Malhas - L. A. Pereira

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Método de Análise de Malhas 1. Introdução Além da técnica de análise nodal já abordada, a análise de circuitos pode também ser feita de forma simples e sistemática por meio de análise de malhas, a qual pode ser considerada como a dual da análise de nós, uma vez que está baseada na Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) aplicada às malhas do circuito. Neste tipo de análise serão também empregadas variáveis auxiliares conhecidas como correntes de malha, das quais todas as correntes e tensões dos ramos podem ser obtidas. Como no caso da análise de nós, não serão, portanto, utilizadas diretamente as variáveis dos ramos. A vantagem da utilização de correntes de malha é a redução no número de equações. Deve ser lembrado que uma malha é um caminho fechado no circuito que não contém nenhum outro caminho dentro dele. A presente apostila apresenta o método de forma resumida, maior detalhes são encontradas na bibliografia da disciplina.

2. Procedimento Básico A análise de malhas envolve sempre os cinco passos descritos a seguir.

2.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso Inicialmente deve ser determinado o número de malhas contidas no circuito. Para um circuito contendo b ramos (componentes) e n nós existirão sempre (b-n+1) malhas, as quais permitirão escrever um número de equações independentes igual a (b-n+1). Uma vez identificadas as malhas, deve-se numerá-las e designá-las como I1, I2 , I3 K Ib −n +1. Além disso, deve-se escolher um sentido de percurso para cada malha. A escolha do sentido não interfere com as equações que serão obtidas, mas é importante na determinação das correntes e tensões de ramo. Também nesta etapa serão definidas polaridades para as tensões nos ramos, as quais definem as correntes de ramo que serão consideradas positivas.

2.2 Aplicação da LTK para as Malhas Após a definição das malhas, deve-se percorrê-las de acordo com o sentido atribuído para cada uma delas, retornando-se ao ponto de partida após a malha ter sido percorrida. Pode-se adotar a seguinte convenção quanto às diferenças de potencial: quedas de potencial ao longo deste percurso serão consideradas positivas, ao passo que elevações de potencial serão consideradas negativas. Como resultado desta etapa haverá (b-n+1) equações que representam os somatórios das tensões sobre os componentes que compõem cada malha, de acordo com a convenção adotada.

2.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos Considerando que as equações da etapa anterior foram escritas em função das tensões dos ramos e sendo as correntes de malha as incógnitas, deve-se utilizar as relações de tensãocorrente para substituir as tensões dos ramos por relações envolvendo as correntes de malha. Como resultado desta etapa, obtém-se (b-n+1) equações envolvendo as correntes de malha. Deve-se atentar que existe uma relação tensão corrente para cada ramo (componente), existindo portanto b relações deste tipo.

2.4 Solução do Sistema de Equações Após a obtenção das equações de malha, deve-se utilizar algum método de solução de sistemas lineares - por exemplo, o Método de Gauss - e determinar as (b-n+1) incógnitas. Num caso geral, obtém-se um sistema de equações íntegro-diferenciais, cuja solução é assegurada caso o circuito seja composto apenas de elementos lineares e invariantes. Caso o

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circuito seja composto apenas de resistores, obtém-se um sistema de (b-n+1) equações algébricas onde os coeficientes são obtidos a partir das resistências do circuito, sendo a solução neste caso mais fácil, uma vez que não envolvem integrais e derivadas.

2.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos Depois de solucionado o sistema de equações, pode-se obter todas as correntes e tensões de ramo do circuito a partir das correntes de malha. Por exemplo a corrente de ramo Ik , percorrido por um lado pela corrente de malha Ix e por outro pela corrente de malha Iy do circuito

ik = Ix − Iy

+

conforme a Figura 1, pode ser obtida pela seguinte equação:

ik vk

(1)

Ix Na equação acima, foi considerada como positiva a corrente de malha que circula no mesmo sentido que a corrente do ramo, ao passo que foi considerada negativa a que circula em sentido contrário. Deve-se também atentar que a equação (1) pode ser obtida aplicando-se a LCK a qualquer um dos nós do ramo k. Considerando-se os sentidos associados, a tensão no ramo k será dada como: vk = ik ⋅ Rk = (Ix − Iy ) ⋅ Rk

Rk

Iy

Figura 1 - Tensão e corrente de ramo

(2)

Rk - resistência do ramo k (ohms, Ω)

3. Exemplo de Aplicação O método exposto será ilustrado por meio de um exemplo simples ilustrado na Figura 2, onde todos as etapas citadas serão realizadas passo a passo.

3.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso Para o circuito da Figura 2, existem n=4 nós e b=5 componentes. Desta forma, o número de malhas fechadas é (5-4+1)=2. Os sentidos adotados para os percursos das malhas serão todos no sentido horário, conforme mostra a Figura 2, podendo no entanto ser escolhido um outro sentido. Na Figura 2 também são mostrados os sentidos considerados positivos para as

+ + E

R1

_ I1

+ +

malha 1

_

R3

R2

I2 malha 2

_ Figura 2 - Circuito de exemplo

_ + R4

_

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quedas de tensão (polaridade das tensões) para os componentes.

3.2 Aplicação da LTK para as Malhas De acordo com convenção adotada, as equações para as malhas 1 e 2 são dadas pelas expressões que seguem: − E + vR1 + vR3 = 0

⇔

E = vR1 + vR3

− vR3 + vR2 + vR4 = 0

(3) (4)

3.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos As relações tensão corrente para os ramos do circuito são estabelecidas baseadas nas equações (1) e (2) da forma que segue: iR1 = I1

(5)

iR2 = I2

(6)

iR3 = I1 − I2

(7)

iR4 = I2

(8)

vR1 = iR1 ⋅ R1 = I1 ⋅ R1

(9)

vR2 = iR2 ⋅ R 2 = I2 ⋅ R 2

(10)

vR3 = iR3 ⋅ R 3 = (I1 − I2 ) ⋅ R 3

(11)

vR4 = iR4 ⋅ R 4 = I2 ⋅ R 4

(12)

Inserindo-se as relações tensão-corrente nas equações de malha, obtêm-se as equações em termos das correntes de malha. equação da malha 1: E = vR1 + vR3 E = I1 ⋅ R1 + (I1 − I2 ) ⋅ R3 E = I1 ⋅ (R1 + R 3 ) − I2 ⋅ R 3

(13)

equação da malha 2: − vR3 + vR2 + vR2 = 0 − (I1 − I2 ) ⋅ R 3 + I2 ⋅ R2 + I2 ⋅ R 4 = 0 − I1 ⋅ R 3 + I2 ⋅ (R2 + R 3 + R 4 ) = 0

É possível também expressar as equações de forma matricial:

(14)

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(R1 + R3 )   − R3

− R3

  I1  E  = ⋅ (R2 + R3 + R4 ) I2  0

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(15)

3.4 Solução do Sistema de Equações Para a obtenção da solução serão considerados os seguintes valores: E=20 volts R1 = 2

Ω

R2 = 4

Ω

R3 = 6

Ω

R4 = 3

Ω

Desta forma, o sistema de equações terá a seguinte forma:  8 − 6  I1  20  ⋅  =   − 6 13  I2   0 

(16)

Solucionando-se o sistema obtém-se a resposta: I1  3.824  A  = I2  1.765 

3.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos A partir das correntes de malha, as correntes e tensões em todos os ramos podem ser obtidas: iR1 = I1 = 3.824 A iR2 = I2 = 1.765 A iR3 = I1 − I2 = 3.824 − 1.765 = 2.059 A iR4 = I2 = 1.765 A vR1 = I1 ⋅ R1 = 3.824 ⋅ 2 = 7.648 V vR2 = I2 ⋅ R 2 = 1.765 ⋅ 4 = 7.060 V vR3 = (I1 − I2 ) ⋅ R 3 = (3.824 − 1.765) ⋅ 6 = 12.354 V vR4 = I2 ⋅ R 4 = 1.765 ⋅ 3 = 5.295 V Uma vez conhecidas as correntes e tensões nos ramos podem ser também determinadas as potências em cada um dos componentes, bem como a potência total dissipada no circuito.

4. Obtenção das Equações de Malha por Inspeção Quando o circuito contém somente resistores lineares e fontes independentes de corrente, as equações de malha do circuito podem ser escritas diretamente. Deve-se observar que a matriz

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de coeficientes do sistema de equações contém valores de resistência, sendo portanto denominada de matriz de resistências. Deve-se também observar que, neste caso, o sentido de todas as correntes de malha deve ser atribuídos como horário. Com esta convenção, a matriz de resistências possui a seguinte forma geral, onde N=(b-n+1):

 + R11 − R12 L − R1N     − R12 + R22 L − R 2N  [R] =  M M M   M − R + R NN   N1 − RN2

(17)

A matriz de resistências é uma matriz do tipo simétrica com as seguintes propriedades, as quais permitem a sua montagem baseada apenas na topologia do circuito. Rkk = soma das resistências da malha k R jk = Rkj = resistência comum entre a malha j e k Deve-se atentar para o fato de que os elementos fora da diagonal principal são valores negativos na matriz de resistências O sistema de equações terá a seguinte forma geral:  + R11 − R12 L − R1N   I1   E1        − R12 + R 22 L − R2N  I2  E2   M ⋅M =  M  M M M       − R    E  R R − + 2N NN  IN   1N  N

(18)

[R] ⋅ []I = [E]

(19)

[]I = [I1

(20)

[E] = [E1

I2 L IN ]T E2 L EN ]T

(21)

Ek - somatório das fontes das fontes de tensão existentes na malha, sendo que serão consideradas positivas as fontes que atuam no sentido da corrente de malha e as demais negativas. Fontes que atuam no sentido da corrente de malha são aquelas que ao serem percorridas no sentido de percurso da malha são atravessadas do terminal negativo para o terminal positivo. Baseado nas propriedades acima, pode-se montar diretamente as equações de malha do circuito, atentando-se para o fato que o circuito contenha apenas fontes de tensão independentes e resistores lineares. Pode-se comprovar esta afirmação para o exemplo anterior obtendo-se diretamente as equações de malha do circuito.

5. Análise de Malhas com Fontes de Corrente A análise de malhas, sendo um método geral de análise, pode também ser empregada quando o circuito contiver fontes de corrente, sejam elas dependentes ou independentes. As fontes de corrente impõem uma determinada corrente num ramo, não sendo contudo possível determinar a tensão da mesma antes de solucionar o circuito. Na realidade a presença de uma fonte de corrente não altera praticamente nada no método de análise descrito anteriormente. Estas características devem ser consideradas quando do estabelecimento das equações do

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Considerando que a fonte de corrente está inserida entre os terminais x e y conforme a Figura 3, observa-se que a tensão da fonte aparecerá nas equações de ambas as malhas que possuem a fonte de corrente em comum. Como não há uma relação entre a corrente da fonte e a sua tensão, pode-se manter a tensão vk da fonte como uma incógnita a ser determinada. Por outro lado, devido à presença da fonte, as correntes das malhas x e y estão relacionadas pela seguinte relação: I = Ix − Iy

+

circuito. Em muitos casos a fonte de corrente em paralelo com um resistor pode ser transformada numa fonte de tensão em série com o resistor, conforme já abordado. Este procedimento, no entanto, nem sempre é possível ou óbvio. Existem diversas métodos de considerar o efeito das fontes de corrente, sendo que um deles é descrito a seguir.

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I malha x

vk

Ix

Iy

Figura 3 - Fonte de corrente entre duas malhas

+

(22)

Desta forma, foi acrescentada uma incógnita ao sistema de equações ( vk ), mas também foi acrescentada uma equação ( I = Ix − Iy ), sendo

malha y

I malha x

vk

Ix

ainda possível solucionar o circuito. No total existirá, assim (n-b+2) equações. Também pode-se eliminar a tensão da fonte do sistema de equações isolando-se a tensão vk na equação da malha x, por exemplo, e substituindo-a na equação da malha y. Desta forma, elimina-se a equação de malha x do sistema, ficando o sistema novamente com (n-b+1) equações.

Figura 4 - Fonte de corrente numa única malha

Caso a fonte de tensão estiver inserida num caminho por onde apenas uma malha passa, significa que a corrente da malha está determinada pela corrente da fonte. Neste caso podese desconsiderar a equação desta malha e estabelecer o seguinte valor para a corrente da malha, conforme mostra a Figura 4: Ix = I

(23)

O procedimento descrito corresponde ao tratamento das duas malhas que incluem a fonte como se fossem uma única malha e aplicando-se a LTK para esta malha composta, também chamada de super-malha ou malha generalizada (vide bibliografia). O exemplo mostrado na Figura 5 ilustra o procedimento. Para este circuito as equações de nós são as seguintes: malha 1: − E + vR1 + vR3 + v f = 0 malha 2:

⇔

E = vR1 + vR3 + v f

(24)

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R1

+ +

R2

_ I1

+ + R3

E

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_

I2

R4

_

_

malha 1

+ vf

+

malha 2

_

I _ Figura 5 - Análise de malha com fonte de corrente

vR2 + vR4 − v f − vR3 = 0

(25)

As relações tensão-corrente são as seguintes: iR1 = I1

(26)

iR2 = I2

(27)

iR3 = I1 − I2

(28)

iR4 = I2

(29)

vR1 = iR1 ⋅ R1 = I1 ⋅ R1

(30)

vR2 = iR2 ⋅ R 2 = I2 ⋅ R 2

(31)

vR3 = iR3 ⋅ R 3 = (I1 − I2 ) ⋅ R 3

(32)

vR4 = iR4 ⋅ R 4 = I2 ⋅ R 4

(33)

A equação adicional considerando a fonte de corrente é: I = I2 − I1

(34)

substituindo as relações (26) a (33) obtém-se finalmente as equações do circuito. Deve-se notar que a tensão da fonte de corrente aparece como uma incógnita a mais, havendo também uma equação a mais (equação (34)). malha 1: E = vR1 + vR3 + v f E = I1 ⋅ R1 + (I1 − I2 ) ⋅ R 3 + v f

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E = I1 ⋅ (R1 + R 3 ) − I2 ⋅ R 3 + v f

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(35)

malha 2: vR2 + vR4 − v f − vR3 = 0 I2 ⋅ R 2 + I2 ⋅ R 4 − v f − (I1 − I2 ) ⋅ R 3 = 0 I2 ⋅ (R2 + R 4 + R 3 ) − v f − I2 ⋅ R 3 = 0

(36)

As equações (34), (35) e (36) são portanto as equações básicas do circuito, sendo as incógnitas I1 , I2 e v f . De forma matricial , o sistema de equações pode ser escrito como:

− R3 + 1  I1  E  (R1 + R 3 )       − (R 2 + R 3 + R 4 ) − 1 ⋅  I2  = 0  − R3  −1 +1 0  v f   I  

(37)

Considerando-se os seguintes valores: E=20 V I=6 A R1 = 6

Ω

R2 = 10

R3 = 2

Ω

R4 = 4

Ω Ω

Obtém-se o sistema matricial que segue:  8 − 2 + 1  v1  20       − 2 16 − 1 ⋅ v2  =  0  −1 +1 0   I   6     f   

(38)

Resolvendo-se o sistema, obtém-se, finalmente, a solução:  I1   − 3.2       I2  =  + 2.8  v   + 51.2  f  

(39)

6. Exercícios Propostos Os exercícios abaixo foram selecionados da bibliografia da disciplina. Recomenda-se que todos os exercícios sejam resolvidos. Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku (2003). Fundamentos de Circuitos Elétricos. Bookman (Central 20, Edição 2000) - Capítulo 3. Problemas: 3.5, 3.8, 3.32, 3.33, 3.36, 3.37, 3.38, 3.39, 3.43, 3.48, 3.51, 3.52, 3.53, 3.57.