UNICESUMAR - NIVELAMENTO MATEMÁTICA

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NIVELAMENTO DE MATEMÁTICA

Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos Professor Esp. Fernando Marcussi

GRADUAÇÃO

Unicesumar

Reitor Wilson de Matos Silva Vice-Reitor Wilson de Matos Silva Filho Pró-Reitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho Pró-Reitor de EAD Willian Victor Kendrick de Matos Silva Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi NEAD - Núcleo de Educação a Distância Direção de Operações Chrystiano Mincoff Direção de Mercado Hilton Pereira Direção de Polos Próprios James Prestes Direção de Desenvolvimento Dayane Almeida Direção de Relacionamento Alessandra Baron Direção Pedagógica Kátia Coelho Supervisão do Núcleo de Produção de Materiais Nalva Aparecida da Rosa Moura Design Educacional Nádila de Almeida Toledo Projeto Gráfico Jaime de Marchi Junior José Jhonny Coelho C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a Distância: Nivelamento de Matemática. Antoneli da Silva Ramos; Fernando Marcussi. Maringá - PR, 2015. 106 p. “Graduação - EaD”. 1. Matemática .2. Porcentagem . 3. Equações 4. EaD. I. Título. CDD - 22 ed. 510 CIP - NBR 12899 - AACR/2

Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828

Editoração Humberto Garcia da Silva Daniel Fuverki Hey Revisão Textual Jaquelina Kutsunugi Simone Limonta Ilustração André Onishi

Viver e trabalhar em uma sociedade global é um grande desafio para todos os cidadãos. A busca por tecnologia, informação, conhecimento de qualidade, novas habilidades para liderança e solução de problemas com eficiência tornou-se uma questão de sobrevivência no mundo do trabalho. Cada um de nós tem uma grande responsabilidade: as escolhas que fizermos por nós e pelos nossos farão grande diferença no futuro. Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar assume o compromisso de democratizar o conhecimento por meio de alta tecnologia e contribuir para o futuro dos brasileiros. No cumprimento de sua missão – “promover a educação de qualidade nas diferentes áreas do conhecimento, formando profissionais cidadãos que contribuam para o desenvolvimento de uma sociedade justa e solidária” –, o Centro Universitário Cesumar busca a integração do ensino-pesquisa-extensão com as demandas institucionais e sociais; a realização de uma prática acadêmica que contribua para o desenvolvimento da consciência social e política e, por fim, a democratização do conhecimento acadêmico com a articulação e a integração com a sociedade. Diante disso, o Centro Universitário Cesumar almeja ser reconhecido como uma instituição universitária de referência regional e nacional pela qualidade e compromisso do corpo docente; aquisição de competências institucionais para o desenvolvimento de linhas de pesquisa; consolidação da extensão universitária; qualidade da oferta dos ensinos presencial e a distância; bem-estar e satisfação da comunidade interna; qualidade da gestão acadêmica e administrativa; compromisso social de inclusão; processos de cooperação e parceria com o mundo do trabalho, como também pelo compromisso e relacionamento permanente com os egressos, incentivando a educação continuada.

Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está iniciando um processo de transformação, pois quando investimos em nossa formação, seja ela pessoal ou profissional, nos transformamos e, consequentemente, transformamos também a sociedade na qual estamos inseridos. De que forma o fazemos? Criando oportunidades e/ou estabelecendo mudanças capazes de alcançar um nível de desenvolvimento compatível com os desafios que surgem no mundo contemporâneo. O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens se educam juntos, na transformação do mundo”. Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógica e encontram-se integrados à proposta pedagógica, contribuindo no processo educacional, complementando sua formação profissional, desenvolvendo competências e habilidades, e aplicando conceitos teóricos em situação de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como principal objetivo “provocar uma aproximação entre você e o conteúdo”, desta forma possibilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos conhecimentos necessários para a sua formação pessoal e profissional. Portanto, nossa distância nesse processo de crescimento e construção do conhecimento deve ser apenas geográfica. Utilize os diversos recursos pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita. Ou seja, acesse regularmente o AVA – Ambiente Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns e enquetes, assista às aulas ao vivo e participe das discussões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe de professores e tutores que se encontra disponível para sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranquilidade e segurança sua trajetória acadêmica.

AUTORES

Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos Especialização em Gestão escolar - Unicentro(2014), especialização em Matemática e Física para ensino Médio - UNIPAR (2004), Licenciatura em Matemática- Unipar (2003). Atuei como Professora do Ensino Fundamental e Médio_ SEDUC-2006 a 2012, Professora do Ensino Fundamental e Médio_ SEED-2012 a 2013- Atuando como Professora mediadora líder no curso de Licenciatura em Matemática- NEAD Unicesumar desde 2014.

Professor Esp. Fernando Marcussi Possui graduação em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (2010) e Especialização em Auditoria e Controladoria pelo Centro Universitário Cesumar (2014). Atualmente é Tutor Mediador do Centro Universitário Cesumar e Professor da União de Faculdades Metropolitanas de Maringá. Tem experiência na área de Administração, com ênfase em Matemática Aplicada, Cálculo, com ênfase em Arquitetura e Gestão Ambiental, e Matemática Financeira.

APRESENTAÇÃO

NIVELAMENTO DE MATEMÁTICA 2

SEJA BEM-VINDO(A)! ˜ APRESENTAC ¸ AO

Ol´ a, querido(a) acadˆemico(a), da Unicesumar, o nivelamento de matem´atica foi programado para atender as dificuldades de Matem´ ` atica B´ asica e recuperar as lacunas existentes no processo primordial para desenvolver a aprendizagem. Neste material abordaremos diversos temas que servir˜ao de base e de suporte para as disciplinas espec´ıficas de seu curso. Permita que nos apresentemos: Sou a professora Antoneli da Silva Ramos, graduada em Matem´atica com ˆenfase em Inform´atica pela Unipar; especialista em Matem´ atica e F´ısica para o ensino m´edio tamb´em pela Unipar; especialista em Gest˜ ao Escolar pela Unicentro. Atuo, desde 2004, na ´ area da educa¸c˜ao, inicialmente, como professora de alfabetiza¸c˜ ao, depois, no ensino fundamental e m´edio, no momento, estou trabalhando na EaD da Unicesumar como Mediadora L´ıder. Este material foi desenvolvido em parceria com o Professor Fernando Marcussi, Graduado em Licenciatura em Matem´ atica pela Universidade Estadual de Maring´ a e Especialista em Auditoria e Controladoria pela Unicesumar. Atua, desde 2012, nas ´ areas de educa¸c˜ ao a distˆancia, como Mediador de Cursos e no ensino presencial, como Professor das disciplinas de Matem´ atica e C´alculo Aplicado. Pensando em ampliar os conhecimentos pr´e-adquiridos dentro da Matem´atica, em anos anteriores, foi que preparamos cuidadosamente este material, com o intuito de aprimorar seus conhecimentos acerca da rela¸c˜ ao teoria aplicada na pr´ atica, no qual as representa¸c˜oes matem´aticas e gr´aficas far˜ao parte de seus estudos neste livro. O assunto deste material foi organizado em cinco unidades, sendo que na primeira trataremos de raz˜ ao, de propor¸c˜ ao, de regra de trˆes e de Porcentagem, na segunda abordaremos nota¸c˜ao cient´ıfica, opera¸c˜oes com fra¸c˜ oes e opera¸c˜ ao com n´ umero decimal, muito utilizadas em ´areas que envolvem Qu´ımica e F´ısica, important´ıssimas para a compreens˜ ao da potencia¸c˜ ao, na terceira unidade vamos recordar as fun¸co˜es do 1o e 2o grau, na quarta unidade recordaremos leitura de gr´aficos e de tabelas, equa¸c˜oes e sistemas de equa¸c˜ oes, fechando com Racioc´ınio L´ ogico e matem´ atico. A cada abordagem constamos exemplos resolvidos para vocˆe melhor compreender o assunto. Gostar´ıamos de iniciar este material desejando boas-vindas a vocˆe e esperamos que fa¸ca bom uso e amplie seus conhecimentos por meio desses conte´ udos b´ asicos da matem´atica.

SUMÁRIO

UNIDADE I

RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM 15 Introdução 16 Razão e Proporção 17 Forma Fracionária, Forma Decimal e Forma Percentual de uma Razão 18 Razões Especiais 20 Regra de Três e Proporção 24 Porcentagem 26 Considerações Finais

UNIDADE II

NOTAÇÃO CIENTÍFICA, OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E OPERAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS 31 Introdução 32 Notação Científica 33 Operações com Frações 35 Operação com Números Decimais 38 Expressões Numéricas 39 Considerações Finais

09

SUMÁRIO

UNIDADE III

FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS 45 Introdução 46 Noção Intuitiva de Função 48 Função do 1º Grau 54 Função do 2º Grau ou Função Quadrática 59 Considerações Finais

UNIDADE IV

LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS, EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES 65 Introdução 66 Leitura de Gráficos e Tabelas 68 Equações e Sistemas de Equações 69 Equações Do 1º Grau 71 Sistemas de Equações Lineares 73 Equação do 2º Grau 76 Considerações Finais

SUMÁRIO

UNIDADE V

RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO 83 Introdução 84 Raciocínio Lógico e Matemático 89 Construção de Tabelas-Verdade 91 Raciocínio Lógico 98 Considerações Finais

101 Conclusão 103 Referências 104 Gabarito

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RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM

UNIDADE

Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos Professor Esp. Fernando Marcussi

I

Objetivos de Aprendizagem ■■ Entender o conceito de razão, proporção e semelhança. ■■ Identificar a proporção direta e inversa. ■■ Realizar ampliações e reduções de figuras em geral. ■■ Relacionar situações cotidianas que podem ser tratadas de forma proporcional. ■■ Entender, Interpretar e Resolver problemas. ■■ Dada uma razão, determinar outra para formar uma proporção. ■■ Identificar e solucionar problemas onde é possível utilizar a regra de três simples para a sua resolução. ■■ Resolver problemas que envolvam os conceitos de razão e proporção. ■■ Identificar Porcentagens. ■■ Entender e ser capaz de resolver porcentagem em diversas situações.

Plano de Estudo A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: ■■ Razão e Proporção ■■ Forma fracionária, forma decimal e forma percentual de uma razão ■■ Regra de três ■■ Grandezas Diretamente Proporcionais ■■ Grandezas Inversamente Proporcionais ■■ Porcentagem ■■ Resolução de problemas

15

4

˜ INTRODUC ¸ AO Dentro desta unidade, vocˆe, querido(a) acadˆemico(a), ter´a a oportunidade de aprender e at´e mesmo relembrar alguns conte´ udos b´asicos e essenciais. Vocˆe estudar´a os temas mais aplic´aveis ao cotidiano: Propor¸c˜ oes e Porcentagens, conte´ udos que s˜ao a porta de entrada para matem´atica financeira, principalmente para concursos p´ ublicos, que tamb´em s˜ao utilizados em diversas ´areas do conhecimento como

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F´ısica, Geografia, Qu´ımica, entre outras. S˜ao temas bastante abrangentes e encontrados, sobretudo, em opera¸c˜ oes comerciais e financeiras. Os assuntos apresentados nesta unidade est˜ao organizados de uma forma gradativa em n´ıvel de complexidade para sua melhor apreens˜ao. O nivelamento de Matem´atica foi programado para atender `as dificuldades de Matem´atica B´asica e, dentro desta unidade, os conte´ udos de raz˜ao, de propor¸c˜ao e de regra de trˆes ser˜ao abordados de maneira clara e sucinta, utilizando v´arios exemplos do cotidiano, visando, assim, por meio da associa¸c˜ao, facilitar assimila¸c˜ ao e aprendizado do conte´ udo. Ao avan¸car no nivelamento, vocˆe aprender´a a manipular algumas ferramentas e a formalizar alguns conceitos. Vai entender e conseguir resolver quest˜oes que envolvem grandezas diretamente e inversamente proporcionais, inclusive conseguir realizar os c´alculos de porcentagem com propriedade e com dom´ınio. Desejamos a todos que aproveitem o material e realizem um bom trabalho!

Introdução

I

5

˜ E PROPORC ˜ RAZAO ¸ AO

5

˜ E PROPORC ˜ RAZAO ¸ AO 5 ´ imposs´ıvel iniciar os estudos do nivelamento de Matem´ E atica, sem relembrar Raz˜ ao e Propor¸c˜ ao. Sabeque existem muitas situa¸c˜ oes do nosso cotidiano que requerem o uso de raz˜ oes e de propor¸c˜ ao, seja na ´mos E imposs´ os estudos do nivelamento de Matem´ atica, sem relembrar Raz˜ ao e Propor¸c˜ ao. Sabe˜ıvel iniciar ˜ RAZ AO E PROPOR C ¸ AO cozinha de sua residˆencia ou na manipula¸c˜ ao de um medicamento, dessa forma, torna-se primordial estamos que existem muitas situa¸c˜ oes do nosso cotidiano que requerem o uso de raz˜ oes e de propor¸c˜ ao, seja na rem bem codificados os conhecimentos adquiridos no ensino fundamental, para utiliz´ a-los em disciplinas cozinha de sua residˆencia ou na manipula¸c˜ ao de um medicamento, dessa forma, torna-se primordial esta´ imposs´ıvel iniciar os estudos do nivelamento de Matem´ E atica, sem relembrar Raz˜ ao e Propor¸c˜ ao. Sabeespec´ıficas e mais complexas. rem bem codificados os conhecimentos adquiridos no ensino fundamental, para utiliz´ a-los em disciplinas mos que existem muitas situa¸c˜ oes do nosso cotidiano que requerem o uso de raz˜ oes e de propor¸c˜ ao, seja na Iniciamos com o conceito de raz˜ ao. espec´ ıficas nossos e mais estudos complexas. cozinha de sua residˆencia ou na manipula¸c˜ ao de um medicamento, dessa forma, torna-se primordial esta-

a ou a : b , b onde os a ´egarotos o antecedente ´e o consequente. Todos gostam edeb brincar de estilingue, por´em, nem todos os garotos possuem habilidades com Exemplo pr´ atico da defini¸ c˜ ao: esse brinquedo. Imagine que o Jo˜ ao colocou uma lata em cima do muro e est´ a tentando atingi-la com Todos os garotos gostam de brincar de estilingue, por´em, nem todos os garotos possuem habilidades com a pedra lan¸cada pelo estilingue, e que a cada 10 tentativas, ele acerte 2 vezes a latinha. Assim de 10 esse brinquedo. Imagine que o Jo˜ ao colocou uma lata em cima do muro e est´ a tentando atingi-la com Exemplo pr´ atico da defini¸ c˜ ao: disparos, ele acerta 2, ent˜ ao, ele erra 8 vezes a latinha. Neste caso poderemos fazer uma raz˜ ao entre o a pedra lan¸cada pelo estilingue, e que a cada 10 tentativas, ele acerte 2 vezes a latinha. Assim de 10 Todos os garotos gostam de brincar de estilingue, por´em, nem todos os garotos possuem habilidades com n´ umero de acertos e de erros, vejamos a seguir qual ser´ a a raz˜ ao: disparos, ele acerta 2, ent˜ ao, ele erra 8 vezes a latinha. Neste caso poderemos fazer uma raz˜ ao entre o esse brinquedo. Imagine que o Jo˜ ao colocou uma lata em cima do muro e est´ a tentando atingi-la com Resolu¸ ˜ ao: n´ umero cde acertos e de erros, vejamos a seguir qual ser´ a a raz˜ ao: a pedra 2 lan¸cada pelo estilingue, e que a cada 10 tentativas, ele acerte1 2 vezes a latinha. Assim de 10 r = sendo 2 acertos e 8 erros, logo, simplificando a raz˜ ao, terei r = ,ou seja, para cada 1 vez que a Resolu¸ ao: 8 c˜ 4 disparos, ele acerta 2, ent˜ ao, ele erra 8 vezes a latinha. Neste caso poderemos fazer uma raz˜ ao entre o 2 acerta a latinha, ter´ pedra a 4 lan¸camentos que n˜ ao acertar˜ ao a latinha.1 rn´ = sendo 2 acertos e 8 erros, logo, simplificando a raz˜ a o, terei r = ,ou seja, para cada 1 vez que a umero a a raz˜ ao: 8 de acertos e de erros, vejamos a seguir qual ser´ 4 pedra acerta a latinha, ter´ a 4 lan¸camentos que n˜ ao acertar˜ ao a latinha. Resolu¸ c˜ ao: 2 1 r = sendo 2 acertos e 8 erros, logo, simplificando a raz˜ ao, terei r = ,ou seja, para cada 1 vez que a 8 4 pedra acerta a latinha, ter´ a 4 lan¸camentos que n˜ ao acertar˜ ao a latinha. Sendo a epr´ b adois u meros racionais ao entre a e b o quociente Exemplo ticon´ da defini¸ c˜ ao: com b = 0, denomina-se raz˜

RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM

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Iniciamos nossos estudos com o conceitoadquiridos de raz˜ ao. no ensino fundamental, para utiliz´ rem bem codificados os conhecimentos a-los em disciplinas ˜ RAZ AO: espec´ıficas e mais complexas. De acordo com o conceito, raz˜ ao ´e o quociente entre dois n´ umeros n˜ ao nulos ou quociente entre duas ˜ RAZ AO: Iniciamos nossos estudos com o conceito de raz˜ ao. grandezas vari´ aveis, grandezas de esp´ecies diferentes, ou seja, raz˜ ao ´e sinˆ onimo de divis˜ ao, que ´e sinˆ onimo De acordo com o conceito, raz˜ ao ´e o quociente entre dois n´ umeros n˜ ao nulos ou quociente entre duas de uma fra¸c˜ ao, tamb´em ´e a divis˜ ao entre dois n´ umeros, podendo ser descrita como a compara¸c˜ ao entre grandezas vari´ aveis, grandezas de esp´ecies diferentes, ou seja, raz˜ ao ´e sinˆ onimo de divis˜ ao, que ´e sinˆ onimo ˜ RAZAO: ´ apenas uma ferramenta duas quantidades por meio da divis˜ ao. A raz˜ ao n˜ ao ´e usada individualmente. E de uma fra¸c˜ ao, tamb´em ´e a divis˜ ao entre dois n´ umeros, podendo ser descrita como a compara¸c˜ ao entre De acordo com o conceito, raz˜ ao ´e o quociente entre dois n´ umeros n˜ ao nulos ou quociente entre duas para outros temas e problemas. ´ apenas uma ferramenta duas quantidades por meio da divis˜ ao. A raz˜ ao n˜ ao ´e usada individualmente. E grandezas vari´ aveis, grandezas de esp´ecies diferentes, ou seja, raz˜ ao ´e sinˆ onimo de divis˜ ao, que ´e sinˆ onimo para outros temas e problemas. de uma fra¸c˜ ao, tamb´em ´e a divis˜ ao entre dois n´ umeros, podendo ser descrita como a compara¸c˜ ao entre Defini¸ c˜ ao: ´ apenas uma ferramenta duas quantidades por meio da divis˜ ao. A raz˜ ao n˜ ao ´e usada individualmente. E a Sendo a e b dois n´ u meros racionais com b =  0, denomina-se raz˜ a o entre a e b o quociente ou a : b , Defini¸ c˜ ao:temas e problemas. b para outros a onde a ´e o antecedente e b ´e o consequente. Sendo a e b dois n´ umeros racionais com b = 0, denomina-se raz˜ ao entre a e b o quociente ou a : b , b onde a ´ e o antecedente e b ´ e o consequente. Defini¸ c˜ ao:

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6 Exemplo 01: Observe a tabela: R´eptil

Tamanho m´ aximo

Jacar´e do Pantanal

2,5m

Jacar´e-a¸cu

6m

´ Crocodilo da Asia (maior r´eptil do planeta)

7m

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Qual ´e a raz˜ao entre o comprimento do maior r´eptil do planeta e do jacar´e do Pantanal? 7 = A raz˜ ao ´e de 7 para 2,5. 2, 5

´ FORMA FRACIONARIA, FORMA DECIMAL E FORMA PERCEN˜ TUAL DE UMA RAZAO. Ap´os ter a defini¸c˜ ao clara de raz˜ ao, ´e necess´ ario identificarmos as formas de representa¸c˜ ao existentes e, para fixar o aprendizado, apresentaremos estas formas, atrav´es de exemplos, veja: Exemplo 02: Determine a raz˜ ao na forma fracion´ aria entre a primeira e a segunda medidas abaixo: A) 12 cent´ımetros e 40 cent´ımetros B) 500 gramas e 3 quilogramas Resolu¸ c˜ ao: 12 A) Para iniciar a divis˜ ao sempre utilizamos o primeiro pelo segundo valor, assim, teremos: r = 40 3 simplificando r = 10 B) Note que est˜ ao em unidades diferentes, nesse caso, necessitamos que elas estejam na mesma unidade. Ent˜ao neste caso ´e necess´ ario realizar a convers˜ ao, assim, 3 quilogramas equivale a 3000 gramas. 500 5 1 r= , ou seja, r = simplificando teremos r = . 3000 30 6

Exemplo 03: r =

7 = 0, 7 = 70%, observe que a raz˜ ao foi apresentada na forma fracion´ aria, decimal, 10

e percentual.

Forma Fracionária, Forma Decimal e Forma Percentual de uma Razão

I

7 Exemplo 04: Em um hospital, no mˆes de julho de 2011, havia 320 pessoas internadas com sintomas de gripe A e no mˆes de agosto, esse n´ umero subiu para 512 pessoas. Determine a raz˜ao na forma decimal entre o n´ umero de pessoas com sintomas de gripe A no mˆes de agosto e julho de 2011. Resolu¸ c˜ ao:

215 = 1, 6 320

˜ RAZOES ESPECIAIS As raz˜ oes especiais s˜ao algumas raz˜ oes entre grandezas de mesmo tipo ou de tipos diferentes que s˜ao

Escala, Velocidade M´edia e Densidade Demogr´ afica. ESCALA: usada principalmente em mapas, maquetes e plantas, a escala ´e a raz˜ao entre a medida do comprimento no desenho e a medida do comprimento real do objeto. Podendo ser resolvida pela f´ ormula: Escala =

d (dist ancia do desenho) D (dist ancia real)

Exemplo 05: Alberto vai construir a casa dele, e, para iniciar o projeto, ´e necess´aria a planta baixa da casa. Esta planta ir´a mostrar a disposi¸c˜ ao dos ambientes e suas medidas. Desta forma, para caber no papel, as medidas reais dos ambientes foram dividas em escalas de 1: 200 (1 para 200, ou seja, cada 1 cm do desenho corresponde a 200 cm nas medidas reais), sabemos que a escala ´e a raz˜ao entre as medidas do desenho e as medidas reais.

10m

20m

escala 1:200 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM

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utilizadas com bastante frequˆencia no nosso cotidiano. Dentro das raz˜oes especiais, as mais utilizadas s˜ ao:

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8 8 Resolu¸ c˜ ao: d −→ Escala = D d Escala = −→ Escala = D Escala =

Resolu¸ c˜ ao: Ent˜ ao, nessa escala:

1 200 1 200

Umacomprimento de 4 cm, no desenho, corresponde a 4.200 = 800 cm ou 8 m na realidade. Ent˜ o, nessa escala: Um comprimento comprimento de de 412cm, m na a representado por=6800 cm cm no ou desenho, 12 m = 1200 cm Um no realidade desenho, ser´ corresponde a 4.200 8 m napois realidade.

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Um comprimento de 12 m na realidade ser´ a representado por 6 cm no desenho, pois 12 m = 1200 cm 1200 cm : 200 = 6 cm 1200 cm : 200 = 6 cm Exemplo 06: Em um desenho, um comprimento de 10 m est´ a representado por 5 cm. Qual escala ´e utilizada para desenho? um comprimento de 10 m est´ Exemplo 06: fazer Em esse um desenho, a representado por 5 cm. Qual escala ´e utilizada Resolu¸ c˜ apara o: fazer esse desenho? Resolu¸ c˜ ao:

Logo a escala ´e de 1 : 200

5 cm 5 cm 1 = = 10 m 1000 cm 200 5 cm 5 cm 1 = = 10 m 1000 cm 200

Logo a escala de miniatura 1 : 200 de um carro foi constru´ıda na escala 1:50. Determine o comprimento e a Exemplo 07:´e A largura deste Exemplo 07:carro. A miniatura de um carro foi constru´ıda na escala 1:50. Determine o comprimento e a largura deste carro.

10

cm

4cm Resolu¸ c˜ ao: Resolu¸ c˜ ao:

1 4 cm = 50 x 4 cm x = 4 · 501==200 cm = 2 cm 150 10xcm = x = 4 · 50 50= 200ycm = 2 cm cm = 5 m 1 y = 10 · 50==10500 50 y y = 10 · 50 = 500 = 5 m Logo, comprimento 5 m e largura 2 m. Logo, comprimento 5 m e largura 2 m.

Razões Especiais

I

9 Al´em de utilizarmos a escala para confec¸c˜ao de plantas e de miniaturas, ´e comum usarmos a escala na confec¸c˜ao de mapas, pois os mapas devem ser uma reprodu¸c˜ao fiel em tamanho reduzido.

´ VELOCIDADE MEDIA ´ a raz˜ao entre a distˆancia percorrida por um m´ovel e o tempo gasto para percorrer essa distˆancia. E Exemplo 08: A velocidade m´edia de um trem bala que percorre 800 km em 2 horas ´e dada pela raz˜ao: 800 dist ancia = = 400 km/h tempo 2

´ a raz˜ao entre o n´ E umero de habitantes (popula¸c˜ao) de uma regi˜ao e a ´area dessa regi˜ao. Exemplo 09: Um pa´ıs tem 100.000.000 de habitantes e uma ´area de 5.000.000 km2 . Qual ´e a densidade demogr´afica desse pa´ıs? d=

100.000.000 habitantes = 20 hab/km2 50.000.000 km

ˆ E PROPORC ˜ REGRA DE TRES ¸ AO ˆ SIMPLES REGRA DE TRES A regra de trˆes simples ´e um processo pr´atico para determinar, a partir de trˆes valores conhecidos, um quarto valor com o qual todos se relacionam proporcionalmente. Na pr´atica, a Regra de Trˆes ´e a mecaniza¸c˜ao da propor¸c˜ao, dispondo-os em uma esp´ecie de tabela organizada.

Para entendermos melhor a regra de trˆes na resolu¸c˜ao de determinados problemas, ´e necess´ario que vocˆe domine grandezas proporcionais.

˜ PROPORC ¸ AO A propor¸c˜ao representa a igualdade entre duas raz˜oes e s´o faz sentido quando n˜ao sabemos uma das parcelas dessa igualdade. Exemplo 10: Se dissermos que a raz˜ao entre o n´ umero de meninas e o n´ umero de meninos de um col´egio 2 ´e , isso significa que: 3

RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM

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´ DENSIDADE DEMOGRAFICA

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10 Para cada 2 meninas existem 3 meninos, ou para cada 4 meninas existem 6 meninos, ent˜ao, as fra¸c˜oes 2 4 e s˜ao fra¸c˜oes equivalentes, ou seja, ao simplificarmos as fra¸co˜es, elas ser˜ao iguais. Essa igualdade 3 6 chama-se propor¸c˜ao, logo, para resolver uma propor¸c˜ao, basta multiplicar em cruz, observe: 10 3 x = −→ 4 · x = 3 · 8 −→ x = 6 4 8 ou para cada 4 meninas existem 6 meninos, ent˜ao, as fra¸c˜oes Para cada 2 meninas existem 3 meninos, 2 4 e s˜ao fra¸c˜oes equivalentes, ou seja, ao simplificarmos as fra¸co˜es, elas ser˜ao iguais. Essa igualdade 3 6 chama-se propor¸c˜ao, logo, para resolver uma propor¸c˜ao, basta multiplicar em cruz, observe: GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS x S˜ao grandezas relacionadas de forma3 idˆ ou decrescimento. O aumento = entica −→ quanto 4 · x = 3ao· 8seu −→crescimento x=6 4 8 de uma grandeza implica no aumento da outra, e a diminui¸c˜ao de uma grandeza implica na diminui¸c˜ao imediata da outra. GRANDEZAS Exemplo 11: EmDIRETAMENTE um supermercado, PROPORCIONAIS ´e poss´ıvel utilizar as raz˜oes para descobrir qual das embalagens ´e S˜ ao grandezas de forma idˆentica quanto ao seu crescimento ou decrescimento. O aumento mais vantajosa relacionadas para o consumidor. de uma grandeza implica no aumento da outra, e a diminui¸c˜ao de uma grandeza implica na diminui¸c˜ao imediata da outra. Exemplo 11: Em um supermercado, ´e poss´ıvel utilizar as raz˜oes para descobrir qual das embalagens ´e mais vantajosa para o consumidor.

900 g por R$ 4,95 Comparamos as quantidades : Comparamos os pre¸cos:

900 = 2, 25 400

400 g por R$ 3,30

4, 95 = 1, 5 3, 30

A embalagem maior tem mais que o dobro da quantidade de 900 cereal da menor e seu pre¸co ´e uma vez e = 2, 25 Comparamos as quantidades : 400 maior. meia o pre¸co da menor. Nesse caso, compensa levar a embalagem 4, 95 ´ poss´ıvel, nesse caso, utilizarmos o racioc´ınio l´ogico, observe E que,=na Comparamos os pre¸cos: 1, 5embalagem maior, 900 g custam R$ 3, 30 4,95. Ent˜ao 100 g custam R$ 4,95 : 9 = R$ 0,55, logo, 400g custam 4. R$0,55 = R$ 2,20, como R$2,20 ´e A embalagem maiorque tem dobro da quantidade da menor e seu pre¸co ´e uma vez menor que R$3,30, ´e omais pre¸cque o daoembalagem menor, ent˜ade o, cereal a embalagem maior ´e relativamente maise meia o pre¸ co ´edaum menor. Nesse caso, compensa levar embalagem maior. barata. Esse tipo de exerc´ ıcio em que ´e poss´ ıvela aplicar a regra de trˆes que veremos na sequˆencia. ´ poss´ıvel, nesse caso, utilizarmos o racioc´ınio l´ogico, observe que, na embalagem maior, 900 g custam R$ E 4,95. Ent˜ao 100 g custam R$ 4,95 : 9 = R$ 0,55, logo, 400g custam 4. R$0,55 = R$ 2,20, como R$2,20 ´e menor que R$3,30, que ´e o pre¸co da embalagem menor, ent˜ao, a embalagem maior ´e relativamente mais barata. Esse ´e um tipo de exerc´ıcio em que ´e poss´ıvel aplicar a regra de trˆes que veremos na sequˆencia.

Regra de Três e Proporção

I

11 11 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS S˜ aoGRANDEZAS grandezas relacionadas de forma oposta quanto ao seu crescimento ou decrescimento. O aumento ao grandezas relacionadas de forma oposta quanto ao seuc˜acrescimento ou decrescimento. O aumento de S˜ uma grandeza implica na diminui¸ c˜ao da outra, e a diminui¸ o de uma grandeza implica no aumento de umadagrandeza imediato outra. implica na diminui¸c˜ao da outra, e a diminui¸c˜ao de uma grandeza implica no aumento imediato da outra. Exemplo 12: Um muro ´e constru´ıdo por 6 homens em 12 dias. Quantos dias ser˜ao necess´arios para 9 Exemplo 12: Umo mesmo muro ´e muro? constru´ıdo por 6 homens em 12 dias. Quantos dias ser˜ao necess´arios para 9 homens constru´ ırem homens constru´ırem o mesmo muro? Resolu¸ c˜ ao: observe que quanto mais homens menos dias, ent˜ao, as grandezas s˜ao inversamente proporResolu¸ c˜ ao:montamos observe que quantoc˜amais homens menos dias,daent˜ ao, grandezas s˜ao inversamente proporcionais, assim, a propor¸ o invertendo os termos raz˜ ao as que n˜ ao possuem x.

9 ·= x= 9x 726 · 12 72 9x = 72 x= 9 72 x= x= 8 9 x=8

FIQUE ESPERTO! FIQUE ESPERTO! Existem situa¸ c˜oes em que n˜ao h´a proporcionalidade! Existem situa¸c˜oes em que n˜ao h´a proporcionalidade! A tabela abaixo mostra a varia¸c˜ao da idade e da altura de Jo˜ao. A tabela abaixo mostra a varia¸c˜ao da idade e da altura de Jo˜ao. Idade (anos) Altura(m) Idade (anos) 10 15 20 25 30

Altura(m) 1,30

10

1,30 1,65

15

1,65 1,80

20

1,80 1,80

25

1,80 1,80

30

1,80

Essas grandezas n˜ao s˜ao direta nem inverEssas proporcionais, grandezas n˜ao pois s˜ao direta nem inversamente n˜ao variam na samente n˜ao variam na mesma raz˜aproporcionais, o, nem na raz˜apois o inversa. mesma raz˜ao, nem na raz˜ao inversa.

Dica: Dica: multiplicar um dos valores de uma grandeza com um valor da outra grandeza. Mas esse Devemos Devemos dos valores desetas uma de grandeza um valor outra grandeza. Mas processo n˜aomultiplicar ´e aleat´orio:um deve-se seguir as forma acom estabelecer umdacaminho. N˜ao existe esseesse processo n˜ao ´e de aleat´ seguircruzado”. as setas H´ dea forma a aestabelecer umocaminho. ao existe esse neg´ ocio de ”regra trˆeosrio: ´e s´odeve-se multiplicar circunstˆ ncias em que caminho ´eN˜ multiplicar neg´ocio de ”regra de trˆes em ´e s´oque multiplicar H´a circunstˆ ancias em”de que o caminho ´e multiplicar cruzado e h´ a circunstˆ ancias o caminhocruzado”. ´e multiplicar o ”de cima”pelo cima”e o ”de baixo”pelo h´a circunstˆ ancias em que”quanto o caminho ´e multiplicar o ”de cima”pelo ”de cima”e o ”de baixo”pelo ”decruzado baixo”. eAssim quando dissermos mais”, orientaremos a seta para cima. Quando dissermos ”de baixo”. Assim quando dissermos ”quanto ”quanto menos”, orientaremos a seta para baixo.mais”, orientaremos a seta para cima. Quando dissermos ”quanto menos”, orientaremos a seta para baixo.

RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM

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cionais, assim, montamos a propor¸c˜ao invertendo os termos da raz˜ao que n˜ ao possuem x. 9 12 = 6 9 x 12 9 · x =6 6=· 12 x

23

12 Exemplo 13: Um monomotor percorre certa distˆ ancia voando com velocidade igual a 300 km/h, durante 6 horas; outro avi˜ ao percorrer´ a a mesma distˆ ancia, com a velocidade igual a 360 km/h. De quanto tempo o segundo avi˜ao precisar´ a? Note que: se a velocidade aumentar, o tempo de percurso diminui, mostrando que o problema ´e de

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grandezas inversamente proporcionais.

Resolu¸ c˜ ao: 300 · 6 = 360 · T 1800 = 360 · T T =5h Exemplo 14: Um autom´ ovel percorre 300 km em 5 horas. Mantendo a mesma velocidade, que distˆancia percorrer´a em 7 horas? Note que: se o tempo aumenta, a distˆ ancia tamb´em aumenta (est˜ao em velocidade constante), mostrando que o problema ´e de grandezas diretamente proporcionais.

Regra de Três e Proporção

I

13 Resolu¸ c˜ ao: 300 · 7 = 5 · D 2100 = 5 · D D = 420 Km

PORCENTAGEM 3 representa que 100 3 dividimos o inteiro em 100 partes iguais e tomamos 3 dessa parte, sendo assim, podemos representar 100 por 3%, raz˜ oes em que o denominador ´e 100 tamb´em chamado de raz˜ ao centesimal ou porcentual. Por A porcentagem ´e o nome dado a toda fra¸c˜ ao cujo denominador ´e 100. Sabemos que

em diversas ´ areas como no mercado financeiro, na Engenharia, na Matem´ atica, na Geografia ou at´e mesmo na Administra¸c˜ ao entre outras.

7% =

7 = 0, 07 100

-

2, 9% =

2, 9 = 0, 029 100

Para calcular problemas que envolvem a porcentagem, utilizamos a Regra de Trˆes Simples com grandezas diretamente proporcionais, por´em ´e poss´ıvel utilizar outras t´ecnicas de resolu¸c˜ ao.

Exemplo 15: Em uma cesta h´ a 60 laranjas das quais 20% est˜ ao estragadas. Quantas s˜ ao as laranjas estragadas? (aplicando a regra de trˆes)

Laranjas

Taxa percentual

60

100%

x

20%

100 · x = 20 · 60 100 · x = 1200 1200 x= 100 x = 12 laranjas est˜ ao estragadas

Podemos resolver o mesmo exemplo utilizando a f´ ormula: p=

c·i 100

c = capital ou principal neste caso as 60 laranjas Onde:

p = porcentagem neste caso x i = taxa neste caso 20%

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cento ´e uma express˜ ao representada pelo s´ımbolo %, que significa cent´esimos, a porcentagem ´e utilizada

25

14

p=

1200 60 · 20 = = 12 100 100

Exemplo 16: Numa loja de esportes, a camisa do meu time, que custava R$ 25,00, passou a custar R$ 27,00. Qual foi a porcentagem de aumento? Resolu¸ c˜ ao: 27 - 25 = 2 Temos um aumento de R$ 2,00 em R$ 25,00, sabemos que o percentual ´e uma fra¸c˜ ao cujo denominador

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´e 100 ent˜ao: 2 8 = = 8%, o aumento foi de 8% 25 100 Exemplos 17: Uma camisa sofreu um aumento de R$ 30,00 para R$ 32,40. Qual foi o percentual de aumento? Note que houve um aumento de R$ 2,40 sobre o pre¸co antigo, R$ 30,00, basta traduzir para a linguagem matem´atica: 2, 40 8 = 0, 08 = = 8% 30, 00 100 Outros exemplos que envolvem porcentagem: a) Calcular 35% de 90 35 · 90 = 31, 5 100 b) Calcular 25% de 80% 25 80 20 · = = 20% 100 100 100 c) Calcule (10%)2 . 10 = 0, 1. Logo, (0, 1)2 = 0, 01 · 100 = 1% 100 d) Se um trabalhador recebe um corte de 20% no seu sal´ ario, ele s´ o vai readquirir o original se tiver um aumento de quantos por cento? 1000 · 20 = 200, logo, ter´ a um des100 conto de R$200,00 e passar´ a a receber apenas R$ 800,00. Recebendo esse sal´ ario ele s´ o ir´ a readquirir o 80 · 25 = 200. sal´ario original se ganhar um aumento de 25%, observe: 100

Resolu¸ c˜ ao: supondo que esse trabalhador ganhe R$1000,00, ent˜ ao,

Porcentagem

I

15 ´ comum aparecer situa¸c˜oes em que h´a um desconto e, na sequˆencia, um acr´escimo da Cuidado! E mesma taxa. Isso ´e pegadinha! O pre¸co n˜ao volta ao normal! Se o pre¸co inicial for R$200, por exemplo, um desconto de 20% sobre esse pre¸co corresponderia a R$40 e derrubaria o pre¸co para R$160. Um acr´escimo de 20% sobre esse pre¸co vai resultar em R$32 e aumentaria o pre¸co para R$192. Mesmo que vocˆe tivesse dado o aumento primeiro e depois o desconto, chegaria aos mesmos valores.

˜ CONSIDERAC ¸ OES FINAIS Ao planejar esta unidade, focamos em possibilitar maneiras de aprofundar os conhecimentos de regra de trˆes, grandezas diretamente e inversamente proporcionais, principalmente, os conceitos de porcentagem, tornando o aprendizado mais significativo, facilitando a sua compreens˜ ao para os assuntos que ser˜ ao abordados posteriormente. Nesta unidade, percebemos que os assuntos abordados, raz˜ao, propor¸c˜ ao e, principalmente a porcentagem s˜ ao aplicadas em diversos momentos de nosso cotidiano e em diversas ´ areas de conhecimento. A proposta desta unidade ´e dar subs´ıdios a vocˆe para ampliar seu conhecimento matem´ atico de acordo com a sua experiˆencia e o seu cotidiano, possibilitando inovar as aplica¸c˜ oes e adequ´ a-las a cada necessidade. Temos certeza que, para estudar os assuntos propostos nesta unidade, n˜ ao foi poss´ıvel fazˆe-lo somente com ´ assim que se estuda a leitura, foi preciso l´apis, borracha e papel `a m˜ao e uma boa pitada de dedica¸c˜ ao. E matem´atica: exercitando, processo que o(a) leva a levantar d´ uvidas que podem e devem ser esclarecidas, posteriormente, pela equipe de suporte de seu curso.

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16

27 17

ATIVIDADES DE ESTUDOS

1. Em uma urna, h´a 40 bolas das quais 30% s˜ao verdes. Quantas s˜ ao as bolas verdes? 2. 20% de uma certa quantia corresponde a R$ 25,00. Qual ´e essa quantia? 3. Numa cidade de 5000 habitantes, 1200 s˜ao mulheres. Determine a taxa percentual de mulheres. 4. M´ario, que ganhava R$ 800,00, teve um aumento de sal´ ario e passou a ganhar R$ 920,00. Calcule o porcentual desse aumento. 5. Um computador ´e vendido `a vista por R$ 2700,00 ou em 18 parcelas de R$ 204,00. Quantos por cento pagar´a a mais quem comprar a prazo? ´ correto afirmar que (30%)2 equivale a 9%? 6. E 7. Com 20kg de farinha s˜ao produzidos 800 p˜aes. Quantos p˜ aes iguais aos primeiros ser˜ ao produzidos com 10kg de farinha? 8. Um carro com velocidade m´edia de 70km/h demora 6 horas para ir de uma cidade a outra. Para percorrer o mesmo trajeto em 4 horas, qual seria a velocidade m´edia desenvolvida? 9. Mil folhas de certo papel pesam 4kg. Quanto pesar˜ao 600 folhas do mesmo tipo de papel (usaremos pesar no sentido de ter massa por se tratar de linguagem coloquial). 10. A prefeitura de Cˆandido Mota resolveu colocar postes para ilumina¸c˜ ao de uma rua. Se colocar os postes distantes um do outro 25 m, ser˜ao necess´arios 80 postes. Se a distˆ ancia for de 40m, quantos postes ser˜ao necess´arios?

NOTAÇÃO CIENTÍFICA, OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E OPERAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS

UNIDADE

Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos Professor Esp. Fernando Marcussi

II

Objetivos de Aprendizagem ■■ Compreender os conceitos relacionados à Notação Científica. ■■ Entender as Potências de Base 10. ■■ Identificar e escrever números escritos em Notação Científica. ■■ Exercitar habilidades básicas de operar números fracionários. ■■ Identificar Frações Equivalentes. ■■ Dominar as 4 operações fundamentais: Adição, Multiplicação, Subtração, Divisão no conjunto dos números racionais (decimais e fracionários). ■■ Saber manipular Número Misto. ■■ Saber resolver Expressões Numéricas, desde as mais simples, até as mais elaboradas.

Plano de Estudo A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: ■■ Notação Científica ■■ Operações com Frações ■■ Operações com Números Decimais ■■ Expressões Numéricas

31

19

˜ INTRODUC ¸ AO Nesta unidade, iniciaremos a abordagem dos conte´ udos com nota¸c˜ ao cient´ıfica, na sequˆencia opera¸c˜ oes com fra¸c˜ oes e finalizaremos com opera¸c˜ oes com n´ umeros decimais. Apesar de serem temas simples, s˜ ao conte´ udos onde a grande maioria das pessoas sentem dificuldades e muitos n˜ ao conseguem atingir os resultados esperados, provavelmente, porque o bloqueio est´ a na maneira como esses conte´ udos foram introduzidos no ensino fundamental.

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Ao abordar a nota¸c˜ ao cient´ıfica, o foco est´ a nas potˆencias de base dez e no trabalho com radicais, valorizando nossos estudos, apresentaremos diversas possibilidades de aplica¸c˜ ao e de utiliza¸c˜ ao de forma de escrita num´erica. Nosso primeiro contato com as fra¸c˜ oes acontece nas s´eries iniciais do ensino fundamental, entre o 3o e ´ o momento em que descobrimos que a forma fracion´ aria representa uma determinada parte 4o ano. E de um inteiro ou de uma qualidade, assim, a inten¸ca˜o ´e mostrar ao aluno a necessidade de representar partes de um intervalo ou de uma quantidade, assim, a inten¸c˜ ao ´e mostrar ao aluno, a necessidade de representar partes de um inteiro, proporcionando um estudo das fra¸c˜ oes, estabelecendo rela¸c˜ oes com o dia a dia dos alunos, atrav´es de situa¸c˜ oes diversificadas de utiliza¸c˜ ao de fra¸c˜ oes, pois ´e comprovado que o aluno apresenta mais dificuldade com os n´ umeros fracion´ arios que com os n´ umeros naturais. Finalizaremos esta unidade com as opera¸c˜ oes que envolvem os n´ umeros decimais, partindo do princ´ıpio de que vocˆe conhece e j´ a obteve um contato com o conjunto dos n´ umeros, daremos uma aten¸c˜ ao especial aos n´ umeros decimais, pois vocˆe precisa interiorizar uma cadeia de rela¸c˜ oes e estruturas do valor de posi¸c˜ ao, destacando a ampla utiliza¸c˜ ao desses n´ umeros no dia a dia inclusive destacando a sua rela¸c˜ ao com os n´ umeros fracion´ arios.

Introdução

II

20 20 ˜ CIENT´IFICA NOTAC ¸ AO ˜ CIENT´IFICA NOTAC ¸ AO Nota¸c˜ao cient´ıfica ´e uma forma diferente de representar n´ umeros reais, muito utilizada em c´ alculos que envolvem umeros ou n´ umeros muito grandes, evitando de algum Nota¸c˜ao n´ cient´ ıfica muito ´e umapequenos forma diferente de representar n´ umeros reais, esquecer-se muito utilizada em c´ azero, lculosesta que nota¸ c˜ao ´e muito utilizada Qu´ımica F´ envolvem n´ umeros muitoem pequenos oue n´ uısica. meros muito grandes, evitando esquecer-se de algum zero, esta nota¸c˜ao ´e muito utilizada em Qu´ımica e F´ısica. ˆ POTENCIA DE BASE 10: k Ela ´e representada a × 10 ˆ POT ENCIA DEpor: BASE 10:, ou seja, 1 ≤ a ≤ 10; k ∈ z, sendo assim, sempre que multiplicamos qual-

independentemente dapor quantidade de algarismos esse desse n´ umero. quer n´ umero inteiro 10, acrescentamos um que zeroforma `a direita n´ umero para obtermos o resultado, independentemente da quantidade de algarismos que forma esse n´ umero. Exemplo 1: a) 5 · 102 =1:500 Exemplo

e) 7.000.000.000 = 7 × 109 .

2 = b)a)55· ·10 = 500 0, 5 10−1

f)e)3,7.000.000.000 12 · 101 = 31,= 2. 7 × 109 .

−1 = c)b)155 ·· 10 10−2 = 15 0, 5· 0, 01 = 0, 15

g)f)4,3,589 1012 = = 31, 458,2.9. 12 ·· 10

3 = 1300 d)c)1,153 · 10−2 34, 3.9. = 15 · 0, 01 = 0, 15 h)g)0,4,0343 589 · 1023 = 458,

d) 1, 3 · 103 = 1300

h) 0, 0343 · 103 = 34, 3.

NOTE QUE: Para que oQUE: n´ umero 7.000.000.000 se transformasse em nota¸c˜ao cient´ıfica, foi necess´ ario “andar” com a NOTE v´Para ırgulaque 9 casas `a esquerda (o expoente ´e 9), atente-se o cexpoente ´e positivo. o n´ umero 7.000.000.000 se transformasse emque nota¸ ˜ao cient´ıfica, foi necess´ ario “andar” com a −4 0002, para´e que o n´ umeroque 0,0002 se transformasse em nota¸c˜ ao cient´ıfica, Note tamb´ m que`a 2×10 v´ırgula 9 ecasas esquerda=(o0,expoente 9), atente-se o expoente ´e positivo. −4 a foi necess´ ario com ırgula casas `a odireita (o 0,0002 expoente ´e -4), atente-se oc˜ ´e Note tamb´ em“andar” que 2×10 =v´ 0, 0002,4para que n´ umero se transformasse emque nota¸ aexpoente o cient´ıfica,

negativo. foi necess´ario “andar” com a v´ırgula 4 casas `a direita (o expoente ´e -4), atente-se que o expoente ´e Onegativo. processo ´e bem simples, posicionamos a v´ırgula de forma que o n´ umero fique entre 1 e 10. Contamos oOn´ uprocesso mero de´ecasas que a v´ırgula se deslocou para de a esquerda ouo para a direita, esse 1ser´ bem simples, posicionamos a v´ırgula forma que n´ umero fique entre e a10.o expoente Contamos da base 10. de casas que a v´ırgula se deslocou para a esquerda ou para a direita, esse ser´ o n´ umero a o expoente da base 10.

NOTAÇÃO CIENTÍFICA, OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E OPERAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS

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quer urepresentada mero inteiro por: por 10, uma ≤ zero desseassim, n´ umero para que obtermos o resultado, Ela ´en´ a × acrescentamos 10k , ou seja, 1 ≤ 10;`akdireita ∈ z, sendo sempre multiplicamos qual-

33

21 Exemplo 2: Utilizando o n´ umero 150.000.000 preciso transform´ a-lo em nota¸c˜ ao cient´ıfica, observe: 150.000.000, mesmo oculta, o n´ umero possui o posicionamento da v´ırgula, para ser nota¸c˜ ao cient´ıfica o n´ umero deve estar entre 1 e 10, ent˜ ao, posso posicionar a v´ırgula ap´ os o 1,5 em seguida multiplico por 10 elevado ao n´ umero de casas que sobraram ap´ os a v´ırgula, como a v´ırgula se deslocou para a esquerda o expoente ´e positivo, resultando em 1, 5 · 108 .

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umero de nota¸c˜ ao cient´ıfica. Exemplo 3: Transforme 414 · 521 em um n´ Resolu¸ c˜ ao: (22 )14 · 521 221 · 521

(27 · 221 ) · 521

27 · (221 · 521 )

27 · 1021

128 · 1021 = 1, 28 · 1023 Exemplo 4: Qual ´e o valor da express˜ ao 5100 × 10−5 + 3 × 10−4 ?

Resolu¸ c˜ ao: 5100 × 10−5 = 510 × 101 × 10−5 510 × 10−4 + 3 × 10−4 513 513 = 0, 0513 513 × 10−4 = 4 = 10 10.000

˜ ˜ OPERAC ¸ OES COM FRAC ¸ OES Durante a sua jornada acadˆemica, em algum momento, provavelmente vocˆe deve ter entrado em contato com o estudo das fra¸c˜ oes, de onde surge, qual o significado de cada representa¸c˜ao, enfim, neste nivelamento o nosso objetivo ´e que vocˆe saiba manipul´ a-las, tendo dom´ınio ao realizar as opera¸c˜ oes com fra¸c˜oes.

˜ E SUBTRAC ˜ DE FRAC ˜ ADIC ¸ AO ¸ AO ¸ OES: ´ poss´ıvel calcular opera¸c˜ E oes com o mesmo denominador e tamb´em com denominadores diferentes. Para denominadores diferentes, basta procurar as fra¸c˜oes equivalentes e encontrar o famoso M.M.C ( m´ınimo m´ ultiplo comum),observe como adicionamos as fra¸c˜ oes considerando as classes de equivalˆencia de um n´ umero fracion´ ario.

Operações com Frações

II

22 Exemplo 5:

1 3 + note as classes de equivalˆencia: 2 5     1 2 3 4 5 1 1 = , , , , , ... −→ Classe de equivalˆencia de 2 2 4 6 8 10 2     3 6 9 3 3 = , , , ... −→ Classe de equivalˆencia de 5 5 10 15 5

Observe que 10 ´e um m´ ultiplo comum de 2 e 5, ent˜ ao: 1 3 5 6 11 + = + = 2 5 10 10 10 1 3 − 2 5

1 3 5 6 1 − = − =− 2 5 10 10 10

1 aquina de Exemplo 7: Iniciou-se a colheita de milho na lavoura do Seu Joaquim, foi colhida pela m´ 2 3 1 Paulo, foi colhida pela m´ aquina de Jos´e e pela m´ aquina do Pedro. A colheita foi completamente 10 5 realizada? Resolu¸ c˜ ao: Para resolver precisamos somar as fra¸c˜ oes, neste caso, precisamos encontrar a fra¸c˜ ao equi1 3 1 valente a , e , atente-se que temos que encontrar o mesmo denominador, ent˜ ao, neste caso iremos 2 10 5 utilizar o M.M.C entre 2, 10 e 5 decompondo em um produto de primos. 2 = 21 , 10 = 21 × 51 e 5 = 51 Logo M.M.C entre (2,5,10) = 2 × 5 = 10 Encontrando o denominador comum, basta reduzir as fra¸c˜ oes dadas:

Finalmente, adicione as fra¸c˜ oes com os denominadores iguais: 1 3 1 5 3 2 5+3+2 10 + + = + + = = =1 2 10 5 10 10 10 10 10

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Exemplo 6:

35

23 Conclui-se que as m´aquinas colheram toda a lavoura.

˜ DE FRAC ˜ MULTIPLICAC ¸ AO ¸ OES: O m´etodo pr´atico para a multiplica¸c˜ao ´e o mais simples entre todos os m´etodos: Multiplicamos Numerador por Numerador e Denominador por Denominador.

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Exemplo 8:

“Aten¸ c˜ ao n˜ ao esque¸ ca do jogo de sinais” ˜ DE FRAC ˜ DIVISAO ¸ OES: Na divis˜ao de fra¸c˜oes multiplicamos a primeira fra¸ca˜o pelo inverso da segunda (em outras palavras, copiamos a primeira, invertemos a segunda e multiplicamos). Exemplo 9: 10 2 5 2 3 a) : = · = 3 5 3 3 9     2 2 3 7 2 · (−7) · 8 105 1 8 b) : − : = · − · = =− 3 7 8 3 3 1 3·3·3·1 24 N˜ao podemos esquecer os n´ umeros mistos, que s˜ao express˜oes que contˆem n´ umeros com uma quantidade inteira e outra fracion´aria, observe o exemplo: 1 1 5 ( lˆe-se cinco inteiros e um quarto), ou seja, temos cinco unidades inteiras e mais . 4 4 1 1 20 1 21 Logo: 5 = 5 + = + = 4 4 4 4 4

˜ COM NUMEROS ´ OPERAC ¸ AO DECIMAIS O conceito de n´ umeros decimais pode ser vinculado ao conceito de fra¸c˜oes auxiliando no processo de compreens˜ao do conte´ udo. ˜ E SUBTRAC ˜ DE DECIMAIS: ADIC ¸ AO ¸ AO Nas opera¸c˜oes que envolvem n´ umeros decimais, precisamos calcular de acordo com sua casa decimal, exemplos inteiros com inteiros, d´ecimos com d´ecimos, cent´esimos com cent´esimos assim sucessivamente.

Operação com Números Decimais

II

24 Veja como podemos adicionar dois n´ umeros decimais:

simples, uma adi¸c˜ ao de 0,5 + 0,7 resultando em 1,2, ou seja, um inteiro e dois d´ecimos. Armando a opera¸c˜ ao somente com os n´ umeros decimais seria: UNIDADES

´ DECIMOS

0,

7

0,

5

1,

2

Exemplo 10: Calcule 12,8 + 1, 089 + 16 + 0,004 = 29,893 DEZENA

UNIDADE

´ DECIMOS

1

2,

8

1, 1

2

´ CENTESIMOS

´ MILESIMOS

0

8

9

0,

0

0

4

9,

8

9

3

6

NOTAÇÃO CIENTÍFICA, OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E OPERAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Note que os n´ umeros foram representados em decimais fracion´ arios, o exerc´ıcio propˆ os uma opera¸c˜ ao

37

25 O segredo desse c´alculo ´e usar a velha muleta da vov´o. Efetue a opera¸c˜ao colocando sempre v´ırgula embaixo de v´ırgula. ˜ DE NUMEROS ´ MULTIPLICAC ¸ AO DECIMAIS: Para multiplicar n´ umeros fracion´arios, ´e necess´ ario atentar-se que todo n´ umero decimal tamb´em ´e um 114 375 ou 11, 7 = , observe que a quantidade de casas ap´os a n´ umero fracion´ario, exemplo: 3, 75 = 100 10 v´ırgula ser´a a quantidade de casas decimais que irei utilizar ”quantidade de zeros”.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Exemplo 11: Calcule 3, 17 · 11, 2

35504 317 112 · = = 35, 504 100 10 1000

Exemplo 12: As classes de uma escola est˜ao arrecadando alimentos para as festas juninas. Parte dos mantimentos ser´a doada a institui¸c˜oes como creche e hospitais. A classe que conseguir mais mantimentos receber´a um prˆemio. A turma de Camila obteve 0,3 de 1,25 toneladas de alimentos. Isso ´e 0,3 de 1,25 toneladas ou: 0, 3 × 1, 25 =

3 125 375 × = = 0, 375 toneladas 10 100 1000

Observe que, ao efetuar essa opera¸c˜ao, multiplicamos d´ecimos por cent´esimos, resultando em mil´esimos, isso implica em trˆes casas decimais, ent˜ao, para resolver essa opera¸c˜ao, posso utilizar a velha t´atica da vov´o, armando a opera¸c˜ao e ap´os a resolu¸c˜ao realizar a contagem das casas decimais e, s´o ent˜ao, posicionar a v´ırgula, observe: 0,3 × 1,25 0,375 ˜ DE NUMEROS ´ DIVISAO DECIMAIS: Na divis˜ao os n´ umeros decimais tamb´em s˜ao fra¸c˜oes, exemplo:   12155 100 12155 425 : = · = 2, 86 . 12, 155 : 4, 25 = 1000 100 1000 425 Exemplo 13: Calcule 6,8 : 1,02 68 102 68 100 6800 : = · = = 6, 666... 10 100 10 102 1020 Exemplo 14: Quero dividir 12000 hectares de terra em lotes de 4,5 hectares. Quantos lotes obterei? 12000 :

45 10 120000 = 12000 · = = 2666, 66... 10 45 45

Operação com Números Decimais

II

26

26

Conclui-se que a divis˜ao entre dois n´ umeros decimais segue uma sistematiza¸c˜ ao simples, basta com-

Conclui-se que a divis˜ao entre dois n´ umeros decimais segue uma sistematiza¸c˜ ao simples, basta completar com zeros at´e que o n´ umero de casas decimais seja igual para ambos. A seguir, ignoraremos a pletar com zeros at´e que o n´ umero de como casassedecimais sejade igual para inteiros. ambos. A seguir, ignoraremos a v´ırgula e realizaremos os c´alculos trat´assemos n´ umeros v´ırgula Atente-se e realizaremos os c´ alculos como se trat´ ac˜assemos de uvocˆ meros inteiros. que, quando assunto ´e multiplica¸ o e divis˜ ao,n´ e dever´ a realizar o jogo de sinais. Atente-se que, quando assunto ´e multiplica¸c˜ ao e divis˜ ao, vocˆe dever´ a realizar o jogo de sinais.

˜ ´ EXPRESSOES NUMERICAS ´ poss´ıvel nos depararmos com situa¸c˜oes que envolvam v´arias opera¸c˜ E oes, e para atingir o resultado devemos realizar v´arios c´alculos. Essas situa¸c˜oes s˜ao chamadas de express˜ oes.

´ poss´ıvel nos depararmos com situa¸c˜ E oes que envolvam v´ arias opera¸c˜ oes, e para atingir o resultado devemos Exemplo 15: Cl´audio e Jair foram `a doceria e compraram um pacote de balas por R$ 4,90 e trˆes caixas

realizar v´arios c´alculos. Essas situa¸c˜ oes s˜ ao chamadas de express˜ oes.

de bombons por R$ 5,50. Dividiram a despesas igualmente. Quanto gastou cada um?

Exemplo 15: Cl´audio e Jair foram ` a doceria e compraram um pacote de balas por R$ 4,90 e trˆes caixas (4, 90 + 5, 50) : 2 =R$ 5, 20 gastou cada um? de bombons por R$ 5,50. Dividiram a despesas igualmente. Quanto As express˜oes envolvem v´arias opera¸c˜oes, v´arios s´ımbolos e v´ arias formas de escrever os n´ umeros, por esse

(4, 90 + 5, 50) : 2 =R$ 5, 20

motivo devemos nos atentar `a ordem de preferˆencia para a resolu¸c˜ ao.

As express˜oes envolvem v´ arias opera¸c˜ oes, v´ arios s´ımbolos e v´ arias formas de escrever os n´ umeros, por esse motivo devemos nos atentar ` a ordem de preferˆencia para a resolu¸c˜ ao.

Exemplo 16:

Exemplo 16: 

            6 5 1 −24 + 15 1 16 9 5 + 64 − + : + 1, 6 = : + = − : 3 4 8 12 8 10 12 40           9 69 9 40 360 = − : = − · = − = −0, 434 12 40 12 69 828

           1 −24 + 15 1 16 5 + 64 9 : + 1, 6 = : + = − : 8 12 8 10 12 40           9 69 9 40 360 = − : = − · = − = −0, 434 12 40 12 69 828

6 5 − + 3 4

NOTAÇÃO CIENTÍFICA, OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E OPERAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS

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˜ ´ EXPRESSOES NUMERICAS

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27

˜ CONSIDERAC ¸ OES FINAIS Nesta unidade apresentamos a nota¸c˜ ao cient´ıfica, muito utilizada principalmente em disciplinas que envolvem Qu´ımica, F´ısica e linguagem computacional, raramente ´e explorada no ensino fundamental. Atrav´es das atividades propostas, conclui-se que a nota¸c˜ ao cient´ıfica ´e muito significativa assim como as potˆencias e expoentes negativos.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Esta unidade proporcionou retomar conte´ udo aplicado por volta do 7o ano do ensino fundamental, pois ´e nesse ponto de sua jornada acadˆemica que, obrigatoriamente, de acordo com os PCNs, s˜ ao introduzidas as opera¸co˜es que envolvem n´ umeros fracion´ arios e decimais, ´e nesse ponto que s˜ ao ensinados conceitos e nomenclatura, representa¸c˜ ao e igualdade, o resultado ´e que estas opera¸c˜ oes s˜ ao bem simples de serem resolvidas, basta respeitar as regras, visto que existem diversas maneiras de efetuar as opera¸c˜ oes tornando os c´ alculos simples e o processo r´ apido e f´ acil de compreender. O objetivo central ´e agilizar o c´ alculo com as opera¸c˜ oes matem´ aticas b´ asicas que evolvem n´ umeros decimais e fracion´ arios positivos e relativos, visto que a ideia de fra¸c˜ ao ´e um dos temas que mais aparecem em concursos e um dos temas de maior dificuldade em absor¸c˜ ao por parte dos alunos. Estes, por acharem o conte´ udo desnecess´ ario e simples, n˜ ao assimilam e erram detalhes b´ asicos ao realizar as opera¸c˜ oes matem´ aticas. Uma maneira de fixar os conte´ udos abordados ´e a resolu¸c˜ ao de exerc´ıcios, ent˜ ao, vamos praticar as atividades propostas nesta unidade. Bons estudos!

Considerações Finais

28

ATIVIDADES DE ESTUDOS

1. Um lago, aproximadamente retangular, mede 210,3 m por 325,2 m. Qual ´e a ´area em metros quadrados? 2. Calcule a express˜ao



2 1 − 3 6

   3 : 5

3. Calcule: a) b)

0, 32 0, 2 6 5 1 2

+

1 3

4. Em uma escola 104 alunos s˜ao do sexo feminino. Se o

1 dos alunos s˜ao do sexo masculino, quantos 9

estudantes tem essa escola? 5. Ao realizar uma pesquisa para as elei¸c˜oes com os moradores de uma cidade do interior de S˜ao Paulo, 1 3 constatou-se que deve votar em Jo˜ao Rub˜ao para prefeito e devem votar em Lu´ıs Peixoto. Que 3 5 fra¸c˜ao da popula¸c˜ao n˜ao votar´a em um desses dois candidatos? 1 6. Do dinheiro que possu´ıa, Maria gastou com um ingresso de cinema. Do dinheiro que restou, 3 1 Maria gastou comprando pipoca. Que fra¸c˜ao do dinheiro total que Maria possu´ıa foi gasta com 4 a pipoca? Que fra¸c˜ao do dinheiro sobrou depois desses gastos? 7. Em uma pesquisa cient´ıfica cada experiˆencia tem dura¸c˜ao de 50 minutos, o intervalo de tempo de duas experiˆencias seguidas, expresso em segundos, ´e de: a) 3, 0 × 102 b) 3, 0 × 103 c) 3, 6 × 103 d) 6, 0 × 103 e) 7, 2 × 103 8. A nossa gal´axia, a Via L´actea, cont´em cerca de 400 bilh˜oes de estrelas. Suponha que 0,05% dessas estrelas possuam um sistema planet´ario onde exista um planeta semelhante `a Terra. O n´ umero de planetas semelhantes `a Terra, na V´ıa L´actea, ´e: a) 2, 0 × 104 b) 2, 0 × 106

41

29 c) 2, 0 × 108 d) 2, 0 × 1011 e) 2, 0 × 1012 9. Qual ´e a representa¸c˜ ao da fra¸c˜ ao

9 em n´ umeros decimais? 2

10. Observe as fra¸c˜ oes e suas respectivas representa¸c˜ oes decimais: 3 = 0, 003 1000 2367 = 23, 67 II. 100 129 = 0, 0129 III. 10000 267 IV. = 2, 67 10 I.

Utilizando as igualdades acima, escolha a alternativa correta. a) I e II. b) I e IV. c) I, II e III. d) I, II, III e IV.

FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS

UNIDADE

Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos Professor Esp. Fernando Marcussi

III

Objetivos de Aprendizagem ■■ Reconhecer e definir função. ■■ Utilizar a linguagem das funções. ■■ Construir gráficos de funções do 1º e 2º graus. ■■ Construir, ler e interpretar gráficos de funções do 1º e 2º graus. ■■ Identificar zeros e vértice de uma função do 2º grau.

Plano de Estudo A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: ■■ Noção Intuitiva de Função ■■ Função do 1º grau ■■ Função do 2º grau ou função quadrática

45

31

˜ INTRODUC ¸ AO Nesta unidade de estudo, preparamos para vocˆe o estudo das fun¸c˜ oes do 1o e 2o graus, conhecidas tamb´em como fun¸c˜ ao afim e fun¸c˜ao quadr´atica, respectivamente. A abordagem, por vezes, torna-se densa, pois requer textos matem´aticos, contudo, exemplos s˜ao apresentados ao final de cada assunto com o objetivo de se confirmar uma regra ou demonstrar uma verdade. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O conte´ udo abordado se faz relevante, pois aprendˆe-las permite que vocˆe compreenda como as fun¸c˜oes descrevem o comportamento de situa¸c˜oes do mundo ao nosso redor, por esse motivo reconhecer, definir e caracterizar as fun¸c˜oes torna-se pertinente. Nessa perspectiva, esperamos de vocˆe a dedica¸c˜ao de estudante de sempre, al´em de ler minuciosamente este material, assista `as aulas dispon´ıveis no ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Atente-se que o processo de leitura de um texto matem´atico necessita de reflex˜ ao para compreender o assunto abordado, pois ler sem refletir ´e o mesmo que nada ler.

Introdução

III

32

˜ INTUITIVA DE FUNC ˜ NOC ¸ AO ¸ AO Reconhecido como um dos mais importantes conceitos da Matem´ atica, o conceito de fun¸c˜ ao est´ a presente nas rela¸c˜ oes entre duas grandezas vari´ aveis. Exemplo 1: Considere a tabela que relaciona o n´ umero de litros de gasolina comprados e o pre¸co a pagar por eles: Pre¸ co a pagar (R$)

1

2,30

2

4,60

3 .. .

6,90 .. .

40

92,00

x

2, 30x

Observe que o pre¸co a pagar ´e dado em fun¸c˜ ao do n´ umero de litros comprados, ou seja, o pre¸co a pagar depende do n´ umero de litros comprados. Pre¸co a pagar = R$ 2,30 vezes o n´ umero de litros comprados Ou P = 2, 30x −→ Lei da fun¸ c˜ ao ou f´ ormula matem´ atica da fun¸ c˜ ao ou regra da fun¸ c˜ ao Exemplo 2: Numa rodovia, um carro mant´em uma velocidade constante de 90km/h. Veja a tabela que relaciona o tempo t (em horas) e a distˆ ancia d (em quilˆ ometros): Tempo (h)

0,5

1

1,5

2

3

4

T

Distˆ ancia (km)

45

90

135

180

270

360

90t

Observe que a distˆ ancia percorrida ´e dada em fun¸c˜ ao do tempo, isto ´e, a distˆ ancia percorrida depende do intervalo de tempo. Cada intervalo de tempo considerado corresponde a um u ´nico valor para a distˆ ancia percorrida. Dizemos, ent˜ ao, que a distˆ ancia percorrida ´e fun¸c˜ ao do tempo e escrevemos: Distˆ ancia = 90 · tempo Vari´ avel dependente ←− d = 90t −→ Vari´ avel independente

FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS

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N´ umero de Litros

47

33 Grande parte das fun¸c˜oes que estudamos ´e determinada por f´ ormulas matem´ aticas (regras ou leis). Como visto anteriormente, a correspondˆencia entre o n´ umero de litros de gasolina e o pre¸co a pagar expressa por: Pre¸ co a pagar = 2,30 vezes o n´ umero de litros comprados Em que o pre¸co de 1 litro ´e R$2,30. Essa fun¸c˜ao pode ser expressa pela f´ ormula matem´atica: y = 2, 30x ou f (x) = 2, 30x

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Veja outras fun¸c˜oes expressas por f´ormulas matem´aticas: • f : R → R que a cada n´ umero real x associa o seu dobro → f (x) = 2x ou y = 2x • f : R → R que a cada n´ umero real x associa o seu cubo → f (x) = x3 ou y = x3 • f : R → R que a cada n´ umero real x associa o seu triplo somado com 1 → f (x) = 3x + 1 ou y = 3x + 1 • f : R → R que a cada n´ umero real diferente de zero associa o seu inverso → f (x) = y = x−1

1 1 ou y = ou x x

Exemplo 3: Numa ind´ ustria, o custo operacional de uma mercadoria ´e composto de um custo fixo de R$ 300,00 mais um custo vari´avel de R$ 0,50 por unidade fabricada. Portanto o custo operacional, que representaremos por y, ´e dado em fun¸c˜ao do n´ umero de unidades fabricadas, que representaremos por x. Vamos expressar, por meio de uma f´ormula matem´atica, a lei dessa fun¸c˜ ao. Custo operacional = custo fixo + custo vari´ avel =⇒ y = 300, 00 + 0, 50x Ent˜ ao a f´ ormula matem´atica ´e f (x) = 300, 00 + 0, 50x ou y = 300, 00 + 0, 50x.

˜ REAL DOM´ INIO DE UMA FUNC ¸ AO Dada uma fun¸c˜ ao f de A em B (f : A ← B), o conjunto A chama-se dom´ınio da fun¸c˜ ao e o conjunto B, contradom´ınio da fun¸c˜ao. Para cada x ∈ A, o elemento y ∈ B chama-se imagem de x pela fun¸c˜ ao f ou valor assumido pela fun¸c˜ao f para x ∈ A e o representamos por f (x) (lˆe-se: f de x). Assim y = f (x). O conjunto de todos os y assim obtidos ´e chamado conjunto imagem da fun¸c˜ ao f e ´e indicado por Im(f ). Assim uma fun¸c˜ao ´e composta por trˆes componentes: dom´ınio, contradom´ınio e lei de correspondˆencia (Imagem). Quando ´e citada uma fun¸c˜ao f de A em B, j´ a ficam subentendidos o dom´ınio (A) e o contradom´ınio (B).

Noção Intuitiva de Função

III

34 Mas em alguns casos, ´e dada apenas a lei da fun¸c˜ ao f, sem que A e B sejam citados. Nesses casos consideramos o contradom´ınio B = R e o dom´ınio A como ”maior”subconjunto de R (A ⊂ R) tal que a

lei dada defina uma fun¸ca˜o f : A → R.

Veja nos exemplos a seguir a explica¸c˜ ao do dom´ınio em algumas fun¸c˜ oes. 1 Exemplo 4: f (x) = x 1 1 s´ o ´e poss´ıvel em R se x = 0 (n˜ ao existe divis˜ ao por 0). Para cada x = 0, o valor sempre existe e ´e x x ∗ u ´nico (o inverso de x). Logo, D(f ) = R − 0 = R .

3 − x ≥ 0 ⇒ −x ≥ −3 ⇒ x ≤ 3

Para cada x ≤ 3, f (x) existe e ´e u ´nico, pois ´e a raiz quadrada de um n´ umero real maior ou igual a zero. Portanto, D(f ) = {x ∈ R | x ≤ 3}. √ 7−x Exemplo 6: f (x) = √ x−2 Neste caso, devemos ter:

7−x≥0⇒x≤7 x−2>0⇒x>2 Ou seja, x ∈ (2, 7]. Para cada x ∈ (2, 7], f (x) existe e ´e u ´nico, pois ´e a divis˜ ao de um n´ umero real positivo ou nulo por outro positivo. Logo D(f ) = (2, 7]

˜ DO 1o GRAU FUNC ¸ AO Um representante comercial recebe, mensalmente, um sal´ ario composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1.500,00 e uma parte vari´ avel, que corresponde a uma comiss˜ ao de 6% (0,06) sobre o total das vendas que ele faz durante o mˆes. Nessas condi¸c˜ oes, podemos dizer que: Sal´ ario Mensal = 1500,00 + 0,06 · (Total das vendas do mˆ es) Observamos, ent˜ ao, que o sal´ ario mensal desse vendedor ´e dado em fun¸c˜ ao do total de vendas que ele faz durante o mˆes, ou seja: s(x) = 1500, 00 + 0, 06x ou s(x) = 0, 06x + 1500, 00 ou y = 0, 06x + 1500, 00

FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS

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 Exemplo 5: f (x) = (3 − x)  (3 − x) s´ o ´e poss´ıvel em R se 3 − x ≥ 0 (em R n˜ ao h´ a raiz quadrada de n´ umero negativo).

49

35 em que x ´e o total das vendas do mˆes. Esse ´e um exemplo de fun¸c˜ ao do 1o grau ou fun¸c˜ ao afim. ao afim. em que x ´e o total das vendas do mˆes. Esse ´e um exemplo de fun¸c˜ ao do 1o grau ou fun¸c˜

35 35

Defini¸ c˜ ao: ao afim. em que x ´e o total das vendas do mˆes. Esse ´e um exemplo de fun¸c˜ ao do 1o grau ou fun¸c˜ Defini¸ c ˜ a o: umeros reais Uma fun¸c˜ao f : R → R chama-se fun¸c˜ao afim ou fun¸c˜ao do 1o grau quando existem dois n´

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a e fun¸ b tal + b, para todo x ∈ R. umeros reais Uma c˜aoque f :fR(x) →=Rax chama-se fun¸ c˜ao afim ou Por fun¸cexemplo: ˜ao do 1o grau quando existem dois n´ Defini¸ c˜ ao: 2x + (a+=b,2,para b =todo 1) x ∈ R. Por exemplo: a e b •talf (x) que=f (x) =1ax umeros reais Uma fun¸c˜ao f : R → R chama-se fun¸c˜ao afim ou fun¸c˜ao do 1o grau quando existem dois n´ • f (x) = 2x + 1 (a = 2, b = 1) • f (x) = −x + 4 (a = -1, b = 4) a e b tal que f (x) = ax + b, para todo x ∈ R. Por exemplo: • •f (x) = −x b= 4) 1 + 41(a(a==-1, • ff (x) (x) = = 2xx+ ,b==1) 5) + 5 (a = 2,13 b 3 1 1 • •f (x) = x ,b = 5) ++ 5 (a = =3 -1, 4 4, (a • ff (x) (x) = =3 −x 4x (a= b = 0)b = 4) 1 • •f (x) == 4x1(a= b= = 0) f (x) x + 54,(a 3 ,b = 5) 3

• f (x) = 4x (a= 4, b = 0)

˜ DO 1◦ GRAU CASOS PARTICULARES DE UMA FUNC ¸ AO ˜ DO 1◦ GRAU 1) Fun¸ cPARTICULARES ˜ ao identidade: CASOS DE UMA FUNC ¸ AO :R→ definida por f (x) = x para todo x ∈ R. Neste caso, a = 1 e b = 0. 1)f Fun¸ c˜ aoR identidade: ˜ DO 1◦ GRAU CASOS PARTICULARES DE UMA FUNC ¸ AO f : R → R definida por f (x) = x para todo x ∈ R. Neste caso, a = 1 e b = 0. 1) Fun¸ c˜ ao identidade: 2) Fun¸ c˜ ao linear: f : R → R definida por f (x) = x para todo x ∈ R. Neste caso, a = 1 e b = 0. :R→ definida por f (x) = ax para todo x ∈ R. Neste caso, b = 0. Alguns exemplos: 2)f Fun¸ c˜ aoR linear: f : R •→fR (x)definida = −2x por (a =f (x) -2) = ax para todo x ∈ R. Neste caso, b = 0. Alguns exemplos: 2) Fun¸ c˜ ao linear: • f (x) = −2x 1 (a = -2) f :R R= definida • → f (x) x (a por = 15 )f (x) = ax para todo x ∈ R. Neste caso, b = 0. Alguns exemplos: 5 1 1 √ √(a = • •f (x) = x ) • ff (x) (x) = =5 −2x 3x (a (a 5= = -2)3) √1 √ • •f (x) == 3x f (x) x (a (a = = 15 )3) 5 3) Fun¸ c˜ ao constante √ √ :R definida 3x (apor = f (x) 3) = b para todo x ∈ R. Neste caso, a = 0. Alguns exemplos: • → fc˜ = 3)f Fun¸ a(x) oR constante f : R •→fR (x)definida = 3 por f (x) = b para todo x ∈ R. Neste caso, a = 0. Alguns exemplos: 3) Fun¸ c˜ ao constante • f (x) = 3 3 f :R R= definida • → f (x) x por f (x) = b para todo x ∈ R. Neste caso, a = 0. Alguns exemplos: 4 3 √ • •f (x) = x (x) = =4 3 −2x • ff (x) √3 • •f (x) == −2x f (x) x 4 √ • f (x) = −2x

Função do 1º Grau

III

36 4) Transla¸ c˜ ao (da fun¸ c˜ ao identidade) f : R → R definida por f (x) = x + b para todo x ∈ R e b = 0. Neste caso, a = 1. Alguns exemplos: • f (x) = x + 2 • f (x) = x +

1 2

• f (x) = x − 3

O valor de uma fun¸c˜ ao do 1o grau ou fun¸c˜ao afim f (x) = ax + b para x = x0 ´e dado por f (x0 ) = ax0 + b. Por exemplo, na fun¸c˜ ao afim f (x) = 5x + 1, podemos determinar: Exemplo 7: • f (1) = 5 · 1 + 1 = 5 + 1 = 6. Logo, f (1) = 6. • f (−3) = 5(−3) + 1 = −15 + 1 = −14. Logo, f (−3) = −14 • f ( 15 ) = 5( 15 ) + 1 = 1 + 1 = 2. Logo, f ( 15 ) = 2. • f (x + h) = 5(x + h) + 1 = 5x + 5h + 1

˜ DE UMA FUNC ˜ DE 1o GRAU VIA DOIS PONTOS DISTINTOS DETERMINAC ¸ AO ¸ AO Uma fun¸c˜ ao de 1o grau ou afim f (x) = ax + b fica inteiramente determinada quando conhecemos dois dos seus valores f (x1 ) e f (x2 ) para quaisquer x1 e x2 reais, com x1 = x2 . Ou seja, com esses dados determinamos os valores de a e de b. Por exemplo: • Se f(2) = -2, ent˜ ao para x = 2 tem-se f(x) = -2, ou seja, -2 = 2a + b; • Se f(1) = 1, ent˜ ao para x = 1 tem-se f(x) = 1, ou seja, 1 = a + b. Determinamos os valores oes:   de a e b resolvendo o sistema de equa¸c˜    2a + b = −2  2a + b = −2 ⇒ ⇒ −b = −4 ⇒ b = 4    a+b =1  −2a − 2b = −2 Como a + b = 1, ent˜ ao: a + 4 = 1 ⇒ a = −3

Logo, a fun¸c˜ ao de 1o grau f (x) = ax + b tal que f (2) = −2 e f (1) = 1 ´e dada por f (x) = −3x + 4.

FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS

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˜ DO 1◦ GRAU VALOR DE UMA FUNC ¸ AO

51

37 Generalizando esse processo, de modo geral, conhecendo y1 = f (x1 ) e y2 = f (x2 ) para x1 e x2 reais quaisquer, com x1 = x2 , podemos explicitar os valores a e b da fun¸c˜ao f (x) = ax + b, determinando-a completamente. Assim:    y1 = f (x1 ) = ax1 + b   y = f (x ) = ax + b 2 2 2

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y2 − y1 = (ax2 + b) − (ax1 + b) = ax2 − ax1 = a(x2 − x1 ) ⇒ a =

y 2 − y1 , x1 = x2 x2 − x1

Substituindo esse valor de a em y1 = f (x1 ) = ax1 + b, obtemos o valor de b:   y2 − y1 y1 = · x1 + b ⇒ y1 (x2 − x1 ) = y2 x1 − y1 x1 + b(x2 − x1 ) x2 − x1 ⇒ y1 x2 − y1 x1 − y2 x1 + y1 x1 = b(x2 − x1 ) ⇒ b =

y 1 x 2 − y2 x 1 x2 − x1

´ ˜ DO 1◦ GRAU OU AFIM (f (x) = ax + b) GRAFICO DA FUNC ¸ AO Vamos provar que o gr´afico de uma fun¸c˜ao afim f (x) = ax + b ´e uma reta. Para isso basta que trˆes pontos quaisquer do gr´ afico sejam colineares, ou seja, estejam numa mesma reta:

Para que isso ocorra, ´e necess´ario e suficiente que um dos trˆes n´ umeros d(P1 , P3 ), d(P2 , P3 ) e d(P1 , P3 ) seja igual ` a soma dos outros dois. Supomos x1 < x2 < x3 e mostramos ent˜ao que: d(P1 , P3 ) = d(P1 , P2 ) + d(P2 , P3 )

Função do 1º Grau

III

38 Usando a f´ormula da distˆancia entre dois pontos, obtemos:   d(P1 , P2 ) = (x2 − x1 )2 + [(ax2 + b) − (ax1 + b)]2 ) = (x2 − x1 )2 + (ax2 − ax1 )2   √ = (1(x2 − x1 )2 + a2 (x2 − x1 )2 = (1 + a2 ) + (x2 − x1 )2 ) = (x2 − x1 ) 1 + a2

De modo an´alogo, observemos que:

√ √ d(P2 , P3 ) = (x3 − x2 ) 1 + a2 e d(P1 , P3 ) = (x3 − x1 ) 1 + a2 √ √ Portanto: d(P1 , P2 ) + d(P2 , P3 ) = (x2 − x1 + x3 − x2 ) 1 + a2 = (x3 − x1 ) 1 + a2 = d(P1 , P3 )

ao colineares, o que significa que Logo, trˆes pontos quaisquer do gr´afico da fun¸c˜ao do 1o grau (ou afim) s˜ o gr´ afico ´e uma reta. Geometricamente, b ´e a ordenada do ponto onde a reta, que ´e gr´ afico da fun¸c˜ ao f (x) = ax + b, intersecta o eixo Oy, pois para x = 0 temos f (0) = a · 0 + b = b. y

(0, b)

0

x

O n´ umero a chama-se inclina¸c˜ ao ou coeficiente angular dessa reta em rela¸c˜ ao ao eixo horizontal Ox.

˜ DE 1o GRAU OU AFIM CRESCENTE E DECRESCENTE FUNC ¸ AO Como j´a abordado anteriormente, a fun¸c˜ao de 1o grau f (x) = ax + b tem como representa¸c˜ ao gr´ afica uma reta, n˜ ao vertical, ou seja, n˜ao paralela ao eixo y. A ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo y ´e sempre b. O n´ umero a chama-se taxa de varia¸c˜ ao ou taxa de crescimento da fun¸c˜ ao. Quanto maior o valor absoluto de a, mais a reta se afasta da posi¸c˜ao horizontal. Para a = 0 existem duas possibilidades:

FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS

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Ou seja, d(P1 , P3 ) = d(P1 , P2 ) + d(P2 , P3 ).

53

39

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a

a > 0, f ´e crescente

a < 0, f ´e decrescente

Logo, f ´e crescente se a taxa de crescimento ´e positiva e decrescente se a taxa de crescimento ´e negativa. Assim o que determina se a fun¸c˜ ao afim ou de 1o grau f (x) = ax+b, com a = 0, ´e crescente ou decrescente ´e o sinal de a. Se a ´ e positivo, ela ´e crescente; se a ´ e negativo, ela ´e decrescente. No caso de a = 0, o valor de f (x) permanece constante [f (x) = b] e o gr´ afico de f ´e uma reta paralela ao eixo x que passa por (0,b).

Exemplo 8: Consideremos a fun¸c˜ ao f : R → R definida por f (x) = 5x − 3; sem construir o gr´ afico, vamos descobrir: a) Qual ´ e a figura do gr´ afico de f. O gr´ afico de f ´e uma reta, pois f ´e fun¸c˜ ao afim. b) Em que ponto o gr´ afico de f intercepta o eixo x. Todo ponto do eixo x tem ordenada 0: 3 5x − 3 = 0 ⇒ 5x = 3 ⇒ x = 5   O gr´ afico de f intercepta o eixo x em 35 , 0 .

c) Em que ponto o gr´ afico de f intercepta o eixo y.

f (0) = 5 · 0 − 3 ⇒ f (0) = −3 O gr´ afico de f intercepta o eixo y em (0,-3). d) Se f ´ e a fun¸ c˜ ao crescente ou decrescente. f ´e crescente, pois a = 5, isto ´e, a > 0.

Função do 1º Grau

III

40

˜ DO 2o GRAU OU FUNC ˜ QUADRATICA ´ FUNC ¸ AO ¸ AO Os diretores de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de basquete retangular e o espa¸co em volta dela com tela de alambrado. Tendo recebido 200 metros de tela, os diretores desejam saber quais devem ser as dimens˜oes do terreno a cercar com a tela para que a ´ area seja maior poss´ıvel, pois assim haveria espa¸co para a torcida fora da quadra.

Observe que a ´area do terreno a cercar ´e dada em fun¸c˜ ao da medida x , ou seja: f (x) = (100 − x)x = 100x − x2 = −x2 + 100x (Lei da fun¸c˜ ao) Esse ´e um caso particular de fun¸c˜ ao quadr´ atica. A situa¸ca˜o-problema que desencadeou essa fun¸c˜ ao quadr´atica ser´a resolvida adiante. Defini¸ c˜ ao: Uma fun¸c˜ao f : R → R chama-se quadr´ atica quando existem n´ umeros reais a, b e c, com a = 0, tal

que f (x) = ax2 + bx + c para todo x ∈ R.

f:

R→R x → ax2 + bx + c

Alguns exemplos: • f (x) = −x2 + 100x, em que a = −1, b = 100 e c = 0. • f (x) = 3x2 − 2x + 1, em que a = 3, b = −2 e c = 1.

FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS

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Podemos ilustrar o problema como o retˆ angulo ABCD, com dimens˜ oes x por 100 − x.

55

41 ˜ DO 2o GRAU OU QUADRATICA ´ ZEROS DA FUNC ¸ AO O estudo da fun¸c˜ ao quadr´ atica tem sua origem na resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao do 2o grau, que recai em determinar dois n´ umeros conhecendo sua soma s e seu produto p. 41

Chamando de x um dos n´ umeros, o outro ser´ a s − x. Assim, p = x(s − x) ou p = sx − x2 , ou ainda,

´ ˜ DO 2o GRAU OU QUADRATICA ZEROS DA FUNC ¸ AO

x2 − sx + p = 0

O estudo da fun¸c˜ao quadr´atica tem sua origem na resolu¸c˜ao da equa¸c˜ ao do 2o grau, que recai em determinar

Para encontrar x (e, portanto, x),produto basta resolver a equa¸c˜ao do 2o grau x2 − sx + p = 0 , ou seja, dois n´ umeros conhecendo sua soma ss e−seu p.

2 basta determinar os valores x opara osser´ quais c˜ ao quadr´ atica f (x) p ainda, se anula. Esses s˜ao Chamando de x um dos n´ umeros, outro a s −ax.fun¸ Assim, p = x(s − x) ou p==xsx−−sx x2 ,+ou

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chamados zeros da fun¸c˜ ao quadr´ atica ou2 ra´ızes da equa¸c˜ao de 2o grau correspondente a f (x) = 0. Por x − sx + p = 0

exemplo, os dois n´ umeros cuja a soma ´e 7 e cujo produto ´e 12 s˜ao 3 e 4, que s˜ao ra´ızes da equa¸c˜ao ou

Para encontrar x (e, portanto, s − x), basta resolver a equa¸c˜ ao do 2o grau x2 − sx + p = 0 , ou seja,

zeros da equa¸c˜ao quadr´ atica ou do 2o grau:

basta determinar os valores x para os quais a fun¸c˜ao quadr´ atica f (x) = x2 − sx + p se anula. Esses s˜ ao 2

= x c˜a− chamados zeros da fun¸c˜ao quadr´atica ou ra´ızesf (x) da equa¸ o 7x de + 2o 124 grau correspondente a f (x) = 0. Por

exemplo, os dois n´ umeros cuja a soma ´e 7 e cujo produto ´e 12 s˜ ao 3 e 4, que s˜ ao ra´ızes da equa¸c˜ ao ou zeros da equa¸c˜ao quadr´atica ou do 2o grau: f (x) = x2 − 7x + 124

Vocˆe deve estar pensando, “e a f´ ormula de Bhaskara?” A f´ormula de Bhaskara ´e usada para resolver ˜ EQUAC ¸ OES quadr´ aticas de f´ ormula geral ax2 +bx+c = 0, com coeficientes reais, com a = 0, conte´ udo da pr´oxima unidade. Vocˆe deve estar pensando, “e a f´ormula de Bhaskara?” A f´ ormula de Bhaskara ´e usada para resolver

A F´ormula de Bhaskara ´e uma homenagem ao matem´atico Bhaskara Akaria, considerado o mais

˜ EQUAC ¸ OES quadr´aticas de f´ormula geral ax2 +bx+c = 0, com coeficientes reais, com a = 0, conte´ udo

importante matem´ atico indiano do s´eculo XII.

da pr´oxima unidade. A F´ormula de Bhaskara ´e uma homenagem ao matem´atico Bhaskara Akaria, considerado o mais importante matem´atico indiano do s´eculo XII.

Função do 2º Grau ou Função Quadrática

III

42 ´ ˜ QUADRATICA ´ GRAFICO DA FUNC ¸ AO OU DE 2o GRAU Consideremos um ponto F e uma reta d que n˜ao o cont´em. Chamamos par´ abola de foco F e diretriz d ao conjunto dos pontos do plano que distam igualmente de F e de d.

cujos extremos s˜ao o foco e a intersec¸ca˜o do eixo com a diretriz. O gr´afico da fun¸c˜ao quadr´atica ou de 2o grau ´e uma par´abola.

˜ QUADRATICA ´ ESTUDO DO SINAL DA FUNC ¸ AO Estudar sinal da fun¸c˜ao quadr´atica f (x) = ax2 + bx + c, a = 0, significa determinar os valores reais de x para os quais f (x) se anula (f (x) = 0), f (x) ´ e positiva (f (x) > 0) e f (x) ´ e negativa (f (x) < 0). O estudo do sinal da fun¸c˜ao quadr´atica ou do 2o grau vai depender do discriminante ∆ = b2 − 4ac da

equa¸c˜ao do 2o grau correspondente ax2 + bx + c = 0 e do coeficiente a. 1o Caso → ∆ > 0

Nesse caso a fun¸c˜ao admite dois zeros reais diferentes, x e x”, ou seja, a par´abola que representa a fun¸c˜ao

intercepta o eixo x em dois pontos.

+ +

+ X X”

FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS

X’

X”

X X’

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A reta perpendicular `a diretriz que cont´em o foco chama-se eixo da par´abola. O ponto (V) da par´abola mais pr´oximo da diretriz chama-se v´ertice dessa par´abola. O v´ertice (V) ´e o ponto m´edio do segmento

57

43 2o Caso → ∆ = 0

Neste caso a fun¸c˜ao admite um zero real duplo x = x”, ou seja, a par´ abola que representa a fun¸c˜ ao

tangencia o eixo x.

X’ = X”

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+

+ X

3o Caso → ∆ < 0 Neste caso a fun¸c˜ao n˜ao admite zeros reais, ou seja, a par´ abola da fun¸c˜ ao n˜ ao intercepta o eixo x.

X

´ ´ ´ ˜ QUADRA´ VERTICE DA PARABOLA, VALOR MAXIMO OU M´ INIMO DA FUNC ¸ AO TICA. A determina¸c˜ao do v´ertice da par´abola ajuda a elabora¸c˜ ao do gr´ afico e permite determinar a imagem da fun¸c˜ao bem como seu valor m´ aximo e m´ınimo.

X

X

Função do 2º Grau ou Função Quadrática

III

44 Uma das maneiras de se determinar o v´ertice ´e lembrar que a par´ abola ´e sim´etrica em rela¸c˜ ao a um eixo vertical. Determinando a posi¸c˜ ao desse eixo, encontraremos a abscissa do v´ertice e, com a abscissa do v´ertice, obteremos a ordenada, que ´e a fun¸c˜ ao da abscissa. Outra maneira ´e lembrar que na forma canˆ onica o v´ertice ´e dado por (xV , yV ) sendo: xV = −

∆ b 4ac − b2 e yV = f (xV ) = =− 2a 4a 4a   b ∆ ou V − ; − 2a 4a

gr´afico ´e uma par´ abola e que a concavidade da par´ abola varia de acordo com o coeficiente a. Ou seja, Se a < 0 → a concavidade da par´ abola ´e voltada para baixo. Se a > 0 → a concavidade da par´ abola ´e voltada para cima. Assim: • Se a concavidade for voltada para baixo, a fun¸c˜ ao apresenta ponto de m´ aximo absoluto. • Se a concavidade for voltada para cima, a fun¸c˜ ao apresenta ponto de m´ınimo absoluto. Exemplo 9: f (x) = 2x2 − 8x

Obtendo as ra´ızes, teremos x = 0 e x” = 4. Dada a simetria das par´ abolas, o eixo de simetria ter´ a 0+4 x + x” = = 2. abscissa Xv = 2 2 Como a > 0, a concavidade da par´ abola ´e voltada para cima, assim a fun¸c˜ ao apresenta ponto de m´ınimo absoluto. Substituindo x = 2 na fun¸c˜ ao, obtemos a ordenada do v´ertice: f (x) = 2 · 22 − 8 · 2 = −8 Ent˜ao o v´ertice ´e o ponto (2, −8). A fun¸c˜ao assume valor m´ınimo y = f (2) = −8 quando x = 2. Logo Im(f ) = {x ∈ R | y ≥ −8}

FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS

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Considere uma fun¸c˜ ao do 2o grau qualquer, do tipo f (x) = ax2 + bx + c, com a = 0. Sabemos que seu

59

45

˜ CONSIDERAC ¸ OES FINAIS Ao finalizar esta terceira unidade, esperamos que vocˆe tenha se dedicado e apreendido a essˆencia das fun¸c˜ oes apresentadas e tenha conseguido correlacionar as situa¸c˜oes reais que podem ser representadas por fun¸c˜ oes. Tente agora, depois de ler e refletir sobre o assunto abordado, correlacionar alguma situa¸c˜ao real que possa ser escrita com uma fun¸c˜ ao.

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Muito mais poderia ser escrito sobre as fun¸c˜ oes, contudo, constamos o que o espa¸co em p´agina nos permitiu. Entretanto, deixamos para vocˆe os detalhes que possam ter sido deixados por n´os como o detalhamento de algumas passagens ou a representa¸c˜ao gr´afica e/ou esquem´atica de alguma fun¸c˜ao. Para assimila¸c˜ ao dos conceitos aqui abordados, algumas atividades de estudos seguem. Exercitar ´e fundamental! Exercitando-se vocˆe pode vir a ter d´ uvidas que podem ser esclarecidas com a equipe pedag´ogica. Tire sempre as d´ uvidas, ter d´ uvidas ´e algo normal, pertinente para aqueles que buscam uma melhor compreens˜ ao dos conte´ udos abordados.

Considerações Finais

46

ATIVIDADES DE ESTUDO

1. Observe na tabela a medida do lado (em cm) de uma regi˜ ao quadrada e sua ´ area (em cm2 ). Medida do Lado (em cm) ´ Area (em

cm2 )

1

3

4

5,5

10

···

l

1

9

16

30,25

100

···

l2

a) O que ´e dado em fun¸c˜ ao do quˆe? b) Qual ´e a vari´ avel dependente? c) Qual ´e a vari´ avel independente? d) Qual ´e a lei da fun¸c˜ ao que associa a medida do lado com a ´ area? e) Qual ´ aa´ area de uma regi˜ ao quadrada cujo lado mede 12 cm? f) Qual ´e a medida do lado da regi˜ ao quadrada cuja ´ area ´e de 169 cm2 ? 2. Verifique quais fun¸c˜ oes s˜ ao afins. Nelas, encontre a e b, para f (x) = ax + b. a) f (x) = 3(x + 1) + 4(x − 1) b) f (x) = (x + 2)2 + (x + 2)(x − 2) c) f (x) = (x − 3)2 − x(x − 5) 3. Construa, num sistema de eixos ortogonais, o gr´ afico das seguintes fun¸c˜oes: a) f (x) = 2x + 3 b) f (x) = 12 x + 4 c) f (x) = −2 − 2x 4. O custo de um produto ´e calculado pela f´ ormula c = 10 + 20q, na qual c indica o custo (em reais) e q, a quantidade produzida (em unidades). Construa o gr´ afico de c em fun¸c˜ ao de q. 5. Escreva a fun¸c˜ ao afim f (x) = ax + b, sabendo que: a) f (1) = 5 e f (−3) = −7 b) f (−1) = 7 e f (2) = 1 6. Determine a lei da fun¸c˜ ao afim cuja reta intercepta os eixos em (-8,0) e (0,4). Essa fun¸c˜ ao ´e crescente ou decrescente?

61

47 7. As seguintes fun¸c˜ oes s˜ ao definidas em R. Verifique quais delas s˜ ao fun¸c˜ oes quadr´ aticas e identifique em cada uma os valores de a, b e c. a) f (x) = 2x(3x − 1) b) f (x) = (x + 2)(x − 2) − 4 c) f (x) = (1 + x)(1 − x) + x2 8. Encontre os zeros das seguintes equa¸c˜ oes quadr´ aticas: a) f (x) = x2 − 9 b) f (x) = x2 − 2x + 1 c) f (x) = (x − 1)2 − 9 9. Encontre o V´ertice e estude o sinal das seguintes fun¸c˜ oes quadr´ aticas: a) f (x) = x2 − 3x − 4 b) f (x) = −3x2 + 2x + 1 c) f (x) = −4x2 + 1 10. Verifique se as fun¸c˜ oes admitem valor m´ aximo ou valor m´ınimo e calcule esse valor: a) f (x) = −3x2 + 2x b) f (x) = 2x2 − 3x − 2 c) f (x) = −4x2 + 4x − 1

LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS, EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES

UNIDADE

Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos. Professor Esp. Fernando Marcussi.

IV

Objetivos de Aprendizagem ■■ Ler e interpretar gráficos e tabelas. ■■ Interpretar gráficos de linhas, barras e setores. ■■ Interpretar e resolver equações. ■■ Interpretar e resolver sistema de equações lineares. ■■ Interpretar e resolver equações do segundo grau.

Plano de Estudo A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: ■■ Leitura de gráficos e de tabelas ■■ Equações e sistemas de Equações ■■ Equações do 1º grau ■■ Sistemas de equações lineares ■■ Equação do 2º grau Incompleta

65

49

˜ INTRODUC ¸ AO Nesta unidade de estudo, preparamos para vocˆe o estudo de Leitura de Gr´aficos, Resolu¸ca˜o de Equa¸c˜oes e Sistemas de Equa¸c˜ oes. A abordagem novamente, por vezes, torna-se densa, pois requer textos matem´aticos, contudo, exemplos s˜ ao apresentados ao final de cada assunto com o objetivo de se confirmar uma regra ou demonstrar uma verdade. Trata-se de conte´ udos de aplica¸c˜ oes cotidianas, an´ alise de informa¸c˜oes com problemas de variados n´ıveis

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de complexidade. O conte´ udo abordado se faz relevante, pois s˜ao problemas, m´etodos e t´ecnicas que podem e ser˜ao usados para todas as ´ areas que, de alguma forma ou em algum dado momento, trataram de conceitos num´ericos com a necessidade de encontrar o valor. Por esse motivo reconhecer, definir e caracterizar os conceitos desta unidade torna-se pertinente. N˜ao s˜ao conceitos novos, mas certamente s˜ ao abordagens novas. As baterias de exerc´ıcios s˜ao extensas e cabe dispensar um pouco mais de tempo e de dedica¸c˜ao. Novamente, esperamos de vocˆe a dedica¸c˜ ao de estudante de sempre, al´em de ler minuciosa este material, assista `as aulas dispon´ıveis no ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Atente-se que o processo de leitura de um texto matem´ atico necessita de reflex˜ ao para compreender o assunto abordado, pois ler sem refletir ´e o mesmo que nada ler.

Introdução

IV

50

´ LEITURA DE GRAFICOS E DE TABELAS Imagine que em uma grande empresa, o diretor do departamento de recursos humanos apresentou a seus subordinados um cartaz com a frase. “Em 2007, ´eramos 734 funcion´ arios; em 2008, 753; em 2009, 777; em 2010, 794; e, em 2011, 819”. Se vocˆe acha que esses n´ umeros n˜ ao contribuem para mostrar com clareza o hist´ orico da empresa nem para destacar o percurso crescente dos n´ umeros de funcion´ arios, vocˆe pode estar certo. H´ a uma maneira mais clara e eficiente de apresentar esses dados: um gr´ afico. Observe:

O exemplo 1 revela que, para cada informa¸c˜ ao que se quer comunicar, h´ a uma forma ou linguagem mais adequada, para facilitar a leitura do conte´ udo, nesse caso o gr´ afico transformou-se no recurso mais apropriado, pois apresenta as informa¸c˜ oes de maneira mais visual. Essa forma de comunica¸c˜ ao teve in´ıcio a partir do s´eculo XIV, um pensamento surge no cen´ ario da matem´ atica: tra¸ car uma figura ou gr´ afico da maneira pela qual variam as coisas. Segundo Ac´ acio (2012), esse pensamento conduziu boa parte da matem´ atica para um patamar bem mais elevado. Alguns matem´ aticos ousam dizer at´e que Oresme foi o cocriador da Geometria Anal´ıtica. O fato ´e que sua ideia de representar o comportamento de uma grandeza de acordo com a varia¸c˜ ao de outra impulsionou parte da matem´atica para fora do campo abstrato, tornando a an´ alise absolutamente visual.

´ LEITURA DE GRAFICO DE LINHAS A utiliza¸c˜ao dos gr´aficos de linhas ´e feita a partir da representa¸c˜ ao de quantidades de forma a poder compar´a-las quanto ao seu poss´ıvel crescimento ou decrescimento (queda). De forma geral, podemos

LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS, EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES

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Exemplo 1:

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51 representar o crescimento ou a queda no faturamento de uma empresa por meio de uma interpreta¸c˜ao

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gr´afica simples, como apresentado a seguir:

O gr´afico mostra que, apesar de n˜ao sabermos os valores das receitas de cada mˆes, de Janeiro a Fevereiro, a receita aumentou (dizemos que o gr´afico ´e crescente), de Fevereiro a Mar¸co, a receita se manteve (dizemos que o gr´afico ´e constante) e de Mar¸co a Abril, a receita diminuiu (dizemos que o gr´afico ´e decrescente).

´ LEITURA DE GRAFICO DE BARRAS Segundo Ac´acio (2012), o gr´afico de barras, em geral, ´e usado para relacionar quantidades e qualidades (um n´ umero tamb´em pode ser visto como uma qualidade (se 7,0 representa a nota que um aluno conseguiu em uma avalia¸c˜ao, esse n´ umero ´e uma caracter´ıstica, uma qualidade). Em geral, usamos esse tipo de gr´afico quando precisamos determinar dados estat´ısticos como M´edia, Moda e Mediana, ou ainda, quando queremos comparar as qualidades. Acompanhe o gr´afico a seguir onde aparece o resultado da pesquisa Qual ´ e a cor do seu carro?:

Analisando o gr´afico, podemos ver que 29 pessoas disseram que seu carro tem cor Prata; 27 pessoas

Leitura de Gráficos e Tabelas

IV

52 disseram ter carro de cor Preta; 20 pessoas disseram ter carro de cor Branca e 24 pessoas disseram ter carro de outra cor. Al´em de podermos ver que foram 100 entrevistados (29 + 27 + 20 + 24 = 100), constatamos que a cor predominante entre os carros ´e Prata, seguida da cor Preta, e que n˜ ao h´a como garantir que a cor Branca ´e a terceira mais votada, pois 24 entrevistados, que tˆem outra cor de carro, poderiam todos ter carros vermelhos, ´e improv´ avel, mas pode acontecer.

´ LEITURA DE GRAFICO DE SETORES

as grandezas (mesmo que n˜ao apare¸ca a porcentagem relacionada `a caracter´ıstica). Acompanhe o gr´afico a seguir onde aparece o resultado da pesquisa Qual ´ ea´ area do conhecimento de sua preferˆ encia?:

Podemos dizer que a maioria dos pesquisados prefere Ciˆencias Humanas (33%), mas n˜ao podemos dizer que a menor parcela prefere Ciˆencias Exatas, pois a parte correspondente `a ”Outra”pode ser composta por outras ´ areas com menor preferˆencia. Lembre-se que uma volta corresponde a 100% em rela¸c˜ao `as informa¸c˜ oes listadas e a 360◦ em rela¸c˜ao ao ˆangulo central. Caso precise manipular algum desses valores, use proporcionalidade (uma regra de trˆes simples ´e suficiente para descobrir o ˆangulo central).

˜ ˜ EQUAC ¸ OES E SISTEMAS DE EQUAC ¸ OES Na antiguidade havia busca pela solu¸c˜ao de problemas do seu dia a dia, que envolviam matem´atica, atrav´es de processos aritm´eticos. Entretanto, em certas situa¸c˜oes, esse processo n˜ao conseguia resolver os problemas que surgiam. Com isso, passou-se a trabalhar com elementos alg´ebricos, constituindo, assim, as equa¸c˜oes que nada mais s˜ ao do que express˜ oes alg´ebricas que representam uma determinada situa¸c˜ao-problema.

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Em geral, usamos gr´ aficos de setores para representar termos percentuais. Nesse caso, ´e f´acil comparar

69

53 Entretanto n˜ao basta conseguir esquematizar um problema apenas com express˜oes alg´ebricas, ´e preciso saber resolver essas express˜oes alg´ebricas. Para tanto, realizaram-se estudos acerca dos m´etodos de obten¸c˜ao da solu¸c˜ao das equa¸c˜oes. A obten¸c˜ao da solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao ´e feita atrav´es de manipula¸c˜oes aritm´eticas, envolvendo letras (inc´ognitas).

Exemplo 2: Duas irm˜as tˆem depositado na poupan¸ca a mesma quantia em dinheiro. Ao completar

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dezoito anos resolveram sacar o dinheiro de cada uma das poupan¸cas para comprarem juntas um autom´ovel de R$12.000,00. No entanto o dinheiro n˜ao foi suficiente, tendo sido necess´ario que cada uma delas contribu´ısse com mais R$1.000,00. Quanto havia na poupan¸ca de cada uma? Dessa forma, a inc´ognita x pode ser definida como o valor que cada uma das irm˜as depositou, assim, podemos representar a equa¸c˜ao dessa situa¸c˜ao-problema da seguinte forma: x + x + 1.000 + 1.000 = 12.000 ou 2x + 2.000 = 12.000 2x = 12.000 − 2.000 2x = 10.000 10.000 x= 2 x = 5.000 Portanto, havia em cada conta o valor de R$ 5.000,00. Mas qual ´e o objetivo da mistura entre letras e n´ umeros? Podemos dizer que as letras podem representar qualquer n´ umero. Portanto ao encontrarmos express˜oes que nos auxiliam a determinar a solu¸c˜ao de um n´ umero para equa¸c˜oes que possuem apenas letras, quer dizer que determinamos um m´etodo de obter a solu¸c˜ao para qualquer tipo daquela equa¸c˜ao.

˜ EQUAC ¸ OES DO 1o GRAU Equa¸c˜ao ´e uma senten¸ca matem´atica aberta, expressa por uma igualdade. Ao resolver uma equa¸c˜ao, buscamos determinar o valor da vari´avel (simbolizado por uma letra), de forma que a equa¸c˜ao seja verdadeira. Exemplo 3: Para resolver a equa¸c˜ao x + 3 = 7, buscamos um n´ umero x que, somado a 3, resulte em 7. A resposta natural para essa equa¸c˜ao ´e x = 4 (observe que 4 = 7 - 3).

Equações do 1º Grau

IV

54 Exemplo 4: Para resolver a equa¸c˜ao 5x = 30, buscamos um n´ umero x que, multiplicado por 5, resulte em 30. A resposta natural para essa equa¸c˜ao ´e x = 6 (observe que 6 = 30 ÷ 5). Note que: No exemplo 3, a equa¸c˜ao tinha a adi¸c˜ao de 3 unidades no primeiro membro e a resposta foi conseguida subtraindo 3 unidades do segundo membro. No exemplo 4, a equa¸c˜ao tinha uma multiplica¸c˜ao por 5 no primeiro membro e a resposta foi conseguida dividindo o segundo membro por 5.

membro para outro, trocar de lado na equa¸c˜ao), devemos fazer uso da opera¸c˜ao inversa, ou seja, se a opera¸c˜ao ´e de adi¸c˜ao, sua inversa ´e a subtra¸c˜ao e, se a opera¸ca˜o ´e de subtra¸c˜ao, sua inversa ´e a adi¸c˜ao. A situa¸c˜ao ´e a mesma para a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao e de divis˜ao, se a opera¸c˜ao ´e de multiplica¸c˜ao, sua inversa ´e a divis˜ao e, se a opera¸c˜ao ´e de divis˜ao, sua inversa ´e a multiplica¸c˜ao. Por´em tome cuidado, pois n˜ao existe trocar de lado e mudar o sinal, existe trocar de lado e mudar a opera¸ c˜ ao.

Exemplo 5: No caso da equa¸c˜ao 5x − 4 = 21 devemos evidenciar o valor de x, para isso, o termo 4 e o fator 5 devem sair do primeiro membro, assim: 5x − 4 = 21 5x − 4 + 4 = 21 + 4

(Somamos 4 aos dois lados da equa¸c˜ao)

5x = 25 (5x) ÷ 5 = (25) ÷ 5

(Dividimos os dois lados da equa¸c˜ao por 5)

x=5 De forma resumida, teremos: 5x − 4 = 21 5x = 21 + 4

(Mudamos o 4 para o segundo membro e trocamos a opera¸c˜ao)

5x = 25 x = 25 ÷ 5

(Mudamos o 5 para o segundo membro e trocamos a opera¸c˜ao)

x=5

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Lembre-se que, ao mudarmos um termo (ou um fator) da equa¸c˜ao para o outro membro (passar de um

71

55 Note que os m´etodos tˆem o mesmo n´ umero de passos, a diferen¸ca est´ a na omiss˜ ao de alguns passos apresentando os resultados de forma imediata, recomenda-se fazer tal omiss˜ ao ap´ os treinar um pouco o m´etodo completo.

Exemplo 6: Resolvendo a equa¸c˜ao:

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x + 1 3x − 7 x−2 = + 3 6 2 De forma resumida teremos: x−2 x + 1 3x − 7 = + 3 6 2 2 · (x − 2) 1 · (x + 1) 3 · (3x − 7) = + 6 6 6 2x − 4 = x + 1 + 9x − 21

(Tirando o MMC) (Distribuindo e optando por n˜ ao dividir a equa¸c˜ ao por 6) (Organizando)

2x − 4 = 10x − 20 −8x = −16

(Dividindo por -8)

x=2

˜ SISTEMAS DE EQUAC ¸ OES LINEARES Denomina-se sistema linear m × n o conjunto S de m equa¸c˜ oes lineares em n inc´ ognitas, que pode ser representado assim:     a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn       a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn S=    ·································       a x + a x + a x + ··· + a x m1 1

m2 2

m3 3

mn n

= b1 = b2 ······ = bm

Nesse contexto, estaremos apenas buscando solu¸c˜ao de um sistema 2× 2, assim, buscaremos os valores de duas inc´ ognitas para compor o nosso conjunto-solu¸c˜ao, que ser´ a formado por um par ordenado da forma (x, y) ou (x1 , x2 ). Existem algumas formas de resolu¸c˜ao de um sistema, mas apresentaremos apenas duas formas, s˜ ao elas:

Sistemas de Equações Lineares

IV

56 ´ ˜ METODO DE SUBSTITUIC ¸ AO N˜ ao ´e o processo mais f´ acil para resolver, mas ´e o mais f´ acil de lembrar: Basta ISOLAR uma das inc´ ognitas numa das equa¸c˜ oes ` a sua escolha e, depois, SUBSTITUIR na outra equa¸c˜ ao.    x + 2y = 16 Exemplo 7:   x − y = 13 Isolamos uma inc´ ognita em uma equa¸c˜ ao ` a nossa escolha:

x − y − 13 → x = 13 + y Substitu´ımos na outra equa¸c˜ ao:

Resolvendo encontramos y = 1. Substituindo em x = 13 + y temos x = 14. Assim: S = {(14, 1)}. ´ ˜ METODO DE ADIC ¸ AO ´ o processo de resolu¸c˜ E ao mais simples e o mais utilizado, mas exige que a estrutura esteja previamente preparada com dois n´ umeros opostos do mesmo lado da equa¸c˜ ao, bastando SOMAR o primeiro membro de uma ao primeiro membro da outra e o segundo membro da primeira ao segundo membro da segunda.    3x − y = 10 Exemplo 8:   2x + 5y = 1

Devemos, primeiramente, igualar uma das vari´ aveis com sinal oposto. Tomemos a inc´ ognita y e multipliquemos a primeira equa¸ca˜o por 5, assim teremos:    15x − 5y = 50   2x + 5y = 1

Como a vari´ avel y ´e idˆentica em ambas as equa¸c˜ oes, com sinais opostos, e est˜ ao localizadas no mesmo lado da igualdade, basta somar o primeiro termo ao primeiro termo e o segundo termo ao segundo termo: (15x − 5y) + (2x + 5y) = 50 + 1 → 15x + 2x − 5y + 5y = 51 17x = 51 → x = 3 Substituindo em 3x − y = 10 temos y = −1. Assim: S = (3, −1).

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x + 2y = 16 → (13 + y) + 2y = 16 → 3y = 16 − 13

73

57 Os sistemas podem ser classificados de acordo com sua solu¸c˜ ao, ou seja: Sistema Poss´ıvel (tem solu¸c˜ ao), Sistema Poss´ıvel e Determinado (a solu¸c˜ ao ´e u ´nica), Sistema Poss´ıvel e Indeterminado (tem infinitas solu¸c˜oes) e Sistema Imposs´ıvel (n˜ ao tem solu¸c˜ ao). De forma geral, temos:

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   a1 x + b1 y = k1   a2 x + b2 y = k2

b1 k1 a1 = = → (SP I) a2 b2 k2 ⇒

a1 b1 k1 = = → (SI) a2 b2 k2 b1 a1 = → (SD) a2 b2

   3x − 2y = 4 Exemplo 9:   x − 4y = 2

Os coeficientes das mesmas inc´ ognitas nas duas equa¸c˜ oes n˜ ao s˜ ao proporcionais: 3 ´e o triplo de 1 e -2 ´e metade de -4. Ent˜ ao o sistema ´e poss´ıvel e determinado.    2x − 6y = 5 Exemplo 10:   3x − 9y = 1

Nesse sistema os coeficientes das mesmas inc´ ognitas nas duas equa¸c˜ oes s˜ ao proporcionais, mas os termos independentes n˜ ao: 2 est´ a para 3 assim como -6 est´ a para -9, por´em n˜ ao como 5 est´ a para 1. Ent˜ ao o sistema ´e imposs´ıvel.

Exemplo 11:

  

3x + y = −2   −6x − 2y = 4

Nesse caso, as duas equa¸c˜ oes s˜ ao totalmente proporcionais: -6 est´ a para 3 assim como -2 est´ a para 1, assim como 4 est´ a para -2 (ou, ainda, a 2a equa¸c˜ ao ´e o oposto do dobro da 1a ). Ent˜ ao o sistema ´e poss´ıvel e indeterminado.

˜ DO 2o GRAU EQUAC ¸ AO Uma equa¸c˜ao do segundo grau ou quadr´ atica ´e uma express˜ ao polinomial de grau 2 e pode ser representada por ax2 +bx+c = 0 com os coeficientes reais a, b e c, a = 0. Na express˜ ao ax2 +bx+c = 0, a ´e o coeficiente que acompanha o termo quadr´ atico, b ´e o coeficiente do termo linear e c ´e o termo independente.

Equação do 2º Grau

IV

58 A resolu¸c˜ ao de uma equa¸c˜ao de segundo grau se faz por meio da f´ormula de Bhaskara: x=

√ −b ± ∆ onde ∆ = b2 − 4 · a · c 2·a

O discriminante ∆ ´e muito importante, pois seu sinal nos diz quantas ser˜ao as respostas de determinada equa¸c˜ ao: • Se ∆ ´e positivo, a equa¸c˜ao admite duas solu¸c˜oes no conjunto dos n´ umeros reais. • Se ∆ ´e zero, a equa¸c˜ao admite apenas uma solu¸c˜ao no conjunto dos n´ umeros reais.

Exemplo 12: Dada a equa¸c˜ao 5x2 − 30x + 25 = 0, assim a = 5, b = −30 e c = 25, aplicando esses valores na f´ ormula de Bhaskara, obtemos:  √ √ −(−30) ± (−30)2 − 4 · 5 · 25 −b ± ∆ 30 ± 900 − 500 30 ± 20 = = = x= 2·a 2·5 10 10 Assim: x =

50 30 − 20 10 30 + 20 = = 5 e x” = = =1 10 10 10 10 S = {1, 5}

Note que o conjunto-solu¸c˜ao n˜ao ´e um par ordenado. Os dois valores s˜ao poss´ıveis valores para x.

Exemplo 13: Para resolver a equa¸c˜ao 5x2 − 10x + 6 = 0, determinamos que a = 5, b = −10 e c = 6: x=

 (−10)2 − 4 · 5 · 6 √2 · 5 10 ± 100 − 120 x= 10 √ 10 ± −20 x= 10

−(−10) ±

Como, para os n´ umeros reais, n˜ao podemos definir a raiz quadrada de um n´ umero negativo, temos que a solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao ´e vazia, ou seja, S = { } ou S = ∅.

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• Se ∆ ´e negativo, a equa¸c˜ao n˜ao admite nenhuma solu¸c˜ao no conjunto dos n´ umeros reais.

75

59 ˜ EQUAC ¸ OES DO 2o GRAU INCOMPLETAS Equa¸c˜ oes incompletas s˜ao aquelas para as quais os valores de b e c s˜ ao zero, podendo acontecer simultaneamente ou n˜ ao. • Para b = 0 e c = 0.

Basta isolar o termo ao quadrado, identicamente ao processo de uma equa¸ca˜o do 1o grau, e quando este estiver sozinho, basta extrair a raiz quadrada de ambos os lados da equa¸c˜ ao:

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Exemplo 14: 5x2 − 45 = 0 √ 45 → x2 = 9 → x = ± 9 5x2 = 45 → x2 = 5 √ √ x = + 9 = +3 e x” = − 9 = −3 S = {−3, 3} • Para b = 0 e c = 0. Esse caso ´e o u ´nico em que podemos garantir a existˆencia de uma raiz real: x = 0 sempre ser´ a raiz. Para esse caso, precisamos evidenciar o fator x e resolver uma equa¸c˜ ao de primeiro grau. Exemplo 15: 5x2 − 45x = 0 5x2 − 45x = 0

(J´a que todos os termos tˆem x, n´ os o evidenciamos)

x(5x − 45) = 0

(Multiplica¸c˜ao resultando em zero: ao menos um dos fatores ser´ a zero)

x=0 (5x − 45) = 0 x=9

(Resolvendo a equa¸c˜ao simples) ⇒ S = {0, 9}

• Para b = 0 e c = 0.

Basta isolar o termo ao quadrado, identicamente ao processo de uma equa¸c˜ao do 1o grau e, quando esse estiver sozinho, basta extrair a raiz quadrada de ambos os lados da equa¸c˜ ao: Exemplo 16: 5x2 = 0 Esse caso s´o serve para constar. O conjunto-solu¸c˜ ao ´e o trivial: S = 0. 5x2 = 0 → x2 = 0 → x = 0

Equação do 2º Grau

IV

60

˜ CONSIDERAC ¸ OES FINAIS Finalizando a unidade IV deste livro de nivelamento, esperamos que vocˆe, prezado(a) acadˆemico(a), tenha se dedicado e apreendido a essˆencia dos conte´ udos apresentados e consiga correlacionar as diversas situa¸c˜oes reais apresentadas e vivenciadas, pois em v´arios momentos abordamos o estudo e as t´ecnicas de resolu¸c˜ao para as equa¸c˜ oes e mostramos como resolver um sistema de equa¸c˜oes por meio das t´ecnicas da substitui¸c˜ ao e da adi¸c˜ ao, evidenciando a sua representa¸c˜ao alg´ebrica e geom´etrica. Dessa forma, sugerimos que procure resolver os exerc´ıcios propostos, pautando-se nos exemplos ofertados

outras fontes de estudo sobre os conte´ udos desenvolvidos na presente unidade, objetivando aprimorar a sua forma¸c˜ ao conceitual acerca dos temas aqui desenvolvidos, correlacionando alguma situa¸ca˜o real que possa ser representada via equa¸c˜ao ou represent´a-la pelos gr´aficos aqui apresentados. Muito mais poderia ser escrito, contudo, constamos o que o espa¸co em p´agina nos permitiu. Entretanto, deixamos para vocˆe os detalhes que possam ter sido deixados por n´os. Para melhor compreens˜ ao do conte´ udo, apresentamos a seguir algumas atividades de estudo, pois exercitar torna-se fundamental para a efic´acia do ensino.

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durante esta unidade, fazendo uma reflex˜ao sobre o assunto abordado, que possam buscar e pesquisar em

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ATIVIDADES DE ESTUDO 1. (UFMS) Um grupo de alunos fez uma pesquisa sobre o tipo de sangue dos 540 alunos da escola. Os alunos, para resumirem os dados encontrados, constru´ıram um gr´ afico de setores e, no lugar das porcentagens, eles indicaram os ˆ angulos de alguns desses setores circulares, como mostra o gr´ afico. Pode-se afirmar que o n´ umero de alunos que tem o tipo de sangue B ´e:

a) 96

b) 81

c) 108

d) 124

e) 162

2. (U. F. Lavras - MG) Uma pesquisa eleitoral estudou a inten¸c˜ ao de votos nos candidatos A, B e C, obtendo os resultados apresentados na figura:

A op¸c˜ ao incorreta ´e: a) O candidato B pode se considerar eleito. b) O n´ umero de pessoas consultadas foi de 5400. c) O candidato B possui 30% das inten¸c˜ oes de voto. d) Se o candidato C obtiver 70% dos votos dos indecisos e o restante dos indecisos optarem pelo candidato A, o candidato C assume a lideran¸ca. e) O candidato A ainda tem chance de vencer as elei¸c˜ oes.

62 3. (UFMT) Observe a figura.

Admita que o gr´ afico representativo do desempenho da bolsa de T´ oquio ´e uma fun¸c˜ ao real f (t), da bolsa de Nova Iorque uma fun¸c˜ ao real g(t) e da bolsa de S˜ ao Paulo ´e uma fun¸c˜ ao real h(t), com t ∈ [15, 19]. A partir dessas informa¸c˜ oes, julgue os itens. ( ) h(t) ≥ g(t), qualquer que seja t pertencente ao intervalo considerado. ( ) A equa¸c˜ ao f (t) = h(t) admite uma raiz. ( ) A partir do ponto associado ao dia 16, a fun¸ca˜o g(t) ´e estritamente decrescente. 4. Resolva as equa¸c˜ oes: a) x + 5 = −20 b) −2 · (4 + y) + 2 · (−y − 5) = 8 c) 2x + 3 = 9 d)

x−2 x+1 − =4 3 4

e) 3 · (x + 2) = 2 · (3x − 2) f)

x−1 x−2 x−3 + = 2 3 4

5. Traduza as express˜ oes a seguir para linguagem matem´ atica, resolva-as e encontre o valor do n´ umero desconhecido em cada item: a) O dobro de um n´ umero menos quatro ´e igual a trinta. b) O triplo de um n´ umero somado com nove ´e igual a doze.

79

63 c) O triplo da soma de um n´ umero com nove ´e igual a doze. 6. Em uma lanchonete pagam-se R$5,80 por 5 past´eis e 3 copos de refrigerante. No mesmo local, 3 past´eis e 2 copos de refrigerante custam R$3,60. Qual ´e o pre¸co do refrigerante? 7. Comprei 50 vidros de tinta por certa quantia. Se cada vidro tivesse custado R$ 0,50 menos, poderia ter levado mais 10 vidros. Quanto me custou cada vidro? 8. Resolva pelo m´etodo que preferir:        5x + 3y = 58  x + y = 20  a) b) c)     3x + 2y = 36  x − y = 34       2x + 3y = 10  2a − 3b = 10 d) e) f)    4x − y = −1  4a − b = −1 9. Resolva as equa¸c˜oes do segundo grau:

2x + y = 10 3x − 2y = 1    5p + 3q = 58   3p − 2q = 36

a)

x2 − 5x + 6 = 0

b)

x2 + 5x + 6 = 0

c)

5x2 + 15x + 10 = 0

d)

x2 − 2x + 1 = 0

e)

x2 − 6x + 9 = 0

f)

7x2 + 28x + 28 = 0

10. Resolva as equa¸c˜oes do segundo grau ditas incompletas: a)

12x2 − 300 = 0

b)

12x2 + 300x = 0

c)

x2 − 3x = 0

d)

x2 − 9 = 0

e)

x2 + 3x = 0

f)

x2 + 16 = 0

RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO

UNIDADE

Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos. Professor Esp. Fernando Marcussi.

Objetivos de Aprendizagem ■■ Introduzir o conceito de lógica matemática. ■■ Apresentar conceitos importantes de lógica bivalente. ■■ Construção de tabelas-verdade ■■ Introduzir conceitos de raciocínio lógico.

Plano de Estudo A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: ■■ Raciocínio lógica matemática ■■ Construção de tabelas-verdade ■■ Raciocínio lógico

V

83

65

˜ INTRODUC ¸ AO Nesta unidade, preparamos um pequeno contato com o Racioc´ınio L´ogico Matem´atico. Neste ponto dos nossos estudos, a abordagem torna-se densa, pois requer bastante aten¸c˜ao para trabalhar com os textos matem´aticos, contudo, exemplos s˜ao apresentados ao final de cada assunto com o objetivo de se confirmar uma regra ou demonstrar uma verdade. Certamente em sua jornada escolar, em algum momento, vocˆe se deparou com o racioc´ınio l´ogico e talvez Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

esse seja um dos temas que gera arrepios, pois temos a equivocada ideia que o racioc´ınio l´ogico ´e somente para “gˆenios” ou para “amantes da matem´atica”. Nesta unidade provaremos o contr´ario, vocˆe ver´a que ´e um estudo interessante, sem mist´erios, agrad´avel e despertar´a em vocˆe a vontade e curiosidade de aprofundar-se neste assunto. Na apresenta¸c˜ao deste livro, pontuamos por diversos momentos que a linguagem utilizada seria sucinta e clara, auxiliando e facilitando a sua compreens˜ao sobre o conte´ udo abordado, dessa forma, primou-se por conte´ udos que consideramos b´asicos para iniciar e despertar o interesse pela l´ogica. Esta unidade inicia abordando o Racioc´ınio L´ogico e Matem´atico, destacando alguns princ´ıpios b´asicos da l´ogica, sempre exemplificando cada tema abordado, passam por constru¸c˜oes e tabelas-verdades, important´ıssimas para linguagem computacional e finaliza com l´ogica matem´atica.

Introdução

V

66

´ ´ RACIOC´INIO LOGICO E MATEMATICO ´ ´ LOGICA MATEMATICA A L´ogica Matem´ atica adota como regras fundamentais do pensamento os dois seguintes princ´ıpios (ou axiomas): ˜ CONTRADIC ˜ (I) PRINC´ IPIO DA NAO ¸ AO: Uma proposi¸c˜ao n˜ao pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

´e, verifica-se sempre um desses casos e nunca um terceiro. Por virtude desse princ´ıpio diz-se que a L´ ogica Matem´ atica ´e uma L´ogica bivalente, ou seja, toda senten¸ca declarada, que expressa uma proposi¸c˜ ao, tem exatamente um valor verdade: verdadeira ou falsa. Uma proposi¸ c˜ ao ´e todo o conjunto de palavras ou s´ımbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Exemplo 1: As proposi¸c˜ oes: i. A lua ´e um sat´elite da Terra ii. Recife ´e a capital de Pernambuco iii. π >

√ 5

iv. sin π2 = 1 S˜ao todas verdadeiras, mas s˜ ao falsas as cinco seguintes proposi¸c˜oes: i. Vasco da Gama, descobriu o Brasil ii. Dante escreveu os Lus´ıadas iii.

3 ´e um n´ umero inteiro 5

iv. O n´ umero π ´e racional v. tan π4 = 2 Assim as proposi¸c˜ oes s˜ ao express˜ oes a respeito das quais tˆem sentido dizer que s˜ao verdadeiras ou falsas.

RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO

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(II) PRINC´ IPIO DO TERCEIRO EXCLU´ IDO: Toda a proposi¸c˜ao ou ´e verdadeira ou ´e falsa, isto

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67 ˜ ˜ PROPOSIC ¸ OES SIMPLES E PROPOSIC ¸ OES COMPOSTAS As proposi¸c˜oes classificadas como simples s˜ ao aquelas que n˜ ao contˆem nenhuma outra proposi¸c˜ ao como parte integrante de si mesma. S˜ ao geralmente designadas pelas letras latinas min´ usculas p, q, r, s, ..., chamadas letras proposicionais. Assim s˜ao proposi¸c˜ oes simples as seguintes: p: Carlos ´e careca q: Pedro ´e estudante

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r: O n´ umero 25 ´e quadrado perfeito As proposi¸c˜oes conhecidas como compostas s˜ ao formadas pela combina¸c˜ ao de duas ou mais proposi¸c˜ oes. S˜ao habitualmente designadas pelas letras latinas mai´ usculas P, Q, R e S, ..., tamb´em chamadas letras proposicionais. Assim s˜ao proposi¸c˜ oes compostas as seguintes: P: Carlos ´e careca e Pedro ´e estudante Q: Carlos ´e careca ou Pedro ´e estudante R: Se Carlos ´e careca, ent˜ ao ´e infeliz. Visto que cada uma delas ´e formada por duas proposi¸c˜ oes simples, as proposi¸co˜es compostas tamb´em costumam ser chamadas f´ ormulas proposicionais.

CONECTIVOS S˜ao palavras que usamos para formar novas proposi¸c˜ oes a partir de outras, veja o exemplo a seguir: P: O n´ umero 6 ´e par e o n´ umero 8 ´e cubo perfeito. Q: O triˆangulo ABC ´e retˆ angulo ou ´e is´ osceles. R: N˜ ao est´a chovendo. S: Se Jorge ´e engenheiro, ent˜ ao sabe Matem´ atica. T: O triˆangulo ABC ´e equil´ atero se e somente se ´e equiˆ angulo. S˜ao conectivos usuais em L´ ogica Matem´ atica as palavras que est˜ ao em negrito, isto ´e: “e”, “ou”, “n˜ ao”, “se ... ent˜ ao” e “... se e somente se...” TABELA-VERDADE Segundo o Princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo, toda proposi¸c˜ ao simples p ´e verdadeira ou ´e falsa, isto ´e, tem o valor l´ogico V (verdade) ou o valor l´ ogico F (falsidade).

Raciocínio Lógico e Matemático

V

68 O valor l´ ogico de qualquer proposi¸c˜ ao composta depende unicamente dos valores l´ ogicos das proposi¸c˜ oes simples componentes, ficando por eles univocamente (de modo u ´nico) determinado. Admitindo esse princ´ıpio, para aplic´a-lo na pr´atica para a determina¸c˜ ao do valor l´ ogico de uma proposi¸c˜ ao composta dada, recorre-se quase sempre a um dispositivo denominado tabela-verdade, na qual figuram todas as poss´ıveis atribui¸c˜oes de valores l´ogicos a`s proposi¸c˜oes simples componentes. Exemplo 2: No caso de uma proposi¸c˜ao composta cujas proposi¸co˜es simples componentes s˜ ao p e q, as u ´nicas poss´ıveis atribui¸c˜oes de valores l´ogicos a p e a q s˜ao:

q

1

V

V

2

V

F

3

F

V

4

F

F

Observe que os valores l´ogicos V e F se alteram de dois em dois para a primeira proposi¸c˜ ao p e de um em um para a segunda proposi¸c˜ao q, e que, al´em disso, VV, VF, FV e FF s˜ ao os arranjos bin´ arios com repeti¸ c˜ ao dos dois elementos V e F.

˜ ´ OPERAC ¸ OES LOGICAS S˜ ao conhecidas como as opera¸c˜oes realizadas sobre as proposi¸c˜ oes, elas obedecem a regras de um c´ alculo, chamado c´ alculo proposicional, semelhante ao da aritm´etica sobre os n´ umeros.

˜ (¬) NEGAC ¸ AO Chama-se nega¸ c˜ ao de uma proposi¸ c˜ ao p a proposi¸c˜ao representada por “n˜ ao p”, cujo valor l´ ogico ´ e verdade (V) quando p ´e falsa e vice-versa. Simbolicamente, a nega¸ c˜ ao de p indica-se com a nota¸c˜ao “¬ p”, que se lˆe: “n˜ ao p”.

RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO

p

¬p

V

F

F

V

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p

87

69 ˜ (∧) CONJUNC ¸ AO Chama-se conjun¸ c˜ ao de duas proposi¸ c˜ oes p e q a proposi¸c˜ ao representada por “p e q”, cujo valor l´ ogico ´ e verdade (V) quando as proposi¸c˜ oes p e q s˜ ao ambas verdadeiras e falsidade (F) nos demais casos. Simbolicamente, a conjun¸c˜ ao de duas proposi¸c˜ oes p e q indica-se com a nota¸c˜ ao: “p ∧ q”, que lˆe-se: “p e

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

q”. p

q

p∧q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

˜ (∨) DISJUNC ¸ AO Chama-se disjun¸ c˜ ao de duas proposi¸ c˜ oes p e q a proposi¸c˜ ao representada por “p ou q”, cujo valor l´ ogico ´ e a verdade (V) quando ao menos uma das proposi¸c˜ oes p e q ´e verdadeira e a falsidade (F) quando as proposi¸c˜ oes p e q s˜ ao ambas falsas. Simbolicamente, a disjun¸c˜ ao de duas proposi¸c˜ oes p e q indica-se com a nota¸c˜ ao: “p ∨ q”, que lˆe-se: “p ou q”. p

q

p∨q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

CONDICIONAL (→) Chama-se proposi¸ c˜ ao condicional ou apenas condicional uma proposi¸c˜ ao representada por “se p ent˜ ao q”, cujo valor l´ ogico ´ e falsamente (F) no caso em que p ´e verdadeira e q ´e falsa e verdade (V) nos demais casos.

Raciocínio Lógico e Matemático

V

70 Simbolicamente, a condicional de duas proposi¸ c˜ oes p e q indica-se com a nota¸c˜ ao: “p → q”, que tamb´em se lˆe das seguintes maneiras: i. p ´e condi¸c˜ao suficiente para q ii. q ´e condi¸c˜ao necess´aria para p Na condicional “p → q”, diz-se que p o antecede e q o consequente. O s´ımbolo “→” ´e chamado s´ımbolo de implica¸ c˜ ao. q

p→q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

BICONDICIONAL (↔) Chama-se proposi¸ c˜ ao bicondicional ou apenas bicondicional uma proposi¸c˜ ao representada por ”p se e somente se q”, cujo valor l´ ogico ´ e verdade (V) quando p e q s˜ ao ambas verdadeiras ou ambas falsas, e falsidade (F) nos demais casos. Simbolicamente, a bicondicional de duas proposi¸ c˜ oes p e q indica-se com a nota¸c˜ ao: “p ↔ q”, que tamb´em se lˆe das seguintes maneiras: i. p ´e condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para q ii. q ´e condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para p O valor l´ogico da bicondicional de duas proposi¸c˜oes ´e, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade:

RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO

p

q

p↔q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

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p

89

71

˜ DE TABELAS-VERDADE CONSTRUC ¸ AO Dadas v´ arias proposi¸c˜ oes simples p, q, r, ..., podemos combin´ a-las pelos conectivos l´ ogicos: ¬,∧,∨,→e↔ E construir proposi¸c˜ oes compostas, tais como: P(p, q) = ¬ p ∨ (p → q)

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Q(p, q) = (p ↔ ¬ q) ∧ q R(p, q, r) = (p → ¬ q ∨ r) ∧ ¬ (q ∨ (p ↔ ¬ r)) Assim com o emprego das tabelas-verdade das opera¸co˜es l´ ogicas fundamentais, ´e poss´ıvel construir tabelas-verdade correspondentes a qualquer proposi¸c˜ ao composta dada, ela que mostrar´ a exatamente os casos em que a proposi¸c˜ ao composta ser´ a verdadeira (V) ou falsa (F). O n´ umero de linhas da tabela-verdade de uma proposi¸c˜ ao composta depende do n´ umero de proposi¸c˜ oes simples que a integram, assim, pela defini¸c˜ ao, a tabela-verdade de uma proposi¸c˜ ao composta com n propoao composta com cinco (5) proposi¸c˜ oes si¸c˜ oes simples cont´em 2n linhas, ou seja, no caso de uma proposi¸c˜ simples, a tabela-verdade cont´em 25 =32 linhas.

Exemplo 3: Construa a tabela-verdade da proposi¸ca˜o: P(p,q)=¬ (p ∧ ¬ q) Resolu¸ c˜ ao: Construa primeiramente o par de colunas correspondentes ` as duas proposi¸c˜ oes simples correspondentes p e q. Em seguida forma-se a coluna para ¬ q, posteriormente a coluna para p ∧ ¬ q. Ao fim, a coluna relativa aos valores l´ ogicos da proposi¸c˜ ao composta dada: p

q

¬q

p∨¬q

¬ (p ∨ ¬ q)

V

V

F

F

V

V

F

V

V

F

F

V

F

F

V

F

F

V

F

V

Exemplo 4: Construa a tabela-verdade da proposi¸ca˜o: P(p, q, r) = p ∨ ¬ r → q ∧ ¬ r

Construção de Tabelas-Verdade

V

72 Resolu¸ c˜ ao: Construa primeiramente o par de colunas correspondentes ` as trˆ es proposi¸c˜ oes simples correspondentes p e q. Em seguida forma-se a coluna para ¬ r, posteriormente a coluna para p ∧ ¬ r, depois q ∧ ¬ r. Ao fim, a coluna relativa aos valores l´ ogicos da proposi¸c˜ ao composta dada: q

r

¬r

p∧¬r

q ∧ ¬ r)

p∨¬r→q∧¬r

V

V

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

F

V

V

F

F

F

V

F

V

F

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

F

F

V

V

F

F

˜ ˆ TAUTOLOGIAS, CONTRADIC ¸ OES E CONTINGENCIAS. Por defini¸c˜ ao, Tautologia ´e toda a proposi¸c˜ ao composta cuja u ´ltima coluna da sua tabela-verdade encerra-se somente com a letra V (verdade), ou seja, tautologia ´e toda proposi¸c˜ ao composta cujo valor l´ ogico ´e sempre verdade, quaisquer que sejam os valores l´ ogicos das proposi¸c˜ oes simples. Exemplo 5: A proposi¸c˜ ao “¬ (p ∨ ¬ p)” (Princ´ıpio da n˜ ao contradi¸c˜ ao) ´e uma tautologia. p

¬p

p∧¬q

¬ (p ∧ ¬ p)

V

F

F

V

F

V

F

V

Chama-se Contradi¸ c˜ ao toda a proposi¸c˜ ao composta cuja u ´ltima coluna de sua tabela-verdade encerra somente com a letra F (falsa). Em outros termos, contradi¸c˜ ao ´e toda proposi¸c˜ ao composta na qual o valor l´ ogico ´e sempre falso, para quaisquer que sejam os valores l´ ogicos das proposi¸c˜ oes simples (p, q, r, ...). Exemplo 6: A proposi¸c˜ ao “p ∧ ¬ p” ´e uma contradi¸c˜ ao. p

¬p

p∧¬p

V

V

V

V

F

F

RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO

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p

91

73 Tem-se como uma Contingˆ encia toda proposi¸c˜ao composta cuja u ´ltima coluna de sua tabela-verdade figuram as letras V e F por pelo menos uma vez, ou seja, contingˆencia ´e toda proposi¸c˜ ao composta que n˜ ao ´e tautologia nem contradi¸c˜ao.

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Exemplo 7: A proposi¸c˜ao “p → ¬ p” ´e uma contradi¸c˜ ao. p

¬p

p→¬p

V

F

F

F

V

V

´ RACIOC´INIO LOGICO TIPOS DE RACIOC´ INIO Podemos definir como Analogia o racioc´ınio em que, comparando-se semelhan¸cas entre situa¸c˜ oes diferentes, inferimos outras semelhan¸cas. Exemplo 8: Jo˜ ao, Maria, Paulo, Carlos e Jos´e s˜ ao meus filhos e gostam de estudar Matem´ atica. Ent˜ ao infiro que o meu filho que vai nascer tamb´em gostar´ a de Matem´ atica. Nem sempre a conclus˜ao ´e verdadeira.

O racioc´ınio Indutivo parte de informa¸c˜oes particulares, para inferirmos uma conclus˜ ao geral. Exemplo 9: A barata, o grilo e o gafanhoto n˜ ao tˆem ossos. Deduzimos que os insetos n˜ ao tˆem ossos. Nem sempre a conclus˜ao ´e correta. A barata, o grilo e o gafanhoto n˜ ao tˆem ossos. Deduzimos que os animais n˜ ao tˆem ossos. Quanto maior o n´ umero de casos particulares observados, maior a probabilidade de a conclus˜ ao ser correta.

De forma geral, o racioc´ınio Dedutivo parte do geral para o particular. Exemplo 10: Todos os homens s˜ ao mortais. Carlos ´e um homem. Logo, Carlos ´e mortal.

Raciocínio Lógico

V

74 SILOGISMOS Silogismo ´e uma forma de racioc´ınio dedutivo em que, partindo-se de certas informa¸c˜ oes, infere-se uma determinada conclus˜ao. Podemos estruturar um silogismo em duas premissas-base (proposi¸c˜ oes-base) para o racioc´ınio, a conclus˜ ao e de trˆes termos. Tomando como base o exemplo de racioc´ınio dedutivo teremos: • Premissa e conclus˜ ao: Premissa maior - ´e a premissa geral, de maior extens˜ ao, que vem geralmente citada primeiro. Todos os homens s˜ ao mortais.

Logo, Carlos ´e mortal. Premissa menor - ´e a premissa mais particular, que vem geralmente em segundo. Todos os homens s˜ ao mortais. Carlos ´ e um homem. Logo, Carlos ´e mortal. Conclus˜ ao - ´e a proposi¸c˜ ao deduzida das premissas. Todos os homens s˜ ao mortais. Carlos ´e um homem. Logo, Carlos ´ e mortal. • Termos: Termo maior - ´e o predicado de premissa maior e da conclus˜ ao. Todos os homens s˜ ao mortais. Carlos ´e um homem. Logo, Carlos ´e mortal. Termo m´ edio - ´e o sujeito da premissa maior e o predicado da premissa menor. N˜ ao aparece na conclus˜ao. Todos os homens s˜ ao mortais. Carlos ´e um homem. Logo, Carlos ´e mortal. Termo menor - ´e o sujeito da premissa menor e da conclus˜ ao. Todos os homens s˜ ao mortais. Carlos ´e um homem. Logo, Carlos ´e mortal. Vemos ent˜ao, que:

RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO

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Carlos ´e um homem.

93

75 • A premissa maior cont´em o termo maior como predicado (mortais) e o termo m´edio, como sujeito (homens). • A premissa menor cont´em o termo m´edio como predicado (homem) e o termo menor, como sujeito (Carlos). • A conclus˜ ao cont´em o termo menor como sujeito (Carlos) e o termo maior, como predicado.

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Exemplo 11: Para o item abaixo, julgue a conclus˜ao apresentada nas premissas: Premissa 1:

p∨q

Premissa 2:

¬q

Conclus˜ao:

p

Nesse tipo de problema, vocˆe deve avaliar se a conclus˜ao pode ou n˜ao ser tirada com base nas premissas ´ um dos casos em que vocˆe se far´a valer da tabela-verdade. apresentadas. E p

q

p∨p

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Quando o enunciado diz que p ∨ q ´e uma premissa, ele est´a afirmando que p ∨ q ´e verdadeira, ou seja, podemos eliminar a u ´ltima linha, onde p e q s˜ao falsas, levando a p ∨ q tamb´em falsa. p

q

p∨p

V

V

V

V

F

V

F

V

V

O segundo passo ´e usar a premissa 2, partindo do pressuposto de que ela ´e verdadeira. Se ´e verdadeira, ent˜ ao q ´e falsa. Isso nos leva a eliminar as linhas onde isso n˜ao acontece: p

q

p∨p

V

F

V

Raciocínio Lógico

V

76 Com isso, podemos perceber que s´o restou a linha em que p ´e verdadeira e q ´e falsa. Como o enunciado apresenta p como conclus˜ao, afirmamos que a conclus˜ao ´e correta, j´a que, na u ´nica alternativa que restou, p realmente ocorre, ou seja, ´e verdadeira. Logo, a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.

Exemplo 12: Trˆes irm˜as - Ana, Maria e Cl´audia - foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra branco e a terceira, preto. Chegando `a festa, o anfitri˜ao perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: ”Ana ´e a que est´a de branco”. A de branco falou: ”Eu sou Maria”. E a de preto disse: ”Cl´audia ´e quem est´a de branco”. Como o anfitri˜ao sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria `as vezes diz a verdade e que Cl´audia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente

a) Preto, branco e azul. b) Preto, azul e branco. c) Azul, preto e branco. d) Azul, branco e preto. e) Branco, azul e preto. Dados apresentados no enunciado do problema: • Ana: sempre diz a verdade. • Cl´audia: sempre mente. • Maria: `as vezes mente, `as vezes fala a verdade. Respostas das irm˜as: • Az: Ana de branco. • Br: Eu sou Maria. • Pr: Cl´audia de branco. Com base nos dados apresentados, podemos ver que: • As trˆes irm˜as n˜ao podem falar a verdade e nem mentir ao mesmo tempo, assim, elimina-se a primeira eau ´ltima possibilidades da tabela verdade.

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quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cl´audia eram, respectivamente:

95

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77 Az

Br

Pr

V

V

M

V

M

V

V

M

M

M

V

V

M

V

M

M

M

V

• Se Az ´e verdadeiro (Ana de Branco), ent˜ ao Pr ´e falso (Cl´ audia de branco). Com isso, elimina-se a linha V - M - V. Ficamos assim:

Az

Br

Pr

V

V

M

V

M

M

M

V

V

M

V

M

M

M

V

• Se Az ´e verdadeiro (Ana de branco), ent˜ ao Br ´e falso (eu sou Maria). Isso porque a de branco teria que ser Ana e a de branco disse que ela ´e Maria. Isso seria uma mentira e, por isso, um absurdo. Isso elimina a linha V - V - M e ficamos com:

Raciocínio Lógico

V

78 Br

Pr

V

M

M

M

V

V

M

V

M

M

M

V

• Se Pr ´e verdadeiro (Cl´ audia de branco), Az ´e falso (Ana de branco). N˜ao ocorre a elimina¸c˜ao de linhas porque essa condi¸c˜ ao n˜ ao ocorre em nenhuma das linhas que restaram. Como resultado da primeira an´ alise das possibilidades, obtemos: Az

Br

Pr

V

M

M

M

V

V

M

V

M

M

M

V

1◦ Hip´ otese: Ana est´ a de azul Se Ana estivesse de azul, ela teria falado que “Ana est´ a de branco”, o que seria mentira (contrariando o enunciado). Por isso, Ana n˜ ao pode estar de azul.

2◦ Hip´ otese: Ana est´ a de branco Se Ana estivesse de branco, ela teria falado “Eu sou Maria”, o que seria mentira (contrariando o enunciado). Por isso, Ana n˜ ao pode estar de branco. Logo, Ana est´ a de preto. Como a Ana est´a de preto e ela s´ o fala a verdade, podemos eliminar as possibilidades em que o preto mente, assim ficamos com: Az

Br

Pr

M

V

V

M

M

V

Mais ainda, se a que est´ a de preto falou a verdade, ent˜ ao: Cl´ audia est´ a de branco. Consequentemente, podemos concluir que Maria est´ a de azul (e mentiu).

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Az

97

79 Assim, temos como resultado final: • Az (Maria): Ana de branco - Mentira. • Br (Cl´audia): Eu sou Maria - Mentira. • Pr (Ana): Cl´ audia de branco - Verdade.

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E as cores de Ana, Maria e Cl´ audia s˜ ao: preto, azul e branco. Portanto a alternativa correta ´e a letra B.

Raciocínio Lógico

V

80

˜ CONSIDERAC ¸ OES FINAIS Ao finalizar mais uma unidade deste livro de nivelamento de Matem´atica, estamos concluindo as nossas atividades, visto que os assuntos essenciais para uma base matem´atica foram abordados com bastante clareza e de forma sucinta. Sabemos que a todo o momento centenas de pessoas est˜ao dispostas a aprender, n˜ao importa o momento nem o curso que esteja realizando, pois aprender se torna pe¸ca fundamental para o desenvolvimento humano, dessa forma, esperamos que vocˆe tenha se dedicado e apreendido a essˆencia dos conte´ udos apresentados e tenha conseguido correlacionar as situa¸c˜oes te´oricas com situa¸c˜ao na pr´atica,

Nos dias atuais, torna-se important´ıssimo o uso do racioc´ınio l´ogico, seja na disciplina espec´ıfica ou em determinadas situa¸c˜oes-problema que vocˆe se depare. Atente-se que esta unidade demonstrou e aplicou as Opera¸c˜oes L´ogicas, pois s˜ao opera¸co˜es realizadas atrav´es de proposi¸c˜oes, obedecendo `as regras de c´alculo proposicional muito semelhante ao da aritm´etica e dos n´ umeros, utilizadas tamb´em em linguagem computacional. A nossa sugest˜ao de fixa¸c˜ao do conte´ udo trabalhado ´e que vocˆe, acadˆemico(a), tente agora, depois de ler e refletir sobre o assunto abordado, correlacionar alguma situa¸c˜ao aqui representada com assuntos que ir˜ao ser tratados no decorrer de sua jornada acadˆemica.

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que utiliza em seu cotidiano.

99

81

ATIVIDADES DE ESTUDOS

1. Dˆe o valor l´ ogico a cada uma das proposi¸c˜ oes resultantes abaixo: a) “Se (2 ´e maior que 5 E Jo˜ ao ´e casado) Ent˜ ao Maria tem 17 anos”. b) “Se 2 ´e menor que 5 E ( 2 ´e par Ent˜ ao 4 ´e menor que 2)”. c) “Se (7 ´e maior que 5 OU Jo˜ ao ´e casado) Ent˜ ao 5 ´e par”. 2. (ESAF-AFC-2002) Dizer que n˜ ao ´e verdade que Pedro ´e pobre e Alberto ´e alto ´e logicamente equivalente a dizer que ´e verdade que: a) Pedro n˜ ao ´e pobre ou Alberto n˜ ao ´e alto. b) Pedro n˜ ao ´e pobre e Alberto n˜ ao ´e alto. c) Pedro ´e pobre e Alberto n˜ ao ´e alto. d) Se Pedro n˜ ao ´e pobre, ent˜ ao Alberto ´e alto. e) Se Pedro n˜ ao ´e pobre, ent˜ ao Alberto n˜ ao ´e alto. 3. (ESAF) Ana guarda suas blusas em uma u ´nica gaveta em seu quarto. Nela se encontram sete blusas azuis, nove amarelas, uma preta, trˆes verdes e trˆes vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. O n´ umero m´ınimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor ´e: a) 6. b) 4. c) 2. d) 8. e) 10. 4. (Cesgranrio) Analise as afirmativas abaixo. I. A parte sempre cabe no todo. II. O inimigo do meu inimigo ´e meu amigo. III. Um professor de matem´ atica afirma que todos os professores de matem´atica s˜ao mentirosos. 82

Do ponto de vista da l´ ogica, ´e (s˜ ao) sempre verdadeira(s) somente a(s) afirmativa(s): a) I. b) I e II. c) I e III. d) II. e) III. 5. (ESAF) Ou A = B, ou B = C, mas n˜ ao ambos. Se B = D, ent˜ ao A = D. Ora, B = D. Logo: a) B = C. b) B = A.

a) I. b) I e II. c) I e III. d) II. e) III. 5. (ESAF) Ou A = B, ou B = C, mas n˜ ao ambos. Se B = D, ent˜ ao A = D. Ora, B = D. Logo: a) B = C. b) B = A. c) C = A. d) C = D. e) D = A. 6. ( Cespe/Unb) Com base nas assertivas que fazem parte do argumento apresentado, julgue os itens subsequentes: • A justi¸ca ´e perfeita • A lei foi feita pelo homem • Toda obra humana ´e imperfeita • Logo: a lei ´e injusta Assinale V ou F, nas alternativas abaixo: ( ) A “lei foi feita pelo homem” ´e uma premissa desse argumento. ( ) A “lei ´e injusta” ´e a conclus˜ ao desse argumento. ( ) Trata-se de exemplos de argumentos v´ alidos. 7. Uma professora de matem´ atica faz as trˆes seguintes afirma¸c˜ oes: “x > Q e z < y” “x > y e Q > y, se e somente se y > z” “R = Q, se e somente se y = x” Sabendo-se que todas as afirmativas da professora s˜ ao verdadeiras, conclui-se corretamente que: a) X > Y > Q > Z. b) X > R > Y > Z. c) Z < Y < X < R. d) X > Q > Z > R. 8. Utilizando tabelas-verdade, verifique se existem as rela¸c˜oes de implica¸c˜ao l´ogica seguintes: a) p ∧ q ⇒ q ∧ p b) ¬ (p ∧ q) ⇒ ¬ p ∨ ¬ q

83

CONCLUSÃO 84 ˜ GERAL CONCLUSAO Chegamos ao final deste material de estudos. Ele foi desenvolvido com objetivo de agregar valores ao seu aprendizado, a fim de ampliar o seu conhecimento pr´e-adquirido ao longo dos anos curriculares. Este livro procurou oferecer ferramentas que mostrassem as possibilidades de utilizar a teoria em sua jornada acadˆemica, nas disciplinas espec´ıficas de seu curso, pois sabemos que a educa¸c˜ao est´a passando por diversas mudan¸cas e ´e necess´ario o ensino de alguns conte´ udos b´asicos de matem´atica que n˜ao podem deixar de serem aplicados e compreendidos de uma maneira clara e sucinta. Basicamente este material pretende eliminar as falhas do ensino fundamental e b´asico da Matem´atica, propondo oportunidades de ampliar seus conhecimentos, atrav´es da organiza¸c˜ao dos conte´ udos a partir do curr´ıculo base. Para fixar os assuntos torna-se necess´ario abord´a-los mais que uma vez e pratic´a-los constantemente, conforme a necessidade do acadˆemico. A proposta de retomar os temas da Matem´atica B´asica foi de proporcionar e garantir a vocˆe relembrar conte´ udos que por ventura tenha esquecido ou sanar ru´ıdos na comunica¸c˜ao da linguagem matem´atica, garantindo n˜ao somente a memoriza¸c˜ao, mas principalmente o aprendizado efetivo e cont´ınuo, valorizando as ideias e a compreens˜ao. De uma maneira enxuta e simplificada, primou-se pela essˆencia dos temas abordados, deixando o entulho do ensino tradicional, que geram lacunas no aprendizado, buscando apoiar o desenvolvimento do aluno em sua jornada acadˆemica, indiferente do curso que esteja utilizando este material de apoio. Poderia ter sido escrito muito mais, sugerido muito mais. Contudo, trata-se de um livro de nivelamento cujos temas precisam ser abordados resumidamente, focando no refor¸co dos conte´ udos, considerando apenas os t´opicos que s˜ao amplos e important´ıssimos para o campo da Matem´atica. A grande preocupa¸c˜ao foi realizar um material que proporcionasse uma leitura agrad´avel, que contribu´ısse com a sua forma¸c˜ao acadˆemica e que ampliasse seus conhecimentos atrav´es de leitura e de atividades. Aproveite esse material para obter sucesso em seus estudos!

101

REFERÊNCIAS

103

85

´ REFERENCIAL TEORICO ALENCAR FILHO, Edgard. Inicia¸ c˜ ao ` a l´ ogica matem´ atica. S˜ ao Paulo: Nobel, 2002. ´ DANTE, Luiz Roberto. Matem´ atica, volume u ´ nico: livro do professor. 1.ed. S˜ ao Paulo: Atica, 2005. ROCHA, Enrique. Racioc´ınio l´ ogico: teoria e quest˜ oes. 2.ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2006. SILVA JUNIOR, Ac´acio P. da. Matem´ atica (nivelamento). Maring´ a-PR, 2012. TINOCO, L´ ucia A. A. Raz˜ oes e Propor¸ c˜ oes. Instituto de matem´ atica/UFRJ. Projeto Fund˜ ao SPEC/PADCT/CAPES Rio de Janeiro, editora UFR,1996

GABARITO 86

GABARITO UNIDADE I 1) 12 bolas 2) 125 3) 24% 4) 15% 5) 36% 6) Sim 7) 12 dias 8) 105 Km/h 9) 2,4 kg 10) 50 postos

UNIDADE II 1) 68389,56 2) 5/6 3) a)1,6 b) 4) 117 1 5) 15 1 6) com pipoca e sobrou metade do que ela possu´ıa antes de comprar o ingresso 6 7) d) 8) c) 9) d) 10) c)

UNIDADE III 1) a) A ´area ´e dada em fun¸c˜ao do lado. b) A ´area (l2 ) c) O lado (l) d) A=l2 e) A=122 =144. A ´area ´e de 144 cm2 √ f) A=l2 → 169 = l2 → l= 169 =13. A medida do lado ´e de 13 cm 2) a) f (x) = 7x − 1, Fun¸c˜ao afim; a = 7 e b = −1.

GABARITO

105

87 b) f (x) = 2x2 + 4x, N˜ao ´e fun¸c˜ao afim. c) f (x) = −x + 9, Fun¸c˜ao afim; a = −1 e b = 9. 5) a) f (x) = 3x + 2; b) f (x) = −2x + 5 6) f (x) =

x +4 2

7) a) f (x) = 6x2 − 2x, Fun¸c˜ao quadr´atica; a = 6, b = −2 e c = 0. b) f (x) = x2 − 8, Fun¸c˜ao quadr´atica; a = 1, b = 0 e c = −8.

c) f (x) = 1, N˜ao ´e fun¸c˜ao quadr´atica. 8) a) x = 3 e x” = −3

b) x = x” = 1 c) x = 4ex” = −2

9) a) V (1, 5; −6, 25); x = −1ex” = 4 1 8 b) V ( ; ); x = −1/3ex” = 1 3 3 1 1 c) V (0; 1); x = − e x” = 2 2 1 10) a) Valor m´aximo = 3 25 b) Valor m´ınimo = − 8 c) Valor m´aximo = 0 UNIDADE IV 1) b) 81◦ 2) a) O candidato B pode se considerar eleito. 3) F - F - V 4) a) x=-25 13 b) x=2 c) x=3 d) x=59 10 e) x= 3 5 f) x= 7

5) a) 2x − 4 = 30 b) 3x + 9 = c) 3 · (x + 9) = 12

GABARITO 88 6) Pastel =R$ 0,80 e Refrigerante =R$ 0,60 7) Cada vidro custou R$ 3,00 8) a) x = 8 e y = 6 b) x = 27 e y = −7 c) x = 3 e y = 4 1 d) x = e y = 3 2 13 63 e) x = − ey= 10 15 224 36 f) x = ey=− 19 114 9) a) x = 2 e x” = 3 b) x = −3 e x” = −2 c) x = −2 e x” = −1

d) x = x” = 1 e) x = x” = 3

f) x = x” = −2 10) a) x = 5 e x” = −5

b) x = 0 e x” = −25 c) x = 0 e x” = 3

d) x = 3 e x” = −3 e) x = 0 e x” = −3

f) N˜ao possui ra´ızes reais. UNIDADE V 1) V - F - F 2) Letra A 3) A 4) A 5) A 6) Todas corretas 7) B 8) Existe/existe