Calculo Infinitesimal

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Manual

Cálculo Infinitesimal

Direitos de autor (copyright) Este Módulo não pode ser reproduzido para fins comerciais. Em caso de reprodução, deve ser mantida a referência à Universidade Pedagógica edagógica e aos Autores do Módulo.

Universidade Pedagógica

Rua Comandante Augusto Cardoso, n.º 135 Telefone: 21 21-320860/2 Telefone: 21 – 306720 Fax: +258 21-322113 21

Agradecimentos À

COMMONWEALTH of LEARNING (COL), pela disponibilização do Template usado na

produção dos Módulos. Ao Instituto Nacional de Educação à Distância (INED), pela orientação e apoio prestados. Ao Magnífico Reitor, Directores de Faculdade e Chefes de Departamento, pelo apoio prestado em todo o processo.

Ficha Técnica Autor: Vasco Agostinho João Cuambe Desenho Instrucional: Suzete Buque Revisão Linguística: Jerónimo Simão Maquetização: Aurélio Armando Pires Ribeiro Edição: Valdinácio Florêncio Paulo

Cálculo Infinitesimal

i

Índice Visão geral

1

Bem-Vindo ao estudo do Módulo de Cálculo Infinitesimal ........................................... 1 Objectivos do curso .......................................................................................................... 2 Quem deveria estudar este módulo ................................................................................... 2 Como está estruturado este módulo .................................................................................. 3 Ícones de actividade .......................................................................................................... 4 Avaliação .......................................................................................................................... 5 Unidade I

7

O Corpo do Números Reais .............................................................................................. 7 Introdução ................................................................................................................ 7 Lição Nº 1

8

Generalidades sobre estruturas Algébricas ....................................................................... 8 Introdução ................................................................................................................ 8 Sumário ........................................................................................................................... 12 Exercícios........................................................................................................................ 12 Lição nº 2

13

Grupoide, Semi Grupo e Grupo ...................................................................................... 13 Introdução .............................................................................................................. 13 Sumário ........................................................................................................................... 17 Exercícios........................................................................................................................ 17 Lição nº 3

20

Generalidades sobre os Números Reais .......................................................................... 20 Introdução .............................................................................................................. 20 Sumário ........................................................................................................................... 27 Exercícios........................................................................................................................ 27 Unidade II

31

Sucessões Numéricas ...................................................................................................... 31 Introdução .............................................................................................................. 31 Introdução ao estudo de Sucessões ................................................................................. 32 Introdução .............................................................................................................. 32

ii

Índice

Sucessões de Números Reais .......................................................................................... 32 Sumário ........................................................................................................................... 37 Exercícios........................................................................................................................ 38 Lição nº 5

40

Sucessões Enquadradas. Estudo da Sucessão (un )=an.................................................... 40 Introdução .............................................................................................................. 40 Sumário ........................................................................................................................... 44 Exercícios........................................................................................................................ 45 Lição nº 6

47 n

 1 Estudo da Sucessão  1 +  .......................................................................................... 47  n Introdução .............................................................................................................. 47 Sumário ........................................................................................................................... 52 Exercícios........................................................................................................................ 52

Unidade III

53

Limite e Continuidade de Funções ................................................................................. 53 Introdução .............................................................................................................. 53 Lição nº 7

54

Generalidades sobre Funções.......................................................................................... 54 Introdução .............................................................................................................. 54 Sumário ........................................................................................................................... 62 Exercícios........................................................................................................................ 62 Lição nº 8

64

Tipos de Funções ............................................................................................................ 64 Introdução .............................................................................................................. 64 Tipos de Funções ................................................................................................... 64 Sumário ........................................................................................................................... 74 Exercício ......................................................................................................................... 74 Lição nº 9

77

Limite de Funções........................................................................................................... 77 Introdução .............................................................................................................. 77 Sumário ........................................................................................................................... 85 Exercícios........................................................................................................................ 85 Propriedades de Limites.................................................................................................. 87 Introdução .............................................................................................................. 87

Cálculo Infinitesimal

iii

Sumário ........................................................................................................................... 92 Exercícios........................................................................................................................ 92 Lição nº 12

93

Cálculo de limite de uma função .................................................................................... 93 Introdução .............................................................................................................. 93 Sumário ........................................................................................................................... 97 Exercícios........................................................................................................................ 97 Lição nº 13

98

Limites Notáveis ............................................................................................................. 98 Introdução .............................................................................................................. 98 Sumário ......................................................................................................................... 102 Exercícios...................................................................................................................... 102 Lição nº 14

104

Limite notável exponencial e Logarítmica ................................................................... 104 Introdução ............................................................................................................ 104 Sumário ......................................................................................................................... 107 Exercícios...................................................................................................................... 107 Lição nº 15

109

Continuidade de Funções .............................................................................................. 109 Introdução ............................................................................................................ 109 Sumário ......................................................................................................................... 112 Exercícios...................................................................................................................... 112 Unidade IV

115

Cálculo Diferencial ....................................................................................................... 115 Introdução ............................................................................................................ 115 Lição nº 16

117

Derivada de uma função num ponto ............................................................................. 117 Introdução ............................................................................................................ 117 Sumário ......................................................................................................................... 124 Exercícios...................................................................................................................... 124 Lição nº 17

126

Derivadas Laterais ........................................................................................................ 126 Introdução ............................................................................................................ 126

iv

Índice

Sumário ......................................................................................................................... 127 Exercícios...................................................................................................................... 127 Lição nº 18

129

Regras de derivação ...................................................................................................... 129 Introdução ............................................................................................................ 129 Sumário ......................................................................................................................... 133 Exercícios...................................................................................................................... 133 Lição nº 19

135

Derivada de Funções Compostas .................................................................................. 135 Introdução ............................................................................................................ 135 Sumário ......................................................................................................................... 139 Exercícios...................................................................................................................... 139 Lição nº 20

141

Derivada de Funções Elementares ................................................................................ 141 Introdução ............................................................................................................ 141 Sumário ......................................................................................................................... 145 Exercícios...................................................................................................................... 145 Lição nº 21

148

Derivada de Funções Trigonométricas Inversas ........................................................... 148 Introdução ............................................................................................................ 148 Sumário ......................................................................................................................... 152 Exercícios...................................................................................................................... 152 Lição nº 22

154

Derivadas de Funções Hiperbólicas e Implicitas .......................................................... 154 Introdução ............................................................................................................ 154 Sumário ......................................................................................................................... 157 Exercícios...................................................................................................................... 157 Lição nº 23

160

Derivada de Funções Paramétricas. Diferencial de uma Função.................................. 160 Introdução ............................................................................................................ 160 Sumário ......................................................................................................................... 165 Exercícios...................................................................................................................... 165 Lição nº 24

168

Velocidade e Aceleração .............................................................................................. 168 Introdução ............................................................................................................ 168

Cálculo Infinitesimal

v

Sumário ......................................................................................................................... 174 Exercícios...................................................................................................................... 175 Lição nº 25

179

Máximo e Mínimo de uma Função ............................................................................... 179 Introdução ............................................................................................................ 179 Sumário ......................................................................................................................... 187 Exercícios...................................................................................................................... 187 Lição nº 26

189

Assimptotas Verticais e não Verticais .......................................................................... 189 Introdução ............................................................................................................ 189 Sumário ......................................................................................................................... 197 Exercícios...................................................................................................................... 197 Lição nº 27

200

Aplicações de derivadas na Resolução de Problemas de Optimização ........................ 200 Introdução ............................................................................................................ 200 Sumário ......................................................................................................................... 205 Exercícios...................................................................................................................... 206 Lição nº 28

208

Teoremas sobre Derivadas. Regra de L´Hospital ......................................................... 208 Introdução ............................................................................................................ 208 Sumário ......................................................................................................................... 213 Exercícios...................................................................................................................... 213 Lição nº 29

215

Formula de Taylor ........................................................................................................ 215 Introdução ............................................................................................................ 215 Sumário ......................................................................................................................... 220 Exercícios...................................................................................................................... 221 Unidade v

223

Aplicações Geométricas da Derivada. Curvaturas ....................................................... 223 Introdução ............................................................................................................ 223 Sumário ......................................................................................................................... 228 Exercícios...................................................................................................................... 228 Lição nº 31

230

Curvatura ...................................................................................................................... 230 Introdução ............................................................................................................ 230

vi

Índice

Sumário ......................................................................................................................... 233 Exercícios...................................................................................................................... 233

Cálculo Infinitesimal

1

Visão geral Bem-Vindo ao estudo do Módulo de Cálculo Infinitesimal Caro estudante! Neste módulo, você vai aprender sobre o Cálculo Infinitesimal. Este módulo permitir-lhe-á desenvolver as suas habilidades matemáticas para resolução de problemas matemáticos. O presente módulo está subdividido em cinco unidades principais, nomeadamente: A unidade I: Aborda o conjunto dos Números Reais onde se pode encontrar as operações sobre os Números Reais, módulo de um número real e alguns teoremas básicos sobre os números reais. A Unidade II: aborda questões relacionadas com sucessões dos números reais, onde pode se encontrar os teoremas fundamentais sobre convergência e divergências de sucessões, sucessões enquadradas e o número de Neper. A unidade III: aborda o estudo da função de uma variável real na sua generalidade; trata, também, do estudo de limite de funções nas suas diversas vertentes, bem como do estudo de continuidade de funções. A unidade IV: versa essencialmente sobre o estudo de derivadas de uma função. Esta constitui a unidade fundamental no que diz respeito a introdução à Análise Matemática. Nesta unidade, estão destacados os vários aspectos ligados ao cálculo diferencial em R, bem como as suas respectivas aplicações. A Unidade V: Versará sobre os estudos de algumas curvas contínuas em R, nela poder-se-á encontrar o estudo das curvaturas, equações da tangente e da normal.

2

Objectivos do curso Quando terminar o estudo deste Módulo, o estudante studante deverá ser capaz de:

Realizar as op operações básicas no domínio dos Números Reais; Re Calcular os limites de funções de variável real nas suas diferentes vertentes vertentes; Analisar a continuidade de uma função num ponto ponto; Objectivos

Calcular as derivadas ddee diversas funções aplicando as regras fundamentais de derivação derivação; Aplicar o conceito de derivada na resolução de problemas; problemas Classificar as diferentes curvas contínuas; Achar as a curvaturas de uma curva.

Quem deveria estudar este módulo Este Módulo foi concebido para todos aqueles que tenham concluído a 12a classe do ESG ou equivalente e se tenham inscrito no Curso à Distância fornecido pela Universidade Pedagógica.

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3

Como está estruturado este módulo Todos os módulos dos cursos produzidos pela Universidade Pedagógica encontram-se estruturados da seguinte maneira: Páginas introdutórias Um índice completo. Uma visão geral detalhada do curso / módulo, resumindo os aspectoschave que você precisa de conhecer para completar o estudo. Recomendamos vivamente que leia esta secção com atenção antes de começar o seu estudo. Conteúdo do curso / módulo O curso está estruturado em unidades. Cada unidade incluirá uma introdução, objectivos, conteúdo, incluindo actividades de aprendizagem, um sumário e uma ou mais actividades para autoavaliação. O módulo de Cálculo Infinitesimal é constituído por V Unidades Temáticas. Cada unidade apresenta: −

Uma introdução que dá uma orientação geral sobre o aspecto central de estudo;

−

Os objectivos gerais;

−

Um conjunto de lições, variáveis de unidade para unidade. Cada lição possui por sua vez:

−

Uma introdução;

−

As horas necessárias para o estudo de cada lição;

−

Os objectivos;

−

Os conteúdos, onde é apresentada a matéria essencial da lição;

−

Um sumário, onde você pode encontrar os eixos centrais de cada lição;

4

−

Exercícios de auto-avaliação, onde você pode testar a compreensão da lição;

As referências complementares identificadas como leituras onde se encontram indicados os livros a que você pode recorrer para aprofundar os seus conhecimentos. Outros recursos Se você está interessado em aprender mais, preste atenção à lista de recursos adicionais e explore-os. Esses recursos podem incluir livros, artigos ou sites na Internet. Tarefas de avaliação e/ou Auto-avaliação As tarefas de avaliação para este módulo encontram-se no final de cada unidade. Sempre que necessário, dão-se folhas individuais para desenvolver as tarefas, assim como instruções para as completar. Estes elementos encontram-se no final do módulo. Comentários e sugestões Esta é a sua oportunidade para nos dar sugestões e fazer comentários sobre a estrutura e o conteúdo do módulo. Os seus comentários serão úteis para nos ajudar a avaliar e melhorar este módulo.

Ícones de actividade Ao longo deste manual, irá encontrar uma série de ícones nas margens das folhas. Estes ícones servem para identificar diferentes partes do processo de aprendizagem. Podem indicar uma parcela específica de texto, uma nova actividade ou tarefa, uma mudança de actividade, etc.

Acerca dos ícones Os ícones usados neste manual são símbolos africanos, conhecidos por adrinka. Estes símbolos têm origem no povo Ashante de África Ocidental, datam do século 17 e ainda se usam hoje em dia. Pode ver o conjunto completo de ícones deste manual já a seguir, cada um com uma descrição do seu significado e da forma como nós interpretámos esse significado para representar as várias actividades ao longo deste curso / módulo.

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“Qualidade do trabalho” (excelência/ autenticidade)

5

““Aprender através da experiência”

Comprometimento/ perseverança severança

Resistência, perseverança

Actividade

Auto-avaliação

Avaliação / Teste

Paz/harmonia

Unidade/relações humanas

Vigilância / preocupação

Debate

Actividade de grupo

“Eu mudo ou transformo a minha vida”

Tome Nota!

Objectivos

“Nó da sabedoria”

Apoio / encorajamento

Terminologia

Dica

[Ajuda--me] deixame ajudar-te” ajudar

Leitura

“Pronto a enfrentar as vicissitudes da vida” (fortitude / preparação)

Exemplo / Estudo de caso

Reflexão

Avaliação Durante o curso curso, serão feitas duas avaliações parciais e um exame. Essas avaliações serão realizadas na Universidade Pedagógica.

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7

Unidade I O Corpo dos Números úmeros Reais Introdução Caro ro estudante e futuro pprofessor de Matemática, tem pela frente a primeira unidade sobre os nnúmeros reais, trata-se de uma unidade que sintetiza a construção dos números reais. Contudo, a construção mais detalhada irá aprender na cadeira c de teoria de grupos.. Para o caso deste módulo, iremos fornecer os elementos essenciais para que possa perceber o desenvolvi desenvolvimento das lições que você vai aprender prender ao longo do módulo. Estimamos em 7 horas o tempo necessário para o estudo desta unidade e será estudada em três lições lições. Ao completar esta unidade unidade, você será capaz de:

Objectivos

•

Enunciar os axiomas sobre os Números Reais;

•

Analisar os intervalos de Números Reais;

•

Definir o conceito de módulo de um Número Real;;

•

Aplicar as propriedades de módulos na resolução de equações e inequações modulares.

8

Lição Nº 1 Generalidades sobre obre estruturas Algébricas Introdução Caro estudante, tens aqui a primeira lição deste módulo, trata trata-se de generalidades sobre estruturas algébricas, onde vai aprender os conceitos de operações, grupoídes, semi-grupos e grupos.. Esta lição poderá ser se estuda em duas horas e meia, sendo uma hora para o estudo do texto e uma hora e meia para a resolução de exercícios Ao completar esta lição, você será capaz de: •

Objectivos

•

Definir o conceito de operações;

•

Realizar as operações binárias;

•

Resolver exercícios sobre operações.

Nesta lição, veja como se define o conceito de operação, acompanha companha.

Operações Binárias Seja um conjunto qualquer e n um nº natural maior ou igual a 1. EntendeEntende se por operação n − ária em A, a uma aplicação o do conjunto An de todas as nn-úplas x1, x2 , ⋅⋅⋅, xn dos elementos de A no conjunto A.

o é a operação n-ária :⇔ o : An ⇒ A As mais importantes (ou ou as mais usadas) são as operações binárias.

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o é a operação binária :⇔ o : A2 ⇒ A

A multiplicação e adição são operações binárias em ℜ :

( a, b ) → ( a ⋅ b )

Multiplicação: ℜ 2 → ℜ Exemplo

 

3 6

 

Observe:  4,  →  4 ⋅ Adição: ℜ 2 → ℜ

 

3 6

3  = 2 6 

( a, b ) → ( a + b )  

Observe:  4,  →  4 +

3 27 9  = =  6 6 2

Como já vimos a maneira como se define uma operação operação, veja caro estudante, as propriedades fundamentais das operações:

Propriedades riedades 1. A operação "o " é comutativa: ∀x, y ∈ A : ( x o y = y o x ) ; 2. A operação "o " é Associativa:

∀x, y , z ∈ A : ( x o y ) o z = x o ( y o z ) ;

3. A operação "o1 " é distributiva à esquerda e à direita de "o 2 "

∀x, y, z ∈ A : x o1 ( y o 2 z ) = ( x o1 y ) o 2 ( x o1 z ) ∀x, y, z ∈ A : ( y o 2 z ) o1 x = ( y o1 x) o 2 ( z o1 x) ; 4. A operação "o " goza da propriedade de Idepotência ncia:

∀x ∈ A : x o x = x ;

5. Tem um elemento neutro à direita e à esquerda;

∀x ∈ A : u o x = x o u = x então u é elemento neutro dos dois lados. 6. Elemento oposto

x −1 é um elemento oposto: ⇔ x −1 o x = x o x −1 = u . Tenha em consideração que x −1 é símbolo de elemento oposto oposto, então representa o inverso de x.

9

10

Seja

(

, +) → u = 0

Assim, x −1 o x = u ⇔ x −1 + x = o Exemplo

7. Tem um elemento absorvente

x′ é um elemento absorvente em “ o ”: ⇔ ∀x ∈ A : x o x′ = x′ o x = x′ 8. Tem um elemento regular. Um elemento x ∈ A é regular (ou simplificável) •

à esquerda em relação à operação “ o ”se xe o a = xe o b ⇒ a = b .

•

à direita em relação á operação “ o ” se a o xd = b o xd ⇒ a = b

Veja mais um exemplo de como se aplicam estas propriedades propriedades. Considere a seguinte operação θ sobre E definida da seguinte maneira maneira: E = e xθ y = x + y a) Verifique se a operação é associativa; Estudo de caso / Exemplo

b) Verifique se a operação tem um elemento neutro; c) Verifique se a operação é comutativa; d) Determine os elementos simetrizáveis Resolução a)

( xθ y )θ z = xθ ( yθ Z ) ( x + y )θ z = xθ ( y + z ) x+ y+z = x+ y+z A operação é associativa

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b) Elemento Neutro

xθ u = x ⇒ x + u = x ⇔ u = x − x = 0 uθ y = y ⇒ u + y = y ⇔ u = y − y = 0 Exemplo (continuação)

O elemento neutro da operação é zero c) A operação é comutativa

xθ y = yθ x x+ y = y+x Como a adição é comutativa comutativa, então

x+ y = y+x ⇔ x+ y = x+ y d) Elemento simetrizáveis ou oposto

x −1θ x = u ⇒ x −1 + x = 0 ⇔ x −1 = − x y −1θ y = u ⇒ y −1 + y = 0 ⇔ y −1 = − y Assim os elementos opostos são − x e − y

Depois de estudado o texto bem como o exemplo apresentado, queira resolver a actividade que se segue como forma de verificar o seu grau de compreensão da lição. Em caso de dificuldade, significa que ainda não entendeu o texto pelo que, aconselhamos uma nova leitura. Só depois depo de concluir que já percebeu poderás partir para a resolução de exercícios Em ℜ 2 está definida a operação comutativa θ , definida por

( a, b )θ ( c, d ) = ( a + c + 1, b + d − 2 ) Actividade

a) Mostre que o elemento neutro é ( −1, 2 )

 

1 2

b) Qual é o oposto de  3, −  ? c) Determine o oposto de qualquer elemento ( a, b ) Confira a sua resposta b) ( −1, 2 )

c) ( −a − 2, −b + 4 )

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Sumário Nesta lição lição, caro estudante, aprendeu o conceito de operação peração binária que diz: se “ o ” é operação binária :⇔ o : A 2 ⇒ A Aprendeu também as propriedades das operações operaçõe que são: associativa, ssociativa, comutativa, distributiva à esquerda e à direita, ta, idepotência, elemento neutro, n elemento oposto, sto, elemento absorvente e eelemento regular regular.

Exercícios Vimos um exemplo de como se aplicam as propriedades das operações. oper Em seguida, seguida, tem pela frente os exercícios de consolidação. Os mesmos não terão as respectivas resp respostas visto to que a sua resolução baseia-se baseia fundamentalmente em verificar as propriedades e não calcular. São exercícios simp simples que julgamos que não haverá muitas dificuldades. Contudo, caso existirem queira rever os exemplos dados. dados

Em cada caso caso, considere a operação θ sobre E, e verifique se é associativa, se existe o elemento neutro, se é comutativa e determine o elemento oposto oposto. Auto-avaliação

a) E =

e xθ y = x − y

b) E = ℜ e xθ y = x + y − xy c) E = ℜ+ xθ y = d) E = e) d) E =

xy x+ y

e (a , b )θ (c, d ) = ( ac, 0)

× ×

e (a , b )θ (c, d ) = (a + c, b + d )

Confira as suas respostas a) é associativa, tem um elemento neutro, não é comutativa comutativa; b) é associativa, tem um elemento neutro, é comutativa; comutativa c) é associativa; d) é associativa, não tem elemento neutro, não tem elemento oposto; oposto e) é associativa, tem um elemento neutro, é comutativa. comutativa

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Lição nº 2 Grupoide, Semi-Grupo Grupo e Grupo Introdução Nesta lição lição, você vai aprender as noções básicas sobre Grupos. São noções básicas porque o estudo mais aprofundado efectuará rá na cadeira de Teoria de G Grupos. Mas como queremos aprender sobre os números reais reais, é imprescindível que tenhamos alguns conhecimentos básicos sobre estruturas algébricas. Esta lição poderá ser estudada em duas horas incluindo cluindo a resoluç resolução de exercícios. Ao completar esta lição, você será capaz de:

•

Definir os conceitos de grupoide, semi-grupo grupo e grupo; grupo

•

Resolver exercícios de aplicação sobre grupoides, semi-grupos semi e grupos.

Objectivos

Na lição anterior anterior, você aprendeu sobre as operações bem como as respectivas propriedades. Veja, Veja caro estudante, como é que isso se manifesta no estudo de estruturas algébricas. algébricas Para tal, vamos começar por definir a chamada lei de composição interna interna.

Lei de Composição omposição Interna, Inte Grupoide, Semi-grupo grupo e Grupo Lei de Composição Interna Ao coonjunto

vamos mos buscar dois números: sejam eles 2 e 3.

Adicionando nando os números números, obtemos o número 5 que é também um número natural Assim, partimos de dois elementos do mesmo conjunto, natural. conjunto efectuámos a operação e ainda obtivemos um elemento desse mesmo efectuámos

14

conjunto. Por essa razão e como esta situação se verifica sempre sempre, diz-se que a adição em

é uma operação interna ou uma lei de operação

interna.

Definição Dado o cconjunto E não vazio e a operação θ , θ é uma lei de composição interna no conjunto E, se e só faz corresponder a cada par ordenado ( a, b ) de elementos de E um só elemento pertencente a E.

θ :E×E → E

( a, b ) → c = aθ b Se os elementos de que partimos ou o resultado não pertencem ao mesmo conjunto não se trata de uma operação interna. Diga justificando se é lei de composição interna: A operação que a cada par de números reais ( a, b ) , faz corresponder o número a + 2b Exemplo

Resolução Resolução: Se a e b são números reais também a + 2b é um número real (a soma de dois números reais é um número real e o produto de dois números reais é um número real. Como já defini definimos o conceito de Lei de Composição ão interna, interna vamos de seguida eguida definir o conceito e gru grupoide:

Grupoide Definição Um conjunto E é um grupoide gru em relação à operação θ , se e só se θ é uma lei de composição interna em E.

Semi-grupo grupo Definição Definição: Se num conjunto E, não vazio, está definida uma operação interna e esta é associativa então diz-se que E tem estrutura de um semi-grupo associativa, grupo.

( E , θ ) → é ( E,θ ) é semi-grupo, então  

grupoide

θ → é associativa

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Grupo Se ( E , θ ) é um semi-grupo e θ tem um elemento neutro e todos os elementos têm um oposto, então ( E , θ ) é um grupo.

( E , θ ) → é semigrupo  ( E,θ ) é um grupo então  θ → tem elemento Neutro . todos os elementos têm opsto  N.B.. Se para alé além destas propriedades θ é comutativa, o grupo diz diz-se Comutativo omutativo ou Abeliano Caro estudante, já viu as definições de grupoide, semi-grupo grupo e grupo. Veja,, de seguida, alguns exemplos de como se classif classificam algumas operações operações:

(

Seja

, 0 ) com xθ y = x + y − 4 . Estudar a estrutura desta operação operação.

Resolução Exemplo

1º - Vamos amos verificar se é um grupoide. grupoide Para isso, deve-se verificar a lei de composição interna interna. Seja x1 e x2 ∈

→ x1θ x2 = x1 + x2 − 4 ∈

∀x1 , x2

Trata-se se de um grupoide. grupoide 2º - Verifiquemos se é Associativa

( xθ y )θ z = ( x + y − 4)θ z = x + y − 4 + z − 4 = x+ y + z −4−4 xθ ( yθ z ) = xθ ( y + z − 4 ) = x + y + z − 4 − 4 Assim, xθ ( yθ z ) = ( xθ y ) θ z A operação é um semi semi-grupo 3º - Vamos verificar se é um grupo •

Elemento Neutro

uθ x = x ⇒ u + x − 4 = x ⇔ u − 4 = o ⇒ u = 4 Tem um elemento neutro que é 4 •

Elemento oposto

x −1θ x = u ⇔ x −1 + x − 4 = 4 ⇒ x −1 = − x + 8 Tem um Elemento O Oposto. Desta maneira maneira, a operação definida é um grupo.

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Veja mais um exemplo: exemplo define-se a seguinte operação aθ b = a + b − 3, ∀a , b ∈ Em ℜ define Admitindo que Exemplo

( ,θ ) é um grupo, determine

x , tal que:

xθ ( x 2 + 1) θ ( x − 1) = 2 Resolução

xθ ( x 2 + 1) θ ( x − 1) = 2 ⇔

[

xθ ( x 2 + 1) ]θ ( x − 1) = 2

⇔ ( x + x 2 + 1 − 3 )θ ( x − 1) = 2

⇔ x + x2 + 1 − 3 + x −1 − 3 = 2 ⇔ x2 + 2 x − 6 − 2 = 0 ⇔ x2 + 2x − 8 = 0 x = −4 ∨ x = 2

Caro aro estudante estudante, você compreendeu a lição? Avalie a sua aprendizagem realizando a seguinte actividade actividade: No conjunto A = {1.2.3.4.5.6} , defina a operação θ de modo que ( A,θ ) seja grupo comutativo. Actividade

A operação está explícita explí na seguinte tabela onde foram apagados alguns números. D Descubra os números em falta.

θ

1

2

3

4

5

6

1

1

2

3

4

5

6

2

2

4

6

1

3

3

2

5

4 5

5

6

6

1

5

3

1

5 1

4

6

3

2

1

6

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17

Confira A sua resposta: 2ª Linha: 3 3ª linha: 6 4ª linha:2 5ª Linha: 4 e 2

6ª linha 5, 4 e 3

Sumário Nesta lição, você aprendeu os conceitos de grupoide, semi-grupo e grupo. Onde se destacou o seguinte: •

Um conjunto E é um grupoide em relação a operação θ , se e só se θ é uma lei de composição interna em E.

•

( E ,θ ) → é ( E,θ ) é Semi-grupo então 

•

( E ,θ ) → é semigrupo  ( E ,θ ) é um grupo então  θ → tem elemento Neutro . todos os elementos têm opsto 



grupoide

θ → é associativa

Exercícios Já apresentámos tudo sobre as noções básicas relativamente aos grupos. Em seguida, vamos apresentar os exercícios de modo a consolidar os seus conhecimentos. Todos os exercícios resolvem-se, essencialmente, com apoio dos exemplos dados anteriormente. Esperamos que não tenha muitas dificuldades. Resolva todos eles e confronte as suas soluções e caso as dificuldades persistam consulte o seu Tutor.

18

1- Analise se é ou não um Grupo, cada uma das seguintes estruturas: estruturas a) Auto-avaliação

(

, − ) b) ( ,×) c) (

− 0

, +) ;

d) ( p, ×) sendo P o conjunto dos inteiros pares; e)

( \ {0} ,×) .

2- Complete a tabela, sabendo que ( A, ⊕ ) é um Grupo rupo Comutativo, sendo A = {−2, −1, 0} e que −1 é o elemento neutro.

⊕

−2

−2

0

−1

0

−1 −2

0

3- Mostre que o cconjunto

é a operação θ definida por:

xθ y = 3 x + 2 x a) Mostre que

( ,θ )

é grupoide;

b) Averigúe se

( ,θ )

é um grupo;

4- Considere a operação γ definida em A = {a, b, c} pela tabela. tabela

γ

a

b

c

a

b

a

b

b

a

b

c

c

b

c

c

a) Qual é o elemento neutro? b) Todos os elementos têm opostos? c) Mostre que ( γ ,θ ) não é um semi-grupo. 5- Seja F =

\ {−1} e θ a seguinte operação

θ : F × F → F e xθ y = x + y + xy . Mostree que a operação é um Grupo rupo Abeliano.

Cálculo Infinitesimal

Confira as suas Soluções Exercício 1 a) Não; b) Não; c)Não; d) Não ; e) Sim

Exercício 2

⊕

−2

−1

0

−2

0

-2

-1

−1

-2

-1

0

0

-1

0

−2

Exercicio 3 b) Não

Exercício 4 a); b); c) Todos os elementos têm opostos

19

20

Lição nº 3 Generalidades sobre os N Números Reais Introdução Uma vez estudadas algumas estruturas algébricas algébricas, vamos nesta lição apresentar as a generalidades sobre números reais. Esta sta lição é fundamental para a nossa cadeira, visto que que desenvolveremos ao longo das aulas um estudo sobre funções reais de variável real real. É uma lição que pode ser estudada em 3 horas,, sendo hora e meia para a leitura e outra hora e meia para a resolução de exercícios exercícios. Ao completa completar esta lição, você será capaz de:

Objectivos

•

Realizar as operações em ℜ ;

•

Definir axiomaticamente o conjunto ℜ ;

•

Enunciar as propriedades dos números Reais;

•

Enunciar e aplicar os subconjuntos de ℜ .

Ao long longo das lições anteriores mencionámos várias árias vezes o cconjunto dos números reais, reais contudo em nenhum momento referenciámos mos como é que este conjunto aapareceu. Nesta lição, havemos de nos ocupar com esta análise, isto é, como se constrói o conjunto dos números reais. Acompanhe!

Números Reais Definição Axiomática do conjunto ℜ O conjunto ℜ é um conjunto munido de duas operações, Adição e Multiplicação cujas propriedades são tomadas como axiomas. Multiplicação,

Cálculo Infinitesimal

1.1 Axiomas do Corpo

A1 : ∀x, y ∈ ℜ, ∃! z ∈ ℜ : z = x + y (a adição é uma lei de composição interna).

A2 : ∀x, y, z ∈ℜ : ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ) A3 : ∀x, y ∈ ℜ : x + y = y + x A4 : ∃o ∈ ℜ ∀x ∈ ℜ : x + 0 = 0 + x = x

A5 : ∀x ∈ ℜ∃y ∈ ℜ : x + y = y + x = 0 A6 : ∀x, y ∃! z ∈ ℜ : z = x ⋅ y (a multiplicação é uma lei de composição interna).

A7 : ∀x, y, z ∈ℜ : ( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) ) A8 : ∀x, y ∈ ℜ : x ⋅ y = y ⋅ x A9 : ∃1 ∈ ℜ ∀x ∈ ℜ : x ⋅1 = 1 ⋅ x = x

A10 : ∀x ∈ℜ \ {0} ∃x′ ∈ℜ : x ⋅ x′ = x′.x = 1 A11 : ∀x, y, z ∈ℜ : x ⋅ ( y + z ) = x ⋅ y + x ⋅ z Estes axiomas conferem à ( ℜ, +, ⋅) a estrutura de um corpo.

1.2 Axioma de Ordem Admite-se que existe ℜ + ⊂ ℜ que verifica os seguintes axiomas:

A12 : x, y ∈ ℜ + ⇒ x + y ∈ ℜ + ∧ x ⋅ y ∈ ℜ +

A13 : ∀x ∈ℜ \ {0} x ∈ℜ∨ − x ∈ℜ+ Estes axiomas conferem à ℜ + a estrutura do corpo ordenado. Os símbolos , ≥ e ≤ definem-se da seguinte maneira: •

x< y⇒ y−x>0

•

y> x⇒ x< y

•

x≤ y⇒ x< y∨ x = y

•

y≥x⇒ x≤ y

21

22

Prove que ∀a, b, c ∈ ℜ, a < b ∧ b < c ⇒ a < c Resolução

Exemplo

Se a < b ⇒ b − a > 0 Se b < c ⇒ c − b > o Assim:

(b − a ) + (c − b) > 0 ⇔ ( − a + c) > o ⇔ c − a > 0 c>a

Subconjuntos de ℜ Limites Superiores ou Majorante Seja S um subconjunto de ℜ não vazio e suponhamos que exista um número úmero b tal que: x ≤ b , ∀x ∈ S . O número b, diz-se diz Limite superior ou Majorante de S.

Supremo ou extremo Superior Um número úmero bb, diz-se Extremo superior ou Supremo de um conjunto S, não ão vazio se se: a) b é um Majorante de S; b) Nenhum número menor que b é Majorante de S.

Máximo Um número b, diz diz-se máximo áximo de um conjunto S, não vazio, se b é supremo de S e pertence a S.

Limites Inferiores ou Minorantes Seja S, um subconjunto de ℜ ≠ Ø . Suponhamos quee existe um número d tal que x ≥ d , ∀x ∈ S . O número d diz-se se Limite inferior ou M Minorante de S.

Ínfimo ou Extremo Inferior O nº d diz diz-se Extremo inferior ou Ínfimo de S ≠ Ø se: a) d é um L Limite inferior de S. b) Nenhum nº maior que d é M Minorante de S.

Mínimo Um nº d diz diz-se mínimo ínimo dum conjunto S, não vazio se d é extremo inferior de S e d ∈ S .

Cálculo Infinitesimal

23

1- Dado o conjunto A = [ −2 , 1] indique: , a) O conjunto dos Majorados de A Estudo de caso / Exemplo

Solução Solução: [1, +∞[ b)O supremo de A Solução: 1 c) O máximo de A Solução: 1

1 

 

2- Dado o conjunto C=  ,5  , indique 2 a) o conjunto dos majorantes de C Solução: [5, +∞[ b) O supremo de C Solução: 5 c) O máximo de C Solução: O conjunto C não tem máximo

Estimado estudante, estudante tem pela frente uma actividade que servirá de impulso para poder resolver os exercícios relativos aos subconjuntos de R. Veja eja se você percebeu os conteúdos propostos.

{

}

Dado o conjunto A = x ∈ ℜ : −1 ≤ x 2 − 2 ≤ 1 , indique caso exista, o Supremo, Ínfimo, Máximo e Mínimo. Actividade

Confira a sua resposta r SupA= 3 Max A= 3 ìnf A = - 3 Mín A= -

3

No início desta lição vimos a definição axiomática dos números reais. reais Vamos agora apresentar o axioma de Completude e de Arquimedes, bem como o valor absoluto de um número real. Siga-nos nos!

Axioma de Completude Todo o conjunto S não vazio de números reais,, que é limitado superiormente, tem um supremo em ℜ .

24

{

Dado o conjunto A = x ∈

: x 2 < 2} e B = { x ∈ ℜ : x 2 < 2}

Assim: Exemplo

•

Os conjuntos A e B admitem um Majorante;

•

O conjunto A não possui Supremo;

•

O conjunto B possui um Supremo que é

2.

Axioma de Arquimedes O conjunto dos Números N Naturais (

) não é majorante em ℜ

Representação dos números Reais na recta A representação geométrica dos números reais como pontos de uma recta, chamada eixo real. A cada nº real corresponde a um e um só ponto da recta e inversamente:: há uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números Reais e o conjunto dos pontos da recta. recta

Valor Absoluto de um Número Real Definição

Sendo x um nº real, o valor absoluto de ou módulo de x é um número real não negativo que se designa por x e é assim definido:

 x se x ≥ 0 x = − x se x < 0 Igualdade e Valor Absoluto Se

1. a > 0 : x = a ⇔ x = a ∨ x = −a Demonstração Se x ≥ 0 ⇒ x = a ⇔ x = a Se x < 0 ⇒ x = a ⇔ − x = a ⇔ x = −a 2. x. y = x ⋅ y , ∀x, y ∈ ℜ

Cálculo Infinitesimal

Demonstração: 1º) Caso x > 0 ∧ y > 0

x =x∧ y =y Como x. y > 0 ⇒ x ⋅ y = x ⋅ y = x ⋅ y 2º Caso x < 0 ∧ y < 0 ⇒ x = − x e

y = − y e como

x ⋅ y > 0 ⇒ x. y = x. y = (− x).(− y ) = x . y 3º Caso x < 0 ∧ y > 0 ⇒ x = − x ∧ y = y e como

x ⋅ y < 0 ⇒ x. y = − xy = (− x). y = x . y O 4º Caso fica como exercício

Desigualdade e Valor absoluto 3.

− x ≤ x ≤ x ∀x ∈ℜ

Demonstração 1º) se x ≥ 0 ⇒ x = x . Assim, − x é negativo ⇒ − x < x = x 2º Se x < 0 ⇒ x = − x ⇔ − x = x . Como − x é positivo ⇒ x < x Desta maneira conclui-se que − x ≤ x ≤ x ∀x ∈ℜ 4- x < a ⇔ −a < x < a Demonstração fica como exercício!

5- x + y ≤ x + y Demonstração Sabe- se que:

− x ≤x≤ x − y ≤ y≤ y − x − y ≤ x+ y ≤ x + y ⇔ Assim:

−( x + y ) ≤ x + y ≤ ( x + y ) ⇔ x + y ≤ x + y

25

26

6- x + y ≥ x − y Demonstração Atendendo que: x = x + y − y ⇒ x = x + y + (− y ) ≤ x + y + − y

⇔ x + y ≥ x − y (I) 7. x + y ≥

x− y

Demonstração

y = y + x − x ⇒ y ≤ y + x + −x de

y + x ≥ y − x ⇔ y + x ≥ −( x − y )

(II)

De I e II resulta que x + y ≥ x − y Uma vez estudadas as propriedades sobre os módulos, módulos, veja se percebeu a essência destas demonstrações que em simultâneo são exercícios, realizando as actividades que ue lhe propomos. Só poderá resolver resol os exercícios ícios propostos quando realmente concluir que já percebeu. Prove que: que a)

1 1 = y y

b)

x x = y y

Actividade

2- Represente na forma de intervalos intervalos: a) x −

6 >5 x

b) x + 1 + 2 x − 1 < 5 Confira as suas rrespostas Exercicio 2

1,00[ ∪ ]0,1[ ∪ ]6, +∞[ a) ]−∞, −6[ ∪ ]−1,  5 5  

b)  − ;  3 3

Cálculo Infinitesimal

27

Sumário Nesta lição você aprendeu sobre os números reais, onde destacámos a construção axiomática dos números reais. Aprendeu também os subconjuntos dos números reais, onde se destaca os conceitos de Limites Superiores ou Majorante, Supremo ou Extremo Superior, Máximo, Limites Inferiores ou Minorantes, Ínfimo ou Extremo Inferior e Mínimo. Foi objecto de estudo, o conceito de Módulo de um número real que se

 x se x ≥ 0 − x se x < 0

define da seguinte maneira x = 

Exercícios Os exercícios que lhe apresentamos exibem um grau menor de dificuldade, contudo a sua realização depende do nível de percepção dos conteúdos estudados. Resolva todos os exercícios e confronte sempre com as soluções propostas. Caso tenha dificuldades não desanime pois, a aprendizagem é feita por persistência. Queira consultar aos seus colegas de estudo bem como ao seu Tutor se as dificuldades persistirem.

28

1- Dados os con conjuntos:

A = {x ∈

Auto-avaliação

:16 < n 2 ≤ 49}

B = { x ∈ ℜ : x 2 ≥ 10} , indique, caso

exista, o supremo e o ínfimo de cada conjunto; 2- Considere o conjunto dos termos da sucessão do termo geral

1 e n

determin determine: a) O conjunto con dos Majorantes b) O conjunto dos minorantes c) O supremo supremo; d) O máximo e) O ínfimo f) O mínimo; 3- Responda ponda ààs questões anteriores, relativamente ao conjunto

{−3} ∪ ]−2, 2]

{

}

4- Relativamente ao conjunto x ∈ ℜ : x 2 − 5 < 0 , indique, indique se existirem: a) O supremo b) O ínfimo c) o máximo d) O mínimo; 5- Determine etermine os valores de x tais que x − 1 − 2 x + 4 > 1

 

6- Considere onsidere o conjunto A =  x : x =

;

3n + 1  , n ∈  . Indique, caso n+2 

exista, o Sup A, max A, inf A e min A; A 7- Dado o conjunto A = ]−2 , 0[ ∪ ]1,5[ , indique: a) o conjunto dos M Majorados de A; b) o conjunto conju dos Minorados de A.

Confira as suas soluções oluções A) Supremo: Supremo 7; Ínfimo: 5 B) Supremo: nnão existe; Ínfimo: Não existe

, 0] Exercício 2 a) [1, +∞[ b) ]−∞,0

c)1 d )1 e) o f ) não existe

Exercício 3 a) [ 2, +∞[ b) ]−∞, −3[ c)2 d )2 e) − 3 f ) − 3 Exercício 4 a ) 5

b) − 5 c ) Não tem d) Não tem.

Cálculo Infinitesimal

Exercício 5 −4 < x < −

29

4 3

Exercício 6 Inf A = mín A=

4 ; SupA = 3 e max A: Não existe 3

Exercício 7 a) [5, +∞[

b) ]−∞, −2]

Terminamos o estudo da primeira unidade unidade, de seguida, apresentamos a bibliografia básica para o Estudo desta Unidade.

1- Neves Maria Augusta & Brito Maria Luísa, Matemática 12º Ano de escolaridade, livro de Texto 2º volume, porto Editora, Editora 1998. Leitura

2- Viera, Teresa Coutinho; Ventura, Maria Teresa Vieira & Vieira, Maria Isabel Coutinho; Matemática 12º Ano livro teoria e exercícios, Porto Editora 1999. 3- Freitas, Alfredo & Bastos, Francisco, Cálculo Avançado, Colecção Schaum, Editora McGraw-Hill,1971

Cálculo Infinitesimal

31

Unidade II Sucessões Numérica Numéricas Introdução Esta é a unidade número dois na qual vamos apresentar as sucessões numéricas. É uma unidade que não é nova, contudo alguns aspectos serão apresentados com um maior grau de aprofundamento. Serão abordados aspectos relacionados com convergência e divergência de sucessões, cálculo de limites de sucessões. sucessões. Será também feito o estudo aprofundado do número de Nepper bem como as sucessões enquadradas. Esta unidade vai ser dada em quatro lições com uma carga horária total de cerca de 10 horas. Ao completar esta unidade, você será capaz de:

Objectivos

•

Classificar as sucessões quanto à convergência e divergência divergência;

•

Calcular os limites de sucessões.

32

Lição nº4 Introdução ao estudo de Sucessões Introdução Naa primeira lição desta unidade, unidade vamos apresentar as generalidades sobre as sucessões numéricas bem como os complementos sobre as sucessões numéricas Serão apresentados os teoremas fundamentais e as respectivas numéricas. demonstrações. Esta lição poderá ser estudada da em duas horas e meia, uma hora e meia para a leitura do texto e uma hora para resolução de exercícios. Ao completa completar esta lição, você será capaz de: •

Objectivos

•

Definir o conceito de Sucessão Numérica;

•

Classificar as sucessões quanto à convergência;

•

Demonstrar os teoremas básicos sobre convergência e divergência de sucessões.

Estimado estudante estudante, apresentamos em seguida a lição sobre as sucessões numéricas. Esperamos que você goste e acompanhe com interesse esta lição lição.

Sucessões de Número úmeros Reais Caro estudante estudante, vamos começar por definir o conceito de sucessão e depois desenvolveremos a teoria subordinada a esta definição Definição

Sucessão de números reais é toda aplicação de

→ ℜ : n → un ou

em ℜ

→ ℜ : n → f (n)

n → Indica a ordem do termo e un ou f ( n) indica o termo geral A sucessão representa-se representa normalmente por ( un )

Lição nº4

São sucessões: un =

n +1 n

33

u1 = 5 vn = 1 − n 2 e  un = 5 + un −1 n ≥ 2

Exemplo

Sucessões Convergentes Definição: uma sucessão de termo geral ( un ) converge para um número real

a see para todo o número positivo δ , existe um correspondente número p ,

→ un − a < δ tal que: n > p  n Em termos simbólicos a definição anterior pode ser escrita da seguinte maneira:

lim un = a ⇔ ∀δ ∈ℜ+ ∃ p ∈ : n > p  → un − a < δ n n →∞

Nota: un − a < δ ⇔ un ∈ ]a − δ , a + δ [ ⇔ un ∈Vδ (a) (vizinhança delta de a)

Prove que

1 − 3n 3 →− 2n 2

Vamos provar aplicando a definição: Exemplo

n > p  → un − a < δ (n)

1 − 3n 3 2 − 6n − 6n 1 + 0∃r ∈

: n > r ⇒ un − a < δ pois (vn) é uma ,

subsucessão de ( un ) , isto é, todos os termos de (vn ) são elementos do conjunto dos termos de ( un )

.

Sucessões Monótonas Sucessões Crescentes •

Sentido Lato ∀n ∈

•

Sentido estrito ∀n ∈

: un +1 ≥ un : un +1 > un

Sucessões Decrescentes •

Sentido Lato ∀n ∈

•

Sentido estrito ∀n ∈

: un +1 ≤ un

: un +1 < un

Sucessões Limitadas Uma sucessão ( un ) é limitada se e somente se ∃l ∈ℜ : un ≤ l . Observe +

que dizer un ≤ l ⇔ −l ≤ un ≤ l Teorema 2:

Toda a sucessão monótona e limitada é convergente. Consideremos dois casos possíveis: a) Toda a sucessão crescente e limitada é convergente. Hipótese: ( un ) é limitada Tese: ( un ) é convergente Demonstração

Seja δ um número positivo qualquer e a o menor dos majoranrtes do conjunto dos termos de ( un ) (supremo). Então a − δ não é majorante.

Lição nº4

a −δ

up

35

a

Então, existe, pelo menos, um termo da sucessão compreendido entre a − δ e a ; seja p a ordem desse termo. Como ( un ) é crescente, todos os termos de ordem superior a p pertencem ao intervalo ]a − δ , a[ logo n > p ⇒ un − a < δ e como delta é qualquer, temos ∀δ > 0∃p ∈

: n > p ⇒ un − a < δ

⇔ lim un = a b) Toda a sucessão decrescente e limitada é convergente. Seja δ > 0 e b o maior dos minorantes do conjunto dos termos da sucessão (ínfimo). Então, b + δ não é minorante.

b

up

b +δ

Logo, existe, pelo menos, um termo da sucessão entre b e b + δ ; seja p a ordem desse termo. Mas como a sucessão é decrescente, todos os termos de ordem superior a p pertencem ao intervalo ]b, b + δ [ ou seja

n > p ⇒ un − b < δ . Como delta é qualquer, temos

∀δ > 0∃p ∈ : n > p ⇒ un − b < δ ⇔ lim un = b Teorema 3:

Se a sucessão ( un ) é tal que lim u n = a , então a sucessão ( un ) é tal que lim un = a Demonstração

Seja ( un ) uma sucessão convergente para a e seja δ um nº positivo. Atendendo à hipótese, existe uma ordem p tal que n > p ⇒ un − a < δ . Mas de acordo com as regras de adição e subtracção dos números reais, tem-se

un − a ≥ un − a

Assim, temos n > p ⇒ un − a . Como delta é qualquer nº positivo, é verdadeira a proposição

∀δ > 0 ∃p ∈

lim un = a

: n > p ⇒ u n − a < δ . Isto significa que

1000 Resolução

Como un > 1000 ⇒ 2n − 5 > 1000 ⇔ 2n − 5 > 1000

2n > 1005 ⇒ n >

1005 = 502,5 502, 5 ⇒ n > 502,5 2

O primeiro valor natural que satisfaz a desigualdade anterior é 503. 503 Assim, u503 = 1001

Uma vez visto vistos os exemplos, vamos de seguida apresentar uma actividade para que você possa avaliar se compreendeu ou não a lição anterior. anterior 1- Demonstre que o inverso de um infinitésimo é um infinitamente grande; Actividade

2- Dada a sucessão de c termo geral u n = ordem a partir da qual un < 3- Prove por definição que

1 2000

n+3 1 → 2n + 5 2

1 . Determine Deter a 3n − 2

Lição nº4

37

Confira as suas soluções Exercício 2: n = 668

Sumário Nesta lição, você aprendeu as generalidades sobre sucessões numéricas. Fundamentalmente, apresentámos a definição da sucessão numérica, como em ℜ . Foram também apresentados os teoremas sobre

uma aplicação de

convergência de sucessões, sucessões monótonas e limitadas. Quanto à monotonia, vimos que: Sucessões Crescentes •

Sentido Lato ∀n ∈

•

Sentido estrito ∀n ∈

: un +1 ≥ un : un +1 > u n

Sucessões Decrescentes •

Sentido Lato ∀n ∈

•

Sentido estrito ∀n ∈

: u n +1 ≤ un

: un +1 < un

Quanto à sucessão limitada vimos que, uma sucessão ( un ) é limitada se e +

somente se ∃l ∈ℜ : un ≤ l .

38

Exercícios Caro estudante, estudante vamos em seguida apresentar os exercícios de consolidação. Neste grupo de exercícios exercícios, os do tipo mostre e demonstre não terão logicamente pela natureza da própria resposta, uma solução, daí que logicamente, aconselhamos que leia cuidadosa e atenciosamente mente o texto de modo a abstrair abstrair-se. Quanto ao outro tipo de exercícios, apresentaremos, apresentaremos como tem sido hábito, hábito as soluções possíveis. 1- Demonstre que o produto duma constante por um infinitésimo é um infinitésimo; 2- Demonstre que a soma de dois infinitésimos é outro infinitésimo infinitésimo; Auto-avaliação

3- O inverso de um infinitésimo é um infinitamente grande e vicevice versa. 4- Encontre o termo geral das seguintes sucessões:

1 1 1 1 , ⋅⋅⋅ 2 4 8 16

1 1 1 1 2 4 6 8

b) , , , , ⋅⋅⋅ c) 2,7,12,17…

a) , , ,

1 2 4 9

d) − , , −

3 4 2 4 8 , , ⋅⋅⋅ e)1 1, − , , − , ⋅⋅⋅ 16 25 3 9 27

5- Das seguintes sucessões sucessões, indique as que são convergentes. convergentes Das convergentes indique o seu limite. a) n( n − 1) e) ( −1)

n −1

b)

n n +1

n +1 3n − 1 f)

2

c)

( 2n − 1)! ( 2n + 1)!

3 + 5n 3 n + 2n3 g)

d)

n n +1

ln 2 ln 2n

6- Se 1000 meticais forem investidos a uma taxa de juros de 6%, compostos anualmente depois de n anos o investimento valerá

an = 1000. (1.06 ) meticais. n

a) Ache os cinco primeiros termos da sucessão, b) A sucessão é convergente ou u divergente? Justifique 7- Mostre que a sucessão definida por a1 = 1 , an +1 = 3 −

1 e an

crescente e an < 3 para todo o número. Deduza que ( an ) é convergente e calcule o limite. limite

Lição nº4

39

8- Prove por definição que a) Auto - avaliação (continuação)

4n 2 − 3 →1 4n 2 + 3

b)

n+3 1 → 3n + 5 3 1 4 7 3 , ⋅⋅⋅ Sabendo que o limite é 2 6 10 4

9- Considere a sucessão ; ,

determine a ordem e o termo da sucessão a partir da qual a diferença para o limite é em valor absoluto menor que 0,01.

Confira as suas soluções oluções Exercício 4

1 1 n n  2 a) un = n b) un = c) un = 2n − 3 d) ( −1) e)  −  2 2 2n ( n + 1)  3 Converge para zero Exercícios 5 a) Diverge

b) converge para

d) Converge onverge para 1

1 5 c ) Converge para 3 2

e) Diverge

f) Converge para zero g) converge para zero Exercício 6 a)1060 1060; 1123,60 ; 1191,02 ; 1262,48; 1338,23 b) Diverge Exercício 7:

3+ 5 Exercício 9: n = 14 2

n−1

40

Lição nº 5 Sucessões Enquadradas. Estudo da Sucessão (un )=an Introdução Nesta lição lição, vamos apresentar o estudo das sucessões enquadradas, bem como o estudo da sucessão (un ) = a n . Também ambém serão apresentados apresentad os teoremas correspondentes às à operações com sucessões.. Esta lição poderá ser estudada em duas horas e meia incluindo a resolução de exercícios. Ao completa completar esta lição, você será capaz de:

•

Calcular os limites de sucessões enquadradas;

•

Levantar indeterminações do tipo

Objectivos

∞ , 0 × ∞, ∞ − ∞ e outros. ∞

Na lição anterior anterior, apresentámos generalidades sobre sucessões reais. Nesta lição, vamos estudar o cálculo de limites de sucessões tendo como base os teoremas estudados. Vamos começar o nosso estudo com as sucessões enquadradas.

Sucessões Enquadradas Vamos enunciar em forma de um teorema: Teorema 4

Se

( un ) e ( vn ) são

sucessões convergentes com o mesmo limite a e se, a

partir de certa ordem, a sucessão

( wn ) é

tal que un ≤ wn ≤ vn , então

lim un = a Demonstração

Sendo lim u n = a e lim vn = a é lim ( vn − un ) = 0 ora, un ≤ wn ≤ vn , conclui que é 0 ≤ wn − un ≤ vn − un . Como para todo δ > 0 , existe uma conclui-se ordem p tal que n > p ⇒ vn − un < δ pois, lim ( vn − un ) = 0 , também

Lição nº4

41

para todo δ > 0 , se tem n > p ⇒ wn − vn < δ . Podendo concluir-se que

lim wn = lim un ⇒ lim wn = a Veja um exemplo:



n

∑  n

Calcular o lim  n →∞ Estudo de caso / Exemplo

k =1

2

n  + 3k 

Resolução:

Designemos por wn =

n

∑n k =1

Para k = 1: u n =

2

n + 3k

n n n n n + 2 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 =n 2 n +3 n +3 n +3 n +3 n +3 2

Assim,

lim vn = lim

n2 =1 n +3 2

Para k = n temos:

vn =

n n n n n + 2 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 =n 2 n + 3n n + 3n n + 3n n + 3n n + 3n 2

Assim, lim un = lim

n2 =1 n 2 + 3n

n n2 n2 n2 ≤ ≤ ⇒ ∑ n 2 + 3 k =1 n 2 + 3k n 2 + 3n

Como

lim

n n2 n2 n2 ≤ lim ≤ ∑ 2 n2 + 3 n2 + 3n k =1 n + 3k

Desta maneira, maneira

n2 =1 2 k =1 n + 3k n

lim ∑

Caro estudante estudante, veja se você percebeu realizando a seguinte actividade actividade: n

Calculee lim

k =1

Actividade

2n 2 3 + 5k

∑ 2n

42

Confira as suas soluções oluções Sol: 1 Estudo da Sucessão un = a n

Esta sucessão já foi objecto de estudo no ensino secundário. Nesta lição, lição vamos apenas sintetizar o que já foi estudado estudado. Quadro I

Valores de

a

Monotonia de Sucessão un = a n

a >1

Sucessão crescente

a =1

Sucessão constante

0 < a p ⇒ un − a < δ1 ⇔ a − δ1 < un < a + δ1 Se: lim vn = b ⇒ n > p ⇒ un − b < δ1 ⇔ b − δ 2 < un < b + δ 2 Somando membro a membro

( a + b) − (δ1 + δ 2 ) < un + vn < ( a + b) + (δ1 + δ 2 ) Atendendo que a soma de dois infinitésimos é um infinitésimo te teremos:

( a + b ) − δ < u n + vn < ( a + b ) + δ ⇔ ( u n + v n ) − ( a + b ) < δ

44

O que significa lim ( un + vn ) = a + b ⇒ lim ( un + vn ) = lim un + lim vn Calcule os limites: 1- lim 3 Exemplo

16n3 + 5n + 1 2n3 + 7

Aqui está apresentada uma indeterminação do tipo

Assim, lim 3 2- lim

(

∞ ∞

16n3 + 5n + 1 3 16n3 + 5n + 1 3 16 3 = lim = = 8=2 2n3 + 7 2n3 + 7 2

n +1 − n

)

A indeterminação é do tipo ( ∞ − ∞ )

lim

(

= lim n →∞

)

n + 1 − n = lim n +1− n

(

n +1 + n

(

n +1 − n

(

n →∞

)

= lim

n →∞

(

)(

n +1 + n

n +1 + n 1

n +1 + n

)

)

)

=0

Caro estudante estudante, tem pela frente uma actividade de modo a testar a sua percepção. Calcular os seguintes limites de sucessões: a) lim Actividade

b) lim n→∞

(

n+2 − n

)

n +1 n +1 − n 2

e−n + 2 n →∞ e − n − 1

c) lim

Confira as suas soluções oluções a) 0

b)

1 c) −2 2

Sumário Nesta lição aprendeu sobre sucessões enquadradas das que consiste no seguinte:

Lição nº4

45

Se ( un ) e ( vn ) são sucessões convergentes com o mesmo limite a e se, a partir de certa ordem, a sucessão ( wn ) é tal que u n ≤ wn ≤ vn , então

lim un = a

.

Aprendeu a levantar as indeterminações aplicando as operações sobre as sucessões.

Exercícios Vamos, de seguida seguida, apresentar alguns exercícios de modo a consolidar a sua aprendizagem. Esperamos qque não tenha muitas dificuldades visto que as técnicas de cálculo são similares àss técnicas estudadas no ensino secundário. Oss exemplos colocados ssão ão suficientes para resolver os exercícios que se seguem. Em caso de dificuldades volte a repetir a lição, analisando cuidadosamente dosamente os exemplos colocados. 1- Calcule a) lim Auto-avaliação

3n 2 + 7 5n 2 + 3n + 1

 2n + 9  d) lim    3n + 11  f) lim

4

b) lim

( 2n + 1) − ( 2n − 1) e) lim

1 3 1 − 27 n3 2n + 1

h) lim

3n + 7 n2 + 1 c) lim 5n3 + 3n + 1 2n + 5 3

3

3n 2 + 1

g) lim

n

(

( 2n + 1) n + 2 − n +1

)

2n +1 + 3 2n + 5

2- Calcule os limites pela regra de sucessões enquadradas n

n

∑ 2⋅3

∑ ( 3k + 2 ) a) lim

k =1

n2 + 2

cos 2 n c) lim ∑ 2 k =2n n + k 4n

b) lim

p =1 n

p −1

3 + 2n

46

Confira as suas soluções Exercício 1

3 5

b) 0

e) 8

f) −

a)

3 2

d)

g) ∞

h) 2

Exercício 2 a) 3

b)

3 2

16 81

c) ∞

c) 0

Lição nº 6

47

Lição nº 6  1 1 +   n

Estudo da Sucessão ão

n

Introdução n

 1 Na presente lição lição, vamos apresentar o estudo da sucessão  1 +  , bem  n como o levantamento da indeterminação do tipo 1∞ . O estudo será ser feito fazendo a análise quanto à monotonia e convergência.. A presente lição poderá ser estudada em duas horas incluindo a resolução de exercícios. Ao completar esta lição, você será capaz de:

•

Classificar a sucessão quanto à monotonia;

•

Analisar a sucessão quanto à convergência;

•

Levantar a indeterminação do tipo

Objectivos

1∞

Nesta lição lição, como já foi dito na parte introdutória, vamos estudar a sucessão n

 1  1 +  , mostrando que ela é convergente e que converge para o número e  n . n

1 Estudo da sucessão do termo geral  1 +  . Definição do 

n

número e Caro estudante estudante, vamos primeiro estudar a sucessão quanto à monotonia. n

 1 Desenvolvamos o termo geral  1 +  com ajuda uda do desenvolvimento do  n Binómio de Newton.

(a + b)

n

 n  n  n n =   a nb 0 +   a n −1b +   a n −2b 2 + ⋅⋅⋅ +   a n− nb n → Binómio 0 1   2 n

de Newton

48

n n! → Cálculo de combinações  =  r  r !( n − r ) ! Assim,

n n 1 n 1 n 1  1 (un ) = 1 +  = 1 +   ⋅ +   ⋅ 2 + ⋅⋅⋅ +   ⋅ n ⇔  n 1  n  2  n n n

1+1+

n ⋅ ( n − 1)( n − 2 ) ⋅⋅⋅ 2 ⋅1 n( n − 1) n ( n − 1)( n − 2 ) ⇔ + + ⋅⋅⋅ + 2 3 n ⋅ 2! n ⋅ 3! nn n!

1 n n − 1 1 n ( n − 1)( n − 2 ) 1 n n − 1 1 ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⇔ 2! n n 3! n n2 n! n n n 1  1 1  1  2 1  1   2   n −1  2 + ⋅ 1 −  + 1 −  ⋅ 1 −  + ⋅⋅⋅ + 1 −  ⋅ 1 −  ⋅⋅⋅  1 −  2!  n  3!  n   n  n!  n   n   n  2+

(1) Do mesmo modo, n +1

1  1 1  1 1  2   un +1 = 1 +  = 2 + 1 −  + 1 −  1 −  + ... 2!  n + 1  3!  n + 1   n + 1   n +1  (2) 1  1   n  + ⋅⋅⋅ 1 − 1− ( n + 1)!  n + 1   n + 1  Comparando os termos un e un +1 , observamos que

1   1 +   n +1

n +1

n

 1 > 1 +  , para qualquer que seja o número natural n.  n

Provámos que a sucessão é estritamente crescente. Vamos, de seguida, provar que a sucessão é limitada. Observe que

n 1 1  1  1   ⋅ 2 = 1 −  < 2 n 2 2 n n 1 1  1   2  1 1   3 = 1 −  ⋅ 1 −  < < 2  3  n 3!  n   n  3! 2  n  1 1  1   2  3  1 1   4 = 1 −  ⋅ 1 − 1 −  < < 3 4!  n   n  n  4! 2 4 n …………………………………………………………….

Lição nº 6

49

 n  1 1  1   2   n −1  1 1   n = 1 −  ⋅ 1 −  ⋅⋅⋅ 1 −  < < n−1 n!  n   n   n  n! 2 n n Assim sendo, n

1 1 1 1 1  1  1 +  < 1 + 1 + + 2 + 3 + 4 + ⋅⋅⋅ + n −1 2 2 2 2 2  n

1 1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 + ⋅⋅⋅ + n−1 é uma progressão geométrica. 2 2 2 2 2

Mas a soma Assim,

1 1 − n 1 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 + ⋅⋅⋅ + n −1 = 2 2 = 1 − n −1 1 2 2 2 2 2 2 1− 2 Deste modo, n

1 1 1 1 1  1  1 +  < 1 + 1 + + 2 + 3 + 4 + ⋅⋅⋅ + n −1 ⇔ 2 2 2 2 2  n n

n

1 1  1  1  1 +  < 1 + 1 + 1 − n −1 ⇔  1 +  < 3 − n −1 (3) 2 2  n  n A partir de (1) e (3) chegámos à conclusão de que: n

 1 2 ≤ 1 +  < 3  n  

O que significa que a sucessão  1 +

n

1  é limitada. n

Se uma sucessão é limitada, então ela é convergente logo, a sucessão estudada é convergente. n

 1 O limite da sucessão  1 +  , supremo do conjunto dos seus termos,  n chama-se número de NEPER e representa-se pela letra e (símbolo usado por EULER). Este número, de grande importância em matemática, é um número irracional entre 2 e 3.

 

Assim, lim  1 + n →∞

n

1  = e onde e ≈ 2, 71828 n

Caro estudante, acabámos de ver como é que se chegou a este famoso número de Nepper. De seguida, vamos apresentar alguns teoremas

50

subsidiários que nos vão ajudar a calcular os limites com ajuda do número de Nepper. Teorema un

 1 Se u n → ∞ então, lim  1 +  = e  un  Demonstração

Se u n é um infinitamente grande positivo, então ∃p ∈

a partir do qual

todos os termos da sucessão são maiores que l . Seja k n ,o maior nº inteiro. Assim, n > p ⇒ k n ≤ un < k n + 1

⇒

1 1 1 1 1 1 < < ⇔ 1+ < 1+ < 1+ k n + 1 un k n kn + 1 un kn kn

un

   1  1 1 1 +  ≤ 1 +  < 1 +   kn + 1   un   kn 

kn

Como kn

  1  1  1 +  = 1 +   kn + 1   kn + 1   1  1 +   kn + 1 

kn +1

kn +1

−1

 1  ⋅ 1 +  = e ⋅1 e  kn + 1  1

kn

 1   1  = 1 +  ⋅ 1 +  = e ⋅1  kn + 1   kn + 1 

Então, pelo teorema de sucessões enquadradas,

un

 1 lim 1 +  = e  un  Teorema Se

un → ±∞

un

 x então, lim  1 +  = e x x ≠ 0  un 

Demonstração x

un x   x    x x  lim 1 +  = lim 1 +    un    un   

x

un   x      1    = lim  1 +  = ex   u n    x    

Lição nº 6

51

A seguir, vamos apresentar alguns exemplos de cálculo deste limite notável. Observe que ao calcular o limite, estamos a levantar a indeterminação do tipo 1∞ .

1   1-Calcule Calcule o limite lim  1 −   2n  Exemplo

n−3

Resolução −3

n

1   lim 1 −   2n 

n −3

 1  1 1  2   − = lim 1 −  ⋅ lim 1 − 2  = e 2 ⋅1  n  n    

1 1 = e e

=

 n +1  Calcule lim   n+2 Exemplo

n

Resolução

Sabe-se se que

n +1 1 (verifique fazendo a divisão) = 1− n+2 n+2 n

Então:

n

1  1   n +1    lim   = lim  1 −  = lim  1 −   n+2  n+2  n+2 1   = lim  1 −   n+2

n+ 2

n+ n 2− 2

−2

1   −1 ⋅ 1 −  =e  n+2

Caro estudante estudante, uma vez vistos estes exemplos, vamos de seguida apresentar uma actividade como forma de você verificar o seu grau de compreensão. Calcule:

Actividade

1   a) lim  1 −  n→∞ ln n 

ln n

 n2 + 3  b) lim  2  n →∞ n + 1  

Confira a sua Resposta a)

1 e

b) e 2

n 2 +1

52

Sumário n

 1 Nesta lição lição, você aprendeu o limite notável lim 1 +  = e . A sua n →∞  n convergência bem como o seu estudo como uma sucessão limitada limitada.

Exercícios Assim, vamos apresentar os exercícios de consolidaç consolidação desta lição. Esperamos que não tenha muitas dificuldades pois foram apresentados os exemplos para que você possa tirar as suas dúvidas. Resolva Resolva-os todos e confira sempre as suas respostas com as soluções sugeridas. Em caso de dificuldade queira repetir a lição, repetindo os exercícios apresentados. Não dificuldade, desista pois, só assim poderá alcançar os seus objectivos. Calcule os seguintes limites de sucessões: n

Auto-avaliação

n  2  n  a) lim  1 + b) lim     n   n +1 

 n6 − 4  d) lim   6  n 

n3

 n−5 e) lim    n+5

1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + n g) lim n2

 en  j) lim  n   −1 + e 

a) e

g)

1 2

2

b)

1 e

h) ∞

e n −1

 n−5  n+2

 n10 − 5  f) lim  10   n 

n

1   h) lim  1 +   ln n  1  k) lim  1 +   n! 

c) e−7 d) 1 i) e3 j) e

n

c) lim 

n

 n 2 + 3n + 1  i) lim   2  n +3 

( n −1)!

e) e −10

k)1

n5

 n +1  l) lim  5  n + 3   

f) 1

l) e

−

4 5

2n

n

Lição nº 6

53

Unidade III Limite e Continuidade de Funções Introdução A unidade II III aborda o estudo da função de uma variável real na sua

generalidade; trata também do limite de funções nas suas diversas vertentes, vertentes bem como o estudo de continuidade de funções. Esta unidade é composta compos por 7 lições e serão necessárias no total 30 horas de estudo.

Ao completar esta unidade unidade, você será capaz de: •

Objectivos

•

Definir o conceito de função e dar os respectivos exemplos;

•

Calcular os diversos tipos de limites de funções (levantar indeterminações);

•

Classificar as funções quanto à continuidade num ponto.

54

Lição nº 7 Generalidades Sobre Funções Introdução Nesta lição, lição introduziremos um dos conceitos fundamentais da Matemática, o de função. O conceito de função refere-se refere se essencialmente à correspondência entre conjuntos. Uma função associa a elementos de um conjunto, um elemento de outro conjunto. Esta lição poderá ser estudada e num tempo máximo de quatro horas. Sendo duas para a leitura da parte teórica e duas para exercícios. Ao completar esta lição lição, você será capaz de:

Objectivos

•

Definir os conceitos de função;

•

Identificar funções, classificá-las quanto à continuid continuidade;

•

Calcular o valor das funções num determinado ponto.

Nesta primeira lição sobre generalidades de funções, vamos definir os conceitos básicos sobre funções. Deve prestar muita atenção, pois constitui a base para o estudo posterior das funções.

Definição 1

Sejam A e B subconjuntos de R. Uma função f : A → B é uma lei ou Tome Nota!

regra que a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B. O conjunto A é chamado domínio de f e é denotado por D (f); B é chamado contradomínio.

Veja,, de seguida, os exemplos:

Lição nº 6

1. Sejam

A = {1, 2 , 3 , 4} e B = {2 , 3 , 4 , 5}.

f : A → B dada pelo diagrama abaixo é uma função de A em

a) Exemplo

55

B

A

B . 1

.2

.2

.3

. 3

.4

.4 b) g : A → B

x → x +1

.. 5

É uma função de A em B. Em diagrama, a função g representa representase da seguinte maneira: A

B

.1 .2

.2

.3

.3 .4

O outro utro exemplo para o caso em que não estamos perante uma função é o seguinte:

56

2. Sejam A = {3 , 4 , 5} e B = {1, 2}. a) Exemplo

f : A → B dada pelo diagrama a seguir não é uma função de A em B, pois o elemento 4 ∈ A tem dois correspondentes em B B.

A .1

.3

B

.4 5 .5

g :A → B x → x − 3 não é função de A em B,

b)

pois o elemento 3 ∈ A não tem correspondente em B.

. 1

A

B

4 5

2 .2

Depois de termos definid definido o o conceito de função, vamos, de seguida, apresentar duas definições que nos ajudam ajudam a perceber os conceitos de imagens magens e de gráfico de uma função.

Lição nº 6

57

Definição 2

Seja f : A → B Tome Nota!

Dado x ∈ A , o elemento f ( x ) ∈ B é chamado o valor da função f no ponto x ou imagem de x por f . Ao conjunto dos valores assumidos pela função é chamado conjunto imagem de f e é denotado por Im( f ) . Definição 3

Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos

( x, f ( x )) de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio da função f .

Os exemplos exem que vão ser apresentados de seguida vão ajudá ajudá-lo a perceber o conceito de gráfico de uma função. 2 a) O gráfico da função f ( x) = x .

Exemplo y

x -2

y = x2

4

4 1

-1

1 -2

0

0

1

1

2

2

-1

1

2

x

58

Consideremos a função f ( x ) = x . Os pontos do seu gráfico é o conjunto dos pares ordenados ( x, y ) , como mostra a figura. Exemplo y

x

Operações com Funções

Já vimos o que é de facto um gr gráfico de uma função e representámos representá duas funções como exemplos ilustrativos de como se pode construir alguns gráficos de funções. Caro estudante estudante, assim ssim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números, também podemos produzir novas funções através de operações. E Estas operações são definidas como se segue: Dadas duas funções f e g i) ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) ii) ( f − g )( x ) = f ( x ) − g ( x ) iii) ( f ⋅ g )( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x )

f f ( x)  ( x) = g ( x) iv)  g  Os domínios das operações são a intersecção dos domínios de f e g . O

f domínio de

g é a intersecção dos domínios de f e g , excluindo os

pontos Para os quais g ( x ) = 0 . v) Se f é uma função e k é um nº real, ( kf )( x ) = kf ( x ) .

Lição nº 6

Seja f ( x ) = 5 − x e g ( x ) =

x − 3 . Então,

( f + g )( x) = 5 − x + x − 3 Exemplo

( f − g )( x ) = 5 − x − x − 3 ( f .g )( x ) = 5 − x ⋅

 f   ( x) = g

x −3

5− x x−3

Determinação do domínio: Como o Df = ]− ∞ , 5] e Dg = [3 , + ∞[ , então o domínio de

f + g , f − g e f .g será [3 , 5] .

f O domínio de g é o ]3 , 5] . O ponto 3 é excluído porque g ( x ) = 0 quando x = 3

Uma vez vistos estes exemplos exemplos, resolva a actividade que se segue: Dada as funções f ( x ) = a) f ⋅ g ; b) f + g ; c) Actividade

x 2 − 4 e g ( x ) = 1 − x . Ache:

f g

d) O domínio das operações indicadas

Confira as suas soluções oluções a)

(x

2

− 4 ) (1 − x ) ; b)

(x

2

− 4) +

(1 − x )

; c)

(x

2

− 4)

(1 − x )

d) D f + g ∧ D f ⋅ g = ]−∞; −2] ; D f = ]−∞; −2[ g

Vamos, em seguida, dar a definição de funções compostas, de modo a podermos fazer operações com ajuda de composições de funções.

59

60

Dadas duas funções f e g , a função composta de g com f . Denotada por g o f é definida por: Tome Nota!

( g o f )( x) = g [ f ( x )] O domínio de g o f é o conjunto de todos os pontos x no domínio de

f , tais que f ( x ) está no domínio de g .

A composição pode ser apresentada na forma de diagrama da seguinte maneira: Diagrama:

f (x)

•

g (x)

•

•

x

g ( f ( x)) go f

Para uma melhor percepção, vamos apresentar alguns exemplos:

Lição nº 6

Sejam as funções: f ( x ) = 2 x − 3 e g ( x ) = a) Exemplo

61

x . Determine:

gof Resolução

gof = g ( f ( x )) = 2 x − 3

3  D (gof ) =  , + ∞  2  fog

b)

Resolução

fog = f ( g ( x )) = f ( x ) = 2 x − 3

D ( fog ) = [0 , + ∞[ c)

fof = f ( f ( x )) = f ( 2 x − 3) = 2( 2 x − 3) − 3 = 4 x − 6 − 3 = 4 x − 9

D( fof ) = ]− ∞ , + ∞[

Depois de estudado estudados os exemplos apresentados, resolva a seguinte actividade actividade: Sejam f ( x ) =

Actividade

a) gof

x e g ( x ) = x − 1 . Ache:

b) Domínio de gof

Confira as suas soluções oluções a) g o f =

x −1

b) [ 0; +∞[

62

Sumário Nesta lição lição, foi feita a revisão sobre o conceito de função abordando abordando-se os conceitos gerais sobre funções. Os conceitos fundamentais apresentados foram: imagem, gráfico de uma função bem como a definição de funções compostas.

Exercícios Estes exercícios são, são na sua maioria, de revisão dos conceitos antes estudados sobre o conceito de função. A dificuldade que possa poss aparecer, pode ser facil facilmente mente resolvida com uma repetição da lição ou outros materiais m de apoio como o livro do Cálculo B sugerido na bibliografia. Esperam Esperamos que não tenha muitos problemas. Se isso acontecer, acontecer reveja esta mesma lição.

f ( x) = 1. Seja a função

x2 − 4 x − 1 . Calcule:

Auto-avaliação a) f (0)

f ( x) = 2.

Se

b) f (−2)

1 1 f( ) f( ) f ( x − 2 ) t d) 2 c) e)

3x − 1 x − 7 , determine:

5( f ( −1) − 2 f (0) + 3 f (5) 7 a) c) f (3 x − 2)

4 f (t ) + f ( ) t d)

1    f (− 2 )  b)  f ( h ) − f ( 0) h e)

Lição nº 6

3. Determine o domínio das seguintes funções:

Auto-avaliação

2 a) y = x

(continuação)

y= c)

b) y =

4 − x2

1 x−4 f + g , f − g , f .g ,

4. Achar

f , f o g , g o f , k. f g onde k é uma

constante.

f ( x) = 2 x

a)

g ( x) = x 2 + 1

,

f ( x) = 3 x − 2 , g ( x ) = x

b)

f ( x) = c)

x 1+ x2

, g ( x) =

1 x

f ( x) = 1 + x , g ( x) = x − 2

d)

2 5. Se f ( x ) = x , encontre uma função g(x) de modo que

( f o g )( x) = 4 x 2 − 12 x + 9 .

Confira as suas soluções oluções Exercício 1 Exercícios

a)4

b) 3 d ) (−1) e) 3

Exrercício2

a)

−

263 98

− 22t 2 + 38t − 88 9x − 7 2 b) 0 c) 3 x − 9 d) − 7t + 53t − 28

20 e) 7( h − 7) Exercício 3 a) R b) [− 2 , 2] c) R \ {4} Exercício 5

2x − 3 ; − 2x + 3

63

64

Lição nº 8 Tipos de Funções Introdução Na lição nº 7, apresentámos mos as generalidades sobre as funções. Nesta lição lição, vamos apresentar alguns tipos de funções mais utilizado utilizados em matemática, principalmente no cálculo infinitesimal infinitesimal. É uma lição que pode ser estudada em três horas incluindo a resolução de exercícios. Ao completa completar esta lição, você será capaz de:

•

Identificar as funções básicas;

•

Representar graficamente as funções elementares.

Objectivos

Como já nos referimos, refer nesta lição vamos abordar o estudo de alguns tipos de funções. Acompanhe!

Tipos de Funções Vamos iniciar a nossa lição com o estudo de funções racionais inteiras inteiras.

1- Função Racional Inteira ou Polinomial Chama função polinomial a toda a função Chama-se ão que tenha a forma n n −1 f ( x ) = a0 x + a1 x + ⋅⋅⋅ + an −1 x + an , onde a0 ; a1 a2 ⋅⋅⋅, an são constantes e n ∈

.

Lição nº 6

65

1- y = ax + b → função linear 2- y = ax 2 + bx + c → função quadrática Da função quadrática se Exemplo

a = b = o → y = c - Função constante a = 0 → y = bx + c → função linear a > 0 → A parábola tem a concavidade voltada para cima

a < o → A parábola tem a concavidade voltada para baixo

Agora, apresentaremos a função de fracção racional:

2- Função de fracção Racional Definição Definição1 Chama função de fracção racional a toda a função que se pode Chama-se representar na forma de quociente entre dois polinómios

f ( x) =

a0 x n + a1 x n−1 + ⋅⋅⋅ + an b0 x n + b1 x n −1 + ⋅⋅⋅ + bn

São funções fun racionais, as funções:

a>0

f ( x) =

a x

a0

α >0

α >0

y = x2

y = x3

y= x

Exemplo

2º Função exponencial e logarítmica

Lição nº 6

a > 1 → crescente

a > 1 → crescente

0 < a < 1 → decrescente

0 < a < 1 → decrescente

y=a

y = log a x

x

67

3º Funções Trigonométricas

Para as funções trigonométricas trigonométricas, vamos considerar os gráficos das funções básicas. Comecemos por definir, funções periódicas: A função y = f ( x ) diz-se se periódica se existir um nº real constante c tal que f ( x + c = f ( x ) . Nestas condições T=C As funções unções y = senx e y = cos x são periódicas e de período T = 2π , pois:

sen( x + 2π ) = senx ∧ cos( x + 2π ) = cos x Exemplo

São gráficos das funções y = senx e y = cos x

68 y

Y=cosx

x

-127p/100 -19p/20-7p/11 -7p/22

7p/22 7p/11 19p/20127p/100 113p/71

Y=senx

As funções y = tgx e y = cot gx são periódicas de período T = π , visto que tg ( x + π ) = tgx ∧ cot g ( x + π ) = cot gx são gráficos das funções y = tgx e y = cot gx as imagens abaixo apresentadas.

y

Y= tgx

-127p/100 -19p/20-7p/11 -7p/22

7p/22

x

7p/11 19p/20127p/100 113p/71

Y= cotgx Vistos os gráficos das funções tangente e co-tangente, depois definir o domínio. Domínio da função tgx e cotgx

π   Dtgx : ℜ \  x = + ( 2k + 1)  e Dcot gx : ℜ \ { x = 2kπ } 2   Caro estudante, a seguir vamos apresentar os gráficos das funções circulares. Gráficos de funções Circulares

Lição nº 6

69

1º Gráfico da função y = sec x

1 . Assim, o seu domínio são todos os valores cos x de x para os quais cos x ≠ 0 . Desta maneira, todos os pontos para os quais cos x = 0 constitui as assimptotas verticais. Sabe-se que sec x =

Assim, temos como gráfico:

−π

−

π 2

π

π

2

2º Gráfico da função y = cos ecx Caro estudante, sabe se que a função cos ecx =

1 . Assim, todos os senx

valores para os quais senx ≠ 0 constitui o domínio da função. Os pontos para os quais senx = 0 , são as Assimptotas do gráfico

3 π 2

70 y

-

−π

π 2

π

π x

2

Esta lição lição, como ja foi referenciado na parte introdutória, é basicamente para o estudo dos gráficos gráficos das funções básicas. Continuando com a apresentação das funções trancend trancendentais, a seguir vamos apresentar os gráficos da das funçõers trigonometricas inversas.

Funções Trigonométricas Inversas 1- Função y= arcsenx

 π π é monótona tona, crescente e ;  2 2 

A função seno dentro do intervalo  −

tem como contradomí contradomínio o intervalo [ −1,1] . Por isso, a função arcseno admite nesse intervalo um afunção uinversa. Tratando se de uma função inversa inversa, a função y= arcsenx, tem como:

 π π ;  2 2 

Domí Domínio [ −1,1] e o contradomínio  −

arcsen Exemplo

1 π = 2 2

π 2 π  1 = arcsen  −  = − e arcsen 2 4 6  2

Lição nº 6

71

Vejamos ejamos o gráfico da função

π 2

-1

1

−

π 2

A seguir, guir, vamos apresentar o gráfico grá da função arccosx. companhe! companhe 2- Função y= arccosx A função arcoseno dentro do intervalo [ 0; π ] é monótona tona, crescente e tem como contradomí contradomínio o intervalo [ −1,1] . Por, isso a função arccoseno arc admite nesse intervalo um afunção uinversa. Tratando de uma função inversa, a função y = arccosx, Tratando-se x, tem como: Domínio nio [ −1,1] e o contradomínio [ 0; π ]

arccos

1 π = 2 6

2 π  1 π arccos  −  = e arccos = 2 4  2 6

Exemplo

Vejamos ejamos o gráfico da função

72

π π 2 -1

1

Prosse Prosseguindo, veja o estudo da função arco tangente

3- A função y = arctgx

 π π

A função tangente sobre o intervalo  − ;  é sempre crescente e tem  2 2 como contradomínio os intervalos do intervalo ]−∞; +∞[ . Por isso, a função determinada pela expressão y = tgx tem sobre o intervalo

 π π  − 2 ; 2  uma função inversa. Domínio da função y = arctgx é o intervalo ]−∞; +∞[

 π π ;  2 2 

Contradomínio é o intervalo  −

arctg1 = Exemplo

π 4

arctg (cot g

(

)

arctg − 3 = −

π π )= 3 3

O gráfico da função y = arctgx

π 3

Lição nº 6

73

π 2

−

π 2

4- Função y = Arccotgx A função funç co-tangente é monótona, decrescente sobre o intervalo ]0; π [ e toma valores do intervalo ]−∞; +∞[ . A função y = cotgx sobre o intervalo ]0; π [ tem uma função inversa. Domínio da função y = arctgx ]−∞; +∞[ Contradomínio da função ]0; π [

3 arc cot g ( −1) = π 4 Exemplo

arc cot g (cot g

 3 π arctg  −  =  3  6

π π )= 4 4

Gráfico ráfico da função

π π 2

74

Caro estudante estudante, terminámos o estudo mais ou menos exaustivo desta lição. Achamos que o grau de dificuldade não é tão grande pois,, trata-se trata de funções estudadas no ensino secundário geral. A seguir, vamos apresentar os exercícios que basicamente serão os da parte trigonométrica.

Sumário Nesta lição você aprendeu as funções elementares, transcendentes, transcendentes bem como a representação geométrica das mesmas mesmas.

Exercício 1- Calcule o valor de:

Auto-avaliação

  

 1 π a ) arccos  −  +  2 3 c) arcsen ( −1) −

b) arctg  −

π 2

3 π + 2  2

d) 1 + 4arctg1

2- Ache o domínio e os zeros da função. a) y = arcsen(2 x ) − 4

b) y = artgx −

π 3

3- Construa os gráficos das seguintes funções: a) y = 2 lg( x + 1) c) y = senx + cos x e) y =

b) y = l o g 2 1 − x d) y = −2 x + cos x

x −1 x−2

Confira as suas soluções oluções Exercício 1 a) π b) Exercício 2

π c) −π 3

d) 1 + π

Lição nº 6

 1 1  

a) Domínio:  − ;  ; zeros: Não existem 2 2 b) ]−∞, +∞[ zeros:

3

Exercicio 3 a)

-1

c)

-127p/100 -19p/20-7p/11 -7p/22

7p/22 7p/11 19p/20127p/100 113p/71

75

76

d)

e)

Lição nº 6

77

Lição nº 9 Limite de Funções Introdução Nesta lição lição, vai aprender de uma maneira intuitiva o conceito de limite de uma função. Também vai encontrar a definição do limite na sua forma clássica. No fim, como tem sido hábito, vai encontrar os exercícios para consolidar a matéria dada. O tempo máximo de estudo poderá durar 4 horas. Ao completar esta lição, você será capaz de:

Objectivos

•

Definir o limite de uma função;

•

Calcular os limites laterais;

•

Aplicar a definição para provar o limite de uma função.

Como já foi referenciado na introdução da lição, vamos construir a definição do limite de uma função de forma intuitiva, partindo de exemplos particu particulares para o geral. Acompanhe as demonstrações! 1- Noção Intuitiva de Limite Dadas das as ssucessões numéricas. a) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,....

1 2 3 4 5 ; ; ; ; 3 4 5 6 b) 2 c) 1 , 0 , − 1 , − 2 , − 3, ...

1, d) -

3 5 7 , 3 , , 5 , , 7 , ... 2 4 6

Na sucessão a), os termos tornam-se se cada vez maiores sem s atingir um limite. Dado um número real qualquer, por maior que seja, podemos sempre encontrar na sucessão um termo maior. Diz-se Diz que

78

os termos da sucessão tendem para o infinito ou que o limite da sucessão é infinito. Escreve-se

-

u n → +∞

Na sucessão b) os termos crescem, mas não ilimitadamente. Os números aproximam-se cada vez mais do valor 1, sem no entanto atingirem esse valor. Dizemos que

un → 1 . -

De maneira análoga, dizemos que na sucessão c) u n → −∞ .

-

Em d) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite.

Vamos agora ampliar o conceito de limite para diversos casos de limites de funções.

Lição nº 6

y = 1− Exemplo

1 x

x

1

2

3

4

5

...

...

1000

y

0

1/2

2/3

3/4

4/5

...

...

999/1000

x

-1

-2

-3

-4

-5

...

...

-500 500

y

2

3/2

4/3

5/4

6/5

...

...

501/500

Esta função tende para 1 quando x → ±∞

 1 lim 1 −  = 1 x → ±∞ x  Denota-se

Exemplo 2 2 A função y = x + 3 x − 2 é dada graficamente pelo esboço abaixo.

y

x

79

80

Assim

lim ( x 2 + 3x − 2) = +∞

x →±∞

Exemplo 3

y = f ( x) = Dada a função

2x + 1 x − 1 cujo gráfico é:

(Construa!)

y

x

Observando a figura, podemos dizer que y → +∞ quando x → 1 através de valores maiores do que 1 e que y → −∞ quando x → 1 através de valores menores do que 1 e denotamos por

lim

2x + 1 = +∞ x −1

lim

2x + 1 = −∞ x −1

x →1+

x →1−

Estes limites são chamados limite à direita e à esquerda, respectivamente.

Lição nº 6

81

Exemplo 3

1 ( x + 1) 2

y=

Vamos construir uma tabela correspondente. Use a máquina de cálculo!

x

-3

-2

-1,5

-1,25

-1,1

-1,01

-1,001

...

y

0,25

1

4

16

100

10000

1000000

...

x

1

0

-0.5

-0,75

-0,9

-0,99

-0,999

...

y

0,25

1

4

16

100

10000

1000000

...

Assim:

lim

1 = +∞ ( x + 1) 2

lim

1 = +∞ ( x + 1) 2

x → −1−

x → −1+

Exemplo 4 Consideremos a função y = 3 x − 1 x

0

0,25

0,5

0,75

0,9

0,99

0,999

0,999

...

y

-14

-0,25

0,5

1,25

1,7

1,97

1,997

1,9997

...

x

2

1,75

1,5

1,25

1,1

1,01

1,001

1,0001

...

82

y

5

4,25

3,5

2,75

2,3

2,03

2,003

2,0003

...

y

→ y = 3x − 1

x

lim (3 x − 1) = lim− (3 x − 1) = 2

x →1+

x →1

Podemos agora analisar os exemplos dados de outra maneira, ligando a noção intuitiva da definição com a definição clássica do limite de funções. No exemplo 4 observa-se que é possível fazer o valor de y tão próximo de 2 quanto desejarmos, tornando x suficientemente próximo de 1, mas não necessariamente igual a 1. Ou ainda, o valor absoluto da diferença y − 2 tão pequeno quanto desejarmos, tornando o valor absoluto da diferença x − 1 suficientemente pequeno (observe a figura anterior).

Desta maneira, já estamos em condições de formular a definição formal do limite de funções. Veja a seguir!

Lição nº 6

83

Seja f (x ) uma função definida num intervalo aberto I, contendo a , excepto possivelmente no próprio a . Diz-se se que o limite de

Tome Nota!

quando x aproxima-se de a é L e escreve-se

ε f 0 existe um δ f 0 , tal que 0p x−a pδ

o

lim f ( x ) = L x→a

f ( x) − L p ε

f (x )

se para todo sempre que

Com a definição acima acima, estamos em condições ições de provar provar, que um determinado número é limite de uma função. Usando a definição de limites limites, prove que:

lim(3 x − 1) = 2 x →1

a)

Exemplo Resolução: De acordo com a definição, devemos mostrar que, para todo ε

f 0,

(3x − 1) − 2 p ε 0 p x −1 p δ existe um δ f 0 , tal que sempre que . O exame da desigualdade envolvendo ε proporciona uma chave para a escolha de δ As seguintes desigualdades são equivalentes equivalentes.

−

( 3 x −

3 x 3

−

x x

3 −

3 ( x

−

−

1 )

1

p

ε

ε

ε

p p

p

ε

p 1 )

1

2

ε 3

A última desigualdade sugere sugere-nos a escolha do δ .

(3x − 1) − 2 p ε Fazendo δ = ε \ 3 , vem que sempre que 0 p x −1 p δ

Portanto Portanto,

.

lim(3 x − 1) = 2 x →1

84

b)

lim x 2 = 16 x→4

x 2 − 16 p ε Vamos mostrar que dado ε f 0 , existe δ f 0 , tal que Exemplo sempre que

0p x−4 pδ

.

Da igualdade que envolve ε , temos

x 2 − 16 p ε ⇔ ( x − 4)( x + 4) p ε ⇔ x−4 ⋅ x+4 pε Necessitamos agora de substituir

x+4

por um valor constante. Neste

0p x−4 pδ caso, vamos supor 0 p δ ≤ 1 e, então, de , seguem as seguintes desigualdades equivalentes:

x − 4 p 1 ⇔ −1 p x − 4 p 1 ⇔3p xp5 Vamos adicionar em cada um dos termos da desigualdade acima o valor 4. Assim:

7p x+4p9 Portanto Portanto,

x + 4 p 9.

No estudo de limite de funções funções, existem algumas proposições fundamentais das quais tomamos como base para fu fundamentar a teoria. É o caso da proposição seguinte:

Lição nº 6

85

(Unicidade de Limites)

Tome Nota! Se

lim f ( x ) = L1 e lim f ( x ) = L2 x→ a

x→a

, então L1 = L2

Sumário Nesta lição você aprendeu a definição de limite de uma função, o conceito de limite lateral bem como aplicar a definição para demonstrar que um dado valor é o limite de uma função.

Exercícios Depois de resolver os exercícios dados dados, vai tirar uma conclusão sobre a percepção ou não da lição. Alguns exercícios são para a leitura de gráficos e outros para testar a validade do limite. Se tiver acompanhado cuidadosamente a lição lição, verá que não terá problemas de maior. Caso tenha muitos pro problemas, deve repetir a lição, seguindo com cuidado todos os passos dados nos exemplos. Pela natureza dos exercícios exercícios, não serão apresentadas as soluções, contudo em caso de uma possível persistência das dificuldades dificuldades, poderá consultar o seu Tutor.

86

1. Seja f (x ) a função definida pelo gráfico y

Auto-avaliação

1o 2 3

x

Encontre, caso existir:

lim f ( x )

a)

x →2 +

b)

x → −∞

lim f ( x )

b) e)

lim f ( x )

x →2 −

c)

lim f ( x)

x → +∞

lim f ( x ) x→1

2. Mostre que existe o limite de f (x) = 4x-5 5 em x=3 e que é igual a 7.

3. Mostre que

lim x 2 = 9 x →3

4. Nos exercícios seguintes e dado que

lim f ( x ) = L x→a

,determinar um

f ( x) − L p ε número δ para ε dado tal que sempre que 0p x−a pδ a) b)

lim( 2 x + 4) = 8

ε = 0,01

lim ( −3 x + 7) = 10

ε = 0,5

x→2

x → −1

Lição nº 10

87

Lição nº 10 Propriedades de Limites Introdução Na lição anterior, utilizámos a definição do limite imite para provar que um dado número era limite de uma função. Foi um processo relativamente simples para funções lineares que se tornou um pouco mais complexo para as funções mais elaboradas. Nesta lição lição, introduziremos propriedades que possam ser usadas para calcular muitos limites sem necessidade necessidade de pesquisar o nº δ que aparece na definição. Nesta lição lição, você vai precisar de 4 horas. Ao completar esta lição, você será capaz de:

•

Calcular os limites de funções usando as propriedades de limites.

Objectivos

Para poder calcular os limites usando propriedades como foi dito na introdução desta lição, você precisa, logicamente, de conhecer as mesmas. A seguir, vamos apresentar as propriedades com as suas respectivas demonstrações. Algumas não serão demonstradas por estarem fora do âmbito deste programa.

Propriedades limites

Proposição 1.

lim( k1 x + k 2 ) = k1 a + k 2 Se a , k1 e k 2 são números reais, então x → a

Demonstração Demonstração: Caso 11: k1 ≠ 0 , de acordo com a definição, dado ε f 0 , devemos mostrar que existe δ f 0 , tal que

88

( k1 x + k 2 ) − ( k1 a + k 2 ) p ε k1 x − k1 a p ε k1 ⋅ x − a p ε x−a p

ε k1

δ= A última desigualdade sugere a escolha de

ε k1

δ= . De facto, se

ε k1

temos:

( k1 x + k 2 ) − ( k1 a + k 2 ) = k1 x − k1 a = k 1 ⋅ x − a p m ⋅

ε m sempre que

Portanto,

0p x−a pδ

lim( k1 x + k 2 ) = k1 a + k 2 x→a

Caso, 2: k1 = 0 então,

(k1 x + k 2 ) − (k1 a + k 2 ) = 0 para todos os valores de x . Logo, tomando qualquer δ f 0 a definição é satisfeita. Portanto,

lim (k1 x + k 2 ) = k1 a + k 2 x→a

para quaisquer a , k1 e k 2 números reais.

Da proposição anterior decorre que: Se c é um nº real qualquer, então

lim c = c x→a

lim x = a x→a

Proposição 2: Se o 1.

lim f ( x ) x→ a

e

lim g ( x ) x→ a

existem e c é um número real qualquer, então:

lim[ f ( x ) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) x→a

x→a

x→a

Lição nº 10

89

lim cf ( x ) = c ⋅ lim f ( x ) x→a

2.

x →a

lim[ f ( x ) ⋅ g ( x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) x→a

3.

x→a

f ( x) f ( x) lim = x →a g ( x) lim g ( x)

lim x→a

x→a

4.

[

, desde que

lim[ f ( x)] = lim f ( x) n

x→a

5.

x→a

x→a

lim g ( x ) ≠ 0 x→a

]

n

lim n f ( x ) = n lim f ( x ) x→a

6.

x→a

lim f ( x )

lim e f ( x ) = e x → a x→a

7.

Para fixar a ideia da demonstração, vamos provar

1) e a partir desta

demonstração poderá, sozinho, demonstrar as outras. Contudo, as demonstrações não são de natureza obrigatória. Sejam

lim f ( x ) = l x→a

e

lim g ( x ) = m x →a

e ε f 0 arbitrários. Devemos provar

( f ( x) + g ( x)) − (l − m) p ε que existe δ f 0 tal que sempre que 0p x−a pδ

ε

lim f ( x ) = l e Como

x→a

sempre que

Como que

2

f 0,

existe um δ 1 f 0 tal que

f ( x) − l p

lim g ( x ) = m

existe um δ 2 f 0 tal que

x→a

g ( x) − m p

ε 2 sempre

0 p x − a p δ2

0p x−a pδ

, temos

g ( x) − m p ε

2 e

f ( x) − l p ε

( f ( x) + g ( x)) − (l − m) = ( f ( x) − l ) + ( g ( x ) − m) ≤ f ( x) − l + g ( x ) − m 2

+ε

2

2

0 p x − a p δ1

Seja δ o menor dos δ 1 e δ 2 . Então, δ ≤ δ 1 e δ ≤ δ 2 . Assim , se

pε

ε

=ε

2 . Logo,

90

Sempre que

0p x−a pδ

e, desta forma,

lim[ f ( x ) + g ( x ) ] = l + m x→a

.

Veja, de seguida, a aplicação das propriedades para no cálculo de limites.

Lição nº 10

Calcule:

Exemplo

a)

lim( x 2 + 3 x + 5) x→2

Resolução:

lim( x 2 + 3x + 5) = lim x 2 + lim 3x + lim 5 = x →2

x→2

x→2

x→2

2 + 3 ⋅ 2 + 5 = 15 2

x −5 x3 − 7

lim b)

x →3

Resolução:

lim( x − 5) x−5 3−5 1 x →3 = = 3 =− 3 3 10 x − 7 lim( x − 7) 3 − 7

lim x →3

x →3

c)

lim x 4 − 4 x + 1

x →−2

Resolução:

lim x 4 − 4 x + 1 =

lim ( x 4 − 4 x + 1) =

x → −2

x → −2

( −2) 4 − 4( −2) + 1 =5 lim d)

x →1

x2 −1 x −1

Resolução: Neste caso, não podemos aplicar a propriedade do quociente, pois,

lim ( x − 1) = 0 x →1

.

Porém, podemos factorizar o numerador. Logo:

lim x →1

x2 −1 ( x − 1)( x + 1) = lim = lim( x + 1) = 2 x → 1 x →1 x −1 ( x − 1)

91

92

Sumário Estudo do cálculo de limites utilizando as propriedades. Iniciação das técnicas de levantamento de indeterminações por factorização. Cálculo do limite de uma função substituindo uma variável pelo valor da tendência de x.

Exercícios Estes exercícios, pela sua natureza, não constituem dificuldades, pois são apenas de aplicação directa das propriedades. Em caso de não chegar à solução, volte a ler er os apontamentos e não se esqueça de rever com profundidade as propriedades de limites. Não se esqueça de que a aprendizagem é feita por persistência. Calcule os seguintes limites de funções usando as propriedades propriedades:

Auto-avaliação

a)

lim (− x 5 + 6 x 4 + 2)

x →−1

b)

x+2 c) x →1 3 x − 1

e)

x →1

lim g)

1 x→ 2

lim

x2 −1 x −1

lim

f) x →2

x+4 2x

x 2 + 5x + 6 x+2

lim ( 2 senx − cos x + cot gx) h)

x→

π

2

Confira a sua solução com as respostas: a )7 b) 27 c)

]

t+3 d) t → 2 t + 2

lim

lim

[

lim ( x + 4) 3 ⋅ ( x + 2) −1

x →−1

3 2

d)

5 4

e)2

f)5 g)

9 h) 2 2

Lição nº 10

93

Lição nº 12 Cálculo de limite de uma u função Introdução Nesta lição você vai aprender as técnicas de cálculo de limites utilizando a técnica de factorização. Essencialmente vai levantar a indeterminação do

0 tipo 0 . Para o sucesso desta lição, você deverá rever os conhecimentos sobre os casos notáveis, factorização pela regra de Ruffin, e resolução de equações quadráticas. Esta lição precisa de 5 horas de trabalho: duas para a leitura do ttexto exto e as restantes 3 horas para resolver os exercícios. Ao completar esta lição, você será capaz de:

Objectivos

•

Calcular os limites de funções de variável real;

•

0 Levantar a indeterminação do tipo 0 .

Antess de apresentarmos exemplos de cálculo de limites, limites vamos falar um pouco sobre as expressões indeterminadas. Costuma Costuma-se dizer que as expressões

Terminologia

0 ∞ , , ∞ − ∞ , 0 × ∞ , 0 0 , ∞ 0 , 1∞ 0 ∞ São indeterminações

O que significa isto? Para a resposta da pergunta colocada colocada, veja a seguinte nota para o caso de

0 uma indeterminação do tipo 0 :

94

lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0. x→a Nada se pode Sejam f e g funções tais que x → a Terminologia

f afirmar a priori, sobre o limite do quociente g . Dependendo das funções f e g , ele pode assumir qualquer valor real ou não existir. r. Exprimimos

0 isso dizendo que 0 é uma indeterminação.

Depois desta nota, nota vamos analisar alguns exemplos de limites onde os artifícios algébricos são necessários. São os casos de funções racionais em que o limite do denominador é zero e o limite do numerador numerador também é zero neste mesmo ponto.

Lição nº 10

x 3 − 3x + 2 x → −2 x2 − 4 lim

Exemplo

x 3 − 3x + 2  0  =  x → −2 x2 − 4 0 Resolução lim

Neste caso, factoriza factoriza-se o numerador merador e o denominador fazendo-se fazendo a seguir as simplificações possíveis.

( x 2 − 2 x + 1)( x + 2) x 2 − 2x + 1 9 x 3 − 3x + 2 lim lim =− = = 2 x →−2 x → −2 x →−2 ( x − 2)( x + 2) x −1 4 x −4 lim

lim Exemplo 2:

x →0

x+2− 2 x

Resolução

Para este exemplo, exemplo usaremos o artifício cio da racionalização do numerador da função. Acompanhe o raciocínio!

x +2 − 2 ( x + 2 − 2)( x + 2 + 2) ( x + 2)2 −( 2)2 = lim = lim lim x→0 x→0 x→0 x x( x + 2 + 2) x +2−2 = lim x→0 x( x + 2 + 2) x = lim x→0 x( x + 2 + 2) 1 = lim x→0 x +2 + 2 1 = 2 2

95

96

3

lim

x −1

x →1

Exemplo

x −1

Resolução:

Neste caso, faremos uma troca de variáveis para facilitar os cálculos. 6 Troca de variáveis: seja x = t (o expoente da variável t obtêm obtêm-se, achando achando-se o menor múltiplo comum dos índices).

Assim, o índice do denominador é 2 o índice do numerador é 3 logo, m ⋅ m ⋅ c (2 ; 3) = 6

N.B. A troca de variável implica, implica necessariamente, a troca da tendência da nova variável Neste caso, como

x →1⇒ t → 6 1 = 1. Desta maneira:

t 2 −1 lim = lim = lim 3 = x →1 x − 1 t →1 t 6 − 1 t →1 t − 1 (t − 1)(t + 1) t +1 2 lim = lim 2 = 2 t →1 (t − 1)(t + t + 1) t →1 t + t + 1 3 3

x −1

3

t 6 −1

Visto o exemplo anterior anterior, resolva de seguida a actividade, como forma de verificar o seu grau de percepção: percepção

3

Calcule o seguinte limite de função lim x →0

Actividade

1 + x3 −1 x2

Lição nº 10

97

Confira a sua rresposta Solução:

1 3

Sumário Levantamento das indeterminações, calculando os diversos limites e aplicando a factorização.

Exercícios Calcule os seguintes limites de funções: funções

Auto-avaliação

a)

lim

x → −2

c) e) g) i) k)

x2 − 4 ; x − 3x + 2

x3 +1 ; x → −1 x 2 − 1 x 2 − 5 x + 10 d) lim x→ 5 x 2 − 25 x 2 − 4x + 3 f ) lim x→ 3 x−3 2 x − ( a + 1) x + a h) lim ; x→ a x3 − a3 3   1 j ) lim  − ; x →1 1 − x 1− x3   x 4 − 16 l ) lim x→2 x−2 b)

2

lim ( 3 x + 2 ) x→ 0

x 2 −1 ; x → −1 x + 3x + 2 x 3 − 3x + 2 lim 4 ; x →1 x − 4x + 3 x2 −1 lim 2 x →1 x −x lim

lim

h→0

2

( x + h) 3 − x 3 ; h

lim

Confira as suas soluções oluções 1 a) 2 i) 2

b) j) -1

3

1 c) 7

k) 3x 2

3 d) 2

4 e) 3

4 1 f) 3 g) 9

1 h) 2 a

l) 32

Caso não tenha conseguido chegar ao resultado, volte a rever os exemplos dados. Reveja a factorização.

98

Lição nº 13 Limites Notáveis Introdução Os limites notáveis são um tipo de limites que, pela sua natureza, ajudamajudam nos a identificar um determinado limite directamente. São limites muito fundament fundamentais. Nesta lição, vamos tratar apenas, do limite trigonométrico. Para o caso deste limite, limite é fundamental a revisão dos conceitos de trigonometria. Este limite, pela sua complexidade, precisa de atenção muito especial da sua parte, pelo que toda a aula poderá levar 5 horas, ho sendo duas para leitura e três para exercícios. Ao completar esta lição, você será capaz de:

•

Levantar indeterminações, usando o limite trigonométrico.

Objectivos

Caro estudante, ppara ara uma melhor percepção do limite trigonométrico, passamos a demonstrar a proposição seguinte que nos prova a sua veracidade: o limite trigonométrico não nos parece, à primeira vista, verdadeiro. Contudo, essa dúvida é dissipada com a demonstração que se segue. Limite Trigonométrico

lim 1. Proposição.

x →0

senx =1 x

Demonstração Demonstração: Para demonstrar a veracidade desta proposição, proposição vamos considerar uma circunferência ircunferência de raio igual a 11.

Lição nº 10

99

Seja x A medida em radianos arco AOM De acordo com a figura,

snx =

MM ′ AT = MM ′ tgx = = AT OM OA , e x = arco AOM

Nestas condições condições,

senx p x p tgx vamos dividir todos os termos da desigualdade por senx .

π  x ∈ 0 ,  2  temos,  Como a senx f 0 para qualquer que seja temos por um lado 1p

x tgx senx p ⇔1f f cos x senx senx x .

senx e cos x Por outro lado, x são funções pares, isto é, sen( − x) senx = e cox( − x) = cos x (− x) x Portanto, a desigualdade ant anterior vale para qualquer x , x ≠ 0 . Como

lim x→0

lim cos x = 1 e lim 1 = 1 x→0

senx =1 x

x→0

então,

100

lim 1.

x→ →0

sen2 x . x

Resolução Resolução:

Exemplo

Seja u = 2 x Como x → 0 ⇒ u → 0 Logo: lim x →0

2.

sen2 x senu senu = lim = 2. lim =2 u → 0 u → 0 u x u 2

senx tgx senx senx 1 lim = lim cos x = lim = lim ⋅ lim = 1 ⋅1 = 1 x →0 x x →0 x → 0 x → 0 x → 0 x x cos x x cos x

Lição nº 10

lim x →0

101

1 − cos(2 x)  3x  sen   2

Exemplo Resolução:

1 − cos(2 x) x →0  3x  0 sen  2   =  0 

lim

lim x →0

1 − cos(2 x)  3x  sen   2

Para a resolução do problema, temos que levar em consideração o seguinte:

1 − cos 2 x = 1 − cos 2 x + sen 2 x = 2 sen 2 x Logo:

3    senx senx 2 2 x 1 − cos(2x) 1  2sen2 x lim = lim = lim2 ⋅  ⋅ ⋅x ⋅ ⋅  x→0 3 3 x  3x  x→0  3  x→0  x x sen x  sen  sen x  2 2   2 2 

  3  x  2 x  = 2 ⋅ 1 lim( x ⋅1) = 4 ⋅ lim x = 4 ⋅ 0 = 0 lim2 ⋅ 1⋅1⋅ ⋅ 2  x→0 3 3 x→0 3  3 x→0 3 x sen x   2 2 2   

Caro estudante estudante, antes de resolver os exercícios, queira resolver primeiro a seguinte actividade actividade: Calcule os seguintes limites: a) lim

cos( a + x) − cos( a − x ) x

b) lim

1 + senx − 1 − cos x tgx

x →0

Actividade x →0

Confira a sua rresposta Solução: a) − 2 sena

b) 1

102

Sumário Nesta lição, aprendeu o limite trigonométrico. Esse limite é dado pela

senx =1 relação x →0 x . lim

Exercícios Para resolução correcta destes exercícios exercícios, aconselhamo--lo que faça uma revisão cuidadosa da trigonometria, principalmente, a manipulação das fórmulas trigonométricas. O não sucesso desta parte pode relacionar relacionar-se com um fraco domínio de trigonometria. Resolva todos os exercícios propostos e, em caso de dificuldade, analise cuidadosamente nte os exemplos estudados na lição. Calcule os seguintes limites trigonométricos: trigonométricos

Auto-avaliação

a) c) e) g) i) k) m) o)

senx ; x sen 3 x lim x → 0 sen 2 x sen π x lim ; x →1 sen (3π x ) 1 − cos x lim ; x→0 x2 tg 5 x lim x →0 x tgπ x lim ; x → −2 x + 2 sen ( x + h) − senx lim ; h →0 h senx − cos x lim ; π 1 − tgx x→

lim x→ 2

4

q)

lim x →0

; s ) lim x→0

sen 7 x − sen3 x x ⋅ cos x

x − sen 2 x ; x + sen 3 x

sen 3 x ; x sen 5 x d ) lim x → 0 sen 2 x senx f) lim x →π x − π senx − sena h) lim ; x→a x−a cos x − cos a j ) lim ; x→ a x−a 1 − cos x l) lim x →0 x 1 + senx − 1 − senx n) lim x →0 x tgx − senx p) lim ; x → 0 1 − cos x

b)

lim x→0

r) t)

lim x→0

cos mx − cos nx ; x2 1 − cos x lim x→0 x2

Lição nº 10

103

Confira as suas soluções sen 2 a) 2 1 i) 5

3 c) 2

b) β

3 d) 2

1 e) 2

f) π

1 g) 2

h) cos a

1 j) senx

m) cos x

n) 1

k) π

o)-1

l)

p) 0

2

q) 4

m2 − n2 2 r)

1 s) 4

1 t) 4

104

Lição nº 14 Limite notável exponencial e Logarítmica Introdução Nesta lição lição, você vai aprender os outros dois limites notáveis. táveis. Estes limites vão ajudá ajudá-lo a levantar indeterminações a limites que envol envolvem exponenciais e logarítmicas. É uma lição que vai exigir certamente muito tempo de trabalho (cerca de duas horas). Contudo, dependendo da forma como vai abordar, esse tempo poderá ser condensado para pouco menos. Esta lição, pela sua complexidade, poderá levar cerca de 5 horas. Ao completar esta lição, você será capaz de:

•

Calcular os limites de funções com ajuda dos seguintes limites x

x  1 lim 1 +  lim a − 1 = ln a x → ±∞ x  e x →0 x  notáveis:

Objectivos

Nesta lição lição, vamos demonstrar rar os outros limites notáveis. Como já foi referenciado na lição anterior, anterior estes limites desempenham um papel importante no ccálculo de limites. Veja, de seguida, o desenvolvimento da matéria. Limite Exponencial e Logarítmica

 1 lim 1 +  x → ±∞ x 

1- O limite

x

Proposição1: x

 1 lim 1 +  = e x → ±∞ x  onde e é o número irracional Neperiano cujo valor aproximado é 2,7182818284 459...

Lição nº 10

105

Prova: A prova desta prop proposição osição envolve noções de séries e, por isso, será aqui omitida.

1

Provar que

lim(1 + x ) x = e x →0

Resolução:

Exemplo

1

Em primeiro lugar, lugar provaremos que

x= De facto, fazendo

lim+ (1 + x ) x = e

x →0

1 t temos que t → +∞ quando x → 0 + . Logo, t

1  1 lim+ (1 + x ) x = lim 1 +  = e t → +∞ x →0  t .

1

Da mesma forma, prova-se prova que

lim− (1 + x ) x = e

x →0

Portanto, 1

lim(1 + x ) x = e x→0

.

Proposição2:

a x −1 = ln a x →0 x

lim

.

(a f 0, a ≠ 1) .

Demonstração Demonstração: Vamos fazer a seguinte mudança de variável: Seja:

t = ax −1 ⇒ ax = t +1

como x → 0 ⇒ t → a 0 − 1 = 0 x Se a = t + 1 logaritmizando vem:

.

106

ln a x = ln(t + 1) ⇔ x ln a = ln(t + 1) ⇔ x =

ln(t + 1) ln a

Assim, −1 1   ax −1 t lna.t t ln(t +1) t lim = lim = lim = lna⋅ lim = lnalim = ln a lim ln( t + 1 )    x→0 x t→0 ln(t +1) t→0 ln( t→0 ln( t→0 t→0 t +1) t +1)  t    lna = lna⋅ lne = lna

a x −1 = ln a Logo: x →0 x lim

Veja o exemplo de aplicação desta relação:

ax − bx x Calcule x →0 lim

Exemplo

Resolução: x

a ax   −1 b ( x − 1) x x a −b b x b lim = lim = lim b ⋅ lim   x →0 x →0 x →0 x →0 x x x a = b 0 ⋅ ln  b a = ln  b x

De seguida, como tem sido hábito, apresentamos algumas actividades para que você possa avaliar o seu grau de percepção antes de iniciar as actividades de auto auto-avaliação. Calcule os limites:

ex − e x →1 x − 1

a) lim

Actividade

 x +1  x→∞ x − 1  

b) lim 

2 x −1

Lição nº 10

107

Confira as suas soluções a) e

b) e 6

Sumário Cálculo de limites de funções com ajuda dos seguintes limites notáveis: x

x  1 lim 1 +  lim a − 1 = ln a x → ±∞ x  e x →0 x 

Exercícios Terminada a lição, faça uma auto-avaliação. Se responder correctamente às questões, então teve uma aprendizagem efectiva. Se conseguir responder correctamente à metade das questões, deverá repensar na sua aprendizagem, contudo, ainda está num bom caminho. Caso responda abaixo da metade, então precisa de rever as lições dadas, bem como os exemplos. Resolva novamente todos os exercícios sugeridos. Se as dúvidas persistirem, consulte o seu Tutor.

108

kx

a)

x

 1 lim1−  ; x→∞  x

b)

x

 π lim1−  ; x→∞  x

 k c) lim1−  x→∞  x

x

Auto-avaliação

d)

b x

lim(1+ 2x) ; x→0

e) lim(cox)x2 ;

f)

x→0

x2

1+x

 sen2x g) lim  ; x→0  x 

 k k lim1+  ; x→∞  x

1

h)

x

 x+1  lim  ; x→∞ 2x +1  

i)

 x−1 lim  ; x→∞ x +1  

senx

x

j)

 2+ x lim ; x→0 3− x  

m)

 x−1  lim 2  ; x→1 x −1  

p)

10x−2 −1 lim ; x→2 x −2

2x

 x2 −2x+3 x  ; k) lim 2 x→0 x −3x +2  

x+1

l)

 1 x+1 lim 2  ; x→∞ x  

o)

lim(1+ax) x ;

x+2

n)

 x−1 lim  ; x→∞ x +3  

b

x→0

x+3

q)

4 5 −1 lim ; x→−3 x +3

−k −π Solução: a) e b) e c)

e − k d) e 2 b

r)

5x −25 lim ; x→2 x −2

Confira as suas soluções oluções 3 e −2 j)1 k) 2 l) 0 25 ln 5

e) e

−

1 2

f) e

g) 2 h) 0 i)

1 2 ⋅ ln 2 −4 ab ln 10 e e 4 m) n) o) p) q) 5 r)

Lição nº 10

109

Lição nº 15 Continuidade de Funções Introdução Um dos conceitos fundamentais da Análise Matemática I é o de continuidade de função num determinado ponto. Esta lição poderá levar duas horas para ser percebida e os exercícios poderão levar duas horas. Pelo que que, a lição toda levará 4 horas. Ao completar esta lição, você será capaz de: •

Classificar as funções quanto à continuidade num ponto;

•

Representar graficamente as funções contínuas.

Objectivos

Nesta lição lição, como já foi referenciado na introdução, vamos estudar a continuidade de uma função num ponto. Para isso, isso há uma necessidade de termos a definição da continuidade. Assim vejamos: Continuid Continuidade de Funções Quando definimos

lim f ( x ) x→ a

analisamos o comportamento da função f (x )

para valores de x próximos de a , mas diferentes de a . Em muitos exemplos vimos que

lim f ( x ) x→ a

pode existir, mesmo que f não seja definida

lim f ( x ) no ponto a . Se f está definida em a e em x→ a existe, pode ocorrer que este limite seja diferente de f (a ) . Quando

lim f ( x ) = f ( a ) x→a

diremos, de acordo com a definição abaixo, que

a função f é contínua em a

110

Diz-se se que a função f é continua no ponto a , se as seguintes condições forem satisfeitas:

Tome Nota!

• • •

f é definida no ponto a lim f ( x ) x→a

existe

lim f ( x ) = f ( a ) x→a

Os esboços dos gráficos de funções abaixo indicam as funções que não são contínuas no ponto a .

Uma vez estuda estudada a abordagem teórica, vamos de seguida apresentar alguns exemplos de estudo de continuidade de uma função nnum um ponto. Atente na continuidade das seguintes funções:

Lição nº 10

x 2 + 1 ; f (xx) =  ; 3 x a) Exemplo

111

x f1 x ≤ 1 no ponto x = 1

Resolução Resolução: Vamos verificar se

lim = f (1) x →1

lim f ( x) = lim(3 x) = 3 ⋅ 1 = 3

x →1−

x →1

lim f ( x) = lim+ ( x 2 + 1) = 1 + 1 = 2

x →1+

Como

x →1

lim f ( x ) ≠ lim+ f ( x )

x →1−

x →1

então não existe

lim = f ( x ) x →1

logo:

A função f(x) é descontí descontínua no ponto x = 1

Veja mais um exemplo:

Exemplo

π  senx − cos x ; x≠  1 − tgx 4  f (xx ) =  π − 2 ; x=  2 4 b) 1)

senx− cosx senx− cosx senx− cosx cosx(senx− cosx) = lim = lim = lim π π π senx x→ cosx − senx x→ (cosx − senx) 1− tgx x→ x→ 4 4 1− 4 4 cosx cosx cosx(cosx − senx) 2 = − lim = − limcosx = − π π cosx − senx 2 x→ x→ lim π

4

4

π 2 π 2 lim f ( x) = f ( ) = − π f( )=− 4 2 2 ;Assim x → 4 2) 4 logo, a função é x= contínua no ponto

π 4.

Agora, resolva a seguinte actividade:

112

Qual deve ser o valor de k para que a função

Actividade

 x+2 , se x ≥ 3  f ( x) =  x 2 − 6 x + 5  k + 3 , se x < 3 Resposta: k =

−

seja eja contínua? contínua

17 4

Sumário Estudo da definição da continuidade de uma função. Exemplificação xemplificação de aplicação.

Exercícios Os exercícios apresentados neste grupo grupo,, são de aplicação directa da definição de continuidade de uma função num ponto. Resolva Resolva-os com muita atenção. Em caso de dificuldade, procure sempre rever os conteúdos apresentados. a Alguns exercícios requerem a construção de gráficos de funções, funções pelo que há necessidade de observar esses aspectos.

Lição nº 10

113

1. Estude a continuidade continuidad das seguintes funções e faça a representação: representação

Auto-avaliação

a)

b)

f ( x) = x + 1

; em x = –1;

Solução: contínua

2 x 2 ; se x ≠ 2 f ( x) =  10; se x = 2 , em x = 2; Solução:

descontínua

c)

 x 2 + 2, se x ≥ 0 f ( x) =   x + 2, se x > 0 , em x = 0;

Solução: ução: contínua

− 1, se − 1 ≤ x < 0 f ( x) =   x, se 0 ≤ x ≤ 2 , em x = 0; Soução: d) o: descontínua

e)

 2 x, se 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =  2 − x, se 1 < x ≤ 2 , em x = 1; Solução: contínua

f)

2 x, se 0 ≤ x < 1  f ( x) = 4, se x = 1  3 − x, se 1 < x ≤ 2  , em x = 1; Solução: descontínua

 x + 2, se − 3 ≤ x < −1  f ( x) =  3, se x = −1  − x, se − 1 < x ≤ 2  g) , em x = – 1; Solução: descontínua

114

Auto-avaliação

h)

se x ≥ 3 5 x + 1,  f ( x) =  x+2  x 2 − 6 x + 5 , se x < 3 , em x = 3; Solução: descontínua

i)

j)

1 − 2 x, f ( x) =  2  x − 2,

se x ≥ 3 se x < 3 , em x = 3 e x = 1

se x ≤ 2 5 x + 1,  2 f ( x) =  x − 4 x + 3 , se x > 2  x+3  , em

x = 2.

3x , se x < 0 f ( x) =  a + x, se x ≥ 0 . 2. Seja dada a função definida por Determine o valor de a para o qual f (x) é contínua em x = 0.

Confira as suas respostas Exercício 1 a) contínua b) descontínua c) contínua d)descontínua e) contínua f) descontínua g) descontínua h) descontínua j)

Exercício 2

a =1 Bibliografia

Leitura

1. NEVES, Maria Augusta Ferreira & BRITO. Maria Luísa Carvalho. Matemática 11º ano. 2º volume ( livro texto). Porto Editora. 1999 2. G. Baranenkov, B. Demidovitch. Problemas e Exercícios de Análise Matemática. 4ª Edição. Editora Mir. 1977.

Caro estudante, terminá terminámos mais uma unidade; esperamos uma vez mais que tenha tirado grande proveito no estudo. Agora, vamos entrar na unidade IV I que por sinal é a mais importante da cadeira de cálculo infinitesimal, pelo que, o sucesso nesta unidade vai abrir as portas para perceber todas as cadeiras que tenham ligação com a Matemática. Desejamos Desejamos um bom estudo.

Lição nº 10

115

Unidade IV Cálculo Diferencial Introdução A unidade sobre o cálculo diferencial é a unidade chave de Cálculo infinitesimal. Ela versa sobre conceitos fundamentais de cálculo derivadas em R. Ela é composta por 19 lições e um número total de 44 horas. Fermat e Newton, com o objectivo de resolverem dois problemas diferentes, chegaram a um dos mais importantes conceitos da Matemática: O conceito de derivada. Fermat pretendia determinar o declive da recta tangente a um ponto qualquer de uma curva. Fermat considerou um ponto P de uma curva e uma secante PQ. Concluiu que o declive da recta tangente à curva podia ser calculado como limite do declive da recta PQ, quando o ponto Q, percorrendo a curva, se aproxima de P. Newton pretendia determinar a velocidade instantânea, ou seja, a velocidade dada pelo velocímetro de um automóvel em movimento, conhecendo apenas a relação entre o espaço e o tempo. Para determinar, por exemplo, a velocidade instantânea no momento a , Newton considerou um intervalo de tempo em que a era um extremo. Por exemplo: [x1 , x1 + ∆x ]. Calculou a velocidade média nesse intervalo, reduzindo, sucessivamente h calculou de novo a velocidade média para cada um dos intervalos. Concluiu, então, que podia determinar a velocidade instantânea em a , através do limite da velocidade média no intervalo [x1 , x1 + ∆x ], quando ∆x → 0 . Nestas duas situações apresentadas aparecem o cálculo de limite. O declive da recta tangente a uma curva é um limite; a velocidade instantânea é um limite. Estes limites chamam-se derivadas

116

Ao complet completar esta unidade, você será capaz de:

Objectivos

•

Definir a derivada de uma função;

•

Fazer uma interpretação geométrica e física;

•

Calcular as derivadas e diferenciais;

•

Resolver problemas de aplicação da derivada na física físi [Velocidade, Aceleração (...)].

Lição nº 10

117

Lição nº 16 Derivada de uma função num ponto Introdução Nesta lição, você vai aprender o conceito de derivada de uma função num ponto, bem como a sua aplicação. É de salientar que esta lição é fundamental para a percepção do conceito de derivada no geral. O estudo desta lição vai levar cerca de 3 horas de traba trabalho lho e os exercícios apresentados, cerca de uma hora e meia. No entanto, a lição vai durar o tempo de cerca de 4 horas e 30 minutos. Ao completar esta lição, você será capaz de:

Objectivos

•

Definir a derivada de uma função num ponto;

•

Realizar a interpretação ação geométrica e física de derivada;

•

Determinar a equação da tangente num ponto.

O estudo da derivada de uma função é suportado pela sua definição. Contudo, há uma necessidade de conhecermos com exactidão a derivada. Para tal, precisamos, em primeiro lugar, de definir a derivada de uma função num determinado ponto. Só depois podemos generalizar generalizar o conceito. Acompanhe!

1 – Derivada de uma função num ponto A derivada de uma função f (x ) num ponto a é denotada por f ( x1 ) e

lim

definida pelo

∆x →0

f ( x1 + ∆x) − f ( x1 ) ∆x , quando existe.

Também podemos escrever

f ′(x1 ) = lim x → x1

f ( x) − f ( x1 ) x − x1 , se

  ∆
→ ∆




118 2 - Calcule f ′( 2) se f ( x) = 5 x + 6 x − 1

Exemplo

Resolução:

f ( x) − f ( x1 ) x − x1 ⇒

f ′(x1 ) = lim x → x1

f (x) − f (2) (5x2 +6x −1) −(5⋅ 22 +6⋅ 2−1) 5x2 +6x −1−31 = lim = lim f ′(2) = lim x→2 x→2 x→2 x −2 x −2 x −2 5( (x −2)(5x +16) 5x2 +6x −32 5x +16 lim = lim = lim = 26 x→2 x → 2 x → 2 x −2 x −2 1 2- Calcule f ′( 4) se f ( x ) =

Exemplo

x

Resolução:

f ′(x1 ) = lim x → x1

f ′(4) = lim x→4

= lim x→4

1

f ( x) − f ( x1 ) x − x1 ⇒

( x − 2)( x + 2) x −4 x− 4 x −2 = lim = lim = lim x → 4 x → 4 x → 4 x −4 x −4 (x − 4)( x + 2) (x − 4)( x + 2)

1 x +2 4

=

Uma vez definida a derivada num ponto, vamos generalizar o conceito. Isto é, vamos definir não num ponto, mas tomando um intervalo qualquer. Derivada de uma função A derivada de uma função y = f (x ) é a função denotada por f ′(x ) ,dada

f ′( x) = lim por

∆x →0

f ( x + ∆x ) − f ( x) ∆x , se este limite existir.

Diz-se se que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os seus pontos do seu domínio.

Lição nº 10

119

Em seguida, vamos dar uma interpretação geométrica da derivada, explorando a maneira como Fermat teria chegado a este conceito tão importante do estudo da Matemática.

Interpretação geométrica da derivada Vamos primeiro definir a inclinação de uma curva y = f (x ) para, em seguida, encontrar a equação da recta tangente. Esta ideia foi introduzida por Fermat, segundo o que foi dito na parte introdutória.

Recta tangente Seja y = f (x ) uma curva definida no intervalo ]a , b[ de acordo com a figura abaixo.

Sejam P ( x1 , y1 ) e Q ( x 2 , y 2 ) dois pontos distintos da curva y = f (x ) . Seja s a recta secante que passa pelos pontos P e Q. Considerando o triângulo rectângulo PMQ, temos que a inclinação da recta s (ou coeficiente

tgα = angular de s ) é

y 2 − y1 ∆y = x2 − x1 ∆x

Suponhamos agora que, mantendo o ponto P fixo, Q se move sobre a curva em direcção a P. Diante disto, a inclinação da recta secante s variará. À

120

medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo para um li limite mite constante. Veja a figura abaixo. a

Esse valor limite é chamado inclinação da recta tang tangente ente à curva em P. Dada uma curva y = f (x ) , seja P( x1 , y1 ) um ponto sobre ela. A inclinação da recta tangente à curva no ponto P é dada por

Tome Nota!

m(x1 ) = lim

Q→P

f ( x 2 ) − f ( x1 ) ∆y = lim x → x 2 1 ∆x x2 − x1 ,

quando uando

o

limite

existe.

Fazendo x 2 = x1 + ∆x , podemos escrever o limite da seguinte maneira:

m( x1 ) = lim

∆x →0

f ( x1 + ∆x) − f ( x1 ) = f ′( x1 ) ∆x .

Desta maneira maneira,, geometricamente a derivada da função no ponto x1 representa o declive da recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa x1 Sabendo agora o que significa a derivadaa de uma função num ponto, vamos de seguida definir a equação da recta tangente a um gráfico.

Equação da Recta Tangente:

Lição nº 10

121

Se a função f (x ) é contínua em x1 , então a recta tangente à curva

y = f (x ) em P ( x1 , f ( x1 )) é: y − f ( x1 ) = f ′( x1 )( x − x1 ) Tome Nota!

Agora,, vamos aos exemplos de aplicação da interpretação geométrica da derivada.

122 2 1. Dada a função f ( x) = x − x :

a)

Exemplo

Calcule, aplicando a definição, a derivada de f no ponto de abcissa x1 = 1 ;

b)

Faça a interpretação geométrica do resultado obtido;

c)

Escrever a equação da recta da tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa x1 = 1 . Resolução:

f ′( x1 ) = lim x → x1

2. Sabe-se Sabe que

f ′(1) = lim x→1

a)

f ( x) − f ( x1 ) x − x1 , então:

f ( x) − f (1) x2 − x − 0 x( x − 1) = lim = lim = lim x = 1 x → 1 x → 1 x→1 x −1 x −1 x −1

Logo,

f ′(1) = 1 b)

.

Interpretação geométrica. O declive da recta tangente ao gráfico da função definida por

f ( x) = x 2 − x no ponto de abcissa x1 = 1 é 1. c)

Equação da recta tangente. Como já foi visto, a equação da recta tangente é:

y − f ( x1 ) = f ′( x1 )( x − x1 ) e por sua vez,

x1 = 1

f (1) = 0 e m = f ′(1) = 1 então,

y − 0 = 1( x − 1) ⇔ y = x − 1 → equação da tangente.

Lição nº 10

g ( x) = 1 + 3. Dada a função definida por

Exemplo

123

1 x:

a)

Faça um esboço gráfico da função g;

b)

Represente geométrica e analiticamente a recta tangente ao gráfico no ponto de abcissa -1. Resolução: Como deve ter reparado, trata-se se de uma função homográfica, cuja construção já é conhecida, pelo que, o seu gráfico éé: y

t 1 x

-1 -1

b) A recta t desenhada é a tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa x = −1 .

Exemplo

Determinação do declive da recta tangente

1 1+ − 0 g ( x) − g (−1) x +1 1 g ′(−1) = lim = lim x = lim = lim = −1 x→−1 x → − 1 x → − 1 x → − 1 x − (−1) x +1 x( x + 1) x Assim, se m = g ′( −1) = −1 , a equação da tangente é:

y − 0 = −1( x + 1) ⇔ y = − x − 1 .

124

Sumário Estudo da definição da derivada num ponto, equação da tangente bem como da interpretação geométrica da derivada.

Exercícios Estes exercícios visam, essencialmente, ajudar a consolidar a matéria dada. Apresentam Apresentam-se problemas de interpretação da derivada vada mecânica e geométrica que são a base do estudo da derivada. Ao resolver estes exercícios, se tiver dificuldades em chegar à solução, solução significa que não percebeu a definição. Pel Pelo o facto, deve reler o conteúdo teórico e ver os exemplos dados acima.

1. Determine a equação da tangente às curvas nos pontos dados. Esboce o gráfico de cada caso caso.

Auto-avaliação

a)

f ( x ) = x 2 − 3 x + 6 em x = 2

b)

f ( x) = 2 x x = 0

2. Ache a derivada no ponto x = 2 , sendo:

a)

f ( x) = 2 x 2 f ( x) =

c)

x x +1

f ( x) = b) d) f ( x) =

3 x x+2

Lição nº 10

125

3. O Victor atirou uma pedra a um cajueiro co com m o objectivo de fazer cair um caju com castanha.

Auto-avaliação

A altura ltura da pedra ao fim de t segundos é dada pela fórmula

h(t ) = −2t 2 + 16t (em metros). A altura a que se encontra o cajú ao fim de t segundos antes de começar a cair é: h ′(t ) = 32 − 5t . 2

Determine: a)

A velocidade elocidade instantânea da pedra ao fim de 3 e 5 segu segundos de movimento e verifique see houve mudança de sinal.

b)

A velocidade instantânea do ouriço ao fim de 2 segundos depois de ter começado a cair.

c)

Quantos segundos levou o caju a atingir o solo?

4. Ao fim de t segundos, um carro de madeira descendo um plano inclinado percorreu um espaço em metros, dado pela fórmula:

e = 2t 2 . Supondo que o carro estava equipado com um velocímetro, qual era a velocidade que este indicaria ao fim de 3 segundos, ou seja, qual era a velocidade instantânea para t = 3 segundos?

Confira as suas soluções oluções Exercício 1 a) y = x + 2 b) x = 0

− Exercício 2 8 b)

3 1 1 4 c) 9 d) 4

Exercício 3 a) : 4 , -4

Exercício 4

Solução:

b)-20 d) ≈ 2,5 segundos

12 m

s

126

Lição nº 17 Derivadas Laterais Introdução Nesta Lição, você vai aprender o conceito da derivada lateral de uma função. É de salientar que esta lição é fundamental para a pe percepção rcepção do conceito de interpretação geométrica da derivada. derivada. Para o estudo desta lição vai necessitar de cerca de um hora de leitura e os exercícios apresentados ados cerca de uma hora e meia. Ao completar esta lição, você será capaz de: •

•

Calcular as derivadas laterais de funções;

•

Fazer a interpretação geométrica da derivada lateral.

Objectivos

Um dos conceitos importantes na interpretação geométrica da derivada é o conceito de derivada lateral. Vamos ao seu desenvolvimento. Definição se a função y = f (x ) está definida em x1 , então a derivada de Definição:

f em x1 , à direita denotada por f +′ ( x1 ) é definida por

f +′ ( x1 ) = lim+

f ( x1 + ∆x) − f ( x1 ) ∆x ou simplesmente

f +′ (x1 ) = lim+

f ( x) − f ( x1 ) x − x1 , caso exista este limite.

∆x → 0

x → x1

Definição se a função y = f (x ) está definida em x1 , então a derivada de Definição:

f em x1 , à esquerda denotada por f −′ ( x1 ) é definida por

f −′ ( x1 ) = lim− ∆x → 0

f ( x1 + ∆x) − f ( x1 ) ∆x ou simplesmente

Lição nº 10

f −′ (x1 ) = lim− x → x1

127

f ( x) − f ( x1 ) x − x1 , caso exista este limite.

N.B. Uma função é derivável num ponto, quando as derivadas laterais forem iguais.

− x 2 + 2 ; x ≤ 1 f ( x) =  ; x f 1, x Dada a função função: Exemplo

Verifique se a função é ou não derivável no ponto x = 1 , Resolução Resolução: À esquerda e à direita de 1, a função está definida por expressões algébricas diferentes. Vamos calcular as derivadas laterais de f no ponto

x = 1. À esquerda:

f −′ (1) = lim− x→1

= − lim− x→1

f ( x) − f (1) − x2 + 2 −1 − x2 +1 (1 − x)(1 + x) = lim− = lim− = lim− x → 1 x → 1 x → 1 x −1 x −1 x −1 x −1

( x − 1)(x + 1) = − lim− ( x + 1) = −2 x→1 x −1

À direita:

f +′ (1) = lim+ x →1

f ( x) − f (1) x −1 = lim+ =1 x →1 x − 1 x −1 .

Como f −′ (1) ≠ f +′ (1) , então não existe f ′(1) .

Sumário Estudo da definição da derivada lateral.

Exercícios Os exercícios aqui apresentados são apenas de aplicação directa da definição da derivada lateral. Da forma como os exercícios estão escalonados, escalonados poderão

128

não suscitar muitas dificuldades, contudo, em caso de dificuldade dificuldade, procure rever a parte teórica, teórica, bem como os exemplos apresentados. 1. Calcule as derivadas laterais das seguintes funções:

Auto-avaliação

− x 2 + 2

x ≤1

x

x >1

a) f ( x) = 

− 3 x

x ≥ −2

x + 2

x < −2

b) f ( x) = 

2

2. Encontre as derivadas laterais das seguintes funções, nos pontos indicados. Encontre os intervalos onde f ′( x ) f 0 ; f ′( x ) p 0 .

1

2

1

2

3

1

Confira as suas soluções oluções Exercício 1 a) à esquerda -2 e à direita 2

b) à esquerda -4 e à direita -3

Exercício 2 Figura 1: derivada à esquerda 1 e à direita 0 Figura 2 : derivada à esquerda –2, à direita -2

Lição nº 10

129

Lição nº 18 Regras de derivação Introdução Nesta lição, deduziremos várias regras de derivação que permitem determinar as derivadas das funções sem o uso da definição. O estudo desta vai requerer cerca de duas horas de trabalho. Os exercícios também poderão levar cerca de duas horas, pois estão incluídas as regras de derivação que serão demonstradas como exercícios de aplicação aplica da definição. inição. Ao completar esta lição, você será capaz de: •

•

Calcular as derivadas de uma constante, potência, soma e produto de funções.

Objectivos

Caro estudante, a seguir vai apresentar algumas regras de derivação em forma de proposições e as suas respectivas demonstrações. Veja detalhadamente o desenvolvimento da lição.

Regras de Derivação Proposição1: Se c é uma constante e f ( x ) = c para todo o x , então f ′( x ) = 0 .

Demonstração Demonstração:

f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x c−c = lim = lim 0 = 0 ∆x → 0 ∆x ∆x → 0

f ′( x) = lim

∆x → 0

Proposição 2: 2 Derivada de uma função potencial n n −1 Se n é um nº inteiro positivo f ( x) = x , então f ′( x) = n ⋅ x

Demonstração Demonstração:

130

f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x → 0 ∆x ( x + ∆x ) n − x n = lim ∆x → 0 ∆x

f ′( x) = lim

n Vamos expandir o ( x + ∆x ) com ajuda do desenvolvimento do binómio de

Newton:

(a + b) n = an + nxn−1b +

n(n −1) n−2 2 n(n −1)n − 2) n−3 3 a b + a b + ⋅ ⋅ ⋅ + bn 2! 3!

→ binómio de Newton. Assim,

( x + ∆x ) n − x n ∆x →0 ∆x n(n − 1) n − 2 2  n n −1 n n  x + n ⋅ x ⋅ ∆x + 2! x ∆x + ⋅ ⋅ ⋅ + ∆x − x  = lim ∆x →0 ∆x n(n − 1) n − 2 ∆x (n.x n−1 + x ∆x + ⋅ ⋅ ⋅ + ∆x n −1 ) 2! = lim ∆x →0 ∆x n(n − 1) = lim (n ⋅ x n −1 + ∆x + ⋅ ⋅ ⋅ + ∆x n −1 ) = n ⋅ x n −1 ∆x →0 ∆x

f ′( x ) = lim

Proposição 3: Derivada do produto de uma função por uma constante. Seja f uma função, c uma constante e g a função definida por

g ( x ) = cf ( x ) . Se f ′(x ) ; existe então g ′( x ) = c ⋅ f ′( x ) . Demonstração: Por hipótese,

f ′( x) = lim

∆x → 0

f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x teremos:

Lição nº 10

131

g ( x + ∆x ) − g ( x) cf ( x + ∆x) − cf ( x ) = lim ∆x →0 ∆x → 0 ∆x ∆x f ( x + ∆x ) − f ( x)   c  lim  = c. f ′( x) ∆x  ∆x→0 g ′( x) = lim

As demonstrações das propriedades seguintes ficam como exercícios. Proposição 4: Derivada de uma soma Se f e g são duas funções reais definidas sobre o mesmo intervalo e com

′

derivadas finitas, então [ f ( x ) + g ( x ) ] = f ′( x ) + g ′( x ) . Proposição 5: Derivada de um produto. Se f e g são duas funções reais definidas sobre o mesmo intervalo e com

′

derivadas finitas, então [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = f ′( x ) ⋅ g ( x ) + g ′( x ) ⋅ f ( x ) Proposição 6: Derivada de um quociente. Se f e g são duas funções reais definidas sobre o mesmo intervalo e com

derivadas finitas, então

′  f ( x)  f ′( x).g ( x ) − f ( x).g ′( x )  g ( x)  = [g ( x)]2  

132

1. Calcule as derivadas das seguintes funções:

f ( x) = 3 x − a)

Exemplo b)

1 2

f ( x ) = (2 x + 1)(3 x + 2)

f ( x) = c)

x +1 2x + 3

Resolução Resolução:

a)

1 1 f ′( x ) = (3 x − )′ = (3 x)′ − ( )′ = 3.( x )′ − 0 = 3 2 2

b)

f ( x ) = (2 x + 1)(3 x + 2)

Temos duas possibilidades de resolver o problema. Pode Pode-se se aplicar a propriedade distributiva e depois a derivada de uma soma soma, como também se pode aplicar a regra do produto. Vamos pela regra do produto produto.

[(2 x + 1)(3x + 2)]′ = (2 x + 1)′(3x + 2) + (2 x + 1)(3x + 2)′ = 2 ⋅ (3 x + 2) + (3 x + 2) ⋅ 3 = 6 x + 4 + 9 x + 6 = 15 x + 10 f ( x) = c)

x +1 2x + 3

Neste caso, há necessidade de se aplicar a regra do quociente, quociente assim:

( x + 1)′(2 x + 3) − ( x + 1)(2 x + 3)′ (2 x + 3) − ( x + 1) ⋅ 2 = (2 x + 3) 2 (2 x + 3) 2 2x + 3 − 2x − 2 1 = = 2 (2 x + 3) (2 x + 3) 2

f ′( x) =

Temos, os, de seguida, uma actividade.

Lição nº 10

133

Calcule as derivadas das seguintes funções

(

)(

)

a) y = x 2 − 3 x + 3 ⋅ x 2 + 2 x − 1

Actividade

b) y =

1 − x3 1 + x3

Confira as suas soluções oluções a) 6 x 3 − 3 x 2 − 8 x + 9 b) −

(x

6x 2 3

)

+1

2

Sumário Descrição das regras fundamentais de derivação: derivada de uma constante, potência, soma, produto e quociente.

Exercícios Estes exercícios exigem a aplicação das regras de derivação. Em caso de não chegar à solução, verifique, primeiro, se a fórmula foi bem ou mal aplicada. Pode também ver verificar ificar se as simplificações estão bem feitas ou não. Em caso de dificuldade dificuldade, reveja a lição e os exemplos dados dos para cada regra.

134

1. Calcule as derivadas das seguintes funções 1 2 x + 1; 2 y = x n + mx;

a) y = x 3 −

b) y = x 5 + x 4 − x 3 − 1;

c)

d ) y = ( x 2 + 3 x + 2) 2 ;

Auto-avaliação

e) y = (1 − x) 2 ;

[

f)

)]

(

 x −1 y= ;  x 

g ) y = (x − 1) x 2 + 1 ;

h) y = x 2 ⋅ x

2x + 4 3x − 1 3 5 k ) f ( x) = 4 + 5 x x

(t − a ) 2 t −b 1 4 2 l) y = x + 6 2 x

i) y =

j ) f (t ) =

y= 2. Encontre a equação da recta tangente à curva

2x + 1 3 x − 4 no ponto

de abcissa x = −1 . 2 3. Seja y = ax + bx . Encontre os valores de a e b , sabendo que a

tangente à curva no ponto (1, 5) tem uma inclinação m = 8

Confira as suas Soluções Exercício 1 2 a) 3 x − x b)

5xx 4 + 4 x 3 − 3 x 2 1 2 f) x

e) − 2 x + 2

14 2 i) (3 x − 1)

Exercício 2

1 11 =− ( x + 1) 7 144

Exercício 3 a = 3

,

d )4 x 3 + 18 x 2 + 26 x + 12

2 g) 3 x − 2 x + 1 h)

t − 2a + b j) t − b

−

y−

c) nx n −1 + m

b=2

2x x +

x2 2 x

12 25 12 − 6 2x 3 − 7 5 x l) x k) x −

Lição nº 10

135

Lição nº 19 Derivada de Funções Compostas Introdução Nesta lição, vamos tratar das funções que, pela sua natureza, natureza requerem um artifício relativamente complexo em relação às funções estudadas na lição anterior. Trata Trata-se de funções compostas. Pela sua complexidade, plexidade, o tempo previsto para esta lição é de 3 horas. Ao completar esta lição, você será capaz de: •

•

Calcular diversas derivadas de Funções compostas.

Objectivos

O cálculo de derivadas de funções compostas é muitíssimo importante. Ela requer de si uma atenção bastante especial, pois a identificação de composição tem sido muitas vezes um problema para a maioria de estudantes. Contudo, a lição que se segue vai ajudar ar a esclarecer. Derivada de uma função Composta Começaremos o no nosso estudo recordando o que é a composição de uma função, tendo em consideração que já tratamos deste assunto no estudo de generalidades sobre funções. Consideremos duas funções deriváveis f e g , onde y = g (u ) e u = f ( x ) . Para todo o x tal que f ( x ) está no domínio de g , o que nos permite escrever y = g (u ) = g [ f ( x)] isto é, podemos considerar a função composta

( g o f )( x ) .

136 2 7 Por exemplo, uma função tal como y = ( x + 5 x + 7) pode ser vista 7 como composta de funções y = g (u ) = u , onde

Exemplo

u = x 2 + 5x + 7 . A seguir, seguir vamos apresentar a regra de cadeia que nos dá a derivada da função composta g o f em termos das derivadas de f e g. Proposição: Se y = g (u ) , u = f ( x ) e as derivadas y ′(u ) e u ′( x ) existem, então a função composta y = g [ f (x)] tem uma derivada dada por:

y ′( x ) = y ′(u ) ⋅ u ′( x ) = g ′(u ). f ′( x ) Demonstração Demonstração: Vamos fazer a demonstração supondo que existe um intervalo aberto I contendo x , tal que ∆u = [ f ( x + ∆x) − f ( x) ] ≠ 0 sempre ( x + ∆x ) ∈ I e ∆x ≠ 0 (1). Isso verifica-se verifica para um grande número de funções, porém não para todas. Por exemplo, se f for uma função constante, a condição acima não é satisfeita. Porém, neste caso, podemos, facilmente, e, provar a fórmula. De

( ) é uma facto,, se f ( x ) = c , então f ′( x ) = 0 e y = g [ f ( x)] = g (c constante. Assim, y ′( x ) = 0 = g ′(u ). f ′( x ) . Então, vamos agora provar y ′( x ) = g ′(u ). f ′( x ) quando f ( x ) satisfaz a condição (1). Como y = g [ f (x)] , temos

y ′( x ) = lim

∆x → 0

g [ f ( x + ∆x ) ] − g [ f ( x ) ] ∆x se este

limite existir.

g [ f ( x + ∆x )] − g [ f ( x)] ∆x Vamos considerar primeiro, o quociente .

Lição nº 10

137

Seja ∆u = f ( x + ∆x ) − f ( x ) , então ∆u depende de ∆x e ∆u → 0 quando ∆x → 0 . Assim, teremos:

g [ f ( x + ∆x)] − g [ f ( x )] g (u + ∆u ) − g (u ) ∆u g (u + ∆u ) − g (u ) ∆u = ⋅ = ⋅ ∆x ∆x ∆x ∆u ∆u g (u + ∆u ) − g (u ) f ( x + ∆x) − f ( x) = ⋅ ∆u ∆x Aplicando o limite, temos

y ′( x ) = lim

∆x → 0

g [ f ( x + ∆x ) ] − g [ f ( x ) ] ∆x

g (u + ∆u ) − g (u ) f ( x + ∆x ) − f ( x) ⋅ lim ∆ x → 0 ∆x ∆u ′ ′ = = g (u ) ⋅ f ( x) lim

∆u →0

C.q.d. De seguida, vamos aos exemplos para poder fixar a ideia.

138

Calcule as derivadas das seguintes funções: 2 7 a) y = ( x + 5 x + 2)

Exemplo

7 Vimos anteriormente que podemos escrever y = g (u ) = u , onde

u = x 2 + 5 x + 2 , então pela regra de cadeia, teríamos:

y ′( x) = y ′(u ) ⋅ u ′( x) = 7u 6 ⋅ (2 x + 5) = 7( x 2 + 5 x + 2) 6 ⋅ (2 x + 5)  3x + 2  y=   2x + 1  b)

5

4 4 ′  3x + 2   3x + 2   3x + 2  (3x + 2)′(2x +1) − (3x + 2).(2x +1)′ y′ = 5 .  ⋅  = 5 (2x +1)2  2x +1   2x +1   2x +1  4

4

 3x + 2  3(2x +1) − 2(3x + 2)  3x + 2  6x + 3 − 6x − 4 5 = 5  ⋅  ⋅ (2x +1)2 (2x +1)2  2x +1   2x +1  4⋅

−1 1  3x + 2   3x + 2  = 5 =− ⋅  ⋅  2 2  (2x +1)  2x +1   2x +1  ((2x +1)

4

Caro estudante, a partir do exemplo anterior, pode enunciar a seguinte proposição que poderá facilitar o cálculo de derivadas de algumas funções.

Proposição: sse u = g ( x ) é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então

Tome Nota!

d [g ( x)]n = n ⋅ [g ( x)]n−1 ⋅ g ′( x) dx

Com esta nota nota, veja o exemplo que se segue, provando como algumas funções são facilmente deriváveis.

Lição nº 10

f ( x) = 5 x 2 + 3

c)

f ′( x) = 5 ⋅

Exemplo

139

=

(

1 2 x +3 2

(

)

1 −1 2

⋅ ( x 2 + 3) ′

)

1 − 5 2 x + 3 2 .2 x = 5 x 2

1 ( x 2 + 3)

1 2

5x

=

x2 + 3

Sumário Nesta lição, você aprendeu a regra derivada de uma função composta que consistiu, essencialmente, em derivar simultaneamente a função e a sua parte interna da composição.

Exercícios Calcule as derivadas das seguintes funções: f ( x ) = 10 (3 x 2 + 7 x − 3) 10 ;

a)

Auto-avaliação c) e)

1 (bx 2 + ax ) 3 a f (t ) = (7t 2 + 6t ) 7 (3t − 1) 4 f ( x) =

1 (2 x 5 + 6 x −3 ) 5 ; 3 1 d ) f ( x ) = (3 x 3 + 6 x ) 10 − 2 ; x f ) f ( x ) = (5 x − 2) 6 (3 x − 1) 3 ; b)

f ( x) =

h)

f ( x ) = ( 2 x − 5) 4 +

j)

f (t ) =

3

g)

 7t + 1  f (t ) =  2  ;  2t + 3 

i)

f ( x ) = 3 (3 x 2 + 6 x − 2 ) 2

k)

f ( x) =

2x 3x − 1

;

1 − x; x +1

1 3

4t − 5t + 2 2

;

140

Confira as suas soluções 5 a)100(6x + 7) b) (2x5 − 6x −3 ) 4 ⋅ (10x 4 −18x −4 ) 3 3 2 c) ⋅ (bx2 + ax) ⋅ (2bx + a) d )10(3x3 6x)9 + 3 a x 3 2 6 2 e)2(3t −1) ⋅ (7t + 6t ) (189t 99t − 70) f )(3x −1)3 ⋅ (5x − 2)5 (315x − 48) 2

2 1 1  7t + 1  (−14t − 4t + 21) g)3 2 h)8(2x − 5)3 − −  ⋅ 2 2 2 (2t + 3) ( x + 1) 2 x  2t + 3  5 − 8t 6x − 5 j) k) 3 2 3x − 1 4t − 5t + 2

Ao resolver estes exercícios, certamente que observou que o sucesso está na identificação correcta da parte interna da função, isto é, a identificação da composição da função. Em caso de não ter conseguido chegar à solução, observe cuidadosamente este aspecto. Uma outra observação é que, na maioria das vezes, o estudante pensa que não alcançou a resposta correcta só porque não simplificou o exercício. Pelo que, deve ter em consideração este aspecto, simplificando ao máximo possível a solução obtida.

Lição nº 20

141

Lição nº 20 Derivada de Funções elementares Introdução Nesta lição, vamos apresentar as derivadas das funções elementares: exponencial, logarítmicas, trigonométricas. Pela natureza destas funções, funções às vezes,

costumam

criar

algumas

dificuldades,

principalmente,

as

trigonométricas. Do seu lado vai requer um redobrar de esforço. Duas horas é tempo suficiente para perceber a lição e uuma ma hora para resolver os exercícios propostos. São no total três horas de trabalho previstas para esta lição. Ao completar esta lição, você será capaz de: •

•

Calcular as derivadas das funções exponenciais,, logarítmicas, seno e co-seno.

Objectivos

Esta lição versa fundamentalmente sobre derivadas de funções elementares. Vamos a seguir, desenvolver a teoria com apoio da definição da derivada Vamos, de uma função. Derivada da função exponencial x x 1-se y = a , ( a f 0 , a ≠ 1 ) então y ′ = a ln a

Demonstração Demonstração: x Seja y = a , ( a f 0 , a ≠ 1 ) aplicando a definição

a x + ∆x − a x a x ⋅ a ∆x − a x a x (a ∆x − 1) = lim = lim ∆x → 0 ∆x →0 ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x ∆x a −1 = a x lim = a x ln a ∆x → 0 ∆x

y ′ = lim

x x 2- Se y = e então, y ′ = e

Usando a propriedade anterior vem:

142

(e x ) ′ = e x ln e = e x Derivada da função logarítmica 3- Se y = ln x então

y′ =

1 x

Demonstração:

ln( x + ∆x ) − ln x (ln x )′ = ∆lim = lim x →0 ∆x →0 ∆x

ln

 ∆x  x + ∆x ln1 +  x  x = lim  ∆x →0 ∆x ∆x x 1 ⋅

1

1  ∆x   ∆x  ∆x = lim ⋅ ln1 + = lim ln1 +   ∆x → 0 ∆x x  ∆x →0  x  

  ∆x x   1  = lim ln 1 + ∆x → 0 x     ∆x  

1 x x  x ∆x ∆x       1   1  1  1 1  = lim ln  1 + = lim ln 1 + = ln e =  0 ∆x → 0 ∆ x → x  x  x  x x       ∆x   ∆x    

y = log a x então, 4- Se

y′ =

1 x ln a

Demonstração: Primeiro, vamos fazer a mudança de base para a base e :

y = log a x = Assim,

log e x ln x = log e a ln a

Uma vez feita a mudança de base, vamos à derivação:

(log a x )′ =  ln x   ln a 

′ =

1 1 1 1 (ln x)′ = ⋅ = ln a ln a x x ln a

Cq.d. Uma vez vistas as derivadas destas funções, vamos de seguida apresentar alguns exemplos como forma de o ajudar a fixar as ideias fundamentais.

Lição nº 20

143

Calcule as derivadas das seguintes funções: 2 x −3 a) y = e

Exemplo

Resolução Resolução:

′ y ′ = e 2 x +3 = e 2 x +3 (2 x + 3)′ = 2 ⋅ e 2 x +3

(

)

x b) y = 3

2

−2 x

Resolução Resolução:

(

y′ = 3x

2

−2 x

)′ = 3

ln 3 ⋅ ( x 2 − 2 x)3 x

x 2 −2 x

2

( x 2 − 2 x) ln 3

−2 x

2 c) y = ln( x − 3)

Resolução Resolução:

′ y ′ = ln( x 2 − 3) =

[

]

1 (x 2 − 3)′ = 22 x x −3 x −3 2

d) y = log 2 ( 2 x − 3) Resolução Resolução:

y′ =

( 2 x − 3) ′ 2 = ( 2 x − 3) ln 2 ( 2 x − 3) ln 2

Outras funções elementares a considerar são as funções senx e cosx, cosx cujas derivadas se calculam como se segue: Derivada das funções senx e cosx 5. Derivada da função y = senx Seja y = senx então, a derivada da função y = senx é igual a cos x Demonstração Demonstração: Seja y = senx , apliquemos a definição da derivada:

144

sen( x + ∆x ) − senx ∆x → 0 ∆x . Para desenvolvermos o limite, limite podemos

y ′ = lim

aplicar a fórmula trigonométrica: trigonométrica

senα − senβ = 2 sen

α −β α +β ⋅ cos 2 2

Então,

y ′ = lim

2sen

∆x→0

x + ∆x − x x + ∆x + x ∆x ⋅ cos 2sen 2 2 2 ⋅ cos 2 x + ∆x = lim ∆ x → 0 ∆x ∆x 2

∆x 2 ⋅ cos 2 x = cos x = lim ∆x→0 ∆x 2 2 2 2sen

6- Derivada erivada da função y = cos x Seja y = cos x então, a derivada da y = cos x é igual a − senx Podemos escrever a função y = cos x em função do senx..

sen( Recordar que

π 2

− x ) = cos x

cos( e

π 2

− x) = senx

′ π π π   (cos x) ′ =  sen( − x)  = cos( − x) ⋅ ( − x) ′ 2 2 2   π  = − cos − x  = − senx 2  2 Calcule a derivada da função y = cos( x − 3 x)

Resolução Resolução:

Exemplo

y ′ = − sen( x 2 − 3 x)( x 2 − 3 x)′ = −(2 x − 3) sen( x 2 − 3 x) = (3 − 2 x) sen( x 2 − 3 x)

Lição nº 20

145

Sumário Nesta lição, aprendeu a derivada das funções elementares: logarítmicas, exponenciais e trigonométricas, sendo:

y = a x , ( a f 0 , a ≠ 1 ) então, y ′ = a x ln a 1 ′ y = log a x então, y = x ln a

(senx )′ = cos x

e

(cos x )′ = − senx

Exercícios Os exercícios apresentados também têm a mesma exigência dos exercícios da lição anterior, diferenciando-se no facto de estes serem de natureza direccionada a certas funções.

146

1. Calcule as derivadas das seguintes funções exponenciais e logarítmica logarítmicas:

Auto-avaliação

1−x2

1 a) y=  ; 2 x3 lnx

d) y=2

2

b) y=ex +2x;

c)

x2 +2x ; ex 1+ex h) y= x . 1−e

e) y=

g) y=e x+1;

xe ; ex

f ) y=ee;

2. Calcule as derivadas das seguintes funções trigonométricas: trigonométricas

a ) y = sen 2 x ; c)

b)

y = (3 − senx ) ;

d ) y = ln sen 3 x ;

5

senx + cos x ; senx − cos x x h ) y = ln ; 1− x2

e ) y = tan x − cot gx ;

(

y = sen 12 x ;

y=

f)

)

g ) y = sen x 2 − 5 x + 1 − tan

a ; x

y = sen ( sen ( senx ));

i)

j) y =

1 − cos x ; 1 + cos x

k ) y = senx ;

l ) y = tg 3x.

Confira as suas soluções oluções Exercício 1 1−x 2

1 a)    2 e)

x3

2x ln 2 b) (2x + 2)e

2x + 2 x ln x − x 2 − 2 x ex

e.ee−1 − xe x 2 (3ln x − 1) ln x c) d ) 2 ln 2 . ln2 x ex

x 2 +2 x

f)0

g)

e

x+1

2 x +1

h)

2e x (1 − e x ) 2

Lição nº 20

147

Exercício 2

1 1 a)2cos2x b) cos x c) 5(3− senx)4 cosx d) 3cotg3x 2 2 4 2 a e) 2 f )− g)(2x −5)cos(x2 −5x +1) + 2 sen 2x (senx−cosx) a x2 cos2 2  x  1 1 3 h)cosxcos(senx)cos[sen(senx)] i) k) cotgx senx l) 2 1+cosx 2 cos (3x) Esperamos que tenha conseguido resolver. Se teve dificuldade não desista. Resolva de novo. Se a dificuldade persistir consulte o seu Tutor.

148

Lição nº 21 Derivada de funções trigonométricas tricas Inversas Introdução Para uma melhor percepção das derivadas de funções trigonométricas inversas, vamos, primeiro, enunciar o teorema sobre derivada de uma função inversa. Depois deste teorema, teorema vamos deduzir as funções trigonométricas inversas. Uma hhora ora é tempo suficiente para estudar esta lição e uma hora e meia para resolver os exercícios propostos. Pelo que, que duas horas e meia, meia é tempo previsto para o estudo desta lição. Ao completar esta lição, você será capaz de:

•

Objectivos

•

Enunciar o teorema sobre funções inversas;

•

Calcular as derivadas das funções trigonométricas inversas;

•

Resolver exercícios envolvendo várias funções trigonométricas inversas.

Para uma melhor percepção das derivadas de funções trigonométricas inversas vamos, primeiro, enunciar o teorema sobre derivada de uma função inversas, inversa.

Funções inversas Teorema: Seja a função y = f (x ) definida num intervalo aberto ]a , b[ . Suponhamos que f (x ) admita uma função inversa x = g ( y ) contínua. Se

f ′(x ) existe e diferente de zero para qualquer que seja x ∈ ]a , b[, então, a função g = f

f ′( x) =

−1

é derivável

1 g ′( y ) .

Demonstração: A figura abaixo é uma demonstração deste teorema.

Lição nº 20

149

Sejam y = f ( x ) e ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) . Observemos que com a função f possui uma inversa, se ∆x ≠ 0 temos que f ( x + ∆x ) ≠ f ( x ) e portanto,

∆y ≠ 0 . Como f é contínua, quando ∆x → 0 temos que ∆y também tende para zero. Da mesma forma, quando ∆y → 0, ∆x = g ( y + ∆y ) − g ( y ) também tende para zero. Temos então,

∆ x → 0 ⇔ ∆ y → 0. Mas também, para qualquer y = f (x ) vale a identidade

g ( y + ∆y ) − g ( y ) ( x + ∆x) − x ∆x = = ∆y ( x + ∆x) − f ( x) f ( x + ∆x ) − f ( x) 1 = f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x Como f ′(x ) existe e f ′( x ) ≠ 0 para todo x ∈ ]a , b[ vem

g ( y + ∆y ) − g ( y ) = ∆y →0 ∆y lim

1 1 = f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ′( x ) lim ∆x → 0 ∆x

g ′( y ) = Concluindo-se que

1 f ′( x)

Uma vez demonstrado o teorema da derivada de uma função inversa, passemos, de seguida, a deduzir as derivadas das funções trigonométricas. Acompanhe!

Derivada de funções Trigonométricas Inversas

150

1. Derivada da função y = arcsenx .

Seja

 π π f : [− 1 , 1] → − ;   2 2  definida por f ( x ) = arcsenx . Então,

(arcsenx)′ =

1 1− x2

Demonstração:

Se y = arcsenx ⇒ x = seny ,mas

f ′( x) =

g ′( y ) =

1 f ′( x) ,isto é,

1 1 1 = = g ′( y ) ( seny ) ′ cos y

cos y = 1 − sen 2 y Contudo, sabe-se também que

f ′( x) =

Assim,

1 1 1 1 1 = = = 2 1− x2 g ′( y ) ( seny ) ′ cos y = 1 − sen y

2. A derivada da função y = arccos x .

Seja

 π π f : [− 1 , 1] → − ;  f ( x) = arccosx  2 2  definida por . Então,

(arccos x )′ = −

1 1− x2

Demonstração:

arccos x = Usando a relação

(arccos x)′ = (

π 2

π − arcsenx 2 então,

− arcsenx)′ = 0 −

3. Derivada da função y = arctgx .

1 1− x

2

=−

1 1− x2

Lição nº 20

151

 π π f : R → − ,   2 2  definida por f ( x ) = arctgx . Então y = f (x ) Seja y′ = é derivável e

1 1+ x2

Demonstração: Se y = arctgx ⇒ x = tgy , mas

1 (arctgx )′ = 1 = 12 (tgy )′ sec y g ′( y ) ⇒

f ′( x) =

2 2 Mas também é sabido que sec y = 1 + tg y . Assim,

(arctgx )′ =

1 1 1 1 = = = 2 2 (tgy ) ′ sec y 1 + tg y 1 + x 2

4- Derivada da função y = arc cot gx . Para demonstração, vamos usar também a relação:

arc cot gx =

π − arctgx 2 . Desta maneira,

′ π  (arc cot gx ) =  − arctgx  = 0 − 1 2 = − 1 2 1+ x 1+ x 2  ′

Deduzidas estas funções, vamos agora dar alguns exemplos:

152

Calcule as derivadas das seguintes funções: 2 a) y = arcsen( x + 4)

Exemplo

Resolução:

(arcsen( x

2

′ + 4) =

)

y = arctg b)

y′ =

1 1 − ( x + 4)

2

(x

2

′ +4 =

)

2x 1 − ( x 2 + 4) 2

1− x2 1+ x2

1− x2  ⋅ 2  2 1 − x2  1 + x  1 +  2  1+ x  1

2

′  2x  = − 1+ x4 

Sumário Nesta lição lição, você estudou as derivadas das funções trigonométricas inversas inversas, bem como a resolução de exercícios que envolvem envolve funções trigonométricas inversas inversas.

Exercícios Para estes exercícios exercícios, o fundamental é ter acompanhado com atenção as lições e perceber a exposição exposição dos exemplos colocados. Se eventualmente tiver alguma dificuldade dificuldade, veja cuidadosamente os exemplos dados, assim como a explanação do conteúdo.

Lição nº 20

a) y = (arcsenx) 2

b) y = xarcsen3x

c) f (t ) = arccos(sent )

.

d ) y = arcsen x

e) f (t ) = t 2 arccos(2t + 3)

Auto-avaliação

g ) f ( x) = arccos

153

f ) f ( x) = cot g 4 (2x 2 − 3) 2 1 h) Arctg 1− x2

2x 3

Confira as suas soluções oluções 2arcsenx arcsenx a)

1− x

2

arcsen3x + b)

1 − (2t + 3) 2 f)

e)

g) 9 − 4 x

2

1 − 9x

2

2t 2

2t ar cos(2t + 3) −

2

1

3x

2 2 h) (1 − x ) (1 − x ) + 1 2

[

]

c) d)

−

2 x(1 − x)

16(2 x − 3) cot g 3 (2 x − 3) 2 sen 2 (2 x − 3) 2

154

Lição nº 22 Derivadas de Funções Hiperbólicas e Implícitas Introdução As funções hiperbólicas estão relacionadas com as funções trigonométricas. Uma compreen compreensão destas, facilmente se alcança os objectivos ctivos pretendidos. Quanto ààs funções implícitas elas relacionam-se com m funções elementares. Duas horas é tempo suficiente para estudar esta lição e resolver os exercícios apresentados. Ao completar esta lição, você será capaz de:

Objectivos

•

Calcule as derivadas das funções hiperbólicas;

•

Calcule as derivadas das funções implícitas;

•

Resolva exercícios que relacionam as derivadas implícitas e a interpretação geométrica da derivada.

As funções hiperbólicas são definidas em termos de funções exponenciais. Desta forma forma, podemos facilmente determinar a sua derivada, usando as regras de derivação já conhecidas.

1- Derivadas das funções hiperbólicas Por exemplo exemplo, y = senhx . Sabe se que

senhx =

e x − e−x 1 cosh x = (e x + e − x ) 2 2 e logo,

′  e x − e−x  1 x −x ( senhx)′ =   = (e + e ) = cosh x 2 2  

Lição nº 20

155

Similarmente podemos obter as derivadas das demais funções hiperbólicas. Similarmente, hiperb Encontre Encontre-as!

Tabela de derivadas

′ 1) (senhu ) = cos u.u ′ ′ 3) (tghu ) = sec h 2 u ⋅ u ′

5) sec hu = − sec hu ⋅ tghu ⋅ u ′

′ 2) (cosh u ) = senhu ⋅ u ′′ ′ 4) (cot ghu ) = − cos ech 2 ⋅ u ′ ′ 6) (cos echu ) = − cos echu. cot gh.u ′

Determine as derivadas das seguintes funções: 3 a) y = senh( x + 3)

Exemplo

Resolução

y ′ = ( senh( x 3 + 3))′ = cosh( x 3 + 3)( x 3 + 3)′ = 3 x 2 cosh( x 3 + 3) b) y = sec h( 2 x )

Resolução

(sec h(2 x) )′ = −2 sec h(2 x) ⋅ tgh (2 x) 3 c) y = cot g (1 − x )

Resolução

y ′ = − cos ech 2 (1 − x 3 ) ⋅ (−3 x 2 ) = 3 x 2 cos ech 2 (1 − x 3 )

Derivada de uma função Implícita Consideremos a equação equação: f ( x, y ) = 0 . (1) Dizemos que a função y = f (x ) é definida implicitamente pela equação

f ( x, y ) = 0 se, ao substituirmos y por f (x ) em (1), esta equação transforma numa identidade. transforma-se

156

x2 + 1. A equação

Exemplo

1 y −1 = 0 2 define implicitamente a função

y = 2(1 − x 2 ) . 2 De facto, substituindo y = 2(1 − x ) na equação

x2 +

1 y −1 = 0 2 ,

obtemos uma identidade. 2 2 2. A equação x + y = c define implicitamente, uma infinidade de

funções. Com efeito efeito, resolvendo a equação para y como função de x , temos

y = ± c − x2 .

De seguida, vamos ao essencial que é a derivação das funções definidas implicitamente.

Derivação de Funções Implícitas Suponhamos que F ( x, y ) = 0 define implicitamente uma função derivável

y = f (x ). Os exemplos que se seguem mostram que usando a regra da cadeia, podemos determinar y ′ sem explicitar y .

Lição nº 20

157

1. Sabendo que y = f (x ) é uma função derivável definida 2 2 implicitamente pela equação x + y = 4 , determine y ′ .

Exemplo

Resolução 2 2 Como a equação x + y = 4 define

y = f (x ) implicitamente, podemos considerá considerá-la la uma identidade válida para todo o x no domínio de f . Derivando ambos os membros desta identidade em relação a x , temos temos:

(x 2 + y 2 )′ = 4′ Como y = f (x ) , usando a regra da cadeia (função composta)

2 x + 2 y ⋅ y ′ = 0 ⇔ 2 yy ′ = −2 x ⇔ y ′ = −

2x x =− 2y y

2. Sabendo que y = f (x ) é uma função derivável definida da 2 3 implicitamente pela equação xy + 2 y = x − 2 y , determine y ′ .

Resolução:

′ x′ ⋅ y 2 + x ⋅ y 2 + 6 y 2 ⋅ y ′ = x′ − 2 y ′

( )

y + 2 xyy ′ + 6 y 2 ⋅ y ′ = 1 − 2 y ′ 2

y ′(2 xy + 6 y 2 + 2) = 1 − y 2 y′ =

1− y2 2( xy + 3 y 2 + 2)

Sumário Nesta lição, você estudou as derivadas de funções implícitas e hiperbólicas.

Exercícios Neste grup grupo de exercícios, principalmente nas funções implícitas, há necessidade de se prestar atenção para a regra da derivação, não fazendo

158

confusão entre as variáveis dependentes e independentes. O não alcance dos objectivos pretendidos pode, até certa maneira, estar relacionado com este aspecto. Se não conseguiu chegar à solução, reveja o exemplo exempl dado. Quanto às funções hiperbólicas, hiperból o problema pode derivar da confusão entre funções trigonométricas simples e hiperbólicas. Muita atenção nestes aspectos.

1. Calcule as derivadas das seguintes funções funções: .

Auto-avaliação

ln( senhx ) x c) y = senh(2 x + 1) a ) f ( x) =

(

e) y = tgh 4t 2 − 3

b) y = cot gh(1 + t ) 2

[

d ) f (t ) = ln cosh(t 2 − 1)

)

]

f ) y = sec h(ln x )

2

2. Calcule as derivadas das funções dadas na forma implícita. implícita

y3 =

x+ y= a a)

b)

x− y x+ y

d) tgy = xy

2 c) a cos ( x + y ) = b

Confira as suas soluções oluções Exercicio1

x cosh x − ln senhx a) senhx

2 2 b) − 2(1 + t ) cos ech (1 + t ) 2 d) 2tgh(t + 1) e)

c) 2 cosh( 2 x + 1)

(

16t ( 4t − 3) sec h 4t − 3 2

2

2

)

2

1 − sec h ln x ⋅ tg ln x f) x

Exercício 2

− a)

x2 y2

− 3x 2 − 2 xy 2 b) x + 2 y

− c)

y x

Lição nº 20

1− y3 2 3 d) 3 xy 4 y + 1

e) − 1

159

y f) sen y − x 2

Esperamos que tenha conseguido resolver. Se teve dificuldades não desista. Resolva de novo. Se a dificuldade persistir consulte o seu tutor.

160

Lição nº 23 Derivada de funçõess Paramétricas. Diferencial de uma ma Função Introdução O conceito do diferencial, assim com como o de função paramétrica, também é de extrema importância na resolução de problemas de aplicação da derivada (principalmente diferencial). diferencial). As funções paramétricas são também utilizadas em física na dedução de certas equaçõe equaçõess paramétricas. Esta lição poderá ser estudada em duas horas e os exercícios também em aproximadamente duas estudada horas. Assim, são necessárias 4 horas de estudo para esta lição. Ao completar esta lição, você será capaz de: •

Objectivos

•

Calcular as derivadas das funções paramétricas;

•

Achar o diferencial de uma função;

•

Aplicar o conceito de diferencial no cálculo aproximado.

Antes de definir a derivada de uma função paramétrica, vamos esclarecer, a seguir, o que são funções definidas na forma param paramétrica.

Função na forma Paramétrica Sejam

 x = x(t )   y = y (t ) Duas funções da mesma variável real t , t ∈ [a , b ]. Então, a cada valor de t correspondem dois valores x e

y . Considerando estes valores como

coordenadas de um ponto P, podemos dizer que cada valor de t corresponde a um ponto bem determinado do plano xy . Se as funções x (t ) e y (t ) são contínuas, quando t varia de a até b , o ponto P[x(t ), y (t ) ] descreve uma

Lição nº 20

161

 x = x(t )  y = y (t ) são chamadas equações paramétricas curva no plano. As equações  da curva e t é chamado parâmetro. Como foi dito no início da lição, uma vez definidas as funções paramétricas, agora estamos em condições de definirmos as derivadas das funções paramétricas.

Derivada de uma função na forma paramétrica Seja y uma função de x definida pelas equações paramétricas:

 x = x (t )   y = y (t ) t ∈ [a , b] .(1) Suponhamos que as funções y = y (t ) , x = (t ) e a sua inversa t = t (x ) são deriváveis. Podemos ver a função y = y (x ) definida pelas equações (1), como uma função composta y = y[t (x)] e aplicar a regra da cadeia. Temos, então

dy = y ′(t ) ⋅ t ′( x) dx . Do mesmo modo, x = x (t ) e a sua inversa são deriváveis em

Assim,

dy 1 y ′(t ) = y ′(t ) ⋅ t ′( x ) = y ′(t ) ⋅ = dx x ′(t ) x ′(t )

t ′( x) =

1 x ′(t ) .

. Desta maneira,

dy y ′(t ) = dx x ′(t )

dy Observe que esta fórmula permite-nos calcular a derivada dx sem conhecer explicitamente y como função de x . Vejamos de seguida os exemplos:

162

dy paramétrica 1. Calcule dx da função y (x) definida na forma paramétrica:

Exemplo a)

 x = 2t + 1   y = 4t + 3 Resolução

dy y ′(t ) = dx x ′(t ) Vamos aplicar a fórmula

′ 4 dy y ′(t ) (4t + 3) = =2 = = ′ dx x ′(t ) (2t + 1) 2 Assim,  x = 3t − 1  y = 9t 2 − 6t b)  ′ dy y ′(t ) (9t 2 − 6t ) 18t − 6 = = = = 6t − 2 dx x ′(t ) 3 (3t − 1)′

Lição nº 20

163

dy 2. Calcule dx da função y (x) definida na forma paramétrica: paramétrica

Exemplo a)

 x = 4 cos 3 t   π 3  y = 4 sen t , 0 ≤ t ≤ 2  Resolução

x ′(t ) = −12 cos 2 tsent y ′(t ) = 12sen 2 t cos t

dy y ′(t ) 12sen 2 t ⋅ cos t sent = = =− = −tgt 2 cos t Logo, dx x ′(t ) − 12 cos t ⋅ sent Observe que este resultado só é válido lido para os pontos x ′(t ) ≠ 0 , ou seja, para t ≠ 0 e

t≠

π 2

Agora você já aprendeu sobre a derivada de uma função paramétrica. Vamos V se seguida apresentar o conceito de diferencial de uma função. função

Diferencial de uma função Acréscimos: Seja y = f (x ) uma função. Podemos sempre considerar uma variação da variável independente x . Se x varia de x1 a x 2 , definimos o acréscimo de x , denotado por ∆x , como

∆x = x 2 − x1 A variação de x origina uma correspondente variação de y , denotado por

∆y e dada por

∆y = f ( x 2 ) − f ( x1 ) ou ∆y = f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 ) .

Diferencial Seja y = f (x ) uma função derivável e ∆x um acréscimo de x .

164

Defina: a)

O diferencial da variável independente x , denotada por dx , como

dx = ∆x ; Tome Nota!

b)

O diferencial da variável dependente y , denotado por dy , como

dy = f ′( x ) ∆x .

Assim, de acordo com a definição anterior anterior, podemos escrever: escrever

dy = f ′( x )dx ⇔

dy = f ′( x) dx

dy Assim, a notação dx , já usada para f ′(x ) pode agora ser considerada com quociente entre os dois diferenciais.

2 1. Seja y = 6 x − 4 . Calcule ∆y e dy para x = 2 e ∆x = 0,001

Resolução

Exemplo

Usando a definição de ∆y , temos

∆yy = f ( x1 + ∆x) − f ( x1 ) = f (2 + 0.001) − f (2) = f (2,001) − f (2) = (6 ⋅ (2,001) − 4) − (6 ⋅ 2 2 − 4) 2

= 20,024006 − 20 = 0,024006 Observe que a diferença ∆y − dy seria menor caso usássemos um valor menor que 0,001 para ∆x .

Lição nº 20

3

Calcule o valor aproximado para

165

65,5 , usando diferenciais. diferenciais

Resolução

Exemplo 3 Seja y = f (x ) a função definida por f ( x) = x escrevemos

dy = y + ∆y = 3 x + ∆ x e

1 3x

2 3

dx.

Fazendo x = 64 e ∆x = 1,5 , isto porque, 64 é o cubo perfeito mais próximo 65,5. Portanto, x + ∆x = 65,5 , dx = ∆x = 1,5 logo,

dy =

1 3(64)

2 3

⋅ 1,5 =

3

Desta maneira,

1,5 = 0.03125 3 ⋅ 16

65,5 = 3 64 + 1,5 = 3 x + ∆x = y + ∆y .

Obteremos mos, finalmente, que: 3

65,5 ≅ y + ∆y = 4 + 0,03125 = 4,03125

Sumário Cálculo de uma derivada de uma função na forma paramétrica. Conceito de diferencial de uma função e cálculo aproximado.

Exercícios Quanto aos a exercícios que se seguem, esperamos que consiga resolvê-los. Se tiverr tido dificuldades em resolver todos os exercícios, ícios, isso pode derivar da má aplicação da fórmula da derivada de uma função paramétrica, trocando o numerador e o denominador, ou aplicando a regra de quociente. Para o caso do cálculo aproximado aproximado, o problema pode derivar da não percepção da fórmula, prin principalmente, cipalmente, os acréscimos. Observe com atenção esses aspectos!

166

y′ = .

Auto-avaliação

1. Calcule

dy dx das seguintes funções definidas na forma

paramétrica:

 x = cos 3 t  d )  π  3  y = sen t t ∈  − 2 , 0    b) 

 x = 3 cos t c) y = 4 sent , t ∈ [π , 2π ] a)   x = 2t − 1  y = t 3 + 5 , t ∈ ]− ∞ ,+∞[ c) 

 x = 8 cos 3 t   y = sen 3 t , t ∈ [0 , π ] d) 

2. Determine a equação da recta tangente à elipse.

 x = 2 cos t   y = 4 sent t ∈ [0 , π ] , P( 2 , no ponto

3 2 ) 2 .

3. Ache ∆y e dy para os valores dados.

a)

1 , ∆x = 0,001; x = 1 2x 2

b)

y = 5 x 2 − 6 x ; ∆x = 0,02 , x = 0

y=

2x + 1 ∆x = 0,1 , x = −1 c) x − 1 4. Calcule o valor aproximado a) 50

3

b)

63,5

4 c) 13

Confira as suas soluções oluções Exercício 1

4 − cot gt t ∈ ]π , 2π [ a) 3

Lição nº 20

 π  − tgt , t ∈  − , 0 2   b) 3 2 t , t∈R c) 2  π  π  − tgt , t ∈  0 ,  ∪  , π  2 2   d) Exercício 2 2 y + 3 x − 6 2 = 0 Exercício 3 a)-0,000998 ; -0,001 b)-0,118 ; -0,01 Exercício 4 a) 7,071

b)3,9895

c) 1,906

167

168

Lição nº 24 Velocidade e Aceleração Introdução Nesta lição, você vai aprender a aplicação da derivada na resolução de problemas físicos. Trata Trata-se da área a que esta disciplina se apoia para uma melhor percepção da cadeira de física. Vai precisar de cerca de 1 hora de trabalho e, para os exercícios, cerca de 1 hora, também. Pelo que vai necessit de duas (2) horas para esta lição. necessitar Ao completar esta lição, você será capaz de: •

Aplicar a derivada na resolução de alguns problemas de física;

•

Aplicar a derivada no cálculo da taxa de variação.

Objectivos

Velocidade e aceleração são conceitos que todos conhecemos. Quando conduzimos um carro, podemos medir a distância percorrida num certo intervalo valo de tempo. O velocímetro marca, a cada instante, a velocidade. Se pisarmos no acelerador ou no travão, percebemos que a velocidade muda. Sentimos a aceleração. Desta maneira, vamos mostrar que podemos calcular a velocidade e a aceleração através de der derivadas.

Velocidade e Aceleração A Suponhamos que um corpo se move em linha recta e que s = s (t ) representa o espaço percorrido pelo móvel até ao instante t. Então Então, no intervalo de tempo entre t e t + ∆t o corpo sofre um deslocamento

∆ s = s (t + ∆ t ) − s (t ) .

Lição nº 20

169

Define-se a velocidade média nesse intervalo de tempo como o quociente

vm =

s (t + ∆t ) − s(t ) ∆t , isto é, a velocidade média é o quociente do espaço

percorrido pelo tempo gasto. De uma forma geral, a velocidade média nada nos diz sobre a velocidade do corpo no instante t . Para obtermos a velocidade instantânea do corpo no instante t, calculamos a sua velocidade média em instantes de tempo ∆t , cada vez menores. A velocidade instantânea ou velocidade no instante t , é o limite das velocidades médias quando ∆t se aproxima de zero, isto é,

∆s s (t + ∆t ) − s (t ) = lim ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t .

v(t ) = lim

Como foi visto, esse limite é a derivada da função s = s (t ) em relação t .

v(t ) = s ′(t ) = Portanto,

ds dt .

Já vimos o que é a velocidade matematicamente, vamos agora apresentar o significado da aceleração em relação à derivada. Continue a acompanhar!

2- Aceleração O conceito da aceleração é introduzido de maneira análoga ao da velocidade. Aceleração média no intervalo de tempo de t até t + ∆t é dada por

am =

v(t + ∆t ) − v(t ) ∆t .

Para obtermos a aceleração do corpo no instante t , tomamos a sua aceleração média em intervalos de tempo ∆t cada vez menores. A aceleração instantânea é

a (t ) = lim

∆t → 0

v(t + ∆t ) − v(t ) = v ′(t ) ∆t .

Logo, a derivada da velocidade dá-nos a aceleração. Como v(t ) = s ′(t ) , temos

a (t ) = v ′(t ) = s ′′(t )

170

No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha recta. A sua 2 posição no instante t é dada por s (t ) = 16t − t .

Exemplo

Determine Determine: a)

A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2 , 4] ;

b)

A velocidade do corpo no instante t = 2 ;

c)

A aceleração média no intervalo [0 , 4] ;

d)

A aceleração no instante t = 4 ;

Resolução A velocidade média do corpo no intervalo entre 2 e 4 é dada por:

s ( 4) − s ( 2) 4−2 (16 − 2 ⋅ 4) − (16 ⋅ 2 − 2 2 ) = 2 48 − 28 = = 10 unidades da velocidade 2

vm =

A velocidade do corpo no instante t = 2 é o valor da derivada

s ′(t ) no ponto t = 2 . Como s (t ) = 16t − t 2 , temos v (t ) = s ′(t ) = 16 − 2t No instante t = 2 , a velocidade é

v ( 2) = 16 − 2 ⋅ 2 = 12 unidades da velocidade. e)

A aceleração média no intervalo [0 , 4] é dada por

am =

v( 4) − v(0) (16 − 2 ⋅ 4) − (16 − 2 ⋅ 0) 8 − 16 = = = −2 4−0 4 4

unidades de aceleração. f)

A aceleração no instante t = 4 é dada pela derivada v ′(4) . Como

v (t ) = 16 − 2t , então a (t ) = v ′(t ) = −2 unidade de aceleração. aceleração

Lição nº 20

171

Já vimos os conceitos de velocidade e de aceleração. Agora, caro estudante, vamos ver o conceito de taxa de variação.

3-Taxa da variação Na lição anterior, vimos que quando um corpo se move em uma linha recta, de acordo com a equação do movimento s = s (t ) , a sua velocidade é dada por v = s ′(t ) . Sabemos que a velocidade representa a razão de variação do deslocamento por unidade de variação do tempo. Assim, a derivada s ′(t ) é a taxa de variação da função s (x ) por unidade de variação t. O mesmo ocorre com a aceleração que é dada por a (t ) = v ′(t ) . Ela representa a razão de variação da velocidade v(t ) por unidade de tempo t . Toda a derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma função y = f (x ) , quando a variável independente varia de x a x + ∆x , a correspondente variação de y será ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) . O quociente

∆y f ( x + ∆x) − f ( x) = ∆x ∆x representa a taxa de variação de y em relação a

x f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x A derivada é a taxa instantânea ou simplesmente taxa de variação de y em relação a x . f ′( x) = lim

∆x →0

Caro estudante, observe que a interpretação da derivada como razão da variação tem aplicações práticas nas diversas ciências. Vejamos alguns exemplos.

172

1. Sabemos que a área de um quadrado quadrado é função do lado. Determine a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao

Exemplo

lado quando este varia de 2,5 a 3 m. A taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4 m.

Resolução 2 Seja A A, a área do quadrado e l o seu lado. Como é sabido, sabido A = l

a taxa média de variação de A em relação ao lado quando este varia de 2,5 a 3 m é dada por.

∆A A(3) − A( 2,5) 9 − 6,25 = = = 5,5 3 − 2,5 2,5 ∆l A taxa de variação da áre áreaa em relação ao lado é dada por

dA = (l 2 ) ′ = 2l dl . dA = 2⋅4 = 8 ( 4) Quando l = 4 , temos dl portanto, quando 2 l = 4m , a taxa de variação da área do quadrado será de 8 m

Lição nº 20

2. Uma cidade X foi atingida por uma moléstia epidémica. Os sectores tores da saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela

Exemplo

moléstia depois de um tempo de t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por

f (t ) = 64t −

a)

t3 3.

Qual é a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4 ?

Resolução Como o tempo foi contado a partir do 1º dia da epidemia, epidemia o 5º dia corresponde à variação de t de 4 para 5. O número de pessoas atingidas pela moléstia durante o 5º dia será dado por

 53   43     f (5) − f (4) =  64 ⋅ 5 −  −  64 ⋅ 4 −  = 43 3  3  .

173

174

Analistas de produção verificaram que numa montadora x , o número de peças produzidas nas primeiras t horas diárias é dado por

Exemplo

50(t 2 + t ) , 0 ≤ t ≤ 4 f (t ) =  200(t + 1) , 4 ≤ t ≤ 8 . a) Qual é a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho? E após 7 horas?

Resolução A razão de produção após 3 horas de trabalho é dada f ′(3) . Para t p 4 , temos f ′(t ) = 50( 2t + 1) Assim f ′(3) = 50 (2 ⋅ 3 + 1) = 350 ho é de 350 Logo após 3 horas de trabalho a razão de trabalho peças por hora de trabalho. A razão de produção após 7 horas de trabalho é dada por

f ′(7 ) .Para f ′(t ) = 200 Logo, após 7 horas de trabalho, a razão de produção é de 200 peças por hora de trabalho. b)

Quantas peças são produzidas na 8ª hora de trabalho?

Resolução O número de peças produzidas na 8ª hora de trabalho é dado por f (8) − f (7 ) = 200(8 + 1) − 200(7 + 1) = 200 . Neste exemplo, o número de peças produzidas na 8ª hora de trabalho coincidiu com a razão de produção após 7 horas de trabalho. Isso ocorreu porque a razão de produção permaneceu constante durante o tempo considerado.

Sumário Estudo das aplicações da derivada, principalmente, na área de física. Conceitos de velocidade, aceleração e taxa de variação.

Lição nº 20

175

Exercícios Os exercícios apresentados nesta lição estão associados associa a problemas ligados à vida real. Isto são aplicações da derivada na resolução de alguns problemas. Esperamos que tenha acompanhado o desenvolvimento da lição e os exemplos apres apresentados. Em caso de dificuldade volte a estudar a lição e os exemplos apresentad apresentados. Não se esqueça de que a persistência é o segredo da investigação. Se as duvi duvidas das persistirem contacte o seu Tutor. T

1. Um corpo move move-se se em linha recta de modo que a sua posição no 2 instante t é dada por f (t ) = 16t + t , 0 ≤ t ≤ 8 , onde o tempo é

Auto-avaliação

dado em segundos e a distância em metros. a) Ache a velocidade média durante o intervalo de tempo

[b , b + h] , 0 ≤ t p 0

;

b) Calcule a velocidade média durante os intervalos

[3; 3,1] [3

; 3,01] e [3 ; 3,001] ;

c) Determine a velocidade do corpo num instante qualquer t ; d) Calcule a velocidade do corpo no instante t = 3 ; e) Determine a aceleração no instante t . 2. Influências externas produzem uma aceleração numa partícula, partícula de tal

y= forma que a equação do seu movimento rectilíneo é

y é o deslocamento e t o tempo. a) Qual é a velocidade da partícula no instante t = 2 ? b) Qual é a aceleração no instante t ?

b + ct t , onde

176

3. A posição de uma partícula que se move no eixo dos x depende do 2 3 tempo de acordo com a equação x = 3t − t , em que x vem

Auto-avaliação

expresso em metros e t em segundos. a)

Qual é o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos?

Solução: -16 m b)

Qual é a velocidade da partícula ao terminar cada um dos 4 primeiros segundos?

c)

Qual é a aceleração da partícula em cada um dos 4 primeiros segundos?

4. Numa granja experimental, constatou constatou-se se que uma ave em desenvolvimento pesa em grama gramas:

1  2 20 + (t + 4) , 0 ≤ t ≤ 60 w(t ) =  2 24,4t + 604 , 60 ≤ t ≤ 90 Onde t é medido em dias. a)

Qual é a razão de aumento da ave quando t = 50

b)

Quanto a ave aumentará no 51º dia?

c)

Qual é a razão de aumento do peso quando t = 80 ?

Lição nº 20

177

5. Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90000 litros e depois de um tempo de t horas este

Auto-avaliação

2

volume diminuiu 2500 t litros, determine: a)

O tempo necessário para o esvaziamento da piscina;

b)

A taxa média de escoamento no intervalo [2 , 5] ;

c)

A taxa de escoamento depois de 2 horas do início cio do processo. Solução: 10.000 l/hora

6. Um apartamento está alugado por 4.500,00Mt. Este aluguer sofrerá um reajuste anual de 11.550,00Mt. a)

Expresse a função com a qual podemos calcular a taxa de variação do aluguer, em t anos;

b)

Calcule a taxa de variação de aluguer após 4 anos; Solução: 1550/ano

c)

Qual é a percentagem de variação de aluguer depois depoi de 1 ano do primeiro reajuste?

d)

O que ue acontecerá à percentagem de variação depois de alguns anos?

Confira as suas soluções oluções Exercício1 a) Solução:

c)

16 + 2b + h m

16 + 2t m

s

m d) 2

Exercício 2

− a)

b +c 4

2b 3 b) t

s b) Solução:

s

16 + 2b + h m

s

178

Exercício 3

m a) : -16 m b) 3, 0, -9, -24

s

Exercício 4 a) 54 gramas/dia

b) 24,4 gramas/dia

Exercício 5 a) 6 horas b) 17.500 l/hora c) 10.000 l/hora Exercício 6 a) f (t ) = 4500 + 1550t b) 1550/ano c) tenderá para zero

Lição nº 20

179

Lição nº 25 Máximo e Mínimo de uma u Função Introdução Nesta Lição, você vai estudar o comportamento de uma função, que constitui uma das aplicações da derivada. Esta lição pode ser estudada durante 2 horas ho e os exercícios de aplicação, também poderão levar o mesmo tempo de trabalho. Esta lição vai durar cerca de 4 horas de trabalho. Ao completar esta lição, você será capaz de:

Objectivos

•

Determinar os máximos e os mínimos de uma função;

•

Analisar a concavidade e convexidade de uma função;

•

Calcular os pontos de inflexão.

Nesta lição lição, vamos estudar o conceito de máximo e de mínimo de uma função, como segue o desenvolvimento. Os máximos e os mínimos de uma função ção são importantes no estudo de comportam comportamento das funções.

Máximos e Mínimos de uma função Observe a seguinte figura que representa o gráfico de uma função y = f (x ) onde estão assinalados os pontos de abcissas y

x1

x2

x3 x 4

x1 , x 2 , x 3 e x 4

x

Esses pontos são chamados pontos extremos da função. chamados máximos relativos e mínimos

Definição1:

f ( x1 ) e f ( x3 ) são

f ( x3 ) e f ( x 4 ) relativos

180

Uma função f tem um máximo relativo em a , se existir um intervalo aberto I, contendo a , tal que f ( a ) ≥ f ( x ) para qualquer que seja

x ∈ I ∩ D( f ) . Definição 2: Uma função f tem um mínimo relativo em a , se existir um intervalo aberto I, contendo a ,tal que f ( a ) ≤ f ( x ) para qualquer que seja

x ∈ I ∩ D( f ) 4 2 Exemplo. A função f ( x) = 3 x − 12 x tem um máximo relativo em

a = 0 , pois existe o intervalo ]− 2 , 2[ , tal que f (0) ≥ f (x ) para todo Exemplo

x ∈ ]− 2 , 2[ . Em a = − 2 e a =

2 , a função dada tem mínimos relativos, relativos pois

f (− 2 ) ≤ f ( x ) ∀x ∈ ]− 2 , 0[ e f ( 2 ) ≤ f ( x ) ∀x ∈ ]0 , 2[

Caro estudante estudante, a proposição seguinte permite encontrar os possíveis pontos extremos de uma função. Proposição: Suponhamos que f (x ) para todos os valores de x ∈ ]a , b[ E que f tem um extremo relativo em c , onde a p c p b . Se f ′(c ) existe, então f ′(c ) = 0.

Demonstração Suponhamos que f tem ponto máximo relativo em que f ′(c ) existe. Então,

f ′(c) = lim x →c

f ( x ) − f (c ) f ( x ) − f (c ) f ( x ) − f (c ) = lim− = lim+ x →c x →c x−c x−c x−c

Como f tem um ponto máximo relativo em c , pela definição 1, se x

Lição nº 20

181

estiver suficientemente próximo de c , temos que f (c ) ≥ f ( x ) ou

f ( x ) − f (c ) ≤ 0 .

f ( x ) − f (c ) ≤0 x−c Se x → c , temos x − c f 0 . Portanto, e então +

f ′(c) = lim+ x →c

f ( x ) − f (c ) ≤0 x−c

(1)

f ( x ) − f (c ) ≥0 x−c Se x → c , temos x − c p 0 . Portanto, e então −

f ′(c) = lim− x →c

f ( x ) − f (c ) ≥0 x−c

(2)

Associando (1) e (2), conclui-se que f ′(c ) = 0 . Se a função tem um ponto de mínimo relativo em c , a demonstração é análoga. Da proposição, podemos concluir que quando

f ′(c ) existe, a condição

f ′(c ) = 0 é necessária para existência de um extremo relativo em

c . Esta

condição não é suficiente. Isto é, se f ′(c ) = 0 a função pode ter ou não um extremo relativo no em c . O ponto c ∈ Df tal que f ′(c ) = 0 ou f ′(c ) não existe, é chamado ponto crítico de f . Critérios para determinação dos extremos de uma função. Teorema (critério da primeira derivada para determinação de extremos). Seja

f uma função contínua num intervalo fechado [a , b ] que possui

derivada em todo o ponto do intervalo ]a , b[ , excepto possivelmente num ponto c . Se f ′( x ) f 0 para todo x p c e f ′( x ) p 0 , para todo x f c , então f tem um máximo relativo em c . Se f ′( x ) p 0 para todo x p c e f ′( x ) f 0 , para todo x f c , então f tem um mínimo relativo em c .

182

Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento e os máximos e 3 mínimos relativos da função f ( x ) = x − 7 x + 6 .

Exemplo

Resolução

f ′( x ) = 3 x 2 − 7 .Para todo o x , fazendo f ′( x ) = 0 vem

3x 2 − 7 = 0 ⇔ 3x 2 = 7 ⇔ x 2 =

7 7 ⇔x=± 3 3

x= Assim os pontos críticos da função são

7 7 e x=− 3 3

Vamos sintetizar o teorema anterior numa tabela

x

 7 7  − ∞ ;−  − 3 3  +

0

 7 7 ; −  3 3  _

7 3 0

 7   ;+∞   3  +

f (x )

Intervalos de crescimento e decrescimento

 7  − ∞ ;−  3  a função cresce, pois é maior que zero;  7 7 ; −  3 3  a função decresce, pois f ′( x ) p 0 ;  7   ;+∞   3  a função cresce, pois f ′( x ) f 0 .

x=− Assim, a função admite um máximo no ponto

x= ponto

7 3.

7 3 e um mínimo no

Lição nº 20

183

Vamos, de seguida, ver como achar o sentido de concavidade e os pontos de inflexão.

Concavidade e Pontos de Inflexão O conceito de concavidade é muito útil no esboço do gráfico de uma curva. Vamos introduzi-lo, analisando geometricamente a figura seguinte. A figura seguinte descreve uma função que tem concavidade voltada para baixo y

y

a

c

b

a

x

b

x

(b) (a) c Na figura (a) observamos que dado um ponto qualquer entre a e b , em pontos próximos de c ,o gráfico de f está acima da tangente à curva no ponto P (c, f (c )) . Dizemos que a curva tem a concavidade voltada para cima no intervalo

]a , b[ Como f ′(x ) é a inclinação da recta tangente à curva, observa-se na figura (b), que podemos descrever esta mesma situação afirmando que no intervalo

]a , b[ a derivada

f ′(x ) é crescente. Geometricamente, isto significa que a

recta tangente gira no sentido anti-horário à medida que avançamos sobre a curva da esquerda para a direita. A figura seguinte descreve uma função que tem concavidade voltada para baixo y

y

a c a b b x Nestas figuras, a tangente gira nox sentido horário quando nos deslocamos sobre a curva da esquerda para a direita. A derivada f ′(x ) é decrescente em

]a , b[ .

184

Nestas condições, temos as seguintes classificações: Definição3: Uma função f tem a concavidade voltada para cima no intervalo ]a , b[ , se

f ′(x ) é crescente neste intervalo. Definição 4: Uma função f tem a concavidade voltada para baixo no intervalo ]a , b[ , se

f ′(x ) é decrescente neste intervalo N.B: Para reconhecer os intervalos onde a curva tem a concavidade voltada para baixo ou para cima faz-se normalmente analisando o sinal da segunda derivada. Proposição: Seja uma função contínua no intervalo [a , b ] e derivável até a segunda derivada no intervalo ]a , b[ : Se f ′′( x ) f 0 para todo x ∈ ]a , b[ , então f tem a concavidade voltada para cima em ]a , b[ ; Se f ′′( x ) p 0 para todo x ∈ ]a , b[ , então f tem a concavidade voltada para baixo em ]a , b[ . Definição5 Um ponto P (c; f (c )) do gráfico de uma função contínua f é chamado ponto de inflexão, se existir um intervalo ]a , b[ contendo c , tal que uma das seguintes situações ocorra. a) f é côncava em ]a , c[ e convexa em ]c , b[ . b) f é convexa em ]a , c[ e côncava em ]c , b[ .

Lição nº 20

185

Determine os pontos de inflexão e determinar os intervalos onde as funções têm a concavidade voltada para cima ou para baixo. a) f (xx ) = (x − 1)

3

Exemplo

Resolução Vamos em primeiro lugar calcular as suas primeiras e segundas derivadas derivadas:

f ′( x) = 3( x − 1) 2 e f ′′( x) = 6( x − 1) Fazendo f ′′( x ) f 0 , temos as seguintes desigualdades equivalentes: equivalentes

6( x − 1) f 0 ⇔ x − 1 f 0 ⇔ x f 1 Portanto, no intervalo ]1,+∞[ , f ′′( x ) f 0. Analogamente, no intervalo

]− ∞ , 1[

f ′′( x ) p 0 .

Pela proposição anterior, anterior a função é convexa em ]− ∞ , 1[ e côncava em

]1,+∞[ . No ponto c = 1 , a concavidade muda de sentido. Logo, neste ponto, o gráfico tem um ponto de inflexão. y 4

3

2

1

-4

-3

-2

-1

1 -1

-2

-3

-4

2

3

4

x

5

186 4 2 b) f (x) = x − x

Resolução Exemplo

Achando a 1ª e a 2ª derivada, temos:

f ′( x ) = 4 x 3 − 2 x e f ′′( x) = 12 x 2 − 2 Fazendo f ′′( x ) f 0 ,

12 x 2 − 2 f 0 ⇔ 6 x 2 − 1 f 0

(x −

Logo,

6 6 )( x + )f0 6 6 xf

6 6 ∨xp− 6 6 .

Desta maneira f tem a concavidade voltada para cima no intervalo

  6  6 , + ∞ − ∞ , −  ; 6   6  .  6 6 , −  6 6  f ′′( x ) p 0  No intervalo , . Logo, a função é convexa ( voltada para baixo).

Nos pontos

6 6 e c2 = 6 6 , a concavidade muda de sentido.

c1 = −

Logo, nestes pontos o gráfico de f tem um ponto de inflexão. y 4

3

2

1

x -4

-3

-2

-1

1 -1

-2

-3

-4

2

3

4

5

Lição nº 20

187

Sumário Conceitos de máximo e mínimo. Estudo do Extremo de uma função, concavidade e convexidade conv de uma função, bem como cálculo dos pontos de inflexão e dos extremos (máximos e mínimos).

Exercícios Apresentam Apresentam-se aqui alguns exercícios. Estes referem-se se a extremos de uma função unção e cálculo de pontos de inflexão. Trata-se se de exercícios que não exigem muito raciocínio, mas sim aplicação de regras. Pelo que que, a sua resolução não oferece muita dificuldade. dificuldade. Em caso de alguma dificuldade deverá repetir a lição e acompanhar os exemp exemplos dados. 1. Determine os pontos críticos das seguintes funções: .

Auto-avaliação

a) y = 3x + 4

b) f (x) = x 2 − 3x + 8

d ) y = ( x − 2 )( x + 4 ) e ) f ( x ) = 3 − x g ) f ( x) =

x 2 x −4

h) y = e x − x

c) y = 2 + 2 x − x 2 3

f ) f (x) = x 4 + 4 x 3

(

i) f ( x ) = x 2 − 9

)

3 2

2. Determine os máximos e mínimos das seguintes funções nos intervalos:

a ) f ( x) = 1 − 3 x 2 [− 2 , 2 ] b) f ( x ) = x 2 − 4 [− 1 , 3] x [− 2 , 2] d ) f ( x) = x 3 − x 2 [0 , 5] c) f ( x) = 1+ x2 e) f ( x) = cos 3 x [0 ,2π ] f ) f ( x) = cos 3 x [0 , 2π ] 3. Calcule os pontos de inflexão e verifique os intervalos onde as funções seguintes tenham a concavidade para cima ou para baixo:

a) f ( x) = − x 3 + 5 x 2 − 6 x c)

1 x+4

d ) f ( x) = 2 xe x

b) f ( x) = 3 x 4 − 10 x 3 − 12 x 2 + 10 x + 9 e) f ( x ) = x 2 e x f ) f ( x ) =

x2 + 9 ( x − 3) 2

Exercício 1

3 a) Não existe b) 2 c) 1 d) -1 e) 0 f) 0 ; -3 g) -22 ; 2 h) 0 i) 0;3;-3 0;3;

188

Exercício 2

1 1 4 ;− 100 ; − 2 d) 27 e) 1 ; -1 f)1 ;0 a) 7;-5 b) 5; -4 c) 2 Exercício 3

5 5  ; f (  3)  a)  3

(

1   1  − ; f (− )  3  b)  3

e) − 2 ± 2 ; f (−2 ± 2 )

)

c) Não existe

f) (− 6 ; f (−6) )

2  2  ; f ( ) 3  d)  3

Lição nº 20

189

Lição nº 26 Assimptotas Verticais e não verticais Introdução Caro estudante, o estudo e representação gráfica de uma função é extremamente relevante no estudo da Matemática. Nesta lição, l vamos abordar com detalhe o estudo de gráficos de uma função. Por ser uma lição extensa ela vai precisar de cerca de 3 horas de trabalho. Os exercícios apresentados poderão ser realizados num espaço de 2 horas. Pelo que 5 horas é tempo previsto para o estudo desta lição lição. Ao completar esta lição, você será capaz de:

Objectivos

•

Determinar as assimptotas verticais e horizontais;

•

Representar graficamente a função;

•

Fazer um estudo completo de uma função.

Em aplicações práticas, encontramos com muita frequência gráficos que se aproximam de uma recta à medida que x cresce ou decresce. Estas rectas são chamadas assimptotas. Nesta lição, vamos analisar com um pouco mais de atenção as asssimptotas verticais e não verticais.

1-Assimptota Assimptota Vertical Definição 1 A recta x = a é uma assimptota vertical do gráfico da função y = f (x ) , se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:

lim f (x ) = +∞

1. x → a + 3.

lim f ( x ) = −∞

x→a +

lim f ( x ) = +∞

2. x → a − 4.

lim f ( x ) = −∞

x →a −

190

Exemplo: a recta x = 2 é uma assimptota vertical do gráfico de

y=

1 ( x − 2) 2 lim+

De facto;

x→2

1 = +∞ lim f ( x ) = +∞ ( x − 2) 2 e x →2−

A figura ilustra o exemplo:

y

x

2

2-Assimptota Horizontal Definição 2 A recta y = b é uma assimptota horizontal do gráfico de y = f (x ) , se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:

lim f ( x) = b

1.

x → +∞

2.

x → −∞

lim f ( x) = b

Exemplo: A recta y = 1 é uma assimptota horizontal da função

y = 1+

1 x

Lição nº 20

191

 1 lim 1 +  = 1 x  Pois x → ±∞

O seu gráfico está representado na figura abaixo y

1 x

3-Assimptota Oblíqua É uma assimptota do tipo y = mx + b Se m = 0 , então temos uma assimptota horizontal no seu sentido geral. Se m ≠ 0 , temos uma assimptota oblíqua. - Determinação de uma assimptota oblíqua.

m = lim

x → ±∞

f ( x) x

b = lim[ f ( x ) − mx ] x→±

192

Exemplo: a recta y = x é uma assimptota oblíqua qua da função

y = x+

1 x

Porque:

Exemplo

1 2 f ( x) x = lim x + 1 = 1 m = lim = lim x → +∞ x→∞ x → +∞ x x x2 1   b = lim[ f ( x) − mx ] = lim x + − x  = 0 x→∞ x →∞ x   x+

Como ela é da forma y = mx + b , então

y=x O seu gráfico está representado a baixo

A seguir seguir, vamos apresentar as etapas que poderão ajudar até chagar ao esboço gráfico de uma função.

Representação gráfica de uma função A representação gráfica de um umaa função obedece, normalmente, às à seguintes etapas:

Lição nº 20

Tome Nota!

193

•

Encontrar o domínio da função;

•

Calcular lcular os pontos de intersecção com os eixos (em caso de não requerer muitos cálculos);

•

Encontrar os pontos críticos;

•

Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de f (x )

•

Encontrar os máximos e os mínimos relativos da função; função

•

Determinar a concavidade e os pontos de inflexão;

•

Encontrar as assimptotas;

•

Esboçar o gráfico.

f ( x) = Represente graficamente a função

1+ x2 1− x2

Resolução Exemplo

Df = R \ {− 1,1} 2 Zeros da função: 1 + x = 0 . A função não tem zeros da função

Assimptotas

194

Assimptotas Temos que verificar se os valores x = ±1 (pontos de descontinuidade da

Exemplo

função) são ou não Assimptotas verticais verticais. Assim:

1+ x2 2 = − = −∞ 2 x → −1 1 − x 0 2 1+ x 2 lim = + = +∞ 2 x → −1+ 1 − x 0 lim−

1+ x2 2 = + = +∞ x →1 1 − x 2 0 2 1+ x 2 lim = − = −∞ x →1− 1 − x 2 0 lim+

Logo, as rectas x = 1 e x = −1 são assimptotas verticais Vamos agora achar as assimptotas não verticais verticais.

y = mx + b

1+ x2 f ( x) 1 − x 2 1+ x2 m = lim = = =0 x → ±∞ x x x(1 − x 2 ) 1+ x2 = −1 x → +∞ 1 − x 2

b = lim f ( x) = lim x → ±∞

Lição nº 20

195

Desta maneira y = −1 é uma assimptota horizontal.

Intervalos de monotonia Exemplo

f (x) = Para tal vamos estudar a primeira derivada da função

1+ x2 1− x2

Fazendo  ,
  0 temos:

4x = 0 ⇔ 4x = 0 ⇒ x = 0 (1 − x 2 ) 2 Para o estudo da variação do sinal sinal, vamos montar uma tabela de variação do sinal. Nesta tabela tabela, devemos incluir todos os pontos críticos ( zeros da primeira derivada e os valores para os quais a derivada não existe).

x f ′(x )

-1 _

0 _

1 +

+

1

f (x )

A função tem um mínimo no ponto (0,1) Sentido das concavidades Vamos achar os zeros da segunda derivada

′  4 x  4(1 − x 2 ) 2 − 8 x(1 − x 2 )(−2 x) 4 + 8x 2 − 12 x 4  = f ′′(x) =  = 2 2  4 (1 − x 2 ) 4 1− x2  (1 − x ) 

(

)

196

Continuação: Fazendo f ′′( x ) = 0 ,obtemos

Exemplo

− 12 x 4 + 8 x 2 + 4 = 0 Aplicando a regra de Ruffini vamos decompor o polinómio

− 12 x 4 + 8 x + 4

− 12 x 4 + 8 x 2 + 4 = ( x − 1)( x + 1)(−12 x 2 − 4)

x

-1

f ′′(xx)

_

0

1 +

0

_

f (x ) Assim:

]− ∞ ,−1[ a concavidade está voltada para baixo; ]− 1 , 1[ A concavidade está voltada para cima; ]1,

+ ∞[ A concavidade está voltada para baixo;

→ O gráfico da função não tem pontos de inflexão inflexão.

Liçã nº 20 Lição

197

Gráfico y

Exemplo

x

Sumário Estudo da representação gráfica de funções; estudo completo de uma função.

Exercícios Os exercícios apresentados resolvem-se resolvem se seguindo os passos dados nos exemplos anteriores. Em caso de não chegar à solução óptima significa que as técnicas de construção dos gráficos não foram assimiladas. Desta maneira, é seu deve dever reanalisar a lição de modo a descobrir onde não foi percebido. Acompanhe cuidadosamente os exemplos apresentados.

198

Esboce os gráficos das seguintes funções:

Auto-avaliação

5 x3 3 2 + x − 2x + b) y = x 4 − 32 x + 48 3 2 6 1 2x 2 c) y = d) y = x + e) y = x 4 − 2 x 2 f ) y = 2 x+2 x x −4 x g) y = 1− x2 a) y = −

Confira as suas respostas r a) y

x

b) y

x

c)

Lição nº 20

d)

199

200

Lição nº 27 Aplicações de derivadas na resolução de Problemas de Optimização Introdução O estudo das derivadas permitiu determinar com rigor os máximos e os mínimos de funções. Na vida real real, é muito importante determinar o custo mínimo, o volume máximo, área máxima etc. Nesta lição lição,, vamos estudar alguns exemplos de aplicação da derivada para resolver problemas de optimização, ou seja, problemas onde se procura uma solução óptima. Esta lição deverá levar cerca de 1 hora. Contudo, os exercícios de aplicação poderão levar mais de 2 horas, as, visto que precisam de compreensão, análise e equacionamento. equacion Desta maneira, 3 horas de estudo é tempo suficiente para a aprendizagem desta lição. Ao completar a lição, você será capaz de:

•

Resolver problemas de optimização, isto é, procurar uma solução óptima;

•

Tomar decisão na escolha de uma solução óptima.

Objectivos

Vamos, de seguida, indicar nesta lição, os passos fundamentais para se chegar a uma solução óptima.

Problemas de optimização O primeiro passo para solucionar estes problemas é escrever precisamente qual é a função que deverá ser analisada. Essa função poderá ser escrita em função de uma ou mais variáveis. Quando a função é de mais do que uma variável devemos procurar expressar uma das variáveis em função da outra. variável,

Lição nº 20

201

isósceles queremos 1. Num jardim com a forma de um triângulo isósceles, desenhar um canteiro como se indica na figura: um dos vértices v do rectângulo pertence à hipotenusa, outros aoss catetos. Que dimensões

Exemplo

deverá ter o canteiro para que a sua área seja máxima?

Resolução Para a solução do problema problema, teremos de proceder da seguinte forma: 1) Desenhamos uma figura onde colocamos as variáveis e as constantes.

C D A

x E 10cm y

10cm B

202

2) Escrevamos a fórmula que relaciona as variáveis e a função pedida. (Neste caso a área do rectângulo)

Exemplo

A = x⋅ y Procuramos uma relação entre as variáveis; variáveis No caso, temos que são semelhantes os triângulos

∆ABC e ∆DEC Em dois triângulos semelhantes os lados que se opõem aos ângulos congruentes são proporcionais. Assim:

10 − y 10 = ⇔ 10 − y = x ⇔ y = 10 − x x 10 Escrevamos a função em causa como dependente de uma só variável, combinando a informação obtida.

A = x ⋅ y Passo 1 y = 10 − x Passo 3

Lição nº 20

203

Contimuação: Substituindo esta na fórmula da área vem:

Exemplo

A = x(10 − x) ⇔ A = 10 x − x 2 Derivemos a função e determinemos os extremos.

A′( x ) = 10 − 2 x , fazendo A′( x ) = 0 , teremos

10 − 2 x = 0 ⇔ 2 x = 10 ⇔ x = 5

x

0

5

A′(x )

+

0

A(x )

+∞ -

M

Damos resposta ao problema, reflectindo sobre a viabilidade da solução. Logo, a área máxima é A = 10 ⋅ 5 − 25 = 25 e corresponde à situação em que rectângulo é um quadrado de 5cm de lado lado.

204

Exemplo 2 Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à

Exemplo

margem de um rio de 500 metros de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2000 metros abaixo da central. O custo da obra através do rio é de 640,00Mt por metro, enquanto que em terra, custa 312,00Mt por metro. Qual é a forma mais económica de se instalar a rede de água potável?

Resolu Resolução Vamos esquematizar o problema:

2000 -x Conjunto habitacional

x 500 m

Central de abastecimento A função que dará o custo da obra encontra encontra-se se da seguinte maneira: 1. Custo da obra pela terra terra: ( 2000 − x ) ⋅ 312,00 Mt 2 2 2. Custo da obra pelo rio: x + 500 ⋅ 640,00 Mt (aqui foi aplicado o

teorema de Pitágoras) Juntando (1) e (2) vamos obter o custo da obra. Assim Assim,

f ( x) = ( 2000 − x) ⋅ 312 + x 2 + 500 2 ⋅ 640 O objectivo é calcular o máximo absoluto dessa função para par

0 ≤ x ≤ 2000 Para tal, vamos calcular a derivada de f e encontrar os extremos da função

f ′( x) = −312 +

640 x

x + 500 2 2

. Fazendo f ′( x ) = 0

Lição nº 20

205

Continuação: Resolvendo a equação, encontramos a solução

Exemplo

x ≈ 279,17 m , que é um ponto crítico X

f ′(x )

279,17 _

f (x )

+

f (279,17

Desta maneira maneira, pode-se se concluir que a obra poderá ser realizada com menor custo possível, se a canalização de água alcançar o outro lado do rio 279,17 m abaixo da central de abastecimento.

Sumário Nesta lição, você aprendeu como resolver um problema da vida real aplicando o conceito da derivada, isto é, problemas que procuram uma solução óptima. Resolver uma situação, constitui sempre um problema para estudantes de Matemática, contudo se o conceito tiver sido bem estudado não levanta muitos problemas. O que é nece necessário ssário é você perceber muito bem o conceito de extremos e tentar procurar sempre uma solução óptima. Em caso de não ter conseguido resolver os problemas problemas, deverá ser sempre persistente, pois só assim poderá obter sucesso.

206

Exercícios 1. Determine as dimensões de uma lata cilíndrica, com tampa, com volume V , de forma que a sua área total seja máxima.

Auto-avaliação

2

2. Uma folha de papel conté contém 375 cm de matéria impressa, cuja margem superior é de 3,5cm, margem lateral direita de 2 cm e margem lateral latera esquerda de 2,5 cm. Determine as dimensões da folha para que haja o máximo de economia de papel. 3. Uma janela tem a forma de um rectângulo enci encimado mado por um semisemi circulo. Calcule as dimensões da janela de modo que o perímetro seja 3,2 m e a área a maior possível. 4. Um cilindro recto está inscrito numa uma esfera de raio R. Determine esse cilindro para que o seu volume seja máximo.

x milhares de unidades mensais de um

5. Uma fábrica produz

determinado artigo. Se o custo de produção é dado por

C ( x) = 2 x 3 + 6 x 2 + 18 x + 60 e o valor obtido na venda é dado por V ( x) = 60 x − 12 x 2 , determine o número óptimo de unidades mensais que maximiza o lucro L = V − C . 6. Um Fazendeiro deve cercar de dois pastos rectangulares, de dimensões a e b , com um lado comum a . Se cada pasto deve 2 medir 400 m de área, determine as dimensões de a e b , de forma

que o comprimento da cerca seja máximo.

Confira as suas respostas:

3

Exercício 1 : raio da base

V 2π Altura

3

V

π

Exercício 2 l = 22,01 cm e c = 26,91 cm Exercício 3 : base 0.88 m ; altura 0,44 m

Lição nº 20

207

7 m Exercício 4 : raio da base 3 ; altura 2 m a= Exercício 5 :1000

Exercício 6:

40 3 3

b = 10 3

Esperamos que tenha conseguido resolver. Se teve dificuldades volte a ler a explicação e os exemplos. Se a dúvida persistir consulte o seu Tutor.

208

Lição nº 28 Teoremas sobre Derivadas. Regra de L´Hospital Introdução Nesta lição, você vai aprender um dos métodos que simplifica o levantamento de algumas indeterminações. indeterminações Trata-se se da regra de L´Hospital. É uma regra prática e que não exige muito se não o conhecimento da derivação. Vai precisar apenas de 1 hora para perceber o conteúdo e mais duas (2) horas para a resolução de exercícios. No total são 3 horas de trabalho. Ao completar esta lição, você será capaz de: •

Levantar indeterminações pela regra de L´hospital.

Objectivos

Caro estudante, estamos agora perante um método geral de levantar

0 ∞ indeterminações do tipo 0 ou ∞ . Esse método é dado pelas regras de L´Hospital, cuja demonstração necessita necessita da seguinte proposição:

Proposição (fórmula de Cauchy) Se f e g são duas funções contínuas em [a, b ] , e deriváveis em ]a, b[ e se

g ′( x ) ≠ 0 para x ∈ ]a , b[ , então existe um número z ∈ ]a , b[ tal que

f (b) − f (a) f ′( z ) = g (b) − g (a) g ′( z )

Lição nº 20

209

Demonstração: Vamos primeiro provar que g (b) − g ( a ) ≠ 0 . Como g é contínua em

]a, b[ , pelo teorema do valor médio, existe um g ′(c) =

c e (a, b) tal que

g (b) − g ( a ) b−a .

Como, por hipótese, g ′( x ) ≠ 0 para qualquer que seja x ∈ ]a, b[ , temos

g ′(c ) ≠ 0 e assim pela igualdade

g ′(c ) =

g (b) − g ( a ) b−a , g (b ) − g ( a ) ≠ 0 .

Consideremos a função:

 f (b) − f (a)  h( x) = f ( x) − f ( a ) −   ⋅ [g ( x) − g (a)].  g (b) − g (a )  A função h(x ) satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle em [a, b ] , pois: a)

Como f e g são contínuas em [a, b ] , h é contínua em [a, b ]

b)

Como f e g são deriváveis em ]a, b[ h é derivável em ]a, b[ .

c)

h ( a ) = h (b ) = 0 .

Portanto, existe z ∈ ]a , b[ tal que: h ′( z ) = 0 .Como

 f (b) − f (a)  h′( x) = f ′( x) −   ⋅ g ′( x)  g (b) − g (a)  , temos  f (b) − f (a)  f ′( z ) −   ⋅ g ′( z ) = 0  g (b) − g (a)  . Mas g ′( z ) ≠ 0 . Nestas condições  f (b) − f (a)  f ′( z ) −   ⋅ g ′( z ) = 0 g ( b ) − g ( a )   podemos escrever na forma f (b) − f ( a ) f ′( z ) = g (b) − g ( a) g ′( z ) . Demonstrada a proposição, vamos de seguida apresentar a regra de L´hospital que vai ajudar a levantar algumas indeterminações como foi referenciado no inicio desta lição.

210

Regra de L´Hospital Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I , excepto possivelmente, num ponto a ∈ I . Suponhamos que g ′( x ) ≠ 0 para todo

x ≠ a em I.

a) se

lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 x→a

lim x→a

b) se

z→a

x→a

x→a

f ′( x) =l g ′( x) , então

lim

f ′( x) =l g ′( x ) , então

x→a

f ( x) f ′( x) = lim =l g ( x) x →a g ′( x)

lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞

lim

e

lim

z →a

e

x →a

f ( x) f ′( x) = lim =l x → a g ( x) g ′( x)

Demonstração Como por hipótese f ( a ) = g ( a ) = 0 , pode-se escrever

f ( x) f ( x) − f (a ) = g ( x) g ( x) − g (a )

f ( x) − f (a ) f ( x ) f ( x) − f ( a) x−a = = g ( x) − g (a ) g ( x) g ( x) − g (a ) x−a Ou seja, para x ≠ a , , passando para o limite

f ( x) − f (a) f ( x) f ′(a) x−a lim = lim = x→a g ( x) x→a g ( x) − g (a) g ′(a) x−a Vejamos os exemplos de aplicação desta regra.

Lição nº 20

2x 0 e − 1 . Trata-se de uma indeterminação do tipo 0 , aplicando o

lim 1.

211

x

x →0

teorema de L´Hospital.

Exemplo

lim x→0

2.

2x (2 x)′ 2 = lim x = lim x = 2 x → 0 x → 0 (e − 1)′ e −1 e x

lim

x2 + x − 6 x 2 − 3 x + 2 Resolução:

lim

x2 + x − 6 0 = x 2 − 3x + 2  0 

x→2

x→2

lim

x→ 2

′ 5 x2 + x − 6 x2 + x − 6 2x +1 lim = lim = = 5 = 2 ′ x → 2 x → 2 2x − 3 1 x − 3x + 2 x 2 − 3x + 2

( (

) )

∞ Neste caso, temos uma indeterminação do tipo ∞ , aplicando plicando o teorema de L´Hospital.

e x −1 (e x −1)′ ex ex ex lim lim lim lim = = = = = +∞ x→+∞ ( x 3 + 4x)′ x→+∞ 3x 2 + 4 x→+∞ 6x x→+∞ 6 x→+∞ x 3 + 4x lim

3. 4.

lim (2 x 2 + x) x

x →0 +

0 . Aqui temos uma indeterminação do 0 . Com

auxílio de logaritmos logaritmos, vamos transformá-la la numa indeterminação do

∞ tipo ∞ . Seja

L = lim+ (2 x 2 + x) x x →0

, então

[

]

[

] ln [lim ( 21 x

ln L = ln lim + ( 2 x 2 + x ) x = x ln lim + ( 2 x 2 + x ) = x→ 0

x→ 0

x→ 0+

x

2

+ x)

]

212

∞ Agora já temos uma indeterminação do tipo ∞ . Aplicando ndo o teorema de Exemplo

L´Hospital, teremos:

4x + 1 2  4x3 + x 2   ln L = lim+ 2 x + x = lim+  − 2 x →0 x →0 −1  2x + x  x2 . Aplicando novamente o teorema de L´Hospital

 12 x 2 + 2 x  0  = − = 0 ln L = lim − x →0 4x + 1  1  . 0 Como ln L = 0 ⇒ L = e = 1 . Logo,

lim (2 x 2 + x) x = 1

x →0 +

e x −1 (e x − 1)′ ex ex ex = lim = lim = lim = lim = +∞ x →+∞ ( x 3 + 4 x)′ x→+∞ 3x 2 + 4 x→+∞ 6 x x→+∞ 6 x→+∞ x 3 + 4 x lim

5.

lim (2 x 2 + x) x

x →0 +

0 . Aqui temos uma indeterminação do 0 . Com

aux auxílio de logaritmos, vamos transformá-la la numa indeterminação do

∞ tipo ∞ . Seja

L = lim+ (2 x 2 + x) x x →0

[

, então

]

[

] [

ln L = ln lim+ (2 x + x) = x ln lim+ (2 x + x) = x →0

2

x

x→0

2

ln lim+ (2 x 2 + x) x→0

1 x

]

Lição nº 20

213

∞ Agora já temos uma indeterminação do tipo ∞ . Aplicando ndo o teorema de Exemplo

L´Hospital, obteremos

4x + 1 2  4x3 + x 2   ln L = lim+ 2 x + x = lim+  − 2 x →0 x →0 −1  2x + x  x2 . Aplicando novamente o teorema de L´Hospital

 12 x 2 + 2 x  0  = − = 0 ln L = lim − x →0 4x + 1  1  0 Como ln L = 0 ⇒ L = e = 1 . Logo,

lim (2 x 2 + x) x = 1

x →0 +

Sumário Estudo de alguns teoremas fundamentais sobre derivadas; estudo da regra de L´Hospital.

Exercícios Se você percebeu as lições anteriores sobre o cálculo de derivadas, derivadas certamente que não terá problemas para resolver estes exercícios. Seja como for, em caso de dúvidas, ou não percebeu como se aplica a regra, ou então o problema reside no cálculo de derivadas. Para todos os efeitos, o essencial é reverr a lição dada ou as lições sobre as regras de derivação.

214

Determine os seguintes limites com auxílio da regra de L´Hospital L´Hospital:

Auto-avaliação

lim 1.

x→2

x 2 − 4x + 4 x +1 lim 4 2 3 x → − 1 x − x − 2 22 x + 2 x + 3x 2 + 2 x − 1

ex 2 2. x →+∞ x

x 4- x →0 e − cos x

lim

x→

2

(x −

3.

lim+

4.

x →0

lim

5.

x → +∞

x

cos x

lim π

lim

π 2

)2

ln( senax ) ln( senx ) x ln x x + ln x

2x x 6- x →+∞ 2 − 1 lim

3

8-

lim(cos 2 x ) x 2 x →0

lim (1 − tgx ) ⋅ sec 2 x 10-

x→

Confira as suas soluções oluções − Exercício 1: 0

Exercício 2:

1 6

Exercício 3: + ∞ Exercício 4 : 1 Exercício 5 ∞

Exercício 6: 1

Exercício 7: 1

1 6 Exercício 8: e

Exercício 9: ∞

Exercício 10: 1

π

4

Lição nº 20

215

Lição nº 29 Formula de Taylor Introdução A fórmula de Taylor consist consistee num método de aproximação de uma função por um polinómio, com um erro possível de ser estimado. Esta fórmula poderá ser compreendida num espaço máximo de 1 hora e os exercícios podem também ser resolvidos numa n hora de trabalho. Portanto duas horas são suficientes ficientes para o estudo desta lição. Ao completar esta lição, você será capaz de: •

Desenvolver em séries de Taylor.

Objectivos

Nesta lição lição, acompanhe o desenvolvimento da fórmula dee Taylor. Taylor

Fórmula de Taylor Definição: Seja f : I → R uma função que admite derivadas até à ordem

n num ponto c do intervalo I . O polinómio de Taylor de ordem n de f no P (x) , é dado por ponto c , que denotamos por n Pn ( x) = f (c) + f ′(c)( x − c) +

Observe que no ponto

f ′′(c) f ( n) (c) ( x − c) 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( x − c) n 2! n! .

x = c , p n (c ) = f (c ) .

216

Exemplo. Determinar o polinómio de Taylor de ordem 4 da função

f ( x) = e x no ponto c = 0 . Exemplo

Resolução Derivando sucessivamente até à ordem 4, vem

f ( x) = f ′( x) = f ′′( x) = f ′′′( x) = f f (0) = f ′(0) = ⋅ ⋅ ⋅ = f

IV

( 0) = 1

IV

( x) = e x e assim,

Portanto,

1 1 1 ( x − 0) 2 + ( x − 0) 3 + ( x − 0) 4 2! 3! 4! x2 x3 x4 = 1+ x + + + , 2! 3! 4!

P4 ( x ) = 1 + 1( x − 0 ) +

f ( x) = e x

é o polinómio de Tayl Taylor de grau 4 da função no ponto c = 0 .

( ) , denotamos Dado o polinómio de Taylor de grau n de uma função f (x por

R n (x) a diferença entre f (x ) e Pn (x) , isto é, Rn (x) = f ( x) − Pn ( x)

(veja a figura)

Y

f (x)

f (x)

Rn (x )

Pn (x )

c

Temos então,

x

Pn (x )

X

f ( x) = Pn ( x) + Rn ( x) , ou mais explicitamente,

f (x) = f (c) + f ′(c)(x − c) +

f ′′(c) f ( n) (c) ( x − c) 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( x − c) n + Rn ( x) 2! n! .(1)

Lição nº 20

217

R (x) é “pequeno” o polinómio Pn (x) dá Para os valores de x nos quais n uma boa aproximação de

f (x ) . Por isso, R n (x ) chama-se resto. O

problema consiste em determinar uma fórmula para R n (x) de tal modo que ele possa ser avaliado. Proposição (Fórmula de Taylor) Seja f : [a , b] → R uma função definida no intervalo [a , b ] . Suponhamos que as derivadas f ′, f ′′,⋅ ⋅ ⋅, f

f

( n +1)

(n)

existam e sejam contínuas em [a , b] e que

exista em ]a ,b[. . Seja c um ponto qualquer fixado em [a , b ] .

Então para cada x ∈ [a , b ] , x ≠ c , existe um ponto z entre c e x tal que

f ( x) = f (c) + f ′(c)( x − c) + +

f ′′(c) f (n) (c) ( x − c) 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( x − c) n + 2! n!

f (n+1) ( z) ( x − c) n+1.(2) (n + 1)!

Quando c = 0 a fórmula de Taylor fica

f ( x) = f (0) + f ′(0) x +

f ′′(0) 2 f ( n ) (0) n f ( n +1) ( z ) n +1 x + ⋅⋅⋅ + x + x 2! n! (n + 1)! e

recebe o nome de Fórmula de Mac Laurin.

Demonstração Vamos fazer a demonstração supondo que x f c . Para x p c , o procedimento é análogo. Seja Pn (t ) o polinómio de Taylor de grau n de f no c e R n (t ) o resto correspondente. Então, f (t ) = Pn (t ) + Rn (t ) , para qualquer t ∈ [a , b ]. Portanto, no ponto x , temos

f ( x) = f (c) + f ′(c)(x − c) +

f ′′(c) f ( n) (c) ( x − c) 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( x − c) n + Rn 2! n!

218

f ( n +1) ( z ) Rn ( x ) = ( x − c) n+1 (n + 1)! Para provar (2), devemos mostrar que , onde z é um número entre c e x . Por isso, vamos considerar a seguinte função auxiliar: g : [c , x ] → R

g (t ) = f ( x) − f (t ) − f ′(t )(x − t ) − − Rn ( x)

f ′′(t ) f (n) (t ) (x − t)2 − ⋅ ⋅ ⋅ − (x − t)n − 2! n!

( x − t ) n+1 . ( x − c) n+1

Pelas propriedades das funções contínuas, segue que g é contínua em [c , x ] . Pelas propriedades das funções deriváveis, segue que g é derivável em [c , x ] . Além disso, podemos verificar que g (c ) = g ( x ) = 0 . Logo, g satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle em [c , x ] e, portanto, existe um ponto z , entre c e x , tal que g ′( z ) = 0 . Derivando a função g com auxílio das regras de derivação e simplificando,

Rn ( x ) = obtemos

f ( n +1) ( z ) ( x − c) n+1 (n + 1)! e, consequentemente, a fórmula (2)

fica demonstrada. Observando as fórmulas (1) e (2) vemos que a fórmula de Taylor

apresentada, o resto

Rn (x) é dado por

Rn ( x ) =

f ( n +1) ( z ) ( x − c) n+1 (n + 1)! .

Esta forma para o resto é chamada Forma de Lagrange do Resto e a fórmula (2) é chamada fórmula de Taylor com resto de Lagrange.

Lição nº 20

219

Determinar os polinómios de Taylor de grau 2 e de grau 4 da função

f ( x ) = cos x no ponto c = 0 Exemplo

Solução: Para determinarmos os polinómios pedidos necessitamos do valor de f e das suas derivadas até à ordem 4, no ponto c = 0

f ( x) = cos x , f (0) = 1 f ′( x) = − senx , f ′(0) = 0 f ′′( x) = − cos x , f ′′(0) = −1 f ′′′( x) = senx , f ′′′(0) = 0 f ( IV ) ( x) = cos x , f ( IV ) = 1 O polinómio de Taylor de grau 2, no ponto c , é dado por

P2 (x) = f (c) + f ′(c)( x − c) +

1 f ′′(c)( x − c) 2 2!

Como neste caso caso, c = 0 temos

P2 ( x) = f (0) + f ′(0) x +

1 x2 f ′′(0) x 2 = 1 − 2! 2!

O polinómio de Taylor de grau 4 no ponto c é dado por

P4 ( x ) = f (0) + f ′(0) x + x2 x4 = 1− + 2 24

f ′′′(0) 3 f ( IV ) (0) 1 2 ′ ′ f (0) x + x + 2! 3! 4!

220

1.

Determine o polinómio de Taylor de grau 6 da função

c=

f ( x ) = sen 2 x no ponto Exemplo

π

f ( x) = sen2 x ,

π 4.

π

f ( ) = sen = 1 4 2

π

f ′( x) = 2 cos 2 x ,

π

f ′( ) = 2 cos = 0 4 2

π

f ′′( x) = −4 sen2 x ,

f ′′( ) = −4 4

f ′′′( x) = −8 cos 2 x ,

f ′′′( ) = 0 4

f

IV

( x) = 16 sen2 x ,

f (V ) ( x ) = 32 cos 2 x , f (VI ) ( x) = −64 sen2 x ,

π

f

IV

π

( ) = 16 4

π

f (v) ( ) = 0 4 f

(VI )

π

( ) = −64 4 c=

O polinómio de Taylor de grau 6, no ponto

π 4 é dado por

π

π

2 6 f ′′( ) f (VI ) ( ) π   4  x − π  4  x −  + ⋅⋅⋅ + P6 (x) = f ( ) + f ( ) x −  + 6!  4 4 4 4 2!  4

π

π ′ 

π

2

= 1−

4

22  π  24  π  26  π  x −  + x −  − x −  2!  4 4!  4  6!  4

6

Sumário Nesta lição lição, você aprendeu a fórmula rmula Taylor bem como a sua aplicação no desenvolvimento senvolvimento de certas funções. Esperamos que nesta úúltima ltima lição você não tenha muitos problemas de assimilação desta fórmula. Contudo, para eventuais dificuldades, é nos nosso dever aconselhá aconselhá-lo a acompanhar cuidadosamente a lição dada ou consultar o seu Tutor.

Lição nº 20

221

Exercícios 3 2 1. Desenvolva o polinómio f ( x) = x − 2 x + 3 x + 5 em potências

inteiras e positiva positivas do binómio ( x − a ) ;

Auto-avaliação x 2. Desenvolva a função f ( x) = e em potências de binómio x + 1 até 3 ao termo que contenha ( x + 1) ;

3. Desenvolva a função f ( x ) = ln x em potências de ( x + 1) , até ao termo que contenha ( x − 1) ; 2

4. Desenvolva a função f ( x ) = senx em potências de x até ao termo 5 que contenha x .

Confira as suas respostas 2 3 Exercício 1 : 11 + 7( x − 2) + 4( x − 2) + ( x − 2)

1 1 ( x + 1) 2 1 ( x + 1) 3 1 + ( x + 1) + + e 2! e 3! e Exercício 2 : e Exercício 3 :

( x − 1) − 12 ( x − 1) 2

x− Exercício 4 :

x3 x5 + 3! 5!

Esperamos que tenha conseguido resolver os exercícios. Se tiver tido dificuldades volte a ler. Se a dúvida persistir consulte o seu Tutor. dificuldades, T

222

Bibliografia 1. NEVES, Maria Augusta Ferreira & BRITO, Maria Luísa Carvalho. Matemática 11º ano. 2º

Leitura

volume ( livro texto). Porto Editora. 1999 2. G. Baranenkov, B. Demidovitch. Problemas e Exercícios de Análise Matemática.. 4ª Edição. Editora Mir. 1977. 3. Di pierro Neto, Scipione, Matemática 2º Grau. Grau São Paulo. Scipione autores e Editores. 1984. 4. SPIEGEL, Murray R. Calculo Avançado. Avançado Colecção Schaum. Editora McGraw – Hill do Brasil. Ltda. 1971.

Caro estudante, terminámos a unidade quatro. Vamos de seguida se apresentar a última unidade unidade. Esta relaciona-se se com a unidade anterior. Nela, Nela serão apresentas as aplicações geométricas da derivada derivada,, curvaturas e raios de curvaturas. Esperamos que a atenção tenção que tem mantido neste estudo, continue até à última unidade.

Lição nº 20

223

Unidade v Aplicações Geométricas tricas da derivada. Curvaturas Introdução Nesta unidade unidade, vamos apresentar as aplicações geométricas e curvaturas. A unidade dade está dividida em quatro lições com tempo médio io de duas horas para cada uma. uma Assim, esta unidade poderá ser estudada em 8 horas. horas Ao completa completar esta unidade, você será capaz de:

Objectivos

•

Determinar a equação da tangente e da normal;

•

Calcular o comprimento da normal, tangente, sub-normal sub e subtangente;

•

Classificar as diferentes curvas contínuas;

•

Achar a s curvaturas de uma curva.

224

Lição nº30 Equação da Tangente e da N Normal Introdução Nesta lição lição, vai aprender a equação da tangente e da normal, comprimento da tangente e da normal, comprimento de sub-normal normal e sub-tangente. sub Tratase de uma um lição que você poderá estudar em duas horas incluindo a resolução de exercícios. exercícios Ao completa completar esta lição, você será capaz de:

•

Determinar a equação tangente e da normal;

•

Calcular os comprimentos rimentos da tangente, da normal, sub-tangente e sub-normal.

Objectivos

Caro estudante estudante, acompanhe a determinação das equações da tangente e da normal normal.

Equação da tangente e daa Normal Da interpretação geométr geométrica da derivada, deduz-se que a equação da recta tangente, em relação à curva y = f (x) no ponto M ( x1 , y1 ) é dada por

y − y1 = f ′( x1 )( x − x1 )

Lição nº30

M

225

y = f (x)

α

α Q

P

R

QM = T → Comprimento da Tangente; QP → Comprimento da subtangente

MR → Comprimento da Normal; PR → Comprimento da sub-normal Caro estudante, a partir da semelhança de triângulos, podemos concluir que os ângulos MQP e RMP são geometricamente iguais, daí que designamos por alfa.

Comprimento da sub-tangente O segmento MP tem como sua ordenada y1 . Assim, do triângulo rectangular em P; ∆ QPM teremos:

cot gα =

QP QP ⇒ QP = y1 cot gα , mas co-tangente é o inverso da = MP y1

tangente, assim

QP =

y1 y1 = → Comprimento da sub-tangente tgα f ′( x1 )

Equação da Normal Um outro conhecimento da geometria analítica é o que se refere às condições para que duas rectas sejam perpendiculares: Duas rectas são perpendiculares se o produto dos declives for igual a menos um (-1)

226

Agora, como a normal e a tangente te são perpendiculares entre si, então e o declive da recta normal será dada por −

1 . Nesta esta condição condição, a equação ′ f ( x1 )

da recta passa pelo ponto M e tem por declive, −

y − y1 = −

1 será f ′( x1 )

1 (x − x1 ) → Equação da recta normal f ( x1 )

Encontrar a equação da tangente e da normal a y = x 3 − 2 x 2 + 4 no

ponto (2 , 4 )

Exemplo

Resolução:

f ′( x ) = 3 x 2 − 4 x Assim, o coeficiente angular da recta tangente no ponto (2 , 4 ) é

m = f ′(2) = 4 Equação da recta tangente

y − y1 = f ′( x1 )( x − x1 ) = y − 4 = 4( x − 2 ) ⇔ y = 4 x − 4 Equação da normal: o declive da recta normal é m = −

y−4= −

1 ⇒ 4

1 (x − 2) ⇔ x + 4 y = 18 4

Como tem sido habitual, habitual apresentamos de seguida uma actividade de modo a verificar a compreensão da lição. Encontre a equação da tangente e da normal a x 2 + 3 xy + y 2 = 5 no ponto (1, 1)

Actividade

Confira a sua resposta Equação ão dda tangente: x + y = 2 Equação da Normal: x − y = 0

Comprimento da sub-normal sub

Lição nº30

Do triângulo rectangular RMP, rectângulo em P, vem tgα =

227

PR PR = MP y1

Assim,

PR = y1 ⋅ tgα = y1 ⋅ f ′( x1 ) → Comprimento da sub-normal Resolva a actividade que a seguir lhe propomos:

Comprimento da tangente Vejamos de seguida como determinar o comprimento da tangente QM. Do triângulo rectangular QPM, rectângulo em P podemos determinar o comprimento QM, com ajuda do teorema de Pitágoras. Assim:

QM =

2

MP + QP

2

=

y1 y1 + f ′( x1 )

2

2

=

1 2 y1 1 + 2  ( f ′( x1 ) )

   

1 + [ f ′( x1 )] y1 2 = ⋅ 1 + [ f ′( x)] 2 ′ f ( x ) ′ [ f ( x1 )] 1 2

= y1 ⋅

Desta maneira, o comprimento da tangente é dado por

T = QM =

y1 2 ⋅ 1 + [ f ′( x)] f ′( x1 )

→ Comprimento da tangente

Vamos de seguida achar o comprimento da normal.

Comprimento da Normal Do triângulo rectangular RPM, rectangular em P , vem:

MR =

y12 + y12 [ f ′( x1 )] = y1 ⋅ 1 + [ f ′( x1 )]

2

y 21 + PR =

2

Assim,

MR = y1 ⋅ 1 + [ f ′( x1 )] → Comprimento da normal 2

2

228

Apresentamos, uma vez mais, uma actividade para que resolva, como forma de avaliar o seu grau de percepção.

Sumário Caro estudante, nesta lição aprendeu as equações das rectas da tangente e da normal, comprimento da tangente e da normal bem como o comprimento da sub-tangente e da sub-normal. As relações estão apresentadas nas fundamentações teóricas.

Exercícios Seguidamente, vamos apresentar os exercícios de consolidação. São exercícios de pura aplicação das fórmulas. Esperamos que não tenha muitas dificuldades. Contudo, caso as tenha, queira rever os conteúdos apresentados bem como os respectivos exemplos. Se as dúvidas prevalecerem, consulte o seu Tutor de modo a canalizar os exercícios problemáticos ao Regente da cadeira.

Lição nº30

229

5. Formar a equação da tangente e da Normal y = x 3 − 3 x 2 − x + 5 no ponto

M (3, 2) .

Resposta:

Tangente 8 x − y − 22 = 0

Normal

x + 8 y − 19 = 0 6. Achar a equação da tangente e da normal, o comprimento da subtangente e da subnormal no círculo x 2 + y 2 = r 2 . Respotas:

ST = −

tangente:

xx1 + yy1 = r 2 ,

Normal:

x1 y − y1 x = 0

y12 e S N = − x1 x1

7. Mostrar qued o vértice da parábola y 2 = 4 px corta a subtangente no centro e que o comprimento da subnormal é constante e igual 2 p 8. Achar a equação da tangente e da normal à curva y =

8a 3 em 4a 2 + x 2

x = 2a . Respostas Tangente: x + 2 y = 4a Normal: y = 2 x − 3a 9. Mostrar que a normal à curva 3 y = 6 x − 5 x 2 , dirigida ao ponto

 1 1,  , passa pela origem das coordenadas.  3 10. Achar a equação da tangente à parábola y 2 = 20 x que forma um angulo de 45o com o eixo ox . Respostas: y = x + 5 no ponto ( 5,10 )

11. Achar as equações das tangentes à hiperbole 4 x 2 − 9 y 2 = 36 que são paralelas à recta 2 x + 3 y = 6 . Resposta: 2 x + 3 y ± 26 = 0 12. Achar o comprimento da da subtangente, da subnormal, da tangente e da normal à ciclóide x = a (θ − senθ ) ,, no ponto para o qual θ =

Respostas: ST = a S N = a , T = a 2

N =a 2

π 2

230

Lição nº 31 Curvatura Introdução Esta é a última lição deste módulo. Nela vai aprender o conceito de curvatura, cálculo do raio e centro de curvatura. É uma lição que pode ser estudada em duas horas, incluindo a resolução de exercícios. Ao complet completar esta lição, você será capaz de:

•

Definir a curvatura de uma curva, evoluta e evolvente evolvente;

•

Calcular o centro e o raio da curvatura.

Objectivos

Caro estudante estudante, tem aqui uma oportunidade de conhecer mais uma aplicação do cálculo lculo diferencial. Desta vez vez, veja de seguida como se calcula o centro e o raio da curvatura. Mas antes antes, veja a definição de curvatura.

Curvatura: A curvatura k de uma curva y = f (x), num ponto P pertencente à curva, é a taxa de variação da direcção (isto é, do ângulo de inclinação dda recta tangente no ponto P) por unidade de comprimento de arco S.

∆θ Q

∆s P

S

θ

Assim:

θ + ∆θ

Lição nº30

d2y dx 2

dθ ∆θ = lim = ds ∆s →0 ∆s

k=

  dy  2  1 +      dx  

3 2

=

231

f ′′( x)

[1 + ( f ′( x)) ]

3 2 2

Ou

d2y dx 2

k =−

  dx  2  1 +      dy  

3 2

=

f ′′( x)

[1 + (x′ ) ] y

3 2 2

A curvatura será positiva se o arco for convexo e negativa se o arco for côncavo. A curvatura é definida como o valor absoluto das fórmulas dadas anteriormente Com esta definição a curvatura é sempre não negativa e o anteriormente. sinal deve ser ignorado. Calcular a curvatura da parábola y 2 = 12 x no ponto (3,6) Resolução

Exemplo

Cálculo lculo das derivadas:

6 (y )′ = (12 x)′ ⇒ 2 yy ′ = 12 ⇔ y ′ = 6y ⇔ dy = dx y 2

′ d2y  6 6 36   = = − 2 y′ = − 3 2   dx y y  y Assim, 2

36 36  dy  1+   = 1+ 2 = 1+ =2 36 y  dx  d2y dx 2

(3 , 6 )

=−

36 1 =− 3 6 6

Deste modo,

k=

f ′′( x)

[1 + ( f ′( x)) ]

3 2 2

1 2 = − 63 = − 24 22

Uma vez visto este exemplo, resolva a seguinte actividade:

232

Calcule a curvatura da Cissóide y 2 ( 2 − x ) = x 3 no ponto (1,1)

Actividade

Confira a sua resposta Sol: k =

3 5 25

Raio da Curvatura. O raio da curvatura R para um ponto P da curva é definido por R =

1 , k

desde que k ≠ 0

Círculo rculo de Curvatura O circulo de curvatura ou raio osculador de uma curva num ponto P da curva, é o círculo de raio R que fica do lado côncavo da curva, e tangente a ela no ponto P. y

C S

R P

x

Centro da curvatura O centro dda curvatura de um ponto P ( x, y ) da curva é o centro C do círculo

osculador ou círculo cí da curvatura em P. As coordenadas (α , β ) do centro da curvatura são dadas ppor: 2 dy   dy   1 +    dx   dx   α = x−  2 d y dx 2

Ou

e

 dy  1+   dx β = y + 2  d y dx 2

2

Lição nº30

  dx  2  1 +      dy   α = x−  d 2x dy 2

e

233

2 dx   dy   1 +    dy   dx   β = y− d 2x dy 2

A evoluta de uma curva é o lugar geométrico dos centros de curvatura. Se as fórmulas para a determinação das coordenadas do centro de curvatura se consideram   como as coordenadas variáveis do ponto da evoluta, estas fórmulas dar-nos-ão as equações paramétricas desta evoluta com parâmetros x ou y (ou t, se a própria curva é dada por equações em forma paramétrica).

Sumário Nesta lição, você aprendeu o conceito de curvatura, círculo de curvatura e centro da curvatura e evoluta.

Exercícios Seguidamente, vamos apresentar os exercícios de consolidação. São exercícios de pura aplicação das fórmulas. Esperamos que não tenha muitas dificuldades. Contudo, caso as tenha, queira rever os conteúdos apresentados bem como os respectivos exemplos. Se as dúvidas prevalecerem, consulte o seu Tutor de modo a canalizar os exercícios problemáticos ao Regente da cadeira. 1. Determinar a curvatura das curvas nos pontos indicados: a)

xy = 12 no ponto ( 3;4 ) . Resposta:

b)

y = x 3 no ponto ( x1; y1 ) . Resposta

24 125

6 x1 3 4 2 1

(1 + 9 x )

234

16 y 2 = 4 x 4 − x 6 no ponto ( 3;2 ) . Resposta

c)

1 2

2. Determinar o raio de curvatura das curvas nos pontos indicados:

80 10 3

a)

y 2 = x 3 no ponto ( 2;0 ) . Resposta: R =

b)

x 2 = 4 ay no ponto ( 0, 0 ) . Resposta: R = 2 a

c)

y = ln x no ponto (1, 0 ) . Resposta: R = 2 2

d)

π  y = senx no ponto  ;1 . Resposta: R = 1 2 

e)

2  x = 3t para t = 1 . Resposta: R = 6  3  y = 3t − t

3.

Determinar as coordenadas do centro da curevatura (α , β )

e a equação da evoluta de cada uma das seguintesd curvas.

(

)

(

)

a)

a 2 + b2 x3 a 2 + b2 y3 x2 y 2 β =− − = 1 . Resposta: α = a4 b4 a2 b2

b)

x 3 + y 3 = a 3 . Resposta: α = x + 3x 3 y 3 β = y + 3x 3 y 3

c)

y 3 = a 2 x . Resposta: α =

2

2

 x = 3t

d) 

y = t − 6

e)

2

2

1

2

2

1

a 4 + 15 y 4 a4 y − 9 y5 β = 6a 2 y 2a 4 4 3

. Resposta: α = − t 3 β = 3t 2 −

3 2

 x = a ( cos t + tsent ) . Resposta: α = a cos t β = asent   y = a ( sent − t cos t )

Lição nº30

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Bibliografia 1.

BARANENKOV, G& DEMIDOVITCH, B. Problemas e Exercícios de Análise Matemática. 4ª Edição. dição. Editora

Leitura

Mir. 1977. 2. PISKOUNOV, N. Cáculo Diferencial e Integral Volume I. Editora Lopes da Silva. Ltda. 1983.