267_SIMULADO RUMO AO ITA

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RUMO AO ITA 1) Uma empresa comercial irá realizar uma inspeção em uma determinada cidade, para analisar a possibilidade de se instalar uma filial na mesma. A empresa dispõe de 47 funcionários, e deseja fazer uma propaganda nessa cidade. Cada funcionário deve receber boletins (iguais entre si) das propostas dessa empresa para com os seus futuros clientes da região. Se a empresa encomendou 173 boletins, cada funcionário deve receber uma quantidade ímpar de boletins e não devem sobrar boletins, calcule o número de maneiras de se fazer essa distribuição. 2) Um cone circular reto está inscrito numa esfera de raio 3. Sejam r e h, o raio da base e a altura desse cone, respectivamente. Se os valores assumidos pelo polinômio p(r) = , são reais e não-negativos, calcule o volume desse cone. 3) Resolva, em

, o sistema de equações:

4) Existe uma função f real, tal que f(x) = x 0? Justifique.

e

+

= 2, para todo

5) Considere a sequência dada por

– onde

denota a parte inteira de x. Determine o resto da divisão de por 9.

6) Mostre que não existe poliedro convexo, cujos números dos vértices, das faces e das arestas sejam primos maiores do que 2.

,

7) Resolva a equação, para x

[0 , ] :

= 1.

8) Seja B = (

(

, k, j = 1, 2, ... ,17 uma matriz quadrada de ordem 17, tal que

=

Se

são as raízes da equação

= 1,

Mostre que Tr(B) = 17 Det(B). Dado: i = 9) Sejam a, b, c números reais positivos tais que a+b+c = 1. Determine o valor máximo da expressão

e encontre todas as ternas (a,b,c) para os quais isso

acontece. 10) Considere um triângulo ABC com circuncentro O, raio do círculo circunscrito R, raio do círculo inscrito r e semiperímetro p. Sejam as distâncias de O aos lados a, b, c do triângulo ABC, respectivamente. Prove que

.