Física Clássica Vol. 1 (complementos)
154 Pages • 70,880 Words • PDF • 41.4 MB
Uploaded at 2021-09-24 11:37
This document was submitted by our user and they confirm that they have the consent to share it. Assuming that you are writer or own the copyright of this document, report to us by using this DMCA report button.
Algumas regras do SI Algumas regras de uso das unidades Complementos de teoria e leituras
I. Os nomes das unidades, quando escritos por extenso, começam sempre pela letra minúscula, mesmo que sejam nomes de algum cientista. Por exemplo, a unidade básica kelvin vem do nome do físico inglês chamado Lord Kelvin. Há apenas duas exceções: • a unidade de temperatura grau Celsius; • quando uma sentença se inicia com o nome da unidade.
II. Os símbolos das unidades são formados por letras minúsculas, a não ser que se trate do nome de um cientista. Por exemplo, o símbolo do kelvin é K.
III. Quando os nomes das unidades são escritos por extenso, a formação do plural obedece às seguintes regras: 1a. ) Quando o nome da unidade é formado por uma única palavra, acrescentamos a letra s (mesmo que não esteja de acordo com as regras da gramática), a não ser que esse nome termine por s, x ou z. Nesse caso, a palavra não varia no plural. Por exemplo:
Singular
Plural
metro
metros
kelvin
kelvins
decibel
decibels
hertz
hertz
2a. ) Quando o nome da unidade é uma palavra composta, temos os seguintes casos: a) Se o elemento complementar do nome da unidade não é ligado a este por hífen, tanto o nome como o complemento recebem s. Por exemplo: • metros cúbicos • unidades astronômicas b) Se os termos são compostos por multiplicação de unidades, ambos os nomes recebem s. Por exemplo: • ampère-hora → ampères-horas c) Se o elemento complementar do nome da unidade estiver ligado a este por hífen ou preposição (sem representar multiplicação), apenas o primeiro nome recebe a letra s. Por exemplo: • ano-luz → anos-luz • unidade de massa atômica → unidades de massa atômica d) Quando a unidade é formada por divisão de outras unidades, o nome da unidade que está no denominador não recebe s. Por exemplo: no SI a unidade de velocidade é metro por segundo (m/s).O plural é: metros por segundo. IV. Os símbolos das unidades são invariáveis no plural. Por exemplo: 1 metro 5 1 m; 3 metros 5 3 m. V. Não é admitida a combinação de partes escritas por extenso com partes expressas por símbolo. Por exemplo, é errado escrever: metros/s ou m/segundo.
1
Volume 1 Capítulo 1
FC1_CD_C01_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:44 PM
Luiz Fernando Rubio
Exercícios
Complementos de teoria e leituras
1. (UF-PI) Um reservatório com capacidade para 6 280 litros tem a forma de um cilindro circular reto. Se o raio da base desse reservatório mede 1 metro, sua altura, também em metros, mede: (Considere π 5 3,14.) a) 1
c) 1,8
b) 1,4
d) 2
e) 2,3
2. (UF-MG) Um recipiente cúbico, sem tampa, cujas arestas medem 4 dm, contém 56 litros de água. Ao lado desse recipiente, estão os seguintes sólidos, todos de aço maciço: • uma esfera de raio
3
2 dm;
• um cilindro circular reto com raio da base e altura 2 dm;
2 dm
• um paralelepípedo retangular de dimensões 3 dm, 3 dm e 7 dm; e • uma pirâmide reta de altura 5 dm e de base quadrada com lado 12 dm. Qual desses sólidos, quando colocado no recipiente, não fará com que a água transborde? a) A pirâmide.
c) O paralelepípedo.
b) O cilindro.
d) A esfera.
3. (UC-MG) Uma garrafa tem a forma de um paralelepípedo retângulo, com base quadrada de lado 8 cm e 12,5 cm de altura. A capacidade da garrafa, em litros, é: a) 0,80
d) 8,00
b) 0,13
e) 12,50
c) 1,25
4. (U. E. Londrina-PR) Um recipiente cúbico tem 3,000 m de aresta, n é o número máximo de cubos de 3,01 mm de aresta que cabem no recipiente. A ordem de grandeza de n é: a) 106
c) 108
b) 107
d) 109
e) 1010
5. (UF-AM) Uma lata de cerveja tem a forma cilíndrica, com 6 cm de diâmetro e 12 cm de altura. Quantos mL de cerveja cabem nessa lata? a) 367,38
c) 250,33
b) 339,12
d) 150,33
e) 108,57
provoca o aparecimento de uma mancha de óleo que tem forma circular e espessura constante de 2,5 cm, como na figura. O raio da mancha, t minutos depois do início do vazamento, é dado, em metros, pela relação r (t) 5 t . 5 Volume 1 Capítulo 1
FC1_CD_C01_Texto.indd 2
7. (Vunesp-SP) A área da superfície da Terra é estimada em 510 000 000 km2. Por outro lado, estima-se que, se todo o vapor de água da atmosfera fosse condensado, o volume de líquido resultante seria de 13 000 km3. Imaginando que toda essa água fosse colocada no interior de um paralelepípedo retângulo, cuja área da base fosse a mesma da superfície da Terra, a medida mais próxima da altura que o nível da água alcançaria é: a) 2,54 mm d) 2,54 m b) 2,54 cm e) 0,254 km c) 25,4 cm
8. (Unifor-CE) Um recipiente tem a forma de um cilindro circular reto com raio da base e altura medindo 1,20 m e 1,80 m, respectivamente. Dispõe-se de um balde, cuja forma também é a de um cilindro circular reto e cujas dimensões são 12 cm no raio da base e 80 cm na altura. Pretendendo-se usar o balde para encher o recipiente de água, o número mínimo de vezes que se terá de encher o balde a fim de atingir o propósito é: a) 225 d) 208 b) 215 e) 200 c) 212
9. (UFF-RJ) Uma das soluções encontradas para a escassez de água na região semiárida do nordeste brasileiro é a captação da água da chuva que escorre dos telhados das casas. A água captada é conduzida por meio de calhas para um reservatório com a forma de um cilindro circular reto. Superinteressante, nº. 177, jun. 2002.
6. (Mackenzie-SP) Um vazamento, em um navio tanque,
2
Adotando π 5 3, o volume, em m3, de óleo vazado, após 4 minutos do início do vazamento, é: a) 0,014 d) 0,02 b) 0,016 e) 0,012 c) 0,08
O reservatório citado tem altura aproximada de 1,8 metro e capacidade para armazenar 16 000 litros da água da chuva. Considerando R o raio da base do reservatório, é correto afirmar que R2, em metro quadrado, é aproximadamente: a) 1,4 b) 1,9 c) 2,8 d) 3,8 e) 7,8
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:44 PM
consumo médio de água por apartamento é de cerca de 170 litros por dia. Qual a ordem de grandeza do volume que deve ter o reservatório do hotel, em metros cúbicos, para abastecer todos os apartamentos durante um dia de falta de água? c) 103 e) 105 a) 101 b) 102 d) 104
12. (UFV-MG) Utilizando uma trena milimetrada (a menor divisão da escala é 1 milímetro), um estudante mede o comprimento de uma mesa. A trena, normalmente uma fita metálica com 10 m ou 20 m de comprimento, é usada principalmente para medir terrenos. Considerando a precisão do instrumento utilizado, a opção que representa a medida, em metros, feita pelo estudante com o número correto de algarismos significativos é:
11. (U. F. Juiz de Fora-MG) Uma caixa de forma cúbica
a) 1,234567
contém água. Após a retirada de 18 L, verifica-se que houve uma variação de 20 cm no nível do líquido. A capacidade total da caixa é, em litros: a) 27 c) 20 e) 36 b) 30 d) 18
b) 1,23456 c) 1,2345 d) 1,23 e) 1,2
Áreas de figuras geométricas Áreas paralelogramo
retângulo
h
b
quadrado
b
h
b
Ilustrações: Setup
Complementos de teoria e leituras
10. (UF-PE) Em um hotel com 500 apartamentos, o
b
A5b?h
A5b?h
A 5 b ? b 5 b2
trapézio
triângulo
círculo
b R h
h
B
A (b B)h 2
b
A 5 π ? R2
A b h 2
(π 3,1416)
superfície externa da esfera
R
A 5 4 πR2
3
Volume 1 Capítulo 1
FC1_CD_C01_Texto.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:44 PM
Volumes cubo
esfera
R
Complementos de teoria e leituras
h
Ilustrações: Setup
prisma e cilindro
a a
V5A?h A 5 área da base h 5 altura
a
V 5 4 πR3 3
V5A?h V 5 (a2) ? a 5 a3
pirâmide e cone
h
V A h 3 A 5 área da base h 5 altura
4
Volume 1 Capítulo 1
FC1_CD_C01_Texto.indd 4
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:44 PM
Complementos de teoria e leituras
O cálculo diferencial e integral Devemos a Isaac Newton (1642‑1727) a criação do Cálculo Diferencial e Integral. Conforme nos conta a história, em 1666 uma grande peste assolou a Grã‑Bretanha. As escolas foram fechadas e Newton, que acabara de obter o título de bacharel na Universidade de Cambridge, refugiou-se em sua casa na zona rural. Foi nesse período que ele elaborou uma teoria matemática que daria origem ao cálculo diferencial. Hoje sabemos que outro matemático, Leibniz, também chegara, independentemente, às mesmas descobertas de Newton. Apenas as quatro operações matemáticas são insuficientes para uma definição rigorosa da velocidade escalar ins‑ tantânea. Esse rigor só se tornou possível com o cálculo diferencial.
Cálculo da velocidade instantânea usando o limite O limite da velocidade escalar média, à medida que fazemos Δt tender a zero, é a velocidade escalar instantânea naquela posição da trajetória. Simbolicamente se escreve:
v lim vm ∆t → 0
Leia-se: limite de velocidade média para Δt tendendo a zero. Mais uma vez, chamamos sua atenção para o fato de dizermos que Δt tende a zero, o que não significa que ele será zero, apenas que queremos nos referir a intervalos de tempo sempre menores que o antecedente. O cálculo de limites não é objeto de estudo nos cursos de Matemática do ensino médio. Seu estudo será realizado apenas em nível universitário. Ficaremos aqui com o conceito e alguns exemplos.
Exemplo 1 Neste exemplo vamos calcular uma velocidade escalar instantânea usando o conceito de limite. Tomaremos dois instantes t1 e t2 muito próximos um do outro, isto é, o intervalo de tempo Δt é muito pequeno. As respectivas abscissas são s1 e s2. Vamos usar, como exemplo, uma equação horária do 2o. grau em t: s 5 2 1 3t 1 5t2 (unidades SI) 1o.) No instante t1 5 t, temos: s1 5 2 1 3t1 1 5t12 ⇒ s1 5 2 1 3t 1 5t2 2o.) No instante t2 5 t 1 Δt, temos: s2 5 2 1 3t2 1 5t22 ⇒ s2 5 2 1 3(t 1 Δt) 1 5(t 1 Δt)2 Desenvolvendo: s2 5 2 1 3t 1 3 ? Δt 1 5(t2 1 2 ? t ? Δt 1 Δt2) ⇒ s2 5 2 1 3t 1 3 ? Δt 1 5t2 1 10 ? t ? Δt 1 5 ? Δt2 A variação de abscissa no intervalo de tempo considerado é: Δs 5 s2 2 s1 5 3 ? Δt 1 10 ? t ? Δt 1 5 ? Δt2 A velocidade escalar média fica: 2 vm ∆s ⇒ 3 ∆t 10 t ∆t 5 ∆t 3 10 t 5 ∆t ∆t ∆t
Porém, o nosso objetivo é calcular a velocidade escalar instantânea usando o conceito de limite. Assim: v lim vm ⇒ v lim (3 10t 5 ∆t) ∆t → 0
∆t → 0
O termo (5 ? Δt) tende a zero e resta: v 5 3 1 10 ? t
1
Volume 1 Capítulo 5
FC1_CD_C05_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:44 PM
Derivada: um processo prático para se chegar à velocidade escalar instantânea v lim vm lim
Complementos de teoria e leituras
∆t → 0
∆t → 0
( ∆∆st )
Esse limite é denominado derivada da abscissa s em relação ao tempo t. Indicamos a derivada de s em relação a t por: ds dt Assim, podemos escrever: v lim ∆s ds ou simplesmente: v 5 ds ∆t → 0 ∆t dt dt Derivar uma equação horária de 1o. grau ou de 2o. grau em t é simplesmente calcular o limite acima. No entanto, em se tratando de equações polinomiais em t, existem regrinhas práticas que facilitam o cálculo dessa derivada, sem usarmos o processo do limite. A regra prática é a seguinte: 1o.) Em cada monômio da expressão polinomial, multiplica-se o expoente pelo coeficiente. 2o.) Subtrai-se uma unidade do expoente.
Exemplo 2 Vamos calcular a velocidade escalar instantânea, usando o cálculo de derivada. a) s 4t3 ⇒ v ds ⇒ v (3 4)t3 1 ⇒ v 12t2
dt
b) s 5t2 3t ⇒ v ds ⇒ v (5 2)t2 1 (3 1)t1 1 ⇒ v 10t 3
dt
c) s 5 K (em que K é uma constante), ou seja, o móvel se encontra em repouso na posição K. Sua velocidade escalar vale zero. Donde se conclui que a derivada de uma constante vale zero.
s 5 8,5 m ⇒ v 5 ds ⇒ v 5 0 dt
Outro modo de se obter o mesmo resultado é fazendo: s 5 8,5t0 ⇒ v 5 (0 ? 8,5)t21 5 0 d) s 2 3t 5t2 8t3 ⇒ v ds ⇒ v 0 3 10t 24t2 ⇒ v 3 10t 24t2
dt
Conforme nossos exemplos mostraram, a derivada nos leva a outra equação horária, e não ao valor da velocidade num dado instante. Precisamos de um valor de tempo para substituir na equação horária da velocidade obtida.
Aceleração escalar instantânea A aceleração escalar instantânea α é o limite para o qual tende ∆v quando Δt tende a zero e escreve-se: ∆t
α lim ∆v ∆t → 0 ∆t O limite de ∆v quando Δt tende a zero é a derivada da velocidade escalar em relação ao tempo. ∆t
α 5 dv dt Exemplo: v 4t3 3t2 6t ⇒ α dv ⇒ α 12t2 6t 6 dt Mais uma vez constatamos que a derivada nos levou a uma outra equação horária. Precisamos do valor do tempo.
2
Volume 1 Capítulo 5
FC1_CD_C05_Texto.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:44 PM
Demonstração da equação horária das posições do MUV Como vimos, a equação horária da velocidade é dada, no movimento uniformemente variado, pela equação:
Complementos de teoria e leituras
v 5 v0 1 α ? t (equação do 1o. grau em t) Sempre que derivamos uma função de grau n (para n > 1), obtemos outra função de grau (n 2 1). A equação horária da velocidade é a derivada da equação horária de posição (abscissas). Ora, se a primeira é do 1o. grau em t, conclui-se que esta outra é do 2o. grau em t. Assim, vamos representá-la por: s 5 A 1 B ? t 1 C ? t2 (com A, B, C constantes e C 0) Vamos determinar os significados físicos de cada parâmetro A, B, C. • Fazendo-se t 5 0, teremos s 5 s0 e s 5 A. Logo: A 5 s0 • Derivando-se a equação proposta: v ds ⇒ v B 2C t dt • Identificando termo a termo com a equação: v 5 v0 1 α ? t podemos concluir: B 5 v0
2C 5 α ⇒ C 5 α 2 Voltando à equação proposta: s 5 A 1 B ? t 1 C ? t2 s s0 v0 t α t2 2
( )
Obtendo a aceleração escalar a partir da equação horária das posições s s0 v0 t α t2 2 1.a derivada: ds 0 v 2α t ⇒ v v α t (equação horária da velocidade) 0 0 2 dt 2.a derivada: dv 0 α ⇒ dv α (aceleração) dt dt A aceleração escalar é derivada segunda da equação horária das posições.
3
Volume 1 Capítulo 5
FC1_CD_C05_Texto.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:44 PM
Exemplo 3 É conhecida a equação horária das posições de um movimento:
Complementos de teoria e leituras
s 5 5,0 1 2,0 ? t 2 0,50 ? t2 (unidades SI) a) Vamos determinar, usando derivada, a equação horária da velocidade e a aceleração escalar. v ds ⇒ v 0 2,0 1,0t ⇒ v 2,0 1,0t (SI) dt α dv ⇒ α 0 1,0 ⇒ α 1,0 m/s2 dt b) Vamos classificar o movimento para t1 5 3,0 s. Para t1 5 3,0 s: v1 5 2,0 2 1,0 ? 3,0 ⇒ v1 5 21,0 m/s α ? v1 5 (21, 0) ? (21, 0) 5 11,0 Logo, o movimento é retrógrado (v 0) e acelerado (α ? v 0).
4
Volume 1 Capítulo 5
FC1_CD_C05_Texto.indd 4
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:44 PM
Determinação da aceleração centrípeta para o caso do movimento circular uniforme
∆v v 1 R AA1 v
A R
θ
A A1
R E
C
v θ
v1
F
C
Δv
v1
θ
A1 R
Ilustrações: Setup
Complementos de teoria e leituras
2
v . Justificaremos agora essa Na teoria, afirmamos que a aceleração centrípeta ac tem módulo dado por a c R afirmativa para o caso do movimento circular uniforme. Consideremos, então, uma partícula em movimento uniforme sobre uma circunferência de raio R e centro C. Num instante t a partícula está no ponto A e tem velocidade vetorial v (fig. 1). Consideremos, em seguida, um instante t1 (com t1 . t) no qual a partícula está sobre o ponto A1 (diferente de A) com velocidade v1. Como o movimento é uniforme, temos | v | 5 | v1 |. Façamos Δt 5 t1 2 t. A variação da velocidade vetorial (Δv ) no intervalo de tempo Δt está representada na figura 2. O triângulo EFG (fig. 2) é semelhante ao triângulo CAA1 (fig. 3) e assim:
G
Figura 1.
Figura 2.
Figura 3.
Para um intervalo de tempo “muito pequeno” (isto é, Δt → 0), podemos supor que A1 esteja muito próximo de : A e o segmento AA1 tenha comprimento aproximadamente igual ao comprimento do arco AA 1 | 2 |AA1| |AA 1 Mas, como o movimento é uniforme, temos: | | v | (∆t) 3 |AA 1 De 3 e 2 concluímos: |AA1| | v | (∆t) 4 De 4 e 1 obtemos: ∆v v R v (∆t) donde: 2
∆v v 5 (supondo Δt “pequeno”) ∆t R A aceleração vetorial instantânea a no instante t é dada por: a lim ∆v ∆t → 0 ∆t e, portanto: a lim ∆v ∆t → 0 ∆t
1
Volume 1 Capítulo 9
FC1_CD_C09_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:45 PM
À medida que Δt aproxima-se de zero, a aproximação da relação 5 torna-se cada vez melhor e, portanto: a lim
∆t → 0
2 ∆v v R ∆t
a
v R
2
Por outro lado, analisando as figuras 1, 2 e 3, percebemos que, à medida que A1 se aproxima de A, o ângulo θ diminui e Δv aproxima-se da direção perpendicular a v, o mesmo ocorrendo com a aceleração vetorial média ∆v . No ∆t limite, a aceleração vetorial instantânea a é perpendicular a v e, portanto, tem a direção da reta que passa pelo ponto A e pelo centro da circunferência (fig. 4). A
v
a
C
sEtuP
Complementos de teoria e leituras
Concluímos, então, que a aceleração vetorial instantânea do movimento circular uniforme tem módulo constante e dado por:
Figura 4.
2
Volume 1 Capítulo 9
FC1_CD_C09_Texto.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PArtE INtEGrANtE da obra Física Clássica, dos autores Caio sérgio Calçada e José luiz sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:45 PM
1. Aceleração angular Consideremos uma partícula em movimento circular de raio R. Se num instante t1 sua velocidade angular é ω1 e no instante t2 (posterior a t1) sua velocidade angular é ω2, a aceleração angular média (γm) entre os instantes t1 e t2 é dada por:
Complementos de teoria e leituras
ω ω1 γ m ∆ω 2 ∆t t2 t1 A aceleração angular instantânea (γ) é definida como sendo o limite da razão ∆ω para Δt tendendo a zero: ∆t γ lim ∆ω ∆t → 0 ∆t Se γ for constante, teremos: ω ω1 γ γ m ∆ω 2 1 ∆t t2 t1 No SI temos: unidade de γ rad/s rad/s2 rad s 2 s A equação dimensional de γ é: [γ] 5 T22 Sendo v1 e v2 as velocidades escalares nos instantes t1 e t2, respectivamente, a partir da equação 1 temos: v2 v 1 ω2 ω1 R R 1 v2 v1 α γ R t2 t1 t2 t1 R t2 t1 α
ou: γ α R sendo α a aceleração escalar.
O movimento circular uniformemente variado não é periódico, uma vez que, sendo a aceleração linear não nula, cada volta é realizada em intervalos de tempo diferentes, não sendo possível definir período ou frequência para esse movimento. No MCUV a aceleração angular média coincide com a aceleração angular instantânea. ω Considere a figura ao lado, que representa um móvel realizando movimento circular uniformemente variado no sentido anti-horário, considerado positivo. Seja P0 a posição P do móvel no instante t 5 0, caracterizada pela posição inicial s0 e pela velocidade linear P0 s inicial v0. As equações horárias da posição s e da velocidade v e a equação de Torricelli φ são as seguintes: s ω φ0
2 s s0 v0t αt 2 v 5 v0 1 αt
C
R
0
0
Setup
2. Movimento circular uniformemente variado (MCUV)
0
v2 5 v20 1 2αΔs
1
Volume 1 Capítulo 11
FC1_CD_C11_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:45 PM
Considerando as grandezas angulares, sendo φ0 a posição angular inicial, ω0 a velocidade angular inicial e γ a aceleração angular, podemos obter as respectivas equações angulares dividindo as equações anteriores pelo raio R da trajetória ou por R2, no caso da última:
v v0 t ⇒ ω γt 0 R R R 2 v2 v0 2 α ∆s ⇒ ω2 ω 2 2γ∆ϕ 2 2 0 R R R R
Exercícios 1. A velocidade angular de um móvel em movimento
circular aumenta uniformemente de 5,0π rad/s em t 5 0 para 12π rad/s em t 5 3,5 s. Determine: a) a aceleração angular; b) a equação horária da velocidade angular; c) quantas voltas o corpo executa nesse intervalo de tempo.
Resolução: a) Sendo ω0 5 5,0π rad/s e ω 5 12π rad/s, temos: Δω 5 ω 2 ω0 Δω 5 12π 2 5,0π Δω 5 7,0π rad/s em Δt 5 3,5 s A aceleração angular será:
γ ∆ω ∆t 7,0 π γ 3,5 γ 5 2,0π rad/s2
ω 5 5,0π 1 2,0πt O deslocamento angular descrito pode ser calculado pela equação de Torricelli: ω2 5 ω20 1 2γΔφ 144π2 5 25π2 1 2 ? 2,0π ? Δφ Δφ 29,7π rad ou pela equação horária do espaço angular: γt2 ∆ϕ ω0t 2
2
Volume 1 Capítulo 11
FC1_CD_C11_Texto.indd 2
∆ϕ 5π 3,5
2π (3,5)2 2
Δφ 29,7π rad Por regra de três simples e direta:
}
1 volta 2,0π rad n 29,7π 2π n 29,7π rad n 14,8 voltas
2. Uma roda gira à razão de 10π rad/s, quando é desligado o motor que a faz funcionar. A partir desse instante, a roda realiza um movimento circular uniformemente variado, parado em 20 s. Determine: a) a aceleração angular da roda; b) a equação horária da velocidade angular da roda, a partir do instante em que o motor foi desligado; c) o número de voltas que a roda realiza, desde que o motor é desligado até parar.
3. Uma partícula move-se sobre uma circunferência de
b) A equação horária da velocidade angular obedece à forma ω 5 ω0 1 γt. Assim:
raio 2,0 m com aceleração escalar constante e igual a 6,0 m/s2. Calcule a aceleração angular do movimento. Instruções para as questões 4 e 5: O gráfico representa a velocidade angular, em função do tempo, de uma polia que gira ao redor de um eixo. (rad/s) 80π 60π 40π 20π 0
Setup
Complementos de teoria e leituras
2 s s0 v0 t α t2 ⇒ ϕ ϕ ω t γt 0 0 2 R R R R 2
10 20 30 40
t (s)
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:45 PM
4. (UF-BA) A aceleração angular da polia é igual a: a) 2π rad/s b) 15π rad/s2 c) 20π rad/s2 2
d) 100π rad/s e) 200π rad/s2 2
Complementos de teoria e leituras
5. (UF-BA) O número de voltas completas realizadas pela polia, de 0 a 40 s, é igual a: a) 3,0 ∙ 102 d) 1,2 ∙ 103 b) 4,0 ∙ 102 e) 1,6 ∙ 103 c) 8,0 ∙ 102
6. (UF-PE) A parte mais externa de um disco, com 0,25 m de raio, gira com uma velocidade linear de 15 m/s. O disco começa então a desacelerar uniformemente até parar, em um tempo de 0,5 min. Qual o módulo da aceleração angular do disco em rad/s2?
7. (Mackenzie-SP) O motor de um ventilador é ligado e, do repouso, seu eixo gasta 4,0 s para atingir uma velocidade cujo módulo permanecerá constante, proporcionando um movimento periódico de 10 Hz. A aceleração angular média desse eixo, nos referidos 4,0 s, foi: a) 5,0 rad/s2 d) 20 rad/s2 2 b) 5,0π rad/s e) 20π rad/s2 c) 10 rad/s2
3
Volume 1 Capítulo 11
FC1_CD_C11_Texto.indd 3
8. (Aman-RJ) Um ponto material parte do repouso e se desloca em MUV sobre um plano horizontal em trajetória circular de 5 metros de raio. Após 10 segundos o ponto material percorreu 100 metros. A velocidade angular do ponto material nesse instante vale: a) 16 rad ? s21
d) 2 rad ? s21
b) 4 rad ? s21
e) 0,4 rad ? s21
c) 20 rad ? s
21
9. (UF-PR) Um ventilador gira à razão de 900 rpm. Ao desligá-lo, seu movimento passa a ser uniformemente retardado, até parar após 75 voltas. Qual o tempo decorrido desde o movimento em que foi desligado até a sua parada completa?
10. (Mackenzie-SP) Um disco inicia um movimento uniformemente acelerado a partir do repouso e, depois de 10 revoluções, a sua velocidade angular é de 20 rad/s. Podemos concluir que a aceleração angular da roda em rad/s2 é aproximadamente igual a: a) 3,5 b) 3,2 c) 3,0 d) 3,8 e) nenhuma das anteriores
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são pARTe INTeGRANTe da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:45 PM
No sistema representado na figura 1, o bloco A está preso ao fio f1, o qual passa pelas polias P1 e P2; o bloco B está preso ao fio f2, o qual está preso ao eixo da polia P2. A polia P1 é uma polia fixa, isto é, ela pode girar, mas o seu eixo é fixo; a polia P2 é uma polia móvel, isto é, além de girar, o seu eixo pode movimentar-se. Suponhamos que os fios e as polias sejam ideais. Dependendo das massas de A e B, ao abandonarmos o sistema em repouso, podem ocorrer três situações:
P1
1o.) o sistema permanece em repouso;
P2
f1
2 ) o bloco A sobe e o bloco B desce; o.
A
f2
3o.) o bloco A desce e o bloco B sobe.
B
Ilustrações: Marco A. Sismotto
Complementos de teoria e leituras
Polia móvel com aceleração
Figura 1.
Porém, conforme veremos a seguir, desde que haja aceleração, as acelerações de A e B terão módulos diferentes. Consideremos inicialmente o sistema na posição da figura 2a e, apenas para fixar ideias, suponhamos que o bloco A esteja descendo e o bloco B esteja subindo, de modo que, após um intervalo de tempo Δt, o sistema esteja na posição da figura 2b. (a)
(b)
A
dA
W
X B
Y
Z B
dB
A
Figura 2.
Sejam dA e dB os deslocamentos dos blocos A e B, respectivamente. Observando a figura 2, percebemos que: |dB| 5 XY 5 WZ Como o fio é ideal (e, portanto, inextensível), os trechos de fio XY e WZ que “desaparecem” do lado da polia móvel devem ter “ido” para o lado do bloco A, isto é: |dA| 5 2|dB| Portanto, para qualquer intervalo de tempo, o módulo do deslocamento de A será o dobro do módulo do deslocamento de B. Mas, como sabemos, a derivada do deslocamento nos dá a velocidade. Assim, sendo vA e vB as velocidades dos blocos A e B num instante qualquer, devemos ter: |VA| 5 2|VB| Mas sabemos também que a derivada da velocidade é a aceleração. Portanto, sendo aA e aB as acelerações dos blocos A e B, temos: | aA| 5 2| aB|
1
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_C13_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
T
Complementos de teoria e leituras
T T A
T
T
PA
Ilustrações: Marco A. Sismotto
Isolemos as polias e os blocos como mostra a figura 3, onde T é a intensidade da tração no fio. Sendo aA e aB os módulos das acelerações dos blocos e supondo que o sistema tenha sido abandonado em repouso, consideraremos três casos.
2T 2T B PB
Figura 3.
1o. caso: O sistema permanece em repouso Nesse caso devemos ter T 5 PA e 2T 5 PB. Assim: PB 5 2PA ou mB 5 2mA onde mA e mB são as massas dos blocos A e B. Se dermos um impulso ao bloco A ou ao bloco B, o sistema entrará em movimento, porém os dois blocos terão movimentos uniformes. 2T T A
B
PA
PB
Figura 4.
2o. caso: mB . 2mA Vimos no caso anterior que, para mB 5 2mA, o sistema fica em equilíbrio. Assim, para mB . 2mA, o bloco B deve descer acelerado e o bloco A deve subir acelerado (supondo que o sistema tenha sido abandonado em repouso). Aplicando a Segunda Lei de Newton a cada bloco, temos: 2T T aA
A
aB
B
PA
PB
Figura 5.
T PA mA aA PB 2T mB aB Essas duas equações, juntamente com a condição aA 5 2aB, resolvem o problema.
2
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_C13_Texto.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
3o. caso: mB , 2mA Como vimos, para mB 5 2mA, o sistema fica em equilíbrio. Assim, para mB , 2mA, o bloco A deve descer em movimento acelerado e o bloco B deve subir em movimento acelerado (supondo que o sistema tenha sido abandonado em repouso). Portanto, as equações que resolvem o problema são:
2T T aA
A
aB
B
PA
PB
Ilustrações: Marco A. Sismotto
Complementos de teoria e leituras
PA T mA aA 2T PB mB aB a 2a A B
Figura 6.
Observação: Ao resolvermos um problema desse tipo, podemos, se quisermos, não fazer a análise da relação entre as massas e simplesmente fazer uma das seguintes hipóteses: a 1.) aA tem sentido para baixo e aB tem sentido para cima. a 2.) aA tem sentido para cima e aB tem sentido para baixo. A seguir, escrevemos as equações baseadas na hipótese feita, sem nos preocuparmos se a hipótese é correta ou não. Como ao escrevermos as equações usamos as acelerações em módulo, perceberemos no final do problema se a hipótese está correta ou não: se as acelerações obtidas forem positivas, a hipótese estará certa; se as acelerações forem negativas, a hipótese estará errada (mas isso não quer dizer que precisamos resolver novamente o problema, pois os módulos das acelerações estarão corretos).
Exercícios 1. O sistema representado na figura é formado por fios e polias ideais. A aceleração da gravidade tem módulo g 5 10 m/s2, a massa de A é mA 5 3,5 kg e a massa de B é mB 5 6,0 kg. Calcule os módulos das acelerações dos blocos A e B e o módulo da tração no fio ligado ao bloco A.
Resolução: 2T T A PA
B
PB
PA mA g 3,5 10 ⇒ PA 35 N P m g 6,0 10 ⇒ P 60 N B B B
A B
3
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_C13_Texto.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
Como 2mA . mB, a aceleração de A tem sentido para baixo e a aceleração de B tem sentido para cima. Apliquemos a Segunda Lei de Newton a cada bloco:
Complementos de teoria e leituras
PA T mA aA 2T P m a B B B
ou
35 T 3,5 aA 2T 60 6,0 a B
A
(I) 1 (II) 2 B
Usando a condição aA 5 2aB na equação 1 , o sistema de equações anterior fica: 35 T 7,0 aB 2T 60 6,0 a B
a) das acelerações dos blocos A e B;
3 2
b) da tração no fio ligado ao bloco A.
Dividindo por 2 todos os termos da equação 2 , temos: 35 T 7,0 aB T 30 3,0 a B
3 4
Adicionando membro a membro essas duas últimas equações, temos:
4. Considere o sistema representado na figura, onde os fios e as polias são ideais. A aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s2 e as massas de A e B são respectivamente iguais a 3,0 kg e 2,0 kg. Sendo aA e aB os módulos das acelerações dos blocos A e B, determine:
35 30 5 10 aB ou aB 5 0,50 m/s2 Como aA 5 2aB, obtemos: aA 5 2(0,50) ⇒ aA 5 1,0 m/s2 Para obtermos o valor de T, substituímos os valores obtidos para as acelerações, em qualquer das equações anteriores. Por exemplo, substituímos o valor de aB na equação 4 : T 30 5 3,0 aB T 30 5 3,0 0,50
f2
f1 A
B
a) a relação entre aA e aB;
T 5 31,5 N
b) os valores de aA e aB;
2. No sistema representado na figura, os fios e as polias
A B
IluStrAçõeS: MArco A. SISMotto
são ideais. A aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s2, e as massas de A e B são respectivamente iguais a 3,0 kg e 8,0 kg. Calcule os módulos:
a) da aceleração de B; b) da aceleração de A; c) da tração no fio ligado ao bloco A.
3. No sistema representado na figura, os fios e as polias
são ideais e não há atrito entre o bloco A e a superfície de apoio. A aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s2 e as massas dos blocos A e B são respectivamente iguais a 2,0 kg e 12 kg. Calcule os módulos:
4
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_C13_Texto.indd 4
c) o módulo da tração no fio ligado ao bloco A.
5. (Fuvest-SP) Considere o esquema representado na figura abaixo. As roldanas e a corda são ideais. O corpo suspenso da roldana móvel tem peso P 5 500 N.
P
a) Qual o módulo da força vertical (para baixo) que o homem deve exercer sobre a corda para equilibrar o sistema? b) Para cada 1 metro de corda que o homem puxa, de quanto se eleva o corpo suspenso?
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste cD são PArte INteGrANte da obra Física Clássica, dos autores caio Sérgio calçada e José luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
6. (AFA-SP) Os corpos A e B da figura abaixo têm massa
IluStrAçõeS: MArco A. SISMotto
Complementos de teoria e leituras
M e m, respectivamente. Os fios são ideais. A massa da polia e todos os atritos podem ser considerados desprezíveis. O módulo da aceleração de B é igual a:
A
a) a relação entre aA, aB e aC; b) os valores de aA, aB e aC; c) o módulo da tração no fio que está ligado ao bloco A.
8. O sistema esquematizado abaixo, em que os fios e as polias são ideais, é abandonado em repouso. São dados: g 5 10 m/s2; mA 5 1,0 kg; mB 5 6,0 kg. Determine as acelerações de A e B propondo que não haja atrito entre o bloco A e a superfície S. 1 kg
g
A
S
B g
a)
mg Mm
c)
2mg Mm
b)
mg 4M m
d)
2mg 4M m
B
7. No sistema representado na figura, os fios e as polias são ideais, não há atrito e as massas dos blocos A, B e C são, respectivamente, iguais a 15 kg, 10 kg e 24 kg. A aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s2. Sendo aA, aB e aC os módulos das acelerações dos blocos A, B e C, respectivamente, determine:
6 kg
9. No sistema esquematizado abaixo, os fios e as polias
são ideais e as massas dos blocos A, B e C são, respectivamente, 4,0 kg, 16 kg e 8,0 kg. Supondo que o sistema seja abandonado em repouso e que g 5 10 m/s2, determine o sentido do movimento e o módulo da aceleração de cada bloco.
B
A
g
C
5
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_C13_Texto.indd 5
B A
C
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste cD são PArte INteGrANte da obra Física Clássica, dos autores caio Sérgio calçada e José luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
1. Associação de molas em série
k
k1
k
k1
Ilustrações: Luiz Fernando Rubio
Complementos de teoria e leituras
Consideremos duas molas ideais, de constantes k1 e k2, associadas em série, como mostra a figura 1a. Se aplicarmos ao conjunto uma força F, como indica a figura 1b, a deformação do conjunto será x. Chamamos de mola equivalente à associação uma única mola de constante elástica k que, sob a ação da mesma força F, sofre a mesma deformação x (fig. 2).
x
k2 F
k2
(a)
Figura 2.
x
F (b)
Figura 1.
Vamos determinar o valor de k em função de k1 e k2. As molas de constantes k1 e k2 sofreram deformações x1 e x2 tais que: x 5 x1 1 x2 1 Como as molas são ideais, o esquema de forças é o da figura 3. Aplicando a Lei de Hooke a cada mola, temos:
F
F 5 k1 ? x1 e F 5 k2 ? x2 ou F x1 5 e x2 5 F 2 k2 k1
F
k1
Aplicando a Lei de Hooke à mola equivalente (fig. 3), temos: F
F 5 k ? x ou x 5 F 3 k
F
Substituindo 3 e 2 em 1 , obtemos: k2
F F F ou 1 1 1 4 k k1 k2 k k1 k2
F
A fórmula 4 pode ser ampliada para um número maior de molas. Se tivermos, por exemplo, associadas em série três molas ideais de constantes elásticas k1, k2 e k3, a constante k da mola equivalente será dada por:
Figura 3.
1 1 1 1 k k1 k2 k3
1
Volume 1 Capítulo 16
FC1_CD_C16_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
Exercícios 2. Três molas ideais, de constantes elásticas k1 5 20 N/m,
Complementos de teoria e leituras
1. Consideremos duas molas ideais, de constantes
k2 5 30 N/m e k3 5 60 N/m, foram associadas em série. a) Determine a constante elástica da mola equivalente à associação. b) Determine a deformação sofrida pela associação quando submetida a uma força de intensidade F 5 7,0 N.
elásticas k1 5 3,0 N/m e k2 5 6,0 N/m, associadas em série. Determine a constante elástica da mola equivalente. Resolução: Sendo k a constante elástica da mola equivalente, temos: 1 1 1 1 1 k k1 k2 3,0 6,0
3. Duas molas ideais, de constantes elásticas iguais a 80 N/m, foram associadas em série. Determine a constante elástica da mola equivalente à associação.
1 2,0 1,0 6,0 k
4. Três molas ideais e idênticas foram associadas em série.
Sendo k a constante elástica de cada mola, determine a constante elástica da mola equivalente à associação.
k 5 2,0 N/m
2. Associação de molas em paralelo
S
k1 k1
k1
k1
k1
k1
k k
x
x
F
F
Figura 4.
Figura 5.
Ilustrações: Luiz Fernando Rubio
Quando a associação é em paralelo, só tem interesse prático o caso de molas idênticas, isto é, molas que têm o mesmo comprimento natural e a mesma constante elástica. Consideremos duas molas idênticas de constante elástica k1 cada uma, associadas em paralelo, como indica a figura 4. As molas são presas a um mesmo suporte S e a uma barra de massa desprezível, no centro da qual é aplicada a força F. Ao aplicarmos a força F no centro da barra, o sistema sofrerá uma deformação x (fig. 5), isto é, cada mola sofrerá a mesma deformação x. Seja k a constante elástica da mola equivalente. Sob a ação da mesma força F, deverá sofrer a mesma deformação x (fig. 6).
F
Figura 6.
Cada uma das duas molas da associação receberá uma força de intensidade F (fig. 7). Aplicando a Lei de Hooke 2 a uma delas, temos: F k x ou F 5 2k ? x 1 1 1 2
k1
k1
F 2
F 2
Figura 7.
2
Volume 1 Capítulo 16
FC1_CD_C16_Texto.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
Aplicando a Lei de Hooke à mola equivalente, temos: F 5 k ? x 2 Comparando 1 e 2 , obtemos:
Complementos de teoria e leituras
k ? x 5 2k1 ? x ou k 5 2k1 3 A fórmula 3 pode ser ampliada para um número maior de molas idênticas, associadas em paralelo. De modo geral, se tivermos n molas idênticas associadas em paralelo, sendo k1 a constante elástica de cada uma, a constante elástica da mola equivalente é dada por: k 5 nk1
Exercícios 5. Três molas idênticas, de constante elástica k1 5 20 N/m cada uma, foram associadas em paralelo. Determine a constante elástica da mola equivalente à associação.
9. Calcule a constante elástica equivalente da associação abaixo, sabendo que k1 5 15 N/m e k2 5 20 N/m.
Resolução:
k1
k1
Ilustrações: Luiz Fernando Rubio
k1
k2
k2
k1
k2
k1
F
10. Duas molas de constantes elásticas 14 N/m e 6,0 N/m
k
foram associadas em série. Calcule a constante elástica da mola equivalente à associação.
11. Quatro molas idênticas, de constante elástica 60 N/m
k 5 3k1 5 3 ? 20 k 5 60 N/m
cada uma, foram associadas em paralelo. Calcule a constante elástica da mola equivalente à associação.
6. Cinco molas idênticas foram associadas em paralelo. Sabendo que a constante elástica de cada uma é 80 N/m, determine a constante elástica da mola equivalente à associação.
12. (Fatec-SP) Dispõe-se de duas molas idênticas e de um objeto de massa m. O objeto pode ser pendurado em apenas uma das molas ou numa associação delas mesmas, conforme a figura. O objeto provocará uma deformação total:
7. Duas molas idênticas foram associadas em paralelo.
Determine a constante elástica de cada uma delas, sabendo que a constante elástica da mola equivalente é igual a 300 N/m.
8. Uma mola ideal tem constante elástica 30 N/m. Cortamos essa mola ao meio e com as duas metades fazemos uma associação em paralelo. Determine a constante elástica da mola equivalente a essa associação.
3
Volume 1 Capítulo 16
FC1_CD_C16_Texto.indd 3
m
m
(I)
(III) m (II)
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
Dois dinamômetros estão montados sobre uma mesa horizontal perfeitamente lisa, conforme mostra a figura. Quando o corpo de massa m é suspenso por um fio de massa desprezível à extremidade do dinamômetro, a força que este indica é 5 N. Adote g 5 10 m/s2.
a) igual nos três arranjos. b) maior no arranjo I. c) maior no arranjo II. d) maior no arranjo III.
(I)
alonga-se de 12 cm (fig. a). Corta-se a mola no meio e suspende-se o mesmo corpo ao conjunto das duas metades, como na figura b. Cada uma dessas metades se acha alongada de: Ilustrações: Luiz Fernando Rubio
Complementos de teoria e leituras
13. (Cesgranrio-RJ) Um corpo suspenso a uma mola ideal
Figura a.
Figura b.
a) 3,0 cm b) 9,5 cm c) 24 cm
d) 6,0 cm e) 12 cm
m
a) Que força indicará o dinamômetro II? b) Qual a massa do corpo suspenso?
16. (Vunesp-SP) O gráfico da figura I mostra as elongações sofridas por duas molas, M1 e M2, em função da força aplicada a elas. Quando essas molas são distendidas, como mostra a figura II, sobre uma superfície horizontal perfeitamente lisa, a elongação sofrida por M2 é igual a 3,0 cm.
14. (UF-MT) Dois corpos, A e B, estão ligados, conforme
4,0 kg
k1
k2
2,0 kg
10 elongação (cm)
esquema abaixo, por duas molas, k1 e k2, idênticas e de massas desprezíveis. Sabe-se que os atritos com a superfície horizontal são desprezíveis e que o sistema está oscilando, sendo, num dado instante, Δx1 a distensão não nula de k1 e Δx2 a distensão não nula ∆x de k2. Então 2 vale, em módulo: ∆x1
(II)
M1
8 6
M2
4 2 0
5
10
15 20 força (N)
25
Figura I.
a) 1 2 b) 1 c) 2
d) 2
15. (Vunesp-SP) Dinamômetros são instrumentos desti-
nados a medir forças. O tipo mais usual é constituído por uma mola cuja deformação varia linearmente com a intensidade da força que a produz (Lei de Hooke).
4
Volume 1 Capítulo 16
FC1_CD_C16_Texto.indd 4
M1
M2
e) 2 2 Figura II.
a) Qual é a intensidade da força que está distendendo a mola M2? b) Qual a elongação sofrida por M1?
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
Quando um corpo está em movimento em relação a um referencial que gira, além da força centrífuga há uma outra força fictícia sobre o corpo: é a força de Coriolis, que tem esse nome porque seu estudo foi feito pelo francês Gustave Gaspar Coriolis (1792-1843). Num referencial que gira, a força centrífuga existe tanto no caso em que o corpo está em repouso como no caso em que está em movimento, mas a força de Coriolis só aparece quando o corpo está em movimento. Não faremos o estudo matemático dessa força, pois sua complexidade está acima do nível do nosso curso. No entanto, daremos alguns exemplos para que você perceba seu efeito. Na figura 1 representamos uma situação em que dois indivíduos, A e B, estão sobre uma plataforma que gira em relação ao solo, onde está o indivíduo C. Para simplificar, vamos supor que o indivíduo A esteja no centro da plataforma. B
C
B
A
A
B
C Ilustrações: Lettera Studio
Complementos de teoria e leituras
A força de Coriolis
(a)
(c) B C
A
Figura 1.
C
A
(b)
(d)
O indivíduo A joga uma bola para B (fig. 1a). Porém, devido à rotação da plataforma, a bola não chega a B; quem a recebe é o indivíduo C. Nas figuras 1a e 1b, temos a trajetória da bola em relação ao observador C que está fixo no solo. Nas figuras 1c e 1d, representamos a trajetória da bola para os indivíduos A e B; para eles, é o indivíduo C que está girando, e a trajetória da bola é uma curva. A diferença básica está no seguinte: a força centrífuga empurra a bola para fora, afastando-a radialmente do centro, enquanto a força de Coriolis torce sua trajetória lateralmente, provocando desvios na direção de sua velocidade vetorial (fig. 2).
direção radial O FCO
trajetória encurvada
Figura 2.
O garoto A vê a bola desenhar uma trajetória curva, entortada para a direita, e atribui o fato à existência de uma força fictícia, que é a força de Coriolis. Para o garoto A, o seu referencial está na plataforma girando e, portanto, não é um referencial inercial. Lembremo-nos de que o referencial inercial deverá estar em repouso ou em MRU. No caso, a plataforma está em MCU.
1
Volume 1 Capítulo 17
FC1_CD_C17_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:47 PM
Vejamos alguns exemplos em que aparece a força de Coriolis: • Soltamos uma pedra da boca de um poço, bem no centro do seu círculo. Esta não cairá no centro da água, lá no fundo do poço, mas baterá nas paredes laterais (fig. 3). A Terra tem movimento de rotação e nesse caso o nosso referencial não é inercial. A força de Coriolis é a responsável pelo desvio de trajetória da pedra.
Ilustrações: Conceitograf
Complementos de teoria e leituras
boca do poço
Figura 3.
• Qualquer objeto que despencar de uma altura razoável sofrerá a influência de Coriolis, e sua trajetória será desviada. Nos experimentos que Galileu teria feito na torre de Pisa, a força de Coriolis também desviou as balas de canhão. Porém, esse desvio foi muito pequeno, da ordem de alguns milímetros, e nem Galileu percebeu. • A formação de ciclones tem sua explicação na força de Coriolis.
Exercícios 1. (Fund. Carlos Chagas-SP) Nas corridas em circuito oval, as pistas são acentuadamente inclinadas. Suponha que uma pista tem 10 m de largura e um desnível de 6,0 m entre as margens externa e interna. Um automóvel, nesta pista, pode descrever uma curva de raio 120 m sem depender de atrito. A máxima velocidade, em m/s, do automóvel nas condições descritas é: a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50 (Adote: g 5 10 m/s2 e π 3.)
2. (ITA-SP) Um funil que gira com velocidade angular uniforme em torno do seu eixo vertical de simetria apresenta uma superfície cônica que forma um ângulo θ com a horizontal, conforme a figura. Sobre esta superfície, uma pequena esfera gira com a mesma velocidade angular mantendo-se a uma distância d do eixo de rotação.
2
Volume 1 Capítulo 17
FC1_CD_C17_Texto.indd 2
ω
g
Nestas condições, o período de rotação do funil é dado por: a) 2π
d g sen θ
d b) 2π g cos θ
c) 2π
d g tan θ
d) 2π
2d g sen 2θ
e) 2π d cos θ g tan θ
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:47 PM
3. Considere o raio da Lua igual a 1,6 ∙ 106 m e o módu-
c) 3,2
b) 1,6
d) 4,8
leração angular, até que sua velocidade angular atinja um certo valor ω. A partir deste valor de velocidade angular, o bloco começa a deslizar sobre o disco. ω
e) 8,0 Setup
a) 0,80
4. (UF-ES) Um pêndulo é formado por uma esfera de massa m presa ao teto por um fio inextensível e de massa desprezível. Ele oscila livremente e, no instante em que sua velocidade é nula, o fio forma um ângulo θ com a vertical, conforme a figura.
Representando por g o módulo da aceleração da gravidade e considerando-se o instante em que o bloco está prestes a deslizar sobre o disco: a) determine, em função desses dados, o módulo da força centrípeta Fc que atua sobre o bloco; b) calcule, em função desses dados, o coeficiente de atrito estático μe entre o bloco e o disco.
Setup
θ g
m
Nesse instante a intensidade da força que traciona o fio é: a) nula d) mg b) mg sen θ e) mg cos θ c) mg tg θ
5. (OBF-Brasil) Em um pêndulo cônico temos uma corda de comprimento L e na sua extremidade um corpo de massa m, que realiza um movimento circular no plano (veja figura). Como consequência deste movimento, a corda descreve a figura de um cone, razão pela qual o pêndulo adquire esse nome. O
Setup
θ
C
g
L
R m
v
7. Nos estudos de Astronomia, definimos três velocida-
des, chamadas velocidades cósmicas, que são calculadas, no caso do planeta Terra, imaginando ausência da atmosfera (isto é, desprezando-se o efeito do ar) e não se considerando efeitos ligados à rotação do planeta. A velocidade cósmica primeira é a velocidade de satelização, isto é, a velocidade com que deveríamos lançar um corpo, horizontalmente, do Pico do Everest (ponto culminante da Terra) para transformá-lo em um satélite rasante da Terra, em órbita circular e movimento uniforme. A velocidade cósmica segunda é a velocidade de escape, que é a velocidade mínima de lançamento de um corpo, a partir da superfície terrestre, para que ele saia do campo gravitacional da Terra (vá para o infinito) e seu valor é da ordem de 11,2 km/s. A velocidade cósmica terceira é a velocidade mínima de lançamento de um corpo, a partir da superfície terrestre, para que ele saia do Sistema Solar e seu valor é da ordem de 45 km/s. Pico do Everest órbita do satélite rasante
P
Determine:
Terra
a) a velocidade angular ω do corpo em função do módulo da aceleração da gravidade g, do comprimento L e do ângulo θ de inclinação da corda;
C
Luiz Fernando Rubio
Complementos de teoria e leituras
lo da aceleração da gravidade na superfície lunar igual a 1,6 m/s2. A velocidade de um satélite rasante à Lua tem módulo igual, em km/s, a:
FG
b) o tempo para o corpo dar uma volta completa.
6. (Unesp-SP) Um pequeno bloco de massa m é colocado
vS
sobre um disco giratório, plano e horizontal, inicialmente em repouso, a uma distância R do eixo do disco. O disco é então posto a girar com pequena ace-
3
Volume 1 Capítulo 17
FC1_CD_C17_Texto.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:47 PM
Calcule: a) a velocidade cósmica primeira a partir dos seguintes dados: • raio da Terra: R 5 6,4 ? 106 m
Complementos de teoria e leituras
• módulo da aceleração da gravidade junto à superfície terrestre: g 5 10 m/s2 b) o período de translação desse satélite rasante. Adote π 5 3.
8. (Fuvest-SP) Um avião voa horizontalmente sobre o mar com velocidade constante de módulo v, a ser determinado. Um passageiro, sentado próximo ao centro de massa do avião, observa que a superfície do suco de laranja, que está em um copo sobre a bandeja fixa ao seu assento, permanece paralela ao plano da bandeja. Estando junto à janela e olhando numa direção perpendicular à da trajetória do avião, o passageiro nota que a ponta da asa esquerda do avião tangencia a linha do horizonte, como mostra a figura A. O piloto anuncia que, devido a um problema técnico, o avião fará uma curva de 180° para retornar ao ponto de partida. Durante a curva, o avião inclina-se para a esquerda, de um ângulo θ 5 30°, sem que haja alterações no módulo de sua velocidade e na sua altura. O passageiro, olhando sempre na direção perpendicular à da velocidade do avião, observa que a ponta da asa esquerda permanece durante toda a curva apontando para um pequeno rochedo que aflora do mar, como representado na figura B. O passageiro também nota que a superfície do suco permaneceu paralela à bandeja e que o avião percorreu a trajetória semicircular de raio R (a ser determinado), em 90 s. Percebe, então, que com suas observações e alguns conhecimentos de Física que adquiriu no ensino médio, pode estimar a altura e a velocidade do avião.
Figura B.
As distâncias envolvidas no problema são grandes em relação às dimensões do avião. a) Encontre uma relação entre v, R, g e θ, para a situação descrita. b) Estime o módulo v da velocidade do avião, em km/h ou m/s. c) Estime o valor da altura H, acima do nível do mar, em metros, em que o avião estava voando.
9. (Unicamp-SP) As máquinas a vapor, que foram importantíssimas na Revolução Industrial, costumavam ter um engenhoso regulador da sua velocidade de rotação, como é mostrado esquematicamente na figura abaixo. As duas esferas afastavam-se do eixo devido ao movimento angular e acionavam um dispositivo regulador da entrada de vapor, controlando assim a velocidade de rotação, sempre que o ângulo θ atingia 30°. Considere hastes de massa desprezível e comprimento L 5 0,2 m, com esferas de massa m 5 0,18 kg em suas pontas, d 5 0,1 m e aproxime 3 1,8. Adote g 5 10 m/s2. ω
NOTE E ADOTE
g
Ilustrações: Conceitograf
π 5 3; sen 30° 5 0,5; cos 30° 5 0,86; tg 30° 5 0,6; módulo da aceleração da gravidade: g 5 10 m∙s–2.
a) Faça um diagrama indicando as forças que atuam sobre uma das esferas. Figura A.
4
Volume 1 Capítulo 17
FC1_CD_C17_Texto.indd 4
b) Calcule a velocidade angular ω para a qual θ 5 30°.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:47 PM
Colisões Vamos demonstrar que numa colisão elástica o coeficiente de restituição (e) é igual a 1:
Complementos de teoria e leituras
vA
B
depois do choque A
vB
B
vA'
vB'
eixo
eixo
ILUSTRAÇÕES: SETUP
antes do choque A
Pela Conservação da Quantidade de Movimento, temos: 1
mAvA mBvB mAv'A mBv'B mAvA mAv'A mBv'B mBvB
mA(vA v'A) mB(v'B vB)
2
Num choque elástico há conservação de energia cinética: mA (vA )2 m (vB )2 m (vA' )2 mB (v'B )2 B A 2 2 2 2 mA (vA)2 mA (v'A)2 mB (v'B)2 mB (vB)2 mA (vA )2 (v'A ) 2 mB (v'B ) 2 (vB ) 2
3
Façamos a divisão membro a membro da equação 3 pela equação 2 : mA (vA )2 (vA' )2 m (v' )2 (vB )2 B B mA (vA v'A ) mB(vB' vB )
4
Lembrando os produtos notáveis da Matemática: (vA )2 (vA' )2 (vA v'A ) (vA vA' ) (v' )2 (v )2 (v' v ) (v' v ) B B B B B B a equação 4 fica: (vA vA' ) (vA v'A ) (v' vB ) (v'B vB ) B ⇒ vA vA' v'B vB ⇒ (vA v'A ) (v'B vB ) ⇒ vA vB (vA' v'B ) ⇒
v'A v'B 1⇒ e 1 vA vB e
1
Volume 1 Capítulo 21
FC1_CD_C21_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:48 PM
1. Centro de gravidade Vamos demonstrar a seguinte propriedade:
Consideremos um sistema de n partículas de massas: m1, m2, ... , mn e pesos:
P1, P2, ... , Pn
Sejam
M 5 m1 1 m2 1 ... 1 mn
e
P 5 P1 1 P2 1 ... 1 Pn
Se esse sistema está numa região em que g é constante, então todos os pesos deverão ter a mesma direção e sentido. y
P2
G
P1 Pn
P 0
x1
x2
xG
xn
x
Ilustrações: Setup
Complementos de teoria e leituras
Se a aceleração da gravidade g é a mesma em qualquer ponto de um corpo, seu centro de gravidade G coincide com seu centro de massa C.
O centro de gravidade G é o ponto que tem a seguinte propriedade: aplicando-se o peso total P em G, seu torque deve ser igual à soma dos torques dos pesos de cada partícula. Tomando torques em relação a O: MP 5 MP1 1 MP2 1 ... 1 MPn ⇒ P ? xG 5 P1 x1 1 P2 x2 1 … 1 Pn xn ⇒ m 1 x 1 m 2 x 2 ... m n x n 1 M Mas, como vimos no capítulo 22, a equação 1 nos dá a abscissa xC do centro de massa do sistema, isto é, xG 5 xC. Procedendo do mesmo modo, veremos que o mesmo ocorre para a ordenada y de C e para a cota z de C. ⇒ Mg xG 5 m1 g x1 1 m2 g x2 1 …1 mn g xn ⇒ xG
2. Teorema das três forças Consideremos um corpo rígido em equilíbrio sob a ação de apenas três forças F1, F2 e F3. É fácil perceber que uma das possibilidades é que as três forças sejam paralelas, como no exemplo a seguir: F3
F2
F3 5 F1 1 F2 F1 d1 5 F1 d2
F1 d1
d2
Figura 1.
1
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Suponhamos agora que duas delas (F1 e F2) tenham retas suportes que se cruzam em um ponto D, e a terceira (F3) tenha uma direção qualquer (fig. 2), de modo que a reta suporte de F3 está a uma distância d do ponto D.
d
F3 F1
F2
Ilustrações: Setup
Complementos de teoria e leituras
D
Figura 2.
Tomemos torques em relação ao ponto D. Se o corpo está em equilíbrio, a soma dos torques deve ser nula: MF1 1 MF2 1 MF3 5 0 F1 (0) 1 F2 (0) 1 F3 ? d 5 0 ⇒ F3 ? d 5 0 ⇒ d 5 0 Portanto, a reta suporte de F3 também passa por D, isto é, as três retas suportes são concorrentes em um único ponto D.
3. Conservação do momento angular Momento de inércia
F
Consideremos uma partícula de massa m em movimento circular não uniforme, sendo r o raio da trajetória (fig. 3). A força resultante F tem uma componente tangencial Ft e uma componente centrípeta Fn. Num determinado instante, a partícula tem aceleração escalar α e aceleração angular γ, e vale a equação: 1 α 5 γ ? r ou γ 5 α (1) r
Ft
E Fn
m
r
Figura 3.
De acordo com a Segunda Lei de Newton, temos: Ft 5 m ? α 5 m ? γ ? r 2 Tomando como polo o centro E da circunferência, o torque de Fn é nulo. Portanto, o torque da força resultante é igual ao torque de Ft: MF 5 MFt 5 Ft ? r 3 Introduzindo 2 em 3 , temos: MF 5 Ft ? r 5 (m γ r)(r) ⇒ MF 5 (mr2) γ 4 A equação 4 é análoga à equação da Segunda Lei de Newton, com o termo mr2 representando um tipo de inércia, chamado inércia rotacional ou momento de inércia, sendo representado por I: I 5 mr2 5
2
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Desse modo, a equação 4 pode ser escrita: MF 5 Iγ 6
Complementos de teoria e leituras
Consideremos agora um corpo extenso formado por n partículas, de massas: m1, m2, ..., mn girando com aceleração angular γ em torno de um eixo E, de modo que as distâncias das partículas ao eixo são: r1, r2, ..., rn Os torques resultantes em cada partícula são: M1, M2, ..., Mn sendo: M1 5 (m1r12)γ M2 5 (m2r22)γ
Mn 5 (mnr 2n)γ Portanto, o torque total M sobre o corpo é: M 5 M1 1 M2 1 ... 1 Mn 5 (m1r21)γ 1 (m2r22)γ 1 ... 1 (mnr2n)γ 5 (m1r21 1 m2r22 1 ... 1 mnr2n)γ Assim, o momento de inércia do corpo é dado por: I 5 m1r21 1 m2r22 1 ... 1 mnr2n 7
e:
M 5 I ? γ 8 Na realidade, o número de partículas de um corpo extenso tende a infinito e a soma que aparece na equação 7 torna-se uma soma com infinitos termos que só pode ser efetuada com o auxílio do Cálculo Integral. O torque total M sobre o corpo é a soma do torque total das forças internas com o torque total das forças externas. Mas o torque total das forças internas é nulo, pois estas forças aparecem como pares de forças opostas. Portanto, o torque total sobre o corpo é igual ao torque total das forças externas.
Exemplo 1 Duas partículas A e B, de massas mA 5 3,0 kg e mB 5 5,0 kg, estão nas extremidades de uma barra de massa desprezível cujo comprimento é 4,0 m. Vamos determinar o momento de inércia do sistema quando: a) ele gira em torno de um eixo E1, perpendicular à barra e passando pelo seu ponto médio (fig. 4); b) ele gira em torno de um eixo E2 , ortogonal à barra, como ilustra a figura 5. E2
E1
B
A
B Ilustrações: Setup
A
2,0 m
Figura 4.
2,0 m
0,5 m
4,0 m
Figura 5.
a) I 5 mArA2 1 mBrB2 5 (3,0 kg)(2,0 m)2 1 (5,0 kg)(2,0 m)2 5 12 kg ? m2 1 20 kg ? m2 ⇒ I 5 32 kg ? m2 b) I 5 mAr2A 1 mBr2B 5 (3,0 kg)(0,5 m)2 1 (5,0 kg)(4,5 m)2 5 0,75 kg ? m2 1 101,25 kg ? m2 ⇒ I 5 102 kg ? m2
3
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Ilustrações: Conceitograf
Complementos de teoria e leituras
O exemplo 1 ilustra dois fatos importantes. Em primeiro lugar, o momento de inércia de um sistema depende do eixo de rotação. Em segundo lugar, no caso b, vemos que a partícula próxima ao eixo contribui pouco para o momento de inércia total. A razão disso é que a distância (r) aparece elevada ao quadrado, enquanto a massa (m) está elevada à primeira potência. Na tabela a seguir apresentamos alguns momentos de inércia, obtidos por meio do Cálculo Integral.
casca cilíndrica fina
I 1 M(R12 R22) 2 casca cilíndrica grossa
I 1 MR2 2 cilindro maciço
I 1 MR2 1 ML2 12 4 cilindro maciço
I 1 ML2 12 cilindro maciço muito fino (R > 0)
I 5 1 ML2 3 cilindro maciço muito fino (R > 0)
I 5 2 MR2 3 casca esférica fina
I 5 2 MR2 5 esfera maciça
I 5 1 MR2 2 casca cilíndrica fina
I 5 MR2
Tabela 1. Alguns momentos de inércia.
Raio de giração Consideremos um corpo de massa M, girando em torno de um eixo E, com momento de inércia I. Imaginemos toda a massa do corpo concentrada em um ponto situado a uma distância k de E, de modo que essa “partícula imaginária” tenha o mesmo momento de inércia do corpo: I 5 Mk2 9 A distância k é chamada raio de giração do corpo em relação ao eixo E.
4
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 4
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
2 MR2 5 Mk2 ⇒ k 5 5
2 R 5
Energia cinética de rotação Consideremos uma partícula de massa m em movimento circular, sendo R o raio da trajetória. Se, num determinado instante, sua velocidade escalar é v, sua energia cinética é dada por: EC 5 1 mv2 2
SeTuP
Complementos de teoria e leituras
Por exemplo, consultando a tabela 1, observamos que o momento de inércia de uma esfera de raio R em relação a um eixo que passa por seu centro é: I 5 2 MR2 5 Portanto, o raio de giração (k) da esfera em relação a esse eixo é calculado por:
v
R
ω
Figura 6.
lembrando que a relação entre a velocidade escalar v e a velocidade angular ω é: v5ω?r a energia cinética pode ser calculada por: E C 1 m(ωR) 2 ⇒ E C 1 (mR 2)ω 2 2 2
10
Mas mr2 é o momento de inércia I da partícula. Portanto, a equação 10 transforma-se em: EC 1 Iω 2 2
11
Seguindo o mesmo raciocínio usado no cálculo do torque resultante, concluímos que a equação 11 vale também para um corpo extenso.
Exemplo 2
CONCeITOGraF
Vamos determinar a energia cinética de rotação de um cilindro maciço, de massa M 5 30 kg e raio da base R 5 0,10 m, que gira em torno de um eixo que passa pelos centros de suas bases, com velocidade angular ω 5 8,0 rad/s. Consultando a tabela 1, vemos que o momento de inércia do cilindro, para esse eixo, é: I 1 MR 2 1 (30 kg)(0,10 m) 2 ⇒ I 0,15 kg m 2 2 2 Assim: EC 1 Iω 2 1 (0,15 kg m 2 )(8,0 rad/s) 2 ⇒ EC 5 4,8 joules 2 2
5
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 5
Figura 7.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são ParTe INTeGraNTe da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Exercícios
por nós no capítulo 13, considerando a polia como tendo massa desprezível. Agora vamos analisar o sistema supondo que a polia seja um disco (cilindro) homogêneo, de raio R 5 0,10 m e massa M 5 4,0 kg. São dados: mA 5 12 kg; mB 5 6,0 kg; g 5 10 m/s2; hA 5 6 m. g
R
A
Ilustrações: Marco A. Sismotto
Complementos de teoria e leituras
1. Na figura a representamos um sistema já analisado
B
hA
hB= 1 m solo
Figura a.
Desprezando o atrito da polia com o eixo, admitindo que o fio seja ideal e supondo que o sistema tenha sido abandonado na posição da figura, determine: a) o módulo das acelerações dos blocos; b) o módulo da aceleração angular da polia; c) a velocidade de A ao atingir o solo. Resolução: Neste caso, pelo fato de a polia ter massa, as trações nos dois lados são diferentes (fig. b).
TB
TA TA A
TB B PB = mBg PA = mAg
a) 1.o modo: Apliquemos a Segunda Lei de Newton a cada bloco: bloco A: mA g 2 TA 5 mAα ⇒ ⇒ TA 5 mA g 2 mAα 1 bloco B: TB 2 mB g 5 mBα ⇒ TB 5 mB g 1 mBα 2 O torque total sobre a polia é: M 5 MA 2 MB 5 TAR 2 TBR 5 (TA 2 TB)R Assim: M Iγ ⇒ (TA TB)R 1 MR2 α ⇒ 2 R ⇒ TA TB 1 Mα 3 2
(
Substituindo 1 e 2 em 3 :
PA 5 mA ? g 5 (12 kg) ? (10 m/s2) 5 120 N PB 5 mB ? g 5 (6,0 kg) ? (10 m/s2) 5 60 N Consultando a tabela 1, vemos que o momento de inércia da polia é:
A relação entre a aceleração escalar α de cada bloco e a aceleração angular γ da polia é: γ5 α R
6
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 6
(mAg mAα) (mBg mBα) 1 Mα ⇒ 2 mA mB g 4 ⇒α mA mB M 2 Substituindo em 4 os valores dados, obtemos: 12 6 (10) ⇒ α 5 3,0 m/s2 α 12 6 4 2
2.o modo: Vamos aplicar a conservação da energia mecânica. Tomando como referencial de energia potencial o solo e observando que no início o sistema está em repouso, a energia mecânica inicial é: Ei 5 mAghA 1 mBghB 5 Quando o bloco A atingir o solo, sua altura será nula e a altura de B será hB 1 hA. Nesse instante, as energias cinéticas dos blocos serão: EC 5 1 mA v2; EC 5 1 mBv2 2 2 A B e a energia cinética de rotação da polia será:
Figura b.
I 1 MR2 1 (4,0 kg)(0,10 m)2 0,02 kg m2 2 2
)( )
(
)( )
EC 5 1 Iω2 5 1 1 MR2 v 2 2 2 R P
2
5 1 Mv2 4
Portanto, a energia mecânica final é: Ef mBg(hB hA ) 1 mA v2 1 mBv2 2 2 1 1 Mv2 6 4
Como Ei 5 Ef, de 5 e 6 obtemos:
mBghB 1 mBghA 1 1 mA v2 1 1 mBv2 1 2 2 1 Mv2 mAghA mBghB ⇒ 4
(m m ) g A B ⇒ v2 2 mA mB M 2
hA 7
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Por outro lado, de acordo com a equação de Torricelli, devemos ter: v2 5 2αhA 8 Comparando 7 com 8 , concluímos: mA mB
mA mB M 2
g
de massa 3 000 kg e raio da base R 5 4,0 m, está inicialmente em repouso. Num determinado instante, quatro foguetes idênticos são ligados, fazendo com que o satélite comece a girar, atingindo a velocidade angular ω 5 3,0 rad/s após 5,0 minutos. Qual a força desenvolvida por cada foguete?
3,0 m/s2 ⇒ γ 5 30 rad/s2 b) γ 5 α 5 R 0,10 m c) v2 5 2αhA 5 2(3,0 m/s2)(6,0 m) ⇒ v 5 6,0 m/s
2. O sistema esquematizado na figura é abandonado em
CONCeITOGraF
repouso. Despreze os atritos e suponha fio ideal. As massas de A, de B e da polia são, respectivamente, 4,0 kg, 5,0 kg e 2,0 kg. B
R
MarCO a. SISMOTTO
Complementos de teoria e leituras
α
4. Bem longe da Terra, um satélite artificial cilíndrico,
g
5. Uma força de intensidade F 5 12,0 N é aplicada
A
Sabendo que R 5 20 cm e g 5 10 m/s2, determine: a) o módulo da aceleração de cada bloco; b) a aceleração angular da polia; c) as trações no fio, no trecho ligado a A e no trecho ligado a B.
a uma corda de massa desprezível enrolada em uma polia de raio R 5 30,0 cm e massa 4,50 kg. A polia, que estava em repouso, acelera uniformemente, atingindo a velocidade angular 60,0 rad/s em 6,00 s.
3. Uma barra cilíndrica fina e homogênea, vinculada a
MarCO a. SISMOTTO
L
CONCeITOGraF
um eixo que passa por sua extremidade A, é abandonada na posição horizontal, como ilustra a figura. Sabe-se que L 5 2,0 m e g 5 10 m/s2. Desprezando atritos, determine a velocidade angular da barra quando passa pela posição vertical.
A
g
Sabendo que o atrito no eixo da polia ocasiona um torque resistivo de módulo 1,2 N ? m, determine: a) o momento de inércia da polia; b) o raio de giração da polia; c) a energia cinética rotacional da polia ao final dos 6,00 s.
7
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 7
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são ParTe INTeGraNTe da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Rolamento
vB
B
C
vC
vC
SeTuP
ω SeTuP
Complementos de teoria e leituras
No capítulo 11 estudamos a cinemática do movimento de rolamento. agora vamos analisar sua dinâmica, recordando inicialmente alguns fatos vistos. Na figura 8 representamos a seção transversal de um cilindro (ou esfera) de raio R que rola (sem deslizar) sobre uma superfície plana S.
R S
S A
FA
E
D A
vA 0
Figura 9.
Figura 8.
Vimos que a velocidade do ponto de contato (A) é nula, enquanto a velocidade do ponto B é o dobro da velocidade do centro de massa C: vB 5 2vC Vimos também que, sendo ω a velocidade angular do corpo que rola, temos: vC ω R
ou ω
vC R
12
ou γ
αC R
13
a partir da equação 12 , é possível demonstrar que: αC γ R
sendo: αC 5 aceleração escalar do centro de massa C γ 5 aceleração angular do corpo que rola Para que exista rolamento, é necessário que exista atrito entre o corpo que rola e a superfície S. Mas um fato importante é que, neste caso, a força de atrito (Fa) não realiza trabalho, pois não há deslocamento do ponto de aplicação dessa força. Outro modo de perceber isso é tomar dois pontos D e E muito próximos do ponto de contato A, como ilustra a figura 9. Observe que esses pontos têm deslocamentos perpendiculares à força de atrito Fa e, portanto, esta não realiza trabalho.
Exercícios 6. Um cilindro homogêneo de massa M e cujo raio da
CONCeITOGraF
base é R é abandonado em repouso sobre uma superfície plana S, que forma ângulo θ com a horizontal, como ilustra a figura a.
Figura a.
8
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 8
Supondo que o atrito seja suficiente para que o cilindro role sem deslizar e que o coeficiente de atrito estático seja μe, determine: a) o módulo da aceleração do centro de massa; b) o módulo da aceleração angular; c) a velocidade do centro de massa depois que este desceu uma distância vertical h; d) o valor máximo de θ de modo que o cilindro role sem deslizar. Resolução: Na figura indicamos a força de atrito f, o peso Mg, as componentes do peso nas direções x e y (Mg sen θ e Mg cos θ) e a força normal FN.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são ParTe INTeGraNTe da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Complementos de teoria e leituras
Consultando a tabela 1, vemos que o momento de inércia de um cilindro em relação a um eixo que passa pelos centros de suas bases é: I 5 1 MR2 2 O peso e a força normal Fn têm retas suportes que passam pelo centro de massa. Portanto, o torque resultante em relação ao centro de massa é o torque da força de atrito f. Representando por Tf esse torque, temos: Tf 5 f ? R a) 1.o modo: Sendo γ a aceleração angular do cilindro, temos: Tf Iγ ⇒ f R 1 MR2γ ⇒ γ 2f 2 MR Como a aceleração escalar (α) do centro de massa é dada por α 5 γR, temos: α 5 γ R 5 2f R 5 2f ⇒ f 5 αM MR M 2 Aplicando a Segunda Lei de Newton ao movimento de translação do cilindro, temos:
( )
Mg sen f Mα ⇒ Mg sen α M Mα ⇒ 2 2 ⇒ α (g sen ) 3 Como vimos no capítulo 13, se não houvesse atrito, o cilindro deslizaria com aceleração g ? sen θ. Observe que o valor de α não depende nem da massa nem do raio do cilindro. 2.o modo: Como a força de atrito não realiza trabalho, podemos aplicar a conservação da energia mecânica. Tomando o plano β (fig. b) como referencial de alturas, a energia potencial gravitacional do cilindro é Mgh no início e nula no final.
)( )
2
(
c) Tomemos a equação 2 obtida no item a:
4 gh ⇒ v 5 2 3 gh 3 3
v2 5 4 gh ⇒ v 5 3
(
θmáx 5 arc tg 3μe
v 0
θ
Figura b.
ω 0 C
g ω
h
C
C
B d
h θ
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 9
)
)(
2g sen θ ⇒ d) f R Iγ ⇒ f R 1 MR2 2 3R ⇒ f 13 Mg sen θ 5 Por outro lado: f μe ? FN ⇒ f μe ? Mg cos θ 6 De 5 e 6 : 1 3 Mg sen θ µe Mg cos θ ⇒ tg θ 3µe Portanto, o maior valor de θ tal que o cilindro role sem deslizar é:
C' v
Figura c.
)
donada no alto de um plano inclinado, como ilustra a figura.
9
(
Mgh 1 Mv2 1 1 MR2 v ⇒ 2 2 2 R ⇒ v2 5 4 gh 2 3 Da figura c tiramos: h 5 d ? sen θ Substituindo em 2 : v 2 4 g (d sen θ) ⇒ v 2 2 2 g sen θ d (3 ) 3 3 Mas, pela equação de Torricelli, devemos ter: v2 5 2 ? α ? d 4 Comparando 3 com 4 , tiramos: α 23 g sen θ γ α 2g sen θ R b) ⇒ γ 3R 2 α g sen θ 3
7. Uma esfera homogênea, de massa M e raio R, é aban-
Ilustrações: Setup
h
ω 0 v 0 R C
Mgh 1 Mv2 1 Iω2 1 (1) 2 2 1 2 Mas: I 5 MR e ω 5 v 2 R Substituindo em 1 :
C'
vC θ
Supondo que o atrito seja suficiente para que a esfera role sem deslizar, determine, em função de M, R, g, h e θ: a) o módulo da aceleração do centro de massa; b) o módulo da aceleração angular;
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
c) os módulos da velocidade do centro de massa e da velocidade angular quando a esfera passa pelo ponto B;
g
R B
abandonada no ponto mais alto de um cilindro de raio R fixo no solo, como ilustra a figura. v 0
g
R
θ
R
Setup
h
8. Uma bolinha maciça e homogênea, cujo raio é r, é
Supondo que a bolinha role sem deslizar, determine, em função de R, r, m e g: a) o valor mínimo de h de modo que a bolinha consiga fazer o loop sem perder o contato com a pista; b) o módulo da força normal exercida pela pista sobre a bolinha no ponto B, para o valor de h obtido no item a e supondo r ,, R.
10. Um corpo redondo homogêneo (que pode ser um
Setup
Complementos de teoria e leituras
d) o valor mínimo do coeficiente de atrito estático entre a esfera e o plano inclinado para que a esfera role sem deslizar.
v=0
Supondo que a bolinha role sem deslizar, determine o ângulo θ para o qual a bolinha perde o contato com o cilindro.
9. Uma bolinha de raio r e massa m é abandonada em uma pista inclinada que termina em forma circular de raio R.
anel, um cilindro maciço ou uma esfera) tem massa M, raio R e momento de inércia I. Esse corpo é abandonado no alto de um plano inclinado com atrito e rola sem escorregar. a) Determine a aceleração do centro de massa desse corpo em função de g, M, R, I e do ângulo θ de inclinação do plano. b) Se um anel fino, um cilindro maciço e uma esfera maciça forem abandonados simultaneamente no alto do plano inclinado, qual chegará ao solo em primeiro lugar?
Velocidade angular e torque vetoriais No estudo das rotações às vezes é interessante considerar a velocidade angular como um vetor que tem a mesma direção do eixo de rotação. Para mostrar como se obtém o sentido de , consideremos os exemplos da figura 10, em que uma bolinha tem trajetória circular num plano horizontal. Curvamos a mão direita de modo a acompanhar o sentido do movimento e o polegar dá o sentido de . O torque de uma força também pode ser considerado como uma grandeza vetorial. Sendo MF o torque de uma força F, sua direção é perpendicular ao plano determinado pela reta suporte da força e o polo (fig. 11). O sentido é obtido pela regra da mão direita, observando a tendência de rotação produzida pela força F.
m
m r
r
eixo de rotação
eixo de rotação
(a)
Figura 10.
10
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 10
(b)
ilustrações: Alex Argozino
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Setup
MF polo F
F
Complementos de teoria e leituras
polo MF
Figura 11.
Momento angular No estudo do movimento de translação estudamos uma importante grandeza, que é a quantidade de movimento ou momento linear (Q). Para uma partícula de massa m e velocidade v, vimos que o momento linear é dado por: Q 5 mv 14 No estudo das rotações usa-se uma grandeza análoga, denominada momento angular (L ). Consideremos um corpo girando em torno de um eixo com velocidade angular . Sendo I o momento de inércia do corpo em relação a esse eixo, o momento angular do corpo é definido por: L 5 I ? 15 Como o momento de inércia é uma grandeza escalar positiva, da equação 15 concluímos que os vetores L e devem ter a mesma direção e o mesmo sentido. Vimos que F 5 m ? a é uma forma simplificada da Segunda Lei de Newton. Na realidade, Newton enunciou sua segunda lei na forma: 16 F 5 ∆Q (16) ∆t Sendo M o torque total de todas as forças que atuam num corpo, é possível demonstrar que há, para a rotação, uma equação análoga à equação 16 : M 5 ∆L (17) 17 ∆t
sendo L o momento angular do corpo. Como a soma dos torques das forças internas é igual a zero, o momento total M que aparece na equação 17 é igual à soma dos torques das forças externas.
Princípio da Conservação do Momento Angular Observando a equação 17 , percebemos que, se M for nulo, teremos ∆L 5 0 , o que significa que L 5 constante. ∆t Obtemos assim o Princípio da Conservação do Momento Angular:
Lettera Studio
Se a soma dos torques das forças externas que atuam em um corpo for nula, o momento angular do corpo é constante.
(a)
(b)
Figura 12.
11
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 11
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Vejamos alguns exemplos. Na figura 12 representamos uma patinadora sobre o gelo. Na figura 12a ela está girando, com os braços abertos e com velocidade angular ωa. Seu momento angular é: L 5 Ia ωa
L 5 Ia ωa 5 Ib ωb Embora o momento angular da patinadora fique constante, sua energia cinética de rotação aumenta ao encolher os braços, pois o trabalho muscular interno transforma-se em energia cinética, isto é, temos transformação de energia química em energia cinética.
Ilustrações: Lettera Studio
Complementos de teoria e leituras
sendo Ia seu momento de inércia. Ao fechar os braços, algumas partículas de seus braços se aproximam do eixo de rotação e, assim, seu momento de inércia passa para um valor Ib tal que Ib , Ia. Consequentemente, sua velocidade angular aumenta para um valor ωb, pois seu momento angular deve permanecer constante, já que não há torque externo.
Figura 13.
Uma situação semelhante está representada na figura 13. A única força externa (desprezando o atrito) que atua na saltadora é seu peso P, que está aplicado em seu centro de gravidade. Portanto, o torque de P em relação ao centro de gravidade é nulo, o que acarreta a conservação do momento angular. Quando ela encolhe seu corpo, há uma diminuição do momento de inércia e um aumento da velocidade angular. Na figura 14 ilustramos outra situação interessante. Na situação inicial da figura 14a a moça está sentada numa cadeira giratória que está em repouso. Porém, ela está segurando um eixo em torno do qual gira uma roda de bicicleta com momento angular LR. Como a moça está em repouso, o momento angular total do sistema na situação inicial é igual ao momento angular da roda: Li 5 LR LM
LR 5 Li
rotação
LM
2 LR Lf 5 Li
2LR repouso rotação
Figura 14.
(a)
(b)
Repentinamente, a moça inverte o eixo de rotação (fig. 14b), de modo que agora o momento angular da roda é 2LR, com sentido para baixo. Portanto, para manter constante a quantidade de movimento do sistema, a moça começa a girar no sentido oposto ao da roda, de modo que o momento angular da moça é LM e o momento angular final do sistema é Lf 5 LM 1 (2LR), sendo Li 5 Lf.
12
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 12
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Conceitograf
Complementos de teoria e leituras
Algo semelhante acontece (ou poderia acontecer) com um helicóptero inicialmente em repouso, com os motores desligados; nessas condições seu momento angular total é nulo. Suponhamos que num determinado instante suas pás A, B e C (fig. 15) comecem a girar no sentido anti-horário. Como isso ocorre por efeito de forças internas, o momento angular total deve permanecer constante, isto é, deve continuar a ser nulo e, para que isso ocorra, o helicóptero deveria começar a girar no sentido oposto (horário). Para evitar esse desastre é que existem as hélices H na traseira.
Figura 15.
Exercícios 11. Determine os módulos dos momentos angulares de: a) uma partícula de massa m movendo-se em trajetória circular de raio R com velocidade escalar v; b) uma esfera maciça e homogênea, de raio R 5 10 cm e massa M 5 20 kg, girando em torno de um eixo que passa por seu centro, com velocidade angular ω 5 25 rad/s.
R
Setup
Resolução: v a)
O momento de inércia da partícula é I 5 mR2. Portanto: L 5 Iω 5 (mR2) v ⇒ L 5 mRv R b)
( )
Setup
ω
Para uma esfera maciça e homogênea, o momento de inércia é I 5 2 MR2. Portanto: 5 L 5 Iω 5 2 MR2ω 5 2 (20 kg)(0,10 m)2(25 rad/s) 5 5 L 5 2,0 kg ? m2/s
12. (UF-RN) Em revista de circulação nacional, uma reportagem destacou a reação da natureza às agressões realizadas pelo homem ao meio ambiente. Uma das possíveis consequências citadas na reportagem seria o derretimento das geleiras dos polos, o que provocaria uma elevação no nível do mar. Devido ao movimento de rotação da Terra, esse efeito seria especialmente sentido na região do equador, causando inundações nas cidades litorâneas que hoje estão ao nível do mar. Levando-se em conta apenas esse efeito de redistribuição da água devido ao degelo, podemos afirmar que: a) o momento de inércia da Terra, em relação ao seu eixo de rotação, aumentará. b) a velocidade angular da Terra, em relação ao seu eixo de rotação, aumentará. c) o período de rotação da Terra, duração do dia e da noite, diminuirá. d) o momento angular da Terra, em relação ao seu centro de massa, diminuirá.
13. Uma plataforma circular e homogênea, de massa M 5 400 kg e raio R 5 2,0 m, gira sem atrito em torno de um eixo que passa por seu centro com velocidade angular constante ω0 5 1,5 rad/s. Na beirada da plataforma há uma pessoa de massa m 5 80 kg,
13
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 13
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
r1 m
v1
R
F
Calcule: a) a velocidade angular (ω) final do sistema; b) a energia cinética inicial do sistema; c) a energia cinética final do sistema.
Calcule: a) a velocidade escalar final da partícula; b) a energia cinética inicial da partícula; c) a energia cinética final da partícula; d) o trabalho realizado pela pessoa.
17. Um disco, cujo momento de inércia é I1 5 70 kg ? m2/s,
gira sem atrito em torno de um eixo vertical, com velocidade angular ω0 5 4,0 rad/s. Outro disco, cujo momento de inércia é I2 5 30 kg ? m2/s e que inicialmente não estava girando, cai sobre o primeiro disco. Supondo que haja atrito entre os discos, depois de algum tempo ambos estarão girando com a mesma velocidade angular ω.
14. Na situação do exercício anterior, a energia cinética
do sistema aumentou. De onde veio a energia cinética adicional?
15. Um jovem de massa 50 kg está inicialmente em repouso na beirada de uma plataforma circular, semelhante à do exercício 13, que também está inicialmente em repouso. A plataforma tem massa 250 kg, raio 2,0 m e pode girar sem atrito em torno de um eixo vertical que passa por seu centro. Num determinado instante, o jovem começa a caminhar pela beirada da plataforma, no sentido antihorário (para quem olha de cima), com velocidade escalar 2,0 m/s em relação ao solo. a) Qual o sentido da rotação adquirida pela plataforma? b) Qual a velocidade angular adquirida pela plataforma? c) Qual o trabalho realizado pelo jovem para colocar o sistema em movimento?
16. Uma partícula de massa m 5 0,20 kg, presa à extre-
midade de um fio ideal, tem movimento circular uniforme, de raio r1 5 0,80 m e velocidade escalar v1 5 2,4 m/s, sobre uma mesa sem atrito. A partir de certo instante, uma pessoa passa a puxar o fio verticalmente, como mostra a figura, até que o raio da trajetória se reduza para r2 5 0,48 m.
14
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 14
I2
0 I1
alex arGOzINO
C
leTTera STuDIO
Complementos de teoria e leituras
m
M
alex arGOzINO
parada em relação à plataforma. Num determinado instante, a pessoa começa a caminhar em direção ao centro C da plataforma, parando a 50 cm deste.
Calcule: a) o módulo de ω; b) a energia cinética inicial do sistema; c) a energia cinética final do sistema.
18. Na situação do exercício anterior houve diminuição de energia cinética. Por quê?
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são ParTe INTeGraNTe da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
1. Elipse Uma elipse é uma linha fechada e plana (toda contida em um único plano) que tem o aspecto da figura 1 e a seguinte propriedade: sendo P um ponto qualquer da elipse, tem-se: PF1 1 PF2 5 constante 5 A1A2
a
A1
F1
F2
A1
A2
a
b
b
F1
F2
A2
C c
c b
P
a
Figura 1.
B2
Ilustrações: Setup
Complementos de teoria e leituras
B1 S
R
a
Figura 2.
Assim, na figura 1 temos, por exemplo: PF1 1 PF2 5 RF1 1 RF2 5 SF1 1 SF2 5 constante 5 A1A2 Na figura 2 apresentamos os elementos da elipse: • F1 e F2 são focos da elipse;
• C é o centro da elipse;
• F1F2 é a distância focal, igual a 2c;
• CA2 (ou CA1) é o semieixo maior (que mede a);
• A1A2 é o eixo maior, que mede 2a;
• CB1 (ou CB2) é o semieixo menor (que mede b).
• B1B2 é o eixo menor, que mede 2b; Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo sombreado na figura 2, temos: a2 5 b2 1 c2 A excentricidade de uma elipse é um número e definido por: e c a sendo 0 , e , 1. Para perceber o significado de excentricidade, observe a figura 3, na qual há duas elipses cujos eixos maiores têm a mesma medida mas distâncias focais diferentes. Na elipse superior a excentricidade é: e1 4 0,8 5 e na elipse inferior a excentricidade é: e2 2 0,4 5 isto é, e2 , e1. Quanto menor a excentricidade, mais a elipse se aproxima de uma circunferência. Por isso alguns autores definem a circunferência como uma elipse de excentricidade nula (os focos F1 e F2 são coincidentes). Quanto maior a excentricidade, mais afilada é a elipse.
e1 4 0,8 5
3
F1 4
F2 4 e2 2 0,4 5
21 4,6 F2
F1 2
2
5
Figura 3.
1
Volume 1 Capítulo 24
FC1_CD_C24_Texto.indd 1
5
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
Há um modo prático de desenhar uma elipse: • sobre uma folha de papel fixamos dois alfinetes em pontos F1 e F2 (que são os focos), de modo que F1F2 seja a distância focal desejada (figura 4);
P
F1
F2
Alex Argozino
• apoiando a ponta de um lápis na linha, de modo que ela fique esticada, e movimentando o lápis, conseguimos desenhar a elipse.
Figura 4.
2. O experimento de Cavendish O valor de G foi determinado experimentalmente pela primeira vez em 1798, pelo inglês Henry Cavendish. Na figura 5 temos um esquema simplificado do dispositivo por ele usado. Duas bolas de massa m estão unidas por uma barra de massa desprezível, a qual está suspensa por uma fibra de quartzo. Um pequeno espelho está preso na barra. Uma lâmpada emite um feixe de luz que se reflete no espelho e atinge uma tela distante. Aproximando duas bolas de grandes massas iguais a M, as forças de atração entre as bolas provocarão uma pequena rotação θ da barra, a qual pode ser medida pelo deslocamento do ponto de luz na tela.
F
M
Conceitograf
F m
θ
posição de equilíbrio
Conceitograf
Complementos de teoria e leituras
• amarramos aos alfinetes uma linha cujo comprimento seja igual ao comprimento do eixo maior desejado;
m F M
Figura 5.
F
d
Figura 6.
Cavendish usou um conhecido resultado experimental sobre a torção de fios (fig. 6): o torque total (MB) atuante na barra é proporcional à rotação θ produzida: MB 5 k ? θ
1
sendo a constante k uma característica de cada fio. Se o comprimento da barra for L, temos: MB 5 FL 2 De 2 e 1 obtemos: F kθ (3) 3 L Mas, de acordo com a Lei da Gravitação de Newton, temos: (4) 4 F G Mm d2
2
Volume 1 Capítulo 24
FC1_CD_C24_Texto.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
De 4 , tiramos: 2 G kd θ MmL
3. Aceleração da gravidade no interior da Terra Campo gravitacional de uma casca esférica Consideremos uma casca esférica muito fina (figura 7a) cujo raio é R e cuja massa M está distribuída de modo uniforme. Usando o Cálculo Integral, Newton demonstrou que o campo gravitacional g produzido por essa casca tem as seguintes características: R
M
g GM d2
g 0
Ilustrações: Setup
Complementos de teoria e leituras
Desse modo, Cavendish obteve o valor de G.
C
(a)
(b)
R d
Figura 7. a 1.) Em pontos externos à casca, o campo é igual ao que seria produzido por uma partícula de massa M situada no centro C da casca (fig. 7b): g GM d2 a 2.) Em qualquer ponto interno o campo é nulo.
Campo gravitacional de uma esfera homogênea
M g GM d2
Consideremos agora um corpo esférico, maciço e homogêneo, cujo raio é R e cuja massa é M. Esse corpo pode ser imaginado como a superposição de um número infinito de cascas esféricas, como se fossem as camadas de uma cebola. Assim, o campo gravitacional no ponto B, situado a uma distância d do centro C, tal que d R (fig. 8), . tem intensidade dada por g GM d2
B
R
d
Figura 8.
Calculemos, agora, a intensidade do campo gravitacional num ponto P, interno à esfera, situado a uma distância r do centro C (fig. 9). O ponto P é interno à região azul assinalada na figura e, portanto, o campo gravitacional produzido em P pela região azul é nulo. Assim, o campo em P é o campo produzido pela região verde, isto é, pela esfera de raio r:
G
g
P
r R
Figura 9.
3
Volume 1 Capítulo 24
FC1_CD_C24_Texto.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
(1) 1 gP Gm r2
3 2 m ρ V ρ 4πr (2) 3
Substituindo 2 em 1 , obtemos: g
GM R2
A
0
R
r
Setup
Complementos de teoria e leituras
sendo m a massa da região verde, cujo volume é V 4 πr 3. Sendo ρ a densidade da esfera, temos: 3
Figura 10. 3 4πGρ gP G2 m G2 ρ 4πr ⇒ gP r (3) 3 3 3 r r constante
A equação 3 é do primeiro grau. Portanto, o gráfico de g em função de r, para r R, é o trecho retilíneo OA do gráfico apresentado na figura 10.
4. Efeito estilingue Conceitograf
Consideremos uma nave espacial contornando o planeta Vênus (fig. 11).
Figura 11.
Quando a nave está distante do planeta, a atração deste sobre ela é pequena, e quando a nave se afasta, a força vai diminuindo novamente. Podemos, então, tratar a interação entre a nave e o planeta como uma colisão elástica, pois há conservação da energia. Para facilitar os cálculos, vamos supor que a trajetória seja a da figura 12. A velocidade de Vênus em relação ao Sol é aproximadamente vV 5 35 km/s. Suponhamos que a velocidade da nave quando está longe de Vênus seja v1 5 15 km/s. Na figura, as velocidades já estão com sinais em relação ao eixo adotado. A velocidade da nave quando estiver se afastando de Vênus e distante dele será v2. Como a massa de Vênus é muito maior que a velocidade da nave, podemos supor que a velocidade do planeta não se altera durante a “colisão”. Como a colisão é elástica, o coeficiente de restituição é igual a 1:
4
Volume 1 Capítulo 24
FC1_CD_C24_Texto.indd 4
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
IlUStRAçõeS: lUIz FeRNANDO RUBIO
v1 = –15 km/s
Complementos de teoria e leituras
vV = 35 km/s
v2 = ? eixo
Figura 12.
e
vV v2 35 v2 35 v2 1 ⇒ v2 85 km/s vV v1 35 15 35 ( 15)
Podemos ver que, sem necessidade de combustível, a velocidade da nave foi aumentada de 15 km/s para 85 km/s! esse efeito é chamado efeito estilingue. Contornando vários planetas em sua trajetória, uma nave pode atingir velocidades que não alcançaria somente pela impulsão de foguetes (seria necessária uma enorme quantidade de combustível).
5. As marés No capítulo 22 vimos que a lua não gira exatamente em torno da terra; tanto a lua como a terra giram em torno do centro de massa (CM) do sistema terra 1 lua, como ilustra a figura 13. Nessa figura, enquanto a lua vai da posição L para a posição L', o centro da terra vai da posição C para a posição C'. A trajetória do centro da terra é a circunferência vermelha, de centro CM. L'
centro C
acf Terra
acf Lua
CM
acf
L
C
acf acf
acf
acf acf
C'
Figura 14. Figura 13.
Para um referencial fixo na terra, todos os pontos da terra terão uma aceleração centrífuga de mesmo módulo da centrípeta, como indica a figura 14. Para calcular essa aceleração, vamos usar a lei da Gravitação: MT acf
GM T ML GML ⇒ acf r2 r2
Como r 60R (fig. 15), temos: acf
GML (60R) 2
1
Portanto, para um observador fixo na terra, cada molécula de água de massa m experimentará uma força centrífuga (fig. 16) dada por: Fcf m a c
5
Volume 1 Capítulo 24
FC1_CD_C24_Texto.indd 5
GML m (60R) 2
2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARte INteGRANte da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
MT B
C
ML
CM
A
Complementos de teoria e leituras
r – R = 59R r = 60R
IlUStRAçõeS: lUIz FeRNANDO RUBIO
R
r + R = 61R
Figura 15. Fcf FB
Fcf
P
FP FA
Fcf
B
A Fcf Q
FQ
Figura 16.
Além da força centrífuga, cada molécula sofrerá uma atração gravitacional da lua. Vamos calcular as atrações FA e FB, da figura 16: FA
GML m (59R) 2
e
GML m (61R) 2
FB
Sabendo que a massa da lua é Ml 5 7,36 · 1022 kg, o raio da terra é R 5 6,38 · 106 m e G 5 6,67 · 1011 no SI, temos: FA
22 11 GML m (6,67 10 )(7,36 6102 ) m 346 10 7 m (59R) 2 [(59)(6,38 10 )]
Fcf
22 11 GML m (6,67 10 )(7,36 6102 ) m 335 10 7 m 2 (60R) [(60)(6,38 10 )]
FB
22 11 GML m (6,67 10 )(7,36 6102 ) m 324 10 7 m (61R) 2 [(61)(6,38 10 )]
Desse modo, as forças resultantes em A e B (fig. 17) são: F'A 5 FA Fcf 11 ? 107 ? m F'B 5 Fcf FB 11 ? 107 ? m Coincidentemente, F'A e F'B têm quase o mesmo módulo, produzindo duas marés altas em A e B. Observe que a diferença FA FB, no caso da lua, é 22 · 107m. Se você fizer os cálculos da diferença FA FB para o caso do Sol no lugar da lua, levando em conta que a distância entre a terra e o Sol é 23 400R, observará que o resultado será aproximadamente 9 · 107m, isto é, cerca de 2,3 vezes menor que no caso da lua. P
F'P F'A
F'B B
A
Q
F'Q
Figura 17.
6
Volume 1 Capítulo 24
FC1_CD_C24_Texto.indd 6
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARte INteGRANte da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
A pressão atmosférica atua em todos os objetos próximos da superfície da Terra e, como vimos, a pressão ao nível do mar é: 1 atm 1 kgf/cm2 Assim, o nosso corpo suporta uma força de aproximadamente 1 kgf para cada cm2. Como suportamos isso? Acontece que nossas células têm uma pressão interna que equilibra essa pressão externa do ar. A situação é parecida com a de uma bexiga cheia de ar: a pressão do ar interno compensa a pressão externa. É análoga também à situação de uma residência, por exemplo, que tenha uma janela de vidro de área A 5 1 m2. Supondo a pressão atmosférica igual a 1 atm, isto é, p 105 N/m2, a força que o ar externo faz sobre o vidro é igual a 105 N, o que equivale ao peso de um objeto de massa 10 toneladas. Por que o vidro não quebra? A resposta é que dentro da casa também há ar, com a mesma pressão, de modo que há equilíbrio (fig. 2).
ar
Alex Argozino
Complementos de teoria e leituras
1. Alguns fatos relacionados com a pressão atmosférica
Porém, como veremos no capítulo 27, os ventos podem diminuir a pressão externa; assim, se o vento for muito “forte”, a pressão externa fica muito menor que a interna e o vidro pode quebrar. É o que ocorre com frequência por ocasião dos tornados, tão comuns no hemisfério norte. ar externo
ar interno
p 1 atm
p 1 atm
Figura 1.
A 1 m2
Figura 2.
Você pode verificar facilmente o efeito descrito acima fazendo o experimento a seguir:
Experimento Pegue uma garrafa de plástico vazia e sem tampa (fig. a). A pressão do ar externo é equilibrada pela pressão do ar interno, e a garrafa não se deforma. Se você jogar uma pequena quantidade de água quente dentro da garrafa, o ar interno vai se aquecer e dilatar, de modo que um pouco de ar sairá da garrafa.
Figura a. Garrafa de plástico vazia e sem tampa.
1
Volume 1 Capítulo 25
FC1_CD_C25_Texto.indd 1
Figura b. Garrafa de plástico deformada com pressão externa maior que a interna.
Fotos: Eduardo Santaliestra
A seguir, tampe a garrafa e coloque-a dentro de um recipiente com água muito fria (ponha alguns cubos de gelo). O ar interno, ao esfriar, vai se contrair, diminuindo a pressão interna. A pressão externa, então, ficará maior que a interna, e a garrafa será “amassada” (fig. b).
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
Um experimento que ficou famoso foi realizado em 1654 pelo alemão Otto von Guericke. Otto havia inventado uma bomba capaz de retirar o ar de dentro dos recipientes (bomba de vácuo). Ele construiu então duas cascas semiesféricas, de bronze, cada uma com diâmetro de 55 cm. Essas semiesferas foram encostadas uma na outra e a seguir, por um orifício, sua bomba retirou quase todo o ar de dentro do conjunto. Desse modo, a pressão atmosférica externa comprimiu as duas semiesferas com uma força tão intensa que dois conjuntos de oito cavalos só conseguiram separá-las depois de muito esforço. Esse experimento ficou conhecido na história da Ciência como “os hemisférios de Magdeburg”, porque Guericke era prefeito dessa cidade.
The Granger CoLLection/Other Images
Complementos de teoria e leituras
Os hemisférios de Magdeburg
Figura 3. Ilustração de 1672 feita por Otto von Guericke, mostrando seu experimento.
Os conta-gotas e a seringa
(pressão) ? (volume) 5 constante
Alex Argozino
No volume 2, no estudo da Termologia, veremos que, quando a temperatura se mantém constante, há a seguinte relação entre a pressão e o volume ocupado por uma certa massa de gás (Lei de Boyle): ar
Isso significa que: • quando o volume aumenta, a pressão diminui; • quando o volume diminui, a pressão aumenta. Essa constatação nos ajuda a compreender o funcionamento de Figura 4. um conta-gotas (fig. 4). Quando apertamos a “borrachinha” do conta-gotas, expulsamos um pouco do ar contido no tubinho. A seguir, mergulhamos sua extremidade no líquido e soltamos a borrachinha. Ao fazer isso, aumentamos o volume do ar no interior do conta-gotas, o que provoca (de acordo com a Lei de Boyle) a diminuição de sua pressão, a qual fica menor que a pressão do ar externo. Assim, a pressão externa “empurra” o líquido para dentro do conta-gotas.
2
Volume 1 Capítulo 25
FC1_CD_C25_Texto.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
ar
Figura 5.
Aspiradores No estudo dos gases, veremos que a pressão depende também do número de moléculas do gás. Desse modo, mantendo constante a temperatura e o volume, quanto menor for o número de moléculas, menor será a pressão. Nos aspiradores usados na limpeza doméstica (fig. 6) há um ventilador que “empurra” o ar interno para a parte de “trás”do aspirador. Com isso, ele diminui o número de moléculas do ar interno, provocando uma redução na pressão, que fica, então, menor que a pressão do ar externo. Desse modo, a pressão atmosférica “empurra”o ar para dentro do aparelho.
Conceitograf
Complementos de teoria e leituras
Alex Argozino
Do mesmo modo, podemos entender o que acontece com o líquido na seringa (fig. 5).
Figura 6.
Eduardo Santaliestra
Sifão Você já deve ter visto uma cena como a mostrada na figura 7, em que se retira combustível do tanque de um automóvel. Primeiramente, o motorista aspira pela borracha (como um canudinho de tomar refrigerante) até o combustível chegar à sua boca. Em seguida, tapa a extremidade com o dedo, levando-a a uma posição abaixo do nível do líquido. Assim, o combustível vai passando do tanque para o recipiente externo. Este é um procedimento bastante comum, mas deve ser realizado somente por adultos. Para entender isso, observemos a figura 8. Os pontos A e B, estando no mesmo nível, têm a mesma pressão, que é a pressão atmosférica. Assim, a pressão no ponto C do líquido será dada por: pC pB dgh patm dgh ↓
patm
3
Volume 1 Capítulo 25
FC1_CD_C25_Texto.indd 3
Figura 7. Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
B
Complementos de teoria e leituras
A
h
Ilustrações: Alex Argozino
patm
C
patm
Figura 8.
Portanto, na extremidade C do tubo, a pressão do líquido é maior que a pressão atmosférica. Desse modo, o líquido sai pela extremidade inferior, esvaziando o recipiente.
2. Pressão sanguínea O coração é um músculo que se contrai e se dilata periodicamente. Durante a contração (sístole), o sangue é “empurrado” para as artérias. Depois de circular pelo corpo, o sangue retorna pelas veias ao coração, nele penetrando durante a dilatação (diástole). Em condições normais, ao sair do coração e entrar nas artérias, o sangue tem uma sobrepressão de aproximadamente 120 mmHg na sístole e 80 mmHg na diástole, dando uma média de 100 mmHg de sobrepressão (isto é, acima da pressão atmosférica). No século XVIII, quando começaram as primeiras pesquisas sobre a pressão sanguínea, foi feito o experimento mostrado na figura 9. Uma agulha foi introduzida na artéria que passa pelo braço, no mesmo nível do coração. Essa agulha foi ligada a um fino tubo de vidro (cânula) e, assim, mediu-se a altura hS da coluna de sangue, obtendo-se aproximadamente 130 cm. Sabendo que a densidade do mercúrio é dM 5 13,6 g/cm3 e a densidade do sangue é dS 5 1,055 g/cm3, podemos calcular a altura equivalente de mercúrio (hM): dM hM dS hS ⇒ hM
artéria hS
Figura 9.
dS h S 1,055 (130 cm) 10cm 5 100 mm 13,6 dM hM > 100 mmHg
Esse experimento é chamado de canulação. Nas veias, a pressão é bem mais baixa. Quando o sangue retorna ao coração, chega com uma sobrepressão média praticamente nula, isto é, uma pressão absoluta média igual à pressão atmosférica. Quando fazemos canulação na artéria em outros pontos do corpo, o resultado depende da posição da pessoa. Se ela estiver deitada (fig. 10), em qualquer ponto a sobrepressão (média) será praticamente a mesma: 130 cm de sangue (ou 100 mmHg). Mas, se ela estiver de pé (fig. 11), devemos levar em conta a Lei de Stevin. Na situação da figura 11, temos as alturas das colunas de sangue: hC 5 120 cm e h 5 40 cm.
4
Volume 1 Capítulo 25
FC1_CD_C25_Texto.indd 4
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
Por isso, quando uma pessoa que estava deitada se levanta muito depressa, provoca rápida diminuição da pressão arterial no cérebro, o que pode causar momentânea diminuição do fluxo sanguíneo do cérebro (até que o organismo se adapte à nova situação); desse modo, ela pode sentir uma pequena tontura. Consideremos novamente a situação da figura 11. Sendo pCO a sobrepressão arterial no coração e pCE a sobrepressão arterial no cérebro, de acordo com a Lei de Stevin, temos: em que dS é a densidade do sangue.
130
250
130
90
130
h
130 HC
Alex Argozino
hC Alex Argozino
Complementos de teoria e leituras
pCO 5 pCE 1 dSgh ou pCE 5 pCO 2 dSgh
P
Figura 10. Sobrepressão deitado.
Figura 11. Sobrepressão em pé.
Quando uma pessoa em posição vertical tem aceleração a para cima (fig. 12), ela sente uma aceleração da gravidade g, cujo módulo é: g' 5 g 1 a Desse modo, poderemos chegar a uma situação em que: pCE 5 pCO 2 dSg'h 5 0
Lettera Studio
Assim, haverá uma falta de fluxo sanguíneo no cérebro, e a pessoa poderá desmaiar.
a
g
g
Figura 12.
5
Volume 1 Capítulo 25
FC1_CD_C25_Texto.indd 5
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
Para medir a pressão arterial, os médicos usam um esfigmomanômetro (do grego sphygmos, que significa “palpitação”, “pulsação”). esse aparelho é formado por uma bolsa que pode encher-se de ar por meio de uma pequena bomba de borracha. o médico enrola a bolsa no braço do paciente, na altura do coração. em seguida, ele vai bombeando ar até que a compressão da bolsa impeça a passagem do sangue pela artéria. Com um estetoscópio, ele poderá ouvir o ruído do sangue quando volta a fluir. o médico vai, então, vagarosamente, soltando o ar da bolsa. Quando a pressão da bolsa (que é lida no manômetro) se torna ligeiramente menor que a pressão sistólica (máxima), o sangue consegue passar de modo turbulento durante as sístoles, mas não durante as diástoles. isso produz um ruído periódico que pode ser ouvido pelo estetoscópio. o médico continua, então, a soltar o ar. Quando a pressão na bolsa fica igual à pressão diastólica (mínima), a artéria fica aberta durante todo o ciclo do coração, e, embora haja um ruído, ele agora não é periódico, mas contínuo. Para adultos saudáveis (e que não estejam fazendo esforço), a sobrepressão máxima está em torno de 120 mmhg e a mínima em torno de 80 mmhg, Figura 13. Médica verifica a pressão que as pessoas falam, simplificadamente, “12 por 8”. Nesse caso, é usada a arterial do paciente. unidade centímetro de mercúrio.
6
Volume 1 Capítulo 25
FC1_CD_C25_Texto.indd 6
ThiNKSToCK/geTTY iMAgeS
Complementos de teoria e leituras
Medida da pressão sanguínea com esfigmomanômetro
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são PArTe iNTegrANTe da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
CAPÍTULO 2 – Introdução à Mecânica
1. (Fund. Carlos Chagas-SP) Um trem todo construído de acrílico transparente passa por uma estação ferroviária com velocidade constante. Um dos vagões está ocupado por um cientista que faz experimentos de queda livre com uma bolinha. Essas experiências consistem em deixar a bolinha cair e medir, a intervalos de tempo bem precisos, a posição da bolinha com relação ao piso do trem. Na estação, um outro cientista observava a atuação de seu colega. As figuras que melhor indicam a trajetória da bolinha, como foi observada pelos dois cientistas, no trem e na estação, respectivamente, são: a)
2. (U. F. ABC-SP) Era 6 de agosto de 1945, 8 h 15 min da
manhã, no Japão, quando o Enola Gay, um bombardeiro B-29 norte-americano, lançou, contra a cidade de Hiroshima, o primeiro ataque atômico da história da humanidade, despejando sobre a cidade uma bomba atômica de 4 500 kg. A cidade foi arrasada, e 70 mil pessoas morreram nos primeiros segundos após a explosão. Até hoje, o número de mortos decorrentes dessa operação está sendo contabilizado, e já ultrapassou 250 mil. Lançada a bomba, a tripulação do B-29 assume tática evasiva, que permite seu retorno à base. Supondo-se que a tripulação não realizasse a manobra evasiva e mantivesse o voo em trajetória reta e horizontal com velocidade constante e, levando-se em conta a resistência do ar sobre o artefato nuclear, bem como o fato de que essa bomba não possuía sistema próprio de propulsão, a situação que melhor descreve a trajetória da bomba entre os instantes t0 (lançamento) e t (momento da explosão), relativamente ao solo, é:
trem
estação
t
t0
t
t0
t
t0
ILUSTRAÇÕES: LUIZ FERNANDO RUBIO
a)
b)
Exercícios complementares
t
b) trem
estação
c)
t
c)
trem
estação
t
d) d) t
t0
t trem
estação
e)
e)
t
trem
1
Volume 1 Capítulo 2
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_02.indd 1
estação
t0
t
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:53 PM
3. No interior de um trem, em movimento retilíneo e
b)
movimento
c)
movimento
movimento
d)
movimento
Exercícios complementares
a)
LUIZ FERNANDO RUBIO
uniforme, sem janelas (não se pode ver o exterior), um estudante de Física pretendia descobrir o sentido de movimento do trem quando este já estava em movimento há algum tempo. Lembrou-se do pêndulo. Com uma borracha amarrada ao cadarço do tênis, improvisou um pêndulo. Amarrou-o no teto e obteve qual dos resultados abaixo?
2
Volume 1 Capítulo 2
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_02.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:53 PM
CAPÍTULO 3 – Velocidade escalar
Qual o intervalo de tempo entre os dois encontros dos carrinhos?
1. (Fuvest-SP) Um marinheiro, no topo de um mastro
a) 5 s
vertical, abandona uma luneta que está inicialmente a uma distância L do mastro e a uma altura H da base do mastro no convés. Sabe-se que o navio se move com velocidade V0 constante relativamente à costa e que a resistência do ar é desprezível. A distância entre a base do mastro e a luneta, no momento em que esta chega ao convés, é: (Nota: g é o módulo da aceleração da gravidade.) L2
a)
2HV02 c) L V0 2H e) L g g
b) V0 2H d) V0 2H L g g
2. (UF-PE) Um terremoto normalmente dá origem a dois tipos de ondas, s e p, que se propagam pelo solo com velocidades distintas. No gráfico abaixo, está representada a variação no tempo da distância percorrida pelas ondas a partir do epicentro do terremoto. x (km)
Exercícios complementares
2500
d) 40 s e) Indeterminado.
4. (U. F. São Carlos-SP) Três amigos, Antônio, Bernardo e Carlos, saíram de suas casas para se encontrar numa lanchonete. Antônio realizou metade do percurso com velocidade escalar média de 4 km/h e a outra metade com velocidade escalar média de 6 km/h. Bernardo percorreu o trajeto com velocidade escalar média de 4 km/h durante metade do tempo que levou para chegar à lanchonete e a outra metade do tempo fez com velocidade escalar média de 6 km/h. Carlos fez todo o percurso com velocidade escalar média de 5 km/h. Sabendo-se que os três saíram no mesmo instante de suas casas e percorreram exatamente as mesmas distâncias, pode-se concluir que:
b) Carlos chegou primeiro, Antônio em segundo e Bernardo em terceiro.
1500
c) Antônio chegou primeiro, Bernardo em segundo e Carlos em terceiro.
1000 500 0
c) 20 s
a) Bernardo chegou primeiro, Carlos em segundo e Antônio em terceiro.
p
s
2000
b) 10 s
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
t (min)
Com quantos minutos de diferença essas ondas atingirão uma cidade situada a 1 500 km de distância do ponto 0? a) 1,0 b) 2,0 c) 3,0 d) 4,0 e) 5,0
3. (Fuvest-SP) O gráfico representa a posição (s) em função do tempo (t) de dois carrinhos de autorama, A e B, que descrevem uma mesma trajetória retilínea. A variação do espaço para o carrinho A é linear, enquanto a do carrinho B segue uma curva parabólica. s (cm)
B
90
A
d) Bernardo e Carlos chegaram juntos e Antônio chegou depois. e) os três chegaram juntos à lanchonete. (Fuvest- SP) Texto para as questões 5 e 6: Em uma caminhada, um jovem consome 1 litro de O2 por minuto, quantidade exigida por reações que fornecem a seu organismo 20 kJ/minuto (ou 5 “calorias dietéticas”/minuto). Em dado momento, o jovem passa a correr, voltando depois a caminhar. O gráfico representa seu consumo de oxigênio em função do tempo. consumo de O2 2 ( /min) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t (min)
5. Por ter corrido, o jovem utilizou uma quantidade de
20 10 0
10
50
1
Volume 1 Capítulo 3
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_03.indd 1
20
t (s)
energia a mais, do que se estivesse apenas caminhado durante todo o tempo, aproximadamente, de: a) 10 kJ d) 420 kJ b) 21 kJ e) 480 kJ c) 200 kJ
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:53 PM
correu com velocidade escalar constante v percorrendo 100 m para cada litro de oxigênio consumido. O valor de v em km/h é: a) 2,0 b) 3,6 c) 7,2 d) 10,0 e) 12,0
7. (Fund. Carlos Chagas-SP) Numa linha férrea as estações “Azambuja” e “Gaspar” distam 120 km, uma da outra. O gráfico abaixo representa a posição em função do tempo, para uma locomotiva que passa por “Azambuja”, no instante t 2,0 h, dirigindo-se para “Gaspar”. x (km)
180
Exercícios complementares
120
2,0
4,0
6,0
8,0
t (h)
c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0
8. Considere um trilho retilíneo tal que em uma das extremidades está o ouvido de uma pessoa. Na outra extremidade, é dada uma martelada. O som produzido pela martelada se propaga no ar com velocidade de módulo v1 e, no trilho, com velocidade de módulo v2, sendo v2 v1. A pessoa ouve os dois sons separados por um intervalo de tempo T. O comprimento L do trilho é dado por: v1v2T v1v2T a) L d) L v2 v1 v2 v1
c) L
2v1v2T v2 v1
2
satélite O
A
x
B
R
Terra
b) 1,8 104 km
O intervalo de tempo entre a passagem pelas duas estações, em horas, é igual a: a) 2,0 b) 2,5
2v1v2T v2 v1
satélite
a) 1,4 104 km
60
b) L
System) permite localizar um receptor em qualquer lugar da Terra por meio de sinais emitidos por satélites simultaneamente. A figura mostra uma situação na qual os satélites A e B emitem sinais para um receptor R localizado na reta AB, tangente à superfície da Terra no ponto O, onde AO 4OB.
Os sinais provenientes de A e B são emitidos com a velocidade da luz no vácuo cujo módulo é de 3,0 105 km/s e atingem o receptor R em 4,0 10 2 s e 6,0 10 2 s, respectivamente. A distância entre o satélite A e o ponto O é:
240
0
9. (Efomm-RJ) O sistema G.P.S. (Global Positioning
LUIZ FERNANDO RUBIO
6. Entre os instantes t1 3 min e t2 12 min, o jovem
Volume 1 Capítulo 3
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_03.indd 2
e) L
v1v2 T v2 v1
c) 2,4 104 km d) 1,0 105 km e) 1,2 106 km
10. (Unifesp-SP) Por motivos técnicos, um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto (reservatório 1), completamente cheio, será totalmente esvaziado e sua água será transferida para um segundo reservatório, que está completamente vazio, com capacidade maior do que o primeiro, também na forma de um cilindro circular reto (reservatório 2). Admita que a altura interna h (t), em metros, da água no reservatório 1, t horas a partir do instante em que se iniciou o processo de esvaziamento, pôde ser expressa pela função h (t) 15t 120 . t 12 a) Determine quantas horas após o início do processo de esvaziamento a altura interna da água no reservatório 1 atingiu 5 m e quanto tempo demorou para que esse reservatório ficasse completamente vazio. b) Sabendo que o diâmetro interno da base do reservatório 1 mede 6 m e o diâmetro interno da base do reservatório 2 mede 12 m, determine o volume de água que o reservatório 1 continha inicialmente e a altura interna H, em metros, que o nível da água atingiu no reservatório 2, após o término do processo de esvaziamento do reservatório 1.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:53 PM
11. (ITA-SP) Considere que, num tiro de revólver, a bala percorre trajetória retilínea com velocidade v constante, desde o ponto inicial P até o alvo Q. Mostrados na figura, o aparelho M1 registra simultaneamente o sinal sonoro do disparo e o do impacto da bala no alvo, o mesmo ocorrendo com o aparelho M2. Sendo vS a velocidade do som no ar, então a razão entre as respectivas distâncias dos aparelhos M1 e M2 em relação ao alvo Q é: M2
90°
v P M1 Visto de cima.
vS(vS v) v(v vS) vS(v vS) vS(v vS) vS(v 2 vS) b) c) d) e) (v2 2 v2S) (v2 v2S) (v2S v2) (v2 v2S) (v2 v2S)
Exercícios complementares
a)
Q
3
Volume 1 Capítulo 3
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_03.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:53 PM
CAPÍTULO 4 – Movimento uniforme
1. (U. F. Campina Grande-PB) Numa aula experimental,
um grupo de estudantes deixa bolhas de uma mistura de álcool e água caírem através de um longo tubo preenchido com óleo de soja comum. Constroem uma tabela na qual registram a posição de uma das bolhas em função do tempo, reproduzida abaixo:
A leva 6,0 s para ultrapassar o veículo B e 1,0 s após encontra-se ultrapassando o veículo C. Determine, em m/s, a velocidade escalar de B em relação a C.
5. (Fuvest-SP) Um homem correndo ultrapassa uma
Posição s (cm)
Tempo t (s)
0
0,0
5,0
10,0
composição ferroviária, com 100 metros de comprimento, que se move vagarosamente no mesmo sentido. A velocidade escalar do homem é o dobro da velocidade escalar do trem. Em relação à Terra, qual a distância percorrida pelo homem, desde o instante em que alcança a composição até o instante em que a ultrapassa?
10,0
20,0
a) 50 m
15,0
30,0
20,0
40,0
b) 100 m c) 150 m d) 200 m e) 250 m
5,0
15
a) Calcule a velocidade escalar da bolha em m/s. b) Classifique o movimento admitindo que a regularidade da tabela se mantenha. c) Escreva a equação horária do movimento em unidades SI. d) Construa o gráfico s 5 f (t).
2. (Vunesp-SP) Dois amigos, correndo sobre uma mesma
pista retilínea e em sentidos opostos, avistam-se quando a distância que os separa é de 150 metros. Um está correndo com velocidade escalar constante de 5,0 m/s e o outro com velocidade escalar constante de 7,5 m/s. Que distância cada um percorrerá desde o instante em que se avistam até o instante em que um passa pelo outro?
3. (Fuvest-SP) Dois corredores, A e B, partem de um
mesmo ponto de uma pista circular de 140 m de comprimento com velocidades escalares constantes e de módulos iguais a 8,0 m/s e 6,0 m/s, respectivamente. a) Se partirem em sentidos opostos, após quanto tempo A e B vão se encontrar pela primeira vez? b) Se partirem no mesmo sentido, após quanto tempo o corredor A estará com uma volta de vantagem sobre B?
4. (UF-BA) Três veículos, A, B e C, trafegam num mesmo sentido, sobre uma pista retilínea, com velocidades constantes. Num determinado instante, C vem à frente, a 80 m de B, e este, 60 m à frente de A. O veículo
1
Volume 1 Capítulo 4
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_04.indd 1
6. (OPF-SP) Duas bolas de dimensões desprezíveis se aproximam uma da outra, executando movimentos retilíneos e uniformes. Sabe-se que as bolas possuem velocidades de módulos 2,0 m/s e 3,0 m/s e que, no instante t 5 0, a distância entre elas é de 15,0 m. A
2,0 m/s
t 0
3,0 m/s
B
SETUP
Exercícios complementares
0
10
20
15,0 m
Podemos afirmar que, quando houver a colisão, a bola de maior módulo de velocidade terá percorrido uma distância de: a) 5,0 m b) 6,0 m c) 7,5 m d) 9,0 m e) 10,0 m
7. (OBF-Brasil) Dois corredores, I e J, partem do mesmo ponto de uma pista circular de raio igual a 25,0 m com velocidades escalares constantes de módulos iguais a 6,0 m/s e 4,0 m/s, respectivamente. Quanto tempo leva para que eles se encontrem pela primeira vez, considerando-se que eles partem em sentidos opostos? E se partirem no mesmo sentido? Adote π 5 3. a) 15,0 s e 75,0 s b) 75,0 s e 15,0 s c) 15,0 s e 80,0 s d) 80,0 s e 15,0 s e) 15,0 s e não se encontram.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:54 PM
8. Dois atletas percorrem a pista circular da figura em sentidos opostos. Num dado instante t0 5 0 se encontraram no
ponto A e, a seguir, no instante t1 5 T, se encontraram no ponto B e o terceiro encontro ocorreu no ponto C, no instante t2 5 100 s. A pista circular apresenta um comprimento total de 700 m e o arco AC, medido no sentido antihorário, tem 200 m. C
A
B
Admitindo que as velocidades escalares permaneceram constantes, determine: a) o módulo da velocidade v1 do mais rápido e o módulo da velocidade v2 do mais lento; b) o módulo da velocidade relativa de um atleta em relação ao outro no instante t1 5 T;
Exercícios complementares
c) o instante T. Justifique a sua resposta.
2
Volume 1 Capítulo 4
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_04.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:54 PM
CAPÍTULO 5 – Movimento uniformemente variado
1. As partículas A e B percorrem a mesma trajetória retilínea, no mesmo sentido, com aceleração escalar constante α 5 5,0 m/s2. Num determinado instante a distância que as separa é de 12 m e a partícula A possui velocidade escalar 5,0 m/s, e a partícula B, 3,0 m/s.
3. (ITA-SP) Um automóvel a 90 km/h passa por um guarda num local em que a velocidade máxima é de 60 km/h. O guarda começa a perseguir o infrator com a sua motocicleta, mantendo aceleração constante até que atinge 108 km/h em 10 s e continua com essa velocidade até alcançá-lo, quando lhe faz sinal para parar. Pode-se afirmar que: a) o guarda levou 15 s para alcançar o carro. b) o guarda levou 60 s para alcançar o carro.
A
12 m
c) a velocidade do guarda ao alcançar o carro era de 25 m/s.
B
Analise as afirmações e julgue se estão certas ou erradas, justificando a sua resposta.
d) o guarda percorreu 750 m desde que saiu em perseguição até alcançar o motorista infrator.
I. Para um referencial em B, a partícula A se aproxima de B em MRU, com velocidade de 2,0 m/s.
4. (PUC-RJ) Os vencedores da prova de 100 m rasos são
II. Para um referencial em A, a partícula B se afasta de A em MRU. III. Para um referencial em B, a partícula A está em MUV.
Exercícios complementares
IV. A partícula A deverá alcançar a partícula B em 6,0 s, a contar do instante em que se encontram na figura. Do que se afirmou, estão corretas, apenas, as afirmativas: a) I, II e III
c) I e IV
b) II e III
d) I e III
e) IV
e) o guarda o alcançou em 2,0 min. chamados de homem/mulher mais rápidos do mundo. Após o disparo e acelerando de maneira constante, um bom corredor atinge a velocidade escalar máxima de 12,0 m/s a 36,0 m do ponto de partida. Esta velocidade é mantida por 3,5 s. A partir deste ponto o corredor desacelera também de maneira constante com aceleração escalar a 5 21,0 m/s2 completando a prova em aproximadamente 11,5 s. É correto afirmar que a aceleração escalar nos primeiros 36,0 m, a distância percorrida nos 3,5 s seguintes e a velocidade escalar final do corredor ao cruzar a linha de chegada são, respectivamente: a) 2,0 m/s2; 42,0 m; 10,0 m/s.
2. Existe na Disneyland um brinquedo em que a pessoa
b) 2,0 m/s2; 38,0 m; 21,6 m/s.
fica sentada em um banco dentro de uma cabina que se move verticalmente, presa por um cinto de segurança. A cabina parte do repouso e acelera verticalmente para baixo com aceleração de módulo igual a 1,2 g, em que g é o módulo da aceleração da gravidade. Uma moeda estava em repouso na perna da pessoa a uma distância H 5 2,25 m do teto da cabina. Quando a cabina acelera, a moeda se destaca da perna da pessoa e vai colidir com o teto da cabina após um intervalo de tempo T. No instante em que a moeda chega ao teto, ela tem uma velocidade com módulo v1 em relação ao teto. Nesse instante, a cabina tem uma velocidade com módulo v2 em relação a um referencial fixo no solo terrestre. Adote g 5 10,0 m/s2 e despreze o efeito do ar. Os valores de T, v1 e v2 são:
c) 2,0 m/s2; 72,0 m; 32,4 m/s.
a) T1 5 1,5 s; v1 5 3,0 m/s; v2 5 15,0 m/s b) T1 5 1,0 s; v1 5 3,0 m/s; v2 5 18,0 m/s c) T1 5 1,5 s; v1 5 3,0 m/s; v2 5 18,0 m/s d) T1 5 2,5 s; v1 5 6,0 m/s; v2 5 15,0 m/s e) T1 5 2,5 s; v1 5 6,0 m/s; v2 5 18,0 m/s
1
Volume 1 Capítulo 5
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_05.indd 1
d) 4,0 m/s2; 36,0 m; 10,8 m/s. e) 4,0 m/s2; 38,0 m; 21,6 m/s.
5. Dois carros A e B têm seus movimentos representados esquematicamente no gráfico espaço 3 tempo a seguir. s
0
carro B
carro A
t1
t
O carro B parte do repouso e tem movimento uniformemente variado. No instante t1, as velocidades escalares dos carros A e v B são, respectivamente, iguais a vA e vB. A razão B : vA a) não está determinada. d) vale 2. b) vale 1 . e) é maior que 2. 2 c) vale 1.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:54 PM
8. (UF-RJ) Dois móveis, (1) e (2), partem do repouso
placa mostrada na figura 1, quando sua velocidade escalar é 30 m/s. Aciona os freios nesse instante e, mantendo uma desaceleração constante até chegar à lombada, passa pela placa mostrada na figura 2, quando sua velocidade escalar é 20 m/s.
de um mesmo ponto e passam a se mover na mesma estrada. O móvel (2), no entanto, parte 3,0 s depois do móvel (1). A figura abaixo representa, em gráfico cartesiano, como suas velocidades escalares variam em função do tempo durante 18,0 s a contar da partida do móvel (1).
Lombada a 400 m
Lombada a 150 m
Figura 1.
SETUP
6. (Vunesp-SP) Numa viagem, um motorista passa pela
v (m/s) (2)
Figura 2.
18,0
Pode-se afirmar que, para chegar da primeira placa à lombada, ele demorou um intervalo de tempo, em segundos, de:
(2) 0
a) 10 b) 15 d) 25 e) 30
Exercícios complementares
7. (AFA-SP) Considere um móvel deslocando-se numa trajetória horizontal e descrevendo um movimento retilíneo uniformemente acelerado e retrógrado. A alternativa que contém o gráfico que melhor representa o movimento descrito pelo móvel é espaço
0
b)
tempo velocidade escalar
0
c)
3,0
6,0
9,0 12,0 15,0 18,0
t (s)
a) Calcule as acelerações escalares dos móveis (1) e (2) depois de iniciados os seus movimentos.
c) 20
a)
(1) (1)
tempo
b) Verifique se, até o instante t 5 18,0 s, o móvel (2) conseguiu alcançar o móvel (1). Justifique sua resposta.
9. (U. F. Santa Maria-RS) Um carro se desloca com velocidade escalar constante num referencial fixo no solo. O motorista percebe que o sinal está vermelho e faz o carro parar. O tempo de reação do motorista é de fração de segundo. Tempo de reação é o tempo decorrido entre o instante em que o motorista vê o sinal vermelho e o instante em que ele aplica os freios. Está associado ao tempo que o cérebro leva para processar as informações e ao tempo que levam os impulsos nervosos para percorrer as células nervosas que conectam o cérebro aos membros do corpo. Considere que o carro adquire uma aceleração escalar negativa constante até parar. O gráfico que pode representar o módulo da velocidade do carro (v) em função do tempo (t), desde o instante em que o motorista percebe que o sinal está vermelho até o instante em que o carro atinge o repouso, é: a)
v
b)
v
espaço
0
d)
tempo aceleração escalar
0
t
tempo t
2
Volume 1 Capítulo 5
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_05.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:54 PM
c)
v
b) B ultrapassou A no instante t 5 4 s, depois de percorrer 160 m. c) B ultrapassou A no instante t 5 4 s, depois de percorrer 80 m. d) B ultrapassou A no instante t 5 8 s, depois de percorrer 320 m.
t
d)
e) B ultrapassou A no instante t 5 4 s, depois de percorrer 180 m.
v
12. (Vunesp-SP) Na pista de skate da praia de Pajuçara, um garoto desliza, a partir do repouso, descrevendo um movimento retilíneo uniformemente acelerado, cujo gráfico da posição, em função do tempo, está na figura. O gráfico tem vértice em t 5 0.
t
e)
v
s (m) 20
t
Exercícios complementares
10. (U. F. Viçosa-MG) Uma motocicleta movia-se numa ave-
nida quando seu motociclista percebeu que o semáforo do cruzamento logo adiante estava fechado. O motociclista freou, mas não conseguiu parar antes do cruzamento, atingindo um automóvel. Baseado nos danos causados nos veículos, técnicos da polícia estimaram que a motocicleta estava a 36 km/h no momento da colisão. A 50 metros do local do acidente foi encontrada uma marca no asfalto, que corresponde ao local em que o motociclista pisou desesperadamente no freio. Sabendo-se que os freios da motocicleta conseguem produzir uma aceleração escalar, praticamente constante, de módulo igual a 8,0 m/s2, a perícia confirmou que a velocidade escalar da motocicleta, imediatamente antes da freada, era de: a) 90 km/h c) 30 m/s b) 180 km/h d) 45 m/s
11. (Unesp-SP) Um veículo A, locomovendo-se com velo-
cidade escalar constante, ultrapassa um veículo B, no instante t 5 0, quando B está começando a se movimentar. Os veículos percorrem trajetórias retilíneas e paralelas. v (m/s) 50 40 30 20 10 0
B A
2 4 6 8 10 t (s)
Volume 1 Capítulo 5
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_05.indd 3
4,0
t (s)
A correspondente função horária, em unidades SI, é dada por: a) S 5 20 1 20 ? t 2 5,0 ? t2 b) S 5 20 2 20 ? t 2 2,5 ? t2 c) S 5 20 2 1,25 ? t2 d) S 5 20 2 2,5 ? t2 e) S 5 20 2 5,0 ? t2
13. Uma partícula desloca-se, em trajetória retilínea, com
equação horária dos espaços dada por: s 5 2,0t3 2 16,0 (SI) No instante t1, a partícula passa pela origem dos espaços. No instante t1, a velocidade escalar vale v1 e a aceleração escalar vale α1. Os valores de v1 e α1 são dados por: a) v1 5 24,0 m/s e α1 5 12,0 m/s2. b) v1 5 6,0 m/s e α1 5 24,0 m/s2. c) v1 5 6,0 m/s e α1 5 12,0 m/s2. d) v1 5 12,0 m/s e α1 5 12,0 m/s2. e) v1 5 24,0 m/s e α1 5 24,0 m/s2.
14. Um ponto material está em movimento obedecendo à
Analisando-se o gráfico, pode-se afirmar que: a) B ultrapassou A no instante t 5 8 s, depois de percorrer 160 m.
3
0
seguinte função horária das posições: s 5 2,0t3 1 4,0t 2 4,0 (SI) Calcule, usando apenas dois algarismos significativos: a) a velocidade escalar média entre os instantes t1 5 0 e t2 5 2,0 s; b) a velocidade escalar nos instantes t1 5 0 e t2 5 2,0 s; c) a aceleração escalar no instante t2 5 2,0 s.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:54 PM
CAPÍTULO 6 – Movimento vertical no vácuo
1. Do alto de um edifício de altura h, abandonamos uma pedra, a partir do repouso, com a intenção de determinarmos a altura do edifício. Por questões técnicas, foi medido apenas o intervalo de tempo decorrido a partir da metade do percurso, ou seja, h (final), 2 para o qual se obteve 1,0 s. Despreze a resistência do ar, adote g 5 10 m/s2 e faça a seguinte aproximação: 2 1,4. Determine a altura do edifício.
2. (PUC-RJ) Um objeto é arremessado do solo, verticalmente para cima, com uma velocidade escalar v1 5 10,0 m/s. Após um intervalo de tempo ∆t 5 1,0 s, um segundo objeto é também arremessado do mesmo ponto que o primeiro, verticalmente para cima e com a mesma velocidade escalar v2 5 10,0 m/s. Indique a altura em metros (m) do ponto onde ocorrerá a colisão entre os objetos. Considere g 5 10,0 m/s2. a) 0
c) 3,75
b) 1,00
d) 4,00
e) 10,0
Exercícios complementares
3. De uma altura H foi abandonada uma esferinha de chumbo e simultaneamente foi lançada do solo uma segunda bolinha de chumbo com uma velocidade inicial de módulo 2g H sendo g o módulo da aceleração da gravidade local. As esferinhas foram posicionadas numa mesma reta vertical, de tal maneira que ocorreu uma colisão entre ambas numa altura h.
repouso, de uma altura de 200 metros, um objeto pesado (a força de resistência do ar é desprezível). Desejando-se dividir em duas partes esta altura, de maneira que os tempos de percurso sejam iguais e considerando-se a aceleração da gravidade com módulo igual a 10 m/s2, teremos, medindo de cima para baixo: a) 40 m e 160 m b) 50 m e 150 m c) 75 m e 125 m d) 100 m e 100 m e) 160 m e 40 m
6. De um mesmo ponto, do alto de uma torre de 100 m de altura, abandona-se, do repouso, primeiramente um corpo A e, 1,0 s depois, um outro corpo B. Desprezandose a resistência do ar e adotando-se g 5 10,0 m/s2, a distância entre esses corpos será de 15,0 m após o corpo B ter percorrido a distância de: a) 2,0 m
c) 4,0 m
b) 3,0 m
d) 5,0 m
e) 6,0 m
7. (ITA-SP) Do alto, você deixa cair verticalmente uma pedra, a partir do repouso, sobre um lago, mede o tempo de 9,20 s para a pedra atingir o lago e observa que o ruído do impacto somente foi ouvido 1,20 s após ter sido vista a colisão da pedra com o lago. Estas informações lhe permitem concluir que: a) a velocidade do som no ar tem módulo superior a 3,53 ∙ 102 m∙s21. b) a velocidade do som no ar tem módulo igual a 3,53 ∙ 102 m∙s21.
H
c) você está a uma altura de 423 m acima do nível do lago.
v0 solo
Determine, em função de v0 e g: a) o instante da colisão (admitindo t 5 0 no instante do lançamento); b) o valor de h.
4. Retome a questão anterior, porém vamos lançar verticalmente a esferinha do solo com uma velocidade inicial desconhecida, que provisoriamente chamaremos de v0. Determine, em função de H e de g: a) o valor de v0 para que a colisão entre as duas esferinhas ocorra exatamente no ponto médio, ou seja, na altura h 5 H ; 2 b) o valor dos módulos das velocidades das esferinhas imediatamente antes da colisão.
1
5. (OBF-Brasil) Deixa-se cair livremente, a partir do
Volume 1 Capítulo 6
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_06.indd 1
d) você está a uma altura inferior a 423 m acima do nível do lago e a velocidade do som no ar tem módulo inferior a 3,53 ∙ 102 m∙s21. e) você está a uma altura superior a 423 m acima do nível do lago. Dado: g 5 9,80 m/s2.
8. (U. F. Viçosa-MG) Uma bola A é solta de uma altura de 45,0 m e cai verticalmente. Um segundo depois, outra bola, B, é arremessada verticalmente para baixo. Sabendo-se que a aceleração da gravidade no local tem módulo 10,0 m/s2 e desprezando-se a resistência do ar, a velocidade com que a bola B deve ser arremessada, para que as duas atinjam o solo no mesmo instante, é: a) 12,5 m/s
c) 75,0 m/s
b) 7,50 m/s
d) 1,25 m/s
e) 0,75 m/s
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:54 PM
9. A partir de uma mesma altura H, dois projéteis, A e B,
são lançados verticalmente com velocidades de mesmo módulo 30,0 m/s. O efeito do ar é desprezível e a aceleração da gravidade tem módulo g 5 10,0 m/s2. O projétil A é lançado verticalmente para baixo e gasta um tempo T para atingir o solo. O projétil B é lançado verticalmente para cima e gasta um tempo 2T para atingir o solo. 30,0 m/s
A
B
30,0 m/s H g 10,0 m/s2
a) não está determinado. b) é 35,0 m. c) é 45,0 m. d) é 180 m. e) é 360 m.
10. (ITA-SP) Em um local onde o efeito do ar é desprezível e a aceleração da gravidade é constante, foi realizada uma experiência de lançamento vertical de um corpo. Quando o corpo foi lançado com velocidade escalar inicial v0, a altura máxima atingida foi H. Se o mesmo corpo for lançado com velocidade escalar inicial igual a 2v0 , sua velocidade escalar, ao atingir a altura H, será: v0 v0 e) a) v0 c) 4 3 v b) 0 d) v0 3 2
Exercícios complementares
solo
O valor de H:
2
Volume 1 Capítulo 6
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_06.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:54 PM
CAPÍTULO 7 – Diagramas horários
c) em nenhum instante os atletas terão velocidades escalares iguais e não nulas.
1. (ITA-SP) No arranjo mostrado a seguir, do ponto A
d) os atletas cruzam a linha de chegada no mesmo instante.
largamos com velocidade nula duas pequenas bolas que se moverão sob a influência da gravidade em um plano vertical, sem rolamento ou atrito, uma pelo trecho ABC e a outra pelo trecho ADC. As partes AD e BC dos trechos são paralelas e as partes AB e DC também. Os vértices B de ABC e D de ADC são suavemente arredondados para que cada bola não sofra uma brusca mudança na sua trajetória. A B
D C
Pode-se afirmar que: a) a bola que se move pelo trecho ABC chega ao ponto C primeiro.
Exercícios complementares
b) a bola que se move pelo trecho ADC chega ao ponto C primeiro. c) as duas bolas chegam juntas ao ponto C, mas com velocidades diferentes.
e) em nenhum instante os atletas terão acelerações escalares iguais.
3. (Unifesp-SP) Em uma manhã de calmaria, um Veículo Lançador de Satélite (VLS) é lançado verticalmente do solo e, após um período de aceleração, ao atingir a altura de 100 m, sua velocidade linear é constante e de módulo igual a 20,0 m/s. Alguns segundos após atingir essa altura, um de seus conjuntos de instrumentos desprende-se e move-se livremente sob a ação da força gravitacional. A figura fornece o gráfico de velocidade vertical, em m/s, do conjunto de instrumentos desprendido como função do tempo, em segundos, medido no intervalo entre o momento em que ele atinge a altura de 100 m até o instante em que, ao retornar, toca o solo. v (m/s) y
d) a bola de maior massa chega primeiro (e se tiverem a mesma massa, chegam juntas). e) Como as duas bolas deverão chegar com a mesma velocidade final, certamente deverão chegar juntas, independentemente de sua massa. (Sugestão dos autores: represente, num mesmo diagrama cartesiano, as velocidades escalares dos dois movimentos, lembrando que para uma mesma inclinação da pista as bolinhas terão a mesma aceleração escalar.)
2. Em uma corrida olímpica de 100 m rasos, em uma pista plana e horizontal, dois atletas A e B descrevem trajetórias retilíneas e paralelas. Os gráficos a seguir representam as velocidades escalares dos atletas em função do tempo, desde o início até o final da corrida. v (m/s)
v (m/s) 12,5
atleta A
12,0
0
2
4
a) Determine a ordenada y do gráfico no instante t 5 0 s e a altura em que o conjunto de instrumentos se desprende do VLS. b) Calcule, através dos dados fornecidos pelo gráfico, a aceleração gravitacional do local e, considerando 2 5 1,4, determine o instante no qual o conjunto de instrumentos toca o solo ao retornar.
4. Uma esfera (1) foi lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de módulo 20 m/s. Simultaneamente, outra esfera (2) foi abandonada em repouso de uma altura H 5 40 m, na mesma direção de lançamento da esfera (1). Em um determinado instante T ocorreu a colisão de ambas.
atleta B
2
g 0
4,0
t (s)
Podemos afirmar que:
0
10 3
t (s)
1
Volume 1 Capítulo 7
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_07.indd 1
H 40 m
y v0
a) os atletas cruzam a linha de chegada com velocidades escalares iguais. b) no instante t 5 3,0 s, o atleta A tem aceleração escalar maior que o atleta B.
t (s)
1
solo
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:55 PM
Adotando g 5 10 m/s2 e orientando a trajetória para cima, faça o que se pede: a) Escreva as equações horárias das velocidades dos dois movimentos e construa o gráfico da velocidade em função do tempo até o instante T. b) Determine o instante T. c) Determine as velocidades v1 e v2 das esferas (1) e (2), respectivamente, no instante do encontro.
5. Um móvel possuía uma velocidade escalar constante v
e num dado instante t1, após ter percorrido uma distância d, freou com aceleração constante de módulo a até parar completamente num instante T. O diagrama mostra a velocidade em função do tempo. São conhecidos: o módulo da aceleração e a distância d. velocidade
v v
v (m/s) B
6,0
C
4,0 2,0
A
0
2,0
4,0
D 6,0
t (s)
a) Para cada trecho do gráfico, classifique o movimento. b) Para cada trecho do gráfico, calcule a aceleração escalar. c) Para cada trecho do gráfico, calcule a variação de posição (deslocamento) e, a seguir, determine a posição do móvel relativa a t1 5 2,0 s, t2 5 4,0 s e t3 5 6,0 s. d) Esboce os diagramas horários de posição e da aceleração desse movimento.
8. (Unesp-SP) A figura representa o gráfico velocidade 3 0
t1
T
t
Exercícios complementares
tempo
A velocidade escalar v, para que o tempo total T seja mínimo, vale: a) v a d b) v 5
a d a d 2
e) v
3a d 2
móveis A e B em função do tempo, numa mesma trajetória. x (m) A
16 12
B
8 4 2
4
6
8
t (s)
a) Em que instante eles se encontram? b) Escreva suas equações horárias de espaço.
7. A figura representa o gráfico da velocidade escalar em
função do tempo de determinado movimento. Sabe-se que no instante t0 5 0 o móvel partia da origem das abscissas.
2
30 15
10
20
30
40
50 t (s)
a) Qual o deslocamento total desse móvel? b) Esboce o gráfico posição 3 tempo correspondente, supondo que o móvel partiu da origem.
6. (PUC-PR) O gráfico representa as posições de dois
0
v (m/s)
0
c) v 5 a2 ∙ d d) v
tempo do movimento retilíneo de um móvel.
Volume 1 Capítulo 7
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_07.indd 2
9. (U. F. Campina Grande-PE) É dever de todo/a cidadão/ã respeitar as regras de trânsito, a vida própria e a dos outros, o que não faz um motorista alcoolizado à direção. Como exemplo, considere um motorista viajando a 72 km/h que, observando o sinal vermelho, aplica instantaneamente os freios, e para em 10 segundos, justamente na borda da faixa de pedestres. Suponha que, num outro dia, cometendo a imprudência de consumir bebida alcoólica e dirigir e viajando à mesma velocidade e exatamente na mesma estrada e no mesmo ponto, ele observa a mudança de cor do sinal para o vermelho. Acontece que agora ele demora 0,20 segundo até aplicar os freios. Considerando-se que o carro freie com a mesma aceleração escalar anterior, pode-se afirmar que avança sobre a faixa de pedestre a) 1,0 m d) 5,0 m b) 4,0 m e) 6,0 m c) 2,0 m
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:55 PM
10. (U. F. São Carlos-SP) O diagrama mostra como varia a posição em função do tempo t para uma partícula que se desloca em trajetória retilínea. s
D C
a) Calcule a aceleração escalar no instante t0 5 0.
E
B
b) Calcule o valor aproximado do deslocamento escalar entre os instantes t0 5 0 e t1 5 2,0 s.
F
12. (Mackenzie-SP) Entre duas determinadas estações de
G A
t1
t2
t3
t4
t5
t
t6
Os trechos AB, CDE e FG são arcos de parábola com vértices em A, D e G, respectivamente. Os trechos BC e EF são retilíneos. v
0
Desprezando-se qualquer efeito devido ao tamanho da ciclista e sabendo-se que a parte curva do gráfico é um arco de parábola com vértice no instante t 5 1,0 s, responda os quesitos que se seguem:
uma das linhas do metrô de São Paulo, o trem percorre a distância de 900 m no intervalo de tempo t, com velocidade escalar média de 54,0 km/h. O gráfico I abaixo representa a velocidade escalar do trem nesse percurso, em função do tempo, e o gráfico II, a posição em função do tempo. v
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t
0
t 3
t
2t 3
t
Exercícios complementares
Gráfico I.
a) No local indicado, construa o gráfico velocidade escalar 3 tempo. b) Classifique o movimento nos intervalos de tempo de t2 a t3 e de t5 a t6.
s B
SB 900 m S
SS
11. (Fuvest-SP) A velocidade escalar de uma ciclista que descreve uma trajetória retilínea varia em função do tempo conforme o gráfico da figura a seguir.
A 0
v (m/s)
t 3
2t 3
t
t
Considerando-se que os trechos AR e SB do gráfico II são arcos de parábola e o trecho RS é um segmento de reta, os valores de SR e SS são, respectivamente:
6,0 4,0 2,0
3
R
Gráfico II.
8,0
0
SR
1,0
2,0
Volume 1 Capítulo 7
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_07.indd 3
3,0
4,0
5,0
t (s)
a) 125 m e 775 m
d) 250 m e 650 m
b) 200 m e 700 m
e) 300 m e 600 m
c) 225 m e 675 m
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:55 PM
CAPÍTULO 8 – Vetores
1. (Mackenzie-SP) O vetor resultante da soma de AB,
BE e CA é: CE a) AE d) BC b) AD e)
6. Na figura, temos representados os vetores a, b e c. Qual a alternativa correta? a b
c
c) CD
C
B
a) a 1 c 5 b b) a 1 b 5 c c) a 1 b 1 c 5 0
D
d) b 1 c 5 a e) a 1 c 5 c 1 b
7. (Mackenzie-SP) Com seis vetores de módulos iguais
a 8 u, construiu-se o hexágono regular. O módulo do vetor resultante desses seis vetores é:
A
E
2. Dois vetores perpendiculares têm módulos que estão na razão 3 : 4. Calcule os módulos desses vetores, sabendo que sua resultante tem módulo 40.
3. (U. E. Londrina-PR) Dados os vetores U, V, X, Y e
Exercícios complementares
W de mesmo módulo, qual das relações abaixo está correta? X
c) 24 u d) 16 u
e) zero
8. Considerando o conjunto de vetores representados,
Y 120°
60°
U
a) 40 u b) 32 u
verifique quais das sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F).
W
V
z
y s
a) U 1 W 5 Y
d) X 1 Y 1 V 5 U
b) X 1 W 5 U
w
e) U 1 V 1 Y 5 W
c) X 1 Y 5 U
v
x
u
a) y 1 z 5 s
4. Consideremos dois vetores de módulos 12 cm e 7 cm. O módulo da resultante desses vetores não pode ser: a) 19 cm
d) 8 cm
b) 5 cm
e) 4 cm
c) 10 cm
5. Na figura, considere que cada divisão do “quadriculado” tem medida 1 e que os vetores i e j são perpendiculares entre si. Represente os vetores a, b, c, d e e em função de i e j. a
d) s 2 x 5 u 1 v
b) x 1 w 5 2( y 1 z ) e) u1v1s1x50 c) y 1 w 1 z 5 2x
f) 2u 1 x 1 y 1 z 2 v 5 0
9. (UF-CE) a disposição dos vetores BA, EA, Analisando CB, CD e DE conforme figura, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta:
BA EA EA
EA DE CB
CB CB DE
DE BA BA
CD CD CD
a) CB CD DE BA EA b) c) d)
e) BA DE CB EA CD
b
B
c d
A
j i
1
E
e
Volume 1 Capítulo 8
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_08.indd 1
C
D
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:55 PM
CAPÍTULO 9 – Cinemática vetorial
5. Dois automóveis A e B movem-se sobre trajetórias circu-
fixado em um plano horizontal. Uma partícula sai da origem do sistema, dirige-se em linha reta para o ponto A (veja a figura) e, em seguida, dirige-se para o ponto B, também em linha reta.
lares concêntricas, de raios RA 5 100 m e RB 5 200 m. RB RA
SETUP
1. Consideremos um sistema cartesiano ortogonal Oxy,
y (m) 10
B A
0
24
x (m)
Sabendo que a partícula gasta 2,0 segundos para ir de O até B, calcule para essa viagem os módulos: a) da distância percorrida; b) do vetor de deslocamento; c) da velocidade escalar média; d) da velocidade vetorial média.
Exercícios complementares
2. Uma partícula move-se com velocidade escalar constante sobre uma circunferência de raio R 5 10 m, gastando 24 segundos para completar uma volta. Para um intervalo de tempo Δt 5 8,0 segundos, calcule os módulos:
Sabendo que os dois automóveis têm a mesma velocidade escalar v 5 10 m/s, calcule: a) o módulo da aceleração centrípeta de A; b) o módulo da aceleração centrípeta de B.
6. Uma partícula move-se em trajetória circular de
centro O, com movimento uniformemente acelerado, tendo velocidade escalar v0 5 4,0 m/s no instante t 5 0. A figura representa a aceleração vetorial instantânea a no instante t 5 2,0 s. a
θ O
a) da distância percorrida; b) do vetor deslocamento; c) da velocidade escalar média; d) da velocidade vetorial média.
3. Dê o valor verdadeiro (V) ou falso (F) às sentenças: a) Num movimento uniforme a velocidade escalar é constante. b) Num movimento uniforme a velocidade vetorial é constante. c) Num movimento uniforme a velocidade vetorial é constante em módulo. d) Num movimento retilíneo uniforme a velocidade vetorial é constante. e) O único movimento em que a velocidade vetorial é constante é o movimento retilíneo uniforme. f) Em um movimento uniforme cuja trajetória é uma parábola, a velocidade vetorial é constante.
4. (PUC-SP) Se a velocidade vetorial de um ponto material é constante e não nula, sua trajetória: b) pode ser retilínea, mas não necessariamente. c) deve ser retilínea. d) é uma circunferência. e) pode ser uma curva qualquer. Volume 1 Capítulo 9
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_09.indd 1
7. Assinale a proposição verdadeira: a) Em um movimento uniforme, a aceleração é nula. b) Em um movimento uniformemente variado, a aceleração é constante. c) No movimento circular uniformemente variado, a aceleração centrípeta tem módulo constante. d) No movimento retilíneo uniformemente variado, a aceleração centrípeta é nula. e) No movimento uniforme, a velocidade é constante.
8. (UF-CE) Um automóvel entra numa curva de 200 m
a) é uma parábola.
1
Sabendo que |a | 5 26 m/s2, sen θ = 5 e cos θ 5 12 , 13 13 calcule: a) o módulo da aceleração tangencial; b) o módulo da aceleração centrípeta no instante t 5 2,0 s; c) a velocidade escalar no instante t 5 2,0 s; d) o raio da trajetória.
de raio, de uma estrada cujas condições permitem uma aceleração centrípeta máxima de apenas 2 m/s2 sem que aconteça derrapamento. Determine a maior velocidade, em km/h, com que o automóvel pode ser conduzido na curva, sem derrapar.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:55 PM
9. Uma partícula tem movimento circular e uniforme. Podemos afirmar que: a) a aceleração vetorial é constante.
indicadas na figura. Dois segundos depois, a partícula tem pela primeira vez velocidade v 5 v0 e aceleração a 5 a0. a0
b) o módulo da velocidade vetorial é constante. c) o módulo da aceleração vetorial é nulo. d) a velocidade vetorial é constante. e) a velocidade vetorial tem seu sentido para o centro da trajetória.
10. (U. E. Londrina-PR) Uma pista é constituída por três
D
LUIZ FERNANDO RUBIO
trechos: dois retilíneos, AB e CD, e um circular, BC, conforme esquema.
v0
Os módulos de v0 (em m/s) e de a0 (em m/s2) são respectivamente: 2 2 d) π e π a) π e π 2 2 4 8 2 b) π e π e) π e π2 4 16 2 2 c) π e π 2 4
12. (AFA-SP) As figuras representam pontos que indicam C
Exercícios complementares
A
as posições de um móvel, obtidas em intervalos de tempos iguais. I
II
III
IV
B
Se um automóvel percorrer toda a pista com velocidade escalar constante, o módulo da sua aceleração será: a) nulo em todos os trechos. b) constante, não nulo, em todos os trechos. c) constante, não nulo, nos trechos AB e CD. d) constante, não nulo, apenas no trecho BC.
Em quais figuras o móvel apresenta aceleração não nula?
e) variável apenas no trecho BC.
a) Apenas em I, III e IV.
11. (UF-PI) Uma partícula descreve um movimento circular uniforme de raio r 5 1,0 m. No instante t 5 0, sua velocidade v0 e sua aceleração a0 apontam nas direções
2
Volume 1 Capítulo 9
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_09.indd 2
b) Apenas em II e IV. c) Apenas em I, II e III. d) Em I, II, III e IV.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:56 PM
CAPÍTULO 10 – Composição de movimentos
1. Um avião sobrevoa um aeroporto, com seu eixo apontado para o norte e com velocidade 120 km/h em relação ao ar. Os instrumentos do aeroporto registram um vento de 50 km/h em relação ao solo, de oeste para leste. Calcule: a) o módulo da velocidade do avião em relação ao solo; b) a distância percorrida pelo avião, em relação ao solo, em 12 min.
Pedro se move no sentido sudoeste-nordeste, em uma trajetória que forma um ângulo θ com a linha perpendicular às margens. As trajetórias, como observadas por Ana e por Marta, estão indicadas nas figuras a seguir, respectivamente por PA e PM. A N L
O S
2. A velocidade das águas de um rio é 5,0 m/s em relação às margens. Um barco parte de um ponto X em uma das margens, com seu eixo perpendicular à correnteza, atingindo um ponto Y na outra margem, cuja distância ao ponto X é 390 metros. Sabendo que a travessia durou 30 segundos, calcule o módulo da velocidade do barco em relação às águas.
P Trajetória vista por Ana. M
4. (Vunesp-SP) Um homem, em pé sobre uma plataforma que se move horizontalmente para a direita com velocidade constante v 4,0 m/s em relação ao solo, observa que, ao inclinar de 45º um tubo cilindro oco, permite que uma gota de chuva, que cai verticalmente com velocidade c constante em relação ao solo, atravesse o tubo sem tocar em suas paredes. Determine o valor de c.
c
constante, um rio de 60 m de largura e margens paralelas, em 2 minutos. Ana, que boia no rio e está parada em relação à água, observa Pedro, nadando no sentido sul-norte, em uma trajetória retilínea, perpendicular às margens. Marta, sentada na margem do rio, vê que Volume 1 Capítulo 10
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_10.indd 1
P Trajetória vista por Marta.
(
)
Se o ângulo θ for tal que cos θ 3 sen θ 4 , 5 5 qual o valor do módulo da velocidade: a) de Pedro em relação à água? b) de Pedro em relação à margem? c) da água em relação à margem?
6. (U. F. São Carlos-SP) O submarino navegava com velocidade constante, nivelando a 150 m de profundidade, quando seu capitão decide levar lentamente a embarcação à tona, sem contudo abandonar o movimento à frente. Comunica a intenção ao timoneiro, que procede ao esvaziamento dos tanques de lastro, controlando-os de tal modo que a velocidade de subida da nave fosse constante.
vy vx
v
5. (Fuvest-SP) Pedro atravessa a nado, com velocidade
1
θ
LUIZ FERNANDO RUBIO
lelas tem velocidade 5,0 m/s em relação às margens. Um barco sai de uma das margens em direção à outra, com velocidade 13 m/s em relação à água, de modo que a direção de seu movimento é perpendicular à correnteza. Sabendo-se que a distância entre as margens é 48 m, pede-se: a) a velocidade do barco em relação às margens; b) o ângulo que o eixo do barco deve fazer com a direção normal às margens; c) o tempo de travessia.
LUIZ FERNANDO RUBIO
Exercícios complementares
3. A correnteza de um rio retilíneo e de margens para-
Se a velocidade horizontal antes da manobra era de 18,0 km/h e foi mantida, supondo que a subida tenha se dado com velocidade constante de 0,9 km/h, o deslocamento horizontal que a nave realizou, do momento em que o timoneiro iniciou a operação até o instante em que a nau chegou à superfície, foi, em m, de: a) 4 800
c) 2 500
b) 3 000
d) 1 600
e) 1 200
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:56 PM
CAPÍTULO 11 – Cinemática angular
13. (Mackenzie-SP) Um automóvel, cujos pneus têm diâ-
11. Um disco contendo um orifício próximo à sua borda
espelho
ALEX ARGOZINO
gira defronte a uma fonte de luz, à razão de 10 voltas por segundo. Um pulso de luz passa pelo orifício, reflete-se num espelho situado a uma distância d do disco e passa pelo mesmo orifício após o disco ter completado uma volta.
disco pulso v
v
metro externo de 52 cm, percorre, com velocidade constante, 483,6 m em 1 minuto. Desprezando sua deformação, o período do movimento de rotação desses pneus é: a) 0,1 s b) 0,2 s c) 0,3 s d) 0,4 s e) 0,5 s (Adote π 3,1.)
v
14. (Vunesp-SP) Satélites de órbita polar giram numa
a) 1 500 km
d) 300 000 km
b) 30 000 km
e) 3 000 000 km
c) 15 000 km
12. (UE-MS) A figura mostra a polia A, de raio RA 10,0 cm,
ligada à polia B, de raio RB 5,0 cm, por uma correia que não desliza enquanto gira. RA
RB
MARCO A. SISMOTTO
Exercícios complementares
d
Sabendo que a velocidade da luz nesse meio é v 300 000 km/s, podemos afirmar que a distância d vale:
Baseando-se nesses dados, analise as afirmativas: I. A velocidade tangencial da polia A é exatamente igual à metade da velocidade tangencial da polia B. II. Se o período da polia A for igual a 1,0 s, o período da polia B será 0,5 s. III. A velocidade angular da polia A (ωA) é igual à velocidade angular da polia B (ωB).
órbita que passa sobre os polos terrestres e que permanece sempre em um plano fixo em relação às estrelas. Pesquisadores de estações oceanográficas, preocupados com os efeitos do aquecimento global, utilizam satélites desse tipo para detectar regularmente pequenas variações de temperatura e medir o espectro da radiação térmica de diferentes regiões do planeta. Considere o satélite a 5 298 km acima da superfície da Terra, deslocando-se com velocidade de 5 849 m/s em uma órbita circular. Estime quantas passagens o satélite fará pela linha do equador em cada período de 24 horas. Utilize a aproximação π 3,0 e suponha a Terra esférica, com raio de 6 400 km.
15. (U. F. Uberlândia-MG) Em 10 de setembro de 2008, foi inaugurado na Europa o maior acelerador de partículas (LHC), que é capaz de acelerar prótons, em um anel de raio 4,5 km, até uma velocidade próxima da luz. Assuma que o movimento do próton seja descrito pela mecânica newtoniana e que possua a velocidade da luz (3,0 108 m/s). Considerando-se π 3,0, marque para as alternativas abaixo (V ) verdadeira, (F) falsa. (1) O próton gastará um tempo menor que 1,0 10 8 s para dar uma volta completa no anel. (2) A frequência de rotação do próton no interior do anel será 1,0 105 rotações por segundo. (3) A velocidade angular do próton será 1,0 105 rad/s. (4) O período de rotação do próton será 9,0 10 5 s. Estão corretas apenas:
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s):
a) 1 e 4
a) I apenas.
d) I e III apenas.
c) 2 e 3
b) II apenas.
e) I, II e III.
d) 2 e 4
c) III apenas.
1
Volume 1 Capítulo 11
011-Cap-FC1-Exerc. Compl.indd 1
b) 1 e 3
e) 1, 2 e 4 Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
26/09/12 16:52
Sabendo-se que a cada pico maior está associada uma contração do coração, a frequência cardíaca dessa pessoa, em batimentos por minuto, é: a) 60 d) 95 b) 75 e) 100 c) 80
16. (Unifesp-SP) O eletrocardiograma é um dos exames mais comuns da prática cardiológica. Criado no início do século XX, é utilizado para analisar o funcionamento do coração em função das correntes elétricas que nele circulam. Uma pena ou caneta registra a atividade elétrica do coração, movimentando-se transversalmente ao movimento de uma fita de papel milimetrado, que se desloca em movimento uniforme com velocidade de 25 mm/s. A figura mostra parte de uma fita de um eletrocardiograma.
cionária distante 35 900 km da superfície terrestre, que 6 500 km é um valor aproximado do raio da Terra e adote para o número π um valor aproximado de 3. Para um intervalo de tempo de 6 h o satélite percorre uma distância mais próxima de: a) 6 500 km d) 63 600 km b) 35 900 km e) 65 600 km c) 60 000 km
Exercícios complementares
setup
17. (UnB-DF) Considere um satélite em órbita geoesta-
2
Volume 1 Capítulo 11
011-Cap-FC1-Exerc. Compl.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
26/09/12 13:52
CAPÍTULO 12 – Leis de Newton
1. (Vunesp-SP) Um bloco de massa mA desliza no solo
horizontal, sem atrito, sob ação de uma força constante, quando um bloco de massa mB é depositado sobre ele. Após a união, a força aplicada continua sendo a mesma, porém a aceleração dos dois blocos fica reduzida à quarta parte da aceleração que o bloco A possuía. m Pode-se afirmar que a razão entre as massas A é: mB
4 c) 3 a) 1 b) 3 3 2
d) 1
e) 2
2. Consideremos uma partícula em movimento retilíneo sob a ação de apenas duas forças, F1 e F2 como mostra a figura. F2
F1
Sabendo que F1 5 50 N e F2 5 30 N, diga se cada uma das sentenças a seguir é verdadeira ou falsa. a) A partícula pode estar em movimento acelerado para a direita.
a) a força de ação do corpo é anulada pela reação da superfície. b) a força de reação da superfície é maior que 25 N. c) a força de reação da superfície é menor que 25 N. d) a força de reação da superfície depende da resistência da mesa. e) a reação da superfície sobre o corpo é igual a 25 N.
5. (Fuvest-SP) Uma força de 1 newton (1 N) tem a ordem de grandeza do peso de: a) um homem adulto. b) uma criança recém-nascida. c) um litro de leite; d) uma xicrinha cheia de café. e) uma moeda de um centavo.
6. (UF-RJ) Uma pessoa idosa, de 68 kg, ao se pesar, o faz
apoiada em sua bengala, como mostra a figura. Com a pessoa em repouso, a leitura da balança é de 650 N. Considere g 5 10 m/s2. Lettera Studio
c) A partícula pode estar em movimento uniforme. d) A partícula certamente está em movimento acelerado para a direita.
3. A Terceira Lei de Newton diz que: “A uma ação corresponde uma reação de módulo igual à ação, porém de sentido contrário”. No caso de um corpo em queda livre, dizemos que ele está sujeito apenas: a) à força de atração da Terra. b) à força de atração da Terra e à força de reação, de modo que a resultante fornece aceleração g. c) à força de atração da Terra, porque é desprezível a força de reação. d) à força de reação proveniente da ação da força da Terra. e) às forças de ação e reação, que, agindo sobre o corpo, se anulam.
4. (UC-MG) Um corpo de peso P 5 25 N está apoiado N
7. Um homem de massa m 5 80 kg está em repouso,
segurando-se em um fio ideal, preso ao teto de um aposento, como mostra a figura. Adote g 5 10 m/s2.
Marco A. Sismotto
sobre uma superfície horizontal, conforme a figura.
a) Supondo que a força exercida pela bengala sobre a pessoa seja vertical, calcule o seu módulo e determine o seu sentido. b) Calcule o módulo da força que a balança exerce sobre a pessoa e determine a sua direção e o seu sentido.
Lettera Studio
Exercícios complementares
b) A partícula pode estar em movimento retardado para a esquerda.
P
Lembrando a Terceira Lei de Newton, podemos afirmar que:
1
Volume 1 Capítulo 12
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_12.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:56 PM
Calcule: a) o módulo da aceleração adquirida pelo conjunto; b) o módulo da força que um bloco exerce sobre o outro.
11. Os blocos A e B, representados na figura, têm massas de 8,0 kg e 5,0 kg, respectivamente. O fio é ideal e não há atritos.
8. Consideremos dois blocos, A e B, inicialmente em
repouso sobre uma superfície plana e horizontal sem atrito, encostados um no outro. A partir de determinado instante, aplica-se ao conjunto uma força horizontal F, como ilustra a figura. As massas de A e B são respectivamente iguais a 7,0 kg e 5,0 kg. F
A
B
Exercícios complementares
Sabendo que a força exercida pelo bloco A sobre o bloco B tem intensidade 30 N, calcule: a) o módulo da aceleração do conjunto; b) o módulo de F.
9. (UF-ES) Dois corpos de massa m1 e m2 estão sobre um
plano horizontal sem atrito, e a força F atua diretamente sobre m1, conforme a figura. F
1
2
A intensidade da força que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2 vale: a) F m b) 2 F m1 c)
m1 F m2
d)
m1 F m1 m2
e)
m2 F m1 m2
A
F
B
Sabendo que a tração no fio tem intensidade T 5 32 N, calcule: a) o módulo da aceleração do sistema; b) o módulo da força horizontal F.
12. Dois blocos, A e B, de massas respectivamente iguais a 4,0 kg e 6,0 kg, estão inicialmente em repouso sobre um plano horizontal sem atrito, ligados por um fio ideal. A partir de determinado instante, aplicam-se aos blocos as forças horizontais F1 e F2, de intensidades F1 5 75 N e F2 5 50 N, como mostra a figura. F2
A
Ilustrações: Marco A. Sismotto
a) Calcule a intensidade da tração no fio. b) Suponha agora que o homem esteja subindo pelo fio em movimento acelerado, cuja aceleração tem módulo a 5 0,50 m/s2. Qual a intensidade da tração no fio? c) Suponha agora que o homem esteja escorregando pelo fio em movimento acelerado, cuja aceleração tem módulo a 5 3,0 m/s2. Qual a intensidade da tração no fio?
F1
B
Calcule: a) o módulo da aceleração do conjunto; b) o módulo da tração no fio.
13. (UF-AL) Uma força horizontal F, de intensidade 20 N, puxa três corpos presos entre si por dois fios. 3
fio B
fio A
2
1
F
Desprezam-se os atritos entre os corpos e a superfície horizontal de apoio. As massas dos corpos 1 e 3 são, respectivamente, m1 5 3,0 kg e m3 5 2,0 kg. A tração no fio A tem valor 14 N. Nessas condições, determine: a) a aceleração do sistema;
10. A figura representa dois blocos, A e B, de massa respectivamente iguais a 8,0 kg e 6,0 kg, inicialmente em repouso sobre um plano horizontal sem atrito. A partir de determinado instante, aplicamos ao conjunto as forças horizontais F1 e F2 de intensidades F1 5 41 N e F2 5 13 N, como ilustra a figura. F1
A
B
F2
b) a tração no fio B.
14. (UF-RN) Uma corrente consistindo de sete anéis, cada um com massa de 200 gramas, está sendo puxada verticalmente, para cima, com aceleração constante de 2,0 m/s2. A força para cima no anel do meio é: (Adote g 5 10 m/s2.) a) 16,8 N
d) 2,4 N
b) 9,6 N
e) 1,6 N
c) 8,4 N
2
Volume 1 Capítulo 12
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_12.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:56 PM
15. Dois blocos, A e B, de massas mA 5 5,0 kg e
F
B
g
Ilustrações: Marco A. Sismotto
mB 5 3,0 kg, estão ligados por um fio ideal. Aplica-se ao bloco B uma força vertical F, como mostra a figura, de modo que o conjunto sobe verticalmente, em movimento acelerado. A intensidade de F é 112 N e a aceleração da gravidade tem módulo g 5 10 m/s2.
A
16. Dois blocos, A e B, de massas respectivamente iguais a 3,0 kg e 4,0 kg, descem em movimento acelerado, empurrados por uma força F de intensidade F 5 14 N, como mostra a figura. F g A
B
Sendo g 5 10 m/s2, calcule: a) o módulo da aceleração do sistema; b) o módulo da força que o bloco A exerce sobre o bloco B.
Exercícios complementares
Calcule: a) o módulo da aceleração do sistema; b) o módulo da tração no fio.
3
Volume 1 Capítulo 12
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_12.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:56 PM
CAPÍTULO 13 – Aplicação das leis de Newton
10. Um corpo de massa m 5 20 kg está pendurado em um dinamômetro, o qual está fixo no teto de um elevador. A aceleração da gravidade tem módulo g 5 10 m/s2. Determine a marcação do dinamômetro quando o elevador sobe em movimento acelerado, cuja aceleração tem módulo a 5 2,5 m/s2.
Calcule: a) a intensidade de T;
b) a indicação da balança.
13. (ITA-SP) No teto de um elevador temos um corpo de
peso 16 N preso a um dinamômetro que acusa 20 N. A aceleração local da gravidade vale 10 m/s2. A intensidade da aceleração do elevador é: a) zero c) 5,0 m/s2 e) 0,40 m/s2 2 2 b) 2,5 m/s d) 10,0 m/s
14. (ITA-SP) Em relação à situação do teste anterior, m
11. Consideremos um corpo de massa m 5 15 kg pendu-
m
iLUStraÇÕeS: MarCo a. SiSMotto
Exercícios complementares
rado em um dinamômetro, o qual está preso no teto de um elevador. A aceleração da gravidade tem intensidade g 5 10 m/s2. Um indivíduo dentro do elevador observa que a marcação do dinamômetro é 180 N.
podemos afirmar que o elevador está: a) subindo com velocidade constante. b) em repouso. c) subindo em movimento acelerado. d) descendo em movimento acelerado. e) subindo em movimento acelerado ou descendo em movimento retardado.
15. O esquema representa dois corpos, A e B, de pesos
respectivamente iguais a 40 N e 15 N, presos às extremidades de um fio ideal f que passa por uma polia também ideal. O corpo A está apoiado sobre uma plataforma horizontal. Calcule o módulo da força exercida pela plataforma sobre o corpo A.
f B
a) Calcule o módulo da aceleração do elevador.
A
b) O que podemos dizer sobre o movimento do elevador?
12. Um homem de massa mH 5 80 kg está sobre uma
balança de molas, a qual está fixa no piso de um elevador, como mostra a figura. A massa do elevador juntamente com a balança é mE 5 520 kg. O conjunto está inicialmente em repouso. A partir de determinado instante, aplica-se ao teto do elevador uma força vertical T, de modo que o elevador começa a subir com movimento acelerado, cuja aceleração tem módulo a 5 2,0 m/s2.
16. No sistema representado na figura, o fio e a polia são ideais, a massa do bloco A é 9,0 kg e a tração no fio tem módulo 36 N. A
T
B
Supondo g 5 10 m/s2 e desprezando o atrito, calcule: a) o módulo da aceleração do bloco A; b) a massa do bloco B.
1
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_13.indd 1
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são Parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:57 PM
17. No sistema representado na figura, os blocos A, B e C
20. Os blocos A e B na figura têm massas respectivamente
têm massas respectivamente iguais a 9,0 kg, 6,0 kg e 5,0 kg. Os fios e as polias são ideais e a aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s2.
iguais a 14 kg e 6,0 kg. O fio e a polia são ideais e não há atrito. No instante t 5 0, o bloco A tem velocidade v0 de módulo 12 m/s, como representado na figura. Sendo g 5 10 m/s2, determine o instante em que a velocidade do bloco A se anula.
B
v0
C A
A
30 m B
Desprezando o atrito, calcule: a) o módulo da aceleração no bloco B; b) o módulo da tração no fio preso ao bloco A; c) o módulo da tração no fio preso ao bloco C.
Exercícios complementares
18. No sistema representado na figura, os blocos A e B têm massas 2,0 kg e 3,0 kg, respectivamente. O fio e a polia são ideais e g 5 10 m/s2. Uma força horizontal F de intensidade 60 N é aplicada ao bloco B. Desprezando o atrito, calcule o módulo da aceleração do bloco A.
21. Um bloco de massa M 5 80 kg está preso em uma das extremidades de um fio ideal que passa por uma polia também ideal e é puxada, conforme a figura, por um indivíduo de massa m 5 60 kg, de modo que tanto o indivíduo como o bloco sobem em movimento acelerado. Sabendo que g 5 10 m/s2 e que o módulo da aceleração do indivíduo é 4,0 m/s2, calcule o módulo da aceleração do bloco.
F
B
A
19. O sistema representado na figura é abandonado em repouso no instante t 5 0. Os blocos A e B têm massas respectivamente iguais a 8,0 kg e 2,0 kg.
22. (ITA-SP) No sistema esquematizado são desprezíveis o
A
atrito, o momento de inércia da roldana e a massa do fio que liga as massas m1 e m2. Sabe-se que m1 m2 e que a aceleração da gravidade local é g. iLUStraÇÕeS: MarCo a. SiSMotto
B 18 m 9m
Sabendo que g 5 10 m/s2 e desprezando o atrito, calcule: a) o instante em que o bloco B atinge o solo; b) a velocidade do bloco B ao atingir o solo.
2
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_13.indd 2
m1 m2
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são Parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:57 PM
A tensão T no fio e a aceleração a da massa m1 são, respectivamente, dadas por: 2m1m2g (m1 m2) g ;a a) T m1 m2 m1 m2 b) T
m1m2g (m1 m2) g ;a m1 m2 m1 m2
c) T (m1 m2) g; a d) T (m1 m2) g; a e) T (m1 m2) g; a
(m
m2) g m1 m2
25. (Fuvest-SP) A figura abaixo representa esquematica-
1
(m
1
(m
1
O tempo que A leva para ir de M até N é: a) 1,0 s b) 2 s c) 2,0 s d) 5 s e) 3,0 s mente um elevador E com massa 800 kg e um contrapeso B, também de 800 kg, acionados por um motor M. A carga interna do elevador é de 500 kg.
m2) g m1
M
m2) g m1
23. (F. M. Pouso Alegre-MG) Na montagem abaixo, um
iLUStraÇÕeS: MarCo a. SiSMotto
Exercícios complementares
indivíduo de massa 70 kg mantém suspenso um bloco B de massa 30 kg através de um fio ideal que passa por uma polia também ideal. E
B
Calcule a força exercida pelo motor através do cabo, em cada um dos casos a seguir: (Adote: g 5 10 m/s2.)
B
a) o elevador sobe com velocidade constante; b) o elevador sobe com movimento acelerado, cuja aceleração é 0,50 m/s2.
Sendo g 5 10 m/s2, calcule as intensidades:
26. (FEI-SP) Um carrinho de massa 100 kg está sobre tri-
a) da tração no fio;
lhos e é puxado por dois homens que aplicam forças F1 e F2, conforme a figura abaixo.
b) da força que o chão exerce no indivíduo.
24. (PUC-SP) O esquema representa dois corpos, A e B, de massas respectivamente iguais a 8,0 kg e 2,0 kg, ligados por um fio inextensível e de massa desprezível. No instante t 5 0, os corpos estão em repouso na posição indicada no esquema. Nesse instante abandona-se o sistema, que assume movimento devido à tração exercida por B. Despreze as forças de atrito e suponha que a aceleração da gravidade tem intensidade 10 m/s2. A
M
5m
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_13.indd 3
30º
45º
F2
Qual é a aceleração do carrinho, sendo dados |F1| 5 5 |F2| 5 20 N? a) 0,31 m/s2 5 m/s2 10 6 m/s2 c) 10 d) 0,5 m/s2 e) 0,6 m/s2 b)
N B solo
3
F1
1m
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são Parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:57 PM
A partir do instante de aplicação de F, calcule: a) o módulo da força normal exercida pela superfície horizontal sobre o bloco; b) o módulo da aceleração do bloco.
28. Consideremos um bloco de massa m 5 12 kg, inicial-
F
θ
MarCo a. SiSMotto
Exercícios complementares
mente em repouso sobre um plano horizontal sem atrito, num local em que g 5 10 m/s2. A partir de determinado instante, aplicamos ao bloco uma força F de direção e sentido constantes, como indica a figura. (Dados: sen θ 5 0,60 e cos θ 5 0,80.)
a) Calcule a máxima intensidade que pode ter a força F, de modo que o bloco não perca o contato com o plano horizontal. b) Para a intensidade máxima de F, obtida no item a, calcule a aceleração do bloco.
29. Um bloco de massa m 5 4,0 kg está inicialmente em
F
MarCo a. SiSMotto
repouso sobre uma superfície plana e horizontal sem atrito, num local em que g 5 10 m/s2. A partir de determinado instante, aplicamos ao bloco uma força F de direção e sentido constantes, como mostra a figura.
30º
a) Calcule a máxima intensidade que pode ter a força F de modo que o bloco não perca o contato com a superfície horizontal. b) Para a intensidade máxima de F, obtida no item a, calcule a aceleração do bloco.
4
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_13.indd 4
MarCo a. SiSMotto
pectivamente iguais a 20 kg e 10 kg, inicialmente em repouso sobre um plano horizontal sem atrito, encostados um no outro. A partir de determinado instante, aplicamos ao bloco A uma força constante F, de intensidade F 5 60 N, como mostra a figura. São dados: g 5 10 m/s2, sen θ 5 0,40 e cos θ 5 0,90.
MarCo a. SiSMotto
F
θ
30. Consideremos dois blocos, A e B, de massas res-
F
θ
A
B
Calcule as intensidades: a) da aceleração do sistema; b) da força exercida pelo bloco A sobre o bloco B; c) das forças normais exercidas pelo plano horizontal sobre os blocos A e B.
31. (Fuvest-SP) Uma pessoa pendurou um fio de prumo
no interior de um vagão de trem e percebeu, quando o trem partiu do repouso, que o fio se inclinou em relação à vertical. Com auxílio de um transferidor, a pessoa determinou que o ângulo máximo da inclinação, na partida do trem, foi 14o. MarCo a. SiSMotto
so sobre uma superfície plana e horizontal sem atrito. A partir de determinado instante, aplicamos ao bloco uma força constante F, como mostra a figura, cuja intensidade é F 5 200 N. São dados: g 5 10 m/s2, sen q 5 0,40 e cos q 5 0,90.
14º
Nessas condições: a) represente, na figura acima, as forças que agem na massa presa ao fio. b) indique, na figura acima, o sentido de movimento do trem. c) determine a aceleração máxima do trem. (Note e adote: tg 14o 5 0,25; aceleração da gravidade na Terra: g 5 10 m/s2.)
32. Um veículo move-se sobre uma estrada plana hori-
zontal, com movimento acelerado, de aceleração a. De um ponto D de sua traseira pende um fio ideal de comprimento b, o qual arrasta uma bolinha de massa m. São dados: g 5 10 m/s2, b 5 1,3 m e h 5 0,50 m. Calcule o máximo valor de a, de modo que a bolinha não perca o contato com a estrada. ConCeitograf
27. Um bloco de massa 6,0 kg está inicialmente em repou-
a
h
b
D
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são Parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:57 PM
da plana horizontal, em movimento retilíneo uniformemente acelerado cuja aceleração é a 5 8,1 m/s2. No teto do veículo está preso um pêndulo simples que se mantém em repouso em relação ao veículo. Determine o ângulo formado pelo pêndulo com a direção vertical. É dado g 5 10 m/s2.
36. Os blocos A e B da figura têm massas respectivamente iguais a 20 kg e 30 kg. O fio e a polia são ideais e não há atrito. B
A
34. (Fuvest-SP) O mostrador de uma balança, quando um objeto é colocado sobre ela, indica 100 N, como esquematizado em A. Conceitograf
Marco A. Sismotto
33. Consideremos um veículo que se move sobre uma estra-
θ
(sen θ 0,60 e cos θ 0,80 )
Adotando g 5 10 m/s2, calcule: a) o módulo da aceleração do bloco A; b) o módulo da tração no fio; c) o módulo da força exercida pelo fio sobre a polia.
(A)
(Sugestão: Lembre-se de que a 1 q 5 180o ⇒ ⇒ cos a 5 2cos θ.)
37. No sistema representado a seguir, os blocos A e B têm
B
A
α
θ
(B) Se tal balança estiver desnivelada, como se observa em B, seu mostrador deverá indicar, para esse mesmo objeto, o valor de: a) 125 N c) 100 N e) 75 N b) 120 N d) 80 N
35. Uma partícula é lançada com velocidade inicial v0
B v0
A
θ
a) Determine o módulo da aceleração da partícula durante a subida. b) Determine o intervalo de tempo decorrido desde o instante em que a partícula é lançada até o instante em que ela para. c) Sendo B o ponto do plano inclinado em que a partícula para, determine a distância AB.
5
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_13.indd 5
Desprezando o atrito, calcule: a) o módulo da aceleração do bloco A; b) o módulo da tração no fio.
38. (UF-GO) Um bloco desliza sobre um plano horizontal
sem atrito com velocidade constante v0. Em seguida, ele sobe uma rampa de inclinação q, também sem atrito, até parar no ponto C da figura. A distância BC percorrida ao longo da rampa é: C
Marco A. Sismotto
sobre um plano inclinado sem atrito, conforme mostra a figura, numa região em que a aceleração da gravidade tem módulo g 5 10 m/s2. São dados v0 5 12 m/s e sen q 5 0,30.
(sen θ 0,50 e sen α 0,60)
v0
B
Marco A. Sismotto
Exercícios complementares
massas respectivamente iguais a 7,0 kg e 3,0 kg. O fio e a polia são ideais e a aceleração da gravidade tem módulo g 5 10 m/s2.
θ
a)
v20 v20 d) 2 g tg q g sen q
b)
v20 v20 e) 2 g cos q 2 g sen q
c)
2v20 g sen q
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
cujas massas são respectivamente iguais a 2,0 kg e 4,0 kg, sobem a rampa em movimento uniforme, devido à força F paralela ao plano inclinado. Despreze os atritos e adote g 5 10 m/s2.
A
B
F
MarCo a. SiSMotto
40. (Mackenzie-SP) Os corpos A e B da figura abaixo,
com velocidade de 10 m/s, por uma rampa de inclinação de 30o, conforme a figura. Ao atingir a altura h 5 15 m, o barbante se rompe. Sabendo que g 5 10 m/s2, calcule o intervalo de tempo entre o instante do rompimento do barbante e a chegada do carrinho até a base da rampa. Despreze o atrito. Lettera StUDio
39. (UF-BA) Um garoto puxa um carrinho de massa 2,0 kg
30º
h 5 15 m
Exercícios complementares
30º
A intensidade da força que A exerce em B é: a) 2,0 N d) 30 N b) 3,0 N e) 40 N c) 20 N
6
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_13.indd 6
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são Parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
CAPÍTULO 14 – Lançamento oblíquo
5. Numa das margens de um rio, cuja largura é 850 m,
1. Considerando o lançamento horizontal de uma partícula nas proximidades da superfície da Terra e no vácuo, analise cada sentença e diga se é verdadeira ou falsa: a) A velocidade vetorial da partícula é constante.
é instalado um canhão de modo que sua boca esteja 45 m acima do solo (veja figura). Os projéteis disparados pelo canhão abandonam sua boca com velocidade horizontal v0. Para que valores de v0 o projétil atinge a outra margem? (Adote g 5 10 m/s2 e despreze a resistência do ar.) ConCeitogrAF
b) A velocidade vetorial da partícula tem módulo constante. c) A velocidade vetorial da partícula tem direção variável. d) A aceleração vetorial da partícula tem direção constante. e) A aceleração vetorial da partícula tem módulo constante. g) O ângulo formado entre a velocidade vetorial e a aceleração vetorial é constante.
2. Uma partícula é lançada horizontalmente, com veloci-
Exercícios complementares
dade v0, de ponto O situado a uma altura h em relação ao solo, numa região em que a aceleração da gravidade tem módulo g. O
v0 g
h
A
v
Calcule, em função de h, g e v0: a) o alcance horizontal;
6. Uma partícula é lançada horizontalmente, com velocidade v0, numa região em que g 5 10 m/s2. Seja v a velocidade dessa partícula num instante qualquer após o lançamento (antes de atingir o solo). Calcule |v0|, sabendo que 2,0 s após o lançamento temos v = 5 |v0 |. (Despreze os efeitos do ar.) 3
7. Um helicóptero voa horizontalmente com velocidade constante de módulo 180 km/h a uma altura de 80 m acima do teto de um automóvel, perseguindo o automóvel que se move a 144 km/h. Num determinado instante, desprende-se do helicóptero um parafuso que acaba atingindo o automóvel. Determine o ângulo θ no momento em que o parafuso se solta. (Adote g 5 10 m/s2.) ConCeitogrAF
f) A aceleração vetorial da partícula é constante.
180 km/h θ 80 m
b) o módulo da velocidade v com que a partícula atinge o solo.
144 km/h
3. Uma partícula é lançada horizontalmente, com velo8. (OPF-SP) Esta questão se refere à figura abaixo. ConCeitogrAF
cidade v0, de um ponto O situado 500 m acima do solo (suposto horizontal), numa região em que a aceleração da gravidade tem módulo g 5 10 m/s2. Sabendo que o alcance horizontal do lançamento é a 5 300 m, calcule |v0|. (Despreze os efeitos do ar.)
4. (UF-GO) Uma esfera que rola sobre uma mesa horizontal, abandona essa mesa com uma velocidade horizontal v0 e toca o solo após 1 s. Sabendo que a distância horizontal percorrida pela bola é igual à altura da mesa e considerando g 5 10 m/s2, a velocidade v0 é de: a) 1,25 m/s
d) 5,00 m/s
b) 10,00 m/s
e) 2,50 m/s
c) 20,00 m/s
1
Volume 1 Capítulo 14
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_14.indd 1
Sabe-se que não há atrito em qualquer parte do movimento. Uma bola é solta a partir do repouso, sempre da mesma posição no plano inclinado. A bola rola
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são PArte integrAnte da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
sobre o plano e sobre a mesa, caindo livremente, e um estudante, com uma cesta, recolhe-a sem deixar cair no chão. Ele posiciona a cesta como indica o desenho, e a bola cai exatamente em seu interior. A partir desse fato, ele garante que, se colocasse a cesta a uma distância horizontal 2d da mesa, seria necessário alterar também o valor de y. Qual das alternativas abaixo corresponde ao novo valor de y?
11. (U. F. Viçosa-MG) Desprezada a resistência do ar, a opção que representa corretamente a(s) força(s) que atua(m) sobre uma bola de futebol após ter sido chutada é: a)
a) y b) 2y c) 3y
b)
d) 4y e) Impossível resolver o problema.
9. Um indivíduo aponta sua espingarda para uma boli-
F B
c)
d)
80 cm
e) 80 m
Lettera Studio
Exercícios complementares
S g
Alex Argozino
nha B, presa por um fio F a um suporte S, de modo que o cano da espingarda fique na horizontal. No exato instante em que a bola abandona o cano da espingarda, o fio F se parte e a bolinha cai. Adotando g 5 10 m/s2 e desprezando os efeitos do ar, determine a velocidade com que a bala abandona o cano da espingarda de modo que a bala atinja a bolinha no instante em que esta atinge o solo.
10. Uma superfície plana S está inclinada em relação ao
solo, com ângulo de inclinação θ 5 64o. De um ponto O, situado 180 metros acima do solo, uma partícula é lançada com velocidade horizontal v0, cujo módulo é v0 5 15 m/s, conforme mostra a figura. Seja B o ponto onde a partícula atinge a superfície. Supondo g 5 10 m/s2 e desprezando os efeitos do ar, calcule a altura h do ponto B. (Se necessário, consulte a tabela trigonométrica neste CD.) O
v0
12. (Mackenzie-SP) Um balão (aeróstato) sobe verticalmente com velocidade constante de 10 m ? s21. Ao atingir a altura de 40 m, seu piloto lança horizontalmente uma pedra com velocidade de 30 m ? s21. Adote g 5 10 m/s2. A distância da vertical, que passa pelo ponto de lançamento, ao ponto em que a pedra atinge o solo é: a) 40 m
S
b) 80 m c) 120 m
180 m
d) 240 m
B
g
h A
D 10 m
2
Volume 1 Capítulo 14
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_14.indd 2
θ
e) 360 m
13. Uma partícula é lançada de um ponto O situado
80 m acima do solo, com velocidade v0 cujo módulo é 50 m/s e com ângulo de tiro θ (veja a figura). São dados: g 5 10 m/s2, sen θ 5 0,60 e cos θ 5 0,80.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
v0
ConCeitogrAF
A partícula atinge um muro vertical situado a 280 m do ponto O. Determine a altura h do ponto B onde a partícula atinge o muro. (Despreze os efeitos do ar.)
α
v0 O
80 cm
θ B
80 m
h ?
d
280 m
14. (E. E. Mauá-SP) Calcule a velocidade mínima com que o veículo M deve atingir o ponto A da rampa AO para não cair no rio. São dados: sen θ 5 0,26; sen2 θ 5 0,04 cos θ 5 0,97; cos2 θ 5 0,94 g 5 9,8 m/s2
O
mostrada na figura após ser arremessada por um jovem atleta que tenta bater um recorde de arremesso.
10 m 5m
letterA Studio
θ
18. (AFA-SP) Uma bola de basquete descreve a trajetória
luiz FernAndo ruBio
A
M
Sabendo que o corpo tangencia a aresta oposta, podemos afirmar que a distância d é de: a) 0,60 m c) 1,20 m e) 3,20 m b) 0,80 m d) 1,60 m
5,0 m
Exercícios complementares
B
2,0 m
x
15. (I. E. Itajubá-MG) Um projétil de massa m é lançado com velocidade inicial v0 fazendo certo ângulo com a horizontal. A componente horizontal de sua velocidade será, considerando h a altura máxima: a) v0 b)
2v0
c)
v20 2gh
d)
v20 2 2gh
e)
2gh
A bola é lançada com uma velocidade de 10 m/s e, ao cair na cesta, sua componente horizontal vale 6,0 m/s. Despreze a resistência do ar e considere g 5 10 m/s2. Pode-se afirmar que a distância horizontal (x) percorrida pela bola desde o lançamento até cair na cesta, em metros, vale: a) 3,0 b) 6,0 c) 4,8 d) 3,6
19. (Cesgranrio-RJ) Um corpo é lançado da origem de um
16. (UF-PR) Uma bola é lançada, a partir do solo, com uma velocidade cuja componente horizontal vale 45 m/s e cuja componente vertical vale 20 m/s. Determine sua velocidade 2 segundos após o lançamento. (Considere g 5 10 m/s2 e despreze a resistência do ar.)
sistema cartesiano ortogonal, com velocidade v0, em uma direção que forma um ângulo θ com a horizontal, 0 θ π . A trajetória descrita, em relação a 2 um observador parado na origem, é uma parábola. O alcance do lançamento é 10 m e a altura máxima atingida pelo corpo é 5,0 m. y (m) 5,0
17. (Mackenzie-SP) Da aresta superior do tampo retangular de uma mesa de 80 cm de altura, um pequeno corpo é disparado obliquamente, com velocidade inicial de módulo 5,00 m/s, conforme mostra a figura abaixo. O tampo da mesa é paralelo ao solo e o plano da trajetória descrita, perpendicular a ele. Despreze a resistência do ar e considere: sen α 5 0,60; cos α 5 0,80; g 5 10 m/s2.
3
Volume 1 Capítulo 14
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_14.indd 3
v0 θ
0
5,0
10
x (m)
Desprezando-se a resistência do ar e considerando-se a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, determine a intensidade da velocidade de lançamento v0. Adote 5 5 2,2.
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são PArte integrAnte da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
20. (Mackenzie-SP) Seja T o tempo total de voo de um projétil disparado a 60º com a horizontal, e seja v0y 5 200 m/s o valor da componente vertical da velocidade inicial. Desprezando a resistência do ar e considerando a aceleração da gravidade g 5 10 m/s2, os valores da componente vertical da velocidade nos instantes t 5 T e t 5 T são, respectivamente: 2 a) zero; zero d) 200 m/s; 200 m/s b) zero; 200 m/s e) 200 m/s; 100 m/s c) 200 m/s; zero
21. Na figura estão desenhados os vetores velocidade ins-
tantânea de uma partícula, nos instantes 0, 2 s, 4 s, 6 s e 8 s. Em qual das alternativas melhor se descreve o movimento da partícula? t 0 t 2s O
t 4s t 6s
Exercícios complementares
t 8s
a) É um movimento retilíneo uniforme. b) É um movimento retilíneo uniformemente variado. c) É o movimento de um corpo lançado obliquamente. d) É um movimento circular com velocidade angular constante.
22. (Vunesp-SP) A atleta brasileira Daiane dos Santos
teve seu salto “duplo twist carpado” analisado por pesquisadores do Laboratório de Biofísica da Escola de Educação Física da USP. Nesse estudo, verificou-se que, na última parte do salto, o seu centro de massa descreveu uma parábola, que a componente vertical da velocidade inicial da atleta foi de 5,2 m/s e que ela levou 1 s para percorrer uma distância horizontal de 1,3 m até atingir o chão. Adotando g 5 10 m/s2, determine o ângulo inicial aproximado do salto. α
sen α
cos α
15o 30o 45o 60o 75o 90o
0,26 0,50 0,71 0,87 0,97 1,00
0,97 0,87 0,71 0,50 0,26 0,00
23. Um canhão dispara projéteis com velocidade v0, num local em que a aceleração da gravidade tem módulo g. Determine o ângulo de tiro θ para o qual o alcance horizontal é igual à altura máxima.
4
Volume 1 Capítulo 14
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_14.indd 4
24. Duas partículas, A e B, são lançadas simultaneamente, de um mesmo ponto O do solo (suposto plano e horizontal), com velocidades vA e vB indicadas na figura (o eixo Ox é horizontal e o eixo Oy é perpendicular ao solo). Desprezando a resistência do ar, podemos afirmar que: y vA
vB
O
x
a) ambas atingirão o solo no mesmo ponto. b) ambas atingirão o solo no mesmo instante. c) as alturas máximas atingidas por ambas serão diferentes. d) o alcance da partícula A será maior que o alcance da partícula B. e) elas atingirão suas alturas máximas em instantes diferentes.
25. Ao bater o tiro de meta, um goleiro chuta a bola parada de forma que ela alcance a maior distância possível. No chute, a bola atinge o campo a uma distância de 40 m. Despreze a resistência do ar e considere g 5 10 m/s2. a) Qual o ângulo de tiro do chute do goleiro? b) Qual a intensidade do vetor velocidade inicial da bola? c) Qual a altura máxima atingida pela bola?
26. Um canhão dispara projéteis com velocidade de
módulo v0 e ângulo de tiro θ, tal que seu alcance horizontal seja máximo. Sabendo que os projéteis permanecem no ar durante 4,0 segundos e que g 5 10 m/s2, determine: a) o valor de v0;
b) o alcance horizontal.
27. (Vunesp-SP) Em uma partida de futebol, a bola é chutada a partir do solo descrevendo uma trajetória parabólica cuja altura máxima e o alcance atingido são, respectivamente, h e s. Desprezando o efeito do atrito do ar, a rotação da bola e sabendo que o ângulo de lançamento foi de 45o em relação ao solo horizontal, calcule a razão s/h.
28. (UF-RN) A experiência ilustrada na figura a seguir é realizada na superfície da Terra. Nessa experiência, uma pessoa lança uma pequena esfera no mesmo instante em que um objeto que estava preso no teto é liberado e cai livremente. A esfera, lançada com
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
objeto h
O
v0
M
300 m
v'0
letterA Studio
velocidade v0, atinge o objeto após um tempo tg. Se repetirmos, agora, essa mesma experiência num ambiente hipotético, onde a aceleração local da gravidade é nula, o tempo de colisão entre a esfera e o objeto será t0.
d 120 m
esfera sendo lançada
Considerando desprezível a resistência do ar nessas experiências, pode-se afirmar que: a) t0 5 tg 5 d v0
Exercícios complementares
b) t0 5 tg 5 h v0 c) t0 tg d v0 d) t0 tg h v0
29. De um ponto O situado 300 m acima do solo, lança-se
horizontalmente uma partícula com velocidade vA. No mesmo instante, outra partícula é lançada verticalmente para cima, de um ponto O' situado no solo, com velocidade v0 cujo módulo é 50 m/s, conforme mostra a figura. Sabe-se que as partículas chocam-se em um ponto M.
5
Volume 1 Capítulo 14
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_14.indd 5
O'
Adotando g 5 10 m/s2 e desprezando os efeitos do ar, calcule: a) o tempo decorrido desde o lançamento até o choque das partículas; b) a altura do ponto M; c) o módulo de v0.
30. (FAAP-SP) Uma partícula é lançada obliquamente
num plano vertical da origem O de um referencial cartesiano Oxy com velocidade de módulo 10 m/s, a qual faz com o eixo Ox um ângulo de 60o. No mesmo instante, é lançada verticalmente para cima uma outra partícula do ponto (100; 40 3 ) onde as coordenadas são dadas em metros. Admitindo desprezíveis a resistência do ar e a curvatura da superfície terrestre e considerando g 5 10 m/s2, determinar: a) o tempo decorrido desde o instante dos lançamentos até o instante do encontro; b) o módulo da velocidade da partícula lançada verticalmente para que consiga encontrar a outra. (Sugestão dos autores: Suponha que o eixo Ox seja paralelo ao solo e esteja a mais de 1 830 m acima do solo.)
31. Para a situação da questão anterior, determine as coordenadas do ponto de encontro.
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são PArte integrAnte da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
1. Dois blocos, A e B, estão em repouso, encostados um
F1
A
MARCO A. SISMOTTO
no outro e apoiados sobre uma superfície plana horizontal, numa região em que g 5 10 m/s². As massas de A e B são respectivamente iguais a 3,0 kg e 2,0 kg, e o coeficiente de atrito dinâmico entre cada bloco e a superfície horizontal é μd 5 0,40. A partir de certo instante, aplicam-se aos blocos as forças horizontais F1 e F2, conforme mostra a figura. F2
B
Sendo 80 N e 30 N, respectivamente, os módulos de F1 e F2, calcule, após iniciado o movimento, os módulos:
Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a superfície é μ, o módulo da força F exercida pela pessoa é dado por: a) F 5 μ(P μ sen θ) b) F
P sen θ µ P cos θ
c) F P d) F
( cos θ µµ sen θ )
sen θ µ cos θ P
e) F 5 P(μ cos θ sen θ)
4. O sistema esquematizado na figura é abandonado em repouso.
a) da força de atrito exercida sobre o bloco A; b) da força de atrito exercida sobre o bloco B;
g
A
c) da aceleração dos blocos;
MARCO A. SISMOTTO
CAPÍTULO 15 – Força de atrito
e) da força exercida pelo bloco A sobre o bloco B. dois blocos têm massas iguais e estão ligados por um fio de massa desprezível. Na superfície do plano inclinado, o bloco desloca-se sem atrito. O coeficiente de atrito cinético entre o plano horizontal e o bloco é 0,4, e o atrito na roldana da corda, desprezível. MARCO A. SISMOTTO
B
A massa de A é 6,0 kg, a massa de B é 8,0 kg, os fios e as polias são ideais, g 5 10 m/s² e o coeficiente de atrito entre A e a superfície horizontal é 0,40. Determine: a) a aceleração de A; b) a aceleração de B; c) a tração no fio ligado a A.
30º
5. (UFF-RJ) Um pano de prato retangular, com 60 cm Sendo g 5 10 m/s², a aceleração de cada bloco vale, em m/s²: a) 5
d) 0,4
b) 10
e) 0,87
de comprimento e constituição homogênea, está em repouso sobre uma mesa, parte sobre sua superfície, horizontal e fina, e parte pendente, como mostra a figura.
c) 0,5
3. (Cefet-PR) Uma pessoa puxa, com velocidade cons-
CONCEITOGRAF
Exercícios complementares
2. (UF-PE) No sistema representado na figura abaixo,
LETTERA STuDIO
tante, uma caixa de peso P sobre uma superfície horizontal, como indica a figura a seguir.
F θ
1
Volume 1 Capítulo 15
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_15.indd 1
Sabendo-se que o coeficiente de atrito estático entre a superfície da mesa e o pano é igual a 0,50 e que o pano está na iminência de deslizar, pode-se afirmar que o comprimento da parte sobre a mesa é: a) 40 cm
c) 15 cm
b) 20 cm
d) 60 cm
e) 30 cm
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
6. O sistema esquematizado na figura é abandonado
em repouso. O fio e a polia são ideais, a massa de A é 6,0 kg, a massa de B é 4,0 kg e o coeficiente de atrito entre B e o plano inclinado é 0,05. São dados: g 5 10 m/s², sen θ 5 0,60, cos θ 5 0,80.
g
B
g
B
A
A C
θ
Determine: a) o módulo da aceleração de cada bloco; b) a tração no fio.
7. (Cesesp-PE) Dois blocos de massa M1 e M2 são ligados
por uma corda leve e inextensível que passa por um pino fixo e liso, conforme mostra a figura. O coeficiente de atrito estático entre o bloco 2 e a mesa horizontal é μ.
M1
a) 3 N a 5 N
d) 12 N a 28 N
b) 6 N a 8 N
e) 30 N a 45 N
c) 8,5 N a 11 N
10. (Fuvest-SP) Um bloco de massa m, montado sobre rodas (para tornar o atrito desprezível), parte do repouso em A e leva um tempo t0 para atingir B. A massa das rodas é desprezível. Retirando-se as rodas, verifica-se que o bloco, partindo do repouso em A, leva um tempo 2t0 para atingir B.
g
Se M2 5 4M1, o menor valor possível de μ para que os blocos não entrem em movimento deve ser:
A h
a) 4,50 b) 0,45
α
B
c) 0,20 d) 0,65 e) 0,25
8. Um bloco A, de massa 4,0 kg, está sobre um bloco B, de massa 8,0 kg, o qual está sobre uma superfície plana horizontal, sem atrito, numa região em que g 5 10 m/s². O coeficiente de atrito estático entre o bloco A e o bloco B é μe 5 0,20. Calcule a máxima intensidade de uma força horizontal F que pode ser aplicada sobre o bloco A, de modo que o conjunto se mova sem que A escorregue sobre B. A
a) Determine o valor de t0. b) Determine o valor do coeficiente de atrito entre o plano e o bloco (sem rodas), em função de α.
11. Sobre um plano inclinado são abandonados dois blocos, A e B, ligados por um fio ideal, como mostra a figura. As massas de A e B são respectivamente iguais a 4,0 kg e 6,0 kg. Os coeficientes de atrito dinâmico entre os blocos A e B e o plano inclinado são, respectivamente, μA 5 0,25 e μB 5 0,50. B
F A
B
sen θ 0,60 cos θ 0,80
θ
9. (PUC-SP) No sistema representado na figura, as polias e os fios são ideais, o peso de A é 20 N e o peso de B é 10 N. O coeficiente de atrito entre A e a superfície horizontal é igual a 0,2.
2
Volume 1 Capítulo 15
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_15.indd 2
ILuSTRAçõES: MARCO A. SISMOTTO
Exercícios complementares
M2
Para que o sistema fique em equilíbrio, o peso de C deve ficar no intervalo:
Sabendo que g 5 10 m/s², calcule: a) o módulo da aceleração do conjunto; b) o módulo da tração no fio.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
12. Considere a situação do exercício anterior. Calcule a
intensidade da tração no fio, supondo μA 5 μB 5 0,50.
13. Os blocos B e C estão inicialmente em repouso apoiados sobre a superfície horizontal S. A massa de B é 10 kg, a massa de C é 5,0 kg, o coeficiente de atrito entre C e B é 0,20, o coeficiente de atrito entre B e S é 0,05 e g 5 10 m/s². Aplicamos sobre o bloco C uma força horizontal F, de intensidade 5,0 N. F
B
θ
sen θ = 0,60 e cos θ = 0,80
a) Determine os valores da massa de B para os quais o sistema permanece em repouso. b) Para que valor da massa de B a força de atrito entre o bloco A e o plano inclinado é nula?
15. Um bloco A, de massa m 5 10 kg, está sobre um
B
S
a) O bloco C deslizará sobre B? b) O bloco B deslizará sobre S?
14. No sistema representado na figura, o fio e a polia são
A
v
B
θ
Exercícios complementares
ideais e a massa do bloco A é 20 kg. Adote g 5 10 m/s², suponha que o coeficiente de atrito estático entre o bloco A e o plano inclinado é μ 5 0,25 e admita que o sistema tenha sido abandonado em repouso.
carro B, o qual desce por uma rampa sem atrito, como mostra a figura, sem que A escorregue sobre B. São dados: g 5 10 m/s², sen θ 5 0,60 e cos θ 5 0,80. Calcule as intensidades da força normal e da força de atrito exercidas pelo carro sobre o bloco A. Ilustrações: Marco A. Sismotto
C
A
3
Volume 1 Capítulo 15
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_15.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
CAPÍTULO 18 – Trabalho e energia cinética
1. Um corpo de massa 2,0 kg move-se sobre uma superfície horizontal cujo coeficiente de atrito é μ. Sob o corpo atua uma força horizontal que varia com a posição do corpo, como indica o gráfico abaixo: v
A distância percorrida pelo bloco, desde o ponto C até parar, vale, em metros, a) 12
d) 4,0
b) 8,0
e) 2,0
c) 6,0
4. (ITA-SP) O arranjo de polias da figura é preso ao teto
F
10
110
para erguer uma massa de 24 kg, sendo os fios inextensíveis e desprezíveis as massas das polias e dos fios.
x (m)
Marco A. Sismotto
F (N) 25
F 5 0
10
110
x (m)
2. (Fund. Carlos Chagas-SP) Um corpo de massa 0,20 kg escorrega pela pista em forma de arco de circunferência de raio R 5 4,0 m, partindo do repouso no ponto A. 30° R R
A
24 kg
Desprezando os atritos, determine: a) o valor do módulo da força F necessário para equilibrar o sistema; b) o valor do módulo da força F necessário para erguer a massa com velocidade constante; c) a força (F ) que realiza maior trabalho, em módulo, durante o tempo T em que a massa está sendo erguida com velocidade constante.
5. (U. F. São Carlos-SP) Para a coleta de entulho de cons-
g
trução, tornou-se comum o uso de caçambas. Conceitograf
Exercícios complementares
Quando o corpo se encontrava na posição x1 5 10 m, sua velocidade escalar era 10 m/s e, na posição x2 5 110 m, era 20 m/s. Pode-se afirmar que o coeficiente de atrito μ vale: a) 0,175 d) 0,75 b) 0,275 e) 0,85 c) 1,75
B
Ao passar pelo ponto mais baixo B, sua velocidade é de 6,0 m/s. No trecho AB o trabalho das forças resistentes ao movimento é, em joules, a) 21,6 d) 20,20 b) 20,80 e) 20,10 c) 20,40
3. (Fund. Carlos Chagas-SP) Um bloco desliza, a partir
do repouso no ponto A, ao longo de uma pista ABC sem atrito, e depois passa pela região horizontal CD, onde fica sujeito a uma força de atrito de coeficiente 0,50 entre as superfícies de contato. y (m) 6,0
A
2,0 0
1
Volume 1 Capítulo 18
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_18.indd 1
C B
D x
Suponha que uma dessas caçambas cheia de entulho tenha massa total de 5,0 toneladas. Atrelada ao braço do guindaste, este necessita de 40 s para posicionar a caçamba sobre o caminhão, a 80 cm do solo. Admitindo-se que a aceleração da gravidade tem módulo igual a 10 m/s2, a potência, em W, necessária para que o guindaste leve a caçamba do solo para sua posição sobre o caminhão vale: a) 6,0 ? 102
d) 1,2 ? 103
b) 8,0 ? 102
e) 2,0 ? 103
c) 1,0 ? 10
3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
6. No esquema temos uma mola helicoidal vertical,
g
2,0 m
Luiz Fernando Rubio
com a base fixada no solo. Uma pequena esfera de massa m 5 2,0 kg é abandonada, a partir do repouso, da posição de 2,0 m acima da mola, como mostra a figura.
No local, a gravidade tem módulo g 5 10 m/s2 e a mola tem constante elástica k 5 2,0 ? 102 N/m e é considerada ideal. Determine: a) a deformação na mola quando a bolinha atingir sua máxima velocidade; b) a máxima deformação na mola.
Exercícios complementares
7. (ITA-SP) Um corpo movimenta-se numa superfície
horizontal sem atrito, a partir do repouso, devido à ação contínua de um dispositivo que lhe fornece uma potência mecânica constante. Sendo v sua velocidade após certo tempo t, pode-se afirmar que: a) a aceleração do corpo é constante. b) a distância percorrida é proporcional a v2.
2
Volume 1 Capítulo 18
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_18.indd 2
c) o quadrado da velocidade é proporcional a t. d) a força que atua sobre o corpo é proporcional a t . e) a taxa de variação temporal da energia cinética não é constante.
8. (Fuvest-SP) A usina hidrelétrica de Itaipu possui
20 turbinas, cada uma fornecendo uma potência elétrica útil de 680 MW, a partir de um desnível de água de 120 m. No complexo, construído no rio Paraná, as águas da represa passam em cada turbina com vazão de 600 m3/s. a) Estime o número de domicílios, N, que deixariam de ser atendidos se, pela queda de um raio, uma dessas turbinas interrompesse sua operação entre 17 h 30 min e 20 h 30 min, considerando que o consumo médio de energia, por domicílio, nesse período, seja de 4 kWh. b) Estime a massa M, em kg, de água do rio que entra em cada turbina, a cada segundo. c) Estime a potência mecânica da água P, em MW, em cada turbina. NOTE E ADOTE: Densidade da água 5 103 kg/m3 1 MW 5 1 megawatt 5 106 W 1 kWh 5 1 000 W ? 3 600 s 5 3,6 ? 106 J Os valores mencionados foram aproximados para facilitar os cálculos.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
CAPÍTULO 19 – Energia e potência
3. (IME-RJ) Um bloco de 4 kg e velocidade inicial de 2 m/s percorre 70 cm em uma superfície horizontal rugosa até atingir uma mola de constante elástica 200 N/m. A aceleração da gravidade é 10 m/s2 e o bloco comprime 10 cm da mola até que sua velocidade se anule. Admitindo que durante o processo de compressão da mola o bloco desliza sem atrito, o valor do coeficiente de atrito da superfície rugosa é:
Conceitograf
1. (Fuvest-SP)
a) 0,15 b) 0,20 Um pequeno cata-vento do tipo Savonius, como o esquematizado na figura, acoplado a uma bomba d’água, é utilizado em uma propriedade rural. A potência útil P (W) desse sistema para bombeamento de água pode ser obtida pela expressão P 5 0,1 ∙ A ∙ v3, em que A (m2) é a área total das pás do cata-vento e v (m/s), a velocidade do vento. Considerando um cata-vento com área total das pás de 2 m2, velocidade do vento de 5 m/s e água sendo elevada de 7,5 m na vertical, calcule:
c) 0,25 d) 0,30 e) 0,35
4. (UF-PE) Um objeto de 2,0 kg é lançado a partir do solo na direção vertical com uma velocidade inicial tal que o mesmo alcança a altura máxima de 100 m. O gráfico mostra a dependência da força de atrito Fa, entre o objeto e o meio, com a altura. Determine a velocidade inicial do objeto, em m/s.
Exercícios complementares
b) a energia E necessária para elevar 1 L de água; c) o volume V1 de água bombeado por segundo; d) o volume V2 de água, bombeado por segundo, se a velocidade do vento cair pela metade. NOTE E ADOTE Densidade da água 5 1 g/cm3. Aceleração da gravidade g 5 10 m/s2.
2. (ITA-SP) Um pêndulo, composto de uma massa M fixada na extremidade de um fio inextensível de comprimento L, é solto de uma posição horizontal. Em dado momento do movimento circular, o fio é interceptado por uma barra metálica de diâmetro desprezível, que se encontra a uma distância x na vertical abaixo do ponto O. Em consequência, a massa M passa a se movimentar num círculo de raio L 2 x, conforme mostra a figura. L
força de atrito Fa (N)
a) a potência útil P do sistema; 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0
20
40 60 80 altura h (m)
100
5. (UE-CE) Um carrinho de montanha-russa tem velocidade igual a zero na posição 1, indicada na figura, e desliza no trilho, sem atrito, completando o círculo até a posição 3. v 0 1 h
g 2 R 24 m
O 3
g
x L x
Determine a faixa de valores de x para os quais a massa do pêndulo alcance o ponto mais alto deste novo círculo.
1
Volume 1 Capítulo 19
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_19.indd 1
A menor altura h, em metros, para o carro iniciar o movimento sem que venha a sair do trilho na posição 2 é: a) 36 m b) 48 m c) 60 m d) 72 m
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
fio com massa desprezível. A esfera, inicialmente em repouso, é largada de uma posição em que o fio faz um ângulo de 60° com a vertical, conforme a figura. 60° g
8. (ITA-SP) No plano inclinado, o corpo de massa m é preso a uma mola de constante elástica k, sendo barrado à frente por um anteparo. Com a mola no seu comprimento natural, o anteparo, de alguma forma, inicia seu movimento de descida com uma aceleração constante a. Durante parte dessa descida, o anteparo mantém contato com o corpo, dele se separando somente após um certo tempo.
7. (AFA-SP) A figura representa uma pista pertencente ao
plano vertical. O raio R da parte circular vale 4,0 m. Um corpo parte do repouso no ponto A. B
Exercícios complementares
R
A
2
Volume 1 Capítulo 19
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_19.indd 2
m
anteparo
α
Desconsiderando quaisquer atritos, podemos afirmar que a variação máxima do comprimento da mola é dada por: a)
[mg sen α m a(2g sen α a)] k
b)
[mg cos α m a(2g cos α a)] k
c)
[mg sen α m a(2g sen α a)] k
d)
m(g sen α a) k
e)
mg sen α k
g
Desprezando-se o atrito e a resistência do ar, adotando-se g 5 10 m/s2 e considerando-se que, em B, a força que comprime o móvel contra a pista tem intensidade igual a 1 da de seu peso, pode-se afir4 mar que o módulo de sua velocidade em B vale, em m/s, aproximadamente: a) 7,1 b) 3,2 c) 5,5 d) 6,3
g
k
Considerando que o fio tem 0,4 m de comprimento, conclui-se que a esfera atinge o ponto mais baixo de sua trajetória com uma velocidade de: a) 6 m/s c) 1 m/s e) 3 m/s b) 4 m/s d) 2 m/s
Luiz Fernando Rubio
6. (UF-PB) Uma esfera metálica está suspensa por um
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
CAPÍTULO 20 – Quantidade de movimento e impulso
ocorre durante um intervalo de tempo muito pequeno. Ao cobrar uma falta, o pé do Ronaldinho Gaúcho exerce uma força sobre a bola que é representada no gráfico abaixo.
1. (Cefet-PR) Analise as afirmativas a seguir com relação a um corpo de massa (m), percorrendo uma circunferência de raio (R), com movimento uniforme. I. O corpo possui aceleração de módulo constante e diferente de zero. II. A quantidade de movimento do corpo é constante durante todo o movimento. III. A energia cinética permanece constante durante todo o movimento. Sobre elas, podemos concluir que:
F (N) 3 2 1 0
a) Somente as afirmativas I e II são corretas.
2 t (ms)
b) Somente as afirmativas I e III são corretas.
O impulso sofrido pela bola no intervalo de 0 a 2 ms tem módulo igual a:
c) Somente as afirmativas II e III são corretas.
a) 0,001 kg ∙ m/s
d) 0,004 kg ∙ m/s
d) Todas as afirmativas são corretas.
b) 0,002 kg ∙ m/s
e) 0,005 kg ∙ m/s
e) Todas as afirmativas são incorretas.
c) 0,003 kg ∙ m/s
2. Uma partícula tem energia cinética E e momento
6. (Unifesp-SP) Uma menina deixa cair uma bolinha de massa de modelar que se choca verticalmente com o chão e para; a bolinha tem massa 10 g e atinge o chão com velocidade de 3,0 m/s. Pode-se afirmar que o impulso exercido pelo chão sobre essa bolinha é vertical, tem sentido para:
linear cujo módulo é Q. Sendo v o módulo da velocidade da partícula, podemos afirmar que:
Exercícios complementares
1
a) v 2E v 2Q Q d) E E e) b) v 2Q v QE 2 c) v Q 2E
a) cima e módulo 3,0 ? 1022 N ? s. b) baixo e módulo 3,0 ? 1022 N ? s. c) cima e módulo 6,0 ? 1022 N ? s.
3. Sejam m, v, E e Q, respectivamente, as medidas no Sistema Internacional de unidades da massa, da velocidade, da energia cinética e da quantidade de movimento de uma partícula, num dado instante. Dentre as várias relações entre essas medidas, apresentadas nas alternativas, a correta é: 2 a) Q 2E d) 2Q2 5 mE m b) Qv 5 E
d) baixo e módulo 6,0 ? 1022 N ? s. e) cima e módulo igual a zero.
7. Uma bola de futebol, de massa 0,30 kg, é abandonada de uma certa altura, atingindo o solo com velocidade v1 (figura a), tal que v1 5 10 m/s. Após um curto intervalo de tempo Dt 5 0,1 s (durante o qual ocorre a colisão), a bola abandona o solo com velocidade v2 (figura b), cujo módulo é 8,0 m/s.
e) 2Qv 5 E
c) Q E m 2
g
v2
4. (UE-RJ) Na rampa de saída de um supermercado, uma pessoa abandona, no instante t 5 0, um carrinho de compras de massa 5,0 kg, que adquire aceleração constante. Considere cada um dos três primeiros intervalos de tempo do movimento, iguais a 1,0 s. No primeiro e no segundo intervalo de tempo, o carrinho percorre, respectivamente, 0,5 m e 1,5 m. Calcule: a) a distância percorrida pelo carrinho no terceiro intervalo de tempo; b) o módulo do momento linear do carrinho no instante t 5 3,0 s.
5. (Unifor-CE) O chute em uma bola é uma interação que 1
Volume 1 Capítulo 20
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_20.indd 1
v1
Figura a.
Figura b.
a) Calcule o impulso da resultante das forças que atuam na bola durante a colisão. b) Supondo g 5 10 m/s2, calcule o impulso do peso da bola durante a colisão. c) Calcule o impulso da força que o solo exerce na bola durante a colisão. d) Calcule o valor médio da força que o solo exerce na bola durante a colisão.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
de borracha e outra feita de massa de modelar, são largadas de uma mesma altura. A bola de borracha bate no solo e retorna a uma fração de sua altura inicial, enquanto a bola feita de massa de modelar bate e fica grudada no solo. Assinale a opção que descreve as relações entre as intensidades dos impulsos IB e IM exercidos, respectivamente, pelas bolas de borracha e de massa de modelar sobre o solo, e entre as respectivas variações de energias cinéticas DEB e DEM das bolas de borracha e de massa de modelar devido às colisões, desprezando os impulsos dos pesos: a) IB , IM e DEB . DEM
faz a curva e entra na rua S com velocidade v2, sendo |v1| 5 15 m/s e |v2| 5 10 m/s. Conceitograf
8. (UFF-RJ) Duas bolas de mesma massa, uma feita
R v1
S v2
b) IB , IM e DEB , DEM c) IB . IM e DEB . DEM d) IB , IM e DEB , DEM
a) Determine a variação da quantidade de movimento do automóvel ao fazer a curva.
e) IB 5 IM e DEB , DEC bem mais leve do que uma criança de massa M, e um pai que a empurra, soltando o balanço, como é comum, na vertical, sua posição mais baixa. Sendo g o módulo da aceleração gravitacional, a intensidade do impulso que ele deve dar para que a criança se eleve até uma inclinação α, como está ilustrado a seguir, será expressa por: a) M gL sen α b) 2M (1 cos α) gL c) M 2gL(1 – cos α)
b) Determine o valor médio da resultante das forças que atuam no automóvel durante a curva, supondo que esta tenha sido feita em 1,2 s.
11. (U. F. Uberlândia-MG) Um corpo de 10,0 kg deslocase em uma trajetória retilínea, horizontal, com uma velocidade de módulo 3,0 m/s, quando passa a atuar sobre ele uma força resultante F, cujo módulo varia de acordo com o gráfico, formando um ângulo reto com a direção inicial do movimento. Se F é a única força que atua sobre o corpo e se sua direção e sentido permanecem constantes, analise as seguintes afirmações e responda de acordo com o código que se segue. F (N)
d) M sen α gL e) M gL(3 2 cos α)
10,0
a
Lettera Studio
Exercícios complementares
9. (UF-PA) Considere um balanço de comprimento L,
0
4,0
6,0
t (s)
I. A energia cinética do corpo no instante t 5 6,0 s é de 125 J. II. O trabalho realizado pela força F no intervalo entre t 5 0 e t 5 6,0 s vale 80,0 J. III. A quantidade de movimento do corpo no instante t 5 6,0 s tem módulo igual a 70,0 kg ∙ m/s. a) Apenas I e II são corretas. b) Apenas I é correta.
10. Na figura representamos um automóvel de massa 1 000 kg que inicialmente se move ao longo da rua R com velocidade de v1. Ao chegar a uma esquina, ele
2
Volume 1 Capítulo 20
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_20.indd 2
c) Apenas II e III são corretas. d) Apenas I e III são corretas. e) I, II e III são corretas.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
de uma cozinha e quebra ao chocar-se com o piso rígido. Se essa mesma xícara caísse, da mesma altura, da mesa da sala e, ao atingir o piso, se chocasse com um tapete felpudo, ela não se quebraria. Adote g 5 10 m/s2.
F (N)
a) Por que no choque com piso rígido a xícara se quebra e no choque com o piso fofo (do tapete) não?
800
b) Suponha que a xícara caia sobre o tapete e pare, sem quebrar. Admita que a massa da xícara seja 0,10 kg, que ela atinja o solo com a velocidade de 2,0 m/s e que o tempo de interação do choque seja de 0,50 s. Qual será a intensidade média da força exercida pelo tapete sobre a xícara? Qual seria essa força, se o tempo de interação fosse 0,010 s?
600
13. (UF-PA) Um vaso de flores caiu da janela de um
Exercícios complementares
lugar do motorista. Os dois gráficos foram registrados em duas colisões de testes de segurança. A única diferença entre essas colisões é que, na colisão I, se usou a bolsa e, na colisão II, ela não foi usada.
apartamento, no alto de um edifício de quatro andares, espatifando-se na calçada. Nos comentários dos transeuntes que passavam pelo local, sobre o perigo do fato, as observações eram de que, pela altura da queda, o vaso teria chegado ao solo com seu peso bastante aumentado. Com base na relação entre os conceitos de Impulso e Quantidade de Movimento, analise as afirmativas seguintes: I. O peso do vaso aumenta na razão direta da altura de queda. II. O vaso chegou ao solo com o mesmo peso. III. No choque, o impulso do solo sobre o vaso ocorre num tempo muito pequeno e, consequentemente, a força reativa é elevada, o que resulta na quebra do vaso. IV. A força reativa do solo não depende do tempo de impacto. Estão corretas apenas as afirmativas: a) I e II b) II e III c) I e III d) II e IV
II (sem a bolsa de ar)
400 200 0
I (com a bolsa de ar)
1 2 3 4
t (s)
Da análise desses gráficos, conclui-se que a explicação para o sucesso da bolsa como equipamento de proteção é: a) A bolsa diminui o intervalo de tempo da desaceleração da cabeça do motorista, diminuindo, portanto, a força média que atua sobre a cabeça. b) A bolsa aumenta o intervalo de tempo da desaceleração da cabeça do motorista, diminuindo, portanto, a força máxima que atua sobre a cabeça. c) A bolsa diminui o impulso total transferido para a cabeça do motorista, diminuindo, portanto, a força máxima que atua sobre a cabeça. d) A bolsa diminui a variação total de momento linear transferida para a cabeça do motorista, diminuindo, portanto, a força média que atua sobre a cabeça. e) Com a bolsa ou sem a bolsa, a intensidade da força média que atua sobre a cabeça é a mesma, porém, com a bolsa o impulso aplicado na cabeça é menor.
15. (UF-SC) Dois patinadores, um homem e um menino, de massas respectivamente iguais a 60 kg e 30 kg, estão de pé, de frente um para o outro, em repouso, sobre uma superfície de gelo, lisa, plana e horizontal. Quando um empurra o outro, o homem adquire velocidade de módulo 0,3 m/s em relação ao gelo.
e) I e IV
14. (UF-RN) Alguns automóveis dispõem de um eficiente
Lettera Studio
12. (Unifesp-SP) Uma xícara vazia cai de cima da mesa
sistema de proteção para o motorista, que consiste de uma bolsa inflável de ar. Essa bolsa é automaticamente inflada, do centro do volante, quando o automóvel sofre uma desaceleração súbita, de modo que a cabeça e o tórax do motorista, em vez de colidirem com o volante, colidem com a bolsa. A figura a seguir mostra dois gráficos da variação temporal da força que age sobre a cabeça de um boneco que foi colocado no
3
Volume 1 Capítulo 20
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_20.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
Considerando desprezível o atrito entre os patins dos patinadores e o gelo, verifique quais das proposições a seguir são corretas e dê como resposta a soma dos números que antecedem as proposições corretas. (01) A distância entre os patinadores, 2,0 s após se separarem, é 1,8 m. (02) A energia mecânica do sistema homem-menino se conserva. (04) As forças que o homem e o menino fazem um sobre o outro são conservativas. (08) A força externa resultante sobre o sistema homem-menino é nula. (16) Como a massa do homem é maior que a do menino, a quantidade de movimento do sistema tem o mesmo sentido que a quantidade de movimentos do homem. (32) As forças internas que atuam no sistema homemmenino não alteram a quantidade de movimento total do sistema. e 75 kg, respectivamente, encontram-se parados em pé, sobre patins, um em frente ao outro, num assoalho plano e horizontal. Subitamente, a garota empurra o rapaz aplicando sobre ele uma força horizontal de intensidade média 60 N durante 0,50 s. a) Qual o módulo do impulso da força aplicada pela garota? b) Desprezando-se quaisquer forças externas, quais os módulos das velocidades da garota e do rapaz depois da interação?
17. Um foguete de massa 800 000 kg está inicialmente
em repouso em relação ao Sol, numa região do espaço longe da Terra (figura a). O foguete lança, então, num curto intervalo de tempo, um jato de gás (figura b) de massa 10 000 kg e cuja velocidade é 2 000 m/s. ConCeitograf
Exercícios complementares
16. (Vunesp-SP) Uma garota e um rapaz, de massas 50 kg
18. (Fuvest-SP) Num espetáculo de fogos de artifício, um rojão, de massa m0 5 0,5 kg, após seu lançamento, descreve no céu a trajetória indicada na figura. y (m) 60 50
P
g
40 30 20 10 0
10 20 30 40 50 60 70 80 x (m)
No ponto mais alto de sua trajetória (ponto P), o rojão explode, dividindo-se em dois fragmentos, A e m B, de massas iguais a 0 . Logo após a explosão, a 2 velocidade horizontal de A, vA, é nula, bem como sua velocidade vertical. A massa do explosivo pode ser considerada desprezível. Adote g 5 10 m/s2. a) Determine o intervalo de tempo t0, e m segundos, transcorrido entre o lançamento do rojão e a explosão no ponto P. b) Determine a velocidade horizontal vB, do fragmento B, logo após a explosão, em m/s. c) Considerando apenas o que ocorre no momento da explosão, determine a energia E0 fornecida pelo explosivo aos dois fragmentos A e B, em joules.
19. (UF-PE) Um rapaz de 59,0 kg está parado sobre um
par de patins no instante em que ele pega um pacote de 1,0 kg que foi jogado em sua direção. Depois de apanhar o pacote, o rapaz recua com velocidade 0,3 m/s. Qual a velocidade horizontal do pacote, em m/s, imediatamente antes de ele ser apanhado? Despreze o atrito do solo com os patins.
20. Uma bola abandonada de certa altura tem sua quan-
tidade de movimento alterada durante a colisão com o solo. Mas a quantidade de movimento não deveria se conservar?
Figura a.
21. (UF-ES) Um pequeno vagão de massa M trafega com
MarCo a. SiSMotto
velocidade constante v0 numa trajetória reta e horizontal entre um alto-forno e um depósito. No caminho, uma pedra de massa m cai verticalmente dentro do vagão. m
Figura b.
⇓
Calcule: a) a massa do foguete após o lançamento do gás;
v0
M
b) a velocidade do foguete após o lançamento do jato de gás.
4
Volume 1 Capítulo 20
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_20.indd 4
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são Parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
Após a pedra ter caído, desprezando-se o atrito, a nova velocidade do conjunto é:
( ) b) (1 m ) v M c) ( M ) v M m d) (1 m ) v M e) (1 M ) v m a) 1 m v0 M 0
24. (Fuvest-SP) A partícula neutra conhecida como
0
1
0
0
22. (Unicamp-SP) No episódio II do filme Guerra nas Estrelas, um personagem mergulha em queda livre, caindo em uma nave que se deslocava horizontalmente a 100 m/s com os motores ligados. O personagem resgatado chegou à nave com uma velocidade de 6 m/s na vertical. Considere que a massa da nave é de 650 kg, a do personagem resgatado de 80 kg e a do piloto de 70 kg. a) Quais as componentes horizontal e vertical da velocidade da nave imediatamente após o resgate?
Exercícios complementares
A velocidade v0 do núcleo antes da divisão tem módulo igual a: a) 3v c) v e) v 3 v b) 2v d) 2 méson K 0 é instável e decai, emitindo duas partículas, com massas iguais, uma positiva e outra negativa, chamadas, respectivamente, méson π1 e méson π2. Em um experimento, foi observado o decaimento de um K 0, em repouso, com emissão do par π1 e π2. Das figuras a seguir, qual poderia representar as direções e sentidos das velocidades das partículas π1 e π2 no sistema de referência em que o K 0 estava em repouso? a) d)
b)
e)
b) Qual foi a variação da energia cinética total nesse resgate?
23. (UF-PB) Há 67 anos, lamentavelmente, foi lançada sobre Hiroshima uma bomba atômica cujo princípio físico é o da fissão nuclear. Nesse processo, um núcleo atômico pesado divide-se em núcleos menores liberando grande quantidade de energia. Suponha que o núcleo de um determinado átomo parte-se em três pedaços de mesma massa movendo-se com velocidades iguais em módulo (v1 5 v2 5 v3 5 v) nas direções indicadas na figura. v2
v3
v0
c)
25. (FEI-SP) Uma partícula de massa m 5 10 kg e velocidade constante |v1| 5 20 m/s choca-se com o anteparo no ponto A, passando a ter a velocidade constante |v2| 5 20 m/s. Sendo α π rad e sabendo-se que o 6 contato da partícula com o anteparo durou 10 s, qual a força média F que a partícula aplicou ao anteparo? A
v1
v1
α
α
Considere a massa total após a divisão igual à massa inicial.
5
Volume 1 Capítulo 20
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_20.indd 5
v2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
CAPÍTULO 21 – Colisões
1. Um projétil de massa 20,0 gramas e velocidade hori-
Marco A. Sismotto
zontal v 5 400 m/s atinge um bloco de madeira de massa M 5 9,98 kg, inicialmente em repouso e preso por fios ideais a um suporte, como ilustra a figura.
v
c)
b)
d)
e)
4. (Vunesp-SP) Uma partícula A, com quantidade de
M
m
a)
Sendo g 5 10 m/s2, sabendo que o projétil fica incrustado no bloco, calcule:
movimento de módulo qA 5 10 kg ∙ m/s, move-se ao longo do eixo x em direção a uma partícula B em repouso. Após a colisão perfeitamente elástica, a partícula A toma a direção dada pelo vetor quantidade de movimento pA apresentado na figura. y
a) a velocidade do conjunto bloco 1 projétil logo após o impacto;
pA
b) a altura máxima atingida pelo conjunto, em relação à posição inicial.
2 kg m/s
lançado com velocidade v0 5 4 m/s num plano horizontal liso, colidindo com uma esfera B de massa mB 5 5,0 kg. A esfera, inicialmente parada e suspensa por um fio flexível e inextensível de comprimento L e fixo em O, atinge a altura hB 5 0,20 m após a colisão. Dado: g 5 10 m/s2. Marco A. Sismotto
O g L
mA
A
v0
mB
B
0
b) Qual o módulo e o sentido da velocidade vA do corpo A após a colisão?
Reproduza o reticulado em seu caderno, incluindo o vetor pA. a) Desenhe nesse reticulado o vetor quantidade de movimento qA da partícula A, antes da colisão, identificando-o. b) Desenhe, no mesmo reticulado, o vetor quantidade de movimento pB da partícula B, depois da colisão, identificando-o. representada na figura, encontra-se parado um corpo B de massa M, no qual está presa uma mola ideal de comprimento natural L0 e constante elástica k. Os coeficientes de atrito elástico e dinâmico, entre o corpo B e o plano, são iguais e valem μ. Um outro corpo A, também de massa M, é abandonado na parte inclinada. O atrito entre o corpo A e a superfície é desprezível. g L0
3. (Unifesp-SP) No quadriculado da figura estão representados, em sequência, os vetores quantidade de movimento da partícula A antes e depois de ela colidir elasticamente com a partícula B, que se encontrava em repouso.
O vetor quantidade de movimento da partícula B após o choque está melhor representado por:
Volume 1 Capítulo 21
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_21.indd 1
x
5. (Fuvest-SP) Sobre a parte horizontal da superfície hB
a) Qual a velocidade vB da esfera B imediatamente após a colisão?
1
2 kg m/s
A
B
h0
Marco A. Sismotto
Exercícios complementares
2. Imagine que um corpo A de massa mA 5 2,0 kg é
Determine: a) a máxima altura h0, na qual o corpo A pode ser abandonado, para que após colidir com o corpo B, retorne até a altura original h0. b) o valor da deformação X da mola, durante a colisão, no instante em que os corpos A e B têm a mesma velocidade, na situação em que o corpo A é abandonado de uma altura H . h0. (Despreze o trabalho realizado pelo atrito durante a colisão.)
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
6. (ITA-SP) Uma massa m1 com velocidade inicial v0
colide com um sistema massa-mola m2 e constante elástica k, inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito, conforme ilustra a figura. Determine o máximo comprimento de compressão da mola, considerando desprezível a sua massa. m1
k
v0
entre o bloco A e o plano rugoso é 0,2, determine as velocidades dos blocos após a colisão. (Adote g 5 10 m/s2.)
m2
20 m/s
6 m/s
A
B
rugoso
liso
9. A figura mostra a situação inicial de três esferas A, B 7. (Unicamp-SP) Um experimento interessante pode ser
Exercícios complementares
v
80 cm
Figura a.
v
iLUStraÇÕeS: Marco a. SiSMotto
realizado abandonando-se de certa altura uma bola de basquete com uma bola de pingue-pongue (tênis de mesa) em repouso sobre ela, conforme mostra a figura a. Após o choque da bola de basquete com o solo, e em seguida com a bola de pingue-pongue, esta última atinge uma altura muito maior do que sua altura inicial.
Figura b.
a) Para h 5 80 cm, calcule a velocidade com que a bola de basquete atinge o solo. Despreze a resistência do ar. b) Abandonadas de uma altura diferente, a bola de basquete, de massa M, reflete no solo e sobe com uma velocidade de módulo v 5 5,0 m/s. Ao subir, ela colide com a bola de pingue-pongue que está caindo também com v 5 5,0 m/s, conforme a situação representada na figura b. Considere que, na colisão entre as bolas, a energia cinética do sistema não se conserva e que, imediatamente após o choque, as bolas de basquete e pingue-pongue sobem com velocidades de v’b 5 4,95 m/s e v’p 5 7,0 m/s, respectivamente. A partir da sua própria experiência cotidiana, faça uma estimativa para a massa da bola de pingue-pongue, e, usando esse valor e os dados acima, calcule a massa da bola de basquete.
8. (Mackenzie-SP) A figura mostra dois blocos, A e B, de mesma massa igual a 5 kg e com velocidades iniciais 20 m/s e 6 m/s, respectivamente. O bloco A se movimenta durante 4 segundos para atingir o plano perfeitamente liso. Uma vez no plano liso, A colide centralmente com B. Supondo que o coeficiente de restituição é 0,2 e que o coeficiente de atrito
2
Volume 1 Capítulo 21
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_21.indd 2
e C, de mesmo raio e massas respectivamente iguais a 3m, m e 3m, as quais estão sobre uma superfície horizontal plana e sem atrito. As esferas A e C estão em repouso e a esfera B tem velocidade inicial v0. 3m
m
A
B
3m
v0
C
Supondo que as colisões entre as esferas sejam elásticas, determine: a) o número de colisões que ocorrem; b) as velocidades das esferas após a última colisão.
10. (IME-RJ) A figura abaixo mostra um hemisfério oco e liso, cujo plano equatorial é mantido fixo na horizontal. Duas partículas, X e Y, de massas mX e mY, são largadas no mesmo instante, de dois pontos diametralmente opostos, A e B, situados na borda do hemisfério. As partículas colidem no ponto C e, após a colisão, a partícula X atinge uma altura máxima R , enquanto 2 R Y atinge uma altura máxima , onde R é raio do 3 hemisfério. Determine o coeficiente de restituição do choque. Y
X
B
A R
C
11. (Mackenzie-SP) Observe o esquema. Suponha que a esfera A seja abandonada na posição em que θ 5 90º.
g
θ
L
A B
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste cD são Parte integrante da obra Física Clássica, dos autores caio Sérgio calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
São dados: – massa de A 5 4,0 kg – massa de B 5 2,0 kg – L 5 1,8 m; g 5 10 m/s2 – coeficiente de atrito entre B e o plano horizontal 5 5 0,20 – coeficiente de restituição do choque entre A e B 5 5 0,50 Após a colisão, o bloco B percorre no plano horizontal uma distância igual a: a) 3 m d) 5 m b) 6 m e) 4 m c) 9 m
12. Em um estacionamento de supermercado, um moto-
iLUStraÇÕeS: conceitograf
Exercícios complementares
rista distraído deixa seu automóvel colidir frontalmente com um carrinho de compras de massa m 5 20 kg, que está parado. A massa do automóvel é M 5 1 200 kg, a velocidade do automóvel antes da colisão é 40 km/h, e o coeficiente de restituição da colisão é e 5 0,9. Calcule os valores aproximados das velocidades do automóvel e do carrinho, logo após a colisão.
13. (UF-PI) Um garoto lança, com velocidade de módulo 2v, uma bola de tênis contra a parte traseira de um caminhão que anda com velocidade de módulo v. A bola toca o caminhão perpendicularmente à sua traseira, e tem velocidade inicial no mesmo sentido da velocidade do caminhão, conforme figura.
III. A bola, após tocar o caminhão, retorna com velocidade v na direção perpendicular à superfície 2 da traseira do caminhão. IV. A bola toca o caminhão e cai perpendicularmente ao chão.
14. Um corpo é largado de uma altura de 20 m; sabendo que o coeficiente de restituição entre o corpo e o solo é 0,50, a nova altura atingida pelo corpo é de: a) 4,5 m
c) 4,0 m
b) 5,0 m
d) 10 m
e) 15 m
(Fund. Carlos Chagas-SP) Enunciado para as questões de números 15 a 18. Dois carros, A e B, de massas iguais a 1,0 kg, são rigidamente ligados por uma haste H de massa desprezível. O carro C tem massa igual a 0,50 kg. No instante t 5 0, o carro C tem velocidade nula e os carros A e B têm velocidade cujo módulo é v0 5 4,0 m/s, como ilustra a figura. Despreze as forças de atrito entre os carros e a superfície horizontal.
15. Supondo que a colisão entre A e C seja perfeitamente inelástica, a velocidade do sistema após a colisão terá módulo igual a: a) 0,31 m/s
c) 2,5 m/s
b) 3,2 m/s
d) 3,0 m/s
e) zero
16. Se a colisão entre A e C fosse perfeitamente elástica, mas a ulterior colisão entre C e B fosse perfeitamente inelástica, a velocidade final do sistema teria módulo igual a: a) 0,31 m/s
c) 2,5 m/s
b) 3,2 m/s
d) 3,0 m/s
e) zero
17. Na questão anterior, entre a colisão de A com C e a Considere o choque perfeitamente elástico e a massa da bola muito menor que a do caminhão. Analise as afirmativas e em seu caderno classifique-as em V (verdadeira) ou F (falsa). I. A bola, após tocar o caminhão, retorna com velocidade 2v na direção perpendicular à superfície da traseira do caminhão. II. A bola, após tocar o caminhão, retorna com velocidade v na direção perpendicular à superfície da traseira do caminhão.
3
Volume 1 Capítulo 21
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_21.indd 3
colisão de C com B, as velocidades de A e C foram, respectivamente, em m/s: a) 2,4 e 4,8
d) 6,4 e 4,8
b) 6,4 e 2,4
e) 2,4 e 6,4
c) 4,8 e 2,4
18. Se as colisões entre A e C e entre C e B fossem perfeitamente elásticas, após a segunda colisão (C com B), a velocidade de C seria: a) 2,4 m/s
c) 1,6 m/s
b) 2,0 m/s
d) 1,4 m/s
e) zero
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste cD são Parte integrante da obra Física Clássica, dos autores caio Sérgio calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
19. (Fuvest-SP) Uma caixa C, parada sobre uma super-
Conceitograf
fície horizontal, tem em seu interior um bloco B, que pode deslizar sem atrito e colidir elasticamente com ela. O bloco e a caixa têm massas iguais, sendo mC 5 mB 5 20 kg. Na situação representada na figura, no instante t 5 0, é dado um empurrão na caixa, que passa a se mover, sem atrito, com velocidade inicial v0 5 15 cm/s.
20. Uma partícula é lançada horizontalmente, com velo-
cidade horizontal v0 cujo módulo é 20 m/s, num local em que g 5 10 m/s2, como a figura ilustra. Nessa figura, PM representa uma parede vertical e lisa. Se não houvesse a parede, a partícula atingiria o solo (suposto plano e horizontal) no ponto R. No entanto, o que ocorre é que a partícula colide (não inelasticamente) com a parede no ponto N, indo atingir o solo no ponto S. 20 m v0
P
g
N
Exercícios complementares
11,25 m
O bloco e a parede esquerda da caixa colidem no instante t1 5 2 s, passando o bloco, depois, a colidir sucessivamente com as paredes direita e esquerda da caixa, em intervalos de tempo Δt iguais. a) Determine os intervalos de tempo Δt. b) Construa os gráficos a seguir: • Quantidade de movimento QC da caixa em função do tempo t; • Quantidade de movimento QB do bloco em função do tempo t; • Energia total E do sistema em função do tempo t. Em todos os gráficos, considere pelo menos quatro colisões e indique valores e unidades nos eixos verticais. QC (caixa)
solo S
M
R
Desprezando a resistência do ar e supondo que o choque seja elástico, determine: a) as distâncias MR e NM; b) a distância SM. Compare esse valor com o obtido no item a para MR.
21. Retome a situação do problema anterior. Supondo que a colisão da partícula com a parede tenha coeficiente de restituição e 5 0,80, determine a distância SM.
22. (Fuvest-SP) A figura ilustra dois anteparos paralelos, colocados perpendicularmente com relação ao solo. Uma esfera é lançada do ponto A, com velocidade inicial v de 20 m/s perpendicular a S1. A esfera colide sucessivamente com S1 e S2, através de choques elásticos. 1m
0
10
20 t (s)
A
v
QB (bloco)
0
10
20 t (s) S1
S2
Pedem-se:
E
a) o tempo que leva a esfera para atingir novamente o anteparo S1;
0
10
4
Volume 1 Capítulo 21
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_21.indd 4
20 t (s)
b) a que altura h, relativamente ao ponto inicial A, a esfera se encontra, após 0,5 s do lançamento.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
Enunciado para as questões 23 e 24. Uma bolinha é abandonada num ponto A, 4,0 m acima do ponto B onde a bolinha colide elasticamente com a superfície inclinada S, que não tem atrito. Adote g 5 10 m/s2. A
27. Sobre uma mesa de bilhar, uma bola A, com velocidade v0, choca-se com uma bola B, parada e idêntica a A (fig. a). No instante em que ocorre o choque, a linha reta que une os centros das bolas forma um ângulo de 60º com a direção de v0 (fig. b). a) Antes do choque
g
A
α
A
r
B
B
23. Determine o valor de α para o qual, logo após a colisão, a velocidade da bolinha tem direção horizontal.
24. Supondo α 5 30º, determine a maior altura atingida
r 60º
Sabe-se que v0 5 8,0 m/s e que o choque é elástico. Sendo vA e vB as velocidades de A e B após o choque e desprezando o atrito entre as bolas, determine:
pela bolinha, em relação ao plano horizontal β, após a colisão.
a) o ângulo formado entre vB e a reta r, após o choque;
25. (ITA-SP) A figura mostra uma bola de massa m que
b) o ângulo formado entre vA e a reta r, após o choque;
cai com velocidade v1 sobre a superfície de um suporte rígido, inclinada de um ângulo θ em relação ao plano horizontal. m
c) vA; d) vB. Enunciado para as questões 28 e 29.
v1
Exercícios complementares
v0
β
B
b) Instante do choque
(ITA-SP) Três bolas idênticas A, B e C, tendo cada uma massa igual a 0,20 kg, estão sobre uma mesa sem atrito. Inicialmente as bolas B e C estão paradas (figura I) e a bola A tem velocidade v0, de modo que as retas x e y são perpendiculares. A Figura II ilustra o momento da colisão das bolas. Sabe-se que a colisão é elástica e que v0 5 2,0 m/s.
v2 α θ
Sendo e o coeficiente de restituição para esse impacto, calcule o módulo da velocidade v2 com que a bola é ricocheteada, em função de v1, θ e e. Calcule também o ângulo α.
26. Uma partícula A, com massa 2,0 kg e velocidade v0,
de módulo 25 m/s, move-se sobre uma superfície horizontal sem atrito (fig. a). Em repouso, sobre a mesma superfície, há uma partícula B. Ocorre uma colisão entre A e B e, após a colisão, verifica-se que a partícula B tem velocidade vB sobre a reta r e a partícula A tem velocidade vA sobre a reta s, que é perpendicular a r (fig. b). B
B
A v0
x C
y Figura I.
s
r
vA
B
A v0
A
x vB
A Figura a.
Figura b.
B
Sabendo que vA 5 20 m/s e vB 5 7,5 m/s, determine a massa de B.
5
Volume 1 Capítulo 21
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_21.indd 5
C
r y Figura II.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
28. Os módulos das velocidades das bolas A, B e C após o
c)
vB
choque são, respectivamente, em metros por segundo: a) b) c) d) e)
A
B
C
0,66 2,0 0,40 1,38 1,0
0,66 1,0 1,38 0,40 2,0
0,66 1,0 1,38 0,40 1,0
29. Da configuração de velocidades abaixo, qual deve
representar o que ocorre com as bolas após o choque? a) vB
vA vC
d)
vB
vA
vC
vA
30. (ITA-SP) Um objeto de massa m é projetado no ar a vC
b)
vB
Exercícios complementares
vA
vC
6
Volume 1 Capítulo 21
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_21.indd 6
45º do chão horizontal com uma velocidade v. No ápice de sua trajetória, este objeto é interceptado por um segundo objeto, de massa M e velocidade V, que havia sido projetado verticalmente do chão. Considerando que os dois objetos “se colam” e desprezando qualquer tipo de resistência aos movimentos, determine a distância d do ponto de queda dos objetos em relação ao ponto de lançamento do segundo objeto.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
19. Em uma pizzaria, o funcionário vai colocar a pizza
Lettera Studio
no forno usando o instrumento indicado na figura. Supondo que g 5 10 m/s2 e que a massa da pizza seja 1,0 kg, determine, desprezando a massa do instrumento, as intensidades e os sentidos das forças exercidas pelo funcionário nos pontos A e B do instrumento.
em um dos encaixes, sem desequilibrar a barra, é o disco de: a) 5 kg d) 20 kg b) 10 kg e) 25 kg c) 15 kg
21. Um bloco C homogêneo e de massa 16 kg está apoiado em uma barra homogênea de massa 8 kg, a qual, por sua vez, está apoiada em dois suportes S1 e S2. Calcule a intensidade das forças exercidas pelos suportes sobre a barra. 60 cm
20 cm
Setup
CAPÍTULO 23 – Estática dos corpos rígidos
pizza C A
B S1
22. (U. F. Santa Maria-RS) Para auxiliar a descompactação
1,5 m
barra B, com 2,0 m de comprimento e massa de 10 kg, está apoiada de forma simétrica em dois suportes S1 e S2, separados por uma distância de 1,0 m, como indicado na figura. M
0,5 m
E
0,5 m
S1
0,5 m
B
Luiz Fernando rubio
Exercícios complementares
20. (Fuvest-SP) Em uma academia de musculação, uma
0,5 m
S2
E
no ato de revirar a terra, um agricultor é visto em um determinado instante com uma pá na horizontal. Essa pá, de comprimento d e massa M, tem uma quantidade de terra de massa m. Lettera Studio
0,5 m
S2
m A d1
d2
0,10 m
Se um agricultor segura a pá na horizontal pelo centro de gravidade dela e pela extremidade A, separados pela distância d1, o módulo da força mínima aplicada pelo agricultor no centro de gravidade é:
g
d d a) mg 1 d 2 Mg 1 b) Mg (d1 d2) mg Para a realização de exercícios, vários discos, de diferentes massas M, podem ser colocados em encaixes, E, com seus centros a 0,10 m de cada extremidade da barra. O primeiro disco deve ser escolhido com cuidado, para não desequilibrar a barra. Dentre os discos disponíveis, cujas massas estão indicadas abaixo, aquele de maior massa e que pode ser colocado
1
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_23.indd 1
d d c) Mg 1 d 2 mg 1 d) Mg (d1 d2) mg d d e) mg 1 d 2 Mg 1
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
d) ao caminhar 10 m sobre um piso horizontal, a força vertical aplicada pelo homem sobre a barra realiza trabalho de 600 J.
23. (Unicamp-SP) Um freio a tambor funciona de acordo
100 cm F
30 cm C
e) deslocando-se a carga B de 0,5 m em direção ao ponto M, o torque sobre a barra será nulo.
25. (Mackenzie-SP) Sobre uma barra homogênea, de seção transversal constante e peso 800 N, uma criança caminha de A para B. A barra tem 10 m de comprimento e está apoiada em A e B. O gráfico a seguir mostra a variação da reação no apoio B em função da distância x.
Luiz Fernando Rubio
com o esquema da figura a seguir. A peça de borracha B é pressionada por uma alavanca sobre um tambor cilíndrico que gira junto com a roda. A alavanca é acionada pela força F e o pino no ponto C é fixo. O coeficiente de atrito cinético entre a peça de borracha e o tambor é μc 5 0,40.
B
Alex Argozino
x
tambor A
B
b) Qual é o módulo da força de atrito entre a borracha e o tambor?
RB (N)
c) Qual é o módulo da força aplicada pelo pino sobre a alavanca no ponto C ?
700
24. (UF-PA) Nos tempos em que o transporte de carga
400
ainda não se beneficiava do atual desenvolvimento tecnológico, o próprio homem costumava transportar cargas nos ombros por meio de arranjos como o da figura seguinte: 1,0 m
0
1,0 m M
setup
10 m
10
x (m)
A massa da criança é: (Adote g 5 10 m/s2.)
Lettera Studio
a) 30 kg
d) 45 kg
b) 35 kg
e) 50 kg
c) 40 kg A
Enunciado para as questões 26 e 27:
B
Uma barra homogênea, de seção reta constante e peso 640 N, está disposta horizontalmente sobre dois apoios A e B, como ilustra a figura.
a) deslocando a carga A em direção ao ponto M, pode-se manter o equilíbrio de rotação da barra em torno desse ponto. b) o homem poderá equilibrar a barra, reduzindo o comprimento dos cabos de sustentação da carga B. c) a força vertical que o ombro do homem suporta é igual a 60 N.
2
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_23.indd 2
5,0 m
g
Considerando que o apoio da barra no ombro do homem ocorre apenas no ponto M, e que as massas das cargas A e B valem, respectivamente, 20 kg e 40 kg, é correto afirmar que: (Aceleração da gravidade: g 5 10 m/s2.)
3,0 m
D
12 m
A
Alex Argozino
Exercícios complementares
a) Qual é o módulo da força normal que a borracha B exerce sobre o tambor quando F 5 750 N? Despreze a massa da alavanca.
x
B
C
E
Uma pessoa de peso 800 N caminha sobre a barra, da esquerda para a direita, sendo C o ponto mais próximo da extremidade E que a pessoa consegue atingir sem que a barra gire.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
26. Para o momento em que a pessoa está em C, determine as intensidades da:
Desprezando qualquer efeito de atrito, determine, em função de M e g: a) o módulo da força FAB que o cilindro A exerce sobre o cilindro B;
a) força exercida pelo apoio A sobre a barra; b) força exercida pelo apoio B sobre a barra.
27. Determine o valor de x.
b) o módulo da força FPB que o piso exerce sobre o cilindro B;
28. A figura representa o instante em que uma vela
c) o módulo da força FMC que a mureta exerce sobre o cilindro C.
3,0 cm
MarCo a. SiSMotto
cilíndrica e homogênea, de comprimento 12,0 cm e apoiada num suporte S, é acesa. g
6,0 cm
31. Para a situação da questão anterior, qual a intensidade da força que o cilindro B exerce sobre o cilindro C?
32. Na figura a seguir representamos a seção transversal
Setup
de um cilindro homogêneo de peso 100 N apoiado em duas superfícies planas sem atrito. S g
Sabendo que a vela queima à razão de 1 mm a cada 10 segundos, depois de quanto tempo a vela tombará? B
F g
A
B S
A 60°
θ
Determine as intensidades das forças exercidas no cilindro pelas superfícies planas, nos pontos de contato A e B, nos seguintes casos: a) θ 5 30° b) θ 5 40°
33. No sistema em equilíbrio esquematizado a seguir, AD é uma barra homogênea, de peso 40 N, articulada em A e segura em D pelo fio ideal CD. O peso do bloco B é 200 N e sabe-se que sen θ 5 0,60 e cos θ 5 0,80. D
30. (Fuvest-SP) Três cilindros iguais, A, B e C, cada um
g
MarCo a. SiSMotto
com massa M e raio R, são mantidos empilhados, com seus eixos horizontais, por meio de muretas laterais verticais, como mostra a figura.
A
MarCo a. SiSMotto
superfície horizontal S com atrito, comprimindo uma lâmina rígida L que não encosta em S. Na extremidade superior da lâmina aplicamos uma força horizontal F cuja intensidade é crescente, a partir de zero. Qual dos dois blocos se moverá primeiramente? MarCo a. SiSMotto
Exercícios complementares
29. Dois blocos idênticos A e B estão apoiados em uma
B C
θ
A
45º
Sendo F a força exercida pela articulação A na barra, determine as intensidades de: a) tração no fio CD;
B
C
b) componente vertical de F; c) componente horizontal de F; d) F
3
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_23.indd 3
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
34. Uma barra homogênea, de comprimento L e peso 400 N, suporta o bloco B como ilustra a figura. A barra está articulada em A e a distância AC é igual a 2L . Sabe-se que sen θ 5 0,80, cos θ 5 0,60 e 3 que a maior tração que o fio horizontal f pode suportar sem se romper é 450 N.
98,0 cm R
Determine os valores do coeficiente de atrito estático entre o semicilindro e a superfície S para os quais o semicilindro fica em repouso.
C
Texto para as questões de números 37 a 39 :
g
B A
a) Determine o maior valor que o peso de B pode ter de modo que o fio f não se rompa. b) Nas condições do item a, determine as componentes vertical e horizontal da força feita pela articulação A na barra.
35. No sistema em equilíbrio esquematizado a seguir, a barra AE é homogênea e está apoiada numa superfície horizontal S lisa. O peso do bloco B é 720 N, a constante elástica da mola é 1,8 104 N/m, sen θ 5 0,80, cos θ 5 0,60 e as distâncias AC, CD e DE são iguais. MarCo a. SiSMotto
Exercícios complementares
θ
E D
Alguns veículos têm tração apenas nas rodas dianteiras, outros apenas nas rodas traseiras e outros ainda têm um dispositivo que faz com que as quatros rodas sejam tracionadas. Como vimos no estudo do atrito (Capítulo 15), quando um veículo de tração dianteira está acelerando, as forças de atrito têm os sentidos indicados na figura a e quando um veículo de tração traseira está acelerando as forças de atrito têm os sentidos indicados na figura b. Se as rodas não estão tracionadas (fig. c) ou o veículo está sendo freado (fig. d), as forças de atrito têm sentido oposto ao do movimento. As forças de atrito nas rodas tracionadas são muito mais intensas que nas rodas livres. ConCeitograF
θ
A
S
MarCo a. SiSMotto
f
g
Figura a.
g C B θ
S
Figura b.
A
Determine: a) a deformação da mola; b) o peso da barra; c) a força exercida por S sobre a barra.
36. Na figura a seguir representamos a seção transversal de um semicilindro homogêneo, de raio R 5 40,0 cm e peso 10,8 N, apoiado numa superfície horizontal S com atrito. Sobre o semicilindro está apoiada uma barra cilíndrica e homogênea, de comprimento 120 cm e peso 55,0 N, articulada em A. São dados: sen θ 5 0,800 e cos θ 5 0,600.
4
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_23.indd 4
Figura c.
Figura d.
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
37. Quando um automóvel está acelerado (figs. a e b), a
Conceitograf
0,1 m 0,8 m
parte da frente do automóvel levanta um pouco. Por quê?
38. Quando um automóvel está brecando (fig. d), a parte da frente abaixa um pouco. Por quê?
1,5 m
1,2 m
39. Um automóvel cujo centro de gravidade é G move-se 42. Uma barra homogênea de peso 100 N está em equilíbrio, apoiada em duas superfícies planas e sem atrito, como ilustra a figura. São dados: sen 37° 5 0,60 e cos 37° 5 0,80. Marco A. Sismotto
Conceitograf
em uma estrada plana e horizontal, sendo o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a estrada igual a 0,70. São dados: h 5 0,50 m; d1 5 1,5 m; d2 5 2,0 m; g 5 10 m/s2.
g A
θ D
está em seu centro geométrico, está preso a duas articulações e um fio ao longo do qual a tração é 150 N. São dados: sen θ 5 0,60 e cos θ 5 0,80.
q 2,0 m
37º B
a) Faça em seu caderno um diagrama representando as forças que atuam na barra. b) Determine o ângulo θ. c) Determine as intensidades das forças exercidas pelas superfícies sobre a barra, nos pontos A e D.
43. Na figura a seguir representamos uma esfera homogênea, de centro C e peso 20 N, presa a um fio ideal f e comprimindo um bloco de peso 6 N contra uma parede vertical. Existe atrito entre o bloco e a parede, mas não há atrito entre a esfera e o bloco. São dados: R 5 5 cm; d 5 20 cm.
3,6 m
Determine: a) a componente horizontal da força exercida pela articulação inferior sobre o portão; b) a componente horizontal da força exercida pela articulação superior sobre o portão; c) a soma das componentes verticais exercidas pelas articulações sobre o portão.
41. (FEI-SP) Um portão homogêneo, de espessura constante e peso P 5 600 N, está montado conforme indica a figura, sendo desprezíveis os atritos em seus apoios. Determinar a intensidade das reações nos apoios.
5
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_23.indd 5
θ
g
f
d
R
Marco A. Sismotto
40. Um portão de peso 400 N e cujo centro de gravidade
Conceitograf
Exercícios complementares
Determine a aceleração máxima desse automóvel nos seguintes casos: a) a tração é nas quatro rodas; b) a tração é dianteira; c) a tração é traseira.
R
Determine os valores do coeficiente de atrito estático entre o bloco e a parede, para os quais há equilíbrio.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
CAPÍTULO 25 – Fluidostática: lei de Stevin
3. (UF-BA) A camada gasosa que envolve a Terra exerce
1. (U. F. Santa Maria-RS) A figura representa um tubo em forma de U, com água e petróleo, cujas densidades são respectivamente, 1 000 kg/m3 e 800 kg/m3. Sabendo que h 5 4 cm e que a aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s2, a pressão causada pelo petróleo na interface A vale, em Pa: a) 320 b) 400 c) 8 000 d) 1 000 e) 3 200
água
2. (Vunesp-SP) Uma pessoa, com o objetivo de medir a
pressão interna de um botijão de gás contendo butano, conecta à válvula do botijão um manômetro em forma de U, contendo mercúrio. Ao abrir o registro R, a pressão do gás provoca um desnível de mercúrio no tubo, como ilustrado na figura. Conceitograf
Exercícios complementares
B
B
c) em um posto salva-vidas à beira-mar. d) em um navio ancorado num ponto qualquer.
4. (UF-PA) Em um documentário de TV, João tomou
h
A
b) no alto de uma montanha.
R
conhecimento de que a pressão atmosférica diminuiu com a altitude. Por essa razão, o interior das aeronaves é mantido em certo nível de pressurização para conforto dos passageiros. O gráfico a seguir mostra a variação da pressão do ar externo com a altura acima do nível do mar. Sabendo que, durante o voo, é mantida uma diferença de 0,4 atmosfera entre as pressões interna e externa à aeronave, pela análise do gráfico, concluiu-se que a pressão interna a 8 000 metros de altitude, em atmosfera, é igual a: h (m)
setup
petróleo
a) em uma estação meteorológica qualquer.
e) no terraço de um prédio de três andares, construído numa cidade litorânea.
Conceitograf
g
pressão sobre a superfície terrestre e sobre todos os corpos nela situados. Segundo Evangelista Torricelli, a pressão atmosférica, ao nível do mar, equivale a 760 mmHg. Com base nessas informações, se um barômetro indica, para a pressão atmosférica, o valor de 70 cmHg, é possível que esse instrumento esteja situado:
12 000 10 000 8 000 6 000
104 cm
0
a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6
A
0,2 0,4
0,8 1,0
p (atm)
d) 0,8 e) 1,0
5. (Enem-MEC) A adaptação dos integrantes da seleção Considere a pressão atmosférica dada por 105 Pa, o desnível h 5 104 cm de Hg e a seção do tubo 2 cm2. Adotando a massa específica do mercúrio igual a 13,6 g/cm3, e g 5 10 m/s2, calcule: a) a pressão do gás, em pascal; b) a força que o gás aplica na superfície do mercúrio em A. Advertência: este experimento é perigoso. Não tente realizá-lo.
1
Volume 1 Capítulo 25
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_25.indd 1
brasileira de futebol à altitude de La Paz foi muito comentada em 1995, por ocasião de um torneiro, como pode ser lido no texto abaixo: A seleção brasileira embarca hoje para La Paz, capital da Bolívia, situada a 3 700 metros de altitude, onde disputará o torneio Interamérica. A adaptação deverá ocorrer em um prazo de 10 dias, aproximadamente. O organismo humano, em altitudes elevadas, necessita desse tempo para se adaptar, evitando-se, assim, risco de colapso circulatório. Adaptado de: Placar, fev. 1995.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
A adaptação da equipe foi necessária principalmente porque a atmosfera de La Paz, quando comparada à das cidades brasileiras, apresenta: a) menor pressão e menor concentração de oxigênio. b) maior pressão e maior quantidade de oxigênio. c) maior pressão e maior concentração de gás carbônico. d) menor pressão e maior temperatura. e) maior pressão e menor temperatura.
6. (Fuvest-SP) Quando você toma refrigerante com um
canudinho, o líquido sobe porque: a) a pressão atmosférica cresce com a altura, ao longo do canudo. b) a pressão do interior de sua boca é menor que a atmosférica. c) a densidade do refrigerante é menor que a do ar. d) a pressão hidrostática no corpo é a mesma em todos os pontos em um plano horizontal.
Exercícios complementares
7. (Covest-PE) Se o fluxo sanguíneo não fosse ajustado pela expansão das artérias, para uma pessoa em pé a diferença de pressão arterial entre o coração e a cabeça seria de natureza puramente hidrostática. Nesse caso, para uma pessoa em que a distância entre a cabeça e o coração vale 50 cm, qual o valor em mmHg dessa dife-
2
Volume 1 Capítulo 25
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_25.indd 2
rença de pressão? (Considere a densidade do sangue igual a 103 kg/m3 e a densidade do mercúrio igual a 13,6 ? 103 kg/m3.)
8. (Unicamp-SP) Suponha que o sangue tenha a mesma densidade que a água e que o coração seja uma bomba capaz de bombeá-lo a uma pressão de 150 mm de mercúrio acima da pressão atmosférica. Considere uma pessoa cujo cérebro está 50 cm acima do coração e adote, para simplificar, que 1 atm 5 750 mm de mercúrio. a) Até que altura o coração consegue bombear o sangue? b) Suponha que essa pessoa esteja em outro planeta. A que aceleração gravitacional máxima ela pode estar sujeita para que ainda receba sangue no cérebro?
9. (U. F. São Carlos-SP) Quando efetuamos uma transfusão de sangue, ligamos a veia do paciente a uma bolsa contendo plasma, posicionada a uma altura h acima do paciente. Considerando g 5 10 m/s2 e que a densidade do plasma seja 1,04 g/cm3, se uma bolsa de plasma for colocada 2 m acima do ponto da veia por onde se fará a transfusão, a pressão do plasma ao entrar na veia será: a) 0,0016 mmHg d) 15,6 mmHg b) 0,016 mmHg e) 156 mmHg c) 0,156 mmHg
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
CAPÍTULO 26 – Fluidostática – Princípio de Arquimedes
1. Um garoto segura uma bexiga cheia de gás hélio,
tHInKstoCK/gettY IMages
como ilustra a figura. São dados: dHe 5 densidade do hélio 5 0,17 kg/m3; dar 5 densidade do ar 5 1,20 kg/m3; V 5 volume da bexiga 5 10 L; g 5 10 m/s2.
na água, uma parte dela sai pela abertura, caindo no recipiente Y; a balança passa a marcar 0,40 kg. Sabe-se que g 5 10 m/s2 e que a densidade da água é dL 5 1,0 103 kg/cm3. Calcule: a) a intensidade do empuxo exercido sobre o corpo; b) a massa do corpo; c) o volume do corpo; d) a densidade do corpo.
3. Uma placa de madeira cuja densidade é 0,60 g/cm3
10 cm
aleX argoZIno
tem as dimensões indicadas na figura a. Essa placa é colocada a flutuar na água e uma pessoa de massa 60 kg sobe nela (fig. b). Calcule o valor da altura x da parte emersa, sabendo que a densidade da água é 1,0 g/cm3.
Desprezando as massas do fio que o garoto segura e da borracha de que é feita a bexiga, calcule a intensidade da força exercida pelo garoto sobre a bexiga.
2,0 m Figura a.
2. Na figura a representamos uma situação em que um recipiente X contém água até uma abertura A. O recipiente Y está vazio e sobre uma balança graduada em quilogramas assinalando zero. X
A
Y
luIZ fernanDo ruBIo
Exercícios complementares
1,0 m
x
Figura b.
4. Um corpo de densidade dC e volume V flutua em um
X
ConCeItograf
líquido de densidade dL. O volume submerso (VS) é dado por:
Figura a. A C
VS Y
a) VS 5 (dC dL) V Figura b.
Um corpo homogêneo C é colocado no líquido de modo que ele flutua, com a parte imersa correspondendo a 80% do seu volume. Ao colocar o corpo
1
Volume 1 Capítulo 26
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_26.indd 1
b) VS
dL V dC
c) VS
dC V dL
d) VS
V dC dS
e) VS 5 dC dL V
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são Parte Integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio sérgio Calçada e José luiz sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 5:02 PM
5. Para a situação da questão anterior, supondo que dC 5 0,60 g/cm3 e dL 5 0,80 g/cm3, podemos afirmar que o volume da parte submersa é: a) 60% de V. b) 80% de V. c) 20% de V.
a) x permanece constante e y diminui. b) x aumenta e y diminui. c) o valor da relação x permanece constante. y d) x chega a zero antes de y. e) depois de certo tempo, a vela tende a tombar para o lado.
d) 75% de V. e) 70% de V.
6. Como podemos verificar se o leite desnatado é mais ou menos denso que o leite integral, sem fazer as medidas?
7. Uma barra cilíndrica e homogênea, de comprimento
Ilustrações: Conceitograf
2,0 metros, está parcialmente mergulhada na água, como mostra a figura, tendo uma de suas extremidades presa a uma articulação e podendo girar livremente em torno dela. Sabendo que a densidade da água é 1,0 g/cm3, calcule a densidade da barra, sendo x 5 0,4 m.
Exercícios complementares
Nestas condições, enquanto a vela queima:
9. Um recipiente cilíndrico de paredes finas (fig. a), cuja área da base é 500 cm2, contém água até uma altura de 20 cm. Um corpo cilíndrico e homogêneo, de área da base 100 cm2, altura 10 cm e densidade 0,80 g/cm3 (fig. b), é colocado dentro da água do recipiente de modo que na posição de equilíbrio (fig. c) fica parcialmente submerso.
20 cm
500 cm2 Figura a.
10 cm
8. (Vunesp-SP) Na extremidade inferior de uma vela fixa-se um cilindro de chumbo. A vela é acesa e imersa em água, conforme o esquema abaixo, ficando inicialmente em equilíbrio. Suponhamos que não escorra cera fundida enquanto a vela queima.
100 cm2 Figura b.
x
y
Figura c.
Sabendo que a densidade da água é 1,0 g/cm 3, calcule: a) a massa do corpo; b) o volume do corpo que fica submerso; c) a altura x da parte emersa; d) o novo valor ( y) da altura da água.
2
Volume 1 Capítulo 26
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_26.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:02 PM
10. Um recipiente A, de paredes finas e área da base 400 cm , contém água até uma altura 8,0 cm. Consideremos ainda uma lata B, de massa 400 g e área da base 100 cm2, e um corpo esférico C, de volume 80 cm3 e massa 200 g. 2
Façamos as seguintes operações: I. A lata B é colocada a flutuar na água. II. O corpo C é colocado dentro da lata. III. O corpo C é retirado da lata e jogado dentro d’água. Calcule os valores de x, y e z sabendo que a densidade da água é 1,0 g/cm3.
11. Um recipiente cilíndrico de paredes finas e área da base 80 cm2 contém água até uma altura de 4,0 cm (fig. a). Um corpo cilíndrico e homogêneo (fig. b), cuja área da base é 50 cm2 e cuja massa é 400 g, é colocado a flutuar na água do recipiente (fig. c). Suponha que a densidade da água seja 1,0 g/cm3.
4,0 cm
Exercícios complementares
80 cm2 Figura a.
Ilustrações: Conceitograf
10 cm
50 cm2 Figura b.
x y Figura c.
a) Calcule o volume (VA) da água contida no recipiente. b) Calcule o volume (VS) da parte submersa do corpo. c) Calcule os valores de x e y. d) Nesse caso, o volume submerso é igual ao volume do líquido deslocado?
3
Volume 1 Capítulo 26
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_26.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:02 PM
12. É dado um tubo em U com ramos verticais (fig. a), cilíndricos e iguais, cuja seção transversal tem área A 5 20,0 cm2. O tubo contém mercúrio e, em um dos ramos, uma quantidade de água de massa 260 g. Abandona-se na água, em repouso, um corpo (C) maciço e homogêneo, de volume 24,0 cm3 (fig. b).
Figura b.
As densidades do mercúrio, da água e do corpo são, respectivamente, 13,6 g/cm3, 1,0 g/cm3 e 7,3 g/cm3. Estabelecido o equilíbrio, pergunta-se: a) Que fração do volume do corpo está contida na água? b) Qual é o valor do desnível h entre as superfícies livres dos dois líquidos?
Exercícios complementares
Figura a.
4
Volume 1 Capítulo 26
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_26.indd 4
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:02 PM
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO À FÍSICA
V 18 18 103 cm3 V k2(20)
Exercícios
k2(20) 5 18 ? 103 ⇒ k2 5 900 ⇒ k 5 30 cm V 5 k3 5 (30 cm)3 5 27 ? 103 cm3 5 27 Resposta: a.
1. d 2. Como os sólidos são maciços e de aço, todos afundam
na água. O volume do recipiente cúbico é: V0 5 (4 dm)3 5 64 dm3 O volume de água contido no recipiente é: V1 5 56 5 56 dm3 V0 2 V1 5 64 dm3 2 56 dm3 5 8 dm3 Portanto, para que não haja transbordamento de água, o volume (V ) do sólido colocado no recipiente deve ser tal que:
12. c
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA Exercícios complementares
1. Supõe-se que no vagão fechado a resistência do ar seja desprezível. Para o referencial no trem a bolinha está em queda livre vertical. Para o referencial no solo (estação) a trajetória é parabólica. Resposta: c.
V < 8 dm3 Esfera: 4(3,14)(2) V 4 πR3 4 (3,14)( 3 2)3 8 3 3 3 Cilindro:
2. Como se considera a resistência do ar, a bomba perde
V πR2 H (3,14)( 2)2( 2) (3,14)(2)(1,41) 8 Paralelepípedo:
velocidade horizontal. Resposta: c.
V 3 3 7 3 7 (3)(2,65) 7,94 8 Pirâmide: V 1 ( 12)2( 5) 4 5 4(2,24) 8 3 Resposta: c.
3. Como o movimento é retilíneo e uniforme, o pêndulo não sofre inclinação. A posição b ocorre no movimento acelerado. A posição c ocorre no movimento retardado. A posição a ocorre em duas situações: MRU ou repouso. Na realidade, não existe nenhum modo de se determinar o sentido do MRU pois o trem não tem janelas. Resposta: a.
3. a 4. d 5. b
CAPÍTULO 3 – VELOCIDADE ESCALAR
6. H 5 2,5 cm 5 2,5 ? 1022 m; π 5 3 V πR2H 3
( 5t ) (2,5 ⋅ 10 )
Exercícios complementares
2
2
1. A questão deve ser resolvida com o referencial no
7. b
navio. No instante em que a luneta se desprende, sua velocidade é nula e ela é acelerada verticalmente pela gravidade. Logo, ao tocar o solo do navio, a distância ao mastro é L. Resposta: e.
8. a
2. A onda s atinge a posição x 5 1 500 km no instante ts 5 3,0 min. A onda p atinge a posição x 5 1 500 km no instante tp 5 5,0 min. Então: Δt 5 5,0 min 2 3,0 min ⇒ Δt 5 2,0 min Resposta: b.
9. c 10. V 5 (500)(170 ) 5 85 ? 103 5 85 m3 A ordem de grandeza de 85 é 102. Resposta: b.
3. O encontro de A com B se dá no cruzamento dos dois
11. 20 cm
k k
1
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 1
Luiz Fernando Rubio
Respostas e resoluções
(3)(2,5)(10 2) t 3 10 3 t 25 t 5 4 min ⇒ V 5 3 ? 1022(4) 5 12 ? 1023 5 0,012 m3 Resposta: e.
gráficos, o que ocorre duas vezes: t1 5 10 s e t2 5 20 s Logo: Δt 5 20 s 2 10 s ⇒ Δt 5 10 s Resposta: b.
4. d
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
1o.) Cálculo de h0 (altura inicial em 1):
5. Por ter corrido, o gráfico, a partir do instante t1 5 2 min, deslocou-se para cima e no instante t2 5 13 min retornou à posição 1 L/min. A área é numericamente igual ao consumo (C ). N (B b) h C área do trapézio 2 (11 9) 1 C ⇒ C 10 L de O2 2 1 L de O2 ------- 20 kJ 10 L de O2 ------- x 5 200 kJ Resposta: c.
6. Consumo entre t1 5 3 min e t2 5 12 min:
C 5 10 ? 2 ⇒ C 5 20 L de O2 Distância percorrida: 1 L ------- 100 m 20 L ------ d d 5 2 000 m 5 2,0 km v ∆s 2,0 km 2,0 km 60 min ∆t 10 min 10 min 1h
( ) (
h0 0 120 10 m 0 12 2o.) Volume inicial em (1): 2 V1 π ⋅ d h0 4 2 V1 π ⋅ 6 10 ⇒ V1 5 90 p m3 4 3o.) Volume final em (2) e cálculo de Hf : 2 2 2 Vf π D Hf ⇒ π 6 10 π 12 Hf 4 4 4
Logo: Hf 5 2,5 m
11. Consideremos o triângulo retângulo construído a partir da figura abaixo:
M2 d2
)⇒
F
d2
⇒ v 5 12 km/h Resposta: e.
d1
7. c
P
8. L v1 ∆t1 ⇒ ∆t1 vL 1 L L v2 ∆t2 ⇒ ∆t2 v2
v2 v1 ⇒ T ∆t1 ∆t2 ⇒ T L L v1 v2 Lv2 Lv1 L (v2 v1) T v1 v2 v1 v2 T v1 v2 L v2 v1 Resposta: d.
9. c 10.
15T 2 120 5 5(T 2 12) 15T 2 120 5 5T 2 60 10T 5 60 ⇒ T 5 6,0 h Seja t2 o instante em que esvaziou:
15t2 120 0 ⇒ t2 5 8,0 h t2 12 b)
reservatório 1
reservatório 2
h0 Hf 6m
2
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 2
12 m
Luiz Fernando rubio
Respostas e resoluções
a) Seja T o instante em que h 5 5 m: 15T 120 5 T 12
F
Q
d1 M 1
alvo
P: local do tiro (posição inicial) M1: primeiro detector de som M2: segundo detector de som v: velocidade do projétil vs: velocidade do som Quando o projétil atingiu o alvo em Q, o som ainda caminhava e sua “frente de onda” estava em F (veja na figura). Considerações: 1o.) para que M1 detecte ao mesmo tempo o som do disparo e o som do impacto no alvo, devemos impor: FM1 5 QM1 5 d1 5 vS ? Dt1 1 o. 2 ) para que M2 detecte ao mesmo tempo o som do disparo e o som do impacto, devemos impor: 2 FM2 5 QM2 5 d2 5 vS ? Dt2 Certamente teremos: Δt2 . Δt1 Na figura temos: 3 PF 1 2d1 5 PQ 4 PF 1 d2 5 PM2 O trecho PQ foi percorrido pelo projétil: 5 PQ 5 v ? T Ao mesmo tempo T o som chegou a F: 6 PF 5 vS ? T Usando as equações 3 , 5 e 6 : vs ? T 1 2d1 5 v ? T 2d1 5 v ? T 2 vs ? T 2d1 5 T(v 2 vs) d1
T (v vs) 2
7
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte inteGrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
Para obtermos uma relação com d2, temos de usar o Teorema de Pitágoras: (PM2)2 5 (PQ)2 1 (QM2)2 Substituindo as equações 4 , 5 e 2 , vem: (PF 1 d2)2 5 (v ? T)2 1 (d2)2 Usando agora a equação 6 : (vS ? T 1 d2)2 5 (v ? T)2 1 (d2)2 2
2
v2S T2 2vS T d2 d 2 v2 T2 d 2 v2 T2 vS T2 T (v2 v2S) d2 8 2 vS T 2 vS d A razão d1 pedida se obtém com as equações 2 7 e 8: T (v vS) (v vS) vS d1 2 d2 (v2 v2S) T (v2 v2S) 2vS O termo do lado direito poderia ter sido simplificado, mas a resposta não seria encontrada. Resposta: a.
CAPÍTULO 4 – MOVIMENTO UNIFORME
4. 110 m/s 5. d 6. Vamos resolver por equação horária: sA 5 s0 1 vA ? t Orientando a trajetória para a direita e tomando em A a origem das abscissas: sA 5 0 1 2,0t ⇒ sA 5 2,0t (SI) sB 5 s0 1 vB ? t vB 5 23,0 m/s; s0 5 15,0 m sB 5 115,0 2 3,0t (SI) No encontro: sA 5 sB 2,0te 5 15,0 t2 3,0te te 5 3,0 s se 5 2,0te 5 2,0 ? 3,0 5 6,0 m A bola B terá percorrido |Ds| tal que: |Ds| 5 15,0 2 6,0 ⇒ |Ds| 5 9,0 m Resposta: d.
Exercícios complementares
7. a
s 1. a) v = ∆ ∆t
8.
v 5,0 0 10,0 5,0 20,0 0 ⇒ 10,0 0 20,0 10,0 40,0 0
⇒ v 5 0,50 cm/s b) O movimento é uniforme. c) s 5 s0 1 v ? t s 5 0 1 0,50t ⇒ s 5 0,50t (unidades do SI) s (cm)
Setup
d)
20 10
0
Respostas e resoluções
b) No mesmo sentido. vrel 5 8,0 m/s 2 6,0 m/s 5 2,0 m/s Δsrel 5 vrel ? Δt2 140 5 2,0 ? Δt2 ⇒ Δt2 5 70 s
20,0
40,0
t (s)
2. 1o. ) vrel 5 |v1| 1 |v2| 5 12,5 m/s 2 vrel = ∆s ⇒ 12,5 150 ⇒ ∆t 12,0 s ∆t ∆t o. ) 3 d 5 |v|Dt d1 5 5,0 ? 12,0 (m) ⇒ d1 5 60 m o. )
d2 5 7,5 ? 12,0 (m) ⇒ d2 5 90 m
3. a) Em sentidos opostos. Tomando o referencial em B, o móvel A terá uma velocidade relativa de: vrel 5 8,0 m/s 1 6,0 m/s 5 14 m/s Δsrel 5 vrel ? Δt1 140 5 14 ? Δt1 ⇒ Δt1 5 10 s
3
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 3
a) A distância d1 percorrida pelo mais rápido até o segundo encontro no ponto C é: d1 5 700 1 AC d1 5 700 m 1 200 m ⇒ d1 5 900 m Então: d v1 1 ⇒ v1 900 m ⇒ v1 5 9,0 m/s ∆t 100 s A distância d2 percorrida pelo mais lento é o arco AC medido no sentido horário: ⇒ d 5 700 2 200 ⇒ d 5 500 m d2 5 700 2 AC 2 2 Então: d v2 2 ⇒ v2 500 m ⇒ v2 5 5,0 m/s ∆t 100 s b) Como eles estão em sentidos opostos: vrel 5 |v1| 1 |v2| vrel 5 9,0 m/s 1 5,0 m/s ⇒ vrel 5 14,0 m/s c) vrel ? Δt 5 Δsrel 14 ? T 5 700 ⇒ T 5 50 s (metade do tempo gasto até o segundo encontro em C).
CAPÍTULO 5 – MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO Exercícios complementares
1. I. Correta. Tomando-se o referencial em B:
αrel 5 αA 2 αB 5 5,0 m/s2 2 5,0 m/s2 5 0 Logo, o movimento é retilíneo e uniforme.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
2. ac 5 aceleração da cabina em relação ao referencial
no solo am 5 aceleração da moeda em relação ao referencial no solo ac 5 1,2 ? g; am 5 g; ambas são verticais para baixo arel 5 ac 2 am 5 1,2 ? g 2 1,0 ? g arel 5 0,2 ? g A velocidade relativa inicial da moeda com referencial no elevador é zero. a 1o. ) ∆srel (vrel ) t rel t2 2 2,25 5 0 1 0,1 ? g ? T2 Sendo g 5 10 m/s2 ⇒ T 5 1,5 s 2o. ) Cálculo da velocidade v1 da moeda ao atingir o teto, com o referencial no teto: vrel 5 v0 1 (arel) ? t
( )
∆s v0 vf 2 ∆t 250 30 20 ⇒ T 5 10 s T 2 Resposta: a.
7. No movimento retrógrado a velocidade escalar é nega-
tiva. No movimento acelerado a velocidade deve ter o mesmo sinal. Concluindo, no movimento retrógrado e acelerado: v,0 e α,0 Resposta: d. ∆v 8. a) α1 ∆t1 1812m/s ⇒ a1 5 1,5 m/s2 s ∆v2 18 m/s ⇒ a1 5 2 m/s2 α2 9,0 s ∆t N b) ∆S1 5 área do triângulo 5 b h 2 18 24 216 m ∆s1 2 N ∆S2 5 área do triângulo 5 b h 2 15 30 225 m ∆s2 2 Concluindo, o móvel (2) alcançou e ultrapassou o móvel (1). v (m/s) 30
⇓ v1 5 0 1 (0,2 ? g) ? T v1 5 0,2 ? 10,0 ? 1,5 ⇒ v1 5 3,0 m/s 3o. ) Cálculo da velocidade v2 da cabina, com o referencial no solo: v2 5 v0 1 (ac) ? t v2 5 0 1 1,2 ? g ? T v2 5 1,2 ? 10,0 ? 1,5 ⇒ v2 5 18,0 m/s Resposta: c.
3. d 5. Nos instantes t 5 0 e t 5 t1, os carros A e B ocupam
Respostas e resoluções
2
24
1
0
3,0
18
t (s)
9. b 10. c 11. a
4. a a mesma posição e, portanto, entre 0 e t1, temos: DsB 5 DsA ⇒ vm 5 vm (B) (A) Como A está em movimento uniforme: vm 5 vA (constante) (A)
Como B está em movimento uniformemente variado, temos: v0 v B v vm (B) B (B) 2 2 v v Portanto: B vA ⇒ B 2 2 vA Resposta: d.
6. Sendo a aceleração escalar constante, o movimento é uniformemente variado:
4
Setup
vrel 5 vA 2 vB 5 5,0 m/s 2 3,0 m/s 5 2,0 m/s Concluindo: se aproxima de B com velocidade de 2,0 m/s, em MRU. II. Errada. Também se aproxima de A, em MRU. III. Errada. αrel 5 0; logo, é MRU. IV. Correta. Δsrel 5 vrel ? Δt (é um MRU) 12 5 2,0 ? Δt ⇒ Δt 5 6,0 s Resposta: c.
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 4
12. Como o vértice da parábola corresponde ao ponto de inversão do movimento e este corresponde a t 5 0, temos: v0 5 0 Ainda, da leitura do gráfico: t 5 0 ⇒ S0 5 20 m A equação horária, provisoriamente, é: s s0 v0 t α t2 ⇒ S 20 α t2 2 2 Substituamos o seguinte par de valores: t 5 4,0 s ↔ s 5 0 0 20 α (4,0)2 2 8,0 α 20 ⇒ α 20 ⇒ α 2,5 m/s2 8,0 Finalmente, a equação horária fica: S 5 20 2 1,25 ? t2 (unidades SI) Resposta: c.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
13. 1o. ) t 5 t1 ⇒ s 5 s1 5 0 2,0t 2 16,0 5 0 t31 5 8,0 ⇒ t1 5 2,0 s 2o. ) v ds 6,0t2 (SI) dt t1 5 2,0 s ⇒ v1 5 24,0 m/s 3 1
3o. ) α1 dv 12 t (SI) dt t1 5 2,0 s ⇒ α1 5 24,0 m/s2 Resposta: e.
14. a) s 5 2,0t3 1 4,0t 2 4,0 (SI) t1 5 0 ⇒ s1 5 0 1 0 2 4,0 ⇒ s1 5 24,0 m t2 5 2,0 s ⇒ s2 5 2,0 ? (2,0)3 1 4,0 ? 2,0 2 4,0 ⇒ ⇒ s2 5 20 m Δs 5 s2 2 s1 Δs 5 (20) 2 (24,0) 5 24 m Δt 5 t2 2 t1 5 2,0 s vm ∆s 24 m ⇒ vm 5 12 m/s ∆t 2,0 s ds b) v (derivada) dt v 5 6,0t2 1 4,0 2 0 v 5 6,0t2 1 4,0 t1 5 0 ⇒ v0 5 0 1 4,0 ⇒ v0 5 4,0 m/s
t2 5 2,0 s ⇒ v2 5 6,0 ? (2,0)2 1 4,0 v2 5 24 1 4,0 ⇒ v2 5 28 m/s c) α dv ⇒ α 12t 0 ⇒ α 12t dt para t2 5 2,0 s ⇒ α2 5 12 ? 2,0 ⇒ α2 5 24 m/s2
CAPÍTULO 6 – MOVIMENTO VERTICAL NO VÁCUO Exercícios complementares A
t0 0
Respostas e resoluções
h 2 h
2T2 5 T2 1 2T 1 1 T2 2 2T 2 1 5 0 T 2 8 2 2 2 2 ⇒ T 1 2 ou T1 1 2 T2 , 0 (descartado) Voltando à equação 2 : 2 h 1 g (1 2 1) 2 g 5 10,0 m/s2 h 5,0(2 2)2 5,0(2 1,4)2 ⇒ h 57,8 m
2. h h0 v0t α2 t2 ↑⊕ h1 5 10,0t 2 5,0t2 h2 5 10,0(t 2 1,0) 2 5,0(t 2 1,0)2 h1 5 h2 10,0t1 2 5,0t21 5 10,0t1 2 10,0 2 5,0(t21 2 2,0t1 1 1,0) 25,0t21 5 210,0 2 5,0t21 1 10,0t1 2 5,0 10,0t1 5 15,0 ⇒ t1 5 1,5 s hE 5 10,0 ? 1,5 2 5,0(1,5)2 (m) hE 5 15,0 2 11,25 (m) ⇒ hE 5 3,75 m Resposta: c. H 3. a) 2g b) 3H 4
4. a) g H b) zero e
ilustrações: Setup
1.
De 1 e 2 vem: g T2 1 g (T 1)2 2 2gT2 g(T 1)2
5.
g H
A (tA 0)
h1 B (tB T)
B h 2
tB T t 1 s
g 10 m/s2 (MUV) h2
C tC (T 1)
∆s 1 g t2 2 De A até B: h 1 g T2 1 2 2 De A até C: h 1 g (T 1)2 2 2
5
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 5
C (tC 2T)
1o. ) ∆s v0t α t2 2 g 2 AB: h1 T 2 g gT2 AC: h1 h2 (2T)2 4 2 2 h1 1 h2 5 4h1 ⇒ h2 5 3h1 Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
2o. ) H 5 h1 1 h2 5 4h1
h1 H 200 (m) 50 m 4 4
h2 5 3h1 5 150 m Resposta: b.
8. 1o. ) O tempo de queda da bola A é dado por:
2o. ) Após 1,0 s de queda, o corpo A tem uma velocidade vA dada por: v 5 v0 1 αt vA 5 0 1 10,0 ? 1,0 (m/s) ⇒ vA 5 10,0 m/s
∆s v0t α t2 2 10,0 45,0 t2 ⇒ tA 3,0 s 2 A 2o. ) Como a bola B é lançada 1,0 s depois, seu tempo de queda deve ser igual a 2,0 s, para que chegue ao solo no mesmo instante em que chega a bola A. Assim, temos: ∆s v0t α t2 2 45,0 v0 2,0 10,0 (2,0)2 B 2
3o. ) No instante em que B foi abandonado, temos:
2,0v0B 5 25,0 ⇒ v0B 5 12,5 m/s
6. 1o. ) Em 1,0 s de queda, o corpo A percorreu uma dis-
tância d dada por: ∆s v0t α t2 2 d 10,0 (1,0)2 (m) 5,0 m 2
B
vB 0
Resposta: a.
ilustrações: Setup
9. Quando o projétil B voltar ao ponto de lançamento, ele
5,0 m
A vA 10,0 m/s
Adotando-se o instante em que B foi abandonado como origem dos tempos, temos: s s0 v0t α t2 2 sA 5 5,0 1 10,0t 1 5,0t2 (SI) sB 5 5,0t2 (SI) 4o. ) A condição do exercício é que: sA 2 sB 5 15,0 m 5,0 1 10,0t1 1 5,0t21 2 5,0t21 5 15,0 10,0t1 5 10,0 ⇒ t1 5 1,0 s
Respostas e resoluções
2o. ) O módulo da velocidade do som é dado por: 414,74 vsom ∆Ht 1,20 ⇒ vsom 345,62 m/s Resposta: d.
terá uma velocidade vertical para baixo com módulo 30,0 m/s e gastará um tempo T para chegar ao solo. Como o tempo total de B é 2T, então ele deve gastar um tempo T para chegar ao ponto mais alto e retornar ao ponto de partida. v v0 αt (MUV) ↓⊕ 130,0 5 230,0 1 10,0T 10,0T 5 60,0 ⇒ T 5 6,0 s Para a descida do móvel A: ∆s v0t α t2 (MUV) ↓⊕ 2 H 30,0 6,0 10,0 (6,0)2 (m) 2 H 5 180 1 180 (m) ⇒ H 5 360 m Resposta: e.
10. 1o. )
v 0
5o. ) A distância percorrida por B é dada por: sB 5 5,0t2 dB 5 5,0(1,0)2 (m) ⇒ dB 5 5,0 m
H
Resposta: d.
v0
7. 1o. ) tq 2H g
t2q 2H g
gt2 H q 2
6
H
9,80 (9,20)2 ⇒ H 414,74 m 2
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 6
v2 5 v20 1 2aDs 02 5 v20 2 2gH
H
v20 1 2g
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
2o. )
Essa explicação praticamente soluciona a questão, empurrando o tempo t2 para a direita de t1. Resposta: b.
v 0
v'2 5 v'20 1 2aDs v'2 5 (2v0)2 1 2 ? (2g) ? H v'2 5 4v20 2 2gH 2
2. a) Falsa: vA 5 12,5 m/s e vB 5 12,0 m/s b) Falsa. De 0 a 4,0 s: ∆vA αA 12,5 (m/s2) 3,125 m/s2 4,0 ∆t
v'
De 0 a 10 s: 3
vB 12,0 (m/s2) 3,6 m/s2 10 t 3 Portanto, αB . αA.
H
αB
v (m/s) 2v0 v'0
12,5
A
12,0
B vA vB
3o. ) Substituindo 1 em 2 , vem:
v2 v' 4v 2g 0 2g
v'2 3v20 ⇒ v' v0 3
2
0
T
4,0
12,0 5 3,125T ⇒ T 5 3,84 s d) Correta: Ds 5 Área (v ? t) 100 (TA TA 4,0) 12,5 2
CAPÍTULO 7 – DIAGRAMAS HORÁRIOS
Exercícios complementares
2TA 2 4,0 5 16,0 ⇒ TA 5 10,0 s
1. Na figura representamos as funções de velocidade 3
velocidade C
C
D
ilustrações: Setup
tempo de cada um dos movimentos.
v1
B
A
t1 t2 tempo área (ABC t 2) área (ADC t 1)
São paralelos, no gráfico: AB e DC e ainda AD e BC. Em ambos os movimentos a distância percorrida é a mesma, pois a figura inicialmente dada é um paralelogramo. Logo, a área sob o gráfico ADC é numericamente igual à área sob o gráfico ABC. Resta explicar por que o tempo para percorrer AB é maior que de percorrer DC: observemos que a área sob DC deve ser igual à área sob AB, o que nos leva a ter um maior intervalo de tempo no deslocamento AB.
7
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 7
t (s)
c) vA 5 v0 1 αAt
Resposta: d.
Respostas e resoluções
10 3
2 0
(
)
100 TB TB 10 12,0 3 2 10 50 2TB 3 3 60 2TB ⇒ TB 10,0 s 3
Sendo TA 5 TB, a corrida termina empatada. e) Falsa. Quando os movimentos forem uniformes, ambas as acelerações escalares serão nulas. Resposta: d.
3. a) 1o. ) A ordenada y corresponde à velocidade escalar no instante t 5 0 e, de acordo com o texto: y 5 20,0 m 2o. ) O conjunto de instrumentos se desprende do VLS no instante t 5 2,0 s. Do instante t 5 0 até o instante t 5 2,0 s, o VLS percorreu uma distância d dada por: d 5 vDt 5 20,0 ? 2,0 (m) 5 40 m H 5 H0 1 d 5 (100 1 40) m ⇒ H 5 140 m b) 1o. ) |α| g |∆v| ∆t 20,0 g (m/s2) ⇒ g 10 m/s2 2,0
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
2o. ) N o instante t 5 4,0 s, o instrumento está na altura H1 tal que: H1 5 100 m 1 Ds1 v (m/s) 20,0
0
2
t (s)
4
Ds1 5 área (v ? t)
∆s1 (4,0 2,0) 20,0 (m) 60 m 2 H1 5 160 m 3o. ) Cálculo do tempo T a partir do instante t 5 4,0 s: ∆s v0t α t2 (MUV)↓⊕ 2 160 10 T2 2 T2 16 2 ⇒ T 4 2 s 5,6 s Portanto, o instante pedido é: Tf 5 4,0 s 1 5,6 s ⇒ Tf 5 9,6 s
4. a) v 5 v0 1 αt
Esfera (1): lançada com velocidade v0 5 20 m/s: v1 5 20 2 10t (em unidades do SI)
Esfera (2): abandonada em repouso: v2 5 210t (em unidades do SI) Diagramas horários: ilustrações: Setup
v (m/s) 20,0
Esfera (1): lançada a partir do solo com velocidade escalar inicial 120 m/s: y1 5 0 1 20 ? t 2 5,0 ? t2 (em unidades do SI) Esfera (2): abandonada a 40 m de altura, com velocidade inicial nula: y2 5 40 1 0 2 5,0 ? t2 (em unidades do SI) No encontro, teremos y1 5 y2: 120 ? t 2 5,0 ? t2 5 40 2 5,0 ? t2 Sendo T o instante do encontro, teremos: 20T 5 40 ⇒ T 5 2,0 s c) Retomando as equações de velocidade e substituindo-se o tempo por T 5 2,0 s: v1 5 20 2 10t ⇒ v1 5 20 2 10 ? 2,0 ⇒ v1 5 0 v2 5 210t ⇒ v2 5 210 ? 2,0 ⇒ v2 5 220 m/s
5. a 6. a) tE 5 2 s
b) sA 5 3t; sB 5 4 1 t
7. a) Trecho AB: a velocidade escalar é positiva e crescente. Logo, o movimento é progressivo e acelerado. Como o gráfico da velocidade é retilíneo, concluímos que se trata de um MUV. Trecho BC: a velocidade escalar é constante e diferente de zero. Trata-se de um MU. Sendo essa velocidade positiva, o movimento é progressivo. Trecho CD: a velocidade escalar é positiva, porém decresce uniformemente (linearmente). Trata-se de um MUV, de aceleração escalar negativa. Logo, é um movimento progressivo e retardado. b) Trecho AB: αAB tg θ 4,0 ⇒ 2,0 2 ⇒ aAB 5 12,0 m/s
Trecho BC: é um MU, portanto, aBC 5 0. 6,0 Trecho CD: αCD tg θ 2,0 ⇒ ⇒ aCD 5 23,0 m/s2 N
v1 0
T
t (s)
Respostas e resoluções
Figura 1: esfera (1). v (m/s) T 0
t (s)
v2
Figura 2: esfera (2).
b) Determinação do instante de colisão: g 2 t y y 0 v0 t 2
8
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 8
c) Trecho AB: ∆sAB 5 área do trapézio 5 ∆sAB 5 8,0 m. Como o móvel partiu da origem, no instante t1 5 2,0 s, sua posição é sB 5 8,0 m. N Trecho BC: DsBC 5 área do retângulo ⇒ DsBC 5 12 m DsBC 5 sC 2 sB ⇒ 12 5 sC 2 8,0 ⇒ sC 5 20 m (posição no instante t2 5 4,0 s) N Trecho CD: DsCD 5 área do triângulo ⇒ DsCD 5 6,0 m DsCD 5 sD 2 sC ⇒ 6,0 5 sD 2 20 ⇒ sD 5 26 m (posição no instante t3 5 6,0 s) d) Diagramas horários de aceleração e velocidade: Nos movimentos uniformemente variados, os gráficos de posição em função do tempo serão parabólicos (trechos AB e CD). No movimento uniforme (BC), o gráfico será retilíneo e oblíquo. As duas parábolas terão concavidade dada pelas respectivas acelerações: • trecho AB ⇒ aAB . 0 ⇒ concavidade para cima; • trecho CD ⇒ aCD , 0 ⇒ concavidade para baixo.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
10. a)
α (m/s 2) A
2,0
B B
0
t3
C 0
t (s)
3,0
C
s (m) 28
C
t6
e função α 2 f (t) é do 1o grau e, portanto: α αf αm 0 2 A partir do instante t 5 4,0 s a aceleração escalar é nula: α 0 α ⇒ 8,0 0 ⇒ α0 5 4,0 m/s2 ∆v 0 ∆t 2 4,0 2
12 B
8,0 4,0
A
0
2
4
6
8
t (s)
Figura 2. Gráfico da posição 3 tempo.
Observação: o ponto D é vértice da parábola, pois corresponde ao instante em que a velocidade é nula.
8. a) Ds 5 750 m 750
50
vm ∆s ⇒ 54,0 900 ⇒ t 5 60 s 3,6 t ∆t
)
(
v (m/s)
20
20
t (s)
o gráfico v 5 f (t), a área mede o deslocamento N escalar: t t v1 3 900 2 1 800 5 (60 1 20)v1 ⇒ v1 5 22,5 m/s
t (s)
9. v (m/s)
10
Ds 5 6,7 m
12. A velocidade escalar média é dada por:
450
30
b) O deslocamento é medido pela área sob o gráfico (v 3 t), onde cada quadrado representa um deslocamento de 0,5 m. O número aproximado de quadrados é 13,5. Ds 5 13,5 ? 0,5 m
ilustrações: Setup
b) s (m)
0 0,2
Entre os instantes 0 e t , temos: 3 N SR 5 área (v ? t)
10,2
t (s)
SR
t v ( ) 3
1
2
⇒ SR 20 22,5 (m) 2
SR 5 225 m
Δs 5 área (v ? t) ∆s1 10 20 (m) 100 m 2 ∆s2 (10,2 0,2) 20 (m) 104 m 2 x 5 Ds2 2 Ds1 5 4,0 m
Entre os instantes t e 2 t, temos: 3 3 t ∆s v1 3 SS 225 22,5 60 ⇒ SS 5 675 m 3
Resposta: b.
Resposta: c.
9
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 9
t
11. a) Sendo v 2 f (t) do 2o grau (o gráfico é parabólico),
16
Respostas e resoluções
t2
1) MUV 2) t5 a t6: 2) retrógrado (v 0) 3) retardado (v 0 e α 0)
24
0
t5
1) MUV b) 1) t2 a t3: 2) progressivo (v 0) 3) retardado (v 0 e α 0)
D
20
t1
t4
D
Figura 1. Gráfico da aceleração 3 tempo.
0
v
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
CAPÍTULO 8 – VETORES
3. a) V
Exercícios complementares
1. d 2. Como
|a | 5 3 , podemos fazer: |a | 5 3x e |b | 5 4x 4 |b |
a
R
b) F c) V d) V e) V f) F
4. c 5. a) 1,0 m/s2 b) 0,50 m/s2
6. a) 10 m/s2 b) 24 m/s2 b
Assim: |a |2 1 |b |2 5 |R |2 (3x)2 1 (4x)2 5 402 Donde tiramos x 5 8. Portanto, |a | 5 24 e |b | 5 32.
3. b 4. 12 2 7 < R < 12 1 7 ⇔ 5 < R < 19 Resposta: e.
5. a 5 3i 1 4j; b 5 23i 1 2j; c 5 23i 2 2j; d 5 3i; e 5 22j
d) 24 m
7. d 8. 72 km/h 9. b 10. d 11. c 12. c
6. d
CAPÍTULO 10 – COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS
7. b
Exercícios complementares
8. a) F
1. a) 130 km/h
b) V c) V d) F e) F f) V
b) 26 km
2. 12 m/s 3. a) 12 m/s b) q 23°
9. d
Respostas e resoluções
c) 24 m/s
c) 4,0 s
CAPÍTULO 9 – CINEMÁTICA VETORIAL
4. 4,0 m/s
Exercícios complementares
5. a) 0,50 m/s
1. a) 34 m b) 26 m c) 17 m/s d) 13 m/s
2. a) 203p m b) 10 3 m c) 5p m/s 6 d) 5 3 m/s 4
10
Volume 1
FC1-CD-Respostas.indd 10
b) 0,83 m/s c) 0,67 m/s
6. b
CAPÍTULO 11 – CINEMÁTICA ANGULAR Exercícios
2. a) 20,50p rad/s2 b) w 5 10p 2 0,50πt (SI) c) 50 Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
26/09/12 09:59
3. 3,0 rad/s2
b)
FN
4. a 5. c FN 5 650 N
6. 2,0 rad/s2
7. a) 800 N
7. b
b) 840 N
8. b
c) 560 N
9. 10 s
8. a) 6,0 m/s2
10. b
b) 72 N
Exercícios complementares
9. e
11. c
10. a) 2,0 m/s2
12. b
b) 25 N
13. b
11. a) 4,0 m/s2
14. 14
b) 52 N
15. a
12. a) 2,5 m/s2 b) 60 N
16. b
13. a) 2,0 m/s2
17. d
b) 4,0 N
CAPÍTULO 12 – LEIS DE NEWTON Exercícios complementares
1. F mA a (mA mB) 4a ⇒ 4mA mA mB ⇒ ⇒ 3mA mB ⇒
14. Cada anel tem massa m0 5 200 gramas 5 0,200 kg. Portanto, o peso de cada anel é: P0 5 m0 ? g 5 (0,200 kg)(10 m/s2) 5 2,0 N
mA 1 mB 3
g
Resposta: a.
F
2. a) V
anel do meio
F a
3. a 4. e
P 4P0
5. d 6. p 5 mg 5 (68 kg) (10 m/s2) 5 680 N a)
FM
FB P
ilustrações: Setup
Respostas e resoluções
b) V c) F d) F
15. a) Podemos considerar todo o conjunto formando
FB 1 FN 5 P ⇒ FB 1 650 ⇒ 680 ⇒ FB 5 30 N
11
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 11
Supondo movimento acelerado para cima, temos: F 2 4P0 5 (4m0) ? a F 2 4(2,0) 5 (4) ? (0,200)(2,0 m/s2) F 2 8,0 5 1,6 F 5 9,6 N Resposta: b. um único corpo de massa m 5 mA 1 mB, isto é, m 5 8,0 kg (fig. a). Esse corpo tem peso P: P 5 m ? g 5 (8,0) ? (10) ⇒ P 5 80 N
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
Se o sistema estivesse em equilíbrio, deveríamos ter: PA 5 T e PB 5 4T Isto é: PB 5 4PA e mB 5 4mA (equilíbrio) Como neste caso temos mA 5 3,0 kg e mB 5 2,0 kg, concluímos que mB , 4mA e, portanto, A deve descer com aceleração de módulo aA e B deve subir com aceleração de módulo aB.
F
a
m
P
a) Sejam aX e aY os módulos das acelerações das polias X e Y e usando o raciocínio desenvolvido para a polia móvel, concluímos que, nesse caso, aA 5 2aX e aX 5 2aY. Mas aY 5 aB. Portanto: aA 5 4aB.
Figura a.
Aplicando a Segunda Lei de Newton, temos: F2P5m?a 112 2 80 5 8,0 ? a a 5 4,0 m/s2 F b) Consideremos agora as forças que atuam em cada bloco (fig. b). Sejam PA e PB os pesos de A e B; a tração no fio tem intensidade T. B Aplicando a Segunda Lei de Newton ao bloco A (e observando que o movimento é acelerado para cima), T temos: PB T 2 PA 5 mA ? a T T 2 50 5 (5,0) ? (4,0) T 5 70 N Poderíamos, também, ter aplicado a A Segunda Lei de Newton ao bloco B: F 2 T 2 PB 5 mB ? a 112 2 T 2 30 5 (3,0) ? (4,0) T 5 70 N
b) Como A deve descer temos PA . T e como B deve subir devemos ter 4T . PB. Ficamos então com o sistema de equações: PA T mA aA 4T PB mB aB a 4a A B
a
ou 30 T 3,0 aA 4T 20 2,0 aB a 4a A B
Substituindo 3 em 1 , ficamos com o novo sistema: 30 T 12 aB 4T 20 2,0 a B Resolvido esse novo sistema, obtemos aB 5 2,0 m/s2 e T 5 6,0 N Substituindo em 3 , obtemos aA 5 8,0 m/s2. c) T 5 6,0 N
PA
16. a) 12 m/s2
b) 8,0 N
Figura b.
CAPÍTULO 13 – APLICAÇÃO DAS LEIS DE NEWTON
5. a) 250 N
Exercícios
b) 0,5 m
2. a) 1,0 m/s2 b) 2,0 m/s c) 36 N
2
6. b
3. a) 12 m/s2; 6,0 m/s2
f1
f2 T
PA
X 2T
T
2T
Y
b) 24 N iLuStraçõeS: MarCo a. SiSMotto
Respostas e resoluções
4.
T A
1 2 3
7.
dB
dA A
T
T
T
B
T
dC 2T C
4T
PC
B PB
mA 5 3,0 kg; mB 5 2,0 kg; g 5 10 m/s2; PA 5 30 N; PB 5 20 N
12
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 12
mA 5 15 kg; mB 5 10 kg; mC 5 24 kg; g 5 10 m/s2; PC 5 240 N
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte inteGrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
a) Para fixar ideias, podemos supor que o sistema foi abandonado em repouso. Depois de um intervalo de tempo Dt, o bloco A deslocou-se dA para a direita, enquanto o bloco B deslocou-se dB para a esquerda. Nesse mesmo intervalo de tempo, o deslocamento do bloco C (para baixo) é dC, dado por: dA dB 2
A mesma relação vale para os módulos das velocidades e os módulos das acelerações: a aB 1 aC A 2
2 2T (1,0) aA 2T mA aA P T m a ⇒ 60 T (6,0)(2a ) 3 B B B A Resolvendo o sistema formado pelas equações 2 e 3 obtemos: aA 5 4,8 m/s2; aB 5 9,6 m/s2; T 5 2,4 N
9.
T
T
A
C
b) e c)
2T
T 15 aA T mA aA ⇒ ⇒ T 10 aB T mB aB 240 2T 24a P 2T m a C C C C a A ⇒ aB aC
T 15 T 10 240 2T 24
3 4 PB
MarCo a. SiSMotto
Colocando o valor de T em 2 e 3 , obtemos aA 5 4,0 m/s2 e aB 5 6,0 m/s2. Substituindo em 1 , tiramos aC 5 5,0 m/s2. 2T
PC
B
T T 240 2T 15 10 ∴ T 5 60 N 24 2
A
PA
2
Substituindo 2 , 3 e 4 em 1 :
8.
Setup
dC
A mesma relação vale entre as acelerações: aB 5 2aA 1
2T
mA 5 4,0 kg; mB 5 16 kg; mC 5 8,0 kg; g 5 10 m/s2 PA 5 40 N; PB 5 160 N; PC 5 80 N Suponhamos que A e C subam com acelerações de módulos aA e aC, respectivamente. Assim, B deve descer com aceleração de módulo aB. Usando o mesmo raciocínio do exercício 7, concluímos que: a aC aB A ou aA aC 2aB 1 2 T 40 (4,0)(aA ) T PA mA aA ⇒ T 80 (8,0)(aC) T PC mC aC P 2T m a 160 2T (16)(a ) B B B B
2 3 4
Das equações 2 , 3 e 4 tiramos:
Respostas e resoluções
T
aA T 40 ; 4,0 T 80 ; aC 8,0 aB 160 2T 16
B PB
mA 5 1,0 kg; mB 5 6,0 kg; g 5 10 m/s2; PB 5 60 N Se, num intervalo de tempo Dt, o bloco A tem um deslocamento dA para a direita, o eixo da polia móvel também tem um deslocamento dA para baixo. Mas, como a polia móvel é envolvida por dois ramos de fio, o bloco B, nesse intervalo de tempo, desce uma distância dB tal que: dB 5 2dA
13
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 13
5 6 7
Substituindo 5 , 6 e 7 em 1 :
(
T 40 T 80 2 160 2T 4,0 8,0 16
)
Resolvendo esta equação, obtemos: T 5 64 N Substituindo esse valor de T nas equações 5 , 6 e 7 tiramos: aA 5 6,0 m/s2; aC 5 22,0 m/s2; aB 5 2,0 m/s2
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte inteGrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
FN T
=
T
T
'
B =
Exercícios complementares
'
MarCo a. SiSMotto
O fato de aC resultar negativa significa que nossa hipótese inicial sobre o movimento de C estava errada. Assim, C deve descer com aceleração de módulo 2,0 m/s2.
PB
T
10. 250 N A
11. a) 2,0 m/s2
C
b) É acelerado para cima ou retardado para baixo. T
Figura a. PA T' mA a T' T mB a T P m a C C
M
P
b) O peso do homem tem módulo PH dado por: PH 5 mH ? g 5 80 ? 10 ⇒ PH 5 800 N MarCo a. SiSMotto
Observando que o sistema tem movimento acelerado para cima, apliquemos a Segunda Lei de Newton ao homem:
⇒ FN 5 960 N
Respostas e resoluções
FN
PH MarCo a. SiSMotto
A
B
C
PC
Figura b. b) Substituindo o valor de a na equação 1 , temos: 90 2 T' 5 9,0 ? 2,0 T' 5 72 N c) Substituindo o valor de a na equação 3 , temos: T 2 50 5 5,0 ? 2,0 T 5 60 N
13. b 14. e
18. 8,0 m/s2
15. 25 N
19. a) 3,0 s b) 6,0 m/s
16. a) 4,0 m/s2 b) 6,0 kg P m g 9,0 10
17. PA m A g 5,0 10
20. 4,0 s PA 90 N PC 50 N
C C O peso do bloco B se anula com a normal. Observando que PA . PC, apliquemos a Segunda Lei de Newton a cada bloco:
14
ou
1 2 3
Adicionando membro a membro as igualdades 1 , 2 e 3 , obtemos: 90 2 50 5 20 ? a a 5 2,0 m/s2 Poderíamos, também, ter usado o artifício de imaginar o sistema “esticado” (fig. b). Aplicando a Segunda Lei de Newton, temos: PA 2 PC 5 (mA 1 mB 1 mC) ? a 90 2 50 5 (9,0 1 6,0 1 5,0) ? a a 5 2,0 m/s2 PA
FN
FN 2 PH 5 mH ? a FN 2 800 5 80 ? 2,0 ⇒
90 T' 9,0 a T' T 6,0 a T 50 5,0 a
MarCo a. SiSMotto
formando um único corpo, cuja massa é M 5 mH 1 mE, isto é, M 5 600 kg. O peso desse corpo tem módulo P 5 M ? g ou P 5 6 000 N. Aplicando a Segunda Lei de Newton (lembrando que o elevador está subindo com movimento acelerado), temos: T2P5M?a T 2 6 000 5 600 ? 2,0 ⇒ T 5 7 200
Setup
12. a) Consideremos o elevador e o homem
PC
PA
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 14
21. 0,50 m/s2 22. a 23. a) 3,0 ? 102 N b) 4,0 ? 102 N
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte inteGrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
intensidade de F, aumenta a intensidade de Fy e, portanto, diminui a intensidade de FN. Há, então, um valor de F para o qual Fy 5 P e FN 5 0; nesse caso, o bloco ainda está em contato com o plano horizontal, mas não o comprime. A partir daí, qualquer aumento de F fará com que o bloco adquira movimento para cima, perdendo o contato com o plano horizontal. Assim, para que o bloco não perca o contato com o plano horizontal, o valor máximo de F é aquele para o qual: Fy 5 P F ? 0,60 5 120 ou F 5 200 N Portanto, Fmáximo 5 200 N
T
A M
W
N T
1m
PB
MarCo a. SiSMotto
B
MN 5 5 m; MW 5 1 m; WN 5 4 m No trecho MW (enquanto o bloco B não encosta no solo) o bloco A tem MUV de aceleração a: PB 5 (mA 1 mB) ⇒ 20 5 (8,0 1 2,0) ? a ⇒ a 5 2,0 m/s2 s 2 s0 5 v0t 1 1 at2 ⇒ MW 5 1 at21 ⇒ 2 2 1 2 ⇒ 1 5 (2,0)t 1 ⇒ t1 5 1,0 s 2 No ponto W o bloco A terá velocidade vw 5 2,0 m/s. O trecho WN será percorrido com MUV num intervalo de tempo: ∆t WN 4 s 2,0 s vw 2,0
b) A resultante das forças que agem no bloco é Fx. Mas para F 5 Fmáximo, teremos: Fx 5 F ? 0,80 5 200 ? 0,80 Fx 5 160 N Aplicando a Segunda Lei de Newton, temos: Fx 5 m ? a 160 5 12 ? a a 13 m/s2
29. a) 80 N b) 10 3 m/s2
Portanto, o tempo total para o percurso MN é: Dt' 5 t1 1 Dt 5 (1,0 1 2,0) s 5 3,0 s Resposta: e.
30.
F1 θ
FN
25. a) 5,0 ? 10 N 3
b) 30 m/s2 F
Setup
Fy θ
Respostas e resoluções
Fx
P
a) Temos, então: P 5 m 5 12 ? 10 P 5 120 N Fx F cos θ F 0,80 Fy F sen θ F 0,60
FC1_CD_Respostas.indd 15
A
PB
mA 20 kg; mB 10 kg; F 30 N sen θ 0,40; cos θ 0,90; g 10 m/s2 F1 5 F ? cos q 5 54 N; F2 5 F ? sen q 5 24 N a) F1 (mA 1 mB) ? a ⇒ 54 5 30 ? a ⇒ a 5 1,8 m/s2 b) F3 5 mB ? a 5 (10)(1,8) ⇒ F3 5 18 N c) FN 5 F2 1 PA 5 F2 1 mA ? g 5 224 N A FN 5 PB 5 mB ? g 5 100 N B
31. a) 14°
Enquanto o bloco se mantiver em contato com o plano horizontal, teremos: Fy 1 FN 5 P Imaginemos agora que a intensidade de F vai aumentando a partir de zero. À medida que aumenta a
Volume 1
F3
PA
FN
15
F3
A
26. a 27. a) 140 N 28.
B
F
F2
b) 6,05 ? 103 N
FN
A
iLuStraçõeS: Setup
24.
T
P
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte inteGrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
v
b)
CAPÍTULO 14 – LANÇAMENTO OBLÍQUO
c) 2,5 m/s
2
Exercícios complementares
32. 24 m/s2
1. a) F
c) V d) V
b) F
33. 39o
g) F
34. d
2. a) A v0 2h b) v v20 2gh g
35. a) 3,0 m/s2
3. 30 m/s
b) 4,0 s
4. d
c) 24 m
5. O valor mínimo de v0 corresponde ao alcance:
36. a) 2,4 m/s2 b) 72 N c) 72 10 N 5 b) 23,1 N
38. No trecho BC o movimento é retardado. Assim, se considerarmos a velocidade positiva, a aceleração será negativa: a 5 2g sen q. No ponto B a velocidade é vB 5 v0 e no ponto C a velocidade é vC 5 0. Aplicando a equação de Torricelli para o trecho BC, temos: v v 2a (BC) ⇒ 0 v02 2g(sen θ) (BC) ⇒ 2 C
2 B
v02 ⇒ BC 2g sen θ Resposta: e.
39.
s0
A 5 50 1 850 \ A 5 900 m Equações horárias de x e y: x 5 v0t y 5 5,0t2 Cálculo do tempo de queda (y 5 h 5 45 m): 45 5 5,0t2 ⇒ t2 5 9 ⇒ t 5 3,0 s Para x 5 A 5 900 m, vem: ' 5 300 m/s 900 5 v '0 ? 3,0 ou v 0 Como esse v '0 é o valor mínimo, teremos: v0 > 300 m/s
6. g ∆∆vt ⇒ ∆v = g (∆t)
Dt 5 2,0 s ⇒ Dv 5 g(2,0) ⇒ |Dv| 5 10(2,0) ⇒ ⇒ |Dv| 5 20 m/s |v |2 5 |v0|2 1 |Dv |2 |v | 5 |v0 |. Portanto: 3
s (m)
v0
A
ilustrações: Setup
37. a) 1,7 m/s2
h θ
O
v
B
Respostas e resoluções
e) V f) V
v
Adotemos um eixo de espaços orientado para cima com origem no ponto O. Como a aceleração tem sentido para baixo, temos: a 5 2g sen q 5 [210(0,5)] m/s2 5 25,0 m/s2 No instante t 5 0, o carrinho está no ponto A (cujo espaço é s0) e tem velocidade v0 5 10 m/s. Do triângulo OAB, tiramos: OA s0 h 15 m 30 m sen θ 0,5 Equação horária do espaço: s s0 v0t 1 at2 ⇒ s 30 10t 2,5t2 1 2 Quando o carrinho atingir a base da rampa, teremos s 5 0. Substituindo em 1 : 0 5 30 1 10t 2 2,5t2 ⇒ t2 2 4,0t 2 12 5 0 ⇒ ⇒ t 5 6,0 s ou t 5 22,0 s Portanto: Dt 5 6,0 s
40. c 16
( 53 | v |)
2
|v 0 |2 |∆v |2 ⇒ 25 v02 v02 202 ⇒ 9 ⇒ 16 v02 202 ⇒ 4 v0 20 ⇒ v0 5 15 m/s 9 3 0
7. Tudo se passa como se o automóvel estivesse parado e o helicóptero tivesse velocidade v0 dada por: v0 5 (180 km/h) 2 (144 km/h) 5 36 km/h 5 10 m/s v0
h θ A
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 16
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
Considerando o triângulo retângulo ABC, temos:
h 5 80 m g h t2 ⇒ 80 10 t2 ⇒ t 4,0 s 2 2 A 5 (v0)(t) 5 (10 m/s)(4,0 s) 5 40 m
2 180 y tg θ BC 180 5,0t x 10 15t 10 AC
Mas, q 5 64o e, consultando a tabela deste CD, obtemos tg q 5 tg 64o 2,0.
80 m 2 tg θ h A 40 m
2 Assim: 2,0 180 5,0t 15t 10
q 5 arc tg 2 63,4o
8. (t 0)
Resolvendo esta última equação, obtemos as raízes t' 5 4,0 e t" 5 210. Desprezando a raiz negativa, temos t 5 4,0 s. t 5 4,0 s ⇒ y 5 5,0t2 5 (5,0)(4,0)2 ⇒ y 5 80 m
v0
O
t
y
h 5 180 2 y 5 180 2 80 ⇒ h 5 100 m
11. e y'
12.
t'
v0
A
v0 y
A' 2A
A 5 v0t; A' 5 v0t' A' 5 2A ⇒ v0 t' 5 2(v0t) ⇒ t' 5 2t g y t2 2 g g g y' (t')2 (2t)2 (4t2) 4y 2 2 2 Resposta: d.
O
1 y
v0
x
v0
O
x
40 m
O tempo de queda é dado por: g h t2 ⇒ 0,80 10 t2 ⇒ t 0,4 s 2 2 A 80 m ⇒ 80 v0t ⇒ 80 v0(0,4) ⇒ A v0t ⇒ v0 5 200 m/s
10.
v0
O
x (m)
x
Respostas e resoluções
S B
y
180 y 180
A 10
y (m)
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 17
No instante em que é lançada, a pedra tem velocidade vertical v0y 5 10 m/s (a do balão) e horizontal v0x 5 30 m/s. A equação horária de y é: y 5 v0yt 2 5,0t2 y 5 10t 2 5,0t2 Cálculo do instante em que a pedra chega ao solo: y 5 240 m 240 5 10t 2 5,0t2 ⇒ t2 2 2,0t 2 8,0 5 0 Resolvendo: t 5 4,0 s x v0 t x A equação horária de x é: x 30t A distância d vale:
θ
C
x 10
Adotemos um sistema de coordenadas com origem O como mostra a figura. As equações horárias de x e y são: x 5 15t; y 5 5,0t2
17
d
Setup
9. h 5 80 cm 5 0,80 m
d 5 30 ? 4,0 ⇒ d 5 120 m Resposta: c.
13. 45 m 14. Dados: sen θ 5 0,26; cos θ 5 0,97; sen2 θ 5 0,07; cos2 θ 5 0,94; g 5 9,8 m/s2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
v02 sen 2θ v 2 (2 sen θ cos θ) 0 g g 2 2 v02 (v sen θ) v sen2 θ H y 0 0 2g 2g 2g v 20(2 sen θ cos θ) v 20 sen2 θ A H ⇒ ⇒ g 2g 2 cos θ sen θ sen θ ⇒ ⇒ 4 ⇒ tg θ 4 2 1 cos θ Portanto: θ 5 arc tg 4 76o
23. A
y v0 x 10 m
Luiz Fernando rubio
5m
24. b 25. a) 45o b) 4 30 m/s c) 12 m
v0x 5 v0 ? cos q 5 v0 ? 0,97 v0y 5 v0 ? sen q 5 v0 ? 0,26 Equações horárias de x e y: y v0 t 4,9t2 ⇒ y 0,26v0t 4,9t2
26. a) 20 2 m/s b) 80 m
y
x v0 t ⇒ x 0,97v0t
27. 4
x
Para x 5 10 m:
10 10 5 0,97v0t ⇒ t 0,97v 0 Para y 5 25 m: 5 0,26v0 10 4,9 100 2 0,97v0 0,94v0
28. a
5 2,68 521,3 ⇒ 521,3 7,68 v02 v02
30. v0 5 velocidade inicial da partícula A 5 10 m/s
29. a) 6,0 s b) 120 m c) 20 m/s
15. vy 2gH (equação de Torricelli) vy 0 vH
v'0
y Setup
v0
vy
iLuStraçõeS: Setup
v0' 5 velocidade inicial da partícula B θ 5 60o; g 5 10 m/s2
v20 5 67,9 ⇒ v0 5 8,24 m/s
B
40 3
H
vH
Respostas e resoluções
v20 5 vy2 1 vH2 ⇒ ⇒ vH2 5 v02 2 vy2 ⇒ ⇒ vH
v20 v2y ⇒
⇒ vH
v20 2gh
Resposta: d.
16. 45 m/s 17. c
v0
v0
y
A O
θ v0
100
x
x
Figura a. a) Para a partícula lançada obliquamente: v0 v0 sen 60o 10 3 2 y v0 5,0 3 m/s y
()
19. 11 m/s
v0 v0 cos 60o 10 1 2 x v0 5,0 m/s
20. c
100 5 (v0x)(t) ⇒ 100 5 (5,0)(t) ⇒ t 5 20 s
21. c
b) Representando os deslocamentos na ausência de gravidade, o encontro ocorreria no ponto C (fig. b).
18. b
22. 75o 18
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 18
x
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte inteGrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
dA C
dB
CAPÍTULO 15 – FORÇA DE ATRITO Exercícios complementares
1. a) 12 N v'0 B
b) 8,0 N c) 6,0 m/s² d) 50 N
2. c 3. c v0
4. a) 2,0 m/s²
y
θ O
D
v
0x Figura b.
5. a 6. 0,16 m/s²
θ 60º ⇒ tg θ 3
DC tg θ ⇒ DC 3 ⇒ DC 100 3 m OD 100
7. e
Lembrando que DB 40 3 m, temos:
8. 12 N
BC DC DB 100 3 40 3 ⇒ BC 60 3 m
9. d
BC (v')(t) ⇒ 60 3 v'0 (20) ⇒ 0
⇒ v'0 5 3 3 m/s
10. a) AB d senh α
31. As duas partículas terão, devido à gravidade, o mes mo deslocamento d para baixo, dado por: d 1 gt2 2 Assim: |d | 1 (10)(20)2 ⇒ |d | 2000 m 2
O ponto de encontro (E) terá ordenada dada por: 100 3 2000 1827 m, como ilustra a figura c. y (m) 100 3
Respostas e resoluções
b) 1,0 m/s² c) 36 N
O
C
60°
D 100
x (m)
2 000 m
Quando não há atrito, sabemos que a aceleração é a1 5 g ? sen a. Portanto, usando a equação horária do MUV, temos (lembrando que v0 5 0): s s0 v0t 1 αt2 ⇒ d 1 α1 t20 ⇒ 2 2 h 1 2 ⇒ (g sen α) t0 ⇒ sen α 2 2h 2h ⇒ t20 ⇒ t0 1 sen α g g sen2 α b) Retirando as rodas haverá atrito e, nesse caso, aproveitando o resultado do exercício 50 do livro, a aceleração é α2 5 g ? (sen α 2 μ ? cos α). Usando a equação horária do MUV: s s0 v0t 1 α t2 ⇒ d 1 α2 t2 ⇒ 2 2 h 1 1 ⇒ g(sen α µ cos α) t2 sen α 2 Mas t 5 2t0, e assim: 8h 2 2 t 4t0 g sen2 α
1 2 gt 2 E (100; 100 3 2 000) d
Figura c.
19
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 19
Substituindo em 1 : h g (sen α µ cos α) 8h ⇒ sen α 2 g sen2 α 4 (sen α µ cos α) ⇒1 ⇒ sen α ⇒ sen a 5 4 ? sen a 2 4 ? m ? cos a ⇒ 3 sen α ⇒ 4m cos a 5 3 sen a ⇒ µ 4 cos α 34 tg α
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
A Px A
T
T
F1
Px B
B F2
PxA 2 T 2 F1 5 mA ? a ⇒ 24 2 T 2 8,0 5 4,0 ? a ⇒ ⇒ 16 2 T 5 4,0 ? a 1 PxB 1 T 2 F2 5 mB ? a ⇒ 36 1 T 2 24 5 6,0 ? a ⇒ ⇒ 12 1 T 5 6,0 ? a 2 a) Somando membro a membro as equações 1 e 2 , obtemos: 28 5 10 ? a ⇒ a 5 2,8 m/s2 b) Substituindo em 1 : 16 2 T 5 4,0 ? 28 ⇒ T 5 4,8 N
12. Seguindo o mesmo raciocínio do exercício anterior, obtemos T 5 0. No entanto podemos obter essa resposta sem cálculos, usando a conclusão do exercício 50 do livro. Lá vimos que um bloco de massa m, abandonado num plano inclinado, cujo coeficiente de atrito é μ, desliza com aceleração α dada por α 5 g ? (sen θ 2 μ ? cos θ), isto é, a aceleração não depende da massa. Neste exercício temos μA 5 μB e, portanto, mesmo sem o fio, os dois blocos deslizam com a mesma aceleração. Assim, T 5 0.
13. a) Não.
b) Não.
Respostas e resoluções
15. O conjunto A 1 B move-se pela rampa sem atrito, como se fosse um único corpo. Portanto, de acordo com o que vimos na teoria do plano inclinado, o conjunto A 1 B tem aceleração a cuja direção é paralela à rampa, cujo sentido é para baixo (fig. a) e cujo módulo é dado por: a 5 g ? sen q 5 10(0,60) ⇒ a 5 6,0 m/s2
Fat
A P
ay
Figura b.
a
Figura c.
P
Figura d.
Da figura c tiramos: ax a cos θ (6,0)(0,80) ⇒ ax 4,8 m/s2 a a sen θ (6,0)(0,60) ⇒ a 3,6 m/s2 y y Aplicando a Segunda Lei de Newton para a direção horizontal e para a direção vertical, temos: P FN m ay 100 FN 10(3,6) ⇒ ⇒ F m a Fat 10(4,8) at x F 64 N ⇒ N Fat 48 N
CAPÍTULO 16 – FORÇA ELÁSTICA Exercícios
2. a) 10 N/m
b) 0,70 m
3. 40 N/m 4. k3
8. A mola original, cuja constante é 30 N/m, pode ser imaginada como a associação em série de duas molas iguais de constante k1 cada. 1 1 1 ⇒ 1 2 ⇒ k 60 N/m 1 k k1 k1 30 k1 Essas duas molas, associadas em paralelo, terão uma constante equivalente k' dada por k' 5 2k1 5 120 N/m.
9. 20 N/m 10. 4,2 N/m
a
11. 240 N/m
θ
12. c
Figura a. Sobre o bloco A atuam pelo menos duas forças, ambas verticais: o peso P e a força normal FN exercida pelo
FC1_CD_Respostas.indd 20
FN
θ
7. 150 N/m
b) 12 kg
Volume 1
ax
FN
6. 400 N/m
14. a) 8,0 kg < mB < 16 kg
20
carro (fig. b). Mas a aceleração a pode ser decomposta em uma componente horizontal ax e uma componente vertical ay (fig. c). Existindo a componente horizontal ax, deve haver uma força horizontal: é a força de atrito Fat (fig. d). Se não houvesse essa força de atrito, o bloco A escorregaria sobre B. P 5 m ? g 5 10(10) ⇒ P 5 100 N
ilustrações: Setup
μB 5 0,50 mA 5 4,0 kg; PA 5 40 N; PxA 5 PA ? sen q 5 24 N; PyA 5 PA ? cos q 5 32 N mB 5 6,0 kg; PB 5 60 N; PxB 5 PB ? sen q 5 36 N; PyB 5 PB ? cos q 5 48 N Fat 5 F1 5 mA ? NA 5 mA ? Py 5 8,0 N A A Fat 5 F2 5 mB ? NB 5 mB ? Py 5 24 N B B
ilustrações: Setup
11. sen θ 5 0,60 ⇒ cos θ 5 0,80; g 5 10 m/s²; μA 5 0,25;
13. A mola original de constante k pode ser imaginada como a associação em série de duas molas idênticas de constante k1 cada.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
Associando as duas partes em paralelo, a constante equivalente será: k' 5 2k1 5 2(2k) 5 4k Na primeira experiência, temos: F kx ⇒ x F 12 cm k Na segunda experiência, temos: F k'x' ⇒ x' F F 1 F k' 4k 4 k 1 (12 cm) 3 cm 4 Resposta: a.
()
Sendo ω 2π ⇒ T 2π T ω De 3 e 4 , tiramos que: d g tg θ Resposta: c. T 2π
3. b 4. e 5. a) θ T
14. F 5 k1(Dx1) 5 k2(Dx2). Mas k1 5 k2. Portanto: Dx1 5 Dx2. Resposta: b.
P
1) Ty 5 P 5 mg 2) Tx 5 Fcp 5 mω2R 3) sen θ = R L ⇒ R L sen θ Tx mω2R 4) tg θ T mg y
ω2
Exercícios
6.
F
Fx θ
θ
g tg θ ⇒ω d
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 21
g L cos θ
L cos θ g ⇒ T 2π L cos θ g
FN
m
Fat
C
x
Na direção de y: Fy 5 P 5 mg 1 Na direção de x, a força Fx faz o papel de força centrípeta: 2 Fx Fcp mv m ω2 R R Sendo R 5 d, temos: Fx 5 m ? w2 ? d 2 Das equações 1 e 2 e da figura, temos: 2 F tg θ x ⇒ tg θ m ω d ⇒ Fy m ⋅g
21
g ⇒ω L cos θ
θ
P
Respostas e resoluções
b) 2π T
y
⇒ ω2
ω2R tg θ ⇒ ω2 L sen θ g sen θ g cos θ
CAPÍTULO 17 – MOVIMENTO PLANO COM TRAJETÓRIA CURVA
Fy
Tx
C
de mesma intensidade: 5 N. b) F P mg ⇒ m F 5 N 2 0,5 kg g 10 m/s 16. a) No gráfico vemos que, para a mola M2, quando a elongação é 3,0 cm, a intensidade da força é 15 N. b) Estando as molas em série, devem suportar forças de mesma intensidade. Assim, a intensidade da força em M1 também é 15 N; para essa intensidade, o gráfico nos dá uma elongação de 8 cm.
2.
Ty
θ
15. a) As duas molas, estando em série, suportam forças
1. a
4
ilustrações: Setup
1 1 1 ⇒ k 2k 1 k k1 k1
g tg θ d
3
R P
a) A expressão do módulo da força centrípeta é:
Fc 5 mω2R
b) A força de atrito que o disco aplica no bloco desempenha o papel de resultante centrípeta. Estando o bloco na iminência de deslizar, a força de atrito está solicitada ao máximo (é igual à força de atrito de destaque). Fat 5 μe mg 5 mω2R
2 µe ω R g
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
Substituindo-se o valor de R na expressão de tg θ, vem: v2 tg θ 0,6 g 30 v v 5 0,6 ? 10 ? 30 (m/s)
7.
C
vS
a) A força gravitacional que a Terra aplica no corpo lançado faz o papel de resultante centrípeta: FG 5 Fcp
mv2S R vS gR 10 6,4 106 (m/s)
mg
v 5 180 m/s 5 648 km/h
c) O valor do raio da curva fica determinado por: R 5 30v R 5 30 ? 180 (m) ⇒ R 5 5 400 m
Retomando-se a figura anterior e considerando-se o triângulo retângulo ABC, calculamos a altura H do avião. tg θ H ⇒ 0,6 H ⇒ H H 5 3 240 m R 5 400
9. a)
vS 5 8,0 ? 103 m/s ⇒ vS 5 8,0 km/s b) vS ∆s 2πR T ∆t 2 3 6,4 106 3 8,0 10 T 5 64 10 (s) T 68,0 103
T 4800 s
F P peso do corpo aplicado pela Terra m
como fazemos a seguir. S
P
b) ω 30 rad/s 5,5 rad/s
P força da gravidade (peso)
θ
S força da sustentação do ar R
A Sx
B
CAPÍTULO 18 – TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA Exercícios complementares
1. O trabalho de F se calcula pela área do trapézio formado entre x1 e x2 e sob o gráfico da força:
θ
H P
F força aplicada pela haste
4800 min ⇒ T 5 80 min 60
8. a) Durante a curva, o avião pode ser representado Sy
ilustrações: Setup
FG
rochedo mar C
N ö 5 área do trapézio 5 (B b) h 2 (25 5,0) 100 ⇒ ö 2000 J ö 2 Usando o TEC entre x1 e x2:
m v22 m v12 ⇒ 2 2 m v12 m v22 ⇒ ö F Fat ∆x cos 180° 2 2 Substituindo-se os valores dados e obtidos: 2 2 2000 (Fat ) 100 2,0 20 2,0 10 300 2 2 100 ? (Fat) 5 1 700 ⇒ Fat 5 17 N Sendo: F Fat µ m g ⇒ µ at 17 ⇒ µ 0,85 m g 2,0 10 Resposta: e.
Respostas e resoluções
ö F ö atr
A força de sustentação S, aplicada pelo ar, é perpendicular às asas do avião. A componente vertical Sy equilibra o peso, e a
componente horizontal Sx faz o papel de resultante centrípeta. No triângulo retângulo destacado, temos: mv2 v2 Fcp Sx tg θ ⇒ tg θ R ⇒ tg θ gR Sy P mg
b) O avião descreve um arco de comprimento πR (meia-volta) em 90 s e, portanto: v ∆s πR 3R R ⇒ R 30v (SI) ∆t ∆t 90 30
22
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 22
2. c 3. b
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
CAPÍTULO 19 – ENERGIA E POTÊNCIA
4. a) F 5 60 N b) F 5 60 N c) öp 5 öF (módulos iguais)
Exercícios complementares
1. a) P 5 0,1 ? A ? v3
5. c
6. a) 0,10 m
P 5 0,1 ? 2 ? (5)3 (W) ⇒ P 5 25 W
7. Como a potência é constante, a potência instantânea é igual à potência média: P Pm ö 1 ∆t Usando o Teorema da Energia Cinética (TEC): 2 m v20 ö m v 2 2 Mas: 2 v0 5 0 ⇒ ö mv 2 2 Substituindo-se 2 em 1 , vem: 2 P mv pois Δt 5 t 2 0 5 t 2t Logo: v2 2P t 3 m No lado direito da equação 3 , temos: 2P constante k m
( )
Então: v2 5 k ? t Resposta: c.
8. a) Calculemos, inicialmente, a energia que deixará de ser produzida por uma turbina, em 3 horas: ΔE 5 P1 ? Δt ⇒ ΔE 5 680 ? 103 (kW) ? 3,0 (h) ΔE 5 2,04 ? 106 kWh Cada domicílio consome E1 5 4,0 kWh. Portanto, N domicílios consumirão: ΔE 5 N ? E1 2,04 106 ⇒ ∆E N E 4,0 1
Respostas e resoluções
⇒ N 5 5,1 ? 105 domicílios
b) A turbina recebe uma vazão de 600 m3/s. ∅ ∆V ⇒ ∆V ∅ ∆t 600 1,0 ⇒ ∆t ⇒ ∆V 600 m3 A densidade da água é 1 000 kg/m3. Logo: M 5 600 ? 103 kg ou M 5 6,0 ? 105 kg c) Cálculo da potência da turbina: ö P p M g h ∆t ∆t Usando Δt 5 1,0 s, temos M 5 6,0 ? 105 kg P 6,0 105 10 120 ⇒ P 720 106 W ⇒ 1,0
23
⇒ P 5 720 MW
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 23
b) 1) Como a densidade da água é de 1 kg/L, o volume de 1 L corresponde a uma massa de 1 kg. 2) E 5 mgh (sem acréscimo de energia cinética) E 5 1 ? 10 ? 7,5 (J) ⇒ E 5 75 J mgh c) P E ∆t ∆t Sendo m 5 μ ? V, vem: P µ ∆Vt gh ∆Vt z1 (vazão) P 5 μz1gh P 25 3 z1 µgh ⇒ z1 1 103 10 7,5 m /s
z1 25 10 4 m3 /s ⇒ z1 10 10 4 m3 /s 7,5 3 1 1 3 3 z1 10 m /s ⇒ z1 L/s 3 3 Em 1 s ⇒ V1 13 L
d) Se a velocidade do vento for reduzida à metade, então a potência será reduzida à sua oitava parte, pois esta é proporcional a v3. Logo a vazão também ficará dividida por 8. z z2 1 1 L/s 8 24 1 L Em 1 s, temos V2 24
2. A B
y 2xmín L
xmín
P C
L xmín
ilustrações: Setup
b) 0,40 m
Sendo A 5 2 m2 e v 5 5 m/s, vem:
1o. ) A condição limite para completar a circunferência (x 5 xmín) é que, no ponto mais alto da trajetória, a força de tração no fio se anule e o peso faça o papel de resultante centrípeta: P 5 Fcp mv2B mg L xmín v2B 5 g(L 2 xmín) 2o. ) Conservação da energia mecânica entre os pontos A e B: EB 5 EA (referência em B)
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
mv2B mg(2xmín L) 2 g(L xmín) g(2xmín L) 2 L 2 xmín 5 2(2xmín 2 L) L 2 xmín 5 4xmín 2 2L 5xmín 5 3L xmín 3L 5 Sendo x , L, a faixa de variação é: 3L x L 5
A
m
vA v1
h
α
B
vB 0
m
h 5 (x2 2 x1) ? sen α EB 5 EA (referência em B)
kx22 kx12 mv12 mg(x2 x1) sen α 2 2 2 2 2 kx2 k m2 (gsen α a)2 2 2 k m(g sen α a) sen α mg x2 k
3. c
4. v0 5 50 m/s
(gsen α a) m 2a m ⇒ 2 k 2 kx2 ⇒ 2 m (gsen α a)2 2 2k mg x sen α m2g (gsen α a) sen α 2 k 2 (gsen α a) ma ⇒ k kx2 ⇒ 2 x2 mg sen α 2 2 (gsen α a) m (gsen α a) gsen α a ⇒ k 2
5. c 6. d 7. B
FN P 4
P
kx22 x2mgsen α 2 2 ( 1)(g sen α a) ⇒ m (gsen α a) k 2 2 kx22 x2 mgsen α m (gsen α a)2 ⇒ 2 2k 2 ⇒ x22 2 mgsen α x2 m2 (gsen α a)2 0 k k ⇒
C
FN 1 P 5 FcpB mv2B mg mg 4 R 5 gR v2 B 4 5gR 5 10 4,0 vB (m/s) 2 2 200 (m/s) 10 2 (m/s) 2 2
vB
vB 5 2 m/s 7,1 m/s
8. No instante T em que o corpo perde o contato com o
(
)
2mgsen α 4m2g2 sen2 α 4m2 2 (g sen α a)2 k k2 k x 2 mgsen α x m g2 sen2 α (gsen α a)2 k k mgsen α m 2agsen α a2 k k mgsen α m a(2gsen α a) x k Resposta: c.
Resposta: a.
Respostas e resoluções
x
anteparo, ele tem uma velocidade escalar v1, a mola está deformada de x1 e sua aceleração tem módulo a. 1o. ) Equação de Torricelli: v21 5 v20 1 2ax1 ⇒ v21 5 2ax1 1
CAPÍTULO 20 – QUANTIDADE DE MOVIMENTO
2o. ) PFD: Pt 2 Fe 5 ma mg sen α 2 kx1 5 ma
Exercícios complementares
1. b
kx1 m(gsen α a) ⇒
⇒ x1
m(gsen α a) 2 k
3o. ) A partir do instante T, vale a conservação da energia mecânica:
24
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 24
E IMPULSO
2. a Q ⇒ 2E Q 3. EC 2m C m 2
2
Resposta: a.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
t 0 t 1s v0 0 0
t 2s
t 3s v x s (m)
0,5 1,0 1,5 2,0 1,5 m
d3
0,5 m
1 I mv0 ⇒ v0 I m x 5 L cos a h 5 L 2 x 5 L 2 L cos a 5 L(1 2 cos a) Entre os pontos A e B podemos aplicar a conservação da energia mecânica: mv20 Mgh ⇒ v20 2gh 2gL (1 cos α) ⇒ 2 ⇒ v0 2gL (1 cos α)
ilustrações: Setup
4. a)
Num movimento uniformemente variado, as distâncias percorridas em intervalos de tempo iguais e consecutivos formam uma progressão aritmética. d3 2 1,5 5 1,5 2 0,5 ⇒ d3 5 2,5 m b) x 5 0,5 1 1,5 1 2,5 ⇒ x 5 4,5 m v v0 vm x ⇒ 4,5 v 0 ⇒ ∆t 2 3 2 ⇒ v 3,0 m/s Q 5 m ? v 5 (5,0 kg)(3,0 m/s) ⇒ ⇒ Q 5 15 kg ? m/s
I Mv0 M 2gL (1 cos α) Resposta: c.
10. a) 5 13 103 kg m/s 1,8 104 kg m/s b) 25 13 103 N 1,5 104 N 6
11.
v
vy
5. b 6. m 5 10 g 5 1022 kg
I 5 mv 5 (1022 kg)(3,0 m/s) ⇒ I 5 3,0 ? 1022 N ? s Como a força normal tem sentido para cima, seu impulso também tem sentido para cima. Resposta: a. N
IF
Q2
R
v0 ilustrações: Setup
7. F
t 6,0 s
t 0 v0 F
Figura a.
N
F (N) 10,0 Q1
P
IP
Q (0,30)(10) 3,0 kg m/s a) 1 Q 2 (0,30)(8,0) 2,4 kg m/s |DQ| 5 3,0 1 2,4 5 5,4 kg ? m/s |IR| 5 |DQ| 5 5,4 N ? s b) |IP| 5 P ? (Dt) 5 (0,30)(10)(0,1) 5 0,3 ? N ? s c) IR 5 IF 1 IP N
|IR| 5 |IFN| 2 |IP| ⇒ 5,4 5 IFN 2 0,3 ⇒ ⇒ IF 5 5,7 ⇒ IF 5 5,7 N ? s N N d) IF 5 FN ? (Dt) ⇒ 5,7 5 FN ? (0,1) ⇒ FN 5 57 N N
Respostas e resoluções
8. c 9. Suponhamos que o impulso tenha sido aplicado num
0
4,0
O impulso é numericamente igual à área da região sombreada na figura b: I
(6,0 2,0)(10,0) ⇒ I 40 N s 2
I 5 mvy ⇒ 40 5 10,0vy ⇒ vy 5 4,0 m/s v2 5 v20 1 v2y 5 (3,0)2 1 (4,0)2 ⇒ v 5 5,0 m/s vy
L
x L
v 0 h
FC1_CD_Respostas.indd 25
v0
v0
2 (10,0)(5,0) ⇒ E 125 J EC mv C 2 2 2 10,0 m 2 2 (5,0) (3,0)2 ⇒ ö 80 J ö ( v v0 ) 2 2 Q 5 m ? v 5 (10,0)(5,0) ⇒ Q 5 50 kg ? m/s Portanto: I (V); II (V); III (F) Resposta: a. 2
B
Volume 1
v
Figura c.
α
25
t (s)
Figura b.
curto intervalo de tempo, de modo que, após a aplicação do impulso, o balanço esteja praticamente na vertical e a velocidade da criança seja v0.
A
6,0
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
capítulo 18. Assim, a resposta é: “no choque com o piso fofo, o deslocamento até parar é maior e, portanto, a força média é menor”.
b)
19. 18 m/s 20. A quantidade de movimento do sistema bola-Terra se conserva. Assim, após a colisão, a Terra recua com uma velocidade pequena demais para ser observada.
F
P 5 mg 5 (0,10 kg)(10 m/s2) 5 10 N v0 5 2,0 m/s; v 5 0; Dt 5 0,50 s
21. c 22. Antes:
P
x
Sendo F o valor médio da força exercida pelo piso sobre a xícara, temos: I 5 (F 2 P)(Dt) 5 |DQ| ⇒ (F 2 P)(Dt) 5 mv0 ⇒ ⇒ (F 2 1,0)(0,50) 5 (0,10)(2,0) ⇒ F 5 1,4 N
vy
mT 5 mN 1 mA 5 800 kg Q'x 5 mT ? vx 5 800vx Q'y 5 mT ? vy 5 800vy a) Qx 5 Q’x ⇒ 7,2 ? 104 5 800vx ⇒ vx 5 90 m/s Qy 5 Q’y ⇒ 4,8 ? 102 5 800vy ⇒ vy 5 0,6 m/s 90 0,6
17. a) m 5 800 000 kg 2 10 000 kg 5 790 000 kg b) (10 000 kg)(2 000 m/s) 5 (790 000 kg)v ⇒ ⇒ v 25,3 m/s 2 y y0 v0 t at ⇒ 0 45 5,0t2 ⇒ t 3 s 2 y
b) Ei 1 (720) (100)2 1 (80) (6)2 ⇒ Ei 3,60 106 J 2 2 2 1 Ef (800)(90) ⇒ Ef 3,24 106 J 2
0
Respostas e resoluções
igual ao tempo de descida:
⇒ vB 5 40 m/s
m c) E0 1 0 v2B 1 m0v2x 2 2 2 2 0,5 1 2 E0 2 2 (40 ) 12 (0,5)(20) ⇒
( )
26
⇒ E0 5 100 J
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 26
v
v2 5 (0,6)2 1 (9,0)2 ⇒ v 90 m/s
18. a) O tempo de descida é 3 s. O tempo de subida é
vx
vx
T
b) 0,60 m/s; 0,40 m/s
0
v2
mN 5 650 kg 1 70 kg 5 720 kg; mA 5 80 kg v1 5 100 m/s; v2 5 6 m/s Qx 5 mN ? v1 5 72 ? 104 kg ? m/s Qy 5 mA ? v2 5 4,8 ? 102 kg ? m/s Depois:
mHvH 5 mMvM ⇒ (60)(0,3) 5 (30) ? vM ⇒ vM 5 0,6 m/s A velocidade relativa de afastamento entre o homem e o menino tem módulo v dado por: v 5 vH 1 vM 5 0,3 m/s 1 0,6 m/s 5 0,9 m/s Assim, 2,0 segundos após se separarem, a distância entre eles é: d 5 v ? (Dt) 5 (0,9 m/s)(2,0 s) 5 1,8 m A energia mecânica do sistema não é conservada, pois inicialmente não havia energia cinética e depois há. Essa energia cinética que apareceu veio da energia química armazenada nos corpos das duas pessoas. Portanto, as forças exercidas entre elas não são conservativas. A quantidade de movimento do sistema é nula tanto antes como depois do empurrão. Assim: (01) V; (02) F; (04) F; (08) V; (16) F; (32) V Resposta: 41.
T0 5 3 s b) x x0 vxT0 ⇒ 60 vx 3 ⇒ vx 5 20 m/s 0 m v m0 v m0 v ⇒ 20 vB ⇒ 0 x AX B 2 2 2
A
y
13. b 14. b 15. mH 5 60 kg; mM 5 30 kg; vH 5 0,3 m/s
16. a) 30 N ? s
v1
nave
ilustrações: Setup
12. a) Essa situação é análoga à do air bag tratada no
DE 5 Ef 2 Ei 23,6 ? 105 J
23. e 24. a 25.
Q1
π rad 30º 6 |Q1| 5 |Q2| 5 mv 5 (10) (20) 5 200 kg ? m/s
F 30°
∆Q
30°
O triângulo é equilátero. Q2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
Portanto: |DQ| 5 |Q1| 5 |Q2| 5 200 kg ? m/s F (∆t) ∆Q ⇒ F ∆Q 200 ⇒ F 20 N ∆t 10
CAPÍTULO 21 – COLISÕES Exercícios complementares
1. a) 0,80 m/s
b) 3,2 cm
2. a) 2,0 m/s b) 1,0 m/s; para a esquerda
3.
QA 5 Q'A 1 QB ⇔ QB 5 QA 2 Q'A Resposta: b.
Pela conservação da energia mecânica: 2 kx2 m1 m2 v2 m1 v0 ⇒ 2 2 2 2 2 2 m v m1v20 m m 1 0 2 1 ⇒ kx ⇒ 2 (m m ) 2 2 2 2 1 m12v20 ⇒ kx2 m1v20 ⇒ m1 m2 m12v20 ⇒ kx2 m1v20 ⇒ m1 m2
4. a) e b)
(
pA qA
pB
qA 5 pA 1 pB
5. a) Durante a colisão, as forças que atuam em B são o
peso, a normal, a força de atrito e a força elástica. Para que o corpo A volte à altura h0, não deve transferir energia mecânica a B, isto é, este deve ficar em repouso. Para que isso aconteça, devemos ter: FN
Respostas e resoluções
FA
P
FE FA, máx ⇒ FE µFN ⇒ kx µMg ⇒
µM Mg 1 k Pela conservação da energia mecânica: 2 2Mgh0 Mgh0 kx ⇒ x2 2 2 k
⇒x
De 1 e 2 : 2Mgh0 µ2M2g2 µ2Mg ⇒ h0 2 k 2k k
27
Portanto, o valor máximo de h0 é
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 27
)
dois blocos tiverem a mesma velocidade v. Pela conservação da quantidade de movimento: mv (m1 m2) v m1v0 ⇒ v m 1 0m 1 2
Q'A
B
MgH
6. A compressão será máxima no instante em que os
Q'A
FE
Mv2A ⇒ vA 2gH 2 Pela conservação da quantidade de movimento, sendo v a velocidade comum, temos: v 2gH MvA (2M) v ⇒ v A 2 2 Pela conservação da energia mecânica: Mv2A (2M) v2 kX2 ⇒ M 2gH 2 ( ) 2 2 2 2 2gH MgH 2M kX2 ⇒ X k 2
(
QA
QB
b) No instante em que atinge a mola, A tem velocidade vA dada por:
µ2Mg . 2k
)
m1 ⇒ kx2 m1v20 1 m1 m2 m1m2v20 m m2 m1 ⇒ kx2 ⇒ m1v20 1 m1 m2 m1 m2 ⇒ x v0
m1m2 R (m1 m2)
7. a) h 5 80 cm 5 0,80 m v' 2gH 2 (10)(0,80) ⇒ v' 5 4,0 m/s b) Mv 2 mv 5 Mv'b 1 mv'p M(5,0) 2 m(5,0) 5 M(4,95) 1 m(7,0) ⇒ M 5 240 m No site da Confederação Brasileira de Tênis de Mesa, há a informação de que a massa de uma bola de pingue-pongue é de m 5 2,7 g, isto é, m 3 g. Portanto: M 5 240 m 240(3 g) ⇒ M 720 g
8. 1,2 m/s; 4,8 m/s b) v 0 ; v 0 ; v 0 . 4 4 2 0. Um pouco antes da colisão, as duas partículas terão 1 velocidades de sentidos opostos, mas de mesmo módulo: vX vY 2gR
9. a) 2
X
vx
vy
Y
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
Após a colisão, as alturas máximas atingidas por X e Y são, respectivamente, R e R . Portanto, logo após 2 3 a colisão, X e Y terão velocidades de módulos: v x' 2g R e v y' 2g R 2 3 Como a altura máxima atingida por X após a colisão R é maior que a atingida por Y R , concluímos que, 2 3 logo após a colisão, o sentido de v x' é para a esquerda. Porém, pelo enunciado não temos condições de decidir se o sentido de v y' é para a esquerda ou para a direita. Assim, após a colisão há duas possibilidades:
( )
( )
2gR 2gR 2 3 2gR 2gR
e
Desenvolvendo os cálculos do mesmo modo que foi feito para a possibilidade (I), chegamos a: e 3 2 2 3 0,065 12 Assim, o problema tem duas respostas: e 0,64 ou e 0,065.
11. c 12. 40 km/h; 76 km/h 13. I (F); II (F); III (F); IV (V)
R 3
X Y
R 2 R 3
(I)
(II)
Analisemos as duas possibilidades. Possibilidade (I):
2gR
2gR
15. b 16. b 17. e 18. e
pouco antes do choque X
14. b
19. a) 4,0 s
Y
b) QC (kg m/s)
ilustrações: Setup
Y
ilustrações: Setup
X R 2
3
pouco após o choque 2gR 2
X
2gR 3
Y
0
2
6
10
14
18
t (s)
2
6
10
14
18
t (s)
QB (kg m/s)
Sendo e o coeficiente de restituição, temos: 2gR 2gR 2gR 2gR 2 3 2 3 e 2gR 2gR 2 2gR
Respostas e resoluções
1 1 2 3 2 3 2 2 6
3 2 2 3 2
3 2 6 2
( 3 2 )( 6 ) (2 6 )( 6 )
(9)(2) 4 (3) 12
2gR
2gR
28
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 28
X
2gR 3
0,225
0
20. a) 10 m; 6,25 m 22. a) 0,10 s
Y
23. Como o plano é liso
pouco após do choque 2gR 2
E (J)
18
t (s)
b) 10 m
21. 8,0 m
pouco antes do choque X
0
18 12 12
3 2 2 3 0,64 12
Possibilidade (II):
3
Y
e o choque é elástico, o ângulo de incidência deve ser igual ao ângulo de reflexão. Portanto: a 5 45º.
b) 1,25 m A 45º QA B QB 45º
horizontal
α 45º
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
24. H 5 4,0 m; g 5 10 m/s2.
Sendo va a velocidade da bolinha ao atingir S, temos: v a 2gH 2 (10)(4) 4 5 ⇒ va 4 5 m/s A S
H
e2v12 cos2 θ v2 sen2 θ 1 2 1 ⇒ 2 v2 v2 ⇒ v22 v12 (e2 cos2 θ sen2 θ) ⇒
30º vd P va 30º 30º h B
β
⇒ v2 v1 e2 cos2 θ sen2 θ Dividindo membro a membro as igualdades 1 e 2 : sen α e cos θ 3 cos α sen θ
α 30º
Sendo vd a velocidade da bolinha logo após a colisão, como não há atrito e o choque é elástico, temos: vd va 4 5 m/s A componente vertical de vd tem módulo: vd
vy
Lembrando que sen2 a 1 cos2 a 5 1, usando as igualdades 1 e 2 , temos:
cos θ 1 cotg θ Mas: sen α tg α e sen θ tg θ cos α Assim, a igualdade 3 fica: tg a 5 e ? cotg q ou a 5 arc tg (e ? cotg q)
26. vO 5 25 m/s; vA 5 20 m/s; vB 5 7,5 m/s mA 5 2,0 kg
QO 5 mAvO; QA 5 mAvA; QB 5 mBvB
30º vx
QO 5 mAvO 5 (2,0)(25) ⇒ QO 5 50 kg ? m/s
()
vy vd sen 30º (4 5 ) 1 ⇒ vy 2 5 m/s 2 Sendo h a altura máxima em relação ao plano β, temos: v2 ( )2 0 v2y 2gh ⇒ h y 2 5 ⇒ h 5 1,0 m 2g 2 (10)
25. Supondo que não haja atrito entre a bola e a superfície,
a componente x da velocidade v1 não se altera. Como não foi dado o valor do coeficiente de restituição (e), não sabemos se a componente y de v1 se altera ou não.
QA 5 mAvO 5 (2,0)(20) ⇒ QA 5 40 kg ? m/s QB 5 mBvB 5 mB ? (7,5) Q2O 5 Q2A 1 Q2B ⇒ 502 5 402 1 Q2B ⇒ QB 5 30 kg ? m/s QB 5 mB(7,5) ⇒ 30 5 mB(7,5) ⇒ mB 5 4,0 kg QO
QA
0 x v1 θ
27. a) Se não há atrito entre as bolas, a força que uma
β
exerce na outra deve ser normal no ponto de contato. Mas sabemos que, em uma esfera, a normal que passa pelo ponto de contato passa também pelo centro. Concluímos, então, que a bola B, após o choque, deve mover-se ao longo da reta s, formando ângulo de 60º com r.
v α 2
Respostas e resoluções
θ
As componentes y de v1 e v2 são: v1 5 v1 cos q e v2 5 v2 cos b y
(a) Antes do choque. A
y
Mas b 1 a 5 90º. Assim: cos b 5 sen a e: v2 5 v2 sen a y v2 v sen α ev cos θ e y 2 ⇒ sen α 1 1 v2 v1 v1 cos θ y
As componentes de v1 e v2 na direção x são iguais: v1 v2 ⇒ v1 sen θ v2 cos α ⇒ x
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 29
2
vO
r
B
(b) No instante do choque. A
x
v sen θ ⇒ cos α 1 v2
29
QB
y
ilustrações: Setup
0
B
r 60º
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
Logo após a colisão, o conjunto tem velocidade v1 de componentes v1 e v1 (fig. b). Impondo a conservação
(c) Depois do choque. A
x
B
v1
v1 y
vB s
b) Como as bolas são idênticas, o choque é elástico e uma das bolas estava inicialmente parada, devemos ter: θ 1 60º 5 90º ou θ 5 30º c) QO 5 m(8); QA 5 m(vA); QB 5 m(vB) No triângulo retângulo sombreado da figura d temos: Q mvA ⇒ cos 30º QA ⇒ 23 m(8) O
⇒ vA 4 3 m/s
v1
Figura b.
ilustrações: Setup
r
60º
y
da quantidade de movimento na vertical, temos: MV MV (m M) v1 ⇒ v1 y y M m
vA
x
Impondo a conservação da quantidade de movimento na horizontal: mvx (M m) v 1 ⇒ m v 2 (M m) v 1 ⇒ x x 2 ⇒ v 1 mv 2 x 2 (M m) Calculemos o tempo t decorrido entre o momento do choque e o momento em que o conjunto chega ao solo.
QA
s 30º 60º
VO
QO sO
QB Figura d.
d) No triângulo sombreado da figura d temos: QB mvB 1 sen 30º Q ⇒ 2 m(8) ⇒ vB 5 4 m/s O
28. c
2 g s sO vOt a t2 ⇒ 0 v MV t t2 ⇒ 2 2 4g M m
29. d
Respostas e resoluções
30.
v v MV O y M m v2 ; a g sO h 4g
⇒
v
vy
( 2g ) t ( MMV m ) t 4gv 0 ⇒ MV M m
⇒t
vx
t
v y vx v 2 2 A altura máxima h atingida pelo objeto de massa m é dada por: 2 2 0 v2y 2gh ⇒ 0 v 2 2gh ⇒ h v 2 4g
(
30
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 30
M2V2
(M m)2
2
4
( 2g )
g v2 2 4g
Desprezando o sinal “menos” antes da raiz, temos:
45º
Figura a.
2
2
)
MV M m
M2V2
(M m)2
g
2 v 2
Assim: d (v1
) (t)
⇒ d
mv 2 MV 2g (M m) M m
x
⇒
(
M2V2 v2 2 2 (M m)
)
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
CAPÍTULO 23 - ESTÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS Exercícios
18. O atrito entre os discos provocou dissipação de energia mecânica.
Exercícios complementares
2. a) 4,0 m/s2
19. FA 5 30 N (para baixo) FB 5 40 N (para cima)
b) 20 rad/s2
20. Quando a barra estiver na iminência de rotação, a
c) TA 5 24 N; TB 5 20 N
3. ω 3g L
FN S2
4. 15 N
mg
5. a) 0,36 kg ? m2
0,5 m 0,4 m
2 m 5 c) 648 J
b)
Considerando S2 como polo, temos: mg(0,5) 5 Mg(0,4) ⇒ 10(0,5) 5 M(0,4) ⇒ ⇒ M 5 12,5 kg
7. a) a 57 gsen θ
b) γ 5 gsen θ 7 R 10gh ;ω 1 7 R 2 d) µe tg θ 7
c) v
10gh 7
Entre as alternativas apresentadas, a maior massa que é menor ou igual a 12,5 kg é 10 kg. Resposta: b.
21. F1 5 60 N; F2 5 180 N 22. c
54° 8. θ arc cos 10 17
23.
FN
9. a) h 5 2,7 (R 2 r);
C Fx
b) FN 17 mg 7
10. a) a
Fy
gsen θ 1 I2 MR
FA B F
30 cm 100 cm
a) Considerando o ponto C como polo, temos: FN ? (30) 5 F ? (100) ⇒ FN(30) 5 750(100) ⇒ ⇒ FN 5 2 500 N
b) A esfera.
12. a
b) FA 5 μFN 5 (0,40)(2 500 N) 5 1 000 N
13. a) 2,0 rad/s
Respostas e resoluções
Mg
ilustrações: Setup
força de compressão em S1 é nula.
c) Fx 5 FA 5 1 000 N
b) 1 260 J c) 1 680 J
C
Fx
14. Do trabalho realizado pela pessoa. 15. a) Horário. b) 0,40 rad/s c) 140 J
16. a) 4,0 m/s b) 0,576 J
17. a) 2,8 rad/s b) 560 J c) 392 J
31
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 31
c) 1,6 J d) 1,024 J
Fy
FC
Fy 1 F 5 FN ⇒ Fy 1 750 5 2 500 ⇒
⇒ Fy 5 1 750 N
F2C 5 F2x 1 F2y 5 (1 000)2 1 (1 750)2 FC 5 2 016 N 2,0 ? 103 N
24. e Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
RA
RB
A
B PC
x
Racionalizando: 3 Mg |F | |F AB| 3
PB
5 cm
30º 30º
P
10 cm RB (N)
F
centro do cilindro A
F P F b) O módulo da força que o piso exerce sobre o cilindro B tem o mesmo valor da força que o piso exerce sobre o cilindro C. Chamando essa força de FN e analisando o sistema, vem:
700 300 θ
400
F
A
ilustrações: Setup
25.
10
A P 0
x (m)
10
PB 5 800 N PC 5 mC ? g 5 mC ? 10 5 10 mC Considerando o ponto A como polo, temos: RB(10) 5 PC ? x 1 PB(5) RB(10) 5 10 mC ? x 1 800(5) RB 5 mC ? x 1 400 mC tg θ 300 30 ⇒ mC 30 kg 10 Resposta: a.
26. a) zero
b) 1 440 N
27. 4,0 m 28. 10 min 29.
B
FMB
F
C P
FMC P
FN FN Do equilíbrio na vertical, temos: 2FN 5 3P 2FN 5 3Mg 3 Mg Assim: |F N| |F PB| 2 c) Para o cálculo de FMC vamos isolar o cilindro C e ainda observar que a força de contato entre B e C é nula, pois as forças aplicadas pelo cilindro A tendem a afastá-los. Do equilíbrio na horizontal, vem: FMC 5 F cos 60° Substituindo pelo valor de F encontrado: FMC 3 Mg 1 ⇒ FMC 3 Mg 3 2 6 F
FA
Respostas e resoluções
A
C
FA FB
FB
Supondo a barra em equilíbrio, temos: FA 5 FB 1 F ⇒ FA . FB ⇒ A move-se antes.
30. a) Para calcularmos o módulo de FAB vamos isolar
32
o cilindro A, lembrando que |FAB| 5 |FBA|, pois são forças do tipo ação e reação, e que as forças trocadas entre A e B e entre A e C têm a mesma intensidade (F) devido à simetria do sistema. Para o equilíbrio do cilindro A, na vertical, vem: 2F cos 30° 5 P 2F 3 Mg 2 Mg F 3
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 32
FMC
60º
B
31. zero
FN
32. a) C P
FA A 30º
FB B 60º
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
P 5 40 N; PB 5 200 N sen θ 5 0,60; cos θ 5 0,80 Tx 5 T cos θ 5 T(0,80) Ty 5 T sen θ 5 T(0,60) Tomando torques em relação ao ponto A, temos: Tx ? 2d 5 P ? d 1 PB ? 2d 1 Ty ? 2d ⇒ ⇒ T(0,80)(2) 5 40 1 200(2) 1 T(0,60)(2) ⇒ ⇒ 1,6T 2 1,2T 5 440 ⇒ T 5 1 100 N
P FA 60º FB
30º C
No triângulo retângulo sombreado, temos:
b) Ty 5 T(0,60) 5 (1 100 N)(0,60) 5 660 N Fy 5 P 1 Ty 1 PB 5 40 N 1 660 N 1 200 N ⇒ ⇒ Fy 5 900 N
FA P cos 30° (100 N)
c) Tx 5 T(0,80) 5 (1 100 N)(0,80) 5 880 N Fx 5 Tx 5 880 N
P
( 23 ) 50
3 N
()
FB P sen 30° (100 N) 1 50 N 2 b)
d) F2 5 F2x 1 F2y 5 (880)2 1 (900)2 ⇒ F 1 260 N
34. a) 600 N b) V 5 1 000 N; H 5 450 N
C
FB
FA
35. a) 5,0 cm b) 280 N c) 540 N
P 60º
40º
36. θ e α são complementares. Portanto:
{
{
P FB 60º 40º 80º
ilustrações: Setup
sen θ 0,800 sen α 0,600 ⇒ cos θ 0,600 cos α 0,800 A
FA
60º 40º FB
d
L 2 h y
P
h 98 cm
Respostas e resoluções
Apliquemos a Lei dos Senos ao triângulo sombreado: FA FB P sen60° sen 40° sen 80° ⇒
FA FB ⇒ 100 N ⇒ 0,866 0,643 0,985
⇒ FA 88 N e FB 65 N
Ty Fy A
P 45º Fx d
d 2d
33
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 33
α
α θ R
y
θ b
y 5 R cos α 5 (40 cm) (0,800) 5 32 cm h 2 y 5 98 cm 2 32 cm 5 66 cm h y cos θ ⇒ 0,600 66 ⇒ d 110 cm d d
Tx
33. a)
PB F
PB 2d
L 5 120 cm; L 60 cm; PB 5 55 N 2 b L sen θ (60 cm)(0,800) 48 cm 2 Tomando momentos em relação a A: F ? d 5 PB ? b ⇒ F(110) 5 (55)(48) ⇒ F 5 24 N
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
α
f1 5 μF1 2 Tomando torques em relação a G: f1 h 1 F1 d1 1 f2d2 3
Fy
Substituindo 1 e 2 em 3 : μe F1 h 1 F1 d1 5 (P 2 F1) d2 ⇒ ⇒ (0,70) ? (F1) ? (0,50) 1 F1 ? (1,5) 5 5 P ? (2,0) 2 F1 (2) ⇒ F1 0,52P f1 5 μeF1 (0,70) (0,52P) 0,364P 5 5 (0,364)mg f1 5 m ? amáx ⇒ (0,364)mg 5 m ? amáx ⇒
Fx
Fy 5 F ? sen θ 5 (24 N)(0,800) 5 19,2 N Fx 5 F ? cos θ 5 (24 N)(0,600) 5 14,4 N
Fy
Fx PC
FA
c) Fazendo f1 5 0 e procedendo do mesmo modo que no item anterior obtemos: amáx 3,33 m/s2
FN
PC 5 10,8 N FN 5 Fy 1 PC 5 19,2 N 1 10,8 N 5 30 N FA 5 Fx 5 14,4 N FA < μe ? FN ⇒ 14,4 < μe (30) ⇒
⇒ amáx (0,364) ? (10 m/s2) ⇒ amáx 3,64 m/s2
40.
T
V1
H1
Ty
⇒ μe > 0,48
Tx
37. Quando o motorista acelera aumenta a força de atri-
2,0 m
to, que tem o mesmo sentido do movimento, aumentando o torque no sentido horário.
V2
38. Quando o motorista breca, aumente a força de atrito
contrária ao movimento, produzindo um torque no sentido anti-horário. v
39. a)
G f1
Respostas e resoluções
F2
f2
P
d2
d1
h
d 1 1,5 m d 2 2,0 m h 0,50 m g 10 m/s 2
⇒ amáx 5 7,0 m/s2
b) Neste caso não há tração nas rodas traseiras, e as forças de atrito nelas (que se opõem ao movimento) têm intensidades desprezíveis em comparação com as forças de atrito nas rodas com tração. Assim, na figura, temos: f2 5 0 F1 1 F2 5 P ⇒ F2 5 P 2 F1 1
34
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 34
P
H2
1,8 m 1,8 m
f 5 400 N; Tx 5 120 N; Ty 5 90 N a) H2 5 198 N b) H1 5 78 N c) Este portão é um sistema indeterminado, pois não temos condições de determinar os valores de V1 e V2. Sabemos apenas que V1 1 V2 5 310 N.
41. Neste caso o portão está apoiado verticalmente ape-
F1
f1 e f2 são as forças de atrito. F1 e F2 são as forças normais. Quando a aceleração for máxima, as forças de atrito terão seu valor máximo: f1 5 μe ? F1 e f2 5 μe ? F2 F1 1 F2 5 P f1 1 f2 5 μe ? F1 1 μe ? F2 5 μe (F1 1 F2) 5 5 μe ? P 5 μe m ? g f1 1 f2 5 m ? amáx ⇒ μe mg 5 m ? amáx ⇒ ⇒ amáx 5 μe ? g 5 (0,70) ? (10 m/s2) ⇒
ilustrações: Setup
F
nas no encaixe inferior E1. Assim, no encaixe superior não há força vertical, há apenas a força horizontal H2. E2
H2 V1 H1
E1
H1 5 H2 5 250 N V1 5 600 N
42. a)
FA A
53º 37º
FD
G
37º
P
D
53º 53º 37º B
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
b)
Portanto, o volume da parte emersa é 20% do volume do corpo: V1 5 20% de VC 5 0,20VC Sendo dL 5 1,0 ? 103 kg/m3 e mL 5 0,40 kg, temos: m 0,40 kg VL L ⇒ dL 1,0 103 kg/m3
FA
FD
37º
P
c) sen 37°
FA F ⇒ 0,60 A ⇒ FA 60 N P 100
F F cos 37° D ⇒ 0,80 D ⇒ FD 80 N P 100
43. μe > 0,6
⇒ VL 4,0 10 4 m3
Assim: VL 0,80VC ⇒ VC
VC 5,0 10 4 m3
d) dC
CAPÍTULO 25 – FLUIDOSTÁTICA – LEI DE STEVIN Exercícios complementares
1. b 2. a) 2,4 ? 105 Pa 3. b 4. d 5. a 6. b 7. 37 mmHg 8. a) 2 m
mC 0,40 kg ⇒ dC 0,80 103 kg/m3 VC 5,0 10 4 m3
3.
x y
b) 48 N
b) 40 m/s2
9. Nesta questão devemos supor que a pergunta é: “qual a sobrepressão do plasma?”. Resposta: e.
CAPÍTULO 26 – FLUIDOESTÁTICA – PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
v 5 (2,0 m) ? (1,0 m) ? (0,10 m) 5 0,20 m3 d 5 0,60 g/cm3 5 6,0 ? 102 kg/m3 M 5 dV 5 (6,0 ? 102 kg/m3) ? (0,20 m3) 5 120 kg m 5 60 kg M' 5 M 1 m 5 180 kg P' 5 M' ? g VS 5 (2,0 m) ? (1,0 m)y 5 (2,0)y dA 5 1,0 g/cm3 5 1,0 ? 103 kg/m3 E 5 P' ⇒ dAVSg 5 M'g ⇒ (103) ? (2,0) ? (y) 5 180 ⇒ ⇒ y 5 0,09 m 5 9 cm x 5 10 cm 2 9 cm ⇒ x 5 1 cm
4. c 5. d 6. Observamos que a nata flutua no leite e, portanto, a
densidade da nata é menor que a densidade do leite desnatado. Portanto, o leite desnatado é mais denso.
y (0,4) cos θ L y (1,6) cos θ
1. 0,1 N
Respostas e resoluções
2. a) O líquido que foi para o recipiente Y é o liquido
0,4 m
deslocado cuja massa é mL 5 0,40 kg. Mas sabemos que a intensidade do empuxo é igual ao peso do líquido deslocado. Assim: E 5 PL 5 mL ? g 5 (0,40 kg) ? (10 m/s2) E 5 4,0 N b) Estando o corpo em equilíbrio, o peso (PC) deve ter a mesma intensidade do empuxo (E), o qual é igual ao peso do líquido deslocado: PC 5 E 5 PL ⇒ PC 5 PL ⇒ mC 5 mL Como mL 5 0,40 kg, temos: mC 5 0,40 kg c) O volume da parte imersa é 80% do volume do corpo: VL 5 80% de VC 5 0,80VC
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 35
10 cm
7. L (2,0) cos θ
Exercícios complementares
35
4 3 VL 4,0 10 m 0,80 0,80
2,0 m
1,6 m E PB S L y 2 L 2 L y
y
L
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
Sendo A a área da seção reta da barra, temos: VB A(2,0) V A(1,6) L
V2 5 (3 200 1 600) cm3 5 3 800 cm3 Mas: V2 5 A ? y 3 800 5 400 ? y y 5 9,5 cm
Tomando o ponto S como polo dos momentos, temos: L y PB L E 2 2 E(L 2 y) 5 PBL E(1,6) cos q 5 PB(2,0) cos q 4E 5 5PB 4dLVLg 5 5dBVBg 4(1) ? A(1,6) 5 5dB ? A(2,0)
(
)
III. VL 5 400 cm3 VC 5 80 cm3 O volume até a superfície livre da água é: V3 5 V0 1 VL 1 VC V3 5 (3 200 1 400 1 80) cm3 V3 5 3 680 cm3 Mas: V3 5 A ? z 3 680 5 400 ? z z 5 9,2 cm
dB 5 0,64 g/cm3 iLuStraçõeS: Luiz Fernando rubio
8.
x
11. a) 320 cm3
c) x 5 9 cm; y 5 1 cm d) Não.
b) 400 cm3
12. VA VM
y
e
Pb
área A
P5E dPb ? A ? e ? g 1 dv ? A(x 1 y) ? g 5 da ? A(e 1 y) ? g ⇒ ⇒ dPb ? e 1 dv(x 1 y) 5 da(e 1 y) ⇒ ⇒ (dPb 2 da)e 1 dv ? x 5 (da 2 dv) ? y Da última igualdade, notamos que, quando x 5 0, y 0. Resposta: d.
9. a) 800 g
c) 2 cm d) 21,6 cm
b) 800 cm3
Respostas e resoluções
3
II. Ao colocarmos o corpo C dentro de B, a massa do corpo passa a ser 600 g: dLV'L 5 mC (1) V'L 5 600 V'L 5 600 cm3 O volume até a superfície livre passa a ser:
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 36
h1
h2
V0 5 (400 cm )(8,0 cm) 5 3 200 cm I. dLVL 5 mmC (1)(VL) 5 400 VL 5 400 cm3 O volume até a superfície livre da água passa a ser: V1 5 V0 1 VL 5 (3 200 1 400) cm3 5 3 600 cm3 Mas: V1 5 A ? x 3 600 5 400 ? x x 5 9,0 cm
36
b) h
10. O volume da água é: 2
V VM VC 24 cm3 a) A VA 24 VM dAVA 1 dVM 5 dCVC 1(24 2 VM) 1 13,6 VM 5 (7,3)(24) VM 5 12 cm3 Portanto, VA 5 12 cm3, isto é, metade do volume fica submerso na água.
Como a densidade da água é 1,0 g/cm3 e há 260 gramas de água, o volume da água é: VA 5 260 cm3 Assim: h1 ? A 5 260 1 12 h1 ? (20) 5 272 h1 5 13,6 cm Pela Lei de Stevin: dM ? h2 5 dA ? h1 (13,6)(h2) 5 (1) ? 13,6 ⇒ h2 5 1,0 cm Assim: h 5 h1 2 h2 5 (13,6 2 1,0) cm h 5 12,6 cm
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte inteGrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
I. Os nomes das unidades, quando escritos por extenso, começam sempre pela letra minúscula, mesmo que sejam nomes de algum cientista. Por exemplo, a unidade básica kelvin vem do nome do físico inglês chamado Lord Kelvin. Há apenas duas exceções: • a unidade de temperatura grau Celsius; • quando uma sentença se inicia com o nome da unidade.
II. Os símbolos das unidades são formados por letras minúsculas, a não ser que se trate do nome de um cientista. Por exemplo, o símbolo do kelvin é K.
III. Quando os nomes das unidades são escritos por extenso, a formação do plural obedece às seguintes regras: 1a. ) Quando o nome da unidade é formado por uma única palavra, acrescentamos a letra s (mesmo que não esteja de acordo com as regras da gramática), a não ser que esse nome termine por s, x ou z. Nesse caso, a palavra não varia no plural. Por exemplo:
Singular
Plural
metro
metros
kelvin
kelvins
decibel
decibels
hertz
hertz
2a. ) Quando o nome da unidade é uma palavra composta, temos os seguintes casos: a) Se o elemento complementar do nome da unidade não é ligado a este por hífen, tanto o nome como o complemento recebem s. Por exemplo: • metros cúbicos • unidades astronômicas b) Se os termos são compostos por multiplicação de unidades, ambos os nomes recebem s. Por exemplo: • ampère-hora → ampères-horas c) Se o elemento complementar do nome da unidade estiver ligado a este por hífen ou preposição (sem representar multiplicação), apenas o primeiro nome recebe a letra s. Por exemplo: • ano-luz → anos-luz • unidade de massa atômica → unidades de massa atômica d) Quando a unidade é formada por divisão de outras unidades, o nome da unidade que está no denominador não recebe s. Por exemplo: no SI a unidade de velocidade é metro por segundo (m/s).O plural é: metros por segundo. IV. Os símbolos das unidades são invariáveis no plural. Por exemplo: 1 metro 5 1 m; 3 metros 5 3 m. V. Não é admitida a combinação de partes escritas por extenso com partes expressas por símbolo. Por exemplo, é errado escrever: metros/s ou m/segundo.
1
Volume 1 Capítulo 1
FC1_CD_C01_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:44 PM
Luiz Fernando Rubio
Exercícios
Complementos de teoria e leituras
1. (UF-PI) Um reservatório com capacidade para 6 280 litros tem a forma de um cilindro circular reto. Se o raio da base desse reservatório mede 1 metro, sua altura, também em metros, mede: (Considere π 5 3,14.) a) 1
c) 1,8
b) 1,4
d) 2
e) 2,3
2. (UF-MG) Um recipiente cúbico, sem tampa, cujas arestas medem 4 dm, contém 56 litros de água. Ao lado desse recipiente, estão os seguintes sólidos, todos de aço maciço: • uma esfera de raio
3
2 dm;
• um cilindro circular reto com raio da base e altura 2 dm;
2 dm
• um paralelepípedo retangular de dimensões 3 dm, 3 dm e 7 dm; e • uma pirâmide reta de altura 5 dm e de base quadrada com lado 12 dm. Qual desses sólidos, quando colocado no recipiente, não fará com que a água transborde? a) A pirâmide.
c) O paralelepípedo.
b) O cilindro.
d) A esfera.
3. (UC-MG) Uma garrafa tem a forma de um paralelepípedo retângulo, com base quadrada de lado 8 cm e 12,5 cm de altura. A capacidade da garrafa, em litros, é: a) 0,80
d) 8,00
b) 0,13
e) 12,50
c) 1,25
4. (U. E. Londrina-PR) Um recipiente cúbico tem 3,000 m de aresta, n é o número máximo de cubos de 3,01 mm de aresta que cabem no recipiente. A ordem de grandeza de n é: a) 106
c) 108
b) 107
d) 109
e) 1010
5. (UF-AM) Uma lata de cerveja tem a forma cilíndrica, com 6 cm de diâmetro e 12 cm de altura. Quantos mL de cerveja cabem nessa lata? a) 367,38
c) 250,33
b) 339,12
d) 150,33
e) 108,57
provoca o aparecimento de uma mancha de óleo que tem forma circular e espessura constante de 2,5 cm, como na figura. O raio da mancha, t minutos depois do início do vazamento, é dado, em metros, pela relação r (t) 5 t . 5 Volume 1 Capítulo 1
FC1_CD_C01_Texto.indd 2
7. (Vunesp-SP) A área da superfície da Terra é estimada em 510 000 000 km2. Por outro lado, estima-se que, se todo o vapor de água da atmosfera fosse condensado, o volume de líquido resultante seria de 13 000 km3. Imaginando que toda essa água fosse colocada no interior de um paralelepípedo retângulo, cuja área da base fosse a mesma da superfície da Terra, a medida mais próxima da altura que o nível da água alcançaria é: a) 2,54 mm d) 2,54 m b) 2,54 cm e) 0,254 km c) 25,4 cm
8. (Unifor-CE) Um recipiente tem a forma de um cilindro circular reto com raio da base e altura medindo 1,20 m e 1,80 m, respectivamente. Dispõe-se de um balde, cuja forma também é a de um cilindro circular reto e cujas dimensões são 12 cm no raio da base e 80 cm na altura. Pretendendo-se usar o balde para encher o recipiente de água, o número mínimo de vezes que se terá de encher o balde a fim de atingir o propósito é: a) 225 d) 208 b) 215 e) 200 c) 212
9. (UFF-RJ) Uma das soluções encontradas para a escassez de água na região semiárida do nordeste brasileiro é a captação da água da chuva que escorre dos telhados das casas. A água captada é conduzida por meio de calhas para um reservatório com a forma de um cilindro circular reto. Superinteressante, nº. 177, jun. 2002.
6. (Mackenzie-SP) Um vazamento, em um navio tanque,
2
Adotando π 5 3, o volume, em m3, de óleo vazado, após 4 minutos do início do vazamento, é: a) 0,014 d) 0,02 b) 0,016 e) 0,012 c) 0,08
O reservatório citado tem altura aproximada de 1,8 metro e capacidade para armazenar 16 000 litros da água da chuva. Considerando R o raio da base do reservatório, é correto afirmar que R2, em metro quadrado, é aproximadamente: a) 1,4 b) 1,9 c) 2,8 d) 3,8 e) 7,8
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:44 PM
consumo médio de água por apartamento é de cerca de 170 litros por dia. Qual a ordem de grandeza do volume que deve ter o reservatório do hotel, em metros cúbicos, para abastecer todos os apartamentos durante um dia de falta de água? c) 103 e) 105 a) 101 b) 102 d) 104
12. (UFV-MG) Utilizando uma trena milimetrada (a menor divisão da escala é 1 milímetro), um estudante mede o comprimento de uma mesa. A trena, normalmente uma fita metálica com 10 m ou 20 m de comprimento, é usada principalmente para medir terrenos. Considerando a precisão do instrumento utilizado, a opção que representa a medida, em metros, feita pelo estudante com o número correto de algarismos significativos é:
11. (U. F. Juiz de Fora-MG) Uma caixa de forma cúbica
a) 1,234567
contém água. Após a retirada de 18 L, verifica-se que houve uma variação de 20 cm no nível do líquido. A capacidade total da caixa é, em litros: a) 27 c) 20 e) 36 b) 30 d) 18
b) 1,23456 c) 1,2345 d) 1,23 e) 1,2
Áreas de figuras geométricas Áreas paralelogramo
retângulo
h
b
quadrado
b
h
b
Ilustrações: Setup
Complementos de teoria e leituras
10. (UF-PE) Em um hotel com 500 apartamentos, o
b
A5b?h
A5b?h
A 5 b ? b 5 b2
trapézio
triângulo
círculo
b R h
h
B
A (b B)h 2
b
A 5 π ? R2
A b h 2
(π 3,1416)
superfície externa da esfera
R
A 5 4 πR2
3
Volume 1 Capítulo 1
FC1_CD_C01_Texto.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:44 PM
Volumes cubo
esfera
R
Complementos de teoria e leituras
h
Ilustrações: Setup
prisma e cilindro
a a
V5A?h A 5 área da base h 5 altura
a
V 5 4 πR3 3
V5A?h V 5 (a2) ? a 5 a3
pirâmide e cone
h
V A h 3 A 5 área da base h 5 altura
4
Volume 1 Capítulo 1
FC1_CD_C01_Texto.indd 4
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:44 PM
Complementos de teoria e leituras
O cálculo diferencial e integral Devemos a Isaac Newton (1642‑1727) a criação do Cálculo Diferencial e Integral. Conforme nos conta a história, em 1666 uma grande peste assolou a Grã‑Bretanha. As escolas foram fechadas e Newton, que acabara de obter o título de bacharel na Universidade de Cambridge, refugiou-se em sua casa na zona rural. Foi nesse período que ele elaborou uma teoria matemática que daria origem ao cálculo diferencial. Hoje sabemos que outro matemático, Leibniz, também chegara, independentemente, às mesmas descobertas de Newton. Apenas as quatro operações matemáticas são insuficientes para uma definição rigorosa da velocidade escalar ins‑ tantânea. Esse rigor só se tornou possível com o cálculo diferencial.
Cálculo da velocidade instantânea usando o limite O limite da velocidade escalar média, à medida que fazemos Δt tender a zero, é a velocidade escalar instantânea naquela posição da trajetória. Simbolicamente se escreve:
v lim vm ∆t → 0
Leia-se: limite de velocidade média para Δt tendendo a zero. Mais uma vez, chamamos sua atenção para o fato de dizermos que Δt tende a zero, o que não significa que ele será zero, apenas que queremos nos referir a intervalos de tempo sempre menores que o antecedente. O cálculo de limites não é objeto de estudo nos cursos de Matemática do ensino médio. Seu estudo será realizado apenas em nível universitário. Ficaremos aqui com o conceito e alguns exemplos.
Exemplo 1 Neste exemplo vamos calcular uma velocidade escalar instantânea usando o conceito de limite. Tomaremos dois instantes t1 e t2 muito próximos um do outro, isto é, o intervalo de tempo Δt é muito pequeno. As respectivas abscissas são s1 e s2. Vamos usar, como exemplo, uma equação horária do 2o. grau em t: s 5 2 1 3t 1 5t2 (unidades SI) 1o.) No instante t1 5 t, temos: s1 5 2 1 3t1 1 5t12 ⇒ s1 5 2 1 3t 1 5t2 2o.) No instante t2 5 t 1 Δt, temos: s2 5 2 1 3t2 1 5t22 ⇒ s2 5 2 1 3(t 1 Δt) 1 5(t 1 Δt)2 Desenvolvendo: s2 5 2 1 3t 1 3 ? Δt 1 5(t2 1 2 ? t ? Δt 1 Δt2) ⇒ s2 5 2 1 3t 1 3 ? Δt 1 5t2 1 10 ? t ? Δt 1 5 ? Δt2 A variação de abscissa no intervalo de tempo considerado é: Δs 5 s2 2 s1 5 3 ? Δt 1 10 ? t ? Δt 1 5 ? Δt2 A velocidade escalar média fica: 2 vm ∆s ⇒ 3 ∆t 10 t ∆t 5 ∆t 3 10 t 5 ∆t ∆t ∆t
Porém, o nosso objetivo é calcular a velocidade escalar instantânea usando o conceito de limite. Assim: v lim vm ⇒ v lim (3 10t 5 ∆t) ∆t → 0
∆t → 0
O termo (5 ? Δt) tende a zero e resta: v 5 3 1 10 ? t
1
Volume 1 Capítulo 5
FC1_CD_C05_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:44 PM
Derivada: um processo prático para se chegar à velocidade escalar instantânea v lim vm lim
Complementos de teoria e leituras
∆t → 0
∆t → 0
( ∆∆st )
Esse limite é denominado derivada da abscissa s em relação ao tempo t. Indicamos a derivada de s em relação a t por: ds dt Assim, podemos escrever: v lim ∆s ds ou simplesmente: v 5 ds ∆t → 0 ∆t dt dt Derivar uma equação horária de 1o. grau ou de 2o. grau em t é simplesmente calcular o limite acima. No entanto, em se tratando de equações polinomiais em t, existem regrinhas práticas que facilitam o cálculo dessa derivada, sem usarmos o processo do limite. A regra prática é a seguinte: 1o.) Em cada monômio da expressão polinomial, multiplica-se o expoente pelo coeficiente. 2o.) Subtrai-se uma unidade do expoente.
Exemplo 2 Vamos calcular a velocidade escalar instantânea, usando o cálculo de derivada. a) s 4t3 ⇒ v ds ⇒ v (3 4)t3 1 ⇒ v 12t2
dt
b) s 5t2 3t ⇒ v ds ⇒ v (5 2)t2 1 (3 1)t1 1 ⇒ v 10t 3
dt
c) s 5 K (em que K é uma constante), ou seja, o móvel se encontra em repouso na posição K. Sua velocidade escalar vale zero. Donde se conclui que a derivada de uma constante vale zero.
s 5 8,5 m ⇒ v 5 ds ⇒ v 5 0 dt
Outro modo de se obter o mesmo resultado é fazendo: s 5 8,5t0 ⇒ v 5 (0 ? 8,5)t21 5 0 d) s 2 3t 5t2 8t3 ⇒ v ds ⇒ v 0 3 10t 24t2 ⇒ v 3 10t 24t2
dt
Conforme nossos exemplos mostraram, a derivada nos leva a outra equação horária, e não ao valor da velocidade num dado instante. Precisamos de um valor de tempo para substituir na equação horária da velocidade obtida.
Aceleração escalar instantânea A aceleração escalar instantânea α é o limite para o qual tende ∆v quando Δt tende a zero e escreve-se: ∆t
α lim ∆v ∆t → 0 ∆t O limite de ∆v quando Δt tende a zero é a derivada da velocidade escalar em relação ao tempo. ∆t
α 5 dv dt Exemplo: v 4t3 3t2 6t ⇒ α dv ⇒ α 12t2 6t 6 dt Mais uma vez constatamos que a derivada nos levou a uma outra equação horária. Precisamos do valor do tempo.
2
Volume 1 Capítulo 5
FC1_CD_C05_Texto.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:44 PM
Demonstração da equação horária das posições do MUV Como vimos, a equação horária da velocidade é dada, no movimento uniformemente variado, pela equação:
Complementos de teoria e leituras
v 5 v0 1 α ? t (equação do 1o. grau em t) Sempre que derivamos uma função de grau n (para n > 1), obtemos outra função de grau (n 2 1). A equação horária da velocidade é a derivada da equação horária de posição (abscissas). Ora, se a primeira é do 1o. grau em t, conclui-se que esta outra é do 2o. grau em t. Assim, vamos representá-la por: s 5 A 1 B ? t 1 C ? t2 (com A, B, C constantes e C 0) Vamos determinar os significados físicos de cada parâmetro A, B, C. • Fazendo-se t 5 0, teremos s 5 s0 e s 5 A. Logo: A 5 s0 • Derivando-se a equação proposta: v ds ⇒ v B 2C t dt • Identificando termo a termo com a equação: v 5 v0 1 α ? t podemos concluir: B 5 v0
2C 5 α ⇒ C 5 α 2 Voltando à equação proposta: s 5 A 1 B ? t 1 C ? t2 s s0 v0 t α t2 2
( )
Obtendo a aceleração escalar a partir da equação horária das posições s s0 v0 t α t2 2 1.a derivada: ds 0 v 2α t ⇒ v v α t (equação horária da velocidade) 0 0 2 dt 2.a derivada: dv 0 α ⇒ dv α (aceleração) dt dt A aceleração escalar é derivada segunda da equação horária das posições.
3
Volume 1 Capítulo 5
FC1_CD_C05_Texto.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:44 PM
Exemplo 3 É conhecida a equação horária das posições de um movimento:
Complementos de teoria e leituras
s 5 5,0 1 2,0 ? t 2 0,50 ? t2 (unidades SI) a) Vamos determinar, usando derivada, a equação horária da velocidade e a aceleração escalar. v ds ⇒ v 0 2,0 1,0t ⇒ v 2,0 1,0t (SI) dt α dv ⇒ α 0 1,0 ⇒ α 1,0 m/s2 dt b) Vamos classificar o movimento para t1 5 3,0 s. Para t1 5 3,0 s: v1 5 2,0 2 1,0 ? 3,0 ⇒ v1 5 21,0 m/s α ? v1 5 (21, 0) ? (21, 0) 5 11,0 Logo, o movimento é retrógrado (v 0) e acelerado (α ? v 0).
4
Volume 1 Capítulo 5
FC1_CD_C05_Texto.indd 4
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:44 PM
Determinação da aceleração centrípeta para o caso do movimento circular uniforme
∆v v 1 R AA1 v
A R
θ
A A1
R E
C
v θ
v1
F
C
Δv
v1
θ
A1 R
Ilustrações: Setup
Complementos de teoria e leituras
2
v . Justificaremos agora essa Na teoria, afirmamos que a aceleração centrípeta ac tem módulo dado por a c R afirmativa para o caso do movimento circular uniforme. Consideremos, então, uma partícula em movimento uniforme sobre uma circunferência de raio R e centro C. Num instante t a partícula está no ponto A e tem velocidade vetorial v (fig. 1). Consideremos, em seguida, um instante t1 (com t1 . t) no qual a partícula está sobre o ponto A1 (diferente de A) com velocidade v1. Como o movimento é uniforme, temos | v | 5 | v1 |. Façamos Δt 5 t1 2 t. A variação da velocidade vetorial (Δv ) no intervalo de tempo Δt está representada na figura 2. O triângulo EFG (fig. 2) é semelhante ao triângulo CAA1 (fig. 3) e assim:
G
Figura 1.
Figura 2.
Figura 3.
Para um intervalo de tempo “muito pequeno” (isto é, Δt → 0), podemos supor que A1 esteja muito próximo de : A e o segmento AA1 tenha comprimento aproximadamente igual ao comprimento do arco AA 1 | 2 |AA1| |AA 1 Mas, como o movimento é uniforme, temos: | | v | (∆t) 3 |AA 1 De 3 e 2 concluímos: |AA1| | v | (∆t) 4 De 4 e 1 obtemos: ∆v v R v (∆t) donde: 2
∆v v 5 (supondo Δt “pequeno”) ∆t R A aceleração vetorial instantânea a no instante t é dada por: a lim ∆v ∆t → 0 ∆t e, portanto: a lim ∆v ∆t → 0 ∆t
1
Volume 1 Capítulo 9
FC1_CD_C09_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:45 PM
À medida que Δt aproxima-se de zero, a aproximação da relação 5 torna-se cada vez melhor e, portanto: a lim
∆t → 0
2 ∆v v R ∆t
a
v R
2
Por outro lado, analisando as figuras 1, 2 e 3, percebemos que, à medida que A1 se aproxima de A, o ângulo θ diminui e Δv aproxima-se da direção perpendicular a v, o mesmo ocorrendo com a aceleração vetorial média ∆v . No ∆t limite, a aceleração vetorial instantânea a é perpendicular a v e, portanto, tem a direção da reta que passa pelo ponto A e pelo centro da circunferência (fig. 4). A
v
a
C
sEtuP
Complementos de teoria e leituras
Concluímos, então, que a aceleração vetorial instantânea do movimento circular uniforme tem módulo constante e dado por:
Figura 4.
2
Volume 1 Capítulo 9
FC1_CD_C09_Texto.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PArtE INtEGrANtE da obra Física Clássica, dos autores Caio sérgio Calçada e José luiz sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:45 PM
1. Aceleração angular Consideremos uma partícula em movimento circular de raio R. Se num instante t1 sua velocidade angular é ω1 e no instante t2 (posterior a t1) sua velocidade angular é ω2, a aceleração angular média (γm) entre os instantes t1 e t2 é dada por:
Complementos de teoria e leituras
ω ω1 γ m ∆ω 2 ∆t t2 t1 A aceleração angular instantânea (γ) é definida como sendo o limite da razão ∆ω para Δt tendendo a zero: ∆t γ lim ∆ω ∆t → 0 ∆t Se γ for constante, teremos: ω ω1 γ γ m ∆ω 2 1 ∆t t2 t1 No SI temos: unidade de γ rad/s rad/s2 rad s 2 s A equação dimensional de γ é: [γ] 5 T22 Sendo v1 e v2 as velocidades escalares nos instantes t1 e t2, respectivamente, a partir da equação 1 temos: v2 v 1 ω2 ω1 R R 1 v2 v1 α γ R t2 t1 t2 t1 R t2 t1 α
ou: γ α R sendo α a aceleração escalar.
O movimento circular uniformemente variado não é periódico, uma vez que, sendo a aceleração linear não nula, cada volta é realizada em intervalos de tempo diferentes, não sendo possível definir período ou frequência para esse movimento. No MCUV a aceleração angular média coincide com a aceleração angular instantânea. ω Considere a figura ao lado, que representa um móvel realizando movimento circular uniformemente variado no sentido anti-horário, considerado positivo. Seja P0 a posição P do móvel no instante t 5 0, caracterizada pela posição inicial s0 e pela velocidade linear P0 s inicial v0. As equações horárias da posição s e da velocidade v e a equação de Torricelli φ são as seguintes: s ω φ0
2 s s0 v0t αt 2 v 5 v0 1 αt
C
R
0
0
Setup
2. Movimento circular uniformemente variado (MCUV)
0
v2 5 v20 1 2αΔs
1
Volume 1 Capítulo 11
FC1_CD_C11_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:45 PM
Considerando as grandezas angulares, sendo φ0 a posição angular inicial, ω0 a velocidade angular inicial e γ a aceleração angular, podemos obter as respectivas equações angulares dividindo as equações anteriores pelo raio R da trajetória ou por R2, no caso da última:
v v0 t ⇒ ω γt 0 R R R 2 v2 v0 2 α ∆s ⇒ ω2 ω 2 2γ∆ϕ 2 2 0 R R R R
Exercícios 1. A velocidade angular de um móvel em movimento
circular aumenta uniformemente de 5,0π rad/s em t 5 0 para 12π rad/s em t 5 3,5 s. Determine: a) a aceleração angular; b) a equação horária da velocidade angular; c) quantas voltas o corpo executa nesse intervalo de tempo.
Resolução: a) Sendo ω0 5 5,0π rad/s e ω 5 12π rad/s, temos: Δω 5 ω 2 ω0 Δω 5 12π 2 5,0π Δω 5 7,0π rad/s em Δt 5 3,5 s A aceleração angular será:
γ ∆ω ∆t 7,0 π γ 3,5 γ 5 2,0π rad/s2
ω 5 5,0π 1 2,0πt O deslocamento angular descrito pode ser calculado pela equação de Torricelli: ω2 5 ω20 1 2γΔφ 144π2 5 25π2 1 2 ? 2,0π ? Δφ Δφ 29,7π rad ou pela equação horária do espaço angular: γt2 ∆ϕ ω0t 2
2
Volume 1 Capítulo 11
FC1_CD_C11_Texto.indd 2
∆ϕ 5π 3,5
2π (3,5)2 2
Δφ 29,7π rad Por regra de três simples e direta:
}
1 volta 2,0π rad n 29,7π 2π n 29,7π rad n 14,8 voltas
2. Uma roda gira à razão de 10π rad/s, quando é desligado o motor que a faz funcionar. A partir desse instante, a roda realiza um movimento circular uniformemente variado, parado em 20 s. Determine: a) a aceleração angular da roda; b) a equação horária da velocidade angular da roda, a partir do instante em que o motor foi desligado; c) o número de voltas que a roda realiza, desde que o motor é desligado até parar.
3. Uma partícula move-se sobre uma circunferência de
b) A equação horária da velocidade angular obedece à forma ω 5 ω0 1 γt. Assim:
raio 2,0 m com aceleração escalar constante e igual a 6,0 m/s2. Calcule a aceleração angular do movimento. Instruções para as questões 4 e 5: O gráfico representa a velocidade angular, em função do tempo, de uma polia que gira ao redor de um eixo. (rad/s) 80π 60π 40π 20π 0
Setup
Complementos de teoria e leituras
2 s s0 v0 t α t2 ⇒ ϕ ϕ ω t γt 0 0 2 R R R R 2
10 20 30 40
t (s)
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:45 PM
4. (UF-BA) A aceleração angular da polia é igual a: a) 2π rad/s b) 15π rad/s2 c) 20π rad/s2 2
d) 100π rad/s e) 200π rad/s2 2
Complementos de teoria e leituras
5. (UF-BA) O número de voltas completas realizadas pela polia, de 0 a 40 s, é igual a: a) 3,0 ∙ 102 d) 1,2 ∙ 103 b) 4,0 ∙ 102 e) 1,6 ∙ 103 c) 8,0 ∙ 102
6. (UF-PE) A parte mais externa de um disco, com 0,25 m de raio, gira com uma velocidade linear de 15 m/s. O disco começa então a desacelerar uniformemente até parar, em um tempo de 0,5 min. Qual o módulo da aceleração angular do disco em rad/s2?
7. (Mackenzie-SP) O motor de um ventilador é ligado e, do repouso, seu eixo gasta 4,0 s para atingir uma velocidade cujo módulo permanecerá constante, proporcionando um movimento periódico de 10 Hz. A aceleração angular média desse eixo, nos referidos 4,0 s, foi: a) 5,0 rad/s2 d) 20 rad/s2 2 b) 5,0π rad/s e) 20π rad/s2 c) 10 rad/s2
3
Volume 1 Capítulo 11
FC1_CD_C11_Texto.indd 3
8. (Aman-RJ) Um ponto material parte do repouso e se desloca em MUV sobre um plano horizontal em trajetória circular de 5 metros de raio. Após 10 segundos o ponto material percorreu 100 metros. A velocidade angular do ponto material nesse instante vale: a) 16 rad ? s21
d) 2 rad ? s21
b) 4 rad ? s21
e) 0,4 rad ? s21
c) 20 rad ? s
21
9. (UF-PR) Um ventilador gira à razão de 900 rpm. Ao desligá-lo, seu movimento passa a ser uniformemente retardado, até parar após 75 voltas. Qual o tempo decorrido desde o movimento em que foi desligado até a sua parada completa?
10. (Mackenzie-SP) Um disco inicia um movimento uniformemente acelerado a partir do repouso e, depois de 10 revoluções, a sua velocidade angular é de 20 rad/s. Podemos concluir que a aceleração angular da roda em rad/s2 é aproximadamente igual a: a) 3,5 b) 3,2 c) 3,0 d) 3,8 e) nenhuma das anteriores
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são pARTe INTeGRANTe da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:45 PM
No sistema representado na figura 1, o bloco A está preso ao fio f1, o qual passa pelas polias P1 e P2; o bloco B está preso ao fio f2, o qual está preso ao eixo da polia P2. A polia P1 é uma polia fixa, isto é, ela pode girar, mas o seu eixo é fixo; a polia P2 é uma polia móvel, isto é, além de girar, o seu eixo pode movimentar-se. Suponhamos que os fios e as polias sejam ideais. Dependendo das massas de A e B, ao abandonarmos o sistema em repouso, podem ocorrer três situações:
P1
1o.) o sistema permanece em repouso;
P2
f1
2 ) o bloco A sobe e o bloco B desce; o.
A
f2
3o.) o bloco A desce e o bloco B sobe.
B
Ilustrações: Marco A. Sismotto
Complementos de teoria e leituras
Polia móvel com aceleração
Figura 1.
Porém, conforme veremos a seguir, desde que haja aceleração, as acelerações de A e B terão módulos diferentes. Consideremos inicialmente o sistema na posição da figura 2a e, apenas para fixar ideias, suponhamos que o bloco A esteja descendo e o bloco B esteja subindo, de modo que, após um intervalo de tempo Δt, o sistema esteja na posição da figura 2b. (a)
(b)
A
dA
W
X B
Y
Z B
dB
A
Figura 2.
Sejam dA e dB os deslocamentos dos blocos A e B, respectivamente. Observando a figura 2, percebemos que: |dB| 5 XY 5 WZ Como o fio é ideal (e, portanto, inextensível), os trechos de fio XY e WZ que “desaparecem” do lado da polia móvel devem ter “ido” para o lado do bloco A, isto é: |dA| 5 2|dB| Portanto, para qualquer intervalo de tempo, o módulo do deslocamento de A será o dobro do módulo do deslocamento de B. Mas, como sabemos, a derivada do deslocamento nos dá a velocidade. Assim, sendo vA e vB as velocidades dos blocos A e B num instante qualquer, devemos ter: |VA| 5 2|VB| Mas sabemos também que a derivada da velocidade é a aceleração. Portanto, sendo aA e aB as acelerações dos blocos A e B, temos: | aA| 5 2| aB|
1
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_C13_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
T
Complementos de teoria e leituras
T T A
T
T
PA
Ilustrações: Marco A. Sismotto
Isolemos as polias e os blocos como mostra a figura 3, onde T é a intensidade da tração no fio. Sendo aA e aB os módulos das acelerações dos blocos e supondo que o sistema tenha sido abandonado em repouso, consideraremos três casos.
2T 2T B PB
Figura 3.
1o. caso: O sistema permanece em repouso Nesse caso devemos ter T 5 PA e 2T 5 PB. Assim: PB 5 2PA ou mB 5 2mA onde mA e mB são as massas dos blocos A e B. Se dermos um impulso ao bloco A ou ao bloco B, o sistema entrará em movimento, porém os dois blocos terão movimentos uniformes. 2T T A
B
PA
PB
Figura 4.
2o. caso: mB . 2mA Vimos no caso anterior que, para mB 5 2mA, o sistema fica em equilíbrio. Assim, para mB . 2mA, o bloco B deve descer acelerado e o bloco A deve subir acelerado (supondo que o sistema tenha sido abandonado em repouso). Aplicando a Segunda Lei de Newton a cada bloco, temos: 2T T aA
A
aB
B
PA
PB
Figura 5.
T PA mA aA PB 2T mB aB Essas duas equações, juntamente com a condição aA 5 2aB, resolvem o problema.
2
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_C13_Texto.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
3o. caso: mB , 2mA Como vimos, para mB 5 2mA, o sistema fica em equilíbrio. Assim, para mB , 2mA, o bloco A deve descer em movimento acelerado e o bloco B deve subir em movimento acelerado (supondo que o sistema tenha sido abandonado em repouso). Portanto, as equações que resolvem o problema são:
2T T aA
A
aB
B
PA
PB
Ilustrações: Marco A. Sismotto
Complementos de teoria e leituras
PA T mA aA 2T PB mB aB a 2a A B
Figura 6.
Observação: Ao resolvermos um problema desse tipo, podemos, se quisermos, não fazer a análise da relação entre as massas e simplesmente fazer uma das seguintes hipóteses: a 1.) aA tem sentido para baixo e aB tem sentido para cima. a 2.) aA tem sentido para cima e aB tem sentido para baixo. A seguir, escrevemos as equações baseadas na hipótese feita, sem nos preocuparmos se a hipótese é correta ou não. Como ao escrevermos as equações usamos as acelerações em módulo, perceberemos no final do problema se a hipótese está correta ou não: se as acelerações obtidas forem positivas, a hipótese estará certa; se as acelerações forem negativas, a hipótese estará errada (mas isso não quer dizer que precisamos resolver novamente o problema, pois os módulos das acelerações estarão corretos).
Exercícios 1. O sistema representado na figura é formado por fios e polias ideais. A aceleração da gravidade tem módulo g 5 10 m/s2, a massa de A é mA 5 3,5 kg e a massa de B é mB 5 6,0 kg. Calcule os módulos das acelerações dos blocos A e B e o módulo da tração no fio ligado ao bloco A.
Resolução: 2T T A PA
B
PB
PA mA g 3,5 10 ⇒ PA 35 N P m g 6,0 10 ⇒ P 60 N B B B
A B
3
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_C13_Texto.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
Como 2mA . mB, a aceleração de A tem sentido para baixo e a aceleração de B tem sentido para cima. Apliquemos a Segunda Lei de Newton a cada bloco:
Complementos de teoria e leituras
PA T mA aA 2T P m a B B B
ou
35 T 3,5 aA 2T 60 6,0 a B
A
(I) 1 (II) 2 B
Usando a condição aA 5 2aB na equação 1 , o sistema de equações anterior fica: 35 T 7,0 aB 2T 60 6,0 a B
a) das acelerações dos blocos A e B;
3 2
b) da tração no fio ligado ao bloco A.
Dividindo por 2 todos os termos da equação 2 , temos: 35 T 7,0 aB T 30 3,0 a B
3 4
Adicionando membro a membro essas duas últimas equações, temos:
4. Considere o sistema representado na figura, onde os fios e as polias são ideais. A aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s2 e as massas de A e B são respectivamente iguais a 3,0 kg e 2,0 kg. Sendo aA e aB os módulos das acelerações dos blocos A e B, determine:
35 30 5 10 aB ou aB 5 0,50 m/s2 Como aA 5 2aB, obtemos: aA 5 2(0,50) ⇒ aA 5 1,0 m/s2 Para obtermos o valor de T, substituímos os valores obtidos para as acelerações, em qualquer das equações anteriores. Por exemplo, substituímos o valor de aB na equação 4 : T 30 5 3,0 aB T 30 5 3,0 0,50
f2
f1 A
B
a) a relação entre aA e aB;
T 5 31,5 N
b) os valores de aA e aB;
2. No sistema representado na figura, os fios e as polias
A B
IluStrAçõeS: MArco A. SISMotto
são ideais. A aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s2, e as massas de A e B são respectivamente iguais a 3,0 kg e 8,0 kg. Calcule os módulos:
a) da aceleração de B; b) da aceleração de A; c) da tração no fio ligado ao bloco A.
3. No sistema representado na figura, os fios e as polias
são ideais e não há atrito entre o bloco A e a superfície de apoio. A aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s2 e as massas dos blocos A e B são respectivamente iguais a 2,0 kg e 12 kg. Calcule os módulos:
4
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_C13_Texto.indd 4
c) o módulo da tração no fio ligado ao bloco A.
5. (Fuvest-SP) Considere o esquema representado na figura abaixo. As roldanas e a corda são ideais. O corpo suspenso da roldana móvel tem peso P 5 500 N.
P
a) Qual o módulo da força vertical (para baixo) que o homem deve exercer sobre a corda para equilibrar o sistema? b) Para cada 1 metro de corda que o homem puxa, de quanto se eleva o corpo suspenso?
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste cD são PArte INteGrANte da obra Física Clássica, dos autores caio Sérgio calçada e José luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
6. (AFA-SP) Os corpos A e B da figura abaixo têm massa
IluStrAçõeS: MArco A. SISMotto
Complementos de teoria e leituras
M e m, respectivamente. Os fios são ideais. A massa da polia e todos os atritos podem ser considerados desprezíveis. O módulo da aceleração de B é igual a:
A
a) a relação entre aA, aB e aC; b) os valores de aA, aB e aC; c) o módulo da tração no fio que está ligado ao bloco A.
8. O sistema esquematizado abaixo, em que os fios e as polias são ideais, é abandonado em repouso. São dados: g 5 10 m/s2; mA 5 1,0 kg; mB 5 6,0 kg. Determine as acelerações de A e B propondo que não haja atrito entre o bloco A e a superfície S. 1 kg
g
A
S
B g
a)
mg Mm
c)
2mg Mm
b)
mg 4M m
d)
2mg 4M m
B
7. No sistema representado na figura, os fios e as polias são ideais, não há atrito e as massas dos blocos A, B e C são, respectivamente, iguais a 15 kg, 10 kg e 24 kg. A aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s2. Sendo aA, aB e aC os módulos das acelerações dos blocos A, B e C, respectivamente, determine:
6 kg
9. No sistema esquematizado abaixo, os fios e as polias
são ideais e as massas dos blocos A, B e C são, respectivamente, 4,0 kg, 16 kg e 8,0 kg. Supondo que o sistema seja abandonado em repouso e que g 5 10 m/s2, determine o sentido do movimento e o módulo da aceleração de cada bloco.
B
A
g
C
5
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_C13_Texto.indd 5
B A
C
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste cD são PArte INteGrANte da obra Física Clássica, dos autores caio Sérgio calçada e José luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
1. Associação de molas em série
k
k1
k
k1
Ilustrações: Luiz Fernando Rubio
Complementos de teoria e leituras
Consideremos duas molas ideais, de constantes k1 e k2, associadas em série, como mostra a figura 1a. Se aplicarmos ao conjunto uma força F, como indica a figura 1b, a deformação do conjunto será x. Chamamos de mola equivalente à associação uma única mola de constante elástica k que, sob a ação da mesma força F, sofre a mesma deformação x (fig. 2).
x
k2 F
k2
(a)
Figura 2.
x
F (b)
Figura 1.
Vamos determinar o valor de k em função de k1 e k2. As molas de constantes k1 e k2 sofreram deformações x1 e x2 tais que: x 5 x1 1 x2 1 Como as molas são ideais, o esquema de forças é o da figura 3. Aplicando a Lei de Hooke a cada mola, temos:
F
F 5 k1 ? x1 e F 5 k2 ? x2 ou F x1 5 e x2 5 F 2 k2 k1
F
k1
Aplicando a Lei de Hooke à mola equivalente (fig. 3), temos: F
F 5 k ? x ou x 5 F 3 k
F
Substituindo 3 e 2 em 1 , obtemos: k2
F F F ou 1 1 1 4 k k1 k2 k k1 k2
F
A fórmula 4 pode ser ampliada para um número maior de molas. Se tivermos, por exemplo, associadas em série três molas ideais de constantes elásticas k1, k2 e k3, a constante k da mola equivalente será dada por:
Figura 3.
1 1 1 1 k k1 k2 k3
1
Volume 1 Capítulo 16
FC1_CD_C16_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
Exercícios 2. Três molas ideais, de constantes elásticas k1 5 20 N/m,
Complementos de teoria e leituras
1. Consideremos duas molas ideais, de constantes
k2 5 30 N/m e k3 5 60 N/m, foram associadas em série. a) Determine a constante elástica da mola equivalente à associação. b) Determine a deformação sofrida pela associação quando submetida a uma força de intensidade F 5 7,0 N.
elásticas k1 5 3,0 N/m e k2 5 6,0 N/m, associadas em série. Determine a constante elástica da mola equivalente. Resolução: Sendo k a constante elástica da mola equivalente, temos: 1 1 1 1 1 k k1 k2 3,0 6,0
3. Duas molas ideais, de constantes elásticas iguais a 80 N/m, foram associadas em série. Determine a constante elástica da mola equivalente à associação.
1 2,0 1,0 6,0 k
4. Três molas ideais e idênticas foram associadas em série.
Sendo k a constante elástica de cada mola, determine a constante elástica da mola equivalente à associação.
k 5 2,0 N/m
2. Associação de molas em paralelo
S
k1 k1
k1
k1
k1
k1
k k
x
x
F
F
Figura 4.
Figura 5.
Ilustrações: Luiz Fernando Rubio
Quando a associação é em paralelo, só tem interesse prático o caso de molas idênticas, isto é, molas que têm o mesmo comprimento natural e a mesma constante elástica. Consideremos duas molas idênticas de constante elástica k1 cada uma, associadas em paralelo, como indica a figura 4. As molas são presas a um mesmo suporte S e a uma barra de massa desprezível, no centro da qual é aplicada a força F. Ao aplicarmos a força F no centro da barra, o sistema sofrerá uma deformação x (fig. 5), isto é, cada mola sofrerá a mesma deformação x. Seja k a constante elástica da mola equivalente. Sob a ação da mesma força F, deverá sofrer a mesma deformação x (fig. 6).
F
Figura 6.
Cada uma das duas molas da associação receberá uma força de intensidade F (fig. 7). Aplicando a Lei de Hooke 2 a uma delas, temos: F k x ou F 5 2k ? x 1 1 1 2
k1
k1
F 2
F 2
Figura 7.
2
Volume 1 Capítulo 16
FC1_CD_C16_Texto.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
Aplicando a Lei de Hooke à mola equivalente, temos: F 5 k ? x 2 Comparando 1 e 2 , obtemos:
Complementos de teoria e leituras
k ? x 5 2k1 ? x ou k 5 2k1 3 A fórmula 3 pode ser ampliada para um número maior de molas idênticas, associadas em paralelo. De modo geral, se tivermos n molas idênticas associadas em paralelo, sendo k1 a constante elástica de cada uma, a constante elástica da mola equivalente é dada por: k 5 nk1
Exercícios 5. Três molas idênticas, de constante elástica k1 5 20 N/m cada uma, foram associadas em paralelo. Determine a constante elástica da mola equivalente à associação.
9. Calcule a constante elástica equivalente da associação abaixo, sabendo que k1 5 15 N/m e k2 5 20 N/m.
Resolução:
k1
k1
Ilustrações: Luiz Fernando Rubio
k1
k2
k2
k1
k2
k1
F
10. Duas molas de constantes elásticas 14 N/m e 6,0 N/m
k
foram associadas em série. Calcule a constante elástica da mola equivalente à associação.
11. Quatro molas idênticas, de constante elástica 60 N/m
k 5 3k1 5 3 ? 20 k 5 60 N/m
cada uma, foram associadas em paralelo. Calcule a constante elástica da mola equivalente à associação.
6. Cinco molas idênticas foram associadas em paralelo. Sabendo que a constante elástica de cada uma é 80 N/m, determine a constante elástica da mola equivalente à associação.
12. (Fatec-SP) Dispõe-se de duas molas idênticas e de um objeto de massa m. O objeto pode ser pendurado em apenas uma das molas ou numa associação delas mesmas, conforme a figura. O objeto provocará uma deformação total:
7. Duas molas idênticas foram associadas em paralelo.
Determine a constante elástica de cada uma delas, sabendo que a constante elástica da mola equivalente é igual a 300 N/m.
8. Uma mola ideal tem constante elástica 30 N/m. Cortamos essa mola ao meio e com as duas metades fazemos uma associação em paralelo. Determine a constante elástica da mola equivalente a essa associação.
3
Volume 1 Capítulo 16
FC1_CD_C16_Texto.indd 3
m
m
(I)
(III) m (II)
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
Dois dinamômetros estão montados sobre uma mesa horizontal perfeitamente lisa, conforme mostra a figura. Quando o corpo de massa m é suspenso por um fio de massa desprezível à extremidade do dinamômetro, a força que este indica é 5 N. Adote g 5 10 m/s2.
a) igual nos três arranjos. b) maior no arranjo I. c) maior no arranjo II. d) maior no arranjo III.
(I)
alonga-se de 12 cm (fig. a). Corta-se a mola no meio e suspende-se o mesmo corpo ao conjunto das duas metades, como na figura b. Cada uma dessas metades se acha alongada de: Ilustrações: Luiz Fernando Rubio
Complementos de teoria e leituras
13. (Cesgranrio-RJ) Um corpo suspenso a uma mola ideal
Figura a.
Figura b.
a) 3,0 cm b) 9,5 cm c) 24 cm
d) 6,0 cm e) 12 cm
m
a) Que força indicará o dinamômetro II? b) Qual a massa do corpo suspenso?
16. (Vunesp-SP) O gráfico da figura I mostra as elongações sofridas por duas molas, M1 e M2, em função da força aplicada a elas. Quando essas molas são distendidas, como mostra a figura II, sobre uma superfície horizontal perfeitamente lisa, a elongação sofrida por M2 é igual a 3,0 cm.
14. (UF-MT) Dois corpos, A e B, estão ligados, conforme
4,0 kg
k1
k2
2,0 kg
10 elongação (cm)
esquema abaixo, por duas molas, k1 e k2, idênticas e de massas desprezíveis. Sabe-se que os atritos com a superfície horizontal são desprezíveis e que o sistema está oscilando, sendo, num dado instante, Δx1 a distensão não nula de k1 e Δx2 a distensão não nula ∆x de k2. Então 2 vale, em módulo: ∆x1
(II)
M1
8 6
M2
4 2 0
5
10
15 20 força (N)
25
Figura I.
a) 1 2 b) 1 c) 2
d) 2
15. (Vunesp-SP) Dinamômetros são instrumentos desti-
nados a medir forças. O tipo mais usual é constituído por uma mola cuja deformação varia linearmente com a intensidade da força que a produz (Lei de Hooke).
4
Volume 1 Capítulo 16
FC1_CD_C16_Texto.indd 4
M1
M2
e) 2 2 Figura II.
a) Qual é a intensidade da força que está distendendo a mola M2? b) Qual a elongação sofrida por M1?
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:46 PM
Quando um corpo está em movimento em relação a um referencial que gira, além da força centrífuga há uma outra força fictícia sobre o corpo: é a força de Coriolis, que tem esse nome porque seu estudo foi feito pelo francês Gustave Gaspar Coriolis (1792-1843). Num referencial que gira, a força centrífuga existe tanto no caso em que o corpo está em repouso como no caso em que está em movimento, mas a força de Coriolis só aparece quando o corpo está em movimento. Não faremos o estudo matemático dessa força, pois sua complexidade está acima do nível do nosso curso. No entanto, daremos alguns exemplos para que você perceba seu efeito. Na figura 1 representamos uma situação em que dois indivíduos, A e B, estão sobre uma plataforma que gira em relação ao solo, onde está o indivíduo C. Para simplificar, vamos supor que o indivíduo A esteja no centro da plataforma. B
C
B
A
A
B
C Ilustrações: Lettera Studio
Complementos de teoria e leituras
A força de Coriolis
(a)
(c) B C
A
Figura 1.
C
A
(b)
(d)
O indivíduo A joga uma bola para B (fig. 1a). Porém, devido à rotação da plataforma, a bola não chega a B; quem a recebe é o indivíduo C. Nas figuras 1a e 1b, temos a trajetória da bola em relação ao observador C que está fixo no solo. Nas figuras 1c e 1d, representamos a trajetória da bola para os indivíduos A e B; para eles, é o indivíduo C que está girando, e a trajetória da bola é uma curva. A diferença básica está no seguinte: a força centrífuga empurra a bola para fora, afastando-a radialmente do centro, enquanto a força de Coriolis torce sua trajetória lateralmente, provocando desvios na direção de sua velocidade vetorial (fig. 2).
direção radial O FCO
trajetória encurvada
Figura 2.
O garoto A vê a bola desenhar uma trajetória curva, entortada para a direita, e atribui o fato à existência de uma força fictícia, que é a força de Coriolis. Para o garoto A, o seu referencial está na plataforma girando e, portanto, não é um referencial inercial. Lembremo-nos de que o referencial inercial deverá estar em repouso ou em MRU. No caso, a plataforma está em MCU.
1
Volume 1 Capítulo 17
FC1_CD_C17_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:47 PM
Vejamos alguns exemplos em que aparece a força de Coriolis: • Soltamos uma pedra da boca de um poço, bem no centro do seu círculo. Esta não cairá no centro da água, lá no fundo do poço, mas baterá nas paredes laterais (fig. 3). A Terra tem movimento de rotação e nesse caso o nosso referencial não é inercial. A força de Coriolis é a responsável pelo desvio de trajetória da pedra.
Ilustrações: Conceitograf
Complementos de teoria e leituras
boca do poço
Figura 3.
• Qualquer objeto que despencar de uma altura razoável sofrerá a influência de Coriolis, e sua trajetória será desviada. Nos experimentos que Galileu teria feito na torre de Pisa, a força de Coriolis também desviou as balas de canhão. Porém, esse desvio foi muito pequeno, da ordem de alguns milímetros, e nem Galileu percebeu. • A formação de ciclones tem sua explicação na força de Coriolis.
Exercícios 1. (Fund. Carlos Chagas-SP) Nas corridas em circuito oval, as pistas são acentuadamente inclinadas. Suponha que uma pista tem 10 m de largura e um desnível de 6,0 m entre as margens externa e interna. Um automóvel, nesta pista, pode descrever uma curva de raio 120 m sem depender de atrito. A máxima velocidade, em m/s, do automóvel nas condições descritas é: a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50 (Adote: g 5 10 m/s2 e π 3.)
2. (ITA-SP) Um funil que gira com velocidade angular uniforme em torno do seu eixo vertical de simetria apresenta uma superfície cônica que forma um ângulo θ com a horizontal, conforme a figura. Sobre esta superfície, uma pequena esfera gira com a mesma velocidade angular mantendo-se a uma distância d do eixo de rotação.
2
Volume 1 Capítulo 17
FC1_CD_C17_Texto.indd 2
ω
g
Nestas condições, o período de rotação do funil é dado por: a) 2π
d g sen θ
d b) 2π g cos θ
c) 2π
d g tan θ
d) 2π
2d g sen 2θ
e) 2π d cos θ g tan θ
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:47 PM
3. Considere o raio da Lua igual a 1,6 ∙ 106 m e o módu-
c) 3,2
b) 1,6
d) 4,8
leração angular, até que sua velocidade angular atinja um certo valor ω. A partir deste valor de velocidade angular, o bloco começa a deslizar sobre o disco. ω
e) 8,0 Setup
a) 0,80
4. (UF-ES) Um pêndulo é formado por uma esfera de massa m presa ao teto por um fio inextensível e de massa desprezível. Ele oscila livremente e, no instante em que sua velocidade é nula, o fio forma um ângulo θ com a vertical, conforme a figura.
Representando por g o módulo da aceleração da gravidade e considerando-se o instante em que o bloco está prestes a deslizar sobre o disco: a) determine, em função desses dados, o módulo da força centrípeta Fc que atua sobre o bloco; b) calcule, em função desses dados, o coeficiente de atrito estático μe entre o bloco e o disco.
Setup
θ g
m
Nesse instante a intensidade da força que traciona o fio é: a) nula d) mg b) mg sen θ e) mg cos θ c) mg tg θ
5. (OBF-Brasil) Em um pêndulo cônico temos uma corda de comprimento L e na sua extremidade um corpo de massa m, que realiza um movimento circular no plano (veja figura). Como consequência deste movimento, a corda descreve a figura de um cone, razão pela qual o pêndulo adquire esse nome. O
Setup
θ
C
g
L
R m
v
7. Nos estudos de Astronomia, definimos três velocida-
des, chamadas velocidades cósmicas, que são calculadas, no caso do planeta Terra, imaginando ausência da atmosfera (isto é, desprezando-se o efeito do ar) e não se considerando efeitos ligados à rotação do planeta. A velocidade cósmica primeira é a velocidade de satelização, isto é, a velocidade com que deveríamos lançar um corpo, horizontalmente, do Pico do Everest (ponto culminante da Terra) para transformá-lo em um satélite rasante da Terra, em órbita circular e movimento uniforme. A velocidade cósmica segunda é a velocidade de escape, que é a velocidade mínima de lançamento de um corpo, a partir da superfície terrestre, para que ele saia do campo gravitacional da Terra (vá para o infinito) e seu valor é da ordem de 11,2 km/s. A velocidade cósmica terceira é a velocidade mínima de lançamento de um corpo, a partir da superfície terrestre, para que ele saia do Sistema Solar e seu valor é da ordem de 45 km/s. Pico do Everest órbita do satélite rasante
P
Determine:
Terra
a) a velocidade angular ω do corpo em função do módulo da aceleração da gravidade g, do comprimento L e do ângulo θ de inclinação da corda;
C
Luiz Fernando Rubio
Complementos de teoria e leituras
lo da aceleração da gravidade na superfície lunar igual a 1,6 m/s2. A velocidade de um satélite rasante à Lua tem módulo igual, em km/s, a:
FG
b) o tempo para o corpo dar uma volta completa.
6. (Unesp-SP) Um pequeno bloco de massa m é colocado
vS
sobre um disco giratório, plano e horizontal, inicialmente em repouso, a uma distância R do eixo do disco. O disco é então posto a girar com pequena ace-
3
Volume 1 Capítulo 17
FC1_CD_C17_Texto.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:47 PM
Calcule: a) a velocidade cósmica primeira a partir dos seguintes dados: • raio da Terra: R 5 6,4 ? 106 m
Complementos de teoria e leituras
• módulo da aceleração da gravidade junto à superfície terrestre: g 5 10 m/s2 b) o período de translação desse satélite rasante. Adote π 5 3.
8. (Fuvest-SP) Um avião voa horizontalmente sobre o mar com velocidade constante de módulo v, a ser determinado. Um passageiro, sentado próximo ao centro de massa do avião, observa que a superfície do suco de laranja, que está em um copo sobre a bandeja fixa ao seu assento, permanece paralela ao plano da bandeja. Estando junto à janela e olhando numa direção perpendicular à da trajetória do avião, o passageiro nota que a ponta da asa esquerda do avião tangencia a linha do horizonte, como mostra a figura A. O piloto anuncia que, devido a um problema técnico, o avião fará uma curva de 180° para retornar ao ponto de partida. Durante a curva, o avião inclina-se para a esquerda, de um ângulo θ 5 30°, sem que haja alterações no módulo de sua velocidade e na sua altura. O passageiro, olhando sempre na direção perpendicular à da velocidade do avião, observa que a ponta da asa esquerda permanece durante toda a curva apontando para um pequeno rochedo que aflora do mar, como representado na figura B. O passageiro também nota que a superfície do suco permaneceu paralela à bandeja e que o avião percorreu a trajetória semicircular de raio R (a ser determinado), em 90 s. Percebe, então, que com suas observações e alguns conhecimentos de Física que adquiriu no ensino médio, pode estimar a altura e a velocidade do avião.
Figura B.
As distâncias envolvidas no problema são grandes em relação às dimensões do avião. a) Encontre uma relação entre v, R, g e θ, para a situação descrita. b) Estime o módulo v da velocidade do avião, em km/h ou m/s. c) Estime o valor da altura H, acima do nível do mar, em metros, em que o avião estava voando.
9. (Unicamp-SP) As máquinas a vapor, que foram importantíssimas na Revolução Industrial, costumavam ter um engenhoso regulador da sua velocidade de rotação, como é mostrado esquematicamente na figura abaixo. As duas esferas afastavam-se do eixo devido ao movimento angular e acionavam um dispositivo regulador da entrada de vapor, controlando assim a velocidade de rotação, sempre que o ângulo θ atingia 30°. Considere hastes de massa desprezível e comprimento L 5 0,2 m, com esferas de massa m 5 0,18 kg em suas pontas, d 5 0,1 m e aproxime 3 1,8. Adote g 5 10 m/s2. ω
NOTE E ADOTE
g
Ilustrações: Conceitograf
π 5 3; sen 30° 5 0,5; cos 30° 5 0,86; tg 30° 5 0,6; módulo da aceleração da gravidade: g 5 10 m∙s–2.
a) Faça um diagrama indicando as forças que atuam sobre uma das esferas. Figura A.
4
Volume 1 Capítulo 17
FC1_CD_C17_Texto.indd 4
b) Calcule a velocidade angular ω para a qual θ 5 30°.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:47 PM
Colisões Vamos demonstrar que numa colisão elástica o coeficiente de restituição (e) é igual a 1:
Complementos de teoria e leituras
vA
B
depois do choque A
vB
B
vA'
vB'
eixo
eixo
ILUSTRAÇÕES: SETUP
antes do choque A
Pela Conservação da Quantidade de Movimento, temos: 1
mAvA mBvB mAv'A mBv'B mAvA mAv'A mBv'B mBvB
mA(vA v'A) mB(v'B vB)
2
Num choque elástico há conservação de energia cinética: mA (vA )2 m (vB )2 m (vA' )2 mB (v'B )2 B A 2 2 2 2 mA (vA)2 mA (v'A)2 mB (v'B)2 mB (vB)2 mA (vA )2 (v'A ) 2 mB (v'B ) 2 (vB ) 2
3
Façamos a divisão membro a membro da equação 3 pela equação 2 : mA (vA )2 (vA' )2 m (v' )2 (vB )2 B B mA (vA v'A ) mB(vB' vB )
4
Lembrando os produtos notáveis da Matemática: (vA )2 (vA' )2 (vA v'A ) (vA vA' ) (v' )2 (v )2 (v' v ) (v' v ) B B B B B B a equação 4 fica: (vA vA' ) (vA v'A ) (v' vB ) (v'B vB ) B ⇒ vA vA' v'B vB ⇒ (vA v'A ) (v'B vB ) ⇒ vA vB (vA' v'B ) ⇒
v'A v'B 1⇒ e 1 vA vB e
1
Volume 1 Capítulo 21
FC1_CD_C21_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:48 PM
1. Centro de gravidade Vamos demonstrar a seguinte propriedade:
Consideremos um sistema de n partículas de massas: m1, m2, ... , mn e pesos:
P1, P2, ... , Pn
Sejam
M 5 m1 1 m2 1 ... 1 mn
e
P 5 P1 1 P2 1 ... 1 Pn
Se esse sistema está numa região em que g é constante, então todos os pesos deverão ter a mesma direção e sentido. y
P2
G
P1 Pn
P 0
x1
x2
xG
xn
x
Ilustrações: Setup
Complementos de teoria e leituras
Se a aceleração da gravidade g é a mesma em qualquer ponto de um corpo, seu centro de gravidade G coincide com seu centro de massa C.
O centro de gravidade G é o ponto que tem a seguinte propriedade: aplicando-se o peso total P em G, seu torque deve ser igual à soma dos torques dos pesos de cada partícula. Tomando torques em relação a O: MP 5 MP1 1 MP2 1 ... 1 MPn ⇒ P ? xG 5 P1 x1 1 P2 x2 1 … 1 Pn xn ⇒ m 1 x 1 m 2 x 2 ... m n x n 1 M Mas, como vimos no capítulo 22, a equação 1 nos dá a abscissa xC do centro de massa do sistema, isto é, xG 5 xC. Procedendo do mesmo modo, veremos que o mesmo ocorre para a ordenada y de C e para a cota z de C. ⇒ Mg xG 5 m1 g x1 1 m2 g x2 1 …1 mn g xn ⇒ xG
2. Teorema das três forças Consideremos um corpo rígido em equilíbrio sob a ação de apenas três forças F1, F2 e F3. É fácil perceber que uma das possibilidades é que as três forças sejam paralelas, como no exemplo a seguir: F3
F2
F3 5 F1 1 F2 F1 d1 5 F1 d2
F1 d1
d2
Figura 1.
1
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Suponhamos agora que duas delas (F1 e F2) tenham retas suportes que se cruzam em um ponto D, e a terceira (F3) tenha uma direção qualquer (fig. 2), de modo que a reta suporte de F3 está a uma distância d do ponto D.
d
F3 F1
F2
Ilustrações: Setup
Complementos de teoria e leituras
D
Figura 2.
Tomemos torques em relação ao ponto D. Se o corpo está em equilíbrio, a soma dos torques deve ser nula: MF1 1 MF2 1 MF3 5 0 F1 (0) 1 F2 (0) 1 F3 ? d 5 0 ⇒ F3 ? d 5 0 ⇒ d 5 0 Portanto, a reta suporte de F3 também passa por D, isto é, as três retas suportes são concorrentes em um único ponto D.
3. Conservação do momento angular Momento de inércia
F
Consideremos uma partícula de massa m em movimento circular não uniforme, sendo r o raio da trajetória (fig. 3). A força resultante F tem uma componente tangencial Ft e uma componente centrípeta Fn. Num determinado instante, a partícula tem aceleração escalar α e aceleração angular γ, e vale a equação: 1 α 5 γ ? r ou γ 5 α (1) r
Ft
E Fn
m
r
Figura 3.
De acordo com a Segunda Lei de Newton, temos: Ft 5 m ? α 5 m ? γ ? r 2 Tomando como polo o centro E da circunferência, o torque de Fn é nulo. Portanto, o torque da força resultante é igual ao torque de Ft: MF 5 MFt 5 Ft ? r 3 Introduzindo 2 em 3 , temos: MF 5 Ft ? r 5 (m γ r)(r) ⇒ MF 5 (mr2) γ 4 A equação 4 é análoga à equação da Segunda Lei de Newton, com o termo mr2 representando um tipo de inércia, chamado inércia rotacional ou momento de inércia, sendo representado por I: I 5 mr2 5
2
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Desse modo, a equação 4 pode ser escrita: MF 5 Iγ 6
Complementos de teoria e leituras
Consideremos agora um corpo extenso formado por n partículas, de massas: m1, m2, ..., mn girando com aceleração angular γ em torno de um eixo E, de modo que as distâncias das partículas ao eixo são: r1, r2, ..., rn Os torques resultantes em cada partícula são: M1, M2, ..., Mn sendo: M1 5 (m1r12)γ M2 5 (m2r22)γ
Mn 5 (mnr 2n)γ Portanto, o torque total M sobre o corpo é: M 5 M1 1 M2 1 ... 1 Mn 5 (m1r21)γ 1 (m2r22)γ 1 ... 1 (mnr2n)γ 5 (m1r21 1 m2r22 1 ... 1 mnr2n)γ Assim, o momento de inércia do corpo é dado por: I 5 m1r21 1 m2r22 1 ... 1 mnr2n 7
e:
M 5 I ? γ 8 Na realidade, o número de partículas de um corpo extenso tende a infinito e a soma que aparece na equação 7 torna-se uma soma com infinitos termos que só pode ser efetuada com o auxílio do Cálculo Integral. O torque total M sobre o corpo é a soma do torque total das forças internas com o torque total das forças externas. Mas o torque total das forças internas é nulo, pois estas forças aparecem como pares de forças opostas. Portanto, o torque total sobre o corpo é igual ao torque total das forças externas.
Exemplo 1 Duas partículas A e B, de massas mA 5 3,0 kg e mB 5 5,0 kg, estão nas extremidades de uma barra de massa desprezível cujo comprimento é 4,0 m. Vamos determinar o momento de inércia do sistema quando: a) ele gira em torno de um eixo E1, perpendicular à barra e passando pelo seu ponto médio (fig. 4); b) ele gira em torno de um eixo E2 , ortogonal à barra, como ilustra a figura 5. E2
E1
B
A
B Ilustrações: Setup
A
2,0 m
Figura 4.
2,0 m
0,5 m
4,0 m
Figura 5.
a) I 5 mArA2 1 mBrB2 5 (3,0 kg)(2,0 m)2 1 (5,0 kg)(2,0 m)2 5 12 kg ? m2 1 20 kg ? m2 ⇒ I 5 32 kg ? m2 b) I 5 mAr2A 1 mBr2B 5 (3,0 kg)(0,5 m)2 1 (5,0 kg)(4,5 m)2 5 0,75 kg ? m2 1 101,25 kg ? m2 ⇒ I 5 102 kg ? m2
3
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Ilustrações: Conceitograf
Complementos de teoria e leituras
O exemplo 1 ilustra dois fatos importantes. Em primeiro lugar, o momento de inércia de um sistema depende do eixo de rotação. Em segundo lugar, no caso b, vemos que a partícula próxima ao eixo contribui pouco para o momento de inércia total. A razão disso é que a distância (r) aparece elevada ao quadrado, enquanto a massa (m) está elevada à primeira potência. Na tabela a seguir apresentamos alguns momentos de inércia, obtidos por meio do Cálculo Integral.
casca cilíndrica fina
I 1 M(R12 R22) 2 casca cilíndrica grossa
I 1 MR2 2 cilindro maciço
I 1 MR2 1 ML2 12 4 cilindro maciço
I 1 ML2 12 cilindro maciço muito fino (R > 0)
I 5 1 ML2 3 cilindro maciço muito fino (R > 0)
I 5 2 MR2 3 casca esférica fina
I 5 2 MR2 5 esfera maciça
I 5 1 MR2 2 casca cilíndrica fina
I 5 MR2
Tabela 1. Alguns momentos de inércia.
Raio de giração Consideremos um corpo de massa M, girando em torno de um eixo E, com momento de inércia I. Imaginemos toda a massa do corpo concentrada em um ponto situado a uma distância k de E, de modo que essa “partícula imaginária” tenha o mesmo momento de inércia do corpo: I 5 Mk2 9 A distância k é chamada raio de giração do corpo em relação ao eixo E.
4
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 4
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
2 MR2 5 Mk2 ⇒ k 5 5
2 R 5
Energia cinética de rotação Consideremos uma partícula de massa m em movimento circular, sendo R o raio da trajetória. Se, num determinado instante, sua velocidade escalar é v, sua energia cinética é dada por: EC 5 1 mv2 2
SeTuP
Complementos de teoria e leituras
Por exemplo, consultando a tabela 1, observamos que o momento de inércia de uma esfera de raio R em relação a um eixo que passa por seu centro é: I 5 2 MR2 5 Portanto, o raio de giração (k) da esfera em relação a esse eixo é calculado por:
v
R
ω
Figura 6.
lembrando que a relação entre a velocidade escalar v e a velocidade angular ω é: v5ω?r a energia cinética pode ser calculada por: E C 1 m(ωR) 2 ⇒ E C 1 (mR 2)ω 2 2 2
10
Mas mr2 é o momento de inércia I da partícula. Portanto, a equação 10 transforma-se em: EC 1 Iω 2 2
11
Seguindo o mesmo raciocínio usado no cálculo do torque resultante, concluímos que a equação 11 vale também para um corpo extenso.
Exemplo 2
CONCeITOGraF
Vamos determinar a energia cinética de rotação de um cilindro maciço, de massa M 5 30 kg e raio da base R 5 0,10 m, que gira em torno de um eixo que passa pelos centros de suas bases, com velocidade angular ω 5 8,0 rad/s. Consultando a tabela 1, vemos que o momento de inércia do cilindro, para esse eixo, é: I 1 MR 2 1 (30 kg)(0,10 m) 2 ⇒ I 0,15 kg m 2 2 2 Assim: EC 1 Iω 2 1 (0,15 kg m 2 )(8,0 rad/s) 2 ⇒ EC 5 4,8 joules 2 2
5
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 5
Figura 7.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são ParTe INTeGraNTe da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Exercícios
por nós no capítulo 13, considerando a polia como tendo massa desprezível. Agora vamos analisar o sistema supondo que a polia seja um disco (cilindro) homogêneo, de raio R 5 0,10 m e massa M 5 4,0 kg. São dados: mA 5 12 kg; mB 5 6,0 kg; g 5 10 m/s2; hA 5 6 m. g
R
A
Ilustrações: Marco A. Sismotto
Complementos de teoria e leituras
1. Na figura a representamos um sistema já analisado
B
hA
hB= 1 m solo
Figura a.
Desprezando o atrito da polia com o eixo, admitindo que o fio seja ideal e supondo que o sistema tenha sido abandonado na posição da figura, determine: a) o módulo das acelerações dos blocos; b) o módulo da aceleração angular da polia; c) a velocidade de A ao atingir o solo. Resolução: Neste caso, pelo fato de a polia ter massa, as trações nos dois lados são diferentes (fig. b).
TB
TA TA A
TB B PB = mBg PA = mAg
a) 1.o modo: Apliquemos a Segunda Lei de Newton a cada bloco: bloco A: mA g 2 TA 5 mAα ⇒ ⇒ TA 5 mA g 2 mAα 1 bloco B: TB 2 mB g 5 mBα ⇒ TB 5 mB g 1 mBα 2 O torque total sobre a polia é: M 5 MA 2 MB 5 TAR 2 TBR 5 (TA 2 TB)R Assim: M Iγ ⇒ (TA TB)R 1 MR2 α ⇒ 2 R ⇒ TA TB 1 Mα 3 2
(
Substituindo 1 e 2 em 3 :
PA 5 mA ? g 5 (12 kg) ? (10 m/s2) 5 120 N PB 5 mB ? g 5 (6,0 kg) ? (10 m/s2) 5 60 N Consultando a tabela 1, vemos que o momento de inércia da polia é:
A relação entre a aceleração escalar α de cada bloco e a aceleração angular γ da polia é: γ5 α R
6
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 6
(mAg mAα) (mBg mBα) 1 Mα ⇒ 2 mA mB g 4 ⇒α mA mB M 2 Substituindo em 4 os valores dados, obtemos: 12 6 (10) ⇒ α 5 3,0 m/s2 α 12 6 4 2
2.o modo: Vamos aplicar a conservação da energia mecânica. Tomando como referencial de energia potencial o solo e observando que no início o sistema está em repouso, a energia mecânica inicial é: Ei 5 mAghA 1 mBghB 5 Quando o bloco A atingir o solo, sua altura será nula e a altura de B será hB 1 hA. Nesse instante, as energias cinéticas dos blocos serão: EC 5 1 mA v2; EC 5 1 mBv2 2 2 A B e a energia cinética de rotação da polia será:
Figura b.
I 1 MR2 1 (4,0 kg)(0,10 m)2 0,02 kg m2 2 2
)( )
(
)( )
EC 5 1 Iω2 5 1 1 MR2 v 2 2 2 R P
2
5 1 Mv2 4
Portanto, a energia mecânica final é: Ef mBg(hB hA ) 1 mA v2 1 mBv2 2 2 1 1 Mv2 6 4
Como Ei 5 Ef, de 5 e 6 obtemos:
mBghB 1 mBghA 1 1 mA v2 1 1 mBv2 1 2 2 1 Mv2 mAghA mBghB ⇒ 4
(m m ) g A B ⇒ v2 2 mA mB M 2
hA 7
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Por outro lado, de acordo com a equação de Torricelli, devemos ter: v2 5 2αhA 8 Comparando 7 com 8 , concluímos: mA mB
mA mB M 2
g
de massa 3 000 kg e raio da base R 5 4,0 m, está inicialmente em repouso. Num determinado instante, quatro foguetes idênticos são ligados, fazendo com que o satélite comece a girar, atingindo a velocidade angular ω 5 3,0 rad/s após 5,0 minutos. Qual a força desenvolvida por cada foguete?
3,0 m/s2 ⇒ γ 5 30 rad/s2 b) γ 5 α 5 R 0,10 m c) v2 5 2αhA 5 2(3,0 m/s2)(6,0 m) ⇒ v 5 6,0 m/s
2. O sistema esquematizado na figura é abandonado em
CONCeITOGraF
repouso. Despreze os atritos e suponha fio ideal. As massas de A, de B e da polia são, respectivamente, 4,0 kg, 5,0 kg e 2,0 kg. B
R
MarCO a. SISMOTTO
Complementos de teoria e leituras
α
4. Bem longe da Terra, um satélite artificial cilíndrico,
g
5. Uma força de intensidade F 5 12,0 N é aplicada
A
Sabendo que R 5 20 cm e g 5 10 m/s2, determine: a) o módulo da aceleração de cada bloco; b) a aceleração angular da polia; c) as trações no fio, no trecho ligado a A e no trecho ligado a B.
a uma corda de massa desprezível enrolada em uma polia de raio R 5 30,0 cm e massa 4,50 kg. A polia, que estava em repouso, acelera uniformemente, atingindo a velocidade angular 60,0 rad/s em 6,00 s.
3. Uma barra cilíndrica fina e homogênea, vinculada a
MarCO a. SISMOTTO
L
CONCeITOGraF
um eixo que passa por sua extremidade A, é abandonada na posição horizontal, como ilustra a figura. Sabe-se que L 5 2,0 m e g 5 10 m/s2. Desprezando atritos, determine a velocidade angular da barra quando passa pela posição vertical.
A
g
Sabendo que o atrito no eixo da polia ocasiona um torque resistivo de módulo 1,2 N ? m, determine: a) o momento de inércia da polia; b) o raio de giração da polia; c) a energia cinética rotacional da polia ao final dos 6,00 s.
7
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 7
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são ParTe INTeGraNTe da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Rolamento
vB
B
C
vC
vC
SeTuP
ω SeTuP
Complementos de teoria e leituras
No capítulo 11 estudamos a cinemática do movimento de rolamento. agora vamos analisar sua dinâmica, recordando inicialmente alguns fatos vistos. Na figura 8 representamos a seção transversal de um cilindro (ou esfera) de raio R que rola (sem deslizar) sobre uma superfície plana S.
R S
S A
FA
E
D A
vA 0
Figura 9.
Figura 8.
Vimos que a velocidade do ponto de contato (A) é nula, enquanto a velocidade do ponto B é o dobro da velocidade do centro de massa C: vB 5 2vC Vimos também que, sendo ω a velocidade angular do corpo que rola, temos: vC ω R
ou ω
vC R
12
ou γ
αC R
13
a partir da equação 12 , é possível demonstrar que: αC γ R
sendo: αC 5 aceleração escalar do centro de massa C γ 5 aceleração angular do corpo que rola Para que exista rolamento, é necessário que exista atrito entre o corpo que rola e a superfície S. Mas um fato importante é que, neste caso, a força de atrito (Fa) não realiza trabalho, pois não há deslocamento do ponto de aplicação dessa força. Outro modo de perceber isso é tomar dois pontos D e E muito próximos do ponto de contato A, como ilustra a figura 9. Observe que esses pontos têm deslocamentos perpendiculares à força de atrito Fa e, portanto, esta não realiza trabalho.
Exercícios 6. Um cilindro homogêneo de massa M e cujo raio da
CONCeITOGraF
base é R é abandonado em repouso sobre uma superfície plana S, que forma ângulo θ com a horizontal, como ilustra a figura a.
Figura a.
8
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 8
Supondo que o atrito seja suficiente para que o cilindro role sem deslizar e que o coeficiente de atrito estático seja μe, determine: a) o módulo da aceleração do centro de massa; b) o módulo da aceleração angular; c) a velocidade do centro de massa depois que este desceu uma distância vertical h; d) o valor máximo de θ de modo que o cilindro role sem deslizar. Resolução: Na figura indicamos a força de atrito f, o peso Mg, as componentes do peso nas direções x e y (Mg sen θ e Mg cos θ) e a força normal FN.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são ParTe INTeGraNTe da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Complementos de teoria e leituras
Consultando a tabela 1, vemos que o momento de inércia de um cilindro em relação a um eixo que passa pelos centros de suas bases é: I 5 1 MR2 2 O peso e a força normal Fn têm retas suportes que passam pelo centro de massa. Portanto, o torque resultante em relação ao centro de massa é o torque da força de atrito f. Representando por Tf esse torque, temos: Tf 5 f ? R a) 1.o modo: Sendo γ a aceleração angular do cilindro, temos: Tf Iγ ⇒ f R 1 MR2γ ⇒ γ 2f 2 MR Como a aceleração escalar (α) do centro de massa é dada por α 5 γR, temos: α 5 γ R 5 2f R 5 2f ⇒ f 5 αM MR M 2 Aplicando a Segunda Lei de Newton ao movimento de translação do cilindro, temos:
( )
Mg sen f Mα ⇒ Mg sen α M Mα ⇒ 2 2 ⇒ α (g sen ) 3 Como vimos no capítulo 13, se não houvesse atrito, o cilindro deslizaria com aceleração g ? sen θ. Observe que o valor de α não depende nem da massa nem do raio do cilindro. 2.o modo: Como a força de atrito não realiza trabalho, podemos aplicar a conservação da energia mecânica. Tomando o plano β (fig. b) como referencial de alturas, a energia potencial gravitacional do cilindro é Mgh no início e nula no final.
)( )
2
(
c) Tomemos a equação 2 obtida no item a:
4 gh ⇒ v 5 2 3 gh 3 3
v2 5 4 gh ⇒ v 5 3
(
θmáx 5 arc tg 3μe
v 0
θ
Figura b.
ω 0 C
g ω
h
C
C
B d
h θ
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 9
)
)(
2g sen θ ⇒ d) f R Iγ ⇒ f R 1 MR2 2 3R ⇒ f 13 Mg sen θ 5 Por outro lado: f μe ? FN ⇒ f μe ? Mg cos θ 6 De 5 e 6 : 1 3 Mg sen θ µe Mg cos θ ⇒ tg θ 3µe Portanto, o maior valor de θ tal que o cilindro role sem deslizar é:
C' v
Figura c.
)
donada no alto de um plano inclinado, como ilustra a figura.
9
(
Mgh 1 Mv2 1 1 MR2 v ⇒ 2 2 2 R ⇒ v2 5 4 gh 2 3 Da figura c tiramos: h 5 d ? sen θ Substituindo em 2 : v 2 4 g (d sen θ) ⇒ v 2 2 2 g sen θ d (3 ) 3 3 Mas, pela equação de Torricelli, devemos ter: v2 5 2 ? α ? d 4 Comparando 3 com 4 , tiramos: α 23 g sen θ γ α 2g sen θ R b) ⇒ γ 3R 2 α g sen θ 3
7. Uma esfera homogênea, de massa M e raio R, é aban-
Ilustrações: Setup
h
ω 0 v 0 R C
Mgh 1 Mv2 1 Iω2 1 (1) 2 2 1 2 Mas: I 5 MR e ω 5 v 2 R Substituindo em 1 :
C'
vC θ
Supondo que o atrito seja suficiente para que a esfera role sem deslizar, determine, em função de M, R, g, h e θ: a) o módulo da aceleração do centro de massa; b) o módulo da aceleração angular;
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
c) os módulos da velocidade do centro de massa e da velocidade angular quando a esfera passa pelo ponto B;
g
R B
abandonada no ponto mais alto de um cilindro de raio R fixo no solo, como ilustra a figura. v 0
g
R
θ
R
Setup
h
8. Uma bolinha maciça e homogênea, cujo raio é r, é
Supondo que a bolinha role sem deslizar, determine, em função de R, r, m e g: a) o valor mínimo de h de modo que a bolinha consiga fazer o loop sem perder o contato com a pista; b) o módulo da força normal exercida pela pista sobre a bolinha no ponto B, para o valor de h obtido no item a e supondo r ,, R.
10. Um corpo redondo homogêneo (que pode ser um
Setup
Complementos de teoria e leituras
d) o valor mínimo do coeficiente de atrito estático entre a esfera e o plano inclinado para que a esfera role sem deslizar.
v=0
Supondo que a bolinha role sem deslizar, determine o ângulo θ para o qual a bolinha perde o contato com o cilindro.
9. Uma bolinha de raio r e massa m é abandonada em uma pista inclinada que termina em forma circular de raio R.
anel, um cilindro maciço ou uma esfera) tem massa M, raio R e momento de inércia I. Esse corpo é abandonado no alto de um plano inclinado com atrito e rola sem escorregar. a) Determine a aceleração do centro de massa desse corpo em função de g, M, R, I e do ângulo θ de inclinação do plano. b) Se um anel fino, um cilindro maciço e uma esfera maciça forem abandonados simultaneamente no alto do plano inclinado, qual chegará ao solo em primeiro lugar?
Velocidade angular e torque vetoriais No estudo das rotações às vezes é interessante considerar a velocidade angular como um vetor que tem a mesma direção do eixo de rotação. Para mostrar como se obtém o sentido de , consideremos os exemplos da figura 10, em que uma bolinha tem trajetória circular num plano horizontal. Curvamos a mão direita de modo a acompanhar o sentido do movimento e o polegar dá o sentido de . O torque de uma força também pode ser considerado como uma grandeza vetorial. Sendo MF o torque de uma força F, sua direção é perpendicular ao plano determinado pela reta suporte da força e o polo (fig. 11). O sentido é obtido pela regra da mão direita, observando a tendência de rotação produzida pela força F.
m
m r
r
eixo de rotação
eixo de rotação
(a)
Figura 10.
10
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 10
(b)
ilustrações: Alex Argozino
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Setup
MF polo F
F
Complementos de teoria e leituras
polo MF
Figura 11.
Momento angular No estudo do movimento de translação estudamos uma importante grandeza, que é a quantidade de movimento ou momento linear (Q). Para uma partícula de massa m e velocidade v, vimos que o momento linear é dado por: Q 5 mv 14 No estudo das rotações usa-se uma grandeza análoga, denominada momento angular (L ). Consideremos um corpo girando em torno de um eixo com velocidade angular . Sendo I o momento de inércia do corpo em relação a esse eixo, o momento angular do corpo é definido por: L 5 I ? 15 Como o momento de inércia é uma grandeza escalar positiva, da equação 15 concluímos que os vetores L e devem ter a mesma direção e o mesmo sentido. Vimos que F 5 m ? a é uma forma simplificada da Segunda Lei de Newton. Na realidade, Newton enunciou sua segunda lei na forma: 16 F 5 ∆Q (16) ∆t Sendo M o torque total de todas as forças que atuam num corpo, é possível demonstrar que há, para a rotação, uma equação análoga à equação 16 : M 5 ∆L (17) 17 ∆t
sendo L o momento angular do corpo. Como a soma dos torques das forças internas é igual a zero, o momento total M que aparece na equação 17 é igual à soma dos torques das forças externas.
Princípio da Conservação do Momento Angular Observando a equação 17 , percebemos que, se M for nulo, teremos ∆L 5 0 , o que significa que L 5 constante. ∆t Obtemos assim o Princípio da Conservação do Momento Angular:
Lettera Studio
Se a soma dos torques das forças externas que atuam em um corpo for nula, o momento angular do corpo é constante.
(a)
(b)
Figura 12.
11
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 11
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Vejamos alguns exemplos. Na figura 12 representamos uma patinadora sobre o gelo. Na figura 12a ela está girando, com os braços abertos e com velocidade angular ωa. Seu momento angular é: L 5 Ia ωa
L 5 Ia ωa 5 Ib ωb Embora o momento angular da patinadora fique constante, sua energia cinética de rotação aumenta ao encolher os braços, pois o trabalho muscular interno transforma-se em energia cinética, isto é, temos transformação de energia química em energia cinética.
Ilustrações: Lettera Studio
Complementos de teoria e leituras
sendo Ia seu momento de inércia. Ao fechar os braços, algumas partículas de seus braços se aproximam do eixo de rotação e, assim, seu momento de inércia passa para um valor Ib tal que Ib , Ia. Consequentemente, sua velocidade angular aumenta para um valor ωb, pois seu momento angular deve permanecer constante, já que não há torque externo.
Figura 13.
Uma situação semelhante está representada na figura 13. A única força externa (desprezando o atrito) que atua na saltadora é seu peso P, que está aplicado em seu centro de gravidade. Portanto, o torque de P em relação ao centro de gravidade é nulo, o que acarreta a conservação do momento angular. Quando ela encolhe seu corpo, há uma diminuição do momento de inércia e um aumento da velocidade angular. Na figura 14 ilustramos outra situação interessante. Na situação inicial da figura 14a a moça está sentada numa cadeira giratória que está em repouso. Porém, ela está segurando um eixo em torno do qual gira uma roda de bicicleta com momento angular LR. Como a moça está em repouso, o momento angular total do sistema na situação inicial é igual ao momento angular da roda: Li 5 LR LM
LR 5 Li
rotação
LM
2 LR Lf 5 Li
2LR repouso rotação
Figura 14.
(a)
(b)
Repentinamente, a moça inverte o eixo de rotação (fig. 14b), de modo que agora o momento angular da roda é 2LR, com sentido para baixo. Portanto, para manter constante a quantidade de movimento do sistema, a moça começa a girar no sentido oposto ao da roda, de modo que o momento angular da moça é LM e o momento angular final do sistema é Lf 5 LM 1 (2LR), sendo Li 5 Lf.
12
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 12
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
Conceitograf
Complementos de teoria e leituras
Algo semelhante acontece (ou poderia acontecer) com um helicóptero inicialmente em repouso, com os motores desligados; nessas condições seu momento angular total é nulo. Suponhamos que num determinado instante suas pás A, B e C (fig. 15) comecem a girar no sentido anti-horário. Como isso ocorre por efeito de forças internas, o momento angular total deve permanecer constante, isto é, deve continuar a ser nulo e, para que isso ocorra, o helicóptero deveria começar a girar no sentido oposto (horário). Para evitar esse desastre é que existem as hélices H na traseira.
Figura 15.
Exercícios 11. Determine os módulos dos momentos angulares de: a) uma partícula de massa m movendo-se em trajetória circular de raio R com velocidade escalar v; b) uma esfera maciça e homogênea, de raio R 5 10 cm e massa M 5 20 kg, girando em torno de um eixo que passa por seu centro, com velocidade angular ω 5 25 rad/s.
R
Setup
Resolução: v a)
O momento de inércia da partícula é I 5 mR2. Portanto: L 5 Iω 5 (mR2) v ⇒ L 5 mRv R b)
( )
Setup
ω
Para uma esfera maciça e homogênea, o momento de inércia é I 5 2 MR2. Portanto: 5 L 5 Iω 5 2 MR2ω 5 2 (20 kg)(0,10 m)2(25 rad/s) 5 5 L 5 2,0 kg ? m2/s
12. (UF-RN) Em revista de circulação nacional, uma reportagem destacou a reação da natureza às agressões realizadas pelo homem ao meio ambiente. Uma das possíveis consequências citadas na reportagem seria o derretimento das geleiras dos polos, o que provocaria uma elevação no nível do mar. Devido ao movimento de rotação da Terra, esse efeito seria especialmente sentido na região do equador, causando inundações nas cidades litorâneas que hoje estão ao nível do mar. Levando-se em conta apenas esse efeito de redistribuição da água devido ao degelo, podemos afirmar que: a) o momento de inércia da Terra, em relação ao seu eixo de rotação, aumentará. b) a velocidade angular da Terra, em relação ao seu eixo de rotação, aumentará. c) o período de rotação da Terra, duração do dia e da noite, diminuirá. d) o momento angular da Terra, em relação ao seu centro de massa, diminuirá.
13. Uma plataforma circular e homogênea, de massa M 5 400 kg e raio R 5 2,0 m, gira sem atrito em torno de um eixo que passa por seu centro com velocidade angular constante ω0 5 1,5 rad/s. Na beirada da plataforma há uma pessoa de massa m 5 80 kg,
13
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 13
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
r1 m
v1
R
F
Calcule: a) a velocidade angular (ω) final do sistema; b) a energia cinética inicial do sistema; c) a energia cinética final do sistema.
Calcule: a) a velocidade escalar final da partícula; b) a energia cinética inicial da partícula; c) a energia cinética final da partícula; d) o trabalho realizado pela pessoa.
17. Um disco, cujo momento de inércia é I1 5 70 kg ? m2/s,
gira sem atrito em torno de um eixo vertical, com velocidade angular ω0 5 4,0 rad/s. Outro disco, cujo momento de inércia é I2 5 30 kg ? m2/s e que inicialmente não estava girando, cai sobre o primeiro disco. Supondo que haja atrito entre os discos, depois de algum tempo ambos estarão girando com a mesma velocidade angular ω.
14. Na situação do exercício anterior, a energia cinética
do sistema aumentou. De onde veio a energia cinética adicional?
15. Um jovem de massa 50 kg está inicialmente em repouso na beirada de uma plataforma circular, semelhante à do exercício 13, que também está inicialmente em repouso. A plataforma tem massa 250 kg, raio 2,0 m e pode girar sem atrito em torno de um eixo vertical que passa por seu centro. Num determinado instante, o jovem começa a caminhar pela beirada da plataforma, no sentido antihorário (para quem olha de cima), com velocidade escalar 2,0 m/s em relação ao solo. a) Qual o sentido da rotação adquirida pela plataforma? b) Qual a velocidade angular adquirida pela plataforma? c) Qual o trabalho realizado pelo jovem para colocar o sistema em movimento?
16. Uma partícula de massa m 5 0,20 kg, presa à extre-
midade de um fio ideal, tem movimento circular uniforme, de raio r1 5 0,80 m e velocidade escalar v1 5 2,4 m/s, sobre uma mesa sem atrito. A partir de certo instante, uma pessoa passa a puxar o fio verticalmente, como mostra a figura, até que o raio da trajetória se reduza para r2 5 0,48 m.
14
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_C23_Texto.indd 14
I2
0 I1
alex arGOzINO
C
leTTera STuDIO
Complementos de teoria e leituras
m
M
alex arGOzINO
parada em relação à plataforma. Num determinado instante, a pessoa começa a caminhar em direção ao centro C da plataforma, parando a 50 cm deste.
Calcule: a) o módulo de ω; b) a energia cinética inicial do sistema; c) a energia cinética final do sistema.
18. Na situação do exercício anterior houve diminuição de energia cinética. Por quê?
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são ParTe INTeGraNTe da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:49 PM
1. Elipse Uma elipse é uma linha fechada e plana (toda contida em um único plano) que tem o aspecto da figura 1 e a seguinte propriedade: sendo P um ponto qualquer da elipse, tem-se: PF1 1 PF2 5 constante 5 A1A2
a
A1
F1
F2
A1
A2
a
b
b
F1
F2
A2
C c
c b
P
a
Figura 1.
B2
Ilustrações: Setup
Complementos de teoria e leituras
B1 S
R
a
Figura 2.
Assim, na figura 1 temos, por exemplo: PF1 1 PF2 5 RF1 1 RF2 5 SF1 1 SF2 5 constante 5 A1A2 Na figura 2 apresentamos os elementos da elipse: • F1 e F2 são focos da elipse;
• C é o centro da elipse;
• F1F2 é a distância focal, igual a 2c;
• CA2 (ou CA1) é o semieixo maior (que mede a);
• A1A2 é o eixo maior, que mede 2a;
• CB1 (ou CB2) é o semieixo menor (que mede b).
• B1B2 é o eixo menor, que mede 2b; Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo sombreado na figura 2, temos: a2 5 b2 1 c2 A excentricidade de uma elipse é um número e definido por: e c a sendo 0 , e , 1. Para perceber o significado de excentricidade, observe a figura 3, na qual há duas elipses cujos eixos maiores têm a mesma medida mas distâncias focais diferentes. Na elipse superior a excentricidade é: e1 4 0,8 5 e na elipse inferior a excentricidade é: e2 2 0,4 5 isto é, e2 , e1. Quanto menor a excentricidade, mais a elipse se aproxima de uma circunferência. Por isso alguns autores definem a circunferência como uma elipse de excentricidade nula (os focos F1 e F2 são coincidentes). Quanto maior a excentricidade, mais afilada é a elipse.
e1 4 0,8 5
3
F1 4
F2 4 e2 2 0,4 5
21 4,6 F2
F1 2
2
5
Figura 3.
1
Volume 1 Capítulo 24
FC1_CD_C24_Texto.indd 1
5
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
Há um modo prático de desenhar uma elipse: • sobre uma folha de papel fixamos dois alfinetes em pontos F1 e F2 (que são os focos), de modo que F1F2 seja a distância focal desejada (figura 4);
P
F1
F2
Alex Argozino
• apoiando a ponta de um lápis na linha, de modo que ela fique esticada, e movimentando o lápis, conseguimos desenhar a elipse.
Figura 4.
2. O experimento de Cavendish O valor de G foi determinado experimentalmente pela primeira vez em 1798, pelo inglês Henry Cavendish. Na figura 5 temos um esquema simplificado do dispositivo por ele usado. Duas bolas de massa m estão unidas por uma barra de massa desprezível, a qual está suspensa por uma fibra de quartzo. Um pequeno espelho está preso na barra. Uma lâmpada emite um feixe de luz que se reflete no espelho e atinge uma tela distante. Aproximando duas bolas de grandes massas iguais a M, as forças de atração entre as bolas provocarão uma pequena rotação θ da barra, a qual pode ser medida pelo deslocamento do ponto de luz na tela.
F
M
Conceitograf
F m
θ
posição de equilíbrio
Conceitograf
Complementos de teoria e leituras
• amarramos aos alfinetes uma linha cujo comprimento seja igual ao comprimento do eixo maior desejado;
m F M
Figura 5.
F
d
Figura 6.
Cavendish usou um conhecido resultado experimental sobre a torção de fios (fig. 6): o torque total (MB) atuante na barra é proporcional à rotação θ produzida: MB 5 k ? θ
1
sendo a constante k uma característica de cada fio. Se o comprimento da barra for L, temos: MB 5 FL 2 De 2 e 1 obtemos: F kθ (3) 3 L Mas, de acordo com a Lei da Gravitação de Newton, temos: (4) 4 F G Mm d2
2
Volume 1 Capítulo 24
FC1_CD_C24_Texto.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
De 4 , tiramos: 2 G kd θ MmL
3. Aceleração da gravidade no interior da Terra Campo gravitacional de uma casca esférica Consideremos uma casca esférica muito fina (figura 7a) cujo raio é R e cuja massa M está distribuída de modo uniforme. Usando o Cálculo Integral, Newton demonstrou que o campo gravitacional g produzido por essa casca tem as seguintes características: R
M
g GM d2
g 0
Ilustrações: Setup
Complementos de teoria e leituras
Desse modo, Cavendish obteve o valor de G.
C
(a)
(b)
R d
Figura 7. a 1.) Em pontos externos à casca, o campo é igual ao que seria produzido por uma partícula de massa M situada no centro C da casca (fig. 7b): g GM d2 a 2.) Em qualquer ponto interno o campo é nulo.
Campo gravitacional de uma esfera homogênea
M g GM d2
Consideremos agora um corpo esférico, maciço e homogêneo, cujo raio é R e cuja massa é M. Esse corpo pode ser imaginado como a superposição de um número infinito de cascas esféricas, como se fossem as camadas de uma cebola. Assim, o campo gravitacional no ponto B, situado a uma distância d do centro C, tal que d R (fig. 8), . tem intensidade dada por g GM d2
B
R
d
Figura 8.
Calculemos, agora, a intensidade do campo gravitacional num ponto P, interno à esfera, situado a uma distância r do centro C (fig. 9). O ponto P é interno à região azul assinalada na figura e, portanto, o campo gravitacional produzido em P pela região azul é nulo. Assim, o campo em P é o campo produzido pela região verde, isto é, pela esfera de raio r:
G
g
P
r R
Figura 9.
3
Volume 1 Capítulo 24
FC1_CD_C24_Texto.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
(1) 1 gP Gm r2
3 2 m ρ V ρ 4πr (2) 3
Substituindo 2 em 1 , obtemos: g
GM R2
A
0
R
r
Setup
Complementos de teoria e leituras
sendo m a massa da região verde, cujo volume é V 4 πr 3. Sendo ρ a densidade da esfera, temos: 3
Figura 10. 3 4πGρ gP G2 m G2 ρ 4πr ⇒ gP r (3) 3 3 3 r r constante
A equação 3 é do primeiro grau. Portanto, o gráfico de g em função de r, para r R, é o trecho retilíneo OA do gráfico apresentado na figura 10.
4. Efeito estilingue Conceitograf
Consideremos uma nave espacial contornando o planeta Vênus (fig. 11).
Figura 11.
Quando a nave está distante do planeta, a atração deste sobre ela é pequena, e quando a nave se afasta, a força vai diminuindo novamente. Podemos, então, tratar a interação entre a nave e o planeta como uma colisão elástica, pois há conservação da energia. Para facilitar os cálculos, vamos supor que a trajetória seja a da figura 12. A velocidade de Vênus em relação ao Sol é aproximadamente vV 5 35 km/s. Suponhamos que a velocidade da nave quando está longe de Vênus seja v1 5 15 km/s. Na figura, as velocidades já estão com sinais em relação ao eixo adotado. A velocidade da nave quando estiver se afastando de Vênus e distante dele será v2. Como a massa de Vênus é muito maior que a velocidade da nave, podemos supor que a velocidade do planeta não se altera durante a “colisão”. Como a colisão é elástica, o coeficiente de restituição é igual a 1:
4
Volume 1 Capítulo 24
FC1_CD_C24_Texto.indd 4
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
IlUStRAçõeS: lUIz FeRNANDO RUBIO
v1 = –15 km/s
Complementos de teoria e leituras
vV = 35 km/s
v2 = ? eixo
Figura 12.
e
vV v2 35 v2 35 v2 1 ⇒ v2 85 km/s vV v1 35 15 35 ( 15)
Podemos ver que, sem necessidade de combustível, a velocidade da nave foi aumentada de 15 km/s para 85 km/s! esse efeito é chamado efeito estilingue. Contornando vários planetas em sua trajetória, uma nave pode atingir velocidades que não alcançaria somente pela impulsão de foguetes (seria necessária uma enorme quantidade de combustível).
5. As marés No capítulo 22 vimos que a lua não gira exatamente em torno da terra; tanto a lua como a terra giram em torno do centro de massa (CM) do sistema terra 1 lua, como ilustra a figura 13. Nessa figura, enquanto a lua vai da posição L para a posição L', o centro da terra vai da posição C para a posição C'. A trajetória do centro da terra é a circunferência vermelha, de centro CM. L'
centro C
acf Terra
acf Lua
CM
acf
L
C
acf acf
acf
acf acf
C'
Figura 14. Figura 13.
Para um referencial fixo na terra, todos os pontos da terra terão uma aceleração centrífuga de mesmo módulo da centrípeta, como indica a figura 14. Para calcular essa aceleração, vamos usar a lei da Gravitação: MT acf
GM T ML GML ⇒ acf r2 r2
Como r 60R (fig. 15), temos: acf
GML (60R) 2
1
Portanto, para um observador fixo na terra, cada molécula de água de massa m experimentará uma força centrífuga (fig. 16) dada por: Fcf m a c
5
Volume 1 Capítulo 24
FC1_CD_C24_Texto.indd 5
GML m (60R) 2
2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARte INteGRANte da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
MT B
C
ML
CM
A
Complementos de teoria e leituras
r – R = 59R r = 60R
IlUStRAçõeS: lUIz FeRNANDO RUBIO
R
r + R = 61R
Figura 15. Fcf FB
Fcf
P
FP FA
Fcf
B
A Fcf Q
FQ
Figura 16.
Além da força centrífuga, cada molécula sofrerá uma atração gravitacional da lua. Vamos calcular as atrações FA e FB, da figura 16: FA
GML m (59R) 2
e
GML m (61R) 2
FB
Sabendo que a massa da lua é Ml 5 7,36 · 1022 kg, o raio da terra é R 5 6,38 · 106 m e G 5 6,67 · 1011 no SI, temos: FA
22 11 GML m (6,67 10 )(7,36 6102 ) m 346 10 7 m (59R) 2 [(59)(6,38 10 )]
Fcf
22 11 GML m (6,67 10 )(7,36 6102 ) m 335 10 7 m 2 (60R) [(60)(6,38 10 )]
FB
22 11 GML m (6,67 10 )(7,36 6102 ) m 324 10 7 m (61R) 2 [(61)(6,38 10 )]
Desse modo, as forças resultantes em A e B (fig. 17) são: F'A 5 FA Fcf 11 ? 107 ? m F'B 5 Fcf FB 11 ? 107 ? m Coincidentemente, F'A e F'B têm quase o mesmo módulo, produzindo duas marés altas em A e B. Observe que a diferença FA FB, no caso da lua, é 22 · 107m. Se você fizer os cálculos da diferença FA FB para o caso do Sol no lugar da lua, levando em conta que a distância entre a terra e o Sol é 23 400R, observará que o resultado será aproximadamente 9 · 107m, isto é, cerca de 2,3 vezes menor que no caso da lua. P
F'P F'A
F'B B
A
Q
F'Q
Figura 17.
6
Volume 1 Capítulo 24
FC1_CD_C24_Texto.indd 6
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARte INteGRANte da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
A pressão atmosférica atua em todos os objetos próximos da superfície da Terra e, como vimos, a pressão ao nível do mar é: 1 atm 1 kgf/cm2 Assim, o nosso corpo suporta uma força de aproximadamente 1 kgf para cada cm2. Como suportamos isso? Acontece que nossas células têm uma pressão interna que equilibra essa pressão externa do ar. A situação é parecida com a de uma bexiga cheia de ar: a pressão do ar interno compensa a pressão externa. É análoga também à situação de uma residência, por exemplo, que tenha uma janela de vidro de área A 5 1 m2. Supondo a pressão atmosférica igual a 1 atm, isto é, p 105 N/m2, a força que o ar externo faz sobre o vidro é igual a 105 N, o que equivale ao peso de um objeto de massa 10 toneladas. Por que o vidro não quebra? A resposta é que dentro da casa também há ar, com a mesma pressão, de modo que há equilíbrio (fig. 2).
ar
Alex Argozino
Complementos de teoria e leituras
1. Alguns fatos relacionados com a pressão atmosférica
Porém, como veremos no capítulo 27, os ventos podem diminuir a pressão externa; assim, se o vento for muito “forte”, a pressão externa fica muito menor que a interna e o vidro pode quebrar. É o que ocorre com frequência por ocasião dos tornados, tão comuns no hemisfério norte. ar externo
ar interno
p 1 atm
p 1 atm
Figura 1.
A 1 m2
Figura 2.
Você pode verificar facilmente o efeito descrito acima fazendo o experimento a seguir:
Experimento Pegue uma garrafa de plástico vazia e sem tampa (fig. a). A pressão do ar externo é equilibrada pela pressão do ar interno, e a garrafa não se deforma. Se você jogar uma pequena quantidade de água quente dentro da garrafa, o ar interno vai se aquecer e dilatar, de modo que um pouco de ar sairá da garrafa.
Figura a. Garrafa de plástico vazia e sem tampa.
1
Volume 1 Capítulo 25
FC1_CD_C25_Texto.indd 1
Figura b. Garrafa de plástico deformada com pressão externa maior que a interna.
Fotos: Eduardo Santaliestra
A seguir, tampe a garrafa e coloque-a dentro de um recipiente com água muito fria (ponha alguns cubos de gelo). O ar interno, ao esfriar, vai se contrair, diminuindo a pressão interna. A pressão externa, então, ficará maior que a interna, e a garrafa será “amassada” (fig. b).
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
Um experimento que ficou famoso foi realizado em 1654 pelo alemão Otto von Guericke. Otto havia inventado uma bomba capaz de retirar o ar de dentro dos recipientes (bomba de vácuo). Ele construiu então duas cascas semiesféricas, de bronze, cada uma com diâmetro de 55 cm. Essas semiesferas foram encostadas uma na outra e a seguir, por um orifício, sua bomba retirou quase todo o ar de dentro do conjunto. Desse modo, a pressão atmosférica externa comprimiu as duas semiesferas com uma força tão intensa que dois conjuntos de oito cavalos só conseguiram separá-las depois de muito esforço. Esse experimento ficou conhecido na história da Ciência como “os hemisférios de Magdeburg”, porque Guericke era prefeito dessa cidade.
The Granger CoLLection/Other Images
Complementos de teoria e leituras
Os hemisférios de Magdeburg
Figura 3. Ilustração de 1672 feita por Otto von Guericke, mostrando seu experimento.
Os conta-gotas e a seringa
(pressão) ? (volume) 5 constante
Alex Argozino
No volume 2, no estudo da Termologia, veremos que, quando a temperatura se mantém constante, há a seguinte relação entre a pressão e o volume ocupado por uma certa massa de gás (Lei de Boyle): ar
Isso significa que: • quando o volume aumenta, a pressão diminui; • quando o volume diminui, a pressão aumenta. Essa constatação nos ajuda a compreender o funcionamento de Figura 4. um conta-gotas (fig. 4). Quando apertamos a “borrachinha” do conta-gotas, expulsamos um pouco do ar contido no tubinho. A seguir, mergulhamos sua extremidade no líquido e soltamos a borrachinha. Ao fazer isso, aumentamos o volume do ar no interior do conta-gotas, o que provoca (de acordo com a Lei de Boyle) a diminuição de sua pressão, a qual fica menor que a pressão do ar externo. Assim, a pressão externa “empurra” o líquido para dentro do conta-gotas.
2
Volume 1 Capítulo 25
FC1_CD_C25_Texto.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
ar
Figura 5.
Aspiradores No estudo dos gases, veremos que a pressão depende também do número de moléculas do gás. Desse modo, mantendo constante a temperatura e o volume, quanto menor for o número de moléculas, menor será a pressão. Nos aspiradores usados na limpeza doméstica (fig. 6) há um ventilador que “empurra” o ar interno para a parte de “trás”do aspirador. Com isso, ele diminui o número de moléculas do ar interno, provocando uma redução na pressão, que fica, então, menor que a pressão do ar externo. Desse modo, a pressão atmosférica “empurra”o ar para dentro do aparelho.
Conceitograf
Complementos de teoria e leituras
Alex Argozino
Do mesmo modo, podemos entender o que acontece com o líquido na seringa (fig. 5).
Figura 6.
Eduardo Santaliestra
Sifão Você já deve ter visto uma cena como a mostrada na figura 7, em que se retira combustível do tanque de um automóvel. Primeiramente, o motorista aspira pela borracha (como um canudinho de tomar refrigerante) até o combustível chegar à sua boca. Em seguida, tapa a extremidade com o dedo, levando-a a uma posição abaixo do nível do líquido. Assim, o combustível vai passando do tanque para o recipiente externo. Este é um procedimento bastante comum, mas deve ser realizado somente por adultos. Para entender isso, observemos a figura 8. Os pontos A e B, estando no mesmo nível, têm a mesma pressão, que é a pressão atmosférica. Assim, a pressão no ponto C do líquido será dada por: pC pB dgh patm dgh ↓
patm
3
Volume 1 Capítulo 25
FC1_CD_C25_Texto.indd 3
Figura 7. Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
B
Complementos de teoria e leituras
A
h
Ilustrações: Alex Argozino
patm
C
patm
Figura 8.
Portanto, na extremidade C do tubo, a pressão do líquido é maior que a pressão atmosférica. Desse modo, o líquido sai pela extremidade inferior, esvaziando o recipiente.
2. Pressão sanguínea O coração é um músculo que se contrai e se dilata periodicamente. Durante a contração (sístole), o sangue é “empurrado” para as artérias. Depois de circular pelo corpo, o sangue retorna pelas veias ao coração, nele penetrando durante a dilatação (diástole). Em condições normais, ao sair do coração e entrar nas artérias, o sangue tem uma sobrepressão de aproximadamente 120 mmHg na sístole e 80 mmHg na diástole, dando uma média de 100 mmHg de sobrepressão (isto é, acima da pressão atmosférica). No século XVIII, quando começaram as primeiras pesquisas sobre a pressão sanguínea, foi feito o experimento mostrado na figura 9. Uma agulha foi introduzida na artéria que passa pelo braço, no mesmo nível do coração. Essa agulha foi ligada a um fino tubo de vidro (cânula) e, assim, mediu-se a altura hS da coluna de sangue, obtendo-se aproximadamente 130 cm. Sabendo que a densidade do mercúrio é dM 5 13,6 g/cm3 e a densidade do sangue é dS 5 1,055 g/cm3, podemos calcular a altura equivalente de mercúrio (hM): dM hM dS hS ⇒ hM
artéria hS
Figura 9.
dS h S 1,055 (130 cm) 10cm 5 100 mm 13,6 dM hM > 100 mmHg
Esse experimento é chamado de canulação. Nas veias, a pressão é bem mais baixa. Quando o sangue retorna ao coração, chega com uma sobrepressão média praticamente nula, isto é, uma pressão absoluta média igual à pressão atmosférica. Quando fazemos canulação na artéria em outros pontos do corpo, o resultado depende da posição da pessoa. Se ela estiver deitada (fig. 10), em qualquer ponto a sobrepressão (média) será praticamente a mesma: 130 cm de sangue (ou 100 mmHg). Mas, se ela estiver de pé (fig. 11), devemos levar em conta a Lei de Stevin. Na situação da figura 11, temos as alturas das colunas de sangue: hC 5 120 cm e h 5 40 cm.
4
Volume 1 Capítulo 25
FC1_CD_C25_Texto.indd 4
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
Por isso, quando uma pessoa que estava deitada se levanta muito depressa, provoca rápida diminuição da pressão arterial no cérebro, o que pode causar momentânea diminuição do fluxo sanguíneo do cérebro (até que o organismo se adapte à nova situação); desse modo, ela pode sentir uma pequena tontura. Consideremos novamente a situação da figura 11. Sendo pCO a sobrepressão arterial no coração e pCE a sobrepressão arterial no cérebro, de acordo com a Lei de Stevin, temos: em que dS é a densidade do sangue.
130
250
130
90
130
h
130 HC
Alex Argozino
hC Alex Argozino
Complementos de teoria e leituras
pCO 5 pCE 1 dSgh ou pCE 5 pCO 2 dSgh
P
Figura 10. Sobrepressão deitado.
Figura 11. Sobrepressão em pé.
Quando uma pessoa em posição vertical tem aceleração a para cima (fig. 12), ela sente uma aceleração da gravidade g, cujo módulo é: g' 5 g 1 a Desse modo, poderemos chegar a uma situação em que: pCE 5 pCO 2 dSg'h 5 0
Lettera Studio
Assim, haverá uma falta de fluxo sanguíneo no cérebro, e a pessoa poderá desmaiar.
a
g
g
Figura 12.
5
Volume 1 Capítulo 25
FC1_CD_C25_Texto.indd 5
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
Para medir a pressão arterial, os médicos usam um esfigmomanômetro (do grego sphygmos, que significa “palpitação”, “pulsação”). esse aparelho é formado por uma bolsa que pode encher-se de ar por meio de uma pequena bomba de borracha. o médico enrola a bolsa no braço do paciente, na altura do coração. em seguida, ele vai bombeando ar até que a compressão da bolsa impeça a passagem do sangue pela artéria. Com um estetoscópio, ele poderá ouvir o ruído do sangue quando volta a fluir. o médico vai, então, vagarosamente, soltando o ar da bolsa. Quando a pressão da bolsa (que é lida no manômetro) se torna ligeiramente menor que a pressão sistólica (máxima), o sangue consegue passar de modo turbulento durante as sístoles, mas não durante as diástoles. isso produz um ruído periódico que pode ser ouvido pelo estetoscópio. o médico continua, então, a soltar o ar. Quando a pressão na bolsa fica igual à pressão diastólica (mínima), a artéria fica aberta durante todo o ciclo do coração, e, embora haja um ruído, ele agora não é periódico, mas contínuo. Para adultos saudáveis (e que não estejam fazendo esforço), a sobrepressão máxima está em torno de 120 mmhg e a mínima em torno de 80 mmhg, Figura 13. Médica verifica a pressão que as pessoas falam, simplificadamente, “12 por 8”. Nesse caso, é usada a arterial do paciente. unidade centímetro de mercúrio.
6
Volume 1 Capítulo 25
FC1_CD_C25_Texto.indd 6
ThiNKSToCK/geTTY iMAgeS
Complementos de teoria e leituras
Medida da pressão sanguínea com esfigmomanômetro
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são PArTe iNTegrANTe da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:50 PM
CAPÍTULO 2 – Introdução à Mecânica
1. (Fund. Carlos Chagas-SP) Um trem todo construído de acrílico transparente passa por uma estação ferroviária com velocidade constante. Um dos vagões está ocupado por um cientista que faz experimentos de queda livre com uma bolinha. Essas experiências consistem em deixar a bolinha cair e medir, a intervalos de tempo bem precisos, a posição da bolinha com relação ao piso do trem. Na estação, um outro cientista observava a atuação de seu colega. As figuras que melhor indicam a trajetória da bolinha, como foi observada pelos dois cientistas, no trem e na estação, respectivamente, são: a)
2. (U. F. ABC-SP) Era 6 de agosto de 1945, 8 h 15 min da
manhã, no Japão, quando o Enola Gay, um bombardeiro B-29 norte-americano, lançou, contra a cidade de Hiroshima, o primeiro ataque atômico da história da humanidade, despejando sobre a cidade uma bomba atômica de 4 500 kg. A cidade foi arrasada, e 70 mil pessoas morreram nos primeiros segundos após a explosão. Até hoje, o número de mortos decorrentes dessa operação está sendo contabilizado, e já ultrapassou 250 mil. Lançada a bomba, a tripulação do B-29 assume tática evasiva, que permite seu retorno à base. Supondo-se que a tripulação não realizasse a manobra evasiva e mantivesse o voo em trajetória reta e horizontal com velocidade constante e, levando-se em conta a resistência do ar sobre o artefato nuclear, bem como o fato de que essa bomba não possuía sistema próprio de propulsão, a situação que melhor descreve a trajetória da bomba entre os instantes t0 (lançamento) e t (momento da explosão), relativamente ao solo, é:
trem
estação
t
t0
t
t0
t
t0
ILUSTRAÇÕES: LUIZ FERNANDO RUBIO
a)
b)
Exercícios complementares
t
b) trem
estação
c)
t
c)
trem
estação
t
d) d) t
t0
t trem
estação
e)
e)
t
trem
1
Volume 1 Capítulo 2
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_02.indd 1
estação
t0
t
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:53 PM
3. No interior de um trem, em movimento retilíneo e
b)
movimento
c)
movimento
movimento
d)
movimento
Exercícios complementares
a)
LUIZ FERNANDO RUBIO
uniforme, sem janelas (não se pode ver o exterior), um estudante de Física pretendia descobrir o sentido de movimento do trem quando este já estava em movimento há algum tempo. Lembrou-se do pêndulo. Com uma borracha amarrada ao cadarço do tênis, improvisou um pêndulo. Amarrou-o no teto e obteve qual dos resultados abaixo?
2
Volume 1 Capítulo 2
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_02.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:53 PM
CAPÍTULO 3 – Velocidade escalar
Qual o intervalo de tempo entre os dois encontros dos carrinhos?
1. (Fuvest-SP) Um marinheiro, no topo de um mastro
a) 5 s
vertical, abandona uma luneta que está inicialmente a uma distância L do mastro e a uma altura H da base do mastro no convés. Sabe-se que o navio se move com velocidade V0 constante relativamente à costa e que a resistência do ar é desprezível. A distância entre a base do mastro e a luneta, no momento em que esta chega ao convés, é: (Nota: g é o módulo da aceleração da gravidade.) L2
a)
2HV02 c) L V0 2H e) L g g
b) V0 2H d) V0 2H L g g
2. (UF-PE) Um terremoto normalmente dá origem a dois tipos de ondas, s e p, que se propagam pelo solo com velocidades distintas. No gráfico abaixo, está representada a variação no tempo da distância percorrida pelas ondas a partir do epicentro do terremoto. x (km)
Exercícios complementares
2500
d) 40 s e) Indeterminado.
4. (U. F. São Carlos-SP) Três amigos, Antônio, Bernardo e Carlos, saíram de suas casas para se encontrar numa lanchonete. Antônio realizou metade do percurso com velocidade escalar média de 4 km/h e a outra metade com velocidade escalar média de 6 km/h. Bernardo percorreu o trajeto com velocidade escalar média de 4 km/h durante metade do tempo que levou para chegar à lanchonete e a outra metade do tempo fez com velocidade escalar média de 6 km/h. Carlos fez todo o percurso com velocidade escalar média de 5 km/h. Sabendo-se que os três saíram no mesmo instante de suas casas e percorreram exatamente as mesmas distâncias, pode-se concluir que:
b) Carlos chegou primeiro, Antônio em segundo e Bernardo em terceiro.
1500
c) Antônio chegou primeiro, Bernardo em segundo e Carlos em terceiro.
1000 500 0
c) 20 s
a) Bernardo chegou primeiro, Carlos em segundo e Antônio em terceiro.
p
s
2000
b) 10 s
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
t (min)
Com quantos minutos de diferença essas ondas atingirão uma cidade situada a 1 500 km de distância do ponto 0? a) 1,0 b) 2,0 c) 3,0 d) 4,0 e) 5,0
3. (Fuvest-SP) O gráfico representa a posição (s) em função do tempo (t) de dois carrinhos de autorama, A e B, que descrevem uma mesma trajetória retilínea. A variação do espaço para o carrinho A é linear, enquanto a do carrinho B segue uma curva parabólica. s (cm)
B
90
A
d) Bernardo e Carlos chegaram juntos e Antônio chegou depois. e) os três chegaram juntos à lanchonete. (Fuvest- SP) Texto para as questões 5 e 6: Em uma caminhada, um jovem consome 1 litro de O2 por minuto, quantidade exigida por reações que fornecem a seu organismo 20 kJ/minuto (ou 5 “calorias dietéticas”/minuto). Em dado momento, o jovem passa a correr, voltando depois a caminhar. O gráfico representa seu consumo de oxigênio em função do tempo. consumo de O2 2 ( /min) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t (min)
5. Por ter corrido, o jovem utilizou uma quantidade de
20 10 0
10
50
1
Volume 1 Capítulo 3
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_03.indd 1
20
t (s)
energia a mais, do que se estivesse apenas caminhado durante todo o tempo, aproximadamente, de: a) 10 kJ d) 420 kJ b) 21 kJ e) 480 kJ c) 200 kJ
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:53 PM
correu com velocidade escalar constante v percorrendo 100 m para cada litro de oxigênio consumido. O valor de v em km/h é: a) 2,0 b) 3,6 c) 7,2 d) 10,0 e) 12,0
7. (Fund. Carlos Chagas-SP) Numa linha férrea as estações “Azambuja” e “Gaspar” distam 120 km, uma da outra. O gráfico abaixo representa a posição em função do tempo, para uma locomotiva que passa por “Azambuja”, no instante t 2,0 h, dirigindo-se para “Gaspar”. x (km)
180
Exercícios complementares
120
2,0
4,0
6,0
8,0
t (h)
c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0
8. Considere um trilho retilíneo tal que em uma das extremidades está o ouvido de uma pessoa. Na outra extremidade, é dada uma martelada. O som produzido pela martelada se propaga no ar com velocidade de módulo v1 e, no trilho, com velocidade de módulo v2, sendo v2 v1. A pessoa ouve os dois sons separados por um intervalo de tempo T. O comprimento L do trilho é dado por: v1v2T v1v2T a) L d) L v2 v1 v2 v1
c) L
2v1v2T v2 v1
2
satélite O
A
x
B
R
Terra
b) 1,8 104 km
O intervalo de tempo entre a passagem pelas duas estações, em horas, é igual a: a) 2,0 b) 2,5
2v1v2T v2 v1
satélite
a) 1,4 104 km
60
b) L
System) permite localizar um receptor em qualquer lugar da Terra por meio de sinais emitidos por satélites simultaneamente. A figura mostra uma situação na qual os satélites A e B emitem sinais para um receptor R localizado na reta AB, tangente à superfície da Terra no ponto O, onde AO 4OB.
Os sinais provenientes de A e B são emitidos com a velocidade da luz no vácuo cujo módulo é de 3,0 105 km/s e atingem o receptor R em 4,0 10 2 s e 6,0 10 2 s, respectivamente. A distância entre o satélite A e o ponto O é:
240
0
9. (Efomm-RJ) O sistema G.P.S. (Global Positioning
LUIZ FERNANDO RUBIO
6. Entre os instantes t1 3 min e t2 12 min, o jovem
Volume 1 Capítulo 3
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_03.indd 2
e) L
v1v2 T v2 v1
c) 2,4 104 km d) 1,0 105 km e) 1,2 106 km
10. (Unifesp-SP) Por motivos técnicos, um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto (reservatório 1), completamente cheio, será totalmente esvaziado e sua água será transferida para um segundo reservatório, que está completamente vazio, com capacidade maior do que o primeiro, também na forma de um cilindro circular reto (reservatório 2). Admita que a altura interna h (t), em metros, da água no reservatório 1, t horas a partir do instante em que se iniciou o processo de esvaziamento, pôde ser expressa pela função h (t) 15t 120 . t 12 a) Determine quantas horas após o início do processo de esvaziamento a altura interna da água no reservatório 1 atingiu 5 m e quanto tempo demorou para que esse reservatório ficasse completamente vazio. b) Sabendo que o diâmetro interno da base do reservatório 1 mede 6 m e o diâmetro interno da base do reservatório 2 mede 12 m, determine o volume de água que o reservatório 1 continha inicialmente e a altura interna H, em metros, que o nível da água atingiu no reservatório 2, após o término do processo de esvaziamento do reservatório 1.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:53 PM
11. (ITA-SP) Considere que, num tiro de revólver, a bala percorre trajetória retilínea com velocidade v constante, desde o ponto inicial P até o alvo Q. Mostrados na figura, o aparelho M1 registra simultaneamente o sinal sonoro do disparo e o do impacto da bala no alvo, o mesmo ocorrendo com o aparelho M2. Sendo vS a velocidade do som no ar, então a razão entre as respectivas distâncias dos aparelhos M1 e M2 em relação ao alvo Q é: M2
90°
v P M1 Visto de cima.
vS(vS v) v(v vS) vS(v vS) vS(v vS) vS(v 2 vS) b) c) d) e) (v2 2 v2S) (v2 v2S) (v2S v2) (v2 v2S) (v2 v2S)
Exercícios complementares
a)
Q
3
Volume 1 Capítulo 3
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_03.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:53 PM
CAPÍTULO 4 – Movimento uniforme
1. (U. F. Campina Grande-PB) Numa aula experimental,
um grupo de estudantes deixa bolhas de uma mistura de álcool e água caírem através de um longo tubo preenchido com óleo de soja comum. Constroem uma tabela na qual registram a posição de uma das bolhas em função do tempo, reproduzida abaixo:
A leva 6,0 s para ultrapassar o veículo B e 1,0 s após encontra-se ultrapassando o veículo C. Determine, em m/s, a velocidade escalar de B em relação a C.
5. (Fuvest-SP) Um homem correndo ultrapassa uma
Posição s (cm)
Tempo t (s)
0
0,0
5,0
10,0
composição ferroviária, com 100 metros de comprimento, que se move vagarosamente no mesmo sentido. A velocidade escalar do homem é o dobro da velocidade escalar do trem. Em relação à Terra, qual a distância percorrida pelo homem, desde o instante em que alcança a composição até o instante em que a ultrapassa?
10,0
20,0
a) 50 m
15,0
30,0
20,0
40,0
b) 100 m c) 150 m d) 200 m e) 250 m
5,0
15
a) Calcule a velocidade escalar da bolha em m/s. b) Classifique o movimento admitindo que a regularidade da tabela se mantenha. c) Escreva a equação horária do movimento em unidades SI. d) Construa o gráfico s 5 f (t).
2. (Vunesp-SP) Dois amigos, correndo sobre uma mesma
pista retilínea e em sentidos opostos, avistam-se quando a distância que os separa é de 150 metros. Um está correndo com velocidade escalar constante de 5,0 m/s e o outro com velocidade escalar constante de 7,5 m/s. Que distância cada um percorrerá desde o instante em que se avistam até o instante em que um passa pelo outro?
3. (Fuvest-SP) Dois corredores, A e B, partem de um
mesmo ponto de uma pista circular de 140 m de comprimento com velocidades escalares constantes e de módulos iguais a 8,0 m/s e 6,0 m/s, respectivamente. a) Se partirem em sentidos opostos, após quanto tempo A e B vão se encontrar pela primeira vez? b) Se partirem no mesmo sentido, após quanto tempo o corredor A estará com uma volta de vantagem sobre B?
4. (UF-BA) Três veículos, A, B e C, trafegam num mesmo sentido, sobre uma pista retilínea, com velocidades constantes. Num determinado instante, C vem à frente, a 80 m de B, e este, 60 m à frente de A. O veículo
1
Volume 1 Capítulo 4
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_04.indd 1
6. (OPF-SP) Duas bolas de dimensões desprezíveis se aproximam uma da outra, executando movimentos retilíneos e uniformes. Sabe-se que as bolas possuem velocidades de módulos 2,0 m/s e 3,0 m/s e que, no instante t 5 0, a distância entre elas é de 15,0 m. A
2,0 m/s
t 0
3,0 m/s
B
SETUP
Exercícios complementares
0
10
20
15,0 m
Podemos afirmar que, quando houver a colisão, a bola de maior módulo de velocidade terá percorrido uma distância de: a) 5,0 m b) 6,0 m c) 7,5 m d) 9,0 m e) 10,0 m
7. (OBF-Brasil) Dois corredores, I e J, partem do mesmo ponto de uma pista circular de raio igual a 25,0 m com velocidades escalares constantes de módulos iguais a 6,0 m/s e 4,0 m/s, respectivamente. Quanto tempo leva para que eles se encontrem pela primeira vez, considerando-se que eles partem em sentidos opostos? E se partirem no mesmo sentido? Adote π 5 3. a) 15,0 s e 75,0 s b) 75,0 s e 15,0 s c) 15,0 s e 80,0 s d) 80,0 s e 15,0 s e) 15,0 s e não se encontram.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:54 PM
8. Dois atletas percorrem a pista circular da figura em sentidos opostos. Num dado instante t0 5 0 se encontraram no
ponto A e, a seguir, no instante t1 5 T, se encontraram no ponto B e o terceiro encontro ocorreu no ponto C, no instante t2 5 100 s. A pista circular apresenta um comprimento total de 700 m e o arco AC, medido no sentido antihorário, tem 200 m. C
A
B
Admitindo que as velocidades escalares permaneceram constantes, determine: a) o módulo da velocidade v1 do mais rápido e o módulo da velocidade v2 do mais lento; b) o módulo da velocidade relativa de um atleta em relação ao outro no instante t1 5 T;
Exercícios complementares
c) o instante T. Justifique a sua resposta.
2
Volume 1 Capítulo 4
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_04.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:54 PM
CAPÍTULO 5 – Movimento uniformemente variado
1. As partículas A e B percorrem a mesma trajetória retilínea, no mesmo sentido, com aceleração escalar constante α 5 5,0 m/s2. Num determinado instante a distância que as separa é de 12 m e a partícula A possui velocidade escalar 5,0 m/s, e a partícula B, 3,0 m/s.
3. (ITA-SP) Um automóvel a 90 km/h passa por um guarda num local em que a velocidade máxima é de 60 km/h. O guarda começa a perseguir o infrator com a sua motocicleta, mantendo aceleração constante até que atinge 108 km/h em 10 s e continua com essa velocidade até alcançá-lo, quando lhe faz sinal para parar. Pode-se afirmar que: a) o guarda levou 15 s para alcançar o carro. b) o guarda levou 60 s para alcançar o carro.
A
12 m
c) a velocidade do guarda ao alcançar o carro era de 25 m/s.
B
Analise as afirmações e julgue se estão certas ou erradas, justificando a sua resposta.
d) o guarda percorreu 750 m desde que saiu em perseguição até alcançar o motorista infrator.
I. Para um referencial em B, a partícula A se aproxima de B em MRU, com velocidade de 2,0 m/s.
4. (PUC-RJ) Os vencedores da prova de 100 m rasos são
II. Para um referencial em A, a partícula B se afasta de A em MRU. III. Para um referencial em B, a partícula A está em MUV.
Exercícios complementares
IV. A partícula A deverá alcançar a partícula B em 6,0 s, a contar do instante em que se encontram na figura. Do que se afirmou, estão corretas, apenas, as afirmativas: a) I, II e III
c) I e IV
b) II e III
d) I e III
e) IV
e) o guarda o alcançou em 2,0 min. chamados de homem/mulher mais rápidos do mundo. Após o disparo e acelerando de maneira constante, um bom corredor atinge a velocidade escalar máxima de 12,0 m/s a 36,0 m do ponto de partida. Esta velocidade é mantida por 3,5 s. A partir deste ponto o corredor desacelera também de maneira constante com aceleração escalar a 5 21,0 m/s2 completando a prova em aproximadamente 11,5 s. É correto afirmar que a aceleração escalar nos primeiros 36,0 m, a distância percorrida nos 3,5 s seguintes e a velocidade escalar final do corredor ao cruzar a linha de chegada são, respectivamente: a) 2,0 m/s2; 42,0 m; 10,0 m/s.
2. Existe na Disneyland um brinquedo em que a pessoa
b) 2,0 m/s2; 38,0 m; 21,6 m/s.
fica sentada em um banco dentro de uma cabina que se move verticalmente, presa por um cinto de segurança. A cabina parte do repouso e acelera verticalmente para baixo com aceleração de módulo igual a 1,2 g, em que g é o módulo da aceleração da gravidade. Uma moeda estava em repouso na perna da pessoa a uma distância H 5 2,25 m do teto da cabina. Quando a cabina acelera, a moeda se destaca da perna da pessoa e vai colidir com o teto da cabina após um intervalo de tempo T. No instante em que a moeda chega ao teto, ela tem uma velocidade com módulo v1 em relação ao teto. Nesse instante, a cabina tem uma velocidade com módulo v2 em relação a um referencial fixo no solo terrestre. Adote g 5 10,0 m/s2 e despreze o efeito do ar. Os valores de T, v1 e v2 são:
c) 2,0 m/s2; 72,0 m; 32,4 m/s.
a) T1 5 1,5 s; v1 5 3,0 m/s; v2 5 15,0 m/s b) T1 5 1,0 s; v1 5 3,0 m/s; v2 5 18,0 m/s c) T1 5 1,5 s; v1 5 3,0 m/s; v2 5 18,0 m/s d) T1 5 2,5 s; v1 5 6,0 m/s; v2 5 15,0 m/s e) T1 5 2,5 s; v1 5 6,0 m/s; v2 5 18,0 m/s
1
Volume 1 Capítulo 5
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_05.indd 1
d) 4,0 m/s2; 36,0 m; 10,8 m/s. e) 4,0 m/s2; 38,0 m; 21,6 m/s.
5. Dois carros A e B têm seus movimentos representados esquematicamente no gráfico espaço 3 tempo a seguir. s
0
carro B
carro A
t1
t
O carro B parte do repouso e tem movimento uniformemente variado. No instante t1, as velocidades escalares dos carros A e v B são, respectivamente, iguais a vA e vB. A razão B : vA a) não está determinada. d) vale 2. b) vale 1 . e) é maior que 2. 2 c) vale 1.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:54 PM
8. (UF-RJ) Dois móveis, (1) e (2), partem do repouso
placa mostrada na figura 1, quando sua velocidade escalar é 30 m/s. Aciona os freios nesse instante e, mantendo uma desaceleração constante até chegar à lombada, passa pela placa mostrada na figura 2, quando sua velocidade escalar é 20 m/s.
de um mesmo ponto e passam a se mover na mesma estrada. O móvel (2), no entanto, parte 3,0 s depois do móvel (1). A figura abaixo representa, em gráfico cartesiano, como suas velocidades escalares variam em função do tempo durante 18,0 s a contar da partida do móvel (1).
Lombada a 400 m
Lombada a 150 m
Figura 1.
SETUP
6. (Vunesp-SP) Numa viagem, um motorista passa pela
v (m/s) (2)
Figura 2.
18,0
Pode-se afirmar que, para chegar da primeira placa à lombada, ele demorou um intervalo de tempo, em segundos, de:
(2) 0
a) 10 b) 15 d) 25 e) 30
Exercícios complementares
7. (AFA-SP) Considere um móvel deslocando-se numa trajetória horizontal e descrevendo um movimento retilíneo uniformemente acelerado e retrógrado. A alternativa que contém o gráfico que melhor representa o movimento descrito pelo móvel é espaço
0
b)
tempo velocidade escalar
0
c)
3,0
6,0
9,0 12,0 15,0 18,0
t (s)
a) Calcule as acelerações escalares dos móveis (1) e (2) depois de iniciados os seus movimentos.
c) 20
a)
(1) (1)
tempo
b) Verifique se, até o instante t 5 18,0 s, o móvel (2) conseguiu alcançar o móvel (1). Justifique sua resposta.
9. (U. F. Santa Maria-RS) Um carro se desloca com velocidade escalar constante num referencial fixo no solo. O motorista percebe que o sinal está vermelho e faz o carro parar. O tempo de reação do motorista é de fração de segundo. Tempo de reação é o tempo decorrido entre o instante em que o motorista vê o sinal vermelho e o instante em que ele aplica os freios. Está associado ao tempo que o cérebro leva para processar as informações e ao tempo que levam os impulsos nervosos para percorrer as células nervosas que conectam o cérebro aos membros do corpo. Considere que o carro adquire uma aceleração escalar negativa constante até parar. O gráfico que pode representar o módulo da velocidade do carro (v) em função do tempo (t), desde o instante em que o motorista percebe que o sinal está vermelho até o instante em que o carro atinge o repouso, é: a)
v
b)
v
espaço
0
d)
tempo aceleração escalar
0
t
tempo t
2
Volume 1 Capítulo 5
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_05.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:54 PM
c)
v
b) B ultrapassou A no instante t 5 4 s, depois de percorrer 160 m. c) B ultrapassou A no instante t 5 4 s, depois de percorrer 80 m. d) B ultrapassou A no instante t 5 8 s, depois de percorrer 320 m.
t
d)
e) B ultrapassou A no instante t 5 4 s, depois de percorrer 180 m.
v
12. (Vunesp-SP) Na pista de skate da praia de Pajuçara, um garoto desliza, a partir do repouso, descrevendo um movimento retilíneo uniformemente acelerado, cujo gráfico da posição, em função do tempo, está na figura. O gráfico tem vértice em t 5 0.
t
e)
v
s (m) 20
t
Exercícios complementares
10. (U. F. Viçosa-MG) Uma motocicleta movia-se numa ave-
nida quando seu motociclista percebeu que o semáforo do cruzamento logo adiante estava fechado. O motociclista freou, mas não conseguiu parar antes do cruzamento, atingindo um automóvel. Baseado nos danos causados nos veículos, técnicos da polícia estimaram que a motocicleta estava a 36 km/h no momento da colisão. A 50 metros do local do acidente foi encontrada uma marca no asfalto, que corresponde ao local em que o motociclista pisou desesperadamente no freio. Sabendo-se que os freios da motocicleta conseguem produzir uma aceleração escalar, praticamente constante, de módulo igual a 8,0 m/s2, a perícia confirmou que a velocidade escalar da motocicleta, imediatamente antes da freada, era de: a) 90 km/h c) 30 m/s b) 180 km/h d) 45 m/s
11. (Unesp-SP) Um veículo A, locomovendo-se com velo-
cidade escalar constante, ultrapassa um veículo B, no instante t 5 0, quando B está começando a se movimentar. Os veículos percorrem trajetórias retilíneas e paralelas. v (m/s) 50 40 30 20 10 0
B A
2 4 6 8 10 t (s)
Volume 1 Capítulo 5
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_05.indd 3
4,0
t (s)
A correspondente função horária, em unidades SI, é dada por: a) S 5 20 1 20 ? t 2 5,0 ? t2 b) S 5 20 2 20 ? t 2 2,5 ? t2 c) S 5 20 2 1,25 ? t2 d) S 5 20 2 2,5 ? t2 e) S 5 20 2 5,0 ? t2
13. Uma partícula desloca-se, em trajetória retilínea, com
equação horária dos espaços dada por: s 5 2,0t3 2 16,0 (SI) No instante t1, a partícula passa pela origem dos espaços. No instante t1, a velocidade escalar vale v1 e a aceleração escalar vale α1. Os valores de v1 e α1 são dados por: a) v1 5 24,0 m/s e α1 5 12,0 m/s2. b) v1 5 6,0 m/s e α1 5 24,0 m/s2. c) v1 5 6,0 m/s e α1 5 12,0 m/s2. d) v1 5 12,0 m/s e α1 5 12,0 m/s2. e) v1 5 24,0 m/s e α1 5 24,0 m/s2.
14. Um ponto material está em movimento obedecendo à
Analisando-se o gráfico, pode-se afirmar que: a) B ultrapassou A no instante t 5 8 s, depois de percorrer 160 m.
3
0
seguinte função horária das posições: s 5 2,0t3 1 4,0t 2 4,0 (SI) Calcule, usando apenas dois algarismos significativos: a) a velocidade escalar média entre os instantes t1 5 0 e t2 5 2,0 s; b) a velocidade escalar nos instantes t1 5 0 e t2 5 2,0 s; c) a aceleração escalar no instante t2 5 2,0 s.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:54 PM
CAPÍTULO 6 – Movimento vertical no vácuo
1. Do alto de um edifício de altura h, abandonamos uma pedra, a partir do repouso, com a intenção de determinarmos a altura do edifício. Por questões técnicas, foi medido apenas o intervalo de tempo decorrido a partir da metade do percurso, ou seja, h (final), 2 para o qual se obteve 1,0 s. Despreze a resistência do ar, adote g 5 10 m/s2 e faça a seguinte aproximação: 2 1,4. Determine a altura do edifício.
2. (PUC-RJ) Um objeto é arremessado do solo, verticalmente para cima, com uma velocidade escalar v1 5 10,0 m/s. Após um intervalo de tempo ∆t 5 1,0 s, um segundo objeto é também arremessado do mesmo ponto que o primeiro, verticalmente para cima e com a mesma velocidade escalar v2 5 10,0 m/s. Indique a altura em metros (m) do ponto onde ocorrerá a colisão entre os objetos. Considere g 5 10,0 m/s2. a) 0
c) 3,75
b) 1,00
d) 4,00
e) 10,0
Exercícios complementares
3. De uma altura H foi abandonada uma esferinha de chumbo e simultaneamente foi lançada do solo uma segunda bolinha de chumbo com uma velocidade inicial de módulo 2g H sendo g o módulo da aceleração da gravidade local. As esferinhas foram posicionadas numa mesma reta vertical, de tal maneira que ocorreu uma colisão entre ambas numa altura h.
repouso, de uma altura de 200 metros, um objeto pesado (a força de resistência do ar é desprezível). Desejando-se dividir em duas partes esta altura, de maneira que os tempos de percurso sejam iguais e considerando-se a aceleração da gravidade com módulo igual a 10 m/s2, teremos, medindo de cima para baixo: a) 40 m e 160 m b) 50 m e 150 m c) 75 m e 125 m d) 100 m e 100 m e) 160 m e 40 m
6. De um mesmo ponto, do alto de uma torre de 100 m de altura, abandona-se, do repouso, primeiramente um corpo A e, 1,0 s depois, um outro corpo B. Desprezandose a resistência do ar e adotando-se g 5 10,0 m/s2, a distância entre esses corpos será de 15,0 m após o corpo B ter percorrido a distância de: a) 2,0 m
c) 4,0 m
b) 3,0 m
d) 5,0 m
e) 6,0 m
7. (ITA-SP) Do alto, você deixa cair verticalmente uma pedra, a partir do repouso, sobre um lago, mede o tempo de 9,20 s para a pedra atingir o lago e observa que o ruído do impacto somente foi ouvido 1,20 s após ter sido vista a colisão da pedra com o lago. Estas informações lhe permitem concluir que: a) a velocidade do som no ar tem módulo superior a 3,53 ∙ 102 m∙s21. b) a velocidade do som no ar tem módulo igual a 3,53 ∙ 102 m∙s21.
H
c) você está a uma altura de 423 m acima do nível do lago.
v0 solo
Determine, em função de v0 e g: a) o instante da colisão (admitindo t 5 0 no instante do lançamento); b) o valor de h.
4. Retome a questão anterior, porém vamos lançar verticalmente a esferinha do solo com uma velocidade inicial desconhecida, que provisoriamente chamaremos de v0. Determine, em função de H e de g: a) o valor de v0 para que a colisão entre as duas esferinhas ocorra exatamente no ponto médio, ou seja, na altura h 5 H ; 2 b) o valor dos módulos das velocidades das esferinhas imediatamente antes da colisão.
1
5. (OBF-Brasil) Deixa-se cair livremente, a partir do
Volume 1 Capítulo 6
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_06.indd 1
d) você está a uma altura inferior a 423 m acima do nível do lago e a velocidade do som no ar tem módulo inferior a 3,53 ∙ 102 m∙s21. e) você está a uma altura superior a 423 m acima do nível do lago. Dado: g 5 9,80 m/s2.
8. (U. F. Viçosa-MG) Uma bola A é solta de uma altura de 45,0 m e cai verticalmente. Um segundo depois, outra bola, B, é arremessada verticalmente para baixo. Sabendo-se que a aceleração da gravidade no local tem módulo 10,0 m/s2 e desprezando-se a resistência do ar, a velocidade com que a bola B deve ser arremessada, para que as duas atinjam o solo no mesmo instante, é: a) 12,5 m/s
c) 75,0 m/s
b) 7,50 m/s
d) 1,25 m/s
e) 0,75 m/s
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:54 PM
9. A partir de uma mesma altura H, dois projéteis, A e B,
são lançados verticalmente com velocidades de mesmo módulo 30,0 m/s. O efeito do ar é desprezível e a aceleração da gravidade tem módulo g 5 10,0 m/s2. O projétil A é lançado verticalmente para baixo e gasta um tempo T para atingir o solo. O projétil B é lançado verticalmente para cima e gasta um tempo 2T para atingir o solo. 30,0 m/s
A
B
30,0 m/s H g 10,0 m/s2
a) não está determinado. b) é 35,0 m. c) é 45,0 m. d) é 180 m. e) é 360 m.
10. (ITA-SP) Em um local onde o efeito do ar é desprezível e a aceleração da gravidade é constante, foi realizada uma experiência de lançamento vertical de um corpo. Quando o corpo foi lançado com velocidade escalar inicial v0, a altura máxima atingida foi H. Se o mesmo corpo for lançado com velocidade escalar inicial igual a 2v0 , sua velocidade escalar, ao atingir a altura H, será: v0 v0 e) a) v0 c) 4 3 v b) 0 d) v0 3 2
Exercícios complementares
solo
O valor de H:
2
Volume 1 Capítulo 6
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_06.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:54 PM
CAPÍTULO 7 – Diagramas horários
c) em nenhum instante os atletas terão velocidades escalares iguais e não nulas.
1. (ITA-SP) No arranjo mostrado a seguir, do ponto A
d) os atletas cruzam a linha de chegada no mesmo instante.
largamos com velocidade nula duas pequenas bolas que se moverão sob a influência da gravidade em um plano vertical, sem rolamento ou atrito, uma pelo trecho ABC e a outra pelo trecho ADC. As partes AD e BC dos trechos são paralelas e as partes AB e DC também. Os vértices B de ABC e D de ADC são suavemente arredondados para que cada bola não sofra uma brusca mudança na sua trajetória. A B
D C
Pode-se afirmar que: a) a bola que se move pelo trecho ABC chega ao ponto C primeiro.
Exercícios complementares
b) a bola que se move pelo trecho ADC chega ao ponto C primeiro. c) as duas bolas chegam juntas ao ponto C, mas com velocidades diferentes.
e) em nenhum instante os atletas terão acelerações escalares iguais.
3. (Unifesp-SP) Em uma manhã de calmaria, um Veículo Lançador de Satélite (VLS) é lançado verticalmente do solo e, após um período de aceleração, ao atingir a altura de 100 m, sua velocidade linear é constante e de módulo igual a 20,0 m/s. Alguns segundos após atingir essa altura, um de seus conjuntos de instrumentos desprende-se e move-se livremente sob a ação da força gravitacional. A figura fornece o gráfico de velocidade vertical, em m/s, do conjunto de instrumentos desprendido como função do tempo, em segundos, medido no intervalo entre o momento em que ele atinge a altura de 100 m até o instante em que, ao retornar, toca o solo. v (m/s) y
d) a bola de maior massa chega primeiro (e se tiverem a mesma massa, chegam juntas). e) Como as duas bolas deverão chegar com a mesma velocidade final, certamente deverão chegar juntas, independentemente de sua massa. (Sugestão dos autores: represente, num mesmo diagrama cartesiano, as velocidades escalares dos dois movimentos, lembrando que para uma mesma inclinação da pista as bolinhas terão a mesma aceleração escalar.)
2. Em uma corrida olímpica de 100 m rasos, em uma pista plana e horizontal, dois atletas A e B descrevem trajetórias retilíneas e paralelas. Os gráficos a seguir representam as velocidades escalares dos atletas em função do tempo, desde o início até o final da corrida. v (m/s)
v (m/s) 12,5
atleta A
12,0
0
2
4
a) Determine a ordenada y do gráfico no instante t 5 0 s e a altura em que o conjunto de instrumentos se desprende do VLS. b) Calcule, através dos dados fornecidos pelo gráfico, a aceleração gravitacional do local e, considerando 2 5 1,4, determine o instante no qual o conjunto de instrumentos toca o solo ao retornar.
4. Uma esfera (1) foi lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de módulo 20 m/s. Simultaneamente, outra esfera (2) foi abandonada em repouso de uma altura H 5 40 m, na mesma direção de lançamento da esfera (1). Em um determinado instante T ocorreu a colisão de ambas.
atleta B
2
g 0
4,0
t (s)
Podemos afirmar que:
0
10 3
t (s)
1
Volume 1 Capítulo 7
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_07.indd 1
H 40 m
y v0
a) os atletas cruzam a linha de chegada com velocidades escalares iguais. b) no instante t 5 3,0 s, o atleta A tem aceleração escalar maior que o atleta B.
t (s)
1
solo
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:55 PM
Adotando g 5 10 m/s2 e orientando a trajetória para cima, faça o que se pede: a) Escreva as equações horárias das velocidades dos dois movimentos e construa o gráfico da velocidade em função do tempo até o instante T. b) Determine o instante T. c) Determine as velocidades v1 e v2 das esferas (1) e (2), respectivamente, no instante do encontro.
5. Um móvel possuía uma velocidade escalar constante v
e num dado instante t1, após ter percorrido uma distância d, freou com aceleração constante de módulo a até parar completamente num instante T. O diagrama mostra a velocidade em função do tempo. São conhecidos: o módulo da aceleração e a distância d. velocidade
v v
v (m/s) B
6,0
C
4,0 2,0
A
0
2,0
4,0
D 6,0
t (s)
a) Para cada trecho do gráfico, classifique o movimento. b) Para cada trecho do gráfico, calcule a aceleração escalar. c) Para cada trecho do gráfico, calcule a variação de posição (deslocamento) e, a seguir, determine a posição do móvel relativa a t1 5 2,0 s, t2 5 4,0 s e t3 5 6,0 s. d) Esboce os diagramas horários de posição e da aceleração desse movimento.
8. (Unesp-SP) A figura representa o gráfico velocidade 3 0
t1
T
t
Exercícios complementares
tempo
A velocidade escalar v, para que o tempo total T seja mínimo, vale: a) v a d b) v 5
a d a d 2
e) v
3a d 2
móveis A e B em função do tempo, numa mesma trajetória. x (m) A
16 12
B
8 4 2
4
6
8
t (s)
a) Em que instante eles se encontram? b) Escreva suas equações horárias de espaço.
7. A figura representa o gráfico da velocidade escalar em
função do tempo de determinado movimento. Sabe-se que no instante t0 5 0 o móvel partia da origem das abscissas.
2
30 15
10
20
30
40
50 t (s)
a) Qual o deslocamento total desse móvel? b) Esboce o gráfico posição 3 tempo correspondente, supondo que o móvel partiu da origem.
6. (PUC-PR) O gráfico representa as posições de dois
0
v (m/s)
0
c) v 5 a2 ∙ d d) v
tempo do movimento retilíneo de um móvel.
Volume 1 Capítulo 7
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_07.indd 2
9. (U. F. Campina Grande-PE) É dever de todo/a cidadão/ã respeitar as regras de trânsito, a vida própria e a dos outros, o que não faz um motorista alcoolizado à direção. Como exemplo, considere um motorista viajando a 72 km/h que, observando o sinal vermelho, aplica instantaneamente os freios, e para em 10 segundos, justamente na borda da faixa de pedestres. Suponha que, num outro dia, cometendo a imprudência de consumir bebida alcoólica e dirigir e viajando à mesma velocidade e exatamente na mesma estrada e no mesmo ponto, ele observa a mudança de cor do sinal para o vermelho. Acontece que agora ele demora 0,20 segundo até aplicar os freios. Considerando-se que o carro freie com a mesma aceleração escalar anterior, pode-se afirmar que avança sobre a faixa de pedestre a) 1,0 m d) 5,0 m b) 4,0 m e) 6,0 m c) 2,0 m
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:55 PM
10. (U. F. São Carlos-SP) O diagrama mostra como varia a posição em função do tempo t para uma partícula que se desloca em trajetória retilínea. s
D C
a) Calcule a aceleração escalar no instante t0 5 0.
E
B
b) Calcule o valor aproximado do deslocamento escalar entre os instantes t0 5 0 e t1 5 2,0 s.
F
12. (Mackenzie-SP) Entre duas determinadas estações de
G A
t1
t2
t3
t4
t5
t
t6
Os trechos AB, CDE e FG são arcos de parábola com vértices em A, D e G, respectivamente. Os trechos BC e EF são retilíneos. v
0
Desprezando-se qualquer efeito devido ao tamanho da ciclista e sabendo-se que a parte curva do gráfico é um arco de parábola com vértice no instante t 5 1,0 s, responda os quesitos que se seguem:
uma das linhas do metrô de São Paulo, o trem percorre a distância de 900 m no intervalo de tempo t, com velocidade escalar média de 54,0 km/h. O gráfico I abaixo representa a velocidade escalar do trem nesse percurso, em função do tempo, e o gráfico II, a posição em função do tempo. v
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t
0
t 3
t
2t 3
t
Exercícios complementares
Gráfico I.
a) No local indicado, construa o gráfico velocidade escalar 3 tempo. b) Classifique o movimento nos intervalos de tempo de t2 a t3 e de t5 a t6.
s B
SB 900 m S
SS
11. (Fuvest-SP) A velocidade escalar de uma ciclista que descreve uma trajetória retilínea varia em função do tempo conforme o gráfico da figura a seguir.
A 0
v (m/s)
t 3
2t 3
t
t
Considerando-se que os trechos AR e SB do gráfico II são arcos de parábola e o trecho RS é um segmento de reta, os valores de SR e SS são, respectivamente:
6,0 4,0 2,0
3
R
Gráfico II.
8,0
0
SR
1,0
2,0
Volume 1 Capítulo 7
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_07.indd 3
3,0
4,0
5,0
t (s)
a) 125 m e 775 m
d) 250 m e 650 m
b) 200 m e 700 m
e) 300 m e 600 m
c) 225 m e 675 m
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:55 PM
CAPÍTULO 8 – Vetores
1. (Mackenzie-SP) O vetor resultante da soma de AB,
BE e CA é: CE a) AE d) BC b) AD e)
6. Na figura, temos representados os vetores a, b e c. Qual a alternativa correta? a b
c
c) CD
C
B
a) a 1 c 5 b b) a 1 b 5 c c) a 1 b 1 c 5 0
D
d) b 1 c 5 a e) a 1 c 5 c 1 b
7. (Mackenzie-SP) Com seis vetores de módulos iguais
a 8 u, construiu-se o hexágono regular. O módulo do vetor resultante desses seis vetores é:
A
E
2. Dois vetores perpendiculares têm módulos que estão na razão 3 : 4. Calcule os módulos desses vetores, sabendo que sua resultante tem módulo 40.
3. (U. E. Londrina-PR) Dados os vetores U, V, X, Y e
Exercícios complementares
W de mesmo módulo, qual das relações abaixo está correta? X
c) 24 u d) 16 u
e) zero
8. Considerando o conjunto de vetores representados,
Y 120°
60°
U
a) 40 u b) 32 u
verifique quais das sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F).
W
V
z
y s
a) U 1 W 5 Y
d) X 1 Y 1 V 5 U
b) X 1 W 5 U
w
e) U 1 V 1 Y 5 W
c) X 1 Y 5 U
v
x
u
a) y 1 z 5 s
4. Consideremos dois vetores de módulos 12 cm e 7 cm. O módulo da resultante desses vetores não pode ser: a) 19 cm
d) 8 cm
b) 5 cm
e) 4 cm
c) 10 cm
5. Na figura, considere que cada divisão do “quadriculado” tem medida 1 e que os vetores i e j são perpendiculares entre si. Represente os vetores a, b, c, d e e em função de i e j. a
d) s 2 x 5 u 1 v
b) x 1 w 5 2( y 1 z ) e) u1v1s1x50 c) y 1 w 1 z 5 2x
f) 2u 1 x 1 y 1 z 2 v 5 0
9. (UF-CE) a disposição dos vetores BA, EA, Analisando CB, CD e DE conforme figura, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta:
BA EA EA
EA DE CB
CB CB DE
DE BA BA
CD CD CD
a) CB CD DE BA EA b) c) d)
e) BA DE CB EA CD
b
B
c d
A
j i
1
E
e
Volume 1 Capítulo 8
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_08.indd 1
C
D
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:55 PM
CAPÍTULO 9 – Cinemática vetorial
5. Dois automóveis A e B movem-se sobre trajetórias circu-
fixado em um plano horizontal. Uma partícula sai da origem do sistema, dirige-se em linha reta para o ponto A (veja a figura) e, em seguida, dirige-se para o ponto B, também em linha reta.
lares concêntricas, de raios RA 5 100 m e RB 5 200 m. RB RA
SETUP
1. Consideremos um sistema cartesiano ortogonal Oxy,
y (m) 10
B A
0
24
x (m)
Sabendo que a partícula gasta 2,0 segundos para ir de O até B, calcule para essa viagem os módulos: a) da distância percorrida; b) do vetor de deslocamento; c) da velocidade escalar média; d) da velocidade vetorial média.
Exercícios complementares
2. Uma partícula move-se com velocidade escalar constante sobre uma circunferência de raio R 5 10 m, gastando 24 segundos para completar uma volta. Para um intervalo de tempo Δt 5 8,0 segundos, calcule os módulos:
Sabendo que os dois automóveis têm a mesma velocidade escalar v 5 10 m/s, calcule: a) o módulo da aceleração centrípeta de A; b) o módulo da aceleração centrípeta de B.
6. Uma partícula move-se em trajetória circular de
centro O, com movimento uniformemente acelerado, tendo velocidade escalar v0 5 4,0 m/s no instante t 5 0. A figura representa a aceleração vetorial instantânea a no instante t 5 2,0 s. a
θ O
a) da distância percorrida; b) do vetor deslocamento; c) da velocidade escalar média; d) da velocidade vetorial média.
3. Dê o valor verdadeiro (V) ou falso (F) às sentenças: a) Num movimento uniforme a velocidade escalar é constante. b) Num movimento uniforme a velocidade vetorial é constante. c) Num movimento uniforme a velocidade vetorial é constante em módulo. d) Num movimento retilíneo uniforme a velocidade vetorial é constante. e) O único movimento em que a velocidade vetorial é constante é o movimento retilíneo uniforme. f) Em um movimento uniforme cuja trajetória é uma parábola, a velocidade vetorial é constante.
4. (PUC-SP) Se a velocidade vetorial de um ponto material é constante e não nula, sua trajetória: b) pode ser retilínea, mas não necessariamente. c) deve ser retilínea. d) é uma circunferência. e) pode ser uma curva qualquer. Volume 1 Capítulo 9
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_09.indd 1
7. Assinale a proposição verdadeira: a) Em um movimento uniforme, a aceleração é nula. b) Em um movimento uniformemente variado, a aceleração é constante. c) No movimento circular uniformemente variado, a aceleração centrípeta tem módulo constante. d) No movimento retilíneo uniformemente variado, a aceleração centrípeta é nula. e) No movimento uniforme, a velocidade é constante.
8. (UF-CE) Um automóvel entra numa curva de 200 m
a) é uma parábola.
1
Sabendo que |a | 5 26 m/s2, sen θ = 5 e cos θ 5 12 , 13 13 calcule: a) o módulo da aceleração tangencial; b) o módulo da aceleração centrípeta no instante t 5 2,0 s; c) a velocidade escalar no instante t 5 2,0 s; d) o raio da trajetória.
de raio, de uma estrada cujas condições permitem uma aceleração centrípeta máxima de apenas 2 m/s2 sem que aconteça derrapamento. Determine a maior velocidade, em km/h, com que o automóvel pode ser conduzido na curva, sem derrapar.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:55 PM
9. Uma partícula tem movimento circular e uniforme. Podemos afirmar que: a) a aceleração vetorial é constante.
indicadas na figura. Dois segundos depois, a partícula tem pela primeira vez velocidade v 5 v0 e aceleração a 5 a0. a0
b) o módulo da velocidade vetorial é constante. c) o módulo da aceleração vetorial é nulo. d) a velocidade vetorial é constante. e) a velocidade vetorial tem seu sentido para o centro da trajetória.
10. (U. E. Londrina-PR) Uma pista é constituída por três
D
LUIZ FERNANDO RUBIO
trechos: dois retilíneos, AB e CD, e um circular, BC, conforme esquema.
v0
Os módulos de v0 (em m/s) e de a0 (em m/s2) são respectivamente: 2 2 d) π e π a) π e π 2 2 4 8 2 b) π e π e) π e π2 4 16 2 2 c) π e π 2 4
12. (AFA-SP) As figuras representam pontos que indicam C
Exercícios complementares
A
as posições de um móvel, obtidas em intervalos de tempos iguais. I
II
III
IV
B
Se um automóvel percorrer toda a pista com velocidade escalar constante, o módulo da sua aceleração será: a) nulo em todos os trechos. b) constante, não nulo, em todos os trechos. c) constante, não nulo, nos trechos AB e CD. d) constante, não nulo, apenas no trecho BC.
Em quais figuras o móvel apresenta aceleração não nula?
e) variável apenas no trecho BC.
a) Apenas em I, III e IV.
11. (UF-PI) Uma partícula descreve um movimento circular uniforme de raio r 5 1,0 m. No instante t 5 0, sua velocidade v0 e sua aceleração a0 apontam nas direções
2
Volume 1 Capítulo 9
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_09.indd 2
b) Apenas em II e IV. c) Apenas em I, II e III. d) Em I, II, III e IV.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:56 PM
CAPÍTULO 10 – Composição de movimentos
1. Um avião sobrevoa um aeroporto, com seu eixo apontado para o norte e com velocidade 120 km/h em relação ao ar. Os instrumentos do aeroporto registram um vento de 50 km/h em relação ao solo, de oeste para leste. Calcule: a) o módulo da velocidade do avião em relação ao solo; b) a distância percorrida pelo avião, em relação ao solo, em 12 min.
Pedro se move no sentido sudoeste-nordeste, em uma trajetória que forma um ângulo θ com a linha perpendicular às margens. As trajetórias, como observadas por Ana e por Marta, estão indicadas nas figuras a seguir, respectivamente por PA e PM. A N L
O S
2. A velocidade das águas de um rio é 5,0 m/s em relação às margens. Um barco parte de um ponto X em uma das margens, com seu eixo perpendicular à correnteza, atingindo um ponto Y na outra margem, cuja distância ao ponto X é 390 metros. Sabendo que a travessia durou 30 segundos, calcule o módulo da velocidade do barco em relação às águas.
P Trajetória vista por Ana. M
4. (Vunesp-SP) Um homem, em pé sobre uma plataforma que se move horizontalmente para a direita com velocidade constante v 4,0 m/s em relação ao solo, observa que, ao inclinar de 45º um tubo cilindro oco, permite que uma gota de chuva, que cai verticalmente com velocidade c constante em relação ao solo, atravesse o tubo sem tocar em suas paredes. Determine o valor de c.
c
constante, um rio de 60 m de largura e margens paralelas, em 2 minutos. Ana, que boia no rio e está parada em relação à água, observa Pedro, nadando no sentido sul-norte, em uma trajetória retilínea, perpendicular às margens. Marta, sentada na margem do rio, vê que Volume 1 Capítulo 10
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_10.indd 1
P Trajetória vista por Marta.
(
)
Se o ângulo θ for tal que cos θ 3 sen θ 4 , 5 5 qual o valor do módulo da velocidade: a) de Pedro em relação à água? b) de Pedro em relação à margem? c) da água em relação à margem?
6. (U. F. São Carlos-SP) O submarino navegava com velocidade constante, nivelando a 150 m de profundidade, quando seu capitão decide levar lentamente a embarcação à tona, sem contudo abandonar o movimento à frente. Comunica a intenção ao timoneiro, que procede ao esvaziamento dos tanques de lastro, controlando-os de tal modo que a velocidade de subida da nave fosse constante.
vy vx
v
5. (Fuvest-SP) Pedro atravessa a nado, com velocidade
1
θ
LUIZ FERNANDO RUBIO
lelas tem velocidade 5,0 m/s em relação às margens. Um barco sai de uma das margens em direção à outra, com velocidade 13 m/s em relação à água, de modo que a direção de seu movimento é perpendicular à correnteza. Sabendo-se que a distância entre as margens é 48 m, pede-se: a) a velocidade do barco em relação às margens; b) o ângulo que o eixo do barco deve fazer com a direção normal às margens; c) o tempo de travessia.
LUIZ FERNANDO RUBIO
Exercícios complementares
3. A correnteza de um rio retilíneo e de margens para-
Se a velocidade horizontal antes da manobra era de 18,0 km/h e foi mantida, supondo que a subida tenha se dado com velocidade constante de 0,9 km/h, o deslocamento horizontal que a nave realizou, do momento em que o timoneiro iniciou a operação até o instante em que a nau chegou à superfície, foi, em m, de: a) 4 800
c) 2 500
b) 3 000
d) 1 600
e) 1 200
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:56 PM
CAPÍTULO 11 – Cinemática angular
13. (Mackenzie-SP) Um automóvel, cujos pneus têm diâ-
11. Um disco contendo um orifício próximo à sua borda
espelho
ALEX ARGOZINO
gira defronte a uma fonte de luz, à razão de 10 voltas por segundo. Um pulso de luz passa pelo orifício, reflete-se num espelho situado a uma distância d do disco e passa pelo mesmo orifício após o disco ter completado uma volta.
disco pulso v
v
metro externo de 52 cm, percorre, com velocidade constante, 483,6 m em 1 minuto. Desprezando sua deformação, o período do movimento de rotação desses pneus é: a) 0,1 s b) 0,2 s c) 0,3 s d) 0,4 s e) 0,5 s (Adote π 3,1.)
v
14. (Vunesp-SP) Satélites de órbita polar giram numa
a) 1 500 km
d) 300 000 km
b) 30 000 km
e) 3 000 000 km
c) 15 000 km
12. (UE-MS) A figura mostra a polia A, de raio RA 10,0 cm,
ligada à polia B, de raio RB 5,0 cm, por uma correia que não desliza enquanto gira. RA
RB
MARCO A. SISMOTTO
Exercícios complementares
d
Sabendo que a velocidade da luz nesse meio é v 300 000 km/s, podemos afirmar que a distância d vale:
Baseando-se nesses dados, analise as afirmativas: I. A velocidade tangencial da polia A é exatamente igual à metade da velocidade tangencial da polia B. II. Se o período da polia A for igual a 1,0 s, o período da polia B será 0,5 s. III. A velocidade angular da polia A (ωA) é igual à velocidade angular da polia B (ωB).
órbita que passa sobre os polos terrestres e que permanece sempre em um plano fixo em relação às estrelas. Pesquisadores de estações oceanográficas, preocupados com os efeitos do aquecimento global, utilizam satélites desse tipo para detectar regularmente pequenas variações de temperatura e medir o espectro da radiação térmica de diferentes regiões do planeta. Considere o satélite a 5 298 km acima da superfície da Terra, deslocando-se com velocidade de 5 849 m/s em uma órbita circular. Estime quantas passagens o satélite fará pela linha do equador em cada período de 24 horas. Utilize a aproximação π 3,0 e suponha a Terra esférica, com raio de 6 400 km.
15. (U. F. Uberlândia-MG) Em 10 de setembro de 2008, foi inaugurado na Europa o maior acelerador de partículas (LHC), que é capaz de acelerar prótons, em um anel de raio 4,5 km, até uma velocidade próxima da luz. Assuma que o movimento do próton seja descrito pela mecânica newtoniana e que possua a velocidade da luz (3,0 108 m/s). Considerando-se π 3,0, marque para as alternativas abaixo (V ) verdadeira, (F) falsa. (1) O próton gastará um tempo menor que 1,0 10 8 s para dar uma volta completa no anel. (2) A frequência de rotação do próton no interior do anel será 1,0 105 rotações por segundo. (3) A velocidade angular do próton será 1,0 105 rad/s. (4) O período de rotação do próton será 9,0 10 5 s. Estão corretas apenas:
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s):
a) 1 e 4
a) I apenas.
d) I e III apenas.
c) 2 e 3
b) II apenas.
e) I, II e III.
d) 2 e 4
c) III apenas.
1
Volume 1 Capítulo 11
011-Cap-FC1-Exerc. Compl.indd 1
b) 1 e 3
e) 1, 2 e 4 Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
26/09/12 16:52
Sabendo-se que a cada pico maior está associada uma contração do coração, a frequência cardíaca dessa pessoa, em batimentos por minuto, é: a) 60 d) 95 b) 75 e) 100 c) 80
16. (Unifesp-SP) O eletrocardiograma é um dos exames mais comuns da prática cardiológica. Criado no início do século XX, é utilizado para analisar o funcionamento do coração em função das correntes elétricas que nele circulam. Uma pena ou caneta registra a atividade elétrica do coração, movimentando-se transversalmente ao movimento de uma fita de papel milimetrado, que se desloca em movimento uniforme com velocidade de 25 mm/s. A figura mostra parte de uma fita de um eletrocardiograma.
cionária distante 35 900 km da superfície terrestre, que 6 500 km é um valor aproximado do raio da Terra e adote para o número π um valor aproximado de 3. Para um intervalo de tempo de 6 h o satélite percorre uma distância mais próxima de: a) 6 500 km d) 63 600 km b) 35 900 km e) 65 600 km c) 60 000 km
Exercícios complementares
setup
17. (UnB-DF) Considere um satélite em órbita geoesta-
2
Volume 1 Capítulo 11
011-Cap-FC1-Exerc. Compl.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
26/09/12 13:52
CAPÍTULO 12 – Leis de Newton
1. (Vunesp-SP) Um bloco de massa mA desliza no solo
horizontal, sem atrito, sob ação de uma força constante, quando um bloco de massa mB é depositado sobre ele. Após a união, a força aplicada continua sendo a mesma, porém a aceleração dos dois blocos fica reduzida à quarta parte da aceleração que o bloco A possuía. m Pode-se afirmar que a razão entre as massas A é: mB
4 c) 3 a) 1 b) 3 3 2
d) 1
e) 2
2. Consideremos uma partícula em movimento retilíneo sob a ação de apenas duas forças, F1 e F2 como mostra a figura. F2
F1
Sabendo que F1 5 50 N e F2 5 30 N, diga se cada uma das sentenças a seguir é verdadeira ou falsa. a) A partícula pode estar em movimento acelerado para a direita.
a) a força de ação do corpo é anulada pela reação da superfície. b) a força de reação da superfície é maior que 25 N. c) a força de reação da superfície é menor que 25 N. d) a força de reação da superfície depende da resistência da mesa. e) a reação da superfície sobre o corpo é igual a 25 N.
5. (Fuvest-SP) Uma força de 1 newton (1 N) tem a ordem de grandeza do peso de: a) um homem adulto. b) uma criança recém-nascida. c) um litro de leite; d) uma xicrinha cheia de café. e) uma moeda de um centavo.
6. (UF-RJ) Uma pessoa idosa, de 68 kg, ao se pesar, o faz
apoiada em sua bengala, como mostra a figura. Com a pessoa em repouso, a leitura da balança é de 650 N. Considere g 5 10 m/s2. Lettera Studio
c) A partícula pode estar em movimento uniforme. d) A partícula certamente está em movimento acelerado para a direita.
3. A Terceira Lei de Newton diz que: “A uma ação corresponde uma reação de módulo igual à ação, porém de sentido contrário”. No caso de um corpo em queda livre, dizemos que ele está sujeito apenas: a) à força de atração da Terra. b) à força de atração da Terra e à força de reação, de modo que a resultante fornece aceleração g. c) à força de atração da Terra, porque é desprezível a força de reação. d) à força de reação proveniente da ação da força da Terra. e) às forças de ação e reação, que, agindo sobre o corpo, se anulam.
4. (UC-MG) Um corpo de peso P 5 25 N está apoiado N
7. Um homem de massa m 5 80 kg está em repouso,
segurando-se em um fio ideal, preso ao teto de um aposento, como mostra a figura. Adote g 5 10 m/s2.
Marco A. Sismotto
sobre uma superfície horizontal, conforme a figura.
a) Supondo que a força exercida pela bengala sobre a pessoa seja vertical, calcule o seu módulo e determine o seu sentido. b) Calcule o módulo da força que a balança exerce sobre a pessoa e determine a sua direção e o seu sentido.
Lettera Studio
Exercícios complementares
b) A partícula pode estar em movimento retardado para a esquerda.
P
Lembrando a Terceira Lei de Newton, podemos afirmar que:
1
Volume 1 Capítulo 12
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_12.indd 1
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:56 PM
Calcule: a) o módulo da aceleração adquirida pelo conjunto; b) o módulo da força que um bloco exerce sobre o outro.
11. Os blocos A e B, representados na figura, têm massas de 8,0 kg e 5,0 kg, respectivamente. O fio é ideal e não há atritos.
8. Consideremos dois blocos, A e B, inicialmente em
repouso sobre uma superfície plana e horizontal sem atrito, encostados um no outro. A partir de determinado instante, aplica-se ao conjunto uma força horizontal F, como ilustra a figura. As massas de A e B são respectivamente iguais a 7,0 kg e 5,0 kg. F
A
B
Exercícios complementares
Sabendo que a força exercida pelo bloco A sobre o bloco B tem intensidade 30 N, calcule: a) o módulo da aceleração do conjunto; b) o módulo de F.
9. (UF-ES) Dois corpos de massa m1 e m2 estão sobre um
plano horizontal sem atrito, e a força F atua diretamente sobre m1, conforme a figura. F
1
2
A intensidade da força que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2 vale: a) F m b) 2 F m1 c)
m1 F m2
d)
m1 F m1 m2
e)
m2 F m1 m2
A
F
B
Sabendo que a tração no fio tem intensidade T 5 32 N, calcule: a) o módulo da aceleração do sistema; b) o módulo da força horizontal F.
12. Dois blocos, A e B, de massas respectivamente iguais a 4,0 kg e 6,0 kg, estão inicialmente em repouso sobre um plano horizontal sem atrito, ligados por um fio ideal. A partir de determinado instante, aplicam-se aos blocos as forças horizontais F1 e F2, de intensidades F1 5 75 N e F2 5 50 N, como mostra a figura. F2
A
Ilustrações: Marco A. Sismotto
a) Calcule a intensidade da tração no fio. b) Suponha agora que o homem esteja subindo pelo fio em movimento acelerado, cuja aceleração tem módulo a 5 0,50 m/s2. Qual a intensidade da tração no fio? c) Suponha agora que o homem esteja escorregando pelo fio em movimento acelerado, cuja aceleração tem módulo a 5 3,0 m/s2. Qual a intensidade da tração no fio?
F1
B
Calcule: a) o módulo da aceleração do conjunto; b) o módulo da tração no fio.
13. (UF-AL) Uma força horizontal F, de intensidade 20 N, puxa três corpos presos entre si por dois fios. 3
fio B
fio A
2
1
F
Desprezam-se os atritos entre os corpos e a superfície horizontal de apoio. As massas dos corpos 1 e 3 são, respectivamente, m1 5 3,0 kg e m3 5 2,0 kg. A tração no fio A tem valor 14 N. Nessas condições, determine: a) a aceleração do sistema;
10. A figura representa dois blocos, A e B, de massa respectivamente iguais a 8,0 kg e 6,0 kg, inicialmente em repouso sobre um plano horizontal sem atrito. A partir de determinado instante, aplicamos ao conjunto as forças horizontais F1 e F2 de intensidades F1 5 41 N e F2 5 13 N, como ilustra a figura. F1
A
B
F2
b) a tração no fio B.
14. (UF-RN) Uma corrente consistindo de sete anéis, cada um com massa de 200 gramas, está sendo puxada verticalmente, para cima, com aceleração constante de 2,0 m/s2. A força para cima no anel do meio é: (Adote g 5 10 m/s2.) a) 16,8 N
d) 2,4 N
b) 9,6 N
e) 1,6 N
c) 8,4 N
2
Volume 1 Capítulo 12
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_12.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:56 PM
15. Dois blocos, A e B, de massas mA 5 5,0 kg e
F
B
g
Ilustrações: Marco A. Sismotto
mB 5 3,0 kg, estão ligados por um fio ideal. Aplica-se ao bloco B uma força vertical F, como mostra a figura, de modo que o conjunto sobe verticalmente, em movimento acelerado. A intensidade de F é 112 N e a aceleração da gravidade tem módulo g 5 10 m/s2.
A
16. Dois blocos, A e B, de massas respectivamente iguais a 3,0 kg e 4,0 kg, descem em movimento acelerado, empurrados por uma força F de intensidade F 5 14 N, como mostra a figura. F g A
B
Sendo g 5 10 m/s2, calcule: a) o módulo da aceleração do sistema; b) o módulo da força que o bloco A exerce sobre o bloco B.
Exercícios complementares
Calcule: a) o módulo da aceleração do sistema; b) o módulo da tração no fio.
3
Volume 1 Capítulo 12
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_12.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:56 PM
CAPÍTULO 13 – Aplicação das leis de Newton
10. Um corpo de massa m 5 20 kg está pendurado em um dinamômetro, o qual está fixo no teto de um elevador. A aceleração da gravidade tem módulo g 5 10 m/s2. Determine a marcação do dinamômetro quando o elevador sobe em movimento acelerado, cuja aceleração tem módulo a 5 2,5 m/s2.
Calcule: a) a intensidade de T;
b) a indicação da balança.
13. (ITA-SP) No teto de um elevador temos um corpo de
peso 16 N preso a um dinamômetro que acusa 20 N. A aceleração local da gravidade vale 10 m/s2. A intensidade da aceleração do elevador é: a) zero c) 5,0 m/s2 e) 0,40 m/s2 2 2 b) 2,5 m/s d) 10,0 m/s
14. (ITA-SP) Em relação à situação do teste anterior, m
11. Consideremos um corpo de massa m 5 15 kg pendu-
m
iLUStraÇÕeS: MarCo a. SiSMotto
Exercícios complementares
rado em um dinamômetro, o qual está preso no teto de um elevador. A aceleração da gravidade tem intensidade g 5 10 m/s2. Um indivíduo dentro do elevador observa que a marcação do dinamômetro é 180 N.
podemos afirmar que o elevador está: a) subindo com velocidade constante. b) em repouso. c) subindo em movimento acelerado. d) descendo em movimento acelerado. e) subindo em movimento acelerado ou descendo em movimento retardado.
15. O esquema representa dois corpos, A e B, de pesos
respectivamente iguais a 40 N e 15 N, presos às extremidades de um fio ideal f que passa por uma polia também ideal. O corpo A está apoiado sobre uma plataforma horizontal. Calcule o módulo da força exercida pela plataforma sobre o corpo A.
f B
a) Calcule o módulo da aceleração do elevador.
A
b) O que podemos dizer sobre o movimento do elevador?
12. Um homem de massa mH 5 80 kg está sobre uma
balança de molas, a qual está fixa no piso de um elevador, como mostra a figura. A massa do elevador juntamente com a balança é mE 5 520 kg. O conjunto está inicialmente em repouso. A partir de determinado instante, aplica-se ao teto do elevador uma força vertical T, de modo que o elevador começa a subir com movimento acelerado, cuja aceleração tem módulo a 5 2,0 m/s2.
16. No sistema representado na figura, o fio e a polia são ideais, a massa do bloco A é 9,0 kg e a tração no fio tem módulo 36 N. A
T
B
Supondo g 5 10 m/s2 e desprezando o atrito, calcule: a) o módulo da aceleração do bloco A; b) a massa do bloco B.
1
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_13.indd 1
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são Parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:57 PM
17. No sistema representado na figura, os blocos A, B e C
20. Os blocos A e B na figura têm massas respectivamente
têm massas respectivamente iguais a 9,0 kg, 6,0 kg e 5,0 kg. Os fios e as polias são ideais e a aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s2.
iguais a 14 kg e 6,0 kg. O fio e a polia são ideais e não há atrito. No instante t 5 0, o bloco A tem velocidade v0 de módulo 12 m/s, como representado na figura. Sendo g 5 10 m/s2, determine o instante em que a velocidade do bloco A se anula.
B
v0
C A
A
30 m B
Desprezando o atrito, calcule: a) o módulo da aceleração no bloco B; b) o módulo da tração no fio preso ao bloco A; c) o módulo da tração no fio preso ao bloco C.
Exercícios complementares
18. No sistema representado na figura, os blocos A e B têm massas 2,0 kg e 3,0 kg, respectivamente. O fio e a polia são ideais e g 5 10 m/s2. Uma força horizontal F de intensidade 60 N é aplicada ao bloco B. Desprezando o atrito, calcule o módulo da aceleração do bloco A.
21. Um bloco de massa M 5 80 kg está preso em uma das extremidades de um fio ideal que passa por uma polia também ideal e é puxada, conforme a figura, por um indivíduo de massa m 5 60 kg, de modo que tanto o indivíduo como o bloco sobem em movimento acelerado. Sabendo que g 5 10 m/s2 e que o módulo da aceleração do indivíduo é 4,0 m/s2, calcule o módulo da aceleração do bloco.
F
B
A
19. O sistema representado na figura é abandonado em repouso no instante t 5 0. Os blocos A e B têm massas respectivamente iguais a 8,0 kg e 2,0 kg.
22. (ITA-SP) No sistema esquematizado são desprezíveis o
A
atrito, o momento de inércia da roldana e a massa do fio que liga as massas m1 e m2. Sabe-se que m1 m2 e que a aceleração da gravidade local é g. iLUStraÇÕeS: MarCo a. SiSMotto
B 18 m 9m
Sabendo que g 5 10 m/s2 e desprezando o atrito, calcule: a) o instante em que o bloco B atinge o solo; b) a velocidade do bloco B ao atingir o solo.
2
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_13.indd 2
m1 m2
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são Parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:57 PM
A tensão T no fio e a aceleração a da massa m1 são, respectivamente, dadas por: 2m1m2g (m1 m2) g ;a a) T m1 m2 m1 m2 b) T
m1m2g (m1 m2) g ;a m1 m2 m1 m2
c) T (m1 m2) g; a d) T (m1 m2) g; a e) T (m1 m2) g; a
(m
m2) g m1 m2
25. (Fuvest-SP) A figura abaixo representa esquematica-
1
(m
1
(m
1
O tempo que A leva para ir de M até N é: a) 1,0 s b) 2 s c) 2,0 s d) 5 s e) 3,0 s mente um elevador E com massa 800 kg e um contrapeso B, também de 800 kg, acionados por um motor M. A carga interna do elevador é de 500 kg.
m2) g m1
M
m2) g m1
23. (F. M. Pouso Alegre-MG) Na montagem abaixo, um
iLUStraÇÕeS: MarCo a. SiSMotto
Exercícios complementares
indivíduo de massa 70 kg mantém suspenso um bloco B de massa 30 kg através de um fio ideal que passa por uma polia também ideal. E
B
Calcule a força exercida pelo motor através do cabo, em cada um dos casos a seguir: (Adote: g 5 10 m/s2.)
B
a) o elevador sobe com velocidade constante; b) o elevador sobe com movimento acelerado, cuja aceleração é 0,50 m/s2.
Sendo g 5 10 m/s2, calcule as intensidades:
26. (FEI-SP) Um carrinho de massa 100 kg está sobre tri-
a) da tração no fio;
lhos e é puxado por dois homens que aplicam forças F1 e F2, conforme a figura abaixo.
b) da força que o chão exerce no indivíduo.
24. (PUC-SP) O esquema representa dois corpos, A e B, de massas respectivamente iguais a 8,0 kg e 2,0 kg, ligados por um fio inextensível e de massa desprezível. No instante t 5 0, os corpos estão em repouso na posição indicada no esquema. Nesse instante abandona-se o sistema, que assume movimento devido à tração exercida por B. Despreze as forças de atrito e suponha que a aceleração da gravidade tem intensidade 10 m/s2. A
M
5m
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_13.indd 3
30º
45º
F2
Qual é a aceleração do carrinho, sendo dados |F1| 5 5 |F2| 5 20 N? a) 0,31 m/s2 5 m/s2 10 6 m/s2 c) 10 d) 0,5 m/s2 e) 0,6 m/s2 b)
N B solo
3
F1
1m
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são Parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:57 PM
A partir do instante de aplicação de F, calcule: a) o módulo da força normal exercida pela superfície horizontal sobre o bloco; b) o módulo da aceleração do bloco.
28. Consideremos um bloco de massa m 5 12 kg, inicial-
F
θ
MarCo a. SiSMotto
Exercícios complementares
mente em repouso sobre um plano horizontal sem atrito, num local em que g 5 10 m/s2. A partir de determinado instante, aplicamos ao bloco uma força F de direção e sentido constantes, como indica a figura. (Dados: sen θ 5 0,60 e cos θ 5 0,80.)
a) Calcule a máxima intensidade que pode ter a força F, de modo que o bloco não perca o contato com o plano horizontal. b) Para a intensidade máxima de F, obtida no item a, calcule a aceleração do bloco.
29. Um bloco de massa m 5 4,0 kg está inicialmente em
F
MarCo a. SiSMotto
repouso sobre uma superfície plana e horizontal sem atrito, num local em que g 5 10 m/s2. A partir de determinado instante, aplicamos ao bloco uma força F de direção e sentido constantes, como mostra a figura.
30º
a) Calcule a máxima intensidade que pode ter a força F de modo que o bloco não perca o contato com a superfície horizontal. b) Para a intensidade máxima de F, obtida no item a, calcule a aceleração do bloco.
4
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_13.indd 4
MarCo a. SiSMotto
pectivamente iguais a 20 kg e 10 kg, inicialmente em repouso sobre um plano horizontal sem atrito, encostados um no outro. A partir de determinado instante, aplicamos ao bloco A uma força constante F, de intensidade F 5 60 N, como mostra a figura. São dados: g 5 10 m/s2, sen θ 5 0,40 e cos θ 5 0,90.
MarCo a. SiSMotto
F
θ
30. Consideremos dois blocos, A e B, de massas res-
F
θ
A
B
Calcule as intensidades: a) da aceleração do sistema; b) da força exercida pelo bloco A sobre o bloco B; c) das forças normais exercidas pelo plano horizontal sobre os blocos A e B.
31. (Fuvest-SP) Uma pessoa pendurou um fio de prumo
no interior de um vagão de trem e percebeu, quando o trem partiu do repouso, que o fio se inclinou em relação à vertical. Com auxílio de um transferidor, a pessoa determinou que o ângulo máximo da inclinação, na partida do trem, foi 14o. MarCo a. SiSMotto
so sobre uma superfície plana e horizontal sem atrito. A partir de determinado instante, aplicamos ao bloco uma força constante F, como mostra a figura, cuja intensidade é F 5 200 N. São dados: g 5 10 m/s2, sen q 5 0,40 e cos q 5 0,90.
14º
Nessas condições: a) represente, na figura acima, as forças que agem na massa presa ao fio. b) indique, na figura acima, o sentido de movimento do trem. c) determine a aceleração máxima do trem. (Note e adote: tg 14o 5 0,25; aceleração da gravidade na Terra: g 5 10 m/s2.)
32. Um veículo move-se sobre uma estrada plana hori-
zontal, com movimento acelerado, de aceleração a. De um ponto D de sua traseira pende um fio ideal de comprimento b, o qual arrasta uma bolinha de massa m. São dados: g 5 10 m/s2, b 5 1,3 m e h 5 0,50 m. Calcule o máximo valor de a, de modo que a bolinha não perca o contato com a estrada. ConCeitograf
27. Um bloco de massa 6,0 kg está inicialmente em repou-
a
h
b
D
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são Parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:57 PM
da plana horizontal, em movimento retilíneo uniformemente acelerado cuja aceleração é a 5 8,1 m/s2. No teto do veículo está preso um pêndulo simples que se mantém em repouso em relação ao veículo. Determine o ângulo formado pelo pêndulo com a direção vertical. É dado g 5 10 m/s2.
36. Os blocos A e B da figura têm massas respectivamente iguais a 20 kg e 30 kg. O fio e a polia são ideais e não há atrito. B
A
34. (Fuvest-SP) O mostrador de uma balança, quando um objeto é colocado sobre ela, indica 100 N, como esquematizado em A. Conceitograf
Marco A. Sismotto
33. Consideremos um veículo que se move sobre uma estra-
θ
(sen θ 0,60 e cos θ 0,80 )
Adotando g 5 10 m/s2, calcule: a) o módulo da aceleração do bloco A; b) o módulo da tração no fio; c) o módulo da força exercida pelo fio sobre a polia.
(A)
(Sugestão: Lembre-se de que a 1 q 5 180o ⇒ ⇒ cos a 5 2cos θ.)
37. No sistema representado a seguir, os blocos A e B têm
B
A
α
θ
(B) Se tal balança estiver desnivelada, como se observa em B, seu mostrador deverá indicar, para esse mesmo objeto, o valor de: a) 125 N c) 100 N e) 75 N b) 120 N d) 80 N
35. Uma partícula é lançada com velocidade inicial v0
B v0
A
θ
a) Determine o módulo da aceleração da partícula durante a subida. b) Determine o intervalo de tempo decorrido desde o instante em que a partícula é lançada até o instante em que ela para. c) Sendo B o ponto do plano inclinado em que a partícula para, determine a distância AB.
5
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_13.indd 5
Desprezando o atrito, calcule: a) o módulo da aceleração do bloco A; b) o módulo da tração no fio.
38. (UF-GO) Um bloco desliza sobre um plano horizontal
sem atrito com velocidade constante v0. Em seguida, ele sobe uma rampa de inclinação q, também sem atrito, até parar no ponto C da figura. A distância BC percorrida ao longo da rampa é: C
Marco A. Sismotto
sobre um plano inclinado sem atrito, conforme mostra a figura, numa região em que a aceleração da gravidade tem módulo g 5 10 m/s2. São dados v0 5 12 m/s e sen q 5 0,30.
(sen θ 0,50 e sen α 0,60)
v0
B
Marco A. Sismotto
Exercícios complementares
massas respectivamente iguais a 7,0 kg e 3,0 kg. O fio e a polia são ideais e a aceleração da gravidade tem módulo g 5 10 m/s2.
θ
a)
v20 v20 d) 2 g tg q g sen q
b)
v20 v20 e) 2 g cos q 2 g sen q
c)
2v20 g sen q
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
cujas massas são respectivamente iguais a 2,0 kg e 4,0 kg, sobem a rampa em movimento uniforme, devido à força F paralela ao plano inclinado. Despreze os atritos e adote g 5 10 m/s2.
A
B
F
MarCo a. SiSMotto
40. (Mackenzie-SP) Os corpos A e B da figura abaixo,
com velocidade de 10 m/s, por uma rampa de inclinação de 30o, conforme a figura. Ao atingir a altura h 5 15 m, o barbante se rompe. Sabendo que g 5 10 m/s2, calcule o intervalo de tempo entre o instante do rompimento do barbante e a chegada do carrinho até a base da rampa. Despreze o atrito. Lettera StUDio
39. (UF-BA) Um garoto puxa um carrinho de massa 2,0 kg
30º
h 5 15 m
Exercícios complementares
30º
A intensidade da força que A exerce em B é: a) 2,0 N d) 30 N b) 3,0 N e) 40 N c) 20 N
6
Volume 1 Capítulo 13
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_13.indd 6
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são Parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
CAPÍTULO 14 – Lançamento oblíquo
5. Numa das margens de um rio, cuja largura é 850 m,
1. Considerando o lançamento horizontal de uma partícula nas proximidades da superfície da Terra e no vácuo, analise cada sentença e diga se é verdadeira ou falsa: a) A velocidade vetorial da partícula é constante.
é instalado um canhão de modo que sua boca esteja 45 m acima do solo (veja figura). Os projéteis disparados pelo canhão abandonam sua boca com velocidade horizontal v0. Para que valores de v0 o projétil atinge a outra margem? (Adote g 5 10 m/s2 e despreze a resistência do ar.) ConCeitogrAF
b) A velocidade vetorial da partícula tem módulo constante. c) A velocidade vetorial da partícula tem direção variável. d) A aceleração vetorial da partícula tem direção constante. e) A aceleração vetorial da partícula tem módulo constante. g) O ângulo formado entre a velocidade vetorial e a aceleração vetorial é constante.
2. Uma partícula é lançada horizontalmente, com veloci-
Exercícios complementares
dade v0, de ponto O situado a uma altura h em relação ao solo, numa região em que a aceleração da gravidade tem módulo g. O
v0 g
h
A
v
Calcule, em função de h, g e v0: a) o alcance horizontal;
6. Uma partícula é lançada horizontalmente, com velocidade v0, numa região em que g 5 10 m/s2. Seja v a velocidade dessa partícula num instante qualquer após o lançamento (antes de atingir o solo). Calcule |v0|, sabendo que 2,0 s após o lançamento temos v = 5 |v0 |. (Despreze os efeitos do ar.) 3
7. Um helicóptero voa horizontalmente com velocidade constante de módulo 180 km/h a uma altura de 80 m acima do teto de um automóvel, perseguindo o automóvel que se move a 144 km/h. Num determinado instante, desprende-se do helicóptero um parafuso que acaba atingindo o automóvel. Determine o ângulo θ no momento em que o parafuso se solta. (Adote g 5 10 m/s2.) ConCeitogrAF
f) A aceleração vetorial da partícula é constante.
180 km/h θ 80 m
b) o módulo da velocidade v com que a partícula atinge o solo.
144 km/h
3. Uma partícula é lançada horizontalmente, com velo8. (OPF-SP) Esta questão se refere à figura abaixo. ConCeitogrAF
cidade v0, de um ponto O situado 500 m acima do solo (suposto horizontal), numa região em que a aceleração da gravidade tem módulo g 5 10 m/s2. Sabendo que o alcance horizontal do lançamento é a 5 300 m, calcule |v0|. (Despreze os efeitos do ar.)
4. (UF-GO) Uma esfera que rola sobre uma mesa horizontal, abandona essa mesa com uma velocidade horizontal v0 e toca o solo após 1 s. Sabendo que a distância horizontal percorrida pela bola é igual à altura da mesa e considerando g 5 10 m/s2, a velocidade v0 é de: a) 1,25 m/s
d) 5,00 m/s
b) 10,00 m/s
e) 2,50 m/s
c) 20,00 m/s
1
Volume 1 Capítulo 14
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_14.indd 1
Sabe-se que não há atrito em qualquer parte do movimento. Uma bola é solta a partir do repouso, sempre da mesma posição no plano inclinado. A bola rola
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são PArte integrAnte da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
sobre o plano e sobre a mesa, caindo livremente, e um estudante, com uma cesta, recolhe-a sem deixar cair no chão. Ele posiciona a cesta como indica o desenho, e a bola cai exatamente em seu interior. A partir desse fato, ele garante que, se colocasse a cesta a uma distância horizontal 2d da mesa, seria necessário alterar também o valor de y. Qual das alternativas abaixo corresponde ao novo valor de y?
11. (U. F. Viçosa-MG) Desprezada a resistência do ar, a opção que representa corretamente a(s) força(s) que atua(m) sobre uma bola de futebol após ter sido chutada é: a)
a) y b) 2y c) 3y
b)
d) 4y e) Impossível resolver o problema.
9. Um indivíduo aponta sua espingarda para uma boli-
F B
c)
d)
80 cm
e) 80 m
Lettera Studio
Exercícios complementares
S g
Alex Argozino
nha B, presa por um fio F a um suporte S, de modo que o cano da espingarda fique na horizontal. No exato instante em que a bola abandona o cano da espingarda, o fio F se parte e a bolinha cai. Adotando g 5 10 m/s2 e desprezando os efeitos do ar, determine a velocidade com que a bala abandona o cano da espingarda de modo que a bala atinja a bolinha no instante em que esta atinge o solo.
10. Uma superfície plana S está inclinada em relação ao
solo, com ângulo de inclinação θ 5 64o. De um ponto O, situado 180 metros acima do solo, uma partícula é lançada com velocidade horizontal v0, cujo módulo é v0 5 15 m/s, conforme mostra a figura. Seja B o ponto onde a partícula atinge a superfície. Supondo g 5 10 m/s2 e desprezando os efeitos do ar, calcule a altura h do ponto B. (Se necessário, consulte a tabela trigonométrica neste CD.) O
v0
12. (Mackenzie-SP) Um balão (aeróstato) sobe verticalmente com velocidade constante de 10 m ? s21. Ao atingir a altura de 40 m, seu piloto lança horizontalmente uma pedra com velocidade de 30 m ? s21. Adote g 5 10 m/s2. A distância da vertical, que passa pelo ponto de lançamento, ao ponto em que a pedra atinge o solo é: a) 40 m
S
b) 80 m c) 120 m
180 m
d) 240 m
B
g
h A
D 10 m
2
Volume 1 Capítulo 14
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_14.indd 2
θ
e) 360 m
13. Uma partícula é lançada de um ponto O situado
80 m acima do solo, com velocidade v0 cujo módulo é 50 m/s e com ângulo de tiro θ (veja a figura). São dados: g 5 10 m/s2, sen θ 5 0,60 e cos θ 5 0,80.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
v0
ConCeitogrAF
A partícula atinge um muro vertical situado a 280 m do ponto O. Determine a altura h do ponto B onde a partícula atinge o muro. (Despreze os efeitos do ar.)
α
v0 O
80 cm
θ B
80 m
h ?
d
280 m
14. (E. E. Mauá-SP) Calcule a velocidade mínima com que o veículo M deve atingir o ponto A da rampa AO para não cair no rio. São dados: sen θ 5 0,26; sen2 θ 5 0,04 cos θ 5 0,97; cos2 θ 5 0,94 g 5 9,8 m/s2
O
mostrada na figura após ser arremessada por um jovem atleta que tenta bater um recorde de arremesso.
10 m 5m
letterA Studio
θ
18. (AFA-SP) Uma bola de basquete descreve a trajetória
luiz FernAndo ruBio
A
M
Sabendo que o corpo tangencia a aresta oposta, podemos afirmar que a distância d é de: a) 0,60 m c) 1,20 m e) 3,20 m b) 0,80 m d) 1,60 m
5,0 m
Exercícios complementares
B
2,0 m
x
15. (I. E. Itajubá-MG) Um projétil de massa m é lançado com velocidade inicial v0 fazendo certo ângulo com a horizontal. A componente horizontal de sua velocidade será, considerando h a altura máxima: a) v0 b)
2v0
c)
v20 2gh
d)
v20 2 2gh
e)
2gh
A bola é lançada com uma velocidade de 10 m/s e, ao cair na cesta, sua componente horizontal vale 6,0 m/s. Despreze a resistência do ar e considere g 5 10 m/s2. Pode-se afirmar que a distância horizontal (x) percorrida pela bola desde o lançamento até cair na cesta, em metros, vale: a) 3,0 b) 6,0 c) 4,8 d) 3,6
19. (Cesgranrio-RJ) Um corpo é lançado da origem de um
16. (UF-PR) Uma bola é lançada, a partir do solo, com uma velocidade cuja componente horizontal vale 45 m/s e cuja componente vertical vale 20 m/s. Determine sua velocidade 2 segundos após o lançamento. (Considere g 5 10 m/s2 e despreze a resistência do ar.)
sistema cartesiano ortogonal, com velocidade v0, em uma direção que forma um ângulo θ com a horizontal, 0 θ π . A trajetória descrita, em relação a 2 um observador parado na origem, é uma parábola. O alcance do lançamento é 10 m e a altura máxima atingida pelo corpo é 5,0 m. y (m) 5,0
17. (Mackenzie-SP) Da aresta superior do tampo retangular de uma mesa de 80 cm de altura, um pequeno corpo é disparado obliquamente, com velocidade inicial de módulo 5,00 m/s, conforme mostra a figura abaixo. O tampo da mesa é paralelo ao solo e o plano da trajetória descrita, perpendicular a ele. Despreze a resistência do ar e considere: sen α 5 0,60; cos α 5 0,80; g 5 10 m/s2.
3
Volume 1 Capítulo 14
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_14.indd 3
v0 θ
0
5,0
10
x (m)
Desprezando-se a resistência do ar e considerando-se a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, determine a intensidade da velocidade de lançamento v0. Adote 5 5 2,2.
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são PArte integrAnte da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
20. (Mackenzie-SP) Seja T o tempo total de voo de um projétil disparado a 60º com a horizontal, e seja v0y 5 200 m/s o valor da componente vertical da velocidade inicial. Desprezando a resistência do ar e considerando a aceleração da gravidade g 5 10 m/s2, os valores da componente vertical da velocidade nos instantes t 5 T e t 5 T são, respectivamente: 2 a) zero; zero d) 200 m/s; 200 m/s b) zero; 200 m/s e) 200 m/s; 100 m/s c) 200 m/s; zero
21. Na figura estão desenhados os vetores velocidade ins-
tantânea de uma partícula, nos instantes 0, 2 s, 4 s, 6 s e 8 s. Em qual das alternativas melhor se descreve o movimento da partícula? t 0 t 2s O
t 4s t 6s
Exercícios complementares
t 8s
a) É um movimento retilíneo uniforme. b) É um movimento retilíneo uniformemente variado. c) É o movimento de um corpo lançado obliquamente. d) É um movimento circular com velocidade angular constante.
22. (Vunesp-SP) A atleta brasileira Daiane dos Santos
teve seu salto “duplo twist carpado” analisado por pesquisadores do Laboratório de Biofísica da Escola de Educação Física da USP. Nesse estudo, verificou-se que, na última parte do salto, o seu centro de massa descreveu uma parábola, que a componente vertical da velocidade inicial da atleta foi de 5,2 m/s e que ela levou 1 s para percorrer uma distância horizontal de 1,3 m até atingir o chão. Adotando g 5 10 m/s2, determine o ângulo inicial aproximado do salto. α
sen α
cos α
15o 30o 45o 60o 75o 90o
0,26 0,50 0,71 0,87 0,97 1,00
0,97 0,87 0,71 0,50 0,26 0,00
23. Um canhão dispara projéteis com velocidade v0, num local em que a aceleração da gravidade tem módulo g. Determine o ângulo de tiro θ para o qual o alcance horizontal é igual à altura máxima.
4
Volume 1 Capítulo 14
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_14.indd 4
24. Duas partículas, A e B, são lançadas simultaneamente, de um mesmo ponto O do solo (suposto plano e horizontal), com velocidades vA e vB indicadas na figura (o eixo Ox é horizontal e o eixo Oy é perpendicular ao solo). Desprezando a resistência do ar, podemos afirmar que: y vA
vB
O
x
a) ambas atingirão o solo no mesmo ponto. b) ambas atingirão o solo no mesmo instante. c) as alturas máximas atingidas por ambas serão diferentes. d) o alcance da partícula A será maior que o alcance da partícula B. e) elas atingirão suas alturas máximas em instantes diferentes.
25. Ao bater o tiro de meta, um goleiro chuta a bola parada de forma que ela alcance a maior distância possível. No chute, a bola atinge o campo a uma distância de 40 m. Despreze a resistência do ar e considere g 5 10 m/s2. a) Qual o ângulo de tiro do chute do goleiro? b) Qual a intensidade do vetor velocidade inicial da bola? c) Qual a altura máxima atingida pela bola?
26. Um canhão dispara projéteis com velocidade de
módulo v0 e ângulo de tiro θ, tal que seu alcance horizontal seja máximo. Sabendo que os projéteis permanecem no ar durante 4,0 segundos e que g 5 10 m/s2, determine: a) o valor de v0;
b) o alcance horizontal.
27. (Vunesp-SP) Em uma partida de futebol, a bola é chutada a partir do solo descrevendo uma trajetória parabólica cuja altura máxima e o alcance atingido são, respectivamente, h e s. Desprezando o efeito do atrito do ar, a rotação da bola e sabendo que o ângulo de lançamento foi de 45o em relação ao solo horizontal, calcule a razão s/h.
28. (UF-RN) A experiência ilustrada na figura a seguir é realizada na superfície da Terra. Nessa experiência, uma pessoa lança uma pequena esfera no mesmo instante em que um objeto que estava preso no teto é liberado e cai livremente. A esfera, lançada com
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
objeto h
O
v0
M
300 m
v'0
letterA Studio
velocidade v0, atinge o objeto após um tempo tg. Se repetirmos, agora, essa mesma experiência num ambiente hipotético, onde a aceleração local da gravidade é nula, o tempo de colisão entre a esfera e o objeto será t0.
d 120 m
esfera sendo lançada
Considerando desprezível a resistência do ar nessas experiências, pode-se afirmar que: a) t0 5 tg 5 d v0
Exercícios complementares
b) t0 5 tg 5 h v0 c) t0 tg d v0 d) t0 tg h v0
29. De um ponto O situado 300 m acima do solo, lança-se
horizontalmente uma partícula com velocidade vA. No mesmo instante, outra partícula é lançada verticalmente para cima, de um ponto O' situado no solo, com velocidade v0 cujo módulo é 50 m/s, conforme mostra a figura. Sabe-se que as partículas chocam-se em um ponto M.
5
Volume 1 Capítulo 14
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_14.indd 5
O'
Adotando g 5 10 m/s2 e desprezando os efeitos do ar, calcule: a) o tempo decorrido desde o lançamento até o choque das partículas; b) a altura do ponto M; c) o módulo de v0.
30. (FAAP-SP) Uma partícula é lançada obliquamente
num plano vertical da origem O de um referencial cartesiano Oxy com velocidade de módulo 10 m/s, a qual faz com o eixo Ox um ângulo de 60o. No mesmo instante, é lançada verticalmente para cima uma outra partícula do ponto (100; 40 3 ) onde as coordenadas são dadas em metros. Admitindo desprezíveis a resistência do ar e a curvatura da superfície terrestre e considerando g 5 10 m/s2, determinar: a) o tempo decorrido desde o instante dos lançamentos até o instante do encontro; b) o módulo da velocidade da partícula lançada verticalmente para que consiga encontrar a outra. (Sugestão dos autores: Suponha que o eixo Ox seja paralelo ao solo e esteja a mais de 1 830 m acima do solo.)
31. Para a situação da questão anterior, determine as coordenadas do ponto de encontro.
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são PArte integrAnte da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
1. Dois blocos, A e B, estão em repouso, encostados um
F1
A
MARCO A. SISMOTTO
no outro e apoiados sobre uma superfície plana horizontal, numa região em que g 5 10 m/s². As massas de A e B são respectivamente iguais a 3,0 kg e 2,0 kg, e o coeficiente de atrito dinâmico entre cada bloco e a superfície horizontal é μd 5 0,40. A partir de certo instante, aplicam-se aos blocos as forças horizontais F1 e F2, conforme mostra a figura. F2
B
Sendo 80 N e 30 N, respectivamente, os módulos de F1 e F2, calcule, após iniciado o movimento, os módulos:
Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a superfície é μ, o módulo da força F exercida pela pessoa é dado por: a) F 5 μ(P μ sen θ) b) F
P sen θ µ P cos θ
c) F P d) F
( cos θ µµ sen θ )
sen θ µ cos θ P
e) F 5 P(μ cos θ sen θ)
4. O sistema esquematizado na figura é abandonado em repouso.
a) da força de atrito exercida sobre o bloco A; b) da força de atrito exercida sobre o bloco B;
g
A
c) da aceleração dos blocos;
MARCO A. SISMOTTO
CAPÍTULO 15 – Força de atrito
e) da força exercida pelo bloco A sobre o bloco B. dois blocos têm massas iguais e estão ligados por um fio de massa desprezível. Na superfície do plano inclinado, o bloco desloca-se sem atrito. O coeficiente de atrito cinético entre o plano horizontal e o bloco é 0,4, e o atrito na roldana da corda, desprezível. MARCO A. SISMOTTO
B
A massa de A é 6,0 kg, a massa de B é 8,0 kg, os fios e as polias são ideais, g 5 10 m/s² e o coeficiente de atrito entre A e a superfície horizontal é 0,40. Determine: a) a aceleração de A; b) a aceleração de B; c) a tração no fio ligado a A.
30º
5. (UFF-RJ) Um pano de prato retangular, com 60 cm Sendo g 5 10 m/s², a aceleração de cada bloco vale, em m/s²: a) 5
d) 0,4
b) 10
e) 0,87
de comprimento e constituição homogênea, está em repouso sobre uma mesa, parte sobre sua superfície, horizontal e fina, e parte pendente, como mostra a figura.
c) 0,5
3. (Cefet-PR) Uma pessoa puxa, com velocidade cons-
CONCEITOGRAF
Exercícios complementares
2. (UF-PE) No sistema representado na figura abaixo,
LETTERA STuDIO
tante, uma caixa de peso P sobre uma superfície horizontal, como indica a figura a seguir.
F θ
1
Volume 1 Capítulo 15
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_15.indd 1
Sabendo-se que o coeficiente de atrito estático entre a superfície da mesa e o pano é igual a 0,50 e que o pano está na iminência de deslizar, pode-se afirmar que o comprimento da parte sobre a mesa é: a) 40 cm
c) 15 cm
b) 20 cm
d) 60 cm
e) 30 cm
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
6. O sistema esquematizado na figura é abandonado
em repouso. O fio e a polia são ideais, a massa de A é 6,0 kg, a massa de B é 4,0 kg e o coeficiente de atrito entre B e o plano inclinado é 0,05. São dados: g 5 10 m/s², sen θ 5 0,60, cos θ 5 0,80.
g
B
g
B
A
A C
θ
Determine: a) o módulo da aceleração de cada bloco; b) a tração no fio.
7. (Cesesp-PE) Dois blocos de massa M1 e M2 são ligados
por uma corda leve e inextensível que passa por um pino fixo e liso, conforme mostra a figura. O coeficiente de atrito estático entre o bloco 2 e a mesa horizontal é μ.
M1
a) 3 N a 5 N
d) 12 N a 28 N
b) 6 N a 8 N
e) 30 N a 45 N
c) 8,5 N a 11 N
10. (Fuvest-SP) Um bloco de massa m, montado sobre rodas (para tornar o atrito desprezível), parte do repouso em A e leva um tempo t0 para atingir B. A massa das rodas é desprezível. Retirando-se as rodas, verifica-se que o bloco, partindo do repouso em A, leva um tempo 2t0 para atingir B.
g
Se M2 5 4M1, o menor valor possível de μ para que os blocos não entrem em movimento deve ser:
A h
a) 4,50 b) 0,45
α
B
c) 0,20 d) 0,65 e) 0,25
8. Um bloco A, de massa 4,0 kg, está sobre um bloco B, de massa 8,0 kg, o qual está sobre uma superfície plana horizontal, sem atrito, numa região em que g 5 10 m/s². O coeficiente de atrito estático entre o bloco A e o bloco B é μe 5 0,20. Calcule a máxima intensidade de uma força horizontal F que pode ser aplicada sobre o bloco A, de modo que o conjunto se mova sem que A escorregue sobre B. A
a) Determine o valor de t0. b) Determine o valor do coeficiente de atrito entre o plano e o bloco (sem rodas), em função de α.
11. Sobre um plano inclinado são abandonados dois blocos, A e B, ligados por um fio ideal, como mostra a figura. As massas de A e B são respectivamente iguais a 4,0 kg e 6,0 kg. Os coeficientes de atrito dinâmico entre os blocos A e B e o plano inclinado são, respectivamente, μA 5 0,25 e μB 5 0,50. B
F A
B
sen θ 0,60 cos θ 0,80
θ
9. (PUC-SP) No sistema representado na figura, as polias e os fios são ideais, o peso de A é 20 N e o peso de B é 10 N. O coeficiente de atrito entre A e a superfície horizontal é igual a 0,2.
2
Volume 1 Capítulo 15
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_15.indd 2
ILuSTRAçõES: MARCO A. SISMOTTO
Exercícios complementares
M2
Para que o sistema fique em equilíbrio, o peso de C deve ficar no intervalo:
Sabendo que g 5 10 m/s², calcule: a) o módulo da aceleração do conjunto; b) o módulo da tração no fio.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
12. Considere a situação do exercício anterior. Calcule a
intensidade da tração no fio, supondo μA 5 μB 5 0,50.
13. Os blocos B e C estão inicialmente em repouso apoiados sobre a superfície horizontal S. A massa de B é 10 kg, a massa de C é 5,0 kg, o coeficiente de atrito entre C e B é 0,20, o coeficiente de atrito entre B e S é 0,05 e g 5 10 m/s². Aplicamos sobre o bloco C uma força horizontal F, de intensidade 5,0 N. F
B
θ
sen θ = 0,60 e cos θ = 0,80
a) Determine os valores da massa de B para os quais o sistema permanece em repouso. b) Para que valor da massa de B a força de atrito entre o bloco A e o plano inclinado é nula?
15. Um bloco A, de massa m 5 10 kg, está sobre um
B
S
a) O bloco C deslizará sobre B? b) O bloco B deslizará sobre S?
14. No sistema representado na figura, o fio e a polia são
A
v
B
θ
Exercícios complementares
ideais e a massa do bloco A é 20 kg. Adote g 5 10 m/s², suponha que o coeficiente de atrito estático entre o bloco A e o plano inclinado é μ 5 0,25 e admita que o sistema tenha sido abandonado em repouso.
carro B, o qual desce por uma rampa sem atrito, como mostra a figura, sem que A escorregue sobre B. São dados: g 5 10 m/s², sen θ 5 0,60 e cos θ 5 0,80. Calcule as intensidades da força normal e da força de atrito exercidas pelo carro sobre o bloco A. Ilustrações: Marco A. Sismotto
C
A
3
Volume 1 Capítulo 15
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_15.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:58 PM
CAPÍTULO 18 – Trabalho e energia cinética
1. Um corpo de massa 2,0 kg move-se sobre uma superfície horizontal cujo coeficiente de atrito é μ. Sob o corpo atua uma força horizontal que varia com a posição do corpo, como indica o gráfico abaixo: v
A distância percorrida pelo bloco, desde o ponto C até parar, vale, em metros, a) 12
d) 4,0
b) 8,0
e) 2,0
c) 6,0
4. (ITA-SP) O arranjo de polias da figura é preso ao teto
F
10
110
para erguer uma massa de 24 kg, sendo os fios inextensíveis e desprezíveis as massas das polias e dos fios.
x (m)
Marco A. Sismotto
F (N) 25
F 5 0
10
110
x (m)
2. (Fund. Carlos Chagas-SP) Um corpo de massa 0,20 kg escorrega pela pista em forma de arco de circunferência de raio R 5 4,0 m, partindo do repouso no ponto A. 30° R R
A
24 kg
Desprezando os atritos, determine: a) o valor do módulo da força F necessário para equilibrar o sistema; b) o valor do módulo da força F necessário para erguer a massa com velocidade constante; c) a força (F ) que realiza maior trabalho, em módulo, durante o tempo T em que a massa está sendo erguida com velocidade constante.
5. (U. F. São Carlos-SP) Para a coleta de entulho de cons-
g
trução, tornou-se comum o uso de caçambas. Conceitograf
Exercícios complementares
Quando o corpo se encontrava na posição x1 5 10 m, sua velocidade escalar era 10 m/s e, na posição x2 5 110 m, era 20 m/s. Pode-se afirmar que o coeficiente de atrito μ vale: a) 0,175 d) 0,75 b) 0,275 e) 0,85 c) 1,75
B
Ao passar pelo ponto mais baixo B, sua velocidade é de 6,0 m/s. No trecho AB o trabalho das forças resistentes ao movimento é, em joules, a) 21,6 d) 20,20 b) 20,80 e) 20,10 c) 20,40
3. (Fund. Carlos Chagas-SP) Um bloco desliza, a partir
do repouso no ponto A, ao longo de uma pista ABC sem atrito, e depois passa pela região horizontal CD, onde fica sujeito a uma força de atrito de coeficiente 0,50 entre as superfícies de contato. y (m) 6,0
A
2,0 0
1
Volume 1 Capítulo 18
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_18.indd 1
C B
D x
Suponha que uma dessas caçambas cheia de entulho tenha massa total de 5,0 toneladas. Atrelada ao braço do guindaste, este necessita de 40 s para posicionar a caçamba sobre o caminhão, a 80 cm do solo. Admitindo-se que a aceleração da gravidade tem módulo igual a 10 m/s2, a potência, em W, necessária para que o guindaste leve a caçamba do solo para sua posição sobre o caminhão vale: a) 6,0 ? 102
d) 1,2 ? 103
b) 8,0 ? 102
e) 2,0 ? 103
c) 1,0 ? 10
3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
6. No esquema temos uma mola helicoidal vertical,
g
2,0 m
Luiz Fernando Rubio
com a base fixada no solo. Uma pequena esfera de massa m 5 2,0 kg é abandonada, a partir do repouso, da posição de 2,0 m acima da mola, como mostra a figura.
No local, a gravidade tem módulo g 5 10 m/s2 e a mola tem constante elástica k 5 2,0 ? 102 N/m e é considerada ideal. Determine: a) a deformação na mola quando a bolinha atingir sua máxima velocidade; b) a máxima deformação na mola.
Exercícios complementares
7. (ITA-SP) Um corpo movimenta-se numa superfície
horizontal sem atrito, a partir do repouso, devido à ação contínua de um dispositivo que lhe fornece uma potência mecânica constante. Sendo v sua velocidade após certo tempo t, pode-se afirmar que: a) a aceleração do corpo é constante. b) a distância percorrida é proporcional a v2.
2
Volume 1 Capítulo 18
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_18.indd 2
c) o quadrado da velocidade é proporcional a t. d) a força que atua sobre o corpo é proporcional a t . e) a taxa de variação temporal da energia cinética não é constante.
8. (Fuvest-SP) A usina hidrelétrica de Itaipu possui
20 turbinas, cada uma fornecendo uma potência elétrica útil de 680 MW, a partir de um desnível de água de 120 m. No complexo, construído no rio Paraná, as águas da represa passam em cada turbina com vazão de 600 m3/s. a) Estime o número de domicílios, N, que deixariam de ser atendidos se, pela queda de um raio, uma dessas turbinas interrompesse sua operação entre 17 h 30 min e 20 h 30 min, considerando que o consumo médio de energia, por domicílio, nesse período, seja de 4 kWh. b) Estime a massa M, em kg, de água do rio que entra em cada turbina, a cada segundo. c) Estime a potência mecânica da água P, em MW, em cada turbina. NOTE E ADOTE: Densidade da água 5 103 kg/m3 1 MW 5 1 megawatt 5 106 W 1 kWh 5 1 000 W ? 3 600 s 5 3,6 ? 106 J Os valores mencionados foram aproximados para facilitar os cálculos.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
CAPÍTULO 19 – Energia e potência
3. (IME-RJ) Um bloco de 4 kg e velocidade inicial de 2 m/s percorre 70 cm em uma superfície horizontal rugosa até atingir uma mola de constante elástica 200 N/m. A aceleração da gravidade é 10 m/s2 e o bloco comprime 10 cm da mola até que sua velocidade se anule. Admitindo que durante o processo de compressão da mola o bloco desliza sem atrito, o valor do coeficiente de atrito da superfície rugosa é:
Conceitograf
1. (Fuvest-SP)
a) 0,15 b) 0,20 Um pequeno cata-vento do tipo Savonius, como o esquematizado na figura, acoplado a uma bomba d’água, é utilizado em uma propriedade rural. A potência útil P (W) desse sistema para bombeamento de água pode ser obtida pela expressão P 5 0,1 ∙ A ∙ v3, em que A (m2) é a área total das pás do cata-vento e v (m/s), a velocidade do vento. Considerando um cata-vento com área total das pás de 2 m2, velocidade do vento de 5 m/s e água sendo elevada de 7,5 m na vertical, calcule:
c) 0,25 d) 0,30 e) 0,35
4. (UF-PE) Um objeto de 2,0 kg é lançado a partir do solo na direção vertical com uma velocidade inicial tal que o mesmo alcança a altura máxima de 100 m. O gráfico mostra a dependência da força de atrito Fa, entre o objeto e o meio, com a altura. Determine a velocidade inicial do objeto, em m/s.
Exercícios complementares
b) a energia E necessária para elevar 1 L de água; c) o volume V1 de água bombeado por segundo; d) o volume V2 de água, bombeado por segundo, se a velocidade do vento cair pela metade. NOTE E ADOTE Densidade da água 5 1 g/cm3. Aceleração da gravidade g 5 10 m/s2.
2. (ITA-SP) Um pêndulo, composto de uma massa M fixada na extremidade de um fio inextensível de comprimento L, é solto de uma posição horizontal. Em dado momento do movimento circular, o fio é interceptado por uma barra metálica de diâmetro desprezível, que se encontra a uma distância x na vertical abaixo do ponto O. Em consequência, a massa M passa a se movimentar num círculo de raio L 2 x, conforme mostra a figura. L
força de atrito Fa (N)
a) a potência útil P do sistema; 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0
20
40 60 80 altura h (m)
100
5. (UE-CE) Um carrinho de montanha-russa tem velocidade igual a zero na posição 1, indicada na figura, e desliza no trilho, sem atrito, completando o círculo até a posição 3. v 0 1 h
g 2 R 24 m
O 3
g
x L x
Determine a faixa de valores de x para os quais a massa do pêndulo alcance o ponto mais alto deste novo círculo.
1
Volume 1 Capítulo 19
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_19.indd 1
A menor altura h, em metros, para o carro iniciar o movimento sem que venha a sair do trilho na posição 2 é: a) 36 m b) 48 m c) 60 m d) 72 m
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
fio com massa desprezível. A esfera, inicialmente em repouso, é largada de uma posição em que o fio faz um ângulo de 60° com a vertical, conforme a figura. 60° g
8. (ITA-SP) No plano inclinado, o corpo de massa m é preso a uma mola de constante elástica k, sendo barrado à frente por um anteparo. Com a mola no seu comprimento natural, o anteparo, de alguma forma, inicia seu movimento de descida com uma aceleração constante a. Durante parte dessa descida, o anteparo mantém contato com o corpo, dele se separando somente após um certo tempo.
7. (AFA-SP) A figura representa uma pista pertencente ao
plano vertical. O raio R da parte circular vale 4,0 m. Um corpo parte do repouso no ponto A. B
Exercícios complementares
R
A
2
Volume 1 Capítulo 19
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_19.indd 2
m
anteparo
α
Desconsiderando quaisquer atritos, podemos afirmar que a variação máxima do comprimento da mola é dada por: a)
[mg sen α m a(2g sen α a)] k
b)
[mg cos α m a(2g cos α a)] k
c)
[mg sen α m a(2g sen α a)] k
d)
m(g sen α a) k
e)
mg sen α k
g
Desprezando-se o atrito e a resistência do ar, adotando-se g 5 10 m/s2 e considerando-se que, em B, a força que comprime o móvel contra a pista tem intensidade igual a 1 da de seu peso, pode-se afir4 mar que o módulo de sua velocidade em B vale, em m/s, aproximadamente: a) 7,1 b) 3,2 c) 5,5 d) 6,3
g
k
Considerando que o fio tem 0,4 m de comprimento, conclui-se que a esfera atinge o ponto mais baixo de sua trajetória com uma velocidade de: a) 6 m/s c) 1 m/s e) 3 m/s b) 4 m/s d) 2 m/s
Luiz Fernando Rubio
6. (UF-PB) Uma esfera metálica está suspensa por um
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
CAPÍTULO 20 – Quantidade de movimento e impulso
ocorre durante um intervalo de tempo muito pequeno. Ao cobrar uma falta, o pé do Ronaldinho Gaúcho exerce uma força sobre a bola que é representada no gráfico abaixo.
1. (Cefet-PR) Analise as afirmativas a seguir com relação a um corpo de massa (m), percorrendo uma circunferência de raio (R), com movimento uniforme. I. O corpo possui aceleração de módulo constante e diferente de zero. II. A quantidade de movimento do corpo é constante durante todo o movimento. III. A energia cinética permanece constante durante todo o movimento. Sobre elas, podemos concluir que:
F (N) 3 2 1 0
a) Somente as afirmativas I e II são corretas.
2 t (ms)
b) Somente as afirmativas I e III são corretas.
O impulso sofrido pela bola no intervalo de 0 a 2 ms tem módulo igual a:
c) Somente as afirmativas II e III são corretas.
a) 0,001 kg ∙ m/s
d) 0,004 kg ∙ m/s
d) Todas as afirmativas são corretas.
b) 0,002 kg ∙ m/s
e) 0,005 kg ∙ m/s
e) Todas as afirmativas são incorretas.
c) 0,003 kg ∙ m/s
2. Uma partícula tem energia cinética E e momento
6. (Unifesp-SP) Uma menina deixa cair uma bolinha de massa de modelar que se choca verticalmente com o chão e para; a bolinha tem massa 10 g e atinge o chão com velocidade de 3,0 m/s. Pode-se afirmar que o impulso exercido pelo chão sobre essa bolinha é vertical, tem sentido para:
linear cujo módulo é Q. Sendo v o módulo da velocidade da partícula, podemos afirmar que:
Exercícios complementares
1
a) v 2E v 2Q Q d) E E e) b) v 2Q v QE 2 c) v Q 2E
a) cima e módulo 3,0 ? 1022 N ? s. b) baixo e módulo 3,0 ? 1022 N ? s. c) cima e módulo 6,0 ? 1022 N ? s.
3. Sejam m, v, E e Q, respectivamente, as medidas no Sistema Internacional de unidades da massa, da velocidade, da energia cinética e da quantidade de movimento de uma partícula, num dado instante. Dentre as várias relações entre essas medidas, apresentadas nas alternativas, a correta é: 2 a) Q 2E d) 2Q2 5 mE m b) Qv 5 E
d) baixo e módulo 6,0 ? 1022 N ? s. e) cima e módulo igual a zero.
7. Uma bola de futebol, de massa 0,30 kg, é abandonada de uma certa altura, atingindo o solo com velocidade v1 (figura a), tal que v1 5 10 m/s. Após um curto intervalo de tempo Dt 5 0,1 s (durante o qual ocorre a colisão), a bola abandona o solo com velocidade v2 (figura b), cujo módulo é 8,0 m/s.
e) 2Qv 5 E
c) Q E m 2
g
v2
4. (UE-RJ) Na rampa de saída de um supermercado, uma pessoa abandona, no instante t 5 0, um carrinho de compras de massa 5,0 kg, que adquire aceleração constante. Considere cada um dos três primeiros intervalos de tempo do movimento, iguais a 1,0 s. No primeiro e no segundo intervalo de tempo, o carrinho percorre, respectivamente, 0,5 m e 1,5 m. Calcule: a) a distância percorrida pelo carrinho no terceiro intervalo de tempo; b) o módulo do momento linear do carrinho no instante t 5 3,0 s.
5. (Unifor-CE) O chute em uma bola é uma interação que 1
Volume 1 Capítulo 20
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_20.indd 1
v1
Figura a.
Figura b.
a) Calcule o impulso da resultante das forças que atuam na bola durante a colisão. b) Supondo g 5 10 m/s2, calcule o impulso do peso da bola durante a colisão. c) Calcule o impulso da força que o solo exerce na bola durante a colisão. d) Calcule o valor médio da força que o solo exerce na bola durante a colisão.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
de borracha e outra feita de massa de modelar, são largadas de uma mesma altura. A bola de borracha bate no solo e retorna a uma fração de sua altura inicial, enquanto a bola feita de massa de modelar bate e fica grudada no solo. Assinale a opção que descreve as relações entre as intensidades dos impulsos IB e IM exercidos, respectivamente, pelas bolas de borracha e de massa de modelar sobre o solo, e entre as respectivas variações de energias cinéticas DEB e DEM das bolas de borracha e de massa de modelar devido às colisões, desprezando os impulsos dos pesos: a) IB , IM e DEB . DEM
faz a curva e entra na rua S com velocidade v2, sendo |v1| 5 15 m/s e |v2| 5 10 m/s. Conceitograf
8. (UFF-RJ) Duas bolas de mesma massa, uma feita
R v1
S v2
b) IB , IM e DEB , DEM c) IB . IM e DEB . DEM d) IB , IM e DEB , DEM
a) Determine a variação da quantidade de movimento do automóvel ao fazer a curva.
e) IB 5 IM e DEB , DEC bem mais leve do que uma criança de massa M, e um pai que a empurra, soltando o balanço, como é comum, na vertical, sua posição mais baixa. Sendo g o módulo da aceleração gravitacional, a intensidade do impulso que ele deve dar para que a criança se eleve até uma inclinação α, como está ilustrado a seguir, será expressa por: a) M gL sen α b) 2M (1 cos α) gL c) M 2gL(1 – cos α)
b) Determine o valor médio da resultante das forças que atuam no automóvel durante a curva, supondo que esta tenha sido feita em 1,2 s.
11. (U. F. Uberlândia-MG) Um corpo de 10,0 kg deslocase em uma trajetória retilínea, horizontal, com uma velocidade de módulo 3,0 m/s, quando passa a atuar sobre ele uma força resultante F, cujo módulo varia de acordo com o gráfico, formando um ângulo reto com a direção inicial do movimento. Se F é a única força que atua sobre o corpo e se sua direção e sentido permanecem constantes, analise as seguintes afirmações e responda de acordo com o código que se segue. F (N)
d) M sen α gL e) M gL(3 2 cos α)
10,0
a
Lettera Studio
Exercícios complementares
9. (UF-PA) Considere um balanço de comprimento L,
0
4,0
6,0
t (s)
I. A energia cinética do corpo no instante t 5 6,0 s é de 125 J. II. O trabalho realizado pela força F no intervalo entre t 5 0 e t 5 6,0 s vale 80,0 J. III. A quantidade de movimento do corpo no instante t 5 6,0 s tem módulo igual a 70,0 kg ∙ m/s. a) Apenas I e II são corretas. b) Apenas I é correta.
10. Na figura representamos um automóvel de massa 1 000 kg que inicialmente se move ao longo da rua R com velocidade de v1. Ao chegar a uma esquina, ele
2
Volume 1 Capítulo 20
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_20.indd 2
c) Apenas II e III são corretas. d) Apenas I e III são corretas. e) I, II e III são corretas.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
de uma cozinha e quebra ao chocar-se com o piso rígido. Se essa mesma xícara caísse, da mesma altura, da mesa da sala e, ao atingir o piso, se chocasse com um tapete felpudo, ela não se quebraria. Adote g 5 10 m/s2.
F (N)
a) Por que no choque com piso rígido a xícara se quebra e no choque com o piso fofo (do tapete) não?
800
b) Suponha que a xícara caia sobre o tapete e pare, sem quebrar. Admita que a massa da xícara seja 0,10 kg, que ela atinja o solo com a velocidade de 2,0 m/s e que o tempo de interação do choque seja de 0,50 s. Qual será a intensidade média da força exercida pelo tapete sobre a xícara? Qual seria essa força, se o tempo de interação fosse 0,010 s?
600
13. (UF-PA) Um vaso de flores caiu da janela de um
Exercícios complementares
lugar do motorista. Os dois gráficos foram registrados em duas colisões de testes de segurança. A única diferença entre essas colisões é que, na colisão I, se usou a bolsa e, na colisão II, ela não foi usada.
apartamento, no alto de um edifício de quatro andares, espatifando-se na calçada. Nos comentários dos transeuntes que passavam pelo local, sobre o perigo do fato, as observações eram de que, pela altura da queda, o vaso teria chegado ao solo com seu peso bastante aumentado. Com base na relação entre os conceitos de Impulso e Quantidade de Movimento, analise as afirmativas seguintes: I. O peso do vaso aumenta na razão direta da altura de queda. II. O vaso chegou ao solo com o mesmo peso. III. No choque, o impulso do solo sobre o vaso ocorre num tempo muito pequeno e, consequentemente, a força reativa é elevada, o que resulta na quebra do vaso. IV. A força reativa do solo não depende do tempo de impacto. Estão corretas apenas as afirmativas: a) I e II b) II e III c) I e III d) II e IV
II (sem a bolsa de ar)
400 200 0
I (com a bolsa de ar)
1 2 3 4
t (s)
Da análise desses gráficos, conclui-se que a explicação para o sucesso da bolsa como equipamento de proteção é: a) A bolsa diminui o intervalo de tempo da desaceleração da cabeça do motorista, diminuindo, portanto, a força média que atua sobre a cabeça. b) A bolsa aumenta o intervalo de tempo da desaceleração da cabeça do motorista, diminuindo, portanto, a força máxima que atua sobre a cabeça. c) A bolsa diminui o impulso total transferido para a cabeça do motorista, diminuindo, portanto, a força máxima que atua sobre a cabeça. d) A bolsa diminui a variação total de momento linear transferida para a cabeça do motorista, diminuindo, portanto, a força média que atua sobre a cabeça. e) Com a bolsa ou sem a bolsa, a intensidade da força média que atua sobre a cabeça é a mesma, porém, com a bolsa o impulso aplicado na cabeça é menor.
15. (UF-SC) Dois patinadores, um homem e um menino, de massas respectivamente iguais a 60 kg e 30 kg, estão de pé, de frente um para o outro, em repouso, sobre uma superfície de gelo, lisa, plana e horizontal. Quando um empurra o outro, o homem adquire velocidade de módulo 0,3 m/s em relação ao gelo.
e) I e IV
14. (UF-RN) Alguns automóveis dispõem de um eficiente
Lettera Studio
12. (Unifesp-SP) Uma xícara vazia cai de cima da mesa
sistema de proteção para o motorista, que consiste de uma bolsa inflável de ar. Essa bolsa é automaticamente inflada, do centro do volante, quando o automóvel sofre uma desaceleração súbita, de modo que a cabeça e o tórax do motorista, em vez de colidirem com o volante, colidem com a bolsa. A figura a seguir mostra dois gráficos da variação temporal da força que age sobre a cabeça de um boneco que foi colocado no
3
Volume 1 Capítulo 20
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_20.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
Considerando desprezível o atrito entre os patins dos patinadores e o gelo, verifique quais das proposições a seguir são corretas e dê como resposta a soma dos números que antecedem as proposições corretas. (01) A distância entre os patinadores, 2,0 s após se separarem, é 1,8 m. (02) A energia mecânica do sistema homem-menino se conserva. (04) As forças que o homem e o menino fazem um sobre o outro são conservativas. (08) A força externa resultante sobre o sistema homem-menino é nula. (16) Como a massa do homem é maior que a do menino, a quantidade de movimento do sistema tem o mesmo sentido que a quantidade de movimentos do homem. (32) As forças internas que atuam no sistema homemmenino não alteram a quantidade de movimento total do sistema. e 75 kg, respectivamente, encontram-se parados em pé, sobre patins, um em frente ao outro, num assoalho plano e horizontal. Subitamente, a garota empurra o rapaz aplicando sobre ele uma força horizontal de intensidade média 60 N durante 0,50 s. a) Qual o módulo do impulso da força aplicada pela garota? b) Desprezando-se quaisquer forças externas, quais os módulos das velocidades da garota e do rapaz depois da interação?
17. Um foguete de massa 800 000 kg está inicialmente
em repouso em relação ao Sol, numa região do espaço longe da Terra (figura a). O foguete lança, então, num curto intervalo de tempo, um jato de gás (figura b) de massa 10 000 kg e cuja velocidade é 2 000 m/s. ConCeitograf
Exercícios complementares
16. (Vunesp-SP) Uma garota e um rapaz, de massas 50 kg
18. (Fuvest-SP) Num espetáculo de fogos de artifício, um rojão, de massa m0 5 0,5 kg, após seu lançamento, descreve no céu a trajetória indicada na figura. y (m) 60 50
P
g
40 30 20 10 0
10 20 30 40 50 60 70 80 x (m)
No ponto mais alto de sua trajetória (ponto P), o rojão explode, dividindo-se em dois fragmentos, A e m B, de massas iguais a 0 . Logo após a explosão, a 2 velocidade horizontal de A, vA, é nula, bem como sua velocidade vertical. A massa do explosivo pode ser considerada desprezível. Adote g 5 10 m/s2. a) Determine o intervalo de tempo t0, e m segundos, transcorrido entre o lançamento do rojão e a explosão no ponto P. b) Determine a velocidade horizontal vB, do fragmento B, logo após a explosão, em m/s. c) Considerando apenas o que ocorre no momento da explosão, determine a energia E0 fornecida pelo explosivo aos dois fragmentos A e B, em joules.
19. (UF-PE) Um rapaz de 59,0 kg está parado sobre um
par de patins no instante em que ele pega um pacote de 1,0 kg que foi jogado em sua direção. Depois de apanhar o pacote, o rapaz recua com velocidade 0,3 m/s. Qual a velocidade horizontal do pacote, em m/s, imediatamente antes de ele ser apanhado? Despreze o atrito do solo com os patins.
20. Uma bola abandonada de certa altura tem sua quan-
tidade de movimento alterada durante a colisão com o solo. Mas a quantidade de movimento não deveria se conservar?
Figura a.
21. (UF-ES) Um pequeno vagão de massa M trafega com
MarCo a. SiSMotto
velocidade constante v0 numa trajetória reta e horizontal entre um alto-forno e um depósito. No caminho, uma pedra de massa m cai verticalmente dentro do vagão. m
Figura b.
⇓
Calcule: a) a massa do foguete após o lançamento do gás;
v0
M
b) a velocidade do foguete após o lançamento do jato de gás.
4
Volume 1 Capítulo 20
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_20.indd 4
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são Parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
Após a pedra ter caído, desprezando-se o atrito, a nova velocidade do conjunto é:
( ) b) (1 m ) v M c) ( M ) v M m d) (1 m ) v M e) (1 M ) v m a) 1 m v0 M 0
24. (Fuvest-SP) A partícula neutra conhecida como
0
1
0
0
22. (Unicamp-SP) No episódio II do filme Guerra nas Estrelas, um personagem mergulha em queda livre, caindo em uma nave que se deslocava horizontalmente a 100 m/s com os motores ligados. O personagem resgatado chegou à nave com uma velocidade de 6 m/s na vertical. Considere que a massa da nave é de 650 kg, a do personagem resgatado de 80 kg e a do piloto de 70 kg. a) Quais as componentes horizontal e vertical da velocidade da nave imediatamente após o resgate?
Exercícios complementares
A velocidade v0 do núcleo antes da divisão tem módulo igual a: a) 3v c) v e) v 3 v b) 2v d) 2 méson K 0 é instável e decai, emitindo duas partículas, com massas iguais, uma positiva e outra negativa, chamadas, respectivamente, méson π1 e méson π2. Em um experimento, foi observado o decaimento de um K 0, em repouso, com emissão do par π1 e π2. Das figuras a seguir, qual poderia representar as direções e sentidos das velocidades das partículas π1 e π2 no sistema de referência em que o K 0 estava em repouso? a) d)
b)
e)
b) Qual foi a variação da energia cinética total nesse resgate?
23. (UF-PB) Há 67 anos, lamentavelmente, foi lançada sobre Hiroshima uma bomba atômica cujo princípio físico é o da fissão nuclear. Nesse processo, um núcleo atômico pesado divide-se em núcleos menores liberando grande quantidade de energia. Suponha que o núcleo de um determinado átomo parte-se em três pedaços de mesma massa movendo-se com velocidades iguais em módulo (v1 5 v2 5 v3 5 v) nas direções indicadas na figura. v2
v3
v0
c)
25. (FEI-SP) Uma partícula de massa m 5 10 kg e velocidade constante |v1| 5 20 m/s choca-se com o anteparo no ponto A, passando a ter a velocidade constante |v2| 5 20 m/s. Sendo α π rad e sabendo-se que o 6 contato da partícula com o anteparo durou 10 s, qual a força média F que a partícula aplicou ao anteparo? A
v1
v1
α
α
Considere a massa total após a divisão igual à massa inicial.
5
Volume 1 Capítulo 20
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_20.indd 5
v2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 4:59 PM
CAPÍTULO 21 – Colisões
1. Um projétil de massa 20,0 gramas e velocidade hori-
Marco A. Sismotto
zontal v 5 400 m/s atinge um bloco de madeira de massa M 5 9,98 kg, inicialmente em repouso e preso por fios ideais a um suporte, como ilustra a figura.
v
c)
b)
d)
e)
4. (Vunesp-SP) Uma partícula A, com quantidade de
M
m
a)
Sendo g 5 10 m/s2, sabendo que o projétil fica incrustado no bloco, calcule:
movimento de módulo qA 5 10 kg ∙ m/s, move-se ao longo do eixo x em direção a uma partícula B em repouso. Após a colisão perfeitamente elástica, a partícula A toma a direção dada pelo vetor quantidade de movimento pA apresentado na figura. y
a) a velocidade do conjunto bloco 1 projétil logo após o impacto;
pA
b) a altura máxima atingida pelo conjunto, em relação à posição inicial.
2 kg m/s
lançado com velocidade v0 5 4 m/s num plano horizontal liso, colidindo com uma esfera B de massa mB 5 5,0 kg. A esfera, inicialmente parada e suspensa por um fio flexível e inextensível de comprimento L e fixo em O, atinge a altura hB 5 0,20 m após a colisão. Dado: g 5 10 m/s2. Marco A. Sismotto
O g L
mA
A
v0
mB
B
0
b) Qual o módulo e o sentido da velocidade vA do corpo A após a colisão?
Reproduza o reticulado em seu caderno, incluindo o vetor pA. a) Desenhe nesse reticulado o vetor quantidade de movimento qA da partícula A, antes da colisão, identificando-o. b) Desenhe, no mesmo reticulado, o vetor quantidade de movimento pB da partícula B, depois da colisão, identificando-o. representada na figura, encontra-se parado um corpo B de massa M, no qual está presa uma mola ideal de comprimento natural L0 e constante elástica k. Os coeficientes de atrito elástico e dinâmico, entre o corpo B e o plano, são iguais e valem μ. Um outro corpo A, também de massa M, é abandonado na parte inclinada. O atrito entre o corpo A e a superfície é desprezível. g L0
3. (Unifesp-SP) No quadriculado da figura estão representados, em sequência, os vetores quantidade de movimento da partícula A antes e depois de ela colidir elasticamente com a partícula B, que se encontrava em repouso.
O vetor quantidade de movimento da partícula B após o choque está melhor representado por:
Volume 1 Capítulo 21
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_21.indd 1
x
5. (Fuvest-SP) Sobre a parte horizontal da superfície hB
a) Qual a velocidade vB da esfera B imediatamente após a colisão?
1
2 kg m/s
A
B
h0
Marco A. Sismotto
Exercícios complementares
2. Imagine que um corpo A de massa mA 5 2,0 kg é
Determine: a) a máxima altura h0, na qual o corpo A pode ser abandonado, para que após colidir com o corpo B, retorne até a altura original h0. b) o valor da deformação X da mola, durante a colisão, no instante em que os corpos A e B têm a mesma velocidade, na situação em que o corpo A é abandonado de uma altura H . h0. (Despreze o trabalho realizado pelo atrito durante a colisão.)
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
6. (ITA-SP) Uma massa m1 com velocidade inicial v0
colide com um sistema massa-mola m2 e constante elástica k, inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito, conforme ilustra a figura. Determine o máximo comprimento de compressão da mola, considerando desprezível a sua massa. m1
k
v0
entre o bloco A e o plano rugoso é 0,2, determine as velocidades dos blocos após a colisão. (Adote g 5 10 m/s2.)
m2
20 m/s
6 m/s
A
B
rugoso
liso
9. A figura mostra a situação inicial de três esferas A, B 7. (Unicamp-SP) Um experimento interessante pode ser
Exercícios complementares
v
80 cm
Figura a.
v
iLUStraÇÕeS: Marco a. SiSMotto
realizado abandonando-se de certa altura uma bola de basquete com uma bola de pingue-pongue (tênis de mesa) em repouso sobre ela, conforme mostra a figura a. Após o choque da bola de basquete com o solo, e em seguida com a bola de pingue-pongue, esta última atinge uma altura muito maior do que sua altura inicial.
Figura b.
a) Para h 5 80 cm, calcule a velocidade com que a bola de basquete atinge o solo. Despreze a resistência do ar. b) Abandonadas de uma altura diferente, a bola de basquete, de massa M, reflete no solo e sobe com uma velocidade de módulo v 5 5,0 m/s. Ao subir, ela colide com a bola de pingue-pongue que está caindo também com v 5 5,0 m/s, conforme a situação representada na figura b. Considere que, na colisão entre as bolas, a energia cinética do sistema não se conserva e que, imediatamente após o choque, as bolas de basquete e pingue-pongue sobem com velocidades de v’b 5 4,95 m/s e v’p 5 7,0 m/s, respectivamente. A partir da sua própria experiência cotidiana, faça uma estimativa para a massa da bola de pingue-pongue, e, usando esse valor e os dados acima, calcule a massa da bola de basquete.
8. (Mackenzie-SP) A figura mostra dois blocos, A e B, de mesma massa igual a 5 kg e com velocidades iniciais 20 m/s e 6 m/s, respectivamente. O bloco A se movimenta durante 4 segundos para atingir o plano perfeitamente liso. Uma vez no plano liso, A colide centralmente com B. Supondo que o coeficiente de restituição é 0,2 e que o coeficiente de atrito
2
Volume 1 Capítulo 21
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_21.indd 2
e C, de mesmo raio e massas respectivamente iguais a 3m, m e 3m, as quais estão sobre uma superfície horizontal plana e sem atrito. As esferas A e C estão em repouso e a esfera B tem velocidade inicial v0. 3m
m
A
B
3m
v0
C
Supondo que as colisões entre as esferas sejam elásticas, determine: a) o número de colisões que ocorrem; b) as velocidades das esferas após a última colisão.
10. (IME-RJ) A figura abaixo mostra um hemisfério oco e liso, cujo plano equatorial é mantido fixo na horizontal. Duas partículas, X e Y, de massas mX e mY, são largadas no mesmo instante, de dois pontos diametralmente opostos, A e B, situados na borda do hemisfério. As partículas colidem no ponto C e, após a colisão, a partícula X atinge uma altura máxima R , enquanto 2 R Y atinge uma altura máxima , onde R é raio do 3 hemisfério. Determine o coeficiente de restituição do choque. Y
X
B
A R
C
11. (Mackenzie-SP) Observe o esquema. Suponha que a esfera A seja abandonada na posição em que θ 5 90º.
g
θ
L
A B
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste cD são Parte integrante da obra Física Clássica, dos autores caio Sérgio calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
São dados: – massa de A 5 4,0 kg – massa de B 5 2,0 kg – L 5 1,8 m; g 5 10 m/s2 – coeficiente de atrito entre B e o plano horizontal 5 5 0,20 – coeficiente de restituição do choque entre A e B 5 5 0,50 Após a colisão, o bloco B percorre no plano horizontal uma distância igual a: a) 3 m d) 5 m b) 6 m e) 4 m c) 9 m
12. Em um estacionamento de supermercado, um moto-
iLUStraÇÕeS: conceitograf
Exercícios complementares
rista distraído deixa seu automóvel colidir frontalmente com um carrinho de compras de massa m 5 20 kg, que está parado. A massa do automóvel é M 5 1 200 kg, a velocidade do automóvel antes da colisão é 40 km/h, e o coeficiente de restituição da colisão é e 5 0,9. Calcule os valores aproximados das velocidades do automóvel e do carrinho, logo após a colisão.
13. (UF-PI) Um garoto lança, com velocidade de módulo 2v, uma bola de tênis contra a parte traseira de um caminhão que anda com velocidade de módulo v. A bola toca o caminhão perpendicularmente à sua traseira, e tem velocidade inicial no mesmo sentido da velocidade do caminhão, conforme figura.
III. A bola, após tocar o caminhão, retorna com velocidade v na direção perpendicular à superfície 2 da traseira do caminhão. IV. A bola toca o caminhão e cai perpendicularmente ao chão.
14. Um corpo é largado de uma altura de 20 m; sabendo que o coeficiente de restituição entre o corpo e o solo é 0,50, a nova altura atingida pelo corpo é de: a) 4,5 m
c) 4,0 m
b) 5,0 m
d) 10 m
e) 15 m
(Fund. Carlos Chagas-SP) Enunciado para as questões de números 15 a 18. Dois carros, A e B, de massas iguais a 1,0 kg, são rigidamente ligados por uma haste H de massa desprezível. O carro C tem massa igual a 0,50 kg. No instante t 5 0, o carro C tem velocidade nula e os carros A e B têm velocidade cujo módulo é v0 5 4,0 m/s, como ilustra a figura. Despreze as forças de atrito entre os carros e a superfície horizontal.
15. Supondo que a colisão entre A e C seja perfeitamente inelástica, a velocidade do sistema após a colisão terá módulo igual a: a) 0,31 m/s
c) 2,5 m/s
b) 3,2 m/s
d) 3,0 m/s
e) zero
16. Se a colisão entre A e C fosse perfeitamente elástica, mas a ulterior colisão entre C e B fosse perfeitamente inelástica, a velocidade final do sistema teria módulo igual a: a) 0,31 m/s
c) 2,5 m/s
b) 3,2 m/s
d) 3,0 m/s
e) zero
17. Na questão anterior, entre a colisão de A com C e a Considere o choque perfeitamente elástico e a massa da bola muito menor que a do caminhão. Analise as afirmativas e em seu caderno classifique-as em V (verdadeira) ou F (falsa). I. A bola, após tocar o caminhão, retorna com velocidade 2v na direção perpendicular à superfície da traseira do caminhão. II. A bola, após tocar o caminhão, retorna com velocidade v na direção perpendicular à superfície da traseira do caminhão.
3
Volume 1 Capítulo 21
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_21.indd 3
colisão de C com B, as velocidades de A e C foram, respectivamente, em m/s: a) 2,4 e 4,8
d) 6,4 e 4,8
b) 6,4 e 2,4
e) 2,4 e 6,4
c) 4,8 e 2,4
18. Se as colisões entre A e C e entre C e B fossem perfeitamente elásticas, após a segunda colisão (C com B), a velocidade de C seria: a) 2,4 m/s
c) 1,6 m/s
b) 2,0 m/s
d) 1,4 m/s
e) zero
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste cD são Parte integrante da obra Física Clássica, dos autores caio Sérgio calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
19. (Fuvest-SP) Uma caixa C, parada sobre uma super-
Conceitograf
fície horizontal, tem em seu interior um bloco B, que pode deslizar sem atrito e colidir elasticamente com ela. O bloco e a caixa têm massas iguais, sendo mC 5 mB 5 20 kg. Na situação representada na figura, no instante t 5 0, é dado um empurrão na caixa, que passa a se mover, sem atrito, com velocidade inicial v0 5 15 cm/s.
20. Uma partícula é lançada horizontalmente, com velo-
cidade horizontal v0 cujo módulo é 20 m/s, num local em que g 5 10 m/s2, como a figura ilustra. Nessa figura, PM representa uma parede vertical e lisa. Se não houvesse a parede, a partícula atingiria o solo (suposto plano e horizontal) no ponto R. No entanto, o que ocorre é que a partícula colide (não inelasticamente) com a parede no ponto N, indo atingir o solo no ponto S. 20 m v0
P
g
N
Exercícios complementares
11,25 m
O bloco e a parede esquerda da caixa colidem no instante t1 5 2 s, passando o bloco, depois, a colidir sucessivamente com as paredes direita e esquerda da caixa, em intervalos de tempo Δt iguais. a) Determine os intervalos de tempo Δt. b) Construa os gráficos a seguir: • Quantidade de movimento QC da caixa em função do tempo t; • Quantidade de movimento QB do bloco em função do tempo t; • Energia total E do sistema em função do tempo t. Em todos os gráficos, considere pelo menos quatro colisões e indique valores e unidades nos eixos verticais. QC (caixa)
solo S
M
R
Desprezando a resistência do ar e supondo que o choque seja elástico, determine: a) as distâncias MR e NM; b) a distância SM. Compare esse valor com o obtido no item a para MR.
21. Retome a situação do problema anterior. Supondo que a colisão da partícula com a parede tenha coeficiente de restituição e 5 0,80, determine a distância SM.
22. (Fuvest-SP) A figura ilustra dois anteparos paralelos, colocados perpendicularmente com relação ao solo. Uma esfera é lançada do ponto A, com velocidade inicial v de 20 m/s perpendicular a S1. A esfera colide sucessivamente com S1 e S2, através de choques elásticos. 1m
0
10
20 t (s)
A
v
QB (bloco)
0
10
20 t (s) S1
S2
Pedem-se:
E
a) o tempo que leva a esfera para atingir novamente o anteparo S1;
0
10
4
Volume 1 Capítulo 21
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_21.indd 4
20 t (s)
b) a que altura h, relativamente ao ponto inicial A, a esfera se encontra, após 0,5 s do lançamento.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
Enunciado para as questões 23 e 24. Uma bolinha é abandonada num ponto A, 4,0 m acima do ponto B onde a bolinha colide elasticamente com a superfície inclinada S, que não tem atrito. Adote g 5 10 m/s2. A
27. Sobre uma mesa de bilhar, uma bola A, com velocidade v0, choca-se com uma bola B, parada e idêntica a A (fig. a). No instante em que ocorre o choque, a linha reta que une os centros das bolas forma um ângulo de 60º com a direção de v0 (fig. b). a) Antes do choque
g
A
α
A
r
B
B
23. Determine o valor de α para o qual, logo após a colisão, a velocidade da bolinha tem direção horizontal.
24. Supondo α 5 30º, determine a maior altura atingida
r 60º
Sabe-se que v0 5 8,0 m/s e que o choque é elástico. Sendo vA e vB as velocidades de A e B após o choque e desprezando o atrito entre as bolas, determine:
pela bolinha, em relação ao plano horizontal β, após a colisão.
a) o ângulo formado entre vB e a reta r, após o choque;
25. (ITA-SP) A figura mostra uma bola de massa m que
b) o ângulo formado entre vA e a reta r, após o choque;
cai com velocidade v1 sobre a superfície de um suporte rígido, inclinada de um ângulo θ em relação ao plano horizontal. m
c) vA; d) vB. Enunciado para as questões 28 e 29.
v1
Exercícios complementares
v0
β
B
b) Instante do choque
(ITA-SP) Três bolas idênticas A, B e C, tendo cada uma massa igual a 0,20 kg, estão sobre uma mesa sem atrito. Inicialmente as bolas B e C estão paradas (figura I) e a bola A tem velocidade v0, de modo que as retas x e y são perpendiculares. A Figura II ilustra o momento da colisão das bolas. Sabe-se que a colisão é elástica e que v0 5 2,0 m/s.
v2 α θ
Sendo e o coeficiente de restituição para esse impacto, calcule o módulo da velocidade v2 com que a bola é ricocheteada, em função de v1, θ e e. Calcule também o ângulo α.
26. Uma partícula A, com massa 2,0 kg e velocidade v0,
de módulo 25 m/s, move-se sobre uma superfície horizontal sem atrito (fig. a). Em repouso, sobre a mesma superfície, há uma partícula B. Ocorre uma colisão entre A e B e, após a colisão, verifica-se que a partícula B tem velocidade vB sobre a reta r e a partícula A tem velocidade vA sobre a reta s, que é perpendicular a r (fig. b). B
B
A v0
x C
y Figura I.
s
r
vA
B
A v0
A
x vB
A Figura a.
Figura b.
B
Sabendo que vA 5 20 m/s e vB 5 7,5 m/s, determine a massa de B.
5
Volume 1 Capítulo 21
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_21.indd 5
C
r y Figura II.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
28. Os módulos das velocidades das bolas A, B e C após o
c)
vB
choque são, respectivamente, em metros por segundo: a) b) c) d) e)
A
B
C
0,66 2,0 0,40 1,38 1,0
0,66 1,0 1,38 0,40 2,0
0,66 1,0 1,38 0,40 1,0
29. Da configuração de velocidades abaixo, qual deve
representar o que ocorre com as bolas após o choque? a) vB
vA vC
d)
vB
vA
vC
vA
30. (ITA-SP) Um objeto de massa m é projetado no ar a vC
b)
vB
Exercícios complementares
vA
vC
6
Volume 1 Capítulo 21
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_21.indd 6
45º do chão horizontal com uma velocidade v. No ápice de sua trajetória, este objeto é interceptado por um segundo objeto, de massa M e velocidade V, que havia sido projetado verticalmente do chão. Considerando que os dois objetos “se colam” e desprezando qualquer tipo de resistência aos movimentos, determine a distância d do ponto de queda dos objetos em relação ao ponto de lançamento do segundo objeto.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
19. Em uma pizzaria, o funcionário vai colocar a pizza
Lettera Studio
no forno usando o instrumento indicado na figura. Supondo que g 5 10 m/s2 e que a massa da pizza seja 1,0 kg, determine, desprezando a massa do instrumento, as intensidades e os sentidos das forças exercidas pelo funcionário nos pontos A e B do instrumento.
em um dos encaixes, sem desequilibrar a barra, é o disco de: a) 5 kg d) 20 kg b) 10 kg e) 25 kg c) 15 kg
21. Um bloco C homogêneo e de massa 16 kg está apoiado em uma barra homogênea de massa 8 kg, a qual, por sua vez, está apoiada em dois suportes S1 e S2. Calcule a intensidade das forças exercidas pelos suportes sobre a barra. 60 cm
20 cm
Setup
CAPÍTULO 23 – Estática dos corpos rígidos
pizza C A
B S1
22. (U. F. Santa Maria-RS) Para auxiliar a descompactação
1,5 m
barra B, com 2,0 m de comprimento e massa de 10 kg, está apoiada de forma simétrica em dois suportes S1 e S2, separados por uma distância de 1,0 m, como indicado na figura. M
0,5 m
E
0,5 m
S1
0,5 m
B
Luiz Fernando rubio
Exercícios complementares
20. (Fuvest-SP) Em uma academia de musculação, uma
0,5 m
S2
E
no ato de revirar a terra, um agricultor é visto em um determinado instante com uma pá na horizontal. Essa pá, de comprimento d e massa M, tem uma quantidade de terra de massa m. Lettera Studio
0,5 m
S2
m A d1
d2
0,10 m
Se um agricultor segura a pá na horizontal pelo centro de gravidade dela e pela extremidade A, separados pela distância d1, o módulo da força mínima aplicada pelo agricultor no centro de gravidade é:
g
d d a) mg 1 d 2 Mg 1 b) Mg (d1 d2) mg Para a realização de exercícios, vários discos, de diferentes massas M, podem ser colocados em encaixes, E, com seus centros a 0,10 m de cada extremidade da barra. O primeiro disco deve ser escolhido com cuidado, para não desequilibrar a barra. Dentre os discos disponíveis, cujas massas estão indicadas abaixo, aquele de maior massa e que pode ser colocado
1
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_23.indd 1
d d c) Mg 1 d 2 mg 1 d) Mg (d1 d2) mg d d e) mg 1 d 2 Mg 1
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
d) ao caminhar 10 m sobre um piso horizontal, a força vertical aplicada pelo homem sobre a barra realiza trabalho de 600 J.
23. (Unicamp-SP) Um freio a tambor funciona de acordo
100 cm F
30 cm C
e) deslocando-se a carga B de 0,5 m em direção ao ponto M, o torque sobre a barra será nulo.
25. (Mackenzie-SP) Sobre uma barra homogênea, de seção transversal constante e peso 800 N, uma criança caminha de A para B. A barra tem 10 m de comprimento e está apoiada em A e B. O gráfico a seguir mostra a variação da reação no apoio B em função da distância x.
Luiz Fernando Rubio
com o esquema da figura a seguir. A peça de borracha B é pressionada por uma alavanca sobre um tambor cilíndrico que gira junto com a roda. A alavanca é acionada pela força F e o pino no ponto C é fixo. O coeficiente de atrito cinético entre a peça de borracha e o tambor é μc 5 0,40.
B
Alex Argozino
x
tambor A
B
b) Qual é o módulo da força de atrito entre a borracha e o tambor?
RB (N)
c) Qual é o módulo da força aplicada pelo pino sobre a alavanca no ponto C ?
700
24. (UF-PA) Nos tempos em que o transporte de carga
400
ainda não se beneficiava do atual desenvolvimento tecnológico, o próprio homem costumava transportar cargas nos ombros por meio de arranjos como o da figura seguinte: 1,0 m
0
1,0 m M
setup
10 m
10
x (m)
A massa da criança é: (Adote g 5 10 m/s2.)
Lettera Studio
a) 30 kg
d) 45 kg
b) 35 kg
e) 50 kg
c) 40 kg A
Enunciado para as questões 26 e 27:
B
Uma barra homogênea, de seção reta constante e peso 640 N, está disposta horizontalmente sobre dois apoios A e B, como ilustra a figura.
a) deslocando a carga A em direção ao ponto M, pode-se manter o equilíbrio de rotação da barra em torno desse ponto. b) o homem poderá equilibrar a barra, reduzindo o comprimento dos cabos de sustentação da carga B. c) a força vertical que o ombro do homem suporta é igual a 60 N.
2
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_23.indd 2
5,0 m
g
Considerando que o apoio da barra no ombro do homem ocorre apenas no ponto M, e que as massas das cargas A e B valem, respectivamente, 20 kg e 40 kg, é correto afirmar que: (Aceleração da gravidade: g 5 10 m/s2.)
3,0 m
D
12 m
A
Alex Argozino
Exercícios complementares
a) Qual é o módulo da força normal que a borracha B exerce sobre o tambor quando F 5 750 N? Despreze a massa da alavanca.
x
B
C
E
Uma pessoa de peso 800 N caminha sobre a barra, da esquerda para a direita, sendo C o ponto mais próximo da extremidade E que a pessoa consegue atingir sem que a barra gire.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
26. Para o momento em que a pessoa está em C, determine as intensidades da:
Desprezando qualquer efeito de atrito, determine, em função de M e g: a) o módulo da força FAB que o cilindro A exerce sobre o cilindro B;
a) força exercida pelo apoio A sobre a barra; b) força exercida pelo apoio B sobre a barra.
27. Determine o valor de x.
b) o módulo da força FPB que o piso exerce sobre o cilindro B;
28. A figura representa o instante em que uma vela
c) o módulo da força FMC que a mureta exerce sobre o cilindro C.
3,0 cm
MarCo a. SiSMotto
cilíndrica e homogênea, de comprimento 12,0 cm e apoiada num suporte S, é acesa. g
6,0 cm
31. Para a situação da questão anterior, qual a intensidade da força que o cilindro B exerce sobre o cilindro C?
32. Na figura a seguir representamos a seção transversal
Setup
de um cilindro homogêneo de peso 100 N apoiado em duas superfícies planas sem atrito. S g
Sabendo que a vela queima à razão de 1 mm a cada 10 segundos, depois de quanto tempo a vela tombará? B
F g
A
B S
A 60°
θ
Determine as intensidades das forças exercidas no cilindro pelas superfícies planas, nos pontos de contato A e B, nos seguintes casos: a) θ 5 30° b) θ 5 40°
33. No sistema em equilíbrio esquematizado a seguir, AD é uma barra homogênea, de peso 40 N, articulada em A e segura em D pelo fio ideal CD. O peso do bloco B é 200 N e sabe-se que sen θ 5 0,60 e cos θ 5 0,80. D
30. (Fuvest-SP) Três cilindros iguais, A, B e C, cada um
g
MarCo a. SiSMotto
com massa M e raio R, são mantidos empilhados, com seus eixos horizontais, por meio de muretas laterais verticais, como mostra a figura.
A
MarCo a. SiSMotto
superfície horizontal S com atrito, comprimindo uma lâmina rígida L que não encosta em S. Na extremidade superior da lâmina aplicamos uma força horizontal F cuja intensidade é crescente, a partir de zero. Qual dos dois blocos se moverá primeiramente? MarCo a. SiSMotto
Exercícios complementares
29. Dois blocos idênticos A e B estão apoiados em uma
B C
θ
A
45º
Sendo F a força exercida pela articulação A na barra, determine as intensidades de: a) tração no fio CD;
B
C
b) componente vertical de F; c) componente horizontal de F; d) F
3
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_23.indd 3
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
34. Uma barra homogênea, de comprimento L e peso 400 N, suporta o bloco B como ilustra a figura. A barra está articulada em A e a distância AC é igual a 2L . Sabe-se que sen θ 5 0,80, cos θ 5 0,60 e 3 que a maior tração que o fio horizontal f pode suportar sem se romper é 450 N.
98,0 cm R
Determine os valores do coeficiente de atrito estático entre o semicilindro e a superfície S para os quais o semicilindro fica em repouso.
C
Texto para as questões de números 37 a 39 :
g
B A
a) Determine o maior valor que o peso de B pode ter de modo que o fio f não se rompa. b) Nas condições do item a, determine as componentes vertical e horizontal da força feita pela articulação A na barra.
35. No sistema em equilíbrio esquematizado a seguir, a barra AE é homogênea e está apoiada numa superfície horizontal S lisa. O peso do bloco B é 720 N, a constante elástica da mola é 1,8 104 N/m, sen θ 5 0,80, cos θ 5 0,60 e as distâncias AC, CD e DE são iguais. MarCo a. SiSMotto
Exercícios complementares
θ
E D
Alguns veículos têm tração apenas nas rodas dianteiras, outros apenas nas rodas traseiras e outros ainda têm um dispositivo que faz com que as quatros rodas sejam tracionadas. Como vimos no estudo do atrito (Capítulo 15), quando um veículo de tração dianteira está acelerando, as forças de atrito têm os sentidos indicados na figura a e quando um veículo de tração traseira está acelerando as forças de atrito têm os sentidos indicados na figura b. Se as rodas não estão tracionadas (fig. c) ou o veículo está sendo freado (fig. d), as forças de atrito têm sentido oposto ao do movimento. As forças de atrito nas rodas tracionadas são muito mais intensas que nas rodas livres. ConCeitograF
θ
A
S
MarCo a. SiSMotto
f
g
Figura a.
g C B θ
S
Figura b.
A
Determine: a) a deformação da mola; b) o peso da barra; c) a força exercida por S sobre a barra.
36. Na figura a seguir representamos a seção transversal de um semicilindro homogêneo, de raio R 5 40,0 cm e peso 10,8 N, apoiado numa superfície horizontal S com atrito. Sobre o semicilindro está apoiada uma barra cilíndrica e homogênea, de comprimento 120 cm e peso 55,0 N, articulada em A. São dados: sen θ 5 0,800 e cos θ 5 0,600.
4
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_23.indd 4
Figura c.
Figura d.
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
37. Quando um automóvel está acelerado (figs. a e b), a
Conceitograf
0,1 m 0,8 m
parte da frente do automóvel levanta um pouco. Por quê?
38. Quando um automóvel está brecando (fig. d), a parte da frente abaixa um pouco. Por quê?
1,5 m
1,2 m
39. Um automóvel cujo centro de gravidade é G move-se 42. Uma barra homogênea de peso 100 N está em equilíbrio, apoiada em duas superfícies planas e sem atrito, como ilustra a figura. São dados: sen 37° 5 0,60 e cos 37° 5 0,80. Marco A. Sismotto
Conceitograf
em uma estrada plana e horizontal, sendo o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a estrada igual a 0,70. São dados: h 5 0,50 m; d1 5 1,5 m; d2 5 2,0 m; g 5 10 m/s2.
g A
θ D
está em seu centro geométrico, está preso a duas articulações e um fio ao longo do qual a tração é 150 N. São dados: sen θ 5 0,60 e cos θ 5 0,80.
q 2,0 m
37º B
a) Faça em seu caderno um diagrama representando as forças que atuam na barra. b) Determine o ângulo θ. c) Determine as intensidades das forças exercidas pelas superfícies sobre a barra, nos pontos A e D.
43. Na figura a seguir representamos uma esfera homogênea, de centro C e peso 20 N, presa a um fio ideal f e comprimindo um bloco de peso 6 N contra uma parede vertical. Existe atrito entre o bloco e a parede, mas não há atrito entre a esfera e o bloco. São dados: R 5 5 cm; d 5 20 cm.
3,6 m
Determine: a) a componente horizontal da força exercida pela articulação inferior sobre o portão; b) a componente horizontal da força exercida pela articulação superior sobre o portão; c) a soma das componentes verticais exercidas pelas articulações sobre o portão.
41. (FEI-SP) Um portão homogêneo, de espessura constante e peso P 5 600 N, está montado conforme indica a figura, sendo desprezíveis os atritos em seus apoios. Determinar a intensidade das reações nos apoios.
5
Volume 1 Capítulo 23
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_23.indd 5
θ
g
f
d
R
Marco A. Sismotto
40. Um portão de peso 400 N e cujo centro de gravidade
Conceitograf
Exercícios complementares
Determine a aceleração máxima desse automóvel nos seguintes casos: a) a tração é nas quatro rodas; b) a tração é dianteira; c) a tração é traseira.
R
Determine os valores do coeficiente de atrito estático entre o bloco e a parede, para os quais há equilíbrio.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
CAPÍTULO 25 – Fluidostática: lei de Stevin
3. (UF-BA) A camada gasosa que envolve a Terra exerce
1. (U. F. Santa Maria-RS) A figura representa um tubo em forma de U, com água e petróleo, cujas densidades são respectivamente, 1 000 kg/m3 e 800 kg/m3. Sabendo que h 5 4 cm e que a aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s2, a pressão causada pelo petróleo na interface A vale, em Pa: a) 320 b) 400 c) 8 000 d) 1 000 e) 3 200
água
2. (Vunesp-SP) Uma pessoa, com o objetivo de medir a
pressão interna de um botijão de gás contendo butano, conecta à válvula do botijão um manômetro em forma de U, contendo mercúrio. Ao abrir o registro R, a pressão do gás provoca um desnível de mercúrio no tubo, como ilustrado na figura. Conceitograf
Exercícios complementares
B
B
c) em um posto salva-vidas à beira-mar. d) em um navio ancorado num ponto qualquer.
4. (UF-PA) Em um documentário de TV, João tomou
h
A
b) no alto de uma montanha.
R
conhecimento de que a pressão atmosférica diminuiu com a altitude. Por essa razão, o interior das aeronaves é mantido em certo nível de pressurização para conforto dos passageiros. O gráfico a seguir mostra a variação da pressão do ar externo com a altura acima do nível do mar. Sabendo que, durante o voo, é mantida uma diferença de 0,4 atmosfera entre as pressões interna e externa à aeronave, pela análise do gráfico, concluiu-se que a pressão interna a 8 000 metros de altitude, em atmosfera, é igual a: h (m)
setup
petróleo
a) em uma estação meteorológica qualquer.
e) no terraço de um prédio de três andares, construído numa cidade litorânea.
Conceitograf
g
pressão sobre a superfície terrestre e sobre todos os corpos nela situados. Segundo Evangelista Torricelli, a pressão atmosférica, ao nível do mar, equivale a 760 mmHg. Com base nessas informações, se um barômetro indica, para a pressão atmosférica, o valor de 70 cmHg, é possível que esse instrumento esteja situado:
12 000 10 000 8 000 6 000
104 cm
0
a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6
A
0,2 0,4
0,8 1,0
p (atm)
d) 0,8 e) 1,0
5. (Enem-MEC) A adaptação dos integrantes da seleção Considere a pressão atmosférica dada por 105 Pa, o desnível h 5 104 cm de Hg e a seção do tubo 2 cm2. Adotando a massa específica do mercúrio igual a 13,6 g/cm3, e g 5 10 m/s2, calcule: a) a pressão do gás, em pascal; b) a força que o gás aplica na superfície do mercúrio em A. Advertência: este experimento é perigoso. Não tente realizá-lo.
1
Volume 1 Capítulo 25
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_25.indd 1
brasileira de futebol à altitude de La Paz foi muito comentada em 1995, por ocasião de um torneiro, como pode ser lido no texto abaixo: A seleção brasileira embarca hoje para La Paz, capital da Bolívia, situada a 3 700 metros de altitude, onde disputará o torneio Interamérica. A adaptação deverá ocorrer em um prazo de 10 dias, aproximadamente. O organismo humano, em altitudes elevadas, necessita desse tempo para se adaptar, evitando-se, assim, risco de colapso circulatório. Adaptado de: Placar, fev. 1995.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
A adaptação da equipe foi necessária principalmente porque a atmosfera de La Paz, quando comparada à das cidades brasileiras, apresenta: a) menor pressão e menor concentração de oxigênio. b) maior pressão e maior quantidade de oxigênio. c) maior pressão e maior concentração de gás carbônico. d) menor pressão e maior temperatura. e) maior pressão e menor temperatura.
6. (Fuvest-SP) Quando você toma refrigerante com um
canudinho, o líquido sobe porque: a) a pressão atmosférica cresce com a altura, ao longo do canudo. b) a pressão do interior de sua boca é menor que a atmosférica. c) a densidade do refrigerante é menor que a do ar. d) a pressão hidrostática no corpo é a mesma em todos os pontos em um plano horizontal.
Exercícios complementares
7. (Covest-PE) Se o fluxo sanguíneo não fosse ajustado pela expansão das artérias, para uma pessoa em pé a diferença de pressão arterial entre o coração e a cabeça seria de natureza puramente hidrostática. Nesse caso, para uma pessoa em que a distância entre a cabeça e o coração vale 50 cm, qual o valor em mmHg dessa dife-
2
Volume 1 Capítulo 25
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_25.indd 2
rença de pressão? (Considere a densidade do sangue igual a 103 kg/m3 e a densidade do mercúrio igual a 13,6 ? 103 kg/m3.)
8. (Unicamp-SP) Suponha que o sangue tenha a mesma densidade que a água e que o coração seja uma bomba capaz de bombeá-lo a uma pressão de 150 mm de mercúrio acima da pressão atmosférica. Considere uma pessoa cujo cérebro está 50 cm acima do coração e adote, para simplificar, que 1 atm 5 750 mm de mercúrio. a) Até que altura o coração consegue bombear o sangue? b) Suponha que essa pessoa esteja em outro planeta. A que aceleração gravitacional máxima ela pode estar sujeita para que ainda receba sangue no cérebro?
9. (U. F. São Carlos-SP) Quando efetuamos uma transfusão de sangue, ligamos a veia do paciente a uma bolsa contendo plasma, posicionada a uma altura h acima do paciente. Considerando g 5 10 m/s2 e que a densidade do plasma seja 1,04 g/cm3, se uma bolsa de plasma for colocada 2 m acima do ponto da veia por onde se fará a transfusão, a pressão do plasma ao entrar na veia será: a) 0,0016 mmHg d) 15,6 mmHg b) 0,016 mmHg e) 156 mmHg c) 0,156 mmHg
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:00 PM
CAPÍTULO 26 – Fluidostática – Princípio de Arquimedes
1. Um garoto segura uma bexiga cheia de gás hélio,
tHInKstoCK/gettY IMages
como ilustra a figura. São dados: dHe 5 densidade do hélio 5 0,17 kg/m3; dar 5 densidade do ar 5 1,20 kg/m3; V 5 volume da bexiga 5 10 L; g 5 10 m/s2.
na água, uma parte dela sai pela abertura, caindo no recipiente Y; a balança passa a marcar 0,40 kg. Sabe-se que g 5 10 m/s2 e que a densidade da água é dL 5 1,0 103 kg/cm3. Calcule: a) a intensidade do empuxo exercido sobre o corpo; b) a massa do corpo; c) o volume do corpo; d) a densidade do corpo.
3. Uma placa de madeira cuja densidade é 0,60 g/cm3
10 cm
aleX argoZIno
tem as dimensões indicadas na figura a. Essa placa é colocada a flutuar na água e uma pessoa de massa 60 kg sobe nela (fig. b). Calcule o valor da altura x da parte emersa, sabendo que a densidade da água é 1,0 g/cm3.
Desprezando as massas do fio que o garoto segura e da borracha de que é feita a bexiga, calcule a intensidade da força exercida pelo garoto sobre a bexiga.
2,0 m Figura a.
2. Na figura a representamos uma situação em que um recipiente X contém água até uma abertura A. O recipiente Y está vazio e sobre uma balança graduada em quilogramas assinalando zero. X
A
Y
luIZ fernanDo ruBIo
Exercícios complementares
1,0 m
x
Figura b.
4. Um corpo de densidade dC e volume V flutua em um
X
ConCeItograf
líquido de densidade dL. O volume submerso (VS) é dado por:
Figura a. A C
VS Y
a) VS 5 (dC dL) V Figura b.
Um corpo homogêneo C é colocado no líquido de modo que ele flutua, com a parte imersa correspondendo a 80% do seu volume. Ao colocar o corpo
1
Volume 1 Capítulo 26
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_26.indd 1
b) VS
dL V dC
c) VS
dC V dL
d) VS
V dC dS
e) VS 5 dC dL V
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são Parte Integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio sérgio Calçada e José luiz sampaio. todos os direitos reservados.
9/24/12 5:02 PM
5. Para a situação da questão anterior, supondo que dC 5 0,60 g/cm3 e dL 5 0,80 g/cm3, podemos afirmar que o volume da parte submersa é: a) 60% de V. b) 80% de V. c) 20% de V.
a) x permanece constante e y diminui. b) x aumenta e y diminui. c) o valor da relação x permanece constante. y d) x chega a zero antes de y. e) depois de certo tempo, a vela tende a tombar para o lado.
d) 75% de V. e) 70% de V.
6. Como podemos verificar se o leite desnatado é mais ou menos denso que o leite integral, sem fazer as medidas?
7. Uma barra cilíndrica e homogênea, de comprimento
Ilustrações: Conceitograf
2,0 metros, está parcialmente mergulhada na água, como mostra a figura, tendo uma de suas extremidades presa a uma articulação e podendo girar livremente em torno dela. Sabendo que a densidade da água é 1,0 g/cm3, calcule a densidade da barra, sendo x 5 0,4 m.
Exercícios complementares
Nestas condições, enquanto a vela queima:
9. Um recipiente cilíndrico de paredes finas (fig. a), cuja área da base é 500 cm2, contém água até uma altura de 20 cm. Um corpo cilíndrico e homogêneo, de área da base 100 cm2, altura 10 cm e densidade 0,80 g/cm3 (fig. b), é colocado dentro da água do recipiente de modo que na posição de equilíbrio (fig. c) fica parcialmente submerso.
20 cm
500 cm2 Figura a.
10 cm
8. (Vunesp-SP) Na extremidade inferior de uma vela fixa-se um cilindro de chumbo. A vela é acesa e imersa em água, conforme o esquema abaixo, ficando inicialmente em equilíbrio. Suponhamos que não escorra cera fundida enquanto a vela queima.
100 cm2 Figura b.
x
y
Figura c.
Sabendo que a densidade da água é 1,0 g/cm 3, calcule: a) a massa do corpo; b) o volume do corpo que fica submerso; c) a altura x da parte emersa; d) o novo valor ( y) da altura da água.
2
Volume 1 Capítulo 26
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_26.indd 2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:02 PM
10. Um recipiente A, de paredes finas e área da base 400 cm , contém água até uma altura 8,0 cm. Consideremos ainda uma lata B, de massa 400 g e área da base 100 cm2, e um corpo esférico C, de volume 80 cm3 e massa 200 g. 2
Façamos as seguintes operações: I. A lata B é colocada a flutuar na água. II. O corpo C é colocado dentro da lata. III. O corpo C é retirado da lata e jogado dentro d’água. Calcule os valores de x, y e z sabendo que a densidade da água é 1,0 g/cm3.
11. Um recipiente cilíndrico de paredes finas e área da base 80 cm2 contém água até uma altura de 4,0 cm (fig. a). Um corpo cilíndrico e homogêneo (fig. b), cuja área da base é 50 cm2 e cuja massa é 400 g, é colocado a flutuar na água do recipiente (fig. c). Suponha que a densidade da água seja 1,0 g/cm3.
4,0 cm
Exercícios complementares
80 cm2 Figura a.
Ilustrações: Conceitograf
10 cm
50 cm2 Figura b.
x y Figura c.
a) Calcule o volume (VA) da água contida no recipiente. b) Calcule o volume (VS) da parte submersa do corpo. c) Calcule os valores de x e y. d) Nesse caso, o volume submerso é igual ao volume do líquido deslocado?
3
Volume 1 Capítulo 26
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_26.indd 3
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:02 PM
12. É dado um tubo em U com ramos verticais (fig. a), cilíndricos e iguais, cuja seção transversal tem área A 5 20,0 cm2. O tubo contém mercúrio e, em um dos ramos, uma quantidade de água de massa 260 g. Abandona-se na água, em repouso, um corpo (C) maciço e homogêneo, de volume 24,0 cm3 (fig. b).
Figura b.
As densidades do mercúrio, da água e do corpo são, respectivamente, 13,6 g/cm3, 1,0 g/cm3 e 7,3 g/cm3. Estabelecido o equilíbrio, pergunta-se: a) Que fração do volume do corpo está contida na água? b) Qual é o valor do desnível h entre as superfícies livres dos dois líquidos?
Exercícios complementares
Figura a.
4
Volume 1 Capítulo 26
FC1_CD_Exercicios Complementares_Cap_26.indd 4
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/24/12 5:02 PM
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO À FÍSICA
V 18 18 103 cm3 V k2(20)
Exercícios
k2(20) 5 18 ? 103 ⇒ k2 5 900 ⇒ k 5 30 cm V 5 k3 5 (30 cm)3 5 27 ? 103 cm3 5 27 Resposta: a.
1. d 2. Como os sólidos são maciços e de aço, todos afundam
na água. O volume do recipiente cúbico é: V0 5 (4 dm)3 5 64 dm3 O volume de água contido no recipiente é: V1 5 56 5 56 dm3 V0 2 V1 5 64 dm3 2 56 dm3 5 8 dm3 Portanto, para que não haja transbordamento de água, o volume (V ) do sólido colocado no recipiente deve ser tal que:
12. c
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA Exercícios complementares
1. Supõe-se que no vagão fechado a resistência do ar seja desprezível. Para o referencial no trem a bolinha está em queda livre vertical. Para o referencial no solo (estação) a trajetória é parabólica. Resposta: c.
V < 8 dm3 Esfera: 4(3,14)(2) V 4 πR3 4 (3,14)( 3 2)3 8 3 3 3 Cilindro:
2. Como se considera a resistência do ar, a bomba perde
V πR2 H (3,14)( 2)2( 2) (3,14)(2)(1,41) 8 Paralelepípedo:
velocidade horizontal. Resposta: c.
V 3 3 7 3 7 (3)(2,65) 7,94 8 Pirâmide: V 1 ( 12)2( 5) 4 5 4(2,24) 8 3 Resposta: c.
3. Como o movimento é retilíneo e uniforme, o pêndulo não sofre inclinação. A posição b ocorre no movimento acelerado. A posição c ocorre no movimento retardado. A posição a ocorre em duas situações: MRU ou repouso. Na realidade, não existe nenhum modo de se determinar o sentido do MRU pois o trem não tem janelas. Resposta: a.
3. a 4. d 5. b
CAPÍTULO 3 – VELOCIDADE ESCALAR
6. H 5 2,5 cm 5 2,5 ? 1022 m; π 5 3 V πR2H 3
( 5t ) (2,5 ⋅ 10 )
Exercícios complementares
2
2
1. A questão deve ser resolvida com o referencial no
7. b
navio. No instante em que a luneta se desprende, sua velocidade é nula e ela é acelerada verticalmente pela gravidade. Logo, ao tocar o solo do navio, a distância ao mastro é L. Resposta: e.
8. a
2. A onda s atinge a posição x 5 1 500 km no instante ts 5 3,0 min. A onda p atinge a posição x 5 1 500 km no instante tp 5 5,0 min. Então: Δt 5 5,0 min 2 3,0 min ⇒ Δt 5 2,0 min Resposta: b.
9. c 10. V 5 (500)(170 ) 5 85 ? 103 5 85 m3 A ordem de grandeza de 85 é 102. Resposta: b.
3. O encontro de A com B se dá no cruzamento dos dois
11. 20 cm
k k
1
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 1
Luiz Fernando Rubio
Respostas e resoluções
(3)(2,5)(10 2) t 3 10 3 t 25 t 5 4 min ⇒ V 5 3 ? 1022(4) 5 12 ? 1023 5 0,012 m3 Resposta: e.
gráficos, o que ocorre duas vezes: t1 5 10 s e t2 5 20 s Logo: Δt 5 20 s 2 10 s ⇒ Δt 5 10 s Resposta: b.
4. d
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
1o.) Cálculo de h0 (altura inicial em 1):
5. Por ter corrido, o gráfico, a partir do instante t1 5 2 min, deslocou-se para cima e no instante t2 5 13 min retornou à posição 1 L/min. A área é numericamente igual ao consumo (C ). N (B b) h C área do trapézio 2 (11 9) 1 C ⇒ C 10 L de O2 2 1 L de O2 ------- 20 kJ 10 L de O2 ------- x 5 200 kJ Resposta: c.
6. Consumo entre t1 5 3 min e t2 5 12 min:
C 5 10 ? 2 ⇒ C 5 20 L de O2 Distância percorrida: 1 L ------- 100 m 20 L ------ d d 5 2 000 m 5 2,0 km v ∆s 2,0 km 2,0 km 60 min ∆t 10 min 10 min 1h
( ) (
h0 0 120 10 m 0 12 2o.) Volume inicial em (1): 2 V1 π ⋅ d h0 4 2 V1 π ⋅ 6 10 ⇒ V1 5 90 p m3 4 3o.) Volume final em (2) e cálculo de Hf : 2 2 2 Vf π D Hf ⇒ π 6 10 π 12 Hf 4 4 4
Logo: Hf 5 2,5 m
11. Consideremos o triângulo retângulo construído a partir da figura abaixo:
M2 d2
)⇒
F
d2
⇒ v 5 12 km/h Resposta: e.
d1
7. c
P
8. L v1 ∆t1 ⇒ ∆t1 vL 1 L L v2 ∆t2 ⇒ ∆t2 v2
v2 v1 ⇒ T ∆t1 ∆t2 ⇒ T L L v1 v2 Lv2 Lv1 L (v2 v1) T v1 v2 v1 v2 T v1 v2 L v2 v1 Resposta: d.
9. c 10.
15T 2 120 5 5(T 2 12) 15T 2 120 5 5T 2 60 10T 5 60 ⇒ T 5 6,0 h Seja t2 o instante em que esvaziou:
15t2 120 0 ⇒ t2 5 8,0 h t2 12 b)
reservatório 1
reservatório 2
h0 Hf 6m
2
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 2
12 m
Luiz Fernando rubio
Respostas e resoluções
a) Seja T o instante em que h 5 5 m: 15T 120 5 T 12
F
Q
d1 M 1
alvo
P: local do tiro (posição inicial) M1: primeiro detector de som M2: segundo detector de som v: velocidade do projétil vs: velocidade do som Quando o projétil atingiu o alvo em Q, o som ainda caminhava e sua “frente de onda” estava em F (veja na figura). Considerações: 1o.) para que M1 detecte ao mesmo tempo o som do disparo e o som do impacto no alvo, devemos impor: FM1 5 QM1 5 d1 5 vS ? Dt1 1 o. 2 ) para que M2 detecte ao mesmo tempo o som do disparo e o som do impacto, devemos impor: 2 FM2 5 QM2 5 d2 5 vS ? Dt2 Certamente teremos: Δt2 . Δt1 Na figura temos: 3 PF 1 2d1 5 PQ 4 PF 1 d2 5 PM2 O trecho PQ foi percorrido pelo projétil: 5 PQ 5 v ? T Ao mesmo tempo T o som chegou a F: 6 PF 5 vS ? T Usando as equações 3 , 5 e 6 : vs ? T 1 2d1 5 v ? T 2d1 5 v ? T 2 vs ? T 2d1 5 T(v 2 vs) d1
T (v vs) 2
7
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte inteGrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
Para obtermos uma relação com d2, temos de usar o Teorema de Pitágoras: (PM2)2 5 (PQ)2 1 (QM2)2 Substituindo as equações 4 , 5 e 2 , vem: (PF 1 d2)2 5 (v ? T)2 1 (d2)2 Usando agora a equação 6 : (vS ? T 1 d2)2 5 (v ? T)2 1 (d2)2 2
2
v2S T2 2vS T d2 d 2 v2 T2 d 2 v2 T2 vS T2 T (v2 v2S) d2 8 2 vS T 2 vS d A razão d1 pedida se obtém com as equações 2 7 e 8: T (v vS) (v vS) vS d1 2 d2 (v2 v2S) T (v2 v2S) 2vS O termo do lado direito poderia ter sido simplificado, mas a resposta não seria encontrada. Resposta: a.
CAPÍTULO 4 – MOVIMENTO UNIFORME
4. 110 m/s 5. d 6. Vamos resolver por equação horária: sA 5 s0 1 vA ? t Orientando a trajetória para a direita e tomando em A a origem das abscissas: sA 5 0 1 2,0t ⇒ sA 5 2,0t (SI) sB 5 s0 1 vB ? t vB 5 23,0 m/s; s0 5 15,0 m sB 5 115,0 2 3,0t (SI) No encontro: sA 5 sB 2,0te 5 15,0 t2 3,0te te 5 3,0 s se 5 2,0te 5 2,0 ? 3,0 5 6,0 m A bola B terá percorrido |Ds| tal que: |Ds| 5 15,0 2 6,0 ⇒ |Ds| 5 9,0 m Resposta: d.
Exercícios complementares
7. a
s 1. a) v = ∆ ∆t
8.
v 5,0 0 10,0 5,0 20,0 0 ⇒ 10,0 0 20,0 10,0 40,0 0
⇒ v 5 0,50 cm/s b) O movimento é uniforme. c) s 5 s0 1 v ? t s 5 0 1 0,50t ⇒ s 5 0,50t (unidades do SI) s (cm)
Setup
d)
20 10
0
Respostas e resoluções
b) No mesmo sentido. vrel 5 8,0 m/s 2 6,0 m/s 5 2,0 m/s Δsrel 5 vrel ? Δt2 140 5 2,0 ? Δt2 ⇒ Δt2 5 70 s
20,0
40,0
t (s)
2. 1o. ) vrel 5 |v1| 1 |v2| 5 12,5 m/s 2 vrel = ∆s ⇒ 12,5 150 ⇒ ∆t 12,0 s ∆t ∆t o. ) 3 d 5 |v|Dt d1 5 5,0 ? 12,0 (m) ⇒ d1 5 60 m o. )
d2 5 7,5 ? 12,0 (m) ⇒ d2 5 90 m
3. a) Em sentidos opostos. Tomando o referencial em B, o móvel A terá uma velocidade relativa de: vrel 5 8,0 m/s 1 6,0 m/s 5 14 m/s Δsrel 5 vrel ? Δt1 140 5 14 ? Δt1 ⇒ Δt1 5 10 s
3
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 3
a) A distância d1 percorrida pelo mais rápido até o segundo encontro no ponto C é: d1 5 700 1 AC d1 5 700 m 1 200 m ⇒ d1 5 900 m Então: d v1 1 ⇒ v1 900 m ⇒ v1 5 9,0 m/s ∆t 100 s A distância d2 percorrida pelo mais lento é o arco AC medido no sentido horário: ⇒ d 5 700 2 200 ⇒ d 5 500 m d2 5 700 2 AC 2 2 Então: d v2 2 ⇒ v2 500 m ⇒ v2 5 5,0 m/s ∆t 100 s b) Como eles estão em sentidos opostos: vrel 5 |v1| 1 |v2| vrel 5 9,0 m/s 1 5,0 m/s ⇒ vrel 5 14,0 m/s c) vrel ? Δt 5 Δsrel 14 ? T 5 700 ⇒ T 5 50 s (metade do tempo gasto até o segundo encontro em C).
CAPÍTULO 5 – MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO Exercícios complementares
1. I. Correta. Tomando-se o referencial em B:
αrel 5 αA 2 αB 5 5,0 m/s2 2 5,0 m/s2 5 0 Logo, o movimento é retilíneo e uniforme.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
2. ac 5 aceleração da cabina em relação ao referencial
no solo am 5 aceleração da moeda em relação ao referencial no solo ac 5 1,2 ? g; am 5 g; ambas são verticais para baixo arel 5 ac 2 am 5 1,2 ? g 2 1,0 ? g arel 5 0,2 ? g A velocidade relativa inicial da moeda com referencial no elevador é zero. a 1o. ) ∆srel (vrel ) t rel t2 2 2,25 5 0 1 0,1 ? g ? T2 Sendo g 5 10 m/s2 ⇒ T 5 1,5 s 2o. ) Cálculo da velocidade v1 da moeda ao atingir o teto, com o referencial no teto: vrel 5 v0 1 (arel) ? t
( )
∆s v0 vf 2 ∆t 250 30 20 ⇒ T 5 10 s T 2 Resposta: a.
7. No movimento retrógrado a velocidade escalar é nega-
tiva. No movimento acelerado a velocidade deve ter o mesmo sinal. Concluindo, no movimento retrógrado e acelerado: v,0 e α,0 Resposta: d. ∆v 8. a) α1 ∆t1 1812m/s ⇒ a1 5 1,5 m/s2 s ∆v2 18 m/s ⇒ a1 5 2 m/s2 α2 9,0 s ∆t N b) ∆S1 5 área do triângulo 5 b h 2 18 24 216 m ∆s1 2 N ∆S2 5 área do triângulo 5 b h 2 15 30 225 m ∆s2 2 Concluindo, o móvel (2) alcançou e ultrapassou o móvel (1). v (m/s) 30
⇓ v1 5 0 1 (0,2 ? g) ? T v1 5 0,2 ? 10,0 ? 1,5 ⇒ v1 5 3,0 m/s 3o. ) Cálculo da velocidade v2 da cabina, com o referencial no solo: v2 5 v0 1 (ac) ? t v2 5 0 1 1,2 ? g ? T v2 5 1,2 ? 10,0 ? 1,5 ⇒ v2 5 18,0 m/s Resposta: c.
3. d 5. Nos instantes t 5 0 e t 5 t1, os carros A e B ocupam
Respostas e resoluções
2
24
1
0
3,0
18
t (s)
9. b 10. c 11. a
4. a a mesma posição e, portanto, entre 0 e t1, temos: DsB 5 DsA ⇒ vm 5 vm (B) (A) Como A está em movimento uniforme: vm 5 vA (constante) (A)
Como B está em movimento uniformemente variado, temos: v0 v B v vm (B) B (B) 2 2 v v Portanto: B vA ⇒ B 2 2 vA Resposta: d.
6. Sendo a aceleração escalar constante, o movimento é uniformemente variado:
4
Setup
vrel 5 vA 2 vB 5 5,0 m/s 2 3,0 m/s 5 2,0 m/s Concluindo: se aproxima de B com velocidade de 2,0 m/s, em MRU. II. Errada. Também se aproxima de A, em MRU. III. Errada. αrel 5 0; logo, é MRU. IV. Correta. Δsrel 5 vrel ? Δt (é um MRU) 12 5 2,0 ? Δt ⇒ Δt 5 6,0 s Resposta: c.
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 4
12. Como o vértice da parábola corresponde ao ponto de inversão do movimento e este corresponde a t 5 0, temos: v0 5 0 Ainda, da leitura do gráfico: t 5 0 ⇒ S0 5 20 m A equação horária, provisoriamente, é: s s0 v0 t α t2 ⇒ S 20 α t2 2 2 Substituamos o seguinte par de valores: t 5 4,0 s ↔ s 5 0 0 20 α (4,0)2 2 8,0 α 20 ⇒ α 20 ⇒ α 2,5 m/s2 8,0 Finalmente, a equação horária fica: S 5 20 2 1,25 ? t2 (unidades SI) Resposta: c.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
13. 1o. ) t 5 t1 ⇒ s 5 s1 5 0 2,0t 2 16,0 5 0 t31 5 8,0 ⇒ t1 5 2,0 s 2o. ) v ds 6,0t2 (SI) dt t1 5 2,0 s ⇒ v1 5 24,0 m/s 3 1
3o. ) α1 dv 12 t (SI) dt t1 5 2,0 s ⇒ α1 5 24,0 m/s2 Resposta: e.
14. a) s 5 2,0t3 1 4,0t 2 4,0 (SI) t1 5 0 ⇒ s1 5 0 1 0 2 4,0 ⇒ s1 5 24,0 m t2 5 2,0 s ⇒ s2 5 2,0 ? (2,0)3 1 4,0 ? 2,0 2 4,0 ⇒ ⇒ s2 5 20 m Δs 5 s2 2 s1 Δs 5 (20) 2 (24,0) 5 24 m Δt 5 t2 2 t1 5 2,0 s vm ∆s 24 m ⇒ vm 5 12 m/s ∆t 2,0 s ds b) v (derivada) dt v 5 6,0t2 1 4,0 2 0 v 5 6,0t2 1 4,0 t1 5 0 ⇒ v0 5 0 1 4,0 ⇒ v0 5 4,0 m/s
t2 5 2,0 s ⇒ v2 5 6,0 ? (2,0)2 1 4,0 v2 5 24 1 4,0 ⇒ v2 5 28 m/s c) α dv ⇒ α 12t 0 ⇒ α 12t dt para t2 5 2,0 s ⇒ α2 5 12 ? 2,0 ⇒ α2 5 24 m/s2
CAPÍTULO 6 – MOVIMENTO VERTICAL NO VÁCUO Exercícios complementares A
t0 0
Respostas e resoluções
h 2 h
2T2 5 T2 1 2T 1 1 T2 2 2T 2 1 5 0 T 2 8 2 2 2 2 ⇒ T 1 2 ou T1 1 2 T2 , 0 (descartado) Voltando à equação 2 : 2 h 1 g (1 2 1) 2 g 5 10,0 m/s2 h 5,0(2 2)2 5,0(2 1,4)2 ⇒ h 57,8 m
2. h h0 v0t α2 t2 ↑⊕ h1 5 10,0t 2 5,0t2 h2 5 10,0(t 2 1,0) 2 5,0(t 2 1,0)2 h1 5 h2 10,0t1 2 5,0t21 5 10,0t1 2 10,0 2 5,0(t21 2 2,0t1 1 1,0) 25,0t21 5 210,0 2 5,0t21 1 10,0t1 2 5,0 10,0t1 5 15,0 ⇒ t1 5 1,5 s hE 5 10,0 ? 1,5 2 5,0(1,5)2 (m) hE 5 15,0 2 11,25 (m) ⇒ hE 5 3,75 m Resposta: c. H 3. a) 2g b) 3H 4
4. a) g H b) zero e
ilustrações: Setup
1.
De 1 e 2 vem: g T2 1 g (T 1)2 2 2gT2 g(T 1)2
5.
g H
A (tA 0)
h1 B (tB T)
B h 2
tB T t 1 s
g 10 m/s2 (MUV) h2
C tC (T 1)
∆s 1 g t2 2 De A até B: h 1 g T2 1 2 2 De A até C: h 1 g (T 1)2 2 2
5
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 5
C (tC 2T)
1o. ) ∆s v0t α t2 2 g 2 AB: h1 T 2 g gT2 AC: h1 h2 (2T)2 4 2 2 h1 1 h2 5 4h1 ⇒ h2 5 3h1 Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
2o. ) H 5 h1 1 h2 5 4h1
h1 H 200 (m) 50 m 4 4
h2 5 3h1 5 150 m Resposta: b.
8. 1o. ) O tempo de queda da bola A é dado por:
2o. ) Após 1,0 s de queda, o corpo A tem uma velocidade vA dada por: v 5 v0 1 αt vA 5 0 1 10,0 ? 1,0 (m/s) ⇒ vA 5 10,0 m/s
∆s v0t α t2 2 10,0 45,0 t2 ⇒ tA 3,0 s 2 A 2o. ) Como a bola B é lançada 1,0 s depois, seu tempo de queda deve ser igual a 2,0 s, para que chegue ao solo no mesmo instante em que chega a bola A. Assim, temos: ∆s v0t α t2 2 45,0 v0 2,0 10,0 (2,0)2 B 2
3o. ) No instante em que B foi abandonado, temos:
2,0v0B 5 25,0 ⇒ v0B 5 12,5 m/s
6. 1o. ) Em 1,0 s de queda, o corpo A percorreu uma dis-
tância d dada por: ∆s v0t α t2 2 d 10,0 (1,0)2 (m) 5,0 m 2
B
vB 0
Resposta: a.
ilustrações: Setup
9. Quando o projétil B voltar ao ponto de lançamento, ele
5,0 m
A vA 10,0 m/s
Adotando-se o instante em que B foi abandonado como origem dos tempos, temos: s s0 v0t α t2 2 sA 5 5,0 1 10,0t 1 5,0t2 (SI) sB 5 5,0t2 (SI) 4o. ) A condição do exercício é que: sA 2 sB 5 15,0 m 5,0 1 10,0t1 1 5,0t21 2 5,0t21 5 15,0 10,0t1 5 10,0 ⇒ t1 5 1,0 s
Respostas e resoluções
2o. ) O módulo da velocidade do som é dado por: 414,74 vsom ∆Ht 1,20 ⇒ vsom 345,62 m/s Resposta: d.
terá uma velocidade vertical para baixo com módulo 30,0 m/s e gastará um tempo T para chegar ao solo. Como o tempo total de B é 2T, então ele deve gastar um tempo T para chegar ao ponto mais alto e retornar ao ponto de partida. v v0 αt (MUV) ↓⊕ 130,0 5 230,0 1 10,0T 10,0T 5 60,0 ⇒ T 5 6,0 s Para a descida do móvel A: ∆s v0t α t2 (MUV) ↓⊕ 2 H 30,0 6,0 10,0 (6,0)2 (m) 2 H 5 180 1 180 (m) ⇒ H 5 360 m Resposta: e.
10. 1o. )
v 0
5o. ) A distância percorrida por B é dada por: sB 5 5,0t2 dB 5 5,0(1,0)2 (m) ⇒ dB 5 5,0 m
H
Resposta: d.
v0
7. 1o. ) tq 2H g
t2q 2H g
gt2 H q 2
6
H
9,80 (9,20)2 ⇒ H 414,74 m 2
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 6
v2 5 v20 1 2aDs 02 5 v20 2 2gH
H
v20 1 2g
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
2o. )
Essa explicação praticamente soluciona a questão, empurrando o tempo t2 para a direita de t1. Resposta: b.
v 0
v'2 5 v'20 1 2aDs v'2 5 (2v0)2 1 2 ? (2g) ? H v'2 5 4v20 2 2gH 2
2. a) Falsa: vA 5 12,5 m/s e vB 5 12,0 m/s b) Falsa. De 0 a 4,0 s: ∆vA αA 12,5 (m/s2) 3,125 m/s2 4,0 ∆t
v'
De 0 a 10 s: 3
vB 12,0 (m/s2) 3,6 m/s2 10 t 3 Portanto, αB . αA.
H
αB
v (m/s) 2v0 v'0
12,5
A
12,0
B vA vB
3o. ) Substituindo 1 em 2 , vem:
v2 v' 4v 2g 0 2g
v'2 3v20 ⇒ v' v0 3
2
0
T
4,0
12,0 5 3,125T ⇒ T 5 3,84 s d) Correta: Ds 5 Área (v ? t) 100 (TA TA 4,0) 12,5 2
CAPÍTULO 7 – DIAGRAMAS HORÁRIOS
Exercícios complementares
2TA 2 4,0 5 16,0 ⇒ TA 5 10,0 s
1. Na figura representamos as funções de velocidade 3
velocidade C
C
D
ilustrações: Setup
tempo de cada um dos movimentos.
v1
B
A
t1 t2 tempo área (ABC t 2) área (ADC t 1)
São paralelos, no gráfico: AB e DC e ainda AD e BC. Em ambos os movimentos a distância percorrida é a mesma, pois a figura inicialmente dada é um paralelogramo. Logo, a área sob o gráfico ADC é numericamente igual à área sob o gráfico ABC. Resta explicar por que o tempo para percorrer AB é maior que de percorrer DC: observemos que a área sob DC deve ser igual à área sob AB, o que nos leva a ter um maior intervalo de tempo no deslocamento AB.
7
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 7
t (s)
c) vA 5 v0 1 αAt
Resposta: d.
Respostas e resoluções
10 3
2 0
(
)
100 TB TB 10 12,0 3 2 10 50 2TB 3 3 60 2TB ⇒ TB 10,0 s 3
Sendo TA 5 TB, a corrida termina empatada. e) Falsa. Quando os movimentos forem uniformes, ambas as acelerações escalares serão nulas. Resposta: d.
3. a) 1o. ) A ordenada y corresponde à velocidade escalar no instante t 5 0 e, de acordo com o texto: y 5 20,0 m 2o. ) O conjunto de instrumentos se desprende do VLS no instante t 5 2,0 s. Do instante t 5 0 até o instante t 5 2,0 s, o VLS percorreu uma distância d dada por: d 5 vDt 5 20,0 ? 2,0 (m) 5 40 m H 5 H0 1 d 5 (100 1 40) m ⇒ H 5 140 m b) 1o. ) |α| g |∆v| ∆t 20,0 g (m/s2) ⇒ g 10 m/s2 2,0
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
2o. ) N o instante t 5 4,0 s, o instrumento está na altura H1 tal que: H1 5 100 m 1 Ds1 v (m/s) 20,0
0
2
t (s)
4
Ds1 5 área (v ? t)
∆s1 (4,0 2,0) 20,0 (m) 60 m 2 H1 5 160 m 3o. ) Cálculo do tempo T a partir do instante t 5 4,0 s: ∆s v0t α t2 (MUV)↓⊕ 2 160 10 T2 2 T2 16 2 ⇒ T 4 2 s 5,6 s Portanto, o instante pedido é: Tf 5 4,0 s 1 5,6 s ⇒ Tf 5 9,6 s
4. a) v 5 v0 1 αt
Esfera (1): lançada com velocidade v0 5 20 m/s: v1 5 20 2 10t (em unidades do SI)
Esfera (2): abandonada em repouso: v2 5 210t (em unidades do SI) Diagramas horários: ilustrações: Setup
v (m/s) 20,0
Esfera (1): lançada a partir do solo com velocidade escalar inicial 120 m/s: y1 5 0 1 20 ? t 2 5,0 ? t2 (em unidades do SI) Esfera (2): abandonada a 40 m de altura, com velocidade inicial nula: y2 5 40 1 0 2 5,0 ? t2 (em unidades do SI) No encontro, teremos y1 5 y2: 120 ? t 2 5,0 ? t2 5 40 2 5,0 ? t2 Sendo T o instante do encontro, teremos: 20T 5 40 ⇒ T 5 2,0 s c) Retomando as equações de velocidade e substituindo-se o tempo por T 5 2,0 s: v1 5 20 2 10t ⇒ v1 5 20 2 10 ? 2,0 ⇒ v1 5 0 v2 5 210t ⇒ v2 5 210 ? 2,0 ⇒ v2 5 220 m/s
5. a 6. a) tE 5 2 s
b) sA 5 3t; sB 5 4 1 t
7. a) Trecho AB: a velocidade escalar é positiva e crescente. Logo, o movimento é progressivo e acelerado. Como o gráfico da velocidade é retilíneo, concluímos que se trata de um MUV. Trecho BC: a velocidade escalar é constante e diferente de zero. Trata-se de um MU. Sendo essa velocidade positiva, o movimento é progressivo. Trecho CD: a velocidade escalar é positiva, porém decresce uniformemente (linearmente). Trata-se de um MUV, de aceleração escalar negativa. Logo, é um movimento progressivo e retardado. b) Trecho AB: αAB tg θ 4,0 ⇒ 2,0 2 ⇒ aAB 5 12,0 m/s
Trecho BC: é um MU, portanto, aBC 5 0. 6,0 Trecho CD: αCD tg θ 2,0 ⇒ ⇒ aCD 5 23,0 m/s2 N
v1 0
T
t (s)
Respostas e resoluções
Figura 1: esfera (1). v (m/s) T 0
t (s)
v2
Figura 2: esfera (2).
b) Determinação do instante de colisão: g 2 t y y 0 v0 t 2
8
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 8
c) Trecho AB: ∆sAB 5 área do trapézio 5 ∆sAB 5 8,0 m. Como o móvel partiu da origem, no instante t1 5 2,0 s, sua posição é sB 5 8,0 m. N Trecho BC: DsBC 5 área do retângulo ⇒ DsBC 5 12 m DsBC 5 sC 2 sB ⇒ 12 5 sC 2 8,0 ⇒ sC 5 20 m (posição no instante t2 5 4,0 s) N Trecho CD: DsCD 5 área do triângulo ⇒ DsCD 5 6,0 m DsCD 5 sD 2 sC ⇒ 6,0 5 sD 2 20 ⇒ sD 5 26 m (posição no instante t3 5 6,0 s) d) Diagramas horários de aceleração e velocidade: Nos movimentos uniformemente variados, os gráficos de posição em função do tempo serão parabólicos (trechos AB e CD). No movimento uniforme (BC), o gráfico será retilíneo e oblíquo. As duas parábolas terão concavidade dada pelas respectivas acelerações: • trecho AB ⇒ aAB . 0 ⇒ concavidade para cima; • trecho CD ⇒ aCD , 0 ⇒ concavidade para baixo.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
10. a)
α (m/s 2) A
2,0
B B
0
t3
C 0
t (s)
3,0
C
s (m) 28
C
t6
e função α 2 f (t) é do 1o grau e, portanto: α αf αm 0 2 A partir do instante t 5 4,0 s a aceleração escalar é nula: α 0 α ⇒ 8,0 0 ⇒ α0 5 4,0 m/s2 ∆v 0 ∆t 2 4,0 2
12 B
8,0 4,0
A
0
2
4
6
8
t (s)
Figura 2. Gráfico da posição 3 tempo.
Observação: o ponto D é vértice da parábola, pois corresponde ao instante em que a velocidade é nula.
8. a) Ds 5 750 m 750
50
vm ∆s ⇒ 54,0 900 ⇒ t 5 60 s 3,6 t ∆t
)
(
v (m/s)
20
20
t (s)
o gráfico v 5 f (t), a área mede o deslocamento N escalar: t t v1 3 900 2 1 800 5 (60 1 20)v1 ⇒ v1 5 22,5 m/s
t (s)
9. v (m/s)
10
Ds 5 6,7 m
12. A velocidade escalar média é dada por:
450
30
b) O deslocamento é medido pela área sob o gráfico (v 3 t), onde cada quadrado representa um deslocamento de 0,5 m. O número aproximado de quadrados é 13,5. Ds 5 13,5 ? 0,5 m
ilustrações: Setup
b) s (m)
0 0,2
Entre os instantes 0 e t , temos: 3 N SR 5 área (v ? t)
10,2
t (s)
SR
t v ( ) 3
1
2
⇒ SR 20 22,5 (m) 2
SR 5 225 m
Δs 5 área (v ? t) ∆s1 10 20 (m) 100 m 2 ∆s2 (10,2 0,2) 20 (m) 104 m 2 x 5 Ds2 2 Ds1 5 4,0 m
Entre os instantes t e 2 t, temos: 3 3 t ∆s v1 3 SS 225 22,5 60 ⇒ SS 5 675 m 3
Resposta: b.
Resposta: c.
9
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 9
t
11. a) Sendo v 2 f (t) do 2o grau (o gráfico é parabólico),
16
Respostas e resoluções
t2
1) MUV 2) t5 a t6: 2) retrógrado (v 0) 3) retardado (v 0 e α 0)
24
0
t5
1) MUV b) 1) t2 a t3: 2) progressivo (v 0) 3) retardado (v 0 e α 0)
D
20
t1
t4
D
Figura 1. Gráfico da aceleração 3 tempo.
0
v
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
CAPÍTULO 8 – VETORES
3. a) V
Exercícios complementares
1. d 2. Como
|a | 5 3 , podemos fazer: |a | 5 3x e |b | 5 4x 4 |b |
a
R
b) F c) V d) V e) V f) F
4. c 5. a) 1,0 m/s2 b) 0,50 m/s2
6. a) 10 m/s2 b) 24 m/s2 b
Assim: |a |2 1 |b |2 5 |R |2 (3x)2 1 (4x)2 5 402 Donde tiramos x 5 8. Portanto, |a | 5 24 e |b | 5 32.
3. b 4. 12 2 7 < R < 12 1 7 ⇔ 5 < R < 19 Resposta: e.
5. a 5 3i 1 4j; b 5 23i 1 2j; c 5 23i 2 2j; d 5 3i; e 5 22j
d) 24 m
7. d 8. 72 km/h 9. b 10. d 11. c 12. c
6. d
CAPÍTULO 10 – COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS
7. b
Exercícios complementares
8. a) F
1. a) 130 km/h
b) V c) V d) F e) F f) V
b) 26 km
2. 12 m/s 3. a) 12 m/s b) q 23°
9. d
Respostas e resoluções
c) 24 m/s
c) 4,0 s
CAPÍTULO 9 – CINEMÁTICA VETORIAL
4. 4,0 m/s
Exercícios complementares
5. a) 0,50 m/s
1. a) 34 m b) 26 m c) 17 m/s d) 13 m/s
2. a) 203p m b) 10 3 m c) 5p m/s 6 d) 5 3 m/s 4
10
Volume 1
FC1-CD-Respostas.indd 10
b) 0,83 m/s c) 0,67 m/s
6. b
CAPÍTULO 11 – CINEMÁTICA ANGULAR Exercícios
2. a) 20,50p rad/s2 b) w 5 10p 2 0,50πt (SI) c) 50 Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
26/09/12 09:59
3. 3,0 rad/s2
b)
FN
4. a 5. c FN 5 650 N
6. 2,0 rad/s2
7. a) 800 N
7. b
b) 840 N
8. b
c) 560 N
9. 10 s
8. a) 6,0 m/s2
10. b
b) 72 N
Exercícios complementares
9. e
11. c
10. a) 2,0 m/s2
12. b
b) 25 N
13. b
11. a) 4,0 m/s2
14. 14
b) 52 N
15. a
12. a) 2,5 m/s2 b) 60 N
16. b
13. a) 2,0 m/s2
17. d
b) 4,0 N
CAPÍTULO 12 – LEIS DE NEWTON Exercícios complementares
1. F mA a (mA mB) 4a ⇒ 4mA mA mB ⇒ ⇒ 3mA mB ⇒
14. Cada anel tem massa m0 5 200 gramas 5 0,200 kg. Portanto, o peso de cada anel é: P0 5 m0 ? g 5 (0,200 kg)(10 m/s2) 5 2,0 N
mA 1 mB 3
g
Resposta: a.
F
2. a) V
anel do meio
F a
3. a 4. e
P 4P0
5. d 6. p 5 mg 5 (68 kg) (10 m/s2) 5 680 N a)
FM
FB P
ilustrações: Setup
Respostas e resoluções
b) V c) F d) F
15. a) Podemos considerar todo o conjunto formando
FB 1 FN 5 P ⇒ FB 1 650 ⇒ 680 ⇒ FB 5 30 N
11
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 11
Supondo movimento acelerado para cima, temos: F 2 4P0 5 (4m0) ? a F 2 4(2,0) 5 (4) ? (0,200)(2,0 m/s2) F 2 8,0 5 1,6 F 5 9,6 N Resposta: b. um único corpo de massa m 5 mA 1 mB, isto é, m 5 8,0 kg (fig. a). Esse corpo tem peso P: P 5 m ? g 5 (8,0) ? (10) ⇒ P 5 80 N
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
Se o sistema estivesse em equilíbrio, deveríamos ter: PA 5 T e PB 5 4T Isto é: PB 5 4PA e mB 5 4mA (equilíbrio) Como neste caso temos mA 5 3,0 kg e mB 5 2,0 kg, concluímos que mB , 4mA e, portanto, A deve descer com aceleração de módulo aA e B deve subir com aceleração de módulo aB.
F
a
m
P
a) Sejam aX e aY os módulos das acelerações das polias X e Y e usando o raciocínio desenvolvido para a polia móvel, concluímos que, nesse caso, aA 5 2aX e aX 5 2aY. Mas aY 5 aB. Portanto: aA 5 4aB.
Figura a.
Aplicando a Segunda Lei de Newton, temos: F2P5m?a 112 2 80 5 8,0 ? a a 5 4,0 m/s2 F b) Consideremos agora as forças que atuam em cada bloco (fig. b). Sejam PA e PB os pesos de A e B; a tração no fio tem intensidade T. B Aplicando a Segunda Lei de Newton ao bloco A (e observando que o movimento é acelerado para cima), T temos: PB T 2 PA 5 mA ? a T T 2 50 5 (5,0) ? (4,0) T 5 70 N Poderíamos, também, ter aplicado a A Segunda Lei de Newton ao bloco B: F 2 T 2 PB 5 mB ? a 112 2 T 2 30 5 (3,0) ? (4,0) T 5 70 N
b) Como A deve descer temos PA . T e como B deve subir devemos ter 4T . PB. Ficamos então com o sistema de equações: PA T mA aA 4T PB mB aB a 4a A B
a
ou 30 T 3,0 aA 4T 20 2,0 aB a 4a A B
Substituindo 3 em 1 , ficamos com o novo sistema: 30 T 12 aB 4T 20 2,0 a B Resolvido esse novo sistema, obtemos aB 5 2,0 m/s2 e T 5 6,0 N Substituindo em 3 , obtemos aA 5 8,0 m/s2. c) T 5 6,0 N
PA
16. a) 12 m/s2
b) 8,0 N
Figura b.
CAPÍTULO 13 – APLICAÇÃO DAS LEIS DE NEWTON
5. a) 250 N
Exercícios
b) 0,5 m
2. a) 1,0 m/s2 b) 2,0 m/s c) 36 N
2
6. b
3. a) 12 m/s2; 6,0 m/s2
f1
f2 T
PA
X 2T
T
2T
Y
b) 24 N iLuStraçõeS: MarCo a. SiSMotto
Respostas e resoluções
4.
T A
1 2 3
7.
dB
dA A
T
T
T
B
T
dC 2T C
4T
PC
B PB
mA 5 3,0 kg; mB 5 2,0 kg; g 5 10 m/s2; PA 5 30 N; PB 5 20 N
12
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 12
mA 5 15 kg; mB 5 10 kg; mC 5 24 kg; g 5 10 m/s2; PC 5 240 N
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte inteGrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/25/12 11:15 AM
a) Para fixar ideias, podemos supor que o sistema foi abandonado em repouso. Depois de um intervalo de tempo Dt, o bloco A deslocou-se dA para a direita, enquanto o bloco B deslocou-se dB para a esquerda. Nesse mesmo intervalo de tempo, o deslocamento do bloco C (para baixo) é dC, dado por: dA dB 2
A mesma relação vale para os módulos das velocidades e os módulos das acelerações: a aB 1 aC A 2
2 2T (1,0) aA 2T mA aA P T m a ⇒ 60 T (6,0)(2a ) 3 B B B A Resolvendo o sistema formado pelas equações 2 e 3 obtemos: aA 5 4,8 m/s2; aB 5 9,6 m/s2; T 5 2,4 N
9.
T
T
A
C
b) e c)
2T
T 15 aA T mA aA ⇒ ⇒ T 10 aB T mB aB 240 2T 24a P 2T m a C C C C a A ⇒ aB aC
T 15 T 10 240 2T 24
3 4 PB
MarCo a. SiSMotto
Colocando o valor de T em 2 e 3 , obtemos aA 5 4,0 m/s2 e aB 5 6,0 m/s2. Substituindo em 1 , tiramos aC 5 5,0 m/s2. 2T
PC
B
T T 240 2T 15 10 ∴ T 5 60 N 24 2
A
PA
2
Substituindo 2 , 3 e 4 em 1 :
8.
Setup
dC
A mesma relação vale entre as acelerações: aB 5 2aA 1
2T
mA 5 4,0 kg; mB 5 16 kg; mC 5 8,0 kg; g 5 10 m/s2 PA 5 40 N; PB 5 160 N; PC 5 80 N Suponhamos que A e C subam com acelerações de módulos aA e aC, respectivamente. Assim, B deve descer com aceleração de módulo aB. Usando o mesmo raciocínio do exercício 7, concluímos que: a aC aB A ou aA aC 2aB 1 2 T 40 (4,0)(aA ) T PA mA aA ⇒ T 80 (8,0)(aC) T PC mC aC P 2T m a 160 2T (16)(a ) B B B B
2 3 4
Das equações 2 , 3 e 4 tiramos:
Respostas e resoluções
T
aA T 40 ; 4,0 T 80 ; aC 8,0 aB 160 2T 16
B PB
mA 5 1,0 kg; mB 5 6,0 kg; g 5 10 m/s2; PB 5 60 N Se, num intervalo de tempo Dt, o bloco A tem um deslocamento dA para a direita, o eixo da polia móvel também tem um deslocamento dA para baixo. Mas, como a polia móvel é envolvida por dois ramos de fio, o bloco B, nesse intervalo de tempo, desce uma distância dB tal que: dB 5 2dA
13
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 13
5 6 7
Substituindo 5 , 6 e 7 em 1 :
(
T 40 T 80 2 160 2T 4,0 8,0 16
)
Resolvendo esta equação, obtemos: T 5 64 N Substituindo esse valor de T nas equações 5 , 6 e 7 tiramos: aA 5 6,0 m/s2; aC 5 22,0 m/s2; aB 5 2,0 m/s2
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte inteGrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
FN T
=
T
T
'
B =
Exercícios complementares
'
MarCo a. SiSMotto
O fato de aC resultar negativa significa que nossa hipótese inicial sobre o movimento de C estava errada. Assim, C deve descer com aceleração de módulo 2,0 m/s2.
PB
T
10. 250 N A
11. a) 2,0 m/s2
C
b) É acelerado para cima ou retardado para baixo. T
Figura a. PA T' mA a T' T mB a T P m a C C
M
P
b) O peso do homem tem módulo PH dado por: PH 5 mH ? g 5 80 ? 10 ⇒ PH 5 800 N MarCo a. SiSMotto
Observando que o sistema tem movimento acelerado para cima, apliquemos a Segunda Lei de Newton ao homem:
⇒ FN 5 960 N
Respostas e resoluções
FN
PH MarCo a. SiSMotto
A
B
C
PC
Figura b. b) Substituindo o valor de a na equação 1 , temos: 90 2 T' 5 9,0 ? 2,0 T' 5 72 N c) Substituindo o valor de a na equação 3 , temos: T 2 50 5 5,0 ? 2,0 T 5 60 N
13. b 14. e
18. 8,0 m/s2
15. 25 N
19. a) 3,0 s b) 6,0 m/s
16. a) 4,0 m/s2 b) 6,0 kg P m g 9,0 10
17. PA m A g 5,0 10
20. 4,0 s PA 90 N PC 50 N
C C O peso do bloco B se anula com a normal. Observando que PA . PC, apliquemos a Segunda Lei de Newton a cada bloco:
14
ou
1 2 3
Adicionando membro a membro as igualdades 1 , 2 e 3 , obtemos: 90 2 50 5 20 ? a a 5 2,0 m/s2 Poderíamos, também, ter usado o artifício de imaginar o sistema “esticado” (fig. b). Aplicando a Segunda Lei de Newton, temos: PA 2 PC 5 (mA 1 mB 1 mC) ? a 90 2 50 5 (9,0 1 6,0 1 5,0) ? a a 5 2,0 m/s2 PA
FN
FN 2 PH 5 mH ? a FN 2 800 5 80 ? 2,0 ⇒
90 T' 9,0 a T' T 6,0 a T 50 5,0 a
MarCo a. SiSMotto
formando um único corpo, cuja massa é M 5 mH 1 mE, isto é, M 5 600 kg. O peso desse corpo tem módulo P 5 M ? g ou P 5 6 000 N. Aplicando a Segunda Lei de Newton (lembrando que o elevador está subindo com movimento acelerado), temos: T2P5M?a T 2 6 000 5 600 ? 2,0 ⇒ T 5 7 200
Setup
12. a) Consideremos o elevador e o homem
PC
PA
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 14
21. 0,50 m/s2 22. a 23. a) 3,0 ? 102 N b) 4,0 ? 102 N
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte inteGrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
intensidade de F, aumenta a intensidade de Fy e, portanto, diminui a intensidade de FN. Há, então, um valor de F para o qual Fy 5 P e FN 5 0; nesse caso, o bloco ainda está em contato com o plano horizontal, mas não o comprime. A partir daí, qualquer aumento de F fará com que o bloco adquira movimento para cima, perdendo o contato com o plano horizontal. Assim, para que o bloco não perca o contato com o plano horizontal, o valor máximo de F é aquele para o qual: Fy 5 P F ? 0,60 5 120 ou F 5 200 N Portanto, Fmáximo 5 200 N
T
A M
W
N T
1m
PB
MarCo a. SiSMotto
B
MN 5 5 m; MW 5 1 m; WN 5 4 m No trecho MW (enquanto o bloco B não encosta no solo) o bloco A tem MUV de aceleração a: PB 5 (mA 1 mB) ⇒ 20 5 (8,0 1 2,0) ? a ⇒ a 5 2,0 m/s2 s 2 s0 5 v0t 1 1 at2 ⇒ MW 5 1 at21 ⇒ 2 2 1 2 ⇒ 1 5 (2,0)t 1 ⇒ t1 5 1,0 s 2 No ponto W o bloco A terá velocidade vw 5 2,0 m/s. O trecho WN será percorrido com MUV num intervalo de tempo: ∆t WN 4 s 2,0 s vw 2,0
b) A resultante das forças que agem no bloco é Fx. Mas para F 5 Fmáximo, teremos: Fx 5 F ? 0,80 5 200 ? 0,80 Fx 5 160 N Aplicando a Segunda Lei de Newton, temos: Fx 5 m ? a 160 5 12 ? a a 13 m/s2
29. a) 80 N b) 10 3 m/s2
Portanto, o tempo total para o percurso MN é: Dt' 5 t1 1 Dt 5 (1,0 1 2,0) s 5 3,0 s Resposta: e.
30.
F1 θ
FN
25. a) 5,0 ? 10 N 3
b) 30 m/s2 F
Setup
Fy θ
Respostas e resoluções
Fx
P
a) Temos, então: P 5 m 5 12 ? 10 P 5 120 N Fx F cos θ F 0,80 Fy F sen θ F 0,60
FC1_CD_Respostas.indd 15
A
PB
mA 20 kg; mB 10 kg; F 30 N sen θ 0,40; cos θ 0,90; g 10 m/s2 F1 5 F ? cos q 5 54 N; F2 5 F ? sen q 5 24 N a) F1 (mA 1 mB) ? a ⇒ 54 5 30 ? a ⇒ a 5 1,8 m/s2 b) F3 5 mB ? a 5 (10)(1,8) ⇒ F3 5 18 N c) FN 5 F2 1 PA 5 F2 1 mA ? g 5 224 N A FN 5 PB 5 mB ? g 5 100 N B
31. a) 14°
Enquanto o bloco se mantiver em contato com o plano horizontal, teremos: Fy 1 FN 5 P Imaginemos agora que a intensidade de F vai aumentando a partir de zero. À medida que aumenta a
Volume 1
F3
PA
FN
15
F3
A
26. a 27. a) 140 N 28.
B
F
F2
b) 6,05 ? 103 N
FN
A
iLuStraçõeS: Setup
24.
T
P
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte inteGrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
v
b)
CAPÍTULO 14 – LANÇAMENTO OBLÍQUO
c) 2,5 m/s
2
Exercícios complementares
32. 24 m/s2
1. a) F
c) V d) V
b) F
33. 39o
g) F
34. d
2. a) A v0 2h b) v v20 2gh g
35. a) 3,0 m/s2
3. 30 m/s
b) 4,0 s
4. d
c) 24 m
5. O valor mínimo de v0 corresponde ao alcance:
36. a) 2,4 m/s2 b) 72 N c) 72 10 N 5 b) 23,1 N
38. No trecho BC o movimento é retardado. Assim, se considerarmos a velocidade positiva, a aceleração será negativa: a 5 2g sen q. No ponto B a velocidade é vB 5 v0 e no ponto C a velocidade é vC 5 0. Aplicando a equação de Torricelli para o trecho BC, temos: v v 2a (BC) ⇒ 0 v02 2g(sen θ) (BC) ⇒ 2 C
2 B
v02 ⇒ BC 2g sen θ Resposta: e.
39.
s0
A 5 50 1 850 \ A 5 900 m Equações horárias de x e y: x 5 v0t y 5 5,0t2 Cálculo do tempo de queda (y 5 h 5 45 m): 45 5 5,0t2 ⇒ t2 5 9 ⇒ t 5 3,0 s Para x 5 A 5 900 m, vem: ' 5 300 m/s 900 5 v '0 ? 3,0 ou v 0 Como esse v '0 é o valor mínimo, teremos: v0 > 300 m/s
6. g ∆∆vt ⇒ ∆v = g (∆t)
Dt 5 2,0 s ⇒ Dv 5 g(2,0) ⇒ |Dv| 5 10(2,0) ⇒ ⇒ |Dv| 5 20 m/s |v |2 5 |v0|2 1 |Dv |2 |v | 5 |v0 |. Portanto: 3
s (m)
v0
A
ilustrações: Setup
37. a) 1,7 m/s2
h θ
O
v
B
Respostas e resoluções
e) V f) V
v
Adotemos um eixo de espaços orientado para cima com origem no ponto O. Como a aceleração tem sentido para baixo, temos: a 5 2g sen q 5 [210(0,5)] m/s2 5 25,0 m/s2 No instante t 5 0, o carrinho está no ponto A (cujo espaço é s0) e tem velocidade v0 5 10 m/s. Do triângulo OAB, tiramos: OA s0 h 15 m 30 m sen θ 0,5 Equação horária do espaço: s s0 v0t 1 at2 ⇒ s 30 10t 2,5t2 1 2 Quando o carrinho atingir a base da rampa, teremos s 5 0. Substituindo em 1 : 0 5 30 1 10t 2 2,5t2 ⇒ t2 2 4,0t 2 12 5 0 ⇒ ⇒ t 5 6,0 s ou t 5 22,0 s Portanto: Dt 5 6,0 s
40. c 16
( 53 | v |)
2
|v 0 |2 |∆v |2 ⇒ 25 v02 v02 202 ⇒ 9 ⇒ 16 v02 202 ⇒ 4 v0 20 ⇒ v0 5 15 m/s 9 3 0
7. Tudo se passa como se o automóvel estivesse parado e o helicóptero tivesse velocidade v0 dada por: v0 5 (180 km/h) 2 (144 km/h) 5 36 km/h 5 10 m/s v0
h θ A
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 16
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
Considerando o triângulo retângulo ABC, temos:
h 5 80 m g h t2 ⇒ 80 10 t2 ⇒ t 4,0 s 2 2 A 5 (v0)(t) 5 (10 m/s)(4,0 s) 5 40 m
2 180 y tg θ BC 180 5,0t x 10 15t 10 AC
Mas, q 5 64o e, consultando a tabela deste CD, obtemos tg q 5 tg 64o 2,0.
80 m 2 tg θ h A 40 m
2 Assim: 2,0 180 5,0t 15t 10
q 5 arc tg 2 63,4o
8. (t 0)
Resolvendo esta última equação, obtemos as raízes t' 5 4,0 e t" 5 210. Desprezando a raiz negativa, temos t 5 4,0 s. t 5 4,0 s ⇒ y 5 5,0t2 5 (5,0)(4,0)2 ⇒ y 5 80 m
v0
O
t
y
h 5 180 2 y 5 180 2 80 ⇒ h 5 100 m
11. e y'
12.
t'
v0
A
v0 y
A' 2A
A 5 v0t; A' 5 v0t' A' 5 2A ⇒ v0 t' 5 2(v0t) ⇒ t' 5 2t g y t2 2 g g g y' (t')2 (2t)2 (4t2) 4y 2 2 2 Resposta: d.
O
1 y
v0
x
v0
O
x
40 m
O tempo de queda é dado por: g h t2 ⇒ 0,80 10 t2 ⇒ t 0,4 s 2 2 A 80 m ⇒ 80 v0t ⇒ 80 v0(0,4) ⇒ A v0t ⇒ v0 5 200 m/s
10.
v0
O
x (m)
x
Respostas e resoluções
S B
y
180 y 180
A 10
y (m)
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 17
No instante em que é lançada, a pedra tem velocidade vertical v0y 5 10 m/s (a do balão) e horizontal v0x 5 30 m/s. A equação horária de y é: y 5 v0yt 2 5,0t2 y 5 10t 2 5,0t2 Cálculo do instante em que a pedra chega ao solo: y 5 240 m 240 5 10t 2 5,0t2 ⇒ t2 2 2,0t 2 8,0 5 0 Resolvendo: t 5 4,0 s x v0 t x A equação horária de x é: x 30t A distância d vale:
θ
C
x 10
Adotemos um sistema de coordenadas com origem O como mostra a figura. As equações horárias de x e y são: x 5 15t; y 5 5,0t2
17
d
Setup
9. h 5 80 cm 5 0,80 m
d 5 30 ? 4,0 ⇒ d 5 120 m Resposta: c.
13. 45 m 14. Dados: sen θ 5 0,26; cos θ 5 0,97; sen2 θ 5 0,07; cos2 θ 5 0,94; g 5 9,8 m/s2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
v02 sen 2θ v 2 (2 sen θ cos θ) 0 g g 2 2 v02 (v sen θ) v sen2 θ H y 0 0 2g 2g 2g v 20(2 sen θ cos θ) v 20 sen2 θ A H ⇒ ⇒ g 2g 2 cos θ sen θ sen θ ⇒ ⇒ 4 ⇒ tg θ 4 2 1 cos θ Portanto: θ 5 arc tg 4 76o
23. A
y v0 x 10 m
Luiz Fernando rubio
5m
24. b 25. a) 45o b) 4 30 m/s c) 12 m
v0x 5 v0 ? cos q 5 v0 ? 0,97 v0y 5 v0 ? sen q 5 v0 ? 0,26 Equações horárias de x e y: y v0 t 4,9t2 ⇒ y 0,26v0t 4,9t2
26. a) 20 2 m/s b) 80 m
y
x v0 t ⇒ x 0,97v0t
27. 4
x
Para x 5 10 m:
10 10 5 0,97v0t ⇒ t 0,97v 0 Para y 5 25 m: 5 0,26v0 10 4,9 100 2 0,97v0 0,94v0
28. a
5 2,68 521,3 ⇒ 521,3 7,68 v02 v02
30. v0 5 velocidade inicial da partícula A 5 10 m/s
29. a) 6,0 s b) 120 m c) 20 m/s
15. vy 2gH (equação de Torricelli) vy 0 vH
v'0
y Setup
v0
vy
iLuStraçõeS: Setup
v0' 5 velocidade inicial da partícula B θ 5 60o; g 5 10 m/s2
v20 5 67,9 ⇒ v0 5 8,24 m/s
B
40 3
H
vH
Respostas e resoluções
v20 5 vy2 1 vH2 ⇒ ⇒ vH2 5 v02 2 vy2 ⇒ ⇒ vH
v20 v2y ⇒
⇒ vH
v20 2gh
Resposta: d.
16. 45 m/s 17. c
v0
v0
y
A O
θ v0
100
x
x
Figura a. a) Para a partícula lançada obliquamente: v0 v0 sen 60o 10 3 2 y v0 5,0 3 m/s y
()
19. 11 m/s
v0 v0 cos 60o 10 1 2 x v0 5,0 m/s
20. c
100 5 (v0x)(t) ⇒ 100 5 (5,0)(t) ⇒ t 5 20 s
21. c
b) Representando os deslocamentos na ausência de gravidade, o encontro ocorreria no ponto C (fig. b).
18. b
22. 75o 18
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 18
x
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte inteGrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
dA C
dB
CAPÍTULO 15 – FORÇA DE ATRITO Exercícios complementares
1. a) 12 N v'0 B
b) 8,0 N c) 6,0 m/s² d) 50 N
2. c 3. c v0
4. a) 2,0 m/s²
y
θ O
D
v
0x Figura b.
5. a 6. 0,16 m/s²
θ 60º ⇒ tg θ 3
DC tg θ ⇒ DC 3 ⇒ DC 100 3 m OD 100
7. e
Lembrando que DB 40 3 m, temos:
8. 12 N
BC DC DB 100 3 40 3 ⇒ BC 60 3 m
9. d
BC (v')(t) ⇒ 60 3 v'0 (20) ⇒ 0
⇒ v'0 5 3 3 m/s
10. a) AB d senh α
31. As duas partículas terão, devido à gravidade, o mes mo deslocamento d para baixo, dado por: d 1 gt2 2 Assim: |d | 1 (10)(20)2 ⇒ |d | 2000 m 2
O ponto de encontro (E) terá ordenada dada por: 100 3 2000 1827 m, como ilustra a figura c. y (m) 100 3
Respostas e resoluções
b) 1,0 m/s² c) 36 N
O
C
60°
D 100
x (m)
2 000 m
Quando não há atrito, sabemos que a aceleração é a1 5 g ? sen a. Portanto, usando a equação horária do MUV, temos (lembrando que v0 5 0): s s0 v0t 1 αt2 ⇒ d 1 α1 t20 ⇒ 2 2 h 1 2 ⇒ (g sen α) t0 ⇒ sen α 2 2h 2h ⇒ t20 ⇒ t0 1 sen α g g sen2 α b) Retirando as rodas haverá atrito e, nesse caso, aproveitando o resultado do exercício 50 do livro, a aceleração é α2 5 g ? (sen α 2 μ ? cos α). Usando a equação horária do MUV: s s0 v0t 1 α t2 ⇒ d 1 α2 t2 ⇒ 2 2 h 1 1 ⇒ g(sen α µ cos α) t2 sen α 2 Mas t 5 2t0, e assim: 8h 2 2 t 4t0 g sen2 α
1 2 gt 2 E (100; 100 3 2 000) d
Figura c.
19
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 19
Substituindo em 1 : h g (sen α µ cos α) 8h ⇒ sen α 2 g sen2 α 4 (sen α µ cos α) ⇒1 ⇒ sen α ⇒ sen a 5 4 ? sen a 2 4 ? m ? cos a ⇒ 3 sen α ⇒ 4m cos a 5 3 sen a ⇒ µ 4 cos α 34 tg α
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
A Px A
T
T
F1
Px B
B F2
PxA 2 T 2 F1 5 mA ? a ⇒ 24 2 T 2 8,0 5 4,0 ? a ⇒ ⇒ 16 2 T 5 4,0 ? a 1 PxB 1 T 2 F2 5 mB ? a ⇒ 36 1 T 2 24 5 6,0 ? a ⇒ ⇒ 12 1 T 5 6,0 ? a 2 a) Somando membro a membro as equações 1 e 2 , obtemos: 28 5 10 ? a ⇒ a 5 2,8 m/s2 b) Substituindo em 1 : 16 2 T 5 4,0 ? 28 ⇒ T 5 4,8 N
12. Seguindo o mesmo raciocínio do exercício anterior, obtemos T 5 0. No entanto podemos obter essa resposta sem cálculos, usando a conclusão do exercício 50 do livro. Lá vimos que um bloco de massa m, abandonado num plano inclinado, cujo coeficiente de atrito é μ, desliza com aceleração α dada por α 5 g ? (sen θ 2 μ ? cos θ), isto é, a aceleração não depende da massa. Neste exercício temos μA 5 μB e, portanto, mesmo sem o fio, os dois blocos deslizam com a mesma aceleração. Assim, T 5 0.
13. a) Não.
b) Não.
Respostas e resoluções
15. O conjunto A 1 B move-se pela rampa sem atrito, como se fosse um único corpo. Portanto, de acordo com o que vimos na teoria do plano inclinado, o conjunto A 1 B tem aceleração a cuja direção é paralela à rampa, cujo sentido é para baixo (fig. a) e cujo módulo é dado por: a 5 g ? sen q 5 10(0,60) ⇒ a 5 6,0 m/s2
Fat
A P
ay
Figura b.
a
Figura c.
P
Figura d.
Da figura c tiramos: ax a cos θ (6,0)(0,80) ⇒ ax 4,8 m/s2 a a sen θ (6,0)(0,60) ⇒ a 3,6 m/s2 y y Aplicando a Segunda Lei de Newton para a direção horizontal e para a direção vertical, temos: P FN m ay 100 FN 10(3,6) ⇒ ⇒ F m a Fat 10(4,8) at x F 64 N ⇒ N Fat 48 N
CAPÍTULO 16 – FORÇA ELÁSTICA Exercícios
2. a) 10 N/m
b) 0,70 m
3. 40 N/m 4. k3
8. A mola original, cuja constante é 30 N/m, pode ser imaginada como a associação em série de duas molas iguais de constante k1 cada. 1 1 1 ⇒ 1 2 ⇒ k 60 N/m 1 k k1 k1 30 k1 Essas duas molas, associadas em paralelo, terão uma constante equivalente k' dada por k' 5 2k1 5 120 N/m.
9. 20 N/m 10. 4,2 N/m
a
11. 240 N/m
θ
12. c
Figura a. Sobre o bloco A atuam pelo menos duas forças, ambas verticais: o peso P e a força normal FN exercida pelo
FC1_CD_Respostas.indd 20
FN
θ
7. 150 N/m
b) 12 kg
Volume 1
ax
FN
6. 400 N/m
14. a) 8,0 kg < mB < 16 kg
20
carro (fig. b). Mas a aceleração a pode ser decomposta em uma componente horizontal ax e uma componente vertical ay (fig. c). Existindo a componente horizontal ax, deve haver uma força horizontal: é a força de atrito Fat (fig. d). Se não houvesse essa força de atrito, o bloco A escorregaria sobre B. P 5 m ? g 5 10(10) ⇒ P 5 100 N
ilustrações: Setup
μB 5 0,50 mA 5 4,0 kg; PA 5 40 N; PxA 5 PA ? sen q 5 24 N; PyA 5 PA ? cos q 5 32 N mB 5 6,0 kg; PB 5 60 N; PxB 5 PB ? sen q 5 36 N; PyB 5 PB ? cos q 5 48 N Fat 5 F1 5 mA ? NA 5 mA ? Py 5 8,0 N A A Fat 5 F2 5 mB ? NB 5 mB ? Py 5 24 N B B
ilustrações: Setup
11. sen θ 5 0,60 ⇒ cos θ 5 0,80; g 5 10 m/s²; μA 5 0,25;
13. A mola original de constante k pode ser imaginada como a associação em série de duas molas idênticas de constante k1 cada.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
Associando as duas partes em paralelo, a constante equivalente será: k' 5 2k1 5 2(2k) 5 4k Na primeira experiência, temos: F kx ⇒ x F 12 cm k Na segunda experiência, temos: F k'x' ⇒ x' F F 1 F k' 4k 4 k 1 (12 cm) 3 cm 4 Resposta: a.
()
Sendo ω 2π ⇒ T 2π T ω De 3 e 4 , tiramos que: d g tg θ Resposta: c. T 2π
3. b 4. e 5. a) θ T
14. F 5 k1(Dx1) 5 k2(Dx2). Mas k1 5 k2. Portanto: Dx1 5 Dx2. Resposta: b.
P
1) Ty 5 P 5 mg 2) Tx 5 Fcp 5 mω2R 3) sen θ = R L ⇒ R L sen θ Tx mω2R 4) tg θ T mg y
ω2
Exercícios
6.
F
Fx θ
θ
g tg θ ⇒ω d
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 21
g L cos θ
L cos θ g ⇒ T 2π L cos θ g
FN
m
Fat
C
x
Na direção de y: Fy 5 P 5 mg 1 Na direção de x, a força Fx faz o papel de força centrípeta: 2 Fx Fcp mv m ω2 R R Sendo R 5 d, temos: Fx 5 m ? w2 ? d 2 Das equações 1 e 2 e da figura, temos: 2 F tg θ x ⇒ tg θ m ω d ⇒ Fy m ⋅g
21
g ⇒ω L cos θ
θ
P
Respostas e resoluções
b) 2π T
y
⇒ ω2
ω2R tg θ ⇒ ω2 L sen θ g sen θ g cos θ
CAPÍTULO 17 – MOVIMENTO PLANO COM TRAJETÓRIA CURVA
Fy
Tx
C
de mesma intensidade: 5 N. b) F P mg ⇒ m F 5 N 2 0,5 kg g 10 m/s 16. a) No gráfico vemos que, para a mola M2, quando a elongação é 3,0 cm, a intensidade da força é 15 N. b) Estando as molas em série, devem suportar forças de mesma intensidade. Assim, a intensidade da força em M1 também é 15 N; para essa intensidade, o gráfico nos dá uma elongação de 8 cm.
2.
Ty
θ
15. a) As duas molas, estando em série, suportam forças
1. a
4
ilustrações: Setup
1 1 1 ⇒ k 2k 1 k k1 k1
g tg θ d
3
R P
a) A expressão do módulo da força centrípeta é:
Fc 5 mω2R
b) A força de atrito que o disco aplica no bloco desempenha o papel de resultante centrípeta. Estando o bloco na iminência de deslizar, a força de atrito está solicitada ao máximo (é igual à força de atrito de destaque). Fat 5 μe mg 5 mω2R
2 µe ω R g
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
Substituindo-se o valor de R na expressão de tg θ, vem: v2 tg θ 0,6 g 30 v v 5 0,6 ? 10 ? 30 (m/s)
7.
C
vS
a) A força gravitacional que a Terra aplica no corpo lançado faz o papel de resultante centrípeta: FG 5 Fcp
mv2S R vS gR 10 6,4 106 (m/s)
mg
v 5 180 m/s 5 648 km/h
c) O valor do raio da curva fica determinado por: R 5 30v R 5 30 ? 180 (m) ⇒ R 5 5 400 m
Retomando-se a figura anterior e considerando-se o triângulo retângulo ABC, calculamos a altura H do avião. tg θ H ⇒ 0,6 H ⇒ H H 5 3 240 m R 5 400
9. a)
vS 5 8,0 ? 103 m/s ⇒ vS 5 8,0 km/s b) vS ∆s 2πR T ∆t 2 3 6,4 106 3 8,0 10 T 5 64 10 (s) T 68,0 103
T 4800 s
F P peso do corpo aplicado pela Terra m
como fazemos a seguir. S
P
b) ω 30 rad/s 5,5 rad/s
P força da gravidade (peso)
θ
S força da sustentação do ar R
A Sx
B
CAPÍTULO 18 – TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA Exercícios complementares
1. O trabalho de F se calcula pela área do trapézio formado entre x1 e x2 e sob o gráfico da força:
θ
H P
F força aplicada pela haste
4800 min ⇒ T 5 80 min 60
8. a) Durante a curva, o avião pode ser representado Sy
ilustrações: Setup
FG
rochedo mar C
N ö 5 área do trapézio 5 (B b) h 2 (25 5,0) 100 ⇒ ö 2000 J ö 2 Usando o TEC entre x1 e x2:
m v22 m v12 ⇒ 2 2 m v12 m v22 ⇒ ö F Fat ∆x cos 180° 2 2 Substituindo-se os valores dados e obtidos: 2 2 2000 (Fat ) 100 2,0 20 2,0 10 300 2 2 100 ? (Fat) 5 1 700 ⇒ Fat 5 17 N Sendo: F Fat µ m g ⇒ µ at 17 ⇒ µ 0,85 m g 2,0 10 Resposta: e.
Respostas e resoluções
ö F ö atr
A força de sustentação S, aplicada pelo ar, é perpendicular às asas do avião. A componente vertical Sy equilibra o peso, e a
componente horizontal Sx faz o papel de resultante centrípeta. No triângulo retângulo destacado, temos: mv2 v2 Fcp Sx tg θ ⇒ tg θ R ⇒ tg θ gR Sy P mg
b) O avião descreve um arco de comprimento πR (meia-volta) em 90 s e, portanto: v ∆s πR 3R R ⇒ R 30v (SI) ∆t ∆t 90 30
22
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 22
2. c 3. b
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
CAPÍTULO 19 – ENERGIA E POTÊNCIA
4. a) F 5 60 N b) F 5 60 N c) öp 5 öF (módulos iguais)
Exercícios complementares
1. a) P 5 0,1 ? A ? v3
5. c
6. a) 0,10 m
P 5 0,1 ? 2 ? (5)3 (W) ⇒ P 5 25 W
7. Como a potência é constante, a potência instantânea é igual à potência média: P Pm ö 1 ∆t Usando o Teorema da Energia Cinética (TEC): 2 m v20 ö m v 2 2 Mas: 2 v0 5 0 ⇒ ö mv 2 2 Substituindo-se 2 em 1 , vem: 2 P mv pois Δt 5 t 2 0 5 t 2t Logo: v2 2P t 3 m No lado direito da equação 3 , temos: 2P constante k m
( )
Então: v2 5 k ? t Resposta: c.
8. a) Calculemos, inicialmente, a energia que deixará de ser produzida por uma turbina, em 3 horas: ΔE 5 P1 ? Δt ⇒ ΔE 5 680 ? 103 (kW) ? 3,0 (h) ΔE 5 2,04 ? 106 kWh Cada domicílio consome E1 5 4,0 kWh. Portanto, N domicílios consumirão: ΔE 5 N ? E1 2,04 106 ⇒ ∆E N E 4,0 1
Respostas e resoluções
⇒ N 5 5,1 ? 105 domicílios
b) A turbina recebe uma vazão de 600 m3/s. ∅ ∆V ⇒ ∆V ∅ ∆t 600 1,0 ⇒ ∆t ⇒ ∆V 600 m3 A densidade da água é 1 000 kg/m3. Logo: M 5 600 ? 103 kg ou M 5 6,0 ? 105 kg c) Cálculo da potência da turbina: ö P p M g h ∆t ∆t Usando Δt 5 1,0 s, temos M 5 6,0 ? 105 kg P 6,0 105 10 120 ⇒ P 720 106 W ⇒ 1,0
23
⇒ P 5 720 MW
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 23
b) 1) Como a densidade da água é de 1 kg/L, o volume de 1 L corresponde a uma massa de 1 kg. 2) E 5 mgh (sem acréscimo de energia cinética) E 5 1 ? 10 ? 7,5 (J) ⇒ E 5 75 J mgh c) P E ∆t ∆t Sendo m 5 μ ? V, vem: P µ ∆Vt gh ∆Vt z1 (vazão) P 5 μz1gh P 25 3 z1 µgh ⇒ z1 1 103 10 7,5 m /s
z1 25 10 4 m3 /s ⇒ z1 10 10 4 m3 /s 7,5 3 1 1 3 3 z1 10 m /s ⇒ z1 L/s 3 3 Em 1 s ⇒ V1 13 L
d) Se a velocidade do vento for reduzida à metade, então a potência será reduzida à sua oitava parte, pois esta é proporcional a v3. Logo a vazão também ficará dividida por 8. z z2 1 1 L/s 8 24 1 L Em 1 s, temos V2 24
2. A B
y 2xmín L
xmín
P C
L xmín
ilustrações: Setup
b) 0,40 m
Sendo A 5 2 m2 e v 5 5 m/s, vem:
1o. ) A condição limite para completar a circunferência (x 5 xmín) é que, no ponto mais alto da trajetória, a força de tração no fio se anule e o peso faça o papel de resultante centrípeta: P 5 Fcp mv2B mg L xmín v2B 5 g(L 2 xmín) 2o. ) Conservação da energia mecânica entre os pontos A e B: EB 5 EA (referência em B)
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
mv2B mg(2xmín L) 2 g(L xmín) g(2xmín L) 2 L 2 xmín 5 2(2xmín 2 L) L 2 xmín 5 4xmín 2 2L 5xmín 5 3L xmín 3L 5 Sendo x , L, a faixa de variação é: 3L x L 5
A
m
vA v1
h
α
B
vB 0
m
h 5 (x2 2 x1) ? sen α EB 5 EA (referência em B)
kx22 kx12 mv12 mg(x2 x1) sen α 2 2 2 2 2 kx2 k m2 (gsen α a)2 2 2 k m(g sen α a) sen α mg x2 k
3. c
4. v0 5 50 m/s
(gsen α a) m 2a m ⇒ 2 k 2 kx2 ⇒ 2 m (gsen α a)2 2 2k mg x sen α m2g (gsen α a) sen α 2 k 2 (gsen α a) ma ⇒ k kx2 ⇒ 2 x2 mg sen α 2 2 (gsen α a) m (gsen α a) gsen α a ⇒ k 2
5. c 6. d 7. B
FN P 4
P
kx22 x2mgsen α 2 2 ( 1)(g sen α a) ⇒ m (gsen α a) k 2 2 kx22 x2 mgsen α m (gsen α a)2 ⇒ 2 2k 2 ⇒ x22 2 mgsen α x2 m2 (gsen α a)2 0 k k ⇒
C
FN 1 P 5 FcpB mv2B mg mg 4 R 5 gR v2 B 4 5gR 5 10 4,0 vB (m/s) 2 2 200 (m/s) 10 2 (m/s) 2 2
vB
vB 5 2 m/s 7,1 m/s
8. No instante T em que o corpo perde o contato com o
(
)
2mgsen α 4m2g2 sen2 α 4m2 2 (g sen α a)2 k k2 k x 2 mgsen α x m g2 sen2 α (gsen α a)2 k k mgsen α m 2agsen α a2 k k mgsen α m a(2gsen α a) x k Resposta: c.
Resposta: a.
Respostas e resoluções
x
anteparo, ele tem uma velocidade escalar v1, a mola está deformada de x1 e sua aceleração tem módulo a. 1o. ) Equação de Torricelli: v21 5 v20 1 2ax1 ⇒ v21 5 2ax1 1
CAPÍTULO 20 – QUANTIDADE DE MOVIMENTO
2o. ) PFD: Pt 2 Fe 5 ma mg sen α 2 kx1 5 ma
Exercícios complementares
1. b
kx1 m(gsen α a) ⇒
⇒ x1
m(gsen α a) 2 k
3o. ) A partir do instante T, vale a conservação da energia mecânica:
24
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 24
E IMPULSO
2. a Q ⇒ 2E Q 3. EC 2m C m 2
2
Resposta: a.
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
t 0 t 1s v0 0 0
t 2s
t 3s v x s (m)
0,5 1,0 1,5 2,0 1,5 m
d3
0,5 m
1 I mv0 ⇒ v0 I m x 5 L cos a h 5 L 2 x 5 L 2 L cos a 5 L(1 2 cos a) Entre os pontos A e B podemos aplicar a conservação da energia mecânica: mv20 Mgh ⇒ v20 2gh 2gL (1 cos α) ⇒ 2 ⇒ v0 2gL (1 cos α)
ilustrações: Setup
4. a)
Num movimento uniformemente variado, as distâncias percorridas em intervalos de tempo iguais e consecutivos formam uma progressão aritmética. d3 2 1,5 5 1,5 2 0,5 ⇒ d3 5 2,5 m b) x 5 0,5 1 1,5 1 2,5 ⇒ x 5 4,5 m v v0 vm x ⇒ 4,5 v 0 ⇒ ∆t 2 3 2 ⇒ v 3,0 m/s Q 5 m ? v 5 (5,0 kg)(3,0 m/s) ⇒ ⇒ Q 5 15 kg ? m/s
I Mv0 M 2gL (1 cos α) Resposta: c.
10. a) 5 13 103 kg m/s 1,8 104 kg m/s b) 25 13 103 N 1,5 104 N 6
11.
v
vy
5. b 6. m 5 10 g 5 1022 kg
I 5 mv 5 (1022 kg)(3,0 m/s) ⇒ I 5 3,0 ? 1022 N ? s Como a força normal tem sentido para cima, seu impulso também tem sentido para cima. Resposta: a. N
IF
Q2
R
v0 ilustrações: Setup
7. F
t 6,0 s
t 0 v0 F
Figura a.
N
F (N) 10,0 Q1
P
IP
Q (0,30)(10) 3,0 kg m/s a) 1 Q 2 (0,30)(8,0) 2,4 kg m/s |DQ| 5 3,0 1 2,4 5 5,4 kg ? m/s |IR| 5 |DQ| 5 5,4 N ? s b) |IP| 5 P ? (Dt) 5 (0,30)(10)(0,1) 5 0,3 ? N ? s c) IR 5 IF 1 IP N
|IR| 5 |IFN| 2 |IP| ⇒ 5,4 5 IFN 2 0,3 ⇒ ⇒ IF 5 5,7 ⇒ IF 5 5,7 N ? s N N d) IF 5 FN ? (Dt) ⇒ 5,7 5 FN ? (0,1) ⇒ FN 5 57 N N
Respostas e resoluções
8. c 9. Suponhamos que o impulso tenha sido aplicado num
0
4,0
O impulso é numericamente igual à área da região sombreada na figura b: I
(6,0 2,0)(10,0) ⇒ I 40 N s 2
I 5 mvy ⇒ 40 5 10,0vy ⇒ vy 5 4,0 m/s v2 5 v20 1 v2y 5 (3,0)2 1 (4,0)2 ⇒ v 5 5,0 m/s vy
L
x L
v 0 h
FC1_CD_Respostas.indd 25
v0
v0
2 (10,0)(5,0) ⇒ E 125 J EC mv C 2 2 2 10,0 m 2 2 (5,0) (3,0)2 ⇒ ö 80 J ö ( v v0 ) 2 2 Q 5 m ? v 5 (10,0)(5,0) ⇒ Q 5 50 kg ? m/s Portanto: I (V); II (V); III (F) Resposta: a. 2
B
Volume 1
v
Figura c.
α
25
t (s)
Figura b.
curto intervalo de tempo, de modo que, após a aplicação do impulso, o balanço esteja praticamente na vertical e a velocidade da criança seja v0.
A
6,0
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
capítulo 18. Assim, a resposta é: “no choque com o piso fofo, o deslocamento até parar é maior e, portanto, a força média é menor”.
b)
19. 18 m/s 20. A quantidade de movimento do sistema bola-Terra se conserva. Assim, após a colisão, a Terra recua com uma velocidade pequena demais para ser observada.
F
P 5 mg 5 (0,10 kg)(10 m/s2) 5 10 N v0 5 2,0 m/s; v 5 0; Dt 5 0,50 s
21. c 22. Antes:
P
x
Sendo F o valor médio da força exercida pelo piso sobre a xícara, temos: I 5 (F 2 P)(Dt) 5 |DQ| ⇒ (F 2 P)(Dt) 5 mv0 ⇒ ⇒ (F 2 1,0)(0,50) 5 (0,10)(2,0) ⇒ F 5 1,4 N
vy
mT 5 mN 1 mA 5 800 kg Q'x 5 mT ? vx 5 800vx Q'y 5 mT ? vy 5 800vy a) Qx 5 Q’x ⇒ 7,2 ? 104 5 800vx ⇒ vx 5 90 m/s Qy 5 Q’y ⇒ 4,8 ? 102 5 800vy ⇒ vy 5 0,6 m/s 90 0,6
17. a) m 5 800 000 kg 2 10 000 kg 5 790 000 kg b) (10 000 kg)(2 000 m/s) 5 (790 000 kg)v ⇒ ⇒ v 25,3 m/s 2 y y0 v0 t at ⇒ 0 45 5,0t2 ⇒ t 3 s 2 y
b) Ei 1 (720) (100)2 1 (80) (6)2 ⇒ Ei 3,60 106 J 2 2 2 1 Ef (800)(90) ⇒ Ef 3,24 106 J 2
0
Respostas e resoluções
igual ao tempo de descida:
⇒ vB 5 40 m/s
m c) E0 1 0 v2B 1 m0v2x 2 2 2 2 0,5 1 2 E0 2 2 (40 ) 12 (0,5)(20) ⇒
( )
26
⇒ E0 5 100 J
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 26
v
v2 5 (0,6)2 1 (9,0)2 ⇒ v 90 m/s
18. a) O tempo de descida é 3 s. O tempo de subida é
vx
vx
T
b) 0,60 m/s; 0,40 m/s
0
v2
mN 5 650 kg 1 70 kg 5 720 kg; mA 5 80 kg v1 5 100 m/s; v2 5 6 m/s Qx 5 mN ? v1 5 72 ? 104 kg ? m/s Qy 5 mA ? v2 5 4,8 ? 102 kg ? m/s Depois:
mHvH 5 mMvM ⇒ (60)(0,3) 5 (30) ? vM ⇒ vM 5 0,6 m/s A velocidade relativa de afastamento entre o homem e o menino tem módulo v dado por: v 5 vH 1 vM 5 0,3 m/s 1 0,6 m/s 5 0,9 m/s Assim, 2,0 segundos após se separarem, a distância entre eles é: d 5 v ? (Dt) 5 (0,9 m/s)(2,0 s) 5 1,8 m A energia mecânica do sistema não é conservada, pois inicialmente não havia energia cinética e depois há. Essa energia cinética que apareceu veio da energia química armazenada nos corpos das duas pessoas. Portanto, as forças exercidas entre elas não são conservativas. A quantidade de movimento do sistema é nula tanto antes como depois do empurrão. Assim: (01) V; (02) F; (04) F; (08) V; (16) F; (32) V Resposta: 41.
T0 5 3 s b) x x0 vxT0 ⇒ 60 vx 3 ⇒ vx 5 20 m/s 0 m v m0 v m0 v ⇒ 20 vB ⇒ 0 x AX B 2 2 2
A
y
13. b 14. b 15. mH 5 60 kg; mM 5 30 kg; vH 5 0,3 m/s
16. a) 30 N ? s
v1
nave
ilustrações: Setup
12. a) Essa situação é análoga à do air bag tratada no
DE 5 Ef 2 Ei 23,6 ? 105 J
23. e 24. a 25.
Q1
π rad 30º 6 |Q1| 5 |Q2| 5 mv 5 (10) (20) 5 200 kg ? m/s
F 30°
∆Q
30°
O triângulo é equilátero. Q2
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
Portanto: |DQ| 5 |Q1| 5 |Q2| 5 200 kg ? m/s F (∆t) ∆Q ⇒ F ∆Q 200 ⇒ F 20 N ∆t 10
CAPÍTULO 21 – COLISÕES Exercícios complementares
1. a) 0,80 m/s
b) 3,2 cm
2. a) 2,0 m/s b) 1,0 m/s; para a esquerda
3.
QA 5 Q'A 1 QB ⇔ QB 5 QA 2 Q'A Resposta: b.
Pela conservação da energia mecânica: 2 kx2 m1 m2 v2 m1 v0 ⇒ 2 2 2 2 2 2 m v m1v20 m m 1 0 2 1 ⇒ kx ⇒ 2 (m m ) 2 2 2 2 1 m12v20 ⇒ kx2 m1v20 ⇒ m1 m2 m12v20 ⇒ kx2 m1v20 ⇒ m1 m2
4. a) e b)
(
pA qA
pB
qA 5 pA 1 pB
5. a) Durante a colisão, as forças que atuam em B são o
peso, a normal, a força de atrito e a força elástica. Para que o corpo A volte à altura h0, não deve transferir energia mecânica a B, isto é, este deve ficar em repouso. Para que isso aconteça, devemos ter: FN
Respostas e resoluções
FA
P
FE FA, máx ⇒ FE µFN ⇒ kx µMg ⇒
µM Mg 1 k Pela conservação da energia mecânica: 2 2Mgh0 Mgh0 kx ⇒ x2 2 2 k
⇒x
De 1 e 2 : 2Mgh0 µ2M2g2 µ2Mg ⇒ h0 2 k 2k k
27
Portanto, o valor máximo de h0 é
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 27
)
dois blocos tiverem a mesma velocidade v. Pela conservação da quantidade de movimento: mv (m1 m2) v m1v0 ⇒ v m 1 0m 1 2
Q'A
B
MgH
6. A compressão será máxima no instante em que os
Q'A
FE
Mv2A ⇒ vA 2gH 2 Pela conservação da quantidade de movimento, sendo v a velocidade comum, temos: v 2gH MvA (2M) v ⇒ v A 2 2 Pela conservação da energia mecânica: Mv2A (2M) v2 kX2 ⇒ M 2gH 2 ( ) 2 2 2 2 2gH MgH 2M kX2 ⇒ X k 2
(
QA
QB
b) No instante em que atinge a mola, A tem velocidade vA dada por:
µ2Mg . 2k
)
m1 ⇒ kx2 m1v20 1 m1 m2 m1m2v20 m m2 m1 ⇒ kx2 ⇒ m1v20 1 m1 m2 m1 m2 ⇒ x v0
m1m2 R (m1 m2)
7. a) h 5 80 cm 5 0,80 m v' 2gH 2 (10)(0,80) ⇒ v' 5 4,0 m/s b) Mv 2 mv 5 Mv'b 1 mv'p M(5,0) 2 m(5,0) 5 M(4,95) 1 m(7,0) ⇒ M 5 240 m No site da Confederação Brasileira de Tênis de Mesa, há a informação de que a massa de uma bola de pingue-pongue é de m 5 2,7 g, isto é, m 3 g. Portanto: M 5 240 m 240(3 g) ⇒ M 720 g
8. 1,2 m/s; 4,8 m/s b) v 0 ; v 0 ; v 0 . 4 4 2 0. Um pouco antes da colisão, as duas partículas terão 1 velocidades de sentidos opostos, mas de mesmo módulo: vX vY 2gR
9. a) 2
X
vx
vy
Y
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
Após a colisão, as alturas máximas atingidas por X e Y são, respectivamente, R e R . Portanto, logo após 2 3 a colisão, X e Y terão velocidades de módulos: v x' 2g R e v y' 2g R 2 3 Como a altura máxima atingida por X após a colisão R é maior que a atingida por Y R , concluímos que, 2 3 logo após a colisão, o sentido de v x' é para a esquerda. Porém, pelo enunciado não temos condições de decidir se o sentido de v y' é para a esquerda ou para a direita. Assim, após a colisão há duas possibilidades:
( )
( )
2gR 2gR 2 3 2gR 2gR
e
Desenvolvendo os cálculos do mesmo modo que foi feito para a possibilidade (I), chegamos a: e 3 2 2 3 0,065 12 Assim, o problema tem duas respostas: e 0,64 ou e 0,065.
11. c 12. 40 km/h; 76 km/h 13. I (F); II (F); III (F); IV (V)
R 3
X Y
R 2 R 3
(I)
(II)
Analisemos as duas possibilidades. Possibilidade (I):
2gR
2gR
15. b 16. b 17. e 18. e
pouco antes do choque X
14. b
19. a) 4,0 s
Y
b) QC (kg m/s)
ilustrações: Setup
Y
ilustrações: Setup
X R 2
3
pouco após o choque 2gR 2
X
2gR 3
Y
0
2
6
10
14
18
t (s)
2
6
10
14
18
t (s)
QB (kg m/s)
Sendo e o coeficiente de restituição, temos: 2gR 2gR 2gR 2gR 2 3 2 3 e 2gR 2gR 2 2gR
Respostas e resoluções
1 1 2 3 2 3 2 2 6
3 2 2 3 2
3 2 6 2
( 3 2 )( 6 ) (2 6 )( 6 )
(9)(2) 4 (3) 12
2gR
2gR
28
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 28
X
2gR 3
0,225
0
20. a) 10 m; 6,25 m 22. a) 0,10 s
Y
23. Como o plano é liso
pouco após do choque 2gR 2
E (J)
18
t (s)
b) 10 m
21. 8,0 m
pouco antes do choque X
0
18 12 12
3 2 2 3 0,64 12
Possibilidade (II):
3
Y
e o choque é elástico, o ângulo de incidência deve ser igual ao ângulo de reflexão. Portanto: a 5 45º.
b) 1,25 m A 45º QA B QB 45º
horizontal
α 45º
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
24. H 5 4,0 m; g 5 10 m/s2.
Sendo va a velocidade da bolinha ao atingir S, temos: v a 2gH 2 (10)(4) 4 5 ⇒ va 4 5 m/s A S
H
e2v12 cos2 θ v2 sen2 θ 1 2 1 ⇒ 2 v2 v2 ⇒ v22 v12 (e2 cos2 θ sen2 θ) ⇒
30º vd P va 30º 30º h B
β
⇒ v2 v1 e2 cos2 θ sen2 θ Dividindo membro a membro as igualdades 1 e 2 : sen α e cos θ 3 cos α sen θ
α 30º
Sendo vd a velocidade da bolinha logo após a colisão, como não há atrito e o choque é elástico, temos: vd va 4 5 m/s A componente vertical de vd tem módulo: vd
vy
Lembrando que sen2 a 1 cos2 a 5 1, usando as igualdades 1 e 2 , temos:
cos θ 1 cotg θ Mas: sen α tg α e sen θ tg θ cos α Assim, a igualdade 3 fica: tg a 5 e ? cotg q ou a 5 arc tg (e ? cotg q)
26. vO 5 25 m/s; vA 5 20 m/s; vB 5 7,5 m/s mA 5 2,0 kg
QO 5 mAvO; QA 5 mAvA; QB 5 mBvB
30º vx
QO 5 mAvO 5 (2,0)(25) ⇒ QO 5 50 kg ? m/s
()
vy vd sen 30º (4 5 ) 1 ⇒ vy 2 5 m/s 2 Sendo h a altura máxima em relação ao plano β, temos: v2 ( )2 0 v2y 2gh ⇒ h y 2 5 ⇒ h 5 1,0 m 2g 2 (10)
25. Supondo que não haja atrito entre a bola e a superfície,
a componente x da velocidade v1 não se altera. Como não foi dado o valor do coeficiente de restituição (e), não sabemos se a componente y de v1 se altera ou não.
QA 5 mAvO 5 (2,0)(20) ⇒ QA 5 40 kg ? m/s QB 5 mBvB 5 mB ? (7,5) Q2O 5 Q2A 1 Q2B ⇒ 502 5 402 1 Q2B ⇒ QB 5 30 kg ? m/s QB 5 mB(7,5) ⇒ 30 5 mB(7,5) ⇒ mB 5 4,0 kg QO
QA
0 x v1 θ
27. a) Se não há atrito entre as bolas, a força que uma
β
exerce na outra deve ser normal no ponto de contato. Mas sabemos que, em uma esfera, a normal que passa pelo ponto de contato passa também pelo centro. Concluímos, então, que a bola B, após o choque, deve mover-se ao longo da reta s, formando ângulo de 60º com r.
v α 2
Respostas e resoluções
θ
As componentes y de v1 e v2 são: v1 5 v1 cos q e v2 5 v2 cos b y
(a) Antes do choque. A
y
Mas b 1 a 5 90º. Assim: cos b 5 sen a e: v2 5 v2 sen a y v2 v sen α ev cos θ e y 2 ⇒ sen α 1 1 v2 v1 v1 cos θ y
As componentes de v1 e v2 na direção x são iguais: v1 v2 ⇒ v1 sen θ v2 cos α ⇒ x
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 29
2
vO
r
B
(b) No instante do choque. A
x
v sen θ ⇒ cos α 1 v2
29
QB
y
ilustrações: Setup
0
B
r 60º
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
Logo após a colisão, o conjunto tem velocidade v1 de componentes v1 e v1 (fig. b). Impondo a conservação
(c) Depois do choque. A
x
B
v1
v1 y
vB s
b) Como as bolas são idênticas, o choque é elástico e uma das bolas estava inicialmente parada, devemos ter: θ 1 60º 5 90º ou θ 5 30º c) QO 5 m(8); QA 5 m(vA); QB 5 m(vB) No triângulo retângulo sombreado da figura d temos: Q mvA ⇒ cos 30º QA ⇒ 23 m(8) O
⇒ vA 4 3 m/s
v1
Figura b.
ilustrações: Setup
r
60º
y
da quantidade de movimento na vertical, temos: MV MV (m M) v1 ⇒ v1 y y M m
vA
x
Impondo a conservação da quantidade de movimento na horizontal: mvx (M m) v 1 ⇒ m v 2 (M m) v 1 ⇒ x x 2 ⇒ v 1 mv 2 x 2 (M m) Calculemos o tempo t decorrido entre o momento do choque e o momento em que o conjunto chega ao solo.
QA
s 30º 60º
VO
QO sO
QB Figura d.
d) No triângulo sombreado da figura d temos: QB mvB 1 sen 30º Q ⇒ 2 m(8) ⇒ vB 5 4 m/s O
28. c
2 g s sO vOt a t2 ⇒ 0 v MV t t2 ⇒ 2 2 4g M m
29. d
Respostas e resoluções
30.
v v MV O y M m v2 ; a g sO h 4g
⇒
v
vy
( 2g ) t ( MMV m ) t 4gv 0 ⇒ MV M m
⇒t
vx
t
v y vx v 2 2 A altura máxima h atingida pelo objeto de massa m é dada por: 2 2 0 v2y 2gh ⇒ 0 v 2 2gh ⇒ h v 2 4g
(
30
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 30
M2V2
(M m)2
2
4
( 2g )
g v2 2 4g
Desprezando o sinal “menos” antes da raiz, temos:
45º
Figura a.
2
2
)
MV M m
M2V2
(M m)2
g
2 v 2
Assim: d (v1
) (t)
⇒ d
mv 2 MV 2g (M m) M m
x
⇒
(
M2V2 v2 2 2 (M m)
)
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
CAPÍTULO 23 - ESTÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS Exercícios
18. O atrito entre os discos provocou dissipação de energia mecânica.
Exercícios complementares
2. a) 4,0 m/s2
19. FA 5 30 N (para baixo) FB 5 40 N (para cima)
b) 20 rad/s2
20. Quando a barra estiver na iminência de rotação, a
c) TA 5 24 N; TB 5 20 N
3. ω 3g L
FN S2
4. 15 N
mg
5. a) 0,36 kg ? m2
0,5 m 0,4 m
2 m 5 c) 648 J
b)
Considerando S2 como polo, temos: mg(0,5) 5 Mg(0,4) ⇒ 10(0,5) 5 M(0,4) ⇒ ⇒ M 5 12,5 kg
7. a) a 57 gsen θ
b) γ 5 gsen θ 7 R 10gh ;ω 1 7 R 2 d) µe tg θ 7
c) v
10gh 7
Entre as alternativas apresentadas, a maior massa que é menor ou igual a 12,5 kg é 10 kg. Resposta: b.
21. F1 5 60 N; F2 5 180 N 22. c
54° 8. θ arc cos 10 17
23.
FN
9. a) h 5 2,7 (R 2 r);
C Fx
b) FN 17 mg 7
10. a) a
Fy
gsen θ 1 I2 MR
FA B F
30 cm 100 cm
a) Considerando o ponto C como polo, temos: FN ? (30) 5 F ? (100) ⇒ FN(30) 5 750(100) ⇒ ⇒ FN 5 2 500 N
b) A esfera.
12. a
b) FA 5 μFN 5 (0,40)(2 500 N) 5 1 000 N
13. a) 2,0 rad/s
Respostas e resoluções
Mg
ilustrações: Setup
força de compressão em S1 é nula.
c) Fx 5 FA 5 1 000 N
b) 1 260 J c) 1 680 J
C
Fx
14. Do trabalho realizado pela pessoa. 15. a) Horário. b) 0,40 rad/s c) 140 J
16. a) 4,0 m/s b) 0,576 J
17. a) 2,8 rad/s b) 560 J c) 392 J
31
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 31
c) 1,6 J d) 1,024 J
Fy
FC
Fy 1 F 5 FN ⇒ Fy 1 750 5 2 500 ⇒
⇒ Fy 5 1 750 N
F2C 5 F2x 1 F2y 5 (1 000)2 1 (1 750)2 FC 5 2 016 N 2,0 ? 103 N
24. e Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
RA
RB
A
B PC
x
Racionalizando: 3 Mg |F | |F AB| 3
PB
5 cm
30º 30º
P
10 cm RB (N)
F
centro do cilindro A
F P F b) O módulo da força que o piso exerce sobre o cilindro B tem o mesmo valor da força que o piso exerce sobre o cilindro C. Chamando essa força de FN e analisando o sistema, vem:
700 300 θ
400
F
A
ilustrações: Setup
25.
10
A P 0
x (m)
10
PB 5 800 N PC 5 mC ? g 5 mC ? 10 5 10 mC Considerando o ponto A como polo, temos: RB(10) 5 PC ? x 1 PB(5) RB(10) 5 10 mC ? x 1 800(5) RB 5 mC ? x 1 400 mC tg θ 300 30 ⇒ mC 30 kg 10 Resposta: a.
26. a) zero
b) 1 440 N
27. 4,0 m 28. 10 min 29.
B
FMB
F
C P
FMC P
FN FN Do equilíbrio na vertical, temos: 2FN 5 3P 2FN 5 3Mg 3 Mg Assim: |F N| |F PB| 2 c) Para o cálculo de FMC vamos isolar o cilindro C e ainda observar que a força de contato entre B e C é nula, pois as forças aplicadas pelo cilindro A tendem a afastá-los. Do equilíbrio na horizontal, vem: FMC 5 F cos 60° Substituindo pelo valor de F encontrado: FMC 3 Mg 1 ⇒ FMC 3 Mg 3 2 6 F
FA
Respostas e resoluções
A
C
FA FB
FB
Supondo a barra em equilíbrio, temos: FA 5 FB 1 F ⇒ FA . FB ⇒ A move-se antes.
30. a) Para calcularmos o módulo de FAB vamos isolar
32
o cilindro A, lembrando que |FAB| 5 |FBA|, pois são forças do tipo ação e reação, e que as forças trocadas entre A e B e entre A e C têm a mesma intensidade (F) devido à simetria do sistema. Para o equilíbrio do cilindro A, na vertical, vem: 2F cos 30° 5 P 2F 3 Mg 2 Mg F 3
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 32
FMC
60º
B
31. zero
FN
32. a) C P
FA A 30º
FB B 60º
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
P 5 40 N; PB 5 200 N sen θ 5 0,60; cos θ 5 0,80 Tx 5 T cos θ 5 T(0,80) Ty 5 T sen θ 5 T(0,60) Tomando torques em relação ao ponto A, temos: Tx ? 2d 5 P ? d 1 PB ? 2d 1 Ty ? 2d ⇒ ⇒ T(0,80)(2) 5 40 1 200(2) 1 T(0,60)(2) ⇒ ⇒ 1,6T 2 1,2T 5 440 ⇒ T 5 1 100 N
P FA 60º FB
30º C
No triângulo retângulo sombreado, temos:
b) Ty 5 T(0,60) 5 (1 100 N)(0,60) 5 660 N Fy 5 P 1 Ty 1 PB 5 40 N 1 660 N 1 200 N ⇒ ⇒ Fy 5 900 N
FA P cos 30° (100 N)
c) Tx 5 T(0,80) 5 (1 100 N)(0,80) 5 880 N Fx 5 Tx 5 880 N
P
( 23 ) 50
3 N
()
FB P sen 30° (100 N) 1 50 N 2 b)
d) F2 5 F2x 1 F2y 5 (880)2 1 (900)2 ⇒ F 1 260 N
34. a) 600 N b) V 5 1 000 N; H 5 450 N
C
FB
FA
35. a) 5,0 cm b) 280 N c) 540 N
P 60º
40º
36. θ e α são complementares. Portanto:
{
{
P FB 60º 40º 80º
ilustrações: Setup
sen θ 0,800 sen α 0,600 ⇒ cos θ 0,600 cos α 0,800 A
FA
60º 40º FB
d
L 2 h y
P
h 98 cm
Respostas e resoluções
Apliquemos a Lei dos Senos ao triângulo sombreado: FA FB P sen60° sen 40° sen 80° ⇒
FA FB ⇒ 100 N ⇒ 0,866 0,643 0,985
⇒ FA 88 N e FB 65 N
Ty Fy A
P 45º Fx d
d 2d
33
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 33
α
α θ R
y
θ b
y 5 R cos α 5 (40 cm) (0,800) 5 32 cm h 2 y 5 98 cm 2 32 cm 5 66 cm h y cos θ ⇒ 0,600 66 ⇒ d 110 cm d d
Tx
33. a)
PB F
PB 2d
L 5 120 cm; L 60 cm; PB 5 55 N 2 b L sen θ (60 cm)(0,800) 48 cm 2 Tomando momentos em relação a A: F ? d 5 PB ? b ⇒ F(110) 5 (55)(48) ⇒ F 5 24 N
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
α
f1 5 μF1 2 Tomando torques em relação a G: f1 h 1 F1 d1 1 f2d2 3
Fy
Substituindo 1 e 2 em 3 : μe F1 h 1 F1 d1 5 (P 2 F1) d2 ⇒ ⇒ (0,70) ? (F1) ? (0,50) 1 F1 ? (1,5) 5 5 P ? (2,0) 2 F1 (2) ⇒ F1 0,52P f1 5 μeF1 (0,70) (0,52P) 0,364P 5 5 (0,364)mg f1 5 m ? amáx ⇒ (0,364)mg 5 m ? amáx ⇒
Fx
Fy 5 F ? sen θ 5 (24 N)(0,800) 5 19,2 N Fx 5 F ? cos θ 5 (24 N)(0,600) 5 14,4 N
Fy
Fx PC
FA
c) Fazendo f1 5 0 e procedendo do mesmo modo que no item anterior obtemos: amáx 3,33 m/s2
FN
PC 5 10,8 N FN 5 Fy 1 PC 5 19,2 N 1 10,8 N 5 30 N FA 5 Fx 5 14,4 N FA < μe ? FN ⇒ 14,4 < μe (30) ⇒
⇒ amáx (0,364) ? (10 m/s2) ⇒ amáx 3,64 m/s2
40.
T
V1
H1
Ty
⇒ μe > 0,48
Tx
37. Quando o motorista acelera aumenta a força de atri-
2,0 m
to, que tem o mesmo sentido do movimento, aumentando o torque no sentido horário.
V2
38. Quando o motorista breca, aumente a força de atrito
contrária ao movimento, produzindo um torque no sentido anti-horário. v
39. a)
G f1
Respostas e resoluções
F2
f2
P
d2
d1
h
d 1 1,5 m d 2 2,0 m h 0,50 m g 10 m/s 2
⇒ amáx 5 7,0 m/s2
b) Neste caso não há tração nas rodas traseiras, e as forças de atrito nelas (que se opõem ao movimento) têm intensidades desprezíveis em comparação com as forças de atrito nas rodas com tração. Assim, na figura, temos: f2 5 0 F1 1 F2 5 P ⇒ F2 5 P 2 F1 1
34
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 34
P
H2
1,8 m 1,8 m
f 5 400 N; Tx 5 120 N; Ty 5 90 N a) H2 5 198 N b) H1 5 78 N c) Este portão é um sistema indeterminado, pois não temos condições de determinar os valores de V1 e V2. Sabemos apenas que V1 1 V2 5 310 N.
41. Neste caso o portão está apoiado verticalmente ape-
F1
f1 e f2 são as forças de atrito. F1 e F2 são as forças normais. Quando a aceleração for máxima, as forças de atrito terão seu valor máximo: f1 5 μe ? F1 e f2 5 μe ? F2 F1 1 F2 5 P f1 1 f2 5 μe ? F1 1 μe ? F2 5 μe (F1 1 F2) 5 5 μe ? P 5 μe m ? g f1 1 f2 5 m ? amáx ⇒ μe mg 5 m ? amáx ⇒ ⇒ amáx 5 μe ? g 5 (0,70) ? (10 m/s2) ⇒
ilustrações: Setup
F
nas no encaixe inferior E1. Assim, no encaixe superior não há força vertical, há apenas a força horizontal H2. E2
H2 V1 H1
E1
H1 5 H2 5 250 N V1 5 600 N
42. a)
FA A
53º 37º
FD
G
37º
P
D
53º 53º 37º B
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
b)
Portanto, o volume da parte emersa é 20% do volume do corpo: V1 5 20% de VC 5 0,20VC Sendo dL 5 1,0 ? 103 kg/m3 e mL 5 0,40 kg, temos: m 0,40 kg VL L ⇒ dL 1,0 103 kg/m3
FA
FD
37º
P
c) sen 37°
FA F ⇒ 0,60 A ⇒ FA 60 N P 100
F F cos 37° D ⇒ 0,80 D ⇒ FD 80 N P 100
43. μe > 0,6
⇒ VL 4,0 10 4 m3
Assim: VL 0,80VC ⇒ VC
VC 5,0 10 4 m3
d) dC
CAPÍTULO 25 – FLUIDOSTÁTICA – LEI DE STEVIN Exercícios complementares
1. b 2. a) 2,4 ? 105 Pa 3. b 4. d 5. a 6. b 7. 37 mmHg 8. a) 2 m
mC 0,40 kg ⇒ dC 0,80 103 kg/m3 VC 5,0 10 4 m3
3.
x y
b) 48 N
b) 40 m/s2
9. Nesta questão devemos supor que a pergunta é: “qual a sobrepressão do plasma?”. Resposta: e.
CAPÍTULO 26 – FLUIDOESTÁTICA – PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
v 5 (2,0 m) ? (1,0 m) ? (0,10 m) 5 0,20 m3 d 5 0,60 g/cm3 5 6,0 ? 102 kg/m3 M 5 dV 5 (6,0 ? 102 kg/m3) ? (0,20 m3) 5 120 kg m 5 60 kg M' 5 M 1 m 5 180 kg P' 5 M' ? g VS 5 (2,0 m) ? (1,0 m)y 5 (2,0)y dA 5 1,0 g/cm3 5 1,0 ? 103 kg/m3 E 5 P' ⇒ dAVSg 5 M'g ⇒ (103) ? (2,0) ? (y) 5 180 ⇒ ⇒ y 5 0,09 m 5 9 cm x 5 10 cm 2 9 cm ⇒ x 5 1 cm
4. c 5. d 6. Observamos que a nata flutua no leite e, portanto, a
densidade da nata é menor que a densidade do leite desnatado. Portanto, o leite desnatado é mais denso.
y (0,4) cos θ L y (1,6) cos θ
1. 0,1 N
Respostas e resoluções
2. a) O líquido que foi para o recipiente Y é o liquido
0,4 m
deslocado cuja massa é mL 5 0,40 kg. Mas sabemos que a intensidade do empuxo é igual ao peso do líquido deslocado. Assim: E 5 PL 5 mL ? g 5 (0,40 kg) ? (10 m/s2) E 5 4,0 N b) Estando o corpo em equilíbrio, o peso (PC) deve ter a mesma intensidade do empuxo (E), o qual é igual ao peso do líquido deslocado: PC 5 E 5 PL ⇒ PC 5 PL ⇒ mC 5 mL Como mL 5 0,40 kg, temos: mC 5 0,40 kg c) O volume da parte imersa é 80% do volume do corpo: VL 5 80% de VC 5 0,80VC
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 35
10 cm
7. L (2,0) cos θ
Exercícios complementares
35
4 3 VL 4,0 10 m 0,80 0,80
2,0 m
1,6 m E PB S L y 2 L 2 L y
y
L
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. Todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
Sendo A a área da seção reta da barra, temos: VB A(2,0) V A(1,6) L
V2 5 (3 200 1 600) cm3 5 3 800 cm3 Mas: V2 5 A ? y 3 800 5 400 ? y y 5 9,5 cm
Tomando o ponto S como polo dos momentos, temos: L y PB L E 2 2 E(L 2 y) 5 PBL E(1,6) cos q 5 PB(2,0) cos q 4E 5 5PB 4dLVLg 5 5dBVBg 4(1) ? A(1,6) 5 5dB ? A(2,0)
(
)
III. VL 5 400 cm3 VC 5 80 cm3 O volume até a superfície livre da água é: V3 5 V0 1 VL 1 VC V3 5 (3 200 1 400 1 80) cm3 V3 5 3 680 cm3 Mas: V3 5 A ? z 3 680 5 400 ? z z 5 9,2 cm
dB 5 0,64 g/cm3 iLuStraçõeS: Luiz Fernando rubio
8.
x
11. a) 320 cm3
c) x 5 9 cm; y 5 1 cm d) Não.
b) 400 cm3
12. VA VM
y
e
Pb
área A
P5E dPb ? A ? e ? g 1 dv ? A(x 1 y) ? g 5 da ? A(e 1 y) ? g ⇒ ⇒ dPb ? e 1 dv(x 1 y) 5 da(e 1 y) ⇒ ⇒ (dPb 2 da)e 1 dv ? x 5 (da 2 dv) ? y Da última igualdade, notamos que, quando x 5 0, y 0. Resposta: d.
9. a) 800 g
c) 2 cm d) 21,6 cm
b) 800 cm3
Respostas e resoluções
3
II. Ao colocarmos o corpo C dentro de B, a massa do corpo passa a ser 600 g: dLV'L 5 mC (1) V'L 5 600 V'L 5 600 cm3 O volume até a superfície livre passa a ser:
Volume 1
FC1_CD_Respostas.indd 36
h1
h2
V0 5 (400 cm )(8,0 cm) 5 3 200 cm I. dLVL 5 mmC (1)(VL) 5 400 VL 5 400 cm3 O volume até a superfície livre da água passa a ser: V1 5 V0 1 VL 5 (3 200 1 400) cm3 5 3 600 cm3 Mas: V1 5 A ? x 3 600 5 400 ? x x 5 9,0 cm
36
b) h
10. O volume da água é: 2
V VM VC 24 cm3 a) A VA 24 VM dAVA 1 dVM 5 dCVC 1(24 2 VM) 1 13,6 VM 5 (7,3)(24) VM 5 12 cm3 Portanto, VA 5 12 cm3, isto é, metade do volume fica submerso na água.
Como a densidade da água é 1,0 g/cm3 e há 260 gramas de água, o volume da água é: VA 5 260 cm3 Assim: h1 ? A 5 260 1 12 h1 ? (20) 5 272 h1 5 13,6 cm Pela Lei de Stevin: dM ? h2 5 dA ? h1 (13,6)(h2) 5 (1) ? 13,6 ⇒ h2 5 1,0 cm Assim: h 5 h1 2 h2 5 (13,6 2 1,0) cm h 5 12,6 cm
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte inteGrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio. todos os direitos reservados.
9/25/12 11:16 AM
Related documents
Física Clássica Vol. 1 (complementos)
154 Pages • 70,880 Words • PDF • 41.4 MB
lp - 1 ano - vol. 1
61 Pages • 3,507 Words • PDF • 7.2 MB
8Serie Vol.1 Geografia
27 Pages • 6,599 Words • PDF • 1.2 MB
7º ano - vol 3 - Parte 1
80 Pages • 19,788 Words • PDF • 20.1 MB
Introdução à Mecânica Quântica - Vol 1
125 Pages • 31,699 Words • PDF • 5.1 MB
DC Adventures Heroes And Villains Vol 1
321 Pages • 195,906 Words • PDF • 78.4 MB
![[SwordArtOnline.com.br] SAO Cap.2 Vol.1](https://docero.tips/img/crop/96x132/xd5drry0q1.jpg)
[SwordArtOnline.com.br] SAO Cap.2 Vol.1
14 Pages • 4,117 Words • PDF • 418.5 KB
Guidorizzi - Cálculo Vol. 1 (5ª ed)
327 Pages • PDF • 10.3 MB
Paola Scott- Provocante vol 1 - Paola Scott
554 Pages • 104,301 Words • PDF • 3 MB
Endodontia Mario Leonardo Vol 1 e 2
1,510 Pages • PDF • 500.7 MB
Osprey - Warrior 033 - Knight Hospitaller (Vol 1)
68 Pages • PDF • 46.8 MB
Vol 7/1 Psicologia do inconsciente
207 Pages • 56,130 Words • PDF • 1.7 MB