Capítulo 4 - Movimento Uniformemente Variado

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Capítulo 4 - Movimento Uniformemente Variado Atualizado em 10/11/2019 Quando você pisa no acelerador ou no freio do seu carro, você espera que sua velocidade varie. Diz-se que um objeto cuja velocidade varia está sendo acelerado. ACELERAÇÃO: Aceleração é a taxa de variação da velocidade com relação ao tempo. A aceleração média, am , para um determinado intervalo de tempo ∆t e para uma determinada variação de velocidade ∆v, pode ser escrita como: am =

∆v vf − v i = ∆t tf − ti

Note que a aceleração possui dimensões de velocidade (L/T ) dividida pelo tempo (T ), o que é o mesmo que comprimento dividido por tempo ao quadrado (L/T 2 ). Sua unidade no SI é, portanto, metro por segundo ao quadrado, m/s2 . Ademais, assim como o deslocamento e a velocidade, a aceleração é uma grandeza vetorial. Para o movimento unidimensional, podemos utilizar + e - para indicar a orientação da aceleração. Da mesma maneira que tratamos a velocidade como a variação da posição ao longo do tempo, podemos tratar a aceleração como a variação da velocidade no decorrer do tempo. Portanto dizemos que um movimento é uniformemente variado se a variação da velocidade ao longo do tempo é sempre a mesma, de modo que sua aceleração não muda. Como estamos lidando apenas com movimentos retilíneos, ou seja, ao longo de uma reta, podemos definir um lado como positivo e outro como negativo. Iremos definir que um objeto indo para frente possui um movimento progressivo, enquanto que um objeto que vai para trás possui um movimento retrógrado. Se vx e ax são ambos negativos, então vx é negativo e vai se tornando mais negativo, de forma que o objeto se move cada mais mais rápido para trás. Quando isso ocorre dizemos que o objeto possui movimento retrógrado acelerado. Se vx é positivo e ax é negativo, então a velocidade é positiva mas está se tornando menos positiva a cada instante, de maneira que que o objeto está andando cada vez mais devagar. Quando isso ocorre dizemos que o objeto possui movimento progressivo retardado. O objeto possui movimento progressivo acelerado se ele anda para frente e tem aceleração favorável ao seu movimento. Finalmente o objeto possui movimento retrógrado retardado se o objeto anda para trás, mas a aceleração é para frente, então o objeto anda cada vez mais devagar. Resumindo, se vx e ax tem o mesmo sinal, sua rapidez está crescendo; se vx e ax têm sinais opostos, a rapidez está diminuindo. Se a aceleração se mantém zero, não há variação da velocidade no tempo - a velocidade é constante. Neste caso, o gráfico de x versus t é uma linha reta. Se a aceleração é não-nula e constante, então a velocidade varia linearmente com o tempo e a posição varia quadraticamente com o tempo. Problema Resolvido 4-1 Um guepardo pode acelerar de 0 a 96 km/h em 2,0 s, enquanto um automóvel comum requer 4,5 s. Calcule as acelerações médias do guepardo e do automóvel e compare-as com a aceleração de um objeto caindo. (g = 9, 81m/s2 ). Solução: Como nos são dadas as velocidades inicial e final, assim como a variação no tempo para ambos o felino e o automóvel, podemos simplesmente usar a equação da aceleração para encontrar justamente a aceleração de cada objeto.

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Convertendo 96 km/h para m/s:    1h 1000 m km = 26, 7 m/s 96 h 3600 s 1 km Encontre a aceleração média a partir das informações fornecidas: amf =

∆vx 26, 7 m/s = = 13, 3 m/s2 ∆t 2, 0 s

amc =

∆vc 26, 7 m/s = = 5, 9 m/s2 ∆t 4, 5 s

Para comparar os resultados com a aceleração da gravidade, multiplique cada um pelo fator de conversão 13, 3 m/s2 ×

1g = 1, 4 g 9, 81 m/s2

5, 93 m/s2 ×

1g = 0, 6 g 9, 81 m/s2

1g . 9, 81 m/s2

MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE: O movimento de um objeto largado próximo à superfície da Terra é um exemplo do movimento de uma partícula com aceleração praticamente constante. Outro exemplo de aceleração quase constante incluem um avião em sua arremetida para decolar e o movimento de um carro freando ao se aproximar de um sinal vermelho ou arrancando quando o sinal abre. Considere um movimento da direção x. A velocidade inicial da partícula (t = 0) é vi e sua posição inicial é xi . Em um instante subsequente, a partícula possui velocidade vf e está localizada na posição x. Deseja-se determinar a posição e a velocidade em um tempo t. Haja vista que a aceleração é constante, utilizamos a equação abaixo para escrever que: am =

vf − vi ∆x = ∆t t−0

Isolando vf , vf = vi + am t Este resultado permite que se determine a velocidade para todos os instantes de tempo, mas somente se a aceleração é constante. Se queremos descobrir a posição x para todos os instantes de tempo, podemos utilizar a seguinte relação: 1 s = si + vi t + am t2 2 Problema Resolvido 4-2 Um jumbo necessita atingir uma velocidade de 360 km/h para decolar. De acordo com uma aceleração constante e uma pista de 1,8 km de comprimento, qual a aceleração mínima necessária partindo do repouso? Solução: A velocidade inicial é nula e a velocidade final é de 360 km/h que é igual a 100 m/s. Assumindo que a aceleração é constante a velocidade média nesse caso será igual à media das velocidades, ou seja: vm =

(100 m/s + 0 m/s) = 50 m/s 2

Portanto, o tempo necessário para que o corpo atinja essa velocidade pode ser calculado: t=

(1800 m) = 36 s (50 m/s) 2

Portanto a aceleração será: am =

2(1800 m/s) 2∆s = = 2, 78 m/s2 t2 (36 s)2

A Figura 4-1 mostra três gráficos importantes para o movimento uniformemente variado:

Figura 4-1

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Exercícios de Fixação: 1-) Um foguete no espaço movimenta-se com aceleração constante igual a 9, 8m/s2 . (a) Se ele parte do repouso, quanto tempo é necessário para que atinja uma velocidade de 1/10 da velocidade da luz? (b) Qual a distância percorrida durante este intervalo de tempo? (Adote a velocidade da luz como sendo igual a 3 × 108 m/s) 2-) A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50 m/s2 ao atacar uma vítima. Se um carro pudesse fazer o mesmo, quanto tempo ele levaria para atingir a velocidade de 100 km/h, partindo do repouso? 3-) Pingos de chuva caem de uma nuvem até o solo a 1700 m acima da superfície da Terra. Se a velocidade deles não fosse reduzida pela resistência do ar, quão rápido os pingos se movimentariam quando chegassem ao solo? Seria seguro caminhar ao ar livre durante uma tempestade?

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