01 - MATEMÁTICA EXERCÍCIOS 2020 2ANO
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´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE I x
...... BIM - I
EREM SAL − 2019 A 3 1 B 1 C
s
4
3 3
t
T 60◦
30cm P
EXERC´ICIOS ⊂ BIMESTRE I ˜ OPERAC ¸ OES FUNDAMENTAIS ˜ EQUAC ¸ OES DE 1o E 2o GRAU ˜ PROGRESSOES
MATRIZES E DETERMINANTES
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 1
ˆ ´ EREMSAL - ESCOLA DE REFERENCIA EM ENSINO MEDIO DE SALGUEIRO S´erie: 2o ano
Exerc´ıcios de Matem´ atica
DATA:
NOME: NOTA:
y
de 3,0 pontos.
PROFESSOR: Carmos Fernandes da Costa
y 10
,
01 Calcule o valor de cada express˜ ao num´erica a seguir. (A) 2 · 3 + 12 · 6 − 6 · 18 + 2 · (−4)
(C) −2 · 3 + 18 ÷ 2 · 3 − 2 · 4 ÷ 2 + 2 · 4
(E) 28 ÷ 4 + 64 ÷ 4 · (−1) − 12 · (−4) ÷ 6
y
√
49
√ 1 3 (M) −1 · (−2) − · − 5 · 625 2 4
(B) Uma sorveteria vendeu 900 sorvetes durante o ver˜ ao. Sabendo que o valor m´edio dos sorvetes ´e de R$ 5,00 e de que o custo m´edio ´e de R$ 3,00. qual foi o lucro da sorveteria nesse ver˜ ao?
(H) Uma senhora disp˜ oe de 4 caixas de l´ apis de cor com 36 l´ apis cada uma e vai distribu´ı-los entre seus sobrinhos, se cada um receber´ a 24 l´ apis. Quantos s˜ ao os sobrinhos?
(D) 4 · (−2) ÷ 4 + 14 ÷ (−7) + 3 · 4 + 6
(L) 3 · 42 − 23 + (−2)4 ·
matriculados mais 8, totalizando, agora, 35 alunos. Quantos alunos havia nessa classe no in´ıcio do ano?
(G) Um hotel tem 34 quartos, cada quarto tem 3 camas e cada cama tem 2 len¸co ´is. Quantos len¸co ´is s˜ ao usados para cada troca de roupa neste hotel?
(B) 4 · (−2) + 14 · 6 ÷ 3 − 3 · (−1) · (−2)
2 1 5 3 2 3 (F) + − − + − 3 2 4 4 5 5 1 6 5 9 (G) + + + 3 9 15 27 5 9 5 2 + − + (H) 21 42 7 7 1/2 3/5 (I) − 3/5 2/3 2/5 5 (J) − 5 1/5 √ √ (K) 23 + 32 − 144 · 64
´ CONTEUDO: Progress˜oes, Matrizes e Determinentes ˜ DESCRIC ¸ AO: Lista de Exerc´ıcios Bim I
(F) Uma pessoa recebeu R$ 820,00, pagou R$ 350,00 de aluguel, R$ 25,00 de luz,x R$ 59,00 de a ´gua e R$ 120,00 de compra. x Quanto sobrou de seu sal´ario?
˜ OPERAC ¸ OES FUNDAMENTAIS
(C) O qu´ıntuplo de um n´ umero mais 15 ´e igual ao dobro desse n´ umero adicionado de 45. Qual ´e esse n´ umero? (D) Beatriz passou 1/3 do dia dormindo, 1/6 na escola e 1/4 brincando com as amigas. Quantas horas restaram para ela fazer outras atividades nesse dia?
(I) Duas f´ abricas fornecem 2000 uniformes cada uma para serem distribu´ıdos igualmente entre os alunos de 3 escolas, que tem, respectivamente, 900, 500 e 600 alunos. Quantos uniformes cada aluno deve receber?
(E) Numa sala de aula existem 6 meninos a mais do que meninas. Se o n´ umero total de alunos ´e igual a 36, determine o n´ umero de meninos.
(J) Duas pe¸cas de tecido, de 25 metros cada uma, foram vendidas por R$ 800,00. Calcule o pre¸co do metro de uma y delas, sabendo que o metro da outra pe¸ca foi vendida por R$ 18,00.
(F) Uma tela retangular com a ´rea de 9600 cm2 tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais s˜ ao as dimens˜ oes desta tela?
y
10
(G) O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo ´e igual a 374. Pedro ´e 5 anosx mais velho que Paulo. Quantos anosxtem cada um deles?
˜ EQUAC ¸ OES DE 1o E 2o GRAU
5
02 Resolva cada um dos problemas a seguir. (A) Em uma f´ abrica trabalham 245 oper´ arios. Se cada um deles ganha 560 reais, quantos reais a f´ abrica paga por mˆes para todos os oper´ arios? (B) Um canil possui 35 compartimentos para abrigar c˜ aes. Em cada um deles cabem 32 c˜ aes. Quantos c˜ aes podem ser abrigados nesse canil? (C) Em uma escola, estudam 1561 alunos. Para a P´ ascoa deste ano, a diretora vai distribuir uma cesta, com 15 doces dentro, para cada aluno. Quantos doces a diretora ter´ a que comprar? (D) O Brasil tem 513 deputados federais. Suponha que cada um deles ganha um sal´ ario de 12379 reais por mˆes. Quanto ´e pago por mˆes para todos os deputados?
03 Resolva as equa¸co ˜es a seguir
x
(H) O triplo do quadrado do n´ umero de filhos de Pedro ´e igual a 63 menos 12 vezes o n´ umero de filhos. Quantos filhos Pedro tem?
(A) 8x − 43 = 65 (B) 23x − 16 = 14 − 17x (C) 10y − 5(1 + y) = 3(2y − 2) − 20
(I) Comprei 4 lanches a um certo valor unit´ ario. De outro tipo de lanche, com o mesmo pre¸co unit´ ario, a quantidade comprada foi igual ao valor unit´ ario de cada lanche. Paguei com duas notas de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual o pre¸co unit´ ario de cada produto?
1 − 2x 3−x x−5 + = (D) 10 5 4 (E) 13x − 23 − 45 = −7x + 12 (F) 3x2 − 7x + 4 = 0 (G) 9y 2 − 12y + 4 = 0
(J) H´ a dois n´ umeros cujo triplo do qua-
y drado ´e a igual 15 vezes estes n´umeros.
2
(H) 5x + 3x + 5 = 0 5x 3 (I) x2 + − =0 2 2 y
y
Quais n´ umeros s˜ ao estes?
10 y
˜ PROGRESSOES
10
˜ ´ PROGRSSOES ARITMETICAS
2
(J) 2x + x − 3 = 0
04
05
Resolva cada um dos problemas a seguir (E) Em um formigueiro existem 765 450 formigas. Um tempo depois morrem 125 900 e nascem 134 800. Quantas formigas, vivas, est˜ ao nesse formigueiro depois desse tempo?
/ /2020 No :
(A) No in´ıcio do ano, uma classe da escola possu´ıa um certo n´ umero de alunos. No final do 1o semestre sa´ıram 10 alunos e no in´ıcio do 2o semestre foram
xo
O 25 termo da P.A. (2, 4, 6, ...) ´e: A 48 B 50 C 52 D 56 E 60
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 2
x x x
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE I
06
A
O valor do termo a70 BIM´ -4, ...) e-:I A -148 B -146 y C -140 D -138 E -136
07 Obtenha o valor de 2x + 1, 5x + 7) seja A -2 B -1/2 y C 1/2 D -5/2 E 5/2
08 Obtenha a raz˜ ao da meiro termo ´e -8 e o A -3 B 3 y C -2 D 1 E 2
12 B 24x da P.A. (2, 0, -2, y C 48 D 52 E 58
4 C 3 D 2 E nda B
y
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Quantos termos possui a P.G. (2, 4, 8, x Laura gosta de correr aos s´ abados e esta..., 2048)? EREM SAL − 2019 belece o seguinte calend´ ario: no primeiro A 10 s´ abado do ano corre 3,0 km, no segundo B 11 A 3 abado x corre 3,2 km, no terceiro s´abado y C 12 x de modo que (x, s´ corre 3,4 km, e assim por diante, ou seja, D 13 uma P.A. s 1 B 1 C a cada semana ele aumenta 200 metros a E nda sua corrida. 20 Sendo assim, Laura percorrer´ a quantos Quantos termos possui a P.G. quilˆ ometros no 15o s´ abado? 4 3 (231 , 235 , 239 , ..., 2111 )? A 8,5 A 19 t 3 B 6,8 T B 20 y C 5,8 y C 21 30cm 60◦ x P.A. em que o pri- D 5,5 D 22 vig´esimo ´e 30. P E 4,8 E nda
14
(SAEPE 2016) J´ ulia iniciou um programa de exec´ıcios f´ısicos no primeiro dia de agosto de 2015 e perdeu 200 gramas ao final do primeiro mˆes. A cada 09 mˆes subsequente, ela perdeu 300 gramas x que a quantidade perdida no mˆes Considere a P.A. (a1 , a2 , 10, a4 , a5 , a mais a6 , 18). O valor da soma do primeiro anterior. Ela seguiu esse programa at´e termo dessa P.A. com sua raz˜ ao, ou seja, conseguir perder 2 000 gramas durante y (a1 + r), ´e: um mˆes. A 8 Dessa forma, em qual mˆes J´ ulia perdeu B 7 2 000 gramas? y C 6 A Novembro de 2015. D 5 B Janeiro de 2016. y C Fevereiro de 2016. E 4 D Abril de 2016. 10 y E Maio x de 2016. Qual ´e a soma dos 120 primeiros n´ umeros y 10 ˜ ´ pares positivos? PROGRSSOES GEOMETRICA A 14 420 15 B 14 500 y C 14 520 Em rela¸ca ˜o a P.G. (1, 2, 4, ...) determine D 14 000 o 10o termo. E nda A 500 B 502 11 y C 512 x Calculando a soma dos 25 termos iniciais D 524 da P.A. (1, 7, 13, ...), encontramos: y E 532 A 1825 16 B 1835 y C 1845 Determine o 8o termo da sequˆencia (-2, D 1855 8, -32, 128, ...) E 1865 A 32 768 B 32 758 12 y C 32x748 Roberto recebe de seu pai uma mesada y D 32 738 mensal da seguinte forma: em janeiro ele E nda recebe 5 reais, em fevereiro 10 reis, em mar¸co 15 reis, e assim por diante, sempre adicionando 5 reais ao valor do mˆes anterior at´e o mˆes de dezembro. Quando se inicia um novo ano a mesada volta ao valor inicial e reinicia o mesmo processo. Roberto pretende economizar para com- y prar um v´ıdeo-game no valor de 1 560 reais. Considerando que Roberto usar´ a para essa compra apenas o dinheiro de sua mesada, quantos meses ser˜ ao necess´ arios para que ele compre o v´ıdeogame?
17
x
21
x
Sendo (a1 , a2 , a3 ) n´ umeros positivos que formam uma P.G., se o produto dos termos extremos vale 625, e a soma dos dois u ´ltimos ´e igual a 30, ent˜ ao qual o valor do 1o ? A 125 B 120 C 115 D 110 E nda
x
x
x
22 Calcule a soma dos seis primeiros termos da P.G. (-2, 4, -8, ...) A 41 B 42 C 43 D 44 E ndax
x
23 x Quantos termos da P.G. (2, -6, 18, -54, ...) devemos considerar a fim de que a soma de todos os termos resulte em 9842? A 6 B 7 C 8 D 9 E nda x
x
24
Calcule o valor de 90 + 9 + 0, 9 + 0, 09 + ... A 100 B 101 C 109 D 110 y E nda
x ´ Sabendo que (4, x, 9) ´e uma P.G. de raz˜ ao10 MATRIZES E y positiva, ent˜ ao o valor de x ´e: 10 ˜ E IGUALDE A 5,5 DEFINIC ¸ AO B 4,5 25 C 5,0 D 6,0 Escreva a matriz A = (aij )2×2 , em que E nda aij = 3i − 2j. Qual o valor do maior termo dessa ma18 triz?x Sendo (−2, x + 1, −4x + 2) uma P.G., A 4 ent˜ ao x pode ser: B 5 A 5 Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 3
x
x x x
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE I
y
y
y
y
y
elemento c10.12 . A 26 = B 27 y C 28 26 Os valores de x, y e z s˜ ao, respectiva- D 29 x iguais a Determine a matriz B = (bij )3×3 , em que mente, E 30 bij = ij . Que elementos pertencem a `s A 4, 3 e 2 38 digonais principais e secund´ arias de B? B 2, 4 e 5 EREM SAL − 2019 y C 4, 5 e 2 A 1, 4 e 9 A partir da matriz A = (aij )2×2 cujo B 1, 4 e 27 aij = 3i + 2j e B = (bij )2×2 dada por A D -2, 4 e 5 3 bij = i + j determine a matriz A + B. C 4, 9 e 27 E nda Qual o maior e o menor elemento, resD 1, 9 e 27 33 s 1 B 1 C pectivamente, da matriz A + B? E nda Determine os valores de a, b, c, d, e, f A 14xe 7 27 que tornam verdadeira a igualdade: B 11 e 10 x Qual a soma dos elementos da matriz y C 10 e 7 t 4 C = (cij )3×2 , em que cij = 2 + i + 3j? a+3 b+2 c+1 D 12 e 10 = 03×2 A 31 d 5−e 2f t 3 T E nda B 32 ◦ c + d + 39 O valor a + b + e + f ´ e 30cm 60 C 33 A -1 Determine a matriz X tal que: D 34 P B 0 E nda y C 2 5 0 4 3 28 D 3 X + 1 1 = 2 3 x Determine a matriz A = (aij )4×3 , em E nda 7 8 2 0 que: 34 0, se i ≥ j Determine os valores de x e y que tornam Qualxo resultado da soma de todos os 1 se i < j elementos de X? verdadeira a igualdade: A 17 Qual o valor da soma de todos os ele 2 B 16 mentos dessa matriz? x − 2x 2 −1 2 = 2 y C 15 A 3 4 −6 4 y − 5x D 14 B 4 A soma de todos os valores poss´ıveis para E nda C 5 x e y ´e D 6 40 A 2 E nda Determine a matriz X, tal que (X + B 1 29 A)t = B, sendo: y C -1 t 4 2 Determine a matriz transposta A da ma- D x 1 −2 4 -2 A = −1 0 e B = . triz A = (aij )2×3 tal que aij = i2 + j. y E 5 6 0 nda 5 1 Qual a soma de todos os elementos da 10 ˜ E SUBTRAC ˜ A soma do menor com o maior elemento ADIC ¸ AO ¸ AO coluna 2 de At ? de X ´e A 15 x 35 A -1 B 16 B 0x Calcule: C 17 y C 1 D 18 5 7 6 −2 D 2 + E nda 9 4 5 8 E nda 30 C 6 D 7 E nda BIM - I
Quantos elementos pares existem na matriz M = (mij )3×2 tal que mij = 2i + j? A 3 B 2 y C 1 y D 0 E nda
x+y 4
2 x−y
7 z2
z 1
x
x O maior elemento da matriz resultante da opera¸ca ˜o acima ´e A 14 B 15 C 16 D 17 E nda
x
x
x
41
x
Obtenha a matriz X tal que: X−
1 −2
4 5
=
−1 −3
2 4
. A soma de todos os elementos de X ´e A 8 31 36 B 9 x x 12 1 8 11 Determine a, b, c e d para que se tenha y C 10 Sejam A = , B = 9 5 3 6 D 11 a 1 2 b 2 4 = eC= . Calculando A − B + C E nda 4 c d 6 10 7 42 obtemos como menor elemento 1 6 Os valores de a, b, c e d s˜ ao, respectiva- A 16 Sendo a matriz A = , obte9 −5 B -6 mente, iguais a 1 y C 6 A 1, 2, 3 e 4 nha as matrizes B = 4 · A e C = − · A. 3 B 2, 3, 4 e 1 D 12 Qual o resultado da soma do menor eley C 2, 1, 6 e 4 E nda mento de B com o maior elemento de C? D 3, 4, 6 e 1 37 A -17 E nda x Sejam as matrizes A = (aij )10×12 , em B -20 32 que aij = 2i − j e B = (bij )10×12 , em C 9 Obtenha x, y e z que satisfa¸cam a igual- que bxij = i + j. Seja C = A + B, em D 8 dade: que cij = aij + bij . Determine o valor do E nda
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 4
x
y
y
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE I
43
48
54
x x Sejam as matrizes A = 2 4 Calculando (FGV) BIM as - I matrizes A = 1 5 e Sejam 1 −4 eB= 5 8 . 0 7 1 −2 −2 3 2 −1 2 0 · 3 4 −1 0 0 −4 3 −2 A matriz X que satisfaz a equa¸c˜ ao matri6 . B = −1 cial X ·A = B tem elementos cuja soma ´e: obtemos como menor elemento: 9 8 A 0,5 A 0 EREM SAL − 2019 Determine a matriz C = A − 3B. B 1,0 B 2 y C 1,5 Qual o valor do menor elemento de C? y C 9 A A -27 D 2,0 D -10 3 y E 2,5 B -17 E -19 y C -13 s 1 B 1 C 10 49 ´ TRANSPOSTA E INVERSAE D -2 x Determine a matriz X tal que: E nda 55 44 1 −3 0 4 Considere a matriz a seguir. 3 ·X = x 2 5 −11 Resolva a equa¸ca ˜o: t 3 T 2 5 Sendo assim, a◦ soma de todos os elemenA = −7 2 11 0 30cm 60 1 3 +2·X = tos de X ´e 6 4 8 12 A 4 P Qual das matrizes a seguir representa a B 3 inversa de A? Qual o resultado da soma de todos os y C 2 3 −5 3 1 B A elementos da matriz X? .......... D 1 −1 2 3 −2 A 12 E 0 y −2 1 −2 2 B 13 C D .......... 50 1 −2 1 1 y C 14 x E Determine a matriz Y tal que: D 15 nda y E nda 56 13 4 0 9 ·Y = 10 MULTIPLICAC ˜ DE MATRIZES Determine, se existir, a inversa da matriz ¸ AO −5 0 20 35 2 −5 B= . x 45 −1 3 Qual o valor de maior elemento de Y ? Qual das matrizes a seguir representa a 1 3 A -4x inversa de B? 0 B 13 Considere as matrizes A = 2 2 5 3 5 B A −1 4 y C 25 .............. 1 2 1 2 2 1 D 27 eB= . y 2 2 3 2 3 1 E 0 C .............. D 1 2 2 2 O maior elemento de A · B ´e: 51 E A 2 nda x −4 m Sendo: A = e A2 = B 3 57 2 −1 y C 4 Determine a inversa da matriz 22 −15 D 10 1 0 2 −10 m + 4 E 11 .................... 0 3 0 Determine o valor de m. 2 0 1 46 A 3x Qual o valor do menor elemento enconSejam as matrizes: B 4 trado? 1 2 0 5 8 y C 5 A -1/3 9 A= 0 1 2 eB= 1 D 6 B -1/3 2 0 1 7 −3 y C 2/3 E nda Determine o menor elemento da matriz D -2/3 52 A · B. E 0x A 3 Determine x e y reais a fim de que as 58 B 7 0 x 1 2 matrizes e comuy C 13 7 −3 y 3 −1 5 Seja A−1 a inversa de A = . tem. 2 −1 D 15 −1 A x = 3 e y = −3 E 17 Determine o maior elemento de A + A . B x = 3/2 e y = −3/4 A 8 47 y C x = 3/4 e y = 3/2 B 4 2 x Seja An×n A = A · A. Assim, D x = 2 e y = −4 , defini-se y C -6 1 2 E nda se A = , ent˜ ao determine A2 . D -8 3 4 E 0 53 Qual a soma de todos os elementos de
A2 ? A 53 B 54 C 55 D 56 E 57
(UFAM) Sejam A = (aij )6×6 e B = (bij )6×6 duas matrizes definidas por aij = i − j e bij = j − i. Se A · B = (cij )6×6 , ent˜ ao quanto vale c45 ? A 22 B 23 C 24 D 25 E nda
x
x
x x
x
x
x
59 x
Para que valores reais de x a inversa da matriz −1 1 A= ´e a pr´ opria matriz A? 0 x A 1 B -1 C 1 ou -1 D 1 ou 0 E nda
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 5
x
y
y y
y 60
10
(UFMG) Sejam as matrizes BIM - I x 1 2 e M= A= −1 2 6
−1 y
´ DETERMINANTES E
D
x ´ DETERMINANTES DE 1a , 2a E a E 3 “ORDEM”
y 10
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE I x
8
71
x
Considere a equa¸ca ˜o 4 6 x 2 x
65
x
a seguir. = 12
Onde x e y s˜ ao n´ umeros reais e M ´e a x Qual dos determinantes a seguir possui O valor de x ´e matriz inversa de A. Ent˜ ao o produto xy EREM SAL − 2019 maior valor em rela¸ c a ˜ o aos outros? A 6 ´e: y B 7 A 2 9 ............... B 1 −1 A A 3/2 3 7 2 2 3 C 8 B 2/3 3 3 2 1 5 1 D 9 y C 1/2 s 1 B 1 C ....... D 0 −1 7 C 1 5 5 72 D 3/4 1 −1 0 0 0 2 E 1/4 Considere a equa¸ca ˜o a seguir. 1 −1 y 2 61 E 5 4 x −1 7 −4 x 3 = 10 Multiplicando-se a matriz 1 1 0 1 x 3 t T 66 1 −1 O valor de x ´e A= 30cm 60◦ −1 3/2 A ±3 x Calcule o determinante a seguir y B ±2 P pela matriz 1 1 C ±1 2 2 0 −1 ±5 D 3 2 1 0 , B= 1 73 2 x Considere a equa¸ca ˜o a seguir. A -3 obt´em-se a matriz y B -2 2 2 1 1 0 C -1 1 x 0 =4 I= . 0 1 D 0 1 2 1
67
Ent˜ ao o valor de x ´e: A -1 y B 0 C 2 D 3
Calcule o determinante a seguir 8 12 10 24
62 Caso exista, encontre a inversa da matriz y B=
3/5 A −1/5 y 3/5 C −2/5
2 1
1 3
−1/5 3/5 .. B 2/5 1/5 −2/5 3/5 .. D 1/5 2/5
74
A
71 x B 72 C 73 D 74 Calcule o determinante a seguir 2 1 2 1 0 1 1 1 2
63 Determine x a fim de que a matriz y 1 2 A= seja igual a sua inversa. 0 x A -1 y B 0 C 2 D 3
64 Encontre a matriz inversa de 1 1 1 2 Qual o maior elemento da matriz encontrada? A -1 B 0 C 2 D 3
y
1x 0 C -1 D -2
Considere 0 1 −1
x
x 1 0 1
´ TEOREMA DE LAPLACEE
B
x x
75
69 Calcule o determinante a 2 2 2 1 0 10 x 0 0 1
seguir
A
-2 -1 C 0 D 1 B
Considerando a matriz 1 2 x A= 0 3 1 2
2 4 0
calcule A32 . A -4 y B -3 C -2 D -1
76
70
O valor de x ´e A 5 B 6 C 7
a equa¸ca ˜o a seguir. 2 1 3 1 x 2 = 1 0 2 −1 1 2
O valor de x ´e A 3 y B 2 C 1 y D 0
10
A
Considere a equa¸ca ˜o 2 2 1 x
x
O valor de x ´e x A 3 y B 4 C 5 D 6
68 1/5 2/5 2/5 1/5
x
a seguir. = 10
Considerando a matriz 1 6 x A= 1 3 2 2
x
2 0 0
calcule A22 . A -5 B -4 C -3 D -2
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 6
y
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE I
77 Considerando a matriz BIM - I −1 2 1 A= 2 1 2
x
83 x Considerando a matriz 1 −2 0 A= 0 1 2
1 4 1
calcule A33 . A -3 y B -4 C -5 D -6
A 3 1 B 1
s
78 Considerando a matriz 6 2 2 4 A = 3 3 −1 3 0 0
x
Considerando a matriz 1 2 2 1 −1 T 2 A= 0 3 30cm 4 60◦ 0 3 2
3 3
t
79
calcule A13 . A -2 y B -1 C 0 D 1
x 2 0 0 0
10
´ PROPRIEDADES DOS E ´ DETERMINANTESE
1 1 A= 2 −1
1 0 xA = 1 x 2
85 Considerando a matriz
1 0 A= 0 0
2 4 0
calcule det(A) pelo teorema de Laplace. A -6 y B -5 C -4 D -3
81
2 −1 0 0
2 2 4 0
2 0 0 3
x de det(A) ´e o valor A -11 y B -12 C -13 D -14
2 1 1 4
x
2 2 4 −2
2 2 4 0
5 0 0 3
1 0 A= 12 x 0
2 −1 4 2
2 2 4 2
2 0 10 2
2 4 0
2
82 x
2 0 0
1 1 A= 6 2
2 −3 −3 2
91
Considerando a matriz 1 0 A= 9 x 1
1 2 4 0
o valor de det(A) ´e A -1 y B 0 C 2 D 3
86
2 −1 0 0
x
x
Considerando a matriz
o valor de det(A) ´e A 0 y B 1 C 2 calcule det(A) pelo teorema de Laplace. D 3 A 5 87 y B 4 Considerando a matriz C 3
Considerando a matriz 1 2 A= 2 3 1 1
3 1 1 5
o valor de det(A) ´e A -2 calcule det(A) pelo teorema de Laplace. y B -1 A 12 C 0 y B 13 D 1 C 14 90 D 15x Considerando a matriz y
80
D
1 −1 1 1
P
Considerando a matriz 1 2 3 4 A= 1 3 1 2 −1
Considerando a matriz 1 2 A= 0 3 1 0
1 4 3
1 0 A= 1 2
o valor de det(A) ´e A 0 EREM SAL − 2019 calcule det(A) pelo teorema de Laplace. y B 1 A -14 C 2 y B -15 D 3 C -16 89 C D -17 Considerando a matriz 84
calcule A21 . A 0 y B 1 C 2 D 3
Considerando a matriz 1 2 A= 0 3 1 2
x
2 2 0 4
o valor de det(A) ´e A 1 y B 0 calcule det(A) pelo teorema de Laplace. C -1 A -2 D -2 B -1 88 C 0 Considerando a matriz D 1
2 −1 8 0
2 2 4 0
2 −8 0 0
o valor de det(A) ´e A 6 y B 4 C 2 D 0
92 x
Considerando a matriz
x 2 2 4 4
2 3 1 5
1 0 A= 2 0
2 −1 3 0
2 2 6 0
2 0 4 3
o valor de det(A) ´e A 0 y B 1 C 2 D 3
93 x
Sendo
x
a e i m
b f j n
c g k o
d h l p
=9
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 7
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE I
y ent˜ ao
BIM - I
a e m i
b f n j
c g o k
d h p l
D E
vale A -8 y B -9 C 8 D 9
-8 nda
98 Considerando a matriz
1 2 A= 1 2
A 3
94 1 B 1 C
s
Sendo
a e i m
b f j n
c g k o
d h l p
4 =3
3 3
ent˜ ao
2a e m 3i
6b 3f 3n 9j
2c g o 3k
2d h p 3l
t
1 2 4 1
2 1 3 2
30cm P
Considerando a matriz
0 2 A= −1 2
Considerando a matriz 1 2 0 −1 A= 1 0 2 2
T
99
95
2 1 3 0
10
o valor de det(A) ´e A 7 B 6 y C 5 D 4 E nda 60◦
´ REGRA DE CHIO
1 2 4 1
x
vale A 53 y B 54 C 55 y D 56
10
3 0 1 0
2 1 1 2
2 1 3 4
1 2 4 1
o valor de det(A) ´e A -43 B -44x y C -45 x D -46 E nda
100 Considerando a matriz
o valor de det(A) ´e A 1 B 2 y C 3 D 4 E nda
2 2 A= 0 2
3 2 3 3
5 2 4 2
04. (A)33 (B)1 800 (C)10 (D)6 (E)21 (F)120x80 (G)Pedro:22, Paulo:17 (H)3 (I)12 (J)0 ou 5
03. (A)13,5 (B)3/4 (C)21 x (D)-21 (E)4 (F)1 ou 4/3 (G)2/3 EREM SAL − 2019 (H)∅ y (I)1/2 ou -3 (J)1 ou -3/2
GABARITO Q 01 02 03 04 05 06 x 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 x 24 25
G B E D E A C A C C C C A D A B C A B D A A
Q 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
G B C A D A C A A B A B E A D B C A A B E A B E A C
Q 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
G A B A C A B B A A A C A A C C A B C A B A A B C A
Q 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00
G B C A B A D A C A B A B A C B D A B B A C A B D A
2 4 3 2
96 Considerando a matriz 1 3 2 −1 A= 1 1 2 3
1 2 4 1
2 1 3 2
o valor de det(A) ´e A 4 B 3 y C 2 D 1 E nda
97 Considerando a matriz 1 0 1 −1 A= 1 1 2 3 o valor de det(A) ´e A -5 B -6 C -7
o valor x de det(A) ´e A -54 B -55 y C -56 D -57 E nda
10
1 2 −1 1
2 1 3 2
GABARITO 01. (A)-38 (B)14 (C)1 (D)14 (E)-1 x (F)-14/15 (G)5/3 (H)-15/12 (I)-17/30 (J)-623/25 (K)-79 (L)152 (M)-747/8 .
02. (A)137 200 (B)1 120 (C)23 415 (D)6 350 427 (E)774 350 (F)266 (G)204 (H)6 (I)1 (J)14 . . .
x
x
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 8
x
.... y .... 10 y
x 01
A
(SSA 2018) A fim de se preparar para uma maratona, Mary cos treinou de segunda a sexta, correndo, a cada dia, dois quilˆ ometros a mais que no dia anterior. Se, no total, ele correu 70km, quantos quilˆ ometros totalizou o treino de quinta-feira? A 10 B 14 y C 16 D 18 E 20
02 (SSA 2017) yAs medidas dos lados AB, BC e CA de um triˆ angulo ABC formam, nessa ordem, uma progress˜ ao aritm´etica.
1 2x C 3 D 4 E 5 B
05 (ENEM 2010) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de forma¸ca ˜o das xfiguras est´ a representada a seguir:
x
B
2x
x+1
x 3x C ...................... A Qual ´e a medida do per´ımetro desse triˆ angulo? A 5 B 6 y C 7 D 8 E 9 03 (SSA 2016) Brincando de construir sequˆencias num´ericas, Marta descobriu que em uma determinada progress˜ ao aritm´etica, a soma dos cinquenta primeiros termos ´e S50 = 2550. Se o primeiro termo dessa progress˜ ao ´e a1 = 2, qual o valor que ela ir´ a encontrar fazendo a soma S27 + S12 ? A 312 B 356 y C 410 D 756 E 912
.. Que express˜ ao fornece a quantidade de canudos em fun¸ca ˜o da quantidade de quadrados de cada figura? A C = 4Q B C = 3Q + 1 y C C = 4Q − 1 D C =Q+3 E C = 4Q − 2
06 (ENEM 2013) As proje¸co ˜es para a produ¸c˜ ao de arroz no per´ıodo de 2012-2021, em uma determinada regi˜ ao produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante x da produ¸ c˜ ao anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que ser´ a produzida nos primeiros anos desse per´ıodo, de acordo com essa proje¸ca ˜o.
x
04
....... total de arroz, em toneladas, que dever´ a ser x (ENEM 2018) A Transferˆencia Eletrˆ onica Dispon´ıvel (TED) A quantidade produzida no per´ ıodo de 2012 a 2021 ser´ a de ´e uma transa¸ca ˜o financeira de valores entre diferentes bancos. Um economista decide analisar os valores enviados por meio A 497,25 de TEDs entre cinco bancos (1, 2, 3, 4 e 5) durante um mˆes. B 500,85 y Para isso, ele disp˜ oe esses valores em uma matriz A = [aij ], C 502,87 em que 1 ≤ i ≤ 5 e 1 ≤ j ≤ 5, e o elemento aij corresponde D 558,75 ao total proveniente das opera¸c˜ oes feitas via TED, em milh˜ ao E 563,25 07 de real, transferidos do banco i para o banco j durante o mˆes. Observe que os elementos aij = 0, uma vez que TED ´e uma (ENEM 2012) Jogar baralho ´e uma atividade que estimula o transferˆencia entre bancos distintos. Esta ´e a matriz obtida racioc´ınio. Um jogo tradicional ´e a Paciˆencia, que utiliza 52 para essa an´ alise: cartas. Inicialmente s˜ ao formadas sete colunas com as cartas. A=
0 0 1 0 3
2 0 2 2 0
0 2 0 2 1
2 1 1 0 1
2 0 1 0 0
Com base nessas informa¸co ˜es, o banco que transferiu a maior quantia via TED ´e o banco
A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a a terceira tem trˆes cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente at´e a s´etima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que s˜ ao as cartas n˜ ao utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte ´e A 21 B 24
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 9
x
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE I
y
C 26 D 28 E 31 BIM - I
D E
08 (ENEM 2016) Com o objetivo de trabalhar a concentra¸ca ˜o e a sincronia de movimentos dos alunos de uma de suas turmas, um professor de educa¸ca ˜o f´ısica dividiu essa turma em trˆes grupos (A, B e C) e estipulou a seguinte atividade: os alunos do grupo A deveriam bater A palmas a cada 2s, os alunos do grupo B deveriam bater palmas 3a cada 3s e os alunos do grupo C deveriam bater palmas a cada 4s. O professor zeB 1 C s 1 come¸ rou o cronˆ ometro e os trˆes grupos caram a bater palmas quando ele registrou 1s. Os movimentos prosseguiram at´e o cronˆ ometro registrar 60s. Um estagi´ ario anotou no papel encia formada pelos ins4 a sequˆ 3 tantes em que os trˆes grupos bateram palmas simultaneamente. t 3 anotada? Qual ´e o termo geral da sequˆencia A 12n com um n´ umero natural, tal que 1 ≤ n ≤ 5 60◦ B 24n com um n´ umero natural, tal que 1 ≤ n ≤ 2 y C 12(n − 1) com um n´umero natural, tal que 1 ≤ n ≤ 6 umero natural, tal que 1 ≤ n ≤ 5 D 12(n − 1) + 1 com um n´ umero natural, tal que 1 ≤ n ≤ 3 E 24(n − 1) + 1 com um n´
x
538 y 699
x
10
GABARITO Q 01 EREM SAL − 2019 02 03 04 05 06 07 08 09 10
G C A E A B D B D D C
x
T
Use o gabarito apenas para verificar sua resposta, caso tenha 30cm errado, n˜ ao desanime, volte aos seus c´ alculos e procure onde P e cometeu o erro. Errar ´ vocˆ e muito importante, pois ´e atrav´es do erro que muitas vezes aprendemos.
09 (ENEM 2016) Sob orienta¸ca ˜o de um mestre de obras, Jo˜ ao e Pedro trabalharam na reforma de um edif´ıcio. Jo˜ ao efetuou reparos na parte hidr´ aulica nos andares 1,3,5,7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte el´etrica nos andares 1,4,7,10, e assim sucessivamente, de trˆes em trˆes andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no u ´ltimo andar. Na conclus˜ ao da reforma, o mestre de obras informou, em seu relat´ orio, o n´ umero de andares do edif´ıcio. Sabe-se que, ao longo da execu¸ca ˜o da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidr´ aulicas e el´etrica por Jo˜ ao e Pedro. Qual ´e o n´ umero de andares desse edif´ıcio? A 40 B 60 y C 100 D 115 E 120
x
10 O gr´ afico, obtido a partir de dados do Minist´erio do Meio Ambiente, mostra o crescimento do n´ umero de esp´ecies da fauna brasileira amea¸cadas de extin¸ca ˜o.
x
.............. Se mantida, pelos pr´ oximos anos, a tendˆencia de crescimento mostrado no gr´ afico, o n´ umero de especies amea¸cadas de extin¸ca ˜o em 2011 ser´ a igual a: A 465 B 493 C 498
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 10
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE II x
...... BIM - I
EREM SAL − 2019 A 3 1 B 1 C
s
4
3 3
t
T 60◦
30cm P
EXERC´ICIOS ⊂ BIMESTRE II SISTEMAS LINEARES GEOMETRIA ESPACIAL
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 11
ˆ ´ EREMSAL - ESCOLA DE REFERENCIA EM ENSINO MEDIO DE SALGUEIRO Exerc´ıcios de Matem´ atica
S´erie: 2o ano
DATA:
NOME: NOTA:
y
,
de 3,0 pontos.
PROFESSOR: Carmos Fernandes da Costa
y
´ CONTEUDO: Sistemas Lineares e Geometria ˜ DESCRIC ¸ AO: Lista de Exerc´ıcios Bim II
y + z = 6 2x + 2x + y − z = 4 y x 6x − 6y − 3z = 3 10 ˜ DE UM SISTEMA SOLUC ¸ AO A solu¸ca ˜o desse sistema ´e LINEAR A (2, 1, 2) y B (2, x1, 1) 01 C (1, 1, 3) Verifique qual das triplas ordenadas D (1,x 2, 1) a seguir ´e solu¸ca ˜o da equa¸ca ˜o linear 07 x + 2y + 4z = 1. Observe o sistema linear a seguir. A (0, -4, -1) y B (1, 1, 1) z = 6 2x + y + x − z = 1 C (1, 2, 3) 2z = 6 D (-1, 3, -1) A solu¸ca ˜o desse sistema ´e 02 A (3, -4, 5) Sendo x e y solu¸co ˜es do sistema linear a y B (5,x -4, 3) seguir. C (4, -5, 3) 3x + 2y = 14 D (3, -5, 4) 2x + y = 8
10
Sobre os valores das tarifas, analise as afirma¸co ˜es abaixo: I. O valor da tarifa do mirante T corresponde ao dobro do valor da tarifa do mirante P . II. O valor da tarifa do mirante S corresponde a trˆes quartos do valor da tarifa do mirante T . III. O valor da tarifa do mirante P corresponde a 40% do valor da tarifa do x mirante S. Est´ a CORRETO o que se afirma em A II B II e III y C III D I e II E I e III
´ SISTEMAS LINEARESE
10
08
Qual o valor de x · y? A 2 y B 4 C 8 D 10
03 Observe o sistema linear z x + 2y + 2x + y − z 3x − y − 2z
a seguir. = 9 = 3 = −4
/ /2020 No :
(SSA) Um dos componentes para o c´ alculo da posi¸ca ˜o de uma sele¸ca ˜o de futebol no ranking da Fifa ´e a importˆ ancia dos jogos disputados nos u ´ltimos quatro anos. A pontua¸ca ˜o varia de acordo com trˆes tipos de jogo: x 1: jogos amistosos; • Tipo • Tipo 2: torneios continentais ou Copa das Confedera¸co ˜es; • Tipo 3: Copa do Mundo. O quadro seguinte mostra o n´ umero de jogos realizados por trˆes sele¸co ˜es de futebol nos u ´ltimos quatro anos, por tipo de competi¸ca ˜o e o total de pontos obtidos.
(SSA) Trˆes sat´elites, Alfa, Beta e Gama, x percorrem a mesma o ´rbita circular, no sentido hor´ ario, em torno do planeta Dur˜ ao, conforme mostra a figura a seguir:
............. Para Alfa chegar a ` posi¸ca ˜o de Gama, percorre 231 UE (Unidades Espaciais). Para Beta chegar a ` posi¸ca ˜o de Alfa, percorre 242 UE, e para Gama chegar a ` Sele. T. 1 T. 2 T. 3 T. Pts. posi¸ca ˜o de Beta, percorre 281 UE. Alfa 22 3 3 43 Nessas condi¸co ˜es, quanto mede o com04 Beta 12 5 4 43 primento total da o ´rbita? x Gama 10 6 6 52 Observe o sistema linear a seguir. A 377 UE z = 6 x + 2y + De acordo com esses dados, quantos B 473 UE y − z = −1 pontos vale um jogo na Copa das Confe- y C 512 UE 3z = 6 dera¸co ˜es? D 523 UE Considerando esse sistema, o valor de A 1,0 pontos. E 754 UE x · y · z ´e y B 2,5 pontos. 10 ˜ DE SISTEMAS A 1 CLASSIFICAC ¸ AO y C 3,0 pontos. y B 2 LINEARES D 3,5 pontos. C 3 E 4,0 pontos. 11 D 4 09 Observe 05 x o sistema linear a seguir. (SSA) Para subir nos mirantes P , S e T −2x + 2y + z = 9 x Observe o sistema linear a seguir. da torre de TV de uma cidade, a Pre2x + y − z = 3 z = 2 −2x + 2y + feitura cobra valores diferenciados aos 6x − 6y − 3z = −4 2x + y − z = 1 visitantes em fun¸c˜ ao da altura dos mi- A respeito desse sistema, assin´ a-le a al 6y − 3z = 0 rantes. ternativa correta. A solu¸ca ˜o desse sistema ´e O quadro a seguir mostra o n´ umero de A Esse sistema ´e poss´ıvel e determinado. A (2, 1, 2) visitantes de cada mirante e o valor ar- B Esse sistema ´e poss´ıvel mas indetermiy B (2, 1, 1) recadado em um final de semana. y C nado. C (1, 1, 3) Esse sistema ´e imposs´ıvel. D (1, 1, 2) D Esse sistema ´e imposs´ıvel e determiDIA P S T R$ 06 nado. SEX 80 40 60 2 440,00 .... 12 x SAB 60 40 50 2 080,00 Observe o sistema linear a seguir. DOM 80 30 60 2 290,00 Observe o sistema linear a seguir. Qual das triplas ordenadas a seguir ´e solu¸ca ˜o desse sistema? A (2, 1, 3) y B (3, 2, 1) C (1, 2, 3) D (1, 3, 2)
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 12
x
x x
x
y
y z = 9 −2x + 2y + 2x + y − z = 3 x − 5y − 3z = −4 BIM - I Esse sistema ´e classificado como y A Sistema poss´ıvel e determinado. B Sistema poss´ ıvel e indeterminado. C Sistema imposs´ıvel.
D E
Observe o sistema linear a seguir. A z = 9 3 2x + 2y − 4x + 4y − 2z = 18 x − 5y − 3z = −4 s 1 B 1 Esse sistema ´e classificado como y A Sistema poss´ıvel e determinado. B Sistema poss´ ıvel e indeterminado. 4 3 C Sistema imposs´ıvel. 3
t
Observe o sistema linear a seguir. 9 −5x + 5y + 5z = 2x + y − z = 3 5x − 5y − 5z = −4 Esse sistema ´e classificado como y A Sistema poss´ıvel e determinado. B Sistema poss´ ıvel e indeterminado. C Sistema imposs´ıvel.
15 Observe o sistema linear a seguir. 9 5x + 5y + 5z = 2x + y − z = 3 3x − 5y − 2z = −4 Esse sistema ´e classificado como y A Sistema poss´ıvel e determinado. B Sistema poss´ ıvel e indeterminado. C Sistema imposs´ıvel.
16
x
20 nda
8cm
19
13
14
12cm x Observe o sistema a seguir. 2x + 2y − z = 9 2 A 45cm 4x + 4y + z = 10 y B 46cm2 4x + my − z = 2 2 C 47cm EREM SAL − 2019 Qual deve ser o valor de m para que o D 48cm2 x seja poss´ıvel e determinado? sistema 26 A m 6= −4 Determine a raz˜ ao entre a a ´rea sombreB m 6= 4 Cy C m 6= −5 ada eya ´rea total da D m 6= 5 figura a seguir. E m 6= 0
20 Observe o sistema a seguir. T 2x + 2y − 2z = 1 x bx + 60y◦ + 30cm z = 0 4x + y − z = 2 P Qual deve ser o valor de b para que o y sistema seja poss´ıvel e indeterminado? A 1 B 2 y C 3 D 4 y E nda
x
10 y 10
B
C D E
a 6= −1 a 6= 6 a 6= −6 nda
x
3cm
x ............ A 6 B 4,5 C 10,5 D 0,5
x
2cm
3cm
2cm x
27 Determine a a ´rea da regi˜ ao sombreada na figura.
x
´ GEOMETRIAE x
´ AREAS DE FIGURAS PLANAS
x x
21
Qual ´e a a ´rea de um retˆ angulo cuja base mede 8cm e a altura 3, 5cm? A 26cm2 y B 27cm2 A 70cm2 2 y x C B 71cm2 28cm de D 29cm2 C 72cm2 D 73cm2 22
(FGV) Dado o sistema linear equa¸co ˜es, nas inc´ ognitas x, y e z: 3y − z = 9 x + 2x − y + z = −4 Um terreno retangular tem 15 m de −x + 11y − 5z = m frente por 31,2 m de fundo (lateral). podemos afirmar corretamente que o sisQual ´e a ´erea desse terreno? tema ´e: A 400cm2 A imposs´ıvel para m = 10 y B 406cm2 B poss´ ıvel, qualquer que seja m. C 468cm2 y C indeterminado para m 6= 35. D 470cm2 D determinado para m = 35. 23 E imposs´ıvel, qualquer que seja m. Calcule aa ´rea de um retˆ angulo cuja base 17 medex 5cm a mais que a altura, sabendo Observe o sistema a seguir. que o retˆ angulo tem 38cm de per´ımetro ax + 3y = 9 A 64cm2 2x − y = −4 y B 84cm2 Qual deve ser o valor de a para que o C 94cm2 y sistema seja poss´ıvel e determinado? D 104cm2 A a 6= 1
y
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE II
24
Uma placa de alum´ınio tem a forma de um paralelogramo cujas medidas da base e da altura s˜ ao, respectivamente, 1, 2m e 0, 85m. Calcule a a ´rea da superf´ıcie 18 dessaxplaca. Observe o sistema a seguir. A 1, 02cm2 2x + 2y = 9 y B 10, 2cm2 4x + 4y = n 2 Qual deve ser o valor de n para que o C 1020cm 2 D 10200cm sistema seja poss´ıvel e indeterminado? 25 A 10 B 14 Determine a a ´rea da regi˜ ao sombreada C 18 da figura a seguir:
28 x Com seis retˆ angulos idˆenticos formamos um retˆ angulo maior, com um dos lados medindo 21cm, como na
x
gura.
x ............ Qual ´e a a ´rea do retˆ angulo maior? A 588cm2 B 558cm2 C 120cm2 D 126cm2
29 x No retˆ angulo da figura temos CD = 6cm e BC = 4cm. O ponto E ´e o ponto m´edio do lado AB.
............ x Qual ´e a a ´rea da regi˜ ao sombreada? A 12cm2
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 13
x
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE II
y
y
15cm2 C 18cm2 D 20cm BIM -2I B
30
√ 96 2 96√ 96 3
POL´IGONOS REGULARES E 4 3 C´IRCULOS 31
3
t
Determine a a ´rea, em cm2 , da regi˜ ao sombreada a seguir. 10cm
Calcule a medida do lado e do ap´ otema do quadrado inscrito numa circunferˆencia de raio 40cm. √ √ A l = 40 2 e a = 20 2 √ √ B l = 41 2 e a = 21 2 √ y C l = 20 2 e a = 40√2 √ √ D l = 21 2 e a = 41 2 √ √ E l=4 2 e a=2 2
x Determine aa ´rea da superf´ıcie cinza.
............. A 20π B 25π C 50π D 75π E 100π T
10
(Fuvest piscinas do Cenx 2014)60◦Uma das30cm tro de Pr´ aticas Esportivas da USP tem P agonos regulares o formato de trˆes hex´ congruentes, justapostos, de modo que cada par de hex´ agonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distˆ ancia entre lados paralelos de cada hex´ agono ´e de 25 metros.
x
´ PRISMAS E
(UCSal-BA) No prisma reto de base triy angular, da figura, todas as arestas medem 2 m.
x x
x
........................ O volume desse prisma, em metros c´ ubicos, ´e: √ A2 2 √ B 2 3 y C 4 √ D 4 2 √ E 4 3
x
34 x
42 A diagonal de um cubo mede 16cm. Determine a a ´rea total desse cubo em cm2 . A 512 B 256 C 500 D 250 E 236
43
x
x
(UF-AM) Deseja-se produzir 1000 caixas de papel˜ ao (com tampa), na forma de um paralelep´ıpedo retˆ angulo, conforme mostra a figura.
x
y
10cm
........... O per´ımetro do pol´ıgono AQCEF , em dm, ´e igual a √ A 4+ 2 √ B 4+ 3 35 y C 6 √ x Determine a a ´rea do hex´ agono a seguir, D 4 + 5 √ em cm2 . E 2(2 + 2)
............. √ A 96 7 B 93
x
41
............. Assinale a alternativa que mais se aproxima da a ´rea, em m2 , da piscina. A 1600 33 B 1800 x Calcule a medida do lado e do ap´ otema y C 2000 do hex´ agono regular inscrito numa cirD 2200 y cunferˆencia de raio 12cm. √ E 2400 A l = 12 e a = 12 3 √ 38 B l = 6 e a = 6 3 y C l = 12 e a = 6√3 (FGV) Na figura, ABCDEF ´e um √ D l = 6 e a = 12 3 hex´ a gono regular de lado 1dm, e Q ´e √ E l = 11 e a = 7 3 o centro da circunferˆencia inscrita a ele. Determine o ap´ otema do pol´ıgono (hept´ agono) inscrito em uma moeda antiga de 25 centavos, sabendo que o seu diˆ ametro ´e aproximadamente 24 mm e o lado do pol´ıgono inscrito ´e 10 mm. √ A √19mm B 11mm y C √119mm √ D √110mm E 120mm
6cm
........... A 114 B 36 y C 150 √ D 36 3 − 150π y E 150√3 − 36π
32 Calcule a medida do lado e do ap´ otema do triˆ angulo equil´ atero inscrito numa circunferˆencia de raio 16cm. √ A l=8 3 e a=8 √ B l = 16 3 e a = 8 √ y C l = 3 e a = 16 √ D l = 8 3 e a = 16 √ E l = 16 3 e a = 16
x
x EREM SAL − 2019
37 x
x
y
40
36
Parte do telhado de uma casa tem a forma de um trap´ezio. Calcule a a ´rea dessa parte do telhado sabendo que as bases medem 15m e 8m e a altura mede 3m. A 3 A 34, 0cm2 y B 34, 5cm2 s 1 B 1 C C 35, 0cm2 2 D 35, 5cm y
y 10
C D E
25cm
x
12cm
Sabendo que o metro quadrado de papel˜ ao custa R$10,00, o custo do papel˜ ao usado para construir essas caixas ´e de: A R$ 1 340 000,00 39 B R$ 134 000,00 x 13 400,00 Aa ´rea de um hex´ agono regular de lado l C R$ y D R$ 1 340,00 ´e igual a: √ √ √ B 3 3l2 A 2 3l2 E R$ 10 000,00 C 6 3l2 . 3√ 2 2√ 2 44 D E 3l 3l 2 3 (UF-RS) Na figura abaixo, encontra-se representada a planifica¸ca ˜o de um s´ olido
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 14
x
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE II
y
de base quadrangular cujas medidas est˜ ao indicadas. BIM - I
10
6 6
6
10
6
6 6
10
A 10
3
s
1 B 1 C
47
mesmos formato e volume, de tal modo x dimens˜oes de sua base sejam 25% (Enem-MEC) Alguns objetos, durante a que as sua fabrica¸ca ˜o, necessitam passar por um maiores que as da lata atual. Para obter a altura da nova lata, a altura yprocesso de resfriamento. Para que isso ocorra, uma f´ abrica utiliza um tanque de da lata atual deve ser reduzida em: A 14,4% resfriamento, como mostrado na figura. B 20,0% y SAL EREM − 2019 C 32,0% D 36,0% 5cm 25cm E 64,0%
50 y
30cm x
40 cm
O volume desse s´ olido ´e: A 144 B 180 y C 216 D 288 E 360
51
x
Determine oy volume da pirˆ amide de base quadrada e altura 21 a seguir.
x
O maior valor poss´ıvel para x, em cent´ımetros, para que a caixa permane¸ca dentro dos padr˜ oes permitidos pela Anac ´e: A 25 B 33 C 42 y D 45 E 49
x
(UF-AM) De uma folha de alum´ınio retangular de 80 cm de largura e 10 m de comprimento, deseja-se construir uma calha conforme o projeto a seguir: x
... 4 O que aconteceria com o n´ıvel da a ´gua 3 de coloc´ a ssemos no tanque um objeto t 3 cujo volume fosse de 2T400 cm3 ? 80 cm A O n´ıvel subiria 0,2 cm, ´gua 30cmfazendo a a 60◦ ficar com 20,2 cm de altura. P B O n´ ıvel subiria 1 cm, fazendo a a ´gua 45 10 m ficar com 21 cm de altura. x (Enem-MEC) Conforme regulamento C O n´ıvel subiria 2 cm, fazendo a a ´gua da Agˆencia Nacional de Avia¸ca ˜o Cificar com 22 cm de altura. vil (Anac), o passageiro que embarcar D O n´ıvel subiria 8 cm, fazendo a a ´gua em voo dom´estico poder´ a transportar y transbordar. bagagem de m˜ ao, contudo a soma das E O n´ıvel subiria 20 cm, fazendo a a ´gua 10m x x dimens˜ oes da bagagem (altura + compritransbordar. mento + largura) n˜ ao pode ser superior 48 Sabendo que as paredes s˜ ao perpendicua 115 cm. (Enem-MEC) Um fazendeiro tem um laresxao fundo da calha, qual o valor de x A figura mostra a planifica¸ca ˜o de uma dep´ osito para armazenar leite formado para que o volume da calha seja o maior caixa que tem a forma de um paralepor duas partes c´ ubicas que se comuni- poss´ıvel? lep´ıpedo retˆ angulo. cam, como indicado na figura. A aresta A 15 cm y da parte c´ ubica de baixo tem medida B 18 cm 24cm igual ao dobro da medida da aresta da y C 19 cm parte c´ ubica de cima. A torneira utili- D 20 cm y zada para encher o dep´ osito tem vaz˜ ao y E 25 cm constante e levou 8 minutos para encher 90cm 10 ˆ PIRAMIDES metade da parte de baixo.
x
x x
21
............... x Quantos minutos essa torneira levar´ a para encher completamente o restante y do dep´ osito? A 8 B 10 46 y C 16 (UF-RS) Os v´ertices do hex´ agono som- D 18x breado, na figura abaixo, s˜ ao pontos E 24 m´edios das arestas de um cubo. 49
............... A 650 B 700 C 750 D 800 E 850
(Enem-MEC) Uma lata de tinta, com a y forma de um paralelep´ıpedo retangular reto, tem as dimens˜ oes, em cent´ımetros, mostradas na figura.
40 24 24 ............... x os Ser´ a produzida uma nova lata, com
10
x
52 y a pirˆ Considere amide de base quadrada e ap´ otema igual a 10cm a seguir. 10cm
y
x ............... Se o volume do cubo ´e 216, o per´ımetro do hex´ agono ´e: √ A 3 2 √ B 6 2 √ C 9 2 √ D 12 2 √ E 18 2
x
x
x ............... 12cm Aa ´rea total dessa pirˆ amide ´e: A 344 B 354 C 364 D 374 E 384
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 15
x
y
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE II
√ 72 √ 3 x√ 3 (INTEGRADO RJ) Uma pirˆ amide est´ a B 108 y BIM -num I y inscrita cubo, como mostra a figura C 72√7 D 36 6 abaixo. √ E 36 7
53
x
62
A
Um reservat´ orio em formato cil´ındrico possui raio igual a 2 metros e sua altura ´e de 10 metros. Qual ´e o volume desse reservat´ orio? 57 Obs.: Considere π = 3, 14 x 6m3 (SSA) Uma pirˆ amide quadrangular re- A 15, √ EREM SAL − 2019 3 B ....................... 115, 6m gular tem volume V = 36 7 cent´ımetros x y C Sabendo-se que o volume da pirˆ a mide ´ e 100, 6m3 c´ ubicos. Se a aresta da base mede 6cm, A 3 3 de 6m , ent˜ ao, o volume do cubo, 3 em qual ´e o valor aproximado de sua a ´rea D 75, 6m 3 3 E m , ´e igual a: 125, 6m3 total em cm √? s 1 B 1 C Considere A 9 2 = 1, 4 63 B 12 A 105 Determine aa ´rea lateral em cm2 de um y C 15 B 135 cilindro reto de altura 18, 5cm e diˆ ametro y C 137 D 18 4 da base 17cm. 3 E 21 D 208 A 314, 0π t 3 T E 214 54 B 314, 5π A grande pirˆ amide de Qu´eops, antiga constru¸ca ˜o localizada no Egito, ´e uma pirˆ amide regular cuja base ´e um quadrado de lado 36m. Sabendo que a altura dessa pirˆ amide ´e de 137m, ent˜ ao o seu volume em m3 ´e de: A 59 184 B 53 088 y C 26 544 D 79 432 E nda
58y x
60◦
y
30cm
Determine o volumeP do tronco de pirˆ amide a seguir de bases quadradas e altura 8cm:
5cm
10 6cm
´ CILINDROS E 61
Num cilindro reto, o raio da base mede 4cm e a altura 6cm, ent˜ ao a a ´rea total x desse cilindro em cm2 ´e A 77π B 78π C 79π D 80π
x
314, 7π x 8π 314, nda
64
Um cilindro equil´ atero tem volume 54πcm3 . A a ´rea total desse cilindro, em cm2 , ´e: A 9π B 27π y C 36π x D 54π E 81π
12cm ........ 1832 A x3 (Pucsp) Um imperador de uma anB 1832 tiga civiliza¸ca ˜o mandou construir uma 8 pirˆ amide que seria usada como seu C 3 y t´ umulo. As caracter´ısticas dessa D 1800 pirˆ amide s˜ ao: 1832 E I - Sua base ´e um quadrado com 100m 5 de lado. 59 II - Sua altura ´e de 100m. Um tronco de pirˆ amide quadrangular rePara construir cada parte da pirˆ amide gular tem a ´reas das bases iguais a 100cm2 3 equivalente a 1000m , os escravos, utilie 64cm2 . Se o ap´ otema do tronco mede y zados como m˜ ao-de-obra, gastavam, em 6cm, qual ´e a a ´rea total do tronco em m´edia, 54 dias. Mantida essa m´edia, o cm2 ? tempo necess´ ario para a constru¸ca ˜o da A 320 pirˆ amide, medido em anos de 360 dias, B 340 foi de y C 360 A 40 anos. D 380 B 50 anos. E 400 y C 60 anos. 60 D 90 anos. E 150 anos. Uma pirˆ amide regular tem 10m de altura. Sua base ´e um hex´ agono com 3m 56 de lado. O volume dessa pirˆ amide, em 3 x (SSA) Quanto mede o volume, em cm , metros c´ u bicos, ´ e √ da pirˆ amide regular de base quadrada 27 3 y ca cuja planifica¸ ˜o est´ a representada na A 2 √ figura a seguir? B 27 3 √ y C 45 3 √ D 90 3 9cm 9cm y E 135√3 55
C D E
x
x
65 Um caminh˜ ao pipa carrega 9, 42mil liros d’´ agua. Para se encher uma cisterna cil´ındrica com 2m de diˆ ametros e 3m de altura s˜ ao necess´ arios, no m´ınimo: A 10 caminh˜ oes. B 100 caminh˜ oes. C 1x caminh˜ ao. D 2 caminh˜ oes. E 4 caminh˜ oes. Obs.: Um m3 equivale a 1000l e use π = 3, 14.
x
66 (SSA-UPE) Em junho, foi anunciado o lan¸camento do menor computador de alta performance, que pode ser carregado com uma s´ o m˜ ao. Ele tem a inusitada forma de um cilindro, com 16cm de y x e 25cm diˆ ametro de altura, como mostra a figura a seguir:
16cm
25cm
x .................. Ele ´e xrevestido externamente com uma pintura em tom conhecido como sleek x ou verde lustroso. green Qual a medida da a ´rea, em cm2 , pintada desse computador? Obs.: Use π = 3 A 384 B 1 200 C 1 392
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x
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE II
y
y D E
e em seguida despeja dentro do maior.
1 584 1 968
10cm
67 BIM - I x
(Pucsp) O retˆ angulo ABCD seguinte, representado num sistema de coordey nadas cartesianas ortogonais, ´e tal que A = (2; 8), B = (4; 8), C = (4; 0) e D = (2; 0).
y
A
B
75
5cm 18cm 9cm
EREM SAL − 2019
3
fig 1
1 B 1 C
fig 2
3cm
68 Um cilindro possui volume igual a 7850cm3 e seu diˆ ametro mede 10 cent´ımetros. Qual ´e a medida da altura desse cilindro? Considere π = 3, 14. A 50cm y B 100cm C 120cm y D 150cm E 200cm
x
72
10cm x
70 Rafaela pretende encher um recipiente na forma de cilindro reto, representado na f ig1 a seguir. Para isso ela utilizar´ a outro recipiente, tamb´em com formato cil´ındrico, representado pela f ig2. Ela enche completamente o recipiente menor
x .................. Os valores da a ´rea total e do volume desse cone s˜ ao respectivamente: Obs.: Use π = 3, 14. A 113,04 e 50,24 B 500,24 e 100, 04 C 200,24 e 50,24 D 113,04 e 100,24 E NDA 76 Calcule a a ´rea total de um cone circular reto cujo raio da circunferˆencia da sua x base mede 4cm e sua geratriz 5cm. x A 34π B 35π C 36π D 37π E 38π
A 10cm
y x
A figura a seguir representa a planifica¸ca ˜o de um cilindro.
........... O volume e a a ´rea total, respectivamente, desse cilindro s˜ ao: A 960cm3 e 368cm2 B 950cm3 e 368cm2 C 960cm3 e 168cm2 y D 950cm3 e 168cm2 E NDA
5
O triˆ angulo ABC sofre uma rota¸ca ˜o sobre o eixo y s da figura. Determine o volume do s´ olido gerado.
4cm .................. Obs.: Use π = 3. √ A 5 5 √ B 4 5 √ C 2 3 √ D 3 5 √ E 3
y
15cm
3
x
77
x
Considere o cone a seguir:
16πcm
x
x
..... Qual a quantidade m´ınima de vezes que ela repetir´ a esse processo at´e que o recipiente maior fique completamente cheio? 4 3 A 7 t 3 y B 8 T y C 9 x x D C 30cm 60◦ ........... D 10 Girando-se esse retˆ angulo em torno do y E P NDA eixo das ordenadas, obt´em-se um s´ olido 10 ´ CONES E de revolu¸ca ˜o cujo volume ´e A 24π 71 B 32π 3 Determine o volume, y em cm , do cone a C 36π y D 48π seguir. y E 96π
69
y
Considere o cone a seguir:
A
s
x
25πcm2 C 22πcm2 D 26πcm2 E 27πcm2 B
y
16cm .................. Os valores da a ´rea total e do volume desse cone s˜ ao respectivamente: Obs.: Use π = 3. A 384cm2 e 432cm3 B 432cm2 e 384cm3 y C 423cm2 e 348cm3 xD 348cm2 e 423cm3 E 332cm2 e 384cm3
........x s √ A 5 5π √ B 5π y C 2√3π √ D 3 5π √ E 3π1 fig
3 1 B 15cm C 18cm
x 9cm
fig 2
78
(SSA) Ao projetar o silo para armazenamento de cereais em uma ind´ ustria, um engenheiro apresentou a figura a seguir. Na representa¸ca ˜o desse silo, y M N QP ´e um√quadrado de lado 4 e N R = M R = 2 10.
Q
P
N
M
73 Determine a a ´rea total, em cm2 , de um cone cujo raio da base mede 12cm e a altura mede 9cm. A 320π B 321π y C 322π D 323π E 324π x
x
R
74 Determine a ´ area total de um cone reto de raio da base medindo 3cm e altura medindo 4cm. A 24πcm2
x
........x x Quanto mede o volume do silo projetado? A 24π B 16π
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x
y
y
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE II
A y
3
C 12π D 8π E 6π BIM - I
1 B 1 C
s
79
85
Ao girarmos o trap´ezio abaixo pelo eixo y um s´olido de revolu¸ca˜o. t, determinamos Determine seu volume. A
4 .................. A 36π B 37π y C 38π D 39π E 40π
y
3
3 3
1 B 1 C
s
t
x 4
3 3
t
80 Calcule a a ´rea total e o volume de um y cone circular reto cujo comprimento da circunferˆencia da sua base mede 8πcm e sua geratriz 5cm. A 34π e 16π B 35π e 15π y C 36π e 16π D 37π e 14π y E 38π e 13π
10
´ ESFERAS E
y
81 Determine a a ´rea da superf´ıcie, em cm2 , de uma esfera de raio igual a 2cm. A 16π B 17π y C 18π D 19π E 20π
82 Determine o volume, em cm3 , de uma esfera cujo raio mede 2cm. 32π A 3 B 32 C 64π y 65π D 3 E 65
83
y
y 10
´ GEOMETRIA ESPACIAL E E x RELAC ˜ ¸ AO DE EULER
Duas esferas de chumbo, uma de 3cm e outra de 6cm de raio, fundem-se e for91 mam outra esfera. Calcule o raio aproxi´ correto a afirma¸ca madox dessa nova esfera. (Funesp-SP) E ˜o: A Se dois planos forem perpendiculares, A 6, 3cm B 7, 3cm todo plano perpendicular a um deles EREM SAL − 2019 ser´ a paralelo ao outro. C 8, 3cm B Se dois planos forem perpendiculares, D 9, 3cm toda reta paralela a um deles ser´ a perE 10, 3cm pendicular ao outro. 86 C Duas retas paralelas a um plano s˜ ao x Duas esferas met´ alicas maci¸cas, uma com paralelas. raio igual a 4cm e a outra com raio de D Se duas retas forem ortogonais rever8cm, s˜ ao fundidas e moldadas em forma sas, toda ortogonal a uma delas ser´ a de um cilindro circular reto com altura paralela a ` outra. igual a 12cm. Determine, em cm, o raio y E Se duas retas forem ortogonais, toda T do cilindro. paralela a uma delas ser´ a ortogonal ou A 5 30cm 60◦ perpendicular a ` outra. B 6 92 x P C 7 (UF-MT) Sobre geometria espacial de D 8 posi¸ c a ˜ o, assinale a afirmativa correta. E 9 A Se dois planos s˜ ao paralelos a uma 87 reta, ent˜ ao eles s˜ ao paralelos entre si. x pontos no espa¸co determinam Calcule o volume, em cm3 , de uma esfera B Quatro 2 quatro planos. de 100πcm de a ´rea. Use π = 3, 14. C Trˆ es planos distintos podem se cortar, A 520,3 dois a dois, segundo trˆes retas duas a B 523,3 duas paralelas. C 525,3 D A interse¸ ca ˜o de dois planos secantes D 528,3 y pode ser um u ´nico ponto. 531,3 E x E Duas retas reversas determinam um 88 x plano. x Considere uma laranja como uma es93 fera composta de 12 gomos exatamente ao retas distintas tais iguais. Se a laranja tem 8cm de diˆ ametro, (Mack-SP) r, s e t s˜ que s ⊥ r e t ⊥ r. Relativamente a `s retas qual ´e o volume aproximado de cada s e t, ´e correto afirmar que: gomo? A Elas podem ser unicamente paralelas A 17cm3 ou concorrentes. 3 B 18cm B Elas podem ser unicamente paralelas 3 C 20cm ou reversas. x D 22cm3 C Elas podem ser unicamente concorrenE 24cm3 ou reversas. y D tes Elas podem ser paralelas, concorrentes 89 ou reversas. x (UFPE) Derretendo uma pe¸ca maci¸ca de E Elas podem ser unicamente reversas. ouro de forma esf´erica, quantas pe¸cas da 94 mesma forma se pode confeccionar com Se F ´e o n´ umero de faces, V ´e o n´ umero este ouro, se o raio das novas pe¸cas ´e de v´ e rtices e A o n´ u mero de arestas de um ter¸co do raio da anterior? Admita um paralelep´ ıpedo retˆ a ngulo, ent˜ a o a que n˜ ao houve perda de ouro durante o soma F + V + A ´ e igual a: x derretimento. A 20 A 3 B 22 B 9 y C 24 C 18 D 26 D 21 E 28 E 27
Uma esfera est´ a inscrita num cubo cuja aresta mede 20cm. Calcule a a ´rea, em cm2 , da superf´ıcie esf´erica. y A 400π B 410π y C 405π D 420π 90 E 450π (UNITAU) Aumentando em 10% o raio 84 de uma esfera a sua superf´ıcie aumentar´ a: x Tomando o raio da Terra 6400km, cal- A 21% B 11% cule a a ´rea do Globo terrestre, em km2 . A 5, 10 × 108 C 31% 8 B 5, 14 × 10 D 24% C 5, 41 × 108 E 30% D 5, 01 × 108 E 4, 15 × 108
x
x x
x
x
x
95
(Unifesp-SP) Considere o poliedro cujos x v´ertices s˜ ao os pontos m´edios das arestas de um cubo.y
x .................. O n´ umero de faces triangulares e o n´ umero de faces quadrangulares desse poliedro s˜ ao, respectivamente: A 8 e 8
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 18
x
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE II
10
8e6 C 6 e 8 D 8BIM e 4- I E 6 e 6 B
y
96 (UF-AM) O n´ umero de faces de um poliedro convexo de 22 arestas ´e igual ao n´ umero de v´ertices. Ent˜ ao o n´ umero de faces do poliedro ´e: A 3 A 6 B 8 s 1 B 1 C y C 10 D 11 E 12
97
4
3
(Cefet-SP) Um poliedro convexo3 tem t 14 arestas e 6 faces. O n´ umero de v´ertices desse poliedro ´e: A 22 B 18 y C 10 D 8 E 6
98 Um poliedro convexo tem 20 v´ertices e 30 arestas. Lembre-se: V + F = 2 + A Este poliedro ´e um: A icosaedro (20 faces). B cubo (6 faces). y C dodecaedro (12 faces). D octaedro (8 faces). E tetraedro (4 faces).
99 Uma caixa no formato de um poliedro precisa ser refor¸cada com 3 parafusos em cada v´ertice, um revestimento de metal nas suas 7 faces e uma aplica¸ca ˜o de uma cola especial em todas as 15 arestas. A quantidade necess´ aria de parafusos ser´ a igual a A 72. B 66. y C 24. D 30. E 10.
x
GABARITO Q 01 02 03 x 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 x 15 16 17 18 19 20 21 22 23 x 24 25
G D C D D D B C C A A C A B C A A D C B E C C B D D
Q 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 60◦ 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
G D C A C B A B C C E B A B D E B A C A E E C B D D
Q 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 T 65 30cm 66 67 P 68 69 70 71 72 73 74 75
G B E D A B E C A D D D E B D C D E B A B B B E C A
Q 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
x G C B A B C SAL − 2019 EREM A A A B A D B D E A A C B D B E C C D A
Use o gabarito apenas para verificar sua resposta, caso tenha errado, n˜ ao desanime, volte aos seus c´ alculos e procure onde vocˆe cometeu o erro. Errar ´e muito importante, pois ´e atrav´es do erro que muitas vezes aprendemos.
x
100 (UF-PI) Um poliedro convexo, constitu´ıdo de faces triangulares e quadrangulares, possui 20 arestas, e a soma dos ´ a ˆngulos de suas faces ´e igual a 2880o . E correto afirmar que esse poliedro possui: A 8 faces triangulares. B 12 v´ ertices. C 10 faces. D 8 faces quadrangulares. E 12 faces quadrangulares.
x
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´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE III x
...... BIM - I
EREM SAL − 2019 A 3 1 B 1 C
s
4
3 3
t
T 60◦
30cm P
EXERC´ICIOS ⊂ BIMESTRE III ´ ´ LISE COMBINATORIA ANA PROBABILIDADES ˆ BINOMIO DE NEWTON
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 20
ˆ ´ EREMSAL - ESCOLA DE REFERENCIA EM ENSINO MEDIO DE SALGUEIRO Exerc´ıcios de Matem´ atica NOME: y y 10
S´erie: 2o ano
DATA:
/ /2020 No :
´ y de 3,0 pontos. CONTEUDO: Combinat´oria, Probabilidade e B. de Newton ˜ PROFESSOR: Carmos Fernandes da Costa DESCRIC ¸ AO: Lista de Exerc´ıcios Bim III NOTA:
,
05
soma-se os dois n´ umeros da face virada para cima. Quantas dessas somas resulx Quantos n´ umeros de 3 algarismos, no x tam em um n´ umero par? 10 ´ sistema decimal, podemos formar utiliPRINCIPIO FUNDAMENTAL y zando apenas os algarismos 0, 2, 3 ou 4? A 36 DA CONTAGEM B 26 A 24 y C 18 B 48 x 01 D 15 y C 64 y x E nda Mariazinha possui 3 pares de sapatos, 4 D 12 cal¸cas e 5 blusas. De quantas maneiras E nda 10 ˜ PERMUTAC ¸ AO diferentes ela pode se vestir utilizando 06 um par de sapatos, uma cal¸ca e uma 11 x (UFAL) Quantos n´ umeros pares de quablusa? tro algarismos distintos podem ser for- De quantos modos diferentes 6 pessoas A 12 mados com os elementos do conjunto podem ser colocadas em fila? B 23 A 700 A = {0, 1, 2, 3, 4}? y C 60 B 120 A 60 D 80 y C 620 B 48 E 120 D 600 y C 36 02 E 720 D 24 x Uma lanchonete disp˜ oe de 4 sabores de E 18 12 sucos, 5 tipos de salgados e 7 tipos de 07 Quantos anagramas distintos podemos doces. Maria ir´ a pedir um suco, um formar x utilizando as letras da palavra salgado e um doce, qual a quantidade de Maria teve 4 filhos. Cada um de seus fi- PERNAMBUCO? lhos lhe deu 5 netos. Cada um de seus maneiras que ela pode fazer esse pedido? netos lhe deu 4 bisnetos e cada um de A 10! A 16 seus bisnetos tiveram 2 filhos. B 27 10! B Quantos s˜ ao os descendentes de Maria? y C 140 2! A 15 D 120 C 9! B 40 E 560 y C 160 03 y D 9! D 264 2! x Uma garota possui 3 pares de sapatos, E 265 5 blusas e 4 cal¸cas. Qual a quantidade E nda 08 de maneiras que ela pode se vestir uti13 x opolis, Gar¸ca e Guaimbˆe, lizando um sapato, uma blusa e uma Sejam Lucian´ trˆes cidades do Estado de S˜ ao Paulo. (FGV) De quantas formas podemos percal¸ca? Se existissem 3 estradas ligando Lu- mutar as letras da palavra ELOGIAR de A 40 cian´ opolis-Gar¸ca, 5 ligando Gar¸ca- modo que as letras A e R fiquem juntas B 50 Guaimbˆe e 3 ligando Lucian´ opolis- em qualquer ordem? y C 60 Guaimbˆ e , de quantas maneiras distin- A 360 D 70 tas uma pessoa poderia viajar de Lu- B 720 E 80 y C 1080 cian´ opolis a Guaimbˆe? 04 A 12 D 1440 Considere a bandeira do Canad´ a a se- B 14x E 1800 y C 16 guir. 14 D 18 Quantos anagramas da palavra ESCOLA E 21 come¸cam com consoante e termina com 09 vogal? x Ao abrir uma conta de banco, Jos´e teve A 72 que cadastrar uma senha formada por B 48 ............. 4 s´ımbolos: duas vogais distintas e dois y C 720 Utilizando pelo menos duas das cores algarismos, tamb´em distintos, escolhidos D 216 Azul, Vermelha, Amarela, Branca e dentre os algarismos de 0 a 9. E nda Verde, quantas pinturas diferentes po- O n´ umero total de senhas v´ alidas que 15 demos realizar sabendo que cada regi˜ ao Jos´e pode formar ´e Jo˜ ao e Maria s˜ ao casados e participar˜ ao deve ser pintada com apenas uma cor e A 28 de um encontro de casais. Ao chegarem regi˜ oes adjacentes devem ter cores dife- B 30 l´ a se depararam com uma brincadeira rentes? y C 1800 onde deveriam formar uma fila indiana A 320 D 2250 juntamente com mais 4 casais. B 310 E 2500 De quantas maneiras pode ser formado C 300 10 essa fila de forma que Jo˜ ao e Maria perD 180 xcam sempre juntos? Lan¸ca-se dois dados de seis faces e depois mane¸ E 170
´ ´ ANALISE COMBINATORIA
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A
3 628 800 B 362 880 y C 40 BIM320 -I D 725 760 E nda
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Quantos n´ umeros de 7 d´ıgitos, maiores Umaxfam´ılia ´e composta por seis pessoas: que 6 000 000, podem ser formados o pai, a m˜ ae e quatro filhos. Num resusando apenas os algarismos 1, 3, 6, 6, taurante, essa fam´ılia vai ocupar uma 6, 8, 8? mesa redonda. Em quantas disposi¸co ˜es 16 A 100 diferentes essas pessoas podem se sentar x em torno da mesa de modo que o pai e a Quantos anagramas podemos formar B 200 EREM SAL − 2019 y m˜ ae fiquem juntos? C 300 com as letras de palavra ARAGUAIA? A D 400 40 A 1780 A y E 500 B 48 3 B 1700 y C 50 y C 1680 10 ˜ CIRCULAR PERMUTAC ¸ AO 1 B 1 C D 52 s D 1600 E 54 x E nda 21
17
Considere um conjunto de 7 pessoas. De x modos diferentes podemos coquantos 3 Quantos anagramas da palavra PIPOCA loc´ a -las em um c´ırculo considerando apresentam as duas letras P juntas? t 3 T apenas as suas posi¸co ˜es? A 540 A 100 30cm 60◦ B 360 B 120 y C 120 P y C 700 D 100 y D 720 E nda E 800 18 4
A figura a seguir representa o mapa de uma cidade, na qual h´ a 6 avenidas na dire¸ca ˜o norte-sul e 6 avenidas na dire¸ca ˜o leste-oeste.
22 x
De quantas maneiras oito pessoas podem se organizar em uma roda para fazer uma ora¸ca ˜o? A 5 040 B 5 000 y C 4 000 D 3 040 y E 3 000
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x
27 x De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar uma roda de ciranda de ˜ modo que pessoas de mesmo sexo NAO fiquem juntas? A 2 880 B 2 770 C 2 660 D 2 550 E 2 440
x
28 x De quantos modos 5 mulheres e 6 homens podem formar uma roda de ciranda de modo que as mulheres permane¸cam juntas? A 89 400 B 88 400 C 87 400 D 86 400 E 85 400 x
Um Ourives ir´ a fixar uma esmeralda, um 29 diamante, um rubi, uma turmalina, uma jade e uma aquamarine sobre uma pul- De quantas maneiras 6 pessoas podem seira que s´ o ser´ a utilizada em um sentido. sentar-se em torno de uma mesa circular Qual a quantidade diferente de maneiras de 6 lugares de modo que duas delas que esse Ourives pode colocar essas pe- fiquem sempre juntas, em qualquer ordem? dras? A 48 A 120 Quantos s˜ ao os trajetos de comprimento B 122 B 46 m´ınimo ligando o ponto A ao ponto B? y C 124 y C 44 A 924 D 42 D 126 B 914 E NDA E 128 y C 252 30 24 D 250 x De quantos modos sete crian¸cas podem (CESPE Adaptada) Uma mesa circular E 242 ao, Matem seus 6 lugares que ser˜ ao ocupados brincar de roda, de modo que Jo˜ 19 pelos 6 participantes de uma reuni˜ ao. ria e Paulo, trˆes dessas crian¸cas, fiquem x As linhas na malha quadriculada abaixo Nessa situa¸ca ˜o, o n´ umero de formas dife- sempre juntas? representa poss´ıveis caminhos para ir do rentes para se ocupar esses lugares com A 12 ponto A ao ponto B. B 24 os participantes da reuni˜ ao ´e igual a y C 114 A 100 D 124 B 110 y C 120 y E 144 D 200 10 ´ ARRANJOSE E 240 ......... Considerando os caminhos de compri˜ pasmento m´ınimo, quantos deles NAO sam pelo ponto C? A 26 B 25 C 24 D 23 E NDA
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Dois meninos e trˆes meninas formar˜ ao uma roda dando-se as m˜ aos. De quantos modos diferentes poder˜ ao formar a roda de modo que os dois meninos n˜ ao fiquem juntos? A 10 B 11 C 12 D 20 E 24
x Considere o conjunto A = {a, b, c, d, e, f, g}. Quantos arranjos podemos formar com exatamente 3 elementos de A? A 210 B 208 C 206 D 204 E NDA
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tem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Elas 46 v˜ a o sendo retiradas uma ap´ o s a outra at´ e x De um grupo de 10 pessoas s˜ ao escolhiDe quantas maneiras podemos escalar a umero de pos- um time de futebol de sal˜ I das BIM 3 e -formado uma fila indiana. Qual a 6 bola. Determine o n´ ao, dispondo a quantidade de filas diferentes podem sibilidades existentes num sorteio cujo de 8 jogadores? prˆemio ´e formado por uma sequˆencia de A 55 ser formadas? 6 algarismos. B 56 A 700 A 151 000 y C 57 B 720 EREM SAL − 2019 B 151 100 y C 5 040 D 58 y C 151 050 D 6 E nda A D 151 200 E nda 3 47 E nda 33 Quantos s˜ ao os subconjuntos de quatro 40 x s 1 B 1 C A partir das quatro pessoas A, B, C e D elementos do conjunto A={1, 2, 3, 4, 6, ao Ax,2 = 42, encon- 7, 8}.x determinar quantas s˜ ao as poss´ıveis filas Resolvendo a equa¸c˜ tramos: A 34 de trˆes pessoas. A 7 4 B 35 A 20 3 B 6 y C 36 B 21 t 3 y C 5 T y C 23 D 37 D 4 D 24 E nda 30cm 60◦ y E 3 E nda
34
Ot´ avio, Jo˜ ao, M´ ario, Lu´ıs, Pedro, Roberto e F´ abio est˜ ao apostando corrida. Quantos s˜ ao os agrupamentos poss´ıveis para os trˆes primeiros colocados? A 200 y B 205 y C 210 D 215 E nda
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y
y
y
P
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˜ COMBINAC ¸ AO 41
x
Determine o valor correto de C10,2 . A 41 B 42 C 43 D 44 E 45
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Dado oito pontos distintos. Quantos segmentos de retas podem x formar? A 20 x B 22 y C 24 D 26 E 28
x
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Uma sala de aula ´e composta por 20 estudantes. No final do ano ser´ a sorteado 35 Considere as letras A, B, C, D, E e F. 5 prˆexmios iguais. Ser´ a escrito o nome Quantos x grupos diferentes podemos for- de cada estudante em um papel e coloCalcule A6,4 + 2 · A5,3 . mar utilizando trˆes dessas letras? A 400 cado em um urna, depois ser´ a retirado A 5 B 450 os cinco nomes de uma s´ o vez. Qual a B 10 quantidade de maneiras poss´ıveis de sair C 460 y C 15 os sorteados? D 480 D 20 Obs.: A ordem n˜ ao importa. E 490 E nda A 15 004 36 43 x B 15 504 Quantos anagramas de 2 letras diferentes y C 16x 006 Uma escola possui 15 professores. Ser´ a podemos formar com um alfabeto de 23 formada uma comiss˜ ao para discutir a D 16 504 letras? realiza¸ca ˜o dos jogos escolares. Qual a E nda A 500 50 quantidade de comiss˜ oes poss´ıveis saB 502 bendo que ser´ a escolhido 6 professores? Uma classe tem 10 alunas e 5 alunos. C 503 A 5005 Formam-se comiss˜ oes de 4 alunas e 2 D 505 B 5006 alunos. Determine o n´ umero poss´ıvel de E 506 y C 5007 comiss˜ oes que se pode formar. 37 D 5008 A 2 100 x (ITA) Quantos n´ umeros de trˆes algaris- E nda B 2 150 mos distintos podemos formar emprey C 2 200 44 gando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9? Considere 5 pontos distintos n˜ ao coline- D 2x250 A 60 ares, ou seja, n˜ ao alinhados. Quantos y E nda B 120 triˆ angulos diferentes podemos formar10 ˜ COMBINAC ¸ OES COMPLETAS C 240 utilizando esses pontos? D 40 A 20 51 E 80 B 14 Quantas s˜ ao as solu¸co ˜es inteiras e n˜ ao 38 y C 12 negativas da equa¸ca ˜o a + b + c + d = 8? x (Ufba) Com os d´ıgitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, D 10 A 165 podem-se formar x n´ umeros ´ımpares, E nda B 160 com trˆes algarismos distintos cada um. y C 155 45 Determine x. x Em um campeonato de dois turnos, em D 150 A 40 E NDA que devem jogar 12 equipes de futebol, B 50 qual o n´ umero total de jogos a serem 52 C 60 realizados? D 70 (PIC) Quantas s˜ ao as solu¸co ˜es inteiras A 66 E NDA n˜ ao negativas de x + y + z + w = 6? B 100 A 82 39 C 132 B 83 x Em uma urna de sorteio de prˆemios exis- D 264
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se que a ordem em que as bolinhas s˜ ao D 25% colocadas no saquinho ´e irrelevante? E nda A 60 65 B 21 53 Um grupo de 25 estudante organizaram y C 12 x uma rifa, na qual o prˆemio era um comQuantas s˜ ao as solu¸co ˜es inteiras e n˜ ao D 7 putador. Eles imprimiram 2000 bilhetes, negativas da equa¸c˜ ao x + y + z + w = 3? E NDA A 20 por´em conseguiram vender 1500. O que EREM SAL − 2019 60 B 18 restou eles deveriam comprar dividindo x y C 16 entre eles. Se Jo˜ ao ´e um dos (PIC) Uma professora tem 3 bolas de igualmente A 3 gude para distribuir para 5 meninos (di- organizadores da rifa, qual a probabiliD 14 gamos, Alfredo, Bernardo, Carlos, Diogo dade dele ganhar? E 12 s 1 B 1 C e Eduardo). De quantos modos ela pode A 4% 54 B 3% fazerxessa distribui¸ca ˜o: Qual a quantidade de solu¸co ˜es inteiras a) Supondo que ela dˆe as bolas para 3 y C 2% n˜ ao negativas da equa¸ca ˜o a + b + c = 4? alunos distintos? D 1% 4 3 A 15 b) Supondo que os contemplados possam E nda B 12 t 3 T ganhar mais de uma bola? (Por exemplo, 66 y C 10 Carlos pode receber todas as bolas). ◦ 30cm 60 Maria e Clara est˜ ao brincando cartas de D 9 As respostas corretas de a) e b) s˜ ao resbaralho, da seguinte forma: Uma delas E 8 P pectivamente retira uma carta sem olhar, em seguida 55 A 10 e 35 a outra retira outra carta, vence a que x e 25 Quantas s˜ ao as solu¸c˜ oes inteiras e positi- B 10 retirar o maior n´ umero. Sabendo que y C 35 e 35 vas da equa¸ca ˜o x + y + z = 10? Maria retirou um oito, qual a probabiliD 25 e 35 A 26 dade de Clara pelo menos empatar com y E NDA B 36 ela? Considere que as “figuras” valem 10. y C 46 10 ´ A 20/52 PROBABILIDADEE D 56 B 20/51 y x E 66 10 y ESPAC ¸ O AMOSTRAL 19/52 C 84 D 85 E NDA BIM - I
56
(PIC) De quantos modos podem ser pintados 9 objetos iguais usando 3 cores diferentes? A 55 B 65 y C 75 D 95 E NDA
61
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C D E
E PROBABILIDADE
Dois dados de seis faces numeradas de 1 a 6, ser˜ ao lan¸cados e os n´ umeros que ficarem nas faces superiores ser˜ ao somados. Determine o n´ umero de elementos do espa¸co amostral desse procedimento. A 36 y B 26 57 y C 18 x De quantas maneiras ´e poss´ıvel colocar 6 D 12 an´eis diferentes em 4 dedos? E 9 A 84 62 B 120 Considerando a quest˜ ao anterior, qual a y C 720 probabilidade da soma obtida ser um D 60 720 m´ u ltiplo de 3? E 60 480 A 1/3 58 B 1/4 x (PIC) Uma sorveteria vende 6 sabores y C 3/4 de sorvete. De quantas formas podemos D 1/5 comprar uma ta¸ca de sorvete com duas E NDA bolas, considerando que a ordem em que 63 as bolas s˜ ao posicionadas na ta¸ca n˜ ao ´e Dois dados normais s˜ ao jogados simulimportante? taneamente. Calcule a probabilidade de A 21 obter 9 como soma dos resultados dos B 20 y dois dados. y C 16 A 1/8 D 15 B 1/9 E NDA y C 1/12 59 D 1/18 x (PIC) Uma loja possui duas caixas, cada E 1/36 uma com um grande n´ umero de boli64 nhas. Uma caixa tem somente bolinhas Em uma urna h´ a 4 bolas brancas, duas azuis e a outra tem somente bolinhas azuis e 4 vermelhas. Retirando uma ao verdes, sendo que as bolinhas de uma acaso, qual a probabilidade dela ser azul? mesma caixa s˜ ao todas idˆenticas. Queremos comprar 6 bolinhas para montar A 10% um saquinho de presentes. De quantas B 15% maneiras isso pode ser feito, observando- C 20%
19/51 nda
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67 x Um dado e uma moeda s˜ ao lan¸cados. Qual a probabilidade de sair um n´ umero par e cara? A 0% B 10% C 50% D 25% E nda
x
68 Uma cidade tem 30 000 habitantes e trˆes x jornais A, B e C. Uma pesquisa de opini˜ oes revela que: • 12 000 leem A; • 8 000 leem B; • 7 000 leem A e B; • 6 000 leem C; • 4 500 leem A e C; • 1 000 leem B e C; • 500 leem A, B e C. Qual a probabilidade de que um habitantexleia pelo menos um jornal? A 7/15 B 8/15 C 7/8 D 3/7 E NDA
x
69 Uma caixa cont´em 20 pe¸cas em boas condi¸co ˜es e 15 em m´ as condi¸co ˜es. Uma amostra de 10 pe¸cas ´e extra´ıda. Que x ao permite o calculo da probaexpress˜ bilidade de que ao menos uma pe¸ca na amostra seja defeituosa. 35 20 C10 − C10 A 35 C10
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y 25 20 C10 − C10 35 C10 35 20 BIM -− I C10 C10 C 20 C10 15 20 C − C10 10 y D 35 C10
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´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE III
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ˆ BINOMIO DE NEWTON
x Joguei um dado duas vezes. Calcule a ´ probabilidade condicional de obter 3 na10 NUMEROS BINOMIAIS primeira jogada, sabendo que a soma dos 81 resultados foi 7. A 1/6 Determine umero binomial o valor do n´ 5 B 1/5 =− 2019 . E NDA EREMN SAL y C 1/4 2 70 1/3 D A A 10 x Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 s˜ ao escritos3 em E NDA B 12 5 cart˜ oes diferentes. Estes cart˜ oes s˜ ao esy C 14 76 s 1 B 1 C colhidos (sem reposi¸ca ˜o) aleatoriamente x De um baralho de 52 cartas, s˜ ao retiradas D 16 e os algarismos que v˜ ao aparecendo s˜ ao 3 cartas sem reposi¸ca ˜o. Qual a proba- E 18 escritos da esquerda para a direita, forbilidade das duas ultimas cartas sejam 82 mando um n´ umero de cinco algarismos. 4 vermelhas, sabendo que a primeira foi n+2 3 Qual a probabilidade de que o n´ umero = 10 ´e verdadeira A senten¸ c a preta? n t 3 escrito seja par? T A 13/51 se, e somete se n! for A 40% B 12/51 30cm 60◦ A 3 B 30% y C 11/51 B 6 y C 20% P y C 18 D 10/51 D 10% E NDA D 720 E NDA E 6 ou 720 y 77
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PROBABILIDADE CONDICIONAL
De um baralho de 52 cartas, extrai-se duas ao acaso. Defina os eventos C = “carta ´e de copas” exR = “carta ´e um 71 Escolhe-se ao acaso um n´ umero entre 1 rei”. x e 50. Se o n´ umero ´e primo, qual ´e a Qual a probabilidade de ocorrer C na segunda extra¸ca ˜o sabendo que R ocorreu probabilidade de que seja ´ımpar? y na primeira extra¸ ca ˜o? A 1/15 A 13/51 B 2/15 B 12/51 y C 14/15 y C 9/17 D 7/15 D 7/17 E NDA E NDA
x
x x
x
83 x Seja n um umero natural, n´ tal que 10 10 11 + = , ent˜ ao 4 n+1 4 A n=5 B n = 4 C n=3 D n=2 E n=1
x
84
Os valores de xque satisfazem a igual12 12 dade = s˜ ao 78 x 3x − 1 x+1 Considere uma urna contendo trˆes bolas x Uma comiss˜ a o de trˆ e s pessoas ´ e formada, A 1 ou 4 pretas e cinco bolas vermelhas. Retire onio, B 1 ou 3 duas bolas da urna, sem reposi¸ca ˜o. Qual escolhendo-se ao acaso entre Antˆ y a probabilidade da segunda bola retirada Benedito, C´esar, Denise e Elisabete. Se C 3 ou 4 Denise n˜ a o pertence a ` comiss˜ a o, qual a D 2 ou 3 ser preta sabendo que a primeira foi verprobabilidade de C´esar pertencer? E 1 ou 5 melha? A 1/4 85 A 3/7 B 2/3 n! B 2/7 y C 3/4 Sabendo que = 3, calcule o vay C 4/7 (n − 1)! D 4/5 n+1 D 1/7 lor de . E NDA 2 E NDA 79 A 6 73 B 7x Seja um lote formado de 20 lˆ a mpadas x Se dois dados (um vermelho e o outro y ao defeituosas. Esco- C 8 verde) s˜ ao lan¸cados, qual a probabilidade defeituosas e 80 n˜ D 9 lhemos ao acaso duas pe¸cas. da soma ser 8 sabendo que o dado verde E NDA Qual a probabilidade de ambas serem saiu 3? defeituosas? 86 A 1/2 A 210/990 9 B 1/3 O valor de · (−1)3 ´e B 200/990 y C 1/4 2 y C 320/990 A -36 D 1/5 D 380/990 B 36 E 1/6 E NDA y C 14 74 80 x D -14 Uma moeda honesta ´e lan¸cada 2 vezes ao E NDA x acaso. Qual a probabilidade condicional Uma urna cont´em 10 bolas brancas, 5 bo87 las amarelas e 10 bolas pretas. Uma bola de ambos os resultados serem caras dado 9 que o primeiro lan¸camento resultou em ´e escolhida ao acaso da urna e verifica-se A express˜ ao ·(−3x)3 ´e equivalente que n˜ ao ´e preta, qual a probabilidade de 2 cara? a: ser amarela? A 1/6 A 972x3 A 1/3 B 1/5 B −972x3 B 1/4 C 1/4 C 36x3 C 1/5 D 1/3 D −36x3 D 1/6 E 1/2 E NDA E 1/7
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´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE III x
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x x GABARITO Colocando os termos do desenvolvimento10 6 da express˜ ao binomial (3x+2) em ordem Q G Q G Q G Q G decrescente com rela¸c˜ ao aos expoentes 01 C 26 B 51 A 76 A de x, determine o valor do coeficiente 02 C 27 A 52 C 77 E 4 03 C 28 D 53 A 78 C Qual o valor dessa express˜ ao quando que acompanha x . 04 − 2019 A 29 A 54 A 79 D x = 4? A 4860 EREM SAL 05 B 30 E 55 B 80 A A 23040 B 4820 A B 3072 06 A 31 A 56 A 81 A y C 4682 3 y C -19968 07 D 32 B 57 E 82 B D 81 D -3072 08 D 33 D 58 A 83 D E NDA s 1 B 1 C E NDA 09 C 34 C 59 D 84 B 95 10 C 35 D 60 A 85 A 89 x O termo de x no desenvol11 E 36 E 61 A 86 A x independente Determine o valor da express˜ ao: 8 4 vimento de (2x + 3) ´e 12 A 37 B 62 A 87 B 3 A 13 D 38 A 63 B 88 C 6000 9 5 7 3 12t T + + − 14 D 39 D 64 C 89 A B 6502 6 3 6 8 30cm 60◦ 15 D 40 A 65 D 90 A y C 6561 A -394 16 C 41 E 66 D 91 C D 6564 P B 394 17 C 42 D 67 D 92 A E NDA y C 84 18 C 43 A 68 A 93 C D -84 96 19 A 44 D 69 A 94 A E NDA x A soma dos coeficientes de todos os ter20 C 45 C 70 A 95 C 10 90 mos do desenvolvimento de (x − 2y) ´e 21 D 46 B 71 C 96 B (UECE) Observe a express˜ ao a seguir: igualxa 22 A 47 B 72 A 97 A √ √ √ √ A 0 23 A 48 E 73 E 98 A ( 5 + 3)3 · ( 5 − 3)3 B 1 24 C 49 B 74 E 99 B 25 C 50 A 75 A 100 C y C 19 Ent˜ ao o valor do n´ umero binomial n D -1 Use o gabarito apenas para verifi´e 3 E -19 car sua resposta, caso tenha errado, A 56 97 n˜ao desanime, volte aos seus c´ alculos e B 54 3 x procure onde vocˆ e cometeu o erro. ErDetermine o valor do coeficiente de x y C 53 5 rar ´ e muito importante, pois ´ e atrav´ es no desenvolvimento de (x + 2) . D 52 do erro que muitas vezes aprendemos. A 40 E 51 y B 60 10 ˆ TRIANGULO DE PASCAL E y C 70 ˆ TERMO GERAL DO BINOMIO D 80 x 91 E NDA o x 98 Determine o valor do 4 elemento da linha 6 do Triˆ angulo de Pascal. x Determine o coeficiente de x4 no desenA 32 8 volvimento de (2 − x) . B 16 A 1120 y C 10 B 1130 D 8 y C 1140 E NDA D 1000 92 E NDA o o x Determine a soma do 2 e do 6 termo 99 da linha 8 do Triˆ angulo Aritm´etico. x Determine o coeficiente do termo a6 no A 64 6 B 62 desenvolvimento de (a − 2) . y C 60 A 0 D 58 B 1 E NDA y C 2 93 D 3 Considere a express˜ ao binomial a seguir. E 4x Considere a express˜ ao BIM - I x 10 · (2x)3 · (−2x)3 + 2 8
(a + 1)4 Determine o valor da soma de todos os coeficientes do desenvolvimento dessa express˜ ao. A 12 B 14 C 16 D 18 E NDA
100 (FGV) O termo independente de x no 12 1 desenvolvimento de x + 3 ´e: x A 26 B 169 C 220 D 280 E 310
x
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x
.... y .... 10 y
y
x 01 (ENEM 2018) Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimens˜ ao n × n, com n ≥ 2, no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma pe¸ca sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma pe¸ca ´e posicionada, a regi˜ ao formada pelas casas que est˜ao na mesma linha ou coluna dessa pe¸ca ´e chamada de zona de combate dessa pe¸ca. Na figura est´ a ilustrada a zona de combate de uma pe¸ca colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimens˜ ao 8 × 8.
03 x (ENEM/2009/PROVA ANULADA) Dados do Instituto de Pesquisas Econˆomicas Aplicadas (IPEA) revelaram que no biˆenio 2004/2005, nas rodovias federais, os atropelamentos com morte ocuparam o segundo lugar no ranking de mortalidade por acidente. A cada 34 atropelamentos, ocorreram 10 mortes. Cerca de 4 mil atropelamentos/ano, um a cada duas horas, aproximadamente.
x
Dispon´ ıvel em: http://www.ipea.gov.br. Acesso em: 6 jan. 2009.
De acordo com os dados, se for escolhido aleatoriamente para investiga¸c˜ao mais detalhada um dos atropelamentos ocorridos no biˆenio 2004/2005, a probabilidade de ter sido um atropelamento sem morte ´e: A 2/17 B 5/17 y C 2/5 D 3/5 E 12/17 04 (ENEM/2018) O Sal˜ao do Autom´ovel de S˜ao Paulo ´e um evento no qual v´arios fabricantes exp˜oem seus modelos mais recentes de ve´ıculos, mostrando, principalmente, suas inova¸c˜oes em design e tecnologia.
x
Dispon´ ıvel em: http://g1.globo.com. Acesso em: 4 fev. 2015 (adaptado).
..... O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda pe¸ca aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de 1 combate da primeira, seja inferior a . 5 A dimens˜ ao m´ınima que o designer deve adotar para esse tabuleiro ´e A 4×4 B 6×6 y C 9×9 D 10 × 10 E 11 × 11 02 (ENEM/2009/PROVA ANULADA) Um casal decidiu que vai ter 3 filhos. Contudo, quer exatamente 2 filhos homens e decidiu que, se a probabilidade fosse inferior a 50%, iria, y procurar um cl´ınica para fazer um tratamento espec´ıfico para garantir que teria os dois filhos homens. Ap´os os c´ alculos, o casal concluiu que a probabilidade de ter exatamente 2 filhos homens ´e A 66,7%, assim ele n˜ ao precisar´ a fazer um tratamento. B 50%, assim ele n˜ ao precisar´ a fazer um tratamento. C 7,5%, assim ele n˜ ao precisar´ a fazer um tratamento. D 25%, assim ele precisar´ a procurar uma cl´ınica para fazer um tratamento. E 37,5%, assim ele precisar´ a procurar uma cl´ınica para fazer um tratamento.
Uma montadora pretende participar desse evento com dois estandes, um na entrada e outro na regi˜ao central do sal˜ao, expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma caminhonete. Para compor os estandes, foram disponibilizados pela montadora quatro carros compactos, de modelos distintos, e seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhidos aqueles que ser˜ao expostos. A posi¸c˜ao dos carros dentro de cada estande ´e irrelevante. Uma express˜ao que fornece a quantidade de maneiras diferentes que os estandes podem ser compostos ´e A A4 10 B
4 C10
C
C x42 × C62 × 2 × 2
D
A24 × A26 × 2 × 2
C42 × C62 05
E
(ENEM 2017) Um morador de uma regi˜ao metropolitana tem 50% de probabilidade de atrasar-se para o trabalho quando chove na regi˜ao; caso n˜ao chova, sua probabilidade de atraso ´e de 25%. Para um determinado dia, o servi¸co de meteorologia estima em 30% a probabilidade da ocorrˆencia de chuva nessa regi˜ao. Qual ´e a probabilidade de esse morador se atrasar para
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´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE III
o servi¸co no dia para o qual foi dada a estimativa de chuva? comiss˜ao, qual a probabilidade de Bete pertencer a ela? A 0,075 A 1/2 BIM - I B 0,150 B 1/3 y C 0,325 y C 6/5 D 0,600 D 3/20 E 0,800 E 3/10 06 09 EREM SAL − 2019 x 2018) A turma de espanhol de uma escola ´e com(ENEM 2017) Como n˜ ao s˜ ao adeptos da pr´ atica de es- (SSA A
portes, um grupo de amigos resolveu fazer um torneio de 3 futebol utilizando videogame. Decidiram que cada jogaB 1 dos C dor joga uma u ´nica vez com cada outros jogadores. s 1 um O campe˜ ao ser´ a aquele que conseguir o maior n´ umero de pontos. Observaram que o n´ umero de partidas jogadas depende do n´ umero de jogadores, como mostra o quadro: 4 3
3
t 60◦
.. Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas ser˜ao realizadas? A 64 B 56 y C 49 D 36 E 28 07 (ENEM 2017) Um brinquedo infantil caminh˜ ao-cegonha ´e formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.
No setor de produ¸c˜ ao da empresa que fabrica esse brinquedo, ´e feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. S˜ ao utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho ´e pintado apenas com uma cor. O caminh˜ ao-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminh˜ ao-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores dispon´ıveis. Mudan¸ca de posi¸c˜ ao dos carrinhos no caminh˜ ao-cegonha n˜ ao gera um novo modelo do brinquedo. Com base nessas informa¸c˜ oes, quantos s˜ ao os modelos distintos do brinquedo caminh˜ ao-cegonha que essa empresa poder´ a produzir? A C6,4 B C9,3 y C C10,4 D 64 E 46 08 (SSA 2019) Nos jogos internos da Escola do Futuro, a comiss˜ ao de avalia¸c˜ ao das competi¸c˜ oes de gin´ astica ser´a formada por trˆes professores, dentre os seis que comp˜oem a equipe de educadores f´ısicos da escola: Rui, Ana, Bete, Carol, Paulo e Tito. Sabendo-se que Tito n˜ ao pertence `a
x
x
posta por 20 estudantes. Ser˜ao formados grupos de trˆes estudantes para uma apresenta¸c˜ao cultural. De quantas maneiras se podem formar esses grupos, sabendo-se que dois dos estudantes n˜ao podem pertencer a um mesmo grupo? A 6 840 B 6 732 y CT 4 896 D 1 836 30cm E 1 122 P 10 (SSA 2017) Nos jogos escolares do sert˜ao, dez equipes disputam um campeonato de queimado. Cada equipe enfrenta as demais uma u ´nica vez. Quantos jogos comp˜ oem esse campeonato de queimado? A 10 B 20 C 45 D 50 y E 100 x 10
GABARITO Q 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
G D E E C C E B E E C
x
Use o gabarito apenas para verificar sua resposta, caso tenha errado, n˜ao desanime, volte aos seus c´alculos e procure onde vocˆe cometeu o erro. Errar ´e muito importante, pois ´e atrav´es do erro que muitas vezes aprendemos.
x
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´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV x
...... BIM - I
EREM SAL − 2019 A 3 1 B 1 C
s
4
3 3
t
T 60◦
30cm P
EXERC´ICIOS ⊂ BIMESTRE IV TRIGONOMETRIA NO C´IRCULO
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1
1
B ˆ C ´ EREMSAL - ESCOLA DEs REFERENCIA EM ENSINO MEDIO DE SALGUEIRO S´erie: 2o ano
Exerc´ıcios de Matem´ atica
DATA:
/ /2020 No :
NOME: y
NOTA:
y
y 4 PROFESSOR: Carmos Fernandes da Costa 3
10
,
ˆ ARCOS E ANGULOS
de 3,0 pontos.
06
3
´ CONTEUDO: Trigonometria no C´ırculo ˜ y DESCRIC ¸ AO: Lista de Exerc´ıcios Bim IV
t
T x x Calcule o comprimento de um arco Os aˆngulos 30o , 15o e 120o s˜ ao, res- AB d xdefinido em uma circunferˆencia 30cm 60◦ pectivamente, equivalentes a: de raio 8cm por um ˆangulo central π π 2π b de 120o . A AOB , e 6 12 3 P 16π π π 2π A B cm , e ... 3 3 6 3 x Sendo π = 3, 14, a medida aproxi13π π π 2π B cm C , e mada do raio dessa circunferˆencia ´e 3 6 3 3 A 28,7 cm. π π π 2π cm C B 27,7 cm. D , e 3 4 3 3 26,7 cm. C y 15π y D 25,7 cm. π π 2π D cm E , e 2 y 2 3 5 E 24,7 cm. 15π E cm 02 7 10 Os ˆ angulos 210o , 270o e 300o s˜ ao, res- 07 x Um autom´ovel percorre 157 metros pectivamente, equivalentes a: O ponteiro dos minutos de um rel´ogio em xuma pista circular descrevendo π π 2π A , e SAL − 2019 72◦ . Determine o raio da tem comprimento de 12cm. Qual ´e um arco deEREM 6 3 5 curva . Use π = 3, 14. a distˆ a ncia que a ponta do ponteiro π π 2π B , e percorre em um intervalo de 15 minu- A 120 m. 3 6 A 3 B 124 m. tos? π 2π 2π 3 y C 125 m. Use π = 3, 2. C , e 3 3 5 A 20, 4cm D 126 m. 3π 2π 2π B 20, 2cm E 127 m. D , e 1 B 1 C 4 3 3 s C 8, 2cm 10 ˆ y y CIRCUNFERENCIA y D 6, 4cm 7π 3π 5π E , e ´ TRIGONOMETRICA E N da 6 2 3 01
03
08 π π π x Os ˆ angulos , e s˜ ao expressos Considere o arco de circunferˆencia a 3 2 4 y 4 em graus, respectivamente, por: 3 seguir. A 60o , 90o e 45o o o o B 45 , 60 3e 90 t T o o o C 30 , 60 e 90 o o o y D 50 , 60 e 70 o o o π/4 18cm E 45 , 50 e 90
11 No c´ xırculo trigonom´etrico a seguir os pontos A, B e C est˜ao em posi¸c˜ ao sim´etricas em rela¸c˜ao ao ponto representado por 45◦ e os quadrantes dos eixos coordenados XY . y A
45◦
04
P π 3π 3π x Os aˆngulos , e s˜ ao expressos 5 5 4 ... em graus, respectivamente, por: x Sendo π = 3, 1, a medida aproximada o o o A 32 , 120 e 160 do raio dessa circunferˆencia ´e o o o B 36 , 108 e 135 A 20,2 cm. o o o y C 34 , 70 e 90 B 22,2 cm. o o o D 80 , 100 e 120 C 23,2 cm. o o o E 70 , 80 e 85 y D 24,2 cm. 05 E 25,2 cm. x Uma semicircunferˆencia tem comprimento 188, 4m. Quanto mede seu raio? Use π = 3, 14. A 30m B 35m C 45m D 55m E 60m
09 Considere o arco de circunferˆencia a seguir.
x
Ox
B
C
.... As medidas, no sentido anti-hor´ ario, d OB d e OC d s˜ao respectidos arcos OA, vamente: A 90 x◦ , 180◦ e 360◦ . ◦ ◦ ◦ B 80 , 135 e 270 . ◦ ◦ ◦ C 135 , 225 e 315 . ◦ ◦ ◦ D 125 , 145 e 325 . ◦ ◦ ◦ E 170 , 210 e 310 .
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x
y
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV
y
12 Observe o c´ırculo trigonom´etrico a seBIM - I guir. y
x
130◦
20 A
Qual a medida do arco menor formado pelos ponteiros de um rel´ogio as 14 horas?
π . 2 A 36◦ EREM SAL − x O π 2019 B . 3 A 3 π . C B C y x 6 O s 1 B 1 C π . D .... 8 Sendo assim, as medidas (no sentido B C 10 RAZOES ˜ ´ TRIGONOMETRICAS d OB d e OC d 4 anti-hor´ ario) dos arcos OA, 3 s˜ ao respectivamente: NO C´IRCULO .... t 3 ◦ ◦ ◦ T A 30 , 230 e 330 Nesse c´ırculo est´ a representado os Use a circunferˆencia trigonom´etrica a ◦ ◦ ◦ ◦ pontos sim´etricos ao arco de 36◦ em B 30 , 180 60e 300 30cm seguir como apoio para resolver as ◦ ◦ ◦ rela¸ca˜o aos quadrantes dos eixos co- y C 50 , 230 e 310 P quest˜oes 21, 22, ... ◦ ◦ ◦ D 50 , 180 e 300 y ordenados XY . ◦ ◦ ◦ Sen Sendo assim, as medidas (no sentido E 50 , 230 e 330 d OB d e OC d 15 anti-hor´ ario) dos arcos OA, x s˜ ao respectivamente: Os arcos de medidas 85◦ , 120◦ e 350◦ A 36◦ , 126◦ e 306◦ . est˜ ao situados, respectivamente, nos ◦ ◦ ◦ B 126 , 216 e 306 . quadrantes: Cos ◦ ◦ ◦ x A 1, 2 e 3. C 135 , 225 e 315 . y D 144◦ , 216◦ e 324◦ . B 2, 3 e 1. y ◦ ◦ ◦ E 54 , 126 e 306 . C 4, 1 e 2. y D 1, 2 e 4. 13 16 ..... x Considere que os pontos A, B e C Em que quadrante est´a situado o arco 21 x da figura a seguir est˜ ao nas mesmas de medida 1630◦ ? Qual o valor de Sen150◦ ? o condi¸c˜ oes da quest˜ ao anterior. A 1 . A -1. y y B 2o . B -1/2. C 3o . y C 0. D 4o . D 1/2. 17 E 1. π A Em que quadrante est´a situado o arco 22 x 9 26π Qual √ o valor de sin660◦ ? ? de medida x 10 O A − 3/2. A 1o . B C B −1/2. o B y √ 2 . y C − 2/2. C 3o . D 0. D 4o . √ E 3/2. 18 .... 23 x Sendo assim, as medidas (no sentido Qual a medida do arco congro a 7π ◦ d d d Qual o valor de sen ? anti-hor´ ario) dos arcos OA, OB e OC 2160 ? 6 √ A 15◦ . s˜ ao respectivamente: A − 3/2. √ 8π 10π 17π y B 10◦ . A , e . B 3/2. ◦ 9 9 9 C 5 . C −1/2. y 7π 8π 10π D 0◦ . B D 0. , e . 9 9 9 19 E 1/2. 4π 8π 12π Qual a medida do arco que o ponteiro 24 x C , e . 9 9 9 das horas de um rel´ogio percorre de 7 Qual √ o valor de cos690◦ ? 8π 15π 18π horas da manh˜ a de um dia a 8 horas D , e . A − 3/2. y √ 9 9 9 da manh˜ a do dia seguinte? B 3/2. 2π 12π 18π Obs.: Considere o m´odulo de sua resE , e . y C −1/2. posta. 9 9 9 D 0. 14 A 750◦ . E 1/2. x ◦. Considere que os pontos A, B, C B 760 25 ◦ e 130◦ da figura a seguir est˜ ao em C 770 . ◦ Qual √ o valor de cos240◦ ? posi¸c˜ ao sim´etricas em rela¸c˜ ao aos ei- D 780 . A − 3/2. xos coordenados XY .
x
x
A
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´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV
√
y mine, respectivamente, as imagens de π e π. 2 1 A 2 e -2. B -2 e 6. π C -2 e 2. 0 2 x y D 6 e -6. -1 EREM SAL − 2019 E 0 e 6.
3/2. y C −0, 5. BIM - I D 0. E 0, 5. 26 B
5π O valor correto de cos ´e 3 √ A − 2/2. √ B 2/2. y C −1/2. D 0. E 1/2. 27 ◦ Calcule, √ se existir, tg210 . A − 3/3. √ B 3/3. y C 1/2. D 1. √ E 3. 28
A
3 3
t
Sendo g : [0, π/2[−→ R uma fun¸c˜ao definida por g(x) = 1 − 2tg(x), determine, respectivamente, as imagens de π π y e . 3 x√ 4 Use 3 = 1, 7. T A 2,4 e 1. B 2,4 e -1. 30cm 60◦ C -2,4 e -1. P y D 1 e -2,4. E 0 e 2,4. 34
π
3π 2
2π
x
-3
1 B 1 C
s
4
◦ Calcule, √ se existir, tg1035 . A − 3/3. √ B 3/3. y C 1. D −1. √ E 3. 29 11π Calcule, se existir, tg . 6 √ A − 3/3. √ B 3/3. y C 1. D −1. √ E 3. 30
33
3
x
x
Determine o per´ıodo da fun¸c˜ao h : R −→ R definida por h(x) = 6 + 5sen(2x + 1). A π. B 2π. y C 3π. x D 4π.
x Os valores de a e b s˜ao respectivamente iguais a A -1 e -2. B -2 e 1. C 2 e 1. D 2 e -1. 38 O gr´afico a seguir representa uma fun¸c˜ao trigonom´etrica. y 3
x
x 1
-1
0
π 2
π
3π 2
2π
x
Essa fun¸c˜ao ´e dada por A y = sen(x) + 1. 35 y B y = cos(x) + 1. Determine o per´ıodo da fun¸ca˜o C yx= 2cos(x) + 1. h : R −→ R definida por h(x) = D y = 2sen(x) + 1. 4 − 2cos(4x − 1). 39 A 3π/2. O gr´afico a seguir representa uma B π/2. fun¸c˜ao trigonom´etrica. Sendo x = 30◦ , calcule o valor da ex- y C π.x y press˜ ao: D 2π. 2,5 2senx − 4cosx + tg2x 36 y= x cos4x − sen2x O gr´ afico a seguir representa uma √ fun¸c˜ ao de R em R definida por 0,5 Use 3 = 1, 73. π 3π x f (x) = b + asen(x). 0 π 2π A 0, 54. 2 2 B 0, 55. y -1.5 2 y C 0, 56. D 0, 57. Essa fun¸c˜ao ´e dada por 1 y E 0, 58. A y = 2sen(x) + 0, 5. B y = 2cos(2x) + 0, 5. y 10 FUNC ˜ ´ π 3π ¸ OES TRIGONOMETRICAS x 0 π 2π C y = 2cos(x) + 2, 5. 2 x 2 31 D y = 2sen(2x) + 1. x Sendo f : R −→ R uma fun¸c˜ ao defi40 -2 nida por f (x) = 2 + sen(2x), deterO gr´afico a seguir representa uma mine, respectivamente, as imagens de Os valores respectivos de a e b s˜ao fun¸c˜ao trigonom´etrica. π e 2π. A 1 e 2. y A 1 e 2. y B 2 e 1. B 1 e 1. C 2 e 0. 2 C 2 e 2. D 0 e 2. y D 0 e 1. 37 E 0 e 2. x O gr´ afico a seguir representa uma π 3π x fun¸c˜ ao g : R −→ R definida por 0 π 2π 32 2 2 g(x) = asen(x) + b. x Sendo g : R −→ R uma fun¸c˜ ao definida por g(x) = 2 + 4cos(x), deterLista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 32
x
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Essa fun¸c˜ ao ´e dada por A y = tg(x) − 2. I = -tg(x) − 1. y B yBIM C y = tg(x) + 2. y D y = tg(x) + 1. 10 ˜ FUNDAMENTAL RELAC ¸ AO
45
√
52
x calcule Se tg(a − b) = 0, 98 e tg b = 1, calcule tg a. cos(72◦ ). A 96 A 1 B 97 B 4 y C 98 √ C D 99 EREM SAL − 2019 √5 x 41 y D √5 − 1 E Nda 1 π x5 − 1 < x < Aπ, deterSendo senx = e 53 E 3 3 2 √ 4 mine o valor de cosx. 5 Sendo sen a + cos a = , calcule o 46 s 1 B 1 C √ 2 2 ◦ x 2 2 Qual o valor da express˜ao sen 20 + valor de sen 2a. A − . A 1/4 sen2 70◦ ? 3 √ B 1/5 A 2 4 2 2 3 B . y C 1/6 B 1 t 3 √3 T D 1/7 y C 0 2 C E Nda . D -1 30cm 60◦ 3√ y E -2 54 P 2 D − 47 . Sejam α um arco do 1o quadrante e 3 o 3 x Sendo cos x = , com x no 4o qua- β um arco do 2 quadrante, tais que 42 5 cos α = 0, 8 e sen β = 0, 6. Determine x determine sen x. Seja α um n´ uhmeroh real pertencente drante, o valor de sen(α + β). π ao intervalo 0, . Sabendo que A 3/4 A -1 2 B 2/5 B 0 tgα =√2, qual ´e o valor de cosα? y C 3/5 y C 0,5 A − 5/5. D -4/5 √ D 1 B 5/5. E -5/4 √ E Nda C 2 5/5. 48 √ 55 y D −2 5/5. 12 x o √ ◦ , com x no 3 quaSe sen x = − Qual√o valor E 3 5/5. 13 √ de sen 165 ? drante, determine cos x. A ( 2 − 6)/4 √ √ A 5/13 43 B ( 2+ √ √6)/4 y B 4/13 x C ( 6 − 2)/4 y Sabendo que sen(α) = 1/3 e α ∈ iπ h √ √ C -5/13 D ( 2 − 6)/2 , π , determine o valor de tg(α). D -4/13 2 √ E Nda 2 49 A − 56 . ◦ x 4 Considerando 0 < x < 90 e √ Determine o valor de tg 15◦ . 2 √ 2 B sen x = , calcule cos x. A 2− 3 . √ 3 √ 4√ B 1− A 5/3 √3 √ 3 y C 1+ 3 C 2 . B − 5/3 √ √ 4√ D 3− 3 C y 3/3 √ 3 E Nda D −2 . D − 3/3 4 57 y √ E Nda √ 3 2 5 E 3 50 . Dados sen α = e cos α = − , ob4 3 3 ◦ ◦ x Sabendo que 180 < x < 270 e que tenha sen (2α). 44 √ sen xx = −0, 6 , determine tg x. A − 2/2 √ (PUC-RS) Se tg(x) = 2, a express˜ ao A 0,85 B −4 5/2 2cos(x) √ B 0,75 ´e igual a y C −4√ 5/9 3sen(x) y C 0,65 D − 5/9 1 A D 0,55 . E Nda 2 y E 0,45 58 1 B 10 . ´ ˜ 1 F ORMULAS DA ADIC ¸ AO 3 Sendo cos x = , quanto vale x 3 2 51 C cos (2x)? . x 3 Utilize as f´ormulas de adi¸c˜ao ou sub- A −7/9 √ ◦ tra¸c√ ao de√arcos e calcule cos 105 . ˜ 5 B 7/9 D . 6 − 3 3√ y C −5/9 A D 5/9 √ 4√ 2 5 E . 2− 6 E Nda B 3 √ 4 59 C √2 Calcule tg b, sabendo que tg (a − b) = D √ √6 3 e tg a = 1. E 3 Se sen(18◦ )
=
5−1 , 4
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 33
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y √ √3 B √3 − 1 -I y C BIM √3 + 2 D 3−2 E Nda 60 A
y 65
y
Considere x um arco do primeiro quadrante, resolva a equa¸c˜ao trigo-10 nom´etrica: 2
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV
D E
3 4x
x
´ INEQUA. TRIGONOMETRICAS 71
2
Considere x ∈ [0, 2π], e resolva a inequa¸c˜ao: ◦ ◦ x √ EREM SAL − 2019 Qual √ valor de sen 15 + cos 15 ? A π 2 3 sen x > A A B π/2 2 2 3 y C π/4 3 A π/4 < x < 3π/4 B − D π/6 B π/4 < x < 5π/4 2 s 1 B 1 C 3 E Nda y C π/6 < x < 3π/4 C 2√ 66 D π/7 < x < 3π/4 y 6 x D − Considere 0 < x < 2π. Quais dos va- E Nda 4 3 2 y E lores a seguir ´e poss´ıvel obtermos a 72 Nda t 3 T igualdade Considere x ∈ [0, 2π], e resolva a ine10 EQUAC ˜ ´ ¸ OES TRIGONOMETRICAS 30cm 60◦ qua¸c˜ao: 2cos2 x − 3cosxx + 1 = 0? 61 cos x < 0 P Determine as √ solu¸c˜ oes reais da A πx A π/4 < x < 3π/5 2 B B π/4 < x < 3π/4 3π/4 equa¸c˜ ao sen x = . 2 y C π/3 y C π/3 < x < 3π/4 5π 3π D π/2 D π/2 < x < 3π/2 A + 2kπ ou + 2kπ 4 4 E Nda E Nda π 3π 67 73 B + 2kπ ou + 2kπ 4 4 x Sendo 0 ≤ x ≤ 2π. Para quais valores Considere x ∈ [0, π], e resolva a ineπ 7π reais de x ´ e poss´ ıvel a igualdade qua¸ c a ˜ o: C + 2kπ ou + 2kπ √ 4 4 3 tg x ≤ − y π 3π 1 − sen2 x = 1 + sen2 x? 3 D + 2kπ ou + 2kπ 3 4 A π/2 < x ≤ 5π/6 E Nda A x = 0 ou x = π B 3π/2 < x ≤ 11π/6 B x = π/2 ou x = π 62 y C π/2 < x ≤ 5π/7 Sendo x ∈ R, quais os valores de x y C xx= 0 ou x = π/4 D π/2 < x ≤ 5π/3 √ D x = 0 ou x = π/5 3 E π/5 < x ≤ 5π/6 para que se tenha cos x = ? E Nda 2 74 A 90o + 360o · k ou 30o + 360o · k 68 Considere x ∈ [0, π/2], e resolva a ineB 60o + 360o · k ou 30o + 360o · k x Sendo 0 ≤ x < 2π, quais os valores de o o o o qua¸ c a ˜ o: y C 45 + 360 · k ou 30 + 360 · k x satisfazem a equa¸c˜ao √ D 30o + 360o · k ou 330o + 360o · k 3 E Nda 0 ≤ sen x < cos 2x + 3cos x + 2 = 0? 2 63 A xx= 3π/2 ou x = 5π/3 A 0 ≤ x < π/3 Considerando o conjunto dos n´ umeros B x = π/2 ou x = 5π/3 B 0 ≤ x < π/4 reais, resolva a √equa¸c˜ ao trigoy C x = 2π/2 ou x = π/3 y C 0 ≤ x < π/5 nom´etrica: tg x = − 3. D x = 2π/3 ou x = 5π/3 D 0 ≤ x < π/6 A 120o + 360o · k ou 300o + 360o · k E Nda E Nda o o o o B 30 + 360 · k ou 30 + 360 · k o o o o 69 75 y C 60 + 360 · k ou 30 + 360 · k x o o o o 3π D 60 + 360 · k ou 300 + 360 · k Sabendo que x ∈ 0, , determine Considere x ∈ [0, π/2], e resolva a ine2 E Nda qua¸c˜ao: as solu¸c˜ oes da equa¸c˜ao tg(2x) = 1. 1 64 cos x < A x = 3π/2 ou x = 5π/3 2 Para quais valores reais de x ´e poss´ıvel B xx= π/8 ou x = 5π/8 A 0 < x < π/2 se ter sen (3x) = sen(x)? y C x = 3π/8 ou x = 5π/3 B π/3 < x < π/2 D x = 2π/3 ou x = 5π/3 π y π/3 < x ≤ π/2 C + 2kπ A kπ ou E Nda 6 D π/4 < x < π/3 70 π kπ E Nda B kπ ou + Qual o n´ umero de solu¸c˜oes da equa¸c˜ao 76 x 4 2 π kπ Considere x ∈ [0, 2π[, e resolva a ineC 2kπ ou + tg 2 x = 5tg x − 6 4 6 qua¸c˜ao: π kπ D kπ ou no intervalo [0, 2π]? + 2sen2 x − sen x ≤ 0 4 3 A 0 E Nda B 1 A [0, π/6] ∪ [5π/6, π] B [0, π/3] ∪ [5π/3, π] C 2 sen x = cos x
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 34
x
x
x
x
x
x
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV
y
√
[0, π/4] ∪ [5π/4, π] D [0, π/7] ∪ [5π/7, π] BIM - I E Nda 77 C
√
x
3 = 1, 7). B 60
x
Considere x ∈ [0, 2π[, e resolva a inequa¸ca˜o: 1 cos2 x ≤ 4 A
A
s
1 B 1 C
A B
C 4
y 3
t ca 3 (UNIRIO) Resolva a senten¸ 2cos2 x − 3cos x + 1 ≤ 0, sendo 0 ≤ x < 2π. A 0 ≤ x ≤ π/3 ou 5π/3 ≤ x < 2π. B 0 < x ≤ π/3 ou 5π/3 < x ≤ 2π. y C 0 < x ≤ π/3 D 5π/3 < x ≤ 2π. E 0 < x < 2π. y 79
D E
8,2 cm. 12,2 cm. 14,0 cm. 17,0 cm. 17,2 cm. x
β EREM SAL − 2019
10cm
3
B
α 4
◦
x 45◦
A
x ∈ [0, π/6] x ∈ [π/3, 2π/3] y C x ∈ [0, π/3] D x ∈ [π/12, π/6] E Nda 78
2 = 1, 4 e
C
A B
C
y
D E
x
8
√ x √15/8 15 √ √8/8 √8/15 8
y 87
Determine a medida do ˆangulo x no triˆ angulo a seguir. 30cm 60◦ x Dado com BC = √ um triˆangulo ABC B ◦P ◦ ˆ ˆ 5 2cm, B AC = 45 e ABC = 30 . Qual a medida de AC? x A 4 √ B 5 5 5 2 C 6 D 7 45◦ x A C (MACK) Quando resolvida no inter- E Nda valo [0, 2π], o n´ umero de quadrantes 84 √ x nos quais a desigualdade 2cos x < 3 A 100◦ apresenta solu¸c˜ oes ´e: No triˆ angulo ABC, os lados AC e B 105◦ A 0 BC medem 8 cm e 6 cm, respectiva- C 110◦ B 1 mente, e o ˆangulo A vale 30◦ . Quanto y D 115◦ y C 2 vale o seno do ˆangulo B? E 120◦ D 3 A 1/3 E 4 B 2/3 88 80 C 1/4 No y triˆangulo a seguir, qual ´e a medida x Para quais valores reais de x a desi- y D 3/4 do segmento BC, destacada pela letra gualdade sen2 x − 2sen x + 1 ≥ 0 ´e E Nda x, dado que essas medidas est˜ ao em verdadeira? cent´ ımetros? y 85 A x ∈ [0, π] B x ˆ = B x ∈ [0, π/2] Na figura a seguir, tem-se B AC x ˆ = 60◦ , AD = 5 e DC = 10. y C x∈R 45◦ , B DC 135◦ D ∅ 15◦ B y E A C √ Nda 2 2 10 LEI DOS SENOS A 2 cm. x √ 81 B 2 3 cm. y √ x No triˆ angulo ABC da figura, calC 3 2 cm. y D 3√3 cm. cule a medida do lado BC. (Use √ sen 140◦ = 0, 6 e sen 15◦ = 0, 2). E 4 2 cm. A C B x D 89 140◦ Com base nesses dados, calcule AB. Em um triˆangulo ABC s˜ao dados ◦ o o ˆ = 60◦ , Cˆ = 45◦ e AB = 8cm. 15 Use sen 15 = 0, 26 e sen 120 = 0, 86. B A C A 15,5 x 10 Determine o comprimento de AC. √ B 16,5 A √6 A 3,33 B 2 6 C 17,5 √ y D 18,5 B 4,33 C 4 6 y D 5√6 y C 5,33 E Nda D 6,33 E Nda E Nda 86 1 90 x 82 Na figura, sabe-se que cos α = − . 4 x (Mackenzie) Trˆes ilhas A, B e C apaNo triˆ angulo a seguir, determine a Determine sen α. recem num mapa em escala 1:10000, medida do lado BC, tendo em vista como na figura. as medidas presentes nele. (Use T
x
83
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 35
x
x
x
x
x
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV
B
B
BIM - I
2
30◦
150◦
A 105
x
◦
Dois lados de um triˆangulo medem 6 m e 10 m e formam entre si um ˆ angulo √ 3 de 120◦ . Determinar a medida do terceiro lado. C A 10 x B 11 EREM SAL − 2019 y C 12 D 13 E 14 99
x
(UNICAMP) Sejam A, B e C pontos de uma circunferˆencia tais que, AB = 2 xkm, BC = 1 km e a medida do ˆ seja de 135◦ . Calcule o ˆangulo ABC raio dessa circunferˆencia. √ A √5 + 4 B 5+2 q √ C ( 5 2 + 4)/2 q √ D ( 5 2 + 5)/2 E Ndax 100
x
(UFRJ) Os ponteiros de um rel´ ogio circular medem, do centro ` as extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro, o das horas. Determine a distˆancia entre as extremidades dos ponteiros quando o rel´ogio marca 4 horas. √x A √7 B √8 C √10 D 11 E Nda
x
1 2 x y C 3 s 1 B 1 C Das alternativas, a que melhor se D 4 aproxima de distˆ ancia entre as ilhas E 5 y A e B ´e: 94 4 A 2,3 km 3 Calcule a medida do lado AC no B 2,1 km t 3 triˆ angulo a seguir. T y C 1,9 km 30cm 60◦ D 1,4 km B y E 1,7 km P √ √ 2 3 10 LEI DOS COSSENOS 2 7 y y x 91 30◦ C Determine o valor de x na figura a se- A x guir. B A 7 A
A
A
12 cm
C
3
B
8 9 D 10 Ey 11 95 B
y x
10 m 60◦
A 11 12 13 14 15
A B
C
y
16 m
C
D E
C
Na figura a seguir AC = 10. B x 5
h
x
98
√ 3 5
α A
C
x
y 92 Determine o valor de x na figura a seguir. B √ 3 2 A A B
C
y
D E
x 45◦ 7
C
3 4 5 6 7
93 Determine o valor de x na figura a seguir.
x A medida de h ´e A 3 B 4 y C 5 D 6 E 7 96 Qual o cosseno do maior ˆangulo do x triˆ angulo de lados medindo 4, 5 e 6? A 1/5 B 1/6 y C 1/7 D 1/8 E 1/9 97
x
Qual o cosseno do menor ˆangulo do triˆ angulo de lados medindo 7, 8 e 10? x A 23/32 B 32/23 C 12/23 D 23/26 E Nda
x
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 36
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV
10 BIM - I
A 3 1 B 1 C
s
4
3 3
t
T 60◦
30cm P
x
GABARITO
Q G 01 A 02 E 03 A 04 B 05 − 2019 E EREM SAL 06 A 07 E 08 C 09 A 10 C 11 C 12 D 13 A 14 C 15 D 16 C 17 B 18 D 19 A 20 B 21 D 22 A 23 C 24 B 25 C
Q 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
G E B D A A C A B A B C D C B C A B A B E B D C A B
Q 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
G B D A B C A C A E E B D A B C C A A B C A D A A C
Q 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
G A B B E C A A B B B A B A C E D C A B A D A E C A
Use o gabarito apenas para verificar sua resposta, caso tenha errado, n˜ao desanime, volte aos seus c´ alculos e procure onde vocˆe cometeu o erro. Errar ´e muito importante, pois ´e atrav´es do erro que muitas vezes aprendemos.
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 37
x
.... y .... 10 y
x P , em reais, do quilograma de um certo produto sazonal x ser descrito pela fun¸c˜ao (Enem - 2018) Em 2014 foi inaugurada a maior roda- pode gigante do mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. πx − π A figura representa um esbo¸co dessa roda-gigante. no P (x) = 8 + 5cos 6 qual o ponto A representa uma de suas cadeiras. 01
y
O
Ax
onde x representa o mˆes do ano, sendo x = 1 associado ao mˆes de janeiro, x = 2 ao mˆes de fevereiro, e assim sucessivamente, at´e x = 12 associado ao mˆes de dezembro. Na safra, o mˆes de produ¸c˜ao m´axima desse produto ´e A janeiro. B abril. y C junho. julho. D E outubro. 03
(Enem 2018) Sobre um sistema cartesiano considera-se uma malha formada por circunferˆencias de raios com meSolo didas dadas por n´ umeros naturais e por 12 semirretas com ................ A partir da posi¸c˜ ao inicial, em que o segmento OA se extremidades na origem, separadas por ˆangulos de π rad, 6 encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a High conforme a figura. Roller no sentido anti-hor´ ario, em torno do ponto O. Sejam t o ˆ angulo determinado pelo segmento OA em rela¸c˜ao a posi¸c˜ ` ao inicial, e f a fun¸c˜ ao que descreve a altura do ponto A, em rela¸c˜ ao ao solo, em fun¸c˜ ao de t. Ap´ os duas voltas completas, f tem o seguinte gr´ afico: f (metro)
168
88
2π 4π t(radiano) π/2 ............ A express˜ ao da fun¸c˜ ao altura ´e dada por A f (x) = 80sen(t) + 88 B f (x) = 80cos(t) + 88 y C f (x) = 88cos(t) + 168 f (x) = 168sen(t) + 88cos(t) D f (x) = 88sen(t) + 168cos(t) E 02 (Enem 2015) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estat´ıstica (IBGE), produtos sazonais s˜ ao aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produ¸c˜ ao, consumo e pre¸co. Resumidamente, existem ´epocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora ´e escassa, com pre¸cos elevados, ora ´e abundante, com pre¸cos mais baixos, o que ocorre no mˆes de produ¸c˜ ao m´ axima da safra. A partir de uma s´erie hist´ orica, observou-se que o pre¸co
Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas circunferˆencias dessa malha, n˜ao podendo passar x pela origem (0 ; 0). Considere o valor de π om aproxima¸c˜ao de, pelo menos, uma casa decimal. Para realizar o percurso mais curto poss´ıvel ao longo da malha, do ponto B at´e o ponto A, um objeto deve percorrer uma distˆancia igual a 2·π·1 A +8 3 2·π·2 B +6 3 Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 38
x
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV
2·π·3 +4 3 2·π·4 BIM - I +2 3 2·π·5 +2 3
Uma cˆamera de vigilˆancia est´a fixada no teto de um shopping e sua lente pode ser direcionada remotamente, D atrav´es de um controlador, para qualquer sentido. A lente da cˆamera est´a apontada inicialmente no sentido Oeste y E e o seu controlador efetua trˆes mudan¸cas consecutivas, a saber: • 1a mudan¸ca: EREM 135◦ SAL no sentido anti-hor´ario; − 2019 a 04 • 2 mudan¸ca: 60◦ no sentido hor´ario; A est˜ (Enem 2017) Raios de luz solar ao atingindo a superf´ıcie • 3ax mudan¸ca: 45◦ no sentido anti-hor´ario. 3 com a sua superf´ de um lago formando um ˆ angulo X ıcie, Ap´os a 3a mudan¸ca, ele ´e orientado a reposicionar a conforme indica a figura. cˆamera, com a menor amplitude poss´ıvel, no sentido Nos 1 B 1 C Em determinadas condi¸c˜ oes, pode-se supor que a inten- roeste (NO) devido a um movimento suspeito de um sidade luminosa desses raios, na superf´ıcie do lago, seja cliente. dada aproximadamente por I(x) = k.sen(x) sendo k uma Qual mudan¸ca de sentido o controlador deve efetuar para 4 3 a entre 0◦ e 90o . constante, e supondo-se que X est´ reposicionar a cˆamera? t 3 A 75◦ no sentido hor´ario. T B 105◦ no sentido anti-hor´ario. 30cm 60◦ y C 120◦ no sentido anti-hor´ario. P D 135◦ no sentido anti-hor´ario. E 165◦ no sentido hor´ario. 07 C
Quando x = 30o , a intensidade luminosa se reduz a qual percentual de seu valor m´ aximo? A 33% B 50% y C 57% D 70% E 86% 05
(SSA 2019) Um designer construiu a logomarca de uma empresa de constru¸c˜ao civil, apresentada a seguir, com base na jun¸c˜ao do gr´afico de duas fun¸c˜oes trigonom´etricas.
..................... x as fun¸c˜oes utilizadas por esse designer na cons(Enem 2017) Um cientista, em seus estudos para modelar Quais a press˜ ao arterial de uma pessoa, utiliza uma fun¸c˜ao do tru¸c˜ao da logomarca? tipo P (t) = A + Bcos(kt) em que A, B e K s˜ ao constantes A y = sen x e y = cos x 1 reais positivas e t representa a vari´ avel tempo, medida B y = cos x e y = − cos x em segundo. Considere que um batimento card´ıaco repre2 senta o intervalo de tempo entre duas sucessivas press˜oes C y = 1 cos x e y = 2sen x 2 m´aximas. 1 Ao analisar um caso espec´ıfico, o cientista obteve os dados: y D y = 2cos x e y = sen x 2 1 E y = sen x e y = sen x Press˜ ao m´ınima 78 2 Press˜ ao m´ axima 120 .. 08 N´ umero de batimentos card´ıacos por minuto 90 (SSA 2018) Qual fun¸c˜ao trigonom´etrica representa o A fun¸c˜ ao P (t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso gr´afico a seguir? espec´ıfico foi A P (t) = 99 + 21cos(3πt) B P (t) = 78 + 42cos(3πt) y C P (t) = 99 + 21cos(2πt) P (t) = 99 + 21cos(t) D P (t) = 78 + 42cos(t) E 06 x (Enem 2018) A rosa dos ventos ´e uma figura que representa oito sentidos, que dividem o c´ırculo em partes iguais.
A B
C D
........................
E
p 1 − cos2 2x p y = 1 − sen2 3x y=
3 2x · sen 2 3 x y = 1 + sen 2 y=
y = 2 · cos 2x Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 39
x
x
x
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV x
09 x
(SSA 2018) A fun¸c˜ ao y = a + bcos x, com a e b reais, BIM - I representada graficamente a seguir, intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, −1) e tem valor m´ aximo y = 5. y
EREM SAL − 2019
5
A 3 s
1 B 1 C
Qual ´e o valor da soma 5a + 2b? 4 A 4 3 B -1 t 3 y C 3 D -2 E 6 10
x
T 60◦
30cm P
(SSA 2017) Se a fun¸c˜ ao trigonom´etrica y = a + b sen (px) 3 tem imagem I = [1, 5] e per´ıodo , qual ´e o valor da soma π a + b + p? Adote π = 3. A 5 B 6 C 8 D 10 E 11 y
10
x
GABARITO Q 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
G A D A B A E E A A E
x
Use o gabarito apenas para verificar sua resposta, caso tenha errado, n˜ ao desanime, volte aos seus c´ alculos e procure onde vocˆe cometeu o erro. Errar ´e muito importante, pois ´e atrav´es do erro que muitas vezes aprendemos.
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 40
...... BIM - I
EREM SAL − 2019 A 3 1 B 1 C
s
4
3 3
t
T 60◦
30cm P
EXERC´ICIOS ⊂ BIMESTRE I ˜ OPERAC ¸ OES FUNDAMENTAIS ˜ EQUAC ¸ OES DE 1o E 2o GRAU ˜ PROGRESSOES
MATRIZES E DETERMINANTES
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 1
ˆ ´ EREMSAL - ESCOLA DE REFERENCIA EM ENSINO MEDIO DE SALGUEIRO S´erie: 2o ano
Exerc´ıcios de Matem´ atica
DATA:
NOME: NOTA:
y
de 3,0 pontos.
PROFESSOR: Carmos Fernandes da Costa
y 10
,
01 Calcule o valor de cada express˜ ao num´erica a seguir. (A) 2 · 3 + 12 · 6 − 6 · 18 + 2 · (−4)
(C) −2 · 3 + 18 ÷ 2 · 3 − 2 · 4 ÷ 2 + 2 · 4
(E) 28 ÷ 4 + 64 ÷ 4 · (−1) − 12 · (−4) ÷ 6
y
√
49
√ 1 3 (M) −1 · (−2) − · − 5 · 625 2 4
(B) Uma sorveteria vendeu 900 sorvetes durante o ver˜ ao. Sabendo que o valor m´edio dos sorvetes ´e de R$ 5,00 e de que o custo m´edio ´e de R$ 3,00. qual foi o lucro da sorveteria nesse ver˜ ao?
(H) Uma senhora disp˜ oe de 4 caixas de l´ apis de cor com 36 l´ apis cada uma e vai distribu´ı-los entre seus sobrinhos, se cada um receber´ a 24 l´ apis. Quantos s˜ ao os sobrinhos?
(D) 4 · (−2) ÷ 4 + 14 ÷ (−7) + 3 · 4 + 6
(L) 3 · 42 − 23 + (−2)4 ·
matriculados mais 8, totalizando, agora, 35 alunos. Quantos alunos havia nessa classe no in´ıcio do ano?
(G) Um hotel tem 34 quartos, cada quarto tem 3 camas e cada cama tem 2 len¸co ´is. Quantos len¸co ´is s˜ ao usados para cada troca de roupa neste hotel?
(B) 4 · (−2) + 14 · 6 ÷ 3 − 3 · (−1) · (−2)
2 1 5 3 2 3 (F) + − − + − 3 2 4 4 5 5 1 6 5 9 (G) + + + 3 9 15 27 5 9 5 2 + − + (H) 21 42 7 7 1/2 3/5 (I) − 3/5 2/3 2/5 5 (J) − 5 1/5 √ √ (K) 23 + 32 − 144 · 64
´ CONTEUDO: Progress˜oes, Matrizes e Determinentes ˜ DESCRIC ¸ AO: Lista de Exerc´ıcios Bim I
(F) Uma pessoa recebeu R$ 820,00, pagou R$ 350,00 de aluguel, R$ 25,00 de luz,x R$ 59,00 de a ´gua e R$ 120,00 de compra. x Quanto sobrou de seu sal´ario?
˜ OPERAC ¸ OES FUNDAMENTAIS
(C) O qu´ıntuplo de um n´ umero mais 15 ´e igual ao dobro desse n´ umero adicionado de 45. Qual ´e esse n´ umero? (D) Beatriz passou 1/3 do dia dormindo, 1/6 na escola e 1/4 brincando com as amigas. Quantas horas restaram para ela fazer outras atividades nesse dia?
(I) Duas f´ abricas fornecem 2000 uniformes cada uma para serem distribu´ıdos igualmente entre os alunos de 3 escolas, que tem, respectivamente, 900, 500 e 600 alunos. Quantos uniformes cada aluno deve receber?
(E) Numa sala de aula existem 6 meninos a mais do que meninas. Se o n´ umero total de alunos ´e igual a 36, determine o n´ umero de meninos.
(J) Duas pe¸cas de tecido, de 25 metros cada uma, foram vendidas por R$ 800,00. Calcule o pre¸co do metro de uma y delas, sabendo que o metro da outra pe¸ca foi vendida por R$ 18,00.
(F) Uma tela retangular com a ´rea de 9600 cm2 tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais s˜ ao as dimens˜ oes desta tela?
y
10
(G) O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo ´e igual a 374. Pedro ´e 5 anosx mais velho que Paulo. Quantos anosxtem cada um deles?
˜ EQUAC ¸ OES DE 1o E 2o GRAU
5
02 Resolva cada um dos problemas a seguir. (A) Em uma f´ abrica trabalham 245 oper´ arios. Se cada um deles ganha 560 reais, quantos reais a f´ abrica paga por mˆes para todos os oper´ arios? (B) Um canil possui 35 compartimentos para abrigar c˜ aes. Em cada um deles cabem 32 c˜ aes. Quantos c˜ aes podem ser abrigados nesse canil? (C) Em uma escola, estudam 1561 alunos. Para a P´ ascoa deste ano, a diretora vai distribuir uma cesta, com 15 doces dentro, para cada aluno. Quantos doces a diretora ter´ a que comprar? (D) O Brasil tem 513 deputados federais. Suponha que cada um deles ganha um sal´ ario de 12379 reais por mˆes. Quanto ´e pago por mˆes para todos os deputados?
03 Resolva as equa¸co ˜es a seguir
x
(H) O triplo do quadrado do n´ umero de filhos de Pedro ´e igual a 63 menos 12 vezes o n´ umero de filhos. Quantos filhos Pedro tem?
(A) 8x − 43 = 65 (B) 23x − 16 = 14 − 17x (C) 10y − 5(1 + y) = 3(2y − 2) − 20
(I) Comprei 4 lanches a um certo valor unit´ ario. De outro tipo de lanche, com o mesmo pre¸co unit´ ario, a quantidade comprada foi igual ao valor unit´ ario de cada lanche. Paguei com duas notas de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual o pre¸co unit´ ario de cada produto?
1 − 2x 3−x x−5 + = (D) 10 5 4 (E) 13x − 23 − 45 = −7x + 12 (F) 3x2 − 7x + 4 = 0 (G) 9y 2 − 12y + 4 = 0
(J) H´ a dois n´ umeros cujo triplo do qua-
y drado ´e a igual 15 vezes estes n´umeros.
2
(H) 5x + 3x + 5 = 0 5x 3 (I) x2 + − =0 2 2 y
y
Quais n´ umeros s˜ ao estes?
10 y
˜ PROGRESSOES
10
˜ ´ PROGRSSOES ARITMETICAS
2
(J) 2x + x − 3 = 0
04
05
Resolva cada um dos problemas a seguir (E) Em um formigueiro existem 765 450 formigas. Um tempo depois morrem 125 900 e nascem 134 800. Quantas formigas, vivas, est˜ ao nesse formigueiro depois desse tempo?
/ /2020 No :
(A) No in´ıcio do ano, uma classe da escola possu´ıa um certo n´ umero de alunos. No final do 1o semestre sa´ıram 10 alunos e no in´ıcio do 2o semestre foram
xo
O 25 termo da P.A. (2, 4, 6, ...) ´e: A 48 B 50 C 52 D 56 E 60
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x x x
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE I
06
A
O valor do termo a70 BIM´ -4, ...) e-:I A -148 B -146 y C -140 D -138 E -136
07 Obtenha o valor de 2x + 1, 5x + 7) seja A -2 B -1/2 y C 1/2 D -5/2 E 5/2
08 Obtenha a raz˜ ao da meiro termo ´e -8 e o A -3 B 3 y C -2 D 1 E 2
12 B 24x da P.A. (2, 0, -2, y C 48 D 52 E 58
4 C 3 D 2 E nda B
y
19
13
Quantos termos possui a P.G. (2, 4, 8, x Laura gosta de correr aos s´ abados e esta..., 2048)? EREM SAL − 2019 belece o seguinte calend´ ario: no primeiro A 10 s´ abado do ano corre 3,0 km, no segundo B 11 A 3 abado x corre 3,2 km, no terceiro s´abado y C 12 x de modo que (x, s´ corre 3,4 km, e assim por diante, ou seja, D 13 uma P.A. s 1 B 1 C a cada semana ele aumenta 200 metros a E nda sua corrida. 20 Sendo assim, Laura percorrer´ a quantos Quantos termos possui a P.G. quilˆ ometros no 15o s´ abado? 4 3 (231 , 235 , 239 , ..., 2111 )? A 8,5 A 19 t 3 B 6,8 T B 20 y C 5,8 y C 21 30cm 60◦ x P.A. em que o pri- D 5,5 D 22 vig´esimo ´e 30. P E 4,8 E nda
14
(SAEPE 2016) J´ ulia iniciou um programa de exec´ıcios f´ısicos no primeiro dia de agosto de 2015 e perdeu 200 gramas ao final do primeiro mˆes. A cada 09 mˆes subsequente, ela perdeu 300 gramas x que a quantidade perdida no mˆes Considere a P.A. (a1 , a2 , 10, a4 , a5 , a mais a6 , 18). O valor da soma do primeiro anterior. Ela seguiu esse programa at´e termo dessa P.A. com sua raz˜ ao, ou seja, conseguir perder 2 000 gramas durante y (a1 + r), ´e: um mˆes. A 8 Dessa forma, em qual mˆes J´ ulia perdeu B 7 2 000 gramas? y C 6 A Novembro de 2015. D 5 B Janeiro de 2016. y C Fevereiro de 2016. E 4 D Abril de 2016. 10 y E Maio x de 2016. Qual ´e a soma dos 120 primeiros n´ umeros y 10 ˜ ´ pares positivos? PROGRSSOES GEOMETRICA A 14 420 15 B 14 500 y C 14 520 Em rela¸ca ˜o a P.G. (1, 2, 4, ...) determine D 14 000 o 10o termo. E nda A 500 B 502 11 y C 512 x Calculando a soma dos 25 termos iniciais D 524 da P.A. (1, 7, 13, ...), encontramos: y E 532 A 1825 16 B 1835 y C 1845 Determine o 8o termo da sequˆencia (-2, D 1855 8, -32, 128, ...) E 1865 A 32 768 B 32 758 12 y C 32x748 Roberto recebe de seu pai uma mesada y D 32 738 mensal da seguinte forma: em janeiro ele E nda recebe 5 reais, em fevereiro 10 reis, em mar¸co 15 reis, e assim por diante, sempre adicionando 5 reais ao valor do mˆes anterior at´e o mˆes de dezembro. Quando se inicia um novo ano a mesada volta ao valor inicial e reinicia o mesmo processo. Roberto pretende economizar para com- y prar um v´ıdeo-game no valor de 1 560 reais. Considerando que Roberto usar´ a para essa compra apenas o dinheiro de sua mesada, quantos meses ser˜ ao necess´ arios para que ele compre o v´ıdeogame?
17
x
21
x
Sendo (a1 , a2 , a3 ) n´ umeros positivos que formam uma P.G., se o produto dos termos extremos vale 625, e a soma dos dois u ´ltimos ´e igual a 30, ent˜ ao qual o valor do 1o ? A 125 B 120 C 115 D 110 E nda
x
x
x
22 Calcule a soma dos seis primeiros termos da P.G. (-2, 4, -8, ...) A 41 B 42 C 43 D 44 E ndax
x
23 x Quantos termos da P.G. (2, -6, 18, -54, ...) devemos considerar a fim de que a soma de todos os termos resulte em 9842? A 6 B 7 C 8 D 9 E nda x
x
24
Calcule o valor de 90 + 9 + 0, 9 + 0, 09 + ... A 100 B 101 C 109 D 110 y E nda
x ´ Sabendo que (4, x, 9) ´e uma P.G. de raz˜ ao10 MATRIZES E y positiva, ent˜ ao o valor de x ´e: 10 ˜ E IGUALDE A 5,5 DEFINIC ¸ AO B 4,5 25 C 5,0 D 6,0 Escreva a matriz A = (aij )2×2 , em que E nda aij = 3i − 2j. Qual o valor do maior termo dessa ma18 triz?x Sendo (−2, x + 1, −4x + 2) uma P.G., A 4 ent˜ ao x pode ser: B 5 A 5 Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 3
x
x x x
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE I
y
y
y
y
y
elemento c10.12 . A 26 = B 27 y C 28 26 Os valores de x, y e z s˜ ao, respectiva- D 29 x iguais a Determine a matriz B = (bij )3×3 , em que mente, E 30 bij = ij . Que elementos pertencem a `s A 4, 3 e 2 38 digonais principais e secund´ arias de B? B 2, 4 e 5 EREM SAL − 2019 y C 4, 5 e 2 A 1, 4 e 9 A partir da matriz A = (aij )2×2 cujo B 1, 4 e 27 aij = 3i + 2j e B = (bij )2×2 dada por A D -2, 4 e 5 3 bij = i + j determine a matriz A + B. C 4, 9 e 27 E nda Qual o maior e o menor elemento, resD 1, 9 e 27 33 s 1 B 1 C pectivamente, da matriz A + B? E nda Determine os valores de a, b, c, d, e, f A 14xe 7 27 que tornam verdadeira a igualdade: B 11 e 10 x Qual a soma dos elementos da matriz y C 10 e 7 t 4 C = (cij )3×2 , em que cij = 2 + i + 3j? a+3 b+2 c+1 D 12 e 10 = 03×2 A 31 d 5−e 2f t 3 T E nda B 32 ◦ c + d + 39 O valor a + b + e + f ´ e 30cm 60 C 33 A -1 Determine a matriz X tal que: D 34 P B 0 E nda y C 2 5 0 4 3 28 D 3 X + 1 1 = 2 3 x Determine a matriz A = (aij )4×3 , em E nda 7 8 2 0 que: 34 0, se i ≥ j Determine os valores de x e y que tornam Qualxo resultado da soma de todos os 1 se i < j elementos de X? verdadeira a igualdade: A 17 Qual o valor da soma de todos os ele 2 B 16 mentos dessa matriz? x − 2x 2 −1 2 = 2 y C 15 A 3 4 −6 4 y − 5x D 14 B 4 A soma de todos os valores poss´ıveis para E nda C 5 x e y ´e D 6 40 A 2 E nda Determine a matriz X, tal que (X + B 1 29 A)t = B, sendo: y C -1 t 4 2 Determine a matriz transposta A da ma- D x 1 −2 4 -2 A = −1 0 e B = . triz A = (aij )2×3 tal que aij = i2 + j. y E 5 6 0 nda 5 1 Qual a soma de todos os elementos da 10 ˜ E SUBTRAC ˜ A soma do menor com o maior elemento ADIC ¸ AO ¸ AO coluna 2 de At ? de X ´e A 15 x 35 A -1 B 16 B 0x Calcule: C 17 y C 1 D 18 5 7 6 −2 D 2 + E nda 9 4 5 8 E nda 30 C 6 D 7 E nda BIM - I
Quantos elementos pares existem na matriz M = (mij )3×2 tal que mij = 2i + j? A 3 B 2 y C 1 y D 0 E nda
x+y 4
2 x−y
7 z2
z 1
x
x O maior elemento da matriz resultante da opera¸ca ˜o acima ´e A 14 B 15 C 16 D 17 E nda
x
x
x
41
x
Obtenha a matriz X tal que: X−
1 −2
4 5
=
−1 −3
2 4
. A soma de todos os elementos de X ´e A 8 31 36 B 9 x x 12 1 8 11 Determine a, b, c e d para que se tenha y C 10 Sejam A = , B = 9 5 3 6 D 11 a 1 2 b 2 4 = eC= . Calculando A − B + C E nda 4 c d 6 10 7 42 obtemos como menor elemento 1 6 Os valores de a, b, c e d s˜ ao, respectiva- A 16 Sendo a matriz A = , obte9 −5 B -6 mente, iguais a 1 y C 6 A 1, 2, 3 e 4 nha as matrizes B = 4 · A e C = − · A. 3 B 2, 3, 4 e 1 D 12 Qual o resultado da soma do menor eley C 2, 1, 6 e 4 E nda mento de B com o maior elemento de C? D 3, 4, 6 e 1 37 A -17 E nda x Sejam as matrizes A = (aij )10×12 , em B -20 32 que aij = 2i − j e B = (bij )10×12 , em C 9 Obtenha x, y e z que satisfa¸cam a igual- que bxij = i + j. Seja C = A + B, em D 8 dade: que cij = aij + bij . Determine o valor do E nda
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x
y
y
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE I
43
48
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x x Sejam as matrizes A = 2 4 Calculando (FGV) BIM as - I matrizes A = 1 5 e Sejam 1 −4 eB= 5 8 . 0 7 1 −2 −2 3 2 −1 2 0 · 3 4 −1 0 0 −4 3 −2 A matriz X que satisfaz a equa¸c˜ ao matri6 . B = −1 cial X ·A = B tem elementos cuja soma ´e: obtemos como menor elemento: 9 8 A 0,5 A 0 EREM SAL − 2019 Determine a matriz C = A − 3B. B 1,0 B 2 y C 1,5 Qual o valor do menor elemento de C? y C 9 A A -27 D 2,0 D -10 3 y E 2,5 B -17 E -19 y C -13 s 1 B 1 C 10 49 ´ TRANSPOSTA E INVERSAE D -2 x Determine a matriz X tal que: E nda 55 44 1 −3 0 4 Considere a matriz a seguir. 3 ·X = x 2 5 −11 Resolva a equa¸ca ˜o: t 3 T 2 5 Sendo assim, a◦ soma de todos os elemenA = −7 2 11 0 30cm 60 1 3 +2·X = tos de X ´e 6 4 8 12 A 4 P Qual das matrizes a seguir representa a B 3 inversa de A? Qual o resultado da soma de todos os y C 2 3 −5 3 1 B A elementos da matriz X? .......... D 1 −1 2 3 −2 A 12 E 0 y −2 1 −2 2 B 13 C D .......... 50 1 −2 1 1 y C 14 x E Determine a matriz Y tal que: D 15 nda y E nda 56 13 4 0 9 ·Y = 10 MULTIPLICAC ˜ DE MATRIZES Determine, se existir, a inversa da matriz ¸ AO −5 0 20 35 2 −5 B= . x 45 −1 3 Qual o valor de maior elemento de Y ? Qual das matrizes a seguir representa a 1 3 A -4x inversa de B? 0 B 13 Considere as matrizes A = 2 2 5 3 5 B A −1 4 y C 25 .............. 1 2 1 2 2 1 D 27 eB= . y 2 2 3 2 3 1 E 0 C .............. D 1 2 2 2 O maior elemento de A · B ´e: 51 E A 2 nda x −4 m Sendo: A = e A2 = B 3 57 2 −1 y C 4 Determine a inversa da matriz 22 −15 D 10 1 0 2 −10 m + 4 E 11 .................... 0 3 0 Determine o valor de m. 2 0 1 46 A 3x Qual o valor do menor elemento enconSejam as matrizes: B 4 trado? 1 2 0 5 8 y C 5 A -1/3 9 A= 0 1 2 eB= 1 D 6 B -1/3 2 0 1 7 −3 y C 2/3 E nda Determine o menor elemento da matriz D -2/3 52 A · B. E 0x A 3 Determine x e y reais a fim de que as 58 B 7 0 x 1 2 matrizes e comuy C 13 7 −3 y 3 −1 5 Seja A−1 a inversa de A = . tem. 2 −1 D 15 −1 A x = 3 e y = −3 E 17 Determine o maior elemento de A + A . B x = 3/2 e y = −3/4 A 8 47 y C x = 3/4 e y = 3/2 B 4 2 x Seja An×n A = A · A. Assim, D x = 2 e y = −4 , defini-se y C -6 1 2 E nda se A = , ent˜ ao determine A2 . D -8 3 4 E 0 53 Qual a soma de todos os elementos de
A2 ? A 53 B 54 C 55 D 56 E 57
(UFAM) Sejam A = (aij )6×6 e B = (bij )6×6 duas matrizes definidas por aij = i − j e bij = j − i. Se A · B = (cij )6×6 , ent˜ ao quanto vale c45 ? A 22 B 23 C 24 D 25 E nda
x
x
x x
x
x
x
59 x
Para que valores reais de x a inversa da matriz −1 1 A= ´e a pr´ opria matriz A? 0 x A 1 B -1 C 1 ou -1 D 1 ou 0 E nda
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x
y
y y
y 60
10
(UFMG) Sejam as matrizes BIM - I x 1 2 e M= A= −1 2 6
−1 y
´ DETERMINANTES E
D
x ´ DETERMINANTES DE 1a , 2a E a E 3 “ORDEM”
y 10
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE I x
8
71
x
Considere a equa¸ca ˜o 4 6 x 2 x
65
x
a seguir. = 12
Onde x e y s˜ ao n´ umeros reais e M ´e a x Qual dos determinantes a seguir possui O valor de x ´e matriz inversa de A. Ent˜ ao o produto xy EREM SAL − 2019 maior valor em rela¸ c a ˜ o aos outros? A 6 ´e: y B 7 A 2 9 ............... B 1 −1 A A 3/2 3 7 2 2 3 C 8 B 2/3 3 3 2 1 5 1 D 9 y C 1/2 s 1 B 1 C ....... D 0 −1 7 C 1 5 5 72 D 3/4 1 −1 0 0 0 2 E 1/4 Considere a equa¸ca ˜o a seguir. 1 −1 y 2 61 E 5 4 x −1 7 −4 x 3 = 10 Multiplicando-se a matriz 1 1 0 1 x 3 t T 66 1 −1 O valor de x ´e A= 30cm 60◦ −1 3/2 A ±3 x Calcule o determinante a seguir y B ±2 P pela matriz 1 1 C ±1 2 2 0 −1 ±5 D 3 2 1 0 , B= 1 73 2 x Considere a equa¸ca ˜o a seguir. A -3 obt´em-se a matriz y B -2 2 2 1 1 0 C -1 1 x 0 =4 I= . 0 1 D 0 1 2 1
67
Ent˜ ao o valor de x ´e: A -1 y B 0 C 2 D 3
Calcule o determinante a seguir 8 12 10 24
62 Caso exista, encontre a inversa da matriz y B=
3/5 A −1/5 y 3/5 C −2/5
2 1
1 3
−1/5 3/5 .. B 2/5 1/5 −2/5 3/5 .. D 1/5 2/5
74
A
71 x B 72 C 73 D 74 Calcule o determinante a seguir 2 1 2 1 0 1 1 1 2
63 Determine x a fim de que a matriz y 1 2 A= seja igual a sua inversa. 0 x A -1 y B 0 C 2 D 3
64 Encontre a matriz inversa de 1 1 1 2 Qual o maior elemento da matriz encontrada? A -1 B 0 C 2 D 3
y
1x 0 C -1 D -2
Considere 0 1 −1
x
x 1 0 1
´ TEOREMA DE LAPLACEE
B
x x
75
69 Calcule o determinante a 2 2 2 1 0 10 x 0 0 1
seguir
A
-2 -1 C 0 D 1 B
Considerando a matriz 1 2 x A= 0 3 1 2
2 4 0
calcule A32 . A -4 y B -3 C -2 D -1
76
70
O valor de x ´e A 5 B 6 C 7
a equa¸ca ˜o a seguir. 2 1 3 1 x 2 = 1 0 2 −1 1 2
O valor de x ´e A 3 y B 2 C 1 y D 0
10
A
Considere a equa¸ca ˜o 2 2 1 x
x
O valor de x ´e x A 3 y B 4 C 5 D 6
68 1/5 2/5 2/5 1/5
x
a seguir. = 10
Considerando a matriz 1 6 x A= 1 3 2 2
x
2 0 0
calcule A22 . A -5 B -4 C -3 D -2
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 6
y
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE I
77 Considerando a matriz BIM - I −1 2 1 A= 2 1 2
x
83 x Considerando a matriz 1 −2 0 A= 0 1 2
1 4 1
calcule A33 . A -3 y B -4 C -5 D -6
A 3 1 B 1
s
78 Considerando a matriz 6 2 2 4 A = 3 3 −1 3 0 0
x
Considerando a matriz 1 2 2 1 −1 T 2 A= 0 3 30cm 4 60◦ 0 3 2
3 3
t
79
calcule A13 . A -2 y B -1 C 0 D 1
x 2 0 0 0
10
´ PROPRIEDADES DOS E ´ DETERMINANTESE
1 1 A= 2 −1
1 0 xA = 1 x 2
85 Considerando a matriz
1 0 A= 0 0
2 4 0
calcule det(A) pelo teorema de Laplace. A -6 y B -5 C -4 D -3
81
2 −1 0 0
2 2 4 0
2 0 0 3
x de det(A) ´e o valor A -11 y B -12 C -13 D -14
2 1 1 4
x
2 2 4 −2
2 2 4 0
5 0 0 3
1 0 A= 12 x 0
2 −1 4 2
2 2 4 2
2 0 10 2
2 4 0
2
82 x
2 0 0
1 1 A= 6 2
2 −3 −3 2
91
Considerando a matriz 1 0 A= 9 x 1
1 2 4 0
o valor de det(A) ´e A -1 y B 0 C 2 D 3
86
2 −1 0 0
x
x
Considerando a matriz
o valor de det(A) ´e A 0 y B 1 C 2 calcule det(A) pelo teorema de Laplace. D 3 A 5 87 y B 4 Considerando a matriz C 3
Considerando a matriz 1 2 A= 2 3 1 1
3 1 1 5
o valor de det(A) ´e A -2 calcule det(A) pelo teorema de Laplace. y B -1 A 12 C 0 y B 13 D 1 C 14 90 D 15x Considerando a matriz y
80
D
1 −1 1 1
P
Considerando a matriz 1 2 3 4 A= 1 3 1 2 −1
Considerando a matriz 1 2 A= 0 3 1 0
1 4 3
1 0 A= 1 2
o valor de det(A) ´e A 0 EREM SAL − 2019 calcule det(A) pelo teorema de Laplace. y B 1 A -14 C 2 y B -15 D 3 C -16 89 C D -17 Considerando a matriz 84
calcule A21 . A 0 y B 1 C 2 D 3
Considerando a matriz 1 2 A= 0 3 1 2
x
2 2 0 4
o valor de det(A) ´e A 1 y B 0 calcule det(A) pelo teorema de Laplace. C -1 A -2 D -2 B -1 88 C 0 Considerando a matriz D 1
2 −1 8 0
2 2 4 0
2 −8 0 0
o valor de det(A) ´e A 6 y B 4 C 2 D 0
92 x
Considerando a matriz
x 2 2 4 4
2 3 1 5
1 0 A= 2 0
2 −1 3 0
2 2 6 0
2 0 4 3
o valor de det(A) ´e A 0 y B 1 C 2 D 3
93 x
Sendo
x
a e i m
b f j n
c g k o
d h l p
=9
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 7
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE I
y ent˜ ao
BIM - I
a e m i
b f n j
c g o k
d h p l
D E
vale A -8 y B -9 C 8 D 9
-8 nda
98 Considerando a matriz
1 2 A= 1 2
A 3
94 1 B 1 C
s
Sendo
a e i m
b f j n
c g k o
d h l p
4 =3
3 3
ent˜ ao
2a e m 3i
6b 3f 3n 9j
2c g o 3k
2d h p 3l
t
1 2 4 1
2 1 3 2
30cm P
Considerando a matriz
0 2 A= −1 2
Considerando a matriz 1 2 0 −1 A= 1 0 2 2
T
99
95
2 1 3 0
10
o valor de det(A) ´e A 7 B 6 y C 5 D 4 E nda 60◦
´ REGRA DE CHIO
1 2 4 1
x
vale A 53 y B 54 C 55 y D 56
10
3 0 1 0
2 1 1 2
2 1 3 4
1 2 4 1
o valor de det(A) ´e A -43 B -44x y C -45 x D -46 E nda
100 Considerando a matriz
o valor de det(A) ´e A 1 B 2 y C 3 D 4 E nda
2 2 A= 0 2
3 2 3 3
5 2 4 2
04. (A)33 (B)1 800 (C)10 (D)6 (E)21 (F)120x80 (G)Pedro:22, Paulo:17 (H)3 (I)12 (J)0 ou 5
03. (A)13,5 (B)3/4 (C)21 x (D)-21 (E)4 (F)1 ou 4/3 (G)2/3 EREM SAL − 2019 (H)∅ y (I)1/2 ou -3 (J)1 ou -3/2
GABARITO Q 01 02 03 04 05 06 x 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 x 24 25
G B E D E A C A C C C C A D A B C A B D A A
Q 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
G B C A D A C A A B A B E A D B C A A B E A B E A C
Q 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
G A B A C A B B A A A C A A C C A B C A B A A B C A
Q 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00
G B C A B A D A C A B A B A C B D A B B A C A B D A
2 4 3 2
96 Considerando a matriz 1 3 2 −1 A= 1 1 2 3
1 2 4 1
2 1 3 2
o valor de det(A) ´e A 4 B 3 y C 2 D 1 E nda
97 Considerando a matriz 1 0 1 −1 A= 1 1 2 3 o valor de det(A) ´e A -5 B -6 C -7
o valor x de det(A) ´e A -54 B -55 y C -56 D -57 E nda
10
1 2 −1 1
2 1 3 2
GABARITO 01. (A)-38 (B)14 (C)1 (D)14 (E)-1 x (F)-14/15 (G)5/3 (H)-15/12 (I)-17/30 (J)-623/25 (K)-79 (L)152 (M)-747/8 .
02. (A)137 200 (B)1 120 (C)23 415 (D)6 350 427 (E)774 350 (F)266 (G)204 (H)6 (I)1 (J)14 . . .
x
x
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 8
x
.... y .... 10 y
x 01
A
(SSA 2018) A fim de se preparar para uma maratona, Mary cos treinou de segunda a sexta, correndo, a cada dia, dois quilˆ ometros a mais que no dia anterior. Se, no total, ele correu 70km, quantos quilˆ ometros totalizou o treino de quinta-feira? A 10 B 14 y C 16 D 18 E 20
02 (SSA 2017) yAs medidas dos lados AB, BC e CA de um triˆ angulo ABC formam, nessa ordem, uma progress˜ ao aritm´etica.
1 2x C 3 D 4 E 5 B
05 (ENEM 2010) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de forma¸ca ˜o das xfiguras est´ a representada a seguir:
x
B
2x
x+1
x 3x C ...................... A Qual ´e a medida do per´ımetro desse triˆ angulo? A 5 B 6 y C 7 D 8 E 9 03 (SSA 2016) Brincando de construir sequˆencias num´ericas, Marta descobriu que em uma determinada progress˜ ao aritm´etica, a soma dos cinquenta primeiros termos ´e S50 = 2550. Se o primeiro termo dessa progress˜ ao ´e a1 = 2, qual o valor que ela ir´ a encontrar fazendo a soma S27 + S12 ? A 312 B 356 y C 410 D 756 E 912
.. Que express˜ ao fornece a quantidade de canudos em fun¸ca ˜o da quantidade de quadrados de cada figura? A C = 4Q B C = 3Q + 1 y C C = 4Q − 1 D C =Q+3 E C = 4Q − 2
06 (ENEM 2013) As proje¸co ˜es para a produ¸c˜ ao de arroz no per´ıodo de 2012-2021, em uma determinada regi˜ ao produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante x da produ¸ c˜ ao anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que ser´ a produzida nos primeiros anos desse per´ıodo, de acordo com essa proje¸ca ˜o.
x
04
....... total de arroz, em toneladas, que dever´ a ser x (ENEM 2018) A Transferˆencia Eletrˆ onica Dispon´ıvel (TED) A quantidade produzida no per´ ıodo de 2012 a 2021 ser´ a de ´e uma transa¸ca ˜o financeira de valores entre diferentes bancos. Um economista decide analisar os valores enviados por meio A 497,25 de TEDs entre cinco bancos (1, 2, 3, 4 e 5) durante um mˆes. B 500,85 y Para isso, ele disp˜ oe esses valores em uma matriz A = [aij ], C 502,87 em que 1 ≤ i ≤ 5 e 1 ≤ j ≤ 5, e o elemento aij corresponde D 558,75 ao total proveniente das opera¸c˜ oes feitas via TED, em milh˜ ao E 563,25 07 de real, transferidos do banco i para o banco j durante o mˆes. Observe que os elementos aij = 0, uma vez que TED ´e uma (ENEM 2012) Jogar baralho ´e uma atividade que estimula o transferˆencia entre bancos distintos. Esta ´e a matriz obtida racioc´ınio. Um jogo tradicional ´e a Paciˆencia, que utiliza 52 para essa an´ alise: cartas. Inicialmente s˜ ao formadas sete colunas com as cartas. A=
0 0 1 0 3
2 0 2 2 0
0 2 0 2 1
2 1 1 0 1
2 0 1 0 0
Com base nessas informa¸co ˜es, o banco que transferiu a maior quantia via TED ´e o banco
A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a a terceira tem trˆes cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente at´e a s´etima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que s˜ ao as cartas n˜ ao utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte ´e A 21 B 24
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 9
x
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE I
y
C 26 D 28 E 31 BIM - I
D E
08 (ENEM 2016) Com o objetivo de trabalhar a concentra¸ca ˜o e a sincronia de movimentos dos alunos de uma de suas turmas, um professor de educa¸ca ˜o f´ısica dividiu essa turma em trˆes grupos (A, B e C) e estipulou a seguinte atividade: os alunos do grupo A deveriam bater A palmas a cada 2s, os alunos do grupo B deveriam bater palmas 3a cada 3s e os alunos do grupo C deveriam bater palmas a cada 4s. O professor zeB 1 C s 1 come¸ rou o cronˆ ometro e os trˆes grupos caram a bater palmas quando ele registrou 1s. Os movimentos prosseguiram at´e o cronˆ ometro registrar 60s. Um estagi´ ario anotou no papel encia formada pelos ins4 a sequˆ 3 tantes em que os trˆes grupos bateram palmas simultaneamente. t 3 anotada? Qual ´e o termo geral da sequˆencia A 12n com um n´ umero natural, tal que 1 ≤ n ≤ 5 60◦ B 24n com um n´ umero natural, tal que 1 ≤ n ≤ 2 y C 12(n − 1) com um n´umero natural, tal que 1 ≤ n ≤ 6 umero natural, tal que 1 ≤ n ≤ 5 D 12(n − 1) + 1 com um n´ umero natural, tal que 1 ≤ n ≤ 3 E 24(n − 1) + 1 com um n´
x
538 y 699
x
10
GABARITO Q 01 EREM SAL − 2019 02 03 04 05 06 07 08 09 10
G C A E A B D B D D C
x
T
Use o gabarito apenas para verificar sua resposta, caso tenha 30cm errado, n˜ ao desanime, volte aos seus c´ alculos e procure onde P e cometeu o erro. Errar ´ vocˆ e muito importante, pois ´e atrav´es do erro que muitas vezes aprendemos.
09 (ENEM 2016) Sob orienta¸ca ˜o de um mestre de obras, Jo˜ ao e Pedro trabalharam na reforma de um edif´ıcio. Jo˜ ao efetuou reparos na parte hidr´ aulica nos andares 1,3,5,7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte el´etrica nos andares 1,4,7,10, e assim sucessivamente, de trˆes em trˆes andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no u ´ltimo andar. Na conclus˜ ao da reforma, o mestre de obras informou, em seu relat´ orio, o n´ umero de andares do edif´ıcio. Sabe-se que, ao longo da execu¸ca ˜o da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidr´ aulicas e el´etrica por Jo˜ ao e Pedro. Qual ´e o n´ umero de andares desse edif´ıcio? A 40 B 60 y C 100 D 115 E 120
x
10 O gr´ afico, obtido a partir de dados do Minist´erio do Meio Ambiente, mostra o crescimento do n´ umero de esp´ecies da fauna brasileira amea¸cadas de extin¸ca ˜o.
x
.............. Se mantida, pelos pr´ oximos anos, a tendˆencia de crescimento mostrado no gr´ afico, o n´ umero de especies amea¸cadas de extin¸ca ˜o em 2011 ser´ a igual a: A 465 B 493 C 498
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 10
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE II x
...... BIM - I
EREM SAL − 2019 A 3 1 B 1 C
s
4
3 3
t
T 60◦
30cm P
EXERC´ICIOS ⊂ BIMESTRE II SISTEMAS LINEARES GEOMETRIA ESPACIAL
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 11
ˆ ´ EREMSAL - ESCOLA DE REFERENCIA EM ENSINO MEDIO DE SALGUEIRO Exerc´ıcios de Matem´ atica
S´erie: 2o ano
DATA:
NOME: NOTA:
y
,
de 3,0 pontos.
PROFESSOR: Carmos Fernandes da Costa
y
´ CONTEUDO: Sistemas Lineares e Geometria ˜ DESCRIC ¸ AO: Lista de Exerc´ıcios Bim II
y + z = 6 2x + 2x + y − z = 4 y x 6x − 6y − 3z = 3 10 ˜ DE UM SISTEMA SOLUC ¸ AO A solu¸ca ˜o desse sistema ´e LINEAR A (2, 1, 2) y B (2, x1, 1) 01 C (1, 1, 3) Verifique qual das triplas ordenadas D (1,x 2, 1) a seguir ´e solu¸ca ˜o da equa¸ca ˜o linear 07 x + 2y + 4z = 1. Observe o sistema linear a seguir. A (0, -4, -1) y B (1, 1, 1) z = 6 2x + y + x − z = 1 C (1, 2, 3) 2z = 6 D (-1, 3, -1) A solu¸ca ˜o desse sistema ´e 02 A (3, -4, 5) Sendo x e y solu¸co ˜es do sistema linear a y B (5,x -4, 3) seguir. C (4, -5, 3) 3x + 2y = 14 D (3, -5, 4) 2x + y = 8
10
Sobre os valores das tarifas, analise as afirma¸co ˜es abaixo: I. O valor da tarifa do mirante T corresponde ao dobro do valor da tarifa do mirante P . II. O valor da tarifa do mirante S corresponde a trˆes quartos do valor da tarifa do mirante T . III. O valor da tarifa do mirante P corresponde a 40% do valor da tarifa do x mirante S. Est´ a CORRETO o que se afirma em A II B II e III y C III D I e II E I e III
´ SISTEMAS LINEARESE
10
08
Qual o valor de x · y? A 2 y B 4 C 8 D 10
03 Observe o sistema linear z x + 2y + 2x + y − z 3x − y − 2z
a seguir. = 9 = 3 = −4
/ /2020 No :
(SSA) Um dos componentes para o c´ alculo da posi¸ca ˜o de uma sele¸ca ˜o de futebol no ranking da Fifa ´e a importˆ ancia dos jogos disputados nos u ´ltimos quatro anos. A pontua¸ca ˜o varia de acordo com trˆes tipos de jogo: x 1: jogos amistosos; • Tipo • Tipo 2: torneios continentais ou Copa das Confedera¸co ˜es; • Tipo 3: Copa do Mundo. O quadro seguinte mostra o n´ umero de jogos realizados por trˆes sele¸co ˜es de futebol nos u ´ltimos quatro anos, por tipo de competi¸ca ˜o e o total de pontos obtidos.
(SSA) Trˆes sat´elites, Alfa, Beta e Gama, x percorrem a mesma o ´rbita circular, no sentido hor´ ario, em torno do planeta Dur˜ ao, conforme mostra a figura a seguir:
............. Para Alfa chegar a ` posi¸ca ˜o de Gama, percorre 231 UE (Unidades Espaciais). Para Beta chegar a ` posi¸ca ˜o de Alfa, percorre 242 UE, e para Gama chegar a ` Sele. T. 1 T. 2 T. 3 T. Pts. posi¸ca ˜o de Beta, percorre 281 UE. Alfa 22 3 3 43 Nessas condi¸co ˜es, quanto mede o com04 Beta 12 5 4 43 primento total da o ´rbita? x Gama 10 6 6 52 Observe o sistema linear a seguir. A 377 UE z = 6 x + 2y + De acordo com esses dados, quantos B 473 UE y − z = −1 pontos vale um jogo na Copa das Confe- y C 512 UE 3z = 6 dera¸co ˜es? D 523 UE Considerando esse sistema, o valor de A 1,0 pontos. E 754 UE x · y · z ´e y B 2,5 pontos. 10 ˜ DE SISTEMAS A 1 CLASSIFICAC ¸ AO y C 3,0 pontos. y B 2 LINEARES D 3,5 pontos. C 3 E 4,0 pontos. 11 D 4 09 Observe 05 x o sistema linear a seguir. (SSA) Para subir nos mirantes P , S e T −2x + 2y + z = 9 x Observe o sistema linear a seguir. da torre de TV de uma cidade, a Pre2x + y − z = 3 z = 2 −2x + 2y + feitura cobra valores diferenciados aos 6x − 6y − 3z = −4 2x + y − z = 1 visitantes em fun¸c˜ ao da altura dos mi- A respeito desse sistema, assin´ a-le a al 6y − 3z = 0 rantes. ternativa correta. A solu¸ca ˜o desse sistema ´e O quadro a seguir mostra o n´ umero de A Esse sistema ´e poss´ıvel e determinado. A (2, 1, 2) visitantes de cada mirante e o valor ar- B Esse sistema ´e poss´ıvel mas indetermiy B (2, 1, 1) recadado em um final de semana. y C nado. C (1, 1, 3) Esse sistema ´e imposs´ıvel. D (1, 1, 2) D Esse sistema ´e imposs´ıvel e determiDIA P S T R$ 06 nado. SEX 80 40 60 2 440,00 .... 12 x SAB 60 40 50 2 080,00 Observe o sistema linear a seguir. DOM 80 30 60 2 290,00 Observe o sistema linear a seguir. Qual das triplas ordenadas a seguir ´e solu¸ca ˜o desse sistema? A (2, 1, 3) y B (3, 2, 1) C (1, 2, 3) D (1, 3, 2)
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 12
x
x x
x
y
y z = 9 −2x + 2y + 2x + y − z = 3 x − 5y − 3z = −4 BIM - I Esse sistema ´e classificado como y A Sistema poss´ıvel e determinado. B Sistema poss´ ıvel e indeterminado. C Sistema imposs´ıvel.
D E
Observe o sistema linear a seguir. A z = 9 3 2x + 2y − 4x + 4y − 2z = 18 x − 5y − 3z = −4 s 1 B 1 Esse sistema ´e classificado como y A Sistema poss´ıvel e determinado. B Sistema poss´ ıvel e indeterminado. 4 3 C Sistema imposs´ıvel. 3
t
Observe o sistema linear a seguir. 9 −5x + 5y + 5z = 2x + y − z = 3 5x − 5y − 5z = −4 Esse sistema ´e classificado como y A Sistema poss´ıvel e determinado. B Sistema poss´ ıvel e indeterminado. C Sistema imposs´ıvel.
15 Observe o sistema linear a seguir. 9 5x + 5y + 5z = 2x + y − z = 3 3x − 5y − 2z = −4 Esse sistema ´e classificado como y A Sistema poss´ıvel e determinado. B Sistema poss´ ıvel e indeterminado. C Sistema imposs´ıvel.
16
x
20 nda
8cm
19
13
14
12cm x Observe o sistema a seguir. 2x + 2y − z = 9 2 A 45cm 4x + 4y + z = 10 y B 46cm2 4x + my − z = 2 2 C 47cm EREM SAL − 2019 Qual deve ser o valor de m para que o D 48cm2 x seja poss´ıvel e determinado? sistema 26 A m 6= −4 Determine a raz˜ ao entre a a ´rea sombreB m 6= 4 Cy C m 6= −5 ada eya ´rea total da D m 6= 5 figura a seguir. E m 6= 0
20 Observe o sistema a seguir. T 2x + 2y − 2z = 1 x bx + 60y◦ + 30cm z = 0 4x + y − z = 2 P Qual deve ser o valor de b para que o y sistema seja poss´ıvel e indeterminado? A 1 B 2 y C 3 D 4 y E nda
x
10 y 10
B
C D E
a 6= −1 a 6= 6 a 6= −6 nda
x
3cm
x ............ A 6 B 4,5 C 10,5 D 0,5
x
2cm
3cm
2cm x
27 Determine a a ´rea da regi˜ ao sombreada na figura.
x
´ GEOMETRIAE x
´ AREAS DE FIGURAS PLANAS
x x
21
Qual ´e a a ´rea de um retˆ angulo cuja base mede 8cm e a altura 3, 5cm? A 26cm2 y B 27cm2 A 70cm2 2 y x C B 71cm2 28cm de D 29cm2 C 72cm2 D 73cm2 22
(FGV) Dado o sistema linear equa¸co ˜es, nas inc´ ognitas x, y e z: 3y − z = 9 x + 2x − y + z = −4 Um terreno retangular tem 15 m de −x + 11y − 5z = m frente por 31,2 m de fundo (lateral). podemos afirmar corretamente que o sisQual ´e a ´erea desse terreno? tema ´e: A 400cm2 A imposs´ıvel para m = 10 y B 406cm2 B poss´ ıvel, qualquer que seja m. C 468cm2 y C indeterminado para m 6= 35. D 470cm2 D determinado para m = 35. 23 E imposs´ıvel, qualquer que seja m. Calcule aa ´rea de um retˆ angulo cuja base 17 medex 5cm a mais que a altura, sabendo Observe o sistema a seguir. que o retˆ angulo tem 38cm de per´ımetro ax + 3y = 9 A 64cm2 2x − y = −4 y B 84cm2 Qual deve ser o valor de a para que o C 94cm2 y sistema seja poss´ıvel e determinado? D 104cm2 A a 6= 1
y
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE II
24
Uma placa de alum´ınio tem a forma de um paralelogramo cujas medidas da base e da altura s˜ ao, respectivamente, 1, 2m e 0, 85m. Calcule a a ´rea da superf´ıcie 18 dessaxplaca. Observe o sistema a seguir. A 1, 02cm2 2x + 2y = 9 y B 10, 2cm2 4x + 4y = n 2 Qual deve ser o valor de n para que o C 1020cm 2 D 10200cm sistema seja poss´ıvel e indeterminado? 25 A 10 B 14 Determine a a ´rea da regi˜ ao sombreada C 18 da figura a seguir:
28 x Com seis retˆ angulos idˆenticos formamos um retˆ angulo maior, com um dos lados medindo 21cm, como na
x
gura.
x ............ Qual ´e a a ´rea do retˆ angulo maior? A 588cm2 B 558cm2 C 120cm2 D 126cm2
29 x No retˆ angulo da figura temos CD = 6cm e BC = 4cm. O ponto E ´e o ponto m´edio do lado AB.
............ x Qual ´e a a ´rea da regi˜ ao sombreada? A 12cm2
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 13
x
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE II
y
y
15cm2 C 18cm2 D 20cm BIM -2I B
30
√ 96 2 96√ 96 3
POL´IGONOS REGULARES E 4 3 C´IRCULOS 31
3
t
Determine a a ´rea, em cm2 , da regi˜ ao sombreada a seguir. 10cm
Calcule a medida do lado e do ap´ otema do quadrado inscrito numa circunferˆencia de raio 40cm. √ √ A l = 40 2 e a = 20 2 √ √ B l = 41 2 e a = 21 2 √ y C l = 20 2 e a = 40√2 √ √ D l = 21 2 e a = 41 2 √ √ E l=4 2 e a=2 2
x Determine aa ´rea da superf´ıcie cinza.
............. A 20π B 25π C 50π D 75π E 100π T
10
(Fuvest piscinas do Cenx 2014)60◦Uma das30cm tro de Pr´ aticas Esportivas da USP tem P agonos regulares o formato de trˆes hex´ congruentes, justapostos, de modo que cada par de hex´ agonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distˆ ancia entre lados paralelos de cada hex´ agono ´e de 25 metros.
x
´ PRISMAS E
(UCSal-BA) No prisma reto de base triy angular, da figura, todas as arestas medem 2 m.
x x
x
........................ O volume desse prisma, em metros c´ ubicos, ´e: √ A2 2 √ B 2 3 y C 4 √ D 4 2 √ E 4 3
x
34 x
42 A diagonal de um cubo mede 16cm. Determine a a ´rea total desse cubo em cm2 . A 512 B 256 C 500 D 250 E 236
43
x
x
(UF-AM) Deseja-se produzir 1000 caixas de papel˜ ao (com tampa), na forma de um paralelep´ıpedo retˆ angulo, conforme mostra a figura.
x
y
10cm
........... O per´ımetro do pol´ıgono AQCEF , em dm, ´e igual a √ A 4+ 2 √ B 4+ 3 35 y C 6 √ x Determine a a ´rea do hex´ agono a seguir, D 4 + 5 √ em cm2 . E 2(2 + 2)
............. √ A 96 7 B 93
x
41
............. Assinale a alternativa que mais se aproxima da a ´rea, em m2 , da piscina. A 1600 33 B 1800 x Calcule a medida do lado e do ap´ otema y C 2000 do hex´ agono regular inscrito numa cirD 2200 y cunferˆencia de raio 12cm. √ E 2400 A l = 12 e a = 12 3 √ 38 B l = 6 e a = 6 3 y C l = 12 e a = 6√3 (FGV) Na figura, ABCDEF ´e um √ D l = 6 e a = 12 3 hex´ a gono regular de lado 1dm, e Q ´e √ E l = 11 e a = 7 3 o centro da circunferˆencia inscrita a ele. Determine o ap´ otema do pol´ıgono (hept´ agono) inscrito em uma moeda antiga de 25 centavos, sabendo que o seu diˆ ametro ´e aproximadamente 24 mm e o lado do pol´ıgono inscrito ´e 10 mm. √ A √19mm B 11mm y C √119mm √ D √110mm E 120mm
6cm
........... A 114 B 36 y C 150 √ D 36 3 − 150π y E 150√3 − 36π
32 Calcule a medida do lado e do ap´ otema do triˆ angulo equil´ atero inscrito numa circunferˆencia de raio 16cm. √ A l=8 3 e a=8 √ B l = 16 3 e a = 8 √ y C l = 3 e a = 16 √ D l = 8 3 e a = 16 √ E l = 16 3 e a = 16
x
x EREM SAL − 2019
37 x
x
y
40
36
Parte do telhado de uma casa tem a forma de um trap´ezio. Calcule a a ´rea dessa parte do telhado sabendo que as bases medem 15m e 8m e a altura mede 3m. A 3 A 34, 0cm2 y B 34, 5cm2 s 1 B 1 C C 35, 0cm2 2 D 35, 5cm y
y 10
C D E
25cm
x
12cm
Sabendo que o metro quadrado de papel˜ ao custa R$10,00, o custo do papel˜ ao usado para construir essas caixas ´e de: A R$ 1 340 000,00 39 B R$ 134 000,00 x 13 400,00 Aa ´rea de um hex´ agono regular de lado l C R$ y D R$ 1 340,00 ´e igual a: √ √ √ B 3 3l2 A 2 3l2 E R$ 10 000,00 C 6 3l2 . 3√ 2 2√ 2 44 D E 3l 3l 2 3 (UF-RS) Na figura abaixo, encontra-se representada a planifica¸ca ˜o de um s´ olido
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 14
x
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE II
y
de base quadrangular cujas medidas est˜ ao indicadas. BIM - I
10
6 6
6
10
6
6 6
10
A 10
3
s
1 B 1 C
47
mesmos formato e volume, de tal modo x dimens˜oes de sua base sejam 25% (Enem-MEC) Alguns objetos, durante a que as sua fabrica¸ca ˜o, necessitam passar por um maiores que as da lata atual. Para obter a altura da nova lata, a altura yprocesso de resfriamento. Para que isso ocorra, uma f´ abrica utiliza um tanque de da lata atual deve ser reduzida em: A 14,4% resfriamento, como mostrado na figura. B 20,0% y SAL EREM − 2019 C 32,0% D 36,0% 5cm 25cm E 64,0%
50 y
30cm x
40 cm
O volume desse s´ olido ´e: A 144 B 180 y C 216 D 288 E 360
51
x
Determine oy volume da pirˆ amide de base quadrada e altura 21 a seguir.
x
O maior valor poss´ıvel para x, em cent´ımetros, para que a caixa permane¸ca dentro dos padr˜ oes permitidos pela Anac ´e: A 25 B 33 C 42 y D 45 E 49
x
(UF-AM) De uma folha de alum´ınio retangular de 80 cm de largura e 10 m de comprimento, deseja-se construir uma calha conforme o projeto a seguir: x
... 4 O que aconteceria com o n´ıvel da a ´gua 3 de coloc´ a ssemos no tanque um objeto t 3 cujo volume fosse de 2T400 cm3 ? 80 cm A O n´ıvel subiria 0,2 cm, ´gua 30cmfazendo a a 60◦ ficar com 20,2 cm de altura. P B O n´ ıvel subiria 1 cm, fazendo a a ´gua 45 10 m ficar com 21 cm de altura. x (Enem-MEC) Conforme regulamento C O n´ıvel subiria 2 cm, fazendo a a ´gua da Agˆencia Nacional de Avia¸ca ˜o Cificar com 22 cm de altura. vil (Anac), o passageiro que embarcar D O n´ıvel subiria 8 cm, fazendo a a ´gua em voo dom´estico poder´ a transportar y transbordar. bagagem de m˜ ao, contudo a soma das E O n´ıvel subiria 20 cm, fazendo a a ´gua 10m x x dimens˜ oes da bagagem (altura + compritransbordar. mento + largura) n˜ ao pode ser superior 48 Sabendo que as paredes s˜ ao perpendicua 115 cm. (Enem-MEC) Um fazendeiro tem um laresxao fundo da calha, qual o valor de x A figura mostra a planifica¸ca ˜o de uma dep´ osito para armazenar leite formado para que o volume da calha seja o maior caixa que tem a forma de um paralepor duas partes c´ ubicas que se comuni- poss´ıvel? lep´ıpedo retˆ angulo. cam, como indicado na figura. A aresta A 15 cm y da parte c´ ubica de baixo tem medida B 18 cm 24cm igual ao dobro da medida da aresta da y C 19 cm parte c´ ubica de cima. A torneira utili- D 20 cm y zada para encher o dep´ osito tem vaz˜ ao y E 25 cm constante e levou 8 minutos para encher 90cm 10 ˆ PIRAMIDES metade da parte de baixo.
x
x x
21
............... x Quantos minutos essa torneira levar´ a para encher completamente o restante y do dep´ osito? A 8 B 10 46 y C 16 (UF-RS) Os v´ertices do hex´ agono som- D 18x breado, na figura abaixo, s˜ ao pontos E 24 m´edios das arestas de um cubo. 49
............... A 650 B 700 C 750 D 800 E 850
(Enem-MEC) Uma lata de tinta, com a y forma de um paralelep´ıpedo retangular reto, tem as dimens˜ oes, em cent´ımetros, mostradas na figura.
40 24 24 ............... x os Ser´ a produzida uma nova lata, com
10
x
52 y a pirˆ Considere amide de base quadrada e ap´ otema igual a 10cm a seguir. 10cm
y
x ............... Se o volume do cubo ´e 216, o per´ımetro do hex´ agono ´e: √ A 3 2 √ B 6 2 √ C 9 2 √ D 12 2 √ E 18 2
x
x
x ............... 12cm Aa ´rea total dessa pirˆ amide ´e: A 344 B 354 C 364 D 374 E 384
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 15
x
y
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE II
√ 72 √ 3 x√ 3 (INTEGRADO RJ) Uma pirˆ amide est´ a B 108 y BIM -num I y inscrita cubo, como mostra a figura C 72√7 D 36 6 abaixo. √ E 36 7
53
x
62
A
Um reservat´ orio em formato cil´ındrico possui raio igual a 2 metros e sua altura ´e de 10 metros. Qual ´e o volume desse reservat´ orio? 57 Obs.: Considere π = 3, 14 x 6m3 (SSA) Uma pirˆ amide quadrangular re- A 15, √ EREM SAL − 2019 3 B ....................... 115, 6m gular tem volume V = 36 7 cent´ımetros x y C Sabendo-se que o volume da pirˆ a mide ´ e 100, 6m3 c´ ubicos. Se a aresta da base mede 6cm, A 3 3 de 6m , ent˜ ao, o volume do cubo, 3 em qual ´e o valor aproximado de sua a ´rea D 75, 6m 3 3 E m , ´e igual a: 125, 6m3 total em cm √? s 1 B 1 C Considere A 9 2 = 1, 4 63 B 12 A 105 Determine aa ´rea lateral em cm2 de um y C 15 B 135 cilindro reto de altura 18, 5cm e diˆ ametro y C 137 D 18 4 da base 17cm. 3 E 21 D 208 A 314, 0π t 3 T E 214 54 B 314, 5π A grande pirˆ amide de Qu´eops, antiga constru¸ca ˜o localizada no Egito, ´e uma pirˆ amide regular cuja base ´e um quadrado de lado 36m. Sabendo que a altura dessa pirˆ amide ´e de 137m, ent˜ ao o seu volume em m3 ´e de: A 59 184 B 53 088 y C 26 544 D 79 432 E nda
58y x
60◦
y
30cm
Determine o volumeP do tronco de pirˆ amide a seguir de bases quadradas e altura 8cm:
5cm
10 6cm
´ CILINDROS E 61
Num cilindro reto, o raio da base mede 4cm e a altura 6cm, ent˜ ao a a ´rea total x desse cilindro em cm2 ´e A 77π B 78π C 79π D 80π
x
314, 7π x 8π 314, nda
64
Um cilindro equil´ atero tem volume 54πcm3 . A a ´rea total desse cilindro, em cm2 , ´e: A 9π B 27π y C 36π x D 54π E 81π
12cm ........ 1832 A x3 (Pucsp) Um imperador de uma anB 1832 tiga civiliza¸ca ˜o mandou construir uma 8 pirˆ amide que seria usada como seu C 3 y t´ umulo. As caracter´ısticas dessa D 1800 pirˆ amide s˜ ao: 1832 E I - Sua base ´e um quadrado com 100m 5 de lado. 59 II - Sua altura ´e de 100m. Um tronco de pirˆ amide quadrangular rePara construir cada parte da pirˆ amide gular tem a ´reas das bases iguais a 100cm2 3 equivalente a 1000m , os escravos, utilie 64cm2 . Se o ap´ otema do tronco mede y zados como m˜ ao-de-obra, gastavam, em 6cm, qual ´e a a ´rea total do tronco em m´edia, 54 dias. Mantida essa m´edia, o cm2 ? tempo necess´ ario para a constru¸ca ˜o da A 320 pirˆ amide, medido em anos de 360 dias, B 340 foi de y C 360 A 40 anos. D 380 B 50 anos. E 400 y C 60 anos. 60 D 90 anos. E 150 anos. Uma pirˆ amide regular tem 10m de altura. Sua base ´e um hex´ agono com 3m 56 de lado. O volume dessa pirˆ amide, em 3 x (SSA) Quanto mede o volume, em cm , metros c´ u bicos, ´ e √ da pirˆ amide regular de base quadrada 27 3 y ca cuja planifica¸ ˜o est´ a representada na A 2 √ figura a seguir? B 27 3 √ y C 45 3 √ D 90 3 9cm 9cm y E 135√3 55
C D E
x
x
65 Um caminh˜ ao pipa carrega 9, 42mil liros d’´ agua. Para se encher uma cisterna cil´ındrica com 2m de diˆ ametros e 3m de altura s˜ ao necess´ arios, no m´ınimo: A 10 caminh˜ oes. B 100 caminh˜ oes. C 1x caminh˜ ao. D 2 caminh˜ oes. E 4 caminh˜ oes. Obs.: Um m3 equivale a 1000l e use π = 3, 14.
x
66 (SSA-UPE) Em junho, foi anunciado o lan¸camento do menor computador de alta performance, que pode ser carregado com uma s´ o m˜ ao. Ele tem a inusitada forma de um cilindro, com 16cm de y x e 25cm diˆ ametro de altura, como mostra a figura a seguir:
16cm
25cm
x .................. Ele ´e xrevestido externamente com uma pintura em tom conhecido como sleek x ou verde lustroso. green Qual a medida da a ´rea, em cm2 , pintada desse computador? Obs.: Use π = 3 A 384 B 1 200 C 1 392
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x
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE II
y
y D E
e em seguida despeja dentro do maior.
1 584 1 968
10cm
67 BIM - I x
(Pucsp) O retˆ angulo ABCD seguinte, representado num sistema de coordey nadas cartesianas ortogonais, ´e tal que A = (2; 8), B = (4; 8), C = (4; 0) e D = (2; 0).
y
A
B
75
5cm 18cm 9cm
EREM SAL − 2019
3
fig 1
1 B 1 C
fig 2
3cm
68 Um cilindro possui volume igual a 7850cm3 e seu diˆ ametro mede 10 cent´ımetros. Qual ´e a medida da altura desse cilindro? Considere π = 3, 14. A 50cm y B 100cm C 120cm y D 150cm E 200cm
x
72
10cm x
70 Rafaela pretende encher um recipiente na forma de cilindro reto, representado na f ig1 a seguir. Para isso ela utilizar´ a outro recipiente, tamb´em com formato cil´ındrico, representado pela f ig2. Ela enche completamente o recipiente menor
x .................. Os valores da a ´rea total e do volume desse cone s˜ ao respectivamente: Obs.: Use π = 3, 14. A 113,04 e 50,24 B 500,24 e 100, 04 C 200,24 e 50,24 D 113,04 e 100,24 E NDA 76 Calcule a a ´rea total de um cone circular reto cujo raio da circunferˆencia da sua x base mede 4cm e sua geratriz 5cm. x A 34π B 35π C 36π D 37π E 38π
A 10cm
y x
A figura a seguir representa a planifica¸ca ˜o de um cilindro.
........... O volume e a a ´rea total, respectivamente, desse cilindro s˜ ao: A 960cm3 e 368cm2 B 950cm3 e 368cm2 C 960cm3 e 168cm2 y D 950cm3 e 168cm2 E NDA
5
O triˆ angulo ABC sofre uma rota¸ca ˜o sobre o eixo y s da figura. Determine o volume do s´ olido gerado.
4cm .................. Obs.: Use π = 3. √ A 5 5 √ B 4 5 √ C 2 3 √ D 3 5 √ E 3
y
15cm
3
x
77
x
Considere o cone a seguir:
16πcm
x
x
..... Qual a quantidade m´ınima de vezes que ela repetir´ a esse processo at´e que o recipiente maior fique completamente cheio? 4 3 A 7 t 3 y B 8 T y C 9 x x D C 30cm 60◦ ........... D 10 Girando-se esse retˆ angulo em torno do y E P NDA eixo das ordenadas, obt´em-se um s´ olido 10 ´ CONES E de revolu¸ca ˜o cujo volume ´e A 24π 71 B 32π 3 Determine o volume, y em cm , do cone a C 36π y D 48π seguir. y E 96π
69
y
Considere o cone a seguir:
A
s
x
25πcm2 C 22πcm2 D 26πcm2 E 27πcm2 B
y
16cm .................. Os valores da a ´rea total e do volume desse cone s˜ ao respectivamente: Obs.: Use π = 3. A 384cm2 e 432cm3 B 432cm2 e 384cm3 y C 423cm2 e 348cm3 xD 348cm2 e 423cm3 E 332cm2 e 384cm3
........x s √ A 5 5π √ B 5π y C 2√3π √ D 3 5π √ E 3π1 fig
3 1 B 15cm C 18cm
x 9cm
fig 2
78
(SSA) Ao projetar o silo para armazenamento de cereais em uma ind´ ustria, um engenheiro apresentou a figura a seguir. Na representa¸ca ˜o desse silo, y M N QP ´e um√quadrado de lado 4 e N R = M R = 2 10.
Q
P
N
M
73 Determine a a ´rea total, em cm2 , de um cone cujo raio da base mede 12cm e a altura mede 9cm. A 320π B 321π y C 322π D 323π E 324π x
x
R
74 Determine a ´ area total de um cone reto de raio da base medindo 3cm e altura medindo 4cm. A 24πcm2
x
........x x Quanto mede o volume do silo projetado? A 24π B 16π
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x
y
y
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE II
A y
3
C 12π D 8π E 6π BIM - I
1 B 1 C
s
79
85
Ao girarmos o trap´ezio abaixo pelo eixo y um s´olido de revolu¸ca˜o. t, determinamos Determine seu volume. A
4 .................. A 36π B 37π y C 38π D 39π E 40π
y
3
3 3
1 B 1 C
s
t
x 4
3 3
t
80 Calcule a a ´rea total e o volume de um y cone circular reto cujo comprimento da circunferˆencia da sua base mede 8πcm e sua geratriz 5cm. A 34π e 16π B 35π e 15π y C 36π e 16π D 37π e 14π y E 38π e 13π
10
´ ESFERAS E
y
81 Determine a a ´rea da superf´ıcie, em cm2 , de uma esfera de raio igual a 2cm. A 16π B 17π y C 18π D 19π E 20π
82 Determine o volume, em cm3 , de uma esfera cujo raio mede 2cm. 32π A 3 B 32 C 64π y 65π D 3 E 65
83
y
y 10
´ GEOMETRIA ESPACIAL E E x RELAC ˜ ¸ AO DE EULER
Duas esferas de chumbo, uma de 3cm e outra de 6cm de raio, fundem-se e for91 mam outra esfera. Calcule o raio aproxi´ correto a afirma¸ca madox dessa nova esfera. (Funesp-SP) E ˜o: A Se dois planos forem perpendiculares, A 6, 3cm B 7, 3cm todo plano perpendicular a um deles EREM SAL − 2019 ser´ a paralelo ao outro. C 8, 3cm B Se dois planos forem perpendiculares, D 9, 3cm toda reta paralela a um deles ser´ a perE 10, 3cm pendicular ao outro. 86 C Duas retas paralelas a um plano s˜ ao x Duas esferas met´ alicas maci¸cas, uma com paralelas. raio igual a 4cm e a outra com raio de D Se duas retas forem ortogonais rever8cm, s˜ ao fundidas e moldadas em forma sas, toda ortogonal a uma delas ser´ a de um cilindro circular reto com altura paralela a ` outra. igual a 12cm. Determine, em cm, o raio y E Se duas retas forem ortogonais, toda T do cilindro. paralela a uma delas ser´ a ortogonal ou A 5 30cm 60◦ perpendicular a ` outra. B 6 92 x P C 7 (UF-MT) Sobre geometria espacial de D 8 posi¸ c a ˜ o, assinale a afirmativa correta. E 9 A Se dois planos s˜ ao paralelos a uma 87 reta, ent˜ ao eles s˜ ao paralelos entre si. x pontos no espa¸co determinam Calcule o volume, em cm3 , de uma esfera B Quatro 2 quatro planos. de 100πcm de a ´rea. Use π = 3, 14. C Trˆ es planos distintos podem se cortar, A 520,3 dois a dois, segundo trˆes retas duas a B 523,3 duas paralelas. C 525,3 D A interse¸ ca ˜o de dois planos secantes D 528,3 y pode ser um u ´nico ponto. 531,3 E x E Duas retas reversas determinam um 88 x plano. x Considere uma laranja como uma es93 fera composta de 12 gomos exatamente ao retas distintas tais iguais. Se a laranja tem 8cm de diˆ ametro, (Mack-SP) r, s e t s˜ que s ⊥ r e t ⊥ r. Relativamente a `s retas qual ´e o volume aproximado de cada s e t, ´e correto afirmar que: gomo? A Elas podem ser unicamente paralelas A 17cm3 ou concorrentes. 3 B 18cm B Elas podem ser unicamente paralelas 3 C 20cm ou reversas. x D 22cm3 C Elas podem ser unicamente concorrenE 24cm3 ou reversas. y D tes Elas podem ser paralelas, concorrentes 89 ou reversas. x (UFPE) Derretendo uma pe¸ca maci¸ca de E Elas podem ser unicamente reversas. ouro de forma esf´erica, quantas pe¸cas da 94 mesma forma se pode confeccionar com Se F ´e o n´ umero de faces, V ´e o n´ umero este ouro, se o raio das novas pe¸cas ´e de v´ e rtices e A o n´ u mero de arestas de um ter¸co do raio da anterior? Admita um paralelep´ ıpedo retˆ a ngulo, ent˜ a o a que n˜ ao houve perda de ouro durante o soma F + V + A ´ e igual a: x derretimento. A 20 A 3 B 22 B 9 y C 24 C 18 D 26 D 21 E 28 E 27
Uma esfera est´ a inscrita num cubo cuja aresta mede 20cm. Calcule a a ´rea, em cm2 , da superf´ıcie esf´erica. y A 400π B 410π y C 405π D 420π 90 E 450π (UNITAU) Aumentando em 10% o raio 84 de uma esfera a sua superf´ıcie aumentar´ a: x Tomando o raio da Terra 6400km, cal- A 21% B 11% cule a a ´rea do Globo terrestre, em km2 . A 5, 10 × 108 C 31% 8 B 5, 14 × 10 D 24% C 5, 41 × 108 E 30% D 5, 01 × 108 E 4, 15 × 108
x
x x
x
x
x
95
(Unifesp-SP) Considere o poliedro cujos x v´ertices s˜ ao os pontos m´edios das arestas de um cubo.y
x .................. O n´ umero de faces triangulares e o n´ umero de faces quadrangulares desse poliedro s˜ ao, respectivamente: A 8 e 8
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 18
x
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE II
10
8e6 C 6 e 8 D 8BIM e 4- I E 6 e 6 B
y
96 (UF-AM) O n´ umero de faces de um poliedro convexo de 22 arestas ´e igual ao n´ umero de v´ertices. Ent˜ ao o n´ umero de faces do poliedro ´e: A 3 A 6 B 8 s 1 B 1 C y C 10 D 11 E 12
97
4
3
(Cefet-SP) Um poliedro convexo3 tem t 14 arestas e 6 faces. O n´ umero de v´ertices desse poliedro ´e: A 22 B 18 y C 10 D 8 E 6
98 Um poliedro convexo tem 20 v´ertices e 30 arestas. Lembre-se: V + F = 2 + A Este poliedro ´e um: A icosaedro (20 faces). B cubo (6 faces). y C dodecaedro (12 faces). D octaedro (8 faces). E tetraedro (4 faces).
99 Uma caixa no formato de um poliedro precisa ser refor¸cada com 3 parafusos em cada v´ertice, um revestimento de metal nas suas 7 faces e uma aplica¸ca ˜o de uma cola especial em todas as 15 arestas. A quantidade necess´ aria de parafusos ser´ a igual a A 72. B 66. y C 24. D 30. E 10.
x
GABARITO Q 01 02 03 x 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 x 15 16 17 18 19 20 21 22 23 x 24 25
G D C D D D B C C A A C A B C A A D C B E C C B D D
Q 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 60◦ 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
G D C A C B A B C C E B A B D E B A C A E E C B D D
Q 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 T 65 30cm 66 67 P 68 69 70 71 72 73 74 75
G B E D A B E C A D D D E B D C D E B A B B B E C A
Q 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
x G C B A B C SAL − 2019 EREM A A A B A D B D E A A C B D B E C C D A
Use o gabarito apenas para verificar sua resposta, caso tenha errado, n˜ ao desanime, volte aos seus c´ alculos e procure onde vocˆe cometeu o erro. Errar ´e muito importante, pois ´e atrav´es do erro que muitas vezes aprendemos.
x
100 (UF-PI) Um poliedro convexo, constitu´ıdo de faces triangulares e quadrangulares, possui 20 arestas, e a soma dos ´ a ˆngulos de suas faces ´e igual a 2880o . E correto afirmar que esse poliedro possui: A 8 faces triangulares. B 12 v´ ertices. C 10 faces. D 8 faces quadrangulares. E 12 faces quadrangulares.
x
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´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE III x
...... BIM - I
EREM SAL − 2019 A 3 1 B 1 C
s
4
3 3
t
T 60◦
30cm P
EXERC´ICIOS ⊂ BIMESTRE III ´ ´ LISE COMBINATORIA ANA PROBABILIDADES ˆ BINOMIO DE NEWTON
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 20
ˆ ´ EREMSAL - ESCOLA DE REFERENCIA EM ENSINO MEDIO DE SALGUEIRO Exerc´ıcios de Matem´ atica NOME: y y 10
S´erie: 2o ano
DATA:
/ /2020 No :
´ y de 3,0 pontos. CONTEUDO: Combinat´oria, Probabilidade e B. de Newton ˜ PROFESSOR: Carmos Fernandes da Costa DESCRIC ¸ AO: Lista de Exerc´ıcios Bim III NOTA:
,
05
soma-se os dois n´ umeros da face virada para cima. Quantas dessas somas resulx Quantos n´ umeros de 3 algarismos, no x tam em um n´ umero par? 10 ´ sistema decimal, podemos formar utiliPRINCIPIO FUNDAMENTAL y zando apenas os algarismos 0, 2, 3 ou 4? A 36 DA CONTAGEM B 26 A 24 y C 18 B 48 x 01 D 15 y C 64 y x E nda Mariazinha possui 3 pares de sapatos, 4 D 12 cal¸cas e 5 blusas. De quantas maneiras E nda 10 ˜ PERMUTAC ¸ AO diferentes ela pode se vestir utilizando 06 um par de sapatos, uma cal¸ca e uma 11 x (UFAL) Quantos n´ umeros pares de quablusa? tro algarismos distintos podem ser for- De quantos modos diferentes 6 pessoas A 12 mados com os elementos do conjunto podem ser colocadas em fila? B 23 A 700 A = {0, 1, 2, 3, 4}? y C 60 B 120 A 60 D 80 y C 620 B 48 E 120 D 600 y C 36 02 E 720 D 24 x Uma lanchonete disp˜ oe de 4 sabores de E 18 12 sucos, 5 tipos de salgados e 7 tipos de 07 Quantos anagramas distintos podemos doces. Maria ir´ a pedir um suco, um formar x utilizando as letras da palavra salgado e um doce, qual a quantidade de Maria teve 4 filhos. Cada um de seus fi- PERNAMBUCO? lhos lhe deu 5 netos. Cada um de seus maneiras que ela pode fazer esse pedido? netos lhe deu 4 bisnetos e cada um de A 10! A 16 seus bisnetos tiveram 2 filhos. B 27 10! B Quantos s˜ ao os descendentes de Maria? y C 140 2! A 15 D 120 C 9! B 40 E 560 y C 160 03 y D 9! D 264 2! x Uma garota possui 3 pares de sapatos, E 265 5 blusas e 4 cal¸cas. Qual a quantidade E nda 08 de maneiras que ela pode se vestir uti13 x opolis, Gar¸ca e Guaimbˆe, lizando um sapato, uma blusa e uma Sejam Lucian´ trˆes cidades do Estado de S˜ ao Paulo. (FGV) De quantas formas podemos percal¸ca? Se existissem 3 estradas ligando Lu- mutar as letras da palavra ELOGIAR de A 40 cian´ opolis-Gar¸ca, 5 ligando Gar¸ca- modo que as letras A e R fiquem juntas B 50 Guaimbˆe e 3 ligando Lucian´ opolis- em qualquer ordem? y C 60 Guaimbˆ e , de quantas maneiras distin- A 360 D 70 tas uma pessoa poderia viajar de Lu- B 720 E 80 y C 1080 cian´ opolis a Guaimbˆe? 04 A 12 D 1440 Considere a bandeira do Canad´ a a se- B 14x E 1800 y C 16 guir. 14 D 18 Quantos anagramas da palavra ESCOLA E 21 come¸cam com consoante e termina com 09 vogal? x Ao abrir uma conta de banco, Jos´e teve A 72 que cadastrar uma senha formada por B 48 ............. 4 s´ımbolos: duas vogais distintas e dois y C 720 Utilizando pelo menos duas das cores algarismos, tamb´em distintos, escolhidos D 216 Azul, Vermelha, Amarela, Branca e dentre os algarismos de 0 a 9. E nda Verde, quantas pinturas diferentes po- O n´ umero total de senhas v´ alidas que 15 demos realizar sabendo que cada regi˜ ao Jos´e pode formar ´e Jo˜ ao e Maria s˜ ao casados e participar˜ ao deve ser pintada com apenas uma cor e A 28 de um encontro de casais. Ao chegarem regi˜ oes adjacentes devem ter cores dife- B 30 l´ a se depararam com uma brincadeira rentes? y C 1800 onde deveriam formar uma fila indiana A 320 D 2250 juntamente com mais 4 casais. B 310 E 2500 De quantas maneiras pode ser formado C 300 10 essa fila de forma que Jo˜ ao e Maria perD 180 xcam sempre juntos? Lan¸ca-se dois dados de seis faces e depois mane¸ E 170
´ ´ ANALISE COMBINATORIA
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A
3 628 800 B 362 880 y C 40 BIM320 -I D 725 760 E nda
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Quantos n´ umeros de 7 d´ıgitos, maiores Umaxfam´ılia ´e composta por seis pessoas: que 6 000 000, podem ser formados o pai, a m˜ ae e quatro filhos. Num resusando apenas os algarismos 1, 3, 6, 6, taurante, essa fam´ılia vai ocupar uma 6, 8, 8? mesa redonda. Em quantas disposi¸co ˜es 16 A 100 diferentes essas pessoas podem se sentar x em torno da mesa de modo que o pai e a Quantos anagramas podemos formar B 200 EREM SAL − 2019 y m˜ ae fiquem juntos? C 300 com as letras de palavra ARAGUAIA? A D 400 40 A 1780 A y E 500 B 48 3 B 1700 y C 50 y C 1680 10 ˜ CIRCULAR PERMUTAC ¸ AO 1 B 1 C D 52 s D 1600 E 54 x E nda 21
17
Considere um conjunto de 7 pessoas. De x modos diferentes podemos coquantos 3 Quantos anagramas da palavra PIPOCA loc´ a -las em um c´ırculo considerando apresentam as duas letras P juntas? t 3 T apenas as suas posi¸co ˜es? A 540 A 100 30cm 60◦ B 360 B 120 y C 120 P y C 700 D 100 y D 720 E nda E 800 18 4
A figura a seguir representa o mapa de uma cidade, na qual h´ a 6 avenidas na dire¸ca ˜o norte-sul e 6 avenidas na dire¸ca ˜o leste-oeste.
22 x
De quantas maneiras oito pessoas podem se organizar em uma roda para fazer uma ora¸ca ˜o? A 5 040 B 5 000 y C 4 000 D 3 040 y E 3 000
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x
27 x De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar uma roda de ciranda de ˜ modo que pessoas de mesmo sexo NAO fiquem juntas? A 2 880 B 2 770 C 2 660 D 2 550 E 2 440
x
28 x De quantos modos 5 mulheres e 6 homens podem formar uma roda de ciranda de modo que as mulheres permane¸cam juntas? A 89 400 B 88 400 C 87 400 D 86 400 E 85 400 x
Um Ourives ir´ a fixar uma esmeralda, um 29 diamante, um rubi, uma turmalina, uma jade e uma aquamarine sobre uma pul- De quantas maneiras 6 pessoas podem seira que s´ o ser´ a utilizada em um sentido. sentar-se em torno de uma mesa circular Qual a quantidade diferente de maneiras de 6 lugares de modo que duas delas que esse Ourives pode colocar essas pe- fiquem sempre juntas, em qualquer ordem? dras? A 48 A 120 Quantos s˜ ao os trajetos de comprimento B 122 B 46 m´ınimo ligando o ponto A ao ponto B? y C 124 y C 44 A 924 D 42 D 126 B 914 E NDA E 128 y C 252 30 24 D 250 x De quantos modos sete crian¸cas podem (CESPE Adaptada) Uma mesa circular E 242 ao, Matem seus 6 lugares que ser˜ ao ocupados brincar de roda, de modo que Jo˜ 19 pelos 6 participantes de uma reuni˜ ao. ria e Paulo, trˆes dessas crian¸cas, fiquem x As linhas na malha quadriculada abaixo Nessa situa¸ca ˜o, o n´ umero de formas dife- sempre juntas? representa poss´ıveis caminhos para ir do rentes para se ocupar esses lugares com A 12 ponto A ao ponto B. B 24 os participantes da reuni˜ ao ´e igual a y C 114 A 100 D 124 B 110 y C 120 y E 144 D 200 10 ´ ARRANJOSE E 240 ......... Considerando os caminhos de compri˜ pasmento m´ınimo, quantos deles NAO sam pelo ponto C? A 26 B 25 C 24 D 23 E NDA
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Dois meninos e trˆes meninas formar˜ ao uma roda dando-se as m˜ aos. De quantos modos diferentes poder˜ ao formar a roda de modo que os dois meninos n˜ ao fiquem juntos? A 10 B 11 C 12 D 20 E 24
x Considere o conjunto A = {a, b, c, d, e, f, g}. Quantos arranjos podemos formar com exatamente 3 elementos de A? A 210 B 208 C 206 D 204 E NDA
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tem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Elas 46 v˜ a o sendo retiradas uma ap´ o s a outra at´ e x De um grupo de 10 pessoas s˜ ao escolhiDe quantas maneiras podemos escalar a umero de pos- um time de futebol de sal˜ I das BIM 3 e -formado uma fila indiana. Qual a 6 bola. Determine o n´ ao, dispondo a quantidade de filas diferentes podem sibilidades existentes num sorteio cujo de 8 jogadores? prˆemio ´e formado por uma sequˆencia de A 55 ser formadas? 6 algarismos. B 56 A 700 A 151 000 y C 57 B 720 EREM SAL − 2019 B 151 100 y C 5 040 D 58 y C 151 050 D 6 E nda A D 151 200 E nda 3 47 E nda 33 Quantos s˜ ao os subconjuntos de quatro 40 x s 1 B 1 C A partir das quatro pessoas A, B, C e D elementos do conjunto A={1, 2, 3, 4, 6, ao Ax,2 = 42, encon- 7, 8}.x determinar quantas s˜ ao as poss´ıveis filas Resolvendo a equa¸c˜ tramos: A 34 de trˆes pessoas. A 7 4 B 35 A 20 3 B 6 y C 36 B 21 t 3 y C 5 T y C 23 D 37 D 4 D 24 E nda 30cm 60◦ y E 3 E nda
34
Ot´ avio, Jo˜ ao, M´ ario, Lu´ıs, Pedro, Roberto e F´ abio est˜ ao apostando corrida. Quantos s˜ ao os agrupamentos poss´ıveis para os trˆes primeiros colocados? A 200 y B 205 y C 210 D 215 E nda
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y
y
y
P
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˜ COMBINAC ¸ AO 41
x
Determine o valor correto de C10,2 . A 41 B 42 C 43 D 44 E 45
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Dado oito pontos distintos. Quantos segmentos de retas podem x formar? A 20 x B 22 y C 24 D 26 E 28
x
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Uma sala de aula ´e composta por 20 estudantes. No final do ano ser´ a sorteado 35 Considere as letras A, B, C, D, E e F. 5 prˆexmios iguais. Ser´ a escrito o nome Quantos x grupos diferentes podemos for- de cada estudante em um papel e coloCalcule A6,4 + 2 · A5,3 . mar utilizando trˆes dessas letras? A 400 cado em um urna, depois ser´ a retirado A 5 B 450 os cinco nomes de uma s´ o vez. Qual a B 10 quantidade de maneiras poss´ıveis de sair C 460 y C 15 os sorteados? D 480 D 20 Obs.: A ordem n˜ ao importa. E 490 E nda A 15 004 36 43 x B 15 504 Quantos anagramas de 2 letras diferentes y C 16x 006 Uma escola possui 15 professores. Ser´ a podemos formar com um alfabeto de 23 formada uma comiss˜ ao para discutir a D 16 504 letras? realiza¸ca ˜o dos jogos escolares. Qual a E nda A 500 50 quantidade de comiss˜ oes poss´ıveis saB 502 bendo que ser´ a escolhido 6 professores? Uma classe tem 10 alunas e 5 alunos. C 503 A 5005 Formam-se comiss˜ oes de 4 alunas e 2 D 505 B 5006 alunos. Determine o n´ umero poss´ıvel de E 506 y C 5007 comiss˜ oes que se pode formar. 37 D 5008 A 2 100 x (ITA) Quantos n´ umeros de trˆes algaris- E nda B 2 150 mos distintos podemos formar emprey C 2 200 44 gando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9? Considere 5 pontos distintos n˜ ao coline- D 2x250 A 60 ares, ou seja, n˜ ao alinhados. Quantos y E nda B 120 triˆ angulos diferentes podemos formar10 ˜ COMBINAC ¸ OES COMPLETAS C 240 utilizando esses pontos? D 40 A 20 51 E 80 B 14 Quantas s˜ ao as solu¸co ˜es inteiras e n˜ ao 38 y C 12 negativas da equa¸ca ˜o a + b + c + d = 8? x (Ufba) Com os d´ıgitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, D 10 A 165 podem-se formar x n´ umeros ´ımpares, E nda B 160 com trˆes algarismos distintos cada um. y C 155 45 Determine x. x Em um campeonato de dois turnos, em D 150 A 40 E NDA que devem jogar 12 equipes de futebol, B 50 qual o n´ umero total de jogos a serem 52 C 60 realizados? D 70 (PIC) Quantas s˜ ao as solu¸co ˜es inteiras A 66 E NDA n˜ ao negativas de x + y + z + w = 6? B 100 A 82 39 C 132 B 83 x Em uma urna de sorteio de prˆemios exis- D 264
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se que a ordem em que as bolinhas s˜ ao D 25% colocadas no saquinho ´e irrelevante? E nda A 60 65 B 21 53 Um grupo de 25 estudante organizaram y C 12 x uma rifa, na qual o prˆemio era um comQuantas s˜ ao as solu¸co ˜es inteiras e n˜ ao D 7 putador. Eles imprimiram 2000 bilhetes, negativas da equa¸c˜ ao x + y + z + w = 3? E NDA A 20 por´em conseguiram vender 1500. O que EREM SAL − 2019 60 B 18 restou eles deveriam comprar dividindo x y C 16 entre eles. Se Jo˜ ao ´e um dos (PIC) Uma professora tem 3 bolas de igualmente A 3 gude para distribuir para 5 meninos (di- organizadores da rifa, qual a probabiliD 14 gamos, Alfredo, Bernardo, Carlos, Diogo dade dele ganhar? E 12 s 1 B 1 C e Eduardo). De quantos modos ela pode A 4% 54 B 3% fazerxessa distribui¸ca ˜o: Qual a quantidade de solu¸co ˜es inteiras a) Supondo que ela dˆe as bolas para 3 y C 2% n˜ ao negativas da equa¸ca ˜o a + b + c = 4? alunos distintos? D 1% 4 3 A 15 b) Supondo que os contemplados possam E nda B 12 t 3 T ganhar mais de uma bola? (Por exemplo, 66 y C 10 Carlos pode receber todas as bolas). ◦ 30cm 60 Maria e Clara est˜ ao brincando cartas de D 9 As respostas corretas de a) e b) s˜ ao resbaralho, da seguinte forma: Uma delas E 8 P pectivamente retira uma carta sem olhar, em seguida 55 A 10 e 35 a outra retira outra carta, vence a que x e 25 Quantas s˜ ao as solu¸c˜ oes inteiras e positi- B 10 retirar o maior n´ umero. Sabendo que y C 35 e 35 vas da equa¸ca ˜o x + y + z = 10? Maria retirou um oito, qual a probabiliD 25 e 35 A 26 dade de Clara pelo menos empatar com y E NDA B 36 ela? Considere que as “figuras” valem 10. y C 46 10 ´ A 20/52 PROBABILIDADEE D 56 B 20/51 y x E 66 10 y ESPAC ¸ O AMOSTRAL 19/52 C 84 D 85 E NDA BIM - I
56
(PIC) De quantos modos podem ser pintados 9 objetos iguais usando 3 cores diferentes? A 55 B 65 y C 75 D 95 E NDA
61
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C D E
E PROBABILIDADE
Dois dados de seis faces numeradas de 1 a 6, ser˜ ao lan¸cados e os n´ umeros que ficarem nas faces superiores ser˜ ao somados. Determine o n´ umero de elementos do espa¸co amostral desse procedimento. A 36 y B 26 57 y C 18 x De quantas maneiras ´e poss´ıvel colocar 6 D 12 an´eis diferentes em 4 dedos? E 9 A 84 62 B 120 Considerando a quest˜ ao anterior, qual a y C 720 probabilidade da soma obtida ser um D 60 720 m´ u ltiplo de 3? E 60 480 A 1/3 58 B 1/4 x (PIC) Uma sorveteria vende 6 sabores y C 3/4 de sorvete. De quantas formas podemos D 1/5 comprar uma ta¸ca de sorvete com duas E NDA bolas, considerando que a ordem em que 63 as bolas s˜ ao posicionadas na ta¸ca n˜ ao ´e Dois dados normais s˜ ao jogados simulimportante? taneamente. Calcule a probabilidade de A 21 obter 9 como soma dos resultados dos B 20 y dois dados. y C 16 A 1/8 D 15 B 1/9 E NDA y C 1/12 59 D 1/18 x (PIC) Uma loja possui duas caixas, cada E 1/36 uma com um grande n´ umero de boli64 nhas. Uma caixa tem somente bolinhas Em uma urna h´ a 4 bolas brancas, duas azuis e a outra tem somente bolinhas azuis e 4 vermelhas. Retirando uma ao verdes, sendo que as bolinhas de uma acaso, qual a probabilidade dela ser azul? mesma caixa s˜ ao todas idˆenticas. Queremos comprar 6 bolinhas para montar A 10% um saquinho de presentes. De quantas B 15% maneiras isso pode ser feito, observando- C 20%
19/51 nda
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67 x Um dado e uma moeda s˜ ao lan¸cados. Qual a probabilidade de sair um n´ umero par e cara? A 0% B 10% C 50% D 25% E nda
x
68 Uma cidade tem 30 000 habitantes e trˆes x jornais A, B e C. Uma pesquisa de opini˜ oes revela que: • 12 000 leem A; • 8 000 leem B; • 7 000 leem A e B; • 6 000 leem C; • 4 500 leem A e C; • 1 000 leem B e C; • 500 leem A, B e C. Qual a probabilidade de que um habitantexleia pelo menos um jornal? A 7/15 B 8/15 C 7/8 D 3/7 E NDA
x
69 Uma caixa cont´em 20 pe¸cas em boas condi¸co ˜es e 15 em m´ as condi¸co ˜es. Uma amostra de 10 pe¸cas ´e extra´ıda. Que x ao permite o calculo da probaexpress˜ bilidade de que ao menos uma pe¸ca na amostra seja defeituosa. 35 20 C10 − C10 A 35 C10
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y 25 20 C10 − C10 35 C10 35 20 BIM -− I C10 C10 C 20 C10 15 20 C − C10 10 y D 35 C10
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´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE III
10 y
ˆ BINOMIO DE NEWTON
x Joguei um dado duas vezes. Calcule a ´ probabilidade condicional de obter 3 na10 NUMEROS BINOMIAIS primeira jogada, sabendo que a soma dos 81 resultados foi 7. A 1/6 Determine umero binomial o valor do n´ 5 B 1/5 =− 2019 . E NDA EREMN SAL y C 1/4 2 70 1/3 D A A 10 x Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 s˜ ao escritos3 em E NDA B 12 5 cart˜ oes diferentes. Estes cart˜ oes s˜ ao esy C 14 76 s 1 B 1 C colhidos (sem reposi¸ca ˜o) aleatoriamente x De um baralho de 52 cartas, s˜ ao retiradas D 16 e os algarismos que v˜ ao aparecendo s˜ ao 3 cartas sem reposi¸ca ˜o. Qual a proba- E 18 escritos da esquerda para a direita, forbilidade das duas ultimas cartas sejam 82 mando um n´ umero de cinco algarismos. 4 vermelhas, sabendo que a primeira foi n+2 3 Qual a probabilidade de que o n´ umero = 10 ´e verdadeira A senten¸ c a preta? n t 3 escrito seja par? T A 13/51 se, e somete se n! for A 40% B 12/51 30cm 60◦ A 3 B 30% y C 11/51 B 6 y C 20% P y C 18 D 10/51 D 10% E NDA D 720 E NDA E 6 ou 720 y 77
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PROBABILIDADE CONDICIONAL
De um baralho de 52 cartas, extrai-se duas ao acaso. Defina os eventos C = “carta ´e de copas” exR = “carta ´e um 71 Escolhe-se ao acaso um n´ umero entre 1 rei”. x e 50. Se o n´ umero ´e primo, qual ´e a Qual a probabilidade de ocorrer C na segunda extra¸ca ˜o sabendo que R ocorreu probabilidade de que seja ´ımpar? y na primeira extra¸ ca ˜o? A 1/15 A 13/51 B 2/15 B 12/51 y C 14/15 y C 9/17 D 7/15 D 7/17 E NDA E NDA
x
x x
x
83 x Seja n um umero natural, n´ tal que 10 10 11 + = , ent˜ ao 4 n+1 4 A n=5 B n = 4 C n=3 D n=2 E n=1
x
84
Os valores de xque satisfazem a igual12 12 dade = s˜ ao 78 x 3x − 1 x+1 Considere uma urna contendo trˆes bolas x Uma comiss˜ a o de trˆ e s pessoas ´ e formada, A 1 ou 4 pretas e cinco bolas vermelhas. Retire onio, B 1 ou 3 duas bolas da urna, sem reposi¸ca ˜o. Qual escolhendo-se ao acaso entre Antˆ y a probabilidade da segunda bola retirada Benedito, C´esar, Denise e Elisabete. Se C 3 ou 4 Denise n˜ a o pertence a ` comiss˜ a o, qual a D 2 ou 3 ser preta sabendo que a primeira foi verprobabilidade de C´esar pertencer? E 1 ou 5 melha? A 1/4 85 A 3/7 B 2/3 n! B 2/7 y C 3/4 Sabendo que = 3, calcule o vay C 4/7 (n − 1)! D 4/5 n+1 D 1/7 lor de . E NDA 2 E NDA 79 A 6 73 B 7x Seja um lote formado de 20 lˆ a mpadas x Se dois dados (um vermelho e o outro y ao defeituosas. Esco- C 8 verde) s˜ ao lan¸cados, qual a probabilidade defeituosas e 80 n˜ D 9 lhemos ao acaso duas pe¸cas. da soma ser 8 sabendo que o dado verde E NDA Qual a probabilidade de ambas serem saiu 3? defeituosas? 86 A 1/2 A 210/990 9 B 1/3 O valor de · (−1)3 ´e B 200/990 y C 1/4 2 y C 320/990 A -36 D 1/5 D 380/990 B 36 E 1/6 E NDA y C 14 74 80 x D -14 Uma moeda honesta ´e lan¸cada 2 vezes ao E NDA x acaso. Qual a probabilidade condicional Uma urna cont´em 10 bolas brancas, 5 bo87 las amarelas e 10 bolas pretas. Uma bola de ambos os resultados serem caras dado 9 que o primeiro lan¸camento resultou em ´e escolhida ao acaso da urna e verifica-se A express˜ ao ·(−3x)3 ´e equivalente que n˜ ao ´e preta, qual a probabilidade de 2 cara? a: ser amarela? A 1/6 A 972x3 A 1/3 B 1/5 B −972x3 B 1/4 C 1/4 C 36x3 C 1/5 D 1/3 D −36x3 D 1/6 E 1/2 E NDA E 1/7
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´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE III x
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x x GABARITO Colocando os termos do desenvolvimento10 6 da express˜ ao binomial (3x+2) em ordem Q G Q G Q G Q G decrescente com rela¸c˜ ao aos expoentes 01 C 26 B 51 A 76 A de x, determine o valor do coeficiente 02 C 27 A 52 C 77 E 4 03 C 28 D 53 A 78 C Qual o valor dessa express˜ ao quando que acompanha x . 04 − 2019 A 29 A 54 A 79 D x = 4? A 4860 EREM SAL 05 B 30 E 55 B 80 A A 23040 B 4820 A B 3072 06 A 31 A 56 A 81 A y C 4682 3 y C -19968 07 D 32 B 57 E 82 B D 81 D -3072 08 D 33 D 58 A 83 D E NDA s 1 B 1 C E NDA 09 C 34 C 59 D 84 B 95 10 C 35 D 60 A 85 A 89 x O termo de x no desenvol11 E 36 E 61 A 86 A x independente Determine o valor da express˜ ao: 8 4 vimento de (2x + 3) ´e 12 A 37 B 62 A 87 B 3 A 13 D 38 A 63 B 88 C 6000 9 5 7 3 12t T + + − 14 D 39 D 64 C 89 A B 6502 6 3 6 8 30cm 60◦ 15 D 40 A 65 D 90 A y C 6561 A -394 16 C 41 E 66 D 91 C D 6564 P B 394 17 C 42 D 67 D 92 A E NDA y C 84 18 C 43 A 68 A 93 C D -84 96 19 A 44 D 69 A 94 A E NDA x A soma dos coeficientes de todos os ter20 C 45 C 70 A 95 C 10 90 mos do desenvolvimento de (x − 2y) ´e 21 D 46 B 71 C 96 B (UECE) Observe a express˜ ao a seguir: igualxa 22 A 47 B 72 A 97 A √ √ √ √ A 0 23 A 48 E 73 E 98 A ( 5 + 3)3 · ( 5 − 3)3 B 1 24 C 49 B 74 E 99 B 25 C 50 A 75 A 100 C y C 19 Ent˜ ao o valor do n´ umero binomial n D -1 Use o gabarito apenas para verifi´e 3 E -19 car sua resposta, caso tenha errado, A 56 97 n˜ao desanime, volte aos seus c´ alculos e B 54 3 x procure onde vocˆ e cometeu o erro. ErDetermine o valor do coeficiente de x y C 53 5 rar ´ e muito importante, pois ´ e atrav´ es no desenvolvimento de (x + 2) . D 52 do erro que muitas vezes aprendemos. A 40 E 51 y B 60 10 ˆ TRIANGULO DE PASCAL E y C 70 ˆ TERMO GERAL DO BINOMIO D 80 x 91 E NDA o x 98 Determine o valor do 4 elemento da linha 6 do Triˆ angulo de Pascal. x Determine o coeficiente de x4 no desenA 32 8 volvimento de (2 − x) . B 16 A 1120 y C 10 B 1130 D 8 y C 1140 E NDA D 1000 92 E NDA o o x Determine a soma do 2 e do 6 termo 99 da linha 8 do Triˆ angulo Aritm´etico. x Determine o coeficiente do termo a6 no A 64 6 B 62 desenvolvimento de (a − 2) . y C 60 A 0 D 58 B 1 E NDA y C 2 93 D 3 Considere a express˜ ao binomial a seguir. E 4x Considere a express˜ ao BIM - I x 10 · (2x)3 · (−2x)3 + 2 8
(a + 1)4 Determine o valor da soma de todos os coeficientes do desenvolvimento dessa express˜ ao. A 12 B 14 C 16 D 18 E NDA
100 (FGV) O termo independente de x no 12 1 desenvolvimento de x + 3 ´e: x A 26 B 169 C 220 D 280 E 310
x
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x
.... y .... 10 y
y
x 01 (ENEM 2018) Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimens˜ ao n × n, com n ≥ 2, no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma pe¸ca sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma pe¸ca ´e posicionada, a regi˜ ao formada pelas casas que est˜ao na mesma linha ou coluna dessa pe¸ca ´e chamada de zona de combate dessa pe¸ca. Na figura est´ a ilustrada a zona de combate de uma pe¸ca colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimens˜ ao 8 × 8.
03 x (ENEM/2009/PROVA ANULADA) Dados do Instituto de Pesquisas Econˆomicas Aplicadas (IPEA) revelaram que no biˆenio 2004/2005, nas rodovias federais, os atropelamentos com morte ocuparam o segundo lugar no ranking de mortalidade por acidente. A cada 34 atropelamentos, ocorreram 10 mortes. Cerca de 4 mil atropelamentos/ano, um a cada duas horas, aproximadamente.
x
Dispon´ ıvel em: http://www.ipea.gov.br. Acesso em: 6 jan. 2009.
De acordo com os dados, se for escolhido aleatoriamente para investiga¸c˜ao mais detalhada um dos atropelamentos ocorridos no biˆenio 2004/2005, a probabilidade de ter sido um atropelamento sem morte ´e: A 2/17 B 5/17 y C 2/5 D 3/5 E 12/17 04 (ENEM/2018) O Sal˜ao do Autom´ovel de S˜ao Paulo ´e um evento no qual v´arios fabricantes exp˜oem seus modelos mais recentes de ve´ıculos, mostrando, principalmente, suas inova¸c˜oes em design e tecnologia.
x
Dispon´ ıvel em: http://g1.globo.com. Acesso em: 4 fev. 2015 (adaptado).
..... O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda pe¸ca aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de 1 combate da primeira, seja inferior a . 5 A dimens˜ ao m´ınima que o designer deve adotar para esse tabuleiro ´e A 4×4 B 6×6 y C 9×9 D 10 × 10 E 11 × 11 02 (ENEM/2009/PROVA ANULADA) Um casal decidiu que vai ter 3 filhos. Contudo, quer exatamente 2 filhos homens e decidiu que, se a probabilidade fosse inferior a 50%, iria, y procurar um cl´ınica para fazer um tratamento espec´ıfico para garantir que teria os dois filhos homens. Ap´os os c´ alculos, o casal concluiu que a probabilidade de ter exatamente 2 filhos homens ´e A 66,7%, assim ele n˜ ao precisar´ a fazer um tratamento. B 50%, assim ele n˜ ao precisar´ a fazer um tratamento. C 7,5%, assim ele n˜ ao precisar´ a fazer um tratamento. D 25%, assim ele precisar´ a procurar uma cl´ınica para fazer um tratamento. E 37,5%, assim ele precisar´ a procurar uma cl´ınica para fazer um tratamento.
Uma montadora pretende participar desse evento com dois estandes, um na entrada e outro na regi˜ao central do sal˜ao, expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma caminhonete. Para compor os estandes, foram disponibilizados pela montadora quatro carros compactos, de modelos distintos, e seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhidos aqueles que ser˜ao expostos. A posi¸c˜ao dos carros dentro de cada estande ´e irrelevante. Uma express˜ao que fornece a quantidade de maneiras diferentes que os estandes podem ser compostos ´e A A4 10 B
4 C10
C
C x42 × C62 × 2 × 2
D
A24 × A26 × 2 × 2
C42 × C62 05
E
(ENEM 2017) Um morador de uma regi˜ao metropolitana tem 50% de probabilidade de atrasar-se para o trabalho quando chove na regi˜ao; caso n˜ao chova, sua probabilidade de atraso ´e de 25%. Para um determinado dia, o servi¸co de meteorologia estima em 30% a probabilidade da ocorrˆencia de chuva nessa regi˜ao. Qual ´e a probabilidade de esse morador se atrasar para
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´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE III
o servi¸co no dia para o qual foi dada a estimativa de chuva? comiss˜ao, qual a probabilidade de Bete pertencer a ela? A 0,075 A 1/2 BIM - I B 0,150 B 1/3 y C 0,325 y C 6/5 D 0,600 D 3/20 E 0,800 E 3/10 06 09 EREM SAL − 2019 x 2018) A turma de espanhol de uma escola ´e com(ENEM 2017) Como n˜ ao s˜ ao adeptos da pr´ atica de es- (SSA A
portes, um grupo de amigos resolveu fazer um torneio de 3 futebol utilizando videogame. Decidiram que cada jogaB 1 dos C dor joga uma u ´nica vez com cada outros jogadores. s 1 um O campe˜ ao ser´ a aquele que conseguir o maior n´ umero de pontos. Observaram que o n´ umero de partidas jogadas depende do n´ umero de jogadores, como mostra o quadro: 4 3
3
t 60◦
.. Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas ser˜ao realizadas? A 64 B 56 y C 49 D 36 E 28 07 (ENEM 2017) Um brinquedo infantil caminh˜ ao-cegonha ´e formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.
No setor de produ¸c˜ ao da empresa que fabrica esse brinquedo, ´e feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. S˜ ao utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho ´e pintado apenas com uma cor. O caminh˜ ao-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminh˜ ao-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores dispon´ıveis. Mudan¸ca de posi¸c˜ ao dos carrinhos no caminh˜ ao-cegonha n˜ ao gera um novo modelo do brinquedo. Com base nessas informa¸c˜ oes, quantos s˜ ao os modelos distintos do brinquedo caminh˜ ao-cegonha que essa empresa poder´ a produzir? A C6,4 B C9,3 y C C10,4 D 64 E 46 08 (SSA 2019) Nos jogos internos da Escola do Futuro, a comiss˜ ao de avalia¸c˜ ao das competi¸c˜ oes de gin´ astica ser´a formada por trˆes professores, dentre os seis que comp˜oem a equipe de educadores f´ısicos da escola: Rui, Ana, Bete, Carol, Paulo e Tito. Sabendo-se que Tito n˜ ao pertence `a
x
x
posta por 20 estudantes. Ser˜ao formados grupos de trˆes estudantes para uma apresenta¸c˜ao cultural. De quantas maneiras se podem formar esses grupos, sabendo-se que dois dos estudantes n˜ao podem pertencer a um mesmo grupo? A 6 840 B 6 732 y CT 4 896 D 1 836 30cm E 1 122 P 10 (SSA 2017) Nos jogos escolares do sert˜ao, dez equipes disputam um campeonato de queimado. Cada equipe enfrenta as demais uma u ´nica vez. Quantos jogos comp˜ oem esse campeonato de queimado? A 10 B 20 C 45 D 50 y E 100 x 10
GABARITO Q 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
G D E E C C E B E E C
x
Use o gabarito apenas para verificar sua resposta, caso tenha errado, n˜ao desanime, volte aos seus c´alculos e procure onde vocˆe cometeu o erro. Errar ´e muito importante, pois ´e atrav´es do erro que muitas vezes aprendemos.
x
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´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV x
...... BIM - I
EREM SAL − 2019 A 3 1 B 1 C
s
4
3 3
t
T 60◦
30cm P
EXERC´ICIOS ⊂ BIMESTRE IV TRIGONOMETRIA NO C´IRCULO
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1
1
B ˆ C ´ EREMSAL - ESCOLA DEs REFERENCIA EM ENSINO MEDIO DE SALGUEIRO S´erie: 2o ano
Exerc´ıcios de Matem´ atica
DATA:
/ /2020 No :
NOME: y
NOTA:
y
y 4 PROFESSOR: Carmos Fernandes da Costa 3
10
,
ˆ ARCOS E ANGULOS
de 3,0 pontos.
06
3
´ CONTEUDO: Trigonometria no C´ırculo ˜ y DESCRIC ¸ AO: Lista de Exerc´ıcios Bim IV
t
T x x Calcule o comprimento de um arco Os aˆngulos 30o , 15o e 120o s˜ ao, res- AB d xdefinido em uma circunferˆencia 30cm 60◦ pectivamente, equivalentes a: de raio 8cm por um ˆangulo central π π 2π b de 120o . A AOB , e 6 12 3 P 16π π π 2π A B cm , e ... 3 3 6 3 x Sendo π = 3, 14, a medida aproxi13π π π 2π B cm C , e mada do raio dessa circunferˆencia ´e 3 6 3 3 A 28,7 cm. π π π 2π cm C B 27,7 cm. D , e 3 4 3 3 26,7 cm. C y 15π y D 25,7 cm. π π 2π D cm E , e 2 y 2 3 5 E 24,7 cm. 15π E cm 02 7 10 Os ˆ angulos 210o , 270o e 300o s˜ ao, res- 07 x Um autom´ovel percorre 157 metros pectivamente, equivalentes a: O ponteiro dos minutos de um rel´ogio em xuma pista circular descrevendo π π 2π A , e SAL − 2019 72◦ . Determine o raio da tem comprimento de 12cm. Qual ´e um arco deEREM 6 3 5 curva . Use π = 3, 14. a distˆ a ncia que a ponta do ponteiro π π 2π B , e percorre em um intervalo de 15 minu- A 120 m. 3 6 A 3 B 124 m. tos? π 2π 2π 3 y C 125 m. Use π = 3, 2. C , e 3 3 5 A 20, 4cm D 126 m. 3π 2π 2π B 20, 2cm E 127 m. D , e 1 B 1 C 4 3 3 s C 8, 2cm 10 ˆ y y CIRCUNFERENCIA y D 6, 4cm 7π 3π 5π E , e ´ TRIGONOMETRICA E N da 6 2 3 01
03
08 π π π x Os ˆ angulos , e s˜ ao expressos Considere o arco de circunferˆencia a 3 2 4 y 4 em graus, respectivamente, por: 3 seguir. A 60o , 90o e 45o o o o B 45 , 60 3e 90 t T o o o C 30 , 60 e 90 o o o y D 50 , 60 e 70 o o o π/4 18cm E 45 , 50 e 90
11 No c´ xırculo trigonom´etrico a seguir os pontos A, B e C est˜ao em posi¸c˜ ao sim´etricas em rela¸c˜ao ao ponto representado por 45◦ e os quadrantes dos eixos coordenados XY . y A
45◦
04
P π 3π 3π x Os aˆngulos , e s˜ ao expressos 5 5 4 ... em graus, respectivamente, por: x Sendo π = 3, 1, a medida aproximada o o o A 32 , 120 e 160 do raio dessa circunferˆencia ´e o o o B 36 , 108 e 135 A 20,2 cm. o o o y C 34 , 70 e 90 B 22,2 cm. o o o D 80 , 100 e 120 C 23,2 cm. o o o E 70 , 80 e 85 y D 24,2 cm. 05 E 25,2 cm. x Uma semicircunferˆencia tem comprimento 188, 4m. Quanto mede seu raio? Use π = 3, 14. A 30m B 35m C 45m D 55m E 60m
09 Considere o arco de circunferˆencia a seguir.
x
Ox
B
C
.... As medidas, no sentido anti-hor´ ario, d OB d e OC d s˜ao respectidos arcos OA, vamente: A 90 x◦ , 180◦ e 360◦ . ◦ ◦ ◦ B 80 , 135 e 270 . ◦ ◦ ◦ C 135 , 225 e 315 . ◦ ◦ ◦ D 125 , 145 e 325 . ◦ ◦ ◦ E 170 , 210 e 310 .
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x
y
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV
y
12 Observe o c´ırculo trigonom´etrico a seBIM - I guir. y
x
130◦
20 A
Qual a medida do arco menor formado pelos ponteiros de um rel´ogio as 14 horas?
π . 2 A 36◦ EREM SAL − x O π 2019 B . 3 A 3 π . C B C y x 6 O s 1 B 1 C π . D .... 8 Sendo assim, as medidas (no sentido B C 10 RAZOES ˜ ´ TRIGONOMETRICAS d OB d e OC d 4 anti-hor´ ario) dos arcos OA, 3 s˜ ao respectivamente: NO C´IRCULO .... t 3 ◦ ◦ ◦ T A 30 , 230 e 330 Nesse c´ırculo est´ a representado os Use a circunferˆencia trigonom´etrica a ◦ ◦ ◦ ◦ pontos sim´etricos ao arco de 36◦ em B 30 , 180 60e 300 30cm seguir como apoio para resolver as ◦ ◦ ◦ rela¸ca˜o aos quadrantes dos eixos co- y C 50 , 230 e 310 P quest˜oes 21, 22, ... ◦ ◦ ◦ D 50 , 180 e 300 y ordenados XY . ◦ ◦ ◦ Sen Sendo assim, as medidas (no sentido E 50 , 230 e 330 d OB d e OC d 15 anti-hor´ ario) dos arcos OA, x s˜ ao respectivamente: Os arcos de medidas 85◦ , 120◦ e 350◦ A 36◦ , 126◦ e 306◦ . est˜ ao situados, respectivamente, nos ◦ ◦ ◦ B 126 , 216 e 306 . quadrantes: Cos ◦ ◦ ◦ x A 1, 2 e 3. C 135 , 225 e 315 . y D 144◦ , 216◦ e 324◦ . B 2, 3 e 1. y ◦ ◦ ◦ E 54 , 126 e 306 . C 4, 1 e 2. y D 1, 2 e 4. 13 16 ..... x Considere que os pontos A, B e C Em que quadrante est´a situado o arco 21 x da figura a seguir est˜ ao nas mesmas de medida 1630◦ ? Qual o valor de Sen150◦ ? o condi¸c˜ oes da quest˜ ao anterior. A 1 . A -1. y y B 2o . B -1/2. C 3o . y C 0. D 4o . D 1/2. 17 E 1. π A Em que quadrante est´a situado o arco 22 x 9 26π Qual √ o valor de sin660◦ ? ? de medida x 10 O A − 3/2. A 1o . B C B −1/2. o B y √ 2 . y C − 2/2. C 3o . D 0. D 4o . √ E 3/2. 18 .... 23 x Sendo assim, as medidas (no sentido Qual a medida do arco congro a 7π ◦ d d d Qual o valor de sen ? anti-hor´ ario) dos arcos OA, OB e OC 2160 ? 6 √ A 15◦ . s˜ ao respectivamente: A − 3/2. √ 8π 10π 17π y B 10◦ . A , e . B 3/2. ◦ 9 9 9 C 5 . C −1/2. y 7π 8π 10π D 0◦ . B D 0. , e . 9 9 9 19 E 1/2. 4π 8π 12π Qual a medida do arco que o ponteiro 24 x C , e . 9 9 9 das horas de um rel´ogio percorre de 7 Qual √ o valor de cos690◦ ? 8π 15π 18π horas da manh˜ a de um dia a 8 horas D , e . A − 3/2. y √ 9 9 9 da manh˜ a do dia seguinte? B 3/2. 2π 12π 18π Obs.: Considere o m´odulo de sua resE , e . y C −1/2. posta. 9 9 9 D 0. 14 A 750◦ . E 1/2. x ◦. Considere que os pontos A, B, C B 760 25 ◦ e 130◦ da figura a seguir est˜ ao em C 770 . ◦ Qual √ o valor de cos240◦ ? posi¸c˜ ao sim´etricas em rela¸c˜ ao aos ei- D 780 . A − 3/2. xos coordenados XY .
x
x
A
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´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV
√
y mine, respectivamente, as imagens de π e π. 2 1 A 2 e -2. B -2 e 6. π C -2 e 2. 0 2 x y D 6 e -6. -1 EREM SAL − 2019 E 0 e 6.
3/2. y C −0, 5. BIM - I D 0. E 0, 5. 26 B
5π O valor correto de cos ´e 3 √ A − 2/2. √ B 2/2. y C −1/2. D 0. E 1/2. 27 ◦ Calcule, √ se existir, tg210 . A − 3/3. √ B 3/3. y C 1/2. D 1. √ E 3. 28
A
3 3
t
Sendo g : [0, π/2[−→ R uma fun¸c˜ao definida por g(x) = 1 − 2tg(x), determine, respectivamente, as imagens de π π y e . 3 x√ 4 Use 3 = 1, 7. T A 2,4 e 1. B 2,4 e -1. 30cm 60◦ C -2,4 e -1. P y D 1 e -2,4. E 0 e 2,4. 34
π
3π 2
2π
x
-3
1 B 1 C
s
4
◦ Calcule, √ se existir, tg1035 . A − 3/3. √ B 3/3. y C 1. D −1. √ E 3. 29 11π Calcule, se existir, tg . 6 √ A − 3/3. √ B 3/3. y C 1. D −1. √ E 3. 30
33
3
x
x
Determine o per´ıodo da fun¸c˜ao h : R −→ R definida por h(x) = 6 + 5sen(2x + 1). A π. B 2π. y C 3π. x D 4π.
x Os valores de a e b s˜ao respectivamente iguais a A -1 e -2. B -2 e 1. C 2 e 1. D 2 e -1. 38 O gr´afico a seguir representa uma fun¸c˜ao trigonom´etrica. y 3
x
x 1
-1
0
π 2
π
3π 2
2π
x
Essa fun¸c˜ao ´e dada por A y = sen(x) + 1. 35 y B y = cos(x) + 1. Determine o per´ıodo da fun¸ca˜o C yx= 2cos(x) + 1. h : R −→ R definida por h(x) = D y = 2sen(x) + 1. 4 − 2cos(4x − 1). 39 A 3π/2. O gr´afico a seguir representa uma B π/2. fun¸c˜ao trigonom´etrica. Sendo x = 30◦ , calcule o valor da ex- y C π.x y press˜ ao: D 2π. 2,5 2senx − 4cosx + tg2x 36 y= x cos4x − sen2x O gr´ afico a seguir representa uma √ fun¸c˜ ao de R em R definida por 0,5 Use 3 = 1, 73. π 3π x f (x) = b + asen(x). 0 π 2π A 0, 54. 2 2 B 0, 55. y -1.5 2 y C 0, 56. D 0, 57. Essa fun¸c˜ao ´e dada por 1 y E 0, 58. A y = 2sen(x) + 0, 5. B y = 2cos(2x) + 0, 5. y 10 FUNC ˜ ´ π 3π ¸ OES TRIGONOMETRICAS x 0 π 2π C y = 2cos(x) + 2, 5. 2 x 2 31 D y = 2sen(2x) + 1. x Sendo f : R −→ R uma fun¸c˜ ao defi40 -2 nida por f (x) = 2 + sen(2x), deterO gr´afico a seguir representa uma mine, respectivamente, as imagens de Os valores respectivos de a e b s˜ao fun¸c˜ao trigonom´etrica. π e 2π. A 1 e 2. y A 1 e 2. y B 2 e 1. B 1 e 1. C 2 e 0. 2 C 2 e 2. D 0 e 2. y D 0 e 1. 37 E 0 e 2. x O gr´ afico a seguir representa uma π 3π x fun¸c˜ ao g : R −→ R definida por 0 π 2π 32 2 2 g(x) = asen(x) + b. x Sendo g : R −→ R uma fun¸c˜ ao definida por g(x) = 2 + 4cos(x), deterLista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 32
x
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Essa fun¸c˜ ao ´e dada por A y = tg(x) − 2. I = -tg(x) − 1. y B yBIM C y = tg(x) + 2. y D y = tg(x) + 1. 10 ˜ FUNDAMENTAL RELAC ¸ AO
45
√
52
x calcule Se tg(a − b) = 0, 98 e tg b = 1, calcule tg a. cos(72◦ ). A 96 A 1 B 97 B 4 y C 98 √ C D 99 EREM SAL − 2019 √5 x 41 y D √5 − 1 E Nda 1 π x5 − 1 < x < Aπ, deterSendo senx = e 53 E 3 3 2 √ 4 mine o valor de cosx. 5 Sendo sen a + cos a = , calcule o 46 s 1 B 1 C √ 2 2 ◦ x 2 2 Qual o valor da express˜ao sen 20 + valor de sen 2a. A − . A 1/4 sen2 70◦ ? 3 √ B 1/5 A 2 4 2 2 3 B . y C 1/6 B 1 t 3 √3 T D 1/7 y C 0 2 C E Nda . D -1 30cm 60◦ 3√ y E -2 54 P 2 D − 47 . Sejam α um arco do 1o quadrante e 3 o 3 x Sendo cos x = , com x no 4o qua- β um arco do 2 quadrante, tais que 42 5 cos α = 0, 8 e sen β = 0, 6. Determine x determine sen x. Seja α um n´ uhmeroh real pertencente drante, o valor de sen(α + β). π ao intervalo 0, . Sabendo que A 3/4 A -1 2 B 2/5 B 0 tgα =√2, qual ´e o valor de cosα? y C 3/5 y C 0,5 A − 5/5. D -4/5 √ D 1 B 5/5. E -5/4 √ E Nda C 2 5/5. 48 √ 55 y D −2 5/5. 12 x o √ ◦ , com x no 3 quaSe sen x = − Qual√o valor E 3 5/5. 13 √ de sen 165 ? drante, determine cos x. A ( 2 − 6)/4 √ √ A 5/13 43 B ( 2+ √ √6)/4 y B 4/13 x C ( 6 − 2)/4 y Sabendo que sen(α) = 1/3 e α ∈ iπ h √ √ C -5/13 D ( 2 − 6)/2 , π , determine o valor de tg(α). D -4/13 2 √ E Nda 2 49 A − 56 . ◦ x 4 Considerando 0 < x < 90 e √ Determine o valor de tg 15◦ . 2 √ 2 B sen x = , calcule cos x. A 2− 3 . √ 3 √ 4√ B 1− A 5/3 √3 √ 3 y C 1+ 3 C 2 . B − 5/3 √ √ 4√ D 3− 3 C y 3/3 √ 3 E Nda D −2 . D − 3/3 4 57 y √ E Nda √ 3 2 5 E 3 50 . Dados sen α = e cos α = − , ob4 3 3 ◦ ◦ x Sabendo que 180 < x < 270 e que tenha sen (2α). 44 √ sen xx = −0, 6 , determine tg x. A − 2/2 √ (PUC-RS) Se tg(x) = 2, a express˜ ao A 0,85 B −4 5/2 2cos(x) √ B 0,75 ´e igual a y C −4√ 5/9 3sen(x) y C 0,65 D − 5/9 1 A D 0,55 . E Nda 2 y E 0,45 58 1 B 10 . ´ ˜ 1 F ORMULAS DA ADIC ¸ AO 3 Sendo cos x = , quanto vale x 3 2 51 C cos (2x)? . x 3 Utilize as f´ormulas de adi¸c˜ao ou sub- A −7/9 √ ◦ tra¸c√ ao de√arcos e calcule cos 105 . ˜ 5 B 7/9 D . 6 − 3 3√ y C −5/9 A D 5/9 √ 4√ 2 5 E . 2− 6 E Nda B 3 √ 4 59 C √2 Calcule tg b, sabendo que tg (a − b) = D √ √6 3 e tg a = 1. E 3 Se sen(18◦ )
=
5−1 , 4
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 33
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y √ √3 B √3 − 1 -I y C BIM √3 + 2 D 3−2 E Nda 60 A
y 65
y
Considere x um arco do primeiro quadrante, resolva a equa¸c˜ao trigo-10 nom´etrica: 2
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV
D E
3 4x
x
´ INEQUA. TRIGONOMETRICAS 71
2
Considere x ∈ [0, 2π], e resolva a inequa¸c˜ao: ◦ ◦ x √ EREM SAL − 2019 Qual √ valor de sen 15 + cos 15 ? A π 2 3 sen x > A A B π/2 2 2 3 y C π/4 3 A π/4 < x < 3π/4 B − D π/6 B π/4 < x < 5π/4 2 s 1 B 1 C 3 E Nda y C π/6 < x < 3π/4 C 2√ 66 D π/7 < x < 3π/4 y 6 x D − Considere 0 < x < 2π. Quais dos va- E Nda 4 3 2 y E lores a seguir ´e poss´ıvel obtermos a 72 Nda t 3 T igualdade Considere x ∈ [0, 2π], e resolva a ine10 EQUAC ˜ ´ ¸ OES TRIGONOMETRICAS 30cm 60◦ qua¸c˜ao: 2cos2 x − 3cosxx + 1 = 0? 61 cos x < 0 P Determine as √ solu¸c˜ oes reais da A πx A π/4 < x < 3π/5 2 B B π/4 < x < 3π/4 3π/4 equa¸c˜ ao sen x = . 2 y C π/3 y C π/3 < x < 3π/4 5π 3π D π/2 D π/2 < x < 3π/2 A + 2kπ ou + 2kπ 4 4 E Nda E Nda π 3π 67 73 B + 2kπ ou + 2kπ 4 4 x Sendo 0 ≤ x ≤ 2π. Para quais valores Considere x ∈ [0, π], e resolva a ineπ 7π reais de x ´ e poss´ ıvel a igualdade qua¸ c a ˜ o: C + 2kπ ou + 2kπ √ 4 4 3 tg x ≤ − y π 3π 1 − sen2 x = 1 + sen2 x? 3 D + 2kπ ou + 2kπ 3 4 A π/2 < x ≤ 5π/6 E Nda A x = 0 ou x = π B 3π/2 < x ≤ 11π/6 B x = π/2 ou x = π 62 y C π/2 < x ≤ 5π/7 Sendo x ∈ R, quais os valores de x y C xx= 0 ou x = π/4 D π/2 < x ≤ 5π/3 √ D x = 0 ou x = π/5 3 E π/5 < x ≤ 5π/6 para que se tenha cos x = ? E Nda 2 74 A 90o + 360o · k ou 30o + 360o · k 68 Considere x ∈ [0, π/2], e resolva a ineB 60o + 360o · k ou 30o + 360o · k x Sendo 0 ≤ x < 2π, quais os valores de o o o o qua¸ c a ˜ o: y C 45 + 360 · k ou 30 + 360 · k x satisfazem a equa¸c˜ao √ D 30o + 360o · k ou 330o + 360o · k 3 E Nda 0 ≤ sen x < cos 2x + 3cos x + 2 = 0? 2 63 A xx= 3π/2 ou x = 5π/3 A 0 ≤ x < π/3 Considerando o conjunto dos n´ umeros B x = π/2 ou x = 5π/3 B 0 ≤ x < π/4 reais, resolva a √equa¸c˜ ao trigoy C x = 2π/2 ou x = π/3 y C 0 ≤ x < π/5 nom´etrica: tg x = − 3. D x = 2π/3 ou x = 5π/3 D 0 ≤ x < π/6 A 120o + 360o · k ou 300o + 360o · k E Nda E Nda o o o o B 30 + 360 · k ou 30 + 360 · k o o o o 69 75 y C 60 + 360 · k ou 30 + 360 · k x o o o o 3π D 60 + 360 · k ou 300 + 360 · k Sabendo que x ∈ 0, , determine Considere x ∈ [0, π/2], e resolva a ine2 E Nda qua¸c˜ao: as solu¸c˜ oes da equa¸c˜ao tg(2x) = 1. 1 64 cos x < A x = 3π/2 ou x = 5π/3 2 Para quais valores reais de x ´e poss´ıvel B xx= π/8 ou x = 5π/8 A 0 < x < π/2 se ter sen (3x) = sen(x)? y C x = 3π/8 ou x = 5π/3 B π/3 < x < π/2 D x = 2π/3 ou x = 5π/3 π y π/3 < x ≤ π/2 C + 2kπ A kπ ou E Nda 6 D π/4 < x < π/3 70 π kπ E Nda B kπ ou + Qual o n´ umero de solu¸c˜oes da equa¸c˜ao 76 x 4 2 π kπ Considere x ∈ [0, 2π[, e resolva a ineC 2kπ ou + tg 2 x = 5tg x − 6 4 6 qua¸c˜ao: π kπ D kπ ou no intervalo [0, 2π]? + 2sen2 x − sen x ≤ 0 4 3 A 0 E Nda B 1 A [0, π/6] ∪ [5π/6, π] B [0, π/3] ∪ [5π/3, π] C 2 sen x = cos x
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 34
x
x
x
x
x
x
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV
y
√
[0, π/4] ∪ [5π/4, π] D [0, π/7] ∪ [5π/7, π] BIM - I E Nda 77 C
√
x
3 = 1, 7). B 60
x
Considere x ∈ [0, 2π[, e resolva a inequa¸ca˜o: 1 cos2 x ≤ 4 A
A
s
1 B 1 C
A B
C 4
y 3
t ca 3 (UNIRIO) Resolva a senten¸ 2cos2 x − 3cos x + 1 ≤ 0, sendo 0 ≤ x < 2π. A 0 ≤ x ≤ π/3 ou 5π/3 ≤ x < 2π. B 0 < x ≤ π/3 ou 5π/3 < x ≤ 2π. y C 0 < x ≤ π/3 D 5π/3 < x ≤ 2π. E 0 < x < 2π. y 79
D E
8,2 cm. 12,2 cm. 14,0 cm. 17,0 cm. 17,2 cm. x
β EREM SAL − 2019
10cm
3
B
α 4
◦
x 45◦
A
x ∈ [0, π/6] x ∈ [π/3, 2π/3] y C x ∈ [0, π/3] D x ∈ [π/12, π/6] E Nda 78
2 = 1, 4 e
C
A B
C
y
D E
x
8
√ x √15/8 15 √ √8/8 √8/15 8
y 87
Determine a medida do ˆangulo x no triˆ angulo a seguir. 30cm 60◦ x Dado com BC = √ um triˆangulo ABC B ◦P ◦ ˆ ˆ 5 2cm, B AC = 45 e ABC = 30 . Qual a medida de AC? x A 4 √ B 5 5 5 2 C 6 D 7 45◦ x A C (MACK) Quando resolvida no inter- E Nda valo [0, 2π], o n´ umero de quadrantes 84 √ x nos quais a desigualdade 2cos x < 3 A 100◦ apresenta solu¸c˜ oes ´e: No triˆ angulo ABC, os lados AC e B 105◦ A 0 BC medem 8 cm e 6 cm, respectiva- C 110◦ B 1 mente, e o ˆangulo A vale 30◦ . Quanto y D 115◦ y C 2 vale o seno do ˆangulo B? E 120◦ D 3 A 1/3 E 4 B 2/3 88 80 C 1/4 No y triˆangulo a seguir, qual ´e a medida x Para quais valores reais de x a desi- y D 3/4 do segmento BC, destacada pela letra gualdade sen2 x − 2sen x + 1 ≥ 0 ´e E Nda x, dado que essas medidas est˜ ao em verdadeira? cent´ ımetros? y 85 A x ∈ [0, π] B x ˆ = B x ∈ [0, π/2] Na figura a seguir, tem-se B AC x ˆ = 60◦ , AD = 5 e DC = 10. y C x∈R 45◦ , B DC 135◦ D ∅ 15◦ B y E A C √ Nda 2 2 10 LEI DOS SENOS A 2 cm. x √ 81 B 2 3 cm. y √ x No triˆ angulo ABC da figura, calC 3 2 cm. y D 3√3 cm. cule a medida do lado BC. (Use √ sen 140◦ = 0, 6 e sen 15◦ = 0, 2). E 4 2 cm. A C B x D 89 140◦ Com base nesses dados, calcule AB. Em um triˆangulo ABC s˜ao dados ◦ o o ˆ = 60◦ , Cˆ = 45◦ e AB = 8cm. 15 Use sen 15 = 0, 26 e sen 120 = 0, 86. B A C A 15,5 x 10 Determine o comprimento de AC. √ B 16,5 A √6 A 3,33 B 2 6 C 17,5 √ y D 18,5 B 4,33 C 4 6 y D 5√6 y C 5,33 E Nda D 6,33 E Nda E Nda 86 1 90 x 82 Na figura, sabe-se que cos α = − . 4 x (Mackenzie) Trˆes ilhas A, B e C apaNo triˆ angulo a seguir, determine a Determine sen α. recem num mapa em escala 1:10000, medida do lado BC, tendo em vista como na figura. as medidas presentes nele. (Use T
x
83
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 35
x
x
x
x
x
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV
B
B
BIM - I
2
30◦
150◦
A 105
x
◦
Dois lados de um triˆangulo medem 6 m e 10 m e formam entre si um ˆ angulo √ 3 de 120◦ . Determinar a medida do terceiro lado. C A 10 x B 11 EREM SAL − 2019 y C 12 D 13 E 14 99
x
(UNICAMP) Sejam A, B e C pontos de uma circunferˆencia tais que, AB = 2 xkm, BC = 1 km e a medida do ˆ seja de 135◦ . Calcule o ˆangulo ABC raio dessa circunferˆencia. √ A √5 + 4 B 5+2 q √ C ( 5 2 + 4)/2 q √ D ( 5 2 + 5)/2 E Ndax 100
x
(UFRJ) Os ponteiros de um rel´ ogio circular medem, do centro ` as extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro, o das horas. Determine a distˆancia entre as extremidades dos ponteiros quando o rel´ogio marca 4 horas. √x A √7 B √8 C √10 D 11 E Nda
x
1 2 x y C 3 s 1 B 1 C Das alternativas, a que melhor se D 4 aproxima de distˆ ancia entre as ilhas E 5 y A e B ´e: 94 4 A 2,3 km 3 Calcule a medida do lado AC no B 2,1 km t 3 triˆ angulo a seguir. T y C 1,9 km 30cm 60◦ D 1,4 km B y E 1,7 km P √ √ 2 3 10 LEI DOS COSSENOS 2 7 y y x 91 30◦ C Determine o valor de x na figura a se- A x guir. B A 7 A
A
A
12 cm
C
3
B
8 9 D 10 Ey 11 95 B
y x
10 m 60◦
A 11 12 13 14 15
A B
C
y
16 m
C
D E
C
Na figura a seguir AC = 10. B x 5
h
x
98
√ 3 5
α A
C
x
y 92 Determine o valor de x na figura a seguir. B √ 3 2 A A B
C
y
D E
x 45◦ 7
C
3 4 5 6 7
93 Determine o valor de x na figura a seguir.
x A medida de h ´e A 3 B 4 y C 5 D 6 E 7 96 Qual o cosseno do maior ˆangulo do x triˆ angulo de lados medindo 4, 5 e 6? A 1/5 B 1/6 y C 1/7 D 1/8 E 1/9 97
x
Qual o cosseno do menor ˆangulo do triˆ angulo de lados medindo 7, 8 e 10? x A 23/32 B 32/23 C 12/23 D 23/26 E Nda
x
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 36
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV
10 BIM - I
A 3 1 B 1 C
s
4
3 3
t
T 60◦
30cm P
x
GABARITO
Q G 01 A 02 E 03 A 04 B 05 − 2019 E EREM SAL 06 A 07 E 08 C 09 A 10 C 11 C 12 D 13 A 14 C 15 D 16 C 17 B 18 D 19 A 20 B 21 D 22 A 23 C 24 B 25 C
Q 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
G E B D A A C A B A B C D C B C A B A B E B D C A B
Q 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
G B D A B C A C A E E B D A B C C A A B C A D A A C
Q 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
G A B B E C A A B B B A B A C E D C A B A D A E C A
Use o gabarito apenas para verificar sua resposta, caso tenha errado, n˜ao desanime, volte aos seus c´ alculos e procure onde vocˆe cometeu o erro. Errar ´e muito importante, pois ´e atrav´es do erro que muitas vezes aprendemos.
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 37
x
.... y .... 10 y
x P , em reais, do quilograma de um certo produto sazonal x ser descrito pela fun¸c˜ao (Enem - 2018) Em 2014 foi inaugurada a maior roda- pode gigante do mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. πx − π A figura representa um esbo¸co dessa roda-gigante. no P (x) = 8 + 5cos 6 qual o ponto A representa uma de suas cadeiras. 01
y
O
Ax
onde x representa o mˆes do ano, sendo x = 1 associado ao mˆes de janeiro, x = 2 ao mˆes de fevereiro, e assim sucessivamente, at´e x = 12 associado ao mˆes de dezembro. Na safra, o mˆes de produ¸c˜ao m´axima desse produto ´e A janeiro. B abril. y C junho. julho. D E outubro. 03
(Enem 2018) Sobre um sistema cartesiano considera-se uma malha formada por circunferˆencias de raios com meSolo didas dadas por n´ umeros naturais e por 12 semirretas com ................ A partir da posi¸c˜ ao inicial, em que o segmento OA se extremidades na origem, separadas por ˆangulos de π rad, 6 encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a High conforme a figura. Roller no sentido anti-hor´ ario, em torno do ponto O. Sejam t o ˆ angulo determinado pelo segmento OA em rela¸c˜ao a posi¸c˜ ` ao inicial, e f a fun¸c˜ ao que descreve a altura do ponto A, em rela¸c˜ ao ao solo, em fun¸c˜ ao de t. Ap´ os duas voltas completas, f tem o seguinte gr´ afico: f (metro)
168
88
2π 4π t(radiano) π/2 ............ A express˜ ao da fun¸c˜ ao altura ´e dada por A f (x) = 80sen(t) + 88 B f (x) = 80cos(t) + 88 y C f (x) = 88cos(t) + 168 f (x) = 168sen(t) + 88cos(t) D f (x) = 88sen(t) + 168cos(t) E 02 (Enem 2015) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estat´ıstica (IBGE), produtos sazonais s˜ ao aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produ¸c˜ ao, consumo e pre¸co. Resumidamente, existem ´epocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora ´e escassa, com pre¸cos elevados, ora ´e abundante, com pre¸cos mais baixos, o que ocorre no mˆes de produ¸c˜ ao m´ axima da safra. A partir de uma s´erie hist´ orica, observou-se que o pre¸co
Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas circunferˆencias dessa malha, n˜ao podendo passar x pela origem (0 ; 0). Considere o valor de π om aproxima¸c˜ao de, pelo menos, uma casa decimal. Para realizar o percurso mais curto poss´ıvel ao longo da malha, do ponto B at´e o ponto A, um objeto deve percorrer uma distˆancia igual a 2·π·1 A +8 3 2·π·2 B +6 3 Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 38
x
´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV
2·π·3 +4 3 2·π·4 BIM - I +2 3 2·π·5 +2 3
Uma cˆamera de vigilˆancia est´a fixada no teto de um shopping e sua lente pode ser direcionada remotamente, D atrav´es de um controlador, para qualquer sentido. A lente da cˆamera est´a apontada inicialmente no sentido Oeste y E e o seu controlador efetua trˆes mudan¸cas consecutivas, a saber: • 1a mudan¸ca: EREM 135◦ SAL no sentido anti-hor´ario; − 2019 a 04 • 2 mudan¸ca: 60◦ no sentido hor´ario; A est˜ (Enem 2017) Raios de luz solar ao atingindo a superf´ıcie • 3ax mudan¸ca: 45◦ no sentido anti-hor´ario. 3 com a sua superf´ de um lago formando um ˆ angulo X ıcie, Ap´os a 3a mudan¸ca, ele ´e orientado a reposicionar a conforme indica a figura. cˆamera, com a menor amplitude poss´ıvel, no sentido Nos 1 B 1 C Em determinadas condi¸c˜ oes, pode-se supor que a inten- roeste (NO) devido a um movimento suspeito de um sidade luminosa desses raios, na superf´ıcie do lago, seja cliente. dada aproximadamente por I(x) = k.sen(x) sendo k uma Qual mudan¸ca de sentido o controlador deve efetuar para 4 3 a entre 0◦ e 90o . constante, e supondo-se que X est´ reposicionar a cˆamera? t 3 A 75◦ no sentido hor´ario. T B 105◦ no sentido anti-hor´ario. 30cm 60◦ y C 120◦ no sentido anti-hor´ario. P D 135◦ no sentido anti-hor´ario. E 165◦ no sentido hor´ario. 07 C
Quando x = 30o , a intensidade luminosa se reduz a qual percentual de seu valor m´ aximo? A 33% B 50% y C 57% D 70% E 86% 05
(SSA 2019) Um designer construiu a logomarca de uma empresa de constru¸c˜ao civil, apresentada a seguir, com base na jun¸c˜ao do gr´afico de duas fun¸c˜oes trigonom´etricas.
..................... x as fun¸c˜oes utilizadas por esse designer na cons(Enem 2017) Um cientista, em seus estudos para modelar Quais a press˜ ao arterial de uma pessoa, utiliza uma fun¸c˜ao do tru¸c˜ao da logomarca? tipo P (t) = A + Bcos(kt) em que A, B e K s˜ ao constantes A y = sen x e y = cos x 1 reais positivas e t representa a vari´ avel tempo, medida B y = cos x e y = − cos x em segundo. Considere que um batimento card´ıaco repre2 senta o intervalo de tempo entre duas sucessivas press˜oes C y = 1 cos x e y = 2sen x 2 m´aximas. 1 Ao analisar um caso espec´ıfico, o cientista obteve os dados: y D y = 2cos x e y = sen x 2 1 E y = sen x e y = sen x Press˜ ao m´ınima 78 2 Press˜ ao m´ axima 120 .. 08 N´ umero de batimentos card´ıacos por minuto 90 (SSA 2018) Qual fun¸c˜ao trigonom´etrica representa o A fun¸c˜ ao P (t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso gr´afico a seguir? espec´ıfico foi A P (t) = 99 + 21cos(3πt) B P (t) = 78 + 42cos(3πt) y C P (t) = 99 + 21cos(2πt) P (t) = 99 + 21cos(t) D P (t) = 78 + 42cos(t) E 06 x (Enem 2018) A rosa dos ventos ´e uma figura que representa oito sentidos, que dividem o c´ırculo em partes iguais.
A B
C D
........................
E
p 1 − cos2 2x p y = 1 − sen2 3x y=
3 2x · sen 2 3 x y = 1 + sen 2 y=
y = 2 · cos 2x Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 39
x
x
x
y ´ Professor Carmos - MATEMATICA BIMESTRE IV x
09 x
(SSA 2018) A fun¸c˜ ao y = a + bcos x, com a e b reais, BIM - I representada graficamente a seguir, intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, −1) e tem valor m´ aximo y = 5. y
EREM SAL − 2019
5
A 3 s
1 B 1 C
Qual ´e o valor da soma 5a + 2b? 4 A 4 3 B -1 t 3 y C 3 D -2 E 6 10
x
T 60◦
30cm P
(SSA 2017) Se a fun¸c˜ ao trigonom´etrica y = a + b sen (px) 3 tem imagem I = [1, 5] e per´ıodo , qual ´e o valor da soma π a + b + p? Adote π = 3. A 5 B 6 C 8 D 10 E 11 y
10
x
GABARITO Q 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
G A D A B A E E A A E
x
Use o gabarito apenas para verificar sua resposta, caso tenha errado, n˜ ao desanime, volte aos seus c´ alculos e procure onde vocˆe cometeu o erro. Errar ´e muito importante, pois ´e atrav´es do erro que muitas vezes aprendemos.
Lista de exerc´ıcios - Matem´ atica - EREMSAL - P´ agina 40
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