Lista 1_ PA e PG

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LISTA PA e PG Prof. Joãozinho

1.

2.

3.

4.

5.

6.

A soma de três números positivos em progressão aritmética é 30. Se esses números forem aumentados de 1, 4 e 14, respectivamente, os novos números estarão em progressão geométrica. Achar esses números. A soma dos 4 termos do meio de uma progressão aritmética de 12 termos é 74. O produto dos extremos é 70. Qual é a progressão? O último termo de uma progressão aritmética é 19; o primeiro termo, a razão e o número de termos são números consecutivos. Formar a progressão. A sucessão S dos números 1, 5, 13, 25,..., ak, ..., possui a propriedade de que as diferenças d k = ak+1 - ak, com k = 1, 2, 3,... formam uma progressão aritmética. O 30° termo de S é: a) 120 d) 1741 b) 117 e) impossível de ser calculado. c) 871

9.

12.

(IME 2002) Calcule a soma dos números entre 200 e 500 que são múltiplos de 6 ou de 14, mas não de simultaneamente múltiplos de ambos.

13.

(IME 1999) Determine as possíveis PA´s para as quais o resultado da divisão da soma de seus n primeiros termos pela soma de seus 2n primeiros termos seja independente de n.

14.

(IME 1965) Determine a relação que deve existir entre os números m, n, p e q, para que se verifique a seguinte igualdade entre os termos da mesma progressão aritmética: am + an = ap + a q .

15.

Provar que se uma PA apresenta am = x,an = y e ap = z, então verifica-se a relação: (n − p)x + (p − m)y + (m − n)z = 0.

16.

(ITA 66) Quantos números inteiros existem entre 1000 e 10000, não divisíveis nem por 5 nem por 7?

17.

Inserir 12 meios aritméticos entre 100 e 200.

Os números reais sen π/12, sen a e sen 5π/12 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então o valor de sen a é:

18.

Calcular o primeiro termo e a razão de uma PA cuja soma dos n primeiros termos é n2 + 4n para todo n natural não nulo.

19.

(ITA 58) Provar que se uma PA é tal que a soma de seus n primeiros termos é igual a n + 1 vezes a metade do n-ésimo termo então a1 = r.

20.

(ITA 80) Considere a PA  ,  ,  , … ,   de n termos, n > 1, cuja soma de seus termos é K. A soma da sequência dos n valores  ,  ,  , … ,   definidos por y i = ax i + b, para i de 1 a n, onde a e b são números reais com a não nulo, é dada por: A. ( ) K B. ( ) aK + b C. ( ) aK + nb D. ( ) anK + nb E. ( ) anK

21.

O primeiro termo de uma PA de inteiros consecutivos é    1. Calcule a soma dos 2k+1 primeiros termos.

22.

A soma dos n primeiros termos de uma PA de razão 2 é 153. Se o primeiro termos é inteiro, determine os possíveis valores de n.

23.

Qual o número x que deve ser somado a: a – 2, a e a + 3, Para que se tenha nesta ordem, três números em PG?

24.

Que tipo de progressão constitui a sequência: ,   ,   2, … ,   , …  com  0. Determine todos os parâmetros para caracterizar tal progressão.

25.

Numa progressão geométrica de 6 termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 182 e a soma dos termos de ordem par é 546. Determinar tal progressão.

d)

8.

Mostre que se, nesta ordem, os números  ,   e  , log m com x ≠ 1, formam uma PA, então n2 = (kn) k .

Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são 1 – a, – a, √11  . O quarto termo desta PA é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

a) 1/4

7.

11.

6/4

b)

3/6 e)

c)

2/4

3/2

(ITA-85) Seja f: ℜ→ℜ uma função satisfazendo f(x + αy) = f(x) + αf(y) para todo α, x, y ∈ ℜ. Se {a1, a2, a3, …, an} é uma progressão aritmétca de razão d, então podemos dizer que (f(a1), f(a2), f(a3), …, f(a4) a) é uma progressão aritmética de razão d. b) é uma progressão aritmética de razão f(d) cujo termo primeiro é a1. c) é uma progressão geométrica de razão f(d). d) é uma progressão aritmética de razão f(d). e) Nada se pode afirmar. (ITA-97) Os números reais x, y e z formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r. Seja a um número real com a > 0 e a ≠ 1 satisfazendo 3ax + 2ay – az = 0. Então r é igual a: a) a2 b) (1/2)a c) log2a 4 d) loga (3/2) e) loga 3 Mostre que se a, b e c formam uma PA de termos positivos, 1 1 1 então os números , e b+ c c+ a a+ b também formam uma PA.

10. Generalize o resultado anterior, ou seja, prove que se  ,  ,  , … ,  formam uma PA de termos positivos, então 1 1 1   ⋯    √  √  √      

1  √  

1

26. (IME 66) A soma de três números que formam uma PA crescente é 36. Determine esses números, sabendo que se somarmos 6 unidades ao último, eles passaram a constituir uma PG.

40. (IME 2003) Calcular a soma das áreas delimitadas pelos lados dos quadrados e pelas circunferências, formados infinitamente a partir da figura abaixo, tal que o raio da maior circunferência é R.

27. Provar que se (a,b, c) é uma PG, então: (x + y + z)(x – y + z) = x2 + y2 + z2 . 28. Provar que se a, b e c, nesta ordem, formam uma PA e uma PG então a=b=c. 29. Prove que se (a, b, c, d) é uma PG então: (b – c)2 + (c – a)2 + (d – b)2 = (a – d)2 . 30. As medidas dos lados de um triângulo são expressas por números inteiros e estão em PG tal que seu produto é 1728. Calcular as medidas dos lados deste triângulo. 41. Prove que a razão de uma progressão geométrica em que 3 termos consecutivos são os lados de um triângulo retângulo é dada pela

31. (ITA 59) Dada uma PG finita  ,  ,  , … , "  de modo que   2 e   6, pergunta-se se é correta a igualdade $

$

expressão: q =

" %  3 ∙ 2% .

1+ 5 . 2

42. Em um conjunto de quatro números os três primeiros estão em progressão geométrica e os três últimos estão em progressão aritmética com razão 6. O primeiro número é igual ao quarto. Ache a soma desses números.

32. Provar que se a, b, c são os elementos de ordem p, q e r, respectivamente, da mesma PG, então () * )+ , +(  1. 33. Sendo a e b dados, determinar x e y tais que (a, x, y, b) seja uma PG.

43. Calcular todos os ângulos x, em radianos, de modo que os números

sen x , sen x , tgx formem uma P.G. 2

34. a) Calcular a soma -  log    log  2  log  4  ⋯  log  2) . b) Qual o valor de a se S = n + 1?

44. Um químico tem 12 litros de álcool. Ele retira 3 litros e os substitui por água. Em seguida, retira 3 litros da mistura e os substitui por água novamente. Após efetuar essa operação 5 vezes, aproximadamente quantos litros de álcool sobram na mistura? a) 2,35 b) 2,85 c) 1,75 d) 1,60 e) 1,15

35. Uma sequência é tal que: • Os termos de ordem par são ordenadamente as potências de 2 cujo expoente é igual ao índice do termo, isto é,   2

para todo  ≥ 1. • Os termos de ordem ímpar são ordenadamente as potências de -3 cujo expoente índice do termo, isto é,    3  para todo  ≥ 1. Calcular o produto dos 55 termos iniciais dessa sequência.

45. Seja

( an )

uma progressão geométrica cuja soma dos n

primeiros termos é

S n = 3 ( 2 ) n − 3 . Determine o quarto

termo dessa progressão.

36. Se a e q são números reais não nulos, calcular a soma dos n primeiros termos da 34, 5  , 5 6 , 5 7 , … .

46. Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do produto de seus termos vale 36. Ache a razão da progressão.

37. (ITA 53) Partindo de um quadrado Q1, cujo lado mede a metros, consideremos os quadrado Q2, Q3,..., Qn tais que os vértices de cada quadrado sejam os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcular então a soma das áreas dos quadrados Q1, Q2, Q3,..., Qn.

47. Se r é a razão de uma progressão geométrica cuja soma dos n primeiros termos é S e o primeiro termo é a , é CORRETO afirmar que r é raiz do polinômio: n −1 a) p ( x ) = x + x n − 2 + ... + x + 1 − Sa .

 38. Provar que em toda PG -   -

 - -  - .

b) p ( x ) = x

39. (ITA94) Seja  ,  ,  , … ,   uma PG com um número ímpar de termos e razão q >0. O produto de seus termos é 225 e o termo central é 25. Sabendo que a soma dos n – 1 primeiros termos é 2(1 + q)(1 + q2), obter a1, q e n.

c) p ( x ) = x

n −1

n −

d) p ( x ) = x

n −1

e) p ( x ) = x

n −1

48. O limite da soma a: a) 3/8

2

b) 1/2

+ x n − 2 + ... + x + 1 + S / a . 1

+ x

n − 2

+ ... + x + 1 − S / a .

n− 2

+ x + ... + x + 1 + Sa . n−2 + x + ... + x + 1 + S + a

1 2 1 2 1 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +... é igual 3 3 3 3 3 3 c) 5/8

d) 2/3

e) 1

49. Se

58. (ITA-74) Seja a > 0 o 1° termo de uma progressão aritmética de razão

(1 − b) n 1 1 − b (1 − b) 2 1 + + +...+ +... = 2 , sobre o b b b b b

valor de b podemos afirmar que: a) |b| = 1 b) b = 4 c) b ≥ 2 d) b < 0

r e também uma progressão geométrica de razão q = 2r

relação entre a e r para que o 3° termo da progressão geométrica coincida com a soma dos 3 primeiros termos da progressão aritmética é:

e) 0 < b < 2

50. Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual

a) r = 3a

a 2 . Se o produto dos termos desta progressão é 239, então o número de termos é igual a: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

an

, n ≥ 1, é uma:

a) PG crescente b) PA crescente c) PG decrescente d) PA decrescente e) sequência que não é uma PA e não é uma PG

x,

1− 5 e q > 0, calcule a 2

soma dos três primeiros termos dessa progressão.

54. Partindo de um quadrado Q1, cujo lado mede a metros, consideremos os quadrados Q2, Q3, Q4, ..., Qn tais que os vértices de cada quadrado sejam os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcular, então, a soma das áreas dos quadrados Q1, Q2, Q3, ..., Qn. 55. O produto dos termos da seguinte P.G.: – 3 , 3, – 3 3 , …, –81 b) –

342

c) – 5.39

e) N.d.r.a.

56. A seguinte soma log 1/2 + log 1/4 + ... + log 1/2n com n natural, é igual a:

( n 2 − 1) 2 2

a) log (n + n3)/2

d)

1 2 c) – n(n + 1)2 log 2

e) N.d.r.a.

b) (n + n2) log

2

∞

57. Consideremos a função S ( x ) =

∑ ( senx)

n

d) r =

2a

e) n.r.a.

x log a b , log a (bx)

são, nesta ordem, os três primeiros termos de uma progressão geométrica infinita. A soma S desta progressão vale: a) S = 2x/(1 – loga b) b) S = (x + 1)/(1 – 1/2loga b) c) S = 1/(1 – √loga b) d) S = 1/(1 – √loga b) e) Impossível determinar S pois é finito.

53. Considere uma progressão geométrica de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores. a) Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa progressão.

3 é: a) – 325 d) – 345

c) r = a

60. Sejam os números reais x > 0, a > b > 1. Os três números reais

52. Seja (an) uma progressão geométrica de primeiro termo a1 = 1 e razão q2, onde q é um número inteiro maior que 1. Seja (bn) uma progressão geométrica cuja razão é q. Sabe-se que a11 = b17. Neste caso: a) Determine o primeiro termo b2 em função de q. b) Existe algum valor de n para o qual an = bn? C) Que condição n e m devem satisfazer para que an = bm?

b) Supondo que o primeiro termo seja

b) r = 2a

59. (ITA-79) Considere uma progressão geométrica, onde o primeiro termo é a, a > 1, a razão é q, q > 1, e o produto dos seus termos é c. Se loga b = 4, logq b = 2 e logc b = 0,01, quantos termos tem esta progressão geométrica? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

51. A sequência an é uma PA estritamente crescente, de termos positivos. Então, a sequência bn = 3

3 . A 3a

, onde 0 < x < π/2.

n =1

Para que valores de x: 10 ≤ S(x) ≤ 20? a) arc sen 9/10 ≤ x ≤ arc sen 19/20 b) arc sen 10/9 ≤ x ≤ arc sen 20/19 c) arc sen 10/11 ≤ x ≤ arc sen 20/21 d) arc sen 2 /2 ≤ x ≤ arc sen 3 /2 e) n. d .a.

3