moż­ liwym wynikom pstrykania przełącznikiem lampy, mającego cztery położenia: niskie, średnie, wysokie i wyłączenie, przed­ stawiane odpowiednio przez liczby 1, 2, 3, 0. Na przykład, jeśli przełącznik znajduje się w położeniu środkowym, a ty pstryk­ niesz nim raz, przełącznik znajdzie się w położeniu wysokim: 2 * 1 = 3. A jeśli pstrykniesz dwa razy, lampa się wyłączy: 2 * 2 = 0. 11. Mozaika jest wzorem zestawionym z przystających do' siebie kształtów, pokrywającym płaszczyznę bez luk i bez nakładania na siebie części składowych. Mozaika jest foremna, jeśli jest zestawiona z wypukłych wielokątów foremnych tej samej wielkości i kształtu, przy czym każda figura wierzchołko­ wa (wielokąt utworzony przez łączenie środków krawędzi wy­ chodzących z danego wierzchołka) jest również wielokątem foremnym. (a) Jaka jest figura wierzchołkowa w mozaice złożonej z kwadratów? (b) Jaka jest figura wierzchołkowa w mozaice złożonej z trójkątów równobocznych? 12. Przez analogię z trójkątem równobocznym i kwadratem, wypisz listę symetrii sześciokąta. Jakie są reguły dla składania

263

Problemy i zadania

W ybrane rozdziały m atem a tyki tych symetrii? Posłuż się tymi regułami dla obliczenia ba2b, gdzie a jest najmniejszą symetria obrotową, a b jednym z odbić. 13. Wyznacz symetrie prostokąta i sprawdź, czy zbiór ru­ chów sztywnych z „mnożeniem” spełnia aksjomaty grupy. 14. Szachownicę 8 x 8 wypełniono liczbami w taki sposób, że jest ona symetryczna dla odbić względem obu przekątnych. Ilu co najwyżej różnych liczb można użyć? 15. Następujący układ równań liniowych pojawia się w dys­ kretnej analizie Fouriera: w x y z

= = = =

0,5a + 0,5a — 0,5a + 0,5a -

0,5b 40,5b + 0,5b — 0,5b -

0,5c 0,5c 0,5c 0,5c

+ 0,5d —0,5d —0,5d + 0,5d

Rozwiąż ten układ względem a, b, c, d w terminach w, x, y, z i pokaż, że ma on tę samą postać. 16. Jak często średnia dwóch kolejnych liczb pierwszych jest liczbą pierwszą? 17. Przeczytaj esej o niecantorowskiej teorii mnogości i od­ powiedz na następujące pytania: (a) Galileusz wiedział, że zbiór wszystkich liczb natural­ nych może być połączony w pary ze zbiorem liczb parzystych. Pokaż, jak to zrobić. (b) Połączenie w pary liczb naturalnych N z ułamkami jest trudniejsze, ułamki bowiem są „gęste” (między każdymi dwoma jest trzeci), a liczby naturalne są „dyskretne” (po każdej następuje kolejna). Uporząd­ kuj ułamki w kolejności ich „wagi” (sumy licznika i mianownika), przy czym każde dwa ułamki tej samej wagi ustawiaj wedle wielkości ich licznika. Wyjaśnij, że przy takim ustawieniu każdy ułamek ma następny, a zatem można je połączyć w pary z N. Zadanie komputerowe

Niech 1 i 2 będą dwoma pierwszymi wyrazami ciągu, którego każdy kolejny wyraz powstaje przez przemnożenie ostatniego wyrazu przez i (pierwiastek kwadratowy z —1) i dodanie tego iloczynu do wyrazu poprzedniego. (a) Wyraź to symbolicznie. (b) Pokaż, że liczby w tym ciągu tworzą powtarzający się wzór (to znaczy, że ciąg jest okresowy). (c) Uogólnij ten proces i zbadaj jego okresowość. (d) Czy okresowość w wykresie można odkryć wizualnie?

Proponowane lektury Ross H onsberger, M athem atical G ems II, M a th em atica l A ssociation o f A m eri­ ca, W ash in g to n , D . C. 1976. Jo n a th an L. A lperin, G ru p y i sym etrie, w: L .A . Steen (red.), M a tem a ty ka współczesna, D wanaście esejów, W ydaw nictw a N aukow o-T echniczne, W a r­ szaw a 1983. J. B okow ski, J. M . W ills, R eg u lar P o ly h ed ra w ith H id d en Sym m etries, The M athem atical Intelligencer, to m 10, 1988. D. K . W ash b u rn , D .W . C row e, Sym m etries o f Culture: Theory and Practice o f Plane P attern A nalysis, U niversity o f W ash in g to n Press, Seattle 1988. Lynn A rth u r Steen (red.), For A ll P ractical Purposes: Introduction to C ontem ­ porary M athem atics, W . H . F reem an , N ew Y o rk 1987. Fantasy and Sy m m e try: The Periodic Drawings o f M . C. Escher, A bram s, N ew Y o rk 1981. B. M a n d e lb ro t, The F ractal G eom etry o f N ature, W . H . F reem an , N ew Y o rk 1983. C. P. Snow , D wie kultury, P rószyński i S-ka, W arszaw a 1999. D avid W ade, Geom etrie P atterns and Borders, V an N o s tra n d R einhold, N ew Y o rk 1982. H erm an n W eyl, S ym etria, P W N , W arszaw a 1960. S. A. R o b e rtso n , P o ly h e d ra a n d Sym m etry, The M athem atical Intelligencer, to m 5, 1983. M . M . B ow den, L eo n Schiffer, The R ole o f M ath em a tics in Science, M a t­ hem atical A sso ciatio n o f A m erica, W ash in g to n D . C. 1984 (R ozdział A rchim edes Sym m etry P ro o f). H. S. M . C oxeter, S. L. G reitzer, G eom etry R evisited, M ath em atical A s­ sociation o f A m erica, W ash in g to n , D . C. 1967 (R ozdział: T ran sfo rm atio n s). Israel G ro ssm an , W ilhelm M ag n u s, Groups and Their Graphs, M a th em atical A sso ciatio n o f A m erica, W ash in g to n , D . C. 1964. C arl H . D enbow , V ictor G oedicke, G ro u p T h eo ry a n d the P o stu la tio n a l M eth o d , w: D . C am pbell, J. H iggins (red.), M athem atics..., to m II, op. cit. H . O. Pietgen, P. H . R ich ter, The B eauty o f Fractals, Springer-V erlag, N ew Y o rk 1986. L inda H en d erso n , The Fourth D imension and Non-Euclidean G eom etry in M odern A rt, P rin c eto n U niversity Press, N ew Jersey 1983. V agn L u n d sg a a rd , G eom etry in N ature, A K P eters, W ellesley 1993.

6 NAUCZANIE I UCZENIE SIĘ

WYZNANIA NAUCZYCIELA MATEMATYKI Ted Williams (pseudonim) kieruje działem matematyki w do­ brej szkole prywatnej w Nowej Anglii. W kwietniu 1978 r. przeprowadziliśmy z nim wywiad. Williams, czterdziestolatek, uczy matematyki, fizyki i ogólnie nauk ścisłych, a także jest trenerem drużyny baseballowej chłopców. Mówi, że woli uczyć matematyki niż fizyki, ponie­ waż trudno dotrzymać kroku osiągnięciom w fizyce. Uzyskał tytuł magistra matematyki w uczelni należącej do Ivy League i ma za sobą także wstępny kurs filozofii. Co się tyczy filozofii nauki, poinformował nas, że jakiś czas temu przeczytał Naukę i hipotezę Poincarego, a ostatnio czytał książkę Minsky’ego o perceptronach (przyznał jednak, że nie wszystko rozumiał). Czytał także, równolegle z serialem telewizyjnym, książkę Bronowskiego. Trochę czytał również z historii matematyki. Mó­ wi, że jego szkoła oczekuje od niego zbyt wiele, więc ma mało czasu na czytanie. Williams mówi, że w jego klasie historia i filozofia matema­ tyki po prostu nie istnieją. Odpowiadając na pytanie, czy matematyka jest odkrywana czy wymyślana, odpowiada z przekąsem: „Nie ma wielkiej różnicy między jednym a drugim. Po co tracić czas na próby wyjaśniania czegoś takiego? Ważne jest, że zajmowanie się matematyką to frajda i to właśnie usiłuję wcisnąć dzieciakom.” Naciskany jednak dalej w tej sprawie powiedział: „No, dobrze, myślę, że jest odkrywana” . Zapytany, czy kiedykolwiek myślał o niesprzeczności mate­ matyki, powiedział: „Słyszałem o paradoksie Russella i całej tej reszcie, ale tak naprawdę tego nie rozumiem. Myślę, że mate­ matyka jest jak zamek z piasku; jest piękna, ale zrobiona z piasku” .

W yznania nauczyciela m atem atyki „Jeśli jest zrobiona z piasku, to jak przekonujesz swoich uczniów do jej studiowania”? „Mówię im, że liczby nie kłamią. Wiecie, że tak jest. Nikt nie pokazał ani jednego przykładu, że kłamią. Ale myślę, że całe to pytanie jest nie na temat” . W odpowiedzi na pytanie, czy istnieje różnica między mate­ matyką czystą a stosowaną, Williams odpowiedział: „Czysta matematyka jest grą. To frajda w nią grać. Gramy w nią dla niej samej i to jest zabawniejsze od jej stosowania. Większość matematyki, której uczę, przez nikogo nie jest używana. Nigdy. Nie ma żadnej matematyki w sztukach pięknych, żadnej mate­ matyki w angielskim, żadnej wartej wzmianki matematyki w bankowości. Ale ja lubię matematykę czystą. Świat matema­ tyki jest piękny i czysty, jej jasność jest porażająca. Nie ma żadnych niejasności” . „Ale istnieją zastosowania matematyki”? „Oczywiście” . „Dlaczego matematykę daje się stosować”? „Ponieważ przyroda stosuje się do pięknych praw. Póki nie było pod ręką matematyki, fizycy nie posunęli się daleko” . „Czy liczba n istnieje poza ludźmi? Czy mały zielony człowie­ czek z galaktyki X-9 wie o 71”? „Jak człowiek się starzeje, jest coraz mniej skłonny do przejmowania się takimi pytaniami” . „Czy w matematyce istnieje piękno”? „O, tak. Zaczynamy, na przykład, od kilku aksjomatów ciała i otrzymujemy całą potężną teorię. Miło widzieć, jak teoria wyrasta z niczego” . Pan Williams zwrócił uwagę na fakt, że w jego szkole jest teraz komputer, a on uczy programowania. „Jaki jest tego cel”? „W szkole nie stawia się takich pytań. Uczę, bo uczę. To dobra zabawa” . „Czy programowanie jest częścią matematyki”? „Nie, programowanie jest myśleniem. To nie jest matematyka”. „Czy istnieje taka rzecz jak intuicja matematyczna”? „O, tak! Widać ją u uczniów. Niektórzy są szybsi od pozos­ tałych. Jedni mają jej więcej, inni mniej. Można ją rozwinąć, ale wymaga to wysiłku. Matematyka to wzory. Jak ktoś nie ma wyobraźni przestrzennej, to nie chwyta. Jak ktoś jest „dost­ rojony” , to uczy się szybko, a przedmiot jest dla niego pasjo­ nujący. Inaczej to nudne. Jest wiele działów matematyki, które mnie nudzą. Oczywiście ich nie rozumiem” .

267

K lasyczny kryzys rozumienia i d yd a ktyki

Nauczanie i uczenie się „Czy istnieje mistyczny aspekt matematyki”? „M atematyka jest pełna tajemniczych symboli i to stanowi atrakcję. Kiedy rozmawia się z »prawdziwym« matematykiem, widać, że jest on bystry i wtyka nos we wszystko. A dzięki temu wie się trochę więcej. To onieśmiela ludzi” . „Dokąd zmierzają badania matematyczne”? „Nie mam najmniejszego pojęcia” . „Jak by pan to wszystko podsumował”? „Jako nauczyciel stale staję przed problemami, które nie mają nic wspólnego z matematyką. To co próbuję robić, to sprzedawanie matematyki dzieciakom pod hasłem, że to frajda. I tak mija mi tydzień” .

KLASYCZNY KRYZYS ROZUMIENIA I DYDAKTYKI „Nieubłagany ezoteryzm, w który nawet najlepsi z nas niekiedy popadają; przewaga w naszej twórczości tych okropnych podręczników, w których złe teorie nauczania zastąpiły prawdziwą syntezę; osobliwa skromność, która, kiedy tylko opuścimy gabinet, wydaje się nam za­ braniać ujawnienia przed profanami przypadkowości naszych metod...” M a r c B lo c h ,

Rzemiosło historyka

Wprowadzenie

268

Każdy wykład matematyczny poświęca trochę czasu na do­ wodzenie twierdzeń i czas ten jest zapewne tym większy, im głębszy czy bardziej abstrakcyjny jest materiał. Jednym z celów dowodu jest przekonanie słuchacza — drogą rozumowania, psychologii, intuicji — o prawdziwości pewnych stwierdzeń. W niższych klasach często się zdarza, a doświadczają tego wszyscy nauczyciele, że jakiś uczciwy, a pogubiony uczeń przerywa dowodzenie okrzykiem: „Nie widzę, dlaczego pan zrobił to, co zrobił i nie rozumiem, dlaczego jest tak, jak pan mówi. Co więcej, nie wiem, jak pan doszedł do tego, co pan zrobił” . Nauczyciel staje przed kryzysem rozumienia. Jak sobie z nim radzi? Niestety, niezbyt dobrze. Może raz jeszcze przechodzi przez drażliwe miejsce, używając nieco innych słów, a może, dążąc do przerobienia pewnej części materiału, przechodzi nad

tym do porządku wraz z uwagą, że rozumienie z całą pewnoś­ cią przyjdzie, jeśli tylko uczeń raz jeszcze przejrzy ten materiał u siebie w domu. Kryzys taki ujawnił się w środku wykładów o naturze matematyki (których ta książka jest po części rezultatem) i wywołał u mnie wyraźnie typową reakcję. Pohamowałem się jednak i zamiast zlekceważyć kryzys, całkowicie zmieniłem bieg wykładu aż do chwili, kiedy wybadałem matematyczną trud­ ność i znalazłem na nią odpowiedź, którą teraz przedstawię. Problem dwóch naleśników

Twierdzenie, które omawialiśmy i którego dowód wywołał kryzys, nazywane jest często „problemem dwóch naleśników” . Twierdzenie głosi, że pole powierzchni dwóch płaskich na­ leśników, o dowolnym kształcie, może być jednocześnie po­ dzielone na dwie połowy jednym prostoliniowym cięciem noża (patrz rysunek obok). To interesujące twierdzenie, należące do elementarnej teorii zmiennej rzeczywistej albo do elementarnej topologii, jest często podawane jako przykład zastosowania własności funkcji ciągłych. Jednym z rysów, które sprawiają, że twierdzenie to jest tak atrakcyjne, jest jego ogólność. Naleśnik nie musi mieć jakiegoś szczególnego kształtu, na przykład okrągłego, kwadratowego czy eliptycznego. Naleśniki mogą mieć nawet dziury albo bąble. Ceną, jaką się płaci za tę ogólność, jest to, że twierdzenie ma charakter tylko egzysten­ cjalny: mówi nam ono, że istnieje prostoliniowe cięcie noża, które połowi, ale nie mówi nam, jak dokładnie to cięcie znaleźć. Wobec braku informacji o dokładnym kształcie i poło­ żeniu naleśników, nie można go podać. Twierdzenie jest błyskotliwe; przemawia do oka i ręki. Moż­ na wyobrażać sobie cięcie naleśników raz za razem na drodze prób i błędów. Nic mi nie wiadomo o jakimś poważnym zastosowaniu tego twierdzenia, ale nie wykluczam takiej możliwości. Istnieje pew­ na liczba jego specjalnych przypadków i uogólnień. Na przy­ kład, naleśniki mogą zajmować dowolne położenie na płasz­ czyźnie, mogą się nakładać jeden na drugi. Jeśli jeden jest całkowicie zawarty w drugim, można to interpretować jako wyspę z jeziorem: istnieje linia prosta, jednocześnie połowiąca oba. Uogólniając na trzy wymiary, dostaje się słynne twier­ dzenie o kanapce: kanapka składa się z kromki białego chleba, kromki czarnego chleba i plasterka szynki. Istnieje płaskie

Nauczanie i uczenie się cięcie nożem, które jednocześnie połowi objętość wszystkich trzech składników, tak że każda z dwóch osób może dostać równą część.

K lasyczny k ryzys rozumienia i d yd a ktyki cięcie prostopadłe do promienia 9 i połowiące naleśnik I. Niech to cięcie przecina nasz promień w odległości p{9) od środka i niech q (9) będzie podobnie zdefiniowane dla naleśnika II.

Dowód: wersja pierwsza

Przedstawię teraz dowód mniej więcej w tej postaci, w jakiej pokazałem go moim studentom i jaka doprowadziła do kryzy­ su. Oparłem go na dowodzie znalezionym u Chinna i Steenroda. Pojęcie pola i jego własności ciągłości przyjęliśmy na poziomie intuicyjnym. Przyjmujemy, że naleśniki mają ograni­ czoną wielkość i rozpatrujemy jeden z nich. Jeśli zaczynamy od cięcia, które nie natrafia na naleśnik (C\), to całe jego pole znajduje się z jednej strony tego cięcia. Kiedy nóż przesuwa się cały czas równolegle, to po tej stronie będzie coraz mniej pola i ostatecznie cięcie nożem (C0) znów ominie naleśnik, a więc po owej stronie będzie zero jego pola (patrz rysunek). Kiedy więc

Rozważmy teraz r(9)= p (0) —q (0). (Był to punkt krytyczny. Okrzyki: „Dlaczego? Nie rozumiem! Proszę powtórzyć to jesz­ cze raz! Zgubiłem się!” i pierwsza odpowiedź wykładowcy: „No, rozważmy właśnie p {9) —q (0). Zobaczycie, że to działa! Pozwólcie mi iść dalej” !)



'

273

Nauczanie i uczenie się nicę. Narysujmy strzałkę wzdłuż średnicy i drugą prostopadłą do niej, tworząc system odniesienia pozwalający odróżnić jedną stronę średnicy od drugiej. Niech p(6) będzie procentem pola tej części naleśnika II, która leży po stronie średnicy wskazanej małą strzałką. Jest jasne, że w miarę jak średnica obraca się z jednej strony II na drugą, p(6) zmienia się od 100% do 0%. Wobec ciągłości istnieje położenie 50%. Ale co będzie, jeśli koło nakłada się na naleśnik, wskutek czego nie możemy przejść od 100% do 0%? W takim razie po prostu nie ograniczamy obracania się średnicy, ale dopusz-

K lasyczny kryzys rozumienia i dyd a ktyki trudnej muzyki fortepianowej. Tak się jednak zdarza rzadko. Wchłonięcie stronicy matematyki przez profesjonalistę jest czę­ sto procesem wolnym, nudnym i bolesnym. W podręcznikach często przedstawia się wyniki „od tyłu” . Nie zamieszcza się opisu procesu odkrywania. Po uzyskaniu twierdzenia i jego dowodu, jakąkolwiek bądź drogą i jakimi­ kolwiek środkami, całe ich słowne i symboliczne przedstawienie jest porządkowane, wygładzane i reorganizowane stosownie do kanonów metody logiczno-dedukcyjnej. Wymaga tego estetyka rzemiosła, wymagają tego historyczne precedensy — grecka tradycja. Jest także prawdą, że wydawcy, kierując się ekonomi­ cznym podejściem, domagają się maksimum informacji w mini­ mum objętości. Matematyka do tego uparcie zmierza. Istotą matematycznego wdzięku jest zwięzłość, pełniejsze wyjaśnienia uważane są za nudne.

Przedstawienia autorytatywne lub dogmatyczne

czarny pełny jej obrót O°^0^18O°! Średnice się pokryją, ale orientacja będzie odwrócona, tak że (aha!) p(0°)+p(180°) = = 100%. Tak więc, jeśli na przykład p(0°) = 43% i p(180°) = = 57%, to istnieje wartość pośrednia 9, dla której p(9) = 50%. (c) Rozstrzygnięcie Pozbywamy się koła i rozpatrujemy dwa ogólne naleśniki. Połowimy (zgodnie z lematem) naleśnik I prostą zorientowaną i równoległą do kierunku 6. Oznaczamy przez p{9) procent pola naleśnika II po stronie linii połowiącej wskazanej przez małą strzałkę. Mamy, jak poprzednio, p(0°)+/>(180°) = 100%, a zatem otrzymujemy teraz tezę w przypadku ogólnym. Drugi dowód przyjęto lepiej niż pierwszy, czułem to. Może winne było poprzednie przedstawienie, a może było i tak, że czułem się sam pewniej; było to przecież coś, co w istocie sam przemyślałem. W każdym razie wydaje się, że osiągnęliśmy wyższy poziom rozumienia i przeszliśmy do omawiania innych aspektów kryzysu. Przedstawienia podręcznikowe

274

Dlaczego podręcznikowe i monograficzne przedstawienia matematyki są tak trudne do prześledzenia? Laik może sobie wyobrażać, że zdolny matematyk przegląda stronicę matematyki w taki sam sposób, w jaki Liszt rzucał okiem na stronicę nut

Przedstawienia matematyczne, czy to w książkach, czy w kla­ sie, są często przyjmowane jako autorytatywne i to może wywoływać niechęć ze strony uczniów. Idealne nauczanie ma­ tematyki to zaproszenie „Pomyślmy razem” . Ale z ust wykła­ dowcy pada zazwyczaj „Słuchajcie, a ja wam powiem, jak to jest” . To jest dowodzenie przez przymus. Istnieje kilka powodów, dla których tak się dzieje. Przede wszystkim, brak czasu. Musimy przerobić (lub uważamy, że musimy) pewien materiał w semestrze, tak żeby student był przygotowany do następnego wykładu z matematyki albo do wykładu z fizy­ ki. Nie możemy sobie więc pozwolić na czułe marudzenie nad każdą trudnością, lecz musimy przez nasz zadany temat pędzić bez tchu. Ze strony niektórych nauczycieli pojawia się także ambicja błyszczenia (to, co wam mówię, jest dość łatwe, a dla mnie oczywiste, jeśli więc tego nie chwytacie, to naprawdę musicie być głupi). Druga strona medalu to ignorancja lub brak przygotowania niektórych nauczycieli, co zmusza ich do ścisłego podążania drogą wytyczoną przez podręcznik. Tacy nauczyciele mogą nie panować nad przedmiotem. Niektórym brakuje pewności jako matematykom, a wówczas mogą trzymać się kurczowo autory­ tetu tekstu czy wyuczonej monografii. Nie wiedzą, jak „po­ grać” , a jeśli wiedzą, to się boją tak uczyć.

275

P óły a ’i rzemiosło odkrywania

Nauczanie i uczenie się Opór ze strony studentów

Jakie są niektóre z przyczyn oporu, niechęci czy odrzucenia ze strony studentów? Przede wszystkim przejawiają znaczną niecierpliwość w sto­ sunku do materiału. Dziwne, ale często widać ją u lepszych studentów, skłonnych do domagania się natychmiastowego zrozumienia. Matematyka była dla nich zawsze łatwa, łatwo przychodziły intuicja i rozumienie. Teraz, kiedy wchodzą w wyż­ sze rejony matematyki, materiał robi się trudniejszy. Brak im doświadczenia, brak strategii. Nie wiedzą, jak się zachować. Rozumienie wiąże się z wysiłkiem. Niewielkie wrażenie wywie­ ra uwaga, że materiał, który będzie przedstawiany, jest koń­ cowym rezultatem myślenia dziesiątków czy setek znakomitych umysłów. Pragnienie natychmiastowego rozumienia jest bardzo silne i w rezultacie może prowadzić do zniechęcenia (jeśli nie pojmę tego od razu, to nie pojmę nigdy i do diabła z tym wszystkim). Kluczowa idea jest często olśniewająca, ale trudna. Może się pojawić psychologiczna niechęć do uznania, że ktoś na tym świecie może ich przewyższać błyskotliwością i głębią rozumie­ nia. Może być nagłe uświadomienie sobie, że jakaś część wyższej matematyki jest całkowicie poza ich zasięgiem, co będzie szokiem i ciosem w ego. Opór może narastać i ujawniać się w postaci zaniechania nauki, spadku zainteresowania i nie­ chęci do własnych poszukiwań. Uważa się powszechnie, że istnieją „typy matematyczne” oraz „typy niematematyczne” . Nikt nie wie, dlaczego nie­ którym ludziom matematyka przychodzi łatwo, a innym z og­ romnymi trudnościami. Dla typów niematematycznych opór może być zrozumiałą reakcją na wewnętrzne ograniczenia. Nie każdy zostaje pianistą czy łyżwiarzem figurowym. Dlaczego ma być inaczej z matematyką?

Sedno

276

Przebłysk intuicji, przełom, „aha” , symbolizuje, że coś się urodziło, coś prawdziwie nowego, nowe rozumienie przez ko­ goś, nowe pojęcie przedstawione szerszej grupie. Zdolność do tworzenia istnieje, zdarza się na codzień. Nie jest ona demo­ kratycznie w społeczeństwie rozłożona, ale jest jej pełno. Nie rozumie się jej, ale w pewnych granicach można ją zwiększyć lub zmniejszyć. W pewnych granicach można jej uczyć. Ale

każdy ma ograniczenia, każdy może się poczuć zniechęcony i zawiedziony w obliczu znakomitszego osiągnięcia; żeby się 0 tym przekonać, wystarczy spojrzeć naokoło i zobaczyć, że życie i matematyka są pełne nierozwiązanych problemów. Czym jest to pojawienie się nowego elementu? Mutacją intelek­ tualną? Stanem łaski? Darem bogów? Obecnie sporo badań i eksperymentów koncentruje się na poznaniu istoty intuicji. Podjęto nawet wysiłek zautomatyzo­ wania jej przez komputer, pomnożenia jej, przekształcenia naszych czasów w jeden z wielkich okresów historycznych. A jednak jest jasne, że uczymy się przez przykład i przekaz, przez siedzenie u stóp mistrzów i ich naśladowanie, a jedno­ cześnie jest jasne, że mistrzowie potrafią przekazać coś ze swojej strategii i swojej przenikliwości. Zbadajmy jedno kon­ kretne doświadczenie. Dalsze lektury (patrz bibliografia) W. G . C hinn, N . E. Steenrod; J. H a d a m a rd

PÓLYA’1 RZEMIOSŁO ODKRYWANIA „Mój umysł poraził błysk światła, w którym zostało spełnione jego pragnienie”. Raj, Pieśń X X X III (cytowane przez Pólya’ę)

D a n te ,

Kariera naukowa George’a Pólya’i (1888 —1985) ciągnęła się ponad siedemdziesiąt lat. Znakomity matematyk, który wniósł fundamentalny wkład w wielu dziedzinach, był PóLya także świetnym nauczycielem, nauczycielem nauczycieli oraz komentatorem. Pólya wierzył, że istnieje rzemiosło odkrywa­ nia. Wierzył, że twórcze nauczanie, uświadamiające słucha­ czowi zasady odkrywania i stwarzające mu okazję do ich stosowania w praktyce, może zwiększyć zdolność odkrywania 1 zdolność tworzenia. W serii znakomitych i nadzwyczaj głębokich książek, z któ­ rych pierwsza została opublikowana w 1945 r., Pólya zawarł swoje bogate doświadczenie, dzieląc się zasadami odkrywania i tworzenia, wykładając je i podając przykłady. Książki te są skarbnicą strategii, know-how, praktycznych zasad, dobrych rad, anegdot, historii matematyki i mnóstwa problemów o róż­ nej skali trudności, a wszystkich nadzwyczaj ciekawych mate-

George P ólya 1 8 8 8 -1 9 8 5

277

Nauczanie i uczenie się matycznie. Pólya zamieszcza strategię dla problemu „jak to rozwiązać” w dodatku do swojej książki pod tym samym tytułem: JA K T O R O Z W IĄ Z A Ć Po pierw sze: M usisz zrozum ieć problem . P o drugie: Z n ajd ź zw iązek m iędzy danym i a niew iadom ą. Jeśli nie m ożesz znaleźć bezpośredniego zw iązku, m oże będziesz zm uszony roz­ w ażać pro b lem y pom ocnicze. N a k o ń c u pow inieneś otrzym ać plan roz­ w iązania. P o trzecie: W ykonaj swój plan. P o czw arte: Spraw dź otrzym ane rozw iązanie.

Te polecenia są następnie szczegółowo rozpatrywane aż do poziomu „molekularnego” . Sugeruje się tam indywidualne strategie, które w odpowiednich momentach można włączyć do gry, takie jak: Jeśli nie m ożesz rozw iązać p rzedstaw ionego pro b lem u , rozejrzyj się za o dpow iednim problem em pokrew nym . P ó jd ź wstecz. P ójdź nap rzó d . Z aw ęź w arunek. R ozszerz w arunek. Poszukaj k o n trp rzy k lad u . Z gaduj i pró b u j. D ziel i p okonuj. Z m ień m odel koncepcyjny.

Każda z tych zasad heurystycznych zostaje rozwinięta za pomocą licznych, odpowiednio dobranych przykładów. Późniejsi badacze rozwinęli idee Pólya’i wieloma sposobami. Interesującego zestawienia najczęściej w matematyce uni­ wersyteckiej stosowanych zasad heurystycznych dokonał A. H. Schoenfeld. Przedstawiamy je tutaj. C ZĘSTO STOSOW ANE ZA SA DY H EU R Y ST Y K I

2 7 g

A naliza 1. N arysuj w ykres, jeśli to w ogóle m ożliwe. 2. Z b ad a j przy p ad k i szczególne: a) D o b ierz specjalne w artości, aby uzyskać przy k ład y problem u i „p oczuć g o ” . b) Z b ad aj przy p ad k i graniczne dla spraw dzenia zakresu możliwości. c) Z apisz w yrazy ciągu o n u m era ch 1, 2, 3, ... i poszukaj wzoru indukcyjnego. 3. P ró b u j uprościć p ro b lem przez a) w ykorzystanie sym etrii lub b) arg u m en ty ty p u „bez zm niejszenia ogólności” (w łączając zmianę skali).

P ó ly a ’i rzemiosło odkrywania Dalsze badanie 1. R ozw ażaj pro b lem y w zasadzie rów now ażne: a) Z a s tą p w a ru n k i przez rów now ażne. b) Z estaw elem enty p ro b lem u n a różne sposoby. c) W p ro w ad ź elem enty pom ocnicze. d) Przeform ułuj p roblem przez i) zm ianę perspektyw y lub notacji, ii) rozw ażenie ro zu m o w an ia przez sprow adzenie do niedorzecz­ ności lub przez kontrapozycję, iii) przypuszczenie, że m asz rozw iązanie i w yznaczenie jeg o w ła­ sności. 2. R ozw ażaj pro b lem y lekko zm odyfikow ane: a) W ybierz cele częściow e (otrzym aj częściow e spełnienie w arunków ). b) Z łagodź w aru n ek , a n astępnie spróbuj go przyw rócić. c) R ozłóż obszar, n a k tó ry m p ro b lem jest określony i pracuj n a d nim kaw ałek p o kaw ałku. 3. R ozw ażaj pro b lem y silnie zm odyfikow ane: a) S konstruuj analogiczny p ro b lem z m niejszą liczbą zm iennych. b) U sta l w szystkie zm ienne, z w yjątkiem jednej, aby określić jej wpływ. c) P ró b u j w ykorzystać wszelkie pro b lem y pokrew ne, m ające p o d o ­ bny i) kształt, ii) „ d a n e ” , iii) w nioski. Pam iętaj: rozw iązując łatw iejsze p roblem y pokrew ne, p róbuj w ykorzys­ tać w d an y m problem ie zaró w n o w ynik ja k i m etodę rozw iązyw ania. Sprawdzenie rozwiązania 1. Czy tw oje rozw iązanie spełnia n astępujące testy: a) Czy w ykorzystuje w szystkie dane? b) Czy zgadza się z rozsąd n y m i oszacow aniam i lub przew idyw aniam i? c) Czy w ytrzym uje testy sym etrii, analizy w ym iarow ej lub zm iany skali? 2. C zy spełnia n a stęp u jące ogólne testy: a) Czy m o żn a je o trzym ać w inny sposób? b) C zy m o żn a je uzasad n ić za p o m o cą p rz y p ad k ó w szczególnych? c) Czy m o żn a je zred u k o w ać do w yników znanych? d) Czy m o żn a go użyć do stw orzenia czegoś ci znanego?

Aby dać posmak sposobu myślenia Pólya’i i stylu pisania o bardzo pięknym, ale subtelnym przypadku, wymagającym zmiany modelu koncepcyjnego, przytoczę obszerny cytat z jego książki Mathematical Discovery (t. II, s. 54 i nast.): Przykład Pozw olę sobie n a niew ielkie dośw iadczenie z czytelnikiem . Sform ułuję p ro ste, ale niezbyt p o sp o lite tw ierdzenie geom etryczne, a następnie spróbuję zrek o n stru o w a ć ciąg pom ysłów , k tó re p row adziły d o jego dow odu. Będę p o stęp o w ał w olno, b a rd z o w olno, u jaw niając jed e n klucz p o drugim i każdy klucz stopniow o. Sądzę, że nim skończę tę całą historię, czytelnik uchw yci

N auczanie i uczenie się głów ną ideę (o ile nie istnieje ja k a ś specjalnie u tru d n ia jąc a okoliczność). Jed n ak że ta głów na idea jest dość nieoczekiw ana, a zatem czytelnik może dośw iadczyć przyjem ności d o k o n a n ia niew ielkiego odkrycia.

Póły a ’i rzemiosło odkrywania C . Jeśli dziewięć odcinków KO, LC, M B.

A. Jeśli trzy okręgi o tym sam ym prom ieniu przechodzą p rzez jeden punkt, to okrąg przechodzący p rzez trzy p ozostałe p u n k ty ich przecięcia także ma ten sam prom ień. T o je st tw ierdzenie, k tó re m am y udow odnić. Sform ułow anie je st krótkie i jasn e, ale nie przedstaw ia d ostatecznie w yraziście szczegółów. Jeśli wykona­ m y rysunek (rys. 10.1) i wprow adzim y odpowiednie oznaczenia, to dojdziemy d o n astępującego, bardziej w yrazistego przeform ułow ania. B. T rzy okręgi k , l, m m ają ten sam prom ień r i przechodzą p rzez ten sam p u n k t O. Co więcej, l i m przecinają się w punkcie A , m i k w punkcie B, k i l w punkcie C. W ówczas okrąg e przechodzący p rzez A , B, C także ma prom ień r.

Rys. 10.1. Trzy okręgi przechodzące p rzez j e ­ den p u n k t

Rys. 10.2. Z b y tn ie za ­ gęszczenie C

M Rys. 10.3. Jeśli coś ci to przypom ina — to co?

280

R ysu n ek 10.1 p o k azu je cztery okręgi k , l, m i e oraz cztery p u n k ty ich przecięć A , B, C i O. R ysu n ek m o żn a je d n a k łatw o uzn ać za niew ystar­ czający, nie jest bow iem prosty, a przy tym n a d a l jest niekom pletny. Czegoś tu brak ; w ydaje się, że nie zdołaliśm y czegoś istotnego wziąć p o d uwagę. M am y do czynienia z okręgam i. A le co to jest okrąg? O krąg jest w yznaczony przez swój środek i prom ień; w szystkie jego p u n k ty m ają tę samą odległość, m ierzoną długością p rom ienia, o d jego środka. N ie zdołaliśmy w prow adzić w spólnego p ro m ien ia r i w skutek tego nie zdołaliśm y wziąć pod uwagę istotnej części założenia. W prow adźm y zatem środki: K dla k, L dla /, M d la m. G dzie pow inniśm y narysow ać pro m ień r? W ydaje się, że nie ma pow o d u , żeby tra k to w a ć k tórykolw iek z trzech d a n y ch okręgów k, l, m czy k tó rykolw iek z trzech dan y ch p u n k tó w przecięcia A , B, C lepiej od pozosta­ łych. S kłania to nas d o połączenia w szystkich trzech śro d k ó w ze wszystkimi p u n k ta m i przecięcia odpow iedniego okręgu: K z B, C i O, i tak dalej. P ow stały stąd ry su n ek (rys. 10.2) jest nieprzyjem nie zagęszczony. Mieści się w nim ta k wiele linii, p ro sty ch i kołow ych, że zadow alające „zobaczenie” ry su n k u spraw ia nam spore trudności; on „nie stoi spo k o jn ie” . Przypom ina niek tó re rysunki w sta ro m o d n y c h pism ach. R ysunek jest niejasny celowo: p rzedstaw ia on pew ną figurę, jeśli patrzysz n a ń w zw ykły sposób, ale jeśli zm ienisz jeg o położenie i p o p a trz y sz w pew ien sposób szczególny, to nagle olśni cię in n a figura, sugerując m niej lub bardziej dow cipny kom entarz odnoszący się d o pierw szej figury. Czy m ożesz rozpoznać w naszej zagad­ kowej figurze, przeładow anej liniam i prostym i i okręgam i, d ru g ą figurę, k tó ra m a sens?

W łaściw ą figurę, u k ry tą w naszym przeład o w an y m rysu n k u , możemy dostrzec w m gnieniu oka, ale m ożem y też rozpoznaw ać ją stopniow o. Może nas d o niej dop ro w ad zić wysiłek zw iązany z rozw iązaniem z aproponow ane­ go p ro b lem u albo ja k a ś w tó rn a , n ieisto tn a okoliczność. N a przykład, kiedy jesteśm y bliscy przery so w an ia naszego niezadow alającego rysunku, możemy zauw ażyć, że cała figura jest w yznaczona przez sw oją część prostoliniową (rys. 10.3). U w ag a ta w ydaje się zn am ienna. Z pew nością u praszcza o n a rysunek geom etryczny i być m oże p o p ra w ia sytuację logiczną. Prow adzi nas ona do p rz efo rm u ło w an ia naszego tw ierdzenia w następującej postaci.

KC, LO , M A,

KB, LA, MO

ta ki p u n k t E, że trzy o EA,

EB,

EC

także są równe r. S form ułow anie to kieruje naszą uw agę n a rys. 10.3. T en przyciągający uw agę ry su n ek p rz y p o m in a nam coś znanego. Co? Oczywiście pew ne c zw oroboki n a rys. 10.3 (takie j a k O L A M ) m ają n a m ocy założenia cztery rów ne boki, a zatem są rom bam i. R o m b jest obiektem z nanym , rozpoznaw szy go zatem , m ożem y naszą figurę widzieć lepiej. (C o p rz y p o m in a n a m cala figura?) Przeciw ległe b oki ro m b u są rów noległe. K ła d ą c nacisk n a tę uwagę, zdajem y sobie spraw ę, że 9 o dcinków n a rys. 10.3 je st trzech rodzajów ; odcinki tego sam ego ro d zaju , tak ie j a k A L , M O i BK, są d o siebie w zajem nie rów noległe. (C o cała figura n a m teraz przypom ina?) N ie pow inniśm y z ap o m in ać o w niosku, d o k tó reg o m ieliśm y dojść. Przypuśćm y, że w niosek jest praw dziw y. W p ro w ad zając d o ry su n k u środek E, czyli o k rą g e i jeg o trzy prom ienie kończące się w A , B i C, otrzym ujem y (to jest przypuszczenie) jeszcze więcej rom b ó w i jeszcze więcej odcinków rów noległych; p o r. rys. 10.4. (C o n a m teraz cała figura przypom ina?)

Oczywiście, rys. 10.4 je st rzu tem 12 kraw ędzi rów noległościanu m ającego tę w łasność, że rzu ty w szystkich kraw ędzi m ają tę sam ą długość. R ysunek 10.3 je st rzu tem „nieprzejrzystego” rów noległościanu; widzim y jedynie 3 ściany, 7 w ierzchołków i 9 kraw ędzi; 3 ściany, 1 w ierzchołek i 3 kraw ędzie są n a tym ry su n k u niew idoczne. R ysu n ek 10.3 je st częścią rys. 10.4, ale ta część definiuje całą figurę. Jeśli rów noległościan i kierunek rz u tu zostały ta k d o b ra n e, że rz u ty 9 kraw ędzi przedstaw ionych n a rys. 10.3 są w szystkie rów ne r (jak n a m ocy założenia pow in n y być), to rzuty 3 p o zo stały ch kraw ędzi m uszą być rów ne r. T e 3 odcinki o długości r w ychodzą z rz u tu ósm ego, niew idocznego w ierzchołka i rzut E jest środkiem ok ręg u przechodzącego przez p u n k ty A , B i C, k tórego prom ień w ynosi r.

Rys. 10.4. O czywiście!

N asze tw ierdzenie je st dow iedzione, przy ty m dow iedzione za p o m o cą zadziw iającej, artystycznej koncepcji figury płaskiej ja k o rz u tu figury prze­ strzennej. (D o w ó d posługuje się pojęciam i geom etrii przestrzennej. M am nadzieję, że nie je st to b a rd z o źle, ale gdyby ta k było, łatw o m u n a d ać inną szatę. T eraz, kiedy m ożem y ta k p ro sto scharakteryzow ać położenie śro d k a E , łatw o spraw dzić długości E A , E B i E C niezależnie od j a ­ kiejkolw iek geom etrii przestrzennej. A le nie będziem y tego p u n k tu tutaj rozw ijali.)

Jest to bardzo piękne, ale można się zastanawiać. Czy to jest „światło, które rozjaśnia jak poranek” , błysk, w którym speł­ nione zostaje pragnienie? Czy jest to tylko mądrość po fakcie? Czy w klasie te idee dają się zrealizować? Trudno powiedzieć,

281

Nauczanie i uczenie się

Tworzenie nowej m atem atyki

jak miałoby wyglądać zastosowanie programu Pólya’i w prak­ tyce. Wydaje się, że jest więcej do nauczania niż dobre pomysły mistrza. Dalsze lektury (patrz bibliografía)

sukcesem. Początkowy szok przedstawiania studentom nie ok­ reślonego problemu do „rozwalenia” , ale otwartej sytuacji potencjalnego odkrywania, może i musi być przezwyciężony. Lepsi studenci doświadczają wówczas uczucia radości i swobo­ dy, z jaką panują nad materiałem.

E. B. H u n t; A. K oestler [1964]; G . P ólya [1954], [1962], [1980]; J. R. Slagle. Uproszczony m odel L a ­ katosa heurystyki od­ krycia m atem atycznego

TWORZENIE NOWEJ MATEMATYKI: ZASTOSOWANIE HEURYSTYKI LAKATOSA W książce Proofs and Refutations Imre Lakatos przedstawia obraz „logiki odkrycia matematycznego” . Nauczyciel i jego klasa studiują słynny wzór Eulera-Kartezjusza dla wielościanów V - E + F = 2. W tym wzorze V jest liczbą wierzchołków wielościanu, E — liczbą jego krawędzi i F — liczbą jego ścian. Dla znanych wielościanów wielkości te przyjmują następujące wartości: Leonhard Euler

1707-1783

czworościan piramida (egipska) sześcian ośmiościan

282

V

EF

4 5 8 6

6 4 85 12 6 12 8

(por. także rozdz. 7, Lakatos i filozofia powątpiewania). Nauczyciel przedstawia dowód tradycyjny, w którym wielościan rozciąga się na płaszczyźnie. Po tym „dowodzie” studenci natychmiast kładą ogień zaporowy kontrprzykładów. Pod naciskiem tych kontrprzykładów zmienia się sformułowa­ nie twierdzenia, dowód jest poprawiany i dopracowywany. Przedstawiane są nowe kontrprzykłady i dokonuje się następ­ nych zmian. Ten rozwój wydarzeń Lakatos przedstawia jako model roz­ woju całej wiedzy matematycznej. Pochodzący od Lakatosa heurystyczny model dowodzenia i obalania, sformułowany dla całej kultury matematycznej, może oczywiście zastosować każ­ dy w swoich próbach tworzenia nowej matematyki. Autor stosował tę metodę na swoich wykładach z umiarkowanym

Zilustruję tę metodę małym przykładem z elementarnej teorii liczb. Zaczynam od początkowego sformułowania, które nazy­ wam „ziarnem” . Stwierdzenie-ziarno powinno być interesujące i całkiem proste. Dla studenta celem takiego ćwiczenia jest podlewanie ziarna, aż rozwinie się ono w silną roślinę. Zwykle przedstawiam słuchaczom wiele ziaren, oni zaś dokonują wy­ boru tych do podlewania, stosownie do swojego doświad­ czenia. Akt I

Ziarno. „Jeśli liczba kończy się cyfrą 2, to jest podzielna przez 2 ” . Przykłady. 42 kończy się na 2 i jest podzielne przez 2. 172 kończy się na 2 i jest podzielne przez 2 . Dowód. Liczba jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy kończy się na 0, 2, 4, 6 , 8 . Wszystkie liczby parzyste dzielą się przez 2. W szczególności te, które kończą się na 2, dzielą się przez 2 .

N auczanie i uczenie się

284

Dowód (bardziej wyrafinowany). Jeśli zapis cyfrowy liczby ma postać ab...c2, to oczywiście ma on także postać (ab...c0) + 2, a więc postać 100 + 2 = 2 (50 + 1). Przeskok hipotetyczny. Jeśli liczba kończy się na N, to jest podzielna przez N. Komentarz. Bądź śmiały i dokonuj oczywistych uogólnień. Jeśli okażą się one fałszywe, niebo się nie zawali. Przykład. Jeśli liczba kończy się na 5, to jest podzielna przez 5. Oczywiście: 15, 25, 128 095 itd. Ale, niestety, mamy Kontrprzykład. Czy jeśli liczba kończy się na 4, to jest podzielna przez 4? Czy 14 jest podzielne przez 4? Nie. Niedobrze. Sprzeciw. Ale niektóre liczby kończące się na 4 sąpodzielne przez 4, np. 24. Niektóre liczby kończące się na 9 sąpodzielne przez 9, np. 99. Przywołanie doświadczenia. Liczby 1, 2,..., 9 wydają się dzielić na dwie kategorie. Kategoria I to cyfry N takie, że jeśli liczba kończy się na N, to jest zawsze podzielna przez N. Kategoria I I to cyfry N takie, że jeśli liczba kończy się na N, to jest podzielna przez N tylko niekiedy. Kategoria /: 1, 2, 5. Kategoria II. 3, 4, 6 , 7, 8 , 9. Kwestia formalna. A co z liczbami, które kończą się na 0? Czy są one podzielne przez 0? Nie, ale są podzielne przez 10. Hm, może warto się temu przypatrzeć. To zjawisko nie pasuje do formuły ziarna. Definicja. Nazwijmy liczby kategorii I „magicznymi” . Mają one zachwycającą własność. Twierdzenie próbne. Liczby 1, 2 i 5 są magiczne. Są to jedyne liczby magiczne. Kontrprzykład. A co z liczbą 25? Czy nie jest ona magiczna? Jeśli liczba kończy się na 25, to jest podzielna przez 25. Na przykład: 225, 625. Sprzeciw. Myśleliśmy, że mówi się tylko o liczbach jednocyf­ rowych. Odparcie. Tak, tak początkowo myśleliśmy. Ale fenomen 25 jest interesujący, poszerzmy trochę początkowe badania. Przeformułowanie. Niech teraz N przedstawia niekoniecznie pojedynczą cyfrę, ale całą grupę cyfr jak 23, 41, 505 itp. Przyjmijmy definicję, że N jest magiczne, jeśli liczba kończąca się grupą cyfr N jest podzielna przez N. Czy ta rozszerzona definicja ma sens? Przykłady. Tak, ma: 25 jest magiczna, 10 jest magiczna, 20 jest magiczna, 30 jest magiczna.

Tworzenie nowej m atem atyki Kontrprzykład. 30 nie jest magiczna. 130 nie jest podzielne przez 30. Pomyślmy nad tym, skąd pan wie, że 25 jest ma­ giczne. Twierdzenie. 25 jest liczbą magiczną. Dowód. Jeśli liczba kończy się na 25, to ma postać cyfrową abc ... e25 = abc ... e 00 + 25, a więc postać 1000 + 25 = = 25 (40 + 1). Przeformułowanie celu. Znaleźć wszystkie liczby magiczne. Nagromadzenie doświadczenia. 1, 2, 5, 10, 25, 50, 100, 250, 500, 1000 są wszystkie liczbami magicznymi. Obserwacja. Wszystkie liczby magiczne, które potrafiliśmy znaleźć, wydają się być iloczynami dwójek i piątek. W każdym razie takie liczby są na powyższej liście. Hipoteza. Każda liczba N postaci N = 2 p -5i, gdzie p ^ 0 , 0 , jest magiczna. Komentarz. Brzmi rozsądnie. Co mamy do stracenia? Kontrprzykład. Weźmy p —3, q= 1. Wówczas A = 2 3 ■5 = 40. Czy liczba kończąca się na 40 jest zawsze podzielna przez 40? Nie, na przykład 140. Przeformułowanie. A co, jeśli odwrócimy sprawę? Wszystkie liczby magiczne, które znaleźliśmy, są postaci 2” ■5q. Może wszystkie liczby magiczne mają tę postać? Sprzeciw. Czy nie to pan właśnie zaproponował? Odparcie. Nie, proponowana była rzecz dokładnie odwrotna: liczba postaci 2P■5q jest magiczna. Widzicie różnicę? Twierdzenie. Jeśli N jest liczbą magiczną, to A = 2 P • 5q. Dowód. Niech liczba kończy się na N (przypominamy: w tym twierdzeniu N jest grupą cyfr). W zapisie cyfrowym liczba ta wygląda zatem tak: abc...eN. Chcielibyśmy ją rozbić tak jak poprzednio. Niech więc A ma d (A) cyfr. Wówczas nasza liczba ma w istocie postać abc...e00...0 + A, gdzie na końcu jest d (N ) zer. Zatem liczba ta jest postaci 0 - 10d(iV) + A (wypróbuj to dla d(N ) = 2, 3 itd.) i wszystkie liczby, które kończą się na N, mają tę postać. I na odwrót, jeśli 0 jest całkowicie dowolną liczbą, to liczba 0 • 10d(JV) + N kończy się na N. Jeśli teraz A jest magiczna, to zawsze dzieli 0 • 10d(iV) + A. A skoro A dzieli A, to musi dzielić 0 - lO d(iV) dla wszelkich 0 . Ale 0 może być, na przykład, prostą liczbą 1. Zatem A musi dzielić 10d(W). Ponie­ waż iod(Ar) = 2d(A° • 5dm jest rozkładem na czynniki pierwsze, więc stąd wynika, że samo A rozkłada się na pewną liczbę dwójek i piątek. Aktualna sytuacja. Wiemy obecnie, że liczba magiczna jest jedną z liczb postaci N = 2 p -5q dla pewnych całkowitych p,

285

N auczanie i uczenie się 0. Chcielibyśmy to odwrócić. Powinniśmy mieć warunek konieczny i dostateczny magiczności. Podsumowanie doświadczenia. Ponieważ wiemy, że wszystkie liczby magiczne są postaci N = 2 p -5q, problem sprowadza się do następującego: co trzeba założyć o p i q, żeby liczba była magiczna? Hipoteza, p cp. Kontrprzykład. p = 0, q = 4, N = 2°-5 4 = 625. Czy 625 jest magiczna? Nie: 1625 nie dzieli się przez 625. Hipoteza. p = ql Sprzeciw. W takim razie N = 2 P■5P= 1(F, czyli 1, 10, 100,... W porządku, ale są także inne liczby magiczne. Hipoteza, p 5=qł Kontrprzykład, p —3, q= 1, N = 2 3 ■51 = 40. Ta liczba nie jest magiczna. Komentarz. Hm, jest w tym coś subtelnego. Po akcie I zapada kurtyna, ale proces rozwija się dalej dla tych, którzy mają dość siły i nadal są zainteresowani. Akt II

(Sprawozdanie w tym akcie poważnie skraca część heurys­ tyczną.) Narada strategiczna. Wróćmy do dowodu konieczności pos­ taci N = 2 P■5q. Stwierdziliśmy, że jeśli ?Vjest magiczna, to dzieli 10i/( Vl. Przypomnijmy, że d(N ) oznacza liczbę cyfr w liczbie N. Może to jest warunek także dostateczny? Aha! Przełom? Twierdzenie. N jest magiczna wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli 1Qd(N).

286

Dowód. Konieczność została już dowiedziona. Jeśli liczba kończy się na N, to, jak wiemy, jest ona postaci Q ■10d(N) + N. Ale N dzieli N i z założenia N dzieli 10rf(A°, a zatem musi dzielić Q - \0 d{N)+ N. Zastrzeżenie estetyczne. Chociaż jest prawdą, że mamy już teraz warunek konieczny i dostateczny magiczności, to waru­ nek ten dotyczy samego N, a nie jego rozkładu na czynniki 2P■5q. Narada. Kiedy N = 2P■5q dzieli 10rf(iV)? Ponieważ lQd(Ny_2 dW . wjęC oczywiście koniecznym i dostatecznym tego warunkiem jest p ^ d ( N ) , q ^ d (N ). Ale to jest równoważ­ ne max (p, q )^ d (N ). Ciągle mamy jeszcze to przeklęte d(N ) do zwalczenia. Nie chcemy go. Chcielibyśmy mieć warunek na

Tworzenie nowej m atem atyki samo N, ewentualnie na p .i q. Jak możemy przekształcić max O, q) d(N ) = d(2p ■5q) w postać bardziej odpowiednią? Jak wiemy, dla p = q wszystko jest w porządku. Zobaczmy to w postaci nowego zapisu p = max (p, p) ^ d(2p ■5P) = ¿/(HF). Liczba cyfr w 1(F wynosi p + 1. Mówi to więc, że p ^ p + 1, co jest w porządku. A co będzie, jeśli w ogólnym przypadku „wyrównamy” potęgi dwójek i piątek? Piszemy q= p + h, gdzie h > 0. (Aha!) Sprzeciw. A co, jeśli p > q i q = p + h jest niemożliwe dla h > 0? Odrzucenie. Zajmiemy się tym później. Narada. max(p, p + h) ^ d(2p -5p+h) = d(2p ■5P■5h) = = d( 1(F- 5*). A że h > 0, więc max(/t, p + h) = p + h. Także liczba cyfr w 10p ■Q, gdzie Q jest dowolną liczbą, równa się p + liczba cyfr w Q. Przeto p + h ^ p + d(5h), czyli h ^ d ( 5 h). Zapytanie. Kiedy zachodzi h > 0 i h ^ d { 5 'jl Doświadczenie, h — 1: 1 ^ d (5x), dobrze. h = 2: 2 ^ d ( 5 2), dob­ rze. h = 3: 3 ^ r/(5 3), dobrze. h = 4: 4 ^ r/(5 4) = cp. Narada. Połóżmy p = q + h, h > 0, q + h = max(q + h, q) ^ ^ d(2q+h ■5q) = d (l0 q ■2h) = q + d(2h), czyli h^d{2"). Kiedy za­ chodzi h ^ d ( 2 H)2 Doświadczenie. h= 1: 1^ i / ( 2 ‘), dobrze, h = 2: 2 < i/(2 2), źle. Hipoteza, h ^ d (2h) wtedy i tylko wtedy, gdy h = 1. Dowód. Pomijamy. Twierdzenie. N jest magiczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest iloczynem potęgi dziesięciu i jednej z liczb 1, 2 , 5, 25 oraz 125. Dowód. Pomijamy. Przewidując dalsze dociekania, możemy chcieć zapisać to twierdzenie w odmienny sposób. Twierdzenie. N jest magiczna wtedy i tylko wtedy, gdy N = 2 P■5q, gdzie 0 ^ ^ —p + 1 ^ 4 . Dowód. Pomijamy. Akt III mógłby się rozpocząć od pytania, co by się zdarzyło, gdybyśmy pisali nasze liczby w systemie niedziesiętnym; po­ wiedzmy w systemie o podstawie będącej liczbą pierwszą lub potęgą liczby pierwszej? Dalsze lektury (patrz bibliografia) M . G a rd n er; U . G re n an d e r; I. L a k a to s [1976]

287

Nauczanie i uczenie się

E stetyka porównawcza

ESTETYKA PORÓWNAWCZA Co składa się na zdolności twórcze? Czy jest to głęboka zdolność analizy, wywodząca się z łatwości kombinatorycznej czy geometrycznej wizualizacji; umysł tak niespokojny jak rój pszczół w ogrodzie, przeskakujący z faktu na fakt, ze spostrze­ żenia na spostrzeżenie i tworzący związki, wspierany kolosalną pamięcią; mistyczne przeczuwanie tego, jak wszechświat wypo­ wiada się matematycznie; umysł działający logicznie jak kom­ puter, tworzący tysiące implikacji, aż pojawi się właściwa konfiguracja? A może działa tu jakaś zasada pozalogiczna, znajomość i posługiwanie się zasadami metafizycznymi jak przewodni­ kiem? Albo, jak myślał Henri Poincare, głębokie rozumienie estetyki matematycznej? Trudno mówić o estetyce matematycznej jako nauce. Jesteś­ my jednak w stanie przyjrzeć się przykładowi i dokładnie go omówić. Możemy się zbliżyć do przesłanek uzasadniających stanowisko Poincarego. Wezmę słynne twierdzenie matematyczne, mające wyraźny wymiar estetyczny i przedstawię dwa różne jego dowody. Twierdzenie, to słynny wynik Pitagorasa, że J l nie jest ułam­ kiem. Pierwszy dowód jest tradycyjny. Dowód I. Przypuszcza się, że sfl= p jq , gdzie p i q są liczbami całkowitymi. Równanie to jest w istocie skrótem równania 2 = p 2!q2. Przypuszcza się, że p i q są względnie pierwsze, tzn. nie mają wspólnych czynników (bo jeśli mają, to je wykreślamy). Równanie 2 = p 2/q2 pociąga p 2 = 2q2, przeto p 2 jest liczbą parzystą. Zatem i p jest parzyste (bo gdyby było nieparzyste, wtedy p 2 byłoby nieparzyste, ponie­ waż nieparzyste x nieparzyste = nieparzyste). Skoro p jest parzyste, to ma postać p = 2r, a więc mamy (2r)2 = 2q2, czyli 4r2 = 2q2, czyli q2 = 2r2. Zatem, jak poprzednio, q2 jest parzys­ te, a więc i q musi być parzyste. Wpadamy w logiczną sprzeczność, udowodniliśmy bowiem, że p i q są obie parzyste, twierdząc wcześniej, że nie mają one wspólnych dzielników. Równanie sf l = p j q musi być zatem odrzucone, jeśli p i q są liczbami całkowitymi. Drugi dowód nie jest tradycyjny i będzie przedstawiony w sposób nieco swobodniejszy.

Jajko wielkanocne z Vegreville, Alberta. To m onum entalne ja jk o stw o rzył R on R esch, specjalista kom puterow y i artysta. Jajko m a 10,5 m w ysokości i 5,5 m szerokości, w aży blisko 2300 k g i m a 3512 widzianych z zew nątrz ścianek. Składa się z 524 gw iaździstych części o grubości 1,6 m m z anodyzowanego alum inium i z 2208 części o grubości 3,2 m m z alumi­ nium. (Za zgodą artysty)

289

Nauczanie i uczenie się Dowód II. Przyjmujemy, jak poprzednio, że p 2 = 2q2. Każda liczba całkowita może być jednoznacznie rozłożona na czynniki pierwsze i przyjmujemy, że zostało to zrobione dla p i q. Zatem w rozkładzie p 1 istnieje pewna liczba podwojonych liczb pierw­ szych (bo p 2= p-p) i w q2 istnieje pewna liczba podwojonych liczb pierwszych. Ale (aha!) w 2 • q2 istnieje 2, która nie ma partnera. Sprzeczność. Nie ma wątpliwości, że na dziesięciu zawodowych matema­ tyków dziewięciu powie, że dowód II przedstawia wyższy stopień estetycznej satysfakcji. Dlaczego? Bo jest krótszy? (W istocie opuściliśmy w nim niektóre formalne szczegóły.) Dlate­ go, że dowód I, z jego naciskiem na logiczną niewzruszoność, wydaje się w porównaniu z dowodem II ciężki i toporny? Myślę, że odpowiedź kryje się w fakcie, że dowód II wydaje się odsłaniać sedno sprawy, podczas gdy dowód I ukrywa je, zaczynając od fałszywej hipotezy i kończąc na sprzeczności. Dowód I wydaje się być wywodem mądrali, natomiast dowód II odsłania „prawdziwe” powody. Wymiar estetyczny wiąże się w ten sposób z lepszym widzeniem. Dalsze lektury (patrz bibliografia) S. A . P a p e rt

NIEANALITYCZNE ASPEKTY MATEMATYKI Matematyka świadoma i nieświadoma

290

Jeśli zgadzamy się z powszechnym przekonaniem, że prawa matematyczne rządzą wszechświatem, to rozumiemy, że wsze­ chświat i wszystko w nim stale uprawia matematykę — wyko­ nuje operacje matematyczne. Jeśli mamy dość wyobraźni, mo­ żemy sobie myśleć, że każda jego cząstka, czy każdy w nim układ, jest siedzibą matematycznego demona, którego funkcja polega na kierowaniu i powtarzaniu: „Pamiętaj o prawie kwad­ ratowej odwrotności. Pamiętaj o równaniach różniczkowych’ . Taki demon rezydowałby również w istotach ludzkich, jako że i one stale uprawiają matematykę, bez świadomego udziału czy wysiłku. Uprawiają matematykę, kiedy przekraczają ulicę w gę­ stym ruchu ulicznym, rozwiązując w ten sposób ekstremalne, mechanistyczno-probabilistyczne problemy o skrajnej złożoności, i wtedy, kiedy ich ciała stale reagują na zmienne warunki

Nieanalityczne aspekty m atem atyki i poszukują stanu równowagi. Matematykę uprawia nasienie kwiatu, tworząc płatki o poszóstnej symetrii. Nazwijmy to „matematyzowanie” , które tkwi we wszechświecie, matematyką „nieświadomą” . Nieświadoma matematy­ ka trwa bez względu na to, co o niej ktoś myśli; nie można jej powstrzymać ani wyłączyć. Jest naturalna i automatyczna. Nie wymaga mózgu ani specjalnych urządzeń liczących. Nie wymaga żadnego intelektualnego udziału ani wysiłku. W pew­ nym sensie kwiat czy planeta są swoimi własnymi kom­ puterami. W przeciwstawieniu do nieświadomej matematyki możemy wyróżnić matematykę „świadomą” . Ta wydaje się być og­ raniczona do ludzi i być może niektórych wyższych zwierząt. Świadoma matematyka jest tym, co normalnie wyobrażamy sobie jako matematykę. Uzyskuje się ją głównie przez specjalne ćwiczenia. Wydaje się, że zachodzi ona w mózgu. Istnieje szczególna świadomość tego, czy ona się dzieje, czy nie. Często jest związana z symbolicznym i abstrakcyjnym językiem. Częs­ to towarzyszy jej ołówek i kartka papieru, instrumenty mate­ matyczne lub stosowne książki. Jednakże świadoma matematyka nie zawsze wyraża się przez abstrakcyjne symbole. Może działać przez „wyczucie licz­ bowe”, „zmysł przestrzeni” czy „zmysł kinestetyczny” . Na przykład dla problemu „czy ten obiekt zmieści się w tym pudełku” znajdujemy stosunkowo wiarygodną odpowiedź na podstawie jedynie rzutu okiem. Co się kryje za tymi specjal­ nymi odczuciami, często nie jest jasne. Czy wyrażają one nabyte doświadczenie, uzyskiwane na miejscu rozwiązania typu analogowego, zainspirowane, ale częściowo losowe odgad­ nięcia - pozostaje mimo to faktem, że ten typ osądu możńa często uzyskać szybko i poprawnie. Chociaż jest się świado­ mym problemu, to już świadomość środków, które przyniosły rozwiązanie, jest tylko częściowa. Refleksja po fakcie ujawnia często mieszaninę niezależnych i nakładających się operacji. Nie ma przeto ostrej linii dzielącej matematykę świadomą od nieświadomej. Matematyka analogowa i analityczna

Wygodnie jest podzielić matematykę świadomą na dwie kategorie. Pierwsza, być może bardziej pierwotna, będzie nazy­ wana „analogowo-eksperymentalną” lub krótko analogową. Kategoria druga będzie nazywana „analityczną” . Matematyka

291

N auczanie i uczenie się analogowa bywa łatwa, można ją uzyskać szybko i może nie posługiwać się żadnymi, ewentualnie bardzo nielicznymi abs­ trakcyjnymi strukturami symbolicznymi matematyki „szkol­ nej” . Do pewnego stopnia może ją wykonywać niemal każdy, kto porusza się w świecie relacji przestrzennych i codziennej technologii. Aczkolwiek czasami jest ona łatwa i przychodzi niemal bez wysiłku, czasami może być bardzo trudna, jak na przykład, kiedy próbujemy zrozumieć układ i związki między częściami mechanizmu albo uzyskać intuicyjne wyczucie złożo­ nego systemu. Wyniki mogą się wyrażać nie w słowach, ale w „rozumieniu” , „intuicji” czy „wyczuciu” . W matematyce analitycznej dominuje materiał symboliczny. Jest ona niemal zawsze trudna do uzyskania, pochłania czas, męczy, wymaga specjalnego przygotowania. Do uzyskania pe­ wności może wymagać stałego sprawdzania przez całą kulturę matematyczną. Matematykę analityczną wykonuje tylko bar­ dzo niewielu ludzi. Jest ona elitarna i samokrytyczna. Praktycy, czynni w wyższych jej sferach, tworzą „talentokrację” . Wielką zaletą matematyki analitycznej jest to, że chociaż może być rzeczą niemożliwą sprawdzenie czyjejś intuicji, to jest możliwe, chociaż często trudne, sprawdzenie jego dowodów. Wobec tego, że słowa analogowy i analityczny są słowami pospolitymi, używanymi w wielu specyficznych kontekstach, a my chcemy nadać im w tym eseju specjalne znaczenie, zilustrujemy nasz zamysł pewną liczbą przykładów. Zaczynamy od bardzo starego problemu, którego pochodzenie jest religijne. Problem. Kiedy następuje czas letniego przesilenia, nowiu czy innych ważnych zjawisk astronomicznych?

Rozwiązanie analogowe a) Poczekaj, aż ono zajdzie. Odnieś to zdarzenie do innych, obserwowanych od momentu pierwszego wykrycia. b) Zbuduj pewnien rodzaj urządzenia fizycznego do od­ czytywania ważnych danych astronomicznych. Uważa się, że od czasów prehistorycznych, zarówno w Starym jak i Nowym Świecie, używano wielu astronomicznych „komputerów" do wykrywania przesileń oraz ważnych układów ciał niebieskich, często mających wielkie znaczenie z przyczyn rolniczych lub religijnych. Rozwiązanie analityczne. Sformułuj teorię okresowości w ast­ ronomii i wbuduj ją w kalendarz. 292

Problem. Ile cieczy mieści ten puchar?

N ie analityczne aspekty m atem atyki Rozwiązanie analogowe. Wlej ciecz do naczynia z podziałką i bezpośrednio odczytaj objętość. Rozwiązanie analityczne. Zastosuj wzór na objętość stożka ściętego; zmierz odpowiednie wymiary liniowe, a następnie policz. Problem. Jaką drogę powinien obrać autobus między śród­

mieściem Providence a śródmieściem Bostonu, żeby zmaksy­ malizować dochody przedsiębiorstwa? Rozwiązanie analogowe. Wyznacz z pół tuzina możliwych dróg. Zbierz dane o czasie, kosztach oraz frekwencji w przebie­ gach autobusów i wybierz rozwiązanie maksymalizujące. Rozwiązanie analityczne. Zbuduj model uwzględniający kilometraż, opłaty i warunki ruchu. Rozwiąż zadanie w modelu w postaci zamkniętej, a jeśli to niemożliwe, użyj komputera. Rozwiązanie analityczno-egzystencjalne. Udowodnij, na pod­ stawie pewnych ogólnych założeń, że rachunek wariacyjny zapewnia istnienie rozwiązania tego problemu. Problem. Dana jest funkcja dwóch zmiennych f( x ,y ) , okreś­ lona na kwadracie w płaszczyźnie Oxy. Należy sformułować strategię dla komputera, która da wykres linii konturowych funkcji f( x ,y ) = constans.

Rozwiązanie analityczne. Zaczynając od jakiegoś punktu (xQ, y Q), oblicz c = f( x 0, y 0). Na mocy interpolacji odwrotnej znajdź pobliskie punkty (jc1s }\), (x2, y 2), ..., dla których / ( xi> f;) = c. Połącz te punkty. Iteruj. Rozwiązanie analogopodobne. Umieść na kwadracie drobną siateczkę i wyobraź sobie końcowy obraz uzyskany w sposób podobny jak na ekranie telewizyjnym. Policz funkcję w puilktach siateczki i podziel zakres wartości na, powiedzmy, dwa­ dzieścia: vl5 ..., v2o Wybierając wartość v;, narysuj w każdym pojedynczym kwadraciku bądź (a) nic, bądź (b) odcinek pros­ toliniowy w przypadku, gdy cztery wartości kątowe odpowia­ dają vt. Iteruj względem i. Przeciwstawienie rozwiązań analogowych rozwiązaniom analitycznym

W niektórych problemach można uzyskać zarówno rozwią­ zania analogowe jak i analityczne. Może się także zdarzyć, że jedno jest osiągalne, a drugie nie, albo że brak obu. Ze względu na dokładność czy łatwość uzyskania żaden typ nie ma a priori

293

Nauczanie i uczenie się przewagi. Jeśli osiągalne są oba typy rozwiązań, to wysoce pożądana jest ich zgodność. Może to być kluczowy ekspery­ ment dla teorii fizycznej. Sposób zaatakowania problemu jest często mieszaniną obu podejść. W rzeczywistym świecie rozwiązanie analityczne, bez względu na to jak dobre, musi być odpowiednio dostosowane jeśli modelujemy czy konstruujemy system rzeczywisty. W tech­ nice rozwiązanie analityczne jest więc na ogół traktowane jako punkt wyjścia i, jak mamy nadzieję, jako dobre pierwsze przybliżenie. Rozwiązanie analogowe wydaje się bliższe nieświadomego uprawiania matematyki, które się ciągle w świecie dzieje. Praw ­ dopodobnie w świecie technologii dominują rozwiązania analo­ gowe, ale to jest tylko przypuszczenie. Hierarchia wartości intelektualnych

294

Kiedy jednak dochodzi do ustalenia wartości intelektualnej obu tych sposobów, ich uporządkowanie jest oczywiste. Jak­ kolwiek pomysłowe, oparte na wyrafinowanych i subtelnych narzędziach może być rozwiązanie analogowe, nie sięga ono wyżyn rozwiązania czysto intelektualnego. Intelekt szuka dróg sobie właściwych. Co jest w widoczny sposób trudniejsze, jest oceniane jako bardziej wartościowe. Poziom intelektualnego uznania jest proporcjonalny do post­ rzeganej złożoności abstrakcyjnej symbolizacji. Oczywiście do czasu; budowany bowiem przez intelekt dom może runąć przy konfrontacji z eksperymentalną rzeczywistością. Edukacja nau­ kowa jest często kierowana nie na rozwiązywanie określonych problemów, ale na prowadzenie dyskusji na najwyższym pozio­ mie intelektualnym. Opisana właśnie hierarchia jest hierarchią praktykującego matematyka. Z punktu widzenia, powiedzmy, inżyniera roz­ wiązanie analityczne jest mało interesujące, chyba że prowadzi do działającego urządzenia, odpowiadającego analogowemu rozwiązaniu problemu. Dobrze zaplanowane i wysoko zor­ ganizowane urządzenie może się wykazać taką ekonomią środ­ ków i taką elegancją myślenia, jaka charakteryzuje najlepszą naukę i matematykę, ale ta elegancja rzadko będzie uznawana przez naukowców o orientacji teoretycznej. Pomysłowość i mis­ trzostwo, które prowadzą do skonstruowania latającego samo­ lotu czy dobrego komputera rzadko są doceniane, póki się nie próbuje samemu coś w tym zakresie zrobić.

N ieanalityczne aspekty m atem atyki Podobne hierarchie istnieją w świecie nienaukowym

Tendencja do wyróżniania intelektu nie ogranicza się do świata nauki. Pojawia się ona na przykład w świecie sztuki. Na najniższym poziomie jest artysta komercyjny. Nieco wyżej plasuje się artysta malujący portrety na zamówienie. Na najwyższym poziomie stoi „artysta czysty” , który ma odpowiadać na abstrak­ cyjne i nieskrępowane podniety intelektu i ducha. Dziełom sztuki często towarzyszą analizy krytyczne, mogące rywalizować swoją abstrakcyjnością z najgłębszymi produktami matematyki. Dowód matematyczny i jego hierarchia wartości

Podejście do matematyki typu definicja —twierdzenie —do­ wód stało się niemal jedynym paradygmatem wykładu matema­ tyki i zaawansowanych studiów. Oczywiście nie jest to sposób, w jaki matematykę się tworzy, szerzy czy choćby rozumie. Logiczna analiza matematyki, redukująca dowód do (w zasa­ dzie) mechanicznej procedury, jest możliwością hipotetyczną, nigdy w pełni nie realizowaną. Matematyka jest działalnością ludzką, a jej formalno-logiczny opis jest fikcją; sama matema­ tyka kryje się w aktualnej praktyce matematyków. W związku z trudnościami związanymi z rozumieniem dowo­ du trzeba zauważyć interesujące zjawisko. Twierdzenie mate­ matyczne nazywa się „głębokie” , jeśli jego dowód jest trudny. Niektóre elementy, które przyczyniają się do owej głębokości, to nieintuicyjność sformułowania czy rozumowania, oryginal­ ność idei, złożoność czy długość materiału dowodowego mie­ rzona od pewnego początku, który sam nie jest głęboki. Przeci­ wieństwem głębokości jest „trywialność” i to słowo jest często używane w sensie pejoratywnym. Nie wynika z tego jednak, że trywialne jest nieinteresujące, nieużyteczne czy nieważne. Mimo tego hierarchicznego porządku, głębokie jest w pew­ nym sensie niepożądane, podejmowane są bowiem stale wysiłki zmierzające do upraszczania i do poszukiwania alternatywnych sposobów spojrzenia na istotę sprawy, które trywializowałyby głębokie. Wszyscy czujemy się lepiej, przechodząc od części analitycznej do analogowej w zakresie doświadczeń. Styl poznawczy

Oto oczywista uwaga o ludzkim myśleniu: ludzie się drama­ tycznie różnią tym, co można nazwać ich „stylem poznaw­ czym” , to znaczy ich pierwotnym sposobem myślenia.

295

N auczanie i uczenie się

W ilard V. O. Quine 1908-2000

Wiedzieli o tym XIX-wieczni psycholodzy. W 1880 r. Galton prosił rozmaitych ludzi o „wywołanie w wyobraźni i opisanie porannego stołu ze śniadaniem” . Odkrył, że niektórzy potrafili przedstawić żywe i dokładne obrazy, podczas gdy inni mętne lub zgoła żadne. William James twierdził, że ludzie znacznie się różnią co do sposobu, w jaki przyzwyczaili się myśleć, przy czym większość jest słuchowcami lub wzrokowcami. Na niewie­ lu silnie wpływa zmysł dotyku lub kinestezji (ruchu), nawet w tym, co się zwykle nazywa myśleniem abstrakcyjnym. Taki szeroki zakres sposobów myślenia nie powinien stwa­ rzać trudności. W istocie, moglibyśmy z przyjemnością odnosić się do różnorodności sposobów myślenia o świecie, jakie wyka­ zuje nasz gatunek i wszystkie je cenić jako wartościowe drogi podchodzenia do problemów. Niestety, tolerancja jest cnotą rzadką, a powszechną od­ powiedzią na różne sposoby myślenia jest negowanie, po pierwsze, że są one możliwe i po drugie, że są one wartoś­ ciowe. William James zauważył, że „osobie o silnej wyobraźni wizualnej trudno zrozumieć, jak ci, którzy nie mają tej zdolno­ ści, mogą w ogóle myśleć” . Na odwrót, niektórzy z tych, którzy myślą przede wszystkim słowami, są literalnie niezdolni do wyobrażenia sobie myślenia niejęzykowego. W. Y. O. Quine powiada, że „[...] pamięć składa się głównie nie ze śladów minionych przeżyć, ale minio­ nych konceptualizacji czy werbalizacji” . Max Muller napisał „skąd wiemy, że jest niebo i jest ono niebieskie? Czy wiedzieli­ byśmy o niebie, gdybyśmy nie mieli na nie nazwy”? I przekonu­ je, że myśl bez języka jest niemożliwa. Abelard powiedział, że „język jest generowany przez intelekt i sam generuje intelekt”. Chandogya Upanishad stwierdza, że „istotą człowieka jest mowa” . Ewangelia św. Jana zaczyna się tak: „Na początku było Słowo [...]” . Wielu jednak sądzi przeciwnie. Arystoteles powiedział, że często myślimy i pamiętamy za pomocą obrazów. Biskup Berkeley utrzymywał, że słowa są utrudnieniem dla myśli. Wielu filozofów i teologów traktuje pojęcia i słowa jako niebezpiecznie zwodnicze „gry słowne” . Charakterystyczna jest Lankavatara Sutra: „Uczniowie powinni się strzec uwodzenia przez słowa i zdania oraz ich zwodnicze znaczenia, one bowiem niewiedzącego i tępego tak uwikłają, że stanie się bezradny jak słoń grzęznący w głębokim mule. Słowa i zdania [...] nie są w stanie wyrazić najwyższej rzeczywistości [...] To ignorant

N ie analityczne aspekty m atem atyki i prostak utrzymuje, że znaczenie nie jest niczym innym jak słowami, że jakie są słowa, takie jest znaczenie [...] Prawda jest poza literami, poza słowami, poza książkami” . Tao Te Czing powiada „Prawdziwe słowa nie brzmią pięknie, a pięknie brzmiące słowa nie są prawdziwe. Dobry człowiek nie dowodzi przez rozumowanie, a ten, kto dowodzi przez rozumowanie, nie jest dobry [...]” . Zgodny z tą tradycją cytat biblijny powiada, że „litera zabija, ale duch daje życie [...]”.

ft'

Style poznawcze w matematyce

W swojej książce Hadamard próbował odkryć, jak słynni matematycy i uczeni naprawdę myśleli w trakcie swojej pracy. O tych, z którymi kontaktował się w trakcie swoich nieformal­ nych badań, napisał „Praktycznie oni wszyscy [...] unikają nie tylko posługiwania się słowami w myśli, ale także [...] używania w myśli znaków algebraicznych czy innych precyzyjnie okreś­ lonych [...] posługują się niejasnymi obrazami” (s. 84) oraz „[...] obrazy myślowe tych matematyków, których odpowiedzi ot­ rzymałem, są najczęściej wizualne, ale mogą być także innego rodzaju, na przykład kinetyczne” (s. 85). Albert Einstein napisał do Hadamarda, że „słowa czy język, tak jak są pisane czy mówione, wydają się nie odgrywać żadnej roli w moim sposobie myślenia [...] Fizyczne byty, które zdają się służyć jako elementy myśli, są pewnymi zna­ kami i bardziej lub mniej jasnymi obrazami, które mogą być »spontanicznie« wywoływane i zestawiane [...] Wyżej wspom­ niane elementy mają, w moim przypadku, charakter wizualny, a niektóre mięśniowy. Konwencjonalne słowa czy inne znaki muszą być pracowicie znajdowane dopiero w drugim stadium [...]” (s. 142). Niektóre z ostatnich badań sposobu, w jaki dorośli bez matematycznego wykształcenia wykonują prostą arytmetykę, zdają się sugerować, że to samo odnosi się do niematematyków.

A lbert E instein 1 8 7 9 - 1955

Przykład stylu poznawczego w geometrii kombinatorycznej

Opisaliśmy już i przeciwstawili sobie rozwiązania analogowe i analityczne. A skoro odkrycie matematyczne może mieć sporą zawartość jednego lub drugiego, mamy tu do czynienia z róż­ nicami stylów poznawczych.

297

N auczanie i uczenie się Oto uderzający przykład, w którym dowód analityczny mógł­ by być bardzo trudny, podczas gdy dowód podobny do analo­ gowego nadaje całej sprawie przejrzystość. Twierdzenie Gomory’ego. Ze zwykłej szachownicy usuń jedno pole białe i jedno pole czarne. Zredukowana szachownica daje się zawsze pokryć 31 kostkami domina o rozmiarach 2 x 1. Dowód analogowy. Przekształć szachownicę w labirynt, jak to pokazuje załączony rysunek. Bez względu na to, które białe pole „A” i które czarne pole „ B” zostały usunięte, szachownica może być pokryta, w trakcie pokonywania labiryntu pojazdem gąsienicowym, łańcuchem kostek domina, który przerywa się w „A” i Wyobrażenie będącego w ruchu pojazdu gąsienicowego wy­ starcza do uświadomienia sobie rozwiązania od jednego rzutu oka. Zwróćmy uwagę na silnie kinestetyczny i nastawiony na działanie sposób dowodzenia. Zwykłemu czytelnikowi (tj. ra­ czej wzrokowcowi) byłoby trudno przejść przez ten dowód bez odwołania się do ruchu. Analityczne rozwiązanie tego problemu nie jest znane. Aby uzyskać dowód bardziej formalny, można oczywiście uściślać przytoczone wyżej rozwiązanie przez liczenie pól białych i cza­ rnych. A oto problem geometryczny, w którym istnieją oba typy rozwiązań. Twierdzenie. Nie jest możliwe pokrycie kola C skończenie wieloma nie nakładającymi się mniejszymi kołami zawartymi w C. Rozwiązanie analogowe. Wizualnie oczywiste. Rozwiązanie analityczne. Oparty na pojęciu liniowej nieza­ leżności, zgrabny dowód podał Davis w 1965 r. Rozwiązanie analogowe jest jednak tak oczywiste, że naleganie na coś więcej jest przejawem matematycznej pedanterii. Prowadzi to nas do głośnego twierdzenia. Twierdzenie Jordana o krzywej. Krzywa zwykła zamknięta na płaszczyźnie dzieli tę płaszczyznę na dwa obszary, jeden skoń­ czony i drugi nieskończony. 298

Rozwiązanie analogowe. Wizualnie oczywiste.

N ie analityczne aspekty m atem atyki Rozwiązanie analityczne. Bardzo trudne. Trudność wynika z faktu, że problem zawiera niezmiernie wysoki stopień anality­ cznej ogólności. Wyobraźnia matematyczna

Hadamard opisywał półświadomy strumień myśli, który mo­ że towarzyszyć procesowi świadomego uprawiania matematy­ ki. Zjawisko to z pewnością istnieje, chociaż opisanie go i udokumentowanie jest bardzo trudne. Będzie przeto na miejscu kilka słów w tej sprawie, opisują­ cych moje własne doświadczenia. Na wpół świadomy strumień myśli — który można uznać za matematyczną wyobraźnię — nie wydaje się wiązać bez­ pośrednio z zamierzoną pracą analityczną. Odczuwa się go bardziej jako analogowy, niemal wizualny, czasem nawet mu­ zyczny. Towarzyszy, a niekiedy i wspiera dominujący strumień myśli. Często wydaje się niezwiązany; taka nieokreślona obec­ ność w tle. Ileś lat temu spędziłem sporo czasu, zajmując się teorią funkcji zmiennej zespolonej. Teoria ta ma silne podstawy geometryczne. W istocie można ją rozwinąć niezależnie bądź z geometrycznego (Riemann), bądź z analitycznego (Weierstrass) punktu widzenia. Rysunki w podręcznikach często przed­ stawiają sfery, mapy, niezwykłe powierzchnie, kompozycje z okręgami, nakładające się łańcuchy okręgów itp. Ponieważ pracowałem nad materiałem analitycznym, odkryłem, że towa­ rzyszyły temu wspomnienia rumowiska dziesiątków obrazów tego typu, jakie widziałem w różnych książkach, oraz powraca­ jące zaczątki niematematycznych myśli i tematów muzycznych. Lepiej lub gorzej opracowałem pewną ilość materiału i zapi­ sałem to w skróconej formie. Następnie coś mi w kalendarzu wyskoczyło i zatrzymało pracę nad tym materiałem na kilka lat. Właściwie do tego nie zaglądałem. Kiedy wreszcie znów miałem czas, zdecydowałem wrócić do tematu i zobaczyć, czy da się ten materiał przekształcić w książkę. Na początku byłem całkiem obojętny. Trzeba było kilku tygodni pracy i przeglądania, żeby ten materiał ożywić. Po tym okresie odkryłem, ku memu zaskoczeniu, że wróciła wyobraź­ nia matematyczna i melodia, kontynuowałem więc pracę aż do skutecznego końca. 299

Nieanalityczne aspekty m atem atyki

N auczanie i uczenie się Właściwym celem zastosowań matematyki jest automatyzacja matematyki

Matematykę analityczną trudno uprawiać, a jeśli robi się to szybko, jest wykonywana niedokładnie. Nie oczekujemy, by lądujący na Księżycu astronauta podejmował działania na podstawie obliczeń z użyciem tablic logarytmów i funkcji trygonometrycznych. W sytuacji idealnej, jak w locie bezzałogowym, cały system może być zautomatyzowany. Chociaż za manewrami lądowania kryje się sporo matematyki, oczekuje­ my, że astronauta będzie po prostu reagował na odczyty instrumentów czy komputerów bądź też instrukcje

; ś w ia t | j fiz y c z n y |

.....

Ś w ia t m o d e lo w a n y w m a te m a ty c e

j P rz e k s z ta łc e n ia i o p e ra c je i m a te m a ty c z n e

...... i

i Z a s to s o w a n ia d o ś w iata 1 fiz y c z n e g o

M a te m a ty k a u k ry ta p rz e z p rz e k s z ta łc e n ie je j w c z a rn ą s k rz y n k ę

słowne, które są namiastką odczytów. Matematyka analityczna musi być usunięta lub pominięta przez matematykę analogową. To samo powtarza się stale w matematyce stosowanej. Im bardziej zastosowanie jest pełne i efektywne, tym bardziej musi być zautomatyzowane, zaprogramowane, mechaniczne.

W pierwszej mniej więcej dekadzie sztuki komputerowej obecność matematyki była całkiem wyraźna. Niezależnie od swej wrażliwości artystycznej, praktycy musieli znać progra­ mowanie komputerowe, programowanie graficzne, pewną ilość podstawowej matematyki, takiej jak geometria analitycz­ na, elementarne przekształcenia i schematy interpolacyjne. Stopniowo dla sztuki komputerowej pisano języki na coraz wyższym poziomie. Sposób działania stawał się mniej anality­ czny, bardziej lingwistyczny, bardziej analogowy. W rezultacie substruktura matematyczna była wbudowywana, usuwana, bądź pomijana. Znakomitym przykładem takiego usunięcia jest program PAINT rozwinięty przez uniwersytet w Utah i nowojorski Institute of Technology. W odpowiedzi na żądanie wykonywa­ nia przez komputer komercyjnej animacji, został rozwinięty język na bardzo wysokim poziomie, który komercyjni animato­ rzy mogą łatwo i bez znajomości matematyki opanować i sto­ sować. Pracując w kolorze artysta potrafi wybrać sobie paletę i dobierać pędzle o różnych wielkościach i charakterystykach. Tworzy kształty, pracując pisakiem na komputerowej podkład­ ce. Liczne pozycje menu pozwalają mu wypełniać kolorem, zmieniać kolor w sposób ciągły na bieżąco, powielać, zbliżać i oddalać, wywoływać, animować przez interpolację liniową i nieliniową. W ten sposób artysta wprowadza do komputera własne poruszenia przegubu ręki, przedramienia i ramienia jednocześ­ nie z zestawem propozycji menu. Ponieważ te propozycje także są kontrolowane przez pisak, cały proces naśladuje tradycyjny proces malowania. Degradacja świadomości geometrycznej

Przykład z grafiki komputerowej

300

Skrajny przykład usunięcia podstaw matematycznych zda­ rzył się w ciągu ostatnich 10 —15 lat w dziedzinie komputero­ wej sztuki i animacji. Można sztukę komputerową wywodzić od instrumentów mechanicznych wytwarzających cykliczne ruchy różnych ro­ dzajów jak hipocykloidy, figury Lissajous, figury „spirograficzne” itp. Łatwo je uzyskać za pomocą oscylatorów i urządzeń analogowych. Idea polegała na wytwarzaniu wizualnie przyje­ mnych czy pobudzających obrazów. Stale także utożsamiano obraz z równaniem matematycznym.

W ciągu ostatniego półtora stulecia często zauważano, że w nauczaniu matematyki i w badaniach stale spada znaczenie elementów geometrycznych i kinestetycznych. W tym samym okresie elementy formalne, symboliczne, werbalne i analityczne prosperowały znakomicie. Jakie są niektóre z przyczyn teh tendencji? Na myśl przy­ chodzi kilka wyjaśnień: (1) Ogromy wpływ La Géométrie Kartezjusza, która zredu­ kowała geometrię do algebry. (2) Wpływ programu Feliksa Kleina z końca dziewiętnastego wieku, integrującego geometrię na gruncie teorii grup.

301

Nauczanie i uczenie się (3) Załamanie się na początku dziewiętnastego wieku po­ glądu biorącego się głównie z ograniczonych doświadczeń zmysłowych, że geometria Euklidesa jest dla wszechświata a priori prawdziwa, że jest ona modelem przestrzeni fizycznej. (4) Niepełność logicznej struktury klasycznej geometrii Euk­ lidesa, odkryta w dziewiętnastym wieku i poprawiana przez Hilberta i innych. (5) Ograniczenia dwóch czy trzech wymiarów fizycznych, tworzących naturalne ramy geometrii wizualnej. (6) Odkrycie geometrii nieeuklidesowych. Wiąże się to z og­ raniczeniami pola widzenia, na którym budowana jest geomet­ ria wizualna, w przeciwstawieniu do wielkiej ogólności, którą umożliwia algebraizacja geometrii i jej abstrakcyjność (geomet­ rie nieeuklidesowe, geometrie zespolone, geometrie skończone, algebra liniowa, przestrzenie metryczne itp.). (7) Ograniczenia wzrokowe w dostrzeganiu „prawd” mate­ matycznych (funkcje ciągłe nieróżniczkowalne, złudzenia op­ tyczne, sugestywne, ale mylące przypadki szczególne). Znakomite przedstawienie antyintuicyjnej natury matematy­ ki analitycznej, usiłującej rozszerzyć pole widzenia, przedstawia artykuł Hahna w III tomie The World o f Mathematics. Stało się tradycją traktowanie tych „patologicznych” przykładów jako błędów intuicji wzrokowej. Jednakże równie dobrze można je interpretować jako niedostatki analitycznego modelowania procesu widzenia. Prawa półkula i lewa półkula

302

Zachodzi intrygujące, choć tylko przypuszczalne podobieńst­ wo między opisanymi przez nas dwoma podejściami do mate­ matyki a aktualnymi badaniami nad działaniem dwóch półkul mózgowych. Aczkolwiek badania te znajdują się ciągle w powi­ jakach, staje się jasne, że prawa i lewa półkule są wyspec­ jalizowane do nieco innych zadań. (Nieformalne omówienie tej szybko rozwijającej się dziedziny zawiera praca Gardnera The Shattered Mind.) Wiadomo było od ponad stu lat, że u niemal wszystkich praworęcznych i około połowy leworęcznych osób ośrodki związane z mową mieszczą się głównie w lewej półkuli móz­ gowej. Wydaje się to wrodzoną specjalizacją biologiczną, a lek­ ka asymetria anatomiczna między półkulami istnieje, jak się okazuje, zarówno u przychodzących na świat niemowląt, jak i u dorosłych. Uszkodzenie pewnych obszarów lewej półkuli

N ie analityczne aspekty m atem atyki powoduje charakterystyczne trudności w mówieniu, podczas gdy uszkodzenie prawej półkuli w tych samych miejscach tego nie czyni. Bardzo upraszczając rzecz złożoną, można powie­ dzieć, że lewa półkula u większości ludzi wiąże się przede wszystkim z zachowaniami opartymi na języku i z tymi zdol­ nościami poznawczymi, które z grubsza można scharakteryzo­ wać jako analityczne lub logiczne. Ostatnio staje się jasne, że prawa półkula znacznie przewyższa lewą w większości uzdol­ nień wizualnych i przestrzennych, rozróżnianiu przez dotyk i w niektórych niewerbalnych aspektach słuchania, na przykład muzyki. Sporo informacji o specjalizacji półkul uzyskano na pod­ stawie starannego zbadania niewielkiej liczby pacjentów neu­ rochirurgii, którym musiano rozdzielić obie półkule jako osta­ teczny ośrodek przeciwko zagrażającej życiu epilepsji. Sperry tak podsumował liczne wyniki badań na tych pacjentach: B a d an ia p o w ta rza n e w okresie o sta tn ic h 10 la t zgodnie potw ierdzały u praw oręcznych pacjen tó w silną lateralizację i d om inację oddzielonej lewej półkuli w zakresie m ow y, p isa n ia o ra z rach o w an ia. [...] C hociaż zasadniczo niem a [...] m niejsza p ó łk u la jest m im o to w yraźnie wyższym członem m ózgu dla pew nych typów z a d a ń [...] W dużej m ierze chodzi w nich o rozum ienie aspektów p rzestrzeni, w zajem nych relacji i przekształceń. Są to z ad an ia raczej całościow e i jed n o lite niż analityczne i zróżnicow ane [...] o ra z w ym a­ gają raczej k o n k retn eg o postrzegającego w glądu niż abstrakcyjnego, sym ­ bolicznego i odcinkow ego ro z u m o w an ia (s. 11).

Powinniśmy stale pamiętać, że dopiero obie półkule razem tworzą cały mózg. Nawet w mowie, funkcji lewej półkuli, prawa półkula odgrywa ważną rolę i u normalnej osoby obie półkule harmonijnie współpracują. Melodyczne aspekty mowy — rytm, wysokość tonu, intona­ cja — wydają się wiązać z prawą półkulą. Gardner dostarcża trafnego opisu innych funkcji: U osób z c h o rą p ra w ą p ó łk u lą zdolność w yrażania siebie w języku i rozum ienia [...] innych są łudząco n o rm aln e [... jednakże] pacjenci ci są dziw nie odcięci o d w szystkiego z w yjątkiem w erbalnych k o m u n ik a tó w innych [...] P rzy p o m in ają m aszyny językow e [...] niezdolne do oceny ani subtelnych n iu an só w ani pozajęzykow ych k o n tek stó w , któ re tow arzyszą k o m u n ik a to w i [...]” (s. 434).

Gardner idzie dalej w sposób raczej mało pochlebny dla publicznego wizerunku matematyków: Pacjent (z u szk o d zo n ą p ra w ą półk u lą) je st p rzykładem zachow ania [...] zdolnego m łodego m ate m a ty k a lub specjalisty kom puterow ego. T a wysoce ra cjo n aln a o so b a je st stale w yczulona n a sprzeczności w tym , co zostało

Nauczanie i uczenie się pow iedziane, zawsze dąży d o w yrażenia idei w najbardziej hermetyczny sposób, nigdy je d n a k nie okaże p oczucia h u m o ru n a w łasny tem a t ani [.. ] zrozum ienia dla m n ó stw a subtelnych, intuicyjnych aspektów grających głów ną ro lę w sto su n k a c h m iędzyludzkich. M a się raczej uczucie, że jego odpow iedzi są z d u żą szybkością d ru k o w a n e n a kom puterow ej drukarce (s. 435).

Przytaczane wcześniej anegdoty i nasze własne doświadcze­ nie wskazują, że matematyka raczej czyni użytek z uzdolnień znajdujących się w obu półkulach, a nie ogranicza się do językowych i analitycznych aspektów lewej półkuli. Aspekty niewerbalne, przestrzenne i całościowe, są wybitnie obecne w tym, co większość dobrych matematyków w istocie robi, chociaż nie są oni tego świadomi. Wynika stąd rozsądny wniosek, że kultura matematyczna, w szczególny sposób umniejszająca znaczenie przestrzennych, wizualnych, kinestetycznych i niewerbalnych aspektów my­ ślenia, nie czyni pełnego użytku ze wszystkich możliwości mózgu. Odwrócenie się od elementów analogowych matematyki jest zamknięciem jednego kanału matematycznej świadomości i do­ świadczenia. Z pewnością byłoby lepiej używać i rozwijać wszystkie specyficzne talenty i uzdolnienia naszych mózgów, niż dławić niektóre nauczaniem i profesjonalnymi przesądami. Uważamy, że byłoby dla matematyki lepiej, gdyby obie połó­ wki mózgu współpracowały, uzupełniały się i wspierały jedna drugą, niż gdy są w konflikcie i sobie nawzajem przeszkadzają. Dalsze lektury (patrz bibliografia) P. J. D avis [1974]; P. J. D avis, J. A n derson; H . G a rd n er; J. H adam ard; M . K line [1970]; M . P olanyi [I960]; R. T hom [1974], [1991]

Problemy i zadania

PROBLEMY I ZADANIA Nauczanie i uczenie się Wyznania nauczyciela matematyki. Klasyczny kryzys rozumienia i dydaktyki. Póły a ’i rzemiosło odkrywania. Tworzenie nowej matematyki: Zastosowanie heurystyki Lakatosa. Estetyka porównawcza. Nieanalityczne aspekty matematyki. Problemy do studiowania

(a) (b) (c) (d)

Rozwiązywanie zadań Nauczanie matematyki Heurystyka Lakatosa Nieanalityczne aspekty matematyki

Zagadnienia do opracowania

Przy pierwszych dwóch zagadnieniach oprzyj się na Wyzna­ niach nauczyciela matematyki. 1. Napisz ł-stronicowy esej oparty na następującej reakcji na wyznania Williamsa. Przyjmij, że w następnym semestrze Twoi czytelnicy zamierzają chodzić na lekcje matematyki. M o­ żesz założyć, że przeczytali Świat matematyki, nie zakładaj natomiast, że posiadają wiedzę o matematyce, o której mowa. Staraj się więc dokładnie objaśniać fakty. Williams robi uwagi, które są mylące, wprowadzają w błąd co do matematyki. Przykład: „Mówi, że woli uczyć matematyki niż fizyki, ponieważ trudno dotrzymać kroku osiągnięciom w fizyce” . Czytelnik może to zinterpretować tak, że nie ma wcale (lub niewiele) nowych osiągnięć w matematyce. Ponieważ wielu ludzi uważa, że matematyka jest zbiorem faktów, taki wniosek podtrzyma to błędne przekonanie. Wiele razy’ Wil­ liams wypowiada o matematyce banały, a kiedy przycisnąć go do muru, udziela pokrętnych wyjaśnień lub podaje nieścisłe definicje. Napisz, co jest niewłaściwego w uwagach Williamsa. Podaj co najmniej jeden szczególny przykład matematyczny dla zilus­ trowania swego stanowiska i pokaż jak zaprzecza on stwier­ dzeniu Williamsa. 2. Co Ty na to, że Williams mógłby być Twoim nauczycie­ lem? Porównaj go ze swoim najlepszym i najgorszym nauczy­ cielem matematyki. 3. Przeczytaj „Klasyczny kryzys rozumienia i dydaktyki” . Rozważ jakieś twierdzenie, którego dowodu nie byłeś w stanie 305

Nauczanie i uczenie się Problem y i zadania

306

do końca pojąć. Zaznacz miejsce, w którym napotkałeś trud­ ność. Jeśli ktoś potrafił wyjaśnić Ci tę trudność, opisz jak. 4. Ponownie odnieś się do „Klasycznego kryzysu rozumienia i dydaktyki” . Czy możesz sobie wyobrazić podobny „kryzys” na Twoich zajęciach matematycznych? Co sądzisz o rozwiąza­ niu przedstawionym w eseju? 5. Podróżujesz w czasie. Możesz wrócić do lat nauki szkol­ nej George’a Pólya’i (około 1905 roku). Właśnie decyduje 0 kierunku swojej dalszej nauki. Rozważa matematykę, ale nie jest pewien, czy będzie w stanie dodać do niej coś nowego. Opierając się na Twoich lekturach o Pólya’i, znajdź przekonu­ jący argument dla nakłonienia go, by za swoją drogę życiową obrał matematykę. 6 . Czy posługiwałeś się, Ty, Twój nauczyciel albo kolega, którąkolwiek z metod heurystycznych, jakie postulował Pólya? Wymyśl zadanie albo wybierz jedno z rozpatrywanych na zajęciach. Wyjaśnij, o jaką matematykę w nim chodzi i jaką zastosowano heurystykę do jego rozwiązania. Przyjmij, że Twoi słuchacze obawiają się rozwiązywania zadań, a Ty usiłujesz ich zachęcić do uczestniczenia w zajęciach matematycznych. 7. Opowiedz o pracy nad matematyką jako swoistej zabawie 1 opisz pod jakimi warunkami i w jakim celu profesor powinien w taki „zabawowy” sposób podchodzić do zajęć. Opierając się na swoich doświadczeniach, przypomnij jakąś sytuację, w któ­ rej „zabawowe podejście” Twoje albo Twojego nauczyciela pomogło Ci zrozumieć ideę. Upewnij się, że Twoja opowieść objaśnia problem matematyczny, którego sytuacja dotyczyła. 8 . Uzupełnij i poprowadź dalej omówienie heurystyki Lakatosa. (Wypełnij puste miejsca.) 9. Style poznawcze podzielono na wizualny, werbalny, słu­ chowy, kinestetyczny. Na przykład znana nam kompozytorka pamięta numery telefonów dzięki temu, że wiąże je z melodia­ mi. To może sugerować, że u niej występuje słuchowy styl poznawczy. Zastanów się nad stylem poznawczym swoim i ko­ goś, kogo znasz lub o kim wiesz. 10. Wybierz jakiś temat z tego rozdziału i omów go. Dla wsparcia swego opisu możesz posłużyć się innymi źródłami, jak dyskusje na zajęciach, taśmy wideo, czy inne lektury. Załóż, że Twoi słuchacze nie czytali tej książki, a Ty próbujesz zilust­ rować ważne stwierdzenie autorów. 11. Kończysz kurs matematyki, a Twoja przyjaciółka zas­ tanawia się, czy pójść w Twoje ślady. Spróbuj opisać ten kurs swojej przyjaciółce. Załóż, że traktuje ona sprawę po w ażn ie

i chce nabrać pewności, że nauczy się czegoś istotnego. Zacznij od wyjaśnienia jej, co to jest matematyka, co matematycy robią i dlaczego matematyka jest ważna, a następnie powiedz jej czego te zajęcia Cię nauczyły. Zadania

1. Ile jest sposobów napisania 7-literowego wyrazu przy 4-literowym alfabecie? Wskazówka: zrób jakieś przypuszczeI nia, spróbuj łatwiejszych zadań; użyj mniejszych alfabetów, buduj krótsze słowa itd. Przećwicz te prostsze zadania i zaob­ serwuj regularności. Narysuj diagram. 2. Na ile sposobów możesz napisać 7-literowe słowo przy 4-literowym alfabecie (a, b, c, d) i założeniu, że żadne takie słowo nie zawiera dwóch następujących po sobie liter a? Podając rozwiązanie, wyjaśnij swoje postępowanie i podaj objaśnienie swojej metody rozwiązania zadania. 3. Na ile sposobów możesz rozmienić jedną złotówkę, uży­ wając monet o nominałach 1, 2, 5, 10 i 20 groszy? Podając rozwiązanie, wyjaśnij swoje postępowanie i podaj objaśnienie swojej metody rozwiązania zadania. 4. Na ile sposobów może kobieta obdzielić milionem złotych swoich pięcioro dzieci, jeśli zdecyduje się na jednostki po 100000 zł. Podając rozwiązanie, wyjaśnij swoje postępowanie i podaj objaśnienie swojej metody rozwiązania zadania. 5. Niech S będzie zbiorem wszystkich jednorożców, a T mech będzie zbiorem wszystkich wyobrażeń jednorożca' Czy S = T l 6 . Niech S będzie zbiorem wszystkich prawdziwych stwier­ dzeń matematycznych. (a) Czy jest to zbiór poprawnie określony? Zastanów się. (b) Jak „duży” jest S? (c) Czy Twoja odpowiedź na (b) jest stwierdzeniem mate­ matycznym? 7. Rozważ następujące polecenie: narysuj kwadrat o boku długości 1 i z każdego wierzchołka tego kwadratu zakreśl w jego wnętrzu łuk o promieniu 1, łączący przeciwległe wierz­ chołki. Rozważ rysunek:

i Nauczanie i uczenie się (a) Co łatwiej zrozumieć: słowną instrukcję czy zamiesz­ czony wyżej rysunek? Dlaczego? (b) Na ile obszarów podzielony jest ten kwadrat? Czy wyma­ gasz formalnego dowodu poprawności tej liczby? Jaki dowód przedstawiłbyś, gdyby tego zażądano? (c) Na ile przystających obszarów jest ten kwadrat podzielo­ ny? Czy wymagasz formalnego dowodu poprawności tej liczby? Jaki dowód przedstawiłbyś, gdyby tego zażądano? (d) Gdybyś zamiast kwadratu wykonał podobną konstruk­ cję dla foremnego pięciokąta czy sześciokąta, jak odpowiedział­ byś na pytania (b) i (c)? (e) Weź boisko do piłki nożnej, siatkówki czy koszykówki. Zauważ, że jest ono podzielone na obszary. Policz na nim wierzchołki, krawędzie, ściany. Sprawdź wzór Kartezjusza-Eulera. A co z kortem tenisowym? Zadanie komputerowe

Rozważ, jakich informacji potrzebujesz dla wyznaczenia naj­ krótszej odległości po powierzchni Ziemi między Warszawą a Chicago. Proponowane lektury G eorge P ólya, J a k to rozwiązać? W ydaw nictw o N a u k o w e P W N , W arszawa 1993. G eorge Pólya, M athem atical D iscovery, Jo h n W iley a n d Sons, N ew Y o rk 1981. G eorge P ólya, M athem atical M ethods in Science, M a th em atical A ssociation of A m erica, W ash in g to n , D .C . 1977. G eorge P ólya, P atterns o f Plausible R easonings, P rin c eto n U niversity Press, P rin c eto n 1986.

7 OD PEWNOŚCI DO OMYLNOŚCI

PLATONIZM, FORMALIZM, KONSTRUKTYWIZM Jeśli uprawiasz matematykę na codzień, wydaje się ona najbardziej naturalną rzeczą na świecie. Jeśli przestajesz myśleć o tym, co robisz i co to znaczy, wydaje się jedną z najbardziej tajemniczych. Jak dochodzimy do mówienia o rzeczach, któ­ rych nikt nie widział i rozumienia ich lepiej niż solidnych przedmiotów codziennego użytku? Dlaczego geometria euklidesowa jest ciągle poprawna, a fizyka Arystotelesa od dawna martwa? Co w matematyce wiemy i jak to wiemy? W każdej dyskusji nad podstawami matematyki reprezen­ towane są trzy standardowe dogmaty: platonizm, formalizm, konstruktywizm. Według platonizmu obiekty matematyczne są rzeczywiste. Ich istnienie jest faktem obiektywnym, całkowicie niezależnym od naszej o nich wiedzy. Zbiory nieskończone, zbiory nieprzeli­ czalne, nieskończenie wymiarowe rozmaitości, krzywe wypeł­ niające przestrzeń — wszystkie elementy matematycznego zoo są dobrze określonymi obiektami, z określonymi własnościami, niektórymi znanymi, wielu nieznanymi. Obiekty te nie są oczy­ wiście ani fizyczne, ani materialne. Istnieją poza przestrzenią i czasem fizycznej egzystencji. Są niezmienne: nie zostały stwo­ rzone, nie zmieniają się i nie znikną. Każde sensowne pytanie dotyczące obiektu matematycznego ma określoną odpowiedź bez względu na to, czy potrafimy do niej dojść, czy nie. Zgodnie z platonizmem matematyk jest uczonym empirykiem jak geolog: niczego nie może wymyśleć, ponieważ to wszystko już jest. Jedyna rzecz, którą może robić, to odkrywać. Pełną duszą platonikami są René Thom i Kurt Godeł Thom pisał (1974): R ozw ażyw szy w szystko, m atem atycy pow inni okazać odw agę w yrażania najgłębszych sw oich p rz ek o n a ń i p o tw ierd zan ia w ten sposób, że form y m atem atyczne n a p ra w d ę są b ytam i niezależnym i od ro zpatrującego je

309

O d pewności do omylności umysłu [...] W danej chwili m atematycy mają jedynie niepełny i fragmen­ taryczny obraz tego świata idei.

A oto Godeł: Mimo ich oddalenia od doświadczenia zmysłowego, mamy coś na kształt postrzegania także obiektów teorii mnogości, ja k to widać z faktu, że aksjomaty wymuszają na nas uznanie ich prawdziwości. Nie widzę żadnego pow odu, dla którego powinniśmy mieć mniej zaufania do tego rodzaju postrzegania, tj. do intuicji matematycznej, niż do postrzegania zmysłowego. [...] One też m ogą reprezentować pewien aspekt obiektywnej rzeczywistości.

Św iat idei T hom a jest geom etryczny, podczas gdy u G odła jest to uniw ersum teoriom nogościow e. Po przeciwnej stronie stoi A braham R obinson: Nie potrafię sobie wyobrazić, bym kiedykolwiek wrócił do wyznania wiary prawdziwego platonika, który widzi świat rzeczywistej nieskończono­ ści szeroko przed nim rozpostarty i wierzy, że może zrozumieć to co niezrozumiałe (A. Robinson, 1969).

310

Z drugiej strony, zgodnie z form alizm em , nie m a żadnych obiektów m atem atycznych. M atem a ty k a składa się jedynie z aksjom atów , definicji i tw ierdzeń — innym i słowy, z formuł. W rozum ieniu skrajnego form alizm u istnieją reguły, zgodnie z którym i otrzym uje się jedne form uły z innych, ale formuły nie tra k tu ją o czymś, są one jedynie szeregam i sym boli. Oczy­ wiście form alista wie, że czasem stosuje się form uły m atem aty­ czne do problem ów fizycznych. K iedy nadaje się jakiejś for­ m ule interpretację fizyczną, nab iera o n a znaczenia i m oże być praw dziw a lub fałszywa, jednakże ta p ra w d a czy fałsz od­ noszą się do tej szczególnej fizycznej interpretacji. Jako for­ m uła czysto m atem atyczna nie m a o n a żadnego znaczenia i żadnego kryterium praw dziw ości. P rzykładu w skazującego na różnicę m iędzy form alistą a platonikiem dostarcza hipoteza co n tin u u m C an to ra. C a n to r przy­ puszczał, że nie istnieje liczba k ard y n aln a większa od K 0 (moc zbioru liczb całkow itych) i m niejsza od c (m oc zb io ru liczb rzeczywistych). K. G odeł i P. J. C ohen pokazali, n a bazie aks­ jo m ató w form alnej teorii m nogości, że hipotezy continuum nie m ożna ani dow ieść (G odeł, 1937), ani obalić (C ohen, 1964) (por. rozdz. 5, N iecantorow ska teoria mnogości). D la platonika oznacza to, że nasze aksjom aty nie są pełnym opisem zbioru liczb rzeczywistych. N ie są one dość silne, by powiedzieć nam całą praw dę. H ip o teza con tin u u m jest bądź praw dziw a bądź fałszywa, ale nie rozum iem y dostatecznie dobrze zbioru liczb rzeczywistych, by po d ać odpow iedź.

Filozoficzne poglądy aktywnego m atem atyka D la form alisty n ato m iast in terp retacja p latonistyczna nie m a żadnego sensu, poniew aż nie istnieje żaden system liczb rzeczy­ wistych p oza takim , k tó ry decydujem y się pow ołać przez p o d a ­ nie opisujących go aksjom atów . Oczywiście m am y praw o, jeśli sobie tego życzymy, zm ienić ten system aksjom atów . Takiej zm iany m ożna do k o n ać, m ając n a uw adze wygodę, użytecz­ ność czy jakiekolw iek inne kryterium , k tó re decydujem y się w prow adzić. N ie m oże to być kw estia lepszego o d p ow iadania rzeczywistości, poniew aż nie m a tam żadnej rzeczywistości. W kw estiach istnienia i realności form aliści i platonicy zn aj­ dują się po przeciw nych stronach, nie spierają się nato m iast między sobą co do tego, jak ie są w prak ty ce m atem atycznej dozw olone zasady rozum ow ania. W opozycji do o b u znajdują się konstruktyw iści, k tó rzy za praw dziw ą u znają jedynie tak ą m atem atykę, ja k ą m o żn a otrzym ać przez skończone k o n stru k ­ cje. Z b io ru liczb rzeczywistych, czy dow olnego innego zbioru nieskończonego, nie m o żn a ta k otrzym ać. W konsekw encji konstruktyw iści tra k tu ją hipotezę C a n to ra ja k o rzecz bez sen­ su. K ażd a odpow iedź będzie czystą stra tą czasu.

FILOZOFICZNE POGLĄDY AKTYWNEGO MATEMATYKA W iększość piszących w tej spraw ie w ydaje się zgodna co do tego, że typow y aktyw ny m atem aty k jest platonikiem w dni pow szednie i fo rm alistą w niedziele. Z naczy to, że kiedy u p ra ­ wia on m atem atykę, jest przek o n an y , że m a do czynienia z obiektyw ną rzeczyw istością, której w łasności p róbuje okreś- ■ lać. Ale później, wezw any do zd an ia filozoficznej relacji o tej rzeczywistości, za najłatw iejsze uznaje udaw anie, że m im o w szystko nie wierzy w nią wcale. Z acytujm y dw óch dobrze znanych autorów . W zasadzie wierzymy w rzeczywistość matem atyki, ale rzecz jasna, że kiedy filozofowie atakują nas swoimi paradoksam i, wtedy pospiesznie zasłaniamy się formalizmem i mówimy „m atem atyka jest tylko kombinacją symboli pozbaw ionych znaczenia” , po czym wykładamy pierwszy i drugi rozdział teorii mnogości. W końcu zostawiają nas w spokoju, a wówczas w racamy do naszej m atem atyki i robimy to, co robiliśmy zawsze, z poczu­ ciem, które m a każdy m atem atyk, że pracujemy nad czymś rzeczywistym. Praw dopodobnie poczucie to jest iluzoryczne, bardzo jednak wygodne. Takie jest podejście Bourbakiego w stosunku do podstaw (J. A. Dieudonne, 1970, s. 145).

311

O d pewności do omylności D la przeciętnego m atem atyka, który chce jedynie wiedzieć, że jego praca m a odpowiednie podstawy, najbardziej pociągającym wyborem jest unika­ nie trudności za pom ocą program u H ilberta. Tutaj traktuje się matematykę jak grę form alną, w której chodzi jedynie o problem niesprzeczności Stanowisko realistyczne [tj. platońskie] jest praw dopodobnie tym, które większość m atem atyków wolałaby zająć. I tak jest, póki m atem atyk nie staje się świadomy pewnych trudności w teorii mnogości i nie zaczyna tego stanowiska kwestionować. Jeśli te trudności szczególnie go martwią, pos­ pieszy pod ochronę formalizmu, podczas gdy jego norm alne stanowisko będzie gdzieś pomiędzy obom a, gdzie próbuje się cieszyć najlepszymi strona­ mi obu światów (P. J. Cohen, Axiom atic Set Theory, pod red. D. Scotta).

W tych cytatach, zaczerpniętych z D ieudonnego i C ohena, używ am y term inu „form alizm ” n a oznaczenie poglądu filozofi­ cznego, zgodnie z którym większość czy naw et cała m atem aty­ k a czysta jest grą bez znaczenia. P ow inno być oczywiste, że odrzucenie form alizm u ja k o filozofii w żadnym razie nie ozna­ cza krytyki logiki m atem atycznej. Przeciwnie, logicy, których w łasna działalność m atem atyczna polega n a studiow aniu sys­ tem ów form alnych, znajdują się w najlepszej sytuacji, jeśli chodzi o ocenę ogrom nej różnicy m iędzy upraw ianiem m ate­ m atyki a jej schem atyzacją w postaci form alnego systemu m atem atycznego. W edług M o ń k a, św iat m atem atyczny składa się z 65% plato ników , 30% form alistów i 5% konstruktyw istów . W n a­ szej opinii bliższy praw dy jest ob raz C ohena —D ieudonnego. Typow y m atem aty k jest zarów no platonikiem jak i form alistą; skrytym platonikiem w m asce form alisty, k tó rą w kłada, gdy p o trze b a nagli. K onstruktyw iści są rasą rzadką, a jej status w świecie m atem atycznym w ydaje się czasem taki, ja k tolero­ w anych heretyków , otoczonych przez ortodoksyjnych człon­ ków religii panującej. Dalsze lektury (patrz bibliografia) J. D ieudonne [1970]; M. D um m ett; K. Godeł; L. Henkin; J. D. Monk; A. Robinson; R. Thom; D. Scott

MIT EUKLIDESOWY

312

P odręcznikow y ob raz filozofii m atem atyki jest dziwnie frag­ m entaryczny. C zytelnik doznaje w rażenia, że cała spraw a poja­ w iła się p o d koniec X IX w. ja k o reakcja n a sprzeczności w cantorow skiej teorii m nogości, kiedy to m ów iono o „kryzy-

M it euklidesowy sie w p o d staw a ch ” . D la napraw ienia tych po d staw pojaw iły się na scenie trzy szkoły i n astępne 30-40 lat spędziły na sporach m iędzy sobą. O kazało się, że żad n a z nich nie m ogła w spraw ie p o d staw wiele zdziałać i cała h isto ria uległa zaw ieszeniu około czterdziestu lat tem u, z W hiteheadem i Russellem porzucający­ mi logicyzm , form alizm em H ilb erta p o b ity m przez twierdzenie G ó d la i B rouw erem nad al głoszącym konstruktyw izm w A m s­ terdam ie, ale lekcew ażonym przez całą resztę m atem atycznego św iata. T en epizod historii m atem aty k i jest w istocie zadziwiający. Oczywiście dla filozofii m atem aty k i był to okres krytyczny. Jednakże fak t, że w pew nym krytycznym okresie pro b lem aty k a p odstaw ok azała się dom inującym n u rtem w filozofii m atem a­ tyki, d o p row adził przez uderzające przesunięcie znaczenia słów do identyfikacji filozofii m atem aty k i z badaniem podstaw . Z chw ilą d o k o n an ia tej identyfikacji doznajem y osobliwego wrażenia: filozofia m atem aty k i była aktyw nym obszarem jed y ­ nie przez lat czterdzieści. O budziły ją sprzeczności w teorii m nogości, a p o chwili p o grążyła się z p ow rotem we śnie. W rzeczywistości m yślenie m atem atyczne zawsze m iało, m niej lub bardziej w yraźne, tło filozoficzne. O kres p odstaw był tym , w któ ry m czołow i m atem aty cy otw arcie się interesow ali problem am i filozoficznym i i angażow ali w publiczne n ad nimi dyskusje. A by do b rze pojąć, co się w tym okresie zdarzyło, trzeba rzucić okiem n a to, co było przedtem i potem . Są dw a n u rty historii, k tó re w ypada prześledzić. Jednym jest filozofia m atem aty k i, drugim sam a m atem aty k a. Kryzys był przejaw em zadaw nionej sprzeczności m iędzy tradycyjnym idea­ łem m atem atyki, k tó ry m ożem y nazw ać m item euklidesowym , a rzeczywistością m atem atyki, a k tu aln ą p ra k ty k ą działalności' m atem atycznej w każdym k o n k retn y m czasie. B iskup Berkeley rozpoznał tę sprzeczność w 1734 r. w swojej książce The Analyst. K siążka m a długi p o d ty tu ł D yskurs adresowany do niewiernego m atem atyka, w którym bada się, czy obiekt, zasady i wnioskowania współczesnej analizy są w yraźniej ujęte bądź w bardziej oczywisty sposób w ydedukowane niż tajemnice religii i artykuły wiary. ,,Najpierw usuń belkę z własnego oka, a wtedy m ożesz usunąć źdźbło z oka brata twego” . (N iew iernym był E d m u n d Halley.) Berkeley w yeksponow ał niejasności i sprzeczności rach u n k u różniczkow ego, ta k ja k objaśniał go w swoim czasie N ew ton, L eibniz i ich następcy. Z naczy to, że p o k azał, ja k bardzo ten rach u n ek nie d o ra sta ł do idei m atem aty k i zgodnej z eu k ­ lidesowym m item .

^\3

O d pewności do omylności

M it euklidesowy

Mir»#. fukmru i

THE ELEMENTS # #

mm ® m i* ' f

iij i

o f A c m a il a a n d » c n t P h f iu io p h c r

m ycl

id e

nfM tgm iu

fê ii'hf f S ^ (

ftrf0 ) trnn*

p to d mi# dœ k m afp* tm m g , i*f . H. tfLmé##. łfjm m m * w* m w m d im m m At&t■ łlW I>,

ł -OTPPMW^-IPP - " O-■ T A*O OT-W

«a**,&»*#•çjj'tmmpM■ .t x O i ‘y ^ i ' x .i'x y jC y ^i'y . (2) [*13-12] 3 [— ■.a= i‘x 'J i‘y.x+=y.zs .tx ^ r x .a ^ C y |— ,(1).(2)3 [— :\a = r x w iiy.x=/=y.^'.. ß c a .3 \ß .ß yot = :ß = Cx. v ,ß ==i‘y: = :(3z) ■zea.ß = i'z: [*51-235] = :/?e¡“ a [*37 ■6] (3) E .(3).* 11 ■11 -35.* 5 4-1 0 1 .3 \- .Prop *54-43. E :.a ,/te l.3 :a n /? = A. = .au /îe2 Dem. E .* 5 4 -2 6 .3 \- :.a.=i,' x.ß = i‘y.zs:u 'jß e 2 . = .X jty . = ,i‘x m ‘y = A. [*51-231] = .a n ß = A [*13-12] (1) E .(1).*11 • 11 ■3 5 .3 (2) E :.(3x,y).a= i‘x .ß = t‘y.z^:a.uße2. = .a n ß = A 1- ,(2).*11 • 54.*52 - 1 .3 I- .Prop Z tego zdania będzie wynikać, po określeniu arytmetycznego dodawania, że 1 + 1 ==2.

— -

znalezione i utracone

znaczenia i nie m o żn a twierdzić, że istnieją, póki nie jest d an a m eto d a ich k o n stru o w an ia, w skończenie wielu k rokach, zaczy­ nająca się od liczb natu raln y ch . N ie w ystarczy pokazać, że założenie istnienia nie prow adzi do sprzeczności. D la k o n struktyw istów wiele stan d ard o w y ch dow odów m ate­ m atyki klasycznej jest niew ażnych. W niektórych przypadkach p o trafią oni p o d ać dow ód konstruktyw istyczny, jed n ak w wie­ lu innych p o k azu ją, że dow ód konstruktyw istyczny jest nie­ możliwy: tw ierdzenia uznaw ane w m atem atyce klasycznej, w m atem atyce konstruktyw istycznej stają się fałszywe. W ażnym przykładem jest „p raw o try ch o to m ii” : każda liczba rzeczyw ista je s t albo zerem, albo liczbą dodatnią, albo liczbą ujemną. K iedy liczby rzeczywiste k o n stru u je się, w ychodząc od teorii m nogości, n a p rzykład zgodnie z receptą D ed ek in d a czy C anto ra, p raw o trychotom ii m ożna udow odnić ja k o twierdzenie. W całej analizie odgryw a o no p o d staw o w ą rolę. Jednakże B rouw er p o d ał p rzykład liczby rzeczywistej, o k tó ­ rej nie p o trafim y konstruktyw istycznie udow odnić, czy jest ona zerem , liczbą d o d a tn ią czy ujem ną. (Szczegóły w następnym rozdziale, „n i u ” .) Z p u n k tu w idzenia B rouw era jest to k o n trprzykład, k tó ry pokazuje, że p raw o trychotom ii jest fałszywe. W rzeczy sam ej, klasyczny dow ód p raw a trychotom ii p o ­ sługuje się dow odem przez sprow adzenie do sprzeczności (p ra­ wo w yłączonego śro d k a), a zatem w świetle kryteriów B rouw e­ ra nie jest ważny. C hociaż wielu znak o m ity ch m atem aty k ó w w yrażało obaw y i b rak zgody n a niekonstruktyw istyczne m etody oraz sw obod­ ne posługiw anie się zbioram i nieskończonym i, w ołanie B ro u ­ w era o restru k tu ry zację analizy od sam ych podstaw w ydało się większości m atem aty k ó w niezasadne, a naw et fanatyczne. Szczególnie zan iep o k o jo n y był H ilbert. „T o , co Weyl i B ro u ­ wer ro bią, sp row adza się do tej samej rzeczy: pójścia śladam i K roneckera! U siłują oni ocalić m atem aty k ę przez wyrzucenie za b u rtę w szystkiego co k ło p o tliw e j...) Pokaleczyłoby to i sp a­ raliżow ało naukę. Jeśli poszlibyśm y n a p ro p o n o w a n ą przez nich reform ę, zaryzykow alibyśm y u tra tę wielkiej części naszych najcenniejszych sk arb ó w ” (C. Reid, Hilbert, s. 155). H ilb ert p o d jął o b ro n ę m atem aty k i przed k rytyką B rouw era przez swój pro g ram matem atycznego dowiedzenia niesprzeczności David Hilbert klasycznej m atem atyki. Co więcej, p ro p o n o w ał w ykonanie tego 1 8 6 2 -1 9 4 3 za p o m o cą ro zu m o w an ia o typie czysto skończonym , kom binatorycznym; rozum ow ania, którego B rouw er nie m ógłby odrzucić. 323

O d pewności do omylności P ro g ram składał się z trzech kroków . 1. W prow adzenie języka form alnego i form alnych reguł w nioskow ania, w ystarczających n a to, by każdy „popraw ny d o w ó d ” tw ierdzenia klasycznego m ógł być przedstaw iony za po m o cą form alnego odryw ania poczynając od aksjom atów , na każdym k ro k u spraw dzalnego m echanicznie. W dużym stopniu w ykonali to ju ż Frege, R ussell i W hitehead. 2. Rozw inięcie teorii kom binatorycznych własności tego for­ m alnego języka, trak to w an eg o ja k o skończony zbiór symboli podległych przekształceniom zgodnie z regułam i w nioskowania teraz trak to w an y m i ja k o reguły przekształcania form uł. Teoria ta została n azw an a „ m eta m a te m aty k ą” . 3. D ow ód za pom ocą czysto skończonego rozum ow ania, że w tym system ie nie m o żn a otrzym ać sprzeczności, na przy­ kład 1 = 0 . W ten sposób m atem aty k a uzyskałaby bezpieczną, w sensie gw aran to w an ia niesprzeczności, podstaw ę. T en rodzaj podstaw y wcale nie jest tym sam ym co oparcie na teorii znanej ja k o praw dziw a, ja k w ierzono w prawdziwość geom etrii, albo przynajm niej niemożliwej do p o d d an ia w w ątp­ liwość, ja k się przypuszcza, że nie sposób w ątpić w prawo sprzeczności w logice elem entarnej. P o dobnie ja k p o dstaw a logicystyczna, także form alistyczna p o d staw a H ilberta oferow ała pew ność i oparcie, ale za okreś­ loną cenę. Jak interp retacja logicystyczna p róbow ała zapewnić m atem atyce bezpieczeństw o przez przekształcenie jej w tau to lo ­ gię, ta k interpretacja form alistyczna pró b o w ała dać jej bez­ pieczeństw o przez przekształcenie jej w pozbaw ioną znaczenia grę. T en „p ro g ram dow odzeniow o-teoretyczny” włączał się dopiero po zak o d o w an iu m atem atyki w jakim ś języku form al­ nym i zapisaniu jej dow odów w sposób spraw dzalny przez m aszynę. Znaczenie sym boli staw ało się czymś pozam atem atycznym. P ism a i rozm ow y H ilb erta ujaw niają głębokie jego przekona­ nie, że problem y m atem atyczne odnoszą się do obiektów rze­ czywistych i m ają znaczące i praw dziw e odpow iedzi w tym sam ym sensie, w jak im praw dziw e jest dow olne zdanie o rze­ czywistości. Jeśli zdecydow ał się n a głoszenie interpretacji form alistycznej, to uw ażał to za niezbędną cenę do uzyskania pew ności.

324

Celem mojej teorii jest ustalenie raz na zawsze pewności metod matema­ tycznych [...] Obecny stan rzeczy, w którym natykam y się na paradoksy, jest nie do zniesienia. Pomyślcie tylko, definicje i metody dedukcyjne, których

Podstawy

—

znalezione i utracone

się każdy uczy, których się naucza i które się stosuje w matematyce, wzór prawdy i pewności, prow adzą do absurdów! Jeśli myślenie matematyczne jest ułom ne, gdzie znajdziemy prawdę i pewność? (D. Hilbert, On the Infinite, w książce Benacerrafa i Putnam a Philosophy o f Mathematicś).

Ja k się je d n a k okazało, naw et za tę cenę nie m ożna było uzyskać pew ności. T w ierdzenie o niezupełności G ó d la z 1930 r. pokazało, że p ro g ram H ilb erta jest nieosiągalny: żaden system form alny i niesprzeczny, dostatecznie przy tym silny, by za­ wrzeć elem en tarn ą arytm etykę — nie jest w stanie udow odnić swojej własnej niesprzeczności. Z tej p o rażk i poszukiw anie bezpiecznych p o d staw nigdy się nie podniosło. P ro g ram H ilb erta opierał się na dw óch nie spraw dzonych przesłankach: po pierw sze, n a przesłance kantow skiej, że coś w m atem atyce, a przynajm niej jej „czysto skończona część” , jest solidną p o d staw ą — jest niepodw ażalna, i po drugie, n a prze­ słance form alistycznej, że solidnie u g ru n to w a n a teo ria zdań form alnych m oże upraw o m o cn ić zajm ow anie się m atem aty k ą w realnym życiu, w k tó ry m form alizacja, naw et ja k o hipotetycz­ na m ożliw ość, istnieje jedynie n a odległym planie, albo wcale. Pierw szą przesłankę podzielali konstruktyw iści, d ru g a n a to ­ m iast była przez nich oczywiście odrzucana. P ro g ram form alizacji sprow adza się do przekształcenia teorii m nogości i analizy w ich w łasną część, a m ianow icie w kom b in atorykę skończoną. W najlepszym zatem razie zostalibyśm y wówczas z tw ierdzeniem , że niesprzeczna jest cała m atem aty k a, o ile dopuszczalna w „m etam atem aty ce” (jak zwykło się nazy­ wać h ilb ertow ską m atem aty k ę o m atem atyce) zasada „skończoności” sam a jest pew na. Z nów szukam y ostatniego żółwia po d o statn im słoniem . O statn i żółw czy słoń jest w istocie kantow skim syntetycz­ nym a priori, intuicją. C hociaż H ilb ert nie odw ołuje się w yraź­ nie do K a n ta , jego przekonanie, że m atem aty k a m oże i m usi daw ać p raw dę i pew ność, „b o gdzie indziej to znajdziem y?” , mieści się w nurcie p latońskiego dziedzictw a, tak ja k było ono przekazyw ane przez racjonalistów po K a n ta , a tym sam ym środow isku intelek tu aln em u dziew iętnastow iecznej zachodniej E uropy. P o d tym względem jest on rów nie kantow ski jak B rouw er, któ reg o k o n struktyw istyczna ety kietka otw arcie u z­ naje k an tow skie dziedzictw o. W edług B rouw era p ro g ram H ilb erta został źle pom yślany w k ro k u 1 , poniew aż o pierał się n a identyfikacji samej m atem a­ tyki z form ułam i używ anym i do jej przedstaw iania czy w yraża­ nia. Ale w łaśnie przez to przejście do języków i form uł H ilbert

O d pewności do omylności był w stanie przew idyw ać chociaż m ożliw ość matematycznego uzasadnienia m atem atyki. Brouw er, k tó ry po d o b n ie ja k H ilbert uw ażał za oczywiste, że m atem aty k a m oże i pow inna być u stalo n a n a podstaw ach „silnych i zdrow ych” , poszedł inną drogą, utrzym ując, że m atem aty k a m usi się zaczynać od intuicyjnie danej skończoności i p ow inna zaw ierać tylko to, co się d a w yprow adzić kon­ strukcyjnie z tego intuicyjnie danego p u n k tu wyjścia. Intuicja oznacza tutaj intuicję liczenia i tylko tyle. D la obu, Brouwera i H ilberta, przyjęcie intuicji geom etrycznej ja k o podstawowej czy bazow ej, „d a n ej” na rów ni z arytm etyką, m usiało się w ydaw ać całym krokiem w stecz i w ramach dyskusji nad pod­ staw am i nie do przyjęcia. W tym sam ym czasie, zarów no dla B rouw era ja k i H ilberta, posługiw anie się intuicją geom etrycz­ n ą w ich „ n o rm a ln y ch ” (poza podstaw am i) badaniach m ate­ m atycznych, było czymś codziennym . B rouw er nie czuł się bardziej zobow iązany do pośw ięcenia swoich b ad a ń topologi­ cznych w łasnem u intuicjonistycznem u dogm atow i niż H ilbert w swojej pracy do posługiw ania się raczej form ułam i niż ich znaczeniam i. Im o b u w ydaw ało się, że rozdźw ięk między ich codzienną p ra k ty k ą m atem atyczną a ich teoriam i podstaw nie potrzebuje w yjaśnienia czy uspraw iedliw ienia. Istnieją świadec­ tw a, że w późniejszych sw oich latach B rouw er był jednak gotów poświęcić swoje b ad a n ia topologiczne swemu intuic­ jonistycznem u dogm atow i. Dalsze lektury ( patrz bibliografia) D. Hilbert; S. Kleene; C. Reid

FORMALISTYCZNA FILOZOFIA MATEMATYKI

326

W połow ie dw udziestego w ieku form alizm stal się dom i­ nującym w podręcznikach i innych „oficjalnych” tekstach m a­ tem atycznych podejściem filozoficznym . K onstruktyw izm po­ został herezją z niewielu tylko zw olennikam i. P latonizm byl i jest przekonaniem w szystkich (niem al) m atem atyków , jed n ak ­ że, ja k o religia nieoficjalna, jest on w yznaw any prywatnie i rzad k o publicznie w spom inany. F orm alizm w spółczesny wywodzi się z form alizm u Hilberta, ale nie jest z nim tożsam y. H ilbert wierzył w realność m atem atyki skończonej i wym yślił m etam atem atykę w tym celu, żeby

Form alistyczna filozofia m atem atyki uzasadnić m atem aty k ę nieskończoności. T en realizm skończoności w raz z form alizm em nieskończoności jest ciągle przez niektórych au to ró w głoszony. Częściej wszakże form alizm nie kłopocze się tym rozróżnieniem , dla niego bow iem m atem aty ­ ka, od arytm etyki poczynając, jest tylko grą logicznej dedukcji. F o rm alista definiuje m atem aty k ę ja k o n au k ę o ścisłych d o ­ w odach. W innych dziedzinach m o żn a głosić jak ąś teorię na bazie dośw iadczenia czy w idom ej słuszności, jednakże w m ate­ m atyce — p o w iad a — m am y albo dow ód, albo nic. K ażdy dow ód logiczny m usi mieć p u n k t wyjścia. T ak więc m atem atyk m usi zaczynać od jak ich ś niezdefiniow anych pojęć i jak ich ś niedow odzonych stw ierdzeń o tych pojęciach. N azy ­ w ają się one „założeniam i” albo „a k sjo m a ta m i” . W geom etrii płaszczyzny, n a przykład, m am y niezdefiniow ane pojęcia „ p u n k t” i „ p ro s ta ” o raz ak sjo m at „przez każde dw a różne p u n k ty przechodzi dok ład n ie jed n a linia p ro s ta ” . F o rm alista w skazuje, że logiczny w yw ód tego stw ierdzenia nie zależy od o b razu w um yśle, k tó ry m ożem y z nim wiązać. Jedynie tradycja pow strzym uje nas przed używ aniem słów innych niż p u n k t i linia: „przez każde dw a różne beki przechodzi jeden n ek ” . G d y pojęciom p u n k t i p ro sta n ad am y ja k ą ś interpretację, wówczas te aksjo m aty m ogą się okazać praw dziw e lub fałszywe. Istnieje zapew ne ja k a ś in terp retacja, przy której są one p raw dzi­ we, w przeciw nym bow iem razie zajm ow anie się nim i byłoby bez sensu. P óki wszakże chodzi o czystą m atem atykę, n ad aw an a ak sjo m ato m in terp retacja jest obojętna. Z ajm ujem y się jedynie w yprow adzonym i z nich popraw nym i logicznym i dedukcjam i. W ydedukow ane w ten sposób rezultaty nazyw ają się tw ier­ dzeniam i. N ie m o żn a utrzym yw ać, że tw ierdzenie jest p raw ­ dziwe, p o d o b n ie ja k nie m ożna utrzym yw ać, że praw dziw e śą aksjom aty. Jak o stw ierdzenia czystej m atem aty k i nie są one ani praw dziw e ani fałszywe, m ów ią bow iem o pojęciach niezdefi­ niow anych. W szystko, co m ożem y pow iedzieć w m atem atyce, to to, że tw ierdzenie w ynika logicznie z aksjom atów . T ak więc stw ierdzenia m atem atycznych tw ierdzeń nie m ają żadnej treści, są one o niczym . Z drugiej strony, w edług form alisty, są one w olne od jakiejkolw iek w ątpliw ości czy błędu, poniew aż proces ścisłego dow odzenia i dedukcji nie po zo staw ia żadnych luk i słabych pu n k tó w . M ów iąc k ró tk o : dla form alisty m atem aty k a jest n a u k ą fo r­ m alnej dedukcji, od ak sjo m ató w do tw ierdzeń. Jej pojęcia pierw otne są niezdefiniow ane. Jej tw ierdzenia są pozbaw ione wszelkiej treści, p óki nie n ad am y im interpretacji. M ożem y, na

327

O d pewności do omylności

328

przykład, interpretow ać stw ierdzenia geom etrii w term inach odległości m iędzy fizycznymi miejscam i. W niektórych podręcznikach ten form alistyczny p u n k t wi­ dzenia przedstaw ia się ja k o proste stw ierdzenie faktu i mało krytyczny czytelnik czy student m oże to uznać za pogląd autoryzow any czy „oficjalny” . N ie jest to je d n a k proste stwier­ dzenie faktu, ale raczej złożona spraw a interpretacji. Czytelnik m a praw o do sceptycznego stanow iska i do oczekiw ania na uzasadnienie takiego poglądu. W istocie k ró tk a refleksja pokazuje, że form alistyczny punkt w idzenia nie jest zgodny z pow szechnym dośw iadczeniem m a­ tem atycznym . K ażdy nauczyciel szkoły powszechnej mówi o „fak tach arytm etycznych” czy „fak tach geom etrycznych” , a w szkole średniej tw ierdzenie P itag o rasa czy twierdzenie 0 rozkładzie n a czynniki pierwsze są nauczane jak o prawdziwe stw ierdzenia o tró jk ątac h p ro sto k ątn y ch czy liczbach całkow i­ tych. Z godnie z poglądem oficjalnym , każde m ówienie o fak­ tach czy praw d ach jest niepopraw ne. A rgum entu n a rzecz oficjalnego poglądu dostarcza historia geom etrii w postaci odpow iedzi na detronizację geom etrii euklidesow ej. D la E uklidesa ak sjom aty geom etrii nie były założeniam i, ale „oczyw istym i p ra w d am i” . F orm alistyczny p u n k t widzenia wy­ n ika częściowo z odrzucenia idei, że m ożna zaczynać od „oczy­ wistych p ra w d ” . W naszym om ów ieniu geom etrii nieeuklidesow ej w rozdziale 5 widzieliśmy, ja k wysiłek zm ierzający do dow odu piątego p o stu latu E uklidesa (p o stu latu rów noległych, który nie był tak „oczyw isty” ja k pozostałe cztery postulaty) doprow adził do odkrycia geom etrii nieeuklidesow ej, w której przyjm uje się, że p o stu lat rów noległych jest fałszywy. Czy m ożem y twierdzić, że p o stu lat rów noległych Euklidesa 1 jego negacja są oba praw dziw e? F o rm alista konkluduje, że jeśli pragniem y zachow ać, ja k o m atem atycy, sw obodę studio­ w ania zarów no euklidesowej ja k i nieeuklidesow ej geometrii, konieczne jest zrezygnow anie z koncepcji, że którykolw iek jest praw dziw y. W ystarczy, jeśli każdy jest niesprzeczny. W istocie rzeczy w ydaje się, że geom etria euklidesow a i nie­ euklidesow a są w konflikcie dopiero w tedy, gdy wierzymy w obiektyw ną przestrzeń fizyczną podległą jednem u zbiorowi praw , k tó ry obie geom etrie usiłują opisać. Jeśli natom iast zrezygnujem y z tej w iary, to geom etria euklidesow a i nieeuklidesow a przestają być ryw alizującym i kan d y d atam i do roz­

Form alistyczna filo zo fia m atem atyki w iązania tego sam ego problem u, stają się n ato m iast po p ro stu dw iem a różnym i teoriam i. P o stu la t rów noległych jest p raw ­ dziwy dla geom etrii euklidesow ej, fałszywy dla nieeuklidesowej. Ale czy tw ierdzenia geom etrii m ają znaczenie poza in terp re tac­ jam i fizycznymi? Czy m ożem y n ad al używ ać słów „praw dziw y” i „fałszyw y” w odniesieniu do stw ierdzeń czystej geom etrii? P lato n ik pow iedziałby, że tak , poniew aż obiekty m atem atyczne istnieją w swoim w łasnym świecie o b o k św iata zastosow ań fizycznych. F o rm alista wszakże, z drugiej strony, powie, że nie, bo stw ierdzenia nie m ogą być ani praw dziw e ani fałszywe, poniew aż są o niczym i nie m ają żadnego znaczenia. F o rm alista czyni różnicę m iędzy geom etrią ja k o stru k tu rą dedukcyjną a geom etrią ja k o n au k ą opisow ą. Jedynie pierw sza jest u w ażan a za m atem atyczną. Użycie rysunków lub w ykre­ sów czy choćby um ysłow ych w yobrażeń — w szystko to jest niem atem atyczne i w zasadzie p ow inno być zbędne. W ko n sek ­ wencji uznaje on je za niewłaściwe w tekście m atem atycznym , a m oże naw et i na lekcji m atem atyki. D latego p o dajem y tę szczególną definicję, a nie ja k ą ś inną? D laczego te ak sjom aty, a nie jakieś inne? D la form alisty takie py tan ia są prem atem atyczne. Jeśli w ogóle dopuszcza je w sw o­ im tekście czy wykładzie, b ędą w naw iasie i krótkie. Jakie m o żn a p o d ać przykłady czy zastosow ania ogólnej teorii, k tó rą rozw inął? T akże i to, ściśle rzecz biorąc, nie należy do rzeczy i m oże być pozostaw ione do naw iasow ych uw ag albo o p racow ane ja k o zadanie. Z form alistycznego p u n k tu w idzenia nie rozpoczynam y n a ­ praw dę u p raw ian ia m atem atyki, p óki nie sform ułujem y jakichś założeń i nie rozpoczniem y dow odzenia. Z chwilą dojścia do w niosków m atem aty k a się kończy. C okolw iek m usim y pow ie­ dzieć p o n a d to , jest w pew nym sensie zbyteczne. N asze osiąg­ nięcia n a w ykładzie m ierzym y tym , ile zdołaliśm y udowodnić. P ytanie o to, co nasi słuchacze zrozum ieli i czego się nauczyli, jest sp raw ą in n ą — to nie jest p y tanie m atem atyczne. Jednym z p ow odów dom inacji form alizm u był jego związek z pozytyw izm em logicznym . Był to dom inujący p rąd w filozofii n auki lat czterdziestych i pięćdziesiątych X X w. P óźne jego skutki n ad al w egetują choćby z tego p o w odu, że nie pojaw iło się nic w yraźnego, co m ogłoby go zastąpić. „Szkoła w iedeńs­ k a ” pozytyw izm u logicznego głosiła, ja k o cel, nau k ę zjed­ noczoną, za k o d o w an ą w form alnym ra ch u n k u logicznym i z je ­ d n ą tylko m eto d ą dedukcyjną. F o rm alizacja była uzn aw an a za cel w szystkich nau k . O znaczała o n a w y b ó r podstaw ow ego

O d pewności do omylności

330

słow nika term inów , ustalenie za ich p o m ocą podstaw ow ych praw i logiczny z nich w yw ód teorii. Jak o przykład przytaczano m echanikę, klasyczną i kw antow ą. W celu pow iązania teorii form alnej z danym i eksperym ental­ nym i k ażda n au k a m usi mieć swoje reguły interpretacyjne, nie będące składnikiem teorii form alnej. W m echanice klasycznej, n a przykład, istnieją reguły dla fizycznych pom iarów p o d ­ staw ow ych wielkości (m asa, długość, czas). Swoje własne regu­ ły m a m echanika kw antow a, a w nich term in „obserw abla” wiąże się z eksperym entalnym i pom iaram i. W takim układzie m atem aty k a pojaw i się ja k o narzędzie form ułow ania i roz­ w ijania teorii. P odstaw ow e praw a są form ułam i m atem atycz­ nym i, w m echanice są to ró w n an ia różniczkow e. T eoria jest rozw ijana przez w yciąganie z tych praw konsekw encji za po­ m ocą m atem atycznego rozum ow ania. Sam a m atem aty k a jest postrzegana nie ja k o n auka, ale jako język dla innych nauk. N ie jest ona n au k ą , poniew aż nie ma swojego przedm iotu. N ie m a danych obserw ow alnych, do których m o żn a stosow ać reguły interpretacyjne. W edług kate­ gorii filozoficznych, k tó re przyjm uje pozytyw izm logiczny, m a­ tem aty k a w ydaje się jedynie fo rm aln ą stru k tu rą. W ten sposób pozytyw izm logiczny w filozofii nauki prow adzi do form alizm u w filozofii m atem atyki. Jak o filozofia m atem atyki form alizm nie odpow iada sposo­ bowi m yślenia aktyw nego m atem atyka, ale nie stanow iło to problem u dla pozytyw istycznych filozofów nauki. Ponieważ orientow ali się oni głównie n a fizykę teoretyczną, m ogli patrzeć n a m atem atykę po p ro stu ja k na narzędzie, nie zaś ja k na żyjący i rozw ijający się przedm iot sam w sobie. Z punktu w idzenia użytkow nika jest możliwe, a niekiedy naw et wygodne, identyfikow anie samej m atem atyki z jej aksjom atycznym przed­ stawieniem podręcznikow ym . Z p u n k tu w idzenia wytwórcy przedstaw ienie aksjom atyczne jest w tórne. Jest to jedynie sub­ telność, k tó rą się w prow adza po w ykonaniu pierw otnej pracy, po procesie m atem atycznego odkryw ania. F a k t ten m oże być ignorow any przez fizyka, a jeszcze bardziej przez filozofa fizyki, którego pojęcie o m atem atyce opiera się głównie na logice i filozofii m atem atyki, a nie n a udziale w rozwijaniu samej m atem atyki. W filozofii nauki pozytyw izm logiczny ju ż nie jest popularny. Jak o alternatyw a w ystępuje dziś historyczno-krytyczny pu n k t w idzenia, biorący się głównie z pracy K a rla P oppera. M a on je d n a k niewielki wpływ na filozofię m atem atyki.

Form alistyczna filo zo fia m atem atyki D o dziedzictw a R ussella, Fregego i W ittgensteina należy szkoła filozofii analitycznej utrzym ująca, że głów nym p ro b le­ m em filozofii jest analiza znaczenia, przy czym istotnym n arzę­ dziem jest logika. S koro m atem aty k a jest gałęzią wiedzy, której logiczna s tru k tu ra jest ro zu m ian a najlepiej, tw ierdzi się, że filozofia m atem aty k i jest najbardziej zaaw ansow aną gałęzią filozofii i m odelem dla innych jej części. Jak o dom inujący styl filozofii anglo-am erykańskiej filozofia analityczna zm ierza do uw iecznienia identyfikacji filozofii m atem aty k i z logiką i b a d a ­ niem system ów form alnych. P rzy tak im p unkcie widzenia całkow icie niew idoczny staje się problem o podstaw ow ym d la m atem aty k a znaczeniu. Jest to problem dostarczen ia filozoficznego opisu aktualnego rozw oju m atem atyki, m atem atyki preform alnej, m atem atyki n a sali w ykładow ej i n a sem inarium , w łączając w to zbadanie, ja k się ta p refo rm aln a m atem aty k a m a do form alizm u i ja k on na nią wpływa. N ajbardziej w pływ ow ym przykładem form alizm u ja k o stylu przedstaw iania m atem aty k i były pism a g rupy znanej zbiorow o ja k o N icolas B ourbaki. Pod tym pseudonim em opublikow ano serię podstaw ow ych tekstów akadem ickich z teorii m nogości, algebry o raz analizy i seria ta w yw arła w latach pięćdziesiątych i sześćdziesiątych X X w. ogrom ny wpływ n a całym świecie. Styl form alistyczny przenikał stopniow o w dół do coraz to niższych p oziom ów n au czania, a w końcu, p o d nazw ą „now ej m atem aty k i” , w d arł się naw et do przedszkoli, z tekstam i o teo ­ rii m nogości. W celu nauczenia starszych dzieci ja k ro zp o z­ naw ać, zgodnie z logiką fo rm aln ą, „p o p raw n ie ułożoną fo r­ m u łę” (P U F ) w ym yślono grę form alno-logiczną p o d nazw ą „P U F i dow ód” . W o statn ich latach reakcja przeciw ko form alizm ow i n arasta. W najnow szych b ad an iach m atem atycznych w idać zw rot ku k o n k reto w i i zastosow aniom . W tekstach i tra k ta ta c h więcej jest dbałości o przy k ład y i m niej ścisłości w form alnym przeds­ taw ianiu. F o rm alisty czn a filozofia m atem aty k i jest in telek tu al­ nym źródłem form alistycznego stylu m atem atycznej pracy. Są znaki, że filozofia form alistyczna m oże w krótce utracić swój uprzyw ilejow any status. Dalsze lektury (patrz bibliografia) H. B. Curry [1951]; A. R obinson [1969]

331

O d pewności do omylności

LAKATOS I FILOZOFIA POWĄTPIEWANIA

Imre Lakatos 1922-1974

332

W ysiłek zm ierzający do ustalenia podstaw y pew ności m ate­ m atycznej zdom inow ał filozofię m atem atyki dw udziestego wie­ ku. R adykalnie odm ienne rozw iązanie zap ro p o n o w ał Im re L ak ato s w swojej w ybitnej pracy, do której teraz sięgamy. W yrosła o n a z now ych p rądów w filozofii nauki. W nauce poszukiw anie „ p o d sta w ” prow adzi do tradycyj­ nych problem ów „logiki indukcyjnej” : ja k z pojedynczych eksperym entów i obserw acji dochodzić do ogólnych praw . W 1934 r. zaszła w filozofii nauki rew olucja, K arl P opper w ysunął bow iem tezę, że nie jest ani możliwe, ani potrzebne u zasadnianie praw nauki przez uzasadnianie rozum ow ania indukcyjnego. P opper utrzym yw ał, że teorie naukow e nie p o ­ w stają w sposób indukcyjny z faktów , lecz raczej są wym yślane ja k o hipotezy, spekulacje, naw et odgadyw ania, a następnie są p o d daw ane testom eksperym entalnym , w trakcie których k ry­ tycy p ró b u ją je obalić. T eoria m a praw o nazyw ać się naukow ą, pow iada P opper, tylko w tedy, gdy m oże być w zasadzie testo ­ w an a i ryzykow ać odrzucenie. K iedy teoria przechodzi przez tak i test, zyskuje pew ien stopień w iarygodności i m ożna ją uw ażać za czasow o u stalo n ą, ale nigdy za dowiedzioną. Teoria n au k o w a m oże być obiektyw nie praw dziw a, ale nie m ożem y nigdy z całą pew nością tego wiedzieć. C hociaż idee P o p p era były krytykow ane i naw et teraz są niekiedy trak to w a n e ja k o jed n o stro n n e i niezupełne, jego k ry ­ tyk a d o g m atu induktyw istycznego pociągnęła za sobą zasad­ niczą zm ianę sposobu m yślenia ludzi o wiedzy naukow ej. P odczas gdy P o p p er i inni współcześni myśliciele przekształ­ cali filozofię nauki, filozofia m atem atyki pozostaw ała względ­ nie stała. Jesteśm y ciągle w cieniu wielkich sporów z wczesnych lat dw udziestego w ieku odnoszących się do podstaw . F o r­ m alizm , intuicjonizm i logicyzm — każdy pozostaw ił swój ślad w postaci pew nego p ro g ram u b ad ań m atem atycznych i os­ tatecznie w niósł swój w kład do całej m atem atyki. Jako p ro g ­ ram y filozoficzne, ja k o p ró b y u stalenia bezpiecznych podstaw wiedzy m atem atycznej, wszystkie biegły swoim torem i urwały się lub wyczerpały. A je d n a k coś z nich pozostało; nie sfor­ m ułow any consensus, że filozofia m atem atyki to b ad an ia nad p odstaw am i m atem atyki. Jeśli b ad a n ia w zakresie podstaw uznaję za nieinteresujące lub obojętne, stw ierdzam , że po p ro stu nie interesuję się filozofią (tym sam ym pozbaw iając się najm niejszej szansy sk o n fro n to w an ia i w yjaśnienia swoich wła-

L akatos i filo zo fia powątpiewania snych niepew ności co do sensu, n atu ry , celu czy znaczenia b ad ań m atem atycznych). L ak ato s wszedł n a ten ob szar ja k o w ykształcony m atem aty ­ cznie filozof i zw olennik teorii P o p p era o wiedzy naukow ej. U kończył m atem aty k ę, fizykę i filozofię w D ebreczynie (1944) i przeżył nazistów , ale jego m a tk a i b ab k a zginęły w Oświęci­ m iu. (U rodził się ja k o L ipschitz i dla zapew nienia sobie bez­ pieczeństw a przed N iem cam i w 1944 r. zm ienił nazw isko na Im re M o ln ar, a następnie, kiedy wszedł w posiadanie koszul z m o n o g ram em I.L ., n a Im re L akatos). Po wojnie był aktyw ­ nym k o m u n istą i przez pew ien czas w ysokim urzędnikiem w M inisterstw ie E dukacji, ale w 1950 r. został aresztow any i spędził trzy la ta w więzieniu. Po uw olnieniu, dzięki R en y i’em u znalazł zajęcie tłum acza p rac m atem atycznych na węgierski; w śród przetłum aczonych książek była P o ly a ’i J a k to rozwiązać. Po p o w stan iu 1956 r. opuścił W ęgry i ostatecznie d o ta rł do Anglii, gdzie d o stał się p o d wpływ P o p p era i rozpoczął pracę n ad d o k to rate m z filozofii. O baj, P o p p er i Pólya, są ojcam i chrzestnym i pracy L ak ato sa; zgodnie z sugestią P o ly a’i ja k o swój tem at w ziął w zór E u lera-K artezju sza V —E + F = 2 (por. rozdz. 6 , Tworzenie nowej m atem atyki). Z am iast przedstaw iać sym bole i reguły w nioskow ania, p o k a ­ zuje istoty ludzkie, nauczyciela i jego uczniów . Z am iast p rzed ­ staw iać system b u d o w an y od pierw szych zasad, pokazuje zde­ rzanie poglądów , arg um enty i k o n trarg u m en ty . Z am iast m ate­ m atyki pod o b n ej do szkieletu i skam ieniałej, pokazuje m atem a­ tykę w yłaniającą się z pro b lem u i hipotezy, z teo rią n ab ierającą p rzed naszym i oczym a kształtów , w gorączce dyskusji i niez­ gody, w śród w ątpliw ości p row adzących do pew ności i znów do w ątpliw ości. Proofs and R efutations (D owodzenie i obalanie) to tytuł arcydzieła L ak ato sa. Przez piętnaście lat był to rodzaj podziem ­ nej klasyki dla m atem aty k ó w , znanej tylko tym niewielu nieus­ traszonym d u chom , k tó re ośm ieliły się przeniknąć obszerne tom y British Journal fo r Philosophy o f Science, gdzie ukazało się on o w 1963 r. w postaci serii złożonej z czterech artykułów . W k o ń cu zostało opu b lik o w an e przez O xford U niversity Press w postaci książki w 1976 r„ w trzy lata po śmierci L ak ato sa na guza m ózgu w w ieku 51 lat. W Proofs and R efutations a u to r posługuje się h isto rią jak o środkiem , n a k tó ry m opiera przesłanie: m atem aty k a, pod o b n ie ja k n au k i przyrodnicze, jest om ylna i podlega zw ątpieniom ; p o d o b n ie rośnie o n a w rezultacie krytyki i po p raw ian ia jej

333

O d pewności do omylności

334

teorii, k tó re nigdy nie są całkow icie w olne od niejasności, m ożliw ości błędu czy przeoczeń. Z aczynając od problem u czy hipotezy, szukam y dow odów i kontrprzykładów . N ow e do­ w ody w yjaśniają stare k ontrprzykłady, now e kontrprzykłady podw ażają stare dow ody. W tym kontekście nieform alnej m a­ tem atyki „d o w ó d ” dla L ak a to sa nie jest procesem m echanicz­ nym w nierozerw alnym łańcuchu przenoszącym praw dę od założeń do w niosków . O znacza on raczej w yjaśnianie, uza­ sadnianie, rozpracow yw anie, k tóre spraw iają, że hipoteza staje się bardziej p ra w d o p o d o b n a, bardziej przekonująca, a jed ­ nocześnie p o d presją k o n trp rzy k ład ó w bardziej szczegółowa i dok ład n a. K ażdy k ro k do w o d u sam z kolei podlega krytyce, która m oże być zaledw ie sceptycyzm em , ale m oże też polegać na zbudow aniu k o n trp rz y k ła d u n a jakiś k onkretny argum ent. K o n trp rzy k ład , k tó ry podw aża jeden k ro k w rozum ow aniu, jest przez L a k a to sa nazyw any kon trp rzy k ład em lokalnym ; k o n trp rz y k ła d podw ażający nie rozum ow anie, ale sam w nio­ sek, nazyw a on k ontrprzykładem globalnym . T ak więc L ak a to s zastosow ał sw oją analizę epistem ologiczną nie do m atem atyki sform alizow anej, ale do m atem atyki niefor­ malnej, m atem atyki w procesie w zrostu i odkryw ania, która jest oczywiście ta k ą m atem atyką, ja k ą znają m atem atycy i stu­ denci m atem atyki. M atem atykę sform alizow aną, której w osta­ tnich latach pośw ięcono tyle filozofow ania, w istocie z trudem m ożna znaleźć gdziekolw iek n a ziemi czy w niebie, poza tekstam i i czasopism am i logiki sym bolicznej. C o do form y, to Proofs and R efutations są dialogiem prow a­ dzonym w grupie, kon ty n u acją podobnego dialogu z książki P ólya’i Induction and Analogy in M athem atics. Nauczyciel przedstaw ia pochodzący od C auchy’ego tradycyjny dow ód w zoru E ulera, w którym kraw ędzie w ielościanu rozciąga się w postaci siatki n a płaszczyźnie, a następnie stopniow o redukuje do pojedynczego tró jk ąta. Jeszcze przed zakończeniem dow odu g ru p a po d aje całą galerię kontrprzykładów . Toczy się walka. Czego napraw dę dow ód dowodzi? Co wiemy w m atem atyce i jak to wiemy? D yskusja schodzi n a coraz głębsze poziom y rozum ie­ nia, zarów no m atem atycznego ja k i logicznego. Stale kontestuje się różne p u n k ty w idzenia, a także robi raptow ne zw roty, kiedy to jak aś osoba zm ienia swój p u n k t w idzenia i przechodzi na pozycję w łaśnie opuszczoną przez jej antagonistę. Jak o k o n tra p u n k t do tych fajerw erków dialektycznych odsyłacze dostarczają praw dziw ej, udokum entow anej historii hi-

L a ka to s i filo zo fia powątpiewania potezy E u lera-K artezju sza, zadziw iająco szczegółowo i całoś­ ciowo. G łów ny tekst jest częściowo „racjo n aln ą rek o n stru k cją” rzeczywistej historii. A m oże lepiej byłoby powiedzieć, ja k to raz uczynił L ak ato s, że rzeczywista h isto ria jest p aro d ią jej racjonalnej rekonstrukcji. P roofs and R efutations są p racą przygniatającą. Efektem jej polem icznej błyskotliw ości, złożoności jej rozum ow ań, jej świa­ dom ego w yrafinow ania i sam ej wagi historycznej wiedzy jest olśnienie czytelnika. N ależałoby m oże powiedzieć, że w Proofs and R efutations L ak ato s w ykazuje, iż dogm atyczne filozofie m atem atyki (logis­ tyczna i form alistyczna) są nie do przyjęcia i pokazuje, że m ożliw a jest p o p p ero w sk a filozofia m atem atyki. W istocie jed n ak nie p rzep ro w ad za on p ro g ram u rekonstrukcji filozofii m atem atyki n a podstaw ie epistem ologii om ylności. W głów nym tekście P roofs and R efutations słyszymy osoby wym yślone przez au to ra , ale nie sam ego auto ra; p okazuje on nam m atem atykę, ja k ją widzi, ale nie w yjaśnia do ko ń ca całego znaczenia tego co pokazuje, czy m oże raczej znaczenie to ukazuje jedynie w krytycznym sensie, zw łaszcza w otw artym a ta k u na form alizm . Ale jak ie jest to znaczenie w sensie pozytyw nym ? Przede w szystkim pow inniśm y wiedzieć, o czym jest m atem a­ tyka. P lato n ik (w szczególności p lato n ik logiczny, taki ja k Frege albo wczesny R ussell) pow iedziałby, że trak tu je ona o obiektyw nie istniejących bytach idealnych, k tóre pew na in­ telektualna zdolność pozw ala n am bezpośrednio dostrzegać lub intuicyjnie wyczuwać, p o d o b n ie ja k nasze pięć zm ysłów p o ­ zwala nam postrzegać obiekty fizyczne. Jednakże niewielu współ­ czesnych czytelników , a z pew nością nie L ak ato s, jest gotow ych pow ażnie rozw ażać istnienie, obiektyw ne, p oza czasem i p rze­ strzenią, w szystkich bytów współczesnej teorii m nogości, a tym mniej bytów czekających n a ujaw nienie w przyszłych teoriach. Z drugiej strony, fo rm alista powie, że m atem aty k a jest o ni­ czym, że o n a p o p ro stu jest. F o rm u ła m atem atyczna jest po p ro stu fo rm u łą i nasze przekonanie, że m a o n a treść, jest iluzją, której nie należy b ro n ić ani uzasadniać. Stanow isko to daje się utrzym ać tylko w tedy, gdy się zap o m in a, że m atem aty k a nie­ form alna je s t m atem aty k ą. F o rm alizacja jest jedynie a b stra k ­ cyjną m ożliw ością, której n ik t nie chce ani nie jest w stanie w rzeczywistości przeprow adzić. L ak a to s utrzym uje, że niefo rm aln a m atem aty k a jest n au k ą w sensie P o p p era, że rozw ija się w procesie narastającego krytycyzm u, w ysubtelniania teorii oraz w ysuw ania teorii no-

335

O d pewności do omylności wych i konkurencyjnych (inaczej niż to sugeruje dedukcyjna p o stać m atem atyki sform alizow anej). Jednakże w naukach przyrodniczych d o k try n a P o p p era zależy od obiektywnego istnienia św iata przyrody. Poszczególne stw ierdzenia czaso­ przestrzenne, takie ja k „w oltom ierz pokazuje 3,2” , d o star­ czają testów , przez k tóre teorie naukow e są krytykow ane i czasem odrzucane. Ż eby posłużyć się żargonem Poppera, te „podstaw ow e stw ierdzenia” są „potencjalnym i falsyfikatora m i” . Jeśli m atem aty k a nieform alna zostaje zrów nana z naukam i przyrodniczym i, m usim y zlokalizow ać jej „o b iek ty ” . Jakie są „podstaw ow e stw ierdzenia” przedm iotu dostarczające p o ten­ cjalnych falsyfikatorów dla p ro ponow anych nieform alnych te­ orii m atem atycznych? P ytanie to nie jest naw et w Proofs and R efutations postaw ione, a jed n ak jest to pytanie główne i trzeba się z nim up o rać, jeśli się chce pójść dalej w konstruow aniu om ylnościow ej czy niedogm atycznej epistem ologii m atem atyki. N igdy nie będziem y wiedzieć, czy L ak ato s rozw iązałby ten problem . Po n ap isan iu Proofs and R efutations odw rócił się on

Kartezjusz (1635) i Euler (1752) twierdzili, że V —E + F = =2 dla wszystkich wielościanów. Imre Lakatos skupił uwagę na następującej potem komedii omyłek, kiedy to matematyka odkrywała kolejne podważające teorię dziwadla wielościenne i usiłowała tę teorię naprawiać. Czy ostatnie słowo ju ż padło? (V = liczba wierzchołków, E = liczba krawędzi, F = liczba ścian)

336

L akatos i filo zo fia powątpiewania od filozofii m atem aty k i i stał się w ybitnym polem istą w sp o ­ rach w okół filozofii n au k i z udziałem takich au to ró w jak C arn ap , P o pper, T h o m as K u h n , Pólanyi, T oulm in i Feyerabend. N iew ątpliw ie chciał do m atem aty k i wrócić, ale do chwili nagłej śm ierci w lutym 1974 r. tego nie uczynił. C zęściow a odpow iedź jest zaw arta w jednym z artykułów drugiego to m u jego pośm iertnych dzieł zebranych. T en arty k u ł A renaissance o f empiricism in the philosophy o f m athem aticsl zaczyna się od im ponującego zb io ru cytatów kilk u n astu w ybit­ nych m atem aty k ó w i logików , k tó re w szystkie po k azu ją, że zaniechano szukania bezpiecznych podstaw . W szyscy się zga­ dzają, że nie m a innego p o w o d u do w ierzenia w m atem atykę poza tym , że w ydaje się o n a funkcjonow ać. V on N eu m an n pow iada, że nie jest o n a gorsza przynajm niej od współczesnej fizyki, w k tó rą także wielu ludzi zdaje się wierzyć. U sunąw szy g ru n t spod n óg o p o n en tó w przez p okazanie, że jego „h erety ­ cki” po g ląd w rzeczywistości nie przeciw staw ia się m atem aty cz­ nem u establishm entow i, L ak a to s idzie dalej i szkicuje różnicę m iędzy teoriam i „euklidesow ym i” , takim i ja k tradycyjne filo­ zofie p o d staw m atem atyki, a teoriam i ,,quasi-em pirycznym i” , k tó re tra k tu ją m atem aty k ę ja k o w ew nętrznie hipotetyczną i w ątpliw ą. P okazuje, że jego teo ria jest quasi-em piryczna (a nie czysto em piryczna i p ro sta), poniew aż p otencjalne falsyfikatory czy podstaw ow e stw ierdzenia m atem aty k i z pew nością nie są, inaczej niż w n au k ach przyrodniczych, k o nkretnym i stw ier­ dzeniam i czasoprzestrzennym i (tzn. stw ierdzeniam i takim i ja k „w oltom ierz po k azu je 3,2” ). Swoją w łasną odpow iedź przed­ staw ia w dw óch częściach. Przede w szystkim dla sform alizow a­ nych teorii m atem atycznych potencjalnym i falsyfikatoram i są teorie nieform alne. Innym i słowy, jeśli pow staje p ro b le m ‘a k ­ ceptacji lub odrzucenia p ro p o n o w an eg o u k ład u aksjom atów teorii m nogości, to decyzję podejm ujem y stosow nie do tego, jak do b rze system fo rm alny od tw arza lub zgadza się z niefor­ m alną teo rią m atem aty czn ą, k tó rą przede w szystkim m am y na uwadze. Oczywiście L ak a to s jest w pełni św iadom , że m ożem y zdecydow ać się także na m odyfikację naszej teorii nieform alnej i że decyzja, k tó rą d ro g ą pójść, m oże być złożona i k o n tro w e r­ syjna. W tym m iejscu staje on tw arzą w tw arz z głów nym p ro b ­ lemem. Czym są „o b iek ty ” nieformalnych teorii m atem atycz­ nych? K iedy m ów im y o liczbach czy tró jk ątac h niezależnie od jakiegokolw iek u k ład u ak sjom atów i definicji, o jakich ro d za­ jach bytów m ów im y? Istnieje wiele m ożliw ych odpow iedzi,

337

O d pewności do omylności n iektóre sięgają wstecz aż do A rystotelesa i P latona, wszyst­ kie zaś kryją w sobie trudności i m ają za sobą długie dzieje p ró b ich usunięcia. Stanow isko om ylnościow e pow inno prow a­ dzić do nowej krytyki starych odpow iedzi i być m oże do nowej odpow iedzi, k tó ra w prow adziłaby filozofię m atem atyki w głó­ w ny strum ień współczesnej filozofii nauki. L ak ato s nie m ógł się jed n ak zdecydow ać. Pisał: „O dpow iedź chyba nie będzie jedno­ lita. W nikliw e studia historyczno-krytyczne praw dopodobnie do p ro w ad zą do w yrafinow anego i złożonego rozw iązania” . Stanow isko z pew nością rozsądne, jednakże rozczarow ujące. W prow adzenie do Proofs and R efutations jest ostrym ata­ kiem n a form alizm , k tó ry L ak ato s definiuje ja k o tę szkołę, któ ra zmierza do identyfikacji m atem atyki z jej form alną, aksjomatyczną abstrakcją i filozofii m atem atyki z m etam atem atyką. Form alizm odrywa historię m atem atyki od filozofii matematyki [...] Form alizm odmawia statusu m atem atyki wielkiej części tego, co się powszechnie za m atem atykę uważa i nic nie potrafi powiedzieć o jej rozwoju [...] Przy obecnej dominacji formalizmu rodzi się pokusa parafrazowania K anta: historia matem atyki, której brakuje przewodnictwa filozofii, stała się ślepa, podczas gdy filozofia m atem atyki, odwracająca się plecami do najbar­ dziej intrygujących zjawisk w historii matem atyki, stała się pusta. [...] Form alistyczna filozofia m atem atyki m a korzenie bardzo głębokie, jest ostatnim ogniwem w długim łańcuchu dogmatycznych filozofii matematyki. Spór między dogm atykam i a sceptykami trwał ponad dwa tysiące lat i w tym wielkim sporze m atem atyka była wyniosłą twierdzą dogmatyzmu. [...] Teraz wyzwanie to minęło.

Jednakże L ak a to s nie tw ierdzi, że to jego w łasna praca spow odow ała, że w yzwanie m inęło. Pisał: Sens tego studium przypadku polega na rzuceniu wyzwania matematycz­ nem u formalizmowi, ale nie atakuje ono ostatecznych stanowisk matematy­ cznego dogmatyzmu. Jego skrom nym celem jest wypracowanie poglądu, że nieform alna, quasi-empiryczna m atem atyka nie narasta przez monotoniczny wzrost liczby niewątpliwie ustalonych twierdzeń, ale przez nieustające popraw ianie domysłów, przez spekulację i krytykę, przez logikę dowodzenia i odrzucania.

338

L akatos szybko w yrósł n a w ybitną postać m iędzynarodowego środow iska filozofów nauki, jednakże (wyjąwszy stosunkowo pełne streszczenie, które ukazało się w M athem atical Reviews) nie jest mi znana żad n a opu b lik o w an a krytyka czy odpow iedź na Proofs and Refutations aż do jej pow tórnej, pośm iertnej publikacji w książkowej form ie przez C am bridge U niversity Press w 1976 r. Pierw sza kry ty k a pojaw iła się w sam ej tej książce, w postaci odsyłaczy i k o m entarzy dodanych przez jej redaktorów , Johna

L a ka to s i filozofia powątpiewania W o rralla i Eliego Z ah a ra. Ich uw agi zn ajd u ją się w odsyłaczach na stronicach 56, 100, 138 i 146 oraz na dw óch stronicach 125-126 now ego dialogu. N ajbardziej zdecydow ana jest k ry ty ­ ka n a s. 138. N a tej stronicy L ak a to s napisał, że w celu d o k o n an ia rewizji pew nościowej filozofii m atem atyki „należy poniechać idei, że nasza in tu icja w nioskow ania dedukcyjnego jest n iezaw o d n a” . R ed ak to rzy napisali: Ten fragment wydaje nam się błędny i nie mam y najmniejszej w ąt­ pliwości, że L akatos, który żywił najwyższy szacunek dla formalnej logiki dedukcyjnej, sam by go zmienił. Logika pierwszego rzędu doszła do takiego scharakteryzow ania prawdziwości wnioskowania, które (w porów naniu z charakterystyką „logicznych” terminów języka) sprawia, że wnioskowanie popraw ne jest istotnie niezawodne.

T o sam o stanow isko znajduje się w innych odsyłaczach i m ateriale dodatkow ym . L ak ato s „dość pow ierzchow nie ocenia osiągnięcia »rygorystów« m atem atycznych” . „Cel ścisłego rygory­ stycznego dow odu jest osiągalny” . „N ie istnieje poważne rozum ie­ nie, w k tó ry m takie d o w ody m ogą być p o d d an e w w ątpliw ość” . W ydaw cy w yraźnie sądzą, że jest spraw ą wielkiej wagi p o ­ praw ianie L a k a to sa tam , gdzie po d d aje on w w ątpliw ość ist­ nienie ostatecznego rozw iązania p ro b lem u ścisłości m atem aty ­ cznej. C zytając ich k o m entarze, nieostrożny czytelnik m ógłby uwierzyć, że dzisiejsza p ra k ty k a m atem atyczna osiągnęła stan. w k tó ry m nie m a ju ż m iejsca n a błędną decyzję co do tego, czy dow ód jest czy nie jest p o praw ny. U trzy m u ją oni, że współczesny, form alny, dedukcyjny dow ód jest pew ny, a jedynym źró d ­ łem w ątpliw ości co do praw dziw ości w niosku m oże być p ra w ­ dziwość przesłanek. Jeśli rozw ażam y tw ierdzenie nie ja k o stwierdzenie zaw arte w jego tezie, ale ja k o stw ierdzenie w a ru n ­ kowe postaci „jeśli założenia są praw dziw e, to teza jest p raw ­ dziw a” , to w tej w arunkow ej postaci, p o w iad ają W o rrall i Z a har, osiągnięcia logiki pierw szego rzędu spraw iają, że jego praw dziw ość jest niepodw ażalna. W tak im zakresie, pow iadają, filozofia om ylności L ak a to sa jest niepopraw na. W m ojej opinii rację m a L ak ato s, w błędzie zaś są W orrall i Z ah ar. Co jeszcze bardziej zadziw iające, ich sprzeciw m a korzenie w tym sam ym błędzie, k tó ry L ak a to s tak nam iętnie w swoim w p row adzeniu atak o w ał - błędzie identyfikow ania samej m atem aty k i (k tó rą praw dziw i m atem atycy napraw dę up raw iają w praw dziw ym życiu) z jej m odelem czy p rzed­ stawieniem w m etam atem aty ce lub, jeśli w ola, w logice pierw ­ szego rzędu.

O d pewności do om ylności

340

W orrall i Z a h a r tw ierdzą, że form alne odryw anie w logice pierw szego rzędu nie podlega w ątpliw ości w żadnym poważ­ nym sensie. Z apom nieli jed n ak wyjaśnić, że takie odryw ania są działaniam i czysto hipotetycznym i (wyjąwszy problem y „roz­ ryw kow e” , k tó re m ogą być zadaw ane ja k o ćwiczenia n a kursie logiki). Rzeczyw ista sytuacja jest następująca. Z jednej strony mamy m atem atykę realną, z dow odam i ustalonym i n a m ocy „zgody fachow ców ” . A dow ód rzeczywisty nie jest spraw dzalny ani przez m aszynę, ani naw et przez m atem aty k a nie wtajem niczo­ nego w sposób m yślenia tego działu m atem atyki, w którym dow ód się mieści. N aw et u „w ykw alifikow anych czytelników” m ożna zwykle n a p o tk a ć różnice opinii co do tego, czy dowód rzeczywisty (tj. realnie m ów iony czy napisany) jest pełny i po­ praw ny. W ątpliw ości te rozw iązuje się przez kom unikow anie i w yjaśnianie, nigdy zaś przez transkrybow anie dow odu na rach u n ek p redykatów pierw szego rzędu. Z chw ilą „akceptacji” do w o d u jego rezultaty są uznaw ane za praw dziw e (z bardzo w ysokim praw dopodobieństw em ). O dkrycie błędu w dowodzie m oże trw ać pokolenia. Jeśli tw ierdzenie jest szeroko znane i stosow ane, jego dow ód często studiow any, jeśli wymyśla się dow ody alternatyw ne, jeśli m a on znane zastosow ania i uogól­ nienia, i jest analogiczny do znanych rezultatów w dziedzinach pokrew nych, to zaczyna się go uw ażać za „pew ny ja k skała” . W ten sposób oczywiście cała arytm etyka i geom etria euklidesow a są „pew ne ja k sk ała” . Z drugiej strony, w odróżnieniu od m atem atyki realnej, m am y „m eta m a te m aty k ę” czy „logikę pierw szego rzędu” . Jako dziedzina jest o n a rzeczywiście częścią m atem atyki realnej, ale w istocie p rzedstaw ia stru k tu rę takich dow odów , które są nap raw d ę „z zasad y ” niepodw ażalne. W ten sposób uzy­ skujem y m ożliw ość studiow ania na sposób m atem atyczny kon­ sekwencji m niem anej zdolności do ko n stru o w an ia niepodw a­ żalnych dow odów ; m ożem y, na przykład, podaw ać konstruktywistyczne w arianty reguł dow odzenia i oglądać konsekwencje takiego podejścia. Ja k uzyskanie takiego o b razu m atem atyki wpływa na nasze rozum ienie i prak ty k o w an ie realnej m atem atyki? W orrall i Za­ h a r w ydają się w swojej krytyce L ak a to sa m ówić, że problem niepodw ażalności rzeczywistych dow odów (to jest tego, o czym m ów i L ak ato s) został przekonująco rozw iązany w skutek poja­ w ienia się pojęcia niepodw ażalnego dow odu w m etam atem atyce. (To staro m o d n e dziś, jeśli nie przestarzałe określenie Hilber-

L akatos i filo zo fia powątpiewania ta n a oznaczenie teorii d o w o d u pozostaje w tej dyskusji w ygod­ ne ja k o nazw a studium m odelu system ów form alnych w m ate­ matyce). M o żn a się zastanaw iać, ja k uzasadniliby takie stan o ­ wisko. O statn io pew nien dobrze znany an alityk, jedząc lunch z g ru ­ pą zaprzyjaźnionych m atem atyków , w spom inał, ja k w swoich studenckich latach czytał raz książkę Logic fo r M athem aticians napisaną przez P au la R osenbłoom a. Jego znakom ity profesor (bardzo dobrze zn any analityk) kazał m u się pozbyć tej książki. „N a czytanie tego przyjdzie czas, kiedy będziesz zbyt stary i zm ęczony n a robienie praw dziw ej m atem aty k i” — pow iedział coś w tym duchu. P ozostali m atem atycy, słuchając tej historii, byli zdziwieni ujaw nieniem tak ich ciasnych poglądów , nikt jed n ak nie był zaskoczony ani zszokow any. W istocie ogólnie się zgodzono, że stary p ro feso r m iał rację w tym sensie, że studiow anie logiki z pew nością analitykow i nie pom oże, a n a ­ wet m oże m u zaszkodzić. D zisiaj ju ż tak by nie było, logika bowiem ja k o część m atem atyki oferuje teorie, k tó re analitykow i czy algebraikow i m ogą służyć za narzędzia, ja k n a przy k ład w niestandardow ej analizie. N ie m a to wszakże żadnego zw iązku z uzasadnianiem dow odów przez tłum aczenie ich na form uły logiki pierw szego rzędu. N ajp raw d o p o d o b n iej W o rrall i Z a h a r pow iedzieliby, że d o ­ w ód rzeczywisty jest zaledwie skróconym czy niepełnym d o ­ w odem form alnym . Brzm i to p raw d o p o d o b n ie, pow staje je d ­ nak szereg trudności. W p rak ty ce m atem aty k i realnej czynim y rozróżnienie pom iędzy dow odem pełnym (nieform alnym ) a nie­ pełnym. (W dow odzie pełnym nieform alnym każdy k ro k ro ­ zum ow ania jest dla zam ierzonego czytelnika przekonujący.) Jako d ow ody nieform alne, oba są niepełne. T ru d n o zatem stwierdzić, co się m ów i pow iadając, że rzeczywisty dow ód m atem atyczny jest skrótem form alnego odryw ania, poniew aż to sam o m o żn a pow iedzieć o dow odzie niepełnym i nieakcepto w alnym . Rzecznicy form alizm u (by posłużyć się określeniem L ak a to sa na nazw anie ludzi takich ja k Z a h a r i W o rrall z odsyłaczy) nigdy nie w yjaśniają, w jak im dok ład n ie sensie system y fo rm al­ ne są m odelem m atem atyki. Czy w sensie norm atyw nym : m atem atyka powinna być ja k system form alny? Czy w sensie deskryptyw nym : m atem aty k a je s t ja k system form alny? Jeśli kierow ać się re to ry k ą w stępów do tekstów logicznych, to logika nie d o m ag a się żadnej roli norm atyw nej. Z adow ala

O d pewności do omylności

342

się badaniem swojego m odelu m atem atyki w taki sam sposób w jak i fizyk teoretyk studiuje rów nanie fali ja k o model rozchodzenia się dźw ięku. R ów nanie fali jest przedm iotem b ad a ń m atem atyki czystej. Jeśli chcem y zw iązać te badania z fizycznym zjaw iskiem rozchodzenia się dźw ięku, musimy mieć reguły interpretacyjne. Ja k w rzeczywistości obser­ wujem y albo m ierzym y zm ienne fizyczne opisyw ane przez rów nanie m atem atyczne? A następnie, co najważniejsze, jak duża jest zgodność pom iędzy naszym i obserw acjam i fizycz­ nym i a naszym przew idyw aniem teoretycznym ? P od jakimi w aru n k am i rów nanie fali jest dokładnym opisem zjawiska fizycznego? W niedaw nej i niezw ykle interesującej pracy przeglądowej Solom on F eferm an pow iada, że celem teorii logicznej jest „m odelow anie rozum ow ania w yidealizow anego platońskiego albo w yidealizow anego konstruktyw istycznego m atem atyka” . P okazuje, że chociaż tw orzy się czasem analogię m iędzy za­ stosow aniem przez logików system ów form alnych do studio­ w ania rozum ow ań m atem atycznych a zastosow aniem przez fizyków rów nań różniczkow ych do studiow ania problem ów fizycznych, analogia ta załam uje się, nie m a bow iem analogii do m etody eksperym entalnej fizyki, przez k tó rą m odele logi­ ków m ogłyby być eksperym entalnie testow ane. Pisze on, że „nie m am y takich testów dla teorii logicznych. Jest raczej spraw ą indyw idualnego osądu, ja k dobrze się to ma do codziennego dośw iadczenia. M a oczywiście znaczenie na­ grom adzenie pozytyw nych opinii wielu o só b ” . N ie m a m ow y o niepodw ażalności. F eferm an pow iada: „Acz­ kolwiek znaczenie pracy logicznej nie jest tu decydujące, mam nadzieję przekonać czytelnika, że istnieje sporo rzeczy interesu­ jących, k tó re są bądź znane, bądź b a d a n e ” . R elacjonuje różne wyniki następującego rodzaju: system form alny A , pozornie słabszy (m ający w regułach w nioskow ania mniej „dopuszczal­ nych ruchów ” ) od system u form alnego B, jest w istocie równie silny ja k B. N a przykład, jeśli A jest „form alnym systemem konstruktyw istycznym ” , a B takim ż, ale naruszającym któreś z konstruktyw istycznych ograniczeń, to stąd w ynika, że wszyst­ ko dow odzone w B jest w istocie praw dziw e konstruktyw istycznie. (D ow ód w szakże takiego w yniku w logice nie m ógłby być konstruktyw istyczny. Czy kon stru k ty w ista uzna takie wyjaś­ nienie? A m oże go to zachęci do poszukiw ania, w niektórych przynajm niej przy p ad k ach , konstruktyw istycznego dowodu czegoś dow iedzionego w B.)

L akatos i filo zo fia powątpiewania T ak skrom ne żądania logiki z pew nością nie są kontrow ersyj­ ne. W pływ dzieła Proofs and R efutations polega n a tym, że rysuje ono filozoficzny o braz m atem atyki, k tó ry się drastycznie różni od ob razu przedstaw ianego przez logikę i m etam atem atykę. Co więcej, kiedy te dw a obrazy umieści się obok siebie, nie ulega żadnej kwestii, k tó ry z nich jest bliższy życia. Feferm an pisze: M atem atyk opiera się w swojej pracy na zadziwiająco niejasnych intui­ cjach, posuwa się naprzód, dłubiąc w szczegółach i zaczyna od nazbyt częstych odwrotów. Oczywiście logika, jak a jest, nie potrafi zdać bezpośred­ nio sprawy ani z historycznego rozwoju matematyki, ani z codziennego doświadczenia jej praktyków. Jest także jasne, że poszukiwanie ostatecznych podstaw za pośrednictwem systemów formalnych nie doprowadziło do żad­ nych przekonujących konkluzji.

Feferman m a do pracy Lakatosa poważne zastrzeżenia. W ykazu­ je, że schem at L ak ato sa dow odzenia i obalania nie wystarczy do wyjaśnienia wszystkich gałęzi m atem atyki. W ydaje się, że inne zasady, ja k dążenie do unifikacji różnych dziedzin, dają znacznie lepsze objaśnienie rozw oju abstrakcyjnej teorii grup czy topologii mnogościowej. Jednakże Lakatos nie twierdził, że dostarcza pełnego i wszystko zawierającego wyjaśnienia, ja k m atem atyka się rozwija. Jego celem, wyraźnie sform ułow anym we wstępie, było wykazanie nieadekw atności form alizm u przez pokazanie alternatyw nego obrazu, obrazu m atem atyki żywej i rosnącej, a nie w form alnych aksjom atach spetryfikow anej. Pod tym względem Feferm an w pełni docenia osiągnięcia L akatosa. Pisze: Wielu z tych, którzy interesują się praktyką, nauczaniem i/lub historią matematyki, z wielką sympatią odpowie na program Lakatosa. W spółgra on ze wzmagającymi się krytycznymi i antyautorytarnym i nastrojami naszych czasów. Osobiście z wieloma rzeczami się zgadzam, zarówno w ogólnym podejściu, jak i w szczegółowych analizach.

Ten rzeczowy i zachęcający początek daje nam nadzieję na nowy, oświecający dialog, który m ógłby prow adzić do postępu w rozw ią­ zaniu podstaw ow ego problem u, problem u praw dy i znaczenia w m atem atyce, problem u n atu ry m atem atycznej wiedzy. Nie rozumiesz, czym jest sześcian, jeśli możesz go sobie przedsta­ wić jedynie bezpośrednio. P om aga oglądanie go po d wieloma różnym i kątam i. Jeszcze bardziej pom aga, gdy go podniesiesz, wyczujesz jego rogi i krawędzie, tak ja k je widzisz, oraz zaobserwu­ jesz, co się zdarzy, jeśli go obrócisz naokoło. Pom aga, jeśli zbudujesz sześcian, skonstruujesz go z łam anego i zginanego d ru tu lub wymodelujesz z miękkiej gliny, albo wytniesz na obrabiarce ze stali.

•

343

O d pewności do omylności H iperkostkę m ożesz poznać, p atrząc na jej obrazy lub zaj­ m ując się nią przy konsoli interaktyw nego system u graficznego (por. s. 386). K iedy ją obrócisz i zobaczysz, ja k jeden obraz przechodzi w drugi, m ożesz nauczyć się myśleć o hiperkostce ja k o jednej rzeczy. W analogiczny sposób jed n ą rzeczą jest m atem atyka. Po­ glądy platoński, form alistyczny i konstruktyw istyczny żyją, poniew aż każdy z nich odpow iada pew nem u oglądow i m ate­ m atyki, oglądow i p o d pew nym kątem , lub zb ad an iu jej pew­ nym szczególnym instrum entem obserw acyjnym . N asz problem polega n a znalezieniu rozum ienia samej rze­ czy, d o p asow ania razem w idoków cząstkow ych, z których każdy wzięty z o sobna jest fałszywy, poniew aż jest niepełny i jed n o stro n n y . P oniew aż są to obrazy tej samej rzeczy, są one zgodne. Ich p o zo rn a niezgodność m a swoje źródło w ogląd an iu ich przez nas z niewłaściwym n asta­ wieniem. N a przykład różne obrazy hiperkostki są wzajem nie sprzecz­ ne, jeśli m yślim y o niej ja k o o obiekcie 3-wymiarowym. W przestrzeni 4-w ym iarow ej różne 3-w ym iarow e rzuty pasują do siebie. A lbo, schodząc jeden stopień w dół, różne 2-wymiarowe obrazy zw yczajnego 3-w ym iarow ego sześcianu w yglądają jak obrazy dw óch różnych obiektów , póki nie rozw iniem y w sobie 3-w ym iarow ego w idzenia, czyli „intuicji” , k tó ra pozw oli nam przekształcić jeden w drugi. Istnieje wiele różnych sposobów p atrzen ia n a m atem atykę. W dw udziestym w ieku system atyczne pisanie o m atem atyce z filozoficznego p u n k tu w idzenia upraw iane było przeważnie w tradycji podstaw . Jeśli ktoś pyta, co to jest m atem aty k a, łatw o odpowiedzieć, b iorąc m odel system ów form alnych, aczkolw iek nie jest trudno znaleźć krytykę tego m odelu przez m atem atyków w pełni św iadom ych tego, ja k m ało się on zgadza z ich w łasną p ra k ­ tyką. Jednakże od czasów Fregego rzad k o k tó ry ze znaczniej­ szych filozofów om aw iał m atem atykę z innej perspektyw y niż p odstaw y i logika form alna. N ajlepszym na to lekarstw em jest k o n fro n ta cja z m odelem całkow icie odm iennym . I to właśnie nam dał L ak ato s w P roofs and Refutations. Dalsze lektury ( patrz bibliografia) 344

S. Feferman; R. H ersh [1978]; I. Lakatos [1967], [1976], [1978]

Problem y i zadania

PROBLEMY I ZADANIA Od pewności do omylności P latonizm , fo rm a lizm , kon stru k­ tywizm . Filozoficzne poglądy aktyw nego m atem atyka. M it euklidesowy. P odstaw y — znalezione i utracone. Formalistyczna filo zo fia m atem atyki. L a ka to s i filo zo fia pow ątpie­ wania. Problemy do studiowania (a) M it euklidesow y (b) C o to jest m atem aty k a i co ro b ią m atem atycy? (c) P odstaw y m atem atyki; m eto d a aksjom atyczna Zagadnienia do opracowania 1. Słynny m atem aty k H enri P oincare (1854-1912) napisał: „C o m am y m yśleć o pytaniu; Czy geom etria euklidesow a jest praw dziw a? N ie m a ono sensu. R ów nie dobrze m oglibyśm y pytać [...] czy w spółrzędne kartezjańskie są praw dziw e, a w spół­ rzędne biegunow e fałszywe. Jed n a geom etria nie m oże być praw dziw sza od innej, m oże być tylko w ygodniejsza.” O bjaśnij swojej m łodszej siostrze, k tó ra drugi ro k uczy się geom etrii w liceum , co to znaczy. 2. W rozdziale IV książki P. J. D avisa i R. H ersha, Descar­ tes’ Dream, H a rc o u rt Brace Jovanovich, B oston 1986, D avis rozm aw ia z p ro feso r Jo a n R ich ard s o geom etriach nieeuk­ lidesowych i relatyw izm ie etycznym . P ro feso r R ichards stw ier­ dza: „M ożna ustalić dzisiaj praw dę w m atem atyce, jednakże pojęcie praw d y uległo zm ianie.” O m ów to stw ierdzenie w k o n ­ tekście tego dialogu. R ozw aż pytania: Czy geom etria eu k ­ lidesow a jest obiektyw nie praw dziw a? Czy m eto d a dedukcyjna ustala praw dę, czy też jest o n a tylko grą w dedukcję? Jak odkrycie geom etrii nieeuklidesow ej zm ienia stosunek do p raw ­ dy i m eto d y aksjom atycznej? 3. D la arty k u łu , k tó ry m a się u k azać w The N ew Yorker, porów naj wpływ tw ierdzenia G ó d la o niezupełności z wpływem odkrycia niezależności p o stu latu o rów noległych, zarów no we­ w nątrz ja k i p o za św iatem m atem atycznym . 4. Bierzesz udział w dyskusji i Twój przeciw nik właśnie zakończył argum entow anie, że geom etria euklidesow a jest tą właściwą. M usisz przek o n ać au d y to riu m , że tak nie jest. O bal stw ierdzenie swego przeciw nika przez opisanie dw óch geom e­ trii różnych od euklidesowej. W każdym z tych p rzypadków pokaż, co o d ró żn ia je od geom etrii euklidesowej.

345

O d pewności do omylności

345

5. B ertran d Russell napisał: „M a te m aty k a jest przedm io­ tem , w któ ry m nigdy nie wiemy, o czym m ów im y, ani też czy to, co m ów im y, jest praw dziw e.” W 2-stronicow ym eseju sko­ m entuj to stw ierdzenie R ussella, p o d ając odpow iednie przy­ kłady z m atem atyki. 6 . C o znaczy stw ierdzenie „ M a te m aty k a jest procesem ” ? 7. W artykule Ja k otrzym uje się tak wiele informacji z kilku założeń? (opublikow anym w książce D. M . K e rra (red.) Scien­ ce, Computers, and the Inform ation Onslaught, A cadem ic Press, O rlan d o 1984) A ndrew G leason pro p o n u je następującą defini­ cję m atem atyki: „M a te m aty k a jest n a u k ą o ładzie, a celem m atem atyki jest odkrycie, opisanie i zrozum ienie ładu, który leży u po d ło ża wielu skom plikow anych sytuacji” (s. 87). Po­ przyj lub zakw estionuj to stwierdzenie. N ie poprzestań na ogólnikach. 8 . Z perspektyw y, k tó rą przyjm ujesz (em pirycznej lub racjo­ nalistycznej), rozw aż, czy Tw oim zdaniem m atem aty k a wiąże się z odkryw aniem czy z tw orzeniem i dlaczego. 9. W ybierz jeden tem at z tego rozdziału i opisz go w 1-stronicow ym eseju. 10. N apisz 2-stronicow y esej z trzech lektur: Filozoficzne poglądy aktyw nego m atem atyka, Idealny m atem atyk, W y­ znania nauczyciela m atem atyki. K ażdy z tych esejów traktuje o pew nym sposobie bycia m atem atykiem . W swoim eseju om ów w ystępujące m iędzy tym i trzem a poglądam i na m a­ tem aty k a pod o b ień stw a (jeśli są takie) i różnice (jeśli są takie). 11. N apisz kilka zdań w odpow iedzi na każde z następują­ cych pytań. Z ałóż, że Tw oi czytelnicy czytali Platonizm , fo r ­ m alizm , konstruktyw izm . (a) Ja k platonicy m ów ią o 7i? A ściślej, ja k platonicy objaśniają fakt, że n m ożna znaleźć w teorii liczb, teorii p raw d opodobieństw a, geom etrii itd.? (b) D laczego konstruktyw iści uw ażają hipotezę con tin u ­ um C a n to ra za p ozbaw ioną sensu? (c) Co form alista pow ie o fakcie, że tw ierdzenie P itago­ ra sa m a zastosow ania w świecie fizycznym? Czy jego odpow iedź m a jakiś związek z poglądem na m atem a­ tykę przez f i a t ? 12. N apisz kilka zdań w odpow iedzi n a każde z następują­ cych pytań: (a) Czym są aksjom aty: fizycznie dow odliw ym i praw dam i logicznym i, czy sposobem rozw iązyw ania

Problem y i zadania problem ów ? Poprzyj sw oją tezę odpow iednim i przy­ kładam i. (b) Czy ak sjo m aty są isto tn e dla każdej gałęzi m atem a­ tyki? Jeśli tak, podaj przykłady. A jeśli nie, to dlaczego? (c) Czy ak sjo m aty rzeczywiście m ogą zdefiniow ać teorię m atem atyczną? Jeśli tak , podaj przykład. A jeśli nie, to dlaczego? (d) Ja k ak sjo m aty m ogą ilustrow ać zw iązki m iędzy ró ż­ nym i gałęziami m atem atyki? Nie poprzestań na ogól­ nikach. (e) Jakie wielkie „kryzysy” w historii m atem atyki wiążą się z aksjom atam i? 13. N apisz esej dla The A tla n tic M o n th ly na jeden z nas­ tępujących tem atów : (a) S kładniki system u aksjom atycznego i ich znaczenie. (b) Zależność m iędzy m atem aty k ą a logiką. (c) M eto d a aksjom atyczna: co to jest i jak się ona rozwijała? (d) Logika: co to jest i ja k się o n a rozw ijała? (e) R ola, ja k ą m eto d a ak sjo m aty czn a odgryw a w m ate­ m atyce. 14. Ja k sądzisz, w jak i sposób św iadom e (lub nieśw iadom e) posiadanie filozofii m atem aty k i w pływ a n a tw orzenie nowej m atem atyki? 15. O statn io rozw inęła sie szeroka dyskusja o tym, że fraktale stanow ią rew olucyjny rozdział w geom etrii. Z gadzasz się z tym czy nie? Jak ie m asz argum enty? Pom yśl o tym z p u n k tu w idzenia techniki, n au k i, sztuki. 16. Czym z Tw ojego p u n k tu w idzenia są rzeczy, których jesteś ab solutnie pew ny? R ozw aż w szystkie aspekty życia i m y­ śli. N a czym o p ierają się Tw oje odczucia? 17. P orów naj dow ód w przew odzie sądow ym z dow odem , ja k go rozum ieją m atem atycy. Ja k ą m asz opinię na tem at d o w o d u w m edycynie? 18. Czy jest m ożliwe, żeby stw ierdzenie m atem atyczne było fałszywe, a m im o to użyteczne? U zasadnij odpow iedź. Zadanie komputerowe K o m p u ter nie posługuje się aksjom atam i. Praw dziw e to, czy fałszywe? Dlaczego? faktam i,

347

O d pewności do omylności Proponowane lektury P. J. Davis, R. Hersh, Descartes’ Dream, New Y ork H arcourt, Brace, Jovanovich, 1986 (Rozdział: Perspectives through Time — Non-Euclidean Geomet­ ry and Ethical Relativism). Eric Temple Bell, 100 Year o f Mathematics, Springer-Verlag, New Y ork 1981 (Rozdział: G eom etry and Measurement). Stephen Barker, N on-Euclidean G eometry, w: D. Campbell, J. Higgins, Mathematics, People-Problems-Results, tom II, W adsw orth International, Belmont 1984. Ross H onsberger, Ingenuity in Mathematics, M athem atical Association of America, W ashington, D. C. 1970 (Rozdział: The Algebra o f Statements). Leon H enkin, Are Logic and M athem atics Identical? w: D. Campbell, J. Higgins, Mathematics..., tom II, op. cit. Paul Benacerraf, H ilary Putnam (red.), Philosophy o f Mathematics (Selected Readings), II wyd., Cambridge University Press, New Y ork 1983. Andrew G leason, How Does One G et So M uch Inform ation from So Few A ssum ptions, w: D. M. K err (red.), Science, Computers, and the Information Onslaught, Academic Press, O rlando 1984. Ro.berto Bonola, Non-Euclidean Geometry — A Critical and Historical Study o f Its Development, Dover, New Y ork 1955. Charles D odgson (znany pod pseudonimem Lewis Carroll), Euclid and His Modern Rivals, M acm illan, L ondon 1885. Alfred Tarski, Pisma logiczno-filozoficzne, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PW N, W arszawa 1995 (Artykuł: Praw da i dowód, s. 292-332). G ian-C arlo R ota, The Concept o f M athem atical T ruth, w: Alvin W hite (red.), Essays in Humanistic Mathematics, M athem atical Association o f America, W ashington, D. C. 1993.

8 RZECZYWISTOŚĆ MATEMATYCZNA

Przyjrzyjm y się n iektórym specyficznym przykładom m ate­ m atycznej p racy i zobaczm y, jak ie przesłanie filozoficzne m oże­ m y z nich w yciągnąć. P rzek o n am y się, że aktyw ne b ad an ia m atem atyczne w ym uszają uznanie obiektyw ności p raw d m ate­ m atycznych. „P lato n izm ” aktyw nego m atem aty k a nie jest n a ­ praw dę w iarą w p lato ń sk i m it; jest on św iadom ością stałości n atu ry , uporczyw ości m atem atycznych faktów . One są tym czym są, a nie tym czym chcem y, żeby były. Jednocześnie zobaczym y, że nasza w iedza o tych p raw dach m atem atycznych jest osiąg an a różnym i m etodam i, heurystycz­ nym i i „ścisłym i” . M eto d a heurystyczna m oże być w pełni przekonująca; m eto d a ścisła m oże nas pozostaw ić z dręczącym i w ątpliw ościam i.

HIPOTEZA RIEMANNA Jak o nasz pierw szy przy k ład weźm y najbardziej szanow aną i niek o n tro w ersy jn ą gałąź m atem aty k i czystej — teorię liczb. W teorii liczb weźm y, ja k o nasze studium przy p ad k u , p ro b ­ lem ro z k ła d u liczb pierw szych, ju ż wcześniej przedstaw iany w rozdziale 5. A trakcyjność tego pro b lem u polega na tym , że jesteśm y w stanie zobaczyć co się dzieje na długo przedtem , nim m ożem y to udowodnić. N a przykład, tablica n a s. 206 (wzięta z Z agiera, M ath. Intelligencer, n r 0) pokazuje, że dla x m niej­ szych od 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 liczba liczb pierw szych m niejszych lub rów nych x, p o m n o żo n a przez log x , u k ład a się w niem al d o sk o n ałą linię p ro stą bliską prostej y = x . W obliczu takiej w yrazistości nie sposób oprzeć się sile argum entu. D o k ład n ie tak ja k w popperow skiej teorii wiedzy naukow ej form ułuje się „śm iałe przypuszczenie” , tak bardzo d o k ład n e i pełne treści, że tru d n o uznać, by m ogło być p ra w ­ dziwe „przez p rz y p ad ek ’ . N astęp n ie po d d aje się to przypusz-

~

R zeczyw istość m atem atyczna czenie testow i — raczej obliczeniom num erycznym niż fizycz­ nem u eksperym entow i. T est nie o bala przypuszczenia, które w ten sposób znacznie zyskuje n a sile i staje się jak b y dow ie­ dzione w sensie n a u k przyrodniczych, choć oczywiście nie w sensie m atem atyki dedukcyjnej. D elikatniejszy fragm ent przyrodniczych b a d a ń naukow ych w zakresie liczb pierw szych został przedstaw iony w pracy I. J. G o o d a i R. F. C h u rch h o u se’a z 1967 r. Interesow ała ich funkcja dzeta R iem anna, k tó rą zdefiniow aliśm y i om ówiliśm y w rozdziale 5. Flipoteza R iem anna dotyczy „pierwiastków” funkcji dzeta: liczb zespolonych z, dla których funkcja dzeta jest rów na zeru. R iem ann przypuszczał, że wszystkie te pierwiastki m ają część rzeczyw istą rów ną 1/2. G eom etrycznie leżą one n a prostej „rzeczywista część z rów na się 1/ 2 ”, tj. na prostej równoległej do osi urojonej, odległej od niej o 1 /2 jednostki na praw o. W edług pow szechnej opinii hipoteza R iem anna jest w ybit­ nym nierozw iązanym problem em w m atem atyce. Jeden z dow o­ dów „tw ierdzenia o liczbach pierw szych” zależy od faktu (k tó ry został dow iedziony), że w szystkie zera znajdują się pom iędzy osią u ro jo n ą a p ro stą x = 1. D ow ód, że w szystkie one leżą dokładnie n a prostej x = l / 2 pociągnąłby za sobą jeszcze dokładniejsze w nioski o rozkładzie liczb pierw szych. W ielkim sukcesem G. H. H a rd y ’ego był dow ód, że na prostej x = l / 2 znajduje się nieskończenie wiele zer funkcji dzeta. Ciągle nie wiemy, czy są tam w szystkie. S praw dzono obliczeniam i, że pierwsze 70 000 000 zer zespo­ lonych funkcji dzeta leży n a x = l / 2 . Jednakże, pow iadają G o o d i C hurchhouse, nie jest to poważny argum ent za tym, że hipoteza jest prawdziwa. W teorii bowiem funkcji dzeta i w blisko z nią związanej teorii rozkładu liczb pierwszych, logarytm ¡terowany log log x pojawia się często w formułach asymptotycznych, a ta funkcja rośnie nadzwyczaj wolno. Pierwsze zero poza p rostą R (s)= 1/2, jeśli w ogóle jest takie, musiałoby mieć część urojoną, której logarytm ¡terowany byłby, powiedzmy, rzędu 10, a gdyby tak było, to znalezienie tego zera rachunkiem mogłoby się nigdy nie udać.

350

(Jeśli log log x = 10, to w przybliżeniu x wynosi lO 10 000.) G dyby kom uś w ydaw ało się to przesadą, to autorzy przypo­ m inają inną dobrze spraw dzoną hipotezę, o której w iadom o, że jest praw dziw a w pierw szym m iliardzie przypadków i k tó ra, jak udow odnił L ittlew ood, ostatecznie okazała się fałszywa. G ood i C hurchhouse piszą jed n ak , że celem ich własnej pracy jest zasugerow anie „ p o w o d u ” (cudzysłów pochodzi od nich) do uw ierzenia w hipotezę R iem anna.

H ipoteza Riemanna Ich p ra ca zaw iera coś, co się nazyw a funkcją M óbiusa, a zapisuje p { x ) (i wym aw ia: mi od iks). D o obliczenia p ( x ) ro zk ład am y x n a czynniki pierwsze. Jeśli jak iś czynnik pierwszy się p o w tarza, ja k w 12 = 1 • 2 - 2 - 3 lub 25 = 5 - 5 , to przyj­ m ujem y p (x ) rów ne zeru. Jeśli zaś w szystkie czynniki są różne, to liczymy je; w p rzy p ad k u parzystej liczby czynników kładziem y p (x) = 1 , a jeśli liczba ta jest nieparzysta, to kładziem y / 'W = — 1• N a przykład, 6 = 2 -3 m a p arzy stą liczbę czyn­ ników , a zatem p ( 6 ) = 1. Z drugiej strony, 70 = 2 • 5 • 7, a więc /x(70) = - 1 . D o d ajm y teraz w artości p ( n ) dla w szystkich n mniejszych lub rów nych N. T a sum a plus i m inus jed y n ek jest funkcją N i nazyw a się M (N). Już daw no tem u dow iedziono, że h ip o teza R iem an n a jest ró w now ażna następującej hipotezie: M ( N ) rośnie nie szybciej niż stała k ro tn o ść N l/2+e dla N zm ie­ rzającego do nieskończoności (tutaj e jest dow olne, ale większe od zera). K a żd a z tych hipotez pociąga za sobą drugą i oczywi­ ście obie są ciągle jeszcze nie udow odnione. G o o d i C h u rch h o u se p o d ają „d o b ry p o w ó d ” , aby uwierzyć w hipotezę R iem an n a przez w skazanie „d o b reg o p o w o d u ” (ale nie dow odu!), dla k tó reg o M (N ) m a żą d an ą szybkość w zrostu. Ich „d o b ry p o w ó d ” w ym aga m yślenia o w artościach funkcji M ( N ) ja k o o zm iennych losowych. Dlaczego jest to d o b ry pow ód? F u n k cja M ó b iu sa jest w pełni determ inistyczna: z chw ilą ustalenia liczby n nie m oże być żadnej niejasności co do tego, czy m a o n a pow tarzające się czynniki, a jeśli nie m a, to czy liczba tych czynników jest p arzy sta czy nieparzysta. Z drugiej strony, jeśli sporządzim y tabelę w artości funkcji M óbiusa, „w y g ląd a” o n a losow o w tym sensie, że w ydaje się skrajnie chaotyczna, bez żadnego w yraźnego w zoru czy regu­ larności z w yjątkiem faktu, że p jest z „jednakow ym p ra w ­ d o p o d o b ień stw em ” ró w n a 1 lub — 1 . Ja k a jest szansa, że n nie zaw iera p o w tarzających się czyn­ ników , tj. że p ( n ) # 0? T ak będzie, jeśli n nie jest k ro tn o ścią 4 ani k ro tn o ścią 9, ani k ro tn o ścią 25, ani żadnego innego k w a d ratu liczby pierwszej. P raw d o p o d o b ień stw o , że losowo w y b ran a liczba nie jest k ro tn o ścią 4 wynosi 3/4, że nie jest k ro tn o ścią 9 w ynosi 8/9, że nie jest k ro tn o ścią 25 wynosi 24/25 i tak dalej. C o więcej, w szystkie te w aru n k i są niezależne; inform acja, że n nie jest k ro tn o ścią 4 nic nam nie m ówi o tym, czy ta liczba jest k ro tn o ścią 9. Zgodnie zatem z podstaw ow ym praw em p ro b ab ilisty k i, że p raw d o p o d o b ień stw o zajścia dw óch

35]

R zeczyw istość m atem atyczna

H ipoteza Riemanna

zdarzeń niezależnych jest iloczynem ich poszczególnych praw ­ dopodobieństw , w nosim y, że p raw dopodobieństw o, iż fi («) nie rów na się zeru, jest iloczynem 3

8

24

48

4 ’ 9 ’ 25 ' 49 '

352

C hociaż iloczyn ten zaw iera nieskończenie wiele czynników, m ożna analitycznie policzyć jego w artość i w iadom o, że jest o n a ró w n a 6 /ji2. Z atem praw dopodobieństw o, że fi{ń) = 1 wynosi 3/ti2, a praw ­ dopodobieństw o, że n ( n ) = — 1 jest takie sam o. „W artość ocze­ k iw an a” funkcji fi wynosi oczywiście zero; średnio plus jedynki i m inus jedynki pow inny się znosić. Przypuśćm y teraz, że w ybraliśm y, losow o i niezależnie, b ard zo wielki zbiór liczb całkow itych. W ów czas dla każdej z nich m am y fi = 0 z praw dopodobieństw em 1 — 6 /rc2, p = 1 z praw dopodobieństw em 3 /n 2 oraz f i = — 1 z p raw dopo d o ­ bieństw em 3I n 2. Jeśli dodalibyśm y w szystkie w artości fi, dostalibyśm y liczbę, k tó ra m ogłaby być bardzo duża, gdyby dla większości z naszych w yborów było, pow iedzm y, p = \ . Z drugiej strony, byłoby wysoce niepraw dopodobne, gdyby nasze w ybory daw ały znacznie częściej fi = 1 niż fi = — 1 . W istocie pew ne tw ierdzenie z probabilistyki (nierówność H au sd o rffa) pow iada, że jeśli w ybieram y w ten sposób N liczb, to z praw dopodobieństw em 1 sum a rośnie nie szybciej niż stała razy N 1/2+6 dla N zm ierzającego do nieskoń­ czoności. W niosek ten jest dokładnie tym , czego nam trzeba do dow o­ d u hipotezy R iem anna! Zm ieniliśm y wszakże składniki naszej sum y. W hipotezie R iem an n a pow inniśm y d o d ać w artości fi dla liczb od 1 do A, a m yśm y wzięli N liczb losowo. Co uspraw iedliw ia ten krok? U spraw iedliw ia go nasze prze­ konanie, czy w rażenie, że tablica w artości fi jest „chaotyczna” , „lo so w a” , „nieprzew idyw alna” . Przy takim stanow isku pierw­ sze N w artości fi nie są niczym szczególnym , są „próbką losow ą” . Jeśli przyjm iem y to stanow isko, w ynika stąd, że hipoteza R iem anna jest praw dziw a z prawdopodobieństwem 1. W niosek ten w ydaje się jednocześnie n ieodparty i nonsensow ny. N ieod­ p a rty z pow odu uderzającego sposobu, w k tó ry rozum ow anie probabilistyczne daje dokładnie w ym aganą szybkość wzrostu dla M ( N ) , a nonsensow ny, bo przecież praw dziw ość hipotezy R iem anna z pew nością nie jest zm ienną losow ą, k tó ra może

zachodzić „z praw d o p o d o b ień stw em je d e n ” . A u to r auto ry taty w n ej p racy o funkcji dzeta, H. M . Edw ards, nazyw a ten typ ro zum ow ania heurystycznego „całkow i­ cie ab su rd aln y m ” . (E dw ards odnosi się nie do G o o d a i C hurchhouse a, ale do p racy D en jo y ’a z 1931 r., w której używ a się podo b n eg o , choć m niej szczegółowego ro zum ow ania p ro b ab ili­ stycznego.) D la spraw dzenia swego ro zu m o w an ia probabilistycznego G ood i C hu rch h o u se w ykonali pew ną p racę num eryczną. U ło ­ żyli tabele w artości sum fi (n) dla n przebiegających przedziały o długości 1000. Z naleźli statystycznie d o sk o n ałe potw ierdzenie swego m odelu losowego. Z a p o m o cą o drębnych obliczeń stwierdzili, że liczba wszyst­ kich zer fi(n) dla n pom iędzy 0 a 33 000 000 wynosi 12 938 407. „L iczba oczekiw ana” wynosi 33 000 000 • (1 - 6 /ti2), co daje 12 938 405,6. N azw ali to „zadziw iająco bliską zgodnością, lep­ szą niż n a to zasłużyliśm y” . R ozum ow anie nieścisłe przew i­ działo w ynik m atem atyczny z dok ład n o ścią do ósm ego miejsca. W fizyce czy chemii ek sp erym entalna zgodność z teo rią do ósm ego m iejsca byłaby tra k to w a n a ja k o b ard zo silne po tw ier­ dzenie teorii. T akże tu taj nie sposób wierzyć, że tak a zgodność jest p rzypadkow a. Z asad a, n a której o p a rto takie rachunki, m usi być d o b ra. K iedy w ten sposób odp o w iad am y na heurystyczne arg u ­ m enty, w pew nym sensie o p o w iadam y się po stronie filozofii realistycznej, czyli platońskiej. U trzym ujem y, że przew idyw ana 1 potw ierd zo n a regularność nie jest iluzoryczna, ale że jest tam coś regularnego i podlegającego jak iem u ś praw u. Ł atw o p o d ać przy k ład ciągu stw ierdzeń, k tó re są praw dziw e dla n = 1 , 2 aż do 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i fałszywe wszędzie poteni (na przy k ład stw ierdzenie „n nie jest jednocześnie podzielne przez 2 12 i 5 12” ). T ak więc ten fakt, że hipoteza odnosząca się do liczb n atu raln y ch jest praw dziw a dla pierwszych 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 przy p ad k ó w , z pew nością nie dow odzi, że będzie praw dziw a dla p rz y p ad k u 2 000 0 0 0 0 0 1 . Jednakże w p rz y p ad ­ ku hipotez takich ja k te o rozkładzie liczb pierw szych n ik t nie wierzy, że zachow anie, k tó re obserw ujem y w naszej próbce, nagle się zm ieni w coś rad y k aln ie odm iennego w innej próbce, wziętej trochę dalej w stro n ę nieskończoności. U w ieńczone sukcesem b ad an ia m o żn a p rzeprow adzać jedynie, p o k ład ając pew ną ufność w ład czy „racjo n aln o ść” sys­ tem u liczbowego. Ja k pow iedział E instein, „B óg jest w yrafino­ wany, ale nie złośliwy ’. T a w iara, której fizyk potrzebuje n a to,

353

R zeczyw istość m atem atyczna

354

by wierzyć w m ożliw ość zrozum ienia w szechśw iata, potrzebna jest także m atem atykow i p ró bującem u zrozum ieć swój um ys­ łow y w szechśw iat liczby i form y. Być m oże to właśnie m iał na myśli D ieudonnć, kiedy nazyw ał realizm „w ygodnym ” . Jest on więcej niż w ygodny, jest niezbędny. W zw iązku z tą dyskusją w arto zauw ażyć, że z konstruktyw istycznego i form alistycznego p u n k tu widzenia jest o n a bez sensu. K o n stru k ty w ista pow ie, że hipoteza R iem anna okaże się praw dziw a lub fałszywa dopiero wtedy, kiedy zostanie podany k o n struktyw ny dow ód jednego lub drugiego. I nie m oże być żadnej dyskusji co do tego, czy jest ona już praw dziw a lub fałszywa, niezależnie od dow odu. F orm alista powie, że hipo­ teza R iem anna nie m a żadnego sensu, chyba ja k o przypusz­ czenie, że pew ne stw ierdzenie m ożna otrzym ać z pewnych aksjom atów . I znów nie m a żadnej akceptacji praw dy czy fałszu w m atem atyce p o za tym , co zostało dow iedzione lub obalone. W kontekście takim ja k ten interesujące byłoby pytanie, dlaczego ciągle odczuw am y potrzebę dow odu, czy też jakie do d atk o w e przekonanie uzyskam y, jeśli m iałby się pojawić dow ód na, pow iedzm y, 200 czy 300 stronic pełnych żm u­ dnych rachunków , w któ ry ch najw ytrw alszy m oże się p o ­ gubić. W ydaje się jasne, że pragniem y dow odu, poniew aż jesteśm y przekonani, że w szystkie w łasności liczb n aturalnych m ożna w ydedukow ać z pojedynczego zbioru aksjom atów , a jeśli coś jest praw dziw e i nie p o trafim y tego w ten sposób w ydeduko­ wać, jest to znakiem b ra k u zrozum ienia z naszej strony. Innymi słowy, wierzym y, że dow ód byłby d ro g ą zrozum ienia, dlaczego hipoteza R iem anna jest praw dziw a, co jest czasem czymś więcej niż tylko w iedzą o p a rtą n a przekonującym rozum ow aniu heu­ rystycznym , że jest o n a praw dziw a. Jednakże w tak im razie dow ód, k tó ry jest tak złożony i nieprzejrzysty, że nie rzuca żadnego św iatła n a sprawę, nie spełni tego zadania. D laczego zatem n ad a l p o żądam y dow odu, naw et beznadziej­ nie złożonego i nieprzejrzystego? Przypuśćm y, że został opub­ likow any dow ód liczący 500 stronic. Jak się decyduje, czy dow ód ten jest popraw ny? .Załóżm y, że tak orzekła pewna liczba ekspertów . C zy ogarnie nas radość, poniew aż wiemy teraz zdecydow anie, że hipoteza R iem anna jest prawdziwa? Być m oże jed n ak dow ód m a także inny ceł, jak o test na w igor i pom ysłow ość m atem atyka. Podziw iam y zdobyw cę Eve-

n a n * restu nie dlatego, że w ierzchołek E verestu jest miejscem, gdzie chcielibyśm y być, ale dlatego tylko, że tru d n o się tam dostać. Dalsze lektury (patrz bibliografia) H. Edwards; I. J. G ood, [1954]; D. Zagier

R. F. Churchhouse;

E. Grosswald;

G Pólya

71 a 7T W idzieliśm y, że w teorii liczb św iadectw o heurystyczne m oże być tak silne, że pociąga za sobą przek o n an ie naw et bez ścisłego d o w odu. Jest to rodzaj dośw iadczenia m atem atycz­ nego, k tó ry filozofia m usi dopuścić. Jest p raw d ą, że teo ria liczb po d tym względem typow a nie jest. W większości dziedzin m atem aty k i m am y do czynienia z obiektam i znacznie bardziej skom plikow anym i niż w teorii liczb. Spraw dzenie hipotezy n a k o n k retn y ch przykładach jest często b ard zo tru d n e, a naw et niem ożliwe. D użym osiągnię­ ciem m oże być ujaw nienie choćby pojedynczego nietryw ialnego p rzy k ład u rozw ażanej stru k tu ry albo też tw ierdzenie, k tóre chce się udow odnić, m oże być tru d n e lub naw et niem ożliwe rach u n k o w o do spraw dzenia, naw et n a szczególnych przy k ła­ dach. T ak m oże być, n a przykład, w teorii m nogości i w an ali­ zie funkcjonalnej. M im o to naw et n a tych o b szarach przyjęcie obiektywnej rzeczywistości, w k tórej poszukuje się potw ierdzenia praw dy, jest nie do uniknięcia ani dla badacza, ani dla studenta. Z am iast to p o k azać na jakim ś przykładzie wziętym z któręgoś z bardziej abstrakcyjnych obszarów b ad ań , przedstaw im y tutaj słynny przy k ład B rouw era. W iąże się on z „praw em try ch o to m ii” u k ład u liczb rzeczywistych: k ażda liczba rzeczy­ w ista jest b ąd ź d o d atn ia, b ądź ujem na, b ąd ź jest zerem. Brouw er utrzym yw ał, że jego przy k ład jest ko n tr przykładem na p raw o trychotom ii. P o d ał liczbę rzeczyw istą różną od zera, k tó ra — ja k tw ierdzi - nie jest ani d o d atn ia, ani ujem na. W iększość m atem aty k ó w , kiedy im ten p rzykład pokazać, gw ałtow nie w niosek B rouw era odrzuca. Jego liczba, p o w iad a­ ją, jest b ądź zerem , b ąd ź d o d atn ia, b ąd ź ujem na, a jedynie nie wiemy, ja k a ona jest. P rzedstaw iając ten p rzykład tu taj, uzupełnim y jednocześnie nasze przedstaw ienie k o n stru k ty w izm u w p a ru szczegółach,

355

R zeczyw istość m atem atyczna

5923078164 8410270193 3460348610 0113305305 6274956735 0539217176 22 4 9 5 3 4 3 0 1 4999999837 7838752886 1 7 1 2 2 68 0 6 6

062 8 6 2Q 8 9 9 8 6 2 8 0 3 4 8 2 5 8521105559 6446229489 4 5 4 3 2 6 6 4 8 2 13 3 9 3 6 0 7 2 6 4 8 8 2 0 4 6 6 5 2 1384146951 188 5 7 52 7 2 4 8 9 1 2 2 79 3 8 1 2931767523 8467481846 4 6 5 4 9 5 8 5 3 7 105 0 7 92 2 7 9 2 9 7 8 0 49 9 5 1 0 5 9 7 3 1 7 3 2 8 5875332083 8142061717 13 0 0 1 92 7 8 7 6 6 1 1 1 9 5 9 0 9

34 2 1 1 70 6 7 9 54 9 3 0 38 1 9 6 02 4 9 1 41 2 7 3 94 1 5 1 16 0 9 4 83 0 1 1 94 9 1 2 7 6 6 9 405132 689 2 5 89 2 3 5 1609631859 766 9 1 47 3 0 3 216 4 2 01 9 8 9

14 1 5 926535 8 2 1 4 8 08 6 5 1 4428810975 7245870066 3305727036 9833673362 0 0 0 5 6 81 2 7 1 4201995611 5024459455 5982534904

8979323846 2643383279 3282306647 0938446095 6659334461 2 8 4 7564823 0631558817 4 8 8 1520920 5759591953 0921861173 4406566430 8602139494 4526356082 7785771342 2129021960 8640344181 3469083026 4252230825 2 8 7 5 5 4 6 8 7 3 1 1 5 9 5 62 8 6 3

5028841971 5058223172 3786783165 9628292540 8193261179 6395224737 7577896091 5981362977 3344685035 8823537875

6939937510 5359408128 27 1 2 0 1 9 0 9 1 9171536436 3105118548 1907021798 7363717872 4771309960 2619311881 9375195778

5820974944 4811174502 4564856692 7892590360 0744623799 6094370277 1468440901 5187072113 7101000313 1 8 5 7 7 80 5 3 2

3 809525720 5574857242 8583616035 9 331367702 67 8 2 3 54 7 8 1 3211653449 8164706001 4547762416 8279679766 0674427862

10 6 5 4 85 8 6 3 4541506959 6370766010 8989152104 6360093417 8720275596 6145249192 8625189835 8145410095 2039194945

2788659361 5082953311 4710181942 7521620569 2164121992 0236480665 1732172147 6948556209 3883786360 0471237137

5338182796 6861727855 9555961989 6602-405803 4586315030 4991198818 7235014144 9219222184 9506800642 8696095636

8230301952 8890750983 4676783744 8150193511 2861829745 3479775356 1973568548 2725502542 2512520511 4371917287

0353018529 6899577362 8175463746 4939319255 9 4 4 8 2 5 5 3 7 9 7 7 4 7 2 68 4 7 1 2533824300 3558764024 5570674983 8505494588 6369807426 5425278625 16 1 3 6 11 5 7 3 5 2 5 5 2 1 3 3 4 7 5688767179 0494601653 7392984896 0 8 4 1284886 4677646575 7396241389

9465764078 4962524517 68 6 8 3 8 6 8 9 4 4 390451244 0 168427394 1 5 0 7 6 06 9 4 7 9 009714909 5428584447 0 3 7 4 2 00 7 3 1 8191197939

9512694683 9835259570 4 9 3 9 9 6 5 1 4 3 1 4 2 9 8 09 1 9 0 2774155991 8 5 5 9252459 1 3 6 5 4 97 6 2 7 8 0 7 9 7 7 1 5 6 9 5226746767 8 8 95252138 9451096596 0 9 40252288 6759852613 6 554978189 9 5 2 6 5 8 6 7 8 2 1 0 5 1 1 41 3 5 4 0578539062 1983874478 9520614196 6 3 42875444

9825822620 6592509372 5395943104 1435997700 5225499546 7971089314 3129784821 7357395231 0847848968 0643745123

5224894077 2169646151 9972524680 1296160894 6672782398 5669136867 6829989487 1342716610 3321445713 7181921799

2 6 7 1 9 4 7 8 2 6 8 4 8 2 6 0 1 4 7 6 9 9 0 9 026401 5 7 0 9 8 5 8 3 8 7 41)05978859 5 9 7 7 2 9 7 5 4 9 8459872736 44 6 9584865 3836736222 4169486855 5848406353 4220722258 6456596116 3548862305 7745649803 2287489405 6010150330 8617928680 2265880485 7564014270 4775551323 2 1 3 5 9 6 9 5 3 6 2 3 1 4 4 2 9 5 2 4 8 4 9 3 7 18 7 1 1 8 6 8 7 5 1 9 4 3 5 0 6 4 3 0 2 1 8 4 5 3 1 9 1 048481 9 8 3 9 1 01 5 9 1 9 5 6 1 8 1 4 6 7 5 1 4 2 6 912397

3639443745 8930161753 6260991246 2848864815 5593634568 9208747609 7964145152 0145765403 0053706146 4894090718

5679452080 0306803844 1005508106 2305587631 7229109816 6711136990 8932261854 2332609729 1 8 0 9 3 77 3 4 4 2131449576

9514655022 5231603881 7734549202 6054146659 6587969981 6357 4 73 6 3 8 7635942187 3125147120 9091528017 3506712748 8658516398 3 1 5 0197016 8963213293 3089857064 9712084433 5732654893 4030707469 2112019130 8572624334 4 1 8 9303968

9301420937 2520149744 4052571459 5329281918 5832228718 5151168517 2046752590 8239119325 2033038019 6426243410

6213785595 2850732518 102 8 9 70 6 4 1 2618612586 3520935396 1437657618 7091548141 9746366730 7621101100 7732269780

6638937787 08 30390697 9207734672 6 6 6 0 0 2 1 3 2 4 3 4 0 8 8 19 0 7 1 0 4 8 6 3 3 1 7 3 4 4 0 1 1 0 9 7 1 2 0 6 2 8 0 4 3 9 0 3 9 75 9 5 1 56 7 7 1 7321579198 4148488291 6447060957 5 7 2 5 1 2 1 0 8 3 5 7 9 1 5 1 3 6 9 8 820 9 1 44 4 2 1 3515565088 4909989859 9823873455 6 5 4 9 8 59 4 6 1 6 3 7 1 8 0 2 7 0 9 8 1 9 9 4 3 0 9 9 2 5836041428 1388303203 8249037589 4 4 9 2 9 32 1 5 1 6 0 8 4 2 4 4 4 8 5 9 6 3 7 6 6 9 8 3 8 2 8 0 7318915 4411010446 8232527162

2 1 8 2 5 6 2 5 9 9 6615014215 6 4 9 6 5 1 4 5 3 9 0 5 7 9 626856 5 7 7 0 0 4 2 0 3 3 7 8 6 9 936007 5 2 7 0 6 9 5 7 2 2 0 9 1 7 567116 0 0 6 7 5 1 0 3 3 4 6 7 1 1 031412 2 8 3 3 1 6 3 5 5 0 7 6 4 7 918535 4 4 8 8 9 57 5 7 1 2 8 2 8 905923 8 5 2 4 3 7 4 4 1 7 0 2 9 1 327656 9 5 2 2 8 6 8 4 7 8 312 3 5 52 6 5 8 0 1 0 5 2 6 5 2 2 7 2 1 1 1 660396

6655730925 3348850346 7 002378776 6343285878 0990796547 9389713111 8530614228 9769265672 6171196377 6222247715

4711055785 3763466820 1 1 3 6 5 76 8 6 7 5 3 2 4 9 4 4 1 6 6 5913440171 2 7 4 9470420 5698305235 8089330657 3 7 6 1 2 5 5 1 7 6 5 6 7 5 1 35 7 5 1 7904297828 5647503203 8137585043 0633217518 1 4 6 3 8 53 0 6 7 3 6 0 9 6 5 7 1 2 0 9213375751 1495950156 8915049530 9844489333

6531098965 8039626579 5622305389 5740679545 7829666454 1986915140 2979866223 9180763832 6049631862 0963408780

2691862056 7877185560 9456131407 7163775254 7791745011 2870808599 7172159160 7166416274 9472654736 7693259939

4769312570 8455296541 1 1 2 7 0 00 4 0 7 2021149557 2996148903 0480109412 7716692547 8888007869 4252308177 7 8 0 5 4 19 3 4 1

5000 pierwszych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby 7t. Ź ró d ło : D a n iel S h a n k s, J o h n W . W ren ch , Jr. (Z a z g o d ą: C om putation,

M a th e m a tics t. X V I,

77, styczeń 1962)

356

of

zeszyt

5 8 6 3 5 66 2 0 1 2665408530 8547332699 6158140025 0463994713 1472213179 4873898665 2560290228 0367515906 4473774418

259 9 4 13 8 9 1 0604009277 0 4 0 4 7 53 4 6 4 7496473263 5869269956 5181841757 5741849468 4668049886 2694560424 0865832645

8558100729 6143444318 3908145466 0126228594 2962107340 4764777262 4949450114 4721040317 7350235072 4263129860

2 4 9 7 2 1 7 7 5 2 8 3 4 7 913151 0 1 6 7 1 1 3 9 0 0 984 8 8 24 0 1 2 6 2 0 8 0 4 6 6 8 4 2 5 9 0 6 94 9 1 2 9 1 4 1 9 9 2 7 2 6 0 4 2 6 9 92 2 7 9 9 0 9 2 7 2 1 0 7 9 750 9 3 02 9 5 5 4 6 7 2 8 9 0 9 7 7 7 7 2 7 938000 4 3 8 5 2 3 3 2 3 9 073 9 4 14 3 3 3 2 7 2 3 2 7 9 1 7 8 608 5 7 84 3 8 3 19 6 5 2 85 0 2 2 210 6 6 11 8 6 3 9 9 5 8 1 3 3 9 0 4 7802759009

3606598764 5867697514 4645880797 1 3 0 2 1 64 7 1 5 4375189573 2414254854 6540628433 2118608204 8354056704 8099888687

53 0 5 0 68 2 0 3 9 2 8 4 681382 0 8 0 5 124388 8456028506 1743241125 1782493858 3 7 4 6 234364 5 9 0 2 799344 8 0 6 7 491927 6494231961

8 6 1 1791045 5661406800 2 7 0 8266830 5097925923 5961458901 5403321571 6639379003 1900042296 0 3 8 6 743513 4132604721

głów nym wszakże naszym m otyw em jest dalsze eksponow anie platońskiego m yślenia, ucieleśnionego w samej strukturze sys­ tem u liczb rzeczywistych, tak ja k jest on rozum iany w zwykłej (niekonstruktyw istycznej) m atem atyce. P oniew aż tru d n o było­ by pom yśleć o jakiejś gałęzi m atem atyki, k tó ra nie byłaby istotnie zależna od liczb rzeczywistych, okaże się, ja k głęboko p latonizm wiąże się z przew ażającą częścią dzisiejszej praktyki m atem atycznej. W celu p o d an ia k o n trp rzy k ład u B rouw era zaczynam y od liczby 7i, by następnie posłużyć się jej rozw inięciem dziesiętnym do zdefiniow ania drugiej, związanej z nią liczby rzeczywistej, k tó rą nazyw am y tc (czytaj: pi z daszkiem ). N asza definicja tc zaw iera sporo dow olności, istnieje bow iem wiele innych konstrukcji prow adzących w istocie do tego sam ego rezultatu. Z am iast rc m oglibyśm y zacząć od x/ 2

CZY dowolnej innej,

znanej liczby niew ym iernej. W szystko czego trzeba, to (ł) p osiadanie, ja k w p rzy p ad k u n, określonej p rocedury ra c h u n ­ kowej („ alg o ry tm u ” ) dającej rozw inięcie dziesiętne złożone z dow olnie wielu cyfr, (2 ) istnienie pewnej w łasności tego rozw inięcia dziesiętnego (na p rzykład, pojaw ianie się stu kolej­ nych zer), k tó ra , o ile wiem y, jest „p rzy p ad k o w a” . Z naczy to, że nie znam y żadnego p o w odu, dla któ reg o ta w łasność jest b ądź w ykluczona, b ąd ź w ynika z definicji n. D o spraw dzenia, czy gdziekolw iek w rozw inięciu n znajduje się ciąg stu kolej­ nych zer, nie m am y żadnej p ro ced u ry z w yjątkiem rozw ijania tej liczby i obserw ow ania. T ak daleko, ja k n została do dziś wyliczona, takiego ciągu nie m a. G dybyśm y wygenerowali pierw szy m iliard cyfr i znaleźli tam ciąg stu zer, to oczywiście rzecz byłaby rozstrzygnięta (pod w arunkiem posiad an ia peł­ nego zau fan ia do pop raw n o ści naszych obliczeń). Z drugiej strony, gdyby nie było stu zer w obliczonym przez nas ro z­ winięciu, nie bylibyśm y ani o jo tę m ądrzejsi, niż byliśm y na początku; nie wiem y nic o drugim m iliardzie cyfr. A naw et gdyby był ciąg stu zer w obliczonym przez nas rozwinięciu, m oglibyśm y zm ienić p roblem n a pojaw ienie się tysiąca kolej­ nych dziew iątek (na p rzykład) i p y tan ie n ad a l byłoby otw arte. Isto ta spraw y polega n a tym , że są dzisiaj i zawsze będą proste p y tan ia odnoszące się do 7t, n a k tó re nigdy nie m ożem y się spodziew ać odpow iedzi. N iech P oznacza stw ierdzenie: „W rozw inięciu dziesiętnym tc pojaw ia się ciąg stu kolejnych zer” . N iech P oznacza zaprze­ czenie: „W rozw inięciu dziesiętnym 7t nigdzie się nie pojaw ia ciąg stu kolejnych zer” . Czy zdanie „P albo P ” jest prawdziwe? W iększość m atem aty k ó w odpow ie, że tak . W istocie „p raw o wyłączonego ś ro d k a ” w ym aga owego „ ta k ” ; pytam y tylko o t‘o , czy P jest praw dziw e czy fałszywe, a p raw o wyłączonego śro d k a pow iada, że każde stw ierdzenie jest praw dziw e lub fałszywe. K o n stru k ty w ista z tym się nie zgodzi. Będzie dow odził, że praw o w yłączonego śro d k a w tym p rz y p ad k u się nie stosuje. T ra k tu je on „rozw inięcie rc” ja k m itologiczną bestię. P rzek o n a­ nie, że b ąd ź P, bądź P jest praw dziw e, pochodzi z błędnej koncepcji ju ż istniejącego w postaci kom pletnego ob iek tu ro z­ w inięcia tc . W szystko co istnieje, czyli co po trafim y sk o n ­ struow ać, jest skoń czo n ą częścią tego rozwinięcia. A rg u m en t w ydaje się trochę teologiczny. D laczego m a on znaczenie? M a znaczenie. D la m atem aty k a rezygnacja z jego platońskiej w iary w istnienie rozw inięcia tc , w praw dziw ość b ądź P, b ądź P ,

R zeczyw istość m atem atyczna

358

w ym agałaby restrukturyzacji całej analizy m atem atycznej. Ilus­ truje to przykład praw a trychotom ii. D efiniujem y liczbę n przez p o danie reguły, zgodnie z k tó rą m ożna policzyć pierw ­ szy tysiąc, pierw szy m ilion czy pierw sze sto m iliardów cyfr rozw inięcia dziesiętnego n. T o w szystko, co jest potrzebne do „zdefiniow ania” liczby rzeczywistej. L iczba n będzie w yglądać b ard zo podobnie ja k n. W istocie jest o n a ta k a sam a ja k n n a pierw szych stu, pierw szych tysiącu, naw et pierw szych dziesięciu tysiącach miejsc dziesiętnych. N a­ sza reguła jest następująca: rozw ijam y n, póki nie natrafim y na ciąg stu kolejnych zer (albo póki nie przekroczym y progu w ym aganej dla n precyzji, zależy co będzie najpierw ). Aż do tego pierw szego pojaw ienia się ciągu stu kolejnych zer, roz­ winięcie n jest identyczne z rozwinięciem n. Przyjm ijm y, że ów pierw szy ciąg stu kolejnych zer zaczyna się n a «-tym miejscu. Jeśli n jest nieparzyste, niech n kończy się n a swej «-tej cyfrze rozw inięcia, a jeśli n jest parzyste, niech n m a 1 na swoim ( « + l)-ym m iejscu i niech się n a tym skończy. Zauw ażm y, że w chwili obecnej nie wiem y i zapew ne nigdy nie będziem y wiedzieli, czy je s t taka liczba n. Jeśli nigdy nie znajdziem y ciągu stu kolejnych zer w n, to nigdy nie będziemy m ieć takiego «. M im o to nasz przepis na konstrukcję liczby 71 jest doskonale określony: znam y ją do tylu m iejsc dziesięt­ nych, do ilu znam y n. W iem y także, że k = k w tedy i tylko w tedy, gdy ji nie zaw iera ciągu stu zer. Jeśli tt zaw iera taki ciąg i zaczyna się on n a parzystym m iejscu rozw inięcia, to n jest większe niż n. Jeśli zaczyna się on na m iejscu nieparzystym , to n jest m niejsze niż n. A teraz policzm y nie n, a różnicę n — n. O znaczm y tę różnicę przez Q. Liczba Q jest d o d atn ia, ujem na czy też jest zerem? Jeśli próbujem y znaleźć odpow iedź, urucham iając kom puter w celu obliczenia rozw inięcia n, to nie otrzym am y odpowiedzi, póki nie natrafim y n a ciąg 100 kolejnych zer. Jeśli nasz kom ­ p u ter będzie pracow ał 1000 la t i nie znajdziem y ciągu 100 zer, nadal nie będziem y wiedzieli, czy Q jest d o d atn ia, ujem na czy rów na zero. C o więcej, nie będziem y mieli żadnego pow odu sądzić, że dokonaliśm y tu jakiegoś postępu, czy też, że jesteśmy bliżsi odpow iedzi niż w tedy, gdy zaczynaliśm y. W takiej sytuacji, jak ie m ożna przypisyw ać znaczenie pod­ staw ow em u p raw u standardow ej m atem atyki, tak zwanem u „p raw u try ch o to m ii” , że „k a żd a liczba jest bądź zerem , bądź liczbą d o d atn ią, bądź ujem n ą” ? M ów im y, iż jest jasne, że Qjest b ąd ź d o d a tn ia , b ąd ź ujem na, bądź jest zerem i to bez względu

na fakt, że m ożem y nigdy nie wiedzieć, ja k a jest. P raw o trychotom ii, wzięte zgodnie z brzm ieniem , pow iada, że jedno z tych trzech tw ierdzeń m usi być praw dziw e, całkiem niezależ­ nie od tego, czy istnieje, choćby w zasadzie, jakikolw iek sposób spraw dzenia, k tó re to z nich. Stanow isko konstru k ty w istó w jest takie, że żadne z tych trzech stw ierdzeń nie jest praw dziw e. Liczba Q będzie zerem, liczbą d o d a tn ią lub ujem ną wtedy, gdy ktoś spraw dzi, k tó re z tych trzech stw ierdzeń zachodzi; do tego czasu nie jest żadnym z nich. W ten sposób p raw d a m atem atyczna zależy od czasu i jest subiektyw na, aczkolw iek nie zależy od św iadom ości kon k retn eg o m atem aty k a. G łów ny ciężar ich krytyki leży w tym , że każdy w niosek o p arty n a złożonym stw ierdzeniu „b ą d ź Q > 0, bądź