SLIDES - 05 - v1

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E SISTEMAS

Disciplina: Engenharia Econômica Professor: Cristiano Roos

Santa Maria, Brasil.

FILME

Filme de 2013 baseado nas memórias de Jordan Belfort, o best-seller de mesmo nome. Leonardo DiCaprio representou Belfort, um corretor de títulos de Nova York que dirigiu uma empresa que praticava fraudes de seguro e corrupção em Wall Street na década de 1990.

1

FILME • Ele ganhava mais US$ 50 milhões por ano em seus vinte e poucos anos. • Tinha mais de 1.000 corretores da bolsa de valores trabalhando para ele, todos treinados segundo as suas técnicas de vendas. • Arrecadou mais de US $ 1,5 bilhão em capital de risco, começando várias empresas a partir do zero... • … e assegurava o controle acionário em mais de 30 dessas empresas. • Serviu como consultor para mais de 50 empresas públicas.

2

CAPÍTULO 5: ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 5.1. Análise de Investimentos 5.2. Métodos de Análise de Investimentos 5.2.1. Valor Presente Líquido 5.2.2. Valor Anual Uniforme Equivalente 5.2.3. Custo Anual Uniforme Equivalente 5.2.4. Taxa Interna de Retorno 5.2.5. Análise Custo Benefício 5.2.6. Payback Simples 5.2.7. Payback Descontado 5.2.8. Métodos Modificados

Definição de

Análise de Investimentos

3

Análise de Investimentos A análise de

É indispensável quando

investimentos se baseia

se considera realizar um

no emprego de técnicas

investimento, sendo

contábeis e financeiras

fundamental para a

para identificar qual a

tomada de decisão por

melhor alocação de

parte do investidor.

investimentos entre as diversas alternativas existentes.

Análise de Investimentos Tendo em vista que todo investimento possui em si um risco envolvido, a análise de investimentos contribuirá para minimizá-los, tornando a ação de investir mais lucrativa.

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CAPÍTULO 5: ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 5.1. Análise de Investimentos 5.2. Métodos de Análise de Investimentos 5.2.1. Valor Presente Líquido 5.2.2. Valor Anual Uniforme Equivalente 5.2.3. Custo Anual Uniforme Equivalente 5.2.4. Taxa Interna de Retorno 5.2.5. Análise Custo Benefício 5.2.6. Payback Simples 5.2.7. Payback Descontado 5.2.8. Métodos Modificados

Métodos de Análise de Investimentos

São métodos de cálculo que geram valores que servirão de base para a Análise de Investimentos.

Os métodos que serão vistos aqui, são os mais utilizados em Análises de Investimentos no Brasil e no Mundo.

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CAPÍTULO 5: ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 5.1. Análise de Investimentos 5.2. Métodos de Análise de Investimentos 5.2.1. Valor Presente Líquido 5.2.2. Valor Anual Uniforme Equivalente 5.2.3. Custo Anual Uniforme Equivalente 5.2.4. Taxa Interna de Retorno 5.2.5. Análise Custo Benefício 5.2.6. Payback Simples 5.2.7. Payback Descontado 5.2.8. Métodos Modificados

Valor Presente Líquido

O Valor Presente Líquido (VPL) é obtido pela soma de todos os valores do fluxo de caixa trazidos para a data presente. Para trazer os valores futuros para o presente deve-se considerar a taxa de juros.

6

Valor Presente Líquido Utiliza-se as relações de equivalência para calcular o VPL.

VPL=? 0 P

F1

1

F2

F3

2

Fn

3

n

VPL  0 significa que o projeto é viável

Valor Presente Líquido

Exemplo: Os investimentos iniciais em uma máquina industrial somam R$ 100.000,00. Os lucros esperados são de R$ 25.000,00 por ano. Após 5 anos a máquina chegará ao final de sua vida útil e a indústria terá um valor residual de R$ 10.000,00 pela venda da máquina. Determine o Valor Presente Líquido (VPL) deste projeto, considerando uma TMA de 10% ao ano.

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Valor Presente Líquido Solução do Exemplo:

10.000 25.000

0

1

2

3

4

5

100.000

VPL = P + A ∙ (P/A ; i ; n) + F ∙ (P/F ; i ; n)

Valor Presente Líquido Solução do Exemplo:

VPL = P + A ∙ (P/A ; i ; n) + F ∙ (P/F ; i ; n) VPL = − 100.000 + 25.000 ∙

(1 + 0,1) −1 1 + 10.000 ∙ 0,1 ∙ (1 + 0,1) (1 + 0,1)

VPL = − 100.000,00 + 94.769,67 + 6.209,21 VPL = R$ 978,88

VPL  0 significa que o projeto é viável

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Valor Presente Líquido E quando se tem mais de um projeto, como eu sei qual é a melhor alternativa de investimento? No VPL quando se tem mais de um projeto, as alternativas de investimento devem ser analisadas em um mesmo horizonte de tempo. Mas na prática podemos ter três situações diferentes.

Valor Presente Líquido Projetos

Com vidas iguais

Com vidas diferentes

Repetitivos

Não repetitivos

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Valor Presente Líquido 1. Projetos com vidas iguais

Neste caso tem-se o horizonte de tempo de análise igual para todos os projetos. Deve-se calcular diretamente o VPL para cada projeto em análise, e logo após, escolher o projeto com maior VPL. Escolher o projeto com maior VPL

Valor Presente Líquido 1. Projetos com vidas iguais Exemplo: Dadas as duas alternativas de investimento ao lado, determine a melhor delas, para um investidor cuja TMA é de 0 1 10% ao mês. Utilize o Método Projeto A 3.000 VPL. 0 Projeto B

1

1.000 4

1.650 4

5.000

10

Valor Presente Líquido

Escolher o projeto com maior VPL

Solução do Exemplo:

VPL = P + A ∙ (P/A ; i ; n) VPL = − 3.000 + 1.000 ∙

1 + 0,1 − 1 = 169,87 0,1 ∙ 1 + 0,1

VPL = P + A ∙ (P/A ; i ; n) VPL = − 5.000 + 1.650 ∙

1 + 0,1 − 1 = 230,28 0,1 ∙ 1 + 0,1

1.000 0 Projeto A

1

3.000

1.650 4 Projeto B

0

1

4

5.000

Valor Presente Líquido 2. Projetos com vidas diferentes (repetitivos) Neste caso tem-se diferentes tempos de duração para pelo menos dois projetos. Se os projetos puderem ser repetidos, o horizonte de análise deve ser igual ao mínimo múltiplo comum da duração dos projetos. Depois deve-se calcular o VPL para cada projeto em análise, e logo após, escolher o projeto com maior VPL. Escolher o projeto com maior VPL

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Valor Presente Líquido 2. Projetos com vidas diferentes (repetitivos) Exemplo: Dadas as duas alternativas de investimento ao lado, determine a melhor delas, para um investidor cuja TMA é 1.000 de 10% ao mês. Utilize o Método VPL e considere que os 3 0 1 projetos podem ser Projeto A 2.000 repetidos. 1.650 0 Projeto B

Valor Presente Líquido Solução do Exemplo:

1

6.500

Alternativas de investimento devem ser analisadas em um mesmo horizonte de tempo

Projeto A

1

3

0 Projeto A

2.000

1

2.000

1.650 0 Projeto B

1

6.500

1.000

1.000

1.000 0

6

3 4

6

2.000 1.650

6 Projeto B

0

1

6

6.500

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Valor Presente Líquido

Escolher o projeto com maior VPL

Solução do Exemplo:

VPL = P + A ∙ (P/A ; i ; n) + F ∙ (P/F ; i ; n) VPL = − 2.000 + 1.000 ∙

1 + 0,1 − 1 1 − 2.000 ∙ 0,1 ∙ 1 + 0,1 1 + 0,1

= 852,63

VPL = P + A ∙ (P/A ; i ; n) VPL = − 6.500 + 1.650 ∙

Projeto A

1

2.000

1.650

1.000

1.000 0

1 + 0,1 − 1 = 686,18 0,1 ∙ 1 + 0,1

3 4 2.000

6 Projeto B

0

1

6

6.500

Valor Presente Líquido 3. Projetos com vidas diferentes (não repetitivos) Neste caso tem-se diferentes tempos de duração para pelo menos dois projetos. Se os projetos não puderem ser repetidos, o horizonte de análise não será considerado. Deve-se calcular diretamente o VPL para cada projeto em análise, e logo após, escolher o projeto com maior VPL. Escolher o projeto com maior VPL

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Valor Presente Líquido 3. Projetos com vidas diferentes (não repetitivos) Exemplo: Dadas as duas alternativas de investimento ao lado, determine a melhor delas, para um investidor cuja TMA é 1.000 de 10% ao mês. Utilize o Método VPL e considere que os 3 0 1 projetos não podem ser Projeto A 2.000 repetidos. 1.650 0 Projeto B

1

6

6.500

Valor Presente Líquido

Escolher o projeto com maior VPL

Solução do Exemplo:

VPL = P + A ∙ (P/A ; i ; n) + F ∙ (P/F ; i ; n) VPL = − 2.000 + 1.000 ∙

1 + 0,1 − 1 = 486,85 0,1 ∙ 1 + 0,1

VPL = P + A ∙ (P/A ; i ; n) VPL = − 6.500 + 1.650 ∙

1 + 0,1 − 1 = 686,18 0,1 ∙ 1 + 0,1 1.650

1.000 0 Projeto A

1

2.000

0

3 Projeto B

1

6

6.500

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Problema Proposto (77 - apenas a letra “a”): 77. O fluxo de caixa abaixo representa em períodos trimestrais os investimentos e as receitas relacionadas a um projeto de ampliação em uma indústria. Para uma taxa TMA de 8% a.t., determine: a) O Valor Presente Líquido (VPL); b) O Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE); c) A Taxa Interna de Retorno (TIR); d) O Índice Benefício Custo (IBC); e) O Payback descontado. Período Investimento (R$)

0

1

2

3

4

5

6

15.000 12.000 10.000

Receita (R$)

13.000 13.000 13.000 13.000

CAPÍTULO 5: ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 5.1. Análise de Investimentos 5.2. Métodos de Análise de Investimentos 5.2.1. Valor Presente Líquido 5.2.2. Valor Anual Uniforme Equivalente 5.2.3. Custo Anual Uniforme Equivalente 5.2.4. Taxa Interna de Retorno 5.2.5. Análise Custo Benefício 5.2.6. Payback Simples 5.2.7. Payback Descontado 5.2.8. Métodos Modificados

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Valor Anual Uniforme Equivalente Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE) consiste em encontrar uma série uniforme padrão equivalente ao fluxo de caixa do projeto de investimento considerando uma Taxa Mínima de Atratividade. Adequado em análises que envolvam atividades operacionais do investimento, com projetos que normalmente possam se repetir.

Valor Anual Uniforme Equivalente Utiliza-se as relações de equivalência para calcular o VAUE.

F1

F2

Fn

F3 VAUE=?

0 P

1

2

3

n

VAUE  0 significa que o projeto é viável

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Valor Anual Uniforme Equivalente

Exemplo: Os investimentos iniciais em uma máquina industrial somam R$ 100.000,00. Os lucros esperados são de R$ 25.000,00 por ano. Após 5 anos a máquina chegará ao final de sua vida útil e a indústria terá um valor residual de R$ 10.000,00 pela venda da máquina. Determine o Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE) deste projeto, considerando uma TMA de 10% ao ano.

Valor Anual Uniforme Equivalente Solução do Exemplo:

10.000 25.000

0

1

2

3

4

5

100.000

VAUE = P ∙ (A/P ; i ; n) + A + F ∙ (A/F ; i ; n)

17

Valor Anual Uniforme Equivalente Solução do Exemplo:

VAUE = P ∙ (A/P ; i ; n) + A + F ∙ (A/F ; i ; n) VAUE = − 100.000 ∙

0,1 ∙ (1 + 0,1) 0,1 + 25.000 + 10.000 ∙ (1 + 0,1) −1 (1 + 0,1) −1

VAUE = − 26.379,74 + 25.000,00 + 1.637,97 VAUE = R$ 258,23

VAUE  0 significa que o projeto é viável

Valor Anual Uniforme Equivalente E quando se tem mais de um projeto, como eu sei qual é a melhor alternativa de investimento? No VAUE quando se tem mais de um projeto, as alternativas de investimento também devem ser analisadas em um mesmo horizonte de tempo.

Mas na prática podemos ter três situações diferentes.

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Valor Anual Uniforme Equivalente

Projetos

Com vidas iguais

Com vidas diferentes

Repetitivos

Não repetitivos

Valor Anual Uniforme Equivalente 1. Projetos com vidas iguais

Neste caso tem-se o horizonte de tempo de análise igual para todos os projetos. Deve-se calcular diretamente o VAUE para cada projeto em análise, e logo após, escolher o projeto com maior VAUE. Escolher o projeto com maior VAUE

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Valor Anual Uniforme Equivalente 1. Projetos com vidas iguais Exemplo: Dadas as duas alternativas de investimento ao lado, determine a melhor delas, para um investidor cuja TMA é de 0 1 10% ao mês. Utilize o Método Projeto A 3.000 VAUE. 0 Projeto B

1.000 4

1.650

1

4

5.000

Valor Anual Uniforme Equivalente

Escolher o projeto com maior VAUE

Solução do Exemplo:

VAUE = P ∙ (A/P ; i ; n) + A VAUE = − 3.000 ∙

0,1 ∙ 1 + 0,1 + 1.000 = 53,59 1 + 0,1 − 1

VAUE = P ∙ (A/P ; i ; n) + A) VAUE = − 5.000 ∙

0,1 ∙ 1 + 0,1 + 1.650 = 72,65 1 + 0,1 − 1

1.000 0 Projeto A

1

3.000

1.650 4 Projeto B

0

1

4

5.000

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Valor Anual Uniforme Equivalente 2. Projetos com vidas diferentes (repetitivos) Neste caso tem-se diferentes tempos de duração para pelo menos dois projetos. Se os projetos puderem ser repetidos, o horizonte de análise não será considerado. Deve-se calcular diretamente o VAUE para cada projeto em análise, e logo após, escolher o projeto com maior VAUE. Escolher o projeto com maior VAUE

Valor Anual Uniforme Equivalente 2. Projetos com vidas diferentes (repetitivos) Exemplo: Dadas as duas alternativas de investimento ao lado, determine a melhor delas, para um investidor cuja TMA é 1.000 de 10% ao mês. Utilize o Método VAUE e considere que os 3 0 1 projetos podem ser Projeto A 2.000 repetidos. 1.650 0 Projeto B

1

6

6.500

21

Valor Anual Uniforme Equivalente

Escolher o projeto com maior VAUE

Solução do Exemplo: VAUE = P ∙ (A/P ; i ; n) + A VAUE = − 2.000 ∙

0,1 ∙ 1 + 0,1 + 1.000 = 195,77 1 + 0,1 − 1

VAUE = P ∙ (A/P ; i ; n) + A VAUE = − 6.500 ∙

0,1 ∙ 1 + 0,1 + 1.650 = 157,55 1 + 0,1 − 1 1.650

1.000 0 Projeto A

1

0

3

2.000

Projeto B

1

6

6.500

Valor Anual Uniforme Equivalente 3. Projetos com vidas diferentes (não repetitivos) Neste caso tem-se diferentes tempos de duração para pelo menos dois projetos. Se os projetos não puderem ser repetidos, transforma-se um dos fluxos em um fluxo equivalente de mesmo horizonte de tempo do outro, utilizando-se a TMA do investidor. Depois deve-se calcular o VAUE para cada projeto em análise, e logo após, escolher o projeto com maior VAUE. Escolher o projeto com maior VAUE

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Valor Anual Uniforme Equivalente 3. Projetos com vidas diferentes (não repetitivos)

Ao se transformar um fluxo de caixa em um novo deve-se considerar (que no período diferencial) os recursos estejam aplicados à TMA. Usualmente, transforma-se o fluxo de caixa do projeto de menor duração para o de maior duração.

Valor Anual Uniforme Equivalente 3. Projetos com vidas diferentes (não repetitivos) Exemplo: Dadas as duas alternativas de investimento ao lado, determine a melhor delas, para um investidor cuja TMA é 1.000 de 10% ao mês. Utilize o Método VAUE e considere que os 3 0 1 projetos não podem ser Projeto A 2.000 repetidos. 1.650 0 Projeto B

1

6

6.500

23

Valor Anual Uniforme Equivalente

Alternativas de investimento devem ser analisadas em um mesmo horizonte de tempo

Solução do Exemplo:

AA = ?

1.000 0 Projeto A

1

0

3 Projeto A

2.000

1

2.000 1.650

1.650 0 Projeto B

6

1

6 Projeto B

6.500

0

1

6

6.500

Valor Anual Uniforme Equivalente Solução do Exemplo: P = A ∙ (P/A ; i ; n) P = 1.000 ∙

1 + 0,1 − 1 =2.486,85 0,1 ∙ 1 + 0,1

A = P ∙ (A/P ; i ; n) A =2.486,85 ∙

0,1 ∙ 1 + 0,1 = 571,00 1 + 0,1 − 1

AA = ? 0

1

Projeto A 2.000

1.650 6 Projeto B

0

1

6

6.500

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Valor Anual Uniforme Equivalente

Escolher o projeto com maior VAUE

Solução do Exemplo: VAUE = P ∙ (A/P ; i ; n) + A VAUE = − 2.000 ∙

0,1 ∙ 1 + 0,1 + 571 = 111,78 1 + 0,1 − 1

VAUE = P ∙ (A/P ; i ; n) + A VAUE = − 6.500 ∙

0,1 ∙ 1 + 0,1 + 1.650 = 157,55 1 + 0,1 − 1

571 0

1.650

1

Projeto B

Projeto A 2.000

1

0

6

6

6.500

Problema Proposto (77 - apenas a letra “b”): 77. O fluxo de caixa abaixo representa em períodos trimestrais os investimentos e as receitas relacionadas a um projeto de ampliação em uma indústria. Para uma taxa TMA de 8% a.t., determine: a) O Valor Presente Líquido (VPL); b) O Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE); c) A Taxa Interna de Retorno (TIR); d) O Índice Benefício Custo (IBC); e) O Payback descontado. Período Investimento (R$) Receita (R$)

0

1

2

3

4

5

6

15.000 12.000 10.000 13.000 13.000 13.000 13.000

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CAPÍTULO 5: ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 5.1. Análise de Investimentos 5.2. Métodos de Análise de Investimentos 5.2.1. Valor Presente Líquido 5.2.2. Valor Anual Uniforme Equivalente 5.2.3. Custo Anual Uniforme Equivalente 5.2.4. Taxa Interna de Retorno 5.2.5. Análise Custo Benefício 5.2.6. Payback Simples 5.2.7. Payback Descontado 5.2.8. Métodos Modificados

Custo Anual Uniforme Equivalente O Custo Anual Uniforme Equivalente (CAUE) é uma variante do VAUE. O CAUE é utilizado quando se realiza uma análise de investimentos onde preponderam as saídas de caixa, tendo-se, no final, um valor que representa um custo anual ao invés de uma receita anual. No CAUE inverte-se a convenção de sinais: as saídas (desembolsos) tem sinal positivo e as entradas (recebimentos) tem sinal negativo.

No mais, o CAUE é idêntico ao VAUE.

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Custo Anual Uniforme Equivalente

O CAUE é muito utilizado para determinar a vida econômica de um bem durável. A vida econômica de um bem durável é o horizonte de tempo no qual este bem apresenta o menor custo total. O custo total considera o custo de capital (custo de aquisição) e os custos de operação (que inclui, por exemplo, a manutenção).

Custo Anual Uniforme Equivalente

Custo Total

CAUE

Custo de Operação

Custo de Capital Vida Econômica

Vida Útil

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Custo Anual Uniforme Equivalente Exemplo: Calcule a Vida Econômica de um carro pelo método CAUE. O preço do carro novo é R$ 80.000,00 e a TMA do comprador é 10% ao ano. O valor de revenda e os custos de operação, ano a ano, são mostrados na tabela.

Ano → Valor de Revenda → Custo Operacional →

1 75.600 13.000

2 71.600 13.500

3 68.200 14.000

4 64.000 14.500

Custo Anual Uniforme Equivalente Solução do Exemplo: CAUE1 (vendendo o carro após 1 ano) 75.600

0

1

80.000

13.000

CAUE =25.400,00

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Custo Anual Uniforme Equivalente Solução do Exemplo: CAUE2 (vendendo o carro após 2 anos) 71.600

0

1

80.000

13.000

2 13.500

CAUE =25.238,10

Custo Anual Uniforme Equivalente Solução do Exemplo: CAUE3 (vendendo o carro após 3 anos) 68.200

0

1

80.000

13.000

2 13.500

3 14.000

CAUE =25.033,23

29

Custo Anual Uniforme Equivalente Solução do Exemplo: CAUE4 (vendendo o carro após 4 anos) 64.000

0

1

80.000

2

13.000

13.500

3 14.000

4 14.500

CAUE =25.138,12

Custo Anual Uniforme Equivalente Solução do Exemplo: Concluindo, a Vida Econômica do carro é de 3 anos. Custo CAUE Total Custo de Operação

Custo de Capital Vida Econômica Ano → CAUE →

1

2

Vida Útil 3

4

25.400,00 25.238,10 25.033,23 25.138,12

30

Problemas Propostos:

78 80 82 84

Problemas Propostos: 78. Para uma TMA de 18% ao ano, determine a vida econômica e calcule o correspondente CAUE por período de uma máquina industrial que custa R$ 19.000,00 e da qual, se conhecem os seguintes dados: Períodos (anos) Valor de Revenda (R$) Custo Operacional (R$)

1 13.300 2.700

2 10.000 4.000

3 6.800 5.400

4 3.000 7.000

80. O DNIT está considerando dois tipos de cobertura asfáltica para estradas com os custos por quilômetro conforme a tabela que segue. Calcule o VPL dos dois tipos de cobertura asfáltica para um horizonte de planejamento de 24 anos e valor residual nulo. Considere uma TMA de 10% ao ano. Custo Inicial (R$) Período de Revestimento (anos) Custo Anual de Conservação (R$) Custo de Revestimento (R$)

Tipo A 300.000 8 10.000 150.000

Tipo B 200.000 6 12.000 120.000

31

Problemas Propostos: 82. Dois processos de produção estão em estudo em uma indústria, sendo que os dados estão resumidos na tabela a seguir. Utilizando os métodos: a) Valor Presente Líquido e; b) Valor Anual Uniforme Equivalente; calcule e responda qual é a alternativa mais econômica, para uma TMA de 10% ao ano. Considere as alternativas A e B com repetição. Considere que não haverá valor residual após 10 anos. Investimento Inicial (R$) Vida Útil dos Equipamentos (anos) Custo Anual de Manutenção (R$) Custo Extra de Manutenção (R$)

Processo A 300.000 5 120.000 0

Processo B 700.000 10 100.000 50.000 no 5° ano

Problemas Propostos: 84. Um investidor do mercado imobiliário está considerando três possibilidades de investimento, conforme a tabela que segue. Se o custo do dinheiro para este investidor é de 12% a.a., determine a melhor opção de investimento, pelos métodos: a) do Valor Presente Líquido e; b) do Valor Anual Uniforme Equivalente. Preço de compra do imóvel (R$) O imóvel será vendido após (anos) Valor líquido do aluguel anual (R$) Valor de revenda (R$)

Sala Comercial Apartamento 150.000 95.000 10 10 18.000 11.400 180.000 120.000

Casa 70.000 10 9.600 70.000

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E SISTEMAS

Disciplina: Engenharia Econômica Professor: Cristiano Roos

Santa Maria, Brasil.

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CAPÍTULO 5: ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 5.1. Análise de Investimentos 5.2. Métodos de Análise de Investimentos 5.2.1. Valor Presente Líquido 5.2.2. Valor Anual Uniforme Equivalente 5.2.3. Custo Anual Uniforme Equivalente 5.2.4. Taxa Interna de Retorno 5.2.5. Análise Custo Benefício 5.2.6. Payback Simples 5.2.7. Payback Descontado 5.2.8. Métodos Modificados

Definição de

Taxa Interna de Retorno

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Taxa Interna de Retorno Taxa Interna de Retorno (TIR) é uma taxa de juros que expressa a rentabilidade de um projeto. Trata-se da taxa de juros que torna equivalentes os desembolsos e as receitas, ou em outras palavras, é a taxa de desconto para a qual tem-se VPL = 0. Pode ser determinada diretamente pelas equações ou por interpolação linear, testando-se diversas taxas de juros.

Taxa Interna de Retorno Se para uma tentativa obter-se VPL>0, deve-se aumentar a taxa de juros. Se para uma tentativa obter-se VPL0 e outra taxa que fornece VPL