[MATEMATICA] Limite

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Limite – Escola Naval 1. (EN) lim x → −1+

x

é igual a:

x −1 2

(A) 0 (B) 1 (C) –1 (D) ∞ (E) –∞.

Solução: + ⎧lim ⎪ x →−1+ x = − 1 . ⎨ − 2 ⎪⎩lim x →−1+ x − 1 = 0

(

)

In det er min ação, do tipo divisão por zero, log o lim x →−1+ Re pare que lim x →−1+

x x −1 2

x x −1 2

não existe .

pode ser tão grande quanto quisermos, pois,

1 x > 0 tal que 0 < x + 1 < δ ⇒ 2 > M. M x −1 x A última lim ha equivale a dizer que lim x →−1+ 2 = +∞ x −1 Letra (D). Obs.: Na prática podemos ver o resultado acima da seguinte maneira. Observe que o numerador tende para um número diferente de zero enquanto que o denominador tende para zero, neste caso o limite acima não existe e é representado por infinito. Devemos descobrir se é o caso de representá-lo por + ∞ ou − ∞ , para isto basta analisar o sinal da fração para valores de x na vizinhança indicada, ou seja, ⎧⎪x < 0 x x −1 < x < −1+ δ ⇒ ⎨ 2 ⇒ 2 > 0 ⇒ lim x →−1+ 2 = +∞ . ⎪⎩x − 1 < 0 x −1 x −1 ∀ M > 0 , ∃ δ=

2. (EN) O valor de

lim x →1

x4 + x2 −2 x 5 + 2x 2 − 3

é:

(A) 2/3 (B) 4/5 (C) 1 (D) 3/2 (E) 2.

Solução: Temos que ⎧⎪lim x →1 x 4 + x 2 − 2 = 0 . ⎨ ⎪⎩lim x →1 x 5 + 2x 2 − 3 = 0 In det er min ação, do tipo divisão de zero por zero. Usando L' hôpital

( (

lim x →1

)

x4 + x2 − 2 x + 2x − 3 5

Letra (A).

2

=

)

3 lim 4 x x →1 4

+ 2x

5x + 4 x

=

2 3

3. (EN)

lim | x 2 + 4 x − x 2 + 1 | =

x→ +∞

(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) ∞.

Solução: x 2 + 4x + x 2 + 1 lim

x → +∞

x + 4x − x + 1 = 2

2

lim

x → +∞

x + 4x − x + 1 2

=

2

x 2 + 4x + x 2 + 1

4x − 1

lim

x → +∞

x 2 + 4x + x 2 + 1

Dividindo o numerador e o deno min ador por x , obtemos 4− lim

x → +∞

x 2 + 4x − x 2 + 1 = lim

x → +∞

1+

1 x

=

4 1 + 1+ 2 x x

4 = 2. 2

Letra (B). Obs.: Poderíamos ter usado o fato de que um polinômio equivale ao termo de maior grau quando a variável tende a infinito. No nosso caso não podemos utilizar a equivalência de imediato, pois, a expressão inicial é uma diferença e a teoria de equivalências falha neste caso. Então fazendo o mesmo desenvolvimento que na 1° solução chegamos a segunda igualdade abaixo e neste caso podemos utilizar a equivalência descrita na linha acima, ou seja,

lim

x → +∞

4x − 1

x 2 + 4 x − x 2 + 1 = lim

x → +∞

= lim

x 2 + 4x + x 2 + 1

x →∞

4x x+x

= lim

x →∞

4x 2x

= 2 .

3 2 3 4. (EN) lim x → +∞ ⎡ x + x − x ⎤ é igual a:

⎢⎣

⎥⎦

(A) 0 1 (B) 3 1 (C) 2 2 (D) 3 (E) +∞ .

Letra (E). ⎛ ⎞ 1 1 ⎟ é igual a: − ⎜ 2 (1 − x ) 3 (1 − 3 x ) ⎟ ⎝ ⎠

5. (EN) O lim ⎜ x →1

(A) 0.

(B)

1 . 16

(C)

1 . 12

(D)

1 . 2

(E) 1.

Letra (C). Dica: Faça uma mudança de variável para eliminar os radicais, simplifique a expressão e então faça o limite.

6. (EN) O valor de lim x →0

sen 2 x sen x 2

é

(A) –1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (E) + ∞ .

Solução:

Basta utilizar o limite fundamental lim x → 0 ⎛ ⎛ sen x ⎞ = lim x →0 ⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎜⎝ x ⎠ sen x ⎝ Já que ambos os lim ites existem e

2

sen 2 x

lim x →0

lim x →0

sen 2 x sen x

2

senx

= 1.

x

⎛ x 2 ⎞⎞ ⎜ ⎟⎟ . ⎜ sen x 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎠ valem 1 temos

⎛ x2 ⎛ sen x ⎞ = lim x →0 ⎜ ⎟ lim x →0 ⎜ ⎜ sen x 2 ⎝ x ⎠ ⎝ 2

⎞ ⎟ = 1 ⋅1 = 1. ⎟ ⎠

Letra (C) Obs.: Podemos utilizar também a teoria das equivalências, neste caso, temos x → 0 ⇒ sen x ≈ x , log o lim x →0

sen 2 x sen x 2

7. (EN) lim

= lim x →0

1 − cos 2x

x →0

x2

(x )2 x2

=1 .

vale:

(A) 4 (B) 2 (C) 1

1 2 1 (E) . 4

(D)

Solução: Lembre que cos 2x = 1 − 2 sen 2 x , logo lim

1 − cos 2 x

= lim

2 sen 2 x

= 2 lim

sen 2 x

. x2 sen x Lembrando o lim ite fundamental lim = 1 , obtemos x →0 x 1 − cos 2 x lim = 2⋅ 1 = 2 x →0 x2 x →0

x2

Letra (B)

x →0

x2

x →0

8. (EN) O valor de lim [(ln x) . (ln (x − 1) )] é: + (A) +∞ . (B) e . (C) 1. (D) 0. (E) –1.

x →1

Solução:

Da teoria de equivalências, temos que x → 0 ⇒ ln ( 1 + x ) ≈ x., então lim [(ln x) . (ln (x − 1) )] = lim+ [ ( x − 1) . (ln (x − 1) )] , fazendo x − 1 = u obtemos

x →1+

x →1

lim+ [(ln x) . (ln (x − 1) )] = lim+ [ u . ln (u )] = lim+ [

x →1

u →0

u →0

ln ( u ) ], 1 u

⎧ lim+ ln u = − ∞ ⎪u →0 . ⎨ 1 ⎪ lim+ = + ∞ ⎩u →0 u In det er min ação, do tipo divisão de inf inito por inf inito. Usando L' hôpital 1 ln ( u ) u lim [ ] = lim+ [ ] = lim+ − u = 0 . 1 1 u →0 + u →0 u →0 − 2 u u Letra (D) 9. (EN) O valor de lim x

⎛ x −1 ⎞ ⎟ → +∞ ⎜ ⎝ x +1⎠

x

é

(A) e (B) 1 (C) e (D) ∞ (E) e-2.

Solução: ⎛ x −1 ⎞ Usaremos a segu int e identidade ⎜ ⎟ ⎝ x +1⎠ Logo x

⎛ x −1 ⎞ lim x → +∞ ⎜ ⎟ = lim x → +∞ e ⎝ x +1⎠ Então basta calcular

⎛ x −1 ⎞ x ln ⎜ ⎟ ⎝ x +1 ⎠

x

=e

⎛ ⎛ x −1 ⎞ lim x → +∞ x ln ⎜ ⎟ = lim x → +∞ x ln ⎜⎜1 + x 1 + ⎝ ⎠ ⎝ Acima usamos a segu int e equivalência x → 0 ⇒ ln ( 1 + x ) ≈ x. x

⎛ x −1 ⎞ −2 Então lim x → +∞ ⎜ ⎟ =e . x 1 + ⎝ ⎠

Letra (E)

= e

⎛ x −1 ⎞ x ln ⎜ ⎟ ⎝ x +1 ⎠

lim x → +∞

, que está bem definida já que x → + ∞.

⎛ x −1 ⎞ x ln ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ x +1 ⎠

2 ⎞ ⎛ ⎜− ⎟ x +1⎠ ⎝

, já que a função exp onencial é contínua.

⎞ ⎟⎟ = lim x → +∞ ⎠

⎛ ⎛ 2 ⎞⎞ 2x ⎜⎜ x ⎜ − = − 2. ⎟ ⎟⎟ = − lim x → +∞ x 1 x +1 + ⎠⎠ ⎝ ⎝

1

10. (EN) lim x → 0 ( sec x ) x

2

é igual a

(A) e (B) e (C) 2 (D) e2 (E) 1/2. Letra (B)

Dica: Use a identidade da 9° Questão. 11. (EN) Qual o valor do lim x →0 ) (ctg x )

1 ln x

(A) e (B) 1/e (C) 0 (D) –1. Solução:

lim x →0) (ctg x )1 ln x = lim x →0) e

ln ctg x ln x

=e

lim

x →0)

ln ctg x ln x

.

Então basta calcular ln ctgx ln tgx lim x →0 + , temos que = − lim x →0 + ln x ln x ⎧⎪lim x →0 + ln tgx = − ∞ . ⎨ ⎪⎩lim x →0 + ln x = − ∞ In det er min ação, do tipo divisão de inf inito por inf inito. Usando L' hôpital

lim x →0 +

ln ctgx ln tgx = − lim x →0 + = − lim x →0 + ln x ln x

Logo lim x →0) (ctg x )1 ln x = e −1 .

2 sen 2x 2x = − lim x →0 + = − 1. 1 sen 2 x x

Letra (B)

Obs.:

Poderíamos ter usado a seguinte equivalência x → 0 ⇒ tg x ≈ x

⇔ x → 0 ⇒ ctg x ≈

1 x

Logo lim x →0 +

1 ln ln ctgx ln x x = − lim = lim x →0 + = −1 . x →0 + ln x ln x ln x

Então lim x →0) (ctg x )1 ln x = e −1 .

12. (EN) Se lim x →0) (ctg x )

1 ln x

(A) 0 ≤ p ≤

= p , então

1 3

1 1 < p ≤ 3 2 1 < p ≤ 1 (C) 2 (B)

(D) 1 < p ≤ 2 (E) 2 < p ≤ 3.

Letra (B)

⎧⎪ (cos x )1 / x 2 , se x ≠ 0 13. (EN) O valor de a que torna a função: f ( x ) = ⎨ contínua em x = 0 ⎪⎩2a , se x = 0

é:

(A) 2 (B) 2 e 2 (C) (D)

e 2 1 2 e

(E) 2e2.

Solução: f é contínua em x = 0 ⇔ lim x →0 f ( x ) = f (0) Então devemos ter : lim x →0 ( cos x

)1 x

2

= f (0) ⇔ lim x →0 ( cos x

)1 x

2

= 2a ⇔ a =

2 1 lim x →0 ( cos x )1 x . 2

Então basta calcular lim x →0 ( cos x

)1 x

ln cos x 2

= lim x →0 e

Pr ecisamos calcular lim x →0

x2

=e

lim x → 0

ln cos x x2

.

ln cos x x2

⎧⎪lim x →0 ln cos x = 0 . ⎨ ⎪⎩lim x →0 x 2 = 0

In det er min ação, do tipo divisão de zero por zero. Usando L' hôpital lim x →0

ln cos x

Letra (D)

x2

1

= lim x →0 −

tg x 1 1 − 1 = − ⇒a = e 2 ⇒ a = 2x 2 2 2 e

⎧ x− 3 ⎪ se x ≠ 3

14. (EN) O valor de “a” para que a função f ( x ) = ⎨ x − 3

⎪a ⎩

seja contínua m x = 3 é

se x = 3

(A) 3

3 3 1 (C) 3

(B)

3 6 1 (E) . 6

(D)

Solução: Devemos ter lim x →3 f ( x ) = f (3) ⇔ a = lim x →3

x− 3 = lim x →3 x −3

1 x+ 3

=

1 3+ 3

Letra (D) Obs.:

Poderíamos também ter utilizado L’hôpital Conforme acima a = lim x →3

(

x− 3 , então x −3

)

⎧⎪lim x →3 x − 3 = 0 . ⎨ ⎪⎩im x →3 ( x − 3 ) = 0 In det er min ação do tipo divisão de zero por zero. Utilizando L' hôpital 1 a = lim x →3

1 3 2 x ⇒ a= ⇒ a= . 1 6 2 3

⇒a =

1 2 3

=

3 . 6