ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Igor França Garcia

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA

Prof: Igor França Garcia

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Atuário MIBA/RJ 1659

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA

ÍNDICE PÁG

1. ESTATÍSTICA, CONCEITO e HISTÓRIA

06

1.1. O QUE É ESTATÍSTICA

07

1.2. SURGIMENTO DA ESTATÍSTICA

07

2. FASES PARA UMA PESQUISA ESTATÍSTICA

11

2.1. COLETA DOS DADOS

12

2.2. CRÍTICA SOBRE OS DADOS

13

2.3. APURAÇÃO DOS DADOS

13

2.4.EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS

13

2.5.ANÁLISE DOS RESULTADOS

13

3. POPULAÇÃO E TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

14

3.1. POPULAÇÃO e AMOSTRA

15

3.2. TÉCNICAS de AMOSTRAGEM

16

3.2.1

Amostragem Casual

17

3.2.2 Amostragem Proporcional Estratificada

19

3.2.3 Amostragem Sistemática

21

3.3. EXERCÍCIOS

23

4. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

25

4.1. GRÁFICO EM LINHA OU CURVA

26

4.2. GRÁFICO EM COLUNA

28

4.3.GRÁFICO EM BARRA

29

4.4.GRÁFICO DE SETORES

30

4.5. CARTOGRAMA

33

4.6. PICTOGRAMA

35

4.7.EXERCÍCIOS

36

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5. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

37

5.1. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

38

5.2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALO DE CLASSE

39

5.3. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

41

5.3.1.

Classe

41

5.3.2.

Limite de Classe

42

5.3.3.

Amplitude

42

5.3.4.

Ponto Médio

43

5.4. EXERCÍCIOS

44

6. TIPOS DE FREQUÊNCIA

45

6.1.TIPOS DE FREQUÊNCIA

46

6.1.1.

Freqüência simples ou absoluta

46

6.1.2.

Freqüência relativa

46

6.1.3.

Freqüência acumulada

47

6.1.4.

Freqüência acumulada relativa

47

6.2. EXERCÍCIOS

48

7. REPRESENTAÇÃO

GRÁFICA

DE

UMA

DISTRIBUIÇÃO

49

DE FREQUÊNCIA

7.1.REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 50 7.1.1.

Histograma

50

7.1.2.

Polígono de Freqüência

51

7.1.3.

Polígono de Freqüência acumulada

53

7.2. EXERCÍCIOS

55

8. MEDIDAS DE POSIÇÃO

56

8.1. MEDIDAS DE TENDÊNCIA

57

8.2. MEDIDAS DE POSIÇÃO

57

8.2.1.

Média Aritmética

58

8.2.2.

Média Ponderada

60

8.2.3.

Média para distribuição de frequência

62

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3

ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 8.2.4.

Mediana

63

8.2.5.

Moda

65 66

8.3.EXERCÍCIOS

9. MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE) 9.1. MEDIDAS DE DISPERSÃO

67 68

9.1.1.

Amplitude

69

9.1.2.

Variância e Desvio Padrão

70

9.1.3.

Desvio Padrão com intervalo de classe

73 76

9.2.EXERCÍCIOS

10. MEDIDAS DE ASSIMETRIA

77

10.1. MEDIDAS DE ASSIMETRIA

78

10.1.1.

Distribuição Simétrica

78

10.1.2.

Distribuição Assimétrica á esquerda

79

10.1.3.

Distribuição Assimétrica á direita

80

10.2.EXERCÍCIOS

82

11. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

83

11.1. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO

84

11.2.EXERCÍCIOS

89

11.3.REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

84

11.4.EXERCÍCIOS

89

12. NÚMEROS - ÍNDICES

91

12.1 NÚMEROS - ÍNDICES

92

12.1.1

Elos de relativo

95

12.1.2

Relativo em cadeia

96

12.1.3

Índices Agregativos

98

12.2 INDICES ECONÔMICOS E DE INFLAÇÃO

99

12.3EXERCÍCIOS

101

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13. PROBABILIDADE

104

13.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO

105

13.2 ESPAÇO AMOSTRAL

105

13.3 EVENTOS

106

13.3.1

Eventos complementares

108

13.3.2

Eventos independentes

109

13.3.3

Eventos mutuamente exclusivos

111

13.4 EXERCÍCIOS

113

13.5 PROBABILIDADE CONDICIONAL

115

13.6EXPERIMENTO ALEATÓRIO

116

13.7 EXERCÍCIOS

121

14. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

122

14.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA

123

14.2 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

123

14.3 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

125

14.4 EXERCÍCIOS

129

14.5 DISTRIBUIÇÃO NORMAL

130

14.6 EXERCÍCIOS

133

15. TESTE DE HIPÓTESE

134

15.1. Componentes de um teste de hipótese

136

15.2. 3 passos para definir os sinais das hipóteses H0 e H1

136

15.3. Tipos de tetse de hipóteses

138

15.4. Valores para as regiões de rejeição

139

15.5. Fórmulas para os testes de hipóteses

140

15.6. EXERCÍCIOS

149

ANEXOS

150

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA

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O QUE É ESTATÍSTICA?

É uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para a COLETA, ORGANIZAÇÃO, DESCRIÇÃO, ANÁLISE e INTERPRETAÇÃO DE DADOS, para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.

SURGIMENTO DA ESTATÍSTICA

A necessidade de um conhecimento numérico sobre os recursos disponíveis, começaram a surgir quando as sociedades começaram a se organizar.

Os estados, desde a antiguidade, precisavam conhecer determinadas características da população. Efetuar sua contagem, saber sua composição e seus rendimentos.

Para que os governantes das grandes civilizações antigas, tivessem conhecimento dos bens que o Estado possuía e como estavam distribuídos pelos habitantes, surgiram o esboço das primeiras “Estatísticas”.

Ainda não possuía esse nome e era utilizada para determinar Leis sobre os impostos e número de homens disponíveis para guerras. Estas “estatísticas” eram limitadas á população adulta masculina.

O primeiro dado disponível sobre um levantamento estatístico foi referido pelo Imperador Egípcio

Heródoto em 3.050 a.c. O levantamento Estatístico teve

como finalidade,

averiguar as riquezas do Egito e seus recursos humanos para a construção das pirâmides.

Existem relatos na Bíblia de recenseamentos realizados por Moisés em 1.490 a.c.. Durante o Império Romano, era comum o Recenseamento da população e seus bens.

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA

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No início da Idade Média, após a queda do império Romano, fora realizada estatística sobre as terras que eram propriedades da Igreja Católica, para saber a riqueza de seu poderio.

No Sec. XI, a Inglaterra realizou seu levantamento estatístico, onde incluía informações sobre a terra, seus proprietários, o uso dessa terra, a quantidade de animais e serviria de base para cálculo de impostos

Podemos observar, que até o início do sec. XVII, a Estatística limitou-se ao estudo dos assuntos de Estado. A Estatística limitava-se a uma simples técnica de contagem, traduzindo numericamente, fatos ou fenômenos observados.

Esse tipo de coleta, organização e descrição dos dados, fazem parte da ESTATÍSTICA DESCRITIVA, ou seja, que apenas descreve em números o cenário dos fatos existentes.

Então, ESTATÍSTICA DESCRITIVA, é um ramo da estatística que aplica várias técnicas para descrever e sumariar um conjunto de dados existentes.

Durante o sec. XVII, inicia-se uma nova fase da Estatística iniciada pelo inglês John Graunt (1.620 – 1674), voltada agora para a análise do resultado dos dados observados, chamada de Estatística Analítica ( ou indutiva ou inferencial).

ESTATÍSTICA ANALÍTICA é nada menos do que a análise e a interpretação dos dados existentes auferidos pela Estatística descritiva.

Em 1.660, John Graunt publicou um trabalho estatístico sobre a mortalidade dos habitantes de Londres, procurando dar interpretações sociais ao seu estudo. Em 1.692, o inglês e astrônomo Edmund Halley (1.658 – 1.744), famoso pela descoberta do cometa que leva o seu nome, baseando-se em dados sobre nascimento e falecimento, foi o precursor das Tábuas de Mortalidade, bastante utilizada nos ramos de Prof: Igor França Garcia

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA

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seguros de vida e planos de previdência.

Ainda no séc. XVII surge O Cálculo das Probabilidades pelo francês Blaise Pascal (1.623 – 1.662), dando uma nova dimensão para a Estatística. O estudo das probabilidades tem a finalidade em deduzir os fatos que poderão ocorrer, baseado no acontecimento dos fatos existentes.

A palavra ESTATÍSTICA surge somente no Séc. XVIII pelo alemão Godofredo Achenwall ( 1.719 – 1772)

Na atualidade, a Estatística não se limita apenas ao Estado e ao estudo da Demografia e da Economia. Hoje, ela estende-se para a análise de dados em Biologia, Medicina, Física, Psicologia, Indústria, Comércio, Metereologia, Educação, Tecnologia de Informação e principalmente na administração e nos planejamentos estratégicos das empresas.

RESUMO ESTATÍSTICA É uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para a COLETA, ORGANIZAÇÃO, DESCRIÇÃO, ANÁLISE e INTERPRETAÇÃO DE DADOS, para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.

ESTATÍSTICA DESCRITIVA É a parte da Estatística que coleta, organiza e descreve numericamente o cenário dos dados existentes.

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA

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ESTATÍSTICA ANALÍTICA É a parte da Estatística que interpreta e analisa o resultado dos dados descritos pela Estatística Descritiva.

PROBABILIDADE É o estudo que tem por finalidade, deduzir os fatos que poderão ocorrer, baseado no acontecimento dos fatos existentes.

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE FASES DE UMA PESQUISA ESTATÍSTICA

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FASES PARA A ELABORAÇÃO DE UMA PESQUISA ESTATÍSTICA

Para realizarmos uma pesquisa que envolva um trabalho estatístico é necessário observar 5 fases para esse trabalho.

A coleta dos dados; A crítica sobre os dados; A apuração dos dados; A exposição ou apresentação dos dados E a análise dos resultados

1 - COLETA DOS DADOS

Depois de definido o objetivo da pesquisa ( qual o motivo para ela ser realizada), damos início a primeira fase da pesquisa que é a Coleta dos dados e que pode ser:

Contínua: Feita com freqüência. EX: A chamada em sala de aula

Periódica: Em intervalos constantes. EX: O censo ( feito a cada 10 anos)

Ocasional: Quando é feito a fim de atender uma emergência. EX: Uma epidemia

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE FASES DE UMA PESQUISA ESTATÍSTICA

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2 - CRÍTICA SOBRE OS DADOS Após coletados os dados, eles devem ser analisados com cuidado, á procura de falhas que possam influir sensivelmente no resultado da pesquisa.

EXEMPLO: Alguma idade informada com 250 anos.

3 - APURAÇÃO DOS DADOS

É a Soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de classificação. EXEMPLO: Se vamos tentar descobrir em uma população, a média de idade, o mais velho, o mais novo.

4 - EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS

É a forma de apresentação dos dados de forma mais adequada .

EXEMPLO: Uso de Tabelas, Gráficos.

5 - ANÁLISE DOS RESULTADOS

É o objetivo da pesquisa. É onde tiramos conclusão sobre os resultados da nossa pesquisa. EXEMPLO: Constatamos que a população de alunos é envelhecida e etc... Prof: Igor França Garcia

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

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POPULAÇÃO E AMOSTRA

VARIÁVEIS

É o conjunto das possibilidades que possui um fenômeno.

O fenômeno SEXO por exemplo, só possui duas possibilidades: Masculino ou Feminino.

TIPOS DE VARIÁVEIS

Qualitativa: Sexo, cor de um objeto, nomes ... Quantitativa: Expressa em números. altura, qtde de filhos, idade ...

Quantitativa discreta: Nº Naturais Ex: Qtde de filhos, idade... Quantitativa contínua: Nº não Naturais Ex: Altura, nota dos alunos.

POPULAÇÃO

População estatística (Universo) é o conjunto de fenômenos que possuem pelo menos uma variável em comum.

Na maioria das vezes, por impossibilidade ou inviabilidade econômica, limitamos as observações de uma pesquisa á apenas uma parte da população. Essa parte, chamamos de AMOSTRA.

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

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AMOSTRA

Amostra é um subconjunto retirado de uma população.

Mas para que a pesquisa esteja correta é necessário garantir que a amostra seja representativa da população, isto é, precisa possuir as mesmas características básicas da população e para isso, existem técnicas especiais para recolher amostras chamadas de AMOSTRAGEM.

TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

Existem vários tipos de amostragem, mas as três mais utilizadas são: Amostragem Casual; Amostragem Proporcional Estratificada; Amostragem sistemática.

Para facilitar o nosso entendimento vamos dar o seguinte exemplo para as três técnicas de Amostragem.

Um escola fez uma pesquisa, para saber a média de idade dos seus 135 alunos e obteve as seguintes idades:

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

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IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA

21; 19; 24; 21; 22; 25; 27; 22; 21; 26; 27; 25; 26; 21; 22 24; 23; 20; 21; 22; 25; 23; 20; 18; 18; 22; 23; 24; 21; 22 21; 22; 24; 21; 22; 20; 18; 22; 21; 26; 18; 25; 20; 18; 18 19; 22; 18; 21; 20; 25; 23; 22; 21; 18; 18; 20; 26; 21; 29 21; 19; 24; 23; 19; 23; 27; 19; 21; 26; 27; 19; 26; 21; 22 30; 22; 18; 21; 18; 20; 18; 22; 29; 20; 18; 25; 18; 19; 20 21; 22; 19; 23; 22; 25; 18; 22; 28; 25; 18; 20; 23; 21; 22 19; 18; 20; 30; 22; 20; 18; 28; 21; 26; 27; 25; 26; 18; 22 21; 22; 24; 21; 18; 25; 18; 28; 21; 19; 19; 25; 18; 21; 19

OBS: Os alunos que em negrito e com um traço nas idades representam alunos do sexo feminino.

AMOSTRAGEM CASUAL

Ex: Queremos saber a média de idade entre os 135 alunos (POPULAÇÃO) e decidimos retirar somente 20% como amostra.

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POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

135

=

X X

=

100% 20%

135 x 20 2700

X =

100

X =

27

Então, vamos retirar 27 alunos aleatoriamente para compor a nossa amostra. Para que o seu resultado e o resultado dos seus colegas tenham o mesmo resultado, vamos selecionar os 27 primeiros alunos.

IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA 21; 19; 24; 21; 22; 25; 27; 22; 21; 26; 27; 25; 26; 21; 22 24; 23; 20; 21; 22; 25; 23; 20; 18; 18; 22; 23; 24; 21; 22 21; 22; 24; 21; 22; 20; 18; 22; 21; 26; 18; 25; 20; 18; 18 19; 22; 18; 21; 20; 25; 23; 22; 21; 18; 18; 20; 26; 21; 29 21; 19; 24; 23; 19; 23; 27; 19; 21; 26; 27; 19; 26; 21; 22 30; 22; 18; 21; 18; 20; 18; 22; 29; 20; 18; 25; 18; 19; 20 21; 22; 19; 23; 22; 25; 18; 22; 28; 25; 18; 20; 23; 21; 22 19; 18; 20; 30; 22; 20; 18; 28; 21; 26; 27; 25; 26; 18; 22 21; 22; 24; 21; 18; 25; 18; 28; 21; 19; 19; 25; 18; 21; 19

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

X=

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608 27

X = 22,52 Então, a média de idade dos alunos dessa escola é de 22,52 anos, baseado na amostra casual de 27 alunos.

AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA

Seria retirar a amostra, proporcionalmente as características da população.

Continuando com o mesmo exemplo dos 135 alunos e tiraremos 20% deles como amostra.

Podemos observar, que dos 135 alunos, 77 são do sexo masculino e 58 são do sexo feminino. Nesse tipo de amostragem, iremos tirar 20% dos alunos, proporcionalmente a quantidade de alunos do sexo masculino e do sexo feminino. Iremos retirar 20% dos homens e 20% das mulheres.

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA

POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

População

20%

Amostra

Masculino

77

15,4

15

Feminino

58

11,6

12

135

27

27

Dessa forma, iremos extrair 15 alunos do sexo masculino e 12 alunos do sexo feminino.

IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA 21; 19; 24; 21; 22; 25; 27; 22; 21; 26; 27; 25; 26; 21; 22 24; 23; 20; 21; 22; 25; 23; 20; 18; 18; 22; 23; 24; 21; 22 21; 22; 24; 21; 22; 20; 18; 22; 21; 26; 18; 25; 20; 18; 18 19; 22; 18; 21; 20; 25; 23; 22; 21; 18; 18; 20; 26; 21; 29 21; 19; 24; 23; 19; 23; 27; 19; 21; 26; 27; 19; 26; 21; 22 30; 22; 18; 21; 18; 20; 18; 22; 29; 20; 18; 25; 18; 19; 20 21; 22; 19; 23; 22; 25; 18; 22; 28; 25; 18; 20; 23; 21; 22 19; 18; 20; 30; 22; 20; 18; 28; 21; 26; 27; 25; 26; 18; 22 21; 22; 24; 21; 18; 25; 18; 28; 21; 19; 19; 25; 18; 21; 19

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

X=

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618 27

X = 22,89 Então, a média de idade dos alunos dessa escola é de 22,89 anos, baseado na amostra proporcional estratificada de 27 alunos.

AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA

Quando os elementos da população já se encontram ordenados, não há necessidade de se construir um sistema de referência. São exemplos os prédios de uma rua ou os produtos que passam em uma linha de produção.

Nesse caso, a seleção dos elementos que constituirão a amostra, pode ser feita por um sistema imposto pelo observador, o qual chamamos de Amostragem Sistemática.

Aproveitando o nosso exemplo, será necessário colocar todas as idades em ordem crescente ou descrente e poderemos, por exemplo, retirar um aluno á cada 6 alunos para compor a amostra.

Outro exemplo seria uma rua com 900 casas e desejamos obter uma amostra de 50 casas para entrevistarmos as pessoas que moram nela. A cada 18 casas, paramos em uma delas para compor a amostra. Prof: Igor França Garcia

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

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Vamos ao nosso exemplo dos alunos. Antes de tudo é necessário colocar os números ordenadamente de forma crescente ou decrescente. Agora, iremos retirar á cada 6 alunos, um para compor a nossa amostra.

IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA

18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18 18; 18; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 20 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 21; 21; 21; 21 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21 21; 21; 21; 21; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 23; 23; 23; 23 23; 23; 23; 23; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 25; 25; 25; 25; 25 25; 25; 25; 25; 25; 27; 27; 27; 27; 28; 28; 29; 29; 30; 30

X=

559 27

X = 20,70

Então, a média de idade dos alunos dessa escola é de 20,70 anos, baseado na amostra sistemática de 27 alunos. Prof: Igor França Garcia

-

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22

ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

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EXERCÍCIOS 1) Responda as perguntas abaixo. 1) O que é Estatística e para quê ela serve. 2) O que é Estatística Descritiva. 3) O que é Estatística Analítica 4) O que é Probabilidade

2) Classifique as variáveis em Qualitativas, Quantitativa Contínua e Quantitativa discreta. 1) Cor dos cabelos. 2) Número de filhos. 3) Número de peças produzidas por uma fábrica 4) Média de idade 5) Sexo 6) Diâmetro de uma bola 7) dinheiro

3) Descreva as cinco fases para a elaboração de uma pesquisa estatística e explique cada uma delas.

4) Arredonde os números abaixo, deixando-os com apenas uma casa decimal. 1) 22,38. 2) 24,65. Prof: Igor França Garcia

-

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23

ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

PROF. IGOR FRANÇA GARCIA

3) 3,7423 4) 1,442 5) 1,08 6) 9,483

5) Um fisioterapeuta, resolveu fazer uma pesquisa para saber a altura de seus clientes e identificou as seguintes alturas:

1,75

1,68 1,65 1,73 1,67 1,82 1,84 1,70 1,76

1,91

1,77 1,69 1,80 1,78 1,68 1,81 1,72 1,70

1,71

1,77 1,65 1,83 1,87 1,78 1,68 1,75 1,71

1,68

1,70 1,66 1,78 1,82 1,69 1,75 1,72 1,70

1,81

1,72 1,73 1,79 1,78 1,85 1,81 1,69 1,75

OBS: As alturas que estejam em negrito e com um traço representam clientes do sexo feminino.

Descubra a média de altura dos clientes desse fisioterapeuta e depois descubra a média de altura, usando as seguintes técnicas de amostragem: (As amostras serão de 30% sobre a população)

a) Amostragem Casual (Retirar para compor a amostra, os 30% primeiros) b) Amostragem Proporcional Estratificada (Retirar para compor a amostra, os 30% primeiros homens e 30% primeiras mulheres)

c) Amostragem Sistemática (Retirar para compor a amostra 30% da população, á cada 4 pessoas.)

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-

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-

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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

É uma forma de apresentarmos os dados estatísticos, cujo o objetivo é o de produzir, para o público que apresentaremos os resultados, um entendimento mais rápido e fácil do fenômeno estudado.

Existem várias formas de apresentarmos os resultados em gráfico. As mais utilizadas são:

Gráfico em linha ou em curva; Gráfico em colunas; Gráfico em barras; Gráfico em setores; Cartograma; Pictograma.

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-

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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

GRÁFICO EM LINHA OU CURVA

Uma fazenda, produziu em 2001, 20.000 litros de leite, em 2002, 25.000 litros, em 2003, 32.000 mil litros e em 2004, 45 mil litros.

PRODUÇÃO DE LEITE ANOS

QTDE (1.000 L)

2001 2002 2003 2004

20 25 32 49

Qtde (1.000) L

50 40 30 20 10 2.001

2.002

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-

2.003

2.004

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anos

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27

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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

GRÁFICO EM COLUNA

Uma fazenda, produziu em 2000, 18.000 toneladas de soja, em 2001, 11.000 toneladas, em 2002, 10.000 toneladas e em 2004, 15 mil toneladas.

PRODUÇÃO DE SOJA ANOS

QTDE (1.000 T)

2000 2001 2002 2003

18 11 10 15

Qtde (1.000) T

20 15

10 5

0

2.000

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2.001

-

2.002

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2.003

anos

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28

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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

GRÁFICO EM BARRA Segundo o IBGE, em 2002, a produção de soja em Rondônia foi de 100 mil toneladas, no Mato Grosso do sul 214 mil toneladas, no Mato Grosso 1,200 Milhão de toneladas, em Goiás 212 mil toneladas.

PRODUÇÃO DE SOJA - 2002 ANOS

QTDE (1.000 T)

Rondônia Goiás Mato Grosso do Sul Mato Grosso

100 212 214 1.200

Estados RO GO

MS MT

0

200

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400

-

600

800 1.000 1.200

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Qtde (1.000) T

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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

GRÁFICO DE SETORES

Segundo o IBGE, em 2006, a população de bovinos em Mato Grosso era de 20 Milhões, no Mato Grosso do Sul era de 17 Milhões, em Goiás 16 Milhões e em Rondônia 8 milhões de cabeças de gado.

POPULAÇÃO DE BOVINOS - 2006 ESTADOS

QTDE (Milhões) 8 16 17 20 61

Rondônia Goiás Mato Grosso do Sul Mato Grosso TOTAL

O gráfico de Setores, também conhecido como “pizza” é apresentado sobre uma figura circular.

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-

25%

25%

25%

25%

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30

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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

61

100%

16

X

61 X = 16 x 100 1600

X =

61

GO

X =

26%

61

100%

17

X

61 X = 17 x 100 X =

1700 61

MS

X = Prof: Igor França Garcia

-

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28%

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31

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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

100%

61 8

X

61 X = 8 x 100 800

X =

61

RO

X =

13%

61

100%

20

X

61 X = 20 x 100 X =

2.000 61

X =

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-

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MT 33%

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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

POPULAÇÃO DE BOVINOS - 2006 26% 33% GO MS RO MT

13%

28%

CARTOGRAMA

É a representação sobre uma carta geográfica ( um mapa).

Esse tipo de gráfico é utilizado quando o objetivo é o de mostrar dados relacionadas as áreas geográficas ou políticas.

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-

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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

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-

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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

PICTOGRAMA

É uma das formas gráficas mais utilizadas pela mídia. Consiste em informar o gráfico para o público utilizando-se de figuras.

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-

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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

EXERCÍCIOS 1) A loja de Xerox da faculdade, deseja saber como anda distribuído sua receita com as cópias. Apurou-se que durante o primeiro semestre de 2008, a loja obteve uma receita com as cópias de R$ 800,00; R$ 3.500; R$ 6.000; R$ 4.500,00; R$ 5.500 e R$ 1.200,00 respectivamente. Represente essa distribuição graficamente.

2) A LACBOM solicitou uma pesquisa, para saber quais os seus três segmentos de produtos são mais comercializados. Foi feita uma pesquisa em um supermercado e foram retirado a opinião de 200 pessoas como amostra e o resultado foi o seguinte:

Leite Longa Vida - 98 pessoas Queijo

- 62 pessoas

Lacbinho

- 40 pessoas

Construa um gráfico para representar a participação dos segmentos no mercado.

3) Em 2006, o IBGE divulgou como anda distribuída a utilização da terra no Mato Grosso por hactare. Para a lavoura são utilizados 7 milhões de Hac, para a pecuária são utilizados 23 milhões de Hac e 18 milhões são matas e florestas. Construa um gráfico mostrando a utilização das terras do Mato Grosso.

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

Serve para analisarmos a freqüência que acontece os fatos individualmente ou por classes.

EXEMPLO Vamos supor que coletamos a estatura de 40 alunos de uma sala de aula e temos a seguinte tabela.

ESTATURA DOS ALUNOS (cm)

166; 160; 161; 150; 162; 160; 165; 167; 164; 160 162; 161; 168; 163; 156; 173; 160; 155; 164; 168 155; 152; 163; 160; 155; 155; 169; 151; 170; 164 154; 161; 156; 172; 153; 157; 156; 158; 158; 161

Os dados descritos aleatoriamente, chamamos de tabela primitiva, dessa forma, fica quase impossível analisarmos qual é o aluno mais alto, qual é o mais baixo ou quais estaturas mais se repetem.

A maneira apropriada para analisarmos os dados é através de uma ordenação (crescente ou decrescente) dos dados. A tabela, depois de ordenada, passa a se chamar TABELA PRIMITVA ROL.

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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

ESTATURA DOS ALUNOS (cm)

150; 151; 152; 153; 154; 155; 155; 155; 155; 156 156; 156; 157; 158; 158; 160; 160; 160; 160; 160 161; 161; 161; 161; 162; 162; 163; 163; 164; 164 164; 165; 166; 167; 168; 168; 169; 170; 172; 173 Agora podemos saber com certa facilidade, a menor estatura (150 cm), a maior estatura (173 cm) e a estatura que mais se repete (160 cm e 165 cm).

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALOS DE CLASSE

Para observarmos a frequência em que se repete as estaturas podemos construir uma tabela distribuindo as idades.

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-

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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

ESTATURA DOS ALUNOS (cm)

Estatura

Frequência

150 151 152 153 154 155 156 157 158 160 161

Estatura

1 1 1 1 1 4 3 1 2 5 4

162 163 164 165 166 167 168 169 170 172 173

Frequência 2 2 3 1 1 1 2 1 1 1 1

40

Mas esse formato de distribuição é inconveniente, devido a quantidade de estaturas. Para resolver esse problema, o mais aconselhável é agruparmos as estaturas em intervalos de classes, conforme a tabela abaixo.

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-

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

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ESTATURAS DOS ALUNOS ESTATURAS (cm) QTDE 150

├

154

4

154

├

158

9

158

├

162

11

162

├

166

8

166

├

170

5

170

├

174

3

TOTAL

40

O sinal ├ simboliza um intervalo fechado á esquerda e um intervalo aberto á direita, ou seja, no intervalo 150 ├ 154, entende-se que estamos analisando somente os valores maiores e iguais á 150 cm e menores que 154.

ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA

CLASSE

São os intervalos de variação. Representamos as classes por i, sendo: i = 1, 2, 3, 4, ... k

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

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ESTATURAS DOS ALUNOS

i

ESTATURAS (cm)

QTDE

1

150

├

154

4

2

154

├

158

9

3

158

├

162

11

4

162

├

166

8

5

166

├

170

5

6

170

├

174

3

TOTAL

40

LIMITES DE CLASSE

São os valores extremos de uma distribuição. O menor valor é o limite inferior da classe ( li ) e o maior valor é limite superior da classe ( Li ). Os limites da nossa distribuição são ( li ) = 150 e ( Li ) = 173 Os limites do SEGUNDO intervalo de classe, representamos como ( l2 ) = 154 e (L2 ) = 158

AMPLITUDE

É a diferença entre o limite superior e o limite inferior. A amplitude da distribuição é de 23 cm.

Amplitude total = Li Prof: Igor França Garcia

-

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(173)

- li

(150) = 23.

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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

A amplitude do TERCEIRO intervalo de classe é de 4 cm. Amplitude da classe = L3 (162) - l3 (158) = 4

PONTO MÉDIO

É o ponto que divide os dados em duas partes iguais ou que encontra o ponto central dos dados.

O ponto médio da distribuição é 161,5 cm.

P.M. = Li +

li

2 P.M. =

173 +

150

161,5

2

O ponto médio do QUARTO intervalo de classe é de 164 cm.

P.M. =

166 +

162

164

2

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-

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EXERCÍCIOS 1)

O A. C. Milan interessado em saber como está o desempenho do time durante os 90

minutos de um jogo, separou em minutos, todos os 70 gols que saíram durante os jogos no campeonato italiano de 2008/2009 e obteve o seguinte resultado.

5; 5; 10; 15; 15; 15; 18; 18; 19; 20; 20; 20; 21; 22 23; 23; 24; 25; 26; 26; 28; 29; 30; 30; 30; 30; 30; 31 31; 31; 31; 32; 34; 35; 35; 35; 35; 35; 36; 36; 36; 36 36; 37; 37; 38; 38; 38; 39; 40; 42; 42; 42; 43; 56; 60 63; 66; 68; 68; 68; 68; 70; 70; 70; 73; 77; 81; 82; 83

a) Monte uma distribuição de frequência com intervalo de classe. A amplitude entre os intervalos será de 15 minutos.

b) Identifique o limite Superior e o limite inferior da distribuição e do terceiro intervalo de classe.

c) Descubra o ponto médio da distribuição e do segundo intervalo de classe.

d) Se você fosse o treinador do A.C Milan, qual seria sua interpretação já com os resultados acima

O Intervalo entre as classes será um |--

OBS: Na Europa e nos outros países, o reinício dos jogos tem os cronômetros apenas paralisados, retomando o segundo tempo com os minutos corridos e não zerando o cronômetro como no Brasil.

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA

TIPOS DE FREQUÊNCIA

TIPOS DE FREQUÊNCIA

Existem quatro tipos de frequência em uma distribuição.

Frequência simples ou absoluta Frequência relativa (

( fi )

fri )

Frequência acumulada (

Fi )

Frequência acumulada relativa (

Fri ).

FREQUÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA É a frequência com que se repete os dados da distribuição. Simbolizamos por ( fi ).

FREQUÊNCIA RELATIVA É a representatividade da frequência sobre o total de entrevistados em uma distribuição

(fri).

fri =

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-

fi Σ fi

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TIPOS DE FREQUÊNCIA

FREQUÊNCIA ACUMULADA É total da frequência dos dados acumulando-se as classes (

F i ).

Fk = f1 + f2 + f3 ... + fk FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA É a frequência acumulada de uma classe, divida pelo somatório da frequência simples de uma distribuição ( Fri ).

Fi

Fri =

Σ fi

ESTATURAS DOS ALUNOS fi Fi ESTATURAS (cm) fri

Fri

150

├

154

4

0,100

4

0,100

154

├

158

9

0,225

13

0,325

158

├

162

11

0,275

24

0,600

162

├

166

8

0,200

32

0,800

166

├

170

5

0,125

37

0,925

170

├

174

3

0,075

40

1

40

1

TOTAL Prof: Igor França Garcia

-

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TIPOS DE FREQUÊNCIA

EXERCÍCIOS 1) Aproveitando o exemplo do exercício anterior, encontre a freqüência simples, a freqüência relativa, a freqüência acumulada e a freqüência relativa acumulada dos gols do time do A. C. Milan.

2) Baseado na tabela dos tipos de freqüência, interprete os resultados que você encontrou. O que os números dos gols do time do A. C. Milan demonstram?

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA

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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

Uma distribuição de frequência pode ser representada graficamente por:

HISTOGRAMA; POLÍGONO DE FREQUÊNCIA; POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA

HISTOGRAMA Conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe.

ESTATURAS DOS ALUNOS ESTATURAS (cm)

QTDE

150

├

154

4

154

├

158

9

158

├

162

11

162

├

166

8

166

├

170

5

170

├

174

3

TOTAL Prof: Igor França Garcia

-

40 Atuário MIBA/RJ 1659

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50

ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA

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Qtde

12 9 6 3

150

154

158

162

166

170

174 Estatura

POLÍGONO DE FREQUÊNCIA É um gráfico em linha, sendo as frequências marcadas perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe.

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-

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA

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ESTATURAS DOS ALUNOS ESTATURAS (cm)

QTDE

PM

150

├

154

4

152

154

├

158

9

156

158

├

162

11

160

162

├

166

8

164

166

├

170

5

168

170

├

174

3

172

TOTAL

40

Qtde

12 9 6 3

0

148

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152

-

156

160

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164

168

172

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176

52

ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA

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POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA

É traçado marcando-se as frequências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.

ESTATURAS DOS ALUNOS ESTATURAS (cm)

fi

Fi

150

├

154

4

4

154

├

158

9

13

158

├

162

11

24

162

├

166

8

32

166

├

170

5

37

170

├

174

3

40

TOTAL

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-

40

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53

ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA

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Qtde

40 30 20 10

150

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154

-

158

162

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166

170

174

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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA

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EXERCÍCIOS 1) Monte um Histograma, um polígono de frequência e um polígono de frequência acumulada.

IDADE DOS ALUNOS ESTATURAS (cm)

Qtde

40

├

44

2

44

├

48

5

48

├

52

9

52

├

56

6

56

├

60

4

TOTAL

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-

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26

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MEDIDAS DE POSIÇÃO

MEDIDAS DE TENDÊNCIA

O estudo que fizemos sobre distribuições de freqüência, nos permite descrever, de modo geral, os grupos de valores que uma pesquisa pode assumir. Dessa forma, podemos localizar a maior concentração de valores de uma distribuição, ou seja, se a maioria se encontra no início, no meio ou no final.

Porém, para ressaltar as tendências características de cada distribuição, necessitamos de algumas informações (expressas em números) que nos permitem traduzir essas tendências.

Essas informações denominadas elementos típicos da distribuição são:

Medidas de Posição; Medidas de Dispersão ou Variabilidade; Medidas de Assimetria; Medidas de Curtose.

MEDIDAS DE POSIÇÃO

Serve para nos mostrar, a tendência central da concentração dos números. As medidas mais utilizadas são:

Média aritmética, Mediana; Moda.

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MEDIDAS DE POSIÇÃO

MÉDIA ARTIMÉTICA

FORMULA:

X = Σ xi n

x +x +x

X =

1

2

3

.... +

x

n

n

EXEMPLO 1: A produção diária de leite de uma vaca durante uma semana foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros respectivamente. Qual a média de produção dessa vaca na semana?

X = 10 + 14 + 13+ 15 + 16 + 18 + 12 7 X =

98 7

X =

14 Litros

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MEDIDAS DE POSIÇÃO EXEMPLO 2:

Durante essa produção,a cotação diária do litro de leite foi de R$ 1,00; R$ 1,30; R$ 1,50; R$ 1,80; R$ 1,50; R$ 1,20 e R$ 1,40 respectivamente. Qual foi o preço médio do litro de leite durante essa semana?

X =

1,00 + 1,30 + 1,50 + 1,80 + 1,50 + 1,20 + 1,40 7

X = 9,70 7 X = R$ 1,39 Podemos dizer que essa vaca, em média, nos rendeu um lucro de R$ 19,46.

14 Litros x R$ 1,39 = R$ 19,46

Mas essa média não leva em consideração a quantidade produzida por dia pela vaca e o preço por dia do leite.

Para solucionarmos esse problema, fazemos a média ponderada.

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MEDIDAS DE POSIÇÃO

MÉDIA PONDERADA FORMULA:

X = Σ (xi . pi)

Σ pi

X = x1 . p1 + x2 . p2 + .... + xn . pn p1 + p2 + p3 + ... + pn 16/31

X = são os números. P = são os números que dão peso ou freqüência em uma distribuição.

EXEMPLO 3:

Aproveitando o Exemplo 1 e 2, iremos encontrar então a média ponderada do lucro de leite durante a semana.

ATENÇÃO!! O ponto crucial Para realizarmos o cálculo de média ponderada é definir qual distribuição será a letra x e qual distribuição definiremos para a letra p.

Como acabamos de estudar, a letra p simboliza a distribuição que dá peso ou que representa a freqüência observada.

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MEDIDAS DE POSIÇÃO

No nosso exemplo, temos uma vaca que produziu diferentes litros de leite durante a semana e temos o preço da cotação diária do litro de leite durante á mesma semana. Pois bem. Você irá observar que no sexto dia da semana, foi o dia em que a nossa vaca produziu mais leite. Se multiplicarmos esses 18 litros de leite pelo preço de venda do dia, chegaremos á uma receita de R$ 21,60.

Analisando o quarto dia da semana, a nossa vaca produziu um pouco menos, produziu 15 litros de leite, o que nos gerou uma receita de R$ 27,00. Perceba que o que está influenciando na nossa receita não é a quantidade produzida de leite e sim o preço do produto. No quarto dia, a cotação do litro de leite era de R$ 1,80, enquanto no sexto dia, quando a vaca produziu mais, era de R$ 1,20. ( R$ 0,80 á mais em relação ao sexto dia).

Portanto, definiremos a cotação diária do litro de leite como sendo a letra p, devido ela possuir mais peso sobre a nossa análise.

TOTAL

xi 10 pi 1,00

14

13

15

16

18

12

1,30

1,50

1,80

1,50

1,20

1,40

9,70

xi . pi 10,00 18,20 19,50 27,00 24,00 21,60 16,80 137,10

X = Σ (xi . pi) Σ pi 137,10 X =

R$ 14,13

9,70

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MEDIDAS DE POSIÇÃO

MÉDIA PARA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Para descobrimos a média de uma distribuição com intervalo de classe é preciso encontrar o ponto médio de cada intervalo de classe, como no exemplo abaixo.

Produção de Leite por vaca Litros

10 14 18 22

– – – –

Qtde

14 18 22 26

5 2 8 5

TOTAL

20

PM = Li + li 2 PM = 14 + 10

12

2 Portanto, 12 é o ponto médio do primeiro intervalo de classe.

Definidos todos os pontos médios de cada intervalo de classe, definiremos então, os pontos médio como sendo a letra x da fórmula de média ponderada, enquanto a quantidade de vacas, que se refere á freqüência, definiremos como sendo a letra p da fórmula.

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MEDIDAS DE POSIÇÃO

Produção de Leite por vaca Litros

10 14 18 22

– – – –

Qtde

14 18 22 26

( pi )

PM

5 2 8 5

( xi ) 12 16 20 24

60 32 160 120

20

TOTAL

(xi . pi )

372

X = Σ (xi . pi) Σ pi 372 X =

X = 18,60 Litros

20

MEDIANA É outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando dispostos seguindo uma ordem.

50% 0

n EXEMPLO 1: Foi realizada uma pesquisa com 11 alunos de uma sala, para saber a média de

idade dos mesmos. Prof: Igor França Garcia

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MEDIDAS DE POSIÇÃO

20; 22; 18; 25; 22; 21; 24; 22; 21; 23; 25 Para facilitar a análise, devemos colocar os números em uma ordem crescente ou decrescente.

18; 20; 21; 21; 22; 22; 22; 23; 24; 25; 25

Portanto, 22 é a Mediana, por ser o número que se encontra na posição central dessa distribuição.

EXEMPLO 2: Foi realizada uma pesquisa com 10 alunos de uma sala, para saber a média de idade dos mesmos.

20; 22; 18; 25; 20; 21; 24; 21; 23; 27 18; 20; 20; 21; 21; 22; 23; 24; 25; 27 Quando a série de números nos mostra uma série par, a mediana se encontra em dois pontos centrais da série. Nesse caso, a mediana será o ponto médio entre as duas.

PM = 22 + 21

21,5

2

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MEDIDAS DE POSIÇÃO

MODA É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de números. Para facilitar o encontro da moda, devemos colocar a série em uma ordem.

20; 25; 18; 25; 22; 21; 24; 22; 21; 23; 25 18; 20; 21; 21; 22; 22; 23; 24; 25; 25; 25

MO = 25

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MEDIDAS DE POSIÇÃO

EXERCÍCIOS 1) Sabendo que um aluno obteve as notas 7, 6, 5 e 8 e que essas notas têm, respectivamente, os pesos 2, 2, 3 e 3, calcule a sua média.

2) Encontre a média de altura da seguinte distribuição de alunos: Altura dos alunos Altura (cm)

150 154 158 162 166 170

– – – – – –

Qtde

154 158 162 166 170 174

4 9 11 8 5 3

TOTAL

3) Baseado em uma amostra, descobriu-se que a idade dos alunos de uma sala era: 20; 22; 20; 18; 21; 20; 25; 32; 21; 25; 20; 22; 23; 27. Descubra a média de idade dessa sala, a mediana e a moda.

4) Uma pesquisa realizada sobre a concentração de álcool no sangue de motoristas envolvidos em acidente fatais é dada abaixo. Descubra se a média, a mediana e a moda dos níveis apresentados estão acima do nível permitido. (permissão até 0,20)

0,27 0,17 0,27 0,46 0,13 0,24 0,39 0,24 0,52 0,84 0,16 0,92 0,46 0,21 0,46 1,18 0,80 0,15

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MEDIDAS DE DISPERSÃO

MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE

As medidas de posição, como podemos observar, nos mostra qual a tendência entre os números de uma distribuição.

A média aritmética mostra uma observação média e central entre todos os números, a mediana os valores centrais de uma distribuição e a moda os números que ocorrem com maior freqüência.

As medidas de posição ( ou tendência central), não observam a variação (ou a dispersão) entre os números de uma distribuição.

EXEMPLO: Foi realizada uma pesquisa, onde se registrou a temperatura de 3 cidades durante uma semana. E o resultado foi o seguinte:

CIDADE

TEMPERATURA

X

A

23; 24; 22; 22; 23; 23; 24

23

B

26; 31; 16; 23; 20; 23; 22

23

C

20; 26; 23; 21; 25; 21; 25

23

Podemos observar, que mesmo que a média de temperatura entre as três cidades sejam iguais, a temperatura registrada em uma semana na cidade A foi a mais homogênea, enquanto a cidade B registrou uma variação maior.

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MEDIDAS DE DISPERSÃO

TEMPERATURAS A

B

C

33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 Segunda

Terça

Quarta

Quinta

Sexta

Sábado

Domingo

Para resolvermos esse problema, podemos recorrer as medidas de dispersão ou variabilidade. Dessas medidas, estudaremos:

Amplitude Total, Variância; Desvio Padrão.

AMPLITUDE TOTAL

“É A DIFERENÇA ENTRE O MAIOR E O MENOR VALOR DE UMA DISTRIBUIÇÃO.”

A T = L i - li Prof: Igor França Garcia

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MEDIDAS DE DISPERSÃO EXEMPLO:

18; 20; 21; 21; 22; 22; 23; 24; 25; 30;

AT = 30 - 18

12

Mas podemos observar que a Amplitude é falha, por ser influenciada apenas pelos valores extremos, desprezando os demais números que compõem a distribuição.

Para analisarmos melhor a variabilidade ou a dispersão entre os números, usamos a Variância e o Desvio Padrão.

VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

A Variância e o Desvio Padrão são medidas que fogem a essa falha da amplitude, pois levam em consideração a totalidade dos números de uma série, o que faz delas índices de variabilidade bastante estáveis.

VARIÂNCIA FORMULA:

s

2

Σ ( xi - x ) Σ fi

=

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MEDIDAS DE DISPERSÃO

DESVIO PADRÃO

FORMULA:

s= s

2

Σ ( xi - x ) Σ fi

2

s=

ou

s

=

Σx

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Σ xi Σ fi Σ fi 2 i

-

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2

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MEDIDAS DE DISPERSÃO

EXEMPLO: Qual a variação da nota de um aluno que tirou 6 em matemática, 8 em geografia; 9 em português e 2 em inglês, utilizando a Amplitude Total e o Desvio Padrão?

AT = Li - li AT = 9 - 2

7

Para facilitar o cálculo do Desvio Padrão é aconselhável montar uma tabela para acharmos o valor de cada xi elevado ao quadrado.

S =

Σ

xi

xi2

6 9 8 2

36 81 64 4

25

185

Σ xi

xi2

Σ fi

2

Σ fi

2

Perceba a diferença entre substituir a soma do xi e de substituir a soma do xi. A segunda fração está substituindo a soma do

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xi

e depois de resolvido a divisão, elevando-o ao

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MEDIDAS DE DISPERSÃO quadrado.

S =

185

25

4

4

2

S=

46,25 - 39,06

S =

7,19

2,68

DESVIO PADRÃO COM INTERVALO DE CLASSE

FORMULA:

s

Σ ( f . x ) i = Σ fi

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2 i

-

-

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Σ ( fi.xi ) Σ fi [email protected]

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2

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MEDIDAS DE DISPERSÃO

EXEMPLO: Produção de Leite por vaca Litros

10 14 18 22

– – – –

Qtde

14 18 22 26

5 8 2 5

TOTAL

20

Para descobrimos quem representará a letra

xi e fi é preciso encontrar o ponto médio de

cada intervalo de classe, como no exemplo abaixo.

PM = L1 + l1 2

PM = 14 + 10

12

2 Definidos todos os pontos médios de cada intervalo de classe, definiremos então, os pontos médio como sendo a letra x da fórmula de média ponderada, enquanto a quantidade de vacas, que se refere á freqüência, definiremos como sendo a letra p da fórmula.

Precisamos também da soma de (fi . xi2), dessa forma, resolve-se primeiro o xi2, para depois multiplicar pelo valor de fi e substituir o resultado na fórmula.

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MEDIDAS DE DISPERSÃO

(f1 . x12)

( 5 . 122)

( 5 . 144 )

720

Produção de Leite por vaca Litros

s

( fi ) PM ( xi )

Qtde

(fi . xi )

(fi . xi2 )

10 – 14

5

12

60

720

14 – 18 18 – 22 22 – 26

8 2 5

16 20 24

128 40 120

2.048 800 2.880

TOTAL

20

348

6.448

2 Σ ( f . x ) i i = Σ fi

S =

6448

348

20

20

S=

322,40 - 302,76

S =

19,64

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Σ ( fi.xi )

2

Σ fi 2

4,43 -

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MEDIDAS DE DISPERSÃO

EXERCÍCIOS 1) Sabendo que um aluno obteve as notas 7, 6, 5, 8, 3, 6 e 4 calcule a amplitude de suas notas e o desvio padrão e descubra se a variação entre essas notas é elevada.

2) Encontre a variação da altura da seguinte distribuição de alunos, usando o desvio padrão. Altura dos alunos Altura (cm)

150 154 158 162 166 170

– – – – – –

154 158 162 166 170 174

Qtde

4 9 11 8 5 3

TOTAL

3) Nos seis últimos treinamentos de Usain Bolt, velocista medalha de ouro nos 100 m rasos nas olimpíadas de Pequim com 9s69, registra a marca de 9s73, 9s76, 9s74, 9s72, 9s72 e 9s70. Descubra a variabilidade das marcas dos últimos treinamentos de Bolt antes das olimpíadas, usando o desvio padrão.

4) Em um restaurante, observou-se que foram consumidos durante os primeiros cinco dias da semana, 21 Kg, 23 kg, 20 kg, 22 kg e 24 kg de arroz. Descubra qual a média de consumo de arroz por dia e a variabilidade do consumo de arroz.

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MEDIDAS DE ASSIMETRIA

MEDIDAS DE ASSIMETRIA

Uma distribuição pode possuir três características.

Ser SIMETRICA, quando a média e a moda são as mesmas.

EXEMPLO: MÉDIA = 50;

MODA = 50

DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA 60 50 40 30 20 10 0

MÉDIA = MODA

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MEDIDAS DE ASSIMETRIA

Ser ASSIMÉTRICA Á ESQUERDA OU NEGATIVA, quando a média é menor do que a moda.

EXEMPLO: MÉDIA = 25;

MODA = 60

DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA Á ESQUERDA 70 60 50 40 30 20 10 0

MÉDIA < MODA

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MEDIDAS DE ASSIMETRIA

Ser ASSIMÉTRICA Á DIREITA OU POSITIVA, quando a média é maior do que a moda.

EXEMPLO: MÉDIA = 60;

MODA = 25

DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA Á DIREITA 70 60 50 40 30 20 10 0

MÉDIA > MODA

Para que serve a análise de assimetria de uma distribuição?

Serve para descobrirmos a tendência em medidas da nossa distribuição e assim, analisar quais os impactos podemos sofrer, caso ocorra alguma variação na distribuição.

EXEMPLO: Dois investidores possuem a seguinte carteira de ações.

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MEDIDAS DE ASSIMETRIA PETRÓLEO

MINERAÇÃO

BANCOS

AVIAÇÃO

TOTAL

A

R$ 15.000

R$ 12.000

R$ 14.000

R$ 9.000

R$ 50.000

B

R$ 35.000

R$ 1.000

R$ 12.000

R$ 2.000

R$ 50.000

A média de recursos aplicados por segmento pelo investidor A é de R$ 12.500,00 e a moda seria aquele segmento que obteve mais recursos, que no caso é R$ 15.000,00.

Já o aplicador B, a média de recursos aplicados por segmento é de R$ 12.500,00 e a moda seria aquele segmento que obteve mais recursos, que no caso é R$ 35.000,00.

Podemos observar que os investimentos do aplicador A está melhor distribuído do que do aplicador B. Caso ocorra alguma desvalorização onde está a maior parte dos investimentos de um dos investidores, o investidor B será o mais afetado. No mercado financeiro, chamamos isso de pulverizar o risco. Qualquer variação brusca nas aplicações, o investidor B sofrerá um impacto maior do que o investidor A.

DISTRIBUIÇÃO DE ASSIMETRIA Investidor A

Investidor B

35.000 30.000 25.000 20.000 15.000 10.000 5.000 -

MÉDIA – A e B

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MODA – A

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MODA – B

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MEDIDAS DE ASSIMETRIA

EXERCÍCIOS 1) Analisando os resultados abaixo relativos a três distribuições de freqüência, analise o seu nível de assimetria. Esboce o gráfico de cada um.

PRODUÇÃO DE CANA DE AÇUCAR FAZENDA

2005

2006

2007

2008

2009

Α

5

10

30

10

5

5

20

10

5

5

5

10

20

30

5

B C

2) Um fazendeiro, possui 20 porcos, 45 galinhas, 12 patos, 6 Cavalos, 15 gados e 22 carneiros. Descubra a assimetria dessa distribuição e esboce o gráfico.

3) Um agricultor planejou cultivar 55 t de semente de milho, 120 t de semente de soja e 65 t de semente de feijão. Já um segundo agricultor, resolveu cultivar 70 t de semente de milho, 90 t de semente de soja e 80 t de semente de feijão. Esboce um gráfico de assimetria referente ao planejamento de cultivo de cada agricultor e aponte qual está mais exposto ao risco.

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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO

CORRELAÇÃO

Nos estudos anteriores, nos preocupamos apenas com uma variável. Quando fazemos a análise sobre duas variáveis, temos o problema da relação entre elas.

Quando analisamos, por exemplo, a ALTURA e o PESO de uma população, procuramos identificar se existe alguma relação em que um pode influenciar o outro.

O instrumento para medir essa relação chamamos de CORRELAÇÃO.

É claro que a altura de uma pessoa pode não influenciar o seu peso, mas, uma observação sobre uma população, em média, quanto maior a altura, maior o peso de uma pessoa.

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR

Serve para medir a intensidade da correlação entre duas variáveis e se o sentido dessa correlação é positiva ou negativa.

r=

n . Σ xi.yi - Σ xi . Σ yi n . Σ xi2 - Σ xi

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2

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.

n . Σ yi2 - Σ yi

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2

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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO

0 -1

1

Se r = 1 a correlação é perfeita e positiva. Se r = -1 a correlação é perfeita e negativa. Se r = 0 não á correlação.

EXEMPLO: Foi retirado como amostra, as notas de matemática e estatística de 4 alunos em uma sala de aula. As notas desses alunos em matemática foi de 5, 8, 2 e 10 e em estatística foi de 6, 9, 6 e 10 respectivamente. Descubra se existe alguma relação entre as notas desses alunos.

Para facilitar o cálculo de correlação é aconselhável montar uma tabela com as informações obtidas.

Notas de Matemática e Estatística

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MATEMÁTICA

ESTATÍSTICA

5 8 2 10

6 9 6 10

25

31

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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO

Depois, definiremos qualquer uma das variáveis com xi ou yi.

MATEMÁTICA

ESTATÍSTICA

( xi )

( yi )

5

(xi . yi )

( xi2 )

( yi2 )

6

30

25

36

8 2 10

9 6 10

72 12 100

64 4 100

81 36 100

25

31

214

193

253

Depois de montada a tabela, basta substituir na fórmula.

CUIDADO!! Ah uma diferença entre a soma do

xi2 e a soma do ( xi )2. No primeiro,

você irá somar todos os xi que você elevou ao quadrado, no segundo, você irá somar todo os xi e jogar na fórmula. Na fórmula é que se eleva o resultado do xi. A mesma coisa se aplica ao yi.

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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO

n . Σ xi . yi - Σ xi . Σ yi

r=

n . Σ xi2 - Σ xi

r=

2

.

n . Σ yi2 - Σ yi

4 . 214 - 25 . 31 { 4 . 193 - (25)2 } . { 4 . 253 - (31)2 }

r

856 - 775

=

{ 772 - 625 } . { 1012 - 961 }

r

81

=

{ 147 } . { 51 }

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-

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87

2

ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE CORRELAÇÃO e REGRESSÃO

r=

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81 7497

r=

81 86,59

r

= 0,94

RESPOTA TÉCNICA Há uma correlação altamente significativa entre as notas de matemática e estatística

RESPOTA INFORMAL Existe uma forte relação de que, quem obtém uma nota boa ou uma nota ruim em matemática, também obtém a mesma nota em estatística e vice-versa.

94% dos alunos que tiram notas boas ou ruins em matemática, também obtém a mesma nota em estatística e vice-versa.

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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO

EXERCÍCIO 1) Foi medido a altura e o peso entre 5 alunos. Existe alguma correlação entre eles?.

Altura e Peso dos alunos PESO (Kg)

ALTURA (cm)

50,00

160

60,00

172

49,00

170

80,00

168

65,00

168

2) Em 2000, um grupo em defesa dos peixes-boi na Flórida, apresentaram um estudo, onde mostravam que o aumento da navegação á lazer em um determinado rio, estava aumentando a matança dos animais. Esse fato levou uma longa discussão entre os ambientalistas e as pessoas que queriam se divertir. Para tentar solucionar o caso, o Instituto de pesquisa Marinha da Flórida, fez uma pesquisa sobre o número de mortes de peixes-boi e o número de barcos de passeio entre os anos de 1991 e 2000. Com a ajuda da correlação, descubra se existe alguma ligação entre as mortes dos peixes-boi e a navegação amadora.

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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO ANO

BARCOS (Mil)

MORTES PEIXES-BOI

1991

68

53

1992

68

38

1993

67

30

1994

70

50

1995

71

51

1996

73

60

1997

76

54

1998

81

67

1999

83

82

2000

84

78

3) Uma linha de produção de um frigorífico observou que a esteira que transportava as carnes travava algumas vezes. Os administradores do frigorífico Levantaram duas hipóteses para esse problema. Primeiro, que a quantidade demasiada de carne transportada, ajudava á travar a esteira, no segundo, que o aumento do transporte de costela é que estava travando a esteira. Durante 4 horas em um determinado dia de trabalho, verificou-se que a esteira travou á cada hora 10, 15, 25 e 8 vezes e durante o mesmo período analisado, a quantidade de carne transportada á cada hora era de 150 Kg, 120 Kg, 180 Kg e 120 Kg e a quantidade de costela transportada foi de 20 Kg, 24 Kg, 33 Kg e 12 Kg. Encontre a correlação entre o travamento da esteira com a quantidade de carne e o travamento da esteira com a quantidade de costela transportada e indique se as duas hipóteses ou qual das duas hipóteses dos administradores está ajudando a travar a esteira.

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REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

Sempre que desejamos estudar a função de determinada variável com outra, fazemos uma análise de regressão.

Podemos dizer que a análise de regressão tem por objetivo, descrever qual a relação entre duas variáveis, partindo de testes sobre uma variável e o resultado que essa variável influencia a outra.

A variável sobre a qual desejamos fazer os testes recebe o nome de variável dependente e a outra recebe o nome de variável independente.

Aproveitando o exemplo anterior entre a altura e o peso estudado em Correlação, faremos um estudo de Regressão Linear Simples.

Assim, X será a variável independente e Y a variável dependente. Vamos procurar o ajustamento entre elas, definidos pela função:

FUNÇÃO:

Y = a. X + b Vamos então, calcular os valores dos parâmetros a e b com a ajuda das fórmulas:.

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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO

a=

n . Σ xi.yi - Σ xi . Σ yi n . Σ xi2 - Σ xi

2

b = -y - a.xn é a quantidade de observações (freqüência).

-

X é a média dos valores xi.

-

Y é a média dos valore yi.

EXEMPLO: Foi retirado como amostra, as notas de matemática e estatística de 4 alunos em uma sala de aula. A nota desses alunos em matemática foi de 5, 8, 2 e 10 e em estatística foi de 6, 9, 6 e 10 respectivamente. Descubra se existe alguma relação entre as notas desses alunos.

Para facilitar o cálculo da regressão é aconselhável montar uma tabela com as informações obtidas.

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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO

Notas de Matemática e Estatística MATEMÁTICA

ESTATÍSTICA

5 8 2 10

6 9 6 10

25

31

Depois, definiremos qualquer uma das variáveis com xi ou yi.

MATEMÁTICA

ESTATÍSTICA

( xi )

( yi )

5 8 2 10

25

=

(xi . yi )

( xi2 )

6 9 6 10

30 72 12 100

25 64 4 100

31

214

193

Depois de montada a tabela, basta substituir na fórmula.

a= a=

4 . 214 - 25 . 31 4 . 193 - (25)2

856

- 775

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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO

a

=

81 147

a

=

0,551

Agora, encontraremos o valor das médias.

x

=

25

6,25

4

y

=

31

7,75

4

Agora substituiremos na fórmula b = y – a.x.

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b = 7,75 - 0,55 . 6,25

b = 7,75 - 3,44

b = 4,31

logo, substituindo na fórmula Y = a.X + b.

Y = 0,55.X + 4,31

Dessa forma, podemos determinar qual deverá ser a Nota de Estatística, testando várias notas em Matemática. Se o aluno tirar uma nota 4 em Matemática (que não se encontra entre as notas extraídas pela amostra) a probabilidade do aluno tirar em Estatística é:

X= 4

Y = 0,55 . (4) + 4,31

Y = 6,51

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Nesse caso, dizemos que foi feita uma INTERPOLAÇÃO, pois 4 está entre a menor nota tirada em Matemática (2) e a maior nota tirada em Matemática (10)

E se o aluno tirar uma nota 1 em Matemática?Qual de sua nota em Estatística?

X= 1

Y = 0,55 . (1) + 4,31

Y = 4,86 Nesse caso, dizemos que foi feita uma EXTRAPOLAÇÃO, pois 1 NÃO está entre a menor nota tirada em Matemática (2) e a maior nota tirada em Matemática (10)

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CORRELAÇÃO e REGRESSÃO

EXERCÍCIO 1) Encontre a Regressão Linear Simples dos Exercícios n. 1 e n. 2, da página 91, testando as seguintes hipóteses:

No exercício número 1, caso o peso da pessoa seja de 70 Kg e caso o peso da pessoa seja de 40 Kg.

No exercício número 2, caso navegue 75 mil barcos e caso navegue 90 mil barcos.

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NÚMEROS - ÍNDICES

NÚMEROS – ÍNDICES Um candidato á Deputado Estadual na região do Vale do Jauru, pediu que um certo jornal fizesse uma pesquisa com intenção de votos nas quatro maiores cidades da região e o resultado foi o seguinte.

Pesquisa de intenção de voto Município

Candidato A

Araputanga

1.200

Candidato B 920

Jauru

1.100

1.250

50

2.400

Mirassol

2.200

2.410

90

4.700

S. J. 4 Marcos

1.300

880

20

2.200

5.800

5.460

240

11.500

TOTAL

Brancos/ Nulos 80

TOTAL

2.200

Para um estudo comparativo das variações dos votos brancos, essa tabela em

números absolutos em nada nos ajuda. Porém, montando uma nova tabela com números relativos, obtemos o seguinte resultado:

Do total de entrevistados, qual a porcentagem de pessoas que irão votar em branco em cada uma das cidades?.

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NÚMEROS - ÍNDICES

Pesquisa de intenção de voto Município

Candidato A

Araputanga

1.200

Candidato B 920

Jauru

1.100

1.250

50

2.400

Mirassol

2.200

2.410

90

4.700

S. J. 4 Marcos

1.300

880

20

2.200

5.800

5.460

240

11.500

TOTAL

Brancos/ Nulos 80

TOTAL

2.200

Pesquisa de intenção de voto

Araputanga

Brancos / Nulos 80

Jauru

50

0,43%

Mirassol

90

0,78%

S. J. 4 Marcos

20

0,17%

Município

0,70%

80 X 100 11.500

240

TOTAL

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Porcentagem

-

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NÚMEROS - ÍNDICES

Do total de entrevistados por cidade, qual a porcentagem de pessoas que irão votar em branco em cada uma das cidades?

Pesquisa de intenção de voto Município

Candidato A

Araputanga

1.200

Candidato B 920

Jauru

1.100

1.250

50

2.400

Mirassol

2.200

2.410

90

4.700

S. J. 4 Marcos

1.300

880

20

2.200

5.800

5.460

240

11.500

TOTAL

Brancos/ Nulos 80

TOTAL

2.200

Pesquisa de intenção de voto

Araputanga

Brancos / Nulos 80

Jauru

50

2,08%

Mirassol

90

1,91%

S. J. 4 Marcos

20

0,91%

Município

3,64%

80 X 100 2.200

240

TOTAL

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Porcentagem

-

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NÚMEROS - ÍNDICES

Essas comparações representam o caso mais simples de medidas estatísticas, que denominamos números-índices, usados principalmente nos negócios e na economia.

Números-Índices ou simplesmente índice é a relação entre dois estados de uma variável ou de um grupo de variáveis, suscetível de variar no tempo ou no espaço ( ou de grupo de indivíduos para grupo de indivíduos).

ELOS DE RELATIVO É quando criamos números relativos, tomando como base sempre o ano anterior. Esse tipo de Elo de Relativo é chamado de relativos de base móvel.

Preço do Agrotóxico Ano

Agrotóxico

2001

240

Relativo -

2002

300

125%

25%

2003

360

120%

20%

540

150%

50%

2004

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-

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Variação -

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NÚMEROS - ÍNDICES

=

Px P x- 1

P

=

300 240

P

= 1 25%

P x -1 , x 2001, 2002

2001, 2002

Variação2001,

2002

x 100 x 100

= 125% - 100%

RELATIVOS EM CADEIA O relativo em cadeia é o índice de base fixa: Todos os relativos são calculados tomado-se uma determinada data como base para todos os anos.

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-

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NÚMEROS - ÍNDICES

Preço do Agrotóxico Ano

Agrotóxico

2001

240

Relativo -

2002

300

125%

25%

2003

360

150%

50%

540

225%

125%

2004

=

Px P base

P

=

360 240

P

= 1 50%

P

base,

x

2001, 2003

2001, 2003

Variação base, 2003

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-

Variação -

x 100 x 100

= 150% - 100%

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NÚMEROS - ÍNDICES

ÍNDICES AGREGATIVOS Os índices que estudamos até agora, servem apenas para caracterizar a marcha do preço de um só bem. No entanto, a variação de preços exige um índice que sintetize a variação dos preços de um conjunto de bens (agregado).

Para esse tipo de estudo, utilizamos um índice chamado índice agregativo.

Um modo de determinar o índice agregativo simples é calcular a média artimética dos relativos, obtendo o índice médio de relativos.

Preço da Safra Produto

2001

(Kg)

2002

(Kg)

Relativo

Milho

20

25

125%

Arroz

30

42

140%

Soja

25

30

120%

385%

I

a

=

385% 3

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-

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128,33%

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NÚMEROS - ÍNDICES

ÍNDICES ECONÔMICOS E DE INFLAÇÃO Os índices econômicos e índices de inflação são usados para medir a variação dos preços e os níveis de desenvolvimento de regiões ou países e o impacto no custo de vida da população. Os índices ajudam a compreender e prever o comportamento de uma economia.

Os índices econômicos mais utilizados são:

PIB – Produto Interno Bruto;

PNB – Produto Nacional Bruto;

PIB - Produto Interno Bruto é todo valor de bens e serviços produzidos na economia dentro de um país, num determinado período de tempo, independentemente de ser realizada por empresas nacionais ou estrangeiras.

PNB - Produto Nacional Bruto é todo valor de bens e serviços produzidos pelas empresas de mesma nacionalidade de um país, num determinado período de tempo, independentemente de ser realizada em terras nacionais ou estrangeiras.

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NÚMEROS - ÍNDICES E os índices inflacionários mais utilizados são:

IGP – FGV (Índice Geral de Preços) - É calculado pela Fundação Getúlio Vargas. É a média ponderada dos seguintes índices: Índice de Preços por Atacado (60%), Índice de custo de vida (30%) e índice de custo da construção civíl na cidade do RJ (10%). É utilizado para corrigir valores de alugueis, tarifas públicas, planos de saúde, seguro e etc.

INCC – FGV (Índice Nacional de Custo da Construção) - É calculado pela Fundação Getúlio Vargas. São avaliados os preços do setor da construção civil ( material, mão de obra e etc..).

INPC - (Índice Nacional de Preços ao Consumidor) - É calculado pelo IBGE. Geralmente é utilizado para reajuste salarial. É composto da seguinte forma: Alimentação (33,10%), Despesa Pessoal (13,30%) Vestuário (13,16%), Habitação (12,53%), Transporte e Comunicação (11,44%), Artigos residenciais (8,85%) e Saúde (7,56%).

IPCA - (Índice de Preços ao Consumidor Amplo) - É calculado pelo IBGE. É o índice de inflação oficial adotado pelo governo federal. Sua composição é da seguinte forma: Alimentação (25,21%), Despesa Pessoal (15,68%) Vestuário (12,49%), Habitação (10,91%), Transporte e Comunicação (18,77%), Artigos residenciais (8,09%) e Saúde (8,85%).

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NÚMEROS - ÍNDICES

EXERCÍCIOS 1) Em uma pesquisa sobre o preço da latinha de cerveja nos últimos 9 anos, descobriu-se os seguintes preços:

ANO

Preço da Cerveja (R$)

2000

1,25

2001

1,38

2002

1,42

2003

1,35

2004

1,50

2005

1,63

2006

1,65

2007

1,70

a) Encontre o valor relativo e da variação do preço da cerveja á cada ano e construa um gráfico para essa variação.

b) Encontra o valor relativo e da variação do preço da cerveja á cada ano, tomando como base o ano de 2003.

29/3

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NÚMEROS - ÍNDICES

2) Uma associação de donas de casa realizou uma pesquisa sobre os seguintes alimentos que compõe o café da manhã nos últimos três anos e descobriram-se os seguintes preços:

Produtos básicos do Café da manhã 2006

2007

2008

(R$)

(R$)

(R$)

PÃO (Kg)

1,00

1,25

1,75

CAFÉ (gr)

3,10

3,15

3,22

MANTEIGA (Pote)

2,20

2,32

2,35

AÇUCAR (Kg)

0,80

1,05

1,15

PRODUTO

Essa associação resolveu criar um índice chamado de ICMB – Índice do café da manhã básico. Baseado nas informações dos preços descubra:

a) Encontre o valor relativo e da variação do ICMB á cada ano.

b) Encontra o valor relativo e da variação do ICMB á cada ano, tomando como base o ano de 2006.

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NÚMEROS - ÍNDICES

3) O Ibope quis saber qual o canal mais assistido na região do Vale do Jauru, descobriu-se a seguinte escolha entre os moradores das quatro maiores cidades da região.

Pesquisa de IBOPE Município

GLOBO

S BT

RECORD TOTAL

Araputanga

2.300

1.500

1.200

5.000

Jauru

1.800

900

1.300

4.000

Mirassol

4.200

2.400

1.400

8.000

S. J. 4 Marcos

1.300

880

820

3.000

9.600

5.680

4.720

20.000

TOTAL

a) Com relação ao total dos entrevistados, identifique a representatividade (porcentagem) de quantas pessoas assistem a Globo em cada cidade.

b) Com relação aos entrevistados por cidade, identifique a representatividade (porcentagem) de quantas pessoas assistem o SBT em cada cidade.

c) Com relação aos entrevistas que escolheram a RECORD, identifique a representatividade (porcentagem) de quantas pessoas assistem a RECORD em cada cidade.

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PROBABILIDADE

PROBABILIDADE

A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.

EXPERIMENTO ALEATÓRIO

EXPERIMENTO ALEATÓRIO

São fenômenos que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso.

Da afirmação "é provável que o meu time ganhe a partida hoje" pode resultar: Que ele ganhe; Que ele perca; Que ele empate.

Ou seja, o resultado final pode ter três possibilidades.

ESPAÇO AMOSTRAL ESPAÇO AMOSTRAL

É o conjunto universo ou o conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório.

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PROBABILIDADE

No experimento aleatório "lançamento de uma moeda" temos as duas opções possíveis ou o espaço amostral S = {cara, coroa}.

No experimento aleatório "lançamento de um dado" temos seis opções possíveis ou o espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

No experimento aleatório "dois lançamentos de uma moeda" temos o espaço amostral :

S = {(ca,ca); (co,co); (ca,co); (co,ca)}

EVENTOS

EVENTOS

É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. É o resultado esperado em um experimento.

No lançamento de uma moeda, qual a probabilidade de tirarmos uma cara?

E={

cara }.

No lançamento de um dado, qual a probabilidade de tiramos um número par? E = { 2, 4,

6}

E qual a probabilidade de tirarmos a cara no lançamento de uma moeda?

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PROBABILIDADE

FORMULA:

Ε

P(E) =

Número de casos favoráveis

S

Número de casos possíveis

E qual a probabilidade de tirarmos a cara no lançamento de uma moeda?

S = { CA ; CO }

S={2}

E = { CA }

E={1}

P(E) =

P(E) =

E

P(E) =

S

0, 50

ou

1 2

50%

Qual a probabilidade de tirarmos um número par no lançamento de um dado?

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PROBABILIDADE

S={1, 2, 3, 4, 5, 6 }

S={6}

E={2, 4, 6}

E={3}

P(E) =

P(E) =

E

P(E) =

S

0, 50

ou

3 6

50%

EVENTOS COMPLEMENTARES

EVENTOS COMPLEMENTARES

Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo ocorra (sucesso) e

p a probabilidade de que ele

q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um

mesmo evento existe sempre a relação:

FORMULA:

P +q = 1 Qual a probabilidade de tirarmos o número 4 no lançamento de um dado e a probabilidade de não tiramos o 4? Prof: Igor França Garcia

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PROBABILIDADE

E

P(E) =

P(E) =

S

P(E) =

ou

0,17

P + q

=

0,17 +

q

q

=

1

q

= 0, 83

6

17%

1 =

-

1

1

0,17 ou

83%

EVENTOS INDEPENDENTES EVENTOS INDEPENDENTES

Dizemos que dois eventos são independentes, quando a realização ou a não realização de um dos eventos não afete a probabilidade da realização do outro e vice-versa.

Assim, sendo

P(1)

a probabilidade de realização do primeiro evento e

P(2)

a

probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada pela fórmula:

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-

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PROBABILIDADE

FORMULA:

P(1 e 2) = P (1) x P (2) EXEMPLO

Quando lançamos 2 dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro. Então qual seria a probabilidade de obtermos, simultaneamente, o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no segundo dado ?

P(1 e 2) = P(1)

P(2)

=

=

P(1) 1 6 1 6

x

=

0,17

=

0,17

P(1 e 2) =

0,17

P(1 e 2) =

0, 0289

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-

P(2)

x

0,17 ou

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2, 89%

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PROBABILIDADE

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS

Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do outro. Assim, no lançamento de uma moeda, o evento "tirar cara" e o evento "tirar coroa" são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.

Se dois eventos são mutuamente exclusivos , a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:

FORMULA:

P(1 e 2) = P (1) + P (2) EXEMPLO

Quando lançamos 1 dado, qual seria a probabilidade de obtermos, o nº 4 OU o nº 3?

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PROBABILIDADE

P(1 e 2) = P(1)

P(2)

=

=

P(1) 1 6 1 6

P(1 e 2) =

0,17

P(1 e 2) =

0, 34

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-

+

P(2)

=

0,17

=

0,17

+ ou

0,17 34%

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PROBABILIDADE

EXERCÍCIOS 1) Uma fazenda, possui 12 gados, sendo 4 deles vacinados. Qual a probabilidade de sorteamos 1 gado vacinado e 1 gado não vacinado?

2) Em uma pesquisa, foram entrevistadas aleatoriamente 840 pessoas e feita a seguinte pergunta: “Você já viajou de avião?”. 210 pessoas disseram que não viajaram. Qual a probabilidade de encontrarmos uma pessoa que tenha viajado de avião?

3) Uma urna A contém: 3 Bolas brancas, 4 pretas e 2 verdes, uma urna B, contém 5 Bolas brancas, 2 pretas e 1 verde. Em cada urna, será retirada uma bola. Qual a probabilidade de as duas bolas retiradas da urna A e da urna B serem: a) Respectivamente Branca e preta. b) Respectivamente Branca e verde. c) Respectivamente Verde e Preta.

4) Qual a probabilidade de um casal ter três filhos e: a) exatamente dois deles sejam meninos. b) exatamente três deles sejam meninos. c) Pelo menos um deles sejam meninos.

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PROBABILIDADE

5) Qual a probabilidade de:

CURSO

Masculino

Feminino

TOTAL

MATEMÁTICA

70

40

110

PORTUGUÊS

15

15

30

ESTATÍSTICA

10

20

30

FILOSOFIA

20

10

30

115

85

200

a) Sortearmos 1 aluno de matemática? b) Sortearmos uma mulher? c) Sortearmos 1 aluno de português e que ele seja homem? d) Sortearmos 1 aluno de português ou de matemática? e) Sortearmos 1 aluno de matemática e filosofia? f) E em Matemática, sortearmos 1 homem

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PROBABILIDADE

PROBABILIDADE CONDICIONAL PROBABILIDADE CONDICIONAL

É quando a probabilidade da ocorrência de um evento, está condicionado á ocorrência de outro evento.

EXEMPLO - 1

Temos uma urna, onde possui 2 bolas brancas e 3 bolas vermelhas. Será retirado duas bolas SEM reposição. Quais são as probabilidades possíveis?

1/4 2/5 3/4

BB BV VB VV

= = = =

2/5 2/5 3/5 3/5

x x x x

1/4 3/4 2/4 2/4

2/4

3/5

RESULTADOS 2/4

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RESULTADOS

-

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BB BV VB VV

= 0,40 x 0,25 = 0,10 = 0,40 x 0,75 = 0,30 = 0,60 x 0,50 = 0,30 = 0,60 x 0,50 = 0,30

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PROBABILIDADE EXEMPLO - 2

Temos uma urna, onde possui 2 bolas brancas e 3 bolas vermelhas. Será retirado duas bolas COM reposição. Quais são as probabilidades possíveis?

2/5 2/5 3/5

RESULTADOS BB BV VB VV

= = = =

2/5 2/5 3/5 3/5

x x x x

2/5 3/4 2/5 3/5

2/5

3/5

RESULTADOS 2/5

BB BV VB VV

= 0,40 x 0,40 = 0,16 = 0,40 x 0,60 = 0,24 = 0,60 x 0,40 = 0,24 = 0,60 x 0,60 = 0,36

EXPERIMENTO ALEATÓRIO

EXPERIMENTO ALEATÓRIO

São fenômenos que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso. EXEMPLO

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PROBABILIDADE

Foram entrevistadas 50 pessoas e descobriu-se que:

15 moram em Araputanga; 15 moram em Mirassol; 10 pessoas fazem faculdade, mas não moram nem em Mirassol e nem em Araputanga; Dos 15, 8 pessoas que moram em Araputanga, fazem faculdade; Dos 15, 5 pessoas que moram em Mirassol, fazem faculdade; 5 pessoas moram e trabalham em Mirassol e Araputanga 5 pessoas fazem faculdade, moram e trabalham em Mirassol e Araputanga.

MIRASSOL

ARAPUTANGA

15

15 FACULDADE

10 3/31

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PROBABILIDADE

ARAPUTANGA

MIRASSOL

15

15

10 FACULDADE

ARAPUTANGA

MIRASSOL

7 8

5 5

10 5

10 FACULDADE

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PROBABILIDADE EXEMPLOS

Qual a probabilidade de sortearmos uma pessoa que faz faculdade?

ARAPUTANGA

7 8

5 5

MIRASSOL

10 5

P(E) =

Ε S

10

28 50 0,56

FACULDADE

Qual a probabilidade de sortearmos uma pessoa que faz faculdade e que tenha algum contato com Araputanga?

ARAPUTANGA

7 8

5 5

MIRASSOL

10 5

P(E) =

10

Ε S

13 50 0,26

FACULDADE

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PROBABILIDADE

Qual a probabilidade de sortearmos uma pessoa que faz faculdade e que somente tenha algum contato com Araputanga?

ARAPUTANGA

MIRASSOL

10

5 5

7 8

P(E) =

5

Ε S

10

8 50 0,16

FACULDADE

Qual a probabilidade de sortearmos uma pessoa que faz faculdade ou que tenha algum contato com Araputanga?

ARAPUTANGA

7 8

MIRASSOL

5 5

10 5

P(E) = Ε + Ε - Ε S

P(E) =

10

S

S

13 50

28 + 25 50 50

FACULDADE

P(E)

= 0,56 + 0,50 - 0,26 = 0,80

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PROBABILIDADE

EXERCÍCIOS 1)

Foram entrevistadas 80 pessoas e descobriu-se que:

20 estudam Matemática; 15 estudam Estatística; 30 estudam Português; Dos 20, 5 estudam Matemática e Estatística; Dos 30, 8 estudam Português e Matemática; 10 pessoas estudam Estatística e Português; 5 pessoas estudam Matemática, Português e Estatística.

Qual a probabilidade de:

a. Sortearmos uma pessoa que estuda matemática? b. Sortearmos uma pessoa que estuda matemática e português? c. Sortearmos uma pessoa que estuda estatística ou estuda matemática? d. Sortearmos uma pessoa que estuda somente matemática e português? e. Sortearmos uma pessoa que estuda somente matemática, português e estatística? f. Sortearmos uma pessoa que faz matemática ou português ou estatística?

2)

Uma urna possui 5 bolas, 3 triângulos e 2 quadrados. Será retirado três figuras sem

reposição. Qual a probabilidade de tirarmos respectivamente:

a)

1 triângulo, 1 quadrado e 1 bola;

b)

3 bolas;

c)

1 quadrado, 1 triângulo e 1 quadrado;

d)

3 quadrados;

e)

1 bola, 1 quadrado e 1 bola;

f)

1 triângulo e 2 bolas.

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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

VARIÁVEL ALEATÓRIA

Vamos descrever o ESPAÇO AMOSTRAL relativo ao lançamento simultâneo de duas moedas:

S = { (KA, KA); (KA, CO); (CO, KA); (CO, CO)

}

Agora montaremos uma tabela, onde X representa o número de caras em cada lançamento simultâneo de duas moedas.

LANÇAMENTO DE DUAS MOEDAS PONTO AMOSTRAL

X

( KA , KA)

2

( K A , C O)

1

( CO , KA)

1

( CO , CO)

0

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

Então, X é uma variável aleatória que pode assumir os valores x1 , x2 , x3 , ..., xn.

Associamos á cada valor xi a probabilidade pi de ocorrência de cada espaço amostral. Assim temos: Prof: Igor França Garcia

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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Σ pi = 1 LANÇAMENTO DE DUAS MOEDAS P(X )

Números de CARAS (X) 2 1 0 TOTAL

¼

0,25

2/4

0,50

¼

0,25 1

Ao definir a Distribuição de Probabilidade, estabelecemos uma correspondência entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável aleatória P. Esta correspondência chamamos de função. Os valores de x1 , x2 , x3 , ..., xn formam o domínio da função e os valores p1 , p2 , p3 , ..., pn o seu conjunto imagem.

Essa função, chamamos de função probabilidade e representamos da seguinte forma:

FÓRMULA

f (x ) = P ( X = x i ) Prof: Igor França Garcia

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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL A distribuição Binomial resolve problemas de experimentos que são repetidos em números finitos (n).

Qual a probabilidade de obtermos k sucessos em n tentativas.

Vamos dar um exemplo. Qual a probabilidade de conseguirmos “caras” ao lançarmos cinco moedas?

Relembrando que o evento sucesso representamos com a letra p e conseqüentemente o insucesso representamos com a letra q. (q = 1- p)

A forma mais fácil de obtermos os resultados é utilizando a seguinte fórmula:

FÓRMULA

f(x) = P ( X = k ) =

n k

pk . qn - k

P ( X = k) é a probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas p – probabilidade de ocorrer o evento em uma SÓ PROVA q – É a probabilidade de que esse evento não ocorre nessa mesma PROVA.

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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

n k

n! k ! (n – k )!

É o coeficiente binomial de n sobre k ( a probabilidade de ocorrer o evento em inúmeras vezes).

EXEMPLO Exemplo 1 Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas. Calcule a probabilidade de obtermos 3 caras em 5 tentativas.

n P(X=k)

=

pk. qn-k

q

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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

P(X=3)

5

=

3

1 . 1 5-3 2 2

3

n!

.

k! (n – k)!

.

8

5!

.

3! (5 – 3)!

1

.

3! . (2)!

1

.

.

3! x 2 x 1

1 8

-

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1 4

.

8

5 x 4 x 3!

1 4

8

5 x 4 x 3!

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1

1 4

.

1 4

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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

20

.

1

.

2

8

20

0,3125

1 4 31,25%

64

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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

EXERCÍCIOS 1)

O Flamengo e Corinthians, jogam esse ano entre si 6 vezes. Qual a

probabilidade do Flamengo ganhar 4 jogos?

2) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 2/3. Se ele atirar 5 vezes, qual a probabilidade dele acertar 2 tiros?

3) Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que apresenta 10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles?

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DISTRIBUIÇÃO NORMAL

DISTRIBUIÇÃO NORMAL Entre as distribuições de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição normal:

O aspecto gráfico de uma distribuição normal é da seguinte forma:

_ X

A área toda da curva tem valor igual á 1 ( ou 100%)

A probabilidade de ocorrer um valor maior do que a média é a mesma para ocorrer um valor menor do que a média.

Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso objetivo é obter a probabilidade dessa variável assumir um valor em um determinado intervalo. Vejamos um exemplo

EXEMPLO Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por uma fábrica. Vamos supor que esse parafuso (variável aleatória) tenha distribuição normal de Prof: Igor França Garcia

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DISTRIBUIÇÃO NORMAL

média igual á 2 cm e desvio padrão = 0,04 cm, ou seja, é aceitável que o diâmetro do parafuso seja maior do que 2 cm, mas não sendo maior do que 2,05 cm.

P (2 < X < 2,05)

2

2,05

Então, qual a probabilidade dessa fábrica produzir parafusos com diâmetros entre 2 á 2,05?

x - x s

z = z =

2,05 - 2 0,04

z =

0,5 0,04

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DISTRIBUIÇÃO NORMAL

z = 1 ,25 P (0 < Z < 1,25)

0

Z = 0,3944

1,25

Então, a probabilidade dessa fábrica produzir um parafuso com diâmetros entre 2 cm á 2,05 cm é de 0,3944 ou 39,44%.

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DISTRIBUIÇÃO NORMAL

EXERCÍCIOS

1) As embalagens de leite da LACBOM são vendidas com 300 ml de leite, mas podendo ser comercializada com menos 15 ml. Descubra qual a probabilidade de ser comercializada embalagens de leite com 285 ml de leite?

2) A Michelin, produz pneus com 15 cm de diâmetro. Observou-se em algumas amostras de pneus, que os mesmo possui uma variação de mais de 1,48 cm (podendo chegar á 16,48 cm) e menos de 0,50 cm (podendo chegar á 14,5 cm). Descubra qual a probabilidade da Michelin produzir pneus entre 14,5 cm á 16,48 cm?.

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TESTE DE HIPÓTESE

TESTE DE HIPÓTESE

Iniciaremos esse capítulo utilizando um exemplo verídico.

As indústrias PROCARE nos EUA, comercializava um produto chamado “GENDER CHOICE” (escolha de sexo) que prometia um produto que aumentava em 85% ás chances de um casal ter um menino e 80% ás chances de um casal ter uma menina.

Se fizermos um experimento com 100 casais que querem ter meninas sem a utilização de algum medicamento, o bom senso nos mostra que os casais têm 50% de chances de terem meninas, ou seja, a probabilidade de nascerem 50 meninas é aceitável e provável.

Vamos supor que fizemos um experimento sobre 100 casais que utilizaram o GENDER CHOICE, e descobrimos que 52 desses casais tiveram meninas. Em geral, esperamos que de 100 nascimentos, nasçam cerca de 50 meninas. No nosso caso, o resultado foi de 52 meninas. Um resultado próximo de 50 é provável de acontecer. Com esse resultado, não podemos concluir que o GENDER CHOICE seja eficaz.

E se o resultado fosse o nascimento de 97 meninas? O resultado de 97 meninas em 100 nascimentos é EXTREMAMENTE IMPROVÁVEL DE OCORRER POR ACASO. Poderíamos tirar duas conclusões. Ou ocorreu um evento extremamente raro por acaso ou o GENDER CHOICE realmente é eficaz.

O ponto-chave desse exemplo é que só podemos concluir a eficácia do produto se obtivermos um resultado ALTAMENTE SIGNIFICATIVO de meninas do que em geral esperaríamos. O resultado de 52 meninas e 97 meninas estão acima da média ( 50 meninas), mas o resultado de 52 meninas não é tão significativo, enquanto o de 97 meninas é. Esse tipo de análise é que levou á retirada do produto no mercado.

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TESTE DE HIPÓTESE

40

50

60

90

COMPONENTES DE UM TESTE DE HIPÓTESE

Em um teste de hipóteses, precisamos definir dois tipos de Hipótese. Quem será a Hipótese nula ( H0 ) e quem será a Hipótese alternativa ( H1 ).

A hipótese nula é a hipótese que será testada. Se ACEITARMOS H0, diremos que o produto é eficaz. Se REJEITARMOS H0, afirmamos que o produto não é eficaz. No exemplo anterior, REJEITAMOS H0 e afirmamos que o produto não é eficaz.

3 PASSOS PARA DEFINIR OS SINAS DAS HIPÓTESES H0 E H1 1 – Identifique a afirmativa (ou a hipótese) a ser testada e expresse-a com um sinal de ou =.

2 – Identifique a falsidade da afirmativa acima e expresse-a com um sinal ou =. 3 – Das duas expressões deixe que H1 seja a afirmativa que não possui a igualdade ou seja ou = e H0 a expressão que possui o sinal = . Prof: Igor França Garcia

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TESTE DE HIPÓTESE

Quando nossas análises envolverem proporção utilizaremos p. Se nossas análises envolverem média utilizaremos µ e se nossas análises envolverem desvio padrão utilizaremos σ.

EXEMPLO 1:

Foram entrevistados alguns motoristas e mais de 50% disseram que ultrapassam o sinal vermelho.

H1:

p

H0: p

>

0,50



-

Unilateral á direita

Região de Aceitação

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-

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Região de Rejeição

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TESTE DE HIPÓTESE

(H1) =

-

Bilateral

Região de Rejeição

Região de Aceitação

Região de Rejeição

VALORES DAS REGIÕES DE REJEIÇÃO

Com o Auxílio de uma Tabela de Distribuição Normal Padrão Z, vamos descobrir o valor de Z para um nível de significância de 5%, isso é, admitimos a probabilidade de estarmos afirmando uma hipótese erroneamente em 5%.

Nível de significância = 5%

Região de Rejeição

Região de Aceitação

- 1,645 Prof: Igor França Garcia

-

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TESTE DE HIPÓTESE

Nível de significância = 5%

Região de Aceitação

Região de Rejeição

1,645

Nível de significância = 5%

2,5

Região de Aceitação

- 1,96

2,5

1,96

FÓRMULAS PARA TESTE DE HIPÓTESE

PROPORÇÃO

Quando o problema se tratar de proporção, utilizaremos a seguinte fórmula:

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-

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TESTE DE HIPÓTESE

^-p p

z =

p .q n

MÉDIA

Quando o problema se tratar de valores médios, utilizaremos uma das seguintes fórmulas:

x µ z= σ n

x µ t= s n

DESVIO PADRÃO

Quando o problema se tratar de desvio padrão, utilizaremos a seguinte fórmula:

2

χ

2

( n – 1) . s = 2 σ

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TESTE DE HIPÓTESE

EXEMPLOS EXEMPLO 1:

O DETRAN informou que mais de 50% das pessoas ultrapassam o sinal vermelho. Uma pesquisa feita com 880 motoristas selecionados aleatoriamente mostrou que mais de 56% admitiram passar o sinal vermelho. No nível de significância de 10%, descubra se o resultado encontrado pela amostra foi um resultado por acaso.

H1:

p

H0: p

>

0,50

0,50 H0: p = 0,95

H1: p

<

0,95

Nível de significância = 5%

Região de Rejeição

Região de Aceitação

-1,645 Prof: Igor França Garcia

-

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TESTE DE HIPÓTESE

z

^ p =

z

z

^- p p p.q n

= 110 120

0,9167

0,9167 - 0,95

=

0,95 . 0,05 120

- 0,03330

=

0,04750 120

z = - 0,03330

-1,67

0,0200

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-

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TESTE DE HIPÓTESE

Nível de significância = 10% H1: p < 0,95 H0: p >= 0,95 Região de Aceitação

Região de Rejeição

-1,645

-1,67 RESPOSTA

Rejeitamos H0. Há indícios que o tamanho da amostra não é suficiente para analisarmos a realidade da cia aérea em um nível de significância de 5%.

EXEMPLO 3:

Nas ultimas provas de Estatística, verificou-se que a média de aprovação foi de 8 pontos. Para testar se o nível da nova turma é a mesma, coletou-se uma amostra com 15 alunos e o valor da média foi de 7 pontos e o desvio padrão entre as notas de 3 pontos. Verifique se a amostra coletada condiz com a realidade em um nível de significância de 5%.

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TESTE DE HIPÓTESE

µ

=

8

H1: µ

=

8

H0:

Nível de significância = 5%

2,5

2,5

Região de Aceitação

-1,96

1,96

z= x - µ σ n

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TESTE DE HIPÓTESE

7 - 8

z =

3 15 1

z =

1,29

0,7746 H0: µ H1: µ

= 8 / 8 =

2,5

2,5

Região de Aceitação

-1,96

1,29

1,96

RESPOSTA

Aceitamos H0. Há indícios suficientes que a amostra coletada condiz com a realidade e a média de notas da nova turma realmente diminuiu de 8 para 7 pontos um nível de significância de 5%. Prof: Igor França Garcia

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TESTE DE HIPÓTESE

EXERCÍCIOS 1) Nas duas ultimas eleições, o candidato A obteve 65% dos votos válidos. Em uma pesquisa de intenção de voto para a próxima eleição, de uma amostra de 120 pessoas o candidato A obteve 66 votos dos entrevistados. Descubra se a amostra coletada condiz com o resultado das ultimas eleições á um nível de significância de 5%.

2) Uma certa revista semanal, alega que 25% dos seus leitores pertencem á classe alta. Uma amostra de 740 leitores, 156 pertenciam a classe alta. Descubra se a amostra coletada mostra a realidade apontada pela revista á um nível de significância de 5%.

3) Nas ultimas provas de Estatística, verificou-se que a média de aprovação foi de 8 pontos. Para testar se o nível da nova turma é a mesma, coletou-se uma amostra com 15 alunos e o valor da média foi de 7 pontos e o desvio padrão entre as notas de 1 pontos. Verifique se a amostra coletada condiz com a realidade em um nível de significância de 5%.

4) Uma empresa, utilizando-se de testes vocacionais, analisou como anda o nível de seus funcionários. Os últimos testes vocacionais mostraram uma pontuação média de seus funcionários em 115 pts. Para analisar se a média do novo teste continua o mesmo, retirou-se aleatoriamente como amostra, a nota de 20 funcionários, onde a média das notas fora de 120 pts e o desvio-padrão de 20. Baseado na amostra descubra se a média do novo teste alterou ou se a amostra coletada não serve para analisar a realidade desse novo teste.

Erro de

significância de 10%.

5) Na região do Vale do Jauru, verificou-se que na década de 70, a mortalidade dos gados por doenças era mais de 60%. Para reduzir esse número, foi feita uma campanha de vacinação, para reduzir os prejuízos dos pecuaristas. Para ver se a campanha deu resultado, foi retirado como amostra, 1.000 gados na região e verificou-se que 430 morreram por doenças. Verifique Prof: Igor França Garcia

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se a amostra coletada, demonstra se a campanha teve resultado, em um nível de siginificância de 8%.

6) Nos últimos 5 anos, 60% ou menos de 60% dos alunos da faculdade que cursaram a disciplina Estatística, foram aprovados. Para averiguar se a porcentagem desse ano de alunos que são aprovados foi alterada, a faculdade fez um novo experimento, onde coletou aleatoriamente a nota de 90 alunos, sendo que 40 deles foram aprovados. Em um nível de significância de 1%, descubra se essa porcentagem foi alterada ou se a amostra coletada não serve para a análise.

7) Uma fábrica de auto-peças, determinou que o diâmetro de seus parafusos para as rodas de um automóvel, fossem de aproximadamente de 12,5 polegadas, mas podendo variar até 1 polegada.

Para analisar se a máquina que fábrica os parafusos continua em perfeito

funcionamento, fora retirado 15 parafusos como amostra, onde a média das polegadas entre eles fora de 12,2 polegadas e o desvio-padrão de 1,61. Descubra se a máquina possui algum problema, baseado na amostra coletada. Nível de Significância de 10%.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CRESPO, Antônio Arnot. Estatística Fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 2002

TRIOLA, Mário F. Introdução á Estatística. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2005

DOWNING, Douglas; CLARK, Jeffrey. Estatística Aplicada. São Paulo: Editora Saraiva, 2006

BUSSAB, Wilton; MORETTIN, Pedro. Estatística Básica. São Paulo: Editora Saraiva, 2002

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