Grecia - 2 dia(2004)

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45¯a Olimp´ıada Internacional de Matem´ atica Segundo dia Ter¸ca-feira, 13 de Julho de 2004

Problema 4. Seja n ≥ 3 um inteiro. Sejam t1 , t2 , . . . , tn n´ umeros reais positivos tais que   1 1 1 2 + +···+ n + 1 > (t1 + t2 + · · · + tn ) . t1 t2 tn Mostre que ti , tj e tk s˜ao as medidas dos lados de um triˆangulo para quaisquer i, j, k com 1 ≤ i < j < k ≤ n.

Problema 5. Num quadril´atero convexo ABCD a diagonal BD n˜ao ´e bissectriz do d nem do ˆangulo CDA. d Um ponto P no interior de ABCD satisfaz ˆangulo ABC 6

P BC = 6 DBA e 6

P DC = 6 BDA.

Prove que os v´ertices do quadril´atero ABCD pertencem a uma mesma circunferˆencia se e s´o se AP = CP .

Problema 6. Um inteiro positivo ´e dito alternante se, na sua representa¸ca˜o decimal, quaisquer dois d´ıgitos consecutivos tˆem paridade diferente. Determine todos os inteiros positivos n tais que n tem um m´ ultiplo que ´e alternante.

Dura¸ca˜o: 4 horas e 30 minutos. Cada problema vale 7 pontos.
Grecia - 2 dia(2004)

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