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Análise Matemática I

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Organizado por Universidade Luterana do Brasil

Análise Matemática I

Rosvita Fuelber Franke Ana Regina Gregory Brunet

Universidade Luterana do Brasil – ULBRA Canoas, RS 2016

Conselho Editorial EAD Andréa de Azevedo Eick Ângela da Rocha Rolla Astomiro Romais Claudiane Ramos Furtado Dóris Gedrat Honor de Almeida Neto Maria Cleidia Klein Oliveira Maria Lizete Schneider Luiz Carlos Specht Filho Vinicius Martins Flores

Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil. Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores a emissão de conceitos. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem prévia autorização da ULBRA. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.

ISBN: 978-85-5639-129-2 Dados técnicos do livro Diagramação: Marcelo Ferreira Revisão: Igor Campos Dutra

Apresentação

A

história nos evidencia que o conhecimento matemático se originou de maneira intuitiva e informal. O Cálculo é um exemplo. Essa área da Matemática desenvolveu-se a partir do século XVII, mas sua formalização ocorre a partir do início do século XIX com a Análise Matemática, assunto abordado neste livro com enfoque para formação de professores de Matemática para a Educação Básica. A disciplina de Análise Matemática I compõe o quadro de disciplinas específicas do curso de Licenciatura em Matemática. O aluno deve estar familiarizado com os tópicos e pensamentos apresentados nas disciplinas de Álgebra, Geometria e Cálculo. No Capítulo 1 é revisitada a Lógica Matemática a fim de ambientar o leitor com a linguagem utilizada no desenvolvimento da teoria desta obra. Os conjuntos numéricos são apresentados nos Capítulos 2 e 3. Iniciamos com o conjunto dos Naturais via os axiomas de Peano seguido pelo conjunto dos Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais. Nos Capítulos 4 e 5 são apresentadas as ideias inovadoras do século XIX sobre conjuntos infinitos e conjuntos limitados. As classificações e propriedades culminam na classificação do conjunto dos números reais como único corpo ordenado completo. A formalização dos reais como um continuum. As sequências reais são apresentadas e classificadas no Capítulo 6 e suas propriedades exploradas no Capítulo 7. Essas funções possuem domínio nos naturais e, para estudarmos as funções reais de variável real, apresentamos uma noção de Topologia da Reta no Capítulo 8 para a transição.

Apresentação  v

O Capítulo 9 apresenta a formalização da ideia de limite de função a partir da definição por (épsilon) e (delta). No Capítulo 10, essa ideia é expandida com o estudo dos limites infinitos e no infinito. A ideia de expressão indeterminada é apresentada. Ao final de cada capítulo são oferecidas atividades para o estudo dos tópicos abordados. Gráficos, diagramas e rascunhos são necessários nestes momentos. A tentativa de resolução das atividades antes de olhar as diretrizes no final do livro contribui para sua aprendizagem. As diretrizes e respostas apresentadas não constituem tudo que se espera para formalizar os resultados solicitados, apenas orientam sua construção. Bom Estudo!

Sumário

1 Preliminares de Lógica...........................................................1 2 Números Naturais e Inteiros................................................20 3 Números Racionais e Irracionais: Reais................................39 4 Conjuntos Finitos e Infinitos, Enumeráveis e não Enumeráveis........................................................................72 5 Supremo e Ínfimo................................................................89 6 Sequências Numéricas Reais: Classificação........................102 7 Sequências Numéricas Reais: Propriedades........................118 8 Noções de Topologia da Reta..............................................................................134 9 Limite de Funções..............................................................146 10 Limites Infinitos e no Infinito; Expressões Indeterminadas.................................................................165

Rosvita Fuelber Franke1

Capítulo

1

Preliminares de Lógica

1  Mestre em Álgebra pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul, UFRGS, professora da Universidade do Vale dos Sinos, Unisinos.

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Introdução No primeiro capítulo deste livro, apresentamos alguns conceitos relativos à lógica matemática. Iremos rever conceitos que você já estudou em Álgebra I, como, por exemplo, os conectivos lógicos, dando ênfase ao condicional. Abordaremos também as técnicas de demonstração e as diferentes maneiras de mostrar a validade de uma proposição. Tal capítulo se justifica por acreditarmos que o conhecimento prévio de algumas noções de lógica serve como facilitador na compreensão dos conceitos de Análise Matemática que iremos abordar ao longo deste livro.

1.1 Demonstrar é preciso Antes de apresentar os conceitos de lógica que iremos utilizar ao longo do estudo da Análise Matemática, gostaríamos de compartilhar com você algumas de nossas opiniões e, por que não, convicções sobre demonstrações matemáticas. Ao longo de todo o curso de Licenciatura em Matemática, você foi apresentado a diversas disciplinas teóricas e, com toda a certeza, essas disciplinas o prepararam para analisar, justificar e interpretar os mais diversos resultados da Matemática. Temos quase certeza de que muitas vezes você se questionou se tudo isso era realmente necessário, se demonstrar a validade de proposições e teoremas era mesmo importante. Pois bem, em Matemática demonstrar é preciso!

Capítulo 1

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Hoje, muito se fala, quase que sem critérios ou discussões, que devemos contextualizar a Matemática. Mas acreditamos ser importante lembrar que, conforme diz Gilberto Garbi em seu artigo Decorar é preciso Demonstrar também é publicado na RPM 68, “a Matemática, embora tenha incontáveis aplicações práticas, é uma ciência abstrata, ou seja, seus objetos de estudos lógico-dedutivos são imateriais.” E completa: “Embora seja possível, em muitos casos, associar (com admirável sucesso) os objetos da Matemática a entes encontráveis no mundo físico, muita coisa importante da Rainha das Ciências não é 'contextualizável' e mesmo assim merece ser estudada.” Na disciplina de Análise Matemática, iremos estudar muitos dos conceitos que foram trabalhados no cálculo sob o ponto de vista lógico-dedutivo, ou seja, iremos apresentar as demonstrações, iremos provar as afirmações que foram feitas anteriormente e que, por diversas razões, não foram demonstradas. Entendemos que demonstrar é preciso sim! Mas o que significa demonstrar? O que entendemos por demonstrar? Inicialmente, vamos considerar uma afirmação, que julgamos ser verdadeira. Observe que “julgar verdadeira” não significa automaticamente em “ser verdadeira”. A história da matemática apresenta vários exemplos de afirmações, conjecturas, que por muito tempo foram “julgadas como verdadeiras” até que se mostraram falsas. Uma demonstração tem por objetivo, segundo Ripoll (2011), “dar condições para que tanto a pessoa que intuiu a conjectura, como qualquer outra pessoa, convença-se de modo indubitável da sua veracidade ou, se for o caso, da sua falsidade”. Para Domingues (2003), uma demonstração

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matemática é “uma sucessão articulada de raciocínios lógicos que permite mostrar que um resultado proposto é consequência de princípios previamente fixados e de proposições já estabelecidas”. Sendo assim, quando falamos em demonstrações matemáticas, não estamos considerando apenas apresentar exemplos. Quando demonstramos uma proposição, estamos apresentando um argumento lógico e matematicamente válido e verdadeiro, com base em todos os conceitos, afirmações e demonstrações apresentadas anteriormente.

1.2 Proposições, quantificadores e negação de sentenças Para estudarmos Matemática e, mais precisamente, Análise Matemática, é necessário estarmos familiarizados com alguns termos, conceitos e regras da Lógica Matemática. Vamos agora apresentar alguns exemplos e mostrar a utilização de algumas destas regras básicas da Lógica Matemática. Por proposição entendemos qualquer afirmação, qualquer sentença ou frase à qual podemos atribuir valor lógico, verdadeiro ou falso. São exemplos de proposições: a. 2+7=9 b. 5 + 13 < 4 c. Todo número primo diferente de dois é ímpar. d. Existem números inteiros que são irracionais.

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De acordo com o princípio do terceiro excluído, toda proposição assume um dos dois valores lógicos: verdadeiro ou falso, não sendo possível uma terceira alternativa. Já o princípio da não contradição diz que se uma proposição for verdadeira, sua negação não pode ser verdadeira e portanto, será falsa. A negação de uma proposição p é representada por ~p e, como já dissemos, quando p é verdadeira, ~p é falsa. Em Álgebra I, você foi apresentado à Lógica Matemática e, com certeza, estudou os conectivos lógicos e suas regras, bem como a tabela verdade de cada conectivo. A tabela verdade da negação é a seguinte: p ~p V F F V Já o conectivo condicional entre duas sentenças, p e q, é representado por “p → q” e pode ser lido como: ÂÂSe p então q; ÂÂp somente se q; ÂÂp só se q; ÂÂSe p, significa que q; ÂÂp é condição suficiente para q; ÂÂq é condição necessária para p;

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ÂÂp acarreta q. A tabela verdade de p → q é dada por: p V V F F

q V F V F

p→q V F V V

Na condicional p → q, temos que: ÂÂp é denominado o antecedente da condicional; ÂÂq é denominado o consequente da condicional; ÂÂa sentença q → p é a recíproca da sentença p → q. ÂÂ~q → ~p é a contrapositiva de p → q. Exemplo: Considere a afirmação: “Se x é par, então x² é par” Na frase condicional dada acima, podemos observar que a sentença “x é par” é o antecedente da afirmação, enquanto que o consequente é “x2 é par”. A recíproca é “se x2 é par, então x é par”. E a contrapositiva é “se x2 não é par, então x não é par”, o que matematicamente tem o mesmo significado de “se x2 é ímpar, então x é ímpar”. Neste momento, cabe observar que, em Lógica (e na disciplina de Álgebra I), vimos que:

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ÂÂFrases do tipo “x é par”, “x2 é ímpar” ou mesmo “se x é par, então x² é par” não são proposições. Tais frases são sentenças abertas, normalmente indicadas por p(x) ou q(x). As sentenças abertas assumem valor lógico verdadeiro ou falso de acordo com o valor que a variável x passa a ter, considerando um conjunto universo adequado. Nesse caso, se acrescentarmos o quantificador universal e escrevermos “para todo x inteiro, se x é par, então x2 é par” passamos a ter uma proposição, uma sentença fechada. ÂÂQuando provamos que a condicional A→B é uma tautologia, passamos a usar o símbolo ⇒ e dizemos que A implica logicamente em B. Em Matemática, é muito comum utilizar o símbolo ⇒ com o mesmo significado de →. Assim, ao longo da disciplina de Análise Matemática, vamos considerar a utilização do símbolo da implicação sempre que nos referirmos a proposições e sentenças condicionais. Vamos também considerar que se A⇒B então A é a hipótese da condicional e B é a tese. Assim, sempre que for necessário demonstrar uma implicação, ou condicional, partiremos do princípio de que todas as sentenças que compõem a hipótese devem ser verdadeiras e devemos concluir que a tese também é verdadeira, caso contrário, conforme a tabela verdade da condicional, se a hipótese for verdadeira e a tese falsa, temos uma afirmação falsa. Outro conectivo lógico que aparece com muita frequência nos textos matemáticos é o bi-condicional; esse conectivo é resultante da conjunção da condicional p → q com a sua

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recíproca q → p e é representado por p ↔ q e, pode ser lido como: ÂÂp se, e somente se q; ÂÂp se, e só se q; ÂÂp é condição necessária e suficiente para q. A tabela verdade de p ↔ q é: p V V F F

q V F V F

p↔q V F F V

Assim como o condicional, na matemática, o bi-condicional é utilizado como sinônimo da equivalência lógica. Assim, você irá perceber que frequentemente usaremos o símbolo ⇔ para fazer referência ao bi-condicional. Com relação aos quantificadores, é importante observar a simbologia que iremos utilizar ao longo do livro e dos nossos estudos em Análise, bem como a negação de frases quantificadas. ÂÂQuantificador Universal, ∀, leia-se “para todo”, “para qualquer um”, “qualquer que seja”. ÂÂExistencial, ∃, leia-se “existe” ou “existe pelo menos um”. Em muitos textos matemáticos, encontramos a seguinte

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variação do quantificador existencial, ∃!, que pode ser lido como “existe um único”. Se tivermos uma sentença do tipo [∀ x, p(x)] a mesma será verdadeira somente se o conjunto verdade de p(x) for igual ao conjunto universo, caso contrário a sentença será falsa. Se a sentença for da forma [∃x, p(x)] ela será verdadeira somente se o conjunto verdade de p(x) for diferente do conjunto vazio, caso contrário a sentença será falsa. Para negar afirmações em que aparecem os quantificadores ∀ e ∃, utilizamos as seguintes regras: ÂÂ~[∀ x, p(x)] é equivalente a ∃ x, ~p(x) ÂÂ~[∃x, p(x)] é equivalente a ∀ x, ~p(x) Observe os seguintes exemplos: a. Todo número primo é ímpar. Essa sentença pode ser representada na forma simbólica por ∀ x, se x é primo, então x é ímpar. A negação de uma sentença do tipo “se.. então...” leva em consideração o fato de que a expressão p→q pode ser escrita de forma equivalente como ~p∨q. E, assim, temos ~(p→q)⇔~(~p∨q)⇔p∧~q que é a negação da condicional. Então, de acordo com a regra de negação do universal, temos ∃x, x é primo e x é par e a sentença original negada será Existe número primo que é par.

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b. Existe número inteiro que é positivo. Essa frase pode ser reescrita na forma ∃x, x∈ℤ e x>0. Nesse caso, vamos lembrar que a negação da sentença da forma p∧q é ~(p∧q)⇔~p∨~q e, nesse caso, ainda vamos observar que ~p∨~q⇔p→~q. Assim, a negação da expressão ∃x, x∈ℤ e x>0 será ∀ x, se x∈ℤ então x≤0. Ou, em linguagem corrente, Todo número inteiro é menor ou igual a zero.

1.3 Teoremas, lemas, corolários e técnicas de demonstração Em matemática, consideramos que uma proposição verdadeira pode receber diversas denominações. Uma das mais conhecidas é teorema. Mas termos como axiomas, lemas, proposições e corolários também são usados. Vamos aqui considerar que, de acordo com Ripoll (2011), “axiomas e postulados constituem os alicerces de cada teoria matemática, e, por serem seu ponto de partida, são indemonstráveis. São aceitos sem qualquer demonstração.” Assim, de forma mais clara, teoremas, lemas, corolários e proposições são considerados afirmações verdadeiras e que necessitam de uma demonstração para atestar sua validade, já os axiomas e postulados serão apresentados sem demonstração. De forma geral, ainda são feitas algumas diferenciações entre os termos, vejamos: a. Teorema: proposição verdadeira que está escrita, ou pode ser escrito na forma “P implica em Q”, ou sim-

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bolicamente, P⇒Q. Muitos autores reservam o termo teorema para as proposições consideradas mais importantes; b. Corolário: considerado um teorema que decorre, ou é consequência imediata de um teorema; c. Lema: proposição que prepara ou indica resultados que serão utilizados na demonstração de um teorema. Para provar que um teorema, lema, corolário ou proposição são verdadeiros, podemos utilizar uma das técnicas de demonstração que iremos mostrar agora. Com o objetivo de facilitar a compreensão, iremos apresentar e demonstrar proposições que explicitam o uso de cada uma das técnicas. Demonstração direta: primeiramente consideramos a proposição na forma P⇒Q. Quando uma sentença está escrita na forma P⇒Q, temos que P, afirmação denominada hipótese, deve ser condição suficiente para que Q, denominada tese, seja verdadeira. Observe que para provarmos a validade de P⇒Q, de forma direta, devemos supor que a hipótese P é verdadeira e, utilizando axiomas ou resultados que já conhecemos, tentamos obter como conclusão a tese. Para exemplificar a técnica, vamos provar a seguinte proposição: “A soma de dois inteiros pares é um inteiro par.” Antes de começarmos a demonstração, vamos escrever a afirmação na forma de implicação e usando símbolos. Vejamos: ∀ x,y ∈ ℤ se x e y são pares então x + y é um inteiro par.

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Uma vez escrita nessa forma, observe que fica mais claro indicar a hipótese e a tese da proposição. A hipótese, ou, nesse caso, as hipóteses são x e y, são números inteiros e pares. Isso indica que na demonstração vamos considerar que é verdade o fato de que x e y são inteiros e pares. Para começar a demonstração, vamos iniciar supondo essa verdade fundamental. E a tese que devemos provar é que x + y também é um número inteiro e par. Importante salientar que, para chegarmos à conclusão de que x+y é um inteiro par, é fundamental que x e y sejam considerados inteiros pares. A hipótese deve ser suposta válida para que possamos provar a tese. Vamos agora à demonstração. “A soma de dois inteiros pares é um inteiro par.” Demonstração: Considere inicialmente que x e y são números inteiros pares. Sendo assim, existem números inteiros m e n tais que x=2m e y=2n. Cabe lembrar que a operação de adição é fechada no conjunto dos números inteiros, ou seja, se x e y são inteiros, a soma x+y também é um número inteiro. Segue que x+y=2m+2n=2(m+n) que é um número par. Logo, se x e y são inteiros pares, x+y é um inteiro par. C.q.d. Como você já deve ter visto antes, o final da demonstração pode ser indicado pela expressão C.q.d., que significa, como queríamos demonstrar.

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Demonstração por contraposição: quando necessitamos provar a validade de um teorema ou proposição na forma condicional, p → q, podemos utilizar o fato de que a condicional p → q é logicamente equivalente a sua contraposição, ~q → ~p. Para fazer uma demonstração, aplicando a técnica da contraposição, consideramos ~q como hipótese e admitimos ~p como tese. Vamos observar a seguir a demonstração da seguinte afirmação: “Se x² é par, então x é par.” A proposição será demonstrada de acordo com a técnica contrapositiva; para tanto, escreveremos a contrapositiva da condicional, observe: “Se x é ímpar, então x² é ímpar.” Uma vez escrita a contrapositiva, iniciamos a sua demonstração. Observe que a demonstração da contraposição será feita de forma direta. Demonstração: Suponhamos que x é ímpar. Assim, x pode ser escrito na forma x=2m+1 para algum inteiro m. Agora, temos que: x2 = (2m+1)2 = 4m2 + 4m + 1 = 2(2m2 + 2m) +1. Logo, concluímos que x2 também é um ímpar. C.q.d. Demonstração por redução ao absurdo: nesta técnica, provamos que a negação da afirmação é falsa. Assim, quan-

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do queremos provar que a sentença P é verdadeira utilizando a técnica de redução ao absurdo, provamos que a negação de P, ~P, é falsa. Observe que, se provamos que ~P é uma sentença é falsa, imediatamente concluímos que P deve ser verdadeira. De modo geral, consideramos a negação da tese como uma hipótese adicional e chegamos a uma contradição, ou seja, uma sentença que sempre é falsa. Essa contradição é denominada absurdo. Para exemplificar a técnica, vamos provar que: “Todo número primo maior do que 2 é ímpar.” Demonstração: Para provar a afirmação por absurdo, suponhamos que a sua negação é verdadeira, ou seja, suponhamos ser verdade que: “Existe número primo maior do que 2 que é par.” Seja x o número primo maior do que 2 que é par. Então x será um múltiplo de 2 e, consequentemente será divisível por 2. Assim, x possui como divisores os inteiros 1, x e 2. O que é absurdo, pois, se x é primo, seus únicos divisores devem ser 1 e x. Assim, provamos que todo número primo maior do que 2 deve ser ímpar. C.q.d. Demonstração por contraexemplo: a demonstração por contraexemplo não é exatamente uma técnica de demonstração. Na realidade, o contraexemplo é utilizado sempre que é de nosso interesse mostrar que uma sentença do tipo [∀ x, p(x)] é falsa. Nesse caso, mostramos que a sua

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negação [∃x, ~p(x)], é verdadeira, isso significa encontrar algum elemento do universo que satisfaz ~p(x). Esse elemento é denominado contraexemplo. Observe que a afirmação “todo número inteiro é par” é falsa pois existe um número inteiro que é ímpar, a saber, 3. A sentença, ∀ x ∈ ℝ, x² ≥ x, também é falsa, pois existe um número real tal que x2 < x. Observe que se x = ½ então x2 = ¼ e que ¼ < ½. Demonstração por vacuidade: sempre que apresentamos uma proposição em que não existem elementos satisfazendo a hipótese, consideramos que a proposição é verdadeira “por vacuidade”. Observe a demonstração abaixo que ilustra perfeitamente esta situação. “Prove que ∅⊆A, para qualquer conjunto A.” Queremos provar que o conjunto vazio é um subconjunto de um conjunto qualquer; assim, pela definição de subconjunto, queremos mostrar que se x∈∅, então x∈A, seja qual for o conjunto A. Mas observe que não é possível apresentar x com a propriedade de ser elemento do conjunto vazio, pois, nesse caso, o conjunto vazio não seria mais vazio. Sendo assim, por vacuidade, temos que ∅⊆A, para qualquer conjunto A. C.q.d. Demonstração de proposições com bicondicionais: quando nos deparamos com proposições do tipo “se e somente se” vamos levar em consideração o fato de que a bicondicional é a conjunção da condicional com sua recíproca. Nesse tipo de demonstração, provamos a afirmação em duas etapas, a ida, p→q, e a volta, q→p. Como a demonstração de

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que cada condicional é feita separadamente, para cada uma das demonstrações utilizamos a técnica que é mais conveniente. Observe a demonstração apresentada abaixo. “O produto de dois inteiros é ímpar se, e somente se, cada um dos inteiros é ímpar.” Inicialmente, consideremos a e b dois números inteiros. Agora, provamos que: (→) Se o produto ab é ímpar, então a e b são ímpares. A condicional será demonstrada utilizando a contraposição. Ou seja, provaremos que, se a ou b são pares, então o produto ab é par. Sem perda de generalidade consideremos que a é par. Assim, existe um número inteiro m tal que a=2m. Assim, temos que ab=2mb que é um número par. (←) Se a e b são ímpares então o produto ab é impar. A recíproca será provada de forma direta, ou seja, considerando que a e b são ímpares, temos que existem m e n inteiros tais que a=2m+1 e b=2n+1. Sendo assim, temos que ab=(2m+1)(2n+1)=4mn+2m+2n+1=2(2mn+m+n)+1 que é um inteiro ímpar. C.q.d.

Recapitulando Neste capítulo, você foi convidado a relembrar algumas regras da Lógica que você conheceu no início de seu curso, na disciplina de Álgebra I. Você também foi apresentado às di-

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versas técnicas de demonstrações que irá utilizar ao longo da disciplina de Análise Matemática I para provar a validade de proposições e teoremas.

Dica de Leitura Para maiores informações sobre o que foi abordado neste capítulo, sugerimos a leitura dos seguintes artigos selecionados da Revista do Professor de Matemática: 1) Somos todos mentirosos? Gilda de La Roque Palis e Iaci Malta, RPM37; 2) Decorar é preciso. Demonstrar também é. Gilberto Garbi, RPM68.

Referências ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. revisada e ampliada. São Paulo: Blucher, 2006. DOMINGUES, Hygino H.; IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna: volume único. São Paulo: Atual, 2003. FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Análise I. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. GARBI, Gilberto. Decorar é preciso. Demonstrar também é. Revista do Professor de Matemática no. 68, Rio de Janeiro, p. 1-6, 2009.

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PALIS, Gilda de La Roque e MALTA, Iaci. Somos todos mentirosos? Revista do Professor de Matemática no. 37, Rio de Janeiro, p. 1-10, 1998. RIPOLL, Jaime Bruck; RIPOLL, Cydara Cavedon; SILVEIRA, José Francisco Porto da. Números racionais, reais e complexos. 2. ed. revisada e ampliada. Porto alegre: Editora UFRGS, 2011.

Atividades 1) Enuncie a recíproca da seguinte proposição: “Se a função real de variável real é contínua em um ponto, então ela é diferenciável nesse ponto.” 2) Enuncie a contrapositiva da seguinte relação: “Sejam A, B e C pontos distintos de um plano. Se esses pontos não são colineares, então AB 4. b) Todo número inteiro é par. c) Existe número inteiro que é primo. 4) Mostre que a lei do cancelamento não é válida para conjuntos, ou seja, mostre que A∪B=A∪C⇒B = C, é falsa, apresentando um contraexemplo.

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5) Prove as seguintes proposições, utilizando qualquer uma das técnicas apresentadas no capítulo: a) Mostrar que o produto de dois inteiros ímpares é um inteiro ímpar. b) A soma de dois inteiros ímpares é um inteiro par.

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Capítulo

2

Números Naturais e Inteiros

1  Mestre em Álgebra pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul, UFRGS, professora da Universidade do Vale dos Sinos, Unisinos.

Capítulo 2

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Introdução No capítulo que iniciamos agora, vamos apresentar algumas propriedades dos números Naturais e Inteiros que serão utilizadas ao longo do curso. Para o conjunto dos números Naturais, vamos considerar que número natural e sucessor são conceitos primitivos e os axiomas que tomamos como base são os de Peano. No conjunto dos números inteiros, vamos relembrar os conceitos de divisibilidade e de número primo, já trabalhados em Álgebra I. Consideramos que tais conceitos e propriedades servem de alicerce para a construção dos números racionais e irracionais que veremos no próximo capítulo.

2.1 Números Naturais O processo de contagem consiste em associar os objetos a serem contados com os elementos do conjunto {1,2,3,4,5,...}. Tal conjunto é denominado conjunto dos números Naturais e é representado pelo símbolo ℕ. Ao longo da história, os matemáticos acabaram por se convencer de que as teorias matemáticas deveriam se fundamentar nos números naturais. Leopold Kronecker (1823-1891) considerava que Deus criou os números naturais e que todo o resto era criação do homem, deixando claro a importância dos números naturais e que considerava que eles eram de fato a base para toda fundamentação matemática. Georg Cantor (1845-1918) desenvolveu a noção, inicialmente apresentada por Richard Dedekind (1831-1916), de que seria possível

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construir o conjunto dos números naturais a partir da teoria dos conjuntos. Já o matemático italiano Giuseppe Peano (18581932) apresentou uma construção para os números naturais, tendo como base uma lista de regras, mais precisamente postulados e axiomas. Considerando que tudo o que se sabe sobre números naturais pode ser deduzido e demonstrado como consequência desses axiomas, vamos descrever o conjunto dos números naturais, ℕ ={1,2,3,4,5...}, de acordo com os Axiomas de Peano. São dados, como objetos não definidos, um conjunto ℕ, cujos elementos são denominados números naturais, e uma função s: ℕ → ℕ. Para cada n∈ℕ, o número s(n), valor que a função s assume no ponto n, é chamado de o sucessor de n. A função s satisfaz os seguintes axiomas, conhecidos como Axiomas de Peano: P1: A função s:ℕ → ℕ é injetora, ou seja, dados m,n ∈ ℕ temos que s(m)=s(n)⇒m=n. Em outros termos, dois números naturais que tem o mesmo sucessor são iguais. P2: O conjunto ℕ-s(ℕ) consta de um só elemento. Isso significa que existe um único número natural que não é sucessor de nenhum outro número natural. Tal número se chama “um” e é representado pelo símbolo 1. P3: Se X ⊂ ℕ é um subconjunto tal que 1∈ X e, para todo n∈ X tem-se também s(n)∈ X, então X= ℕ (Princípio de Indução). De acordo com os Axiomas de Peano é possível concluir que todo número natural tem um único sucessor e, se n e n,

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são naturais tais que n, é o sucessor de n, então não existe nenhum natural entre n e n,. Observe ainda que também é verdade que números naturais diferentes tem sucessores diferentes e que o número natural 1 é o único que não é sucessor de nenhum outro. Vale ainda dizer que o sucessor de 1 é denominado “dois” e é representado pelo símbolo 2, já o sucessor de 2 é o “três”, representado por 3, e assim por diante. Lembre-se também de que podemos dizer que 1 é o antecessor de 2 e que 2 é o antecessor de 3 e assim, sucessivamente. O axioma P3 é conhecido como Princípio da Indução. Quando tal axioma é utilizado em uma demonstração, dizemos que estamos fazendo uma demonstração por indução. A técnica de demonstração por indução foi amplamente discutida no Capítulo 10 do livro de Álgebra I. Também no livro de Álgebra I, apresentamos a noção de elemento mínimo e máximo de um conjunto, bem como o princípio da boa ordenação, porém aqui apresentaremos esses assuntos com mais rigor.

2.1.1 Elemento mínimo e máximo de um conjunto Definição: Seja X um conjunto de números naturais. Chamase elemento mínimo de X, ou menor elemento de X, um elemento p∈ X tal que p≤n, para todo n∈ X. ℕ.

Exemplo: 1 é o elemento mínimo ou o menor elemento de

Teorema da Unicidade do Elemento Mínimo: Se p é o elemento mínimo de X, então este elemento é único.

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Demonstração: Suponhamos que p e q sejam os menores elementos de X⊂ℕ. Então, de acordo com a definição do menor elemento temos: i) p∈ X e p≤q, pois p é o menor elemento de X; ii) q∈ X e q≤p, pois q é o menor elemento de X. Temos que se p≤q e q≤p então pela propriedade antissimétrica da relação de ordem (veja em Álgebra I, Capítulo 6), p=q. Logo, o menor elemento de X é único. Definição: Seja X um conjunto de números naturais. Chama-se elemento máximo de X, ou maior elemento de X um elemento p∈ X tal que n≤p, para todo n∈ X. Observe que o conjunto dos números naturais, não possui elemento máximo, pois para qualquer elemento n∈ℕ, temos um elemento que será maior do que n, a saber, s(n)=n+1, ou o sucessor de n. Assim como o elemento mínimo é único, o elemento máximo também é único. Teorema da Unicidade do Elemento Máximo: Se p é o elemento máximo de X, então este elemento é único. Demonstração: Ficará a cargo do leitor, como exercício.

2.1.2 Princípio da Boa Ordenação Um resultado muito importante, e que por vezes substitui o princípio de indução, em demonstrações de resultados relativos a números naturais, é conhecido como Princípio da Boa Ordenação.

Capítulo 2

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Princípio da Boa Ordenação: Todo subconjunto não vazio A ⊂ ℕ, possui um elemento mínimo. Demonstração: Observe inicialmente que 1∉A, pois caso ocorra 1 ∈ A nossa demonstração está terminada, já que 1 é o elemento mínimo de ℕ. Sendo assim, temos que 1 ∉ A e vamos considerar o conjunto In  = {p ∈ ℕ | 1 ≤ p ≤ n} = {1, 2, 3,..., n}. Tomemos agora o conjunto X ⊂ ℕ, formado pelos números n ∈ ℕ tais que In ⊂ ℕ – A. Observe que, se um número natural n é elemento de X, teremos como consequência que n e todos os números menores do que n vão pertencer a ℕ – A, ou seja, não serão elementos de A. Com isso posto, temos que se 1∉A, então 1∈X, pois I1 = {1} ⊂ ℕ - A. Vale ainda observar que X≠ℕ, pois X ⊂ ℕ - A e A ≠ ∅ por hipótese. Assim, X cumpre a primeira parte de P3, dos Axiomas de Peano, mas não cumpre a condição de s(n) ∈ X. Isso significa que deve existir algum n ∈ X tal que n+1∉X. Seja a=n+1. Então todos os inteiros desde 1 até n pertencem ao complementar de A, ou seja, 1 até n pertencem a X , enquanto que a=n+1 pertence a A. Dessa maneira, a é o menor elemento do conjunto A, o que demonstra o teorema. Além dos Axiomas de Peano e do Princípio da Boa Ordenação, vamos ainda ver que no conjunto dos números naturais podemos definir a operação de adição e multiplicação.

2.1.3 Adição e multiplicação de Números Naturais A seguir, veremos as definições das operações de adição e multiplicação de acordo com Lima (1999). Importante obser-

26   Análise Matemática I

var que operações são fechadas no conjunto dos números naturais, isto é, quando fazemos a adição ou a multiplicação de dois números naturais, o resultado é também um número natural. No conjunto dos números naturais definimos, a adição, a+b, da seguinte forma: a + b = sb(a) onde sb(a) indica aplicar b vezes a operação de tomar o sucessor, ou seja, a soma do sucessor de a com o sucessor do sucessor de a, b vezes, ou seja, sb(a)=((((((a+1)+1)+1)+1)+1)...). Assim, quando somamos 2 + 3, temos: 2+3=s3(2)=(((2+1)+1)+1)=((3+1)+1)=4+1=5 como o número natural que obtemos a partir de 2 aplicando 3 vezes a operação de tomar o sucessor de 2. Outro exemplo: 3+5 = (((((3+1)+1)+)1)+1)+1)=((((4+1)+1)+1)+1)= (((5+1)+1)+1) = ((6+1)+1)=(7+1)=8. Assim, usando como definitiva a notação de que s(a)=a+1, definimos a adição no conjunto dos números naturais de tal modo que a+1=s(a) e a+s(b)=s(a+b). De acordo com a segunda igualdade, temos que a+(b+1)=(a+b)+1. As propriedades válidas para a operação de adição no conjunto dos números reais são:

Capítulo 2

  Números Naturais e Inteiros   27

Associatividade: a+(b+c)=(a+b)+c; Comutatividade: a+b=b+a; ÂÂLei do corte: a+b=a+c⇒b=c; ÂÂTricotomia: dados a, b∈ ℕ, exatamente uma das três alternativas seguintes podem ocorrer: ou a=b, ou existe m∈ ℕ tal que a=b+m ou existe n∈ ℕ tal que b=a+n. A demonstração de tais propriedades é feita por indução e não serão apresentadas aqui. Observe que a propriedade da tricotomia nos dá condições de definir uma relação de ordem nos naturais. Sejam a, b ∈ ℕ, escrevemos aa para indicar que “b é maior do que a”. Quando escrevemos a≤b, lemos “a é menor ou igual a b”. A multiplicação de números naturais é definida de modo que a.b é a soma de b parcelas iguais a a. Para a multiplicação, são válidas as seguintes igualdades: a.1=a e a.(b+1)=a.b+a Também para a multiplicação são válidas as propriedades que indicamos abaixo e apresentamos sem demonstração: ÂÂAssociatividade: a.(b.c)=(a.b).c; ÂÂComutatividade: a.b=b.a; ÂÂLei do corte: a.b=a.c⇒b=c;

28   Análise Matemática I

ÂÂDistributividade da multiplicação com relação à adição: a.(b+c)=a.b+a.c. Na disciplina de Álgebra II você foi apresentado a algumas estruturas algébricas importantes. Conforme já foi citado, o conjunto dos números naturais munido da operação de adição é um exemplo de semigrupo comutativo e, com a operação de multiplicação também forma a estrutura de semigrupo comutativo. Neste momento, cabe lembrar que, no conjunto dos números naturais que aqui estamos trabalhando, não consideramos a presença do zero. Tal situação é frequente motivo de discussão entre professores da área de álgebra e análise. Consideramos que, para os algebristas, a presença do zero no conjunto dos números naturais é de extrema importância, principalmente no que diz respeito à maneira como o conjunto dos naturais é abordada, onde cada número natural indica a quantidade de elementos de um conjunto e, assim, o zero indica a quantidade de elementos do conjunto vazio. No estudo da análise, optamos por considerar o conjunto dos naturais sem o zero. Sugerimos a leitura do livro de Álgebra II a título de revisão das estruturas algébricas.

2.2 Números Inteiros Como acabamos de ver, o conjunto dos números naturais {1,2,3,4,5,...} é fechado com relação à adição e à multiplicação, porém o mesmo não ocorre com a operação denominada subtração, ou seja, nem sempre é possível efetuar a-b, pois, caso ocorra b>a, temos que a-b não é mais um número

Capítulo 2

  Números Naturais e Inteiros   29

natural. Para que possamos efetuar a-b, seja qual for o valor de a e de b, é necessário que consideremos um conjunto mais amplo, que inclua o zero e os números negativos. Temos então que considerar o conjunto dos números inteiros: ℤ={...,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...} No conjunto dos números inteiros, definimos as operações de adição e multiplicação e ambas as operações são fechadas em ℤ e satisfazem as seguintes propriedades (conforme já foi apresentado no livro de Álgebra I, Capítulo 6): 1. Com relação à adição, quaisquer inteiros a, b e c, satisfazem: ÂÂPropriedade Comutativa: a + b = b + a ; ÂÂPropriedade Associativa: ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ; ÂÂPropriedade do Elemento Neutro: existe um único elemento inteiro, denominado zero, 0, tal que 0 + a = a + 0 = a, para qualquer a inteiro; ÂÂPropriedade do Elemento Simétrico: para qualquer inteiro a existe um único inteiro, representado por (–a) tal que a + (-a) = -a + a = 0; ÂÂLei do Corte: se a + c = b + c, então a = b. 2. Com relação à multiplicação, quaisquer inteiros a, b e c, satisfazem: ÂÂPropriedade Comutativa: a . b = b . a ;

30   Análise Matemática I

ÂÂPropriedade Associativa: ( a . b ). c = a .( b . c ) ; ÂÂPropriedade do Elemento Neutro: existe um único número inteiro, denominado um, 1, tal que 1.a = a.1 = a, seja qual for o inteiro a. 3. O conjunto dos números inteiros munido das operações de adição e multiplicação ainda satisfaz: ÂÂPropriedade Distributiva: a .( b + c ) = a .b + a . c ; ÂÂ a .0 = 0 , ∀a ∈ ℤ e sui divisores de zero.

– não pos-

Com todas as propriedades acima citadas, o conjunto dos números inteiros com as operações de adição e multiplicação, representado pela terna (ℤ, +, .) é denominado Anel de Integridade. Além disso, em (ℤ, +, .), ainda vale que: ÂÂSe a.b = 1 , então a = 1 e b = 1 ou a = −1 e b = −1. ÂÂLei do corte, para a multiplicação: se a.c = b. c e c ≠ 0, então é válido que a=b. No conjunto dos números inteiros não está definida uma operação de divisão, mas, sim, uma relação de divisibilidade, que já foi apresentada no Capítulo 7 de Álgebra I. Aqui, vamos apenas lembrar que com a relação de divisibilidade definida é possível definirmos também o que são números primos. Para relembrar:

Capítulo 2

  Números Naturais e Inteiros   31

Definição: Sejam a e b inteiros, com a ≠ 0 . Dizemos que a divide b se e somente se existe um inteiro q tal que b = a.q . Quando escrevemos a|b, estamos indicando que a≠0 e que a divide b. Escrevendo a |/ b , indicamos que a≠0 e a não divide b. Definição: Um número inteiro p é denominado número primo se as seguintes propriedades se verificam: i) p≠0; ii) p≠±1; iii) Os únicos divisores de p são ±1 e ±p. Um número inteiro a≠0 e a≠±1 é denominado número composto se tem outros divisores, além dos triviais. Definição: Sejam a e b dois inteiros tais que a≠0 ou b≠0. Chama-se máximo divisor comum de a e b, ou simplesmente, o MDC de a e b, o inteiro positivo d (d>0) que satisfaz as seguintes condições: i) d|a e d|b; ii) Se c|a e se c|b, então c≤d. Pelas condições i e ii, temos que o inteiro d é o maior divisor dentre todos os divisores comuns de a e b, ou o máximo divisor comum de a e b. Notação: mdc(a,b) = d.

32   Análise Matemática I

Teorema 2.1: Se a e b são dois inteiros, sendo a≠0 ou b≠0, então existe e é único o mdc(a,b). Além disso, existem inteiros x e y tais que: mdc(a,b) = ax+by, isto é, o mdc(a,b) é uma combinação linear de a e b. Não vamos apresentar a demonstração desse teorema, pois a mesma está no Capítulo 8 do livro de Álgebra I. Definição: Sejam a e b dois inteiros, de modo que, a≠0 ou b≠0. Diz-se que a e b são primos entre si se, e somente se o mdc(a,b)=1. Veja que sendo a e b primos entre si, então a e b admitem como únicos divisores comuns o 1 e –1. Observe que decorre do teorema anterior que se o mdc (a, b) = 1 então existem inteiros x e y tais que ax+by=1. Observe ainda que a recíproca também é verdadeira, ou seja, se existem x e y inteiros tais que ax+by=1, então o mdc(a,b)=1 e a e b são primos entre si. A demonstração completa dessa afirmação ficará a cargo do leitor, como exercício. Com essas definições e com o teorema citado acima, é possível provar que: Teorema 2.2 (Teorema de Euclides): Se mdc (a, b ) = 1, então a c .

e se o

Demonstração: A demonstração será feita de forma direta. Supondo que e se o mdc (a, b ) = 1, teremos que: a)

⇒ existe inteiro q tal que bc=aq;

b) mdc(a,b)=1⇒ existem inteiros x e y tais que ax+by=1 e, então, é válido que cax+cby=c.

Capítulo 2

  Números Naturais e Inteiros   33

Como consequência, temos que c=cax+cby=cax+aqy= a(cx+qy) e assim provamos que a|c. C.q.d. Teorema 2.3: Se um primo p não divide um inteiro a, então a e p são primos entre si. Demonstração: Para mostrar que a e p são primos entre si, é necessário mostrar que o mdc(p,a)=1. Considere que o número inteiro d é tal que d=mdc(p,a). Nesse caso, pela definição de mdc, temos que d|p e d|a. Mas p é primo, o que significa que d=1 ou d = p ou d= -p. Mas então, como por hipótese p não divide a, não é possível ocorrer d=p ou d=-p. Sendo assim, d=1 e mdc(p,a)=1. C.q.d. Corolário 1: Se p é um primo tal que p|ab, então p|a ou p|b. Demonstração: Suponhamos que p|ab, ou seja, existe inteiro q tal que ab=pq. Sem perda de generalidade, vamos considerar que p não divide a. Nesse caso, pelo teorema 2.3, temos que a e p são primos entre si e o mdc(p,a)=1. Assim, pelo teorema 2.2, de Euclides, temos que p|b. Corolário 2: Se p é um primo tal que p|a2, então p|a. Demonstração: Decorre imediatamente do fato de que a =a.a e do corolário 2. 2

Corolário 3: Se p é um primo tal que p|a1a2a3...an, então existe um índice k, com 1≤k≤n, tal que p|ak.

34   Análise Matemática I

Demonstração: A demonstração desse corolário será feita por indução sobre n. Inicialmente, observe que para n=1 (base de indução) temos que a igualdade é verdadeira, pois p|a1, então existe um índice k, a saber, k=1, tal que p|ak. Nossa hipótese de indução será considerar que, para n>2, é válido que se p divide um produto de n-1 fatores, p|a1a2a3... an-1, então existe um índice k, 1≤k≤n-1 tal que p|ak. Assim, temos que provar que se p divide um produto de n fatores, p|a1a2a3...an, então existe algum índice k, tal que p|ak. Observe que pelo corolário 1, se p|a1a2a3...an, então p| a1a2a3...an-1 ou p|an. Caso seja verdade que p|an, a demonstração está pronta, pois basta tomar k=n. Caso p não divida an, então é verdade que p| a1a2a3...an-1, mas então, pela hipótese de indução, temos que existe um índice k, 1≤k≤n-1 tal que p|ak. Logo, seja qual for a situação, p divide um dos fatores inteiros a1, a2, a3,...,an. Corolário 4: Se os inteiros p e a1, a2, a3,...,an são todos primos e se p|a1a2a3...an, então existe um índice k, com 1≤k≤n, tal que p=ak. A demonstração desse corolário fica a cargo do leitor, como exercício. Teorema 2.4: Todo inteiro composto possui um divisor primo. Demonstração: Antes de iniciarmos a demonstração desse teorema, vamos lembrar que um número inteiro a≠0 e a≠±1

Capítulo 2

  Números Naturais e Inteiros   35

é denominado número composto se tem outros divisores, além dos triviais. Vamos também considerar o caso em que o número composto é positivo. Tomemos o conjunto, A, dos números inteiros positivos que são divisores não triviais do inteiro composto a. Temos então que A={x∈ℤ+*| x|a e 1 0 e a < 0. Observe:

Capítulo 3

   Números Racionais e Irracionais: Reais    65

i) Se a = 0, temos que | 0 |2 =| 0 | . | 0 |= 0.0 = 0 2 = 0 ; 2

ii) Se a > 0, temos que a =| a | a |= a.a = a 2 ; iii) Se a < 0, temos que 2

Concluímos assim que, de fato, a = a 2 para qualquer real a. 3) − a = a A demonstração dessa propriedade fica a cargo do leitor, como exercício. 4) a ≥ a A demonstração desta propriedade fica a cargo do leitor, como exercício. Para quaisquer que sejam os reais a e b, são válidas as seguintes propriedades: 5) Demonstração: Novamente, vamos considerar três possibilidades: ab = 0, ab > 0 e ab < 0. Observe: i) Se ab = 0, então a = 0 ou b = 0. Vamos considerar, sem perda de generalidade que a = 0: Assim, temos:

;

66   Análise Matemática I

ii) Se ab > 0, então uma das duas condições ocorre: (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0); Assim, se a > 0 e b > 0, temos:

Se a < 0 e b 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). Sem perda de generalidade, vamos considerar que a > 0 e b < 0: Assim, se a > 0 e b < 0, temos:

6) | a + b |≤ | a | + | b | Desigualdade Triangular Demonstração: Para provar a validade da desigualdade triangular, vamos considerar as propriedades que já provamos:

Capítulo 3

   Números Racionais e Irracionais: Reais    67

| a + b |2 = (a + b)2 | a + b |2 = a2 + 2 ab + b2 . | a + b |2 =| a |2 +2 ab+ | b |2 | a + b |2 =| a |2 +2 ab+ | b |2 ≤| a |2 + | 2 ab | + | b |2 | a + b |2 ≤| a |2 + | 2 ab | + | b |2 =| a |2 +2 | a || b | + | b |2 = (| a | + | b |)2 | a + b |2 ≤ (| a | + | b |)2 | a + b |≤| a | + | b |. 7) | a − b |≤ | a | + | b | A demonstração desta propriedade fica como exercício. 8) | a | − | b |≤ | a − b | Demonstração: Observe que | a |=| a − b + b |=| (a − b) + b |≤| a − b | + | b | e então obtemos | a | − | b |≤ | a − b | . 9) | a | − | b |≤ | a + b | A demonstração fica a cargo do leitor. 10) | b | − | a |≤ | a + b | A demonstração fica a cargo do leitor. 11) | b | − | a |≤ | a − b | A demonstração fica a cargo do leitor.

68   Análise Matemática I

Recapitulando No terceiro capítulo deste livro, você foi apresentado a diversas propriedades do corpo ordenado dos números reais, conjunto que será nosso objeto de estudo ao longo da disciplina. Você pode observar que os números racionais podem ser descritos como frações ordinárias ou decimais, finitos ou infinitos. Viu a demonstração de que é um número irracional e que, a partir de um número irracional, podemos apresentar uma infinidade de outros irracionais. Descreveu o valor absoluto como intervalos na reta real e conheceu as desigualdades de Bernoulli e triangular.

Dica de Leitura Para maiores informações sobre o assunto números inteiros e suas propriedades, sugiro a leitura dos seguintes artigos selecionados da Revista do Professor de Matemática: 1. As pirâmides do Egito e a razão áurea, José Cloves Verde saraiva – RPM48; 2. Eudoxo, Dedekind, números reais e ensino de matemática, Geraldo Ávila – RPM07; 3. Os paradoxos de Zenão, Geraldo Ávila – RPM39; 4. Identificando números irracionais através de polinômios, Antonio Carlos Tamarozzi – RPM42.

Capítulo 3

   Números Racionais e Irracionais: Reais    69

Referências ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2006. DOMINGUES, Hygino H.; IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna: volume único. São Paulo: Atual, 2003. LIMA, Elon Lages. Curso de Análise. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. LIMA, Elon Lages et al. Matemática do Ensino Médio Volume 1. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. NIVEN, Ivan Morton. Números: racionais e irracionais. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1984. RIPOLL, Jaime Bruck; RIPOLL, Cydara Cavedon; SILVEIRA, José Francisco Porto da. Números racionais, reais e complexos. Porto alegre: Editora UFRGS, 2011.

Atividades p

1) Mostre que todo número racional, na forma q , com p e q inteiros, pode ser escrito de infinitas maneiras. 1 2) Mostre que 0, 499999... = 0, 5 = . 2 3) Mostre que são verdadeiras as seguintes afirmações:

70   Análise Matemática I

a) Prove que o número é um número irracional para qualquer que seja o número primo p>1. b) Seja n o número natural tal que n=pq com p e q números primos distintos. Então o número é irracional. c) Seja n o número natural tal que o número irracional. Então o número é irracional.

é

d) Seja um número irracional qualquer e r um número racional diferente de zero. Então, os números são irracionais. 4) Marque com V as alternativas verdadeiras e com F as falsas, justificando a sua resposta. a)

é irracional.

b) A adição de dois números irracionais quaisquer é sempre um irracional. c) O produto de um racional não nulo com um irracional é um irracional. a+b d) Se a e b são números irracionais, então é irra2 cional. 5) Prove as propriedades do valor absoluto que foram indicadas no texto: a) Propriedade 3:

, −a = a ;

b) Propriedade 4:

, a ≥a ;

Capítulo 3

   Números Racionais e Irracionais: Reais    71

c) Propriedade 7:

, | a − b |≤ | a | + | b | ;

d) Propriedade 9:

, | a | − | b |≤ | a + b | ;

e) Propriedade 10:

, | b | − | a |≤ | a + b | ;

f) Propriedade 11:

, | b | − | a |≤ | a − b | .

Ana Brunet1

Capítulo

4

Conjuntos Finitos e Infinitos, Enumeráveis e não Enumeráveis

1  Licenciada e mestre em Matemática (UFRGS), docente da ULBRA.

Capítulo 4

   Conjuntos Finitos e Infinitos, Enumeráveis e...    73

Introdução Os matemáticos Georg Cantor (1845-1918) e Weierstrass (1815-1897) foram os mentores da teoria apresentada neste capítulo. Suas ideias inovadoras fundamentaram a Análise Matemática. Apresentaremos a formalização da ideia de conjuntos infinitos e enumeráveis, bem como algumas propriedades.

4.1 Conjuntos finitos e infinitos Intuitivamente, podemos pensar que um conjunto é finito quando é possível contar todos os seus elementos até o último. De forma complementar, um conjunto é infinito quando sempre tem mais um elemento e não se tem o último. Vamos formalizar essas ideias. Para tanto, lembremos o conjunto In, definido no Capítulo 2 por: In = {p ε ℕ| 1 < p < n}. Definição: Dizemos que um conjunto X é finito quando é vazio ou quando existe ao menos uma relação biunívoca entre X e In, para algum n natural. Ou seja, X é finito quando é vazio ou quando existem ℕ e uma bijeção Por exemplo, é possível estabelecer uma relação biunívoca entre os capítulos anteriores a este, deste livro, com o conjunto I3. De fato, podemos associar o conjunto X {preliminares de lógica, números naturais e inteiros, números racionais e irracionais: reais} com I3 = {1, 2, 3}:

74   Análise Matemática I

Embora baste exibir apenas uma relação biunívoca entre os conjuntos para garantir que é finito, observamos que essa associação pode não ser única. No exemplo, também podemos associar o conjunto X com I3 de outros modos, como, por exemplo:

Quando um conjunto X é finito, podemos associar cada um de seus elementos com um único elemento de In e vice e versa. Assim, podemos escrever . Dizemos que a função f é uma contagem do conjunto X e o número n é o número de elementos ou número cardinal do conjunto finito X. Teorema 4.1: Sejam X e Y dois conjuntos disjuntos e finitos. Então Z = X U Y é finito e possui número de elementos igual à soma dos números de elementos de X e Y. Demonstração: Sejam X e Y conjuntos finitos com n e m elementos respectivamente. Então, podemos representar X e Y por:

Capítulo 4

Tomamos

   Conjuntos Finitos e Infinitos, Enumeráveis e...    75

dada por:

que é uma bijeção, pois X e Y são disjuntos. Como foi possível estabelecer bijeção com In+m, o número de elementos de Z é n + m. C.q.d. Definição: Dizemos que um conjunto X é infinito quando não for finito. A partir dessa definição para conjuntos infinitos, Lima (p. 6) verifica a definição de Weierstrass para conjuntos infinitos a qual escrevemos a seguir em linguagem adaptada. Definição (de Weierstrass): Dizemos que um conjunto X é infinito quando existe ao menos uma relação biunívoca entre X e um de seus subconjuntos próprios. Teorema 4.2: O conjunto dos naturais é infinito. Demonstração: A relação dada por associa a cada natural n o número m = 2n que é um número natural par, pois ℕ é fechado para a operação de multiplicação e o resto da divisão por 2 de m = 2n é zero. Por outro lado, dado qualquer natural par m, sempre é possível associar o natural n dado pelo quociente entre m e 2 cuja divisão possui resto zero.

76   Análise Matemática I

Assim, f é uma bijeção entre e o conjunto dos naturais pares que é um de seus subconjuntos próprios. Portanto, ℕ é infinito. C.q.d. O diagrama ilustra a situação do argumento apresentado na demonstração.

4.2 Conjuntos enumeráveis e não enumeráveis Na segunda metade do século XIX, Cantor trabalhou no estudo dos conjuntos com infinitos elementos. Seus resultados foram de fundamental importância para a Análise Matemática. Baseou-se na ideia de correspondência biunívoca para estabelecer um critério para relacionar as quantidades de elementos entre conjuntos infinitos. Ou seja, estendeu a ideia algébrica de que se existe relação biunívoca entre dois conjuntos finitos, então esses conjuntos possuem mesma quantidade de elementos. Definição: Dizemos que um conjunto é enumerável quando existe ao menos uma bijeção entre ele e um conjunto de números naturais.

Capítulo 4

   Conjuntos Finitos e Infinitos, Enumeráveis e...    77

Então, para mostrarmos que um conjunto X é enumerável, basta exibir uma bijeção entre X e Y . Vamos, agora, mostrar que alguns conjuntos conhecidos são enumeráveis e algumas propriedades de conjuntos enumeráveis. Teorema 4.3: Todo conjunto finito é enumerável. Demonstração: Seja X um conjunto finito. Se X é vazio, é claro que é enumerável. Se X não é vazio, então, por definição, existe ao menos uma bijeção f entre In e X. Com isso, X satisfaz a definição de enumerável. C.q.d. Teorema 4.4: O conjunto dos números inteiros é enumerável. Demonstração: Podemos tomar C.q.d. O diagrama também evidencia a bijeção dada na demonstração do teorema.

78   Análise Matemática I

O próximo teorema é menos intuitivo, pois parece que o conjunto dos números racionais é "bem maior" do que o conjunto dos naturais. Porém, Cantor nos evidencia uma relação biunívoca entre esses conjuntos. Teorema 4.5: O conjunto dos números racionais é enumerável. Demonstração: (de Cantor) Vamos considerar os racionais na forma de fração. Ou seja:

Cantor dispôs os elementos desse conjunto em uma tabela.

As flechas indicam a contagem. Observe que todos os racionais estão nessa tabela, mas com repetição. Então, basta não contar novamente aqueles que já foram contados. Assim, Cantor estabeleceu uma relação biunívoca entre os racionais e os naturais. Evidencia, assim a cardinalidade zero dos racionais. C.q.d.

Capítulo 4

   Conjuntos Finitos e Infinitos, Enumeráveis e...    79

Cabe observar que a relação entre os conjuntos é de inclusão, ou seja, o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos racionais. A relação de ordem "maior que" ou "menor que" procede entre elementos de conjuntos que são corpos ordenados, bem como de seus subconjuntos. O próximo teorema evidencia que conjuntos enumeráveis é uma classificação de conjuntos, ou seja, existem conjuntos que são enumeráveis e existem conjuntos que não são enumeráveis. Novamente, a demonstração foi concebida por Cantor. Teorema 4.6: O conjunto dos números reais é não enumerável. Demonstração: (redução ao absurdo) Suponhamos que o conjunto dos números reais seja enumerável. Então, o intervalo (0, 1) ⊂ ℝ também é enumerável. Podemos considerar os números reais entre 0 e 1 na forma decimal. Além disso, as dízimas exatas podem ser escritas como periódicas. Estas são as formas que iremos adotar. Assim, com essas hipóteses, podemos criar uma lista com todos os números reais entre 0 e 1:

onde aij é o algarismo da j-ésima casa decimal do i-ésimo número da lista,

80   Análise Matemática I

Mas observe que o número b = 0, b1b2b3b4... dado por

não está nessa lista, pois difere de cada elemento na i-ésima casa decimal. Assim, não é possível organizar o conjunto dos números reais em uma lista, portanto o conjunto dos números reais não é enumerável. C.q.d. Você pode se perguntar por que o número b criado a partir da suposta lista não consta nela. Então vamos reescrever a lista com destaque aos algarismos aii cujo valor gerará a i-ésima casa decimal do b.

Então, dada a lista, vamos criar as sucessivas casas decimais do número b a partir dela. Por exemplo, o algarismo a11 assume um valor no conjunto {0, 1, 2, 3,...,9}. Se esse valor for 1, então atribuímos ao b1, primeira casa decimal do número b, o valor 2. Mas, a11 pode assumir outro valor, diferente

Capítulo 4

   Conjuntos Finitos e Infinitos, Enumeráveis e...    81

de 1, dentro desse mesmo conjunto. Nesse caso, atribuímos o valor 1 para b1. Desse modo, o número b difere do primeiro elemento da lista na primeira casa decimal. De forma análoga, construímos a segunda casa decimal do b, b2, a partir do a22; a terceira casa decimal do b, b3, a partir do a33 e assim sucessivamente.

4.3 Propriedades Teorema 4.7: A união entre dois conjuntos enumeráveis é enumerável. Demonstração: Sejam X e Y dois conjuntos enumeráveis. Vamos considerar três casos. 1º caso: X e Y finitos O primeiro teorema da seção 4.1 garante que se dois conjuntos são finitos e disjuntos, então sua união é finita. Nesse caso, se X e Y tiverem algum elemento comum, o número de elementos da união deles será menor que a soma dos números de elementos de cada um. De qualquer modo, o conjunto união será um conjunto finito, portanto, enumerável (primeiro teorema seção 4.2). 2º caso: X finito e Y infinito enumerável Os conjuntos X e Y podem ser representados por:

82   Análise Matemática I

Nesse caso, o conjunto X tem n elementos. Então, associamos os primeiros n naturais a ele e, a seguir, associamos os naturais seguintes aos sucessivos elementos do conjunto Y. O diagrama ilustra a situação.

Os elementos comuns podem ser desconsiderados na contagem. 3º caso: X e Y infinitos enumeráveis Os conjuntos X e Y podem ser representados por:

Pois é possível ordená-los. Nesse caso, podemos relacionar os sucessivos elementos do conjunto X com os sucessivos naturais ímpares e os sucessivos elementos de Y com sucessivos naturais pares. O diagrama ilustra essa situação.

Capítulo 4

   Conjuntos Finitos e Infinitos, Enumeráveis e...    83

Os elementos comuns podem ser desconsiderados na contagem. Esgotadas as possibilidades para os conjuntos enumeráveis X e Y, podemos concluir que o conjunto resultante da união entre eles é um conjunto enumerável. C.q.d. Teorema 4.8: A união entre uma coleção finita de conjuntos enumeráveis é enumerável. Demonstração: Seja X1, X2, X3,..., Xn uma coleção finita de conjuntos enumeráveis. Vamos supor, sem perda de generalidade, que todos os conjuntos dessa coleção são infinitos e disjuntos. Então, podemos representá-los por:

84   Análise Matemática I

Uma das relações biunívocas entre a união X1 U X2 U X3 U... U Xn e o conjunto dos naturais é associar, sucessivamente, o primeiro elemento de cada conjunto aos sucessivos primeiros n naturais. A seguir, associamos os segundos elementos de cada conjunto aos seguintes n naturais e assim sucessivamente como ilustra o diagrama.

Portanto, a união de uma coleção finita de conjuntos enumeráveis resulta em um conjunto enumerável. C.q.d. Teorema 4.9: A união entre uma coleção infinita enumerável de conjuntos disjuntos enumeráveis é enumerável. Demonstração: Seja X1, X2, X3,... uma coleção enumerável de conjuntos enumeráveis. Vamos supor, sem perda de generalidade, que todos os conjuntos dessa coleção são infinitos e disjuntos. Então, podemos representá-los por:

Capítulo 4

   Conjuntos Finitos e Infinitos, Enumeráveis e...    85

Esse diagrama ilustra a relação biunívoca entre os elementos da união da coleção e os naturais. Teorema 4.10: O conjunto dos números irracionais é não enumerável. Demonstração: Suponhamos que o conjunto dos irracionais seja enumerável. Então sua união com o conjunto dos racionais resulta em um conjunto enumerável (primeiro teorema da seção 4.3). Mas essa união é o conjunto dos números reais, portanto, os reais são enumeráveis. Contradição com o último teorema da seção 4.2.

86   Análise Matemática I

Portanto, o conjunto dos números irracionais não é enumerável. C.q.d. Teorema 4.11: Se X, Y e K são conjuntos tais que K = X U Y, com X enumerável e K não enumerável, então Y é não enumerável. Demonstração: É análoga ao teorema anterior e fica como exercício.

Recapitulando Um conjunto é finito quando é vazio ou é possível estabelecer ao menos uma relação biunívoca entre ele e o conjunto In, para algum n natural. Um conjunto é infinito quando não é finito. Weierstrass define conjuntos infinitos como aqueles em que é possível estabelecer relação biunívoca entre o conjunto e um de seus subconjuntos próprios. Um conjunto é enumerável quando é possível estabelecer ao menos uma relação biunívoca entre ele e um subconjunto dos números naturais. A partir dessa definição, verificamos que são enumeráveis os conjuntos: finitos, naturais, inteiros, racionais. Observamos que, embora entre alguns conjuntos exista uma relação de inclusão, é possível estabelecer relação biunívoca entre eles. O conjunto dos números reais não satisfaz a definição de conjunto enumerável, portanto é um

Capítulo 4

   Conjuntos Finitos e Infinitos, Enumeráveis e...    87

conjunto não enumerável. Assim, existem conjuntos que são enumeráveis e conjuntos que não são enumeráveis. Provamos que qualquer quantidade enumerável de conjuntos enumeráveis resulta em um conjunto enumerável ao ser unida. A partir desse resultado e da prova de que o conjunto dos números reais não são enumeráveis e os racionais são enumeráveis, podemos concluir que o conjunto dos irracionais é não enumerável.

Referências ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blucher Ltda, 2006. ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Introdução a Análise Matemática. São Paulo: Edgard Blucher Ltda, 1993. BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher Ltda, 1994. GARBI, Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências. São Paulo: Livraria da Física, 2010. LIMA, Elon Lages. Curso de Análise. V. 1. Coleção Projeto Euclides. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1999. LIMA, Elon Lages. Análise Real. V. 1. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1993.

88   Análise Matemática I

Atividades 1) Mostre que qualquer subconjunto de um conjunto finito é finito. 2) Mostre que , o conjunto dos números inteiros não positivos, é infinito. 3) , o conjunto dos naturais, é enumerável. 4) Mostre que se X, Y, Z e W são conjuntos tais que X e Y são finitos e Z e W são infinitos enumeráveis, então V = X U Y U Z U W é um conjunto enumerável exibindo uma bijeção entre V e . 5) Mostre que

é não enumerável.

6) Se X, Y e K são conjuntos tais que K = X U Y, com X enumerável e K não enumerável, então Y é não enumerável.

Ana Brunet1

Capítulo

5

Supremo e Ínfimo

1  Licenciada e mestre em Matemática (UFRGS), docente da ULBRA.

90   Análise Matemática I

Introdução Neste capítulo, consideraremos nosso universo o conjunto dos números reais. Apresentaremos a ideia de conjuntos limitados, bem como de supremo e ínfimo de um conjunto. Caracterizaremos o conjunto dos números reais como um corpo ordenado completo.

5.1 Conjuntos limitados (em ℝ) Definição: Seja X ⊆ ℝ conjunto. Dizemos que o conjunto X é limitado superiormente, ou à direita, quando existe K ∈ ℝ, para todo x ∈ X tal que x < K. Isto é, ∃K ∈ ℝ ∀x ∈ X | x < K Analogamente, dizemos que um conjunto X é limitado inferiormente, ou à esquerda, quando existe k ∈ ℝ para todo x ∈ X tal que k < x. Isto é, ∃k ∈ ℝ ∀x ∈ X | k < x Os reais k e K são chamados cota inferior e cota superior, respectivamente. Um conjunto que possui cota inferior e superior é dito limitado. Nesse caso, X satisfaz: ∃k ∈ ℝ ∃K ∈ ℝ ∀x ∈ X | k < x < K Ou equivalente:

Capítulo 5

  Supremo e Ínfimo   91

Isto é, X é limitado quando existe M real positivo cujos elementos do conjunto X pertencem ao intervalo fechado [-M, M]. Geometricamente, os elementos do conjunto X possuem representação à direita de – M e a esquerda de M.

Figura 5.1 

.

Exemplo 1: ℕ, o conjunto dos números naturais é limitado inferiormente. De fato, k = -1, k = ½, k = 1, são exemplos de cotas inferiores de ℕ. Portanto existe k real para todo x natural tal que k < x. Mas esse conjunto não é limitado superiormente, visto que dado qualquer número real positivo B (tentativa de cota superior), sempre é possível encontrar um número natural maior que B, a saber, o próximo inteiro. Exemplo 2: X = {1/n | n ∈ ℕ} = {1, ½, 1/3, ¼,...} X é limitado inferiormente, pois k = 0 é uma cota inferior desse conjunto, visto que todo e qualquer elemento de X é maior que zero consequentemente, maior ou igual à zero. Por outro lado, K = 1 é cota superior de X, pois todo elemento desse conjunto é menor ou igual a 1. Então o conjunto X é limitado inferior e superiormente, logo é limitado. Podemos exibir M = 2, por exemplo, pois todo elemento x ∈ X possui a propriedade | x | < 2. Exemplo 3: O intervalo de números reais X = (3, 7] é limitado. Basta tomarmos M = 7, por exemplo.

92   Análise Matemática I

Exemplo 4: O conjunto X = (- ∞, 5) é limitado superiormente, mas não é inferiormente. De fato, sempre que atribuirmos um valor k real para cota inferior encontrar-se-á um real menor do que k que pertence ao conjunto X. Logo, X não possui cota inferior, portanto X não é limitado inferiormente. Para cota superior, podemos exibir K = 6, já que todos os elementos de X são menores que 6. Definição: Um conjunto limitado superiormente pode ter um elemento dito máximo do conjunto. Um elemento M de um conjunto X é dito máximo quando é a menor cota das cotas superiores e pertence ao conjunto. Isto é, existe um elemento no conjunto que é o maior de todos. Notação: M = max X Analogamente, um conjunto limitado inferiormente pode ter um elemento mínimo do conjunto. Um elemento m de um conjunto X é dito mínimo quando é a maior das cotas inferiores e pertence ao conjunto. Ou seja, existe um elemento no conjunto que é o menor de todos. Notação: m = min X. Por exemplo, o conjunto possui máximo M = 10, pois todo e qualquer elemento de X é menor ou igual a 10 e 10 está no conjunto X. Já o conjunto Y = ( ) não possui máximo, já que sua menor cota superior é 2 e não pertence ao conjunto Y. Teorema 5.1: Todo conjunto finito é limitado. Demonstração: Seja X conjunto finito. Então existe n natural e f bijeção de X em In. Como vimos no capítulo anterior, podemos representar o conjunto X por:

Capítulo 5

  Supremo e Ínfimo   93

X = {x1 , x2 ,..., xn } Para concluirmos que X é limitado, devemos exibir M real não negativo que seja maior ou igual ao módulo de cada elemento do conjunto X. Ora, tomamos para M o maior valor em módulo do conjunto X. Isto é,

M = máx{ x1 , x 2 ,..., x n } C.q.d. A contrapositiva desse teorema nos garante que se um conjunto não é limitado, então ele é infinito. Esse resultado (também) nos garante que o conjunto dos naturais é infinito, pois esse conjunto não é limitado superiormente. Porém, observamos que existem conjuntos limitados e infinitos, por exemplo: os racionais compreendidos entre – 1 e 1, os reais compreendidos entre ½ e ¼, O último exemplo, embora o conjunto apresente cota inferior, ele não apresenta mínimo. Isto é, dado qualquer elemento a (a = 1/k com k natural) do conjunto, sempre é possível encontrar outro elemento b do conjunto que é menor que ele, por exemplo, b = 1/(k+1)).

5.2 Supremo e Ínfimo de um conjunto Definição: Chamamos de supremo de um conjunto X a menor de suas cotas superiores. Notação: S = sup X

94   Análise Matemática I

De forma equivalente, S = sup X quando: i) ∀x ∈ X , x ≤ S (Isto é, S é cota superior.) ii) ∀ε > 0∃x0 ∈ X | S − ε < x0 (Isto é, S é a menor cota superior.) Geometricamente, a condição (i) indica que os elementos do conjunto X estão à esquerda do supremo S na reta numerada (Figura 5.2). Enquanto a condição (ii) indica que por mais próximo que um número menor que S possa estar de S, sempre é possível encontrar ao menos um elemento (xo) do conjunto X que o supera, isto é, à sua direita, conforme ilustra a Figura 5.3.

Figura 5.2  X está à esquerda de S.

Figura 5.3  Sempre existe um elemento de X à direita de qualquer número menor que o supremo.

Por exemplo, vamos usar a definição para verificar que: 2 = Para tanto, vamos verificar os itens (i) e (ii). Observamos que os elementos x do conjunto X são dados por: para n natural. i) S = 2 é cota superior? ∀x ∈ X , x ≤ 2?

Isto é,

Capítulo 5

  Supremo e Ínfimo   95

Seja n natural, então podemos multiplicar pelo fator positivo n + 1 ambos os lados da desigualdade que, nesse caso, será preservada e realizar as operações indicadas.

O que é verdade para todo n natural, já que todo natural é menor que seu sucessor. Logo K = 2 é cota superior e (i) está verificado. ii) 2 é a menor cota superior?

∀ε > 0 ∃x 0 ∈ X | 2 − ε < x 0 ? Isto é,

Nesse caso, dado um número positivo qualquer, por menor que seja, sempre deve ser possível encontrar um natural no 2n cujo elemento xo definido por ele, a saber, x0 = 0 , é maior n0 + 1 do que o número real dado pela diferença 2 − ε . Observemos

96   Análise Matemática I

que o número ε é qualquer (quantidade positiva), então devemos encontrar no em função de ε. Daí, para cada ε dado teremos condições de exibir o número xo do conjunto procurado. Assim, para ε > 0, vem:

2−ε . Isso mostra (ii). ε , pois foi Portanto, 2 é o supremo do conjunto possível verificar que o número 2 satisfaz a definição de supremo para esse conjunto.

Dado ε > 0 tomamos n0 >

Neste primeiro momento, é interessante que você atribua valores para ε e determine ao menos um valor para xo que satisfaça a desigualdade exigida 2 − ε < x0 . Vamos apresentar outro exemplo para ilustrar o uso da definição de supremo no qual devemos observar com cuidado as operações realizadas. Vamos mostrar, pela definição, que: . Para tanto, vamos verificar os itens (i) e (ii) da definição. Nesse caso, os elementos do conjunto são dados por: com n natural. i)

é cota superior?

Capítulo 5

  Supremo e Ínfimo   97

Seja n natural, então podemos multiplicar pelo fator negativo (1 – 2n) ambos os lados da desigualdade que, agora, deverá ser invertida e realizar as operações indicadas.

O que é verdade, pois zero é menor que um! Logo cota superior e (i) está verificado. ii)

é a menor cota superior?

é

98   Análise Matemática I

Dado ε > 0 tomamos

Isso mostra (ii).

é o supremo do conjunto , pois Portanto, foi possível verificar que satisfaz a definição de supremo para esse conjunto. Definição: Chamamos de ínfimo de um conjunto X a maior de suas cotas inferiores. Notação: s = inf X. Definição: Dizemos que um conjunto é completo quando qualquer subconjunto limitado superiormente possui supremo no conjunto. É exemplo de conjunto completo o conjunto dos números reais. Já o conjunto dos números racionais não é completo, pois, por exemplo, o subconjunto dos racionais X = {r ∈ ℚ | r2 < 2} possui como supremo o real 2 que não é um racional. Portanto, o supremo desse subconjunto dos números racionais não é um racional, logo ℚ não é completo. Como vimos no Capítulo 3, os reais e os racionais são corpos ordenados, porém o conjunto dos racionais não esgota a reta. A condição de ser um conjunto completo é contemplada apenas pelo corpo dos números reais. Com isso, o conjunto dos números reais fica caracterizado como um corpo ordenado completo.

Recapitulando Um conjunto é limitado quando é limitado superior e inferiormente, isto é, apresenta cota superior e inferior respectivamen-

Capítulo 5

  Supremo e Ínfimo   99

te. Um número real é dito cota superior de um conjunto quando é maior ou igual que qualquer elemento desse conjunto. De forma análoga, uma cota inferior é um número real que é menor ou igual a todo elemento desse conjunto. Nem todo conjunto de números reais admite cota, ou seja, nem todo conjunto de números reais é limitado, mas pode ocorrer que o conjunto seja somente limitado inferiormente ou somente limitado superiormente. Um subconjunto dos reais que é limitado superiormente possui uma cota especial, a menor das cotas superiores, chamada supremo do conjunto. Mas, se o subconjunto dos reais é limitado inferiormente, então a maior das cotas inferiores é chamada ínfimo. Quando o supremo de um conjunto está no conjunto, ele é o máximo do conjunto, e quando o ínfimo está no conjunto, ele é o mínimo do conjunto. Provamos que todo conjunto finito é limitado. Mas reforçamos que a recíproca desse teorema é falsa, ou seja, existem conjuntos limitados que não são finitos, por exemplo, o intervalo de números reais (0, 1). Um conjunto é dito completo quando todo e qualquer de seus subconjuntos limitado superiormente possuir supremo no conjunto. Vimos que o conjunto dos racionais não satisfaz essa definição, mas decorre diretamente da definição a completude do conjunto dos números reais. Observamos que tanto o conjunto dos números racionais quanto o conjunto dos números reais são corpos ordenados, mas o conjunto dos reais é o único corpo ordenado completo.

100   Análise Matemática I

Referências ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blucher Ltda, 2006. ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Introdução a Análise Matemática. São Paulo: Edgard Blucher Ltda, 1993. LIMA, Elon Lages. Curso de Análise. V. 1. Coleção Projeto Euclides. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1999. LIMA, Elon Lages. Análise Real. V. 1. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1993.

Atividades Para responder as atividades 1 a 7, considere os conjuntos:

Verifique se o conjunto X: 1) Possui cota superior. 2) Possui máximo e/ou supremo.

Capítulo 5

  Supremo e Ínfimo   101

3) Possui cota inferior. 4) Possui mínimo e/ou ínfimo. 5) É limitado superiormente. 6) É limitado inferiormente. 7) É limitado. 8) Escreva a definição de ínfimo de forma análoga a de supremo. Represente geometricamente a situação. 9) Mostre pela definição que:

 2n  | n ∈ IN − {1} a) − 2 = sup  1 − n   n  | n ∈ IN  , então sup X = – 1/3. b) Se X =  1 − 3n  1  n −1  | n ∈ IN  ⇒ inf X = − c) X =  3  2 − 3n 

Ana Brunet1

Capítulo

6

Sequências Numéricas Reais: Classificação 1

1  Licenciada e mestre em Matemática (UFRGS), docente da ULBRA.

Capítulo 6

  Sequências Numéricas Reais: Classificação   103

Introdução Neste capítulo, vamos apresentar um novo objeto matemático: as sequências reais. As sequências serão classificadas quanto à monotonicidade, limitação e convergência.

6.1 Sequências numéricas reais Definição: Chamamos de sequência numérica real a função:

O número n é dito índice, e an o termo geral. Notação: ou simplesmente , quando ficar claro no contexto que nos referimos à sequência e não ao seu termo geral. Nosso estudo será centrado nas sequências reais, ou seja, o contradomínio da função que define nossas sequências sempre será o conjunto dos números reais. Cabe observar que é possível definir sequências numéricas em outros contradomínios, como, por exemplo, ou no conjunto dos números complexos. Alguns exemplos de sequências reais são:

104   Análise Matemática I

6.

Sequência dos números primos: essa (ainda) não tem lei de formação!

7. Sequência das aproximações decimais por falta de raiz de 3.

Observamos que nem sempre é possível estabelecer uma lei de formação algébrica para funções, em particular, também para sequências. O conjunto dos termos de uma sequência é a imagem da função a que a define. Nos exemplos, temos como conjunto imagem:

A representação gráfica de uma sequência real pode ser no plano com os naturais no eixo das abscissas. Mas é usual

Capítulo 6

  Sequências Numéricas Reais: Classificação   105

representar em um único eixo real apenas os seus termos. O exemplo 3 é representado na Figura 6.1 das duas formas.

Figura 6.1  Representação geométrica da sequência

.

Definição: Uma subsequência é qualquer parte infinita de uma sequência. Por exemplo, as sequências constantes (1)n e (-1)n são subsequências de ((-1)n)n. A sequência é subsequência de . A sequência dos números naturais pares é uma subsequência da sequência dos números naturais.

6.2 Sequências limitadas Definição: Dizemos que uma sequência é limitada quando o conjunto dos seus termos é limitado. Isto é, Quando existe M

106   Análise Matemática I

real positivo, para todo n natural tal que |an| < M. Ou seja, a sequência an é limitada quando:

Caso contrário, a sequência é dita não limitada ou ilimitada. Nos exemplos (3), (4), (5), (7) e (8) as sequências são limitadas, basta tomarmos M = 2, por exemplo, para (3), (4), (7) e (8); e M = 4 para (5). Enquanto as sequências (1), (2), (6) e (9) não. De fato, as imagens de (1), (2) e (6) não são limitadas superiormente e a imagem de (9) não é limitada inferiormente.

6.3 Sequências monótonas Definição: Dizemos que uma sequência é monótona: i) Estritamente crescente, quando:

ii) Crescente, quando:

iii) Decrescente, quando:

Capítulo 6

  Sequências Numéricas Reais: Classificação   107

iv) Estritamente decrescente, quando:

Em todos os casos, a sequência é dita monótona. Observamos que toda sequência estritamente crescente também pode ser classificada como crescente e, de forma análoga, toda a sequência estritamente decrescente, também é decrescente. Uma sequência que satisfaz (ii) e (iii) é chamada constante. A tabela exibe a classificação das sequências dos exemplos (1) ao (9) deste capítulo quanto à monotonicidade. Sequência

Monotonicidade Estritamente crescente (e crescente) Estritamente crescente (e crescente) Estritamente decrescente (e decrescente) Não monótona Constante (crescente e decrescente)

Sequência dos números primos

Estritamente crescente (e crescente)

Sequência das aproximações decimais por falta de raiz de 3

Crescente Não monótona

(- 1, – 1, – 2, – 2, – 3, – 3, – 4, – 4,...)

Decrescente

108   Análise Matemática I

6.4 Sequências Convergentes Vamos estudar o comportamento dos termos de uma sequência à medida que seu índice cresce. Para fixar as ideias, observemos o comportamento da sequência

À medida que n cresce, os termos dessa sequência assumem valores cada vez menores, mas nunca assumirá um valor negativo. Intuitivamente, percebemos que os termos se aproximam de zero, mas nenhum termo dessa sequência assume esse valor. Ou seja, a distância entre os termos da sequência e o número zero vai diminuindo ao n crescer, fica menor que qualquer número positivo, desde que n seja suficientemente grande. Lembre-se de que usamos o módulo da diferença entre dois números para determinar a distância entre eles. Ainda para fixar as ideias, observemos o comportamento da sequência

Seus termos pares assumem valores maiores que 1 e seus termos ímpares assumem valores menores que 1, mas a medida que n cresce, podemos observar que todos os valores an estão ficando próximos a 1. Isto é, a diferença | an – 1| vai se tornado cada vez menor à medida que n cresce e a diferença

Capítulo 6

  Sequências Numéricas Reais: Classificação   109

|an – 1|pode ficar menor que qualquer número positivo, desde que n seja suficientemente grande. Mas, o que significa "n suficientemente grande"? Vamos retomar o primeiro exemplo. Pergunta-se: a partir de qual índice (no) os termos da sequência distam de zero menos que 0,1? Quais são esses termos? A distância entre os termos da sequência e o limite zero é dada pelo valor absoluto da diferença entre eles. Queremos que essa diferença seja menor que 0,1. Daí:

Ou seja, quando exigimos que a distância entre os termos da sequência e o número zero seja menor que 0,1, n = 11 é suficientemente grande para gerar os termos da sequência que satisfazem essa exigência, e esses termos são: Agora, se exigirmos que a distância entre os termos seja menor que 0,005, então qual será o índice (no) a partir do qual os termos da sequência têm distância ao zero menor que 0,005?

Nesse caso, devemos tomar os termos da sequência com índice maior que 5000. Ou seja, o índice n é suficientemente grande para essa condição, se n for maior que 5000. Assim,

110   Análise Matemática I

os termos da sequência 0,005 são:

cuja distância ao zero é menor que

Vamos, então, considerar um número positivo ε. Será que sempre é possível encontrar um índice (no) da sequência cuja distância ao zero é menor que o dado?

Ou seja, dado qualquer , sempre é possível encontrar um índice no, a saber, , tal que, para os termos da sequência que possuem índice n maior que temos a distância entre os termos da sequência e o número zero (|an – 0|) menor que o ε dado. Portanto, a distância entre os termos da sequência e o número zero fica menor que qualquer número positivo , desde que n seja suficientemente grande. Definição: Dizemos que a sequência an converge para o número L, ou tende a L, quando dado qualquer número ε positivo, sempre podemos encontrar no natural, tal que n > no implica que a distância |an – L| é menor que o número ε dado. Nesse caso, dizemos que a sequência é convergente e o número L é seu limite. Notação: Em linguagem simbólica, temos:

Capítulo 6

  Sequências Numéricas Reais: Classificação   111

Caso contrário, dizemos que a sequência é divergente ou diverge. Ou seja, uma sequência é divergente quando, dado qualquer número real L, sempre podemos encontrar ε0 positivo tal que todo termo da sequência que tenha índice maior que algum no diste de L mais do que ε0. Então, para verificar se o limite de uma sequência é o número L, devemos encontrar uma relação entre no e ε de tal forma que, ao ser fornecido o número positivo ε, seja possível determinar um número natural no com a propriedade: todo o número natural n maior que no possui seu termo associado an com distância de L menor que ε. Para que isso ocorra, é necessário que todos os termos com índice maior que no pertençam ao intervalo (L - ε, L + ε). Na relação entre no e ε, no é inversamente proporcional a ε, pois, à medida que tomamos ε menor, teremos que encontrar termos com índices maiores para satisfazerem a condição de pertencerem ao intervalo (L - ε, L + ε). Além disso, se todo termo que possui índice maior que certo n1 estiver no intervalo (L - ε, L + ε), então poderemos tomar para no qualquer natural maior ou igual a n1. Assim, de maneira geral, devemos encontrar uma relação entre no e ε, da forma: no > f(ε), com Vamos verificar, pela definição, a convergência de algumas sequências ao limite indicado. 1. Temos que verificar que a sequência Ou seja:

possui L = 0.

112   Análise Matemática I

Observemos que:

Visto que:

Então:

Assim, dado 2.

, basta tomarmos

e teremos

Capítulo 6

  Sequências Numéricas Reais: Classificação   113

Assim, já seria possível encontrar n em função de ε, mas podemos simplificar fazendo o denominador menor, majorando a expressão. Observe que:

Daí,

Dado

, tomamos

Dado

, tomamos

4.

114   Análise Matemática I

Dado

, tomamos

5.

A função cosseno é limitada e assume valores em [-1, 1], portanto, o numerador nunca assumirá valor maior que 5, e o denominador nunca assumirá valor menor que n – 4. Porém, para n , a expressão n – 4 é negativa ou nula. Portanto, devemos tomar n > 4 para majorar a expressão. Daí, para n > 4, vem:

Dado

, tomamos

Capítulo 6

  Sequências Numéricas Reais: Classificação   115

Definição: Chamamos de sequência nula toda sequência que possui limite zero. Por exemplo, a sequência é nula, pois seu limite é zero. Observe que seus termos são sempre diferentes de zero.

Recapitulando Uma sequência real é uma função com domínio nos naturais e contradomínio nos reais. Nem sempre é possível estabelecer uma lei de formação algébrica para elas. Nomeamos de subsequência qualquer parte infinita de uma sequência e de nula as sequências que convergem para zero. Classificamos as sequências em: limitadas/ilimitadas, monótona/não monótona e em convergente/divergente.

Dica de Leitura Novamente, indicamos a leitura do livro Alex no país dos números de Alex Bellos, da editora Companhia das Letras (São Paulo, 2011). No livro, o autor apresenta algumas sequências de números inteiros, como a sequência de Fibonacci, dos números amigáveis, de números primos, de números perfeitos, entre outras sequências curiosas!

116   Análise Matemática I

Referências ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2006. ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Introdução a Análise Matemática. São Paulo: Blucher, 1993. LIMA, Elon Lages. Curso de Análise. V. 1. Coleção Projeto Euclides. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1999. LIMA, Elon Lages. Análise Real. V. 1. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1993.

Atividades Considere as sequências para as atividades.

1) Escreva o conjunto imagem de cada sequência e represente geometricamente cada uma. 2) Apresente duas subsequências para cada uma das sequências: I, II e III.

Capítulo 6

  Sequências Numéricas Reais: Classificação   117

3) Classifique cada sequência em limitada e ilimitada. Apresente, para as limitadas, M real tal que |an| < M, para n natural. 4) Classifique cada sequência em monótona e não monótona. Caso a sequência seja monótona, escreva o tipo. 5) Se você aceitar o fato de que a sequência an = converge para L = 1, então de acordo com nossa definição, para todo ε > 0 existe um natural n0 > 1; tal que |an – L| < ε, sempre que n > n0. Em cada item, encontre o menor valor de n0 para o valor de ε dado: a) ε = 0,25 b) ε = 0,1 c) ε = 0,001 6) Mostre pela definição que: a) A sequência II é nula. b) A sequência III converge para 1. c) A sequência IV possui limite L = – 1/3. d) A sequência V é nula.

Ana Brunet1

Capítulo

7

Sequências Numéricas Reais: Propriedades

1  Licenciada e mestre em Matemática (UFRGS), docente da ULBRA.

Capítulo 7

  Sequências Numéricas Reais: Propriedades   119

Introdução Apresentaremos algumas propriedades das sequências numéricas reais. Estabeleceremos relações entre as sequências conforme as classificações enunciadas no Capítulo 6. A partir da teoria desenvolvida, conseguiremos verificar a divergência de sequências. Enunciaremos e validaremos as propriedades aritméticas das sequências.

7.1 Sobre o limite das sequências numéricas reais Teorema 7.1: (Unicidade de limite) Toda a sequência convergente possui um único limite. Demonstração: Seja an sequência convergente. Vamos supor (por absurdo) que essa sequência possua dois limites distintos. Sejam L e M seus limites e sem perda de generalidade, podemos supor L < M. Então, pela definição do limite da sequência, podemos afirmar que:

e

120   Análise Matemática I

A definição nos garante que dado qualquer , sempre é possível encontrar um índice natural tal que os termos da sequência que possuam índice maior distem do limite menos que o dado. Vamos tomar a partir de (*) e (**) podemos garantir:

e

Vamos tomar no = máx {n1, n2} e teremos para n > no:

e

A desigualdade será preservada ao somar membro a membro e obtemos para todo n > no:

Capítulo 7

  Sequências Numéricas Reais: Propriedades   121

Podemos escrever:

Pela desigualdade triangular, vem:

Ou seja:

Um inteiro não pode ser menor que seus 2/3! Assim, uma sequência não pode convergir para dois limites distintos, portanto o limite de uma sequência convergente é único. C.q.d. Teorema 7.2: Se a sequência an possui limite L, então toda a subsequência possui limite L. Demonstração: Seja an sequência convergente com limite L e seja uma subsequência da sequência an. Vamos mostrar que é convergente e possui limite L. Como a sequência an converge para o número L, podemos escrever pela definição que:

122   Análise Matemática I

A subsequência é parte infinita da sequência an. Então, dado podemos encontrar . Os termos da subsequência que tem índice maior que , também tem índice maior que no e também são termos da sequência, portanto, distam de L menos que o dado. Ou seja,

Assim, a subsequência e a sequência convergente convergem para o mesmo limite. C.q.d. A contrapositiva desse teorema "se ao menos duas subsequências de uma sequência possuem limites distintos, então a sequência diverge" pode auxiliar na verificação da divergência de uma sequência. Por exemplo, as subsequências (-1)n e (1)n de ((-1)n)n possuem limites -1 e 1, respectivamente. Logo, pela contrapositiva do teorema, (-1)n é uma sequência divergente.

7.2 Sobre sequências convergentes, monótonas e limitadas Teorema 7.3: Toda sequência convergente é limitada.

Capítulo 7

  Sequências Numéricas Reais: Propriedades   123

Demonstração: Seja an sequência convergente com limite L. Para validar a tese, temos que exibir M positivo tal que:

Mas, a sequência é convergente com limite L, então, por definição, temos:

Em particular, para dice no tal que:

é garantida a existência do ín-

Ou seja, todo termo da sequência que tem índice maior que no satisfaz A Figura 7.1 ilustra a situação.

Figura 7.1  Representação geométrica da situação.

Fora desse intervalo, teremos no máximo no termos. Portanto, basta tomarmos para M:

C.q.d.

124   Análise Matemática I

Escrito na forma contrapositiva, esse teorema fica: "Se uma sequência não é limitada, então ela diverge". Com isso, podemos provar que sequências tais como são divergentes, pois não são limitadas. Observamos que a última, embora divergente, possui uma subsequência convergente. A recíproca desse teorema é falsa (exercício 2). Porém, se acrescentarmos às hipóteses da recíproca a condição de monotonicidade da sequência, obtemos convergência conforme o próximo teorema. Teorema 7.4: Toda sequência limitada e monótona é convergente. Demonstração: Seja an sequência limitada. Então:

A sequência an também é monótona, mas pode ser crescente ou decrescente. Portanto, temos que verificar os dois casos. 1º caso: an monótona crescente. Nesse caso, an satisfaz:

Afirmação:

é o limite da sequência an.

Para validar essa afirmação, devemos mostrar que:

Capítulo 7

  Sequências Numéricas Reais: Propriedades   125

Como S é o supremo do conjunto imagem da sequência an, então: i) ii) Então, dado , podemos garantir a existência de no natural tal que Mas, como a sequência é monótona, temos também que:

E os termos da sequência não superam S, portanto:

Então, para n > no, temos:

Por conveniência, podemos escrever:

Já que

Isto é:

126   Análise Matemática I

Que é o mesmo que:

O que mostra o primeiro caso. 2º caso: an monótona decrescente. Nesse caso, an satisfaz:

Afirmação:

é o limite da sequência an.

Para validar essa afirmação, devemos mostrar que:

Esse caso é análogo ao primeiro e fica como exercício (exercício 3). C.q.d.

7.3 Operações com limites de sequências Até agora, conseguimos verificar que uma sequência converge para um número L pela definição. O próximo teorema irá facilitar esse trabalho. Teorema 7.5: Sejam an e bn sequências convergentes com limites A e B respectivamente. Então:

Capítulo 7

  Sequências Numéricas Reais: Propriedades   127

Além disso, se an for sequência nula e bn limitada, então (an. bn)n é sequência nula. Demonstração: Vamos apresentar a demonstração dos itens (i) e (iv) e da última parte do teorema. Os outros ficam como exercício (exercício 4). i) Sejam an e bn sequências convergentes com limites A e B respectivamente. Então, pela definição, temos:

e

Queremos mostrar que a sequência converge para o número L = A + B:

Observe que:

128   Análise Matemática I

Pela desigualdade triangular, vem:

Então, dado , como an e bn são sequências convergentes, garantimos a existência de n1 e n2 naturais tais que:

Tomamos no = máx {n1, n2} e teremos para n > no:

Daí, para todo n > no, teremos:

Isso prova o item (i). iv) Sejam an e bn sequências convergentes com limites A e B respectivamente. Então, pela definição, temos:

e

Capítulo 7

  Sequências Numéricas Reais: Propriedades   129

Queremos mostrar que a sequência converge para o número L = A * B, mas isso ocorre quando:

Observe que, ao somar um número e seu simétrico em uma expressão, obtemos uma expressão equivalente. Fazemos isso por conveniência. Daí:

Pela desigualdade triangular, vem:

Então, dado , como an e bn são sequências convergentes, garantimos a existência de n1 e n2 naturais tais que:

Onde M é um real positivo que satisfaz, para todo n natural: |an| < M. A existência de M é garantida pela convergência da sequência bn, pois toda sequência convergente é limitada (teorema). No caso do número A ser zero, a sequência an é uma sequência nula e, nesse caso, basta a sequência bn ser limitada, como veremos a seguir.

130   Análise Matemática I

Tomamos, então, no = máx {n1, n2} e teremos para n > no:

Daí, para todo n > no, teremos:

Vamos provar, agora, que se an for sequência nula (A = 0) e bn limitada, então (an. bn)n é sequência nula. Ou seja, dado que:

e

Queremos mostrar que

, isto é:

Mas,

Assim, dado , garantimos a existência de n1 natural e M real positivo tais que:

Capítulo 7

  Sequências Numéricas Reais: Propriedades   131

Tomamos, então, no = n1 e teremos para n> no:

Recapitulando Uma sequência real convergente possui um único limite e toda a subsequência de uma sequência convergente com limite L converge para L. As sequências convergentes são todas limitadas e nem todas as sequências limitadas são convergentes. Mas, uma sequência limitada e monótona sempre converge. Com essas propriedades, podemos garantir que, quando uma sequência apresenta, pelo menos, duas subsequências com limites diferentes, a sequência diverge. Também podemos garantir que divergem as sequências ilimitadas. Quando garantimos a convergência de duas sequências, podemos garantir a convergência das sequências definidas pela soma, pela diferença, pelo produto e pelo quociente (neste caso, a segunda não pode ser nula) dessas sequências. Além disso, se uma sequência é o produto de duas sequências com uma nula (L = 0), basta a segunda ser limitada para garantirmos a convergência dela, e mais, que ela também é uma sequência nula.

132   Análise Matemática I

Referências ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2006. ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Introdução a Análise Matemática. São Paulo: Blucher, 1993. LIMA, Elon Lages. Curso de Análise. V.1. Coleção Projeto Euclides. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1999. LIMA, Elon Lages. Análise Real. V.1. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1993.

Atividades 1) Em cada item, verifique se a sequência converge ou diverge. Justifique sua resposta pela teoria desenvolvida.

2) Enuncie e dê um contraexemplo para a recíproca do teorema "toda sequência convergente é limitada". 3) Mostre que se uma sequência é limitada e monótona decrescente, então ela é convergente. 4) Valide os itens (ii), (iii) e (iv) do primeiro teorema da seção 7.3.

Capítulo 7

  Sequências Numéricas Reais: Propriedades   133

5) Sejam an e bn sequências convergentes, ambas com limite L. Mostre que se a sequência cn é tal que an < cn < bn, para todo n natural, então cn possui limite L.

Ana Brunet1

Capítulo

8

Noções de Topologia da Reta

1  Licenciada e mestre em Matemática (UFRGS), docente da ULBRA.

Capítulo 8

   Noções de Topologiada Reta     135

Introdução As sequências numéricas reais foram apresentadas nos Capítulos 6 e 7. Vimos que são funções com domínio no conjunto dos Naturais. No próximo capítulo, Capítulo 9, trataremos de funções reais de variável real. Então, o domínio das funções que estudaremos a seguir será o conjunto dos números Reais. A partir de agora, sempre que falarmos em número sem qualquer qualificação, entenderemos tratar-se de um número real. O axioma enunciado no Capítulo 3: “o conjunto dos números reais está em relação biunívoca com os pontos de uma reta. Isto é, para cada número real existe um único ponto da reta associado e vice-versa” respalda o costume de usar as palavras ponto e número como sinônimos. Assim, ponto a significa número a. Ampliaremos o uso da linguagem geométrica anteriormente já utilizada (|b – a|: distância entre a e b ou medida do segmento com extremos em a e b). Quando a < b, por exemplo, diremos que b está à direita de a ou que a está à esquerda de b.

8.1 Conjuntos Abertos e Fechados Definição: Seja . Dizemos que x é ponto interior de X quando existe um intervalo aberto tal que . Quando todos os pontos de um conjunto X forem pontos interiores, dizemos que X é aberto.

136   Análise Matemática I

Assim, por exemplo, todos os pontos do intervalo (1, 4) são pontos interiores, ou seja, esse conjunto coincide com seu próprio interior. Além disso, (1, 4) também é interior dos conjuntos [1,4), (1, 4], [1, 4]. Definição: Chamamos de vizinhança do ponto a qualquer conjunto que possua a em seu interior (notação: V(a)). Na Figura 8.1, o intervalo aberto (b, c) é uma vizinhança do ponto a, pois possui a em seu interior.

Figura 8.1  Representação geométrica de uma vizinhança de x = a.

Uma vizinhança simétrica de a é um intervalo de centro a e raio (notação: Na Figura 8.2, (b, c) é uma vizinhança simétrica do ponto a.

Figura 8.2  Representação geométrica de uma vizinhança simétrica de x = a.

Observe que a coordenada de b é e a coordenada de c é Esse conjunto contém todos os reais cuja distância ao ponto a é menor que ε. Então, podemos representá-lo por:

Capítulo 8

   Noções de Topologiada Reta     137

Uma vizinhança perfurada de centro a e raio é o conjunto: Na Figura 8.3, o conjunto (b,c) - {a} representa uma vizinhança perfurada do ponto a.

Figura 8.3  Representação geométrica de uma vizinhança perfurada de x = a.

Novamente, a coordenada de b é e a coordenada de c é Mas, esse conjunto contém todos os reais cuja distância ao ponto a é menor que , com exceção do ponto a, e podemos representá-lo por:

Observe que decorre da condição da distância entre o x e o a ser maior que zero o ponto a não pertencer ao conjunto Então, por exemplo, o intervalo (5, 8) é uma vizinhança de x = 6, pois 6 é um ponto interior desse conjunto, visto que Enquanto (5,9;6,1) é uma vizinhança simétrica de x = 6 com e (5,8;6,2)-{6} é uma vizinhança perfurada de 6. Definição: Os intervalos (a, a + ε) e (a - ε, a) com são vizinhanças laterais do ponto a à direita (Figura 8.4) e à esquerda (Figura 8.5) respectivamente.

138   Análise Matemática I

Figura 8.4  Vizinhança lateral direita de a.

Figura 8.5  Vizinhança lateral esquerda de a.

Definição: Dizemos que um ponto a é ponto aderente ao conjunto X, quando toda vizinhança de a possui ao menos um ponto de X. Ou seja, a é aderente ao conjunto X quando:

É claro que todo ponto de um conjunto X é aderente a esse conjunto, mas um conjunto pode ter pontos aderentes que não pertencem a ele. Por exemplo, o conjunto dos termos da sequência possui dois pontos de aderência que não são termos dela, a saber, Para verificar, basta considerarmos a subsequência gerada pelos índices ímpares e a gerada pelos índices pares cujos limites são a1 e a2 respectivamente. Podemos dizer que um ponto a é aderente a um conjunto X quando houver alguma sequência de pontos , tal que converge para a. Em particular, dado um ponto xo do conjunto X, a sequência constante (xo) converge para xo. Mas, pontos que são aderentes ao conjunto X, porém não perten-

Capítulo 8

   Noções de Topologiada Reta     139

cem ao conjunto, necessariamente qualquer de suas vizinhanças terá infinitos pontos de X. Definição: Chamamos de fecho do conjunto X ao conjunto de todos os seus pontos aderentes. Notação: . Um conjunto é dito fechado quando é igual ao seu fecho. Por exemplo, o conjunto

é o fecho do conjunto dos termos da sequência , portanto é um conjunto fechado. Também é um conjunto fechado os intervalos fechados da reta [1,2], por exemplo. Cabe observar que nem todo conjunto é ou aberto ou fechado. Por exemplo, o conjunto X = [-3, 5) não é aberto nem fechado. Não é aberto, porque a = -3 não é ponto interior, mas está no conjunto. Não é fechado, pois 5 é ponto aderente, portanto está no fecho, mas não está em X, logo, o fecho de X é diferente de X. Como vimos, o conjunto é fechado, mas não possui pontos interiores.

8.2 Pontos de Acumulação Definição: Dizemos que um ponto a é ponto de acumulação do conjunto X quando qualquer vizinhança perfurada de a possui elementos de X. Ou seja:

140   Análise Matemática I

Ao conjunto de todos os pontos de acumulação de um conjunto X, chamamos derivado do conjunto X e anotamos por X’. É evidente que se a é ponto de acumulação de um conjunto X, então a é aderente ao conjunto X, pois toda vizinhança perfurada está contida na vizinhança simétrica para um mesmo dado. Porém, pode existir, em um conjunto X, ponto aderente que não é de acumulação. Por exemplo, o conjunto X = [1, 6] U {-5}. O ponto a = – 5 está no conjunto X, mas não é ponto de acumulação dele. De fato, basta tomarmos , por exemplo, para termos:

O ponto -5 é o único ponto desse conjunto que não é de acumulação. Observe que qualquer vizinhança perfurada de um ponto do intervalo [1,6] possui pontos comuns com [1,6] e, portanto, com o conjunto X. Definição: Dizemos que um ponto a é de acumulação à direita do conjunto X quando qualquer vizinhança lateral direita de a possui pontos de X. Anotamos o conjunto dos pontos de acumulação à direita de X por . Analogamente, um ponto a é de acumulação à esquerda do conjunto X quando toda vizinhança lateral esquerda de a possui algum ponto de X. Anotamos o conjunto dos pontos de acumulação à direita de X por

Capítulo 8

   Noções de Topologiada Reta     141

Por exemplo, a = 0 é ponto de acumulação à direita de , é ponto de acumulação à esquerda de

X=

e é ponto de acumulação à esquerda e à direita de

Em quais-

quer desses conjuntos, o único ponto de acumulação é zero. O conjunto dos pontos de acumulação à esquerda do intervalo [1, 9) é (1,9] e o conjunto dos pontos de acumulação à direita desse intervalo é [1,9). Definição: Todo ponto de um conjunto X que não é de acumulação é chamado ponto isolado. Um conjunto X no qual todos os pontos são isolados é chamado conjunto discreto. O conjunto dos naturais é um conjunto discreto, pois seus pontos são todos isolados. De fato, dado no natural, tomamos e teremos:

Também é discreto o conjunto dado um elemento desse conjunto dele é

, então basta tomarmos

. Observe que o elemento mais próximo

142   Análise Matemática I

Recapitulando Um ponto é interior de um conjunto X quando existe um intervalo aberto tal que X será aberto quando todos seus pontos forem interiores. Uma vizinhança do ponto a (V(a)) é qualquer conjunto que possua a em seu interior. A vizinhança simétrica de raio ε é o intervalo Muitas vezes, será interessante considerarmos a vizinhança de um ponto a sem nos preocuparmos com ele. Nessas situações, utilizaremos a vizinhança perfurada do ponto que é o conjunto Outras vezes nos interessará somente os pontos à direita (maiores que a) ou à esquerda de a (menores que a). Nesses casos, usaremos as vizinhanças laterais. Um ponto a é aderente ao conjunto X quando toda vizinhança de a possui ao menos um ponto comum com X. Todo ponto de um conjunto X é aderente a X, mas X pode ter outros pontos aderentes, nesses casos, a vizinhança do ponto terá infinitos pontos de X. O conjunto formado por todos os pontos aderentes ao conjunto X é chamado fecho do conjunto X. Quando X é igual ao seu fecho, X é dito conjunto fechado. Quando toda vizinhança perfurada de a possui elemento comum com um conjunto X, a é ponto de acumulação de X. O conjunto formado por todos os pontos de acumulação de um conjunto X é chamado derivado (X’) do conjunto. Os pontos de um conjunto X que não são pontos de acumulação são chamados isolados. Quando um conjunto possui somente pontos isolados, ele é chamado discreto.

Capítulo 8

   Noções de Topologiada Reta     143

Cabe, aqui, observar que todo ponto de acumulação de um conjunto é, também, ponto aderente, porém, nem todo ponto aderente é de acumulação. Pontos isolados de um conjunto são aderentes, mas não são de acumulação.

Referências ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2006. ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Introdução a Análise Matemática. São Paulo: Blucher, 1993. LIMA, Elon Lages. Curso de Análise. V. 1. Coleção Projeto Euclides. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1999. LIMA, Elon Lages. Análise Real. V. 1. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1993.

Atividades 1) Considere a = 2,7 e faça o solicitado em cada item: a) Verifique que a é um ponto interior do conjunto X = [1,5; 3). b) Exiba uma vizinhança de a. Represente geometricamente.

144   Análise Matemática I

c) Exiba a vizinhança simétrica de a de raio 0,01. Represente geometricamente. d) Exiba a vizinhança perfurada de a de raio 0,2. Represente geometricamente. 2) Exiba uma vizinhança do ponto c: a) Simétrica de raio . b) Perfurada de raio . c) Lateral direita de raio . d) Lateral esquerda de raio . e) Represente geometricamente os itens (a), (b), (c) e (d). 3) Verifique a partir de qual valor de

se tem:

Considere os conjuntos para responder às questões 2, 3 e 4.

4) Verifique se X possui pontos internos. Apresente o conjunto dos pontos internos do conjunto quando for o caso. 5) Verifique quais são os pontos aderentes do conjunto X. Apresente seu fecho

Capítulo 8

   Noções de Topologiada Reta     145

6) Identifique se o conjunto X dado é aberto, fechado ou nem aberto nem fechado. Justifique. 7) Verifique quais são os pontos de acumulação do conjunto X. Apresente seu derivado X’. 8) Verifique se X possui pontos isolados. Identifique tais pontos, se existirem. Justifique. 9) Faça a união do conjunto X com seu derivado X’ e compare com seu fecho

Ana Brunet1

Capítulo

9

Limite de Funções

1

1  Licenciada e mestre em Matemática (UFRGS), docente da ULBRA.

Capítulo 9

  Limite de Funções   147

Introdução Neste capítulo, apresentaremos a formalização da ideia de limite de funções reais de variável real. A formalização da ideia de limite é atribuída principalmente a Karl Weierstrass (18151897). É conhecida como provas por épsilons e deltas. Essas provas são os alicerces do Cálculo.

9.1 Limite de função – ideia intuitiva Ao iniciarmos o estudo do limite de funções, é natural observarmos o que ocorre com a imagem f(x) quando a variável x assume valores (arbitrariamente) próximos do número a, mas diferentes de a. Isso é feito de diferentes maneiras, como, por exemplo, aritmética e geométrica conforme ilustram as Figuras 9.1 e 9.2.

Figura 9.1  Ideia do limite da função (f(x) = 3x – 1) obtida por atribuição de valores próximos ao x = a (a = 2) – aritmética.

148   Análise Matemática I

Figura 9.2  Ideia do limite da função (f(x) = 3x – 1) obtida por atribuição de valores próximos ao x = a (a = 2) – geométrica.

Em geral, fazemos x tender ao ponto a e observamos o que ocorre com f(x), ou seja, observamos a imagem desses x convergindo para um número L. A formalização do limite de função em um ponto a toma o caminho contrário. Para fixar as ideias, vamos considerar a mesma situação das Figuras 9.1 e 9.2: a função f: ℝ→ℝ, dada por f(x) = 3x – 1, a = 2 e o número L = 5. Podemos exibir, por exemplo, uma vizinhança centrada em x = 2 cuja imagem dos x dessa vizinhança distem de 5 menos que 0,03? De fato, podemos. Desejamos uma vizinhança de 2 cuja distância entre f(x) e 5 seja menor que 0,03, isto é:

Capítulo 9

  Limite de Funções   149

O último resultado obtido (|x – 2| < 0,01) evidencia uma vizinhança de centro 2 e raio 0,01, pois:

Ou seja, todo

possui a propriedade:

E se quisermos tomar uma vizinhança de L = 5 de raio menor que 0,03? Por exemplo, encontrar uma vizinhança centrada em x = 2 cuja imagem dos x dessa vizinhança distem de 5 menos que 0,003. É possível, tente determiná-la! De fato, nesse caso, dada uma vizinhança de L = 5, sempre será possível encontrarmos uma vizinhança de x = 2 tal que a imagem desses x esteja na vizinhança dada de L = 5.

150   Análise Matemática I

9.2 Formalização do limite de função Definição: Seja f função real de variável real e a ponto de acumulação do domínio de f. Se para toda a vizinhança de raio ε do número L, sempre pudermos encontrar uma vizinhança de raio δ do número a tal que todo x do domínio de f cuja distância ao ponto a é menor de que δ e maior do que zero implica a distância entre f(x) e L menor do que ε, então dizemos que o limite de f(x) ao x tender ao ponto a é L. Notação: Quando dizemos “dado ” está implícito que ε pode ser arbitrariamente pequeno, ou seja, tão pequeno quanto quisermos. Assim, ao definirmos limite, estaremos dizendo que dado ε positivo, sempre é possível encontrar δ positivo tal que: x ∈ (D f ∩ (a − δ ,a + δ ) − {a}) ⇒ f ( x ) ∈ ( L − ε , L + ε ) .

Isto é, para todo e qualquer ε > 0, existe δ > 0 tal que: x ∈ Df ∧ a − δ < x < a + δ ∧ x ≠ a ⇒ L − ε < f ( x ) < L + ε .

Ou seja, escrevendo em linguagem simbólica, o limite de f(x) será L ao x tender ao ponto a quando: ∀ε > 0∃δ > 0 | x ∈ D f ∧ 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) − L < ε .

Capítulo 9

  Limite de Funções   151

Assim, definimos:

(

lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0 | x ∈ D f ∧ 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε x→a

)

É importante observar que o número ε dado arbitrariamente, não pode ser mudado até a determinação de δ, pois δ depende de ε. Mudando-se ε, deve-se, em geral, mudar também o número δ. Então, para verificarmos se o limite de uma função f é L ao x tender ao número a, devemos encontrar uma relação entre δ e ε de tal forma que ao ser fornecido o número positivo ε seja possível determinar um número positivo δ com a propriedade: todo o número x do domínio de f cuja distância ao ponto a é menor do que δ e maior do que zero possui sua imagem f(x) com distância de L menor do que ε. Na relação entre δ e ε, δ é diretamente proporcional a ε e, é claro que, se valer para certo número δ0, valerá para qualquer outro δ menor do que δ0. Então, de maneira geral, devemos encontrar uma relação entre δ e ε, da forma: δ < f(ε), com . É importante observar que na relação entre δ e ε não pode haver x envolvido, pois, nesse caso, o número δ ficará mal definido, porque é a partir de δ que se definem quais são os x para os quais vale a propriedade descrita. Vamos verificar, de maneira formal, que o limite da função f(x) = 3x – 1 dos exemplos acima é L = 5 para a = 2. Para tanto, podemos proceder de forma análoga, porém encontrando o raio δ em função do raio ε. Devemos, então, verificar que:

152   Análise Matemática I

Para determinar a relação direta entre δ e ε, podemos iniciar pela distância entre f(x) e L e utilizarmos a hipótese, quando conveniente, de que a distância entre x e 2 é menor que δ. Assim:

Dado

, tomamos e teremos, para , a distância entre f(x) (3x – 1) e L (5) menor que o ε dado, isto é,

9.3 Propriedades dos limites de funções Teorema 9.1: Sejam A fim de que o limite de f(x) seja L ao x tender ao ponto a, é necessário e suficiente que se tenha o limite de f(xn) convergindo para L para toda sequência (xn), com e xn convergindo para a ao n tender ao infinito. A demonstração desse teorema pode ser encontrada em Lima (p. 155 e 156) ou Ávila (p. 146). Com ele, podemos utilizar os resultados determinados para sequências no Capítulo 7, como veremos mais adiante. Além disso, podemos utilizá-lo para verificar a inexistência de limite de funções em pontos dados. Por exemplo, a função cuja representação gráfica é apresentada na Figura 9.3 não possui limite em x = 0.

Capítulo 9

Figura 9.3  Gráfico da função

  Limite de Funções   153

.

De fato, consideremos as sequências Ambas são sequências nulas, mas

e

Portanto, encontramos duas sequências com limite zero cujas imagens convergem para limites diferentes. Logo, não existe o limite de ao x tender a zero. Corolário 1: Se uma função ponto x = a, então ele é único.

possui limite em um

154   Análise Matemática I

Demonstração: Seja função que possua limite em x = a. Sejam L e M limites de f em x = a. Então, consideremos a sequência Essa sequência converge para o número a. Pelo teorema, converge para o mesmo limite que ao x tender ao número a, portanto converge para L e para M, mas isso contradiz a unicidade do limite de uma sequência. C.q.d. Corolário 2: Sejam f e g funções e a ponto de acumulação de seus domínios. Se

então

Além disso, se g é limitada em uma vizinhança de a e 0, então

Capítulo 9

  Limite de Funções   155

Esse corolário facilita a verificação do limite de funções. Por exemplo, vamos garantir que todo polinômio de grau n pn possui limite pn(a) ao x tender ao número x = a. De fato, seja pn polinômio de grau n, então:

Se os limites existem em separado, podemos escrever:

ou

ou ainda,

Mas sabemos que o limite da constante é a própria constante e que o limite da função f(x) = x em x = a é a, portanto os limites existem em separado e o teorema das operações com limites nos permite escrever:

156   Análise Matemática I

Portanto,

Com esse resultado, fica fácil mostrar, por exemplo, que:

Observe que:

Logo, como os limites existem e, portanto, o limite do quociente é o limite dos quocientes, visto que o denominador possui limite não nulo, podemos concluir que:

O que é bem mais fácil do que verificar pela definição! A última parte do teorema nos garante que para determinarmos o limite do produto entre duas funções em um ponto

Capítulo 9

  Limite de Funções   157

no qual o limite de uma é zero nesse ponto, basta a outra ser limitada (isto é, não precisa convergir necessariamente). Por exemplo, a função representada na Figura 9.5, possui limite zero em x = 0, pois é limitada e x tende a zero.

Figura 9.4  Gráfico da função

.

9.4 Limites Laterais Até agora, vimos limites de funções no sentido ordinário ou global no qual a variável x está em uma vizinhança perfurada de onde queremos avaliar o comportamento da função. Uma boa motivação para pensarmos em limites laterais são fun-

158   Análise Matemática I

ções definidas por mais de uma sentença, ou na vizinhança de um ponto que não está no domínio da função, ou ainda, funções definidas em intervalos, situações em que pode não haver elementos do domínio à esquerda ou direita de extremos do domínio. Definição: Dizemos que o limite lateral direito da função é L ao x tender ao ponto a, com quando: ε Dizemos que o limite lateral esquerdo da função é L ao x tender ao ponto a, com , quando: ε Quando o limite de f ao x tender ao ponto a pela direita é L, anotamos:

Quando o limite de f ao x tender ao ponto a pela esquerda é L, anotamos:

Ao estudarmos o limite lateral direito (esquerdo) de uma função f em um ponto a de acumulação à direita (esquerda) do seu domínio, estamos interessados em avaliar o compor-

Capítulo 9

  Limite de Funções   159

tamento da função para valores próximos ao número a, mas maiores que a (menores que a). As Figuras 9.6 e 9.7 ilustram os limites laterais.

Figura 9.5 

.

Figura 9.6 

.

A Figura 9.5 ilustra uma vizinhança simétrica de raio ε do limite L e uma vizinhança à direita de a de raio com a propriedade: Enquanto a Figura 9.6 ilustra uma vizinhança simétrica de raio do limite L e uma vizinhança à esquerda de a de raio com a propriedade: Teorema 9.2: Seja f função com domínio X e a ponto de acumulação à esquerda e a direita de X. A função f possui limite em a se e somente se os limites laterais de f em a existem e são iguais. Demonstração: fica como exercício. Por exemplo, não é possível avaliar o limite da função no sentido global em x = 0, pois essa função não

160   Análise Matemática I

está definida para valores negativos de x. Porém, podemos verificar que seu limite é zero ao x tender a zero pela direita. De fato,

Isto é,

Como a função raiz é crescente, vem:

Dado

, tomamos

e teremos para

:

A função modular troca sua sentença em x = 0. Vamos verificar que o limite dessa função é zero quando x tende a zero, mas vamos precisar dos limites laterais. Pelo teorema, se os limites laterais forem iguais em um ponto, então a função possui limite nesse ponto e é igual ao valor dos limites laterais.

Capítulo 9

  Limite de Funções   161

Esse mesmo teorema nos permite verificar que a função não possui limite em x = 0. Para tanto, vamos verificar os limites laterais.

Logo, não existe o limite, pois os limites laterais, embora existam, são diferentes.

Recapitulando A ideia do número atribuído no contradomínio ser arbitrário e o número gerador dos elementos do domínio ser dependente do primeiro são fundamentais para a compreensão de limite e se estende a todas as formalizações que envolvem o conceito de limite de funções. Assim, dizemos que o limite de uma função f é L ao x tender ao ponto a quando:

162   Análise Matemática I

∀ε > 0∃δ > 0 | x ∈ D f ∧ 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε

Vimos, também, que, a fim de que o limite de f(x) seja L ao x tender ao ponto a, é necessário e suficiente que se tenha o limite de f(xn) convergindo para L para toda sequência (xn), com e xn convergindo para a ao n tender ao infinito. Garantimos a unicidade do limite de uma função em um ponto e as operações com limite de funções. Além disso, apresentamos os limites laterais que são úteis para funções definidas por mais de uma sentença ou para avaliar o comportamento das funções em extremos de intervalos onde estão definidas ou mesmo em pontos de acumulação para os quais a função não está definida.

Dica de Leitura Para conhecer um pouco mais sobre o desenvolvimento do Cálculo Diferencial, sugerimos a leitura do livro O Romance das Equações Algébricas de Gilberto G. Garbi, da Editora Livraria da Física (São Paulo, 2007). No capítulo XIII, denominado Newton Entra em Cena, o autor fala um pouco sobre a vida e obra de Isacc Newton, considerado o matemático que primeiro desenvolveu o Cálculo Diferencial. Sugerimos ainda a leitura do artigo de Geraldo Ávila intitulado Limites e Derivadas no Ensino Médio? publicado na Revista do Professor de Matemática, número 60, página 30.

Capítulo 9

  Limite de Funções   163

Referências ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2006. ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Introdução a Análise Matemática. São Paulo: Blucher, 1993. LIMA, Elon Lages. Curso de Análise. V. 1. Coleção Projeto Euclides. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1999. LIMA, Elon Lages. Análise Real. V. 1. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1993.

Atividades 1) Ache o maior intervalo aberto centrado no ponto x = – 2 tal que para cada ponto x no intervalo o valor da função f(x) = 5x + 4 não esteja mais longe do que 0,01 unidade de f(-2) = – 6. 2) Verifique pela definição que:

164   Análise Matemática I

3) Exiba um exemplo de uma função que não possua limite em todo seu domínio, mas dada por possua limite em todo x real. 4) Prove o Corolário 2. 5) Verifique

que

a

dada por função possui limite somente em x = 0.

6) Use as propriedades dos limites para verificar se possui limite em a:

Ana Brunet1

Capítulo

10

Limites Infinitos e no Infinito; Expressões Indeterminadas Limites Infinitos e no Infinito; Expressões...

1  Licenciada e mestre em Matemática (UFRGS), docente da ULBRA.

1

166   Análise Matemática I

Introdução No Capítulo 9, apresentamos a definição de limite de uma função em um ponto pertencente ao conjunto dos pontos de acumulação do seu domínio. Com essa definição e propriedades estabelecidas, conseguimos verificar se o limite é um número dado ou algumas situações em que ele não existe no ponto dado. Agora, vamos nos preocupar em verificar se uma função deixa de ser limitada na vizinhança de um ponto. Além disso, estudaremos o comportamento de uma função quando os pontos do seu domínio crescem ou decrescem de forma ilimitada. Veremos, ainda, expressões cujo limite não pode ser determinado por simples inspeção.

10.1 Limites infinitos No estudo das definições formais de limites infinitos e no infinito, encontramos muitos tipos. Se, neste estudo, levarmos em consideração os limites laterais, terão outros tantos. Portanto, é interessante desenvolvermos recursos para a obtenção de tais definições. Apresentaremos neste tópico e no próximo, recursos geométricos para obtenção dessas definições, mas vamos precisar das ideias desenvolvidas no Cálculo. Você deve lembrar-se da notação:

Capítulo 10    Limites Infinitos e no Infinito; Expressões...     167

Lê-se: "O limite da f(x) ao x tender ao a é infinito". A função f dada por por exemplo, possui esse comportamento na vizinhança de x = 0. Seu gráfico está representado na Figura 10.1.

Figura 10.1  Gráfico da função

.

É possível determinarmos uma vizinhança de x = 0 tal que a imagem de todo x dessa vizinhança, com exceção do zero, assuma valor maior que 9, por exemplo. De fato:

Ou seja, todo x cuja distância ao zero é menor que 1/3 possui imagem maior que 9. Podemos interpretar o número 9, nesta situação, como uma tentativa de atribuição de cota superior para a imagem da função. Nesse sentido, podemos evidenciar a impossibilidade de atribuição de uma cota superior respondendo a pergunta: dado B um número real positivo,

168   Análise Matemática I

sempre é possível encontrar uma vizinhança de zero cuja imagem para x dessa vizinhança seja maior que B?

De fato, seja qual for B > 0, ao tomarmos x com distância positiva ao zero menor que obtemos a imagem As Figuras 10.2 e 10.3 ilustram geometricamente a situação.

   Figura 10.2  Tentativa de atribuição de conta superior B na imagem da f.

   Figura 10.3  Encontra-se uma vizinhança de x = 0 tal que f(x) > B.

Capítulo 10    Limites Infinitos e no Infinito; Expressões...     169

O comportamento da função na vizinhança de x = 3 é o mesmo. Observe que dado B > 0, podemos encontrar uma vizinhança de 3 tal que f(x) > B. De fato:

Ou seja, dado B > 0, basta tomarmos x com distância ao 3 menor que para obtermos Definição: Dizemos que o limite de f(x) ao x tender ao a é infinito quando a imagem de f não possui cota superior na vizinhança de a. Ou seja, se para qualquer B positivo sempre for possível encontrar uma vizinhança de centro em a e raio δ tal que todo x dessa vizinhança possui imagem f(x) maior que B, então o limite de f(x) ao x tender ao a é infinito. Em linguagem simbólica, fica:

Vamos, agora, utilizar as noções desenvolvidas no Cálculo para ilustrar uma função cuja imagem não possua limite inferior na vizinhança esquerda de um ponto a. Ou seja, uma função que cumpra o significado da notação:

Lê-se: "O limite da f(x) ao x tender ao a pela esquerda é menos infinito".

170   Análise Matemática I

Figura 10.4  Função cuja imagem não possui conta inferior na vizinhança esquerda de x = a.

Figura 10.5  Tentativa de atribuição de conta inferior B na imagem da f.

Capítulo 10    Limites Infinitos e no Infinito; Expressões...     171

Figura 10.6  Encontra-se uma vizinhança de x = a tal que f(x) < B.

Definição: Dizemos que o limite de f(x) ao x tender ao a é menos infinito quando a imagem de f não possui cota inferior na vizinhança esquerda de a. Ou seja, se para qualquer B negativo, sempre for possível encontrar uma vizinhança esquerda de a (a-δ, a) tal que todo x dessa vizinhança possui imagem f(x) menor que B, então o limite de f(x) ao x tender ao a pela esquerda é menos infinito. Então, para que o limite de f(x) seja menos infinito ao x tender ao ponto a pela esquerda, a função tem que cumprir:

Por exemplo, a função em a = ½. Isto é:

satisfaz essa definição

172   Análise Matemática I

Os outros casos de limites infinitos são análogos e ficam como exercício.

10.2 Limites no Infinito Neste tópico, vamos estudar o comportamento de funções quando a variável independente cresce ou decresce de maneira ilimitada. Como se escreve a definição em linguagem simbólica do significado da notação:

Capítulo 10    Limites Infinitos e no Infinito; Expressões...     173

Lê-se: "O limite da f(x) ao x tender ao infinito é L". A Figura 10.7 representa geometricamente a situação.

Figura 10.7  Limite da f(x) ao x tender ao infinito é L.

Nesse protótipo, a função f assume valores maiores que L. Mas outras situações possíveis estão ilustradas na Figura 10.8.

   Figura 10.8  Limite da f(x) ao x tender ao infinito é L – outras situações.

Intuitivamente, observamos que, à medida que x cresce, a imagem vai ficando arbitrariamente próxima do número L. Mas, dada uma vizinhança simétrica de L, o que ocorre? Vamos retomar a representação da Figura 10.7 na Figura 10.9

174   Análise Matemática I

Figura 10.9  Atribuição de vizinhança

no contradomínio.

A partir de certo valor de x, tem-se a imagem da função dentro da vizinhança de L! Marque na Figura 10.9 o valor de x = A para o qual todo x > A tem-se f(x) na vizinhança de raio ε de L. A Figura 10.10 ilustra a situação.

Figura 10.10  Atribuição de vizinhança

no contradomínio.

Ou seja, dado ε>0, sempre é possível encontrar A > 0, tal que todo x > A do domínio da função terá imagem f(x) com distância menor que ε do número L. Em linguagem simbólica, fica:

Capítulo 10    Limites Infinitos e no Infinito; Expressões...     175

A função Ou seja:

Então, dado

e o número L satisfazem essa definição.

, basta tomarmos

e teremos:

A formalização do limite de uma função ser L ao x tender a menos infinito fica como exercício (exercício 3). Existem funções que à medida que x cresce (ou decresce) sua imagem cresce (ou decresce) de forma ilimitada. Teremos limites infinitos no infinito. A imagem da função , por exemplo, não é limitada à medida que x cresce. Para qualquer tentativa de atribuição de cota superior (B), sempre será possível encontrar um número A tal que todo x > A do domínio da função assume valores maiores que B. Ou seja:

No caso de

fica:

176   Análise Matemática I

Nesse caso, basta tomarmos

e teremos para x >

A:

Essa mesma função possui limite infinito ao x tender ao menos infinito. Ou seja:

Pela definição, temos:

Queremos exibir A < 0, assim, dado B > 0 tomamos e teremos para x