9º Ano - APOSTILA DE ATIVIDADES 21 07 2020

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Conteúdos 1. Identificação dos elementos de um triângulo retângulo; 2. Análise dos casos de semelhança e as relações métricas no triângulo retângulo; 3. Utilização da semelhança de triângulos para estabelecimento das relações métricas.

• Chamamos de catetos os menores lados do triângulo retângulo, e são eles que formam o ângulo de 90°. A altura relativa à hipotenusa, por sua vez, é a distância que há entre a hipotenusa e o vértice oposto, e o maior lado do triângulo, oposto ao ângulo de 90°, é a hipotenusa. As projeções dos catetos são as duas metades da altura relativa à hipotenusa. • Veja a imagem abaixo:

h

• Além dos elementos fundamentais do triângulo retângulo há outros essenciais que fomentam as relações métricas. • Veja na imagem: Nesse triângulo, observe que: A letra a é a medida da hipotenusa; As letras b e c são as medidas dos catetos; A letra h é a medida da altura do triângulo retângulo;

A letra n é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa; A letra m é a projeção do cateto BA sobre a hipotenusa.

• RELAÇÕES MÉTRICAS As relações métricas são equações que relacionam as medidas dos lados e de alguns outros segmentos de um triângulo retângulo. Vamos vê-las?

•

• Exemplo: Qual é a medida da diagonal de um retângulo cujo lado maior mede 20 cm e o lado menor mede 10 cm? • Solução: A diagonal de um retângulo divide-o em dois triângulos retângulos. Essa diagonal fica sendo a hipotenusa, como mostra a figura a seguir:

• Para calcular a medida dessa diagonal, basta usar o teorema de Pitágoras:

NOTA Assim, se for necessário descobrir a medida da hipotenusa conhecendo apenas as medidas das projeções, poderemos usar essa relação métrica.

Exemplo: • Um triângulo cujas projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 10 e 40 centímetros tem que altura? • SOLUÇÃO

h = 20 cm

• Exemplo Sabendo que a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 16 centímetros e que uma de suas projeções mede 4 centímetros, calcule a medida do cateto adjacente a essa projeção. • Solução: O cateto adjacente a uma projeção pode ser encontrado a partir de qualquer uma dessas relações métricas: c2 = am ou b2 = an, pois o exemplo não especifica o cateto em questão.

Assim:

• Exemplo: Qual é a área de um triângulo retângulo cujos lados possuem as seguintes medidas: 10, 8 e 6 centímetros? • Solução:

10 centímetros é a medida do maior lado, portanto, esse é a hipotenusa e os outros dois são catetos.

• Para encontrar a área, é necessário saber a altura, logo, usaremos essa relação métrica para encontrar a altura desse triângulo e depois calcularemos sua área.

a·h = b·c 10·h = 8·6 10·h = 48 h = 48 10 h = 4,8 centímetros.

A = 10·4,8 2 A = 48 2 A = 24 cm2

RELAÇÕES MÉTRICAS FUNDAMENTAIS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Essas são 4 das principais relações métricas no triângulo retângulo

• 1ª: O produto entre a hipotenusa a e a altura relativa à hipotenusa h é exatamente igual ao produto entre catetos b e c

• 2ª: O quadrado da altura relativa à hipotenusa h é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa m e n

3ª e 4ª: O quadrado da medida de um cateto é sempre igual ao produto entre a sua projeção sobre a hipotenusa e a própria hipotenusa

RELEMBRANDO...

DEIXE OS CÁLCULOS

3 .Considere a figura ao abaixo e determine: • a medida do lado m • a medida do lado n • a medida do lado p • o perímetro do trapézio ABCD

4.

5. A chácara de Ângela tem a forma de um triângulo retângulo e as dimensões indicadas na figura. Qual a distância entre o portão e o poço?