3.2. FÍSICA - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - VOLUME 3

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MECÂNICA

FRENTE 1

Módulo 37 – Plano Inclinado 1. (FGV-SP) – A jabuticabeira é uma árvore que tem seus frutos espalhados em toda a extensão de seus galhos e tronco. Após a florada, as frutinhas crescem presas por um frágil cabinho que as sustentam. Cedo ou tarde, devido ao processo de amadurecimento e à massa que ganharam desenvolvendo-se, a força gravitacional finalmente vence a força exercida pelo cabinho. Considere a jabuticaba perfeitamente esférica e na iminência de cair. a) 40,0 cm Resolução

b) 35,0 cm

c) 30,0 cm

d) 20,0 cm

1) Pt = Fat mg sen θ = ␮d mg cosθ

Esquematicamente, o cabinho que segura a pequena fruta aponta para o centro da esfera que representa a frutinha.

␮d = tgθ = 0,75

h 2) sen θ = ––– L Se essa jabuticaba tem massa de 8 g, a intensidade da com→ ponente paralela ao galho da força F exercida pelo cabinho e que permite o equilíbrio estático da jabuticaba na posição mostrada na figura é, em newtons, aproximadamente, a) 0,01 b) 0,04 c) 0,09 d) 0,13 e) 0,17 Dados: módulo da aceleração da gravidade = 10 m/s2 sen θ = 0,54 cos θ = 0,84 Resolução A componente tangencial da força exercida pelo cabinho deverá equilibrar a componente tangencial do peso da jabuticaba: Ft = Pt = mg sen θ Ft = 8 . 10–3 . 10 . 0,54 (N) Ft = 4,32 . 10–2N ⇒

Ft  0,04N

Resposta: B

3 h = L sen θ = 50,0. –– (cm) 5 h = 30,0cm 3 tg θ = ––– 4 3 sen θ = ––– 5 4 cos θ = ––– 5 Resposta: C 3. (VUNESP-UNSA) – Um pequeno corpo, de dimensões desprezíveis e massa m, passa pelo ponto A com velocidade escalar 20m/s e sobe a rampa, chegando ao ponto B, distante 25m de A, com velocidade nula.

2. (UFT) – Um estudante levanta a extremidade de um livro de 50,0 cm de comprimento a uma altura “h” (vertical). Em seguida, coloca uma borracha na superfície inclinada deste → livro com velocidade (V) não nula descendo o plano, conforme indicado na figura. O coeficiente de atrito cinético entre a superfície do livro e a borracha é 0,75. Qual deve ser a altura → “h” para que a velocidade (V) da borracha seja constante?

– 205

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Considerando-se a aceleração da gravidade com módulo g = 10m/s2, o coeficiente de atrito entre o corpo e o plano é igual a a) 0 b) 0,15 c) 0,20 d) 0,25 e) 0,30 Dados: sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8 Resolução 1) Cálculo de aceleração: VB2 = VA2 + 2 γ Δs 0 = 400 + 2 (– a) 25 50a = 400 ⇒ a = 8,0 m/s2 2) PFD: Pt + Fat = ma

mg sen θ + ␮mg cos θ = ma g sen θ + ␮ g cos θ = a 10 . 0,6 + ␮ . 10. 0,8 = 8,0 6,0 + 8,0␮ = 8,0 ␮ = 0,25 Resposta: D

Módulo 38 – Componentes da Resultante 4. (VUNESP-FAMECA) – Felipe Massa é mais um brasileiro que revelou ser um exímio piloto de carros de F1. Ao fazer uma curva horizontal circular em movimento uniforme e com a máxima velocidade possível a força resultante sobre o carro a) independe da reação normal. b) independe do atrito. c) é diretamente proporcional à velocidade. d) é diretamente proporcional ao raio da curva. e) tem intensidade constante. Resolução 1) FN = P

“O Discovery media quase cento e vinte metros de ponta a ponta, porém o reduzido universo ocupado pela sua tripulação estava inteiramente encerrado no interior da esfera de doze metros de sua cabina pressurizada. A região equatorial da esfera de pressão, poderíamos dizer a faixa compreendida entre Capricórnio e Câncer [analogia com o Globo Terrestre], continha dois tambores de pequena rotação, com vinte metros de diâmetro. Fazendo uma revolução a cada dez segundos, esse carrossel ou centrífuga produzia uma gravidade artificial suficiente para evitar a atrofia física que seria capaz de ocorrer em consequência da total ausência de peso, permitindo, também, que as funções rotineiras da vida fossem executadas em condições quase normais.” CLARKE, Arthur C. 2001 Odisseia Espacial. 9.a ed. Rio de Janeiro: Expressão e Cultura, 1985, p.91-92 (com adaptações). Para um astronauta de 80 kg, seu “peso”, no local descrito no interior da Discovery, é: a) 800 N b) 480 N c) 288 N d) 248 N e) 133 N (Adote π = 3) Resolução

mV2 2) Fat = Fcp = ––––– R 2 mVmáx 3) Fat = ␮ P = –––––– máx R a) FALSA. A força centrípeta máxima depende de FN b) FALSA. Fcp = Fat c) FALSA. É proporcional a V2 d) FALSA. Para V fixa, varia inversamente com R e) VERDADEIRA. Resposta: E

5.

(UFCG-PB-MODELO ENEM) – Leia o texto seguinte:

1 T = 10s ⇒ f = ––– Hz 10 FN = FCP = mω2 R FN = m 4π2 f2 R 1 FN = 80 . 4 . π2 . ––– . 10 (N) 100 FN = 32π2 N FN = 32 . 9 N ⇒

FN = 288 N

Resposta: C

Módulo 39 – Componentes da Resultante

MGM/Time Warner Company

206 –

6. O Globo da Morte é um espetáculo circense no qual um motociclista descreve uma circunferência, em um plano vertical, no interior de um globo fixo no solo terrestre e feito de metal vasado para possibilitar a visão de seu interior.

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Considere um globo da morte de raio R = 3,6 m, adote g = 10m/s2 e despreze o efeito do ar. Para conseguir fazer a circunferência no plano vertical (chamado de “looping”), a moto deve passar pelo ponto A mais alto de sua trajetória, com uma velocidade mínima de módulo VC (chamada velocidade crítica). Calcule a) o valor de VC. b) a intensidade da força normal que o globo aplica na moto, no ponto A, se a velocidade nessa posição tiver módulo VA = 2 VC. Considere a massa da moto com o motociclista igual a 150kg. Resolução

7. Considere uma roda gigante com velocidade angular ω constante. Uma pessoa de peso P está sentada num dos bancos. Quando a cadeira passa pelo ponto A, mais baixo da trajetória, a cadeira aplica sobre a pessoa uma força normal (peso aparente) de intensidade NA = 825N. Quando a cadeira passa pelo ponto B, mais alto da trajetória, a cadeira aplica sobre a pessoa uma força normal de intensidade NB = 675N. O raio da circunferência descrita pela pessoa vale R = 4,0m e a aceleração da gravidade tem módulo g = 10,0 m/s2. O efeito do ar é desprezível. Determine a) o peso da pessoa; b) a velocidade angular ω.

Resolução a) NA – P = FCP (1) P – NB = FCP (2)

a) No ponto A, temos:

(1) = (2):

NA – P = P – NB NA + NB NA + NB = 2P ⇒ P = –––––––– 2

FN + P = Fcp

A

mVA2 FN + mg = –––––– R Quando a moto estiver na iminência de cair, com a velocidade crítica VC, a força normal de contato com a pista se anula e teremos:

P = 750 N b) (1) + (2): NA – NB = 2 FCP NA – NB = 2 mω2 R 825 – 675 = 2 . 75 . ω2 . 4,0

mVC2 mg = –––––– R

150 = 150 . 4,0 . ω2

VC =  10 . 3,6 (m/s) ⇒ gR = 

1 ω2 = ––– ⇒ 4,0

VC = 6,0 m/s

ω = 0,50 rad/s

Respostas: a) P = 750N mVA2 b) FN + mg = –––––– R

Módulo 40 – Componentes da Resultante

Para VA = 2VC = 2  gR, teremos: FN + mg = 4mg FN = 3mg = 3 . 150 . 10,0 (N) FN = 4,5 . 103 N = 4,5 kN Respostas: a) 6,0 m/s

b) ω = 0,50 rad/s

b) 4,5 kN

8.

(FUVEST-TRANSFERÊNCIA) – Um pequeno corpo, de massa m = 0,1 kg, é colocado no interior de um funil, a uma distância d = 0,3m de seu eixo de simetria, como mostrado na figura. O funil gira em torno de seu eixo de simetria, com velocidade angular constante ω, de tal modo que o pequeno corpo não deslize sobre a super-

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fície interna do funil. Sendo θ o ângulo da parede lateral do funil com a horizontal, tal que sen θ = 0,6 e supondo-se que não haja atrito entre o corpo e a parede do funil, a magnitude da velocidade angular ω, medida em rad/s, é: a) 2,0 b) 3,0 c) 4,0 d) 5,0 e) 6,0 Adote g = 10m/s2 Resolução

sen θ = 0,6 cos θ = 0,8 3 tg θ = ––– 4 1) Fy = P = mg 2) Fx = FCP = mω2 R Fx mω2 R 3) tg θ = ––– = –––––– mg Fy ω2 R tg θ = ––––– g g tg θ ω2 = ––––– R ω=

g tg θ –––––– R

⇒ ω=

10 . 3/4 ––––––– (rad/s) 0,3

rad ω = 5,0 ––– s Resposta: D 9. (UFSC) – “Ao fazermos uma curva, sentimos o efeito da força centrífuga, a força que nos “joga” para fora da curva e exige um certo esforço para não deixar o veículo sair da trajetória. Quanto maior a velocidade, mais sentimos essa força. Ela pode chegar ao ponto de tirar o veículo de controle, provocando um capotamento ou a travessia na pista, com colisão com outros veículos ou atropelamento de pedestres e ciclistas.” DENATRAN. Direção defensiva. [Apostila], p. 31, maio de 2005. Disponível em: http:// Acesso em: 9/out./2008. A citação anterior apresenta um erro conceitual bastante frequente. Suponha o movimento descrito analisado em relação a um referencial inercial fixo no solo terrestre, conforme a figura a seguir:

208 –

Em relação ao exposto, assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 01. Um veículo de massa m percorre uma determinada curva de raio R sem derrapar, com velocidade máxima de módulo constante v. Um segundo veículo com pneus idênticos ao primeiro, com massa quatro vezes maior (4 m), deverá percorrer a mesma curva sem derrapar, com uma velocidade máxima constante de módulo v/2. 02. Um veículo descrevendo uma curva em uma estrada plana e horizontal certamente estará sob ação de uma força centrífuga, opondo-se à força de atrito entre os pneus e o chão. Se o atrito deixar de atuar, o veículo será lançado radialmente para fora da curva em virtude dessa força centrífuga. 04. Como o veículo está em equilíbrio, atuam a força centrípeta (para “dentro” da trajetória) e a força centrífuga (para “fora” da trajetória), com o mesmo módulo, a mesma direção e sentidos contrários. Essas forças constituem um par ação e reação, segundo a 3.a Lei de Newton. 08. Se o veículo percorrer uma curva, executando uma trajetória circular, com o módulo da velocidade constante, estará sujeito a uma aceleração. Pela 2.a Lei de Newton, essa aceleração é provocada pela resultante das forças que atuam sobre o veículo. Como a força normal e o peso se anulam, a força resultante é a força centrípeta que se origina do atrito entre os pneus e o chão. 2 Resolução m Vmáx (01) FALSA. Fat = Fcp = ––––––– máx máx R 2 Vmáx μmg = m ––––– ⇒ Vmáx =  μgR (não depende da massa) R

(02) FALSA. Para um referencial inercial, fixo no solo terrestre, não existe a força de inércia centrífuga. (04) FALSA. Força centrípeta é uma componente da força resultante e força centrífuga é uma força de inércia que, para o referencial fixo no solo terrestre, não existe. (08) VERDADEIRA. Resposta: 8

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Módulo 41 – Trabalho 10. (UNESP) – Desde 1960, o Sistema Internacional de Unidades (SI) adota uma única unidade para quantidade de calor, trabalho e energia, e recomenda o abandono da antiga unidade ainda em uso. Assinale a alternativa que indica na coluna I a unidade adotada pelo SI e na coluna II a unidade a ser abandonada. I

II

a)

joule (J)

caloria (cal)

b)

caloria (cal)

joule (J)

c)

watt (W)

quilocaloria (kcal)

d)

quilocaloria (kcal)

watt (W)

e) pascal (Pa) quilocaloria (kcal) Resolução No Sistema Internacional de Unidades (SI), foi utilizada a unidade joule (J) para quantidade de calor, trabalho e energia. Até hoje, ainda utilizamos nos livros didáticos a unidade caloria (cal) para quantidade de calor, apesar de ter sido recomendado seu abandono em 1960. Resposta: A

10 h = 0 + ––– (1,0)2 (m) ⇒ h = 5,0m 2 2) τP = mgh τP = 50 . 10 . 5,0 (J) ⇒ τP = 2,5 . 103J Resposta: E

Módulo 42 – Teorema da Energia Cinética e Método Gráfico 13. (VUNESP-UNISA) – Em um local em que a aceleração da gravidade tem intensidade g = 10m/s2, uma esfera de massa m = 2,0kg se move ao longo da trajetória esquematizada. Sua velocidade escalar ao passar pelo ponto A é VA = 5,0m/s e ao passar por B, VB = 10,0m/s. Adote g = 10,0m/s2

11. (UNESP) – Suponha que os tratores 1 e 2 da figura arrastem toras de mesma massa pelas rampas correspondentes, elevando-as à mesma altura h. Sabe-se que ambos se movimentam com velocidades constantes e que o comprimento da rampa 2 é o dobro do comprimento da rampa 1.

Chamando de τ1 e τ2 os trabalhos realizados pela força gravitacional sobre essas toras, pode-se afirmar que: a) τ1 = 2τ2; τ1 > 0 e τ2 < 0. b) τ1 = 2τ2; τ1 < 0 e τ2 > 0. c) τ1 = τ2; τ1 < 0 e τ2 < 0. d) 2τ1 = τ2; τ1 > 0 e τ2 > 0. e) 2τ1 = τ2; τ1 < 0 e τ2 < 0. Resolução O trabalho do peso é dado, no caso, pela expressão: τP = –mgh Portanto: τ1 = τ2 e τ1 < 0 e τ2 < 0 Resposta: C 12. (VUNESP-UFTM-MG) – Um tambor, de 50kg de massa, é abandonado de uma altura h e cai verticalmente, gastando 1,0s para chegar ao solo. Desprezando-se todas as forças dissipativas e considerando-se g = 10 m/s2, o trabalho realizado pela força peso durante a queda, em J, é a) 5,0 . 102 b) 1,0 . 103 c) 1,5 . 103 3 3 d) 2,0 . 10 e) 2,5 . 10 Resolução 1) Cálculo da altura h γ Δs = V0t + ––– t2 (MUV) 2

Dessa forma, é possível concluir que o módulo do trabalho das forças não conservativas, nesse percurso, é a) nulo b) 75J c) 250J d) 325J e) 575J Resolução TEC: τtotal = ΔEcin 2 2 m τP + τd = –––– (VB – VA ) 2

m 2 2 mg (hA – hB) + τd = ––– (VB – VA ) 2 2,0 20 . 7,5 + τd = –––– (100 – 25,0) 2 150 + τd = 75 τd = –75J Resposta: B 14. (UECE) – A força resultante que age sobre um corpo de massa 2,0kg, que está movendo-se no sentido positivo do eixo x, é dada, em newtons, pela expressão F = – 6,0x, sendo x dado em metros. Se a velocidade escalar do corpo, para x1 = 3,0m, é V1 = 8,0m/s, então, para x2 = 4,0m, sua velocidade escalar terá módulo, aproximadamente, igual a a) zero b) 6,6m/s c) 8,0m/s d) 9,0m/s

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Resolução

2,0 τR = ––– (64,0 – 25,0) (J) ⇒ 2

τR = 39,0J

τR 39,0J 3) Potm = ––– = ––––– ⇒ Potm = 13,0 W 3,0s Δt Resposta: A

1) τ = aréa (F x d) 1,0 τ = – (24,0 + 18,0) –––– (J) = – 21,0 J 2 2) TEC: τ = ΔEcin m τ = –– (V22 – V12 ) 2 2,0 – 21,0 = ––– (V22 – 64,0) 2 2

V2 = 64,0 – 21,0 = 43,0 ⇒ V2  6,6 m/s Resposta: B

Módulo 43 – Potência 15. (FUVEST-TRANSFERÊNCIA) – Um corpo de massa m = 2,0 kg move-se ao longo de uma reta, sob a ação de uma única força. A velocidade escalar do corpo, como função do tempo, é mostrada no gráfico a seguir.

Nessas condições, a potência no instante t = 2,0s e a potência média no intervalo de 0 a 3,0 segundos, fornecidas ao corpo, medidas em W, são, respectivamente, a) 0 e 13,0 b) 0 e 8,0 c) 0 e 3,0 d) 3,0 e 8,0 e) 8,0 e 13,0 Resolução 1) No instante t = 2,0s, temos: V = Vmáx ⇒ a = 0 ⇒ FR = 0 ⇒ Pot = FV = 0 2) De 0 a 3,0s, temos: m TEC : τR = ΔEcin = ––– (V32 – V20 ) 2

210 –

16. (VUNESP) – Numa pequena usina hidroelétrica, a vazão da água é da ordem de 1,0 . 103m3/s, caindo de uma altura de 40m. Considerando-se 1,0 . 103kg/m3 a densidade da água, 10m/s2 o módulo da aceleração da gravidade e 90% o rendimento da usina, a potência útil da usina é, em MW, a) 3,6 b) 36 c) 40 d) 360 e) 400 Resolução mgh τP 1) PotT = ––– = –––– Δt Δt m = μ Vol Vol g H ⇒ PotT = ␮ –––– Δt

PotT = ␮ Z g H

PotT = 1,0 . 103 . 1,0 . 103 . 10 . 40 (W) PotT = 4,0 . 108W = 400 . 106W = 400 MW PotU 2) η = ––––– PotT PotU = η PotT = 0,90 . 400 MW ⇒

PotU = 360 MW

Resposta: D

Módulo 44 – Energias Potencial e Cinética 17. (UFTM-MG) – Dois amigos, o primeiro com peso de 500N e o segundo com peso de 540N, disputavam para ver quem pulava mais alto ao realizarem saltos verticalmente para cima. A partir do solo, o primeiro tomou impulso e elevou seu centro de massa em 0,4m relativamente ao chão, enquanto o segundo, sob as mesmas condições do anterior, conseguiu elevar seu centro de massa em 0,5 m, também relativamente ao chão. Desconsiderando-se a existência de forças dissipativas como a resistência do ar, a energia que faltou ao saltador que deu o pulo mais baixo, para que a altura por ele atingida se equiparasse à do vencedor, corresponde, em J, aproximadamente, a a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 Adote g = 10m/s2 Resolução Para o primeiro: EC = m1 g H1 = 50 . 10 . 0,4 (J) = 200J 1 Para atingir a altura H2 = 0,5m: E’C = m1 g H2 = 50 . 10 . 0,5 (J) = 250 J 1 ΔEC = E’C – EC = 50J 1 1 Resposta: C

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18. (FATEC-SP) – Os modelos disponíveis da linha de motocicletas de 125 cilindradas de um determinado fabricante apresentam uma das menores massas da categoria, 83kg, e um melhor posicionamento do centro de gravidade. Resumindo, diversão assegurada para pilotos de qualquer peso ou estatura. O gráfico mostra a variação da energia cinética do conjunto motociclista e uma dessas motocicletas em função do quadrado de sua velocidade, sobre uma superfície plana e horizontal.

Supondo-se desprezível o efeito de qualquer espécie de atrito, o módulo da velocidade que o carro adquire após soltar-se da mola vale 2 m/s b) 2,0m/s c) 2,0km/h a)  d) 3,6km/h e) 5,4km/h Resolução 1,0 . 100 (J) = 50 J 1) Ee = τF = –––––––– 2 2) Ee = EC mV2 Ee = –––– 2 25 50 = –––– V2 ⇒ V2 = 4,0 ⇒ V = 2,0m/s 2 Resposta: B

Analisando-se os dados do gráfico, pode-se determinar a massa do motociclista que, em kg, vale a) 45 b) 52 c) 67 d) 78 e) 90

20. (UFSCar-SP) – Ideia para a campanha de redução de acidentes: enquanto um narrador exporia fatores de risco nas estradas, uma câmera mostraria o trajeto de um sabonete que, a partir do repouso em um ponto sobre a borda de uma banheira, escorregaria para o interior dela, sofrendo um forte impacto contra a parede vertical oposta.

Resolução mV2 1) Ec = ––––– 2 Do gráfico dado: V2 = 30m2/s2 ⇔ Ec = 2250J mT 2250 = –––– . 30 2 mT = 150kg 2) mT = mmoto + mmotociclista 150 = 83 + mmotociclista ⇒ mmotociclista = 67kg Resposta: C

Para a realização da filmagem, a equipe técnica, conhecendo o módulo da aceleração da gravidade (10 m/s2) e desconsiderando-se qualquer atuação de forças contrárias ao movimento, estimou que o módulo da velocidade do sabonete, momentos antes de seu impacto contra a parede da banheira, deveria ser um valor, em m/s, mais próximo de a) 1,5 b) 2,0 c) 2,5 d) 3,0 e) 3,4 Adote  3 = 1,7 Resolução Conservação da energia mecânica:

Módulo 45 – Energia Elástica e Sistema de Forças Conservativo 19. (VUNESP) – Num parque de diversões, há um brinquedo original que consta de um carro impulsionado por uma mola elástica, a partir do repouso, como na figura I. O gráfico da figura II ilustra a intensidade dessa força elástica que a mola exerce no carro quando for por ele comprimida. Considere a massa da criança mais a do carro igual a 25kg e a deformação da mola igual a 1,0m no instante em que é liberada empurrando o carro.

EB = EA (ref. em B) m VB2 = mg H –––––––– 2 VB =  2gH =  2 . 10 . 0,60 (m/s) VB = 2,0  3 m/s ⇒ VB  3,4m/s Resposta: E

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Módulo 46 – Energia Elástica e Sistema de Forças Conservativo 21. (UFAM) – Uma bola de metal inicia seu movimento no ponto A, como mostra figura, e se desloca para baixo até atingir uma pista curva. Quando atinge a pista no ponto B, a bola se movimenta verticalmente para cima até atingir a altura máxima de 4,8m acima do chão, antes de retornar.

newtons, da tração exercida pelo fio sobre a bola no ponto mais baixo de sua trajetória é a) 0 b) 1,0 c) 2,0 d) 3,0 e) 4,0 Resolução

1) Conservação da energia mecânica entre A e B: EB = EA Ignorando-se as forças resistivas, o módulo da velocidade inicial no ponto A é: a) 1,0m/s b) 3,0m/s c) 4,0m/s d) 5,0m/s e) 6,0m/s Resolução O sistema é conservativo e, portanto:

(ref. em B) mVB2 L ––––– = mg ––– 2 2 2)

mVB2 –––––– = mg = Fcp L B TB – P = FCP

B

TB – mg = mg TB = 2mg = 2 . 0,10 . 10 (N) TB = 2,0 N Resposta: C EA = EC

Módulo 47 – Energia Elástica e Sistema de Forças Conservativo

(ref. em A) mV02 ––––– = mg (HC – HA) 2 V0 =  2g (HC – HA) =  2 . 10 . 1,8 (m/s) ⇒

V0 = 6,0 m/s

Resposta: E 22. (CESGRANRIO) – Um pêndulo é constituído por uma pequena esfera de massa 100g presa a um fio ideal de 2,0m de comprimento. Esse pêndulo é abandonado de uma posição na qual seu fio está perfeitamente esticado e formando um ângulo de 60º com a vertical. Considerando-se a gravidade com módulo igual a 10m/s2, a intensidade, em

212 –

23. (FUVEST-TRANSFERÊNCIA) – Num parque de diversões, um carrinho, partindo do repouso, desliza sobre uma rampa de altura h para dar uma volta completa em uma pista circular, de raio R, conforme esquematizado na figura.

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Considerando-se o atrito como sendo desprezível, é possível afirmar que a altura mínima h, para que o carrinho complete a volta, é igual a a) R

b) 2R

5 R c) –– 2

d) 3R

7 R e) –– 2

Resolução 1) Velocidade mínima no ponto mais alto do looping:

FN + P = Fcp Resolução mV2 FN + mg = ––––– R

1)

EC = EA (ref. em C)

V = Vmín. quando FN = 0

2 mVmín.

mg = ––––––– ⇒ R

m V2 C ––––––– = mg (H– R) 2 m VC2 = 2mg (H – R)

Vmín. =  gR

m V2 2mg C Fcp = ––––––– = ––––– (H – R) C R R

2) Conservação da energia mecânica 2)

P – NC = FcpC 2mg mg – NC = ––––– (H – R) R 2mg 2 (H – R) NC = mg – ––––– (H – R) ⇒ NC = mg 1 – –––––––– R R

[

EA = EB

NC = mg

(ref. em B) mVB2

)

(3R – 2H) ⇒ NC = mg ––––––––– R

Resposta: A

–––––– = mg (h – 2R) 2 gR –––– = g (h – 2R) 2

Módulo 48 – Dinâmica do MHS 25. (UECE) – Um bloco de massa m, que se move sobre uma superfície horizontal sem atrito, está preso por duas molas de constantes elásticas k1 e k2 e massas desprezíveis com relação ao bloco, entre duas paredes fixas, conforme a figura.

R = 5R h = 2R + ––– –––– 2 2 Resposta: C 24. (UPE) – Um carrinho de massa m é abandonado do repouso no ponto A de uma montanha russa a uma altura H. Considere o trecho BCD como sendo um arco de circunferência de raio R e desprezíveis todas as forças resistivas ao movimento. A expressão que representa a força normal (N) no ponto C é dada por: mg a) N = –––– (3R – 2H) R

b) N = mg (H – R)

mR c) N = –––– (R – 2H) g

H d) N = –––– (3R – H) mg

1 e) N = –––––– (2H – 3R) mg R

(

R – 2H + 2R) –––––––––––– R

]

Dada uma velocidade inicial ao bloco, na direção do eixo-x, este vibrará com frequência angular (pulsação) igual a a)

k1k2 –––––––––– m (k1 + k2)

b)

(k1 + k2) –––––––––– 2m

c)

(k1 – k2) –––––––––– 2m

d)

(k1 + k2) –––––––––– m

– 213

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Resolução As molas se comportam como se estivessem em paralelo porque as forças elásticas aplicadas no bloco se somam

Portanto: k = k1 + k2 Porém: k = mω2 k1 + k2 = m ω2 ω=

Calcule: a) b) c) d) e)

a amplitude A do movimento. a energia mecânica do sistema. o módulo da força elástica máxima. o período de oscilação do sistema. Adote π = 3. o ponto ao longo de x onde a aceleração escalar é mínima.

Resolução a) a = xmáx. = 1,0m b) Em = Ecin

máx.

c)



k1 + k2 –––––––– m

= 32J

Fmáx. = ka ka2 = –––– máx. 2

Em = Ee

Resposta: D 1,0 32 = k . –––– ⇒ 2

26. (UFV-MG) – Um sistema bloco-mola oscila ao longo do eixo x, sem forças dissipativas. A massa do bloco é de 1,0kg. O gráfico abaixo mostra o comportamento da energia cinética EC do bloco em função de sua posição x.

Fmáx. = 64 . 1,0 (N)

k = 64 N/m

Fmáx. = 64 N

d) k = mω2 64 = 1,0ω2 ⇒ ω = 8,0 rad/s π 2π 2π ω = –––– ⇒ T = –––– (s) = –––– s ⇒ T = 0,75s 4,0 8,0 T e)

Módulo 37 – Plano Inclinado 1. Considere um plano inclinado que forma um ângulo θ com o plano horizontal. Despreze o efeito do ar.

Sendo sen θ = 0,60, cos θ = 0,80 e g = 10 m.s–2, calcule a) a intensidade da aceleração de um corpo que escorrega livremente neste plano, sem atrito; b) o coeficiente de atrito dinâmico entre um corpo e o plano, para que o corpo lançado para baixo desça o plano com velocidade constante. 2. (PUC) – Um bloco de 5,0kg de massa está em repouso sobre um plano inclinado.

214 –

γ = –ω2 x: a aceleração escalar é mínima (– ω2a) quando x é máximo, isto é x = 1,0m.

θ é o ângulo de inclinação do plano. a) O que acontece com o módulo da força de reação normal do plano, à medida que θ aumenta de valor? b) Qual o módulo da aceleração do bloco, quando o ângulo de inclinação do plano for igual a 18°? Dados: 1) sen 18°  0,30; cos 18°  0,95 2) módulo da aceleração da gravidade local: g = 10m/s2 3) módulo da força de atrito: fat = 5,0N 3. (CESGRANRIO) – Um corpo de massa m = 0,20kg desce um plano inclinado de 30° em relação à horizontal. O gráfico apresentado mostra como varia a velocidade escalar do corpo com o tempo.

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a) Determine o módulo da aceleração do corpo; b) Calcule a intensidade da força de atrito do corpo com o plano. Dados: g = 10m/s2; sen 30° = 0,50; cos 30° = 0,87.

7. (VUNESP) – No plano inclinado da figura abaixo, o coeficiente de atrito entre o bloco A e o plano vale 0,20. A roldana é isenta de atrito e despreza-se o efeito do ar.

4. (ITA) – Um corpo de peso P desliza sobre uma superfície de comprimento ᐉ, inclinada com relação à horizontal de um ângulo α. O coeficiente de atrito cinético entre o corpo e a superfície é ␮ e a velocidade inicial do corpo é igual a zero. Quanto tempo demora o corpo para alcançar o final da superfície inclinada? Dado: g (módulo da aceleração da gravidade) a)

 2 ᐉ/g

b)

 3ᐉ/  [g (sen α + ␮ cosα)]

c)

 2ᐉ/[g  (sen α + ␮ cos α)]

d)

 3ᐉ/[g(sen α – ␮cos α)]

e)

 2ᐉ/[g  (sen α – ␮ cos α)] →

5. (FATEC) – Uma força F paralela ao plano inclinado de ângulo θ com a horizontal é aplicada ao corpo de massa 10kg, para que ele suba o plano com aceleração de módulo igual a 2,0m/s2 e dirigida para cima.

Os blocos A e B têm massas iguais a m cada um e a aceleração local da gravidade tem intensidade igual a g. A intensidade da força tensora na corda, suposta ideal, vale: a) 0,76mg b) 0,875mg c) 0,88mg d) 0,96mg e) mg 8. (FEI) – Na figura abaixo, o bloco A tem massa mA = 5,0kg e o bloco B tem massa mB = 20,0kg. Não há atrito entre os blocos e os planos, nem na polia; o fio é inextensível e o efeito do → ar é desprezível. A força F tem módulo F = 40,0N e adota-se g = 10m.s–2.

a) Qual o valor da aceleração do bloco B? b) Qual a intensidade da força tensora no fio?

Módulo 38 – Componentes da Resultante Considerando-se desprezível o atrito, adotando-se para o módulo de g o valor de 10m/s2, cos θ = 0,60 e sen θ = 0,80, o → módulo de F vale: a) 120N b) 100N c) 80N d) 60N e) 20N 6.

Considere a figura abaixo.

→

1. (ITA) – Seja F a resultante→das forças aplicadas a uma par→ tícula de massa m, velocidade V e aceleração a. Se a partícula descrever uma trajetória plana, indicada pela curva tracejada em cada um dos esquemas abaixo, segue-se→que aquele que → → relaciona corretamente os vetores coplanares V, a e F é:

As massas de A, B e C são, respectivamente, iguais a 15,0kg, 20,0kg e 5,0kg. Desprezando-se os atritos e o efeito do ar, a aceleração do conjunto, quando abandonado a si próprio, tem intensidade igual a: a) 0,25m/s2 b) 1,75m/s2 c) 2,50m/s2 2 2 d) 4,25m/s e) 5,0m/s Dados: g = 10m/s2 sen θ = 0,80 cos θ = 0,60

– 215

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2. (UFPB) – Considere um pêndulo que oscila livremente em um plano vertical. Assinale a opção que melhor representa → a força resultante F na esfera pendular quando ela atinge o ponto de inversão de seu movimento.

3. (PUC) – Considere um satélite artificial que gira em torno do centro da Terra, permanecendo em repouso em relação a um observador fixo na superfície terrestre (satélite estacionário utilizado em telecomunicações). a) Qual a velocidade angular deste satélite? b) Qual o papel da força gravitacional que a Terra aplica sobre o satélite? 4. (FUVEST) – Um restaurante é montado numa plataforma que gira com velocidade angular constante ω = π/1800 radianos/segundo. Um freguês, de massa M = 50kg, senta-se no balcão localizando-se a 20 metros do eixo de rotação, toma sua refeição e sai no mesmo ponto de entrada. a) Qual o tempo mínimo de permanência do freguês na plataforma? b) Qual a intensidade da força centrípeta sobre o freguês enquanto toma a sua refeição?

Sabendo-se que a trajetória da partícula é circular, calcule a) as intensidades da acelereção vetorial e da aceleração escalar da partícula, no instante t0; b) o raio r da circunferência descrita.

Módulo 39 – Componentes da Resultante 1. (UFBA) – Um bloco A, de massa 0,20kg, gira sobre uma mesa horizontal sem atrito. O bloco A está ligado ao bloco B, de massa 1,0kg, por meio de um fio inextensível que passa por um orifício existente na mesa. Sabendo-se que o bloco A descreve um movimento circular uniforme de velocidade escalar 10m/s e que o bloco B permanece em repouso, determine o raio R da trajetória. Considere a aceleração da gravidade com módulo g = 10m/s2.

5. O corpo da figura a seguir descreve uma trajetória circular de centro O. Ao passar pelo ponto A, verificamos que → → sobre ele agem apenas as forças F1 e F2.

→

Sendo m sua massa e V sua velocidade, temos que: a) F1 = mv2/R b) F2 = mv2/R c) F1+ F2 = mv2/R → d) F1 + F2 cos θ + F’ = mv2/R, em que F’ é a força centrípeta e) F1 + F2 cos θ = mv2/R 6. Na figura, representamos, em um instante t0, uma partícula, de massa 2,0kg, posicionada na origem (O) de um sistema → de coordenadas cartesianas (x; y), sua velocidade vetorial V e → → → todas as forças atuantes na partícula: F1, F2 e F3. → → → → São dados: | F1 | = 25N; | F2 | = | F3 | = 20N; | V | = 3,0m/s sen θ = cos α = 0,60 cos θ = sen α = 0,80

216 –

2. (FEEPA) – Um satélite artificial movimenta-se em torno de um planeta descrevendo uma órbita circular exatamente acima da superfície deste (satélite rasante). Então, se R é o raio do planeta e g o módulo da aceleração da gravidade local, a sua velocidade linear tem módulo igual a: a) (R g)1/2 b) (R / g)1/2 c) (g / R)1/2 1/2 1/2 d) g / R e) R / g Nota: despreza-se o efeito do ar. 3. (UNICAMP) – O Japão é um país diametralmente oposto ao Brasil, no globo terrestre. Quer-se enviar correspondência do Japão ao Brasil por um satélite em órbita rasante sobre a Terra. Adote o raio da Terra R = 6,4 . 106m, g = 10m/s2, π = 3,1 e despreze a resistência do ar. Considere que o satélite tem velocidade de módulo constante e que é razoável desprezar o movimento de rotação da Terra para este fim. a) Qual o módulo da aceleração do satélite e o módulo de sua velocidade? b) Quanto tempo, em minutos, leva a correspondência para chegar ao Brasil?

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4. (FATEC) – Um motociclista move-se no interior de um globo metálico de raio R = 1,5m. Num determinado instante, ele passa pelo ponto mais alto da trajetória. Qual deve ser a velocidade mínima, neste instante, para que a moto não perca o contato com a superfície do globo? Adote g = 10m.s–2. 5. Uma pessoa segura em sua mão uma corda na ponta da qual existe um balde cheio de água e o faz girar num plano vertical. Examine as alternativas seguintes: 1) não existe nenhuma velocidade que impedirá a água de cair do balde quando ele se encontrar no alto. 2) existe uma certa velocidade acima da qual a água não cairá do balde, mesmo quando se encontrar no ponto mais alto da trajetória. 3) a velocidade que impedirá a água de cair não depende da massa do balde. 4) a velocidade que impedirá a água de cair dependerá da massa de água do balde. a) só a alternativa 1 é correta; b) as alternativas 2 e 3 são corretas; c) só a alternativa 3 é correta; d) as alternativas 2 e 4 são corretas; e) somente a alternativa 4 é incorreta. 6. (UNIFICADO-RJ) – Um soldado em treinamento utiliza uma corda de 5,0m para “voar” de um ponto a outro como um pêndulo simples. Se a massa do soldado é de 80 kg, a corda sendo ideal, e a sua velocidade escalar no ponto mais baixo de 10m/s, desprezando-se todas as forças de resistência, a razão entre as intensidades da força que o soldado exerce no fio e de seu peso é: (g = 10m/s2) a) 1/3 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 3 7. Considere um trilho circular de raio R = 2,0m, sem atrito e colocado em posição vertical e fixo no solo. Um bloco de massa 3,0kg desliza no trilho e atinge o ponto mais baixo (A) com velocidade de módulo igual a 4,0m/s.

Calcule a) a intensidade da força centrípeta no ponto mais baixo (A); b) a intensidade da força que o trilho exerce sobre o bloco no ponto mais baixo (A), adotando-se g = 10m/s2. 8. (UFCE) – Um veículo de peso P = 1,6 . 104N percorre um trecho de estrada em lombada, com velocidade escalar constante de 72km/h. A intensidade da força normal, que o leito da estrada exerce no veículo quando ele passa no ponto mais alto da lombada, é de 8,0 . 103N. Parte da lombada confunde-se com um setor circular de raio R, como mostra a figura. Usando-se g = 10m/s2, determine, em metros, o valor de R.

9. Em um parque de diversões, há uma roda gigante de raio 24m, que gira com velocidade angular constante. A cadeira é articulada de forma que a pessoa se mantenha sempre sentada na posição normal. Quando passa pelo ponto mais baixo da trajetória, a pessoa exerce sobre a cadeira uma força de intensidade 610N e quando passa pelo ponto mais alto a intensidade é de 590N. Sendo g = 10m.s–2, calcule a) a massa da pessoa; b) a velocidade escalar da pessoa.

Módulo 40 – Componentes da Resultante 1. Na figura, temos dois fios ideais aos quais estão ligadas duas partículas, A e B, de massas 1,0kg cada uma. O sistema gira apoiado sem atrito no plano horizontal, em torno do ponto fixo 0, com velocidade angular constante de valor 2,0 rad.s–1. Considere desprezível a atração gravitacional entre as partículas.

Calcule as intensidades das forças tensoras nos fios (1) e (2). 2. (UFJF) – Faltava apenas uma curva para terminar um Grande Prêmio de Fórmula 1. Na primeira posição estava Senna, a 200km/h; logo atrás, Mansel, a 178km/h; aproximando-se de Mansel, vinha Prost, a 190km/h; atrás de Prost, aparecia Piquet, a 182km/h. Todos esses quatro pilotos entraram com as velocidades citadas nessa última curva, que era horizontal, tinha raio de curvatura de 625m e coeficiente de atrito estático igual a 0,40. Podemos concluir que a) Senna ganhou a corrida, porque nenhum dos outros três pilotos poderia alcançá-lo. b) Prost venceu a corrida, porque Mansel e Senna derraparam e não havia como Piquet alcançá-lo. c) Mansel venceu o Grande Prêmio, porque todos os demais derraparam. d) é impossível prever quem pode ter vencido a corrida ou quem pode ter derrapado. e) de acordo com as velocidades citadas, a colocação mais provável deve ter sido: 1o. Senna, 2o. Prost; 3o. Piquet e 4o. Mansel.

– 217

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3. (FUVEST) – Um carro que percorre uma estrada plana entra numa curva circular de raio R com velocidade escalar V e derrapa. Sendo ␮e e ␮k, respectivamente, os coeficientes de atrito estático e cinético entre os pneus do carro e o asfalto da estrada, pode-se afirmar que:

c) T = 2π

g –––– ␮R

e) T = 2π

V2 a) ␮e > –––– gR

V2 b) ␮k > –––– gR

␮R –––– g

7.

V2 d) ␮e < –––– gR

e) ␮e = ␮k

c) ␮e < ␮k

g = módulo da aceleração da gravidade 4. (FUVEST) – Um carro percorre uma pista curva superelevada (tg θ = 0,20) de 200m de raio. Desprezando-se o atrito, qual a velocidade escalar máxima sem risco de derrapagem?

␮gR d) T = 2π 

Um pêndulo é constituído por um fio de comprimento 1,0m, suposto inextensível e sem peso, com uma extremidade fixa em um ponto O, e tendo na outra extremidade uma pequena esfera de peso 20N, que oscila em um plano vertical. Ao passar pelo ponto A, a velocidade escalar da esfera é de 4,0m/s.

Sendo g = 10m . s–2, sen 53° = 0,80 e cos 53° = 0,60, calcule a) a intensidade da componente centrípeta da força resultante na esfera no ponto A; b) a intensidade da força que traciona o fio no ponto A.

Módulo 41 – Trabalho Adote g = 10m/s2 e despreze o efeito do ar. a) 40km/h b) 48km/h c) 60km/h d) 72km/h e) 80km/h 5.

(UFPR) – Um fio é fixado por uma de suas extremidades, prendendo-se à outra extremidade uma esfera de massa 200g. O sistema é colocado em movimento de maneira a constituir um pêndulo cônico (ver fig.), ou seja, a esfera M descreve uma circunferência de raio R = 0,10m no plano horizontal, com velocidade

rad angular constante de módulo igual a 5,0  3 ––– s . Determine a intensidade da força tensora no fio (considere g = 10m/s2 e despreze o efeito do ar). 6. O rotor é um brinquedo, em parque de diversões, que consiste de um cilindro vertical oco de raio R. As pessoas ficam encostadas em sua parede interna e o rotor gira em torno de seu eixo vertical, atingindo uma velocidade angular adequada, que é mantida constante. O coeficiente de atrito entre os passageiros e a parede vale ␮. Sendo g o módulo da aceleração da gravidade local, assinale a opção que traduz o máximo período de rotação T que o cilindro pode ter, de modo que o piso possa ser retirado, sem que as pessoas escorreguem. a) T = 2π

218 –

R ––– g

b) T = 2 π

R ––– ␮g

1. (FUND. CARLOS CHAGAS) – Um corpo de peso P = 100N é puxado sobre um plano horizontal por uma força horizontal constante e de intensidade F = 80N. A força de atrito que o plano exerce sobre o bloco é constante e de intensidade Fat = 60N.

Para um percurso de 2,0m, o trabalho → a) da força de→atrito ( Fat ) é igual a 120 J; b) do peso ( P→ ) é igual a 200J; c) da força ( F ) é igual a 680J; → d) da força de reação normal do apoio ( R ) é igual a 160J; e) da força resultante é igual 40J. 2. (FUVEST) – Um objeto de 20kg desloca-se numa trajetória retilínea de acordo com a equação horária dos espaços: s = 10,0 + 3,0t + 1,0t2 sendo s medido em metros e t em segundos. a) Qual a expressão da velocidade escalar do objeto no instante t? b) Calcule o trabalho realizado pela força resultante que atua sobre o objeto durante um deslocamento de 20m. →

3. Uma força constante F, horizontal, de intensidade 20N atua durante 8,0s sobre um corpo de massa 4,0kg que estava em repouso apoiado em uma superfície horizontal sem atrito. Não se considera o efeito → do ar. O trabalho realizado por F, neste intervalo de 8,0s, vale: a) 0 b) 1,6kJ c) 3,2kJ d) 6,4 kJ e) 3,2 . 103 kJ

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4. (UNIRIO) – Três corpos idênticos, de massa M, deslocam-se entre dois níveis, como mostra a figura: A – caindo livremente; B – deslizando ao longo de um tobogã e C – descendo uma rampa, sendo, em todos os movimentos, desprezíveis as forças dissipativas.

Com relação ao trabalho (W) realizado pela força-peso dos corpos, pode-se afirmar que: a) WC > WB > WA b) WC > WB = WA c) WC = WB > WA d) WC = WB = WA e) WC < WB > WA 5. Considere um satélite artificial de massa m em órbita circular de raio R em torno da Terra, com velocidade escalar V. O trabalho da força gravitacional que a Terra aplica no satélite a) é sempre nulo, pois a força gravitacional é centrípeta; b) somente é nulo para uma volta completa do satélite; m V2 m V2 m V2 c) vale –––– . 2πR; d) vale –––– ; e) vale –––– . 2 2 R 6. Uma pequena esfera de peso P = 3,0N, presa a um fio de comprimento ᐉ = 1,0m, é solta do ponto A.

a) Qual é o coeficiente de atrito entre os pneus do carro e a pista? b) Qual o trabalho realizado pela força de atrito entre os instantes t = 6,0s e t = 8,0s? 2. (VUNESP) – Um bloco de madeira, de massa 0,40kg, mantido em repouso sobre uma superfície plana, horizontal e perfeitamente lisa, está comprimindo uma mola contra uma parede rígida, como mostra a figura.

Quando o sistema é liberado, a mola se distende, impulsiona o bloco e este adquire, ao abandoná-la, uma velocidade final de módulo igual a 2,0 m/s. Determine o trabalho da força exercida pela mola, ao se distender completamente: a) sobre o bloco; b) sobre a parede. 3.

Considere um cometa em órbita elíptica em torno do Sol.

→

Quanto aos trabalhos realizados pela força de tração T, → exercida pelo fio, e pelo peso P, do ponto A ao ponto B, podemos afirmar que valem, respectivamente: a) – 2,0J e + 2,0J; b) – 3,0J e zero; c) zero e 3,0J; d) 3,0J e 3,0J; e) – 3,0J e zero.

Módulo 42 – Teorema da Energia Cinética e Método Gráfico 1. (FUVEST) – O gráfico velocidade escalar versus tempo, mostrado adiante, representa o movimento retilíneo de um carro de massa m = 6,0 . 102kg em uma estrada molhada. No instante t = 6,0s, o motorista vê um engarrafamento à sua frente e pisa no freio. O carro, então, com as rodas travadas, desliza na pista até parar completamente. Despreze a resistência do ar e adote g = 10m/s2.

Quando o cometa passa pelo afélio (ponto B), sua velocidade linear de translação tem módulo V e sua energia cinética vale E. Quando o cometa passa pelo periélio (ponto A), sua velocidade linear de translação tem módulo 2V. No trajeto de B para A, o trabalho da força gravitacional que o Sol aplica no cometa vale: a) 0 b) E c) 2E d) 3E e) 4E 4. Utilizando uma pá, um servente de pedreiro atira um tijolo verticalmente para cima. O tijolo tem massa 2,0kg e encontra-se, inicialmente, em repouso sobre a pá no ponto O no nível do solo. O servente, usando a pá, acelera o tijolo uniformemente até o ponto P, onde o tijolo abandona a pá e prossegue na trajetória vertical até Q, onde chega com velocidade nula. Despreze o → efeito do ar e adote g = 10 m/s2. A força F aplicada pela pá sobre o tijolo, suposta constante, tem intensidade igual a:

– 219

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a) Qual é o módulo da aceleração do corpo quando ele passa pela posição x = 4,0m? b) Sabendo-se que o corpo tinha velocidade nula em x = 0, qual é a sua velocidade escalar na posição x = 4,0m?

a) 6  5N

b) 20N

c) 27N

d) 36N

e) 45N

5. (FUVEST) – Um bloco de 2,0kg é lançado do topo de um plano inclinado, com velocidade escalar de 5,0m/s, conforme indica a figura. Durante a descida, atua sobre o bloco uma força de atrito constante de intensidade 7,5 N que faz o bloco parar após deslocar-se 10m. Calcule a altura H, desprezando-se o efeito do ar e adotando-se g = 10m . s–2.

6. (UNICAMP) – Uma criança solta uma pedrinha de massa m = 50g, com velocidade inicial nula, do alto de um prédio de 100m de altura. Devido à força de resistência do ar, o gráfico da posição da pedrinha em função do tempo não é mais a parábola y = 100 – 5,0t2, mas sim o gráfico representado adiante. Adote g = 10 m/s2.

a) Com que velocidade escalar a pedrinha bate no chão (altura = 0)? b) Qual é o trabalho realizado pela força de resistência do ar entre t = 0 e t = 11 segundos? 7. (UNICAMP) – Mostra-se, em função da distância x, a intensidade da força resultante F que atua sobre um corpo de massa m = 1,2kg, que se desloca sobre uma trajetória retilínea.

220 –

8. (PUC) – Um corpo de massa 0,30kg está em repouso num local onde a aceleração gravitacional tem módulo igual a 10m/s2. A partir de um certo instante, uma força de intensidade variável com a distância segundo a função F = 10 – 20d (SI) passa a atuar no corpo, na direção vertical e sentido ascendente. Qual a energia cinética do corpo no instante em que a força F se anula? (Despreze o efeito do ar.) a) 1,0J b) 1,5J c) 2,0J d) 2,5J e) 3,0J

9. Num corpo de massa 2,0kg atuam as forças F e de atrito cinético Fat, que variam com a distância conforme mostra a figura adiante. Estas forças são paralelas ao deslocamento que ocorre no plano horizontal. No instante t = 0, o corpo se encontra na origem (x0 = 0) e em repouso (V0 = 0). Calcular a) o trabalho realizado por F, ao longo de 6,0m; b) o trabalho da força de atrito Fat, ao longo de 6,0m; c) o trabalho da força resultante que atua no corpo, ao longo de 6,0m; d) o módulo da velocidade do móvel na posição x = 6,0m.

10. Em um plano inclinado de 30°, um bloco de→massa 2,0kg está sendo empurrado para cima por uma força F, paralela ao plano inclinado, e de intensidade variável com a distância do bloco ao ponto A, segundo o gráfico apresentado adiante. O bloco parte do repouso em A, o atrito é desprezível, a aceleração da gravidade local tem intensidade g = 10 m/s2 e o ponto B está a uma altura H = 5,0 m.

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3. (FUVEST) – Dispõe-se de um motor com potência útil de 200W para erguer um fardo de massa de 20kg à altura de 100m em um local onde g = 10m/s2. Despreze o efeito do ar. Supondo-se que o fardo parte do repouso e volta ao repouso, calcule a) o trabalho desenvolvido pela força aplicada pelo motor; b) o tempo gasto nessa operação. 4. (UNICAMP) – Um carro recentemente lançado pela indústria brasileira tem aproximadamente 1,5t e pode acelerar, do repouso até uma velocidade escalar de 108km/h, em 10 segundos. (fonte: Revista Quatro Rodas). Adote 1 cavalo vapor (cv) = 750W. a) Qual o trabalho realizado, nesta aceleração, pelas forças do motor do carro? b) Qual a potência do motor do carro em cv? Obs.: Admita que o carro não derrape e despreze o efeito do ar. Calcule → a) os trabalhos da força F e do peso do bloco, no deslocamento de A para B; b) a intensidade da velocidade do bloco ao atingir o ponto B.

Módulo 43 – Potência 1. (FUVEST) – Um pai de 70 kg e seu filho de 50kg pedalam lado a lado, em bicicletas idênticas, mantendo sempre velocidade uniforme. Se ambos sobem uma rampa e atingem um patamar plano, podemos afirmar que, na subida da rampa até atingir o patamar, o filho, em relação ao pai, a) realizou mais trabalho; b) realizou a mesma quantidade de trabalho; c) possuía mais energia cinética; d) possuía a mesma quantidade de energia cinética; e) desenvolveu potência mecânica menor.

5. (ITA) – Um automóvel de massa m = 500kg é acelerado uniformemente a partir do repouso até uma velocidade escalar v1 = 40m.s–1 em t1 = 10 segundos, em uma trajetória retilínea. Despreza-se o efeito do ar. A potência média e a potência no instante t1 desenvolvidas pelas forças do motor do automóvel são, respectivamente, iguais a: a) 40kW e 40kW b) 80kW e 40kW c) 40kW e zero d) zero e 80kW e) 40kW e 80kW 6. (FUVEST) – A figura abaixo representa esquematicamente um elevador E com massa 800 kg e um contrapeso B, também de 800kg, acionados por um motor M. A carga interna do elevador é de 500kg. Adote g = 10m/s2.

2. (FUVEST) – Uma empilhadeira elétrica transporta do chão até uma prateleira, a uma altura de 6,0m do chão, um pacote de 120kg. O gráfico ilustra a altura do pacote em função do tempo.

a) Qual a potência fornecida pelo motor com o elevador subindo com uma velocidade escalar constante de 1,0m/s? b) Qual a intensidade da força aplicada pelo motor através do cabo, para acelerar o elevador em ascensão, à razão de 0,50m/s2?

A potência aplicada ao corpo pela empilhadeira é: (É dado g = 10m/s2 e despreza-se o efeito do ar.) a) 120W b) 360W c) 720W d) 1,20kW e) 2,40kW

7. (FUVEST) – Um automóvel possui um motor de potência máxima P0. O motor transmite sua potência completamente às rodas. Movendo-se em uma estrada retilínea horizontal, na ausência de vento, o automóvel sofre a resistência do ar, que é expressa por uma força cuja magnitude é F = AV2, em que A é uma constante positiva e V é o módulo da velocidade do automóvel. O sentido dessa força é oposto ao da velocidade do

– 221

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automóvel. Não há outra força resistindo ao movimento. Nessas condições, a velocidade máxima que o automóvel pode atingir é V0. Se quiséssemos trocar o motor desse automóvel por um outro de potência máxima P, de modo que a velocidade máxima atingida, nas mesmas condições, fosse V = 2V0, a relação entre P e P0 deveria ser: a) P = 2P0 b) P = 4P0 c) P = 8P0 d) P = 12P0

e) P = 16P0

8. (UFRJ) – Um carro de massa m = 1,0.103kg está subindo, com movimento retilíneo uniforme, uma ladeira inclinada de θ em relação à horizontal, segundo a reta de maior declive, como mostra a figura.

a) a expressão da velocidade escalar do corpo em função do tempo; b) o valor da energia cinética do corpo no instante t = 1,0s. 2. Considere uma partícula descrevendo uma circunferência de raio R com velocidade escalar variável. O gráfico abaixo representa a intensidade da componente centrípeta da força resultante em função da energia cinética para o movimento da partícula.

Considere g = 10m/s2, senθ = 0,25 e despreze o efeito do ar. Sabendo-se que a potência útil desenvolvida pelo carro é 3,5.104W, calcule o módulo da velocidade do carro. 9. (FUVEST) – Deseja-se construir uma usina hidroelétrica aproveitando uma queda-d’água de 10m de altura e vazão de 1,0m3 por segundo. Qual a potência teórica máxima dessa usina? Dados: densidade da água: 1,0.103kg.m–3; módulo da aceleração da gravidade: 10m.s–2. → 10. (AFA) – A potência da força resultante F que age sobre um objeto de massa m = 1,25kg varia com o tempo, conforme o gráfico a seguir.

Sabendo-se que em t = 0 a velocidade escalar do objeto vale 10m/s, calcule → a) o trabalho realizado pela força F, no intervalo de 0 a 16s; b) a velocidade escalar no instante t = 16s.

Módulo 44 – Energias Potencial e Cinética 1. (FUND. CARLOS CHAGAS-MODIFICADO) – A velocidade escalar de um corpo de massa 10kg varia, com o tempo, de acordo com o gráfico a seguir. Pedem-se:

222 –

Calcule o raio da circunferência. 3. (UNIP) – Uma partícula de massa 2,0kg, em trajetória retilínea, tem energia cinética (Ec) variando com o quadrado do tempo (t2) de acordo com o gráfico a seguir.

A força resultante na partícula a) é variável. b) tem intensidade igual a 3,0N. c) tem intensidade igual a 6,0N. d) tem intensidade igual a 9,0N. e) tem intensidade igual a 72,0N. 4. (UFRJ) – O fabricante de cerveja e físico amador James Joule estimou, em meados do século XIX, a diferença entre a temperatura da água no sopé e no topo das Cataratas de Niágara. A fim de fazer uma estimativa similar para uma das quedas de Iguaçu, com altura de 84m, considere que o módulo da velocidade com que a água corre no sopé, após a queda, é igual ao módulo da velocidade com que a água corre no topo, antes de iniciar a queda.

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Sendo g = 10m . s–2, calcule a) a constante elástica da mola; b) o valor da massa m.

Considere, também, que toda energia mecânica perdida pela água é reabsorvida na forma de energia térmica, o que provoca o seu aquecimento. Calcule a diferença entre a temperatura da água no sopé e no topo dessa queda. Considere o calor específico sensível da água igual a 4,2 . 103 J/kg°C e adote g = 10m/s2. 5. Um atleta de massa 80kg, com 2,0m de altura, consegue ultrapassar um obstáculo horizontal a 6,0m do chão com salto de vara. Adote g = 10m/s2. A variação de energia potencial gravitacional do atleta, neste salto, é um valor mais próximo de a) 2,4 kJ b) 3,2 kJ c) 4,0 kJ d) 4,8 kJ e) 5,0 kJ

2. (ITA) – Duas massas, m e M, estão unidas uma à outra por meio de uma mola de constante k. Dependurando-as de modo que M fique no extremo inferior, o comprimento da mola é ᐉ1. Invertendo-se as posições das massas, o comprimento da mola, passa a ser ᐉ2. O comprimento ᐉ0 da mola, quando não submetida a forças, é a) ᐉ0 = (mᐉ1 – Mᐉ2) / (m – M) b) ᐉ0 = (Mᐉ1 – mᐉ2) / (m – M) c) ᐉ0 = (Mᐉ1 + mᐉ2) / (m + M) d) ᐉ0 = (mᐉ1 + Mᐉ2) / (m + M) e) ᐉ0 = (Mᐉ1 + mᐉ2) / (m – M) 3. (FUVEST) – Uma mola pendurada num suporte apresenta comprimento natural igual a 20cm. Na sua extremidade livre, pendura-se um balde vazio, cuja massa é 0,5kg. Em seguida, coloca-se água no balde até que o comprimento da mola atinja 40cm. O gráfico abaixo ilustra a intensidade da força que a mola exerce sobre o balde, em função do seu comprimento.

6. (FUVEST) – Uma bala de morteiro de massa 5,0 . 102g está a uma altura de 50m acima do solo horizontal com uma velocidade de módulo 10m/s, em um instante t0. Tomando-se o solo como referencial e adotando-se g = 10m/s2, determine para o instante t0: a) a energia cinética da bala; b) a energia potencial da bala. 7. (VUNESP) – Um fruto de 0,10kg, inicialmente em repouso, desprendeu-se de uma árvore à beira de um penhasco e caiu 55m, esborrachando-se numa rocha. Se a velocidade imediatamente antes do impacto com a rocha tem módulo igual a 30m/s e a aceleração da gravidade local tem módulo igual a 10m/s2, calcule as quantidades de energia mecânica dissipadas a) na interação do fruto com a rocha, ao se esborrachar; b) na interação do fruto com o ar, durante a queda.

Módulo 45 – Energia Elástica e Sistema de Forças Conservativo 1. (MACKENZIE) – As figuras a seguir indicam uma mesma mola elástica ideal em três situações distintas de equilíbrio.

Pedem-se: a) a massa de água colocada no balde; b) a energia potencial elástica acumulada na mola no final do processo. 4. (FUVEST) – Um ciclista desce uma ladeira, com forte vento contrário ao movimento. Pedalando vigorosamente, ele consegue manter a velocidade constante. Pode-se então afirmar que a sua a) energia cinética está aumentando. b) energia cinética está diminuindo. c) energia potencial gravitacional está aumentando. d) energia potencial gravitacional está diminuindo. e) energia potencial gravitacional é constante. 5. (UFC) – Uma partícula desloca-se livremente em uma superfície sem atrito, com sua trajetória contida em um plano vertical e representada na figura a seguir.

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No instante t1, a partícula passa pela posição P1 e no instante t2 ela passa pela posição P2, como está indicado na figura. Considere as proposições a seguir e verifique quais as corretas, para o movimento da partícula entre os instantes t1 e t2. Dê como resposta a soma dos números associados às proposições corretas. (01) A variação da energia cinética da partícula é igual ao trabalho da força resultante. (02) A energia potencial da partícula permanece constante. (04) A energia cinética da partícula permanece constante. (08) A energia mecânica da partícula permanece constante. (16) A variação da energia cinética da partícula é igual à variação de sua energia potencial, com o sinal trocado.

a) Calcule a altura máxima H, em relação ao solo, atingida pelo atleta. Suponha que, no instante em que o atleta atinge a altura máxima, ele tenha velocidade desprezível. b) Supondo-se a existência de uma velocidade horizontal do atleta no ponto de altura máxima, ele atingirá uma altura H’ maior, igual ou menor do que H? Justifique sua resposta. 8. (UFOP) – Uma partícula desliza livremente em um trilho sem atrito, como mostra a figura adiante, passando pelo ponto A com uma certa velocidade. O plano de referência para medir a energia potencial gravitacional passa pelo ponto B. Sabe-se que a energia potencial no ponto A vale E e a energia cinética no ponto B vale 2E.

6. (AFA) – Uma partícula está sujeita a um sistema de forças conservativo e sua energia potencial é dada pelo gráfico a seguir:

Quando a partícula passar pelo ponto C suas energias cinética e potencial serão, respectivamente, iguais a: a) 3E/2 e E/2 b) E/2 e E/2 c) E e E d) E/2 e 3E/2 e) 3E/2 e 3E/2

Sendo a massa da partícula igual a 1,2kg e sua velocidade escalar igual a 10m/s na posição x = 2,0m, calcule a) a energia mecânica da partícula; b) o módulo da velocidade para x = 7,0m.

9. (UNIP) – Uma pedra foi lançada horizontalmente de um ponto A com velocidade de módulo igual a V e atinge o solo no ponto B com velocidade de módulo 2V.

7. (UFRJ) – Usando princípios de Física, de biomecânica e algumas hipóteses, é possível fazer estimativas de limites superiores para os recordes olímpicos. Assim, podemos fazer uma estimativa para a prova de salto com vara, em que o atleta, após uma corrida de alguns metros, se lança para cima, com o auxílio de uma vara, a fim de transpor um obstáculo situado a uma certa altura, como ilustram as figuras:

Sabe-se que a energia cinética da pedra no ponto A vale 10J. Despreze o efeito do ar. A energia potencial da pedra no ponto A, para um referencial no solo, a) vale 10J. b) vale 20J. c) vale 30J. d) vale 40J. e) não está determinada.

Suponha que, no instante em que o atleta se lança, a sua velocidade escalar seja de 10m/s e que a sua energia mecânica neste instante seja igual a sua energia mecânica ao atingir a altura máxima. A fim de estimar a altura máxima atingida pelo atleta, faça os cálculos supondo que toda a sua massa esteja concentrada no seu centro de massa (ponto C das figuras), que no instante do salto estava a uma altura h = 1,0 m do solo.

224 –

Módulo 46 – Energia Elástica e Sistema de Forças Conservativo 1.

(ITA) – Suponha uma partícula que se move sob a ação de uma força conservativa. A variação da energia potencial Ep com respeito ao tempo t é mostrada na figura ao lado. Qual dos gráficos seguintes pode representar a energia cinética da partícula?

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A moeda é abandonada do ponto A, a partir do repouso, e pára no ponto D. O trilho circular tem raio R e centro C e a distância entre os pontos B e D vale 2R. O coeficiente de atrito dinâmico entre a moeda e o solo a) não está determinado com os dados apresentados. b) vale 0,50. c) vale 0,25. d) vale 0,20. e) vale zero. 4. (UNIP) – Em um local onde o efeito do ar é desprezível e → a aceleração da gravidade g é constante, dois projéteis, A e B, partem de uma mesma altura H. O projétil A parte do repouso e o projétil B é lançado horizontalmente com uma velocidade → V0. Os projéteis A e B atingem o solo horizontal com velocidades de módulos respectivamente iguais a VA e VB. Os tempos de queda de A e B são, respectivamente, iguais a TA e TB. 2. (UERJ) – Três blocos de pequenas dimensões são abandonados (sem velocidade inicial) de uma mesma altura H do solo. O bloco 1 cai verticalmente e chega ao solo com uma velocidade de módulo igual a V1. O bloco 2 desce uma ladeira inclinada em relação à horizontal e chega ao solo com uma velocidade de módulo igual a V2. O bloco 3 desce um trilho curvo, cujo perfil, contido em um plano vertical, está mostrado na figura abaixo e chega ao solo com uma velocidade de módulo igual a V3.

Assinale a opção correta a) TA = TB e VA = VB. c) TA = TB e VA < VB. e) TA < TB e VA < VB.

b) TA > TB e VA > VB. d) TA < TB e VA = VB.

5. Da janela de um prédio, são lançadas, de uma mesma posição, três bolas de gude, A, B e C, com velocidades iniciais de mesma intensidade.

Supondo-se os atritos desprezíveis e comparando-se V1, V2 e V3, pode-se afirmar que a) V1 > V2 > V3 b) V1 = V2 = V3 c) V1 > V2 = V3 d) V1 < V2 = V3 e) V1 < V2 < V3 3. Para se obter o coeficiente de atrito dinâmico, suposto constante, entre uma moeda e o solo horizontal, usamos um trilho circular sem atrito, conforme figura.

A bola A é lançada obliquamente para cima, a bola B é lançada horizontalmente e a bola C é lançada obliquamente para baixo. Despreza-se o efeito do ar e admite-se que o campo de gravidade seja uniforme. Podemos afirmar que a) a bola A atingirá o solo com velocidade maior do que as outras.

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b) as componentes horizontais das velocidades das esferas variam durante o movimento. c) as três bolas atingirão o chão com velocidades de mesma intensidade. d) as três bolas atingirão o chão no mesmo instante. e) as energias mecânicas das três bolas, antes de atingirem o chão, são necessariamente iguais.

6. (UFCE) – O gráfico da figura mostra uma mola de comprimento natural ᐉ0 = 0,60m, com uma extremidade presa a um ponto fixo P e a outra presa a um bloco de massa 0,40kg, com um furo central, tal que ele pode deslizar sem atrito por uma haste vertical. Inicialmente, o bloco se encontra em um ponto A da haste, de modo que a mola, na horizontal, não está nem comprimida nem distendida. Nesse ponto, o bloco é abandonado livremente e desliza para baixo. Sabendo-se que ao passar em um ponto B, 0,80m abaixo do ponto A, o bloco tem velocidade de módulo igual a 2,0m/s, determine a constante elástica da mola. Use g = 10m/s2 e despreze o efeito do ar.

8. Nos sistemas mostrados na figura, a polia e o fio têm massas desprezíveis e não há atrito.

Os blocos partem do repouso e não se considera o efeito do ar. As massas de A e B são, respectivamente, iguais a 20kg e 30kg e adota-se g = 10m/s2. Usando-se a lei da conservação da energia mecânica, calcule o módulo da velocidade dos blocos quando o bloco B tiver descido 3,0m, em cada um dos sistemas apresentados.

Módulo 47 – Energia Elástica e Sistema de Forças Conservativo 1. (MACKENZIE) – Uma bolinha é abandonada do ponto A do trilho liso AB e atinge o solo no ponto C.

7. Um bloco de massa m = 10kg é abandonado de uma altura h = 2,0m sobre uma mola de constante elástica k = 2,0 . 103N/m, não deformada, como na figura.

Adote g = 10,0m/s2 e despreze o efeito do ar. A altura h vale a) 1,25m b) 1,75m c) 2,00m d) 2,25m e) 2,50m 2. (UNIP) – No esquema da figura, uma partícula desliza em uma trajetória sem atrito de A para B e, em seguida, fica sob ação exclusiva da gravidade, descrevendo uma parábola de vértice C. O referencial para medir as energias é o solo e a trajetória parabólica não está na escala correta.

Admitindo-se g = 10m/s2 e que não haja perda de energia mecânica, pode-se afirmar que a máxima deformação sofrida pela mola é a) 0,50m b) 0,40m c) 0,30m d) 0,20m e) 0,10m

226 –

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O bloco foi lançado, a partir do ponto A, com velocidade de intensidade V0 e, ao abandonar o trilho em B, sua velocidade → VB forma ângulo de 60° com a horizontal. Sabendo-se que, no ponto A, a energia mecânica do bloco vale 700J e a energia cinética vale 100J, podemos concluir que a altura do ponto C a) é igual a H. b) vale H/4. c) é maior que H. d) não pode ser obtida em função de H com os dados apresentados; 3 e) vale ––– H. 4 3. Uma mesa está dentro de um elevador e sobre ela está fixo um escorregador, conforme mostra a figura. Uma esferinha é abandonada no ponto A, deixa o escorregador no ponto B, com velocidade horizontal, e atinge o chão do elevador no ponto C. Uma pessoa, dentro do elevador, mede a distância d (ver figura) em três situações distintas: (1)elevador em repouso; (2)elevador subindo verticalmente com movimento uniforme; (3)elevador descendo verticalmente com movimento uniformemente retardado. Despreze o atrito e o efeito do ar.

Depois de algum tempo, já no trecho horizontal, seu movimento, com velocidade constante de módulo V, é indicado na figura 2. Desprezando-se os efeitos do atrito e denotando-se por g o módulo da aceleração da gravidade, V é dado por: 2gh a) 

b)  2gL

d)  2g(h/2 + L)

e)  2g(h + L/2)

c)  2g(h + L)

5. Um homem de massa igual a 70,0kg, preso a uma corda elástica de massa desprezível, cai, a partir do repouso, de uma plataforma localizada a 100m acima do nível do chão. Sabe-se que o comprimento não distendido da corda é de 30,0m e que a distância mínima que separa o homem do solo é de 10,0m. Desprezando-se o efeito do ar e adotando-se g = 10m/s2, determine a) a constante elástica da corda; b) o comprimento da corda quando o módulo da velocidade do homem for máximo; c) o módulo da velocidade máxima. 6. (ITA) – A figura ilustra um carrinho de massa m percorrendo um trecho de uma montanha-russa.

Desprezando-se todos os atritos que agem sobre ele e supondo-se que o carrinho seja abandonado em A, o menor valor de h para que o carrinho efetue a trajetória completa é: Indicando, respectivamente, por d1, d2 e d3 os valores medidos nas três situações, temos a) d1 = d2 = d3 b) d1 < d2 < d3 c) d1 > d2 < d3 d) d1 = d2 < d3 e) d1 = d2 > d3 4. (FUVEST) – A figura 1 mostra um tubo de vidro de secção uniforme que contém uma coluna de mercúrio, de comprimento L, mantida parada no trecho vertical por uma membrana colocada na altura h. Num certo instante, a membrana se rompe e a coluna de mercúrio inicia um movimento de queda livre.

a) (3R)/2 b) (5R)/2 c) 2R

d)  (5gR)/2 

e) 3R

7. (ITA) – Uma pedra de massa m, presa a um fio ideal de comprimento L, é mantida descrevendo uma circunferência → num plano vertical sob ação exclusiva de seu peso P e da força → tensora T aplicada pelo fio. Qual deve ser o módulo da menor velocidade tangencial da pedra no topo da trajetória Vm para que o fio ideal ainda se mantenha esticado?

– 227

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Qual será a intensidade da força tensora no fio T quando a pedra estiver no ponto mais baixo da trajetória? Vm

T

h(cm)

cosθ

a)

10

1/3

b)

10

2/3

a)  gL 

6mg

c)

20

1/3

b)  gL 

mg

d)

20

2/3

c)  gL 

2mg

e)

15

1/2

d) 2  gL  e)  gL 

  2mg 0

8. (UNIP) – A figura representa o perfil vertical de um trilho sem atrito, fixo no solo. Uma partícula de massa 2,0kg é abandonada, a partir do repouso, de um ponto A a uma altura H = 15m, acima do solo. O trecho BCD é circular, com centro em O e raio R = 10m, sendo OC horizontal e OB vertical.

Sendo g = 10m/s2 e desprezando-se o efeito do ar, a força que o trilho exerce na partícula, no ponto C, tem intensidade igual a a) zero b) 5,0N c) 10,0N d) 20,0N e) 40,0N

Módulo 48 – Dinâmica do MHS 1. Considere um bloco de massa m realizando movimento harmônico simples de amplitude igual a 0,50m preso a uma mola de constante elástica k. O valor algébrico da força resultante sobre ele varia em função da posição, dada por um eixo de referência Ox, conforme o gráfico a seguir.

Sabendo que o bloco executa 40 oscilações por minuto, calcule a) o valor de k; b) o valor de m (adote nos cálculos π = 3). 2. Uma partícula oscila num plano horizontal presa a uma mola, conforme representa a figura abaixo.

9. Um pêndulo de comprimento L = 30cm está fixo em um ponto 0 e é abandonado do repouso com o fio horizontal. Sabe-se que o fio se rompe quando a força que o traciona tiver intensidade igual ao peso da esfera pendular. Assinale a opção que indica corretamente os valores de h e cos θ.

O gráfico corresponde à energia cinética (Ec) da partícula em função de sua elongação (x). A mola é elástica, não há atritos e a resistência do ar é desprezível. Calcule a) a constante elástica da mola; b) a energia potencial elástica acumulada na mola, quando a elongação da partícula é x = 1,0 m.

228 –

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3. Na figura, o oscilador harmônico é ideal e a constante elástica da mola vale 1,0 . 103 N/m. No gráfico, representa-se como varia a elongação x do bloco em função do tempo t.

a) f2 = f1 e E2 = 4E1 c) f2 = 2f1 e E2 = 4E1 e) f2 = 4f1 e E2 = 4E1

b) f2 = f1 e E2 = 2E1 d) f2 = 2f1 e E2 = 2E1

5. Um bloco de massa m é apoiado sobre um tábua plana e o conjunto é posto a oscilar horizontalmente, realizando um movimento harmônico simples de amplitude igual a 2,0m e frequência de 12 ciclos por minuto, sem que o bloco escorregue em relação à tábua. Despreze os efeitos do ar, adote g = 10m/s2 e considere π2 = 10. Qual o menor coeficiente de atrito estático entre o bloco e a tábua que viabiliza a situação proposta?

Pede-se a) determinar a função horária x = f(t) para o movimento do oscilador. b) calcular a energia mecânica do sistema. c) traçar, num mesmo diagrama, os gráficos das energias cinética, potencial elástica e mecânica do oscilador em função de x.

4. (UFC) – Considere um oscilador harmônico simples, unidimensional, do tipo massa-mola. Num primeiro momento, ele é posto para oscilar com amplitude A, tendo frequência f1 e energia mecânica E1 e, num segundo momento, com amplitude 2A, tendo frequência f2 e energia mecânica E2. Das opções a seguir, indique aquela que contém somente relações verdadeiras:

6. Na figura, o bloco tem massa 10kg, o plano de apoio é horizontal e as quatro molas ideais são idênticas, apresentando cada uma constante elástica 2,5 . 102N/m. Com o bloco na posição de equilíbrio (ponto 0), as quatro molas apresentam-se livres de qualquer deformação.

O bloco é então deslocado até o ponto P, de onde é abandonado, passando a oscilar em condições ideais entre P e P’. Determine para o sistema oscilante a) a energia mecânica. b) o período de oscilação.

– 229

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FRENTE 2

ÓPTICA E ONDAS

Módulo 19 – Lentes Esféricas I – Construções Gráficas 1. (VUNESP-FMJ) – A figura mostra uma gota de água sobre uma folha, permitindo ver detalhes ampliados através dela, sem invertê-los.

(Foto: Rennato Testa)

d) uma lente divergente ou um espelho convexo. e) uma lente divergente ou um espelho côncavo. Resolução Para que a imagem do objeto real conjugada pelos elementos ópticos referidos seja direita e reduzida, é necessário que o elemento óptico seja uma lente divergente ou um espelho convexo. (I) Lente divergente:

(II) Espelho convexo:

Na situação descrita, a gota funciona como a) uma lente divergente, com o objeto colocado no seu plano focal. b) uma lente divergente, com o objeto colocado entre seu plano focal e a própria lente. c) uma lente convergente, com o objeto colocado além de seu plano focal. d) uma lente convergente, com o objeto entre seu plano focal e a própria lente. e) uma lente convergente com o objeto colocado no seu plano focal.

Resolução A gota-d’água se comporta como uma lupa. A figura a seguir mostra os raios de luz que determinam a imagem I, virtual, direita e ampliada, que se observa para o objeto real O neste caso.

Resposta: D 2. (VUNESP) – Um objeto luminoso encontra-se diante de um elemento óptico, que pode ser uma lente esférica ou um espelho plano ou esférico. Um estudante observa que a imagem do objeto, formada por esse elemento, é direita e reduzida em relação ao seu tamanho natural. Ele conclui corretamente que o elemento pode ser a) uma lente convergente ou um espelho côncavo. b) uma lente convergente ou um espelho convexo. c) um espelho plano.

230 –

Resposta: D

Módulo 20 – Lentes Esféricas II – Equação de Gauss e Aumento Linear 3. (UFPR) – Numa aula de laboratório de óptica, deseja-se determinar a distância focal de uma lente convergente. Utilizando uma vela, cuja chama está a uma altura de 5 cm, o professor propõe um procedimento experimental. A vela é colocada inicialmente a certa distância da lente, sendo a imagem de sua chama projetada num anteparo, invertida e com 15 cm de altura. Em seguida, sem mover a lente, desloca-se a vela de 1,5 cm, distanciando-a ainda mais da lente. Move-se então o anteparo até obter-se uma nova imagem projetada, que é invertida e tem altura de 10 cm nessa situação. Com base nesses dados, determine a distância focal dessa lente. Resolução Trata-se de uma aplicação da relação: f A = ––––– f–p f 15 1.º caso: – ––– = ––––– f – p4 5

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4 f  –3(f – p1) = f ⇒ –3f + 3p1 = f ⇒ p1 = –– 3 f 10 2.º caso: – ––– = ––––––––––– f – (p1 + 1,5) 5

5 A’ = –– 4

–2(f – p1 – 1,5) = f ⇒ –2f + 2p1 + 3 = f Da qual: 3f = 2p1 + 3

f Respostas: a) –– p=2

5 b) A’ = –– 4



Substituindo-se  em , vem: 1 4 8 –– –– 3f = 2 . –– 3 f + 3 ⇒ 3f – 3 f = 3 ⇒ 3 f = 3 f = 9 cm Resposta: 9 cm

Nessas condições, a imagem conjugada pela lente é direita e tem o dobro do tamanho do objeto. a) Calcule a razão f/p, entre a distância focal da lente e a distância do objeto ao centro óptico da lente. b) Preenchido totalmente o aquário com água, a distância focal da lente aumenta para 2,5 vezes a distância focal na situação anterior, e a lente mantém o comportamento óptico convergente. Para as mesmas posições da lente e do objeto, calcule o aumento linear transversal para a nova imagem conjugada pela lente. Resolução a) O aumento linear transversal (A) é dado por:

b) 60

c) 45

d) 30

e) 15

Resolução Funcionamento do olho mágico:

1 No caso, p = 60 cm e A = –– , logo: 3 f 1 f A = ––––– ⇒ –– = ––––– 3 f – 60 f–p 3f = f – 60 ⇒ 2f = – 60 ⇒ f = –30 cm Donde: | f | = 30 cm Resposta: D

f A = ––––– f–p f Sendo A = 2, vem: 2 = –––– f–p 2f – 2p = f ⇒ f = 2p ⇒

5. (UFAC) – Um dispositivo de segurança muito usado em portas de apartamentos é o olho mágico. Ele é uma lente esférica que permite ver o visitante que está aguardando do lado de fora. Quando o visitante está a 60 cm da porta, o olho mágico forma, para a pessoa de dentro do apartamento, uma imagem três vezes menor e direita do rosto do visitante. O valor absoluto da distância focal dessa lente, em cm, vale: a) 75

4. (UNIFESP) – Dentro de um aquário sem água são colocados uma lente delgada convergente e um parafuso, posicionado frontalmente à lente, ambos presos a suportes, conforme a figura.

f –– = 2 p

b) f’ = 2,5f f p = –– 2 p f 1 1 Portanto: –– = –– . –––– = –– 5 2 2,5f f’ f’ p = –– 5

f’ 5 f’ f’ A’ = –––––– = –––––––– = –––––––– = –– 4 4 f’ f’ – p f’ – ––– ––– f’ 5 5

Módulo 21 – Lentes Esféricas III – Vergência e Equação de Halley 6. (UNESP) – É possível improvisar uma objetiva para a construção de um microscópio simples pingando uma gota de glicerina dentro de um furo circular de 5,0 mm de diâmetro, feito com um furador de papel em um pedaço de folha de plástico. Se apoiada sobre uma lâmina de vidro, a gota adquire a forma de uma semi-esfera. Dada a equação dos fabricantes de lentes para lentes imersas no ar, 1 C = ––– = (n − 1) f

–––  ––– R + R , 1

1

1

2

– 231

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e sabendo que o índice de refração da glicerina é 1,5, a lente plano-convexa obtida com a gota terá vergência C, em unidades do SI, de a) 200 di. b) 80 di. c) 50 di. d) 20 di. e) 10 di. Resolução A lente plano-convexa em questão tem o formato representado a seguir.

Resolução + –––  ––– R R



1 nL –1 Equação de Halley: V = ––– = –––– n f M (I) Parte mergulhada no ar: nL 1 – 1 –––– ⇒ 1 = ––– 0,5 1







1

1

1

2

3 nL = –– 2

(II) Parte mergulhada na água: 3/2 1 –1 –––– (di) Vágua = –––– 4/3 0,5



Donde:





1 Vágua = –– di 4

Resposta: A

Módulo 22 – Óptica da Visão 2R = 5,0mm ⇒

R = 2,5mm = 2,5 . 10–3m

Aplicando-se a Equação de Halley fornecida no enunciado, vem: 1 1 ––– ––– C = (n – 1) R + R 1 2



C = (1,5 – 1)



1 + –––  (di)  –––––––– ∞ 2,5 . 10 1

–3

tende a zero Da qual:

C = 200 di

Resposta: A 7. (VUNESP) – Em um laboratório, uma lente plano-convexa de raio de curvatura 0,5m é parcialmente mergulhada em água, de modo que o eixo principal fique no mesmo plano da superfície de separação entre a água e o ar. Um feixe de luz monocromática, incidindo paralelamente a este eixo, após passar pela lente, converge para dois focos distintos (Far e Fágua). Na região em que a lente está imersa no ar, a convergência é de 1 di.

8. (UNICENTRO) – Uma pessoa observa uma árvore muito distante, e, depois passa a ler um livro em suas mãos. Depois de observar a árvore, para focalizar a imagem do livro em sua retina é preciso que a) os cristalinos dos olhos da pessoa fiquem mais finos. b) a distância focal dos cristalinos dos olhos da pessoa aumente. c) a distância entre os cristalinos e as retinas dos olhos da pessoa diminua. d) a distância entre os cristalinos e as retinas dos olhos da pessoa aumente. e) a distância focal dos cristalinos dos olhos da pessoa diminua. Resolução Quando a pessoa observa a árvore distante, sua visão fica em situação de máximo relaxamento. Isso significa que seus músculos ciliares apresentam-se descontraidos, com os cristalinos exibindo máxima distância focal. Quando a pessoa passa a ler um livro em suas mãos, porém, sua visão fica contraída. Isso significa que seus músculos ciliares comprimem intensamente seus cristalinos que apresentam neste caso pequena distância focal. O mecanismo da visão que consiste em variar a distância focal dos cristalinos para a observação adequada de objetos a diferentes distâncias denomina-se acomodação visual. Resposta: E 9. (UFABC) Segundo pesquisas recentes, 20% da população brasileira é míope

Se o índice de refração do ar tem valor 1 e o índice de refração da água, valor 4/3, a convergência da parte da lente mergulhada no líquido é, em di, a) 1/4

232 –

b) 3/5

c) 2/3

d) 3/4

e) 4/5

Pode-se corrigir a miopia com o uso de óculos, lentes de contato ou cirurgicamente. A cirurgia a laser consiste em esculpir e modelar a curvatura da córnea com a tecnologia do laser frio, chamado Excimer Laser. O epitélio do olho (camada superficial sobre a córnea) é raspado para receber o laser. As células da córnea são pulverizadas com a aplicação do laser, e a córnea é aplanada, tornando-se menos curva. O epitélio, com o tempo, se regenera.

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(II)

O fato de a córnea ter sido aplanada corrige a miopia porque a) seu índice de refração fica menor, causando menos desvio nos raios luminosos. b) seu índice de refração fica maior, causando mais desvio nos raios luminosos. c) diminuindo a curvatura da córnea, o globo ocular torna-se menos convergente. d) diminuindo a curvatura da córnea, o globo ocular torna-se mais convergente. e) a córnea, mais fina, permite a entrada de mais luz no globo ocular. Resolução Na miopia, a imagem forma-se antes da retina. A diminuição da curvatura da córnea diminui a convergência do sistema, provocando o deslocamento da imagem para o local onde se encontra a retina. Resposta: C

Módulo 23 – Equação Fundamental da Ondulatória: V = λf 10. (UEMS-MS) – Os gráficos da amplitude em função da posição e da amplitude em função do tempo dão as características de uma onda.

O período T é obtido a partir do gráfico da amplitude em função do tempo.

(III) Equação fundamental da ondulatória: ␭ V = ␭ f = –– T 8 V = ––– (m/s) ⇒ V = 80 m/s 0,1 Resposta: D 11. (CEFET-RJ) – A radiação eletromagnética é dita ionizante quando possui energia suficiente para ionizar átomos e moléculas. Esta pode danificar as células do corpo humano, afetando o seu material genético, causando doenças como, por exemplo, câncer. Em geral, as radiações são potencialmente perigosas quando os seus comprimentos de onda situam-se abaixo de 320nm (1 nanômetro = 10–9 m). Os aparelhos celulares operam na faixa de frequências de 800 MHz a 1800 MHz. Os celulares emitem radiação cujos comprimentos de onda estão compreendidos na faixa de a) 15 cm a 40 cm. b) 20 cm a 60 cm. c) 15 cm a 30 cm. d) 40 cm a 60 cm. Adote para a velocidade das radiações eletromagnéticas o valor c = 3 . 108 m/s. Resolução Equação fundamental da ondulatória: V V = ␭ f ⇒ ␭ = ––– f (I) Cálculo de ␭mín: c 3 . 108 ␭mín = –––––– = –––––––––  0,17m ⇒ ␭mín  17cm fmáx 1800 . 106

A partir destes dados, determine a velocidade de propagação desta onda. a) 20 m/s b) 40 m/s c) 60 m/s d) 80 m/s e) 120 m/s Resolução (I) O comprimento da onda ␭ é obtido a partir do gráfico da amplitude em função da posição.

(II) Cálculo de ␭máx: c 3 . 108 ␭máx = ––––– = ––––––––– = 0,375m fmín 800 . 106 ␭máx = 37,5m  40cm

– 233

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Módulo 24 – Reflexão e Refração de Ondas 12. (UNIFESP) – O gráfico da figura mostra uma onda luminosa em dois meios com índices de refração diferentes. A interface que separa os meios encontra-se na coordenada x = 0. O meio com índice de refração n1 = 1,0 ocupa a região x < 0 e o meio com índice de refração n2 ocupa a região x > 0.

Analisando o gráfico, é possível afirmar que o índice de refração n2 é a) 2,0. b) 1,8. c) 1,5. d) 1,3. e) 1,2. Resolução c c I) Sabemos que n = –– ⇒ V = –– (1) n V e que V = ␭ f (2) c c De (1) e (2): ␭f = –– ⇒ f = –––– n ␭ n II)

Da figura ␭1 = 3 unid. e ␭2 = 2 unid. III) Na refração do meio (1) para o meio (2), a frequência da onda não se altera, logo: c c f2 = f1 ⇒ –––––– = –––––– ⇒ n2 ␭2 = n1 ␭1 n1 ␭1 n2 ␭2 n2 2 = 1,0 . 3 ⇒ n2 = 1,5 Resposta: C 13. (UNIP) – Uma onda se propaga na água contida em um tanque com velocidade de módulo 2,0m/s e a distância entre as cristas sucessivas e de 0,50m. Em seguida, a mesma onda, ainda se propagando no tanque, atinge uma região mais profunda e o módulo de sua velocidade torna-se igual a 4,0m/s e a distância entre as cristas sucessivas passa a valer D. Considere as seguintes proposições: I. A frequência da onda não se altera e vale 4,0Hz. II. A distância D vale 1,0m. Responda mediante o código: a) As duas proposições estão erradas. b) Apenas a proposição (I) é correta. c) Apenas a proposição (II) é correta. d) As duas proposições são corretas. e) Se a proposição (I) for correta, a proposição (II) é falsa. Resolução Na região mais rasa do tanque, a frequência da onda fica determinada por: V1 = ␭1f1 ⇒ 2,0 = 0,50 f1 ⇒ f1 = 4,0Hz Na região mais profunda do tanque a frequência da onda não se altera (f2 = f1 = 4,0Hz; na refração, a frequência da onda permanente constante) e o comprimento de onda ␭2 = D pode ser obtido por: V2 = ␭2f2 ⇒ V2 = Df2 ⇒ 4,0 = D 4,0 ⇒ D = 1,0m (I) Correta; (II) Correta Resposta: D

Módulo 19 – Lentes Esféricas I – Construções Gráficas 1. (FUND. UNIV. DE ITAÚNA) – Um feixe de luz paralelo penetra num orifício de uma caixa, saindo por outro orifício da maneira mostrada na figura. Sabendo-se que o elemento é colocado da maneira mostrada, no meio da caixa, o elemento óptico usado é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 No meio da caixa, há um dos 5 elementos ópticos a seguir: 1: Lente Convergente 4: Espelho Convexo 2: Lente Divergente 5: Espelho Plano 3: Lâmina de Faces Paralelas

234 –

2. (CESGRANRIO) – Um estudante deseja queimar uma folha de papel concentrando, com apenas uma lente, um feixe de luz solar na superfície da folha. Para tal, ele dispõe de 4 lentes de vidro, cujos perfis são mostrados a seguir.

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a) Copie esta figura em seu caderno de respostas. Em seguida, localize a imagem A’B’ do objeto, fornecida pela lente, traçando a trajetória de, pelo menos, dois raios incidentes, provenientes de A. b) A imagem obtida é real ou virtual? Justifique sua resposta. 6. Na figura a seguir, notamos um objeto real e a correspondente imagem produzida por uma lente esférica delgada. Para conseguir seu intento, o estudante poderá usar as lentes a) I ou II somente. b) I ou III somente. c) I ou IV somente. d) II ou III somente. e) II ou IV somente. 3. (UFF) – Raios luminosos paralelos ao eixo principal incidem sobre uma lente plano-convexa de vidro imersa em ar. Dentre as opções a seguir, assinale aquela que melhor representa o trajeto desses raios ao atravessar a lente.

a) Qual o comportamento óptico da lente? b) Obtenha graficamente o centro óptico, os focos principais (objeto e imagem) e os pontos antiprincipais (objeto e imagem). 7. (UFSM-RS) – A figura representa um objeto colocado sobre o foco imagem principal de uma lente delgada divergente.

4. (UERJ) – Um estudante possui uma lente convergente de 20 cm de distância focal e quer queimar uma folha de papel usando essa lente e a luz do Sol.

A imagem formada será a) virtual, direta e menor. c) real, direta e menor. e) real, invertida e maior.

b) virtual, invertida e maior. d) real, direta e maior.

8. (UNICAMP) – Na figura abaixo, i é um raio de luz que incide numa lente delgada cujo eixo principal é N1N2 e r é o correspondente raio refratado. Refaça a figura e mostre como podem ser determinados graficamente os focos da lente.

Para conseguir seu intento de modo mais rápido, a folha deve estar a uma distância da lente igual a: a) 10 cm b) 20 cm c) 40 cm d) 60 cm e) 80 cm 5. (VUNESP) – A figura mostra um objeto AB, uma lente convergente L, sendo utilizada como lupa (lente de aumento), e as posições de seus focos, F e F’.

Módulo 20 – Lentes Esféricas II – Equação de Gauss e Aumento Linear 1. (CESGRANRIO) – Um objeto real é colocado perpendicularmente ao eixo principal de uma lente convergente de distância focal f. Se o objeto está a uma distância 3f da lente, a distância entre o objeto e a imagem conjugada por essa lente é: a) f/2 b) 3f/2 c) 5f/2 d) 7f/2 e) 9f/2 2. (VUNESP) – Sobre o eixo de uma lente convergente, de distância focal 6,0 cm, encontra-se um objeto, afastado 30 cm da lente. Nessas condições, a distância da imagem à lente será:

– 235

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a) 3,5 cm d) 6,5 cm

b) 4,5 cm e) 7,5 cm

c) 5,5 cm

3. (PUCC) – Um objeto real é disposto perpendicularmente ao eixo principal de uma lente convergente, de distância focal 30 cm. A imagem obtida é direita e duas vezes maior que o objeto. Nessas condições, a distância entre o objeto e a imagem, em cm, vale a) 75 b) 45 c) 30 d) 15 e) 5,0 4. (UFF-RJ) – Sobre o eixo óptico de uma lente delgada convergente, e muito afastado dela, é colocado um objeto real e pontual. A imagem deste objeto, formada pela lente, situa-se a 6,0cm dela. Colocando-se agora este objeto a 18,0 cm da lente (ainda sobre o seu eixo óptico), a nova imagem estará situada a uma distância da lente aproximadamente igual a: a) 3,0 cm b) 4,5 cm c) 9,0 cm d) 12,0 cm e) 24,0 cm 5. (CEFET-PR) – Uma equipe de alunos obtém imagens reais da chama de uma vela. Coletando os dados sobre a distância x da vela à lente e a distância y da lente ao anteparo, obtiveram o diagrama representado abaixo.

8. (U.F.UBERLÂNDIA-MG) – Um objeto AB encontra-se diante de uma lente divergente, como mostra a figura.

Analise as afirmativas seguintes e indique aquela que está correta: a) A distância da imagem à lente é 12 cm. b) O aumento fornecido pela lente é 3. c) O tamanho da imagem é 30 cm. d) A lente divergente fornece sempre uma imagem invertida e menor do que o objeto, qualquer que seja a posição deste sobre o eixo principal da lente. e) A lente divergente fornece sempre uma imagem virtual, qualquer que seja a posição do objeto real sobre o eixo principal da lente. 9. (UFES) – Um objeto de altura AB = 10 cm é colocado a uma distância de 20 cm de uma lente. Verifica-se a formação de uma imagem virtual do objeto, com altura A’B’ = 5,0 cm. a) Qual a distância da imagem à lente? b) Qual a distância focal e o tipo de lente? 10. (FUVEST) – Uma lente L é colocada sob uma lâmpada fluorescente AB cujo comprimento é AB = 120 cm. A imagem é focalizada na superfície de uma mesa a 36 cm da lente. A lente situa-se a 180 cm da lâmpada e o seu eixo principal é perpendicular à face cilíndrica da lâmpada e à superfície plana da mesa. A figura abaixo ilustra a situação.

A partir dele, podemos afirmar que a distância focal da lente usada vale, em m: a) 5,0 b) 2,5 c) 1,0 d) 0,20 e) 0,10 6. (FATEC) – Na figura abaixo estão esquematizados sobre o eixo dos x um objeto AB, de 12 cm de altura, e sua imagem A’B’, de 36 cm de altura, conjugada por uma lente cujo centro óptico está sobre o eixo dos x:

Determine a) a posição da lente; b) a sua distância focal. 7. (UNICAMP) – Um sistema de lentes produz a imagem real de um objeto, conforme a figura. Calcule a distância focal e localize a posição de uma lente delgada que produza o mesmo efeito.

Pedem-se: a) a distância focal da lente; b) o comprimento da imagem da lâmpada e a sua representação geométrica. Utilize os símbolos A’ e B’ para indicar as extremidades da imagem da lâmpada.

Módulo 21 – Lentes Esféricas III – Vergência e Equação de Halley 1. (PUC-RJ) – Nas figuras abaixo, o objeto O é colocado a uma mesma distância de duas lentes convergentes, L1 e L2. Um raio luminoso incide paralelamente sobre o eixo principal das lentes.

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9. (U.E. LONDRINA) – Duas lentes delgadas convergentes, de distâncias focais f1 e f2, estão a uma distância d, uma da outra. Um feixe de raios paralelos incide na primeira lente e origina um feixe de raios, também paralelos, conforme mostra o esquema.

Sabendo-se que b > a, a respeito das vergências V1 e V2, das lentes L1 e L2, respectivamente, pode-se afirmar que: a) V2 > V1 b) V2 = V1 c) V2 < V1 d) V2 = 2V1 e) V2 = V1/2 2. (UEL-PR) – Uma lente tem distância focal de 40 cm. A vergência (convergência) dessa lente, em dioptrias (m–1), é de: a) 0,40 b) 2,5 c) 4,0 d) 25 e) 40

Assim, é correta a relação: a) f1 + f2 = d b) f1 + 2f2 = d d) f1 – f2 = d e) f1 – f2 > d

3. (FEI) – De um objeto real, uma lente delgada fornece imagem real, invertida e de mesmo tamanho. Sabendo-se que a distância entre objeto e imagem é d = 4,0 m, a vergência da lente é, em dioptrias: a) +1,0 b) –1,0 c) +0,25 d) +2,0 e) –2,0

10. (UEL) – Um raio de luz r1 incide num sistema de duas lentes convergentes, L1 e L2, produzindo um raio emergente r2, conforme indicações e medidas do esquema abaixo.

c) f1 + f2 > d

4. (FEI) – Uma lente convergente possui vergência V = 25 di. Um objeto é colocado a 5,0 cm da lente. O aumento linear transversal da lente é, em valor absoluto: a) 1/4 b) 1/2 c) 1,0 d) 2,0 e) 4,0 5. (PUC-RJ) – Para se determinar a vergência de uma lente delgada convergente: I. Varia-se a distância do objeto à lente, até obter sobre um anteparo uma imagem do mesmo tamanho que o objeto. II. O objeto estava localizado perpendicularmente ao eixo principal da lente. III. A distância entre o objeto e a sua imagem foi determinada e o seu valor foi de 80 cm. Com as informações obtidas, pedem-se a) Obter graficamente a imagem formada pela lente. b) Determinar a vergência da lente.

As distâncias focais das lentes L1 e L2 são, respectivamente, em cm, iguais a a) 16 e 4,0 b) 15 e 5,0 c) 6,0 e 14 d) 5,0 e 15 e) 3,0 e 2,0 11. (UNICAMP) – A figura adiante representa um feixe de luz paralelo, vindo da esquerda, de 5,0 cm de diâmetro, que passa pela lente A, por um pequeno furo no anteparo P, pela lente B e, finalmente, sai paralelo, com um diâmetro de 10 cm. A distância do anteparo à lente A é de 10 cm.

6. (EFOMM) – Uma lente de cristal com índice de refração absoluto igual a 1,5 é usada por uma pessoa para enxergar um certo objeto. Sabe-se que a lente é usada no ar e é formada por duas faces: uma côncava (raio = 1,0m) e outra convexa (raio = 20cm). Qual é o “grau” (número de dioptrias) desta lente? 7. (AMAN) – Uma lente delgada, convergente, biconvexa, de índice de refração 1,5 em relação ao meio que a envolve, tem superfícies esféricas de raios 4,0 cm e 6,0 cm. A distância focal da lente vale a) 2,4 cm b) 3,6 cm c) 4,8 cm d) 7,2 cm e) 10,0 cm 8. (UE-CE) – Uma lente delgada biconvexa de faces esféricas, com raios de curvatura R1 = 10 cm e R2 = 40 cm, tem índice de refração n = 1,4 em relação ao ar. Qual a distância relativa à lente em que deve aparecer a imagem de um objeto colocado a 40 cm dela, sobre o eixo óptico?

a) Calcule a distância entre a lente B e o anteparo. b) Determine a distância focal de cada lente (incluindo o sinal negativo no caso de a lente ser divergente). 12. (PUC-RJ) – Um estudante monta um dispositivo composto de uma lente (L) biconvexa e um espelho convexo (E), de acordo com o esquema a seguir. Nesse esquema, são representadas as trajetórias de dois raios luminosos que incidem paralelamente ao eixo principal comum à lente e ao espelho.

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6. (VUNESP) – Uma pessoa apresenta deficiência visual, conseguindo ler somente se o livro estiver a uma distância de 75 cm. Qual deve ser a distância focal dos óculos apropriados para que ela consiga ler, com o livro colocado a 25 cm de distância?

Com base nele, é correto afirmar que o raio de curvatura do espelho vale, em centímetros: a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80

Módulo 22 – Óptica da Visão 1. (PUC-SP) – Os esquemas correspondem a um olho míope (1) e um olho hipermetrope (2).

7. (VUNESP) – Uma pessoa normal deve ser capaz de perceber um objeto com nitidez a uma distância de 25 cm. Que tipo de lente deve ser usado e qual a distância focal dessa lente para tornar normal a visão de uma pessoa hipermetrope que consegue ver, com nitidez, apenas objetos situados a mais de 125 cm?

Módulo 23 – Equação Fundamental da Ondulatória 1. (UFMG) – Esta figura mostra parte de duas ondas, I e II, que se propagam na superfície da água de dois reservatórios idênticos.

As lentes corretivas devem ser, respectivamente, para (1) e (2), a) divergente e convergente. b) divergente e divergente. c) biconvexa e bicôncava. d) convergente e divergente. e) convergente e convergente. 2. (UEPG-PR) – O olho humano pode ser considerado um conjunto de meios transparentes, separados um do outro por superfícies sensivelmente esféricas, que podem apresentar alguns defeitos tais como miopia, daltonismo, hipermetropia etc. O presbiopismo é causado por a) achatamento do globo ocular. b) alongamento do globo ocular. c) ausência de simetrias em relação ao eixo ocular. d) endurecimento do cristalino. e) insensibilidade ao espectro eletromagnético da luz. 3. (MED.-ARARAS) – Uma pessoa não pode ver com nitidez objetos situados a mais de 50 cm de seus olhos. O defeito de visão dessa pessoa e a vergência das lentes que ela deve usar para corrigir tal defeito correspondem, respectivamente, a: a) miopia, 2,0 di; b) hipermetropia, –2,0 di; c) miopia, –2,0 di; d) astigmatismo, 0,50 di; e) miopia, –0,50 di.

Com base nessa figura, pode-se afirmar que a) a frequência da onda I é menor do que a da onda II, e o comprimento de onda de I é maior que o de II. b) as duas ondas têm a mesma amplitude, mas a frequência de I é menor do que a de II. c) as duas ondas têm a mesma frequência, e o comprimento de onda é maior na onda I do que na onda II. d) os valores da amplitude e do comprimento de onda são maiores na onda I do que na onda II. e) os valores da frequência e do comprimento de onda são maiores na onda I do que na onda II. 2. (UFMG) – Um menino caminha pela praia arrastando uma vareta. Uma das pontas da vareta encosta na areia e oscila, na direção transversal à direção do movimento do menino, traçando no chão uma curva na forma de uma onda, como mostra a figura.

4. (FUVEST) – O ponto remoto corresponde à maior distância que pode ser focalizada na retina. Para um olho míope, o ponto remoto, que normalmente está no infinito, fica bem próximo dos olhos. a) Que tipo de lente o míope deve usar para corrigir o defeito? b) Qual a distância focal de uma lente para corrigir a miopia de uma pessoa cujo ponto remoto se encontra a 20 cm do olho? 5. (POUSO ALEGRE-MG) – A receita de óculos para um míope indica que ele deve usar “lentes de 2,0 graus”, isto é, o valor de convergência das lentes deve ser –2,0 dioptrias. O que podemos concluir sobre as lentes desses óculos?

238 –

Uma pessoa observa o menino e percebe que a frequência de oscilação da ponta da vareta encostada na areia é de 1,2Hz e

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que a distância entre dois máximos consecutivos da onda formada na areia é de 0,80m. A pessoa conclui então que o módulo da velocidade do menino é igual a: a) 0,48m/s b) 0,67m/s c) 0,80m/s d) 0,96m/s e) 1,5m/s 3. (UFRJ) – Um trem de ondas periódicas, de comprimento de onda ␭ = 100m, propaga-se no oceano com uma velocidade de módulo 25m/s.

Calcule quanto tempo leva o bote de um náufrago, à deriva, para executar uma oscilação completa.

Se o intervalo de tempo que separa duas ondas sucessivas é 2,5s, o módulo da velocidade de propagação dessas ondas vale: a) 50cm/s b) 25cm/s c) 8,0cm/s d) 4,0cm/s e) 2,0cm/s 7. O estudante Leandro observa uma torneira com defeito, que pinga 30 gotas por minuto na água de um tanque. Na superfície do líquido, formam-se ondas circulares cujas cristas distam 3,0cm uma da outra. Utilizando o Sistema Internacional de Unidades, responda às seguintes perguntas e justifique suas respostas.

4. (UFPE) – Na figura abaixo, cada crista de onda gasta 4,0s para ir de A até B. Esta informação se refere às três proposições a seguir:

I. O comprimento de onda vale 0,12m. II. A frequência é de 2,5Hz. III. O módulo da velocidade de propagação das ondas é 0,35m/s. Responda mediante o código: a) Se todas forem corretas. b) Se todas forem incorretas. c) Se somente (I) e (II) forem corretas. d) Se somente (I) e (III) forem corretas. e) Se somente (II) e (III) forem corretas.

a) Qual é o período das ondas que se propagam na água do tanque? b) Qual o módulo da velocidade de propagação dessas ondas? 8. A figura a seguir representa a variação do campo elétrico de uma onda eletromagnética no vácuo em certo ponto do espaço. Os instantes em que o campo elétrico se anula estão indicados em microssegundos. O módulo da velocidade de propagação dessa onda é c = 3,0.108m/s.

5. Na figura I, tem-se uma corda esticada, de comprimento ––– AB = 2,0m, em repouso, fixa em B. No instante t0 = 0, uma fonte F começa a produzir em A ondas senoidais. A figura II mostra o perfil da corda no instante t = 0,050s, quando a primeira frente de onda produzida por F atinge o ponto B. Pode-se afirmar, para essas ondas, que A frequência da onda e o seu comprimento de onda valem, respectivamente: a) 250kHz e 7,5 . 1014m b) 5,0MHz e 60m c) 2,5 MHz e 120m d) 0,40Hz e 7,5 . 108m e) 250MHz e 120m

a) b) c) d) e)

o comprimento de onda é 0,125m. o período é 0,50s. as ondas são longitudinais. o módulo da velocidade de propagação é 100m/s. a frequência é 80Hz.

6. Movimenta-se periodicamente, para frente e para trás, a extremidade de uma mola helicoidal e, devido a isso, ondas de compressão propagam-se, sem dissipação de energia.

9. Uma rádio FM de São Sebastião do Paraíso (MG) transmite na frequência de 100MHz. A distância percorrida pelas ondas dessa emissora, em termos do comprimento de onda ␭, durante 0,80 milionésimos de segundo, é igual a: a) 0,80␭ b) 8,0␭ c) 80␭ d) 8,0.102␭ e) 8,0.103␭ 10. O famoso fotógrafo, o Sr. Kod Akk, enquadrou em sua câmara um trecho de uma corda por onde se propagavam ondas senoidais. A foto obtida, copiada na escala 1/10, está representada a seguir.

– 239

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13. (FOVESTÃO) – Um vibrador, operando com frequência igual a f, perturba a superfície tranquila da água de um tanque num dado ponto O, produzindo um trem de ondas circulares. Essas ondas, ao se propagarem, atingem uma pequena boia situada a 2,0m do ponto O, em um intervalo de tempo de 0,50s depois de terem sido emitidas pelo vibrador. Se a distância entre uma crista e um vale consecutivos das ondas é igual a 10cm, o valor de f, em hertz, é: a) 5,0 b) 10 c) 20 d) 40 e) 80

Sabendo que o módulo da velocidade das ondas era de 4,0m/s, responda: a) Qual a sua amplitude? b) Qual a sua frequência? 11. A figura mostra uma onda senoidal propagando-se para a direita em uma corda, com velocidade de módulo 12m/s. O ponto P, ao ser atingido pela onda, leva 3,0 . 10–2s para retornar pela primeira vez à posição inicial.

O comprimento dessa onda é: b) 2,0 . 10m a) 2,5 . 10–3m d) 7,2 . 10–1m e) 1,8 . 10–1m

14. Ondas periódicas propagam-se na superfície da água. Um observador em repouso registra a passagem de uma crista de onda a cada 0,50s. Quando o observador se move no sentido contrário ao da propagação das ondas, com velocidade de 12cm/s, observa a passagem de uma crista de onda a cada 0,20s. Com base nesses dados, calcule o comprimento de onda das ondas. 15.(FUVEST) – Uma jovem, repousando à margem de um canal, observa uma garrafa levada pela correnteza com velocidade Vg e um barquinho B preso às margens por fios fixados nos pontos M e N. No canal, propaga-se uma onda com velocidade V0 > Vg no mesmo sentido que a correnteza. Todas as velocidades são medidas em relação à jovem. A distância entre cristas sucessivas da onda, representadas no desenho por C1, C2 e C3, é ␭.

c) 3,6 . 10–1m

12. Considere um pulso senoidal de dimensões conhecidas propagando-se com velocidade constante ao longo de uma corda elástica, conforme ilustra a figura a seguir:

A jovem vê então a garrafa e o barquinho oscilando para cima e para baixo com frequências fg e fB, que valem: v0 + vg v0 a) fg = –––––––– e fB = –––– ␭ ␭ v0 – vg v0 + vg b) fg = –––––––– e fB = –––––– –– ␭ ␭ v0 v0 – vg c) fg = –––– e fB = –––––––– ␭ ␭ v0 – vg v0 d) fg = –––––––– e fB = –––– ␭ ␭ v0 v0 e) fg = –––– e fB = –––– ␭ ␭

Responda: a) Que tipo de movimento apresentará o ponto P da corda durante a passagem do pulso? b) Qual a distância percorrida pelo ponto P, devido à passagem do pulso? c) Se o módulo da velocidade de propagação do pulso é 3,2m/s, quanto tempo o ponto P gasta para percorrer 5,0cm?

240 –

Módulo 24 – Reflexão e Refração de Ondas 1. Dois pulsos iguais propagam-se numa corda, com velocidades de intensidade V, no mesmo sentido, conforme a figura, que retrata o instante t0 = 0.

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A distância do ponto em que se dá a primeira superposição à extremidade fixa é: a a) –– 2 b–a d) –––––– 2

b b) –– 2

a+b c) –––––– 2

e) b – a

2. No esquema, representa-se no instante t0 = 0 um pulso reto AB, de largura de 2,0m, que se propaga na superfície da água de um tanque com velocidade de módulo 50cm/s rumo a uma borda reta S.

Sabendo-se que M é o ponto médio de AB, represente o pulso nos instantes: a) t1 = 3,0s; b) t2 = 5,0s. 3. (FUVEST) – Um canal de navegação de 4,0m de largura tem suas comportas semi-abertas, como está indicado na figura. Ondas retas propagam-se na superfície da água do canal, com velocidade de módulo igual a 2,0m/s.

a) Depois de quanto tempo essa crista atingirá o ponto P, após ser refletida na parede? b) Esboce a configuração dessa crista quando passa por P. 5. Deixa-se cair uma pedrinha num ponto P da superfície tranquila da água de um tanque.

A figura mostra a posição do ponto P em relação à borda mais próxima. a) Dê as características qualitativas da onda que surge na superfície da água devido ao impacto da pedrinha. b) Se as perturbações se propagam na superfície da água com velocidade de módulo igual a 20cm/s, desenhe a onda 3,0s depois de ter sido provocada. 6. A figura representa, vista de cima, uma piscina quadrada ABCD cujas bordas medem 6,0m de comprimento.

Considere uma crista AB, na posição indicada na figura, no instante t = 0. Esboce a configuração dessa crista depois de decorrido 1,5s, indicando a distância, em metros, entre seus extremos A’ e B’, nesta configuração (despreze efeitos de difração).

No instante t0 = 0, uma pedrinha atinge o ponto O da superfície da água, o que provoca uma onda circular que se propaga com velocidade de módulo 1,5m/s. Pede-se representar a onda no instante t1 = 2,0s.

4. (FUVEST) – Ondas retas propagam-se na superfície da água com velocidade de módulo igual a 1,4m/s e são refletidas por uma parede plana vertical, na qual incidem sob o ângulo de 45°. No instante t0 = 0, uma crista AB ocupa a posição indicada na figura.

7. Um caminhão afasta-se de um emissor-receptor de pulsos sonoros. Em dado instante, emite-se um pulso que se reflete no para-choque e na cabina do caminhão, retornando, respectivamente, após 2,00s e 2,08s. Sendo de 13m a distância entre o

– 241

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para-choque e a cabina, determine a velocidade do caminhão. Dado: módulo da velocidade do som no ar = 340m/s.

a) a frequência das ondas nas regiões 1 e 2; b) o comprimento de onda e o módulo da velocidade das ondas na região 2. (Considerar, se necessário, sen 53° = 0,80 e sen 37° = 0,60.) 11.

8. Uma luz monocromática propagando-se no vácuo, com um comprimento de onda ␭= 6 000Å (1Å = 10–10m), incide sobre um vidro de índice de refração absoluto n = 1,5 para este comprimento de onda. (Considere o módulo da velocidade da luz no vácuo como sendo de 300 000km/s.) Determine a) a frequência da luz no interior do vidro; b) o módulo da velocidade de propagação e o comprimento de onda da luz no interior do vidro. 9. Na figura a seguir, estão representadas as frentes de uma onda periódica que se propaga na superfície da água contida em uma cuba de ondas, utilizada em laboratório. Entre as regiões (1) e (2), há diferença de profundidade da cuba, o que implica o fenômeno da refração. O módulo da velocidade da onda na região (1) é de 2,0m/s.

a) Qual a frequência da onda nas regiões (1) e (2)? b) Qual o módulo da velocidade da onda na região (2)? 10. O esquema abaixo representa, visto de cima, a superfície da água de uma cuba de ondas. Na região 1 (maior profundidade), são geradas ondas retas, que passam para a região 2 (menor profundidade).

Sabendo-se que na região 1 o comprimento de onda e o módulo da velocidade das ondas valem, respectivamente, 10cm e 20cm/s, determinar

242 –

(PUC)

a) Uma onda sonora e uma onda luminosa monocromática, após se propagarem no ar, sofrem refração ao passarem do ar para o vidro. Esquematize as trajetórias no vidro, justificando. b) Se a onda sonora tiver frequência de 1,0kHz, qual será seu comprimento de onda no vidro? Ela continuará, nesse meio, a ser uma onda sonora? Justifique. Dados: Vsom = 5000m/s Vsom (15°C) = 340m/s vidro

ar

12. Um dos discos clássicos do rock, o álbum The Dark Side of the Moon, do grupo inglês Pink Floyd, lançado em 1973, traz em sua capa uma bonita figura da luz branca sendo decomposta em um prisma óptico, o que caracteriza o fenômeno da dispersão. Pelo que se conclui da ilustração, o prisma é de vidro (ou de material semelhante) e está imerso no ar.

Cada frequência do espectro da luz branca sofre um desvio diferente na travessia do prisma, permitindo a obtenção de um feixe policromático no qual se distinguem as cores fundamentais presentes, também, num arco-íris. A respeito do fenômeno da dispersão da luz no prisma, analise as alternativas abaixo e aponte a correta: a) A cor que mais se desvia é a violeta, pois ao refratar-se do ar para o vidro, sofre menor variação de velocidade de propagação que as demais cores. b) A cor que menos se desvia é a violeta, pois ao refratar-se do ar para o vidro e do vidro para o ar, sofre maior variação no comprimento de onda que as demais cores. c) O diferente desvio sofrido por cada uma das cores componentes do espectro da luz branca é determinado pelo índice de refração que o vidro apresenta para cada frequência, isto é, para a luz violeta ele apresenta maior índice de refração que para a luz vermelha. d) Na travessia do prisma, a cor de maior frequência sofre o menor desvio, enquanto a cor de menor frequência sofre o maior desvio. e) O desvio sofrido por cada uma das cores componentes do espectro da luz branca é determinado pela variação de frequência que cada uma delas sofre na refração do ar para o vidro e do vidro para o ar.

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ELETRICIDADE

FRENTE 3

Módulo 37 – Força Eletrostática – Lei de Coulomb

Dividindo membro a membro (1) por (2), vem:

1. Duas cargas puntiformes encontram-se no vácuo a uma distância de 10cm uma da outra. As cargas valem: Q 1 = 3,0 . 10 –8 C e Q2 = 3,0 . 10–9C. Determine a intensidade da força de interação entre elas. Resolução De acordo com a Lei de Coulomb, temos:

3Q2 K . –––– F d2 ––– = ––––––––– F’ Q2 K . –––– d2 Logo:

F ––– = 3 F’

F’= F/3

3. (MODELO ENEM) – Num laboratório de Física, o professor preparou para seus alunos o seguinte experimento: Duas pequenas esferas idênticas, 1 e 2, foram eletrizadas com cargas elétricas Q1 = +2Q e Q2 = –6Q. Separadas uma da outra por uma distância d1 = 2d, atraíram-se com uma força de intensidade F1. Essas esferinhas foram colocadas em contato e depois separadas, sendo fixadas a uma distância d2 = d uma da outra. Entre elas, surgiu então uma força de repulsão F2. A razão F1/F2 vale: a) 1/4 b) 3/4 c) 1 d) 4/3 e) 12 Resolução Inicialmente, tínhamos:

|Q1| |Q2| F = K0 –––––––– d2 Sendo: K0 = 9 . 109 (unidades SI) Q1 = 3,0 . 10–8C Q2 = 3,0 . 10–9 d = 10cm = 10 . 10–2m = 1,0 . 10–1m 3,0 . 10–8 . 3,0 . 10–9 Vem então: F = 9 . 109 ––––––––––––––––––– (N) (1,0 . 10–1)2 F = 8,1 . 10–5N 2. Assimilando as duas esferas a um ponto material para efeito do cálculo da força eletrostática de interação entre elas e separando A e B de uma distância d, a força eletrostática entre elas é F.

K . (2Q) . (6Q) K . Q1 . Q2 ⇒ F1 = –––––––––––– F1 = –––––––––––– (2d)2 d12 Fazendo o contato entre B e A e afastando-as de uma distância d, quanto vale a força eletrostática de interação entre ambas? Resolução Da figura dada inicialmente, temos: 3Q . |–Q| F = K . –––––––– d2

3Q2 F = K . ––––– d2

As esferinhas são colocadas em contato e adquirem uma mesma carga elétrica Qf, tal que: Qf + Qf = Q1 + Q2

(1)

2Qf = (+2Q) + (–6Q)

Fazendo contato, temos: (–Q) + 3Q 2Q qA = qB = –––––––––– = ––– 2 2

Qf = –2Q =Q

As esferinhas são então separadas e fixadas a uma distância d2 = d uma da outra.

Separando-as:

qA . qB Q.Q F’ = K . –––––––– = K . –––––– 2 d d2

3K Q2 F1 = ––––––– d2

Q2 F’ = K . ⎯⎯ d2

(2)

Assim, a nova força eletrostática terá intensidade F2 dada por:

– 243

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K . Qf . Qf K . 2Q . 2Q F2 = –––––––––––– ⇒ F2 = –––––––––––– 2 d d2 4K Q2 F2 = ––––––– d2 A razão entre as duas intensidades de força é: 3 KQ2 –––––– F1 F1 3 d2 –––– = ––––––––– ⇒ –––– = ––– 2 F2 F2 4 4 KQ –––––– 2 d

A partícula C exerce sobre B uma força elétrica de intensidade de 6,0 . 10–6N. Qual a intensidade da força elétrica resultante da ação de A e C sobre B? Resolução →

→

Sejam FCB e FAB as forças elétricas de repulsão que A e C exercem em B. Sendo FCB = 6,0 . 10–6N, concluímos que FAB = 4 . FCB = 24 . 10–6N, pois a distância AB é duas vezes menor do que BC.

Resposta: B

Módulo 38 – Força Eletrostática – Lei de Coulomb 4. (MODELO ENEM) – Coloumb buscava uma expressão matemática para a intensidade da força elétrica, em função da distância entre as esferinhas eletrizadas.

Sabiamente, usando uma “balança de torção” e duas esferinhas com cargas elétricas, idênticas, mediu a intensidade da força para diversas distâncias: Pôde então concluir que a intensidade da força elétrica é a) inversamente proporcional à distância. b) inversamente proporcional ao quadrado da distância. c) diretamente proporcional à distância. d) diretamente proporcional ao quadrado da distância. e) independente da distância. Resolução Observamos que a intensidade da força diminui com a distância. Se fosse inversamente proporcional à distância, na figura 2 seria F/2 e na figura 3 seria F/3 Observamos ainda que: (2d)2 = 4d2 ⇒ F/4 (3d)2 = 9d2 ⇒ F/9 Assim, a intensidade da força é inversamente proporcional ao quadrado da distância. Apenas lembrando: Q1 . Q2 (Lei de Coulomb) F = K ––––––– d2

A força elétrica resultante em B tem intensidade: Fresult = FAB – FCB

Fresult = 1,8 . 10–5N

Módulo 39 – Campo Elétrico 6. (UFAC) – Uma partícula com carga q = 3,0 . 10–2␮C é colocada em certo ponto do espaço onde o campo elétrico é 7,0 . 109 N/C; a intensidade do módulo da força elétrica sobre a partícula é de: a) F = 3,5 N b) F = 21 . 107 N c) F = 200 N d) F = 21 N e) F = 210 N Resolução F=q.E F = (3,0 . 10–2 . 10–6) . (7,0 . 109) (N) F = 21,0 . 10 (N) F = 210N Resposta: E 7. (UNIMONTES) – O gráfico abaixo representa a maneira como varia a intensidade do campo elétrico, que é gerado por uma carga pontual Q positiva, em função da distância. Determine a intensidade do campo a uma distância de 4,0cm da carga fonte. (K0 = 9,0 . 109 unidades SI) a) 6,0 . 103 N/C d) 1,5 . 104 N/C

b) 9,0 . 103 N/C e) 5,0 . 103 N/C

c) 1,2 . 104 N/C

Resposta: B 5. Três partículas com cargas elétricas idênticas estão alinhadas, como mostra a figura. Resolução |Q| Para d = 2,0cm ⇒ E1 = k0 –––– = 3,6 . 104N/C d2

244 –

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 = –––4   k –––– d

1 |Q| Para 2d = 4,0cm ⇒ E2 = k0 ––––– = –– 4 (2d )2 3,6 . 104 E2 = ––––––– (N/C) ⇒ 4

E1

|Q|

0

2

E2 = 9,0 . 103 N/C

Resposta: B 8. Retome a questão anterior. O valor da carga elétrica Q geradora do campo elétrico é: a) 0,16nC d) 1,6 . 102nC

b) 1,6nC e) 1,6nC

c) 16nC

No ponto O, o vetor campo elétrico resultante pode ser representado por:

Resolução

a)

Para:

b)

c)

d)

e)

Resolução Observemos que a distância entre cada carga e o ponto O é o raio da circunferência. As três têm o mesmo módulo. Logo

d = 2,0 cm = 2,0 . 10–2m ⇔ E = 3,6 . 104 N/C k0 = 9,0 . 109 unid. SI Q E . d2 E1 = k0 –––– ⇒ Q = –––––– 2 d k0

→ → → Q | E1 | = | E2 | = | E3 | = k ––– R

3,6 . 104 . (2,0 . 10–2)2 Q = ––––––––––––––––––– (C) 9,0 . 109

Construindo a figura com os três vetores em O:

Q = 1,6 . 10–9C ⇒ Q = 1,6nC Resposta: B

Módulo 40 – Campo Elétrico Resultante – Diversas Cargas 9. (VUNESP) – Na figura, o ponto P está equidistante das cargas fixas +Q e –Q, sendo Q > 0.

→ → Como E1 cancela E2, concluímos que:

→ → Eres = E2

Resposta: B

Módulo 41 – Potencial Elétrico e Energia Potencial Qual dos vetores indica a direção e o sentido do campo elétrico em P, devido a essas cargas? →

a) A

→

b) B

→

c) C

→

d) D

→

e) E

Resolução

Resposta: C 10. Na circunferência da figura, de centro O, foram colocadas três cargas elétricas +Q, –Q e +Q, respectivamente nas posições 1, 2 e 3. Admita que +Q seja positiva e –Q negativa.

11. (MACKENZIE-SP) – Na determinação do valor de uma carga elétrica puntiforme, observamos que, em um determinado ponto do campo elétrico por ela gerado, o potencial elétrico é de 18 kV e a intensidade do vetor campo elétrico é 9,0 kN/C. Se o meio é o vácuo (k0 = 9.109 N.m2/C2), o valor dessa carga é a) 4,0 ␮C b) 3,0 ␮C c) 2,0 ␮C d) 1,0 ␮C e) 0,5 ␮C Resolução Seja d a distância entre o ponto e a carga elétrica puntiforme. A intensidade do campo elétrico é dada por: Q E = k0 ––– d2



– 245

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Módulos 42 e 43 – Potencial Elétrico Gerado por Diversas Cargas

O potencial elétrico é dado por: Q V = k0 ––  d Das equações  e , temos:

13. (UECE) – N prótons, cada um de carga q, foram distribuídos aleatoriamente ao longo de um arco de círculo de 60° e raio r, conforme ilustra a figura.

V E 1 –– = –– ⇒ E . d = V ⇒ d = –– E V d 18 d = –––– (m) ⇒ d = 2,0m 9,0 Voltando-se à , temos: d.V Q 2,0 . 18 . 103 V = k0 –– ⇒ Q = ––––– ⇒ Q = ––––––––––– (C) k0 d 9,0 . 109 Q = 4,0 . 10–6C ⇒ Q = 4,0 ␮C Resposta: A

1 Considerando k = ––––– e o potencial de referência no infi4πε0

12. (UFJF) – A figura a seguir mostra um sistema de duas partículas puntiformes, A e B, em repouso, com cargas elétricas iguais a Q, separadas por uma distância r.

nito igual a zero, assinale a alternativa que contém o valor do potencial elétrico no ponto O devido a esses prótons. kqN kNq kNq 2kNq a) –––– b) –––– cos60° c) –––– d) ––––– cos30° r r r r Resolução Cada próton gera em O um potencial dado por: q V1 = k ––– r

Sendo K a constante eletrostática, pode-se afirmar que o módulo da variação da energia potencial da partícula B na presença da partícula A, quando sua distância é modificada para 2r, é: b) (KQ2)/(2r) c) (KQ)/(2r2) a) (KQ2)/(4r2) 2 2 d) (KQ)/(4r ) e) (KQ )/r Resolução A energia potencial do sistema dado pelo par de cargas Q1 e Q2 é dada por:

Os N prótons geram juntos um potencial resultante, em O, dado por: k Nq VO = N . V1 ⇒ VO = ––––– r Resposta: C 14. (UNESP) – A figura é a intersecção de um plano com o centro C de um condutor esférico e com três superfícies equipotenciais ao redor desse condutor.

Q1 . Q2 Wpot = K –––––– d Q. Q Q2 W1 = K –––––– = K –––– … (fig. 1) r r Q. Q Q2 W2 = K –––––– = K –––– … (fig. 2) 2r 2r Logo:

 KQ2r

2

KQ2 r

ΔW = W2 – W1 = –––– – –––– KQ2

ΔW = –––– 2r Resposta: B

246 –



Uma partícula de carga de 1,6 x 10–19 C é levada do ponto M ao ponto N. O trabalho realizado por um operador para deslocar essa carga sem variação de energia cinética foi de b) 16,0 x 10–19J c) 8,0 x 10–19J a) 3,2 x 10–20J d) 4,0 x 10–19J e) 3,2 x 10–18J

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Resolução O trabalho da força elétrica, para deslocar a partícula de carga q entre os pontos M e N é dado por: τMN = q (VM – VN) ⇒ τMN = 1,6 . 10–19 . (5,0 – 10) (J) τMN = –8,0 . 10–19J O teorema da energia cinética (TEC) nos dá: τoperador + τMN = εcin – εcin fi

in

0 τoperador = –τMN ⇒

τoperador = +8,0 . 10–19J

Resposta: C

Módulo 44 – Trabalho da Força Elétrica 15. Num campo elétrico, foram medidos os potenciais em dois pontos, A e B, e encontraram-se VA = 12V e VB = 5,0V. a) Qual o trabalho realizado pela força elétrica quando se transporta uma carga puntiforme de 1,8μC de A para B? b) Sabe-se que nesse transporte não houve variação da energia cinética da partícula. Determine o trabalho do operador. Resolução Ilustremos o campo e o transporte:

Durante uma experiência no laboratório de física do colégio, o professor abandonou em repouso uma partícula eletrizada num campo elétrico, a qual se deslocou espontaneamente de A para B sobre uma linha de força retilínea.

Sabemos que a diferença do potencial entre A e B é 2,0 . 104V e que a partícula tem carga elétrica q = 3,2 . 10–18C. A energia cinética adquirida pela partícula vale: a) 4,0 . 104 eV b) 4,0 . 105 eV c) 4,0 . 106 eV 4 5 d) 6,4 . 10 eV e) 6,4 . 10 eV Resolução q = 3,2 . 10–18C = 20 . 1,6 . 10–19C = 20e 14243 e (sendo e = 1,6 . 10–19C) (VA – VB) = 2,0 . 104 V O trabalho da força elétrica é igual ao incremento da energia cinética da partícula: τ = q (VA – VB) τ = ΔEcin

ΔE

cin

= q (VA – VB)

ΔEcin = (20e) . (2,0 . 104V) 5 ΔEcin = 40 . 104 eV ⇒ ΔEcin = 4,0 . 10 eV

Resposta: B

a)

Como sabemos: τAB = q(VA – VB) (I) em que: q = 1, 8μC = 1,8 . 10–6C Substituindo-se esses valores em (1), vem: τAB = 1,8 . 10–6 (12 – 5,0) J Da qual: τAB = 1,26 . 10–5J Levando-se em conta apenas dois algarismos significativos, vem: τAB  1,3 . 10–5J

b) Como não houve variação da energia cinética da partícula, temos: τoper = –τCE ⇒

τoper  –1,3 . 10–5J

Respostas: a) 1,3 . 10–5J

b) –1,3 . 10–5J

16. (MODELO ENEM) – Uma unidade de medida de energia muito utilizada em Física Nuclear é o eletronvolt (eV), e os múltiplos quiloeletronvolt (keV) e megaeletronvolt (MeV) são ainda mais usuais. Comparando o eletronvolt com a unidade de medida do Sistema Internacional, temos que 1 eV = 1,6 . 10–19 J.

Módulo 45 – Propriedades do Campo Elétrico: Linhas de Força e Equipotenciais 17. (VUNESP) – Considere uma região onde atua um campo elétrico uniforme. Sobre o potencial elétrico nessa região, afirma-se que: I. o valor absoluto do potencial elétrico de um ponto é numericamente igual ao trabalho realizado pela força elétrica para levar uma carga de prova unitária desse ponto até o infinito do campo, adotado como referencial; II. o potencial elétrico diminui quando se percorre uma linha de campo em sentido contrário ao de sua orientação; III. num campo elétrico, as linhas de campo são sempre perpendiculares às superfícies equipotenciais. É correto o contido em a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e III, apenas. d) II e III, apenas. e) I, II e III. Resolução I. CORRETA. τ = q . (VA – VB) VA = VP ; VB = V∞ = 0 ; q = 1 un τp,∞ = 1 (VP – 0) ⇒

V = τp,∞

II. ERRADA. O potencial decresce no sentido da linha de força (linha de campo).

– 247

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Módulo 46 – Condutor Isolado e Poder das Pontas

III. CORRETA. Esta é uma propriedade das linhas de campo.

19. Nas figuras que se seguem, representamos elementos condutores de eletricidade eletrizados e em equilíbrio eletrostático. Todos eles são ocos.

Resposta: C 18. (UNIFESP) – A figura representa a configuração de um campo elétrico gerado por duas partículas carregadas, A e B.

Assinale a linha da tabela que apresenta as indicações corretas para as convenções gráficas que ainda não estão apresentadas nessa figura (círculos A e B) e para explicar as que já estão apresentadas (linhas cheias e tracejadas). carga da carga da linhas cheias partícula A partícula B com setas

linhas tracejadas

a)

(+)

(+)

linha de força

superfície equipotencial

b)

(+)

(–)

superfície equipotencial

linha de força

c)

(–)

(–)

linha de força

superfície equipotencial

d)

(–)

(+)

superfície equipotencial

linha de força

e)

(+)

(–)

linha de força

superfície equipotencial

Resolução As linhas cheias representam as linhas de força do campo elétrico. Elas não são linhas fechadas e saem da carga elétrica positiva e aproximam-se da carga elétrica negativa. Conclusão: • A partícula A tem carga elétrica positiva. • A partícula B tem carga elétrica negativa. Por outro lado, as linhas tracejadas (fechadas) representam as equipotenciais. Aquelas que “circundam” a partícula A, positiva, representam potenciais positivos. Aquelas que circundam a partícula B, potenciais negativos. Resposta: E

248 –

A distribuição das cargas está corretamente representada a) nas três figuras b) apenas na figura 1 c) apenas na figura 2 d) somente nas figuras 1 e 3 e) somente nas figuras 2 e 3 Resolução Figura 1: cargas uniformemente distribuídas na superfície esférica; corretamente representada. Figura 2: errada; as cargas escoam para as pontas. Figura 3: correta; haverá maior densidade na região da direita. Resposta: D 20. (UFPB) – A figura abaixo representa uma esfera condutora homogênea positivamente carregada.

→

Sobre o módulo do campo elétrico ( E) gerado exclusivamente pelas cargas da esfera, nos pontos A (centro), B (externo, porém próximo da superfície) e C (exterior), como mostra a figura, é correto afirmar: a) EA < EB = EC, sendo EA = 0 b) EA < EC < EB, sendo EA = 0 c) EA = EC < EB d) EA = EB = EC e) EB < EA < EC Resolução Em A, ponto interno à superfície esférica, o campo elétrico é nulo.

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Em pontos externos à superfície esférica, temos: |Q| E = K0 . –––– d2 (1) A distância d da equação (1) se mede do centro da esfera ao ponto externo. Temos dB < dC ⇒ EB > EC Resumindo: EA < EC < EB, sendo que EA = 0 Resposta: B

2.o) O ponto B é externo e seu campo não é nulo. Como ele está próximo da superfície externa, o campo em B vale: Q EB = K0 ––– R2 3.o) O ponto C é externo e o campo em C é dado por: Q EC = K ––– d2 Comparando-se e : EB > EC

Módulo 47 – Esfera Eletrizada 21. O potencial elétrico de uma esfera, em relação ao infinito, é +4,5 . 103V. Ela está uniformemente eletrizada. O meio que a envolve é o vácuo e seu raio é R = 2,0m. Dado K0 = 9 . 109 Nm2/C2, determine sua carga elétrica. Resolução O potencial da esfera é aquele que ela apresenta em todos os Q seus pontos. Sua expressão é: V = K0 ––– R V.R Então: V . R = K0 . Q ⇒ Q = ––––– K0 3 Sendo: V = 4,5 . 10 volts

Sendo Q > 0, temos EB > EC > 0 Resposta: D

Módulo 48 – Capacitância e Energia Eletrostática 23. (MACKENZIE-SP) – Duas pequenas esferas metálicas idênticas, A e B, de capacitâncias iguais a 5,0 . 10–1 pF cada uma, estão eletrizadas com cargas de mesmo sinal. Quando a diferença de potencial elétrico entre elas é VA – VB = 10V, a diferença QA – QB, entre suas cargas elétricas é

R = 2,0m

a) 5,0 ␮C

K0 = 9 . 109 Nm2/C2, vem:

Resolução

4,5 . 103 . 2,0 Q = ––––––––––––– (C) 9 . 109

I)

Q = 1,0 . 10–6C ⇒

b) 10 nC

c) 5,0 nC

d) 10 pC

e) 5,0 pC

QA = CA . VA QB = CB . VB em que CA = CB = C (esferas idênticas)

Q = 1,0μC

22. (MODELO ENEM) – Condutores em equilíbrio eletrostático apresentam um potencial constante em todos os seus pontos. Consequentemente, a ddp entre eles é nula e também o campo elétrico nos pontos internos. A figura abaixo representa uma esfera condutora homogênea positivamente carregada.

QA – QB = C (VA – VB)  Sendo C = 5,0 . 10–1 . 10–12 F = 5,0 . 10–13 F VA – VB = 10V QA – QB = 5,0 . 10–13 . 10C = 5,0 . 10–12 C QA – QB = 5,0pC II) Outro modo mais simples: C = 5,0 . 10–1 pF Da equação (1), vem: (QA – QB) = (5,0 . 10–1) . (10) pC (QA – QB) = 5,0pC

→

Sobre o módulo do campo elétrico ( E) gerado, nos pontos A (centro), B (próximo da superfície externa) e C (exterior), pela carga da esfera, é correto afirmar: a) EA > EB > EC b) EA = 0; EB = 0; EC ≠ 0 c) EA = EB = EC ≠ 0 d) EA = 0; EB > EC > 0 e) EA = 0; EB = EC Resolução 1.o) Como o ponto A é interno à superfície da esfera, o campo elétrico é nulo nesse ponto: EA = 0

Resposta: E 24. (UFS-ES) – Duas esferas condutoras A e B de raios rA = 3,0cm e rB = 5,0cm estão no vácuo, eletrizadas com cargas QA = −2,0 . 10−6 C e QB = 6,0 .10−6 C, respectivamente. Analise as afirmações que seguem, considerando a constante eletrostática no vácuo igual a 9,0 . 109 S.I. (0) A capacitância eletrostática da esfera A vale, 3,0nF. (1) O potencial elétrico da esfera B, em relação a um referencial no infinito, vale 1,08 . 106 V.

– 249

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(2) Colocando as esferas em contato elas ficarão eletrizadas com cargas de 2,0 . 10−6 C cada uma. (3) Após o contato, o potencial elétrico de cada esfera, em relação ao potencial no infinito, será de 4,5 . 105 V. Estão corretas: a) todas b) apenas (0), (1) e (2) c) apenas (0); (2) d) apenas (1) e (3) e) apenas (3)

(1) CORRRETA k0 QB 9,0 . 109 . 6,0 . 10–6 VB = –––––––– = ––––––––––––––––– (volt) R 5,0 . 10–2 VB = 1,08 . 106V

(2) INCORRETA São raios diferentes Q’A ≠ Q’B

Resolução (0) INCORRETA Q C = –––– V K.Q V = –––––– R



(3) CORRETA Q C = ––––––––– KQ –––––– R

R ⇒ C = ––– K

Q’A + Q’B = QA + QB ⇒ Q’A + Q’B = + 4,0 . 10–6C



RA Q’A = CA . V = ––– . V K RB Q’B = CB . V = ––– . V K

No vácuo: k0 = 9,0 . 109 un. SI rA = 3,0cm = 3,0 . 10–2m 3,0 . 10–2 1 C = –––––––––– (F) ⇒ C = –– . 10 –11F 9,0 . 109 3

RA RB V ––– + ––– = + 4,0 . 10–6C K K



Substituindo e resolvendo, vem: V = 4,5 . 105 volts Resposta: D

C  0,33 . 10–11F  3,3pF

Módulo 37 – Força Eletrostática – Lei de Coulomb 1. Duas cargas puntiformes encontram-se no vácuo a uma distância de 10cm uma da outra. As cargas valem: Q 1 = 3,0 . 10 –8 C e Q2 = 3,0 . 10–9C. Determine a intensidade da força de interação entre elas. 2. (FUVEST) – Duas partículas, eletricamente carre gadas com + 8,0 . 10–6C cada uma, são colocadas no vácuo a

4. Tomadas duas cargas elétricas, no vácuo, à distância de 0,5m uma da outra, verificou-se uma força de interação (eletrostática) entre elas de módulo 9,0 . 10–1N. Conhecida uma das cargas, 5,0␮C, calcule a segunda. Admita ambas positivas.

Dado: K0 = 9 . 109 (unidades do SI)

N . m2 –––––– . A força de C2

5. (FUVEST) – Três objetos com cargas elétricas idênticas estão alinhados, como mostra a figura. O objeto C exerce sobre B uma força igual a 3,0 . 10–6N.

3. No vácuo, foram colocadas duas cargas elétricas idênticas com +4,0␮C cada uma, a uma distância de 4,0 x 10–3m. Sabendo que, no vácuo, a constante eletrostática vale 9,0 x 109 unidades SI, determine a intensidade da força eletrostática.

A força elétrica resultante dos efeitos de A e C sobre B tem intensidade de: a) 2,0 . 10–6N b) 6,0 . 10–6N –6 c) 12 . 10 N d) 24 . 10–6N –6 e) 30 . 10 N

uma distância de 30cm, onde K0 = 9 .

109

interação eletrostática entre essas cargas é a) de repulsão e igual a 6,4N. b) de repulsão e igual a 1,6N. c) de atração e igual a 6,4N. d) de atração e igual a 1,6N. e) impossível de ser determinada.

250 –

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6. (ITA) – Têm-se três pequenas esferas carregadas com cargas q1, q2 e q3. Sabendo-se que

1. 2. 3. 4. 5.

estas três esferas estão colocadas no vácuo, sobre um plano horizontal sem atrito. os centros dessas esferas estão em uma mesma horizontal. as esferas estão em equilíbrio nas posições indicadas na figura acima. a carga da esfera q2 é positiva e vale 2,7 . 10–4C. d1 = d2 = 0,12m

a) Quais os sinais das cargas q1 e q3? b) Quais os módulos de q1 e q3?

Módulo 38 – Força Eletrostática – Lei de Coulomb 1. (MACKENZIE) – Dois corpúsculos eletrizados com cargas elétricas positivas e idênticas estão situados no vácuo (k0 = 9.109 N.m2/C2) e distantes 1,0 cm um do outro. A intensidade da força de interação eletrostática entre eles é 3,6.102 N. A carga elétrica de cada um desses corpúsculos pode ser: a) 9 ␮C

b) 8 ␮C

c) 6 ␮C

d) 4 ␮C

e) 2 ␮C

4. (UFAM) – Três esferas de mesmo raio estão alinhadas como mostra a figura.

As esferas A e B são fixas e possuem a mesma carga elétrica +Q. A esfera C, inicialmente descarregada, pode mover-se ao longo do segmento AB, que mede 10cm. Aproximando-se C de A até que entrem em contato e, em seguida, fixando-a na posição indicada na figura, observa-se que, para d1 = 2cm, A e C repelem-se mutuamente com uma força de módulo igual a 2,00 . 10–6N. Nestas condições, podemos afirmar que a força resultante agindo sobre a esfera C, devido às cargas A e B, vale a) 1,75 . 10–6 N, para a esquerda b) 1,75 . 10–6 N, para a direita c) 2,25 . 10–6 N, para a direita d) 2,25 . 10–6 N, para a esquerda e) 2,5 . 10–6 N, para a direita 5. (FUVEST) – Pequenas esferas, carregadas com cargas elétricas negativas de mesmo módulo Q, estão dispostas sobre um anel isolante e circular, como indicado na figura I. Nessa configuração, a intensidade da força elétrica que age sobre uma carga de prova negativa, colocada no centro do anel (ponto P), é F1.

2. (FATEC) – A força de interação entre duas cargas puntiformes, Q1 e Q2, afastadas de uma distância d entre si, no vácuo, é dada pela Lei de Coulomb: Q1 Q2 F= k0 –––––– , na qual k0 é uma constante de valor d2 3 . 109 Nm2/C2. As cargas Q1 = 2Q e Q2 = 3Q se repelem no vácuo com força de 0,6N quando afastadas de 3m. O valor de Q, em C, é a) 12.10 –6

b) 10.10–6

d) 6.10 –6

e) 4.10 –6

c) 8.10 –6

3. (UFPE) – Duas cargas puntiformes positivas, 2Q e Q, encontram-se no vácuo distantes de 3L. Uma terceira carga puntiforme positiva q é colocada a respectivas distâncias 2L e L das cargas 2Q e Q (ver figura).

Denotando por k a constante elétrica do vácuo, a força elétrica resultante em q a) tem módulo kQq/(2L2) e sentido de q para Q. b) tem módulo kQq/L2 e sentido de q para Q. c) tem módulo kQq/(2L2) e sentido de q para 2Q. d) tem módulo kQq/L2 e sentido de q para 2Q. e) é nula.

Se forem acrescentadas sobre o anel três outras cargas de mesmo módulo Q, mas positivas, como na figura II, a intensidade da força elétrica no ponto P passará a ser a) zero b) (1/2)F1 c) (3/4)F1 d) F1 e) 2 F1

Módulo 39 – Campo Elétrico 1. Uma carga elétrica puntiforme Q = +4,0μC encontra-se no vácuo e isolada de outras cargas. Determine a intensidade do campo elétrico em um ponto P situado a 2,0mm dela. Dado: K0 = 9,0 x 109 unidades SI 2. (FCC) – Uma carga pontual Q, positiva, gera no espaço um campo elétrico. Num ponto P, a 0,5m dela, o campo tem intensidade E = 7,2 . 106N/C. Sendo o meio o vácuo, onde K0 = 9 . 109 unidades S.I., determine Q. a) 2,0 . 10–4 C

b) 4,0 . 10–4 C

d) 4,0 . 10–6 C

e) 2,0 . 10–2 C

c) 2,0 . 10–6 C

– 251

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3.

Considere as três figuras a seguir. Nelas, temos:

Q = carga elétrica puntiforme geradora do campo elétrico q = carga elétrica de prova →

F = força elétrica sobre a carga de prova Fig.1

→

Fig.2

E = vetor campo elétrico gerado pela "carga fonte" Q Analise cada figura e descubra o sinal das cargas elétricas q e Q.

2. Determine o módulo do campo resultante em P, gerado pelas cargas (+Q) e (–Q) da figura. O meio é o vácuo. Dados: K0 = 9,0 . 109 unidades S.I. Q = 4,0 . 10–8C 3.

Pode-se dizer que: I) Na figura (1): Q>0eq>0 II) Na figura (2): Q0 III) Na figura (3): Q q2 > 0 b) q2 > q1 > 0 d) q1 + q2 < 0 e) q1 = q2 > 0

c) q1 + q2 > 0

Módulo 41 – Potencial Elétrico e Energia Potencial 1. Uma carga elétrica puntiforme Q está fixa num determinado local. Para cada ponto P do espaço, próximo a ela, estão definidas duas grandezas físicas: o potencial (VP) e o → campo elétrico ( EP), que é uma grandeza vetorial.

A figura ilustra o texto anterior, na qual o vetor campo elétrico EP foi desenhado levando-se em conta o sinal da carga elétrica Q. Sabendo-se que o módulo do vetor campo elétrico vale 12N/C, determine o valor algébrico do potencial elétrico em P. ––– Dado: QP = 0,10m 2. Em um ponto P, a 1,0m de uma carga puntiforme Q, o potencial elétrico vale 7,2 . 104V. O meio é o vácuo, onde K0 = 9,0. 109 unidades SI. Podemos afirmar que: a) Q = –8,0μC b) Q = +8,0μC c) Q = –4,0μC d) Q = +4,0μC e) Q = +8,0nC 3. (UNESP) – Duas partículas de cargas Q1 e Q2 estão separadas por uma distância d e se atraem com força de intensidade F = 0,2N. Dado: k = 9 x 109 N.m2/C2. a) Determine a intensidade da força entre as cargas, se a carga Q2 tiver o seu valor dobrado e a distância entre as cargas for duplicada. b) Considerando Q1 = 4 x 10–8 C e d = 40 cm, calcule o potencial devido à carga Q1 no ponto médio entre Q1 e Q2.

5. (FUVEST) – Um sistema formado por três cargas puntiformes iguais, colocadas em repouso nos vértices de um triângulo equilátero, tem energia potencial eletrostática igual a U. Substitui-se uma das cargas por outra, na mesma posição, mas com o dobro do valor. A energia potencial eletrostática do novo sistema será igual a: 4 3 5 a) ––– b) ––– c) ––– 3 U 2 U 3 U d) 2U

e) 3U

Módulos 42 e 43 – Potencial Elétrico Gerado por Diversas Cargas 1. (MACKENZIE) – Duas cargas elétricas puntiformes, Q1 e –– Q2 , estão localizadas nos extremos de um segmento AB de 10cm, no vácuo.

É dado: K0 = 9,0 . 109 N. m2/C2 Calcule –– a) o potencial resultante em M, ponto médio do segmento AB. b) o potencial resultante em P, a 8,0cm de A e a 2,0cm de B. 2. (FUVEST) – Duas cargas –q distam a do ponto A, como indicado na figura.

4. (UNIP) – Considere uma partícula eletrizada fixa em um ponto P. Considere duas circunferências A e B com centro em P e tais que o raio de B é o dobro do raio de A. a) A que distância de A, sobre a reta Ax, devemos colocar uma carga +q para que o potencial eletrostático em A seja nulo? b) É este o único ponto do plano da figura em que a carga +q pode ser colocada para anular o potencial em A? Justifique a resposta. 3. Em relação ao campo elétrico gerado pela partícula eletrizada, sabemos que (1) o potencial elétrico em um ponto de A vale 16V. (2) a intensidade do vetor campo elétrico em um ponto de B vale 4,0N/C. Com as informações (1) e (2), podemos concluir que o raio da circunferência A vale: a) 2,0m b) 4,0m c) 0,25m d) 1,0m e) 0,50m

(F.M. VASSOURAS-MG) – Três vértices não consecutivos de um hexágono regular são ocupados por cargas elétricas pontuais. Duas destas cargas têm o mesmo valor q e a terceira vale Q. Sendo nulo o potencial elétrico no vértice A não ocupado por carga, é correto afirmar que:

a) Q = –q d) Q = –4q

b) Q = –2q e) Q = –6q

c) Q = –3q

– 253

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4. (FUVEST) – São dadas duas cargas elétricas pontuais, +Q e –Q, de mesmo módulo, situadas como mostra a figura. Sabe-se que o potencial no ponto A vale 5,0volts, considerando-se nulo o potencial no infinito.

de 6,0 mJ. A diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B desse campo elétrico é: a) 1,5 kV b) 3,0 kV c) 4,5 kV d) 6,0 kV e) 7,5 kV 3. (UNICAMP) – Considere o sistema de cargas na figura. As cargas Q estão fixas e a carga –q pode mover-se somente sobre o eixo x.

Determinar o trabalho realizado pelo campo elétrico quando se desloca uma carga pontual q = 1,0nC a) do infinito até o ponto A. b) do ponto A até o ponto O. 5. (FUVEST) – Duas pequenas esferas, com cargas positivas e iguais a Q, encontram-se fixas sobre um plano, separadas por uma distância 2a. Sobre esse mesmo plano, no ponto P, a uma distância 2a de cada uma das esferas, é abandonada uma partícula com massa m e carga q negativa. Desconsidere o campo gravitacional e efeitos não eletrostáticos. Solta-se a carga –q, inicialmente em repouso, em x = a. a) Em que ponto do eixo x a velocidade de –q é máxima? b) Em que ponto(s) do eixo x a velocidade de –q é nula? 4. (MACKENZIE) – Uma partícula eletrizada com carga q = 1,0μC e massa 1,0g é abandonada em repouso, no vácuo (K0 = 9 .109 N.m2/C2), num ponto A distante 1,0m de outra carga Q = 25μC, fixa. Determine, em função de Q, K, q, m e a, a) a diferença de potencial eletrostático V = VO – Vp, entre os pontos O e P. b) a velocidade v com que a partícula passa por O. c) a distância máxima Dmáx, que a partícula consegue afastar-se de P. Se essa distância for muito grande, escreva Dmáx = infinito. A força F entre duas cargas Q1 e Q2 é dada por F = K Q1 . Q2/r2, em que r é a distância entre as cargas. O potencial V criado por uma carga Q, em um ponto P, a uma distância r da carga, é dado por: V= K Q/r.

Módulo 44 – Trabalho da Força Elétrica 1. O trabalho desenvolvido pela força elétrica ao se transportar uma carga puntiforme q entre dois pontos de um campo elétrico gerado por uma carga puntiforme Q, afastada de qualquer outra, a) depende da trajetória seguida entre os dois pontos. b) independe da trajetória seguida entre os dois pontos. c) será sempre positivo. d) será sempre nulo. e) independe da posição dos dois pontos em relação à carga Q. 2. (MACKENZIE) – Ao abandonarmos um corpúsculo, eletrizado positivamente com carga elétrica de 2,0 ␮C, no ponto A de um campo elétrico, ele fica sujeito a uma força eletrostática que o leva para o ponto B, após realizar o trabalho

254 –

A velocidade da partícula, em m/s, quando passa pelo ponto B, distante 1,0m de A, é: a) 1,0 b) 5,0 c) 8,0 d) 10 e) 15

Módulo 45 – Propriedades do Campo Elétrico: Linhas de Força e Equipotenciais 1. Considere as figuras abaixo. As linhas cheias são “linhas de força” e as pontilhadas são “linhas equipotenciais”.

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Analise cada proposição que se segue: I. Na figura (1), os corpos (1) e (2) têm cargas positivas e negativas, respectivamente. II. Na figura (2), os corpos (3) e (4) têm cargas positivas. III. Na figura (1), os potenciais estão na seguinte ordem: VA < VB < VC IV. Na figura (2), os pontos M, N e P têm o mesmo potencial. Use, para a resposta, o código abaixo: a) Se todas forem verdadeiras. b) Se, apenas, I, II e IV forem verdadeiras. c) Se, apenas, I e II forem verdadeiras. d) Se, apenas, III for verdadeira. e) Se nenhuma for verdadeira. 2. (UnB) – A figura a seguir representa, na convenção usual, a configuração de linhas de forças associadas a duas cargas puntiformes, Q1 e Q2.

Podemos afirmar corretamente que a) Q1 e Q2 são positivas; b) Q1 e Q2 são negativas; c) Q1 é positiva e Q2, negativa; d) Q1 é negativa e Q2, positiva. 3. (FUVEST) – Duas pequenas esferas metálicas, A e B, são mantidas em potenciais eletrostáticos constantes, respectivamente, positivo e negativo. As linhas cheias do gráfico na folha de resposta representam as intersecções, com o plano do papel, das superfícies equipotenciais esféricas geradas por A, quando não há outros objetos nas proximidades. De forma análoga, as linhas tracejadas representam as intersecções com o plano do papel, das superfícies equipotenciais geradas por B. Os valores dos potenciais elétricos dessas superfícies estão indicados no gráfico.

NOTE/ADOTE Uma esfera com carga Q gera, fora dela, a uma distância r do seu centro, um potencial V e um campo elétrico de módulo E, dados pelas expressões: V = K (Q/r) E = K (Q/r2 ) = V/r K = constante; 1 volt / metro = 1 newton / coloumb a) Determine, em volt / metro, utilizando dados do gráfico, os módulos dos campos elétricos EPA e EPB criados, no ponto P, respectivamente, pelas esferas A e B. b) Estime o módulo do valor do trabalho τ, em joules, realizado quando uma pequena carga q = 2,0nC é levada do ponto P ao ponto S, indicados no gráfico. (2,0nC = 2,0 nanocoulombs = 2,0 x 10–9 C) 4. Quando abandonamos, em repouso, uma partícula eletrizada no interior de um campo eletrostático isolado: I. Se ela for positiva, deslocar-se-á para pontos de menor potencial. II. Se ela for negativa, deslocar-se-á para pontos de maior potencial. III. Durante seu movimento espontâneo, sua energia potencial diminuirá. IV. Durante seu movimento espontâneo, sua energia cinética aumentará. Use, para a resposta, o código abaixo: a) Se todas forem verdadeiras. b) Se, apenas, I, II e IV forem verdadeiras. c) Se, apenas, III e IV forem verdadeiras. d) Se, apenas, I for verdadeira. e) Se nenhuma for verdadeira. 5. (FEI) – Na figura, estão representadas algumas linhas de força e superfícies equipotenciais de um campo eletrostático uniforme. Qual o trabalho da força elétrica que atua em uma partícula de carga q = 4,0pC, positiva, que foi abandonada na superfície equipotencial A e deslocou-se espontaneamente até C?

Módulo 46 – Condutor Isolado e Poder das Pontas 1. Uma esfera imersa no vácuo tem potencial interno igual a 9000V. Seu raio é R = 0,2m. Dado: K0 = 9 . 109 unidades S.I. Determine sua carga elétrica. 2. (UNICAMP-SP) – Um material isolante passa a conduzir eletricidade quando submetido a campos elétricos superiores a um valor limite conhecido como “rigidez dielétrica”. A que potencial máximo se pode manter carregada uma esfera metálica de 2,0cm de raio, imersa no ar? Considere a esfera bem afastada de qualquer outro objeto e a rigidez dielétrica do ar igual a 3,0 . 106 N/C.

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3. (UNIP-SP) – Considere uma esfera A, metálica, oca, inicialmente neutra. No seu interior, é colocada uma esfera maciça B, condutora, eletrizada positivamente. As duas esferas são concêntricas com centro em O. Sabe-se que B tem raio RB e que A tem raios R1 (interno) e R2 (externo). Seja um ponto genérico P tal que x seja a distância dele ao centro O das esferas. O sistema é isolado do resto do universo. a) para x < R2, o campo elétrico é nulo. b) para x = 0, o campo e o potencial elétrico são nulos. c) para x = RB, o potencial elétrico não é nulo. d) para x > R2, o campo elétrico é nulo. e) para R1 < x < R2, o potencial elétrico é nulo. 4. Considere dois condutores metálicos, A e B, eletrizados, em equilíbrio eletrostático, próximos um do outro e interligados por um fio metálico.

Assinale a opção correta: a) cada um dos condutores, necessariamente, tem carga elétrica positiva; b) o condutor A, necessariamente, tem carga total positiva; c) os condutores A e B têm potenciais elétricos iguais; d) o potencial elétrico de A é maior que o de B; e) podem existir linhas de força do campo elétrico no interior do condutor A.

Módulo 47 – Esfera Eletrizada 1. Uma esfera imersa no vácuo tem potencial interno igual a 9000V. Seu raio é R = 0,2m. Dado: K0 = 9 . 109 unidades S.I. Determine sua carga elétrica. 2. (PUCC) – Uma esfera condutora de raio 40cm está no vácuo, eletrizada com carga elétrica de 4,0 . 10–6C e isolada de outros corpos eletrizados. Com relação ao ponto no infinito tomado como referencial, o potencial elétrico de um ponto P a 30cm do centro da esfera, em volts, vale a) 1,2 . 105 b) 9,0 . 104 c) 1,2 . 103 2 d) 9,0 . 10 e) zero Dado: Constante eletrostática do vácuo: k0 = 9,0.109N . m2/C2 3. Uma esfera no vácuo, de raio igual a 1,0m, é carregada com 1,0 . 10–3 coulomb de carga. Seu potencial elétrico, em volts, é igual a: a) 9,0 b) 9,0 . 102 c) 9,0 . 104 d) 9,0 . 106 e) 9,0 . 108 9 Adote K0 = 9 . 10 unidades S.I.

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4. (UFMG) – Uma esfera metálica de raio R = 0,50m é carregada a um potencial de 300V. A esfera ficará carregada com uma carga de: a) 1,7 . 10–8C. b) 8,3 . 10–5C. c) 5,0 C. 3 d) 3,8 . 10 C. e) 3,0 . 10–5C. Adote K0 = 9 . 109 unidades S.I. 5. (UFMG) – Com relação à questão anterior, as intensidades do campo elétrico nos pontos situados a 1,0cm e a 10cm do centro da esfera são, respectivamente: a) zero e zero. b) 1,0 . 105 V/m e 2,7 . 105 V/m. c) 2,7 . 105 V/m e 2,7 . 105 V/m. d) zero e 2,7 . 105 V/m. e) 5,4 . 104 V/m e 2,7 . 105 V/m.

Módulo 48 – Capacitância e Energia Eletrostática 1. Um condutor esférico no vácuo é ligado a um gerador eletrostático de 5000V, o qual lhe confere uma carga 10,0mC. Determinar a) sua capacidade eletrostática. b) seu raio. Dado: K0 = 9 . 109 un. S.I. 2. (PUCC-SP) – Se a Terra for considerada um condutor esférico (R = 6300km), situada no vácuo, sua capacitância, para K0 = 9 x 109 m/F, será, aproximadamente: a) 500μF b) 600μF c) 700μF d) 6300μF e) 700F 3. (PUC-SP) – Uma esfera metálica oca (A) e outra maciça (B) têm diâmetros iguais. A capacidade elétrica de A, no mesmo meio que B, a) depende da natureza do metal de que é feita. b) depende de sua espessura. c) é igual à de B. d) é maior que a de B. e) é menor que a de B. 4. Uma esfera de alumínio está carregada eletricamente a um potencial V = 5 000 volts acima do potencial da Terra. Sendo C a capacidade elétrica da esfera, conclui-se que sua carga é: a) V . C a mais do que a carga da Terra. b) V . C a mais do que ela teria se estivesse ligada à Terra. c) V . C a menos do que a carga da Terra. d) V/C a mais do que ela teria se estivesse ligada à Terra. e) C/V a mais do que ela teria se estivesse ligada à Terra. 5. (PUC-SP) – Duas esferas, A e B, de raios respectivamente iguais a rA e rB, sendo rA = 2rB, estão carregadas com cargas iguais. Chamando EA e EB as energias de descarga mediante uma ligação de A e B com o solo, respectivamente, podemos afirmar: 1 a) EA = EB b) EA = ––– EB c) EA = 4EB 2 d) EA = 2EB

1 e) EA = ––– EB 4