EBOOK BONUS A ARTE DE RESOLVER PROBLEMAS 2018

SAVE OFFLINE

Vagner Lopes MATEMÁTICA

A ARTE DE RESOLVER PROBLEMAS

Licensed to [email protected]

2018

A arte de resolver problemas E´ not´avel que a maior dificuldade dos alunos nas provas de matem´atica e´ a interpretac¸a˜ o do texto, principalmente nas quest˜oes do ENEM. Sabemos que decorar f´ormulas s´o atrapalha, e´ necess´ario ter uma base, entender bem os conte´udos e treinar o c´erebro. Diante disso vamos conhecer as etapas de resoluc¸a˜ o de problemas de George P´olya. Conhecer bem as etapas do m´etodo de P´olya sem d´uvidas vai ser um diferencial nessa sua jornada. Segue o resumo das quatro etapas do M´etodo de P´olya. 1) Compreens˜ao do problema Qual e´ a inc´ognita? Quais s˜ao os dados? Quais as condic¸o˜ es? Existe alguma notac¸a˜ o adequada? E´ poss´ıvel fazer algum desenho? 2) Estabelecimento de um plano Conhece algum problema semelhante? E´ poss´ıvel utilizar seu m´etodo? Introduzir algum elemento auxiliar ajuda? E´ poss´ıvel reformular o problema? E´ poss´ıvel imaginar um problema semelhante mais acess´ıvel? Algo mais geral ou mais espec´ıfico? 3) Execuc¸a˜ o do plano Execute o seu plano de resoluc¸a˜ o, verifique cada passo. E´ poss´ıvel demonstrar cada passo? 4) Retrospecto E´ poss´ıvel verificar o resultado? E´ poss´ıvel chegar ao resultado por um caminho diferente? E´ poss´ıvel verificar o argumento? Na pr´oxima p´agina temos o quadro com os questionamentos do M´etodo de P´olya. Esses questionamentos v˜ao ajudar vocˆe na interpretac¸a˜ o das quest˜oes.

2

Licensed to [email protected]

M´etodo de George P´olya - A arte de resolver problemas ˜ DO PROBLEMA COMPREENSAO Primeiro Qual e´ a inc´ognita? Quais s˜ao os dados? Qual e´ a condicionante? E´ poss´ıvel satisfazer a condicionante? A condicionante e´ sufi´E preciso compreender ciente para determinar a inc´ognita? Ou e´ insuficiente? Ou reduno problema dante? Ou contradit´oria? Trace uma figura. Adote uma notac¸a˜ o adequada. Separa as diversas partes da condicionante. E´ poss´ıvel anot´a-las? ESTABELECIMENTO DE UM PLANO Segundo J´a o viu antes? Ou j´a viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente? Conhece um problema corEncontre a conex˜ao relato? Conhece um problema que lhe poderia ser u´ til? Conentre os dados e a sidere a inc´ognita! Procure pensar num problema conhecido que inc´ognita. tenha a mesma inc´ognita ou outra semelhante. Eis um problema correlato e j´a antes resolvido. E´ poss´ıvel utiliz´a-lo? E´ poss´ıvel E´ poss´ıvel que seja utilizar o seu resultado? E´ poss´ıvel utilizar o seu m´etodo? Deveobrigado a considerar se introduzir algum elemento auxiliar para tornar poss´ıvel a sua problemas auxiliares utilizac¸a˜ o? E´ poss´ıvel reformular o problema? E´ poss´ıvel reforse n˜ao puder encontrar mul´a- lo ainda de outra maneira? Volte a` s definic¸o˜ es. Se n˜ao uma conex˜ao imediata. puder resolver o problema proposto, procure antes resolver algum problema correlato. E´ poss´ıvel imaginar um problema corE´ preciso chegar afirelato mais acess´ıvel? Ou um que seja mais gen´erico? Um probnal a um plano para a lema mais espec´ıfico? Um problema an´alogo? E´ poss´ıvel resolver resoluc¸a˜ o. uma parte do problema? Mantenha apenas uma parte da condicionante, deixa a outra de lado; at´e que ponto fica assim determinada a inc´ognita? Como pode ela variar? E´ poss´ıvel obter dos dados alguma coisa de u´ til? E´ poss´ıvel pensar em outros dados apropriados para determinar a inc´ognita? E´ poss´ıvel variar a inc´ognita, ou os dados, ou todos eles, se necess´ario, de tal maneira que fiquem mais pr´oximos entre si? Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em conta todas as noc¸o˜ es essenciais implicadas no problema? ˜ DO PLANO EXECUC ¸ AO Terceiro Ao executar o seu plano de resoluc¸a˜ o, verifique cada passo. E´ poss´ıvel verificar claramente que o passo est´a correto? E´ poss´ıvel Executa o seu plano. demonstrar que ele est´a correto? RETROSPECTO Quarto E´ poss´ıvel verificar o resultado? E´ poss´ıvel verificar o argumento? E´ poss´ıvel chegar ao resultado por um caminho diferente? E´ Examine a soluc¸a˜ o poss´ıvel perceber isto num relance? E´ poss´ıvel utilizar o resulobtida. tado, ou o m´etodo, em algum outro problema?

3

Licensed to [email protected]

Quest˜ao 1. Uma mulher vai visitar suas 3 filhas e leva uma cesta de mac¸a˜ s. Para a primeira, d´a a metade das mac¸a˜ s e mais meia mac¸a˜ . Para a segunda, d´a a metade das mac¸a˜ s que sobraram e mais meia mac¸a˜ . Para a terceira, novamente d´a a metade das mac¸a˜ s que sobraram e mais meia mac¸a˜ , ficando sem nenhuma mac¸a˜ . Quantas mac¸a˜ s haviam na cesta?

Quest˜ao 2. Num cesto havia ovos: eram mais de 50 e menos de 60. Contandoos de 3 em 3, sobravam 2, contando-os de 5 em 5, sobravam 4. Determine o n´umero de ovos do cesto.

Quest˜ao 3. Um cavalo e um burro caminhavam juntos, carregando cada um pesados sacos. Como o cavalo reclamava muito de sua pesada carga, respondeu-lhe o burro: de que te queixas? se me desses um saco, minha carga seria o dobro da tua, mas se eu te der um saco tua carga ser´a igual a minha. Quantos sacos cada um deles levava?

Quest˜ao 4. Quantos quadrados h´a na figura que segue? A) 9 B) 10 C) 14 D) 20 Quest˜ao 5. [MPE RS 2017] A metade de 440 e´ igual a A) 220 B) 239 C) 240 D) 279 E) 280

4

Licensed to [email protected]

Quest˜ao 6. [OBMEP] Qual e´ a medida do menor aˆ ngulo formado pelos ponteiros de um rel´ogio quando ele marca 12 horas e 30 minutos? A) 90◦ B) 120◦ C) 135◦ D) 150◦ E) 165◦ Quest˜ao 7. [IFAL 2017] Determine a altura relativa a` hipotenusa de um triˆangulo retˆangulo, cujos catetos medem 6 cm e 8 cm. A) 3,6 cm. B) 4,8 cm. C) 6,0 cm. D) 6,4 cm. E) 8,0 cm. Quest˜ao 8. [OBMEP 2013] Todos os 40 alunos de uma turma responderam sim ou n˜ao a duas perguntas: “Vocˆe gosta de Portuguˆes?” e “Vocˆe gosta de Matem´atica?” Responderam sim a` primeira pergunta 28 alunos, responderam sim a` segunda pergunta 22 alunos, enquanto 5 alunos responderam n˜ao a` s duas perguntas. Quantos alunos responderam sim a` s duas perguntas? A) 5 B) 7 C) 13 D) 15 E) 25 Quest˜ao 9. [COPEVE 2016] Em um concurso, inscreveram-se 650 candidatos, sendo 400 com mais de 20 anos e 320 com menos de 30 anos. Qual o n´umero de candidatos com idade entre 20 e 30 anos? A) 70 B) 80 C) 90 D) 110 E) 130

5

Licensed to [email protected]

Quest˜ao 10. [COPEVE BM AL 2006] Deseja-se colocar pisos de cerˆamica, 20 cm x 20 cm, numa sala de 5 m de comprimento por 4 m de largura. Se cada caixa de cerˆamica cont´em 25 unidades, o n´umero de caixas a serem compradas e´ A) 60 B) 50 C) 40 D) 30 E) 20 Quest˜ao 11. [ENEM 2009] O quadro apresenta informac¸o˜ es da a´ rea aproximada de cada bioma brasileiro.

E´ comum em conversas informais, ou mesmo em notici´arios, o uso de m´ultiplos da a´ rea de um campo de futebol (com as medidas de 120 m x 90 m) para auxiliar a visualizac¸a˜ o de a´ reas consideradas extensas. Nesse caso, qual e´ o n´umero de campos de futebol correspondente a` a´ rea aproximada do bioma Pantanal? A) 1 400 B) 14 000 C) 140 000 D) 1 400 000 E) 14 000 000

6

Licensed to [email protected]

Quest˜ao 12. [ENEM 2009] Uma empresa que fabrica esferas de ac¸o, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transport´a-las. Sabendo que a capacidade da caixa e´ de 13 824 cm3 , ent˜ao o n´umero m´aximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa e´ igual a A) 4 B) 8 C) 16 D) 24 E) 32 Quest˜ao 13. [VUNESP 2015] Um munic´ıpio contratou agentes sanit´arios para atuar na prevenc¸a˜ o e no combate ao mosquito da dengue. O n´umero de contratados, que n˜ao chega a 200, dever´a ser dividido em equipes com o mesmo n´umero de agentes em cada uma. No entanto, se forem constitu´ıdas equipes de 6, ou de 12, ou de 18, ou de 20 agentes, sobrar˜ao sempre 3 deles. O n´umero de agentes sanit´arios contratados foi igual a A) 175 B) 178 C) 180 D) 183 E) 186 Quest˜ao 14. Um aluno da EPCAR, indagado sobre o n´umero de exerc´ıcios de matem´atica que havia resolvido naquele dia respondeu:“N˜ao sei, mas contando de 2 em 2 sobra um; contando de 3 em 3 sobra um; contando de 5 em 5 tamb´em sobra um; mas contando de 7 em 7 n˜ao sobra nenhum. O total de exerc´ıcios n˜ao chega a uma centena”. Ent˜ao, o n´umero de exerc´ıcios resolvidos e´ tal que a soma de seus algarismos e´ igual a A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 Quest˜ao 15. Qual o per´ımetro do pol´ıgono que segue: A) 16 cm B) 18 cm C) 22 cm D) 24 cm E) 26 cm 7

Licensed to [email protected]

Quest˜ao 16. [OBM 1998] Qual dos n´umeros a seguir e´ o maior? A) 345 B) 920 C) 2714 D) 2439 E) 8112 Quest˜ao 17. [FGV 2013] Dona Maria tem quatro filhos: Francisco, Paulo, Raimundo e Sebasti˜ao. A esse respeito, sabe-se que I. Sebasti˜ao e´ mais velho que Raimundo. II. Francisco e´ mais novo que Paulo. III. Paulo e´ mais velho que Raimundo. Assim, e´ obrigatoriamente verdadeiro que A) Paulo e´ o mais velho. B) Raimundo e´ o mais novo. C) Francisco e´ o mais novo. D) Raimundo n˜ao e´ o mais novo. E) Sebasti˜ao n˜ao e´ o mais novo. Quest˜ao 18. [UFES 2015] No sistema decimal, o algarismo das unidades do n´umero 72018 e´ igual a A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

8

Licensed to [email protected]

Quest˜ao 19. [PM SP 2014] Uma pessoa foi a uma livraria e escolheu trˆes livros: um romance, um de aventuras e um de ficc¸a˜ o, por´em, por motivos financeiros, decidiu que levaria apenas dois deles. Se comprar o romance e o livro de aventura, pagar´a R$ 53,00; se comprar o romance e o livro de ficc¸a˜ o, pagar´a R$ 58,00 e, se comprar o livro de ficc¸a˜ o e o livro de aventura, pagar´a R$ 55,00. O valor dos trˆes livros juntos e´ : A) R$ 83,00. B) R$ 80,00. C) R$ 72,00. D) R$ 75,00. E) R$ 70,00. Quest˜ao 20. [ENEM 2015] Deseja-se comprar lentes para o´ culos. As lentes devem ter espessuras mais pr´oximas poss´ıveis da medida 3 mm. No estoque de uma loja, h´a lentes de espessuras: 3,10 mm; 3,021 mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 3,07 mm. Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura escolhida ser´a, em mil´ımetros, de A) 2,099. B) 2,96. C) 3,021. D) 3,07. E) 3,10 Quest˜ao 21. [COPEVE BM 2006] Se

2 3 −5 x y + =5e + = , ent˜ao x.y e´ igual a 2 3 x y 6

A) −36 B) −6 C) 30 D) 36 E) 6 Quest˜ao 22. [PM PE 2009] Resolvendo o sistema abaixo, e´ CORRETO afirmar que 2xy e´ igual a  6 5   + =4   x y   2 10   =3  + x y A) 12 B) 24 C) 16 D) 20 E) 18 9

Licensed to [email protected]

Quest˜ao 23. [FUNCAB 2015] Considere m e n as ra´ızes da equac¸a˜ o x2 − 18x + 10 = 0, o valor de m2 + n2 e´ : A) 304 B) 324 C) 296 D) 390 E) 398 Quest˜ao 24. [Fuvest] Se m e n s˜ao ra´ızes de x2 − 6x + 10 = 0, ent˜ao

1 1 + vale: m n

A) 6 B) 2 C) 1 D) 3/5 E) 1/6 Quest˜ao 25. Se x e´ um n´umero real tal que x +

1 1 = 3, ent˜ao x2 + 2 e´ igual a: x x

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12 Quest˜ao 26. Calcule a a´ rea do triˆangulo de lados 10 cm, 17 cm e 21 cm.

Quest˜ao 27. O comprimento do per´ımetro de um triˆangulo retˆangulo e´ 60 cm e a altura relativa a` hipotenusa e´ 12 cm. Calcular os lados desse triˆangulo.

10

Licensed to [email protected]

Quest˜ao 28. Um 4ABC tem lados AB, AC e BC que medem, respectivamente 5 cm, 10 cm e 9 cm. Determine a medida da mediana relativa ao lado AC.

Quest˜ao 29. [ENEM 2010] Uma metal´urgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma pec¸a com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimens˜oes da base s˜ao 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura e´ 10 cm. Tal pec¸a deve ser vazada de tal maneira que a perfurac¸a˜ o na forma de um cilindro circular reto seja tangente a` s suas faces laterais, conforme mostra a figura. O raio da perfurac¸a˜ o da pec¸a e´ igual a: A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 4 cm E) 5 cm Quest˜ao 30. [COPEVE BM AL 2006] Os lados de um triˆangulo retˆangulo est˜ao em progress˜ao aritm´etica. Neste caso, o cosseno do maior aˆ ngulo agudo vale: A) 0,6 B) 0,8 C) 0,75 D) 0,5 √ 3 E) 2

11

Licensed to [email protected]

VAGNER LOPES DE ALMEIDA

Mestre em matem´atica pela Universidade Federal de Alagoas. Autor dos livros: √ Estrat´egias e Macetes Matem´aticos Para Concurseiros. √ Matem´atica Financeira Para Concurseiros. √ Racioc´ınio L´ogico Para Concurseiros. √ A Matem´atica do ENEM - Vers˜ao 2014 e 2018. √ Matem´agica – A arte da matem´atica.

Livros www.clubedeautores.com.br/book/165861--A_MATEMATICA_DO_ENEM www.clubedeautores.com.br/book/257328--A_MATEMATICA_DO_ENEM www.clubedeautores.com.br/book/138176--Estrategias_e_Macetes_Matematicos_Para_Concurseiros

www.clubedeautores.com.br/book/160084--Matematica_Financeira_Para_Concurseiros www.clubedeautores.com.br/book/166853--Raciocinio_Logico_Para_Concurseiros

12

Licensed to [email protected]