Gabarito Razões Métricas no Triângulo Retângulo

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO - UFRRJ PRÓ-REITORIA DE EXTENSÃO - PROEXT DEPARTAMENTO DE ARTE E CULTURA - DAC CURSO PREPARATÓRIO PARA O ENEM “PRÉ - ENEM DA UFRRJ”

Matemática - Geometria Prof. Marcus Berte/ Prof.ª Beatriz Raposo/Prof. Bernardo Duringer/ Prof.a Denise Mendes

Gabarito – Razões Métricas no Triângulo Retângulo 1) Resposta correta letra e. Utilizando dos dados da questão: Hipotenusa = 36 m, Cateto oposto = x e grau = 30º Colocando na fórmula,

2) Resposta correta letra b. Utilizando os dados da questão: hipotenusa = 4a e um dos catetos = 2a, mas não sabemos de qual cateto se trata. Precisamos determinar a medida do segundo cateto. Chamando-o de c, pelo Teorema de Pitágoras, temos: (hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)² (4a)² = (2a)² + c² 16a² = 4a² + c² c² = 16a² – 4a² c² = 12a² c = √12a² c = 2a√3 Logo,

Vamos chamar de α o ângulo oposto a 2a, que é o menor cateto. Agora podemos determinar a tangente de α: tg α = cat. oposto a α cat. adjacente a α tg α = 2a 2a√3 tg α = 1 √3 tg α = 1 . √3 √3 √3 tg α = √3 3 3) a) O objetivo é descobrir o valor da hipotenusa (x), temos o cateto adjacente (16) e o grau (30º). Logo basta substituir os valores na fórmula do cosseno (CAH): √ √

√

√

√

.

√

b) O objetivo é descobrir o grau (y), temos o cateto oposto (13) e a hipotenusa (26). Logo, basta substituir na ( ) ( ) ( ) fórmula do seno (SOH): Portanto o valor de y é 30º. c) O objetivo é descobrir o cateto oposto (w), temos a hipotenusa (18) e o grau (60º). Logo basta substituir √

√

√ . d) O objetivo é descobrir a hipotenusa (z), temos o cateto adjacente (20) e o grau (45º). Logo, basta na fórmula do seno (SOH):

substituir na fórmula do cosseno (CAH):

√ √

√

√ . 4) Como sabemos apenas as medidas dos catetos, vamos utilizar o Teorema de Pitágoras para determinar a medida da hipotenusa (h): (hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)² h² = 3² + (√3)² h² = 9 + 3 h = √12 h = 2√3 cm Considere um ângulo α oposto ao lado de 3 cm. Calculando sua tangente, temos: √ √ √ Se tg α = √3, logo α = 60°. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180° e que esse é um triângulo retângulo, podemos determinar a medida de outro ângulo agudo β: Portanto, os ângulos agudos desse triângulo valem 30° e 60°.