Relat+¦rio 2 - Sandro

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Relat´orio - Aula 2 Aluno: Sandro Luiz Giongo - Matr´ıcula: 232635 IF-UFRGS 6 de mar¸co de 2015 Resumo Este relat´orio analisa brevemente dois m´etodos computacionais para determinar uma fun¸c˜ao a partir de uma equa¸c˜ao diferencial definida.

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Introdu¸c˜ ao

´ sabido que no processo de decaimento nuclear o n´ E umero de ´atomos que decaem em um determinado tempo ´e diretamente proporcional `a quantidade destes que existem em um material. Este problema pode ser descrito matematicamente atrav´es da seguinte equa¸ca˜o: dN = −λN dt Onde dN representa o n´ umero de ´atomos que decaem por tempo, λ uma dt constante desconhecida e N o n´ umero de ´atomos no material. Para se determinar o modelo matem´atico que nos informa a grandeza N dependente do tempo, podemos utilizar o m´etodo anal´ıtico ou o num´erico.

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M´ etodo anal´ıtico

Resolvendo a equa¸c˜ao acima obtemos a seguinte express˜ao: N = N0 e−λt Que nos fornece o valor exato para qualquer quantidade de tempo (embora o n´ umero de ´atomos seja uma grandeza discreta).

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3 3.1

M´ etodo num´ erico M´ etodo de Euler expl´ıcito

Usando a defini¸c˜ao de derivada, temos: N (t + ∆t) − N (t) = −λN ∆t→0 ∆t Por este m´etodo, escolhemos um valor suficientemetne pequeno para ∆t e ignoramos o limite, o que causa uma fonte de erro dependente do tamanho de ∆t escolhido. Organizando os termos, obtemos: lim

N (t + ∆t) = N (t)(1 − λ∆t) Assim, tornando t uma vari´avel discreta podemos determinar cada valor de N sabendo-se λ e o valor inicial de N: Ni+1 = Ni (1 − λ∆t) Este procedimento se traduz em liguagem Fortran usando as seguintes linhas de comando: ... do while (t