Trigonometría 1 - Intelectum

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Tr i g o n o m e t r í a

Intelectum Trigonometría

It

Indicadores

de logro

Unidad 1

Unidad 2

• • • • •

• Denota e identifica correctamente un sector circular. • Analiza y comprende las relaciones usadas para el cálculo de sectores circulares. • Aplica las distintas relaciones estudiadas para calcular el área de un sector circular identificando correctamente sus elementos. • Determina el área de trapecios circulares utilizando las fórmulas dadas. • Evalúa y comprende las distintas razones trigonométricas. • Identifica las razones trigonométricas recíprocas y las de ángulos complementarios. • Utiliza las propiedades de las razones trigonométricas para la resolución de problemas. • Calcula el valor de cada una de las razones trigonométrica de un ángulo agudo. • Aplica las razones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos.

• • • • • •

Define cada uno de los elementos del ángulo trigonométrico. Identifica los ángulos negativos y positivos. Representa gráficamente un ángulo trigonométrico. Analiza las conversiones a otros sistemas angulares. Reconoce la equivalencia entre los distintos sistemas angulares (sexagesimal, centesimal y radial). Utiliza la fórmula de conversión para las conversiones de ángulos a otros sistemas. Utiliza correctamente las notaciones al realizar las conversiones. Analiza la longitud de arco de una circunferencia. Calcula la longitud del arco de una circunferencia. Representa gráficamente un arco dentro de una circunferencia. Demuestra las razones trigonométricas relacionándolas con un triángulo rectángulo.

LOS AVIONES El transporte aéreo de hoy en día exige un riguroso control de las aeronaves al momento del despegue y aterrizaje. Para ese tipo de controles es necesario conocer la ubicación exacta respecto al suelo terrestre. La ingeniería aeronáutica se ha valido de conceptos de ángulos de elevación y depresión para guiar a los pilotos en el momento del despegue y/o aterrizaje. Desde la torre de control de los aeropuertos se mantiene informado constantemente al piloto sobre la posición de la nave y el ángulo que debe adoptar para una correcta maniobra.

Contenido: Unidad 1

Unidad 2

• Ángulo trigonométrico.

• Área del sector circular.

• Sistemas de medición angular.

• Razones trigonométricas de ángulos agudos.

• Longitud de arco.

• Propiedades de las razones trigonométricas.

Unidad 3

• Triángulos rectángulos notables. • Razones trigonométricas de ángulos notables. • Resolución de triángulos rectángulos. • Ángulos verticales.

Unidad 4

• Sistema de coordenadas cartesianas. • Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. • Reducción al primer cuadrante. • Sistema métrico decimal.

Unidad 3

Unidad 4

• Identifica y distingue entre triángulos notables exactos, aproximados y pitagóricos. • Identifica gráficamente el tipo de triángulo notable y calcula el valor de sus lados. • Relaciona los lados del triángulo utilizando razones trigonométricas. • Analiza cada uno de los triángulos notables dados. • Utiliza las distintas razones trigonométricas para el cálculo de medidas y áreas en triángulos rectángulos. • Define las razones trigonométricas para triángulos exactos, aproximados y notables. • Aplica las razones trigonométricas en los ángulos exactos, aproximados y notables. • Discrimina entre ángulo de elevación y depresión. • Representa gráficamente ángulos verticales y emplea las razones trigonométricas para la resolución de problemas.

• Ubica, utilizando pares ordenados, rectas y figuras planas en el plano cartesiano. • Calcula el punto medio de segmentos dentro del plano cartesiano. • Calcula la distancia de dos puntos usando pares ordenados. • Define un radio vector y lo representa gráficamente. • Indica los elementos de un ángulo en posición normal y define ángulos cuadrantales y ángulos coterminales. • Aplica las razones trigonométricas para ángulos cuadrantales y coterminales. • Analiza los ángulos dados para luego realizar la reducción escogiendo uno de los casos más convenientes. • Realiza las reducciones al primer cuadrante según la magnitud del ángulo y su signo. • Identifica las equivalencias de las distintas unidades. • Diferencia múltiplo de submúltiplos al momento de realizar las conversiones entre unidades.

q

Ángulo de elevación

unidad 1

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO DefiniciÓn

Es aquel ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen, desde una posición inicial (lado inicial), hasta una posición final (lado final) y en un sentido determinado. Por convención: • Si la rotación se realiza en sentido antihorario, el ángulo generado se considera positivo.

• Si la rotación se realiza en sentido horario, el ángulo se considera negativo. Vértice

Lado final

Vértice

a : giro antihorario. a es positivo

α

O

O

Lado inicial β

Recuerda Rayo es una recta limitada por un punto en un extremo e ilimitada en el otro extremo. Ilimitado Limitado

b : giro horario. b es negativo

Lado final

Lado inicial

Ángulo geométrico

Son magnitudes y no poseen sentido de rotación (siempre son positivos). Atención

Ángulo trigonométrico

Poseen un sentido de rotación (pueden ser positivos o negativos). Observaciones: 1. Para realizar la operación de adición entre ángulos trigonométricos, estos deben tener el mismo sentido de rotación. 2. Al cambiar el sentido de rotación de un ángulo trigonométrico, el signo de dicho ángulo también cambiará. Ejemplo: En la figura, indica la relación entre a y b.

Cambiamos el sentido de los ángulos a uno en común.

-β α

+

Giro Antihorario

-

Giro Horario

Nota

Finalmente, de la figura:  a + (-b) = 90°  `  a = 90° + b

90° β

El sentido de rotación determina el signo del ángulo trigonométrico.

Del gráfico: m+AOB = 90° Entonces: +AOB: ángulo recto.

α

B

Ejemplo: En el gráfico mostrado, ¿cuál es el valor de x? B

α O

B x - 90°

x

β

Resolución:

x

-θ

A

A C

θ

Efectuar

A

Luego: • b + a = 90°. • b y a son complementarios.

Del gráfico: -q + x - 90° = 360°      `  x = 450° + q

C

1. Halla x en función de a y b. α x

2. Halla x en función de a, b y q.

β θ

β

α x

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

5

Problemas resueltos 1

Halla x.

4

Calcula x en términos de a; b y q. x

3x + 20°

-71°

β

α θ

Resolución: 71°

Resolución:

3x + 20°

Colocando los ángulos en sentido antihorario (se observa que algunos ángulos cambian de signo).

& 3x + 20° = 71° 3x = 51° ` x = 17°

-β

x

& x = q + (-a) + (-b) ` x=q-a-b

-α θ

2

Halla x, si OB es bisectriz. 3x + 15°

O

C

5

Calcula x.

B

65° - 7x

10° - 2x

60°

A

Resolución:

Resolución:

Colocando los ángulos en un solo sentido (antihorario).

Por ser OB bisectriz, entonces: 3x + 15° = -(65° - 7x) (Sentido antihorario) 3x + 15° = -65° + 7x 3x - 7x = -80° -4x = -80° x = 80° 4 ` x = 20° 3

-(10° - 2x)

6

60°

 

Entonces: 60° - (10° - 2x) = 180° 60° - 10° + 2x = 180° 50° + 2x = 180° & 2x = 130°  ` x = 65°

Calcula x.

Calcula x. 18° - 8x -30° 10° - x

Resolución: Se observa que: 30° - 2x + [-(18° - 8x)] = 90° 30° - 2x - 18° + 8x = 90° 12° + 6x = 90°  & x = 13°

x + 10°

Resolución: Colocando los ángulos en sentido antihorario. 7 30°

Del gráfico, determina q. θ + 10

x - 10° 30° - 2θ

x + 10°

Por lo tanto: (x + 10°) + (x - 10°) + 30° = 90° x + 10° + x - 10° + 30° = 90° 2x + 30° = 90° 2x = 60° ` x = 30°

6

Intelectum 1.°

30° - 2x

Resolución:

2θ - 20°

Se observa que: 2q - 20° + q + 10° - (30° - 2q) = 180° 2q - 20° + q + 10° - 30° + 2q = 180°  5q - 40° = 180° 5q = 220°  &  q = 44°

t

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Existen diferentes formas de medir los ángulos, cada uno basado en una unidad de medición destacando los siguientes:

Sistema sexagesimal o inglés

Tiene como unidad al grado sexagesimal (1°), que es el resultado de dividir el ángulo de una vuelta en 360 partes iguales. 3°

2° 1°

m + 1 vuelta = 1° & 360

360°

m+1 vuelta = 360°

359°

Recuerda Las subunidades se usan para expresar las medidas de ángulos menores a un grado (1° ó 1g) o menores a un minuto (1' ó 1m). Ejemplos: 0,5° = c 1 m° = 1 . (1°) = 1 . (60') 2 2 2 0,5° = 30'

El grado sexagesimal (1°), también se divide en subunidades: Se definen: 1' : Minuto sexagesimal.

1° 60' 1' 60"

1" : Segundo sexagesimal.

Ejemplos: 1. Expresa 1344' en grados sexagesimales. Resolución: 1344' = 1344 . 1' = 1344 . d 1 n° 60 = d 1344 n° = 22,4° 60 ` 1344' 22,4°

Se deducen.

1° 3600'' 1' d 1 n° 60

g 0,7g = c 7 m = 7 .1g = 7 .100m 10 10 10

0,7g = 70m

' 1'' d 1 n 60 2. Expresa 43' en segundos sexagesimales. Resolución: 43' = 43 . 1' = 43 . (60") = 2580" ` 43' 2580"

Sistema centesimal o francés

Es aquel que tiene como unidad al grado centesimal (1g), el cual es el resultado de dividir el ángulo de una vuelta en 400 partes iguales. 3g

2g 1g 400g

m+1 vuelta = 1 g & 400

m+1 vuelta = 400g

Atención Si expresamos un ángulo en grados, minutos y segundos, ten en cuenta: b < 60 a°b'c" ; c < 60 xgymzs ;

399g

y < 100 z < 100

Análogamente al sistema sexagesimal, el grado centesimal (1g) se subdivide en: Se definen: 1m: Minuto centesimal. 1s: Segundo centesimal. Ejemplos: 1. Expresa 21g en minutos centesimales. Resolución: 21g = 21 . (1g) = 21 . 100m = 2100m ` 21g 2100m

1g 100m 1m 100s

1g 10 000s Se deducen.

g 1m c 1 m 100

m 1s d 1 n 100

2. Expresa 15 259s en grados centesimales. Resolución:

m m 15 259s = 15 259 . 1s = 15 259 . d 1 n = d 15 259 n 100 100

 

g g = 15 259 . 1 m = 15 259 . d 1 n = 15 259 100 100 100 10000

` 15 259s 1,5259g TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

7

Sistema radial o internacional

Nota Valores aproximados de p: p . 3,1416 p . 22 7

Es aquel que tiene como unidad de medida a “un radián” (1 rad), definido como la medida de un ángulo central donde la longitud de arco que subtiende es igual al radio de la circunferencia que la contiene. Donde: q: ángulo central. R: radio de circunferencia. L: longitud de arco AB.

A θ

R

L

Si: L = R, entonces: q = 1 rad

B

En general, sea un ángulo central "q" en el sistema radial, se calcula mediante la expresión: R θ

L

R

q= L R

... (1)

De la expresión (1), para el ángulo de una vuelta: m + 1vuelta = l R Observación De la equivalencia:

; l: perímetro de la circunferencia.

m + 1vuelta = 2pR ` m + 1vuelta = 2p rad R

Conversión entre sistemas

      180° = 200g 20 . 9° = 20 . 10g  9° = 10g

Para un ángulo trigonométrico, es la transformación de un ángulo de un sistema de medida angular a otro. Para tal propósito existen métodos de transformación tales como:

Entonces:

Factor de conversión

9° ; 10g 10g 9°

Son factores de conversión.

Es una fracción donde el numerador y el denominador valen lo mismo (valores iguales o equivalentes expresados en unidades distintas), por lo que dicha fracción es igual a la unidad. De los sistemas sexagesimal, centesimal y radial tenemos que: m + 1vuelta = 360° = 400g = 2p rad Entonces:

Nota Sea un ángulo a en el sistema A, para transformar a a un sistema B, su factor de conversión será de la forma: b ; donde b, sistema B (final) a, sistema A (inicial) a Ejemplo: Un factor de conversión para transformar un ángulo del sistema sexagesimal al radial Por equivalencias: p rad = 180°, de sexagesimal (inicial), a radial (final). Sistema final 1 = p rad 180° Sistema inicial Factor de conversión

180° = 200g = p rad (Equivalencias)

Del recuadro de equivalencias, se pueden obtener factores de conversión para los tres sistemas. Ejemplo: Expresa 40g en el sistema sexagesimal. Sistema final 40g = 40g . 1 = 40g . 180°g 200 Sistema inicial ° 180 g 40 = d 40 . n 200 ` 40g = 36°

Fórmulas de conversión

Sea un ángulo a cuya representación en los sistemas sexagesimal, radial y centesimal son, respectivamente, S°, R rad, Cg.

α

S° g C R rad

S°: en el sistema sexagesimal. Cg: en el sistema centesimal. R rad: en el sistema radial o circular.

Por lo tanto: m + a = S° = Cg = R rad

Por factores de conversión: Transformemos S° al sistema centesimal. g g S° = S° . 1 = S° . 200 = d S . 200 n = Cg; de la expresión (A) donde: S° = Cg 180° 180

8

Intelectum 1.°

... (A)

t

Luego: S . 200 = C   Finalmente: S = C ... (1) 180 180 200 Análogamente, transformemos Cg a radianes. Cg = Cg . 1 = Cg . p radg = Cp rad = R rad; de la expresión (A) donde: Cg = R rad. 200 200 Luego: Cp = R   Finalmente: C = R ... (2) 200 200 p De (1) y (2) se obtiene:         S = C = R 180 200 p

También de: S = C & 180 200

Observación Sea un ángulo recto: S°

S = C 9 10

El cual es la cuarta parte de una vuelta, entonces: m + 1vuelta = 360° = 400g = 2p rad m +1vuelta = 90° = 100g 4 = p rad 2

Uso de la fórmula de conversión

Por lo tanto:

m + recto = 90° = 100g = p rad 2

2. Convierte 36° a radianes. Ahora tenemos: Dato: S = 36°; incógnita: R De la fórmula: S = R " 36 = R " R = 36 . p 180 p 180 p 180 p    R = 5 ` 36° = p rad 5

   C = 60 ` 54° = 60g

g

R rad

(Fórmula o relación de conversión)

Convierte de un sistema a otro. Ejemplos: 1. Convierte 54° al sistema centesimal. En este caso, tenemos: Dato: S = 54; incógnita: C De la fórmula: S = C " 54 = C " C = 54 . 10 9 10 9 10 9

C

Donde:

S = 90; C = 100; R = p 2

Problemas condicionales Ejemplos: 1. Halla la medida de un ángulo en radianes si su número de grados centesimales y sexagesimales cumplen: C-S=4 Resolución: En el dato, procuramos colocar todo en función de la incógnita, para ello usamos la fórmula: S = C = R   &  C = 200R / S = 180R p p 180 200 π Reemplazando en el dato, tenemos: C - S = 4 200R - 180R = 4   &  20R = 4   & R = p    ` El ángulo mide p rad. 5 5 π π π

Nota Los ejercicios de transformación de un ángulo de un sistema de medida a otro, pueden resolverse usando el "factor de conversión" así como también la "fórmula de conversión". Del ejemplo (1). g 54º = 54º . 1 = 54º . 10 = 60g 9°

2. ¿Cuántos minutos centesimales hay en: q = 3g45m?

Factor de

Resolución: Convertimos todo a minutos: q = 3g45m = 3g + 45m; como: 1g = 100m  & 3g = 300m Luego:   q = 300m + 45m   `  q = 345m

Efectuar

1. Halla x en función de q y b. β

x

conversión



2. Halla x en función de a, b y q.

3. Halla x del gráfico mostrado.

θ θ

β α

x

θ

x α

O

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

9

Problemas resueltos 1

Convierte 50g a radianes.

b) 1g 5g

Resolución:

1m 20m

50 g . d π radg n = 50π rad 200 200 14243 Factor de

  conversión ` 50g = p rad 4 2

6

11p + 280 g p 11p + 14p d n d n 90 9 200 g 90  E = = 90 p + 7° p p + 7p a k 60 180° 60 180 25p 25p 90  E = = 90 = 25p.180 90.10p 10p 3p + 7p 180 180

Calcula:

`  E = 5

Resolución:

Sabemos: 1° = 60'; 1g = 100m y 9° = 10g Reemplazando: m

g

M = 60' + 100m + 10g 1' 1 5 & M = 60 + 100 + 2 ` M = 162

7

Transformando p rad a grados sexagesimales: 3 r rad = r rad 180° = 60° c m π rad 3 3 14 243

Resolución:

Factor de

conversión Del dato: (2x + 10°) es el suplemento de 60°. Entonces: 2x + 10°= 120° 2x = 110° ` x = 55°

3,2141g = 3g + 0,2141 . 1g = 3g + 0,2141 . 100m = 3g + 21,41m 3,2141g = 3g + 21m + 0,41m = 3g + 21m + 0,41 . 100s 3,2141s = 3g + 21m + 41s ` 3,2141g = 3g21m41s Calcula: a) ¿Cuántos segundos sexagesimales tiene 4°30'? b) ¿Cuántos segundos centesimales tiene 5g 20m?

Resolución:   3600''

Un ángulo mide π rad y su suplemento (2x + 10°). ¿Cuál es el 3 valor de x?

Resolución:

Expresa 3,2141g en grados, minutos y segundos centesimales.

a) 1° 

Calcula:

Resolución:

g M = 1° + 1m + 9°g 1' 1 5

5

y = 2000s

11p + 280 g d n 90 9 E= p + 7° 60

Expresa 5°36'45'' a segundos sexagesimales.

5° = 5 . 1° = 5 . 3600'' = 18 000'' 36' = 36 . 1' = 36 . 60'' = 2160'' Entonces: 5°36'45'' = 18 000'' + 2160'' + 45'' ` 5°36'45'' = 20 205''

4

100s y &

` 5g 20m tienen: x + y = 52 000s



Resolución:

3

10 000s x & x = 50 000s

8

Calcula E, siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo. E=

18 $ S 5 C

Resolución:

4º 

 x  &   x = 4° . 3600'' = 14 400'' 1°

Sabemos: S = C 9 10

1' 

  60''  y  &   y = 30' . 60'' = 1800'' 1'

Luego:



30' 



` 4°30' tienen: x + y = 16 200''

10 Intelectum 1.°

E= ` E= 9 5

&

S = 9 C 10

18 $ 9 = 5 10

81 25

t 9

Calcula M, siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo. M= S+C C

Resolución: Sabemos: Luego:

S = C 9 10

M=

& S = 9C = 0, 9C 10

0, 9C + C 1, 9 C = C C

` M = 1,9 10 Calcula x, siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo. Si: S = x y C = x + 3.

k = 261 = 9 580 20

& Nos piden: R = πk = p d 9 n = 9p rad 20 20         ` R = 9π rad 20 13 Los números que indican la medida de un ángulo en los sistemas conocidos satisfacen la siguiente igualdad: S + C + R = 380 + p p Calcula cuánto mide el ángulo en radianes.

Resolución:

Resolución:

Sabemos: S = C 9 10 Reemplazando: x = x + 3 & 10x = 9x + 27 9 10

580k = 261

` x = 27

11 Simplifica E, siendo S, C y R lo conocido para un ángulo no nulo. E = pC + pS + 20R 200R

Resolución:

Sabemos: C = 200 R y S = 180 R p p Entonces:

p d 200R n + p d 180 R n + 20R p π E= 200R E = 200R + 180R + 20R = 400R 200R 200R

`E=2 12 El número de grados sexagesimales de un ángulo, más el doble de su número de grados centesimales es 261. ¿Cuánto mide el ángulo en radianes?

Resolución: El número de grados sexagesimales: S El doble de su número de grados centesimales: 2C Del enunciado: S + 2C = 261 Aplicando la relación: S = C = R = k 180 200 p & S = 180k; C = 200k; R = πk Reemplazando: (180k) + 2(200k) = 261

Aplicando la relación: S = C = R = k 180 200 p & S = 180k; C = 200k; R = πk Reemplazando en el dato: 180k + 200k + πk = 380 + p p

380k + πk = 380 + p p



(380 + π)k = 380 + p & k = 1 p p

Luego, el número de radianes del ángulo es: R = πk = π d 1 n = 1 p ` El ángulo mide 1 rad. 14 Si se cumple: 5S - 2C = 50, siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo, ¿cuál es la medida del ángulo en radianes?

Resolución:

Aplicando la relación entre S y C: S = 9 $ k C 10 k & S = 9k / C = 10k Reemplazando en la expresión: 5(9k) - 2(10k) = 50 45k - 20k = 50 25k = 50 &k=2 & S = 9k = 9(2) = 18 Luego, el ángulo en grados sexagesimales es 18°. Piden en radianes. & R& = 18°. d p rad n = p rad 180° 10 14 24 3 Factor de conversión

` R = π rad 10

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

11

LONGITUD DE ARCO CIRCUNFERENCIA

Nota

Conjunto de puntos en un mismo plano que equidistan de un punto llamado centro. A dicha distancia se le denomina radio. d

O

c a

Arco de circunferencia

b

Es una porción de circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma.

Si O es centro de la circunferencia: a=b=c=d=R Donde: R: radio de la circunferencia.

Longitud de arco de circunferencia

Es la medida, en unidades de longitud, del arco correspondiente a un ángulo central. B R O

Observación A la región limitada por dos radios y su arco correspondiente se denomina: sector circular.

O

A

Cálculo de la longitud de arco

B L

θ rad

θ rad

R

AB: arco de circunferencia AB. L: longitud del arco AB. q: ángulo central correspondiente a AB. R: radio de la circunferencia.

L

A

AOB: sector circular AOB.

Partimos de la definición (sistema de medidas angulares) que expresa la medida de un ángulo central en el sistema radial. q = L , entonces: L = qR R

R

R, L: están en el mismo sistema de unidades de medida longitudinal (m; cm; mm; etc.). q: indica el número de radianes del ángulo central.

O

θ rad

L

R

Ejemplo: Sean los sectores circulares AOB y COD, calcula el valor de q si a, b son longitudes de arco.

Observación Del ejemplo, en todo trapecio circular se cumple:

c

B

q = b-a c Donde: q: ángulo central en radianes. a, b: longitudes de arco. c: altura del trapecio circular.

O

D

Resolución: b

a

θ

A

C

Sean R1 y R2 radios de los sectores circulares AOB y COD, respectivamente. qR1 = a / qR2 = b

Entonces: R1 = a / R2 = b θ θ c = R2 - R1 c= b-a q

`  q = b - a c

Efectuar 1. Calcula R.

2. Calcula L de la figura. 20 m

R π

3

rad R

12 Intelectum 1.°

3. Calcula q en el gráfico.

6m

π

5

8m L

rad

20 m

24 m

θ rad

8m

t

Problemas resueltos 1

Halla la longitud del arco AB.

5

O π 3

6π cm A

L

Calcula el valor de c.

D A

6π cm B

π rad 3

O

B

Resolución: Sabemos: L = q . R ` L = p . 6p = 2p2 cm 3 2

5π cm c

9π cm

C

Resolución: En el trapecio ABCD se cumple la relación:

Halla la longitud del arco.

!

40 m

18°

!

q = mDC - mAB c Donde: q es el ángulo central en radianes.

L

p = 9p - 5p 3 c ` c = 12 cm

40 m

Resolución: El ángulo tiene que estar expresado en radianes. Entonces: 18° = 18° d p rad n = p rad 180° 10 p Luego: L = q . R = a k . 40 10    ` L = 4p m 3

6

Resolución: • Datos: R = 12 m  /  θ = 22°30' Convertimos θ a radianes:

Halla el radio del sector circular.

22°30' = 22° + 30' = 22° + 30' d 1° n = 22° + 1° 60' 2 45 ° rad p p       = $d rad n&q= 2 180° 8

R 20°

4π m

Usando la fórmula: L = θR & L = p $ _12i = 3p 8 2

R

Resolución:

` La longitud del arco mide 3p m. 2

Transformando 20° a radianes, entonces: 20° = 20° d π rad n = π rad 180° 9 Luego:  L = q . R 4p = π .R & R = 4π . 9 π 9 ` R = 36 m 4

7

Halla el ángulo del sector circular en sexagesimales. 20 m 6π m

θ 20 m

Resolución: Sabemos: L = θ . R & 6p = θ . 20 6p = θ   `  q = 3p rad = 54° 10 20

Calcula la longitud del arco de un sector circular, sabiendo que su radio mide 12 m y su ángulo central 22°30'.

La longitud del arco de un sector circular mide 12 m, ¿cuál será la longitud del arco, si se disminuye el ángulo a la mitad y el radio se triplica?

Resolución:

1.er caso: • El ángulo central: θ • El radio mide: R  & L1 = θ . R = 12 m

...(I)

2.° caso: • El ángulo central: q 2 • El radio mide: 3R  & L2 = ` θ j^3Rh = 3 θR …(II) 2 2 3 Reemplazando (I) en (II):  &  L 2 = _q . Ri = 3 _12i = 18 2 2 ` La nueva longitud medirá 18 m. TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

13

8

Un péndulo oscila describiendo un ángulo de 45° y un arco de 22 cm. Halla la longitud del péndulo. dconsiderar p . 22 n 7

10 Calcula el perímetro del sector circular. A 3m (x + 3) m

(x - 1) rad

O

Resolución:

B

45°

Resolución Hallamos x para calcular el perímetro (2p) de AOB, se sabe: (x + 3) = 3(x - 1) x + 3 = 3x - 3 2x = 6 x=3 El perímetro (2p) será igual a: 2p = 3 + x + 3 + 3 2p = 9 + 3 ` 2p = 12 m

22 cm

- El ángulo central: θ = 45° - La longitud de arco: L = 22 cm Convertimos θ a radianes. 45° $ d p rad n = p rad 180° 4 & Usando la fórmula: L = θ . R 22 = a p k $ R & R = 88 4 p & R = 88 & R = 88.7 = 28 22 22 d n 7

11 Calcula el ángulo central en el sistema inglés. 8m

` La longitud del péndulo es 28 cm. En un reloj, cuyo minutero mide 63 cm, Halla la longitud que recorre su extremo cuando transcurren 20 minutos. 22 dconsiderar p . n 7

Resolución: Dado que tenemos el valor del radio, Calculamos el ángulo central. 12 9

R

R

θ 6

3

L

8m

& La longitud que recorre el extremo del minutero será: L=θ.R L = d 2p n ._63i = 2 . d 22 n .63 = 132 3 3 7 & L = 132 cm

14 Intelectum 1.°

B

Resolución: L = q . R m + AOB = 3 rad 24 = q . 8 En el sistema inglés:  3 = q       m+AOB = 3 rad . 180° p rad         ` m+AOB = d 540° n p 12 Calcula L del siguiente gráfico. 10 m

El minutero recorre una vuelta en 60 minutos, entonces:   360° $ 60' θ $ 20' & q = 360°.20' = 120° 60' & q = 120°. d p rad n = 2p rad 180° 3

24 m

θ rad

O

9

A

O

A L

40g 10 m

Resolución: Transformando el ángulo AOB a radianes: 40g = 40g . π radg = π rad 5 200 Luego:

L = q . R = c π m . 10 5 ` L = 2p m

B

unidad 2

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR Círculo

Es el conjunto de puntos en el plano que se encuentran contenidos en el interior y sobre una circunferencia.

Sea el sector circular:

Sector circular

Es la región plana que se encuentra limitada por dos radios y su arco correspondiente. AOB:

B

sector circular AOB.

B

Notación: LAB: longitud del arco AB.

AB: arco AB.

R

A

S

AOB:

A

O

R: radio de la circunferencia.

R O

Recuerda

área del sector circular AOB.

Cálculo del área del sector circular

Podemos deducir el área del sector circular, ya que es proporcional al ángulo central asociada a dicho sector. Entonces: Si el área de un sector circular es proporcional al ángulo, entonces el área del círculo con el ángulo de una vuelta también lo serán, luego:

O

S = Área del círculo & S = pR 2 q 2p q 2p 2 ` S = q.R ...(1) 2

B

R

S L

θ rad

R

A

Donde: S: área del sector circular R: radio del círculo q: número de radianes del ángulo central L: longitud de arco AB

Además: qR = L ... (2) De (1) y (2) se deducen otras expresiones para el cálculo del aréa del sector circular: 2 S = qR 2

S = LR 2

Ejemplos: 1. En cada caso, halla el área del sector circular indicado: a)

A

r

S

S = pr2

2 S= L 2q

Donde S: área del círculo.  r: radio del círculo.

2

π/6 rad B A

b)

En el siguiente círculo:

Reconocemos los datos: θ = p / R = 6 m 6

6m O

Observación

6m 6p m O

Usamos la expresión: S = qR 2 p _ 6 i2 = 36p ` S = 3p m2 S= 6 2 12 Reconocemos los datos: L = 6p m / R = 6 m Usamos la expresión: S = LR 2 S=

B

(6p)_ 6 i 2

` S = 18p m2

Nota El uso de una u otra expresión dependerá exclusivamente de los datos con que cuenten en cada problema que se intente resolver. Además no se debe olvidar que el ángulo central debe tener su medida expresada en radianes.

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2

15

A

c)

O

3π m

π/6 rad

Atención Para calcular el área de un sector circular ten en cuenta los datos que te proporcionan para usar cualquiera de las expresiones adecuadamente:

B

2. Calcula el área del trapecio circular ABCD en términos de L1; L2 y h.

R; L

R1

A L1

L2 S

θ

O

2 S= L 2q

L; q

Donde: R1: radio del sector circular COB. R2: radio del sector circular AOD. L1: longitud de arco BC. L2: longitud de arco AD. θ: número de radianes del ángulo. S: área del trapecio circular.

B

S = 1 qR2 2 S = LR 2

R; q

Reconocemos los datos: L = 3p m / q = p rad 6 2 L Usamos la expresión: S = 2q 2 _ 3p i ` S = 27p m2 S= 2a p k 6

R2

D

C

h

Sean S1 y S2 las áreas de los sectores circulares BOC y AOD, respectivamente. Entonces el área de la región sombreada se puede expresar como: S = S1 - S2 ....(1) 2 Reemplazando la expresión qR (área de un sector circular) en (1): 2 S=

qR12 qR 22 q 2 = _R1 - R 22i 2 2 2

(qR1 + qR 2) h S = q (R1 + R2)(R1 - R2) = 2 2

De la expresión: L = qR

` S=

(L1 + L 2) h 2

3. Calcula el área de los trapecios circulares en función de S. Nota Análogo a las expresiones para calcular el área de un sector circular se puede deducir otras expresiones para el cálculo del área de un trapecio circular: (L + L2) h S= 1 2

S

L1 R1 - L2 R2 2

Dejamos al demostración expresiones.

lector la de estas

S2

Del gráfico tenemos:

L2 - L22 S= 1 2q S=

S1

a θ S a

O

S1 a

• S + S1 + S 2 = S 3S

Sabemos: 2 2 S = q.R = q.a 2 2 Además:

a

a

a

S3

S2 a

S3

• S + S1 =

a

2 q _ 3a i = 9 d q.a n   & S2 = 5S 2 2 2

S S

• S + S1 + S2 + S3 =

2 q _ 4a i = 16 d q.a n   & S3 = 7S 2 2 2

S S

En general, se cumple: S 3S



16 Intelectum 1.°

5S

7S

9S

2 q. _ 2 a i = 4 d q.a n   & S1 = 3S 2 2 2

S S

t

Problemas resueltos 1

Calcula el área del sector circular.

Del dato: L.R = 36p Pero: LR = 36p & S = 36p = 18p 2 2 2 ` El área del sector circular es 18p.

6m

π rad 3 6m

5

Resolución:

Resolución:

2 S = q.R 2 p ._ 6 i2 p .6 = 3 = 2p = p S= 3 2 2 2 ` El área del sector circular es p m2.

2

Del dato: S = 3L Entonces:

Calcula el área del sector circular. R

3π rad 10

¿Cuánto debe medir el radio de un sector circular para que su área sea numéricamente igual al triple de su longitud de arco?

3π

6

q.R 2 = 3_q.Ri 2 2 θ . R = 6θ . R R2 = 6R R . R = 6R & R = 6

Calcula el área de la región sombreada.

R





Resolución:

2 _ 3 pi = 3 p = 5p 3p 2 d 3p n 5 10 ` El área del sector circular es 5p.

3

2

S=

Calcula el área del sector circular.

O

45°

A

D O B

S

30° 3

C

B

16 cm

5

B

C

5

B

Del gráfico, se observa que el área de la región sombreada es igual al área del sector circular AOB menos el área del sector circular COD. Primero, transformamos el ángulo en radianes:

30° = 30° d p rad n = p rad 180° 6 Luego: S = SO A - SO D

16 cm

p _8 i p _ 3 i2 64p - 9p 55p 6 6 = 6 - 6 = 6 S= 2 2 2 2 ` El área de la región sombreada es 55p . 12

A

El área de un sector circular es: 2

S = q.R , donde el ángulo q tiene que estar expresado en 2 radianes. & 45° = 45° d p rad n = p rad 180° 4 p ._16i2 p .256 a k = 4 = 64p &S= 4 2 2 2 ` El área del sector circular es 32p cm2. En un sector circular, el producto de la longitud del radio y el arco es 36p. ¿Cuál es el área del sector circular?

Resolución: Sabemos que el área del sector circular es: S = L.R 2

C

2

Resolución:

4

30° 3

O

Resolución: 2 S= L 2q

A

D

7

Calcula el área de la región sombreada: 4m

5m

Resolución: Sea S el área de la región sombreada R1 = 5 m y R2 = 4 m. Del gráfico se observa: S = pR12 - pR 22 = p (R12 - R 22) Luego: ` S = 9π m2 S = π(52 - 42) = π(25 - 16) TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2

17

Razones trigonométricas de ángulos agudos Conceptos previos Ángulo agudo

Es aquel ángulo cuya medida se encuentra entre 0° y 90°. Si: 0° < a < 90° & a es agudo.

Recuerda Al dibujar un triángulo rectángulo considera lo siguiente: Sea el ACB recto en C:

Triángulo rectángulo

Es aquel triángulo que posee un ángulo recto. B

B

C

a

c

C

b

Donde: a; b; c: longitudes de los lados AC; BC: catetos AB: hipotenusa

A

Las longitudes de los lados correspondientes a cada ángulo se denotan con letras minúsculas según corresponda, entonces:

A

Teorema de Pitágoras. En el triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. A

B a C

2

2

2

c

c =a +b

b

Teorema de Pitágoras

A

Donde: a; b; c: longitudes de los lados correspondientes a cada ángulo.

c

B

b C

a

Posición relativa de catetos. Los catetos de un triángulo rectángulo pueden denominarse tanto opuestos como adyacentes respecto a un ángulo dependiendo de su posición relativa. Para a: a: cateto opuesto b: cateto adyacente Para q: b: cateto opuesto a: cateto adyacente

C a

b A

α

θ

c

B

Razón

En términos generales, es la comparación de dos cantidades. Para las longitudes de los lados de un triángulo, esta comparación se determina mediante su cociente. Comparando los lados del triángulo ABC, obtenemos 6 razones:

B c

A

Efectuar

C

b

Halla x en cada caso. x

5 12

18 Intelectum 1.°

a, b, c, a, b, c b a a c c b

a

17

x 15

25

7 15

t

Razón trigonométrica (RT)

Una razón se llama trigonométrica, si comparamos por cociente las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos. Sea el ángulo q, en el triángulo rectángulo ACB. B

a: cateto opuesto a q b: cateto adyacente a q c: hipotenusa

c A

a

θ

Atención

C

b

En un triángulo, a mayor ángulo se le opone un mayor lado; para un triángulo rectángulo se concluye entonces:

Las razones trigonométricas para el ángulo q se definen en la siguiente tabla:

A

Razón trigonométrica

Definición

seno

Notación

Se lee

cateto opuesto hipotenusa

senq

seno de q

coseno

cateto adyacente hipotenusa

cosq

coseno de q

b c

tangente

cateto opuesto cateto adyacente

tanq

tangente de q

a b

cotangente

cateto adyacente cateto opuesto

cotq

cotangente q

b a

secante

hipotenusa cateto adyacente

secq

secante de q

c b

hipotenusa cateto opuesto

cscq

cosecante de q

c a

cosecante

En el

ABC a c

b C

a

c B

b>a / b>c

Ejemplo: 1. Calcula las razones trigonométricas del ángulo q: Por el T. Pitágoras: x2 + 92 = 412 x2 = 412 - 92 x2 = (41 + 9)(41 - 9)  & x = 40

q x

41 9

Por lo tanto: senq = 9 41

cosq = 40 41

tanq = 9 40

cscq = 41 9

secq = 41 40

cotq = 40 9

Importante Si conocemos una razón trigonométrica para un ángulo, podemos calcular las demás.

ABC(C = 90°), se cumple: senA = 7 . Calcula el resto de las razones trigonométricas de A. 25 a = 7k Del dato: Sen A = 7 = a & ( 25 c c = 25k 2. En un

B 25k

A

b

7k C

Por el teorema de Pitágoras: b2 + (7k)2 = (25k)2 b2 + 49k2 = 625k2 b2 = 576k2 & b = 24k

Luego, las razones trigonométricas faltantes serán: cosA = b = 24 c 25

tanA = a = 7 b 24

secA = c = 25 b 24

cscA = c = 25 a 7

cotA = b = 24 a 7

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2

19

Problemas resueltos 1

Halla x.

4 17

1

En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto de uno de sus ángulos agudos es la mitad de la hipotenusa. Calcula la cotangente de dicho ángulo.

Resolución: x

Sea a el ángulo agudo, del enunciado:

Resolución:

c

Aplicamos el teorema de Pitágoras: _ 17 i = 1 2 + x 2 2

17 = 1 + x

2

2

&

b

x = 16 `x=4

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo: a2 + b2 = c2 ...(2)

ABC.

C

Reemplazamos (1) en (2): a2 + b2 = (2a)2 b2 = 4a2 - a2 b2 = 3a2 b= a 3 ... (3)

13

5

α

B

A

De (1) y (3):

Resolución: Aplicamos el teorema de Pitágoras en el 2

a

α 2

Calcula las razones trigonométricas de α en el

2

Por dato: a= c 2 c = 2a ... (1)

2

x + 5 = 13 x2 = 132 - 52 x2 = 169 - 25 x2 = 144 x = 12

2a

ABC.

C

a

` cota = 3

α

13

5 B

x = 12

Luego, las razones trigonométricas de α serán: sena = CO = 5 cota = H 13 CA 12 cosa = = seca = H 13 tana = CO = 5 csca = CA 12

Nos piden cota: cota = CA = a 3 CO a

CA = 12 CO 5 H = 13 CA 12 H = 13 CO 5

a 3 α

A

5

Halla: S = sena + cosa 3 α

13



Resolución: Hallamos primero b:

3

En un triángulo ABC (B = 90°) . Calcula: L = senAcscA + cosAsecA

α

Resolución:

13

Graficando tenemos:

Por el teorema de Pitágoras: 2 _ 13 i = b 2 + 3 2

A c B

b a

C

& L = a a kd b n + a c kd b n b a b c `L=2

20 Intelectum 1.°

3

b

13 = b 2 + 9 Luego:

&

b2 = 4

&

S = sena + cos a = 3 + 2 13 13 5 `S= 13

b=2

t

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS En cuanto a las razones trigonométricas de ángulos agudos, se pueden apreciar dos propiedades importantes:

Razones trigonométricas recíprocas

Sea el triángulo rectángulo ABC:

B c

a

α

A

Para el ángulo A, se cumple: sena = a csca = c c a

C

b

cosa = b c

seca = c b

tana = a b

cota = b a

Observación A las razones recíprocas también se les conoce como “razones inversas”.

Se llaman razones trigonométricas recíprocas al par de razones cuyo producto es igual a la unidad. Luego, de las razones trigonométricas en el recuadro, se deduce: • seno y cosecante son recíprocas.

sena.csca = 1

• coseno y secante son recíprocas.

cosa.seca = 1

• tangente y cotangente son recíprocas.

tana.cota = 1

Ejemplos: Calcula el valor de x en cada caso: 1) sen2x.csc40° = 1; seno y cosecante son recíprocas & 2x = 40° = ` x = 20° 2) cos3x.sec(x + 40°) = 1; coseno y secante son recíprocas & 3x = x + 40° = 2x = 20° ` x = 10°

Nota sena.cscq = 1 & a = θ tanx.coty = 1 & x = y cosb.secw = 1 & b = w Para todo: a; q; x; y; b; w agudos

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

Sea el triángulo rectángulo ABC:

B c

A

α

b

θ

a C

Aplicando las definiciones de razones trigonométricas se tiene lo siguiente: csca = c = secq sena = a = cosq c a seca = c = cscq cosa = b = senq c b cota = b = tanq tana = a = cotq b a

Recuerda Razón

co-razón

seno

coseno

tangente

cotangente

secante

cosecante

Entonces, para dos ángulos complementarios α y θ (α + θ = 90°), se puede plantear: razón trigonométrica (a) = co-razón trigonométrica (q) Ejemplos: • sen40° = cos(90° - 40°) = cos50° • tan10° = cot(90° - 10°) = cot80° • sec20° = csc(90° - 20°) = csc70° • Si tan3x = sen(z + 50°) sec(40° - z), calcula: B = tan3x + 1 14 424 43 tan3x = cos[90° - (z + 50°)] sec(40° - z) tan3x = cos(40° - z) sec(40° - z) & tan3x = 1 1 444444 2 44444 43 1 & B = tan3x + 1 = 1 + 1 ` B = 2 TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2

21

Problemas resueltos 1

Calcula x: sen50°. csc _ x - 10°i = 1

6

Resolución:

Resolución:

Si: senq. csc b = 1 & q = b Del dato: 50° = x - 10° & 50° + 10° = x ` x = 60° 2

Calcula x: cos p = senx 5

Como: sen40° = cos50° / tan35° = cot55° Entonces: M = sen40° + tan 35° sen40° tan 35° M = 1+1 & M=2 7

Resolución: Si: cosα = senβ & α + β = 90° & a + b = p rad 2 Del dato: p +x = p 5 2 p & x = - p = 5 p - 2p = 3 p 2 5 10 10 3 p `x= rad 10



3

Resuelve: tan _3x - 8°i . cot _2x + 4°i = 1

Como: cos10° = sen80°, y csc20° = sec70° Entonces: 3 M = < sen80° + sec70° F sen80° sec70°

M = 71 + 1 A3 & M = 23 = 8

8

Calcula: E = cosa. seca + 7 1 + tana. cota

Resolución:

Si: tanα. cotb = 1 & a = b Entonces: 3x - 8° = 2x + 4° 3x - 2x = 4° + 8° ` x = 12°

como: cosa $ seca = 1 / tana. cota = 1 Luego: E = 1+7 = 8 & E = 4 1+1 2

Calcula x:

tan2x . cot( p - x) = 1 5

Resolución: Si: tanα . cotβ = 1 & α = β Del dato: 2x = p - x 5 & 3x = p ` x = p rad 15 5 5

Calcula: 3 M = < cos 10° + sec70° F sen80° csc20°

Resolución:

Resolución:

4

Calcula: M = sen40° + tan 35° cos 50° cot55°

Halla x. cos10° + 2x = sen80° + 20

Resolución: Si: cosa = senb & a + b = 90° Luego: cos10° + 2x = sen80° + 20 S & cos10° + 2x = cos10° + 20 2x = 20 & x = 10

22 Intelectum 1.°

9

Determina el valor de: E = tan1°tan2°tan3°...tan88°tan89°

Resolución: E = tan 1° tan 2° tan 3°... tan 88° tan 89° 1 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 44 3 Hay 89 tér min os

Además: tan89° = cot1° tan88° = cot2° tan87° ..= cot3° .

tan46° = cot44° Reemplazando en E: E = tan1°tan2°... tan44°tan45°cot44°... cot2° cot1° Agrupando convenientemente: E = _tan 1° cot 1°i_tan 2° cot 2°i ..._tan 44° cot 44°i tan 45° 1 4 4 2 4 4 3 1 4 4 2 4 4 3 1 4 44 2 4 44 3 1 1 1 ` E = tan45° = 1

unidad 3

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Se les dice notables a los triángulos cuya proporción de lados y/o las medidas de sus ángulos interiores son conocidas.

Triángulos exactos

La relación de proporción entre sus lados y la medida de sus ángulos se determinan a partir de polígonos regulares.

De 30° y 60° Por el teorema de Pitágoras: 30°

2L

60°

d

L

L

30°

d2 + L2 = (2L)2

2L

d=

60°

2L

3L

d2 = 3L2 3L

L

Observación Los triángulos rectángulos notables son una forma práctica para encontrar la relación de proporción de lados, conocido sus ángulos interiores o viceversa. Ejemplos: 1.

60° 2k 60°

De 45° L

d

45°

60° k

2.

Por el teorema de Pitágoras:

45° L

3k

45°

d2 = L2 + L2

L

2

2

d=

2L

2L

d = 2L

45°

L

m

L

2m α

a = 30°

L

Triángulos pitagóricos

Son aquellos triángulos rectángulos cuya medida de sus lados son valores enteros.

3k

5k

17k

15k

13k

5k

Atención

12k

Al conjunto de 3 números naturales que cumplen con el teorema de Pitágoras se conoce como terna pitagórica.

8k

4k

Triángulos aproximados

Son aquellos triángulos rectángulos que, además de la relación entre sus lados, sus ángulos agudos se aproximan a valores enteros.

Ejemplo: 32 + 42 = 52 3; 4; 5: terna pitagórica

De 37° y 53° α

3k

53° 5k

4k

a = 53°,13 . 53° q = 36°,87 . 37° θ

3k

5k

4k

37°

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

23

De 16° y 74° Recuerda En la práctica, para mediciones o cálculos pequeños, a los ángulos aproximados se les considera como valores exactos.

c

.

a

53°

36°,87 b

7k

74°

25k 16°

24k

Otros triángulos notables aproximados

c b

b = 73°,74 . 74° w = 16°,26 . 16°

ω

24k

53°,13 a

25k

β

7k

37° y 143° 2 2

37°

k

143° 2

53° y 127° 2 2

k 10

k

127° 2

k 5

37°/2

3k

8° y 82°

2k

k

82°

5 2k

53°/2

8°

7k

Ejemplos: 1. Calcula a. Resolución: 30° y 60°

60°

a

2 3

Observación

Del gráfico: k 3 =2 3 &k=2 a = 2k = 2(2) ` a=4

2k

30° k 3

30°

2. Calcula m.         Resolución: 37° y 53°

Estos triángulos se obtienen a partir de otros triángulos notables.

m

15

53°

Del gráfico: 3p = 15 & p = 5 m = 4p = 4(5) ` m = 20

5p

3p 37°

4p

 

37°

Efectuar 1. Halla x.

3. Halla x. 80

5. Halla x. x

8

x

30°

4. Halla x.

2. Halla x. 60°

30 x

24 Intelectum 1.°

30°

x

10

6. Halla x. 8 2

x x

45°

45°

6 x

37°

t

Problemas resueltos 1

Halla x.

4

Calcula (b - a). b

6

x

30° x

a

3 3

Resolución: Del triángulo de 30° y 60° tenemos:

Resolución: De triángulo de 45° tenemos: &a 2 =

45°

a 2 =

a 2

a

6

2m

3$ 2

a=

30°

3

Luego: x = a a

2

45°

 ` x =

5 25

a

2

a

b

Resolución:

Resolución:

Del triángulo de 37° tenemos: 2

Del triángulo de 37° y 53° tenemos: & 5k = 25 k=5

53° 5k

3

Calcula (a2 +1).

37°/2

37°

37°

m 3

Luego: a = m = 3 / b = 2m = 2 . 3 = 6 Por lo tanto: b - a = 3

3

Calcula (a + b).

&m 3 =3 3 m=3

m

3k

m

Luego: b = 4k = 20 / a = 3k = 15

37°/2

Por lo tanto: a + b = 35

4k

Calcula x.

3m

Luego: a = 3m = 3 . 2 = 6 Entonces: a2 + 1 = 62 + 1 = 37 6

Calcula c x + 1 m . 3

8 2

45°

x

a

a

4

Resolución: 45°

45°

53°/2

x-2

Resolución:

a 2

&m=2

Del triángulo de 45° tenemos: a 2 =8 2 a=8 Luego: x-2=8 ` x = 10

Del triángulo de 53° tenemos: 2

m 53°/2

2m

& 2m = 4 m=2 Luego: x = m = 2 Por lo tanto: x+1 = 2+1 = 1 3 3

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

25

7

Halla x.

53° 5k

6 8°

2x - 6

37°

Resolución: Del triángulo de 8° y 82° tenemos: 82°

5 2k 8°

8

k=6 Luego: 2x - 6 = 7k 2x - 6 = 7 . 6 2x = 42 + 6 ` x = 24

k

7k

4k

11 Halla (a + b), en: a

7

37°

b

Calcula a. 3a - 7

Resolución:

16°

48

Del triángulo de 37° y 53° tenemos:

Del triángulo de 16° y 74° tenemos:

24k = 48 & k = 2 Luego: 3a - 7 = 7k 3a - 7 = 7 . 2 3a = 21 `a=7

25k

7k

& 3k = 7 & k = 7 3

53°

Resolución:

24k

9

3k

& 3k = 24 k=8 Luego: (2x - 6) = 5k & (2x - 6) = 5(8)  2x = 46  ` x = 23

16°

Halla a.

5k

3k

Luego: a = 5k b = 4k 37°

4k

Piden: (a + b) = 5k + 4k = 9k a + b = 9k = 9 c 7 m = 21 3 ` a + b = 21

(2a - 10)

12 Halla (x + y) en: 30° 8 3

Resolución:

3 2

Del triángulo de 30° y 60° tenemos: 60°

2k

k

30° k 3

&k 3 =8 3 k=8 Luego: (2a - 10) = 2k 2a - 10 = 2(8) 2a = 26 ` a = 13

45° x

Del triángulo de 45° tenemos:

10 Halla x.

37°

Resolución: Del triángulo de 37° y 53° tenemos:

26 Intelectum 1.°

37°

Resolución:

45° x

(2x - 6)

y

x 2 =3 2 x=3

x

Del triángulo de 37° y 53° tenemos: 24 5k

3k

4k

37°

& 3k = 2x  3k = 2(3)  3k = 6   k=2 & y = 4k = 4(2) = 8 &x+y=3+8 ` x + y = 11

t

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Las razones trigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de triángulos rectángulos notables donde las medidas de sus lados están relacionadas en una determinada proporción. Así tenemos:

Triángulo rectángulo de 30° y 60°

2k

k

30° k 3

RT

sen

cos

tan

cot

sec

csc

30°

1 2

3 2

1 3

3

2 3

2

60°

3 2

1 2

3

1 3

2

2 3

sen

cos

tan

cot

sec

csc

1 2

1 2

1

1

2

2

m+

Triángulo rectángulo de 45° 45°

m+

k 2

k

45°

45°

k

RT

Recuerda Las razones trigonométricas son las razones entre los lados de un triángulo rectángulo.

Ángulos aproximados

Anteriormente, definimos triángulos rectángulos notables aproximados cuyos ángulos no son enteros exactos.

Ejemplo: sen30° 2k

Triángulo rectángulo de 37° y 53°

k

30° k 3

37° 5k

4k

53°

3k

RT

sen

cos

tan

cot

sec

csc

37°

3 5

4 5

3 4

4 3

5 4

5 3

53°

4 5

3 5

4 3

3 4

5 3

5 4

m+

sen30° = k 2k sen30° = 1 2

Otros ángulos notables 8° y 82°

5 2k

82° k

8°

7k

RT

sen

cos

tan

cot

sec

csc

8°

1 5 2

7 5 2

1 7

7

5 2 7

5 2

82°

7 5 2

1 5 2

7

1 7

5 2

5 2 7

m+

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

27

37° y 143° 2 2 Recuerda Si se conoce el valor de una razón trigonométrica de un ángulo notable, es posible calcular dicho ángulo.

k

Ejemplo: Calcula q si es agudo donde: senq = 1/2 Resolución: Graficando observamos: notable de 30° y 60°. ` q = 30° 2

k 10

3k

cos

tan

cot

sec

csc

37° 2

1 10

3 10

1 3

3

10 3

10

37°/2

143° 2

3 10

1 10

3

1 3

10

10 3

sen

cos

tan

cot

sec

csc

53° 2

1 5

2 5

1 2

2

5 2

5

127° 2

2 5

1 5

2

1 2

5

5 2

   53° y 127° 2 2

1

θ

143° 2

RT

sen

m+

k

m+

127° 2

5k

2k

53°/2

RT

Conclusión

En un triángulo rectángulo notable se pueden calcular las razones trigonométricas de sus ángulos interiores dado que la relación de proporción entre sus lados es conocida. Nota La razón de un ángulo es igual a su co-razón si estos suman 90°:

Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas de los ángulos en el triángulo rectángulo notable de 16° y 74°.

R T( a) = co-rt(b) + a + b = 90°

m+

sen30° = cos60° sec53° = csc37° tan45° = cot45°

16° 25k

24k

Ejemplos: RT recíprocas: sena = 1 ; cosa = 1 csc α sec α tana = 1 cot α

74° 7k

RT

sen

cos

tan

cot

sec

16°

7k = 7 24k = 24 7k = 7 24k = 24 25k = 25 25k = 25 25k 25 25k 25 24k 24 7k 7 24k 24 7k 7

74°

24k = 24 7k = 7 24k = 24 7k = 7 25k = 25 25k = 25 25k 25 25k 25 7k 7 24k 24 7k 7 24k 24

Efectuar 1. Calcula: A = sen30° + tan53° 2. Calcula: M = 5sen53° + 3 sen60° 3. Halla: T = sen245° + sen30° 4. Halla: M = sen37° . cos45° . tan60° 5. Halla: A = sec60° + csc53°

28 Intelectum 1.°

csc

6. Halla:

M = 5 c sen53° + cos 53° + 1 m 5

7. Halla: T = 10sen30° + 6sen45°cos45° 8. Calcula: A=

sen37° + cos 37° + 3 5

9. Calcula: T = csc37° + sec45°

t

Problemas resueltos 1

Calcula M. M = 7tan8° + 2

Resolución:

B= 6. 1 +2- 7 3 7 B=2+2-1 ` B=3

Resolución:

M= 7. 1 +2 7 M=1+2

2

7

Q=

Halla el valor de A. A = sen30° + tan53°

Resolución:

A = 1/2 + 4/3 ` A = 11/6 8

Calcula: 2

2

    M = 4c 3 m 4 ` M=3

9

Efectúa: 3 csc 60c +

Resolución:

3. 2 3

+

2 sen45c - 3

2. 1 -3 2

 K = 2 + 1 - 3 ` K=0 5

Si α = 15º, calcula: L = sen2α.sen3α.sen4α

Resolución: L = sen30°.sen45°.sen60° L = c 1 mc 2 mc 3 m 2 2 2 `L= 6

Q=

7 - 6 25 25

Efectúa: P = 6 tan 60c . sec 45c@2 + 18 tan 53c 2 P = 6 3 . 2 @ + 18 . 4 3 P=3.2+6.4 ` P = 30

M = ^ 2 h ^ 2 hc 3 m 4

K=

7 - 2.3 25 5 5

Resolución:

Resolución:

K=

Q=

` Q = 1/5

M = csc 45°. sec 60°. tan 37°

4

sen16° - 2 sen37° 5

 ` M = 3

Resolución:

3

Halla el valor de Q.

6 8

Calcula B. B = 6tan 37° + cot 53° - tan 82° 2 2 7

Calcula: H = 4sen30° + 3sec 60°

Resolución: 1

H = 4 2 + 32 H = 2 + 9 ` H = 11 10 Calcula: R=

8 sec 60° . tan 45° + 3 tan2 60°

Resolución: 8 . 2 . 1+ 3 . ( 3 )2

R=

R = 16 + 9 ` R = 5 11 Calcula: M=

8 tan 37° + 3 tan 30° + sec2 45°

Resolución: 8 . 3 + 3 . 1 + ( 2 )2 4 3 M= 6+1+2 M=

` M = 3

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

29

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Es el procedimiento mediante el cual se calculan los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, en función de un lado conocido y de un ángulo agudo, también conocido. El criterio a emplear es el siguiente: Lado desconocido = RT (ángulo conocido) Lado conocido Se tienen los siguientes casos: Conocidos el ángulo agudo y la hipotenusa del triángulo.

Atención Resolver un triángulo rectángulo es calcular sus lados, si se conocen un lado y un ángulo agudo.

H

θ Cateto adyacente aθ

A

Hsenθ

H

L

Resolución:

Cateto opuesto a θ

Resuelve:

C

α

x

B

y

Conocidos el ángulo agudo y el cateto opuesto a dicho ángulo.

θ Hcosθ

C

θ

b

ac

y

a

θ acotθ

A

α

L

B

x

        Aplicando: x = cota & x = Lcota L y = csca & y = Lcsca L

θ

btanθ

ec

θ

Conocidos el ángulo agudo y el cateto adyacente a dicho ángulo. bs

Cateto opuesto a θ

Hip

ote

nu

sa

θ Cateto adyacente aθ

scθ

sa nu ote Hip

a

       Aplicando: x = sena & x = Lsena L y = cosa & y = Lcosa L

C

b

y

A

x

α

B

L

      Aplicando: x = tana & x = Ltana L y = seca & y = Lseca L

Ejemplos: Resuelve los siguientes triángulos rectángulos. 1.er caso

10 45°

30 Intelectum 1.°

x

x = 10sen45° = 10 c 2 m = 5 2 2

y = 10cos45° = 10 c 2 m = 5 2 y

2

t 53° 8

x = 8sen53° = 8 # 4 = 32 5 5

y

Observación

y = 8cos53° = 8 # 3 = 24 5 5

x

De los ejemplos mostrados es notorio que cuando se nos da un triángulo rectángulo, por lo menos uno de los datos resulta ser un lado.

2.° caso 60°

y

x = 6cot60° = 6 #

x

y = 6csc60° = 6 # 2 3 = 4 3 3

6

y

37°

3 =2 3 3

x = 5cot37° = 5 # 4 = 20 3 3

5

Atención

y = 5csc37° = 5 # 5 = 25 3 3

x

En un triángulo isósceles se cumple:

3.er caso

a

a

q

4 30°

x = 14tan53° = 14 # 4 = 56 3 3

14 y

q

y = 4sec30° = 4 # 2 3 = 8 3 3 3

y

x

3 = 4 3 3 3

x = 4tan30° = 4 #

x

x

x = 2a cosq

y = 14sec53° = 14 # 5 = 70 3 3

53°

Efectuar 1. Halla x.

3. Halla x. 20

5. Halla x. 2x

x

30°

x

a

θ

2. Halla x.

10

6. Halla x.

4. Halla x. 37°

x

2a θ

x

45°

12 n

2x

45°

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

31

Problemas resueltos 1

Halla el área del siguiente triángulo:

En el ACD (conocidos el ángulo agudo y la hipotenusa): AC = msena En el ABC (conocidos el ángulo agudo y la hipotenusa (msena)): ` x = msenacosa

k α

4

Siendo ABCD un cuadrado, halla: tana + tanq B

Resolución: Del gráfico:

B

BC = ksena AC = kcosa

k A

α

C

D

Resolución: B

2

En la figura, halla x:

C Ltanα

Ltanθ

B

5

β

x

θ

A

n

m α

L

α

AC.BC = kcosα . ksen α & k sen α . cos α 2 2 2

A

θ

A

Área de un triángulo:

2

C

α

Sea el cuadrado de lado L:

L = L tan α + L tan θ ` tan α + tan θ = 1

D

L

Halla x en función de α y a.

C



x

Resolución: Del gráfico: Trazamos la altura BH. Se conocen el ángulo agudo y la hipotenusa, entonces: AH = mcosa HC = ncosb Piden x: x = AH + HC x = mcosa + ncosb

B n

m A

3

α

β

H

x

C

α

a

Resolución: asenα

x = cos α      asen α

α

x

` x = asen α. cos α α

a

Halla x en función de a y m. 6

Del gráfico adjunto, halla cotq, si: tana = 1/4

x m

α α

Resolución: En el gráfico: B

C

x

msenα α

A

90° - α

32 Intelectum 1.°

θ

Resolución: cot α = atanθ m

α

D

α

a

θ

a

2a = 2 a tan θ tan θ

1 = 2 cot θ & cot θ = 1 tan α 2c 1 m 4 ` cotθ = 2

t

ÁNGULOS VERTICALES

Conceptos básicos

Línea vertical: es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada. Línea horizontal: es toda aquella línea perpendicular a la vertical. Plano vertical: es aquel que contiene a toda línea vertical. Línea de mira: llamada también línea visual, es aquella línea recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto observado.

Atención • El ángulo es de elevación, cuando el objeto observado está por encima de la línea horizontal. Objeto observado

α Observador

•  Cuando no se menciona la altura del observador se considera un punto.

Ángulos verticales

Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados por la línea de mira o visual y la línea horizontal que parten de la vista del observador. Los ángulos verticales pueden ser:

Ángulo de elevación

Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.

• El ángulo es de depresión, cuando el objeto observado está por debajo de la línea horizontal. Observador β

Ángulo de depresión

Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.

a: ángulo de elevación.

b: ángulo de depresión.

0° < a < 90°

0° < b < 90°

Ejemplo: Desde un punto situado a 40 m de la base de una torre, se observa la parte más alta de esta con un ángulo de elevación de 37°. Calcula la altura de la torre.

Ejemplo: Desde lo alto de un edificio de 48 m de altura se ve un objeto en tierra con un ángulo de depresión de 53°. ¿A qué distancia de la base del edificio se encuentra el objeto?

Resolución: Sea “H” la altura de la torre:

Resolución: Sea “d” la distancia:

Ángulo de elevación Línea horizontal

Línea horizontal Ángulo de depresión

Objeto observado

Nota El ángulo formado por dos líneas de mira se denomina ángulo de observación:

q: ángulo de observación.

• Del gráfico: tan37° = H/40 & H = 40tan37° H = 40(3/4) H = 30 m

• Del gráfico: cot53° = d/48 & d = 48cot53° d = 48(3/4) d = 36 m TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

33

Problemas resueltos 1

Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación α, si el punto de observación está a una distancia d de la base del poste, ¿cuál es la altura del poste?

5

A 20 m del pie de un poste, el ángulo de elevación para lo alto del mismo es de 37°. ¿Cuál es la altura del poste?

Resolución:

Resolución:

Sea "h" la altura del poste:

Sea "h" la altura del poste:

h = 20 tan37° h = 20( 3 ) 4 ` h = 15 m

Del gráfico: h = tanα d & h = dtanα 6 2

La línea de mira y el ángulo de elevación desde un punto en tierra hacia la parte más alta de una torre son 20 m y 30°, respectivamente. Calcula la altura de la torre.

Desde lo alto de un edificio de 20 pisos cada uno de 2,5 m de altura; se divisa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión “a” (tana = 1,25). ¿A qué distancia del edificio se halla el objeto?

Resolución:

Sea "x" la distancia:

Resolución:

Sea "h" la altura de la torre: h = 20sen30°  h = 20 c 1 m 2 ` h = 10 m Del gráfico tana = 50 & 125 = 50   & x = 40 m x 100 x

3

Una persona observa un avión, que vuela a 600 m de altura, con un ángulo de elevación de 37°. ¿Qué distancia hay en ese momento entre el avión y la persona?

7 Desde la parte superior de una colina se divisa con ángulo de depresión de 53° a un punto del suelo. Si la línea visual mide 100 m. Calcula la altura a la que se encuentra el observador.

Resolución:

Resolución:

Sea "x" la distancia entre el avión y la persona:

Sea "h" la altura: h = 100 sen53° h = 100 . 4 5 ` h = 80 m

x = 600csc37°  x = 600 c 5 m 3 ` x = 1000 m

4

Desde el punto A situado a 300 m de la base de una torre se observa la parte más alta de esta con un ángulo de elevación de 30°. Calcula la altura de la torre.

8

Desde un punto en tierra ubicado a 16 m de una torre de 12 m de altura, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación “q”. ¿Cuál es el valor de q?

Resolución:

Resolución:

Sea "h" la altura de la torre: h  = tan30° 300     h = 300 c 3 m 3 ` h = 100 3 m

34 Intelectum 1.°

Del gráfico: tanq = 12 = 3 & q = 37° 16 4

unidad 4

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Es un sistema que utiliza pares de números llamados coordenadas para ubicar un punto en un plano cartesiano.

Plano cartesiano

El plano cartesiano se forma al cortarse de manera perpendicular dos rectas; la recta horizontal se llama eje de las abscisas y la recta vertical se llama eje de las ordenadas. Además, el punto de intersección se denomina origen. y

O

Donde: x: eje de las abscisas. y: eje de las ordenadas. O: origen.

x

A todo punto P del plano cartesiano se le puede asociar un par ordenado. Dado el punto (a; b), su ubicación en el plano cartesiano será: a

P(a; b)

b

Donde: a y b son las componentes de P. a: abscisa de P. b: ordenado de P.

b

O

a

a

El plano cartesiano a su vez se divide en 4 regiones o cuatro cuadrantes. y

IIC

IC x

IIIC

IVC

IC : primer cuadrante. IIC : segundo cuadrante. IIIC : tercer cuadrante. IVC : cuarto cuadrante.

Ubicación de un punto en el plano cartesiano

b

Nota

Observación Dados S(3; 0) y R(0; -2), su ubicación en el plano cartesiano será: y 3

Ejemplo: Ubica en el plano cartesiano los siguientes puntos: A(2; -7); B(5; 3); C(-2; -5) y D(-4; 6). D(-4; 6)

y

1 -3 -2 -1 0 -1

S(3; 0) 1

2

3

x

-2 R(0; -2)

6 5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 C(-2; -5) -5 -6 -7

2

-3

B(5; 3)

1 2 3 4 5

x

A(2; -7)

Distancia entre dos puntos

Dados los puntos A y B, podemos calcular la distancia entre ellos, de la siguiente forma: y y2 A(x1; y1)



x1

Atención

B (x2; y2) d

y1

O

d= x2

x

(x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2

A cada punto del plano le corresponde uno y solo un par ordenado de números, donde existe primera componente y segunda componente.



TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4

35

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos N(3; 5) y M(8; -7) Resolución:

y

Nota

N(3; 5)

5 4 3 2 1

La distancia entre dos puntos A y B la podemos denotar así: d(A; B)

-5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

1 2 3 4 5 6 7 8 d

x

d=

(3 - 8) 2 + (5 - (- 7)) 2

d=

(5) 2 + (12) 2

d = 169 d = 13 M(8; -7)

Punto medio de un segmento

Dado el segmento AB, que tiene como extremos a los puntos A(x1; y1) y B(x2, y2), hallaremos el punto medio de dicho segmento utilizando la siguiente fórmula: y A(x1; y1)

y1

Las coordenadas del punto medio M serán:

M(x; y) y2

Ten en cuenta

d(A; M) = d(M; B)

B(x2; y2) x2

x1

O

Dado M punto medio del segmento AB, se cumple:

x=

x1 + x2 y +y y = 1 2 2 2

Luego, el punto medio es: M(x; y)

x

Ejemplo: Halla las coordenadas del punto medio del segmento que tiene por extremos a los puntos R(3; 4) y S(-5; 2). Resolución:

y

M(-1; 3)

S(-5; 2)

5 4

R(3; 4)

x=

3 2 1

3 + (- 5) - 2 = =- 1 2 2

y = 4+2 = 6 = 3 2 2

-5 -4 -3 -2 -1 O

1 2 3 4 5

x

Luego, el punto medio de SR es: M(-1; 3)

Observación El radio vector se obtiene calculando la distancia del origen O que tiene como coordenadas (0, 0) y al punto P(a; b). Es decir: d(O; P) =

(a - 0) 2 + (b - 0) 2

d(O; P) =

a2 + b2

Radio vector

Es la distancia desde cualquier punto al origen del plano cartesiano. El radio vector de un punto P(a; b) está dado por: y P(a; b)

b

d(O; P) = r

Ejemplo: Calcula el radio vector del punto J(4; 3). y

J(4; 3)

3

r

2

a

O

r=

36 Intelectum 1.°

2

a +b

2

x

r

1 O

1

2

3

4

x

r=

42 + 32

r=

16 + 9 = 25

r=5

t

Problemas resueltos 1

¿A qué cuadrante pertenece el punto P(-5; -2)?

5

Resolución:

Si los vértices opuestos de un cuadrado son (-3; -2) y (4; 3), calcula el área de esta región cuadrangular.

Resolución:

Graficamos y observamos:

-5

-4

-3

-1

-2

d

x

O

d: diagonal

(4; 3)

y

-1 (-3; -2)

-2

P(-5; -2)

2

Si dos vértices seguidos de un triángulo equilátero son A(1; 1) y B(5; 4). Calcula el perímetro del triángulo.

6

Primero hallamos la distancia entre los puntos dados:

d

A(1; 1)

3

49 + 25

74 2

centro

2

= 37

y

M(-2; 1)

( 5 - 1 ) 2 + (4 - 1 ) 2

d=

d=

Halla el área del círculo:

Resolución: B(5; 4)

(4 - (- 3)) 2 + (3 - (- 2)) 2

d = 74

2 ` Área del cuadrado = d = 2

` El punto P ! IIIC.

d=

r

0

x P(1; -1)

d = 16 + 9 = 25

d

d=5

d

Resolución: (- 2 - 1) 2 + (1 - (- 1)) 2 (- 3) 2 + (2) 2 = 9 + 4

En un triángulo equilátero los tres lados miden igual. ` Perímetro del triángulo = 3 # 5 = 15

r= r=

Halla la distancia entre los puntos P(2; 3) y Q(-1; -3).

Hallamos el área: AC = área del círculo = pr2 = p( 13 ) 2 ` AC = 13p

Resolución: Ubicamos los puntos en el plano cartesiano: y

7

P(2; 3)

3

Q(-1; -3)



Los puntos extremos de la altura de un triángulo equilátero son M(-1; 2) y N(2; -2). Calcula el área del triángulo.

Resolución:

d -1 O

& r = 13

2

x

Graficamos los puntos dados: M(-1; 2) L

-3

Hallamos la distancia: d = (2 - (- 1)) 2 + (3 - (- 3)) 2 =

h

32 + 62 = 45

N(2; -2)

` d=3 5 4

Halla k si la distancia entre los puntos M(k; 1) y N(2; -5) es 10.

Resolución: d(M; N) =

(k - 2) 2 + (1 - (- 5)) 2 = 10

102 = (k - 2)2 + 62 & (k - 2)2 = 100 - 36 = 64 k-2=!8 ` k = 10 0 k = -6

Determinamos h: h = (- 1 - 2) 2 + (2 - (- 2)) 2 h=

32 + 42 = 25

Área del triángulo equilátero en función a su altura: S9 = h2 3 3

` S9 = 25 3 3

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4

37

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Ángulo en posición normal

Es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas y su lado final se ubica en cualquier región del plano o cuadrante. Nota

y

Un ángulo en posición normal es también llamado ángulo en posición canónica o estándar.

Vértice

θ

Lado inicial x

O

q: representa un ángulo en posición normal

Lado final del ángulo θ

Razones trigonométricas de ángulos en posición normal

Para calcular las razones trigonométricas se necesita un punto perteneciente a su lado final. Dado el siguiente gráfico, se definen las razones trigonométricas en la tabla mostrada:

Importante • El radio vector es la distancia de un punto del plano hacia el origen de coordenadas.

P(x; y)

y

r θ

(x; y) r

r=

O x

y

x

O

Donde: x: abscisa y: ordenada r: radio vector; r > 0

y

x

x2 + y2

senq = y/r

cscq = r/y

cosq = x/r

secq = r/x

tanq = y/x

cotq = x/y

Además, tomando en cuenta los signos que las coordenadas toman en el plano cartesiano podemos deducir los signos de las razones trigonométricas. Sean x1; y1 > 0 y

y

• El lado final, de todo ángulo en posición normal, determina el cuadrante de dicho ángulo.

(x1; y1)

(-x1; y1) II C

y1 I C a

a

x

x1

a

x

y

y

x

x

a

III C

IV C

(-x1; -y1)

(x1; -y1)

Luego, en cada uno de los cuadrantes, las razones trigonométricas tendrán los siguientes signos: y IC II C (+) seno Todas son (+) cosecante positivas III C IV C (+) tangente coseno (+) (+) cotangente secante (+)

38 Intelectum 1.°

x

t

Ángulos cuadrantales

Son aquellos ángulos en posición normal, cuyo lado final coincide con cualquiera de los semiejes cartesianos. En el siguiente gráfico mostramos los ángulos cuadrantales: y

y

y

180°

90° x

Nota Ángulo mayor a una vuelta:

y

x

360°

270° x

x

x

α α = 360ºn + x ; x 1 360º Donde: n es el n.° de vueltas.

Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales

En el siguiente cuadro se presenta el valor de cada una de las razones trigonométricas de los principales ángulos cuadrantales: mB

sen

cos

tan

cot

sec

csc

0°

0

1

0

ND

1

ND

ND

0

0

ND

90°

1

0

180°

0

-1

270°

-1

0

ND

360°

0

1

0

ND

Un ángulo cuadrantal no pertenece a cuadrante alguno, además, su medida siempre es múltiplo de 90°.

1

-1

ND

0

ND

-1

ND

1

Importante

Si: a es un ángulo cuadrantal &

a = 90°n , n ! Z

ND

ND: no determinado

Ángulos coterminales

Son aquellos ángulos trigonométricos, que tienen mismo lado inicial, vértice y lado final. y

β α

x

& Los ángulos a y b son ángulos coterminales.

Observación

Los ángulos coterminales cumplen las siguientes propiedades: a) Dados a y b ángulos coterminales & a - b = n(360°) ; n ! Z - {0} b) Las razones trigonométricas de dos ángulos coterminales son respectivamente iguales. Es decir, siendo α y β ángulos coterminales:

Resolución: a) 1380° y 300° 1380° - 300° = 1080° Calculamos el número de vueltas:

división exacta

b) 1230° y 260° 1230° - 260° = 970° Calculamos el número de vueltas: 970° 250°

1080° 360° - 3 & 1080° = 3(360°) = 3 vueltas 1 vuelta

792° - 72° = 720° = 2(360°) & 792° y 72° son coterminales Luego, se cumple: sen792° = sen72° cos792° = cos72° tan792° = tan72° cot792° = cot72° sec792° = sec72° csc792° = csc72°

sena = senb cosa = cosb csca = cscb tana = tanb cota = cotb seca = secb Ejemplo: Dado el siguiente par de ángulos, determina si son ángulos coterminales. a) 1380° y 300° y b) 1230° y 260°

Sean los ángulos 792° y 72°, tenemos:

360° 2 & 970° = 2(360°) + 250°

residuo

Observamos que 970° representa un número inexacto de vueltas, por lo tanto, 1230° y 260° no son coterminales.

Entonces 1380° y 300° son ángulos coterminales. TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4

39

Problemas resueltos 1

¿A qué cuadrante pertenecen los ángulos 2595° y 3840°? Grafica.

4

Resolución: Dividimos cada ángulo por 360° para determinar el número de vueltas. 2595° 360° 2520° 7 75° n.º de vueltas



Graficamos:

y

2

& 2595° ! IC.

5

& 3840° ! IIIC.

Sabemos: y sena = = - 2 r 2

y

x

& y=- 2 / r=2

r

Aplicamos el teorema de Pitágoras: x2 + y2 = r2 & x2 + (- 2 ) 2 = (2) 2 & x = - 2 (x ! IIC) & tana = y/x

Dos ángulos coterminales son entre sí como 2 es a 7. Halla la medida del mayor de dichos ángulos, si el menor se encuentra comprendido entre 200° y 300°.

Por lo tanto, el valor del ángulo mayor es: q = 7(144°) = 1008°

P(x; y)

6

Sea P(-2; -3) un punto del lado final de un ángulo α en posición normal, halla cscα.

Resolución:

` tana = - 2 = 1 - 2 3

Si: a ! IVC; b ! IIC y q ! IC; calcula el signo de: k = cos3atanbsen3q

-2

y

Analizamos cada uno de los ángulos según el cuadrante en donde se encuentran: ▪▪ Si: a ! IVC: cosa > 0 & cos3a = (+) ▪▪ Si: β ! IIC: tanb < 0 & tanb = (-) ▪▪ Si: θ ! IC: senq > 0 & sen3q = (+) Reemplazamos los signos en k: k = cos3atanbsen3q k = (+) . (-) . (+) k = (-) . (+) = (-) ` k es negativo.

x =- 2 y =- 3

α

x

r=

^- 2h2 + ^- 3h2

r = 13

Resolución:

40 Intelectum 1.°

r = 13

Si: n = 1 & k = 72° & b = 2(72) = 144° n = 2 & k = 144° & b = 2(144) = 288° n = 3 & k = 216° & b = 2(216) = 432° & k = 144° n = 1 / 3 se descartan (no están en el rango del valor que puedan tomar).

Graficamos el ángulo “a” en el IIIC:

α

4+9

Sabemos que en los ángulos coterminales se cumple: θ - β = 360°n 7k - 2k = 360°n & 5k = 360°n & k = 72°n

Resolución:

x

r=

Sean b y q los ángulos (b < q). β = 2k β 2 β θ & & = = θ = 7k θ 7 2 7

Si: sena = - 2 , a ! IIIC. Calcula tana. 2

y

^- 2h2 + ^- 3h2

Resolución:

3840°



-2

(-3; -2)

x

x



x

r=

` Q = - 2 - c - 3 m = 13 13 13 13 240°



y = - 2 / x = - 3 (β ! IIIC)

y β

-3

y

2595° 75°



Resolución:

3840° 360° 3600° 10 240° n.º de vueltas Indica el cuadrante

Indica el cuadrante

Si tan β = 2 y b ! IIIC, calcula: 3 Q = senb - cosb

P(-2; -3)

7

-3

` cscα = - 13 3

Verifica si los ángulos 130° y 1210° son coterminales.

Resolución: Si dos ángulos son coterminales, se cumple: b - a = 360°(n) Entonces: 1210° - 130° = 360°(n) & 1080° = 360°(n) n = 3 ! Z. ` Los ángulos 130° y 1210° son ángulos coterminales.

t

REDUC CIÓN A L PRIMER CUADRANTE

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Reducir un ángulo al primer cuadrante consiste en relacionar a las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud con las razones trigonométricas de un ángulo agudo (ángulo del primer cuadrante), obteniéndose una equivalencia. Se presentan los siguientes casos:

Primer caso

Para ángulos positivos menores a una vuelta Para reducir estos ángulos al primer cuadrante, se les debe descomponer en función al ángulo cuadrantal más cercano. Primera forma RT(180° ! a) = ! RT(a) RT(360° - a) = ! RT(a)

Donde: !: es el signo que tendrá la razón, el cual depende del cuadrante en el que se ubica el ángulo a reducir.

Observación Para determinar si un ángulo pertenece a un cierto cuadrante del plano cartesiano, el primer sumando tiene que ser un ángulo cuadrantal, tales como; 90°; 180°; 270° y 360°.

Ejemplos: Reduce al primer cuadrante las siguientes RT(razones trigonométricas). 1. tan217°. Resolución: tan217° = tan(180° + 37°) = tan37° = 3/4 Como 217° ! IIIC, entonces la tangente es positiva, su equivalente tan37° también es positivo. 2. sec300°. Resolución: sec300° = sec(360° - 60°) = sec60° =2 Como 300° ! IVC, la secante es positiva, entonces su equivalente sec60° también es positivo. Segunda forma RT(90° ! a) = ! CO-RT(a) RT(270° ! a) = ! CO-RT(a) Ejemplos: Reduce al primer cuadrante las siguientes RT. 1. sen150°. Resolución: sen150° = sen(90° + 60°) = cos60° = 1/2 Como 150° ! IIC, y allí el seno es positivo, entonces su equivalente cos60° también es positivo. 2. csc330°. Resolución: csc330° = csc(270° + 60°) = -sec60° = -2 Como 330° ! IVC, y allí la cosecante es negativa, entonces su equivalente será -sec60°.

3. cos150°. Resolución: cos150° = cos(180° - 30°) = -cos30° =- 3 2 Como 150° ! IIC, su coseno es negativo, entonces su equivalente es -cos30°. 4. cot315°.

Observación Ten en cuenta que si α 1 90º: • 180° - a ! IIC • 180° + a ! IIIC • 360° - a ! IVC

Resolución: cot315° = cot(360° - 45°) = - cot45° = -1 Como 315° ! IVC, la cotangente es negativa, entonces su equivalente es -cot45°. Donde: !: es el signo que tendrá la razón el cual depende del cuadrante en la que se ubique el ángulo a reducir.

3. sec143°.

Recuerda

Resolución: sec143° = sec(90° + 53°) = - csc53° = - 5/4 Como 143° ! IIC, y allí la secante es negativa, entonces su equivalente será negativo -csc53°.

Co-razón(sena) = cosa Co-razón(tana) = cota Co-razón(seca) = csca

4. tan225°. Resolución: tan225° = tan(270° - 45°) = cot45° =1 Como 225° ! IIIC, y allí la tangente es positiva, entonces su equivalente cot45° también es positivo. TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4

41

Segundo caso

Para ángulos positivos mayores a una vuelta Para reducir estos ángulos al primer cuadrante, se le debe descomponer en función al número de vueltas que contenga este ángulo. RT(n # 360º + a) = RT(a) Observación Nota que: α se considera un ángulo agudo, entonces: • 90° + a ! IIC • 270° - a ! IIIC • 270° + a ! IVC

Ejemplos: Reduce al primer cuadrante. 1. tan750°.

3. cos1117°.

Resolución: tan750° = tan(2 # 360° + 30°) = tan30° = 3 3 Se observa que 750° contiene 2 veces la medida del ángulo de 1 vuelta (360°), luego se trabaja con el ángulo de 30°.

Debemos familiarizarnos con los múltiplos de 360°, a menudo trabajaremos con estos valores. n # 360°: múltiplos de 360° ° 360 = {360°; 720°; 1080°; 1440°; ...}

Resolución: cos1117° = cos(3 # 360° + 37°) = cos37° = 4/5 Se observa que 1117° contiene 3 veces la medida del ángulo de 1 vuelta (360°), luego se trabaja con el ángulo de 37°. 4. cot1830°.

2. sec1485°.

Importante

n: número de vueltas.

Resolución: sec1485° = sec(4 # 360° + 45°) = sec45° = 2 Se observa que 1485° contiene 4 veces la medida del ángulo de 1 vuelta (360°), luego se trabaja con el ángulo de 45°.

Resolución: cot1830° = cot(5 # 360° + 30°) = cot30° = 3 Se observa que 1830° contiene 5 veces la medida del ángulo de 1 vuelta (360°), luego se trabaja con el ángulo de 30°.

Tercer caso

Para ángulos negativos Las funciones coseno y secante cuyos ángulos son negativos, van a ser igual a los ángulos positivos; en las demás razones trigonométricas el signo sale fuera del ángulo y afecta a toda la razón trigonométrica. sen(-a) = -sena cos(-a) = cosa tan(-a) = -tana cot(-a) = -cota sec(-a) = seca csc(-a) = -csca Ejemplos: Halla el valor de las siguientes razones trigonométricas.

Importante Ten en cuenta que las razones coseno y secante son las únicas donde el signo se puede obviar, para las demás razones trigonométricas el signo se coloca delante de la razón trigonométrica.

42 Intelectum 1.°

1. cos(-45°) = cos45° = 2 2

2. tan(-30°) = - tan30° =- 3 3

3. sec(-127°) = sec127° = sec(90° + 37°) = - csc37° = - 5/3

4. sen(-150°) = -sen150° = -sen(180° - 30°) = -sen30° = - 1/2

t

Problemas resueltos 1

Reduce al primer cuadrante sen323°.

Resolución: sen323° = sen(360° - 37°); 323° ! IVC (-) = -sen37° = - 3/5 2

tan150° = tan(180° - 30°); 150° ! IIC (-) = -tan30° =- 3 3 Reduce al primer cuadrante csc225°.

Resolución: csc225° = csc(180° + 45°); 225° ! IIIC (-) = -csc45° =- 2 4

Reduce al primer cuadrante cos300°.

Resolución: cos300° = cos(360° - 60°); 300° ! IVC (+) = cos60° = 1/2 5

6

Reduce al primer cuadrante sen143°.

1575° 360° 1440° 4 135°

tan1575° = tan135° = tan(180 - 45°); 135° ! IIC(-) = -tan45° = -1 ` tan1575° = -1

10 Reduce al primer cuadrante sec2017°.

Resolución: 2017° 360° 1800° 5 217°

sec2017° = sec217° = sec(180° + 37°) = - sec37° ` sec2017° = - 5/4

11 Reduce al primer cuadrante cos2850°.

Resolución: 2850° 360° 2520° 7 330°

cos2850° = cos330°; 330° ! IVC (+) = cos(360° - 30°) = cos30° ` cos2850° =

sen143° = sen(90° + 53°); 143° ! IIC (+) = cos53° = 3/5

M = -tan53° - cos30° - csc45°

Calcula el valor de cot(-30°).

Calcula el valor de cos(-135°).

Resolución: cos(-135°) = cos135° = cos(90° + 45°); 135° ! IIC (-) ` cos(- 135°) = -sen(45°) = - 2 2 Calcula el valor de csc(-53°).

Resolución: csc(-53°) = -csc53° ` csc(-53°) = - 5/4

3 2

12 Calcula: M = tan(-53°) - cos(-30°) + csc(-45°)

Resolución:

cot(-30°) = -cot30° =- 3

8

Resolución:

Resolución:

Resolución:

7

Reduce al primer cuadrante tan1575°.

Reduce al primer cuadrante tan150°.

Resolución:

3

9

M =- 4 - 3 - 2 3 2 8 3 3 -6 2 `M= 6 13 Convierte a su equivalente la siguiente expresión: sen(90° - x) + cos(180° - y)

Resolución: sen(90° - x) = cosx cos(180° - y) = -cosy ` sen(90° - x) + cos(180° - y) = cosx - cosy 14 Si x es un ángulo agudo, halla el valor de: M = sen2(90° + x) + cos2(270° - x)

Resolución: sen(90° + x) = cosx cos(270° - x) = -senx Luego: M = (cosx)2 + (-senx)2 = cos2x + sen2x = 1 ` M=1

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4

43

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

Definición

El sistema métrico decimal es el sistema de medida universalmente aceptado, cuyas unidades están relacionadas mediante potencias de 10.

Importante La notación científica nos permite expresar de forma sencilla cantidades numéricas demasiadas grandes o demasiadas pequeñas. Ejemplo: 0,0033 = 3,3 # 10-3 900 000 000 = 9 # 108

Magnitud

Una magnitud es todo aquello que se puede medir. Las magnitudes más conocidas son: • La longitud • La temperatura

• La superficie • La masa

A su vez, las magnitudes se expresan en unidades de medida. kilómetros metros Masa centímetros milímetros

Ejemplos:

Longitud

Nota Algunos instrumentos de medición de masa son:

• El volumen • El tiempo

toneladas kilogramos gramos

Para poder trabajar en el sistema métrico decimal debemos tener en cuenta las siguientes observaciones: 1. Para multiplicar un número decimal por 10; 100; 1000; ... ; se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad. Ejemplos: • 0,32 # 102 = 32

Balanza de cocina

• 1,27 # 10 = 12,7

2. Para dividir un número decimal entre 10; 100; 1000; ... ; se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad. Ejemplos: • 1,54 ' 10 = 0,154

• 0,028 ' 103 = 0,000028

Balanza de Roberval

Unidades de masa

Las unidades de masa (peso) se emplean para calcular la cantidad de materia de un cuerpo. El kilogramo (kg) es la principal unidad de masa en el Sistema Internacional de unidades, aunque la más usada sea el gramo (g). En el siguiente cuadro se muestran los principales múltiplos y submúltiplos del gramo. #10

Atención Observa las siguientes equivalencias: 1 kilogramo = 10 hg 1 kilogramo = 100 dag 1 kilogramo = 1000 g 1 tonelada = 1000 kg 1 quintal = 100 kg 1 miriagramo = 10 kg

Nota Para realizar la conversión de una unidad a otra situada a la izquierda de la unidad dada, se debe dividir entre tantos ceros como posiciones hay entre las dos unidades.

Múltiplos



#10

#10

#10

#10

kilogramo

hectogramo

decagramo

gramo

decigramo

centigramo

miligramo

kg

hg

dag

g

dg

cg

mg

'10

'10 3

'10

'10

2

'10



-1

#10

#10

-2

'10

Observa que: 1 kg = 10 g; 1 hg = 10 g; 1 dag = 10 g ; 1d g = 10 g; 1 cg = 10 g; 1 mg = 10-3 g Además, debemos tener en cuenta los siguientes múltiplos del kilogramo (kg). #10





44 Intelectum 1.°

#10

Submúltiplos

tonelada

quintal

miriagramo

kilogramo

t

q

mg

kg

'10

'10

'10

t Ejemplos: b) ¿A cuántos hectogramos equivalen 3000 dg?

a) ¿A cuántos gramos equivalen 20 hectogramos?

Resolución: Los hectogramos se encuentran a la izquierda de los decigramos, es decir, debemos dividir; luego: 300 dg = 300 ' 103 hg = 300 # 10-3 hg = 0,3 hg & 300 dg = 0,3 hg

Resolución: Notamos en el cuadro que los gramos se encuentran a la derecha de hectogramos, por lo tanto debemos multiplicar; siguiendo las flechas tenemos: 20 hectogramos = 20 # 102 g = 2000 g & 20 hectogramos = 2000 g

Atención Observa las siguientes equivalencias:

Unidades de longitud

Las unidades de longitud son utilizadas para medir distancias entre dos puntos dados. El metro (m) es la unidad fundamental de la longitud en el Sistema internacional de unidades. En el siguiente cuadro se muestran los principales múltiplos y submúltiplos del metro.

Múltiplos #10

#10



#10

#10

1 metro = 10 dm 1 metro = 100 cm 1 metro = 1000 mm 1 decámetro = 10 m 1 hectómetro = 100 m 1 kilómetro = 1000 m

Submúltiplos #10

Nota

#10

Algunos instrumentos de medida de longitud:

kilómetro

hectómetro

decámetro

metro

decímetro

centímetro

milímetro

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

Cinta métrica

'10

'10

'10

'10

'10

'10

Regla

Ejemplos: a) Realiza la conversión de 8 hm a centímetros.

b) ¿A cuántos decámetros equivalen 25 milímetros?

Resolución: Del cuadro, vemos que cm se encuentra a la derecha de hm, es decir la operación a realizar es la multiplicación, luego: 8 hm = 8 # 104 cm = 80 000 cm & 8 hm = 80 000 cm

Resolución: Del cuadro anterior, el decámetro está a la izquierda del milímetro, luego la operación a utilizar es la división, tenemos: 25 mm = 25 ' 10-4 dam = 25 # 10-4 dam = 0,0025 dam & 25 mm = 0,0025 dam

Las unidades de volumen son utilizadas para conocer la cantidad de líquido, que hay en un recipiente o depósito. El litro (l) es la unidad de volumen en el sistema internacional de unidades. En el siguiente cuadro se muestran los múltiplos y submúltiplos más utilizados del litro (l). Múltiplos #10

#10



#10

#10

#10

Nota Debes tener en cuenta lo siguiente:

#10

hectolitro

decalitro

litro

decilitro

centilitro

mililitro

kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

Ejemplo:

'10

'10

a) ¿A cuántos decalitros equivalen 21,6 centilitros? Resolución: Observamos el cuadro y realizamos la conversión correspondiente:

'10

1 litro = 10 dl 1 litro = 100 cl 1 litro = 1000 ml 1 decalitro = 10 l 1 hectolitro = 100 l 1 kilolitro = 1000 l

Submúltiplos

kilolitro

'10

Atención Estas son las equivalencias más utilizadas:

Unidades de volumen



Flexómetro

'10

'10

1 litro = 2 medios litros (también son 4 vasos)

21,6 cl = 21,6 ' 103 dal = 21,6 # 10-3 dal = 0,0216 dal & 21,6 cl = 0,0216 dal 1 litro = 2 medios litros (son 4 vasos)

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4

45

Problemas resueltos 1

¿A cuántos hectogramos equivalen 142 # 105 decigramos?

Entonces, tenemos: 1 cm 10-3 dam 10 706 cm x

Resolución: Según la tabla de conversiones dada, analizamos las equivalencias: 1 dg = 10-1 g = 10-1(10-1 dag) = 10-1 # 10-1(10-1 hg) & 1 dg = 10-3 hg Luego, aplicamos una regla de tres simple para realizar la conversión: 10-3 hg 1 dg 5 142 # 10 dg x

-3 & x = 10 706 cm # 10 dam 1 cm

x = 10,706 dam 5

Resolución: Tenemos, por equivalencias lo siguiente: 1 dal = 10 l = 10(10 dl) 1 dal = 102 dl Luego, aplicamos la regla de tres simple para la resolución: 1 dal 102 dl 233 dal x

(142 # 105 dg) (10-3 hg) & x = 1 dg

2



x = 142 # 105 # 10-3 hg



x = 142 # 102 hg

¿A cuántos centigramos equivalen 2,5 decagramos?

2 & x = 233 dal # 10 dl 1 dal

Resolución: Observamos la tabla y tenemos: 1 dag = 10 g = 10(10 dg) = 10 # 10 # 10 cg = 103 cg 1 dag = 103 cg Hallamos la equivalencia: 1 dag 103 cg 2,5 dag x & x =

x = 23 300 dl 6

Analizamos cada una de las equivalencias: 1 hl = 10 dal = 10(10 l) = 10 # 10 (10 dl) = 10 # 10 # 10 # (10 cl) & 1 hl = 104 cl Luego: 4 1 hl 104 cl & x = 12 hl # 10 cl 1 hl 12 hl x x = 120 000 cl

2, 5 dag # 103 cg 1 dag

Realiza la conversión de 0,089 dam a milímetros.

Resolución: Analizamos las equivalencias: 1 dam = 10 m = 10(10 dm) = 10 # 10(10 cm) = 10 # 10 # 10 (10 mm) 1 dam = 104 mm Luego: 1 dam 104 mm 0,089 dam x & x =

7

Sabemos que cuatro cuartos de litro equivalen a un litro. Javier tiene 16 botellas de un cuarto de litro, entonces tiene 4 litros en total. Luego; convertimos 1 l a mililitros: 1 l = 10 dl = 10 (10 cl) = 10 # 10 (10 ml) 1 l = 1000 ml

0, 089 dam # 104 mm 1 dam

Entonces: 1000 ml 1l 4l x

Convierte 10 706 cm a decámetros.

x = 4 l # 1000 ml & x = 4000 ml 1l

Resolución: De las equivalencias tenemos: 1 cm = 10-1 dm = 10-1(10-1 m) = 10-1 # 10-1(10-1 dam) & 1 cm = 10-3 dam

46 Intelectum 1.°

Javier tiene 16 botellas de un cuarto de litro, ¿cuántos mililitros tiene en total?

Resolución:

x = 890 mm 4

¿Cuánto equivale 12 hectolitros en centilitros?

Resolución:

x = 2,5 # 103 cg x = 2500 cg 3

¿A cuántos decilitros equivalen 233 decalitros?

8

Julio tiene 17 decagramos de arroz y Carmela tiene 312 decigramos de azúcar. Si deciden pesar todo junto, ¿cuántos gramos tendrán en total?

t Resolución: Necesitamos convertir todas las unidades en gramos para poder contabilizarlas. Arroz: 17 dag = 17 # 10 g = 170 g Azúcar: 312 dg = 312 ' 10-1 g = 31,2 g Luego, el total en gramos es: 170 g + 31,2 g = 201,2 g 9

Si Carlos compra 9 botellas que contienen 250 mililitros de agua, cada una, ¿cuántos litros tiene en total?

Resolución: Hacemos primero la conversión de mililitros a litros: 250 ml = 250 ' 103 l = 0,25 l Como Carlos tenía 9 botellas, entonces en total tiene: 0,25 l # 9 = 2,25 l Por lo tanto, Carlos tiene 2,25 l en total. 10 Un tanque de agua abastece a 20 departamentos de un edificio. Si diariamente cada departamento consume 6,5 litros, ¿cuántos decalitros debe tener como mínimo el tanque para abastecer a los departamentos por un día?

Resolución: Realizamos, primero la conversión de litros a decalitros: 6,5 l = 6,5 ' 10 dal = 0,65 dal Al día cada departamento consume 0,65 dal, en 20 departamentos se consumirá: 0,65 dal # 20 = 13 dal Por lo tanto, el tanque como mínimo deberá tener 13 decalitros. 11 Nélida confecciona toallas para vender. Si en cada toalla utiliza 125 cm y en total confecciona 34 toallas, ¿cuántos metros de tela utiliza en total?

Resolución: Al confeccionar las toallas utiliza 125 cm, entonces en 34 toallas utilizará: 125 cm # 34 = 4250 cm Nos piden calcular el total de tela utilizado, pero en metros; realizamos la conversión: 4250 cm = 4250 ' 102 m = 42,5 m Luego, en total utiliza 42,5 m. 12 Una panadería produce 675 kg de pan diariamente. ¿A cuántas personas podrá alimentar, si cada persona consume 225 g de pan en un día?

Resolución: Convertimos los 675 kg a gramos (g): 675 kg # 1000 g 1000 g & x = 1 kg 1 kg 675 kg x & 675 kg = 675 # 103 g

Aplicamos nuevamente la regla de tres simple: 1 hombre 225 g h hombres 675 # 103 g 675 # 103 g # 1hombre 225 g h = 3000 hombres ` Podrá alimentar a 3000 hombres. & h=

13 Una piscina tiene capacidad de 2000 kl cuando está vacía. ¿Cuántas cisternas serán necesarias para poder llenar el 75% de la piscina si cada cisterna posee una capacidad de 125 l?

Resolución: Hallamos el 75% de la capacidad de la piscina. 75%2000 kl = 75 . 2000 kl 100 Volumen a llenar: 1500 kl Hallamos la cantidad de litros necesarios para llenar el 75% de la piscina: 103 l 1 kl 1500 kl x 3 & x = 1500 kl # 10 l 1 kl



x = 15 # 105 l

Calculamos el n.° de cisternas necesarias: 125 l 1 cisterna k cisternas 15 # 105 l 5 k = 15 # 10 l # 1 cisterna = 120 # 102 cisternas 125 l

` Son necesarias 12 000 cisternas. 14 Un auto recorre 90 km utilizando 20 l de petróleo. Si necesita realizar un recorrido de 9 # 105m, ¿cuánto dinero (en S/.) necesitará, si 1 dal de petróleo cuesta S/. 30?

Resolución:

Pasamos 90 km a metros: 90 km = 90 . 103 m Hallamos cuántos decalitros (dal) se necesitan para recorrer 9 # 105 m: 90 # 103 m 20 l 9 # 105 m x 5 & x = 9 # 10 m 3# 20 l 90 # 10 m

x = 200 l = 20 dal Luego: 1 dal S/.30 20 dal x & x = 20 dal # S/.30 1 dal

` x = S/.600

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4

47

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