12. MATEMÁTICA - PROBABILIDADE 2019

SAVE OFFLINE

2019

PROBABILIDADE

MATEMÁTICA

PROBABILIDADE Probabilidade é um ramo da matemática que Frações impróprias: são frações cujo resultado estuda as chances de algo acontecer. A estas é maior que 1, ou seja, o numerador é maior que chances são atribuídos os números entre 0 e 1. o denominador. Se for 0, indica que não há chance de ocorrer, se for 1 irá acontecer com certeza. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual (porcentagem). Na probabilidade a porcentagem máxima utilizada é de 100%.

MATEMÁTICA

Para entender a relação entre porcentagem e probabilidade, considere o seguinte: Quando um número está representado em Representamos o cálculo da probabilidade como porcentagem, significa que este número foi uma fração onde o numerador representa algo que lhe interessa, e o denominador representa dividido por 100; todo o conjunto de eventos que podem ocorrer: Ao simplificar a divisão, você encontrará uma (evento favorável) fração final que pode ser escrita na forma EU QUERO decimal. P= TUDO O QUE PODE ACONTECER (espaço amostral) Exemplos: 1) Qual é a probabilidade de lançar uma moeda e o resultado dar CARA? Para realizar este cálculo, você precisa saber primeiro o que você quer: o lado da moeda que representa a cara, ou seja, 1 lado apenas. Quantos lados tem uma moeda? Isto é, qual é Representamos as chances de algo acontecer o espaço amostral? Você sabe que uma moeda na probabilidade, quando colocamos o intervalo possui apenas 2 lados, logo, o espaço amostral entre 0 e 1. Dentro deste intervalo existem é 2. chances de acontecer. Neste caso, existem dois grupos de frações nos quais denominamos frações próprias e frações impróprias. Frações próprias: são frações cujo resultado é menor que 1, ou seja, o numerador da fração é menor que o denominador.

2

2) Qual é a probabilidade de jogar um dado e a Exemplo: face de cima dar um número par? 1) Ao lançar duas moedas juntas, qual é a Neste caso, o que vai interessar a você são as probabilidade de cair CARA e CARA? chances de dar um número par, ou seja, todos os números pares do dado devem corresponder ao Já sabemos que a probabilidade de jogarmos evento favorável. Você sabe que um dado possui uma moeda e sair CARA é de 50% ou 1/2. E para seis lados e cada lado representa um número: 1, outra moeda também cair CARA é de 50% ou 2, 3, 4, 5 e 6. O que você quer que caia são os 1/2. números 2 ou 4 ou 6, ou seja, 3 faces são pares. De acordo com a REGRA do “E” temos que MULTIPLICAR as probabilidades, então: P=

1 . 1 = 1 = 0,25 → 25% 2 2 2

3) Qual é a probabilidade de jogar um dado e a face de cima dar um número menor que 7?

MATEMÁTICA

Obviamente, existem apenas 6 possibilidades de cair uma face cujo número seja menor que 7, são as 6 faces do cubo. Logo, os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 correspondem ao evento favorável, enquanto a quantidade total de faces do cubo, que é 6, corresponde ao espaço amostral. REGRA DO “OU” A probabilidade de dois eventos A e B acontecerem será igual a soma da probabilidade 4) Qual é a probabilidade de jogar um dado e a de ocorrer o evento A com a probabilidade de ocorrer o evento B menos a intersecção das face de cima dar um número maior que 6? possibilidades entre A e B. Matematicamente isto é impossível de ocorrer, pois o máximo número de um dado é 6.

REGRA DO “E”

Evento A

ou

Evento B

Quando a ocorrência de dois ou mais eventos independentes não interferem a probabilidade de uns sobre os outros, utiliza-se a regra do “E” (multiplicação).

www.biologiatotal.com.br

3

2º: Isolamos as bolinhas que são múltiplos de 5: 4=1 20 5

3º: Verificamos a intersecção, isto é, quais dos números pares e quais dos múltiplos de 5 são os mesmos.

MATEMÁTICA

Exemplo:

Os números 10 e 20 são a intersecção. Representamos assim:

1) Dentro de um saco temos 20 bolinhas enumeradas de 1 até 20. Qual a probabilidade 2 = 1 de tirarmos uma bolinha e ela ser par ou ser um 20 10 número múltiplo de 5? Isto significa que os números 10 e 20 são ao mesmo tempo pares e múltiplos de 5, por esta razão eles foram contados duas vezes lá nas nossas frações. Por isso, o próximo passo é subtrair as frações desta intersecção que acabamos de encontrar: 1º: Isolamos as bolinhas pares: 10 = 1 20 2

ANOTAÇÕES

4

novo link

MATEMÁTICA

https://bit.ly/2TDIulr

www.biologiatotal.com.br

5

EXERCÍCIOS

senha formada por quatro emojis distintos. Estão disponíveis 10 emojis distintos, conforme mostra a figura a seguir.

EXERCÍCIOS

1 (UEM 2018) Considere um campeonato com 16 times

de futebol, nomeados de T1 até T16. Sobre a formação dos jogos e resultados das partidas, assinale o que for correto. 01 A probabilidade de, no primeiro sorteio, sair o time T3 é de 30%. 02 Existem 16! possibilidades de escolher o primeiro jogo (dois times). 04 Se, no campeonato, em cada jogo tivermos um vencedor e se o perdedor for eliminado, então teremos 15 jogos até conhecermos o vencedor. 08 Existem exatamente 1.820 possibilidades de se formar 4 grupos de 4 times. 16 A chance de um time ganhar seus 3 primeiros jogos, considerando-se que não existe a possibilidade de empate, é de 12,5%.

2 (UEM 2018) No jogo tradicional de bingo, cada

jogador compra cartelas com 24 números entre 1 e 75 (inclusive): cinco números entre 1 e 15 (coluna B), cinco números entre 16 e 30 (coluna I), quatro números entre 31 e 45 (coluna N), cinco números entre 46 e 60 (coluna G) e cinco números entre 61 e 75 (coluna O). Durante o jogo, os números vão sendo sorteados, até que um jogador preencha sua cartela. Dizemos que duas cartelas são disjuntas se não há um número que pertença simultaneamente às duas. Assinale o que for correto. 01 Há mais possibilidades para uma cartela de bingo do que pessoas vivendo na Terra. 02 É impossível alguém vencer o jogo logo após o sorteio do vigésimo número. 04 O maior número possível de cartelas em um jogo no qual quaisquer duas cartelas são disjuntas é cinco. 08 É possível haver uma cartela cuja soma de todos os números dela seja igual a 200. 16 Dentre todas as cartelas possíveis, há mais cartelas contendo o número 44 do que cartelas contendo o número 23.

3 (UFSC 2018) É correto afirmar que: 01 A filha do Arnaldo instalou um aplicativo que bloqueia o telefone celular através de uma

6

02 Deseja-se formar uma senha que possua o emoji que está usando os óculos escuros, indicado na figura. Então o número total de senhas que se pode formar nessas condições é 504. O valor da soma  7  +  7  +  7  +  7  +  7  +  7  +  7   1  2 3  4 5  6 7 é 127. 04 O termo independente de x no desenvolvimento 8 de  x 2 + 1  é 70.  

 x2 

08 Seis professores serão escolhidos entre os 10 professores de Matemática de um colégio para corrigirem a primeira fase da Olimpíada Brasileira de Matemática. A escolha dos 60 professores poderá ser feita de 140 modos diferentes, considerando que, entre os 10 professores, apenas 2 não podem ser escolhidos juntos, porque têm incompatibilidade de horário. 16 A maioria dos sistemas de regras de RPG usa dados para testar as habilidades dos personagens. As formas mais comuns de dados utilizados são os sólidos de Platão, isto é, dados de 4, 6, 8, 12 d8, d12 e e 20 faces, conhecidos como d4, d6, 11 . abaixo. d20, respectivamente, conforme a figura 12 Se forem lançados aleatoriamente dois dados " d12", a probabilidade de não serem obtidos números iguais nas duas faces é de

4 (UNIFESP 2018) Em uma classe de 16 alunos, todos

são fluentes em português. Com relação à fluência em línguas estrangeiras, 2 são fluentes em francês e inglês, 6 são fluentes apenas em inglês e 3 são fluentes apenas em francês. a Dessa classe, quantos grupos compostos por 2 alunos podem ser formados sem alunos fluentes em francês? b Sorteando ao acaso 2 alunos dessa classe, qual é a probabilidade de que ao menos um deles seja fluente em inglês?

a

8 . 15

b

7 . 15

c 6 . 15 d 1. e 17 . 15

8 (FUVEST 2018) Em uma urna, há bolas amarelas, brancas e vermelhas. Sabe-se que: I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha dessa urna é o dobro da probabilidade de retirar uma bola amarela. II. Se forem retiradas 4 bolas amarelas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola vermelha passa

Sejam A o evento em que dentro do ônibus tenham crianças de ambos os sexos e B o evento em que há no máximo uma menina dentro do ônibus. Determine o valor de n para que os eventos A e B sejam independentes.

6 (EFOMM 2018) Um garoto dispõe de um único

exemplar de cada poliedro de Platão existente. Para brincar, ele numerou cada vértice, face e aresta de cada poliedro sem repetir nenhum número. Em seguida, anotou esses números no próprio poliedro. Se ele sortear um dos números usados, aleatoriamente, qual será a probabilidade de o número sorteado representar um vértice? a b



5 9

5 14

c 1 3 d 5

e



19 1 10

7 (ITA 2018) São dadas duas caixas, uma delas contém

três bolas brancas e duas pretas e a outra contém duas bolas brancas e uma preta. Retira-se, ao acaso, uma bola de cada caixa. Se P1 é a probabilidade de que pelo menos uma bola seja preta e P2 a probabilidade de as duas bolas serem da mesma cor, então P1 + P2 vale

www.biologiatotal.com.br

1

a ser . 2 III. Se forem retiradas 12 bolas vermelhas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola branca passa a ser

1 . 2

A quantidade de bolas brancas na urna é a 8. b 10. c 12. d 14. e 16.

9 (USF 2018) Em um hospital com 160 funcionários,

EXERCÍCIOS

5 (IME 2018) Um ônibus escolar transporta n crianças.

60% são graduados e 70% são do sexo masculino. 2

Sabe-se ainda que 3 das pessoas de sexo feminino são graduados. A partir dessas informações, é correto afirmar que, escolhido ao acaso um desses funcionários, a probabilidade de ele ser do sexo masculino e graduado é a

1 . 3

b

2 . 5

c

1 . 2

d

1 . 5

e

5 . 32

10 (FUVEST 2018) Em um torneio de xadrez, há 2n participantes.

a Na primeira rodada, há n jogos. Calcule, em função de n, o número de possibilidades para se fazer o emparceiramento da primeira rodada, sem levar em conta a cor das peças.

7

b Suponha que 12 jogadores participem do torneio, dos quais 6 sejam homens e 6 sejam mulheres. Qual é a probabilidade de que, na primeira rodada, só haja confrontos entre jogadores do mesmo sexo?

c Qual é a probabilidade de que o produto dos elementos do conjunto sorteado seja igual a 360?

13 (UERJ 2018) Um jogo individual da memória contém oito cartas, sendo duas a duas iguais, conforme ilustrado a seguir.

11 (UNICAMP 2018) Lançando-se determinada moeda

tendenciosa, a probabilidade de sair cara é o dobro da probabilidade de sair coroa. Em dois lançamentos dessa moeda, a probabilidade de sair o mesmo resultado é igual a

EXERCÍCIOS

a 1 2. b 5 9.

c 2 3. d 3 5.

12 (PUCRJ 2018)

Eugênio sorteia um conjunto de números da seguinte forma: Eugênio joga um dado comum (com faces numeradas de 1 a 6) e anota o resultado. Eugênio joga novamente o dado: se o número for repetido, o processo acaba; se não, ele anota o resultado. Se o processo não tiver acabado, Eugênio joga novamente o dado: se o número for repetido (com um dos anteriores), o processo acaba; se não, ele anota o resultado. Este processo continua desta forma até a primeira repetição.

Observe as etapas do jogo: 1. viram-se as figuras para baixo; 2. embaralham-se as cartas; 3. o jogador desvira duas cartas na primeira jogada. O jogo continua se ele acertar um par de figuras iguais. Nesse caso, o jogador desvira mais duas cartas, e assim sucessivamente. Ele será vencedor se conseguir desvirar os quatro pares de cartas iguais em quatro jogadas seguidas. Se errar algum par, ele perde o jogo. Calcule a probabilidade de o jogador perder nesse jogo.

14 (UERJ 2018) Cinco cartas de um baralho estão sobre

uma mesa; duas delas são Reis, como indicam as imagens.

Quando o processo acaba, o conjunto sorteado é o conjunto de todos os números anotados. a Qual é a probabilidade de que o conjunto sorteado tenha apenas um elemento? Ou seja, qual é a probabilidade de que, no segundo lançamento, o dado produza o mesmo resultado que no primeiro? b Qual é a probabilidade de que o conjunto sorteado tenha exatamente dois elementos?

8

Após serem viradas para baixo e embaralhadas, uma pessoa retira uma dessas cartas ao acaso e, em seguida, retira outra. A probabilidade de sair Rei apenas na segunda retirada equivale a:

1 2 b

1 3

c

2 5

d

3 10



15 (G1 - IFPE 2018) Numa pesquisa realizada com 300

alunos dos cursos subsequentes do campus Recife, observou-se que 1 5 dos alunos atuam no mercado de trabalho em área diferente do curso escolhido, 3 8 do restante não estão trabalhando e os demais trabalham na mesma área do curso escolhido. Sorteando um destes alunos ao acaso, qual a probabilidade de ele estar trabalhando na mesma área do curso que escolheu? a 0,5.

b 0,4. c 0,2.

d 0,3. e 0,8.

16 (PUCRJ 2018) Mônica inventou um jogo de bingo

onde as bolas que são sorteadas contêm letras ao invés de números. Em uma das rodadas, usamos as letras da palavra VESTIBULAR, conforme figura abaixo.

a Ao sortear uma bola, qual é a probabilidade de que seja a letra V? b Ao sortear uma bola, qual é a probabilidade de que ela seja uma vogal? c Ao sortear 3 bolas sem reposição, qual é a probabilidade de que nenhuma delas seja consoante?

17 (EFOMM 2018) Um programa de auditório tem um

jogo chamado “Porta Premiada”, que funciona da seguinte maneira: 1º. há três portas: uma tem prêmios e duas estão vazias; 2º. o apresentador pede ao convidado que escolha uma das portas; 3º. após a escolha, o apresentador abre uma das duas portas não escolhidas. Como ele sabe qual é a premiada, abre uma vazia; 4º. depois de aberta uma das portas, ele pergunta ao convidado se deseja trocar de porta; 5º. finalmente, abre a porta do convidado para verificar se ganhou ou perdeu. Analisando o jogo de forma puramente probabilística, verifique qua(l)(is) das estratégias abaixo tem a maior probabilidade de vencer o jogo. I. Após escolher a porta, não trocá-la até o final do jogo. II. Todas as probabilidades são iguais; não há estratégia melhor que a outra, ou seja, tanto faz trocar ou não a porta. III. A melhor estratégia é sempre trocar a porta. Sobre as estratégias I, II e III apresentadas, é correto afirmar que a somente a alternativa I está correta. b somente a alternativa II está correta. c somente a alternativa III está correta. d nenhuma alternativa está correta. e todas as alternativas apresentam circunstâncias com a mesma probabilidade de vencer.

18 (G1 - IFAL 2018) Em uma das salas de aula do IFAL com 50 estudantes, sendo 28 do sexo masculino e 22 do sexo feminino, foi sorteado, aleatoriamente, um estudante para ser o representante da turma. Qual a probabilidade de o estudante sorteado ser do sexo feminino? a 2%. b 22%. c 28%. d 44%. e 56%.

19 (FMP 2018) Em uma sala estão cinco estudantes, um

dos quais é Carlos. Três estudantes serão escolhidos ao acaso pelo professor para participarem de uma atividade. Qual é a probabilidade de Carlos ficar de fora do grupo escolhido? a



www.biologiatotal.com.br

EXERCÍCIOS

a

2 5

9

b

1 4 c

3 5 d 1 2 e



2 3

20 (EFOMM 2018) Um atleta de tiro ao prato tem

EXERCÍCIOS

probabilidade de 0,9 de acertar o prato a cada novo lançamento. Analisando esse jogador antes do início da competição, após quantos lançamento de pratos, a probabilidade de ele não ter acertado todos os tiros se tornará maior que a probabilidade de acertar todos? a 9 b 8 c 7 d 6 e 5

21 (ITA 2018) De uma caixa que contém 10 bolas brancas e 6 bolas pretas, são selecionadas ao acaso K bolas.

a

3 5

b

2 3

c

1 5 d 1 2

23 (IME 2018) João e Maria nasceram no século XX, em anos distintos. A probabilidade da soma dos anos em que nasceram ser 3.875 é: a 2 99 b 19 2.475 c 37 4.950

d 19 825 e 19 485

24 (FUVEST 2018) Em uma competição de vôlei, estão

inscritos 5 times. Pelo regulamento, todos os times devem se enfrentar apenas uma vez e, ao final da competição, eles serão classificados pelo número de vitórias. Dois ou mais times com o mesmo número de vitórias terão a mesma classificação. Em cada jogo, os times têm probabilidade de vencer. a Explique por que 2 times não podem empatar na classificação com 4 vitórias cada um. b Qual é a probabilidade de que o primeiro classificado termine a competição com 4 vitórias? c Qual é a probabilidade de que os 5 times terminem empatados na classificação?

a Qual a probabilidade de que exatamente r bolas sejam brancas, nas condições 0 ≤ k - r ≤ 6 e 0 ≤ k ≤ 10. b Use o item (a) para calcular a soma

25 (UERJ SIMULADO 2018) Dez cartões com as letras

da palavra “envelhecer” foram colocados sobre uma mesa com as letras viradas para cima, conforme indicado abaixo.

22 (UERJ 2018) Um jogo consiste em lançar cinco vezes

um dado cúbico, cujas faces são numeradas de 1 a 6, cada uma com a mesma probabilidade de ocorrer. Um jogador é considerado vencedor se obtiver pelo menos três resultados pares. A probabilidade de um jogador vencer é:

10

Em seguida, fizeram-se os seguintes procedimentos com os cartões:

Observe um exemplo de anagrama:

A probabilidade de o anagrama formado conter as quatro vogais juntas (EEEE) equivale a: a

1 20

b

1 30

c

1 210

d

1 720

26 (PUCRJ 2018) Temos uma urna com 6 bolinhas

numeradas de 1 a 6. Retiramos duas bolinhas sem reposição e calculamos a soma dos números das bolinhas sorteadas. Qual é a probabilidade de que a soma seja igual a 4? a

1 36

b 1 30 c

Assinale o que for correto. 01 A probabilidade de esse jogador acertar a zona de pontuação de 10 pontos em um arremesso é maior do que 1/2. 02 Se esse jogador fizer 30 pontos em seus três primeiros arremessos, a probabilidade de ele ganhar o dinheiro ao final dos cinco arremessos será inferior 1%. 04 Se, ao final dos cinco arremessos, ele obtiver 195 pontos, será possível dizer com certeza quantas vezes ele acertou cada região do alvo. 08 Sendo p1 a probabilidade de esse jogador acertar a zona de 10 pontos, p2 a probabilidade de esse jogador acertar a zona de 25 pontos, p3 a probabilidade de esse jogador acertar a zona de 50 pontos e p4 a probabilidade de esse jogador acertar a zona de 100 pontos, a sequência p1, p2, p3, p4 é uma progressão aritmética. 16 A probabilidade de esse jogador errar a zona de100 pontos em todos os seus cinco arremessos é maior do que 50%.

28 (EPCAR (AFA) 2018) Durante o desfile de Carnaval

das escolas de samba do Rio de Janeiro em 2017, uma empresa especializada em pesquisa de opinião entrevistou 140 foliões sobre qual agremiação receberia o prêmio de melhor do ano que é concedido apenas a uma escola de samba. Agrupados os resultados obtidos, apresentaram-se os índices conforme o quadro a seguir:

1 18

Agremiação escolhida

d

1 15 e 1 12

27 (UEM 2018) Em um parque de diversões, há um jogo

de dardos cujo alvo é um círculo de raio 24cm, no qual estão desenhadas 3 circunferências cujos centros são o centro do alvo e de raios 18cm, 12cm e 6cm, que delimitam as zonas de pontuação do jogo. Se o jogador acertar um dardo dentro do alvo, mas fora do círculo de raio 18cm, ganha 10 pontos; se acertar na região delimitada pelos círculos e raios 18cm, e 12cm, ganha 25 pontos; se acertar a região delimitada pelos círculos cujos raios medem 12cm e 6cm, ganha 50 pontos; se acertar dentro do círculo com 6cm de raio, ganha 100 pontos. Pagando R$ 5,00, o jogador tem direito a cinco arremessos e, se fizer pelo menos 200 pontos na soma dos pontos em seus arremessos, ganhará R$ 7,50. Considere um jogador que nunca arremessa dardos para fora do alvo e para o qual a probabilidade de acertar uma região de pontuação, em cada arremesso, é proporcional à área daquela região.

www.biologiatotal.com.br

Nº de foliões que escolheram

C

Ae B

Ae C

Be C

A, B eC

77 73 70

20

25

40

5

A

B

EXERCÍCIOS

1º) foram virados para baixo, ocultando-se as letras; 2º) foram embaralhados; 3º) foram alinhados ao acaso; 4º) foram desvirados, formando um anagrama.

A respeito dos dados colhidos, analise as proposições a seguir e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA). (

(

(

) Se A for a agremiação vencedora em 2017 e se um dos foliões que opinaram for escolhido ao acaso, então a probabilidade de que ele NÃO tenha votado na agremiação que venceu é igual a 45%. ) Escolhido ao acaso um folião, a probabilidade de que ele tenha indicado exatamente duas agremiações é de 50%. ) Se a agremiação B for a campeã em 2017, a probabilidade de que o folião entrevistado tenha indicado apenas esta como campeã é menor que 10%.

11

A sequência correta é a V–V–F b F–V–V c F–V–F d V–F–V

29 (UEG 2018) Uma loja faz uma promoção: ao comprar

qualquer produto, o cliente participa de um jogo, o qual consiste em girar duas roletas. A roleta A contém os valores e a B os multiplicadores desses valores. Por exemplo, se um cliente tirar $5 na roleta A e #2 na roleta B, ele ganha R$ 10,00(5x2=10).

a



5 6

4 9 c 1 2 b



d

1 18

e

1 3



30 (ESPCEX (AMAN) 2018) Em uma população de homens

EXERCÍCIOS

Dessa forma, considerando as roletas das figuras apresentadas, se um cliente participar dessa promoção, a probabilidade de ele ganhar R$5,00 ou menos é de

12

ANOTAÇÕES

e mulheres, 60% são mulheres, sendo 10% delas vegetarianas. Sabe-se, ainda, que 5% dos homens dessa população também são vegetarianos. Dessa forma, selecionando-se uma pessoa dessa população ao acaso e verificando-se que ela é vegetariana, qual é a probabilidade de que seja mulher? a 50% b 70% c 75% d 80% e 85%

GABARITO

DJOW

PROBABILIDADE 1- 04 + 16 = 20. [01] INCORRETA. A probabilidade será de 1/16. [02] INCORRETA. O número de possibilidades é igual a C16,2. [04] CORRETA. O campeonato começa com 8 jogos (16 times); na segunda rodada serão 4 jogos (8 times); na terceira rodada 2 jogos (4 times) e por fim o jogo final, totalizando 15 jogos. [08] INCORRETA. Existem 4! ⋅ C16,4 = 43.680 possibilidades. [16] CORRETA. Calculando: 3

1  1 P(X)=   = = 0,125= 12,5% 8 2

  = 56 5

Se P1 e P2 estiverem fora do conjunto dos professores escolhidos, devemos escolher 6 professores do conjunto {p3 , p4 , p5 , ..., p10 } e isso pode ser feito de  8  = 28 maneiras distintas. 6

Portanto, há 56 + 56 + 28 = 140 maneiras de se escolher os seis professores. [16] Verdadeira. Sendo P a probabilidade pedida, temos: 12 11 ⋅ 12 12 11 P= 12

2- 01 + 02 = 03.

= P

75! > 7 bilhões 51! ⋅ 24!

[02] CORRETA. É necessário acertar 24 números.

4- De acordo com o enunciado:

[04] INCORRETA. Se todas as cartelas são disjuntas então os números não repetem, logo o número máximo seria 3 cartelas.

a) Calculando:

[08] INCORRETA. Supondo uma cartela cuja coluna O possui os menores números possíveis:

C = 11,2

11! = 55 grupos 2! ⋅ 9!

61 + 62 + 63 + 64 + 65 = 315 > 200

b) Calculando:

[16] INCORRETA. Ambos os números têm a mesma chance de ocorrência.

P(X) = 1−

C8,2

C16,2

= 1−

28 92 23 = = 120 120 30

5- O espaço amostral é o total de sequências ( n1, n2 , n3 , ..., nn ) , onde ni, 1 ≤ i ≤ n, podendo ser sempre menino ou menina.

3- 02 + 04 + 08 + 16 = 30. [01] Falsa. Como o emoji de óculos escuros pode ocupar qualquer uma das quatro posições, o total de senhas nas quais ele é um dos escolhidos é: 4⋅9⋅8⋅7 = 2016

[02] Verdadeira.

Sendo Ω o espaço amostral, n(Ω) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2  ⋅ 2 = 2n  n vezes

Se A é o evento em que dentro do ônibus tenham crianças de ambos os sexos, então não pode haver sequências formadas somente por meninos ou somente por meninas.

[04] Verdadeira. O termo geral no desenvolvimento de

) 2n − 2 Assim, n ( A=



Se B é o evento em que há no máximo uma menina dentro do ônibus, temos:

é:

Vamos representar uma menina pela letra x e um menino pela letra y.

Fazendo 4p − 16 = 0, p=4

8

1   Logo, o termo independente de  x 2 + 2  é:  x  8 8! =   = 70  4  4!⋅ 4!

[08] Verdadeira. Seja P o conjunto dos dez professores: P = {p1, p2 , p3 , ..., p10 } Sem perda de generalidade, admitamos que P1 e P2 sejam os professores que possuem incompatibilidade de horário. Daí, temos: Se P1 está no grupo dos professores escolhidos, devemos escolher 5 professores do conjunto {p3 , p4 , p5 , ..., p10 } e isso pode ser feito de  8  = 56 maneiras distintas.   5

Se P2 está no grupo dos professores escolhidos, devemos escolher

www.biologiatotal.com.br

EXERCÍCIOS

[01] CORRETA. Calculando, teríamos: = C75,24

5 professores do conjunto {p1, p3 , p4 , ..., p10 } e isso pode ser feito de maneiras distintas. 8

y, y, y, y, ..., y ) ou ( 1possibilidade

Assim, n (B )=

n +1

O evento A ∩ B é formado pelas sequências com crianças de ambos os sexos e com no máximo uma menina, ou seja, são as sequências que têm exatamente uma menina. n Assim, da análise do evento B, n ( A ∩ B ) =

Os eventos A e B, são independentes, se e somente se, P ( A ∩ B= ) P ( A ) ⋅ P (B ) .

Daí, É possível mostrar que n = 3 é a única solução. 6- [D] Os poliedros de Platão são:

13

Tetraedro regular, Hexaedro regular (Cubo), Octaedro regular, Dodecaedro regular e Icosaedro regular.

diante. Logo, considerando que a ordem dos n emparceiramentos não importa, segue que o resultado é igual a

O Tetraedro regular possui 4 vértices, 4 faces e 6 arestas.

 2n   2n − 2   2 (2n)! (2n − 2)! ⋅ ⋅ ⋅1  ⋅  ⋅ ⋅   2  2   2  = 2! ⋅ (2n − 2)! 2! ⋅ (2n − 4)! n! n! (2n)! . = 2n ⋅ n!

O Hexaedro regular possui 8 vértices, 6 faces e 12 arestas. O Octaedro regular possui 6 vértices, 8 faces e 12 arestas. O Icosaedro regular possui 12 vértices, 20 faces e 30 arestas.

b) De (a), sabemos que o número de casos possíveis é dado por 12! Além disso, o número de casos favoráveis é igual a .

50, o total Assim, o total de vértices é 4 + 8 + 6 + 20 + 12 = 50 e o total de arestas é de faces é 4 + 6 + 8 + 12 + 20 =

2  6   4   2   6   4   2   6! 4!  ⋅  ⋅ ⋅   ⋅ ⋅    2 2 2 2 2 2 2! 4! 2! 2! ⋅ ⋅      ⋅      =   3! 3! 3!  

O dodecaedro possui 20 vértices, 12 faces e 30 arestas.

6 + 12 + 12 + 30 + 30 = 90.

= 32 ⋅ 52.

190 números, dos Portanto, serão necessários 50 + 50 + 90 = quais 50 serão usados para os vértices.

Então, sendo p a probabilidade pedida, 50 190 5 p= 19 p=

Em consequência, a resposta é dada por 32 ⋅ 52 5 = . 12! 231 26 ⋅ 6!

11:[B] Se C denota cara e K denota coroa, então temos

7- [E] A probabilidade de se retirar uma bola branca da primeira caixa e uma bola branca da segunda caixa é 3 ⋅ 2 =6 . 6 9 P =− 1 = Logo, 1 15 15

EXERCÍCIOS

26 ⋅ 6!

5 3

15

A probabilidade de se retirar uma bola preta da primeira caixa e uma bola preta da segunda caixa é 2 1 2 ⋅ =. 5 3 15

Portanto, P1 + P2 =

Ademais,

P(c) + P(k) = 1 ⇔ 2 ⋅ P(k) + P(k) = 1 1 ⇔ P(k) = . 3

Logo, vem

P(c) =

2 3

e, portanto, a probabilidade pedida é igual a

1 1 2 2 5 ⋅ + ⋅ =. 3 3 3 3 9 1 12- a) 6 ⋅ 1 = 6 6 6

b)

6 2 8 Logo, P2 = + = 15 15 15

P(c)= 2 ⋅ P(k).

6 5 1 5 ⋅ ⋅ = 6 6 6 36

c) Temos 4 casos para considerar. Primeiro caso: se o primeiro lançamento e o último forem iguais a 1. Entre eles deverão aparecer os números 3,4,5 e 6.

9 8 17 + = 15 15 15

Portanto, a probabilidade será: P1 =

8- [C]

1 4 3 2 1 1 24 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 6 6 6 6 6 6 66

Sejam a, b e v, respectivamente, o número de bolas amarelas, o número de bolas brancas e o número de bolas vermelhas na urna. Logo, de (I), concluímos que v = 2a.

Segundo caso: se o primeiro lançamento e o último forem iguais a 2. Entre eles deverão aparecer os números 3,5 e 6.

Além disso, de (II), temos

Terceiro caso: se o primeiro lançamento e o último forem iguais a 3. Entre eles deverão aparecer os números 2,4 e 5.

v 1 2a 1 = ⇔ = a−4+b+v 2 3a + b − 4 2 ⇔ a = b − 4.

Portanto, de (III), vem

P2 =

1 3 2 1 1 6 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 6 6 6 6 6 65

P3 =

1 3 2 1 1 6 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 6 6 6 6 6 65

Quarto caso: se o primeiro lançamento e o último forem iguais a b 1 b 1 = ⇔ =6. Entre eles deverão aparecer os números 2 e 5. a + b + v − 12 2 b − 4 + b + 2(b − 4) − 12 2 1 2 1 1 2 P4 = ⋅ ⋅ ⋅ = ⇔b= 12. 6 6 6 6 64

A quantidade de bolas brancas na urna é 12.

Portanto, a probabilidade total será dada por:

9- [B] Desde que 0,6 ⋅ 160 = 96 dos funcionários são graduados e 2 32 funcionários são graduados e do sexo feminino, ⋅ 0,3 ⋅ 160 = 3 segue que existem 96 − 32 = 64 funcionários graduados do sexo masculino. 64 2 = . A resposta é 160 5  2n 

 2n − 2 

10- a) Existem  2  modos de definir o primeiro jogo,  2  maneiras de escolher os jogadores da segunda partida, e assim por

14

P = P1 + P2 + P3 + P4 24 6 6 2 168 + + + = P= . 6 6 6 5 65 6 4 66

13- Calculando:

P(perder)= 1 − P(ganhar) 1  1  1  1 P(ganhar) = 1⋅   ⋅ 1⋅   ⋅ 1⋅   ⋅ 1⋅ 1 = 105 7 5 3 1 104 P(perder) = 1− = 105 105

14- [D]

3

A probabilidade de não sair um rei na primeira retirada é 5 ,

enquanto que a probabilidade de sair um rei na segunda retirada, 2 1 dado que não saiu um rei na primeira retirada, é = . Portanto, 4 2 pelo Teorema do Produto, segue que a probabilidade pedida é 3 1 3 ⋅ =. 5 2 10

Portanto, a resposta é dada por 4 = 2 . 10

5

20- [C] Após n tiros, a probabilidade dele acertar todos os tiros é 0,9n, logo, a probabilidade dele não ter acertado todos é 1 - 0,9n. Queremos calcular n tal que:

15- [A]

0,9n < 1 − 0,9n

Alunos que atuam no mercado de trabalho em área diferente do curso: 1 ⋅ 300 = 60

2 ⋅ 0,9n < 1 1 0,9n < 2

5 Alunos que não estão trabalhando: 3 ⋅ ( 300 − 60 ) = 90 8

Portanto, a probabilidade de ele estar trabalhando na mesma área será de: 300 − 60 − 90 = P = 0,5 300

16- Temos, portanto, 4 consoantes.

bolas com vogais e 6 bolas com

a) P = 1 1 0

1  9   10  < 2  

log2 ≅ 0,3010 log3 ≅ 0,4771

Daí,

21- a) Seja A o evento: selecionar, ao acaso, r bolas brancas e k - r bolas pretas, nas condições do enunciado.  10   6  n= (A)   ⋅    r  k − r 

Seja Ω o espaço amostral: selecionar, ao acaso, k bolas, nas condições do enunciado.  16  n ( Ω ) =  k 

4 1 0

Então, sendo P(A), a probabilidade de ocorrer o evento A, temos:

c) 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 1 1 0 9 8 3 0 17- [C] Sejam as portas P1, P2 e P3 .

 10   6   ⋅  r k −r P(A) =     16    k 

Sem perda de generalidade, admitamos que o jogador escolheu a porta P1. Segundo os acontecimentos do programa, temos três possibilidades distintas.

b) Do item “a”, tomando k = 6,

Primeira possibilidade

∑

O prêmio está na porta P1 e o apresentador abre a P2 ou a P3 . Se o jogador trocar de porta ele perde.

 10   6   ⋅   r  6 − r = 1  16  r =0   6 6

Então,

EXERCÍCIOS

b) P =

Vamosn usar as seguintes aproximações:

Segunda possibilidade O prêmio está na porta P2 e o apresentador abre a P3 . Se o jogador trocar de porta ele ganha. Terceira possibilidade O prêmio está na porta P3 e o apresentador abre a P2 . Se o jogador trocar de porta ele ganha.

 10   6   ⋅  a) A probabilidade pedida é  r   k − r  ;  16  b) 6  10   6    ⋅ = 8 008. k      r  6 − r   r =0

Resposta:

∑

Assim, o jogador vence em duas das três possibilidades, ou seja, a probabilidade dele vencer trocando de porta é 2 e a dele perder é 1 . 3

22- [D]

Assim, a melhor estratégia é sempre trocar a porta.

23- [C]

Com isso, a única alternativa correta é a [C], que diz que somente a alternativa [III] está correta.

O espaço amostral Ω é dado pelo total de pares ordenados ( a, b ) , a ≠ b, em que a e b, são, respectivamente, o ano do século XX em que João nasceu e o ano do século XX em que Maria nasceu.

Calculando:

3

18- [D]

Assim,

Calculando o número de pessoas do sexo feminino dividido pelo número total temos: = P

22 = 0,44 = 44% 50

19- [A]  4 

 =4

Existem  3  modos de escolher três estudantes de modo que Carlos fique fora do grupo. Ademais, é possível escolher três estudantes quaisquer de  5  maneiras. 5!

n ( Ω= ) 100 ⋅ 99 n ( Ω ) =9 900

O evento A (a soma dos anos em que nasceram é 3 875) é formado por todas as soluções inteiras não negativas da equação a+b = 3 875, com = a 1 901 + á = e b 1 901 + â. Então,

=   = 10  3  3! ⋅ 2!

www.biologiatotal.com.br

15

1 901 + á + 1 901 + â = 3 875

7! 7! ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 1 = = . 10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7! 30 4!

á +â = 73

73 n ( A ) = P74

26- [D]

74! 73! n ( A ) = 74 n(A) =

Calculando, inicialmente, o número de maneiras possíveis para se retirar duas bolas da urna. = C6,2

Dessa forma, P(A) =

n(A)

Como a única maneira de se obter duas bolas que a soma dê 4 é retirando as bolas 1 e 3, temos a seguinte probabilidade:

n(Ω)

74 9 900 37 P(A) = 4 950 P(A) =

P=

1

b) Se a probabilidade de vencer um jogo é 2 , então a 1 1 probabilidade de perder é 1 − =. Logo, a probabilidade de 2 2 que um time qualquer vença quatro jogos é dada por 0

4  1   1  1 .  ⋅  ⋅  = 16 4  2   2 

EXERCÍCIOS

1 1 5

27- 02 + 04 + 08 + 16 = 30.

24- a) Cada time fará 5 - 1 = 4 jogos e, portanto, se um time possui quatro vitórias não pode haver outro time com o mesmo número de vitórias, já que todos os outros possuem no mínimo uma derrota.

4

6! = 15 2!⋅ 4!

Calculando as áreas de pontuação e suas probabilidades de acerto: [01] INCORRETA. A probabilidade é de 43,75% (menor que 50%). [02] CORRETA. Nessa situação, para ganhar o dinheiro seria necessário acertar os dois últimos arremessos na zona de 100 pontos, ou seja:

2 = P(X) 0,0625 = 0,00390625 < 0,01

[04] CORRETA. Nessas condições a única soma possível será: 195 = 25 + 10 + 10 + 50 + 100

[08] CORRETA. Será uma PA de razão 0,125. [16] CORRETA. Calculando:

Ademais, como dois times não podem terminar a competição 5 com quatro vitórias, segue que a resposta é 5 ⋅ 1 = . 16

16

c) Sejam A, B, C, D E E os times. Desde que o número total de 5 5! jogos é=   = 10, necessariamente haverá 10 vitórias. Logo,  2  2! ⋅ 3! cada time deve vencer dois jogos e perder dois jogos.

P(S100 ) = 1 − P(S100 ) = 1 − 0,0625 = 0,9275

5 = P(X) 0,9275 = 0,7242 > 0,5

28- [A] Considere o diagrama.

A probabilidade do time A ter exatamente duas vitórias é dada por 2

2

4  1   1  3 .  ⋅  ⋅  = 8  2  2   2 

Suponhamos, sem perda de generalidade, que A venceu B e C e perdeu de D e E. Ademais, podemos ainda supor que B venceu C e D venceu E. Desse modo, temos: C perdeu de A e B, assim deve vencer D e E, o que ocorre com 1 probabilidade 1 ⋅ 1 = . 2 2

4

D venceu A e E e perdeu de C. Portanto, deve perder de B, o que ocorre com probabilidade 1 2

.

B venceu C e D e perdeu de A. Logo, deve perder de E, o que ocorre com probabilidade 1 2

.

E venceu A e B e perdeu de C e D. Tais possibilidades já foram analisadas.

3 1 1 1 3 ⋅ ⋅ ⋅ = . A resposta é 8 4 2 2 128

25- [B]

(4)

10!

Sendo P10 = 4! o número de anagramas possíveis e P=7! o número de anagramas com as vogais juntas, podemos concluir que a resposta é

16

Tem-se que o número de foliões que não votaram em A é igual a 18 + 35 + 10 = 63. Logo, a probabilidade de que um folião escolhido ao acaso não tenha votado em A é dada por 63 ⋅ 100% = 45%. 140

Escolhido ao acaso um folião, a probabilidade de que ele tenha indicado exatamente duas agremiações é de 15 + 20 + 35 ⋅ 100% = 50%. 140

Se a agremiação B for a campeã em 2017, a probabilidade de que o folião entrevistado tenha indicado apenas esta como campeã é 18 14 > = 10%. 140 140

29- [C] O número de resultados possíveis para o experimento pode ser obtido da seguinte forma: 6⋅3 = 18, ou seja, para cada um dos 6 resultados da primeira roleta teremos 3 multiplicadores.

Os pares ordenados (X,Y) cujo produto X.Y é menor ou igual a 5 são os seguintes:

e (100,0) ou seja, 9 produtos que são menores ou iguais a cinco. Logo, a probabilidade P pedida será dada por: = P

9 1 = 18 2

Total de homens: 0,4n 0,02n Total de homens vegetarianos: 0,05 ⋅ 0,4n =

Sendo p a probabilidade pedida, 0,06n 0,06n + 0,02n 0,06n p= 0,08n 6 ⋅ 100% p= 8 p = 75% p=

30- [C] Total de pessoas: n Do enunciado, Total de mulheres: 0,6n 0,06n Total de mulheres vegetarianas: 0,1⋅ 0,6n =

EXERCÍCIOS

ANOTAÇÕES

www.biologiatotal.com.br

17