GUIA DE DESARROLLO EJERCICIO POST-TAREA 16-01 2020

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100404 PROGRAMACION LINEAL POST-TAREA – EVALUACION FINAL DEL CURSO GUIA DE DESARROLLO EJERCICIO PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL EJERCICIO PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL 1. FORMULAR DEL PROBLEMA COMO MODELO DE PROGRAMACION LINEAL A partir de la situación problema del Ejercicio seleccionado: a. Construcción del modelo: 

Información de la situación problema: Container High Cube

Container Open Side

Container Dry Van

Utilidad ($) Acero Corten cobre ( t) Acero Corten cromo (t) Acero Corten níquel (t) 

Disponibilidad

Información de la situación problema para linealizar:

Utilidad ($) Acero Corten cobre ( t) Acero Corten cromo (t) Acero Corten níquel (t)

𝑿𝟏 : Container High Cube 𝑼𝟏 = 𝒂𝟏𝟏 = 𝒂𝟐𝟏 = 𝒂𝟑𝟏 =

𝑿𝟐 : Container Open Side 𝑼𝟐 = 𝒂𝟏𝟐 = 𝒂𝟐𝟐 = 𝒂𝟑𝟐 =

𝑿𝟑 : Container Dry Van 𝑼𝟑 = 𝒂𝟏𝟑 = 𝒂𝟐𝟑 = 𝒂𝟑𝟑 =

Disponibilidad Máxima ≤ ≤ ≤

𝒃𝟏 = 𝒃𝟐 = 𝒃𝟑 =

Donde: 𝑿𝒏 : Clases de Container 𝑼𝒏 : Utilidades ($) 𝒂𝟏𝒏 : Cantidad de acero Corten cobre (t) 𝒂𝟐𝒏 : Cantidad de acero Corten cromo (t) 𝒂𝟑𝒏 : Cantidad de acero Corten níquel (t) 𝒃𝟏 : Disponibilidad de acero Corten cobre (t) Alvaro Javier Rojas Baracaldo Director de curso Red de curso 100404 Programación Lineal 16-01 2020

100404 PROGRAMACION LINEAL POST-TAREA – EVALUACION FINAL DEL CURSO GUIA DE DESARROLLO EJERCICIO PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL 𝒃𝟐 : Disponibilidad de acero Corten cromo (t) 𝒃𝟑 : Disponibilidad de acero Corten níquel (t)



Variables: Sea, 𝑿𝟏 : 𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒂𝒊𝒏𝒆𝒓 𝑯𝒊𝒈𝒉 𝑪𝒖𝒃𝒆 𝑿𝟐 : 𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒂𝒊𝒏𝒆𝒓 𝑶𝒑𝒆𝒏 𝑺𝒊𝒅𝒆 𝑿𝟑 : 𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒂𝒊𝒏𝒆𝒓 𝑫𝒓𝒚 𝑽𝒂𝒏



Objetivo:

La optimización de las 𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒄𝒊ó𝒏



Restricciones:

Si, 𝑼𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒖𝒓𝒔𝒐𝒔 ≤ 𝑫𝒊𝒔𝒑𝒐𝒏𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒂 Entonces, 𝑼𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒂𝒄𝒆𝒓𝒐 𝑪𝒐𝒓𝒕𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒃𝒓𝒆 ≤ 𝒃𝟏 𝑼𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒂𝒄𝒆𝒓𝒐 𝑪𝒐𝒓𝒕𝒆𝒏 𝒄𝒓𝒐𝒎𝒐 ≤ 𝒃𝟐 𝑼𝒔𝒐 𝒅𝒆𝒂𝒄𝒆𝒓𝒐 𝑪𝒐𝒓𝒕𝒆𝒏 𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆𝒍 ≤ 𝒃𝟑 𝑵𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅: 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , 𝑿𝟑 ≥ 𝟎

b. Formulación del problema primal: Remplazando la información de la situación problema para linealizar, el problema primal de programación lineal, es:

Alvaro Javier Rojas Baracaldo Director de curso Red de curso 100404 Programación Lineal 16-01 2020

100404 PROGRAMACION LINEAL POST-TAREA – EVALUACION FINAL DEL CURSO GUIA DE DESARROLLO EJERCICIO PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL Función objetivo: 𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒁 = 𝑼𝟏 𝑿𝟏 + 𝑼𝟐 𝑿𝟐 + 𝑼𝟑 𝑿𝟑 Sujeto a: 𝒂𝟏𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟏𝟑 𝑿𝟑 ≤ 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟐𝟑 𝑿𝟑 ≤ 𝒃𝟐 𝒂𝟑𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟑𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟑𝟑 𝑿𝟑 ≤ 𝒃𝟑 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , 𝑿𝟑 ≥ 𝟎

2. SOLUCIONAR EL PROBLEMA PRIMAL POR EL METODO SIMPLEX PRIMAL a. Forma estándar del problema primal de programación lineal por el método simplex primal: Sumando la variable de holgura a cada una de las restricciones porque son del tipo ≤ para transformarlas en ecuaciones y agregando las variables de holgura a la restricción de la no negatividad, se tiene:

𝒂𝟏𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟏𝟑 𝑿𝟑 + 𝑺𝟏 = 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟐𝟑 𝑿𝟑 + 𝑺𝟐 = 𝒃𝟐 𝒂𝟑𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟑𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟑𝟑 𝑿𝟑 + 𝑺𝟑 = 𝒃𝟑 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , 𝑿𝟑 , 𝑺𝟏 , 𝑺𝟐 , 𝑺𝟑 ≥ 𝟎 Igualando a cero (0) la función objetivo: 𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒁 = 𝑼𝟏 𝑿𝟏 + 𝑼𝟐 𝑿𝟐 + 𝑼𝟑 𝑿𝟑 𝑰𝒈𝒖𝒂𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒂 𝑪𝒆𝒓𝒐 𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒁 − 𝑼𝟏 𝑿𝟏 − 𝑼𝟐 𝑿𝟐 − 𝑼𝟑 𝑿𝟑 = 𝟎 Sumando las variables de holgura con coeficiente cero en la función objetivo: 𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒁 − 𝑼𝟏 𝑿𝟏 − 𝑼𝟐 𝑿𝟐 − 𝑼𝟑 𝑿𝟑 + 𝟎𝑺𝟏 + 𝟎𝑺𝟐 + 𝟎𝑺𝟑 = 𝟎 Alvaro Javier Rojas Baracaldo Director de curso Red de curso 100404 Programación Lineal 16-01 2020

100404 PROGRAMACION LINEAL POST-TAREA – EVALUACION FINAL DEL CURSO GUIA DE DESARROLLO EJERCICIO PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL La forma estándar del problema primal de programación lineal por el método simplex primal, es: Función objetivo: 𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒁 − 𝑼𝟏 𝑿𝟏 − 𝑼𝟐 𝑿𝟐 − 𝑼𝟑 𝑿𝟑 + 𝟎𝑺𝟏 + 𝟎𝑺𝟐 + 𝟎𝑺𝟑 = 𝟎 Sujeto a: 𝒂𝟏𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟏𝟑 𝑿𝟑 + 𝑺𝟏 = 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟐𝟑 𝑿𝟑 + 𝑺𝟐 = 𝒃𝟐 𝒂𝟑𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟑𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟑𝟑 𝑿𝟑 + 𝑺𝟑 = 𝒃𝟑 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , 𝑿𝟑 , 𝑺𝟏 , 𝑺𝟐 , 𝑺𝟑 ≥ 𝟎

b. Solución del problema primal de programación lineal por el método simplex primal en hoja de cálculo (Excel): Tabla inicial del método simplex primal: Variables Básicas Z S1 S2 S3

Z 1 0 0 0

X1 - U1 a11 a21 a31

X2 - U2 a12 a22 a32

Variables No Básicas X3 S1 - U3 0 a13 1 a23 0 a33 0

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

Solución 0 b1 b2 b3

Ejemplo Solución de problema de programación lineal de maximización en hoja de cálculo (Excel) (consulte aquí). c. Solución del problema primal de programación lineal en complemento Solver (Excel): Ingresar los datos del problema primal en complemento Solver (Excel): Función objetivo: 𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒁 = 𝑼𝟏 𝑿𝟏 + 𝑼𝟐 𝑿𝟐 + 𝑼𝟑 𝑿𝟑 Alvaro Javier Rojas Baracaldo Director de curso Red de curso 100404 Programación Lineal 16-01 2020

100404 PROGRAMACION LINEAL POST-TAREA – EVALUACION FINAL DEL CURSO GUIA DE DESARROLLO EJERCICIO PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL Sujeto a: 𝒂𝟏𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟏𝟑 𝑿𝟑 ≤ 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟐𝟑 𝑿𝟑 ≤ 𝒃𝟐 𝒂𝟑𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟑𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟑𝟑 𝑿𝟑 ≤ 𝒃𝟑 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , 𝑿𝟑 ≥ 𝟎

Ejemplo Solución del problema de programación lineal de maximización en complemento Solver (Excel) (consulte aquí).

3. REALIZAR EL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD A LA SOLUCION PRIMAL Encontrar el análisis de sensibilidad que arroja el complemento Solver (Excel). a. Analizar los cambios de aumento y reducción de los coeficientes de las variables de la función objetivo para que la solución permanezca óptima. 

Determinar el valor mínimo y el valor máximo de los nuevos coeficientes de las variables 𝑿𝒏 de la función objetivo con base en el valor permitido a disminuir y valor permitido a aumentar, arrojados en los resultados del Análisis de sensibilidad (Solver): 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔:

Nuevo coeficiente 𝑼𝟏 : 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 = 𝑼𝟏 − 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒎𝒊𝒏𝒖𝒊𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐 = 𝑼𝟏 + 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂 𝒂𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 < 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟏 < 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐

Nuevo coeficiente 𝑼𝟐 : 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 = 𝑼𝟐 − 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒎𝒊𝒏𝒖𝒊𝒓 Alvaro Javier Rojas Baracaldo Director de curso Red de curso 100404 Programación Lineal 16-01 2020

100404 PROGRAMACION LINEAL POST-TAREA – EVALUACION FINAL DEL CURSO GUIA DE DESARROLLO EJERCICIO PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐 = 𝑼𝟐 + 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂 𝒂𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 < 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟐 < 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐

Nuevo coeficiente 𝑼𝟑 : 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 = 𝑼𝟑 − 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒎𝒊𝒏𝒖𝒊𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐 = 𝑼𝟑 + 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂 𝒂𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 < 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟑 < 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐

Donde: 𝑼𝟏 , 𝑼𝟐 , 𝑼𝟑 : 𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟏 , 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟐 , 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟑 ∶ 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂𝒔 𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔



Analizar los cambios en la solución óptima del modelo de programación lineal: Asignar la 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟏 , 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟐 , 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟑 como coeficientes de las variables 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , 𝑿𝟑 cuando el Costo reducido es cero (0). Remplazar la 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟏 , 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟐 , 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟑 en la función objetivo 𝒁 y encontrar la nueva solución en complemento Solver (Excel):

Función objetivo: 𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒁 = 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟏 𝑿𝟏 + 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟐 𝑿𝟐 + 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟑 𝑿𝟑 Sujeto a: 𝒂𝟏𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟏𝟑 𝑿𝟑 ≤ 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟐𝟑 𝑿𝟑 ≤ 𝒃𝟐 𝒂𝟑𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟑𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟑𝟑 𝑿𝟑 ≤ 𝒃𝟑 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , 𝑿𝟑 ≥ 𝟎 Alvaro Javier Rojas Baracaldo Director de curso Red de curso 100404 Programación Lineal 16-01 2020

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Nota: Las 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟏 , 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟐 , 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝑼𝟑 solo aplican cuando el 𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒓𝒆𝒅𝒖𝒄𝒊𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , 𝑿𝟑 𝒆𝒔 𝟎. Si 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂𝒔 𝑼𝒏 < 𝑼𝒏 , la solución permanece óptima, los valores de las variables 𝑿𝒏 de la solución permanecen constantes y el valor de la función objetivo 𝒁, disminuye. Si 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂𝒔 𝑼𝒏 > 𝑼𝒏 , la solución permanece óptima, los valores de las variables 𝑿𝒏 de la solución permanecen constantes y el valor de la función objetivo 𝒁, aumenta.

b. Analizar los cambios de aumento y reducción de las disponibilidades de las restricciones para que la solución permanezca óptima. 

Determinar el valor mínimo y valor máximo de las nuevas disponibilidades (𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂𝒔 𝒃𝒏 )de los recursos en las restricciones con base en el valor permitido a disminuir y valor permitido a aumentar, arrojados en los resultados del Análisis de sensibilidad (Solver): 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂𝒔 𝑫𝒊𝒔𝒑𝒐𝒏𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔

Nueva disponibilidad 𝒃𝟏 : 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 = 𝒃𝟏 − 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒎𝒊𝒏𝒖𝒊𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐 = 𝒃𝟏 + 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂 𝒂𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 < 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟏 < 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐

Nueva disponibilidad 𝒃𝟐 : 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 = 𝒃𝟐 −𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒎𝒊𝒏𝒖𝒊𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐 = 𝒃𝟐 +𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂 𝒂𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 < 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟐 < 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐

Alvaro Javier Rojas Baracaldo Director de curso Red de curso 100404 Programación Lineal 16-01 2020

100404 PROGRAMACION LINEAL POST-TAREA – EVALUACION FINAL DEL CURSO GUIA DE DESARROLLO EJERCICIO PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL Nueva disponibilidad 𝒃𝟑 : 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 = 𝒃𝟑 −𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒎𝒊𝒏𝒖𝒊𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐 = 𝒃𝟑 + 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂 𝒂𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 < 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟑 < 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐 Donde: 𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 , 𝒃𝟑 : 𝑫𝒊𝒔𝒑𝒐𝒏𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟏 , 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟐 , 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟑 : 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒑𝒐𝒏𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔



Analizar los cambios en la solución óptima del modelo de programación lineal: Asignar la 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟏 , 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟐 , 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟑 a las restricciones cuando el Precio sombra es cero (0). Remplazar la 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟏 , 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟐 , 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟑 en el lado derecho de las restricciones y encontrar la nueva solución en complemento Solver (Excel):

Función objetivo: 𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒁 = 𝑼𝟏 𝑿𝟏 + 𝑼𝟐 𝑿𝟐 + 𝑼𝟑 𝑿𝟑 Sujeto a: 𝒂𝟏𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟏𝟑 𝑿𝟑 ≤ 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟐𝟑 𝑿𝟑 ≤ 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟐 𝒂𝟑𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟑𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟑𝟑 𝑿𝟑 ≤ 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟑 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , 𝑿𝟑 ≥ 𝟎 Nota: Las 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟏 , 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟐 , 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒃𝟑 solo aplican cuando el 𝑷𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒔𝒐𝒎𝒃𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , 𝑿𝟑 𝒆𝒔 𝟎.

Alvaro Javier Rojas Baracaldo Director de curso Red de curso 100404 Programación Lineal 16-01 2020

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Si 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂𝒔 𝒃𝒏 < 𝒃𝒏 , la solución permanece óptima, los valores de las variables 𝑿𝒏 de la solución permanecen constantes y el valor de la función objetivo 𝒁, permanece constante. Si 𝑵𝒖𝒆𝒗𝒂𝒔 𝒃𝒏 > 𝒃𝒏 , la solución permanece óptima, los valores de las variables 𝑿𝒏 de la solución permanecen constantes y el valor de la función objetivo 𝒁, permanece constante. Ejemplo Análisis de sensibilidad al problema de programación lineal de maximización en complemento Solver (Excel) (consulte aquí).

4. FORMULAR EL PROBLEMA DUAL A PARTIR DEL PROBLEMA PRIMAL.

Sea el problema primal: Función objetivo: 𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒁 = 𝑼𝟏 𝑿𝟏 + 𝑼𝟐 𝑿𝟐 + 𝑼𝟑 𝑿𝟑 Sujeto a: 𝒂𝟏𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟏𝟑 𝑿𝟑 ≤ 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟐𝟑 𝑿𝟑 ≤ 𝒃𝟐 𝒂𝟑𝟏 𝑿𝟏 + 𝒂𝟑𝟐 𝑿𝟐 + 𝒂𝟑𝟑 𝑿𝟑 ≤ 𝒃𝟑 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , 𝑿𝟑 ≥ 𝟎 Entonces, el problema dual, es: Función objetivo: 𝑴𝒊𝒏𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝑾 = 𝒃𝟏 𝒀𝟏 + 𝒃𝟐 𝒀𝟐 + 𝒃𝟑 𝒀𝟑 Sujeto a: 𝒂𝟏𝟏 𝒀𝟏 + 𝒂𝟐𝟏 𝒀𝟐 + 𝒂𝟑𝟏 𝒀𝟑 ≥ 𝑼𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒀𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝒀𝟐 + 𝒂𝟑𝟐 𝒀𝟑 ≥ 𝑼𝟐

Alvaro Javier Rojas Baracaldo Director de curso Red de curso 100404 Programación Lineal 16-01 2020

100404 PROGRAMACION LINEAL POST-TAREA – EVALUACION FINAL DEL CURSO GUIA DE DESARROLLO EJERCICIO PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL 𝒂𝟏𝟑 𝒀𝟏 + 𝒂𝟐𝟑 𝒀𝟐 + 𝒂𝟑𝟑 𝒀𝟑 ≥ 𝑼𝟑 𝒀𝟏 , 𝒀𝟐 , 𝒀𝟑 𝑰𝒓𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒂𝒔 5. SOLUCIONAR EL PROBLEMA DUAL POR EL MÉTODO SIMPLEX DUAL a. Forma estándar del problema dual por el método simplex dual: Restando la variable de exceso a cada una de las restricciones porque son del tipo ≥ para transformarlas en ecuaciones y agregando las variables de exceso a la restricción de la no negatividad, se tiene: 𝒂𝟏𝟏 𝒀𝟏 + 𝒂𝟐𝟏 𝒀𝟐 + 𝒂𝟑𝟏 𝒀𝟑 − 𝑺𝟏 = 𝑼𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒀𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝒀𝟐 + 𝒂𝟑𝟐 𝒀𝟑 − 𝑺𝟐 = 𝑼𝟐 𝒂𝟏𝟑 𝒀𝟏 + 𝒂𝟐𝟑 𝒀𝟐 + 𝒂𝟑𝟑 𝒀𝟑 − 𝑺𝟑 = 𝑼𝟑 𝒀𝟏 , 𝒀𝟐 , 𝒀𝟑 , 𝑺𝟏 , 𝑺𝟐 , 𝑺𝟑 ≥ 𝟎 𝑰𝒓𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒂𝒔 Multiplicando por (-1) cada uno de los miembros de las restricciones (ecuaciones): 𝒂𝟏𝟏 𝒀𝟏 + 𝒂𝟐𝟏 𝒀𝟐 + 𝒂𝟑𝟏 𝒀𝟑 − 𝑺𝟏 = 𝑼𝟏 ∗ (−𝟏) 𝒂𝟏𝟐 𝒀𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝒀𝟐 + 𝒂𝟑𝟐 𝒀𝟑 − 𝑺𝟐 = 𝑼𝟐 ∗ (−𝟏) 𝒂𝟏𝟑 𝒀𝟏 + 𝒂𝟐𝟑 𝒀𝟐 + 𝒂𝟑𝟑 𝒀𝟑 − 𝑺𝟑 = 𝑼𝟑 ∗ (−𝟏) Se tiene: − 𝒂𝟏𝟏 𝒀𝟏 − 𝒂𝟐𝟏 𝒀𝟐 − 𝒂𝟑𝟏 𝒀𝟑 + 𝑺𝟏 = − 𝑼𝟏 − 𝒂𝟏𝟐 𝒀𝟏 − 𝒂𝟐𝟐 𝒀𝟐 − 𝒂𝟑𝟐 𝒀𝟑 + 𝑺𝟐 = − 𝑼𝟐 − 𝒂𝟏𝟑 𝒀𝟏 − 𝒂𝟐𝟑 𝒀𝟐 − 𝒂𝟑𝟑 𝒀𝟑 + 𝑺𝟑 = − 𝑼𝟑 Igualando a cero (0) la función objetivo: 𝑴𝒊𝒏𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝑾 = 𝒃𝟏 𝒀𝟏 + 𝒃𝟐 𝒀𝟐 + 𝒃𝟑 𝒀𝟑 𝑰𝒈𝒖𝒂𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒂 𝒄𝒆𝒓𝒐 𝑴𝒊𝒏𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝑾 − 𝒃𝟏 𝒀𝟏 − 𝒃𝟐 𝒀𝟐 − 𝒃𝟑 𝒀𝟑 = 𝟎 Sumando las variables de exceso con coeficiente cero en la función objetivo: 𝑴𝒊𝒏𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝑾 − 𝒃𝟏 𝒀𝟏 − 𝒃𝟐 𝒀𝟐 − 𝒃𝟑 𝒀𝟑 + 𝟎𝑺𝟏 + 𝟎𝑺𝟐 + 𝟎𝑺𝟑 = 𝟎 Alvaro Javier Rojas Baracaldo Director de curso Red de curso 100404 Programación Lineal 16-01 2020

100404 PROGRAMACION LINEAL POST-TAREA – EVALUACION FINAL DEL CURSO GUIA DE DESARROLLO EJERCICIO PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL La forma estándar del problema dual por el método simplex dual es:

Función objetivo: 𝑴𝒊𝒏𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝑾 − 𝒃𝟏 𝒀𝟏 − 𝒃𝟐 𝒀𝟐 − 𝒃𝟑 𝒀𝟑 + 𝟎𝑺𝟏 + 𝟎𝑺𝟐 + 𝟎𝑺𝟑 = 𝟎 Sujeto a: − 𝒂𝟏𝟏 𝒀𝟏 − 𝒂𝟐𝟏 𝒀𝟐 − 𝒂𝟑𝟏 𝒀𝟑 + 𝑺𝟏 = − 𝑼𝟏 − 𝒂𝟏𝟐 𝒀𝟏 − 𝒂𝟐𝟐 𝒀𝟐 − 𝒂𝟑𝟐 𝒀𝟑 + 𝑺𝟐 = − 𝑼𝟐 − 𝒂𝟏𝟑 𝒀𝟏 − 𝒂𝟐𝟑 𝒀𝟐 − 𝒂𝟑𝟑 𝒀𝟑 + 𝑺𝟑 = − 𝑼𝟑 𝒀𝟏 , 𝒀𝟐 , 𝒀𝟑 , 𝑺𝟏 , 𝑺𝟐 , 𝑺𝟑 ≥ 𝟎, 𝑰𝒓𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒂𝒔 b. Solución del problema dual por el método simplex dual en hoja de cálculo (Excel): Tabla inicial del método simplex dual: Variables Básicas W S1 S2 S3

Z 1 0 0 0

Y1 - b1 - a11 - a12 - a13

Y2 - b2 - a21 - a22 - a23

Variables No Básicas Y3 S1 - b3 0 - a31 1 - a32 0 - a33 0

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

Solución 0 - U1 - U2 - U3

Ejemplo Solución de problema dual de minimización en hoja de cálculo (Excel) (consulte aquí). c. Solución del problema dual en complemento Solver (Excel): Ingresar los datos del problema dual en complemento Solver (Excel): Función objetivo: 𝑴𝒊𝒏𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝑾 = 𝒃𝟏 𝒀𝟏 + 𝒃𝟐 𝒀𝟐 + 𝒃𝟑 𝒀𝟑 Sujeto a: 𝒂𝟏𝟏 𝒀𝟏 + 𝒂𝟐𝟏 𝒀𝟐 + 𝒂𝟑𝟏 𝒀𝟑 ≥ 𝑼𝟏 Alvaro Javier Rojas Baracaldo Director de curso Red de curso 100404 Programación Lineal 16-01 2020

100404 PROGRAMACION LINEAL POST-TAREA – EVALUACION FINAL DEL CURSO GUIA DE DESARROLLO EJERCICIO PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL 𝒂𝟏𝟐 𝒀𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝒀𝟐 + 𝒂𝟑𝟐 𝒀𝟑 ≥ 𝑼𝟐 𝒂𝟏𝟑 𝒀𝟏 + 𝒂𝟐𝟑 𝒀𝟐 + 𝒂𝟑𝟑 𝒀𝟑 ≥ 𝑼𝟑 𝒀𝟏 , 𝒀𝟐 , 𝒀𝟑 𝑰𝒓𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒂𝒔

Ejemplo Solución del problema dual de minimización en complemento Solver (Excel) (consulte aquí).

Alvaro Javier Rojas Baracaldo Director de curso Red de curso 100404 Programación Lineal 16-01 2020