PROVAS - CANGURU DE MATEMÁTICA BRASIL

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Genilson Costa Graduado em Matemática pela Universidade Federal Rural do Semi Árido (2015), cursando especialização em Tópicos Especiais em Matemática pela Universidade Cândido Mendes e especialização em Matemática para o Ensino Médio pelo Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte. Em 2014 foi pioneiro ao introduzir o projeto de matemática olímpica na cidade de Coronel Ezequiel – RN, conquistando a primeira medalha da região do Trairi. Em 2016 iniciou o projeto na cidade vizinha, Santa Cruz. Em três anos na cidade de Santa Cruz o projeto já conquistou trinta e duas premiações em olimpíadas estaduais e nacionais, destaque para a OBMEP, aonde a escola foi a primeira a conquistar medalha na região do Trairi. Atualmente coordena o Polo Olímpico de Treinamento Intensivo – POTI na cidade de Santa Cruz - RN.

Resumo das conquista dos seus alunos.       

2014 Canguru de Matemática 1 Medalha 2016 Canguru de Matemática 6 Medalhas 2017 Canguru de Matemática 5 Medalhas 2017 OBMEP 2 Medalhas e 1 Menção Honrosa 2017 OMRN 4 Medalhas 2018 Canguru de Matemática 10 Medalhas 2018 OBMEP 1 Medalha e 2 Menções Honrosas.

O Canguru O Concurso Canguru de Matemática é uma competição anual internacional destinada aos alunos do 3º ano do Ensino Fundamental até os da 3ª série do Ensino Médio. A competição teve origem na França e é administrada globalmente pela Associação Canguru sem Fronteiras (Association Kangourou sans Frontières - AKSF). O Concurso Canguru de Matemática é a maior competição de Matemática do mundo, com mais de 6 milhões de participantes por ano nos 75 países.

História No início dos anos 80, Peter O’Halloran, um professor de Matemática em Sydney, na Austrália, elaborou uma prova digital que passou a ser resolvida por milhares de alunos simultaneamente.

Anos depois, em 1991, dois professores franceses, André Deledicq e Jean Pierre Boudine, decidiram iniciar o concurso na França e, em homenagem ao colega australiano, deram-lhe o nome de “Kangourou”; É dessa forma que nasce o concurso Kangourou sans Frontières (www.aksf.org) que hoje está presente em mais de 80 países, incluindo o Brasil.

Canguru sem Fronteiras é uma Associação internacional que congrega personalidades do mundo da Matemática. Anualmente, um seleto grupo de professores se reúne para discutir o ensino da Matemática e preparar as provas que serão aplicadas nos países participantes.

A finalidade da Associação é promover a divulgação da Matemática por todos os meios ao seu alcance e, em particular, com a realização do concurso que envolve e motiva milhares de alunos pelo mundo.

No Brasil, o número de escolas participantes vem crescendo de forma expressiva desde seu início, em 2009. Em 2018, foram mais de 2 mil escolas e mais de 300 mil alunos participantes.

(Extraído do site oficial do Canguru de Matemática Brasil)

Conteúdo Programático Mínimo Os conteúdos são cumulativos. A cada nível os novos temas são acrescentados na lista abaixo: NÍVEL P - Alunos do 3 º e 4 º Anos EFI                     

Números naturais: contagem, ordenação, sistema de numeração. Adição e subtração de números naturais com até dois algarismos. Multiplicação de números naturais com até dois algarismos no multiplicando. Divisão de números naturais com resto zero e divisor de um algarismo. Conceitos básicos de múltiplos e divisores: dobro, triplo, metade, um terço. Ordenação de números, letras e figuras. Reconhecimento de formas geométricas simples (triângulo, quadrado, retângulo). Reconhecimento de padrões em figuras. Reconhecimento de padrões em sequências de figuras. Contagem de números e figuras. Movimentos simples de figuras (translação, reflexão). Relógio analógico e digital: horas e minutos, operações simples com horas. Número de dias em uma semana, número de meses em um ano. Medidas lineares e de massa mais usuais (km, m, cm) e (kg, g). Localização no plano e no espaço: esquerda, direita, acima, abaixo, fora, dentro, atrás, etc. Pré-álgebra com valores atribuídos a figuras, geométricas ou não. Contagem básica de caminhos. Figuras espaciais simples: cubos, blocos retangulares, pirâmides. Composições de figuras planas e espaciais a partir de figuras menores. Problemas envolvendo a compreensão de textos simples. Problemas envolvendo lógica e estratégia.

NÍVEL E - Alunos do 5 º e 6 º Anos EFI/EFII  

    

Conteúdo anterior mais: Operações aritméticas básicas com números naturais de até quatro algarismos (adição e subtração); multiplicação com multiplicador de até dois algarismos. Divisão euclidiana (dividendo, divisor, quociente, resto) com divisor de um algarismo. Padrões em sequências de figuras, números e letras. Codificação simples envolvendo letras, números e figuras. Correspondência entre variáveis e figuras. Uso simples das propriedades das igualdades (reflexiva, simétrica, transitiva, multiplicativa e aditiva). Figuras geométricas e algumas de suas propriedades: triângulos, quadriláteros e hexágonos. Transformações simples de figuras geométrica ou figuras naturais: translação, reflexão e rotação.

          

Reconhecimento da invariância de elementos em situações envolvendo transformações de figuras. União e Intersecção de conjuntos. Contagem em situações envolvendo listagem organizada ou os princípios multiplicativo ou aditivo básicos. Medidas lineares (perímetros) e de área: quadrados e retângulos. Composição e decomposição de figuras geométricas, planas ou espaciais. Raciocínio lógico simples envolvendo implicação e negação em problemas verbais. Problemas numéricos ou geométricos com quadriculados. Problemas com relógios digitais e analógicos. Problemas envolvendo a pré-álgebra. Problemas de máximos e mínimos elementares. Problemas envolvendo equilíbrio de corpos (balanças, móbiles, etc.).

NÍVEL B - Alunos que 7 º e 8 º Anos EFII               

Conteúdos anteriores mais: Operações com números inteiros e os sinais. Adição e subtração sem restrições. Multiplicação por números de dois algarismos. Divisões exatas por números de até dois algarismos. Divisão euclidiana e divisibilidade, com divisores positivos. Frações e correspondência com a divisão. Porcentagens. Sequências numéricas mais complexas (recorrência ou fórmulas). Expressões aritméticas envolvendo as operações elementares e potenciação. Geometria plana: Ângulos em triângulos, relações entre elementos simples das figuras planas. Decomposições de cubos, planificações de cubos e blocos retangulares. Problemas de lógica em tabuleiro. Quadrados mágicos. Problemas de lógica formal ou verbal. Números inteiros e racionais na reta. Contagem: combinando os princípios multiplicativo e aditivo. Princípio da casa dos pombos.

NÍVEL C - Alunos do 9 º ano EFII          

Conteúdos anteriores mais: Propriedades de números: sistema de numeração. Operações com números racionais. Potência de números naturais. Razões, proporções. Relações e medidas de ângulos em figuras geométricas planas. Área de retângulos, triângulos e círculos. Relações entre elementos de figuras geométricas (polígonos convexos). Transformações geométricas e problemas. Equações, desigualdades e sistemas de equações lineares.

  

Contagem: combinações simples. Aplicações numéricas e geométricas. Interpretação de dados e reconhecimento de algoritmos. Pontos no plano cartesiano. Equação da reta.

NÍVEL J - Alunos da 1 ª e 2 ª série EM        

Conteúdos anteriores mais: Operações com números reais. Funções: propriedades, gráficos, equações funcionais. Polinômios de uma variável. Sequências numéricas e fórmulas de recorrência. Princípio da indução. Contagem: combinações com repetições. Geometria euclidiana plana geral. Geometria analítica plana.

NÍVEL S - Alunos da 3 ª série EM        

Conteúdos anteriores mais: Geometria euclidiana plana e espacial. Geometria analítica espacial. Trigonometria aplicada à geometria. Combinatória geral. Probabilidade. Lógica matemática e problemas de lógica. Equações algébricas.

CANGURU DE MATEMÁTICA BRASIL – NÍVEL C - 2018 Problemas de 3 pontos 1. Qual é o valor de  20  18    20  18  ? (A) 18

(B) 19

(C) 20

(D) 34

(E) 36

2. Quando as letras da palavra MATA são escritas verticalmente, uma abaixo da outra, a palavra tem uma linha vertical de simetria. Qual das palavras abaixo tem uma linha vertical de simetria, quando escrita da mesma forma? (A) ARCO

(B) MALA

(C) BOTA

(D) MULA

(E) TIMO

3. Os lados de um triângulo medem 6, 10 e 11. Um triângulo equilátero tem o mesmo perímetro. Qual é o comprimento de cada lado desse triângulo? (A) 6

(B) 9

(C) 10

(D) 11

(E) 27

4. Qual número deve ser escrito no lugar do símbolo # na igualdade 2  18  14  6  # 7 de modo a torná-la verdadeira? (A) 8

(B) 9

(C) 10

(D) 12

(E) 15

5. Na construção de um edifício, as escadas foram feitas com degraus de 25 cm de largura e 15 cm de altura, conforme figura ao lado. Quantos degraus tem a escada que leva do primeiro ao segundo andar?

(A) 8

(B) 10

(C) 15

(D) 20

(E) 25

6. Um retângulo é composto de nove retângulos iguais, cujos lados maiores medem 10 cm. Qual é o perímetro desse retângulo maior? (A) 40 cm

(B) 48 cm

(C) 76 cm

(D) 81 cm

(E) 90 cm

7. Uma formiguinha quer andar do ponto A ao ponto B caminhando de cima para baixo, ao longo dos segmentos indicados pelas setas. Quantos caminhos diferentes ela pode fazer? (A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

Canguru de Matemática Brasil 2018 Nível C – Direitos Reservados

(E) 6

Página 1

8. Joana fez o triângulo com dez moedas, visto à esquerda. Seu irmão moveu algumas moedas e obteve o triângulo à direita. No mínimo, quantas moedas ele moveu?

(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

(E) 7

9. Um retângulo com dimensões 7  11 contém duas circunferências que tangenciam três lados desse retângulo, conforme mostrado na figura. Qual é a distância entre os centros das circunferências? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

10. Os lados do quadrado ABCD medem 3 cm. Os pontos M e N estão sobre os lados AD e BC de modo que os segmentos CM e CN dividem o quadrado em três figuras de áreas iguais. Qual é a medida do segmento DM? (A) 0,5 cm

(B) 1 cm

(C) 1,5 cm

(D) 2 cm

(E) 2,5 cm

Problemas de 4 pontos 11. Marta multiplicou corretamente dois números de dois algarismos, mas em seguida ela rabiscou três desses algarismos, conforme mostrado na figura. Qual é a soma dos três algarismos que ela rabiscou? (A) 5

(B) 6

(C) 9

(D) 12

(E) 14

12. Um tabuleiro tem exatamente 40 casas e mais de uma linha. André escolheu a linha do meio e pintou todas as suas casas. Quantas casas do tabuleiro ele não pintou? (A) 20

(B) 30

(C) 32

(D) 35

(E) 39

13. Um leão está escondido em um dos três quartos de uma casa. Na porta do quarto 1 está escrito: “O leão está aqui”. Na porta do quarto 2 está escrito: “O leão não está aqui” e na porta do quarto 3 lê-se: “ 23  32 ”. Somente uma das sentenças é verdadeira. Qual é o quarto em que o leão está? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) Qualquer um dos três.

(E) No 1 ou no 2.

14. Valéria traçou uma linha em zigue-zague no interior de um retângulo, criando ângulos de 10o, 14o,  , 33o e 26o, conforme mostrado na figura ao lado. Qual é o valor de  ? (A) 11o

(B) 12o

(C) 16o

(D) 17o

(E) 33o

15. Alice escreveu uma lista de números primos menores do que 100, usando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, exatamente uma vez cada um e nenhum outro algarismo. Qual número estava nessa lista com certeza? Obs.: o número 1 não é primo. (A) 2

(B) 5

(C) 31

Canguru de Matemática Brasil 2018 Nível C – Direitos Reservados

(D) 41

(E) 53 Página 2

16. Um hotel no Nordeste faz sua propaganda dizendo que no lugar onde está localizado faz “350 dias de sol por ano”. Supondo que isso seja verdade, pelo menos quantos dias Rita tem que planejar ficar no hotel, no próximo ano, para ter certeza de que terá dois dias seguidos de sol? (A) 17

(B) 21

(C) 31

(D) 32

(E) 35

17. Na figura, a reta X é paralela à base do retângulo e os pontos A e B, internos ao retângulo, pertencem à reta. A soma das áreas dos retângulos sombreados é igual a 10 cm2. Qual é área do retângulo?

(A) 18 cm2

(B) 20 cm2

(C) 22 cm2

(D) 24 cm2

(E) Depende das posições dos pontos A e B.

18. Janaína numerou de 1 a 9 as casas do tabuleiro 3  3 ao lado. Então, ela somou os números escritos em cada uma das linhas e colunas e obteve os números 12, 13, 15, 16 e 17, numa certa ordem. Qual dos números abaixo é a soma que está faltando? (A) 13

(B) 14

(C) 15

(D) 16

(E) 17

2 3 dos alunos gostam de Matemática e dos alunos gostam de Português. Qual é a menor 3 4 fração dos alunos que gostam de ambas as matérias?

19. Numa escola,

(A)

1 12

(B)

5 12

(C)

1 2

(D)

5 7

(E)

8 9

20. Numa reta, foram marcados 11 pontos diferentes. A soma das distâncias do primeiro ponto à esquerda até os demais é 2018. A soma das distâncias do segundo ponto à esquerda aos demais, incluindo o primeiro, é 2000. Qual é a distância entre o primeiro e o segundo pontos? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

Problemas de 5 pontos 21. A figura mostra a planificação de uma caixa retangular. Qual é o volume dessa caixa, em centímetros cúbicos? (A) 80

(B) 86

(C) 96

(D) 100

(E) 1820

22. Rita deseja escrever um número em cada uma das casas que estão na borda de um tabuleiro 5  6 . Em cada casa, o número a ser escrito deve ser igual à soma dos números escritos nas casas que têm um lado comum com essa casa. Dois dos números já foram escritos, como mostra a figura. Qual deverá ser o número escrito na casa assinalada com um X?  (A)  13

(B) 3

(C) 7

Canguru de Matemática Brasil 2018 Nível C – Direitos Reservados

(D) 10

(E) 13 Página 3

23. Numa escola, há três candidatos para a eleição para presidente do grêmio e 130 alunos estão votando. Adão tem 24 votos até agora, enquanto que Bento tem 29 votos e Carlos tem 37. Quantos votos a mais Carlos necessita para ser eleito? (A) 13

(B) 14

(C) 15

(D) 16

(E) 17

24. Simone e Irene resolvem apostar uma corrida. Enquanto Simone dá cinco voltas completas ao redor da piscina, Irene vai três vezes e volta três vezes nadando ao longo do comprimento da piscina. A velocidade de Simone é o triplo da velocidade de Irene. Qual é a largura da piscina? (A) 40 m

(B) 42 m

(C) 44 m

(D) 45 m

(E) 48 m

25. No quadriculado ao lado, o desenho em cinza tem área de 192 cm2. O perímetro do desenho é formado de segmentos de reta ou arcos de circunferência. Quais são as dimensões do quadriculado?

(A) 6 cm  4 cm

(B) 12cm  8cm

(C) 20cm  12cm

(D) 24 cm  16cm

(E) 30cm  20cm

26. Paulo pretende colocar as peças ao lado em suas posições corretas, isto é, partes com pontos iguais devem estar em contato. Ele pode fazer isso por meio de dois movimentos: trocar duas peças de lugar, sem girar, ou girar somente uma peça. Qual é o menor número de movimentos que ele deve fazer para acertar os dominós? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

27. Os pontos N, M e L estão sobre os lados do triângulo equilátero ABC, tais que NM  BC , ML  AB e LN  AC , conforme mostrado na figura. A área do triângulo ABC é 36. Qual é a área do triângulo LMN? (A) 9

(B) 12

(C) 15

(D) 16

(E) 18

28. Ana, Bruna e Clara foram fazer compras. Bruna gastou apenas 15% do que gastou Clara e Ana gastou 60% a mais que Clara. No total, as três gastaram 55 reais. Quanto gastou Ana? (A) 3

(B) 20

(C) 25

(D) 26

(E) 32

29. Vivi está praticando salto à distância. A média dos seus saltos anteriores era 3,80 metros, mas hoje, ao saltar 3,99 metros, sua média subiu para 3,81 metros. Que distância ela deverá saltar na próxima vez para poder aumentar sua média para 3,82 metros? (A) 3,97 m

(B) 4,00 m

(C) 4,01 m

(D) 4,03 m

(E) 4,04 m

30. Num triângulo ABC, os pontos K e L estão sobre os lados congruentes AB e BC , respec ? tivamente, de modo que AK  KL  LB e KB  AC . Qual é a medida do ângulo ABC (A) 36o

(B) 38o

(C) 40o

(D) 42o

(E) 44o

Canguru de Matemática Brasil 2018 Nível C – Direitos Reservados

Página 4

Canguru de Matemática Brasil – 2017

Este material é protegido pela Lei de Direitos Autorais conforme expresso na Lei no 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. É vedado o uso comercial deste texto e sua reprodução, no todo ou em parte, sem a autorização do Conselho da Organização Kangourou Sans Frontières (KSF).

Prova Nível C – Respostas

■  Problemas de 3 pontos Questão 1 Que horas são 17 horas depois das 17h? (a) 8h

(B) 10h

(C) 11h

(D) 12h

(E) 13h

1. Alternativa B Das 17h até 24h (meia-noite) são 7 horas. Faltam 10 horas para completar as 17 horas. Logo, 17 horas depois das 17h são 10h da manhã.

Questão 2 Algumas garotas estavam dançando em roda. Antonia era a quarta à esquerda de Bianca e a sétima à direita de Bianca. Quantas garotas havia na roda? (A) 11

(B) 12

(C) 13

(D) 14

(E) 15

2. Alternativa A À esquerda de Bianca havia três garotas entre ela e Antonia e à direita de Bianca havia seis garotas entre ela e Antonia. Portanto na roda havia 3 + 6 + 2 = 11 garotas.

Questão 3 Que número devemos subtrair de –17 para obtermos –33? (A) –50

(B) –16

(C) 16

(D) 40

(E) 50

3. Alternativa C Temos –17 – x = –33 ⇔ –17 + 33 = x ⇔ x = 16.

Canguru de Matemática – Brasil – 2017 – Direitos Reservados – C – Respostas

 

1

Questão 4 O diagrama mostra um triângulo isósceles preenchido com faixas de mesma largura. O segmento que divide essas faixas é a altura do triângulo. A soma das áreas das partes em branco representa qual fração da área do triângulo?

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(a)

1 2

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

3 4

(E)

2 5

4. Alternativa A Para cada faixa, existe uma metade colorida e uma metade branca. A reunião de todas as faixas é o triângulo, logo a reunião de todas as metades das faixas é metade do triângulo. A soma das áreas das partes em branco é igual à metade da área do triângulo.

Questão 5 Qual igualdade abaixo é a correta? (a)

4 = 1,4 1

(B)

5 = 2,5 2

(C)

6 = 3,6 3

(D)

7 = 4,7 4

(E)

8 = 5,8 5

5. Alternativa B 4 5 6 7 8 = 1,6. Temos os seguintes resultados corretos: = 4; = 2,5; = 2; = 1,75 e 1 2 3 4 5

Questão 6 A figura mostra dois retângulos cujos lados são paralelos. Qual é a diferença entre os perímetros dos dois retângulos?

(a) 12 m

(B) 16 m

(C) 20 m

(D) 21 m

(E) 24 m

6. Alternativa E O comprimento do retângulo menor tem 3 + 4 = 7 metros a menos do que o do retângulo maior e sua largura tem 2 + 3 = 5 metros a menos do que a do retângulo maior. Para calcular o perímetro de retângulos somamos duas vezes o comprimento e duas vezes a largura. Portanto, a diferença entre os dois perímetros é igual a 2  (7 + 5) = 24 m.

2

Canguru de Matemática – Brasil – 2017 – Direitos Reservados – C – Respostas

Questão 7 Bruna dobrou uma folha de papel duas vezes e fez um furo no papel ainda dobrado. Ao abrir a folha, ela observou o que está representado na figura à direita. Qual das figuras abaixo mostra nas linhas tracejadas como ela dobrou o papel?

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(a)

(B)

(C)

(D)

(E)

7. Alternativa C Como uma dobra no papel funciona como uma reflexão de espelho, os dois furos feitos no papel dobrado são simétricos em relação à dobra, que deve estar sobre uma diagonal da folha. Como o furo atravessou somente duas camadas de papel, a outra dobra produziu duas camadas que não foram atingidas pelo furo. Na figura ao lado, representamos a folha dobrada. Assim, depois de desdobrada, a folha apresenta um vinco sobre a diagonal e dois vincos menores simétricos em relação à diagonal.

Questão 8 A soma de três inteiros positivos distintos é 7. Qual é o produto desses três números? (a) 5

(B) 8

(C) 9

(D) 10

(E) 12

8. Alternativa B Temos 1 + 2 + 4 = 7. Logo, 1  2  4 = 8. Observação: não há outra forma de expressar o número 7 como soma de três inteiros positivos distintos, a não ser mudando a ordem das parcelas. Mas o produto continua o mesmo, já que a ordem dos fatores não altera o produto.

Questão 9 Ivone tem 20 reais. Suas quatro irmãs têm 10 reais cada uma. Quantos reais ela deve dar a cada uma das suas irmãs de forma que todas as cinco irmãs fiquem com a mesma quantia? (a) 2

(B) 4

(C) 5

(D) 8

(E) 10

9. Alternativa A Ivone dá x reais a cada irmã, portanto, ela fica com 20 – 4x reais e cada irmã fica com 10 + x reais. Como todas as quantias devem ser iguais, temos 20 – 4x = 10 + x ⇔ 5x = 10 ⇔ ⇔ x = 2.

Canguru de Matemática – Brasil – 2017 – Direitos Reservados – C – Respostas

3

Questão 10 Ângela fez uma peça decorativa sobrepondo corações recortados em papeis brancos ou cinzentos. As áreas dos corações são 1 cm2, 4 cm2, 9 cm2 e 16 cm2. Qual é a área total das regiões cinzentas visíveis na figura que representa a peça criada por Ângela?

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(a) 9 cm2

(B) 10 cm2

(C) 11 cm2

(D) 12 cm2

(E) 13 cm2

10. Alternativa B A área da região cinzenta mais interna é igual a 4 – 1 = 3 cm 2 e a área da região cinzenta maior é 16 – 9 = 7 cm2. Portanto, a área total cinzenta da peça criada por Ângela é 3 + 7 = 10 cm 2.

■ Problemas de 4 pontos

Questão 11 2 do comprimento de um cano. Uma 3 3 do comprimento joaninha, que havia partido da extremidade direita do mesmo cano, andou 4 deste. Nessa situação, qual fração do comprimento do cano representa a distância entre os dois Partindo da extremidade esquerda, uma formiguinha andou

bichinhos? (a)

3 8

(B)

1 12

(C)

5 7

(D)

1 2

(E)

11. Alternativa E

5 12

2 1 = do mesmo. A distância da 3 3 3 3 1 – = joaninha até o fim do cano é . Então, a distância da formiguinha até a joaninha é 4 4 3 9–4 5 = . = 12 12 Para a formiguinha chegar ao fim do cano, falta andar 1 –

4

Canguru de Matemática – Brasil – 2017 – Direitos Reservados – C – Respostas

Questão 12 Num teatro infantil, um sexto da audiência era de adultos e dois quintos das crianças eram de meninos. Qual fração da audiência era de meninas?

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(a)

1 2

(B)

1 3

(C)

1 4

(D)

1 5

(E)

2 5

12. Alternativa A 1 n Se n era o número de pessoas da audiência, então de n era o número de adultos e n – 6 6 5n era o número de crianças. Como dois quintos das crianças eram de meninos, então = 6 3 5n de , ou três quintos das crianças eram de meninas. Logo, o número de meninas era 5 6 3 5n n = . Assim, metade da audiência era composta de meninas. seja,  5 6 2 Podemos solucionar o problema de uma forma mais direta: se um sexto era de adultos, então cinco sextos eram de crianças. Se dois quintos das crianças eram meninos, então três 3 5 1 1  = , a fração da audiência de meninas era . quintos eram de meninas. Como 5 6 2 2

Questão 13 Na figura, a linha interrompida e a linha preta formam vários triângulos equiláteros. O comprimento da linha interrompida é 20. Qual é o comprimento da linha preta? (a) 25

(B) 30

(C) 35

(D) 40

(E) 60

13. Alternativa D O comprimento da linha interrompida é a soma dos comprimentos de um lado de cada triângulo equilátero. Portanto, o comprimento da linha preta é o dobro do comprimento da linha interrompida, ou seja, igual a 2  20 = 40.

Questão 14 Ema, Íris, Rita e Zilda têm 3, 8, 12 e 14 anos de idade, não necessariamente nessa ordem. A soma das idades de Zilda e Ema é divisível por cinco e a soma das idades de Zilda e Rita também é divisível por cinco. Qual é a idade de Íris? (a) 3

(B) 5

(C) 8

(D) 12

(E) 14

14. Alternativa E As únicas somas divisíveis por 5 são 3 + 12 = 15 e 8 + 12 = 20. Como a idade de Zilda aparece nas duas somas, concluímos que a idade de Zilda é 12 e as idades de Ema e Rita são 3 ou 8. Logo, Íris tem 14 anos.

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Questão 15 Mais de 800 pessoas participaram da corrida do Canguru. Exatamente 35% dos corredores eram mulheres e havia 252 homens a mais do que mulheres. Quantos participaram da corrida?

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(a) 802

(B) 810

(C) 822

(D) 824

(E) 840

15. Alternativa E Se 35% dos corredores eram mulheres, então 100% – 35% = 65% dos corredores eram homens. Isso significa que havia 65% – 35% = 30% de homens a mais. Como 252 corresponde 252 252 = = 840. a 30% do total de corredores, o número total de participantes da corrida é 30% 0,3

Questão 16 Regina quer escrever um número em cada uma das casas do tabuleiro ao lado, de modo que a soma de todos os números seja 35, a soma dos números nas três casas à esquerda seja 22 e a soma dos números nas três casas à direita seja 25. Ela já escreveu dois números. Qual é o produto dos dois números que ela irá escrever nas casas cinzentas? (a) 0

(B) 39

(C) 48

(D) 63

(E) 108

16. Alternativa D Sejam x e y os números escritos nas casas cinzentas. O número do centro somado com 3 e x resulta 22 e somado com 4 e y resulta 25. Como a soma dos cinco números é 35, concluímos que o número do meio é 22 + 25 – 35 = 12. Logo, 3 + x + 12 = 22 ⇔ x = 7 e 12 + y + 4 = 25 ⇔ y = 9. Portanto, xy = 7  9 = 63.

Questão 17 Simão pegou uma corda e marcou os pontos em que vai cortá-la para obter nove pedaços iguais. Bárbara pegou a mesma corda e marcou os pontos para cortá-la em oito pedaços iguais. Carlos pegou essa corda e fez todos os cortes que haviam sido marcados por Simão e Bárbara. Quantos pedaços de corda foram obtidos por Carlos? (a) 15

(B) 16

(C) 17

(D) 18

(E) 19

17. Alternativa B Os oito pontos da corda marcados por Bárbara determinam pedaços menores do que os originados pelos sete pontos marcados por Carlos e na corda esses pontos não coincidem (pense na situação em que esses pontos podem coincidir). Portanto, foram marcados 8 + 7 = 15 pontos, determinando 16 pedaços de corda. A figura ilustra este fato.

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Questão 18 Dois segmentos de 2 cm de comprimento foram marcados em lados opostos de um quadrado de lado 8 cm. Segmentos ligando essas extremidades delimitam uma região cinzenta do quadrado, conforme a figura. Qual é a área dessa região, em cm2?

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(a) 2

(B) 4

(C) 6

(D) 8

(E) 10

18. Alternativa D A região cinzenta compõe-se de dois triângulos congruentes de base 2 cm. Como os dois têm alturas iguais e a soma dessas alturas é igual à medida do lado do quadrado, de 8 cm, con24 cluímos que as alturas são de 4 cm. A soma das áreas dos triângulos é 2  = 8 cm2. 2

Questão 19 Pedro quer planejar um programa de corridas. Toda semana ele pretende correr duas vezes, sempre nos mesmos dois dias da semana, não consecutivos. Quantos programas diferentes ele pode montar? (a) 10

(B) 12

(C) 14

(D) 16

(E) 18

19. Alternativa C Para escolher um dia, Pedro tem sete possibilidades. Uma vez escolhido esse dia, o dia anterior e o dia seguinte não podem ser escolhidos, restando-lhe 7 – 3 = 4 dias para escolher. Portanto, ele tem 7  4 = 28 escolhas. Devemos lembrar que a ordem dos dias não conta, pois escolher segunda-feira e quarta-feira é o mesmo que escolher quarta-feira e segunda28 = 14 programas diferentes. -feira, por exemplo. Portanto, ele pode montar 2

Questão 20 Emília escreve um número inteiro em cada uma das casas do tabuleiro 3 x 3 ao lado de modo que as somas dos números escritos nas casas que têm um lado comum sejam iguais. Ela já escreveu dois números, conforme mostrado na figura. Qual é a soma de todos os nove números que serão escritos no tabuleiro? (a) 18

(B) 20

(C) 21

(D) 22

(E) 23

20. Alternativa D As duas casas vizinhas da casa com o 2 devem apresentar o mesmo número x e as três casas vizinhas à casa com o 3 devem apresentar o mesmo número y. Reproduzindo o mesmo raciocínio, podemos completar o preenchimento com essas letras, conforme figura ao lado. Como 2 + x = x + y, concluímos que y = 2 e como x + y = y + 3 concluímos que x = 3. Logo, há cinco casas com o número 2 e quatro casas com o número 3. Somando todos os números, obtemos 5  2 + 4  3 = 22.

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■ Problemas de 5 pontos Questão 21 Os números de graus das medidas dos ângulos internos de um triângulo são três inteiros diferentes. Qual é o menor valor possível da soma das medidas do menor e do maior desses ângulos? (B) 90o

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(a) 61o

(C) 91o

(D) 120o

(E) 121o

21. Alternativa C A soma das medidas dos ângulos de um triângulo é 180o. Para que a soma das medidas do menor ângulo e do maior ângulo seja a menor possível, a medida do ângulo intermediário deve ser a maior possível. Este ângulo não pode medir 90o, pois se isso ocorresse os outros dois teriam soma 90o e seriam menores do que o intermediário, o que é contraditório. Mas se o intermediário medir um grau a menos, ou seja, 89o então o maior mede 90o e o menor ângulo mede 1o. Concluímos então que para medidas inteiras em graus, a menor soma possível do menor e do maior ângulo interno de um triângulo é 90o + 1o = 91o.

Questão 22 Dez cangurus estão em fila, conforme a ilustração. Num dado momento, dois cangurus vizinhos que estão olhando um para o outro trocam de posição, sem mudar a direção do olhar. Em seguida, outros dois cangurus, na mesma situação, repetem a troca e assim sucessivamente, até que não seja mais possível repetir o movimento. No máximo, quantas trocas são possíveis? (a) 15

(B) 16

(C) 18

(D) 20

(E) 21

22. Alternativa C Nenhum dos cangurus vai mudar a direção de seu olhar. Se considerarmos os cangurus da esquerda para a direita, vemos que o quarto canguru pode trocar de posição com os três cangurus à sua esquerda, o quinto também pode trocar de posição com os três à esquerda, o nono canguru pode trocar de posição com os seis cangurus à sua esquerda e o décimo canguru pode trocar de posição com os mesmos seis cangurus à sua esquerda. Portanto, o número máximo de trocas possíveis é 3 + 3 + 6 + 6 = 18.

Questão 23 Diana escolheu os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 e vai somar 2 a alguns deles e 5 aos restantes de modo a obter o menor número de somas diferentes. Quantas somas diferentes ela irá obter? (a) 5

(B) 6

(C) 7

(D) 8

(E) 9

23. Alternativa B Considere os seis números 1, 2, 3, 7, 8 e 9. Somando 2 ou 5 a cada um deles, obtemos seis números distintos. Logo existem pelo menos seis somas diferentes. Podemos de fato obter somente seis somas, fazendo: 1 + 5 = 4 + 2 = 6, 2 + 5 = 5 + 2 = 7, 3 + 5 = 6 + 2 = 8.

8

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Questão 24 Os ônibus de uma certa linha partem do aeroporto com destino ao centro da cidade a cada três minutos. Um carro parte desse aeroporto no mesmo instante em que sai um ônibus e vai pelo mesmo caminho até o mesmo destino. Cada ônibus leva 60 minutos para fazer o percurso, mas o carro o faz em 35 minutos. Com exceção do ônibus que saiu junto, quantos ônibus dessa linha o carro ultrapassa até chegar ao destino?

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(a) 8

(B) 9

(C) 10

(D) 11

(E) 13

24. Alternativa A A cada três minutos chega um ônibus no destino final. Quando o ônibus que saiu com o carro chegar ao seu destino, o carro que saiu com ele terá passado por esse ponto 60 – 35 = 25 minutos antes, tempo suficiente para que tenham chegado a esse mesmo ponto oito ônibus (já que 8 x 3 min = 24 min). Logo, o carro irá ultrapassar 8 ônibus.

Questão 25 Uma toalha de mesa quadrada apresenta um padrão geométrico, conforme a figura ao lado. Qual porcentagem da superfície da toalha é preta? (a) 16%

(B) 24%

(C) 25%

(D) 32%

(E) 36%

25. Alternativa D Podemos encaixar a figura num quadriculado 5  5, conforme a ilustração. As casas do quadriculado são brancas ou brancas e pretas, das quais a metade da área é preta, conforme ilustrado à esquerda. Temos 25 casas, das quais 16 têm metade da área na cor preta ou, equivalentemente, a área preta da toalha corresponde a 8 casas do quadriculado. Assim, a porcentagem da toalha que é da cor 8 = 0,32 = 32%. preta é 25

Questão 26 Cada termo da sequência 2, 3, 6, 8, 8,... é um algarismo obtido da seguinte forma: a partir do terceiro termo, é o último algarismo do produto dos termos precedentes. Qual é o 2017 o termo dessa sequência? (a) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 6

(E) 8

26. Alternativa A Desenvolvendo um pouco mais a sequência, obtemos 2, 3, 6, 8, 8, 4, 2, 8, 6, 8, 8, 4,... . Vemos que o bloco 6,8,8,4,2,8 repete-se regularmente a partir do terceiro termo. Desconsiderando os dois primeiros termos que são atípicos, temos uma sequência de blocos de seis algarismos que se repetem. Encontrar o 2 017o termo da sequência original é o mesmo que encontrar o 2015o termo da segunda sequência. Como 2 015 dividido por seis dá quociente 335 e resto cinco, basta descobrir qual é o quinto termo do bloco que se repete, ou seja, o número 2.

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Questão 27 Miguel tem 125 cubinhos iguais. Ele colou alguns deles formando um cubo maior com nove túneis através de todo o cubo, conforme mostrado na figura. Quantos dos cubinhos que ele tinha não foram usados?

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(a) 36

(B) 39

(C) 42

(D) 45

(E) 52

27. Alternativa B Cada túnel tem o comprimento de uma coluna de cinco cubinhos, mas esses túneis se encontram e o cubinho vazio na intersecção de três túneis é contado três vezes. Assim, o número de cubinhos vazios na direção de frente para o fundo do cubo maior é o de três túneis de cinco cubinhos, mas na direção esquerda para direita e topo para o piso o número de cubinhos vazios é quatro para cada túnel. Portanto, o número total de cubinhos que não foram usados por causa dos túneis é 3  5 + 2  3  4 = 15 + 24 = 39.

Questão 28 Dois atletas correm em direções opostas numa pista circular de 720 metros de comprimento. O primeiro leva quatro minutos para dar uma volta completa na pista, enquanto o segundo leva cinco minutos para isso. Quantos metros o segundo atleta corre entre dois encontros consecutivos com o primeiro atleta? (a) 320

(B) 330

(C) 340

(D) 350

(E) 355

28. Alternativa A 720 metros em um 4 minuto. O segundo atleta leva cinco minutos para correr os mesmos 720 metros, logo, corre

O primeiro atleta leva quatro minutos para correr 720 metros, logo, corre

720 metros por minuto. Se x é o tempo que eles levam entre dois encontros consecutivos, 5 então x é o tempo em que a soma das distâncias percorridas pelos dois atletas é igual a uma 720 volta. Para o primeiro atleta, essa distância é x e para o segundo atleta, a distância é 4 720 720 720 1 1 20 x. Assim, x+ x = 720 ⇔ x + x = 1 ⇔ x = x. Então, entre dois encon5 4 5 4 5 9 720 720 20 tros consecutivos, o segundo atleta corre x=  = 320 metros. 5 5 9

10

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Questão 29 Joana quer escrever um número natural em cada retângulo do diagrama ao lado de modo que cada número escrito seja igual à soma dos dois números que aparecem nos retângulos logo abaixo do retângulo em que foi escrito o número. Qual é a maior quantidade de números ímpares que Joana pode escrever?

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(a) 5

(B) 7

(C) 8

(D) 10

(E) 11

29. Alternativa D Na figura ao lado, vemos como obter dez números ímpares e cinco números pares no diagrama. Vamos mostrar como esse é o menor número de pares e, portanto, o maior número de ímpares que Joana pode escrever. Dados três números em que um deles é a soma dos outros dois, pelo menos um é par, já que a soma de dois números ímpares é par. Nas três regiões destacadas em cores acima da linha da base na figura, há pelo menos três números pares, um para cada região. Supondo que três seja o menor número de pares, a linha da base deve conter somente ímpares, mas isso implica que todos os demais números são pares, ou seja, há 10 números pares, contrariando nossa hipótese. Admitindo que haja somente um número par na linha da base, temos três situações:

Na primeira, vemos que já existem 6 números pares antes de terminarmos o preenchimento. Na segunda, vemos que há exatamente 6 números pares. Na terceira, vemos que há 5 números pares. Logo, o maior número possível de ímpares que podem ser escritos no diagrama é 10.

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Questão 30 O paralelogramo ABCD tem área S. Seja M um ponto do lado CD, E a intersecção dos segmentos AM e BD e F a intersecção dos segmentos BM e AC. A soma das áreas dos triângulos AED 1 e BFC é S. Se O é o ponto de intersecção das diagonais, qual 3 é a área do quadrilátero EOFM, em termos de S?

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(a)

1 S 6

(B)

1 S 8

(C)

1 S 10

(D)

1 S 12

(E)

1 S 14

30. Alternativa D Sejam Q a área do quadrilátero EOFM, X e Y, respectivamente as áreas dos triângulos AED e BCF, U e V respectivamente as áreas dos triângulos AOE e BFO e, ainda, T a área do triângulo ABO, conforme figura. Sabemos que a área do paralelogramo é S e que as diagonais do mesmo o dividem em quaS S (*) e também T = . O triângulo 4 4 S ABM tem base AB e mesma altura do quadrilátero, logo, sua área é . Assim, Q + T + U + 2 S S S S V = . Somando as duas igualdades em (*) temos X + U + Y + V = + ⇔ U + V + X + Y = 2 4 4 2 S . Pelo enunciado temos X + Y = , logo: 3 tro triângulos de mesma área, ou seja, X + U = Y + V =

S S S S S + U + V = ⇔ U + V = – = . Portanto, 3 2 2 3 6 Q+

12

S S S ⇔ S S S 6S – 3S – 2S ⇔ S + = Q= – – = Q= . 4 6 2 2 4 6 12 12

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Canguru de Matemática Brasil – 2016 – Nível C Problemas de 3 pontos 1. Quantos números inteiros há entre os números 20,16 e 3,17? (A) 15

(B) 16

(C) 17

(D) 18

(E) 19

2. Qual dos sinais de tráfego a seguir tem o maior número de eixos de simetria?

(A)

(C)

(B)

(E)

(D)

3. Qual é a soma das medidas dos ângulos marcados no triângulo retângulo ao lado? (A) 150O

(B) 180 O

(C) 270 O

(D) 320 O

(E) 360 O

4. Jeane deveria somar 26 a um determinado número porém, em vez disso, ela subtraiu 26 e obteve 14 . Qual era o número que ela deveria ter obtido? (A) 28

(B) 32

(C) 36

(D) 38

(E) 42

5. Joana vira um cartão ao redor de seu lado inferior e, em seguida, vira o cartão ao redor de seu lado direito, conforme a figura. Como o cartão irá aparecer na posição indicada com o ponto de interrogação?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

6. Carlos junta 555 montes de 9 pedras cada um em um único monte. Em seguida, ele divide esse monte em vários grupos de 5 pedras cada um. Quantos grupos ele obteve? (A) 45

(B) 111

(C) 555

(D) 900

(E) 999

7. Na minha escola, 60% dos professores usam bicicleta e 12% usam carro para vir trabalhar. Se exatamente 45 professores vêm de bicicleta, quantos professores vêm de carro para a escola? (A) 4

(B) 6

(C) 9

(D) 10

(E) 12

8. Qual é a área da região cinza na figura ao lado? (A) 50

(B) 80

(B) 100

Canguru de Matemática Brasil 2016 – Nível C

(D) 120

(E) 150

Página 1

9. Dois pedaços de corda têm um metro e dois metros respectivamente. Alexandre corta os dois pedaços em partes menores, todas de mesmo comprimento. Qual dos números a seguir não pode ser o número total de partes obtidas por Alexandre? (A) 6

(B) 8

(C) 9

(D) 12

(E) 15

10. Quatro cidades P, Q, R e S comunicam-se por meio de estradas conforme mostrado no diagrama. Será organizada uma corrida que irá passar por cada uma das estradas exatamente uma vez, partindo da cidade S e terminando na cidade Q. Quantos caminhos possíveis há para essa corrida? (A) 2

(B) 4

(C) 6

(D) 8

(E) 10

Problemas de 4 pontos 11. Um quadrado é formado por quatro retângulos iguais e um buraco no centro, como na figura. Cada um dos retângulos tem um perímetro de 16 cm. Qual é o perímetro do quadrado? (A) 16 cm

(B) 20 cm

(C) 24 cm

(D) 28 cm

(E) 32 cm

12. Paula tem numa caixa 49 bolinhas azuis e uma vermelha. Quantas bolinhas Paula deve tirar para que 90% das bolinhas restantes na caixa sejam azuis? (A) 4

(B) 10

(C) 29

13. Qual das frações a seguir tem o seu valor mais próximo de (A)

29 57

(B)

27 59

(C)

25 79

(D) 39

(E) 40

1 ? 2

(D)

52 79

(E)

57 92

14. Ivo anota os resultados das quartas de final, semifinal e final de um torneio de tênis. Esses resultados são os seguintes, não necessariamente nessa ordem: Beto vence Antônio, Carlos vence Damião, Gregório vence Henrique, Gregório vence Carlos, Carlos vence Beto, Eduardo vence Frederico e Gregório vence Eduardo. Quais foram os dois finalistas? (A) Gregório e Henrique (D) Eduardo e Gregório

(B) Carlos e Gregório (E) Carlos e Damião

(C) Beto e Carlos

15. Ana colou alguns cubos, obtendo a peça ao lado. Movimentando a peça com rotações e deslocamentos, ela pode ver a peça em diferentes posições. Qual das figuras a seguir não é uma possível vista dessa peça?

(A)

(B)

(C)

Canguru de Matemática Brasil 2016 – Nível C

(D)

(E) Página 2

16. Ada, Eda e Ida são trigêmeas. Elas têm outros dois irmãos gêmeos que são três anos mais novos. Qual dos números a seguir pode ser a soma das idades desses cinco irmãos? (A) 36

(B) 53

(C) 76

(D) 89

(E) 92

(D) 57 cm

(E) 81 cm

17. Uma tira retangular de papel de 3 cm de largura é branca de um lado e cinza do outro. Maria dobra várias vezes a tira, como na figura. Todos os trapézios cinzentos são iguais. Qual é o comprimento da tira?

(A) 36 cm

(B) 48 cm

(C) 54 cm

18. Dois cangurus começam a saltar de um mesmo ponto, no mesmo instante e na mesma direção. Ambos pulam uma vez a cada segundo. Um deles dá sempre um salto de seis metros, enquanto que o outro começa com um salto de um metro, em seguida um de dois metros, depois um de três metros e assim por diante. Depois de quantos saltos o segundo canguru vai alcançar o primeiro canguru? (A) 10

(B) 11

(C) 12

(D) 13

(E) 14

19. Sete dados comuns são colados para formar o bloco ao lado. As faces em contato têm o mesmo número de pontos. Quantos pontos são visíveis na superfície do bloco? (A) 24

(B) 90

(C) 95

(D) 105

(E) 126

20. Há 20 estudantes numa classe. Eles sentam-se em pares, de modo que exatamente um terço dos meninos senta-se ao lado de uma menina e exatamente metade das meninas senta-se ao lado de um menino. Quantos meninos há na classe? (A) 9

(B) 12

(C) 15

(D) 16

(E) 18

Problemas de 5 pontos 21. Na figura, o quadrado tem área 36 e a soma das áreas das regiões cinzentas é igual a 27. As letras p, q, r, s indicam as medidas dos segmentos sobre os lados do quadrado. Qual é o valor de p  q  r  s ? (A) 4

(B) 6

(C) 8

(D) 9

(E) 10

22. O relógio de Teobaldo está atrasado 10 minutos, mas ele pensa que o relógio está adiantado 5 minutos. O relógio de Leonardo está adiantado 5 minutos, mas Leonardo pensa que está atrasado 10 minutos. No mesmo instante em que olham seus relógios, Teobaldo acha que são 12 horas. Que horas Leonardo acha que são? (A) 11 h 30 min

(B) 11 h 45 min

(C) 12 h

(D) 12h 30 min

(E) 12h 45 min

23. Doze garotas se encontraram em um café. Elas comeram, em média, 1,5 bolinhos cada uma. Nenhuma delas comeu mais do que dois bolinhos e duas delas tomaram apenas refrigerante. Quantas garotas comeram dois bolinhos cada uma? (A) 2

(B) 5

(C) 6

Canguru de Matemática Brasil 2016 – Nível C

(D) 7

(E) 8 Página 3

24. Chapeuzinho Vermelho está distribuindo docinhos para três vovozinhas. Ela começa com a cesta cheia, mas antes de entrar na casa de cada avó, o Lobo Mau come metade dos docinhos que estão na cesta. Ela dá a mesma quantidade de docinhos para cada avó e, ao deixar a casa da última delas, sua cesta está vazia. Qual dos números a seguir é com certeza um divisor do número de docinhos que havia na cesta cheia? (A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 7

(E) 9

25. O cubo mágico ao lado é composto de 64 pequenos cubos. Exatamente um dos cubos é cinzento. Um dia, o cubo cinzento transformou todos os cubos vizinhos (aqueles que têm uma face em contato) em cubos cinzentos. No dia seguinte, todos os cubos cinzentos fizeram o mesmo com seus vizinhos. Ao final desse dia, quantos cubos cinzentos havia? (A) 11

(B) 13

(C) 15

(D) 16

(E) 17

26. Vários números inteiros positivos diferentes foram escritos no quadro-negro. O produto dos dois menores deles é 16 e o produto dos dois maiores é 225. Qual é a soma de todos esses números? (A) 38

(B) 42

(C) 44

(D) 58

(E) 243

27. No pentágono ao lado são dadas as medidas de seus lados. São desenhadas circunferências com centros nos vértices A, B, C, D e E de modo que todo par de circunferências com centros no mesmo lado sejam tangentes. Qual dos pontos é o centro da circunferência com o maior raio? (A) A

(B) B

(C) C

(D) D

(E) E

28. Cátia quer escrever um número inteiro positivo diferente em cada um dos 14 cubos da pirâmide ao lado, de modo que a soma dos números escritos nos 9 cubos da camada inferior seja 50 e que os números escritos em cada um dos demais cubos seja a soma dos quatro cubos em que se apoiam. Qual é o maior número que Cátia pode escrever no cubo de cima? (A) 80

(B) 98

(C) 104

(D) 110

(E) 118

29. Um trem tem cinco vagões, com pelo menos um passageiro cada. Dois passageiros são vizinhos se estão no mesmo vagão ou em vagões consecutivos. Cada passageiro tem exatamente cinco ou exatamente dez vizinhos. Quantos passageiros há no trem? (A) 13

(B) 15

(C) 17

(D) 20

(E) 25

(D)

(E)

30. Um cubo 3  3  3 foi construído com 15 cubinhos pretos e 12 cubinhos brancos. Na figura podem ser vistas cinco faces do cubo maior. Qual é a sexta face desse cubo?

(A)

(B)

(C)

Canguru de Matemática Brasil 2016 – Nível C

Página 4

Canguru de Matemática Brasil – 2015 – Nível C Problemas de 3 pontos 1. Quando Gabriel esteve na Austrália, comprou um guarda-chuva que, aberto, mostrava a palavra canguru, em inglês, conforme figura ao lado. Qual das figuras abaixo mostra o mesmo guarda-chuva?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

2. O retângulo maior ao lado é formado por quatro retângulos menores iguais. Se o seu lado menor mede 10 cm, qual é a medida do seu lado maior? (A) 10 cm

(B) 20 cm

(C) 30 cm

(D) 40 cm

(E) 50 cm

3. Qual dos números a seguir é o mais próximo de 2,015 510,2 ? (A) 0,1 (B) 1 (C) 10 (D) 100

(E) 1000

4. Suzana desenha a planificação de um cubo e numera suas faces conforme mostrado na figura. Em seguida, ela soma os números das faces opostas, obtendo três números. Quais são eles? (A) 4,6,11

(B) 4,5,12

(C) 5,6,10

(D) 5,7,9

(E) 5,8,8

5. Qual dos números a seguir não é um número inteiro?

(A)

2011 1

(B)

2012 2

(C)

2013 3

(D)

2014 4

(E)

2015 5

6. Uma viagem de Piracanjuba para Piapara passando por Piracema dura 130 minutos. A viagem de Piapara para Piracema dura 35 minutos. Quanto dura a viagem de Piracema para Piracanjuba? (A) 55min

(B) 1h 5min

(C) 1h 35min

(D) 1h 45min

(E) 1h 55min

7. A figura ao lado é a planificação de um prisma de base triangular. Quando dobramos a folha para montar o prisma, o segmento UV irá coincidir com outro segmento da planificação. Qual é esse segmento? (A) WV

(B) XY

(C) XW

(D) QR

(E) RS

8. Os lados de um triângulo medem 6 cm, 10 cm e 11 cm. Um triângulo equilátero tem o mesmo perímetro que esse triângulo. Qual é a medida do lado do triângulo equilátero? (A) 6 cm KSF 2015 Nível C

(B) 9 cm

(C) 10 cm

(D) 11 cm

(E) 18 cm Página 1

9. Quando o sagui Simão desce para o chão, ele não passa de cinco metros de distância do tronco da sua árvore. Além disso, ele sempre fica pelo menos a cinco metros de distância da casinha do cachorro. Qual das figuras abaixo mostra, hachurada, a parte do solo em que ele pode andar?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

10. Um ciclista anda cinco metros por segundo. As rodas de sua bicicleta têm comprimento de 125 centímetros. Quantas voltas completas cada roda dá em cinco segundos? (A) 4

(B) 5

(C) 10

(D) 20

(E) 25

Problemas de 4 pontos 11. Numa classe do nono ano não há dois garotos que nasceram no mesmo dia da semana, nem duas garotas que nasceram no mesmo mês. Entretanto, se algum aluno novo for aceito na sala, uma dessas duas condições não será mais verdadeira. Quantos alunos há na sala? (A) 18

(B) 19

(C) 20

(D) 24

(E) 25

12. Na figura, o centro do quadrado de cima está alinhado com o lado comum dos dois quadrados de baixo. Os quadrados têm lados de medida 1. Qual é a área da região cinza?

(A)

3 4

(B)

7 8

(C) 1

(D) 1

1 4

(E) 1

1 2

13. Na igualdade 2*0*1*5*2*0*1*5*2*0*1*5  0 todos os asteriscos devem ser substituídos pelos sinais  ou  de forma que a igualdade esteja correta. Qual é a menor quantidade possível de asteriscos que devem ser substituídos pelo sinal  ?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

14. Durante uma chuva forte, caíram 15 litros de água por metro quadrado. De quanto subiu o nível de água de uma piscina que recebeu esta chuva? (A) 0.15 cm (B) 1,5 cm (C) 15 cm (D) 150 cm (E) depende do tamanho da piscina 15. Um arbusto tem 10 galhos. Cada galho tem cinco folhas ou duas folhas e uma flor. Qual dos números abaixo pode ser a quantidade total de folhas do arbusto?

(A) 31 KSF 2015 Nível C

(B) 37

(C) 39

(D) 45

(E) 47 Página 2

16. A média aritmética das notas de Matemática dos alunos do nono ano foi 6. O número de alunos aprovados corresponde a 60% dos alunos que fizeram a prova e a média aritmética das notas desses alunos foi 8. Qual foi a média dos alunos que foram reprovados nessa prova? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

17. Um canto de uma folha quadrada foi dobrado até o centro da folha, obtendo-se um pentágono, conforme a figura. As áreas do pentágono e da folha são números inteiros consecutivos. Qual é a área da folha? (A) 2

(B) 4

(C) 8

(D) 16

(E) 32

18. Raquel somou as medidas de três lados de um retângulo e obteve 44 cm. Renata somou as medidas de três lados do mesmo retângulo e achou 40 cm. Qual é o perímetro desse retângulo? (A) 42 cm

(B) 56 cm

(C) 64 cm

(D) 84 cm

19. Cada um dos treze segmentos da figura pode ser pintado de azul, verde ou vermelho, desde que cada triângulo tenha seus lados com três cores diferentes. Alguns segmentos já foram pintados, conforme a figura. Qual cor pode ser usada para pintar o segmento indicado com x? (A) somente azul (B) somente verde (D) azul ou vermelho (E) nenhuma delas

(E) 112 cm

(C) somente vermelho

20. A professora Íris perguntou a cinco de seus alunos quais deles haviam estudado no dia anterior. Respostas de Ana, Beatriz, Carlos, Dina e Ernesto, respectivamente: “Ninguém”, “Só um”, “Exatamente dois”, “Exatamente três” e “Exatamente quatro”. Íris sabia que os que não estudaram não estavam dizendo a verdade, mas os que tinham estudado estavam dizendo a verdade. Quantos desses cinco alunos estudaram? (A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

Problemas de 5 pontos 21. Lia deseja escrever um número em cada uma das sete regiões no diagrama ao lado, de modo que o número numa região qualquer deve ser igual à soma dos números escritos nas regiões vizinhas (regiões com linhas limites comuns). Ela já colocou alguns números, conforme a figura. Qual número deve ser escrito na região indicada pelo ponto de interrogação? (A) 4 (B) 2 (C) 0 (D) 1 (E) 6 22. Cinco números inteiros positivos, não necessariamente distintos, foram escritos em cinco cartões, um em cada cartão. Pedro calculou todas as possíveis somas dos números escritos em cada par de cartões, obtendo somente três resultados diferentes: 57, 70 e 83. Qual foi o maior número escrito nos cartões? (A) 35

KSF 2015 Nível C

(B) 42

(C) 48

(D) 53

(E) 82

Página 3

23. Um quadrado de área 30 cm2 é dividido pela metade por uma diagonal e cada uma dessas metades é dividida em triângulos, conforme figura. As áreas de alguns desses triângulos aí estão indicadas. A diagonal está dividida em cinco segmentos de comprimentos a, b, c, d, e. Qual dessas medidas é a maior? (A) a

(B) b

(C) c

(D) d

(E) e

24. Num bando de cangurus, os dois mais leves pesam 25% da soma dos pesos de todos os cangurus do grupo. Os três cangurus mais gordos pesam 60% daquele mesmo total. Quantos cangurus há no grupo? (A) 6

(B) 7

(C) 8

(D) 15

(E) 20

25. Ciro tem sete varetas de arame com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 centímetros de comprimento, respectivamente. Dobrando e soldando as pontas de algumas dessas peças, sem sobreposição de arestas, Ciro constrói um cubo de arame, representado ao lado. Pelo menos quantas varetas ele será obrigado a usar? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

ˆ mede 120O e RS  SP  1 PQ. Qual é a me26. No trapézio PQRS, os lados PQ e SR são paralelos. O ângulo RSP 3 ˆ ? dida do ângulo PQR (A) 15O

(B) 22,5O

(C) 25O

(D) 30O

(E) 45O

27. Alexandre marcou cinco pontos distintos numa reta e mediu as distâncias entre todos os pares possíveis de pontos, obtendo os seguintes números, em ordem crescente: 2, 5, 6, 8, 9, k, 15, 17, 20 e 22. Qual é o valor de k? (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14 28. Eliana anotou o número de telefone de sua amiga, mas em vez de anotar sete algarismos, anotou somente seis. Sobre o algarismo esquecido, ela não tem a menor ideia de qual é nem de sua posição no número. Qual é o maior número possível de chamadas que ela poderá dar, até poder falar com sua amiga no telefone? (A) 55 (B) 60 (C) 64 (D) 70 (E) 80 29. Maria divide 2015 sucessivamente por todos os inteiros de 1 a 1000 e anota os restos dessas divisões. Qual é o maior desses restos? (A) 15

(B) 215

(C) 671

(D) 999

(E) 1007

30. Todo número inteiro positivo pode ser pintado de acordo com as três regras a seguir: (i) cada número só pode ter uma das duas cores: azul ou vermelho. (ii) a soma de dois números vermelhos distintos é um número vermelho. (iii) a soma de dois números azuis distintos é um número azul. De quantas maneiras diferentes os números podem ser pintados? (A) nenhuma

KSF 2015 Nível C

(B) 2

(C) 4

(D) 6

(E) 8

Página 4

Canguru Brasil 2014 – Nível C 3 pontos 1. Quantos quadriláteros podem ser vistos na figura ao lado? (A) Nenhum

(B) 1

(C) 2

(D) 4

(E) 5

2. Qual é o valor da expressão 2014  2014  2014  2014 ? (A) 0

(B) 1

(C) 2013

(D) 2014

(E) 4028

3. No retângulo ABCD de área 10 cm2, os pontos M e N são os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Qual é a área do quadrilátero MBND? (A) 0,5 cm2

(B) 2,5 cm2

(C) 5 cm2

(D) 7,5 cm2

(E) 10 cm2

4. O produto de dois números é 36 e sua soma é 37. Qual é a diferença entre eles? (A) 1

(B) 4

(C) 10

(D) 26

(E) 35

5. A cada ano, o concurso Canguru é realizado na terceira quinta-feira do mês de março. Qual é a possível data mais tardia para o concurso? (A) 14 de março

(B) 15 de março

(C) 20 de março

(D) 21 de março

(E) 22 de março

6. Vera tem várias peças quadradas de papel, todas com área 4. Ela corta todas as peças em quadrados e triângulos retângulos, como mostrado na figura à direita. Em seguida, ela monta um “pássaro” com algumas dessas peças, conforme a figura ao lado. Qual é a área desta figura?

(A) 3

(B) 4

(C) 4,5

(D) 5,5

(E) 6

7. Uma lata estava com água pela metade. Joana despejou mais dois litros de água na lata, que passou a ter três quartos de sua capacidade contendo água. Qual é a capacidade da lata, em litros? (A) 2

(B) 4

(C) 6

(D) 8

(E) 10

8. Jorge montou uma peça composta de sete cubinhos de aresta 1, mostrada ao lado. Quantos cubinhos mais ele terá que adicionar, de modo a obter um cubo de aresta 3?

(A) 12

(B) 14

(C) 16

(D) 18

(E) 20

9. Qual das seguintes multiplicações fornece o maior produto? (A) 44  777

(B) 55  666

Canguru 2014 – Nível C

(C) 77  444

(D) 88  333

(E) 99  222 Página 1

10. O colar abaixo tem contas brancas e contas escuras. Ana quer separar somente cinco dessas contas escuras do colar, puxando-as pelas extremidades do fio. Qual é o maior número de contas brancas que ela poderá tirar também?

(A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 7

(E) 8

4 pontos 11. José tem aula de piano duas vezes por semana e Ana tem aula de piano a cada duas semanas, num curso de iniciação. Neste curso, José teve 15 aulas a mais do que Ana. Quantas semanas o curso de iniciação durou? (A) 10

(B) 15

(C) 20

(D) 25

(E) 30

12. Na figura ao lado, cada círculo tem área de 1 cm2. A área 1 comum a cada dois círculos que se sobrepõem é de cm2. 8 Qual é a área da região coberta pela figura? (A) 4 cm2

(B)

9 cm2 2

(C)

35 cm2 8

(D)

39 cm2 8

(E)

19 cm2 4

13. Neste ano, a soma das idades de uma vovó, sua filha e sua neta é igual a 100. A idade de cada uma delas é uma potência de dois. Quantos anos tem a neta? (A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 8

(E) 16

14. Cinco retângulos iguais são colocados dentro de um quadrado de lado 24 cm, conforme ilustrado no desenho. Qual é a área de cada um desses cinco retângulos?

(A) 32 cm2

(B) 24 cm2

(C) 18 cm2

(D) 16 cm2

(E) 12 cm2

15. O coração e a flecha encontram-se inicialmente na situação indicada na figura ao lado. Eles começam a movimentar-se ao mesmo tempo: a flecha anda três posições no sentido horário e o coração anda quatro posições no sentido anti-horário e então param. Eles continuam a repetir essa mesma rotina muitas vezes. Depois de quantas rotinas o coração e a flecha se encontrarão pela primeira vez dentro de um mesmo triângulo? (A) nunca

(B) 7

(C) 8

(D) 9

(E) 10

16. No triângulo ABC da figura, BH é altura relativa ao lado AC e AD é bissetriz do ângulo de vértice A. A medida do ângulo maior entre a altura e a bissetriz é quatro vezes a medida do ângulo DÂB, conforme indicado. Qual é a medida do ângulo CÂB?

(A) 30O

(B) 45O

Canguru 2014 – Nível C

(C) 60O

(D) 75O

(E) 90O Página 2

17. Seis amigos dividem um apartamento com dois banheiros, que eles usam todas as manhãs a partir das 7 horas. Cada banheiro é usado apenas por um rapaz de cada vez e os tempos que eles levam usando um banheiro são de 8, 10, 12, 17, 21 e 22 minutos, respectivamente. Se eles quiserem terminar de usar os banheiros o mais rapidamente possível, a que horas isto deve acontecer? (A) 7h 45min

(B) 7h 46min

(C) 7h 47min

(D) 7h 48min

(E) 7h 50min

18. Um retângulo tem lados de comprimento 6 cm e 11 cm. As bissetrizes dos ângulos com vértices nas extremidades de um dos lados maiores dividem o lado oposto em três segmentos. Quais são as respectivas medidas desses segmentos, em centímetros? (A) 5,1,5

(B) 2,7,2

(C) 3,5,3

(D) 4,3,4

(E) 1,9,1

19. O capitão Sparrow e sua turma desenterraram numa ilha um baú com muitas moedas de ouro, que eles dividiram igualmente entre si. Se houvesse quatro piratas menos, cada um ficaria com 10 moedas mais e se houvesse 50 moedas menos, cada um receberia 5 moedas menos. Quantas moedas havia no baú? (A) 80

(B) 100

(C) 120

(D) 150

(E) 250

20. A média aritmética de dois números é 30% menor que um dos números. De quantos por cento esta média é maior do que o outro número? (A) 20%

(B) 25%

(C) 30%

(D) 70%

(E) 75%

5 pontos 21. Nice escreveu os números de 1 a 9 nas casas de um tabuleiro 3  3 , sendo que quatro deles estão mostrados na figura. Dois números são vizinhos quando suas casas têm um lado comum. Nice notou que, para o número 9, a soma dos números vizinhos é 15. Qual é a soma dos números vizinhos ao número 8? (A) 12

(B) 18

(C) 20

(D) 26

(E) 27

22. Uma balança antiga está defeituosa. Se quisermos pesar um objeto com menos de 1000 g, a balança funcionará perfeitamente. Caso contrário, a balança irá informar que seu peso é um número aleatório acima de 1000. Temos 5 objetos com massas respectivas A, B, C, D e E, menores do que 1000 g. Quando pesados em pares, a balança mostra os resultados: B  D  1200, C  E  2100, B  E  800, B  C  900 e A  E  700. Qual é a massa do objeto mais pesado? (A) A

(B) B

(C) C

(D) D

(E) E

23. Na figura, o quadrilátero ABCD tem ângulos retos apenas nos vértices A e D. Os números indicam a área do triângulo em que se encontram. Qual é a área do quadrilátero ABCD?

(A) 30

(B) 35

Canguru 2014 – Nível C

(C) 40

(D) 45

(E) 60 Página 3

24. Laís e Hélio fazem uma competição de resolução de problemas. Cada um deles tem a mesma lista de 100 problemas para resolver. Para um mesmo problema, o primeiro a resolver ganha 4 pontos e o segundo ganha 1 ponto. Laís resolveu 60 problemas e Hélio também resolveu 60 problemas. A pontuação dos dois juntos foi de 312 pontos. Quantos problemas iguais eles resolveram? (A) 53

(B) 54

(C) 55

(D) 56

(E) 57

25. Davi foi de bicicleta da escola para sua casa. Ele pretendia chegar às 15 horas, mas levou

2 do tem3

3 da mesma. Então ele diminuiu a velocidade, de 4 modo a chegar no horário previsto. Qual é a razão entre a velocidade na primeira parte do percurso e a velocidade na segunda parte, admitindo que elas foram constantes nessas duas partes?

po previsto para percorrer toda a distância andando

(A) 5:4

(B) 4:3

(C) 3:2

(D) 2:1

(E) 3:1

26. Júlia tem quatro cubos iguais, mostrados na figura ao lado. Com esses cubos, ela montou um bloco, visto de frente na figura à esquerda. Qual das figuras a seguir representa a vista da face oposta deste bloco?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

27. Numa nave espacial há alienígenas de três espécies: arcs, ercs e ircs. Cada arc sempre diz a verdade, cada erc sempre mente e cada irc alterna entre dizer a verdade e mentir. Ao chegar à Terra, 17 deles responderam sim à pergunta ''Você é um arc?'', 8 responderam sim à pergunta ''Você é um erc?'' e 12 responderam sim à pergunta''Você é um irc?''. Quantos arcs havia na nave? (A) 4

(B) 5

(C) 9

(D) 13

(E) 17

28. Dentre vários inteiros positivos e distintos, exatamente dois são divisíveis por 2 e exatamente 13 são divisíveis por 13. Sendo M o maior desses números, qual é o menor valor possível de M? (A) 169

(B) 260

(C) 273

(D) 299

(E) 325

29. Numa lagoa há 16 folhas de lírio aquático, dispostas como na figura. Um sapo está na folha indicada. Ele pula de uma folha para outra horizontalmente ou verticalmente apenas. Ele nunca pula para a folha vizinha e nunca volta para a mesma folha. Qual é maior número de folhas, incluindo a de partida, que o sapo pode alcançar? (A) 8

(B) 12

(C) 13

(D) 14

(E) 16

30. Um quadrado 5  5 é coberto com ladrilhos 1  1 iguais ao da figura, de forma que dois ladrilhos adjacentes têm a mesma cor ao longo do lado comum. O contorno do quadrado maior será formado por segmentos claros e escuros. Qual é o menor número possível de segmentos escuros nesse contorno? (A) 4

(B) 5

Canguru 2014 – Nível C

(C) 6

(D) 7

(E) 8 Página 4

Canguru Brasil 2013 – Nível C Problemas de 3 pontos 01. Na figura, o triângulo maior é equilátero e tem área igual a 9. Os três segmentos paralelos aos lados dividem os lados em três partes iguais. Qual é a área da parte cinza? (A) 1

(B) 4

02. Sabe-se que

(C) 5

(D) 6

(E) 7

3 333 6 666 1111 ?  11 . Qual é o valor de  101 101 303

(A) 5

(B) 9

(C) 11

(D) 55

(E) 99

03. A razão entre as massas de sal e água doce da água do mar em Fernando de Noronha é de 7:193. Quantos quilogramas de sal podem ser retirados de 1 000 kg da água do mar nessa região? (A) 35

(B) 186

(C) 193

(D) 200

(E) 350

04. Ana tem uma folha de papel quadrada dividida em quadradinhos iguais, conforme figura. Cortando ao longo das linhas do quadriculado, ela obteve a maior quantidade possível de peças iguais à peça cinza representada na figura. Qual é o número de quadradinhos que sobraram na folha original? (A) 0

(B) 2

(C) 4

(D) 6

(E) 8

05. Can está com muita vontade de falar para Guru um número cujo produto dos algarismos é 24. Guru pede então que este número seja o menor possível. Qual é a soma dos algarismos deste número? (A) 6

(B) 8

(C) 9

(D) 10

(E) 11

06. Uma sacola contém duas bolas vermelhas, três azuis, dez brancas, quatro verdes e três pretas. Bruna quer tirar as bolas da sacola sem olhar, pegando uma de cada vez sem colocá-la de volta na sacola. Pelo menos quantas bolas Bruna deve retirar para ter certeza de que entre as bolas retiradas haja duas de mesma cor? (A) 2

(B) 5

(C) 6

(D) 10

(E) 12

07. Alexandre acende uma vela a cada dez minutos. Cada vela acesa dura exatamente 40 minutos. Quantas velas estão acesas 55 minutos depois que Alexandre acendeu a primeira vela? (A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) 6

08. Qual dos números a seguir não pode ser o número médio de crianças de cinco famílias? (A) 0,2

(B) 1,6

(C) 2,2

(D) 2,4

(E) 2,5

09. Para os inteiros positivos x, y e z valem as igualdades x y  14 , y  z  10 e z  x  35 . Qual é o valor de xyz ? (A) 10

(B) 12

Canguru 2013 C

(C) 14

(D) 16

(E) 18 Página 1

10. Marcos e Luísa estão em pontos diametralmente opostos de uma pista circular, quando começam a correr 9 no mesmo sentido. As velocidades com que correm são constantes, sendo a de Marcos igual a da velocida8 de de Luísa. Quantas voltas inteiras completou Luísa no momento em que Marcos a alcançou pela primeira vez? (A) 2

(B) 4

(C) 8

(D) 36

(E) 72

Problemas de 4 pontos 11. Carina e uma amiga estão brincando de batalha naval num tabuleiro 5 5 . Carina já colocou dois navios, conforme indicado na figura. Ela ainda quer colocar um navio 3 X 1 de modo a cobrir exatamente três casas do tabuleiro. Sabendo que dois navios não podem ter nenhum ponto em comum, quantas posições estão disponíveis para Carina colocar seu navio? (A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 7

(E) 8

12. Vários ângulos são formados por quatro retas, conforme indicado na figura. Sabe-se que   55O ,   40O e   35O . Qual é o valor de  ? (A) 100O

(B) 105O

(C) 120O

(D) 125O

(E) 130O

13. As medidas dos lados de um trapézio são números inteiros e seu perímetro é 5. Quais são as medidas dos menores ângulos deste trapézio? (A) 30O e 30O

(B) 60O e 60O

(C) 45O e 45O

(D) 30O e 60O

(E) 45O e 90O

14. Somente uma das figuras a seguir não é a planificação de um cubo. Qual é ela?

(A) Figura 1

(B) Figura 2

(C) Figura 3

(D) Figura 4

(E) Figura 5

15. Vera escreveu vários números inteiros consecutivos. Entre os números a seguir, qual não pode ser o percentual do total de números ímpares em relação ao total de números escritos? (A) 40%

(B) 45%

(C) 48%

(D) 50%

(E) 60%

16. Os lados de um retângulo ABCD são paralelos aos eixos coordenados. O retângulo está no quarto quadrante, como mostra a figura e as coordenadas dos vértices A, B, C e D são números inteiros. Para cada um desses pontos calculamos o quociente entre o valor da ordenada y e o valor da abscissa x. Para qual dos pontos encontraremos o menor valor?

(A) A

(B) B

Canguru 2013 C

(C) C

(D) D

(E) depende do retângulo

Página 2

17. Mariana listou no quadro-negro, em ordem decrescente de valor, todos os números inteiros positivos de quatro algarismos escritos com os mesmos algarismos do número 2013. Qual é a maior diferença possível entre dois números vizinhos na lista que Mariana fez? (A) 702

(B) 703

(C) 693

(D) 793

(E) 798

18. No quadriculado 6  8 ao lado, 24 casas não são cortadas por nenhuma das duas diagonais. Quantas casas não são cortadas por nenhuma das duas diagonais num quadriculado 6  10 ? (A) 28

(B) 29

(C) 30

(D) 31

(E) 32

19. Ada, Bia, Cris, Dina e Edna nasceram, não necessariamente nesta ordem, em 20/2/2001, 12/3/2000, 20/3/2001, 12/4/2000 e 23/4/2001. Ada e Edna nasceram no mesmo mês, assim como Bia e Cris. Ada e Cris nasceram no mesmo dia, porém em diferentes meses. O mesmo ocorre com Dina e Edna. Qual delas é a mais jovem? (A) Ana

(B) Bia

(C) Cris

(D) Dina

(E) Edna

20. Carlos fez uma montagem de várias torres com cubos. O esquema ao lado é uma representação da construção vista de cima, onde o número em cada célula representa a quantidade de cubos empilhados naquela célula. Se Carlos estiver atrás da construção e olhar para ela, que forma ele irá observar?

(A)

(D)

(C)

(B)

(E)

Problemas de 5 pontos 21. O quadriculado da figura ao lado é formado de quadrados de lado 2 cm. O quadrilátero cinzento ABCD têm seus vértices coincidindo com alguns vértices desses quadrados. Qual é a área do quadrilátero ABCD em cm2? (A) 76

(B) 84

(C) 88

(D) 96

(E) 104

22. Seja Q o número de quadrados entre os números de 1 a 20136. Seja C o número de cubos entre os mesmos inteiros. Qual das igualdades a seguir é verdadeira? (A) Q  C

(B) 2Q  3C

(C) 3Q  2C

(D) Q  2013C (E) 20Q  13C

23. José escolhe um número inteiro de cinco algarismos e apaga um desses algarismos, obtendo um número de quatro algarismos. A soma deste número com o número original é 52 713. Qual é a soma dos cinco algarismos do número original? (A) 17

(B) 19

Canguru 2013 C

(C) 20

(D) 23

(E) 26 Página 3

24. Um jardineiro deseja plantar 20 árvores, entre perobas e jacarandás, ao longo de uma rua de um parque. Ele quer fazê-lo de modo que entre duas perobas quaisquer não haja três árvores. Se o número de perobas entre as 20 árvores for o maior possível, quantos jacarandás serão plantados? (A) 8

(B) 10

(C) 12

(D) 14

(E) 16

25. André e Daniel foram correr numa maratona. Após a corrida, descobriram que André chegou à frente do dobro do número de corredores que chegaram à frente de Daniel. Daniel, por sua vez, chegou à frente de um número de corredores 1,5 maior do que o número de corredores que chegaram à frente de André, que chegou em 21º lugar. Quantos corredores participaram da maratona? (A) 31

(B) 41

(C) 51

(D) 61

(E) 81

26. Quatro carros entram numa rotatória ao mesmo tempo, vindos de direções diferentes, conforme mostrado na figura. Cada carro dá menos de uma volta inteira na rotatória; além disso, não há dois carros que saem da rotatória na mesma direção. De quantas maneiras diferentes os quatro carros podem sair da rotatória? (A) 9

(B) 12

(C) 15

(D) 24

(E) 81

27. Os cinco primeiros termos de uma sequência são 1, 1, 1,1, 1 . Depois do 5º termo, cada termo é igual ao produto dos dois termos antes dele. Por exemplo, o sexto termo é o produto do quarto e quinto termos. Qual é a soma dos primeiros 2013 termos? (A) 1006

(B) 671

(C) 0

(D) 671

(E) 1007

28. Rita assa seis tortas de maçã, uma após a outra, numerando-as de 1 a 6, na ordem em que são assadas. Enquanto ela faz isso, seus filhos de vez em quando correm até a cozinha e comem a torta mais quente. Qual das sequências a seguir não pode corresponder à ordem em que as tortas são comidas? (A) 123456

(B) 125436

(C) 325461

(D) 456231

(E) 654321

29. Cada um dos quatro vértices e seis arestas de um tetraedro é numerado com um dos dez números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 11 (o número 10 não é usado). Cada número é utilizado exatamente uma vez. A soma dos números atribuídos a dois vértices quaisquer é igual ao número da aresta que une esses dois vértices. Conforme se vê na figura, a aresta AB foi marcada com o número 9. Qual é o número com que foi marcada a aresta CD? (A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 8

(E) 11

30. Um número inteiro positivo N é menor do que a soma de seus três maiores divisores (entre estes, claro, não está o próprio número). Pode-se dizer então que, qualquer que seja N, ele é divisível por: (A) 3

(B) 4

Canguru 2013 C

(C) 5

(D) 6

(E) Não existe tal número

Página 4

KSF 2012 – Nível C (9o ano) Problemas de 3 pontos 1. Quatro barras de chocolate custam 6 reais a mais do que uma barra de chocolate. Quantos reais custa uma barra de chocolate? (A) 1

(B) 2

2. 11,11  1,111  (A) 9,009 (B) 9,0909

(C) 3

(D) 4

(E) 5

(C) 9,99

(D) 9,9909

(E) 9,999

3. Um relógio foi colocado sobre uma mesa de forma que seu ponteiro maior, o dos minutos, aponta para o nordeste. Quantos minutos deverão se passar até que esse ponteiro aponte para o noroeste pela primeira vez? (A) 45

(B) 40

(C) 30

(D) 20

(E) 15

4. Maria tem uma tesoura e cinco letras de papelão. Ela corta cada letra com um único corte reto, de modo a produzir a quantidade máxima de pedaços. Qual das letras vai produzir o maior número de pedaços?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

5. Um dragão tem cinco cabeças. Toda vez que uma cabeça é cortada, nascem cinco novas cabeças. Se cortarmos consecutivamente seis cabeças desse dragão, com quantas cabeças ele ficará? (A) 27

(B) 29

(C) 30

(D) 31

(E) 35

6. Em quatro das expressões abaixo podemos substituir cada ocorrência do número 8 por outro número positivo, usando sempre o mesmo número para cada substituição, obtendo o mesmo resultado final. Qual das expressões não tem essa propriedade? (A) 8   8: 8   8

(B) 8   8: 8   8

(C) 8:  8  8  8 

(D)  8  8  8  : 8

(E) 8   8: 8  : 8

7. Cada uma das nove trilhas de um parque tem 100 m de comprimento. Ana quer ir do ponto A ao ponto B desse parque, sem passar pela mesma trilha mais de uma vez. Qual é o comprimento do maior percurso que ela pode fazer? (A) 700 m

(B) 800 m

(C) 900 m

(D) 600 m

(E) 400 m

8. De quantas maneiras podemos escolher dois vértices, um em cada um dos dois triângulos congruentes ao lado, de forma que o segmento que liga esses dois vértices não cruze nenhum dos triângulos? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) mais de 4

9. Vera dobrou uma folha de papel, conforme mostrado na figura, e fez dois cortes retos na folha dobrada. Ao desdobrar o papel depois dos cortes, qual das formas a seguir não pode ser o resultado?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

KSF 2012 Cadet 1

10. Um paralelepípedo foi montado com três peças de cores diferentes, conforme o desenho. Cada uma das peças é formada por 4 cubos. A peça branca do paralelepípedo se parece com qual das peças a seguir?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Problemas de 4 pontos 11. Gregório quer usar uma vez cada um dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 para escrever dois números de quatro algarismos cada um. Ele deseja somar os dois números assim obtidos e achar a menor soma possível. Qual é essa soma? (A) 2468

(B) 3333

(C) 3825

(D) 4734

(E) 6912

12. Dona Alice cultiva peras e morangos. Neste ano ela transformou o pomar retangular de peras em um quadrado, ao aumentar um de seus lados em 3 metros. Em consequência, o terreno para os morangos foi reduzido de uma área de 15 m2. Qual era a área do pomar de peras antes da mudança? (A) 8 m2

(B) 10 m2

(C) 12 m2

(D) 15 m2

(E)18m2

13. Bárbara deseja completar a tabela ao lado escrevendo três números, um em cada casa vazia. Ela quer que a soma dos três primeiros números seja 100, a soma dos três do meio seja 200 e a soma dos três últimos números seja 300. Qual número Bárbara deverá escrever no centro da tabela? (A) 50

(B) 60

(C) 70

(D) 75

(E) 100

14. Os números 2, 5, 7 e 12 foram escritos em quatro cartões, um número em cada cartão. No verso desses cartões foram escritas as frases “divisível por 7”, “primo”, “ímpar” e “maior do que 100”. Sabe-se que o número escrito em cada cartão não corresponde à frase que está no verso do seu cartão. Qual número está escrito no cartão com a frase “maior do que 100”? (A) 2

(B) 5

(C) 7

(D) 12

(E) impossível saber

15. Na figura, qual é o valor de x? (A) 35°

(B) 42°

(C) 51°

(D) 65°

(E) 109°

KSF 2012 Cadet 2

16. Três triângulos equiláteros iguais foram cortados das pontas de um triângulo equilátero maior, cujos lados mede 6 cm, conforme figura ao lado. Esses três triângulos juntos têm o mesmo perímetro que o hexágono cinzento. Quanto medem os lados dos triângulos menores? (A) 1 cm

(B) 1,2 cm

(C) 1,25 cm

(D) 1,5 cm (E) 2 cm

17. Um queijo foi cortado em muitos pedaços. Dudu, o gato preguiçoso, viu vários ratinhos surrupiarem vários desses pedaços, cada ratinho com uma quantia diferente, menor do que 10 pedaços. Além disso, nenhum ratinho pegou o dobro de pedaços de algum outro ratinho. No máximo, quantos ratinhos o gato Dudu viu? (A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 7

(E) 8

18. Num aeroporto há uma esteira horizontal de 500 metros de comprimento, que se move com uma velocidade constante de 4 quilômetros por hora. Ana e Beto entram juntos na esteira. Ana anda com a velocidade constante de 6 quilômetros por hora, enquanto Beto fica parado. Ao sair da esteira, Ana estará quantos metros adiante de Beto? (A) 100 m

(B) 160 m

(C) 200 m

(D) 250 m

(E) 300 m

19. O lado de um quadrado mágico falante mede 8 cm. Quando o quadrado diz a verdade, seu lado diminui 2 cm, mas quando mente seu lado duplica. Se o quadrado enunciar quatro sentenças, duas verdadeiras e duas falsas, em alguma ordem , qual será o maior perímetro possível do quadrado mágico após sua fala? (A) 28

(B) 80

(C) 88

(D) 112

(E) 120

20. Um cubo rola no plano, girando ao redor de suas arestas. Suas faces de apoio passam pelas posições 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 (nessa ordem), conforme a figura ao lado. Quais das duas posições foram ocupadas pela mesma face do cubo? (A) 1 e 7

(B) 1 e 6

(C) 1 e 5

(D) 2 e 7

(E) 2 e 6

Problemas de 5 pontos 21. Tina tem 5 cubos. Quando ela os empilha, do maior para o menor, verifica que dois cubos vizinhos quaisquer têm alturas cuja diferença é de 2 cm. O cubo maior tem a mesma altura que uma torre formada pelos dois cubos menores. Qual será a altura da torre formada com os 5 cubos? (A) 6 cm

(B) 14 cm

(C) 22 cm

(D) 44 cm

(E) 50 cm

22. Calcule a razão entre a área da região cinza (triângulo MNC) e a área do quadrado ABCD, sabendo que M é o ponto médio de AD e MN é perpendicular a AC , na figura ao lado. 1 1 7 7 3 (A) (B) (C) (D) (E) 6 5 36 40 16

KSF 2012 Cadet 3

23. O tango é dançado em pares, um homem e uma mulher. Num salão de baile não há mais do que 50 pes3 4 soas e ao tocar um tango, dos homens dançam com das mulheres. Quantas pessoas estão dançando o 4 5 tango? (A) 20

(B) 24

(C) 30

(D) 32

(E) 46

24. Escrevemos os números de 1 a 12, um em cada círculo do diagrama ao lado, de modo que dois números em círculos vizinhos diferem de 2 ou de 3 unidades. Quais dos dois números a seguir serão necessariamente vizinhos? (A) 5 e 8

(B) 3 e 5

(C) 7 e 9

(D) 6 e 8

(E) 4 e 6

25. Há alguns números de 3 algarismos com a seguinte propriedade: se você remover o primeiro algarismo, sobra um quadrado perfeito e se, em vez disso, você remover o último algarismo, também sobra um quadrado perfeito. Qual é a soma de todos os números com esta propriedade? (A) 1013

(B) 1177

(C) 1465

(D) 1993

(E) 2016

26. Um livro contém 30 estórias, de tamanhos diferentes: 1, 2, 3, ..., 30 páginas. Cada estória começa numa nova página. A primeira estória começa na página 1. No máximo, quantas estórias podem começar numa página ímpar? (A) 15

(B) 18

(C) 20

(D) 21

(E) 23

27. Gira-se no plano um triângulo eqüilátero ao redor do seu centro: primeiramente de 3O, depois de 9O, em seguida de 27O, e assim sucessivamente, de forma que no n-ésimo passo o mesmo é girado de (3O)n. No mínimo quantas rotações o triângulo deverá dar para ocupar a mesma posição em que estava no início? (A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) 6

28. Dobra-se seguidamente uma corda pela metade 3 vezes. O feixe formado pela corda dobrada é então cortado de um só golpe, formando-se vários pedaços, um dos quais tem 9 m e o outro 4 m de comprimento. Qual dos números a seguir NÃO pode ser o comprimento inicial da corda? (A) 52 m

(B) 68 m

(C) 72 m

(D) 88 m

(E) todos são comprimentos possíveis

29. Um triângulo é dividido por três segmentos em quatro triângulos e três quadriláteros. A soma dos perímetros dos triângulos é igual a 20 cm e a soma dos perímetros dos quadriláteros é igual a 25 cm. O perímetro do triângulo original é igual a 19 cm. Qual é a soma das medidas dos três segmentos, em centímetros? (A) 11

(B) 12

(C) 13

(D) 15

(E) 16

30. Alguns números positivos são escritos num quadriculado 3  3 de forma que o produto dos números em todas as linhas e todas as colunas é o mesmo e igual a 1. E em qualquer quadriculado 2  2 nele contido, o produto dos quatro números é igual a 2. Qual é o número do quadrado central do quadriculado? 1 1 (A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) (E) 4 8

KSF 2012 Cadet 4

KSF 2011 – Nível C Problemas 3 pontos 1. Qual dos números a seguir tem o maior valor? (A) 20111

(C) 1 2011

(B) 12011

(D) 1 + 2011

(E) 1 ÷ 2011

2. Elisa tem 5 cubos e 3 tetraedros. Ela deseja colar exatamente um selo em cada face. Quantos selos serão necessários?

(A) 42

(B) 48

(C) 50

(D) 52

(E) 56

3. A travessia de pedestres de uma rua, perpendicular à mesma, consiste em uma série de faixas retangulares brancas de 50 cm de largura separadas por faixas retangulares escuras também de 50 cm. A travessia começa e termina com faixas brancas, num total de 8 faixas dessa cor. Qual é a largura da rua? (A) 7 m

(B) 7,5 m

(C) 8 m

(D) 8,5 m

(E) 9 m

4. Minha calculadora divide em vez de multiplicar e subtrai em vez de somar. Se eu digitar 12  3   4  2  , qual será o resultado mostrado por minha calculadora? (A) 2

(B) 6

(C) 12

(D) 28

(E) 38

5. Consultando meu relógio digital vejo que são 20:11. Pelo menos quantos minutos deverei esperar até que o relógio mostre outra hora com os mesmos dígitos 0, 1, 1 e 2 ? (A) 40

(B) 45

(C) 50

(D) 55

(E) 60

6. Na figura, os vértices do quadrado menor são os pontos médios dos lados do quadrado intermediário e os vértices deste quadrado são os pontos médios dos lados do quadrado maior. Se a área do menor quadrado é 6 cm2, qual é a diferença entre a área do quadrado maior e a área do quadrado intermediário, em cm2? (A) 6

(B) 9

(C) 12

(D) 15

(E) 18

7. Moro numa pequena rua com 17 casas, na última casa do lado par. Se o número da minha casa é 12 e meu primo mora na última casa do lado ímpar dessa rua, qual é o número da sua casa? (A) 5

(B) 7

(C) 13

(D) 17

(E) 21

8. Elisa é veterinária e tratou de 12 cães em 3 dias. O número de cães tratados aumentou a cada dia, porém no terceiro dia ela tratou de menos cães do que dois primeiros dias juntos. De quantos cães ela tratou no terceiro dia? (A) 5

Nível C 2011

(B) 6

(C) 7

(D) 8

(E) 9

Página 1

9. Dentre todos os números inteiros maiores do que 100 e menores do que 1000 cujos algarismos somam 8, escolhemos o maior e o menor. Qual é a soma desses dois números? (A) 707

(B) 907

(C) 916

(D) 1000

(E) 1001

10. O desenho mostra uma figura em forma de L composta por quatro quadrados iguais. Queremos juntar mais um quadrado igual, de modo a formar uma figura com um eixo de simetria. De quantas maneiras isso pode ser feito? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 5

(E) 6

Problemas 4 pontos 11. Em três jogos, o Barcelona marcou 3 gols e levou 1 gol. Nesses três jogos, o Barcelona venceu um, empatou um e perdeu um. Qual foi o resultado do jogo que o Barcelona venceu? (A) 2×0 12. Qual é o valor de (A) 0,01

(B) 3×0

(C) 1×0

(D) 2×1

(E) 0×1

2011· 2,011 ? 201,1· 20,11 (B) 0,1

(C) 1

(D) 10

(E) 100

13. Maria tem 9 pérolas que pesam 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, e 9g. Ela faz quatro anéis com duas pérolas cada um. Os pesos das pérolas desses quatro anéis são 17 g, 13 g, 7 g and 5 g. Qual é o peso da pérola que sobrou? (A) 1 g

(B) 2 g

(C) 3 g

(D) 4 g

(E) 5 g

14. O ratinho Pingolim está a caminho da Terra do Leite e do Mel. Antes de entrar nesse lugar, ele deve passar pelo sistema de túneis mostrado na figura. A cada junção de túneis, ele acha uma semente de abóbora, que ele guarda. Qual é o maior número de sementes de abóbora que ele pode recolher, se não é permitido passar mais de uma vez pela mesma junção? (A) 12

(B) 13

(C) 14

(D) 15

(E) 16

15. Cada região no diagrama deve ser pintada com uma das quatro cores a seguir: verde (V), amarelo (A), branco (B) e preto (P). Duas regiões que se tocam devem ter cores diferentes e três regiões já foram pintadas (A,B,V). A região marcada com a letra X deverá ter cor

(A) verde

(B) amarela

(C) branca

(D) preta

(E) impossível de determinar

16. Dois números podem ser apagados da lista: 17, 13, 5, 10, 14, 9, 12, 16 de modo a não mudar o valor da média aritmética. Quais são esses números? (A) 5 e 17

(C) 10 e 12

(D) 12 e 17

(E) 14 e 10

17. Uma folha quadrada de papel foi cortada em seis pedaços retangulares. A soma dos perímetros desses seis pedaços é 120 cm. Qual era a área da folha quadrada? (A) 48 cm2 Nível C 2011

(B) 64 cm2

(C) 110,25 cm2

(D) 144 cm2

(E) 256 cm2 Página 2

18. Numa folha de papel, Lali desenha o segmento de reta DE de comprimento 2 cm. Quantos pontos F diferentes ela pode marcar no papel, de modo que o triângulo DEF seja retângulo e de área 1 cm2 ? (A) 2

(B) 4

(C) 6

(D) 8

(E) 10

19. O número positivo a é menor do que 1 e o número b é maior do que 1. Qual dos números a seguir tem o maior valor? (A) a  b

(B) a + b

(C) a  b

(E) ab

(D) b

20. A peça de papel em forma de T à esquerda foi dobrada de modo a formar um cubo. Sobre o cubo foi desenhada uma linha escura, dividindo sua superfície em duas partes iguais. Qual será o aspecto da linha desenhada após o papel ser desdobrado? (A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Problemas 5 pontos 21. O número de cinco algarismos 24X8Y é divisível por 4, 5 e 9. Qual é a soma dos algarismos X e Y? (A) 4

(B) 5

(C) 9

(D) 10

(E) 13

22. Lena colocou duas peças formadas por cinco quadradinhos no tabuleiro ao lado. Qual das peças a seguir, também formada de cinco quadradinhos, ao ser colocada na parte vazia do tabuleiro, poderá impedir que qualquer uma das peças restantes também possa ser colocada no tabuleiro? Note que a peça, ao ser colocada, pode ser girada ou invertida, mas deve sempre cobrir completamente os quadradinhos do tabuleiro. (A)

(B)

(C)

(D)

(E)

23. Os três chupins Fido, Lido e Dido acharam um ninho para cada um. Fido diz: ''Estou longe de Lido mais do que o dobro da distância que estou até Dido''. Lido diz: ''Estou longe de Dido mais do que o dobro que estou à distância de Fido''. Dido diz: ''Estou longe de Lido mais do que o dobro que estou à distância de Fido''. Pelo menos dois deles estão dizendo a verdade. Quem está mentindo? (A) Fido

(B) Lido

(C) Dido

(D) Nenhum deles

(E) Impossível saber

24. Desenhei um quadrado de lado 3 cm dentro de um quadrado com lado 7 cm. Então desenhei outro quadrado de lado 5 cm que intersecta os dois primeiros quadrados. Pintei de cinza ou de preto algumas das partes da figura formada. Qual é a diferença entre a área da parte preta e a soma das áreas das partes cinzentas?

(A) 0

Nível C 2011

(B) 5 cm2

(C) 10 cm2

(D) 11 cm2

(E) 15 cm2

Página 3

25. Mário atira num alvo e só consegue acertar as partes de 5, 8 e 10 pontos. Ele acerta 8 e 10 o mesmo número de vezes. Apesar de errar 25% de seus tiros, ele consegue 99 pontos no total. Quantos tiros ele deu? (A) 10

(B) 12

(C) 16

(D) 20

(E) 24

ˆ , ABC ˆ e ADC ˆ são, res26. Num quadrilátero convexo ABCD com AB = AC, as medidas dos ângulos BAD

ˆ ? pectivamente, 80o, 75o e 65o. Qual é a medida do ângulo BDC (A) 10º

(B) 15º

(C) 20º

(D) 30º

(E) 45º

27. Sete anos atrás, a idade de Eva era um múltiplo de 8 e daqui a oito anos, sua idade será um múltiplo de 7. Oito anos atrás, a idade de Raul era um múltiplo de 7 e dentro de sete anos, será um múltiplo de 8. Se ambos têm menos de 100 anos de idade, qual das afirmações a seguir é verdadeira? (A) Raul é dois anos mais velho que Eva (B) Raul é um ano mais velho que Eva (C) Raul e Eva têm a mesma idade (D) Raul é um ano mais novo do que Eva (E) Raul é dois anos mais novo do que Eva 28. Na expressão

C  A  N  G U  R U  S cada letra representa um algarismo não nulo e letras iguais represenF  E  R  A S

tam algarismos iguais. Qual é o menor valor inteiro positivo desta expressão? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 6

(E) 7

29. A figura abaixo à esquerda compõe-se de dois retângulos. Dois lados desses retângulos estão assinalados: 11 e 13. A figura então é cortada em três partes, que depois são rearranjadas de modo a formar um triângulo, à direita. Qual é a medida x do lado assinalado?

(A) 36

(B) 37

(C) 38

(D) 39

(E) 40

30. Marcos brinca no computador com um jogo sobre um tabuleiro 4  4 . Inicialmente, as 16 casas estão em branco; quando ele clica numa casa branca, ela se torna vermelha ou azul. Em todo o tabuleiro não existem mais do que duas células azuis e, quando aparecem, estão juntas, unidas por um lado comum. A meta do jogo é fazer aparecer as duas casas azuis com o menor número possível de cliques. Levando isto em conta, qual é o maior número de cliques que Marcos terá que fazer, dentre todos os jogos perfeitos possíveis? (A) 9

Nível C 2011

(B) 10

(C) 11

(D) 12

(E) 13

Página 4

Canguru 2010 – Nível C (8º/9º anos) Problemas 3 pontos 1. Quanto vale 12 + 23 + 34 + 45 + 56 + 67 + 78 + 89? (A) 389

(B) 396

(C) 404

(D) 405

(E) um número diferente dos anteriores

2. A figura à direita tem quantos eixos de simetria? (A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 4

(E) mais de 4

3. Numa fábrica de brinquedos, cangurus de pelúcia iguais são acondicionados em caixas cúbicas de papelão. Cada oito caixas são colocadas em caixas cúbicas maiores de plástico, sem desperdício de espaço. Quantas caixas de cangurus apóiam-se no fundo de cada uma dessas caixas de plástico? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

4. Qual é o perímetro da figura ao lado, na qual todos os ângulos são retos? (A) 3a + 4b

(B) 3a + 8b

(C) 6a + 4b

(D) 6a + 6b

(E) 6a + 8b

5. Eliana desenha os seis vértices de um hexágono regular e traça segmentos unindo esses pontos para obter uma figura geométrica. Essa figura com certeza não é um (A) trapézio (D) retângulo

(B) triângulo retângulo (E) triângulo equilátero

(C) quadrado

6. Ari escreveu sete inteiros consecutivos, de modo que a soma dos três menores é 33. Qual é a soma dos três maiores números que Ari escreveu? (A) 37

(B) 39

(C) 42

(D) 45

(E) 48

7. Um lenhador contou 72 tocos de madeira que obteve após ter feito 53 cortes com o serrote em tocos maiores. Como ele serrou um toco de cada vez, quantos tocos havia antes de começar a serrá-los? (A) 17

(B) 18

(C) 19

(D) 20

(E) 21

8. Sete tacos de 3cm 1cm foram colocados numa caixa de 5cm 5cm . É possível deslizar os tacos na caixa, de modo que haja espaço para mais um taco. Pelo menos quantos tacos terão que ser movidos? (A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) impossível saber

9. Um quadrado é dividido em quatro quadradinhos iguais. Cada um desses quadradinhos é pintado de cinza ou de branco. O desenho ao lado mostra em diferentes posições a mesma maneira de pintar o quadrado quando pintamos um dos quadradinhos de cinza. De quantas maneiras diferentes pode ser pintado o quadrado? (A) 5

(B) 6

(C) 7

(D) 8

(E) 9 1

10. A soma dos cem primeiros números pares positivos menos a soma dos cem primeiros números ímpares positivos é igual a (A) 0

(B) 50

(C) 100

(D) 10100

(E) 15150

Problemas 4 pontos 11. Vovó assou um bolo para os netinhos que vêm visitá-la. Ela não se lembra se virão 3, 5 ou 6 netinhos, mas ela quer que todos eles comam a mesma quantidade de bolo. Para garantir que isso aconteça, ela deve dividir o bolo em pelo menos quantos pedaços iguais? (A) 12

(B) 15

(C) 18

(D) 24

(E) 30

12. Qual dos números a seguir é o menor número de dois dígitos que não é igual à soma de três diferentes números de somente um dígito? (A) 10

(B) 15

(C) 23

(D) 25

(E) 28

13. Cátia leva 18 minutos para fazer uma corrente unindo três correntes menores com elos extras. Quanto tempo ela levará para fazer uma outra corrente, unindo seis correntes menores e usando o mesmo método? (A) 27 min

(B) 30 min

(C) 36 min

14. No quadrilátero ABCD temos ˆ ˆ AD BC , m DAC 50O , m DCA

(D) 45min

ˆ 65O , m ACB

(E) 60 min

70O

ˆ ? (veja a figura). Quanto mede o ângulo ABC (A) 50º

(B) 55º

(C) 60º

(D) 65º

(E) 70º

15. Maria enrolou um pedaço de barbante em um pedaço de madeira, conforme mostrado na figura ao lado. Fazendo-se uma rotação de 180º ao redor de um eixo horizontal, fica visível a parte de trás do pedaço de madeira com o barbante. Qual é essa vista? (A)

(B)

(D)

(E)

(C)

16. Há 50 bolas numa caixa, sendo algumas brancas, outras, azuis e outras, vermelhas. O número de bolas brancas é onze vezes o número de bolas azuis. Há menos bolas vermelhas do que brancas, mas há mais bolas vermelhas do que azuis. Há quantas bolas vermelhas a menos do que bolas brancas na caixa? (A) 2

(B) 11

(C) 19

(D) 22

(E) 30

2

17. Qual é o menor número de retas necessárias para dividir o plano em exatamente 5 regiões? (A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

(E) infinitas

18. Na figura ao lado, ABCD é um retângulo e PQRS é um quadrado. O retângulo escuro tem metade da área do retângulo ABCD. Qual é a medida do segmento PX ? (A) 1

(B) 1,5

(C) 2

(D) 2,5

(E) 4

19. Se a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 , então qual dos números a, b, c, d, e é o maior? (A) a

(B) b

(C) c

(D) d

(E) e

20. A figura apresentada é composta apenas por semicírculos de raios 2 cm, 4 cm e 8 cm. Qual fração da figura tem a cor preta? (A)

1 3

(B)

1 4

(C)

1 5

(D)

3 4

(E)

2 3

Problemas 5 pontos 21. Na figura há nove regiões interiores às circunferências. Escreva os números de 1 a 9, um em cada região, de modo que a soma dos números nos interiores de cada uma das circunferências seja 11. Qual número deverá ser escrito na região indicada pelo ponto de interrogação? (A) 5

(B) 6

(C) 7

(D) 8

(E) 9

22. Num mercado de trocas, as mercadorias devem ser trocadas de acordo com a lista de conversão apresentada na tabela ao lado. Pelo menos quantas galinhas o senhor Benedito deve levar ao mercado para garantir que irá levar para casa um ganso, um peru e um galo? (A)14

(B) 15

(C) 16

(D) 17

1 peru = 5 galos 1 ganso + 2 galinhas = 3 galos 4 galinhas = 1 ganso

(E) 18

23. Foi escrito somente um número, 4 ou 5, em exatamente 18 cartões. A soma de todos os números escritos nos cartões é um número divisível por 17. Em quantos cartões foi escrito o número 4? (A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 7

(E) 9

24. A professora escreveu os números naturais de 1 a 10 na lousa e pediu para os alunos fazerem o seguinte: um deles apaga dois desses números e escreve na lousa a soma deles diminuída de um; o próximo apaga dois dos números restantes na lousa e faz o mesmo. O terceiro repete a operação, e assim sucessivamente, até que sobra um único número na lousa. Qual é esse número? (A) um número menor que 11 (D) um número maior que 46

(B) 11 (C) 46 (E) um número maior que 11 e menor que 46 3

25. Numa sala de reunião havia algumas pessoas que diziam somente a verdade e as demais somente mentiam. Num dado momento, três pessoas fizeram as afirmações a seguir. 1ª pessoa: “Não há mais do que três pessoas nesta sala. Todos nós somos mentirosos.” 2ª pessoa: “Não há mais do que quatro pessoas nesta sala. Alguns não são mentirosos.” 3ª pessoa: “Há cinco pessoas nesta sala. Três são mentirosas.” Quantas pessoas havia na sala e quantas entre elas eram mentirosas? (A) 3 pessoas, 1 mentirosa (D) 5 pessoas, 2 mentirosas

(B) 4 pessoas, 1 mentirosa (E) 5 pessoas, 3 mentirosas

(C) 4 pessoas, 2 mentirosas

26. Uma tira de papel foi dobrada três vezes pela metade e depois foi desdobrada, de modo que, vista de lado, podem ser observadas as dobras voltadas para cima ou para baixo. Qual das vistas a seguir não poderá ser observada?

27. Canguru possui uma grande quantidade de cubinhos 1 1 1 , cada um com uma única cor, podendo haver cubinhos com a mesma cor. Ele quer usar 27 desses cubos para montar um cubo 3 3 3 no qual quaisquer dois cubinhos com pelo menos um vértice comum tenham cores diferentes. No mínimo quantas cores devem ser utilizadas? (A) 6

(B) 8

(C) 9

(D) 12

(E) 27

28. Na figura, o maior triângulo é equilátero e consiste em 36 triângulos menores equiláteros e de área 1 cm2 cada um. Qual é a área do triângulo ABC? (A) 9 cm2

(B) 10 cm2

(C) 11 cm2

(D) 12 cm2

(E) 15 cm2

29. O mínimo múltiplo comum de 24 e x é menor que o mínimo múltiplo comum de y 24 e y. Então não pode ser igual a: x (A)

7 8

(B)

8 7

(C)

2 3

(D)

6 7

(E)

7 6

7O e as medidas dos segmentos OA1 , A1 A2 , A2 A3 , são todas iguais. Qual 30. Na figura, é o maior número de segmentos que podem ser desenhados nessas condições? (A) 10

(B) 11

(C) 12

(D) 13

(E) quantos quisermos

4

Canguru 2009 – Nível C Problemas 3 pontos 1. Qual dos números a seguir é par? (A) 2009

(B) 2 + 0 + 0 + 9

(C) 200 – 9

(D) 200 × 9

(E) 200 + 9

2. Numa festa havia 4 rapazes e 4 garotas. Os rapazes dançaram somente com garotas e as garotas dançaram somente com rapazes. Depois da festa, quando perguntados com quantas pessoas haviam dançado, os rapazes responderam: 3,1,2,2 e três das garotas disseram: 2,2,2. A quarta garota disse qual número? (A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

3. A estrela no desenho é formada de 12 pequenos triângulos equiláteros congruentes. O perímetro da estrela é 36 cm. Qual é o perímetro do hexágono escuro? (A) 6 cm

(B) 12 cm

(C) 18 cm

(D) 24 cm

(E) 30 cm

4. Ari entrega folhetos numa certa rua, apenas nas casas com número ímpar. A primeira casa em que faz a entrega tem número 15 e a última tem número 53. Em quantas casas ele faz essa entrega? (A) 19

(B) 20

(C) 27

(D) 38

(E) 53

5. A área do quadrado grande é 1. Qual é a área do pequeno quadrado preto? 1 1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) (E) 100 300 600 900 1000

6. O produto de 4 inteiros positivos distintos é 100. Qual é a sua soma? (A) 10

(B) 12

(C) 15

(D) 18

(E) 20

7. Há gatos e cachorros numa sala. O número de patas de gatos é o dobro do número de focinhos de cachorros. O número de gatos é (A) o dobro do número de cachorros

(B) igual ao número de cachorros 1 (D) do número de cachorros 4

(C) metade do número de cachorros (E)

1 do número de cachorros 6





ˆ  12O 8. Na figura à direita, QRS é uma reta, m QPR ˆ ? e PQ = PR = RS. Qual é a medida do ângulo QPS

(A) 36o

(B) 42o

(C) 54o

(D) 60o

(E) 84o

1

9. Um elevador pode transportar 12 adultos ou 20 crianças. No máximo, quantas crianças poderiam ser transportadas com 9 adultos? (A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

(E) 8

10. Quais dos laços ao lado são formados por mais de um pedaço de corda? (A) I, III, IV e V (B) III, IV e V (C) I, III e V (D) todos eles (E) nenhum deles Problemas 4 pontos 11. Quantos inteiros positivos têm os seus quadrados e os seus cubos com o mesmo número de algarismos? (A) 0

(B) 3

(C) 4

(D) 9

(E) infinitos

12. Quantos pontos é suficiente retirar da figura de modo que entre os pontos restantes não haja três colineares? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 7

13. Neusa mediu todos os 6 ângulos internos de dois triângulos, sendo um deles acutângulo e o outro obtusângulo. Ela se lembra de quatro dessas medidas: 120o, 80o, 55o e 10o. Qual é a medida do menor ângulo do triângulo acutângulo? (A) 5o

(B) 10o

(C) 45o

(D) 55o

(E) impossível calcular

14. Que fração da área do quadrado maior está pintada de cinza? (A)

1 4

(B)

 12

(C)

2 16

(D)

 4

(E)

1 3

15. Na ilha dos verazes e mentirosos, 25 pessoas esperam numa fila. Todo mundo, exceto a primeira pessoa da fila, diz que a pessoa da frente é um mentiroso. O primeiro da fila disse que todos atrás dele são mentirosos. Quantos mentirosos há na fila? (os verazes sempre dizem a verdade, ao passo que os mentirosos sempre falam mentira) (A) 0

(B) 12

(C) 13

(D) 24

(E) impossível determinar

16. O sólido representado tem 6 faces triangulares, com um número em cada vértice. A soma dos números dos vértices em cada face é igual para todas as faces. Os números 1 e 5, conforme figura, são dois dos cinco números dos vértices. Qual é a soma desses cinco números? (A) 9

(B) 12

(C) 17

(D) 18

(E) 24 2

E  I  G  H T  T W  O , letras diferentes representam algarismos diferentes e letras F  O U  R iguais representam o mesmo algarismo. Quantos valores diferentes o produto T  H  R  E  E pode ter? 17. Na igualdade

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

18. Queremos pintar os quadrados do tabuleiro ao lado usando as cores P, Q, R e S de modo que quadrados vizinhos não tenham a mesma cor (dois quadrados são vizinhos se têm um lado ou um vértice comum). Alguns dos quadrados já foram pintados, conforme o desenho. Quais são as possibilidades para o quadrado assinalado em cinza? (A) somente Q (D) somente R e S

(B) somente R (E) nenhuma possibilidade

(C) somente S

19. O desenho mostra um eneágono, polígono de 9 lados, regular. O prolongamento de dois lados forma o ângulo de vértice X. Qual é a medida desse ângulo? (A) 40º

(B) 45º

(C) 50º

(D) 55º

(E) 60º

20. O desenho ilustra as três primeiras figuras de uma sequência formada segundo um certo padrão. Excluindo o quadrado escuro no centro, quantos quadrados unitários serão utilizados para formar a 10ª figura dessa sequência? (A) 76

(B) 80

(C) 84

(D) 92

(E) 100

Problemas 5 pontos 21. Uma formiguinha caminha ao longo das arestas de um cubo, começando no ponto p na direção da seta. No fim de cada aresta, a formiguinha tem que escolher entre ir para a direita ou para a esquerda, sempre alternando a escolha. Quantas arestas a formiguinha irá caminhar até retornar ao ponto p pela primeira vez? (A) 2

(B) 4

22. As frações

1 1 e estão localizadas na reta abaixo: 3 5

Onde está a fração (A) a

(C) 6

(D) 9

(E) 12

1 ? 4

(B) b

(C) c

(D) d

(E) e 3

23. Considere os números de dez algarismos, sendo eles 1, 2 ou 3, de modo que dois algarismos vizinhos diferem de 1. Quantos números assim formados existem? (A) 16

(B) 32

(C) 64

(D) 80

(E) 100

24. Três cortes são feitos num cubo para se obter 8 blocos retangulares menores. Qual é a razão entre a soma total das áreas das superfícies desses blocos e a área total da superfície do cubo original? (A) 1 : 1

(B) 4 : 3

(C) 3 : 2

(D) 2 : 1

(E) 4 : 1

25. Considere todos os divisores positivos do número inteiro positivo n, diferentes do próprio n e de 1. O maior de todos esses divisores é igual a 45 vezes o menor de todos eles. Quantos números n satisfazem a essa condição? (A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) mais de 2

(E) impossível determinar

26. Um quadrado foi repartido em 2009 quadrados menores cujos lados são números inteiros. Qual é a menor medida possível do lado do quadrado original? (A) 44 (B) 45 (C) 46 (D) 503 (E) Não é possível repartir um quadrado nas condições dadas 27. No quadrilátero PQRS, PQ = 2006, QR = 2008, RS = 2007 e SP = 2009. Quais ângulos internos desse quadrilátero têm necessariamente menos de 180º? (A) Pˆ , Qˆ , Rˆ

(B) Qˆ , Rˆ , Sˆ

(C) Pˆ , Qˆ , Sˆ

(D) Pˆ , Rˆ , Sˆ

(E) Pˆ , Qˆ , Rˆ , Sˆ

28. Se eu colocar um quadrado 6 cm  6 cm sobre um triângulo, eu posso cobrir no máximo 60% do triân2 gulo. Se eu colocar o triângulo sobre o quadrado, eu posso cobrir no máximo do quadrado. Qual é a área 3 do triângulo? (A) 22

4 cm2 (B) 24 cm2 5

(C) 36 cm2

(D) 40 cm2

(E) 60 cm2

29. Sexta-Feira escreveu em fila vários números inteiros positivos diferentes e menores do que 11. Robinson Crusoé examinou os números e percebeu com satisfação que, para cada par de números vizinhos, um dos números é divisível pelo outro. No máximo, quantos números Sexta-Feira escreveu? (A) 6

(B) 7

(C) 8

(D) 9

(E) 10

30. Num triângulo ABC, o ângulo Bˆ mede 20o e o ângulo Cˆ mede 40º. O comprimento da bissetriz do ângulo  é 2. Calcule BC – AB. (A) 1

(B) 1,5

(C) 2

(D) 4

(E) impossível calcular

4