Aula 13 - slides

SAVE OFFLINE

Matemática Matemática Elementar I Prof. Dr. Nadime Mustafa Moraes a

a

Prof. MSc. Alessandro Monteiro

CENTRO DE MÍDIAS

AULA 13.1

TEMA Taxa de variação da função do 1° grau.

OBJETIVO Reconhecer a taxa de variação como propriedade fundamental do comportamento geométrico da função do 1° grau na perspectiva de aplicações do cotidiano.

AULA

DL

Taxa de variação de uma função Em uma função do 1 grau temos que a taxa de variação é dada pelo coeficiente a. Temos que uma função do 1° grau respeita a seguinte lei de formação f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e b ≠ 0. A taxa de variação da função é dada pela seguinte expressão:

f ( x + h) − f ( x ) a= h

Em qualquer função R: IR-> IR, quando damos um acréscimo h à variável x, passando de x para x+h, há, em correspondência, um acréscimo f(x+h) - f(x) no valor da função

3

AULA

DL

Vamos, através de uma demonstração, provar que a taxa de variação da função f(x) = 2x + 3 é dada por 2. f(x) = 2x + 3 f(x + h) = 2(x + h) + 3 → f(x + h) = 2x + 2h + 3 (h ≠ 0)

4

AULA

DL

Dessa forma, temos que: f(x + h) − f(x) = 2x + 2h + 3 – (2x + 3) f(x + h) − f(x) = 2x + 2h + 3 – 2x – 3 f(x + h) − f(x) = 2h Então:

a=

f ( x + h) − f ( x ) 2h ⇒ a= ⇒ a= 2 h h

5

AULA

DL

Observe que, após a demonstração, constatamos que a taxa de variação pode ser calculada diretamente, identificando o valor do coeficiente a na função dada. Por exemplo, nas funções seguintes a taxa de variação é dada por: a) f(x) = –5x + 10, taxa de variação a = –5 b) f(x) = 10x + 52, taxa de variação a = 10 c) f(x) = 0,2x + 0,03, taxa de variação a = 0,2 d) f(x) = –15x – 12, taxa de variação a = –15 6

AULA

DL

Observe mais uma demonstração, comprovando que a taxa de variação de uma função é dada pelo coeficiente angular da reta. A função dada é a seguinte: f(x) = –0,3x + 6. f(x) = –0,3x + 6 f(x + h) = –0,3(x + h) + 6 → f(x + h) = –0,3x –0,3h + 6 7

AULA

DL

f(x + h) − f(x) = –0,3x –0,3h + 6 – (–0,3x + 6) f(x + h) − f(x) = –0,3x –0,3h + 6 + 0,3x – 6 f(x + h) − f(x) = –0,3h

f ( x + h) − f ( x ) −0,3h a= ⇒a= ⇒a= −0,3 h h 8

AULA

DL

A taxa de variação de uma função do 1° grau é determinada nos cursos superiores através do desenvolvimento da derivada de uma função. Para tal aplicação precisamos estudar alguns fundamentos envolvendo noções de Cálculo I. Vamos demonstrar uma situação mais simples que envolve a derivada de uma função.

9

AULA

DL

A derivada de um valor constante é igual a zero.

d (C ) =0 dx Por exemplo: f(x) = 2 → f’(x) = 0 (lê-se f linha) A derivada de uma potência é dada pela expressão: d (x ) n −1 = n.x dx n

10

AULA

DL

f(x) = x² → f’(x) = 2.x

2–1

→ f’(x) = 2x

f(x) = 2x³ – 2 → f’(x) = 3.2x

3–1

→ f’(x) = 6x²

Portanto, para determinarmos a derivada (taxa de variação) de uma função do 1° grau, basta aplicarmos as duas definições demonstradas acima. Observe: 11

AULA

DL

f(x) = 2x – 6 → f’(x) = 1*2x → f’(x) = 2x → f’(x) = 2 1–1

0

f(x) = –3x + 7 → f’(x) = –3

12

AULA

DL

1) Exemplos aplicados: A figura a seguir representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008.

13

AULA

DL

Se M(x) é o valor em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então: a) M (x) = 500 + 0,4x b) M (x) = 500 + 10x c) M (x) = 510 + 0,4x d) M (x) = 510 + 40x e) M (x) = 500 + 10,4x

14

AULA

DL

Solução: Se houve x dias de atraso, então a multa será R$10,00 + 0,40.x, que será acrescida do valor a ser pago. Então: M(x) = 500 + 10 + 0,4x => M(x) = 510 + 0,4x.

15

AULA

DL

2) O treinamento físico, na dependência da qualidade de esforço realizado, provoca, ao longo tempo, aumento do peso do fígado e do volume do coração. De acordo com especialistas, o fígado de uma pessoa treinada tem maior capacidade de armazenar glicogênio, substância utilizada no metabolismo energético durante esforços de longa duração.

16

AULA

DL

De acordo com dados experimentais realizados por Thorner e Dummler (1996), existe uma relação linear entre a massa hepática e o volume cardíaco de um indivíduo fisicamente treinado. Nesse sentido, essa relação linear pode ser expressa por y = ax + b onde y representa o volume cardíaco em mililitros (ml) e x representa a massa do fígado em gramas (g) A partir da leitura do gráfico abaixo, afirma-se que a lei de formação linear que descreve a relação entre o volume cardíaco e a massa do fígado de uma pessoa treinada é: 17

AULA

DL Volume cardíaco (ml)

1315

745

1400

2000 Massa do fígado (g)

(Fonte: Cálculo Ciências Médicas e Biológicas, Editora Harbra Ltda.São Paulo, 1988 - Texto adaptado.)

a) y = 0,91x - 585 b) y = 0,92 x +585 c) y = -0,93x - 585 d) y = 0,94x - 585 e) y = 0,95x -585

18

AULA

DL

3) Os procedimentos de decolagem e pouso de uma aeronave são os momentos mais críticos de operação, necessitando de concentração total da tripulação e da torre de controle dos aeroportos. Segundo levantamento da Boeing, realizado em 2009, grande parte dos acidentes aéreos com vítimas ocorre após iniciar-se a fase da descida da aeronave. Desta forma, é essencial para os procedimentos adequados de segurança, monitorar-se o tempo de descida da aeronave. 19

AULA

DL

A tabela mostra a altitude y de uma aeronave, registrada pela torre de controle, t minutos após o início dos procedimentos de pouso. tempo t (em minutos)

0

5

10

15

20

altitude y (em metros)

10000

8000

6000

4000

2000

20

AULA

DL

Considere que, durante todo o procedimento de pouso, a relação entre y e t é linear. De acordo com os dados apresentados, a relação entre y e t é dada por: a) y = -400 t b) y = -2000t c) y = 8000 - 400 t d) y = 10 000 - 400 t e) y= 10 000 - 2 000 t 21

AULA

DL

4) Para animar uma festa, o conjunto A cobra uma taxa fixa de R$ 500,00, mais R$ 40,00 por hora. O conjunto B, pelo mesmo serviço, cobra uma taxa fixa de R$ 400,00, mais R$ 60,00 por hora. O tempo máximo de duração de uma festa, para que a concentração do conjunto B não fique mais cara que a do conjunto A, em horas, é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

22

AULA

DL

5) O gráfico a seguir mostra, no eixo vertical, os valores da receita mensal e do custo mensal de um produto fabricado por uma empresa, ambos em função da quantidade x de unidades produzidas. Receita 15.000 Custo 11.000

6.000

0

1.000

x

23

AULA

DL

Sabendo que toda produção é comercializada, para que essa empresa tenha lucro deverá produzir uma quantidade mínima de unidades desse produto igual a: a) 431 b) 511 c) 601 d)741 e)851 24

AULA

DL

6. Um comerciante teve uma despesa de R$230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$5,00, o lucro final L será dado em função das x unidades vendidas. Responda: a) Qual a lei dessa função f; b) Para que valores de x têm f(x) < 0? Como podemos interpretar esse caso? c) Para que valores de x haverá um lucro de R$315,00? d) Para que valores de x o lucro será maior que R$280,00? 25

DINÂMICA LOCAL

AULA

DL

Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: a) Escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças e destaque sua taxa de variação. b) Calcule o custo para 100 peças.

27 27

AULA 13.2

TEMA Taxa de variação da função do 2° grau.

OBJETIVO Reconhecer a taxa de variação como propriedade fundamental do comportamento geométrico da função do 2° grau na perspectiva de aplicações do cotidiano.

AULA

DL

Exercícios aplicados: −1 1 = y f= ( x) x + 1.O gráfico da função 200 5 representando na questão, descreve a trajetória de um projétil, lançado a partir da origem. Sabendo-se que x e y são dados em quilômetros, a altura máxima H e o alcance A do projétil são, respectivamente: 2

29

AULA

DL

( A ) 2 km e 40 km ( B ) 40 km e 2 km ( C ) 10 km e 2 km ( D ) 2 km e 20 km

30

AULA

DL

2. O óxido de potássio, K2O , é um nutriente usado para melhorar a produção em lavouras de cana-de-açúcar. Em determinada região, foram testadas três dosagens diferentes do nutriente e, neste caso, a relação entre a produção de cana e a dosagem do nutriente se deu conforme mostra a tabela a seguir: Dose do nutriente (kg/hectare) 0 70 140

Produção de cana-de-açúcar (toneladas/hectare) 42 56 61 31

AULA

DL

Considerando que a produção de cana-de-açúcar por hectare em função da dose de nutriente pode ser descrita 2 por uma função do tipo y (x) = ax + bx +c, determine a quantidade de nutriente por hectare que maximiza a produção de cana-de-açúcar por hectare.

32

AULA

DL

3. O gerente de um estabelecimento comercial observou que o lucro (L) de sua loja dependia da quantidade de clientes ( c ) que frequentava o mesmo diariamente. Um matemático, analisando a situação estabeleceu a seguinte função: L(c ) = – c² + 60c – 500

33

AULA

DL

Qual seria o número de clientes necessário para que o gerente obtivesse o lucro máximo em seu estabelecimento? a) 28 b) 29 c) 30 d) 32 e) 34 Resposta: C 34

AULA

DL

4. Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) = 3x² − 12x e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x² − 40x − 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a:

35

AULA

DL

a) 4 lotes b) 5 lotes c) 6 lotes d) 7 lotes e) 8 lotes Resposta: D 36

AULA

DL

5. A função f: [-2, 4] —> R, definida por f(x) = – x² + 2x + 3, possui seu gráfico apresentado a seguir.

O valor máximo assumido pela função f é: a) 6

b) 5

c) 4

d) 3

e) 1

Resposta: C 37

AULA

DL

6.O lucro de uma empresa em um período de 15 meses foi modelado matematicamente por meio da seguinte função 2 f (x) = ax + bx + c, em que a variável x indica o mês e f (x) o lucro, em milhões de reais, obtido no mês x. Sabe-se que, no início desse período, digamos mês zero, a empresa tinha um lucro de 2 milhões de reais; no primeiro mês, o lucro foi de 3 milhões de reais; e, no décimo quinto mês, o lucro foi de 7 milhões de reais. Com base nessas informações, assinale o que for correto: 38

AULA

DL

01) O lucro obtido no décimo quarto mês foi igual ao lucro obtido no oitavo mês. 02) O lucro máximo foi obtido no décimo mês. 04) O lucro máximo obtido foi superior a 7,5 milhões de reais. 08) O lucro da empresa nesse período de 15 meses oscilou de 2 a 7 milhões de reais. 16) O gráfico da função que modela o lucro é uma parábola com concavidade para baixo. Resposta da questão: 01 + 04 + 16 = 21. 39

DINÂMICA LOCAL

AULA

DL

O lucro mensal de uma empresa é dado por 2 L (x) = -x + 120x - 25, sendo x a quantidade mensal vendida. Determine o lucro mensal máximo possível. ( A ) R$ 3575,00 ( B ) R$ 3240,00 ( C ) R$ 3680,00 ( D ) R$ 3230,00 ( E ) R$ 3250,00 41 41