Calculo - Volume 2 - James Stewart - ED 7

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,

CALCULO VOLUME li Tradução da 7ª edição norte-americana

JAMES STEWART McMaster University e University of Toronto

Tradução: EZ2translate Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins Professor Doutor da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp)

CENGAGE Learning· Austrália• Brasil •japão• Coreia •México• Cingapura • Espanha • Reino Unido• Estados Unidos

CENGAGE Learning· Cálculo - Volume 11 - Tradução da 7• edição norte-americana Versão métrica internacional James Stewart Gerente Editorial: Patricia La Rosa Supervisora Editorial: Noelma Brocanelli Supervisora de Produção Gráfica: Fabiana Alencar Albuquerque Editora de Desenvolvimento: Gisela Carnicelli Título Original: Calculus - Early transcendentais ISBN-13: 978-0-538-49887-6 ISBN-10: 0-538-49887-0

© 2012, 2008 Brooks/Cole, parte da Cengage Learning © 2014 Cengage Learning Edições Ltda. Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida, sejam quais forem os meios empregados, sem a permissão, por escrito, da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1998. Para informações sobre nossos produtos, entre em contato pelo telefone 08001119 39 Para permissão de uso de material desta obra, envie seu pedido para [email protected]

Tradução: EZ2Translate Tradução técnica da 6• edição: Antonio Carlos Moretti e Antonio Carlos Gilli Martins Revisão Técnica: Ricardo Miranda Martins Cotejo e revisão: Cristiane Morinaga, Mônica Aguiar e Rosãngela Ramos da Silva Editora de direitos de aquisição e iconografia: Vivian Rosa Diagramação: Cia. Editorial e Celina Hida Capa: Sergio Bergocce

Impresso no Brasil.

Printed in Brazil. 1 2 3 4 5 6 7 16 15 14 13

© 2014 Cengage Learning. Todos os

direitos reservados.

ISBN-13: 978-85-221-1259· 3 ISBN-10: 85-221-1259·2 Cengage Learning Condomínio E-Business Park Rua Werner Siemens, 111 - Prédio 20 - Espaço 04 Lapa de Baixo - CEP 05069-900 São Paulo - SP Tel.: (11) 3665-9900 - Fax: (11) 3665-9901 SAC: 0800 1119 39 Para suas soluções de curso e aprendizado, visite www.cengage.com.br

Sumário

Prefácio

xi

Testes de Verificação

xxi

Uma Apresentação do Cálculo

xxvn

Equações Diferenciais

525

9.2

Modelagem com Equações Diferenciais Campos de Direções e Método de Euler

9.3

Equações Separáveis

9.1

Projeto Aplicado

9.4 9.5 9.6

526 531

538 Quão Rapidamente um Tanque Esvazia?

546

Projeto Aplicado • O Que É Mais Rápido, Subir ou Descer?

547

Modelos para Crescimento Populacional Equações Lineares 557 Sistemas Predador-Presa 563 Revisão

548

569

Problemas Quentes

572

Equações Paramétricas e Coordenadas Polares 10.1 Curvas Definidas por Equações Paramétricas

575

576

Projeto de Laboratório • Rolando Círculos ao Redor de Círculos 10.2 Cálculo com Curvas Parametrizadas

584

Projeto de Laboratório • Curvas de Bézier 10.3 Coordenadas Polares

591

592

Projeto de Laboratório • Famílias de Curvas Polares 10.4 Áreas e Comprimentos em Coordenadas Polares

606 10.6 Seções Cônicas em Coordenadas Polares Revisão 619

601

602

10.5 Seções Cônicas

Problemas Quentes

621

Sequências e Séries Infinitas 11.1 Sequências

613

623

624

Projeto de Laboratório • Sequências Logísticas 11.2 Séries

635

636

11.3 O Teste da Integral e Estimativas de Somas

645

11.4 Os Testes de Comparação

652 657 11.6 Convergência Absoluta e os Testes da Razão e da Raiz

11.5 Séries Alternadas

11.7 Estratégia para Testes de Séries

667

661

583

VI

CÁLCULO 11.8 Séries de Potência

669

11.9 Representações de Funções como Séries de Potências 11.10 Séries de Taylor e Maclaurin

674

679

Projeto de laboratório • Um limite Elusivo

691

Projeto Escrito • Como Newton Descobriu a Série Binomial

11.11 Aplicações dos Polinômios de Taylor

692

Projeto Aplicado • Radiação Proveniente das Estrelas

Revisão

691

700

701

Problem ~. Quentes

703

Vetores e a Geometria do Espaço

707

12.1 Sistemas de Coordenadas Tridimensionais

713 12.3 O Produto Escalar

721

12.4 O Produto Vetorial

727

708

12.2 Vetores

Projeto de Descoberta • A Geometria de um Tetraedro

12.5 Equações de Retas e Planos

735

Projeto de laboratório • Colocando 3D em Perspectiva

12.6 Cilindros e Superfícies Quádricas

Revisão

734

743

744

750

Problemas Quentes

7b2

Funções Vetoriais

755

13.1 Funções Vetoriais e Curvas Espaciais

756

13.2 Derivadas e Integrais de Funções Vetoriais

763

13.3 Comprimento de Arco e Curvatura

768 13.4 Movimento no Espaço: Velocidade e Aceleração Projeto Aplicado • leis de Kepler

Revisão Problem

776

785

786

Q •ntes

789

Derivadas Parciais

791

14.1 Funções de Várias Variáveis 14.2 Limites e Continuidade 14.3 Derivadas Parciais

792

804

811

14.4 Planos Tangentes e Aproximações Lineares 14.5 A Regra da Cadeia

823

831

14.6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente 14.7 Valores Máximo e Mínimo

839

850

Projeto Aplicado • Projeto de uma Caçamba

858

Projeto de Descoberta • Aproximações Quadráticas e Pontos Críticos

14.8 Multiplicadores de Lagrange

860

Projeto Aplicado • Ciência dos Foguetes

866

Projeto Aplicado • Otimização de uma Turbina Hidráulica

Revisão

868

Probler ias Quprne·

871

867

859

SUMÁRIO

Integrais Múltiplas 15.1 15.2 15.3

15.4 15.5 15.6 15.7

873

Integrais Duplas sobre Retângulos 874 Integrais Iteradas 882 Integrais Duplas sobre Regiões Gerais 887 Integrais Duplas em Coordenadas Polares 895 Aplicações de Integrais Duplas 901 Área de Superfície 910 Integrais Triplas 913 Projeto de Descoberta

15.8

Volumes de Hiperesferas

Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas

922

922

Projeto de Laboratório • A Intersecção de Três Cilindros

15.9 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas Projeto Aplicado

Corrida na Rampa

927

933

15.10 Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas

Revisão

926

933

941

Problemas Quentes

944

Cálculo Vetorial

947

16.1 Campos Vetoriais 16.2 Integrais de Linha

948 954

16.3 O Teorema Fundamental das Integrais de Linha

971 16.5 Rotacional e Divergente 977 16.6 Superfícies Parametrizadas e suas Áreas 16.7 Integrais de Superfície 993

963

16.4 Teorema de Green

16.8 Teorema de Stokes

983

1003

Projeto Aplicado • Três Homens e Dois Teoremas

16.9 O Teorema do Divergente 16.10

Resumo Revisão

1007

1008

1013 1014

P oblemas Que

1016

Equações Diferenciais de Segunda Ordem 17.1 Equações Lineares de Segunda Ordem

1019

1020

Equações Lineares Não Homogêneas 1026 17.3 Aplicações de Equações Diferenciais de Segunda Ordem 17.4 Soluções em Séries 1039 Revisão 1043

17.2

Apêndices A

e e D E

F

A1

Números, Desigualdades e Valores Absolutos A2 Geometria Analítica e Retas A9 Gráficos de Equações de Segundo Grau Al4 Trigonometria A21 Notação de Somatória (Ou Notação Sigma) A30 Demonstrações dos Teoremas A35

1032

VII

VIII

CÁLCULO

G

O Logaritmo Definido como uma Integral

H

Números Complexos

A51

Respostas para os Exercícios Ímpares

Índice Remissivo

A58

11

Volume 1 Capítulo 1 Capítulo 2

Funções e Modelos Limites e Derivadas

Capítulo 3

Regras de Derivação

Capítulo 4 Capítulo 5

Aplicações de Derivação Integrais

Capítulo 6 Capítulo 7

Aplicações de Integração Técnicas de Integração

Capítulo 8

Mais Aplicações de Integração

A44

Prefácio

Esta edição difere da original de Cálculo, sétima edição, em vários aspectos. As unidades utilizadas em quase to O

(d) 1 x - 4

I

< 3

2x - 3 ( e ) --.;;; 1 X + 1

ro. Diga se cada equação é verdadeira ou falsa. (a) (p + q)2 = P2 + q i (b)..;;ib = /Q Jb (c) .,/a 2 + b 2 = a + b

(d) 1 + TC

1 1 l (e)-- = - - -

(f)

x

J

X

e

J

= 1+

l/x a/x - b/x

T

= __

a - b

Respostas dos Testes de Verificação A: Álgebra 1. (a) 81 (d) 25

2. (a)

6./i.

(b) - 81

(e)

fi

(e) ~

(t)

i

(b) 48a 5b7

(e) -..;..

+ 7x - 15 (c)a-b (d)4x2 +12x+9 (e) x 3 + 6x 2 + 12x + 8

3. (a) l lx - 2

6. (a) 5 7. (a)

.fi +

2.Jlü

(X+ 2•)2 +

43

1

(b)

J4 + h

+ 2

(b) 2(x - 3)2

-

7

9y

(b) 4x 2

4. (a) (2x - 5)(2x + 5) (b) (2x - 3)(x + 4) (e) (x - 3)(x - 2)(x + 2) (d) x(x + 3)(x 2 - 3x (e) 3x- •12(x - l)(x - 2) (t) xy(x - 2)(x + 2) x+2 x- 1 5. (a) - (b) - x - 2 x-3 1 (e) x _ (d) -(x + y) 2

8 . (a) 6 (d)-l±f.fi (g)

+ 9)

(b) 1

(e) :ti,

::t.,fi

(e) -3, 4 (t) ~. ~

Jf

9. (a) [ -4, 3) (b) (-2. 4) (e) (-2, O) U (1, oo) (d) (1, 7) (e) (- 1.4)

1O. (a) Falso (d) Falso

(b) Verdadeiro (e) Falso

Se você t1\ o e t ;:;,, o

Portanto, qualquer função exponencial da forma P(t) = Cé' é uma solução da Equação 1. Quando estudarmos essa equação em detalhes na Seção 9.4, veremos que não existe outra solução. Se fizermos C variar em todos os números reais, obtemos a família de soluções P(t) = Ce"' cujos gráficos são mostrados na Figura 1. Mas as populações têm apenas valores positivos e, assim, estamos interessados somente nas soluções com C >O. E estamos provavelmente preocupados apenas com valores de t maiores que o instante inicial t =O. A Figura 2 mostra as soluções com significado físico. Fazendo t = O, temos P(O) = Ce = C, de modo que a constante C acaba sendo a população inicial, P(O). A Equação 1 é apropriada para a modelagem do crescimento populacional sob condições ideais, mas devemos reconhecer que um modelo mais realista deveria refletir o fato de que um dado ambiente tem recursos limitados. Muitas populações começam crescendo exponencialmente, porém o nível da população se estabiliza quando ela se aproxima de sua capacidade de suporte M (ou diminui em direção a M se ela excede o valor de M). Para um modelo considerar ambos os casos, fazemos duas hipóteses:

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

dP

• dr =

527

kP se P for pequeno (inicialmente a taxa de crescimento é proporcional a P ).

dP

• dr < O se P >

M

(P diminui se exceder M) .

Uma expressão simples que incorpora ambas as hipóteses é dada pela equação

dP = kP(1 - ~) dt K Observe que, se Pé pequeno quando comparado com M , então P/M está próximo de Oe, portanto, dP!dt = kP. Se P > M , então 1 - P/M é negativo e, assim, dP!dt < O. A Equação 2 é chamada equação diferencial logística e foi proposta pelo matemático e biólogo holandês Pierre-François Verhulst na década de 1840 como um modelo para o crescimento populacional mundial. Desenvolveremos técnicas que nos permitam encontrar soluções explícitas da equação logística na Seção 9.4, mas, enquanto isso, podemos deduzir as características qualitativas das soluções diretamente da Equação 2. Primeiro, observamos que as funções constantes P(t) = O e P(t) = M são soluções, porque, em qualquer um dos casos, um dos fatores do lado direito da Equação 2 é zero. (Isso certamente tem um significado físico: se a população sempre for O ou estiver na capacidade de suporte, ela fica desse jeito.) Essas duas soluções constantes são chamadas soluções de equilíbrio. Se a população inicial P(O) estiver entre O e M, então o lado direito da Equação 2 é positivo; assim, dP/dt >O e a população aumenta. Mas se a população exceder a capacidade de suporte (P > M), então 1 - P/M é negativo, portanto dP!dt < O e a população diminui. Observe que, em qualquer um dos casos, se a população se aproxima da capacidade de suporte (P - M), então dP/dt - O, o que significa que a população se estabiliza. Dessa forma, esperamos que as soluções da equação diferencial logística tenham gráficos que se pareçam com aqueles da Figura 3. Observe que os gráficos se distanciam da solução de equilíbrio P = Oe se aproximam da solução de equilíbrio P = M.

p

FIGURA 3

Soluções da equação logística

Modelo para o Movimento de uma Mola Vamos olhar agora para um modelo físico. Consideremos o movimento de um objeto com massa m na extremidade de uma mola vertical (como na Figura 4). Na Seção 6.4, no Volume 1, discutimos a Lei de Hooke, que diz que, se uma mola for esticada (ou comprimida) x unidades a partir de seu tamanho natural, então ela exerce uma força que é proporcional ax: força elástica

=

- kx

m

onde k é uma constante positiva (chamada constante da mola). Se ignorarmos qualquer força externa de resistência (por causa da resistência do ar ou do atrito), então, pela segunda Lei de Newton (força é igual à massa veLes a aceleração), temos

Posição de equilíbrio

o

X

2

dx m-2 dt

=

-kx

X

FIGURA 4

m

528

CÁLCULO

Esse é um exemplo do que chamamos equação diferencial de segunda ordem, porque envolve derivadas segundas. Vamos ver o que podemos deduzir da solução diretamente da equação. Podemos reescrever a Equação 3 na forma d 2x k - -2 = - - x dt

m

que diz que a derivada segunda de x é proporcional a x, mas tem o sinal oposto. Conhecemos duas funções com essa propriedade, as funções seno e cosseno. De fato, toJas as soluções da Equação 3 podem ser escritas como combinações de certas funções seno e cosseno (veja o Exercício 4). Isso não é surpreendente; esperamos que a mola oscile em tomo de sua posição de equilíbrio e, assim, é natural pensar que funções trigonométricas estejam envolvidas. Equações Diferenciais Gerais

Em geral, uma equação diferencial é aquela que contém uma função desconhecida e uma ou mais de suas derivadas. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais alta que ocorre na equação. Dessa maneira, as Equações 1 e 2 são de primeira ordem e a Equação 3 é de segunda ordem. Em todas as três equações, a variável independente é chamada te representa o tempo, mas, em geral, a variável independente não precisa representar o tempo. Por exemplo, quando consideramos a equação diferencial

y' =xy entendemos que y seja uma função desconhecida de x. Uma função fé denominada solução de uma equação diferencial se a equação é satisfeita quando y = f (x) e suas derivadas são substituídas na equação. Assim, fé uma solução da Equação 4 se j'(x)

= xf (x)

para todos os valores de x em algum intervalo. Quando nos pedem para resolver uma equação diferencial, espera-se que encontremos todas as soluções possíveis da equação. Já resolvemos algumas equações diferenciais particularmente simples; a saber, aquelas da forma y'

= f(x)

Por exemplo, sabemos que a solução geral da equação diferencial y' = x3

é dada por

x4 y = - +C 4

onde C é uma constante qualquer. Mas, em geral, resolver uma equação diferencial não é uma tarefa fácil. Não existe uma técnica sistemática que nos permita resolver todas as equações diferenciais. Na Seção 9.2, contudo, veremos como esboçar os gráficos das soluções mesmo quando não temos uma fórmula explícita. Também aprenderemos como achar aproximações numéricas para as soluções. Mostre que todo membro da família de funções

y= é uma solução da equação diferencial y' .,uLu\''

+ ce' - ce'

= ! (y

2 -

1).

Usamos a Regra do Quociente para derivar a expressão em relação a y: y'

(1 - ce')(ce') - (1 + ce')(- ce') ( l - ce')2

= -----'---'---'-----'----'-

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

ce' - c 2e 21 + ce' + c 2e 21 (1 - ce')2

529

2ce' (1 - ce')2

O lado direito da equação diferencial torna-se 4(y2 _ l)

=

_!_ [( 1 + ce') 2

2 _

1 - ce'

i] _!_ [(l + =

ce')

2

1 4ce' 2 (l - ce')2

2 -

(l -

2

ce')

]

(1 - ce')2

A Figura 5 ilustra os gráficos de sete membros da família do Exemplo 1. A equação diferencial mostra que y "' :!: l, então y' "' o. Isso é visualizado pelo achatamento dos gráficos próximo de y = 1 e y = -1.

2ce' (1 - ce')2

Portanto, para todo valor de e, a função dada é solução da equação diferencial. Quando aplicamos as equações diferenciais, geralmente não estamos tão interessados em encontrar uma família de soluções (a solução geral) quanto em encontrar uma solução que satisfaça algumas condições adicionais. Em muitos problemas físicos precisamos encontrar uma solução particular que satisfaça uma condição do tipo y(to) = y0 • Esta é chamada condição inicial, e o problema de achar uma solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial é denominado problema de valor inicial. Geometricamente, quando impomos uma condição inicial, olhamos para uma farru1ia de curvas solução e escolhemos uma que passe pelo ponto (to, Yo). Fisicamente, isso corresponde a medir o estado de um sistema no instante to e usar a solução do problema de valor inicial para prever o comportamento futuro do sistema. Encontre uma solução da equação diferencial y' condição inicial y(O) = 2. SOLUÇÃO Substituindo os valores t = O e y

y

=

= 4(y2 -

5 1

j

I

I I

-5 FI GURA 5

1) que satisfaça a

= 2 na fórmula 1 + ce' 1 - ce'

do Exemplo l, obtemos 2=

1 + ce 0 1 +e = -1 - ce 0 1- e

Resolvendo essa equação para e, temos 2 - 2c ção do problema de valor inicial é 1 +~e' y= 1 - ~e'

= 1 + e, o que fornece e = ~-Assim, a solu-

-

3 +e' 3 - e'

= --

~Exercícios 1.

(b) Se r1 e r1 são os valores que você encontrou no item (a), mostre que todo membro da família de funções y = ae''x + be''x também é uma solução.

Mostre que y = x - x- • é uma solução da equação diferencial + y = à.

xy'

2.

Verifique se y = sen x cos x - cos x é uma solução do problema de valor inicial y' + (tg x) y = cos2 x y(O) = - 1 no intervalo -'TT'/2 < x < 'TT'/2.

3. (a) Para quais valores de r a função y = é x satisfaz a equação diferencial 2y" + y' - y = O?

É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador

4.

(a) Para quais valores de k a função y = cos kt satisfaz a equação diferencial 4y" = - 25y? (b) Para estes valores de k, verifique se todo membro da farru1ia de funções y = A sen kt + B cos kt também é uma solução.

1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com

530

5.

CÁLCULO

Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial

y" + y = sen x? (a)y = senx

6.

(b)y = cosx

=4 xsenx

(c)y

(d)y

12. A função, cujo gráfico é dado a seguir, é uma solução de uma das seguintes equações diferenciais. Decida qual é a equação correta e justifique sua resposta.

= - 4xcosx

(a) Mostre que cada membro da família de funções y = (ln x + C)lx é uma solução da equação diferencial

ry' + xy = 1. (b) Ilustre a parte (a) traçando vários membros da família de so-

ffi

luções na mesma tela. (e) Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial y( 1) = 2. (d) Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial y(2) = 1. 7.

8.

t:".l

9.

(a) O que você pode dizer da solução da equação y' = -y2 apenas olhando a equação diferencial? (b) Verifique se todos os membros da família y = l/(x + C) são soluções da equação no item (a). (c) Você pode pensar em urna solução da equação diferencial y' = -y2que não seja membro da fam íl ia no item (b)? (d) Encontre uma solução para o problema de valor inicial y ' = -y2 y(O) = 0,5 (a) O que você pode dizer sobre o gráfico de uma solução da equação y' = xy3 quando x está próximo de O? E se x for grande? (b) Verifique se todos os membros da família y =(e - x2)- 112 são soluções da equação diferencial y' = xy3. (e) Trace vários membros da família de soluções na mesma tela. Os gráficos confirmam o que você predisse no item (a)? (d) Encontre uma solução para o problema de valor inicial

o A. y' = 1 + xy

(a) Para quais valores de P a população está aumentando? (b) Para quais valores de P a população está diminuindo? (e) Quais são as soluções de equilíbrio? 10. A função y(t) satisfaz a equação diferencial dy

-

dt

= y4 - 6y3 + 5y 2

(a) Quais são as soluções constantes da equação? (b) Para quais valores de y a função está aumentando? (e) Para quais valores de y a função está diminuindo? 11. Explique por que as funções cujos gráficos são dados a seguir não podem ser soluções da equação diferencial

dy dt (a)

y

=

e'(y - 1)2

e. y'

B.y'=-2.xy

= 1 - 2xy

13. Combine as equações diferenciais com os gráficos de solução rotulados de I-IV. Dê razões para suas escolbas. 2

2

(a) y' = 1

+ x2 + y 2

(b) y' = xe-x -y

(c)y' = 1

+ tl-'I

(d) y' = sen(xy) cos (xy)

y

II

)'

0

- - - -> X

X

y

lll

y' = xy3 y(O) = 2 Uma população é modelada pela equação diferencial

dP= 12P( 1 - -P-) dt • 4 200

X

IV

o

X

)'

X

I 14. Suponha que você tenha acabado de servir uma xícara de café re-

cém-coado com uma temperatura de 95ºC em uma sala onde a temperatura é de 20"C'.. (a) Quando você acha que o café esfria mais rapidamente? O que acontece com a taxa de resfriamento com o passar do tempo? Explique. (b) A Lei de Resfriamento de Newton afirma qut: a taxa deresfriamento de um objeto é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua vizinhança, Jesde que essa diferença não seja muito grande. Escreva uma equação diferencial para expressar a Lei de Resfriamento de Newton nessa situação particular. Qual a condição inicial? Tendo em vista suaresposta no item (a), você acha que essa equação diferencial é um modelo apropriado para o resfriamento? (e) Faça um esboço para o gráfico da solução do problema devalor inicial no item (b). 15. Os psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as

curvas de aprendizado. Seja P(t) o nível de desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento t. A derivada dP!dt representa a taxa em que o desempenho melhora.

/

(a) Quando você acha que P aumenta mais rapidamente? O que acontece a dP/dt quando t aumenta? Explique.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

(b) Se M é o nível máximo de desempenho do qual o aprendiz é capaz, explique a razão pela qual a equação diferencial dP

dr= k(M -

531

é um modelo razoável para o aprendizado. (c) Faça um esboço de uma possível solução da equação diferencial.

k uma constante positiva,

P)

~ampos de Direç_õ~s e Método de Euler

•

--~~----

Infelizmente é impossível resolver a maioria das equações diferenciais de forma a obter uma fórmula explícita para a solução. Nesta seção, mostraremos que, mesmo sem uma solução explícita, podemos ainda aprender muito sobre a solução por meio de uma abordagem gráfica (campos de direções) ou de uma abordagem numérica (método de Euler).

Campos de Direções Suponha que nos peçam para esboçar o gráfico da solução do problema de valor inicial y' = x + y

y(O)

=1

Não conhecemos uma fórmula para a solução, então como é possível que esbocemos seus gráficos? Vamos pensar sobre o que uma equação diferencial significa. A equação y' = x + y nos diz que a inclinação em qualquer ponto (x, y) no gráfico (chamado curva solução) é igual à soma das coordenadas x e y no ponto (veja a Figura 1). Em particular, como a curva passa pelo ponto (O, 1), sua inclinação ali deve ser O + 1 = 1. Assim, uma pequena porção da curva solução próxima ao ponto (0, 1) parece um segmento de reta curto que passa por (O, 1) com inclinação 1 (veja a Figura 2). y

y

A inclinação em (Xi, JJ é Xi+ Yi·

(0, I)

A inclinação em (O, l)é O+l = l.

o

o

X

FIGURA 1 Uma solução de y' = x

X

FIGURA 2 Início da curva solução que passa por (O, 1)

+y

Como um guia para esboçar o restante da curva, vamos desenhar pequenos segmentos de reta em diversos pontos (x, y) com inclinação x + y. O resultado, denominado campo de direções, é mostrado na Figura 3. Por exemplo, o segmento de reta no ponto (1, 2) tem inclinação 1 + 2 = 3. O campo de direções nos permite visualizar o formato geral das curvao; solução pela indicação da direção na qual as curvas prosseguem em cada ponto. y

y /

'

/

/

/

/

/ /

......

"" \

\

/

\

/

......

'

\

\

-

/

......

/

......

/ /

/ I

/

I

o

\

\

\ \

" \ \ \

\

I

......

/

'"

\

2

/

......

\

/

I

/

/

I

'

-

"'\: ......

1

\ \

/

/ /

......

I / / /

"'

FIGURA 3 Campo de direções para y' = x + y

X

"' \

II /'

// (O, 1) I

/

I

/

" \

\

\

\

o

" \ \ \

1

......

/

......

"" \ \

\

2

/

/ /

/

......

'

I / /

......

FIGURA 4 A curva solução que passa por (O, 1)

X

532

CÁLCULO

Agora, podemos esboçar a curva solução pelo ponto (O. 1), seguindo o campo de direções como na Figura 4. Observe que desenhamos a curva de modo a tomá-la paralela aos segmentos de reta próximos. Em geral, suponha que tenhamos uma equação diferencial de primeira ordem do tipo y'

= F(x, y)

onde F(x, y) é alguma expressão em x e y. A equação diferencial diz que a inclinação da curva solução no ponto (x. y) na curva é F(x, y). Se desenharmos pequenos segmentos de reta com inclinação F(x. y) em vários pontos (x, y), o resultado será chamado campo de direções (ou campo de inclinações). Esses segmentos de reta indicam a direção na qual uma curva solução está seguindo, de modo que o campo de direções nos ajuda a visualizar o formato geral dessas curvas.

(a) Esboce o campo de direções para a equação diferencial y'

y

/ I

I

--, __

/ -2

o

-1

/ I

- 1

I / / I I I

(a) Podemos começar calculando a inclinação em vários pontos na seguinte tabela:

/ 2x

'

--

X

y'

y

I / / / / /

/

--

/ / - 1

'-

/

I / / I

o

o o

= x2 + y2 -

1

3

o

/ / /

--

/

/

__;_, /

- 1

_... /

-2

/ I

I

o

1

2

1

1

1

1

1

... ...

4

1

o

l

4

.. .

2 -2

o o

o 3

Quanto mais segmentos desenharmos no campo de direções, mais clara se tomará a figura. É claro que é tedioso calcular as inclinações e desenhar segmentos de reta para um número muito grande de pontos manualmente, mas os computadores facilitam essa tarefa. A Figura 7 apresenta um campo de direções mais detalhado, desenhado por um computador, para a equação diferencial no Exemplo 1. Isso nos permite desenhar, com uma precisão razoável, as curvas solução exibidas na Figura 8 com intersecções com o eixo y iguais a - 2, - 1, O, l e 2.

I

/ / I

O Module 9.2A mostra os campos de direções e as curvas solução para várias equações diferenciais.

r

T

1 t 1 li / li /l i / 1 //Ili// 1I / / / I J

3

3

I 1 li 1 li Ili/li! l///f// -..-///// II I I

'

1

~

1 li / 1 I 1 I li/ I I 1 li// 1 // / 1I I

-3~~+-....----'k--~_,.~~3

/. I / 1 /li 1 //li 1 1 li/Ili II l i 1 li

II I

li!/

I t I li li/// I 1 li 1 f I L

L

-3

R

FIGURA 7 L

interruptor

T

r

1

1/ I t / I 1 11 l i l i 1111111

FIGURA 9

-1

- 1

1

2x

FIGURA 6

L

o o

(b) Podemos começar na origem e nos mover para a direita na direção do segmento de reta (que tem inclinação -1). Continuamos a desenhar a curva solução de maneira que ela se mova paralela aos segmentos de reta próximos. A curva solução resultante é exposta na Figura 6. Voltando para a origem, desenhamos a curva solução para a esquerda da mesma maneira.

/ /

2

/

/ /

- 1

Agora. podemos desenhar pequenos segmentos de reta com essas inclinações nesses pontos. O resultado é o campo de direções mostrado na Figura 5.

FIGURA 5

-y

-2

y

/ / /

/

I

-2

1.

SOLUÇÃO

/

I

= x2 + y2 -

(b) Use a parte (a) para esboçar a curva solução que passa pela origem.

/

2

I

FIGURA 8

Depois disso, vamos ver como campos de direções dão uma percepção das situações físicas. O circuito elétrico simples, mostrado na Figura 9, contém uma força eletromotriz (geralmente uma pilha ou gerador) que produz uma voltagem de E(t) volts (V) e uma corrente de I(t) amperes (A) em um instante t. O circuito também possui um resistor com resistência de R ohms [O] e um indutor com indutância de L henrys (H).

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é RI. A queda de voltagem por causa do indutor é L(dl/dt). Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida E(t). Então temos dl L dt

, 1

+ RI =

E(t)

que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente I no instante t. Suponha que no circuito simples da Figura 9 a resistência seja de 12 !1, a indutância 4 H e a pilha forneça urna voltagem constante de 60 V. (a) Desenhe um campo de direções para a Equação l com esses valores. (b) O que você pode dizer sobre o valor-limite da corrente? (c) Identifique quaisquer soluções de equilíbrio. (d) Se o interruptor for fechado quando t = O, de forma que a corrente comece com 1(0) = O, use o campo de direções para esboçar a curva solução.

SOLUÇÃO (a) Se fizermos L

= 4, R = dl 4dt

12 e E(t)

+

= 60 na Equação 1, obteremos

12/ = 60

dl = 15 - 31 dt

ou

-

O campo de direções para essa equação diferencial é mostrado na Figura 10. l

6

' ' '

' ' ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ---' ---' ---' ---' ---' -.....' -.....' -.....' -.....' -.....' -.....' --_,..,. _,..,. _,..,. _,..,. _,..,. _,..,. _,..,. _,..,. _,..,. _,..,. _,..,. _,..,.

4

\

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/ /

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

I

I

/

/

/

/

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

/

/

/ /

2

o

3 t

2

FIGURA 10

(b) Parece, a partir do campo de direções, que todas as soluções se aproximam do valor 5 A, isto é,

,lim ....... I(t) = 5 (c) Parece que a função constante /(t) = 5 é uma solução de equilíbrio. De fato, podemos verificar isso diretamente da equação diferencial dl/dt = 15 - 31. Se /(t) = 5, então o lad.o esquerdo é dlldt = O e o lado direito é 15 - 3(5) = O. (d) Usamos o campo de direções para esboçar a curva solução que passa por (0, 0), como indicado na Figura 11 .

l

6 .

\

\

\

\

2

o FIGURA 11

\

\

/

/

I

I

I I

\

~ ---

4 ·

\

' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' -..... -..... ' -.....' ---' ---' ---' ---' -.....' -.....' -.....' -.....' ---' _,..,.' _,.-· , _,..,. _,..,. _,..,.

' '

/

/

/

/

!~

/

/

/

I

I

/

/

/ / /

/

/

/

/

/ 'I

3

I

533

534

CÁLCULO

Observe que na Figura 1O os segmentos de reta ao longo de qualquer reta horizontal são paralelos. Isso ocorre porque a variável independente t não aparece do lado direito da equação !' = 15 - 31. Em geral, uma equação diferencial do tipo y'

= f(y)

onde a variável independente não aparece do lado direito é chamada autônoma. Para tal equação, as inclinações correspondentes a dois pontos diferentes com a mesma coordenada y devem ser iguais. Isso significa que, se conhecermos uma solução para uma equação diferencial autônoma, então poderemos obter infinitas outras apenas pelo deslocamento do gráfico da solução conhecida para a esquerda ou para a direita. Na Figura 11, mostramos as soluções que resultam do deslocamento da curva solução do Exemplo 2 uma ou duas unidades de tempo (ou seja, segundos) para a direita. Elas correspondem ao fechamento do interruptor quando t = 1 ou t = 2. Método de Euler A ideia básica por trás dos campos de direções pode ser usada para encontrar aproximações numéricas para as soluções das equações diferenciais. Ilustramos o método no problema de valor inicial que utilizamos para introduzir os campos de direções:

y

curva solução

/ .--

y'

= X+

y

y(O)

=

l

y=L(.r)

o

.r

FIGURA 12 Primeira aproximação de Euler

Euler Leonhard Euler (1707-1783) foi o principal matemático de meados do século XVIII e o mais prolífico de todos os tempos. Ele nasceu na Suíça, mas passou a maior parte de sua carreira nas academias de ciências apoiadas por Catarina. a Grande em São Petersburgo e Frederico. o Grande em Berlim. Os trabalhos reunidos de Euler (pronunciado Oi/e!) completam cerca de 100 grandes volumes. Como o físico francês Arago disse: "Euler calculava sem esforço aparente, como os homens respiram ou como as ~uias se sustentam no a( . Os cálculos e as escritas de Euler não diminuíram com o fato de ele ter que criar 13 filhos ou por ele ter ficado completamente cego nos últimos 17 anos de sua vida. Na verdade. quando ficou cego, ditava suas descobertas para seus ajudantes a partir de sua prodigiosa memória e imaginação. Seus tratados sobre cálculo e a maioria dos outros assuntos matemáticos tomaram-se padrão para o ensino de matemática e a equação e"'+ 1= O que ele descobriu relaciona os cinco números mais famosos de toda a matemática.

A equação diferencial diz que y'(O) =O+ 1 = l; dessa forma, a curva solução tem inclinação 1 no ponto (O, 1). Como uma primeira aproximação para a solução, poderíamos usar uma aproximação linear L(x) = x + 1. Em outras palavras, poderíamos usar a reta tangente em (0, 1) como uma aproximação grosseira para a curva solução (veja a Figura 12). A ideia de Euler era melhorar essa aproximação percorrendo apenas uma pequena distância ao longo da reta tangente e, então, fazer uma correção no meio do caminho, mudando a direção, como indicado pelo campo de direções. A Figura 13 mostra o que acontece se começamos ao longo da reta tangente, mas paramos quando x = 0,5. (Essa distância horizontal percorrida é chamada de passo.) Como L(0,5) = 1,5, temos y(0,5) = 1,5 e tomamos (0,5, 1,5) como o ponto de partida para um novo segmento de reta. A equação diferencial nos diz que y'(0,5) = 0,5 + 1,5 = 2, assim, usamos a função linear

+ 2(x - 0,5) = 2x + 0,5 como uma aproximação para a solução para x > 0,5 (veja o segmento azul-escuro na Figuy

=

1,5

ra 13). Se diminuirmos o passo de 0,5 para 0,25, obteremos uma aproximação de Euler melhor (veja a Figura 14). y

p

y

r

1 11,5 1

o

0,5

.r

FIGURA 13 Aproximação de Euler com o passo 0,5

o

0,25

.r

FIGURA 14 Aproximação de Euler com o passo 0,25

Em geral, o método de Euler diz para começarmos no ponto dado pelo valor inicial e prosseguirmos na direção indicada pelo campo de direções. Paramos após um intervalo de tempo, olhamos para a inclinação na nova localização e prosseguimos naquela direção. Continuamos parando e mudando de direção de acordo com o campo de direções. O método de Euler não produz a solução exata para um problema de valor inicial ele fornece aproximações. Mas, pela diminuição do passo (e, portanto, aumentando o número de correções no meio do caminho), obtemos aproximações sucessivamente melhores para a solução exata. (Compare as Figuras 12, 13 e 14.) Para o problema de valor inicial de primeira ordem geral y' = F(x, y), y(x0) = y0, nosso objetivo é encontrar valores aproximados para a solução em números igualmente espaçados Xo, Xi = xo + h, X2 =Xi + h, . . ., onde h é o passo. A equação diferencial nos diz que

535

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

a inclinação em (Xo, yo) é y' = F(X-O, yo), assim, a Figura 15 nos mostra que o valor aproximado para a solução quando x = xi é

y

Inclinação = F(x0 , y0 )

= Yo + hF(.to, Yo) Y2 = Y• + hF(x,, y1) y,. = Y11- I + hF(X11- I, Yn-1) Y•

Analogamente, Em geral,

1 1

--

....

\

(x,,y,) hF(xo•Yo)

h

Yo

Metodo de Euler Os valores aproximados para a solução do problema de valor inicial y' = F(x, y), y(xo) = yo, com passo h, em x,. = Xn- 1 + h, são Y•

1

= Yn-1 + hF(X11- 1, Y11-1)

n

= 1,2, 3, ...

~~~~~~~~~~~~~~~~-'

o

Xo

x,

FIGURA 15

Use o método de Euler com o passo 0,1 para construir uma tabela de valores aproximados para a solução do problema de valor inicial y' =X+ y SOLUÇAO

y(O)

=1

= 0,1, Xo =O, y0 = 1 e F(x, y) = x + y. Logo, temos Yt = Yo + hF(x.o, yo) = 1+0,1(0 + 1) = 1,1 Y2 = y, + hF(x,, y1) = 1,1 + 0,1(0,1 + 1,1) = l,22 YJ = Y2 + hF(x2, Y2) = 1,22 + O, 1(0,2 + 1,22) = 1,362

Sabemos que h

Isso significa que, se y(x) é a solução exata, então y(0,3) = 1,362. Prosseguindo com cálculos similares, temos os valores na tabela: y.

n

1

x,. 0, 1

6

x,. 0,6

1,100000

1,943122

2

0,2

1,220000

7

0,7

2,197434

3

0,3

1,362000

8

0,8

2,487 178

4

0,4

1,528200

9

0,9

2,815895

5

0,5

1,721020

10

1,0

3,187485

n

y,.

m

O Module 9.28 mostra como o método de Euler funciona numérica e visualmente por várias equações d1ferenc1ais e passos.

Para uma tabela com valores mais precisos no Exemplo 3, poderíamos diminuir o tamanho do passo. Contudo, para um número grande de pequenos passos, a quantidade de cálculos é considerável e, assim, precisamos programar uma calculadora ou um computador para fazer os cálculos. A seguinte tabela mostra os resultados da aplicação do método de Euler com diminuição do tamanho do passo para o problema de valor inicial do Exemplo 3. Passo

Estimativa de Euler para y (0,5)

Estimativa de Euler para y( 1)

0,500

l,500000

2,500000

0,250

l,625000

2,882813

0,100

1,721020

3,187485

0,050

1,757789

3,306595

0,020

1,781212

3,383176

0,010

1,789264

3,409628

0,005

1,793337

3,423034

0,001

1,796619

3,433848

Observe que as estimativas de Euler na tabela parecem estar se aproximando de limites, a saber, os valores verdadeiros de y(0,5) e y(l). A Figura 16 mostra os gráficos das aproximações de Euler com os passos 0,5; 0,25; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01 e 0,005. Eles estão se aproximando da curva solução exata à medida que o passo h se aproxima de O.

Os pacotes de software para computador que produzem aproxunações numéricas para soluções de equações diferenciais utilizam os métodos que são refinamentos do método de Euler. Embora o método de Euler seja simples e não tão preciso. é a ideia básica em que os métodos mais precisos são baseados.

.r

536

CÁLCULO

y

FI GURA 16 Aproximações de Euler tendendo à solução exata

o

o.s

X

No Exemplo 2 discutimos um circuito elétrico simples com resistência 12 n, indutância 4 H e urna pilha com voltagem 60 V. Se o interruptor for fechado quando t = O, modelamos a corrente I no instante t pelo problema de vaJor inicial dl = 15 - 3/ /(0) =o dt Estime a corrente no circuito meio segundo após o fechamento do interruptor. SOLUÇÁO Usamos o método de Euler com F(t, /) = 15 -

h

= O, l

31, to

=

=

O, lo

O e o passo

segundo: /1 =O+ 0,1(15 - 3 ·O)= 1,5

= 1,5 + 0,1(15 - 3 . 1,5) = 2,55 h = 2,55 + 0,1(15 - 3. 2,55) = 3,285 /4 = 3,285 + 0, 1(15 - 3. 3,285) = 3,7995 li

]3

= 3,7995

+ 0,1(15 - 3 . 3,7995) = 4,15965

-

Assim, a corrente após 0,5 s é /(0,5) = 4,16 A

lfj

Exercícios

1. É mostrado um campo de direções para a equação y ' = X COS 1T)I. (a) Esboce os gráficos das soluções que satisfazem as conruções iniciais dadas. (i)

y

2.0 1,5

y(O) =O

(ii) y(O) = 0,5 (iii) y(O) = 1 (iv) y(O) = 1.6 (b) Ache todas as soluções de equilíbrio.

'

...

1.0

'\1

1 1 1 1 \

0,5

-2 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com

- 1

o

É necessário usar um sistema de computação algébrica

2x

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

2.

É mostrado um campo de direções para a equação y' = tg (~ 'IT)'). (a) Esboce os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas. (i) y(O)

=I

(ii) y(O)

= 0,2

15- 16 Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada. Obtenha uma impressão e esboce uma curva solução que passe por (O, 1). Use o SCA para desenhar a curva solução e compare o resultado com seu esboço.

15. y'

(iii) y(O) = 2 (iv) y(l) = 3 (b) Ache todas as soluções de equilíbrio.

537

= x2 sen y

16. y'

= x (y2 - 4) ------

17. Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial y' = yl - 4y. Obtenha uma impressão e esboce as soluções que satisfazem a condição inicial y(O) = e para diversos valores de e. Para quais valores de e o limite lim,_,. y(t) existe? Quais são os possíveis valores para esse limite?

y 4

3

18. Faça o esboço de um campo de direções para a equação diferencial autônomay' = f(y), onde o gráfico de/ é como o exibido. Como

2

o comportamenlo limite das soluções depende do valor de y(O)? f(y)

-2

o

- 1

2

\

X

as razões para sua resposta. 3.

y' = 2 - y

5.

y'

=X+ y

- l

y

4.

y' = x(2 - y)

6.

y' = sen x sen y

li

/

(i) h

'

//

2

IV

- -/ /

4

'

'

' -· / ..:'.J '' ,,, ,\

\ \ ' '

,...,...,.,,..-.,.,,.. /

/

/ /

- ?

1.

~

I

'

,

,

~//~/./

,

o

X

~HH

'11 l i

,,, / I

'I J

_,,.,..//1/

I

(iii) h = 0,1

I

-.. ,,,,, ,,,,,,_ ..

1 \~l i~ \

''

l111 il[' l\1 ~

~1

. 11

j

I /

'\

·--:V / ,,_ / /

X

,,

\ \ \ ,. \\ \ \ \'

.'

\.

Use o campo de direções li (acima) para esboçar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas. (c) y(O) = -1 (b) y(O) = 2 (a) y(O) = I

20. Um campo de direções para uma equação diferencial é apresentado. Desenhe, com uma régua, os gráficos das aproximações de Euler para a curva solução que passa pela origem. Use os passos h = 1 eh = 0,5. As estimativas de Euler estarão superestimadas ou subestimadas? Explique. )'

2

-- -

Esboce o campo de direções para a equação diferencial. Use-o para esboçar três curvas solução. 9. y' = ~ y 10. y' = X - J + 1 Esboce o campo de direções das equações diferenciais dadas. Use-os para esboçar a curva solução que passa pelo ponto dado. 11 . y' = y - 2x

(1. O)

12. y' = xy - x2

+ xy

(0. 1)

14. y' =

X

+ y2

(O, 1) (0, 0)

--

-- --- ----

8. Use o campo de direções IV (acima) para esboçar os gráficos das soluções que satisfa1..em as condições iniciais dadas. (a) y(O) = -1 (b) y(O) = O (c) y(O) = 1

13. y' = y

= 0,2

(e) O erro no método de Euler é a diferença entre o valor exato e o valor aproximado. Calcule os erros feitos no item (a) ao usar o método de Euler para estimar o verdadeiro valor de y(O, 4), a saber, e0 .4. O que acontece com o erro cada vez que o passo cai pela metade?

!/ / / //1//111 1

////

\\\

2 ///

,,....

y

,,,

\

(ii) h

Euler, usando os passos da parte (a). (Seus esboços devem assemelhar-se às Figuras 12, 13 e 14.) Use seus esboços para decidir se suas estimativas no item (a) estão subestimadas ou superestimadas.

X

y

Ili

X

%

/ ; 'I

o

= 0,4

(b) Sabemos que a solução exata do problema de valor inicial no item (a) é y = e'. Desenhe, o mais precisamente que puder, o gráfico de y = e', O ~ x ~ 0,4, j unlo com as aproximações de

,,,,_

/

, I

-2

///-

-..z

/

I

y

~

'

........... ///

2

19. (a) Use o método de Euler com cada um dos passos dados para estimar o valor de y(0,4), onde y é a solução do problema de valor inicial y' = y, y(O) = 1.

y

_,

/

\

/ -1 o

-2

Ligue a equação diferencial a seu campo de direções (1- IV). Dê

/

- -- -- - - - ---- ------- - - -- - -/

/

/

/

/

/

/ /

/

/

/

/

/ / /

/ / /

/ /

/

/ /

/

/

/ /

o

/

/

/

......

/

......

2

X

538

CÁLCULO

21. Use o método de Euler com o passo 0,5 para calcular os valores aproximados de y, y., y2, y1 e y4 da solução do problema de valor inicial y' = y - à, y( 1) = O.

22. Use o método de Euler com o passo 0,2 para estimar y(I ), onde y(x) é a solução do problema de valor inicial y' = 1 - xy, y(O) =O.

resistência de R de ohms (fi). A queda de voltagem no capacitor é QIC, onde Q é a carga (em coulombs, C); nesse caso, a Lei de Kirchhoff fornece Q RI+ - = E(t)

e

Mas l = dQ/dt, de modo que temos

23. Use o método de Euler com o passo O, 1 para estimar y(0,5), onde y(x) é a solução do problema de valor inicial y' = y + xy, y(O) = 1.

24. (a) Use o método de Euler com o passo 0,2 para estimar y(O, 4), onde y(x) é a solução do problema de valor inicial y' = x + y2, y(O) =O. (b) Repita a parte (a) com passo 0,1.

R dQ dt

+ 3x2y =

(i) h = 1 (iii) h = 0,01

(b) Verifique se y = 2 rencial.

6x2

+ e-x'l é a solução exata da equação dife-

C:J·

(c) Existe uma solução de equilíbrio?

(d) Se a carga inicial for Q(O) = O C, use o campo de direções para esboçar a curva solução.

=

(c) Encontre os erros ao usar o método de Euler para calculary(l) com os passos da parte (a). O que acontece com o erro quando o passo é dividido por 10? 26. (a) Programe seu sisterua de computação algébrica usando o método de Euler com o passo 0,01 para calcular y(2), onde y é a solução do problema de valor inicial y' = x3 - y3 y(O) = 1 (b) Verifique seu trabalho usando um SCA para desenhar a curva solução. 27. A figura mostra um circuito contendo uma força eletromotriz, um capacitor com capacitância de C farads (F) e um resistor com urna

lf1

E(t)

e

y(O) = 3

(ii) h = 0,1 (iv) h = 0,001

e

Suponha que a resistência seja 5 n, a capacitância seja 0,05 F e a pilha forneça uma voltagem constante de 60 V. (a) Desenhe um campo de direções para essa equação diferencial. (b) Qual é o valor-limite da carga?

25. (a) Programe uma calculadora ou um computador para usar o método de Euler para calcular y( l ), onde y(x) é a solução do problema de valor inicial

dy dx

+ _!_Q =

(e) Se a carga inicial for Q(O) O C, use o método de Euler com o passo 0,1 para estimar a carga depois de meio segundo. 28. No Exercício 14 na Seção 9.1 consideramos uma xícara de café a 95"C em uma sala com temperatura de 20"C. Suponha que o café esfrie a uma taxa de 1 ºC por minuto quando sua temperatura for70"C. (a) Como fica a equação diferencial nesse caso? (b) Desenhe um campo de direções e use-o para esboçar a curva solução para o problema de valor inicial. Qual é o valor-limite da temperatura? (c) Use o método de Euler com passo h = 2 minutos para estimar a temperatura do café após 10 minutos.

Equações Separáveis - - - - --- - - - - - -- - -- -- Observamos as equações diferenciais de primeira ordem de um ponto de vista geométrico (campos de direções) e de um ponto de vista numérico (método de Euler). E do ponto de vista simbólico? Seria bom ter uma fórmula explícita para uma solução de uma equação diferencial. Infelizmente, isso não é sempre possível. Mas, nesta seção, examinaremos um tipo de equação diferencial que pode ser resolvida explicitamente. Uma equação separável é uma equação diferencial de primeira ordem na qual a expressão para dy/dx pode ser fatorada como uma função de x multiplicada por uma função de y. Em outras palavras, pode ser escrita na forma

dy dx = g(x)f(y) O nome separável vem do fato de que a expressão do lado direito pode ser "separada" em uma função de x e uma função de y. Da mesma forma, se/(y) =F O, podemos escrever

dy dx

g(x) h(y)

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

onde h(y)

=

539

1/f (y). Para resolver essa equação, a reescrevemos na forma diferencia]

= g(x)dx

h(y) dy

assim todos os y estão em um lado da equação e todos os x estão do outro lado. Então integramos ambos os lados da equação:

f h(y) dy f =

g(x) dx

A Equação 2 define y implicitamente como função de x. Em alguns casos também poderemos isolar y em termos de x. Usamos a Regra da Cadeia para justificar este procedimento: Se h e g satisfazem 11], então

A técnica para resolver as equações diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em 1694

~ (f h(y) dy) ~ (J g(x) dx) =

Logo

_!!_ dy

(I

h(y) dy) dy

dx

=

g(x)

dy h(y)- = g(x)

e

dx

Portanto, a Equação 1 é satisfeita.

(a) Resolva a equação diferencial (b) Encontre a solução dessa equação que satisfaça a condição inicial y(O)

= 2.

SOLUÇÃO

(a) Escrevemos a equação na forma diferencia] e integramos os dois lados:

y 2 dy =x 2 dx

f

y2dy =

f

x2dx

h 3= ixJ +e onde C é uma constante qualquer. (Poderíamos ter usado uma constante C1 no lado esquerdo e outra constante C 2 no lado direito. Mas decidimos combiná-las em uma só constante no lado direito, fazendo C = C2 - Ci.) Resolvendo para y, obtemos

A Figura 1 ilustra o gráfico de vários membros da famflla de soluções da equação diferencial do Exemplo 1. A solução do problema com valor 1mc1al da parte (bl é mostrada em vermelho.

3

(r

Poderíamos deixar a solução dessa maneira ou podemos escrevê-la na forma y = ~x 3

+

3

K

onde K = 3C. (Pois C é uma constante qualquer e o mesmo ocorre com K.) (b) Se fizermos x = O na equação geral da parte (a), temos y(O) = #.Para satisfazer a condição inicial y(O) = 2, devemos fazer Vf{ = 2 e assim temos K = 8. Portanto, a solução do problema de valor inicial é

y

= ~x 3

+8 2

Resolva a equação diferencia] dy = dx

2y

6..t

-

+ cosy

SOLUÇAO Escrevendo a equação em uma forma diferencial e integrando ambos os lados,

temos

1

,,.-::::

y = ~x 3 + 3C

~

FIGURA 1

-3

3

540

CÁLCULO

Alguns sistemas de computação algébrica podem traçar as curvas definidas por equações implícitas. A Figura 2 mostra os gráficos de vários membros da família de soluções da equação diferencial no Exemplo 2 Olhando as curvas da esquerda para a direita. os valores de Csão 3. 2. 1. O. -1. -2 e -3

(2y

+ cosy)dy = 6x 1 d.'C

J (2y + cosy)dy = J 6x

dx

+ sen y = 2x 3 + e

y2

3

2

onde C é uma constante. A Equação 3 fornece uma solução geral implícita. Nesse caso é impossível resolver a equação para expressar explicitamente como uma função de x.

4

Resolva a equação y'

= x2 y.

SOLUÇÃO Primeiro reescrevemos a equação usando a notação de Leibniz:

-dv·- = x2y dx

-4

Se y #- O, podemos reescrevê-la em uma notação diferencial e integrá-la:

FIGURA 2

dy ' -=x-dx y

Se uma solução y é uma funçao que satisfaz .\Ü) ~ O para algum x. segue de um teorema de existência e unidade para soluções de equações diferenciais que )Ü) ,._ O para todox

y,,..:

o

J; Jx dx 2

=

xl

ln

IYI =3 +e

Essa equação define y implicitamente como função de x. Mas, nesse caso, podemos solucionar explicitamente para y como a seguir:

Podemos verificar facilmente que a função y = O também é uma solução da equação diferencial dada. Dessa forma, podemos escrever a solução geral na forma y

=

Aex'/3

onde A é uma constante arbitrária (A - é',ou A = -ec, ou A y

A Figura 3 mostra um campo de direções para a equação diferencial no Exemplo 3 Compare-a com a Figura 4. em que usamos a equação y = Ae' ' para representar as soluções por diversos valores de A. Se você usar o campo de direções para esboçar as curvas de solução com a intersecção y 5. 2. 1. -1 e -2. elas irão assemelhar-se com as curvas da Figura 4

1 1 1 / I

/

-2

-t

0). 6

" 4

1 I I / I

=-

/ I

1 1 1 1 1

I

I I I

/

I 1 /

I I

I

- 2

o

l

1'

2

X

1

~I

'1 \ -~

1 1

1

'

\

\

\

\

\

1 1

\

1 1 \

--fo

-6 FIGURA 3

FIGURA 4

Na Seção 9.2, modelamos a corrente l(t) no circuito elétrico mostrado na Figura 5 pela equação diferencial

J mterruptor

FIGURA 5

d/ L - + RI = E(t) dt Encontre uma expressão para a corrente em um circuito onde a resistência é 12 n, a indutância é 4 H. a pilha fornece uma voltagem constante de 60 V e o interruptor é ligado quando t = O. Qual o valor-limite da corrente?

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

SOLUÇÃO Com L

541

= 4, R = 12 e E(t) = 60, a equação torna-se d/

4 - + 12/ = 60 dt

d/

or

dt

15 - 3/

e o problema de valor inicial é

d/

= 15 - 31 !(O) = O dt Reconhecemos essa equação como separável e a resolvemos da seguinte forma: -

f 15 d/- 3/ - f dt - ~ ln 115 - 31 I = t

l 15 -

3/j

=

+

e

A Figura 6 revela como a solução no Exemplo 4 (a corrente) se aproxima de seu valor-limite. A comparação com a Figura 11 na Seção 9.2 mostra que pudemos desenhar uma curva solução bem precisa a partir do campo de direções.

e - 3(i+C)

15 - 3 1 = :!::e - 3ce- 31 = Ae- 31

I

=

5 - ~ Ae

31

Como /(O) = O, temos 5 - ~ A = O, assim, A = 15 e a solução é l(t)

=5-

6

5e- 31

-

A corrente-limite, em amperes, é lim l(t)

=

lim (5 1-:»

t-+o-;

se-3' )

=

5 - 5 lim e-Jr = 5 t-oo

o=

5

Trajetórias Ortogonais

Uma trajetória ortogonal de uma família de curvas é uma curva que intercepta cada curva da famflia ortogonaJmente, isto é, com ângulo reto (veja a Figura 7). Por exemplo, cada membro da família y = mx de retas que passa pela origem é uma trajetória ortogonal da família r + y2 = r de círculos concêntricos com o centro na origem (veja a Figura 8). Dizemos que as duas famílias são trajetórias ortogonais uma da outra. y

'

'0I /(

/

/ y,,\ ..._'--" f~ \ t/

1

X

\

Trajetória Ortogonal FIGURA 7

FIGURA 8

Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas x constante arbitrária.

=

ky2, onde k é uma

SOLUÇÃO As curvas x = ky2 formam uma família de parábolas cujo eixo de simetria é o eixo

x. O primeiro passo é encontrar uma única equação diferencial que seja satisfeita por todos os membros da família. Se derivarmos x = ky2, obteremos dy dy = 1 = 2ky ou dx dx 2ky Essa é uma equação diferencial que depende de k, mas precisamos de uma equação que seja válida para todos os valores de k simultaneamente. Para eliminar k observamos que, da equação geral da parábola dada x = ky2, temos k = xly2 e, assim, a equação diferencial pode ser escrita como

y=5

o FIG URA 6

2,5

542

CÁLCULO

dy dx

-=--=---

2ky

X

2-y y2

dy = _2'_ dx 2x

ou

Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto (x. y) em uma das parábolas é y' = y/(2x). Em uma trajetória ortogonal, a inclinação da reta tangente deve ser o oposto do inverso dessa inclinação. Portanto, as trajetórias ortogonais devem satisfazer a equação diferencial

dx

y

y

Essa equação diferencial é separável e a resolvemos como segue:

f y dy

= -

f 2x dx

y2 - = -x

2 y2

X

x2 + 2

4

FIGURA 9

2

+e

=e

onde C é uma constante positiva qualquer. Então, as trajetórias ortogonais são a família de elipses dada pela Equação 4 e esboçada na Figura 9. As trajetórias ortogonais ocorrem em vários ramos da física. Por exemplo, em um campo eletrostático, as linhas de força são ortogonais às linhas de potencial constante. Também as linhas de corrente em aerodinâmica são trajetórias ortogonais às curvas de velocidade constante.

Problemas de Mistura Um problema típico de mistura envolve um tanque de capacidade fixa preenchido com uma solução completamente misturada de alguma substância (digamos, sal). Uma solução de uma dada concentração entra no tanque a uma taxa fixa e a mistura, bem agitada, sai a uma taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada. Se y(t) denota a quantidade de substância no tanque no instante t, então y'(t) é a taxa na qual a substância está sendo adicionada menos a taxa na qual ela está sendo retirada. A descrição matemática da situação frequentemente leva a uma equação diferencial de primeira ordem separável. Podemos usar o mesmo tipo de raciocínio para modelar uma variedade de fenômenos: reaçõe~ químicas, descarga de poluentes em um lago, injeção de medicamentos na corrente sanguínea, entre outros. Um tanque contém 20 kg de sal dissolvido em 5 000 L de água. Água salgada com 0,03 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa 2 HBr satisfaz a lei de troca

d[HBr) dt

=

=

k(a - x)(b - x) 112

onde x = [HBr] e a e b são concentrações iniciais de hidrogênio e bromo. (a) Escreva x corno uma função de / no caso em que a = b. Use o fato de que x (0) = O. (b) Se a > b, encontre t como uma função de x. [Dica: Ao dese mpenhar a integração, faça a substituição u = ~ .]

2

lf(t)J2 + 1

k [H 2) [Br2) i12

e , portanto, para essa reação a equação diferencial toma-se

d T dr 2

36. Encontre a função/tal que/ (3) = 2 e (t

d.x

-

42. Uma esfera com raio 1 m tem temperatura 15 ºC. Ela encontra-se dentro de uma esfera concêntrica com raio 2 m e temperatura 25ºC. A temperatura T(r) em uma distância r do centro comum das e~feras satisfaz a equação diferencial

21v'Y(t} dr

2

= k [A)[B) dt (Veja o Exemplo4, na Seção 3.7, no Volume 1.) Então, se asconcentraçõe~ iniciais forem [A] = a rnols/L e [BJ = b mols/L e escrevermos x = [C], então teremos

dx dl

X

1

d[C]

=o

1 ;é 1

+~

dT =O r dr

Se fizermos S = dT/dr, então S satisfaz urna equação diferencial de primeira or 1 000. As inclinações são pequenas quando P está próximo de O ou 1 000 (a capacidade de suporte). Observe que as soluções se distanciam da solução de equilíbrio P = O e se aproximam da solução de equilíbrio P = 1 000. Na Figura 2 usamos o campo de direções para esboçar as curvas solução com populações iniciais P(O) = 100, P(O) = 400 e P(O) = 1 300. Observe que as curvas solução abaixo de P = 1 000 estão aumentando, e aquelas que começam acima de P = 1 000 estão diminuindo. As inclinações são maiores quando P = 500, portanto as curvas solução que começam abaixo de P = 1 000 têm pontos de inflexão quando P = 500. De fato, podemos demonstrar que todas as curvas solução que começam abaixo de P = 500 têm um ponto de inflexão quando P é exatamente 500. (Veja o Exercício 11.)

EQUAÇÕES QIFERENCIAIS

p

1.400

'

'

'

\

'

'

--- --- ---- / --- -- -- - -'

'

......

1.200

''

'

......

......

''

''

......

'

/y / / - - -- - - - -

1.000

800 600

~

/ ;/"" ,..-' /

/

/ /

/

/

/

/

/

400

200

o

/

/

,,

/

/

/

/

/ /

20

/

/

/

/

/

40

80

60

I

-

A equação logística[!] é separável e podemos resolvê-la explicitamente usando o método da Seção 9.3. Uma vez que

i._)

dP = kP(l dt M

temos

_ f k dt f _P(Id-_P P/ M ) =

5

Para calcularmos a integral no lado esquerdo, escrevemos M

P(M - P)

P(l - P/ M)

Usando frações parciais (veja a Seção 7.4, no Volume l) temos

M

1

P(M - P)

P

- - - - = - + -- M - P

Isso nos permite reescrever a Equação 5:

f (~ + ln

1p1-

M

~ p) dP = f k dt IM - p1 =

ln

- PI ln M P

=

kt

+

e

-kt -

e

I

M- P

---=Ae-•1 p

onde A= ±e-e. Isolando P na Equação 6, obtemos M p

então

1

=

Ae- k'

p M M P = ----

+ Ae-k'

+ Ae-k'

FIGURA 2

Curvas solução para a equação logística no Exemplo 1

551

552

CÁLCULO

Encontramos o valor de A colocando t lação inicial); portanto,

= O na Equação 6. Se t = O, então P = Po (a popu-

M - Po - - - = Aeº =A Po

Então, a solução para a equação logística é P(t)

=

M - Po onde A= - - Po

M _l_+_A_e--k- t

Usando a expressão para P(t) na Equação 7, vemos que lim P(t) f-

K

=

OG

que é o esperado.

O:Ufi!Q!tfj Escreva a solução para o problema de valor inicial -dP = 0,08P ( 1 - -P-) dt 1 000

P(O)

100

=

e use-a para encontrar a população quando P(40) e P(80). Quando a população alcançará 900? SOLUÇÃO A equação diferencial é uma equação logística com k = 0,08, capacidade de suporte M = 1.000 e população inicial P 0 = 100. Portanto a Equação 7 dá a população no instante t como

P(t)

=

l 000 _l_ +_A_e_ o_og-,

Logo,

onde A = P(t)

Assim, os tamanhos da população quando t P(40) =

1 000 - 100 = 9 100

1 000 _1_+ _ 9_e__-o-.os-,

=

= 40 e 80 são

1 000 _ = 731,6 1 + 9e 32 ·

P(80)

1000

=

1

+ e 9

óA

= 985,3

A população alcançará 900 quando

1 000 -+--e- o.osr - = 900 9

Resolvendo essa equação para t, temos

+ 9e Compare a curva solução na Figura 3 com a curva solução mais baixa que desenhamos no campo de direções na Figura 2.

=

~'

e- o.osr _ ..!. -

81

-0,08r = ln s1 = -ln 8 1 ln 81 = 549 0,08 '

1000

t = --

P= 900

P=

-

Logo, a população chega a 900 quando t for aproximadamente 55. Como uma verificação de nosso trabalho, traçamos a curva da população na Figura 3 e observamos onde ela intercepta a reta P = 900. O cursor indica que t = 55.

1000

1+ 9e

O.OK1

o ~-~----~-~ FIGURA J

0.081

80

-

Comparação do Crescimento Natural com os Modelos Logísticos

Na década de 1930, o biólogo G. F. Gause realizou uma experiência com o protozoário paramécio e usou uma equação logística para modelar seus dados. A tabela fornece suas contagens diárias da população de protozoários. Ele estimou a taxa relativa de crescimento inicial como 0,7944 e a capacidade de suporte como 64.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

553

t (dias)

o

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

P (observados)

2

3

22

16

39

52

54

47

50

76

69

51

57

70

53

59

57

Encontre os modelos exponencial e logístico para os dados de Gause. Compare os valores previstos com os valores observados e comente o ajuste.

SOLUÇÃO Dadas a taxa de crescimento relativo k

0,7944 e a população inicial Po = 2, o

=

modelo exponencial é

Gause usou o mesmo valor de k para seu modelo logístico. ílsso é razoável porque P0 é pequeno comparado com a capacidade de suporte (M = 64). A equação

_l dP Po dt

=

1 1

o

=2

k( 1- _3_) = k 64

mostra que o valor de k para o modelo logístico está muito próximo do valor para o modelo exponencial.] A seguir, a solução da equação logística na Equação 7 fornece 64

K P(t) = _l_+_A_e- k-1

K- Po

A = -

onde

Então

-

-

Po

+ Ae- 0.19441 64 - 2

- -2- = 31

64

_1_+_3_l_e-o-.7944-,

P(t) =

Usamos essas equações para calcular os valores previstos (arredondados para o inteiro mais próximo) e os comparamos na tabela a seguir. t (dias)

o

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

P (observados)

2

3

22

16

39

52

54

47

50

76

69

51

57

70

53

59

57

P (modelo logístico)

2

4

9

17

28

40

51

57

61

62

63

64

64

64

64

64

64

P (modelo exponencial)

2

4

10

22

48

106 ...

Observamos na tabela e no gráfico da Figura 4 que, para os primeiros três ou quatro dias, o modelo exponencial fornece resultados comparáveis àqueles do método logístico mais sofisticado. Para t ~ 5, contudo, o modelo exponencial é muito impreciso, mas o modelo logístico se ajusta bem às observações. p

60 40

20

o

. ylip · --

1 + )le--0.79441

4

8

64

12

FIGURA 4

16 (

-

Os modelos exponencial e logístico para a população de paramécios

554

CÁLCULO

t

B(t)

1980 1982 1984 1986 1988 1990

9.847 9.856 9.855 9.862 9.884 9.962

t

B(t)

1992 10.036 1994 10.109 1996 10.152 1998 10.175 2000 10.186

Muitos países que anteriormente passavam por um crescimento exponencial estão descobrindo agora que suas taxas de crescimento populacional estão diminuindo e que o modelo logístico fornece um modelo mais adequado. A tabela na margem mostra os valores em meados do ano de B(t), a população da Bélgica, em milhares, no instante t, de 1980 a 2000. A Figura 5 mostra esses dados junto com uma função logística transladada obtida por meio de uma calculadora com recursos para ajustar funções logísticas a estes pontos por regressão. Vemos que o modelo logístico fornece um ajuste muito bom. p

10.100 10.000 9.900

.~ ·

350 P= 9.840 + 1 +2,05e--0.4811-19901

9.800

FIGURA 5

Modelo logístico para a população da Bélgica

o

1980

1984

1988

1992

1996

2000

Outros Modelos para o Crescimento Populacional A Lei do Crescimento Natural e a equação diferencial logística não são as únicas equações propostas para modelar o crescimento populacional. No Exercício 20 veremos a função de crescimento de Gompertz e nos Exercícios 21 e 22 investigaremos os modelos de crescimento sazonal. Dois dos outros modelos são modificações do modelo logístico. A equação diferencial dP dt

= kP(1-~)-c M

tem sido usada para modelar as populações que estão sujeitas à remoção de uma maneira ou de outra. (Pense em uma população de peixes que é capturada a uma taxa constante.) Essa Equação é explorada nos Exercícios 17 e 18. Para algumas espécies existe um nível mínimo populacional m abaixo do qual as espécies tendem a se extinguir. (Os adultos podem não conseguir encontrar parceiros adequados.) Essas populações são modeladas pela equação diferencial

~ = kP( 1 - ~ )( l -

; )

onde o fator extra, l - m/P, leva em conta as consequências de uma população esparsa (veja o Exercício 19).

Suponha que uma popu lação se desenvolva de acordo com a equação logística

p

150 dP 2 - 00005P dt = 005P • •

'

' '

....

....

' ..... '' ..... ' ..... ..... '' ..... ' ..... '' .....' ..... ' ..... ''

100

onde t é medido em semanas. (a) Qual é a capacidade de suporte? Qual é o valor de k? (b) Um campo de direções para essa equação é mostrado à direita. Onde as inclinações estão próximas de O? Onde elas são maiores? Quais soluções são crescentes? Quais soluções são decrescentes?

É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador As Homework Hints estão dhponfveis em www.stewartcalculus.com

50

o

20

40

É necessário usar um sistema de computação algébrica

60 t

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

(e) Use o campo de direções para esboçar as soluções para as populações iniciais de 20, 40, 60, 80, 120 e 140. O que essas soluções têm em comum? Como diferem? Quais soluções têm pontos de inflexão? Em qual nível populacional elas ocorrem? (d} Quais são as soluções de equilíbrio? Como as outras soluções estão relacionadas a essas soluções? ~

2.

3.

(c) Encontre um modelo exponencial e um modelo logístico para esses dados. (d) Compare os valores previstos com os valores observados, na tabela e nos gráficos. Compare corno seus modelos se ajustam aos dados. (e) Utilize seu modelo logístico para estimar o número de células de levedura depois de sete horns.

Suponha que uma população cresça de acordo com o modelo logístico com capacidade de suporte 6.000 e k 0,0015 por ano. (a} Escreva uma equação diferencial logística para esses dados. (b) Desenhe um campo de direções (à mão ou com um sistema de computação algébrica). O que ele lhe diz sobre as curvas solução? (c) Use o campo de direções para esboçar as curvas solução para as populações iniciais de 1.000, 2.000. 4.000 e 8.000. O que você pode dizer sobre a concavidade dessas curvas? Qual o significado dos pontos de inflexão? (d) Programe uma calculadora ou um computador para usar o método de Euler com passo h = 1 para estimar a população depois de 50 anos se a população inicial for 1.000. (e) Se a população inicial for 1.000, escreva uma fórmula para a população depois de t anos. Use-a para calcular a população depois de 50 anos e compare com sua estimativa no item (d). (t) Trace a solução da parte (e) e compare com a curva solução que você esboçou no item (c).

=

7. A população mundial era de aproximadamente 5,3 bilhões em 1990. A taxa de natalidade na década de 1990 variou entre 35 e 40 milhões por ano, e a taxa de mortalidade variou entre 15 e 20 milhões por ano. Vamos supor que a capacidade de suporte para a população mundial seja de 100 bilhões. (a) Escreva uma equação diferencial logística para esses dados. (Corno a população inicial é pequena em comparação com a capacidade de suporte, você pode tomar k como urna estimativa da taxa de crescimento relativo inicial.) (b) Utilize o modelo logístico para prever a população mundial em 2000 e compare a população real de ó,l bilhões. (c) Use o modelo logístico para prever a população mundial nos anos 2100 e 2500. (d) Quais seriam as suas previsões se a capacidade de suporte fosse de 50 bilhões? 8. (a) Faça uma conjectura para a capacidade de suporte da população dos Estados Unidos. Use-a, e também o fato de que a população era de 250 milhões em 1990, para formular um modelo logístico para a população norte-americana. (b) Determine o valor de k em seu modelo usando o fato de que a população norte-americana em 2000 era de 275 milhões. (c) Use seu modelo para prever a população dos Estados Unidos nos anos 2100 e 2200. (d) Utilize seu modelo para prever o ano no qual a população ultrapassará 350 milhões.

O cardume de atum do Pacífico foi modelado pela equação diferencial dy = dt

ky(I - L) M

onde y(t) é a biomassa (massa total dos membros da população) em quilogramas no instante t (medido em anos), a capacidade de suporte é estimada como M = 8 X 107 kg e k = 0,71 por ano. (a) Se y(O) = 2 X 107 kg, calcule a biomassa um ano depois. (b) Quanto tempo levará para a biomassa alcançar 4 X 107 kg? 4.

9.

Suponha que uma população P(t) satisfaça dP = 04P - 0001 f'2 dt • •

P(O)= 50

onde t é medido em anos. (a) Qual é a capacidade de suporte? (b) O que é P' (0)? (e) Quando a população atingirá 50% da capacidade de suporte?

pacidade de suporte (a população máxima de peixes daquela espécie no lago) como 10.000. O número de peixes triplicou no primeiro ano. (a) Presumindo que o tamanho da população de peixes satisfaça a eyuação logística, encontre uma expressão para o tamanho da população depois de t anos. (b) Quanto tempo levará para a população aumentar para 5 000?

A tabela fornece o número de células de levedura em urna cultura nova de laboratório. Tempo (horas)

Células de levedura

Tempo (horas)

Células de levedura

o

18

10

2 4

39

509 597

80

12 14

6 8

171

16

664

336

18

672

11 . (a) Mostre que se P satisfizer a equação logística@]. então

ddt2P 2

(

- = k 2P 1 - -

640

(a) Marque os dados e use o gráfico para estimar a capacidade de suporte para a população de levedura. (b) Use os dados para estimar a taxa de crescimento inicial relativa.

Um modelo para a propagação de um boato é que a taxa de propagação é proporcional ao produto da fração y da população que ouviu o boato pela fração que não ouviu o boato. (a) Escreva uma equação diferencial que seja satisfeita por y . (b) Resolva a equação diferencial. (c) Urna cidade pequena tem 1.000 habitantes. Às 8 horns, 80 pessoas tinham ouvido o boato. Ao meio-dia, metade da cidade tinha ouvido o boato. A que horas 90% da população terá ouvido o boato?

10. Os biólogos colocaram em um lago 400 peixes e estimaram a ca-

5. Suponha que uma população cresça de acordo com o modelo logístico com população inicial de l 000 e capacidade de suporte 1 000. Se a população crescer para 2 500 após um ano, como será a população após outros três anos? 6.

555

P)( 1 -

M

2P)

-

M

(b) Deduza que a população cresce mais rapidamente quando ela atinge a metade de sua capacidade de suporte.

~

12 Para um valor fixo de M (digamos M = l 0), a família de funções logísticas dada pela Equação 7 depende do valor inicial P 0 e da constante de proporcionalidade k. Faça o gráfico de vários mem-

bros dessa família. Como muda o gráfico quando Po varia? Como muda o gráfico quando k varia?

556

CÁLCULO

13. A tabela dá a população do Japão em meados do ano, em milhares, de 1960 a 2005. Ano

População

Ano

1960

94.092

1985

População 120.754

1965

98.883

1990

123.537

1970

104.345

1995

125.341

1975 1980

111.573 116.807

2000 2005

126.700 127.417

Vamos modificar a equação logística do Exemplo 1 como a seguir:

Use uma calculadora gráfica para ajustar tanto uma função exponencial quanto uma função logística a estes dados. Marque os pontos, trace ambas as funções e comente a precisão dos modelos. [Dica: Subtraia 94.000 de cada uma das figuras da população. Então, depois de obter um modelo de sua calculadora, some 94.000 para obter seu modelo final. Pode ser útil escolher como 1960 ou 1980.1 14. A tabela fornece a popu lação da Espanha em meados do ano, em milhares, de 1955 a 2000.

Ano

População

Ano

População

1955

29.3 19

1980

1960

30.641

1985

37.488 38.535

1965

32.085

1990

39.351

1970

33.876

1995

39.750

1975

35.564

2000

40.016

f3

(a) Encomre a solução desta equação que satisfaça a condição inicial P(O) = Po. (b) Que condições sobrem levarão a urna expansão exponencial da população? (e) Que condições sobre m resultarão em uma população constante? E em um declínio da população? (d) Em 1847, a população da Irlanda era de cerca de 8 milhões e a diferença entre as taxas de natalidade e mortalidade relativas era 1,6 % da população. Por causa da fome da batata nas décadas de 1840 e 1850, cerca de 210 000 babitantes por ano emigraram da Irlanda. A população estava crc~cendo ou decrescendo naquela época? 16 Seja e um mlmero positivo. Uma equação diferencial da forma = 1çy1+c

onde k é uma constante positiva, é chamada equação do dia do ju(Zo final porque o expoente na expressão ky1 •e é maior que o expoente 1 do crescimento natural.

~) - 15

(a) Suponha que P(t) represente uma população de peixes no instante t, onde t é medido em semanas. Explique o significado do termo final na equação (- 15). (b) Desenhe um campo de direções para essa equação diferencial. (e) Quais são as soluções de equilíbrio? (d) Use o campo de d ireções para esboçar várias curva~ solução. Descreva o que acontece à população de peixes para várias populações iniciais. (e) Resolva essa equação diferencial explic itamente, usando frações parciais ou com um sistema de computacão algébrica. Use as populações iniciais 200 e 300. Trace as soluções e compare com seus esboços no item (d).

dt

15. Considere a população P = P(t) com taxas de natalidade e mortalidade relativas constantes a e /3, respectivamente, e uma taxa de emigração constante m, onde a, f3 e m são constantes positivas. Suponha que a > /3. Então, a taxa de variação da população no instante t é modelada pela equação diferencial

dy dt

I

dP = 008P(I - _P_) - e

=

onde k =a -

'::: - 0,08P(l -

18. Considere a equação diferencial

Use uma calculadora gráfica para ajustar tanto uma função exponencial quanto uma função logística a estes dados. Marque os pontos, trace ambas as funções e comente a precisão dos modelos. [Dica: Subtraia 29.000 de cada uma das figuras da população. Então, depois de obter um modelo de sua calculadora, some 29.000 para obter seu modelo final. Pode ser útil escolher t O como 1955 ou 1975.]

dP --=kP- m dt

(a) Determine a solução que satisfaz a condição inicial y(O) = yo. (b) Mostre que existe um instante finito t = T (dia do juí7o final) tal que lim,-r- .V(t) - oo, (e) Uma raça especialmente fértil de coelhos tem o termo de crescimento ky 1·º1• Se 2 destes coelhos se cruzarem inicialmente e a ninhada for de 16 coelhos depois de três meses, quando será o dia do juízo final?

'

1 000

como um mode lo para uma população de peixes, onde ré medido em semanas e e é uma constante. (a) Use um SCA para desenhar campos de direções para diversos valores de e. (b) A partir dos campo~ de direções no item (a), detennine os valores de e para os quais há pelo menos uma solução de equihbrio. Para quais valores de e a população de peixes sempre desaparece? (e) Use a equação diferencial para demonstrar o que você descobriu graficamente no item (b). (d) Qual sua recomendação para o limite de pesca semanal para essa população de peixes?

9. Existe evidência considerável para apoiar a teoria de que, para algumas espécies, existe uma população mínima m de forma que as espécies se tornarão extintas se o tamanho da população cair abaixo de m. Essa condição pode ser incorporada na equação logística ao introduzir o fator ( 1 - m/P). Então o modelo logístico modificado é dado pela equação diferencial

~ - kP(1 -~)(1 - ;) (a) Use a equação diferencial para mostrar que qualquer solução é crescente se m < P < Me decrescente se O < P < m. (b) Para o caso onde k = 0,08, M = 1 000 em = 200, desenhe um campo de direções e use-o para esboçar várias curvas solução. Descreva o que acontece à população para várias populações iniciais. Quais são as soluções de equilíbrio? (e) Resolva a equação diferencial explicitamente, usando frações parciais ou um sistema de computação algébrica. Use a população inicial Po. (d) Use a solução no item (e) para mostrar que se Po< m, então a espécie será extinta. [Dica: Mostre que o nuruerador cm sua expressão para P(t) é O para algum valor de t.] 20. Outro modelo para a função crescimento para uma população limitada é dado pela função de Gompertz, que é uma solução da equação diferencial

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

(b) Traçando a solução para vários \alores de k, r e, explique como os valores de k, r e O

x2y'+xy= I

y(l)

=2

SOLUÇÃO Devemos primeiro dividir ambos os lados pelo coeficiente de y' para colocar a equação diferencial na forma padrão:

1

1

x>O

y' +-y=x x2 O fator integrante é

f(x) = eJO/x)dx = elnx =X

A multiplicação de ambos os lados da Equação 6 por x fornece xy'

+y

= -

1

(xy)'

ou

= -

X

f _!_ dx

XY =

Então,

1

X

ln X

=

X

+C A solução do problema de valor inicial no Exemplo 2 é mostrada na Figura 2

lnx

y=

e, assim,

+e

X

Uma vez que y(l)

5

= 2, temos 2=

ln 1

+e

1 Logo, a solução para o problema de valor inicial é

ln X+ 2

y=

X

™1''r.;

Resolva y'

+ h.y =

r(l~2)--

=C

4

-

o

1

-5 FIGURA 2

1.

SOLUÇÃO A equação dada está na fom1a padrão de uma equação linear. Multiplicando pelo fator integrante

ef 2.tdx = ex'

obtemos ou

Embora as soluções da equação diferencial no Exemplo 3 sejam expressas em termos de uma integral, elas ainda podem ser traçadas por um sistema de computação algébrica (Figura 3).

ex2 y' + 2xex' y = ex2

ou

' f ex' dx +e

e" y =

Portanto,

2,5

f

Lembre-se, ua Seção 7.5, que ex' dx não pode ser expressa em termos de funções elementares. Apesar disso, é uma função perfeitamente boa e podemos deixar a resposta como y =

e- x'

f e" dx + ce-x'

C= - 2

Outra maneira de escrever a solução é y =

e-x'

- 2,5

s:

e'' dt + ce- x'

(Qualquer número pode ser escolhido para o extremo inferior de integração.)

Aplicação a Circuitos Elétricos

-

Na Seção 9.2 consideramos o circuito elétrico simples, mostrado na Figura 4: uma força eletromotriz (geralmente uma pilha ou gerador) produz uma voltagem de E(t) volts (V) e uma corrente de l (t) amperes (A) em um instante t. O circuito também possui um resistor com resistência de R ohms (n ) e um indutor com indutância de L henrys (H).

FIGURA 3

560

CÁLCULO

R

A Lei de Ohm calcula a queda na tensão devida ao resistor como RI. A queda da tensão por causa do indntor é L(dl/dt). Uma das leis de Kirchhoff diz que a soma da queda de tensão é igual à voltagem fornecida E(t). Então temos

E)

L

d! L - + RJ = E(t) dt

-----I' + 2y' = l 2x2 por meio da substituição u = y'. No circuito a presentado na Figura 4, uma pilha fornece uma voltagem constante de 40 V, a indutância é 2 H, a resistência é 1O

n e / (0 ) = o.

ln x, y(l) = 2

(a) Encontre J(t).

dy

di + 3ry =

du , 17. t dr = r 18. 2.ry'

- n)P(x)u

X

t >O

Resolva o problema de valor inicial.

15. x 2y'

+ (1

24 25 Use o método do Exerc ício 23 para resolver a equação diferencial. 2 YJ 24. xy' + y = - xy2 25 y' + -y = - 2

27. 1~20

Q(x)y"

Observe que, se n = Oou 1, a equação de Bernoulli é linear. Para outros valores de 11, mostre que a substituição u = yi - • transforma a equação de Bernoulli na equação linear

du

+y =

dy 11. sen x dx 13. (1

JX

y'

Uma equação diferencial de Bernoulli (em homenagem a James Bernoulli) é uma equação da forma

y

= X -

9. xy'

+ xy2 =

2.

r

5. xy' - 2y =

23

+y

19. xy' = y

cos r,

+ 3u, =

+r

.v

t > O,

=o

(b) Calcule a corrente de pois de O, 1 s.

28. No circuito mostrado na Figura 4, um gerador fornece uma voltagem de E(r) = 40 sen 60r volts, a indutância é l H. a resistência é 20 0 e / (0) = 1 A .

11(2) = 4

6x, X> O, y(4) = 20 sen X,

(a) Encontre / (t).

y(1T) = Ü

(b) Calcule a corrente depois de O, 1 s.

20. (x2

+

dy

1) dx + 3x(y - 1)

= O,

y(O)

(c) Use uma ferramenta gráfica para desenhar o gráfico da função

=2

corrente.

21- 22 Resolva a equação diferencial e use uma calculadora gráfica ou um computaclor para traçar vários membros da família de soluções. Como a c urva solução muda quando C varia? 21 . xy'

+

2y = e'

22. xy' = xi

+ 2y

É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador

29. A figura mostra um circuito contendo uma força eletromotriz, um capacitor com capacitância de C farads (F) e um resistor com uma resistência de R de ohms (0). A queda de voltagem no capacitor é QIC, onde Q é a carga (em coulombs); nesse caso, a Lei de Kirchbofí fornece

1 As Homework Hints estão disponíveis em www.~tewartcalculus.com

562

CALCULO

Q RI+ -

e

=

E(t)

Mas I = dQ/dt (veja o Ex.emplo 3, na Seção 3.7), assim, temos R dQ dr

+ ..!._ Q

e

= E(t)

Suponha que a resistência seja 5 O e a capacitância, 0,05 F; que a pilha forneça uma voltagem constante de 60 V e que a carga inicial seja Q(O) = OC. Encontre a carga e a corrente no instante t.

35. Um objeto de massa m é solto a partir do repouso e presumimos que a resistência do ar seja proporcional à velocidade do objeto. Se s(t) for a distância percorrida depois de t segundos, então a velocidade é v = s'(t) e a aceleração é a= v'(t). Se g for a aceleração da gravidade, então a força para baixo no objeto é mg - cv, onde c é uma constante positiva, e a Segunda Lei de Newton fornece

dv m-;;

mg - cv

=

(a) Resolva essa equação linear para mostrar que

e

C:J· 30. No circuito do Exercício 29, R = 2 O, C = 0,01 F, Q(O) =O e E(t) = 10 sen 601. Calcule a carga e a corrente no instante t. 31. Seja P(t) o nível de desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento t. O gráfico de Pé chamado curva de aprendizagem. No Exercício 15 na Seção 9.1 propusemos a equação diferencial dP dt = k[M -

P(t)]

como um modelo razoável para a aprendizagem, onde k é uma constante positiva. Resolva essa equação diferencial linear e use sua solução para traçar a curva de aprendizagem. 32. Dois novos trabalhadores foram contratados para uma linha de montagem. João processou 25 unidades durante a primeira hora e 45 unidades durante a segunda. Marcos processou 35 unidades durante a primeira hora e 50 unidades na segunda. Usando o modelo do Exercício 31 e assumindo que P(O) = O, estime o número máximo de unidades por hora que cada trabalhador é capaz de processar. 33. Na Seção 9.3 analisamos os problemas de misturas nos quais o volume de fluido permanecia constante e vimos que estes fornecem equações separáveis (veja o Exemplo 6 naquela seção). Se as taxas de entrada e de saída do sistema forem diferentes, então o volume não é constante e a equação diferencial resultante é linear, mas não separável. Um tanque contém 100 L de água. Uma solução com uma concentração salina de 0,4 kg/L é adicionada à taxa de 5 Umin. A solução é mantida misturada e é retirada do tanque na tax.a de 3 Umin. Se y(t) é a quantidade de sal (quilogramas) após t minutos, mostre que y satisfaz a equação diferencial dy

dt

=

2 -

3y 100 + 2t

Resolva essa equação e calcule a concentração depois de 20 minutos.

(b) Qual é a velocidade-limite? (c) Calcule a distância que o objeto caiu depois de t segundos. 36. Se ignorarmos a resistência do ar, poderemos concluir que os objetos mais pesados não caem mais rápido que o bjetos mais leves. Mas, se considerarmos a resistência do ar, nossa conclusão muda. Use a expressão para a velocidade de queda de um objeto no Exercício 35(a) para calcular dvldm e mostrar que os objetos mais pesados caem mais rápido que os mais leves. 37. (a) Mostre que a substituição z = 1/P transforma a equação diferencial logística P' = kP(1 - PIM) na equação diferencial linear

z'

k M

+ kz = -

(b) Resolva a equação diferencial no item (a) para encontrar uma expressão para P(t). Compare com a Equação 9.4.7. 38. Para considerarmos a variação sazonal na equação diferencial podemos permitir que k e M sejam as funções de t: dP dt

k(t)P( 1 -

=

(a) Verifique 5e a substituição na equação linear

z=

dz

- + k(t)z = dr

~) M(t) l/P transforma essa equação k(t)

--

M(t)

(b) Escreva uma expressão para a solução da equação linear no item (a) e use-a para mostrar que se a capacidade de suporte M for constante, então P(t)

=

1

+

M

CMe-

Aeod1

f;

Deduza que se k(t) dt = oo, então lim,_oc P(t) = M. [Isso será comprovado se k(t) = ki + a cos bt com ki > O, que descreve uma tax.a de crescimento intrínseco positiva com uma variação sazonal periódica.) (c) Se k é constante, mas M varia, mostre que

34. Um tanque com capacidade de 400 L está cheio com uma mistura de água e cloro com concentração de 0,05 g de cloro por litro. Para poder reduzir a concentração de cloro, água doce é bombeada para o tanque na taxa de 4 Us. A mistura é agitada e bombeada para fora em uma tax.a de 10 L/s. Encontre a quantidade de cloro no tanque como uma função de tempo.

e utilize a Regra de !' Hôspital para decidir que se M (t) tem um limite quando t ----'; oo, então P(t) tem o mesmo limite.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

563

~stemas Predador-Presa Consideramos diversos modelos para o crescimento de uma única espécie que vive sozinha em um ambiente. Nesta seção estudaremos os modelos mais realistas, que levam em consideração a interação de duas espécies no mesmo ambiente. Veremos que esses modelos tomam a forma de um par de equações diferenciais acopladas. Pri meiro levaremos em conta a situação na qual uma espécie, chamada presa, tem um amplo suprimento alimentar e a segunda espécie, denominada predador, se alimenta da presa. Exemplos de presa e predador incluem coelhos e lobos em uma floresta isolada, peixes e tubarões, pulgões e joaninhas e bactérias e amebas. Nosso modelo terá duas variáveis dependentes e ambas serão funções do tempo. Seja C(t) o número de presas (usando C de coelhos) e L(t) o número de predadores (com L de lobos) no instante t. Na ausência de predadores, o amplo suprimento de alimentos suportaria o crescimento exponencial de presas, isto é, dC

-

dt

=kC

onde k é uma constante positiva

Na ausência de presas, assumimos que a população de predadores declinaria a uma taxa proporcional a ela mesma, isto é, dL dr

-=

-rL

onde r é uma constante positiva

Com ambas as espécies presentes, contudo, supomos que a causa principal de morte entre as presas seja serem comidas por predadores, e as taxas de natalidade e sobrevivência dos predadores dependam da disponibilidade de comida, ou seja, as presas. Também supomos que as duas espécies se encontrem a uma taxa que é proporcional a ambas as populações e é, portanto, proporcional ao produto CL. (Quanto mais houver de cada população, mais encontros serão possíveis.) Um sistema de duas equações diferenciais que incorpora essas hipóteses é como a seguir: dC dL - = kC - aCL = -rL + bCL dr dt

l fO, 40). A Figura 3 mostra es~a trajetória de fase com o campo de direções removido. Começando no instante Po no tempo t = O e deixando t aumentar, movemo-nos no sentido horário ou no anti-horário ao redor da trajetória de fase? Se colocarmos C = 1 (X)() e l = 40 na primeira equação diferencial, teremos dC dt

=

0,08(1 CX>O) - 0,001(1 CX>0)(40)

=

80 - 40

=

40

Como dC/dt > O. concluímos que C está aumentando em Po e assim nos movemos no sentido anti-horário ao longo da trajetória de fase. L

140 120 100 80 60 40

P0 (1.000, 40)

FIGURA 3

20

Trajetória da fase em (1.000, 40)

o

500

1.000

1.500

2.CX>O

2.500

3.000 C

Vemos que em P0 não existem lobos suficientes para manter um equilibrio entre as populações; dessa forma. a população de coelhos aumenta. Isso resulta em mais lobos e eventualmente existem tantos lobos que os coelhos têm dificuldade para evitá-los. Assim, o número de coelhos começa a declinar (em Pi. onde estimamos que C atinja a população máxima ao redor de 2.800). Isso significa que algum tempo depois a população de lobos começa a cair (em P2, onde C = 1 000 e L = 140). Mas isso beneficia os coelhos; portanto, sua população depois começa a aumentar (em P3 , onde l = 80 e C = 210). Como consequência, a população de lobos eventualmente começa a aumentar também. Isso acontece quando as populações retornam a seus valores iniciais de C = 1 000 e L = 40 e o ciclo inteiro começa novamente. (e) Da descrição no item (d) de como as populações de coelhos e lobos aumentam e diminuem, podemos esboçar os gráficos de C(t) e L(t). Suponha que os pontos P 1, P 2 e P 3 na Figura 3 sejam alcançados nos instantes ti , t i e t 3• Então podemos esboçar os gráficos de C e l como na Figura 4. C•

L

140

2.500 -

120 2.000-

I 1.500 - 1 1.000 ~ 500 -

o

\ \

100 80

\

60

\ '1 12

J r,

40 20

o

FIGURA 4 Gráficos das populações de coelhos e lobos como função do tempo

li 12

13

566

CÁLCULO

No Module 9.6 você pode alterar os coeficientes nas equações de Lotka-Volterra e observar as mudanças resultantes na trajetória de fase e nos gráficos das populações de coelhos e lobos.

Para tomarmos os gráficos mais fáceis de comparar, os desenhamos nos mesmos eixos, mas com escalas diferentes para C e L, como na Figura 5. Observe que os coelhos atingem sua população máxima cerca de um quarto de ciclo antes dos lobos. (_

1.0

( ~

V y

/

)

VI

/"'// X

X

X

~

X

37. (a)x = t 3, y = t 2 (c) x = e- 31, y = e- 2'

(b)x

= t6 ,

38. (a) x = t, y = 1- 2 (c)x =e', y = e-2'

(b) x

= cos t,

y

= t4 y

= sec2t

TT.

40. Seja P um ponto a uma distância d do centro de um círculo de raio r . A curva traçada em P como um círculo desliza ao longo de uma linha reta chamada tr ocoide. (Pense no movimento de um ponto sobre um raio de uma roda de bicicleta.) A cicloide é o caso especial de uma trocoide com d = r . Usando o mesmo parâmetro (} que para a cicloide e supondo que a reta seja o eixo x e (} = O quando P está em um de seus pontos mais baixos, mostre que as equações paramétricas para a trocoide são x = r(} - d sen (} y = r - d cos (} Esboce a trocoide para os casos d < r e d > r.

(//

tf:j 29. Trace a curva x

8

39. Deduza as Equações 1 para o caso 7T/2 < (} <

~-

X

3

III y

\

o

X

cas. Em que elas diferem?

cos 3t

II )'

f

2

37- 38 Compare as curvas representadas pelas equações paramétri-

(f) x = sen 2t , Y = cos 2t 4+t2 4+t2

y

4

2

41. Se a e b forem números fixos, encontre as equações paramétricas para a curva que consiste em todas as posições possíveis do ponto P na figura, usando o ângulo IJ como parâmetro. Então elimine o parâmetro e identifique a curva. y

= y - 2 sen 7r)I.

30. Trace as curvas y = x3 - 4x ex = y 3 - 4y e encontre seus pontos de intersecção, com precisão de uma casa decimal. 31. (a) Mostre que as equações paramétricas y = y,

+ (y2 -

X

y , )t

onde O ..;; t .;;; 1 descrevem o segmento de reta que une os pontos P1(xi. y1) e P 2(x2, Yz). (b) Encontre as equações paramétricas para representar o segmento de reta de ( - 2, 7) para (3, - 1) 32. Usando uma ferramenta gráfica e o resultado do Exercício 31 (a), desenhe o triângulo com vértices A (1, 1), 8(4, 2) e C (1, 5).

33. Encontre equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move ao longo do círculo x2 + (y - 1)2 = 4 O. Isso significa que C é percorrida uma ve1., da esquerda para a direita, quando t aumenta de a até /3 e/ (a) = a,f(/3) = b. Colocando a Fórmula 1 na Fórmula 2 e usando a Regra da Substituição, obtemos 1

+

(dy/dt) dx/dt

2

dx dt

dt

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES

Uma vez que dx!dt > O, temos

y

f~ ~(dx) + (dy) 2

L=

dt

a

e

2

P2

dt

dt

•

L = Iim n-+OCl

L

jP;- 1Pd

i-l

O Teorema do Valor Médio, quando aplicado a/ no intervalo [11- i. t;], fornece um número tf em (t;- 1, t;) tal que f(t;) - f (t;- i) = f'(t,*)(t; - t;-d X;- 1 e

=X; -

lly; = y; - }';- 1, e essa equação fica

6.x; = f'(tf) 6.t Analogamente, quando aplicado a g, o Teorema do Valor Médio fornece um número tf* em (t;- 1, t;), de forma que ~y; =

g'(tf *) 6.t

Portanto IP;-1Pd = J(6.x,)2 =

+ (6.y;}2

=

J[f'(t;*) 6.t] 2 + [g'(ti*)!:..t] 2

J [f'(t;*)]2 + [g'(ti*)]2 6.t

e também L = lim

4

L" J [f'(t;*)]2 + [g'(ti*)] 2 6.t

n-=»1- 1

A soma em G) se parece com a soma de Riemann da função J [f'(t)] 2 + [g'(t)] 2 , contudo, não é exatamente uma soma de Riemann, porque em geral t;* =I= tf *. Mesmo assim, se f' e g' forem contínuas, pode ser mostrado que o limite em é o mesmo 4ue se tf e tf* fossem iguais; ou seja,

rn

L =

f: J [f'(t)]2 +

(g'(r)]2 dt

Então, usando a notação de Leibniz, temos o seguinte resultado, que possui a mesma forma de 3. Se uma curva e é descrita por equações paramétricas X

= f (t), /3, ondef' e g' são contínuas em [a, /3] e C é percorrida exatamente uma vez quando t aumenta de a até /3, então o comprimento de C é r

y

Teorema

= g(t), a

:!'õ;

t

:!'õ;

L=

~ ~(dx) -

f

"

dt

2

(dy)

+ -

dt

2

dt

Observe que a fórmula no Teorema 5 é consistente com as fórmulas gerais L = (dx)2 + (dy) 2 Ja Seção 8.1, no Volume 1.

(ds)2

l

~

_!,

1

"

Mesmo que C não possa ser expre~sa na forma y = F(x), a Fórmula 3 ainda é válida, mas a obtemos por aproximações poligonais. Dividimos o intervalo do parâmetro (a, /3] em n subintervalos de comprimentos iguais ó. t. Se to, t1, t2, ... , tn são as extremidades desses subintervalos, então x; = f (t;) e y; = g(t;) são as coordenadas dos pontos P,{x;, y;) que estão em C e o polígono com vértices Po, P 1, • • • , Pn aproxima C. (Veja a Figura 4.) Como na Seção 8.1, no Volume I, definimos o comprimento L de C como o limite dos comprimentos dessas poligonais aproximadoras quando n -+ ao:

Agora ó.x;

587

= fds e

r-

P, 4

' ---......

- · Po

o FIGURA 4

• P, • P• X

588

CÁLCULO

Se usarmos a representação do círculo unitário dada no Exemplo 2, na Seção 10.1, X= COS

y

t

= sen t

o~

t

~

27T

então dx/dt = -sente dyldt = cos t, Jogo o Teorema 5 nos dá

L =

I:" ~( ~

r (d: r +

dt =

f:"Jsen

2

t

+ cos 2 t

f

2

dt

=

0

"

dt = 27T

como esperado. Se, por outro lado, utilizarmos a representação dada no Exemplo 3 na Seção 10.1 ,

x então dx!dt

= sen 2t

y

= cos 2t

= 2 cos 2t, dyldt = - 2 sen 2t e a integral do Teorema 5 fornece

fo ~( ~; 2

"

r (d:r +

dt =

s:. J 4

2

cos 2t

+ 4 sen 2 2t dt =

fo2'' 2 dt =

47T

~ Observe que a

integral fornece o dobro do comprimento do arco do círculo, porque quando t aumenta de O até 27T, o ponto (sen 2t, cos 2r) percorre o círculo duas vezes. Em geral, ao encontrarmos o comprimento da curva C a partir de uma representação paramétrica, temos de tomar cuidado para ter a certeza de que C é percorrida apenas uma vez quando t aumenta de a até {3. Encontre o comprimento de um arco da cicloide x

= r(() -

sen 8),

y = r(l - cos 8).

O~

8

~

Do Exemplo 3 vemos que um arco é descrito pelo intervalo paramétrico 27T. Uma vez que

dx

-

d(J

= r(l - cos 8)

dy

e

-

d(J

=

r seno

temos

-12,,. ~(dx)2 + (dy)2 -

L-

Oresultado do Exemplo 5 diz Que o comprimento de um arco de uma cicloide é oito vezes o raio do círculo gerador (veia a Figura 5). Isso foi demonstrado pela primeira vez em 1658 por sir Christopher Wren. Que depois se tomou o arquiteto da Catedral de São Paulo. em Londres.

L = 8r

o

27Tr

X

d(J

=

Jo2"

=

f:"Jr

=

r

d(J

Jr 2(1 - cos6)2 2

(1 - 2 cos(J

Jo2"' J2(l

- coso)

d(}

+ r 2 sen26

d(}

+ cos 2() + sen 2())

d(J

d()

Para calcular essa integral, usamos a identidade sen2x = }: (l - cos 2x) com 6 = 2x, que fornece l - cos (} = 2 sen2(6/2). Como O ,,;;: () ,,;;: 27T, obtemos O ~ (J/2 ~ 7T, logo, sen(()/2) ;;;io O. Portanto J 2(1 - cos 6) = J 4 sen 2 (()/2)

=

f2" sen(()/2) d(} 2r Jo

=

e também

L FIGURA 5

-

o

=

= 2r[2

Área de Superfície

+ 2] = Sr

2I sen(()/2)1

=

2 sen(()/ 2)

.. 2r[ - 2 cos(()/2)12 0

-

Da mesma maneira como para o comprimento do arco, podemos adaptar a Fórmula 8.2.5, no Volume I, para obter uma fórmula para a área da superfície. Se a curva dada pela') equações paramétricas x = f (t), y = g(t), a ~ t ~ {3, girar e m tomo do eixo x, onde f' , g' são contínuas

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS ECOORDENADAS POLARES

e g(t)

~

589

O, então a área da superfície resultante é dada por

r (dr r ~ ~; r (dr r

s: 21Ty ~( ~;

s=

+

J

dt

J

As fórmu las simbólicas gerais S = 21Ty ds e S = 21Tx ds (Fórmulas 8.2.7 e 8.2.8, no Volume I), ainda são válidas, mas para as curvas parametrizadas usamos

ds

=

+

(

dt

Mostre que a área da superfície de uma esfera de raio ré 47Tr2 • SOLUÇÃO A esfera é obtida pela rotação do semicírculo X=

r COS t

y

= r sen t

sobre o eixo x. Portanto, da Fórmula 6, temos S =

f 21Tr sen t .J(-r sen 1)2 + (r cos t) dt 2

1T

0

= 27T fo',. r sen t -y'r 2(sen2 t + cos 2 t) dt = 27T = 27Tr 2

f: sen

J r sen " 0

t • r dt

-

t dt = 217T 2(-cos t) ]~ = 47Tr 2

~ercícios 1- 2 Encontre dy!dx. 1.

x = t sen t, y = t2 + t

2.

x =l/t,

y= ./te-

17- 20 Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Se você tiver uma ferramenta gráfica, trace a curva.

1

3-6 Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.

= t + 1, = t - r ', 4

= t 3 + t; y = 1 + t 2;

y

=-

3.

X

4.

x

5.

x = t cos t, y = t sen 1; t =

6.

x = cos ()"" sen 20, y = sen () # cos 20;

t

/

1

= 1 7T

7.

x = l+lnl, y=12 + 2;

8.

X =

)

+ -./f,

1

y = e'

;

x = 6 sen t, y = t2

+ t;

~

(O, 0)

13.

X

t2

+

1, y

= 12 + t

15. x

= e', y = te= 2 sen t, y = 3 cos t,

16.

=

X

1

COS

2t, y

= COS (,

0

X

=

19.

X = COS (),

20.

X= e,." 8 ,

21.

Use um gráfico para estimar as coordenadas do ponto mais à esquerda na curva x = t - t 6, y = e'. Então, use o cálculo para calcular as coordenadas exatas.

12.

X =

14.

;t

O< t

<

oo e t----> -oo?

e-•, O,,;;; t,,;;; 2

-

2 7TU /2)

onde C e S são as funções ele Fresnel que foram introcluódas no Capítulo 5.

37-40 Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir, use sua calculadora para encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais. 37. x

f~ sen(

o,,;;;r~7T

57-00 Escreva uma integral para a área da superfície obtiúa pela rotação da curva em tomo do eixo x. Use sua calculadora para encontrar a superfície com precisão de quatro casas decimais. 57. x = t sen t. y = t cos t, O ~ t ~ rr/2 58. x = sen 1, y = sen 21. O~ t ~ 7T/2 59. X =) + te', y = (t 2 + 1)e', 0 ~ t ~ 1 60. X= t 2 - t 3, y = 1 + t 4• 0 ~ t ~ J

61--63 Encontre a área exata da superfície obtiúa pela rotação ela curva dada em torno cio eixo x. 61. 62.

X

= t 3,

X=

63. x =

y

= t 2,

Ü,,;;; f,;:;; (

y = 3t2 , 0 ~ t ~ J a cos 30, y = a sen30, O ~ fJ 31 -

t 3,

~

7T/2

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES

64. Trace a curva x = 2 cos 8 - cos 28

y = 2 sen () - sen 28 Se essa curva girar em torno do eixo x, calcule a área da super-

fície resultante. (Use o gráfico para ajudar a encontrar o intervalo correto do parâmetro.)

65-66 Calcule a área Ja superfície gerada pela rotação Ja curva Jada em torno do eixo y. 65.

X

66.

X

= 3f, = e' -

y t,

= 2t3, Ü ,,,; t ,,,; 5 y = 4e112 , 0 :,;;; t ,,,;

70. (a) Use a fórmula no Exercício 69(b) para encontrar a curvatura da parábola y = x 2 no ponto (1, 1). (b) Em que ponto essa parábola tem curvatura máxima?

71. (a) Use a fórmula no Exercício 69(a) para encontrar a c urvatura da cicloide x = 6 - sen 8, y = 1 - cos 6 no topo de um de seus arcos.

72. (a) Mostre que a curvatura em cada ponto de uma reta é

rolaJo, sendo mantiJo esticado. A curva traçada pelo ponto P no final do barbante é chamada involuta do círculo. Se o círculo tiver raio recentro O, ~e a posição inicial Je P for (r, 0) e se o parâmetro (} for escolhido como na figura, mostre que as equações paramétricas da involuta são x = r(cos (}

69. A curvatura no ponto P da curva é definida como

+ (} scn 0)

1 ~~1

y = r(sen O - 8 cos 8)

)'

onde é o ângulo Je inclinação da reta tangente em P, como mostrado na figura. Então, a c urvatura é o valor absoluto da taxa de variação de em relação ao comprimento de arco. Essa pode ser considerada uma medida da tax.1 de variação de direção da curva em P e será estudada cm mai~ detalhes no Capítulo 13. (a) Para a curva parametrizada x = x(t), y = y(t), deduza a fórmula K=

= O.

73. Um barbante é enrolado ao redor de um círculo e então desen-

68. Use a Fórmula 2 para deduzir a Fó1 mula 7 a partir da Fórmula 8.2.5, no Volume T, para o caso no qual a curva pode ser representada na forma y = F(x), a .;; x ~ b.

K =

K

(b) Mostre que a curvatura cm cada ponto Jo círculo Je raio ré K = lfr.

J

67. Se f' for contínua e f' (t) ;ri< O para a :,;;; t :,;;; b, mostre que a curva parametrizada x = f (t), y = g(t), a :,;;; t :,;;; b, pode ser colocada naformay = F(x). [Dica: Mostre que/ 1. ]

591

(

/

T

~o

)

X

Jxy-i:.YI

e.xi + .Yi ]3/2

74.

onde os pontos indicam as derivadas em relação a t, assim .i = dx/dt. [Dica: Use = tg- 1(dyldx) e a Fórmula 2 para encontrar dldt. Então, use a Regra da Cadeia para achar d!ds.j (b) Considerando uma curva y = f (x) como a curva parametrizada x = x, y f (x), com o par.imetro x, mostre que a fórmula na parte (a) se torna

Uma vaca é amarrada a um silo com raio r por uma corda comprida o suficiente para alcançar apenas o outro lado do si lo. Calcule a área disponível para a vaca pastar.

=

Jd y/dx I = --'---'-"----''--2

K

[l

2

+ (dy/ dx)2] Jf2

y

) o

PROJETO DE LABORATÓRIO

X

CURVAS DE BÉZIER As curvas d e Bézier são usadas em Computer-Aided Design (CAD) e têm esse nome em homenagem a Pierre Bézier (1910- 1999), matemático francês que trabalhava na indústria automobilística. Uma curva cúbica de Bézier é determinada por quatro pontos de controle, Po(xo, Yo), P1(X1, y1), P2(x2, y2) e P3(X3, y3), e é definida pelas equações paramétricas x = .ro(l - t) 3 y = Yo( 1 - t)

3

+ 3x1tO + 3y1t(1

+ 3x2r 2(1 t}2 + 3y2t 2(1

- t)2

- t)

-

- t)

É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador

+ X3t 3 + y3t 3

592

CÁLCULO

onde O~ t ~ l. Observe que, quando t = O, temos (x, y) = (xo, yo), e quando t obtemos (x, y) = (x3, y3); assim, a curva começa em Po e termina em P3.

=

l,

1. Trace a curva de Bézier com pontos de controle P0(4, l), P1(28, 48), P2(50, 42) e P 3(40, 5). Então, na mesma tela, trace os segmentos PoPi. P1P2 e P2P3. (O Exercício 31 na Seção 10.1 mostra como fazer isso.) Observe que os pontos de controle intermediários P1 e P2 não estão na curva; a curva começa em Po, vai em direção a P 1 e P2 sem tocá-los, e termina em P 3 • 2. A partir do gráfico no Problema 1, parece que a tangente em Popassa por Pi e a tangente em P 3 passa por P 2• Demonstre isso. 3. Tente produzir uma curva de Bézier com um laço mudando o segundo ponto de controle no Problema 1. 4. Algumas impressoras a laser usam as curvas de Bézier para representar letras e outros símbolos. Experimente com pontos de controle até você encontrar uma curva de Bézier que dê uma representação razoável da letra C. 5. Formatos mais complexos podem ser representados juntando-se duas ou mais curvas de Bézier. Suponha que a primeira curva de Bézier tenha pontos de controle Po, Pi. P 2, P 3 e a segunda tenha pontos de controle P3, P4, Ps, P6. Se quisermos que essas duas partes se juntem de modo liso, então as tangentes em P 3 devem coincidir, e os pontos P 2, P 3 e P~ devem estar nessa reta tangente comum. Usando esse princípio, encontre os pontos de controle para um par de curvas de Bézier que represente a letra S.

f J.fl Coordenadas Polares P(r,0)

r

eixo polar

FIGURA 1

.,.

X

Um sistema de coordenadas representa um ponto no plano por um par ordenado de números chamados coordenadas. Até agora usamos as coordenadas cartesianas, que são distâncias orientadas a partir de dois eixos perpendiculares. Nesta seção descreveremos um sistema de coorde nadas introduzido por Newton, denominado sistema de coordenadas polares, que é mais conveniente para muitos propósitos. Escolhemos um ponto no plano chamado polo (ou origem) e está rotulado de O. Então desenhamos uma meia linha começando em O chamada eixo polar . Esse eixo é geralmente desenhado horizontalmente para a direita e corresponde ao eixo x positivo nas coordenadas cartesianas. Se P for qualquer outro ponto no plano, seja r a distância de O até P e seja 8 o ângulo (geralmente medido em radianos) entre o eixo polar e a reta OP, como na Figura 1. Assim, o ponto P é representado pelo par ordenado (r , 8) e r, 8 são chamados coordenadas polares P. Usamos a convenção de que um ângulo é positivo se for medido no sentido anti-horário a partir do eixo polar e negativo se for medido no sentido horário. Se P = O , então r = O, e convencionamos que (0, 8) representa o polo para qualquer valor de 8. Estendemos o significado de coordenadas polares (r, 8) para o caso no qual r é negativo convencionando que, como na Figura 2, os pontos (-r, 8) e (r, 8) estão na mesma retapassando por O e estão à mesma distância Ir 1a partir de O, mas em lados opostos de O. Se r >O, o ponto (r, 8) está no mesmo quadrante que 8; ser < O, ele está no quadrante do lado oposto ao polo. Observe que (-r, 8) representa o mesmo ponto que (r, (J + 7T).

(-r, 8 )

Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas.

FIGURA 2 (a) (1, 57T/4)

(b) (2, 37T)

(e) (2, - 27T/3)

(d) ( - 3, 37T/4)

SOLUÇÃO Os pontos estão marcados na Figura 3. Na parte (d) o ponto (-3, 37T/4) está localizado três unidades a partir do polo no quarto quadrante, porque o ângulo 37T/4 está no segundo quadrante e r = - 3 é negativo.

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES

593

)?r

317"

Sw

o

~~-+--

e

e.

~ ~ x' + y'

tgO

y

= -

X

que podem ser deduzidas a partir das Equações 1 ou simplesmente lidas a partir da Figura 5. Converta o ponto (2, 7T/3) de coordenadas polares para cartesianas. SOLUÇÃO Como r = 2 e () = 7T/3, as Equações 1 fornecem

1T

1

3

2

X

= r COS (J = 2 COS - = 2 · - =

y

= r sen O = 2 sen - = 2 · -

1T

3

Portanto, o ponto é ( 1, J3) nas coordenadas cartesianas.

J3 = J3 2

-

y

() X

X

594

CÁLCULO

Represente o ponto com coordenadas cartesianas ( 1, - l) em termos de coordenadas polares. SOLUÇÃO Se escolhennos r positivo, então a Equação 2 fornece

r

=

.Jxz

+ y 2 = .JF + (tg8=1'..

=

1)2 =

J2

-J

X

Como o ponto (l, -1) está no quarto quadrante, podemos escolher 8 Então uma resposta possível é (J2, -1T/4); e outra é (J2, 77T/ 4).

=-

1Tl4 ou 8

= 77T/4.

OBSERVAÇÃO As Equações 2 não detemúnam univocamente 8 quando x e y são dados, porque, à medida que 6 aumenta no intervalo O :s::; 8 < 27T, cada valor de tg (}ocorre duas vezes. Portanto, para converter coordenadas cartesianas em coordenadas polares, não é apenas suficiente encontrar r e(} que satisfaçam as Equações 2. Como no Exemplo 3, devemos escolher (}de modo que o ponto (r, O) esteja no quadrante correto.

Curvas Polares

r=4

O gráfico de uma equ ação polar r = f (0), ou mais genericamente, F(r, O) = O, consiste em todos os pontos P que têm pelo menos uma representação (r, 8) cujas coordenadas satisfaçam a equação.

/

.l

= 2? SOLUÇÃO A curva consiste em todos os pontos (r, 8) com r = 2. Como r representa a distância do ponto ao polo, a curva r = 2 representa o círculo com centro O e raio 2. Em geral, a Que curva é representada pela equação polar r

equação r

= a representa um círculo com centro O e raio 1aj. (Veja a Figura 6.)

FIGURA 6

m:lllili"r.< (3.1)

8=1 ~

Esboce a curva polar (}

= 1.

SOLUÇÃO Essa curva consiste em todos os pontos (r, 0) tal que o ângulo polar(} é l radiano. É uma reta que passa por O e forma um ângulo de l radiano com o eixo polar (veja a Figura 7). Observe que os poutos (r, 1) na reta com r > O estão no primeiro quadrante, enquanto aqueles com r < O estão no terceiro quadrante.

(2, 1)

(l, 1)

o-~------X

(-1,1)

(a) Esboce a curva com equação polar r = 2 cos 8. (b) Encontre a equação cartesiana para essa curva. SOLUÇÃO

(- 2.1)

(a) Na Figura 8 encontramos os valores de r para alguns valores convenientes de (}e marcamos os pontos correspondentes (r, 8). Então juntamos esses pontos para esboçar a curva, que parece ser um círculo. Usamos os valores de () apenas entre O e 7T, já que, se deixarmos fJ aumentar além de 7T, obtemos os mesmos pontos novamente.

FIGURA 7

8

1

o

FIGURA 8 Tabela de valores e

gráfico der = 2 cos 8

1T/6 1T/4 7T/3 7T/2 27T/3 37T/4 57T/6 1T

r

= 2 cos 8 2

13 {'i 1 1

o - 1

- fi - 13 - 2 1

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES

595

(b) Para convertennos a equação dada em uma equação cartesiana, usamos as Equações 1 e

2. A partir de x = r cos O, temos cos () = xlr; assim, a equação r = 2 cos ()toma-ser = 2x/r, que fornece

2x=r2=x2+y2

x2+y2-2x = O

ou

Completando o quadrado, obtemos

-

(x -1)2 + y2= 1

que é uma equação do círculo com centro (l, 0) e raio 1. y

p

-\) r

8

o

2

Q

A Figura 9 mostra em uma ilustração geométrica que o circulo no Exemplo 6 tem a equação r = 2 cos 6. O ãngulo OPQ é um ângulo reto (por quê?) e assim rfl = cos 6.

X

FIGURA 9

lim&IQ'·'

r

Esboce a curva polar r = 1 + sen O.

SOLUÇÁO Em vez de marcarmos os pontos como no Exemplo 6, primeiro esboçamos o gráfico

de r = 1 + sen () em coordenadas cartesianas na Figura 10 pelo deslocamento da curva seno uma unidade para cima. Isso nos permite ler de uma vez os valores de r que correspondem aos valores crescentes de 8. Por exemplo, vemos que, quando (J aumenta de O até 7r/2, r (a distância a partir de 0) aumenta de 1 até 2, assim esboçamos a parte correspondente da curva polar na Figura l l(a). Quando f:I aumenta de 7r/2 até 7T, a Figum 10 mostra quer diminui de 2 até 1, e dessa forma esboçamos a próxima parte da curva como na Figura l l(b). Quando() aumenta de 1T até 37T/2, r diminui de 1 para O. como apresentado na parte (c). Finalmente, quando (J aumenta de 37r/2 até 27T, r aumenta de O para l, como mostrado na parte (d). Se deixássemos () aumentar além de 27r ou diminuir além de O, simplesmente retraçaríamos nossa trajetória. Juntando as partes da curva nas Figuras 1 l(a}-{d), esboçamos a curva completa na parte (e). Ela é chamada cardioide, porque tem o formato parecido com o de um coração. O=

1T

1T

2

3tr

T

211"

1-l

O=O

o== 1T

o

O=

1T

o-(e)

(b)

FIGURA 11 Estágios do esboço da cardioide r = l

~

(

)

2

3tr

2

0 ~ 8 ~ 271"

o 8= 21T

O= 3,,. 2

(d)

(e)

+ sen 8

Esboce a curvar= cos 20. SOLUÇÃO Como no Exemplo 7, fizemos o esboço der= cos 28, O~()~ 21T, em coordena-

das cartesianas na Figura 12. Quando Oaumenta de O até 7r/4, a Figura 12 mostra que r diminui de 1 até O, e assim desenhamos a parte correspondente da curva polar na Figura 13 (indicada por ©. Conforme () aumenta de 7r/4 até 7r/2, r vai de O a - 1. Isso significa que a distância de O aumenta de O até 1, mas, em vez de ser no primeiro quadrante, essa parte da curva polar (indicada por ®) está no lado oposto ao polo no terceiro quadrante. O restante da curva é desenhado de uma maneira semelhante, com números e setas indicando a ordem na qual as partes são traçadas. A curva resu ltante tem quatro laços e é denominada rosácea de quatro pétalas.

o

FIGURA 10 r = 1 + sm 8 em coordenadas cartesianas,

2

T (a)

o

O= !!

Í

o

2

O Module 103a1uda você a ver como as curvas polares são traçadas mostrando animações similares às Figuras 10-13.

596

CÁLCULO

8= j

r

1

©

-

FIGURA 13

FIGURA 12 r = cos 28em coordenadas cartesianas

Rosácea de quatro pétalas r = cos 20

Simetria

Ao esboçar curvas polares, lembre-se de que é útil algumas vezes levar em conta a simetria. As três regras seguintes são explicadas pela Figura 14. (a) Se uma equação polar não mudar quando O for trocado por -O, a curva será simétrica em relação ao eixo polar. (b) Se a equação não mudar quando r for trocado por - r, ou 4uando (}for trocado por O + 7T', a curva será simétrica em relação ao polo. (Isso significa 4ue a curva permanecerá inalterada se a girarmos 180º em torno da origem.) (e) Se a equação não mudar quando O for trocado por 7T' - O, a curva será simétrica em relação à reta vertical (} = 7T'/2.

(r,

/-

/

(r, 8)

'IT- (/)

(r , 8 )

/ TT -

(

\

\8

o

/

7-e "'-- (a)

(}

\

} •

~r, - 8 ) (b)

(e)

FIGURA 14

As curvas nos Exemplos 6 e 8 são simétricas em relação ao eixo polar, pois cos(- 0) = cos O. As curvas nos Exemplos 7 e 8 são simétricas em relação à O = 7r/2 porque sen (7r - O) = sen O ecos 2(7r - O) = cos 20. A rosácea de quatro pétalas é também simétrica em relação ao polo. Essas propriedades de simetria poderiam ser usadas para esboçar curva-.. Por exemplo, no Exemplo 6 só precisaríamos ter marcado pontos para O ~ (} ~ e então refleti-los em torno do eixo polar para obter o círculo completo.

7Tn

ª"

Tangentes a Curvas Polares Para encontrarmos a reta tangente a uma curva polar r = f (0), vamos considerar (J como um parâmetro e escrever sua-; equações paramétricas como .r = r cos ()

=f

(fl) cus O

y

= r sen 8 = f

(8) sen 8

Então, usando o método para encontrar inclinações de curvas pardDletrizada-; (Equação 10.2.2) e a Regra do Produto, temos dy _d_ r sen (J + r cos () dy = d8 = _d_o_ _ _ _ __ d.r dx dr cos () - r sen() d(J d()

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES

597

Localizamos as tangentes horizontais achando os pontos onde dy/d() = O (desde que dx!d() #- 0). Do mesmo modo, localizamos as tangentes verticais nos pontos onde dxldO = O (desde que dy/dfJ #- O). Observe que, se estivermos olhando para as retas tangentes no polo, então r = O e a Equação 3 é simplificada para dy dr -=tgR se dO #- O dx Por exemplo, no Exemplo 8 achamos que r = cos 2 () = Oquando O = 7T/4 ou 37T/4. Isso significa que as retas O = Tr/4 e O = 37T/4 (ou y = x e y = -x) são retas tangentes ar = cos 2 (} na origem.

(a) Para a cardioide r = 1 + sen R do Exemplo 7, calcule a inclinação da reta tangente quando R = 7T/3. (b) Encontre os pontos na cardioide onde a reta tangente é horizontal ou vertical.

= 1 + sen O, obtemos

SOLUÇÃO Usando a Equação 3 com r

dr

dy

=

senfJ + r cos() _d_O_ _ _ __

dr do cos(J -

dx

cos O sen fJ cos O cos fJ

r sen(J

+ 2 'ien O)

cos () (1

(l

1 - 2 sen16 - seno (a) A inclinação da tangente no ponto no qual (}

+

cos(7T/3)(1

dy 1 dx e- ,,/3

(1

+

.J3)

sen O) sen O

= 7T/3 é

H1 + .J3)

sen(rr/3))( 1 - 2 sen(7T/3)) = (1

(2 + J3)(1 -

sen O) cos fJ

coso (1 + 2 senO) + sen 0)(1 - 2 sen O)

2 sen(7T/3))

1 + .J3

=

+ (1 + - (1 +

1 + .J3 = - 1 - JS

+

.J3/2)(1 - .J3)

- - 1

-

(b) Observe que

dy

-

dtJ

7T 37T 77T

= cos() (1 + 2 senO) =O

quando

dx

- = (1 + senO)( I - 2 se nO) =O dO

117T

e = 2' 2' 6' -6-

q uandofJ

37T 7T 57T

= -

G.

-

-

2 ' 6. 6

G.

Portanto, existem tangentes horizontais nos pontos (2, 7T/2), 7rr/6), l l 7T/6) e tangentes verticais em 7T/ 6) e 57T/ 6). Quando () = 37T/2, dy/dfJ e dx/dO são e, dessa forma, devemos ser cuidadosos. Usando a Regra de L'Hôspital, temos

e.

lim 0-(3,.;2>

G.

dy = ( dx

lim 8->(J-rr/2)

3

o

l + 2 sen (J) ( lim cos () ) 1 - 2 sen (J o- (3fT/2) 1 + sen fJ

lim 8-(11'/2)

coso

+

senR

Jim

3 o- (3.../2)

- sen()

= 00

cos (J

Por simetria, . dy hm = -oo o •(3fT/2>• dx

Então, existe uma reta tangente vertical no polo (veja a Figura 15).

-

(l2· .!!.!!) (l2· 1.!!.) 6 6 FIGURA 15

Retas tangentes para r = 1 + sen fJ

598

CÁLCULO

OBS RVAÇÃO Em vez de lembrarmos a Equação 3, poderíamos empregar o método usado para deduzi-la. Por exemplo, no Exemplo 9, poderíamos ter escrito

= r cos () = (! + sen 9) cos () = cos (J + 4sen 28 y = r sen H = ( 1 + sen 8) sen 8 = scn 8 + sen29

x

Portanto, temos dy dx

cos () + 2 sen tJ cos f:J -sen () + cos 29

dy/d() dx/ d()

-=--- =

cos () + sen 29 -sen e + cos 28

que é equivalente à nossa expressão prévia.

Traçando Curvas Polares com Ferramentas Gráficas Embora seja útil saber esboçar as curvas polares simples manualmente, precisamos usar uma calculadora gráfica ou um computador quando nos deparamos com curvas complicadas, como as mostradas nas Figuras 16 e 17.

- 1

1,7

FIGURA 16

FIGURA 17

r = sen2(2,48) + cos4(2,48)

r = sen2(1,28) + cos3(68)

Algumas ferramenta gráficas têm comandos que nos permitem traçar curvas polares diretamente. Com outras máquinas precisamos fazer a conversão para curvas parametrizadas primeiro. Neste caso, tomamos a equação polar r = f (8) e escrevemos suas equações paramétricas como X=

r

COS ()

=f

(8)

y = r sen e = f (8) sen e

COS ()

Algumas máquinas requerem que o parâmetro seja denominado tem vez de e. Trace a curvar = sen(89/5). Vamos assumir que nossa ferramenta gráfica não tenha um comando para traçar as curvas polares. Neste caso, precisamos trabalhar com as equações paramétricas correspondentes, que são .x = r cos

(1

y=

= sen(88/5) cos (1

r sen 8

= sen(88/5) sen e

Em qualquer caso, precisamos determinar o domínio para 8. Então nos perguntamos: quantas rotações completas são necessárias até que a curva comece a se repetir? Se a resposta for n, sen

FIGURA 18 r = sen(88/5)

+ 5

2mr)

=

sen

( 8(J

5

16mr)

+ - 5-

=

sen

58(J

e assim precisamos que l 6mr/5 seja um múltiplo par de 7r. Isso ocorrerá primeiro quando = 5. Portanto, traçamos a curva inteira se especificarmos que O~()~ l07r. Trocando de() para t, temos as equações

n - 1

8(8

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES

x

= sen(8t/5) cos t

y

599

= sen(8r/5) sen t

e a Figura 18 nos mostra a curva resultante. Observe que essa rosácea tem 16 laços. Investigue a famíl ia de rnrvas polares dada por r = 1 +e sen 8. Como o formato muda conforme e varia? (Essas curvas são chamadas limaçons, que em francês significa caracol, por causa do formato dessas curvas para certos valores de e.) SOLUÇÃO A Figura 19 mostra gráficos desenhados por computador para vários valores de

e.

Para e > 1, há uma volta que é decrescente em tamanho conforme e diminui. Quando e = 1, o laço desaparece e a curva toma-se a cardioide que esboçamos no Exemplo 7. Para e entre 1 e t a cúspide da cardioide é suavizada e toma-se uma "covinha". Quando e diminui de ~ para O, a limaçon parece oval. Essa oval '>e toma mais circular quando e--+ O e quando e = O, a curva é apenas o círculo r = 1. e= 1,7

c= l

c=0,7

No Exercício 53 pediremos Que você demonstre analiticamente o Que descobriu a partir dos gráficos na Figura 19.

c=0,5

c=0,2

~--~---~

\_ c=O

) e= -0,8

c= - 0.2

c=-1

FIGURA 19

Membros da família de limaçons r = 1 +e sen (}

As partes restantes da Figura 19 mostram que, quando e se torna negativo, os formatos mudam na ordem inversa. De fato, es5as curvas são reflexões ao redor do eixo horizontal das curvas correspondentes com e positivo. Li maçons surgem do estudo de movimento planetário. Em particular, a trajetória de Marte, vista do planeta Terra, cem sido modelada como um limaçon com uma volta, como partes da Figura 19 com lei > 1.

1ui! Exercícios 1-2 Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com r > O e o outro com r < O. 1.

(a) (2, 7r/3)

(b) (1, -37r/4)

(c) (-1, 7r/2)

2.

(a) (1. 77r/4)

(b) (-3, 7r/6J

(c) ( 1, -1)

3-4 Marque o ponto cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre as coordenadas cartesianas do ponto. 3.

(a) (1, 7r)

(b) (2, -27r/3)

(e) ( - 2, 37r/4)

4.

(a)(-J2,57r/ 4)

(b) ( 1' 57r/2)

(c) (2, -77r/6)

(ii) Encontre as coordenadas polares (r, (}) do ponto, onde r < O e O o;;; (} r

r = 1+ cos•O onde n é um inteiro positivo. Como muda o formato quando n aumenta ? O que acontece quando n se tom a maior? Explique a forma para o n maior considerando o gráfico de r como uma função de O nas coordenadas c.;artesianas.

PROJETO DE LABORATORIO

t'.ll

o 78. (a) Use o Exercício 77 para mostrar que o ângulo entre a reta tangente e a reta radial é .p = ?T/4 em cada ponto na curva

ffi

r = e9. (b) Ilustre a parte (a) traçando a curva e a reta tangente ao~ pon-

tos onde O = Oe 1T!2. (e) Demonstre que q ualquer c urva polar r = f (0), com a propriedade de que o ângulo .p entre a reta radial e a reta tangente é uma constante, deve ser do tipo r = Ct!6 , onde C e k são constantes.

FAMÍLIAS DE CURVAS POLARES

Neste projeto você irá descobrir formas interessantes e bonitas que membros das famílias de curvru. polares podem fazer. Você também irá ver como a forma da curva muda conforme você varia as constantes.

1. (a) Investigue a família de curvas definidas pelas equações polares r = sen nO, onde n é um inteiro positivo. Como o número de laços está relacionado a n?

(b) O que aconteceria se a equação na parte (a) fosse trocada por r = lsen nOI?

2. Uma família de curvas é dada pelas equações r = 1 +e sen n9, onde e é um número real e 11 é um inteiro positivo. Como o gráfico muda quando 11 aumenta? Como ele muda quando e varia? Ilustre traçando membros suficientes da família para j ustificar suas conclusões.

3. Uma famflia de curvas te m equações polares r=

l - a cos 8

l +acos()

Investigue como o gráfico muda quando o número a varia. Em particular, você deveria identificar os valores de transição de a para os quais o formato básico da curva muda. 4.

O astrônomo Giovanni Cassini ( 1625-1712) estudou a família de curvas com equações polares r" - 2c2 r2 cos 28 + cA - a• = O

~ necessário usar uma calculadora gráfica ou computador

602

CÁLCULO

para as quais a e e são números reais positivos. Essas curvas são chamadas ovais de Cassini, mesmo que elas sejam ovais apenas para alguns valores de a e e. (Cassini pensava que essas curvas poderiam representar as órbitas dos planetas melhor que as elipses de Kepler.) Investigue a variedade de formas que essas curvas podem ter. Em particular, como estão relacionados a e e quando a curva se divide em duas partes?

m

Áreas e Comprimentos em Coordenadas Polares Nesta seção deduziremos a fórmula para a área de uma região cuja fronteira é dada por uma equação polar. Precisamos usar a fórmula para a área de um setor de um círculo:

r I

/~ FIGURA 1

/ ()=

O

b

:\\a

->

r=f(O)

()=a

onde, como na Figura 1, ré o raio e O, a medida em radianos do ângulo central. A Fórmula [ 1 segue do fato de que a área de um setor é proporcional a seu ângulo central] A = (012TT}rrr = ~ r20. (Veja também o Exercício 35, na Seção 7.3, no Volume 1.) Seja O. Então P(x, y) é um ponto na elipse quando 1 PF1 J + J PF2 I = 2a

+ c)2 +y2 + J(x J(x - c) 2 + y 2 = 2a -

isto é,

J(x

ou Elevando ao quadrado ambos os lados. temos x2

-

2cx

+ c2 + y 2 =

que se simplifica para

4a 2

aJ(x

4aJ(x

-

+

+ c)2 + y 2

+ y 2 = 2a J(x + c)2 + y2

c)2

c)2 =

+ y 2 + x2 +

a2

2cx

+ c2 + y 2

+ ex

Elevamos ao quadrado novamente: a 2(x 2

+

2cx

+ c2 + y2)

=

a4

+ 2a 2cx +

c 2x 2

que se torna A partir do triângulo F1F2P na Figura 7, vemos que 2c < 2a, assim, e < a e, portanto, c2 > O. Por conveniência, seja b2 = a 2 - c2 • Então, a equação da elipse torna-se 2 2 b x + a 2y2 = a 2b2• ou, se ambos os lados forem divididos por a2b2,

y

a2 (0,h)

(- a,0)

b (-c,0)

o

FIGURA 8

xi

y2

+ b2

= 1, a ~ b y (0, a)

(-b,0)

[41

(h.0)

o

xi

-

(0, -c)

xi b

yi

+za

= l,

b2

ª1

+-

y2

b2

=

a ~ b > O

tem focos ( ± e, O), onde c 2 = a 2 - b2 , e vértices (±a , 0). Se os focos de uma elipse estiverem localizados no eixo y em (O, ±e), então podemos encontrar sua equação trocando x e y em@]. (Veja a Figura 9.)

FIGURA 9 2

ª2

A elipse

X

(0, - a)

y2

Como b2 = a2 - c2 < a2, segue que b < a. As intersecções com o eixo x são encontradas fazendo-se y = O. Então x2/a 2 = 1, ou x2 = a2 , assim x = ±a. Os pontos correspondentes (a, 0) e (-a, 0) são chamados vértices da elipse, e o segmento de reta que une os vértices é dito eixo maior. Para encontrarmos as intersecções com o eixo y fazemos x = Oe obtemos y2 = b 2, ou seja, y = ±b. O segmento de reta unindo os pontos (0, b) e (0, -b) é o eixo menor. A Equação 3 não muda se x for trocado por - x ou y for trocado por -y, logo, é simétrica em relação a ambos os eixos. Observe que, se os focos coincidirem, então e = O, portanto, a = b e a elipse torna-se um círculo com raio r = a = b. Resumimos essa discussão a seguir (veja também a Figura 8).

(0, - b)

ai

x2

-+-=

X

a~b

[5

A elipse x2

y2

-b 2 + -ª 2 = I

a ~ b > O

tem focos (0, ± e), onde c2 = a 2 - b2 , e vértices (0, ± a).

illt!J:if'' SOLllÇA

Esboce o gráfico de 9x2 + 16y2 = 144 e localize os focos. Dividindo ambos os lados da equação por 144:

x2

-

16

Y2

+-·-= 9

609

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES

A equação está agora na forma padrão para uma elipse, e assim temos a 2 = l 6, b2 = 9, a = 4 e b = 3. As intersecções com o eixo x são ±4 e as intersecções com o eixo y são ±3. Além disso, c 2 = a 2 - b2 = 7, portanto e = /7, e os focos são (::t/7, o). O gráfico é esboçado na Figura 1O.

y (0, 3)

(-4,0)

SOLUÇÃO Usando a notação de

b2 = a 2 - c2 = 9 - 4

(4,0)

/

Encontre uma equação para a elipse com focos (0, ±2) e vértices (0, ±3).

(-,./7,0)

[1), temos e = 2 e a = 3. Então, obtemos

o

(./7,0)

X

= 5; logo, uma equação para a elipse é (0,-3)

x2 Y2 -+-=l

5 9 Outra maneira de escrever a equação é 9x2 + 5y2 = 45.

Como as parábolas, as elipses têm uma propriedade de reflexão interessante, com consequências práticas. Se uma fonte de luz - ou som - for colocada em um foco de uma superfície com secções transversais elípticas, então toda luz - ou som - é refletida da superfície para o outro foco (veja o Exercício 65). Esse princípio é usado em litotripsia, um tratamento para pedras nos rins. Um refletor com secção transversal elíptica é colocado de maneira que a pedra no rim esteja em um foco. Ondas sonoras de alta intensidade geradas no outro foco são refletidas para a pedra e a destroem sem causar dano ao tecido vizinho. O paciente não sofre o trauma de uma cirurgia e se recupera em poucos dias.

FIGURA 10 9x 2 + 16y2 = 144

y

-

• P (x,y )

o

F,(-c,0)

/

Hipérbole

Uma hipérbole é o conjunto de todos os pontos em um plano cuja diferença entre as distâncias a dois pontos fixos F1 e Fi (os focos) é uma constante. Essa definição é ilustrada na Figura 11. As hipérboles ocorrem frequentemente como gráficos de equações em química, física, biologia e economia (Lei de Boyle, Lei de Ohm, curvas de demanda e de oferta). Uma aplicação particularmente importante de hipérboles é encontrada nos sistemas de navegação desenvolvidos nas 1e li Guerras Mundiais (veja o Exercício 51 ). Observe que a definição de uma hipérbole é similar àquela de uma elipse; a única mudança é que a soma das distâncias torna-se uma diferença das distâncias. De fato, a dedução da equação de uma hipérbole é também ~imitar àquela dada anteriormente para uma elipse. Pediremos para você mostrar no Exercício 52 que, quando 05 focos estão no eixo x em (±e, 0) e a diferença das distâncias for IPFil - IPF2I = :t2a, então a equação da hipérbole é xi

m

FIGURA 11 P está na hipérbole quando

IPF1l- IPF2I = :!:2a.

Y2

~-h2 = ,

onde c2 = a 2 + b2• Observe que as intersecções com o eixo x são novamente :ta, e os pontos (a, 0) e (-a, 0) são os vértices da hipérbole. Mas, se colocarmos x = O na Equação 6, teremos y 2 = - b2, que é impossível dessa forma, não existe intersecção com o eixo y. A hipérbole é simétrica em relação a ambos os eixos. Para analisarmos a hipérbole um 1Jouco mais, olhamos a Equação 6 e obtemos

x2 -=

ª2

1

Y2 b2

+- ~

Isso mostra que x2 ~ a 2, de modo que jx 1 = JX2 ~a. Portanto, temos x ;;;i:: a ou x ~ -a. Isso significa que a hipérbole consiste em duas partes, chamadas ramos. Quando desenhamos uma hipérbole é útil desenhar primeiro as assíntotas, que são as linhas pontilhadas y = (hla)x e y = -(b!a)x mostradas na Figura 12. Ambos os ramos da hipérbole atingem as assíntotas; isto é, eles se tornam arbitrariamente perto das assíntotas. [Veja o Exercício 73 da Seção 4.5, no Volume 1, ondt> é mostrado que estas retas são assíntotas oblíquas.]

h

y= - -a x

,

(-a,O), (- e.O)

y2

ª2

b2

---= I

tem focos (±e, 0), onde c 2 = a 2 + b2, vértices (±a, O), e assíntotas y

o

(e,0)

= :t(bla)x.

FIGURA 12 x2 "2 - - "-= ! ª 2 b2

X

,,\

''

[[] A hipérbole

x2

,,,- !a.O)

'~

610

CÁLCULO

Se os focos de uma hipérbole estiverem no eixo y, então, trocando os papéis de x e y, obtemos a seguinte informação, que é ilustrnda na Figura 13.

y (O, e) a

a

y=-;;x

y=-;;x

[!]

~(0,a)

o / (0, -a)

1

tem focos (0, :!:e), onde c 2 = a 1 + b2 , vértices (0, :!:a), e assíntotas y

= :!::(alb)x.

(O, -e)

Encontre os focos e as assíntotas da hipérbole 9x2

FIGURA 13

y2

xi

y2

- - - = ª2 b1

X

"

,// ,,Y

A hipérbole

xz

-

16y2

=

144 e esboce seu

gráfico.

--- = 1 ª2 b2

SOLUÇÃO Dividindo ambos os lados da equação por 144:

xi

y

y1

--- = l 16 9

ITJ

(-4,0)

o

(-5,0)

~,,,,"

(5,0) X

'' ''

/

''

FIGURA 14 9x 2 - 16y 2 = 144

que é da forma dada em com a ( ::!:: 5, 0). As assíntotas são as retas y

=4

eb xey

=t

= =

3. Como c 2 = 16 + 9 = 25, os focos são x. O gráfico é visto na Figura 14.

t-

Encontre os focos e a equação da hipérbole com vértices (0, ::!:: 1) e assíntota

''

y=2t.

[fil e da informação dada, vemos que a = J e a/b = 2. Então, ~e c 2 = a 2 + b2 = ~. Os focos são (O, ::!:: /5/2) e a equação da hipérbole é

SOLUÇÃO A panir de

b

= a/2 =

y2 - 4x2 = 1

Cônicas Transladadas Como di scutido no Apêndice C, no Volume 1, transladamos as cônicas tomando as equaçõespadrão []], @], 111. [l] e [fil e trocando X e y por X - h e y - k.

rn,

Encontre uma equação para a elipse com focos (2, - 2), (4, - 2) e vértices (1, -2), (5, - 2). SOLUÇÃO O eixo maior é o segmento de reta que une os vértices ( 1, - 2), (5, - 2) e tem comprimento 4; assim, a = 2. A distância entre os focos é 2, e assim, e = 1. Então, b 2 = a 2 - c2 = 3. Como o centro da elipse é (3, -2), trocamos x e y em @] por x - 3 e y + 2 para obter

(x - 3)2 4

-'------"-- +

l , então 1 - e2 < Oe vemos que a Equação 3 representa uma hipérbole. Da mesma maneira que fizemos anteriormente, poderíamos reescrever a Equação 3 na forma (x - h)2

y2

ª2

b2

- - -- - e e=-

e ver que

a

onde

=

1

c2 = a 2

-

+ b2

Isolando r na Equação 2, vemos que a equação polar da cônica mostrada na Figura 1 pode ser escrita como ed r=----+ ecos O

Se a diretriz for escolhida como estando à esquerda do foco em x = -d, ou se a diretriz for escolhida como estando paralela ao eixo polar em y = ±d, então a equação polar da cônica é uada pelo seguinte teorema, que é ilustrado pela Figura 2. (Veja os Exercícios 21- 23.) y

y

y

x=d

y=d

x= -d \

\

diretriz

diretri1

diretriz

F

X

X

y = -d ed

(a) '

= 1 +e cos 8

(b) , -

ed

ed

F

/ /

X

diretriz

(d),ed - 1-esen 8

(e) '= 1 + e sen O

1 -ecos O

."

FIGURA 2

Equações polares de cônicas

[!] Teorema A equação polar da forma ed

r=-----

± ecos O

ou

ed

r = -- -- -

± e seno

representa uma seção cônica com excentricidade e. A cônica é uma elipse se e < 1. uma parábola se e= 1 ou uma hipérbole se e> l.

Encontre uma equação polar para uma parábola que tem seu foco na origem e cuja diretriz é a reta y == -6.

615

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES

SOLUÇÃO Usando o Teorema 6 com e que a equação da parábola é

=

1 e d= 6, e usando a parte (d) da Figura 2, vemos

-

6 - seno

r = ----

lii:C@MíU.1

Uma cônica é dada pela equação polar

10 3 - 2 cose Encontre a excentricidade, identifique a cônica, localize a diretriz e esboce a cônica. r = - - - --

SOLUÇÃO Dividindo numerador e denominador por 3, escrevemos a equação como 10

T -r = ---

- ~cose Do Teorema 6, vemos que isso representa uma elipse com e =~. Uma vez que ed = !j!, temos 10

d=

3

e

10

y r=

x=-5 (diretriz)

=T= s 3

10 3-2cosll

logo, a diretriz tem a equação cartesiana X = -5. Quando e = O, r = 10; quando o = 7T, r = 2. Assim os vértices têm coordenadas polares ( 1O, 0) e (2, 7r). A elipse é esboçada na Figura3. Esboce a cônica r

12 4 seno.

FIGURA 3

= ----2

+

SOLUÇÃO Escrevendo a equação na forma r=

6 1 + 2 sen O

vemos que a excentricidade é e = 2 e, portanto, representa uma hipérbole. Como ed = 6, d = 3 e a diretriz tem a equação y = 3. Os vértices ocorrem quando O = 7r/2 e 37r/2, assim eles são (2, 7r/2) e (-6, 37r/2) = (6, rr/2). Também é útil marcar os pontos de intersecção com o eixo x. Isso ocorre quando () = O, 7r; cm ambos os casos r = 6. Para maior precisão poderíamos desenhar as assíntotas. Observe r ~ ± oo quando 1 + 2 sen O~ o+ou o- e l + 2 sen () = O quando sen O = - ~. Então, as assíntotas são paralelas aos raios O = 77r/6 e () = l l 7r/6. A hipérbole é esboçada na Figura 4.

,,. y = 3 (diretriz)

r=

FI GURA 4 12 ~ 2+-4-se_ n_O

Na rotação de seções cônicas descobriremos que é muito mais conveniente usar as equi:l :s polares do que as equações cartesianas. Apenas usamos o fato de que (veja o Exercício 73, na Seção 10.3) o gráfico der = f (0 - a) é o gráfico der = f ((})que gira no sentido anti-horário ao redor da origem por um ângulo a.

li

Se a elipse do Exemplo 2 girar por um ângulo 7r/4 ao redor da origem, encontre uma equação polar e trace a elipse resultante. SOLUÇÃO Obtemos a equação da elipse que gira trcx·ando () por O - 7r/4 na equação dada

no Exemplo 2. Assim a nova equação é /

10

r = --------

3 - 2 cos{O - 7r/ 4)

10

r = 3 - 2coo6

-6 FIGURA 5

616

CÁLCULO

Usamos essa equação para traçar a elipse girada na Figura S. Observe que a elipse gira ao redor de seu foco esquerdo. Na Figura 6 usamos um computador para esboçar um número de cônicas para demonstrar o efeito de variar a excentricidade e. Note que quando e está próximo de O a elipse é quase circular, enquanto ela se torna mais alongada conforme e - 1- . Quando e = 1, claro, a cônica é uma parábola.

o

e = 0,1

e e= I

o o

e = 0.5

e = 0,68

e = 0,86

e = 0,96

) ( e = 1.4

e = l ,1

e=4

FIGURA 6

LEIS DE KEPLER Em 1609, o matemático e astrônomo alemão Johannes Kepler, com base em uma enorme quantidade de dados astronômicos, publicou as seguintes três leis do movimento planetário. Leis de Kepler 1. Um planeta gira em torno do Sol em uma órbita elíptica, com o Sol em um dos focos.

2. O segmento de reta ligando o Sol a um planeta varre áreas iguais em tempos iguais. 3. O quadrado do período de revolução de um planeta é proporcional ao cubo do comprimento do eixo maior de sua órbita. Embora Kepler tenha formulado suas leis em termos dos movimentos dos planetas em tomo do Sol, elas se aplicam igualmente bem ao movimento de luas, cometas, satélites e outros corpos sujeitos a urna única força gravitacional. Na Seção 13.4 mostraremos como deduzir as leis de Kepler a partir das leis de Newtou. Aqui, usamos a Primeira Lei de Kepler, com a equação polar de uma elipse, para calcular quantidades de interesse em astronomia. Para o propósito de cálculos astronômicos, é útil expressar a equação de uma elipse em termos de sua excentricidade e e de seu semieixo maior a. Podemos escrever a distância d do foco à diretriz em termos dt! a se usarmos G]: e2d 2 (l - e 2)2

d = a(l - e2) e

a 2 = -- - -

Assim, ed

= a(l - e2). Se a diretriz for x = d, então a eyuação polar é r=

ed

+

e cos(]

a(l - e 2 ) 1

+

e cos(]

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES

617

,-----

7 A equação polar de uma elipse com foco na origem, semieixo maior a, excentricidade e e diretriz x = d pode ser escrita na forma

r=

1

+ ecos (J

As posições de um planeta que estão mais próximas e mais distantes do Sol são chamadas periélio e afélio, respectivamente, e correspondem aos vértices da elipse. As distâncias do Sol ao periélio e afélio são chamadas distância do periélio e distância do afélio. respectivame nte. Na Figura 1, o Sol está no foco F, de modo que no periélio temos (J = O e, da Equação 7,

planeta

/

'

'-afélio

2

r = a(l - e ) = a(l - e)( I + e) = a(I _ e) 1 +ecos O 1 +e De forma aná loga, no afélio (J

FIGURA 7

= 1T e r = a( 1 + e).

LaJ A distância do periélio de um planeta ao Sol é a( 1 -

e) e a distância do afélio é

a(I +e).

(a) Encontre uma equação polar aproximada para a órbita elíptica da Terra em tomo do Sol (em um foco), dado que a excentricidctde é cerca de 0,017 e o comprimento do eixo maior é cerca de 2,99 X 10 8 km. (b) Encontre a distância da Terra ao Sol no periélio e no afélio.

SOLUÇAO (a) O comprimento do eixo maior é 2a = 2,99 X 108, de modo que a = 1,495 X I08• Foi dado que e = 0,017 e assim, da Equar,ão 7, uma equação da órbita da Terra em torno do Sol é

r=

(1,495 X 10 8 )[ 1 - (O.O 17) 2 ] 1 + e coso

1 + 0,017 coso

ou, aproximadamente, 1,49 X 10 8

r == - -- - - -

1

+

0,017 cos tJ

(b)De []], a distância do periélio da Terra ao Sol é a( I - e) = (1,495 X 108 )(1 - 0,0 17) = 1,47 X 108 km e a distância do afélio é

a(I +e) = ( 1,495

X

108)(1+0,017)

= 1,52 X

108 km

-

'

r

Sol

/ periélio

618

CALCULO

lul Exercíci~ 1-8 Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e com os dados fornecidos

1. Elipse, excentricidade

t

23. Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = -d tem a equação polar

ed

diretriz x = 4

r= - - - - 1 - e sen (}

2. Parábola, diretriz x = - 3

24. Mostre que as parábolas r = c/(l se interceptam em ângulos retos.

3. H ipérbole, excentricidade 1,5, diretriz y = 2 4. Hipérbole, excentricidade 3, diretriz x = 3

excentricidade 0,8,

7. Elipse,

excentricidade ~. diretriz r

8. Hipérbole,

vértice (1, 11"12) = 4 sec (}

excentricidade 3, diretriz r = -6 cossec (}

------

9 16 (a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica, (c) dê uma equação da d iretriz e (d) esboce a cônica.

r=

9.

11. r=

4

1O.

12 r = _ __:.::__

3 - 10 cos (}

5 - 4 sen 8

1

+ sen (}

12. r=

13. r=

9 6+2cos9

14. r=

15. r=

3 4 - 8cos9

16. r=

~ 17.

3 2

+ 2 cos (} 8

4

- cos 8)

25. A órbita de Mar1e em torno do Sol é uma elipse com excentricidade 0,093 e semieixo maior 2,28 X 108 km. Encontre uma equação polar da órbita.

5. Parábola, vértice em (4, 37T/2) 6. Elipse,

+ cos 9) e r = dl(I

+ 5 sen 8

26. A órbita de Júpiter tem excentricidade 0,048 e o comprimento do seu eixo maior é 1,56 X 109 km. Encontre uma equação polar para a órbita. 27.

A órbita do cometa Halley, visto pela última vez em 1986 e com retomo esperado para 2062, é uma elipse com excentricidade 0,97 e com um foco no Sol. O comprimento do eixo maior é 36,18 AU [Uma unidade astronômica (AU) é a distância média entre a Terra e o Sol, cerca de 93 milhões de milhas.] Encontre uma equação polar para a órbita do cometa Halley. Qual é adistância máxima do cometa até o Sol?

28. O cometa Hale-Bopp, descoberto em 1995, tem uma órbita elíptica com excentricidade 0,9951 e o comprimento do eixo maior é 356,5 AU. Encontre uma equação polar para a órbita desse cometa. Quão perto do Sol chega esse cometa?

10 5 - 6 sen (}

(a) Encontre a excentricidade e a diretriz da comca r = 1/(1 - 2 sen 8) e faça um gráfico da cônica e sua diretriz. (b) Se a cônica girar no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo 37T/4, escreva a equação resultante e trace sua curva.

~

18. Trace a parábola r = 4/(5 + 6 cos 9) e sua diretriz. Também trace a curva obtida pela rotação dessa parábola ao redor de seu foco por um ângulo 71"/3.

ffi

19. Trace as cônicas r = e/( 1 - e cos 8) com e = 0,4, 0,6, 0,8 e 1,0 na mesma tela. Como o valor de e afeta o formato da curva?

ffi

29. O planeta Mercúrio viaja numa órbita elíptica com excentricidade de 0,206. Sua distância mínima do Sol é de 4,6 X 101 km. Calcule sua distância máxima do Sol.

20. (a) Faça o gráfico das cônicas r = edl( 1 + e sen 8) para e = 1 e vários valores de d. Como o valor de d afeta o formato da curva? (b) Faça o gráfico das cônicas para d= 1 e vários valores de e. Como o valor de e afeta o formato da curva?

30. A distância de Plutão até o Sol é 4,43 X 109 km no periélio e 7 ,37 X 109 km no afélio. Encontre a excentricidade da órbita de Plutão.

21.

Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz x = -d tem a equação polar

ed l - ecos8

r= - - -- 22.

31 . Usando os dados do Exercício 29, calcule a distância percorrida pelo planeta Mercúrio durante uma órbita completa ao redor do Sol. (Se sua calculadora ou sistema de computação algébrica calcular integrais definidas, use-o. Caso contrário, use a Regra de Simpson.)

Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar

ed

r= - - -- 1 +e sen 8

mÉ necessário usar uma calculadora gráfica ou compullldor

1. As Homcworks Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES

619

. _ Revisão Verificação de Conceitos 1.

(a) O que é uma curva parametrizada? (b) Como você esboça uma curva parametrizada?

2.

(a) Como você calcula a inclinação de uma tangente a uma curva parametrizada? (b) Como você calcula a área sob uma curva parametrizada?

3.

Escreva uma expressão para cada um dos seguintes itens: (a) O comprimento de uma curva parametrizada. (b) A área da superfície obtida pela rotação de uma curva parametrizada em tomo do eixo x.

4.

5.

(a) Use um diagrama para explicar o significado das coordenadas polares (r, (J) de um ponto. (b) Escreva as equações para expres~ar as coordenadas cartesianas (x, y) de um ponto em termos de coordenadas polares. (c) Quais equações você usaria para encontrar as coordenadas polares de um ponto se soubesse as coordenadas cartesianas?

(c) Como você calcula o comprimento de uma curva polar? 6.

(a) Dê uma definição geométrica de uma parábola. (b) Escreva uma equação de uma parábola com foco (0,p) e diretriz y = - p. Então, o foco é (p, O) e a diretriz é x = - p.

7.

(a) Dê uma definição de uma elipse em termos dos focos. (b) Escreva uma equação para a elipse com focos (±e, 0) e vértices (±a, 0).

8.

(a) Dê urna definição de uma hipérbole em termos dos focos. (b) Escreva uma equação para a hipérbole com os focos (±e, 0) e os vértices (±a, 0). (c) Escreva equações para as assíntotas da hipérbole na parte (b).

9.

(a) O que é a excentricidade de uma seção cônica? (b) O que você pode dizer sobre a excentricidade se a seção cônica for uma elipse? Uma hipérbole? Uma parábola? (c) Escreva uma equação polar para uma seção cônica com excentricidade e e diretriz x = d. O que acontece se a diretriz for X= -d? y = d? y = -d?

5.

As curvas polares r = l - sen 2(J e r = sen 28 - l têm o mesmo gráfico.

6.

As equações r = 2, x 2 + y 2 = 4 e x = 2 sen 3t, y = 2 cos 3t (0 ..:;; t ..:;; 21T) têm todas o mesmo gráfico.

7.

As equações paramétricas x = t2, y = r4 possuem o mesmo gráfico dex = t 3 ,y = t 6 •

8.

O gráfico de y2 = 2y

9.

A reta tangente a uma parábola intercepta a parábola apenas uma vez.

(a) Como você calcula a inclinação de uma reta tangente a uma curva polar? (b) Como você calcula a área de uma região limitada por uma curva polar?

Teste - Verdadeiro ou Falso Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário. explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.

1.

Se a curva parametrizada x = f (t), y = g(t) satisfaz g'(I) =O, então ela tem uma tangente horizontal quando t = !.

2.

Se x = f (t) e y = g(t) têm segundas derivadas, então

3.

4.

d 2y d 2 y/ dt 2 dx 2 = d 2x/dt 2 O com rimento da curva x = f (tl e y [f'(t)]2 + [g'(t)]2 dt.

s:

=

g(t), a ~ t ~ b é

+ 3x é uma parábola.

10. Uma hipérbole nunca intercepta sua diretriz.

Se um ponto é representado por (x, y) em coordenadas cartesianas (onde x ~ O) e (r, O) em coordenadas polares, então 8 = tg- 1(y/x).

Exercícios 1-4 Esboce a curva parametrizada e elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.

t 2 + 4t, y = 2 - t,

-4

~

t ""' 1

1.

X =

2.

x = l

J.

x

4.

x = 2 cos O,

5.

Escreva os diferentes conjuntos de equações paramétricas para acurvay = J;.

6.

Use os gráficos de x = f (t) e y = g< t) para esboçar a curva parametrizada x = f (t), y = g(t). Indique com setas a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.

+ eu, y = e'

= cos O,

y

= sec O, O ..:;; 8 < y = 1 + sen (J

- 1

7r/2 7.

(a) Marque o ponto com coordenadas polares (4, 2?T/3). A seguir, encontre suas coordendas cartesianas. (b) As coordenadas cartesianas de um ponto são (- 3, 3). Encontre dois conjuntos de coordenadas polares para o ponto.

8.

Esboce a região que consiste nos pontos cujas coordenadas polares satisfazem 1 ..:;; r < 2 e ?T/6 ..:;; 8 ~ 5?T/6.

620

CALCULO

37-40 Calcule o comprimento da curva.

9-16 Esboce a curva polar.

9.

cos O

r = 1

10. r

11. r = cos 38 13. r = 1

12. r = 3

+ cos 28

14. r

3

15. r = - - - - 1 + 2 sen8

37. X= 3t2, )' = 2/3. 0.;;; 1 .;;; 2

= scn 40

38. x = 2

+ cos 38

18.

x2 + y 2 = 2

20. Trace a elipse r

21(4 - 3 cos 0) e sua diretriz. Trace também a elipse obtida por sua rotação em tomo da origem. de um ângulo de 27T/3.

21-24 Calcule a inclinação da reta tangente à curva dada no ponto cor-

respondente ao valor especificado do parâmetro. 21 . X= ln 1, y = 1 + f2;

= 11 + 61 + ),

22.

X

23.

r = e ·•; 8 - 7T

24. r = 3

+ cos 30;

y

t = 1

= 21 -

12 ;

1

+

~en

= - }

= cosh 31.

y

O .;;; t .;;; 1

43. As curvas definidas pelas equações t2 - e x=--12 + 1

param~tricas

1(1

2

e)

y=-,2-+--

são chamadas estrofoides (do grego "girar ou torcer"). Investigue como essas curvas mudam quando e varia.

44. Uma família de curvas tem equações polares I" - lsen 281. onde a é um número positivo. Investigue como essas curvas mudam quando a varia.

45. -

TT/2

9

+-

8

=

48. 25r + 4y2 +

46. 4x2

+ 55

sox -

y2 = 16

= 0 16y = 59

49. Encontre uma equação da elipse com foco (:!:4, 0) e diretriz (:!:5. 0).

t, y = 1 - cos t

50. Encontre uma equação da hipérbole com X= -4.

26. X = 1 + 12 , y = 1 - 13 ~ 27.

= 2 + 3t,

45-48 Encontre os focos e os vértices e esboce o gráfico. x2 yz

25-26 Encontre dyldx e d2y!d.t'-.

25. x = t

4J/ )'

47. 6y2 +X - 36y (J =

1

41-42 Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva dada em tomo do eixo x. 1' 1 41 . X= = -3 + -2t 2 • 1 .;;; t .;;; 4 • 42. x

19. A curva com equação polar r = (sen 8)/8 é chamada cocleoide. Use um gráfico de r como função de 8 em coordenadas cartesianas para esboçar a cocleoide manualmente. Então trace-a com uma máquina para verificar seu esboço. ~

1 .;;;

40. r = sen 1(6/3). O.;;; O.;;; 7T

3 2 - 2 cos 8

17- 18 Encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada.

17. X+ y = 2

y = cosh 31, O .;;;

39. r = 118. 7T.;;; 6 .;;; 27T

= 2 cos(0/2)

16. r =

+ 3t,

----------

foco~

(2. 1) e vértices

Use um gráfico para estimar as coordenadas do ponto mais baixo na curva x = 1' - 31. y = r2 + 1 + 1. Então, use o cálculo para calcular as coordenadas exatas.

51. Encontre uma equação da hipérbole com foco~ (0. :!:4) e assíntotas y = :!:3x.

28. Calcule a área da região delimitada pelo laço da curva no Exercício 27.

52. Encontre uma equação da elipse com focos (3, :!:2) e eixo principal com comprimento 8.

29

53. Encontre uma equação para a elipse que compartilhe um vértice e um foco com a parábola x2 + y = 100 e que tenha seu outro foco na origem.

Em quais pontos a curva x = 2a cos t - a cos 21

y = 2a sen 1 - a sen

21

tem tangentes verticais e horizontais? Use essa informação para ajudar a esboçar a curva. 30. Calcule a área delimitada pela curva no Exercício 29.

55. Encontre uma equação polar para a elipse com foco na origem. excentricidade ~ e diretriz com equação r = 4 sec tJ.

31 . Calcule a área delimitada pela curva r2 = 9 cos 58.

32. Calcule a área delimitada pelo laço interno da curva r = 1 -3sen0. 33. Encontre os pontos de intersecção das curvas r = 2 e r = 4 cos 8. 34. Encontre os pontos de intersecção das curvas r = cotg r = 2 cos 8.

(J

56. Mostre que os ângulos entre o eixo polar e as assíntotas da hipérbole r = edl(l - ecos 6). e > 1. são dados porcos 1( :!: l/e). 57. Uma curva chamada fólio d e Descar tes é definida pelas equações paramétricas

e

35. Encontre a área da região que está dentro de ambos os círculos r = 2 sen O e r - sen 8 + cos 8. 36. Encontre a área da região que está dentro da curva r = 2 + cos 28. mas fora da curva r = 2 + sen O. (l É necessáno usar uma calcul adora gráfica ou computador

54. Mostre que, se m for qualquer número real. então existem exatamente duas retas de inclinação 111 tangentes à elipse .x2/a2 + y2/b 2 = 1 e suas equações são y = mx + Ja 2111 2 + b 2 •

3t 1 - t3

:e = - - -

•

3r

v=---

.

1-

t3

(a) Mostre que. se (a, b) estiverem na curva. então (b. a) também está; isto é, a curva é simétrica em relação à reta y = x. Onde a curva intercepta essa reta? :~A É necessário usar um sistema de computação algébrica

EOUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES

(b) Encontre os pontos na curva onde as retas tangentes são horizontais ou verticais. (c) Mostre que a reta y = -x - 1 é uma assíntota oblíqua. (d) Esboce a curva. (e) Mostre que a equação cartesiana dessa curva é x3 + y3 = 3.ry. (1) Mostre que a equação polar pode ~er escrita na forma

.

..

..~

. . . .f i

- , ,, ". ~-

~

~

r=

3 sec fJ tg fJ 1 + tg3 fJ

(g) Encontre a área da região dentro do laço dessa curva. (h) Mostre que a área do laço é a mesma que está entre a assíntota e os ramos infinitos da curva. (Use um sistema de computação algébrica para calcular a integral.)

'"ll"'"' ~ ,..._.,,.

--~

621

.

,

'?:~ z~-.:-~

r""'""

•

~

'

.

~

~

'

Problemas Quentes 1.

Uma curva é definiua pelas equações paramétricas l

X=

cos

t

f - u- - dll 1

y=

' sen f --du li

1

li

Calcule o comprimento do arco da curva a partir da origem até o ponto mais próximo onde exista uma reta tangente vertical. 2.

(a) Encontre os pontos mais altos e mais baixos sobre a curva ;w;4 + y• = x2 + y 2 • (b) Esboce a curva. (Observe que ela é simétrica em relação a ambos os ei;w;os e a ambas as retas y = ~x; assim. inicialmente é sufü:iente considerar y;;;., x;;;., 0.) (c) Use as coordenadas polares e um s sterna de computação algébrica para encontrar a área dentro da curva.

3. Qual é a menor janela que contém cada membro da família de curvas polares r = 1 + e sen fJ, onde O ,.,. e ,.,. 1? Ilustre ~ua resposta traçando vários membros da família nesta janela. 4.

a

Quatro insetos são posicionados nos quatro cantos de uma quadrado com comprimento de a. Os insetos andam no sentido anti-horário na mesma velocidade e cada um deles sempre anda diretamente em direção ao próximo inseto. Eles se .1proximam do centro do quadrado ao longo de um caminho em espiral. (a) Encontre a equação polar do caminho do inseto supondo que o polo esteja no centro do quadrado. (Use o fato de que a reta ligando um inseto até o próximo é tangente ao caminho do inseto.)

,;;;:.-

a

a

(b) Encontre a distância percorrida por um inseto quando ele encontra os outros insetos no centro.

5.

Mostre que qualquer linha tangente à hipérbole toca a hipérbole na metade do caminho entre os pontos de intersecção com a tangente e as assíntotas.

6.

Um círculo C de raio 2r tem seu centro na origem. O círculo de raio r rola sem sair do sentido anti-horário ao redor de C. Um ponto P está localizado num raio fixo de um círculo em movimento numa distância b do centro, O < b < r . LYer p.trtes (i) e (ii) da Figura.] Seja La reta do centro de C ao centro do círculo em rotação e seja fJ o ângulo que L faz com o eixo x positivo. (a) Usando 8 como um parâmetro, mostre que as equações paramétricas da trajetória percorrida por P são X

= b COS J8

+ )r COS 8

y = b sen 38

+ 3r sen O

Observação: se b = O, a trajetória é uni círculo de raio 3r; se b = r, a trajetória é uma epicicloide. A trajetória percorrida por P para O < h < ré chamada epitrocoide. (b) Trace a curva para diversos valores de b e ntre O e r. (c) Mostre que pode ser inscrito um tri.1ngulo equilátero na epitrocoide e que seu centroide está no círculo de raio b centrado na origem. Observação: Este é o princípio do motor de rotação de Wankel. Quando o triângulo equilátero gira com seu vértice na epitrocoide, seu centroide percorre um círculo cujo centro está no centro da curva.

a FIGURA. PARA O PROBLEMA 4

622

CALCULO

(d) Na maioria dos motores de rotação os lados do triângulo equilátero são substituídos por arcos de círculo centrados no vértice oposto como na parte (iii) da figura (então. o diâmetro do rotor é constante). Mostre que o rotor irá caber na epitrocoide se b ~ ~ (2 - "3)r. y p

P=P0

i X

X

(i)

FIGURA PARA O PROBLEMA 6

(ii)

(i i i)

Sequências e Séries Infinitas

Sequências e séries infinitas foram introduzidas rapidamente em Uma Apresentação do Cálculo em conexão com os paradoxos de Zenon e a representação decimal de números. Sua importância em cálculo surge da ideia de Newton da representação de funções como somas de séries infinitas. Por exemplo, para encontrar área'>, ele frequentemente i·1tegrava uma função expressando-a primeiro como uma série e então integrando cada tl!rmo da série. Seguiremos sua ideia na Seção 11.10 para integrar funções como e-x'. (Lembre-se de que, auteriormente, fomos incapazes de fazer isso.) Muitas das funções que surgem em física-matemática e química, tais como as funções de Bessel, são definidas como somas de séries; assim, é importante nos familiarizarmos com os conceitos básicos de convergência de sequências e séries infinitas. Os físicos também usam séries de outra maneira, como veremos na Seção 11.1 1. Em áreas de estudo diversas, como óptica, relatividade especial e eletromagnetismo, eles analisam fenômenos trocando uma função pelos primeiros termos da série que a representa.

624

CÁLCULO

Pode-se pensar numa sequência como uma lista de números escritos em uma ordem definida:

O número 01 é chamado primeiro termo, 0 2 é o segundo termo e, em geral,º" é o n-ésimo termo. Trataremos exclusivamente de sequências infinitas, de modo que cada tenno º"terá um sucessor an+I ·

Observe que, para cada inteiro positivo n existe um número correspondente ª" e, dessa forma, uma sequência pode ser definida como uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos. Mas, geralmente, escrevemos a. em vez da notação de funçãof(n) para ovalor da função no número n. NOTAÇÃO A sequência {ai. a 2 , a 3 ,

••• }

é também indicada por

{a.}

ou

Algumas sequências podem ser definidas dando uma fórmula para o n-ésimo termo. Nos exemplos seguintes, damos três descrições da sequência: uma usando a notação anterior, outra empregando a fórmula da definição e uma terceira escrevendo os termos da sequência. Observe que não é necessário começar em l.

(b) {

( - l)"(n 3"

+

1) }

{~' ~' !':' .. "n:

n

ª"

= -

ª"

=

--

li+ l

+

(-l)"(n

1)

3"

a.=~. n;;.,. 3 {O, l,

(d)

"'

{ } fl1T

cos6

ª" =

1 " .. }

t11T

cos 6

' n;;.,. O

n- 0

{

J2, J3, .. ., )n=3,. .. }

J3

1

1,--, 2' O, ... , cos6, ... 2 n1T

}

Encontre uma fórmula para o termo geral ª" da sequência

3 {5,

4

5

25 • 125 •

6

7

-

}

625 ' 3.125 ' .

supondo que o padrão dos primeiros termos continue. SOLUÇÃO Foi-nos dado que

4

a 2 -- - -25

ª3 =

5 125

6 a - --4 625

7

a - -5 3.125

Observe que os numeradores dessas frações começam com 3 e são incrementados por 1 à medida que avançamos para o próximo termo. O segundo termo tem numerador 4; o terceiro, numerador 5; generalizando, o n-ésimo termo terá numerador /1 + 2. Os denominadores são a potência de 5, logoª" tem denominador Y. Os sinais dos termos alternam entre positivo e negativo, assim, precisamos multiplicar por uma potência de -1. No Exemplo l(b) o fator ( - l)" significava que começamos com um termo negativo. Neste exemplo, queremos começar com um termo positivo e assim usamos (- 1) •- 1 ou ( -1) n+ 1• Portanto

li+ 2

= ( - l)n- I _ _

Q

n

5"

-

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

625

Aqui estão algumas sequências que não têm uma equação de definiçi'ío simples. (a) A sequência {p.}, onde p. é ::i população do mundo no dia I Qde janeiro do ano n. (b) Se fizermos a. ser o algarismo na n-ésima casa decimal do número e, então {a. }é uma sequência bem definida cujos primeiros termos são

{7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4, 5, ...} (c) A sequência de Fibonacci {f,,} e definida recursivamente pelas condições

h

==

1

J,,

=

/.-1 + Ín- 2

11 ;;;.

3

Cada termo é a soma uos dois termos precedentes. Os primeiros termos são {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...} Essa sequência surgiu quando o matl!mático italiano conhecido como Fibonacci resolveu, no século Xlll, um problema envolvendo a reprodução de coelhos (veja o Exercício 83). Uma sequência como aquela no Exemplo 1(a), a. = n/ (n + 1), pode ser visualizada marcando seus termos na reta real, como na Figura 1, ou traçando seu gráfico, como na Figura 2. Observe que, como uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto uos inteiros positivos, seu gráfico consiste em pontos isolados com coordenauas (3, 0 3 )

o

1

2

FIGURA 1

A partir da Figura 1 ou 2 parece q ue os termos da sequência a. = n/ (n ximando de l quando n se toma grande. De fato, a diferença

+ l) estão se apro-

n

n

+

n+I

1

• • • r

a,= 87

pode ficar tão pequena quanto se des O existir um inteiro correspondente N tal que se

n >N

la. -

então

LI< e

A Definição 2 é ilustrada pela Figura 4, na qual os termos a1 , a 2 , a 3 , ••• são marcados na reta real. Não importa quão pequeno seja escolhido o intervalo (L - e, L + e), existe um N tal que todos os termos da sequência de aN+ 1 em diante devem estar naquele intervalo.

a,

a, FIGURA 4

o

l - &

l

L +&

Outra ilustração de Definição 2 é dada na Figura 5. Os pontos no gráfico de {a.} devem estar entre as linhas horizontais y = L + e e y = L - e se n > N. Esse quadro deve ser válido independentemente do quão pequeno eé escolhido, mas geralmente um e menor exige um Nmaior.

y

....

L

y = L.i..!_

y = L- e

FIGURA 5

o

1 2 3 4

li

N

A comparação da Definição 2 com a Definição 2.6.7, no Volume 1. mostra que a única diferença entre lim.-,, a. = L e limx-"' f(x) = L é que n precisa ser inteiro. Então, temos o seguinte teorema, que é ilustrado pela Figura 6. Se lim. -., a. = L.

limx-oc f (x ) = L e f(n) =

ª• quando

n é um inteiro, então

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

--- - .

y

y=f(x)

L

o

X

1 2 3 4

Em particular, como sabemos qui; lim, _,. (l/x') =O quando r Volume I), temos . 1 lim - =O n'

4

FIGURA 6

> O (Teorema 2.6.5, no

se r > O

n-:xi

Se Gn aumentar quando n aumentar, usaremos a notação limn-"' ª• nição precisa é similar à Definição 2.6.9, no Volume T.

'sJ

= oo.

A seguinte defi-

De 1niçào Lim. '"'" an = oo significa que para cada número positivo M existe um in-

te iro N tal que se

11

>

N

então

ª• >

M

Selim.- .. a. = oo, então a sequência {an} é divergente, mas de maneira especial. Dizemos que {an} diverge para oo. As Propriedades do Limite dadas na Seção 2. 3, no Volume 1, também valem para os limites de sequências, e suas demonstrações são similares. Se {a.} e {b.} forem sequências convergentes e e for uma constante, então lim {a.

+ b.)

= lim

"- ~

a, + lim b. n-oo

11 -oc;

lim (a. - b.)

=

n-'»

,.lim _'lO can

lima, - lim b.

n -x

11 -

00

= e ,._'lD lim a.

lim e= e

lim (a.b.) = lima.· lím b.

n -x.

n -::ie

lim ~

•-'° b.

=

n - oo

lim a. n -> oo

lim b,

·-'°

lirn a~ = [lim a.]P se p > Oea. > O

n-co

n

----~

O Teorema do Confronto também pode ser adaptado para sequências como a seguir (veja a Figura 7).

o FIGURA 7

Seª"

~

b.

~

e. para /1

;;?: 110

e lima.

·-'"

=

lim

.-..

Cn =

L , então lim b. = L .

·-00

Outro fato útil sobre limites de sequências é dado pelo seguinte teorema, cuja demonstração é pedida no Exercício 87.

A sequência {b.} fica presa entre as sequências {a.} e {e.}

627

628

CÁLCULO

[Ij

Se

Teorema

Wil]j'' '

lim 1a.1 = O, então lim a. =

"-co

O.

n-oo

11

Encontre lim - - . ·-~ li+

1

l: dividir o numerador e denominador pela maior potência de /1 que ocorre no denominador e depois usar as Leis de limite.

SOLUÇÃO O método é semelhante ao que foi utilizado na Seção 2.6, no Volume

li

lim - - -

·-~

li

+

lim 1

.

hm - - -

=

·-~

1

l +-

n 1 = -- =1 l+O Aqui usamos a Equação 4 com r = 1.

A sequência a. =

li

~

1

lim 1 + limn- n 00

é convergente ou divergente?

y lv + n SOLUÇÃO Como no Exemplo 4, dividimos o numerador e o denominador por 11:

11

lim

·-~ JTO+n

=

lim

•-"" ~

-

= oo

porque o numerador é constante e o denominador se aproxima de O. Então {a. } é divergente. ln /1 Calcule lim - - . n-ao n SOLUÇÃO Observe que numerador e denominador se aproximam do infinito quando /1 ~ oo. Não podemos empregar a Regra de l'Hôspital diretamente, porque ela não se aplica a sequências, mas, sim, a funções de uma variável real. Contudo, podemos usar a Regra de l'Hôspital para a função relacionada f(x) = (ln x)/x e obter lnx l/x lim - - = lim = O X z1

z-«

00

Temos, portanto, pelo Teorema 3, ln /1 lim-- = O n

n-~

Determine se a sequência a,.

= (-

lt é convergente ou divergente.

-

SOLUÇÃO Se escrevermos os termos da sequência, obteremos

ª·

{-1. 1, - 1, 1, -1, 1, - 1, ...} o

2

3

4

-1

FIGURA 8

11

O gráfico desta sequência é mostrado na Figura 8. Uma vez que os termos oscilam entre 1 e - 1 com frequência indefinida, a,. não se aproxima de nenhum número. Logo lim,. .., (- 1)" não existe; ou seja, a sequência {(-1)"} é divergente. ~,.

"" ca 1cu1e 1·1m -(-1)" · · - - se e le ex1sur. n-:x

O gráfico da sequência no Exemplo B é mostrado na Figura 9 e confirma a nossa resposta

n

SOLUÇÃO Primeiro calculamos o limite do valor absoluto:

lim 1 (- l)" n

n-QÇ

Portanto, pelo Teorema 6,

1

= lim _!_=O n 11~0:::

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

-

(-1)" lim-- = 0 n -+ X

n

O seguinte teorema diz que se aplicarmos uma função contínua aos termos de uma sequência convergente, o resultado também será convergente. A demonstração é pedida no Exercício 88.

[II

Teorema Se lim

n-oo

ª"

629

= Lese a funçãoffor contínua em L, então

o

n

1

- 1

ltm f(an) = f(L)

FIGURA 9

n -oo

Encontre lim sen(7T/n).

"_.,

SOLUÇÃO Como a função seno é contínua em O, o Teorema 7 nos permite escrever

l~ sen(7T/ n) = sen(~~ (7T/n))

= sen O = O

Criando Gráficos de Sequências

Discuta a convergência da sequênciaª" = n!/n", onde n! = l · 2 · 3 · · · · · n. SOLUÇÃO Numerador e denominador se aproximam do infinito quando n - 00, mas aqui não temos uma função correspondente para usar com a Regra de l'Hôspital (x! não está definido

quando x não é um inteiro). Vamos escrever alguns termos para pensar sobre o que acontece com ª" quando /1 cresce: 1. 2 . 3 1. 2

a2 = 2 . 2

ª' =

.2.3.

. n

ª" = n • n · n •

•n

]

[!]

Q3

= 3.3.3

Alguns sistemas de computação algébrica têm comandos especiais que nos permitem criar sequências e traçá-las diretamente. Com a maioria das calculadoras gráficas, contudo. as sequências podem ser traçadas usando equações paramétricas. Por exemplo. a sequência no Exemplo 1Opode ser traçada inserindo-se as equações paramétricas X= t y = t!/t ' e fazendo o gráfico no modo pontual começando com t = 1 e tomando o passo t igual a l. Oresultado é exposto na Figura

10.

Parece, a partir dessas expressões e do gráfico na Figura 1O, que os termos estão decrescendo e talvez se aproximem de O. Para confirmar isso, observe na Equação 8 que

ª•

=

~,- ~: ~: (

: : : : : )

Observe que a expressão em parênteses é no máximo 1, porque o numerador é menor (ou igual) ao denominador. Logo, o 1 se O< r < 1

{oco

É óbvio que

lim 111 = Se - 1 <

r<

O então O<

1

ri <

1 então

e

Iim O" = O

o

IO

630

CÁLCULO

lim lr " I = lim l r l" =O " -+«

n- ~

e, portanto, lim. _,. r" = O pelo Teorema 6. Ser ~ -1, então {r"} diverge como no Exemplo 7. A Figura 11 mostra os gráficos para vários valores der. (0 caso r = -1 é mostrado na Figura 8.)

a,

a, r

o o

r = l

o

FIGURA 11 A sequênciaª•= r•

()

,.

n

11

r

-1 ·

Os resultados do Exemplo 11 estão resumidos a seguir para uso futuro.

[Ij

A sequência {r"} é convergente se - 1 <

r ~

-

1 e divergente para todos os outros

valores de r.

{º

lim r" =

se - l < r<

l

n-oo

se r = 1

Definição Uma sequência {a.} é chamada crescente se a. < a .+ 1 para todo n ;;o 1, isso é, a1 < a2 < a3 < · · · . É chamado decrescente se a. > a.+ 1 para todo n ;;>: 1. Uma sequência é monótona se for crescente ou decrescente.

3 A sequência { - -- } é IZ + 5

decres~ente porque

3

- - - >

O lado direito é menor porque tem um denominador maior.

n

+5

e, portanto, ª • > a.+1 para todo n i

J:O] J

lia

SOLUÇÃO

P

;;>:

(n

+

3 1)

3 = -+5 n +6

1.

n

Mostre que a sequênciaª• =

é decrescente.

n + 1 Devemos mostrar que a.+1 l é verdadeira. Portanto a.+1 < a. e {a.} ~

Como n ;;>: é decrescente.

l

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

SOLUÇÃO 2 Considere a função f(x) = _ _ x_

x2 +

x f'(x)

=

2

+ (x2

1 - x2 (x2 + 1)2

1 - 2x 2 + 1)2

---- < O

Assim,f é decrescente em (1, oc) e em f(n)

sempre que x 2

>

1

> f(n + 1). Portanto, {a. } é decrescente.

11 Definição Uma sequência {a.} é limitada super iormente se existir um número M tal que para todo n

~

1

Ela é limitada inferiormente se existir um número m tal que m :o;;. a ,

para todo n

~

1

Se ela for limitada superior e inferiormente, então {a.} é uma sequência limitada. Por exemplo, a sequência a. = n é limitada inferiormente (a. > O) mas não superiormente. A sequência a. = n/(n + 1) é limitada porque O < ª• < 1 para todo n. Sabemos que nem toda sequência limitada é convergente [por exemplo, a sequência a. = (-1)" satisfaz - 1 ,,;;;. a. ,,;;;. 1, ma~ é divergente, como mostrado no Exemplo 7], e que nem toda sequência monótona é conve"gente (a. = n ~ oc). Mas se uma sequência for limitada e monótona, então ela deve ser convergente. Este fato é provado no Teorema 12, mas intuitivamente você pode entender porque é verdadeiro, olhando para a Figura 12. Se {a.} está aumentando e a. ,,;;;. M para todo n, então os termos são forçados se aglomerar e se aproximar de algum número L. a, M

... ...................

L

o

n

l 2 3

FIGUR A 12

A demonstração do Teorema 12 é baseada no Axioma de Completude para o conjunto IR dos números reais, que diz que, se Sé um conjunto não vazio de números reais, que tem um limitante superior M (x ,,;;;. M para todo r em S), então S tem um limitante superior mínimo b. (Isto significa que b é um limite superior para S, mas se M é qualquer outro limitante superior, então b ~ M.) O Axioma de Completude é uma expressão do fato de que não há salto ou furo na reta do número real.

1 (g]

Teor=. Sequência Mon=a-Toda sequência monótona limitada é convergente.

l

DEM ONSTRAÇÃO Suponha que {a.} :-eja uma sequência crescente. Como {a. } é limitada, o conjunto S = {an1n ~ 1} tem um limitante superior. Pelo Axioma de Completude, existe um menor limitante superior L. Dado e > O, L - e não é um limitante superior para S (pois L é o limite superior mínimo). Portanto, para algum inteiro N Mas a sequência é crescente, logo a .

~ aN

para cada n > N. Assim, se n

> N, temos

631

632

CÁLCULO

a. > L O~

então desde que a,,

:E:

- e

a.<

L -

i::

L. Assim,

IL - ª•

1

sempre que n > N

ª•para todo n ?! 1. Isto é verdade para n = l porque a 2 = 4 > a 1. Se assumirmos que isso é verdadeiro para n = k, então temos

então e

Logo, Deduzirmos que a.+ 1 > a. é verdadeiro para n = k + l. Portanto, a desigualdade é verdadeira para todo n por indução matemática. Em seguida, verificamos que {a.} é limitada mostrando que a. < 6 para todo n. (Uma vez que a sequência é crescente, já sabemos que ela tem um limitante inferior:ª• ?! a 1 = 2 para todo n). Sabemos queª• < 6, assim a afirmação é verdadeira para n = 1. Suponha que isso seja verdadeiro para n = k. Então, ak

então

e

Ut

~(ak

b - a, então {p. } é decrescente e p. > h - a. Dedun que se a < b, então lim. _., p. = b - a.

SEQUÊNCIAS LOGÍSTICAS

PROJETO DE LABORATÓRIO

Uma sequência que aparece em ecologia como um modelo para o crescimento populacional é definida pela equação de diferença logística Pn+I = kp.( 1 - Pn) onde p. mede o tamanho da população da n-ésima geração de uma única espécie. Para manter os números manejáveis, p .. é uma fração do tamanho máximo da população, e assim O .;:; Pn .;:; l. Observe que a forma dessa equação é similar à da equação diferencial logística na Seção 9.4. O modelo discreto - com sequências em vez de funções contínuas - é preferível para modelar populações de insetos, nas quais acasalamento e morte ocorrem de maneira periódica. Um ecologista está interessado em prever o tamanho da população com o passar do tempo e faz as perguntas: ela vai estabilizar em um valor limite? Ela mudará de uma maneira cíclica? Ou ela exibirá comportamento aleatório? Esc reva um programa para calcular os n primeiros termos dessa sequência, começando com uma população inicial p0 • onde O < p 0 < 1. Utilize este programa para fazer o seguinte. Calcule 20 ou 30 termo~ da sequê ncia para p o = 4e para dois valores de k tal que 1 < k < 3. Faça um gráfico de casa sequência. As sequências parecem convergir? Repita para um valor diferente de p 0 entre O e 1. O limite depende da escolha de p 0 ? Depende da escolha de k? 2. Calcule termos da sequência para um valor de k entre 3 e 3,4 e faça seu gráfico. O que você nota sobre o comportamento dos termos? 3. Experimente com valores de k entre 3,4 e 3,5. O que acontece com os termos? 4. Para valores de k entre 3.6 e 4, calcule e trace pelo menos 100 termos e comente sobre o comportamento da sequência. O que acontecerá se você mudar p o por 0,001 ? Esse tipo J e comportamento é chamado ca6tico e é exibido por populações de insetos sob certas condições. 1.

É necessário usar um sistema de computação algébrica

636

CÁLCULO

Séries

O recorde atual (2011) de 1T foi calculado para mais de dez trilhões de casas decimais por Shigeru Kondo e Yee Alexander.

O que queremos dizer quando expressamos um número como um decimal infinito? Por exemplo, o que significa escrever 7í

= 3,14159265358979323846264338327950288 ...

A convenção por trás de nossa notação decimal é que qualquer número pode ser escrito como uma soma infinita. Aqui, isso significa que

onde os três pontos(· - -) indicam que a soma continua para sempre, e quanto mais termos adicionarmos, mais nos aproximaremos do valor real de 71. Em geral, se tentarmos somar os termos de uma sequência infinita {a.};_., obteremos uma expressão da forma •1

01

1

+

G2

+

0 3

+ ' '. +

Gn

+ '.'

que é denominada uma série infinita (ou apenas série) e é denotada, por simplicidade, pelo símbolo ou Faz sentido falar sobre a soma de uma quantidade infinita de termos? Seria impossível encontrar uma soma finita para a série

1+2+3+4+5 +· .. +n+

fl

l 2 3 4

5 6 7 10 15 20 25

Soma dos n primeiros termos 0,50000000 0,75000000 0,87500000 0,93750000 0,96875000 0,98437500 0,99218750 0,99902344 0,99996948 0,99999905 0,99999997

porque, se começarmos adicionando os termos, obteremos as somas cumulativas 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... e depois do n-ésimo termo, obtemos n(n + 1)/2, que se torna muito grande à medida que n aumenta. Contudo, se começarmos a somar os termos da série

1 l 1 1 1 1 1 - + - + - + - + - + - + ... + - + ... 2 4 8 16 32 64 2" 1 4, 3 8, 1 Tii 15 • 32, 31 64· 63 ... , l - l/ 2 ", . . . . A ta be la mostra que, quan do a d'1cmnamos · · ob temos 2, mais e mais termos, essas somas parciais se tomam cada vez mais próximas de L De fato, somando um número suficiente de termos da série, podemos fazer as somas parciais se tornarem tão próximas quanto quisermos de 1. Assim, parece razoável dizer que a soma dessa série infinita é 1 e escrever 00

1

1

1

l

1

1

L - = - + -+ - + - + ... + - + n- 1 2" 2 4 8 16 2"

--- = 1

Usamos uma ideia parecida para determinar se uma série geral Consideramos as somas parciais

e, em geral, n

s. = a 1 + a 2 +

a 3

+ · · · + a.

=

L ai

•- 1

ITJ tem uma soma ou não.

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

637

Essas somas parciais formam uma nova sequência {s.}, que pode ou não ter um limite. Se lim. _., s. = s existir (como um número finito), então, como no exemplo anterior, o chamamos soma da série infinita La •.

[I) Definição Dada uma série 2.:~=l a. = a 1 n-ésima soma parcial:

+

+ a3 +

a2

denote por s. sua

,,

s.

L ª' = ª'

=

i-1

+ ª2 + · · · + ª·

Se a sequência {s.} for convergente e lim.-,. s. = s existir como um número real, então a série La. é chamada convergente, e escrevemos

a1 +

a2

+ · · · + ª• + · · · = s

L ª· =

ou

n=I

s

O números é chamado a soma da série. Se a sequência {s.} é divergente, então a série é chamada divergente. Assim, a soma de uma série é o limite da sequência de somas parciais. Desse modo, quando escrevemos L~- 1 a. = s, queremos dizer que, somando um número suficiente de termos da série, podemos chegar tão perto quanto quisermos do números. Observe que

f~ f(x) dx -

n

1

La.= lim La, n= l

11

- :» ;-1

Suponhamos que se saiba que a soma dos primeiros n termos da série~=-• a. seja

=

s

•

a1

+

n2

2n

+ · · · + an = -3n + 5

Em seguida, a soma da série é o limite da sequência {s,,}:

L a. =

n 1

lim s. = lim • -00

,,_.,.

2n 3n + 5

=

2

-

2 3

lim - - - = -

•-"'

3

5

+n

No Exemplo 1 foi nos dada uma e~pressão para a soma dos primeiros termos 11, mas geralmente não é fádl encontrar tal expressão. No Exemplo 2, no entanto, olhamos para uma famosa série para a qual podemos encontrar uma fórmula explícita paras•. Um exemplo importante de uma série infinita é a série geométrica

a

+ ar + ar 2 + ar 3 + · · · + ar" 1 + · · · =

L ar•-

n

1

a >'6

O

1

Cada tenno é obtido a partir do anteri01, multiplicando-se pela razão comum r. (Já consideramos o caso especial onde 11 = ~ e r = 4). Se r = 1, então s. = a + a + · · · + a = na - ±oo. Como Iim.-"" s. não existe, a série geométrica diverge nesse caso. Se r >'6 1, temos

s. = a +ar + ar 2 + · · · e

rs.

=

+ ar•- 1

ar + ar 2 + · · · +ar"

Subtraindo essas equações, obtemos

Compare com a integral imprópria

1

+ ar"

lim 1-'>'

J' f(x) dx 1

Para encontrarmos essa integral. inte· gramas de 1 até te então fazemos ,_.r;,;. Para uma série. somamos de 1 a n e então fazemos n -+oo.

638

CÁLCULO

A Figura 1 fornece uma demonstração geométrica do resultado no Exemplo 2. Se os triângulos forem construídos como mostrado e s for a soma da série. então, por semelhança de triangulos.

s

(1

a

a - ar

-=---

Sn -

f'Sn

Sn

= a - ar"

a(I - r") 1 - ,.

=

Se -1 < r < 1, sabemos, a partir de (11. l .9), que rn -

a ! - r

O quando n

~

oo, assim

,\·=--

logo

. . a(l - r") ltm s,, = hm l - r

•-"

ar

ar

•-

a 1- r

= --- -

00

. a • 1tm r l - r •-""

---

a

= ---

1 -

r

Então, quando 1r1 < 1, a série geométrica é convergente, e sua soma é a /(l - r). Ser..;; -1 ou r > l, a sequência {rn} é divergente por (11.1.9); assim, pela Equação 3, lim" -oo sn não existe. Portanto, a série geométrica diverge naqueles casos. Resumimos os resultados do Exemplo 2 como a seguir.

2

2

ar a

ar

~

ar

s

A série geométrica

2: a

li

ar"

1

= a + ar + ar 2 + · · ·

1

n

é convergente se 1r 1< 1 e sua soma é a

X

2:

a

1

lrl <

= ---

1- r

1

n

FI GURA 1

arn

1

Se 1 r 1 ~ l, a série geométrica é divergente.

--

Em palavras. a soma de uma série geométrica convergente é

----~

Encontre a !.orna da série geométrica

primeiro termo 5 - !.Q+~-40+

1 - relação comum

Oque realmente queremos dizer quando afirmamos que a soma da série no Exemplo 3 é 3? Claro. não podemos somar literalmente um número infinito de termos. um a um. Mas. de acordo com a Definição 2. a soma total é o limite da sequência de somas parciais. Então. fazendo a soma de um número suficiente de termos. podemos chegar tão próximo quanto gostaríamos do número. A tabela mostra as primeiras dez somas parciais e o gráfico da Figura 2 mostra como a sequência de somas parciais se aproxima de 3.

3

9

27

O primeiro termo é a= 5 e a razão comum é r é convergente por [±] e sua soma é

10 3

20 9

40 27

5 - -+---+···=

nT-s.= 1 -1 2 3 4 5 6

=

-~-Como

1r1

-

5 5 2 =-=3 1 - (- -) 3 3~

sn

1,666667 3,888889 1

2,407407 3,395062 2,736626 3,175583 2,882945 3,078037 2,947975

J

J

o FIGURA 2

A série

2:

2 2•3 1- n é convergente ou divergente?

fl-1

L Ç

~ < 1, a série

1 5,000000

7 8 1 1 9 ~ ~

>

=

Vamo~

reescrever o termo 11-ésimo termo da série na forma arn- 1:

20 n

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

639

Outra maneira de identificar a e ré escrever os primeiros termos

Reconhecemos essa série como uma ~érie geométrica com a = 4 e r = j. Como r > 1, a série diverge por [1].

4 +'t+~+· · ·

Escreva o número 2,317 = 2,3171717 ... como uma razão de inteiros. SOLUÇÃO

17 17 17 103 + IOs + 101 +

2,317 1717 ... = 2,3 +

Depois do primeiro termo, temos uma série geométrica com a = 17/ 10' e r = 1/102• Portanto,

17

17

3

2317 '

10

1 000

23 ---= , + 1 23+ , _:_ 99_

=

102 23 17 1.147 = - + -- = - 10 990 495 Encontre a soma da série

L x" onde 1x1<

-

100

1.

n- 0

SOLUÇÃO Observe que esta série começa com n = O. de modo que o primeiro termo é x 0 = 1. (Com a série, adotamos a convenção de que x º 1 mesmo quando x = 0.) Assim

L x• =

1

+ x + x2 + x3 + x4 + · · ·

n-0

Esta é uma série geométrica com a = 1 e r = x. Uma vez que e [il resulta em

1r1= 1x1<

1, que converge

" 1 LX" =-,-o 1- X

..

1

L -(- - é convergente e calcule sua soma.

Mostre que a série

-

O Module 1l.2 explora uma série que depende de um angulo e em um triangulo e permite que você veja quão rapidamente a série converge quando e varia.

•-• n n + 1) ,OLUÇÃO Essa não é uma série geométrica e, assim, voltamos à definição de uma série con-

vergente e calculamos ai.

s = •

•

L ;-

1

~ornas

1 i{i

+

parciais. 1

1

1•2

2· 3

= - -- + -

1)

1

- + -- + · ·· + --3 •4

n(n

+

1)

Podernoi. simplificar essa expressão se usam1os a decomposição em frações parciais i(i

+

l)

i

+

1

(veja a Seção 7. 4, no Volume 1). Então temos

s •

=Ln i

1

1 = L (1- ·- 1 ) 1) i i + 1 n

i(i

+

1

1

~ (i- f) + (f -t)+(t - f)+. + (± - ~) 11

+

1

Observe que os termos se cancelam em pares Este é um exemplo de uma soma telescópica por causa de todos os cancelamentos. a soma retrai-se Icemo um antigo telescópio) em apenas dois termos

640

CÁLCULO

A Figura 3 ilustra o Exemplo 7 mostrando os gráficos da sequência de termos a. l / [n(n + l)J e a sequência {s.} das somas parciais. Observe que n. -+ O e s. --+ 1. Veja os Exercícios 76 e 77 para duas interpretações geométricas do Exemplo 7

e, assim,

lim Sn = lim ( 1 - - '- ) ...... ., . ... ., n + 1

1 - O= 1

=

Portanto, a série dada é convergente e

~'

. . . . ........

O:iãft!U!i!

n(n

+

-

1)

Mostre que a série harmônica 1

~

L- = n-1 n

{s.}

1

1

1

+-+-+- + 2 3 4

é divergente. SOLU ÃO Para essa série particul ar é conveniente considerar as somas parciais s2, S4, s 8 • S1 6,

s32 ,

{a.}

o

•••

e mostrar que elas se tomam grandes.

li

+ !2

Sz

=

S4

= 1+

i+

(!

+

n> 1 + ~ + (! + !)

1

+;

FIGURA 3

>

+ ~ +

O+ !) + (! +

~ + k+

D

+ i+~+ ~ = I + ~ S 16

= 1 + ~ + o + D+ o + ... +

> 1+

i

+

(!

+ ~) +

u

! ) + (!

+ ... + ~) + (

+ ... +

h+

f6)

... + ~ )

+ 2' + 2l+l2 + l 2- 1 + 4 2 Analogamente, s12 > l + ~. s 1 + t e, em geral, li

- > l + -2

Son

O método usado no Exemplo 8 para mostrar que a série harmônica diverge deve-se ao estudioso francês Nicole Oresme (1323-1382).

Isso mostra que s 2• diverge.

oo qua ndo /1 ~ oc e assim {sn} é diverge nte. Portanto, a série harmônica

Teorema Se a série

--

Í

:J

ª• = O. -----

a. for convergente, então Jim

~1

------ - - ------

·-

DEM ONSTRAÇÃO Seja s.= a 1 + a 2 + +ª•· Então, a,, = s. - s.- 1.Como 2 a.é convergente, a sequência {s.} é convergente. Seja lim._,, s. = s. Como n - 1 - oc quando n - oo, também temos lim ,, '°' s. 1 = s. Portanto lim a. = lim (s. - s.-1) = lim

n-oc

11-"'

s -

n-xi

Sn -

-

lim s.-1

n-C1C1

.\ = o

OBSERVAÇAO 1 Com qualquer série La. associamos duas sequências: a sequência {sn} de sua!> somas parciais e a sequê ncia {an} de seus termos. Se ~ ª• for convergente, o limite da se-

quência {s. } és (a soma da série) e, como o Teorema 6 afirma, o limite da sequê ncia {a.} é O. OBSERVAÇAO 2 A rec1prm:a do Teor~·ma 6 não.: \CrdadctrJ . .:m geral. Selim,.

a,, O. não podc1m., com:lu1 que :S a e comerg.e;ntc Observe que, para a série harmônica L l/n, temos a. = l/n - Oqua ndo n - oo, mas mostramos no Exemplo 8 que L l/n é divergente.

~este de Divergência Se li m ª • não existir ou se lim ª " """'" O, então a série i a. é ~Í~er~ente. •-" ,,_,. •1

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

O Teste para Divergência vem do Teorema 6, porque, se a série não for divergente, ela é convergente e, assim, lim._ .. ª" = O ..

Mostre que a série

L

•- • 5n

;

SOLUÇÃO

lim ª "

2

n2

=

=

lim - -,- n5n- + 4 00

• -"'

diverge.

+4

lim •- 5 + 4/ n 2 00

1

=-

5

~

O

Desse modo, a série diverge pelo Teste para Divergência. OBSERVAÇÃO 3 Se descobrirmos qu~ lim._,. ª • ~

O, saberemos que L ª • é divergente. Se acharmos que lim.- .. ª• = O, não saberemos sobre a convergência ou divergência de L ª•· Lembre-se o aviso na Observação 2: se lim ,_,. a. = O, a série I ª• pode convergir ou divergir.

0

Teorema Se L a. e L bn forem ~éries convergentes, então também o serão as séries L can (onde e é uma constante) L (a . + bn) e L (an - bn ) e

(i)

L

..

ca.

=

e

L ª•

"

L (a.

(ii)

+ h.)

"'

=

L ª• + L bn

,. (iii)

L (a n -

L ª· - L b.

b. ) =

Essa:, propriedades de séries conve rgentes vêm das Propriedades do Limite para Sequências Convergentes na Seção 11. 1. Por exemplo, aqui está como a parte (ii) do Teorema 8 é demonstrada. Sejam: n

s. = La,

s

;- 1

...

= :L,ª·

A n-ésima soma parcial para a série L (a .

+ bn) é n

u,, =

L (a ; + b; > 1- 1

e, usando a Equação 5.2. 10, no VolumC' 1, temos lim 11 -

lim

Un =

n -~

o:i

Ln (a; + b;) = n

=

lim

L a; +

Jim

Sn

n - oc i- 1

=

lim

;- 1

n -~

(

n-ct:.1

Ln a ; + Ln b;)

i- 1

i- 1

n

L b;

lim

,. _,,.!e 1- I

+ n-oc. Jim ln =

+T

S

Portanto L (a . + b. ) é convergente e sua soma é "

L

(a.

"'

L ª• + L

+ b.) = s + t =

n-1

n-1

3 ) Calcule a soma da série .. ( "" ' n n + 1

L

(

+ -21• ) ·

SOLUÇÃO A série L 1/ 2" é uma série geométrica com a =

L"' -.,.1

•- 1 -

=

t

-1

1- 2

= 1

No Exemplo 7 encontramos que "'

1

bn

n-1

.-1L n(n + 1) = 1

i e r = i. assim

-

641

642

CÁLCULO

Assim, pelo Teorema 8, a série dada é convergente e QO

""

3 1) "' 1 +2"- =3L n(n+I) ·n-1 n(n+l)

(

n~I

1 +Ln- 12n o<

-

=3·1+1=4

Um número fi nito de termos não afeta a convergência ou divergência de uma série. Por exemplo: suponha que possamos mostrar que a série OBSERVAÇÃO 4

i n -4

n n3 +

é convergente. Uma vez que

f n-1 11

3

L

= .!.+..?_ + ]__+

/1

+

2

9

28

,,_ 4

n

3

"

+

segue que a série inteira L:~i n/(11 3 + 1) é convergente. Analogamente, se soubermos que a série Í:.: - N+ J an converge, então a série completa N

L a,, = L ª" + L

a,,

n- N+ I

n- 1

também é convergente.

1111_Exercícios

------ ----

1. (a) Qual é a diferença entre uma sequência e uma série? (b) O que é uma série convergente? O que é uma série divergente? 2. Explique o significado de se dizer que L~-1 a,, = 5. 3-4 Calcule a soma da série ~;- 1 a,, cuja somas parciais são dadas. 2 11 - 1 3. s,, = 2 - 3(0,8)" 4. Sn = - - ,- 4n· + Calcule os oito primeiros termos da sequência de somas parciais corretas para quatro casas decimais. Parece que a série é convergente ou divergente?

5.

"

1

n- 1

n·

2~

5

2

1

· ,,_ 1 ln(n

7. •~, 1 +

+ 1)

" ( - 1)"

1

Jn

8.

2

,,- 1

1

1 ll.

(a) Determine se {a,, } é convergente. (b) Determine se L:-1a,, é convergente. 16. (a) Explique a diferença entre n

La,

(b) Explique a diferença entre

e ;-1

12

z

9.

2-. ( - 5)

10.

n- 1

11.

2

n 1

"

p+4

"' ( 13.•

21

+

n

cos 11

1

Se for convergente, calcule ~ua soma. 16 17. 3 + 4 + 3 - ~ + . . . 18.

19. 1o - 2 + 0,4 - 0,08 + ... 20. 1 + 0,4 + 0,16 + 0.064 + ...

*- ! + ~ -

,

2 6(0,9)"

1

(-3)"

~

4"

1

'l

2

)

2 (v2r;:;)

n-0

n

7T'f

X.

25.

r

24.

1

L--

10"

-·-1L -(-9)"-I

n-1

23.

X

22.

1 + ...

n O

3•+ 1

n- l

1

z

L

i

17- 26 Determine se a série geométrica é convergente ou divergente.

Calcule pelo menos dez somas parciais da st!rie. Faça o gráfico Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê.

e

1-1

21.

de ambas as sequências de termos e de somas parciais na mesma tela.

--- - - - - - - -

12.

4

1

.j; -

1

Jn + l

)

7n+ I

2·-· 1on " 1

14.

2 ( + 2)

n-! li 11

. 211 15. Sep a,, = - - - . 311

+

1

É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador 1. As Homework Hints estão disponívei; cm www.stt:wartcalculus.com

27-42 Determine ~e a série é convergente ou divergente. Se for convergente, cakule sua soma. 1 1 1 1 1 27. - + - + - + +- + 3 6 9 12 JS 28. -

1

3

2

1

9

27

+- +-

+-

2

81

1

2

243

729

+ -- + -- +

É necessário u~ar um si~tema de computação algébrica

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

1

1~

32.

2: -..,-. -

+ 2"

2:-3't X

31 .

34. 35.

i

•

37. 39.

1

38.

2: arctg 11

4o.

X

64. Vimos que a série harmônica é uma série divergente cujos termos tendem a O. Mostre que

l

-+~(~~)·

2: -5''3 +-li2) (

·-1

11(11

+

+ ..!._) n

também é uma série com essa propriedade. 6S. 66 Use o comando de frações parciais em seu SCA para enconcrar uma expressão conveniente para a soma parcial; então ulilize essa expressão para encontrar a soma da série. Verifique sua resposta usando o SCA para somar a série diretamente. 2 ~ 311 + 311 + 1 65. ~ 2 l " 1 (11 + 11)

67. Se a 11-ésima sorna parcial de urna série

+ - - - ))

(

n•I

ln(l

n- 1

1

X

i

(0,3)"]

2: (cos 1)t Ã

1

2: -e"1

2: [(0.8)" 1-

2: e"' " o

-

•-1

36. •~1

ln(-'-,-+_ l ) 2ir + 1

*~º (; )' n

41.

12

&3.

1 + 3"

n- 1

1

n

(k

X

11- l

+ 2) + 3) 2

k(k

X

JO.

643

~:- 1

a. é

J

1

11 -

Sn = - - -

Determine ~a série é converge nte ou divergente ex.prcssando s. como uma soma telescópica (como no E " O. (Veja o Exercício 4.3.78, no Volume 1.) Se s. for a n-ésima soma parcial da série harmônica, mostre que e'• > n + 1. Por que isto implica que a série harmônica é divergente?

L

E

79. O que está errado com o seguinte cálculo?

74. Encontre o valor de e tal que

'L

e

B

1

=I

·- • n(n + 1) 77. A figura mostra dois círculos C e D de raio 1 que se tocam em P. T é uma reta tangente comum; C , é o círculo que toca C, D e T; C2 é o círculo que toca C, D e C 1 ; CJ é o círculo que toca C, D e C2. Esse procedimento pode continuar indefinidamente e produzir uma sequência infinita de círculos {C.}. Encontre uma expressão para o diâmetro de e. e então forneça outra demonstra-

80. 81. 82. 83.

84. 85.

86.

(Guido Ubaldo pensou que isso provava a existência de Deus, porque "alguma coisa tinha sido criada do nada".) Suponha que L: - 1ª•(a. ~ O) seja uma série convergente. Demonstre que L~- 1 l/ a. é uma série divergente. Demonstre a parte (i) do Teorema 8. Se 2: a. for divergente e e ~ O, mostre que L ca. é divergente. Se ~ a. for convergente e L b. divergente, mostre que a série 2: (a. + b.) é divergente. [Dica: Argumente por contradição. I Se La. e }; b. forem ambas divergentes,}; (a. + b.) é necessariamente divergente? Suponha que uma série~ a. tenha termos positivos e suas somas parciais s. satisfaçam a desigualdade s• .;; 1.000 para todo 11. Explique porque }; a. deve ser convergente. A sequência de Fibonacci foi definida na Seção 11 .1 pelas equações

/i =

/ 1= 1,

1,

J. = fn-1 +Jn-2

n ;:;., 3

Mostre que cada uma das afirmações a seguir é verdadeira.

1

1

1

/. 1/.+1

f.-.J.

f.f.+t

(a)-- = - - - - ~ 1 (b)°L-- =

•-2 /.-1/.+1

(c)

i

___f_

= 2

,.-2 /n- t/n+l

e

n.

D T

ção geométrica do Exemplo 7. 78. Um triângulo retângulo ABC é dado com LA = fJ e = b. CD é desenhado perpendicularmente a AB, DE é desenhado perpendicularmente a BC, EF ..l AB, e esse processo continua indefinidamente, como mostrado na figura. Calcule o comprimento total de todas as perpendiculares

1AC1

ICDI +!DEI+ IEF I + IFGI + ... em termos de b e 8.

87 O conjunto de Cantor, cujo nome é uma homenagem ao matemático alemão Georg Cantor ( 1845-1918), é construído como a seguir. Começamos com o intervalo fechado 10, I] e removemos o intervalo aberto {t, Isso nos leva a dois intervalos, [O, j] e 1], e removemos cada terço intermediário aberto. Quatro intervalos permanecem, e novamente repetimos o processo. Continuamos esse procedimento indefinidamente, em cada passo removendo o terço do meio aberto de cada intervalo que pennanece do passo anterior. O conjunto de Cantor consiste nos números em 10, l] que pennanecem depois de todos estes intervalos terem sido removidos. (a) Mostre que o comprimento total de todos os intervalos que foram removidos é 1. Apesar disso, o conjunto de Cantor contém infinitos números. Dê exemplos de alguns números no conjunto de Cantor.

D.

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INANITAS

(b) O tapete de Sierpinski é o correspondente bidimensional do conjunto de Cantor. Ele é constn ído pela remoção Jo subquadrado central de um quadrado Je lado 1 dividido em nove subquadrados. A etapa seguinte C(lnsiste em remover os subquadrados centrais do~ oito quad ·ados menores que permaneceram, e assim por diante. (A figura mostra os três primeiros passos da construção.) Mostre que a soma das áreas dos quadrados removidos é 1. Isso im ilica que o tapete J e Sierpinski tem área O. ...,

(a) Encontre as somas parciais si. si, s1e s•. Você reconhece os denominadores? Use o padrão para conjecturar uma fórrnula para

s•. (b) Use indução matemática para demonstrar sua conj ectura. (c) Mostre que a série infinita dada é convergente e calcule sua soma. 90. Na figura existem infinitos círculos se aproximando dos vénices de um triângulo equilátero. Cada círculo toca outros círculo:. e lados do triângulo. Se o triângulo tiver lados de comprimento 1, calcule a án:a total ocupada pelos círculos.

llJ

CI

Cl

t"I

I" 11"'11

..,

88. (a) Uma sequência {a.} é definida rec irsivamente pela equação a. = ~ (a.- 1 + a.- 2 ) para n ;;i:o 3, onde a , e a 2 podem ser quaisquer números reais. Experimente com vários valores de a, e 0 2 e use sua calculadora para descobrir o limite da sequência. (b) Encontre lim. - x a. e m termos de a 1 e a2 expressando ª•+• - a. em termos de a 2 - a, e somando uma série. 89. Considere a série r;_, n/ (n + l)! .

O Teste da Integral e Estimativas de Somas Em geral é difícil encontrar a soma exata de uma série. Conseguimos fazer isso para as séries geométricas e a série I 1/(11(11 + 1)) porque em cada um desses casos pudemos encontrar uma fórmula simples para a n-ésima soma p..ucial s•. Mas geralmente não é fácil descobrir uma fórmula. Portanto, nas próximas seções, desenvolveremos vários testes que nos permitem determinar se urna série é convergente ou divergente sem encontrar sua soma explicitamente. (Em alguns casos, contudo, nossos método-; nos permitirão encontrar boas estimativas da soma.) Nosso primei ro teste envolve integrais impróprias. Começamos investigando as séries cujos termos são os recíprocos dos quadrados de inteiros positivos. 1 l 1 1 1 1 .~. ~ = )2 + 22 + 32 + 42 + 52 + ... X

Não existe uma fórmula simples para a soma s. dos primeiros termos 11, mas a tabela de valores aproximados gerada por computador dada na margem sugere que as somas parciais estão se aproximando de um número pró>..imo de 1,64 quando n ~ oo e. assim , parece que a série é convergente. Podemos confirmar essa impressão com um argumento geométrico. A Figura l mostra a curva y = l/x 2 e retângulos colocados abaixo dela. A base de cada retângulo é um intervalo de comprimento l ; a altura é igual ao valor da função y = 1/x 2 na extremidade direita do intervalo. y

área= .l !'

1

o FIGURA 1

1

2

área = ..l.. 22

área = ..l..

32

645

-

.

1

1

4

área= ..l..

42

1

5

úrea = J_

52

•1

n

s.

=

• 1 ~ "72

1-1 l

5 10 50 100 500 1.000 5.000

1,4636 1,5498 1,6251 1.6350 1,6429 1,6439 1,6447

646

CÁLCULO

Dessa forma, a soma das áreas dos retângulos é 1

1

1

1

1

"

l

+ 22 - + -+ -42 +-+ ... = ..:L12 32 52 - 1 n2 Se excluim1os o primeiro retângulo, a área total dos retângulos remanescentes será menor que a área sob a curva y = 1/x 2 para x ~ 1, que é o valor da integral J,"' (l/x 2 ) dx. Na Seção 7.8, no Volume 1, descobrimos que essa integral imprópria é convergente e tem valor 1. Assim, a figura mostra que todas as somas parciais são menores que

12 -+ 1

f" -dx 1 = 2 x 1

2

Então, as :.ornas parciais são limitadas. Também sabemos que as somas parciais são crescentes (porque todos os termos são positivos). Portanto, as somas parciais convergem (pelo Teorema da Sequência Monótona) e, dessa maneira, a série é convergente. A soma da série (o limite das somas pardais) é também menor que 2:

"' 1 1 1 1 J ~- = - + -+-+-+··· 11 na Figura 3, vemos que

R.

= ª• +I

+ a ... 2 + · · · ~ f."' f(x) dx

De maneira semelhante, vemos, a partir da Figura 4, que

R.

=

a.+1

+ a. +2 + · · · ;;;i.: Jí"n+l /{x) dx

Assim. demonstramos a seguinte estimativa para o erro:

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

[]] Estimativa do Resto Para o Teste da Integral Suponha que f(k) = ak. onde/é uma função contínua, positiva, decrescente para x ;;;:.: n e :l. ª" é convergente. Se Rn = s - sn, então

f"'

f" f(x)

f(x) dx :s;; Rn :s;;

J.+1

J.

649

y y- f (x)

dx

o (a) Aproxime a soma da série :l. 1/n 3 usando a soma dos 10 primeiros termos. Estime o erro envolvido nessa aproximação. (b) Quantos termos são necessários para garantir que a soma tenha precisão de 0,0005?

11+ !

FIGURA 4

SOLUÇÃO Em ambas as partes, (a) e (b), precisamos conhecer fn"' f(x) dx . Com f(x) = l / .x 3,

que satisfaz as condições do Teste da Integral, temos

1 = lim [ - -l- ] ' =lim ( - -l + - 1- ) f,""-dx x 2x 2t 2n 3

2

• -00

2

n

2

= - 1-2 2n

1 -00

(a) A aproximação da soma da série p-:la 1O" soma parcial, temos

L"' -1 =

. - 1 n3

1 S10

= -

l

1

1

+ -103 = 11975 '

+ -23 + -33 +

13

De acordo com a estimativa do resto em [I], temos

"1 f'º -;'3 dx =

Rio ..:;:;

1 2(10)2

1

= 200

Por conseguinte, o tamanho do erro é 10 máximo 0,005. (b) A precisão de 0,0005 significa que temos de encontrar um valor de n tal que Rn :s;; 0,0005. Uma vez que 1 f,""' -dx .x3

~

R.

1

queremos

n2

2 Resolvendo esta desigualdade, obtemos 1 0,001

n 2 > - - = 1.000

1

= --

2n2

< 0,0005

ou

n>

J1.ooo

= 31,6

Precisamos de 32 termos para garantir a precisão em 0,0005. Se acrescentarmos s. para cada lado das desigualdades em [IJ, obtemos s.

+ f"' f(x) dx Jn + J

:s;;

s :s;; s.

-

+ ["' f(x) dx Jn

rn

como Sn + R. = s. As desigualdades em dão um limite inferior e um limite superior paras. Eles fornecem uma aproximação mais precisa para a soma da série do que a soma parcial s•. ,. 1 Use [l] com n = 1O para estimar a soma da série ~ - 3 n- 1 n SOLUÇÃO As desigualdades em 11) tornam-se

sw +

i

oo

li

J dx .::: s .::: sm +

3

.x·

f"' - 13 dx 10 X

.

Embora Euler tenha sido capaz de calcular a soma exata da série p para p = 2, ninguém foi capaz de encontrar a soma exata por p = 3. No Exemplo 6, no entanto. vamos mostrar como estimativa essa soma.

X

650

CÁLCULO

Do Exemplo 5. sabemos que

f"' _l dx = -1-

J.

x3

1

então

S10

+ 2 (l 1)2

2n 2

1

~

S

~

S 10

~

s

~

1,202532

+ 2 (10)2

Usando sw = 1.197532, obtemos 1,201664

Se aproximarmos s pelo ponto médio desse intervalo, então o erro é no máximo metade do comprimento do intervalo. Logo. oc

1

Ln-1 11·

1

= 1,2021

com erro

-

< 0,0005

Se compararmos o Exemplo 6 com o Exemplo 5, veremos que a estimativa melhorada em [l] pode ser muito melhor que a estimativas s•. Para fazer um erro menor que 0.0005 tivemos de usar 32 termos no Exemplo 5, mas apenas dez termos no Exemplo 6.

=

Demonstração do Teste da Integral y

\.

o

Já vimos a ideia básica por trás da demonstração do Teste da Integral nas Figuras 1 e 2 para as séries 2 1/ 11 2 e L 1/$. Para a série geral 2 a., olhe as Figuras 5 e 6. A área do primeiro retângulo sombreado na Figura 5 é o valor de f na extremidade direita de [ 1, 2]. isto é, f(2) = a2. Assim, comparando as áreas dos retângulos sombreados com a área sob y = f (x) de 1 até n. vemos que

y= flx l

2

3

4

5 ...

11

X

a2

+

G3

+ · · · + "" ~

r

f(x) dx

FIGURA 5 y

(Observe que essa desigualdade depende do fato def ser decrescente.) Da mesma forma, a Figura 6 mostra que

y=/(.1)

[sl (i) Se

o

2

3

4

5

ff(x)dx :s;;

a 1

+

G2

+ '' · + On -1

f'f(x) dx for convergente, então (1) Já a ~a; :s;;

11 .1

FIGURA 6

já que f(x)

~

r

f(x) dx :s;;

f

f(x) dx

O. Portanto. s.

= a1

+

Í

a, ,,;.:;

1- 2

a,

+ f"' f(x) dx J,

=

M, digamos

como s. ~ M para todo n, a sequência {s"} é limitada superiormente. Também

já queª•+1 = f(n + 1) ~ O. Então, {s.} é uma sequência crescente limitada, e as~im. ela é convergente pelo Teorema da Sequência Monótona ( 11.1 .12). Isso significa que 2 a. é convergente.

f

(ii) Se 1" f(.x) dx for divergente, então J~ f(x) dx--+ Mas [II dá a

oo

quando

11 --+ cc

porque f(x) ~ O.

n- 1

Í"f(x) dx :s;;

J,

L

U; =

Sn- 1

i -1

e também s. - 1 --+ oo. Isso implica que s,, --+"" e, assim , 2: a ,, diverge.

-

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

651

Exercícios 1. Faça um Jesenho para mostrar que 1

«

29 -32 Encontre os valores de p para os quais a série é convergente.

1

Ln < Jr1 --dx 1.1 ..1. 1.J X

29.

. -2

O que você pode concluir sobre a séne? 2. Suponha que/ seja uma função contínua. positiva e decrescente para x ~ 1 e a. = /(11). De~enhando uma figura, coloque em ordem crescente as três quantidades:

r

+

~ ln11

X

33. A função Leta de Riemann Ç é definida por

"-' n e é usada em teoria de números para estudar a distribuição de números primos. Qual é o domínio de (! 34. LeonharJ Euler foi capa7 de calcular a soma exata da série p com p = 2: ~

((x)

.L (n

10.

l

1

1

1

8

27

64

125

12.

+ 2J2 +

1

1

1

1

1

1

3 1 1 14. - + 5 8

5

7

9

1 11

+-

Jn 2+ 4

1

"

n

1

L - ,-·-1 n- + 4 " ln n

.LJ n "

1 14

+-

+-

1

17

7T2

=-

1

I n ln n



20.

1- -

· -' n- - 2n " 1

.L

•- 1

22.

112

.L -n · + 1 3n - 4 .L" -.--

•- 1

18.

n2

"

+ 6n +

.L-n{ln 11)

37.

2

n '!

24.

í: -; n -3 e

26.

.L -.-·-1 n + 1

e

13

1

· -2

1

4

n 1 n 90 Use o resultado de Euler para encontrar a soma da série.

"

1s.

1

. (3 ).

.L -11

n 1

(b)

!-,, (k -

1 2)4

36. (a) Encontre a soma parcial srn Ja série L:-1 l/n 4 • Estime o erro cometido ao usar s 111 como uma aproximação para a soma da

X

.L -,--) .-1 n- + n

35. Euler também descobriu a soma da série p com p = 4:

?= °L4=~

+ ...

.-2

"

1 2

•-1 L -2 11

1

n-1

25.

1.2 >

+ -+-+-+ - +·"

•

21.

311

3J3 + 4J4 + 575 + ...

1

19.

+

X

+-+-+-+--+ ...

11.

1.4

n-1

11.

~

= Í:

n 6 Utili7.e este fato para encontrar a soma de cada série. " 1 " 1 (a) .~2 ~ (b) .~, (n + 1)2 ~ 1

1

O.R~

15. ~

1

n-1

" 2 .L•- 1 n

13.

nP

n-1

9 26 Determine se a série é convergente o 1 Jivergente

9.

1

32. ~ -

X

.L-s

n- 1 11

"

L - - -- -

·-J 11ln11[ln(ln11})P

ç = L -.

X

7.

3o.

2

f(x) dx

3 8 Use o Teste da lniegral para determinar se a série é convergente ou divergente. " 1 " 1 4. 3. L 1C ..-1 ~ n ·- n 1 1 5 6. I .,; 1 (211 + 1) · • 1 ll + 4

.~1 .ç, _1_1~ 2

1 .L n(ln n)P

•

TI

38. 27 28 Explique por que o Teste Ja Integral não pode ser usado para determinar se a série é convergente. 2 ~ ~ ~ COS TI 27. ,{,, r.: 28. ~ 2 . - 1 vil n -1 1 + n

É necessário usar um sistema de computa_:ão algébrica

39. 40.

série. (b) Utilize [II com 11 = 10 para dar urna e~tirnativa melhorada da soma. (e) Compare sua estimativa Ja parte (b) com o valor exato dado no Exercício 35. (d) Encontre um valor de 11 tal que s. represente a soma comprecisão de 0,00001 . (a) Use a wma dos dez primeiros termos para estimar a soma da série L: 1 l/n 2 • Quão boa é essa estimativa? (b) Melhore essa estimativa usando (I] com n = 10. (c) Compare sua estimativa da parte (b) com o valor exato dado no Exercício 34. (d) Encontre um valor de 11 que garanta que o erro na aproximação s ""' s. seja menor que 0,001. Calcule a soma da série L;: 1 l/n 5 com precisão de três ca~as decimais. Estime ~:- i (2n + 1) 6 com precil.ão de cinco casas decimais. Quantos termos da série L:-2 l/[11(1n n) 2] você precisaria somar para encontrar sua soma com precisão de 0,01?

1. As Homewurk Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com

652

CÁLCULO

1001 41. Mostre que, se queremos aproximar a soma da série l::-1 n- · de maneira que o erro seja menor que 5 na nona casa decimal, então precisamos somar mais que 1011 301 termos! 42. (a) Mostre que a série l::- 1 (ln n)2/n 2 é convergente. (b) Encontre um limitante superior para o erro na aproximação

tem um limite. (0 valor do limite é denotado por 'Y e é chamado constante de Euler.) (a) Desenhe uma figura como a Figura 6 com f(x) = l/ x e interprete r. como uma área rou use rn1para mostrar que '· > o para todo 11. (b) interprete

s - s•. (c) Qual é o menor valor dental que esse limitante superior seja menor que 0,05? (d) Encontres. para esse valor de n. 43. (a) Use [!! para mostrar que, se s. é a n-ésima soma parcial da série harmônica, então s• .;;; 1 +ln n

(b) A série harmônica diverge, mas muito lentamente. Use a parte (a) para mostrar que a soma do primeiro milhão de termos é menor que 15 e a soma do primeiro bilhão de termos é menor que 22. 44. Use a~ seguintes etapas para mostrar que a sequência 1 t = 1+• 2

Ili

1

1

+ -3 + · · · + -n -

1

= [ln(n + 1) - lnn] - - -

t. - t.+1

n

+

I

como uma diferença de áreas parc1. mostrar quer. - r.+1 > O. Portanto, {t.} é uma sequência decrescente. (e) Use o Teorema da Sequência Monótona para mostrar que {t.} é convergente. 45. Encontre todos os valores positivos de h para os quais a série l::-1 b 1"" converge. 46. Encontre todos os valores de e para os quais a seguinte série converge:

2: z

ln n

•

1

(

5._ _ _ 1_ ) n n + 1

Os Testes de Comparação Nos testes de comparação, a ideia é comparar uma série dada com uma que sabemos ser convergente ou divergente. Por exemplo, a série ..

1

.~1 2" +

1

nos remete à série L:- 1 1/ 2", que é uma série geométrica com a = ~e r = ~ e é, portanto, convergente. Como a série ITJ é muito similar a uma série convergente, temos a impressão de que esta também deve ser convergente. Na verdade, é. A desigualdade 1

- -- < 2"

+

2"

mostrn que nossa série dada ITJ tem termos menores que aqueles da série geométrica e, dessa forma, todas as suas somas parciais são também menores que 1 (a soma da série geométrica). Isso significa que suas somas parciais formam uma sequência crescente limitada, que é convergente. Também segue que a soma da série é menor que a soma da série geométrica:

Argumentação semelhante pode ser usada para demonstrar o seguinte teste, que se aplica apenas a séries c ujos termos são positivos. A primeira parte diz que, se tivermos uma série cujos termos são menores que aqueles de uma série que sabemos ser convergente, então nossa série também será convergente. A segunda parte diz que, se começarmos com uma série cujos termos são maiores que aqueles de uma série que sabemos ser divergeflle, ela também será divergente.

n

o Teste de r .....,paração Suponha que L a. e L bn sejam séries com termos positivos. i) Se }: b. for convergente e an

~

b. para todo n, então L ª• também será convergente.

ii) Se }: b. for divergente e an

;:;:?::

b. para todo n, então La. também será divergente.

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

DEMONSTRAÇÃO n

(i) Seja

s.

=

li

L ª'

L b,

t. =

i- 1

r

1- I

=

L

bn

n= l

Como ambas as séries têm termns positivos, as sequências {sn} e {tn} são crescentes s. + Gn +I ~ s.). Também tn--'> t , portanto, tn ~ 1 para todo n. Como a, ~ b;, temos s. ~ t•. Assim, s,. ~ t para todo n. Isso significa que {sn} é crescente e limitada superiormente e, portanto, converge pelo Teorema da Sequência Monótona. Por conseguinte,}: a. converge. (ii) Se 2. b,, for divergente, então tn--'> oo (porque {t.} é crescente). Mas a; ~ b,, assim, Sn ~ t •. Então, Sn---+ oo. Portanto, Ia, diverge. (sn+1 =

Ao u 1 e diverge se p ~ 1; veja ( 11.3. 1)] Uma série geométrica [I ar•- 1 converge se 1r1< 1 e diverge se 1r1 ~ 1; veja (l 1.2.4)J

• Uma série p •

5

X

Determine se a série

L

converge ou diverge. 2 n + 4n + 3 SO LUÇÃO Para um n grande, o tem10 do minante no denominador é 2n2, assim, comparamos a série dada com a série :L 5/(211 2 ). Observe que 2

n- 1

5

5

- - - - < --2 + 3 2n

2n 2 + 4n

pois o lado esquerdo tem um denomim1dor maior. (Na notação do Teste de Comparação, a,, é o lado esquerdo e b,, é o lado d ireito.) ~ abemos que 5

X

5

X

1

L2n- =-2 L2 n

·-1

2

n- 1

é convergente porque é uma constante vezes uma série p com p

2 > l. Portanto

5

X

.L

=

2n

2

+

4n

+3

é convergente pela parte (i) do Teste tle Comparação.

-

Embora a condição ª• :;;; hn ou a,, ;;:;. h. no Teste de Comparação seja dada para todo n, precisamos verificar apenas que ela vale para /1 ~ N, onde N é algnm inteiro fixo, porque a convergência de uma série não é afetada por um número finito de termos. Isso é ilustrado no próximo exemplo.

OBSERVAÇÃO 1

Teste a série

ln k L"' -quanto à convergência ou d ivergência. k

Á- 1

SOLU ÇÃO Usamos o Teste da Integral para testar esta série no Exemplo 4 da Seção 11.3, mas

també m podemos testá- lo comparando o com a série harmônica. Observe que k k;;:;. 3 e assim ln k k

1 k

->-

> 1 para

k~3

Sabemos que L Ijk é divergente (série J1 com p = 1). Então, a série dada é divergente pelo Teste de Comparação. OBSERVAÇÃO 2

Os termos da série se ndo testada devem ser menores que aqueles de uma série convergente ou maiores que aqueles de uma série divergente. Se os termos forem maiores que os de uma série convergente ou menores que os de uma série divergente, então o Teste de Comparação não se apl ica. Considere, por exemplo, a série

653

Éimportante ter em mente a diferença entre uma sequência e uma série. Uma sequência é uma lista de números. enquanto que uma série é uma soma Com cada série r a. não estão associadas duas sequências: a sequência {a,} de termos e a sequência {s,} de somas parciais.

Series padrão r Comparação

u r lG

654

CÁ LCULO

A desigualdade 1 2"

- - - >2" -

é inútil para ser usada com o Teste de Comparação, porque L bn = L 0)" é convergente e a. > bn. Mesmo assim, temos a impressão de que L 1/(2" - 1) deve ser convergente, pois ela é muito parecida com a série geométrica convergente L Em tais casos, o seguinte teste pode ser usado.

U)".

Os Exercícios 40 e 41 lidam com os casos

e

O e e=

oc.

nparação de Lirr •t Suponha que La. e L: bn sejam séries com termos po-

sitivos. Se

. ª·

hm - = c • ., b. onde e é um número finito e e ries divergem.

> O, então ambas as séries conve rgem ou ambas as sé-

À Sejam me M números positivos tais quem < e< M . Uma vez que a./b. está próximo de e para um n grande, existe um inteiro N tal que

onde n > N e, assim,

quando n > N

mb. < a. < Mb.

Se L b. convergir, então L: Mb. também converge. Então, L a. converge pela parte (i) Jo Teste de Comparação. Se L b. divergir, então L mb. também diverge, e a parte (ii) do Teste de Comparação mostra que L ª" diverge. Teste a série

L"' 2" -l

quanto à convergência ou divergência. 1 Usamos o Teste de Comparação no Limite com n- 1

SOLUÇi

1

a.= - - -

b =2• n

2" -

e obtemos lim n-00

~= bn

2 2" lim l / ( " - I) = lim = lim - -1- 00 n-• 1/2" •-" 2" - } •-"' - 1/2"

1>0

Como esse limite existe e 2: 1/2" é uma série geométrica convergente, a série dada converge pelo Teste de Comparação no Limite. 2 ,L"' 2n J + 3n5

OM\'i!Q(1 r Determine se a série

converge ou diverge. 5 + n A parte dominante do numerador é 2n 2 e a parte dominante do denominador é 5 = n 12 • Isso sugere tomar n- 1

J;5

2n 2

+ 3n

a. =~

a.

lim -

•-"' b.

= lim n-

00

2n 2 + 3n

Js + n 2

=

5

2

112

2Js

3

+-

2+ 0

~0! ~n = 2Jo + 1 2 -+ 1 ns

3 2

n 2n 5' + 3n ' · - - = lim ---;~=-=2 ·-"' + n5

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

Como l: bn = 2 L 1/ n '12 é divergente (série p com p = 4 < l ), a série dada diverge pelo Teste de Comparação de Limite. Observe que ao testar muitas série~. encontramos uma série de comparação apropriada l: bn mantendo apenas as potências mais a ltas no numerador e denominador.

Estimando Somas Se tivéssemos usado o Teste de Comparação para mostrar que uma série L ª" converge pela comparação com uma série L bn, poderíamos ser capazes de estimar a soma l: ª" pela comparação dos restos. Como na Seção 11.3, consideramos o resto

Rn

= S -

Sn

=

+

On+I

an+2

+ '' ·

Para a série de comparação l: b. consideramos o resto correspondente Tn =

t -

r. =

+

bn+I

bn+2

+ ...

Como a. ~ b. para todo n, temos Rn ~ T•. Se L b,, é uma série p, podemos estimar seu restante T. como na Seção 11.3. Se l: b. for uma série geométrica, então T n é a soma de uma série geométrica e podemos somá-la exatamente (veja os Exercícios 35 e 36). Em qualquer dos dois casos, sabemos que R. é menor que T• . Use a soma dos 100 primeiros termos para aproximar a soma da série l: l/(n 3

+ 1). Estime o erro envolvido nessa aproximação.

SOLUÇÃO Uma vez que

1

- - b. para todo n, o que você pode dizer sobre La.,? Por

31.

~ sen (_!_)

..

32.

11

•-1

l

L 1+ 1/n n 1 11

quê? (b) Se a., < b. para todo 11, o que você pode dizer sobre 2: ª"?Por quê? Suponha que í: a. e 1 b. sejam séries com termos positivos e que I b. seja divergente. (a) Se a. > b. para todo 11, o que você pode dizer sobre r a.? Por quê? (b) Se a., < b. para todo 11, o que você pode dizer sobre 1 a.'.> Por quê?

2.

3-32 Determine se a série converge ou diverge. n-1

J

X

11

2n

3

4 ·

+1

n- 2

n4

1

-

10.

1

X

ifk Jk' + 4k + 3

11 . 2:~-==== 1-1

°'

11.

19.

21 .

n

18.

1 + 4n 3"

~

5 (1

+ 211

+ -1 ) ' e ll

29

1

í:11!

• n- 1

l)(k

+ 4t

n- 3

11

(n

l

d4

dJ

~ ln 11 (ii) ~ - - .

-3

n l n n-1 ; ;e 41. (a) Suponha que 1 ª"e L b. sejam séries com termos positivos e que í: b. seja divergente. Demonstre que se

lim~= OC

n-'X

(i)

+2

+

l)

3

-

ll

l

2:

n-2 li

.;nr=t ll 1 1/N

2: _e_ 11

n•I

30. ~ ,(., nn! n

1

b11

Então L ª" também é divergente. (b) Use a parte (a) para mo~trar que as séries divergem.

" 11 511 2:3 --n + +

ot

28.

di

~ ln n

li

..

n

d1

lO + Jõ2 + lc)3 + li)-1 +

então I ª•também é convergente. (b) Use a parte (a) para mostrar q ue as séries convergem.

2:--

22. ,(.,

26.

+ 4"

lim !!.!;_ = O b,,

(i) ~

+

n-I

~P+T ) 2 11' + 11

1 3"

n-x

"' 1 ,,_, 211 + 3

2

n-1

"

37. O significado da represent4lção decimal de um número O,d1d2d1 . .. (onde o algarismo d; é um dos números O, 1, 2, ... , 9) é que

'

1 1

3n

~

24.

25. ,(.,

..

+

2

+ 4" 20. , ( . , - n-1 li + 6"

+ 11 2 ) 2

n 1

l )(k2 - 1)

;;

1

~

n- 1

n-1

(k

X

2

n~I

converge. 40. (a) Suponha que }'. ª"e~ b. sejam séries com termos positivos e que r b. seja convergente. Demonstre que se

16.2:~

.Jn+2 2:-2---2n + n +

23. ,:.,

1

Ã

n 2 11 -

2:-, +

n- 1

~ (2k -

12. ,(.,

14. ,:.,

2: JnT+J .-1 11 2 + 1 X

3"

"' 1 + senn 2:-1O"

4n+I

2:-.,,_, 3 -

36.

.-o

~

~ arctg 11

13. ,(., --1-,•-I li .. 15.

+

4

z

n-I

X

Ã

~ sen n ri-J n3

38. Para quais valores de p a série 2::- 2 l/(n" ln 11) converge? 39. Demonstre que, seª" ~O e 2: ª" converge, então Ia; também

2 :2"-

8.

n- I

34.

2

1

Mostre que essa série sempre converge.

9n

X

35.

"

í: n-1 Jn• + 2: 5-•cos211

O,d1 O e lim . -~na,, ?fÍ' O, então ~a,, é divergente. 44. Mostre que, seª• > O e}: a. for convergente, então ::S ln( 1 + a.) é convergente. 45. Se ::S a. for uma série convergente com termos positivos. é verdade que 2: sen(a,,) também será convergente'.> 46. Se í: a. e ::S b,. forem ambas séries convergentes com termos positivos, é verdade que r a.b. também será convergente?

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

Ili_Séries Alternadas Os testes de convergência que estudamos até aqui se aplicam apenas a séries com termos positivos. Nesta seção e na próxima aprenderemos como lidar com séries cujos termos não são necessariamente positivos. De particular importância são as séries alternadas, cujos termos se alternam no sinal. Uma série aJternada é aquela cujos termos são alternadamente positivos e negativos. Aqui estão dois exemplos:

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1

2

3

4

5

6

2

3

4

5

6

7

:L" e- o·-•-nl

- - + - - - + - - - + ··· =

.-1

- - + - - - + - - - + - - ...

:L" e-o· -n-

=

·- •

li

+

1

Vemos desses exemplos que o 11-ésimo termo de uma série alternada é da forma

ª· = (- l )"b.

ou

1a.1.)

onde b. é um número positivo. (De fato, b. = O teste a seguir diz que, se os termos de uma série alternada decrescem para O em valor absoluto, então a série converge. Teste da Série Alternada Se a série alternada

:L infinitas se comportam ou não como sornas finitas. Se rearranjarmos a ordem dos termos em uma sorna finita, então é claro que o valor da soma permanecerá inalterado. Mas esse não é sempre o caso para uma série infinita. Por um rear ranjo de uma série infinita La. queremos dizer uma série obtida simplesmente mudando a ordem dos termos. Por exemplo, um rearranjo de L an poderia começar como a seguir:

Ocorre que se 2": a. é uma série absolutamente convergente com soma s, então qualquer rearranjo de L a. tem a mesma soma s. Contudo, qua lquer série condicionalmente convergente pode ser rearranjada para dar uma soma diferente. Para ilustrarmos esse fato, vamos considerar a série harmôn ica alternada

(Veja o Exercício 36 na Seção 11.5.) St· multiplicarmos esta série por 4, obtemos 1 1 1 1 1 2 2 - 4 + 6 - 8 + · · · = 2 In Inserindo zeros entre os termos dessa série, teremos

O+

1 2

+ O-

!4

+ O + !6 + O -

!8

+ ··· =

A soma desses zeros não afeta a soma da série; cada termo na sequência de somas parciais é repetido, mas o limite é o mesmo.

!2 ln 2

Agora adicionamos as séries nas Equações 6 e 7 usando o Teorema 11.2.8:

Observe que a série em []] contém os mesmos termos que em [fil, mas rearranjados de modo que um termo negativo ocorra depois de cada par de termos positivos. As somas dessas séries, contudo, são diferentes. De fato, Riemann demonstrou que se L On for uma série condicionalmente convergente e r for qualquer número real, então existe um reananjo de L a. que tem uma soma igual ar. Uma demonstração desse fato é delineada no Exercício 44.

1111

Exercícios

1. O que você pode dizer sobre a série La. em cada um dos seguintes casos? (a) ,._2) lim

lª•+I a,. 1=8

( b) lim 1 ª•+I 1 n -oo

a,.

=

Q,8

1. As Homeworks Hinls es!ão disponíveis em www.stewancalculus.com

(c) lim

n-~

Iª•+' 1= 1 a,,

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

666

CÁLCULO

X

2.

(-2)"

2:2n

,.-1 X

3.

5.

2:~

•-1 5• ,. (-1)•+1

2:

1.

5

if;; 11

n 1

1

«

11.

2:

(1, ~)· n (-l)•ell•

·

"

13. •~1 (n

15.

17.

~ ~

10.

+

2

•-2 ln n

L( .-1

23.

/1 2

·-1

16.

2: - 2 -·1 - -

-

2·

1 fl.

,. 3-cosn n '

1

- 2

2: «

22.

1

n- 2

i (1 + _!_)"' n

(

)s.

2 ...=_!!__ n + 1

2"'

'X.

•

1·3 1· 3·5 1· 3 ·5·7 27. 1 - - - + + ... 3! 5! 7! + (-1)" 1 1 • 3 • 5 • · · · • (2n - 1) + ... (2n - J)! 2

2 · 6

28.

-+--+

29.

2: •-1

5

5·8 ,. 2. 4. 6.

2. 6. 10 5. 8. 11

+

2. 6. 10. 14 5. 8. 11 . 14

±

.-1

37. (a) Mostre que L~-o x"/11! converge para todo x. (b) Deduza que lim. "" x"/11! = O para todo x. 38. Seja 2: a. uma série com termos positivos e seja r. = ao1/a •. Suponha que lim.-x r. = L < 1. assim, La. converge pelo Teste da Razão. Como habitualmente, faça R. ser o resto depois de 11 termos, isto é,

R. = a.+1 + a ••2 +

+ ··· (a) Se {r.} for uma sequência decrescente e r .+1 < a.+1

1, mostre, pela

a,.+1

2:1 -n!

26.

11-1

36. Para quais inteiros positivos k a série é convergente? (11!)2 (kn)!

1 r.+1 (h) Se {r.} for uma sequência crescente, mostre que

~ (211)! 24. ~ - 1)2 ( n 1 n.

•- 1

.;n

2: -1 + n 2

R,.~---

n-1

n 2 + 1 )"

n-1 -

soma de uma série geométrica, que

2:.n

20.

1

+

1

·

,. (-2)"

n. 2n 2

2:

11.! 18. ~ ~ n- 1 n

~ cos(n7T/3)

21.

ll

"

" (- 1)"

19. ~ ,,_,

.-1i (-1)" .;nr+2

14.

li

2:--

2: -:;:;

1

«

«

( - 1)" arctg n

•

(d)

•-1

1)42•• 1

X

2: 1n

l )!

sen 411 12. ~ - 4 ·

to•

•-1

.~ (211 +

~

n1

11-1

+4

.-11()()"

i (- 1).

11-1

n

2

(-3)"

k•I

9.

n

i

8. ~~ ~

2: km "

2: Uficientes a~ de modo que a sua som:.i seja maior quer. Em seguida. aJicione o menor número úe termos neg:.itivos a . de modo a que a soma \eja menor quer. Continue as\im e use o Teorem:.i 11.2.6.]

45. Suponhamos que a série :i a. seja condicionalmente convergente. (a) Demonstre que :.i série ~ n 2a. é convergente. (b) A convergência condicional de~ a. não é suficiente para determinar se ~na. é convergente. Mostre isso dando um exemplo de uma série condicionalmente convergente tal que ~ na. converge e um exemplo em que ~na. diverge.

Estratégia para Testes de Séries Agora temos diversas maneiras oo, devemos usar o Teste para Divergência.

Jn3+T 3n

1

+ 411 2 +

2

667

-

668

CÁLCULO

Como a. é uma função algébrica de n, comparamos a série dada com uma série p. A série de comparação para o Teste de Comparação de Limite é 2: b., onde

-

R

n 3/2 t b = --=- = -n 3n 3 3n 3 3nJ/ 2

f

1

Como a integral 1"' xe-x dx é facilmente calculada, usamos o Teste da Integral. O Teste da Razão também funciona.

-

Como a série é alternada, usamos o Teste da Série Alternada.

Como a série envolve k!, usamos o Teste da Razão.

"'

I

n~I 2 + 3"

Como a série está intimamente relacionada à série geométrica 2: 1/3•, usamos o Teste da Comparação.

!JD Exercício~-----------------1 38 Teste a série quanto a convergência ou divergência.

1.

"

l

L1 + • 3 n

± ±

3.

•

5.

2.

•

1

(-1)" n

11 -

+2

~

(- 5)

8.

f ( - l)"-,n· + 2 11 -

~ ~ l- 1

1) L" (-1+ 3" -

•• , n3 .. 3•

,,2

u ,,_, Ln!-

12.

16.

18 º

19.

n-1

~

27.

f

112

L-3-

+ 2" +1 +

k ln k

(k

+

3

1)

" (- 1)" •• , cosh n

L- -

)"' · .-1±(-n n + 1 "

X~ 3

·-1

5"

.. e l/n

28.

L11

n 1

30.

2

±

_Jf +5

( - I)J

J

;-1

.-1L

(11 ')" li

~.

1

X

34.

.-1L n + /1 cos2n

L

1

36.

L 1 n-2 (ln n)" "

38.

L (~ -

X

n1+ 1/n

n• I

X

31.

L

"' n + 1 L --

1

35.

20.

L n sen( l/n)

"'

33

-

1-• 2 + senk

2

26.

e"

sen 2n

1 yn

f l •I

(-1)•- I

(- 1)• .!;!

1

32.

L- - - -. -·-º 2. 5. 8. (311 + 2)

,..,

24.

L-- -

•- 1

«

n!

.~2 Tn -

tg(l / n)

1

·-· n

,

L

•-1

1

X

22.

k

·-· 1

°"

23.

zs. L~

2lk! (k + 2)!

2 )

..

± .,fiT+T

4-1

14.

L" (- l)"cos(l / n

•-1

29.

X

11.

1)"

•

. -1

1

7. •~2~

11.

+ n2

6. ±--1n-1 2n + ]

112r-.1

•-I

4.

" (2n

L

.-1

21.

2

. -1 n + 2n + 5

L

•-1

(~

- i)"

1

X

· -1

1)

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

669

Uma série de potências é uma série da forma

..

L CnX" =

+ C1X + C2X 2 + C3X 3 +

Co

n- 0

onde x é uma variável e e. são constantes chamadas coeficientes da série. Para cada x fixado, a série OJ é uma série de constantes que podemos testar quanto a convergência ou divergência. Uma série de potências pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros valores de x. A sorna da série é uma fun\ão f(x)

= Co

+ C1 X + C2X 2 + ... + c.x" + . ..

cujo domínio é o conjunto de todos os x para os quais a série converge. Observe que /se assemelha a um polinômio. A única diferença é queftern infinitos termos. Por exemplo, se tomarmos e. = 1 para todo n, a série de potências se toma a série geométrica

L x• =

1

Série trigonométrica Uma série de potências é uma série em que cada termo é uma função de potência. Uma série trigonométrica ~ (a. cos nx

+ b.

sen nx)

•- O

é uma série cujos termos são funções trigonométricas.

+ x + x 2 + · · · + x" + · · ·

n-0

que converge quando - 1 < x Em geral, a série da forma

<

1 e diverge quando

1x1

~ 1 (veja a Equação 11.2.5).

,,

L c.(x -

+ c 1(x

a)" = co

- a)

+ c 2(x

- a) 2

+ ···

n-0

é chamada uma série de potências em t x - a) ou uma série de potências centrada em a ou uma série de potências em torno de a. Observe que, ao escrevermos o termo correspondente a n = O nas Equações 1 e 2, adotamo!' a convenção de que (x - a)º= l , mesmo quando x = a. Observe também que, quando x = a, todos os termos são O para n ~ 1 e assim a série de potências sempre converge quando X = a.

rn

L"' n!x" é convergente?

Para quais valores de x a s1'rie

n~O

SOLUÇÃO Usamos o Teste da Razão. Se fizermos an. como habitualmente, denotar o 11-ésimo termo da série, então a. = n!x". Se x r O, temos

a 1 = tim 1 (n lim ~

n -:x.

l

Gn

n-()(.

n!X

Pelo Teste da Razão, a série diverge quanJo x

~

1 = lim (n n- ~

+ Olx l =

oo

O. Então, a série dada converge apenas quando

X= Ü.

™';

Para quais valores de x a série

"' (x - 3)n

L

11~ 1

n

converge?

SOLUÇÃO Seja a. = (x - 3)"/n. Então,

Gn+ll

7 I

1

l(x- 3)"+ n = n + 1 . (x - 3)"

1

= - - lx - 3 1 1 1 +-

1

lx-31

quando n -

oo

n

Pelo Teste da Razão, a série dada é absolutamente convergente e, portanto, convergente, quando 1 x - 3 I < 1 e é divergente quando 1 x - 3 I > 1. Agora

lx- 31< 1

~

+ 1)!

~

(n

= (n

1

+ I)!x•+ •

Observe que (n

- 1 R - - - - - '

FIGURA 3

Resumimos aqui o raio e o intervalo de convergência para cada um dos exemplos já considerados nesta seção.

,-

-----

- - -Série

Raio de convergência

Intervalo de convergência

R= l

(-1, 1)

R=O

{O}

R=I

[2. 4)

----Série geométrica

L,x• n- 0 ~

Exemplo 1

L. "' x"

n-0

.,

L.

Exemplo 2

•

1

(.x - 3)" li

• (-l)' x'

Exemplo 3

J.':. 22"(11!)2

l 1

R=

( -oo. oo)

oo

--------

-----

Em geral, o Teste da Razão (ou algu nas vezes o Teste da Raiz) deve ser usado para determinar o raio Je convergência R. Os Ttstes da Razão e da Raiz sempre falham quando x é uma extremiúade Jo intervalo de convergência; assim, as extremidades devem ser estudadas corn outro teste.

l:t;i#M\Ui

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência Ja série

L

(- 3)".x" n~ o Jn + 1 SOLUÇÃO Seja a.

1

= (-3)"x"/Jn+l. Então,

~ 1=1 ( - 3)"+1xn+1 • .Fn+J 1= ª"

Jn+2

(- 3)"x"

l -3x

/n+I 1

\j-;;+2

671

672

CÁLCULO

l + (l/n) ( / ) lxl 1+ 2 n

= 3

3 lxlquando n -

oo

Pelo Teste da Razão, a série dada converge se 3 I x 1 < 1 e diverge se 3 I x 1 > 1. Então, ela converge se 1x1 < ~ e diverge se 1x 1 > Isso significa que o raio de convergência é R = ~ Sabemos que a série converge no intervalo ( - ~. i), mas devemos agora testar a convergência nas extremidades desse intervalo. Se x = -~, a série torna-se

!.

í:., (-3)"(-0" Jn+l

n- 0

=

í:.,

l

n=O

= -

l l l + - + - + - + ···

1

JT

~

.J3

,/i

/4

que diverge. (Use o Teste da Integral ou simplesmente observe que ela é uma série p com p = ~ < 1.) Se x = L a série é

Í

(- 1)"

(-3>"0Y

n-0

í:-~

n-0 ~

Jn+l

que converge pelo Teste da Série Alternada. Portanto a série de potências dada converge quando ' 1 ' ]• -3J < x ~ 31 ; assim, o •mtervaio d e convergenc1a e -3, 3 A

lii33MQ!•:

'

'

(

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série ~ n(x + 2)" ,,t., 3n+ I

n- 0

SOLUÇA

Seª" = n(x + 2)"/3"+1, então

0.+1 1= 1(n + l)(x + 2r 3•+ 1ª"

1

1

3•+

•

2

=

(

l +

..!._) li

1X

n(x

+ 2I

-

+

1X

3

1

2)"

+ 2j

3

quando

/1 -

oo

Usando o Teste da Razão vemos que a série converge se \ x + 2 l/ 3 < 1 e diverge se + 2 j/3 > 1. Assim ela converge se l x + 2 \ < 3 e diverge se 1x + 2 \ > 3. Então, o raio de convergência é R = 3. A desigualdade jx + 2 I < 3 pode ser escrita como -5 < x < 1, assim, testamos a série nas extremidades - 5 e I. Quando x = - 5, a série é 1x

~ n(-3)" ,,:., 3n+l

n=O

=

1

~ (- L)"

3 ,,:.,

n- 0

n

que diverge pelo Teste para Divergência [(- l)"n não converge para 0]. Quando x = 1, a série é

que também diverge pelo Teste para Divergência. Então, a série converge apenas quando -5 < x < 1, de modo que o intervalo de convergência é (-5, 1).

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

a.

Exercícios

1. O que é uma série de potências? 2. (a) O que é o raio de convergência d..: uma série de potências? Como você o encontra? (b) O que é o intervalo de convergência de uma série de potências? Como você o encontra? 3- 28 Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. (-l)"x" 3. L (- l)"nx" 4. l.: n + 1 .- 1 " x" " (- l)"x" 6. l.: 5. 1.:-•- 1 n2 · - · 211 + 1 .. x" " 7. 1.:8. L n"xn .- o n! •- 1 ,. " 2 • 1O"x" 10. l.: 9. 1.: c- 1>· n ~ ~ ·- 1 ·-· 2 "' (-3)" x" 11. l.: - - x " 12. l.: 5 5"n n- 1 n,/n n 1 ,. x2"+1 ., x• 14. 2: 1-0· 13. 1.: c-1>·-n- 0 (2n + l)! 4" ln 11

..

X

.-o

.-2

15.

i

(x - 2)"

" 17.•~1

19.

i n- 1

21.

22.

.- 1b

L-

b"

L n!(2x -

23.

a)",

(x - a)",

. - 2 ln n

i

b

21.

I)"

28.

1.: -O

(5x ~ 4)"

,.- 1

(-1)" (x - 3)" 211 + 1

b>O

n 1

25.

i

.-o .,

(x -. 2)" n

n L" -;(x -

"

16.

2

+1 3"(x + 4)" ,Jn

• o n

673

38. 39. 40.

41.

:L c.8"

.-o

1.: c-

•-O

42. 1)"c.9"

É necessário usar uma calculadora gráfica OU

X COS X

= X

(2n)!

n-1

n-0

-

X2n+I

oo

:2 (- J )n - - = L (-

1)" - (2n)!

Represenle /(x) = sen x como a soma de sua série de Taylor centrada em

7T/3. Obtivemos duas representações em série diferentes para sen x. isto é. a série de Maclaurin. no Exemplo 4, e a série de Taylor, no Exemplo 7. Émelhor usarmos a série de Maclaurin para valores de x próximos de Oe a série de Taylor para valores de x próximos de 7r/ 3. Observe que o terceiro polinômio de Taylor T3 na Figura 3 é uma boa aproximação para sen x próximo de 7r/ 3. mas não tao boa para o próximo de O. Compare-o com o terceiro polinômio de Maclaurin T 3 na Figura 2, na qual o oposto é verdadeiro.

SOLUÇÃO Arranjando nosso trabalho em colunas, temos

f(x)

sen x

=

f'(x) =

C01' X

f"(x) = -sen x

f"'(x)

=

-COS X

e esse padrão se repele indefinidamente. Portanco, a série de Taylor em

f'

f (J7T) +

=

(!!..) 3 ( l!

X -

J7T)

+

/"(!!.3.) ( 2!

J3 + _ I (x- !!..) - J3 2

2 . 1!

3

X -

J7T)

2 +

7T/3 é

/"'(!!..)3 ( 3!

y

X -

J7T)3+ . •.

(x - !!..)2- _ l (x- 7T)J+ ...

2 . 2!

3

2 . 3!

A demonstração de que essa série representa sen x para todo x é muito semelhante à feita no Exemplo 4. (Apenas troque x por x - 7T/3 em [Hj.) Podemos escrever a série na notação sigma se separarmos os termos que contêm

J3:

sen x =

L"

n-0

(- l )"yÍJ ( 7T)2" x - 2(211)! 3

+

L"

(- J)n

(

•-O 2(2n + l )!

Tr)2n+I x - 3

-

A série de potências que obtivemos po r métodos indiretos nos Exemplos 5 e 6 e na Seção 11.9 são realmente as séries de Taylor e de Maclaurin das funções dadas, porque o Teorema 5 afirma q ue, não importa como uma representação de série de potências f(x) = L c.(x - a)" é obtida, é sempre verdade que e.= 1 k, então a expressão para ( ~) contém um fator (k - k), de modo que ( ~) = O para n > k . Isto significa que a série acaba e se reduz ao Teorema Binomial usual quando k for um inteiro positivo. (Veja a Página de Referência 1.) Encontre a série de Maclaurin da função f(x) =

1

~

. e seu raio de conver-

gência. SOLUÇÃO Escrevemosf(x) em uma forma na qual podemos usar a série binomial:

Usando a série binomial com k =

=

~ [1

+ (-

-4 e com x substituído por -x/4, temos

~)(-:) + (-4~\- D

+ . . . + (-

(-:r

D( - D( - D· ~; (- 4-

n

+

(-D(~;)(-D

(-:r

+ l) ( _ : ) " + .. .

J

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

1 [ l 2

l 8

1· 3 2!8

1·3· 5 3 x 3!8 3

+ - x + - -2 x 2 +

= -

+ ··· +

l · 3 · 5 · · · · · (2n - l) x" 11!8"

+ ···

687

J

Sabemos de ~ que essa série conve1 ge quando 1-x/ 4 j < l, ou seja, 1x1 < 4, de modo que o raio de convergência é R = 4. Listamos na tabela a seguir, para referência futura, algumas séries de Maclaurin importantes que deduzimos nesta seção e na precedente.

L x" =

1- x

1

+ x + x 2 + x3 + · · ·

R= I

" x"

Jll

x

x 2!

R =x

x2n+1 XJ xs x7 senx = :L(- 1)" = x - - + - - - + · .. . -o (211 + l )! 3! S! 7!

R =x

rO

= i

n!

..

cos x =

i.

L(-

(1

+

1 - -2'

x2n+1

L (-1)" 2n + . -o x)

+ x)k =

"

=

2:"

L (-1)".-1

n-0

=

1 1

3!

x!

=

1)" _x_ (2n)!

n=O

tg- 1x =

1!

n

x4

+-

4!

=

x7

- -

5

R =x

+ ···

7

R= l

x3 x4 + - - - + .. ·

2

+

+

6!

+-

x2 x -· -

( k) x" = 1 + kx 11

x6

- -

xs

x3 x - 3

x" -

E

fd OS dL (

x3

2

+ - + - + ·- + .. .

ex = :L -

ln (!

TABELA 1

n-0

3

k(k - 1) 2 x 2! 1 1•2

R= 1

4

+

1 2 .2

Calcule a soma da série - - - - - 2

k(k - l)(k - 2) 3 x + 3! 1 3•2

·· ·

R =l

1 4 . 2

+ - -3 - - -4 + ...

SOLUÇÃO Com a notação sigma podemos escrever a série dada como

l :L O par.i todo n, então {a.} será con-

17. Se a. > O e La. converge, então L (- l)"a. também converge. 18. Se a. > O e lim. _ ,, (a •• 1/ a.) < 1, então lim. _,,_ a.

19. 0,99999 ... 20. Se lim a. • OO

=

=

O.

1

= 2, então n lim (a.+l - a.) = O. -•

21. Se um número finito de termos forem adicionados a uma série convergente, a nova série também é convergente.

1

I-- =·-º 11! e

< a < 1, então lim.-.. a"~ O.

13. Se f(:c) = 2x - x 2 f'"(O) = 2.

n

9. Se O .;;: a • .;;: b. e I b. divergir. então }' a. diverge. 10.

11. Se - l

12. Se ~ a. é divergente, então }; 1a. j é divergente.

"

22. Se

s

L a. = A e L •

1

n

1

b.

=

B. então

L "

1

a.b. = AB.

702

CÁLCULO

Exercícios Detennine se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre seu limite.

1.

2

ª" =

1

+ n' + 2n 3

9•+1

11'

3.

5.

ª• =~ 11sen11

9.

ª" =-10·

4.

a.

6.

ª• =7+1

7. {(I

2.

+ 3/n) "} 4

../n

8. {(-10)"/n!}

Uma sequência é definida recursivamente pelas equações a 1

=

l,

10. Mo5tre que lim.~,., n 4 e - · = O e use um gráfico para encontrar o menor v6 -1,

arctg x - arctg y

X - )'

= arctg - - 1 + xy

se o lado esquerdo estiver entre - rr/ 2 e rr/2. (b) Mostre que arctg :~ - arctg zh = rr/4. (c) Deduza a seguinte fórmula de John Machin (1680-1751): 1

1

4 arctg 5 - arctg 239

=

47r

(d) Use a série de Maclaurin para arctg para mostrar que 0. 1973955597 < arctd < 0,19739556 16

(e) Mostre que 0,004184075 < arctg ~9 < 0,004184077 (f) Deduza que, com precisão de sete casas decimais, rr

FIGURA PARA O PROBLEMA 5

= 3, 1415927.

Machin usou esse método em 1706 para e ncontrar 1T com precisão de 100 casas decimais. Recenteme nte, com a ajuda de computadores, o valor de 1T tem sido calc ulado com uma precisão cada vez maior. Em 2009, T. Daisuke e sua equipe calcularam o valor de 71' para mais de dois trilhões de casas decimais ! 8. (a) Demonstre uma fórmula similar àquela no Problema 7(a), mas envolvendo arccotg e m vez de arctg.

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

r;' "

.

,..

I

,

.

TI .. ,4

t

~"'"'""" i--

~··} ...

J

,

•

~

•

~. "

v. •. ".:: ~ - .,.,.... ~~·~·T:c·•rf"" , , ~-

'

705

....~~~~ ,...,,

,

·,

•

~~

•

...

(b) Encontre a soma da série L:- o arccotg(n2 + n + 1). 9.

Encontre o intervalo de convergência de L:'- 1 n 3x" e sua soma.

10.

Se a o +

a1

+

a2 +

· · · + ak = O, mostre que

Se você não vê como Jemonstrar isso, tente a estratégia de resolução de problemas com uso de analogias (Capítulo 1 - Volume I). Tente os casos especiais k = 1 e k = 2 primeiro. Se você vir como demonstrar a a~serção para esses casos, provavelmente verá como demonstrá--la no caso geral. 11.

Encontre a soma da série

i; ln(I - ~). n

n-2

Suponha que você tenha um grande suprimento de livros, todos do mesmo tamanho, e os empilhe na borda de uma mesa, com cada livro se estendendo mais longe da borda da mesa do que o livro embaixo dele. Mostre que é possível fazer isso de maneira que o livro no topo da pilha fique inteiramente além da mesa. De fato, mostre que o livro do topo pode se estender a qualquer distância além da borda da mesa se a pilha for alta o suficiente. Utilize o seguinte método de empilhamento: o livro do topo se estende por metade de seu comprimento além do segundo livro. O segundo livro se estende por um quarto de seu comprimento além do terceiro. O terceiro se estende por um sexto de seu comprimento além do quarto, e assim por diante. (Tente você mesmo com um baralho.) Considere centros de massa. 13. Se a curva y = e -•110 sen x, x ;;;. O, for girada em tomo do eixo x , o sólido resultante se parece com uma sequência infinita de bolinhas decrescentes. (a) Encontre o volume exato da n-ésima bolinha. (Use uma tabela de integrais ou um sistema de computação algébrica. 1 (b) Encontre o volume total uas bolinhas.

12.

14.

FIGURA PARA O PROBLEMA 12

Se p > 1, calcule a expressão. 1 21

1

1

3P

4P

1 2

1 1 - - + ... 3P 4P

+ -- + - +-+ ... - - 1 -+ 15.

Suponha que círculos de diâmetros iguais sejam agrupados o mais junto possível em n fileiras uentro de um triângulo equilátero. (A figura ilustra o caso n = 4.) Se A for a área do triângulo e A. for a área total ocupada pelas n fileiras de círculos, mostre que A.

!~.1!A = 16.

FIGURA PARA O PROBLEMA 15

7r

2./3

Uma sequência {a. } é definida recursivamente pelas equações a0

=

a 1= 1

n(n - !)11.

= (n -

1)(11 - 2)a.- 1 - (n - 3)a.-2

Encontre a soma da série I~-o a•. 17. Tomando o valor de X' em O igual a 1 e integrando uma série termo a termo, mostre que 1 "' e x • ,1x = L Jo .-

1

18.

( - 1)•-l n

.

Começando com os vértices P, (O, 1). P 2(l, 1). P ,(I, O), P.(O, O) de um quadrado, construímos pontos adicionais conforme mostrado na figura: P 5 é o ponto médio de P,Pz. P6 é o ponto médio de P 2P ,, P 1 é o ponto médio de P3 P., e assim por diante. O caminho espiral poligonal P 1P2P 3 P.PsP 6 P1 ... tende a um ponto P dentro do quadrado. (a) Se as coordenadas de P. forem (x., y.), mostre que ~ x. + x . +1 + x .+2 + Xn+3 = 2 e encontre uma eq uação similar para as coordenadas y. (b) Encontre as coordenadas de P.

FIGURA PARA O PROBLEMA 18

706

CÁLCULO

.,

( - 1)"

Encontre a soma da série ~

" n-1 ( 2n + 1)3 20. Efetue as seguintes etapas para mostrar que 1 1 1

1

1·2

7·8

19.

--+-- + --+--+ 3·4

5·6

· · · =

1112

(a) Use a fórmula para a soma de uma série geométrica finíta ( 11.2.3) para obter uma expressão para 1 _ X + X2 _ X.l + , .. + _x2n-2 _ Xln - 1 (b) Integre o resultado da parte (a) de O a 1 para obter uma expressão para 1

1 2

1

1 4

1 211 - 1

1 211

- - + - - -+ ... + - -- - 3

como uma integral. (e) Deduza a partir da parte (b), que

_ J_+_l_ +_J_+ • • • +

fl

1· 2 3·4 5 ·6 (212 - 1)(2n) Jo 1 l (d) Use a parte (e) para mostrar que a soma da série dada é ln 2.

dx

f1

,

1 + x < Jo .r" dx

21. Encontre todas as soluções da equação

x2 4!

x 2!

x4 8

x' 6'

+-+ - +-+-+ .. ·=O 1 Dica: Considere os casos x ;;;,: O ex< O separadamente.

p

22. Triângulos retângulos são construídos conforme a figura. Cada triângulo tem altura igual a 1 e sua base é a hipotenusa do triângulo anterior. Mostre que essa sequência faz um número ilimitado de voltas ao redor de P . demonstrando que }; l:J. é uma série divergente. 23. Considere a série cujos termos são os recíprocos de inteiros positivos que podem ser es-

FI GURA PARA O PROBLEMA 22

critos na base 10 sem usar o dígito O. Mostre que essa série é convergente e a soma é menor que 90. 24. (a) Mostre que a série de Maclaurin da função

f

(x)

X

é

1 - X - x2

n

1

onde fn é o 11-ésimo número de Fibonacci, isto é, f, = 1, / 2 = 1, e f,, = f,, 1 + f. - i para 2 2 11 ;;,,. 3. [Dica: Escreva x/( 1 - x - x ) = co + c 1:c + c2x + · · ·e multiplique ambos os 2 lados desta equação por 1 - x - x • I (b) Ao escrever f(x) como uma soma de frações parciais, portanto, obtendo a ~érie de Macla urin de uma maneira diferente. encontre uma fórmula explícita para o 11-ésimo número de Fibonacci. 25. Considere x3 3!

x6 6!

x4

x1

4

7!

x9

11 - l + - + - + v = x+-+ 1 x2 2!

x5 5!

9!

x'º

+-

10!

+··· +···

x" +··· 8!

w=- + - + -

Mostre que u 3 + v-1 + w3 - 3uvw = 1. 26. Demonstre que se /1 > 1, a 11-ésima soma parcial da série harmônica não é um inteiro. Dica: Seja 2' a maior potência de 2 que é menor ou igual a n e seja M o produto de todos os inteiros ímpares que são menores ou iguais a 11. Suponha que s,, = 111. um inteiro. Então, M2 1s,. = M2 1m. O lado direito dessa equação é par. Demonstre que o lado esquerdo é ímpar, mostrando que cada um de seus tenno:. é um inteiro par. com exceção do último.

Vetores e a Geometria do Espaço

' '-·

Neste capítulo apresentamo~ vetores e sistemas de coordem1das para um espaço tridimensional. Esta será a definição para o nosso estudo do cálculo de funções de dua~ variáveis no Capítulo 14 porque o gráfico de tal função é uma superfície no espaço. Neste capítulo. veremos que vetores fornecem urna descrição particularmente simples descrições de retas e planos no espaço.

708

CÁLCULO

lm_ Sistemas de Coordenadas Tridimensionais Para localizar um ponto no plano são necessários dois números. Sabemos que qualquer ponto no plano pode ser representado como um par ordenado (a, b) de números reais, onde a é a coordenada x e b é a coordenada y. Por essa razão, um plano é chamado bidimensional. Para localizar um ponto no espaço, necessitamos de três números. Representaremos qualquer ponto no espaço pela tripla ordenada (a, b, e) de números reais. Para representarmos os pontos no espaço, primeiro escolhemos um ponto fixo O (a origem) e três retas orientadas O 4ue sejam perpendiculares entre si, denominadas eixos coordenados e denotados eixo x, eixo y e eixo z. Geralmente, colocamos os eixos x e y, denotados por como retas horizontais e a reta vertical como o eixo z, e indicamos a orientação dos eixos com setas, como mostrado na Figura 1. O sentido do eixo zé determinado pela regra da mão direita, como ilustrado na Figura 2. Se você arredondar os dedos de sua mão direita ao redor do eixo z de forma a rodar 90º no sentido anti-horário do eixo x positivo para o eixo y positivo, o polegar apontará para o sentido positivo do eixo z. Os três eixos coordenados determinam três planos coordenados ilustrados na Figura 3(a). O plano xy é o plano que contém os eixos x e y; o plano yz contém os eixos y e z; o plano xz contém os eixos x e z. Estes três planos coordenados dividem o espaço em oito partes, chamadas octantes. O primeiro octante é determinado pelos eixos positivos.

o -~-

/

..y

FIGURA 1 Eixos coordenados

..

~-

)'

=

X>

FIGURA 2 Regra da mão direita

Plano Yz

)'

x/ FIGURA 3

z T P(a, b, e)

e a

X/ FIGURA 4

y b

Parede dire·lta

(a) Planos coordenados

(b)

Como muitas pessoas têm dificuldade em visualizar diagramas de figuras em três dimensões, pode ser útil fazer o que sugerimos a seguir [veja a Figura 3(b)]. Olhe para algum canto inferior de um cômodo e defina-o como origem. A parede que se encontra à sua esquerda está no plano xz, a parede à sua direita está no plano yz e o chão está no plano xy. O eixo x está ao longo da intersecção do chão com a parede esquerda. O eixo y fica ao longo da intersecção do chão com a parede direita. O eixo z fica ao longo da intersecção das duas paredes, orientado no sentido do teto. Se você está no primeiro octante e imagina outras sete salas situadas nos outros sete octantes (três no mesmo andar e quatro no andar abaixo), todas têm o canto O em comum. Se Pé qualquer ponto no espaço, seja a a distância (orientada) a partir do plano yz ao ponto P; seja b, a distância a partir do plano xz até o ponto P, e seja e, a distância do plano xy ao ponto P. Representamos o ponto de P pela tripla ordenada (a, b, e) de números reais e chamamos a, b e e de coordenadas de P; a é a coordenada x, b é a coordenada y e e é a coordenada z. Assim, para localizarmos o ponto (a, b, e), começamos da origem O e movemos a unidades ao longo do eixo x; em seguida, b unidades paralelamente ao eixo y e, por fim, e unidades paralelamente ao eixo z. como na Figura 4. O ponto P(a, b, e) determina uma caixa retangular como mostrada na Figura 5. Se traçarmos uma perpendicular de P ao plano xy, encontraremos um ponto Q com coordenadas (a, b, 0), denominado projeção de P no plano xy. Analogamente, R(O, b, e) e S(a,O, e) são as projeções de P nos planos yz e xz, respectivamente. Como ilustrações numéricas, os pontos ( - 4, 3, -5) e (3, - 2, - 6) estão estão mostrados na Figura 6.

VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO

709

:

:

10. 0, e)

S(a.O, c1

-5 X

(-4, 3, - 5) (a,0,0)

Q(a, h,01

FIGURA 5

FIGURA 6

O produto cartesiano R X R X IR ( (x, y, z) lx, y, z e R} é o conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais e é denotado por R3• Demos uma correspondência biunívoca entre os pontos P no espaço e triplas ordenadas (a, b, e) no R3• Isso é denominado um sistema d e coordenadas retangula1 tridimensiona l. Observe que, em termos de coordenadas, o primeiro octante pode ser descrito como o conjunto de pontos cujas coordenadas são todas positivas. Na geometria analítica bidimensional, o gráfico de uma equação envolvendo x e y é uma curva em R2 . Na geometria analítica tridimensional, uma equação em x, y e z reprcsent acima deste, como na Figur 1 7(a). y 5

o

FIGURA 7

(a):= 3, um plano em R'

(b) y

= 5, um plano em R 3

(b) A equação y = 5 representa o con.1unto de todos os pontos em IR' cuja coordenada y é 5. Esse é o plano vertical paralelo ao plano xz e cinco unidades à direita deste, como na Figura 7(b). Quando é dada uma equação, precisamos descobrir a partir do contexto se ela representa uma curva em R 2 ou uma superfície em R 3. No Exemplo 1, y = 5 representa um plano em IR\ mas é claro que y = 5 também pode representar uma reta em R 2 se estivermos trabalhando com geometria analítica bidimensional. Veja as Figuras 7(b} e (e). Em geral, se k é uma constante, então x = k representa um plano paralelo ao plano yz, y = k é um plano paralelo ao plano xz e z = k é um plano paralelo ao plano .xy. Na Figura 5, as faces da caixa retangular são formada dimensões (veja a Figura 11).

FIGURA 10

(a 1.a2 .a.d

y (a1,U2)

/

a

X

u

1 1

1 1

o FIGURA 11

"'T

~

/ '.

= (a1, a 2}

X

'

1

' -.J

a =(a,, a 2• a 3)

y

VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO

715

Essas coordenadas são denominadas componentes de a e escrevemos ou Usamo~ a notação (a1. a2) para o par ordenado que se refere a um vetor para não confundir com o par orde nado (a 1• 02) que corresponde a um ponto no plano. -)Por exemplo. os vetores apresentados na Figura 12 são todos equivalentes ao vetor OP = (3, 2) cujo ponto terminal é Pt3, 2). O que eles têm em comum é que o ponto terminal é alcançado a partir do ponto inicial por um deslocamento de três unidades para a direita e duas para cima. Podemos rensar e m todos esses vetores geo~étricos como representações do vetor algébrico a = (3, 2). A representação particular OP da origem ao ponto P(3, 2) é chamado vetor posição d~onto P. Em três dimensões, o vetor a = OP = (a,, a2, a 3) é o vetor posição do ponto ----'> P(a 1. a2. a,). (Veja a Fig ura 13.) Va111os considerar 4ualquer outra representação AB de a . onde o ponto inicial é A(x1. y ,, z 1) e o ponto final é B(x2. y 2, .:2). Então, temos que ter x1 + o , = x2, Y1 + a2 = Y2 e .:1 + a3 = .:2 e, então, a 1 = x2 - x ,, a 2 = )'2 - Y1 e a, = .:2 - z1. Portanto. temo~ o seguinte res ultado.

FIGURA 12 Representações do vetor a = (3. 2}

vetor posição de P

----'>

Dados os pontos A(x1, y ,, .:1) e B(x2, y 2, z2), o vetor a com repn:sentação AB é

a

= (.\2 -

x,, )'2 - y,, z2 - z1)

X

FIGURA 13

Encontre o vetor rep1 esentado pelo segmento de reta orientado com ponto inicial A(2. - 3, 4) e ponto final 8( - 2, 1, 1). SOLUÇÃO Por

DJ, o vetor correspondt nte a ÃÊ é a - (-2 - 2. 1 -

( - 3),

1 - 4) = ( -4.4, -3)

-

A magnitude ou compr imento do vetor v é o comprime nto de 4ual4uer uma de s uas

representações e é denotado pelo sín bolo lvl ou llvll. Usando a fórmula de distância para calcular o comprimento de um segme nto OP, obtemos as seguintes fórmulas.

O comprimento de um wtor bidimensional a

lal = -Ja~

Repre!tcntaçõcs de a = (a1• a 2 • a 1}

y

1 1

= (a 1, ai) é

a+b

+a;

1a1 = -Ja; + a; + a~

= (a,, a2) e b = (b1, b2), então +

b

1 ª 21

1 1

X

1 1 1 1 ca 1 1 1 1

ca

FIGURA 15

= (ca,, ca2)

+ (b1, b2, b3) = (a1 + bi, 0 2 + b2, a3 + b3)

= (a1 - b1, a2 c(a1, a2, a 3) = (ca1, ca2, ca3)

(ai. a2, a 3) - (b,, b2, b3)

b2, a 3 - b3)

ª1

h,

_ _ _ _J

Analogamente, para os vetores tridimensionais, (a,, a 2, a 3)

1

...-----1

FIGURA 14

a,

= (a1 + bi. a 2 + b2) ca

/

ª

o

Como somamos os vetores a lgeb1icamente? A Figura 14 mostra que , se a = (01, 02) e b = (b1. h2). então a soma é a + b = (01 + b 1, 02 + h2), pelo meno~ para o caso em que as componentes são positivas. Em outras palavras, para somarmos algebricamente vetores, somamos suas componentes. Analofamente, para subtrairmos vetores, subtraímos suas componentes. A partir dos triângulos -.,emelhantes, na Figura 15, vemos que as componentes de ca são ca , e cai. Assim para multi1-licannos um vetor por um escalar multiplicamos cada componente por aquele escalar.

a

1 -

b,

O comprimento de um vetor tridir nensional a = (a 1, a 2, a 3) é

Se a

1 1 h,

b

ca 1

716

CÁLCULO

Se a= (4, O, 3) e b = (-2, 1, 5), encontre lal e os vetores a+ b, a - b, 3b e 2a

+ 5b. la l = ~42 + 02 + 32 =

~\JL\JyAU

m=5

a+ b = (4. O, 3) + (-2, 1, 5)

a-

= (4 + (-2), o+ 1, 3 + 5) = (2, 1, 8) b = (4, O, 3) - (-2, 1, 5) = (4- (-2),0- 1,3 - 5) = (6, -1, -

2)

3b = 3(- 2, 1, 5) = (3(-2), 3(1), 3(5)) = (-6, 3, 15) 2a + 5b = 2(4,

º· 3) + 5( - 2, 1, 5)

= (8, o. 6) + (-10, 5, 25) = (-2, 5, 31)

-

Denotaremos por Vi o conjunto de todos os vetores bidimensionais e por Vi o conjunto de todos os vetores tridimensionais. De forma mais geral, precisaremos, adiante, considerar o conjunto V. dos n vetores de dimensão. Um vetor de dimensão /1 é uma n-upla ordenada: Vetores em n dimeosões são usodos poro ~stor vórios QUIJ!lilodes em um modo orgonizodo. Por exem~o. os componentes do vetor de ounensõo 6

onde a., a2, ... , a. são números reais chamados componentes de a. Adição e multiplicação escalar são definidas em termos das componentes, como para os casos n = 2 e n = 3.

P = (p,. />2. p,, P•· Pl · P6)

podem represenltlr os preços de seis itens Merenres necessfJios no fobricoçüo de um artigo pomclAar. Vetores de dimensão quatro ~f. y. z. t) sõo usados em teoria do rekitividode, onde os primeiros três componentes especilic001 oposição no espaço e a quorte represento o tempo.

Prnnri..it11r1,... rln" Ut>tn

Se a, b e e são vetores em V. e e e d são escalares, então

1. a + b = b + a

2.

a

+ (b +

e) = (a + b) + e

3.

a+ O = a

4.

a+(- a) = O

5.

c(a + b) = ca + cb

6.

(e+ d)a = ca + da

7.

(cd)a = c(da)

8.

la = a

Essas oito propriedades dos vetores podem ser facilmente verificadas, tanto geométrica quanto algebricamente. Por exemplo, a Propriedade 1 pode ser vista na Figura 4 (equivale à Lei do Paralelogramo) ou como a seguir no caso n = 2:

a + b = (aa, a2) + (b1, b2) = (aa + b., a2 + b2) = (b1 + ai, b2 + a2) = (b., b2) + (a,, a2) =b+a

Q

e

/A

(a+b)+c = a+ (b+c)

b

a+b b+ c

p FIGURA 16

)

Podemos ver por que a Propriedade 2 (a propriedade associativa) é4erdadeira olhando para a Figura 16 e aplicando a Lei de Triângulo várias vezes: o vetor PQ é obtido pela primeira construção a + b e, em seguida, adicionando e ou por adição de a ao vetor b + e. Três vetores em V3 têm papel especial. Considere i

= ( 1, O, O)

j =(O, 1, O)

k =(O, O, 1)

a

Esses vetores i, j e k são chamados vetores da base canônica. Eles têm comprimento 1 e direção e sentido dos eixos x, y e z positivos. Da mesma forma, em duas dimensões, definimos i = (1, O) e j = (O, 1). (Veja a Figura 17).

VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO

717

}'

=r

(0, I )

k

._______

X

FIGURA 17 Vetores da base canônica em V2 e V3

Se a

(a)

= (a1, a2, a 3), então podemos escrevúa

A/

(1 , 0)

)'

(b)

- - --

y ,,• (a,, a 2)

= (a1, a2, 03) = (ai. O, O) + (O, 02, O) + (O, O, o 3)

/

a

Oz j

- 01(1, O, O)+ 02 (O, 1, O)+ a1 (O, O. 1)

o

a, i

X

Assim, qualquer vetor em V3 pode sei expresso em termos de i, j e k . Por exemplo, (1. --2,6) Da mesma forma , em duas

dimensõe~.

=i

- 2j

+ 6k

:

podemos escrever a ~

Veja a Figura 18 para a interpretação geométrica das Equações 3 e 2 e compare com a Figura 17.

y

Se a = i + 2j - 3k e b = 4i + 7k, expresse o vetor 2a + 3b nos termos de i,j e k . SOLUÇÃO Usando as Propriedades 1,

2a + 3b

2, 5, 6 e 7 dos vetore, temos

= 2(i

FIGURA 18

+ 2j - 3k ) + 3(4i + 7k)

= li +

4j - 6k + l 2i

+

2 1k

= l 4i +

4j

+

Gibbs

l 5k

Um versor ou vetor unitário é um vetor cujo módulo é 1. Os vetores, i, j e k são exemplos de vetores unitários ou versores. Em geral, se a ""' O, então o vetor unitário que tem mesma direção e mesmo sentido de a . chamado versor de a , é 1

u=

lal

a=

a

lal

Para verificar isso, seja e = 1/lal. Então, u = ca e e é um escalar positivo, de modo que u tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor a . Além disso,

!ui = lca - lcl !ai =

1

'ª'

!ai = 1

Determine o versor do vetor 2i - j - 2k. SOLUÇÃO O vetor dado tem módulo

l2i - j - 2kl =

Aplicações

-./22+ ( -

1)2+(-2)2 =

..J9 =

3

-

Vetores ~ão úteis em muitos aspectos da física e da engenharia. No Capítulo 13 veremos como eles descrevem a velocidade e a aceleração de objetos movendo-se no espaço. Aqui

Jos1ah W1llard Gibbs (1839-1903), um professor de física matemática na Universidade de Yale. publicou o primeiro livro em vetores. Vector Analysis, em 1881 . Objetos mais complicados. chamado quatérnions. já haviam sido inventados por Hamilton como ferramentas matemáticas para descrever o espaço. mas eles não eram fáceis para os c1ent1stas usarem. Ouatém1ons têm uma parte escalar e uma parte vetor A ideia de Gibb era usar a parte vetor separadamente. Maxwell e Heavis1de tinham ideias semelhantes. mas a abordagem de Gibb provou ser a maneira mais conveniente para estudar o espaço.

718

CÁLCULO

olharemos para a~ forças. Uma força é representada por um vetor porque tem módulo (medido em libras ou newtons), direção e sentido. Se várias forças estão agindo em um objeto, a força resultante experimentada pelo objeto é o vetor soma dessas forças. \

3~

50°

Uma carga de 100 kg de massa pende a partir de dois fios como é mostrado na Figura 19. Encontre as tensões (forças) T 1e T i em ambos os tios e suas magnitudes. Primeiro vamos exprimir T 1e T i em função de suas componentes hori70ntal e vertical. Da Figura 20 vemo~ que

100 FIGURA 19

5

~ 50 T 1

f6

1

50º

T1

= - ITtlcos 50º i + ITilsen 50º j

A força de gravidade 4ue age sobre a carga é F = -100(9,8) T 1 +Ti contrabalança F de modo que

L 32°

.i

-980 j. A resultante

jF Logo. FIGURA 20

+ ITi lcos 32º) i + ( IT 1lsen 50º + ITi lsen 32º)j = 980j

( -IT1 lcos 50º

Igualando as componentes, ohtemos

ITi lsen 5ü° + IT2lsen 32º = 980 Resolvendo a primeira destas e4uações para IT2I e ~ubstituindo na segunda, temos ITilsen 50º

Ou seja, os

módulo~

+

ITilcos 5 0" sen 32º cos 32º

= 980

das tensões são IT1I

ITi l

e

=

=

980 sen 50º

+ tg 32º cos 50º

IT1lcos 50º cos 32º

= 839 N

= 636 N

Substituindo esses valores em[}] e@]. obtemos o~ vetores tensão T1 = - 539 i

+ 643j

T1

= 539 i

+ 337 j

Exercícios 1.

2.

Quais das seguintes grandezas são vetoria is ou escalares? Explique. (a) O custo de um bilhete de cinema (b) A correnteza cm um rio (e) A trajetória inicial do voo entre Houston e Dallas (J) A população munJial Qual a relação existente entre o ponto (4. 7) e o vetor (4. 7)? Faça um esboço ilustrativo. A~

Hornework

Hint~

eMão disponíveis em www.stcwartcalculus.com

3.

Indique os vetores iguais no paralelogramo mostrado. B

E

/)

e

VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO

4.

Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. (a) PQ

+ QR

~

15-18 Determine a soma dos mente.

+ PS ---+ RS + SP + PQ

---'> (b) RP

~

-~

(e) QS - PS

(d)

15. (-1,4).

(6, -2)

16. (3, -1 }.

17. (3, O, 1),

(O, 8, O)

18. (1. 3, - 2).

+

20. a Copie os vetores na figura e use-os para desenhar os seguintes vetores. (e) (e)

u +v V+ W v+ u +w

(b) (d) (d)

6.

23. - 3i

I

a- b

(h)

(e) ~a

(d) - 3b

(e) a + 2b

(t)

(O. O. 6)

bl.

b = (-3, - 6)

b= i - 2j - 3k,

+ .+k,

b = - 2i - j

+ 5k

b =2j- k

+ 7j

25. 8i - j

Copie os vetores na figura e use-os rara desenhar os seguintes vetores. (a) a + b

+ 2j

(- 1, 5)

Determine u vetor unitário com mesma direção e sentido que o vetor dado.

w

V

21. a = i

+ j.

22. a = 2i - 4j

u+ w u- v u- w- v

\

li

4i

+ 3b. lal e la

b,2a

19. a = (5, -12).

(a)

datlos e ilustre geometrica-

~

1"' l Determinea

5.

vetore~

719

26.

24. ( -4, 2, 4)

+ 4k

Ache um vetor 4uc possui a mesma direção e o mesmo ~entido 4ue (- 2, 4, 2) mas tem comprimento 6.

27 28 O que é o ângulo entre o vetor dado e o sentido positivo do eixo x?

2h - a

27. i

+ J3 j

28. 8i

+ 6j

29. Se v está no primeiro quadrante e faz um ângulo de 7T/3 com o eixox positivo e lvl = 4 , encontre v cm forma de componente.

30. Se uma criança puxa um trenó na neve com força de 50 N a um 7.

Na figura. a ponta de e e a cauda de d são ambas o ponto médio de QR. Expresse e e d cm termos de .1 e b.

ângulo tle 38º com relação à horizontal, ache horizontal e vertical Lia força.

a~

componentes

31. Um quarterback lança uma bola de futebol com ângulo de elevação 40° e velocidade de 60 pés/s. Encontre os componentes horizontal e vertical do vetor velocidade. Encontre o módulo da força resu ltante e o ângulo que ela faz com o eixo x positivo. 32.

33.

y /

8.

Se os vetores da figura satisfizerem lul o que é

=

lvl =

1e u +

v+ w

= O,

4 200 N

45º

lwl?

o

_\'

20N 300N

30"

60°

o

X

16N u

<

w

V

9-14 Determine o ~tor a com r~resent.1ção 8,, uma força adicional exterior H seja aplicada ao bloco, na horizontal a partir da esquerda, e seja IHI = h. Se h é pequeno, o bloco pode ainda de~lizar para baixo do plano; se h é suficientemente gra 1de, o bloco irá mover-se no avião. Seja hm,. o menor valor de h que permita ao bloco permanc,cr parado (de modo que IFI é máximo). Escolhendo os eixos coordenados de modo que Festeja na direção do eixo x, determine para cada força atuante suas componentes paralela e perpendicular ao plano inclinado e mostre que

hm,. sen 8

+ mg cos 8

= n

hmin cos 8

+ µ.,n

= mg

~en

&

(c) Mostre que hm 0 = mg tg (9 - 8,) Isso parece razoável? Faz sentido para 8 = (},?E quando & -+ 90°? Explique. (d) Seja li.... o maior valor que permi a ao bloco pennanccer parado. (Nesse caso, qual o sentido de F?) Mostre que hmu = mg tg ((} + 8,) Isso parece razoável? Explique. 8.

Um sólido tem as seguintes propricc1ades. Quando iluminado por raios paralelos ao eixo z, a sua sombra é um disco circular. Quando iluminado por raios paralelos ao eixo y, sua sombra é um quadrado. Quando iluminado por raios paralelos ao eixo, wa sombra é um triângulo isósceles. (No Exercício 44 na Seção 12.1 foi solicitado que se descrevesse e se esboçasse um exemplo de um sólido, mas há muitos outros sólidos t. Suponha que a projeção sobre o plano xz seja um quadrado cujos lados têm comprimento 1. (a) Qual é o volume do maior sólido" (b) Existe um menor volume?

o FIGURA PARA O PROBLEMA 7

Funções Vetoriais

Christos Georgh1ou/ShunOfStock

As funções que usamos até agora foram funções a valores reais. Agora estudaremos funções cujos valores são vetores, pois estas são necessárias para descrever curvas e superfícies no espaço. Usaremos funções a valores vetoriais também para descrever o movimento de objetos no espaço. Em particular, as usaremos para deduzir as leis de Kepler para o movimento planetário.

756

CÁLCULO

Funções Vetoriais e Curvas Espaciais Em geral, uma função é uma regra que associa a cada elemento de seu domínio um elemento de sua imagem. Uma função vetorial, ou função a valores vetoriais, é uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores. Estamos particularmente interessados em funções vetoriais r cujos valores são vetores tridimensionais. Isso significa que, para todo número t no domínio de r existe um único vetor de V3 denotado por r (t). Se f(t), g(t) e h(t) são as componentes do vetor r(t), então f, g e h são funções a valores reais chamadas funções componentes de r e podemos escrever r(t) = (f(t}, g(t), h(t)) = f(t) i

+ g(t) j +

h(t) k

Usamos a letra t para denotar a variável independente porque ela representa o tempo na maioria das aplicações de funções vetoriais.

1!3§{,IQ!•l

Se

r (t)

=

(t3, ln(3

- t),

./i)

então, as funções componentes são f(t)

Se lim ,_. r (r) - L. essa definição equivale a dizer que o comprimento. a direção e o sentido do vetor r (r) se aproximam do comprimento. da direção e do sentido do vetor L .

t3

=

g(t)

=

ln(3 - t)

h(t) =

Jt

Pela convenção usual, o domínio de r é constituído por todos os valores de t para os quais a expressão r (t) está definida. As expressões t 3 , ln(3 - t) e Jt são definidas quando 3 - t > O e t ;;;?< O. Portanto, o domínio de ré o intervalo [O, 3). O limite de uma função vetorial r é definido tomando-se os limites de suas funções componentes como a seguir.

[

Se r (t)

=

(f(t), g(t), h(t)), então

!~ r (t)

=

(!i~ f(t), !~ g(t), !~o;! h(t))

desde que os limites das funções componentes existam.

Da mesma forma, poderíamos ter usado uma definição usando o e-8 (veja o Exercício 51). Os limites de funções vetoriais obedecem às mesmas regras que os limites de funções reais (veja o Exercício 49).

™'''

Determine lim r (r), onde r (t) r-0

.

sen t

+ t 3 ) i + te-' J + - - k .

= (l

f

De acordo com a Definição 1, o limite der é o vetor cujas componentes são os limites das funções componentes de r: lim r(t) = [tim (l + r-o

r-o

t 3 ))

i

+ [Iim te-']j + [ lim sen t / -o

1-0

= i + k

t

Jk ..

Uma função vetorial ré contínua em a se lim r (r)

1- a

=

r (a)

Em vista da Definição 1, vemos quer é contínua em a se e somente se suas funções componentes f, g e h forem contínuas em a. As curvas espaciais e as funções vetoriais contínuas estão intimamente relacionadas. Suponha que f, g e h sejam funções reais contínuas em um intervalo /. Em seguida. o conjunto e de todos os pontos (x, y, z) no espaço, onde

FUNÇÕES VETORIAIS

X=

y

f(t)

=

z=

g(t)

757

:

h(t)

P(f(t ), g (t ), h(t))

~

e t varia no intervalo /, é chamado curva espacial. As equações em (1] são denominadas equações paramétricas de C e t é conhecido como parâmetro. Podemos pensar em C como tendo sido traçada pelo movimento de uma partícula cuja posição no instante t é (J(t), g(t), h(t)). Se considerarmos agora a função vetorial r(t) = O, o múltiplo escalar (l/ h)(r(t + h) - r (t)) tem o mesmo sentido que r(t + h) - r(t). Quando h ~O, parece que esse vetor se aproxima de um vetor que está sobre a reta tangente. Por essa razão, o vetor r '(t) é chamado o vetor tangente à curva definida por r no ponto P, desde que r'(t) exista e r'(t) 7'= O. A reta tangente a Cem P é definida como a reta que passa por P e é paralela ao vetor r'(t). Teremos ocasião de considerar o vetor tangente unitário, dado por r'(t)

T(t)=~

r (t + h) - r (t)

z

r(t + h) - r (t )

h

iIB

I

Visual 13.2mostra uma animação da Figura 1.

Q r (t) r (t+ h )

e o

-

y

X

y

X

(b) O vetor tangente r '(t)

(a) O vetor secante PQ

O teorema seguinte fornece um método conveniente para calcular a derivada de uma função vetorial r por derivação de cada componente der.

121 Teorema Se r(t) = ( f(t), g(t), h(t)) funções diferenciáveis, então

=

f(t) i + g(t) j

r '(t) = (f'(t), g'(t), h'(t) ) = f'(t) i

+ h(t) k, onde f, g e h são

+ g'(t) j + h'(t) k

DEMONSTRAÇÃO

r'(t)

=

lim -

Ar -+ O

=

lim A1-o

1

Ât

1

Âf

[r(t

Ât) - r(t)]

[ (f(t + Ãt), g(t + Llt), h(t + Llt)) - (f(t), g(t), h(t) )]

- . ( f(t - hm Ar-o

+

+ Ât) - f(t) g(t + Llt) - g(t) h(t + Ât) - h(t)) tl.t

,

Llt

,-----Llt

FIGURA 1

764

CÁLCULO

=

=

. f (t hm ( At---+O

+ At)

- f(t)

. g(t , hm

At

+ At)

- g(t)

.

, hm

A1~0

At

Ar - o

_h.:....(t_+_A_t.:....)_-_h....:..(t..:....)) At

(f'(t), g'(t), h'(t) )

(a) Determine a derivada de r(t) = (1 + t 3 )i + te- 'j + sen 2t k. (b) Encontre o vetor tangente unitário no ponto onde t = O. SOLUÇÃO (a) De acordo com o Teorema 2, derivando cada componente de r, obtemos:

+

r'(t) = 3t 2 i (b) Uma vez que r(O)

(1- t)e-'j

+ 2cos2tk

= i e r'(O) = j + 2k, o vetor unitário da tangente no ponto (1, O, O) é j

r '(O) J

J

Para a curva r(t) = r( l) e o vetor tangente r'( l ).

+

2k

l

.

2

JT+4 = JS J + JS

= r'(O) =

T(O)

Ji i + (2 -

k

-

t) j, determine r'(t) e desenhe o vetor posição

y

SOLUÇÃO Temos

2

1 r'(t) = - - i - j

e

2.ji

o

X

\

r '( 1)

= - 1 1• -

2

J.

A curva é plana, e a e liminação do parâmetro das equações x = ./t, y = 2 - t nos dá y = 2 - x 2 , x ~O. Na Figura 2, desenhamos o vetor posição r(I) = i + j começando na origem e o vetor tangente r'(l) começando no ponto correspondente ( 1, 1).

FIGURA 2

Determine as equações paramétricas para a reta tangente à hélice com equações Observe na Figura 2 os pontos de vetor tangente na direção de aumentar. (Veja o Exercício 56.)

paramétricas

y

x = 2cost

= sen t

z=

t

no ponto (0, 1, 7T/2). SOLUÇÃO A equação vetorial da hélice é r(t) = (2 cos t, sen t, t), de modo que

r'(t)

=

(

- 2 sen t, cos t, 1)

O valor do parâmetro correspondente ao ponto (O, 1, 7r/2) é t = 7r/2, e o vetor tangente é r'(7r/2) = ( - 2, O, 1 ). A reta tangente passa por (O, 1, 7r/2) e é paralela ao vetor (-2, O, 1 ), então, pela equação 12.5.2, suas equações paramétricas são X=

A hélice e a reta tangente do Exemplo 3 estão na figura 3.

-2t

y=I

--

12

=

8

e.:.:=-:::=--::::

4

o

-1

FIGURA 3

-0,5 y

o

-

0,5

7r 2

z=- +

t

-

FUNÇÕES VETORIAIS

Do mesmo modo que para as funçf>es reais, a segunda derivada da função vetorial r é a derivada de r ', ou seja, r " = (r')'. Por e:O eh< O separadamente.]

d dt [u (t) X v(t}]

49. Determine f' (2), onde f(t) = u(t) · v(t), u (2) = ( 1, 2, - 1), u'(2) = (3, O, 4) e v(t) = (t, t 2, t 3).

Na Seção 10.2 definimos o comprimento de uma curva plana com equações paramétricas x = /(t}, y = g(t}, a ,,;;; t ~ b, como o limite do comprimento das poligonais inscritas e, para o caso no qualf' e g' são contínuas, chegamos à seguinte fórmula [}]

L =

r

2

J[J'(t}] + [g'(t)]2 dt

=

J: ~(~

r (drr +

dt

O comprimento de uma curva espacial é definido exatamente da mesma forma (veja a Figura 1). Suponha que a curva tenha equação vetorial r(t) = ( f (t), g(t), h(t)), a ~ t ~ b, ou, o que é equivalente, equações paramétricas x = /(t), y = g(t), z = h(t), onde f', g' eh' são funções contínuas. Se a curva é percorrida exatamente uma vez à medida que t cresce, a partir de a para b, é possível mostrar que

z

L

y X

FIGURA 1 O comprimento de urna curva espacial é o limite dos comprimentos das poligonais inscritas.

=

=

r

J [f'(t)] 2

f

b

+ (g'(t)]2 + [h'(t)J2 dt

(dy) (dz)

~(dx) -+-+-dt 2

dt

d!

a

2

2

dt

Observe que os comprimentos dos arcos de curva dados pelas Fórmulas ser escritos de forma mais compacta L =

porque, para curvas planas r(t)

=

.f(t) i

r

1r'(t) 1dt

+ g(t) j,

1r'(t)1 = 1/'(t) i + g'(t) j 1= e para as curvas espaciais r(t)

J[f'(t)] 2 + [9'(1))2

= f (t) i + g(t) j + h(t) k,

OJ e [l] podem

769

FUNÇÕES VETORIAIS

1r'(t)1

=

1f'(t) i + g'(t)j + h'(t) k 1= J[f'(t)] 2 + [g'(t)] 2 + [h'(t)]2

Calcule o comprimento do arco da hélice circular r(t) = cos ti + sen t j + t k do ponto ( 1, O, O) até o ponto ( 1, O, 2rr). SOLUÇÃO

Uma vez que r'(t) = -sen t i

de

equação

+ cos t j + k, temos

=

1r'(t)1 = J( - sen t)2 + cos2 t + 1 = J2 O arco de (1, O, 0) até (1, O, 2rr) é descrito quando o parâmetro percorre o intervalo O ~ t ~ 2rre, assim, da Fórmula 3, temos

-

Uma única curva C pode ser reprei,entada por mais de uma função vetorial. Por exemplo, a cúbica retorcida 1 ,,.;; t ,,.;; 2

poderia ser representada também pela função O ..::; u ..::; ln 2

onde a relação entre os parâmetros teu é dada por t = e". Dizemos que as Equações 4 e 5 são parametrizações da curva C. Se fôssemos usar a Equação 3 para calcular o compri mento de C usando Equações 4 e 5, gostaríamos de obter a mesma resposta. Em geral, pode ser mostrado que, quando a Equação 3 é usada para calcular o comprimento do arco, a resposta é independente da parametrização que é u ~ada. Suponhamos agora que C seja uma curva dada pela função vetorial r(t) = f(t)i

+ g(t)j + h(t)k

onde r' é contínua e C é percorrida exatamente uma vez à medida que t aumenta de a para b. Definimos sua função de comprimenlo de arco s por

~

s(t)

=

t 1r'(u)1 du

=

f ~(~:

r ~~r :~r +(

+(

du

Então s(t) é o comprimento da parte de Centre r(a) e r(t). (Veja a Figura 3.) Se derivarmos os dois lados da Equação 6 usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, obteremos

ds

-

A Figura 2 mostra o arco de hélice cujo comprimento é calculado no Exemplo 1.

dt

=

lr'I

É frequentemente útil parametrizar uma curva em relação ao comprimento do arco, pois o comprimento de arco aparece naturalmente a partir da forma da curva e não depende do sistema de coordenadas utilizado. Se uma curva r(t) já está dada em termos de um parâmetro te s(t) é a função comprim e nto de arco dada pela Equação 6, podemos ser capazes de escrever t como uma função de s: t = tis). Em seguida, a curva pode ser reparametrizada em termos comprimento do início da curva. Reparametrize a hélice circular r(t) = cos t i + sen t j + t k utilizando o comprimento de arco medido a partir de (l, O, 0) na direção de crescimento de t.

c-(l ,0.21T)

)'

FIGURA 2

770

CÁLCULO

SOLUÇÃO O ponto inicial (1 , O, 0) corresponde ao valor do parâmetro t = O. A partir do Exemplo 1, temos

ds = dt

-

e assim

s = s(t) =

Portanto t =

t

lr'(t)I =

1 r'(u) 1 du =

;-;:; v2

f: J2 du

=

J2 t

s/J2 e a reparametrização pedida é obtida substituindo-se o valor de t: r(t(s)) = cos(s/J2) i

+ sen(s/ J2) j + (s!J2) k

Curvatura llD

Visual 13.JA mostra vetores tangentes unitários animados, como os da Figura 4. para uma variedade de curvas planas e curvas espaciais.

-

Uma parametrização r(t) é chamada suave em um intervalo I se r' for contínua e r' (t) ~ Oem /.Uma curva é chamada de suave se tiver uma parametrização suave. Uma curva suave não tem quebras abruptas ou cúspides; quando seu vetor tangente gira, ele o faz continuamente. Se C for uma curva suave definida por uma função vetorial r, lembre-se de que o vetor tangente unitário T(t) será dado por r'(t)

T(t)

FIGURA 4 Vetor tangente unitário em pontos igualmente espaçados de e

=

1r'(t) 1

e indica a direção da curva. Da Figura 4, podemos ver que T(t) muda de direção muito devagar quando a curva C é razoavelmente reta, mas muda de direção mais rapidamente quando a curva C se dobra ou retorce mais acentuadamente. A curvatura de Cem um dado ponto é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção no ponto. Especificamente, definimos a curvatura como o módulo da taxa de variação do vetor tangente unitário com relação ao comprimento do arco. (Utilizamos o comprimento de arco, pois assim a curvatura independe da parametrização.)

[!]

Definição A curvatura de uma curva é

onde T é o vetor tangente unitário.

A curvatura é mais simples de calcular se expressa em termos do parâmetro t em vez de s. Assim, usamos a Regra da Cadeia (Teorema 13.2.3, Fórmula 6) para escrever

dT

dT ds

dt

ds dt

Mas, da Equação 7, ds/ dt

=

e

1r'(t)

K

= 1 dT 1 = 1 dT / dt 1 ds

ds/ dt

j, e então K(t) =

1T'(t) 1

1r '(t)1

Mostre que a curvatura de um círculo de raio a é lia. SOLUÇÃO Podemos tomar o círculo com centro na origem e parametrizado por

= a cos ti + a sen t j -a sen ti + a cos t j e 1r'(t) I =a r(t)

Portanto Logo,

r'(t) =

r '(t) 1r'(t)1

T(t) = - - - = - sen t

.

1

.

+ cos t J

FUNÇÕES VETORIAIS

T'(t) = -cos ti - sen t j

e

Isso nos dá 1T'(t)1 = 1, então, usando a Equação 9, temos

-

K(t) = 1T'(t) I = ..!_ 1r'(t)1 a

O resultado do Exemplo 3 mostra que pequenos círculos têm uma grande curvatura, enquanto grandes círculos têm uma pequena curvatura, como nossa intuição indica. Podemos ver diretamente da definição que a curvatura de uma reta é sempre O, pois o vetor tangente é constante. Embora a Fórmula 9 possa ser utilizada em qualquer caso para calcular a curvatura, em geral é mais conveniente aplicar a fórmula dada pelo teorema a seguir:

@]

Teorema A curvatura de uma curva dada pela função vetorial r é 1 r '(t) X r "(t) 1 K(t) = -'---..;..;._-----'-'-_._ 1r '(t) 13

DEMONSTRAÇÃO ComoT

=

r'/l r 'I e l r ' I = ds/dt, temos

ds r' = i r' IT = - T dt e, pela Regra do Produto (Teorema 13 2.3, Fórmula 3), temos

,, =d2s T -

r

ds T' +-

dt2

dt

Usando o fato de que T X T =O (veja o Exemplo 2 da Seção 12.4), temos 2

r'

X

ds) (T r" = ( dr

X

T')

Agora 1T(t)1 = 1 para todo t, então Te T' são ortogonais pelo Exemplo 4 na Seção 13.2. Portanto, pelo Teorema 12.4.9, 1r' X r" I =

Logo,

(

~;)

2

IT X T' 1 =

1T' 1 =

(

1r ' X r " 1 (ds/dt)2 IT'I 1r'1

e

K =-- - =

~;) =

2

IT1 1T' 1 =

(

~;)

1r' X r" 1 1r '12

2

IT ' 1

-

Ir ' X r" I 1r ' IJ

Determine a curvatura da cúbica retorcida r(t) = (t, t 2, t 3 ) em um ponto genérico e em (O, O, 0). SOLUÇÃO Calculemos inicialmente os ngredientes necessários:

r'(t) = ( l, 2t, 3t2 ) 1r '(t) 1 =

r "(t)

=

(O, 2, 6t)

J1 + 412 + 9t4 j

r'(t) x r "(t) =

o

2t 2

k 3t 2 6t

= 6t 2 i - 6t j

+ 2k

771

772

CÁLCULO

1 r '(t)

X r"(t) 1 = J 36t 4

+ 36t 2 + 4 = 2J9t 4 + 9t2 +

1

Então, aplicando o Teorema 10, temos 2Ji + 9t2 + 9t4 ( 1 + 4r2 + 9t4 p 12

1r '(t) X r "(t) 1 K(t) = --'---'--'-----'--'1r '(t) j3 Na origem, onde t = O, a curvatura é K(O) = 2.

-

Para o caso especial de uma curva plana com a equação y = f(x), escolhemos x como parâmetro e escrevemos r(x) = x i + f(x) j . Então r'(x) = i + f'(x) j e r"(x) = f"(x) j . Como i X j = k e j X j = O, segue que r'(x) X r "(x) = f"(x) k . Nós também temos 1r'(x)1 = J I + [f'(x)] 2 e, assim, pelo Teorema 10,

[ü]

K(x) = (1

1f"(x)1 (f'(x))2]3/2

+

Encontre a curvatura da parábola y = x 2 nos pontos (0, 0), (1, 1) e (2, 4). SOLUÇÃO Como y' = 2x e y" = 2, a Fórmula 11 nos dá

K(X) = [l

+

IY"I

2

(y')2]3/2

A curvatura em (0, O) é K(O) = 2. Em (1, l) isso é K( 1) = 2/ 5 312 = O, 18. Em (2, 4) isso é K(2) = 2/17 312 = 0,03. Observe a partir da expressão de K(x) ou o gráfico de K na Figura 5 que K(x)-+ O quando x-+ :too. Isso corresponde ao fato de que a parábola parece tornar-se mais plana quando x -+ :too. y

y=x 2 /

2

Podemos pensar no vetor normal como indicador da direção para a qual a curva estél se virando em cada ponto.

/

J=K(X)

FIGURA 5 A parábola y = x 2 e sua função curvatura

o -

X

Vetores Normal e Binormal

Em um ponto dado de uma curva suave r (t), existem muitos vetores que são ortogonais ao vetor tangente unitário T(t). Escolhemos um observando que, como 1T (t) 1 = 1 para todo t, temos T(t) • T'(t) = O pelo Exemplo 4 da Seção 13.2, de modo 4ue T '(t) é ortogonal a T(t) . Observe, no entanto, que T '(t) pode não ser um vetor unitário. Mas se r' também for suave, K ,,t= Opodemos definir o vetor normal unitá rio principal N(t) (ou simplesmente normal unitário) como T '(t)

N(t)

FIGURA 6

=

j T '(t) j

O vetor B(t) = T(t) X N(t) é chamado vetor binormal. Ele é perpendicular a ambos T e N e também é unitário (veja a Figura 6).

FUNÇÕES VETORIAIS

Determine os vetores normal e binormal da hélice circular r (t)

cos t i + sen t j + t k

=

SOLUÇÃO Vamos, inicialmente, calcuLu os ingredientes necessários para o cálculo do vetor normal unitário:

r '(t) = -sen ti + cos t j + k

J2

1r'(t)1 =

l

r '(r)

T (t) = - - = (-sent i + cos t j + k) lr '(t) 1 J2 1

J2

(-cos t i - sen r j)

T '(t)

=

N(r)

= IT '(t) I

T '(t)

=

773

A Figura 7 ilustra o Exemplo 6 mostrando os vetores T . N e B em dois pontos da hélice circular. Em geral, os vetores T, N e B. começando nos vários pontos da cuiva. formam um con1unto de vetores ortogonais. denominados referencial TNB. que se move ao longo da curva quando rvaria Esse referencial TNB tem um papel importante em um ramo da matemática chamado geometria diferencial e em suas aplicações em movimento de naves espaciais

1

J2

I T'(f) 1 =

-cos t i - sen t j = (-cos t, -sen t, O)

Isso mostra que o vetor normal em um ponto da hélice circular é horizontal e aponta em direção ao eixo z. O vetor binormal é

B(r) = T(f) X N(t)

=

~

y

[ -s:n t

-cos t

cos t -sen t

~

1

J2

X

(sen t, -cos t, 1)

FIGURA 1

O plano determinado pelos vetores normal e binormal N e B num ponto P sobre uma curva C é chamado plano normal de C em P. E constituída por todas as linhas que são ortogonais ao vetor tangente T. O plano determinado pelos vetores T e N é chamado plano osculador de C a P. O nome vem do latim osculum, que significa "beijo". É o plano que se aproxima mais do que contém a parte da curva próxima P. (Para uma curva plana, o plano osculador é simplesmente o plano que contém a curva.) O círculo que está no plano osculador de Cem P, tem a mesma tangente que Cem P, fica do IaJo côncavo Je C (na direção em que N aponta) e tem raio p = 1/ K (o recíproco da curvatura) é conhecido como círculo osculador (ou círculo da curvatura) de Cem P. É o círculo que melhor descreve como C se comporta perto de P; que compartilha a mesma tangente, normal e curvatura P. Determine as equações do plano normal e do plano osculador da hélice circular do Exemplo 6 no ponto P(O, 1, 7T/ 2).

~ Visual 13.38mostra como a estrutura TNB move ao longo de diversas cuivas

A Figura 8 mostra a hélice e o plano osculador do Exemplo 7

SOLUÇÃO O plano normal em P tem vetor normal r '( 7T/ 2) = ( -1, O. 1), portanto sua equação é

- l(x - O)

+ O(y

- 1)

+

1(

z- ; ) = O

ou

1T

z=-.x+~

z=x+2

O plano osculador em P contém os vetores Te N, e assim seu vetor normal é T partir do Exemplo 6, temos

X

=

N = B. A )(

B (t )

1

=

J2

(sen t, -cos t, 1) FIGURA 8

Um vetor normal mais simples é ( 1, O, 1) , então uma equação do plano osculador é

l (x - O)

+ O(y

- I)

+

1( z - ; )

=

O

ou

7T

z = -x + -

2

-

Determine e desenhe o círculo osculador da parábola y = x 2 na origem.

SOLUÇÃO Do Exemplo 5, a curvatura da parábola na origem é K(O) = 2. Dessa forma, o raio do círculo osculador é 1/K = ~ e seu centro é (O, i). Sua equação é, portanto,

y

774

CÁLCULO

y

\

osculador circular

2 X+

y=x; X=

X

l

y

2 COS t

=

1

1

2 + 2 sen t

-

Resumimos aqui as fórmulas para os vetores tangente unitário, normal unitário e binormal e para a curvatura.

FIGURA 9

T(t)

=

r '(t) 1r '(t)1

iiB

Visual 13.3Cmostra como o círculo osculador muda conforme um ponto se move ao longo de uma curva.

1~

y-21 )2 =41

Para o gráfico da Figura 9 usamos as equações paramétricas do círculo:

/ o

(

K

N(t)

=

T'(t) 1T'(t)1

B(t) = T(t) X N(t)

T'(t) 1 = 1r '(t) X r "(t) 1 1r'(t) IJ 1r'(t)1

= 1 dT 1 =

1

ds

Determine o comprimento da curva dada.

1. r(t) = (t, cos t, 3 sen t}, -5 ~ t ~ 5 2. r(t) = (21, t 2 , ~ t3}, O ~ t ~ J 3. r(t) = ./i.t i + e' j + e-• k , O ~ t ~ 1 4. r(t) = cos ti + sen tj + ln cos tk, O~ t 5. r(t) = i + t 2 j + t 3 k, O ,,.;: t '6 1 6. r(t)=J2ti+8t 312 j+3t 2 k, O~t~I

2- - 1) i r(t) = ( t2 + 1 ~

TT/4

7-9 Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais. (Use sua calculadora para aproximar a integral.) 7. r(t) = ( ./t, t, t 2 }, 1 ~ t ~ 4 8. r(t) = (t, e-', te-•). 1 ~ t '6 3 9. r(t) = (sen t, cos t, tg t}, O ~ t '6 TT/4

~ 10. Trace a curva com equações paramétricas x

= sen t, y = sen 2t, sen 3t. Encontre o comprimento total desta curva com precisão de quatro casas decimais. 11. Seja C a curva de intersecção do cilindro parabólico x 2 = 2y e da

z=

superfície 3z = xy. Encontre o comprimento exato de C da origem até o ponto (6, 18, 36). 12. Encontre, com precisão de quatro casas decimais, o comprimento da curva de intersecção do cilindro 4x 2 + y 2 = 4 com o plano X+ y + Z = 2. 13-14 R eparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde t = O na direção crescente de t. 13. r(t) = 2t i + (l - 3t) j + (5 + 4t) k 14. r(t) = e 2 ' cos 2t i + 2 j + e 2 ' sen 2t k 15. Suponha que você comece no ponto (0, O, 3) e se mova 5 unidades ao longo da curva x = 3 sen t, y = 4t, z = 3 cos t na direção positiva. O nde você está agora? 16. Reparametrize a curva

É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador 1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com

+ -2 2t - J· r + 1

em relação ao comprimento do arco medido a partir do ponto (!, 0) na direção crescente de t. Expresse a reparametrização em sua forma mais simples. O que você pode concluir sobre a curva? 17- 20 (a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t). (b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. 17. r(r) = ( t, 3 cos t, 3 sen r) 18. r(r) = (t 2, sen t - t cos t, cos t + t sen r}, t >O 19. r(r) = (../f'r, e', e-t} 20. r(r) = (t, !r 2, t 2) 21-23 Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura. 21. r(t) = t3 j + t 2 k 22. r(t) = t 1 + t j + (l + t 2 ) k 23. r(t)

=

3t i

+ 4 sen t j + 4 cos t k

24. Encontre a curvatura da curva r(t) = (e' cos t, e' sen r, t) no ponto (1, O, 0). 25. Encontre a curvatura de r(t) = ( r, r 2, r 3 ) no ponto (1, 1, J ). 26. Trace o gráfico da curva com equações paramétricas x = cos t,

y = sen t, z = sen 5r e calcule a curvatura no ponto ( J, O, 0). 27- 29 Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura. 27. y = x 4 28. y = tg x 29. y = xe' 30- 31 Em que ponto a curva tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura quando x-+ co? 30. Y = ln X 31 y = ex 32. Determine a equação de uma parábola que tenha curvatura 4 na origem. É necessário usar um sistema de computação algébrica

FUNÇÕES VETORIAIS

33. (a) A curvatura da curva C mostrada na figura é maior em P ou em Q? Explique. (b) Estime a curvatura em P e Q desennando o círculo osculador nesses pontos. p

)'

e

/

J

o

48. r (1)

=

(

cos r, sen 1, ln cos t),

775

(1, O, O)

J-50 Determine as equações dos planos normal e osculador da curva no ponto indicado. 49. x = 2 sen 3t, y = 1, z = 2 cos 3r; (0, 1T, -2) 50. X = 1, y = 12, l = t 3 ; (l, 1, J)

51. Encontre as equações para o círculo osculador da elipse

X

Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para traçar na mesma tela a curva e sua função curvatura K(x). Esse é o gráfico que você esperava? 34. y = x 4 - 2x 2 35. y = x- 2 36-37 Trace a c urva espacial e sua função curvatura K(t). Comente como a curvatura reflete a forma da curva. 36. r (t) = (t - sen t, 1 - cos r, 4 cos(t/ 2)), O .s; t.;;; 87T 37. r (t) = (te', e-', t), -5.;;; 1.;;; 5

.zµ 52.

53. 54.

55.

J"2

9 Dois gráficos, a e b, são mostrados. l 'm é a curva y = f (x) e o outro é o gráfico da sua função curvatura y = K(x). Identifique cada uma e justi fiqu e suas escolhas. 38. 39. y y

56.

57.

9x 2 + 4y 2 = 36 nos pontos (2, 0) e (0, 3). Utilize uma calculadora gráfica ou computador para traçar a elipse e ambos os círculos osculadores na mesma tela. Encontre as equações para o círculo osculador da parábola y = ~ x 2 nos pontos (0, O) e ( l , ~ ). Trace os dois círculos osculadores e a parábola na mesma tela. Em qual ponto da curva x = r 3, y = 3t, z = 14 o plano normal é paralelo ao plano 6x + 6y - 8z = 1? Existe um ponto da curva do Exercício 53 onde o plano osculador é paralelo ao plano x + y + z = 1? [Observaçdo: Você precisará de um SCA para derivar, simplificar e calcular um produto vetorial.] Determine as equações dos planos normais e osculador da curva de interseção dos cilindros parabólicos x = y 2 e z = x 2 no ponto (1. 1, 1). Mostre que o plano osculador em cada ponto da curva r (t) = (r + 2, 1 - 1, 4t2) é o mesmo plano. O que você pode concluir sobre a curva? Mostre que a curvatura K está relacionada com os vetores tangente e normal pela equação

dT - = KN ds X

40. (a) Desenhe acurva r(t)

= (sen 3t, sen

21, sen 31).Emquantos

pontos da curva tem-se a impressão de que a curvatura possui um máximo local ou absoluto? (b) Use um SCA para determinar e fazer o gráfico da função curvatura. Esse gráfico confirma sua co iclusão na parte (a)? 41. O gráfico de r (t) = ( t - ~ sen t, 1 - ~ cos t, t) é mostrado na Figura 12(b) da Seção 13.I. Onde você acha que a curvatura é maior? Use um SCA para determinar e fazer o gráfico da função curvatura. Para quais valores de t a curvatura é maior? 42. Use o Teorema 10 para mostrar que a c..1rvatura da curva plana parametrizada x = f (t), y = g(t) é K =

58. Mostre que a curvatura de uma curva plana é K = 1d

s

caixa pequena, $ 4,00 para uma caixa média e$ 4,50 para uma caixa grande. Os custos fixos são de $ 8.000. (a) Expresse o custo da fabricação de x caixas pequenas, y caixas médias e z caixas grandes como uma função de três variáveis: e= f (x, y, z). (b) Encontre f (3 000, 5 000, 4 000) e interprete-a. (c) Qual o domínio def!

onde L é o número de horas trabalh,tdas (em milhares) e K é o capital investido (em milhões de dólares). Encontre P(l 20, 20) e interprete-o.

4.

9.

Verifique se, para a função de produção de Cobb-Douglas P(L, K) == l ,01Lº·1' K°·25

discutida no Exemplo 3, a produção dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isso também é verdade para uma função de produção genérica P(L, K) = bUK -

5.

0

Um modelo para a área da superfície de um corpo humano é dado pela função

6.

O indicador de sensação térmica W discutido no Exemplo 2 foi modelado pela seguinte função:

11.

JY .Jz + ln(4 -

Seja.f{x, y, z) = Jx + + (a) Calcule/ (1, 1, 1). (b) Determine o domínio de f

Verifique quão próximo este modelo está dos valores da Tabela 1 para alguns valores de Te v. A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento v e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função h =f (v, t), dados em metros, são apresentados na Tabela 4. (a) Qual é o valor de f (80, 15)? Qual é o seu significado? (b) Qual o significado da função h = f (60, t)? Descreva seu comportamento. (c) Qual o significado da função h == f (u, 30)? Descreva seu comportamento.

x2 - y - z2).

12. Seja g(x, y, z) == x3 Y2 z -/10 - x - y - z. (a) Calcule g( 1, 2, 3). (b) Determine o domínio de g. 13-22 Determine e esboce o domínio da função.

13. f(x, y)

W(T, v)= 13,12+0,6215T- ll,37vº· 16 +0,3965Tvº· 16

7.

Seja g (x, y) = cos (x + 2y). (a) Calcule g(2, -1 ). (b) Determine o domínio de g. (c) Determine a imagem de g.

10. Seja F(x, y) = 1 + ~. (a) Calcule F (3, 1). (b) Determine e esboce o domínio de F. (c) Determine a imagem de F.

S == f (w, h) = 0,10911v0 A 25hº.m onde w é o peso (em libras), h é a altura (em polegadas) e Sé medida cm pés quadrados. (a) Encontre f ( 160, 70) e interprete-a. (b) Qual é sua própria área de superfície?

801

15.

f

=

(x, y) = ln(9 - x 2 - 9y2)

17. f(x, y) =

18. fix, y) =

19. f(x,y) 20.

21. 22.

f

14. f(x, y)

=

JXY

f(x, y)

=

~

16.

.fl=7 - Ji""=7

JY + -/25 Jy -

=

x2

y2

-

xi

1 -x 2

(x, y) == arcsen(x2 + y 2 - 2)

f(x, y, z)

f

J"i"+Y

=

J1-

x2

y2

-

-

z2

(x, y, z) = ln(l6 - 4x2 - 4y2 -

z2)

Duração (hora~)

23-31 Esboce o gráfico da função.

10

15

20

30

40

50

20

0,6

0.6

0,6

0,(l

0,6

0,6

0,6

30

1,2

1,3

1,5

1,5

1,5

1,6

1,6

";.o

40

1.5

2,2

2.4

2,5

2,7

2,8

2,8

" ·g"'

60

2,8

4,0

4,9

5.~

5.5

5,8

5.9

9,5

10,1

10,2

14,7

15,3

20.5

21,l 1

~ ~ B e:; " " "

-

80

4,3

6,4

7,7

8,(l

100

5,8

8,9

11,0

12,2

-

õ

>

13,8 -~

120

8.

7.4

11,3

14,4

16,6

19,0

-

Uma empresa fabrica caixas de papelão de três tamanhos: pequena, média e grande. O custo é d"

27. f (x, y) = y2

+

X

28. f(x, y) = 1 + 2x2 + 2y2

1

29. f (x, y) == 9 - x 2 - 9y2 31. f(x, y) = v'4 - 4x 2

-

30. f(x, y)

=

v'4x2 + y2

y2

32. Faça uma correspondente entre a função e seu gráfico (identificado por 1-VI). Justifique sua escolha. (a)f(x,y) = lxl + IYI -58 Utilize um computador para traçar o gráfico da função usando 43-50 Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

43. f (x, y)

= (y -

45. ft.x, y)

=

47.

f (x, y)

49. f(x, y)

2x)2

../X + y

44. f (x. y)

= x3 -

46. f (x, y)

= ln (.x2 + 4y2)

56.

= y sec x

58. f(x, y) = cos xcos y

= ye'

48.

=

50. f (x. y)

Jyi - xi

f (x. y)

55. f(x, y) = xy2 - x3

y

f

(x, y) = x2 + 9y2

52. f(x, y)

= yl(x2 + y2)

=

J36 - 9x 2

-

4y 2

53. Uma placa fina de metal, localizada no plano xy, tem temperatura T(x, y) no ponto (x, y). As curvas de nível de T são chamadas isotérmicas porque todos os pont os em uma dessas curvas

D

yx3

(x, y) = xy3 -

E

II

(sela do cachorro)

+ cos(y2))

59- ~4 Faça uma correspondência entre a função (a) e seu gráfico (indicado por A-F a seguir), (b) e seus mapas de contorno (indicado por I-VI). Justifique sua escolha. 59.

z = sen (xy)

61.

z = sen (x -

63.

z = (1

60.

- x2)( 1 - y 2)

F

w

z =e' cosy

sen x - sen y x-y 64. z= 1 + xi + )'2 62.

y)

e

B

A

f

(sela do macaco)

57. j{x, y) = e--

0.999

1.000

0.999

0,986

0.829

0,986

0.990

0,986

0,959

0,759

0,84 1

0.829

0.759

0.455

- l ,000 - 1,000 - 1.000

~

0,5

0,759

0.959

-1--

1,0

0,455

0.759

--

0.829

1

~

-

Parece que, quando (x, y) se aproxima de (O, 0 ), os valores def (x, y) se aproximam de l , ao passo que os valores de g(x, y) nãl> se aproximam de valor algum. E ssa nossa observação baseada em evidências numéricas está correta, e podemos escrever lim (x.v) -

(0.0)

sen(x 2 + y 2 ) x2 + Y2

não existe

e

Em geral, usamos a notação f(x, y) = L

lim ( >. y) - ( a.b)

para indicar 4ue os valores de f (x, y) se aproximam do número L à medida que o ponto (x, y) se aproxima do ponto (a, b) ao longo de qualquer caminho que esteja no domínio def. Em outras palavras, podemos fazer 05 valores def(x, y) tão próximos de L quanto quisermos tornando o ponto (x, y) suficientemente próximo do po nto (a, b), mas não igual a (a, b). Uma

definição mai!> precisa é a seguinte:

ITJ

Definição Sejaf uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrariamente próximos de (a, b). Dizemos que o limite def(x,y) quando (x,y) tende a (a, b) é L e escrevemos

f(x, y) = L

lim (.1. y)-(u.h)

se para todo número e > O houvl.!r um número correspondente de 8 > O tal que se(x,y) E D

e

O< J(x -

aF +

(y - b)2 < 8

então

lf(x,y) -

LI < e

Outras notações para o limite da Definição 1 são lim f(x, y) X

•a

y

•b

=

L

f(x, y) ~ L as (x, y) ~(a, b)

e

Observe que lf (x, y) - L I corresponde à distância entre os números f (x, y) e L, e J(x - a) 2 + (y - b)2 é a distância entre o ponto (x. y) e o ponto (a, b). A ssim, a Detinição 1 diz que a distânc ia entre f (x, y) e L pode ser feita arbitrariamente pequena se tomarmos a y

L+ e L

L- e

D

o

X

-

f

..........

._ L+e L L

e

o FI GURA 1

y

FIGURA 2

0,000 -

806

CÁLCULO

distância de (x, y) a (a, b) suficientemente pequena (mas não nula). A Figura 1 ilustra a Definição l por meio de um diagrama de setas. Se qualquer intervalo pequeno (L - e, L + e) for dado em volta de L, poderemos encontrar um disco D 8 com o centro em (a, b) e raio 8 > O tal que f mapeia todos os pontos em Dli [exceto, possivelmente, (a, b)] no intervalo (L -

)'

/

b

\ ---:v\0u -----,

o

a

\

X

FIGURA 3

e, L +e).

Outra ilustração da Definição 1 é dada na Figura 2, onde a superfície Sé o gráfico de f Se e > O for dado, podemos achar 8 > O tal que se (x, y) for restrito ao disco D8 e (x, y) =F- (a, b), então a parte correspondente de S fica entre os planos horizontais z = L - e e z = L +e. Para as funções de uma única variável, quando fazemos x tender a a, só existem duas direções possíveis de aproximação: pela esquerda ou pela direita. Lembremos a partir do Capítulo 2 que se lim, - a- J (x) 716 limx -a+f (x), então lim. -ca.b>f (x, y) não existe.

Se/(x, y) ~ L, q"ando (x, y) ~ (a, b) aa lango do caminho C, e/(x.y) ~ L, quand~ (x, ~) ~ (a, b) ao longo do caminho C2, com L1 716 L2, então liffi(x.yl -ca.hl f (x, y) nao existe.

l

x2 _ Y2 Mostre que

lim

2

Seja f (x, y) = y Primeiro vamos considerar (O, O) ao longo do eixo x. Então y =O dáf (x, O) = .l.:i/x2 = 1 para todo x 716 O, portanto (x2 -

y

f(x,y)--+ 1

f = -1

----!!_

não existe.

+ y2 )/(x2 + y2).

(x. _v)-(0. O) X

2

(x, y)--+ (0, 0) ao longo do eixo x

quando

Agora vamos nos aproximar ao longo do eixo y, colocando x f = I

X

- y2

f(O, y)

=-

-

y2

=

= O.

Então

-1 para todo y 716 O, portanto

f (x, y) --+ - l quando (x, y) --+ (0, O) ao longo do eixo y

FIGURA 4

(veja a Figura 4). Comoftem dois limites diferentes ao longo de duas retas diferentes, o limite não existe. (Isso confirma a conjectura que fizemos com base na evidência numérica no início desta seção.) Sef (x, y) SOLLÇ1

Se y

= xy/(x2 + y2), será que

= O, então f

f (x, y)--+ O Se x

= O, então f

(0 , y)

(x, O) = O/x2

quando

= Oly2 =

f(x,y)-0

= O.

ljm

(.T,y)""'{. 0

0)

f

(x, y) existe?

Portanto, (x, y) -

(0, 0 ) ao longo do eixo x

(x, y) -

(0, 0) ao longo do eixo y

O, portanto

quando

Apesar de termos encontrado valores idênticos ao longo dos eixos. não podemos afirmar que o limite exista e seja O. Vamos agora nos aproximar de (0, 0) ao longo de outra reta; por exemplo, y = x. Para todo x 716 O, x2

f(x, x) =

FIGURA 5

X

2

+ X2

1 2

= -

DERIVADAS PARCIAIS

f(x, y)----'> ~

Portanto

(x, y) -

quando

807

(0, 0) ao longo de y = x

(Veja a Figura 5.) Como obtivemos valores diferentes para o limite ao longo de caminhos diferentes, podemos afirmar que o limite dado não existe. A Figura 6 nos dá uma ideia do que acontece no Exemplo 2. A c umeeira que ocorre acima da reta y = x corresponde ao fato de que/ (x, y) =~ para todos os pontos (x, y) dessa reta, exceto na origem.

FIGURA 6 f (x, y) -~ 2+ 2 X

y

2

Se f(x, v)

=

•

X2

xy

+ y4

,

-;erá que

lim

f(x, y) existe?

( Oexiste um número correspondente S > Otal que [:

se x E D e O <

lx - ai <

lJ, então

V. a = (a , b, e), e é a definição de limite de uma função de três variáveis. Em cada caso, a definição de continuidade pode ser escrita como

rn

lim f(x)

f(a)

=

x -+ a

~xercícios 1.

Suponha que litnv. 11-o. o f (x, y) = 6. O que podemos dizer do valor def (3, l)? E se a funçãof for contínua?

2.

Explique por que cada função é contínua ou descontínua. (a) A temperatura externa corno função da latitude, da longitude e do tempo. (b) A altura acima do nível do mar como função da longitude, 'lnz een yz, xz cos yz, xy cos yz) (b) No ponto (1, 3, 0) temos V/ (1, 3, 0) = (O, O, 3). O vetor unitário na direção de V = i + 2j - k é

Portanto, da Equação 14, vem

-

Maximizando a Derivada Direcional

Suponha que tenhamos uma função f de duas ou três variáveis e consideremos todas as derivadas direcionais possíveis de f cm um ponto determinado. Isso nos dará a taxa de variação de/em todas as direções possíveis. Podemos então perguntar: em qual dessas direções/ varia mais rapidamente e qual a taxa máxima de variação? A resposta a essas perguntas é t.lada pelo seguinte teorema.

[]I

Teorema Suponha quefseja uma função diferenciável de duas ou três variáveis.

O valor máximo da derivadadirec ional Du/(x) é IV/(x)I ocorre quando u tem a mesma direção t.lo vetor grat.l iente V/ (x). DEMONSTRAÇÃO Da Equação 9 ou 14 temos

Duf = V/· u = IVJllul cose = l'Vf I cose

Visual 14 68 realiza uma confirmação visual do Teorema 15.

844

CÁLCULO

onde (J é o ângulo entre V/ e u . O valor máximo de cos (J é 1 e isso ocorre quando (J = O. Logo, o valor máximo de Du/ é IV/ 1 e ocorre quando{} = O. ou seja, quando u tem a mesma direção que V/ -

y

2

(a) Se f (x. y)

Q

QG. 2).

= xeY, determine a taxa de variação de f

no ponto P(2, 0) na direção de P a

(b) Em que direção/tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação? SOLUÇÃO

(a) Primeiro calcularemos o vetor gradiente:

Vf(x,y) = (f.,J.)

o

p

....

3

X

FIGURA 7 Em (2. OI a função no Exemplo 6 aumenta mais rápido na direção do vetor gradiente V/(2, 0) (1, 2) Na Figura 7 observe que esse vetor parece ser perpendicular à curva de nível que passa por (2. O) A Figura 8 mostra o gráfico de/e o vetor gradiente.

V/ (2, 0)

O vetor unitário na direção direção que vai de P a Q é

= (e,xe')

= (1, 2)

PQ = (- 1,5, 2) é u

Du/(2, 0)

= (-

= V/(2, 0) · u

~. ~). logo a taxa de variação de f na

= ( 1, 2) · (- ~. 3)

= l ( - ~) + 2(~) = 1 (b) De acordo com o Teorema 15, f aumenta mais depressa na direção do gradiente

-

V/ (2, 0) = (1. 2). A taxa máxima de variação é IV/(2, 0)1

= 1(1. 2)1 = ../5

20

H:Ui'i!~!•U Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) do espaço seja dada por T(x, y, z) = 80/( 1 + x2 + 2y2 + 3z2), onde T é medida em graus Celsius ex, y e z em metros. Em que direção no ponto (1, 1, -2) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa

15

z 10 5

o o

máxima de aumento? X

SOLUÇÃO 0 gradiente de T é

FIGURA 8

VT =

éJT. iff . éJT 1 + -J + k ax éJy az

-

l60x =

-

(J

(1

.

320y

.

+ x, + 2y2 + 3z2)2 • - (I + x2 + 2y2 + 3z2)2 J 2 160 , 2y-

+X +

480: -

(1

+ x2 + 2y2 + 3z2)2 k

')2 (-x i - 2y j - 3:k)

+ 3z-

No ponto (1 , 1, -2), o vetor gradiente é

VT(J, 1, -2) = ~~(-i - 2j

+

6k) = ~(- i - 2 j

+

6 k)

Pelo Teorema 15, a temperatura aumenta mais rapidamente na direção do vetor gradiente VT( 1, 1. -2) = ~ ( - i - 2j + ók) ou, de fom1a equivalente, na direção de -i - 2j + 6k ou o vetor unitário ( - i - 2j + 6 k)/ J4(. A taxa máxima de aumento é o módulo do vetor gradiente

IVT(l , I , -2)1 = ~l- i - 2j + 6 k l = ~J4T Portanto. a taxa máxima de aumento da temperatura é~ J4T

-

Planos Tangente às Superfícies de Nível

= 4ºC/m.

-

Suponha que S seja a superfície com a equação F(x, y, z) = k, ou seja, uma superfície de nível de uma função F de três variáveis, e seja P(xo, yo, :o) um ponto e m S. Seja C qualquer curva na superfície Se que passe pelo ponto P. Lembremo-nos da Seção 13.1 que a curva C é descrita por uma função vetorial contínua r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Seja to o valor do parâmetro

DERIVADAS PARCIAIS

correspondente ao ponto P; ou seja, r(to) = (xo, yo, zo). Como C pertence a S, qualquer ponto (x(t), y(t), z(t)) precisa satisfazer a equação de S, ou seja, F (x(t), y (t), z(t))

=k

Se x , y e z são funções diferenciávei-; de te F também diferenciável, então podemos usar a Regra da Cadeia para diferenciar ambos os lados da Equação 16 como segue:

[ill

~ dx ax dt

+ aF

ay

dy dt

+ aF

az

dz dt

=

0

Mas, já que VF = (F,, Fy, F:) e r ' (t) = (x'(t), y'(t), z'(t)), a Equação 17 pode ser escrita em termos de produto notável como VF· r ' (t) = O

Em particular, quando t

= to, te mos r (to) = (xo, yo, zo), e assim VF(xo, yo, zo) · r ' (to)

=O

A Equação 18 nos diz que o vetor gradiente em P , VF(X-O, y 0 , zo), é perpendicular ao vetor tangente r'(to) a qualquer curva C em S que passe por P. (Veja Figura 9.) Se VF(x0 , y0 , zo) ~ O, é natural definir o plano tangente à superfície de nível F(x, y, z) = k em P(X-O, yo, zo) como o plano que passa por P e tem vetor normal VF(x 0, y 0, zo). Utilizando a equação geral do plano (Equação 12.5.7), podemo~ escrever a equação do plano tangente como ~

Fx(xo, yo, zo)(x - xo) 1 Fy(:xo, yo, zo)(y - Yo) + Fi(xo, Yo, zo)(z - zo)

=O FIGURA 9

A reta normal a Sem P é a reta passando através de P e perpendicular ao plano tangente. A direção da reta normal é, portanto, dada pelo vetor gradiente VF(x0 , y0 , Zo) e, assim, pela Equação 12.5.3, suas equações simétricas são X -

F~(xo,

Y - Yo

Xo

Z -

yo, zo)

Zo

F:(xo, Yo. zo)

No caso especial em que a equac;ão de uma superfície Sé da forma z = f (x, y ) (ou seja, S é o gráfico da função f de duas vru iáveis), podemos reescrever a equação como F(x. y, z) =

f

(x, y) - z = O

= 0) de F. Então

e considerar S como uma superfície de nível (com k

Fx(xo, Yo. Zo) Fy(.ro, Yo. zo) Fz( ro, yo, Zo)

= f ho. Yo) = f.(xo, Yo) =-1

de modo que a Equação 19 se torna fx(xo, yo)(x - Xol

+ fy(xo, Yo)(y -

yo) - (z - zo) = O

que é equivalente à Equação 14.4.2 Então, nossa nova, mais geral, definição de plano tangente é consistente com a definição que foi dada no caso especial da Seção 14.4. ~ Determine as equações do plano tange nte e da reta normal no ponto ( - 2, 1. - 3) ao elipsoide

x2 z2 + y2 + 4 9

-

=

SOLUÇÃO O elipsoide é a superfície de nível (com k

x2

F(x y, z) =

4

+

3

= 3) da função

y2 +

z2

9

845

846

CÁLCULO

A Figura 10 mostra o elipsoide, o plano tangente e a reta normal do Exemplo B.

Portanto. lemos F.(x. y. z) =

X

2

F,.(x. y. z) = 2y

4

Fx( - 2, 1. -3) = - 1

F,.(-2. 1. - 3)

=

2

92:

=

-~

F(-2, 1. -3)

2

o

F,(x. y. :) =

Então, da Equação 19, temos que a equação do plano tangente no ponto (-2, 1. - 3) é

=- 2

- l(x

-4

+

2)

que pode ser simplificada para 3x -

-6

+ 2(y - 1) - ; (z + 6y + 2: + 18 = O.

3) = O

-

Pela Equação 20, as equações simétricas da reta normal são x+~

)'o 2

2

o

~~-=

- 1

X

y-1 2

~~-

::+3 =

~~,-

-j

FIGURA 10

-

Importância do Vetor Gradiente

Vamos resumir agora as maneiras pelas quais o vetor gradiente é importante. Primeiro. consideramos uma função f de três variáveb e um ponto P(xo. yo. Zo) em seu domínio. Por um lado, sabemos do Teorema 15 que o vetor gradiente 'ilf (x0 • yo, zo) dá a direção de um aumento mais rápido de f Por outro, sabemos que Vf (.ru, )'o, ;:0 ) é ortogonal à superfície de nível S de f em P. (Consulte a Figura 9.) Essas duas propriedades são compatíveis intuitivamente porque, quando nos afastamos de P em uma superfície de nível S, o valor da função/ não se altera. Parece razoável que. se nos movermos em uma direção perpendicular. obteremos o maior aumento. De maneira semelhante, consideramos uma função f de duas variáveis e um ponto P(x0 , y0 ) e m seu domínio. Novamente, o vetor gradiente 'ilf (x0 , y 0 ) dá a direção de um aumento mais rápido def Da mesma forma, pelas cousiderações semelhantes à nossa discussão dos planos tangente. pode ser mostrado que 'ilf (xo, yo) é perpendicular à curva de nfvel f (x. y) = k que passa por P. Mais uma vez, isso é intuitivamente plausível porque os valores de/ continuam constantes à medida q ue movemos ao longo da curva. (Veja a Figura 11.) y

curva de nível j(x,yi =k

maior X

FIGURA 11

crc~c imcnto

100

FIGURA 12

Se considerarmos um mapa topográfico de um morro e se f (x, y) representar a altura acima do nível do mar do ponto de coordenadas (x, y), então a curva de aclive máximo pode ser desenhada como na Figura 12, fazendo-a perpendicular a todas as curvas de contorno. Esse fenômeno pode ser observado ua Figura 12 na Seção 14.1 , onde o Lonesome Creek segue a curva de declive máximo. Os sistemas de computação algébrica têm comandos 4ue traçam alguus vetores gradientes. Cada vetor gradiente \'f(a, b) é traçado partindo-se do ponto (a. h). A Figura 13 mostra esse gráfico (chamado campo de vetor gradiente) para a função f (x, y) = x 2 - y2 sobreimposto a um mapa de contornos de f Como esperado, os vetores gradientes apontam na direção "ladeira acima" e são perpendiculares às curvas de nível.

DERIVADAS PARCIAIS

847

~=:~ -3

\

o

3 6 9

FIGURA 13

Exercícios 1.

É dado o mapa de contornos mostr.mdo a pressão barométrica cm hec topascai s (hPa) na Austrália em 28 de de zembro de 2004. Estime o valor da derivada direcio nal da função pre~são c m Alice Springs na direção de Adelaide . Quais são a~ unidades da derivada direcional?

.. ------------~ -·ãOO"s-·-. j

-·-·-·-·-·-

Uma tabela de valores do índice de sensação té rmica W = f (T, u) é dada no E xercício 3 da Seção 14.3 . Use-a para estimar o valor de D.f (- 20, 30), onde u = (i + j )/ ,/2.

4-6 De te rmine a Jerivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo 8. 4.

f

j

5.

j(x. y) = ye-x,

tli

6.

f

o

5

l

~

(x, y) =

(x, y )

.rl_v4 - X'y3,

fl

( 1. 1).

7T/Ó

8 = 2TT/3

(0. 4).

= e' cos y,

=

8

(0, 0).

= TTl4

7- 10

'õ

(a ) De te rmine o gradiente de f

j

(b ) Calcule o gradiente no ponto P. (e) Determine a taxa de variaeratura má xima média em novembro de 2004 (em "C). Estime o valor da derivada direcional da função da te mperatura em Dubbo. New South Walcs. na direção de Sydney. Quais são as un dades?

10. f(x, y, : )

xe2' '.

P(J. O. 2),

= J x + y:.

=

~(J3i - j)

u =

P(I , 3, 1),

G.

H)

u

~ J 6) = (7, 7, 7

11- 17 Dete rmine a derivada direcional da fun._;ão no ponto dado na direção do vetor v. 11 . f (x, y) = e' sen y.

(O. TT/3),

X

12. j(x,y) = ).2

+ y2'

13. g(p, q ) = p• - p 1q3. 14. g(r . .,") = tg

1

(rs),

V = (3, 5)

(2, 1).

V= i

( 1. :?).

15. f (x. y , ::)

= xe" + ye" +

16. f (x, y. =)

= .jry;,

V = (- 6, 8)

( 1. 2).

ze',

(3 . 2. 6 ),

17. h (r.s. t )= ln(3r +6s+ 9r).

É nccc~~ário u~ar uma calculadora gr.1fica ou computador

u

= k (2i + "5j)

1500

(D1Mância em quilõ1·lC1fO\)

2.

3.

+ 3j

V = Si + !Oj ( 0.

o. 0 ),

v =(S,1 , -2)

V = ( - 1, -2, 2) ( 1, 1, 1), v = 4i + l 2j+6k

1. As Homcwork Hints estão disponívciO e/.u (-1, - 1) = 12 >O, portanto /(-1, -1) = -1 é também um mínimo local. O gráfico de fé mostrado na Figura 4. -

FIGURA 5

liB Em Module 14.7, é possível utilizar

li3@.'ijQ!1tii Determine e classifique os pontos críticos da função

os mapas de contorno para estimar as localizações dos pontos críticos

f(x, y) = 10x2 y - 5x2

-

4y2 - x4 - 2y4

Determine também o ponto mais alto do gráfico de f SOLUÇÃO As derivadas parciais de primeira ordem são

.h =

.h = 10x2 -

20xy - lOx - 4.x3

8y - 8y3

Para acharmos os pontos críticos precisamos resolver as equações 2x(l0y - 5 - 2x2)

o

=

5x2 - 4y - 4y3 = O Da Equação 4, vemos que .X

=o

l Oy - 5 - 2x2 = O

ou

No primeiro caso (x = 0), a Equação 5 fica -4y(l ponto crítico (0, 0). No segundo caso ( 1Oy - 5 - 2x2 = 0), temos

+ y 2)

=

O, assim, y

= O e temos urn

x 2 = 5y - 2,5 e, substituindo na Equação 5, temos 25y - 12,5 - 4y - 4y3 equação cúbica

4l -

2ly

+

12,5

=O. Logo, temos de resolver a

=o

Utilizando uma calculadora gráfica ou um computador para traçar o gráfico da função g(y) =

4y3 - 2ly + 12,5

como na Figura 6, vemos que a Equação 7 tem três raízes reais. Dando wom podemos achar as raízes com quatro casas decimais: y = -2,5452

FIGURA 6

y = 0,6468

y

= 1,8984

(Como alternativa, podemos usar o método de Newton ou um programa para localizar raízes para determiná-las.) Da Equação 6, os valores x correspondentes são dados por X=

±J5y - 2.5

DERIVADAS PARCIAIS

853

Se y = -2,5452, então x não tem valor real correspondente. Se y = 0,6468, então x = ±0,8567. Se y = l ,8984, então x = ±2,6442. Assim, temos o total de cinco pontos críticos, que são analisados na tabela a seguir. Todos os valores estão arredondados para duas casas decimais. D

Conclusões

0,00

Ív -10,00

80,00

máximo local

(±2,64, 1,90)

8,50

- 55,93

2.488,72

máximo local

(±0,86, 0,65)

- 1,48

-5,87

- 187,64

ponto de sela

Ponto crítico

Valor def

(0, O)

As Figuras 7 e 8 mostram o gráfico defsob dois pontos de vista diferentes, e vemos que a superfície se abre para baixo. [Isso pode ser visto da expressão def(x, y): os termos dominantes são -x4- 2y4 quando lxl e lvl são grandes.] Comparando os valores def nos máximos locais, vemos que o máximo ab~oluto deféf(±2,64, 1,90) = 8,50. Em outras palavras, os pontos mais altos do gráfico def -;ão (±2,64, 1,90, 8,50).

.:e .:e

IJD Visual 14.lmostra diversas famflias de superflcies. A superfície nas Figuras 7 e 8 é um membro de uma dessas famílias.

FIGURA 7

FIGURA 8

Os cinco pontos críticos da função f do Exemplo 4 estão destacados em azul no mapa de contorno de f na Figura 9.

FIGURA 9

Determine a menor dis1.;1ncia entre o ponto ( 1, O, -2) e o plano x

+ 2y + z =4.

SOLUÇÃO A distância entre um ponto qualquer (x, y, z) e o ponto ( 1, O, -2) é

d = ...j(x - 1)2 + y 2

+

(z

+ 2)2

Mas, se (x, y, z) pertence ao plano x + 2y + z = 4, então z = 4 - x - 2y e assim temos d= .J(x - 1) 2 + y 2 + (6 - x - 2y)2. Podemos minimizar d minimizando a expressão mais simples d 2 = f (x, y) = (x - 1)2 + y2 + (6 - x - 2y)2

Resolvendo as equações fx = 2(x - 1) - 2O efu >O. portanto, pelo Teste da Segunda Derivada.ftem • . )ocaJ em ( 11 , ~) ) .. um mm1mo 6 ~ • ntu1t1vamente podemos ver que esse mínimo local é. na verdade, um mínimo absoluto. porque precisa haver um ponto no plano dado que esteja mais próximo de (1, O, 2). Se x = ~e y =~.então

OExemplo 5 poderia ser resolvido utilizando-se vetores Compare com os métodos da Seção 12.5.

d

J(x - 1)2

+ y2 +

(6 - x - 2yF

A menor distância de (1, O. -2) ao plano x

+

+z=

2y

4é ~

J6.

-

Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m 2 de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa. j•

:

,.

t •

SOLUÇÃO Sejam x, y e;: o comprimento, a largura e a altura da caixa (em metros) como mostrado na Figura 1O. Então, o volume da caixa é )'

V= FIGUR A 10

,\}'Z

Podemos expressar V como função só de x e y usando o fato de que a área dos quatro lados e do fundo da caixa é 2r.:: + 2y.:: + xy = 12 Iso lando

z nessa equação. obtemos z - (12 12 -

V=x)I

• 2(x

.\)')/[2(x +- y)J. e V fica J2xy - x 2 y 2

X)'

.

.

+ y)

2(x

+ y)

Calculamos as derin1das parciah.: ilV

y 2{12 2(x

ª·''

2xy - x 2 )

av

+ y) 2

ily

il V/O. Mas/xx e D= f.u.hr - f~ são funções contínuas, portanto há uma bola aberta B com centro (a, b) e raio 8 > O tal que fxx(x, y) > O e D(x, y) >O sempre que (x, y) está em B. Logo, ao olhar na Equação 10, vemos que D!.f(x, y) > O sempre que (x, y) pertencer a B. Isso significa que se C é a curva obtida pela intersecção do gráfico de f com o plano vertical que passa por P(a, b, f (a, b)) na direção de u, então C é côncava para cima no intervalo do comprimento 28. Isso é verdadeiro na direção de cada vetor u. portanto se restringirmos (x, y) para ficar em B, o gráfico def fica acima de seu plano horizontal tangeute em P. Assim,f (x, y) ;:,,,, f (a, b) sempre que (x, y) estiver em B. Isso mostra que /(a, b) é um mínimo local. -

1.

Suponha que (1, 1) seja um ponto crítico de uma função/ com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre f? (a)f.,(J, 1) = 4, fry(l, 1) = 1, fn(l, 1) = 2

(b)f,,.(J, 1) = 4, 2.

fry{l, 1) = 3,

f(x, y) = 3x - x3- 2y2 + y 4

f,y(l, 1) = 2

Suponha que (0, 2) seja um ponto crítico de uma função g com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre g? (a) g...(O, 2) = -1,

g,>(0, 2) = 6,

gy}(O, 2) = 1

= -1,

gxy(O, 2) = 2,

g,,,(0, 2)

9•:l0. 2) = 6,

g"(O, 2) = 9

(b) g..,(0, 2)

(c) g.u(O, 2) = 4,

= -8

3-4 Utilize as curvas de nível da figura para predizer a localização dos pontos críticos de f e se f tem um ponto de sela ou um máximo ou mínimo local em cada um desses pontos. Explique seu raciocínio. Em seguida, empregue o Teste da Segunda Derivada para confirmar suas predições.

f

3.

4.

(x, y) = 4

+ x 3 + y3 - 3xy

5-18 Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função. 5.

f (x, y) = 9 - 2x + 4y - x 2 - 4y2

6.

f (x, y) = x3y + 12x2 - 8y

7.

f(x, y) = (x- y) ( ! - xy)

8.

f (x, y) = xe-22--21

9.

f(x,y) = y3+ 3x2y- 6x2 - 6y2+ 2

X

10. f(X, y) =X)' (J - x- )') 11. f(x, y) = fj

É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador

x3 - 12xy + 8y3

1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com

DERIVADAS PARCIAIS

12. f(x, y) =

X)'

1 1 + - + -

34. f(x,y)=xy2,

13. f (x, y) = e'cos y

35. f (.x,y) = 2r'+ y',

14. f(x,y) = ycosx

36.

15. f (x, y)

= (.t2 +

16. f(x.y)

= e'(y2 -

17. f

= J2 -

(X, y)

~ 37.

r) - 1 .;; -',.;7

2y COS X,

- rr O e a > O, então/tem um mínimo local em (0, 0).

(e) Demonstre que se D > O e a< O, entãoftem um máximo local em (0, 0). (d) Demonstre que se D< O, então (0, 0) é um ponto de sela. 5.

(a) Suponha quefseja uma função qualquer com derivadas parciais de segunda ordem contínuas. tal quef (0, 0) = O e que (0, 0) seja um ponto crítico def. Escreva uma expressão para o polinômio de Taylor de segundo grau Q de f em (0. 0). (b) O que você conclui sobre Q usando os resultados do Problema 4'! (e) Em vista da aproximação quadrática/ (x, y)

= Q(x, y), o que a parte (b) sugere sobre['?

É nccc~sário usar uma calculadora gráfica ou computador

860

CÁLCULO

lijl:I Multiplicadores de Lagrange y

lf(x,y)~ll f(x,y)

= 10

f(x,y)=9 f(x,y)

=

8

f(x,y)= 7

o

X

FIGURA 1

mi

Visual 14.Bmostra uma animação da Figura 1 para as curvas de nível e superfícies de nível.

No Exemplo 6 da Seção 14.7 maximizamos a função volume V = xyz sujeita à restrição 2:cz + 2yz + xy = 12, que expressa a condição de a área da superfície ser de 12 m 2 • Nesta seção apresentaremos o método de Lagrange para maximizar uma função genérica! (x, y, z) sujeita a uma restrição (ou vínculo) da forma g(x, y, z) = k. É fácil explicar a base geométrica do método de Lagrange para as funções de duas variáveis. Então, vamos começar tentando determinar os valores extremos def (x, y) sujeita a uma restrição da forma g(x, y) = k. Em outras palavras, queremos achar os valores extremos de f (x, y) quando o ponto (x, y) pertencer à curva de nível g(x, y) = k. A Figura 1 mostra essa curva junto de diversas curvas de nível def Estas têm as equaçõesf(x, y) =e onde e = 7, 8, 9, 10, 11. Para maximizar f(x, y) sujeita a g(x, y) = k é preciso determinar o maior valor de e, tal que a curva de nível/ (x, y) =e intercepte g(x, y) = k. Parece, da Figura 1, que isso acontece quando essas curvas se tocam, ou seja, quando essas curvas têm uma reta tangente comum. (Caso contrário, poderíamos aumentar o valor de e.) Isso significa que as retas normais ao ponto (xo, yo) onde as duas curvas se tocam devem ser as mesmas. Logo, os vetores gradientes são paralelos, ou seja, 'Vf (xo, yo) =À 'Vg(xo, yo) para algum escalar À. Esse tipo de argumento também se aplica ao problema de achar os valores extremos de f (x, y, z) sujeita à restrição g(x, y, z) = k. Assim, o ponto (x, y, z) está restrito a pertencer à superfície S com equação g(x, y, z) = k. Em vez das curvas de nível na Figura 1, devemos considerar as superfícies de nívelf(x, y, z) =e e argumentar que, se o valor máximo def é f (X-O, yo, Zo) = e, então a superfície de nível f (x, y, z) = e é tangente à superfície de nível g(x, y, z) = k, e então os correspondentes gradientes são paralelos. Esse argumento intuitivo pode se tornar preciso da seguinte forma. Suponha que uma função f tenha um valor extremo no ponto P(X-O, yo, Zo) sobre a superfície Se seja C uma curva com equação vetorial r(t) = (x(t), y(t), z(t)) que pertença a Se passe pelo ponto P. Se to é o valor do parâmetro correspondente ao ponto P, então r(to) = (Xo, yo, Zo). A função composta h(r) = f(x(t), y(t), z(t)) representa os valores quef assume sobre a curva C. Comoftem um valor extremo em (x0, y 0, Zo), segue que h tem um valor extremo em tu, portanto, h'(to) = O. Porém, se/for diferenciável, usando a Regra da Cadeia, podemos escrever O = h'(to) =lho, Yo, Zo)x'(to) =

+ flxo, Yo, Zo)y'(to) + Íz(X-O, Yo, Zo)z'(ro)

'Vf(X-O,yo, zo) · r'(to)

Isso mostra que o vetor gradiente Vf (X-O, y0, Zo) é ortogonal ao vetor da tangente r' (to) para todas as curvas C. Mas já sabemos da Seção 14.6 que o vetor gradiente de g, Vg(xo, yo, zo), também é ortogonal ar' (tu) para todas as curvas. (Veja a Equação 14.6.18.) Isso significa que os vetores Vf (X-O, yo, Zo) e 'Vg(xo, yo, Zo) precisam ser paralelos. Logo, se 'Vg(xo, yo, Zo) ~O, existe um número À tal que Multiplicedores de Lagrange têm esse nome em homenagem ao matemático franco-italiano Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).

Ao deduzirmos o Método de Lagrange, supusemos que \lg # O. Em cada um de nossos exemplos. você pode verificar que

Vf (xo, yo, Zo) =

À

Vg(X-O, yo, Zo)

O número À na Equação é chamado multiplicador de Lagrange. O procedimento baseado na Equação 1 é o seguinte: Método dos Multiplicadores de Lagrange Para determinar os valores máximo e mínimo de/ (x, y, z) sujeitos à restrição g(x, y, z) = k [supondo que esses valores extremos existam e que Vg ~O sobre a superfície g(x, y, z) = k]: (a) Determine todos os valores de x, y, z e À tais que

\/g # O em todos os pontos onde

'Vf (x, y, z)

g(x, y, z) = k. Veja o Exercício 23 para

descobrir o que pode sair errado se \lg = O.

e

g(x,y, z)

=À

Vg(x, y, z)

=k

(b) Calcule! em todos os pontos (.x, y, z) que resultaram do passo (a). O maior desses valores será o valor máximo de f, e o menor será o valor mínimo de f

DERIVADAS PARCIAIS

861

Se escrevermos a equação vetorial 'Vf =A Vg em termos de suas componentes, as equações do passo (a) ficarão

.t = Ag,

h = Àgy

f,

= Ag,

g(x,y, z)

=k

Isso é um sistema de quatro equações a quatro incógnitas, x, y, z e A. Mas não é necessário calcular de modo explícito valores pai a A. Para as funções de duas variáveis, o método dos multiplicadores de Lagrange é análogo àquele que acabamos de descrever. Para acharmos os valores extremos def (x, y) sujeitos à restrição g(x, y) = k, olhamos para todos os valores de x, y e A, tais que 'Vf (x, y)

= A Vg(x, y)

e

g(x , y)=k

Isso leva à solução de um sistema de três equações a três incógnitas: fx = Ag,

= Ag,.

Í>·

g(x, y) = k

Nosso primeiro exemplo de método de Lagrange é reconsiderar o problema dado no Exemplo 6 da Seção 14.7. Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m2 de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa. SOLUÇÃO Como no Exemplo 6 na Seção 14.7, sejam x, y e z o comprimento, a largura e a altura, respectivamente, da caixa em metros. Queremos maximizar V=xyz

sujeita à restrição g(x, y, z)

=

2xz

+ 2yz + xy = 12

Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, o lhamos para os valores de x, y, z e = AVg e g(x, y, z) = 12. Isso gera as equações

A, tais que 'VV

Vx = Ag,,

2xz

+ 2yz + xy =

12

ou seja:

m m

= A(2z + y) xz = A(2z + x) yz

~ [I]

xy 2xz

= A(2x + 2y)

+ 2yz + xy = 12

Não há regras gerais de como resolver esse sistema de equações. Algumas vezes precisamos de certa engenhosidade. No presente e-aso, você pode observar que, se multiplicarmos (1) por X, por y, e !Il por Z, os lados esquerdos dessas equações ficam idênticos. Fazendo isso, ternos

rn

+ xy) = A(2yz + xy)

xyz = A(2xz xyz

= A(2xz + 2yz) = 0 implicaria y z = x z = xy = O de (1], ITJ e@:), e isso xyz

Ob!;ervamos que À #O porque À contradiz W. Logo, de [file (1], temo-;

= 2yz + xy = yz. Mas z #O (urna vez que z = O daria V= 2n + -~

que nos fornece xz

ITJ e [fil temos

2y.:

que dá 2xz

= xy e assim (como x #

O), portanto x

= y. De

+ xy = 2xz + 2yz

0), y

= 2z. Se colocarmos x = y = 2z em rn, obtemos

4sitivas e a < 1. Se o custo por unidade de trabalho for m e o custo por unidade de capital for n, e uma companhia puder gastar somente uma quantidade p de dinheiro como despesa total, entilo a maximização da produção P estará sujeita à restrição mL + nK = p. Mostre que a produção máxima ocorre quando L = ap m

e

K

= _(l_ - _a""")p'n

26. Em relação ao Problema 25, suponha agora que a produção seja fi xada em bLºK1- 0 = Q, onde Q é uma constante. Quais valores de L e K minimizam a função custo C(L, K) = mL + nK?

865

=

\/x1x2 · · · x.

sendo que x 1, x2. . . . , x. são números positivos e + x2 + · · · + x. = e, onde c é uma constante. (b) Deduza do item (a) que se x 1, x2, •• • , x., são números positivos, então X1

,

X1

+ Xi + · · · +

X"

;/x1x2 · · · x. ~ - - - - - - - n

Essa desigualdade diz que a média geométrica de n números não pode ser maior que a média aritmética deles. Sob que circunstâncias as duas médias são iguais? 48. (a) Maximize I 7-1 X 1Y1 sujeita às restrições ~7-1 If-1 = 1. (b) Tome

yr

X;=

ª' ·lia/

xl =

1 e

b,

e

y,

=Jrb! )

para mostrar que 27. Utilize os multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o retângulo com área máxima, e que tem um perímetro constante p, é um quadrado. 28. Use multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o triângulo com área máxima, e que tem u m perímetro constante p, é equilátero. Dica: Utilize a fórmula de Heron p,1Ca a área:

A= Js(s - x)(s -- y)(s - z) onde s = p/2 ex, y , z são os compri mentos dos lados.

para todos os números ai. ... , ª"• bi. . . . , b•. Essa desigualdade é conhecida como a Desigualdade de Cauchy-Schwarz.

866

CÁLCULO

PROJETO APLICADO

CIÊNCIA DOS FOGUETES Muitos foguetes. tais como o Pegasus XL, usado atualmente para o lançamento de satélites, e o Saturno V, que colocou o primeiro homem na Lua, são projetados para usar três estágios cm sua subida para o espaço. O primeiro e maior estágio impulsiona o foguete até que seu combustível seja consumido, quando esse estágio é ejetado para decrescer a massa do foguete. O segundo e terceiro estágios, que são menores, funcionam da mesma forma, colocando a carga do foguete em órbita cm tomo da Terra. (Com esse projeto são necessários pelo menos dois estágios para que o foguete atinja a velocidade necessária, e o uso de três estágios provou oferecer boa relação entre custo e desempenho.) Nosso objetivo aqui é detenninar as massa\ individuais dos três estágios, que foram projetados de forma a minimizar a massa total do foguete e ao mesmo tempo permitir que ele atinja a velocidade desejada. Para um foguete com um único estágio consumindo combustível a uma taxa constante, a variação na velocidade resultante da aceleração do foguete foi modelada por

~V= -e ln(l

- _(l_-_ S_)M _,) p + M,

onde M , é a massa do propulsor do foguete, incluindo o combustível inicial, P é a massa da carga, Sé o fator e.\tmtural detenninado pelo projeto do foguete (especificamente, é a razão entre a massa do foguete sem comhustível e sem carga e a massa do foguete com carga e combu stível) e e é a velocidade (constante) de exaustão relativa do foguete. Considere agora um foguete de três estágios e carga de massa A. Vamos supor que as forças externas sejam desprezíveis e que e e S permaneçam constantes em cada estágio. Se M ; é a massa do i-ésimo estágio, podemos inicialmente considerar que o propulsor do foguete tenha massa M1 e sua carga tenha massa M2 + M3 + A ; o segundo e terceiro estágios podem ser tratados da mesma fom1a. 1.

Mostre que a velocidade atingida depois que os três estágios são ejetudos é dada por

v = e ln '!

2.

[

M1 + M,• + M,· + A ) ( SM1 + Mi + M, + A

+A ) + ln ( M,- + M , + A ) + ln ( - MJ -· SM2 + MJ

+A

J

SMJ + A

Desejamos minimizar a massa total M = M, + Mi + M3 do propulsor do foguete sujeita à restrição que a velocidade desejada u1 do Problema 1 seja atingida. O método Jos multiplicadores de Lagrange é apropriado, mas é difícil implementá-lo usando as expressões de que dispomos até aqui. Para simplificarmos, definimos variáveis N, de modo que a restrição possa ser expressa como u1 c(ln N1 + ln Ni + ln N 3). Como é difícil exprimir M em termos dos N,, é desejável usar uma função mais simples, que ao ser minimizada leve também à minimização de M. Mostre que M1 + M2 + M , +A Mi+ M~ +A

(1 - S)N, 1 -SN,

Mi + M3 +A M3 +A

(1 - S)N2

M3 +A A

(1 - S)N3 1 - SN3

1 - SN2

e conclua que

3.

Verifique se ln((M + A)IA) tem os mesmos pontos de mínimo que M; utilize os multiplicadores de Lagrange e o resultado do Prohlema 2 para determinar as expressões para os valores de N, onde o mínimo ocorre sujeito à restrição Vf = c(ln Ni + ln N i + ln N,). [Dica: Utili.i:e U.'> propriedades dos logaritmo~ para ajudar na simplificação das expressões.]

DERIVADAS PARCIAIS

-1

PROJETO APLICADO

4.

Determine uma expressão para o valor mínjmo de M como função de Vfo

5.

Se desejarmos colocar um foguete absolutos de f no conjunto D. 55. f(x. y) = 4.\).2

f (x. y, ;:) = .,..ie"'.

44. (a) Quando a derivada direcional def é mhima'? (b) Quando é mínima? (c) Quando é O'? (d) Quando é a metade de seu valor máximo?

y) =

x2y2 -

.\)J ;

D é a região triangular fechada do

plano .t)' com vértices (0, 0). (0. 6) e (6, 0) 56.

f

!

2 ...2

(x. \ ') = e ' ·y (_.-

, + 2y-);

• . .1 D é o disco .{-+ y-' ~ 4

57. Utilize o gráfico e/ou curva~ de nível para estimar os Yalorcs máximo e mínimo e o.>s pontos de sela de

f

(x. y ) = x 3 - 3x

+y-

2y2. Em seguida, use o cálculo parJ

determinar esses valores de modo preciso.

DERIVADAS PARCIAIS

~ 58.

Use uma calculadora gráfica ou uni computador (método de Newton ou sistema de computação 1lgébrica) para determinar os pontos críticos ed

=

A:R) ff f(x, y) dA R

onde A(R) é a área de R.

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

Se f(x, y)

~

O, a equação A(R) X

ff

fmcd =

f(x, y) dA

R

diz que a caixa com base R e altura};ncd tem o mesmo volume que o sólido sob o gráfico de/ [Se z = f(x, y) descreve uma região montanhosa e você corta os topos dos morros na altura fmed, então pode usá-los para encher os vales de forma a tomar a região completamente plana. Veja a Figura 11.] O mapa de contorno na Figura 12 mostra a precipitação de neve, em polegadas, no estado do Colorado em 20 e 21 ele dezembro de 2006. (O Estado tem a forma de um retângulo que mede 388 milhas de Oe!-te a Leste e 276 milhas do Sul ao Norte.) Use o mapa de contorno para estimar a queda de neve média em todo o Estado do Colorado naqueles dias.

FIGURA 11

FIGURA 12

SOLUÇÃO Vamos colocar a origem no canto sudoeste do estado. Então, O e;;; x e;;; 388, O e;;; y e;;; 276 e f(x, y) é a queda de neve, em polegadas, no local x milhas para leste e y

milhas para norte da origem. Se Ré o retângulo que representa o estado do Colorado, então a precipitação média de neve no Colorado em 20 e 21 de dezembro foi

Ímed

=

A(~) Jf f(x, y) dA R

onde A(R) = 388 • 276. Para estimarmos o valor dessa integral dupla, vamos usar a Regra do Ponto Médio com m = n = 4. Em outras palavras, dividimos R em 16 sub-retângulos de tamanhos iguais, como na Figura 13. A área de cada sub-retângulo é ~A =

1 ~(388)(276)

=

6 693 mi 2

879

880

CÁLCULO

y 276i--~,---,-,..-~~--===-~-r-~~~-,-.---,.-~-.,...,--~.--~~~~~~~~

•

•

•

• o

388

X

FIGURA 13

Usando o mapa de contorno para estimar o valor de/no ponto central de cada sub-retângulo, obtemos

ff f(x, y) dA = 2: 2.J(x;, y) ~A 4

4

i-1 j - 1

R

= ~A[O +

+ 8 + 7 + 2 + 25 + 18,5 + 11 + 4,5 + 28 + 17 + 13,5 + 12 + 15 + 17,5 + 13]

=

15

(6 693)(207)

(6 693)(207) )( ) = 12,9 ( 388 276 Em 20 e 21 de dezembro de 2006, o Colorado recebeu uma média de aproximadamente 13 polegallas de neve. Logo,

fmed

=

Propriedades das Integrais Duplas Listaremos aqui três propriedades das integrais duplas que podem ser demonstradas como na Seção 5.2, no Volume 1. Admitiremos que todas as integrais existam. As Propriedades 7 e 8 são conhecidas como linearidade da integral.

ff [f(x, y) + g(x, y)] dA ff f(x, y) dA + ff g(x, y) dA

Integrais duplas se comportam assim porque as somas duplas que as definem se comportam dessa forma.

=

R

H

H

fJ cf(x, y) dA =e fJ f(x, y) dA,

onde e é uma constante

R

Se f(x, y)

~

g(x, y) para todo (x, y) em R, então

ff f(x, y) dA ;;,: JJ g(x, y) dA H

H

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

881

Exercícios 1. (a) Estime o volume do sólido que e~tá abaixo da superfície z = xy e acima - x/2

y

dx

f[

2 - x - x( 1 - ; ) - ( 1 - ; )

= e• (x 2

Jo

-

+ 1) dx

2x

=

Calcule a integral iterada f~

~ 3

x2 +

+

x

-

x]' = _!_3 0

J: sen(y

2

)

y= I

2

2

dy dx.

~

2

+ :

J

dx

-

SOLUÇÃO Se tentarmos calcular a integral na forma pela qual ela se apresenta, teremos ini-

f

cialmente de resolver o problema de calcular sen(y 2 ) dy. Mas isso é impossível de fazer em termos finitos, urna vez que sen(y-) dy não é urna função elementar. (Veja o final da Seção 7.5.) Precisamos então mudar a ordem de integração, o que pode ser conseguido escrevendo-se inicialmente a integral iterada dada como uma integral dupla. Usando QJ na ordem inversa, temos

f

f J: sen(y )dydx ff sen(y 1

0

2

=

2

D= {(x y) 1 Ü ~X ~

],

o

X

FIGURA 15 D como uma região do tipo l y

) dA x= O

D

onde

y= x

X~y ~

x=y

l}

Esboçamos e ssa região D na Figura 15. Então, da Figura 16, vemos que um modo alternativo de descrever D é D = {(x. y) 10 ~ y ~ 1, 0 ~ X ~ y}

D

o FIGURA 16

D como uma região do tipo II

X

892

CÁLCULO

Isso nos permite usar 13) para exprimir a integral dupla como uma integral iterada na ordem reversa:

JJ: sen(y )dydx fJ sen(y )dA 1

2

2

=

0

D

Jysen(y )dy 1

=

2

- i cos(y 2 ))~

=

0

=

~ (1

-

cos 1)

Propriedades das Integrais Duplas

Suponha que todas as seguintes integrais existam. As primeiras três propriedades das integrais duplas sobre uma região D seguem imediatamente da Definição 2 desta seção e das Propriedades 7, 8 e 9 da Seção 15 .1.

6'

JJ[J(x, y )

+

g(x,y)]dA

D

=

fJJ(x,y)dA

+

Jf g(x, y )dA

D

D

fJ cf(x, y) dA = e fJ f(x,y) dA

(z=

D

/)

Se f(x,y) ;;,: g(x,y) para todo (x,y) em R, então

JS f(x, y) dA ;;,: fJ g(x, y) dA

8

y

/)

/)

D

D, - -+--0

A próxima propriedade de integral dupla é semelhante à propriedade de integral de uma função de uma variável real, dada pela equação f(x ) dx = f(x) dx + f(x) dx. > Se D = D 1 U D 2 , onc.Je D 1 e D 2 não se sobrepõem exceto talvez nas fronteiras (veja a Fix gura 17), então

s:

- - - -- - --

s;

FIG URA 17

9

JJ f(x,y) dA

=

D

JJ f(x,y) dA D

+

s:

fJ f(x,y) dA ~

A Propriedade 9 poc.Je ser usada para calcular integrais duplas sobre regiões D que não sejam nem do tipo I nem do tipo 11. A Figura 18 ilustra esse procedimento. (Veja os Exercícios 55 e 56.) y

y

D

o FIGURA 18

X

(a) D não é do tipo 1 nem do tipo li.

o

X

(b) D= D 1 U D 2, D 1 é do tipo 1, 0 2 é do tipo II .

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

893

A próxima propriedade de integrai~ diz que, se integrarmos a função constante f(x, y) = sobre uma região D, obteremos a área de D:

/

if ~-A-(D-)~

[

1 dA

A Figura 19 ilustra por que a Equaçãc 1O é verdadeira: um cilindro sólido. cuja base é D e a altura é 1, tem volume A(D) · 1 = A(l>), mas sabemos que também podemos escrever seu volume como J)~ 1 dA. Finalmente, podemos combinar as Propriedades 7, 8 e 1O para demonstrar a seguinte propriedade. (Veja o Exercício 61.)

[IT]

:= I

y ,\

FIGURA 19 Cilindro com base D e altura 1

Se 111 ~ f(x, y) ~ M para todo (x, y) em D, então

~ ff f(x, y) dA ~

mA(D)

MA(D)

n

Utilize a Propriedade 11 para estimar a integral fj~) escn ACO" dA, onde D é o disco com centro na origem e raio 2. SOLUÇÃO Como - 1 ~ sen x ~ 1 e ·- 1 ~ cos y ~ 1, temos - 1 ~ sen x cos y ~ 1 e, por-

tanto.

Assim, usando

/11

=e-• = l/e, M 4 ;

=

e e A(D) = 7T(2) 2 na Propriedade J 1, obtemos

'°"'

ff

e "'" rn".v dA

-

~ 41Te

D

Exercícios 1~

Calcule a integral iterada.

JJ'JI-xy2 dx dy JI: (l + 2y) dy dx 4

1.

2.

0

1

3.

5.

1

3

J (x 2

y) dy dx

2i

fo r-· xy dx dy f, J."o ./17 du dv 2

4.

0

JoÍ J.'o cos(s )

f' Jo

dt ds

6.

1

IJ

7 10 Calcu le a integral dupla.

f.f y

7.

2

d A,

D

=

{(x. y) 1 - 1 '°"' y

'°"'

I, -y - 2 ..; x

'°"' y}

11. Desenhe um exemplo de uma região que seja (a) do tipo I , mas não do tipo li (b) do tipo II, mas não do tipo 1 12. Desenhe um exemplo de uma região que seja (a) tanto do tipo 1 quanto do tipo II (b) nem do tipo 1 nem do tipo li 13-14 Expresse D como a região do tipo 1e wmbém como uma região

l

1

dA

=

'1T

(b) Uma definição equivalente da integral imprópria da parte (a) é

.::.r

28. (a) Uma broca cilíndrica de raio r 1é usada para fazer um furo que pas~u pelo centro de uma e~fera de raio r i . Determine o volume do sólido em formato de anel res ultante. (b) Expresse o volume da parte (a) em termos da altura h do anel. Observe que o volume depende somente de h e não de r 1ou r i . 29-32 Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenada~ polares.

29.

J3 f:9-? ~en(.r + y2) dy dx

30.

3

31.

f 1 f./2

Jo . ,

,r

(x

+ y) dx dy

.IJ e !. i-t j -1

-

p(xij,yü) ~A=

JJ yp(x,y) dA ~ D

Da mesma forma. o momento em relaç.ão ao eixo y é

M, =

lim

j:

±

xü p(x0,yÜ)

m. n---+ oo 1-1 J-1

~A = ff xp(x,y) dA D

mx

•(x,y)

D

Como anteriormente, definimos o centro de massa (i, y) de modo que = My e my = Mx. O significado físico disso é que a lâmina se comporta como se toda sua massa estivesse concentrada em seu centro de massa. Assim, a lâmina permanece hori zontal quando equilibrada em seu centro de massa (veja a Figura 4).

[!] As coordenadas (i, y) do centro de massa de uma lâmina ocupando a região D e tendo função densidade p(x, y) são

FIGURA 4

x = ~ = ~ ff xp(x,y) dA

y=

:X ~ ff yp(x,y) dA =

D

D

onde a massa m é dada por

m=

ff p(x,y) dA D

y (0, 2 )

Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0, O}, (1, 0) e (0, 2), se a função densidade for p(x, y) = l + 3x + y.

y = 2 - 2x ( 3 li )

SOLUÇÃO O triângulo está mostrado na Figura 5. (Observe que a equação do limite superior

--- 8•16

éy

D

o

(1,0)

X

=

2 - 2x.) A massa da lâmina é m

=

r' r2-i.r (1

f.J p(x, y) dA = Jo Jo D

FIGURA 5

+ 3x + y) dy dx

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

r y -t 3xy + Jo [ 1

=

+

903

2Jy-2 2x dx

y-o

8 3 Então, as fórmu las em

X=

t~

[II fornecem

Jf xp(x,y) dA

2

~ Jo fo - ix (x + 3x 2 + xy) dy dx 1

=

D

=

=

~ ri 8 Jo 3

+ 3x2y + X y2 ] y-2-2x dx

[ xy

2

1

2 fo (x -

3

x )dx

3[ x

y- o 2

x

3 8

]

2.- 2 - 4

=

1

4

0

3 f1Jo 1 f.J f2-2x (y + 3xy + y 2) dy dx y = -;;; y p(x, y) dA = 8 Jo /)

=

2

~ í 1[ Y 8

J0

2

3 22 + 3x.i_ + _Y_ ] y- - .. dx = f 1(7 - 9x - 3x 2 + 5x 3 )dx 2 3 y- o Jo

*

2

=

~ [ 7x - 9 ~ x~ + 5 :

4

-

O centro de massa é o ponto

I

=

-:-~

-

G, +D.

A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é proporcional à distância ao centro do círculo. Determine o centro de massa da lâmina. SOLUÇÃO Vamos posicionar a lâmina na metade superior do círculo x 2 + y 2 = a 2 • (Veja a Figura 6.) Então a distância do ponto (x, y) ao centro do círculo (origem) é x 2 + y 2 • Por-

J

tanto, a função de nsidade é

y

p(x,y) = KJx

2

+

y2

a

onde K é alguma constante. Tanto a função densidade como o formato da lâmina sugerem a conversão para coordenadas polares . Então x 2 + y 2 = r e a região D é dada por O .:;;;; r ~ a, O .:;;;; 8 .:;;;; 7T. Logo, a massa da lâmina é

m =

ff p(x ,y) dA = fJ K Jx D

=

=

r·s: K7T

-a 2

(o• k) 21T

D

J

xz + yz =az

o

a

+ yi dA

D

(Kr) r dr d8 = K

~3-I =

FIGURA 6

fo,,. d() f~' r 2 dr

K;a3

Tanto a lâmina como a função densidade são simétricas com relação ao eixo y e, assim, o centro de massa precisa estar sobre o eixo y, ou seja, x = O. A coordenada y é dada por y- = - J

m

=

f.J

3 K7Ta

y p(x,)) dA = - 3

D

~ Jof" sen () d() Jo[ª r 7TG

4

3

dr =

i"iª o o

~[-cose]; [~]ª 4 7Ta

3a 27T Portanto, o centro de massa está localizado no ponto (O, 3a/(27T)). 3

=

7TG 3

2a

4

=

Compare a localização do centro de massa no Exemplo 3 com o Exemplo 4 na Seção 8.3. no Volume 1. onde encontramos que o centro de massa da lâmina com o mesmo formato. mas com densidade uniforme, está localizado no ponto {O, 4a/ (37r)).

r sen () (Kr) r dr d8

0

-

X

904

CÁLCULO

Momento de Inérc ia O m omento d e inércia (também chamado segundo momento) de uma partícula de massa m em relação a um eixo é definido como mr2, onde ré a distância da partícula ao eixo. Estendemos o conceito a uma lâmina com função densidade p(x, y) e que ocupa uma região D pelo mesmo processo que fitemos para os momentos normais. Dividimos D em pequenos retângulos, aproximamos o momento de inércia de cada sub-retângulo em relação ao eixo x e tomamos o limite da soma quando o número de sub-retângulos aumenta indefinidamente. Oresultado é o m omento de inér cia da lâmina em relação ao eixo x: m

n

l.r = m~!~"' ;~ J~ (y;jfp(x;j,y;j ) LlA =

J.f y 2 p(x, y) dA n

Da mesma forma, o m omento de iné rcia em relação ao eixo y é

l _,

~

= Jim

±

(x,j) 2p(x;j, y,j) LlA =

ff x p(x, y) 2

dA

D

m. n - oc r- 1 j - 1

É de interesse, ainda, considerar o momento de inércia em r elação à origem , também chamado momento polar de inércia:

Observe que lo

sidade p(x, y)

=

l x + l y.

Determine os momentos de inércia l _,. l y e 10 do disco homogêneo D com den= p, centro na origem e raio a.

SOLUÇÃO O limite de D é o círculo x 2

por O ~ ()

~

27T, O~ r /0

~ a.

=

+ y2 =

a 2 , que em coordenadas polares D é descrito Vamos calcular l o primeiro:

JJ (x

2

+ y 2 )p dA

= p

n =

p

Ío2,,. de

J:

J fo" 2

,,.

0

r Jdr = 27Tp [

2

r r dr d()

4r4 ] "o =

7Tpa4 2

Em vez de calcularmos lx e ! y diretamente, vamos usar o fato de que l x simetria do problema). Assim

lo 7Tpa 4 1 =l = - = - > 2 4 X

No Exemplo 4 , observe que a massa do disco é

m

=

densidade X área

=

+

l _, = l o e/, = l y (da

-

p(7Ta 2 )

de modo que o momento de inércia do disco em torno da origem (como uma roda em torno de seu eixo) pode ser escrito como 7Tpa 4 1 , 1 , lo = - - = 2(p7ru -)a 2 = 2 ma2 Portanto, se aumentarmos a massa uu o raio do disco, aumentaremos o momento de inércia. Em geral, o momento de inércia tem um papel em um movimento de rotação semelhante ao que a massa tem em um movimento linear. O momento de inércia de uma roda é o que torua difíci l começar ou parar a rotação da roda, assim como a massa do carro dificulta seu movimento inicial e a frenagem.

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

O raio de giração de uma lâmina em relação a um eixo é o número R tal que mR2

=

I

onde m é a massa da lâmina e / é o momento de inércia em relação ao eixo dado. A Equação 9 nos diz que, se a massa da lâmina estiver concentrada a uma distância R do eixo, então o momento de inércia dessa "massa pontuei!" será o mesmo que o momento de inércia da lânúna. Em particular, o raio de giração y cm relação ao eixo x e o raio de giração em relação ao eixo y têm as equações

x

my2=

/,

Então (x, y) é o ponto no qual podemos concentrar a massa da lâmina sem modificar os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados resul tantes. (Observe a analogia com o centro de massa.) Determine o raio de giração em tomo do eixo x do disco do Exemplo 4. SOLUÇÃO Como observado, a massa do disco é m = p7ra 2 , e da Equação 10 temos -

y2

lx

1 4

4

rrpa p7ra 2

ª2

=' - = - - = -

m

4

Portanto, o raio de giração em relação ao eix.o x é y = ~a, que é metade do raio do disco.

Probabilidade Na Seção 8.5, no Volume 1, consideramos a função densidade de probabilidade/de uma vaf(x) dx = 1 e a proriável aleatória contínua X. Isso significa que f(x) ;;;,, para todo X, babilidade de que X esteja entre a e b é determinada integrando-se/ de a até b:

o

P(a

~X~ b)

=

rx

J: f(x) dx

Consideremos agora um par de v Lriáveis aleatórias X e Y como o tempo de vida de dois componentes de uma máquina ou a altura e o peso de uma mulher adulta escolhida ao acaso. A fnnção densidade conjunta de X e Y é uma função f de duas variáveis tais que a probabilidade de que (X, Y) esteja em uma região D seja P((X, Y) E D) =

ff f(x,y) dA {)

Em particular, se a região for um rctftngulo, a probabilidade de que X esteja entre a e b e de que Y esteja entre e e d é

P(a ~ X ~b. e ~ Y ~d) (Veja a Figura 7 .)

=

s:rf(x,y)dydx

905

906

CÁLCULO

:=/(.1. y)

FIGURA 1 A probabilidade de que X esteja entre a e b e de que Y esteja entre e e d é o volume do sólido acima do retângulo D= [a, b] X [e, d] e abaixo do gráfico da função densidade conjunta.

Como probabilidades não podem ser negativas e são medidas na escala de O a 1, a função densidade conjunta tem as seguintes propriedades:

ff f(x.y) dA

f(x,y);::;;. O

= 1

R'

Como no Exercício 40 da Seção 15.4, a integral dupla sobre lll2 é uma integral imprópria, definida como o limite da integral dupla sobre os círculos ou retângulos que se expandem, e podemos escrever

ff

f(x,y) dA

= r~ r~/(x,y) dx dy =

1

R'

Se a função densidade conjunta de X e Y for dada por f(x, y) = {

~(x + 2y)

se O ~ x ~ 10, caso contrário

determine o valor da constante C. Então, calcule P(X

~

O ~

y

~

10

7, Y ;::;;. 2).

Determinamos o valor de C garantindo que a integral dupla de f seja igual a 1. Como f(x,y) = O está fora do retângulo [O, 10] X [O, IO], temos

rr

1

1

fo º fo º C(x + 2y) dy dx =

f(x,y) dy dx =

f 10

C Jo (10x

=

+

e

1º 1

[xy

0

+ y 2t-~

dx

100) dx = 1 500C

Portanto, 1 500C e, assim, C = 1 ~. Agora. podemos calcular a probabilidade de X ser no máximo 7 e de Y ser no mínimo 2: P(X ~ 7, Y ;::;;. 2)

=

f7 f" -x

2

f(x,y) dy dx

f7 [

i7f10 o

2

1

1 soo(x

+

2y) dy dx

1 f7 ) + y 2])-10 y-2 dx = 1soo Jo (8x + 96 dx

=

1 1 soo

Jo xy

=

1 ~,

= 0,5787

8

=

Suponha que X seja uma variável aleatória com função densidade de probabilidade /1(x) e Y seja uma variável aleatória com função densidade fi{y). Então, X e Y são ditas variáveis aleatórias independentes se a função densidade conjunta for o produto das funções densidade individuais:

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

.f(x,y)

=

ft(x)fi(y)

Na Seção 8.5, modelamos o tempo de espera utilizando a função densidade exponencial

f(t)

=

o {µ - 1e -1/14

se t ~

ondeµ é o tempo médio de espera. No próximo exemplo consideraremos a situação com dois tempos de espera independentes. O gerente de um cinema determina que o tempo médio de espera na fila para as pessoas comprarem entrada para o filme da semana seja de dez minutos e que o tempo médio que levam para comprar pipoca seja de cinco minutos. Supondo que os tempos de espera sejam independentes, determine a p1obabilidade de um espectador esperar menos de 20 minutos até se dirigir a seu assento. SOLUÇÃO Supondo que os tempos de espera X para comprar a entrada e Y para comprar pipoca possam ser modelados por !unções densidade de probabilidade exponencial, podemos escrever as funções densidade individuais como

0 f i(x) = { 1 - .c/ 10 iõ e

Se

X< 0

se y -

se x,... 0

Como X e Y são independentes, a fu lção densidade conjunta é o produto: se x ;;;-; O, y ;;;-; O caso contrário Foi pedida também a probabilidade de X P(X

+

Y < 20:

+ Y < 20)

P((X, Y) E D )

=

onde D é a região triangular mostrada na Figura 8. Então, P(X

+

Y < 20) =

. JJ f(x, y) dA =

1 Jo r -· y:;1 e -•1•0e-yf5 dy dx Jo 20

20

D

y 20

x + y = 20 D

=

fc, fo20 (e- x/ 10

=

J

+ e- 4

-

-

e-4exfW) dx

2e- 2

= 0 ,7476

Isso significa que cerca de 75% dos espectadores esperam menos de 20 minutos antes de tomarem seus assentos.

-

Valores Esperados

Lembre-se da Seção 8.5, no Volume 1, de que, se X é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade/, então sua média é µ =

r.,

xf(x) dx

Se X e Y são variáveis aleatórias com função densidade conjunta/, definimos a média X e a média Y , também chamadas valore!. esperados de X e Y, como

o FIGURA 8

20 X

907

908

CÁLCULO

=

µ.1

ff x.f(x,

y) dA

ff yf(x, y) dA

J-l 2 =

H'

t+ Oly) se X~ O, )' ~ o

D

f(x,y) =

L

{O'

D

.

caso contráno (a) Verifique que fé de fato uma função densidade conjunta. (b) Determine as seguintes probabilidades. (i) P(Y ~ l ) (ii) P(X ,,,,-; 2, Y ..-; 4) (c) Determine os valores esperados de X e Y. 30. (a) Uma luminária tem duas lâmpadas de um tipo com tempo de vida médio de 1 000 horns. Supondo que possamos modelar a probabilidade de falha dessas lâmpadas por uma função densidade exponencial com médiaµ. = 1 000, determine a probabilidade de que ambas a.\ lâmpada~ venham a falhar dentro de um período de 1 000 horas. ( b) O utra luminária tem somemc uma lâmpada do mc~mo tipo da~ da parte (a). Se a lâmpada queima e é trocada por outra do mesmo tipo, determine a probabilidade de que as duas venham a falhar de ntro de 1 000 horas. 31. Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias, onde X tem distribuição normal com média 45 e desvio-padrão 0,5 e Ytem distribuição normal com médi a 20 e desvio-padrão O, 1. (a) Encontre P(40 .;;; X .;;; 50, 20 ,,,; Y ,,,,-; 25). (h) Encontre P(4(X - 45f + IOO(Y - 20)2 ..-; 2). 32. Xavier e Yolanda têm aulas que 1em1inarn ao meio-dia e eoncordanun em se encontrar todo dia depois das a ulas. Eles cbegum em um café separadamente. O tempo de chegada de Xavier é X e o da Yolanda é Y, onde X e Y siío medidos em minutos após o meio-dia. As funções dens idade individuais são É necessário u;ar um si;tema de computação algébricu

910

CÁLCULO

(·)_ {e-• O

x

se ~O ( ) _ {~y se O ,:s; y ,:s; 10 f2Y. se x < O O caso contrário (Xavier chega algumas vezes depois do meio-dia, e é mais provável que ele chegue na hora do que se atrase. Yolanda sempre chega às l 2h 1O e é mais provável que se atrase do que chegue pontualmente.) Depois de Yolanda chegar, ela espera até meia hora por Xavier, mas ele não espera por ela. Determine a probabilidade de eles se encontrarem. 33. Quando estudamos uma contaminação epidêmica, supomos que a probabilidade de um indivíduo infectado disseminar a doença para um imlivíduo não infectado seja uma função da distância entre eles. Considere uma cidade circular com raio de 1O km na qual a população está uniformemente distribuída. Para um indivíduo

f1X -

não infectado no ponto A(x0 , y0 ), suponha que a função probabilidade seja dada por

f(P)

=

2~[20 - d(P, A)]

onde d (P, A) denota a distância entre os pontos P e A. (a) Suponha que a exposição de uma pessoa à doença seja a soma das probabilidades de adquirir a doença de todos os membros da população. Suponha ainda que as pessoas infectadas estejam uniformemente distribuídas pela cidade, existindo k indivíduos contaminados por quilômetro quadrado. Determine a integral dupla que representa a exposição de uma pessoa que reside em A. (b) Calcule a integral para o caso em que A está no centro da cidade e para o caso em que A está na periferia da cidade. Onde seria preferível viver?

1fjf Área de Superfície Na Seção 16.6 trabalharemos com áreas de superfícies mais gerais. denominadas superfícies parametrizadas, portanto. esta seção não precisa ser estudada se a seção posterior for estudada.

Nesta seção, aplicamos as integrais duplas ao problema de calcular a área de uma superfície. Na Seção 8.2, no Volume 1, descobrimos a área de um tipo muito especial de superfície - uma superfície de revolução - pelos métodos de cálculo de uma variável única. Aqui, calculamos a área de uma superfície com equação z =f (x, y), o gráfico de uma função de duas variáveis. Seja S a superfície com a equação z = f(x, y), ondeftem derivadas parciais contínuas. Para simplificar a dedução da fórmula da área de superfície, supomos que f (x, y) ~O e o domínio D defé um retângulo. Dividimos D em pequenos retângulos Ru com área .:iA = Lix~y. Se (x;, yj) é o canto de R;, mais próximo da origem, seja P;i(x;, y;j(x;, y;)) o ponto em S diretamente acima dele (veja a Figura 1). O plano tangente a Sem Pii é uma aproximação a S próximo de Pu. Então, a área t:l.T;1 da parte deste plano tangente (um paralelogramo) que fica diretamente acima de Ru é uma aproximação à área t:l.Sii da parte de S que fica diretamente acima de Rii. Portanto, a soma "'iS.. t:..Tii é uma aproximação à área total de Se essa aproximação parece melhorar conforme o número de retângulos aumenta. Portanto, definimos a área da superfície de S como

X

Para encontrar uma fórmula que seja mais conveniente do que a Equação l para fins de cálculo, sejam a e b os vetores que começam em Pu e ficam ao longo dos lados do paralelogramo com área ílT;i· (Veja a Figura 2.) Então, 6.Tii = [a X b]. Lembre-se, da Seção 14.3, de quef, (x;, Yi) efy (x;, YJ) são as inclinações das retas tangentes através de Pii nas direções de a e b. Portanto,

FIGURA 1

z

6.y

a = Lixi

+ fx{x;, Yi) ó..xk

b = ó.yj

+ fy(x;, yj) ~yk

e ,

j

y

a X b =

6.x

o

X

k

O f,(x;, Y1) ó.x íly fy (x;, Y1) ~y

= -fr(x;, YJ)Â.xó.yi - J;.(x;, yj)ÂXdyj

FIGURA 2

= [- f,(x;, y;)i Logo,

ó.T;i =

la X bl =

+ ó.x~yk

J;.(x,, Y1)j + k]ó.A

J [f,(x;, YJ)]2 + [fy(x;, Yi) + 1 ó.A

911

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

Da Definição l temos, então, n

m

A(S) =

L L .:lT,i m. n -oo Jim

i-1 j-1

m

n

LL n--+ oo i-l

lim m.

=

J[fx(x;, YiW

+ (h(x;, Yi)]2 + 1 M

1-1

e pela definição de uma integral dupla, obtemos a seguinte fórmula. A área da superfície com equação z nuas, é A(S) =

ff

= f(x, y), (x, y) E

J [fx(x, y)] 2

+

[f,(x, y)

D, ondefx efy são contí-

+ 1 dA

D

Na Seção 16.6, verificaremos que essa fórmula é consistente com nossa fórmula anterior para a área de uma superfície de revolução. Se usarmos a notação alternativa para derivadas parciais, podemos reescrever a FórrmJa 2 da seguinte maneira:

w y

Observe a semelhança entre a fórmula da área da superfície da Equação 3 e a fórmula do comprimento do arco da Seção 8.1, no Volume 1:

(1,1)

L ~ f) + (:Jdx

y=x

T

Determine a área de superfície da parte da superfície z = x2 da região triangular T no plano xy com vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1).

(0,0)

+ 2y que fica acima

(1, 0)

X

FIGURA 3

SOLUÇÃO A região T é mostrada na Figura 3 e é descrita por

T ={(x,y)! O ,,,-;;x,,,-;; l , O ,,,-;;y,,,-;;. x}

= r + 2y, obtemos

Usando a Fórmula 2 comf(x, y)

A=

ff J (2x) + t2)2 + 2

f xJ4? + 5 dx 1

0

'=

fo f: J 4? + 5 dydx 1

1 dA =

i · ~(4x2 + 5)312)6 =

b_(27 - 5$)

A Figura 4 mostra a porção da superlfcie cuja área acabamos de calcular. Determine a área da prute do paraboloide z = x2

X

-

FIGURA 4

+ y2 que está abaixo do plano

z = 9. SOLUÇÃO O plano intercepta o paraboloide no círculo x2 + y 2 = 9, z = 9. Portanto, a superfície dada fica acima do disco D com centro na origem e raio 3. (Veja a Figura 5.) Usando a Fórmula 3, temos

A ~ » ~I + (*-)' + (!; )' dA ~ lj -/1 + (2x)' + (2y)' dA =

ff J I + 4(x D

3 2

+ y 2 ) dA

X

FIGURA 5

y

912

CÁLCULO

Convertendo para coordenadas polare!.. obtemos A =

1.

2.

3

f2" ( J I + 4r 2 r dr d(}=

Jo Jo

Determine a área da ~uperfíc ie. A parte do plano;: = 2 + 3x + 4y que está acima do retângulo [0.5] X [1.4) A parte do plano 2T + 5y + ;: = 10 que está dentro do cilindro

.r+f =9 3. A parte do plano 3x + 2y + :: = 6 que está no primeiro octante 4. A parte da superfície ;: 1 + 3x + 2y2 que está acima do triân5. 6.

gulo com vértices (0, 0), (O. l) e (2, 1) A parte do cilindro y2 + z2 = 9 que está acima do retângulo com vértices (0, 0). (4. O). (0. 2) e (4. 2) A parte do paraboloide :. = 4 - .r - y2 que está acima do plano

19. 20.

21.

22.

x2+y2

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a cm termos de uma integral unidimensional e usando ~ua calculadora para e'timar a integral. 13. A parte da superfície ;: e-r-1 que está acima do círculo

23.

.t.2+y2~ 4

14. A parte da superfície :. = cos (x2 dro .r + y2 I

+ y2) que está dentro do cilin-

"

dfJ

f' rJI + 4r 1 dr

Jo

24.

;:: l+x+y+xl 2~x~l -to;;;yo;;;l Ilustre, traçando o gráfico da superfície. Determine. com precisão de quatro casas decimais. a área da parte da superfície ;: = 1 + .t2y2 que está acima do disco .r + I :,; ; 1. Deterrrúne, com precisão de quatro casas decimai\, a área da parte da superfície :. ( 1 + r)/ ( 1 + y 2) que está acima do quadrado 1x1 + y 1~ 1. Ilustre, trnçando o gráfico dessa parte de superfície. Mostre que a área da parte do plano z = ax + by +e que projeta sobre uma região D no plano xy com área A(D) é Jal + b2 + lA(D) . Se você tentar usar a Fórmula 2 pam encontrar a área da metade superior da esfera r + y2 + z1 = a2 , você terá um pequeno problema. pois a integral dupla I! imprópria. De fato. o integrando tem uma descontinuidade infinita em cada ponto do limite circular .t.i + .v2 = a.2 • No entanto. a integral pode ser calculada como o limitt: da integral sobre o dbco r + y2 ~ t 2 quando t ~a . Utilize este métoJo para mostrar 4ue a área de uma esfera de raio a é 47Ta2. Determine a área da parte finita do paraboloide y = x2 + z2 limitada pelo plano y = 25. [Sugestão: Projete a superfície sobre o plano .t,r.] A figura mostra a superfície criada quando o cilindro l :.2 = 1 2 intercepta o cilindro \ .i + z = 1. Encontre a área de~ta supcrt'ícic.

15. (a) Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas (veja a Seção 15 .1) com quatro quadrados para estimar a área da superfície da porção do paraboloide :. = .r + y2 que está acima do quadrado [O. J] X [O. 1). (b) Use um sistema de computação algébrica para aproximar a área de superfície da parte (a) até a quana casa decimal. Compare com sua resposta para a parte (a). 16. (a) Use a Regra do Ponto Médio para integrab duplas com 2 111 = 11 = 2 para estimar a área da superfície :. = xy + x + y2, Q ~X~ 2, Ü:,;;;; y:,;;;; 2. As Homework Hinh estão disponíveis em www.stewartcalculm..com

-

18. Determine a área exata da superfície

11. A parte da esfera x.i + }.i + ::.2 = a 2 que está dentro do ci lindro .r y2 - ax e acima do plano xy 12 A parte da esfern.\.i + y2 + :.2 = 4;; que está dentro do parnboloide

;:

2

(b) Use um sistema de computação algébrica para aproximar a área de superfície da parte (a) até a quarta casa decimal. Compare com s ua rc\po~ta para a parte (a). 17. Determine a área exata da superfície:. = 1 + 2\ 3y + 4_v2. 1 :,;;;; X:,;;;; 4, 0 ~ _Y :!;'; 1.

.ry

7. A parte do paraboloide hiperbólico;: y2 - r que está entre os cilindros .\.i + y2 1 e .r + y2 = 4 8. A superfície:. = ;(x312 + y3'2). O :,;;;; x :,;;;; 1, O :,;;;; y :,;;;; 1 9. A parte da superfície z = xy que está dentro do cilindro .r+y2= 1 10. A parte da esfera .r + 1 + :.2 = 4 que está acima do plano;; = 1

j.o

É neces\árío u!.ar um sistema de computação algébrica

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

Ili

Integrais Triplas

Assim como definimos integrais unidimensionais para funções de uma única variável e duplas para funções de duas variáveis, vamo-; definir integrais triplas para funções de três variáveis. Inicialmente, trataremos o caso mais '>imples, quandof é definida em uma caixa retangular: B

=

{ex, y, z)

1

a ~ x ~ b, e ~ y ~ d, r ~ z ~

s}

O primeiro passo é dividir Bem subcaixas. Faze mos isso dividindo o intervalo [a, b] em l subintervalos [x; 1, X;] de comprimento-; iguais Áx, dividindo [e, d] em m subintervalos de comprimentos .ó.y, e dividindo [r, s] em n subintervalos de comprimento .ó.::. Os planos que passam pelas extremidades desses subintervalos, paralelos aos planos coordenados, subdividem a caixa Bem lmn subcaixas

como mostrado na Figura 1. Cada suhcaixa tem volume ÁV = Áx Áy Áz. Assim formamos a soma tripla de Riemann 1

m

n

L L L f(xúk, Yt*' z;jk) ÁV

i- 1 j - 1 k

1

onde o ponto de amostragem (x;)1., y;)t. Z;J•) está em B,11.. Por analogia com a definição da integral dupla (15. 1.5), definimos a intfgral tripla como o limite das somas triplas de Riemann e m [l].

1 3

Definição A integral tripla dl!fna caixa B é

fff f(x, y, z) d V

1

=

8

m

n

L L L f(x,j1., y;j., z;jk) Á V ~""

li m

1• m, n

i-11- l k- l

~:'e li_m_i_te_e_x_i_sr_ir_. _ _ _ __

Novamente, a integral tripla semp··e existe se/for contínua. Escolhemos o ponto de amostragem como qualquer ponto de cada subcaixa, mas, se escolhermos o ponto (x;, Y1' z.), obtere mos uma expressão com aparência menos complicada para a integral tripla:

Assim como para ª" integrais duplas, o método prático para calcular uma integral tripla consiste em expressá-la como uma integt ai iterada, como segue.

L

1. Teorema de Fubini para as Integrais Triplas Sefé contínua c m uma caixa retangular [a, bl [e, d] fff~;:]~~:::V ~ n: s: f(x, y, z) dx dy d < X

A integral iterada do lado direito do Teorema de Fubini indica que primeiro integramos em relação a x (mante ndo y e z fixados), em seguida integramos em relação a y (mante ndo z fixado) e, finalmente, em relação a z. Existem ci nco outras ordens possíveis de integração,

FIGURA 1

913

914

CÁLCULO

todas fornecendo o mesmo resultado. Por exemplo, se primeiro integrarmos em relação a y, então em re lação a z e depois a x, teremos

III f(x, y, z) dV = B

li33{i!Q!•l

Calc ule a integral tripla B = {(x, y, z) 1 O

fff

8

s: f rf(x, y, z) dy dz dx

xyz 2 dV. onde B é a caixa retangular dada por

~ x ~ 1, -1 ~ y ~ 2, O ~ z ~ 3}

SOLUÇÃO Pode mos usar qualquer uma das seis possíveis ordens de integração. Se escolhermos integrar primeiro em relação a x, depois em relação a y e então em relação a z. obteremos

IfI xyz d V = J: f J: xyz dx dy dz = 2

2

1

=

3 f2 1o -

=

yz2 J.3 [ y2z2 -dydz = -1 2 o 4

[ 1

x;z I~:

]y-i

2

dy dz

dz

-

y- - 1

f3 3z2 dz = Ê..]3 27

Jo

4

4

4

0

y

D

X

f: f

2

Agora de finiremos a integral tripla sobre uma região limitada geral E no espaço tridimensional (um sólido) pelo mesmo método usado para as integrais duplas ( 15.3.2). Envolveremos E por uma caixa B do tipo dado pela Equação 1. Em seguida, definiremos uma função F de modo que ela coi ncida com/ em E e seja O nos po ntos de B fora de E. Por definição,

FIGURA 2

Uma região sólida do tipo 1

JJJ

f(x, y, z) d V=

E

JJJ

F(x, y, z) d V

B

Essa integral existe se/for contínua e se o limite de E for "razoavelmente liso". A integral tripla tem essencialmente as mesmas propriedades da integral dupla (Propriedades 6-9 da Seção 15.3). Vamos nos restringir às funções contínuas/ e a certos tipos de regiões. Uma região sólida E é dita do tipo 1 se estiver contida entre os gráficos de duas funções contínuas de x e y, ou seja,

E= {(x, y, z) 1 (x, y) E D, u,(x, y) ~ z ~ u2(x, y)} onde D é a projeção de E sobre o plano .xy, como mostrado na Figura 2. Observe que o limite superior do sólido E é a superfície de equação z = u 2 (x, y), enquanto o limite inferior é a superfície z = u1 (x, y). Pelos mesmos argumentos que nos levaram à (15.3.3), podemos mostrar que, se E é uma região do tipo 1 dada pela Equação 5, então

z

11J z=u,(x,y) a xb

o

y=g,(x)

y

FIGURA 3

Uma região sólida do tipo 1 na qual a projeção D é uma região plana de tipo 1

ffff(x, dV ~ ~ [e:;;'/(x. y~) dz] y, z)

=-1

O significado da integral de dentro do lado direito da Equação 6 é que x e y são mantidos fixos e, assim, u 1(x, y) e u 2(x, y) são vistas como constantes, enquanto! (x, y, z) é integrada em relação a z. Em particular, se a projeção D de E sobre o plano xy é uma região plana do tipo I (como na Figura 3), então

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

915

e a Equação 6 se torna

bf.g(x) s.•,lx.y)

JIJ f (x, y , z) dV f. '=

1

a

g,(x)

w1( x, y)

f.

f (x, y, z) dz dy dx ---

_ _ _ ___J

z

Se, por outro lado, D é uma região plana do tipo II (como na Figura 4 ), então

1

z= U2(X,y)

E

-4

e a Equação 6 se toma

o

fif f

(x, y, z) dV =

• f.

dih,(·

f

y)

s.•,(x. y)

h,(yl

<

w,(x. y)

f (x, y, z) dz dx dy

yl

l 1 x= ll1(y) 1 d

e

X

z = u 1(x,

i 1 lJ

D

)'

,\ = hi()')

FIGURA 4

x = O, y =

Calcule JJJ~ z dV, onde E é o tetraedro sólido limitado pelos quatro planos O. z = O e x + y + z = 1.

Uma região sólida de tipo 1 com uma projeção de tipo II

IÇ Para escrevermos a integral tripla, é recomendável desenhar dois diagramas: um da região !>ólida E (veja a Figura 5) e o utro de sua projeção D no plano xy (vej a a Figura 6). A fronteira inferior do tetraedro é o plano z = O e a superior é o plano x + y + z = 1 (ou z = l - x - y) e então usamos u1 (x. y) = O e ui (x, y) = 1 - x - y na Fórmula 7. Observe que os planos x + y + z = 1 e z = O se interceptam na reta x + y = 1 (ou y = 1 - x) no plano xy. Logo, a projeção de E é a região triangular da Figura 6, e temos

m

E = {(x, y, z) 1 Ü ~X~ 1, Ü ..,;; y..,;; 1 -

Ü

X,

~

Z

~ 1-

(0.0, I)

:= 1-x-y 1

E

(l.:y/

y}

X -

:

1 1 /

.

~---­

y

z=O

FIGURA 5

Essa descrição de E como região do 1ipo 1 nos permite calcular a integral como segue:

JfJz

fo fo Jo 1

dV =

1-x

~ Jofo •1

=

1

1-T-y

L1 1

:. dz dy dx =

X

= -61i l (1 -

(1 - x - y)2 dy dx =

x)3 dr

0

1

~

4

z2 i-1-x-y

[ 2 ] :-o

L-

= -1 [ - (1 - x)4 6

X

1

(l -

1

J

o

X -

3

[

)'

dy dx

y=l-x

y-1-x

y)3 ]

,-o

dx

-

1 M

= -

Uma reg ião sólida E é do tipo 2 $e for da forma

D

o

y=O

FIGURA 6

E= { f(x, y, z) dx JdA E

D

X

Final mente, uma região do tipo 3 é da forma E =

{Cx. y. z)

1

tx, z) E D , u1(x,

z) ~

y

~ u2(x, z)}

r

= u2(y, z)

FIGURA 7

onde D é a projeção de E sobre o plano xz, y = u1(x, z) é a superfície da esquerda e y é a superfície da direita (veja a Figura 8). Para esse tipo de região, temos

=

u 2(x, z)

Uma região do tipo 2

X

916

CÁLCULO

:

w

Í1

---

•"F.J

y= 112(x, :)

f(x, y, z) dV

fJ' [s.·· O) é um círculo de raio k. Esses cortes sugerem que a superfície é um cone. Essa previsão pode ~er confirmada convertendo a equação para coordenadas retangulares. Da primeira equação em [1], temos z2

=

r2 =

x2

1

+ y2

Reconhecemos a equação z2 = x 2 + y 2 (pela comparação com a Tabela l na Seção 12.6) como o cone circular cujo eixo é o eixo z. (Veja a Figura 5.) X

Cálculo de Integrais Triplas com Coordenadas Cilíndricas Suponha que E seja uma região do tipo 1, cuja projeção D no plano xy tenha uma representação conveniente em coordenadas pol tres (veja a Figura 6 ). Em particular, suponha que f seja contínua e

E=

{ex. y, z)

1

(x, y) E D, Ui(x, y) ,,;;; z,,;;; U2(X, y)}

onde D é dado em coordenadas polaies por

FIGURA 5 ;=r,

um cone

y

924

CÁLCULO

onde D é dado em coordenadas polares por z = u ,(x, y )

/1 1

1

1

o

1 1

"

~·; J_

1

8=/3 :

B =a~ FIGURA 6

' '\

1:: = 11,(x, yJ I 11 1 1

~

y

,. = Íli(8)

X

Sabemos da Equação 15.7.6 que

D' [t~;;» f(x, y , z) dz ] dA

JfJ f(x, y, z) dV =

Mas também sabemos como calcular integrais duplas em coordenadas polares. De fato, combinando a Equação 3 com a Equação 15.4.3, obtemos

fff f(x,y,z) dV

--

=

f.

{3 l /i,(O)

·

a

f."'I' co' O.r 'cn 0) · f(rcose, r sene, z) r dz dr d(J (r

h1 (0)

11 1

co~

O, r scn 0)

/-.

dz

A Fórmula 4 é a fórmula para a integração tripla em coordenadas cilíndricas. Ela nos diz que convertemos uma integral tripla em coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas escrevendo x = r cose, y = r sen (J e deixando z como está, utilizando os limites apropriados de integração para z, r e e trocando dV por r Jz dr d(J. (A Figura 7 mostra como lembrar disto.) É recomendável a utilização dessa fórmula quando E for uma região sólida cuja descrição é mais simples em coordenadas cilíndricas e , especialmente, quando a função f(x , y , z) envolver a expressão x 2 + y 2 •

e,

FIGURA 7

Elemento de volume em coordenadas cilíndricas: dV = r d: dr d(}

Um sólido E está contido no cilindro x 2 + y 2 = 1, abaixo do plano z = 4 e ac ima do paraboloide z = l - x 2 - y 2 • (Veja a Figura 8.) A densidade cm qualquer ponto é proporcional à dbtância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de E. Em coordenadas cilíndricas, o cilindro é r podemos escrever

e o paraholoide é

=

z=

l - r2 e

E = {

(1

"'/ 1

x = p sen cos (J

Além disso, a fórmu la da distância

z=

y = p sen sen (J

mo~lra

o

p cos

que

X

y

--- -1

~=x2+y2+z2

P'(x,y.0)

FIGURA 5

Usamos essa equação para converter de coordenadas retangulares para coordenadas esféricus.

= (2, 1T/4, 7r/J)

O ponto (2, -rr/ 4, -rr/3) é dado em coordenadas esféricas. Marque o ponto e encontre sua coordenadas retangulares.

7T

(Jf)( .J2

- -1 ) =

/

3 ~

o

SOLUÇÃO Marcamos o pouto na Figura h. Das Equações 1, temos

x = p sen r/> cos tJ = 2 sen -7r cos -7r = 2 - 3 4 2

-

X

FIGURA 6

928

CÁLCULO

y=

p sen sen e = 2 sen

z= Logo, o ponto (2, 7r/4, 7T/3) é (

~A 'EN(. Não existe uma con· vençào universal na notação de coordenadas esféricas. A ma1or1a dos livros de física troca os significados de Oe e usa r no lugar de p.

37T

sen

47T

(./3)( J2 2

= 2( ~ )

p cos = 2 cos ;

/372.

1 )

= 2 - -

=

1

j3fi, 1) em coordenadas retangulares.

-

O ponto (O, 2 ,/3. -2) está dado em coordenadas retangulares. Encontre coordenadas esféricas para este ponto. ~t; Jt,;A

Da Equação 2, temos

p e,

a~sim.

=

.Jx2 + y2 + z

2

=

Jo +

J2

+

4 = 4

as Equações 1 fornecem

z

cos = p Em Module 15 9você pode investigar famílias de superfícies em coorde· nadas c1lmdricas e esféricas.

cos (}

-2

=-

4

X

=

p sen

(Observe que fl oF 3rr/2 porque y = 2/3 ponto dado são (4. 7T/2, 2rr/3).

= - -

1

2

=o >

27T 3

e/> = -

7T

6= 2

0.) Portanto, as coordenadas esféricas do

Cálculo de Integrais Triplas com Coordenadas Esféricas Neste sistema de coordenaJas, o correspondente à caixa retangular é uma cunha esférica

E = { (p, 8, ) 1 a ,,,;; p ,,,;; b, a ,,,;; 8 ,,,;; {3. e ,,,;; ,,,;;

d}

onde a ~ O, {3 - a ,,,;; 27T e d - e ,,,;; rr. Apesar de termos definido as integrais triplas dividindo sólidos em pequenas caixas, podemos mostrar que, dividindo o sólido em pequenas cunhas esféricas, obtemos sempre o mesmo resultado. Assim. dividiremos E em pequenas cunhas esféricas EÍ}k por meio de esferas igualmente espaçadas p = p;, semiplanos 6 = e semicones = k- A Figura 7 mostra que E;i 4é aproximadamente uma caixa retangular com dimensões tlp, p, ó. (arco de circunferência de raio p,, e ângulo tl) e p , sen • tlO (arco de circunferência de raio p , sen t. e ângulo tlO). Logo. uma aproximação Jo volume de E,i< y é dada por

ei

X

FIGURA 7

De fato. pode ser mostrado, com a ajuda do Teorema do Valor Médio (Exercício 4 7). que o valor exato do volume de E,1• é dado por

onde (p,, (Ji· "'p 2 "

0

1

0

1

2

sen dp dO d

929

930

CÁLCULO

=

Í" sen d Í

Jo

2

"

Jo

dO ,., p 2e"' dp

.o

ERVA Seria extremamente complicado calcular a integral do Exemplo 3 sem coordenadas esféricas. Com coordenadas retangulares. a integral iterada seria

f- • f-_rr=;r f ,/f'=Xl"

1

Jl-x·'-,.l elx 2 +>·'+ ,· ' ) " ' dz dy dx

-J•-•'-.•·'

do cone::: =

UtiliL.e coordcm1da~ esféricas para determinar o volume do sólido que fica acima J:c 2 + y 2 e abaixo da esfera :c 2 + y 2 + z2 = :::. (Veja a Figura 9.)

=t 10. O. 1) .1 ~

1\ \

I'

; •

/

-

1 y 2 + z' =:

-/x~ + yz

'~

x/

FIGURA 9

J

Observe que a esfera passa pela origem e tem centro em equação da esfera em coorde nadas esféricas como p 2 = pcos

ou

p

=

(O, O. ~).

Escrevemos a

cos

A equação do cone pode ser escrita como

Jp 2 sen 2 cos 2(} + p 2 sen 2 sen 2(}

p cos A Figura 10 mostra uma visão (desta vez. utilizando o MAPLE) do sólido do Exemplo 4

=

p sen

cos .ou = -rr/ 4. Portanto. a descrição do sólido E em coordena-

Isto resulta cm sen da!'. esféricas é

E = {(p, 8. ) 1 O ~ 8 ~ 2-rr. O ~ ~ -rr/ 4. O ~ p ~ cos } A Figura 11 mostra como E é apagado se integramos primeiro em relação a p, depoi!> em relação a . e então em relação a O. O volume de E é

·1· J'27T f."/~ rcos"' , f.1•• dV = 0 • 0 Ju p· sen

V(E)

dp d dO

E

=

f,

2 "

1)

FIGURA 10

Visual 159mostra uma animação da Figura 11

dtJ

j'"1" sen [~] rco• o

3

d>d

p-0

14

cos" ]" - -27T f."I" sen cos , d = -2-rr [ - 3 o 3 4 (1

7T

8

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

:

lfJI

O

.if f(r cos (}, r sen O) 1~~;: ;~ 1 dr d8 o

.L

·p

fb J. f(r cos (), r sen O) r dr d(}

que é o mesmo que a Fórmula 15.4.2 Utilize a mudança de va1iáveis x = u 2 - v2 , y = 2uv para calcular a integral JJR y dA, onde Ré a região limitada pelo eixo x e pelas parábolas y 2 = 4 - 4x e y 2 = 4 + 4x ,y ~O. SOLUÇÃO A região R está mostrada na Figura 2, (na página 935). No Exemplo 1, descobri-

mos que T(S) = R, onde Sé o quadrado [O, 1] X [O, I]. De fato, a razão que nos levou a fazer a mudança de variável para calcular a integral é que Sé uma região muito mais simples que R. Vamos calcular o jacobiano:

X

FIGURA 7 Transformação para as coordenadas polares

938

CÁLCULO

ax

àx

a(x, y) = a(u, u)

i!u

av

ay

ay

au

av

-2vl = 4u 2 + 4v 2 > O 211

12u 2v

=

Portanto, pelo Teorema 9, y) 1f y dA f.Js 2uv a(x, a(u, v)

1

f' f'

dA = Jo Jo (2uv)4

(u-' + v-') du dv

1

R

-

OBSERVAÇÃO O Exemplo 2 não foi um problema muito difícil de resolver porque já conhecíamos uma mudança de variáveis apropriada. Se não a conhecêssemos de antemão, então o primeiro passo seria descobrir uma mudança de variáveis apropriada. Sef(x. y) for difícil de integrar, então a forma de f (x, y) pode sugerir uma transformação. Se a região de integração Ré complicada, então a transformação deve ser escolhida para que a região S correspondente no plano m• tenha uma descrição mais conveniente.

Calcule a integral JJ~ e" dy dx

f~

=

ex'+v' sen y

2 1

1

jºl (x 0

2

+ JY) sen(x2 y 2 )dx dy ~ 9

Se D é um disco dado por x 2

x 2 sen(x - y) dy dx

=

J'

2

1

(' ('

JoJo

JJ J4 - x

2

-

+ y 2 ,.;; 4. então y 2 dA= !f1T

2

x dx

Jx + y 2 dx dy 8.

s· 3

e' dy

A integral J(I~ kr 3 dz dr d(J re presenta o momento de inércia em relação ao eixo z de um sólido E com de nsidade constante k.

9. A integral

r2.. r f.2r dz dr d(J

Jo Jo-

dx dy = O

5. Se /for contínua em LO. I ], então.

J: J j{x) j{y) dy dx [f: f(,x)dx J2 1

0

7.

4

S

D

lo Jo

3.

f

6.

=

representa o volume limitado pelo cone plano:: = 2.

z = Jx 2 + y 2

e pelo

942

CÁLCULO

Exercícios 1.

A figura mostra o mapa de contorno de f no quadrado R = [O, 3) X [O. 3). UtiliLe uma soma de Riemann de nove termos para estimar o valor de .(I~ f(x, y) dA. Tome os pontos de amostragem como os cantos superiores direitos dos quadrados.

IJ0 xydA, onde

16. .

D = {(x, y) 1 O ~ y ~ 1, y 2 ~ x ""y

+

2}

ff ~ dA, onde D é limitado por v = ,/X, v = O. x = 1 o 1 18. Jf -- - , dA, onde D é a região triangular com vértices (0, 0), + x· 1

17.

••

[+X

.

.

D

(1. 1) e (O, 1)

JJ

y dA. onde D é a região no primeiro quadrante limit:ida pelas 0 parábolas x = y 2 ex = 8 - y 2 20. 0 y dA, onde D é a região do primeiro quadrante que está acima Ja hipérbole xy = 1 e da reta y = x e abaixo da reta y = 2 21 . .í.fo (x 2 + y 2 }312 dA. onJe D é a região do primeiro quaJr::rnte limit:.tda pelas reta\ y = Oe y = fixe pelo círculo x 2 + y 2 = 9 22. .(f0 x dA. onde D é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 2

19.

JJ

23.

JJl xy dV, onde E = {(x, y, z) 1 O ~ x .;; 3, Ü "";:~X+

O ~ y ~ x,

y}

24. f(I~ xy dV. onJe T é o tetraedro sólido com vértices (O, O. O).

2.

Utilize a Regra do Ponto Médio para estimar a integral do Exercício 1. 3-8 Calcule a integral iterada. 2 2 4. f l ye'-' d~ dy 3. í (y + 2xe') dxdv

JJo

5.

ri

Jn Jo

·

1

1

f Í' cos(x 2 ) dy dr

2 Joí' J,'' 3xy dy dx

6.

Jo Jo

1

gião mostrada efé uma função arbitrária contínua cm R. 1~

y

J 4

4

R

2 -2

o

4

2

X

o

-4

4 X

11. Descreva a região cuja área é dada pela integral

..12 i "'n28 r d rd(J io o 12. Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral

i. 12 i"/2 f2 ()

o

1

p 2 sen dp d d(J

e calcule a integral. 13-14 Calcule a integral iterada, primeiro invertendo a ordem de in-

rs:

tegração. 13.

f, J -ye''-dxdy 1

cos(y 2 ) dy dx

14.

O

1

,/V

X

3

15-28 Calcule o valor da integral múltipla. 15. fJ~ ye'' dA, onde R

=

-

z2

e pelo plano x = O onJe E é limitado pelos planos y = O, z = O. x + y = 2 e pelo cilindro y 2 + z2 = 1 no primeiro octante 27. .IJI~ y;: dV, onJe E está acima do plano z = O, abaixo do plano z = y e dentro do cilinJro x 2 + y 2 = 4 2 + y 2 + ;: 2 dV, onde H é o hemisfério sóliJo com cen28. m~ tro na origem e raio 1, que está acima do plano X)'

26.

JJl z dV.

29-34 Determine o volume do sólido JaJo. 29. Abaixo do paraboloide z = x 2 + 4/ e acima do retângulo R =[0,2) X [1,4] 30. Abaixo da superfície z = x 2 y e acima do triângulo no plano xy com vértices ( 1, 0), (2. 1) e (4, 0) 31. O tetraedro ~ólido com vértices (0, O. 0), (0, O, 1). (O. 2, 0) e (2, 2, 0)

R

-4

1 - y2

1

Í Í ' f 6xy;: dz dx dy

Jo Jn J"'

9-10 Escreva Jj~ f(x, y) dA como uma integral iterada, onde Ré are-

a

2 2 ;:

zVx

X

8.

G. o, o}, (O, I. O) e (O, o. 1) 25. JJl y dV, onde E é limitado pelo paraboloide x =

32. LimitaJo pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 e pelos planos z = O ey +z= 3 33. Uma Jas cunhas obtidas pelo corte do ci lindro x 2 + 9y 2 = a 2 pelos planos ;: = O e ;: = mx 34. Acima do paraboloide z = :r 2 + y 2 e abaixo do semicone z = Jx2 + yi 35. Considere uma lâmina que ocupa, no primeiro quaJrante, a região D limitaJa pela parábola x = 1 - y 2 e pelos eixos coordenados. com função densidade p(x. y) = y. (a) Determine a massa da lâmina. (b) Determine o centro de massa. (e) Determine os momentos Je inércia e os raios de giração cm relação aos eixos x e y. 36. Uma lâmina ocupa a parte Jo disco x 2 + y 2 ~ a 2 que está no primeiro quadrante. (a) Determine o centroidc da lâmina. (b) Determine o centro de ma~sa da lâmina se a função densidade for p(x, y) = xy 2 .

{(x, y) 1O ~ x ,,;;; 2. O ,,;;; y ,,;;; 3}

É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador

·~:11 É nece~sário u~ar um sistema tlc computação algébrica

INTEGRAIS MÚLTIPlAS

37. (a) Detennine o centroide de um cor c c ircular reto com a ltura lt

48. Dê outras cinco integrais iteradas iguais a

e base com raio a. (Coloque o c.__

)<

~<

í'

._-,,~

' '<

')•V

._,.~ .. J

Problemas Quentes 1.

Se nx~ denota o maior inteiro contido em X, calcule a integral

ff [x + yJdA li

"""' x"""' 3, 2 ~ y ~ 5}.

onde R = {(x,y) j I 2. Calcule a Integral

f: f: emax!x'.y't dy dx

onde max {x 2, y 2 } significa o maior dos números x 2 e y2 • 3. Encontre o valor médio da função f(x) = cos(t 2 )dt no intervalo [O, lj. 4. Se a, b e e são vetores constantes, r é o vetor posição xi + yj + zk e E é dado pelas inequações O """' a · r ~ a , O """' b · r ~ {3, O ~ e · r ~ y, mostre que

J:

iIJ

(a • r)(b · r)(c · r) dV

=

F.

1

5. A integral dupla f f

1

Jo Jo

-

-

1 -

1 - xy

SI 3

(a f3y)2 . (b X e) I

dx dy é uma integral imprópria e po O, b > O. e > O

y2 z2 -:;- + - 2 + -:;a· b e

~

em dois pedaços. Encontre o volume do pedaço menor.

945

Cálculo Vetorial

Dreamworks/Photofest

Neste capítulo, estudaremos os cálculos de campos vetoriais. (Estes são as funções que associam vetores a pontos no espaço.) Em particular. definiremos integrais de linha (que podem ser usadas para encontrar o trabalho realizado por um campo de força para mover um objeto ao longo de uma curva). Em seguida, definiremos integrais de superfície (que podem ser usadas para encontrar a taxa de fluxo do fluido através de uma superfície). As conexões entre esses novos tipos de integrais e as integrais unidimensionais, duplas e triplas que já vimos são dadas por versões em maior dimensão do Teorema Fundamental do Cálculo: Teorema de Green, Teorema de Stokes e o Teorema do Divergente.

948

CÁLCULO

Campos Vetoriais Os vetores da Figura 1 representam os vetores velocidade do ar e indicam a velocidade escalar, a direção e o sentido do vento em pontos a 1O m da superfície, na área da Baía de São Francisco. Nós vemos num relance a partir das maiores setas na parte (a) que as velocidades do vento maiores naquele tempo ocorreram quando entraram na baía do outro lado da Ponte Golden Gate. A parte (b) mostra o padrão de vento muito diferente 12 horas antes. Associado a cada ponto do ar. podemos imaginar um vetur velocidade do vento. Este é um exemplo de campo vetorial de velocidade.

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(b) 6:00. Iº março de 2010

FIGURA 1 Campos vetoriais de velocidade mostrando aspectos do vento na Baía de São Francisco

Outros exemplos de campos vetoriais de velocidade estilo ilustrados na Figura 2: correntes oceânicas e do fluxo passando por um aerofólio.

\

.'

(a) Correntes oceânicas em frente à costa de Nova Escócia

(b) E~coamento do ar por um aerofólio inclinado

FI GURA 2 Campos vetoriais de velociilad~

Outro tipo de campo vetorial, chamado campo de força. associa um vetor força a cada ponto da região. Um exemplo é o campo de força gravitaciomtl que examinaremos no Exemplo 4. Em geral, um campo vetorial é uma função cujo domínio é um conjunto de pontos de IR2 (ou IR3) e cuja imagem é um conjunto de vetores em V 2 (ou V3).

[JJ

Definição Seja D um conjunto em ll\ll 2 (uma região plana). Um campo vetorial em IR é uma função F que associa a cada ponto (x, y) em D um vetor bidimensional 2

F(x, y).

949

CÁLCULO VETORIAL

A melhor maneira de enxergar um campo vetorial é desenhar a seta representando o vetor F(x, y) começando no ponto (x, y). É claro que é impossível fazer isso para todos os pontos (x, y), mas podemos visualizar F fazendo isso para alguns pontos representativos em D, como na Figura 3. Uma vez que F(x. y) é um vetor bidimensional , podemos escrevê-lo em termos de suas funções componentes P e Q da seguinte fonna: F(x, y)

y \ F(x, y )

"

= P(x, y) i + Q(x, y) j = (P (x, y), Q(x, y))

ou, de forma mais compacta,

\

,. o

(X, )')

. ----

X

F =P i +Q j

Observe que P e Q são funções escalares de duas variáveis e são chamadas, algumas vezes, campos escalares, para distingui-los dos campos veto riais.

FIGURA 3

Campo vetorial em IR1 2

~ Definição Seja E um subcon.1unto de IR 3• Um campo vetorial em IR3 é uma função F que associa a cada ponto (x. y, z) em E um vetor triJimens ional F(x, y, z). :

Um campo vetorial F em lll3 está ilustrado na Figura 4. Podemos escrevê-lo e m termos das fun ções componentes P, Q e R como F(x, y, z)

~

= P(x, v, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k

Como nas funções vetoriais na Seção 13.1, podemos definir a continuidade dos campos vetoriais e mostrar que F será contínua se (O, 3)

(-2, -2) (- 3, O) (0, -1) (2, -2) (O, -3)

(2, -2) (O, -3)

(3, 0) (0, l) (-2, 2) (0, 3)

(-1 , O> ( -2, - 2) (-3, O,>

o

(x, y . :)

1 1 / 1/

X

yi

)'

F (0, 3) .. ___ ~

/

F (2. 2)

..

F (l , 0) X

•

•

(\,O)

O

Isso mostra que F(x, y) é perpendicular ao vetor posição (x, y) e, portanto, tangente ao círculo com centro na origem e raio 1x1'= Jx 2 + y 2 . Observe também que

IF(x,y) i = J(- -y)Z +xz = J.x 2 + y2 =

)'

FIGURA 4

(2, 2) (3, O)

+ x j ) = - xy + yx =

/

Campo vetorial em IR1·1

FIGURA 5

+ y j) · (-

1

1 1 1

es-

Na Figura 5, parece que cada seta é tangente a um círculo com centro na origem. Para confirmarmos isso, vamos tomar o produto escalar do vetor posição x = x i + y j com o vetor F(x) = F(x, y): x · F(x) = (x i

F(x, y.:J

--- --- ---..Y

SOLUÇÃO Uma vez que F ( 1, 0) = j , desenhamos o vetor j = (O. 1) começando no ponto (1, 0) na Figura 5. Uma vez que F(O, 1) = - i , desenhamos o vetor (- 1, O) com ponto inic ial (0, 1). Continuando desta maneini, podemos calcular vários outros valores representativos de F(x, y) na tabela e extrair o~ vetores corresponde ntes para representar o campo vetorial na Figura 5. (x, y)

1

lxl

de modo que o comprimento do vetor F (x, y) é igual ao raio do círcu lo.

-

Alguns sistemas de computação algébrica são capazes de traçar um campo vetorial em duas ou três dimensões. Eles fornecem melhor visualização do campo que o esboço feito à mão, pois o computaJor pode desenhai grande número de vetores representativos. A Figura 6 apresenta uma saída Je computador para o campo vetorial do Exemplo 1; a.s Figuras 7 e 8 mostram outros dois campos vetoriais. Observe que o computador muda a escala de

F(x, y ) = -y i

+xj

/

950

CÁLCULO

comprimento do vetor para que ele não fique comprido demais, embora ainda seja proporcional ao verdadei ro comprimento.

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5

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-6

5 FIGURA 6 F(x, y) = (-y, x)

1,.,, - - ,, ,. /

/ I 1 ,

FIGURA 8 F (x. y) = ( ln( 1 + y 2), ln f1 + x 2 ))

FIGURA 7 F (x. y) = (y. sen x)

Will·" 1

Esboce o campo vetorial em R 3 dado por F(.r. y, z)

= ;: k.

SOLUÇÃO O desenho está mo!>trado na Figura 9. Observe que todos os vetores são verticais, apontando para cima. quando acima do plano.\)' ou para baixo. quando abaixo do plano .xy. O comprimento aumenta à medida que nos distanciamos do plano .ry.

I -1 I 1

II

1 1 1 1 o l l l l l

.\

FIGURA 9 F(x. y. :) =: k

y

I I I l• I

-

Somos capa1es de desenhar o campo vetorial do Exemplo 2 à mão. pois e le é especialmente simples. A maioria dos campos vetoriais tridimensionais, no entanto, são virtualmente impossíveis de serem d esenhados à mão e, por isso, precisamos recorrer a um sistema de computação algébrica. Exemplos são mostrados nas Figuras 1O. l 1 e 12. Observe 4ue os campos vetoriais nas Figuras 10 e 11 têm fórmulas semelhantes, m;c, todos os vetores na Figura 11 apontam na direção geral do eixo negativo y porque seus componentes y são todos -2. Se o campo vetorial na Figura 12 repre:-.enta um campo de veloc idades, então uma partícula seria levada para cima e iria es piralar em torno do eixo z no 5entido horário 4uando visto de cima.

5

= o

o

- )

- 1

FIGURA 10 F (.1,y.:)=y i +: j t xk

=3

FIGURA 12

FIGURA 11 F(x, y. -) = y i - 2 j

+x k

F (x,y,=)

=?

t

=j

-

•i

k

CÁLCULO VETORIAL

Imagine um líquido esrnando uniformemente em um cano e seja V(x. y , ;:) o vetor velocidade em um ponto (x. y, z). Então V associa um vetor a cada ponto (x, y, z) de certo domínio E (interior do cano) e assim. V é um campo vetoria l em ~ ' chamado campo d e velocidade. Um possível campo de velc•cidade é ilustrado na Figura 13. A velocidade em qualquer ponto é indicada pelo comprimento da seta. Campos de velocidade ocorrem em outra.'> áreas da física. Por exemplo: o campo vetorial do Exemplo 1 pode ser usado como o campo de velocidade tlescrevendo a rotaçiio no sentido anti-horário de uma roda. Vimos outros exemplos de campo de velocidade nas Figu-

ras 1e2.

liD Em Visual 16 1você pode girar os campos de vetores nas Figuras 10-12, bem como os campos ad1c1ona1s.

-

A Lei da Gravitação de Newton afirma que a intensidade da força gravitacional entre dois objetos com massas m e M é

FIGURA 13 Campo de velocidade do escoamento de um íluido

onde ré a distância entre os objetos e G é a constante gravitacional. (Este é um exemplo de uma lei inversa da raiz quadratla.) Var1os supor que o objeto com massa M esteja localizado na origem em ~ 3 • (Por exemplo. M pode ser a ma!>Sa da Terra e a origem estaria em seu centro.) Seja o vetor posição do objeto com massa m x = (x, y, z). Então r = lxl. logo, r = lxl 2 . A força gravitacional exercida nesse segundo objeto age em direção à origem e o vetor unitário em sua direção é X

Portanto, a força gravitacional agintlo no objeto em x

= (x, y, z) é ''~ 1!

mMG Fx) = - - - x

1X11

!Os físicos usam frequentemente a notação r ao invés de x para o vetor posição, então você pode ver a Fórmula 3 escrita na forma F = - (mMG/r3)r .] A função dada pela Equação 3 é um exemplo de campo vetorial, cham< do ca mpo gr avitaciona l, porque associa um vetor [a força F(x)J a cada ponto x do espaço. A Fórmula 3 é um modo compac to de escrever o campo gravitacional, mas potlemos escrevê-lo em termos de suas funções componente!>, usando o fato de que x = x i + y j + ;:k c 1x1 = Jx2+ y i + z 2 :

- mMGx

F (x. Y, .::) = , · (x-

.

- mMGy

1 + y ,- + z-' )31'- +

(x

2

O campo gravitacional F está il ustradc na Figura 14.

-

Suponha que uma carga e létrica Q esteja localizada na origem. Pela Lei tle Coulomb, a força e létrica F(x) exercida p.>r essa carga sobre uma carga q localizada no ponto (x, y, ~) com vetor posição x = (x. y, z> é

] '( ) = X

eqQ

lxl3 X

onde e é uma con~tante (que depende ela unitlade usada). Para cargas de mesmo sinal, temos qQ > O e a força é repu lsiva; para cargas opostas temos qQ < O e a força é atrativa. Observe a semelhança entre as Fórmulas 3 e 4. Ambas são exemplos de campos de força. Em vez de considerarem a força elétrica F, o~ físicos freq uentemente consitlcram a força por unitlade de carga: E(x)

-= -

1

q

eQ F(x) = - - x

1X 13

Então E é um campo vetorial em ~ 3 chamado campo elétrico de Q.

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I

I

·1. -.., /

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- mMG:

+ y-• + .z-')3/2 j + (x-, + V-, + z2)3·-' k

-

951

FIGURA 14 Campo de força gravitacional

952

CÁLCULO

Campos Gradiente Sef é uma função escalar de duas variáveis, sabemos da Seção 14.6 que seu gradiente Vf(ou grad f) é definido por

'ilf (x, y)

= f,(x, y) i + f;(x, y) j

Portanto, 'ilf é realmente um campo vetorial em ~ 2 e é denominado campo vetorial gradiente. Da mesma forma, se f for uma função escalar de três variáveis, seu gradiente é um campo vetorial em ~3 dado por

'ilf (x. y, z)

= fx(x, y, z) i + fi.(x, y, z) j + f.(x, y, z) k

Determine o campo vetorial gradiente def(x, y) = x 2y - y3. Desenhe o campo vetorial gradiente juntamente com um mapa de contorno def. Como eles estão relacionados? O campo vetorial gradiente é dado por

'ilf(x.y)

=

af i + ª1 j = 2xyi + (x 2 ax ay

-

3y 2 )j

A Figura 15 mostra o mapa de contorno de f com o campo vetorial gradiente. Observe que os vetores gradientes são perpendiculares às curvas de nível, como devíamos esperar da Seção 14.6. Observe também que os vetores gradientes são mais longos onde as curvas de nível estão mais próximas umas das outras e mais curtos quando elas estão mais distantes entre si. isso se deve ao fato de o comprimento do vetor gradiente ser o valor da derivada direcional de f e a proximidade das curvas de nível indicar uma grande inclinação no gráfico.

4

Um campo vetorial Fé chamado campo vetorial conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar, ou seja. se existir uma função f tal que F = 'ilf Nessa situação,/ é denominada função potencial de F. Nem todos os campos vetoriais são conservativos, mas estes campos aparecem frequentemente em física. Por exemplo: o campo gravitacional F do Exemplo 4 é conservativo, pois. se definimos

-4 FIGURA 15

f(x, y, z) = então

'ilf(x,y, z)

= -

mMG

Jx ,- + y 2 + z 2

af 1. + -af.J + -afk ax ay ª= - mMGx

(x 2

.

1 + y 2 + z 2 ) 3/'- +

-mMGy

(x 2

' 3/2 j + + y-, + z-)

(x·~

-mMG: ' 3/2 + y 2 + z-)

k

= F(x, y , z)

Nas Seções 16.3 e 16.5, aprenderemos a determinar se um campo vetorial é conservativo ou não.

Exercícios Esboce o campo vetorial F desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figum 9. 1.

F(x . y) = 0,3 i - 0,4 j

3.

F(x, y)

= - ~ i + (y -

5.

F(x,y)

=

+ xj Jx2 + y 2 yi

x)j

2. F(x. y)

= ~xi + yj

4. F(x, y)

= y i + (x + y) j

6.

F(x, y )

=

yi - xj Jx2

É necessário usar um siste ma de computação algébrica

+ yZ

7.

F(x. y, z) = k

8.

9.

F(x, y. z) = x k

to. F(x, y , z) = j - i

F (x,y,.:) = - y k

11 14 Faça a correspondência entre o campo vetorial F

e a figura

rotulada de T- IV. Justifique suas escolhas. 11

F(x, y) = (x. - y)

13.

F(x, y) = (y, y

+ 2)

12. F(x. y) = (y, x, -y) 14. F(x, y)

= (cos (x + y). x)

1 As Homework H int~ e~tão d isponíveis em www.stewartcalculus.com

953

CÁLCULO VETORIAL

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3

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27 ·28 Desenhe o campo vetorial gradiente c.le f juntamente com um mapa de contorno def Explique como eles estão rclacionac.los entre si.

~

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IV

3

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1 / 1

27.

f

(X,)') =

31.

f

(x, y) = (.x +

- 4

f

(x. y) = x(x

32. f(x. y)

I

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,, " . ..... • • I f

\

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\ \

\

sen Jx 2 + y 2

=

4 ,

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-4

/

4

//?

IV

4 /

'

-4 - - - - + -- - - - 4

./ I

' -4

IV

Uma partícula se move em um campo de velocidade V(x. y) = (.x2 , x + y2). Se ela está na posição (2. 1) no instante t = 3, estime sua posição no instante t = 3,01.

34.

No instante t = 1, uma partículll está locali1adll na posição (1, 3). Se ela se move cm um campo de velocidade F (x, y) = (xy - 2, y2- 10) encontre sua posição aproximada no instllnte t = 1,05.

35.

As linhas de escoam en to (ou linhas d e corrente) de um campo vetorial são as trajetórias seguidas por uma partícula cujo campo de velocidade é um campo vetorial dado. Assim, os vetores do campo vetorial são tangentes a suas linhas de flux o. (a) Use um esboço do campo vetorial F(x. y) =x i - y j parn desenhar algumas linhas de escoamento. Desses seus esboços é possível descobrir qual é a equação das linhas de escoamento'? (b) Se as equações paramétricas de uma linha de escoamento são x = x(t), y = y(t). explique por que essas funções satisfazem as equações diferenciais dxldt = x e dyldt = -y. Então resolva as e4uações diferenciais para encontrar uma equação da linha de escoamento que passa através do ponto (1 , 1).

o

o - 1

l

o

-1 X

19. Se você dispõe de um SCA 4ue trace campos vetoriai~ (o comando para fazê- lo no Maplc é fiel d plot e no Mathc matica é PlotVectorField ou VectorPlo t). use-o para traçar F (x. y) = (y2 -

Explique

~ua

2ry) i

+

(3xy - 6:r2 ) j

aparência, detcrminandC' um conjunto de pontos O.

(.x, y) tal que F (x. y) =

20. Seja F(x) = (r2 - 2r)x, onde x = (:r. y) e r = lxl . Use um SCA para traçar e~se campo vetorial cm vános domínios, até conseguir visualizar o q ue ocorre. Descreva a aparência do desenho e explique-o, determinando os pontos onde F(x) = O. 21-24 Determine o campo vetorial gradiente/ 21 . f (x, y) = :re'-" 23. f(X.)', : ) = Jx 2 + y 2 +

22. f(x, 1') = tg(3x - 4y)

;2

24. f(x, v, .::) = x cos(y/z)

/

-4

33.

o y

Ili

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-----

(x, y) = cos x - 2 sen y

J ' • ,,.

3

! / //,

18. F(.1.y.z) = x i+ y j +::k

f

li

JI

-3

17. F(x.y,z)=x i +y j +3 k

28.

30.

y)2

l

Ili

- 1

2

X

4

~,,,.

16. F(.,,y, z) = i + 2j + : k

+ 2y2)

A.J

+y

29.

--

15. F(x. y.:) = i + 2j + 3 k

;o

(.x, y) = ln( 1 +

~

....... ,,. /'

26. f(x, y) = Jx 2

29 ·32 Faça uma correspondê ncia entre as funções f e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes rotulados de 1- IV. Justifique suas escolhas.

15 18 Faça a correspondência entre o campo vetorial F cm IR3 c a figura rotulada de 1- IV Ju~t ifique suas es1·olhas.

/

f

\,""

\,'

' ' '

,

..

\ \. ~

I I I

.i

+ y2

25. f (x, y) = .i.-2 - y

'

1

25 26 Determine o campo vetorial gradiente V/ de/ e esboce-o.

i

- ', \ -- ' \ 3 - ,, I -, 1 ,, I ,, - , ' i '1 'r '! \

./ d d8

-

Área de Superfície do Gráfico de uma Função Para o caso especial de uma superfície S com equação z =f (x, y), onde (x, y) está em D eftem derivadas parciais contínuas, tomamos x e y como parâmetros. As equações paramétricas são

x=x assim,

r,

=

i

+

y =y

(a:;af)

k

z r -" = j

= j (x, y) + ( :;) k

989

990

CÁLCULO

e j

r,

m

X

r_.

1r ,

iJf

=

iJf i -

ax

iJf j + k

ay

ay

r+(:;r+

~( ::

X ry 1 =

-

ax

iJf

o

Então ternos

m

O

=

k

l

=

~

l

r r

+(:: +(:;

e a fórmula de área da superfície na Definição 6 fica Observe a semelhança entre a fórmula da área da superiíc1e da Equação 9 e a fórmula do comprimento do arco

A(S)=ff

~1+(:;)2+(:;)2dA

D

Determine a área da parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está abaixo do plano

z=

da Seção 8.1, no Volume 1.

9.

O plano intercepta o paraboloide no círculo x2 + y 2 = 9, z = 9. Portanto, a superfície dada fica acima do disco D com centro na origem e raio 3. (Veja a Figura 16.) Usando a Fórmula 9, ternos SOLUÇÃO

A~~~!+(*)'+(:;)' dA ~ ~ ./! +(2x)' +(2y)' dA =

ff J l + 4(x

2

+ y 2 ) dA

D

Convertendo para coordenadas polares, obtemos

J J: .Jt + 4r 2

3

A=

y

X

=

FIGURA 16

0

"

2

r dr dO

27T(V5c1 + 4r 2 )312 ]~ =

=

J:" d O J: r.JI + 4r

2

dr

; (37 j37 - 1)

-

Precisamos ainda verificar se nossa definição da área de superfície [filé coerente com a fórmula da área de superfície obtida no cálculo com urna única variável (8.2.4). Consideremos a superfície S obtida pela rotação da curva y = f (x), a ~ x ~ b, em torno do eixo x, onde f (x) ~ O e f' é contínua. Da Equação 3, sabemos que as equações paramétricas de S são

x =x

y

=f

(x) cos (}

X r9 IdA

D

Em vez disso. poderíamos usar as Fórmulas 64 e 67 da Tabela de Integrais.

=

1 Jof2"" 20 + 1[

= 2

cos 20) d8

e + 21 sen w] o2rr

[

f,,. Jo (sen

-cos

o

- sen cos-} d

47T + 31 cos 3] ,,.o = 3

-

As integrais de superfície têm aplicações semelhantes àquelas das integrais que estudamos anteriormente. Por exemplo, se uma folha fina (digamos, uma folha de alumínio) tiver a forma r.Je uma superfície S e se a densidade (massa por unidade de área) no ponto (x, y, z) for p(x. y, z), então o total da massa r.Ja folha será

CÁLCULO VETORIAL

m =

JJ p(x, y, z) dS s

e o centro de massa será (i, y, :), onde

x=

y = _!_ (J y p(x, y, z) dS nz,

_!_ J.J x p{x, y. z) dS m

: =

s

,\

1~ Jf z p(x, y, z) dS ~

Os momentos de inércia também podem ser definidos como antes (veja o Exercício 41 ).

Gráficos Qualquer superfície S com equação z = g(x, y) pode ser considerada uma superfície parametrizada com equações parametrizadas

r,

e, então, temos

. + (-ag ) k

= 1

z = g(x. y)

y = y

x=x

. + (ªg-ay )k

r>= J

ax

de modo que r X r = r

e

1r , X

a9

- -

ax

'

r, 1 =

~

( :;

Logo, neste caso, a Fórmula 2 se torna

.

1 -

a •+ k

-9J

ay

y r ~ y r + ( :;

SJ f(x, y, z) dS = ~· J(x, y, g(x, y))

+

+ ( :;

( ::

+

1 dA

~~~~~~~---'

Existem fórmulas análogas para quando for mais conveniente projetar S no plano yz ou no plano x::. Por exemplo, se S for a superfície com equação y = h(x, z) e D for sua projeção no plano xz. então

Vf(x, y, z) dS ~· J(x. h(x. z). z) ~( :; =

Calcule

JJ~ y dS.

onde Sé a superfície: - x

r ~; r +(

+

+ y2, O~ x

~

1 dA

1, O~ y

~

2. (Veja a

Figura 2.) SOLUÇÃO Uma vez que

az ax

-= 1

az

-=2y

e

iJy

a Fórmula 4 dá

JJ

y dS =

~ ~1 + ( }'

2

=

f' J., f yJ l + Jo

=

Jo f ' d( J2

=

"'(')' y. O e P 1 é uma fonte. Por outro lado, perto de Pi, os vetores que chegam são maiores que os que saem. Aqui o fluxo total é para dentro, assim div F(P2 ) < O e P2 é um sorvedouro. Podemos usar a fórmula para F para confirmar essa impressão. Uma vez que F = .t2 i + y 2 j. temos div F = 2r + 2y. que é positivo quando y > x. Assim. os pontos acima da linha y = - x silo fontes e os que estão abaixo são sorvedouros.

/ I ! T• /' /

I

-

- ---x

/' / r

I

/

/ I ! T

!!/

_....,,.

• P,

FIGURA 4

Campo vetorial F = x 2 i

1-4 Verifique \C o Teorema do Divergente é verdac.leiro pani o campo vetorial F na região E.

J.

F(x. y. ::) = (z. y. x}. E é a bola sólida .\.! + y2 + z2 .,.;; 16

1.

FC.~. y. ::) - 3x i + .ry j + 2r:: k. E é o cubo limitac.lo pelo\ pla1. y O. y = 1, :: = O e :: 1 nos x = O. x

4.

FF O. Não é difícil pensar em alguns prováveis candidatos para as soluções particulares da Equação 5 se a enunciarmos verbalmente. Estamos procurando uma função y tal que uma constante veze5 sua segunda derivada y" mais outra constante vezes y' mais uma terceira constante vezes y é igual a O. Sabemos que a função exponencial y = e' x (onde ré urna constante) tem a propriedade de que sua derivada é um múltiplo por constante dela mesma: y' = re' x. Além disso, y" = r 2e'". Se substituirmos essa5 expressões na Equação 5, veremos que y = e rx é uma solução se

(ar 2

ou

+

br

+ c)erx = O

Mas e'x nunca é O. Assim, y = e'x é uma solução da Equação 5 se ré uma raiz da equação

~2 +br+ c =O A Equação 6 é denominada equação auxilia r (ou equação característica) da equação diferencial ay" + by' + cy = O. Observe que ela é uma equação algébrica que pode ser obtida da equação diferencial substituindo-se y" por r 2 , y' por r, e y por 1. Algumas vezes as raízes r 1 e r 2 da equação auxiliar podem ser determinadas por fatoração. Em outros casos, elas são encontradas usando-se a fórmula qnadrática:

- b + J b2 2a

-

4ac

- b - Jb 2 2a

4ac

-

Separamos em três ca.~os, de acordo com o sinal do discriminante b 2

-

4ac.

CASO 1 b 2

4 ac > O Nesse caso as raízes r 1 and r 2 da equação auxiliar são reais e distintas, logo y , = e '' x e y2 = e"x são duas soluções linearmente independentes da Equação 5. (Observe que e''.. não é um múltiplo por constante de e''...) Portanto, pelo Teorema 4, temos o seguinte fato.

8 Se as raízes r 1 e r 2 da equação auxiliar ar 2 + br então a solução geral de ay" + by' + cy = O é

+

e = Oforem reais e distintas,

1021

1022

CÁLCULO

+ y'

Resolva a equação y"

- 6y

=

O.

SOLUÇÃO A equação auxiliar é

+

r2

cujas raízes são r Na Figura 1. o gráfico das soluções básicas f(x ) - e ix e g(x) - e 3' da equação diferencial do Exemplo 1 é exibido em azul e vermelho. respectivamente. Algumas das outras soluções. combinações lineares de f e g, são exibidas em preto.

8

=

+ 3)

r - 6 = (r - 2)(r

=

O

2, - 3. Portanto, por [fil, a solução geral da equação diferencial dada é

Poderíamos verificar que isso é de fato uma solução derivando e substituindo na equação diferencial.

d 2y dy Resolva 3 - + - - y = O. 2 dx dx SOLUÇÃO Para resolvennos a equação auxiliar 3r2 r=

-1 ±

+r

-

l

O, usamos a fónnula quadrática:

=

Jl3

6

Uma vez que as raízes são reais e distintas, a solução geral é

y

-5 FIGURA 1

CASO li

= c1e(- i +Ji3).r/6

+ c 2e(- •-Ji3).r/ 6

b2 - 4ac = 0

-

Nesse caso, r1 = r1; isto é, as raízes da equação auxiliar são reais e iguais. Vamos denotar por r o valor comum de r1 e r 2. Então, das Equações 7, temos

[9

r= - -

b

então

2a

2ar + b

= O

Sabemos que Y1 = e'.. é uma solução da Equação 5. Agora verifiquemos que y 2 bém é uma solução:

= xe'.. tam-

+ b)eri + (ar 2 + br + c)xe' .. O(e'.r) + O(xe'') = O

= (2ar =

O primeiro termo é O, pela Equação 9; o segundo termo é O, pois ré uma raiz da equação auxiliar. Uma vez que y 1 = e'.. e y2 = xe'.r são soluções linearmente independentes, o Teorema 4 nos fornece a solução geral.

(!fil

A Figura 2 apresenta as soluções básicas /(x) = e- lx/2 e g(x) = u Jxt2 do Exemplo 3 e alguns outros membros da família de soluções. Observe que todas elas tendem a Oquando x -+ ""·

Se a equação auxiliar ar 2 + br + e = O tem apenas uma raiz real r, então a solução geral de ay" + by' + cy = O é

Resolva a equação 4y" SOLUÇÃO A equação auxiliar 4r

+

2

+

12y'

l2r

+

(2r

-5 FIGURA 2

de modo que a única raiz é r

=

-

~ . Por

+ 9y =

O.

9 = O pode ser fatorada como

+ 3)2

= O

ITQJ, a solução geral é

-

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM

1023

CASO Ili b2 - 4ac < 0 Nesse caso, as raízes r1 e r2 da equação a uxiliar são números complexos. (Veja o Apêndice H para infonnações sobre números complexos.) Podemos escrever r1

=a+ if3

r2 =a - if3

onde a e {3 são números reais. [Na verdade, a= -b/(2a), {3 = J4ac - b 2 /(2a}.] Então, usando a equação de Euler

em

=

+

cos (J

i sen (J

do Apêndice H, escrevemos a solução da equação diferencial como

=

C1eªx(cos {3x

=

eai[(C1

=

eªx(ci cos {3x

+ i sen {3x) + C2eª 32 Resolva o problema de valor de contorno, se possível.

25. y" + 4y = O, y(O) = 5, y(Tr/ 4) - 3 26. y" = 4y, y(O) = l, y(I) = O 27. y" + 4y' + 4y = O, y(O) = 2, y(l) =O 28. y" - 8y' + 17y =O, y(O) = 3, y(Tr) = 2 29. y" = y', y(O) = 1, y(l) = 2 30. 4y" - 4y' + y = O, y(O) = 4, y(2) = O 31. y# + 4y' + 20y =O, y(O) = 1. y(7T) = 2 32. y" + 4y' + 20y =O, y(O) = t. y(Tr) ~ e- 2• 33. Seja L um número real não nulo. (a) Mostre que o problema de contorno y" + Ay - O, y(O) = O, y(L) = O tem apenas a solução trivial y - O para os casos

A= Oe A < O. (b) Para o caso A > O, determine os valores de A para os quais este problema tenha uma ~olução não trivial e dê a solução correspondente. 34. Se a, b e e são todas conMantes positiva:. e y(x) é uma solução da equação diferencial ay" + by' + cy = O, mostre que lim '~" y(x) = O. 35. Considere o problema de valor de contorno y" - 2y' + 2y = O, y (a)= e, y (b) =d. (a) Se este problema tem uma ~olução única, como a e b estão relacionados? (b) Se este problema não tem uma ~olução única. como a. b. e e d estão relacionados? (e) Se este problema tem uma infinidade de soluções, como a, b, e e d estão relacionados?

1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewnrtcalculus.com

1026

CÁLCULO

Equações Lineares Não Homogêneas Nesta seção, aprenderemos a resolver equações diferenciais lineares não homogêneas com coeficientes constantes, isto é, equações da forma ay"

+ by' + cy =

G(x)

onde a, b e e são constantes e G é uma função contínua. A equação homogênea correspondente ay"

2

+

hy'

+

cy

=

O

é chamada equação complementar e desempenha um papel importante na solução da equação não homogênea original ITJ.

ITJ pode seres-

A solução geral da equação diferencial não homogênea crita como y(x) = yp(x)

+ y,(x)

onde YP é uma sol ução particular da Equação l e y, é a solução geral da Equação complementar 2.

Verificamos que, se y for qualquer solução da Equação 1, então y - YP será uma solução da Equação complementar 2. De fato, a(y - yp)"

+ b(y -

yp)'

+ c(y

- yp) = ay" - ay;' =

(ay"

+ by'

+ by' +

- by;

+ cy

cy) - (ay;

- cyP

+ by; + cyp)

= G(x) - G(x) = O

Isso demonstra que cada solução é da forma y(x) = yp(x) função desta forma é uma solução.

+ y,(x). É fácil

verificar que cada

Sabemos, da Seção 17 .1, como resolver a equação complementar. (Recorde que a solução é Yc = C1)11 + c2y2, onde )'1 e )'2 são soluções linearmente independentes da Equação 2.) Além disso, o Teorema 3 diz que conheceremos a solução geral da equação não homogênea assim que conhecermos uma solução particular YP· Existem dois métodos para encontrar uma solução particular: O método dos coeficientes indeterminados é simples, mas funciona apenas para uma classe restrita de funções G. O método de variação de parâmetros funciona para todas as funções G, mas, geralmente, é mais difícil de aplicar na prática. O Método dos Coeficientes Indeterminados Vamos primeiro ilustrar o método dos coeficientes indeterminados para a equação

ay"

+ hy' + cy =

G(x)

onde G(x) é um polinômio. É razoável prever que exista uma solução particular YP que seja um polinômio de mesmo grau de G. pois, se y for um polinômio, então ay" + by' + cy também será um polinômio. Portanto, substituímos yp(x) = a, um polinômio (de mesmo grau de G), na equação diferencial e determinamos os coeficientes.

ltit!Jiml SOLUÇtl

Resolva a equação y"

A eq uação auxiliar de y"

+

y' - 2y

+ y'

- 2y

=

x 2•

=

Oé

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM

+

r2

=

r - 2

(r -

1)(r

1027

+ 2) = O

com as raízes r = 1, -2. Logo, a solução da equação complementar é

Uma vez que G(x) forma

=

x 2 é um polinô mio de grau 2, procuramos uma solução particular da

yp(x) Então,)~ =

2Ax

+

y;'

Be

=

=

Ax 2

+ Bx + C

2A. As5.im, substituindo na equação dife renc ial dada, temos

+ (2Ax + B) - 2(Ax 2 + Bx + C) -2Ax 2 + (2A - 2B)x + (2A + B - 2C) (2A)

ou

=

x2

=

2

x

A Figura 1 mostra quatro soluções da equação diferencial do Exemplo 1 em termos da solução particular YP e das funções f(x) = e' e g(x) - e .,,. 8

Polinômios são iguais quando seus coeficientes são iguais. Assim,

-2A

1

=

2A - 28 =O

2A

+

>i>+2f+3g

/

Yp+ 3g

Yp +2f

-3

B - 2C = O

3

A solução desse sistema de equações é -5

-4

A=

C= -~

B = -~

FIGURA 1

Uma solução particular é, portanto,

-

e, pelo Teorema 3, a solução geral é

Se G(x) (lado direito da Equação 1) é da forma Cek', onde C e k são constantes, então tomamos como uma tentativa de solução uma função de mesma forma, )'p(x) = Aetx, pois as derivadas de ekx são múltiplas po r consta ntes de e"'. Resolva y"

+ 4y =

e3 x.

SOLUÇÃO A equação auxiliar é r 2 plementar é

+4

y,(x) =

Ocom raízes ±2i, logo, a solução da equação com-

=

C1 cos

2x

+

c2 sen 2x

Para uma solução particular tentemos yp(x) = Ae 3x. Então y; tituindo na equação diferencial, temos

= 3Ae 11 e y;' = 9Ae 3x. Subs-

A Figura 2 mostra as soluções da equação diferencial do Exemplo 2 em termos de YP e as funções f(x) = cos 2x e g(x) = ..cn 2x. Observe que todas as soluções tendem a oo quando x ----> oo e todas as soluções (exceto y,) parecem funções seno quando x é negativo. 4

9Ae 1' logo 13Ae 3x

=

e 3x e A

=

+

4 (Ae 3 ')

=

e 1'

-{J. Assim, uma solução partic ular é

e a solução geral é

y(x)

=

c1 cos 2x

+ c2 sen 2x + f3e 3'

-

Se G(x) é C cos kx ou C sen kx, então, por causa das regras de derivação para as funções seno e cosseno, tentamos, como solução particular, uma função da fonna

yp(x) = A cos kx

+ 8 sen kx

-2 FIGURA 2

1028

CÁLCULO

Resolva y" SO UÇJ

+ y'

- 2y

sen x.

=

Tentemos uma solução particular

y; =

Então,

- A sen x

yp(x) = A cos x

+

+

y;: =

B cos x

8 sen x - A cos

x - B sen x

logo, substituindo na equação diferencial, temos (-Acosx - Bsenx)

+

(-Asenx

+

Bcosx) - 2(Acosx

( - 3A

ou

+ B) cos x + (-

+ Bsenx) =

senx

A - 3B) sen x = sen x

Isso acontece se - 3A

+

B =O

-A - 38 = 1

e

A solução deste sistema é

-fõ

A= logo, uma solução particular é yp(x)

=

-fii cos x

fõ sen x

-

No Exemplo 1, tleterminamos que a solução da equação complementar é Y< = c 1ex Assim, a solução geral tia equação dada é y(x)

c1e"

=

+ c2e- 2x -

i\J(cos x

+ 3 sen x)

+ c 2 e- 2...

-

Se G(x) for um produto de funções dos tipos precedentes, então tentamos a solução como um produto de funções tio mesmo tipo. Por exemplo, ao resolver a equação diferencial

y"

+ 2y' +

4y

=

xcos 3x

tentamos yp(x)

(Ax

=

+ B) cos 3x +

(Cx

+

D) sen 3x

Se G(x) for uma soma de funções desses tipos, usamos o princípio da superposição, que é facilmente verificável e nos diz que se YP, e YP, forem soluções de

ay"

+ by' + cy =

respectivamente, então YP,

ay"

G1(x)

+ by' +

cy = G2(x)

+ yp2 é uma solução de

Resolva y" - 4y

=

xex

+ cos 2x.

A equação auxiliar é r 2 - 4 = O com as raízes ±2, logo, a solução da equação complementar é ye{x) = c 1eh + c 2 e- 2'. Para a equação y" - 4y = xe" tentamos

Então y;,

= (Ax +A + B)e', y;:, = (Ax + 2A + B)e-•, Logo, substituindo na equação dada, (Ax

ou

+

2A

+

B)e' - 4(Ax

( - 3Ax

+

+

B)e" = xe"

2A - 3B)e"

Assim -3A = 1 e 2A - 38 = O, logo A = - ~. B = - t e

=

xe"

1029

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM

Na Figura 3 mostramos a solução particular y, = y,, + y, 2 da equação diferencial do Exemplo 4. As outras soluções são dadas em termos de f (x) =e,, e g(x) = e _,,

Para a equação y" - 4y = cos 2x, tentamos y"'(x)

=

+

C cos 2x

5

D sen 2x

y,,+ 2/ +g

I

Yr+g

Substituindo, temos - 4Ccos 2x - 40sen 2x - 4(Ccos 2x ou

+ Dsen 2x) =

- secos 2x - 80 sen 2x

=

cos 2x cos 2x -2

Portanto -8C

=

1, - 80

=

O, e

FIGURA l

Pelo princípio da superposição, a solução geral é

Finalmente, observamos que a solução tentativa recomendada Yr algumas vezes resulta em uma solução da equação complementar e, portanto, não pode ser uma solução de uma equação não homogênea. Em tais casos, multip licamos a solução tentativa recomendada por x (ou por x2 se necessário) de modo que nenhum termo em Yr(x) seja uma solução da equação complementar. Resolva y"

+y

sen x.

=

SOLUÇÃO A equação auxi liar é r 2

+

1 = O com raízes ± i, logo, a solução da equação com-

plementar é yc(x) = e, cos x

Os gráficos de quatro soluções da equação diferencial do Exemplo 5 estão apresentados na Figura 4 4

+ c2 sen x

Geralmente, teríamos usado a solução tentativa Yr(x) = A cos x

+

B sen x

mas observe que ela é uma solução da equação complementar. Então, em vez disso, tentemos -4 Yr(x) = Axcos x

Então

y;(x) = A cos x - Axsen x y,~(x) = - 2A

+ Bxsen x

FIGURA 4

+ Bsen x + Bxcos x

sen x - Axcos x

+ 2Bcos x

- Bxsen x

Substituindo na equação diferencial temos

y; + Yr = logo A = -~, B

=

-2A sen x

+ 28 cos x

=

sen x

O,e y,,(x) = - 4xcosx

A solução geral é y(x) = c 1 cos x

+ c 2 sen x

- 4x cos x

Resumimos o método dos coeficientes indeterminados como segue:

-

1030

CÁLCULO

Resumo do Metodo dos Coeficientes Indeterminados

1. Se G(x) = ekxP(x), onde Pé um polinômio de grau n, então tente yp(x) = ekxQ(x),

onde Q(x) é um polinômio de n-ésimo grau (cujos coeficientes são determinados através da substituição na equação diferencial). 2. Se G(x) = ekxP(x) cos mx ou G(x) = ekxP(x) sen mx, onde Pé um polinômio de n-ésimo grau, então tente yp(x)

=

ekxQ(x) cos mx

+ ekxR(x) sen mx

onde Q e R são polinômios de grau n-ésimo. Modificação: Se algum termo de YP for uma solução da equação complementar, multiplique YP por x (ou por x2 se necessário).

y" - 4y'

+

Determine a forma da solução tentativa para a equação diferencial 13y = e 2" cos 3x.

SOLUÇAo Aqui G(x) tem a forma encontrada na parte 2 do resumo, onde k = 2, m = 3 e

P(x) = 1. Assim, à primeira vista, a forma da solução tentativa deveria ser

Mas a equação auxiliar é r 2 equação complementar é

yp(x)

=

e 2..(A cos 3x

4r

+

13

=

e 2 x(c 1 cos 3.:c

-

yc(x)

+

B sen 3x)

= O, com raízes

+

r

=2

!:: 3i, portanto a solução da

ci sen 3.:c)

Isso significa que temos de multiplicar a solução tentativa sugerida por x. Então, em vez disso, usamos yp(x) = xe 2x(A cos 3x

+

B sen 3x)

O Método da Variação dos Parâmetros Suponha que, após resolver a equação homogênea ay" ção como

+ by' +

-

cy = O, escrevamos a solu-

onde Y1 e y2 são soluções linearmente independentes. Vamos substituir as constantes (ou parâmetros) C 1 e c2 da Equação 4 pelas funções arbitrárias u 1(x) e u2(x). Procuramos uma solução particular da equação não homogênea ay" + by' + cy = G(x) da forma

(Esse método é chamado variação dos parâmetros porque variamos os parâmetros c1 e c 2, tornando-os funções.) Derivando a Equação 5, obtemos 6

Uma vez que ui e u2 são funções arbitrárias, podemos impor duas condições sobre eles. Uma condição é que YP é uma solução da equação diferencial e podemos escolher a outra condição de modo a simplificar nossos cálculos. Considerando a expressão da Equação 6, vamos impor a condição de que 1

UÍY1

+ uíy2 = 0

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA OROEM

1031

Então, Substituindo na equação diferencial, obtemos

ou

[!]

u ,(ay;'

+

+

byl

cy1)

+

ui{ayí'

+

byí

+

cy2)

+

a (ulyl

+

ui yi) = G

Mas y, e Y2 são soluções da equação complementar, logo ay;'

+ byl + cy, = O

e

+

ayí'

by2

+

cy2 = O

e a Equação 8 simplifica para

As Equações 7 e 9 formam um sistema de duas equações nas fu nções desconhecidas ui e ui . Após resolver esse sistema, podemos integrar para encontrar u i e u2 e então a solução particular é dada pela Equação 5. Resolva a equação y"

+y

=

tg x, O < x < 7r/2.

+ 1 = O com as raízes ±i; logo, a solução de y" + y = O é y(.~) = c 1 sen x + c2 cos x . Usando a variação dos parâmetros, buscamos uma solução da forma SOLUÇÃO A equação auxiliar é r 2

y; =

Então

(uí sen x

+

ui cos x)

+

(u, cos x - u2sen x )

Faça

u1sen x + uí cos x = O

y;' =

Então,

ui cos x - uí sen x - u, sen x - u2cos x

Para YP ser uma solução, devemos ter

y; + YP =

ui cos x - uí sen x

=

tg x

Resolvendo as Equações 10 e 11, obtemos uí(sen2x

+ cos 2x) = cos x tg x A Figura 5 mostra quatro soluções da equação diferencial do Exemplo 7.

ui = sen x (Procuramos uma solução particular, logo não precisaremos de uma constante de integração aqui.) Em seguida, a partir da Equação 10, obtém-se ,

Ui =

sen x , - -- u, COS X

Então

=

sen 2x

- -- = COS X

cos 2x -

= COSX -

COS X

u2 (x) = sen x - ln(sec x

+ tg x )

(Observe que sec x + tg x > O para O < x < 'TT/2.) Portanto

2,5

secx

o

-

1T

~---:::::::7 2

- 1

FI GURA 5

1032

CÁLCULO

+ [sen x -cos x In(sec x + tg x)

yp(x) = -cos x sen x =

ln(sec x

+ tg x)] cos x

e a solução geral é y(x) = c 1 sen x

+ c 2 cos x

- cos x In(sec x

+

tg x)

-

1ffI Exercícios 1 10 Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos cocficientes indeterminados. 1. y" - 2y' - 3y = cos 2x 2. y" - y = x 3 - X 3. y" + 9y = e- 'h 4. y" + 2y' + 5y = 1 + e' 5. y" - 4y' + 5y =e-• 6. y" - 4y' + 4y = x - sen x

y" + y = e• + x 3 , y(O) = 2, y'(O) = O 8. y" - 4y =e• cos x, y(O) = 1, y'(O) = 2 9 y" - y' = xe', y(O) = 2, y'(O) = 1 10. y" + y' - 2y = x + sen 2x. y(O) = 1, y'(O) =O 7.

16. y" + 3y' - 4y = (x~ + x)e' 17. y" + 2y' + IOy = :c 2e-• co~ 3:c 18. y" + 4y = e 3' + xsen 2x

l Resolva a equação diferencial usando (a) coeficientes indeterminados e (b) variação dos parâmetros. 19. 4y" + y = COS X 20. y" - 2y' - 3y =X + 2 21 y" - 2y' + y = e 2 ' 22. y" - y' = e•

23-28 Resolva a equação diferencial usando o método da variação dos

parâmetros.

Faça o gráfico da solução particular e de várias outras soluções. Que características essas soluções têm em comum? 11. y" + 3y' + 2y = cosx 12. y" + 4y = e-x

23. y"

+y

24. y"

+ y = sec3x, O < x < 7r/ 2

É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador

sec 2x, O < x < 7r/2 1

+ 2y = 1 + e-• y" + 3y' + 2y = sen(e·')

25. y" - 3y'

26.

Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes. 13. y" + 9y = e 2' + x 2 sen x 14. y" + 9y' = xe-• cos 7TX 15. y" - 3y' + 2y = e' + sen x

=

27. y" - 2y'

e'

+ )' =

---

) + .T2 e-2x

28. y"

+ 4 y' +

4)' =

-3..t

1. As Homework Hints estão di~poníveis em www.stewartcalculus.com

Aplicações de Equações Diferenciais de Segunda Ordem As equações diferenciais lineares de segunda ordem têm diversas aplicações na ciência e na engenharia. Nesta seção exploraremos dois deles: a vibração de molas e os circuitos elétricos.

T m

posição de equilíbrio

Vibração de Molas Consideremos o movimento de um objeto com massa m na extremidade de uma mola que está na vertical (como na Figura 1) ou na horizontal sobre uma superfície plana (como na Figura 2). Na Seção 6.4, no Volume I, discutimos a Lei de Hooke, que diL que. se uma mola foresticada (ou comprimida) x unidades a partir de seu tamanho natural, então ela exerce uma força que é proporcional a x: força elástica

=-

kx

X

FIGURA 1

onde k é uma constante positiva (chamada constante elástica). Se ignorarmos qual4uer força de resistência externa (devido à resistência do ar ou ao atrito), em seguida. pela Segunda Lei de Newton (força é igual a massa vezes aceleração), temos

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM

d 2x m-2

-kx

=

dt

d 2x m-+ kx = O 2

ou

dr

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Sua equação auxiliar é mr 2 com as raízes r = :±: wi, onde w = Jkj;;. Assim, a solução geral é x(t)

=

C1 cos wt

+k

=

O

o

+ c 2 sen wt FIGURA 2

que pode também ser escrita como

+

x (t) = A cos(wr

onde

w=

cos 8

Jkj;;

8)

•fre u

C1

= -

C2

sen 8 = - -

A

fi o

A

(Veja o Exercício 17.) Esse tipo de movimento é chamado movimento harmônico simples. Uma mola com uma massa de 2 kg tem comprimento natural de 0,5 m. Uma força Je 25,6 N é necessária para mantê-la esticada até um comprimento de 0,7 m. Se a mola é esticada até um comprimento de 0,7 me, em seguida, libertada com uma velocidade inicial O, encontre a posição da massa em qualquer momento t. SOLUÇAO Pela Lei de Hooke, a força necessária para estender a mola é

k(0,2) e, dessa forma, k = 25,6/ 0,2 m = 2 na Equação 1, temos

=

= 25,6

128. Usando esse valor da constante da mola k, junto com d 2x

2-

dt 2

+ 128x = O

Como na discussão anterior, a solução dessa equação é 2

x(t) =

c 1 cos

8t

+

c 2 sen 8t

Estamos danl.lo a condição inicial que x(O) = 0,2. Mas, da Equação 2, x(O) Portanto, c 1 = 0,2. Derivando a Equação 2, obtemos x'(t) = -8c 1 sen 8t

+

Uma vez que a velocidade inicial é dada como x'(O) x (t)

1033

=

c1.

8c2cos 8t =

O, temos Cz

= ~ cos 81

Vibrações Amortecidas

=

-

O e a solução é

A seguir, estudaremos o movimento de uma massa presa a uma mola que está sujeita a uma força de atrito (no caso da mola horizontal da Figura 2) ou a uma força de amonecimento (no caso de uma mola venical que se movimenta em meio a um fluido, como na Figura 3). Um exemplo é a força de amortecimento fornecida pelo amortecedor em um carro ou urna bicicleta. Vamos supor que a força de amortecimento seja proporcional à velocidade da massa e atue na di reção oposta ao movimento. (Isso foi confirmado, pelo menos aproximadamente, por algumas experiências físicas.) Assim

.

força de á1Tlortec1mento

=

dx - edt

FIGURA 3

X

X

1034

CÁLCULO

onde e é uma constante positiva, chamada constante de amortecimento. Assim, nesse caso, a Segunda Lei de Newton fornece

J 2x m - -2 dt

=

força restauradora

+ força de amortecimento =

dx

-kx - e -d t

ou

d 2x m -dt 2

dx dt

+e-

+ kx = O

J

A Equação 3 é uma equação diferencial linear de segunda ordem e sua equação auxiliar é mr 2 + cr + k = O. As raízes são

-e + J c 2 2111

-

- e - J c2 2m

4mk

-

4mk

De acordo com a Seção 17 .1. precisamos discutir três cru.os. CASO 1 c2

- 4mk > O (superamortecimento) Nesse caso, r 1 e r2 são raízes reais distintas e

Uma vez que e, me k são todas positivas, temos Jc 2 - 4mk < e. logo. as raízes r 1 e r2 dadas pela Equação 4 devem ser ambas negativas. Isto mostra que x - O quando t - oc. Os gráficos característicos de x como função de t estão mostrados na Figura 4. Observe que não ocorrem oscilações. (É possível que a massa a passe para a posição de equilíbrio uma vez, porém apenas uma vez.) Isso porque c 2 > 4mk significa que há uma forte força de amortecimento (óleo de alta viscosidade ou graxa) comparada com uma mola fraca ou com uma massa pequena.

(a) Superamonecimento

(b) Amonecimento crítico CASO c2 - 4mk = O (amortecimento crítico) Esse caso corresponde a raízes iguais

FIGURA 4

r1

e

= r,- = - 2m --

A solução é dada por X

= (e ,

+ C2t)e

k / l m)t

Isto é seme lhante ao Caso 1, e gráficos típicos são mostrados na Figura 4 (Veja o Exercício 12.). mas o amortecimento é só o suficiente para suprimir as vibrações. Qualquer decréscimo na viscosidade do fluido gera as vibrações do caso segui nte. CASO li c 2 = 4mk O em > O, temos - (c/ 2m) < O. logo, e - «/lmii - O quando t - x. Isso implica que x - O quando t - ::o; isto é, o movimento decai a O à medida que o tempo cresce. Um gráfico característico é mostrado na Figura 5.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM

1035

Suponha que a massa do Exemplo 1 esteja imersa em um fluido com constante de amortecimento e = 40. Determine a posição da massa em qualquer instante t se ele iniciar da posição de equilíbrio e for dado um empurrão para que a velocidade inicial seja de 0,6 mls. SOLUÇAO Do Exemplo 1, a massa é m = 2 e a constante da mola é k = 128, logo a equação diferencial torna-se

rn

d 2x 2- 2 dt

dx dt

+ 40 -

d ~x

-

ou

dt 2

dx

+ 20 -

dt

+ l 28x = O

+ 64x

A equação auxi liar é r + 20r + 64 = (r + 4)(r movimento é s uperamortecido e a solução é 2

=

O

+ 16) = O com raízes -4 e - 16, logo o

A Figura 6 mostra o gráfico da função posição para o movimento superamortecido do Exemplo 2.

0.03

Temos que x(O) = O, logo c1

+ c2 = O. Derivando, obtemos

o x'(O)

então

- 4c1 - 16c2

=

=

0,6

Uma vez que c 2 = - e., isso nos fornece 12c 1 = 0,6 ou c1

=

FIGURA 6

0,05. Portanto

Vibrações Forçadas

-

Suponha que, em adição à força restauradora e à força de amortecimento, o movimento da massa presa à mola seja afetado pela força externa F(t). Então, a Segunda Lei de Newton fornece

d 2x

m-

-

dt 2

=

força restauradora

=

-

dx

kx - e dr

+

+

força de amortecimento

+

força externa

F(t)

Assim, em lugar da equação homogênea (l], o movimento da massa é agora governado pela seguinte equação diferencial não homogênea:

d 2x

m -dt 2

dx + kx dt

+e-

=

F(t)

O movimento da massa pode ser deter minado pelos métodos da Seção 17.2. Uma força externa que ocorre comumente é uma função força periódica F(t)

=

F 0 cos wot

onde

Wo

=!= w =

Jk1iri

Nesse caso, e na falta de uma força de amortecimento (e =0), será pedido no Exercício 9 que você use o método dos coeficientes indeterminados para mostrar que

x(t)

=

e, cos wt

+

C2 sen

wt

Fo - - 2\- .:os Wot m w 2 - Wõ1

+ - (-

1,5

1036

CÁLCULO

Se w0 = w, então a frequência aplicada reforça a frequência natural e o resultado são vibrações de grande amplitude. Esse é o fenômeno da resson â ncia (veja o Exercício 10).

Circuitos Elétricos

interruptor

E

e

Nas Seções 9.3 e 9.5 usamos equações lineares e separáveis de primeira ordem para analisar circuitos elétricos que contêm resistor e indutor (veja a Figura 5 na Seção 9.3 e a Figura 4 na Seção 9.5) ou um resistor e um capacitor (veja o Exercício 29 na Seção 9.5). Agora que sabemos como resolver equações lineares de segunda ordem, estamos em posição de analisar o circuito mostrado na Figura 7, que contém uma força eletromotriz E (proporcionada pela piL lha ou gerador), um resistor R, um indutor L e um capacitar C, em série. Se a carga no capacitar no instante t é Q = Q(t), então a corrente é a taxa de variação de Q em relação a t: l = dQ/ dt. Como na Seção 9.5, é sabido da física que as quedas de voltagem no resistor, indutor e capacitar são dadas por

FIGURA 7

dl dt

Q

L-

RI

e

respectivamente. A lei de voltagem de Kirchhoff diz que a soma destas quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida:

dl Ldr

Q

+ RI + -

E(t)

=

e

Uma vez que I = dQ/ dt, essa equação se toma d 2Q L- 2

7

d1

dQ

+ R-

dr

l

+-

eQ=

E (t)

que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Se a carga Qo e a corrente lo forem conhecidas no instante O, então temos as condições iniciais

Q'(O) = 1(0) = lo

Q(O) = Qo

e o problema de valor inicial pode ser resolvido pelos métodos da Seção 17.2. Uma equação diferencial para a corrente pode ser obtida derivando-se a Equação 7 em relação a te lembrando que l = dQ /dt: d 21 L- 2 dr

dl dt

+ R-

l

+ -1 =

e

E'(r)

Determine a carga e a corrente no instante t no circuito da Figura 7 se R = 40 !l, L = 1 H, C = 16 X 10-4 F, E(t) = lOOcos IOt e a carga e a corrente inicial forem ambas O. Com os valores dados de L , R, C e E(t), a Equação 7 torna-se

vU

8

A equação auxiliar é r 2

-

d 2Q dt 2

dQ dt

+ 40- +

+ 40r + r=

625Q = 100 cos IOt

625 = O com raízes

- 40 ::!: .J- 900

2

=

-20 + 15i

-

de modo que a solução da equação complementar é

Qh)

=

e - 20'(c1 cos 1St

+ c2 sen l5r)

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM

Para o método dos coeficientes indeterminados, tentamos a solução particular

+ 8 sen IOt lOA sen lOt + 108 cos IOt

Qp(t) = A cos IOt Então

Q;(t) = -

Q;(t) = - IOOA cos IOt - 1008 sen lOt Substituindo na Equação 8, temos

(- IOOA cos IOt - 1008 sen IOt) + 40(-1 OA sen 1Ot + 108 cos l Ot) ou

(525A

+ 625(A cos IOt + 8 sen 1Ot) = 100 cos 1Ot + 400B) cos 1Ot + (-400A + 5258) sen 1Ot = 100 cos 1Ot

Igualando os coeficientes, temos

+ 4008 =

525A - 400A

+

100

+ 168

21A

ou 5258 = O

- 16A

+

=

4

218 = O

A solução deste sistema é A = ~ e B = :;,, logo, uma solução particular é

Qp(t)

=

á1 (84 cos 1Ot + 64 sen 1Ot)

e a solução geral é Q(t) = Qc(t) =

+ Qp(t)

e-20r(c1cos15t

Impondo a condição inicial Q(O) Q(O)

=

=

+ c2 sen15t) + ~7 (21 cos IOt + 16 sen IOt) O, obtemos C1

+~=

o

CJ

=

84 -@7

Para impormos a outra condição inicial, primeiro vamos derivar para determinar a corrente:

dQ

1= -

dt

e- 20'[(-20c1

=

+ 15c2 ) cos 15t + (- 15c 1 - 20c2) sen l5t]

+ : 1 (- 21 sen IOt + 16cos IOt) /(O)

=

-20c1

+ 15c2 +

~= O

C2

=

464 - 2 091

Assim, a fórmula para a carga é

[e- 3

20

Q(t) =

4 697

'

(-63 cos 15t - 116 sen 15t)

+ (21 cos IOt + 16 sen !Ot)

J

e a expressão para a corrente é l(t)

=

2 a}

[a, oo)

{xlx ;;;.. a}

(-oo, b)

{x lx < b}

(-oo,b]

{xjx .;;; b}

(-co, oo)

IR (conjunto dos números reais)

< x .;;; h}

FIGURA 3 Intervalo fechado [a, b]

Ilustração

Descrição do conjunto

(a, b)

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a a b b

A Tabela 1 dá uma lista dos nove tipos possíveis de intervalos. Em todos os casos. sempre presumimos que a < b.

A4

CÁLCULO

É necessário também considerar intervalos infinitos, como (a, co) = {xl x > a}

lsso não significa que co ("infinito") seja um número. A notação (a, co) representa o conjunto de todos os números maiores que a ; dessa forma, o símbolo coindica que o intervalo se estende indefinidamente na direção positiva.

Desigualdades Quando trabalhar com desigualdades, observe as seguintes regras: "

-

.

n

........

+ e < b + e. 2. Se a < b e e < d, então a + e < b + 3. Se a < b e e > O, então ac < bc. 4. Se a < b e e< O, então ac > bc. 1.

Se a < b, então a

d.

5. Se O< a < b, então l/ a > l/b.

A Regra 1 diz que podemos adicionar qualquer número a ambos os lados de uma desigualdade e a Regra 2 diz que duas desigualdades podem ser adicionadas. Porém, devemos ter cuidado com a multiplicação. A Regra 3 diz que podemos multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo, mas a Regra 4 diz que Por exemplo, se tomarmos a desigualdade 3 < 5 e multiplicar por 2, obtemos 6 < 1O, mas se multiplicarmos por - 2, obtemos -6 > -10. Por fim, a Regra 5 diz que se tomarmos recíprocos, então inverteremos o sentido de uma desigualdade (desde que os números sejam positivos). Resolva a inequação 1

+x<

7x

+ 5.

A desigualdade dada é satisfeita por alguns valores de x, mas não por outros. Resolver uma inequação significa determinar o conjunto dos números x para os quais a desigualdade é verdadeira. Isto é conhecido como conjunto solução. Primeiro, subtraímos 1 de cada lado da desigualdade (usando a Regra 1 com e = - 1):

X < 7X + 4 Então subtraímos 7x de ambos os lados (Regra 1 com e = - 7x): -6x

<

4

Vamos dividir agora ambos os lados por -6 (Regra 4 com e

=

-i}:

x> - ~=-~

Esses passos podem ser todos invertidos; dessa forma, o conjunto solução consiste em todos os números maiores que - ~. Em outras palavras, a solução da inequação é o intervalo (- ~. co).

Resolva as inequações 4

~

3x - 2 < 13.

Aqui o conjunto solução consiste em todos os valores de x que satisfazem a ambas as desigualdades. Usando as regras dadas em [3.J, vemos que as seguintes desigualdades são equivalentes:

A5

APÊNDICES

4~3x-2

2

li

10. l 2x -

11. 1.\ 2 + 1

I

2.

2x 2 1

12. 11

Resolva a inequação em termos de inte rvalo'> e represente o conjunto solução na reta real. 13. 2x

+

14. 3x - 11 < 4

3

X"" 2

15. 1 -

17. 2x

>

7

+ 1<

16. 4 - 3x;;;,, 6

5x - 8

19. - 1 1 ;;;,,

30

44.

3x+5l=l

46.1~1=3 + 1 X

2

x ,s; 0

Resolva a inequação.

+ l)(x - 2)(x + 3) ;;;,, O

35. x 3 >X 1

26. (2x+3)(x-1) "" 0

28. x 2

50 ~ F"" 95? 40. Use a relação e ntre C e F dada no Exercício 39 para determinar o intervalo na escala Fahrenheit correspondente à temperatura no intervalo 20 "" e ,;;; 30. 41 . À medida que sobe. o ar seco se expande, e ao fazer isso seresfria a uma taxa de cerca de 1 ºC para cada 100 m de subida, até cerca de 12 km . (a) Se a temperatura do solo for de 20 ºC. escreva uma fórmula para a temperatura a uma altura h. (b) Que variação de temperatura você pode espernr se um avião decola e atinge uma altura máxima de 5 km? 42. Se uma bola for atirada para cima do topo de um edifício com 30 m de altura com velocidade inicial de 1O m/s, então a altura h acima do solo t segundos mais tarde será

4 ,;;; 16

22. - 5 "" 3 - 2x "" 9

+ X "" 1 +X + 1> <

5 - 3x

24. 2x - 3 < x + 4 < 3x - 2

27. 2.\ 2 .t

5x

X< 1

25. (x - l)(x - 2)

29.

> < 3x +

+

18.

sius e Fé a temperatura em graus Fahrenheit. Qual é o intervalo sobre a escala Celsiu s correspondente à temperatura no intervalo

<

4

36. x 3

+

38. -3

3.x

1

<

< - ""

4x 2

1

X

39. A relação entre as escalas de temperatura Celsius e Fahrenheit é dada por C = ~ (F - 32), onde C é a temperatura cm grau~ Cel-

47. lxl < 3

48. lxl S?: 3

49. lx - 4 1< 1

50. lx - 6 1< 0 , 1

51. lx + 5 1;;.- 2

52. lx+ II S?:3

53. 2x - 3 I ~ 0.4

54. l 5x - 2 I < 6

55. 1 ~l xl ,,:::; 4

56. 0 <

1X

-

5I< ~

APÊNDICES

64. Use a Regra 3 para comprovar a Regra 5 de ~J

-- 58 Isole x, supondo que a, b e e sejam rnnstantes positivas. 57. a(hx - e)

~

hc

58. a ""' bx

+e<

65. Demonstre que 1ab 1 = 1a11 b I· [Dica: Use a Equação 4.J

2a

59 60 Isole x. supondo que a, h e e sejam constantes negativas. 60. ax

59. ax + b O}

45. {(x, y) 1xy < O}

46. {(x,y) lx ~ 1 ey

< 3}

+ X2 y, + 2

.

2

Yi)

55. Encontre o ponto médio do segmento de reta que une os pontos dados. (a)(l,3)e(7,15) (b)(-l,6)e{8,- 12) 56. Determine os comprimentos das medianas do triângulo com vértices A( l, 0), 8(3, 6) e C(8, 2). (A mediana é um segmento de reta de um vértice até o ponto médio do lado oposto.) 57. Mostre que as retas 2x - y - 4 e 6x - 2y = 10 não são paralelas e ache o seu ponto de intersecção. 58. Mostre que as retas 3x - 5y + 19 =O e !Ox + 6y - 50 =O são perpendiculares e ache o ~cu ponto de intersecção. 59. Ache uma equação da mediatriz do segmento de reta com extremidades nos pontos A( 1, 4) e 8(7, -2). 60. (a) Encontre as equações dos lados do triângulo com vértices P(I , 0). Q(J. 4) e R(- 1, 6). ( b) Ache equações para as mediana~ desse triângulo. Onde elas se interceptam? 61 . (a) Mostre que as intersecções com os eixos x e y de uma reta são os números a e b diferentes de zero, então a equação da reta pode ser colocada na forma

.::.+1'...=1

a b Esta equação é chamada a forma a partir d as duas intersecções da equação de uma reta. {b) Use a parte (a) para encontrar a equação da reta cuja intersecção com o eixo x é 6 e cuja intersecção com o eixo y é -8. 62. Kclly parte de Winnipeg às 14 h e dirige a uma velocidade constante para oeste na rodovia Trans-Canadá. Ela passa por Brandon, a 210 km de Winnipeg.1'ls 16 h. (a) Expresse a distância perconida em termos do tempo deconido. (b) Trace o gráfico da equ:ição na pane (a). (c) Qual a inclinação desta reta? O que ela representa?

Gráficos das Equações de Segundo Grau No Apêndice B vimos que u ma equação A.x + By + C = O, de primeiro grau ou linear, representa uma reta . Nesta seção vamos discutir as equações do segundo grau, tais como

x2 + y2 = 1

y =

x2 + 1

x2

v2 4

-+ -·-= 9

x2 - Y2 = l

q ue representam uma circunferência, uma parábola. uma elipse e uma hipérbole, respectivamente. O gráfico de tais equações em x e y é o conjunto de todos os pontos (x, y) que satisfazem aquela equação; ele dá um a representação visua l da equação. Reciprocamente, dada uma curva no plano xy, podemos ter de acha r uma equação que a represente, i sto é, uma equação satisfei ta pelas coordenadas dos pontos na curva e por ne nhum o utro ponto. Esta é a ou tra metade

APÊNDICES

A 15

dos princípios básicos da geometria analítica conforme formulada por Descartes e Fermat. A ideia é que se uma curva geométrica pode ser representada por uma equação algébrica, então as regras da álgebra podem ser usada-; para analisar o problema geométrico.

Circunferências

y

Como um exemplo desse tipo de proble ma, vamos determinar uma equação da circunferência com raio recentro (h, k). Por definição, a circunferência é o conjunto de todos os pontos P(x, y) cuja distância do centro C(h, J..) é r. (Veja a Figura 1.) Logo, P está sobre a circunferência se e somente se 1PC1= r. Da fórmula de distância, temos

J(x - h)2

+ (y - k)2

r

=

ou, de maneira e4uivalente, elevando ao 4uadrado ambos os membros, obtemos (x - h)

+

2

2

(y - k) = r

o

2

FIGURA 1

Esta é a equação desejada.

[TI

Equação da Circunferência Uma equação da circunferência com centro (h, k) e raio r é

(x - h) 2 + (y - k) 2

=

r2

Em particular, se o centro for a origem (0, O), a equação será

xi+ y2 =ri

Ache uma equação da circunferência com raio 3 e centro (2, - 5). SOLUÇÃO Da Equação 1 com r

=

3, h

=

2ek

(x - 2)2

-

= - 5, obtemos

+ (y + 2

5)2 = 9

2

Esboce o gráfico da equação x + y + 2x - 6y + 7 = O mostrando primeiro que ela representa uma circunferência e então encontrando seu centro e raio. SOLUÇÃO Vamos primeiro agrupar os termos em x e y da seguinte forma: (x 2

+ 2..r) + (y 2

-

6y)

=

- 7

Então, çompletando o quadrado dentro de cada parêntese e sornando as constantes apropriadas (os quadrados da metade dos coeficientes de x e y) a ambos os lados da equação, temos: (x 2

+ 2x + 1) + (y 2 (x

ou

-

+ 1)2 +

6y + 9) = -7 + 1 + 9 (y - 3)2 = 3

Comparando essa equação com a equação padrão da circunferência k = 3er =

QJ, vemos que h =

./3, assim, a equação dada representa uma circunferência com centro (-

1, 3) e raio

J3. Ela está esboçada na Figura 2. y

FIGURA 2

x2

+ y 2 + 2x - 6y + 7 =

O

o

X

-1,

-

X

A16

CÁLCULO

Parábolas As propriedades geométricas das parábolas serão revisadas na Seção 10.5. Aqui, consideraremos uma parábola como um gráfico de uma equação da fonna y = ax 2 + bx + e. Esboce o gráfico da parábola y

=

x 2.

Vamos fazer uma tabela de valores, marcar os pontos e depois juntá-los por orna curva suave para obter o gráfico da Fignra 3. y

X

y =xi

o

o

-

2

:!: 1

1

::!: 2

4

3

9

:!:

y=x2

I

1 4

+ !

I

o

X

FI GURA 3

A Figura 4 mostra os gráficos de diversas parábolas com equações da forma y = ax 2 para diversos valores do número a. Em cada caso o vértice, o ponto onde a parábola muda de direção, é a origem. Vemos que a paráhola y = ax 2 abre-se para cima se a > Oe para baixo se a < O (como na Figura 5). )'

y

)'

J

\

y =2x2 y=x2

/

1

y= 2 xz X

-t

~

y= x2 - y=-x2 -y = - 2x2

o (a) y = ax2, a > O

FIGURA 4

o

) '"

(- x,y)

X

X

(b) y=ax 2, a < O

FIGURA 5

Observe que se (x, y) satisfaz y = ax 2, então ( - x,y) também o cumpre. Isso corresponde ao fato geométrico de que, se a metade direita do grafico for refletida em como do eixo y, obteremos a metade esquerda do gráfico. Dizemos que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. O gráfico de uma equação é simétrico em relação ao eixo y se a equação ficar invariante quando substituirmos x por - x. Se trocarmos x e y na equação y = ax 2, teremos x = ay 2, que tan1bém representa uma parábola. (Trocar x e y significa fazer uma reflexão em torno da reta bissetriz y = x.) A parábola x = ay 2 abre para a direita se a > O e para a esquerda se a < O. (Veja a Figura 6.) Dessa vez a parábola é simétrica em relação ao eixo x, pois se (x, y) satisfizer a equação x = ay 2 , então o mesmo acontece com (x, -y).

A17

APÊNDICES

y

y

o

FIGURA 6

Ü

X

(a)

x=:ay2, a>O

X

(b) X""ay2, a Observe que a Equação 2 fica invariante sex for substituído por - x ou y por -y; dessa forma, a elipse é si métrica em relação aos eixos. Como uma ajuda no esboço da elipse, vamos detenninar suas intersecções com os eixos. As intersecções com o eixo x de um gráfico são as coordenadas x dos pontos onde ele intercepta o eixo x. Eles são encontrados fazendo-se y = O na equação do gráfico.

y

(- a,0)

.---

Esboce o gráfico de 9x 2

+

16y 2 = 144.

SOLUÇAO Dividimos amhos os lados da equação por 144:

x2

y2

16

9

-+-= A equação está agora na forma padrão para uma elipse [Ij, e assim temos a 2 = 16, b 2 = 9, a = 4 e b = 3. As intersecções com o eixo x são ::t4; e as intersecções com o eixo y são ::t3. O gráfico está esboçado na Figura 9.

(a,0)

o

As intersecções com o eixo y de um gráfico são as coordenadas y dos pontos onde ele intercepta o eixo y. Eles são encontrados fazendo-se x = O na equação do gráfico. Se fizermos y = O na Equação 2, obteremos x 2 = a 2 e, dessa forma, as intersecções com o eixo x são :ta. Fazendo x = O, obteremos y 2 = b 2 ; assim, as intersecções com o eixo y são ::tb. Usando essa informação, junto com a simetria, fazemos o esboço da elipse na Figura 8. Se a = b, a elipse é uma circunferência com raio a .

(0,b)

X

./

(0. - b)

FIGURA 8

x2

i:

ª2 + b2

= l

A18

CÁLCULO

y

(0, 3)

/ \

(-4.0)

o

~

FIGURA 9

9x

2

+ 16y2 =

(4,0)

)

X

(0. -3)

144

Hipérboles A curva com a equação

3

y=-~

I

y

{

é denominada hipérbole na posição padrão. Novamente, a Equação 3 fica invariante quando x é substituído por - x ou y é substituído por - y; dessa forma. a hipérbole é simétrica em relação aos eixos. Para encontrarmos as intersecções com o eixo x, fazemos y = O e obtemos x 2 = a 2 ex= ±a. Mas, se colocarmos x = O na Equação 3, teremos y 2 = -b 2, o que é impossível; dessa forma, não existe intersecção com o eixo y. Na verdade, da Equação 3 obtemos

v2

x2

-=1+...,:__2 ;; 4} 40. {(x, y) 1x 2

+

4y 2

.,;:

4}

A22

CÁLCULO

(b) Para convertermos de radianos para graus multiplicamos por l 8017r. Logo,

51T(-180) =

-57T rad = 4 4

,.. /

/ I I

Em cálculo, usamos o radiano como medida dos ângulos, exceto quando explicitamente indicada outra unidade. A tabela a seguir fornece a correspondência entre medidas em graus e em radianos de alguns ângulos comuns .

-[; a

...

r

()

\

,.

1 1 \

' ' ...... ____ _ /

FIGURA 1

Graus

Oº

30°

45º

60º

Radianos

o

-

1T

-1T

-3

\ 1

I

\

-

225 o

7T

1

/

6

4

90º

1T

1T

-

2

120°

135°

150º

21T 3

-4

3TT

-

-

5TT

6

180º

1T

270º

360°

3TT 2

2TT

-

I /

A Figura 1 mostra um setor de um círculo com ângulo central 8 e raio r subtendendo um arco com comprimento a. Como o comprimento do arco é proporcional ao tamanho do ângulo, e como todo o círculo tem circunferência 2rrr e ângulo central 27T, temos

e 27T

a 21Tr

Isolando 8 e a nessa equação, obtemos

r

3

r

r

FIGURA 2

,-~= r8

8=a

r

1

Lembre que essas equações são válidas somente quando 8 é medido em radianos. Em particular, fazendo a = r na Equação 3, vemos que um ângulo de 1 rad é um ângulo subtendido no centro de um círculo por um arco com comprimento igual ao raio do círculo (veja a Figura 2).

(a) Se o raio de um círculo for 5 cm, qual o ângulo subtendido por um arco de 6 cm? (b) Se um círculo tem raio 3 cm, qual é o comprimento de um arco subtendido por um ângulo central de 3rr/8 rad? (a) Usando a Equação 3 com a

= 6 e r = 5, vemos que o ângulo é e =~ =

(b) Com r

1,2 rad

= 3 cm e & = 37T/8 rad, o comprimento de arco é a =

re =

37T) 3( 8

=

897T cm

-

A posição padrão de um ângulo ocorre quando colocamos seu vértice na origem do sistema de coordenadas e seu lado inicial sobre o eixox positivo, como na Figura 3. Um ângulo positivo é obtido girando-se o lado inicial no sentido anti-horário até que ele coincida com o lado final; da mesma forma, ângulos negativos são obtidos girando-se no sentido horário, como na Figura 4.

APÊNDICES

y

A23

y lado inicial

I

o ... ()

lado final lado inicial

()

.. X

lado final

/

o

\

FIGURA 3 O ;:;o O

FIGUR A4 8crever as outras cinco funções trigonométricas:

J2T

J2f tg(J = 2

sen (J = - 5 cossec (J

5

5 secR = 2

J2T

=

cotg () =

2

J2T

J2f.

~

-

5

8

Use uma calculadora para aproximar o valor de x na Figura 13. SOLUÇÃO

FIGURA 12

16

16

tg40º

é..!

= -

X

16 tg 40º

-

x = - - " = ' 1907

,

Identidades Trigonométricas

1 sen 8

= --

1 cotg8 = - tg 8

1 sec8=-cos 8

sen 8 tg8=-cos 8

cos 8 cotg8=-sen 8

Para a próxima identidade, voltemos à Figura 7. A fórmula da distância (ou, de maneira equivalente, o Teorema de Pitágoras) nos diz que x 2 + y 2 = r 2• Portanto, sen 28

+

cos 28

Y2

x2

= -,2 + -,2 =

x2

+ Y2

,2

,2

= -,2 =

1

Demonstramos, portanto, uma das mais úteis identidades da trigonometria:

[7] Se agora dividirmos ambos os lados da Equação 7 por c:os 28 e usarmos as Equações 6, obteremos 8

/

X

40º

FIGURA 13

Uma identidade trigonométrica é uma relação entre as funções trigonométricas. As mais elementares são dadas a seguir, e são consequências imediatas das definições das funções trigonométricas.

cossec8

r 2

Do diagrama vemos que

Logo,

x=

~28 + 1

=

2

~

sec _8_ _

Analogamente, se dividirmos ambos 01> lados x cos 2x = cos 2x - sen 2x

Então, usando a identidade sen 2x + cos2x mulas dos ângulos duplos para cos 2.r:

=

1, obtemos a seguinte forma alternativa das fór-

~~~~~~~~~~~~~~~

cos 2x

=

2 cos 2x -

cos 2x = 1 - 2 sen 2 x Se agora isolarmo!. cos2x e sen2x nestas equações, obteremos as seguintes fórmulas do ângulometade, que são úteis em cálculo integral:

~

~

cos 2x =

' sen-x

=

1

+ cos 2x 2

- cos 2x 2

Finalmente, enunciamos as fórmulas do produto que podem ser deduzidas das Equações 12 e 13:

APÊNDICES

sen

X COS

y = asen{x

=

sen(x - y)]

+ y) + cos(x

- y)]

~[cos(x - y) - cos(x

+ y)]

cos x cos y = Hcos(x sen x sen y

+ y) +

Há muitas outras identidades trigonométricas, mas as aqui enunciadas são algumas das mais usadas no cálculo. Se você se esquecer alguma das identidades 13-18, lembre-se de que elas podem ser deduzidas das Equações l 2a e 12b. Determine todos os valores de x no intervalo [O, 27T] tal que. sen x SOLUÇÃO

= sen 2x.

Usando a fórmula do ângulo duplo (15a), reescrevemos a equação dada como sen x

=

2 sen x cos x

ou

sen x(I - 2 cos x)

=

O

Portanto, há duas possibilidades: sen x =O X =

ou

- 2 COS X= Ü

O, 7T, 27T

COS X =

1

2

7T 57T

x=-3, 3 A equação dada tem cinco soluções: O, 7T/3, 7T, 57T/3 e 27T.

Gráficos das Funções Trigonométricas

-

O gráfico da função/(x) = sen x, motrado na Figura 14(a), é obtido desenhando-se os pontos para O~ x ~ 27Te então usando-se a periodicidade da função (da Equação 11) para completar o gráfico. Observe que os zeros da função seno ocorrem em múltiplos inteiros de 7T, isto é, sen x = O

sempre que x

=

n7T,

com n um número inteiro.

Em virtude da identidade

FIGURA 14

(que pode ser verificada usando-se a Equação l 2a), o gráfico do cosseno é obtido deslocando-se em 7T/2 para a esquerda o gráfico do seno [veja a Figura 14(b)l. Observe que tanto para a

A27

A28

CÁLCULO

fu nção seno quanto para a função cosseno o domínio é (-oo, oo), e a imagem é o intervalo fechado [ - 1, 1]. Dessa forma, para todos os valores de x, temos -1

~

sen x

~

1

l

-I~cosx:!!ô;;l

Os gráficos das quatro fu nções trigonométricas restantes estão mostrados na Figura 15, e seus domínios estão ali indicados. Observe que a tangente e a cotangente têm a mesma imagem (-oo, oo), enquanto a cossecante e a secante têm a imagem (-oo, - 1] U [1. oo). Todas as funções são periódicas: tangente e cotangente têm período 7T, ao passo que cossecante e secante possuem período 27T.

y

1

__

),

I

11

1: 1

o

-.?!1 21 1

I

/! 1

-1

/

I/

1 2 1 1 1 1

:1

1 1

1!!: 12

7T

:;

:I 1 1

X

)1T

-1T

1 1 1 1 1 1 1

\

(a) y = tg X

(b) y = cotg x

y

\ 1

11'

-2

o

) [

- :t

y~re"'

Converta de graus para radianos.

~1

/

-1

/

'

3;:/

1

o

1

7T

/ 1

X

'[( \[ 1

1

(d) _v- sec'

-315°

13. Determine o comprimento de um arco circular subtendido pelo

2.

300º

3. 9º

5.

900°

6.

36°

47T

8.

77T 2

ângulo de 7T/ 12 rad se o raio do círculo for de 36 cm. 14. Se um círculo tem raio de 10 cm, qual é o comprimento de arco

subtendido pelo ângulo central de 72º? 15. Um círculo tem raio de l,5m. Qual o ângulo subtendi ,1., = cossec cf> + cotg cf> - cos 'I'

44. sen(rr - x) = sen x

ras 14 e 15 e aplicando as transformações da Seção 1.3 quando apropriado. 77. y

=

79. Y

=

81. y

=

cos(x -

78. y

; )

i (x - ; )

tg 2x

80.y = l+secx

tg

1 sen

=

x1

82. y

=

2

+ sen(x + : )

83. Demonstre a Lei dos Cossenos: se um triângulo tiver lados com comprimentos a, b, e e(} for um ângulo entre os lados com comprimentos a c b, então c2

=a2+

b2

-

2ab cos 8.

A30

CALCULO

y

[Dica: Calcule c2 de duas maneiras (usando a Lei dos Cossenos do E;itercício 83 e também a fórmula da distância) e compare as duas e;itpressões.]

P (x.y)

T 1 1 1 1 1

b

o

o

e

)'

r1

/

Al~cos a. ;en a )

B(cos /3. sen /31

1

(a.O)

,, 1/

[Dica: Introduza um sistema de coordenadas de modo que fJ esteja na posição padrão como na figura. E;itpresse ;r e y em termos de 8 e use a fórmula de distância para calcular c.J

o

84. Para determinar a distância 1AB 1 sobre uma pequena enseada. um ponto C é colocado como na figura. e as seguintes medidas são registradas:

<

/3

d.____ _ X

86. Use a fórmula do faercício 85 para demonstrar a fórmula da subtração para cosseno (12b). 87. Use a fórmula da adição para cosseno e as identidades

IACI = 820m

L C = 103°

I BCI =910m

Use a Lei dos Cossenos do E;itercício 83 para determinar a distância pedida.

cos(; -

8) = sen 8

sen(; -

8) = cos 8

para demonstrar a fórmula da subtração ( l 3a) para a função seno.

A

88. Mostre que a área de um triângulo com lados de comprimentos a e b e com o ângulo entre eles sendo 8 é

A = ~ ab sen fl 89. Determine a área do triângulo ABC, correta até cinco casas deci-

e

mais, se 8

IABI =

10 cm

!BC I = 3 cm

LABC

=

107º

85. Use a figura para demonstrar a fórmula da subtração

cos(a - f3)

•

= cos a

cos {j

+ sen a

sen {j

Notação de Somatória (ou Notação Sigma) Uma maneira conveniente de escrever as somas usa a letra grega L (sigma maiúsculo, correspondente à nossa letra S) e é chamada notação de som atória (ou notação sigm a). niç

Se am, ª m•i. ... , ª " forem números reais e m e n inteiros tais quem :s;; n,

então n

[ o l)fl d1t p r o 1,

L

a, =

Gm

+

G m+ I

+ Gm+2 + ... + ª"

1

+ ª"

1 m

Com a notação de função, a Definição 1 pode ser escrita como n

,_,L, J(i) =

f(m)

+ f(m +

1)

+ f(m + 2) + · · · + f(n

- 1)

+ f(n)

Assim, o símbolo Li-.. indica uma soma na qual a letra i (denominada índice d a soma tór ia) assume valores inteiros consecutivos começando em m e terminando em n, isto é, m, m + 1, ... , n. Outras letras também podem ser usadas como índice da somatória.

4

L ; 2 =

12 + 2 2 + 3 2 + 4 2

=

30

n

(b)

L i = 3 + 4 + 5 + · · · + (n i-3

-

1)

+n

APÊNDICES

5

(c)

L 2i =

2° + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 24 + 2 5 = 63

j- 0

(d)

± 3

(e)

,~

= 1+

+ _!__ + ... + _!__ 3 n i - 1 1- 1 2 - 1 3 - 1 1 l 13 i 2 + 3 = 12+3 + 2 2 + 3 + 3 2 + 3 = O + 7 + 6 = 42

_!__

t- 1

_!__

2

k

4

cr) .L 2 =

2

+

2

+

2

+

2

=

-

s

;- 1

W!'.JPIM Escreva a soma 2 3 + 3-' + · · · + n 3 na notação de somacória.

SOLUÇÃO Não há uma maneira única de escrever uma soma na notação somacória. Podería-

mos escrever 23 + 33 + ...

+ n3 = .L" ;3 i-2 n- 1

.L u +

23 + 33 + ... + n 3 =

ou

r

t)3

-

i

n- 2

23 + 33 + . . .

ou

+ n3 = .L

(k + 2)3

k- 0

O teorema a seguir apresenta trê~ regras simples para se trabalhar com a notação sigma.

Í: '

Teorema

Se e for uma constante qualquer (isco é, não depender de i), então

n

n

(a)

L

(c)

L (a, -

ca;

=

e

n

L a;

n

b;)

=

i- m

(b)

n

n

i- m

i- m

L

n

(a; + b;)

n

l: a; +

=

L

h;

L a; - L b;

STRAÇAO Para vermos por que essas regras são verdadeiras, uevemos escrever ambos os lados na forma expandida. A regra (a) é tão somente a propriedade distributiva dos números reais: Cllm

+ CGm+ I + ''' + Clln =

c(am

+

am+ I

+ ''' + an)

A regra (b) segue das propriedades associativa e comutativa:

=

(am +

Gm+I

+ ''. + a.) + (bm +

bm+ I

+ ' .. + bn)

A regra (c) é demonstrada de modo análogo. n

133#{,iij!1:

Encontre

L

1.

-

1- 1 n

SOLUÇÃO

13:43MQ!1)

_Ll=l+l+···+l=n

Demonstre a fórmula para a soma do n primeiros inteiros positivos: n

n(n

+

1)

l:i = 1 +2+3+ ... + 11 = - - - -

~1

2

A31

A32

CÁLCULO

Essa fórmula pode ser demonstrada por indução matemática ou pelo método a seguir, usado pelo matemático alemão Karl Friedrich Gauss (1777-1855) quando ele tinha 1O anos de idade. Escreva a soma S duas vezes, uma na ordem usual e a outra na ordem invertida:

S

=

1

S

= n

+ +

2 l)

(n -

+ +

+ ··· + + ··· +

3 (n - 2)

+ +

(n - 1) 2

n 1

Somando-se verticalmente todas as colunas, obtemos 2S = (n

+

1)

+ (n + 1) + (n + 1) + · · · + (n +

+ 1; portanto,

Do lado direito existem n termos. cada um dos quais é n 2S

=

+

n(n

1)

ou

+ (n + 1)

1)

n(n

S=

+

-

l)

2

Demonstre a fórmula para a soma dos quadrados dos n primeiros inteiros positives:

L i2 = n

~' A maic>n,1 +1 é

seja verdadeira.

2

2n + 311 + n s=- - -- 6

ou

SOLUCAO

1. S , é verdadeira. pois 2.

1)(2n

+

l)

6

Seja S,, a fórmula dada.

12 =

1(1

+

1)(2. 1

+

1)

6

verdadeira. Então s. é verdadeira para todos inteiros positivos n

+

n(n

Supouha que Sk seja verdadeira: isto é,

12 + 22

+ 32 + ... +

k2 = k(k

+

1)(2k

+

1)

6 Então 12

+

22

+

32

+ ... + (k +

1)2 = (1 2

+

k(k

+

22

+

32

1)(2k 6

+

+ ... + 1)

+

(k

k2)

+ (k +

+ 1)2

1)2

n3 ]

APÊNDICES

+ 1)

(k

=

+ 1) +

k(2k

A33

+ 1)

6(k

6 =

+ 7k + 6

2k2

(k

+

1)

(k

+

l)(k

6

+

2)(2k

+

3)

6

+

(k

l)[(k

+

+

1)

1][2(k

+

1)

+

l]

6

-

Logo, SH 1 é verdaJeira. Pelo Princípio da Indução Matemática, s. é verJaJeira para todo n.

Vamos agrupar os resultados dos E xemplos 3, 4 e 5 com um resultado similar para cubos (veja os Exercícios 37-40) como o Teorema 3. Essas fórmulas são necessárias para encontrar áreas e calcular integrais no Capítulo 5.

[I]

Teorema Seja e uma constante e n um inteiro positivo. Então

"

"

(b) ~e = nc

(a) ~ 1 = n ~ .

n(n

+ 1)

~

(d) j~

(c) -"' z = - - -

2

;- 1

(e)

±i 3

= [

n(n

+ 1) 2

;-1

•

2

l

=

=

4

n(n

+

1)(2n 6

+

1)

]2

n

lim&l~!•i SOLUÇÃO

Calcule ~ i(4i 2

-

3).

Usando os Teoremas 2 e 3. temos n

n

L i(4i

2

L (4i

3) =

-

n

3

3i)

-

4[ n(n; 1)

=

n(n

+

Li

r-

n

3

Li

3

-

3 n(n; 1)

1)[2n(n + 1) - 3] 2 1)(2n 2 + 2n - 3)

n(n +

-

2 2

l3'.43t.IQ!1]

Encontre lim

Í 2 [ (.!. .)

n-oc i- l 11

11

+ 1

J.

SOLUÇÃO 2

lim

L -3n n

fl ---t>OO j.-. J

[ ( -j

n

)

+

1]

=

lim

L -n33 i 2 + -3n n

[

n -+OO i- 1

=

3

1im [ - 3 n

n -x

=

lim n -oc

=

lim n-..oo

Li n

2

+ -3

1- 1

[~3 n(n + n

n

O tipo de cálculo do Exemplo 7 ocorre no Capítulo 5. quando calculamos áreas.

J L 1J n

i- 1

1)(2n 6

+

1)

+ n3 . n]

[_!_2 . ~n . (~) ( 2n n+ n

1)

+

3]

A34

CÁLCULO

lim

n~=

[J_2 · 1(1 + J._)(2 + J_) + 3] n n

-

=4 ·1 · 1·2+3=4

Exercícios n

Escreva a soma na forma expandida.

35.

±-+'-

2.

1

1

i

:L (i

1

-

i - 2)

1-1

1

n

36. Determine o número 11 tal que

~ 2k - 1

,(.,

i- 0

+

2k

1

1

39. Demonstre a fórmula (e) do Teorema 3 usando um método similar àquele do Exemplo S, Solução l [comece com (l + i)4 - i 4 ].

k-5 n+J

L i IO

:Lj

a.

2

40. Demonstre a fórmula (e) do Teorema 3 usando o seguinte método

1

1

n-1

publicado por Abu Bekr Mohammed ibn Alhusain Alkarchi por

n

:L (-1)1

9.

38. Demonstre a fórmula (e) do Teorema 3 usando indução matemática.

8

:L x

6.

n

7.

volta do ano 1010. A figura mostra um quadrado ABCD cujos lados AB e AD foram divididos em segmentos com comprimentos 1. 2, 3, ... , n. Dessa forma, o lado do quadrado tem comprimento n(n + 1)/2, de modo que a área é [n(n + 1)/2]2. Porém a área também é a soma das áreas dos n "gnomons" G 1, G 2 , ••• , C. mostrados na figura. Demonstre que a área de G, é i 3 e conclua que a fóm1ula (e) é verdadeira. D C

10. Lf(x;) Âx1 í-1

1-0

Escreva a soma na notação de somatória.

11. 1 + 2

+ 3 + 4 + ... + 10 12. 13 + j4 + j5 + J6 + J7 13. 4 + t + ~ + ~ + ... + ~~ 14. ~ + : + ~ + fo + ... + ;~ 15. 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 211 16. 1 + 3 + S + 7 + · · · + (2n - 1) 17. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 18. l + ~ + ! + 1~ + ts + ~ 19. x + :r 2 + x 3 + · · · + x• 20. 1 - x + x 2 - x 1 + · · · + (- l)"x"

:n

2)

4 3 2

1

22.

í: cos k7r

20

ri-1

o

1

+

i 2)

30.

1-1

í: O tal que se O < 1x - a 1 < ô 2 , então lg(x) - MI< 1

e, portanto, 1g(x) 1 = 1g(x) - M

Uma vez que lim ,_0 f(x)

=

+

O tal 4ue

lf(x)g(x) - LM I < e

então

O O tal que

A35

A36

CÁLCULO

O < lx - a 1 <

se Seja

e

então

Ô3

lf(x) - LI< 2(1

+ IM I)

ô= min{ô,, Ô2, 03}. Se O< lx - a 1 < ô, então temos O< lx - a 1 < Ôi. ô2 e O < 1x - a 1 < Ô3, portanto, podemos combinar as inequações para obter

O < 1x - a 1 <

\ f(x)g(x) - LM \ :,,;; \ f(x) - L 11 g(x) \ +

e

2

2

- M\

IMI) + \L\ 2(1 : IL \)

< 2(1 +elMI) (l + e

\L I \g(x)

O tal que o intervalo (x0 - e, x 0 + e) esteja contido no intervalo (a, b). Comof é crescente, ela leva os números no intervalo (xo - e, xo + e) nos números no intervalo (f(xo - e), l(x0 + e)) e 1- 1 inverte a correspondência. Se denotarmos por ô o menor dos números ô1 = y0 - I (x0 - e) e 82 = l(xo + e) - yo, então o intervalo (yo - ô, y 0 + ô) está contido no intervalo {f(xo - e), f(Xo + e)) e assim é levado no intervalo (Xo - e, Xo + e) por F 1. (Veja Odiagnuna de flechas na Figura 1.) Portanto, encontrdJTIOS um número ô > O tal que se

f(x0

e)

-

a

x0

-

;;

81

r' x0

Xo

e

- F'(yo) I < e

f(x0 +e)

Yo 8,

1\ FIGURA 1

Ir'(y)

então

ly - yolO. Queremos encontrar um número ô> O tal que

APÊNDICES

O Oem /. sabemos do Teste Crescente/Decrescente que f' é crescente em /. Logo. como a < e, temos f'(a)

< f'(c)

O. Portanto ln x - oo quando x - oo.

y=lnx X

(b) Se tomarmos t =

l/x, então t -

00

quando X

o+. Logo, usando (a), temos

-

lim ln x = lim ln(J_) = lim (- ln t) = -oo

.x-o+ FIG URA 4

Se y

=

, -x

r

dy l -=-> O

e

dx

FIGURA 5

X

1-oc.

ln x, x > O, então

y

o

-

X

-

d2v 1 - ·2 =--

f

1

(.1)

_Y

l, então ln a > O, donde (d/ dx) ax = ax ln a > O, o que mostra que y = a' é crescente (veja a Figura 8). Se O< a< 1, então ln a < O e, portanto, y =a' é decrescente (veja a Figura 9).

X

lim a ·'=co, limo ' =O

x---oo

Funções Logarítmicas Gerais

FIGURA 9 y =a', O< a< 1

Se a > Oe a oF 1, então f(x) = a' é uma função injetora. Sua função inversa é chamada função logarítmica de base a e é denotada por Ioga. Logo, log 0 x=y

~

aY= x

Em particular, vemos que

log,x = ln x As propriedades dos logaritmos são parecidas com as do logaritmo natural e podem ser deduzidas das propriedades dos expoente& (veja o Exercício 1O). Para derivar y = log. x, escrevemos a equação como a r= x. Da Equação 14, temos y ln a = ln x. Portanto, ln x logax= y = - ln a Como ln a é constante, podemos derivar da seguinte forma: d

-(log"x) dx

ln X dx ln a d

x--OQ

J d ln a dx

1 x ln a

= - - = --(lnx) = - -

ASO

CÁLCULO

18

d

-

1 (Ioga x) = - x ln a

dx

O Número e Expresso Como um limite

-

Nesta seção, definimos e como o número tal que ln e = 1. O próximo teorema mostra que isto é o mesmo que o número e definido na Seção 3.1 (veja a Equação 3.6.5).

e

=

lim (1 X

Seja

f (x)

=

·O

+ x) 11x

ln x. Então f'(x) = 1/x, logo f'( 1) = 1. Porém, pela definição

de derivada, f'(I)

=

lim f(l

+ h)

=

. ln(l ltm T

Por causa de f'(l)

=

- f(l)

lim f(l

=

h

h ~o

+ x)

-o

+ x)

- ln 1

X

=

. 1 hm - Jn(l X

- o

X

- f(l)

x

x~ o

+ x)

=

lim ln(l ' •O

+ x) 1fx

1, temos lim In(l '

+ x) 1' ' = 1

·O

Assim, pelo Teorema 2.5.8 e pela continuidade da função exponencial, temos e = el = elim,-oln(l+x)1i• = lim e ln(l+x)ll• = lim (l + x)lfx

-

x •O

x-0

~xercícios (a) Pela comparação de áreas, mostre que

~< ln 1,5 < (b) Use a Regra do Ponto Médio com n

f2 = 10 para estimar ln 1,5.

6. Demonstre a segunda propriedade dos expoentes para e·' [veja

2. Com referência ao Exemplo 1. (a) Encontre a equação da reta tangente à curva y paralela à reta secante AD. (b) Use a parte (a) para mostrar que ln 2 > 0,66.

=

1

1

1

2

3

11

4.

ln 11 < 1 +

7. Demonstre a terceira propriedade dos expoentes para ex [veja

[IDJ.

1

1

1

2

3

n- 1

- + - + ··· + --

(a) Comparando áreas, mostre que ln 2 < 1 < ln 3. (b) Deduza que 2 < e < 3.

(TI]J.

l/ t que seja

(a) Pela comparação de áreas, mostre que

- + - + ··· + - <

Demonstre a terceira propriedade dos logaritmos. fDica: Comece mostrando que ambos os lados da equação têm a mesma derivada.]

8.

Demon~trc a segunda propriedade dos expoentes [veja ~] .

9.

Demonstre a quarta propriedade do~ expoentes [veja~].

10. Deduza as seguintes propriedades dos logaritmos a partir de (a) log.(xy) = log.x + log ,.y

(b) log.(x/y) = log,, x - log.y (c) log.(x')

=

y log 0 x

@]:

A51

APÊNDICES

Números Complexos Um número complexo pode ser representado por uma expressão da forma a + bi, onde a e b são números reais e i é um símbolo com a propriedade de que i 2 = - 1. O número complexo a + bi também pode ser representado pelo par ordenado (a, b) e desenhado como um ponto em um plano (chamado de plano de Argand) como na Figura 1. Assim, o número complexo i = O + l · i é identificado com o ponto (0, 1). A parte real do número complexo a + bi é o número real a e a parte imaginária é o número real b. Desse moultado do Exemplo 1: Expresse o número

-1

+ 3i

2 +Si

-1

- 1 + 3i 2 - Si 13 + 11 i 13 11 . - - --· - - - = 2 = - + -1 2 2

+ Si

2 - 5i

2

+5

29

29

+ 5i,

-

A interpretação geométrica do complexo conjugado encontra-se na Figura 2: zé a reflexão de z no eixo real. Uma lista das propriedades do complexo conjugado é apresentada a seguir. As demonstrações seguem da definição e serão pedidas no Exercício 18.

Im

o - i

Propriedades dos Conjugados

z+w=z+w

zw

=

zw

z"

=

z"

FIGURA 2

l:

= a + bi

Re

1

d: l z=a -

bi

CÁLCULO

A52

O módulo, ou valor absoluto, lz 1 de um número complexo z = a origem. Da Figura 3 vemos que se z =a + bi, então

lm

f;}

bi

v~

lzl = Ja2 + b2

:z=a+bi ib

Observe que

1

o

zZ =

Re

a

a + bié sua distância até

(a

+ bi)(a -

bi)

= a 2 + abi - abi - b 2 i 2 = a 2 + b 2

FIGURA J

zí =

e assim

lz 12

Isso explica por que o processo de divisão no Exemplo 2 funciona em geral:

zw zw z -; = -;;;- = lwi2 Como i 2 = -1, podemos pensar em i como raiz quadrada de - 1. Mas observe que nós também temos (-i)2 = i 2 = -1 e, portanto, -i também é uma raiz quadrada de - 1. Dizemos que i é a raiz quadrada principal de -1 e escrevemos J=T = i. Em geral, se e é um número positivo, escrevemos

Com essa convenção, a dedução usual e a fórmula para as raízes de uma equação quadrática + bx + e= O são válidas mesmo que b 2 - 4ac 250: P-+ 750

-'

40

80

' 120

t

250 - 150ke'125

(e) P(t) = - - - - 1 - ke'125

onde k =

~ -VAo eA0 = A(O)

'

-o

(b) 8 = KVº·º7 kPo

(kt + 2l*1)2

41. (a) x = a -

(b) I =

~k + (Po - ~)ek' k

17. (a) Os peixes são capturados em uma taxa de 15 por semana. (e) P = 250, P = 750 (b) Veja a parte (d).

+ 2) 2

33. y = 1 + e2-•'n

2

2000

1980

1960

ft, -

~

I' 1200

A60

CÁLCULO

19. (b)

O 200: p~ 1000

5. (a) A população de coelhos começa em cerca de 300, aumenta até 2 400, e então decresce de novo para 300. A população de raposas começa em 100, decresce para cerca de 20, aumenta para cerca de 315. decresce para 100, e o ciclo começa novamente. (b)

R

,

(e) P(t) =

:::. '

-

:::.

- -

'

'

'

/

2.SOO 2000

'

1500

+ M(Po - m)eCM-mKllM )t Po + (Po - nz)e'"'-..MIJMll

m(M - Po)

M-

21. (a) P(1) =

Poe)

1

45000

250

35000

200

25000

' - - " - - - 150 inseto.o;, 100

15000

11. (a) x2

50

5000

+ y2

= J, X:;;. Ü

.r

(b)

1

o 25. (a) y = ( llk) cosh kx + a - l/k ou y = (l/k) cosh kx - (l/k) cosh kb + h

(b) (2/k) senh kb - 1

1

t

PROBLEMAS QUENTES 5. y = x 11•

1. f(x) = :!: IOe" 2

9.

(b)f (x) = x

11. (a) 9,5 h

L2 -

-

4L

7. 20ºC

~L ln(!..) L

13. (a) y = llx, y

>

1

(b)

'\,, ,

(e) Não

(b) 2 7007T""' 8 482 m 2 ; 471 m2/h

(e) 5.5 h

13. x2 + (y - 6)2 = 25

15. y = K/x, K

;,6

o

_,

O

CAPÍTULO 10

15. (a) y = ~ ln x

+

1

(b)

)'

EXERCICIOS 10.1 1.

r-5 11 +,/s. s)

t=O (1.0)

3.

y

t=O (1, 1)

4 (3.0)

t=

17. (a) y 2

-

x2 = 1, y:;;. 1

X

t=

(h)

'JT

2

y

(0.0) X

5.

(a)

)'

(7. 5) 1 -1

(b)y=!x+~

o 19. Move-se cm sentido anti-horário ao longo do círculo (x - 3)2 + (y - 1) 2 = 4 de (3, 3) para (3, - 1) 21. Move-se 3 vezes em sentido horário cm torno da elipse

(x2125) + (y2/4) = l, começando e terminando em (0, -2) (-5. -4) t=2

23. Está contida no retângulo descrito por 1 ,,,; x ..:; 4 e 2 ,,,; y,,,; 3.

A62

CALCULO

51. À medida que

11 aumenta. o número de oscilações aumenta; a e b determinam o peso e a altura.

27.

25.

1u .•

1:/\1:

3. y

+1 t cos t + sen t

1.

1 1.0J

2t

r~o

= -x

5. y

= 1TX + rr2

X

29.

7.

y=2x+ 1

9.

y

= 61 X

1T

20

- rr

11.

2t + 1

1 , t3 , t J, soma = 1

(b) 157,895 mg

73.

(b ) 5

k.JJ -

1)

79. A série é divergente.

1)

85. {sn } está ligada e é crescente.

77. Decrescente; sim 81. ~ (3

-5x s1 (-l)"(n + 2)(n + l)x", R = l 2.~

1 .. (e)- L (-l)"n(n - l)x",R = l

2

11•2

..

xi-• 1• R

oo

" (ln 2)"

n!

.. 11. };

ao

n• O

xi-• 1 (211

+

1) !

, R =ao

1 - 2(x - 1) + 3(x - 1)2 + 4(x - 1)3 + (x - 1)'. R = ao .. 1 15. ln 2+ };C- l r+ 1 (x-2)", R =2

fx-. •

x6"+2

+ 2)(2n)!

65. ln ~

67. 11"2

61. )

3

,rn+ 1

oo

55. ~

53. 0,40102

+ B.r

1

(x - 1)2 + 3(x - 1)

, R =oo

1 -rn, R = 2n(2n)!

s9. i - ~ :r

1 2

57. •~

7 .A + 61 Ã o + 3(,ÍJ X

69. e 3 -

9.

1

X -

2x2 + 2x2

EXERCICIOS 11.11 1. (a) To(X) T.(x) = 1 -

=1=

= 1 - 4x2 =

T1(X), Ti(X)

T3(X),

~ x2 + 2~ x4 - Ts(x). 1

,

T1.(X) : 1 - 2 X-

+ 24I_,, .{ T4

-

T~

I_,.

720

A

2

T0

-4

T,

11. Tdx) = l - 2(x - : )

+ 2(x

+ 2

T2 = T,

:

r-: r-

130(x - ;

y ~(x - : y

(x - :

A70

CÁLCULO

9. (- 1, 1), x3

+ 4r + X (1 - x) 4

11. ln 4

(b)

250 rnl7T

7T

19. 2.../3 - 1 21. - ( ; - 7Tk

13. (a) 2

4) - ~ (x - 4)2

15.

1 1) - 9(X - 1)2 +

17.

+ ! t ~ 27r

EXERCICIOS 13.2 1. (a)

+ ~(t2 + z=

4 cos2 t

47. Sim

A75

APÊNDICES

+ h)- r (4); T(4) =

(e) r '(4) =fim r (4

Ir

h---O

27. 12x2/( l

r '(4) lr '(4)1

16.t'i):v.!

29. e' 1x

31. (- 4in 2, 1/../2); tende a O

(b) r '(t) = (1, 2t)

3. (a), (e)

+

+ 2 Vl 1 + (xe' + e')2J312

33. (a) P

(b) 1,3, 0,7

4

35.

-1

5. (a), (e)

(b) r '(t) = cos ti - 2 sen t j

37.

K(I)

0.6

)'

7. (a), (e)

(b) r '(t) = 2e21 i

1

+ e' j

-5

5

39. a éy = f(x), b éy = K(x) 6../4 cos2r - 12 cos t + 13 41. K(f) = - - - - - - - - (17 - 12 cos t):v.! Kfl)

+ sen t, 2t, cos 2t -

9. r ' (t) = (t cos t

2t sen 2t)

4

11. r '(t) = 4e ' k

13. r' (r) = 2re" i 17.

(~. ~. ~)

+

19.

[3/( 1 + 3r)] k

15. r'(t) = b

b +~k

o

21. ( 1, 2t, 3t2), (1/\ÍJ4, 2/\ÍJ4, 31\ÍJ4), (O. 2, 6t), (6r, -6t, 2)

23.

X

25. X

= 3 + t, y = 2t, Z

=

1 - (, y

= 2

+ 4t

= t, Z = J -

X=

31.

X

t, y = J - t,

= - rr -

t,

y=

+ t, Z =

35. 2 i - 4 j

33. 66°

1

43. 6t2/(4t2 + 9f")J/2

49. )'

t

6'1

4,,-

47. (~. ~.

51.

!}. (- Í, ~. -

~}, (- ~.ti}

= ÓX + 1T, X + 6y = Ó7T

{x + ~)2 + y2 = ~. x2 + (y - ~)2=1J!

2t

Z= 1T

21T

45. ll(.Jíe 1)

27. r (t) = (3 - 4f) i + (4 + 3t) j +(2 - 61) k 29.

inteiros múltiplos de 27T

+ 2tc

- 7Tt

+ 32 k

37.

j

+j +k

39. e' i +t1j +(t ln t - r)k + C 41. t2 i

+ t3 j + (jr312 - ~) k

47. 2r cos t + 2 sen t - 2 cos t st:n t

-5

49. 35

53. (-1. -3, 1)

55. 2x + y

EXERCICIOS 13.3 1. 10 -.fW

5.

9. 1.2780

11. 42

13. r(t(s))

=~s i + (1

r., (13"2 -

8)

7. 15,384 1

- k sp + (5 + ~s)k

15. (3 sen 1. 4, 3 cos 1) 17. (a) (11\Í!Õ. ( - 3/\Í!Õ)sen t, (3/M) cos t), (O, -cos t, - sen t) (h)

fü

1 -

1

(>Í2e', e2',- I), - 21 ( 1 - e2', fi.e 1, "2.e•) e'+ l e + 1

19. (a) (b)

2

..fie211(e2' + 1) 2

21. 6r2/(9r + 4t1) vi

23. 2~

1 . i:@ 25. 7 "\'14

63. 2/(r

+ 4z = 7, 6x -

+ 4t2 + 1)

8y - z = -3

65. 2,07

X

10'º Â ""' 2 m

EXERCÍCIOS 13.4 1. (a) l ,8i - 3,8 j - 0,7k , 2,0i - 2,4 j - 0,6k , 2,8i + l .8j - 0,3k , 2,8i + 0,8j - 0,4k (b) 2.4i - 0,8j - 0,5k. 2,58

3. v(r) = (-t, 1) a(t) = (- l , O)

lv(t)I =

..fi2+T

1

A76

CÁLCULO

Exercícios

5. v(t) = - 3 sen t i + 2 cos t j a(t) = -3 cos ti - 2 sen t j Jv(t)I = .../5 sen21 + 4

1. (a)

X

7. v(1) = i

+ 21 j

(b) r '(t) = i - 7T sen 7Tt j + 7T cos 7Tt k, r "(t) = -772 cos 7Tt j - 7T2 sen 7Tl k

a(t) = 2 j ~-­ Jv(t) i = .../1 + 4t2

3. r (t) = 4 cos t i

(1.1 . 2 1

+ 4 sen t j + (5 - 4 cos t)k, O ,,;.; t ,,;_; 27T

5. ~ i - (2/772) j + (2/7T) k

9. (21, 312, 2r), (2, 61, 2), lti.../912+ 8

..fi i + e' j

- e- 1 k, e' j

+ e-

13. 12/17312 1

k, e'+ e- 1

+ 2t j +

17. (a) r(t)

=

{tt3 +

k , r (t) =

+

t) i

{i ! 2 + 1) i + 12 j + t k + 1) j + (~ -

(t - sen t

15.

X -

2y + 27T = 0

= ( 1 + ln t) i + j - e- 1 k , lv(t)I = .../2 + 2 ln t + (ln /)2 + e-21, a(t) = (l/t) i + e- 1 k

17. v(t)

13. e'[(cos 1 - sen t)i + (sen 1 + cos r) j + (t + l )k], e'(-2 senti+ 2 cos t j + (t + 2)k], e'.../12 + 21 + 3

15. v(t) = t i

9. 7T/2

(1 r, l )/.../r + 12 + 1 (b) (t3 + 2t, 1 - t, -213 - 1)1.../111 + 516 + 614 + 5t2 + l (c).../rs + 516 + 614 + 5r2+ 1 /(r' + P + 1)2

11. (a) X

11.

7. 86,631

2,

! cos 21) k

19. (a) Cerca de 0,8 m acima do chão, 18,4 m do atleta (b) = 6,3 m (e) =19,1 m do atleta 21. (e) -2e-' vd +e ' R

23. (a) v = wR( - sen w1 i + cos

(b)

w1 j )

(e) a = -w2r

PROBLEMAS QUENTES 0.6 0.4 z 0.2

1. (a) 90", v~/(2g)

=

3. (a) = 0,25 rn à direita da borda da mesa, 4,9 m/s (b) = 5,9° (c) = 0.56 m à direita da borda da mesa,

o

5. 56º

X

7. r (u, v) = e + 11 a + vb o nde a = (ai, a2, a3), b = (bi. b2, b1), e = (e,, ci. e,)

19. t = 4 21. r (t) =t i - t j +

23. (a) = 3 535 m 25. 30 m/s

27.

~ t 2k, lv(t)I = .../2512 + 2 (b) = l53 lm

= 10,2º, =

CAPÍTULO 14

(e) 200 m/s

79,8º

29. 13,0º < 8 < 36,0º, 55,4º < 8 < 85,5º

31. (250, - 50, 0); 10.../93 = 96,4 pés/s 33. (a) 16 m

(b) = 23,6° rio acima

20

12

of---=====:::=--"'=====~ 40

-4

39. O, 1

41 . e' - e-',

43. 4,5 cm/s2, 9,0 cm/s2

..fi

45. t = 1

CAPITULO 13 REVISÃO Teste Verdadeiro-Falso 1.

Verdadeiro

9. Verdadeiro

3. Falso 11. Falso

5. Falso

40 km/h dá urna sensação equivalente a cerca de -27 °C sem vento. (b) Quando a temperatura é -20 ºC, qual velocidade do vento dá uma sensação térmica de - 30 ºC? 20 km/h (c) Com urna velocidade do vento de 20 km/h. qual tempcralura dá uma sensação térmica de - 49 ºC? -35 ºC (d) Uma função da velocidade do wnto que dá os valores da sensação lérmica quando a temperatura é - 5 ºC (e) Uma função da lemperalUra que dá os valores da sensação térmica quando a velocidade do venlo é 50 km/h 3. = 94,2: a produção anual do fabricante eslá avaliada cm $94,2 mi-

- 12

35. O caminho eslá contido em um círculo que eslá em um plano perpemJicular a e com cenlro em uma reta pela origem na direção de e. 37. 6t, 6

EXERCÍCIOS 14.1 1. (a) -27; uma temperatura de -15 ºC com vento soprando a

7. Falso

13. Verdadeiro

lhões quando 120 000 horas lrabalhadas são gastas e $20 milhões de capital são investidos. 5. (a) = 20,5; a área da superfície de uma pessoa 70 pol. mais alla que pesa 160 libras é de aproximadamente 20,5 pés quadrados. 7. (a) 7,7; um vento de 80 km/h soprando em mar aberto por 15 h criará ondas de cerca de 7,7 m de altura. (b)f (60, t) é urna função de t que dá a altura das ondas produzidas por ventos de 60 km/h por r horas. (c)f (v, 30) é uma função deu que dá a ahura das ondas produzidas por ventos de velocidade v soprando por 30 horas. 9.(a)I (b)~2 (c)l- 1,I J

APÊNDICES

11. (a) 3

(b) {(x, y, z)lx2 + y 2 + z2 < 4 , x;:;;,: O, y;:;;,: O, z;:;;,: 0), o

interior de uma esfera de raio 2, centro da origem, no primeiro octante 13. {(x,y)l y;:;;,: -x ) y

A77

27. z = y2 + 1, cilindro parabólico

:r

29. z = 9 - x 2 - 9y2, paraboloide elíptico

15. {(x,y)l~x2+y2< l}. (- oo, ln9] .I'

, , ----

~-• ' +y'= 1

-

.....

' , __ _o ____,,' \

17. {(x. y)l- l ,,;;x,,;; 1.

- 1 ,,;;y~ 1) )'

31. z = '14 - 4x2 + y2, metade superior da elipsoide

1

1

o

1

1

- 1

19. { (x,y) Jy;;;,:x2,x~ :t i}

33. ""56, ..,35

35. 11 ºC, l 9,5ºC

37. Íngreme; q uase achatado

41.

39.

21. {(x,y, z)lx2+y2+z2 ,,;; li

)

43. (y - 2x)2 = k

23. z = 1 + y, plano paralelo ao eixo x

45. y = -{;

+k

y

2

()

- 1

o

4321

25. 4x

+ 5y + z =

-2 1234

10, plano 49. y 2 -x2=k2

10. 0. IOI

o

12.5.0. (>t

A78

51 .

CÁLCULO

.r + 9y2 =

Os valores da função tendem a Oquando x, y se torna grande; quando

k

(x. y) se aproxima da origem,f tende a :too ou O, dependendo da di-

reção de aproximação. 75. Se e = O, o gráfico é uma superfície cilíndrica. Para e > O, as curva~ de nível são elipses. O gráfico tem curva ascendente enquanto deixamos a origem, e a íngremidade aumenta à medida que e aumenta. Para e < O, as curvas de nível são hipérboles. O gráfico tem curva ascendente na direção y e descendente, tendendo ao plano xy, na direção x, causando uma aparência em forma de sela perto de (0,

º·

1).

77. e = - 2, O, 2

E

53.

79. (b) y = 0,75x +O.OI

C OS 1

1. Nada; Se/for contínua,f(3, 1) = 6 3. 2 5. 1 7. ; 9. Não existe 11. Não existe X

13. O 19.

15. Não existe

-..f3

17. 2

21 . Não existe

23. O gráfico mostra que a função se aproxima de números diferentes ao longo de retas diferemes.

55.

25. h(x. y) = (2x + 3y - 6)2 + ·hx + 3y - 6;

{(x, y)l 2r

+ 3y;;.. 6)

27. Ao longo da reta y = x 33. 57.

{(x,y)lx2+y 2 >4)

37. {(x. y)I (x, y) 'F- (0, O))

29. JR2

31. {(x,y)lx1 +y2'F-J)

35. {(x, y, z)I x 2 + y2 + z2 :o;; 1) 39. 0

41. -1

43.

o - 1

fé contínua em [R2 59. (a) C (b) TI 61. (a) F (b) I 63. (a) B (b) YJ 65. Família de planos paralelos 67. Família de cilindros circulares com eixo no eixo x (k > 0) 69. (a) Translada o gráfico de/ duas unidades para cima (b) Amplia o gráfico de/verticalmente por um fator 2 (e) Reflete o gráfico de f em relação ao plano xy (d) Reflete o gráfico de f em relação ao plano xy e a seguir translada-o 2 unidades para cima

71.

------

o

-w

/parece ter um valor máximo de cerca de 15. Há dois pontos de máximo local, porém nenhum ponto de mínimo local. 73.

10--------,

: o

nC CIOS

3

1. (a) A tiixa de variação da temperatura quando a longitude varia. com a latitude e o tempo fixados: a taxa de variação quando apenas a latitude varia; a taxa de variação quando apenas o tempo varia. (b) Positiva, negativa. positiva 3. (a)/T(-15. 30) 1.3; para uma temperatura Je - 15 ºCe velocidade do vento de 30 km/h, o índi ce de sensação térmica sobe para l ,3"C para cada grau de elevação da temperatura. fv(- 15, 30) = -0,15: para uma temperatura de - IS ºC e velocidade do vemo de 30 km/h, o índice Jc sensação térmica cai para 0,15ºC para cada km/h de aumento da velocidade Jo vemo. (e) O (b) Positiva. negativa 5. (a) Positiva (b) Negativa 7. (a) Positiva (b) Negativa 9. e = J, b = J., a = f, 11. /,(1, 2) = - 8 = inclinação de c ,,_f,.(l, '.!) = - 4 = inclinação de C1

=

16

-5

li. 21

APÊNDICES

13.

57. Zu =- - 2xl(l +x2)2, s.Jr?-,-12 f _ 4 _,,_,12

0

(x, y , ;::) d:. dy dx

=

~ s.J·-..i-.12 -.J·So•s-~

=

o - -.•-•x ..Jxi + yz d:: dy dx Y = ( l/111) f f Jo .Y.Jx + yz d::. dv. dx -z (llm)si_ f,,J z r:-:--:: + yz dz dy dx I si•' ·flo (x2 + y2)3n dz dy dx (e) I (1/m)

21. 27T/5

(b)(O, O, 15)

fJ

45. ~ 7Tkha 4

47. (a) m = J-1 í _,. ..Jx2 x2 .. O (b) y, z), onde

25. (a) l 627T

128 + 11'

31. (a) Jch(P)g(P) dV, onde C é o cone (b) "'=4,4 X 10 18 J

41 . a5 , (7all 2, 7a/12, 7a/12)

43. I,

19. 37T

27. TTKa 218, (O, O, 2a/3)

79 ( '58 33 571)

39. Jo· 553• 79, 55~

37. 647T

8

17 3847T

(b) l. = ,:i cos 28

15. 17.

o .;;; .;;; 7T/4, o~ p ~

cos (97T/4) (2 -

11.

X

13. Coordenadas cilíndricas: 6 .;;; r.;;; 7. O .;;; () .;;; 27T. O .;;; z .;;; 20

)

19. J. .12J·3s2f (r cos (}, r sen 0

0

0

1:),

z) r dz dr d()

"3)

A84

CÁLCULO

21. 312.5oo1Tn 23. 1.68817"/ 15 27. (..f3 - 1)1Ta1 /3 29. (a) 101T 31. (a) (0, O, "Í2) (b) 11 K'lT/960

3.

25. '7T/8 (b) (0, O, 2, l)

33. (a) (O, O, ~ a) (b) 4K1Ta5 ! I5 35. ~1T (2 - ../2), (O, O, 3/[8(2 - -./2)])

37. 51T/6 43.

39. (4../2 - 5)115 41. 409617"/21 45. 13617"/99

;-2 5.

\ '\.

EXERCÍCIOS 15.10 cos20

3. sen 20 -

1. 16

// / t

o

5. O

_......_"

9. A região ligada pela reta y = 1, o eixo y e por y = ...[;;

J

11. x = (u -u), y = ~ (u + 2u) é uma transformação possível, onde S = {(u, u) 1 - l ,.;;: u ,.;;: 1, l ,.;;: u,.;;: 3} 13. x = li cos u, y = li sen u é uma transformação possíve l, onde S = { (11, U) I J ,.;;: 11 ,.;;: ../2, 0,.;;: V ~ 1T/2} 15. - 3 17. 67T 19. 2 ln 3 21. (a)~ 1rabc (b) 1 083 X 1012 km 3 8 . J 23. 5 ln 8 25. 2 sen 1 27. e - e- 1

"

I/ " \ ' X /K"' ........ \

7. O paralelogramo com vértices (0, 0), (6, 3), ( 12, 1), (6, - 2)

7.

9.

t

1) tt

(c) Ê 1r(a2 + b 2)abck

CAPÍTULO 15 REVISÃO Teste Verdadeiro- Falso 1. Verdadeiro 3. Verdadeiro 5. Verdadeiro 7 . Verdadeiro 9. Falso

Exercícios 1. = 64,0 3. 4e2 - 4e + 3 5. 9. j 0 2 f( r cos0,rsenlJ) rdrdO

·,,s·

11. IV

13.

2

sen 1

21. 8117"/5

6

(a) 41

7

hen1

1

15. 2 e - 2

23.

81

2

31. ~

29. 176 35.

1

17. 4 ln 2

25. 17"/96 33. 2ma3/9

4.5

7. ~

\ \ 1

27.

l

'

19. 8

1

47.

41. ~6 4

1

0

PROBLEMAS QUENTES

! sen 1

1. 30

3.

13. abc1r

(1-3 - -9"3 8

1

'

l

\

' '

1 1 1

' '

'

' '

'

1

j

1

1

l

l

1

\

1

\

\

4,5

\ \

\

-4.5

+

1) e'» i

+ re j

x i + y · x, y. z) = '1x2 + yi + z2 '1x2 + v2 + z2 J

23 Vf(

·

43. 0,05 12

(c) 43

Sf'-'ff;-.JY f (x, y, z) dx dy d::. 0I

\

21. V/ (x, y) = (,l)'

1

(b) 3

\ 1

'

JS

8) (b) (13, 15

+ ..f3) + ../213

- 4.5 1 1

~

1 1 = r.:: = r; (c) / , = 12· I,. = 24; y = l/v3, x = ll\'6 4 37. (a) (0, 0, h/4) (b) 1ra h/10

39. ln(-./2 1 45. (a) E

17. Ill

15. IV

19. A reta y = 2x

11. A região dentro do circuito da rosa de quatro folhas r = sen 28 no primeiro quadrante 1

13. 1

+ 49. - ln 2

51 .

o

~

'1x2 + y2 + z2

k

25. V/ (x, y) = 2x i - j

7. (b) 0 ,90 -)

CAPÍTULO 16 EXERCÍCIOS 16.1 1.

27.

4

y

\ \

\ \ X

-4

\

\

29. Ili

31. II

33. (2.04, 1,03)

APÊNDICES

35. (a)

(h)y = l/x,x > O

EXERCÍCIOS 16.5 1. 3. 5. 7.

(a) ze' i

(b)yz

+ (xye'

- yze' ) j - xe' k (a) O (b) 21..Jx2 + yi + z2 (a)(-e•·cosz. -e'cosx, -e'cosy)

(b) y(e'

+ e')

(b) e' sen y + e! sen z + e' sen x 9. (a) Negativa (b) rot F = O 11. (a) Zero (b) rot F pontos na direção negativa dez 13. f (x, y, z) = xy2;:3 + K 15. Não conservativo 17. f (x, y, z) = xe>• + K 19. Não

EXERCÍCIOS 16.2 1. ~ ( 1453r. - 1)

(a)-x2 i +3xy j -xz k

3. 1638,4

2 3

5. ~

7. ~

EXERCÍCIOS 16.6

i'

9. -f5 rr 11. 2 .../14 (e6 - 1) 13. ~ (e - 1) 15. ~ 17. (a) Positiva (b) Negativa 19. 45 21. ~ - cos 1 - scn 1 23. 1,9633 25. 15,0074 2

27. 3rr + 3

2.s

1. P: não; Q: sim 3. Plano por (0, 3, 1) contendo os vetores ( 1, O, 4), (1, -1, 5) 5. Paraboloide hiperbólico 7.

-2.5

29. (a).!i - l/e

(b) 2.1

8.

F (r lll)

F (r (OI) o ~_.;~:..;.;_----H 2.1

-0.2

31.

5 ~i2 ~.J2( 1 - e- 14..) 1

1

33. 2rrk, ( 4/rr, O)

35. (a)x= ( l /111) fcxp(x, y, e:) ds,

y=

( l/m) fc yp(x, y, cos (), y = 2 sen sen O, z = 2 cos , O .:s;; .;;; rr/4, O .:s;; (J .;;; 277"

!z2

[ou x = x, y = y, z = ..J4 - xi - yi, x2 + y2 ~ 2J 25. x = x. y = 4 cos O, z = 4 sen O, O..;: x .;;; 5, O .:s;; (J.;;; 277" 29. X = X, y = e -x COS O,

EXERCÍCIOS 16.4 1. 877" 3. ~ 5. 12 7. ~ 9. -24rr 11. -~ 13. 477" 15. - Se + 48e 1 17. -&_ 19. 3rr 21. (e)~ 23. (4a/3rr, 4a/3rr) ~e a região é a porção do disco x2 + y2 a 2 no pri-

=

meiro quadrante 27.

o

z = e-• sen fl, O .;;; .x .;;; 3,

o ... 6.;;; 271'

A85

A86

CÁLCULO

31. (a) Direção reversa

33. 3x - y

43. 47. 51.

55. 57. 59.

35. - x - - y + z

+ 3z = 3

37. -x + 2z = 1

(b) Número de bobinas duplas ..fj, 1 7T

2

2

= -

3

41 . .../i47T TI- (3.112 - 2112 + , > 45. (27Tt3> ~ ..fi.I + !JL!n(2 + ..fi.I) - ln .../171 49. 4 A(S) ~,,/?,7TR2 53. 13,9783 (a) 24,2055 (b) 24,2476 ~ .../14 + :~ ln{( 11-./5 + 3-fiõ)/(3-./5 + ../76)) (b) 39. 3.../14

C'

Pi

Ã

Teste Verdadeiro-Falso 1. Falso 3. Verdadeiro 7. Falso 9. Verdadeiro Exercícios

t

(b) Positiva 3. 6 ..fl6 5. 1 7. ~~ 9.f4 - 4/e 11.f(x,y)= e•+xe'>' 13.0 17. -87T 25. k(27 - 5-./5) 27. (7T/60)(391"17 + 1) 29. - 647T/3 33. 37. - 4 39. 21 1. (a) Negativa

-4

CAPÍTULO 17

2

1. y = cie·'' + c2e- 2i 3. y = e, cos 4x + c2 sen 4x 5. y = c1i!-"3 + c2 xeiin 7. y = c1 + c2ein 9. y = eii(c 1 cos 3x + c2 sen 3x) 11. y = c,e1.J3-1J

y = cosh- 1x

Ç::::::>

)' =

tgh

1 X

~

y= !gh x

senh y = x cosh y !gh )'

=

= X

x

senh 1x = ln(x e

+ JXi"+I)

y ;;;. O

+X)

1 tgh 'x = 21 ln ( -

1- x

PÁGINA DE REFERiNCIA 5

REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO Fórmulas Gerais d

d

2. dx [cf(x)]

1. dx (e)= O d

3. dx [f(x) + g(x)] - f'(x) + g'(x) d

5. dx [/(x)g(x)]

=

f(x)g'(x)

+ g(x)f'(x)

~ [f(x) -

4.

6. !!_ [ f(x) dx g(x)

(Regra de Produto)

d

d (x") cfr

1. dx f(g(x)) = f'(g(x))g'(x) (Regra da Cadeia)

8. -

cf'(x)

=

g(x)] = f'(x) - g'(x)

J

=

=

g(x)f'(x) - f(x)g'(x) [g(x)] 2

(Regra do Quociente)

nx•- 1 (Regra da Potência)

Funcões Exponenciais e Logaritmicas d

d

9. dx (e') = e•

d 11. - ln lxl dx

10. dx (a')= a' ln a 1

12. -

= X

d

d.A

(log.x)

l x ln a

= --

Funcões Trigonometricas d

d

13. dx (sen x) = cos x

14. dx (cosx)

d 16. dx (cossec x)

17. dx (sec x)

=

-cossec x cotg x

d

d (

,

= -senx

15. dx tg x) = sec·x

= sec x tg x

18. dx (cotg x)

d

=

-cossec 2x

Funções Trigonométricas Inversas 1

d

d

1

d

19. dx (sen 1x) = .[l=Xi

20. -(cos- 1x) = --~~ 2

) 1- x

dx

1

22. dx (cossec- 'x) - - x~

d (sec 1x) dr:

23. -

=

1

/

XyX 2 -

21. 24. -

(

d

dx d

dx

1

(tg- 1x) = - , 1 +r 1

(cotg- 1x) - - - l + x2

Funcões Hiperbólicas d (senh x) dx

25. -

d

= cosh x

d

28. dx (cossech T)

26. dx (cosh x)

= - cossech x cotgh x

d (sech x) dx

29. -

d

(tgh x) = sech 2x

=

senh x

27. -

=

-sech x tgh x

30. dx (cotgh x) - -cossech 2x

dx d

Funções Hiperbólicas Inversas

d

31. -(senh-'x) dx

d

1

1

~

"1

34. dx (cossech x) = -

32. -

+ x-

d

dx

l

Ixi .,IX2+1

(cosh 1.t)

d (sech- 1x) dx

35. -

=

1

~ X

= -

X

-

1 f - x

~

d

33. _,_ (tgh 1x) C.Ll

1 1- x

= -2

d l (cotgh 'x) = - dx 1 - x2

36. -

PÁGINA DE REFERiNCIA 6

TABELA DE INT EGRAIS Fórmulas Bâsi< 1.

2. 3.

f f f

li

5.

6.

7.

8. 9.

1O.

f f f f f f

f

llV -

d11 = l n 1li 1 + li

+ C.

n "#- -1

e

22.

f

23.

25. 26. 27•

78. 29 •

rsec

ln a

16.

cosecc 11 cotg 11 du

sen

li

dll

-cos

=

+e

li

17. cos

li

d11

e

+

sen li

=

18. 2

seC

ll

du = tg u

cossec2u du

+

e

-cotg 11

=

=

sec 11

11

2

li

11

2

.jQ2+;2 d11

li

=

20.

+C

+ 112d11=- Ja 2 +

Ja2

19•

+C

-(a 2

8

• li

a2

+

J a2

2

2

211 )

Ja 2

+

u2

-

f fJ f

li

d11

d11

f

li

Ja i

+

li

112

u2

.J(i2+Uí.

+C

+1n(u+Ja2+11i)+C

li

f~ ai + ui

•

d11=-

11 21

ln(11 + J a 2 +

=

ll 2)

2

+e

( u d11 =-...;a u ~ a ~) 2 +11 2 --lnu+...;a 2 +u 2 +C • Jai + ll2 2 2

f

11

2

du Jai +

ll 2

1 ln 1 Jai =-a

du

, ~ = 1r...;a 2 + 11 2 (a2

du

+ 11 2 )3/2

~ 2

a u

-

li

-

a 2 Ja2

+

u2

+ 11 2 + a 1 +e li

+e +e

+e

ln 1 sec li + tg li 1 +

,

li

= sen- 1 - + a

11 2

d11

a·+u 2

=

d11

f

f f

'

d11

a· -

1 a

-tg

• l1 J ll 1 - a 1

a• ln(11 +~)+e 8

f ~ d11=~ - aln 1ª+~2+

=

1 a

11

-

a

= - sec

-

e

cotg li 1 + C

e

+e 1

u -

a

+

e

11 +a 1+ ln 1-

e

li - a 1 = - 1 ln 1- +

e

' = -1 11· 2a

du ' 1r - a 2

_1

+C

e

cossec 11 du = ln 1cossec 11

+ 11 2 ) +e

-

+

cotg li du = ln 1 sen u 1

()

+ -ln(u +

11 2

-cossec 11

=

tg li du = ln 1sec 11 i

0 2 -

.

f f f

14.

e

= -- +

a" d11

•

24.

J

15. a"

Fórmulas Envolvendo "

f

13.

+e

e" d11 =e"

Jsec u tg u du

21.

12.

J f

11.

d11

V

~ n + 1

u" d11 =

•

4.

=

dv

5

2a

11 - a

11 +a

1

PÁ GINA DE REFERINCIA 7

TABELA DE INTEGRAIS

/ a2

fórmulas Envolvendo

-

a

ll 2 .

O

30.

f

32.

J ~ du = ~ - aln l ª+~

33.

f

~

f

u 2 d11

34.

35. 36.

37. 38.

f f f

f

2

J a2

u 2 du = .!!.. ,,/a 2

-

2

• u·

1

Ja 2 -

du = - -

11

li

~

= - -

2

Ja

2

u 2 ) 312 dll

-

40. 41.

42.

f f

45. 46

•

2

d11

(a 2 _

11 2)112

= 0

Jui -

iJ0 u2 _

2

2

u

2

1

11 -

a

I

+e

e

+e

+e

11

~4

8

+

2

a2

-

+e

5a 2 ) ~ +-sen

-

ª2 -

-

2

1u +

ln

Ju

8

2

-

8

a2

I+

f

J ui - a i J 11 2 - ai du =+1n lu+ J u2 - a2 l+C 2 u u

f f f

Juidu-

a2

u 2 du J 11 2 - a 2

a2

-

a cos

1

a -

!ui

+e

= ln l11 +Ju2 - a 2 l+C 11

= -

2

d11 = u ·Ju2 - a 2

,

d11

Ju2 -

=

( u 2 _ 0 2) 3;2

a2

J u2 - a 2 + -

Ju2 -

a2

a u

= 0

2

li

2

ln i11 +

+e

2

J ui _

+e

0 2

+e

J11

e

111 + JUT=Ci21 +e

f

du

a

O

11 a• 11 2Ju 2 - a 2 du = -(2u 2 - a 2)Ju 2 - a 2 - - l n

11

1 li -

e

a i, "

-

Ju

+

1

li

8

u

a 2 dll = -

sen

+e

J u2 - a i

43. J 44.

az

-

a + Ja2 -

u - -(2u 2

=

a

li

du 1 ~ = - -2-va 2 - u 112Ja 2 - u i a u (a 2

sen- 1 .!!..

sen- I a

11 2 -

u2 +

-

dll 1 ln 1 =-11 ~ a

Fórmulas Envolvendo ,.1.. 2

39.

ª2

+

u2

-

2- a2

I+ e

PÁGINA DE REFERiNCIA 8

TABELA DE INTEGRAIS Fórmulas Envolvendo a+ bu

u du

l (

47.

J-a +- bu- = 2b

48.

f

49.

2

u du --ba+ u

f

• u(a

+ bu - a ln 1a + bu l) +

a

- J23 [(a b

=

= -1

du

+ bu)

+ bu)2

u ln 1 - -a + bu

a

+ bu) + 2a 2 ln 1 a + bu 1] +

4a(a

-

1

e

e

+

50 J--d_u _ _ = - _1 + ..!!.._ ln 1-ª- +_b_u 1 + 2 2 •

51.

u (a

+ bu)

au

udu

f

u

a

e

1

a

(a+ b u)2 = b 2(a+ bu) + 2b ln 1a + bu 1 +

e

52 J -- d_u_ _ = 1 - _.!_ ln , _a_+_b_11 1 + • u(a + bu)2 a(a + bu) a2 11 2 u du (a + bu)2 =

53.

f

54.

Ju ./a + bu du

55.

f

56.

57.

udu ~ ya + bu

=

( (

b3

2 ~ - b2 (bu - 2a}ya + bu 3

u 2 du

f

a2

+ bu - a + bu -

2

,

+ 3h 2u 2

- 3 (Sa·

= lr: ya

ln

1

60.

f f

61

J

u

J

u

+ bu du =

11" du

J a + bu

=

.,fã 1 + e, se a

u + C,

>o

sea < O

---

-a

+

a

f

+ bu du -_ - .Ja + bu + -b 2

u"./a

~

P.+

2 v~ a + bu

u

·

62 •

ra+TJü du = Ja

+e

4abu)va + bu + C

-

Ja+bU -

Fa

59 •

e

+e

r: "ª~ + bu + -ya

= -2- tg- 1

J

)

15b

du ~ u y a + bu

58.

e + bu I +

2a ln 1a

2 b , (3bu - 2a)(a + bu)312 15 •

=

~ = -

J "ª + bu

a

e

du ~ uva + bu

f

2

2 [u"(a b(2n + 3)

du u./a + bu

+

2u"~ _ 2na b(2n + 1) b(2n +

bu)312

f l)

-

na

f

u•- 1 J a

+ bu

1

u•- du .Ja + bu

du = _ .J(i+b;i _ b(2n - 3) u"./a + bu a(n - 1)11"- 1 2a(n - 1)

f

du u · - 1.Ja + bu

du]

PÁGINA DE REFER!NCIA 9

TABELA D E 1NTEG RAI S Fórmulas Trigonométricas

f 64. f f f f f f f f 72. f 63.

sen 2u dLI

~ u - ! sen 2LI + e

=

COS211 dL1 = i 11 + ! sen 211 + C

65.

tg 2u du = tg li

66.

cotg 211 d11

67.

sen'u d11 '"'

68.

cos ' 11 d11

69.

tg-'u d11

10.

cotg 3u du =

71.

sec '11 du

73.

74.

75. 76.

77.

78.

79.

80.

81. 82. 83.

=

+e

u

-

-cotg li

-

+

li

e

-~(2 + sen 2u) cos LI+ C

= ~ (2 + cos 211) sen li + e

= l tg 211 + ln 1COSLI 1 + C

-l cotg 211 -

= ~ sec 11

sen"11 dL1

f f f f f f f

sec"LI d11

+ Í ln 1sec 11 + tg u 1 +

n

11

1 cos• cos"11 du = -;;

1 -

n - 1

cotg"u du

1 11

f

11

tg•- 111

-

f

cos•- 2u dLI

tg•- 211 dL1

-

f

cotg•- 211 d11

n-2f sec"- LI dL1

1

-1 1

cos OLI cos b11 d11 =

CO!>

-

n-21 f

+ - - cossec" 11 -

( ) 2a-b

-

sen(a - b)u 2(a - b)

+

sena11 cosb11dL1 = -

dLI -

u cossec• ·211

sen(a - b)u

sen a11 sen bu d11 -=

sen LI d11 - sen li

2

n - 1

= - - cotg

n

- cotg 11 1 + C

sen•- 211 d11

= -1- lg u sec•- 211 + - -

cossec"LI d11

11 COS li

sen 11 + -n -- 1

'"' ~ co1g•- 1u n- 1 11 -

li

f

n -1 = --1 sen•- 1u cos LI + -

tg"LI dLI = -

C

~ cossec u cotg LI + ~ ln 1cossec u

cossec ' 11 d11 = -

f f f f

tg LI

ln 1sen11 I + C

sen(a + b)u ( ) + C 2 a+b !>en(a + b)u

cos(a - b)u 2(a - b) -

11 COS

LI

+

C

11 + u sen 11 + C

2(a

+ b)

+e

cos(a + b)u 2(a + b)

+e

2 11

du

PÁGINA DE REFERiNCIA 1 O

TABELA DE INTEGRAIS

f f f

84. 85. 86.

= -u" cos 11 +

u" sen 11 d11

u" cos 11 d11 = u" sen 11

/1

f

n

-

f

u"- 1 cos 11 d11

u"- 1 scn u du 1

1

sen"u cosmu du

sen" u cos"'+ u n- 1 ----- + --

=

11+m

f

n+m

sen"+ 111 cos"'- 111

m - 1 n+m

- -- - - - + - - n+m

f

sen•- 211 cos"'u du

sen"11 cos"'- 2u du

Fórmulas Trigonométricas Inversas

Jsen- u d11 1

87.

f f

88. 89.

f f

90.

91.

i

=

11

1

11 -

i ln(!

tg- 1u du = u tg- 1u -

sen-

1 11

du =

li

cos

1 11

du =

.jl=U2 +

1

coÇ u du = u cos

li

+~+e

sen- 111

2u 2

-

J

2u 2

-

1

4

4

92.

e

93.

f

li

1g- 1ud11

r u" sen-

1 11

•

2 + l 1 = -u -2-tgu

(/11

=

-

2li +e

_ f _ [u n+I n + 1

SCO-I U -

f ~ ], 1 - u2

+ 11 2 ) + e

sen-•11

+

cos- 111 -

u~

4

u~

4

+

e

+e

94.

f

95.

f

u " cos 111 du = -1- [ u•+ 1 cos- 111 11 + 1

+

fv

u•+I dll ] , ~ l - u·

11 'fÍ'

11

7" - 1

1

li"

tg- 111 d11 = - 1-

11+1

[ Un+I tg- 1u - fu•+ - -d11] - ,

l+ll 2

11

7" -1

rm laç Exponenciais e Logarítmicas

96.

97. 98.

99.

f f f f

~2 (au

ueª" dll =

ll"eª" d11 =

- l)eª"

~ 11"eº" -

eº" sen bll d11

=

.;

f

eª " 2

a +b

2

eª"

eª" cos bll d11

=

2

a +b

+e

2

100.

u"- 1eª" du

(a sen bu - b cos bu)

(a cos b11

101.

+e

102.

f

ln u d11

f f-

=

li ln li -

1 -

+e

u•+ I

+ 1)2 [(n +

u"lnlldll = (n

11 ln

li

li

du = ln l ln

ll

1+

l)lnu - 1)

e

+ b sen bll) + e

Fo rr ulas Hiperbólicas 103.

f

senh

li

du

104.

Jcosh

11

du = senh u

105.

f

tgh li c/11

=

112.

J

+C

109.

ln COSh =

li

111 .

108.

Jcotgh 11 d11 ln 107. J sech du = tg106.

f f f f

= cosh li + e

LI

+C

1senh 1

110.

u1+ C

Isenh111

+

C

cossech u d11 = ln 1tgh 2

sech 11 dll

=

cossech2u d11

tgh

=

sechll tghlldU cossech

li

li

ili 1 + e

+e

- cotgh u

=

+e

-sech11

cutgh 11 d11

=

+e

- cossech u

+C

-1

+e

PÁGINA DE RE F ERÊNCIA 11

TABELA DE INTEGRAIS

111.

r r." :u• f •

11•. •

11S.

• •.

. •.cos.-' (•--•) - -e

.. z- - . ; • - ~ !.cllf - .. · -.. 7 • -

J'2,t1it

"

a

bJl - mi - 36: .. d.1 - ~ ,1.aa

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6

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11 7.

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111.

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l lt.

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1

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