GE Física cap2
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CINEMÁTICA CONTEÚDO DESTE CAPÍTULO
aula 1 > Conceitos ............................................................................................36 aula 2 > Movimento retilíneo uniforme ...................................................40 aula 3 > Movimento retilíneo uniformemente variado ......................43 aula 4 > Lançamentos .....................................................................................46 Infográfico ..........................................................................................................50 Questões e Resumo..........................................................................................52
Potente câmera fotográfica do Cosmo Depois de 25 anos em operação, o Telescópio Espacial Hubble está para ser aposentado, com uma coleção única de grandes descobertas e imagens fascinantes
N
o início dos anos 1920, Edwin Hubble (1889-1953) fez duas das maiores descobertas da cosmologia: a Via Láctea, onde se encontra nosso Sistema Solar, não é a única galáxia, mas apenas uma em bilhões delas, e todas essas galáxias se afastam umas das outras – ou seja, o Universo está se expandindo. O astrônomo norte-americano trabalhou com um dos mais potentes telescópios da época, o Hooker, na Califórnia. Nove décadas depois, o nome Hubble continua associado a grandes descobertas sobre o Cosmo, agora batizando o mais conhecido e badalado instrumento de observação, o Telescópio Espacial Hubble, que completa 25 anos de operação em 2015. Ao longo desse tempo, cientistas obtiveram dados inusitados sobre os primórdios da formação do Universo e a dinâmica de galáxias e estrelas. E o público em geral foi presenteado com as mais impressionantes fotografias de um mundo jamais imaginado. O espelho do telescópio Hubble tem praticamente as mesmas dimensões do espelho do Hooker, mas o avanço da tecnologia dá ao novo instrumento uma capacidade muito maior de captar a luz e dela obter dados fundamentais para a compreensão da evolução e da estrutura do Cosmo. Além disso, por estar a mais de 500 quilômetros de altitude, capta imagens sem as
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distorções causadas pela atmosfera. O Hubble vasculhou as regiões mais profundas do Cosmo, mediu sua idade (13,4 bilhões de anos), registrou o nascimento e a morte de estrelas e identificou buracos negros no centro de galáxias e corpos escuros, como os planetas anões, que giram em torno do Sol. As informações coletadas renderam mais de 13 mil artigos científicos, alguns laureados com o Prêmio Nobel. O projeto, idealizado nos anos 1970, sofreu diversos reveses, como atrasos e aumentos de custo. Após o lançamento, em 1990, as primeiras imagens mostraram que o espelho apresentava um desvio de mícrons (milésimos de milímetro), o suficiente para borrar as imagens. Foram necessários três anos para que o defeito fosse corrigido. Hoje, depois de 25 anos de bons serviços prestados, o Hubble está para se aposentar e ceder lugar a seu sucessor, James Webb. O lançamento e a permanência de um POEIRA CELESTIAL telescópio em órbita A Nebulosa Cabeça de da Terra têm relação Cavalo, na Constelação de com variáveis como ve- Órion, a 1,5 mil anos-luz locidade, aceleração e da Terra, em uma das mais gravidade – conceitos fabulosas fotografias básicos da cinemática, em alta resolução do tema deste capítulo. Telescópio Espacial Hubble
NASA/ESA/HUBBLE HERITAGE TEAM
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CINEMÁTICA AULA 1 • CONCEITOS
AINDA ASSIM, MOVE-SE O ônibus está em movimento em relação à rua. Mas dentro dele os passageiros estão parados uns em relação aos outros
O que define um movimento 36 GE FÍSICA 2016
A
cinemática é o ramo da física que estuda o movimento dos corpos em geral – tanto de um atleta que corre, nada ou salta quanto de um foguete que deixa a superfície da Terra, ou de um corpo que circula em órbita do planeta. A cinemática não se preocupa com a causa do movimento, apenas com o movimento em si. Com ela somos capazes de determinar a posição, a velocidade e a aceleração do corpo no decorrer do tempo. Neste capítulo, você conhece os conceitos básicos com que lida a cinemática.
REFERENCIAL
Imagine que você esteja viajando em um trem. Você está em repouso ou em movimento? Se essa pergunta é feita a uma pessoa que se encontra parada ao lado da estrada de ferro, você está em movimento. Porém, se a mesma pergunta se dirige a outro passageiro do mesmo trem, você está em repouso. Ou seja, a noção de movimento ou repouso de certo objeto móvel não depende apenas do objeto, mas do corpo que adotamos como referência do movimento. Tal corpo que utilizamos para analisar se o móvel está ou não em movimento chamamos de referencial ou sistema de referência. Dizemos que um móvel qualquer está parado ou em repouso quando sua posição não varia em relação a determinado referencial. O objeto móvel está em movimento quando sua posição varia em relação a determinado referencial. Um mesmo objeto pode estar em repouso em relação a um referencial e em movimento em relação a outro. O termo “em relação”, repetido nas frases acima, indica que o movimento é relativo: suas medidas dependem dos referenciais adotados.
DIMENSÕES DO CORPO
O tamanho de um corpo em relação às demais dimensões envolvidas no movimento pode ser importante para os cálculos. Quando não podemos desprezar as dimensões do corpo em relação às demais dimensões, dizemos que esse é um corpo extenso. É o caso de um trem de 50 metros de comprimento que se desloca por 100 metros. Em outros casos, as dimensões do corpo estudado são tão menores que as demais dimensões envolvidas no movimento que podemos tratar o corpo como um ponto material. A Estação Espacial Internacional (ISS) é um exemplo de ponto material. A ISS é grande – tem cerca de 100 metros de ponta a ponta. Mas fica minúscula se comparada ao percurso de dezenas de milhares de quilômetros que faz em torno da Terra.
[1] SIMONE BECCHETTI/ISTOCK [2] NASA [3] MARCO DE BARI [4] [5] ISTOCK PHOTO
[1]
[2]
[3]
O PONTUAL E O EXTENSO A estação espacial é um ponto se comparada à sua trajetória ao redor da Terra. Já um automóvel que manobra em poucos metros não pode ter suas dimensões desprezadas
ONDE FICA O CENTRO DE MASSA Uma folha de papel pode ser considerada um corpo bidimensional. Nesse caso, o CM e o CG ficam no centro geométrico do retângulo [4]
CM = CG
CENTRO DE MASSA
Podemos explicar os movimentos de um corpo extenso e as forças que atuam sobre ele utilizando o conceito de centro de massa (CM) – o ponto no qual se considera que toda a massa do corpo esteja concentrada. O CM se movimenta como se todas as forças externas que atuam sobre o corpo fossem aplicadas sobre ele. No caso de um corpo rígido e homogêneo – ou seja, que não se deforma e que é constituído de um mesmo material e com a massa distribuída de maneira uniforme –, o CM coincide com o centro de gravidade (CG) – aquele no qual a força peso está concentrada. E, em corpos de formato regular, ambos coincidem com o centro geométrico. Veja ao lado.
[5]
Num corpo tridimensional, rígido e homogêneo, como um dado não viciado, o CM coincide com o CG, exatamente no centro do cubo
O CM pode estar fora do corpo e, ainda assim, coincidir com o CG
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CINEMÁTICA AULA 1 • CONCEITOS
TRAJETÓRIA
Dizer que o movimento de um corpo é relativo implica dizer que sua trajetória é relativa, ou seja, o caminho percorrido pelo corpo em determinado tipo de movimento depende do referencial adotado. Para estudar um corpo que descreve uma trajetória em relação a determinado referencial escolhemos uma origem, ou seja, um ponto a partir do qual as posições ocupadas pelo corpo serão registradas e contadas. Definimos, em seguida, um sentido para essa trajetória. Assim, podemos identificar o sentido em que as posições ocupadas pelo corpo crescem ou diminuem (veja o quadro Como a posição muda, ao lado).
DESLOCAMENTO ESCALAR
Ao se deslocar, um corpo assume diferentes posições ao longo da trajetória. Essa variação de posições é chamada deslocamento escalar (∆S). A medida do deslocamento escalar é obtida pela diferença entre a posição final e a posição inicial de um corpo após percorrer um trecho qualquer. Matematicamente:
COMO A POSIÇÃO MUDA Nesta trajetória, todas as posições são definidas a partir do ponto B, e o sentido adotado é da esquerda para a direita
–20 km
–10 km 0
A
Repare que o deslocamento, neste caso, é negativo. Isso indica que o percurso foi realizado no sentido contrário ao adotado como positivo na trajetória.
TIPOS DE MOVIMENTO
Um movimento é classificado conforme seu deslocamento ao longo da trajetória. Movimentos progressivos são aqueles nos quais o deslocamento se dá no sentido adotado como positivo na trajetória. Assim, num movimento progressivo, o deslocamento escalar de um corpo é positivo.
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+10 km C
+20 km
ATENÇÃO Deslocamento escalar e distância percorrida são grandezas diferentes. Veja a comparação das duas para um objeto que sai do ponto A, segue até o ponto C e volta para o ponto B. A distância percorrida é a soma de todos os trechos percorridos, não importando o sentido da viagem. Então: Dtotal = DAC + DCB ¡Dtotal = 30 + 10 ¡Dtotal = 40 km
–10 km
–20 km
0 A
S - S0 & SC - SB & 10 - 0 & 10 km
TS = S - S 0 & TS = S A - S C & TS = - 20 - 10 & TS = - 30 km
+
No ponto C, o corpo ocupa a posição +10 km da trajetória
Na figura Como a posição muda, ao lado, o objeto que parte do ponto B e ao final do percurso atinge o ponto C tem deslocamento escalar dado pela expressão:
Mas, se o móvel partir do ponto C e atingir ao final da viagem o ponto A, seu deslocamento será de:
Sentido adotado como positivo
B
Neste ponto, o corpo ocupa a posição –20 km da trajetória
TS = S - S 0
TS = TS = TS = TS =
No ponto B, o corpo se encontra exatamente na origem da trajetória
B
+
+10 km
Mas o deslocamento escalar deste corpo C ao percorrer o mesmo trajeto é a diferença entre a posição final e a inicial: ∆S = S – S0 ¡∆S = SB – SA ¡∆S = 0 – (–20) ¡∆S = 20 km
LEMBRE-SE CONVERSÃO DE ESCALAS Para converter quilômetros por hora (km/h) em metros por segundo (m/s), basta transformar cada uma das unidades: tLN N tIPSBUFNNJOVUPT DBEBVNEFMFTDPN TFHVOEPT&OUÍP I TT T Assim, 1 km/h =
1 000m = 1 = 0, 28m/s 3600 s 3, 6
Para transformar m/s em km/h, é só fazer o raciocínio inverso: dividir por 3,6
m/s
km/h multiplicar por 3,6
+20 km
Veja abaixo como é indicada a velocidade de um objeto:
NA PRÁTICA Um automóvel parte de uma cidade localizada no quilômetro 100 de uma estrada, às 10 horas. E chega à cidade vizinha, no quilômetro 244, às 12 horas. A velocidade média do automóvel no trajeto percorrido foi de: Vm = Vm = Vm = Vm = Vm = Vm =
DS & Dt 244 – 100 12 – 10 & 144 2 & 72 km/h 72 000 3 600 m/s & 20 m/s
+ 0
vetor
Movimento progressivo
Movimentos retrógrados são aqueles cujo deslocamento acontece no sentido inverso ao adotado como positivo na trajetória. Num movimento retrógrado, o deslocamento escalar de um corpo é negativo.
+ 0
Movimento retrógrado
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
É a razão entre o deslocamento escalar (∆S) descrito por um corpo e o intervalo de tempo (∆t) gasto nesse deslocamento. Ou seja, é a variação da posição ocupada por um corpo em determinada trajetória no decorrer do tempo. Matematicamente:
Vm = TS Tt Os corpos que descrevem movimentos progressivos apresentam velocidades positivas (v > 0), enquanto corpos que descrevem movimentos retrógrados apresentam velocidades negativas (v < 0). No S.I., a unidade de medida para velocidade é metro por segundo (m/s).
NA PRÁTICA Um objeto que apresenta uma aceleração de 2 m/s2 tem a intensidade de sua velocidade aumentada em 2 m/s a cada segundo. Já um objeto que apresenta uma aceleração negativa, por exemplo, –3 m/s2, tem a intensidade de sua velocidade diminuída em 3 m/s a cada segundo.
ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA
reta suporte
direção módulo Módulo é a medida pura do comprimento do vetor (indica a intensidade da velocidade)
a = Tv Tt A aceleração de um móvel pode ser entendida como a velocidade com que varia a sua velocidade. No S.I., a unidade de medida utilizada para a aceleração é m/s2.
Algumas grandezas necessitam apenas de seu valor absoluto para ser caracterizadas. São as grandezas escalares, como tempo, volume e massa. Outras grandezas exigem que sejam definidos também sua direção e seu sentido. Essas são grandezas vetoriais – aquelas nas quais um vetor indica a intensidade, a direção e o sentido. São grandezas vetoriais a velocidade, a aceleração e a força, por exemplo.
Direção é dada pela Sentido é definido direção da reta suporte em pela ponta da seta que o vetor se encontra
SOMA DE VETORES
As grandezas escalares podem ser somadas algebricamente: num bolo, 1 kg de açúcar mais 2 kg de farinha resultam em 3 kg de ingredientes. Mas a soma vetorial precisa considerar, além do módulo, a direção e o sentido dos vetores. Existem dois métodos geométricos para a adição de vetores. O primeiro, o método da poligonal. Nele, a origem do segundo vetor coincide com a extremidade (ponta da flecha) do primeiro vetor. O vetor soma (ou resultante) é o vetor que fecha o polígono, com origem no mesmo ponto de origem do primeiro vetor.
d2 d1
dr = d1 + d2
A mesma ideia pode ser usada para a soma de mais de dois vetores. Veja:
É a medida da variação da velocidade do corpo em certo intervalo de tempo. Matematicamente:
GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS
sentido
V
d2 d3 d1 dr = d1 + d2 + d3 O segundo método para somarmos vetores, dois a dois, é o do paralelogramo: fazemos coincidir as origens dos dois vetores e construímos um paralelogramo. O vetor soma é a diagonal do paralelogramo cuja origem coincide com a dos dois vetores. Veja:
dr = d1 + d2
d1 d2
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CINEMÁTICA AULA 2 • MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME
RAIO O jamaicano Usain Bolt corre 100 metros em 9,6 segundos. Nessa velocidade constante, ele percorreria 1 quilômetro em 1,5 minuto
Em linha reta e no mesmo ritmo
C
orpos que se deslocam em trajetória retilínea e com velocidade constante – ou seja, sem aceleração – estão em movimento retilíneo uniforme, ou MRU. Corpos em MRU percorrem sempre a mesma distância em um mesmo intervalo de tempo.
V = 10 cm/s
0s 0 cm 40 GE FÍSICA 2016
1s 2s 3s 4s 10 cm 20 cm 30 cm 40 cm
FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO
Para um corpo em MRU, a posição num instante t qualquer é dada pela função horária da posição:
S (t) = S0 + v . t, em que:
Já um objeto em um MRU retrógrado, a velocidade é negativa. Para essa situação, o gráfico da velocidade em função do tempo também é uma reta, mas na posição em que v < 0. Veja: V
S0 é posição inicial, no instante t = 0; v é a velocidade de deslocamento; t é o tempo do deslocamento.
Conhecendo a posição inicial (S0 ) e a velocidade de deslocamento (v), podemos calcular a posição S(t) que o corpo ocupa em um instante qualquer (t). Com isso, determinamos o comportamento do objeto móvel no decorrer do tempo. No S.I., a posição dos corpos é medida em metros e a velocidade, em m/s. Lembre-se de que, em movimentos progressivos, os corpos apresentam velocidade positiva e, em movimentos retrógrados, velocidade negativa. Repare que a expressão S (t) = S0 + v . t é uma função do 1° grau. Seu coeficiente linear determina a posição inicial S0 do corpo e o coeficiente angular, a velocidade v do corpo (veja o quadro Lembre-se, ao lado).
GRÁFICOS DO MRU
É muito comum na cinemática o estudo do movimento de um corpo ser feito por meio de gráficos que relacionam os parâmetros físicos do movimento com o tempo. A equação que define um MRU é uma função linear (ou função de 1º grau), e, por isso, sempre determina uma reta.
FRANCK FIFE/AFP
Velocidade em função do tempo
Todo corpo que executa MRU mantém uma velocidade constante. Se a intensidade da velocidade não varia, então o gráfico da velocidade em função do tempo deve ser uma reta paralela ao eixo do tempo. No caso de um corpo móvel que executa um movimento progressivo (no sentido adotado como positivo), a velocidade é positiva. Assim, o gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta acima da velocidade v = 0. Veja:
T A velocidade permanece constante, mas é negativa
Movimento retrógrado
A área sob a curva do gráfico é numericamente igual ao deslocamento escalar sofrido pelo corpo nesse intervalo de tempo. Veja: V
A medida da área A é numericamente igual à medida do deslocamento entre os instantes ti e tf
A 0
ti
tf
t
Mas atenção: a área, naturalmente, não indica o sentido do deslocamento. Para definirmos se o deslocamento é positivo ou negativo, devemos analisar se o movimento é progressivo (∆S > 0) ou retrógrado (∆S < 0).
Posição em função do tempo
Podemos também construir gráficos que representem a posição de um corpo que executa MRU em cada instante do percurso. Para isso, basta construir o gráfico da mesma função horária da posição:
S (t) = S0 + v . t Num movimento progressivo (v > 0), o móvel avança nas posições ao longo da trajetória com o passar do tempo, a partir de um ponto de origem. Assim, o gráfico da posição em função do tempo é uma reta crescente.
V A velocidade do corpo é positiva e permanece inalterada durante todo o deslocamento
S O corpo avança na trajetória no decorrer do tempo – deslocamento escalar positivo
T Movimento progressivo
Movimento progressivo
LEMBRE-SE Função de 1º grau é aquela na qual uma variável (y) depende de outra variável (x), que é independente e é elevada à primeira potência: f(x) = y = a . x + b Note que a é o coeficiente angular da reta, e é definido pela diferença entre as coordenadas x e y de dois pontos quaisquer da reta:
Dy Q y A –y B V = & Dx Q x A –x B V Q y B –y A V a= Q x B –x A V
a=
E b é o coeficiente linear da reta: o valor de y no ponto em que a reta cruza o eixo y (ou seja, o ponto que tem a coordenada x = 0).
T
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CINEMÁTICA AULA 2 • MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME
No caso de um movimento retrógrado (v < 0), o móvel recua a partir de um ponto de origem. Então, o gráfico é uma reta decrescente. Veja: S O corpo recua na trajetória no decorrer do tempo – deslocamento escalar negativo
T
Movimento retrógrado
Acompanhe o raciocínio: um automóvel percorre uma trajetória retilínea. Sua posição em função do tempo é representada no gráfico:
/&ɟɟ*)-#zq)ɟ )ɟ/.)'ç0 &ɟ *)#-ɟ ɟŲŻŵɟ horas de viagem? S (t) = 100 + 100 . t & S (2, 5) = 100 + 100 . 2, 5 & S = 350 km
ENCONTRO DE DOIS CORPOS
ɟ ( )(.,)ɟ ɟ )#-ɟ) $ .)-ɟ+/ ɟ- ɟ')0 'ɟ sempre se dá no momento em que eles ocupam a mesma posição na trajetória. Dois corpos seguem uma mesma trajetória retilínea movendo-se em sentidos opostos, com velocidade constante. Veja abaixo:
A
vA = 30 km/h S0= 400 km
S (km)
S0= 0 km 500
B
vB = 50 km/h
-ɟ )#-ɟ0 ° /&)-Żɟɟ &,)Żɟ0q)ɟ- ɟ ( )(.,,ɟ na mesma posição. Matematicamente, temos: SA= SB.
100 0
1,0
2,0
3,0
4,0
t (h)
ƀɟɟɟ*)-#zq)ɟ#(# #&ɟ )ɟ/.)'ç0 &ɟɟűŰŰɟ%' (para t = 0 h, S0ɟDŽɟűŰŰɟ%'ƙŽɟ ƀɟɟ*)-#zq)ɟŦ(&ɟ )ɟ/.)'ç0 &ɟɟŵŰŰɟ%'ɟ (para t = 4 h, SfɟDŽɟŵŰŰɟ%'ƙŽɟ ƀɟɟɟ!,PŦ )ɟɟ/'ɟ, .Żɟ (.q)ɟ.,.Ɛ- ɟ ɟ/'ɟ movimento uniforme; ƀɟɟɟ')0#' (.)ɟɟ*,)!, --#0)ɟ*),+/ ɟɟ, .ɟ é ascendente. A velocidade média do automóvel é a razão entre o deslocamento escalar e o tempo de percurso: Vm = TS & Vm = 500 - 100 & Vm = 100 km/h Tt 4- 0
Repare que, num gráfico da posição em função do tempo para um corpo em MRU, a velocidade é o coeficiente angular da reta. Para construir a função horária da posição do automóvel em determinado intervalo, basta substituir os valores conhecidos (S0 e v): S (t) = S O + v . t & S (t) = 100 + 100 . t
Esta é a função específica para o movimento desse automóvel. Então, podemos calcular sua posição em qualquer momento da viagem. Veja:
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sentido da trajetória
A
vA Sencontro
vB
B
Conhecemos as posições iniciais e as velocidades de A e B. Adotando que o sentido positivo da trajetória é da esquerda para a direita, e substituindo esses valores na função horária, temos: SA= SB & S+ vA.t = Sɟ+ vB . t & & ŰɟǁųŰɟźɟ.ɟDŽɟŴŰŰɟƑɟŵŰɟźɟ.ɟɟɟɟɟɟɟ.ɟDŽɟŵɟɟ" Portanto, os automóveis irão se encontrar após cinco horas. Para definir a posição em que eles se encontrarão, é só substituir os valores conhecidos na equação horária de qualquer um dos veículos: S A = S OA + v A . t & S A = 0 + 30 . 5 & S A = S B = 150 km
CINEMÁTICA AULA 3 • MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
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EXPLOSÃO DE VELOCIDADE O guepardo atinge 72 km/h em apenas 2 segundos. Sua aceleração é a mesma de um carro de Fórmula 1
Variação gradual Lembrando: módulo é o valor da intensidade de uma medida. O módulo da velocidade, por exemplo, é um valor em m/s ou km/h. O módulo não indica nem direção nem sentido da velocidade.
O
movimento retilíneo uniformemente variado, ou MRUV, é o que segue uma trajetória retilínea e apresenta uma alteração uniforme no módulo de velocidade. É um movimento com aceleração diferente de zero e constante – a velocidade do corpo aumenta ou diminui de maneira uniforme ao longo do percurso. O MRUV em que o corpo apresenta um aumento do módulo da velocidade é chamado de movimento acelerado.
∆t =
∆t
=
∆t
Em um movimento acelerado, o corpo percorre distâncias cada vez maiores em um mesmo intervalo de tempo IMAGE SOURCE/LATINSTOCK
Já o MRUV em que o objeto móvel apresenta diminuição do módulo da velocidade é chamado de movimento retardado.
∆t
=
∆t
=
∆t
Em um movimento retardado, o corpo percorre distâncias cada vez menores em um mesmo intervalo de tempo
A aceleração é uma grandeza vetorial – ou seja, para defini-la inteiramente é preciso considerar seu valor (módulo), sua direção e seu sentido. Uma aceleração cujo sentido coincide com o sentido adotado como positivo para a trajetória tem valores positivos (a > 0). No sentido oposto ao sentido adotado como positivo, valores negativos (a < 0). GE FÍSICA 2016
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CINEMÁTICA AULA 3 • MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
FUNÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE
O MRUV é caracterizado pela alteração da velocidade do corpo. A equação que fornece a velocidade do corpo em um instante qualquer é a chamada função horária da velocidade:
v (t) = v0 + a . t, em que: v(t) é a velocidade do corpo num instante t; v0 é a velocidade inicial do corpo; a é a aceleração do corpo; t é um instante qualquer.
NA PRÁTICA Se um atleta parte do repouso e acelera uniformemente a 3 m/s2, a função horária de sua velocidade é:
v (t) = v O + a . t & v (t) = 0 + 3 . t & v (t) = 3 . t
ATENÇÃO! Não confunda movimento retardado com movimento retrógrado. O movimento retardado só considera a diminuição do módulo da velocidade do corpo. O retrógrado é aquele que se dá no sentido inverso ao adotado como positivo na trajetória.
Se o atleta consegue manter essa aceleração por 3 segundos, sua velocidade ao final da aceleração é:
v (t) = 3 . t & v = 3 . 3 & v = 9 m/s
FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO
Assim como definimos a posição de um corpo em MRU, sem aceleração (veja na aula 1 deste capítulo), podemos também definir a posição de um corpo que executa um MRUV, com aceleração. A função horária da posição é uma equação matemática que fornece a localização do corpo em qualquer instante do movimento: 2 S (t) = S O + v O . t + a . t 2
Com essa equação determinamos a posição S(t) de um corpo que tem posição inicial S0 , velocidade inicial v0 e aceleração a em qualquer instante t.
NA PRÁTICA Um ciclista parte do repouso na posição inicial 10 m de determinado referencial e acelera 4 metros por segundo a cada segundo. A função horária para sua velocidade é: 2 4 . t2 S (t) = S 0 + v 0 . t + a . t & S (t) = 10 + 0 . t + 2 2 2 S (t) = 10 + 2 . t
EQUAÇÃO DE TORRICELLI
Combinando a equação horária da velocidade e a equação horária da posição, encontramos a chamada equação de Torricelli. A equação de Torricelli não considera o tempo de percurso. É útil quando não temos essa informação.
v2 = v02 + 2 . a. DS, em que: v é a velocidade final do corpo; v0 é a velocidade inicial do corpo; a é a aceleração do corpo; )S é o deslocamento escalar do corpo.
NA PRÁTICA Um automóvel se desloca a 36 km/h. O motorista avista um sinal vermelho 20 metros à frente e para exatamente no sinal. Qual a aceleração do veículo nessa situação? Sabemos que: t"WFMPDJEBEFJOJDJBMEPBVUPNØWFMÏLNI (ou 10 m/s); t"WFMPDJEBEFmOBMÏ[FSP t"EJTUÉODJBQFSDPSSJEBBUÏPTJOBMÏEFN Substituindo os valores na equação de Torricelli:
v 2 = v 20 + 2. a . TS & 0 2 = 10 2 + 2 . a . 20 a = –2, 5 m/s 2 O sinal negativo indica que a aceleração foi aplicada no sentido inverso ao adotado como positivo: o módulo da velocidade do automóvel diminui 2,5 m/s a cada segundo.
GRÁFICOS DO MRUV
Um MRUV também pode ser representado em gráficos.
Aceleração em função do tempo
A velocidade varia, mas a aceleração se mantém igual durante o tempo do percurso. Então, esse gráfico é uma reta paralela ao eixo do tempo. Um MRUV cuja aceleração tem o mesmo sentido do que foi adotado como positivo apresenta a > 0: a
No instante 4 segundos, ele estará no ponto:
S (t) = 10 + 2 . t 2 & S = 10 + 2 . 4 2 & S = 42 m Depois de 4 segundos, o ciclista estará na posição 42 m do referencial. Descontados os 10 m de distância entre o referencial e sua posição de partida, ele terá percorrido 32 m.
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0
t
Já um MRUV cuja aceleração tem sentido oposto ao que foi adotado como positivo apresenta a < 0. Então, a reta que representa a aceleração sai de um ponto abaixo do zero:
ATENÇÃO!
V O deslocamento escalar entre t1 e t2 é numericamente igual à área formada pela curva do gráfico da velocidade em função do tempo
a V
0
t
A 0
t2 t
t1
Posição em função do tempo
Velocidade em função do tempo
A velocidade de um corpo em MRUV varia com o tempo de acordo com a função horária da velocidade:
v (t) = v0 + a . t Esta é uma equação de 1º grau cujo gráfico é uma reta. Neste caso, o coeficiente linear fornece a velocidade inicial do corpo (v0 ) e o coeficiente angular, a aceleração (a) (veja o destaque Lembre-se na pág. 41) Para o caso de um MRUV com aceleração positiva (a > 0), a função é crescente e o gráfico da velocidade em função do tempo tem o seguinte formato: v
Movimento retardado
a . t2 2
Esta é uma equação de 2º grau e, portanto, define uma parábola como gráfico. O sinal do coeficiente do termo quadrático da equação (termo que acompanha t2) indica se a aceleração é maior ou menor que zero. E isso pode ser descoberto pela concavidade da parábola (veja o quadro Lembre-se ao lado). Um MRUV com aceleração positiva (a > 0) resulta numa parábola com concavidade voltada para cima:
a>0 t
Para o caso de um MRUV com aceleração negativa (a < 0), a função é decrescente e o gráfico da velocidade em função do tempo tem o seguinte formato:
0
S QtV = S0 + v0 . t +
Num movimento retardado: tWFMPDJEBEFFBDFMFSBÎÍP têm sinais opostos; tPNØEVMPEBWFMPDJEBEF diminui no decorrer do tempo.
S
Movimento acelerado
0
v
A posição de um corpo em MRUV varia com o tempo de acordo com o que chamamos de função horária da posição:
Num movimento acelerado: tWFMPDJEBEFFBDFMFSBÎÍP têm mesmo sinal; tPNØEVMPEBWFMPDJEBEF aumenta no decorrer do tempo.
Movimento retardado
Movimento acelerado
0
t
Já para um MRUV com aceleração negativa (a < 0), a parábola do gráfico tem concavidade voltada para baixo:
S
t
a 0, a concavidade é para cima t1BSBa < 0, a concavidade é para baixo.
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CINEMÁTICA AULA 4 • LANÇAMENTOS
O SEXTO JOGADOR A gravidade da Terra dá uma mãozinha ao time de basquete: é ela que faz com que a bola lançada desça pela cesta
Tudo o que sobe tende a descer 46 GE FÍSICA 2016
É
uma questão de gravidade: tudo o que é lançado ao ar, se não tiver velocidade inicial suficiente para superar a atração gravitacional da Terra e escapar para o espaço, é atraído de volta em direção ao solo. É o que acontece num lançamento de basquete e, também, com uma bala de canhão. É ainda o que faz um objeto cair da mesa. Esse tipo de movimento é analisado e descrito com o emprego de conceitos tanto do MRU quanto do MRUV.
QUEDA LIVRE
Uma pena e uma pedra largadas da mesma altura. O que chega primeiro ao solo? A pedra, claro. Mas por quê? Porque a pedra tem mais massa? Não. Se dependesse apenas da atração gravitacional, a pluma e a pedra cairiam exatamente ao mesmo tempo. O que faz a diferença aqui é a resistência do ar, que depende de fatores como o formato do objeto e sua velocidade. Tanto isso é verdade que no vácuo a situação é bem diferente.
As equações que descrevem qualquer lançamento vertical, seja queda livre, seja lançamento para cima, são as mesmas equações que descrevem um MRUV. No caso de um lançamento para cima, no trajeto de subida a aceleração g atua no sentido oposto ao do movimento – por isso, esse é um movimento retardado. A velocidade vai se reduzindo aos poucos, até chegar a zero no instante em que atinge o ponto mais alto da trajetória. No retorno, o movimento volta a ser acelerado, de queda livre.
GALILEU GALILEI (1564-1642)
w!>!1
pena
pedra
pena pedra
ar
vácuo
A resistência do ar faz a pena cair mais devagar que a pedra
h
Num lançamento vertical, a aceleração g reduz a velocidade do objeto, até que ele pare e volte a cair, em queda livre
w1
No vácuo, sem resistência do ar, os dois corpos caem ao mesmo tempo
JEFFREY PHELPS/AP
O movimento de queda dos corpos, quando a resistência do ar é desprezível, é chamado queda livre. Esse tipo de movimento é uniformemente acelerado: o corpo sofre a aceleração constante da gravidade do planeta. A atração gravitacional é uma aceleração representada pela letra g e, na superfície da Terra, vale 9,8 m/ s2 (valor muitas vezes arredondado para 10 m/s2).
h
Foi no início do século XVII que o grande físico, astrônomo, matemático e inventor italiano lançou, num experimento, dois corpos de massas diferentes, mas de mesmo formato, do alto de uma torre (acredita-se que da Torre de Pisa). E constatou que, largados ao mesmo tempo de uma mesma altura, os corpos atingem o chão no mesmo instante, não importa a massa de cada um.
LANÇAMENTO HORIZONTAL
É aquele em que o corpo é arremessado de uma altura H, com determinada velocidade inicial horizontal, e descreve um arco de parábola em direção ao solo. Neste caso, novamente podemos desprezar os efeitos de resistência do ar.
A aceleração gravitacional ( g ) puxa todos os corpos para baixo a uma velocidade que aumenta 9,8 metros por segundo a cada segundo
w ROLOU, DANÇOU Uma bola que cai de cima de uma mesa descreve uma trajetória parabólica até o solo GE FÍSICA 2016
47
2
CINEMÁTICA AULA 4 • LANÇAMENTOS
DOIS MOVIMENTOS COMBINADOS
1
2
3
A projeção da bolinha no eixo horizontal realiza um movimento retilíneo uniforme. Não existe aceleração
0 vo 2
ATENÇÃO! Num movimento composto, cada um dos movimentos componentes acontece como se os demais não existissem: o MRU da horizontal e o MRUV da vertical são independentes e simultâneos. A bolinha leva o mesmo tempo para realizar todos esses movimentos: o vertical em MRUV, o horizontal em MRU e o movimento resultante parabólico. Essa ideia pode ajudar muito na hora de resolver problemas.
48 GE FÍSICA 2016
vx vy vy
Já no eixo vertical, a projeção da bolinha mostra um movimento retilíneo uniformemente variado A componente horizontal da velocidade, vx , é constante, já que não existe nenhuma aceleração na direção horizontal
vy
4
1
4
x vx vx vy
3
vx
g 5
vy
vx
y Movimento uniforme vX = constante
5
COMO DECOMPOR UM VETOR
Mas a componente vertical da velocidade, vy , tem seu módulo aumentado a cada instante. A razão desse aumento é a aceleração gravitacional
Basta desenhar as duas componentes perpendiculares: y
Em qualquer momento do lançamento, o vetor velocidade resultante da bolinha é dado pela soma vetorial das duas componentes: vR = vy + vx (veja mais sobre soma vetorial na aula 1 deste capítulo)
O movimento em forma de parábola pode ser decomposto em dois movimentos distintos: um movimento uniforme no eixo horizontal; um movimento uniformemente variado no eixo vertical. Matematicamente, o comportamento do corpo no eixo horizontal é dado pelas equações de MRU. Já no eixo vertical, o movimento é dado pelas equações do MRUV. Dito de outro modo: no sentido horizontal, a velocidade é constante. Então, o comportamento do corpo no eixo horizontal é descrito pelas equações do MRU. Já no sentido vertical, a velocidade cresce, acelerada pela gravidade. Então, para descrever o comportamento do corpo no eixo vertical, utilizamos as equações do MRUV.
v
vy Ĝ
vx
x
O módulo das componentes é: Vx = v . cos Ĝ Vy = v . sen Ĝ
NA PRÁTICA Três corpos distintos são lançados horizontalmente de uma mesma altura H em relação ao solo e com velocidades iniciais diferentes, de tal modo que v3 > v2 > v1, como mostra a figura abaixo. Qual deles permanece mais tempo no ar?
V1
V2
V3
H
LANÇAMENTO OBLÍQUO
A trajetória descrita pelo lançamento de uma bola de basquete em lance livre é uma parábola. O mesmo é válido para o movimento de um atleta que pratica salto com vara (veja o infográfico na pág. 50). Esse movimento, que desconsidera a resistência do ar, é conhecido como lançamento oblíquo. Assim como o lançamento horizontal, o oblíquo é constituído de dois movimentos independentes: um horizontal, uniforme, e outro vertical, cuja velocidade está sujeita à aceleração da gravidade. Esse tipo de movimento também pode ser representado num gráfico que mostra os vetores velocidade decompostos nas componentes v x (horizontal) e v y (vertical). Lembre-se de que o movimento do projétil no eixo x (horizontal) é uniforme, enquanto no eixo y (vertical) o mo-
O tempo de permanência do corpo no ar, em um lançamento horizontal, é o mesmo tempo de queda do corpo no eixo vertical. Como os três corpos foram lançados de uma mesma altura e todos os corpos sofrem a mesma aceleração gravitacional, independentemente de seu tamanho ou sua massa, o tempo de permanência dos três corpos no ar é o mesmo. O que muda é o alcance (a distância horizontal percorrida) de cada um deles. Esse alcance, sim, depende da velocidade com que cada corpo foi arremessado.
MENOS AZAR, MAIS FÍSICA Em 1999, o físico inglês Robert Matthews explicou por que uma torrada sempre cai com a manteiga voltada para o chão. Não é por azar, mas pela combinação das velocidades de queda e de rotação da fatia de pão
2
1
Basta que a torrada tenha pouco mais que a metade de seu comprimento fora do tampo da mesa para começar a cair. Ao se inclinar em direção ao solo, a torrada forma um ângulo θ com o tampo.
δ θ
a
2
3
4
A velocidade de rotação ω não é suficiente para fazer a torrada dar um giro completo em torno de si mesma enquanto percorre os 90 centímetros até o chão. Ao longo da queda, a fatia gira apenas cerca de 180º.
m.g
4
v1
v2 v3 =vx v4y
v0y
v4 vx v5y
v5
v0 vx
v6y
v0
O alcance horizontal varia segundo o ângulo em que o corpo é lançado. O máximo alcance é obtido quando o lançamento é feito a 45°. Se não existisse a resistência do ar, este seria o ângulo perseguido por atletas nas provas de arremesso de dardo, por exemplo. Vale notar também que ângulos complementares – aqueles cujas medidas somadas resultam em 90o – têm o mesmo alcance.
y
Resultado da ação da gravidade e da rotação incompleta da torrada: a manteiga vai para o chão. H = altura da mesa θ = ângulo de rotação a = comprimento da torrada m = massa da torrada g = gravidade ω = velocidade com que a torrada gira no ar
vx
v1y
5 5
v2y
vx
Como a torrada começou a cair inclinada (ângulo θ), ela gira sobre si mesma na velocidade ω à medida que avança rumo ao solo.
ω
H = 90 cm
Ao perder o apoio da mesa, a torrada é acelerada em direção ao chão pela gravidade. Assim, sua velocidade vai aumentando durante a queda.
3
1
vimento é uniformemente variado. No ponto mais alto da trajetória, o corpo apresenta apenas a componente horizontal da velocidade. A componente vertical é zero porque a aceleração gravitacional reduziu paulatinamente a velocidade, até chegar a zero. Veja:
75º 60º 45º 30º 15º 0
x
TANTO FAZ Ângulos complementares, como o par 15o e 75o ou 30o e 60o, definem o mesmo alcance horizontal
PIADA PRONTA
FERNANDO GONSALES
GE FÍSICA 2016
49
2
CINEMÁTICA INFOGRÁFICO
Correr, saltar, voar e cair
Atletas de salto com vara não fazem nenhum cálculo matemático, mas usam técnicas para vencer a gravidade e fazer com que a física trabalhe a seu favor. Aqui você vê as acelerações e as duas componentes da velocidade da brasileira Fabiana Murer, em um de seus melhores saltos, no Mundial de Atletismo de Daegu, na Coréria do Sul, em 2011
1
2
Posição de largada A atleta está em repouso. Quanto mais na extremidade da vara Fabiana segurar, maior será a altura do salto.
ti = 0 vi = 0
vx
Aceleração Fabiana atravessa 37 metros em 18 passadas. Ao final, sua velocidade é de 29,8 km/h. Isso significa que ela acelerou 0,9 metro por segundo a cada segundo. Fabiana faz um movimento retilíneo uniformemente variado, em que tf ≅ 9 s a ≅ 0,9 m/s2 |vx| ≅ 29,8 km/h
3
Lançamento A energia cinética da atleta é transferida para a ponta da vara, quando esta é apoiada no anteparo. Como é flexível, a vara armazena essa energia e a transfere de volta para Fabiana, que sobe no espaço (veja mais sobre energia potencial e cinética no capítulo 3). O movimento da atleta agora tem duas componentes de velocidade: uma horizontal (vx) e outra vertical (vy).
vy
37 m
FIRMEZA NA PEGADA Conseguir boa impulsão a cada passada é fundamental para um salto de sucesso. E o atrito tem tudo a ver com isso
As sapatilhas dos atletas têm travas de 5 mm a 8 mm na parte da frente, para os pés aderirem melhor ao piso e o corpo receber uma impulsão maior.
Borracha Resina Borracha
50 GE FÍSICA 2016
O piso é antiderrapante. A base é feita com um material de borracha, de espessura mínima de 13,5 mm, recoberto por uma resina de poliuretano. Por cima de tudo, vai nova camada de borracha granulada (pneu picado), que aumenta ainda mais a aderência.
vx
4
Inversão Quando a atleta gira o corpo para ultrapassar o sarrafo, a vara já transmitiu quase toda a energia para Fabiana. Sua velocidade vertical é muito baixa, mas agora ela tem grande potencial gravitacional – ou seja, vai começar a ser puxada de volta ao solo pela gravidade.
5
Voo A atleta larga a vara e curva o corpo em arco para sobrevoar o sarrafo. Quando está nessa altura máxima, Fabiana para de subir – a componente vertical de sua velocidade é nula.
6 vy = 0 g
vx
Queda livre A gravidade traz a atleta de volta ao chão. Desprezando o efeito da resistência do ar, Fabiana está em queda livre – um movimento uniformemente variado, em que a única aceleração é a da gravidade (g = 9,8 m/s2). A velocidade horizontal se mantém, mas a vertical é cada vez maior.
vy g
vx
vx
g vy
7
Pouso macio A gravidade faz com que Fabiana caia 4,85 m em pouco menos de 1 segundo. Ela bate no colchão a uma velocidade vertical próxima dos 9,7 m/s (desconsiderando a altura do colchão).
vX = 0 vy = 0
Fabiana 1,71 m
A TECNOLOGIA DO SALTO A massa da vara é proporcional à altura do atleta. A vara de Fabiana tem massa de cerca de 2 kg. Quando apoiada no chão, armazena a energia cinética do atleta como energia potencial elástica, que depois é convertida em energia potencial gravitacional. É essa energia que Fabiana usa para se elevar no ar.
O material da vara garante leveza e flexibilidade Fibra de vidro Resina Fibra de carbono INFOGRAFIA: MULTI/SP
Comprimento da vara 4,80 m
GE FÍSICA 2016
51
2
COMO CAI NA PROVA
1. (Unicamp 2014) O passeio completo no complexo do Pão de Açúcar inclui 3. (Vunesp 2014) Um motorista dirigia por uma estrada plana e retilínea um trecho de bondinho de aproximadamente 540 m, da Praia Vermelha ao Morro da Urca, uma caminhada até a segunda estação no Morro da Urca, e um segundo trecho de bondinho de cerca de 720 m, do Morro da Urca ao Pão de Açúcar. A velocidade escalar média do bondinho no primeiro trecho é v1 = 10,8 km/h e, no segundo é v2 = 14,4 km/h. Supondo que, em certo dia, o tempo gasto na caminhada no Morro da Urca somado ao tempo de espera nas estações é de 30 minutos, o tempo total do passeio completo da Praia Vermelha até o Pão de Açúcar será igual a:
quando, por causa de obras, foi obrigado a desacelerar seu veículo, reduzindo sua velocidade de 90 km/h (25 m/s) para 54 km/h (15 m/s). Depois de passado o trecho em obras, retornou à velocidade inicial de 90 km/h. O gráfico representa como variou a velocidade escalar do veículo em função do tempo, enquanto ele passou por esse trecho da rodovia. Caso não tivesse reduzido a velocidade devido às obras, mas mantido sua velocidade constante de 90 km/h durante os 80 s representados no gráfico, a distância adicional que teria percorrido nessa estrada seria, em metros, de: v (m/s)
a) 33 min
b) 36 min
c) 42 min
d) 50 min 25
RESOLUÇÃO
15
Simples aplicação de fórmula. O bondinho desloca-se com velocidade constante em cada trecho – ou seja, em movimento retilíneo uniforme. Então, o tempo gasto em cada trecho é dado por Ts Ts . v= & Tt = Tt
0
v
a) 1 650
Para o trecho Praia Vermelha – Morro da Urca:
10
20
b) 800
30
40
c) 950
50
60
d) 1 250
70
80
t (s)
e) 350
0, 54 Tt 1 = 10, 8 & Tt 1 = 0, 05 horas & Tt 1 = 0, 05x3600 & Tt 1 = 180s = 3 minutos
Para o trecho Morro da Urca – Pão de Açúcar:
RESOLUÇÃO
0, 72 Tt 2 = 14, 4 & Tt 2 = 0, 05 horas & Tt 2 = 0, 05x3600 & Tt 2 = 180s = 3 minutos
A questão se resolve usando mais conceitos de matemática do que de física: leitura de gráficos e cálculo de áreas. Veja: Em qualquer gráfico da velocidade em função do tempo, o valor da área da figura entre a curva e o eixo dos tempos é igual ao valor do deslocamento do móvel no intervalo de tempo considerado. Se o automóvel tivesse mantido a mesma velocidade ao longo de todo o trajeto, teríamos a seguinte situação:
O enunciado diz, ainda, que o visitante espera 30 minutos entre um trecho e outro. Então, o tempo total gasto no passeio é Tt total = Tt 1 + Tt 2 + Tt espera & Tt total = 3 + 3 + 30 & Tt total = 36 minutos
Resposta: b
v (m/s)
2. (UFJF 2014) A velocidade de um objeto em função do tempo é registrada num
25
velocidade (m/s)
gráfico. Analisando o gráfico dado, determine o módulo da velocidade inicial vo , o módulo da aceleração e a distância percorrida entre os instantes t = 3s e t = 5s. 28 24 20 16 12 8 4 0
0
1
2
3 4 tempo (s)
5
6
7
8
a) vo = 4m/s; a = 4 m/s2; d = 4 m b) vo = 4m/s; a = 0 m/s2; d = 8 m c) vo = 0m/s; a = 4 m/s2; d = 32 m d) vo = 0m/s; a = 0 m/s2; d = 8 m e) vo = 4m/s; a = 4 m/s2; d = 32 m
15
0
2 0
+ 2 . Ts & 20 2 = 12 2 + 2 . 4 . Ts & 400 = 144 + 8 . Ts & Ts = 32m
Resposta: c
52 GE FÍSICA 2016
30
40
50
60
70
80
t (s)
25 15
24 - 4 50 Tv & a = 6 - 1 = 5 & a = 4m/s 2 Tt
v2 = v
20
v (m/s)
O gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta. Isso significa que a aceleração é constante por todo o movimento. Para calcular a aceleração entre os instantes t = 1 s e t = 6 s, aplicamos a fórmula geral para aceleração constante:
Você encontra a velocidade inicial simplesmente observando o gráfico. Repare que, prolongando a reta até ela encontrar a velocidade inicial (v0), você descobre que v0 ocorre no instante t = 0, ou seja, v0 = 0 O deslocamento entre os instantes t = 3 s e t = 5 s você obtém a partir da equação de Torricelli:
10
Mas o automóvel reduziu a velocidade num trecho do percurso. E a diferença no deslocamento por causa dessa redução de velocidade corresponde à área do trapézio mostrado no gráfico do enunciado (aqui salientado em amarelo). Veja:
RESOLUÇÃO
a=
A
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Você deve se lembrar como se calcula a área do trapézio: A = (base menor + base maior) . altura / 2 Então, ficamos com Ts =
(50 + 20) . 10 & Ts = 350m 2
Resposta: e
t (s)
RESUMO
4. (Uerj 2015) Uma ave marinha costuma mergulhar de uma altura de 20 m
para buscar alimento no mar. Suponha que um desses mergulhos tenha sido feito em sentido vertical, a partir do repouso e exclusivamente sob ação da força da gravidade. Desprezando-se as forças de atrito e de resistência do ar, a ave chegará à superfície do mar a uma velocidade, em m/s, aproximadamente igual a: a) 20
b) 40
c) 60
d) 80
RESOLUÇÃO O mergulho da ave tem aceleração constante e valor igual ao da aceleração da gravidade. A questão exige, então, a simples aplicação da equação de Torricelli. De acordo com o enunciado, vo = 0. v2 = v02 + 2 . a . ∆s v2 = 0 + 2 . 10 . 20 = 400 v = 400 → v = 20 m/s Resposta: a
5. (UFTM 2011) Num jogo de vôlei, uma atacante acerta uma cortada na bola
no instante em que a bola está parada numa altura h acima do solo. Devido à ação da atacante, a bola parte com velocidade inicial V0, com componentes horizontal e vertical, respectivamente, em módulo, Vx = 8 m/s e Vy = 3 m/s, como mostram as figuras 1 e 2.
Figura 2 P
4m
d2
d2
d r = d1 +
4m
d) 3,00
e) 3,25.
RESOLUÇÃO A cortada é um lançamento oblíquo. Nesse tipo de movimento, o objeto lançado tem duas componentes da velocidade, a horizontal (Vx) e a vertical Vy). Na figura 2 você percebe que a altura h refere-se ao deslocamento no eixo y. Trabalhamos com cada componente do movimento, separadamente. tNo eixo x: a velocidade horizontal é constante. Então calculamos o tempo 4 Tx que a bola levou para chegar ao solo por v x = Tt & 8 = Tt & Tt = 0, 5s tNo eixo y: na vertical, a bola tem a velocidade alterada pela aceleração da gravidade, que é constante (movimento uniformemente variado, MUV). Aplicando a 2 a função horária para MUV, temos y = y o + v 0y . Tt + 2 . Tt Sabemos que y 0 = 0; = 3 m/s; a = 10 m/s 2; Tt = 0, 5 s . Substituindo esses valores na equação, ficamos com: y = 3 . 0,5 + 5 . 0,52 → y = 1,5 + 1,25 y = 2,75 m
d2 dr = d1 + d2 + d3
h
Após a cortada, a bola percorre uma distância horizontal de 4 m, tocando o chão no ponto P. Considerando que durante seu movimento a bola ficou sujeita apenas à força gravitacional e adotando g = 10 m/s2, a altura h, em metro, onde ela foi atingida é: c) 2,75
Tv a = Tt
VETORES Grandezas vetoriais são aquelas nas quais a direção e o sentido são indicados por um vetor (velocidade, aceleração e força, por exemplo). Soma de vetores:
d1
P
b) 2,50
TS V m = Tt
TS = S - S 0
Vy = 3 m/s
h
a) 2,25
DESLOCAMENTO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO Deslocamento escalar é a variação de posições de um corpo ao longo de uma trajetória (∆S). A medida do deslocamento escalar é a diferença entre a posição final e a posição inicial de um corpo. Num movimento progressivo (no sentido adotado como positivo na trajetória), o deslocamento escalar é positivo. Num movimento retrógrado (no sentido inverso ao adotado como positivo na trajetória), o deslocamento escalar é negativo. Velocidade escalar média é a razão entre o deslocamento escalar e o intervalo de tempo gasto nesse deslocamento. Aceleração escalar média é a variação da velocidade do corpo em certo intervalo de tempo.
d3
Vx = 8 m/s Figura 1
Cinemática
MRU Movimento retilíneo uniforme é aquele em que um corpo percorre uma trajetória retilínea, com velocidade constante. Em MRU, a posição num instante t é dada pela função horária da posição: S(t) = S0 + v . t. O gráfico do MRU é uma reta cujo coeficiente linear é a posição inicial do corpo e o coeficiente angular, sua velocidade. MRUV Movimento retilíneo uniformemente variado é aquele em que o corpo segue uma trajetória retilínea com aceleração constante e diferente de zero. A função horária da posição é a equação que fornece a localização do corpo em MRUV em qualquer instante do movimento: a . t2 . S (t) = S 0 + v 0 . t + 2
EQUAÇÃO DE TORRICELLI: v 2 = v 20 + 2 . a .TS . O gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta cujo coeficiente linear é a velocidade inicial e o angular, a aceleração. LANÇAMENTOS Queda livre é o movimento retilíneo uniformemente variado em que a resistência do ar é desprezada e a única aceleração é a da atração gravitacional (g = 9,8 m/s2 na superfície da Terra). Lançamento horizontal é o movimento em que o corpo é arremessado de uma altura H, com determinada velocidade inicial horizontal, e descreve um arco de parábola em direção ao solo. Na componente horizontal, o corpo lançado descreve um MRU. Na vertical, um MRUV.
Resposta: c GE FÍSICA 2016
53
CINEMÁTICA CONTEÚDO DESTE CAPÍTULO
aula 1 > Conceitos ............................................................................................36 aula 2 > Movimento retilíneo uniforme ...................................................40 aula 3 > Movimento retilíneo uniformemente variado ......................43 aula 4 > Lançamentos .....................................................................................46 Infográfico ..........................................................................................................50 Questões e Resumo..........................................................................................52
Potente câmera fotográfica do Cosmo Depois de 25 anos em operação, o Telescópio Espacial Hubble está para ser aposentado, com uma coleção única de grandes descobertas e imagens fascinantes
N
o início dos anos 1920, Edwin Hubble (1889-1953) fez duas das maiores descobertas da cosmologia: a Via Láctea, onde se encontra nosso Sistema Solar, não é a única galáxia, mas apenas uma em bilhões delas, e todas essas galáxias se afastam umas das outras – ou seja, o Universo está se expandindo. O astrônomo norte-americano trabalhou com um dos mais potentes telescópios da época, o Hooker, na Califórnia. Nove décadas depois, o nome Hubble continua associado a grandes descobertas sobre o Cosmo, agora batizando o mais conhecido e badalado instrumento de observação, o Telescópio Espacial Hubble, que completa 25 anos de operação em 2015. Ao longo desse tempo, cientistas obtiveram dados inusitados sobre os primórdios da formação do Universo e a dinâmica de galáxias e estrelas. E o público em geral foi presenteado com as mais impressionantes fotografias de um mundo jamais imaginado. O espelho do telescópio Hubble tem praticamente as mesmas dimensões do espelho do Hooker, mas o avanço da tecnologia dá ao novo instrumento uma capacidade muito maior de captar a luz e dela obter dados fundamentais para a compreensão da evolução e da estrutura do Cosmo. Além disso, por estar a mais de 500 quilômetros de altitude, capta imagens sem as
34 GE FÍSICA 2016
distorções causadas pela atmosfera. O Hubble vasculhou as regiões mais profundas do Cosmo, mediu sua idade (13,4 bilhões de anos), registrou o nascimento e a morte de estrelas e identificou buracos negros no centro de galáxias e corpos escuros, como os planetas anões, que giram em torno do Sol. As informações coletadas renderam mais de 13 mil artigos científicos, alguns laureados com o Prêmio Nobel. O projeto, idealizado nos anos 1970, sofreu diversos reveses, como atrasos e aumentos de custo. Após o lançamento, em 1990, as primeiras imagens mostraram que o espelho apresentava um desvio de mícrons (milésimos de milímetro), o suficiente para borrar as imagens. Foram necessários três anos para que o defeito fosse corrigido. Hoje, depois de 25 anos de bons serviços prestados, o Hubble está para se aposentar e ceder lugar a seu sucessor, James Webb. O lançamento e a permanência de um POEIRA CELESTIAL telescópio em órbita A Nebulosa Cabeça de da Terra têm relação Cavalo, na Constelação de com variáveis como ve- Órion, a 1,5 mil anos-luz locidade, aceleração e da Terra, em uma das mais gravidade – conceitos fabulosas fotografias básicos da cinemática, em alta resolução do tema deste capítulo. Telescópio Espacial Hubble
NASA/ESA/HUBBLE HERITAGE TEAM
GE FÍSICA 2016
35
2
CINEMÁTICA AULA 1 • CONCEITOS
AINDA ASSIM, MOVE-SE O ônibus está em movimento em relação à rua. Mas dentro dele os passageiros estão parados uns em relação aos outros
O que define um movimento 36 GE FÍSICA 2016
A
cinemática é o ramo da física que estuda o movimento dos corpos em geral – tanto de um atleta que corre, nada ou salta quanto de um foguete que deixa a superfície da Terra, ou de um corpo que circula em órbita do planeta. A cinemática não se preocupa com a causa do movimento, apenas com o movimento em si. Com ela somos capazes de determinar a posição, a velocidade e a aceleração do corpo no decorrer do tempo. Neste capítulo, você conhece os conceitos básicos com que lida a cinemática.
REFERENCIAL
Imagine que você esteja viajando em um trem. Você está em repouso ou em movimento? Se essa pergunta é feita a uma pessoa que se encontra parada ao lado da estrada de ferro, você está em movimento. Porém, se a mesma pergunta se dirige a outro passageiro do mesmo trem, você está em repouso. Ou seja, a noção de movimento ou repouso de certo objeto móvel não depende apenas do objeto, mas do corpo que adotamos como referência do movimento. Tal corpo que utilizamos para analisar se o móvel está ou não em movimento chamamos de referencial ou sistema de referência. Dizemos que um móvel qualquer está parado ou em repouso quando sua posição não varia em relação a determinado referencial. O objeto móvel está em movimento quando sua posição varia em relação a determinado referencial. Um mesmo objeto pode estar em repouso em relação a um referencial e em movimento em relação a outro. O termo “em relação”, repetido nas frases acima, indica que o movimento é relativo: suas medidas dependem dos referenciais adotados.
DIMENSÕES DO CORPO
O tamanho de um corpo em relação às demais dimensões envolvidas no movimento pode ser importante para os cálculos. Quando não podemos desprezar as dimensões do corpo em relação às demais dimensões, dizemos que esse é um corpo extenso. É o caso de um trem de 50 metros de comprimento que se desloca por 100 metros. Em outros casos, as dimensões do corpo estudado são tão menores que as demais dimensões envolvidas no movimento que podemos tratar o corpo como um ponto material. A Estação Espacial Internacional (ISS) é um exemplo de ponto material. A ISS é grande – tem cerca de 100 metros de ponta a ponta. Mas fica minúscula se comparada ao percurso de dezenas de milhares de quilômetros que faz em torno da Terra.
[1] SIMONE BECCHETTI/ISTOCK [2] NASA [3] MARCO DE BARI [4] [5] ISTOCK PHOTO
[1]
[2]
[3]
O PONTUAL E O EXTENSO A estação espacial é um ponto se comparada à sua trajetória ao redor da Terra. Já um automóvel que manobra em poucos metros não pode ter suas dimensões desprezadas
ONDE FICA O CENTRO DE MASSA Uma folha de papel pode ser considerada um corpo bidimensional. Nesse caso, o CM e o CG ficam no centro geométrico do retângulo [4]
CM = CG
CENTRO DE MASSA
Podemos explicar os movimentos de um corpo extenso e as forças que atuam sobre ele utilizando o conceito de centro de massa (CM) – o ponto no qual se considera que toda a massa do corpo esteja concentrada. O CM se movimenta como se todas as forças externas que atuam sobre o corpo fossem aplicadas sobre ele. No caso de um corpo rígido e homogêneo – ou seja, que não se deforma e que é constituído de um mesmo material e com a massa distribuída de maneira uniforme –, o CM coincide com o centro de gravidade (CG) – aquele no qual a força peso está concentrada. E, em corpos de formato regular, ambos coincidem com o centro geométrico. Veja ao lado.
[5]
Num corpo tridimensional, rígido e homogêneo, como um dado não viciado, o CM coincide com o CG, exatamente no centro do cubo
O CM pode estar fora do corpo e, ainda assim, coincidir com o CG
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2
CINEMÁTICA AULA 1 • CONCEITOS
TRAJETÓRIA
Dizer que o movimento de um corpo é relativo implica dizer que sua trajetória é relativa, ou seja, o caminho percorrido pelo corpo em determinado tipo de movimento depende do referencial adotado. Para estudar um corpo que descreve uma trajetória em relação a determinado referencial escolhemos uma origem, ou seja, um ponto a partir do qual as posições ocupadas pelo corpo serão registradas e contadas. Definimos, em seguida, um sentido para essa trajetória. Assim, podemos identificar o sentido em que as posições ocupadas pelo corpo crescem ou diminuem (veja o quadro Como a posição muda, ao lado).
DESLOCAMENTO ESCALAR
Ao se deslocar, um corpo assume diferentes posições ao longo da trajetória. Essa variação de posições é chamada deslocamento escalar (∆S). A medida do deslocamento escalar é obtida pela diferença entre a posição final e a posição inicial de um corpo após percorrer um trecho qualquer. Matematicamente:
COMO A POSIÇÃO MUDA Nesta trajetória, todas as posições são definidas a partir do ponto B, e o sentido adotado é da esquerda para a direita
–20 km
–10 km 0
A
Repare que o deslocamento, neste caso, é negativo. Isso indica que o percurso foi realizado no sentido contrário ao adotado como positivo na trajetória.
TIPOS DE MOVIMENTO
Um movimento é classificado conforme seu deslocamento ao longo da trajetória. Movimentos progressivos são aqueles nos quais o deslocamento se dá no sentido adotado como positivo na trajetória. Assim, num movimento progressivo, o deslocamento escalar de um corpo é positivo.
38 GE FÍSICA 2016
+10 km C
+20 km
ATENÇÃO Deslocamento escalar e distância percorrida são grandezas diferentes. Veja a comparação das duas para um objeto que sai do ponto A, segue até o ponto C e volta para o ponto B. A distância percorrida é a soma de todos os trechos percorridos, não importando o sentido da viagem. Então: Dtotal = DAC + DCB ¡Dtotal = 30 + 10 ¡Dtotal = 40 km
–10 km
–20 km
0 A
S - S0 & SC - SB & 10 - 0 & 10 km
TS = S - S 0 & TS = S A - S C & TS = - 20 - 10 & TS = - 30 km
+
No ponto C, o corpo ocupa a posição +10 km da trajetória
Na figura Como a posição muda, ao lado, o objeto que parte do ponto B e ao final do percurso atinge o ponto C tem deslocamento escalar dado pela expressão:
Mas, se o móvel partir do ponto C e atingir ao final da viagem o ponto A, seu deslocamento será de:
Sentido adotado como positivo
B
Neste ponto, o corpo ocupa a posição –20 km da trajetória
TS = S - S 0
TS = TS = TS = TS =
No ponto B, o corpo se encontra exatamente na origem da trajetória
B
+
+10 km
Mas o deslocamento escalar deste corpo C ao percorrer o mesmo trajeto é a diferença entre a posição final e a inicial: ∆S = S – S0 ¡∆S = SB – SA ¡∆S = 0 – (–20) ¡∆S = 20 km
LEMBRE-SE CONVERSÃO DE ESCALAS Para converter quilômetros por hora (km/h) em metros por segundo (m/s), basta transformar cada uma das unidades: tLN N tIPSBUFNNJOVUPT DBEBVNEFMFTDPN TFHVOEPT&OUÍP I TT T Assim, 1 km/h =
1 000m = 1 = 0, 28m/s 3600 s 3, 6
Para transformar m/s em km/h, é só fazer o raciocínio inverso: dividir por 3,6
m/s
km/h multiplicar por 3,6
+20 km
Veja abaixo como é indicada a velocidade de um objeto:
NA PRÁTICA Um automóvel parte de uma cidade localizada no quilômetro 100 de uma estrada, às 10 horas. E chega à cidade vizinha, no quilômetro 244, às 12 horas. A velocidade média do automóvel no trajeto percorrido foi de: Vm = Vm = Vm = Vm = Vm = Vm =
DS & Dt 244 – 100 12 – 10 & 144 2 & 72 km/h 72 000 3 600 m/s & 20 m/s
+ 0
vetor
Movimento progressivo
Movimentos retrógrados são aqueles cujo deslocamento acontece no sentido inverso ao adotado como positivo na trajetória. Num movimento retrógrado, o deslocamento escalar de um corpo é negativo.
+ 0
Movimento retrógrado
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
É a razão entre o deslocamento escalar (∆S) descrito por um corpo e o intervalo de tempo (∆t) gasto nesse deslocamento. Ou seja, é a variação da posição ocupada por um corpo em determinada trajetória no decorrer do tempo. Matematicamente:
Vm = TS Tt Os corpos que descrevem movimentos progressivos apresentam velocidades positivas (v > 0), enquanto corpos que descrevem movimentos retrógrados apresentam velocidades negativas (v < 0). No S.I., a unidade de medida para velocidade é metro por segundo (m/s).
NA PRÁTICA Um objeto que apresenta uma aceleração de 2 m/s2 tem a intensidade de sua velocidade aumentada em 2 m/s a cada segundo. Já um objeto que apresenta uma aceleração negativa, por exemplo, –3 m/s2, tem a intensidade de sua velocidade diminuída em 3 m/s a cada segundo.
ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA
reta suporte
direção módulo Módulo é a medida pura do comprimento do vetor (indica a intensidade da velocidade)
a = Tv Tt A aceleração de um móvel pode ser entendida como a velocidade com que varia a sua velocidade. No S.I., a unidade de medida utilizada para a aceleração é m/s2.
Algumas grandezas necessitam apenas de seu valor absoluto para ser caracterizadas. São as grandezas escalares, como tempo, volume e massa. Outras grandezas exigem que sejam definidos também sua direção e seu sentido. Essas são grandezas vetoriais – aquelas nas quais um vetor indica a intensidade, a direção e o sentido. São grandezas vetoriais a velocidade, a aceleração e a força, por exemplo.
Direção é dada pela Sentido é definido direção da reta suporte em pela ponta da seta que o vetor se encontra
SOMA DE VETORES
As grandezas escalares podem ser somadas algebricamente: num bolo, 1 kg de açúcar mais 2 kg de farinha resultam em 3 kg de ingredientes. Mas a soma vetorial precisa considerar, além do módulo, a direção e o sentido dos vetores. Existem dois métodos geométricos para a adição de vetores. O primeiro, o método da poligonal. Nele, a origem do segundo vetor coincide com a extremidade (ponta da flecha) do primeiro vetor. O vetor soma (ou resultante) é o vetor que fecha o polígono, com origem no mesmo ponto de origem do primeiro vetor.
d2 d1
dr = d1 + d2
A mesma ideia pode ser usada para a soma de mais de dois vetores. Veja:
É a medida da variação da velocidade do corpo em certo intervalo de tempo. Matematicamente:
GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS
sentido
V
d2 d3 d1 dr = d1 + d2 + d3 O segundo método para somarmos vetores, dois a dois, é o do paralelogramo: fazemos coincidir as origens dos dois vetores e construímos um paralelogramo. O vetor soma é a diagonal do paralelogramo cuja origem coincide com a dos dois vetores. Veja:
dr = d1 + d2
d1 d2
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CINEMÁTICA AULA 2 • MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME
RAIO O jamaicano Usain Bolt corre 100 metros em 9,6 segundos. Nessa velocidade constante, ele percorreria 1 quilômetro em 1,5 minuto
Em linha reta e no mesmo ritmo
C
orpos que se deslocam em trajetória retilínea e com velocidade constante – ou seja, sem aceleração – estão em movimento retilíneo uniforme, ou MRU. Corpos em MRU percorrem sempre a mesma distância em um mesmo intervalo de tempo.
V = 10 cm/s
0s 0 cm 40 GE FÍSICA 2016
1s 2s 3s 4s 10 cm 20 cm 30 cm 40 cm
FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO
Para um corpo em MRU, a posição num instante t qualquer é dada pela função horária da posição:
S (t) = S0 + v . t, em que:
Já um objeto em um MRU retrógrado, a velocidade é negativa. Para essa situação, o gráfico da velocidade em função do tempo também é uma reta, mas na posição em que v < 0. Veja: V
S0 é posição inicial, no instante t = 0; v é a velocidade de deslocamento; t é o tempo do deslocamento.
Conhecendo a posição inicial (S0 ) e a velocidade de deslocamento (v), podemos calcular a posição S(t) que o corpo ocupa em um instante qualquer (t). Com isso, determinamos o comportamento do objeto móvel no decorrer do tempo. No S.I., a posição dos corpos é medida em metros e a velocidade, em m/s. Lembre-se de que, em movimentos progressivos, os corpos apresentam velocidade positiva e, em movimentos retrógrados, velocidade negativa. Repare que a expressão S (t) = S0 + v . t é uma função do 1° grau. Seu coeficiente linear determina a posição inicial S0 do corpo e o coeficiente angular, a velocidade v do corpo (veja o quadro Lembre-se, ao lado).
GRÁFICOS DO MRU
É muito comum na cinemática o estudo do movimento de um corpo ser feito por meio de gráficos que relacionam os parâmetros físicos do movimento com o tempo. A equação que define um MRU é uma função linear (ou função de 1º grau), e, por isso, sempre determina uma reta.
FRANCK FIFE/AFP
Velocidade em função do tempo
Todo corpo que executa MRU mantém uma velocidade constante. Se a intensidade da velocidade não varia, então o gráfico da velocidade em função do tempo deve ser uma reta paralela ao eixo do tempo. No caso de um corpo móvel que executa um movimento progressivo (no sentido adotado como positivo), a velocidade é positiva. Assim, o gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta acima da velocidade v = 0. Veja:
T A velocidade permanece constante, mas é negativa
Movimento retrógrado
A área sob a curva do gráfico é numericamente igual ao deslocamento escalar sofrido pelo corpo nesse intervalo de tempo. Veja: V
A medida da área A é numericamente igual à medida do deslocamento entre os instantes ti e tf
A 0
ti
tf
t
Mas atenção: a área, naturalmente, não indica o sentido do deslocamento. Para definirmos se o deslocamento é positivo ou negativo, devemos analisar se o movimento é progressivo (∆S > 0) ou retrógrado (∆S < 0).
Posição em função do tempo
Podemos também construir gráficos que representem a posição de um corpo que executa MRU em cada instante do percurso. Para isso, basta construir o gráfico da mesma função horária da posição:
S (t) = S0 + v . t Num movimento progressivo (v > 0), o móvel avança nas posições ao longo da trajetória com o passar do tempo, a partir de um ponto de origem. Assim, o gráfico da posição em função do tempo é uma reta crescente.
V A velocidade do corpo é positiva e permanece inalterada durante todo o deslocamento
S O corpo avança na trajetória no decorrer do tempo – deslocamento escalar positivo
T Movimento progressivo
Movimento progressivo
LEMBRE-SE Função de 1º grau é aquela na qual uma variável (y) depende de outra variável (x), que é independente e é elevada à primeira potência: f(x) = y = a . x + b Note que a é o coeficiente angular da reta, e é definido pela diferença entre as coordenadas x e y de dois pontos quaisquer da reta:
Dy Q y A –y B V = & Dx Q x A –x B V Q y B –y A V a= Q x B –x A V
a=
E b é o coeficiente linear da reta: o valor de y no ponto em que a reta cruza o eixo y (ou seja, o ponto que tem a coordenada x = 0).
T
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2
CINEMÁTICA AULA 2 • MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME
No caso de um movimento retrógrado (v < 0), o móvel recua a partir de um ponto de origem. Então, o gráfico é uma reta decrescente. Veja: S O corpo recua na trajetória no decorrer do tempo – deslocamento escalar negativo
T
Movimento retrógrado
Acompanhe o raciocínio: um automóvel percorre uma trajetória retilínea. Sua posição em função do tempo é representada no gráfico:
/&ɟɟ*)-#zq)ɟ )ɟ/.)'ç0 &ɟ *)#-ɟ ɟŲŻŵɟ horas de viagem? S (t) = 100 + 100 . t & S (2, 5) = 100 + 100 . 2, 5 & S = 350 km
ENCONTRO DE DOIS CORPOS
ɟ ( )(.,)ɟ ɟ )#-ɟ) $ .)-ɟ+/ ɟ- ɟ')0 'ɟ sempre se dá no momento em que eles ocupam a mesma posição na trajetória. Dois corpos seguem uma mesma trajetória retilínea movendo-se em sentidos opostos, com velocidade constante. Veja abaixo:
A
vA = 30 km/h S0= 400 km
S (km)
S0= 0 km 500
B
vB = 50 km/h
-ɟ )#-ɟ0 ° /&)-Żɟɟ &,)Żɟ0q)ɟ- ɟ ( )(.,,ɟ na mesma posição. Matematicamente, temos: SA= SB.
100 0
1,0
2,0
3,0
4,0
t (h)
ƀɟɟɟ*)-#zq)ɟ#(# #&ɟ )ɟ/.)'ç0 &ɟɟűŰŰɟ%' (para t = 0 h, S0ɟDŽɟűŰŰɟ%'ƙŽɟ ƀɟɟ*)-#zq)ɟŦ(&ɟ )ɟ/.)'ç0 &ɟɟŵŰŰɟ%'ɟ (para t = 4 h, SfɟDŽɟŵŰŰɟ%'ƙŽɟ ƀɟɟɟ!,PŦ )ɟɟ/'ɟ, .Żɟ (.q)ɟ.,.Ɛ- ɟ ɟ/'ɟ movimento uniforme; ƀɟɟɟ')0#' (.)ɟɟ*,)!, --#0)ɟ*),+/ ɟɟ, .ɟ é ascendente. A velocidade média do automóvel é a razão entre o deslocamento escalar e o tempo de percurso: Vm = TS & Vm = 500 - 100 & Vm = 100 km/h Tt 4- 0
Repare que, num gráfico da posição em função do tempo para um corpo em MRU, a velocidade é o coeficiente angular da reta. Para construir a função horária da posição do automóvel em determinado intervalo, basta substituir os valores conhecidos (S0 e v): S (t) = S O + v . t & S (t) = 100 + 100 . t
Esta é a função específica para o movimento desse automóvel. Então, podemos calcular sua posição em qualquer momento da viagem. Veja:
42 GE FÍSICA 2016
sentido da trajetória
A
vA Sencontro
vB
B
Conhecemos as posições iniciais e as velocidades de A e B. Adotando que o sentido positivo da trajetória é da esquerda para a direita, e substituindo esses valores na função horária, temos: SA= SB & S+ vA.t = Sɟ+ vB . t & & ŰɟǁųŰɟźɟ.ɟDŽɟŴŰŰɟƑɟŵŰɟźɟ.ɟɟɟɟɟɟɟ.ɟDŽɟŵɟɟ" Portanto, os automóveis irão se encontrar após cinco horas. Para definir a posição em que eles se encontrarão, é só substituir os valores conhecidos na equação horária de qualquer um dos veículos: S A = S OA + v A . t & S A = 0 + 30 . 5 & S A = S B = 150 km
CINEMÁTICA AULA 3 • MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
2
EXPLOSÃO DE VELOCIDADE O guepardo atinge 72 km/h em apenas 2 segundos. Sua aceleração é a mesma de um carro de Fórmula 1
Variação gradual Lembrando: módulo é o valor da intensidade de uma medida. O módulo da velocidade, por exemplo, é um valor em m/s ou km/h. O módulo não indica nem direção nem sentido da velocidade.
O
movimento retilíneo uniformemente variado, ou MRUV, é o que segue uma trajetória retilínea e apresenta uma alteração uniforme no módulo de velocidade. É um movimento com aceleração diferente de zero e constante – a velocidade do corpo aumenta ou diminui de maneira uniforme ao longo do percurso. O MRUV em que o corpo apresenta um aumento do módulo da velocidade é chamado de movimento acelerado.
∆t =
∆t
=
∆t
Em um movimento acelerado, o corpo percorre distâncias cada vez maiores em um mesmo intervalo de tempo IMAGE SOURCE/LATINSTOCK
Já o MRUV em que o objeto móvel apresenta diminuição do módulo da velocidade é chamado de movimento retardado.
∆t
=
∆t
=
∆t
Em um movimento retardado, o corpo percorre distâncias cada vez menores em um mesmo intervalo de tempo
A aceleração é uma grandeza vetorial – ou seja, para defini-la inteiramente é preciso considerar seu valor (módulo), sua direção e seu sentido. Uma aceleração cujo sentido coincide com o sentido adotado como positivo para a trajetória tem valores positivos (a > 0). No sentido oposto ao sentido adotado como positivo, valores negativos (a < 0). GE FÍSICA 2016
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2
CINEMÁTICA AULA 3 • MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
FUNÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE
O MRUV é caracterizado pela alteração da velocidade do corpo. A equação que fornece a velocidade do corpo em um instante qualquer é a chamada função horária da velocidade:
v (t) = v0 + a . t, em que: v(t) é a velocidade do corpo num instante t; v0 é a velocidade inicial do corpo; a é a aceleração do corpo; t é um instante qualquer.
NA PRÁTICA Se um atleta parte do repouso e acelera uniformemente a 3 m/s2, a função horária de sua velocidade é:
v (t) = v O + a . t & v (t) = 0 + 3 . t & v (t) = 3 . t
ATENÇÃO! Não confunda movimento retardado com movimento retrógrado. O movimento retardado só considera a diminuição do módulo da velocidade do corpo. O retrógrado é aquele que se dá no sentido inverso ao adotado como positivo na trajetória.
Se o atleta consegue manter essa aceleração por 3 segundos, sua velocidade ao final da aceleração é:
v (t) = 3 . t & v = 3 . 3 & v = 9 m/s
FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO
Assim como definimos a posição de um corpo em MRU, sem aceleração (veja na aula 1 deste capítulo), podemos também definir a posição de um corpo que executa um MRUV, com aceleração. A função horária da posição é uma equação matemática que fornece a localização do corpo em qualquer instante do movimento: 2 S (t) = S O + v O . t + a . t 2
Com essa equação determinamos a posição S(t) de um corpo que tem posição inicial S0 , velocidade inicial v0 e aceleração a em qualquer instante t.
NA PRÁTICA Um ciclista parte do repouso na posição inicial 10 m de determinado referencial e acelera 4 metros por segundo a cada segundo. A função horária para sua velocidade é: 2 4 . t2 S (t) = S 0 + v 0 . t + a . t & S (t) = 10 + 0 . t + 2 2 2 S (t) = 10 + 2 . t
EQUAÇÃO DE TORRICELLI
Combinando a equação horária da velocidade e a equação horária da posição, encontramos a chamada equação de Torricelli. A equação de Torricelli não considera o tempo de percurso. É útil quando não temos essa informação.
v2 = v02 + 2 . a. DS, em que: v é a velocidade final do corpo; v0 é a velocidade inicial do corpo; a é a aceleração do corpo; )S é o deslocamento escalar do corpo.
NA PRÁTICA Um automóvel se desloca a 36 km/h. O motorista avista um sinal vermelho 20 metros à frente e para exatamente no sinal. Qual a aceleração do veículo nessa situação? Sabemos que: t"WFMPDJEBEFJOJDJBMEPBVUPNØWFMÏLNI (ou 10 m/s); t"WFMPDJEBEFmOBMÏ[FSP t"EJTUÉODJBQFSDPSSJEBBUÏPTJOBMÏEFN Substituindo os valores na equação de Torricelli:
v 2 = v 20 + 2. a . TS & 0 2 = 10 2 + 2 . a . 20 a = –2, 5 m/s 2 O sinal negativo indica que a aceleração foi aplicada no sentido inverso ao adotado como positivo: o módulo da velocidade do automóvel diminui 2,5 m/s a cada segundo.
GRÁFICOS DO MRUV
Um MRUV também pode ser representado em gráficos.
Aceleração em função do tempo
A velocidade varia, mas a aceleração se mantém igual durante o tempo do percurso. Então, esse gráfico é uma reta paralela ao eixo do tempo. Um MRUV cuja aceleração tem o mesmo sentido do que foi adotado como positivo apresenta a > 0: a
No instante 4 segundos, ele estará no ponto:
S (t) = 10 + 2 . t 2 & S = 10 + 2 . 4 2 & S = 42 m Depois de 4 segundos, o ciclista estará na posição 42 m do referencial. Descontados os 10 m de distância entre o referencial e sua posição de partida, ele terá percorrido 32 m.
44 GE FÍSICA 2016
0
t
Já um MRUV cuja aceleração tem sentido oposto ao que foi adotado como positivo apresenta a < 0. Então, a reta que representa a aceleração sai de um ponto abaixo do zero:
ATENÇÃO!
V O deslocamento escalar entre t1 e t2 é numericamente igual à área formada pela curva do gráfico da velocidade em função do tempo
a V
0
t
A 0
t2 t
t1
Posição em função do tempo
Velocidade em função do tempo
A velocidade de um corpo em MRUV varia com o tempo de acordo com a função horária da velocidade:
v (t) = v0 + a . t Esta é uma equação de 1º grau cujo gráfico é uma reta. Neste caso, o coeficiente linear fornece a velocidade inicial do corpo (v0 ) e o coeficiente angular, a aceleração (a) (veja o destaque Lembre-se na pág. 41) Para o caso de um MRUV com aceleração positiva (a > 0), a função é crescente e o gráfico da velocidade em função do tempo tem o seguinte formato: v
Movimento retardado
a . t2 2
Esta é uma equação de 2º grau e, portanto, define uma parábola como gráfico. O sinal do coeficiente do termo quadrático da equação (termo que acompanha t2) indica se a aceleração é maior ou menor que zero. E isso pode ser descoberto pela concavidade da parábola (veja o quadro Lembre-se ao lado). Um MRUV com aceleração positiva (a > 0) resulta numa parábola com concavidade voltada para cima:
a>0 t
Para o caso de um MRUV com aceleração negativa (a < 0), a função é decrescente e o gráfico da velocidade em função do tempo tem o seguinte formato:
0
S QtV = S0 + v0 . t +
Num movimento retardado: tWFMPDJEBEFFBDFMFSBÎÍP têm sinais opostos; tPNØEVMPEBWFMPDJEBEF diminui no decorrer do tempo.
S
Movimento acelerado
0
v
A posição de um corpo em MRUV varia com o tempo de acordo com o que chamamos de função horária da posição:
Num movimento acelerado: tWFMPDJEBEFFBDFMFSBÎÍP têm mesmo sinal; tPNØEVMPEBWFMPDJEBEF aumenta no decorrer do tempo.
Movimento retardado
Movimento acelerado
0
t
Já para um MRUV com aceleração negativa (a < 0), a parábola do gráfico tem concavidade voltada para baixo:
S
t
a 0, a concavidade é para cima t1BSBa < 0, a concavidade é para baixo.
GE FÍSICA 2016
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2
CINEMÁTICA AULA 4 • LANÇAMENTOS
O SEXTO JOGADOR A gravidade da Terra dá uma mãozinha ao time de basquete: é ela que faz com que a bola lançada desça pela cesta
Tudo o que sobe tende a descer 46 GE FÍSICA 2016
É
uma questão de gravidade: tudo o que é lançado ao ar, se não tiver velocidade inicial suficiente para superar a atração gravitacional da Terra e escapar para o espaço, é atraído de volta em direção ao solo. É o que acontece num lançamento de basquete e, também, com uma bala de canhão. É ainda o que faz um objeto cair da mesa. Esse tipo de movimento é analisado e descrito com o emprego de conceitos tanto do MRU quanto do MRUV.
QUEDA LIVRE
Uma pena e uma pedra largadas da mesma altura. O que chega primeiro ao solo? A pedra, claro. Mas por quê? Porque a pedra tem mais massa? Não. Se dependesse apenas da atração gravitacional, a pluma e a pedra cairiam exatamente ao mesmo tempo. O que faz a diferença aqui é a resistência do ar, que depende de fatores como o formato do objeto e sua velocidade. Tanto isso é verdade que no vácuo a situação é bem diferente.
As equações que descrevem qualquer lançamento vertical, seja queda livre, seja lançamento para cima, são as mesmas equações que descrevem um MRUV. No caso de um lançamento para cima, no trajeto de subida a aceleração g atua no sentido oposto ao do movimento – por isso, esse é um movimento retardado. A velocidade vai se reduzindo aos poucos, até chegar a zero no instante em que atinge o ponto mais alto da trajetória. No retorno, o movimento volta a ser acelerado, de queda livre.
GALILEU GALILEI (1564-1642)
w!>!1
pena
pedra
pena pedra
ar
vácuo
A resistência do ar faz a pena cair mais devagar que a pedra
h
Num lançamento vertical, a aceleração g reduz a velocidade do objeto, até que ele pare e volte a cair, em queda livre
w1
No vácuo, sem resistência do ar, os dois corpos caem ao mesmo tempo
JEFFREY PHELPS/AP
O movimento de queda dos corpos, quando a resistência do ar é desprezível, é chamado queda livre. Esse tipo de movimento é uniformemente acelerado: o corpo sofre a aceleração constante da gravidade do planeta. A atração gravitacional é uma aceleração representada pela letra g e, na superfície da Terra, vale 9,8 m/ s2 (valor muitas vezes arredondado para 10 m/s2).
h
Foi no início do século XVII que o grande físico, astrônomo, matemático e inventor italiano lançou, num experimento, dois corpos de massas diferentes, mas de mesmo formato, do alto de uma torre (acredita-se que da Torre de Pisa). E constatou que, largados ao mesmo tempo de uma mesma altura, os corpos atingem o chão no mesmo instante, não importa a massa de cada um.
LANÇAMENTO HORIZONTAL
É aquele em que o corpo é arremessado de uma altura H, com determinada velocidade inicial horizontal, e descreve um arco de parábola em direção ao solo. Neste caso, novamente podemos desprezar os efeitos de resistência do ar.
A aceleração gravitacional ( g ) puxa todos os corpos para baixo a uma velocidade que aumenta 9,8 metros por segundo a cada segundo
w ROLOU, DANÇOU Uma bola que cai de cima de uma mesa descreve uma trajetória parabólica até o solo GE FÍSICA 2016
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2
CINEMÁTICA AULA 4 • LANÇAMENTOS
DOIS MOVIMENTOS COMBINADOS
1
2
3
A projeção da bolinha no eixo horizontal realiza um movimento retilíneo uniforme. Não existe aceleração
0 vo 2
ATENÇÃO! Num movimento composto, cada um dos movimentos componentes acontece como se os demais não existissem: o MRU da horizontal e o MRUV da vertical são independentes e simultâneos. A bolinha leva o mesmo tempo para realizar todos esses movimentos: o vertical em MRUV, o horizontal em MRU e o movimento resultante parabólico. Essa ideia pode ajudar muito na hora de resolver problemas.
48 GE FÍSICA 2016
vx vy vy
Já no eixo vertical, a projeção da bolinha mostra um movimento retilíneo uniformemente variado A componente horizontal da velocidade, vx , é constante, já que não existe nenhuma aceleração na direção horizontal
vy
4
1
4
x vx vx vy
3
vx
g 5
vy
vx
y Movimento uniforme vX = constante
5
COMO DECOMPOR UM VETOR
Mas a componente vertical da velocidade, vy , tem seu módulo aumentado a cada instante. A razão desse aumento é a aceleração gravitacional
Basta desenhar as duas componentes perpendiculares: y
Em qualquer momento do lançamento, o vetor velocidade resultante da bolinha é dado pela soma vetorial das duas componentes: vR = vy + vx (veja mais sobre soma vetorial na aula 1 deste capítulo)
O movimento em forma de parábola pode ser decomposto em dois movimentos distintos: um movimento uniforme no eixo horizontal; um movimento uniformemente variado no eixo vertical. Matematicamente, o comportamento do corpo no eixo horizontal é dado pelas equações de MRU. Já no eixo vertical, o movimento é dado pelas equações do MRUV. Dito de outro modo: no sentido horizontal, a velocidade é constante. Então, o comportamento do corpo no eixo horizontal é descrito pelas equações do MRU. Já no sentido vertical, a velocidade cresce, acelerada pela gravidade. Então, para descrever o comportamento do corpo no eixo vertical, utilizamos as equações do MRUV.
v
vy Ĝ
vx
x
O módulo das componentes é: Vx = v . cos Ĝ Vy = v . sen Ĝ
NA PRÁTICA Três corpos distintos são lançados horizontalmente de uma mesma altura H em relação ao solo e com velocidades iniciais diferentes, de tal modo que v3 > v2 > v1, como mostra a figura abaixo. Qual deles permanece mais tempo no ar?
V1
V2
V3
H
LANÇAMENTO OBLÍQUO
A trajetória descrita pelo lançamento de uma bola de basquete em lance livre é uma parábola. O mesmo é válido para o movimento de um atleta que pratica salto com vara (veja o infográfico na pág. 50). Esse movimento, que desconsidera a resistência do ar, é conhecido como lançamento oblíquo. Assim como o lançamento horizontal, o oblíquo é constituído de dois movimentos independentes: um horizontal, uniforme, e outro vertical, cuja velocidade está sujeita à aceleração da gravidade. Esse tipo de movimento também pode ser representado num gráfico que mostra os vetores velocidade decompostos nas componentes v x (horizontal) e v y (vertical). Lembre-se de que o movimento do projétil no eixo x (horizontal) é uniforme, enquanto no eixo y (vertical) o mo-
O tempo de permanência do corpo no ar, em um lançamento horizontal, é o mesmo tempo de queda do corpo no eixo vertical. Como os três corpos foram lançados de uma mesma altura e todos os corpos sofrem a mesma aceleração gravitacional, independentemente de seu tamanho ou sua massa, o tempo de permanência dos três corpos no ar é o mesmo. O que muda é o alcance (a distância horizontal percorrida) de cada um deles. Esse alcance, sim, depende da velocidade com que cada corpo foi arremessado.
MENOS AZAR, MAIS FÍSICA Em 1999, o físico inglês Robert Matthews explicou por que uma torrada sempre cai com a manteiga voltada para o chão. Não é por azar, mas pela combinação das velocidades de queda e de rotação da fatia de pão
2
1
Basta que a torrada tenha pouco mais que a metade de seu comprimento fora do tampo da mesa para começar a cair. Ao se inclinar em direção ao solo, a torrada forma um ângulo θ com o tampo.
δ θ
a
2
3
4
A velocidade de rotação ω não é suficiente para fazer a torrada dar um giro completo em torno de si mesma enquanto percorre os 90 centímetros até o chão. Ao longo da queda, a fatia gira apenas cerca de 180º.
m.g
4
v1
v2 v3 =vx v4y
v0y
v4 vx v5y
v5
v0 vx
v6y
v0
O alcance horizontal varia segundo o ângulo em que o corpo é lançado. O máximo alcance é obtido quando o lançamento é feito a 45°. Se não existisse a resistência do ar, este seria o ângulo perseguido por atletas nas provas de arremesso de dardo, por exemplo. Vale notar também que ângulos complementares – aqueles cujas medidas somadas resultam em 90o – têm o mesmo alcance.
y
Resultado da ação da gravidade e da rotação incompleta da torrada: a manteiga vai para o chão. H = altura da mesa θ = ângulo de rotação a = comprimento da torrada m = massa da torrada g = gravidade ω = velocidade com que a torrada gira no ar
vx
v1y
5 5
v2y
vx
Como a torrada começou a cair inclinada (ângulo θ), ela gira sobre si mesma na velocidade ω à medida que avança rumo ao solo.
ω
H = 90 cm
Ao perder o apoio da mesa, a torrada é acelerada em direção ao chão pela gravidade. Assim, sua velocidade vai aumentando durante a queda.
3
1
vimento é uniformemente variado. No ponto mais alto da trajetória, o corpo apresenta apenas a componente horizontal da velocidade. A componente vertical é zero porque a aceleração gravitacional reduziu paulatinamente a velocidade, até chegar a zero. Veja:
75º 60º 45º 30º 15º 0
x
TANTO FAZ Ângulos complementares, como o par 15o e 75o ou 30o e 60o, definem o mesmo alcance horizontal
PIADA PRONTA
FERNANDO GONSALES
GE FÍSICA 2016
49
2
CINEMÁTICA INFOGRÁFICO
Correr, saltar, voar e cair
Atletas de salto com vara não fazem nenhum cálculo matemático, mas usam técnicas para vencer a gravidade e fazer com que a física trabalhe a seu favor. Aqui você vê as acelerações e as duas componentes da velocidade da brasileira Fabiana Murer, em um de seus melhores saltos, no Mundial de Atletismo de Daegu, na Coréria do Sul, em 2011
1
2
Posição de largada A atleta está em repouso. Quanto mais na extremidade da vara Fabiana segurar, maior será a altura do salto.
ti = 0 vi = 0
vx
Aceleração Fabiana atravessa 37 metros em 18 passadas. Ao final, sua velocidade é de 29,8 km/h. Isso significa que ela acelerou 0,9 metro por segundo a cada segundo. Fabiana faz um movimento retilíneo uniformemente variado, em que tf ≅ 9 s a ≅ 0,9 m/s2 |vx| ≅ 29,8 km/h
3
Lançamento A energia cinética da atleta é transferida para a ponta da vara, quando esta é apoiada no anteparo. Como é flexível, a vara armazena essa energia e a transfere de volta para Fabiana, que sobe no espaço (veja mais sobre energia potencial e cinética no capítulo 3). O movimento da atleta agora tem duas componentes de velocidade: uma horizontal (vx) e outra vertical (vy).
vy
37 m
FIRMEZA NA PEGADA Conseguir boa impulsão a cada passada é fundamental para um salto de sucesso. E o atrito tem tudo a ver com isso
As sapatilhas dos atletas têm travas de 5 mm a 8 mm na parte da frente, para os pés aderirem melhor ao piso e o corpo receber uma impulsão maior.
Borracha Resina Borracha
50 GE FÍSICA 2016
O piso é antiderrapante. A base é feita com um material de borracha, de espessura mínima de 13,5 mm, recoberto por uma resina de poliuretano. Por cima de tudo, vai nova camada de borracha granulada (pneu picado), que aumenta ainda mais a aderência.
vx
4
Inversão Quando a atleta gira o corpo para ultrapassar o sarrafo, a vara já transmitiu quase toda a energia para Fabiana. Sua velocidade vertical é muito baixa, mas agora ela tem grande potencial gravitacional – ou seja, vai começar a ser puxada de volta ao solo pela gravidade.
5
Voo A atleta larga a vara e curva o corpo em arco para sobrevoar o sarrafo. Quando está nessa altura máxima, Fabiana para de subir – a componente vertical de sua velocidade é nula.
6 vy = 0 g
vx
Queda livre A gravidade traz a atleta de volta ao chão. Desprezando o efeito da resistência do ar, Fabiana está em queda livre – um movimento uniformemente variado, em que a única aceleração é a da gravidade (g = 9,8 m/s2). A velocidade horizontal se mantém, mas a vertical é cada vez maior.
vy g
vx
vx
g vy
7
Pouso macio A gravidade faz com que Fabiana caia 4,85 m em pouco menos de 1 segundo. Ela bate no colchão a uma velocidade vertical próxima dos 9,7 m/s (desconsiderando a altura do colchão).
vX = 0 vy = 0
Fabiana 1,71 m
A TECNOLOGIA DO SALTO A massa da vara é proporcional à altura do atleta. A vara de Fabiana tem massa de cerca de 2 kg. Quando apoiada no chão, armazena a energia cinética do atleta como energia potencial elástica, que depois é convertida em energia potencial gravitacional. É essa energia que Fabiana usa para se elevar no ar.
O material da vara garante leveza e flexibilidade Fibra de vidro Resina Fibra de carbono INFOGRAFIA: MULTI/SP
Comprimento da vara 4,80 m
GE FÍSICA 2016
51
2
COMO CAI NA PROVA
1. (Unicamp 2014) O passeio completo no complexo do Pão de Açúcar inclui 3. (Vunesp 2014) Um motorista dirigia por uma estrada plana e retilínea um trecho de bondinho de aproximadamente 540 m, da Praia Vermelha ao Morro da Urca, uma caminhada até a segunda estação no Morro da Urca, e um segundo trecho de bondinho de cerca de 720 m, do Morro da Urca ao Pão de Açúcar. A velocidade escalar média do bondinho no primeiro trecho é v1 = 10,8 km/h e, no segundo é v2 = 14,4 km/h. Supondo que, em certo dia, o tempo gasto na caminhada no Morro da Urca somado ao tempo de espera nas estações é de 30 minutos, o tempo total do passeio completo da Praia Vermelha até o Pão de Açúcar será igual a:
quando, por causa de obras, foi obrigado a desacelerar seu veículo, reduzindo sua velocidade de 90 km/h (25 m/s) para 54 km/h (15 m/s). Depois de passado o trecho em obras, retornou à velocidade inicial de 90 km/h. O gráfico representa como variou a velocidade escalar do veículo em função do tempo, enquanto ele passou por esse trecho da rodovia. Caso não tivesse reduzido a velocidade devido às obras, mas mantido sua velocidade constante de 90 km/h durante os 80 s representados no gráfico, a distância adicional que teria percorrido nessa estrada seria, em metros, de: v (m/s)
a) 33 min
b) 36 min
c) 42 min
d) 50 min 25
RESOLUÇÃO
15
Simples aplicação de fórmula. O bondinho desloca-se com velocidade constante em cada trecho – ou seja, em movimento retilíneo uniforme. Então, o tempo gasto em cada trecho é dado por Ts Ts . v= & Tt = Tt
0
v
a) 1 650
Para o trecho Praia Vermelha – Morro da Urca:
10
20
b) 800
30
40
c) 950
50
60
d) 1 250
70
80
t (s)
e) 350
0, 54 Tt 1 = 10, 8 & Tt 1 = 0, 05 horas & Tt 1 = 0, 05x3600 & Tt 1 = 180s = 3 minutos
Para o trecho Morro da Urca – Pão de Açúcar:
RESOLUÇÃO
0, 72 Tt 2 = 14, 4 & Tt 2 = 0, 05 horas & Tt 2 = 0, 05x3600 & Tt 2 = 180s = 3 minutos
A questão se resolve usando mais conceitos de matemática do que de física: leitura de gráficos e cálculo de áreas. Veja: Em qualquer gráfico da velocidade em função do tempo, o valor da área da figura entre a curva e o eixo dos tempos é igual ao valor do deslocamento do móvel no intervalo de tempo considerado. Se o automóvel tivesse mantido a mesma velocidade ao longo de todo o trajeto, teríamos a seguinte situação:
O enunciado diz, ainda, que o visitante espera 30 minutos entre um trecho e outro. Então, o tempo total gasto no passeio é Tt total = Tt 1 + Tt 2 + Tt espera & Tt total = 3 + 3 + 30 & Tt total = 36 minutos
Resposta: b
v (m/s)
2. (UFJF 2014) A velocidade de um objeto em função do tempo é registrada num
25
velocidade (m/s)
gráfico. Analisando o gráfico dado, determine o módulo da velocidade inicial vo , o módulo da aceleração e a distância percorrida entre os instantes t = 3s e t = 5s. 28 24 20 16 12 8 4 0
0
1
2
3 4 tempo (s)
5
6
7
8
a) vo = 4m/s; a = 4 m/s2; d = 4 m b) vo = 4m/s; a = 0 m/s2; d = 8 m c) vo = 0m/s; a = 4 m/s2; d = 32 m d) vo = 0m/s; a = 0 m/s2; d = 8 m e) vo = 4m/s; a = 4 m/s2; d = 32 m
15
0
2 0
+ 2 . Ts & 20 2 = 12 2 + 2 . 4 . Ts & 400 = 144 + 8 . Ts & Ts = 32m
Resposta: c
52 GE FÍSICA 2016
30
40
50
60
70
80
t (s)
25 15
24 - 4 50 Tv & a = 6 - 1 = 5 & a = 4m/s 2 Tt
v2 = v
20
v (m/s)
O gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta. Isso significa que a aceleração é constante por todo o movimento. Para calcular a aceleração entre os instantes t = 1 s e t = 6 s, aplicamos a fórmula geral para aceleração constante:
Você encontra a velocidade inicial simplesmente observando o gráfico. Repare que, prolongando a reta até ela encontrar a velocidade inicial (v0), você descobre que v0 ocorre no instante t = 0, ou seja, v0 = 0 O deslocamento entre os instantes t = 3 s e t = 5 s você obtém a partir da equação de Torricelli:
10
Mas o automóvel reduziu a velocidade num trecho do percurso. E a diferença no deslocamento por causa dessa redução de velocidade corresponde à área do trapézio mostrado no gráfico do enunciado (aqui salientado em amarelo). Veja:
RESOLUÇÃO
a=
A
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Você deve se lembrar como se calcula a área do trapézio: A = (base menor + base maior) . altura / 2 Então, ficamos com Ts =
(50 + 20) . 10 & Ts = 350m 2
Resposta: e
t (s)
RESUMO
4. (Uerj 2015) Uma ave marinha costuma mergulhar de uma altura de 20 m
para buscar alimento no mar. Suponha que um desses mergulhos tenha sido feito em sentido vertical, a partir do repouso e exclusivamente sob ação da força da gravidade. Desprezando-se as forças de atrito e de resistência do ar, a ave chegará à superfície do mar a uma velocidade, em m/s, aproximadamente igual a: a) 20
b) 40
c) 60
d) 80
RESOLUÇÃO O mergulho da ave tem aceleração constante e valor igual ao da aceleração da gravidade. A questão exige, então, a simples aplicação da equação de Torricelli. De acordo com o enunciado, vo = 0. v2 = v02 + 2 . a . ∆s v2 = 0 + 2 . 10 . 20 = 400 v = 400 → v = 20 m/s Resposta: a
5. (UFTM 2011) Num jogo de vôlei, uma atacante acerta uma cortada na bola
no instante em que a bola está parada numa altura h acima do solo. Devido à ação da atacante, a bola parte com velocidade inicial V0, com componentes horizontal e vertical, respectivamente, em módulo, Vx = 8 m/s e Vy = 3 m/s, como mostram as figuras 1 e 2.
Figura 2 P
4m
d2
d2
d r = d1 +
4m
d) 3,00
e) 3,25.
RESOLUÇÃO A cortada é um lançamento oblíquo. Nesse tipo de movimento, o objeto lançado tem duas componentes da velocidade, a horizontal (Vx) e a vertical Vy). Na figura 2 você percebe que a altura h refere-se ao deslocamento no eixo y. Trabalhamos com cada componente do movimento, separadamente. tNo eixo x: a velocidade horizontal é constante. Então calculamos o tempo 4 Tx que a bola levou para chegar ao solo por v x = Tt & 8 = Tt & Tt = 0, 5s tNo eixo y: na vertical, a bola tem a velocidade alterada pela aceleração da gravidade, que é constante (movimento uniformemente variado, MUV). Aplicando a 2 a função horária para MUV, temos y = y o + v 0y . Tt + 2 . Tt Sabemos que y 0 = 0; = 3 m/s; a = 10 m/s 2; Tt = 0, 5 s . Substituindo esses valores na equação, ficamos com: y = 3 . 0,5 + 5 . 0,52 → y = 1,5 + 1,25 y = 2,75 m
d2 dr = d1 + d2 + d3
h
Após a cortada, a bola percorre uma distância horizontal de 4 m, tocando o chão no ponto P. Considerando que durante seu movimento a bola ficou sujeita apenas à força gravitacional e adotando g = 10 m/s2, a altura h, em metro, onde ela foi atingida é: c) 2,75
Tv a = Tt
VETORES Grandezas vetoriais são aquelas nas quais a direção e o sentido são indicados por um vetor (velocidade, aceleração e força, por exemplo). Soma de vetores:
d1
P
b) 2,50
TS V m = Tt
TS = S - S 0
Vy = 3 m/s
h
a) 2,25
DESLOCAMENTO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO Deslocamento escalar é a variação de posições de um corpo ao longo de uma trajetória (∆S). A medida do deslocamento escalar é a diferença entre a posição final e a posição inicial de um corpo. Num movimento progressivo (no sentido adotado como positivo na trajetória), o deslocamento escalar é positivo. Num movimento retrógrado (no sentido inverso ao adotado como positivo na trajetória), o deslocamento escalar é negativo. Velocidade escalar média é a razão entre o deslocamento escalar e o intervalo de tempo gasto nesse deslocamento. Aceleração escalar média é a variação da velocidade do corpo em certo intervalo de tempo.
d3
Vx = 8 m/s Figura 1
Cinemática
MRU Movimento retilíneo uniforme é aquele em que um corpo percorre uma trajetória retilínea, com velocidade constante. Em MRU, a posição num instante t é dada pela função horária da posição: S(t) = S0 + v . t. O gráfico do MRU é uma reta cujo coeficiente linear é a posição inicial do corpo e o coeficiente angular, sua velocidade. MRUV Movimento retilíneo uniformemente variado é aquele em que o corpo segue uma trajetória retilínea com aceleração constante e diferente de zero. A função horária da posição é a equação que fornece a localização do corpo em MRUV em qualquer instante do movimento: a . t2 . S (t) = S 0 + v 0 . t + 2
EQUAÇÃO DE TORRICELLI: v 2 = v 20 + 2 . a .TS . O gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta cujo coeficiente linear é a velocidade inicial e o angular, a aceleração. LANÇAMENTOS Queda livre é o movimento retilíneo uniformemente variado em que a resistência do ar é desprezada e a única aceleração é a da atração gravitacional (g = 9,8 m/s2 na superfície da Terra). Lançamento horizontal é o movimento em que o corpo é arremessado de uma altura H, com determinada velocidade inicial horizontal, e descreve um arco de parábola em direção ao solo. Na componente horizontal, o corpo lançado descreve um MRU. Na vertical, um MRUV.
Resposta: c GE FÍSICA 2016
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