2C - Alg Lin 2016-1 - gabarito-1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II PRIMEIRO SEMESTRE DE 2016 2ª Chamada de Álgebra Linear - 05/07/2016

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ATENÇÃO: • • • •

Leia cada enunciado com atenção antes de iniciar uma resolução. Não esqueça de justificar as respostas. Escreva todos os detalhes dos cálculos que levam a uma solução Não destaque as folhas do caderno de prova

1ª Questão: Seja

1 2
= 2 4 3 5

3 5

6

a matriz de coeficientes de um sistema de equações lineares. Determine a matriz de termos independes do sistema a fim de que: a) (1,0 ponto) o sistema seja consistente; b) (1,0 ponto) o conjunto solução do sistema seja um subespaço de ℝ .

Resposta.  1 2 3  1 2 3 1   − 2 2 4 5

~ 0 0 −1

~ 0 3 5 6  0 −1 −3  − 3 0 1 0 ~ 0 1 0 0

 2 3 1 3 − 

~ 0 1 3 0 1 2 −  0

3  − 23 −  + 62 −  1 0 0 3 −  − 32 −  ~ 0 1 1 0 0 2 − 

2 3 1 0 0 1

 3 −  − 32 − 

2 − 

0  − 23 −  + 62 −  − 32 − 

. 0 3 −  − 32 −  1 2 − 

a) O sistema é consistente e determinado para qualquer valor de ,  .

b) O conjunto solução (um único ponto em ℝ ) só é um subespaço de ℝ se este ponto for a origem. Portanto, a última coluna da matriz aumentada acima deve ser nula. Pela última linha, temos que  = 2. Consequentemente, a segunda linha implica que  = 3. E portanto, pela primeira linha, temos que  = 0, e portanto toda a matriz de termos independes do sistema deve ser nula

2ª Questão: Seja um subespaço do ℝ ,

 = 1,0,0, 1,1,0, 1,1,1

a) (1,0 ponto) Determine uma transformação linear , , , : ℝ → ℝ , tal que Im = . b) (0,5 ponto) Determine o núcleo da transformação, ker. c) (0,5 ponto) Esta transformação é um isomorfismo?

Resposta.

a) Se Im = , então os vetores geradores de , que são L.I., são uma base de Im, e portanto são '()* , ()+ , () , para alguma base '()* , ()+ , () , de ℝ . A escolha desta base determina a transformação T. Tomando a base canônica, obtemos que , ,  = 1,0,0 + 0,1,0 + 0,0,1 e que portanto , ,  =  1,0,0 +  0,1,0 +  0,0,1 = 1,0,0 + 1,1,0 + 1,1,1 =  +  + ,  + , . b) Como dim ℝ = dim Im + dim ker, temos que dim ker = 0 e 0)1. portanto ker = /0 c) Como a dimensão do domínio é igual à do contradomínio, e a transformação é 0)1), então ela é também sobrejetora, e portanto é um injetora (ker = /0 isomorfismo.

3ª Questão: Seja um produto interno qualquer em ℝ+ , e seja 2 uma base ortonormal em relação a este produto interno. Então, se : ℝ+ → ℝ+ tem como matriz associada 33 = 4

4/5 

 6, −4/5

a) (1,0 ponto) Determine ,  a fim de que T seja um operador auto adjunto. b) (1,0 ponto) Quais os valores possíveis de ,  para que T seja ortogonal? c) (1,0 ponto) O operador que satisfaz (a) e (b) é inversível? Resposta: a) Como a base é ortonormal, para que o operador seja auto adjunto, a matriz deve ser simétrica, portanto, devemos ter  = . b) Para que  seja ortogonal, a matriz deve ser ortogonal, e portanto deve ter colunas ortonormais. Portanto, ,  devem satisfazer: 4⁄5 − 4⁄5 = 0 4 + 9 7 4⁄5+ +  + = 1 ⇒  = , + = + = 1 − : ; = 5 25 + + − 4⁄5+ = 1

Ou seja,  =  = ± 3⁄5. c) Satisfazendo a ortogonalidade já garante que a transformação é inversível.

4ª Questão: (3,0 pontos) Obtenha a forma normal (equação reduzida) da quádrica cuja equação cartesiana é: >, ,  + ?, ,  = 0,

onde > é a forma quadrática associada a forma bilinear simétrica e ? a forma linear, cujas matrizes na base canônica do ℝ são, respectivamente: 1 @ = 0 1

Resposta:

0 1 1 0

0 1

A ? = 0 1 0.

Diagonalizando a forma quadrática: 1−C B 0 1

0 1−C 0

1 0 B = 1 − C − 1 − C = 1 − C1 − C+ − 1 = 0 1−C

⇒ λ = 1 ou 1 − λ = ±1 ⇒ λ = 0 ou λ = 2.

1 0 C = 0: 0 1 1 0

+ =0 1  0 1⁄√2 ⇒ J 0)* = K 0 M, 0 GH = 0 ⇒ I  = 0 1  0 + =0 − 1⁄√2

 += 1 0 1  0 C = 1: 0 1 0 GH = GH ⇒ I  =  ⇒ J 0)+ = 1 ,  + = 1 0 1  0

  +  = 2 1 0 1  1⁄√2 C = 2: 0 1 0 GH = 2 GH ⇒ I  = 2 ⇒ J 0) = K 0 M.  1 0 1   +  = 2 1⁄√2

0)* , J 0)+ , J 0) ,, Na base N = 'J

@OO

0 0 = 0 1 0 0

0 0 , logo >* , * , *  = * + + 2* + . 2

*  1⁄√2 0 O Já ? = 0 1 0 GH = 0 1 0P3 * = 0 1 0 K 0 1   * −1⁄√2 0

1⁄√2 * 0 M * = *. 1⁄√2 *

Logo a equação da quádrica, nas novas coordenadas, se expressa como:

* + 2* + * = * +

+

+

1 1 1 1 + 1 + + 2 * + − + 2* = :* + ; + 2* + − = 0. 2 4 4 2 4

Ou seja, tomando + = * + , + = * , temos que + + + 2+ + = . * +

* Q