APOSTILA DE MATEMÁTICA ELEMENTAR

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MATEMÁTICA FUNDAMENTAL NIVELAMENTO - IFCE

Prof. Me: Antonio F. Canuto

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ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] Vamos iniciar nosso “CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA - NIVELAMENTO” recordando as quatro operações: adição; subtração; multiplicação e divisão

Ex. (01) Em uma Escola de Tianguá, existem 3 turmas: uma com 27 alunos, outra com 31 alunos e outra com 28 alunos. Quantos alunos existem ao todo nessa escola?

Vamos lembrar como essas operações são feitas e, principalmente, quando devemos utilizá-las na solução de um problema.

Para reunir os alunos das 3 turmas, devemos somar a quantidade de alunos de cada turma. A operação que devemos fazer é:

Muita gente pensa que quem faz contas com rapidez é bom em Matemática. É engano! Fazer contas rapidamente é uma habilidade que se adquire com a prática. Muito mais importante que fazer contas com rapidez é descobrir quais são as operações que devemos usar para resolver um problema. Portanto, em Matemática, o mais importante é o raciocínio.

27 + 31 + 28 = 86 Existem, portanto, 86 alunos. Cada um dos números de uma soma chama-se parcela. Na operação de adição, podemos somar as parcelas em qualquer ordem. Por isso, temos certeza de que:

Para começar, leia os quatro problemas abaixo e tente descobrir quais são as contas (operações) que devem ser feitas. ________________________________________________ (01) Canuto fez uma viagem e percorreu 136 km em certo dia e 171 km no dia seguinte. No total, quanto ele andou nesses dois dias? Resp:

28 + 27 + 31 também dá 86. Devemos ainda lembrar que números negativos também podem ser somados. Por exemplo, a soma de - 12 com - 5 dá - 17. Para escrever essa operação fazemos assim: - 12 + (- 5) = - 17 Observe que colocamos – 5 entre parênteses para evitar que os sinais de + e de – fiquem juntos. Mas existe outra maneira, mais simples, de escrever a mesma operação. Veja: - 12 - 5 = - 17

________________________________________________ (02) Um livro de Matemática que custa R$37,00 foi pago com uma nota de R$100,00. De quanto foi o troco? Resp:

Ex. (02) 23 + 54 , ou seja 23 + 54 77 Propriedades da Adição:

________________________________________________ (03) Uma caixa de leite tipo “longa vida” possui 16 litros de leite. Quantos litros existem em 8 caixas? Resp:

➢ Comutativa: a + b = b + a ➢ Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c ➢ Elemento Neutro: (zero) ➢ A subtração ( – ) : podemos pensar na operação de subtração quando queremos tirar uma quantidade de uma outra para ver quanto sobra. Veja o exemplo.

________________________________________________ (04) Devo repartir 36 chocolates igualmente entre meus três filhos. Quantos chocolates deve receber cada um? Resp:

Ex. (01) A secretária Joana recebeu a tarefa de preparar 90 envelopes de correspondência. Até a hora do almoço, ela já tinha feito 52. Quantos ela ainda tem de fazer? Temos aqui um exemplo claro de operação de subtração. A operação que devemos fazer é:

Em todos os exemplos desta aula, usaremos apenas números inteiros. Eles são os nossos conhecidos 0, 1, 2, 3, ... e também os negativos - 1, - 2, - 3, ... .

90 - 52 = 38 Assim, depois do almoço, a secretária deverá preparar ainda 38 envelopes.

➢ A adição (+): podemos pensar na operação de adição quando queremos juntar as coisas que estão separadas.

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ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] Observe agora que, em uma subtração, quando o segundo número é maior que o primeiro, o resultado é negativo. Veja: 9-5=4 5-9=-4 Para visualizar as operações de adição e subtração, representamos os números inteiros como pontos de uma reta. Qual será o saldo de Caio após essas operações? Vamos representar os depósitos por números positivos e as retiradas por números negativos. Devemos então fazer a seguinte conta:

Na operação 9 + 5 = 14, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a direita e chegamos ao número 14.

53 - 25 + 65 - 30 - 18 O resultado dessa operação será a quantia que Caio ainda tem no banco. A melhor forma de fazer esse cálculo é somar os números positivos (os depósitos), somar os números negativos (as retiradas) e depois subtrair o segundo resultado do primeiro. Assim:

Na operação 9 - 5 = 4, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a esquerda e chegamos ao número 4.

53 - 25 + 65 - 30 - 18 = = (53 + 65) - (25 + 30 + 18) = = 118 - 73 = = 45

Na operação 5 + 9 = 14, partimos do número 5, andamos 9 unidades para a direita e chegamos ao número 14.

Ex. (03) 145 – 23 , ou seja:

Na operação 5 - 9 = - 4, partimos do número 5, andamos 9 unidades para a esquerda e chegamos ao número - 4. Para resumir, as regras são as seguintes:

145 - 23 122

Escrever 5 ou + 5 é a mesma coisa.

Portanto, Caio ainda tem R$ 45,00 em sua conta bancária.

Quando sinais de números e sinais de operações aparecerem juntos, então:

➢ A Multiplicação (x ou .) : multiplicação nada mais é que uma soma com parcelas iguais. Por exemplo:

➢ ➢ ➢ ➢

7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 x 7 = 5 . 7 = 35

(+) (+) = (+) (+) (-) = (-) (-) (+) = (-) (-) (-) = (+)

O número 7 apareceu 5 vezes. Então, 7 vezes 5 dá 35. Da mesma forma: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 x 5 = 35

Por exemplo: Agora, o número 5 apareceu 7 vezes. Então 5 vezes 7dá 35.

a) 5 + (+ 3) = 5 + 3 = 8 b) 5 + (- 3) = 5 - 3 = 2 c) 5 + (+ 3) = 5 - 3 = 2 d) 5 - (- 3) = 5 + 3 = 8

Ex (01) 24 x 12 = 288, pois 24 x 12 48 + 24_ 288

Propriedades da Subtração: ➢ ➢

Você já sabe que, em uma multiplicação cada número chama-se fator. Vamos, agora, recordar algumas propriedades da multiplicação. ➢ Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o resultado (Comutatividade). Por isso: 5 . 7 = 7 . 5

Associativa: a - (b - c) = (a - b) - c Elemento Neutro: (zero)

Veja, a seguir, como devemos proceder numa situação em que há soma e subtração de diversos números. Ex. 02) Caio abriu uma conta bancária. Depois de algum tempo, essa conta apresentou o seguinte movimento:

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ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] ➢ Quando temos várias multiplicações seguidas, qualquer uma delas pode ser feita primeiro (Associatividade). Por exemplo:

80 ÷ 5 = 16 Logo, cada caixa deve conter 16 lápis.

2 . 3 . 5 = (2 . 3) . 5 = 6 . 5 = 30 2 . 3 . 5 = 2 . (3 . 5) = 2 . 15 = 30 2 . 3 . 5 = (2 . 5) . 3 = 10 . 3 = 30

ou ou ainda

No exemplo que acabamos de ver, a divisão foi exata, ou seja, conseguimos colocar a mesma quantidade de lápis em cada caixa sem que sobrasse nenhum. O que aconteceria, entretanto, se tivéssemos 82 lápis para pôr nas 5 caixas? A resposta é fácil. Cada caixa continuaria com 16 lápis, mas sobrariam 2.

➢ Quando um número multiplica uma soma (subtração), ele multiplica cada parcela dessa soma (subtração) (Distributividade em relação à soma ou subtração). Por exemplo:

Veja a operação: 2 . (3 + 4 + 5) = 2 . 12 = 24

ou, ainda:

2.(3+4+5) = 2.3 + 2 . 4 + 2 . 5 = 6 + 8 + 10 = 24 ➢

Elemento Neutro: ( o número 1)

Falta apenas recordar o que ocorre quando temos multiplicações com números negativos. As regras são as seguintes: ➢ ➢ ➢

Na operação acima, 82 é o dividendo, 5 é o divisor, 16 é o quociente e 2 é o resto. Esses quatro números se relacionam da seguinte forma: 82 = 5 . 16 + 2

(+) . (-) = (-) (-) . (+) = (-) (-) . (-) = (+)

(dividendo) = (divisor) . (quociente) + (resto) Vamos ver alguns exemplos para entender bem essas regras. Para calcular 4 x (- 3) podemos fazer uma soma com 4 parcelas iguais a - 3.

Atenção! ➢ O resto é sempre positivo e menor que o divisor. Ao fazer uma divisão, estaremos sempre encontrando dois novos números: o quociente e o resto. Vamos ver mais um exemplo do uso dessa operação em um problema.

Daí: 4 . (- 3) = (- 3) + (- 3) + (- 3) + (-3) 4 . (- 3) = - 3 - 3 - 3 - 3 4 . (- 3) = - 12 Para entender que o produto de dois números negativos é positivo vamos lembrar que o produto de qualquer número por zero dá zero. Portanto: (- 3) . 0 = 0

Ex. (02) Certo elevador pode transportar no máximo 6 pessoas. Se existem 46 pessoas na fila, quantas viagens o elevador deverá fazer para transportar todas essas pessoas?

Vamos então escrever essa igualdade assim: (- 3) . (- 2 + 2) = 0

Devemos dividir 46 por 6. Observe a operação:

É a mesma coisa. A igualdade continua certa. Mas, utilizando uma das propriedades da multiplicação, podemos escrever a mesma coisa de forma ainda diferente. Veja: (- 3) . (- 2) + (- 3) . 2 = 0

O quociente igual a 7 indica que o elevador fará 7 viagens com lotação completa. Mas o resto igual a 4 indica que sobrarão ainda 4 pessoas para serem transportadas. Logo, o elevador deverá fazer uma viagem a mais para transportar as 4 pessoas restantes. Portanto, o elevador fará 8 viagens para transportar todas as pessoas.

➢ A divisão (÷ ou :) : podemos pensar na divisão quando queremos dividir um total de partes iguais ou quando queremos saber quantas vezes um número cabe no outro. Ex. (01) Desejamos colocar 80 lápis em 5 caixas, de maneira que todas as caixas tenham o mesmo número de lápis. Quantos lápis devemos pôr em cada caixa? A resposta é fácil. Basta dividir 80 por 5.

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ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] Exemplos Resolvidos Ex. 03)

144  3

(14)4  3__ -12 48 024 - 24 (00)

Ex. 04) 300  12 (01)

(30)0  12__ -24 25 060 - 60 (00)

Potenciação Existem expressões matemáticas que normalmente são resolvidas utilizando cálculos que demandam muito tempo. Pode-se, porém, através de certas propriedades, simplificar estes cálculos. A potenciação utiliza propriedades básicas que minimizam o trabalho algébrico. Dado um número real “a” qualquer, sendo “n” um número natural, define-se por a potência n ao produto de a por a n vezes, ou seja:

(02)

{-22 : 4 + [(-2 + 5)2 : 3]} ={-4 : 4 + [(+ 3)2 : 3]}= ={-1 + [9 : 3]}= ={-1+ 3}= = 2

(03)

– (- 32 : 16)2 : (8 – 2 . 3) – (-12) : 6 = – (- 2 )2 : (8 – 6) – (-12) : 6 = = – (+4) : 2 – (-2) = = – 2+ 2 = =0

(04)

-3 – {-2 – [(-35) : (+5) + 22]} = -3 – {-2 – [-7 + 4]} = -3 – {-2 – [-3]} = -3 – {-2 +3} = -3 – {+1} = -3 – 1 = - 4

n a = a. a. a. a. a. a. a. a..... a n vezes

4 2 = 2. 2. 2. 2 = 16

Ex. (01)

4 vezes

6 3 = 3. 3. 3. 3. 3. 3 = 729

Ex. (02)

6 vezes

Ex. (03)

10 2 = 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 1024 10 vezes

28 + {13 – [6 – (4 + 1) + 2] – 1} = 28 + {13 – [6 – (5) + 2] – 1}= = 28 + {13 – [6 – 5 + 2] – 1}= = 28 + {13 – [1 + 2] – 1}= = 28 + {13 – [3] – 1}= = 28 + {13 – 3 – 1}= = 28 + {10 – 1}= = 28 + {9}= = 28 + 9= = 37

EXPRESSÕES NUMÉRICAS NOS INTEIROS

EXERCÍCIOS

Uma expressão numérica envolvendo números Inteiros e as operações definidas para os mesmos devem ser efetuada (resolvida) respeitando-se uma ordem nas operações e nos sinais gráficos (parênteses, colchetes e chaves) utilizados para ordenar as operações

(01) Calcule: (a) 345 + 123 = (b) 435 + 985 =

➢ Quanto aos sinais gráficos, eliminam-se na seguinte ordem:

(c) 1098 + 3214 =

1º (parênteses) 2º [colchetes ] 3º{chaves}

(d) 12345 + 65784 = (02) Calcule: (a) 345 – 123 =

➢ Quanto às operações, resolvem-se na seguinte ordem:

(b) 6540 – 5987 =

1º (potenciação ou radiciação) 2º (multiplicação ou divisão) 3º (adição ou subtração)

(c) 5436 – 4356 = (d) 87654 – 65432 =

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ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] 03) Multiplique:

______________________________________________ (07) Calcule as expressões:

(a) 345 x 23 = (a) 145 – [ -15 .( - 2) + 45 ( - 15)] = (b) 6540 . 123 = (b) – 123 + [ 35 (– 5) + 15 – 12  (– 4)] = (c) 23 x 5013 = (c) –54 + { –12 + [ 54  (–6) + 9 .( – 2)]} = (d) 435 . 7098 = (a) (–2) + {–25  5 – [ 12 . (– 2) + 3 – 2 ] } =

(04) Resolva as divisões: (a) 124  2 =

______________________________________________ (08) Calcule o valor das expressões

(b) 117  9 =

(a) –12 + 45 –54 =

(c) 145  13 =

(b) – 45 – 65 – 32 + 142 =

(d) 124  (–2 ) =

(c) 90 – 12 – 65 + 33 =

(e) –108  9 =

(d) 33 – (25 – 12 –13 –1) + 45 =

(f) – 845  (– 13) =

(e) – 33 x 12 =

(05) Efetue as operações indicadas:

(f) – 45 x (– 19) =

(a) 37 + 43 =

(g) 31 x (–15) =

(b) 55 - 18 =

(h) – 12 x (– 45) =

(c) 18 - 55 =

(i) – 21 + [ -10 x 4 + 33 x (- 2)] =

(d) 12 + (- 7) =

(j) – 35 – [ 12x 3 – 3x (–12)] –5 =

(e) 12 - (- 7) =

______________________________________________ (09) Se a + b =105 , então ( a + 15) + ( b + 12) é expresso por qual número?

(f) - 9 - 6 =

______________________________________________ (10) Um revendedor entrou numa confecção e fez a seguinte compra.

(g) - 9 + (- 6) = (h) - 9 - (- 6 ) = (i) 13 . 7 = (j) (- 8) . 9 = (06) Efetue as operações indicadas. Lembre que, se várias operações aparecem em uma mesma expressão, as multiplicações e divisões são feitas primeiro e depois as somas e subtrações.

Quanto ele pagou por essa compra? ______________________________________________ (11) DIEGO recebe R$ 50,00 por dia de trabalho, mais uma gratificação de R$ 80,00 por semana. Sabendo que cada semana tem 6 dias de trabalho, quanto esse ele deverá ter recebido após 4 semanas?

(a) 4 + 2 . 3 = (b) 20 - 3 + 12 - 30 . 6 = (c) 13 . 112 - 11 . 10 =

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ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] ______________________________________________ (12) Descubra que números estão faltando nas operações abaixo:

______________________________________________

"Tabuada do 9" Não será mais um monstro de várias cabeças.

________________________________________________ (13) O carro do professor Canuto faz, na estrada, 12 km por litro de gasolina. Para fazer uma viagem de Tianguá a Fortaleza (320 km), ELE colocou no tanque do carro 30 litros de gasolina. Esse combustível será suficiente? (JUSTIFIQUE)

A Tabuada do Nove e os dedos da mão.

________________________________________________ (14) Em uma festa realizada pelo professor Paulo Ricardo, as mesas do salão são quadradas e acomodam, no máximo, 4 pessoas. Para que 150 pessoas possam se sentar, quantas mesas serão necessárias?

Há um modo interessante e fácil para obter-se a tabuada do nove usando os dedos das mãos. Quer aprender? Então... Coloque as mãos abertas sobre a mesa.

________________________________________________ (15) Anderson tem um terreno retangular de 20m de frente por 30m de fundo, e deseja cercá-lo com uma cerca de arame com 5 fios. Veja que, á esquerda do dedo dobrado, ficaram 2 dedos (dezena) e, á sua direita, 7 dedos(unidades).

Quantos metros de arame ele deverá comprar? ______________________________________________ (16) Na escola Educandário tem 4 salas e cada sala tem 30 carteiras. Na primeira sala existem 26 alunos, na segunda 24, na terceira, 23 e na quarta, 19. Quantos alunos ainda podem ser matriculados?

Eis o resultado: 6 x 9 = 27 Vamos tentar novamente? Veja como se obtém 6 x 9 =

Dobra-se o sexto dedo. A sua esquerda do dedo dobrado, 5 (dezenas) e a sua direita 4(unidades).

“Conserve os olhos num ideal e lute sempre pelo que desejares, pois só os fracos desistem e só quem luta é digno da vitória.”

Não é curioso e fácil? Experimente obter outras multiplicações da tabuada do nove.

ANÔNIMO

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ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] ✓ Números Primos MATEMÁTICA: MÓDULO II Qualquer número natural não nulo é divisível pelo número 1 (um) e por si próprio. Quando um número natural admitir somente dois divisores (ele próprio e a unidade) será então chamado de número primo. Apresentemos agora a seqüência inicial dos números primos:

ARITMÉTICA FUNDAMENTAL

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97; ...

✓ Múltiplo de um Número Múltiplo de um número natural é o produto dele por um outro número natural não nulo. Assim, o conjunto dos múltiplos de 7, M (7) é dado por:

Logo, um número que não é primo, excluindo o zero e o um, é denominado de número composto. ✓ Decomposição em Fatores Primos

M (7) = {7; 14; 21; 28; 35; 42; ...} ✓ Critérios de Divisibilidade

Um número composto qualquer pode ser decomposto em fatores primos, utilizando-se, para tanto, as divisões sucessivas através dos critérios de divisibilidade.

É possível estabelecer algumas regras que permitem verificar se um número natural qualquer é divisível por outro. Estas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

Ex;

90 45 15 5 1

• Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando ele for um número par. • Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for divisível por 3 • Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 se o número formado pelos dois algarismos da direita for divisível por 4.

2 3 3 5

Portanto, 90 = 2 . 3². 5

✓ Divisores de um Número Através da decomposição de um número natural em fatores primos, é possível determinar todos os seus divisores.

• Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5.

Ex:

• Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 se for divisível simultaneamente por 2 e 3. • Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos for divisível por 9

90 45 15 5 1

2 3 3 5

Portanto, 90 = 2 . 3². 5

Divisores de 90

• Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando terminar em zero.

1 90 45 15 5

• Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11quando a subtração e a soma alternada de seus algarismos de traz para frente for um número divisível por 11. Ex: 28040595 é divisível por 11, pois a operação 5 – 9 + 5 – 0 + 4 – 0 + 8 - 2 = 11, logo 28040595 também o é.

2 3 3 5

2 3;6 9 ; 18 5 ; 10 ; 15 ; 30 ; 45 ; 90

Portanto: D(90) = {1;2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 30; 45; 90}

✓ Números de Divisores de um Número

• Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 se for divisível simultaneamente por 3 e 4.

É possível encontrar a quantidade de divisores positivos de um número natural. Para isso basta que peguemos a forma fatorada desse número e façamos o produto dos expoentes acrescido de uma unidade de seus fatores primos.

• Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 se for divisível simultaneamente por 3 e 5.

Ex: Quantos divisores têm o número 90

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ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] Observação 1: É possível obter o mmc entre números naturais a partir da decomposição simultânea em fatores primos.

Solução 90 = 21. 32. 51 , logo teremos que (1+1) . (2+1) . (1+1) = 12 divisores

Ex: 12 e 18 ✓ Números Primos entre si 12 6 3 1 1

Dois ou mais números são denominados primos entre si, se o único divisor comum for a unidade, ou seja: mdc ( x; y; z; …) = 1

18 9 9 3 1

2 2 3 3

Ex: Os números 15 e 16 são primos entre si: D (15) = {1; 3; 5; 15} e D (16) = {1; 2; 4; 8; 16} D (15) ∩ D (16) = {1}

logo, mmc (12; 18) = 2². 3² mmc (12; 18) = 36 Observação 2: O mmc pode ainda ser obtido a partir da decomposição em fatores primo separadamente dos números. O mmc será o produto de todos os fatores primos, considerados uma única vez e de maior expoente.

✓ Máximo divisor comum O máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais é obtido a partir da intersecção dos divisores dos números.

12 = 2². 3 18 = 2. 3²

Ex; mdc ( 36; 24 ) = ?

mmc (12; 18) = 2² . 3² = 36

D(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36} D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} Portanto, mdc (36; 24) = máximo {D(36) ∩ D(24) } = 12

Observação 3: O mínimo múltiplo comum entre dois números naturais é igual ao quociente entre seu produto e o máximo divisor comum.

Observações:

mmc(a, b).mdc(a, b) = a .b 1. É possível a determinação do máximo divisor comum de dois ou mais números naturais a partir da decomposição em fatores primos. O mdc é obtido multiplicando-se os fatores primos comuns com os menores expoentes. Ex: 36 e 24 36 = 2². 3²

e

Aplicações em Aula: ______________________________________________ 01) Considere os números do quadro e responda 2151 480 42165 4378 2013 12060 2149 576 4000 256 1219 565

24 = 2³. 3

Logo, mdc (36; 24) = 2² . 3 = 12

a) b) c) d) e) f) g) h)

2. Existe também o processo de Euclides para obterse o máximo divisor comum entre os dois números naturais (divisões sucessivas) ✓ Mínimo Múltiplo Comum Obter o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais consiste em determinar, a partir da intersecção entre os conjuntos dos múltiplos, o menor elemento. Ex:

Quais os divisíveis por 2 ? Quais os divisíveis por 3 ? Quais os divisíveis por 4 ? Quais os divisíveis por 5 ? Quais os divisíveis por 6 ? Quais os divisíveis por 9 ? Quais os divisíveis por 10 ? Quais os divisíveis por 11 ?

________________________________________________ 02) Decomponha 525 em fatores primos.

12 e 18

________________________________________________ 03) Encontre o conjunto formado pelos divisores de 360.

M(12) = {12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108; 120;...} M(18) = {18; 36; 54; 72; 90; 108; 126; ...} mmc (12; 18) = mínimo {m(12) ∩ m(18) } mmc (12;18) = mínimo {36; 72; 108; 144; 180; ... } mmc (12; 18) = 36

________________________________________________ 04) Determine o máximo divisor comum entre os números 18 e 60. ________________________________________________

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ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] 05) Determinar o mínimo múltiplo comum entre os números 120 e 80.

07) (MED-ABC) O máximo divisor comum dos números 36, 48 e 72 ? a) 12 b) 36 c) 48 d) 72 e) 130

________________________________________________ 06) O professor Canuto dá uma volta em torno da EEEP de Tianguá em 8 segundos, e o professor Diego dá a mesma volta em 12 segundos. Se os dois “atletas” partiram juntos, após quanto tempo irão se encontrar novamente no ponto de partida, se suas velocidades permanecem constantes.

________________________________________________ 08) (UEMS) Considere-se o número de 9 algarismos, dos quais o algarismo das unidades é n e todos os demais são iguais a 2, ou seja: 22222222n O valor de n, a fim de que este número seja divisível por 6 é: a) 2 ou 8 b) 2 ou 7 c) 0 ou 6 d) 3 ou 6 e) 5 ou 8

TESTES DE VESTIBULARES ________________________________________________ 01) (CEEU) O mmc dos números 12; 24 e 144 é: a) 12 b) 24 c) 144 d) 288 e) 576

________________________________________________ 02) (CESCEM-SP) O mmc de A e B, onde A = 2³. 3². 5 e B = 2. 3³. 5² , é igual a: a) 23 . 33 . 52 c) 2 . 32 . 5

b) 23 . 32 . 52 d) 23 . 33 . 5

________________________________________________ 09) (O . M - SP) Subtraindo uma unidade do quadrado do número 17 encontraremos: a) um número divisível por 5. b) um número divisível por 8. c) um número divisível por 17. d) um número divisível por 28. e) um número divisível por 7.

e) 23 . 32 . 53

________________________________________________ 03) (CESGRANRIO) O m.d.c entre 20 e 32 é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16 ________________________________________________ 04) (PUC-SP) Qual dos números abaixo é primo? a) 123; b) 143; c) 153; d) 163; e) 201. ________________________________________________ 05) (S. CASA-SP) Considere o número 3131313131A onde A representa o algarismo das unidades. Se esse número é divisível por 4, então qual será o valor máximo que A pode assumir é: a) 0 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 ________________________________________________ 06) (MAPOFEI-SP) O mdc de 36, 40 e 56 ? a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 12

________________________________________________ 10) (FUVEST-SP) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes piscam com freqüências diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? a) 12 b) 10 c) 20 d)15 e) 30 ______________________________________________ 11) (FATEC-SP) Certo planeta possui dois satélites naturais: Lua A e Lua B; o planeta gira em torno do Sol e os satélites em torno do planeta, de forma que os alinhamentos Sol-planeta-lua A: ocorre a cada 18 anos e Sol-planeta-lua B, ocorre a cada 48 anos. Se hoje ocorrer o alinhamento Sol – planeta - lua A - lua B, então esse fenômeno se repetirá daqui a quantos anos? a) 48 b) 66 c) 96 d) 144 e) 860

MATEMÁTICA: MÓDULO III

________________________________________________

9

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] • • • • •

✓ Produtos Notáveis Existem produtos entre expressões algébricas que podem ser obtidos sem a necessidade de efetuar todos os cálculos. Tais produtos são denominados de produtos notáveis. Destacam-se, pela sua aplicação, três tipos de produtos notáveis.

(a + b)³ = a³ + 3.a².b + 3.a.b² + b³ (a - b)³ = a³ - 3.a².b + 3.a.b² - b³ a² + b² = (a + b)² - 2.a.b a³ - b³ = (a - b) . (a² + a.b + b²) a³ + b³ = (a + b) . (a² - a.b + b²)

Exemplos Resolvidos

Exemplo 01.

✓ Quadrado da soma

( x + 3 )2 ( x + 3 )2

O quadrado da soma de dois termos é o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

=x

2

+ 2 x3+ 3

=x

2

+ 6 x +9

2

Exemplo 02.

(5 + 3)2 = 5 2 + 2  5  3 + 3 2 (5 + 3)2 = 25 + 30 + 9

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²

Verificação:

(a + b)² = (a + b).(a + b) (a + b)² = a² + a.b + b.a + b² (a + b)² = a² + a.b + a.b + b² (a + b)² = a² + 2.a.b + b²

64 = 64

Exemplo 03.

✓ Quadrado de uma diferença O quadrado da diferença de dois termos é o quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

(x − 3)2 = x 2 − 2  x  3 + 32 (x − 3)2 = x 2 − 6 x + 9

Exemplo 04.

(5 − 3)2 (5 − 3)2

2 2 = 5 − 253+ 3 = 25 − 30 + 9

4=4

(a - b)² = a² - 2.a.b + b²

Verificação: Exemplo 05.

(a - b)² = (a - b).(a - b) (a - b)² = a² - a.b - b.a + b² (a - b)² = a² - a.b - a.b + b² (a - b)² = a² - 2.a.b + b²

(x + 3)  ( x − 3) = x 2 − 3 2 (x + 3)  ( x − 3) = x 2 − 9

✓ Produto da soma pela diferença Exemplo 06.

O produto da soma pela diferença de dois termos pela sua diferença é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

(5 + 3)  (5 − 3) = 5 2 − 3 2 8  2 = 25 − 9 16 = 16

(a + b).(a - b) = a² - b²

Exemplo 07.

(2 x − 3 y )2 = (2 x )2 − 2  2 x  3 y + (3 y )2

Verificação: (a + b).(a - b) = a² - a.b + b.a - b² (a + b).(a - b) = a² - a.b + a.b - b² (a + b).(a - b) = a² - b²

(2 x − 3 y )2

= 4x

✓ Expressões Algébricas

✓ Outros Produtos Notáveis (menos usado)

10

2

− 12 xy + 9 y

2

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] A álgebra é a parte da matemática onde se empregam outros símbolos além dos algarismos. Estes símbolos, quando ligados por sinais de operação, são denominados de expressão algébrica. Dada uma expressão algébrica qualquer, fatorar a mesma é transformá-la em produto, utilizando, para tanto, as propriedades válidas para as operações entre expressões algébricas. A propriedade distributiva será muito usada sob a denominação de colocar em evidência.

________________________________________________ 01) Efetue as operações indicadas: 1.1) (r + s)² = 1.2) (m + 4)² = 1.3) (n – 3)² = 1.4) (x² - 4) . (x² + 4) = 1.5) (mn + 7) . (mn – 7) = ________________________________________________ 2) Fatore as seguintes expressões algébricas 2.1) 7a – 7b = 2.3) a³ - a² = 2.3) 3x² + 12x5 + 15x7 = 2.4) ac + bc + ad + bd = 2.5) 5am + ay + 5bm + by = 2.6) 8x – 3xy + 8 – 3y = ________________________________________________ 3) Calcule, aplicando a fatoração da diferença de dois quadrados:

✓ Fator Comum Vamos fatorar a expressão algébrica: a .x + b.x = x . (a + b) Onde x é o fator comum que foi colocado em evidência. ✓ Agrupamento

3.1) 1000² - 900² = 3.2) 38451² - 38453² =

Vamos fatorar a expressão algébrica ax + bx + ay + by = = x . (a + b) + y . (a + b) = = (a + b) . (x + y)

TESTES DE VESTIBULARES ________________________________________________ 01) (CESCEM-SP) O desenvolvimento de ( 2a – 3b )² é igual a:

Foi aplicado duas vezes a fatoração, utilizando o processo fator comum.

a) 2a2 – 3b2 b) 4a2 + 9b2 c) 4a2 – 12ab + 9b2 d) 2a2 – 12ab + 3b2 e) 2a³ - 3b ________________________________________________ 02) (FCC-SP) Qual o valor de (x – y)² - 2xy a) x² + y² b) 2y2 + x c) – 2y2 - x² d) – 4xy e) 2y – x ________________________________________________ 03) (PUC-SP) Qual o valor de (x + y) . (x² + y²) . (x – y) ? a) x4 + y4 b) x4 – y4 c) x3 + xy2 – x2y – y3 d) x3 + xy2 + x2y + y3 e) x3 - xy2 – x2y + y3 ________________________________________________ 04) (MED. SANTOS) Calculando, (934287)² - (934286)² , obteremos quanto? a) 1 b) 2 c) 1868573 d) 1975441 e) 1795654 ________________________________________________

Exemplos Resolvidos Fatore as seguintes expressões algébricas Ex 01) 3x + 3y = 3 . (x + y) Ex 02) 8ax³ - 4a²x² = 4ax² . (2x – a), pois 8ax³ = 4ax². 2x 4a²x = 4ax² . a Ex 03) 2x7 + 3x4 = x4 . (2x³ + 3) Ex 04) 5a²x – 5a²m – 10a² = 5a² . (x – m – 2) Ex 05)

6x + 6y + ax + ay = = 6 . (x + y) + a . (x + y) = = (x + y) . ( 6 + a)

Ex 06)

3a² + 3 + ba² + b = = 3 . (a² + 1) + b . (a² + 1) = = (a² + 1) . (3 + b)

Ex 07)

x³ + x² + x + 1 = = x² . (x + 1) + (x + 1) = = (x + 1) . (x² + 1) Aplicações em Aula

11

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] 05) (CESCEA-SP) Simplifique a expressão abaixo: x+y

−

x-y

2

=

3

x + 5y 6 5x + y b) 6 x+y c) 6 − x + 5y d) 6

Álgebra Equações do 1° grau

a)

Denomina-se equação do primeiro grau na variável (incógnita) x, a qualquer expressão matemática que pode ser escrita sob a forma

e) 2x ________________________________________________ 06) (PUC-SP) Qual a simplificação da seguinte expressão: a+ b+

a.x + b = 0

1

onde a e b são números reais, com a ≠ 0.

b 1 a

a)

b a

b)

a b

c)

a +1 b

d)

b +1 a

e)

b a

Determinar a solução de uma equação 1º grau significa obter, através de propriedades ou processos algébricos, o valor da incógnita x que verifica a igualdade.

+1

________________________________________________ 07) (FGV-SP) Simplifique a expressão

Os processos algébricos, utilizados para a resolução de uma equação, baseiam-se nos seguintes princípios matemáticos:

a+b 1 1 + a b 1 a) ab

b) ab

a+b c) −a −b

d) −ab

• Se adicionarmos ou subtrairmos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, obteremos uma outra igualdade.

b e) a

________________________________________________ 08) (P.FUNDO-RS) Encontre uma expressão equivalente a

Ex:

(a + 2)2 − 5  (3 − 2a ) + (2a - 3)2

x+3=8 x+3–3=8–3 x+0=5 x=5

a) 2a2 + 8a – 2 b) 5a2 + 2a – 2 c) 3a2 – 20a + 13 d) 5a2 + 10a – 2 e) 5a2 – 18a + 28 ________________________________________________ 09) (ESAAP-SP) Qual o valor da expressão

• Se multiplicarmos ou dividirmos os dois membros de uma igualdade por um mesmo número, obteremos uma outra igualdade.

1   1 −  3   6

1− 

Exemplo:

2

1  3  1  +  + 2  2  6

3  x = 21 3 x

a) 1/2 b) 3/4 c) 7/6 d) 3/5 e) 4/7

=

3 x=7

MATEMÁTICA: MÓDULO IV

12

21 3

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] Exemplos Resolvidos 1)

Exemplos Resolvidos

5  (2 x − 4 ) = 7( x + 1) − 3

Resolva os seguintes problemas envolvendo equações do 1º grau. ________________________________________________ 01) A soma da metade de um número com 10 resulta 35. Qual é esse número? Resolução: número: x Equação:

10 x − 20 = 7 x + 7 − 3 10 x − 20 + 20 = 7 x + 4 + 20 10 x = 7 x + 24 10 x − 7 x = 7 x − 7 x + 24 3 x = 24 3x

x 24

=

3

+ 10 = 35

2

=8

x

3

2 = 25

2)

portanto, o número é 50 x −1

−

x−3

4

________________________________________________ 02) A metade de um número aumentada de 20 é igual ao triplo do mesmo número, menos 45. Calcule esse número. Resolução: número: x Equação:

=3

6

Re sol . : m.m.c (4;6 ) = 12

 x −1  4

12  

  x−3   − 12    = 12  3   6 

x

3  ( x − 1) − 2  ( x − 3) = 36

m.m.c = 2  x + 40 = 6 x − 90 − 5 x = −130  x = 26

3 x − 2 x + 3 = 36 − 3

________________________________________________ 03) A metade de um número aumentado de 20 é igual ao triplo do mesmo número, menos 45. Resolução: número:x equação:

x = 33

3)

2  (x + 2)

+

5  (2 x − 1)

3

m.m.c (3;2;6 ) = 6 2  ( x + 3)

+

2

+ 6

1

= 5x

6 5  (2 x − 1)

3

2

x + 20 + 6

1

= 5x

= 3 x − 45

2

6

m.m.c = 2  x + 20 = 6 x − 90

 4 x + 12 + 30 x − 15 + 1 = 30 x  34 x − 2 = 30 x  34 x − 30 x = 2  x =

+ 20 = 3 x − 45

2

3 x − 3 − 2 x + 6 = 36

6

 x = 50

− 5 x = −110  x = 22

1

________________________________________________ 04) A soma de dois números é 180. O maior deles supera o menor em 30 unidades. Quais são os dois números?

2

Problemas do 1° Grau

Resolução:

Resolver problemas práticos utilizando a matemática, possui uma única dificuldade: o equacionamento do problema dado através de símbolos e operações matemáticas. Não existe um método específico para resolução de um problema. Pode-se, no entanto adotar um procedimento prático a fim de facilitar a resolução desses.

número maior: x número menor: x - 30 equação:

x + (x + 30 ) = 180 2 x = 150  x = 75 e x + 30 = 105

________________________________________________ 05) A soma de dois números é 96 e a diferença entre eles é 34. Calcule esses números. Resolução: número maior: x número menor : x – 34 equação : x + (x -34) = 96 2x = 130 x = 65

• Ler com muita atenção o problema; • Verificar quem ou o que é a incógnita do problema, atribuindo à mesma um símbolo (x, por exemplo); • Escrever a equação de acordo com os dados do problema; • Através de processos algébricos desenvolvidos anteriormente, resolver a equação obtida; • Fazer a interpretação da solução no correspondente problema.

portanto, os números são 65 e 31 EXERCÍCIOS ________________________________________________ 01) Resolva as seguintes equações do 1º grau em x:

13

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] 08) (MACK-SP) Qual o conjunto solução em IR* da equação?

A) Equação 1: 2  (1 + x )

2  ( x + 1)

−

3

x+2 x

=

5

a) S = { 1 } b) S = { 2 } c) S = { – 2 } d) S = { } e) S = { 5 } ________________________________________________ 09) (UF-MT) Qual o número que somado aos seus dois terços resulta em 30?

2

B) Equação 2:

 2  3

1 

2  1  1  −   3x −  = (x + 2) 3  3  2  3

x −

a) ímpar b) primo c) divisor de 30 d) múltiplo de 90 e) divisor de 7 ________________________________________________ 10) (ESA) Determine o número cuja a soma de sua metade, seu triplo e sua quinta parte com 26 é igual ao quíntuplo do próprio número.

C) Equação 3: 2  (1 + x )

− 3( x + 2 )

−3=

+4

7

3

a) 18 b) 19 c) 21 d) 20 e) 22 ________________________________________________ 11) (UFSC) Na proporção

________________________________________________ 02) A soma de dois números consecutivos é igual a 145. Quais são esses números?

a

c) 0

d) 9

1

+x=

2

a) - 1/8

3

e) 10

7

+

8

b) - 2/3

8

c) - 1/4

d) 0

e) - 2

________________________________________________ 05) (UFU-MG) Quanto vale x tal que: 4x − 1

=

a) 0

a) 36

− 2x + 1

2

=

2 324  b − x 6x

b) 40

c) 46

d) 96

e) 101

3

b) 3

c) 5/16

d) 16/5

e) 1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

________________________________________________ 06) (UF-RS) Qual a solução da equação abaixo? 2  ( x + 3) 3

a) 1/2

3

________________________________________________ 12) (UNISINOS-RS) É comum encontrarmos, na história da matemática, problemas que apesar de sua simplicidade, atravessam os séculos. Um exemplo é o problema como “Saudações a vós”, que aparece no livro. “Antologia Grega” de Metrodurus, século 5. Adaptado, apresenta-se assim: “Bom dia, minhas cem pombas”, disse o gavião a um bando de avezinhas que passavam. “Cem pombas não somos nós”, disse uma delas. “Para sermos cem é necessário outro tanto de nós, mais metade de nós, mais a quarta parte de nós, e contigo, gavião, cem aves seremos nós.” Dessa forma, quantas pombas há no bando?

________________________________________________ 04) (CESCRANRIO) Qual a solução da equação dada? 1+

+b

onde a = 3 e b = 2, qual o valor numérico de x

5  (x + 3) − 2  (x − 1) = 20

b) 1

2

ab

________________________________________________ 03) (UGF-RJ) Qual a solução da equação abaixo?

a) 3

=2

x

b) –1/2

+

5  (2 x − 1) 2

c) 2

+

1

= 5x

Existem problemas físicos ou matemáticos que envolvem duas equações, cada uma apresentando duas incógnitas. Estas duas equações formam um sistema.

6

d) – 2

e) 3

Resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas significa obter dois valores que verifiquem as duas equações simultaneamente, quando substituídos nas mesmas. A solução de um sistema assim constituído é portanto, um par de valores.

______________________________________________ 07) (PUC-SP) A raiz da expressão abaixo é um número racional: 2  (x + 1) = 3  (2 − x )

________________________________________________

14

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] Vários são os procedimentos práticos que permitem a obtenção da solução de um sistema, dos quais destacam-se dois: 1º) Processo de substituição ou isolamento Consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma incógnita.

EXERCÍCIOS Resolva os seguintes sistemas:

2 x + 3 y = 2

01)

− 2 x + y = 1

2º) Processo de adição ou cancelamento Consiste em deixar os coeficientes de uma mesma incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equações recai-se em uma equação com uma única incógnita.

y 5  x + 4 = 2 02 ) − x + y = 1  2

Exemplos Resolvidos Resolva os seguintes sistemas de equações do 1º grau Exemplo 01.

x+ y 1  x− y + =  03) 2 3 6 2(x − 1) − 2 y = x − 2

− 2 x + y = 1  2 x + 3 y = 2

− 2 x + y = 1

log o, 

2 x + 3 y = 2

 x + 1 =2  3 04 ) y  x = y + 2

→ y = 1 + 2x

2 x + 3(1 + 2 x ) = 2  2 x + 3 + 6 x = 2

________________________________________________ 05) No estacionamento do Trancredo existem automóveis e motocicletas. O número total de rodas é de 130 e o número de motocicletas é o triplo do número total de automóveis. Calcule o número total de veículos que se encontram no estacionamento.

1 8 x = −1  x = − , log o 8

 

y = 1 + 2 −

1  1 3  y=   y = 1− 8  4 4

Exemplo 02.

________________________________________________ 06) (FAAP-SP) Numa seção eleitoral votaram 1260 eleitores, onde dois candidatos disputam o mesmo cargo. O eleito obteve 153 votos a mais que seu concorrente, e 147 votos foram anulados. Quantos votos obteve cada candidato?

x − y = 3  x + y = 7 2 x = 10  x = 5  5 + y = 7  y = 2 x =5

e

y=2

________________________________________________ 07) (UFV-MG) Qual a solução do sistema abaixo?

Exemplo 03.

x − 3 y = 1  2 x + 3 y = 2

2  (x + 1) − 3  ( y + 2 ) = x  4 y + 4 = 2 x − 5

1º equa : 2( x + 1) − 3( y + 2 ) = x

a) x = 1 e y = 1 d) x = 1 e y = 0

2x + 2 − 3y − 6 = x  x = 4 + 3y Substituindona 2º equa : 4 y + 4 = 2.(4 + 3 y ) − 5

x + 2 y = 5  4 x − y = 2

1 2

Voltando para a 1ª equação x = 4 + 3 y  x = 4 + 3

c) x = 1 e y = 2

________________________________________________ 08) (CESGRANRIO) Se (x; y) é a solução do sistema abaixo, então quanto vale x+y?

4 y + 4 = 8 + 6 y − 5  −2 y = −1 y=

b) x = 2 e y = 1 e) x = 0 e y = 0

a) 4

1

b) 3

c) 2 d) 1

e) 0

2 x =

11 2

________________________________________________

15

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] 09) (PUC-SP) Qual a solução do sistema abaixo:

16) Numa partida de basquete entre duas turmas de 1º ano do Trancredo, a equipe campeã venceu o jogo com uma diferença de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a equipe vencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duas equipes estão na razão 23 para 21?

3 x + y = 1

 2 x + 2 y = 1 a) {0; 1/4} d) {1/2; 1/4}

b) {– 1/2; 0} e) {1/4; 1/4}

c) {– 1/2; 1}

________________________________________________ 10) (CESCEA-SP) Qual o valor de (x.y-2), onde x e y é a solução do sistema de equações a seguir.

________________________________________________ 17) (UNESP) Caio e Anderson partiram um bolo retangular. Caio comeu a metade da terça parte e Anderson comeu a terça parte da metade. Qual dos dois comeu mais?

x − y = 4   x + y = 12 a) 32

b) 30

c) 12

d) 10

a) Caio, porque a metade é maior que a terça parte. b) Anderson. c) Não se pode decidir porque não se conhece o tamanho do bolo. d) Os dois comeram a mesma quantidade de bolo. e) Não se pode decidir porque o bolo não é redondo.

e) 7

________________________________________________ 11) (FMJ-RJ) A razão entre dois números é 3/8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, então quanto vale o maior desses números? a) 9

b) 15

c) 24

d ) 30

________________________________________________ 18) (CEFET-CE) (EM) Qual a solução do sistema abaixo?

e) 45

4 x + 3 y = 6   2 x + 5 y = −4

________________________________________________ 12) (CESCEA-SP) O par ordenado (x; y), é a solução do sistema, abaixo. Então x + y é igual a:

x − 3 y = 1  2 x + 3 y = 2 a) 3

b) 2

c) 1

d) 0

________________________________________________ 19) A soma da minha idade com a sua é 36 anos. A minha idade diminuída de 2 anos é igual a sua idade aumentada de 4 anos. Quais nossas idades?

e) - 1

________________________________________________ 13) (UEL-PR) Somando-se os 2/3 de um número x com os 3/5 de um número y, obtém-se 84. Se o número x é a metade do número y, então a diferença y – x vale quanto?

________________________________________________ 20) (UNIMEP-SP) Caio comprou bicicletas de 2 rodas e quarda-chuvas de 12 varetas. Se o total de rodas e varetas é de 38000 e o número de quarda-chuvas é o triplo do de bicicletas, então o numero de quarda-chuvas corresponde a:

a) 18 b) 25 c) 30 d) 45 e) 60 ________________________________________________ 14) (ITA-SP) Suponha que x e y são números reais, satisfazendo simultaneamente às equações 2x + 3y = 21 e 7x – 4y = 1. Nestas condições quanto vale x + y? a) 10

b) 8

c) 5

d)– 8

________________________________________________ 21) (UNICAMP-SP) Na hora de fazer seu testamento, uma pessoa tomou a seguinte decisão: dividiria sua fortuna entre sua filha, que estava grávida, e a prole resultante da gravidez, dando a cada criança que fosse nascer o dobro daquilo que caberia à mãe, se fosse do sexo masculino, e o triplo daquilo que caberia à mãe, se fosse do sexo feminino. Nasceram trigêmeos, sendo dois meninos e uma menina. Como veio a ser repartida a herança em questão?

e) 15

________________________________________________ 15) (ESAL-MG) Em um quintal há galinhas e gatos perfazendo o total de 14 cabeças e 38 pés. Calcule o número de galinhas.

______________________________________________

16

MATEMÁTICA: MÓDULO V

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] x 2 − 0,7 x + 0,1 = 0  a = 1, b = -0,7 e c = 0,1 x 2 − 0,7 x + 0,1 = 0 (multiplica do por 10 ) teremos que a = 10, b = -7 e c = 1 como x =

Uma equação em “x” é dita do 2º grau, quando pode ser escrita na forma:

x =

Onde a, b e c são números reais com a  0. Resolver uma equação do 2º grau significa determinar, através de processos algébricos, o valor ou valores de “x” que verifiquem a igualdade correspondente à equação. A partir dos coeficientes a, b e c da equação algébrica do 2º grau.

é possível demonstrar a existência de uma relação (estabelecida através de uma fórmula ) entre as raízes (valores de x que verificam a igualdade) e aqueles coeficientes, ou seja:

5x 2 + 3 − 34 + 2.x 2 − 32 = 0 7x 2 − 63 = 0  a = 7, b = 0 e c = −63

b 2 − 4.a.c (subtraindo - se por b )

−b

como x =

)

x =

b 2 − 4.a.c , fórmula de bhaskara 2a

−b

)

(

)

(2ax + b )2 = b 2 − 4.a.c (extraíndo - se a raiz quadrada )

x=

7

5x 2 + 3 17 - x 2 − = 8  a = ?, b = ? e c = ? 4 2  5x 2 + 3 17 - x 2   = 4.8 m.m.c.(4; 2 ) = 4  4.  − 4 2     2 2 5x + 3 − 2. 17 − x = 32

4.a 2 . x 2 + 4.a.b. x + 4.a.c = 4a.0 (subtraindo - se a eq. por 4ac )

2ax = − b  b 2 − 4.a.c (divindindo - se por 2a

(- 7 )2 − 4.(10)(. 1) 2.(10 )

Exemplo 3:

a. x 2 + b. x + c = 0 (multiplica ndo - se a eq. por 4a )

2ax + b = 

− (− 7 ) 

49 - 40 7  9 = 20 20 7 + 3 10 1  x´= = =  73  20 20 2 x =  20 x´´= 7 − 3 = 1  20 5  1 1 logo, S = ;  2 5 x =

4.a 2 . x 2 + 4.a.b. x = −4.a.c  somando - se a eq. por b 2    2 2 2 2 4.a . x + 4.a.b. x + b = −4.a.c + b (fatorando - se o trinômio

b 2 − 4.a.c , temos 2a

−b

x =

−0 

logo,

b 2 − 4.a.c , temos 2a

02 − 4.(7 )( . - 63) 2.(7 )

x´= 3 1764  42 =  14 14 x´´= −3 S = − 3; 3

Exemplos Resolvidos 4x 2 − 5x - 6 = 0  a = 4, b = -5 e c = -6 como x =

Exemplo 1:

x =

−b

− (− 5) 

Outra maneira de resolver (Método do isolamento)

b 2 − 4.a.c , termos 2a

7x 2 − 63 = 0  7x 2 = 63 

(- 5)2 − 4.4.(- 6) 2.(4 )

 x2 = 9  x =  9 =  3

25 + 96 5  121 = 8 8 5 + 11 16  x´= 8 = 8 = 2 5  11  x =  8 x´´= 5 − 11 = − 3  8 4  3   logo, S = 2;−  4  x =

5

logo,

Exemplo 2:

Exemplo 4:

17

S = − 3; 3

63 x2 = 7

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] Aplicações em Aula x2

1 3x - 1 =  a = ?, b = ? e c = ? 2 5 5  x2 1  3x - 1  m.m.c.(5; 2 ) = 10  10.  −  = 10.   2 5  5    5x 2 − 2 = 6x - 2  5x 2 − 2 - 6x + 2 = 0 −

Resolva as seguintes equações

 5x 2 - 6x = 0  a = 5, b = −6 e c = 0 como x = x =

−b

− (− 6 ) 

b 2 − 4.a.c , temos 2a

(− 6)2 − 4.(5)(. 0) 2.(5)

6 + 6 12 6  x´= 10 = 10 = 5 6  36 6  6 x = =  10 10 x´´= 6 − 6 = 0 = 0  10 10  6 logo, S = 0;   5

 6 S = 0;   5

2 1 + = −1 2 x −1 x +1

05)

x 2 + 3x = 0

06)

4x 2 − 16x + 16 = 0 x 2 − 5x + 6 = 0

b) {2; 3} d) {-1; -5}

________________________________________________ 03) (PUC-SP) Uma das raízes da equação 0,1.x2 − 0,7.x + 1 = 0 é:

Na forma de BHASKARA

b 2 − 4.a.c 2a

04)

a) {1; 5} c) {-1; 5}

• Equações incompletas que da forma a.x² + c = 0 podem ser resolvidas isolando-se o x.

−b

(x - 2)2 + (x + 1)2 = 5

a) somente 5 b) somente 10 c) -5 d) 5 e 10 ________________________________________________ 02) (UC-SP) As raízes da equação 2x 2 − 10 - 8x = 0 são:

• Equações incompletas que da forma a.x² + b.x = 0 podem ser resolvidas por fatoração de x.

x=

03)

2

Observações:

Importante:

x2 = x +1

01) (UF-ES) A equação x − 10x + 25 = 0 tem as seguintes soluções no conjunto dos números reais:

 x = 0 ou 5x − 6 = 0 , ou seja : logo,

02)

EXERCÍCIOS ________________________________________________

5x 2 - 6x = 0  x.(5x − 6 ) = 0 6 5

3x 2 - 7x + 2 = 0

07)

Outra maneira de resolver (Método da evidência)

x = 0 ou x =

01)

a) 0,2 b) 0,5 c) 7 d) 2 ________________________________________________

b² - 4.a.c = ∆

04) (FUVEST-SP) A equação x.(1 - x ) =

A expressão chama-se discriminante e é indicada pela letra grega  (delta) logo

1 , então x é igual 4

a: a) 1

b)

1 2

c) 0

d)

1 4

________________________________________________ 05) (PUC-SP) Quantas raízes reais têm a equação 2.x 2 − 2.x + 1 = 0

Conforme o valor do discriminante  , tem-se as seguintes possibilidades quanto à natureza das raízes

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 ________________________________________________ 06) (UFSC) A soma das raízes da equação abaixo

•  > 0  Existem duas raízes reais e distintas; •  = 0  Existem duas raízes reais e iguais; •  < 0  Existem duas raízes não reais (imaginárias – Será estudado apenas no 3º ano em Números Complexos)

x 2 + 28 7x x = − , é: 6 3 2

18

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] PROPRIEDADES DAS RAÍZES

Ou seja,

Dada uma equação do 2º grau da forma Observação: Agora, é possível compor uma equação do 2º a partir de suas raízes, ou seja: Onde a, b e c são números reais com a  0. É possível obter as soluções através da fórmula x=

−b

b 2 − 4.a.c

a.x 2 + b.x + c = 0 1 2 1 . a.x + b.x + c  = .0  a a  b c x 2 + .x + = 0 a a c  b x 2 −  − .x + = 0 a a   2 x − S.x + P = 0

ou

2a

É possível ainda, a partir das raízes obter-se a equação que de origem às mesmas. Para isso, é necessário a compreensão de duas propriedades existentes entre os coeficientes a, b e c e as raízes x’ e x’’.

P 1.

Ou seja:

Soma das raízes Exemplos Resolvidos

−b+ Δ −b− Δ x'+ x" = + 2a 2a

Exemplo 1: Obtenha a soma e o produto das raízes da equação

−b+ Δ −b− Δ x'+ x" = 2a − b − b − 2b b x'+ x" = = =− 2a 2a a

5x 2 − 20.x + 3 = 0

(- 20) = 4 b =− a 5 c 3 P = x'  x" = = a 5

S = x' + x" = −

Ou seja,

Exemplo 2: Sendo 2 + 3 e 2 − 3 as raízes de uma equação do 2º grau, obtenha a correspondente equação. P 2.

Produto das raízes S = x' + x" =

(− b + Δ ) (− b − Δ )

x'x" =

(− b )2 − (

4a 2

4a 2

Δ

)(

2+ 3 +

2− 3

S= 2 + 3 + 2 − 3 = 2 2

−b+ Δ  −b− Δ    x'x" =      2a 2a     x'x" =

(

( 2 + 3 ) ( 2 − 3 ) 2 2 P = ( 2 ) − ( 3 ) = 2 − 3 = −1 P = x'  x" =

)2 = b 2 − Δ

Substituindo na fórmula

4a 2

x 2 − S.x + P = 0 x 2 − 2 2 .x + (− 1) = 0

b 2 −  b 2 − 4ac  b2 − Δ  = x'x" = = 2 2 4a 4a 2 2 b − b + 4ac 4ac c x'x" = = = 4a 2 4a 2 a

( )

x 2 − 2 2 .x − 1 = 0

EXERCÍCIOS

19

)

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] 09) (FEI-SP) Sendo x’ e x’’ as raízes da equação

________________________________________________ 01) Sabendo que a soma das raízes da equação 2x 2 + (2m - 2).x + 1 = 0 é igual a -3, calcule m.

2x 2 − 5x + m = 3 então, se

a) ________________________________________________ 02) Sabendo que a produto das raízes da equação 3.x 2 − 3.x + 2m − 1 = 0 é igual a 3, calcule m.

3 4

b) −

4 3

c)

1 1 4 + = , o valor de m é : x' x' ' 3

27 4

d) 0

e) 2

________________________________________________ 10) (PUC-SP) As raízes da equação x 2 − a.x + b = 0 . São 1 e 2. Então é verdade que:

________________________________________________ 03) Determine o valor de m na equação x 2 − 5.x + m = 0 , sabendo que uma das raízes é 3.

a) a 2 + b 2 = a + 5a b) a 2 − b 2 = 5 c) a 2 = b 2 + 10 d) 2a + a 2 = b e) a = 2b

________________________________________________ 04) (FUVEST-SP) A equação ax 2 − 4x - 16 = 0 tem as seguintes uma raiz cujo valor é 4. A outra raiz é: a) 1

b) 2

c) -1

d) -2

________________________________________________ 11) (C. DO SUL -RS) Se uma das raízes da equação abaixo 2x 2 − 3p.x + 40 = 0 é 8, então o valor de p é:

e) 3

________________________________________________ 05) (UB-DF) A soma das raízes da equação 3x 2 + 6x − 9 = 0 é igual a: a) 4

b) 1

c) -2

d) -3

a) 5 b)

13 3

c) 7 d) - 5 e) – 7

e) - 4

________________________________________________ 06) (PUC-SP) A soma e o produto das raízes da equação x 2 + x − 1 = 0 são, respectivamente:

________________________________________________ 12) (UF DE SANTA MARIA –RS) A soma e o produto das raízes da equação abaixo, são respectivamente: 2x 2 − 7x + 6 = 0

a) -1 e 0 d) -1 e -1

b) 1 e -1 e) 0 e 5

c) -1 e 1 a) – 7 e 6 d)

________________________________________________ 07) (CASESP-SP) Qual deve ser o valor de m na equação 2x 2 − m.x − 40 = 0 para que a soma de suas raízes seja igual a 8? a) m = 8 d) m = –16

b) m = – 8 e) m = 10

________________________________________________ 08) (CESGRASNRIO) A equação do 2º grau cuja menor raiz é 2 - 3 e o produto das raízes é igual a expressa por: b) x 2 + 4x − 1 = 0

c) x 2 − x − 1 = 0

d) x 2 − 4x + 1 = 0

7 e3 2

7 e3 2

c) – 7 e 3

e) 7 e – 6

________________________________________________ 13) (ESAL -MG) A soma e o produto das raízes da equação (m -1).x2 + 2.n.x + n − 8 = 0 são – 6 e – 5 respectivamente. Os valores de m e n são:

c) m = 16

a) x 2 − x − 4 = 0

b) -

a) m = 3 e n = 2 b) m = 4 e n = 1 c) m = 1 e n = 4 d) m = 2 e n = 1 e) m = 2 e n = 3

________________________________________________

20

MATEMÁTICA: MÓDULO VI

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] •

Retângulo Um quadrilátero é classificado de retângulo se, e somente se possuir os quatro ângulos iguais.

Círculo e Circunferência Circunferência é apenas a linha, conforme a figura a seguir. Círculo é a reunião (área) da circunferência com sua região interior.

Área: S = b.h •

Comprimento: C = 2 r

Trapézio Um quadrilátero é classificado como trapézio se, e somente se, possuir dois lados paralelos.

Área: S = r2

Exemplo Calcule a área da superfície limitada circunferência de comprimento igual a 20 cm.

pela

C = 2r 20 = 2r r = 10 S = r2 S = 102 S = 100 cm2

Área: S =

•

Quadriláteros Notáveis

Losango Um quadrilátero é classificado como losango se, e somente se possuir os quatro lados iguais.

Os quadriláteros notáveis são cinco: Paralelogramo, retângulo, trapézio, losango e quadrado. •

Paralelogramo Um quadrilátero é classificado de paralelogramo se, e somente se, possuir os lados opostos paralelos.

Área: S = b.h Área:

21

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] •

________________________________________________ 05) (CESGRANRIO) Na figura, ABC é um triangulo isósceles e ACED é um quadrado. Se AB mede 4, a área de ACED é de: a) 10 3 b) 16 c) 20 2 d) 32 e) 36

Quadrado Um quadrilátero é classificado como quadrado se os quatro lados e os quatro ângulos são iguais.

________________________________________________ 06) (UFMG) Considere um trapézio isósceles ABCD, em que AB = BC = CD = 4cm. Se AD = 8cm, pode-se afirmar que a área do trapézio, em cm2, é: a) 4 3

Diagonal: d =

Área: S = lado ao quadrado

b) 6 3 c) 8 3

TESTES DE VESTIBULARES ________________________________________________ 01) (CESGRANRIO) A área da sala representada na figura, em m2, é: a) 15 b) 17 c) 19 d) 20 e) 21

d) 12 3 e) 24 3 ________________________________________________ 07) (MACK-SP) A diagonal AD do quadrado ABCD mede 2cm . Se o diâmetro de cada uma das semicircunferências na figura abaixo é igual à metade do lado do quadrado, a área da região assinalada é: a) 1 b) 1 c) 

________________________________________________ 02) (PUC-SP) A área do quadrado sombreado é: a) b) c) d) e)

 8

d) 2 e) 

40 48 50 60 36 ________________________________________________ 08) (CESGRANRIO) A região sombreada R da figura é limitada por arcos de circunferências centrados nos vértices do quadrado de lado 2l. A área de R é:

________________________________________________ 03) (CESGRANRIO) Se as duas diagonais de um losango medem, respectivamente, 6cm e 8cm, então a área do losango é: a) 18cm2 b) 24cm2 c) 30cm2 d) 36cm2 e) 48cm2 ________________________________________________ 04) (FUVEST) Os lados de um retângulo de área 12m2 estão na razão 1:3. Qual o perímetro do retângulo? a) 8m b) 12m c) 16m d) 20m e) 24m

l 2 2 b)  − 2 2  l 2 a)

(

)

4  3  d) (4 −  )  l 2

c)   −   l 2

e)

2l 2

________________________________________________

22

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] 09) (MACK-SP) Quatro círculos de raio unitário, cujos centros são os vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente dois a dois. A área da parte sombreada é:

Duas unidades foram divididas em 5 partes iguais. Neste módulo vamos estudar as frações, suas propriedades e a forma de representá-las por números decimais.

a) 2 3 −  b) 3 2 −  c)  2 d) 4 -  e) 5 - 

DIVISÃO PROLONGADA DE FRAÇÃO Imagine que R$25,00 devam ser divididos igualmente entre 4 pessoas. Quanto cada uma deverá receber?

________________________________________________ 10) (UFRS) A região representada na figura é limitada por 4 semicircunferências de raio R. A área da região é: a) 4 R 2  ( + 1) b)

Sabemos que 25 não é múltiplo de 4, e portanto, a quantia que cada um deve receber não será um número inteiro. Para isso existem os centavos. Vamos então lembrar como fazemos a divisão de 25 por 4.

c)

Até agora, nossa conta indica que cada pessoa receberá 6 reais; mas existe ainda um resto de 1 real. Para continuar, acrescente um zero ao resto e uma vírgula ao quociente.

2 R 2  ( + 2)

R 2  (2 + 1) d) 4R 2 e) 2R 2

________________________________________________ O resultado da divisão de 25 por 4 é 6,25 ou seja, cada pessoa receberá 6 reais e 25 centavos.

MÓDULO VII

Utilizando uma fração para indicar a divisão, podemos representar a operação que fizemos da seguinte forma: FRAÇÕES Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2/5 de um bolo se dividir esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos duas dessas partes. Entretanto, se substituirmos o “bolo” por uma unidade qualquer, a fração 2/5 é um número e, como tal, possui seu lugar na reta numérica. Para fazer a marcação na reta numérica, dividimos a unidade em 5 partes e tomamos duas

Todas as frações podem ser representadas por números decimais. Basta dividir o numerador pelo dominador prolongando a operação. A máquina de calcular faz muito bem esse trabalho. Observe os exemplos.

Por outro lado, a fração é também o resultado da divisão de dois números; por exemplo, a fração 2/5, que é o resultado da divisão de 2 por 5. Observe o desenho a seguir:

COMO SE LÊ UMA FRAÇÃO FRAÇÃODIVISÃO

23

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] um meio

dois quintos

um terço

quatro sétimos

um quarto

sete oitavos

um quinto

quinze nonos

➢

Uma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimos o numerado e o denominador pelo mesmo número.

Para encontrarmos frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero. Exemplo: obter frações equivalentes à fração

um sexto

um décimo

um sétimo

um centésimo

(a)

3 .2

=

(d)

oito milésimos

(b)

10

3 .8

=

5 .8

28 80

fração ➢ Fração própria: o numerador é menor que o denominador:

9 12

=

80 : 2

3 4

24

( c)

40

3.100 5.100

14

(e)

40

28 : 4 80 : 4

9 12

.

80

=

300 500

7 20

, com termos menores, é

3 4

A

foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração

3 4

9 12

3 4

é uma fração

.

não pode ser simplificada, por isso é chamada de

fração irredutível. A fração

4 10 88 17 6 ; ; ; ; 3 8 82 12 5

=

pelo fator comum 3. Dizemos que a fração

A fração

➢ Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.

2

28 : 2

simplificada de

1 3 81 7 4 Ex: ; ; ; ; 3 8 82 12 6

1

=

Uma fração equivalente a

CLASSIFICAÇÃO DE UMA FRAÇÃO

Sabemos que a fração

6

28

um milésimo

um nono

Ex:

e

5

5 .2

um oitavo

3

3 4

não pode ser simplificada

porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum (não existe um número inteiro que divida o 3 e o 4 ao mesmo tempo)

é igual ao número decimal 0,5.

Exemplos de frações irredutíveis: (a)

FRAÇÕES IGUAIS OU EQUIVALENTES PROLONGADA 2 3 4 5 6 Entretanto, as frações: ; ; ; ; ;......são também iguais 4 6 8 10 12

(e)

a 0,5. Temos aqui um primeiro exemplo de frações iguais (equivalentes):

1 2

4 5

(b)

(f)

7 8

1 500

(c)

(g)

3 5

2 7

(d)

(h)

1 3

8 11

Como fazemos para obter frações iguais? A propriedade que enunciamos a seguir responde a essa pergunta.

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO SOMA E SUBTRAÇÃO DE DE FRAÇÕES FRAÇÕES

24

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected]

Temos que analisar dois casos: ➢ Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:

CASO 1) Denominadores iguais: Para somar ou subtrair frações com denominadores iguais, basta somar ou subtrair os numeradores e conservar o denominador.

2

2² 4 2 (a)   = = 3² 9 3

Observe os exemplos: (a)

8 11

(c)

7

+

=

11

6 2

4

7 7

7

- =

15 11

(b)

1 3

(d)

9

1

2

4

3

3

3

+ + =

-

2

-

4

-

1

13 13 13 13

5 2

=

2

3

5

31

4

12

(b)

4 3

7

3 4

12

- =

(c)

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES

(e)

➢ Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo: 4 5 20 (a) . = 3 7 21

125 8

________________________________________________ (01) Simplifique as frações abaixo.

Observe os exemplos: + =

2³

=

2

(a) 4

5³

7² 49 7 (C)   = = 5² 25 5

13

CASO 2) Denominadores diferentes para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações.

(a)

3

(b)   =

14 12 12 60

=

(b)

=

(d)

122 32

=

(f) -

42 36 27 24 15 45

=

=

=

________________________________________________ (02) Complete os espaços abaixo com os sinais de < (menor), > (maior) ou = (igual). (a)

3 15 45 (b) . = 11 7 77

(b)

1 5 4 7 140 (c) . . . = 3 2 3 8 144

(c)

➢ Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

(d) (e)

4 5 4 7 28 (a) : = . = 3 7 3 5 15

(f)

5 8 2

....

6 8

.....

10 2

3

5 5

.....

3 5

5 1

3

9 23 24 20

.....

.....

.....

25 20

50 3 4

2 2 7 14 (b) 3 = . = 4 3 4 12 7

________________________________________________

25

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] (03) Efetue: (a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

1

1

1

3

5

(04) Transforme as frações em números decimais aproximados. Dê as respostas com duas decimais. Entretanto, observe a terceira casa decimal. Se ela formenor que 5, mantenha o valor da segunda casa. Se ela for maior ou igual a 5, aumente de uma unidade a segunda casa (arredondamento).

+ + =

2

5 1 3

- - =

(a)

8 8 8 3

1

(b)

6

1 1

- =

(c)

4 6

3

4

- =

(d)

10 7 8 3

=

3

+ =

8

4

3

+ =

(e)

8

3 1 . = 2 3

(f)

1 2 7 . . = 3 5 4

(g)

2 3 3

=

=

7

4 11 29 13 3 2 5 6

=

=

= =

2 5 (i) = 3 4

________________________________________________ Fração Decimal: São frações em que os denominadores são potências de 10.

7 4 (j) : = 2 3

Ex:

(l)

3

2

;

;

1

;

3

;

1

;

51

;

7

;

6

;

3

10 10 10 100 1000 100 10000 100000 100000

OBS: Denominador 10 um número depois da vírgula, denominador 100 dois números depois da vírgula, denominador 1000 três números depois da vírgula e assim por diante.

7 4 2 3 5 : . . . = 2 3 4 7 2

Toda fração decimal é escrita da forma de um número decimal. Vejamos os exemplos abaixo:

(m) (2/3)² =

(a) (n) (1/5)³ = (b) 1 2 3 5 (o) + = 2 1 5 7

(c) (d)

________________________________________________

26

3 10 2 100 51

= três décimos; = dois centésimos;

1000 4

= cinqüenta e um milésimos;

10000

= quatro décimos de milésimos.

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] Devemos igualá-las antes de começarmos a divisão. Veja os exemplos abaixo. ➢ Transformando um número decimal em fração decimal:

MÓDULO VIII OPERAÇÕES COM DECIMAIS ➢ Na adição de números decimais devemos somar os algarismos de mesma ordem de unidades, décimo com décimo, centésimo com centésimo e assim por diante.

2

(a) 0,2 =

10 2

(c) 0,02 =

3,12 +

2,25 5,37

(c) 130,13 + 21,801

+

+

100 225 1000

(f) 171,502 =

100

171502 1000

➢ Potenciação: Na potenciação, efetuamos da mesma forma que aprendemos na potenciação de números naturais. Vejamos alguns exemplos:

0,3 (b) 0,3 + 0,81

213

(e) 2,13 =

31

(d) 0,225 =

100

Antes de iniciarmos a adição, devemos colocar vírgula embaixo de vírgula. Vejamos os exemplos:

(a) 3,12 + 2,25

(b) 0,31 =

(a) (0,2)² = (0,2).(0,2) = 0,04

0,81 1,11

(b) (1,2)³ = (1,2). (1,2). (1,2) = (1,44). (1,2) = 1,728

130,13

(c) (23,0012)0 = 1, pois qualquer número diferente de zero quando fica elevado a zero é igual a UM.

21,801 151,931

(d) (0,2009)1 = 0,2009

EXERCÍCIOS

➢ A subtração de números decimais é efetuada da mesma forma que a adição. Vejamos os exemplos:

________________________________________________ (01) Escreva o nome das frações abaixo:

3,12 (a) 3,12 - 2,25

-

2,25 0,87

(a) (b)

0,93 (b) 0,93 - 0,81

-

0,81 0,12

(c) (d)

Multiplicação: efetuamos a multiplicação normalmente. Em seguida contam-se as casas decimais de cada número e o produto fica com o número de casas decimais igual à soma das casas decimais dos fatores. Vejamos os exemplos:

2 48 62 (a) 8 ,7 11

10 7 100 15

= =

1000 11

=

10000

=

________________________________________________ (02) Transforme as frações decimais em números decimais e em porcentagem.

3,1 2,81 31

5

13,1 (a)

2,8 1248

(b)

262 (b) 38,68

(c)

➢ Divisão: Na divisão de números decimais, o dividendo e o divisor, devem ter o mesmo número de casas decimais.

(d)

27

5 10 7 100 15

= =

1000 11

=

10000

=

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] ________________________________________________ (03) Escreva a leitura dos seguintes números decimais:

(f) 2130,103 - 211,11 =

(a) 12,02 = (b) 1,1 = (g) 7 x 3,45 = (c) 15,207 = (d) 0,0008 = (h) 3,21 * 24,25 = ________________________________________________ (04) Transforme os números decimais em fração decimal: (a) 0,12 =

(b) 2,351 = (i) 9,9401 x 2,66 =

(c) 0,15 =

(d) 0,25 = (j) 50,2 : 4,3 =

(e) 102,13 =

(f) 71,5 =

(g) 66,103 =

(h) 571,5555 =

(l) 66,666 : 22,222 =

(m) (0,3)² = ________________________________________________ (05) Efetue: (a) 13,55 + 22,44 =

(n) (2,3)³ = (o) (2009,2010)0 =

(b) 10,03 + 0,801 = (p) (20,22)1 =

(q) Sendo A = (c) 530,16 + 41,8 =

x−y , onde x = 0,4 e y = 0,5 , então quanto x.y

vale A?

(r) (FUVEST-SP) Qual o valor da expressão abaixo, quando

(d) 8,01 - 7,21 =

a+b

a = 0,5 e b = 0,333...

1− a b

“Quando você tem uma meta, o que era um obstáculo passa a ser uma etapa de um de seus planos.” GERHARD ERCH BOEHME

(e) 10,93 - 8,88 =

28

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] P 3: Na potência de potência, o resultado é obtido conservando-se a base e multiplicando-se os expoentes.

MÓDULO IX POTENCIAÇÃO Existem expressões matemáticas que normalmente são resolvidas utilizando cálculos que demandam muito tempo. Pode-se porém, através de certas propriedades, simplificar estes cálculos. A potenciação utiliza propriedades básicas que minimizam o trabalho algébrico. Dado um número real “a” qualquer, sendo “n” um número natural, define-se por a potência n ao produto de a por a n vezes, ou seja

Verificação: n  a m  = a m .a m .a m .(...).a m     n vezes

CUIDADO!!!

nvezes  n  a m  = a m+ m+ m+...+ m = a m.n  

Conseqüências da Definição

P 4: Na potência de um produto de dois ou mais fatores pode ser obtido elevando-se cada termo ao mesmo expoente do produto.

Propriedades da Potenciação P 1: Na multiplicação de potências de mesma base, a potência resultante é obtida conservando-se a base e somando-se os expoentes.

Verificação:

(a.b)n = ( a.b)( . a.b)( . a.b)( . ...)( . a.b)   

Verificação:

n vezes

a m  a n = a.a.a.(...).a . a.a.a.(...).a     m vezes n vezes

(a.b)n = a.a.a. (... ).a.b.b.b. (...).b   n vezes

a m  a n = a.a.a.(...).a.a.a.a.(...).a = a m+n  (m + n ) vezes

n vezes

P 5: Como a divisão é conseqüência imediata da multiplicação, a propriedade 4 é válida também para potência de um quociente.

P 2: Na divisão de potências de mesma base, a potência resultante é obtida conservando-se a base e subtraindo-se os expoentes.

Com a  0 Exemplos Resolvidos ________________________________________________

29

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] 1 = 1.10− 2 100 2 b) 0,002 = = 2.10− 3 1000 231 c) 2,31 = = 231.10− 2 100 41 d) 0,0041 = = 41.10− 4 10000

01) Calcule as potências:

a) 0,01 =

a) 25 = 2.2.2.2.2. = 32 b) (- 2 )5 = (- 2 )( . - 2 )( . - 2 )( . - 2 )( . - 2 ) = −32 c) - 2 4 = −(2.2.2.2) = −16 d) (- 2 )4 = (- 2 )( . - 2 )( . - 2 )( . - 2 ) = 16 5 e)   2

−2

1

=

5   2

f) - (- 5)−2 = −  1 g)  -   2

−4

2

=

1

(- 5)2 4

1 4 = 25 25 4 =−

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

1 25

(− 2)4

 2 = -  =  1 14

=

A notação científica surgiu devido a necessidade de se contar números muito grandes ou absurdamente pequenos. Você já parou para pensar:

16 = 16 1

Quantos grãos de areia existem na praia? Quantas gotas de água há no Oceano Atlântico? Quantos fios de cabelos há na cabeça de todos os alunos da Escola Rosa Martins?

________________________________________________ 02) Passe para potência de uma única base: a) 57.511 = 57 +11 = 518 b) 57  511 = 57-11 = 5-4

Certamente que estes Números são absurdamente grandes.

c) 3k .3k -3 = 3k + (k -3) = 32k -3

Você já parou para pensar: Quantas toneladas pesa uma formiga?

4

d) 10 2  = 10 2.4 = 108  

Certamente que este Número é absurdamente pequeno. O uso desta notação está baseado nas potências de base 10 Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo:

________________________________________________ 03) Simplifique, aplicando as propriedades de potências: 3 a) (5.x.y)2 . 2.x 2 .y3  =   3 3 5 2.x 2 .y 2 .23. x 2 . y 3 = 25.x 2 .y 2 .8.x6 .y9 = 200.x8 .y11

m . 10e

( )( )

Onde: m é denominado mantissa e é a ordem de grandeza.

4 5 b)  a 2 .b  . a.b3  =     4 5 =  a 2  .b4 .a 5 . b 3  =     8 4 5 15 = a .b .a .b = a 8+5 .b4 + 15 = a13 .b19 28.510 c) = 28.510.2-5.5-6 = 25.56 = 28-5.510-6 = 23.54

A mantissa, em módulo, deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10, e a ordem de grandeza, dada sob a forma de expoente. Observe os exemplos de números grandes e pequenos e os transforme em notação científica. EXEMPLOS • • • • • • • •

________________________________________________ 04) Transforme as frações decimais em números decimais. 7 = 0,7 10 7 b) = 0,07 100 135 c) = 0,135 1000 3 d) = 0,00003 105 a)

600 000 30 000 000 500 000 000 000 000 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0,0004 0,00000001 0,0000000000000006 0,0000000000000000000000000000000000008

A representação desses números, como apresentada, traz pouco significado prático. Pode-se até pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. Porém, em áreas como a física e a química, esses valores são frequentes.

________________________________________________ 05) Transforme os números decimais em frações decimais.

30

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] 3  9 2   2 2.2       

Por exemplo: A maior distância observável do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 m (metros).

a) 2-30 b) 1

3

(a) (b) (c) (d)

10 2 100 51

em

, teremos :

c) 2-6 d) 236 e) n.d.a.

________________________________________________ 06) (CEFET-PR) Assinale a afirmativa correta:

A massa de um próton é aproximadamente 0,00000000000000000000000000167 kg (Kilogramas) ➢ Transformando frações decimais decimais e em porcentagem.

-3

2 2 2 2 2 a) 43 =  43  b) 43   43  c)  43  = 49       2 3 2 3 d)  43    4 2  e) 43 = 4 2    

números

________________________________________________ 07) (UNISINOS-RS) A expressão

= 0,3 = 0,30 = 3%;

x a-b , onde a  b é iagual a :

= 0,02 = 2 %; a) xa .x b

= 0,051 = 5,1%;

1000 4

c) xa : x b

b) 0

d) 1 1

10000

e) x

________________________________________________ 1

-1

08) (UEL -PR) A expressão  +  , para x  -y  0, é x y equivalente a:

= 0,0004 = 0,04%. EXERCÍCIOS

________________________________________________

1 25

b) 5−25

c)(- 25)5

d) 5−10 e)n.d.a

________________________________________________

x-y xy

c) 2 2x

2 d) 2 x − 4

1 x

e) − −

1 y

09) (S. CASA-SP) O valor da expressão

02) (FESP-SP)A expressão 2 x + 2  2 x − 2 é igual a: b) 2 4

xy x+y

d)

________________________________________________

a) 2 x

c)

( )5

01) (UNB-DF) A expressão 5−5 , é igual a: a) −

b) x -1 + y -1

a) x + y

a)

e) n.d.a.

1 2

b)

1 8

c)

4 15

d)

3−1 + 5−1 ,é: 2 −1

16 15

________________________________________________ 1 2

-3

1 2

-5

10) (FGV-SP)A expressão   +   é igual a:

________________________________________________ 03) (UFBA) Simplificando a expressão 6.10-3.10-4.108 , obteremos : 6.10- 1.10 4

1 a)   2

-8 b) 40

c)

1 40

d) - 40

________________________________________________ a) 100

b) 10-1 c)10-2 d) 10-3 e) n.d.a.

11) (PUC-SP) O valor da expressão

________________________________________________ 04) (UFSM-RS) Efetuando a divisão e x  e x −2 , teremos : a) e2

b) e-2 c) e2x

a) 10

b) 1000

c) 10-2

10 −3.105 10.10 4

d) 10-3

________________________________________________ 12) (PUC-SP) (0,5)4 é igual a :

d) e2x-2 e) n.d.a.

a) 0,125

______________________________________________ 05) (CESCEM-SP) Simplificando a expressão

b) 0,625

c) 0,00625

d) n.d.a.

________________________________________________ 13) (FUVEST-SP) O valor de (0,2)3 + (0,16)2 é igual a :

31

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] a) 0,0264

b) 0,0336

c) 0,1056

d) 0,2568

MÓDILO XI TRIGONOMETRIA BÁSICA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

________________________________________________ 14) (PUC-SP) Qual o valor de a) 3,2

b) 32

25  12,8 ? 100

c) 1,6

Exemplos resolvidos ________________________________________________ 01) Calcule os valores de x e y na figura

d) 16

MÓDULO X TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES

Km 10 -3

hm 10 -2

dm 10 -1

m 100=1

dc 101

cm 102

mm 103

Se a unidade for elevada ao quadrado, basta multiplicar o expoente correspondente por 2 Km 2 10 -6

hm 2 10 -4

dm 2 10 -2

m2 100=1

dc2 102

cm2 104

Calculo de y: y2 = 52 + 122 y2 = 169  y =13

mm2 106

Se a unidade for elevada ao cubo, basta multiplicar o expoente correspondente por 3

Calculo de x:

( 189)

2

Km 3 10 -9

hm 3 10 -6

Unidade (SI) metro ångström mícron polegada pé-lateral jarda parsec ano-luz

dm 3 10 -3

m3 100=1

Símbolo m Å μm pol(") pé(') jd pc a.l.

dc3 103

cm3 106

mm3 109

= x 2 + 132

189 – 169 = x2 x = 20  x = 2 5

Equivalência =1m = 10-10 m = 10-6 m = 2,54 x 10-2 m = 12 pol = 0,3048 m = 3 pés = 0,9144 m ~ 3,085 68 x 1016 m ~ 9,4 x 1015 m

________________________________________________ 02) Em um triângulo retângulo as medidas dos catetos são 8cm e 6cm. Determine a altura do triângulo relativamente à hipotenusa. Calculo da hipotenusa

Tabela de multiplos e submultiplos Fator prefixo Simbolo 10-12 pico P -9 10 nano n 10-6 micro μ 10-3 mile m 10-2 centi c -1 10 deci D 10-0 unidade u 10-1 deca Da 2 10 hector H 103 Kilo K 106 Mega M 109 Giga G 12 10 Tera T

a 2 = b2 + c2 a 2 = 82 + 62 a2 = 100  a = 10cm Calculo da altura

a.h = b.c

10.h = 8.6  h = 4,8cm

32

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected]

Relações Trigonométricas Dado um triângulo retângulo qualquer, definem-se três razões trigonométricas para os dois ângulos agudos do triângulo.

cos =

12 13

cos  =

5 13

Razão TANGENTE: a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão existente entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente ao ângulo.

 e  = ângulos agudos

Exemplo.

Razão SENO: O seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão existente entre as medidas do cateto oposto e da hipotenusa.

Exemplo:

tg =

12 5

tg =

5 12

Observações:

sen =

5 13

sen =

________________________________________________ 01) As razões trigonométricas mais empregadas nos problemas de Física ou Matemática são para os ângulos 30º, 45º e 60º, conforme tabela abaixo:

12 13

Razão COSSENO: O cosseno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão existente entre as medidas do cateto adjacente ao ângulo e da hipotenusa.

30º

45º

60º

Sen

1 2

Cos

3 2 3 3

2 2 2 2

3 2 1 2

1

3

tg

Exemplo:

________________________________________________ 02) Para os ângulos agudos  e  de um triângulo retângulo são verificadas as seguintes relações:

33

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] 05) (UFPA) Num triângulo retângulo ABC tem-se: Â= 90º; AB = 5 e BC = 6. Pede-se a tangente do ângulo B.

a)

11 5

b)

11 5

c)

6 5

d)

5 11 11

e)

5 6

Aplicações em aula ________________________________________________ 01) (UFMG) Num triângulo retângulo, um dos ângulos mede 60º. Se a hipotenusa mede “a”, o menor cateto mede:

________________________________________________ 10) (UFSE) Se nos triângulos retângulos, representados na figura ao lado, tem-se AB = 1, BC = 2 e AD =3, então CD é igual a:

a 3 2 a d) 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

a 2 2 a 2 e) 3

a)

b)

c)

a 3 3

________________________________________________ 02) (PUC-SP) Qual é o valor de x na figura?

________________________________________________ 11) (UFPA) Num triângulo retângulo, um cateto é o dobro do outro, e a hipotenusa mede 10m. A soma dos catetos mede: a)

3 3

5 3 3 20 3 e) 3

b)

d) 5 3

c)

10 3 3

a) 4 5m d) 10 5m

5

b)

7

c) 2 2

d) 2 3

c) 8 5m

e) 12 5m

________________________________________________ 13) (UNICAMP) Seja x um número real positivo tal que x, x + 1, e x + 2 sejam as medidas dos lados de um triangulo retângulo. Assinale, entre as alternativas abaixo, aquela que contem o perímetro desse triângulo.

________________________________________________ 03) (PUC-SP) Num triângulo retângulo cujos catetos medem 3 e 4 , a hipotenusa mede: a)

b) 6 5m

a) 10 b) 12 c) 11 d) 13 e) 15

e) n.d.a.

________________________________________________ 04) (CESGRANRIO) Uma rampa plana de 26m de comprimento faz ângulo de 30º com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente: a) 6 3m b) 12m c) 13,6m d) 9 3m e) 18m

________________________________________________

________________________________________________

34

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] 17) (PUC-BA) Na situação do mapa abaixo, deseja-se construir um estrada que ligue a cidade A a estrada BC, com o menor comprimento possível. Essa estrada medirá, em quilômetros:

A área de um triangulo de lados a, b e c é dada pela formula S = p.( p − a )( p − b )( p − c ) onde 2p = a + b + c. qual a área de um triangulo de lados 5, 6 e 7? a) 15

b) 21

c) 7 5

d)

210

e) 6 6

a) 24 b) 28 c) 30 d) 32 e) 40

________________________________________________ 19) (COVEST) A 100m da base, o prof. Paulo avista a extremidade de uma torre sob um ângulo de 60º com a horizontal. Qual a altura dessa torre? a) 60 3m

100 3 m 3 c) 100 3m

MÓDULO XII

b)

40 3 m 3 e) 50 2m d)

PROPORÇÃO Introdução Esta aula tem uma importância fundamental não apenas em Matemática, como também em Matemática Financeira, Física e Química. Toda vez que trabalhamos com comparação de grandezas, estamos utilizando os conceitos básicos de proporções. Razão A razão entre dois números é quociente do primeiro pelo segundo. Desta forma, a razão entre os números a e b, nesta ordem, é o quociente.

________________________________________________ 20) (FUVEST) Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 2 e a hipotenusa mede 6. A área do triangulo é: a) 2 2

b) 6

c) 4 2

d) 3

e)

6

Antecedent eConsequente A razão

a é lida da seguinte forma: b

“ a está para b “ onde (b  0) Proporção

________________________________________________ 22) (FUVEST)

Denomina-se proporção a igualdade entre duas ou mais razões. A igualdade

35

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected]

b)

Numa proporção. Os termos a e c são chamados de antecedentes da proporção e os termos b e d são conseqüentes. Outra denominação usual é termos extremos e meios, ou seja

x −3 x =  5  (x − 3) = 4  x  5x − 15 = 4x 4 5  5x − 4x = 15  x = 15

________________________________________________ 02) Calcule x e y na proporção x y = sabendo - se que x + y = 36 4 5

meios

extremos

•

x x+y x 36 =  = 4 4+5 4 9  9 x = 4  36  x = 4  4 = 16

•

y x+y y 36 =  = 5 4+5 5 9  9 y = 5  36  x = 5  4 = 20

Propriedades da Proporção As propriedades a seguir são verificadas em qualquer proporção. P 1. Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, ou seja:

Grandezas Diretamente Proporcionais Duas ou mais grandezas são classificadas como diretamente proporcionais quando, aumentando (diminuindo) uma delas, a outra (outras) aumenta (diminui) na mesma proporção.

a c =  b d

P 2. A proporção se verifica ao se somar os dois antecedentes e os correspondentes conseqüentes, ou seja: Grandezas Inversamente Proporcionais a c =  b d

Duas ou mais grandezas são classificadas como inversamente proporcionais quando, aumentando (diminuindo) uma delas, a outra (outras) diminui (aumentam) na proporção inversa.

P 3. A proporção se verifica ao se subtrair os dois antecedentes e os correspondentes conseqüentes, ou seja: Regra de Três Simples a c =  b d

A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvem grandezas direta ou inversamente proporcionais. Este processo consiste dos seguintes passos.

Observação: Existem outras propriedades que são conseqüências imediatas.

Exemplos Resolvidos

________________________________________________ 01) Calcule x nas seguintes proporções:

•

Reunir em uma coluna as grandezas de igual espécie e com a mesma unidade de medida.

•

Analisar as grandezas e classifica-las como direta ou inversamente proporcionais.

•

Obter a proporção correspondente e soluciona-la

Exemplos Resolvidos ________________________________________________

x 15 120 =  24  x = 8 15  x = =5 a) 8 24 24

36

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] 01) O professor Diego comprou 10 m de tecido e pagou R$ 600,00, qual o preço de 25 m do mesmo tecido?

tecido

2 20 =  20.x = 2 100 x 100  2x = 2.10  x = 10 horas

Ou seja: x = 10 horas ________________________________________________ 04) CANUTO comprou 5 kg de ração e pagou R$ 30,00, quanto custará 12 kg?

Preço ( R$ )

10 m

600,00

25 m

x

Arroz 5

Como aumentando a quantidade de metros de tecidos, percebemos que o preço também aumentará, logo temos que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja as setas estão no mesmo sentido.

5 30 =  5.x = 12  30 12 x  x = 12.6  x = 72 reais

________________________________________________ 02) A casa do professor PAULO é construída por 12 operários em 90 dias. Em quantos dias essa CASA seria construída por 36 operários?

Ou seja: x = R$ 72,00 MÓDULO XIII REGRA DE TRÊS

Tempo

12

90 dias

36

x

A regra de três composta é um processo prático utilizado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. Este processo consiste dos seguintes passos: • Reunir em uma coluna as grandezas de igual espécie e com a mesma unidade de medida. • Analisar as grandezas duas a duas, (em relação à que possui a incógnita), afim de verificar se são direta ou inversamente proporcionais. • Obter a proporção correspondente e solucioná-la Exemplos Resolvidos ________________________________________________ 01) A piscina da casa do professor DIEGO é construída em 12 dias por 40 operários, que trabalham 9 horas por dia. Em quantos dias 24 operários, trabalhando 5 horas por dia, poderiam construir a mesma piscina?

Como aumentando a quantidade de operários, percebemos que o tempo diminuirá, logo temos que as grandezas são inversamente proporcionais, ou seja as setas estão em sentido contrário. 12 x =  36 x = 12  90 36 90  3x = 90  x = 30 dias

Ou seja: x = 30 dias ________________________________________________ 03) O carro do professor DIEGO faz uma distância fixa em 2 horas com velocidade constante de 100 km/h. Com 20 km/h de velocidade quanto tempo fará o mesmo percurso?

dias 2h

x

x

Como temos grandezas proporcionais, as setas estão no mesmo sentido .

Ou seja: x = R$ 1500,00

Tempo

30

12

10 600 =  10x = 25  600 25 x  x = 25  60  x = 1500

Operários

Preço

velocidade

Invers. operários

horas

6

20

9

x

12

5

120 km/h 20 km/h Invers.

Como temos grandezas inversamente proporcionais, as setas estão em sentido contrário.

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ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] caracteres, utilizando 40 linhas em cada página, quantas páginas teria o novo livro?

6 12 5 6 12 5 ; ;  =  x 20 9 x 20 9 6 60  =  x = 18 x 180

________________________________________________ 06) Numa indústria, 18 operários, trabalhando 7 horas por dia, fazem determinado serviço em 24 dias. Em quantos dias, 12 operários, trabalhando 9 horas por dia farão o mesmo serviço?

Ou seja: x = 18 dias ________________________________________________ 02) O ciclista CAIO percorre 300 km em 8 dias, pedalando um total de 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 800 km, pedalando 4 horas por dia?

Diretam. dias km

________________________________________________ 07) Uma roda com 25 dentes está ligada através de engrenagens com outra roda de 20 dentes. Enquanto a segunda roda dá 600 voltas, quantas voltas dará a primeira.

horas

8

300

3

x

800

4

TESTES DE VESTIBULARES ________________________________________________ 01) (UF-RN) Uma gravura de forma retangular, medindo 20 cm, de largura e 35 cm de comprimento. Deve ser ampliada para 1,2 m de largura. O comprimento correspondente será:

Invers.

8 300 4 8 300 4 8 1200 ; ;  =   = x 800 3 x 800 3 x 2400 8 1  =  x = 16 x 2

a) 0,685 m b) 6,85 m c) 2,1 m d) 1,35 m e) 1,11 m ________________________________________________

Ou seja: x = 18 dias Aplicações em Aula ________________________________________________ 01) Calcule o valor de x e y, sabendo que

02) (FMJ-SP) A razão entre dois números é

x y = e 2 3

3 . Se a soma 8

do maior com o dobro do menor é 42, o maior deles é:

x + y = 20

a) 9

________________________________________________ 02) Uma fotografia tirada pelo Professor JÚNIOR tem 10 cm de largura e 15 cm de comprimento. Queremos ampliá-la de modo que seu comprimento tenha 18 cm. Então, na foto maior, calcule a largura.

b) 15

c) 24

d) 30

e) 42

________________________________________________ 03) (UF-ES) A escala da planta de um campo que será construído na EEEP PSVS, na qual o comprimento de 100 m foi representado por um segmento de 5 cm, é: a)

________________________________________________ 03) Dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais aos números 4, 2 e 3.

1 200

b)

1 1000

c)

1 2000

d)

1 10000

e) 1/20

________________________________________________ 04) (PUC-SP) Para que se verifique a igualdade

9 x 5 = = y 8 20

os valores de x e y devem ser, respectivamente: ________________________________________________ 04) Uma máquina, trabalhando durante 40 minutos, produz 200 peças iguais. Quantas peças serão produzidas (peças iguais) pela mesma máquina em 2 h 30 min?

a) 2e 5

b)

1 1 e 4 5

c) 5e 35

d) 2e 36 e) 3 e 17

________________________________________________ 05) (UMC-SP) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá:

________________________________________________ 05) Um livro de 240 páginas possui 30 linhas em cada página. Se o mesmo livro fosse reimpresso com os mesmos

38

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] a) 68 L

b) 70 L

c) 75 L

d) 80L e) 85 L

10) (USP) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-la durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas?

______________________________________________ 06) (UDF) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100 m² em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11900 m²?

a) 3

a) 7 horas b) 9 horas c) 5 horas d) 4 horas e) 3 horas

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

________________________________________________ 11) (S. CASA - SP) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias?

________________________________________________ 07) (PUC-SP) O pêndulo de um relógio cuco faz uma oscilação completa em cada segundo, e a cada oscilação do pêndulo o peso desce 0,02 mm. Em 24 horas, o peso desce aproximadamente:

a) 8

b) 10,5

c) 10,5

d) 13,5

e) 15,0

________________________________________________ 12) (FEP - PA) Para asfaltar 1 km da BR 222, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma BR, trabalhando 12 horas por dia gastarão:

a) 1,20 m b) 1,44 m c) 1,60 m d) 1,73 m e) 1,87 m

a) 6 dias b) 12 dias c) 24 dias d) 28 dias e) 32 dias ________________________________________________ 13) (FAAP - SP) Admitindo-se que a razão ideal do número de habitantes de uma cidade para cada metro quadrado de área verde fosse de 2 para 5, então, a população máxima que deveria ter uma cidade com 400 000 m² de área verde seria de:

________________________________________________ 08) (UF-BA) Sabe-se que das 520 galinhas do aviário da EEEP PSVS, 60 não foram vacinadas, e 92, vacinadas, morreram. Entre as galinhas vacinadas, a razão do número de mortas para o número de vivas é: 1 4 1 b) 5 4 c) 1 4 d) 5

a)

a) 16 000 hab b) 80 000 hab c) 160 000 hab d) 200 000 hab e) 230 000 hab

e) 0,5 ________________________________________________ 09) (PUC-SP) CANUTO e PAULO jogaram na loteria esportiva, sendo que o primeiro entrou com R$ 140,00 e o segundo com R$ 220,00. Ganharam um prêmio de R$ 162 000,00. Como deve ser rateado (repartido) o prêmio?

TESTES ESPECIAIS ________________________________________________ 14) (UNIMEP) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários: a) 4 gatos; b) 3 gatos; c) 2 gatos; d) 5 gatos; e) 6 gatos.

a) R$ 63 000,00 e R$ 99 000,00 b) R$ 70 000,00 e R$ 92 000,00 c) R$ 50 000,00 e R$ 112 000,00 d) R$ 54 000,00 e R$ 108 000,00 e) R$ 59 000,00 e R$ 143 000,00

________________________________________________ 15) (EFOA - MG) A professora EDNA desenhou um mapa desenhado na escala 1: 1000 000. Cada 2 cm medidos nesse mapa estão representado, na realidade:

________________________________________________

a) 2 000 km

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ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] b) 20 km c) 200 km d) 2 km e) 0,2 km

________________________________________________ 22) (PUC) Duas costureiras fazem 5 cortinas em 5 dias. Se duplicar o grau de dificuldade, três costureiras, com a mesma capacidade, farão três cortinas em:

________________________________________________ 16) (UFSM -RS) Uma ponte é feita em 120 dias por 16 trabalhadores. Se o número de trabalhadores for elevado para 24, o número de dias necessários para a construção da mesma ponte será:

a) 3 dias b) 4 dias c) 6 dias d) 8 dias e) 10 dias

a) 180 b) 128 c) 100 d) 80 e) 60 ________________________________________________ 17) (UDESC) Numa loja de ferragens, o preço do quilograma de prego é R$ 13,60 e o metro do fio é R$ 9,20. Adquiri nesta loja 700g de prego e 630 cm de fio. Quanto receberei de troco, se fiz o pagamento com uma nota R$ 100,00?

________________________________________________ 23) (UNESP) Caio fez uma viagem de 630 km. Teria gasto menos 4 dias se tivesse caminhado mais 10 km por dia. Quantos dias gastou na viagem e quantos quilômetros caminhou por dia?

________________________________________________ 24) (UNICAMP) Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em atos públicos considerando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas. Qual a estimativa do número de pessoas presentes numa praia de 4000 m² que tenha fixado lotada para um Show, segundo esta avaliação?

a) R$ 67,48 b) R$ 32,52 c) R$ 84,70 d) R$ 15,31 e) R$ 42,04 ________________________________________________ 18) (VUNESP) Segundo dados de um estudo, 100g de soja seca contêm 35g de proteínas e 100g de lentilha seca contêm 26g de proteínas. Suponhamos que uma pessoa, objetivando ingerir 70g de proteínas por dia, se alimentasse apenas com esses dois produtos. Se num certo dia sua alimentação incluísse 140g de soja seca, calcular a quantidade de lentilha que deveria incluir.

MÓDULO XIV PORCENTAGEM E JUROS SIMPLES Razão Centesimal As razões cujos conseqüentes são iguais a 100 são chamadas razões centesimais. Exemplos:

7 81 15 ; ; 100 100 100

________________________________________________ 19) (FUVEST) Um motorista de táxi percorre diariamente 200 km. Sabe-se que o preço de dois litros de álcool é R$ 3,80 e dois de gasolina é R$ 6,00. Um carro a álcool faz 7 km com dois litros e um carro a gasolina faz 8 km com dois litros. Qual a economia diária que o motorista fará se converter seu carro de gasolina para álcool?

Porcentagem Porcentagem ou percentagem é uma razão centesimal que é representada pelo símbolo % que significa por cento. Exemplos:

________________________________________________ 20) (UEM-PR) Uma montadora de automóveis demora 20 dias trabalhando 8 horas por dia, para produzir 400 veículos. Quantos dias serão necessários para produzir 500 veículos, trabalhando 10 horas por dia?

7 = 0,07 = 7% 100 81 = 0,81 = 81% 100 15 = 0,15 = 15% 100

________________________________________________ 21) (UNIFOR) Dividindo-se o número 204 em partes diretamente proporcionais aos números 4 e

1 , a menor das 4

partes será: a) 8

b) 12

c) 34

d) 48

Essa forma de representação (7%, 81%, 15%) chama-se taxa porcentual.

e) 68

40

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] Observação:

3100x = 372.100 x = 12

Os problemas que envolvem percentagem são resolvidos pelo mesmo processo de regra de três simples, onde as grandezas são diretamente proporcionais.

Portanto, 12%.

Exemplos resolvidos

Exemplo 4:

Exemplo 1: Em uma pesquisa sobre futebol, foram entrevistadas 840 pessoas. Destas, 25% torcem pelo time x. quantas pessoas, entre as entrevistadas, torcem pelo time x? %

Uma conta de R$ 1250,00 foi paga com atraso e sofreu uma multa de 3,5%. Calcule o valor pago.

pessoas

100

840

R$

%

1250,00 x

100 3,5

25

1250 100 = x 3,5

x

100 840 = 25 x

100x = 1250.3,5 . Logo

100.x = 840.25

R$ 43,75 + R$ 1250,00, ou seja, R$ 1293,75

x = 43,75 , Então,

x = 210 Portanto, 210 pessoas.

Importante: A partir de uma certa quantidade genérica x, observe as seguintes afirmações verdadeiras.

Exemplo 2:

0,15x =

% 100 x

15

x = 15% de x 100 8 0,08x = x = 8% de x. 100 37 0,37 x = x = 37% de x 100 15 1,15x = (1 + 0,15) x = x + x=x 100

Em uma escola com 1810 alunos, 1086 são meninas. Qual é a taxa porcentual de meninas? alunos 1810 1086

100 1810 = x 1086

mais 15% de x.

1,08x = (1 + 0,08) x = x +

1810.x = 100.1086 x = 60

8 x=x 100

mais 8% de x.

1,37 x = (1 + 0,37) x = x +

Portanto, 60%.

37 x=x 100

mais 37% de x.

Exemplo 3:

Juros simples

Um objeto foi comprado por R$ 3100,00 e revendido por R$ 3472,00. Determine a taxa percentual acrescida.

R$ 3100,00

Os problemas envolvendo juros simples são resolvidos através de uma formula envolvendo

% 100

c = capital i = taxa t = tempo e j = juros Esta formula é obtida através da regra de três composta, ou seja:

372,00 x

3100 100 = 372 x

41

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] Aplicações em aula ______________________________________________ 01) Se eu tivesse mais 20% da quantia que tenho, poderia pagar uma divida de R$ 88,00 e ainda ficaria com R$ 8,00. A quantia que possuo é:

“Considerando o capital 100 no tempo 1 produzindo a taxa i. o capital c no tempo t produzirá j”. capital 100 c

tempo 1 t

juros i j

________________________________________________ 02) (MACK-SP) Sobre uma divida de R$ 60.000,00, obteve-se um desconto de 10%. Sobre o restante, obtevese um outro desconto que reduziu a divida para R$ 43.200,00. o segundo desconto foi de quantos por cento?

Comparando com a grandeza juros, as grandezas capital e tempo são diretamente proporcionais, logo:

i 100 1 =  j c t

________________________________________________ 03) (PUC-SP) Uma pessoa tomou um empréstimo de RS 100.000,00 à taxa de juros de 10% ao mês. Após pagar, pontualmente, duas prestações mensais de R$ 20.000,00, quanto estará devendo? ________________________________________________ 04) (CESGRANRIO) No dia 1º de dezembro um lojista aumenta em 20% o preço de um artigo que custava R$ 3.000,00. Na liquidação após o Natal o mesmo artigo sofre um desconto de 20%. Seu preço de liquidação é:

i 100 = j c t 100  j = c  i  t Observação: Esta fórmula somente é válida quando a taxa e o tempo estiverem numa mesma unidade. Exemplos resolvidos ________________________________________________ 01) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 20000,00 empregando-se uma taxa de 35% ao mês durante 10 meses.

j=

J=?

________________________________________________ 05) (UNICAMP-SP) Alegando prejuízos com a inflação, um comerciante aumentou seus preços em 50%. Logo em seguida, notando grande queda nas vendas, anunciou um desconto geral de 50%. Qual foi a variação sofrida pelos preços em valores originais?

c.i.t 100 ________________________________________________ 06) (PUC-SP) Em um exame vestibular 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses candidatos, 20% optaram pelo curso de direito. Do total dos candidatos, qual a porcentagem dos que optaram por direito?

20000.35.10 i = 35% j = 100 j = 70000

t = 10 meses c = 20000

TESTES DE VESTIBULARES ________________________________________________ 01) (UF-GO) Se o passe de um jogador for vendido por R$ 10.000.000,00 com quanto ficaria o clube, sabendo-se que o jogador deve receber 15% do valor de seu passe?

________________________________________________ 02) Qual é a taxa que esteve empregado o capital de R$ 400.000,00 para render em 24 dias a quantia de R$ 4.800,00 de juros? i=? j = 4.800 t = 24 dias c = 400.000

j=

c.i.t 100

a) R$ 8.500.000,00 b) R$ 1.500.000,00 c) R$ 850.000,00 d) R$ 150.000,00 e) R$ 255.000,00

400000.i.24 4800 = 100 1,2 = 24.i i = 0,05%

________________________________________________ 02) (UFSC- SC) Após um aumento de vinte por cento um livro passa a custar RS 180,00. O preço antes do aumento era:

logo, 0,05% ao dia

42

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] a) R$ 150,00 b) R$ 144,00 c) R$ 140,00 d) R$ 160,00 e) R$ 170,00 ________________________________________________ 03) (CESGRANRIO) Numa turma, 80% dos alunos foram aprovados, 15% reprovados e os outros 6 alunos restantes desistiram do curso. Na turma havia:

a) 0,66 b) 0,066 c) 2,2 d) 6,6 e) 3,33 ________________________________________________ 10) (UFRN) Um trabalhador recebeu um aumento de 80% no seu salário, passando a receber a quantia de R$ 4.050,00. Quanto ganhava anteriormente?

a) 65 alunos b) 95 alunos c) 80 alunos d) 120 alunos e) 100 alunos ________________________________________________ 04) (FUVEST-SP) (10%)2 é igual a:

a) R$ 2.350,00 b) R$ 3.240,00 c) R$ 7.240,00 d) R$ 2.200,00 e) R$ 2.250,00

a) 1% b) 10% c) 20% d) 100% e) 200% ________________________________________________ 05) (CESCEA-SP) A razão

TESTES ESPECIAIS ______________________________________________ 11) (UDESC) Em uma loja de eletrodomésticos o preço de um liquidificador é R$ 840.000,00. O preço de um aspirador

5 pode ser representada por: 8

a) 63% b) 62,5% c) 54,5% d) 67,5% e) 75% ________________________________________________ 06) (CESCEM-SP) 3% de 0,009 vale: a) 0,00027 b) 0,0027 c) 0,00009 d) 0,09 e) 0,99 ________________________________________________ 07) (FGV-SP) Trinta por cento da quarta parte de 6400 é igual a: a) 480 b) 640 c) 240 d) 160 e) 120 ________________________________________________ 08) (UF - AL) Somando-se 20% de 5 com 0,5% de 20, obtém-se: a) 2 b) 1,1 c) 1,01 d) 0,11 e) 2,22 ________________________________________________ 09) (UF-RS) Seja x =

9−

de pó é

5 do preço do liquidificador. Na compra a vista 4

desses dois artigos, o vendedor oferece um desconto de 18%. Nessas condições se pagara na compra o valor de: a) R$ 1.559.200,00 b) R$ 1.855.200,00 c) R$ 1.239.830,00 d) R$ 1.549.800,00 e) R$ 1.856.980,00 ________________________________________________ 12) (UFSC) Paguei, com multa, R$ 180,00 por uma prestação cujo valor era de R$ 150,00. Qual a taxa percentual da multa?

________________________________________________ 13) (ACAFE-SP) Uma maquina depois de usada sofre uma desvalorização de 12% e é então avaliada em R$ 1.760,00. Qual era o valor dessa máquina antes de ser usada? a) R$ 3.308,80 b) R$ 2.400,00 c) R$ 2.000,00 d) R$ 1.548,80 e) R$ 1.466,66

6 + 52 − 4,8 então o valor de 5

0,3% de x é:

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ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] ________________________________________________ 14) (ACAFE-SC) Um recipiente está com 40litros de uma mistura de 10% de “A”, e 90% de “B”. Se acrescentarmos 20 litros de “A”, qual é a porcentagem de “A” na nova mistura?

19) (UNIMEP-SP) Numa industria, a produção anual, após acréscimos de 35% em relação à produção do ano anterior, foi de 1350 unidades. A produção do ano anterior foi de: a) 1000 unidades b) 1315 unidades c) 950 unidades d) 450 unidades e) 900 unidades

a) 4% b) 20% c) 24% d) 40% e) 60% ________________________________________________ 15) (ESAL-MG) Suponhamos que a taxa de inflação tenha sido igual a 20% nos meses de abril, maio e junho. Isto significa que a inflação acumulada nesses meses foi de: a) 60% b) 50% c) 68% d) 70% e) 72,8%

________________________________________________ 20) (ESAL-MG) Vendeu-se uma bicicleta por R$ 7.200,00 devido a 10% de desvalorização sobre seu preço de compra. Portanto, o valor de compra, imediatamente anterior a essa venda, foi, em reais: a) 8.000,00 b) 7.920,00 c) 7.292,00 d) 8.480,00 e) 8.200,00

________________________________________________ 16) (VUNESP) Se um entre cada 320 habitantes de uma cidade é engenheiro, então a porcentagem de engenheiros nessa cidade é dada por:

______________________________________________ 21) (CEFET-CE-01.2) Um automóvel com velocidade de 80 km/h percorre uma estrada em 1h e 30 min. Em quanto tempo esse automóvel percorrerá 3/5 da mesma estrada com 25% da velocidade inicial?

a) 0,32% b) 3,2% c) 0,3215% d) 0,3125% e) 3,125%

a) 3h36min b) 3h c) 3h20min d) 2h36min e) 3h30min

________________________________________________ 17) (DIR. CURITIBA) Há três meses atrás depositei na poupança R$ 100.000,00. No primeiro mês ela rendeu 16%; no segundo mês 10% e no terceiro mês 12%. Quanto tenho agora?

______________________________________________ 22) (CEFET-CE-01.2) Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros simples com taxa de 2% ao mês resultou no montante de R$ 880,00. Qual foi o tempo de aplicação em meses?

a) R$ 147.000,00 b) R$ 142.912,00 c) R$ 145.500,00 d) R$ 147.912,00 e) R$ 150.500,00

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

________________________________________________ 18) (UNISINOS-RS) Certa loja anuncia uma grande liquidação, com descontos de 50% em todos os seus produtos. Para continuar a receber o mesmo valor inicial, após efetuar o desconto anunciado, remarca seus preços em:

________________________________________________ 23) (FUVEST) Uma empresa vende uma mercadoria e vai receber o pagamento em duas prestações. A primeira no ato da venda e a segunda trinta dias após. Supondo que o preço a vista da mercadoria seja C reais, que o primeiro pagamento seja de C/3 reais e que a inflação nesses 30 dias seja de 25%, calcule o valor que deve ser cobrado no segundo pagamento de modo a compensar exatamente a inflação do período.

a) 50% b) 75% c) 100% d) 150% e) 200% ________________________________________________

________________________________________________

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ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] 24) (CEFET-CE-00) Um automóvel comprado por X foi vendido por 2X. A taxa de lucro calculada sobre a venda foi de:

c) 1250000,00 d) 1300000,00 e) 1350000,00 ________________________________________________ 29) (UFC) João comprou um produto por R$ 28,00 e Maria comprou o mesmo produto, em outra loja por R$ 35,00. Sabendo-se que Maria pagou A% a mais que João, determine o valor de A.

a) 50% b) 80% c) 90% d) 100% ________________________________________________ 25) (EUL - PR) Em uma liquidação, certo artigo está sendo vendido com desconto de 20% obre o preço T de tabela. Se o pagamento for efetuado em dinheiro, o preço com desconto sofre novo desconto, de 15%. Nesse caso, o preço final F será tal que:

________________________________________________ 30) (UFGO) Num sacolão que vende legumes variados por um preço único, domingo, foram vendidos 100kg de tomate, 200kg de batata, e 500kg de outras variedades. Sabendo-se que os legumes são comprados em caixas de 20kg a um preço de:

a) F = 0,35T b) F = 0,65T c) F = 0,68T d) F = 0,72T e) F = 1,35T

Caixa com Tomate Batata Outros 20kg Preço R$ 30,00 20,00 25,00 Qual deverá ser o total arrecadado com as vendas para que o lucro seja de 30% sobre o preço de custo?

________________________________________________ 26) (UFMS) Val e Caio querem dividir R$ 3.600,00, de modo que Val receba 80% da quantia que Caio receberá. A parte que caberá a Caio, em Reais, será: a) 1 500,00 b) 1 600,00 c) 1 800,00 d) 2 000,00 e) 2 400,00 ________________________________________________ 27) (UFGO) Numa pesquisa eleitoral, o candidato A teria 27% dos votos e o candidato B, 30% dos votos. Estes dados estão representados incorretamente no gráfico abaixo.

RAZÕES E PROPORÇÕES - EXERCÍCIOS ______________________________________________ 2 01) Se a razão entre dois números é 3 , a razão entre o

quádruplo do primeiro e a terça parte do segundo é igual a: A) 8.

B) 12.

C) 6.

D) 15.

______________________________________________ 02) (UERJ) Diego foi comprar papel para a impressora e observou que em cada pacote havia a seguinte especificação: 100 folhas de papel 75 g/m² no formato 215 mm x 315 mm O valor mais próximo, em kg, do conteúdo de cada pacote é: A) 0,5 B) 1,6 C) 2,3 D) 5,0 E) 6,5

Se, no gráfico acima, a coluna correspondente ao candidato A mede 3cm, quanto deve medir a coluna correspondente ao candidato B para que o gráfico represente corretamente os dados da pesquisa.

________________________________________________ 03) (OBM) PAULO imaginou que levaria 12 minutos para terminar a sua viagem, enquanto dirigia à velocidade constante de 80 km/h, numa certa rodovia. Para sua surpresa, levou 15 minutos. Com qual velocidade constante (em Km/h) essa previsão teria se realizado? A) 90 B) 95 C) 100 D) 110

________________________________________________ 28) (UFMT) O preço de venda de um determinado produto, em reais, é x. Um comerciante dá um desconto de 10% sobre o valor inicial x. em seguida, para aumentar ainda mais as vendas, dá um outro desconto de 20% sobre este ultimo valor. Com esses dois descontos o preço caiu para R$ 900000,00. O valor de x, em reais, é igual a: a) 1000000,00 b) 1150000,00

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ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] E) 120

________________________________________________ 04) Um pai dividiu uma quantia em dinheiro entre seus 4 1 3 8 filhos. O 1º recebeu do total, o segundo recebeu 5 do 1 total, o 3º recebeu 10 do total, e o 4º filho recebeu R$

________________________________________________ 08) (OBM) Um artesão começa a trabalhar às 8h e produz 6 braceletes a cada vinte minutos; seu auxiliar começa a trabalhar uma hora depois e produz 8 braceletes do mesmo tio a cada meia hora. O artesão pára de trabalhar às 12h mas avisa ao seu auxiliar que este deverá continuar trabalhando até produzir o mesmo que ele . a que horas o auxiliar irá parar?

420,00. O filho que ganhou mais quanto recebeu? A) R$ 1.400,00 B) R$ 1.440,00 C) R$ 1.600,00 D) R$ 2.400,00 E) R$ 3.600,00

A) 12h

________________________________________________ 05) (OBM) O conteúdo de uma garrafa de refrigerantes enche três copos grandes iguais e mais meio copo pequeno ou 5 desses copos pequenos iguais mais a metade de um daqueles grandes. Qual é a razão entre o volume de um copo pequeno e o de um grande? 2

A)

5

3

B)

7

5

7

C) 10

D)

9

A) 12 litros de refresco. C) 21 litros de refresco. E) 30 litros de refresco.

D) 4

A)7 000

B)16 : 1

C)12 : 1

D)40 : 3

B) 18 litros de refresco. D) 20 litros de refresco.

B)70 000

C)700000

D)7000000

E)70000000

________________________________________________ 11) (OMGABC-SP) Considere duas torneiras A e B e um tanque. A torneira A sozinha enche o tanque em 1h. Se abrirmos a torneira A, e após 20 min abrirmos também a torneira B, verificamos que o tanque estará cheio em mais 10 min. Supondo que as duas torneiras possuam vazões (volumes de líquido despejados no tanque por unidade de tempo) constantes, quanto temo à torneira B levaria para encher sozinha o tanque?

E) 5

________________________________________________ 07) (OBM) Em uma certa cidade, a razão entre o número de homens e mulheres é 2 : 3 e entre o número de mulheres e crianças é 8 : 1. A razão entre o número de adultos e crianças é: A)5 : 1

E) 4h30min

________________________________________________ 10) (OBM) Um galão de mel fornece energia suficiente para uma abelha voar 7 milhões de quilômetros. Quantas abelhas iguais a ela conseguiriam voar mil quilômetros se houvesse 10 galões de mel para serem compartilhados entre elas?

representa um número entre 0 e 1, na posição indicada no desenho ao lado. Qual é um possível valor para a soma a + b?

C) 3

D) 13h30min

3

E) 5

a b 06) (OBM) A fração , onde a e b são inteiros positivos,

B) 2

C)13h

________________________________________________ 09) (UFRRJ) Misturando suco concentrado líquido e água na proporção de uma parte de suco para três de água, fizemos 24 litros de refresco. Se tivéssemos misturado a mesma quantidade de suco concentrado, na proporção de duas partes de suco para cinco de água, teríamos conseguido fazer

________________________________________________

A) 1

B) 12h30min

A) 10 min

E)13 : 1

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B) 20 min

C) 30 min

D) 40 min

E) 50 min

ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] D) mais de 83 rotações em 1 segundo. E) mais de 70.000 rotações em 1 hora.

________________________________________________ 15) (OBM) Marcos quer pesar uma banana, uma maçã e um mamão numa balança de dois pratos. Em cada uma das figuras, a balança está em equilíbrio, isto é: os conteúdos que estão no prato da direita têm o mesmo peso que os que estão no prato da esquerda. O peso de metal é de 200 gramas. Podemos afirmar que o peso total das três frutas é:

________________________________________________ 12) (PRF) João e Maria acertaram seus relógios às 14 horas do dia 7 de março. O relógio de João adianta 20 s por dia e o de Maria atrasa 16 s por dia. Dias depois, João e Maria se encontraram e notaram uma diferença de 4 minutos e 30 segundos entre os horários que seus relógios marcavam. Qual é a alternativa correta. A) Eles se encontraram em 15/04 B) Eles se encontraram em 14/03 C) Eles se encontraram em 16/03 D) Eles se encontraram às 2h da manhã do dia 15/03 E) Eles se encontraram às 7h da manhã do dia 15/03

A) 250 g

________________________________________________ 13) (CEFET-SP) Extraído da soja, da mamona ou do dendê, o biodiesel ainda é inviável economicamente e precisa de pesados subsídios governamentais para ganhar mercado. Na tentativa de incentivar o uso do biodiesel, o governo sancionou uma lei determinando que, a partir de 2008, o diesel vendido nos postos contenha 2% de óleo ecológico. Os entraves à produção, no entanto, serão um obstáculo para o cumprimento da lei.

B) 300 g

C) 350 g

D) 400 g

E) 450 g

________________________________________________ 16) (OBM) Uma cidade ainda não tem iluminação elétrica e todos usam velas à noite. Na casa de João usa-se uma vela por noite, sem queimá-la totalmente. Com os tocos de quatro destas velas, é possível fazer uma nova vela. Durante quantas noites João poderá iluminar sua casa com 43 velas? A) 43

B) 53

C) 56

D) 57

E) 60

(Exame, 26.04.2006)

COMBUSTÍVEL ESCASSO

PRODUÇÃO ÁREA PLANTADA

HOJE 70 milhões de litros 80 mil hectares

PARA CUMPRIR A META

820 milhões de litros

? mil hectares

Por lei, 2% de biocombustível deverá ser adicionado ao diesel a partir de 2008. mas não há produção suficiente. (Ministério do desenvolvimento Agrário) O quadro mostra a situação atual e a meta a ser cumprida. Mantendo-se a mesma produtividade por hectare, pode-se concluir que para uma produção de 820 milhões de litros de biodiesel, a área plantada deverá ser de, aproximadamente, A) 718 mil hectares. B) 774 mil hectares. C) 830 mil hectares.

________________________________________________ 17) (OMGABC-SP) Ao perguntar a idade do professor, um aluno recebeu do mesmo a seguinte “charada”: Juntos temos sete vezes a idade que você tinha quando eu tinha o dobro da idade que você tem. Daqui a dez anos eu terei o dobro da idade que você tiver. Se “P” é a idade do professor, e “A” a idade do aluno, podemos afirmar que:

D) 890 mil hectares. E) 939 mil hectares.

A) P = 6A

________________________________________________ 14) (PRF) Se o motor de um automóvel funciona em um regime constante de 2.500 rotações por minuto (rpm), então esse motor realiza. Qual é a alternativa correta.

B)P = A + 20

C) P = 2A

D)P = A + 30

E) P = 3A

________________________________________________ 18) (EXPCEX) José e Maria, acompanhados de seu filho Pedro, queriam se pesar. Para tanto, utilizaram uma balança defeituosa que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Desta forma, eles se pesaram, dois a dois, e obtiveram os seguintes resultados:

1 A) menos de 1.000 rotações em 2 minuto.

B) exatamente 250 rotações em 10 segundos. C) menos de 175 rotações em 4 segundos.

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ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] José e Pedro: 87 kg José e Maria: 123 kg Maria e Pedro: 66 kg

A) 10 km.

B) 11 km.

C) 12 km.

D) 13 km.

14 km.

Diante desses resultados, pode-se concluir que: A) Cada um deles pesa menos que 60 kg. B) Dois deles pesam mais de 60 kg. C) José é mais pesado que Maria e Pedro juntos. D) Maria é a mais pesada dos três. E) O peso de Maria é a média aritmética dos pesos de José e Pedro.

________________________________________________ 24) (SARESP-SP) Um mapa rodoviário possui escala 1 cm para 50 km. Se a distância entre duas cidades, medida nesse mapa, é de 2,5 cm, calcule qual é a distância entre essas cidades na realidade.

________________________________________________ 19) (ETE-SP) Para uma viagem, a capacidade de passageiros de um barco de turismo é equivalente ou a 30 adultos ou a 36 crianças. Se 24 crianças já estão a bordo desse barco, o número máximo de adultos que ainda podem embarcar é de A) 6.

B) 8.

C) 10.

D) 12.

A) 35 km

E) 14.

B) 144

C) 146

D) 148

C) 90 km

D) 12 km

E)25 km

________________________________________________ 25) (FGV-SP) Observe as figuras seguintes. A figura 1 foi ampliada para a figura 2 e esta também foi ampliada para a figura 3.

________________________________________________ 20) (OBM) O limite de peso que um caminhão pode transportar corresponde a 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se este caminhão já contém 32 sacos de areia, quantos tijolos, no máximo, ele ainda pode carregar? A) 132

B) 65 km

E) 152

________________________________________________ 21) (ETE-SP) Marcelo viajava de avião, quando, pelo altofalante, o comandante do vôo deu uma série de informações técnicas, entre elas, a de que estavam voando a uma altitude de 18 000 pés. Como está acostumado com o sistema métrico decimal. Marcelo ficou curioso e assim que chegou a seu destino fez uma pesquisa e descobriu que a unidade de medida pé equivale aproximadamente a 30 cm. Então, determinou que a altitude do avião, em metros, era A) 5,4 B) 54 C) 540 D)5 400 E)54 000

O fator de ampliação da figura 2 para a figura 3 é 7 A) 4 .

________________________________________________ 22) (UNIDERP-MS) Para cumprir o programa de Matemática para um concurso, um professor necessita de 50 minutos de aula, 3 vezes por semana, durante 20 semanas. Reduzindo-se esse prazo para 15 semanas, o número de horas semanais necessárias para cumprir o programa será de: A) 3 horas. D) 4 horas. B) 3 horas e 20 minutos. E) 4 horas e 25 minutos. C) 3 horas e 30 minutos. ________________________________________________ 23) (ESPCEX) Roberto, dirigindo seu carro a uma velocidade média de 40 km/h, de casa até o seu local de trabalho, chegou 1 minuto atrasado para o início do expediente. No dia seguinte, saindo no mesmo horário e percorrendo o mesmo trajeto, a uma velocidade média de 45 km/h, chegou 1 minuto adiantado. A distância de casa de Roberto até o seu local de trabalho é

3 B) 2 .

4 3 C) .

5 D) 4 .

7 E) 6 .

________________________________________________ 26) (SARESP) O galo maior da figura é uma ampliação perfeita do menor. Então

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ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected]

SUDOKU – O VÍCIO QUE FAZ BEM

OP OQ = A) OP OQ . OP PQ  B) OP PQ . C) PQ e PQ são perpendiculares.

D) PQ e PQ não são paralelos.

A palavra Sudoku significa “número sozinho” em japonês, o que mostra concisamente o objetivo do jogo. O Sudoku existe desde a década de 70, mas começou a ganhar popularidade no final de 2004 quando começou a ser publicado diariamente na sessão de Puzzles do jornal The Times. Entre Abril e Maio de 2005 o puzzle começou a ganhar um espaço na publicação de outros jornais Britânicos e, poucos meses depois, ganhou popularidade mundial.

________________________________________________ (CEFET-SP) As questões de números 29 a 30 baseiam-se no seguinte texto: O Metrô de São Paulo, a Infraero e a Companhia Paulista de Trens Metropolitanos (CPTM) estarão, em até três meses, fazendo convites aos interessados em apresentar projetos para o Expresso Aeroporto, um trem de alta velocidade que ligará a Estação Barra Funda do Metrô, na capital paulista, ao Aeroporto de Cumbica, em Guarulhos. Já existe um estudo, feito pela CPTM e a Infraero, que mostra o investimento necessário para a construção do trem, aproveitando a faixa de terra onde já existem as linhas da CPTM.

Objetivo e regras: Completar o tabuleiro com números de 1 à 9 sem que esses números se repitam nas linhas horizontais e verticais do tabuleiro e sem que esses números se repitam dentro de cada quadrado 3×3.

(O Estado de S.Paulo, 28.05.2006)

Estudos comprovam que o jogo estimula e melhora:

________________________________________________ 29) Do investimento total necessário para a construção do Expresso Aeroporto, previu-se que 3/5 viriam da iniciativa privada, 1/4 do Estado, e os restantes US$ 75 milhões, da Infraero, que operaria os terminais. O investimento total previsto para a construção do Expresso Aeroporto é de A) US$ 500 milhões. B) US$ 350 milhões. C) US$ 300 milhões. D) US$ 250 milhões. E) US$ 125 milhões.

1) A perspicácia (saber observar e desenvolver o raciocínio lógico); 2) A paciência (perseverar no desenvolvimento de tarefas difíceis e prolongadas); 3) A determinação (coragem para seguir em frente e não desistir quando obstáculos ou dificuldades aparecerem); 4) A perseverança (persistir de forma livre e constante para lograr seus objetivos); 5) A competência (capacidade de lidar com determinada tarefa); 6) A flexibilidade ( saber adaptar-se ao grau de dificuldade oferecido); 7) O aprender através da tentativa e erro (a solução final de cada jogo tem uma e apenas uma única solução);

________________________________________________ 30) De acordo com a questão anterior, pode-se afirmar que a razão entre os valores dos investimentos da Infraero e da iniciativa privada é de A) 1:3. B) 1:4. C) 2:3. D) 3:5. E) 3:7.

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ANTONIO FRANCISCO CANUTO DO NASCIMENTO RODRIGUES MESTRE EM MATEMÁTICA – UFPI (DOCENTE DO IFCE – TIANGUÁ) [email protected] 8) A vontade de enfrentar o desafio (sair de sua “zona de conforto”); 9) O planejamento (para ir atingindo as metas e, ao final, o objetivo); 10) A concentração (dirigir o pensamento de forma intensa para a realização de algo); 11) O foco (concentrar atenção e energia em alguma tarefa); 12) O desenvolvimento de estratégias (planejamento e execução de ações visando alcançar um objetivo préestabelecido); 13) O “abrir-se ao novo” (a cada jogo um novo planejamento e uma nova estratégia devem ser desenvolvidos); 14) A lógica (coerência de raciocínio, de idéias, que levam à alguma conclusão). “O senhor é nosso pastor e nada nos faltará”

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