Evelyn berenice Perez nuñez - HAD-5-MATE-SECU-EDITABLE

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HOJA DE ACOMPAÑAMIENTO DOCENTE Nivel

Secundaria

Número

5

Aprendizaje esperado o contenido

Grado

Título

Tercero

Asignatura

Matemáticas

La pendiente de la recta

Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.

Descripción general El alumno reconocerá el plano cartesiano y definirá si es positiva, negativa, con valor de “0” o indefinida; encontrará la pendiente entre dos puntos del plano cartesiano, definirá la ecuación de la recta y su pendiente; y definirá el valor de la pendiente en base a la función tangente. Explicación del tema El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

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HOJA DE ACOMPAÑAMIENTO DOCENTE El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis (x) a un valor de las yes (y), respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y) Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las “y” hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente. Si “y” es una función lineal de “x”, entonces el coeficiente de “x” es la pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de la siguiente manera:

y=mx+b Entonces “m” es la pendiente. En esta ecuación, el valor de b puede ser interpretado como el punto donde la recta se interseca con el eje Y, es decir, el valor de y cuando x=0. Este valor también es llamado ordenada en el origen.

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HOJA DE ACOMPAÑAMIENTO DOCENTE La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano), suele estar representada por la letra m, y está definida como la diferencia en el eje Y dividido por la diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta. En la siguiente ecuación se describe: 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝐦=

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

La razón, es la comparación de dos cantidades y se mide a partir de la división de dos valores. Las razones trigonométricas son relaciones entre los lados del triángulo y sólo dependen de los ángulos de éste.

El ángulo A que se forma con el cateto adyacente y la hipotenusa está relacionado con la pendiente “m” por medio de la siguiente relación trigonométrica: m= tan A

La tangente del ángulo A del triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. 𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 Así, tan A= 𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

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HOJA DE ACOMPAÑAMIENTO DOCENTE Actividades Para Ingresa al siguiente enlace y observa el video. iniciar Concepto de pendiente: https://www.youtube.com/watch?v=A6Vp18ctfWc

Actividad 1 Imagina que vas en un auto por la carretera sin ninguna inclinación, después el auto se dirige hacia una subida por unas montañas, finalmente continúa bajando por las montañas para llegar a su destino. De acuerdo al recorrido realizado por el auto, observa la siguiente imagen y escribe en el recuadro correspondiente, algunas de las siguientes opciones: Pendiente indefinida, pendiente 0, pendiente negativa, pendiente positiva

Después

Ingresa al siguiente enlace y observa el video. Pendiente de una recta: https://www.youtube.com/watch?v=hHwR1k-PG_g ¿Cuál será la pendiente que se forma entre los puntos A y C, en el siguiente dibujo?

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HOJA DE ACOMPAÑAMIENTO DOCENTE

Primero encontramos los valores de las coordenadas de los puntos A y C. Punto 1, valor de la X= -1, valor de la Y= 0 Punto 2, valor de la X= 4, valor de la Y= 3 Con estos datos definimos los valores de cada punto: Punto 1 (Valor de la x, valor de la y) entonces A (-1,0) Punto 2 (Valor de la x, valor de la y) entonces B (4,3) Entonces m

𝑦 −𝑦

= 𝑥 2 −𝑥1 2

1

Sustituimos los valores conocidos de X y Y

m=

𝟑−𝟎 𝟒 − (−𝟏)

m=

𝟑 𝟓

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HOJA DE ACOMPAÑAMIENTO DOCENTE

Actividad 2 ¿Cuál será la pendiente de la subida a la montaña del punto A al punto C, si la distancia recta del punto A al punto B es de 300 metros y la altura del punto B al punto C es de 120 metros?

Primero encontramos los valores de las coordenadas de los puntos A y C. Punto 1, valor de la X=0, valor de la Y=0 Punto 2, valor de la X=300m, valor de la Y=120m Con estos datos definimos los valores de cada punto: Punto 1 (Valor de la x, valor de la y) entonces A (0,0) Punto 2 (Valor de la x, valor de la y) entonces B (300m, 120m) Entonces m

𝑦 −𝑦

= 𝑥 2 −𝑥1 2

1

Sustituimos los valores conocidos de X y Y

m=

( (

m=

( (

)−0 )−0 ) )

Si tu resultado es m

2

= 5 , estás en lo correcto

Si no son los mismos números, pregunta a tus compañeros o maestro, si tu resultado a pesar de tener diferentes números también es correcto; O bien divide el numerador entre el denominador y si la respuesta es 0.4 felicidades porque lograste el resultado correcto.

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HOJA DE ACOMPAÑAMIENTO DOCENTE Ingresa al siguiente enlace y observa el video. Gráfica de una recta: https://www.youtube.com/watch?v=YLLiiB-KWK4 La ecuación de la pendiente Ahora vamos a encontrar la expresión algebraica que representa una línea recta en el plano cartesiano, para ello necesitamos ubicar 2 puntos, tomemos de referencia el siguiente dibujo:

En la explicación del tema revisamos que la ecuación de la recta en un plano cartesiano se puede definir cómo y=mx+b, donde m es la pendiente y b es la ordenada en el origen. La ordenada en el origen corresponde al punto donde la recta coincide en un punto con el eje de las Y; Entonces definimos el valor de b=2 Para encontrar el valor de la pendiente tenemos que

𝑦 −𝑦

m = 𝑥 2 −𝑥1 2

1

Sustituimos los valores conocidos de X y Y

m=

3−0 2 − (−4) Página 7 de 15

HOJA DE ACOMPAÑAMIENTO DOCENTE

m=

3 6

1 m = = 0.5 2

Con esos datos ya podemos definir la ecuación de la recta sustituyendo los valores de myb

y=mx+b 𝑥

Y= 0.5X+2 o bien, 𝑌 = 2+2

Actividad 3 Encuentra la ecuación de la recta que se encuentra en el siguiente dibujo:

La ecuación de la recta en un plano cartesiano se puede definir cómo y=mx+b, donde m es la pendiente y b es la ordenada en el origen. La ordenada en el origen corresponde al punto donde la recta coincide en un punto con el eje de las Y; Página 8 de 15

HOJA DE ACOMPAÑAMIENTO DOCENTE Entonces definimos el valor de b=

(

)

Para encontrar el valor de la pendiente tenemos que

𝑦 −𝑦

m = 𝑥 2 −𝑥1 2

1

Sustituimos los valores conocidos de X y Y

m=

( (

)−( )−(

m=

( (

) )

m=(

) )

)

Con esos datos ya podemos definir la ecuación de la recta sustituyendo los valores de myb

y=mx+b Y= (

)X+ (

)

Y= _______________ Al final

Veamos la siguiente imagen

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HOJA DE ACOMPAÑAMIENTO DOCENTE El ángulo A se forma con el cateto adyacente y la hipotenusa. ¿Sabías que también podemos encontrar el valor de la pendiente si conocemos la tangente del ángulo A?

m= tan A Para conocer la tangente del ángulo A debemos dividir la distancia del cateto opuesto entre la distancia del cateto adyacente

tan A=

𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

La pirámide de Keops es la más grande de todas las pirámides de Egipto. Es la más alta, pero también la más grande y la que tiene el mayor volumen. Durante mucho tiempo ha sido la estructura más grande jamás construida por el hombre.

Para encontrar la pendiente de una de sus aristas, primero debemos conocer la medida de la altura y la medida del centro de la base a una de las cuatro esquinas de la base de la pirámide. El valor de la pendiente se encuentra una vez que conocemos la tangente de A

m= tan A

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HOJA DE ACOMPAÑAMIENTO DOCENTE 𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

y tan A=

𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

Lo que debemos hacer es sustituir las medidas que conocemos para encontrar la tangente de A

tan A=

𝟏𝟑𝟖 𝒎 𝟏𝟔𝟐 𝒎

tan A=0.85 Entonces la pendiente m=0.85

Actividad 4 Encuentra el valor de la pendiente de una escuadra como la que se aprecia en la siguiente figura:

El valor de la pendiente “m” se encuentra una vez que conocemos la tangente de A

m= tan A y tan A=

𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

Sustituimos las medidas que conocemos.

tan A=

(

)

(

) Página 11 de 15

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tan A= ( ) Entonces la pendiente m= (

Criterios de evaluación Categoría Nivel 4 Aciertos Todos los pasos Matemáticos y soluciones tienen aciertos matemáticos. Comprensión del tema

Razonamiento Matemático

Productos

)

Nivel 3 Casi todos los pasos y soluciones tienen aciertos matemáticos. Demuestra Demuestra comprensión comprensión completa sobre la sobre la pendiente de una pendiente de una recta. recta. Cuenta con Cuenta con evidencias de varias evidencias razonamiento de razonamiento matemático matemático. complejo. Todas las 1 actividad no fue actividades concluida. fueron concluidas.

Nivel 2 Algunos de los pasos y soluciones tienen aciertos matemáticos. Comprende de manera general sobre la pendiente de una recta. Cuenta con pocas evidencias de razonamiento matemático.

Nivel 1 Muy pocos de los pasos y soluciones tienen aciertos matemáticos. Comprende muy poco sobre la pendiente de una recta.

2 actividades no fueron concluidas.

3 o 4 actividades no fueron concluidas.

Cuenta con muy pocas evidencias de razonamiento matemático

Recursos de apoyo de la Web 1. Introducción a la ecuación de la recta https://www.youtube.com/watch?v=GBSmycLgTeU 2. Interactivo para ubicar y conocer la pendiente entre dos puntos del plano cartesiano https://www.cokitos.com/juego-ecuacion-de-la-recta-y-pendiente/play/ 3. Interactivo para encontrar la ecuación de la recta a partir de dos puntos en el plano cartesiano. Descargar el archivo html y abrirlo. Enlace: https://phet.colorado.edu/es/simulation/graphing-slope-intercept

Reforzamiento Página 12 de 15

HOJA DE ACOMPAÑAMIENTO DOCENTE 1. Observa la siguiente imagen de La Lomita en Culiacán y encuentra el valor de la pendiente en la inclinación señalada con la flecha, cuya altura es de 7.5 m y la longitud del centro de la cara frontal hacia el vértice de la base del triángulo que se forma es de 5 m; para ello utiliza 𝒚 −𝒚 la siguiente ecuación para encontrar la pendiente 𝐦 = 𝒙 𝟐 −𝒙𝟏 𝟐

A) B) C) D)

𝟏

m= 1.50 m= 0.67 m= -1.50 m= -0.67

2. Observa la siguiente figura y encuentra la ecuación de la recta de los dos puntos del plano cartesiano, puedes utilizar la ecuación y=mx+b.

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𝟐𝒙 -3 𝟓 𝟓𝒙 B. 𝒀 = -3 𝟐 𝟐𝒙 C. 𝒀 = +3 𝟓 𝟓𝒙 D. 𝒀 = +3 𝟐

A. 𝒀 =

3. Observa la siguiente figura y encuentra la pendiente utilizando la igualdad de la tangente del 𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 ángulo, tan A= 𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

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HOJA DE ACOMPAÑAMIENTO DOCENTE A. B. C. D.

m= 0.75 m= 1.33 m= 3.00 m= 4.20

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