aula 127 extensivoenem-matemática1-Matrizes_Matriz inversa-12-09-2019-b210f48a29ef41

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Matemática Matrizes: Matriz inversa Resumo Dada a matriz quadrada A, dizemos que A é invertível (ou não singular), se e somente se existir uma matriz X, tal que A.X=I, onde I é a matriz identidade. Uma notação comum para a matriz inversa é Exemplo:

A −1 .

 1 2 A=  0 1 

x y  A −1 =    z w  tais que Descobrir a matriz inversa é o mesmo que descobrir valores de x,y,z,w em  1 2 x y   1 0  . =  0 1   z w  0 1  Efetuando o produto das matrizes:

 x + 2z y + 2w   1 0   =  w  0 1   z Usando a igualdade das matrizes

x + 2z = 1 → x = 1 y + 2w = 0 → y = −2 z=0 w=1

 1 −2  A −1 =   0 1  . Substituindo, descobrimos que Não é sempre que a matriz possui inversa, pois o sistema pode não ter solução. Em aulas posteriores, aprenderemos um método prático para a existência ou não de inversa.

1

Matemática Exercícios

1.

2.

5 0   1 −2      0 −2  , sendo A= 3 3  Determine uma matriz invertível P que satisfaça a equação P-1. A = 

a)

5 3  2  P=  3

10  9   2 − 9 

b)

 2 10    6 −15  P= 

c)

1 2 10    10 3 −3  P=

d)

 2 −9   − 10  P=  9

e)

1 5  3  P=  5

2 −  3  5  3 

 1   3 − 2 

2a + 1  a A= a − 1 a + 1  em que a é um número real. Sabendo que A admite  Considere a matriz

inversa A

−1

 2a − 1   −1 cuja primeira coluna é  −1  , a soma dos elementos da diagonal principal de A é

igual a a)

5

b)

6

c)

7

d)

8

e)

9

2

Matemática

3.

4.

2 0 −1   A = 2 1 10  0 0 −1 A matriz inversa de é

a)

1   −2 0   A =  −2 −1 −10   0 0 1 

b)

1 2 0 −1 2   A =  −1 1 11   0 0 −1 

c)

2 2 0   A = 0 1 0  −1 10 −1

d)

 −2 −2 0    A=0 −1 0   1 −10 1

 1 0   0 1 : A matriz inversa da matriz em destaque, mostrada adiante é 

a)

1 0   1 0

b)

 1 0   0 1 

c)

 0 1    0 1

d)

0 1     1 0

e)

1 0  2   0 2  

3

Matemática 5.

 3 −1 A −1 =  ,  −5 2  e que a matriz X é solução da equação Sabendo que a inversa de uma matriz A é

matricial X  A = B, em que B = 8 3, podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz X é

6.

a)

7

b)

8

c)

9

d)

10

e)

11

 1 0 1   2 1 0   O elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz inversa da matriz  0 1 1  é: a)

2 3

b)

3 2

c)

0

d)

−2

e)

7.

−

1 3

 1 2 A=  0 x  seja igual a sua inversa: Calcular x tal que a matriz a)

-2

b)

1

c)

-1

d)

2

e)

0

4

Matemática

8.

9.

 1 2  x −1 A=  M=  2 6  e  −1 y  onde x e y são números reais e M é a matriz inversa Sejam as matrizes de A. Então o produto xy é:

a)

3 2

b)

2 3

c)

1 2

d)

3 4

e)

1 4

João comeu uma salada de frutas com a, m e p porções de 100g de abacaxi, manga e pera, respectivamente, conforme a matriz X. A matriz A representa as quantidades de calorias, vitamina C e cálcio, em miligramas, e a matriz B indica os preços, em reais, dessas frutas em 3 diferentes supermercados. A matriz C mostra que João ingeriu 295,6cal, 143,9mg de vitamina C e 93mg de cálcio.

Considerando que as matrizes inversas de A e B são A -1 e B-1, o custo dessa salada de frutas, em cada supermercado, é determinado pelas seguintes operações: a) B.A-1.C b) C.A-1.B c) A-1.B-1.C d) B-1.A-1.C

5

Matemática  3   2   −K 10. Dada a matriz M=  a)

b)

c)

d)

e)

 K   3  2  , se M−1 = Mt , então K pode ser:

3 4 −

3 4

1 4 −

3 2

1 2

6

Matemática Gabarito 1. E

x  z Seja p= 

y  w .

2. A A.A-1 = I2

2a + 1 2a − 1 x   1 0   a   =  y  0 1  a − 1 a + 1   −1  a.(2a − 1) − (2a + 1) = 1 Temos o sistema  (a − 1).(2a − 1) − 1(a + 1) = 0 2 5  −1 A=  eA = 1 3   Resolvendo o sistema temos a = 2,

 3 −5     −1 2 

Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal é 3 + 2 = 5

7

Matemática 3. B

 2 0 −1  a b c   1 0 0         2 1 10  . d e f  = 0 1 0  0 0 −1 g h i  0 0 1  2a − g = 1 → a = 1 2  2a + d + 10g = 0 → d = −1  −g = 0 → g = 0  2b − h = 0 → b = 0  2b + e + 10h = 1 → e = 1 −h = 0 → h = 0  2c − i = 0 → c = − 1 2  2c + f + 10i = 0 → f = 11  −i = 1 → i = − 1  1 1 0 −   a b c 2 2     d e f = − 1 1 11      g h i  0 0 −1      4. B

 1 0   0 1  representa a identidade de ordem 2. Sabendo que a matriz inversa ( A −1 ) tem a A matriz  propriedade que a.

A −1 =i, onde i é a identidade. Nesse caso a=i, portanto i. A −1 =i e usando a propriedade

da multiplicação da matriz identidade temos que I.A

−1

= I → A −1 = I

5. A −1 Sabendo que A  A = I, com I sendo a matriz identidade de ordem 2, temos

X  A = B  X  A  A −1 = B  A −1  X  I = B  A −1  3 −1  X = 8 3      −5 2  X =  24 − 15 −8 + 6  X = 9 −2. Portando, a soma pedida é igual a 9 + (−2) = 7.

8

Matemática 6. A Para descobrir a inversa, calculamos:

 1 0 1  a b c  1 0 0        2 1 0  . d e f  = 0 1 0  0 1 1  g h i  0 0 1  como a questão pede apenas o a 23 , só precisamos descobrir o elemento a 23 da matriz inversa, nesse caso o f. Fazendo o produto da matriz pela ultima coluna da matriz inversa temos:

c + i = 0 → c = −i → c = −1 + f 2c + f = 0 → 2( −1 + f) + f = 0 → 3f = 2 → f =

2 3

f+i = 1→i = 1−f 7. C Como

A = A −1 então a.a=i, ou seja:

 1 2   1 2   1 0  . =  0 x  0 x  0 1  Multiplicando a primeira linha da matriz a pela segunda coluna da matriz inversa, temos:

2 + 2x = 0 x = −1 8. A

 1 2   x −1  1 0   . =  2 6   −1 y  0 1  x−2 =1→ x =3 −1 + 2y = 0 → y = xy = 3.

1 2

1 3 = 2 2

9. A O produto de a por x calcula a quantidade de calorias, vitamina c e cálcio consumidos. Igualando esse produto a c, calculamos os valores de a, m e p. O produto de b por x calcula o gasto em cada supermercado. Seja g a matriz dos gastos:

A.X = C

(A

−1

)

.A .X = A −1 .C

I.X = A −1C → X = A −1 .C G = B.X → B.A −1 .C

9

Matemática 10. E

 3  M= 2   −K 

 K   3  2   3  −K    M −1 = M t =  2  3  K   2   3    K   3 −K   1 0   2 2  .  = 0 1  3 3   −K   K    2   2  3 1 1 + K 2 = 1 → 3 + 4K 2 = 4 → K 2 = → K = 4 4 2 1 1 K= ou K = − 2 2

10