EJERCICIOS CON NUMEROS COMPLEJOS 03

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ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN MATEMÁTICA BÁSICA – GRUPO C

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS 1.

Dado z = 1-i, hallar: z −3.

2.

Si z = -

3.

Calcular las siguientes raíces:

√3 2

1

+ 2 i, hallar: Re(z 20 ) .

16

4

a) √ i 5

1−i 1+i

b) √

4. a)

Hallar la potencia de: z = (−1 + i)30

b) z = (−3 + 3i)4 . (1 + √3 i)−3

5. a)

Simplificar las siguientes expresiones: Z=

(3 + √3 i )² (√3 + i)² 9

b)

6.

(1 − i)10 . (−√3 − i) z= ( ) (5 + 5i)6

Aplicando la fórmula de Moivre, simplificar la siguiente expresión. 120

z = (1 + √3i)

Mg. Ing. Carlos Fernando Oliva Ramos

120

+ (1 − √3i)

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7.

Realiza la siguiente operación con números complejos, expresando el resultado en forma polar y trigonométrica: −8 − 8√3

5

K = √

8.

(−2√3 + 2i)²

Un complejo que tiene de argumento 80° y Módulo 12 es el producto de dos complejos; Uno de ellos tiene de módulo 3 y argumento 50° . Halla en forma binómica el otro complejo y su quinta potencia.

9.

Se considera los complejo: A= 10-10√3i y B = 10√3 + 10i Calcula. A6 ; B 4 y

A6 B4

10.Evaluar las siguientes potencias. 12

a) Calcular: (cos10° − isen10° ) √2

100 √2 ) 2 217 1 i) 2

b) ( 2 + i √3

c) ( 2 +

11.Si

w = cos 2π⁄3 + isen 2π⁄3, simplificar (1 + w)n , para nϵz + .

12.Utilizando la forma polar con la exponencial K=

(4+4i)(−√3 +3i) (−√3−i)

13.Aplicar la potenciación de números 14. z

compleja, evaluar:

=

complejos para expresar: Tg6θ en términos de Tgθ

12(cos16° +isen16° ) 3(cos44 ° +isen44° )[2(cos62° +isen62° )]

15.Calcular todas las raíces que se indican: a) Las raíces cuartas de z= -8 +8√3i b) Las raíces cubicas de z= -8i c) Las raíces quintas de z= 16-16√3i

16.Usando la formula de Moivre simplificar la siguiente expresion: Z= (

(2 + 2√3i) (√3 + i)

Mg. Ing. Carlos Fernando Oliva Ramos

3

2

)

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17.Expresar en forma binomial (a+bi) el siguiente Número complejo. 6

5

z =

√4(cos41° + isen41° ) [√2(cos13° + isen13° )] 3

√10(cos33° + isen33° ) 2(cos31° + isen31° )

18.Simplificar el siguiente número complejo: 5

(1 − √3 i) (cosθ + isenθ)7 z= 2(1 − i)6 (cosθ − isenθ)8

EJERCICIOS PROPUESTOS 5

1.

Calcula: z= (2 + 2√2i)

2.

Un pentágono regular con centro en el origen de coordenadas tiene uno de sus vértices en el punto (√2 ; √2). Halla los otros vértices y la longitud de su lado.

3.

Expresar en forma binómica: 9

9

z = (1 + √3i) − (1 − √3i)

4.

Calcular el valor de: 3

K=| 5.

(2+√5i)(1+√3i) √5+√3 i

|

Expresar en forma binómica el siguiente número complejo: 24

(1 + √3i) z = (−1 + i)²⁴ (1+i)n

6.

Calcular el valor de: P=

7.

Hallar el valor de: A = (

8.

Halle sus raíces cuartas de Z, si: Z

(1−i)n−2 √3

2

−

Mg. Ing. Carlos Fernando Oliva Ramos

√3

2

280

i) = −2 + 2√3 i.

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9.

6

Determinar las raíces de: √1 + i

10.Se considera el complejo 2 + 2√3 i, se gira 45° alrededor del origen de coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj. Hallar el complejo obtenido después del giro.

RESPUESTAS (EJERCICIOS PROPUESTOS) 1. z = 512-512√3i

2. Coordenadas de los vértices: (-o.91; 1.78), (-1.97; -0.31), (-0.31,-1.97) y (1.78, -0.91); La longitud del lado se calcula aplicando el teorema del coseno. L= 2.6 Unidades

3. Z = 1024

4. K = 6√2

6. P = −2in+1

7. A = ( )

8. r1 = (√2)30°

5. Z = 4096

3 140 2

r2 = (√2)120°

12

9. r1 = ( √2)7° 30′

r3 = (√2 )210°

12

r2 = ( √2)67° 30′

12

r5 = ( √2)247° 30′

r4 = (√2 )300°

12

r3 = ( √2)127° 30′

12

r4 = ( √2)187° 30′

12

r6 = ( √2) 307°30′

10. 4105°

Mg. Ing. Carlos Fernando Oliva Ramos

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