Gabarito Cap 4

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RESOLUÇÕES CAPÍTULO 4 – TEORIA DO PRODUTOR Exercícios complementares (página 158) 1. Produção no Curto Prazo 1.1 1.1.1  K = 20: Q(K,L) = 5L + 200L2 – 2,5L3  produtividade = produto médio, é dado por: Pme = Q/L = 5 + 200L – 2,5L2 Para L = 25:

PMe = 5 + 200(25) – 2,5(25)2 = 3.442,5

Para L = 50:

PMe = 5 + 200(50) – 2,5(50)2 = 3.755,0

Ao contratar mais 25 trabalhadores, a produtividade cresce em 312,5 produtos por trabalhador.

1.1.2  produto marginal: PMg = dQ/dL = 5 + 400L – 7,5L2 Para L = 25:

PMg = 5 + 400(25) – 7,5(25)2 = 5.317,5

Para L = 50:

PMg = 5 + 400(50) – 7,5(50)2 = 1,255,0

Resp: Ao contratar mais 25 trabalhadores, o produto marginal caiu em 4062,5, ou seja, o trabalhador “nº 51” adicionará 4062,5 peças a menos que o trabalhador “nº 26”.

1.1.3 A lei dos rendimentos decrescentes diz que, ao aumentar um dos insumos, mantendo o outro fixo, (no caso, fixando o capital e aumentando o número de trabalhadores), a partir de certo ponto o produto marginal diminuirá, ou seja, o “próximo” trabalhador produzirá cada vez menos.

1

No caso do exercício, sim, a lei já entrou em ação, pois o produto marginal com 25 trabalhadores é maior que o produto marginal com 50 trabalhadores. Para achar o número exato de trabalhadores que são necessários para que a lei entre em ação, deriva-se a função de produto marginal e iguale-a a zero, para obter o ponto em que o produto marginal é máximo: PMg = dQ/dL = 5 + 400L – 7,5L2 dPMg/dL =0 400 – 15L = 0 L = 26,67

Em seguida, deriva-se de novo para conferir se o ponto encontrado trata-se de um ponto de máximo ou mínimo: d²PMg/dL2 – 15 (< 0) Se o valor encontrado for menor que zero, trata-se de um ponto de máximo, confirmando que o ponto seja onde a lei dos rendimentos decrescentes entra em ação, neste caso, a partir do 27º trabalhador.

1.2 1.2.1 Para encontrar a produtividade máxima, deriva-se a função de produtividade e a iguala a zero: Pme = Q/L = 5 + 200L – 2,5L2 dPme/dL = 0 200 – 5L = 0 L = 40

Para conferir se o ponto é de máximo: d2Pme/dL2 86.062,5 Ao dobrarmos K e L a produção mais do que dobra, portanto os rendimentos de escala são crescentes.

4

2. “Ares de Deserto” 2.1 Q(L,K) = AK (28L + 6L² - 1/3L³) A = 3/4; K = 4 Q(K,L) = 3 (28L + 6L² - 1/3L³)

Produto Total: Ptotal = 84L + 18L² - L³ Produto Médio: Pme = 84 + 18L - L² Produto Marginal: Pmg = 84 + 36L - 3L²

2.2 Produtividade = Produto médio dPme/dL = 0 18 - 2L = 0 L=9 Ptotal = 84(9) + 18(9)² - (9)³ = 1485 Para atingir a produtividade máxima deve-se empregar 9 trabalhadores, e fazendo isso, a produção total será de 1485 umidificadores. 2.3 dPtotal/dL = Pmg = 0 84 + 36L - 3L² = 0 L = -2 (não convém) ou L = 14 trabalhadores

Ptotal = 84L + 18L² - L³

5

Q = 84(14) + 18(14)² - (14)³ Q = 1960 umidificadores Resp: Não, a empresa não conseguirá atender ao pedido, pois a produção total máxima da empresa (obtida utilizando 14 trabalhadores) é de 1960 umidificadores.

2.4 A lei dos rendimentos decrescentes diz que, ao aumentar um dos insumos, mantendo o outro fixo, (no caso, fixando o capital e aumentando o número de trabalhadores), a partir de certo ponto o produto marginal diminuirá, ou seja, o “próximo” trabalhador produzirá cada vez menos. dPmg/dL = 0 36 - 6L = 0 L=6 Portanto, a partir do 6º trabalhador a lei dos rendimentos decrescentes entrará em ação.

2.5 (i.) Gráfico 1: Produto Médio: Pme = 84 + 18L - L² Produto Marginal: Pmg = 84 + 36L - 3L² A: L = 9; Pme = 165 B: L = 6; Pmg = 192 C: L = 14; Pmg = 0

6

7

(ii.) Gráfico 2:

Ptotal = 84L + 18L² - L³

Para L = 6 -> Q = 936 (B) (Pmg máximo) Para L = 9 -> Q = 1485 (A) (produtividade máxima, ou seja, Pme máximo) Para L = 14 -> Q = 1960 (C) (Q máximo, ou seja Ptotal máximo)

8

3. “Brigadeiro Gourmet” 3.1 Q(F,C) = 3(28C + 6C² - 1/3C³) Ptotal = Q = 84C + 18C² - C³ Pme = Q/C = 84 + 18C - C² Pmg = dQ/dC = 84 + 36C - 3C²

3.2 dPtotal/dC = 0 84 + 36C - 3C² = 0 C = -2 (não convém) ou C = 14 Ptotal = 84(14) + 18(14)² - (14)³ Q = 1960 brigadeiros Resp: Não, pois a produção máxima do ateliê, atingida com 14 cozinheiras, é de 1960 brigadeiros. 3.3 Pme(14) = 84 + 18(14) - (14)² Pme = 140 brigadeiros por cozinheira Alternativamente, para calcular a produtividade no ponto pedido, basta dividir a produção total (1960) pelo número de cozinheiras (14), para obter os mesmos 140 brigadeiros por cozinheira. Para obter a produtividade máxima: dPme/dC = 0 18 - 2C = 0 C=9 Pme = 84 + 18(9) – (9)² = 165 brigadeiros por cozinheira 9

Resp: a produtividade máxima é de 165 brigadeiros por cozinheira (utilizando 9 cozinheiras) 3.4 A lei dos rendimentos decrescentes diz que, ao aumentar um dos insumos, mantendo o outro fixo, (no caso, fixando os fogões e aumentando o número de cozinheiras), a partir de certo ponto o produto marginal diminuirá, ou seja, a “próxima” cozinheira produzirá cada vez menos. dPmg/dC = 0 36 - 6C = 0 C=6 d²Pmg/d²C = -6 (

λ = 2rK0,5/L0,5

=>

(Eq.1) (Eq.2)

(Eq.3)

Igualando as equações (1) e (2): 2wL$,% 2rK$,% = $,% K $,% L (

L = )K

(Eq. 4)

Substituindo na equação (3): ( )

K0,5* K+

$,%

– q0= 0

)

K =, ( ∙ q$ Voltando na equação (4): L=

( ( K= ) )

) (

∙ , ∙ q$

(

L =,) ∙ q $ ) (

( )

Resposta: As curvas de demanda são K =, ∙ q $e L = , ∙ q $ .

A curva de custo total é dada por: C = wL + rK. Substituindo L e K pelas curvas de demanda encontradas em (a.), e assumindo que Q torna-se variável, temos: C = wL + rK (

)

C = w /,) ∙ Q1 + r /, ( ∙ Q1 19

C = √rw ∙ Q + √rw ∙ Q C = 2√rw ∙ Q

O custo médio será C/Q, portanto: C/Q = 2√rw O custo marginal será dC/dQ: dC/dQ = 2√rw 2.2 Substituindo os valores dados na curva de demanda: (

%

L = ,) ∙ q$ = ,34 ∙ 100 = 125 horas de trabalho Se o custo de capital cair para 25 x 0,75 = 18,75, temos: (

L = ,) ∙ q $ = ,

35,6% 34

∙ 100 = 108,25 horas de trabalho

Podem ser dispensadas 125 – 108,25 = 16,75 horas de trabalho.

2.3 Em um setor perfeitamente competitivo, P = CMg. Como sabemos do item (a-ii.) que CMg = 2√rw, temos:

P com r=25 = 2√25 ∙ 16 = $40

P com r=18,75 = 2718,75 ∙ 16 = $34,64 Portanto, o preço cairá de $40 para $34,64.

2.4 2.4.1 PMgL = dQ/dL = 0,5K0,5L-0,5

20

PMgL (ANTES) = 0,5x(80)0,5(125)-0,5 = 0,40 PMgL (DEPOIS) = 0,5x(92,38)0,5(108,25)-0,5 = 0,46 O produto marginal aumentou em 0,06.

2.4.2

Π = 9: ∙  − ; − ? − ; = 0

 9: ∙ 9>? = ;

Ou seja, o salário equivale ao produto marginal do trabalho (ou seja, quantas unidades a mais do bem aquele último trabalhador contribui para a produção total) vezes o preço de mercado deste bem.

21

3. Produção e Custos no Longo Prazo: Carros Brasileiros 3.1 Para saber, dobra-se os insumos da produção: @ =

3 3 3 3 100√10 3 3 100√10 2= 2 = 2 2 ∙ =  = 2 3 3

A produção dobra exatamente, portanto, a função apresenta retornos de escala constantes.

3.2 Sabendo que a fórmula da taxa marginal de substituição técnica é: TMST = PMgL / PMgK Podemos obter os produtos marginais derivando a função de produção: PMgL = dQ/dL = PMgK = dQ/dK =

3$$√3$ AB/C 4 B/C

3$$√3$ B/C 4 AB/C

Dividindo os termos acima temos: TMST = PMgL / PMgK = K / L Ao longo da isoquanta (similarmente às curvas de indiferença na teoria do consumidor), L aumenta e K diminui, portanto a razão K / L torna-se cada vez menor. Assim, a TMST é decrescente ao longo da isoquanta.

Economicamente pode-se fazer a seguinte interpretação: conforme a quantidade de trabalho aumenta, a taxa de disposição da empresa a substituir capital por trabalho diminui. Se a empresa tiver poucos trabalhadores, ela estará disposta a abrir mão de muitas “máquinas” para obter um trabalhador. Por outro lado, se a empresa já tivesse muitos trabalhadores, ela somente estará disposta a abrir mão de poucas “máquinas” para obter um trabalhador adicional. Em outras palavras, a empresa tende a valorizar mais o insumo de que tiver em menor quantidade.

22

3.3 =

100√10 3/ 3/ =  3

150.000 = 900

√10

= 3/

100√10 253/ 3/ 3

=

810,000 = 81.000 10

Serão necessários 81.000 trabalhadores. 3.4

Supondo que a empresa minimiza seus custos (C = wL + rK), sujeito à restrição tecnológica (ou função de produção, podemos escrever o lagrangeano: 100√10 3 3 E = ; +

F = ; G3$$

=0

F = < G3$$

√

∙ 3$

B

C

B

AC

J

Equação (2): KL KA

3$$√3$ 3 OB B ∙ = C C P N

=

4

∙ 3$

√

B

AC B C

J

Equação (3): KL KQ

=M

3$$√3$ B B = C C N

− HIP = 0

=>

3$$√3$ B B = C C N

= HI

Igualando as equações (1) e (2): B

4 C ; G3$$ 3$ ∙ BJ √ AC

; = ? 9>?A = ; < ou seja, cada insumo oferece o mesmo incremento de produção por real gasto. Aplicando a fórmula acima aos dados do exercício, vemos que: 80 300 > 200 1000 Portanto, a empresa não está minimizando seus custos. Para melhorar, ela deveria usar mais intensamente o insumo que proporciona maior PMg por R$ gasto, no caso, o trabalho, contratando mais trabalhadores.

7.2 Uma empresa apresenta economias de escala quando pode dobrar sua produção com menos do que o dobro do custo. Alternativamente, o aluno poderia dizer que o custo médio decresce conforme a quantidade produzida aumenta ou que o CMg é menor que o custo médio.

7.3 (i.) Resolvendo pela TMST, sabemos que para minimizar custos, sujeito à restrição tecnológica, duas condições devem ser atendidas: ]^_` R

=

]^_a S

e

Q = 6KL

Aplicando aos dados do exercício: 4A

$$

4

= 3$$$

K = L /5 Inicialmente Q = 18.750, então temos: 18.750 = 6(L/5)L = 1,2 L2 L = 125 K = L /5 = 25 34

Para a nova situação em que Q = 75.000, temos: 75.000 = 1,2 L2 L = 250 K = L /5 = 50 Portanto, para minimizar seus custos a empresa deve utilizar 125 trabalhadores e 25 máquinas na primeira situação e 250 trabalhadores e 50 máquinas após a expansão. (ii.) Para sabermos se existem economias de escala, temos que encontrar os custos totais de produção nas duas situações, o que é dado pela fórmula C = wL + rK: Para Q = 18.750:

C = (200 x 125) + (1000 x 25) = 50.000

Para Q = 75.000:

C = (200 x 250) + (1000 x 50) = 100.000

O custo total médio (C/Q) será: Para Q = 18.750:

CTM = 50.000/18.750 = 2,67

Para Q = 75.000:

CTM = 100.000/75,000 = 1,33

Como o CTM caiu, podemos dizer que existem economias de escala. (Alternativamente, o aluno poderia dizer que a produção quadruplicou enquanto os custos apenas dobraram.)

35

8. Açúcar X Álcool 8.1 Constantes. Q1 = 25(mK)0,5(mL)0,5 = m*25K0,5L0,5 = mQ0

8.2 Decrescentes. PMgK = dQ/dK = 0,5*25(L/K)0,5. Quanto maior K, menor PMg. Analogamente, para L.

8.3 Min CT s. a Q = 25 K0,5L0,5 PMgK/r = PMgL/w wL = rK (I) K = wL/r Substituindo em Q = K0,5L0,5 L = (Q/25)*(r/w)0,5 (II)

8.4 L* = 800 trabalhadores

8.5 Açucar

Álcool

36

9. A Crise Hídrica e a Eletricidade 9.1 A função representa insumos substitutos perfeitos e apresenta retornos de escala constantes. 9.2 A TMST é 1: se reduzirmos a quantidade de gás natural em 1m3 será necessário aumentar a quantidade de água em 1 m3 de forma a manter a produção de energia constante. 9.3 Não, porque o método vai gerar solução impossível ou indeterminada. 9.4 A escolha ótima consiste em usar apenas água, 40.500 unidades, conforme gráfico abaixo.

9.5 O custo médio será: R$ 30/GWh (o preço da água utilizada). 9.6 9.6.1 20.000 m3 de água e 20.500 m3 de gás natural 9.6.2 CT = R$ 3.060.000 e CMe = R$ 75,56/GWh. 9.6.3 Sim, porque agora tivemos que usar gás e gás é mais caro.

9.7 O sistema não seria capaz de atender à demanda, faltariam 5 GWh. Se nada fosse feito para racionar a demanda, haveria apagão.

37

10. A crise é para todos 10.1 A empresa irá minimizar seu custo, sujeito à restrição tecnológica (ou seja, sua função de produção). O lagrangeano fica: L = wL + rK – λ [25KL – q0]  

 

 !

= w – λ [25K] = 0 = r – λ [25L] = 0

λ = w/ 25K

=>

λ = r/ 25L

=>

= 25KL – q0= 0

(Eq.1) (Eq.2)

(Eq.3)

Igualando as equações (1) e (2): w r = 25K 25L (

L = )K

(Eq. 4)

Substituindo na equação (3) encontramos a demanda por capital: ) Wb

%

K = ,(

Isolando K na equação (4) e substituindo em (3) encontramos a demanda por trabalho: ( W

L = ,) %b 10.2 Substituindo as demandas por capital e trabalho na isocusto, encontramos o custo total: CT = wL + rK ( W

) W

%

CT = w / ,) % 1 + r /, (

1

Custo Total : CT = % ∙ rwq$,% Custo Médio : CMe =

cd

= %∙ W

Custo Marginal : CMg =

ecd eW

=

rw$,% qO$,% 3 %

∙ rw$,%qO$,%

38

10.3 Há economia de escala quando o custo médio decresce conforme a quantidade produzida aumenta. Neste há economias de escala uma vez que dCMe/dQ < 0 ou CMg/CMe < 1

10.4 Retornos crescentes de escala Q(K, L) = 25KL Quando aumentamos os insumos em proporções fixas e o aumento na produção é i. mais que proporcional, temos retornos crescentes de escala ii.exatamente proporcional, temos retornos constantes de escala iii. menos que proporcional, temos retornos decrescentes de escala. Por exemplo: duplicamos capital e trabalho e a produção aumenta mais que o dobro. Então:

Q(2K,2L) = 25(2K)(2L) Q(2K,2L) = 4 (25KL) Q(2K,2L) = 4 Q(K,L)

10.5 Na ausência de barreiras à entrada o lucro econômico é zero no equilíbrio de longo prazo e, portanto, P = CMe Note que, neste caso, como o CMg < CMe o preço no longo prazo será maior que o CMg. Considerando w = 1600 e r = 4 , podemos escrever o custo médio de longo prazo como: U>f = 32 HO$,% Então: para q = 100 o preço será P = 3,2 reais para q = 81 o preço será P = 3,5 reais

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Exercícios complementares (página 224) 1. Concorrência no setor de autopeças 1.1 Em um mercado perfeitamente competitivo: (1) existem muitos compradores e vendedores, e nenhum deles é capaz de, individualmente, influenciar preços (aceitação de preços); (2) os produtos são homogêneos; (3) não há custos especiais que tornam difícil para uma empresa entrar ou sair de um setor (livre entrada e saída).

1.2 A empresa ofertará sempre no ponto onde P = CMg: CMg = dCTCP/dq = 2q – 600 P = 2q – 600 q = (P + 600) / 2 A curva de oferta da empresa é, portanto:Qoferta empresa = (P + 600) / 2

1.3 Qoferta mercado = 100Qoferta empresa = 100 [(P + 600) / 2] = 50P +30.000

1.4 No ponto de equilíbrio de mercado: Qoferta mercado = Q demanda total 50P* + 30.000 = 30.600 – 10P* 60P* = 600 P* = US$10 por peça Q* = 50(10) + 30.000 = 30.500 mil peças Como existem 100 empresas idênticas, cada uma produzirá 30.500/100 = 305 mil peças por mês. O lucro de cada empresa será: L = Pq – CT L = Pq – [ q2 – 600q + 90.000] L = 10 (305) – [ 93.025– 183.000 + 90.000]= 3.025 mil dólares por mês

40

1.5 1.5.1 O lucro econômico de longo prazo em um mercado competitivo é zero. Isto porque, como existe livre entrada e saída de empresas, enquanto houver lucro econômico positivo novas empresas entrarão no mercado, aumentando a quantidade ofertada e jogando os preços para baixo. Isto ocorre até que o lucro econômico seja eliminado. De forma análoga, enquanto houver prejuízo econômico empresas sairão do mercado, reduzindo a quantidade ofertada e levando a um aumento nos preços. Lembre-se que lucro econômico é diferente de lucro contábil pois já considera uma remuneração adequada para o capital investido na empresa.

1.5.2 Para que o lucro seja zero no longo prazo: L = PQ – CT = 0 Ou dividindo por q: P = CTMe Mas como sabermos que a empresa sempre faz P = CMg, temos que no longo prazo: P = CTMe = CMg Usamos a função de custo dada para calcular o custo total médio e o custo marginal da empresa: CTMe = CT / Q = (Q /10.000) + (160.000/Q) CMg = dCT/ dQ = 2Q/10.000 Como P = CMg (para maximizar o lucro) e P = CMe (para que o lucro seja zero) temos: (Q /10.000) + (160.000/Q) = 2Q/10.000 Q = 40.000 P = CMg = 2Q/10.000 = 8 Logo, o preço que equilibra o mercado no longo prazo é US$8 por peça.

41

2. Xeiques x Xisto 2.1 CFM: CF / q = CVM: CV / q =

400 / q 20 – 8 q + q2

CTM:

CT / q =

CMg:

dCT / dq =

Y$$ g

+ 20 – 8 q + q220 – 8 q + q2

20 – 16 q + 3q2

Esta empresa apresenta economias de escala até cerca de q = 7,5 mil barris por ano, pois nesta faixa de produção o custo médio de produção de cada barril vai ficando menor conforme a escala aumenta. Pode-se perceber isto no gráfico acima de duas formas: (a.) nesta faixa de produção, a curva de CTM (em preto, no gráfico) é negativamente inclinada, portanto, o custo total médio está decrescendo conforme a quantidade produzida aumenta ou (b.) o CMg (curva em verde no gráfico) é menor que o CTM (curva em preto), ou seja, cada barril adicional produzido sai mais barato do que a média dos barris produzidos anteriormente, portanto, a elasticidade-custo do produto (ECP = CMg/CTM < 1). A partir de cerca de q = 7,5 mil barris por ano, há deseconomias de escala, pois (a.) o CTM aumenta conforme q aumenta ou (b.) a ECP = CMg/CTM é maior que 1, já que CMg > CTM.

2.2 A firma maximiza seu lucro ao produzir no ponto em que P = CMg, portanto: P 119

= =

CMg 20 – 16 q + 3q2 42

3q2 – 16 q – 99 = 0 Resolvendo por Báskara: q= q=

34±7 %4OY∙N∙ZZ 34±N5 4

4

q = 9 ou q = -3,67 (não convém) Portanto, a firma maximiza lucros produzindo 9 mil barris de petróleo por ano. Neste ponto, seu lucro será: L = Pq – CT L = (119 x 9) – [400 + 20(9) – 8 (9) 2 + (9)3] L = 410 E seu lucro será de US$410 mil.

2.3 2.3.1 A um preço de US$32, a empresa maximizará seu lucro fazendo: P 32

= =

CMg 20 – 16 q + 3q2

3q2 – 16 q – 12 = 0 Resolvendo por Báskara: q= q=

34±7 %4OY∙N∙3  34± $ 4

4

q = 6 ou q = -0,67 (não convém) Portanto a quantidade ótima é de 6 mil barris por ano. A empresa interromperá sua produção no curto prazo apenas se P < CVM, portanto, se: P 32

< <

CVM 20 – 8 q + q2 43

32 32

< <

20 – 8 (6) + (6)2 8 (FALSO)

Portanto, a empresa não deve interromper sua produção, pois o preço de mercado (US$32) cobre os custos variáveis médios de produção. 2.3.2 Já calculamos acima que a empresa deve produzir 6 mil barris por ano, e os venderá ao preço de mercado de US$32 por barril. Seu lucro será: L = Pq – CT L = (32 x 6) – [400 + 20(6) – 8 (6) 2 + (6)3] L = – 256 Portanto, a empresa terá prejuízo de US$256 mil. Repare que, mesmo tendo prejuízo, vale a pena para a firma continuar a produzir. Como ela não consegue recuperar seu custo fixo de US$400 mil no curto prazo, se ela não produzisse nada (q = 0), seu prejuízo seria ainda maior, de – US$400 mil.

2.4 Se existirem 100 produtores de xisto idênticos a este, a quantidade ofertada total cairia de (9x100) = 900 mil barris, com o preço de US$119, para (6x100) = 600 mil barris, com o preço de US$32. No curto prazo, a OPEP não conseguirá expulsar os produtores de xisto se o preço ficar em US$32 por barril. Isto porque, a este nível de preço, é mais vantajoso para os produtores continuar produzindo, mesmo com prejuízo, do que interromper a produção. A quantidade ofertada por estes produtores, entretanto, cairá, de 900 para 600 mil barris.

2.5 O produtor de xisto interromperá sua produção no curto prazo se P < CVM: P P

< <

CVM 20 – 8 q + q2

Como P = CMg: P = CMg < CVM 20 – 16 q + 3q2 < 20 – 8 q + q2 2q2 < 8 q q < 4 44

Como P = CMg, para q = 4 temos: P = 20 – 16 (4) + 3(4)2 P = 4

Portanto, o preço teria que cair abaixo de US$4 por barril. No equilíbrio de longo prazo de um mercado competitivo, as empresas terão lucro econômico igual a zero, para que não haja entrada ou saída de empresas do setor. Portanto, sabemos que P = CTM. Como, para maximizar lucros, P = CMg, temos que no equilíbrio ede longo prazo: P = CTM = CMg. Este ponto está indicado em vermelho no gráfico do item (a.), e equivale a cerca de 7,5 mil barris por ano.

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Exercícios abrangentes sobre a Teoria do Produtor (página 228) 1. Custos de Curto e Longo Prazos e Oferta Competitiva

1.1 Resolvendo pela TMST, temos: PMgT/PT = PMgF/PF PTT = PFF F = TPT/PF e T = FPF/PT Substituindo na função produção: F = Q/2*(PT/PF)0,5 T = Q/2*(PF/PT)0,5

1.2 CT = PFF + PTT Substituindo F e T pelas curvas de demanda encontradas no item anterior: CT = Q(PFPT)0,5

1.3 q = 2T0,5 F0,5 q = 2*4*F0,5 F = q2/64

1.4 CT = PTT + PFF CT = (20 x 16) + (32 x q2)/64 CT = 320 + q2/2

1.5 CMg = q qS = P; QS = 40P

1.6 400 – 10P = 40P P* = 8

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2. Investir ou Não Investir, Eis a Questão... 2.1 A empresa irá minimizar seu custo, sujeito à restrição tecnológica (ou seja, sua função de produção). O lagrangeano fica: L = wL + rK – λ [2K0,5L0,5 – q0]  

 

 !

= w – λ [K0,5L-0,5] = 0 => = r – λ [K-0,5L0,5] = 0 =>

=2K0,5L0,5 – q0= 0

λ = wL0,5/K0,5

(Eq.1)

λ = rK0,5/L0,5

(Eq.2) (Eq.3)

Igualando as equações (1) e (2): wL$,% rK$,% = $,% K $,% L (

L = )K

(Eq. 4)

Substituindo na equação (3): ( )

2K0,5* K+

$,%

– q0= 0

) (

K =0,5, ∙ q$

Voltando na equação (4): L=

( ( K= ) )

) (

∙ 0,5, ∙ q $

(

L =0,5,) ∙ q $ ) (

( )

Resposta: As curvas de demanda são K =0,5, ∙ q $ e L =0,5, ∙ q $ . A curva de custo total é dada por: C = wL + rK. Substituindo L e K pelas curvas de demanda encontradas em (i.), e assumindo que Q torna-se variável, temos: C = wL + rK (

)

C = w /0,5,) ∙ Q1 + r /0,5, ( ∙ Q1 C = 0,5√rw ∙ Q + 0,5√rw ∙ Q

47

C = √rw ∙ Q O custo médio será C/Q, portanto: C/Q = √rw O custo marginal será dC/dQ: dC/dQ = √rw

2.2

)

34$$

K = 0,5, ( ∙ q $ = 0,5, %$$ ∙ 1000 = 400 milhões de reais (

%$$

L =0,5,) ∙ q$ = 0,5,34$$ ∙ 1000 = 625 mil trabalhadores CMe = C/Q = √rw = $2000

Cmg = dC/dQ = √rw = $2000

2.3 Como a empresa não altera sua quantidade de capital, ela não estará mais no ótimo, portanto, não podemos usar as curvas de demanda encontradas anteriormente pois elas foram obtidas minimizando custos. É preciso substituir direto na função de produção, fazendo q = 1200 e K = 400 (valor calculado no item anterior, já que o capital fica inalterado): Q = 2K0,5L0,5 1200 = 2(400)0,5L0,5 L0,5 = 30 L = 900 mil trabalhadores (deverão ser contratados 275 mil trabalhadores) Também não podemos usar as curvas de custo obtidas no item (a.) pois elas valem apenas para o ponto de ótimo. Os custos são dados por: C = wL + rK = 1600 (900) + 2500 (400) = $2.440.000 CMe = C/Q = 2.440.000/ 1200 = $2033,33 O CMg era um pouco mais complicado, já que a empresa aumentaria sua produção apenas usando novos trabalhadores (e não ampliando K). Assim, o custo de uma

48

unidade a mais de produção depende apenas do custo do trabalho (w) e do produto marginal do trabalho (PMgL): CMg = w / PMgL Como PMgL = dQ/dL, temos: CMg = w / (K0,5L-0,5) = wL0,5/K0,5 Para w = 1600, L = 900 e K = 400, temos: CMg = (1600) x (900)0,5/ (400)0,5 = 2400 CMg = $2400

Outra forma fazer era simplesmente encontrar o custo total para q = 1201 e fazer a diferença para descobrir quanto o custo total aumenta quando q aumenta em uma unidade (de 1200 para 1201). Como K continua fixo em K=400, para produzir 1201 unidades precisaremos de: Q = 2K0,5L0,5 1201 = 2(400)0,5L0,5 L0,5 = 30,03 L = 901,50 mil trabalhadores Calculando o custo total correspondente: CT (q=1201) = C = wL + rK = 1600 (901,50) + 2500 (400) = 2.442.401 CMg = CT (q=1201) – CT (q=1200) = 2.442.401 – 2.440.000 ≅ $2400 2.4 Como elas operam no ponto de minimização de custos, escolherão K e L conforme as curvas de demanda obtidas em (a.): )

34$$

K = 0,5, ( ∙ q $ = 0,5, %$$ ∙ 1200 = 480 milhões de reais ( )

L =0,5, ∙ q$ = 0,5,

%$$ 34$$

∙ 1200 = 750 mil trabalhadores

CMe = C/Q = √rw = $2000

CMg = dC/dQ = √rw = $2000 49

2.5 No mercado perfeitamente competitivo, as empresas fazer P = CMg portanto P = $2000, o custo marginal das empresas que operam no ponto de minimização de custos. Dois conceitos são importantes aqui: que empresas competitivas fazer P = CMg (e não CMe, o que só vale do equilíbrio de LONGO prazo, o que não é o caso) e que, por serem tomadoras de preço, o preço que prevalece é o de mercado, no caso aqui o CMg das concorrentes internacionais que operam no ponto de minimização de custos. A Brazil Inc NÃO conseguirá repassar para preços o aumento que teve em seu CMe.

A empresa brasileira, por operar em um mercado aberto e competitivo, é tomadora de preços e cobrará os mesmos $2000. Ela terá prejuízo de (2000 = 2033,33) ou $33,33 por unidade vendida. Se a empresa continuasse produzindo 1200 unidades, o prejuízo seria de $40.000. Entretanto, como não há custo fixo e o preço é menor que o custo variável médio, a empresa irá optar por ficar fora do mercado e não produzirá nada, auferindo lucro de zero.

São possíveis duas respostas (com q=1200/L=-40.000 e q=0/L=0), apesar da segunda ser mais precisa. Não é correto assumir que o lucro é zero pois o mercado é competitivo – isto só ocorre no equilíbrio de LONGO prazo e a incerteza com as eleições é claramente uma questão de curtíssimo prazo (a pergunta nunca menciona equilíbrio de longo prazo...)

Pela tabela abaixo fica claro que a relutância das empresas em investir capital em função da incerteza eleitoral leva a um aumento do custo médio; a empresa perde competitividade em comparação com seus concorrentes internacionais, que operam no ponto de minimização de custos, e tem prejuízo no curto prazo, já que é tomadora de preços.

Brazil Inc. na situação inicial (item b.)

Brazil Inc. com incerteza eleitoral (item c.)

Concorrentes internacionais (item d.)

Número de trabalhadores (L)

625

900

750

Quantidade de capital (K)

400

400

480

Custo Médio

2000

2033,33

2000

Custo Marginal

2000

2400

2000

50

3. As Montadoras e a Crise Internacional 3.1 Produto total: Ptotal = Q(K,L) = 30L + 21L² - 1,5L³ Produto médio: Pme = Q/L = 30 + 21L - 1,5L² Produto marginal: Pmg = dQ/dL = 30 + 42L - 4,5L² ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------dPtotal/dL = 0 Pmg = 0 30 + 42L - 4,5L² = 0 L = -0,666 (não convém) ou L = 10 Ptotal = 30(10) + 21(10)² - 1,5(10)³ = 900 A fábrica é capaz de produzir até 900 mil carros por mês, empregando 10 trabalhadores.

3.2 dPme/dL = 0 21 - 3L = 0 L=7 A fábrica deverá empregar 7 trabalhadores para atingir a produtividade máxima.

3.3 A lei dos rendimentos decrescentes diz que, ao aumentar um dos insumos, mantendo o outro fixo, (no caso, fixando o capital e aumentando o número de trabalhadores), a partir de certo ponto o produto marginal diminuirá, ou seja, o “próximo” trabalhador produzirá cada vez menos. Para achar o ponto em que a lei entra em ação, deriva-se o produto marginal e o iguala a zero: dPmg/dL = 0 42 - 9L = 0 51

L = 4,67 Ptotal = 30(4,67) + 21(4,67)² - 1,5(4,67)³ Ptotal = 140 + 457,33 - 152,44 = 444,89 A lei dos rendimentos decrescentes passa a valer a partir da produção de 444.890 carros

3.4 3.4.1 P = 40.000 Cmg = dCtotal/dQ Ctotal = 60500 + 39200Q - 20Q² + 4Q³ dCtotal/dQ = 39200 - 40Q + 12Q² A empresa maximiza seu lucro igualando o preço praticado ao seu custo marginal, portanto: P = Cmg 40000 = 39200 - 40Q + 12Q² 12Q² - 40Q - 800 = 0 Q = -6.67 (não convém) ou Q = 10 Para maximizar seu lucro, a GM deverá produzir 10 milhões de carros no ano.

3.4.2 L = Rtotal - Ctotal

Rtotal = 10(40000) = 400.000 Ctotal = 60500 + 39200(10) – 20(10)² + 4(10)³ = 454.500

Portanto: Ltotal = 400000 - 454500 = -54500

A GM terá um prejuízo de US$ 54.500 milhões.

52

3.5 Se produzir, terá um prejuízo de 54500, por outro lado, se não produzir, ainda terá custo fixo, assim tendo prejuízo de 60500. Como o prejuízo de não produzir é maior, a GM deve continuar produzindo.

Obs.: Isso sempre acontecerá (no curto prazo) quando o preço praticado (P) for maior que o custo variável médio (CVme = CV/Q), ou seja, sempre que P > CVme no curto prazo, a empresa deve se manter funcionando, e vice-versa. CV/Q = 39200 - 20(10) + 4(10)² = 39.400 < 40.000

3.6 No longo prazo o custo fixo se trona recuperável, assim, não haverá necessidade da incursão dos 60.500 no custo total da empresa. Dessa maneira, o lucro, se a GM fechar as fábricas, será zero. Assim, ela deveria fechar a fábrica, pois senão incorreria em um prejuízo de 54.500.

Obs.: Isso sempre acontecerá (no longo prazo) quando o preço praticado (P) for menor que o custo total médio (CTme = Ctotal/Q), ou seja, sempre que P < CTme no longo prazo, a empresa deverá fechar, e vice-versa.

3.7 3.7.1 Retornos de escala: Constantes Se multiplicarmos K e L por um fator (no caso A): B

B

B B

Q’= j=C jC = jCkC ∗ = = j= = j Veremos que a produção cresce exatamente com o fator aplicado, assim podemos observar rendimentos de escala constantes. 3.7.2 Rendimentos para cada fator (K, L): Decrescentes Os rendimentos de fator dependem do produto marginal de cada fator: Para o capital: Km

Pmg(K) = KA = $,% ∗ 0,5= O$,% =

3 B/C

AB⁄C

Se K aumenta, Pmg(K) cai, portanto o rendimento do fator capital é decrescente. Para o trabalho: 53

Pmg(L) =

Km K

= = $,% ∗ 0,5O$,% =

3 AB/C

B⁄C

Se L aumenta, Pmg(L) cai, portanto o rendimento do fator trabalho é decrescente. 3.7.3 TMST = Pmg(L)/Pmg(K) 1 3/ O3/ = 2=  = 1 O3/ 3/   2=

Obs.: Esta TMST significa que à medida que vai se adicionando unidades de trabalho ao processo de produção (trocando pelas “máquinas”, ou seja, pelo capital), a produtividade da mão-de-obra diminui.

3.8 3.8.1

Função de Produção: = $,%$,% = 100

Isocusto: C = 4L +16K

Minimizar C = 4L + 16K sujeito a Q = 100: E = 4 + 16= − F= $,%$,% − 100 (1) dLa/dL = 4 – λ [ ½ K1/2 L-1/2 ] = 0

(2) dLa/dK = 16 – λ [ ½ K-1/2 L1/2 ] = 0

=> λ = 4 / [ ½ K1/2 L-1/2 ] => λ = 16 / [ ½ K-1/2 L1/2 ]

(3) dLa/d λ = K1/2 L1/2 – 100 = 0 Fazendo (1) = (2): 4 / [ ½ K1/2 L-1/2 ] = 16 / [ ½ K-1/2 L1/2 ] 4 / 16 = [ ½ K1/2 L-1/2 ] / [ ½ K-1/2 L1/2 ] 1/4=K/L L = 4K Substituindo em (3): K1/2 (4K)1/2 = 100 2K = 100 K = 50

=>

L = 4K = 200

A empresa minimiza seus custos utilizando 200 mil trabalhadores e 50 mil horas-máquina.

54

3.8.2 CT = wL + RK = 4*200 + 16*50 = 1600 O custo seria de US$ 1,6 milhões 3.9

= $,%$,% = 60

50$,%$,% = 60 L = 72 200 - 72 = 128 Resp: A empresa deverá demitir 128 mil trabalhadores.

3.10

Função de Produção: = $,% $,% = 60

Isocusto: C = wL +rK

Minimizar C = 4L + 16K sujeito a Q = 60: E = 4 + 16= − F= $,%$,% − 60

(1) dLa/dL = 4 – λ [ ½ K1/2 L-1/2 ] = 0 (4) dLa/dK = 16 – λ [ ½ K-1/2 L1/2 ] = 0

=> λ = 4 / [ ½ K1/2 L-1/2 ] => λ

55

ERROR: syntaxerror OFFENDING COMMAND: --nostringval-STACK: