11-12. MT_Ćw.11-12_Reakcje + KOMENTARZ

SAVE OFFLINE

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Ćwiczenia 11-12 STATYKA Liczba stopni swobody układu materialnego Liczba stopni swobody lss to jest ilość niezależnych parametrów, którą trzeba podać, aby jednoznacznie określić położenie układu w przestrzeni. lss  s 3D

s  3n  m

n – liczba punktów m – liczba więzów (ograniczeń, nałożonych na punkt) Zadanie: napisać równania więzów.

z

3D

Liczba punktów n = 3 Liczba więzów m = 1 (równanie prostej)

B

A

d

y

s  33 1  8

Można zapisać równanie BC : BC  d

C

x

2

2

2

2

2

d2  0 3 razy 3 punkty minus jedno ograniczenie w postaci odległości (równanie prostej) współrzędne punktów mogą się zmieniać, ale długość jest stała Liczba punktów n = 3 Liczba więzów m = 3 ( d1 , d 2 o stałych odległościach i płaszczyzna) s  33  3  6 Równania więzów: f  xA , yA , z A   0  t

 xB  xC    yB  yC    zB  zC 

B

A

d1

d2 C

A f

AB  d 1 BC  d 2

 xB  x A    yB  y A    z B  z A  2

2

2

 d12

 xB  xC    yB  yC    zB  zC 

2

 d2

Dla płaszczyzny liczba stopni swobody wyznaczana jako: 2D

s  2n  m

Ten samy przykład na płaszczyźnie:

y

2D

A x

y

n3

B

m 1 s  2 3 1  5

d C

s  22 3 1 Więzy to są podpory przegubowo przesuwne, odbierają 1 stopień swobody na płaszczyźnie: xA  0 A  OY

y A

A d

d

B x

B x

B  OX

yB  0

AB  d

 xA  xB    y A  yB 

xB2  y A2  d 2

1

2

2

 d2

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

B

d y

B d 

xA y

s  2  2 1  3

Tj. wystarczy podać 3 parametry, by określić położenie tarczy

A

yA

A x

N. Jurkowska, 2019

x

Można przedstawić następny przykład jako połączone tarcze i sprawdzić liczbę stopni swobody na różne sposoby:

D

B

d1

d2

d4

d3 C

A

E

5 punktów skrępowanych trójką więzów: s  2n  m  2  5  4  6

4 tarcze połączone trzema przegubami: s  3t  2 p  3  4  2  3  6

W jaki sposób tworzymy ten układ tarcz? Mamy 4 oddzielne tarcze, łączymy je. We wspólnych punktach przemieszczenia będą sobie równe:

B'

B''

xB'=xB'' yB'=yB''

A

xC' =xC'' D' D'' yC' =yC'' xD'=xD'' y =y C' C'' D' D''

2 D s  2n  m s  33 1  8

BC  d

 x B  xC 

2

2

2

  y B  yC    z B  z C   d 2  0

2

E

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Przegub łączy 2 tarczy i pozwala na obrót tarcz względem siebie bez uszkodzenia. Na płaszczyźnie przegub odbiera 2 stopni swobody, nie pozwalając na przesunięcie w pionie i poziomie (zostawia tylko możliwość obrotu). Liczbę przegubów należy wyznaczać jako liczbę prętów minus jeden: p  pr  1

 

 

Odpowiednio, w przypadku łączenia przegubem dwóch prętów liczba przegubów zawsze będzie równa 1. Dla przegubów wielokrotnych koniecznie wyznaczać:

przegub wielokrotny

przegub pojedynczy

3

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Tworzenie konstrukcji geometrycznie niezmiennych. PODPORY Zadanie: dołożyć podpory, by utworzyć układ geometrycznie niezmienny.

Dokładamy dowolne więzy, które uniemożliwiają ruch. Ale szukamy takiego sposobu, żeby konstrukcja została statycznie wyznaczalną Dlatego, żeby unieruchomić układ, koniecznie podeprzeć tarcze tak, by się nie ruszały. Najpierw trzeba wyznaczyć liczbę stopni swobody, żeby wiedzieć ile prostych więzów koniecznie dołożyć (w potrzebnych miejscach). s  3t  2 p s  35  2 4  7

Liczba więzów, które potrzebujemy nałożyć, jest równa siedmiu. Możemy w taki sposób unieruchomić układ:

Dlaczego tak? Oczywiście, że nie możemy unieruchomić jeden pręt siedem razy, ponieważ pozostałe pręty będą mogły obracać się wokół przegubów (a ten jeden będzie przesztywniony). Ale w jaki sposób po kolei dokładamy te podpory? Mamy 5 prętów połączonych przegubami. Zaczynamy od jednego, unieruchamiamy, np. w taki sposób:

I dalej po kolei można unieruchomić pozostałe pręty, odbierając po 1 stopniu swobody (ponieważ przegub pozwala tylko na obrót):

4

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Dokładamy różne podpory, które odbierają możliwość różnych przemieszczeń Na płaszczyźnie dowolna tarcza sztywna posiada 3 stopnie swobody:



v u

Więc, v i podporysą takie, żeby odbierać możliwość przesunięcia (przesuwu) w poziomie u, w pionie v i możliwość obrotu  . W miejscu podpór po ich wyrzuceniu pojawiają (powstają) się reakcje podporowe (które będziemy potrzebowali wyznaczyć dla określenia położenia równowagi układu): R3 R2

M u1

R4

R1

R5

M u2

R1 M u1

5

R2

M u2

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Zdefiniujemy więzy, które pozwalają odbierać stopni swobody tarczy i unieruchomić ciało sztywne. Nr

podpory proste

1

2

Nazwa Podpora przegubowo przesuwna (z przesuwem poziomym) Podpora przegubowo przesuwna (z przesuwem pionowym)

3 Podpora przegubowo nieprzesuwna 4

Pełne utwierdzenie (zamocowanie: 2 podpory przegubowo przesuwne + klin) – znikają wszystkie 3 ss

Podpory i dopuszczalne przemieszczenia

u

LSS

Reakcja, którą zastępujemy podporę



v

s2 1

u 

v

s2 1

u





v

R ( H) H

2

u

v

s 1

R (V)

s0



V

Mu

3

H

u

V

v

5 Utwierdzenie z możliwością przesuwu poziomego

6 Utwierdzenie z możliwością przesuwu pionowego



s2

Mu

1

u

V

v

 u

s2

Mu

1

H

Zauważmy, że podpory, które odbierają możliwość tylko jednego przesunięcia, są proste. One tworzą pozostałe. Tylko jedna podpora odbiera wszystkie 3 stopnie swobody natychmiast – zamocowanie.

6

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Sposoby łączenia tarcz Łącząc tarcze, potrzebujemy utworzyć układ geometrycznie niezmienny, tj. jedno ciało sztywne. 2 tarcze sztywne można połączyć trzema prętami albo przegubem i prętem. Wzajemne położenie tych prętów również jest ważna.

W miejscu przecięcia się dwóch prętów tworzy się teoretyczny przegub, wokół którego mogłyby obracać się połączone tarcze.

Widoczne, że 3 pręty są potrzebne dla tego, żeby unieruchomić 2 tarcze. Można zauważyć, że prosta działania trzeciego pręta nie powinna przechodzić przez punkt przecięcia się dwóch innych prętów. Ponieważ w takim przypadku układ z dwóch tarcz będzie geometrycznie zmiennym, tj. będzie mógł ruszać się (układ będzie posiadał 1 stopień swobody, możliwy jest obrót wokół przegubu teoretycznego).

O

Również złym będzie połączenie dwóch tarcz trzema prętami równoległymi. Takie połączenie pozwala na translację – przesunięcie w kierunku prostopadłym do prętów łączących tarcze. Wtedy środek chwilowego obrotu ucieka do nieskończonności (tj. ramie wydłuża się nieskończenie, i układ obraca się wokół okręgu o promieniu dążącym do nieskończoności, tj. tor okręgu staje się torem prostej).

O

Trzy tarcze można połączyć na 2 sposoby: 1. Prętami, łącząc najpierw 2 tarcze, i jeszcze raz łącząc tarczę 3. do już jednej tarczy utworzonej z 1. i 2. 2

1

3

Potrzebujemy do tego 6 prętów. 2. A można połączyć w inny sposób, też sześcioma prętami. Dlatego łączymy każdą tarczę między sobą dwoma prętami nierównoległymi. W miejscach przecięcia się przegubów tworzą się teoretyczne przeguby: 7

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019 1 2

O23 O13

3

O12

Kryterium, by ten układ się nie ruszał: pole trójkąta zbudowanego na tych przegubach powinno różnić się od zera: S 0

Ponieważ wiemy, że najprostszą figurą geometrycznie niezmienną jest trójkąt. Kiedy trzy przeguby leżą na jednej prostej, pole się wyzeruje, i wtedy układ staje się chwiejnym, i nie będzie już nieruchomym. W podanych poniżej przykładach układ złożony z trzech tarcz połączonych między sobą trzema przegubami jest mechanizmem i może się poruszać. 2

1

2

S=0

3 1

S=0

3

Układ może obracać się wokół przegubów skrajnych – o ile przegub, podobnie do podpory przegubowo nieprzesuwnej odbiera 3 stopnie swobody. Przy tym, kierunek przesunięć wirtualnych jest prostopadły do prostej, na której leżą te trzy przeguby. Maksymalne przesunięcie będzie w miejscu trzeciego, środkowego przegubu.

8

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Klasyfikacja układów Układ geometrycznie zmienny (albo chwiejny, CH) jest mechanizmem, może się poruszać. W budownictwie interesują nas układy geometrycznie niezmienne, nieruchome. Te układy mogą być statycznie wyznaczalne (SW, wtedy możemy wyznaczyć reakcje podporowy z równań równowagi, ich ilość jest sobie równa) i statycznie niewyznaczalne (SN, więzów jest więcej, niż równań równowagi, i potrzebujemy specjalnych metod dla wyznaczenia reakcji). Klasyfikują układy, możemy otrzymać trzy wyniki: CH, SN, SW.

Najpierw sprawdzamy, czy jest układ geometrycznie niezmiennym. Jeśli nie jest – to już układ jest chwiejny (CH) Jeśli układ jest nieruchomy, to może być statycznie wyznaczalny albo statycznie niewyznaczalny. Układ statycznie wyznaczalny (SW) ma liczbę stopni swobody s  0 . Układ statycznie niewyznaczalny (SN) jest przesztywniony, jego liczba stopni swobody będzie mniejsza od zera (ponieważ liczba więzów jest większa, niż koniecznie dla unieruchomienia tego układu). Oczywiście, że w układach SN i SW nie potrzebujemy oznaczać, że te układy są geometrycznie niezmiennymi. UWAGA! Zawsze koniecznie najpierw sprawdzić, czy jest układ geometrycznie zmienny lub nie. Ponieważ liczba stopni swobody układu chwiejnego może być dowolna: równa, mniejsza lub większa od zera. Może nam nie wystarczać podpór, ale również one mogą być bezmyślnie podokładane – i w każdym przypadku konstrukcja będzie chwiejna.

9

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Przykłady Najprostsze układy statycznie wyznaczalne (proszę sprawdzić, obliczając liczbę stopni swobody i analizując podpory). Belka prosta:

Jedna tarcza:

Dwie i więcej belek prostych:

Belka gerberowska:

Dwie tarcze:

Powyższe przykłady trzeba zrozumieć i zapamiętać. Musimy je znać. Oczywiście, często można skombinować, dołożyć podpory inaczej, odbierając obrót, przesuw w poziomie, w pionie, np.:

10

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

W jaki sposób tworzymy układy statycznie niewyznaczalne? Musimy dołożyć 3 podpory proste, ograniczając 3 przesunięcia na płaszczyźnie. Belka prosta

Po dołożeniu dwóch podpor prostych możliwe jest przesunięcie, które pozostaje ograniczyć:

Koniecznie pilnować, żeby reakcja ostatniej podpory nie była prostopadła do przesunięcia możliwego, na które pozwala układ (kierunek przesunięcia wyznaczamy z ZPW).

Proszę zastanowić się nad następnymi przykładami:

11

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

12

N. Jurkowska, 2019

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Rama trójprzegubowa Konstrukcja chwiejna (proszę sprawdzić samodzielnie, wyznaczając liczbę stopni swobody):

1) Przegub można zablokować ściągiem:

N N

2) Ustrój trójprzegubowy – konstrukcja geometrycznie niezmienna:

S>0

S>0

Rozpatrujemy oddzielnie tarcze: pole trójkąta, zbudowanego na przegubach układu, jest większe od zera. Więc, rama jest geometrycznie niezmienna. Statyczną wyznaczalność sprawdzamy ze wzoru: s  3t  2 p  w

Dla ramy trójprzegubowej potrzebujemy 4 podpory by unieruchomić konstrukcję: s  3  2  2 1  4

Oczywiście, można wykombinować inaczej, dokładając 4 podpory proste:

13

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

Budowanie ustrojów statycznie wyznaczalnych Możliwe są różne typy zadań, na przykład: Dołożyć podpory tak, by utworzyć konstrukcje statycznie wyznaczalne: 1. utworzyć konstrukcję geometrycznie niezmienną 2. statycznie wyznaczalną Obliczyć lss, dołożyć gdzie potrzebnie więzy 1. Zbudować układ geometrycznie niezmienny (nieruchomy) 2. Resztę traktować jako dodatki Proszę przećwiczyć przykłady, przesłane wcześniej.

14

N. Jurkowska, 2019

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

REAKCJE Wyznaczenie reakcji podporowych Reakcje podporowe powstają wskutek oddziaływania na układ obciążenia zewętrznego. Układ może być obciążony siłami skupionymi (oznaczamy P lub F, jednostka siły), obciążeniem rozłożonym równomiernie albo nierównomiernie (q, P/a, jednostka siły przez długość) albo momentem (M, Pa, jednostka siły razy długość):

P [kN] P/a [kN/m] Pa [kNm] Niezależnie od danych początkowych, wszystkie jednostki musimy ujednoliczyć. Zwrot zakładamy dodatni dla przesunięć zgodnie z osiami, a dla momentu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara:

+ W układach statycznie wyznaczalnych reakcje wyznaczamy z równań równowagi (liczba których jest równa liczbie nieznanych reakcji, s = 0). Równania równowagi przewidują, że suma i moment układu muszą być równe zeru. Na płaszczyźnie trzy składowe są zerowe (proszę przypomnieć sobie dlaczego): S  0  M  0

 S   S X , S Y , 0    M   0, 0, M OZ 

A więc, 3 równania równowagi dla znalezienia trzech niewiadomych reakcji: S X  0   SY  0 M  0  OZ

 X  0   Y  0    M O  0

Dalej wystarczy pisać M O , ponieważ jest oczywiste, że chodzi o trzeciej współrzędnej momentu M OZ W przykładzie 1 reakcje wyznaczone z takiego układu. W przykładzie 2 są dwie niewiadome poziome, dlatego nie da się wyznaczyć reakcje z rzutów sił na osie X, Y i sumy momentów względem jednego punktu. Należy skorzystać z trzech równań momentów albo z jednego równania rzutów sił na oś i dwóch równań momentów (z twierdzenia o zmianie bieguna):  M A  0   M B  0    M C  0

 X  0   M A  0    M B  0

I wtedy koniecznie sprawdzić poprawność obliczeń można rzutując siły na osie X, Y (odpowiednie równanie, którego nie wykorzystaliśmy podczas obliczeń) Plan obliczeń: 1. Tworzymy układ sił 2. Wyrzucamy więzy, dokładamy podpory 3. Obliczamy reakcje, wpisujemy wyniki na rysunek (warto używać drugi kolor) 4. Sprawdzamy (zawsze koniecznie robić sprawdzenie; jeśli coś się nie zgadza – szukać błędu i sprawdzać obliczenia dopóki nie osiągniemy sukcesu) 15

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Przykład 1. Zadanie: wyliczyć reakcje podporowe Plan obliczeń:  X  0  H A    Y  0  VB    M O  0  M u

Tok obliczeń: Wyrzucamy podpory, zastępujemy je reakcjami. Ważne jest by zastąpić podpory poprawnie reakcjami. Zwrot strzałki zakładamy dowolny (poprawny będzie obliczony), ale ważny jest kierunek działania siły. P/a  X  0 : H A  2P  0  H A  2P  P Wyliczona reakcja dodatnia. To znaczy, że przyjęty 2Pa zwrot (strzałka) jest poprawny. Oznaczamy na obrazku wartość wyliczonej reakcji 2P. 4a 2a

 Y  0 :  4P  V M  0:

B

Mu

2Pa  P  P

P

HA

VB 2a

Mu

2a

2a

2Pa 2Pa  P  P

P

H A =2P 2a

2a

O

M u  4 P  2a  2 Pa  2 P  2a  0  M u  2 Pa Należy tworzyć tylko takie równania, w których będzie jedna niewiadoma (dlatego, że w każdym obliczeniu mógł być błąd, i kolejne reakcje powinny nie zależeć od wyliczonych poprzednio). Sprawdzenie:

M

6P V B

 2 P  0  VB  6 P

? C

0 ?

2a

2 Pa  4 P  4a  2 Pa  6 P  2a  0 00

UWAGA! Zawsze trzeba sprawdzać poprawność obliczeń z innego, niezależnego równania, w którym nie wyzerują się wyznaczone reakcje i z którego żadna reakcja nie była wyliczona. Można sprawdzić poprawność obliczeń wyliczając moment względem dowolnego punktu. Ma sens wybierać takie punkty, względem których zerują się siły zewnętrzne. W tym przykładzie wybrany prawy skrajny punkt, do którego przyłożona siła ukośna. Jak warto rysować schematy w zeszycie (używając 2-3 kolory): Najpierw koniecznie utworzyć układ sił, rozkładając siły P/a

2Pa  P

P 4a

Mu

2a

 P P

ukośne na składowe pionową i poziomą, a obciążenia równomiernie rozłożone redukować do sił skupionych (pokazano czerwonym na obrazku)

Następnie potrzeba oddzielnie przerysować ten układ sił, zastępując podpory odpowiednymi reakcjami (pokazano je na czerwono).

2Pa 2Pa  P  P

P

H A =2P

6P V B 2a

2a

2a

Dalej podczas obliczenia zostaną wyliczone te reakcje, które należy też nanieść na obrazek. Kiedy obliczona reakcja będzie na minusie, to znaczy, że przyjęty zwrot jest zły i należy go zmienić na rysunku (w tym przykładzie nie odgadnęliśmy tylko zwrot momentu Mu, dlatego na zielono pokazano zmianę zwrotu wraz z wartością momentu). 16

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Jak wszystkie obliczenia pisać odręcznie:

P/a

A

2Pa  P

P 4a

Mu

 X  0 : H  2P  0  H  2P  Y  0 :  4P  V  2P  0  V  6P M  0:

2a

 P P

B

B

O

M u  4 P  2a  2 Pa  2 P  2a  0  M u  2 Pa Spr:

2Pa

?

2Pa  P  P

P

H A =2P 2a

 MC  0 ?

6P V B 2a

A

2 Pa  4 P  4a  2 Pa  6 P  2a  0 00

2a

Kiedy otrzymujemy reakcję ujemną, musimy zmienić zwrot strzałki. Proszę jednoznacznie oznaczać zmianę zwrotu strzałek. Uwaga! Zwrot NIE musimy odgadnąć na samym początku. Podczas obliczeń szukamy poprawne zwroty. Nie jest błędem, jeśli założyliśmy na początku inny zwrot, niż jest w rzeczywistości.

!

Trzeba wszystkie ostateczne wartości dopisać, a zwrot w razie potrzeby zmienić, przekreślając poprzednią strzałkę, a NIE rysowaniem strzałek ze wszystkich stron. Należy pokazywać strzałki w sposób zrozumiały. Odpowiedź powinna być poprawna, przejrzysta, jednoznaczna. Inaczej będzie oceniona jako błędna.

17

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Przykład 2. Zadanie: wyliczyć reakcje podporowe

2Pa

2P/a

P

2a

2a

3a

Plan obliczeń:  X  0  H A    M A  0  VB    M B  0  V A

1. Najpierw tworzymy układ sił:

2Pa

2. Dalej wyliczamy reakcje podporowe:  X  0: HA  0

P

P

HA V A

M

VB 2a

2a

a

P

2a

P

0= H A V A =1.75 2a

21 P  5, 25P 4  M B  0 :  VA  4  2Pa  4 P  2a  3Pa  0

a

7 P  1, 75 P 4 4. Sprawdzamy, czy dobrze wyliczyliśmy reakcje: VA 

?

Y  0

V B =5.25

2a

 0 : 2 Pa  4 P  2a  VB  4a  3P  5a  0 VB 

3. Natychmiast po wyliczeniu reakcji oznaczamy wartości na obrazku:

2Pa

A

?

1, 75 P  4 P  5, 25 P  3P  0

2a

00

Jak taki przykład ma wyglądać na piśmie odręcznym:

2Pa

 X  0: H  0  M  0 : 2Pa  4P  2a  V A

2P/a  P

P

A

B

21 P  5, 25P 4  M B  0 :  VA  4  2Pa  4 P  2a  3Pa  0 VB 

2a

2a

3a

VA 

2Pa

P

P

7 P  1, 75 P 4

Spr: ?

0= H A V A =1.75

V B =5.25

Y  0 ?

2a

2a

a

 4a  3P  5a  0

2a

1, 75 P  4 P  5, 25 P  3P  0 00

18

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Zadanie z przegubem: 2

2

4

4

4

2

3 4

1. Tworzymy układ sił:

2. Wyznaczenie reakcji:

2 2

4 E

C

VE

2

4

2

4

D

3

HB

A

B Mu

VA

VB

0

lewa C

0

prawa C

0

M lub M M

2

V E=6

M

dół C

4.  M Dd  0 :1  4  M u  0  M u  4kN

?

4

2

VA

0

 3  H B  2  4  0  H B  1 kN

2  4  6  8  0 00

B

1

0

p C

 0   M CACDB  0

?

HB

l C

5. M Cd  0 :  3  4  4  4  1 4  VB  4  0  VB  4kN Spr:

2 D

A

0

Również można oznaczyć na rysunku wszystkie charakterystyczne punkty i wskazywać literki:  M Cgóra  0   M CCE  0

Y  0

3

d C

3.  M Dl  0 :  4  2  2  4  2  3  4  4VA  4  0  VA  2kN

E

C

dół C

2.  X  0 :

4

4

M M M

Można numerować równania, ale nie koniecznie: 1.  M Cg  0 :  2  4  2  VE  4  4  2  0  VE  0

2 2

Licząc momenty względem przeguby, oddzielnie rozpatrujemy te części układu, na które przegub rozcina układ. Jak je oznaczać na piśmie? Często są części lewa i prawa, górna i dolna – więc, można oznaczać odpowiednio  M Cgóra  0  M Cg  0

M u =4 4= V B

19

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Jak taki przykład ma wyglądać na piśmie odręcznym: 1.  M Cg  0 :  2  4  2  VE  4  4  2  0  VE  0

2 2

2.  X  0 :  3  H B  2  4  0  H B  1 kN

4

3.  M Dl  0 :  4  2  2  4  2  3  4  4VA  4  0  VA  2kN

4 C

V E=6

2

E

4.  M Dd  0 :1 4  M u  0  M u  4kN 5. M Cd  0 :  3  4  4  4  1  4  VB  4  0  VB  4 kN Spr:

2 D

?

Y  0 4

?

2  4  6  8  0 00

3

HB

A

B

1

M u =4

VA

2

4= V B 4

Zadanie ze ściągiem: HA A

A 2

2 kN/m 2

2

2

2 kNm

6

6 kNm

3

2

2

3

3 2 kN

1

C 1

C B

VC

B 2

2

VB

2

2

2

2

Ściąg łączy 2 tarczy tak, że 2 ciała nie mogą obrócić się wokół przegubu. Najpierw musimy wyznaczyć reakcje podporowe. HA

 X  0 : H  3  0  H  3kN  M  0 :  2  2  4  2  6  3  2  3  2  6V  0  V  M  0 :  6V  2  6  2  4  4  3  4  3  2  0  V C

A 2 kNm

B

D

A

6 kNm

Spr:

3

Y  0 : 1 4  2 3  3  0

?

2

3

3 2 kN

?

00

C 4 VC

B 1 VB 2

C

C

2 kN/m 2

2

1

3

2

2

20

B

4

A

 1kN

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Dla wyznaczenia siły w ściągu potrzebujemy jeszcze raz przerysować układ, oznaczając wyliczone reakcje: HA

3 A 2 2

2 6 3

2

3

1

C 4 VC

B 1 VB 2

2

2

Rozcinamy pręt, zastępując go jedną siłą podłużną N (ponieważ w przypadku prętów kratowych pojawia się tylko jedna siła wzdłuż osi pręta):

3 A 2 2

2

2 6 3

3

2

N

N

B

1

C 4

1 2

2

2

Rozkładamy (rzutujemy) siłę na współrzędne i z momentu względem przegubu po jednej stronie możemy znaleźć siłę N (a z momentu względem przegubu po drugiej stronie ma sens sprawdzić).

3 A 2 2

2

2

6 0,8 N 2

N 0,6 N C

0,6 N B

N

4

1

3 3

0,8 N

5

2

 4

3

1 2

2 21

sin=53=0,6 cos=45=0,8

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

W wyniku musimy pokazać wyliczoną siłę:

3 A 2 2 6 3 3

2

2

4 5 2

3

B

1

C

0,8 N=3 N=5

4

0,6 N=4

1 2

2

2

Wyznaczenie siły w ściągu (jak pisać odręcznie):

 0   M Ep  0 Z jednego równania wyliczamy siłę podłużną N, z drugiego sprawdzamy poprawność obliczeń

A 2

B

4 5

3

M

l E

0

M

p E

0

l E

0

2

3 3

2

2

2

l E

C

0,8 N =4 N=5

3  6  2  2 1  N  2  4  4  0 5 6 N 6 N 5 5

Spr: 1

3

M

4

0,6 N =3

M

?

?

4  3  1  3  2  3  2  2  2  2 1  0

1 2

2

2

O.K .

22

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Zadania: znaleźć reakcje podporowe i wyznaczyć siłę w ściągu (proszę wyliczyć te i podobne zadania w zestawie, już samodzielnie tworząc plan obliczeń):

2 kN/m 1

4 kN

3

12 kNm

2

2

4

2

Zawszy powinniśmy najpierw zrozumieć kolejność wyliczenia reakcji, a nie próbować z trzech równań znaleźć 5 reakcji, podczas obliczeń spodziewając się na cud. Jeśli nie widzimy natychmiast, trzeba najpierw zapisać plan obliczeń i rozumieć dokładnie, z jakiego równania jaką reakcję wyliczymy. Kiedy kolejność obliczeń jest dla nas oczywista, można natychmiast wyliczać reakcje. s  3t  2 p  w

4 1

D

HA

N

12

VC I

II N VB 2

2

s  3  2  2 1  4  0

2

4

2

3

2

Mu

s  3 4  2  4  4  0 WKW spełniony I. Plan do wyznaczenia reakcji podporowych:  X  0  HA

M M M

l D

 0  Mu

C

 0  VB

p D

 0  VC ?

Spr.:  Y  0 II. Siła podłużna N  M DI  0  N ?

Spr.:  M DII  0

23

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Sprawdzamy względem dowolnego punktu K (który wygodnie wybrać na przecięciu się prostych działania sił zewnętrznych). Siłę podłużną wygodnie policzyć z sumy momentów względem przegubu po lewej stronie, ponieważ jedna współrzędna N (pozioma) wyzeruje się, a zostaje jedna siła zewnętrzna (bo druga też się wyzeruje) i jedna reakcja VA .

I. Reakcje podporowe:  X  0  HB

Mu

2 0,8 N

HB

2

2

2

II. Siła podłużna N  M Cl  0  N ?

0,8 N 2

Spr.:  M Cp  0

2

u

?

8

N

A

Spr.:  M K  0

0,6 N 3

1

A

N 0,6 N

VA

Y  0  V M  0  M

2

2

24

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Kratownica Kiedy przeguby nie leżą na jednej prostej, mamy jedną tarczę sztywną. Trójkąt – najprostsza figura geometrycznie niezmienna, tj. trzy pręty połączone między sobą przegubami tworzą jedną tarczę.

Zauważmy, że część górna lewa jest złożona z trójkątów, tj. jest jedną tarczą sztywną.

s  3t  2 p  3  2  2 1  4 4 równania równowagi (bez więzów są 4 stopnie swobody) Plan obliczeń: 1.  M Bl  0  VA 2.  Y  0  VC 3.  X  0  H D 4.  M Bp  0  M u Spr : ?

MK 0 Proszę wyliczyć reakcje samodzielnie.

25

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Zadania z zasady prac wirtualnych (ZPW) Korzystając z ZPW, wyznaczyć reakcje podporowe

P 2a

a

Środek chwilowego obrotu znajdujemy na przecięciu się dwóch prostych prostopadłych do prędkości możliwych. Różne podpory pozwalają na różne przesunięcia wirtualne – w taki sposób wyznaczamy ich kierunek. Ciało się obraca – prędkość możliwa proporcjonalna do odległości.. Najpierw tworzymy układ sił. Dalej wyznaczamy reakcje po kolei. Wyrzucamy podporę prostą, zastępujemy reakcją. Z twierdzenia o rozkładzie prędkości w bryle sztywnej zakładamy na pewnej odległości dowolne przesunięcie, wtedy na każdej innej odległości przesunięcie będzie proporcjonalne do odległości (np. na odległości a założyliśmy przesunięcie  , wtedy na odległości 2a będziemy mieli 2 ).

 



VB



3 P VB 2

2a

a

 L  VB  2  P  3  0 

 2VB  3P    0



2VB  3P  0 3 P 2 O znaku decyduje zwrot przesunięcia możliwego: zgodnie z siłą zewnętrzną lub przeciwnie. VB 



+





-



Dlaczego?



+



   cos =1     



  cos =-1      26

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019



VA

 

VA

P/2

2a

a

 L  VA  2  P    0 

 2VA  P    0



2VA  P  0 VA  

P 2

 HA





2a

a

HA  0 Proszę sprawdzić poprawność obliczeń z równań równowagi.

27

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych IMB WIL PK

N. Jurkowska, 2019

Proszę samodzielnie wyznaczyć reakcje z ZPW w następnym przykładzie i sprawdzić z równań równowagi.

a

P P

A

B

P a

a

 VB

 B 0 VB



A a

a



a

 a

HA HA







2P a

a

 a

VA

 A



B

VA a

a

28