TCC - DAYARA DUARTE DE OLIVEIRA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

DAYARA DUARTE DE OLIVEIRA

PANORAMA HISTÓRICO DOS NÚMEROS PRIMOS

FORTALEZA 2019

DAYARA DUARTE DE OLIVEIRA

PANORAMA HISTÓRICO DOS NÚMEROS PRIMOS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Graduação em Matemática do Centro de Ciências da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial à obtenção do grau de licenciada em Matemática. Orientador: Prof. zerra Júnior

FORTALEZA 2019

Me.

Elzon Cézar Be-

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará Biblioteca Universitária Gerada automaticamente pelo módulo Catalog, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

O46p

Oliveira, Dayara Duarte de. Panorama Histórico dos Números Primos / Dayara Duarte de Oliveira. – 2019. 31 f. : il. color. Trabalho de Conclusão de Curso (graduação) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Curso de Matemática, Fortaleza, 2019. Orientação: Prof. Me. Elzon Cézar Bezerra Júnior. 1. Números Primos. 2. História da Matemática. 3. Linha do Tempo. 4. Matemáticos. I. Título. CDD 510

À minha família, por sua capacidade de acreditar e investir em mim. Mãe, seu cuidado e dedicação foi o que deram, em alguns momentos, a esperança para seguir. Vanessa, sua presença significou segurança e certeza de que não estou sozinha nessa caminhada.

AGRADECIMENTOS É chegado ao fim um ciclo de muitas risadas, choro, felicidade e frustrações. Sendo assim, dedico este trabalho a todos que fizeram parte desta etapa da minha vida. Agradeço a Deus por ter iluminado o meu caminho, a minha mãe Lucia por nunca deixar de acreditar em mim, a minha namorada Vanessa por estar sempre ao meu lado e por ter me ajudado muito em todos esses anos de graduação, aos meus professores por todo o ensinamento e a todos os meus amigos que me apoiaram nos momentos mais difíceis.

“ A Matemática, quando a compreendemos bem, possui não somente a verdade, mas também a suprema beleza. ” (Bertrand Russel)

RESUMO O presente trabalho tem por objetivo apresentar os números primos sob aspecto cronológico. Para isto, serão apontadas as principais personalidades e suas contribuições que ampliaram o conhecimento acerca dos números primos ao longo da história da matemática. Palavras-chave: Números Primos. História da Matemática. Linha do Tempo. Matemáticos.

ABSTRACT The present work aims to present the prime numbers in a chronological aspect. For this, will be pointed out the main personalities and their contributions that extended the knowledge about the prime numbers throughout mathematics history. Keywords: Prime Numbers, History of Mathematics, Timeline, Mathematicians.

LISTA DE FIGURAS Figura 1 – Linha do tempo dos números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Figura 2 – Euclides de Alexandria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Figura 3 – Infinitude dos primos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Figura 4 – Eratóstenes de Cirene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Figura 5 – Crivo de Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Figura 6 – Pierre de Fermat

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Figura 7 – Marin Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Figura 8 – Marie-Sophie Germain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Figura 9 – Carl Friedrich Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Figura 10 – Bernhhard Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

SUMÁRIO

1

INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2

O QUE SÃO OS NÚMEROS PRIMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3

LINHA DO TEMPO DOS NÚMEROS PRIMOS . . . . . . . . . . . . .

13

4

EUCLIDES DE ALEXANDRIA (300 A.C.) . . . . . . . . . . . . . . . .

14

4.1

Contexto histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

4.2

Definição de números primos (Os elementos) . . . . . . . . . . . . . . .

14

4.3

Prova da infinitude dos primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

5

ERATÓSTENES DE CIRENE (275 - 194 A.C.) . . . . . . . . . . . . . .

17

5.1

Contexto histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

5.2

Crivo de Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

6

PIERRE DE FERMAT (1601-1665)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

6.1

Contexto histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

6.2

Números de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

7

MARIN MERSENNE (1588 - 1648) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

7.1

Contexto histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

7.2

Primos de Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

8

SOPHIE GERMAIN (1776 - 1831) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

8.1

Contexto histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

8.2

Um teorema de Sophie Germain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

9

CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 - 1855) . . . . . . . . . . . . . . . .

26

9.1

Contexto histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

9.2

Estimativa dos números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

10

BERNHARD RIEMANN (1826 - 1866) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

10.1

Contexto histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

10.2

Hipótese de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

11

CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

11

1 INTRODUÇÃO Na história da matemática há, para além de uma série de narrativas soltas, uma possibilidade de estudo do desenvolvimento da matemática que é conhecida hoje para, assim, melhor compreendê-la. Pensando nisto, a proposta deste trabalho é revisitar a história dos números primos, traçando uma breve linha do tempo baseada em notórios marcos. Isto é, fatos ou personalidades- consideradas essenciais para a evolução do conhecimento acerca dos números primos em determinados pontos da história. A ideia de uma abordagem baseada em alguns marcos tem como objetivo delimitar o trabalho. Ao invés de discutir toda a história dos números primos, serão pontuados os principais marcos, em ordem cronológica e, consequentemente, gradual; ressaltando determinados resultados, ideias, descobertas ou pessoas que se fizeram essenciais no rumo que o desenvolvimento dos primos tomou.

12

2 O QUE SÃO OS NÚMEROS PRIMOS Números primos são números inteiros que possuem somente dois divisores naturais distintos, sendo estes, a unidade e a si mesmo (MILIES., 1998). Exemplos: O número 1 não é primo, pois ele é divisível por 1 e por ele mesmo, que também é 1, ou seja, ele não possui dois divisores distintos. O número 2 é divisível por 1 e por 2, logo, este tem dois divisores distintos e é primo. Vale observar que 2 é o único número primo par do conjunto dos números primos. A sequência dos números primos é infinita como já provou Euclides de Alexandria, há muito tempo matemáticos buscam descrever este conjunto através de uma função ou fórmula, abordaremos a seguir como os matemáticos trataram o tema ao longo da história. Exemplo de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97...

13

3 LINHA DO TEMPO DOS NÚMEROS PRIMOS

Figura 1 – Linha do tempo dos números primos

Fonte: Elaborado pelo autor

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4 EUCLIDES DE ALEXANDRIA (300 A.C.)

Figura 2 – Euclides de Alexandria

Fonte: Elaborado pelo autor

4.1

Contexto histórico Autor dos treze papiros que mais tarde seriam compilados no livro Os Elementos, um

dos livros mais editados do mundo. Apesar de ser um dos mais notáveis nomes da matemática, devido as escassas informações sobre sua vida, não se sabe ao certo se Euclides realmente existiu. Acredita-se que tenha sido educado na Academia Platônica, a primeira universidade da história, e que mais tarde tenha erradicado-se em Alexandria, durante o governo de Ptolomeu. Estima-se que o livro Os Elementos tenha sido escrito por volta de 300 a.C.. Entretanto, somente no século IV d.C. é que surgiram os primeiros comentários sobre seu trabalho, escritos por Proclo. O livro IX da obra Euclidiana, aborda na proposição 20 a questão da infinitude dos números primos. A demonstração original, escrita há mais de dois mil anos e em outro idioma, possui uma abordagem aparentemente mais simples, por ser demonstrada a partir de segmentos de reta. Atualmente, há uma outra abordagem mais coerente com a matemática contemporânea (BOYER, 2011). 4.2

Definição de números primos (Os elementos) Definição. Números primos são tudo aquilo que só pode ser medido através da

unidade.

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4.3

Prova da infinitude dos primos

Teorema 4.3.1 (infinitude dos primos). Os números primos são mais numerosos do que toda a quantidade que tenha sido proposta de números primos. Demonstração. Sejam os números primos que tenham sido propostos A, B, C; digo que os números primos são mais numerosos do que A, B, C. Fique, pois tomado o menor medido pelos A, B, C e seja DE, e fique acrescida a unidade DF ao DE. Então, o EF ou é primo ou não. Primeiramente, seja primo; portanto, os números primos A, B, C, EF achados são mais numerosos que os A, B, C. Mas, então, não seja primo EF; portanto, é medido por algum número primo. Seja medido pelo primo G; digo que G não é o mesmo que algum dos A, B, C. Pois se possível, seja. Mas os A, B, C medem DE; Portanto, o G também medirá o DE. E também mede o EF; e o G, sendo um número, medirá a unidade DF restante; o que é absurdo. Portanto, o G não é o mesmo que algum dos A, B, C. E foi suposto primo. Portanto, os números primos achados, A, B, C, G são mais numerosos do que a quantidade que tenha sido proposta dos A, B, C; o que era preciso provar (EVES., 2007). Figura 3 – Infinitude dos primos.

Fonte: Elaborado pelo autor

Teorema 4.3.2 (Infinitude dos primos atualmente). O conjunto dos números primos é infinito. Demonstração. Por indução sobre n, provemos que, se N contiver n primos distintos, então N conterá n+1 primos distintos. Suponha que p1 , ..., pn são primos distintos, e seja

m = p1 ...pn + 1.

Pelo lema de Euclides que diz "Todo inteiro n > 1 pode ser expresso como o produto de um

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número finito de primos, não necessariamente distintos ", então existe um primo p tal que p | m. Se p = pi para algum 1 ≤ i ≤ n, então p | p1 ...pn , i.e., p | 1 , o que é um aburdo. Logo, p é um primo diferente de todos os p0i s, de maneira que temos pelo menos n + 1 primos distintos em N (NETO., 2013).

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5 ERATÓSTENES DE CIRENE (275 - 194 A.C.)

Figura 4 – Eratóstenes de Cirene

Fonte: Elaborado pelo autor

5.1

Contexto histórico Nascido em Cirene, região atualmente conhecida como Líbia, em 275 a.C. e falecido

em Alexandria, Egito, em 194 a.C.. Trouxe contribuições na área da matemática, astronomia, literatura, história e geografia. Estudou na Escola Pitagórica e depois erradicou-se em Alexandria, tornando-se uma das mais ilustres personalidades do local. Em meio a tantas contribuições em diversas áreas de conhecimento, duas possuem maior destaque: o cálculo da circunferência da Terra e o método para encontrar números primos, o Crivo de Eratóstenes. Este método leva o nome de Crivo devido as lacunas deixadas na sequência numérica serem semelhantes a uma espécie de peneira. Este método ainda é a forma mais eficiente de achar todos os números primos não muito grandes. Ele consiste em dispor os números naturais até um determinado valor e eliminar desta lista os múltiplos dos números primos já conhecidos. 5.2

Crivo de Eratóstenes O método para encontrar números primos consiste em determinar uma sequência

finita de números naturais; retirar inicialmente os números 1, 2, 3, 5 e 7; em seguida, retirar os múltiplos dos números 2, 3, 5 e 7 e a partir disto, ir removendo da sequência os números que fossem múltiplos dos números primos encontrados.

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Para obter a lista de todos os primos menores que 100, devemos excluir dentre os √ números 2 a 100, aquelas que são multiplos de 2,3,5,7, pois estes são primos ≤ 100.

Figura 5 – Crivo de Eratóstenes

Fonte: Elaborado pelo autor

19

6 PIERRE DE FERMAT (1601-1665)

Figura 6 – Pierre de Fermat

Fonte: Elaborado pelo autor

6.1

Contexto histórico Pierre de Fermat(1601-1665) foi um jurista e matemático amador francês que se

interessava profundamente pela Teoria dos Números sendo considerado o primeiro matemático a contribuir para este ramo do ponto de vista teórico na qual obteve muitos resultados inestimáveis para a matemática; e conjecturou uma fórmula de números primos, os que hoje são chamados números de Fermat. Esta conjectura foi lançada em 1640 em uma carta a Marin Mersenne, outro n

matemático da época, na qual Fermat afirmava que todos os números da forma 22 + 1 com n ∈ N, eram primos. Fermat morreu com a convicção de que tinha encontrado uma fórmula para números primos, mas em 1732 o matemático Leonhard Euler mostrou que para n = 5, 5

22 + 1 = 4.294.967.297 = 641 × 6.700.417, portanto um número composto, desmentindo a conjectura de Fermat(MOREIRA, 2015). 6.2

Números de Fermat Um número de Fermat, como visto acima, é um número da forma: n

Fn = 22 + 1

(1) De n = 0 até n = 4 obtemos números primos, estes são chamados de primos de

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Fermat. Apesar de Euler ter comprovado que para n = 5 obtemos um numero composto e para alguns outros valores de n temos números compostos, não se sabe ainda hoje se existem outros primos de Fermat além destes 5 iniciais para valores de n grandes. A título de curiosidade, a prova de que 641 é um fator de F5 se da atraves da aritmetica dos restos. Veja que: 641 = 27 × 5 + 1

(2) 641 = 24 + 54

(3) De (2) temos que 27 × 5 ≡ −1(mod641) e portanto ao elevar a quarta potência 228 × 54 ≡ 1 (mod 641). Por outro lado, de (3) temos que 54 ≡ −24 (mod641). Destas duas congruências obtemos que −232 ≡ 1 (mod 641), o que implica que 641 é fator de 232 + 1 = 5

22 + 1.

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7 MARIN MERSENNE (1588 - 1648)

Figura 7 – Marin Mersenne

Fonte: Elaborado pelo autor

7.1

Contexto histórico Nasceu em Oize-Maine, França, no dia 8 de setembro de 1588 e faleceu no dia 1o

de setembro de 1648, em Paris. Padre na Place de Royale, tornou-se conhecido principalmente devido ao seu trabalho na Teoria dos números e por sua correspondência entre filósofos e cientistas, dentre estes, Fermat e Galileu. O seu papel de correspondência entre estudiosos contribuiu para disseminar o conhecimento produzido, visto que na época não haviam revistas científicas. Foi através de seu trabalho, inclusive de tradução, que o trabalho de Galileu tornou-se conhecido fora da Itália. No que concerne as números primos, o objetivo de Mersenne era desenvolver uma fórmula capaz de representar os números primos em sua totalidade. Embora não tenha obtido êxito, o seu trabalho nos números da fórmula 2n − 1 tem permanecido relevante na investigação de números primos em grande escala. 7.2

Primos de Mersenne Os números da forma Mn =2n – 1 são conhecidos como números de Mersenne. Os

números de Mersenne estão diretamente ligados aos números perfeitos, aqueles cuja soma dos seus divisores é igual a duas vezes o próprio número. Já na época de Euclides sabia-se que, se 2n –1 é primo, então 2n -1 (2n -1)é perfeito. Sabe-se hoje que todos os números perfeitos pares são deste tipo, mas não se sabe se existem números perfeitos ímpares. Marin Mersenne sabia

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que, se n é composto, então Mn também será composto. Mas se n é primo, Mn nem sempre é primo (211 – 1 = 2.047 = 23 x 89 é composto). Em 1644, Mersenne afirmou (sem provar) que Mn era primo para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257 e composto para os outros primos menores que 257. Como na época só havia tábuas de números primos e técnicas para verificar até M19 , Mersenne jamais soube se estava certo.

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8 SOPHIE GERMAIN (1776 - 1831)

Figura 8 – Marie-Sophie Germain

Fonte: Elaborado pelo autor

8.1

Contexto histórico Sophie Germain, nascida em Paris, França, em 1 de abril de 1776, mostrou desde

cedo um grande interesse pelos estudos, aproveitando a necessidade de ficar em casa, devido a Revolução Francesa, para estudar os livros da biblioteca do pai. Germain teria começado a se interessar pela Matemática após ler, entre esses livros, a história de como Arquimedes morreu assassinado por um soldado por estar mais preocupado com seu estudo em geometria do que com o ataque. Mas, se ainda hoje as mulheres enfrentam dificuldades para entrar no meio acadêmico, na época de Sophie Germain, era por demasiado ousado imaginar uma mulher estudando assuntos científicos em profundidade. Os pais, a princípio, a proibiram de estudar e as instituições não aceitavam mulheres. Mas Sophie persistiu até obter a aceitação dos pais e usou um pseudônimo masculino em seus trabalhos e comunicações com outros matemáticos, inclusive Lagrange e Gauss, que posteriormente descobriram sua real identidade e continuaram a apoiá-la. 8.2

Um teorema de Sophie Germain

Teorema 8.2.1. Seja n um número primo ímpar. Se existir um número primo p auxiliar com as propriedades: • X n +Y n + Z n ≡ 0 mod p implica x ≡ 0 ou y ≡ 0 ou z ≡ 0 mod p. • Xn ≡ n mod p é impossível.

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Então vale o caso I do teorema de Fermat para n, isto é, se nenhum dos x, y ou z for divisível por n então a equação xn + yn + zn = 0 não possui soluções inteiras para além da nula. Demonstração. A demonstração assenta numa expressão algébrica que pode ser obtida com o auxílio da regra de Ruffini. Começamos por observar que, como n é um número ímpar, o polinómio xn + yn possui a raiz x = −y. Deste modo, x + y é um factor desse polinómio. Se aplicarmos a regra supracitada, obtemos a identidade

xn + yn = (x + y)(xn−1 − xn−2 y + xn−3 y2 − xn−4 y3 + . . . + yn−1 ).

A equação xn + yn + zn = 0 resolve-se em ordem a z como

(−z)n = (x + y)(xn−1 − xn−2 y + xn−3 y2 − xn− 4y3 + . . . + yn−1 )

(8.1)

Expressões semelhantes resultam da resolução da equação em ordem às duas outras variáveis. Também podemos assumir que x, y e z são primos entre si, dois a dois. De fato, se existir um factor comum a ambos, este pode ser posto em evidência e eliminado da equação. Suponhamos que existe um número q que divide ambos os fatores do lado direito de (8.1). Então, como q divide x + y, temos que x ≡ −y (mod q). Substituímos esta congruência no segundo factor, atendendo ao facto de que este também é divisível por q, para concluirmos que nxn−1 ≡ 0 mod q. Daqui advém que n ≡ 0 ou x ≡ 0 modq. A primeira congruência é impossível uma vez que n ≡ q teria de dividir z, contrariamente ao facto de que consideramos as quantidades como números primos entre si dois a dois. A segunda congruência também é impossível porque q teria de dividir simultaneamente x e x + y, de onde concluímos que teria de dividir y, contradizendo o facto de x e y serem primos entre si. Atendendo ao teorema fundamental da aritmética, no qual se mostra que qualquer número admite uma fatorização única em números primos (ignorando a ordem), vemos que cada um dos fatores de (8.1) é uma potência de ordem n. Como podemos trocar entre si as variáveis mantendo a essência do resultado, existem inteiros a, α, b, β , c, γ, tais que

y + z = an

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yn−1 − yn−2 z + yn−2 z2 − yn−2 z3 + . . . + zn−1 = α n x = -αα z + x = bn zn−1 − zn−2 x + . . . + xn−1 = β n y = -bβ x + y = cn xn−1 + xn−2 y + . . . + yn−1 = γ n z = -cγ Consideremos, agora, a aritmética módulo p, como nas condições do teorema. Como xn + yn + zn ≡ 0 mod p, a primeira condição em p permite mostrar que x, y ou z são congruentes a zero módulo p. Suponhamos que x é congruente a zero módulo p. Então 2x=bn + cn + (−a)n≡ 0mod p e, pela primeira condição em p, segue-se que a, b ou c são congruentes a zero módulo p. Se b ou c fossem congruentes a zero módulo p, então ou tínhamos y=-bβ ou z=-cγ, congruentes a zero módulo p. Mas tal contradiz o fato de serem dois a dois primos entre si. Então a≡ 0 mod p. Mas isto implica que y ≡ -z mod p, an ≡ nyn−1 ≡ nγ n mod p. Como γ não pode ser congruente a zero módulo p, existe um inteiro g de modo que γ g ≡ 1 mod p, de onde vem (αg)≡ n mod p, o que contradiz a segunda hipótese em p. Este fato demonstra o teorema pelo método da redução ao absurdo.

Como exemplo, suponhamos que n = 5. Se considerarmos p = 11, vemos que a primeira condição do teorema é satisfeita, uma vez que, módulo 11, as quintas potências são congruentes a 0, 1 ou -1. Então, para x5 + y5 + z5 ≡ 0 mod p, uma das quantidades tem de ser divisível por 11. Note-se que, pelo pequeno teorema de Fermat, a décima potência de um número qualquer módulo 11 é sempre congruente a 1 se esse número não for divisível por 11.

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9 CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 - 1855)

Figura 9 – Carl Friedrich Gauss

Fonte: Elaborado pelo autor

9.1

Contexto histórico Nasceu em 30 de Abril de 1777, em Brunswick, norte da Alemanha e faleceu em

1855. De origem humilde, seus estudos foram custeados pelo Duque de Brunswick, que se impressionara com suas habilidades matemáticas afloradas desde a sua tenra idade. Concluiu seu doutorado em 1796, na Universidade de Helmstãdt. Sua tese, a demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra, provou que toda equação polinomial f(x)=0 tem pelo menos uma raiz real ou imaginária. É o responsável pela representação gráfica dos números complexos, pensando nas partes real e imaginária como coordenadas de um plano. Seu livro, Disquisitiones Arithmeticaé, é o principal contribuinte para o desenvolvimento da Teoria dos números. Na adolescência, seus estudos eram dedicados à astronomia a partir da observação das estrelas. 9.2

Estimativa dos números primos Outra questão de grande interesse para os matemáticos é a quantidade de números

primos menores que um número dado. A função de contagem dos números primos é definida a seguir. Definição 9.2.1. Seja x > 0. Então π(x) é o número de primos p tais que p ≤ x.

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Os matemáticos vêm tentando achar boas aproximações para π(x) por funções contínuas. Em 1.792 Gauss conjecturou que π(x) era assintoticamente aderente a função integral logarítmica, definida como

Li(x) =

Z x dt 2

lnt

. Introduzindo a notação f (x) v g(x) para f e g assintoticamente iguais quando x tende para o infinito, Gauss sabia que

Li(x) v

x ln x

. Logo a conjectura poderia ser rescrita como π(x) v

x ln x

Este fato só foi provado em 1.896, por Hadamard e de la Vallée Poussin e é conhecido como Teorema do Número Primo. Teorema do Número Primo: lim π(x)·ln(n) = 1. x x→∞

x , mas existem outras lnx funções ainda melhores, como será mostrado a seguir. Vale a pena frisar que quando Gauss A aproximação de π(x) por Li(x) é bem melhor que por

conjecturou a aproximação de (x) pela função integral logarítmica ele estava com apenas 15 anos de idade.

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10 BERNHARD RIEMANN (1826 - 1866)

Figura 10 – Bernhhard Riemann

Fonte: Elaborado pelo autor

10.1

Contexto histórico Nasceu em 17 de setembro de 1826, em Breselenz, Alemanha e faleceu em 20 de

julho de 1866, na Itália. Foi considerado como possuidor de uma das mentes mais brilhantes do século XIX. Suas contribuições revolucionaram a área da matemática, geometria e física. Suas ideias exercem de profunda influência até a atualidade. Apesar da genialidade, Riemann teve uma vida modesta. Devido ao excesso de timidez e inabilidade oratória, somadas ao talento e inclinação para a área da matemática; não seguiu a carreira de teólogo, contrariando a vontade de seu pai. Foi aluno do matemático alemão Lejeune e em 1851, completou o doutorado e teve como orientador o matemático Karl F. Gauss, que o denominou como “Possuidor de uma originalidade gloriosamente fértil”. Uma de suas conjecturas é a chave para resolução de alguns dos problemas contemporâneos. Denominada Hipótese de Riemann, esta conjectura configura um dos problemas mais importantes da matemática. 10.2

Hipótese de Riemann Inspirado pelo Teorema do Número Primo, Legendre conjecturou em 1.798 que π(x) v

x . lnx − 1, 08366

Quarenta anos mais tarde, Tschebycheff mostrou que a conjectura era falsa. A melhor aproximação conhecida de π(x) é dada utilizando-se a Função de Riemann. Antes de apresentá- la, serão

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necessárias algumas observações adicionais. Serão apresentadas algumas fórmulas e resultados sem definição prévia, apenas com o objetivo de alcançar a Hipótese de Riemann. Euler definiu a função zeta como ∞

1 , x i=1 n

ς (x) = ∑

para todo número real x tal que x > 1. Riemann teve a idéia de generalizá- la para o campo complexo, por ∞

1 , s i=1 n

ς (x) = ∑

para todo número complexo s tal que Re (s) >1. Em 1.859 Riemann conseguiu uma equação que não restringia o valor de Re (s), intervindo a função Γ(s):

s s Γ( )ζ (s)=π π2 2

−(1 − s) 1−s 2 ζ (1−s). Γ 2

Riemann observou que a sua função zeta possuía zeros triviais nos pontos –2, –4, –6, ... e zeros não triviais na reta 1 Re(s) = . 2 Riemann conjecturou que todos os zeros não triviais ρ da função zeta se encontram sobre esta reta crítica, isto é ρ=

1 + it. 2

Esta é a Hipótese de Riemann, que nunca foi provada, embora se acredita que seja verdadeira.

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11 CONCLUSÃO A partir do presente estudo cronológico, é possível melhor compreender a fascinante história dos números primos. Em abordagens diversas e desconectadas, não é possível perceber o longo processo construtivo e evolutivo da matemática e seus complexos mistérios. Sem as importantes ideias, teoremas, estudo e dedicação das personalidades supracitadas, o conhecimento acerca dos números primos que a humanidade atualmente possui seria, possivelmente, menos desenvolvido e fragmentado. Os números primos possuem papel importante, principalmente na área computacional, pois são utilizados na informática, no resguardo de senhas bancárias, na proteção de informações e na codificação e decodificação de documentos. Por fim, faz-se necessário ressaltar a importância da valorização do acesso à educação e pesquisa; visto que é desta forma que é construído, pouco a pouco, um legado de conhecimento deixado para a humanidade.

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REFERÊNCIAS BOYER, C. B. História da Matemática. [S.l.]: Blucher, 2011. v. 3. EVES., H. W. Introdução à história da matemática. [S.l.]: Unicamp, 2007. v. 2. MILIES., C. P. Números Uma Intodução a Matemática. [S.l.]: Edusp, 1998. MOREIRA, C. G. T. de A. Um Passeio com Primos e Outros Números Familiares Pelo Mundo Inteiro. [S.l.]: Sociedade Brasileira de Matematica, 2015. v. 1. NETO., A. C. M. Tópicos de Matemática Elementar. [S.l.]: SBM, 2013. v. 5.