Livro - ANALISE MULTIVARIADA DE DADOS - Hair et al

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JOSEPH F. HAIR, JR. Lousiana Sta/e University RüLPH E. ANDERSbN Drexel University RONALD L. TATHAM Burke Marketing Research WILLIAM C. BLACK Lousiana Sta/e University

5a. edição

Tradução: Acionai Schlup Sant'Anna Anselmo Chaves Neto Â..ociftÇ/1 Brasileira para u Proteção do, DiNlto, Edilorlnl'lo Auto,ais RESPEITE O AUTOR NAo FA Ll: 2

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Graus

90

180

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90

180

Graus

Faces de Chernoff Grupo 1

Grupo 2

Grupo 4

Grupo 3

e© 0 W Dados reais

Resumo As disposições gráficas desta seção não são un:i substituto para as medidas diagnósticas estatísticas discutidas em seções posteriores. No entanto, elas podem fornecer um meio alternativo para desenvolver uma perspectiva sobre o caráter dos dados e das inter-relações existentes, mesmo que sejam de natureza multivariada. Muitas vezes, o velho adágio "uma imagem vale mais que mil palavras" demonstra ser válido no emprego de representações gráficas para aplicações comparativas ou diagnósticas.

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FIGURA 2.5

Grupo

x,

x,

x,

x,

x,

x,

x,

1

4,794

1,622

8,267

4,717

3,222

2,067

5,044

2

2,011

2,133

6,544

5,267

2,039

2,672

8,483

3

3,700

4,158

6,008

6,242

3,900

3,233

8,258

4

4,809

1,510

9,319

5,690

3,148

3,195

6,981

Exemplos de representações gráficas rnultivariadas.

Um processo de dados perdidos é qualquer evento sistemático externo ao respondente (como erros na entrada de dados ou problemas na coleta de dados) ou ação por parte do respondente (como a recusa a responder) que conduz a valores perdidos. Os efeitos de alguns processos de dados perdidos são conhecidos e diretamente acomodados no plano de pesquisa. Outros, porém, especialmente baseados em ações do respondente, raramente são conhecidos. Quando os processos de dados perdidos são desconhecidos, o pesquisador tenta identificar padrões nos dados perdidos que caracterizariam o processo de dados perdidos. Ao fazer isso, o pesquisador indaga, por exemplo: (1) Os dados perdidos estão distribuídos ao acaso pelas observações ou são padrões distintos identificáveis? e (2) Qual é a freqüência dos dados perdidos? Se forem encontrados padrões e a extensão dos dados perdidos, isso será suficiente

para garantir uma ação, então considera-se que algum processo de dados perdidos está em operação. Quaisquer resultados estatísticos baseados nesses dados seriam tendenciosos, uma vez que as variáveis incluídas na análise são influenciadas pelo processo de dados perdidos. A preocupação em entender os processos de dados perdidos é semelhante à necessidade se entenderem as causas da falta de resposta no processo de coleta de dados. Por exemplo, os indivíduos que não responderam são diferentes dos que responderam? Se for o caso, essas diferenças têm algmn impacto na análise, nos resultados ou em sua interpretação? Preocupações semelhantes a essas também surgem das respostas perdidas para variáveis individuais. O impacto de dados perdidos é prejudicial não apenas por suas tendências "ocultas" potenciais sobre os resultados, mas também por seu impacto prático no tamanho da

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EXAMINANDO SEUS DADOS

ANÁLISE MULTIVARIADA DE DADOS

to, tanto entre casos quanto variáveis. Neste exemplo, percebemos que todas as variáveis (V1 a V 5) têm alguns dados perdidos, sendo que V3 tem perdidos mais da metade (55%) de todos os valores. Três casos (3, 13 e 15) têm mais de 50% de dados perdidos e apenas cinco casos têm dados completos. Ao todo, 22%* dos valores dos dados estão perdidos. Se fosse empregada uma análise multivariada que exigisse dados completos, os dados seriam reduzidos a apenas cinco casos, o que é pouco para qualquer tipo de análise. Esse nível de redução em casos disponíveis não é incomum em muitas aplicações. Procedimentos corretivos mais sofisticados para lidar com dados perdidos serão discutidos em detalhes em seções posteriores, mas uma opção óbvia é a eliminação de variáveis e/ou casos. Em nosso exemplo, assumindo que os fundamentos conceituais da pesquisa não são substancialmente alterados pela eliminação de uma variável, eliminar V3 é um tratamento para reduzir o número de dados perdidos. Eliminando-se apenas V3, sete casos adicionais, em um total de 12, agora têm: informações completas. Se os três casos (3, 13, 15), com números excepcionalmente altos de dados perdidos, também forem eliminados, o número total de dados

amostra disponível para análise. Por exemplo, se atitudes corretivas sobre dados perdidos não são aplicadas, qualquer observação com dados perdidos em qualquer das variáveis será excluída da análise. Em muitas análises multivariadas, especialmente em aplicações de pesquisas delevantamentos, os dados perdidos podem eliminar tantas observações que uma amostra que era adequada, fica reduzida a uma amostra imprópria. Em tais sih1ações, o pesquisador deve juntar observações adicionais ou encontrar um remédio para os dados perdidos na amostra original. Apesar de o remédio para dados perdidos ser a solução mais prática, há poucas orientações sobre a diagnose e o reparo de dados perdidos. Por essa razão, as seções seguintes discutem os diferentes tipos de processos de dados perdidos, métodos para identificar a natureza dos processos de dados perdidos e técnicas de reparo disponíveis para a acomodação de dados perdidos em análises multivariadas.

Um exemplo simples de uma análise de dados perdidos A Tabela 2.1 contém um exemplo simples de dados perdidos entre 20 casos. Como é comum em muitos conjuntos de dados, particularmente em pesquisas de levantamento, o número de dados perdidos varia mui-

TABELA 2.1

* N. de R.T.

A porcentagem correta é 23r1/o.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

v,

v,

v,

v,

v,

Número

1,3 4,1

9,9 5,7 9,9 8,6 8,3 6,7 8,8 8,0

6,7

3,0

2,6

o

@

@)

2,9

®

3,0 2,1 1,2

®

2 3 1 1 1

1/lil 0,9 0,4 1,5 0,2 2,1 1,8 4,5 2,5 4,5

~ 2,8 3,7 1,6 0,5 2,8 2,2 1,8

7,6 8,0 9,2 6,4

@

'

5,3

@, 3,0 3,8 3,2 3,3 3,3 3,0

@

t)

4,8 4,5 3,0

@ 11i)1)

&J!

1,8 1,7 2,5 2,4 1,4 2,5 2,2 3,9 2,5 2,7 3,8

t/1':) 6,1

6,4

fl)

f}

i/2)

3,0

(~

6,4 9,2 5,2 6,7 9,0

5,0

[f)

2,1 2,8 2,7 2,9 3,0

o

3,3

5,0

(J 5,0

2,6 2,2

DADOS PERDIDOS POR VARIÁVEL Número

Percentual

Compreenda as razões que levam a dados perdidos Antes que qualquer atitude corretiva sobre dados perdidos seja tomada, o pesquisador deve primeiro diagnosticar e entender os processos inerentes aos dados perdidos. Às vezes, esses processos estão sob o controle do pesquisador e podem ser explicitamente identificados. Em tais situações, os dados perdidos são ditos ignoráveis, o que significa que não são necessárias providências específicas para dados perdidos, uma vez que a técnica usada os permite [9].

Exemplo hipotético de dados perdidos Dados perdidos por caso

Caso

perdidos se reduzirá a apenas cinco casos, ou 7,4% de todos os valores. Esses cinco casos perdidos, contudo, estão presentes em V.,, e também devemos procurar padrões entre esses dados. Comparando os casos com dados perdidos para V, com os que têm valores válidos de v,, percebemos que surge um padrão em relação a V,. Os cinco casos com valores perdidos para V 4 também têm os cinco menores valores para V,, indicando que dados perdidos para V 4 estão fortemente associados a escores menores sobre V,. Essa associação sistemática entre dados perdidos e válidos provoca um impacto direto em qualquer análise na qual V 4 e V2 estejam incluídas. Neste caso, o pesquisador sempre deve examinar 1ninuciosamente os resultados, incluindo V 4 e V2, com vistas ao possível impacto desse processo de dados perdidos sobre os resultados.

2 10

2 10

11

55

6 30

2 10

Dados perdidos ignoráveis

Percentual

TOTAL DE VALORES PERDIDOS

Um exemplo de proce'sso de dados perdidos ignoráveis é o de "dados perdidos" das observações em uma população que não são incluídas quando se toma uma amostra. O propósito de técnicas multivariadas é generalizar, partindo de observações da amostra para a população inteira, o que realmente é uma tentativa de superar os dados perdidos de observações que não estão na amostra. O pesquisador torna esses dados perdidos ignoráveis usando amostragem aleatória* para selecionar respondentes. A amostragem aleatória permite ao pesquisador especificar que o processo de dados perdidos que conduz a observações omitidas ocorre ao acaso e que os dados perdidos podem ocorrer devido ao erro amostral nos procedimentas estatísticos. Logo, os "dados perdidos" das observações não amostradas são ignoráveis. Outro caso de dados perdidos ignoráveis ocorre tando os dados são censtll'ados. Dados censurados são o servações incompletas devido a seu estágio no processo de dados perdidos. Um exemplo típico é uma análise das causas de morte. Respondentes que ainda vivem não poem dar informação completa (ou seja, causa ou hora da

23 23

*~·~e R.T. Também seria correta a expressão amostragem probabi-

o 40 60 20 20 20

o o

o o

1 1 1 4 1 3

20 20 20 9 80 20 60

1 1 1

20 20 20 20

o

o

o

Número:

Percentual:

hsttca.

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morte) e são, portanto, censurados. Outro exemplo interessante ocorre na tentativa de se estimar a altura da população geral de um país com base nas alturas dos reemtas das forças armadas do mesmo (como citado em [9]). Os dados são censurados porque ocasionalmente as forças armadas podem impor restrições de altura que variam em nível e aplicação. Logo, os pesquisadores se defrontam com a tarefa de estimar a altura da população inteira quando sabe-se que certos indivíduos (os que estão abaixo das restrições de altura) não estão incluídos na amostra. Em ambos os casos, o conhecimento do pesquisador sobre o processo de dados perdidos permite o emprego de métodos especializados, como a análise de história de eventos, para acomodar dados censurados [9]. A justificativa para designar dados perdidos como ignoráveis é que o processo de dados perdidos está operando de forma aleatória (i.e., os valores observados são uma amostra aleatória do conjunto total de valores, observados e perdidos) ou está explicitamente acomodado na técnica usada. No entanto, na maioria dos casos, o processo de dados perdidos não é explicitamente abordado pelas técnicas empregadas. Logo, o pesquisador deve avaliar a extensão e o impacto dos dados perdidos para determinar se eles são devido a um processo aleatório ou se eles são tratáveis por uma das técnicas corretivas disponíveis.

Outros tipos de processos de dados perdidos Os dados perdidos podem ocorrer por muitas razões e em muitas situações. Um tipo de processo de dados perdidos que pode acontecer em qualquer situação é devido a fatores de procedimento, como erros na entrada de dados que criam códigos inválidos, restrições de exposição (p. ex., pequenas contagens nos dados do censo de um país), falha em completar o questionário inteiro, ou mesmo problemas de saúde do respondente. Nessas situações, o pesquisador tem pouco controle sobre os processos de dados perdidos, mas alguns procedimentos corretivos podem ser aplicáveis se os dados perdidos forem aleatórios. Outro tipo de processo de dados perdidos ocorre quando a resposta é inaplicável, como questões sobre anos de casado para adultos que nunca se casaram. Novamente, a análise pode ser especificamente formulada para acomodar esses respondentes. Outros processos de dados perdidos não são tão fáceis de identificar e acomodar. Em geral, esses casos estão diretamente relacionados ao respondente. Um exemplo é a recusa a responder certas perguntas. Isso é comum em questões delicadas (p. ex., renda ou questões controversas) ou quando o respondente não tem opinião ou tem conhecimento insuficiente para responder. O pesquisador deve antecipar esses problemas e tentar minimizá-los no planejamento da pesquisa e nos estágios de coleta de dados da pesquisa. No entanto,

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EXAMINANDO SEUS DADOS

ANÁLISE MULTIVARIADA DE DADOS

eles ainda podem ocorrer, e o pesquisador deverá então lidar com os dados perdidos resultantes. Entretanto, nem tudo está perdido. Quando os dados perdidos ocorrem em um padrão aleatório, pode haver providências para minimizar seu efeito.

pacto de qualquer outra variável ou do processo de dados perdidos.

Faça um diagnóstico da aleatoriedade do processo de dados perdidos

Como já observado, o pesquisador deve verificar se o processo de dados perdidos ocorre de um modo completaPara decidir se uma atitude corretiva para dados per- mente aleatório. 'li'ês métodos estão disponíveis para esse didos pode ser aplicada, o pesquisador deve primeiro diagnóstico. O primeiro avalia o processo de dados perdiaveriguar o grau de aleatoriedade presente nos dados dos de uma única variável Y que forma dois grupos - as perdidos. Considere, para fins de ilustração, que duas observações com dados perdidos para Y e as com valores variáveis (X e Y) são coletadas. X não apresenta dados válidos de Y. Testes estatísticos são então empregados paperdidos, mas Y tem alguns. Se um processo de dados ra determinar se existem diferenças significantes entre os perdidos é identificado enh·e X e Y, onde há diferenças dois grupos para outras variáveis de interesse. Diferenças significativas nos valores de X entre os casos para Y significantes indicam a possibilidade de um processo de com dados válidos e perdidos, então os dados perdi- dados perdidos não-aleatório. Usemos nosso exemplo andos não são aleatórios. Qualquer análise deve acomo- terior de renda familiar e sexo. Primeiro, formaríamos dar explicitamente o processo de dados perdidos entre dois grupos de respondentes, aqueles com dados perdiX e Y, sob pena de serem introduzidas tendências nos dos sobre a questão de renda familiar e aqueles que resresultados. ponderam a questão. Compararíamos então os percenOs dados perdidos são chamados de perdidos ao tuais de sexo para cada grupo. Se um sexo (p. ex., mascuacaso (MAR- missing at random) se os valores perdidos lino) fosse encontrado em maior proporção no grupo de de Y dependem de X, mas não de Y. Com isso, quere- dados perdidos, suspeitaríamos de um processo de dados mos dizer que os valores observados de Y representam perdidos não-aleatório. Se a variável que estivéssemos uma amostra aleatória dos valores reais de Y para cada comparando fosse métrica (p. ex., uma atitude ou percepvalor de X, mas os dados observados para Y não repre- ção) ao invés de categórica (sexo), então t de student tessentam necessariamente uma amostra verdadeiramente tes poderiam ser realizados. O pesquisador deve examialeatória de todos os valores de Y. Mesmo que o proces- nar diversas variáveis para ver se algum padrão consisso de dados perdidos seja aleatório na amostra, seus va- tente aparece. Lembre que algumas di,ferenças irão ocorlores não são generalizáveis à população. Por exemplo, rer por acaso, mas qualquer série de diferenças pode indiconsidere que saibamos o sexo dos respondentes (ava- car um padrão não-aleatório .inerente. riável X) e perguntemos a renda familiar (a variável Y). Um segundo tratamento utiliza correlações dicotoPercebemos que os dados perdidos são aleatórios tanto mizadas para avaliar a correlação de dados perdidos papara o sexo masculino quanto para o feminino, mas ra qualquer par de variáveis. Para cada variável, os valoocorrem com uma freqüência muito maior para o sexo res válidos são representados pelo valor um e os dados masculino do que para o feminino. Ainda que o proces- perdidos são substituídos pelo valor zero. Esses indicaso de dados perdidos esteja operando de maneira alea- dores de valores perdidos para cada variável são então tória, qualquer atitude corretiva tomada com relação correlacionados. As correlações indicam o grau de assoaos dados perdidos ainda refletirá o processo de dados ciação entre os dados perdidos de cada par de variáveis. perdidos, pelo fato de que o sexo afeta a distribuição fi- Baixas correlações denotam aleatoriedade nos dados pernal de valores da renda familiar. didos para cada par de variáveis. Apesar de não existiUm nível superior de aleatoriedade se chama perdi- rem diretrizes precisas para a identificação do nível de dos completamente ao acaso (MCAR - missing comple- correlação necessária para indicar um processo de dados tely at random). Nesses casos, os valores observados de Y perdidos não-aleatório, testes de significância estatística são verdadeiramente uma amostra aleatória de todos os de correlações fornecerem uma estimativa conservadora valores de Y, sem qualquer processo inerente que con- do grau de aleatoriedade. Se a aleatoriedade é indicada duza a tendências para os dados observados. Em nosso para todos os pares de variáveis, então o pesquisador poexemplo anterior, isso seria mostrado pelo fato de que de assumir que os dados perdidos podem ser classificaos dados perdidos para renda familiar seriam perdidos dos como MCAR. Se correlações significantes existem ao acaso em iguais proporções tanto para o sexo mascu- entre alguns pares de variáveis, então o pesquisador polino quanto para o feminino. Se essa é a forma do pro- de ter de considerar que os dados são somente MAR, e cesso de dados perdidos, quaisquer atitudes corretivas essas relações devem ser acomodadas por quaisquer podem ser aplicadas sem levar em consideração o im- ações corretivas que sejam aplicáveis.

Examine os padrões de dados perdidos

Finalmente, é possível realizar um teste geral de aleatoriedade ser executado para determinar se os dados perdidos podem ser classificados como MCAR. Esse teste analisa o padrão de dados perdidos em todas as variáveis ·e O compara com o padrão esperado para um processo de dados perdidos aleatório. Se diferenças significantes não são encontradas, os dados perdidos podem ser classificados como MCAR. No entanto, se diferenças significativas são encontradas, o pesquisador cl.eve usar os tratamentos descritos previamente para identificar os processos de dados perdidos específicos que não são aleatórios.

Tratamentos para lidar com dados perdidos Os tratamentos ou as ações corretivas abordagens para lidar com dados perdidos podem ser classificados em uma de quatro categorias, com base na aleatoriedade do processo de dados perdidos e no método empregado para estimar os mesmos [9]. Se processos de dados perdidos não-aleatórios ou MAR são detectados, o pesquisador deve aplicar apenas uma ação corretiva - o tratamento de modelagem especificamente planejado [9]. A aplicação de qualquer outro método introduz tendências nos resultados. Apenas se o pesquisador determinar que o processo de dados perdidos pode ser classificado como MCAR, os tratamentos a serem discutidos adiante poderão ser usados. Entretanto, os pesquisadores freqüentemente fazem a avaliação da aleatoriedade antes de aplicar um desses remédios para dados perdidos. E ainda que o remédio seja apropriado, o pesquisador deve observar o impacto específico sobre os resultados associados com tal remédio. Muitas vezes, uma ação corretiva é aplicada sem uma avaliação dos processos de dados perdidos, da adequação da ação corretiva selecionada ou de suas conseqüências. Assim, o pesquisador jamais percebe os efeitos, pois eles estão ocultos nos resultados gerais.

Uso de observações com dados completos somente O tratamento mais simples e direto para lidar com dados perdidos é incluir somente as observações com dados completos, também conhecidas como abordagem de caso completo. Esse método está disponível em todos os programas estatísticos e é o método padrão em muitos prográmas. Apesar disso, a abordagem de caso completo deveria ser usada somente se os dados perdidos são MCAR, uma vez que os dados perdidos que não são MCAR têm elementos não-aleatórios que tendenciam os resultados. Logo, mesmo que somente observações válidas sejam utilizadas, os resultados não são generalizáveis à população. Além disso, em muitas situações, a amostra resultante é reduzida a um ta-

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manho inadequado. A abordagem de caso completo é mais apropriada a casos nos quais a extensão de dados perdidos é pequena, a amostra é suficientemente grande para permitir a eliminação dos casos com dados perdidos e as relações nos dados são tão fortes que não podem ser afetadas por qualquer processo de dados perdidos.

Desconsidere caso(s) e/ou variável(eis) Outro remédio simples para os dados perdidos é eliminar os casos e/ ou variáveis problemáticos. Nesse tratamento, o pesquisador determina a extensão dos dados perdidos em cada caso e variável e então elimina os casos ou variáveis com níveis excessivos. Em muitos casos, onde um padrão não-aleatório de dados perdidos está presente, essa pode ser a solução mais eficiente. O pesqLúsador pode descobrir que os dados perdidos estão concentrados em um pequeno subconjunto de casos e/ ou variáveis, sendo que sua exclusão reduz substancialmente a extensão dos dados perdidos. Novamente, não existem orientações seguras sobre o nível necessário para exclusão, mas qualquer decisão deve ser baseada em considerações empíricas e teóricas. Se são descobertos valores perdidos naquela que será uma variável dependente na análise proposta, o caso geralmente é excluído. Isso evita qualquer aumento artificial no poder explanatório da análise, o qual pode ocorrer quando o pesquisador primeiro estima os dados perdidos para a variável dependente por um dos processos de ah'ibuição descritos a seguir e então usa os valores estimados na análise da relação de dependência. Se uma variável que não é dependente tem valores perdidos e é uma candidata à eliminação, o pesquisador deve se certificar de que variáveis alternativas, de preferência que sejam altamente correlacionadas, estão disponíveis para representar a influência da variável original. O pesquisador sempre deve considerar os ganhos na eliminação de uma fonte de dados perdidos versus a eliminação de uma variável na análise multivariada.

Métodos de atribuição Uma terceira categoria de ações corretivas para lidar com dados perdidos é por meio de um entre os rmútos métodos de atribuição. Atribuição é o processo de estimação de valores perdidos com base em valores válidos de outras variáveis e/ ou casos na amostra. O objetivo é empregar relações conhecidas que podem ser identificadas nos valores válidos da amostra para auxiliar na estimação dos valores perdidos. Contudo, o pesquisador deve considerar cuidadosamente o uso de atribuição em cada caso, por causa de seu impacto potencial na análise [6]: A idéia de atribuição é tanto sedutora quanto perigosa. É sedutora porque pode embalar o usuário em um estado prazeroso de crença de que os dados realmente estão completos, e é perigosa porque mishlfa situações nas quais o problema é secundário o suficiente para ser legitimamente

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ANÁLISE MULTIVARIADA DE DADOS

tratado dessa maneira, bem como situações nas quais padrões estimadores aplicados a dados reais e atribuídos sofrem vieses substanciais.

Os métodos discutidos nesta seção são usados principalmente com variáveis métricas por duas razões. Primeiro, estimativas dos dados perdidos para variáveis métricas podem ser feitas com valores como a média de todos os valores válidos. Segundo, variáveis não-métricas exigem uma estimativa de um valor específico, em vez de uma estimativa em uma escala contúrna. É muito diferente estimar um valor perdido para uma variável métrica, como por exemplo uma atitude ou percepção - ou mesmo renda - em relação a estimar o sexo do respondente quando o mesmo é desconhecido .. Logo, variáveis não métricas são tipicamente não atendidas pelo processo de atribuição, mas demandam o tratamento de modelagem específica discutido na próxima seção ou são perdidas. Os métodos de atribuição podem ser definidos como um entre dois tipos: (1) uso de toda a informação disponível de um subconjunto de casos para generalizar para a amostra toda, ou (2) métodos de estimação de valores substitutos para os dados perdidos, que são então analisados por técnicas multivariadas comuns. A discussão a seguir descreverá as várias opções dentro de cada tipo e suas vantagens e desvantagens.

Use toda a informação disponível para a técnica de atribuição O primeiro tipo de método de atribuição na verdade não substitui os dados perdidos, mas atribui as características de distribuição (p. ex., médias ou desvios-padrão) ourelações (p. ex., correlações) a partir de todos os valores válidos disponíveis. Conhecido como abordagem de disponibilidade total, esse método (a opção PAIRWISE em SPSS e as opções CORPAIR, COVPAIR e ALLVALUE em BMDP) é utilizado principalmente para estimar correlações e maximizar a informação de pares disponível na amostra. A característica peculiar desse tratamento é que cada correlação para um par de variáveis é baseada em um conjunto potencialmente único de observações, e o número de observações usadas nos cálculos pode variar para cada correlação. O processo de ah·ibuição acontece não por substituição dos dados perdidos nos casos restantes, mas usando-se as correlações obtidas corno representativas da amostra inteira. Esse tratamento pode ser comparado com a abordagem de caso completo discutida anteriormente, a qual só usa dados de observações que não tenham dados perdidos. Qualquer um dos tratamentos poderá introduzir viés se o processo de dados perdidos não for MCAR. Ainda que o método de disponibilidade total maximize os dados utilizados e supere o problema de dados perdidos em uma única variável, eliminando um caso

EXAMINANDO SEUS DADOS

da análise como um todo, vários problemas também podem surgir a partir dessa abordagem. Primeiro, pode-se calcular correlações que estejam "fora do intervalo" e sejam inconsistentes com as outras correlações na matriz de correlação. Qualquer correlação entre X e Y é vinculada à sua correlação com uma terceira variável Z, como mostrado na seguinte fórmula:

A correlação entre X e Y poderá variar apenas entre +1 e X e Y tiverem correlação zero com todas as outras variáveis na matriz de correlação, ainda que raramente as correlações com ouh·as variáveis sejam zero. Quando as correlações com outras variáveis aumentam, a amplitude da correlação entre X e Y diminui. Isso aumenta o potencial de a correlação em um único conjunto de casos ser inconsistente com correlações obtidas de outros conjuntos de casos. Por exemplo, se X e Y têm correlações de 0,6 e 0,4, respectivamente, com Z, então o possível intervalo de correlação entre X e Y é 0,24 ± 0,73, ou seja, de -0,49 a 0,97. Qualquer valor fora desse intervalo será matematicamente inconsistente, ainda que possa ocorrer se a correlação for obtida com um número e um conjunto de casos diferentes para as duas correlações na abordagem de disponibilidade total. Um problema associado é que os autovalores na matriz de correlação podem se tornar negativos, alterando assim as propriedades de variância da matriz de correlação. Apesar de a matriz de correlação poder ser ajustada para eliminar esse problema (p. ex., a opção ALLVALUE em BMDP), muitos procedimentos não incluem esse processo de ajuste. Em casos extremos, a matriz de variância/ covariância estimada não é positiva definida. Todos esses problemas devem ser considerados quando se escolhe a abordagem de disponibilidade total. ~ 1 se

A substituição de dados perdidos A segunda forma de atribuição envolve a substituição de valores perdidos por valores estimados com base em outras informações disponíveis na amostra. Há muitas opções, que variam da direta substituição de valores a processos de estimação baseados em relações entre as variáveis. A discussão que se segue se concentra nos métodos mais amplamente usados, apesar de existirem muitas outras formas de atribuição [9]. Substituição por um caso Neste método, as observações com dados perdidos são substituídas por uma outra observação escolhida fora da amostra. Um exemplo comum é substituir uma família da amostra, que não pode ser contactada ou que tem extensos dados perdidos, por outra família que não esteja na amostra, de prefe-

rência que seja muito semelhante à observação original. Esse método é mais comumente usado para substihlir observações com dados completamente perdidos, apesar de também poder ser empregado para substituir observações com menores quantias de dados perdidos. Substituição pela média Um dos métodos mais amplamente utilizados, a substituição pela média, troca os valores perdidos por uma variável com o valor médio daquela variável, com base em todas as respostas válidas. Dessa maneira, as respostas válidas da amostra são usadas para calcular o valor de substituição. O raciocínio desse tratamento é que a média é o melhor valor único para substihlição. Essa abordagem, apesar de muito usada, tem três desvantagens. Primeiro, torna inválidas as estimativas devariância derivadas das fórmulas de variância usuais, por subestimar a verdadeira variância nos dados. Segundo, a real distribuição de valores fica distorcida, substituindo-se os valores perdidos pela média. Terceiro, esse método comprime a correlação observada, pois todos os dados perdidos têm um único valor constante. Não obstante, tem a vantagem de ser fácil de implementar e fornecer todos os casos com informação completa. Atribuição por carta marcada Neste método, o pesquisador substitui os valores perdidos por um valor constante obtido de fontes externas ou· pesquisa anterior. É semelhante, em natureza, ao método de substituição pela média, diferindo apenas na fonte do valor de substituição. A atribuição por carta marcada tem as mesmas desvantagens do método de substituição pela média, e o pesquisador deve certificar-se de que o valor para substituição de fonte externa é mais válido do que um valor gerado internamente, como a média. Esse método pode fornecer ao pesquisador a opção de substituir os dados perdidos por um valor que pode ser considerado mais adequado do que a média da amostra. Atribuição por regressão Neste método, a análise de regressão (descrita no Capítulo 4) é usada para prever os valores perdidos de uma variável com base em sua relação com outras variáveis no conjunto de dados. Apesar do recurso de usar relações já existentes na amostra como a base de previsão, esse método também tem várias desvantagens. Primeiro, reforça as relações já presentes nos dados. À medida que o emprego desse método aumenta, os dados resultantes setornam mais característicos da amostra e menos generalizáveis. Segundo, a menos que termos estocásticos sejam acrescentados aos valores estimados, a variância da distribuição é subestimada. Terceiro, esse método pressupõe que a variável com dados perdidos tem correlações substanciais com as Outras variáveis. Se essas

63

correlações não são suficientes para produzir uma estimativa significativa, então outros métodos, como a substituição pela média, são preferíveis. Finalmente, o procedimento de regressão não é vinculado às estimativas que faz. Logo, os valores previstos podem não estar incluídos nos intervalos válidos para variáveis (p. ex., um valor de 11 pode ser previsto em uma escala de 10 pontos), exigindo assim alguma forma de ajuste adicional. Mesmo com todos esses problemas potenciais, o método de regressão para atribuições se mantém promissor nos casos em que níveis moderados de dados perdidos, amplamente dispersos, estão presentes, e nos quais as relações entre variáveis são suficientemente estabelecidas, de modo que o pesquisador está confiante em que o uso desse método não influenciará a generalidade dos resultados. Atribuição múltipla O último método de atribuição é, na verdade, uma combinação de diversos métodos. Nesse tratamento, dois ou mais métodos de atribuição são usados para derivar uma estimativa composta geralmente a média das várias estimativas - para o valor perdido. O raciocínio dessa abordagem é que o uso de múltiplos tratamentos minimiza as preocupações específicas com qualquer método particular e que a composição será a melhor estimativa possível. A escolha desse tratamento é baseada principalmente no balanço entre a percepção do pesquisador dos benefícios potenciais versus o esforço substancialmente maior exigido para aplicar e combinar as múltiplas estimativas.

Procedimentos baseados em modelos O conjunto final de procedimentos incorpora explicitamente os dados perdidos na análise, seja por um processo especificamente planejado para estimação de dados perdidos, seja como uma parte da análise multivariada padrão. O primeiro tratamento envolve técnicas de estimação de máxima verosimilhança e que tentam modelar os processos inerentes aos dados perdidos e fazer as estimativas mais precisas e razoáveis possíveis [9]. Um exemplo é o tratamento EM em SPSS. É um método iterativo de dois estágios ( os estágios E e M) no qual o estágio E faz as melhores estimativas possíveis dos dados perdidos e o estágio M faz estimativas dos parâmetros (médias, desvios-padrão ou correlações) assumindo que os dados perdidos tenham sido substituídos. O processo continua pelos dois estágios até que a mudança nos valores estimados seja desprezível e eles substituam os dados perdidos. O segundo tratamento envolve a inclusão de dados perdidos diretamente na análise, definindo observações com dados perdidos como um subconjunto selecionado da amostra. Esse tratamento é mais aplicável para lidar

64

ANÁLISE MULTIVARIADA DE DADOS

EXAMINANDO SEUS DADOS

com valores perdidos das variáveis independentes de uma relação de dependência. Sua premissa foi mais bem caracterizada por Cohen e Cohen [4, p. 299]: Portanto, vemos dados perdidos como um fato pragmático que deve ser investigado, e não um desastre a ser atenuado. De fato, está implícita nessa filosofia a idéia de que como todos os outros aspectos que envolvem dados da amostra, os dados perdidos são uma propriedade da população que procuramos generalizar. Quando os valores perdidos ocorrem em uma variável não-métrica, o pesquisador pode facilmente definir aquelas observações como um grupo separado e então incluí-las em qualquer análise, tal como ANOVA, MANOVA, ou mesmo análise discriminante. Para os casos em que os dados perdidos estão presentes em uma variável métrica independente em uma relação de dependência, um procedimento foi desenvolvido para incorporar as observações na análise, enquanto se mantêm as relações entre os valores válidos [4]. Esse procedimento é mais bem ilustrado no contexto da análise de regressão, apesar de também poder ser usado em outras relações de dependência. O primeiro passo é codificar todas as observações com dados perdidos como variáveis dicotômicas (onde os casos com dados perdidos recebem o valor um e os outros o valor zero). Os valores perdidos são então atribuídos pelo método de substituição pela média. Finalmente, a relação é estimada pelos meios normais. A variável dicotômica representa a diferença para a variável dependente entre as observações com dados perdidos e as com dados válidos. O teste do coeficiente da variável dicotômica avalia a significância estatística dessa diferença. O coeficiente da variável original representa a relação para todos os casos com dados não perdidos. Esse método permite ao pesquisador reter todas as observações na análise para propósitos de manutenção do ta-

TABELA2.2

manho da amostra. Também fornece um teste direto para as diferenças entre os dois grupos, junto com arelação estimada entre as variáveis dependentes e independentes.

Uma ilustração de diagnóstico de dados perdidos Para ilustrar o processo de diagnóstico de padrões de dados perdidos e a aplicação de possíveis ações corretivas, um novo conjunto de dados é introduzido (ver Apêndice A para uma lista completa das observações). Esse conjunto de dados foi coletado durante o pré-teste do questionário usado para coletar os dados descritos no Capítulo 1. O pré-teste envolveu 70 indivíduos e coletou respostas sobre todas as 14 variáveis. No entanto, durante o pré-teste, ocorreram dados perdidos. As seções a seguir detalham o diagnóstico da extensão dos dados perdidos no conj1.mto de dados, bem como as análises disponíveis para selecionar e aplicar as várias ações corretivas para dados perdidos disponíveis na maioria dos programas estatísticos. Diversos programas de computador estão acrescentando análises de dados perdidos, entre eles o BMDP e o SPSS. As análises descritas a seguir podem ser reproduzidas por manipulação de dados e análise convencional. Exemplos são dados no Apêndice A.

X1 Velocidade de entrega X, Nível de preço X 3 Flexibilidade de preço

X4 Imagem do

fabricante X5 Serviço geral X, Imagem da força de vendas X7 Qualidade do produto X9 Nível de uso X10 Nível de satisfação

45 54 50 60 59 63 60 60 60

li.BELA 2.3

X,

2

s

3

s

2

s s

3 2

s

2

235

2

237

1 1

240

1

s s

s s

s

s

s s s s s s

s s s

248

2

249

1

250

2

253

1

29,7

255

2

15,6 21,9 6,3 7,8 1,6 6,3 6,3 6,3

256 257

1 2

259

1

s s

1

269

2

Legenda: S = um valor perdido.

s

s

1

268

s

s

246

1

s

s

1

2

s

s

s

2

260

Xrn

s s

s

241

267

x,

s

1

238

x,

s s s s

s

244

Observação: Seis dos 70 casos originais tinham mais que 50% de dados perdidos e foram excluídos da análise. Toda.s as análises são baseadas nos 64 casos restantes. Vinte e seis casos não têm qualquer 'dado perdido.

x,

s s

232

19 10 14 4 5 1 4 4 4

X,

s

3 2

1

0,9664 0,8589 1,3194 1,1877 0,7541 0,7192 1,6751 9,4204 0,8194

s

1

231

Porcentagem

x,

2

A Tabela 2.2 contém a estatística descritiva para as observações com valores válidos, incluindo a porcentagem de casos com dados perdidos em cada variável. Seis casos foram eliminados da análise devido a dados perdidos em mais da metade das variáveis de interesse. A extensão de dados perdidos para as 64 observações restantes varia de um pico de 30% dos casos para X1 a

4,0133 1,8963 8,1300 5,1467 2,8390 2,6016 6,7900 45,9667 4,7983

s

3 2 2

x,

s

1

2

Número

x,

s

2

2

Média

Dados perdidos

Número de valores perdidos

227

Desviopadrão

Um fator que poderia atenuar alguns dos níveis elevados de dados perdidos para certas variáveis é a eliminação de casos da análise. Para determinar se os dados perdidos estão concentrados em um conjunto selecionado de casos, a Tabela 2.3 fornece uma disposição gráfica dos dados perdidos para cada caso que os têm. Exceto para

Variáveis

228 229

Dados perdidos

Estatísticas resumidas de dados do pré-teste

Disposição gráfica de dados perdidos

Examine os padrões de dados perdidos

Estatísticas resumidas de dados do pré-teste Número de casos com dados válidos

mínimo de um único caso (1,6%) para X6 • Para as riáveis cõm os maiores níveis de dados perdidos (Xi, e X ), os níveis não são tão excessivos a ponto de au3 aticamente determinarem a exclusão da variável. do O papel importante que se espera dessas variáveis s várias análises multivariadas, todos os esforços dem ser feitos para mantê-las na análise.

65

s s s

s s

s s s s

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2

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o

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60

70

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..... .... .-. .. ..

2

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20

30

60

50 40 X9 : nível de usa

70

11

,.

10

.'2 ~

9

ee. o

.. .. ..:· ...... .. ,. . .. .. •• .. " ••

8

"O

""'

"O

"', c:a de heteroscedasticidade, percebe-se que urna indicação de variância desigual é uma distribuição dos resíduos em forma de cone (ver Capítulo 4 para detalhes mais específicos da análise gráfica de resíduos). Se ocone abre para a direita, calcule o inverso; se abre para a esquerda, calcule a raiz quadrada. Algumas transformações podem ser associadas com certos tipos de dados. Por exemplo, as contagens de freqüência sugerem urna transformação de raiz quadrada; as proporções são mais bem transformadas por arco seno (Xnovo = 2 arcsen e a mudança proporcional é mais fácil de manobrar calculando-se o logaritmo da variável. Em todos os casos, uma vez que as transformações tenham sido efetuadas, os dados transformados devem ser testados para ver se a ação corretiva desejada foi conseguida. ~Xveiho );

Transformações para conseguir linearidade Existem muitos procedimentos para conseguir linearidade entre duas variáveis, mas as relações não-lineares mais simples podem ser classificadas em quatro categorias (ver Figura 2.9). Em cada quadrante, as transformações potenciais para as variáveis dependente e independente são mostradas. Por exemplo, se a relação se parece com a da Figura 2.9a, então urna das variáveis pode ser elevada ao quadrado para obter linearidade. Quando múltiplas possibilidades de transformações forem exibidas, comece com o método do topo em cada quadrante e vá descendo

(a)

y

(e)

y

(b)

FIGURA 2.9,

y'

(d)

Seleção de transformações para conseguir linearidade.

Fonte: F. Mosteller and J, W. Tukey, Data A11alysis m1d Regressioll. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1977.

até a linearidade ser conseguida. Urna abordagem alternativa é usar variáveis adicionais, chamadas de polinômios, para representar as componentes não-lineares. Esse método é discutido em maiores detalhes no Capítulo 4.

Orientações gerais para transformações Há vários pontos a lembrar quando se executam transformações de dados: 1. Para um efeito perceptível originado de transformações, a razão entre a média de uma variável e seu desvio-padrão deve ser menor que 4,0. 2. Quando a transformação puder ser realizada em qualquer urna de duas variáveis, escolha a variável com a menor razão do item 1. 3. As transformações devem ser aplicadas nas variáveis independentes, exceto no caso de heteroscedasticidade. 4. A heteroscedasticidade pode ser remediada apenas pela transformação da variável dependente em uma relação de dependência. Se uma relação heteroscedástica é também não-linear, a variável dependente, e talvez as independentes, deve(m) ser transformada(s). 5. As transformações podem mudar a interpretação das variáveis. Por exemplo, transformar variáveis calculando seu logaritmo traduz a relação em urna medida de mudança proporcional (elasticidade). Sempre

EXAMINANDO SEUS DADOS

82

83

ANÁLISE MULTIVARIADA DE DADOS

ser discutida apenas no contexto de um modelo multivariado específico; ela será abordada em capíh1los posteriores para cada técnica multivariada. Será enfatiz~d~ o e:ame das variáveis métricas, apesar de as vanave1s naoméh·icas serem avaliadas onde for apropriado.

se assegure de explorar meticulosamente as interpretações possíveis das variáveis h·ansformadas.

Uma ilustração do teste das suposições inerentes à análise multivariada Para ilush·ai· as técnicas envolvidas no teste dos dados referente ao atendimento das suposições inerentes à análise multivariada e fornecer uma fundamentação para o uso dos dados em capíhilos que se seguem, o conjunto de dados inh·oduzido no Capítulo 1 será examinado. No curso da análise, as suposições de normalidade, homoscedasticidade e linearidade serão cobertas. A quarta suposição básica, a ausência de erros correlacionados, pode

Normalidade A primeira análise a ser conduzida para av~liar a n?~malidade das variáveis métricas é a obtençao de grafrcos de probabilidade normal. A Figura 2.10 contém_o,s gráficos das nove variáveis, Em nosso.exame d~s ~rafrcos, percebemos alguns desvios da diagonal, md1cahvos de um desvio da normalidade. Observando os pa-

s na Figura 2.7, percebemos que X2 parece positivate assimétrica, X3 se aproxima de uma distribuição orme e X5 parece negativamente assimétrica*. Podemos complementar essa análise visual com esticas que reflitam a forma da distribuição (assimee curtose) bem como um teste estatístico de normade (o teste modificado de Kolmogorov-Smirnov). A la 2.11 mostra esses valores para todas as variáveis icas, Quatro variáveis (X2, X3, X4 e X6 ) exibem um io estatisticamente significante da normalidade. A la 2.11 também sugere a ação corretiva apropriada, s variáveis (X2 e X6) foram transformadas calculan,. de R.T. A frase correta seria " ... X 2 parece negativamente assirica, X:i se aproxima de uma distribuição elevada e X5 parece sitivamente assimétrica".

do-se a raiz quadrada. Em cada caso, a variável transformada demonstrou normalidade (ver Tabela 2.11). A Figura 2.11 demonstra o efeito da transformação em X2 ao se conseguir a normalidade. A transformada X, surge evidentemente mais normal em ambas as repre= sentações gráficas, e os descritores estatísticos também estão melhores. O pesquisador sempre deve examinar as variáveis transformadas tão rigorosamente quanto as variáveis originais em termos de sua normalidade e formato da distribuição. No caso das duas variáveis restantes (X3 e X4), nenhuma das transformações melhorou a normalidade, Essas variáveis deverão ser usadas em sua forma original. Em situações nas quais a normalidade das variáveis é crítica, as variáveis transformadas podem ser usadas com a garantia de que elas satisfazem as suposições de norma-

Varlâvel original

0,75

0,75

0,75

0,50

0,50

0,50

0,25

0,25

0,25

o,oo

0,00 0,00

0,00 \!__J.__ _,__ 0,00 0,25 0,50

_.1__

0,75

_.J

1,00

L-----'-----c__ _L_~oo 0,00 0,25 o,so 0,75 1,

0,50

0,7

S

X, (flexibilidade de preço)

X2 (nível de preço)

X1 (velocidade de entrega)

0,25

1,00 Variável transformada

0,75

0,75

0,50

0,50

0,25

0,25

0,00 0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0,75

0,50

0,25

0,00 JL_ ___[__ _c__ _L_ 0,00 0,25 0,50 0,75

__j

1,00

0,00 L,__..J..__ _ j _ _ - - 1 . . - - - - - ' 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 X6 (imagem da força de vendas)

x, (serviço geral)

X4 (imagem do fabricante)

Características da distribuição antes e depois da transformação

0,75

0,75

Assimetria Forma da variável

0,25

0,50

0,75

X, (qualidade do produto)

o

X2 original

0,25

0,25

FIGURA 2.1

Curtose

0,50

0,50

0,000,00

Teste de normalidade

Descritores de formaª

0,00 l:'.,__..,____ _.1__--1.._ 0,00 0,25 0,50 0,75

1,00 X, (nível de uso)

Gráficos de probabilidade normal de variáveis métricas.

X10 (nível de satisfação)

_,ºº 1,

X2

1

transform ada

Estatística

Valor z

Estatlslica

Valor z

Estatística

Significância

0,469

1,95

-0,509

1,06

0,095

O,Q28

-0,106

0,44

-0,465

0,97

0,062

> 0,200

ª Os valores z são obtidos divid!ndo~se as estatísticas pelos erros padrão apropriados de 0,241 (assimetria) e 0,478 (curtose). As equações para calcular os erros padrão são dadas no texto.

Transformação de X2 (nível de preço) para atingir normalidade.

1 !

1

h

84

ANÁLISE MULTIVARIADA DE DADOS

·o"e ird u

o

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o

.,...

de. No entanto, os desvios da normalidade não fo; tão radicais em qualquer uma das variáveis origi·s a ponto de justifi~ar que elas não de~e~sem ser u~aem qualquer anál!se em sua forma ongmal. Se a teca tem uma robustez diante de desvios da normalidaentão as variáveis originais podem ser preferidas paomparações na fase de interpretação.

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FIGURA 4.10

Análise de resíduos estudantizados.

1

1

-2

-1

1

o

1

1

1

2

3

cido. Talvez o nível mais amplamente usado seja urna confiança de 95% (a= 0,05). O valor t correspondente é 1,96, identificando assim resíduos estatisticamente significantes como aqueles com resíduos maiores que esse valor. Quatro observações (7, 11, 14, 100) têm resíduos significantes e podem ser classificadas como observações atípicas, as quais são importantes por serem observações não representadas pela equação de regressão por uma ou mais razões, sendo que qualquer urna pode ser um efeito influente sobre a equação que demanda uma ação corretiva. O exame dos resíduos também pode ser feito por meio dos gráficos de regressão parcial (ver Figura 4.11). Esses gráficos ajudam a identificar observações influentes para cada relação entre variáveis dependente e independentes. Examinando a Figura 4.11, um conjunto de pontos distintos e separados (observações 7, 11, 14, 100) pode ser identificado para as variáveis X3 e X6• Esses pontos não são bem representados pela relação, e assim também pode-

(),'

'9

-3 -3

X6 (Imagem da força de vendas)

1,00 -

•

1-

. ..

......... ....:.. ........:. .. . .. : : ... ....... . .. .. .......

Gráficos de regressão parcial padronizados.

•':,•

•

o f-

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3

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1 -

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'O Q)

.

.

-2,. 1

... : ... .... . .. ...... . ....... ..::·:.:r. ...... ... ·: .. ..

.2:

f-

-3 -3

1

177

Gráfico de probabilidade normal: resíduos padronizados.

' 1,00

1

-

ANALISE DE REGRESSÃO MÚLTIPLA

178

179

ANÁLISE MULTIVARIADA DE DADOS

TABELA

nt afetar a correlação parcial , Análises mais detalhadas

4_14 Resultado do exemplo de regressão múltipla após ações corretivas para violação de suposições

a verificar se alguma das observações pode ser classifia como influente, bem como possíveis ações corretivas, discutidas no Apêndice 4A.

0,878 0,771 0,764 4,368

R Múltiplo

R2 Múltiplo R2 Ajustado Erro padrão da estimativa

tágio 5: interpretação da variável tatística de regressão

Análise de variância

Regressão Resíduo

107,73

2.055,71 19,08

3

6.167,1 1.831,9

Razaof

Quadrado médio

df

Soma de quadrados

96

Variáveis na equação

Coeficiente

Variáveis

Erro padrão de coeficiente

Coeficiente padronizado de regressão (beta)

3,226 0,319 0,599 1,511

0,526 0,639 0,131

-6,792 3,409 7,640 3,953

Intercepto Y X, Flexibilidade de preço X5 Serviço geral log X6 Imagem da força de vendas X, Velocidade de entrega*

Variáveis fora da equação Correlação parcial

Valor t parcial

Valort

-2,11 10,70 12,75 2,62

ma estimação do modelo concluída, a variável estatísde regressão especificada e os testes diagnósticos que firmam a adequação dos resultados administrados, ra podemos examinar nossa equação preditiva, a 1 inclui X" Xs e X 6 • A seção da Tabela 4.13 chamada riáveis na Equação" fornece a equação de previsão a · da coluna rotulada "Coeficiente". Dessa coluna, leo termo constante (-6,520) e os coeficientes (3,376, 21 e 1,406) para X3, X5 e X6, respectivamente. A equao.preditiva seria escrita como: Y = - 6,520 + 3,376X3 + 7,621X5 + 1,406X6

0,469 -0,737 -0,463 1,163

0,048 -0,075 -0,047 0,118

log X, Nível de preço log X4 Imagem do fabricante X7 Qualidade do produto

essa equação, o nível esperado de uso para qualr cliente pode ser calculado se suas avaliações da TCO forem conhecidas. Para ilustração, suponhamos um cliente considerou HATC::0 um valor de 4,0 para a uma dessas três medidas. O nível previsto de uso produto para aquele cliente seria el previsto de uso do produto= -6,520 + 3,376(4,0) + 7,621(4,0) + 1,406(4,0)

= - 6,520 + 13,504 + 30,484 + 5,624 3 3

Limite superior

2

2

/1

~ ~

J\j

o

1

\

A N'h~ v

\,1

N,

)

-

l.i

o

~

1

-

~

-1

\ -2 2

G@

Limite inferior

1

-3

,(i' . 1

5

1

o

1

1

Observação

FIGURA 4.13

1

'

1

1 1 ' ' ' ' 1 ' 1 ' ' ' ' ' 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97

'

Gráfico de resíduos estudantizados.

* N. de R. T. A velocidade de entrega corresponde à variável X1, e não à variável X2 citada na tabela.

foõ)

-3

= 43,902

ém de fornecer uma base para prever níveis de uso produto, os coeficientes de regressão também apreIam um meio de avaliar a importância relativa das riáveis individuais na previsão geral de uso do prato, Nessa situação, todas as variáveis são expressas mesma escala, e assim comparações diretas podem feitas. Mas na maioria dos casos, os coeficientes besão empregados para comparação entre variáveis inendentes. Na Tabela 4.13, os coeficientes beta são tados na coluna chamada "Coeficiente Padronizado Regressão". O pesquisador pode fazer comparações tas entre as variáveis para se certit!:ar de sua imtância relativa na variável estatística de regressão, a nosso exemplo, X5 (serviço geral) era a mais imrtante, seguida de perto por X3 (flexibilidade de pre). A terceira variável independente, X6 (imagem da ça de vendas), era consideravelmente menor em imncia. Isso apóia sua menor quantia incremental de iância explicada e a menor correlação univariada o uso do produto, Apesar de significante, X6 não rece a atenção que deveria ser dada às outras duas ·áveis independentes. .

Medição do grau e o impacto da multico/inearidade Em qualquer interpretação da variável estatística de regressão, o pesquisador deve estar ciente do impacto da multicolinearidade. Como discutido anteriormente, variáveis altamente colineares podem distorcer os resultados substancialmente ou torná-los muito instáveis e, assim, não generalizáveis. Duas medidas estão disponíveis para testar o impacto da colinearidade: (1) cálculo dos valores da tolerância e de VIF e (2) uso dos índices de condição e decomposição da variância do coeficiente de regressão. O valor de tolerância é um menos a proporção da variância da variável explicada pelas ouh·as variáveis independentes. Assim, uma alta tolerância indica pouca colinearidade, e valores de tolerância próximos de zero indicam que a variável é quase totalmente explicada pelas outras variáveis. O fator de inflação de variância é o recíproco da tolerância; logo, procuramos valores VIF pequenos como indicativos de baixa intercorrelação entre as variáveis. Em nosso exemplo, todos os valores de tolerância excedem a 0,93, indicando níveis muito baixos de colinearidade (ver Tabela 4.15). Do mesmo modo, todos os valores VIF são próximos de 1,0. Esses resultados indicam que a interpretação dos coeficientes da variável estatística de regressão não deve ser afetada desfavoravelmente pela multicolinearidade. Uma segunda abordagem para identificar a multicolinearidade e seus efeitos é por meio da decomposição da variância do coeficiente. Os pesquisadores são encorajados a explorar essa técnica e as ínformações adícionais que ela oferece na interpretação da equação de regressão. Detalhes desse método são discutidos no apêndice deste capítulo. Apesar de a multicolinearidade não ter um impacto substancial sobre a variável estatística de regressão estimada, ela tem um impacto sobre a composição de tal variável. Depois de Xs (a primeira variável acrescentada à variável estatística), a segunda com maior correlação com a variável dependente é X1• Entretanto, X1 também tem um nível de colinearidade relativamente alto (0,61) com X5 • Como X5 entrou na variável estatística de regressão em primeiro lugar no procedimento stepwise, não existe variância única suficiente em X, para justificar sua ínclusão. Logo, apenas Xs entrou na variável estatística de regressão. Contudo, seria consideravelmente incorreto interpretar a partir desses resultados que X, não tem qualquer impacto sobre o uso do produto, quando de fato é a variável independente com a segunda maior correlação bivariada com a variável dependente. A interpretação correta seria que X5 ou X1 demonstra alto impacto, mas que a semelhança de seus efeitos sobre o uso de produto (alta colinearidade) determina que apenas uma delas é necessária no processo de previsão, O pesquisador jamais deve permitir que um procedimento de estimação determine a interpretação dos resul-

ANÁLISE DE REGRESSÃO MÚLTIPLA

180

181

ANÁLISE MULTIVARIADA DE DADOS

TABELA 4.15

Teste da multicolinearidade: avaliação de valores de tolerância e VIF

Variável

Tolerância

X, Flexibilidade de preço X5 Serviço geral X6 Imagem da força de vendas

0,99287009 0,93639766 0,93946418

VIF 1,00718111 1,06792236 1,06443654

tados, mas, em vez disso, deve compreender as q1;1estões da interpretação que acompanham cad~ pr~ced1mento de estimação. Por exemplo, se as sete ~anave1s mde!'endentes entrassem na variável estatística de ~egressao,? pesquisador ainda teria que discut~r. os efeitos de cohnearidade na interpretação dos coefic1ente.s para Xs e X1, mas de uma maneira diferente do que fana se o processo stepwise fosse aplicado.

que indica que o modelo estimado n~o está superajust do à amostra e mantém uma proporçao adequada de ob servações por variáveis na variável estatística. Uma segunda abordagem é dividir a amo:,tra e duas subamostras, estimar o modelo de regressao par cada subamostra e comparar os resultados. A Tabe 4.16 contém os resultados de stepwise no geral mais resultados dos modelos stepwise estimados para as du subamostras de 50 observações cada. A comparação ajuste geral do modelo demonstra um eleva~o rí,:el similaridade dos resultados em termos de R , R aiust do e do erro padrão da estimativa. Mas ao comparar coeficientes individuais, uma diferença surge. Na amo tra 1 X6 não entrou nos resultados stepwise, mas entr na a~o stra 2 e na amostra geral. A omissão de X6 e uma das subamostras confirma que este era um pred tor atípico, corno indicado pelos baixos valores beta e no modelo geral.

Estágio 6: validação dos resultados

Avaliação de modelos de regressão alternativo

A tarefa final p,,ra o pesquisador envolve o proc:sso de validação do modelo de regressão. A preocupaçao fundamental desse processo é garantir que os resultados sejam generalizáveis à população e não esp~cífi~os à amostra usada na estimação. A abordagem mais direta devalidação é obter uma outra amostra da população e avaliar a correspondência dos resultados das duas am?stras. Na ausência de uma amostra adicional, o pesqmsador . pode avaliar a validade dos resultados de dh;er.sas maneiras. A primeira envolve o exame do valor R aiustado. Nessa situação, o valor R2 ljustado é 0,761 (conforme comparado com um valor R de 0,768; ver Tabela 4.14), o

TABELA 4.16

O modelo de regressão stepwise examinado na discus anterior forneceu urna sólida avaliação do problema pesquisa conforme formulado, mas o pesquisador e sempre bem servido na avaliação de m~del?s de ~e~r são alternativos na busca de poder explicativo ad1c10 e de confirmação de resultados anteriores. ~~sta ~eçã examinamos dois modelos de regressão ad1c1ona1s: u modelo que inclui as sete variáveis independentes e urna abordagem confirmatória e um seg1mdo mod que acrescenta urna variável não-métrica (X8) pelo uso urna variável dicotômica.

Validação com subamostras da estimação stepwise

Componente do modelo

Geral (11 = 100)

Amostra 1 (n = 50)

Valor t X, Imagem da força de vendas Coeficiente de regressão Coeficiente beta

Valor t Ajuste do Modelo

R' R2 ajustado Erro padrão da estimativa

a alternativa básica ao método de estimação de resão stepwise é a abordagem confirmatória, na qual o uisador especifica a variável independente a ser inda na equação de regressão. Desse modo, o pesquisadetém controle completo sobre a variável estatística gressão em termos de previsão e explicação. Esse menta é especiahnente adequado em situações de cação de esforços anteriores de pesquisa ou para fins alidação. Nessa situação, a perspectiva confirmatória envolve clusão de todas as sete medidas de percepção como 1lveis independentes. Essas são as mesmas variáveis ideradas no processo de estimação stepwise, mas nessa todas entram diretamente na equação de regresuma só vez. Aqui o pesquisador pode julgar os tos potenciais da multicolinearidade na seleção de veis independentes e o efeito sobre o ajuste geral do elo a partir da inclusão de todas as sete variáveis. s resultados na Tabela 4.17 são semelhantes aos redas alcançados pela estimação stepwise (ver Tabela , com duas exceções que devem ser destacadas. Pri' ainda que mais variáveis independentes sejam inas, o ajuste geral do modelo diminui. Ao contrário eficiente de determinação que aumenta, (de 0,768 Q,775) por causa das variáveis independentes extras, ajustado diminui (de 0,761 para 0,758). Isso indica a

3,376 0,521 10,562

3,108 0,506 6,803

3,632 0,529 8,439

7,621 0,637 12,547

8,278 0,710 9,555

7,037 0,574 8,954

1,406 0,121 2,378

Não incluída

2,447 0,200 3,166

0,768 0,761 4,394

0,741 0,730 4,764

0,826 0,814 3,816

inclusão de várias variáveis independentes que são nãosignificantes na equação de regressão. Apesar de contri2 buírem para o valor R geral, elas diminuem o R2 ajustado. Isso ilustra o papel do R2 ajustado na comparação de variáveis estatísticas de regressão com diferentes números de variáveis independentes. Uma outra indicação do ajuste geral mais pobre do modelo confirmatório é o aumento no SEE (de 4,394 para 4,424). Isso demonstra que 2 o R geral não deve ser o único critério para a precisão preditiva, pois pode ser influenciado por muitos fatores, entre os quais o número de variáveis independentes. A outra diferença está na variável estatística de regressão, onde a multicolinearidade afeta o número e a força das variáveis significantes. Primeiro, apenas duas variávei~X3 e X5) são estatisticamente significantes, ao passo que o modelo stepwise contém uma terceira variável (X6). No modelo stepwise, X6 era a variável menos significante, com um valor t de 2,378. Quando a abordagem confirmatória é empregada, a multicolinearidade de X6 com X4, a qual agora também é incluída na equação de regressão, diminui o impacto único para X6 e resulta em um coeficiente não-significante. Segundo, a força e a significância de todas as outras variáveis também diminuem no modelo confirmatório. Os valores te a significância estatística diminuem para X3e X5, ainda que elas se mantenham significantes. Esse é um resultado de sua multicolinearidade com as variáveis não-significantes. Finahnente, o impacto da multicolinearidade entre X1 e X5 evita a inclusão de X1

Exemplo: resultados de regressão múltipla com uma abordagem confirmatória com todas as sete variáveis independentes 0,880 0,775 0,758 4,424

Amostra2 (n=50)

Variáveis Independentes X, Flexibilidade de preço Coeficiente de regressão Coeficiente beta Valort X5 Serviço geral Coeficiente de regressão Coeficiente beta

dela confirmatório de regressão

Análise de variância Soma de quadrados

df

Quadrado médio

6.198,68 1.800,32

7 92

885,53 19,57

Razão F 45,25 Variáveis na equação

Coeficiente de

idade de entrega de preço ilidade de preço do fabricante geral

Coeficiente de

Erro padrão de

regressão

regressão

coeficiente

padronizado (beta)

-10,187 -0,058 -0,697 3,368 -0,42 8,369 1,281 0,567

4,977 2,013 2,090 0,411 0,667 3,918 0,947 0,355

-0,008 -0,93 0,520 -0,005 0,699 0,110 0,100

Valor t

Significância estatística

-2,047 -0,029 -0,333 8,191 -0,063 2,136 1,352 1,595

0,044 0,977 0,740 0,000 0,950 0,035 0,180 0,114

182

ANÁLISE MULTIVARIADA DE DADOS ANÁLISE DE REGRESSÃO MÚLTIPLA

no modelo stepwise, ainda que ela tenha a seg1mda maior correlação com a variável dependente. Essa multicolinearidade também se reflete no modelo confirmatório no coeficiente não-significante para X1, devido à sua multicolinearidade com X3 e X5 na equação. A abordagem confirmatória fornece ao pesquisador controle sobre a variável estatística de regressão, mas ao custo possível de uma equação de regressão com previsão e explicação mais pobres se o pesquisador não examinar atentamente os resultados. As abordagens confirmatória e seqüencial têm vantagens e desvantagens que devem ser consideradas em seu uso, mas o pesquisador prudente emprega ambas, a fim de lidar com as vantagens de cada uma.

Inclusão de uma variável independente não-métrica A discussão anterior se concentrou no método de estimação confirmatória como uma alternativa para talvez aumentar a previsão e a explicação, mas o pesquisador também deve considerar o possível melhoramento a partir da adição de variáveis independentes não-métricas. Como discutido em uma seção anterior e no Capítulo 2, as variáveis não-métricas não podem ser diretamente incluídas na equação de regressão, mas devem ser representadas por urna série de novas variáveis criadas, chamadas de dicotômicas, as quais representam as categorias separadas dava1iável não-métrica. Neste exemplo, a variável de tamanho da empresa (X8), que tem as duas categorias de firmas pequenas e grandes, será acrescentada à variável estatística de regressão. A variável já está codificada na forma apropriada, sendo que as grandes empresas são codificadas co-

TABELA 4.i 8

mo 1 e as pequenas, como O. A variável pode ser diretamente incluída na equação de regressão e representa a diferença na variável dependente entre grandes e pequenas empresas, dadas as outras variáveis na equação de regres-, são. Especificamente, como as grandes empresas têm O va. lor 1, as pequenas atuam como a categoria de referência. coeficiente de regressão é interpretado como o valor par grandes empresas comparado com as pequenas. Um coefi ciente positivo indica que as grandes têm um maior uso d produtos do que as pequenas, enquanto um valor negativ indica que as pequenas têm maior uso de produtos. A Tabela 4.18 contém os resultados da adição de nos resultados do procedimento stepwise. O exame d estatísticas gerais de ajuste indica uma melhora substa 2 cial, em que todas as medidas (R2, R ajustado e SEE*) au mentam em relação ao modelo stepwise (ver Tabela 4.13) Isso é apoiado pela significância estatística do coeficient de regressão para X8 em um nível** excedente a 0,05. valor positivo do coeficiente (3,852) indica que as empr sas grandes, dadas as suas características sobre as outr três variáveis independentes na equação, ainda têm nível de uso de produto que é 3,8% mais alto, e que es é uma diferença estatisticamente significante. A adi de X8 acrescentou tanto à previsão quanto à explica, da questão de pesquisa. Isso ilustra o modo como o p quisador pode acrescentar variáveis não-métricas às riáveis métricas na variável estatística de regressão e me lhorar a previsão e a explicação.

Erro padrão de estimativa

...

Análise de variância

Resíduo

Sorna de quadrados

df

Quadrado médio

RazãoF

6341,826 1657,174

4

1585,457 17,444

90,889

95

Variáveis na equação

Variáveis

Intercepto X3 Flexibilidade de preço X5 Serviço geral X6 Imagem da força de vendas X, Tamanho da empresa (grande)

4ol

11

0,890 0,793 0,784 4,177

Regressão

resultados da regressão, incluindo a avaliação comentar do modelo confirmatório e a adicão da variánão-métrica, auxiliam na abordagem d; questão báde pesquisa: O que afeta o uso de produto? Ao forar uma resposta, o pesquisador deve considerar aspectos: previsão e explicação. Em termos de preo, os modelos de regressão sempre atingem níveis vados de precisão preditiva. A quantia de variância licada exce.d: a ;'5% e a taxa de erro esperado para lquer previsao e de aproximadamente ±9%. Nesse de contexto de pesquisa, esses níveis, aumentados s resultados que suportam a validade do modelo ecem os m~is altos níveis de garantia quanto à qua~ de e precisao dos modelos de regressão como a base desenvolver esh·a tégias de negócios. Em termos de explicação, todos os modelos estimachegaram essencialmente aos mesmos resultados: s influências f~rte~ (flexibilidade de preço e serviço !) e uma influencia, em certo sentido, menor (imada força de vendas) sobre o uso de produto. Autos em uma dessas três variáveis resultarão em autos correspondentes no uso de produto. Por exemull1; aumento de um ponto na percepção do cliente erviço geral resultará em um aumento médio de peenos 8% no uso do produto. Resultados semelhansão percebidos para as outras duas variáveis. Além o, pelo menos uma característica da empresa, tama-

nho, demonstrou um efeito significante sobre O uso d pro.duto. Empresas maiores têm níveis de uso quase ma10res que as empresas menores. Esses resultados fornecem gerenci~mento com uma estrutura para desenvolver estratégias para melhorar os níveis de uso d produto. Ações para aumentar as percepções sobre ~ HATCO podem ser justificadas à luz dos aumentos correspondentes no uso do produto. Antes de desenvolver quaisquer conclusões ou planos estratégicos a partir desses resultados, o pesquisad.o~ ~eve observar, porém, que duas das influências (flexibrl;dade de preço e imagem da força de vendas) estão contidas nas duas dimensões perceptuais identificadas no Capít:110 3. Essas dimensões, que representam amplas medidas de percepções da HATCO, também devem ser consideradas em quaisquer conclusões. Estabelecer que apenas essas três variáveis específicas são influências sobre o u~o do 1:roduto seria uma séria incompreensão dos padroes mais complexos de colinearidade entre variáveis. Assim, essas variáveis são mais bem vistas como represe1;1~ati~as das dimensões perceptuais, com as outras vanaveis em cada dimensão também consideradas em qu~isquer conclusões extraídas desses resultados. O ~erenci~mento agora tem uma análise objetiva que confrr;11a nao somente as influências específicas de variáveis-chave, mas também as dimensões perceptuais que devem ser con~i~eradas em qualquer forma de planejame~to de negocios que envolva estratégias que visem um impacto sobre o uso de produto.

* N. de R. T. O valor de SEE apresenta diminuição na Tabela 4.18; ** N. de R. T. A frase correta seria não excedente a 0,05.".

Exemplo: resultados da regressão múltipla com acréscimo de X8, tamanho da empresa, como uma variável independente pelo uso de uma variável dicotômica

RMúltiplo R'Múltiplo R2 Ajustado

a visão gerencial dos resultados

183

Coeficiente de regressão

Erro padrão de coeficiente

-16,335 4,245 8,055 1,462 3,852

4,254 0,399 0,592 0,562 1,149

Coeficiente de regressão padronizado (beta)

Valor t

Significância. estatística

0,655 0,673 0,125 0,211

-3,840 10,630 13,613 2,602 3,353

0,000 0,000 0,000 0,011 0,001

e capítulo apresenta uma introdução simplificada concertos fundamentais inerentes à análise de re.-o múltipla. Enfatiza-se que a análise de regressão ltipla pode descrever e prever as relações entre duas m~is variáveis métricas. Além disso, a análise de resao mu'!tip ]a, a qua1 pode ser usada para examinar d_er explicativo incremental e total de muitas variá'. e um grande melhoramento sobre a abordagem da !'.se .seqüencial necessária em técnicas univariadas. tec.mcas stepwise e simultânea podem ser usadas pae:ti11:ar um~ e~uação de regressão múltipla e, sob s cucunstancias, variáveis não-métricas codificacomo d'ico t'om1cas · podem ser incluídas na equação

d: r~gressão. Finalmente, existem várias técnicas diag1:oshcas para testar tanto as suposições inerentes à análise de regressão múltipla quanto a existência de casos que exerce;11_uma influência excessiva sobre a equação ou as previsoes resultantes. Este capítulo fornece uma apresentação fundamental sobre como a regressão funci~na e o que pode realizar. A familiaridade com os conceitos apresentados neste capítulo ajudará o pesquisador a entender melhor as apresentações técnicas mais complexas e detalhadas em outros livros, ao mesmo tempo em que fornece uma base para análises de regressão que ele possa empreender.

ANÁLISE DE REGRESSÃO MÚLTIPLA

184

185

ANÁLISE MULTIVARIADA DE DADOS

Questões 1. Como você explicaria a importância relativa das va-

riáveis independentes usadas em uma equação de regressão? 2. Por que é importante exami11ar a suposição de linearidade quando se usa regressão? 3. Como a não-linearidade pode ser corrigida ou explicada na equação de regressão? 4. Você consegue encontrar uma equação d~ re_g:essão que seja aceitável como estatisticame1:te s1grufi~ante, mas que não ofereça valor interpretativo para fms de gerenciamento?

5. Qual é a diferença de interpretação entre os coeficien tes de regressão associados com variáveis indepen dentes métricas e aqueles associados com variáve· codificadas como dicotômicas (O, l)? 6. Quais são as diferenças entre variáveis independe tes interativas e correlacionadas? Algumas dessas ferenças afetam sua interpretação da equação der gressão? 7. Os casos influentes devem sempre ser omitidos? exemplos de ocasiões em que eles devem ou não vem ser omitidos.

Referências 1. Bamett, V., and T. Lewis (1984), Outliers in Statistical

Data, 2d ed. New York: Wiley. 2. Belsley, D. A., E. Kuh, and R. E. Welsch (1980),

Regression Diagnostics: Identift;ing Ii.ifluential Data and Sources of Collinearity. New Yorlc: Wiley. 3. BMDP Statistical Software, Inc. (1991), SOLO Power Analysis. Los Angeles: BMDP 4. Box, G. E. P., and D. R. Cox (1964), "An Analysis of Transformations." Journal of the Royal Statistical Society B 26: 211-43. 5. Cohen, J., and P. Cohen (1983), Applied Multiple

. Regression/Correlation Analysis for the Behavzoral Sczences,

2d ed. Hillsdale, N.J.: Lawrence ErlbaurmAssociates. 6. Daniel, C., and F. S. Wood (1980), Fitting Equations to Data, 2d ed. New York: Wiley-Interscience. 7. Jaccard, J., R. Turrisi, and C. K. Wan (1990), Interaction Effects in Multiple Regression. Beverly Hills, Calif.: Sage Publications. 8. Johnson, R. A., and D. W. Wichem (1982), Applied Multivariate Statistical Analysis. Upper Saddle River, N .J ., Prentice Hall.

9. Mason, C. H., and W. D. Perreault, Jr. (1991), "Collmearity, Power, and Interpretation of Multiple Regression Analysis." Journal of Marlceting Research 28 (August): 268-80. 10. Mosteller, F., and J. W. Tukey (1977), Data Analysis and Regression. Reading, Mass.: Addison-Wesley. 11. Neter, J., W. Wassermann, and M. H. Kutner (1989), Applied Linear Regression Models. Homewood, Ill.: Irwin. 12. Rousseeuw, P. J., and A. M. Leroy Robust (1987), Regression and Outlier Detection. New York: Wiley. 13. Seer, G. A.

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Artigos complementares Os seguintes artigos complementares são fornecidos como ilustrações da aplicação de regressão múltipla a questões de pesquisa ilnportantes e de natureza tanto conceitua! quanto gerencial. O leitor é encorajado a ler os artigos para mais detallies sobre questões es~ecífi~as r':ferentes a metodologias ou resultados de uma mvestigaçao.

Hise, Richard. T., Myron. Gable, J. Patrick. Kelly, and Jamer. B. McDonald (1983), "Factors Affecting the Performance of Individual Chain Store Units: An Empirical Analysis." Journal of Retailing 59 (2), 22-39.

A análise de regressão múltipla é selecionada Pª avaliar a ilnportância relativa de 18 variáveis cujo~ to sobre desempenho de lojas foi sugerido. As vana independentes recaem em uma dentre quatro catego. gerenciamento da loja, características da loja, comp~tiç e local. Além disso, cada variável pode ser caractenza em termos de seu controle gerencial, duração e irreve bilidade. Equações de regressão separadas são detenn nadas com três medidas de desempenho de vendas e ., · d epen den tes·· vai mumente usadas como as vanave1s · ti'mentoe me de vendas, rendimento e retomo d o mves

os. Apesar de nenhuma hipótese ser fornecida para tes, resultados obtidos do estudo fornecem informasobre os tipos de variáveis que podem ser usadas em adas de decisões administrativas a fim de aumentar sempenho da empresa. Dado o acesso a uma amostra de 132 lojas de uma cade varejistas, os autores usam uma combinação de ·cas forward, backward e stepwise no desenvolvimento três equações. Ao interpretarem seus resultados, os ores examinam coeficientes beta padronizados como a avaliação do impacto relativo de cada variável soo desempenho. As variáveis incluídas no estudo exm cerca da metade da variação nas três medidas de 2 mpenho, como indicado pelos valores R de 0,60, e 0,43 para volume de vendas, rendimento e retorno investimento em ativos, respectivamente. Nas três ções de regressão, as variáveis que afetaram mais ente foram níveis de inventário e ativos fixos, exncia do gerenciamento e anos no cargo, e número de 'onários. Quando se examinam as direções das rela, os autores também generalizam que essas variáveis maior impacto quando têm domínio pequeno, são troláveis e reversíveis. A aplicação da regressão múlfornece aos pesquisadores um meio objetivo de renar um grande conjunto de possíveis fatores com o desempenho da empresa. A partir desses resultados, ministradores agora conseguem avaliar a importânrelativa desses fatores para uso no desenvolvilnento e modificação de práticas e estratégias administrativas.

Clawson, C. Joseph. (1974), "Fitting Branch Locations, ormance Standards, and Marketing Strategies to Local ditions." Journal of Marketing 38 (JanuanJ), 8-14. Essa é uma das primeiras tentativas de aplicar análide regressão múltipla como um meio mais rigoroso oposição a técnicas mais subjetivas - para estabelecer s e reavaliar estratégias de marketing. Especificate, o autor usa a regressão múltipla para selecionar os locais, avaliar o desempenho atual do local e aloapoio de marketing entre diversos locais de investitos e agências de empréstimos geograficamente