Trigonometria Numeros Complexos - Pág. 81

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TEMA III Trigonometria e Números Complexos Miguel Moreira

Júlia Justino

Mariana Dias

Conteúdo 1 Trigonometria 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 O conceito de ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Algumas propriedades de triângulos planos . . . . . . . . . . . . 1.4 As funções Seno e Coseno de ângulos entre 0 e π2 . . . . . . . . . 1.4.1 A relação entre o Seno e o Coseno . . . . . . . . . . . . . 1.5 As funções Secante e Cosecante para ângulos entre 0 e π2 . . . . 1.6 As funções Tangente e Cotangente para ângulos entre 0 e π2 . . . 1.7 O círculo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 O Seno e o Coseno no círculo trigonométrico . . . . . . . 1.7.2 A Tangente e a Secante no círculo trigonométrico . . . . 1.7.3 A Cotangente e a Cosecante no círculo trigonométrico . . 1.8 Valores de funções trigonométricas para ângulos arbitrários . . . 1.8.1 Redução de um ângulo arbitrário ao intervalo [0, 2π[ . . . 1.8.2 Redução de uma função trigonométrica ao 1o quadrante 1.9 Equações com funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Equação sen x = sen α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2 Outras equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Algumas importantes fórmulas trigonométricas . . . . . . . . . . 1.10.1 O seno da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.2 O coseno da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.3 A lei dos senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.4 A lei do coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Números Complexos 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Forma algébrica dos números complexos e sua representação geométrica 2.3 Operações com números complexos na forma algébrica . . . . . . . . . 2.4 Forma trigonométrica dos números complexos e representação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Operações com números complexos na forma trigonométrica . . . . . . 2.6 Domínios planos e condições em variável complexa . . . . . . . . . . . . 2.6.1 |z1 − z2 | como distância entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 |z − z1 | = |z − z2 | como mediatriz de um segmento de recta . . . 2.6.3 arg (z − z1 ) = θ como semi-recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . sua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 3 7 9 12 13 15 15 20 24 28 28 29 30 30 31 33 33 34 35 37 39 44 48 48 49 53 57 61 66 68 70 71 72 75

1 1.1

Trigonometria Introdução

"A palavra trigonometria é uma combinação de duas palavras gregas, trigonon, que significa triângulo e metron, medir. A palavra apareceu na imprensa em finais do século XVI quando foi usada como título de um trabalho de Bartholomaeus Pitiscus, publicado pela primeira vez em 1595 como suplemento de um livro sobre esferas. A palavra grega para ângulo é gonia, e antes falava-se de goniometria como sendo a ciência da medida dos ângulos."in Tom Apostol, Os Primórdios da História da Humanidade, Boletim da SPM-no 47.

1.2

O conceito de ângulo

A noção de ângulo encontra-se rigorosamente caracterizada na obra de Euclides, matemático e geómetra da antiguidade, chamada Elementos. Esta obra encontra-se dividida em treze livros. A oitava definição presente no primeiro livro é precisamente a definição de ângulo plano: Definição 1 Um ângulo plano é a inclinação mútua de duas rectas que se cruzam num mesmo plano. Basicamente o conceito de ângulo mede a inclinação relativa de duas rectas que se intersectam. Diz-se que a rotação plana de uma recta em torno dum seu ponto descreve um ângulo positivo se a rotação se verificar no sentido anti-horário. Se a rotação se verificar no sentido horário o ângulo descrito diz-se negativo.

α β

Figura 1: Ângulo α (positivo) e β (negativo) Os ângulos podem ser medidos em graus, radianos ou grados. 1

M a io d e 2 0 0 6

Quando através de uma rotação plana, em sentido anti-horário, de uma recta orientada em torno de um seu ponto, esta volta pela primeira vez à posição inicial o ângulo descrito é igual a 360◦ (trezentos e sessenta graus), 2π radianos ou 400 grados.

α

Figura 2: Ângulo α = 360◦ = 2π rad = 400 grados. Se a rotação plana da recta anterior descrever apenas 180◦ , π radianos ou 200 grados, a recta fica disposta na mesma direcção embora com uma orientação oposta. É habitual designar este ângulo por ângulo raso.

α Figura 3: Ângulo raso α = 180◦ = π rad = 200 grados. Se a rotação plana da recta em questão descrever 90◦ , descrito diz-se recto.

π 2

radianos ou 100 grados o ângulo

α

Figura 4: Ângulo recto α = 90◦ =

π 2

rad = 100 grados.

O sistema de medição de ângulos em graus é designado por sistema sexagesimal, no qual as fracções de grau são representadas por minutos (angulares) e segundos (angulares). Como se sabe, nos sistemas sexagesimais, 60 minutos (ou 600 ) correspondem a 1◦ e 60 segundos (ou 6000 ) correspondem a 1 minuto. 2

M a io d e 2 0 0 6

Exemplo 1 Exprima em graus e radianos, 50 grados. Resolução: Como se sabe, 90◦ e

e

1.3

π 2

radianos correspondem a 100 grados. Assim, 90◦ x = ⇒ x = 45◦ 50 grados 100 grados

π radianos x π = 2 ⇒ x = radianos. 50 grados 100 grados 4

Algumas propriedades de triângulos planos

Definição 2 Um triângulo plano é uma figura geométrica com três lados (constituidos por três segmentos de recta) que definem três ângulos internos, como se observar na Figura 5. Nesta figura denotamos os ângulos referidos pelas letras α, β e γ. É habitual representar os lados de um triângulo por letras maiúsculas e os respectivos comprimentos pelas mesmas letras minusculas. Na Figura 5 representamos os lados pelas letras A, B e C.

γ

B

α C

A

β

Figura 5: Triângulo plano. No caso em que A = B = C o triângulo diz-se equilátero; se tiver dois lados iguais e um diferente diz-se um triângulo isósceles e se tiver os lados todos diferentes o triângulo diz-se escaleno. ¡ ¢ No caso em que um dos ângulos internos do triângulo é recto 90o = π2 rad , o triângulo diz-se rectângulo. A Figura 6 representa um triângulo rectângulo, onde o ângulo recto se encontra assinalado.

c

α

β

a

π 2

b

Figura 6: Triângulo rectângulo. Notemos igualmente que o triângulo ilustrado, apresenta mais dois ângulos internos aqui denotados pelas letras gregas α e β. As letras a, b e c representam respectivamente os 3

M a io d e 2 0 0 6

comprimentos dos diferentes lados do triângulo. O lado oposto ao ângulo que é recto designase por hipotenusa. Os restantes lados são designados habitualmente por catetos. Os triângulos planos, na geometria Euclideana, possuem algumas propriedades que importa referir pela sua utilidade. Teorema 1 (Teorema de Pitágoras) Em qualquer triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: c2 = a2 + b2 . Uma das importantes propriedades dos triângulos planos que interessa assinalar, pelo seu alcance, é a que caracteriza a soma dos ângulos internos. Propriedade 2 A soma dos ângulos internos de um qualquer triângulo é igual a 180o , isto é, a dois ângulos rectos. Na Figura 7 podemos observar uma construção geométrica que pode servir de base à demonstração deste resultado. λ

β

α

r

λ β

α C

Figura 7: α + β + γ = 180◦ . Com efeito, se fizermos passar uma recta paralela ao lado C, neste caso a recta r, pelo vértice do triângulo que se lhe opõe, facilmente concluímos que α + β + γ = 180◦ . De notar que o resultado enunciado só é válido no contexto da geometria Euclideana, isto é nas geometrias que satisfazem, entre outros, o V axioma (da geoemtria) de Euclides. Este axioma estabelece que por um ponto exterior a uma recta, existe uma e uma só recta paralela à recta dada. Observe-se que este facto esteve por trás dos argumentos atràs apresentados na demonstração efectuada. Existem efectivamente outras geometrias, conhecidas por geometrias não-Euclideanas, igualmente úteis em que o correspondente enunciado é distinto. Como exemplos de geometrias não-Euclideanas que não satisfazem este enunciado podemos referir a geometria dos triângulos esféricos (utilizada na navegação marítima e aérea) e a geometria de Lobachevsky (com aplicações em cosmologia).

4

M a io d e 2 0 0 6

Exemplo 2 Suponha que num triângulo rectângulo um dos ângulos internos tem 35◦ . Qual o valor do outro ângulo α não-recto? Resolução: Teremos de ter α + 35◦ + 90◦ = 180◦ donde resulta α = 90◦ − 35◦ = 55◦ . Seguidamente iremos referir mais algumas propriedades dos triângulos planos. Suponha-se que a partir dos lados A1 , A2 e A3 de comprimento a1 , a2 e a3 , de um dado triângulo A, construímos um novo triângulo B, cujos lados tem comprimentos b1 = ra1 , b2 = ra2 e b3 = ra3 , em que r representa um qualquer número real estritamente positivo. A

B

a1

b1 = ra1

Figura 8: Triângulos semelhantes. Nestas circunstâncias, o triângulo B diz-se semelhante ao triângulo A e os lados Ai e Bi com 1 ≤ i ≤ 3 dos triângulos A e B, dizem-se homólogos. Definição 3 Sejam A e B dois triângulos com lados A1 , A2 e A3 , B1 , B2 e B3 , e comprimentos a1 , a2 e a3 , b1 , b2 e b3 , respectivamente. Se existir uma constante de proporcionalidade r > 0 tal que bi = rai com 1 ≤ i ≤ 3, então o triângulo B diz-se semelhante a A. Podemos afirmar, com um pequeno abuso de linguagem que triângulos semelhantes são proporcionais entre si. A propriedade seguinte permite-nos reconhecer triângulos semelhantes recorrendo à noção de ângulo interno. Propriedade 3 Os triângulos A e B são semelhantes se e só se os ângulos internos de A forem iguais aos ângulos internos de B. Por outro lado, para verificar com base na observação dos ângulos internos de dois triângulos, que estes são semelhantes, basta assegurar que dois dos ângulos internos de um triângulo são iguais a dois dos ângulos internos de outro. Mais formalmente: 5

M a io d e 2 0 0 6

γ

α

γ

α

β β

Figura 9: Triângulos com idênticos ângulos internos. β* β γ*

γ

α

Figura 10: Ângulos internos de triângulos semelhantes são iguais. Propriedade 4 Os triângulos A e B são semelhantes se e só dois dos ângulos internos de A forem iguais a dois dos ângulos internos de B. Exemplo 3 Na Figura 10 podemos observar que β = β∗ e γ = γ∗ . Estas igualdades, bastam para determinar a semelhança destes triângulos. Na Figura 10 podemos também inferir que lados homólogos definem ângulos internos idênticos. Mais precisamente: Propriedade 5 Lados homólogos de triângulos semelhantes definem ângulos internos iguais. Os triângulos planos podem ser agrupados em grupos de triângulos que são semelhantes entre si. Triângulos semelhantes partilham muitas propriedades interessantes. Exemplo 4 Consideremos a Figura 11 em que estão representados dois triângulos semelhantes e os respectivos comprimentos dos seus lados. a

γ

b

β

b*

α

γ

a*

c

α

β c*

Figura 11: Triângulos semelhantes. Então

a∗ b∗ c∗ = = , a b c 6

M a io d e 2 0 0 6

donde a∗ a = , c∗ c b∗ b = e c∗ c a a∗ = . ∗ b b Este facto mostra que triângulos semelhantes partilham entre si idênticos quocientes de comprimentos de lados adjacentes.

1.4

As funções Seno e Coseno de ângulos entre 0 e

π 2

Dados dois quaisquer triângulos rectângulos semelhantes, como os da Figura 12,

c

α

β

a

π 2

c*

b

β a*

α

π 2

b

*

Figura 12: Triângulos rectângulos semelhantes. podemos afirmar que a a∗ = , c∗ c b b∗ = e c∗ c a∗ a = , ∗ b b uma vez que triângulos semelhantes partilham entre si a igualdade dos quocientes dos comprimentos dos lados adjacentes. Desta forma, torna-se possível associar univocamente a cada ângulo α ou β de um triângulo deste tipo, qualquer um daqueles quocientes. É desta forma que as funções Seno, Coseno e outras funções trigonométricas podem ser definidas de forma elementar. Estas funções associam números reais a ângulos. Os valores que as funções Seno e Coseno assumem, definem-se para ângulos entre 0 e π2 radianos como se segue, tendo por base a Figura 13 que representa um triângulo rectângulo. Definição 4 Considere-se um triângulo rectângulo qualquer tal que α é o ângulo definido pela hipotenusa (de comprimento c) e um dos catetos. A função seno, designada Seno, define-se como sendo o quociente entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo α e o comprimento da hipotenusa, isto é: sen α =

cateto oposto a = . hipotenusa c 7

M a io d e 2 0 0 6

β

c

α

a

π 2

b

Figura 13: Triângulo rectângulo. A função coseno, designada Coseno, define-se como sendo o quociente entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo α e o comprimento da hipotenusa, isto é: cos α =

cateto adjacente b = . hipotenusa c

Exemplo 5 Determine o valor da função seno de α supondo que α tem o valor de 0, π6 , π4 , π e π2 radianos. 3 Resolução: Comecemos por observar que quando α tem o valor de 0 radianos o seu cateto oposto tem um comprimento nulo. Desta forma sen 0 = 0c = 0. Quanto ao valor da função seno quando α tem o valor de π6 radianos, consideremos o triângulo equilátero da Figura 14.

c

c

α π

β

2

c 2

c 2

Figura 14: Determinação de sen π6 . Como é sabido a soma dos ângulos internos de um qualquer triângulo plano é igual a π radianos. Assim, os ângulos internos dum triângulo isósceles são iguais a β = π3 . Desta π forma, no triângulo da figura α = 23 = π6 . Donde se deduz, atendendo à definição de Seno, c π 1 sen = 2 = . 6 c 2

Por outro lado, deduz-se também, atendendo ao Teorema de Pitágoras, que q ¡ ¢2 c2 − c2 π sen = 3 q c √ 3c2 3 4 = = . c 2 Consideremos, agora, o quadrado de lado a, seguinte: 8

M a io d e 2 0 0 6

α

c π

α

2

a Figura 15: Determinação de sen π4 . Naturalmente α = π4 . Donde, atendendo à definição de Seno sen

π a = 4 c a = √ a2 + a2 √ 2 1 = √ = . 2 2

Finalmente, observemos que quando α = π2 , o comprimento do cateto oposto torna-se igual ao comprimento da hipotenusa. Assim, sen π2 = 1. Em resumo obtemos a Tabela 1: ângulo 0

Seno 0

π 6

1 2

π 4

√ 2 2

π 3

√ 3 2

π 2

1 Tabela 1: Seno de alguns ângulos entre 0 e π2 . 1.4.1

A relação entre o Seno e o Coseno

As funções Seno e Coseno encontram-se directamente relacionadas. Consideremos novamente a Figura 16 que representa um triângulo rectângulo.

c

α

β

a

π 2

b

Figura 16: Triângulo rectângulo.

9

M a io d e 2 0 0 6

Por definição a e b a cos β = . b

sen α =

Por outro se α e β representam os ângulos internos adjacentes à hipotenusa então β= donde sen α = Isto é,

π − α, 2

³π ´ a = cos β = cos −α . b 2

sen α = cos

³π

2 Por outro lado, se na expressão anterior fizermos β=

´ −α .

π −α 2

então

π − β. 2 O que nos permite obter a expressão equivalente α=

sen

³π 2

´ − β = cos β.

Estas importantes expressões permitem-nos obter o Seno ou o Coseno de um ângulo α se conhecermos, respectivamente, o Coseno ou o Seno do ângulo π2 − α (este último diz-se, o complementar de α para π2 ). Exemplo 6 Determine o valor da função coseno de β sabendo que β tem o valor de 0, π6 , π π , e π2 radianos. 4 3 Resolução: Sabemos que 0 π 6 π 4 π 3 π 2

= = = = =

π 2 π 2 π 2 π 2 π 2

π , 2 π α= , 3 π α= , 4 π α= e 6 α = 0.

− α, com α = − α, com − α, com − α, com − α, com

10

M a io d e 2 0 0 6

Por outro lado sen α = cos

³π

´

−α . 2 Então, atendendo à Tabela 1, temos sucessivamente cos 0 = cos π 6 π cos 4 π cos 3 π cos 2 cos

= cos = cos = cos = cos

³π

2 ³π 2 ³π 2 ³π 2 ³π 2

π´ π = sen = 1, 2 2 √ ´ π π 3 − = sen = , 3 3 2 √ π´ π 2 − = sen = , 4 4 2 ´ π π 1 − = sen = e 6´ 6 2 − 0 = sen 0 = 0. −

11

M a io d e 2 0 0 6

Donde obtemos a Tabela 2: ângulo Coseno 0 1 π 6

√ 3 2

π 4

√ 2 2

π 3

1 2

π 2

0 Tabela 2: Coseno de alguns ângulos entre 0 e π2 .

1.5

As funções Secante e Cosecante para ângulos entre 0 e

As funções Secante e Cosecante podem ser definidas, para ângulos entre 0 e base nas funções Coseno e Seno, atrás definidas.

π 2

π 2

radianos, com

Definição 5 As funções Secante e Cosecante são as funções que se definem, respectivamente, como 1 e sec α = cos α 1 csc α = . sen α A partir das definições anteriores e tendo por base a Figura 17

β

c

α

a

π 2

b

Figura 17: Triângulo rectângulo. pode constatar-se que a Secante e a Cosecante de um dado ângulo α poder-se-ia ter definido directamente a partir do triângulo rectângulo acima representado. Com efeito se sec α =

1 b e cos α = , cos α c

então sec α =

1 1 c = b = . cos α b c

Analogamente se mostra que csc α = 12

c . a M a io d e 2 0 0 6

Exemplo 7 Determine o valor da Secante e Cosecante quando α assume os valores 0, π π , e π2 radianos. 4 3

π , 6

Resolução: Tendo por base as tabelas dos valores do Seno e Coseno para os ângulos referidos e as definições das funções Secante e Cosecante, deduz-se facilmente: 1 ângulo Coseno Secante= Coseno

e

1.6

1 1

=1

0

1

π 6

√ 3 2

√

π 4

√ 2 2

√

π 3

1 2

2

π 2

0

não definida

1 3 2

1 2 2

=

√ 2 3 3

=

√ 2

1 ângulo Seno Cosecante= Seno

0

0

não definida

π 6

1 2

2

π 4

√ 2 2

√

π 3

√ 3 2

√ 2 3 3

π 2

1

1

2

As funções Tangente e Cotangente para ângulos entre 0 e

π 2

As funções Tangente e Cotangente constituem outras duas importantes funções trigonométricas. Estas últimas podem ser definidas, para ângulos entre 0 e π2 radianos, recorrendo às funções Seno e Coseno, atrás referidas. Definição 6 As funções Tangente e Cotangente são as funções que se definem, respectivamente, como sen α tg α = e cos α 1 cos α cotg α = = . tg α sen α

13

M a io d e 2 0 0 6

A partir das definições anteriores e tendo por base a figura 18

β

c

α

a

π 2

b

Figura 18: Triângulo rectângulo. pode observar-se que a Tangente e a Cotangente de um dado ângulo α poder-se-ia ter definido directamente a partir do triângulo rectângulo acima representado. Com efeito se tg α =

então tg α =

sen α = cos α

sen α , cos α

sen α =

a c

cos α =

b c

a c b c

e

a cateto oposto = . b cateto adjacente

=

Analogamente se mostra que cotg α =

b cateto adjacente = . a cateto oposto

Exemplo 8 Determine o valor das funções Tangente e Cotangente quando α assume os valores 0, π6 , π4 , π3 e π2 radianos. Resolução: Consideremos os valores das funções Seno e Coseno para estes ângulos e as definições das funções Tangente e Cotangente. Deduz-se: ângulo Seno Coseno Tangente = 0 0 1 0 π 6

1 2

√ 3 2

π 4

√ 2 2

√ 2 2

π 3

√ 3 2

1 2

π 2

1

0

1 √2 3 2

=

Seno Coseno

√

3 3

1 √

3 2 1 2

=

√

3

1 √ 3

não definida

14

1 Cotangente = Tangente não definida

√ 3 3

0

M a io d e 2 0 0 6

1.7

O círculo trigonométrico

O círculo trigonométrico é um círculo de raio unitário, centrado na origem de um referencial cartesiano. Os ângulos são medidos entre o semieixo positivo dos xx e um apropriado raio vector aplicado na origem. Se a medição for efectuada no sentido anti-horário o ângulo é positivo. Caso contrário é negativo. Neste círculo, como veremos, será possível identificar com certos comprimentos adequadamente escolhidos, os valores das principais funções trigonométricas para os ângulos considerados. Adicionalmente o círculo trigonométrico permite-nos generalizar os funções trigonométricas atrás definidas para argumentos entre 0 e π2 radianos a outros ângulos. 1.7.1

O Seno e o Coseno no círculo trigonométrico

Observemos a Figura 19 que representa um círculo trigonométrico com um triângulo rectângulo cuja hipotenusa constitui um raio vector aplicado na origem com comprimento unitário. Seja α o ângulo medido no sentido anti-horário entre o semieixo positivo dos xx e a hipotenusa do triângulo rectângulo representado. Sejam a e b os comprimentos dos catetos do triângulo rectângulo representado medido de acordo com os sentidos dos correspondentes eixos.

y

c =1

a = senα α

b = cos α

x

Figura 19: Seno e Coseno. Como a hipotenusa do triângulo representado tem o comprimento c = 1, então por definição é imediato concluir que para um ângulo entre 0 e π2 radianos a a = =ae c 1 b b cos α = = = b. c 1

sen α =

Isto é, o comprimento a e b dos catetos representados na Figura 19 traduzem exactamente os valores das funções Seno e Coseno do ângulo α. 15

M a io d e 2 0 0 6

Para outros ângulos as funções Seno e Coseno são definidas da mesma forma, isto é, como sen α = a e cos α = b em que os comprimentos a e b são medidos de acordo com o sentido dos correspondentes eixos. Se seguirmos a evolução dos comprimentos dos catetos do triângulo da Figura 19, à medida que o ângulo α varia, podemos identificar valores típicos destas funções e algumas interessantes propriedades. A título ilustrativo apresentamos de seguida os gráficos das funções Seno e Coseno no intervalo [−π, π].

Figura 20: Seno no intervalo [−π, π].

Figura 21: Coseno no intervalo [−π, π]. 16

M a io d e 2 0 0 6

Comecemos por notar, por exemplo que ângulo Seno Coseno 0 0 1 π 2

1

0

π

0

−1

3π 2

−1

0

2π

0

1

Outro facto particularmente interessante que se pode registar observando a evolução dos comprimentos dos catetos do triângulo da Figura 19 à medida que o ângulo α varia, é a periodicidade, com período 2π, das funções Seno e Coseno. Nas Figuras 22 e 23 pode ser verificada esta propriedade.

Figura 22: Periodicidade da função seno.

Figura 23: Periodicidade da função coseno. 17

M a io d e 2 0 0 6

Tem-se, assim, para qualquer ângulo α sen α = sen (α + 2π) e cos α = cos (α + 2π) . Isto é, sen α = sen (α + k2π) e cos α = cos (α + k2π) para todo ângulo α e k número inteiro. Pode, igualmente verificar-se que para todo o ângulo α sen α = − sen (−α) e cos α = cos (−α) . Isto é, a função seno é uma função ímpar e a função coseno é uma função par. Nas Figuras 24 e 25 verificam-se, como base na interpretação do círculo trigonométrico estas propriedades. y (0,1)

senα α

(1,0)

−α

x

sen(−α )

Figura 24: sen α = − sen (−α) .

y (0,1)

cos α

α −α

(1,0)

x

cos(−α )

Figura 25: cos α = cos (−α). 18

M a io d e 2 0 0 6

Por outro lado pode também observar-se que sen (π − α) = sen α e sen (π + α) = − sen α. Nas Figuras 26 e 27 verificam-se estas propriedades. y (0,1)

sen(π - α )

senα π −α

α

(1,0)

x

Figura 26: sen (π − α) = sen α.

y (0,1)

senα α

sen(π + α )

(1,0)

x

π +α

Figura 27: sen (π + α) = − sen α. E também cos α = − cos (π − α) = − cos (π + α) , como se pode observar na Figura 28. y cos(π − α ) cos α

(− 1,0)

π −α

α

(1,0)

x

π +α

cos(π + α )

Figura 28: cos α = − cos (π − α) = − cos (π + α) .

19

M a io d e 2 0 0 6

Tendo em conta o Teorema de Pitágoras, observando o círculo trigonométrico, deduz-se a chamada Fórmula Fundamental da Trigonometria 1 = c2 = a2 + b2 = sen2 α + cos2 α, isto é sen2 α + cos2 α = 1 para todo o ângulo α. 1.7.2

A Tangente e a Secante no círculo trigonométrico

Consideremos agora a Figura 29 que representa um círculo trigonométrico com um triângulo rectângulo cuja hipotenusa constitui um raio vector aplicado na origem. Seja α o ângulo medido no sentido anti-horário entre o semieixo positivo dos xx e a hipotenusa do triângulo rectângulo representado e b o comprimento unitário (por construção) do cateto do triângulo rectângulo representado. Os comprimentos a e b dos catetos são medidos de acordo com os sentidos dos correspondentes eixos.

y c = sec α a = tgα α

b =1

x

Figura 29: Tangente e Secante. Como o cateto adjacente ao ângulo α é unitário, atendendo à definição de Tangente e Secante para ângulos entre 0 e π2 deduz-se tg α = sec α =

a 1 c 1

=ae = c.

Isto é, os comprimentos do cateto oposto e da hipotenusa do triângulo representado na Figura 29 correspondem aos valores da Tangente e da Secante do ângulo α, respectivamente.

20

M a io d e 2 0 0 6

Para outros ângulos as funções Tangente e Secante são definidas da seguinte forma tg α = sec α =

a b

e

c b

em que os comprimentos a e b são medidos de acordo com o sentido dos correspondentes eixos. A título ilustrativo apresentamos seguidamente os gráficos das funções Tangente e Secante no intervalo [−π, π] .

Figura 30: Tangente no intervalo [−π, π].

Figura 31: Secante no intervalo [−π, π]. Tendo em atenção a medição dos comprimentos a e b dos catetos de acordo com os sentidos dos correspondentes eixos deduzimos seguidamente os valores das funções Tangente e Secante 21

M a io d e 2 0 0 6

para alguns ângulos de interesse: ângulo Tangente = 0 0

a b

Secante = 1

c b

π 2

não definida

não definida

π

0

−1

3π 2

não definida

não definida

2π

0

1

Notemos também que

a −a = = tg (α + π) , b −b isto é, a função tangente é periódica com período π, ou seja, tg α =

tg α = tg (α + kπ) para todo ângulo α e k número inteiro. Na Figura 32 pode ser verificada esta propriedade.

Figura 32: Periodicidade da função tangente. Também c c =− = − sec (π + α) = − (− sec (π + (π + α))) b −b = sec (2π + α) ,

sec α =

o que mostra que a função secante também é periódica de período 2π. Isto é, sec α = sec (α + 2kπ) para todo ângulo α e k número inteiro. Na Figura 33 pode ser verificada esta propriedade. 22

M a io d e 2 0 0 6

Figura 33: Periodicidade da função secante. Por outro lado tg α = − tg (−α) e sec α = sec (−α) , o que mostra que a função tangente é uma função ímpar e a função secante uma função par. Na Figura 34 ilustram-se estas propriedades. y

sec α

(0,1) tgα α

(−1,0)

−α

x tg(−α )

sec(−α )

Figura 34: tg α = − tg (−α) e sec α = sec (−α). Também, não é difícil verificar que tg α = − tg (π − α) e sec α =

c c =− = − sec (π − α) = − sec (π + α) . b −b 23

M a io d e 2 0 0 6

y

sec α

sec(π − α )

tg(π − α )

tgα π −α

α

(1,0) x

π +α

tg(π + α ) (−1,0) sec(π + α )

Figura 35: tg α = − tg (π − α) e sec α = − sec (π − α) = − sec (π + α). Tendo em conta o Teorema de Pitágoras, observando o círculo trigonométrico, deduz-se igualmente c2 = sec2 α = a2 + b2 = tg 2 α + 1, isto é sec2 α = tg 2 α + 1, para todo o ângulo α. 1.7.3

A Cotangente e a Cosecante no círculo trigonométrico

Consideremos agora a Figura 36 que representa um círculo trigonométrico com um triângulo rectângulo cuja hipotenusa constitui um raio vector aplicado na origem. Seja α o ângulo medido no sentido directo entre o semieixo positivo dos xx e a hipotenusa do triângulo rectângulo representado e a o comprimento unitário (por construção) do cateto do triângulo rectângulo representado. Os comprimentos a e b dos catetos são medidos de acordo com os sentidos dos correspondentes eixos. y

c = csc α α

b = cotgα

a =1

x

Figura 36: Cotangente e Cosecante. 24

M a io d e 2 0 0 6

Como o cateto oposto ao ângulo α é unitário, atendendo à definição de Cotangente e Cosecante para ângulos entre 0 e π2 deduz-se cotg α = csc α =

b 1

c 1

=be

= c.

Isto é, os comprimentos do cateto adjacente e da hipotenusa do triângulo representado na Figura 36 correspondem aos valores da Cotangente e da Cosecante do ângulo α, para ângulos entre 0 e π2 , respectivamente. Para outros ângulos as funções Cotangente e Cosecante são definidas da seguinte forma cotg α = csc α =

b a

e

c a

em que os comprimentos a e b são medidos de acordo com o sentido dos correspondentes eixos. A título ilustrativo apresentamos de seguida os gráficos das funções Cotangente e Cosencante no intervalo [−π, π] .

Figura 37: Cotangente no intervalo [−π, π].

Figura 38: Cosecante no intervalo [−π, π].

25

M a io d e 2 0 0 6

Tendo em atenção a medição dos comprimentos a e b dos catetos de acordo com os sentidos dos correspondentes eixos deduzimos seguidamente os valores das funções Cotangente e Secante para alguns ângulos de interesse: ângulo 0

Cotangente = ba não definida

Cosecante = ac não definida

π 2

0

1

π

não definida

não definida

3π 2

0

−1

2π

não definida

não definida

Notemos também que −b b = = cotg (α + π) , a −a isto é, a função cotangente é periódica com período π, ou seja cotg α =

cotg α = cotg (α + kπ) para todo ângulo α e k número inteiro. Na Figura 39 podemos constatamos esta propriedade.

Figura 39: Periodicidade da função cotangente. Também c c =− = − csc (π + α) = − (− csc (π + (π + α))) a −a = csc (2π + α) ,

csc α =

o que mostra que a função cosecante também é periódica de período 2π. Isto é, csc α = csc (α + 2kπ) para todo ângulo α e k número inteiro. Na Figura 40 pode ser verificada esta propriedade. 26

M a io d e 2 0 0 6

Figura 40: Periodicidade da função cosecante. Por outro lado cotg α = − cotg (−α) e csc α = − csc (−α) , o que mostra que quer a função cotangente quer a função cosecante são funções ímpares como se pode inferir a partir da Figura 41.

y cotgα

csc α

1 α −α

csc(−α )

x 1

cotg( −α ) Figura 41: cotg α = − cotg (−α) e csc α = − csc (−α) . Também cotg α = − cotg (π − α) e

c c =− = − csc (π + α) = csc (π − α) . a −a Nas Figuras 42 e 43 é possível deduzir estas propriedades. csc α =

27

M a io d e 2 0 0 6

y cotg(π − α ) cotgα

1 π −α

α

x

Figura 42: cotg α = − cotg (π − α). y csc(π − α )

cscα

1

1 π −α

α

x

π +α

1

csc(π + α )

Figura 43: csc α = − csc (α + π) = csc (α + π). Tendo em conta o Teorema de Pitágoras, observando o círculo trigonométrico, deduz-se igualmente c2 = csc2 α = a2 + b2 = 1 + cotg 2 α, isto é csc2 α = cotg 2 α + 1, para todo o ângulo α.

1.8 1.8.1

Valores de funções trigonométricas para ângulos arbitrários Redução de um ângulo arbitrário ao intervalo [0, 2π[

Vimos atrás que as funções trigonométricas básicas são periódicas de período fundamental 2π e π. Notando adicionalmente que se uma função é periódica de período π então também é periódica de período (não fundamental) 2π, podemos concluir que as funções trigonométricas básicas têm, todas, período 2π. Assim, poderemos facilmente calcular o valor destas funções para um ângulo arbitrário se soubermos os valores das funções trigonométricas para ângulos no intervalo [0, 2π[ (ou [0, 360◦ [), isto é, no círculo triogonométrico. Bastando para tal reduzir o ângulo dado a um valor no intervalo [0, 2π[ (ou [0, 360◦ [).

28

M a io d e 2 0 0 6

Tal redução é efectuada achando o resto da divisão inteira do ângulo dado por 2π, ou 360◦ conforme se esteja a trabalhar em radianos ou em graus. O ângulo obtido (no intervalo pretendido) diz-se congruente com o ângulo dado mod 2π, ou mod 360◦ conforme se esteja a trabalhar em radianos ou em graus. Exemplo 9 Reduza ao intervalo [0, 360◦ [ o ângulo de −1080◦ . Resolução: Ora −1080◦ = −3 × 360◦ + 0◦ ,

o que mostra que −1080◦ é congruente com 0◦ (mod 360). Exemplo 10 Reduza ao intervalo [0, 2π[ o ângulo

25 π 4

radianos.

Resolução: Ora

25 π π = 3 × 2π + , 4 4 o que mostra que 25 π é congruente com π4 (mod 2π). 4

Exemplo 11 Calcule cos (−1080◦ ). Resolução: Sabemos que −1080◦ é congruente com 0◦ (mod 360). Então cos (−1080) = cos 0 = 1. 1.8.2

Redução de uma função trigonométrica ao 1o quadrante

Recorrendo às propriedades das funções trigonométricas é possível relacionar os valores que as funções trigonométricas assumem no intervalo [0, 2π[ (ou [0, 360◦ [) com£ valores ¤ assumidos π por funções trigonométricas relacionadas com as anteriores no intervalo 0, 2 (ou [0, 90◦ ]). Tal procedimento designa-se por redução de uma dada função trigonométrica ao 1o quadrante (do círculo trigonométrico). Este procedimento pode ser conveniente uma vez que conhecemos os valores das diferentes funções trigonométricas para diferentes ângulos no 1o quadrante (0, π6 , π4 , π3 e π2 ). Exemplo 12 Reduza ao 1o quadrante cos (180◦ − 35◦ ). Resolução: Ora cos (180◦ − 35◦ ) = − cos (35◦ ). Note-se que 35◦ pertence ao 1o quadrante. ¡ ¢ Exemplo 13 Calcule sen 294 π . Resolução: Sabemos que

29 28 1 1 π = π + π = 3 × 2π + π + π. 4 4 4 4

29

M a io d e 2 0 0 6

Então, ¶ µ ¶ 1 29 sen π = sen 3 × 2π + π + π 4 4 ¶ µ 1 = sen π + π 4 √ µ ¶ 1 2 = − sen π =− . 4 2 µ

1.9

Equações com funções trigonométricas

Em diversas circunstâncias pode ser útil resolver equações em que intervêem funções trigonométricas. Seguidamente iremos estudar algumas técnicas destinadas à resolução deste tipo de equações. 1.9.1

Equação sen x = sen α

Suponha-se que pretendemos determinar os valores de x que satisfazem a equação sen x = sen α para um certo ângulo α conhecido. Tendo em conta as propriedades da função seno sabemos que sen x = sen α se x = α + 2kπ, k inteiro, já que a função seno é periódica de período fundamental 2π. Por outro lado, se sen x = sen α, também sen x = sen (π − α) , donde se deduz novamente da periodicidade da função seno x = π − α + 2kπ, k inteiro. Assim, os valores x que satisfazem a equação sen x = sen α serão x = α + 2nπ ∨ x = π − α + 2mπ, com n e m inteiros. Na Figura 44 ilustram-se a forma das soluções indicadas.

30

M a io d e 2 0 0 6

Figura 44: Soluções da equação sen x = sen α. Exemplo 14 Resolva a equação sen x = sen π4 . Resolução: Como vimos atrás, a solução desta equação será x=

π 4

+ 2nπ ∨ x = π −

⇔x=

π 4

+ 2nπ ∨ x =

π 4

3π 4

+ 2mπ, com n e m inteiros ⇔

+ 2mπ, com n e m inteiros.

Exemplo 15 Resolva a equação sen x = 0. Resolução: Ora sen x = 0 ⇔ sen x = sen 0

pois sen 0 = 0. Então, tendo em conta a solução conhecida para a equação anterior x = 0 + 2nπ ∨ x = π − 0 + 2mπ, com n e m inteiros ⇔ ⇔ x = 2nπ ∨ x = π + 2mπ, com n e m inteiros ⇔

1.9.2

⇔ x = kπ, com k inteiro.

Outras equações

Consideremos agora o problema de determinar os valores de x que satisfazem a equação cos x = cos α para um certo ângulo α conhecido. Tendo em conta as propriedades da função coseno sabemos que cos x = cos α 31

M a io d e 2 0 0 6

se x = α + 2kπ, k inteiro, já que a função coseno é periódica de período fundamental 2π. Por outro lado, se cos x = cos α, também cos x = cos (−α) , donde se deduz novamente da periodicidade da função coseno x = −α + 2kπ, k inteiro. Assim, os valores x que satisfazem a equação cos x = cos α serão x = α + 2nπ ∨ x = −α + 2mπ, com n e m inteiros. Como facilmente o leitor poderá verificar, notando que sec x = 1/ cos x e csc x = 1/ sen x, as soluções das equações do tipo sec x = sec α e csc x = csc α são respectivamente x = α + 2nπ ∨ x = −α + 2mπ, com n e m inteiros. e x = α + 2nπ ∨ x = π − α + 2mπ, com n e m inteiros. Quanto às equações do tipo tg x = tg α ou cotg x = cotg α as soluções são x = α + kπ, k inteiro atendendo à periodicidade de período fundamental π destas útltimas funções. Exemplo 16 Resolva a equação cos x = cos π3 . Resolução: Como vimos atrás, a solução desta equação será x=

π π + 2nπ ∨ x = − + 2mπ, com n e m inteiros. 3 3

32

M a io d e 2 0 0 6

Exemplo 17 Resolva a equação cos x = sen π3 . Resolução: ¢ ¡ Comecemos por observar que sen π3 = cos π2 − π3 = cos π6 . Então, a equação a resolver será equivalente à equação π cos x = cos 6 cuja solução será x=

π π + 2nπ ∨ x = − + 2mπ, com n e m inteiros. 6 6

1.10

Algumas importantes fórmulas trigonométricas

1.10.1

O seno da soma

Uma importante fórmula da trigonometria é a que estabelece o seguinte resultado, conhecido sugestivamente por "o seno da soma": sen (α + β) = sen α cos β + sen β cos α. Como se pode observar esta fórmula relaciona o seno de uma soma de ângulos com o seno e o coseno de cada uma das parcelas. Para nos convencermos que este resultado é verdadeiro consideremos a figura 45. Triângulo C Triângulo B

γ 1

cos γ senβ = cos α senβ

θ

sen (α + β )

cos β

β

ϕ

α

senα cos β

Triângulo A

Figura 45: O seno da soma. Esta Figura representa três triângulos: o triângulo A, o triângulo B e o triângulo C, tendo a hipotenusa do triângulo B um comprimento unitário. Naturalmente, nestas circunstâncias (porquê?), o comprimento do cateto oposto ao ângulo α + β, representado a traço interrompido, será sen (α + β) . Ora, este valor é igual à soma do comprimento do cateto oposto ao ângulo α (que é sen α cos β) com o comprimento do cateto adjacente ao ângulo γ (que é cos γ sin β), isto é: sen (α + β) = sen α cos β + cos γ sen β. 33

M a io d e 2 0 0 6

Como α = γ, já que ϕ + θ = π com ϕ =

π 2

−α e θ=

π 2

+ γ, donde resulta

π π − α + + γ = π ⇒ α = γ, 2 2

a fórmula procurada fica

sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β. Exemplo 18 Mostre que sen (α − β) = sen α cos β − cos α sen β.

Resolução: Tendo em conta a fórmula do seno da soma e notando que o Seno é uma função ímpar e o Coseno uma função par deduz-se imediatamente: sen (α − β) = sen (α + (−β)) = sen α cos (−β) + cos α sen (−β) = sen α cos β − cos α sen β. 1.10.2

O coseno da soma

Uma outra importante fórmula da trigonometria é a que estabelece o resultado conhecido sugestivamente por "o coseno da soma": cos (α + β) = cos α cos β − sen α sen β. Como se pode observar esta fórmula relaciona o coseno de uma soma de ângulos com o seno e o coseno de cada uma das parcelas. Para nos convencermos que este resultado é verdadeiro consideremos a figura 46. Triângulo B Triângulo C

γ 1

θ cos β

β α

ϕ Triângulo A

cos(α + β )

senγ senβ = senα senβ

cos α cos β

Figura 46: O coseno da soma. 34

M a io d e 2 0 0 6

Esta Figura representa três triângulos: o triângulo A, o triângulo B e o triângulo C, tendo a hipotenusa do triângulo B um comprimento unitário. Naturalmente, nestas circunstâncias (porquê?), o comprimento do cateto adjacente ao ângulo α + β, será cos (α + β) . Ora, a soma deste valor com o comprimento do cateto oposto ao ângulo γ (que é sen γ sen β) é o valor cos α cos β, isto é: cos (α + β) + sen γ sen β = cos α cos β. Deduzimos cos (α + β) = cos α cos β − sen γ sen β. Como α = γ, já que ϕ + θ = π com ϕ =

π 2

−α e θ=

π 2

+ γ, donde resulta

π π − α + + γ = π ⇒ α = γ, 2 2

a fórmula procurada fica

cos (α + β) = cos α cos β − sen α sen β. Exemplo 19 Mostre que cos (α − β) = cos α cos β + sen α sen β.

Resolução: Tendo em conta a fórmula do coseno da soma e notando que o Seno é uma função ímpar e o Coseno uma função par deduz-se imediatamente: cos (α − β) = cos (α + (−β)) = cos α cos (−β) − sen α sen (−β) . = cos α cos β + sen α sen β. 1.10.3

A lei dos senos

A chamada "lei dos senos"estabelece uma relação entre os ângulos internos de um triângulo plano genérico e os comprimentos dos correspondentes lados. Consideremos a figura 47 que representa um rectângulo genérico com ângulos internos α, β e γ.

γ

B

α C

A

β

Figura 47: Triângulo plano. 35

M a io d e 2 0 0 6

Nesta figura os comprimentos dos lados do triângulo representado são A, B e C. A lei dos senos estabelece o seguinte: sen α sen β sen γ = = . A B C Na Figura 48 as construções geométricas auxiliares permitem deduzir o resultado anterior.

L

γ

B

γ

B

α C

L

α

A

β

A

β

C π −α

(a )

(b ) Figura 48: A lei dos senos.

Com efeito, no triângulo (a) sen γ =

L L e sen β = , B C

donde, B sen γ = C sen β ⇒

sen β sen γ = . B C

Por outro lado, no triângulo (b)

sen β =

L L e sen (π − α) = , A B

donde, A sen β = B sen (π − α) = B sin α ⇒

sen β sen α = . B A

Assim, concluímos imediatamente que sen α sen β sen γ = = . A B C Exemplo 20 Num dado triângulo plano o comprimento do lado que se opõe ao ângulo π4 é uma unidade. Sabendo que outro ângulo deste triângulo é π3 determine o comprimento do lado que se lhe opõe. Resolução: Nas condições referidas e designando o comprimento do lado procurado A ¡ ¢ ¡ ¢ sen π4 sen π3 = ⇒ 1 A r √ 3 3 2 . A = √ = 2 2 2

36

M a io d e 2 0 0 6

1.10.4

A lei do coseno

Consideremos a Figura 49 que representa um triângulo genérico com lados de comprimentos A, B e C e ângulos internos α, β e γ. Do Teorema de Pitágoras deduz-se ³p ´2 p 2 2 2 2 2 2 C = (C1 + C2 ) = B −L + A −L . ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ −α ⎟ + ⎜ − β ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

λ =⎜

B

λ

α

A

L

β C2

C1 C

Figura 49: A lei do coseno. Desenvolvendo o segundo membro e notando que L = A sen α = B sen β, p B2 − L2 = B cos α e C1 = p C2 = A2 − L2 = A cos β,

obtemos

´2 A2 − L2 p p = A2 + B2 − 2L2 + 2 B2 − L2 A2 − L2 = A2 + B2 − 2A (sen α) B (sen β) + 2B cos αA cos β = A2 + B2 − 2AB (sen α sen β − cos α cos β) .

C2 =

³p

B2 − L2 +

p

Recordando que cos (α + β) = sen α sen β − cos α cos β e cos (α + β) = cos (π − (α + β)) = cos γ, obtemos finalmente a lei do coseno C2 = A2 + B2 − 2AB cos (α + β) = A2 + B2 − 2AB cos (π − (α + β)) = A2 + B2 − 2AB cos (γ) , isto é C2 = A2 + B2 − 2AB cos (γ) , 37

M a io d e 2 0 0 6

ou seja A2 + B2 − C2 . 2AB Notemos que a lei do coseno generaliza o Teorema de Pitágoras a triângulos não rectângulos. cos (γ) =

Exemplo 21 Suponha que conhece os comprimentos dos lados A e B de uma dado triângulo é respectivamente 1 e 2. Sabendo que o ângulo interno oposto ao lado C é π4 determine o comprimento do lado C. Resolução: Nas condições referidas C2 = A2 + B2 − 2AB cos (γ) π = 12 + 22 − 2 × 1 × 2 cos 4 q √ √ = 3 − 2 2 ⇒ C = 3 − 2 2.

38

M a io d e 2 0 0 6

1.11

Exercícios Propostos

Exercício 1 Transforme os seguintes valores em múltiplos de π radianos: 1. 30o ; 2. 45o ; 3. 60o ; 4. 750o ; 5. −1530o ; 6. 150 grados; 7. 340 grados. Exercício 2 Exprima os seguintes valores em graus: 1.

π 5

2.

5π 6

rad;

3.

3π 4

rad;

rad;

4. − 10π rad; 3 5. 150 grados; 6. 340 grados; 7. −650 grados. Exercício 3 Exprima os seguintes valores em grados: 1. 1o ; 2. 1 rad; 3.

π 4

rad;

4. 30o ; 5. −60o ; 6. 750o ; 7. − 7π rad. 6 Exercício 4 Exprima no sistema sexagesimal (isto é, em graus, minutos e segundos): 1.

7π 6

rad;

2. −4.71 rad; 3. − 5π rad; 24 4. 1 rad. 39

M a io d e 2 0 0 6

Exercício 5 Quais os ângulos internos de um triângulo equiângulo, isto é, com todos os ângulos iguais? Exercício 6 Determine o valor do ângulo interno não indicado num triângulo plano com os seguintes ângulos internos: 1. 30◦ e 90◦ ; 2.

π 4

rad e

π 6

rad.

Exercício 7 Uma escada de 10 m de comprimento é colocada de tal maneira que o ângulo que faz com o chão é duas vezes o que faz com a parede. A que distância da parede se encontra os pés da escada? Exercício 8 A amplitude do ângulo α de observação do João para o alto de uma árvore é 55o . Qual é a amplitude do ângulo de observação do João em relação a um pássaro situado a: 1. meia altura da árvore; 2. dois terços da altura da árvore. Exercício 9 Uma pessoa observa que o ângulo de visão de uma coluna a partir do chão é 45o . Após aproximar-se 10 metros o ângulo de visão passa para 60o . Determine a altura da coluna. Exercício 10 O triângulo [ABC] é rectângulo em B, AB = 2 cm e MC = 3 cm.

B

α A

C

M

Calcule: 1. AM; 2. α; 3. BC.

40

M a io d e 2 0 0 6

Exercício 11 Determine um periodo diferente de zero para as seguintes funções: 1. sen (2x) ; 2. sen (2πx) ; 3. sen x + sen (2x) ; 4. sen2 x; 5. cos2 x. Exercício 12 Complete a seguinte tabela: π π π 2π 3π 5π 7π α 6 4 3 3 4 6 6 sen α cos α

1 2

√ 2 2

√ 3 2

5π 4

4π 3

5π 3

7π 4

11π 6

Exercício 13 Indique o valor lógico das seguintes afirmações: ¡ ¢ 1. cos α + π2 = − sen α; 2. cos (α − π) = cos α;

3. cos (−π − α) = cos α; ¡ ¢ 4. cos 3π + α = sen α; 2 ¡ ¢ 5. sen 3π + α = cos α. 2

Exercício 14 Determine os valores de sen x e cos x para os seguintes valores de x : 1. 3π; 2.

7π ; 3

3.

9π ; 2

4. −900o ; 5. − 25π ; 6 6.

13π ; 4

7. − 10π ; 3 8. 1260o ; 9.

27π ; 4

10. 150o ; 11.

20π . 3

41

M a io d e 2 0 0 6

Exercício 15 Resolva as seguintes equações: 1. sen x = sen π3 ; 2. cos x = 0; 3. sen x = cos π4 ; 4. sen x = cos x; 5. sen x = − cos x; ¡ ¢ 6. sen x = sen x + π2 ;

7. cos x = cos (2π − x) ; 8. sen2 x − cos2 x = 1. Exercício 16 Calcule: ¢ ¡ ¢ ¡ 1. sen π6 + π4 e cos π6 + π4 ; ¡ ¢ ¡ ¢ 2. sen π2 + π3 e cos π2 + π3 ; ¢ ¡ 2π π ¢ ¡ π − e cos −4 . 3. sen 2π 3 4 3

£ ¤ £ ¤ , calcule o valor Exercício 17 Sabendo que cos α = 13 , α ∈ − π2 , 0 e sen β = 15 , β ∈ π2 , 3π 2 de cos (α + β) e apresente uma estimativa para a amplitude do ângulo (α + β) . Exercício 18 Dois pontos A e B estão separados por um charco, e pretende-se determinar a distância AB. Ambos os pontos são acessíveis a partir de um terceiro ponto C tal que b é 45o . Determine a distância AB se o ângulo ABC b é: AC = 40 metros e o ângulo BAC 1. 45o ; 2. 60o ; 3. 90o . Exercício 19 Para cada um dos casos, determine os ângulos de um triângulo com os seguintes lados, ou justifique porque é que esse triângulo não existe: 1. a = 20, b = 99 e c = 101; 2. a = 20, b = 99 e c = 111; 3. a = 20, b = 99 e c = 121. Exercício 20 Dois pontos A e B estão separados por um charco, e pretende-se determinar a distância AB. Ambos os pontos são acessíveis a partir de um terceiro ponto C tal que b é: AC = 30 metros e CB = 40 metros. Determine a distância AB se o ângulo ACB 1. 90o ; 2. 45o ; 3. 120o . 42

M a io d e 2 0 0 6

Exercício 21 Três circunferências de raios 3, 4 e 5 são externamente tangentes. Mostre que o triângulo com vértices nos três centros tem ângulos com cosenos 23 , 27 e 11 . 21 Exercício 22 Um lote de terreno forma um quadrilátero ABCD com um ângulo recto no vértice B e um ângulo maior que 90o no vértice oposto D. Os comprimentos dos lados em metros são AB = 423, BC = 162, CD = 420 e AD = 160. Determine o ângulo dos vértices D, A e C em graus. Exercício 23 O trapézio [ABCD] é rectângulo, DC = 4 cm e BC = 3 cm.

A

B

α C

D

1. Verifique ¤ π £que a área do trapézio pode ser dada por A (α) = 12 sen α − α ∈ 0, 2 ;

9 4

sen (2α) ,

2. Utilize a calculadora para resolver graficamente o seguinte problema: Sabendo que a área do trapézio é igual a 8.44 cm2 , calcule o ângulo α e a altura do trapésio.

43

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1.12

Soluções

Solução 1 . 1.

π 6

rad;

2.

π 4

rad;

3.

π 3

rad;

4.

25π 6

rad;

5. − 17π rad; 2 6.

3π 4

7.

17π 10

rad; rad.

Solução 2 . 1. 36o ; 2. 150o ; 3. 135o ; 4. −600o ; 5. 135o ; 6. 306o ; 7. −585o . Solução 3 . 1. 1. (1) grados; 2. 63.6 grados; 3. 50 grados; 4. 33. (3) grados; 5. −66. (6) grados; 6. 833. (3) grados; 7. −233. (3) grados. Solução 4 . 1. 210o ; 2. −269o 510 4700 ; 3. −37o 300 ; 4. 57o 170 4500 . 44

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Solução 5 60o . Solução 6 . 1. 60o ; 2.

7π 12

rad.

Solução 7 5 m. Solução 8 . 1. 35o 310 4700 ; 2. 43o 350 4000 . Solução 9 23.66 m. Solução 10 . 1. 1 cm; 2. 30o ; √ 3. 2 3 cm. Solução 11 . 1. π; 2. 1; 3. 2π; 4. π; 5. π. Solução 12 . π α 6 sen α cos α

1 √2 3 2

π √4 2 √2 2 2

π √3 3 2 1 2

2π √3 3 2 − 12

3π √4 2 2√ − 22

5π 6 1 2√

−

3 2

7π 6 −√12 − 23

5π 4√ − √22 − 22

4π 3√ − 23 − 12

5π 3√ − 23 1 2

7π 4√

−√ 22 2 2

11π 6 1 − √2 3 2

Solução 13 . 1. Verdadeira; 2. Falsa; 3. Falsa; 4. Verdadeira; 5. Falsa. 45

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Solução 14 . 1. sen (3π) = 0 e cos (3π) = −1; ¡ ¢ 1 ¡ ¢ √3 2. sen 7π = 2 e cos 7π = 2; 3 3 ¡ ¢ ¡ ¢ 3. sen 9π = 1 e cos 9π = 0; 2 2

4. sen (−900o ) = 0 e cos (−900o ) = −1; ¡ ¢ ¡ 25π ¢ √3 1 5. sen − 25π = − e cos − 6 = 2 ; 6 2 √ √ ¡ 13π ¢ ¡ ¢ 2 2 e cos ; 6. sen 13π = − = − 4 2 4 2 ¡ ¢ √3 ¡ 10π ¢ 7. sen − 10π = e cos − 3 = − 12 ; 3 2 8. sen (1260o ) = 0 e cos (1260o ) = −1; √ ¡ 27π ¢ ¡ ¢ √2 2 9. sen 27π = e cos = − ; 4 2 4 2 √

10. sen (150o ) = 12 e cos (150o ) = − 23 ; ¡ ¢ √3 ¡ 20π ¢ 11. sen 20π = e cos = − 12 . 3 2 3

Solução 15 . 1. x =

π 3

+ 2kπ ∨ x =

2. x =

π 2

+ kπ, k ∈ Z;

3. x =

π 4

+ 2kπ ∨ x =

4. x =

π 4

+ kπ, k ∈ Z;

5. x =

3π 4

6. x =

π 4

2π 3

+ 2kπ, k ∈ Z;

3π 4

+ 2kπ, k ∈ Z;

+ kπ, k ∈ Z;

+ kπ, k ∈ Z;

7. x = π + kπ, k ∈ Z; 8. x =

π 2

+ kπ, k ∈ Z.

Solução 16 . 1. 2. 3.

√ √ 2+ 6 4

e

√ √ 6− 2 ; 4

√ 1 3 e − ; 2 2 √ √ √ √ 6+ 2 6− 2 e . 4 4

Solução 17 cos (α + β) =

√ √ −2 6+2 2 15

e α + β ' 98o . 46

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Solução 18 . 1. 56.57 m; 2. 44.61 m; 3. 28.28 m. Solução 19 . 1. 11o 250 1600 ; 78o 340 4400 ; 90o ; 2. 8o 450 1300 ; 48o 520 4300 ; 122o 220 400 ; 3. Não existe o triângulo porque senão teriamos o coseno de um dos ângulos maior do que 1. Solução 20 . 1. 50 m; 2. 28.34 m; 3. 60.83 m. Solução 21 b = 89o 430 2400 ; BAD b = 88o 550 2600 . b = 91o 210 1000 ; BCD Solução 22 ADC

Solução 23 . 1. -

2. α ' 60o e h '

√ 3 3 2

cm.

47

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2 2.1

Números Complexos Introdução

Suponha-se que pretendemos resolver a equação x2 + 2x + 5 = 0 utilizando a bem conhecida fórmula resolvente √ −b ± b2 − 4ac x= . 2a Recordemos que esta fórmula serve para calcular as raízes das das equações algébricas de segundo grau da forma ax2 + bx + c = 0. A aplicação desta fórmula conduz-nos ao valor x=

−2 ±

√

−16

2

sem √ significado no conjunto dos números reais, já que neste conjunto não existe o número −16 (isto é, não existe nenhum número cujo quadrado seja igual a −16). Admitindo que o número obtido tem significado, e que a algebra habitual continua válida, podemos reescreve-lo como √ √ √ √ −2 ± −16 −2 −1 16 = ± = −1 ± 2 −1. 2 2 2 √ Este número, da forma a + b −1, em que a, b ∈ R, é um exemplo de um número complexo. Os chamados números complexos foram esboçados formalmente, pela primeira vez, na “Algebra” de Bombeli em 1572. A sua criação resultou da necessidade de tornar válida as famosas fórmulas de Cardano (ou Cardan) destinadas à resolução algébrica de equações de terceiro grau da forma x3 + px = q, x3 = px + q e x3 + q = px, com p e q > 0. Nestas fórmulas poderia haver necessidade de efectuar cálculos com raízes quadradas de números negativos como se pode observar na seguinte expressão da solução da segunda equação enunciada:

x=

s 3

q + 2

r

q2 4

−

p3 27

+

s 3

q − 2

r

q2 p3 − . 4 27

A construção do conjunto dos números complexos, habitualmente representado por C, revelouse de grande utilidade não só na matemática mas também noutras áreas da ciência. As transformadas de Laplace, as séries de Fourier e as transformadas de Fourier constituem alguns exemplos de ferramentas indispensáveis da física e engenharia que nunca se teriam desenvolvido sem o aparecimento deste novo conjunto de números.

48

M a io d e 2 0 0 6

Exemplo 22 Deduza a fórmula resolvente da equação ax2 + bx + c = 0. Resolução: Tentemos escrever a equação anterior como o quadrado de uma soma. Teremos sucessivamente: ax2 + bx + c = 0 ⇔ x2 + ba x + ac = 0 ⇔ a6= 0

⇔ x2 + ba x + ¡ ⇔ x+

¡ ⇔ x+ ⇔ x+

⇔x=

¢ b 2 2a ¢ b 2 2a

b 2a

¡ b ¢2 2a

+

=

=±

c a

−

c a

+

¡ b ¢2

¡ b ¢2 2a

2a

−

q¡ ¢ b 2 2a

√ −b± b 2 −4ac . 2a

¡ b ¢2

−

c a

−

2a

=0⇔

=0⇔ ⇔

c a

⇔

Exemplo 23 Determine as raízes da equação x2 + 2x + 5 = 0. Resolução: Utilizando a fórmula deduzida no exemplo anterior, fazendo a = 1, b = 2 e c = 5, obtemos √ −b ± b2 − 4ac x = = √2a −2 ± 22 − 20 = = 2 √ −2 ± −16 . = 2

2.2

Forma algébrica dos números complexos e sua representação geométrica

Definição 7 Define-se conjunto dos números complexos como sendo: ­ √ ® C = z = a + bi : a, b ∈ R ∧ i = −1 ,

onde z = a + bi ∈ C se designa número complexo, a a parte real de z (a = Re z), b a √ parte imaginária de z (b = Im z) e i = −1 a unidade imaginária. Se Im z 6= 0, z diz-se imaginário e se além disso Re z = 0, z diz-se imaginário puro. O conjunto dos números complexos C pode ser considerado uma extensão (que conserva todas as propriedades algébricas) do conjunto dos números reais R, extensão esta que possui as seguintes propriedades adicionais: • A equação x2 + 1 = 0, admite pelo menos uma solução em C; • Todo da forma a + bi em que a e b ∈ R e √ o elemento de C pode ser representado 2 i = −1 (isto é, i é uma solução de x + 1 = 0). 49

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Repare-se que desta forma o conjunto dos números reais pode ser interpretado como um subconjunto do conjunto dos números complexos e que no seio deste último, as raízes quadradas de números negativos passam a ter significado. Um facto semelhante a este está na base da construção do conjunto Z, isto é de todos os números inteiros. Com efeito os números que constituem soluções de equações do tipo x + n = 0, n ∈ N que não tinham significado no seio do conjunto dos números naturais passam a adquirir sentido no seio do conjunto dos números inteiros. No entanto, no conjunto C, não existe uma relação de ordem do tipo da existente em R : "