Movimento retilíneo uniformemente variado

SAVE OFFLINE

02

MOVIMENTO RETILÍNEO E UNIFORMEMENTE VARIADO

No módulo anterior estudamos casos onde a velocidade do móvel não muda. Mas existem casos onde a velocidade varia linearmente no tempo. Veja a tabela a seguir:

Velocidade(m/s)

0

2

4

6

8

Tempo(s)

0

1

2

3

4

Podemos notar que, a cada segundo, a velocidade do móvel aumenta em 2 m/s. A grandeza que mede a variação de velocidade por tempo é a aceleração. Nesse caso, como a velocidade aumenta 2 m/s a cada segundo, a aceleração do movimento vale 2 (m/s)/s = 2 m/s2. = a

∆v v − v0 = (1) ∆t t − t0

Onde v é a velocidade no instante t e v0 a velocidade no instante inicial t0. Unidade do Sistema Internacional (S.I.): m/s2. A aceleração média é a razão entre a variação de velocidade (Δv) e o intervalo de tempo em que ocorreu essa mudança na velocidade. Quando a velocidade varia linearmente no tempo (i.e. aceleração constante) durante todo o movimento dizemos que esse movimento é uniformemente variado. Mas e se a aceleração não fosse a mesma o tempo todo? A aceleração instantânea não é necessariamente igual a aceleração média do móvel. Podemos definir aceleração instantânea como a aceleração que um móvel apresenta em um intervalo de tempo infinitesimal. Se o motorista pressionasse com maior ímpeto o acelerador do carro, a velocidade iria mudar mais rapidamente que no instante anterior. a = lim∆t →0 (

∆v )t =t (2) ∆t 0

Nesse gráfico, a ordenada representa a velocidade do móvel, e a abscissa, o tempo. A velocidade inicial é 0 e, a cada segundo, o móvel sofre um aumento de 1m/s na sua velocidade. Assim, numericamente, a aceleração é o coeficiente angular da reta (tangente).

OBSERVAÇÃO O gráfico não nos da informação (diretamente) sobre a posição do móvel. Não nos informa a posição inicial, por exemplo. Mas como temos um gráfico v x t, se fizermos a área, teremos o deslocamento do móvel. Por exemplo, nos dois primeiros segundos, a área (triângulo) do gráfico é: = A

2⋅2 = 2 2

Exatamente o valor do deslocamento do móvel nos 2 s. Não temos como saber a sua posição inicial, mas sabemos que se deslocou 2m nesses dois primeiros segundos.

Vamos considerar que nosso móvel, no exemplo anterior, manteve a sua aceleração constante durante o deslocamento. Retornando a eq. (1) e considerando que o tempo inicial t0 seja zero, temos que: a=

v − v0 ∴ v(t)= v0 at(3) t

Essa é a equação horária da velocidade Podemos perceber que a velocidade do móvel está em função do tempo, e que essa função é linear (uma reta):

PROENEM

1

02

MOVIMENTO RETILÍNEO E UNIFORMEMENTE VARIADO

De modo geral, pela área, temos que: (v + v)t ∆S = 0 (4) 2

Usando a equação (3): ∆= S

(v0 + v0 + at)t 2v0 t at2 = + 2 2 2 ∆S= v0 t +

at2 (5) 2

Ou ainda:

Quando temos um gráfico a x t, a área será numericamente igual a variação de velocidade do móvel. Note que, se considerarmos os dois primeiros segundos, a área vale 2. E a variação de velocidade do móvel foi exatamente 2m/s. Além das equações (3) e (6), podemos achar uma relação entre velocidades de um móvel após um deslocamento, sem termos conhecimento do intervalo de tempo em que esse evento ocorreu. Vamos substituir a (3) na (5): = ∆S v0

(v − v0 ) a(v − v0 )2 + a 2a2

2a∆= S 2v0 (v − v0 ) + (v − v0 )2

S(t) =S0 + v0 t +

2

at (6) 2

Essa é a equação horária da posição Podemos perceber que a posição do móvel está em função do tempo, e que essa função é quadrática (uma parábola):

2a∆= S 2v0v − 2v02 + v2 + 2v02 − 2v0v v2 = v20 + 2a∆s(7)

Essa é a equação de Torricelli. As equações (3), (6) e (7) são usadas para medirmos deslocamentos, intervalos de tempo, ou velocidades de um móvel em movimento uniformemente variado (M.U.V.).

CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS

Nossa função, considerando as condições iniciais dadas, é: x = 1+

t2 2

OBSERVAÇÃO Se a ordenada, ao invés de representar a posição, representar a aceleração, teríamos um gráfico com o seguinte formato:

Quando um móvel apresenta velocidade positiva, ou seja, tem sua variação de posição crescente no tempo, dizemos que está em movimento progressivo. Se sua velocidade for negativa, está em movimento retrógrado ou regressivo. Por exemplo, quando um carro sai do km 60 para o km 80 em uma rodovia, seu movimento é progressivo. Já os carros que estão no outro sentido da rodovia, do km 80 para o km 60, estão em movimento retrógrado. Se houver aceleração, e esta aumentar o módulo da velocidade, estará em movimento acelerado. Se o módulo da velocidade estiver diminuindo, o movimento será retardado. Se, no exemplo anterior, o carro estiver indo do km 60 para o km 80, com sua velocidade aumentando, seria um movimento progressivo e acelerado. Se a sua velocidade estivesse diminuindo, progressivo retardado. Já os carros que estão se movimentando do km 80 para o km 60, com sua velocidade aumentando, o movimento será retrógrado e acelerado. Se a sua velocidade estivesse diminuindo, retrógrado retardado. Então: V > 0 e a > 0 → movimento progressivo e acelerado V > 0 e a < 0 → movimento progressivo e retardado V < 0 e a > 0 → movimento retrógrado e retardado V < 0 e a < 0 → movimento retrógrado e acelerado

∆v ≞ área do gráfico

2

MATEMÁTICA Exemplo: Vamos analisar o gráfico v x t abaixo:

Agora sabemos que a velocidade inicial de um móvel vale 1 m/s e a sua aceleração é de -0,5 m/s2. Já a do outro é zero, e a sua aceleração vale 0,25 m/s2.  As acelerações são numericamente iguais às inclinações das retas. Para o 1º, podemos classificar seu movimento como: •

t[0,2): movimento progressivo (v > 0) e retardado (a < 0).

•

t = 2 s: instante de tempo onde houve a mudança no sentido do movimento, como descrevemos anteriormente.

•

t(2,∞): movimento retrógrado (v < 0) e acelerado (a < 0).

Vamos ver o deslocamento dos móveis durante os 4 primeiros segundos. Para isso faremos as áreas: ∆S=

1,4 1,2 1,2 = 2m; ∆S= − = 0 2 2 2

PROENEM

3