11-EMC_2018_Agrupamento 2 - Professor-Final

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AGRUPAMENTO 2

8º e 9º Anos do Ensino Fundamental e 1ª Série do Ensino Médio D35-Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações de primeiro grau.

(D) 8 7 6

1.Seja o sistema a seguir:

{

5

x - 3y = 1 x+y=7

4 3

Assinale a alternativa que representa o gráfico do sistema anterior.

2

(A)

0

1

7 6 5

1

4

4

3

3

2

2

1

1

1

0 -1

2

3 4

5

6

7

4 3 2 1 -1 0 -1

8

-3

-2

-1 0

1

1

2

3 4

5

6

7

3

4

5

{ {

4-3= 1 4+3=7

Entretanto, na equação da solução (B) tem-se:

7 6 5

3 - 4 = -1 3+4=7

O que satisfaz apenas uma das equações.

4 3 2 1 -1 0 -1

2

Gabarito: A Solução Professor(a), reforce com os estudantes a importância de substituir a solução do sistema nas duas equações do sistema. Como mostra a resolução a seguir:

7 6 5

(C)

3

(E)

4

(B)

2

1

2

3 4

5

6

7

Estudo de Matemática Compartilhado (EMC)/2018

2. Observe o sistema a seguir:

{

(E)

3x - 2y = 3 2x + 3y = 2

4 3

Assinale a alternativa que representa parte do gráfico correspondente a esse sistema.

2 1

(A) 4

0

3

1 0

1

2

3

4

-1

5

4

3(1) ─ 2(0) = 3 2(1) + 3(0) = 2

3. Observe o sistema a seguir:

4

{

y= 3 1,25x + y = 5,5

3 2 1 -1

3

{

-2

(B)

2

Gabarito: B Solução Substituindo a coordenada da intersecção das retas no sistema, observa-se que ambas as equações são satisfeitas. Reforce então com os estudantes sobre a importância de tal cálculo. Veja a resolução:

2

-1

1

0

1

2

3

4

-1

Assinale a alternativa que representa o gráfico do sistema anterior. (A) 4

-2

3

(C) 4

2

3

1

2

-2

1 -1

0

-1

0

1

2

3

1

2

3

-1 1

2

3

4

(B)

-1

4

-2

3

(D)

2

4

1

3

-2

2

0

0 -1

1 -1

-1

1

2

3

4

-1 -2

Estudo de Matemática Compartilhado (EMC)/2018

(C)

O sistema referente a esse gráfico é definido por 5 (A) x─y = 3 4 4 x + y = 2. 5

{ { { { {

4 3 2 1 -3

-2

-1

(B)

0

1

2

-1

(D)

7

(C)

6 5 4 2 1 -1 0

1

(E)

2

3

4

5

6

3

1 0

1

2

3

-1

Gabarito: D Solução Usando apenas a solução dos gráficos sugeridos já é suficiente para determinar a solução do sistema apresentado. Neste caso tem-se: y= 3

{

1,25 . (2) +3 = 5,5

4 x ─4 5

2y ─ 4x = -6 . 5 x 4 4 y= ─ x ─4. 5

y= ─

{

{

5. Considerem os gráficos a seguir: 3 2

4. Considere o gráfico a seguir:

1

0

4 3

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

4

2

3

1

2

-0,5

y=

Gabarito: B Solução Substituindo as coordenadas da solução do sistema (2,5 ,2) nos sistemas de equações, tem-se como resultado: 2 = - 4 (2,5) + 4 5 → 2 = -2 + 4 4 2=2 2= (2,5) 5

2

-1

4 x . 5

2x + y = 7 4 x + y = 5. 5

(E)

4

-2

y=

(D)

3

4 x +3 5

y=─

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

1 0

Estudo de Matemática Compartilhado (EMC)/2018

6

As equações representadas pelos gráficos possuem como solução os valores x = 3 e y = 1 e x = 3 e y = 2, respectivamente. As equações que representam esses gráficos são

{ { { { {

(A)

2x + 3y = 8 5x - 2y = 1

(B)

3 y= x -1 2 y=-x + 4

(C)

{ { { { {

e

4 y=- x e y = - x + 35.

2 y= x -1 3 y=-x + 4

2 y= x 3 y = - x + 5.

e

Gabarito: E Solução Aplicando as soluções nos sistemas tem-se: 2 2 1 = (3) - 1 2 = (3) 3 3 1=-3 + 4 e 2=-3+5

{

3y - 2x = 1 .

(D)

{

6. Observe o gráfico a seguir:

3x - 2y = 4

2x + y = 6 .

(E)

4x - 5y = 2 y = 2x - 3 .

Gabarito: A Solução Substituindo as coordenadas da solução do sistema de equações (2,1) nos sistemas de equações, temse como resultado:

4 y= x 3 y = ─ x ─ 5.

3 y= x -1 2 y=x - 4

{ { {

y + 2x = 5

3 y= x 2 y = x + 5.

2 y= x +1 3 y=-x - 4 e

(D)

(E)

e

2 y= x 3 y = - x - 5.

(C)

{

3 (2) + 2 (1) = 8 2 (2) - 4 (1) = 0

7. Observe o gráfico a seguir: 10 8 6 4 2 -1

0

1

2

3

4

5

-2

O sistema referente a esse gráfico é definido por (A)

{ { { { {

y - 2x = 4

y - 6x = -4 .

3

(B) (C)

1 0

-1

1

2

3

4

-1

{ {

3x + 2y = 8

2x - 4y = 0 .

(B)

x+y = 3 y + 3x = 8 .

2x + y = 12 y = 3x + 2 .

(D)

2y - 3x = 10

x + y = 11 .

O sistema referente a esse gráfico é definido por (A)

y - 4x = 4 x + y = 10 .

2

(E)

y = 4x

3x + y = 14 .

Gabarito: E Solução Professor (a), para determinar qual o sistema que está relacionado ao gráfico, é importante que o estudante verifique não somente a solução do sistema, como também outros pontos que são facilmente identificados. Estudo de Matemática Compartilhado (EMC)/2018

Todas as alternativas, esse cálculo será necessário, pois a solução (2,8) satisfaz a todas as alternativas. Assim para verificar qual a solução, deve-se substituir os pontos: (0,0); (4,2); que irá satisfazer apenas uma das retas, ou em alguns casos, em nenhuma das equações. Veja o cálculo:

{

8 = 4 (2) 3 (2) + 8 = 14

{

9. Considere o gráfico a seguir: 5 4 3

0=4.0 3 . 4 + 2 = 14

2 1

8. Observe o gráfico a seguir:

-1 0 -1

3

(A)

1 1

2

3

4

5

(B)

-1

{ { { { {

(C)

6

7

{ { { { {

3y - 2x = 2

x + 2y = 8

(D)

x-y = 2 y-x = -4.

(E)

x+y = 6 x-y =2. x+y=6

3y - 2x = 1 .

2y = x - 1 y=x - 2. x - 3y = 0

-x-y = -4. 2x + y = 5

y = - 2x + 5 .

Gabarito: A Solução Professor (a), para determinar qual o sistema que está relacionado ao gráfico, é importante que o estudante verifique não somente a solução do sistema, como também outros pontos que são facilmente identificados. A alternativa (C), é esse caso, pois a solução (3,1) a satisfaz, mas não é a solução do item, assim para o ponto (0,4) que iria satisfazer uma das retas, não ocorreu, observe os cálculos:

{

y=x + 2 2x - y = 6 .

3y = 2x - 4

y=-x +4.

(E)

5

-2x - y = - 10 .

O sistema referente a esse gráfico é definido por

(D)

4

2x - y = 6 .

0

(C)

3

O sistema de equação que representa esse gráfico é

2

(B)

2

-2

4

(A)

1

Gabarito: D Solução Professor (a), para determinar qual o sistema que está relacionado ao gráfico, é importante que o estudante verifique não somente a solução do sistema, como também outros pontos que são facilmente identificados. A alternativa (B), é esse caso, pois a solução (4,2) a satisfaz, mas não é a solução do item, assim para o ponto (6,0) que é o ponto pertencente a uma das retas, não satisfazer nenhuma das retas. Observe os cálculos:

{

6 + 2(0) ≠ 8 - 2 (6) - 0 ≠ - 10

2 (4) ≠ 0 - 1 4≠0-2

Estudo de Matemática Compartilhado (EMC)/2018

Esse gráfico é a representação geométrica do sistema

10. Observe o gráfico a seguir:

{

x+y = a x -y=b

7 6 5 4 3 2 1 -1

Assim, pode-se afirmar que

(A) a solução do sistema está no 2º quadrante. 1

-1

2

3

4

5

6

7

8

O sistema de equação que representa esse gráfico é (A)

{ { { { {

y-x = -1

x + 2y = 14

4y + 3x = 24 4y - 3x = 0 .

(D) (E)

(D) o valor dos coeficientes a e b, são respectivamente, 1 e 3. Gabarito: D Solução Professor(a), nesse item, visa verificar se o estudante sabe identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações de primeiro grau. Pode-se encontrar a opção correta, analisando cada uma. Assim a opção: (A) é falsa. Pois diz que a solução do sistema (ponto F) está no 2º quadrante e como podemos observar, a solução está no 4º quadrante.

2x - y = 10 .

(C)

(C) o gráfico da equação x + y = a é crescente.

(E) a solução do sistema está sobre o eixo x.

2x - 3y = 6 .

(B)

(B) o valor dos coeficientes a e b, são respectivamente, -3 e 1.

x+y = 7 x-y =1. 2x + y = 11

3x - 2y = 6 .

Gabarito: C Solução Professor (a), para determinar qual o sistema que está relacionado ao gráfico, é importante que o estudante verifique não somente a solução do sistema, como também outros pontos que são facilmente identificados. A alternativa (E), por exemplo, é esse caso, pois a solução (4,3) a satisfaz, mas não é a solução do item. Assim, para o ponto (8,0) e (0,0), que são pontos pertencentes a uma das retas individualmente, não satisfaz as retas individualemente. Observe os cálculos: 2(0) + 0 ≠ 11 2(8) + 0 ≠ 11 e 3(0) - 2(0) ≠ 6 3 (8) - 2(0) ≠ 6

{

{

11. Observe o gráfico a seguir:

2º quadrante

1º quadrante

3º quadrante

4º quadrante

(B) é falsa. Pois, como a solução do sistema é o ponto F(2,-1). Substituindo esses valores em cada uma das equações do sistema

{

x+y = a x -y=b

tem-se

x + y = a → 2 + (-1) = a → a = 1 x - y = b → 2 - (-1) = b → b = 3 (C) é falsa, pois ao isolarmos y na equação x + y = a, x+y=a y = -x + a

2 -1 F

Tem-se que o coeficiente angular é negativo, ou seja, a reta é decrescente. (D) é verdadeira, pois como vimos na resolução da opção B, a = 1 e b = 3. (E) é falsa, pois como vimos a resolução da opção A, a solução está no 4º quadrante.

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12. Observe o sistema a seguir:

x + y = 20 11 + 9 = 20

30

e x + 2y = 29

11 + 2 · 9 = 29

Observa-se que é solução do sistema. (D) é falsa, o ponto A pertence ao 1º quadrante. (E) é falsa, pois as retas são ambas decrescentes. Se observarmos cada uma, tem-se que ao aumentar o valor de x, o valor de y diminui em cada uma.

25 20 15 A = (11,9)

10 5 0

-5

0

5

10 15

20

25

30

-5

Em relação ao gráfico pode-se afirmar que (A) o gráfico é solução geométrica do sistema

{

x + y = 20

2x - y = 4

(B) o ponto (20,0) é comum às duas retas. (C) o gráfico é solução geométrica do sistema

{

x + y = 20

x + 2y = 29

(D) o ponto A está no 2º quadrante. (E) as retas são, ambas, crescentes. Gabarito: C Solução Professor(a), nesse item, visa verificar se o estudante sabe identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações de primeiro grau. Pode-se encontrar a opção correta, analisando cada uma. Assim, a opção (A) é falsa, pois, como o ponto A = (11,9) é a intersecção das retas, ou seja, é a possível solução do sistema. Se atribuirmos os valores de x = 11 e y = 9 a cada equação no sistema x + y = 20 2x - y = 4 e 11 + 9 = 20 2 · 11 - 9 ≠ 4 Observa-se que na segunda equação o ponto não é solução. (B) é falsa, pois, o ponto A (11,9) que é o ponto de intersecção e não o ponto (20, 0). (C) é verdadeira, pois ao substituirmos os valores de x e y, do ponto A,

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