zad1 ELEMENTY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

SAVE OFFLINE

dr Anna Barbaszewska-Wiśniowska

2015/16

ELEMENTY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Zad.1. Podaj wartość logiczną zdań a.  x  R x 2  x  1  0 b.  x  R

x2  x 1  0

c.  x  R  2 x 2  x  3  0 d.  x  R x 2  6 x  9  0 e.  x  R ( x  1)( x  3)  0 f.  x  R ( x  1)( x  3)  0 g.  y  R  x  R x  y  5 h.  x  R y  R x  y  5 i.  x  0 ( sin x  x  cos x  x )

  j.  x  0,  tg x  x  2 k.  x  R x 1  E( x)  x   ( x  2)( x 3  1)( x 4  1)( x 3  2 x 2  x  6) l.  x  R  x   ,5   0  2 (4  x )( x  5)   3 4 3 2  ( x  2)( x  1)( x  1)( x  2 x  x  6)  m.  x  R   0  x   ,5 2 (4  x )( x  5)  

Zad.2. Zapisz negacje wyrażeń, w przypadku zdań podaj ich wartość logiczną: a.  x  R x  6  x  1  2





b.  x  R x 2  3x  1  0  x  3 c.   0   0 : x  x0   , x0     f ( x)   f ( x0 )   , f ( x0 )    d.   0 n0 n  n0 an  g   e.  z1 , z 2  C f.  z  C g.  z  C h.  z  C

z1  z 2  z1  z 2

z i  3 zz 1 z z

Zad.3. Sprawdź czy następujące wyrażenia są tautologiami: a. ( p  q)  ~ p b. p ~ p c. ( p  q)  (~ p  q) d. ( p  q)  (~ p  q) e. ( p  q)  (~ q  ~ p)

Zad.4. Sformułuj i udowodnij następujące prawa rachunku zdań: - prawo kontrapozycji, - prawo wyłączonego środka, - prawo sprzeczności, - prawo zaprzeczenia implikacji, - prawa De Morgana Zad.5. Sformułuj i wyjaśnij na przykładach prawa De Morgana dla kwantyfikatorów. Zad.6. Naszkicuj zbiory 1,4 2, 3 , 2,5 1,2 , 1, 3 1, 2, 3, 3,  2 1, 5, N  2, 4 , Z  N \ 1, 2, 5 , R  N

A 2 oraz A3 gdzie A  x  R : 2  x  3  1    0 R  B gdzie B   x  Z : 3 2 x  3x  4 x  12  

Zad.7. Znajdź: A  B , B  A, A  B , B  A gdzie: A  x  R :



x  3  1 B  x  Z :

x 2  2x  1  3



Zad.8. Znajdź wartość logiczną zdań p i q, gdy a. Wiadomo, że równoważność zdań p oraz q jest prawdziwa, a ich koniunkcja fałszywa. b. Wiadomo, że równoważność zdań p oraz q jest fałszywa, a ich implikacja prawdziwa. c. Wiadomo, że alternatywa zdań p oraz q jest prawdziwa, koniunkcja fałszywa, a implikacja prawdziwa. Zad.9. Naszkicuj zbiory w układzie współrzędnych w R 2 A  ( x, y) : x 2  y 2  9

 B  ( x, y) :





x  2x  y 2  0 2

  y2 C  ( x, y ) : x 2   1 4   2   x D  ( x, y ) :  y 2  2 2   2 2 E  ( x, y) : x  4 y  16

 F  ( x, y) : G  ( x, y) : H  ( x, y) : I  ( x, y) :





x 2  y 2  4x  6 y  9  0 x 2  16 y 2  16 y2  x2  4

x  y  1

 K  ( x, y)  R

J  ( x, y)  R 2 2

 L  ( x, y)  R 2 

:



x  y 4





: 2x  y  8  0 1  :  x2  9 y2  1  16  2

2

Zad.10. Niech X  x  R : ( x 2  4)( x 3  1)( x 2  4 x  3)( x 2  1)  0 a. Ile elementów ma rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X, b. Ile elementów ma rodzina podzbiorów trójelementowych zbioru X, c. Ile elementów ma zbiór X\N, d. Ile elementów ma zbiór X2





 n  n  n  n Zad.11. Uzasadnij równość 2 n               dwiema metodami: korzystając ze  0  1  2  n wzoru dwumianowego Newtona oraz z teorii zbiorów.

Zad.12. Rozwiąż graficznie nierówności i wyniki zapisz w postaci sumy uogólnionej b. 0  ctg x  1 1 c. 0  sin x  2 Zad.13. Wykaż, że: a. A \ B  C    A \ B   A \ C  



n 1

n 1

b. A \  An   ( A \ An )

 c. ( A \ B)  A  B   Zad.14. Dana jest rodzina zbiorów  An nN . Znajdź zbiory An dla n  1, 2 , 3, 2014 oraz 3

wyznacz

 An i n 1

3

 An oraz n 1



 An i n 1



A

n

n 1

1 3  a. An   x  R : 1   x  1   n n  1 1  b. An   x  R : 1   x  2   n n  1  n c. An   x  R :  1  x  1   n  1 3  d. An   x  R : x  n n  2 2 e. An  ( x, y)  R : x  y 2  n 2 f. An

  ( x, y)  R

2

:



x  y n

g. An  z  C : Re z  n

1  h. An   z  C : Im z   n  i. An  z  C : z  i  n



: