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Universidade de Tr´ as-os-Montes e Alto Douro M´etodos Num´ericos e Estat´ısticos ��� Lic. Eng. Biom´edica e Bioengenharia

M´ etodos Estat´ısticos

Probabilidades e Estat´ıstica Descritiva

Folha 1

1. Para analisar a capacidade de germina¸c˜ ao de um certo tipo de cereal foram semeadas cinco sementes em cada um dos vasos de uma colec¸c˜ ao de vasos iguais e registaram-se os seguintes resultados: no de sementes germinadas por vaso no de vasos

0 16

1 32

2 89

3 137

4 98

5 25

a) Calcule a m´edia, a mediana e a moda do n´ umero de sementes germinadas; b) Represente graficamente os resultados; c) Determine a propor¸c˜ ao de vasos com mais de trˆes sementes germinadas. 2. Um dado estabelecimento de ensino p´ ublico avalia o seu curso atrav´es de um question´ ario com cerca de 50 perguntas, respondido pelos seus alunos. Cada pergunta tem uma resposta numa escala de 1 a 5, onde a maior nota significa melhor desempenho. Para cada question´ ario respondido, ´e ent˜ ao encontrada a nota m´edia. Na ´ ultima avalia¸c˜ ao recorreu-se a uma amostra de 42 alunos, com os seguintes resultados: 4.2 2.4 3.8 2.2 2.3 3.0

2.7 3.9 3.8 4.4 3.4 4.1

4.6 1.2 1.8 2.8 3.3 3.4

2.5 4.1 4.5 2.3 1.8 3.2

3.3 4.0 2.7 1.9 3.5 2.2

4.7 3.1 2.2 3.6 4.1 3.0

4.0 2.4 3.7 3.9 2.2 2.8

a) Organize os dados sob a forma de uma tabela de frequˆencias, onde figurem as frequˆencias absoluta, relativa, absoluta acumulada e relativa acumulada; b) Desenhe o respectivo histograma; c) Identifique as classes modal e mediana; d) Calcule a m´edia e o desvio padr˜ ao usando os dados agrupados e usando os dados n˜ ao agrupados. Compare os resultados. 3. Numa experiˆencia laboratorial pretende-se fazer a contagem do n´ umero de c´elulas de levedura em suspens˜ ao num certo l´ıquido, utilizando-se para tal um hemat´ımetro. Os resultados relativos ao n´ umero de c´elulas de levedura existentes nos 400 quadrados de um hemat´ımetro s˜ ao os seguintes: no de c´elulas por quadrado no de quadrados

0 75

1 103

2 121

3 54

4 30

5 13

6 4

a) Qual a vari´ avel em estudo? b) Represente a distribui¸c˜ ao por um gr´ afico de frequˆencias adequado; c) Apresente a fun¸c˜ ao cumulativa; d) Descreva a amostra no que respeita a: (i). Localiza¸c˜ ao (m´ aximo, m´ınimo, m´edia, moda e quartis); (ii). Dispers˜ ao (amplitude, desvio padr˜ ao, amplitude interquartis); e) Determine a percentagem de quadrados de um hemat´ımetro com um no de c´elulas de levedura em suspens˜ ao entre x¯ − s e x¯ + s, onde x¯ e s designam respectivamente a m´edia e o desvio padr˜ ao da amostra.

1

4. A distribui¸c˜ ao do no de c´ aries, numa amostra de 40 pacientes ´e a seguinte: no de caries frequˆencia absoluta

0 2

1 4

2 14

3 8

4 8

5 4

a) Indique a vari´ avel em estudo e qual a sua natureza; b) Represente a distribui¸c˜ ao por um gr´ afico de frequˆencias adequado; c) Calcule a m´edia, moda e mediana da amostra; d) Determine a variˆ ancia e o desvio-padr˜ ao; e) Determine os quartis deste conjunto de dados e represente o diagrama de extremos e quartis. Interprete-o.

5. O departamento de pessoal de uma pequena empresa fez o levantamento dos sal´ arios dos seus 120 funcion´ arios, obtendo os seguintes resultados: Faixa salarial Frequˆencia relativa [0, 2] 0.25 0.40 ]2, 4] 0.20 ]4, 6] ]6, 10] 0.15 a) Esboce o histograma correspondente; b) Calcule aproximadamente a m´edia, a variˆ ancia e o desvio padr˜ ao dos sal´ arios; c) Se for dado um aumento salarial de 2 unidades a todos os seus funcion´ arios, haver´ a altera¸c˜ ao na m´edia dos sal´ arios? E na variˆ ancia?

6. Num estudo sobre os n´ıveis de stress de profissionais de sa´ ude foi utilizado um question´ ario em que o score total variava entre 10 e 50, correspondendo o menor dos valores a ”ausˆencia de stress”e o maior a ”stress m´ aximo”. A tabela seguinte ilustra como os 200 profissionais inquiridos se distribuem pelos 5 n´ıveis de stress considerados: Score No de inquiridos [10, 18[ 12 38 [18, 26[ 54 [26, 34[ [34, 42] 46 50 [42, 50] Total 200 a) Trace o correspondente histograma bem como a fun¸c˜ ao cumulativa; b) Calcule a moda desta distribui¸c˜ ao; c) Determine a m´edia e a mediana da distribui¸c˜ ao; d) Determine a variˆ ancia e o desvio padr˜ ao da distribui¸c˜ ao; e) Determine os quartis desta distribui¸c˜ ao e fa¸ca o esquema de extremos e quartis.

7. Sejam A e B dois acontecimentos tais que P (A) + P (B) = x e P (A ∩ B) = y . Determine, em fun¸c˜ ao de x e y , as probalidades de: a) N˜ ao se realizar nenhum dos acontecimentos; b) Se realizar um e um s´ o dos dois acontecimentos; c) Se realizar pelo menos um dos dois acontecimentos; d) Se realizar, quanto muito, um ´ unico acontecimento.

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8. No lan¸camento de um dado viciado, a probabilidade de ocorrer um n´ umero ´ımpar ´e o dobro da probabilidade de ocorrer um n´ umero par. a) Indique o espa¸co de resultados e a probabilidade de cada acontecimento elementar; b) Qual a probabilidade do n´ umero de pontos obtido no lan¸camento ser superior a trˆes? c) Calcule a probabilidade do n´ımero de pontos obtido no lan¸camento ser um quadrado perfeito. 9. Considere o lan¸camento de dois dados perfeitos. a) Indique o espa¸co de resultados; b) Calcule a probabilidade da soma ser superior a 8; c) Calcule a probabilidade da soma ser par e superior a 8; 10. Numa fila de um centro de sa´ ude est˜ ao 4 homens, 3 mulheres e duas crian¸cas. Calcule a probabilidade de a) As pessoas, dentro de cada grupo, estarem de seguida; b) As duas crian¸cas estarem de seguida. 11. Um grupo de apostadores do totobola decidiu jogar todas as apostas poss´ıveis contendo 7 vit´ orias em casa, 4 empates e duas vit´ orias fora. Calcule a probabilidade desse grupo ganhar o totobola. 12. Um dado equipamento ´e constitu´ıdo por 10 trans´ıstores dos quais 2 s˜ ao defeituosos. Suponhamos que dois trans´ıstores s˜ ao seleccionados ao acaso, com reposi¸c˜ ao. a) Indique o espa¸co de resultados e calcule as respectivas propabilidades; b) Calcule a sprobabilidades dos seguintes acontecimentos A1 = Sair um transistor defeituoso na 1a tiragem; A2 = Sair um transistor defeituoso na 2a tiragem; A3 = Sair pelo menos um transistor defeituoso; A4 = Sair exactamente um transistor defeituoso. c) Responda novamente ` as al´ıneas anteriores considerando que n˜ ao houve reposi¸c˜ ao. 13. Suponhamos que 5% da popula¸c˜ ao portuguesa sofre de hipertens˜ ao arterial. De entre estes, 75% ingerem bebidas alco´ olicas e de entre os que n˜ ao s˜ ao hipertensos, 50% ingerem bebidas alco´ olicas. Calcule a) A percentagem dos portugueses que ingerem ´ alcool; b) A percentagem de pessoas que bebendo ´ alcool sofrem de hipertens˜ ao. 14. Para um certo tipo de cancro a taxa de prevalˆencia (propor¸c˜ ao de doentes na popula¸c˜ ao em geral) ´e 0.005. Um teste diagn´ ostico para esta doen¸ca ´e tal que: a probabilidade de um teste resultar positivo quando aplicado a um indiv´ıduo com cancro (sensibilidade do teste) ´e 0.99 e a probabilidade do teste resultar negativo quando o indiv´ıduo n˜ ao tem cancro (especificidade do teste) ´e 0.95. a) Determine o valor preditivo do teste, i.e., a probabilidade de um indiv´ıduo ter cancro sabendo que o teste deu positivo; b) Supondo que o teste foi aplicado duas vezes consecutivas ao mesmo doente e que das duas vezes o resultado deu positivo, calcule a probabilidade do doente ter cancro (admita que os resultados do teste em sucessivas aplica¸c˜ oes, em qualquer indiv´ıduo s˜ ao independentes). O que pode concluir quanto ao valor preditivo da aplica¸c˜ ao do teste duas vezes consecutivas? 15. Registos efectuados levaram a concluir que os motoristas que circulam em determinada estrada apenas cometem dois tipos de transgress˜ oes (ditas do tipo I e do tipo II), n˜ ao se tendo registado nenhum caso em que o motorista cometa ambas as transgress˜ oes. De entre 500 motoristas multados verificou-se que 100 cometeram transgress˜ oes do tipo I. Sabendo que 10% dos motoristas que cometem transgress˜ oes do tipo I s˜ ao multados, que 1% cometem transgress˜ oes do tipo I e que 2% cometem transgress˜ oes do tipo II, calcule a probabilidade de um motorista que circule nessa estarda e cometa uma transgress˜ ao do tipo II seja multado. 3