LOGARTIMO PERFEITA

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Capítulo 6

Logaritmos 6.1 Denição de Logaritmo Denimos aqui o logaritmo como o inverso da exponencial, no seguinte sentido:

ax = b ⇐⇒ loga (b) = x.

(6.1)

Na equação loga (b) = x temos a seguinte nomenclatura

• a é a base do logaritmo;

• b é o logaritmando;

• x é o logaritmo.

Condição de Existência de loga (b) Como na exponencial ax = b a base satisfaz a > 0 e a 6= 1, temos que b > 0 ∀ x ∈ R. Assim, para loga (b) também devemos ter

• a > 0 e a 6= 1; • b > 0, isto é, só existe logaritmo de números positivos.

Conseqüências da Denição Como conseqüência da Denição (6.1) temos os seguintes resultados (a, b, c ∈ R∗ , a 6= 1 e n ∈ R): (i) loga (1) = 0, pois a0 = 1;

(iv) loga (b) = loga (c) ⇒ b = c

(ii) loga (a) = 1, pois a1 = a;

(v) se a > 1, loga (b) > loga (c) ⇒ b > c

(iii) loga (an ) = n, pois an = an ;

(vi) se 0 < a < 1, loga (b) > loga (c) ⇒ b < c

Propriedades dos Logaritmos Também como conseqüência da Denição (6.1) temos as seguintes propriedades para os logaritmos (a, b, c ∈ R∗ , a 6= 1 e n ∈ R): (i) logaritmo do produto (é a soma dos logaritmos):

loga (bc) = loga (b) + loga (c); (ii) logaritmo do quociente (é a diferença dos logaritmos): µ ¶ b = loga (b) − loga (c); loga c 20

(6.2)

(6.3)

(iii) logaritmo da potência (é a potência vezes o logaritmo):

loga (bn ) = n loga (b);

(6.4)

aloga (b) = b;

(6.5)

(iv) exponencial do logaritmo de mesma base: (v) Mudança de base

loga (b) =

logc (b) logc (a)

(6.6)

6.2 Problemas Propostos Problema 6.1 Calcule os logaritmos (a) log2 (32)

(d) log5 (0, 0016)

(g) log√8 (0.125)

(b) log5 (625)

(e) log10 (0, 00001)

(h) log2√2 (256)

(c) log9 (243)

(f ) log1/3 (81)

(i) log2/√3 (9/16)

Problema 6.2 Avalie as expressões. (a) log5 (1) + 4log4 (5) + log3 (log5 (125))

(b) 49log 7 (2) − 25log 5 (3)

Problema 6.3 Sabendo-se que log(a) = 2, log(b) = 3 e log(c) = −6, calcule µ

(a) log(ab)

(c) log

(b) log(abc)

(d) log

¶ ab c

µ

(e) log

√ a3 c b2

¶

(f ) log

µ√ ¶ 5

√ab c

µ√

¶

a2 b2 c3

Problema 6.4 Sabendo-se que log2 (3) = a, calcule (em função de a) (a) log6 (9)

(b) log36 (64)

Problema 6.5 Sabendo-se que loga (x) = 2, logb (x) = 3 e logc (x) = 5, calcule (a) logab (x)

(b) logabc (x)

(c) log ab (x) c

Problema 6.6 Resolva as equações logarítmicas (a) log5 (x2 + 3) = log5 (x + 3)

(d) [log8 (x)]2 − 3[log8 (x)] + 2 = 0

(b) log2 (14 − 5x) = 2

(e) log(3x2 + 7) − log(3x − 2) = 1

(c) log 31 (x2 + 3x − 1) = −2

(f ) log(x + 1) + 2 = log(4x2 − 500)

Problema 6.7 Resolva as inequações logarítmicas (a) [log(x)]2 − log(x) > 0 (b) 2[log(x)]2 − log(x) > 6 ¸ · (c) log2 log 14 (x2 − 2x + 1) < 0 21

Problema 6.8 A intensidade M de um terremoto medido na escala Richter é um número que varia de M = 0 (nenhum tremor) até M = 8, 9 (maior terremoto conhecido). O valor de M é dado pela fórmula empírica µ ¶ 2 E M = log , 3 E0 onde E é a energia liberada no terremoto (em KWh - kilowatt-hora) e E0 é uma constante que vale 7 × 10−3 KWh. (a) Qual a energia liberada em um terremoto de grandeza M = 6? (b) Uma cidade de cerca de 300.000 habitantes consome cerca de 3.5 × 106 KWh de energia elétrica por dia. Se a energia de um terremoto pudesse ser convertida em energia elétrica, quantos dias de fornecimento de energia para esta cidade seriam produzidos por um terremoto de grandeza M = 8?

Problema 6.9 O pH de uma solução salina é denido pela fórmula pH = −log[H + ]

onde [H + ] é a concentração, em moles por litro, do íon Hidrogênio. (a) Qual o pH da água pura, sabendo-se que sua concentração de [H + ] vale 1, 00 × 10−7 ? (b) Uma solução é dita ácida se sua concentração de [H + ] é maior que a da água, e dita básica (ou alcalina) se sua concentração de [H + ] é menor que a da água. Quais os valores de pH caracterizam soluções ácidas e básicas?

6.3 Problemas Teóricos Problema Teórico 6.1 Use a Denição (6.1) para provar as propriedades (6.2), (6.3), (6.4), (6.5) e (6.6). √

Problema Teórico 6.2 Se loga (x + x2 − 1) = b, mostre que x = 12 (ab + a−b ). √

√

Problema Teórico 6.3 Mostre que loga (x + x2 − 1) = −loga (x − x2 − 1).

6.4 Respostas dos Problemas Propostos - Capítulo 6 • Problema 6.1 (página 21)

(a) 5

(d) −4

(g) −1)

(b) 4

(e) −5)

(h) 16/3

(c) 5/2

(f) −4

(i) −4

• Problema 6.2 (página 21)

(a) 6

(b) −5

• Problema 6.3 (página 21)

(a) 5

(c) 11

(e) 4

(b) −1

(d) −3

(f) 23

22



• Problema 6.4 (página 21)

(a)

2a 1+a

(a) (b)



3 1+a

(b) 

• Problema 6.5 (página 21)

(a) 6/5

(c)

(b) 30/31

(c) 30/19

x > 10

x ∈ R|0 < x <

1 √ 10 10

ou

x ∈ R|

3 2

 

1 2

100

e

x 6= 1

• Problema 6.8 (página 22)

• Problema 6.6 (página 21)

(a) x = 0 e x = 1



x ∈ R | 0 < x < 1 ou

(b) 2000 dias! (5 anos, 5 meses e 22 dias)

• Problema 6.9 (página 22)

(a) 7 (b) ácidas 0 < pH < 7;

• Problema 6.7 (página 21)

23

básicas 7 < pH < 14