Matura z Matematyki z IwK - MODUŁ 5 - 02. Trygonometria

Trygonometria Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

1

Trygonometria – trójkąt prostokątny Funkcje trygonometryczne kąta 𝛼 sinus cosinus tangens cotangens

sin 𝛼 =

𝑎 𝑐

cos 𝛼 =

𝑏 𝑐

tg 𝛼 = ctg 𝛼 =

𝑎 𝑏 𝑏 𝑎

2

Trygonometria – trójkąt prostokątny Funkcje trygonometryczne kąta 𝛽 sinus cosinus tangens cotangens

sin 𝛽 =

𝑏 𝑐

cos 𝛽 =

𝑎 𝑐

tg 𝛽 = ctg 𝛽 =

𝑏 𝑎 𝑎 𝑏

3

Trygonometria – trójkąt prostokątny Dodatkowe zależności sin 𝛼 = cos 𝛽 = cos(90° − 𝛼)

cos 𝛼 = sin 𝛽 = sin(90° − 𝛼) tg 𝛼 = ctg 𝛽 = ctg(90° − 𝛼) ctg 𝛼 = tg 𝛽 = tg(90° − 𝛼) W trójkącie prostokątnym wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie. 4

Tożsamości trygonometryczne Jedynka trygonometryczna sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 sin 𝛼 tg 𝛼 = cos 𝛼 cos 𝛼 ctg 𝛼 = sin 𝛼

tg 𝛼 ∙ ctg 𝛼 = 1 5

Wartości funkcji trygonometrycznych 𝛼

𝟎°

sin 𝛼

0

cos 𝛼

1

tg 𝛼

0

ctg 𝛼

-

𝟑𝟎° 1 2 3 2 3 3 3

𝟒𝟓°

𝟔𝟎°

𝟗𝟎°

2 2 2 2

3 2 1 2

1

3

-

1

3 3

0

1 0

6

Trygonometria Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta, wzory redukcyjne

7

Kąty w układzie współrzędnych W układzie współrzędnych mierzymy kąt od dodatniej półprostej osi OX.

obrót przeciwnie do wskazówek zegara

obrót zgodnie do wskazówek zegara

kąt dodatni

kąt ujemny 8

Kąty w układzie współrzędnych

9

Miara łukowa kąta Miara łukowa kąta 𝛼 to stosunek długości łuku 𝑙do długości promienia 𝑟. Miara łukowa kąta jest podawana w radianach. Zamiana stopni na radiany:

𝑛𝜋 𝑛° = 180 10

Miara łukowa kąta 𝜋 30° = 6 𝜋 45° = 4 𝜋 60° = 3

𝜋 90° = 2 180° = 𝜋 360° = 2𝜋 11

𝟎°

𝛼 sin 𝛼

0 0

cos 𝛼

1

tg 𝛼

0

ctg 𝛼

-

𝟑𝟎° 𝜋 6 1 2 3 2 3 3 3

𝟒𝟓° 𝜋 4 2 2 2 2

𝟔𝟎° 𝜋 3 3 2 1 2

𝟗𝟎° 𝜋 2 1 0

1

3

-

1

3 3

0

12

Znak funkcji trygonometrycznej (czyli to czy jest dodatnia, czy ujemna) zależy od ćwiartki układu współrzędnych, w której znajduje się dany kąt. W pierwszej ćwiartce wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotanges, a w czwartej cosinus. Dla α=150°: sin α>0, cos α