1. Definición de Limite

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Ingeniería Civil Ambiental

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Noción intuitiva de límite: Es importante conocer el comportamiento de una función

f ( x),

cuando los

valores de la variable independiente “x”, estén muy cerca de un número específico que llamaremos

x0 .

Haremos esto tabulando los valores de la función para valores de x cada vez más cercanos al número Ejemplo: si

x0 .

x3  1 f ( x)  x 1

Observamos que el punto

x0  1

no está en el dominio de la función. En la

tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 1, y calculamos los valores correspondientes de la función f ( x) : Cuando x 1 x 1,001 1,005 1,01 1,05 f(x) 3,0030 3,0150 3,0301 3,1525 De la tabla podemos observar que, mientras el valor de “x” se aproxima al número 1, el valor de f ( x) se aproxima al número 3. Deducimos, intuitivamente, que el límite de la función

f ( x)

cuando x “tiende”

a 1; es 3. Esto se simboliza:

x3  1 lim 3 x1 x  1

Dr. Rony Rafael García Apéstegui

Cálculo de una Variable

Ingeniería Civil Ambiental Definición Intuitiva De Límite: El límite de una función dado

x0 ,

f ( x) ,

cuando la variable x se aproxima a un valor

es el número real “L”, (siempre que exista), al cual se aproxima la

función, esto se simboliza:

lim f ( x)  L

x x0

Se lee: “El límite de

f ( x)

cuando x tiende a

x0

es L”

Teoremas de límites: Teorema de límite 1: Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces:

Teorema de límite 2: Para cualquier número dado a

Teorema de límite 3: Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema de límite 4:

Teorema de límite 5: Si f ( x)  L y n es un número entero positivo, entonces:

Dr. Rony Rafael García Apéstegui

Cálculo de una Variable

Ingeniería Civil Ambiental Teorema de límite 6: Si f es un polinomio y a es un número real, entonces:

Teorema de límite 7: Si

lim f ( x)  L y n xa

es un número entero positivo, entonces:

Ejemplo: Calcular los siguientes límites: 1.

lim 77 x1

Solución

lim 77  77

… por teo. 1

x1

2.

lim 8 x  5

x 1

Solución lim 8 x  5  8(1)  5

x 1

 13

3.

… por teo. 3

lim 5 x  1 x 3

Solución

lim 5 x  1  lim5 x  1 x 3

x 3

 5(3)  1 … por teo. 8 4 4.

lim 8 x 2  2  x 4

Solución lim  8 x 2  2   8(4) 2  2 x 4

 130

… por teo. 6

Dr. Rony Rafael García Apéstegui

Cálculo de una Variable