AyG I - U6 - R3 - 134 a 174
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Unidad VI: Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Ecuaciones de la recta en el espacio. Ecuaciones del plano en el espacio. Planos especiales. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas, entre planos y entre rectas y planos. Ángulo entre rectas, entre planos y entre rectas y planos. Distancia entre dos rectas, entre dos planos, entre recta y plano, de un punto a un plano y de un punto a una recta. Intersección entre dos rectas, entre recta y plano, y entre planos.
En esta unidad nos proponemos hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos (en el espacio) y darla en todas sus formas, hallar la ecuación del plano que pasa por tres puntos conocidos y darla en todas sus formas, reconocer los planos especiales (paralelos a ejes o a planos cartesianos), hallar rectas y planos paralelos, perpendiculares o bien que se corten en un punto, calcular el ángulo entre dos rectas, entre dos planos, entre recta y plano, calcular distancias entre dos rectas, entre dos planos o entre recta y plano reconociendo las condiciones que deben cumplirse en cada caso para poder hacerlo, realizar construcciones geométricas encontrando elementos del espacio que se nos pidan con alguna condición establecida
Prof Miryam Chiacchiarini 134
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO (
)
Comenzamos.. RECTAS EN EL ESPACIO: Formas de escribirlas Nos proponeos hallar la ecuación de una recta en el espacio y sus formas de ser expresada. Tal como hicimos para las rectas en el plano, empezaremos diciendo que por un axioma de la geometría, sabemos que por dos puntos del espacio (lo mismo que dijimos para puntos en el plano) pasa una única recta. También sabemos encontrar el vector que “conecta” a dos puntos y por último diremos que: para definir una recta nos alcanza con conocer un punto por el cual pase y una dirección (vector director) Analizando el siguiente esquema, vamos a encontrar la ecuación de una recta en el espacio ( )
Sean
dos puntos del espacio, de coordenadas
Por estos dos puntos pasa una única recta
) y
(
(
).
.
La dirección de la recta será la dirección del vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , al cual llamaremos vector ⃗ o “vector director” El vector director es ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
) . O sea: ⃗
(
(
Ahora, queremos hallar las coordenadas de un punto cualquiera de la recta (genérico) al que hemos denominado punto ( ) Observamos en el esquema que: ⃗⃗⃗⃗⃗ Ahora bien, el vector ⃗⃗⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
⃗ )
Prof Miryam Chiacchiarini 135
)
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Y por otro lado: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)
Luego: ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
(
)
(
)
(
)
⃗
Podemos decir que: (
)
(
)
(
)
Esta es la ECUACION VECTORIAL de la recta en Veamos esto con un ejemplo: Hallar la recta
que pase por el punto
) y el punto
(
(
)
Lo primero que haremos es construir, con esos dos puntos, el vector director al cual llamaremos vector ⃗ . Entonces es: ⃗ ( ) Dados estos datos nos queda cómodo pensar la ecuación vectorial de la recta, de la siguiente forma: (
)
(
( )
) (
(
)
)
(
)
Notemos que en la forma vectorial de la ecuación de la recta podemos leer muy fácil y claramente un punto por donde pasa la recta y su vector director.
Ahora vamos a iniciar un despeje para encontrar otra forma de expresar una recta en el espacio. Partimos de la expresión: ( (
) )
(
(
)
(
) )
Notemos que estamos en presencia de una igualdad entre vectores, de donde nos queda:
{ Ésta es la llamada ECUACIÓN PARAMÉTRICA de la recta puesto que está definida en función del parámetro que hemos denominado . En ésta forma de expresar una recta podemos leer también un punto por donde pasa la recta y su vector director. Vamos a buscar la forma paramétrica del ejemplo que estamos desarrollando. Veníamos de la forma vectorial que era: Prof Miryam Chiacchiarini 136
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 (
) (
Entonces:
( )
)
(
)
(
)
{
Desde la paramétrica seguimos despejando como se muestra a continuación:
{
{
Dado que las tres expresiones representan al mismo parámetro, podemos concluir que:
Ésta es la llamada ECUACIÓN CARTESIANA o ECUACIÓN SIMÉTRICA de una recta en el espacio. Busquemos la ecuación cartesiana del ejemplo que venimos desarrollando partiendo desde la expresión paramétrica que ya teníamos vista anteriormente {
, esto nos lleva a que:
Tal como hemos mencionado en los apuntes sobre “Rectas en el plano”, para hacer todo este desarrollo y encontrar las maneras de nombrar una recta en el espacio hemos considerado que en el vector director, ninguna de las componentes es cero. Si esto sucede, es decir si alguna de las componentes del vector director fuera nula, NO ESCRIBIREMOS la recta en su forma cartesiana, solo lo haremos en vectorial o paramétrica. Por ejemplo, vamos a considerar la recta
(
)
(
)
(
)
Para ella solo tendremos la forma vectorial (que ya fue mencionada) y la paramétrica quedando de la siguiente manera: {
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: 1) a) Hallar la recta
que pasa por los puntos:
) y
(
(
)
b) Expresarla en todas las formas posibles RECTAS EN EL ESPACIO: Posiciones relativas 1) PARALELAS NO COINCIDENTES: Dadas dos rectas en el espacio , cuyos directores son respectivamente ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , diremos que son paralelas no coincidentes, si tienen direcciones paralelas y ningún punto de una de ellas pertenece a la otra. Es decir que: ⃗⃗⃗⃗
si y solo sí
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
o, lo que es equivalente, ⃗⃗⃗⃗
y además si
2) PARALELAS COINCIDENTES: Dadas dos rectas en el espacio , cuyos directores son respectivamente ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , diremos que son paralelas coincidentes, si tienen direcciones paralelas y todos los puntos de una de ellas pertenecen a la otra. Es decir que: ⃗⃗⃗⃗
si y solo sí
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
o, lo que es equivalente, ⃗⃗⃗⃗
y además si
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS:
1) Dadas las rectas:
y
{
decidir y justificar si
son paralelas coincidentes o no coincidentes 2) Los vectores ⃗
(
) y
(
) son los directores de las rectas
respectivamente. Si te informan que , hallar el o los valores de para que esa característica se cumpla. Expresar las rectas en su forma vectorial de modo que sean paralelas no coincidentes
3) Cuando vimos este tema en el apunte de Rectas en el plano, mencionamos que un corolario de la definición afirma que: “Dos rectas en el plano son paralelas si tienen normales paralelos”. ¿Sigue siendo válida esta forma de definir paralelismo en el espacio? Prof Miryam Chiacchiarini 138
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 3) INCIDENTES: Diremos que dos rectas en el espacio son incidentes si se intersectan en un punto, es decir si su intersección es un solo punto. Es claro que para que ésta situación se verifique las direcciones de las rectas no deben ser paralelas. Un caso particular de incidencia es cuando las rectas, al cruzarse, forman ángulo recto. En este caso diremos que las rectas son perpendiculares. O sea que dos rectas en el espacio son perpendiculares si sus directores lo son. si y solo sí ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
siendo ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ los directores de
.
Un detalle necesario es conocer cómo hallar el punto de encuentro cuando dos rectas se intersectan. Veremos esto con un ejemplo: Sean las siguientes dos rectas: (
)
(
(
)
y
)
Analizamos sus directores, como primer paso. De las ecuaciones respectivas notamos ( ) y que ⃗⃗⃗⃗ que ⃗⃗⃗⃗ ( ) Vemos si ellos son paralelos, es decir nos proponemos encontrar (si existiera) un valor de que verifique que ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
(
)
(
)
(
)
(
)
{
Se puede deducir, entonces que NO HAY un único valor del parámetro, lo cual nos indica que no son paralelos los directores y, por ende, no son paralelas las rectas. Nos proponemos hallar el punto de encuentro entre ellas. El punto de intersección entre las rectas (cuando lo hay) es un punto que PERTENECE A AMBAS RECTAS, o sea que verifica las dos ecuaciones simultáneamente. La forma mas práctica de buscarlo es llevar ambas rectas a su forma paramétrica e igualar las componentes.
(
)
(
)
(
)
{
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020
{ Como hemos dicho, si el punto ( ) es el punto de intersección, debe pertenecer a las dos rectas y por tanto, verificar ambas ecuaciones. Esto nos lleva a decir que: (1)
(2)
(3)
Con lo que obtuvimos tres ecuaciones y dos incógnitas. De la ecuación (3) sabemos que
Vamos a reemplazar este dato en la ecuación (2): (
)
Volviendo a la ecuación (3), nos queda: que
Ahora, habiendo obtenido un valor para cada parámetro, solo resta verificar con la ecuación que no hemos utilizado (en éste caso, ecuación (1)) Esto
es:
expresión
VERDADERA que nos indica que los valores hallados, de los parámetros, son los correctos. Una vez obtenidos los valores para cada uno de los parámetros, procedemos a encontrar el punto de intersección.
{
{
{
{ Notamos que en ambas rectas llegamos al mismo punto que es
(
)
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS:
1) Dadas las rectas:
{
y
decidir y justificar si son
perpendiculares Prof Miryam Chiacchiarini 140
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 2) Hallar una recta que sea perpendicular a la recta ¿Es única esa recta?
(
)
(
)
(
).
3) ALABEADAS: En el espacio aparece una nueva posición relativa entre las rectas que no se cortan pero tampoco son paralelas. A este tipo de rectas se las conoce como Rectas Alabeadas. La forma de visualizar un par de rectas alabeadas es a través de una caja, pensándolas como las rectas que contienen lados de la caja. Las rectas alabeadas están contenidas en planos distintos, lo que nos lleva a una observación importante que nos va a ser útil mas adelante y es la siguiente: NO HAY UN PLANO QUE CONTENGA A DOS RECTAS ALABEADAS Veamos esta posición en el siguiente gráfico…
𝐿 𝑦 𝐿 son Alabeadas
𝐿 𝑦 𝐿 son Alabeadas
𝐿 𝑦 𝐿 son Alabeadas
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: 1) Observando el gráfico siguiente, completar cada línea punteada con la posición relativa de cada par de rectas 𝐿 𝑦 𝐿 son ………………………………… 𝐿 𝑦 𝐿 son ………………………………… 𝐿 𝑦 𝐿 son ………………………………… 𝐿 𝑦 𝐿 son ………………………………… 𝐿 𝑦 𝐿 son ………………………………… 𝐿 𝑦 𝐿 son …………………………………
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 2) Dadas las siguientes tres rectas en el espacio, estudiar la posición entre cada par de ellas: (
)
(
)
(
)
{
RECTAS EN EL ESPACIO: Ángulo entre ellas Sean dos rectas en el espacio: vectores ⃗⃗⃗⃗
cuyos vectores directores son, respectivamente los
⃗⃗⃗⃗ , diremos que el ángulo entre ambas rectas es el ángulo entre sus
vectores directores con la aclaración que, consideraremos el ÁNGULO AGUDO (al cual se lo denomina argumento principal) Según lo dicho, se tiene que:
𝜃
𝑎𝑛𝑔 (𝐿
𝐿 )
𝑎𝑛𝑔 (𝑢 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢 ⃗⃗⃗⃗ )
Para calcular el ángulo entre 2 vectores usábamos la fórmula: cos 𝜃
𝑢 𝑢 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑢 𝑢 ⃗⃗⃗⃗
Pero recordemos que hemos dicho que se va a tomar el Ángulo agudo o argumento principal. Para ese ángulo, el coseno es POSITIVO, entonces la fórmula queda establecida así:
Nótese que para calcular el ángulo entre rectas hemos colocado en la expresión de la fórmula, al producto escalar del numerador ENTRE BARRAS DE VALOR ABSOLUTO Otra aclaración importante: hemos visto las posiciones que pueden tomar, en el espacio, dos rectas. Una de ellas es la condición de rectas alabeadas. Aclaración: En este curso calcularemos el ángulo entre rectas alabeadas de la forma enunciada mas arriba aunque ellas no se corten. Prof Miryam Chiacchiarini 142
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Volviendo a las rectas estudiadas en la actividad anterior: (
)
(
)
(
)
{
Para las que hayan resultado ser Incidentes o Alabeadas calcular el ángulo que forman PLANOS EN EL ESPACIO: Formas de escribirlos Por Axioma de la geometría euclidiana, sabemos que: dados tres puntos, no alineados, en el espacio pasa un único plano que los contiene. Nos proponemos encontrar la manera de escribir el plano que contiene a esos tres puntos. El plano puede escribirse de tres formas distintas: la Forma General (o Implícita), la Forma Vectorial y la Forma Segmentaria. Se los nombra con letras griegas. Al igual que pasaba con las expresiones de las rectas, cada una de estas formas de escribir al plano en el espacio nos proporcionará distinta información. Vamos a comenzar buscando la Forma Implícita o General del plano , para lo cual vamos a necesitar observar y analizar el esquema presentado en forma gráfica Tenemos los puntos conocidos: (𝑥 𝑦 𝑧 ) ; 𝑃 𝑃 (𝑥 𝑦 𝑧 ) y 𝑃
(𝑥
𝑦
𝑧 )
Vamos a armar los vectores 𝑢 ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑃 y 𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃 𝑃 de la siguiente
forma: 𝑢 ⃗
(𝑥
𝑥
𝑦
𝑦
𝑧
𝑧 )
𝑣
(𝑥
𝑥
𝑦
𝑦
𝑧
𝑧 )
Buscamos ahora un vector perpendicular a los dos, al que llamaremos el NORMAL del plano y lo haremos calculando el Producto vectorial entre ellos. Esto es: ⃗
⃗
Para simplificar y continuar diremos que ⃗
(
) Prof Miryam Chiacchiarini 143
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Ahora bien, observemos el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) , cuyo extremo es un punto desconocido pero perteneciente al plano que generan los otros dos.
Ese vector es también perpendicular al normal del plano (el normal del plano es perpendicular a cualquier vector perteneciente a él, que podamos armar con cualquier par de puntos pertenecientes al plano).
Se tiene entonces que ⃗
Entonces (
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , lo cual implica que ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)
(
)(
(
)
)
(
(
)
)
En este punto vamos a mencionar que como el punto
(
) pertenece al plano, debe
verificar su ecuación. Esto nos lleva a notar que
Volvemos al desarrollo que se tenía en el renglón de arriba y lo completamos, quedando la expresión de la siguiente forma:
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: 1) Hallar la ecuación general o implícita del plano que contiene a los puntos: , ( )y ( ) 2) Hallar el plano mediatriz del segmento ̅̅̅̅ siendo Vamos a buscar, ahora, la Forma Vectorial de un
( plano
) y
(
(
)
)
, observando de nuevo el
esquema con el que empezamos antes
Prof Miryam Chiacchiarini 144
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Iniciamos el razonamiento como antes, diciendo que podemos armar el vector 𝑢 ⃗ que “conecta” a los puntos 𝑃 𝑦 𝑃 y también podemos armar el vector 𝑣 que “conecta” a los puntos 𝑃 𝑦 𝑃 . El vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃 𝑃 lo podemos pensar como la suma de una parte de 𝑢 ⃗ y una parte de 𝑣 Esto es: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑃
Ahora, nos proponemos encontrar al vector ⃗⃗⃗⃗⃗ Se tiene: ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Dicho de otro modo: (
)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
(
𝜆 𝑢 ⃗
𝜆 𝑣
)
⃗ )
⃗
Esta es la Ecuación Vectorial del plano en la cual podemos leer un punto y sus dos vectores directores.
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Dada la recta
, Hallar el plano perpendicular a la recta que pasa por el
origen de coordenadas. Una vez hallado expresarlo en forma implícita y en forma vectorial. Nos proponemos, ahora, expresar el plano en su forma segmentaria. Sea el plano un despeje de la siguiente forma:
Ahora vamos a dividir por (
, expresado en su forma implícita vamos a desarrollar
) a toda la expresión, para obtener como resultado un .
Vamos a darle nombre a los denominadores, para simplificar la expresión de la siguiente forma: Prof Miryam Chiacchiarini 145
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Luego, la expresión anterior nos quedará
Y ésta es la forma Segmentaria del plano en el espacio. Notemos lo siguiente: ésto significa que el punto plano
(
) pertenece al
(
) pertenece al
y, además, es el punto donde el plano corta al eje Y. ésto significa que el punto
plano
) pertenece al
y, además, es el punto donde el plano corta al eje Z. ésto significa que el punto
plano
(
y, además es el punto donde el plano corta al eje X.
Luego, la forma segmentaria del plano nos dice en qué puntos el plano se intersecta con los ejes coordenados. Gráficamente eso sería:
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: 1) Hallar el plano que contiene a los puntos
(
);
(
) y
(
)
en su forma implícita y llevarlo a la forma segmentaria. 2) El plano
, al intersectar con los planos coordenados forma un cuerpo en
el primer octante. Calcular el volumen de dicho cuerpo. Prof Miryam Chiacchiarini 146
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 PLANOS ESPECIALES Hemos visto la manera de hallar la ecuación de un plano y las distintas formas de ser expresado. Ahora estudiaremos planos tales que, en su ecuación, una o mas variables no aparecen y los llamaremos “Planos especiales” o “Casos particulares”. Ejemplo 1: Sea en su ecuación.
, su normal será el vector ⃗
(
) , la variable
no aparece
Pero a esta ecuación también podemos pensarla como sigue: Con esto queremos mostrar que puede tomar cualquier valor en ya que al multiplicarse por cero, dará cero. Por otro lado, si consideramos nos quedarían graficados los puntos de la recta sobre el plano XY, pero no debemos olvidar que es la variable libre, es decir que esa recta estaría tomando sucesivas posiciones cuando tomara valores libres pasando por todos los reales. En síntesis, el gráfico de ese plano quedaría paralelo al eje Z, como se muestra en el esquema siguiente:
Ejemplo 2: Analizamos, ahora, el plano esta ecuación.
. La variable
, es la que no aparece en
Tomando , en e plano XZ queda la recta pero como está tomando todos los valores reales, ese plano será paralelo al eje Y y lo mostramos en el siguiente gráfico:
Prof Miryam Chiacchiarini 147
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Hacer el gráfico, en el espacio, del plano Ejemplo 3: Proponemos analizar el plano . Podemos también pensarla como lo que implica que hay 2 variables libres tomando sucesivamente todos los números ( ) . Los puntos reales. Ahora las que no aparecen son la y la . El normal será ⃗ que conforman este plano tienen un número 5 en su componente en X y van variando libremente las otras dos componentes. Esto nos lleva a concluir que este plano será paralelo al plano YZ y lo mostramos en el siguiente gráfico:
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: 1) Hacer el gráfico, en el espacio, del plano 2) Hacer el gráfico, en el espacio, del plano
Prof Miryam Chiacchiarini 148
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 PLANOS EN EL ESPACIO: Posiciones relativas entre dos planos Dados dos planos en el espacio, ellos pueden tener infinitos puntos de intersección o ninguno.
Pensemos los planos en su forma implícita:
El o los puntos de encuentro entre ellos será la solución del sistema de ecuaciones que podemos plantear de la siguiente forma: {
En el cual puede notarse que nunca obtendremos Rango igual a 3 que sería el número de incógnitas, razón por la cual este sistema NUNCA SERA COMPATIBLE DETERMINADO. Esto significa que dos planos en el espacio NUNCA se intersectarán en UN PUNTO. Veamos esto gráficamente. Las posiciones que pueden adoptar dos planos en el espacio son:
Queda dicho entonces que dos planos en el espacio pueden ser: a) Paralelos Coincidentes: es decir tienen normales paralelos y cada punto de uno de ellos pertenece al otro b) Paralelos (No Coincidentes): es decir tienen normales paralelos pero ningún punto de uno de ellos pertenece al otro. c) Secantes: su intersección es una recta Prof Miryam Chiacchiarini 149
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Veamos esto con ejemplos: 1) Analizar la posición relativa entre los planos: y De ésta forma de escribir a los planos podemos leer sus normales ⃗⃗⃗⃗
) y ⃗⃗⃗⃗
(
(
)
Claramente observamos que existe el número 2 tal que ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (son múltiplos, son paralelos). Ahora nos queda ver si un punto del primero pertenece al segundo y así concluir que son paralelos coincidentes… Tomamos un punto . Un punto que podemos usar sería los alumnos corroborar que verifica la ecuación del primer plano).
(
) (queda a
Ahora veamos si este punto verifica la ecuación del segundo (
)
Con lo visto anteriormente podemos afirmar que el punto , luego ningún punto del primer plano pertenece al segundo. O sea: (No coincidentes) 2) Analizar la posición relativa entre los planos: y De ésta forma de escribir a los planos podemos leer sus normales ⃗⃗⃗⃗
) y ⃗⃗⃗⃗
(
(
)
Claramente observamos que no son paralelos, entonces tienen intersección. Lo buscamos resolviendo el sistema de ecuaciones que ellos plantean
[
]
𝑓
[
]
𝑓 → 𝑓
[
]
𝑓 → 𝑓
Llegamos a que el sistema es Compatible Indeterminado. Vamos a buscar su Solución General ( ) { La variable que hemos despejado, la llevamos a la ecuación (1) y nos queda:
Prof Miryam Chiacchiarini 150
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 (
)
(
)
En este punto (notemos que hasta aquí sabíamos trabajar cuando se vio la unidad de Sistemas de Ecuaciones Lineales), como es la variable libre vamos a llamar a entonces la solución general queda:
{
Esta es, entonces la ecuación paramétrica de la recta que es la intersección entre los dos planos analizados. A ese procedimiento lo vamos a llamar “Parametrización del sistema de ecuaciones” Podemos observar de esta recta que pasa por el punto ⃗
(
(
) y su director es
)
Otra forma de llegar a la recta planos y también
es considerar que como
es la intersección de los dos
Cuando una recta está contenida en un plano se verifica que: ⃗⃗⃗⃗ entonces se debe cumplir que ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ , en este caso
Ya hemos utilizado varias veces la idea de que el producto vectorial nos da un vector perpendicular a os otros dos simultáneamente, entonces buscaremos el director de la recta haciendo el producto vectorial entre los dos normales. ⃗⃗⃗⃗ Llegaríamos entonces a que ⃗⃗⃗⃗ producto vectorial).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (se deja a los alumnos resolver ese
(
Ahora necesitaríamos buscar un punto que verifique ambas ecuaciones en simultáneo, esto se hace por tanteo (dando valores a las variables…). Se puede comprobar que un punto que cumple con las 2 ecuaciones es el punto ( ). Con los datos obtenidos, armamos la recta manera: (
)
(
)
en su forma vectorial de la siguiente (
)
Prof Miryam Chiacchiarini 151
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 PLANOS EN EL ESPACIO: Posiciones relativas entre tres planos Para estudiar la posición relativa de tres planos emplearemos, al igual que lo hicimos cuando estudiamos las posiciones entre 2 planos, sus ecuaciones implícitas o generales y las trabajaremos como sistema de ecuaciones lineales . Entonces, dados tres planos:
Armaremos las dos matrices representativas del sistema que son:
] y
[
[
]
Con estas matrices creadas, ahora analizaremos situaciones que pueden suceder respecto a sus rangos y a la compatibilidad del sistema Caso I Si
( )
(
)
entonces el sistema es Compatible Indeterminado pero las
últimas 2 ecuaciones (2 planos) se anularon quedando solo la primera ecuación. Esto significa que los tres planos son el mismo plano. PLANOS COINCIDENTES…
Caso II Si entonces el sistema es Incompatible pero dado que nos quedó ( ) ( ) la matriz M, de rango 1 significa que hay planos paralelos. Lo que nos resta saber es si hay planos coincidentes. Si hubieran planos coincidentes, entonces 2 planos son el mismo y el tercero es paralelo. Si no hay planos coincidentes, entonces los 3 son paralelos y distintos Prof Miryam Chiacchiarini 152
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020
Caso III Si entonces el sistema es Compatible Indeterminado, lo que nos ( ) ( ) está indicando que los planos tienen una recta en común pero falta saber si hay planos coincidentes. Si no hay planos coincidentes, entonces los 3 planos se intersectan en una recta. Si hay planos coincidentes, 2 planos son el mismo y el tercero los atraviesa.
Caso IV Si entonces el sistema es Incompatible pero por tener rango 2 la ( ) ( ) matriz M, sabemos que hay planos secantes. Ahora lo que resta saber es si hay planos paralelos. Si existen planos paralelos, entonces el tercero los atraviesa con lo cual no hay una recta común a los tres en simultaneo Si no existen planos paralelos, entonces los planos son secantes, se dice que se cortan “dos a dos”. Forman un prisma en el espacio Prof Miryam Chiacchiarini 153
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020
Caso V Si entonces el sistema es Compatible Determinado. Los tres planos se ( ) ( ) encuentran en un punto
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: En cada caso estudiar la posición relativa de los planos que se presentan y hacer el esquema de cada situación a) {
b) {
c) {
d) {
Prof Miryam Chiacchiarini 154
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 POSICIONES relativas entre RECTAS y PLANOS en el espacio
Dados una recta
(
)
(
)
) y un plano
(
Las posiciones que puede tomar la recta respecto del plano son:
d) La recta es paralela al plano: En este caso el director de la recta es perpendicular al normal del plano y ningún punto de ella pertenece al plano. En símbolos esto sería: ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
(
) . Como siempre, para analizar si estos dos
vectores mencionados son perpendiculares buscamos saber si su producto escalar es cero. En el esquema está representada la posición:
e) La recta está contenida en el plano: En este caso el director de la recta también es perpendicular al normal del plano pero todos los puntos de ella pertenecen al plano (nos basta con probar si un punto de la recta verifica la ecuación del plano para saber que todos los demás lo harán). En símbolos esto sería:
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
. Como
Prof Miryam Chiacchiarini 155
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 siempre, para analizar si estos dos vectores mencionados son perpendiculares buscamos saber si su producto escalar es cero. En el esquema está representada la posición:
f) La recta es incidente al plano: es decir que la recta intersecta al plano en un punto. En símbolos sería:
. En este caso el director de la recta no es perpendicular al
normal del plano.
Prof Miryam Chiacchiarini 156
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Si, en particular, el director de la recta y el normal del plano fueran paralelos, resulta que la recta es perpendicular al plano y en símbolos escribiremos
. Este sería un
caso particular de incidencia entre recta y plano.
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Dado el plano
y las rectas: y
a) Estudiar la posición relativa entre
y
b) Estudiar la posición relativa entre
y
{
. Si son incidentes, dar el punto de intersección
entre ambos. c) Dar una recta
paralela a
(no contenida)
d) Dar una recta
perpendicular a
que pase por el punto
e) Hallar un plano
que contenga a
y al punto
f) Hallar un plano
que sea paralelo a las rectas
(
)
del inciso anterior y
simultáneamente
ANGULO entre PLANOS EN EL ESPACIO Dados dos planos en el espacio, , diremos que el ángulo que se forma entre ellos es igual al ángulo agudo que se forma entre sus respectivos normales. En símbolos, eso sería: (
)
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
.
Prof Miryam Chiacchiarini 157
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Sabíamos calcular el ángulo entre dos vectores utilizando la fórmula, solo que tenemos que colocarla entre barras de valor absoluto para que el coseno sea positivo y así asegurarnos que estaos tomando el ángulo agudo. Se tiene, entonces lo siguiente:
En el siguiente esquema, se muestra la situación
ÁNGULO entre RECTAS y PLANOS en el espacio
Dados una recta
y un plano
,en el espacio, se cuenta con un vector director de la recta ⃗
y un vector normal al plano ⃗ . Sabemos calcular el ángulo entre ellos que, según lo vemos en el esquema es el ángulo ̂ y nos quedaría así: cos ̂
|⃗
⃗|
⃗
⃗
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020
Pero el ángulo entre la recta y el plano no es ése, sino que es el ángulo ̂ y ese ángulo es complementario del ángulo ̂ que nosotros podemos calcular. Por trigonometría sabemos que el coseno de un ángulo es igual al seno de su complementario. Aplicando esto en nuestro caso se tiene que cos ̂
̂
|⃗
⃗|
⃗
⃗
Luego, la fórmula queda:
DISTANCIAS: Punto a plano Observando el esquema vamos a ir anotando datos y haciendo deducciones… Se tiene un punto 𝑃
𝜋 tal que 𝑃
(𝑥 𝑦 𝑧)
También se tiene al normal del plano, a través de la ecuación implícita del mismo. Es decir 𝑛⃗ (𝑎 𝑏 𝑐) La distancia que queremos medir es la menor distancia, o sea la que se toma en forma perpendicular al plano y la nombramos 𝑑 Es sencillo, también, encontrar un punto que pertenezca al plano
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Entonces
es tal que
(
Podemos construir el vector ⃗⃗⃗⃗⃗
) (
)
Lo mismo que hemos razonado en otras ocasiones, concluiremos que la distancia es la norma de la proyección del vector ⃗⃗⃗⃗⃗ sobre el normal del plano. Esto es:
‖
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
Entonces: |⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ |
|(
) (
⃗
)|
|
|
√
√
|
| √
Hemos dicho que el punto entonces tenemos que:
pertenece al plano y esto significa que verifica su ecuación,
Concluiremos entonces en que la fórmula para calcular distancia de un punto a un plano en el espacio es la siguiente:
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: a) Dado el plano los separa.
y el punto
(
) calcular la distancia que
b) Calcular la distancia encontrada en el punto anterior (mediante la fórmula) pero a través de una construcción geométrica y verificar el resultado. c) Hallar el o los puntos de la recta
que se encuentran a √
unidades
del plano d) Analizar en qué situación se podrá calcular la distancia de una recta a un plano y cómo la calcularía Prof Miryam Chiacchiarini 160
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 e) Analizar en qué situación se podrá calcular la distancia de un plano a otro plano y cómo la calcularía DISTANCIAS: Recta a plano Los últimos dos incisos de la actividad anterior dejaron planteados los interrogantes que dicen, respectivamente, bajo qué condiciones se puede calcular la distancia de recta a plano y entre dos planos. Retomemos la definición de distancia en la que se establece que tomaremos “la menor separación” entre los entes considerados. Por eso es que las distancias siempre se han medido en forma perpendicular. Bajo este criterio, si una recta intersecta al plano en un punto, la menor distancia se produce en ese punto de intersección y vale cero. O sea que si la recta y el plano son incidentes su distancia es cero. Por lo tanto, solo se podrá buscar una distancia entre recta y plano si ellos son paralelos. En el caso que sea , la distancia entre recta y plano se reduce a calcular distancia de cualquier punto de la recta hasta el plano ya que la misma se conservará a lo largo de todo el recorrido. Para ello utilizamos la fórmula vista en página 159. El esquema muestra la situación…
Veamos este con un ejemplo: Dada la recta
y el plano
{
, verificar que son
paralelos y encontrar la distancia entre ellos 1° paso: extraemos los datos importantes de la consigna como punto y director de la recta y normal del plano. Se tiene: ( ) , ⃗ ( ) y ⃗ ( ) 2° paso: vemos que sea escalar entre ellos. Es decir: ⃗
⃗
(
. Esto sucede si ⃗ ) (
⃗ y lo verificamos haciendo producto
)
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Hemos podido comprobar que los vectores son perpendiculares, entonces el plano y la recta son paralelos. 3° paso: tomo un punto de la recta (el que me da su ecuación, por ejemplo) y calculo distancia de punto a plano utilizando la fórmula Queda entonces:
(
|
)
|
√
| | √
√
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: En cada caso indicar la distancia de la recta al plano propuestos: a)
y
b)
y
{
DISTANCIAS: Plano a plano En forma análoga y bajo el mismo criterio de la “menor distancia” si un plano intersecta al otro plano en una recta, la menor de las distancias entre ellos será cero. Entonces solo se podrá buscar distancia de un plano a otro si ellos son paralelos (no coincidentes) En el caso que sea , la distancia entre ellos se reduce a calcular distancia de cualquier punto del plano hasta el otro plano, ya que la misma se conservará a lo largo de todo el recorrido. Para ello utilizamos la fórmula vista en página 159. El esquema muestra la situación…
Veamos esto con un ejemplo
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Dados los planos
y el plano
, verificar que
son paralelos y encontrar la distancia entre ellos 1° paso: extraemos los datos importantes de la consigna como el normal de cada plano. Se tiene: ⃗⃗⃗⃗
(
y ⃗⃗⃗⃗⃗
)
2° paso: vemos que sea Notamos que : ⃗⃗⃗⃗
).
(
. Esto sucede si ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ o lo que es lo mismo si ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , entonces los planos son paralelos.
Falta ver que no sean coincidentes. Consideramos un punto del plano , que puede ser, por ejemplo, el punto Este punto se busca probando valores que verifiquen la ecuación.
(
).
Llevamos ese punto a la ecuación del otro plano para comprobar que no la verifica. Veamos:
(
)
(
)
Esto indica que el punto del primer plano no pertenece al segundo plano, entonces son paralelos no coincidentes. 3° paso: tomo un punto del primer plano (que puede ser el mismo que consideramos recién) y calculo distancia de punto a plano utilizando la fórmula Queda entonces:
|
(
)
(
)
|
√
| | √
√
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Dados los siguientes planos, calcular la distancia en la situación en que ésta no sea cero y encontrar la recta intersección en caso contrario: ;
;
DISTANCIAS: Punto a recta Veremos la forma de calcular la distancia de un punto no perteneciente a una recta, en el espacio. Nos ayudaremos con el siguiente esquema: Prof Miryam Chiacchiarini 163
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Se tiene el punto 𝑃 son 𝑃 (𝑥 𝑦 𝑧)
𝐿 cuyas coordenadas
Por otro lado se tiene el punto 𝑄 𝐿 cuyas coordenadas son 𝑄 (𝑥 𝑦 𝑧 ) Fácilmente podemos crear el vector ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝑃 y contamos con el director de la recta como elemento conocido. En el esquema vemos que entre el vector ⃗⃗⃗⃗⃗ y el director se forma un 𝑄𝑃 paralelogramo.
Ahora pensemos en el área del paralelogramo formado. ‖⃗⃗⃗⃗⃗
Por un lado sabemos que:
⃗ ‖ (1)
Pero, por otro lado el área se calcula como el producto de la longitud de la base por la altura del paralelogramo. Esto es:
⃗
(2) puesto que la distancia que estamos
buscando es la altura de la figura. Dado que ambas expresiones representan el área del paralelogramo, podemos igualarlas y nos quedará entonces: ‖⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ‖ ⃗ De donde la distancia buscada será:
Veamos esto con un ejemplo Dado el punto
) y la recta
(
, encontrar la distancia entre
ellos 1° paso: extraemos los datos importantes de la consigna como el punto de la recta y su director. Se tiene: ⃗
(
)
y
(
).
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 2° paso: veamos que el punto
no pertenezca a la recta. Ponemos las coordenadas del
punto en la ecuación de la recta para comprobar que no la verifica, de la siguiente forma: resultó que: 3° paso: tomo un punto de ⃗⃗⃗⃗⃗
(
la recta
) , para formar el vector del esquema
(
) entonces ⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
4° paso: hacemos el producto vectorial de la fórmula ⃗⃗⃗⃗⃗ alumnos pero el vector es
) y su norma ‖⃗⃗⃗⃗⃗
(
⃗‖
⃗ . Se deja el cálculo a los √
5° paso: aplicamos la fórmula para calcular la distancia pedida ‖⃗⃗⃗⃗⃗
⃗‖
√
⃗
√
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Calcular la distancia del punto
(
) a la recta
(
)
(
)
(
DISTANCIAS: Recta a recta Analicemos cuáles son las posiciones que pueden adoptar dos rectas en el espacio. 1) Si las rectas son paralelas coincidentes, su distancia será cero.
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)
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 2) Si las rectas son paralelas no coincidentes, su distancia se mantendrá constante a lo largo de todo el recorrido y la calcularemos tomando cualquier punto de la primera hacia la segunda con la fórmula encontrada en el apartado anterior.
3) Si las rectas son incidentes y su intersección es un punto
, su distancia será cero porque
vamos a tomar la menor separación entre ellas y esto se produce en el punto de encuentro.
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 4) Si son Alabeadas veremos un razonamiento para encontrar la fórmula que nos permita calcular la distancia entre ellas
La distancia entre estas dos rectas, como en todos los casos, se toma en forma perpendicular. Es sencillo encontrar una dirección perpendicular a ambas (a través del producto vectorial de los directores) y a este vector que podemos encontrar lo llamaremos “normal”. Es decir que tenemos ⃗
⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗
El problema serio es encontrar los puntos de cada una de las rectas para armar una perpendicular a las dos simultáneamente. Lo que podemos hacer es un vector que “conecte” a un punto de la primera recta con un punto de la segunda como se ve en el gráfico. A ese vector lo llamaremos ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y lo calcularemos así: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
Podemos concluir entonces, que la norma de la proyección del vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sobre la dirección perpendicular que pudimos obtener será la distancia buscada. En resumen:
‖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
Ahora desarrollamos esta expresión aplicando la fórmula que sabemos acerca de la norma de una proyección y se tiene que
‖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Es decir
Veamos esto con un ejemplo Dadas las rectas
y
, encontrar la distancia
{
entre ellas 1° paso: extraemos los datos importantes de la consigna como puntos de las rectas y directores. Se tiene: ⃗⃗⃗⃗ ( ) y ⃗⃗⃗⃗ ( ) . Además: ( ) y ( ) Se deja a los alumnos la tarea de estudiar la posición de las rectas pero son Alabeadas. 2° paso: Buscamos el vector que nos dará la dirección perpendicular a las dos rectas, a través del producto vectorial de los directores. ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
|
|
⃗
(
)
3° paso: Buscamos el vector que conecta a un punto de la primera recta con un punto de la ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) segunda al que llamaremos ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4° paso: hacemos el producto escalar de la fórmula ⃗
5° paso: Buscamos la norma del vector normal ⃗
(
) (
)
⃗
√
(
).
√
6° paso: Aplicamos la fórmula de cálculo de distancias con los datos que fuimos obteniendo y nos queda:
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| √
| √
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Al inicio de la unidad vimos cómo se puede analizar la posición relativa entre dos rectas y básicamente consistía en: Analizar los directores para ver si fueran múltiplos entonces poder concluir que las rectas son paralelas. Si esto no sucedía se buscaba el punto de encuentro entre ellas, igualando las componentes en su versión paramétrica y tratando de encontrar un valor único para cada parámetro y así llegar al punto de intersección. Si esto no nos resultaba posible, porque aparecía en el desarrollo un absurdo matemático, entonces se concluía que eran alabeadas pero nos quedaba todavía encontrar la distancia entre ellas que lo haríamos con la fórmula que acabamos de deducir. La fórmula mencionada y encontrada mas arriba viene a facilitarnos mucho todo ese proceso de la siguiente forma: 1) Hacemos el producto vectorial entre los directores. Si este producto vectorial nos condujera al vector nulo, entonces los directores son paralelos y por ende, las rectas son paralelas. 2) Si ese producto vectorial nos diera un vector distinto del vector nulo, seguimos con el producto escalar entre ese vector y el que armamos para conectar un punto de la primer recta con un punto de la segunda. Si ese producto escalar es cero, indica que el numerador de la fórmula será cero y entonces la distancia será cero. Este hecho nos lleva a concluir que son incidentes (notemos que no podrían ser paralelas coincidentes ya que no tienen vectores directores múltiplos entre sí, cosa que concluimos después del primer paso) 3) Ahora bien, si el producto escalar dio un valor no nulo, concluimos que son Alabeadas, seguimos por el cálculo de la norma del primer vector hallado (el normal) y ya tenemos, además, el valor de la distancia entre ellas ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Dadas las siguientes rectas en el espacio (
)
{
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Utilizar la fórmula vista para analizar la posición en que se encuentran a)
b)
c)
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 PROYECCIONES EN EL ESPACIO En este punto nos proponemos proyectar puntos o rectas sobre planos y lo haremos de dos formas: 1) Proyección ortogonal 2) Proyección siguiendo la dirección dada por una recta
PROYECCION ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO Sea un plano perteneciente a él.
en el espacio tridimensional y un punto P no
Para proyectar el punto P sobre el plano 𝜋 , en forma ortogonal, vamos a crear un recta
auxiliar 𝐿 , que será perpendicular al plano y pasará por el punto P. Para esto utilizamos el vector normal del plano como director de la recta y le daremos a la recta el punto P. Así nos quedará la recta 𝐿 en su versión vectorial. Luego, buscaremos la intersección entre la
recta y el plano, lo que nos dará un punto. Entonces se tiene: 𝐿
El punto hallado sobre el plano ( ) , es la proyección ortogonal de
Si lo que se quiere es proyectar ortogonalmente una recta
𝜋
𝑃
sobre
, sobre un plano
, lo que
haremos será proyectar, del modo que acabamos de ver, dos puntos de la recta y con ellos, ya proyectados sobre el plano, construiremos el director de la nueva recta como se muestra en el esquema siguiente: Prof Miryam Chiacchiarini 170
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020
Para realizar esto tenemos dos procedimientos. Procedimiento 1) Utilizando el normal del plano, construimos una recta auxiliar perpendicular al plano que pase por el punto P de la recta. A esta recta la llamamos La intersección de
con el plano nos dará el punto
.
que será el proyectado de P sobre el
plano de manera ortogonal. Luego, se considera otro punto de la recta
al que llamaremos punto . Volviendo a utilizar
el normal del plano crearemos una nueva recta auxiliar perpendicular al plano pero ahora que pase por el punto La intersección de
. A esa recta la llamamos
.
con el plano nos dará el punto
que será el proyectado de Q sobre
el plano de manera ortogonal. Con los puntos
que están sobre el plano y son los proyectados de dos puntos de la
recta original, crearemos el vector director de la recta proyectada la cual terminaremos de armar con cualquiera de ellos. La recta proyectada que está sobre el plano y a la que hemos llamado expresada así:
(
)
nos queda
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ en su forma vectorial
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Procedimiento 2) Si la recta entre y
incide en el plano, tendremos un punto llamado
que sería la intersección
.
Ahora, utilizando el normal del plano, construimos una recta auxiliar perpendicular al plano que pase por el punto P de la recta. A esta recta la llamamos La intersección de
con el plano nos dará el punto
.
que será el proyectado de P sobre el
plano de manera ortogonal. El director de la recta proyectada será el vector que conecta al punto
con el punto
La recta proyectada queda expresada entonces, por ese director y cualquiera de los puntos o Observemos lo que se acaba de explicar en el esquema:
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Dado el plano 1) Hallar la proyección ortogonal de la recta
sobre
Prof Miryam Chiacchiarini 172
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 2) Hallar la proyección ortogonal de la recta
sobre
{
. ¿Qué
sucede en este caso?
PROYECCION DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO SIGUIENDO UNA DIRECCION DADA Sea un plano en el espacio tridimensional, una recta no perteneciente al plano ni a la recta
y un punto
Para proyectar el punto P sobre el plano , según la dirección de , vamos a crear una recta auxiliar que pase por el punto P y sea paralela a . Para esto utilizamos el vector director de como director de la nueva recta y le daremos a la recta el punto P. Así nos quedará la recta
en su versión vectorial.
Luego, buscaremos la intersección entre la recta y el plano, lo que nos dará un punto. Entonces se tiene: Este punto
es el proyectado del punto , según la dirección de la recta
sobre el plano
Si lo que deseamos es proyectar una recta sobre un plano siguiendo la dirección de la recta buscaremos la proyección de dos puntos de la recta según la dirección de como se explicó o bien buscamos el punto de intersección de la recta con el plano y luego proyectamos uno solo siguiendo la dirección dada y con ellos formamos el vector director de la recta proyectada. Esto se logra haciendo el procedimiento en forma análoga a los anteriores.
Prof Miryam Chiacchiarini 173
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Dado el plano 1) Hallar la proyección de la recta recta
(
)
(
)
sobre , segun la dirección de la (
)
ALGUNOS EJEMPLOS DE CONSTRUCCIONES EN EL ESPACIO
Finalizando la presente unidad nos proponemos desarrollar ejemplos de construcciones varias en el espacio… 1) Hallar, de ser posible, un plano
contenga a la recta
, perpendicular al plano
que
{
2) Si la consigna fuera modificada quedando el siguiente texto: “Hallar, de ser posible, un plano
que contenga a la recta
, perpendicular al plano y al punto
{
(
)”
¿sería posible hallar el plano pedido? ¿por qué?
3) Hallar, de ser posible una recta paralela al plano punto
). ¿Cuántas hay en estas condiciones?
(
4) Hallar, de ser posible, un plano a la recta
que pase por el
(
)
(
que contenga a la recta )
(
y corte
)
5) Considerando las rectas de ejercicio 4), hallar una recta perpendicular a las dos y que las corte a ambas. 6) Hallar, de ser posible, un plano paralelo a
unidades de distancia del punto
(
que se encuentre a √ ) . ¿Cuántos hay en estas condiciones?
Prof Miryam Chiacchiarini 174
En esta unidad nos proponemos hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos (en el espacio) y darla en todas sus formas, hallar la ecuación del plano que pasa por tres puntos conocidos y darla en todas sus formas, reconocer los planos especiales (paralelos a ejes o a planos cartesianos), hallar rectas y planos paralelos, perpendiculares o bien que se corten en un punto, calcular el ángulo entre dos rectas, entre dos planos, entre recta y plano, calcular distancias entre dos rectas, entre dos planos o entre recta y plano reconociendo las condiciones que deben cumplirse en cada caso para poder hacerlo, realizar construcciones geométricas encontrando elementos del espacio que se nos pidan con alguna condición establecida
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO (
)
Comenzamos.. RECTAS EN EL ESPACIO: Formas de escribirlas Nos proponeos hallar la ecuación de una recta en el espacio y sus formas de ser expresada. Tal como hicimos para las rectas en el plano, empezaremos diciendo que por un axioma de la geometría, sabemos que por dos puntos del espacio (lo mismo que dijimos para puntos en el plano) pasa una única recta. También sabemos encontrar el vector que “conecta” a dos puntos y por último diremos que: para definir una recta nos alcanza con conocer un punto por el cual pase y una dirección (vector director) Analizando el siguiente esquema, vamos a encontrar la ecuación de una recta en el espacio ( )
Sean
dos puntos del espacio, de coordenadas
Por estos dos puntos pasa una única recta
) y
(
(
).
.
La dirección de la recta será la dirección del vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , al cual llamaremos vector ⃗ o “vector director” El vector director es ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
) . O sea: ⃗
(
(
Ahora, queremos hallar las coordenadas de un punto cualquiera de la recta (genérico) al que hemos denominado punto ( ) Observamos en el esquema que: ⃗⃗⃗⃗⃗ Ahora bien, el vector ⃗⃗⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
⃗ )
Prof Miryam Chiacchiarini 135
)
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Y por otro lado: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)
Luego: ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
(
)
(
)
(
)
⃗
Podemos decir que: (
)
(
)
(
)
Esta es la ECUACION VECTORIAL de la recta en Veamos esto con un ejemplo: Hallar la recta
que pase por el punto
) y el punto
(
(
)
Lo primero que haremos es construir, con esos dos puntos, el vector director al cual llamaremos vector ⃗ . Entonces es: ⃗ ( ) Dados estos datos nos queda cómodo pensar la ecuación vectorial de la recta, de la siguiente forma: (
)
(
( )
) (
(
)
)
(
)
Notemos que en la forma vectorial de la ecuación de la recta podemos leer muy fácil y claramente un punto por donde pasa la recta y su vector director.
Ahora vamos a iniciar un despeje para encontrar otra forma de expresar una recta en el espacio. Partimos de la expresión: ( (
) )
(
(
)
(
) )
Notemos que estamos en presencia de una igualdad entre vectores, de donde nos queda:
{ Ésta es la llamada ECUACIÓN PARAMÉTRICA de la recta puesto que está definida en función del parámetro que hemos denominado . En ésta forma de expresar una recta podemos leer también un punto por donde pasa la recta y su vector director. Vamos a buscar la forma paramétrica del ejemplo que estamos desarrollando. Veníamos de la forma vectorial que era: Prof Miryam Chiacchiarini 136
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 (
) (
Entonces:
( )
)
(
)
(
)
{
Desde la paramétrica seguimos despejando como se muestra a continuación:
{
{
Dado que las tres expresiones representan al mismo parámetro, podemos concluir que:
Ésta es la llamada ECUACIÓN CARTESIANA o ECUACIÓN SIMÉTRICA de una recta en el espacio. Busquemos la ecuación cartesiana del ejemplo que venimos desarrollando partiendo desde la expresión paramétrica que ya teníamos vista anteriormente {
, esto nos lleva a que:
Tal como hemos mencionado en los apuntes sobre “Rectas en el plano”, para hacer todo este desarrollo y encontrar las maneras de nombrar una recta en el espacio hemos considerado que en el vector director, ninguna de las componentes es cero. Si esto sucede, es decir si alguna de las componentes del vector director fuera nula, NO ESCRIBIREMOS la recta en su forma cartesiana, solo lo haremos en vectorial o paramétrica. Por ejemplo, vamos a considerar la recta
(
)
(
)
(
)
Para ella solo tendremos la forma vectorial (que ya fue mencionada) y la paramétrica quedando de la siguiente manera: {
Prof Miryam Chiacchiarini 137
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: 1) a) Hallar la recta
que pasa por los puntos:
) y
(
(
)
b) Expresarla en todas las formas posibles RECTAS EN EL ESPACIO: Posiciones relativas 1) PARALELAS NO COINCIDENTES: Dadas dos rectas en el espacio , cuyos directores son respectivamente ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , diremos que son paralelas no coincidentes, si tienen direcciones paralelas y ningún punto de una de ellas pertenece a la otra. Es decir que: ⃗⃗⃗⃗
si y solo sí
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
o, lo que es equivalente, ⃗⃗⃗⃗
y además si
2) PARALELAS COINCIDENTES: Dadas dos rectas en el espacio , cuyos directores son respectivamente ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , diremos que son paralelas coincidentes, si tienen direcciones paralelas y todos los puntos de una de ellas pertenecen a la otra. Es decir que: ⃗⃗⃗⃗
si y solo sí
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
o, lo que es equivalente, ⃗⃗⃗⃗
y además si
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS:
1) Dadas las rectas:
y
{
decidir y justificar si
son paralelas coincidentes o no coincidentes 2) Los vectores ⃗
(
) y
(
) son los directores de las rectas
respectivamente. Si te informan que , hallar el o los valores de para que esa característica se cumpla. Expresar las rectas en su forma vectorial de modo que sean paralelas no coincidentes
3) Cuando vimos este tema en el apunte de Rectas en el plano, mencionamos que un corolario de la definición afirma que: “Dos rectas en el plano son paralelas si tienen normales paralelos”. ¿Sigue siendo válida esta forma de definir paralelismo en el espacio? Prof Miryam Chiacchiarini 138
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 3) INCIDENTES: Diremos que dos rectas en el espacio son incidentes si se intersectan en un punto, es decir si su intersección es un solo punto. Es claro que para que ésta situación se verifique las direcciones de las rectas no deben ser paralelas. Un caso particular de incidencia es cuando las rectas, al cruzarse, forman ángulo recto. En este caso diremos que las rectas son perpendiculares. O sea que dos rectas en el espacio son perpendiculares si sus directores lo son. si y solo sí ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
siendo ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ los directores de
.
Un detalle necesario es conocer cómo hallar el punto de encuentro cuando dos rectas se intersectan. Veremos esto con un ejemplo: Sean las siguientes dos rectas: (
)
(
(
)
y
)
Analizamos sus directores, como primer paso. De las ecuaciones respectivas notamos ( ) y que ⃗⃗⃗⃗ que ⃗⃗⃗⃗ ( ) Vemos si ellos son paralelos, es decir nos proponemos encontrar (si existiera) un valor de que verifique que ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
(
)
(
)
(
)
(
)
{
Se puede deducir, entonces que NO HAY un único valor del parámetro, lo cual nos indica que no son paralelos los directores y, por ende, no son paralelas las rectas. Nos proponemos hallar el punto de encuentro entre ellas. El punto de intersección entre las rectas (cuando lo hay) es un punto que PERTENECE A AMBAS RECTAS, o sea que verifica las dos ecuaciones simultáneamente. La forma mas práctica de buscarlo es llevar ambas rectas a su forma paramétrica e igualar las componentes.
(
)
(
)
(
)
{
Prof Miryam Chiacchiarini 139
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020
{ Como hemos dicho, si el punto ( ) es el punto de intersección, debe pertenecer a las dos rectas y por tanto, verificar ambas ecuaciones. Esto nos lleva a decir que: (1)
(2)
(3)
Con lo que obtuvimos tres ecuaciones y dos incógnitas. De la ecuación (3) sabemos que
Vamos a reemplazar este dato en la ecuación (2): (
)
Volviendo a la ecuación (3), nos queda: que
Ahora, habiendo obtenido un valor para cada parámetro, solo resta verificar con la ecuación que no hemos utilizado (en éste caso, ecuación (1)) Esto
es:
expresión
VERDADERA que nos indica que los valores hallados, de los parámetros, son los correctos. Una vez obtenidos los valores para cada uno de los parámetros, procedemos a encontrar el punto de intersección.
{
{
{
{ Notamos que en ambas rectas llegamos al mismo punto que es
(
)
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS:
1) Dadas las rectas:
{
y
decidir y justificar si son
perpendiculares Prof Miryam Chiacchiarini 140
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 2) Hallar una recta que sea perpendicular a la recta ¿Es única esa recta?
(
)
(
)
(
).
3) ALABEADAS: En el espacio aparece una nueva posición relativa entre las rectas que no se cortan pero tampoco son paralelas. A este tipo de rectas se las conoce como Rectas Alabeadas. La forma de visualizar un par de rectas alabeadas es a través de una caja, pensándolas como las rectas que contienen lados de la caja. Las rectas alabeadas están contenidas en planos distintos, lo que nos lleva a una observación importante que nos va a ser útil mas adelante y es la siguiente: NO HAY UN PLANO QUE CONTENGA A DOS RECTAS ALABEADAS Veamos esta posición en el siguiente gráfico…
𝐿 𝑦 𝐿 son Alabeadas
𝐿 𝑦 𝐿 son Alabeadas
𝐿 𝑦 𝐿 son Alabeadas
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: 1) Observando el gráfico siguiente, completar cada línea punteada con la posición relativa de cada par de rectas 𝐿 𝑦 𝐿 son ………………………………… 𝐿 𝑦 𝐿 son ………………………………… 𝐿 𝑦 𝐿 son ………………………………… 𝐿 𝑦 𝐿 son ………………………………… 𝐿 𝑦 𝐿 son ………………………………… 𝐿 𝑦 𝐿 son …………………………………
Prof Miryam Chiacchiarini 141
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 2) Dadas las siguientes tres rectas en el espacio, estudiar la posición entre cada par de ellas: (
)
(
)
(
)
{
RECTAS EN EL ESPACIO: Ángulo entre ellas Sean dos rectas en el espacio: vectores ⃗⃗⃗⃗
cuyos vectores directores son, respectivamente los
⃗⃗⃗⃗ , diremos que el ángulo entre ambas rectas es el ángulo entre sus
vectores directores con la aclaración que, consideraremos el ÁNGULO AGUDO (al cual se lo denomina argumento principal) Según lo dicho, se tiene que:
𝜃
𝑎𝑛𝑔 (𝐿
𝐿 )
𝑎𝑛𝑔 (𝑢 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢 ⃗⃗⃗⃗ )
Para calcular el ángulo entre 2 vectores usábamos la fórmula: cos 𝜃
𝑢 𝑢 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑢 𝑢 ⃗⃗⃗⃗
Pero recordemos que hemos dicho que se va a tomar el Ángulo agudo o argumento principal. Para ese ángulo, el coseno es POSITIVO, entonces la fórmula queda establecida así:
Nótese que para calcular el ángulo entre rectas hemos colocado en la expresión de la fórmula, al producto escalar del numerador ENTRE BARRAS DE VALOR ABSOLUTO Otra aclaración importante: hemos visto las posiciones que pueden tomar, en el espacio, dos rectas. Una de ellas es la condición de rectas alabeadas. Aclaración: En este curso calcularemos el ángulo entre rectas alabeadas de la forma enunciada mas arriba aunque ellas no se corten. Prof Miryam Chiacchiarini 142
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Volviendo a las rectas estudiadas en la actividad anterior: (
)
(
)
(
)
{
Para las que hayan resultado ser Incidentes o Alabeadas calcular el ángulo que forman PLANOS EN EL ESPACIO: Formas de escribirlos Por Axioma de la geometría euclidiana, sabemos que: dados tres puntos, no alineados, en el espacio pasa un único plano que los contiene. Nos proponemos encontrar la manera de escribir el plano que contiene a esos tres puntos. El plano puede escribirse de tres formas distintas: la Forma General (o Implícita), la Forma Vectorial y la Forma Segmentaria. Se los nombra con letras griegas. Al igual que pasaba con las expresiones de las rectas, cada una de estas formas de escribir al plano en el espacio nos proporcionará distinta información. Vamos a comenzar buscando la Forma Implícita o General del plano , para lo cual vamos a necesitar observar y analizar el esquema presentado en forma gráfica Tenemos los puntos conocidos: (𝑥 𝑦 𝑧 ) ; 𝑃 𝑃 (𝑥 𝑦 𝑧 ) y 𝑃
(𝑥
𝑦
𝑧 )
Vamos a armar los vectores 𝑢 ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑃 y 𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃 𝑃 de la siguiente
forma: 𝑢 ⃗
(𝑥
𝑥
𝑦
𝑦
𝑧
𝑧 )
𝑣
(𝑥
𝑥
𝑦
𝑦
𝑧
𝑧 )
Buscamos ahora un vector perpendicular a los dos, al que llamaremos el NORMAL del plano y lo haremos calculando el Producto vectorial entre ellos. Esto es: ⃗
⃗
Para simplificar y continuar diremos que ⃗
(
) Prof Miryam Chiacchiarini 143
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Ahora bien, observemos el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) , cuyo extremo es un punto desconocido pero perteneciente al plano que generan los otros dos.
Ese vector es también perpendicular al normal del plano (el normal del plano es perpendicular a cualquier vector perteneciente a él, que podamos armar con cualquier par de puntos pertenecientes al plano).
Se tiene entonces que ⃗
Entonces (
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , lo cual implica que ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)
(
)(
(
)
)
(
(
)
)
En este punto vamos a mencionar que como el punto
(
) pertenece al plano, debe
verificar su ecuación. Esto nos lleva a notar que
Volvemos al desarrollo que se tenía en el renglón de arriba y lo completamos, quedando la expresión de la siguiente forma:
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: 1) Hallar la ecuación general o implícita del plano que contiene a los puntos: , ( )y ( ) 2) Hallar el plano mediatriz del segmento ̅̅̅̅ siendo Vamos a buscar, ahora, la Forma Vectorial de un
( plano
) y
(
(
)
)
, observando de nuevo el
esquema con el que empezamos antes
Prof Miryam Chiacchiarini 144
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Iniciamos el razonamiento como antes, diciendo que podemos armar el vector 𝑢 ⃗ que “conecta” a los puntos 𝑃 𝑦 𝑃 y también podemos armar el vector 𝑣 que “conecta” a los puntos 𝑃 𝑦 𝑃 . El vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃 𝑃 lo podemos pensar como la suma de una parte de 𝑢 ⃗ y una parte de 𝑣 Esto es: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑃
Ahora, nos proponemos encontrar al vector ⃗⃗⃗⃗⃗ Se tiene: ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Dicho de otro modo: (
)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
(
𝜆 𝑢 ⃗
𝜆 𝑣
)
⃗ )
⃗
Esta es la Ecuación Vectorial del plano en la cual podemos leer un punto y sus dos vectores directores.
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Dada la recta
, Hallar el plano perpendicular a la recta que pasa por el
origen de coordenadas. Una vez hallado expresarlo en forma implícita y en forma vectorial. Nos proponemos, ahora, expresar el plano en su forma segmentaria. Sea el plano un despeje de la siguiente forma:
Ahora vamos a dividir por (
, expresado en su forma implícita vamos a desarrollar
) a toda la expresión, para obtener como resultado un .
Vamos a darle nombre a los denominadores, para simplificar la expresión de la siguiente forma: Prof Miryam Chiacchiarini 145
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Luego, la expresión anterior nos quedará
Y ésta es la forma Segmentaria del plano en el espacio. Notemos lo siguiente: ésto significa que el punto plano
(
) pertenece al
(
) pertenece al
y, además, es el punto donde el plano corta al eje Y. ésto significa que el punto
plano
) pertenece al
y, además, es el punto donde el plano corta al eje Z. ésto significa que el punto
plano
(
y, además es el punto donde el plano corta al eje X.
Luego, la forma segmentaria del plano nos dice en qué puntos el plano se intersecta con los ejes coordenados. Gráficamente eso sería:
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: 1) Hallar el plano que contiene a los puntos
(
);
(
) y
(
)
en su forma implícita y llevarlo a la forma segmentaria. 2) El plano
, al intersectar con los planos coordenados forma un cuerpo en
el primer octante. Calcular el volumen de dicho cuerpo. Prof Miryam Chiacchiarini 146
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 PLANOS ESPECIALES Hemos visto la manera de hallar la ecuación de un plano y las distintas formas de ser expresado. Ahora estudiaremos planos tales que, en su ecuación, una o mas variables no aparecen y los llamaremos “Planos especiales” o “Casos particulares”. Ejemplo 1: Sea en su ecuación.
, su normal será el vector ⃗
(
) , la variable
no aparece
Pero a esta ecuación también podemos pensarla como sigue: Con esto queremos mostrar que puede tomar cualquier valor en ya que al multiplicarse por cero, dará cero. Por otro lado, si consideramos nos quedarían graficados los puntos de la recta sobre el plano XY, pero no debemos olvidar que es la variable libre, es decir que esa recta estaría tomando sucesivas posiciones cuando tomara valores libres pasando por todos los reales. En síntesis, el gráfico de ese plano quedaría paralelo al eje Z, como se muestra en el esquema siguiente:
Ejemplo 2: Analizamos, ahora, el plano esta ecuación.
. La variable
, es la que no aparece en
Tomando , en e plano XZ queda la recta pero como está tomando todos los valores reales, ese plano será paralelo al eje Y y lo mostramos en el siguiente gráfico:
Prof Miryam Chiacchiarini 147
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Hacer el gráfico, en el espacio, del plano Ejemplo 3: Proponemos analizar el plano . Podemos también pensarla como lo que implica que hay 2 variables libres tomando sucesivamente todos los números ( ) . Los puntos reales. Ahora las que no aparecen son la y la . El normal será ⃗ que conforman este plano tienen un número 5 en su componente en X y van variando libremente las otras dos componentes. Esto nos lleva a concluir que este plano será paralelo al plano YZ y lo mostramos en el siguiente gráfico:
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: 1) Hacer el gráfico, en el espacio, del plano 2) Hacer el gráfico, en el espacio, del plano
Prof Miryam Chiacchiarini 148
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 PLANOS EN EL ESPACIO: Posiciones relativas entre dos planos Dados dos planos en el espacio, ellos pueden tener infinitos puntos de intersección o ninguno.
Pensemos los planos en su forma implícita:
El o los puntos de encuentro entre ellos será la solución del sistema de ecuaciones que podemos plantear de la siguiente forma: {
En el cual puede notarse que nunca obtendremos Rango igual a 3 que sería el número de incógnitas, razón por la cual este sistema NUNCA SERA COMPATIBLE DETERMINADO. Esto significa que dos planos en el espacio NUNCA se intersectarán en UN PUNTO. Veamos esto gráficamente. Las posiciones que pueden adoptar dos planos en el espacio son:
Queda dicho entonces que dos planos en el espacio pueden ser: a) Paralelos Coincidentes: es decir tienen normales paralelos y cada punto de uno de ellos pertenece al otro b) Paralelos (No Coincidentes): es decir tienen normales paralelos pero ningún punto de uno de ellos pertenece al otro. c) Secantes: su intersección es una recta Prof Miryam Chiacchiarini 149
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Veamos esto con ejemplos: 1) Analizar la posición relativa entre los planos: y De ésta forma de escribir a los planos podemos leer sus normales ⃗⃗⃗⃗
) y ⃗⃗⃗⃗
(
(
)
Claramente observamos que existe el número 2 tal que ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (son múltiplos, son paralelos). Ahora nos queda ver si un punto del primero pertenece al segundo y así concluir que son paralelos coincidentes… Tomamos un punto . Un punto que podemos usar sería los alumnos corroborar que verifica la ecuación del primer plano).
(
) (queda a
Ahora veamos si este punto verifica la ecuación del segundo (
)
Con lo visto anteriormente podemos afirmar que el punto , luego ningún punto del primer plano pertenece al segundo. O sea: (No coincidentes) 2) Analizar la posición relativa entre los planos: y De ésta forma de escribir a los planos podemos leer sus normales ⃗⃗⃗⃗
) y ⃗⃗⃗⃗
(
(
)
Claramente observamos que no son paralelos, entonces tienen intersección. Lo buscamos resolviendo el sistema de ecuaciones que ellos plantean
[
]
𝑓
[
]
𝑓 → 𝑓
[
]
𝑓 → 𝑓
Llegamos a que el sistema es Compatible Indeterminado. Vamos a buscar su Solución General ( ) { La variable que hemos despejado, la llevamos a la ecuación (1) y nos queda:
Prof Miryam Chiacchiarini 150
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 (
)
(
)
En este punto (notemos que hasta aquí sabíamos trabajar cuando se vio la unidad de Sistemas de Ecuaciones Lineales), como es la variable libre vamos a llamar a entonces la solución general queda:
{
Esta es, entonces la ecuación paramétrica de la recta que es la intersección entre los dos planos analizados. A ese procedimiento lo vamos a llamar “Parametrización del sistema de ecuaciones” Podemos observar de esta recta que pasa por el punto ⃗
(
(
) y su director es
)
Otra forma de llegar a la recta planos y también
es considerar que como
es la intersección de los dos
Cuando una recta está contenida en un plano se verifica que: ⃗⃗⃗⃗ entonces se debe cumplir que ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ , en este caso
Ya hemos utilizado varias veces la idea de que el producto vectorial nos da un vector perpendicular a os otros dos simultáneamente, entonces buscaremos el director de la recta haciendo el producto vectorial entre los dos normales. ⃗⃗⃗⃗ Llegaríamos entonces a que ⃗⃗⃗⃗ producto vectorial).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (se deja a los alumnos resolver ese
(
Ahora necesitaríamos buscar un punto que verifique ambas ecuaciones en simultáneo, esto se hace por tanteo (dando valores a las variables…). Se puede comprobar que un punto que cumple con las 2 ecuaciones es el punto ( ). Con los datos obtenidos, armamos la recta manera: (
)
(
)
en su forma vectorial de la siguiente (
)
Prof Miryam Chiacchiarini 151
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 PLANOS EN EL ESPACIO: Posiciones relativas entre tres planos Para estudiar la posición relativa de tres planos emplearemos, al igual que lo hicimos cuando estudiamos las posiciones entre 2 planos, sus ecuaciones implícitas o generales y las trabajaremos como sistema de ecuaciones lineales . Entonces, dados tres planos:
Armaremos las dos matrices representativas del sistema que son:
] y
[
[
]
Con estas matrices creadas, ahora analizaremos situaciones que pueden suceder respecto a sus rangos y a la compatibilidad del sistema Caso I Si
( )
(
)
entonces el sistema es Compatible Indeterminado pero las
últimas 2 ecuaciones (2 planos) se anularon quedando solo la primera ecuación. Esto significa que los tres planos son el mismo plano. PLANOS COINCIDENTES…
Caso II Si entonces el sistema es Incompatible pero dado que nos quedó ( ) ( ) la matriz M, de rango 1 significa que hay planos paralelos. Lo que nos resta saber es si hay planos coincidentes. Si hubieran planos coincidentes, entonces 2 planos son el mismo y el tercero es paralelo. Si no hay planos coincidentes, entonces los 3 son paralelos y distintos Prof Miryam Chiacchiarini 152
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020
Caso III Si entonces el sistema es Compatible Indeterminado, lo que nos ( ) ( ) está indicando que los planos tienen una recta en común pero falta saber si hay planos coincidentes. Si no hay planos coincidentes, entonces los 3 planos se intersectan en una recta. Si hay planos coincidentes, 2 planos son el mismo y el tercero los atraviesa.
Caso IV Si entonces el sistema es Incompatible pero por tener rango 2 la ( ) ( ) matriz M, sabemos que hay planos secantes. Ahora lo que resta saber es si hay planos paralelos. Si existen planos paralelos, entonces el tercero los atraviesa con lo cual no hay una recta común a los tres en simultaneo Si no existen planos paralelos, entonces los planos son secantes, se dice que se cortan “dos a dos”. Forman un prisma en el espacio Prof Miryam Chiacchiarini 153
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020
Caso V Si entonces el sistema es Compatible Determinado. Los tres planos se ( ) ( ) encuentran en un punto
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: En cada caso estudiar la posición relativa de los planos que se presentan y hacer el esquema de cada situación a) {
b) {
c) {
d) {
Prof Miryam Chiacchiarini 154
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 POSICIONES relativas entre RECTAS y PLANOS en el espacio
Dados una recta
(
)
(
)
) y un plano
(
Las posiciones que puede tomar la recta respecto del plano son:
d) La recta es paralela al plano: En este caso el director de la recta es perpendicular al normal del plano y ningún punto de ella pertenece al plano. En símbolos esto sería: ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
(
) . Como siempre, para analizar si estos dos
vectores mencionados son perpendiculares buscamos saber si su producto escalar es cero. En el esquema está representada la posición:
e) La recta está contenida en el plano: En este caso el director de la recta también es perpendicular al normal del plano pero todos los puntos de ella pertenecen al plano (nos basta con probar si un punto de la recta verifica la ecuación del plano para saber que todos los demás lo harán). En símbolos esto sería:
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
. Como
Prof Miryam Chiacchiarini 155
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 siempre, para analizar si estos dos vectores mencionados son perpendiculares buscamos saber si su producto escalar es cero. En el esquema está representada la posición:
f) La recta es incidente al plano: es decir que la recta intersecta al plano en un punto. En símbolos sería:
. En este caso el director de la recta no es perpendicular al
normal del plano.
Prof Miryam Chiacchiarini 156
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Si, en particular, el director de la recta y el normal del plano fueran paralelos, resulta que la recta es perpendicular al plano y en símbolos escribiremos
. Este sería un
caso particular de incidencia entre recta y plano.
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Dado el plano
y las rectas: y
a) Estudiar la posición relativa entre
y
b) Estudiar la posición relativa entre
y
{
. Si son incidentes, dar el punto de intersección
entre ambos. c) Dar una recta
paralela a
(no contenida)
d) Dar una recta
perpendicular a
que pase por el punto
e) Hallar un plano
que contenga a
y al punto
f) Hallar un plano
que sea paralelo a las rectas
(
)
del inciso anterior y
simultáneamente
ANGULO entre PLANOS EN EL ESPACIO Dados dos planos en el espacio, , diremos que el ángulo que se forma entre ellos es igual al ángulo agudo que se forma entre sus respectivos normales. En símbolos, eso sería: (
)
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
.
Prof Miryam Chiacchiarini 157
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Sabíamos calcular el ángulo entre dos vectores utilizando la fórmula, solo que tenemos que colocarla entre barras de valor absoluto para que el coseno sea positivo y así asegurarnos que estaos tomando el ángulo agudo. Se tiene, entonces lo siguiente:
En el siguiente esquema, se muestra la situación
ÁNGULO entre RECTAS y PLANOS en el espacio
Dados una recta
y un plano
,en el espacio, se cuenta con un vector director de la recta ⃗
y un vector normal al plano ⃗ . Sabemos calcular el ángulo entre ellos que, según lo vemos en el esquema es el ángulo ̂ y nos quedaría así: cos ̂
|⃗
⃗|
⃗
⃗
Prof Miryam Chiacchiarini 158
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020
Pero el ángulo entre la recta y el plano no es ése, sino que es el ángulo ̂ y ese ángulo es complementario del ángulo ̂ que nosotros podemos calcular. Por trigonometría sabemos que el coseno de un ángulo es igual al seno de su complementario. Aplicando esto en nuestro caso se tiene que cos ̂
̂
|⃗
⃗|
⃗
⃗
Luego, la fórmula queda:
DISTANCIAS: Punto a plano Observando el esquema vamos a ir anotando datos y haciendo deducciones… Se tiene un punto 𝑃
𝜋 tal que 𝑃
(𝑥 𝑦 𝑧)
También se tiene al normal del plano, a través de la ecuación implícita del mismo. Es decir 𝑛⃗ (𝑎 𝑏 𝑐) La distancia que queremos medir es la menor distancia, o sea la que se toma en forma perpendicular al plano y la nombramos 𝑑 Es sencillo, también, encontrar un punto que pertenezca al plano
Prof Miryam Chiacchiarini 159
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Entonces
es tal que
(
Podemos construir el vector ⃗⃗⃗⃗⃗
) (
)
Lo mismo que hemos razonado en otras ocasiones, concluiremos que la distancia es la norma de la proyección del vector ⃗⃗⃗⃗⃗ sobre el normal del plano. Esto es:
‖
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
Entonces: |⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ |
|(
) (
⃗
)|
|
|
√
√
|
| √
Hemos dicho que el punto entonces tenemos que:
pertenece al plano y esto significa que verifica su ecuación,
Concluiremos entonces en que la fórmula para calcular distancia de un punto a un plano en el espacio es la siguiente:
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: a) Dado el plano los separa.
y el punto
(
) calcular la distancia que
b) Calcular la distancia encontrada en el punto anterior (mediante la fórmula) pero a través de una construcción geométrica y verificar el resultado. c) Hallar el o los puntos de la recta
que se encuentran a √
unidades
del plano d) Analizar en qué situación se podrá calcular la distancia de una recta a un plano y cómo la calcularía Prof Miryam Chiacchiarini 160
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 e) Analizar en qué situación se podrá calcular la distancia de un plano a otro plano y cómo la calcularía DISTANCIAS: Recta a plano Los últimos dos incisos de la actividad anterior dejaron planteados los interrogantes que dicen, respectivamente, bajo qué condiciones se puede calcular la distancia de recta a plano y entre dos planos. Retomemos la definición de distancia en la que se establece que tomaremos “la menor separación” entre los entes considerados. Por eso es que las distancias siempre se han medido en forma perpendicular. Bajo este criterio, si una recta intersecta al plano en un punto, la menor distancia se produce en ese punto de intersección y vale cero. O sea que si la recta y el plano son incidentes su distancia es cero. Por lo tanto, solo se podrá buscar una distancia entre recta y plano si ellos son paralelos. En el caso que sea , la distancia entre recta y plano se reduce a calcular distancia de cualquier punto de la recta hasta el plano ya que la misma se conservará a lo largo de todo el recorrido. Para ello utilizamos la fórmula vista en página 159. El esquema muestra la situación…
Veamos este con un ejemplo: Dada la recta
y el plano
{
, verificar que son
paralelos y encontrar la distancia entre ellos 1° paso: extraemos los datos importantes de la consigna como punto y director de la recta y normal del plano. Se tiene: ( ) , ⃗ ( ) y ⃗ ( ) 2° paso: vemos que sea escalar entre ellos. Es decir: ⃗
⃗
(
. Esto sucede si ⃗ ) (
⃗ y lo verificamos haciendo producto
)
Prof Miryam Chiacchiarini 161
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Hemos podido comprobar que los vectores son perpendiculares, entonces el plano y la recta son paralelos. 3° paso: tomo un punto de la recta (el que me da su ecuación, por ejemplo) y calculo distancia de punto a plano utilizando la fórmula Queda entonces:
(
|
)
|
√
| | √
√
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: En cada caso indicar la distancia de la recta al plano propuestos: a)
y
b)
y
{
DISTANCIAS: Plano a plano En forma análoga y bajo el mismo criterio de la “menor distancia” si un plano intersecta al otro plano en una recta, la menor de las distancias entre ellos será cero. Entonces solo se podrá buscar distancia de un plano a otro si ellos son paralelos (no coincidentes) En el caso que sea , la distancia entre ellos se reduce a calcular distancia de cualquier punto del plano hasta el otro plano, ya que la misma se conservará a lo largo de todo el recorrido. Para ello utilizamos la fórmula vista en página 159. El esquema muestra la situación…
Veamos esto con un ejemplo
Prof Miryam Chiacchiarini 162
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Dados los planos
y el plano
, verificar que
son paralelos y encontrar la distancia entre ellos 1° paso: extraemos los datos importantes de la consigna como el normal de cada plano. Se tiene: ⃗⃗⃗⃗
(
y ⃗⃗⃗⃗⃗
)
2° paso: vemos que sea Notamos que : ⃗⃗⃗⃗
).
(
. Esto sucede si ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ o lo que es lo mismo si ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , entonces los planos son paralelos.
Falta ver que no sean coincidentes. Consideramos un punto del plano , que puede ser, por ejemplo, el punto Este punto se busca probando valores que verifiquen la ecuación.
(
).
Llevamos ese punto a la ecuación del otro plano para comprobar que no la verifica. Veamos:
(
)
(
)
Esto indica que el punto del primer plano no pertenece al segundo plano, entonces son paralelos no coincidentes. 3° paso: tomo un punto del primer plano (que puede ser el mismo que consideramos recién) y calculo distancia de punto a plano utilizando la fórmula Queda entonces:
|
(
)
(
)
|
√
| | √
√
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Dados los siguientes planos, calcular la distancia en la situación en que ésta no sea cero y encontrar la recta intersección en caso contrario: ;
;
DISTANCIAS: Punto a recta Veremos la forma de calcular la distancia de un punto no perteneciente a una recta, en el espacio. Nos ayudaremos con el siguiente esquema: Prof Miryam Chiacchiarini 163
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Se tiene el punto 𝑃 son 𝑃 (𝑥 𝑦 𝑧)
𝐿 cuyas coordenadas
Por otro lado se tiene el punto 𝑄 𝐿 cuyas coordenadas son 𝑄 (𝑥 𝑦 𝑧 ) Fácilmente podemos crear el vector ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝑃 y contamos con el director de la recta como elemento conocido. En el esquema vemos que entre el vector ⃗⃗⃗⃗⃗ y el director se forma un 𝑄𝑃 paralelogramo.
Ahora pensemos en el área del paralelogramo formado. ‖⃗⃗⃗⃗⃗
Por un lado sabemos que:
⃗ ‖ (1)
Pero, por otro lado el área se calcula como el producto de la longitud de la base por la altura del paralelogramo. Esto es:
⃗
(2) puesto que la distancia que estamos
buscando es la altura de la figura. Dado que ambas expresiones representan el área del paralelogramo, podemos igualarlas y nos quedará entonces: ‖⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ‖ ⃗ De donde la distancia buscada será:
Veamos esto con un ejemplo Dado el punto
) y la recta
(
, encontrar la distancia entre
ellos 1° paso: extraemos los datos importantes de la consigna como el punto de la recta y su director. Se tiene: ⃗
(
)
y
(
).
Prof Miryam Chiacchiarini 164
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 2° paso: veamos que el punto
no pertenezca a la recta. Ponemos las coordenadas del
punto en la ecuación de la recta para comprobar que no la verifica, de la siguiente forma: resultó que: 3° paso: tomo un punto de ⃗⃗⃗⃗⃗
(
la recta
) , para formar el vector del esquema
(
) entonces ⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
4° paso: hacemos el producto vectorial de la fórmula ⃗⃗⃗⃗⃗ alumnos pero el vector es
) y su norma ‖⃗⃗⃗⃗⃗
(
⃗‖
⃗ . Se deja el cálculo a los √
5° paso: aplicamos la fórmula para calcular la distancia pedida ‖⃗⃗⃗⃗⃗
⃗‖
√
⃗
√
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Calcular la distancia del punto
(
) a la recta
(
)
(
)
(
DISTANCIAS: Recta a recta Analicemos cuáles son las posiciones que pueden adoptar dos rectas en el espacio. 1) Si las rectas son paralelas coincidentes, su distancia será cero.
Prof Miryam Chiacchiarini 165
)
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 2) Si las rectas son paralelas no coincidentes, su distancia se mantendrá constante a lo largo de todo el recorrido y la calcularemos tomando cualquier punto de la primera hacia la segunda con la fórmula encontrada en el apartado anterior.
3) Si las rectas son incidentes y su intersección es un punto
, su distancia será cero porque
vamos a tomar la menor separación entre ellas y esto se produce en el punto de encuentro.
Prof Miryam Chiacchiarini 166
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 4) Si son Alabeadas veremos un razonamiento para encontrar la fórmula que nos permita calcular la distancia entre ellas
La distancia entre estas dos rectas, como en todos los casos, se toma en forma perpendicular. Es sencillo encontrar una dirección perpendicular a ambas (a través del producto vectorial de los directores) y a este vector que podemos encontrar lo llamaremos “normal”. Es decir que tenemos ⃗
⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗
El problema serio es encontrar los puntos de cada una de las rectas para armar una perpendicular a las dos simultáneamente. Lo que podemos hacer es un vector que “conecte” a un punto de la primera recta con un punto de la segunda como se ve en el gráfico. A ese vector lo llamaremos ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y lo calcularemos así: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
Podemos concluir entonces, que la norma de la proyección del vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sobre la dirección perpendicular que pudimos obtener será la distancia buscada. En resumen:
‖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
Ahora desarrollamos esta expresión aplicando la fórmula que sabemos acerca de la norma de una proyección y se tiene que
‖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Es decir
Veamos esto con un ejemplo Dadas las rectas
y
, encontrar la distancia
{
entre ellas 1° paso: extraemos los datos importantes de la consigna como puntos de las rectas y directores. Se tiene: ⃗⃗⃗⃗ ( ) y ⃗⃗⃗⃗ ( ) . Además: ( ) y ( ) Se deja a los alumnos la tarea de estudiar la posición de las rectas pero son Alabeadas. 2° paso: Buscamos el vector que nos dará la dirección perpendicular a las dos rectas, a través del producto vectorial de los directores. ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
|
|
⃗
(
)
3° paso: Buscamos el vector que conecta a un punto de la primera recta con un punto de la ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) segunda al que llamaremos ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4° paso: hacemos el producto escalar de la fórmula ⃗
5° paso: Buscamos la norma del vector normal ⃗
(
) (
)
⃗
√
(
).
√
6° paso: Aplicamos la fórmula de cálculo de distancias con los datos que fuimos obteniendo y nos queda:
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| √
| √
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Al inicio de la unidad vimos cómo se puede analizar la posición relativa entre dos rectas y básicamente consistía en: Analizar los directores para ver si fueran múltiplos entonces poder concluir que las rectas son paralelas. Si esto no sucedía se buscaba el punto de encuentro entre ellas, igualando las componentes en su versión paramétrica y tratando de encontrar un valor único para cada parámetro y así llegar al punto de intersección. Si esto no nos resultaba posible, porque aparecía en el desarrollo un absurdo matemático, entonces se concluía que eran alabeadas pero nos quedaba todavía encontrar la distancia entre ellas que lo haríamos con la fórmula que acabamos de deducir. La fórmula mencionada y encontrada mas arriba viene a facilitarnos mucho todo ese proceso de la siguiente forma: 1) Hacemos el producto vectorial entre los directores. Si este producto vectorial nos condujera al vector nulo, entonces los directores son paralelos y por ende, las rectas son paralelas. 2) Si ese producto vectorial nos diera un vector distinto del vector nulo, seguimos con el producto escalar entre ese vector y el que armamos para conectar un punto de la primer recta con un punto de la segunda. Si ese producto escalar es cero, indica que el numerador de la fórmula será cero y entonces la distancia será cero. Este hecho nos lleva a concluir que son incidentes (notemos que no podrían ser paralelas coincidentes ya que no tienen vectores directores múltiplos entre sí, cosa que concluimos después del primer paso) 3) Ahora bien, si el producto escalar dio un valor no nulo, concluimos que son Alabeadas, seguimos por el cálculo de la norma del primer vector hallado (el normal) y ya tenemos, además, el valor de la distancia entre ellas ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Dadas las siguientes rectas en el espacio (
)
{
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Utilizar la fórmula vista para analizar la posición en que se encuentran a)
b)
c)
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 PROYECCIONES EN EL ESPACIO En este punto nos proponemos proyectar puntos o rectas sobre planos y lo haremos de dos formas: 1) Proyección ortogonal 2) Proyección siguiendo la dirección dada por una recta
PROYECCION ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO Sea un plano perteneciente a él.
en el espacio tridimensional y un punto P no
Para proyectar el punto P sobre el plano 𝜋 , en forma ortogonal, vamos a crear un recta
auxiliar 𝐿 , que será perpendicular al plano y pasará por el punto P. Para esto utilizamos el vector normal del plano como director de la recta y le daremos a la recta el punto P. Así nos quedará la recta 𝐿 en su versión vectorial. Luego, buscaremos la intersección entre la
recta y el plano, lo que nos dará un punto. Entonces se tiene: 𝐿
El punto hallado sobre el plano ( ) , es la proyección ortogonal de
Si lo que se quiere es proyectar ortogonalmente una recta
𝜋
𝑃
sobre
, sobre un plano
, lo que
haremos será proyectar, del modo que acabamos de ver, dos puntos de la recta y con ellos, ya proyectados sobre el plano, construiremos el director de la nueva recta como se muestra en el esquema siguiente: Prof Miryam Chiacchiarini 170
ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020
Para realizar esto tenemos dos procedimientos. Procedimiento 1) Utilizando el normal del plano, construimos una recta auxiliar perpendicular al plano que pase por el punto P de la recta. A esta recta la llamamos La intersección de
con el plano nos dará el punto
.
que será el proyectado de P sobre el
plano de manera ortogonal. Luego, se considera otro punto de la recta
al que llamaremos punto . Volviendo a utilizar
el normal del plano crearemos una nueva recta auxiliar perpendicular al plano pero ahora que pase por el punto La intersección de
. A esa recta la llamamos
.
con el plano nos dará el punto
que será el proyectado de Q sobre
el plano de manera ortogonal. Con los puntos
que están sobre el plano y son los proyectados de dos puntos de la
recta original, crearemos el vector director de la recta proyectada la cual terminaremos de armar con cualquiera de ellos. La recta proyectada que está sobre el plano y a la que hemos llamado expresada así:
(
)
nos queda
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ en su forma vectorial
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 Procedimiento 2) Si la recta entre y
incide en el plano, tendremos un punto llamado
que sería la intersección
.
Ahora, utilizando el normal del plano, construimos una recta auxiliar perpendicular al plano que pase por el punto P de la recta. A esta recta la llamamos La intersección de
con el plano nos dará el punto
.
que será el proyectado de P sobre el
plano de manera ortogonal. El director de la recta proyectada será el vector que conecta al punto
con el punto
La recta proyectada queda expresada entonces, por ese director y cualquiera de los puntos o Observemos lo que se acaba de explicar en el esquema:
ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Dado el plano 1) Hallar la proyección ortogonal de la recta
sobre
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 2) Hallar la proyección ortogonal de la recta
sobre
{
. ¿Qué
sucede en este caso?
PROYECCION DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO SIGUIENDO UNA DIRECCION DADA Sea un plano en el espacio tridimensional, una recta no perteneciente al plano ni a la recta
y un punto
Para proyectar el punto P sobre el plano , según la dirección de , vamos a crear una recta auxiliar que pase por el punto P y sea paralela a . Para esto utilizamos el vector director de como director de la nueva recta y le daremos a la recta el punto P. Así nos quedará la recta
en su versión vectorial.
Luego, buscaremos la intersección entre la recta y el plano, lo que nos dará un punto. Entonces se tiene: Este punto
es el proyectado del punto , según la dirección de la recta
sobre el plano
Si lo que deseamos es proyectar una recta sobre un plano siguiendo la dirección de la recta buscaremos la proyección de dos puntos de la recta según la dirección de como se explicó o bien buscamos el punto de intersección de la recta con el plano y luego proyectamos uno solo siguiendo la dirección dada y con ellos formamos el vector director de la recta proyectada. Esto se logra haciendo el procedimiento en forma análoga a los anteriores.
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ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020 ACTIVIDAD PARA FIJAR CONCEPTOS: Dado el plano 1) Hallar la proyección de la recta recta
(
)
(
)
sobre , segun la dirección de la (
)
ALGUNOS EJEMPLOS DE CONSTRUCCIONES EN EL ESPACIO
Finalizando la presente unidad nos proponemos desarrollar ejemplos de construcciones varias en el espacio… 1) Hallar, de ser posible, un plano
contenga a la recta
, perpendicular al plano
que
{
2) Si la consigna fuera modificada quedando el siguiente texto: “Hallar, de ser posible, un plano
que contenga a la recta
, perpendicular al plano y al punto
{
(
)”
¿sería posible hallar el plano pedido? ¿por qué?
3) Hallar, de ser posible una recta paralela al plano punto
). ¿Cuántas hay en estas condiciones?
(
4) Hallar, de ser posible, un plano a la recta
que pase por el
(
)
(
que contenga a la recta )
(
y corte
)
5) Considerando las rectas de ejercicio 4), hallar una recta perpendicular a las dos y que las corte a ambas. 6) Hallar, de ser posible, un plano paralelo a
unidades de distancia del punto
(
que se encuentre a √ ) . ¿Cuántos hay en estas condiciones?
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