AD 2 - MF -2016-2-Gabarito

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Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro

MF -AD 2 -2016/2 Gabarito 1) (1,0 pt.) Três títulos de R$ 12.000,00 vencíveis em dois, quatro e seis meses, respectivamente, serão

substituídos por dois novos títulos, de mesmo valor nominal, vencíveis em três e cinco meses, respectivamente. Qual será o valor desses pagamentos, se a taxa de juro composto for de 15 % ao ano , capitalizada mensalmente e se for adotada na equivalência o critério do: a) desconto comercial; b) desconto racional. Solução:

12.000,00

12.000,00

12.000,00

dívida original proposta de pagamento

0

1

2

3 x

4

5 x

6

(meses)

No diagrama acima, as setas para cima representam o conjunto de capitais da dívida original e a seta para baixo o conjunto de capitais formado pela proposta de pagamento. Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos sejam equivalentes. Sabe-se que dois ou mais conjuntos de capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas diferentes, são equivalentes, em certa data de referência (“data focal”), quando a soma dos seus valores nessa data for igual. Conforme solicitado, será adotado o regime de juro composto a uma taxa de 15,0 % ao ano , capitalizada mensalmente. Portanto, a taxa de dada é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização que é mensal, ou seja, a taxa efetiva da operação e mensal. Logo considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional a taxa dada, ou seja, como 1 ano  12 meses , então a taxa efetiva i será dada por i 

15,0  1,25 % ao mês . 12

Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: [email protected]

2 No regime de juros composto, a escolha da data focal não altera a equivalência. Pode-se assim escolher a data mais conveniente para os cálculos do problema. Nesse caso vamos optar pela data “zero” como data focal. a) No desconto comercial composto, o valor atual

n A  N  1  i   N 

A

A pode ser obtido através da equação

, onde N é o valor nominal do título, n é prazo de antecipação e i é a taxa

1  i n

unitária da operação. Portanto, nesse caso temos a seguinte equação de equivalência: x  1  0 ,01253  x  1  0 ,01255   12.000 ,00  1  0 ,01252  12.000 ,00  1  0 ,01254  12.000 ,00  1  0 ,01256 1,902010 x  35.113,38  x 

34.240.69  x  18.002 ,37 . 1,902010

b) No desconto racional composto, o valor atual n N  A  1  i   A 

N

1  i n

pode ser obtido através da equação

A

, onde N é o valor nominal do título, n é prazo de antecipação e i é a taxa

unitária da operação. Portanto, nesse caso temos a seguinte equação de equivalência: x ( 1  0 ,0125 )3



x ( 1  0,0125 )5

1,903195 x  34.261,92  x 



12.000,00 ( 1  0,0125 )2



12.000,00 ( 1  0,0125 )4



12.000 ,00 ( 1  0,0125 )

6

34.261,92  x  18.002 ,32 1,903195

a) R$ 18.002,37 Resposta:  b) R$ 18.002,32 2) (1,2 pt.)

Uma empresa tem atualmente a seguinte dívida junto a uma instituição financeira:

R$ 10.000,00 ,

R$ 20.000,00 R$,

R$ 30.000,00

R$ ,

R$ 40.000,00

e

R$ 50.000,00

vencíveis

sucessivamente ao final dos próximos cinco bimestres. Esta dívida foi contraída pagando uma taxa de juro composto de 9,0 % ao ano , capitalizada bimestralmente. A empresa está negociando o refinanciamento desta dívida em dez prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira em um mês. Para aceitar o negócio a instituição financeira está exigindo uma taxa de juro composto de 18 % ao ano , capitalizada mensalmente. Determinar o valor de cada pagamento mensal.

Solução:

2

3 P

0

1

2

3

4

5

(bimestres)

10.000,00

20.000,00 30.000,00 40.000,00

50.000,00 O diagrama acima representa a divida atual da empresa. Denotamos por P o valor da divida na data zero. A divida foi contraída a uma taxa de 9,0 % ao ano , capitalizada bimestralmente, portanto, a taxa dada é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização que é bimestral, ou seja, a taxa efetiva da operação é bimestral. Logo, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, taxa efetiva bimestral da operação é proporcional a taxa dada, isto é , como 1 ano  6 bimestres , então a taxa efetiva i será dada por i 

P

9 ,0  1,5 % ao bimestre . Portanto, temos a seguinte equação equivalência: 6

10.000,00 20.000,00 30.000,00 40.000,00 50.000,00      P  142.055,34 . 1  0,0151 1  0,0152 1  0,0153 1  0,0154 1  0,0155

Devemos agora distribuir esse valor numa série uniforme com 10 termos mensais iguais e sucessivos R , ocorrendo o primeiro em 30 dias. Sabe-se que a taxa de juros da operação e de 18,0 % ao ano , capitalizada mensalmente, portanto, a taxa dada é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização que é mensal, ou seja, a taxa efetiva da operação é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional a taxa dada, isto é , como 1 ano  12 meses , então a taxa efetiva i será dada por i 

18,0  1,5 % ao mês . 12

Temos uma série uniforme modelo básico em que se quer determinar o valor das prestações R sabendo-se que o seu valor atual P é 119.934,08 , o total de prestações n é de 10 e a taxa da operação é de 1,5 % ao mês O diagrama abaixo representa essa série:

3

4

P  142.055,34

0

1

2

3............8

9

10 (meses)

R.......... .......... .......... .......... .......... ...... R

Sabemos que P  R  FVPi , n   R  P 

1 , onde P é valor atual da série (valor financiado), R o FVPi; n 

valor dos termos da série ( prestações ), n o número total de prestações e i a taxa da operação. Logo, nesse caso, R  142.055,34 

1 . FVP1,5 %; 10 

Utilizando uma tabela financeira ou a equação FVPi, n   FVP1,5 %; 10  

n 1  1  i  , temos que : i

10 1  1  0,015 1  FVP3 %; 10  9,222185   0,108434 . FVP3 %; 10  0,015

Portanto, R  142.055,34  0,10843  R  15.403,63 . Resposta: R$ 15.403,63 3) (1,0 pt.) Uma empresa tem uma dívida ser paga em um ano e meio através de pagamento mensais, iguais

e sucessivos no valor no valor de R$ 4.802,74 , vencendo o primeiro pagamento em trinta dias. Prevendo problemas de fluxo de caixa, essa empresa deseja substituir esses pagamentos por um único pagamento a ser realizado em dois anos. Se a taxa de juro composto do financiamento é de 12 % ao ano , capitalizada mensalmente, qual o valor deste único pagamento? Solução:

A taxa da operação é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização que é mensal, ou seja, a taxa efetiva da operação é mensal; logo, considerando a relação entre as unidades de tempo

dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional a taxa dada, isto é ,

como 1 ano  12 meses , então a taxa efetiva i será dada por i 

12 ,0  1,0 % ao mês . 12

Como 1,5 anos  18 meses então são dezoito os pagamentos mensais de 4.802,74 que são os termos de uma série uniforme modelo básico. Podemos então determinar o valor atual P dessa série sabendo-se que o total de prestações n é de 18 e a taxa da operação é de 1,0 % ao mês O diagrama abaixo representa essa série:

4

5 P

0

1

2

3............ 16

17

18 (meses)

R  4.802,74 .......... .......... .......... .......... .......... ..R  4.802,74

Sabemos que P  R  FVPi , n  , onde P é valor atual da série , R o valor dos termos da série ( prestações), n o número total de prestações e i a taxa da operação.

O diagrama abaixo representa essa série: Logo, nesse caso, P  4.802,74  FVP1,0 %; 18 . n 1  1  i  Utilizando uma tabela financeira ou a equação FVPi , n   , temos que: i FVP1,0 %; 18 

18 1  1  0,01  FVP1,0 %; 11  16,398269 . 0,01

Portanto, P  4.802,74  16,398269  P  78.756,62 . O pagamento único a ser efetuado em dois anos, ou seja, 24 meses será dado por:

24 78.756,62  1  0,01  49.793,02  1,269735  100.000,00 . Resposta: R$ 100.000,00 4) (1,5 pts) Um empresário tomou um financiamento de R$ 75.000,00, para ser pago em 15 prestações

mensais, iguais e postecipadas a uma taxa de juro composto nominal de 18,0 % ao ano . Imediatamente após o nono pagamento, o empresário propôs uma renegociação ao banco, que aceitou refinanciar o saldo devedor em 12 prestações mensais, todas do mesmo valor, a serem pagas a partir do décimo mês. Determinar o valor das novas prestações mensais, sabendo que a taxa de juro da operação permanece a mesma. Solução:

A taxa de 18,0 % ao ano é nominal, e como as prestações são mensais, então a capitalização é mensal , ou seja, a taxa efetiva da operação é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a taxa efetiva da operação é proporcional a taxa dada, ou seja, como 1 ano  4 trimestres , então que a taxa efetiva i será dada por i 

18,0  1,5 % ao mês . 12

Nesse problema temos uma série uniforme modelo básico cujo valor atual P é igual a 75.000,00 e precisamos determinar o valor dos termos mensais R (prestações), sabendo-se que o total n de termos da série é igual a quinze e que a taxa da operação é 1,5 % ao mês 5

6 O diagrama abaixo representa essa série P  75.000 ,00

0

1

2

3.........9

10....... 14

15 (meses)

R .......... .......... .......... .......... .......... ..........R

Sabemos que P  R  FVPi , n   R  P 

1 , onde P é valor atual da série (valor financiado), R o FVPi; n 

valor dos termos da série ( prestações ), n o número total de prestações e i a taxa da operação. Logo, nesse caso, R  75.000,00 

1 . FVP1,5 %; 15

Utilizando uma tabela financeira ou a expressão FVPi, n   FVP 1,5 % ; 15 

n 1  1  i  , temos que : i

15 1  1  0 ,015 1  FVP 1,5 % ; 15  13,343233   0 ,074944 0 ,015 FVP 1,5 % ; 15

Portanto, R  75.000 ,00  0,074944  R  5.620 ,83 . Após o pagamento da nona prestação, restam 6 a serem pagas. Logo o saldo devedor após o pagamento da nona prestação, será o valor atual dessas 6 prestações, no período nove. Denotaremos esse saldo por P9 . Para determinar o valor de P9 , vamos considerar a série formada pelos seis termos restantes. P9 é o valor atual dessa série. O diagrama abaixo representa essa série: P9

0

1

2

0 3.........9

1 5 10....... 14

6 15 (meses)

R  5.620 ,83..........R  5.620 ,83

P9  5.620,83  FVP 1,5 %; 6 . Utilizando

uma

tabela

financeira

ou

a

expressão FVPi, n  

n 1  1  i  , i

temos

que

6 1  1  0.015 FVP 1,5 % ; 6   FVP 1,5 % ; 6  5,697187 . 0,015 Portanto, P  5.620 ,83  5,697187  P  32.022 ,92 .

9

9

6

7 Esse valor será então distribuído em uma serie modelo padrão de doze termos mensais (prestações) R , considerando a mesma taxa de 1,5 % ao mês . O diagrama abaixo representa essa série: P  32.022,92

0

1

2

3............10

11

12 (meses)

R .......... .......... .......... .......... .......... ..........R

Portanto, R  32.022 ,92 

1 FVP1,5 %; 12

n 1  1  i  Utilizando uma tabela financeira ou a expressão FVPi, n   , temos que: i 12 1  1  0.015 1 FVP 1,5 % ; 12    FVP 1,5 % ; 12   10 ,907505   0 ,091680 . 0 ,015 FVP 1,5 % ; 12 

Logo, R  32.022,92  0,091680 R  2.935,86 Resposta: R$ 2.935,86 5) (1,0 pt.) Uma pessoa efetua um depósito inicial de R$ 28.000,00 , em uma conta remunerada,

processando sequencialmente mais nove depósitos mensais iguais e sucessivos de R$ 2.844,56 cada. Determinar quanto essa pessoa terá acumulado quando da realização do último depósito, admitindo-se uma taxa de juros de 20,4 % ao ano capitalizada mensalmente. Solução:

A taxa da operação é nominal, e como os depósito são mensais, então a capitalização que é mensal, ou seja, a taxa efetiva da operação é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional à taxa dada, isto é, como 1 ano  12 meses , então a taxa efetiva i será dada por i 

20 ,40  1,7 % ao mês . 12

Os nove depósitos mensais, iguais e sucessivos de 2.844,56 constituem uma série uniforme modelo básico em que se quer determinar o seu montante S , sabendo-se que a taxa da operação é de 1,7 % ao mês , e que o total de termos ( depósitos) é n  9 O diagrama abaixo representa essa série:

7

8 S

0

1

2

3............ 7

8

9 (meses)

R  2.844,56.......... .......... .......... .......... ...R  2.844,56

Sabe-se que S  R  FVF i, n   R  P 

1 , onde S é valor do montante da série, R o valor dos FVPi; n 

termos (depósitos) da série, n o número total de termos e i a taxa da operação. Portanto, nesse caso, S  2.844,56  FVF 1,7 %; 9  . Utilizando a equação

n  1 i 1 FVF i; n   , temos que, i

FVF 1,7 %;

9  1  0,017   1 9   0,017

FVF 1,7 %; 9   9,636906 . Portanto, S  2.844,56  9,636906  S  27.412,74 .

O montante do depósito inicial de 28.000,00 será dado por: 9 28.000,00  1  0,017   28.000,00  1,163827  S  32.587,16 . Portanto no mês nove o aplicador terá acumulado um total de 27.412,74  32.587,16  60.000,00 . Resposta: R$ 60.000,00 6) (1,2 pt.) Uma pessoa aplicou hoje a quantia de R$ 9.456,96 e após dois anos recebeu o montante de

R$ 15.210,93 . Que depósitos mensais iguais e sucessivos nesse período produziriam a mesma soma, se o juro sobre o saldo credor fosse beneficiado com a mesma taxa da primeira operação? (Considerar que o primeiro depósito será realizado em trinta dias). Solução:

Como o poupador aplicou hoje uma quantia de 9.456,96 e recebeu em 24 meses o montante de 15.210,93 ,

24 então a taxa mensal i desta operação será obtida por: 15.210,93  9.456,96  1  i  

1  i 24 

15.210,93  1  i  24 1,608438  1  i  1,02  i  0,02 ao mês ou i  2,0 % ao mês . 9.456,96

Queremos substituir essa operação por depósitos mensais, iguais e sucessivos, ocorrendo o primeiro depósito em trinta dias, de modo que no final do 24º depósito tenhamos um montante igual ao da primeira aplicação, ou seja, estamos diante de uma série uniforme modelo padrão, em S  15.210,93 , n  24 meses e i  2,0 % ao mês . O diagrama abaixo representa essa série: 8

9

S  15.210,93

0

1

2

3............22

23

24 (meses) .

R.......... .......... .......... .......... .......... ...... R

Sabemos que S  R  FVF i; n   R 

S , onde S é valor do montante da série, R o valor dos FVF i; n 

termos (depósitos) da série, n o número total de termos e i a taxa da operação. Portanto, nesse caso, R  15.210,93 

1 . FVF 2,0 %; 24

Utilizando uma tabela financeira ou a equação FVF 2,0 %; 24  

1  0,0224 0,02

n  1  i  1 FVF i; n   , então: i

 FVF 2,0 %; 24   30,421862 

1  0,032871 . FVF 1 %; 24 

Portanto, temos que R  15.210,93  0,032871  R  500,00 . Resposta: R$ 500,00 7) (1,5 pts.) Uma empresa toma um empréstimo de R$ 50.000,00 , com a condição de saldar a dívida em

doze prestações trimestrais, iguais e sucessivas com um ano de carência. Calcular o valor das prestações, sabendo-se que a taxa de juro composto nominal da operação é de 18,0 % ao ano . Solução:

A taxa de 18 % ano é nominal e como as prestações são trimestrais então a capitalização é trimestral, isto é, a taxa efetiva da operação é trimestral; logo, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a taxa efetiva trimestral da operação é proporcional à taxa dada, isto é, como 1 ano  4 trimestres , então a taxa efetiva i será dada por i 

18,0  4,5 % ao trimestre . 4

Neste problema, temos uma série de pagamentos uniforme de 12 termos (prestações) trimestrais sendo que o primeiro pagamento será realizado no 5º trimestre, isto é, um ano de carência ou quaro trimestres de carência. Logo o valor atual desses pagamentos (termos da série), que indicaremos por P4 , estará associado ao 4º trimestre e será determinado pela capitalização do valor inicial P0  50.000,00 no 4º trimestre. Portanto, P3  50.000,00 1  0,045

4

 P3  50.000,001,192519  P3  59.625,93. 9

10 Logo, este será o valor que a ser distribuído numa série uniforme de n  12 termos trimestrais, considerando a taxa de i  4,5 % ao trimestre . O diagrama abaixo representa essa operação: P4  59.625,93 P0  50.000,00

0

0

1

2

3

1 4 5

2 10 11 12 6...........14 15 16 (trimestres)

R

R.......... R

Sabemos que P  R  FVF i; n   R 

R

P , onde P é valor do atual da série, R o valor dos termos FVF i; n 

da série, n o número total de termos e i a taxa da operação. Portanto, nesse caso, R  59.625,93 

1 . FVP4,5 %; 12

n 1  1  i  Utilizando uma tabela financeira ou a equação FVP i; n   , então: i

FVP 4,5 %; 12 

12 1  1  0,045 1  FVP 4,5 %; 12  9,118581   0,109666 . 0,045 FVP 4,5 %; 12

Portanto, R  59.625,93  0,109666  R  6.538,94 . Este resultado pode também ser obtido, considerando duas séries uniformes modelo básico: a primeira com 16 termos trimestrais iguais a R e valor atual P . A segunda com quatro termos trimestrais iguais a R e valor atual P . Então o valor atual P0 da série diferida dada, será obtido por P0  P  P e como nesse caso P0  50.000,00 , então P0  P  P  50.000,00 . Abaixo os diagramas dessas séries:

P

0

1 R

2 R.

3 R

4 R

5...............14 15 16 (trimestres) R.......... ........ R

R

R

O valor atual P dessa série será dado por P  R  FVF 4,5 %; 16 

10

11

P

0

1

2

3

R

R

4

(trimestres)

R R

R

O valor atual P dessa série será dado por P   R  FVF 4,5 %; 4  .

Portanto, 50.000,00  R  FVF 4,5 %; 16   R  FVF 4,5 %; 4   50.000,00  R  FVF 4,5 %; 16  FVF 4,5 %; 4  R 

50.000,00 . FVF 4,5 %; 16   FVF 4,5 %; 4

n 1  1  i  Utilizando uma tabela financeira ou a equação FVPi, n   temos que: i

16 1  1  0,045 FVP 4,5 %; 16   FVP 4,5 %; 16   11,234015 e 0,045 4 1  1  0,045  FVP 4,5 %; 4   3,587526 . FVP 4,5 %; 4   0,045

Portanto R 

50.000,00 50.000,00 R  R  6.538,94 . 11,234015  3,587526 7,646489 Resposta: R$ 6.538,94

8) (1,6 pts) Determinar quanto deve ser aplicado mensalmente num fundo de poupança durante oito meses,

de forma que se possa efetuar, a partir do décimo primeiro mês, quatro retiradas trimestrais de

R$ 1.900,00 cada. Considere na operação uma taxa de juro composto de 1,5 % ao mês . Solução:

Os depósitos constituem uma serie uniforme padrão com oito termos mensais iguais a R e os saques de constituem outra série padrão com quatro termos trimestrais iguais a 1.900,00 . A taxa da operação é de 1,5 % ao mês . Como os termos da série dos saques são mensais, então essa é a taxa efetiva dessa série. Por outro lado, os termos da série dos saques são trimestrais, portanto a sua taxa efetiva é trimestral e equivalente à taxa de 1,5 % ao mês . Logo, se i é a taxa efetiva unitária dessa operação e como 11

12 1 trimestre  3 meses ,

1

1  i 

então

3  1  0,015  1  i  1,045678  i  0,045678 ao trimestre ou

i  4,5678 % ao trimestre . Pode-se representar este problema através do diagrama abaixo. Nele, as setas para cima representam a renda uniforme referente aos depósitos e as setas para baixo a renda uniforme referente aos saques.

SP R................................R 0 0 1 2

3.............6

7

1

2

3

4 (trimestres)

8........... 11........14.........17.........20 (meses)

1.900,00....................... 1.900,00. O montante da primeira série tem que ser igual ao valor atual da segunda. Por outro lado sabemos que o valor atual P e o montante S de uma série uniforme modelo básico em função dos seus termos R , taxa i e prazo n são dados respectivamente

por

P  R  FVPi, n 

e

S  R  FVF i; n  .

Nesse

caso

então

temos

que

S  R  FVF 1,5 %; 8 e P  1.900,00  FVP 4,5678 %; 4  . Como S  P então,

R  FVF 1,5 %; 8  1.900,00  FVP 4,5678 %; 4   R 

1.900,00  FVP 4,5678 %; 4 . FVF 1,5 %; 8

n n  1  i  1 1  1  i  e FVF i; n   , então: Utilizando uma tabela financeira ou a equação FVP i, n   i i 4 1  1  0,045678 FVP 4,5678 %; 4    FVP 4,5678 %; 4   3,581839 e 0,045678

FVF 1,5 %; 8  Portanto R 

1  0,0158  1  FVF 1,5 0,015

%; 8  8,432839 .

1.900,00  3,581839 6.805,49 R  R  807,02 . 8,432839 8,432839 Resposta: R$ 807,02

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