Módulo 2 matemática -1°1° - 2019 - constanza miguel

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1°1° Módulo 2: Matemática

Año 2019

EPJA N°7714 MÓDULO N°: 2 (FORMACION BASICA) CAMPO DE CONTENIDO: MATEMÁTICA CONTEXTO PROBLEMATIZADOR: SALUD-INEQUIDAD SITUACION PROBLEMÁTICA: Malnutrición debido a hábitos alimentarios inadecuados por desconocimiento de aspectos nutricionales y por falta de acceso a los alimentos NÚCLEOS CONCEPTUALES  El acceso a la información como determinante social para el cuidado y la prevención de la salud.  La comprensión de los valores nutricionales expresados en fracciones, decimales y porcentajes, a través de la información de las etiquetas de productos de consumo alimenticio.  Comprensión de las porciones que se consumen y sus respectivos porcentajes VD (valor diario %VD).  La interpretación de los gráficos y valores en porcentajes, fracciones y decimales para conocer la información que se está brindando sobre un tema en los medios de comunicación.  El conocimiento de la información para saber cómo realizar cálculos de porcentajes.  El manejo de diferentes medidas dadas en fracciones.  Conocer tiempos a través de la aplicación de las fracciones en la hora analógica. APRENDIZAJES SOCIALMENTE SIGNIFICATIVOS Interpretar y analizar el número racional como cociente de dos números enteros, utilizando sus diferentes representaciones: (expresión fraccionaria, decimal, porcentual, punto de la recta numérica), argumentando sobre su equivalencia y eligiendo la representación más adecuada en función del problema a resolver. Comprender y encuadrar cantidades. Reconocer y aplicar propiedades de la potenciación y la radicación, mediante la resolución de cálculos. Propiedades de las potencias. Incógnitas y resolución de ecuaciones. Realizar operaciones simples y combinadas con números fraccionarios. Utilización de fracciones equivalentes. Orden, recta numérica. Interpretar tablas y gráficos (pictogramas, diagramas de barras, gráficos circulares, de línea, de puntos) de situaciones reales del mundo actual y. Interpretar información estadística en situaciones problemáticas. CAPACIDADES ESPECÍFICAS Interpreta diferentes valores relacionados con la nutrición. Calcula e interpreta porcentajes de cantidades. Busca información necesaria para la resolución de Ejercicios. Interpreta los Ejercicios. Elabora mentalmente soluciones al problema presentado intuyendo posibles caminos y resultados. Asume el control de su trabajo, realizándolo de forma tanto autónoma como colaborativa. Identifica qué datos matemáticos son conocidos y cuáles son los que debe hallar frente a un problema planteado. Aplica las reglas y propiedades en la resolución de Ejercicios y problemas. Predice resultados, justificándolos con cálculos matemáticos analizando qué estrategia es la más adecuada para la resolución de determinado problema. Evalúa su planteo o solución frente al planteo o solución de sus pares. Analiza coherentemente las soluciones. Asocia los porcentajes y decimales con información que nos rodea. Interpreta los resultados obtenidos con porcentajes. PLAN DE ACCIÓN DEL DOCENTE (Intervenciones) DEL ALUMNO (acciones presenciales y autónomas) Utilización de información cotidiana Siendo como somos personas adultas, el acuerdo que se intentará para visualizar los temas de llevar a cabo es consensuado pero deberá cumplir con pautas claras contenido. y valederas. Sabido es que se tendrán en cuenta las situaciones Utilización de gráficos en el personales que surjan en el tiempo, que serán atendidas con la contenido para la explicación de mayor de las consideraciones posibles. Pero del mismo modo se le temas de una manera amigable. pedirá al estudiante respeto por los acuerdos consensuados en la Planificación de distintas formas de asistencia a clases, atención durante las mismas, compañerismo y trabajo, generales para todos y compromiso con la tarea a realizar. adaptadas a las necesidades y Presenciales Autónomos aptitudes de cada alumno. Asistir a clases (salvo ausencias Presentarse regularmente al Aportar ejercicios extra cuadernillo justificadas) y permanecer en la docente con avances hechos para trabajar en clase para adaptar clase. sobre el cuadernillo, antes de la a las necesidades y ritmo del curso. Comprometerse con las presentación de cada HITO Realizar seguimiento particular actividades propuestas. obligatorio. según las necesidades de cada Respetar las pautas de trabajo. Asistir, cuando sea necesario, a alumno, interactuando con la POT. los talleres de apoyo.

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Ejemplificación de problemas reales, a través de Ejercicios de situaciones problemáticas y su relación con cálculos matemáticos para encontrar resultados. Planteamiento de diferentes formas de trabajar sobre un mismo tema, para lograr el manejo e incorporación de temas, incluyendo juegos y Ejercicios dinámicos. Vinculación de contenidos ya aprendidos con la aplicación actual fortaleciendo el hecho de que matemática es un aprendizaje continuo. Realización de actividades individuales y grupales para incentivar el trabajo en equipo. Promover en el curso las actividades institucionales propuestas donde se evaluarán capacidades emprendedoras.

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Asistir a los talleres de apoyo cuando sea necesario adquirir una explicación extra o reforzar contenidos vistos en clase. Atender las explicaciones dadas por el docente. Usar los teléfonos celulares exclusivamente para casos importantes. Entregar las actividades y trabajos cuando son solicitadas. Participar activamente de las clases (realizar consultas, corregir, participar de las explicaciones). Participar de las actividades grupales del módulo e institucionales propuestas donde también se evalúan capacidades

Presentar en tiempo y forma las actividades que conforman el HITO1 e HITO2 del cuadernillo. Prepararse para poder realizar la defensa de cada HITO entregado. En la medida de lo posible, participar de las actividades grupales propuestas.

CONTENIDO DEL MÓDULO 2 2.1 – Números Racionales Introducción a las fracciones, números decimales, porcentaje. Gráficos 2.2 - Fracciones Usos. Clasificación. Recta numérica. Relación de Orden. Fracciones equivalentes. Amplificación y simplificación de fracciones 2.3 - Multiplicación y División de fracciones Regla de signos. Simplificación cruzada en la multiplicación 2.4 - Sumas y Restas Denominador Común

2.5 – Potencia y Raíz Propiedades de la Potencia y Raíz 2.6 - Operaciones combinadas Prioridad de resolución. Sumas y Restas con multiplicación. Sumas y Restas con división. Paréntesis y corchetes. 2.7 - Ecuaciones con números fraccionarios Propiedad distributiva. HITO 2: entrega final (autónomos)

HITO 1: primera entrega (autónomos) MATERIAL DE LECTURA Y BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA Principal: cuadernillo correspondiente al módulo 2 el cual contiene por cada tema ejemplificación y Ejercicios. Cuadernillo correspondiente al módulo 1 (que contiene la base teórica y práctica de matemática) para utilizar como referencia (importante: el anexo del cuadernillo número 1 que contiene temas generales). Búsqueda en Internet de Ejercicios, videos (youtube) explicativos sobre el tema que se está abordando. Carpeta con material que se trabaja en clase. Libros de matemática que se encuentran en biblioteca EPJA. TALLER EPJA pone a disposición de los alumnos talleres de matemática para resolver dudas puntuales, trabajar sobre un tema específico, reforzar un tema visto en clase o en el cuadernillo, solicitar Ejercicios extra para prepararse antes de la defensa de un trabajo. Consultar en cartelera días y horarios. INSTANCIA DE EVALUACIÓN INSTITUCIONAL – CROSS EPJA RUNNING - Control de tiempos en el CROSS: se cronometrará la carrera anual, llevando el control de los tiempos de cada participante. Para esta instancia, durante el módulo 2 se aprenderá cómo se cronometra, comenzando por conocer los componentes del tiempo (H/M/S) y cómo se opera con estos valor (suma, resta): como aplican las fracciones en la hora. Se investigarán también diferentes aplicaciones para cronometrar. ** Este punto se irá adaptando en el transcurso del módulo 2, interactuando con el resto de las materias adaptando a las necesidades que vayan surgiendo.

EVALUACIÓN Será tenido en cuenta, además de la apropiación de saberes, el esfuerzo, la asistencia y todas las cuestiones inherentes al alcance de los objetivos previstos alcanzar en el módulo. Tener en cuenta el proceso del desarrollo de las capacidades de todos y de cada uno de nosotros, docentes y estudiantes es el compromiso de esta nueva forma de reparación de derechos en el marco de la educación permanente. No se realizarán evaluaciones escritas individuales a carpeta cerrada, sino la evaluación es un proceso que involucra todos los criterios descritos a continuación, durante toda la duración del módulo. Tener en cuenta que durante las clases se presentarán ejemplos y ejercicios evaluativos no incluidos en este cuadernillo. 3

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INSTRUMENTOS Presenciales: →Listado con asistencias / retiros de cada clase →Grilla con notas cualitativas de las actividades / trabajos propuestos (NE,B,MB) →Registro de trabajo en clase: notas conceptuales (+,-) →Rúbrica (en siguiente página) →Autoevaluación de los alumnos, al finalizar el módulo (en siguiente página) →Registro del trabajo realizado en actividades institucionales propuestas Autónomos: →Grilla de control sobre presentaciones parciales / consultas. →Grilla con notas sobre las entregas de HITO1 e HITO2. Consultar las fechas de entrega con POT o docente. →Registro de defensa del trabajo con nota numérica.

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CRITERIOS Presenciales: →Comprensión de textos. →Compromiso en clase. →Compromiso con su carpeta. →Autonomía en la resolución de Ejercicios. →Liderazgo →Trabajo en equipo →Adaptación a las formas planteadas para la resolución de Ejercicios (completo, paso a paso) →Cooperación con el buen clima áulico →Completitud ante presentaciones →Defensa de las actividades propuestas →Aceptación de los errores →Iniciativa Autónomos: →Compromiso en la realización en tiempo (y con tiempo) del trabajo, realizando consultas periódicas (dentro de sus posibilidades de tiempo) ya sea en horario de clase o taller. →Resolución completa, paso a paso de todos los Ejercicios. →Presentación del módulo obligatorio en dos partes (a mitad del módulo y al finalizar correspondientes a HITO1 e HITO2).

INDICADORES DE LAS CAPACIDADES Comprende las consignas para el desarrollo de las actividades. Comprende las situaciones problemáticas planteadas a fin de reconocer el camino a tomar para resolver matemáticamente, extrayendo la información relevante para su resolución. Muestra interés por aprender y confianza en sus posibilidades. Acepta y aplica las normas de convivencia propuestas. Atiende las explicaciones del docente Realiza las actividades planteadas en clase Participa durante explicaciones grupales Realiza consultas al docente y entre sus pares Corrige y Demuestra interés por aprender y confianza en sus posibilidades. Mantiene en forma ordenada y prolija su carpeta. Consulta su carpeta revisando ejemplos y Ejercicios dados a fin de poder encarar una actividad propuesta. Participa de las actividades institucionales propuestas. Interactúa con sus pares a fin de resolver o comparar desarrollos o resultados de Ejercicios. Acepta, incorpora y aplica las nuevas formas de resoluciones de los Ejercicios. Demuestra actitud creativa y responsable frente a los desafíos de aprendizaje. Tiene autonomía para gestionar aprendizajes que contribuyan al desarrollo del proyecto de vida. Puede asumir el rol de líder frente a las actividades (no necesariamente frente a compañeros, sino de forma individual) Completa la carpeta, corrige los errores marcados, mantiene en orden y prolijo su carpeta, siendo ésta la principal herramienta de apoyo para estudio individual Acepta que los errores pueden presentarse, utiliza lápiz negro y goma de borrar para la resolución de los Ejercicios. Tiene disposición y apertura al diálogo. Compromiso de participación en espacios educativos y comunitarios. Respeta los acuerdos consensuados en diversos ámbitos. Resuelve todos los cálculos para cada actividad propuesta, mostrando evidencia en la misma hoja que se presenta (todos los cálculos realizados están presentes). Explica con palabras las actividades realizadas utilizando lenguaje formal. Tiene iniciativa frente a pedidos de exposición de trabajos, armado de afiches, resolución en pizarrón.

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ANEXO Rúbrica para seguimiento de capacidades

(la misma puede sufrir leves modificaciones según se avance con el módulo)

Autoevaluación al finalizar el módulo

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Fracciones, números decimales El conjunto de números racionales (Q) contiene todos los números que pueden representarse como una división entre dos números enteros (Z). Recordemos las divisiones vistas en el módulo 1: 20:5 = 4, -6:3 = -2, 0:9= 0, etc. Los resultados que obteníamos eran otros números enteros. Ahora bien, en esta parte vamos a introducir el concepto de FRACCIÓN, que no es ni más ni menos que una a a división entre dos números enteros, pero se escriben: o b b Así, en los ejemplos anteriores escribimos las siguientes fracciones: •

20:5

=

•

-6:3

=

•

0:9

=

20 5 −6 3 0 9

=

4

=

-2

=

0

Como es una división, la condición que se debe cumplir es que el denominador (el divisor) siempre debe ser distinto de cero (no existe la división por cero, probemos en una calculadora...) Ahora bien, las divisiones no siempre nos darán como resultados números enteros. Nos pueden dar números decimales. ¿Cuáles son los números decimales? Son los que están compuestos por una parte entera y otra decimal. Ejemplos:

La parte entera es la que está a la izquierda de la coma, y la parte decimal la parte que está a la derecha de la coma. Ejemplos: •

7:9

=

•

- 3:5

=

7 9 3 5

=

0,7777…

=

-0,6

Entonces, un número racional lo podemos escribir como FRACCIÓN o como un NÚMERO DECIMAL Ejercicio 2.1.1: Escribir como fracción y resolver las siguientes divisiones: a) 10:5 b) -30:6 c) 4:9

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d) 1:2

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LOS SIGUIENTES EJEMPLOS SIRVEN PARA ILUSTRAR LOS TEMAS QUE VEREMOS EN EL MÓDULO

El total de partes va en el DENOMINADOR, y la cantidad que tomo, va en el NUMERADOR

IMPORTANTE: PARA EL DENOMINADOR, SE CUENTA EL TOTAL DE UNA PIZZA (PORQUE TODAS ESTÁN CORTADAS DE IGUAL MANERA), NO EL TOTAL DE TODAS LAS PIZZAS 7

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PORCENTAJE

(%)

El porcentaje es una forma de comparar cantidades. Es una unidad de referencia que relaciona una magnitud (una cifra o una cantidad) con el todo que le corresponde (el TODO siempre es el 100), considerando como unidad la centésima parte del todo. Conocido también como “tanto por ciento”, donde “por ciento” significa cada cien unidades. EJEMPLOS: Cantidad de agua ALIMENTO

COMO PORCENTAJE

COMO FRACCIÓN

COMO DECIMAL

NARANJA

88%

88 100

0,88

ESPINACA

91%

91 100

0,91

LECHUGA

95%

95 100

0,95

Veamos los siguientes valores nutricionales tomados de la página de ANMAT (Administración Nacional de Medicamentos, Alimentos y Tecnología Médica, https://www.argentina.gob.ar/):

Notar que cada valor de la tabla, representa el 100% (2000 kcal es el 100% de valor energético, 22 gramos de grasas saturadas es el 100%, etc.).

¿Cómo vemos la información nutricional en las etiquetas de los alimentos que adquirimos en el mercado? Supongamos ahora que tenemos un paquete de galletitas con la siguiente información nutricional: INFORMACIÓN NUTRICIONAL Porción 30 g (6 galletitas) Cantidad por porción

% VD (*)

Valor energético

121 kcal = 508 KJ

6

Carbohidratos

19 g

6

Proteínas

3.2 g

4

Grasas totales

3.8 g

7

Grasas saturadas

0.3 g

1

Grasas trans

0.4 g

-------

Fibra alimentaria

1.6 g

6

Sodio

228 g

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(*) Valores diarios con base a una dieta de 2000 kcal u 8400 KJ. Sus valores diarios pueden ser mayores o menores dependiendo de sus necesidades energéticas

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¿Cómo interpretamos esta información?

Por último, los porcentajes también podemos verlos en los medios de comunicación, ilustrados con distintos tipos de gráficos: Prácticas de consumo poco saludables (estudio U. de Jujuy, https://www.lanacion.com.ar/economia/en-el-pais-25-millones-dehttp://revista.fhycs.unju.edu.ar/revistacuadernos/index.php/cuadernos/article/ ninos-sufren-deficit-de-alimentacion-segun-la-uca-nid1852046 view/196/291 ):

Ejercicio 2.1.2: ¿Dónde más vemos el símbolo %? ¿Cómo lo interpretamos? 9

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Una fracción representa la parte que tomamos de un TODO: • Denominador: en cuántas partes se divide CADA entero (es el TODO) • Numerador: la parte que tomamos de ese todo Ejemplo: tenemos 1 taza que representa 1 entero. Estamos haciendo una receta que contiene ⅔ tazas de azúcar. ¿Cómo obtenemos esa cantidad utilizando una taza?:

Si tenemos 2 tazas son 2 enteros, 3 tazas son 3 enteros, …, 100 tazas son 100 enteros Ahora bien, ¿qué pasa si en la receta nos piden por ejemplo 5/2 tazas de azúcar?:

TODO NÚMERO ENTERO SE PUEDE ESCRIBIR COMO FRACCIÓN CON DENOMINADOR = 1 2 = 2/1, 5 = 5/1, ETC

EN LA HORA TAMBIÉN USAMOS FRACCIONES Cuando miramos la hora, estamos usando fracciones. Utilicemos un reloj analógico:

1 hora (H) = 60 minutos (M)

= 60’

1 minuto = 60 segundos (S) = 60”

Si en 1’ hay 60”, ¿Cuántos segundos hay en una hora? → lo que hacemos es multiplicar 60”x60 = 3600”

Ejercicio 2.2.1: 1. ¿Cuántos segundos hay en 20 minutos? 2. ¿Cuántos horas hay en 300 minutos? 3. ¿Cuántos minutos hay en 1 hora y 20 minutos?

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Para nuestra actividad institucional, veremos ahora en este anexo ¿Cómo sumar y restar las horas? Sumar • • • •

Se alistan los datos en columnas Se van sumando cada una de las columnas empezando por los segundos. Si los segundos sumados superan los 60'', se les resta 60'' y se suma 1' en la siguiente columna a la izquierda. Si los minutos sumados superan los 60', se les resta 60' y se suma 1º en la siguiente columna a la izquierda.

Restar • • •

Se van restando cada una de las columnas empezando por los segundos. Si los segundos restados son un número negativo, se suma 60'' y se resta 1' en la siguiente columna a la izquierda. Si los minutos restados son un número negativo, se suma 60' y se resta 1º en la siguiente columna a la izquierda.

Ejemplos: 2h 25’ 30”

+ + =

9h 20’ 12”

-

3h 20’ 25” 2 25 3

20

25

5

45

55

7h 05’ 10” + 9 20 =

= 30

= 12

7

05

10

2

15

02

Ejercicio 2.2.2: Resolver a) 3h 08’ 09” + 5h 35’ 06” = c) 4h 40’ 39” + 6h 48’ 55” =

5h 45’ 55”

1h 47’ 32”

+ +

5h 39’ 50” = 1 47

=

2h 15’ 02”

8h 36’ 27”

+ =

7h 27’ 22” 32

5

39

50

6+1

86+1-60

82-60

7

27

22

5h 37’ 49”

=

8

36

2h 58’ 38” 27

5

37

49

(8-1)-5

(36-1)+60-37

27+60-49

2

58

38

b) 20h 40’ 10” - 4h 26’ 07” = d) 12h 34” 14” - 8h 56’ 43” =

Ejercicio 2.2.3: Investigar a) Aplicaciones gratuitas del teléfono (móvil) que sirvan para cronometrar (¿cuáles existen? Pro y contras de cada una. b) ¿Cómo se lleva el cronometraje en una carrera de atletismo? c) ¿Qué datos debo registrar para realizar el cronometraje?

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Ejercicio 2.2.4: Responder escribiendo las fracciones correspondientes: ¿Cuánto combustible tengo? ¿Cuánto me falta ¿Cuántas porciones de pizza comí? para completar el tanque?

………….. ¿Cuántos vidrios están rotos?

………….. ¿Cuántos pétalos hay en total? (la primera flor está completa)

…………..

…………..

Clasificación Fracciones PROPIAS, IMPROPIAS Y APARENTES (aplica para Q positivos y negativos) Fracciones PROPIAS Cuando el numerador es más chico que el denominador. SIEMPRE son menores a 1 ENTERO (no llegan a la unidad).

Fracciones IMPROPIAS Cuando el numerador es más grande que el denominador. SIEMPRE es mayor a 1 ENTERO (es más que una unidad). También pueden representarse como números mixtos

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Fracciones APARENTES cuando exactamente ENTERO.

representan un número

¿Cómo podemos concluir que una fracción es APARENTE sin tener que tener los dibujos? Realicemos la división (numerador dividido denominador). Si el resultado es EXACTO, con resto 0, entonces la fracción es equivalente.

Números MIXTOS Las fracciones IMPROPIAS (solamente las impropias) pueden escribirse como número mixto. Un número mixto está formado por un número entero y una fracción. Veamos cómo se escriben los números mixtos de las fracciones impropias anteriores:

¿Cómo podemos convertir una fracción impropia a un número mixto y viceversa? Conversión de fracción impropia a número mixto 27 4 12 5 13 4 39 7 PASOS: • La parte entera corresponde al cociente entre el numerador y el denominador. • La parte fraccionaria se obtiene colocando en el numerador el resto de la división anterior y se coloca como denominador el mismo denominador de la fracción inicial. Conversión de número mixto a fracción impropia

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PASOS: • Multiplicamos la parte entera del número mixto por el denominador de la parte fraccionaria y le sumamos el numerador. Ese será el numerador de la fracción. • El denominador de la fracción será el mismo que el de la parte fraccionaria Ejercicio 2.2.4: clasificar las siguientes fracciones: -7/12, 5/4, 3 ⅞ , 47/29, 25/5, 0/7, -34/35, 1 ¾ Ejercicio 2.2.5: Realizar gráficos (reales o abstractos) que representen las siguientes fracciones: ⅔, 5/4, 1/5 Ejercicio 2.2.6: Responder: a) ¿Qué fracción de la semana representa 2 días? b) ¿Qué fracción de una hora representan 30 minutos? c) ¿Qué fracción del año representan 9 meses? d) ¿Qué fracción de la hora representan 60 segundos? Ejercicio 2.2.7: Convertir las siguientes fracciones impropias a un número entero o mixto: 8 9 17 5 a) b) c) d) 3 2 5 5 Ejercicio 2.2.8: Convertir los siguientes números mixtos a fracciones impropias: 1 5 7 a) 3 b) 9 c) 7 2 8 8

Relación entre medidas y fracciones Muchas veces nos toca relacionar una medida con una fracción. Por ejemplo, tenemos que tomar cierta cantidad de un medicamento, necesitamos cierta cantidad de ingrediente en una receta, etc. Veamos con ilustraciones a qué se refiere: En una receta necesito ¾ de un paquete de harina de 1 kilo:

De un jarabe de 20ml, necesito tomar 3/5:

1 kilo de harina = 1000 gramos 20 ml lo divido en 5 partes. 1000 gramos dividido 4 = 250grs (cada parte del entero tiene Cada parte tiene 4ml. 250grs). Tengo que tomar 3 partes. El cálculo que realizo es Necesito 3 partes. 4ml x 3 = 12 ml El cálculo que realizo es 250grs x 3 = 750grs. ¡Ya sabemos cuántos gramos de harina necesitamos!

Recta numérica Vamos a utilizar la recta numérica tal como lo hicimos en el módulo 1. Recordar que la recta es infinita:

En medio de CADA PAR DE NÚMEROS ENTEROS, se encuentran los números racionales. Los racionales pueden ser positivos (que se encontrarán a la derecha del 0) y negativos (que se encontrarán a la izquierda del 0). Es muy importante comprender que la recta tiene infinitos enteros. Cada entero va a representar algo en particular. Supongamos que sean tazas. Nuestra recta va a tener infinitas tazas.

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Ejemplos: 5 3

Importante: la cantidad de espacios entre cada par de enteros, es la cantidad de partes del todo

¿Cómo se marcan las fracciones en la recta numérica? 1) Dibujo la recta numérica básica (línea continua, extremos de flecha, el 0, los Z+ y los Z-) 2) Me fijo en el signo de la fracción: Si es + entonces el punto (la fracción) se ubicará a la derecha del 0. Si es – entonces se ubicará a la izquierda del 0. 3) A cada unidad, la divido en la cantidad de partes que indica el denominador. 4) Me desplazo DESDE EL CERO, la cantidad de unidades indicadas por el numerador (siguiendo el sentido dado por el signo). 5) Marco el punto. Ejercicio 2.2.9: Representar gráficamente las siguientes fracciones: ¾ , -4/5, 7/4, 10/5, 9/3, 7/2, - 12/4, -9/5

Relación de Orden

• Todo número positivo es mayor que todo número negativo. • El 0 es menor que todo número positivo y mayor que todo número negativo. • Si 2 números son positivos, es menor el que tiene menor valor absoluto. • Si 2 números son negativos, es menor el que tiene mayor valor absoluto. • Dos números son iguales, si tienen igual valor absoluto e igual signo. Para conocer el orden entre dos números, podemos realizar la división entre numerador y denominador y comparar los resultados, o bien ubicar ambos puntos en la recta numérica y ver cuál está más a la derecha para saber cuál es el más grande.

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Si dos fracciones tienen igual denominador, es menor la fracción que tiene menor numerador. Veremos más adelante cómo comparar fracciones con distinto denominador. Ejercicio 2.2.10: completar con o = . Resolver lo que sea necesario antes de comparar: -2/9...0 ⅞...0 -2/6…-5/6 7/5...9/5 -2...1/2 -(-3/7)… -3/7

Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo número racional. Ejemplo: ¾ y 9/12 5/2 y 10/4 Formas de comprobar que dos fracciones son equivalentes: • Gráficamente: representan la misma parte tomada del entero

MISMA PARTE PINTADA • • •

Al aplicarlas a un mismo entero, se obtiene el mismo resultado: ¾ de 8 es 6 y 9/12 de 8 es 6 El cociente que indican es el mismo: 3:4 = 0,75 9:12 = 0,75 Representan el mismo punto en la recta numérica

•

Realizamos multiplicación cruzada y obtenemos iguales resultados: se multiplica numerador de uno con denominador del otro y viceversa: 3.12 = 4.9 → 36 = 36

¿Cómo obtenemos fracciones equivalentes? Multiplicando (AMPLIFICANDO) o dividiendo (SIMPLIFICANDO) el numerador y el denominador por el mismo número. Aplica tanto a fracciones positivas como negativas. Ejemplo:

Otro ejemplo: -3/8 = -6/16, -12/32… Ejercicio 2.2.11: encontrar al menos 3 fracciones equivalentes de: -1/2, 5/3, 4/5. Alternar entre . Y : Ejercicio 2.2.12: completar en cada caso con el número que falta para que las fracciones resulten equivalentes: 1 9 3 12 ... 45 5 ... a) = b) = c) = d) = 8 ... ... 28 5 25 9 90

Simplificación y amplificación de Fracciones SIMPLIFICACION Cuando simplificamos una fracción nos interesa obtener una fracción IRREDUCIBLE. Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar más (no existe ningún número que divida al mismo tiempo de manera exacta al numerador y al denominador). Ejemplo:

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Ejercicio 2.2.13: Simplificar cada fracción hasta encontrar la fracción irreducible equivalente: 15/10, 12/15, 21/9, 33/44, 66/30 Ejercicio 2.2.14: Simplificar los siguientes pares de fracciones hasta obtener pares de fracciones de igual denominador: a) 9/3 y 5/15 b) 5/2 y 20/8 c) 45/12 y 56/32 AMPLIFICACIÓN Muchas veces, amplificamos fracciones para obtener porcentajes (como veremos más adelante). No existe límite para amplificar.

Ejercicio 2.2.15: Amplificar 2 veces las siguientes fracciones: igual denominador: a) 2/7 b) 7/10 c) 4/9 Ejercicio 2.2.16: Amplificar las siguientes fracciones para obtener su correspondiente porcentaje: a) 3/5 b) 9/25 c) 21/2

Comparar fracciones con distinto denominador

Ambas comieron 1 porción. Supongamos que ambas tomaron una porción de tortas de igual tamaño, pero la torta de Carla estaba dividida en 4 porciones y la de Rebeca en 6… ¿A qué conclusión llegamos?

Para comparar fracciones, necesitamos que las partes sean de IGUAL tamaño. Este dato está dado por el denominador. Ejemplo

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NO PODREMOS comparar fracciones si los enteros están divididos de distinta manera. En el ejemplo anterior, las tazas de té de Ana están divididas en 2 partes, y las de Rosa están divididas en 3 partes. Debemos hallar un denominador común. Un denominador común será un número que esté en la tabla del 2 y en la del 3. Veremos que hay infinitos números que están en ambas tablas, nos quedaremos con uno. En lo posible el menor que hallemos.

Nos quedamos con 9/6 y con 4/6. Como tienen igual denominador, comparamos sus numeradores. Como 9 es mayor que 4, concluimos que 9/6 > 4/6. Por lo tanto, 3/2 > ⅔. Ana tomó más té que Rosa. Ejemplo: queremos comparar 5/6 y ⅞ Buscamos fracciones equivalentes de ambas: 5/6 = 10/12, 15/18, 20/24, 25/30, 30/36, 35/42… ⅞ = 14/16, 21/24, 28/32, 35/40, 42/48… Encontramos dos fracciones que tienen igual denominador: 20/24 y 21/24. Comparamos sus NUMERADORES. Como 20 es menor que 21 concluimos que 20/24 < 21/24. Por lo tanto, 5/6 < ⅞ Ejercicio 2.2.17: Comparar las siguientes fracciones buscando fracciones equivalentes de cada una: a) 3/5 … 1/3 b) 9/25 … 7/5 c) 21/4 … 5/12 d) 7/9 … 9/7

Multiplicación de fracciones El producto de 2 fracciones es otra fracción que tiene: • Por numerador, el producto de los numeradores • Por denominador, el producto de los denominadores

Regla de signos de la multiplicación En la multiplicación y división de fracciones, debemos tener en cuenta el SIGNO que tiene cada número. Para ello, aplicamos la REGLA DE LOS SIGNOS:

SIGNOS IGUALES → POSITIVO SIGNOS DISTINTOS → NEGATIVO

La multiplicación se resuelve en dos pasos: multiplicación de los signos y multiplicación de sus valores absolutos

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¿Cómo resolvemos una multiplicación con más de dos fracciones?

Resolvemos de izquierda a derecha (de a 2 fracciones), y “bajamos” las fracciones restantes: −7 3 −6 ) = . . ( 5 8 4 −21 126 −6 ) = . ( 20 8 160 Aplica para cualquier cantidad de fracciones que intervienen en el cálculo.

Simplificación cruzada en la multiplicación En una multiplicación de fracciones es posible simplificar, antes de multiplicar. Simplificamos numeradores con denominadores de distintas fracciones, siempre y cuando la operación entre estas fracciones sea una multiplicación.

Igualmente, recordemos que antes de aplicar la simplificación cruzada, debemos chequear si se puede simplificar cada fracción de manera individual. La simplificación siempre nos permite trabajar con números más chicos, lo cual resultará en cálculos más simples.

División de fracciones Las divisiones las resolvemos como multiplicaciones previo cambio en la operación. Tenemos que invertir (dar vuelta) la fracción que está dividiendo:

Regla de signos de la división Recordamos que en la división de números enteros, también aplicamos la regla de los signos:

SIGNOS IGUALES → POSITIVO SIGNOS DISTINTOS → NEGATIVO

La división se resuelve en dos pasos: división de los signos y división de sus valores absolutos.

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Ejercicio 2.3.1: Resolver simplificando cuando sea posible: a) 5/2 . 4/3 . 1/2= b)3/5 . 5/7 . (-1/7) = c) -7 . (-1/4) . ⅔ = e)1 : (-3/5) = f) ( – ½) : 2/7 = g) 3/2 . (-3/2) =

d)3/4 : ⅔ = h) – 10/3 : ½ =

i) –/6 : ⅓ =

Se pueden dar dos situaciones: que las fracciones a sumar tengan igual o distinto denominador. Primer caso: SUMAR Y RESTAR FRACCIONES QUE TIENEN IGUAL DENOMINADOR:

Quiero sumar el total de agua que tomé a la mañana y lo que tomé a la tarde: La resta se resuelve de igual manera:

5 1 = 3 3

5 1 + = 3 3

6 = 2 vasos completos 3

4 3

El mecanismo es el siguiente:

Ejercicio 2.4.1: resolver las siguientes sumas y restas: a) ½ + 5/2 =

b) 6/5 – 14/5=

c) ¾ + 10/4=

d) 10/3 – 4/3 =

e) 7/9 + 5/9=

Segundo caso: SUMAR Y RESTAR FRACCIONES QUE TIENEN DISTINTO DENOMINADOR: ◦ Tal como se presenta NO podemos resolverla, pues todas las fracciones DEBEN tener igual denominador. ◦ Trabajamos con fracciones equivalentes para encontrar fracciones con igual denominador. ◦ Se suman o restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas. Ejemplo:

2 1 5 1 20 15 30 15 20+ 15+30+15 + + + = + + + = = 3 2 5 2 30 30 30 30 30

80 = 30

8 3

A 900ml lo divido en 3 partes = 300ml Como tomé en total 8 de esas partes, multiplico 300ml x 8 = 2400ml. Si 1000ml equivale a 1L, significa que en total tomé 2L 400ml.

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◦ Una forma directa de obtener un común denominador es como sigue:

Ejercicio 2.4.2: resolver las siguientes sumas y restas calculando mcm entre denominadores: a) ½ + 5/6 =

b) 6/5 – 4/3=

c) ¾ + 2/7=

g) -3/2 + 5/4 =

h)6/5 + 3/2 – 2/12

d) 10/3 – 4/5 =

i) -4/3 – 3 + ½ + 5/6=

e) 7/9 + 5/6= f) 7 + 3/5= 4 5 j) 2 + = k) 4 = 8 9

¿Cómo sumamos y restamos números decimales? Ejemplo: a continuación se muestran las etiquetas de los productos que consumí en el día:

Sumemos la cantidad de HIDRATOS DE CARBONO que consumí en total: 10,6 + 0,0 + 2,04 + 23,7. Se alinea la coma “,” y se suma de derecha a izquierda, completando con “0” cuando sea necesario:

Significa que en total consumí 36,34grs de Hidratos de Carbono. Sabiendo además que el consumo máximo diario de Carbohidratos es de 300grs, ¿cuánto es lo máximo que podría seguir comiendo?

No debería excederme de 263,66 grs en el resto del día. Ejercicio 2.4.2: teniendo como referencia el ejemplo anterior, realizar los mismos cálculos con las grasas saturadas, las calorías y la sal.

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Propiedad Conmutativa y Asociativa de la suma Si en una operación tenemos más de 2 fracciones (o números decimales), entonces ordenamos todos los términos para que nos queden los positivos por un lado, y los negativos por otro lado, tal como lo vimos para enteros (propiedad conmutativa). Una vez ordenados, entonces sumo la parte positiva y sumo la parte negativa (propiedad asociativa). Una vez resueltas estas sumas, realizo la suma final:

Quitar Paréntesis Es común ver que en una operación se utilizan paréntesis para AGRUPAR términos que están sumando. El paréntesis es un “contenedor” de términos que hay que resolver. Y hasta que no resolvamos todo, no lo sacamos. • •

Si el signo que está ADELANTE del paréntesis es IGUAL al signo que está ADENTRO del paréntesis, entonces el resultado es POSITIVO. Si el signo que está ADELANTE del paréntesis es DISTINTO al signo que está ADENTRO del paréntesis, entonces el resultado es NEGATIVO.

ES DECIR, APLICAMOS REGLA DE LOS SIGNOS PARA QUITAR PARÉNTESIS IMPORTANTE: los paréntesis NO se sacan mientras hayan operaciones que resolver dentro (aplica también para [])

Nota: aplica también para eliminar [] o {} Ejercicio 2.4.1: resolver las siguientes sumas y restas. Primero resuelvo lo que está adentro del (). Recordar realizarlo PASO a PASO: 5 3 3 4 8 2 2 a) -2 + 4 + 4 - ( )= b) -( + )= c) ( + 3) – (4 + )= 3 7 7 21 42 10 5 −3 5 d) + (5 )= 4 6 Ejercicio 2.4.2: a) sumar la cantidad de tazas de harina y tazas de azúcar que necesito en total para realizar todas estas recetas. Escribir sumas de fracciones. Sabiendo que cada taza rinde aproximadamente 125grs:

b)Sabiendo que un paquete de azúcar tiene 1k (1000grs), ¿qué fracción del paquete utilizaré para la primera receta? c) Pasar todas las cantidades de harina a grs y sumar. Decir qué fracción del paquete de harina representa (sabiendo que el paquete pesa 1k). Revisar la suma de decimales. Ejercicio 2.4.3: a)Sabiendo que cada 100grs de harina hay 353 calorías. ¿Cuántas calorías aporta la harina en cada receta?

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POTENCIA

¿Cómo operamos para elevar un número racional a un exponente entero? Si el exponente es positivo, operamos del siguiente modo: 2 32 3 ( )= 2 5 5 El exponente afecta igualmente al numerador y al denominador. Esta regla se basa en el modo en que multiplicamos fracciones: 2 3 3 3 9 ( )= . = 5 5 5 25

Los signos en la Potenciación Si la base es negativa y el exponente impar el resultado es negativo; en los demás casos el resultado es positivo: (+)par + = (+)impar

=

+

(-)par

=

+

(-)impar

=

-

Caso especial: exponente negativo → debemos invertir la base y el exponente queda positivo. 3 −1 5 3 −2 52 25 ( ) = ( ) = 2= 5 3 5 9 3

Potencias de igual base

Propiedades de la potencia Suma

Simplemente se resuelve cada potencia y luego se suman los resultados. Ejemplo: 4 8 20 2 2 2 3 + = ( ) + ( ) = 9 27 27 3 3

Resta

Igual que antes, se resuelven primero las potencias y luego se realiza la resta. Ejemplo: 2 3 4 8 4 2 2 = ( ) ( ) = 9 27 27 3 3 Para multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes y se mantiene la base. Ejemplo:

Multiplicación

2 2 ( ) 3

.

2 3 ( ) 3

2 2+3 ( ) 3

=

2 5 ( ) 3

=

2 3

.

2 3

.

2 3

.

2 3

.

2 3

=

32 243

a m ·a n = a m+n

División

Para dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base. Ejemplo: 2 2 4 2 5 2 3 2 5−3 2 2 = ( ) = . = ( ) : ( ) = ( ) 3 3 9 3 3 3 3 a m :a n = a m

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=

- n

Otras Potencias de igual exponente

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Se multiplican las bases y se conserva el exponente. Ejemplo: 2 2 2 64 4 2 = 8 . ( ) ( ) ( ) = 225 Multiplicación 5 3 15 a n · b n = (a · b) n Se dividen las bases y se conserva el exponente. Ejemplo: ( División

4 2 ) 15

:

2 2 ( ) 3

=

2 2 ( ) 5

=

4 25

a n : b n = (a : b) n

Potencia elevada a potencia

Se conserva la base y se multiplican los exponentes. Ejemplo: 2 3 6 4096 4 4 (( ) ) = ( ) = 15625 5 5 (a m ) n = a m

· n

a0

Siempre es = 1

a1

Siempre es = a (la base)

Ejercicio 2.5.1: Resolver (recordar prioridad de resolución) 5

3

−5

2

2 2 2 2 a) ( ) : ( ) b) ( ) + ( ) 3 3 3 3 2 5 2 −5 2 −2 2 −3 e) ( ) . ( ) g) ( ) : ( ) 3 3 3 3

5

3

2 2 c) ( ) . ( ) 3 3 4 −2 h) ( ) : 9

−5

2 d) ( ) 3

2

2 - ( ) 3

Los paréntesis y la Potenciación Cuando el exponente está sobre un paréntesis, primero DEBEMOS RESOLVER LO QUE ESTÁ ADENTRO, y luego aplicar el exponente. Ejemplo: 2 5 2 7 2 ( + ) = ( ) = 3 3 3

49 9

Si se nos presenta el caso de resolver una operación con varias potencias se puede hacer de dos formas: a) Se resuelve cada una de las potencias y después se hacen las operaciones indicadas; b) Aplicar reglas de potenciación vistas anteriormente.

RAÍZ EN Q

Para calcular la raíz n-ésima de un número fraccionario, aplicamos la radicación al numerador y al denominador respectivamente. Ejemplo: 3 −27 √3 −27 −3 4 √4 2 = 3 = = = 8 2 9 √9 3 √8

√

√

La radicación también puede escribirse como una potenciación con exponente fraccionario. Por ejemplo: 3 −27 −27 31 =( ) 8 8

√

Si el índice es “2” se lee “raíz cuadrada”, si es “3” se lee “raíz cúbica”, si es “4” se lee “raíz cuarta” y sigue “raíz quinta”, “raíz sexta”, etc. 25

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Nota: cuando el índice no está escrito, entonces se asume que es un “2”: Ejercicio 2.5.2: Resolver 1

1 a) ( ) 2 9

1

b) (

1

8 3 ) 27

1

2 2 c) ( ) 2 : ( ) 3 3 3

Producto de raíces cuadradas

−5

2 d) ( ) 3

1

2 . ( )2 3

Es otra raíz cuyo radicando es el producto de los radicandos. Ejemplo: 2 8 16 √16 = 4 ⋅ = = 3 3 3 9 √9

√ √ √

Es igual a otra raíz cuyo radicando está elevado al exponente de la potencia. Ejemplo: 4 Potencia de una raíz cuadrada 24 4 2 16 ( ) = = = 4 9 3 81 3

√ √

√

Ejercicio 2.5.3: Calcular las siguientes raíces: a)

√

36 = 64

b)

√ √ 5 3

⋅

5 = 27

√

4

6 c) ( ) 5

=

Anteriormente vimos operaciones que combinaban sumas y restas, con multiplicaciones y divisiones. Ahora vamos a añadir más elementos. Nos vamos a encontrar con operaciones que parecen largas y complejas, donde se verán alternadas sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces. A su vez, vamos a usar (), [] que adentro tienen más operaciones. A simple vista parece algo complejo pero no lo es. Es importante que seamos ordenados, prolijos y resolvamos paso a paso este gran problema. Pero, ¿por dónde empezamos? Simple, paso número uno es dividir mi gran problema en problemas más pequeños (lo que se conoce como “separar en términos”).

¿Cómo dividimos este GRAN problema?

Utilizando los signos “+” y “-” como límite de cada término, me ayudo dibujando “arcos” sobre los términos. Veamos:

Es importante separar términos de AFUERA hacia ADENTRO. ¿Qué quiere decir esto? Que si veo que hay () o [] lo dejo para una segunda o tercera vuelta de separación en términos. Ejercicio 2.6.1: Resolver a) 4/5 . 5/2 + 3/2 : (-1/2) = d) 1/6 + ¾ . (-2/3) . ( -1/2) = g) -4/3 : ( 2/5 – 1/10) – ½ =

b) ¾ : 2 – 5/6 = e) 3/7 : 4/7 – ⅓ : (-2/3) = h) 5/6 – (⅓ – ¾) . 24/5=

c) 1/9 – ⅔ . ¾ + 5/3 = f) -3/5 + (-7/3) . (-8/7) – 4/5 = i) ⅛ . (4/5 – 1) – (5/4 – 1) =

Uso de paréntesis, corchetes Los paréntesis () y los corchetes [] sirven para lo mismo:

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7 ) 8 4 9 • Para separar signos. Ejemplos: -() 2.() 5 7 Lo único que diferencia a uno de otro es el orden de resolución •

Para contener operaciones. Ejemplos: (-

4 3

+5+

//

-[ -[-

13 ] 4

12 35

+ 2]

¿Qué resuelvo primero? 1°

Paréntesis

Resolvemos lo que está adentro del () hasta que nos quede un solo número, luego quitamos paréntesis como ya aprendimos.

2°

Corchetes

Resuelto los () continuamos resolviendo todo lo que está adentro del [] hasta que nos quede un solo número, luego quitamos paréntesis como ya aprendimos.

3°

Llaves

no las veremos en este módulo

Una vez que hicimos la separación, comenzamos a resolver las operaciones siguiendo también un orden de prioridad: 1°

Potencia y Raíz

Primero resolvemos todas las potencias y raíces

2°

Multiplicaciones y divisiones

Cuando no tengamos más potencias ni raíces, continuamos resolviendo las multiplicaciones y divisiones

3°

Sumas y Restas

Notar que las sumas y las restas son las últimas operaciones que se hacen.

Ejercicio 2.6.2: Resolver 3 4 2 3 3 6 - [(2 . ) . 5 + 2]}= b) [ ( )+9−( ).5 + 5] + . 7= a) 2 + { 2 5 3 8 2 2 12 5 4 3 c) ( .9−3 )+9−( ).3 .6 = d) -[1/2 + √ 27 .8 ] - (7/3 . 5/ 4 0 ) + 7/8= 3 9

Una ecuación es una igualdad algebraica. Significa que tenemos dos miembros unidos por el signo “=”, donde aparecen letras y números. Las letras son incógnitas (desconocemos su valor numérico). Generalmente usamos la letra “X” para nuestra incógnita.

¿Cómo hacemos para averiguar el valor de la incógnita? La idea es dejar en uno de los miembros, a la incógnita sola. Y en el otro miembro, un valor numérico. Tenemos dos maneras de resolver este tipo de problemas: Aplicando la propiedad cancelativa La idea es ir eliminando el coeficiente y todos los términos que acompañan al término donde está la X:

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Un término que está...

Lo cancelamos...

Cancelar y resolver

Comprobación

SUMANDO (+)

RESTA (-)

X+½ =3 X+½ –½ =3–½ X = 5/2

5/2 + ½ ? 3 6/2 ? 3 3=3

RESTANDO (-)

SUMA (+)

X–¼ = ½ X–¼+¼=½+ ¼ X=¾

¾–¼?½ 2/4 ? ½ ½=½

MULTIPLICANDO (*)

DIVISION (:)

X : 1/6 = 2 X : 1/6 * 1/6 = 2 * 1/6 X=⅓

⅓ : 1/6 ? 2 ⅓*6?2 6/3 ? 2 2=2

DIVIDIENDO (:)

MULTIPLICACIÓN (*)

X * 2/5 = 5/3 X * 2/5 : 2/5 = 5/3 : 2/5 X = 25/6

25/6 * 2/5 ? 5/3 50/30 ? 5/3 5/3 = 5/3

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Pasaje de términos Despejamos X, “pasando términos” al otro miembro, con la operación contraria. Implícitamente estamos aplicando la propiedad cancelativa: Si un término está...

Lo pasamos...

Pasar y resolver

SUMANDO (+)

RESTANDO (-)

X+½ =3 X =3–½ X = 5/2

RESTANDO (-)

SUMANDO (+)

X–¼ = ½ X =½+ ¼ X=¾

MULTIPLICANDO (*)

DIVIDIENDO (:)

DIVIDIENDO (:)

MULTIPLICANDO (*)

X : 1/6 = 2 X = 2 * 1/6 X=⅓

2X = 2 X =2:2 X=1 X * 2/5 = 5/3 X = 5/3 : 2/5 X = 25/6

EJEMPLOS: a)Recordemos la resolución con Z: Juana tiene 5 años más que Romina. Si entre las dos suman 73 años, qué edad tiene cada una? X + (X + 5) = 73 X + X + 5 = 73 2X + 5 = 73 2X = 73 – 5 2X = 68 X = 68:2 X = 34

La edad de Romina es 34 y la de Juana 39

b) Tengo ⅔ de dinero de lo que cuesta un teléfono celular. ¿Cuál es su precio si me faltan solamente $318 para comprarlo? ⅔ X + 318 = X ⅔ X = X – 318 ⅔ X – X = -318 - ⅓ X = -318 X = -318 : (- ⅓ ) X = 954

El celular cuesta $954

c) Un número y su quinta parte suman 18 X + 1/5 X = 18 6/5 X = 18 X = 18 : 6/5 X = 15

Propiedad Distributiva respecto a la multiplicación

Ejercicio 2.7.1: resolver las siguientes situaciones problemáticas mediante ecuaciones y comprobar el resultado: 2 a) En un plato de comida, el total de carbohidratos es de . Sabiendo que la porción de tarta tiene 5 1 solamente , ¿Cuánto tendrá la porción del salteado que lo acompaña? 3 b) La tercera parte de las calorías de una porción de galletas es 230kcal. ¿Cuántas kcal tiene en total cada porción? 5 1 c) En una receta, utilicé en total 2 kilos de ingredientes secos, 1 era harina integral, era azúcar, pero no 4 3 puedo recordar cuánto representaban los frutos secos, ¿Podrías calularlo? Ejercicio 2.7.2: : resolver las siguientes ecuaciones: a) 3x + 5 = 5x -13 b) 5(7 -x) = 31 – x x−1 x−3 d) 3/4(2x + 4) = x +19 e) = -1 6 2

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c) 4(2 – 3x) =-2x -27

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