15 Całka potrójna - cd. (18-06)

SAVE OFFLINE

Całka potrójna - cd. wykład - dr Bogusława Karpinska, ´ notował - B. Dach 18 czerwca 2015 Niech V ⊂ R3 b˛edzie zbiorem ograniczonym i niech f : V → R b˛edzie funkcja˛ ograniczona.˛ Niech P b˛edzie prostopadło´scianem zawierajacym ˛ V. Zdefiniujmy ( f ( x, y, z) gdy ( x, y, z) ∈ V fe( x, y, z) = 0 gdy ( x, y, z) ∈ P \ V oraz

ZZZ V

f ( x, y, z) dx dy dz =

ZZZ P

fe( x, y, z) dx dy dz

o ile prawa strona istnieje. ˙ ˙ je´sli V ⊂ R3 jest mierzalny w sensie Jordana, to Zauwazmy, ze

|V | =

ZZZ V

1 dx dy dz

˙ V jest OBSZAREM Niech V ⊂ R3 b˛edzie obszarem. Mówimy, ze REGULARNYM wtedy i tylko wtedy, gdy jego brzeg składa si˛e ze skonczonej ´ liczby powierzchni o równaniach z = z( x, y) lub y = y( x, z) lub x = x (y, z), gdzie z( x, y), y( x, z), x (y, z) to funkcje ciagłe. ˛ Obszar regularny w R3 jest mierzalny w sensie Jordana. Definicja.

Definicja. Obszar regularny V ⊂ R3 nazywamy OBSZAREM NORMALNYM wzgl˛edem płaszczyzny OXY wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja˛ funkcje ciagłe ˛ ˙ ϕ, ψ w pewnym obszarze regularnym D ⊂ R2 takie, ze V = {( x, y, z) ∈ R3 : ( x, y) ∈ D ∧ ϕ( x, y) < z < ψ( x, y)} Przykład. Kula o s´ rodku w (0, 0, 0) i promieniu R jest obszarem regularnym wzgl˛edem OXY: D = {( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < R2 } q q ϕ( x, y) = − R2 − x2 − y2 ψ( x, y) = R2 − x2 − y2 Analogicznie definiujemy obszary normalne wzgl˛edem płaszczyzn OYZ, OXZ. 1

Twierdzenie 15.1. Funkcja ograniczona i ciagła ˛ w obszarze normalnym jest w nim całkowalna. Twierdzenie 15.2. (Zamiana całki potrójnej na całk˛e iterowana) ˛ Niech V ⊂ R3 b˛edzie obszarem normalnym wzgl˛edem płaszczyzny OXY (jw.) i niech f ∈ C (V ). Wówczas  ZZZ Z Z Z ψ( x,y) f ( x, y, z) dx dy dz = f ( x, y, z) dz dx dy V

Przykład 1.

ϕ( x,y)

D

Obliczy´c

RRR

V (1 −

x )y dx dy dz,

V = {( x, y, z) ∈ R3 : x + y + z 6 1, x > 0, y > 0, z > 0} Wtedy   0 6 x 6 1 V : 0 6 y 6 1−x   0 6 z 6 1−x−y stad ˛ ZZZ V

(1 − x )y dx dy dz = =

Z 1 Z 1− x Z 1− x − y 0

0

=

Z 1 0

=

0

0

Z 1 Z 1− x

Z 1 0

0

(1 − x )y dz dy dx =

(1 − x )y(1 − x − y) dy dx =

(1 − x )

Z 1− x 0

(y − yx − y2 ) dy dx =



1 1 1 (1 − x ) (1 − x )2 − x · (1 − x )2 − (1 − x )3 2 2 3

 dx = . . .

Twierdzenie 15.3. (Zamiana zmiennych w całce potrójnej) Niech V b˛edzie e b˛edzie obszarem zawierajacym V. Niech obszarem regularnym w R3 , niech V ˛ 3 1 e F : V → R b˛edzie funkcja˛ wektorowa˛ klasy C na V; F (u, v, w) = ( ϕ(u, v, w), ψ(u, v, w), χ(u, v, w)) Je´sli ˙ 1. F jest róznowarto´ sciowa na V, 2. F (V ) jest obszarem regularnym, 3. det JF 6= 0 na V, 4. f jest ograniczona i ciagła ˛ na F (V ), to ZZZ F (V )

f ( x, y, z) dx dy dz =

ZZZ V

f ( ϕ(u, v, w), ψ(u, v, w), χ(u, v, w))| det JF (u, v, w)| du dv dw

2

Przykład 2. Obliczy´c wierzchniami

RRR V

x dx dy dz, gdzie V to obraz ograniczony po-

x2 + y2 + z2 = 4z − 3,

z2 = x 2 + y2 ,

x 2 + y2 = 1

Całk˛e ta˛ obliczymy, korzystajac ˛ ze zmiennych walcowych: F (r, ϕ, z) = (r cos ϕ, r sin ϕ, z) ˙ Funkcja ta spełnia załozenia twierdzenia 15.3. cos ϕ −r sin ϕ det JF (r, ϕ, z) = sin ϕ r cos ϕ 0 0

0 0 = r 1

Zakres zmiennych:   0 6 ϕ 6 2π V: 06r61 √   r 6 z 6 2 − 1 − r2 ZZZ V

x dx dy dz =

Z 2π Z 1 Z 2−√1−r2 0

r

0

r cos ϕ · r dz dr dϕ =

Z 2π Z 1

p r2 cos ϕ(2 − 1 − r2 − r ) dr dϕ = 0 0  Z 1 Z 2π p = cos ϕ r2 (2 − 1 − r2 − r ) dr dϕ = 0

=

0

0

Przykład 3. Korzystajac ˛ z całki potrójnej wyprowadzi´c wzór na obj˛eto´sc´ kuli o promieniu R. Zmienne sferyczne:     0 6 r 6 R  x = r sin ψ cos ϕ K : 06ψ6π y = r sin ψ sin ϕ     0 6 ϕ 6 2π z = r cos ψ

|K | =

ZZZ

= 2π Przykład 4.

K

1 dx dy dz =

Z R 0

Z 2π Z R Z π 0

0

0

r2 sin ψ dψ dr dϕ =

4 1 2r2 dr = 4π · R3 = πR3 3 3

Obliczymy

R +∞ 0

Z +∞ 0

2

e− x dx – tj. Γ 2

e− x dx = lim

  1 2

Z R

R→+∞ 0

| 3

˙ . Wiemy, ze 2

e− x dx {z } IR

˙ Rozwazmy całk˛e ZZ [0,R]×[0,R]

e− x

2 − y2

Z RZ R

2

2

e− x ∗ e−y dy dx =  Z R Z R 2 2 e−y dy dx = = e− x

dx dy =

0

0

0

0

Z R

=

0

e

− x2

dx ·

Z R 0

2

e−y dy = IR2

Niech WR b˛edzie wycinkiem koła o promieniu R z 1. c´ wiartki, za´s WR√2 √ wycinkiem koła o promieniu R 2 z 1. c´ wiartki. Wówczas π R→∞ ←−−− 4

ZZ WR

e

ZZ WR

− x 2 − y2

e− x

2 − y2

dx dy 6

pi 2

ZZ [0,R]×[0,R]

e− x

2 − y2

dx dy 6

π R −r 2 re dr = dx dy = e r dr dϕ = 2 0 0 0  2 π 1 h −r 2 i R π R→∞ = · −e = 1 − e− R −−−→ 2 2 4 0 Z

Z R

Z

−r 2

˙ Otrzymali´smy, ze lim IR2 =

R→+∞

a stad ˛

ZZ

Z +∞ 0

π 4

√ 2

e− x dx =

π 2

˙ ˙ funkcja podcałkowa jest parzysta, wi˛ec Zauwazmy, ze   Z +∞ √ 2 1 = Γ e− x dx = π. 2 −∞

4

WR√2

e− x

2 − y2

2 r =t 2dr = dt π 4

R→∞

dx dy −−−→

=

π 4