AULA EN 12ABR LIMITES

SAVE OFFLINE

PROMILITARES

PROF. RENATO MADEIRA

LIMITES O limite de f(x), quando x tende a p, é igual a L significa que, quando x se aproxima de p, sem assumir o valor p, o valor da função f se aproxima de L.

CONTINUIDADE A função f é contínua em p se, quando x se aproxima de p, inclusive para x = p, o valor de f(x) se aproxima de f(p). f é contínua em p  lim f  x   f  p  xp

Se uma função possui limite em um ponto, então a função é limitada nesse ponto.

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES Seja k constante e supondo que f e g possuam limites finitos em p . lim  f  x   g  x   lim f  x   lim g  x 

x p

x p

x p

lim k  f  x   k  lim f  x 

x p

x p

lim  f  x   g  x   lim f  x   lim g  x 

xp

xp

x p

1  1  lim    x p  f  x   lim f  x  x p

lim f  x   f  x   xp lim   x p  g  x   lim g  x  x p

LIMITE DA FUNÇÃO COMPOSTA

Teorema: Sejam f e g duas funções tais que Imf  Dg . Se lim f  x   a e g é contínua em xp

a , então lim g  f  x    lim g u . xp

ua

LIMITES LATERAIS lim f  x   L  lim f  x   L  lim f  x   L

xp

xp

xp

LIMITE TRIGONOMÉTRICO FUNDAMENTAL sen  1  0  lim

LIMITE EXPONENCIAL x

x

1 1   lim  1    lim  1    e x x x   x   1 x

lim  1  x   e

x 0

TEOREMA DE L’HÔPITAL Teorema: Se f  x  e g  x  são tais que ambos tendem para 0 ou ambos tendem para  , f x  f 'x   lim então lim g x  g'  x  onde usamos “lim” para representar qualquer um dos seguintes limites lim , lim , lim , x 

x 

x p

lim ou lim . No caso dos três últimos limites que g'  x   0 para x suficientemente

x p

x p

próximo de p , e no caso dos dois primeiros que g'  x   0 para valores suficientemente grandes ou suficientemente pequenos de x .

x

 x 2  5x  4  1) (EN 2017) Sendo k  lim  2  , então ln  2k   log 5 é igual a: x   x  3x  7  1   a) 1   ln 2  9  ln10  1   b) 1   ln 2  7  ln10  1   c) 1   ln 2  9  ln10  1   d) 1   ln 2  9  ln10  1   e) 1   ln 2  7  ln10 

RESOLUÇÃO: a x  8x 3

x 2 3x  7  x 2 3x  7  x x  x 2  5x  4  8x  3  8x  3  8x 3    k  lim  2  lim 1  2    lim 1  2    x   x  3x  7  x   x   x  3x  7  x  3x  7   8



8x 2 3x 2 e x  x 3x 7 lim

lim

x 

e

3 x

3 7 1  2 x x

 e8

 10  ln  2k   log 5  ln  2  e8   log 5  ln 2  8  log    ln 2  8  1  log 2   2 ln 2 1    ln 2   9  1   ln 2  9 ln10  ln10 

2) (EN 2017) Considere a o menor arco no sentido trigonométrico positivo, para o qual a função real f, definida por  tg x 1  cos x , se x  0  f x   sen 2x  cos a , se x  0  seja contínua em x = 0. Sendo assim, pode-se dizer que a vale: 3 a) 4  b) 12 5 c) 4

 8  e) 4

d)

RESOLUÇÃO: e sen x 1  cos x tg x 1  cos x 1  cos x 11 2 cos x   lim f x  lim  lim  lim   2 2 x 0 x 0 x 0 2sen x cos x x 0 2 cos x sen 2x 2 2 1 2  f  x  é contínua em x  0  lim f  x   f  0    cos a  a  x 0 2 4

 tgx  x x  sen x   3) (EN 2016) Calculando lim   encontra-se x 0 x  sen x tg 3 x   7 a) 3 13 b) 6 5 c) 2 13 d) 3 7 e) 6

RESPOSTA: b RESOLUÇÃO:  tgx  x x  sen x   tgx  x   x  sen x  L  lim    lim    lim   3 x 0 x  sen x tg x  x 0  x  sen x  x 0  tg 3 x   Os dois limites são da forma

0 , então podemos aplicar o teorema de L’Hôpital. 0

 sec 2 x  1  0  2sec x   sec x  tgx    tgx  x  0 L1  lim    lim    lim   x 0  x  sen x  x 0  1  cos x  x 0  sen x  1 sen x 1    2  2  lim  2     lim    2 2 x 0  cos x cos x sen x  x 0  cos3 x  13 0

0

0

1  cos x  x  sen x  0  1  cos x    L2  lim   lim   lim     3 2 2 2 2 x 0  tg x  x 0  3tg x  sec x  x 0  3tg x  1  tg x   0

1 sen x  1  cos x  0 1     lim  2   lim    4 2 3 2 3 x 0  tg x  tg x  3 x 0  2tgx sec x  4tg x sec x   sen x  cos 2 x  1  sen x  cos 2 x  1   lim    lim    6 x 0  tgx  1  2tg 2 x   6 x 0  sen x  1  2tg 2 x    cos x   cos3 x  1 1 13 1   lim     2 2 6 x 0  1  2tg x  6 1  2  0 6 1 13 L  L1  L 2  2   6 6

1  x  1  2ax  , o valor de a pode ser determinado para que x 0 x2 tal limite exista. Nesse caso, o valor do limite é 1 a)  4 1 b) 4 1 c) 8 1 d)  8 e) 0 4) (EN 2016) No limite lim

RESPOSTA: d RESOLUÇÃO:

1  x  1  2ax  0 é do tipo . Vamos aplicar o teorema de L’Hôpital. 2 x 0 0 x 1  2a 1  x  1  2ax  1  4a 1  x 2 1  x L  lim  lim  lim 2 x 0 x 0 x 0 4x 1  x 2x x Como o denominador do último limite tende a zero, para que o limite original exista, o numerador do último limite também deve tender a zero. 1 lim 1  4a 1  x   1  4a  0  a   x 0 4 O limite L  lim

Substituindo a  

1 no numerador do último limite e aplicando novamente o teorema de 4

L’Hôpital, temos: L  lim

x 0

1 1 x 4 x 2  x3

  lim

x 0

4

1 2 1 x

1 2 x 2  x3

 1 x 1 x  1  lim     x 0  2 1  x 2x  2  3x   8   2x  3x 2 

x

 xa  5) (EN 2015) Sabendo que a é uma constante real e que lim    e então o valor da x   x  a  constante a é 4 (A) 3 3 (B) 2 1 (C) 2 1 (D) 3 3 (E) 4

RESPOSTA: C RESOLUÇÃO: x a  x x 2a  2a  2a  xa    lim    lim 1    lim  1   x a  x a  x   x  a  x   x    1  e 2a  e  2a  1  a  2

6) (EN 2015) O valor de lim

x 0

(A)  1 (B) 2 (C) 0 (D) 1 (E) 2

1  sen x  1  sen x é 2x

2ax

x a  x a  2a  2a    lim  1    x a  x    

2a

1 a  x   

RESPOSTA: B RESOLUÇÃO: 0 . 0 1  sen x  1  sen x 1  sen x  1  sen x 1  sen x  1  sen x lim  lim   2x 2x x 0 x 0 1  sen x  1  sen x 1  sen x   1  sen x  2sen x  lim  lim  x 0 2x   1  sen x  1  sen x  x 0 2x   1  sen x  1  sen x  sen x 1 1 1 lim  lim  1  x 0 x x 0 1  sen x  1  sen x 1 0  1 0 2 sen x  1. Note que usamos o limite trigonométrico fundamental lim x 0 x

O limite é uma indeterminação do tipo

1  x se x  0  1  e 7) (EN 2014) Sabendo que a função real f  x    2 é contínua em x = 0,  x  x  a se x  0  x  2 2  f 0 a ? x  , qual é o valor de , onde b  4 b (A) 8 (B) 2 (C) 1 1 (D)  4 (E) 8

RESPOSTA: E Se a função f é contínua em x = 0, então lim f  x   f  0  . Portanto, devemos ter x 0

lim f  x   lim f  x   f  0  .

x 0 

x 0 

lim f  x   lim 1  e   1 1 x

x 0

x 0

1

1 Observe que, quando x  0  ,   e e x  0 . x

Como lim f  x   lim f  x   f  0  , temos: f  0   x 0 

x 0 

02  0  a  1  a  2 . 02

Vamos

conferir o valor do 2 2  x x2  x x2 2 lim f  x   lim    lim     1. x 0 x 0  x  2  x 0  x  2  2 f 2  0  12 1 a 2   e  Portanto, b   8 . 4 4 4 b 14

limite

à

direita:

sen 2x  cos 2x  1 é igual a  cos x  sen x x

8) (EN 2014) O limite lim

4

(A) 2 (B)  2 2 (C) 2 2 (D)  2 (E) 0 RESPOSTA: B sen 2x  cos 2x  1 2sen x cos x   2 cos 2 x  1  1 2 cos x  cos x  sen x  lim  lim  lim     cos x  sen x cos x  sen x cos x  sen x x x x 4

4

 lim  2 cos x   2  x

 4

4

2  2 2

Alternativamente, poderíamos observar que o limite lim

 x 4

0 sen 2x  cos 2x  1 é da forma . 0 cos x  sen x

Aplicando o teorema de L´Hôpital, temos: sen 2x  cos 2x  1 2 cos 2x  2sen 2x sen 2x  cos 2x lim  lim  2 lim     sen x  cos x cos x  sen x  sen x  cos x x x x 4

4

4

1 0 1  2   2   2 2 2 2  2 2

9) (EN 2012) Calculando-se lim  cotg x 

sen x

x 0

a)  b) 0 c) e

, obtém-se

d) 1 e) 1 RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: Seja

y  lim  cotg x 

sen x

x 0

 ln y  lim ln  cotg x 

O limite acima é do tipo

sen x

x 0

 lim sen x  ln  cotg x   lim x 0

x 0

ln  cotg x  cossec x

 , então podemos aplicar o teorema de L’Hôpital. Assim, 

1    cossec 2 x  sen x cotg x ln y  lim  lim tg 2 x  cossec x  lim  0  y  e0  1 2     cossec x  cotg x x 0 x 0 x 0 cos x

10) (EN 2007) O valor de lim  ln x   ln  x  1 é x 1

a)  b) e c) 1 d) 0 e) 1 RESPOSTA: d

1 2 L 'Hôpital   ln x  1 x   ln x  x 1 lim  ln x   ln  x  1  lim  lim  lim 1 1 1 x 1 1  x x 1 x 1 x 1   2 ln x  ln x  x 1  ln x   x  2 ln x  2

 lim

x 1

1

1 x  lim    ln x 2  2 ln x   0 x 1

 1 1  11) (EN 2004) O lim  x 1  2 1  x 3 1 3 x  (A) 0 (B) 1/16 (C) 1/12 (D) 1/2 (E) 1



RESPOSTA: C

 



  é igual a:  

6

x  y  3 x  y2 e

x  y3

 1 1 lim   x 1  2 1  x 3 1 3 x 



 



 1 1    lim      y1 2 1  y3  3 1  y 2     

3 1  y   2 1  y  y 2  1 1    lim    lim  y1 2 1  y  1  y  y 2  3 1  y 1  y   y1 6 1  y 1  y  1  y  y 2   

1  y  1  2y   y1 6 1  y 1  y  1  y  y 2  y 1 6 1  y  1  y  1  y  y 2  1  2y  3 1  lim   2 y1 6 1  y  1  y  y  6  2  3 12 1  y  2y 2

 lim

 lim

12) (EN 2003) Se lim  cotg x 

1 ln x

x 0

 p , então:

1 3 1 1 p 3 2 1  p 1 2 1 p  2 2p3

(A) 0  p  (B) (C) (D) (E)

RESPOSTA: B lim  cotg x 

x 0

1 ln x

 p  ln p  lim ln  cotg x  x 0

1 ln x

   

ln  cotg x  1  ln  cotg x   lim  x 0 ln x x 0 ln x

 lim

1    cossec2 x  x  tg x 1 cotg x  lim   lim  1  ln p  1  p  2 1 x 0 x 0 sen x e x 1 1 e  2, 7   p  3 2 O último limite foi calculado considerando que x , sen x e tg x são infinitesimais equivalentes.

sen 2 x 13) (EN 1998) O valor de lim é: x 0 sen x 2

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 e)  RESPOSTA: c

 sen x 2 x 2  2 sen 2 x lim  lim    1 1  1   x 0 sen x 2 x 0  x  sen x 2  Usando infinitesimais, temos sen x x , quando x  0.  x 2 sen 2 x lim  lim  lim 1  1 x 0 sen x 2 x 0 x 2 x 0  x 3 , se x  3  14) (EN 1998) O valor de “a” para que a função f  x    x  3 seja contínua em  a , se x  3  x  3 é:

a)

3

b)

3 3

c) d) e)

1 3 3 6

1 6

RESPOSTA: d A função f é contínua em x  3 se, e somente se, lim f  x   f  3  a . x3

lim f  x   lim

x 3

x 3

x 3 x 3 1 1 3  lim  lim  aa x 3 6 x 3  x  3  x  3  x 3 x  3 2 3

ln  x  1  sen x é: x 0 sen 2 x

15) (EN 1997) O valor de lim a)  1 b)  2 c) 0 1 d) 2 e) Não existe.

RESPOSTA: b Esse limite apresenta uma indeterminação do tipo 0/0. Vamos então aplicar o teorema de L’Hôpital. 1  cos x ln  x  1  sen x x 1 lim  lim x 0 x 0 2sen x cos x sen 2 x Observe que continuamos com uma indeterminação do tipo 0/0. Assim, vamos aplicar novamente o teorema de L’Hôpital. 1 1 1  sen x  cos x  cos x ln  x  1  sen x 1  0 1  x  12 x  1 x  1 lim  lim  lim  lim   2 x 0 x 0 2sen x cos x x 0 x 0 sen 2x cos 2x  2 2 1 2 sen x

x4  x2  2 é: x 1 x 5  2x 2  3

16) (EN 1992) O valor de lim 2 3 4 b) 5 c) 1 3 d) 2 e) 2

a)

RESPOSTA: a x4  x2  2 4x 3  2x 4 13  2 1 6 2 lim 5  lim 4    4 x 1 x  2x 2  3 x 1 5x  4x 5 1  4 1 9 3