4° Año_ ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES-Suarez

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MATEMATICA 4TO AÑO. INTRODUCCIÓN ÁLGEBRA es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. El concepto de la cantidad en Álgebra es mucho más amplio que en Aritmética. En Aritmética las cantidades se representan por números y éstos expresan valores determinados. Así, 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un valor mayor o menor que éste habrá que escribir un número distinto de 20. En Álgebra, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así, “X” representa el valor que nosotros le asignemos, y por lo tanto puede representar 20 o más de 20 o menos de 20, a nuestra elección, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado. Los símbolos usados en Álgebra para representar las cantidades son los números y las letras. Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas, pero en este curso la vamos a utilizar para representar incógnitas, es decir cantidades que en principio no conocemos. ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA. Una IGUALDAD es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. Ejemplos: 4 + 5 = 9 3X= 15. Una ECUACIÓN es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Así, 5X + 2 = 17 es una ecuación, porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la “X”, y esta igualdad sólo se verifica, o sea que solo es verdadera, para el valor “X = 3”. En efecto, si sustituimos la “X” por “3”, tenemos: 5(3) + 2 = 17 15 + 2 = 17 17 = 17 Si le damos a “X” un valor distinto de “3”, la igualdad no es verdadera, es decir no se cumple. Los MIEMBROS de una ecuación son las expresiones que están a ambos lados de la igualdad. Se llama primer miembro a la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad, y segundo miembro a la expresión que está a la derecha. Así, en la ecuación 3X – 5 = 2X – 3, el primer miembro es 3X – 5 y el segundo miembro 2X – 3. La SOLUCION de una ecuación es el valor de la incógnita que verifica la ecuación, es decir, que sustituidos en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en una igualdad. Ejemplo: En la ecuación 5X – 6 = 3X + 8, la solución es “7” porque haciendo X=7 se tiene 5 . (7) – 6 = 3 . (7) + 8 35 – 6 = 21 + 8 29 = 29

Donde se puede observar que “7” satisface la ecuación. Este control es lo que se denomina verificación de resultados. RESOLVER UNA ECUACIÓN es hallar su solución, o sea el valor de la incógnita que satisface la ecuación. LA TRANSPOSICIÓN DE TERMINOS consiste en pasar los términos de una ecuación de un miembro al otro. Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro al otro pero cambiándole el signo. Esto significa que un término que se encuentra en el segundo miembro sumando, lo podemos pasar al primer miembro restando. Si un numero está multiplicando una incógnita en el primer miembro, lo puedo pasar al segundo miembro pero dividiendo, lo único que en este caso conserva el signo positivo o negativo que tenía.

RESOLUCION DE ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA: Generalmente para resolver este tipo de ecuaciones se siguen los siguientes pasos: PASO 1) Se hace el pasaje de términos, reuniendo en el primer miembro (izquierda) los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro (derecho) todas las cantidades conocidas. PASO 2) Se reducen los términos semejantes en cada miembro. PASO 3) Se despeja la incógnita. PASO 4) Se verifica el resultado encontrado. Ejemplo: Resolver la ecuación 5X = 8X – 15 PASO 1) Se hace el pasaje de términos, reuniendo en el primer miembro (izquierda) los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro (derecho) todas las cantidades conocidas. Recordar el cambio del signo de los términos que se pasen de un lado al otro. 5X – 8X = – 15 PASO 2) Se reducen los términos semejantes en cada miembro. – 3X = – 15 PASO 3) Se despeja la incógnita. X = – 15 –3 X=5 PASO 4) La verificación es la prueba de que el valor obtenido para la incógnita es correcto. La verificación se realiza sustituyendo en los dos miembros de la ecuación dada la incógnita por el valor obtenido, y si éste es correcto, la ecuación dada se convertirá en identidad. Así, en la ecuación anterior, haciendo “X = 5” en la ecuación dada tenemos: 5(5) = 8(5) – 15 25 = 40 – 15

15 = 15 Todas las operaciones que realizamos en los cuatro pasos nos quedan de esta manera: 5X = 8X – 15 5X – 8X = – 15 – 3X = – 15 X = – 15 –3 X=5 VERIFICACION: 5 .(5) = 8 .(5) – 15 25 = 40 – 15 15 = 15

ACTIVIDAD PRÁCTICA. ACTIVIDAD 1. Responda las siguientes preguntas: 1. ¿Concepto de la cantidad en Álgebra es igual que en Aritmética? ¿Por qué? 2. ¿Qué es una igualdad? 3. ¿Qué es una ecuación? 4. ¿Qué son los miembros de una ecuación? 5. ¿A que llamamos solución de una ecuación? 6. ¿Qué es la transposición de términos? 7. ¿Cuáles son los para resolver ecuaciones con una incógnita? ACTIVIDAD 2. Encuentre el valor de las incógnitas en las siguientes ecuaciones y verifique el resultado encontrado (realice los cuatro pasos sugeridos en este apunte). 3 X + 5 – 1 X = 11

13 X – 8 – 7 X = 28

8–2X–4+4X=8

4X+8–3X–7=3X–2–1X

8X – 2 X + 4 – 2 X = 3 X + 2 + 2 X

2X+8–2 -3X+2X=2X+2

CONSULTAS: AL 3463407647 [email protected]

SISTEMAS DE ECUACIONES: SISTEMA DE ECUACIONES es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Así, 2X + 3Y = 13 4X – Y = 5 Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. La SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES es un grupo de valores de las incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema. La solución del sistema anterior es X = 2, Y = 3. Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solución y es imposible o incompatible cuando no tiene solución. Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones. Para la RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES se utilizan dos métodos: 1. Método de igualación. 2. Método de sustitución. MÉTODO DE IGUALACIÓN: Ejemplo 1: Resolver el sistema 7X + 4Y = 13 (1) 5X – 2Y = 19 (2) En un primer paso despejamos la incógnita “X” en ambas ecuaciones

Ahora tenemos una sola ecuación con una incógnita, la “Y”; dado que hemos eliminado la “X”. Luego debemos resolver esta ecuación de la manera que Usted ya sabe: 13 – 4Y = 19 + 2Y 7 5 5(13 – 4Y) = 7(19 + 2Y) (lo que hice es pasar el 5 que dividía en el segundo miembro multiplicando en el primer miembro, y pasé también el 7 que estaba dividiendo en el primer miembro multiplicando en el segundo miembro. En los dos casos sin cambiarle el signo positivo)

65 – 20Y = 133 + 14Y (lo que hice fue multiplicar en forma distributiva el 5 (13 – 4Y) en el primer miembro y 7(19 + 2Y) en el segundo miembro) – 20Y – 14Y = 133 – 65 (en este paso se colocan todos los términos que tienen la incógnita en el primer miembro y los que no tienen incógnita los paso al segundo miembro) – 34Y = 68 (luego reducimos los términos semejantes) Y = 68 (despejo la incógnita) -34 Y = – 2 (resuelvo la división) A esta altura ya conocemos el valor que tiene una de las dos incógnitas del sistema, ya sabemos que la Y = –2. Para poder obtener el valor de “X” sustituyo este valor de “Y” en laprimeraecuación del sistema y lo resuelvo, en este caso nos queda así: 7X + 4(– 2) = 13 7X – 8 = 13 7X = 13 + 8 7X = 21 X = 21 7 X=3 Por lo que podemos concluir que el resultado de este sistema de ecuaciones es X = 3 y Y = – 2. Para poder estar seguros de que los resultados encontrados son los correctos deberemos hacer la VERIFICACIÓN de los mismos. Para esto debemos sustituir estos dos valores en las dos ecuaciones del sistema y ver si se cumplen las igualdades. 7X + 4Y = 13 5X – 2Y = 19 En la primera ecuación nos queda: 7 . (3) + 4 . (-2) = 13 21 – 8 = 13 13 = 13 (se cumple la igualdad) En la segunda ecuación nos queda: 5 . (3) – 2 x (-2) = 19 15 + 4 = 19 19 = 19 (se cumple la igualdad) Luego de hacer la verificación podemos estar seguros de que el resultado de este sistema de ecuaciones es X = 3 y Y = – 2. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Ejemplo 1:

Resolver el sistema X + Y = 5 (1) X – Y = 1 (2) En un primer paso despejamos la incógnita “X”, en la primera ecuación del sistema. Por lo que tendremos: X=5-Y Este valor de X se sustituye en la otra ecuación (2). X–Y=1 (5 – Y) – Y = 1 Ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminado la X. Resolviendo esta ecuación: (5 – Y) – Y = 1 5 – 2Y = 1 – 2Y = 1 – 5 – 2Y = – 4 Y=–4 –2 Y=2 Sustituyendo este valor de “Y” en la primeraecuación del sistema, se tiene: X+Y=5 X+2=5 X=5–2 X=3 Por lo que podemos concluir que el resultado de este sistema de ecuaciones es X = 3 y Y = 2 Para poder estar seguros de que los resultados encontrados son los correctos deberemos hacer la VERIFICACIÓN de los mismos de la misma manera que hicimos en el Método de Igualación. ACTIVIDAD PRÁCTICA 1: Realice un resumen de los siguientes pasos que hay que realizar en cada método (Igualación y Sustitución) que luego le sirva de guía a la hora de resolver los sistemas de ecuaciones que se plantean en la ACTIVIDAD PRRACTICA 2. ACTIVIDAD PRRACTICA 2:Resolver los siguientes métodos de ecuaciones por los dos métodos conocidos por Usted y verifique los resultados encontrados en cada uno de ellos. 1X+2Y=-1 2X+3Y=0 4 X + 5 Y = 21 3 X + 6 Y = 18 5 X –4 Y = 11 –2 X + 3 Y = –3

1X+2Y=6 2X+2Y=8 –2 X + 2 Y = 10 3X+4Y=6 2 X –3 Y = –2 3 X + 2 Y = 10

2 X + 3 Y = 13 1X+2Y=8 3X+5Y=7 2 X – 1 Y = –4 8X+2Y=4 3 X + 4 Y = –5

2 X – 4 Y = –8 3X+1Y=9 4X–2Y=4 4 X + 3 Y = 14 –3 X + 2 Y = 1 2 X – 2 Y = –4