NOTAS DE APLICACIONES Y TALLER DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

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3.2.

ALGUNAS APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

3.6.1. Vibraciones mecánicas. Se considera el caso donde un pequeño objeto de masa m es atado a un resorte elástico de longitud L, el cual está suspendido de un soporte rígido horizontal como se muestra en la Figura 8. Un resorte elástico tiene la propiedad de que si se comprime o alarga una distancia  L, la cual es pequeña comparada con su longitud natural L, entonces ejerce una fuerza restauradora, de magnitud k  L. k es llamada constante del resorte, y es una medida de resistencia. Supongamos además que la masa m y el resorte pueden sumergirse en un medio tal como el aceite, el cual ofrece una cierta resistencia al movimiento del objeto.

FIGURA 8: Objeto de masa m suspendida por un resorte elástico de longitud L. Para estudiar el movimiento del cuerpo de masa m es conveniente medir la distancia de la posición de equilibrio, desde el soporte horizontal. La posición de equilibrio es aquel punto donde la masa no está sometida a ninguna fuerza. En el equilibrio el peso mg de la masa es exactamente balanceado por la fuerza restauradora del resorte. Así, en la posición de equilibrio el resorte estará alargado una longitud  L, donde k  L = mg. Cuando y = 0 la masa m está en equilibrio, y y (t ) denota la posición de la masa m en el instante t. Para calcular y (t ) se puede tomar el total de la fuerza actuada sobre el objeto de masa m. Esta fuerza es la suma de cuatro fuerzas: w, R, D y F, que a continuación se describen: I. La fuerza w  mg es el peso de la masa colocada hacia abajo. esta fuerza es positiva, ya que la dirección hacia abajo es positiva. II. La fuerza R es la fuerza restauradora del resorte y es proporcional a la elongación o comprensión L  y del resorte. Esta siempre actúa para llevar el resorte a la longitud normal. Si L  y  0 entonces R es negativa, así que R  k L  y  ; y si

L  y  0 , entonces R es positiva y R  k L  y  .

Así, en ambos casos

R  k L  y  . III. La fuerza D es dada por el medio externo, por presentar obstáculo al movimiento del cuerpo de masa m (el aire, agua, aceite, etc.). Esta fuerza siempre actúa en dirección opuesta al movimiento, y usualmente es directamente proporcional a la magnitud de la velocidad dy dt . Si la velocidad es positiva, el cuerpo de masa m se mueve hacia dy ; y si la velocidad es negativa, el objeto se mueve hacia arriba, dt dy dy entonces D  c . En ambos casos D  c . dt dt IV. F es la fuerza externa aplicada al objeto de masa m. Esta fuerza actúa hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de qué F sea positiva o negativa. En general, la fuerza externa depende del tiempo t.

abajo y D  c

2

d y 1 ,  F1 2 m dt donde F1 es la fuerza resultante al actuar las cuatro fuerzas. Entonces, 2 dy d y m 2  W  R  D  F  mg  k (L  y )  c  F (t ) . dt dt Como mg  kL , se obtiene en definitiva que la posición y (t ) de la masa m satisface la De la segunda ley del movimiento de Newton

ecuación diferencial lineal de segundo orden

m

d2y dy  c  ky  F (t ) , 2 dt dt

(50)

donde m, c y k son constantes no negativas. Adoptemos aquí el sistema MKS para las unidades de la fuerza F, y se mide en metros (mts) y t en segundos. En este caso, las unidades de k son N/mt, las unidades de c son N(s/mt), y las unidades de m son Kg(Ns2)/mt. 3.6.1.1. VIBRACIONES LIBRES. Consideremos primero el caso simple de movimiento libre sin amortiguamiento. En este caso la ecuación (50) se reduce a: 2 2 d y d y o (51) m 2  ky  0  w02  0 2 dt dt donde w02  ky m La solución general de (51) es y (t )  a cos w0t  b sen w0t

(52)

Para analizar fácilmente la ecuación (52) es conveniente rescribir el caso simple de la función coseno. Así, se tiene el siguiente lema: Lema 1: Cualquier función y (t ) de (52) puede escribirse en la forma simple

y (t )  R cos(w0t   ) ,

(53)

donde R  a 2  b 2  y   tan 1 (b a) . Demostración. Se verificará que las dos expresiones (52) y (53) son iguales. Para este fin, se tiene R cos(w0t   )  R(cos w0t )(cos )  R(sen w0t )(sen  ) , y observe de la Figura 8 que 12

R cos  a y R sen   b . Por tanto, R cos(w0t   )  a cos w0t  b sen w0t En la Figura 10 se tiene la gráfica de la función y (t )  R cos(w0t   ) .

FIGURA 9: Triángulo rectángulo de catetos a y b.

Nótese que y (t ) siempre está entre -R y R, y el movimiento del objeto de masa m es periódico, y se repite en intervalos de longitud 2 w0 . Este movimiento es típico y su nombre clásico es: Armónico Simple. R es llamada la amplitud del movimiento,  el ángulo de fase, T0  2 w0 el período natural de movimiento, y w0  k / m

1/ 2

es la frecuencia natural del sistema.

t FIGURA 10: Gráfica de la función y (t )  R cos(w0t   ) .

3.6.1.2. VIBRACIONES AMORTIGUADAS SIN FUERZA EXTERNA. Si ahora se incluye el efecto de amortiguamiento, entonces la ecuación diferencial que gobierna el movimiento del cuerpo de masa m es d2y dy (54)  c  ky  0 . 2 dt dt Las raíces de la ecuación característica mr 2  cr  k  0 , asociada a la ecuación (54) son: m

r1 

c  c 2  4km c  c 2  4km , y r2  2m 2m

De aquí, hay que considerar tres casos, dependiendo éstos si el discriminante C 2  4km es positivo, negativo o cero. i. c 2  4km  0 , en este caso se tienen dos raíces reales r1 y r2 distintas, y toda solución y (t ) de la ecuación (54) tiene la forma

y (t )  aer1t  ber2t

a y b constantes.

ii. c 2  4km  0 , en este caso toda solución y (t ) de la ecuación (54) es de la forma

y (t )  (a  bt )e

 ct 2m

iii. c 2  4km  0 , en este caso toda solución y (t ) de la ecuación (54) es de la forma

y (t )  e Ct 2 m (a cos ut  b sen ut) , donde

c u

2

 4km  2m

1

2

.

Los dos primeros casos que se conocen como sobre amortiguado y críticamente amortiguado, respectivamente, representan movimientos en los cuales la masa desplazada se "arrastra" hasta su posición de equilibrio. Dependiendo de las condiciones iniciales, es posible que el cuerpo de masa m sobrepase la posición de equilibrio una vez, pero este no es un movimiento vibratorio.

FIGURA 11: Representación gráfica de los movimientos sobre amortiguamiento y críticamente amortiguado, respectivamente.

El tercer caso se conoce como movimiento subamortiguado, y a menudo se encuentra en sistemas mecánicos y representa una vibración amortiguada. Para ver esto usamos Lema 1 y reescribimos la función y (t )  e Ct 2 m (a cos ut  b sen ut) en la forma

y (t )  R e Ct 2 m cos(ut   ) El desplazamiento de y (t ) debe estar entre las curvas y   R e Ct 2 m , y por lo tanto, se parece a una curva Cosenoidal, curva con amplitud decreciente, como se muestra en la figura 12.

 Ct 2 m cos(ut   ) . FIGURA 12. Gráfica de y (t )  R e

Ahora, observe que el movimiento del cuerpo siempre se extingue eventualmente si hay amortiguación en el sistema. 3.6.1.3 VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS. Si ahora se introduce una fuerza externa F (t )  F0 cos wt , entonces la ecuación diferencial que gobierna el movimiento del cuerpo de masa m es d2y dy (55)  c  ky  F0 cos wt 2 dt dt Usando el método de los coeficientes indeterminados encontramos una solución particular m

y p (t ) , así: y p (t )  A cos wt  B sen wt ; yp (t )  wA sen wt  wB cos wt ; yp (t )   Aw2 cos wt  Bw2sen wt .

Sustituyendo



y p , yp y yp

en la ecuación (55), se tiene :



m  Aw cos wt  Bw sen wt  C  wA sen wt  wB cos wt   k  A cos wt  B sen wt   F0 cos wt . Ahora desarrollando y agrupando se recibe: 2

2

(cos wt )(mAw 2  BwC  kA)  ( senwt)(mBw 2  CAw  kB)  F0 cos wt , y de aquí se obtiene:

 mAw2  BwC  kA  F0

(i)

 mBw  CAw  kB  0

(ii)

2

De (ii) se tiene B(mw  k )  CAw  0 , y de aquí, CAw B (k  mw2 ) Sustituyendo B en (i), se tiene la ecuación CAw  mAw 2  wC  kA  F0 (k  mw 2 ) y de esta se recibe: 2

 mAw 2 

AC 2 w2  kA  F0 (k  mw2 )

2 2 2 2 2 o también, A((k  mw )  C w )  F0 (k  mw ) de aquí,

F0 (k  mw2 ) A (k  mw2 ) 2  C 2 w2 Cw B luego, así,

F0 (k  mw2 ) (k  mw2 ) 2  C 2 w2 k  mw2

y p (t )  A cos wt  B sen wt

F0 (k  mw2 ) Cw F0 (k  mw 2 ) (k  mw2 ) 2  C 2 w2 cos wt  B sen wt 2 2 2 2 y p (t )  (k  mw )  C w k  mw2 o equivalentemente y p (t ) 



F0 k  mw 2 cos wt  Cw sen wt

k  mw 

2 2

C w 2



2

.

Pero de la figura 13 se tiene:

k  mw cos wt  Cw sen wt coswt     k  mw   C w 2

2 2

2

2

ya que coswt     cos wt cos  sen wt sen  , y además

sen  

Cw

k  mw   C w 2 2

2

cos  2

,

k  mw2

k  mw   C w 2 2

2

2

Así,

y p (t ) 

F0

k  mw   C w 2 2

y p (t ) 

2

k  mw   C w 2 2

2

2

2

cos(wt   )

F0 cos(wt   )

k  mw 

2 2

 C 2 w2 .

FIGURA 13: Triángulo rectángulo con catetos k  mw

2

y Cn

Aquí tan  

Cw k  mw 2

Por tanto, toda solución y (t ) de (55) es de la forma F0 cos(wt   ) y (t )   (t )  y p   (t )  (k  mw2  C 2 w2

(56)

donde  (t ) es una solución de la ecuación homogénea d2y dy m 2 C  ky  0 dt dt

(57)

Se ha visto que toda solución y   (t ) de la ecuación (57) se aproxima a cero cuando

t   , la ecuación y(t )  y p describe toda posición exacta del y cuerpo de masa m sin tener en cuenta la posición inicial y la velocidad. Por esta razón p es llamada parte estable de la solución (56) y  (t ) es llamada parte transitoria de la t   . Así, cuando

solución.

3.6.1.4. VIBRACIONES FORZADAS. Ahora se desprecia el amortiguamiento del sistema y se considera el caso de vibraciones forzadas sin amortiguamiento, donde el forzamiento es periódico y tiene la forma F (t )  F0 cos wt En este caso la ecuación diferencial que gobierna el movimiento del cuerpo de masa m es F d2y  w02  0 cos wt 2 dt m ,

donde

w02 

Para el caso

(58)

k m. w0  w

toda solución y (t ) tiene la forma F0 y(t )  C1 cos w0t  C2 sen w0t  cos wt , 2 m w0  w2





expresando así que, y (t ) es la suma de dos funciones periódicas de distintos períodos.

w w El caso cuando 0 , es decir, cuando la frecuencia w de la fuerza externa es igual a la frecuencia natural del sistema, es llamado el caso resonancia. La ecuación diferencial del movimiento del cuerpo de masa m es F d2y  w02 y  0 cos w0t 2 dt m .

(59)

y (t )

Encontraremos una solución particular p de la ecuación (59) tomando la parte real de la solución de valor complejo de la ecuación F d2y  w02 y  0 e iw0t 2 dt m iwot

ya que e

(60)

es una solución de la ecuación homogénea asociada

y  w02 y  0 , consideramos una solución particular en la forma

 (t )  At eiw t , o

para alguna constante A. Por tanto se tiene

 (t )  w02 (t )  2iw0 Aeiw t 0

luego de (60) se obtiene: F

0 iw t 2iw0 Aeiw0t  m e 0

y de ésta se recibe:

A

iF0 1 F0  2iw0 m 2mw0 .

Por tanto,

 (t )   

iF0 (cos w0t  isenw0t ) 2mw0 iF0 F cos w0t  0 sen w0t 2mw0 2mw0

 (t )  es una solución particular de (60) de valor complejo, entonces F  0 sen w0t y p  Re (t )  2mw0 es una solución particular de (59). Consecuentemente, la solución general de (59) es de la forma: F y(t )  C1 cos w0t  C2sen w0t  0 sen w0t 2mw0 , (61) para C1 y C2 constantes. Ahora, la suma de los dos primeros términos en (61) es una función periódica cuyos términos tienen igual período. El tercer término representa una oscilación con amplitud creciente, ver

Figura 14. Gráfica de la función

f (t )   A t sen w0t

.

F cos wt es una resonancia con frecuencia natural del Así, el término del forzamiento 0 sistema, la cual siempre causará una oscilación desajustada o suelta. Este fenómeno fue responsable del colapso del puente Tacoma y muchas otras catástrofes mecánicas. Ejemplo 12. Se ha encontrado experimentalmente que una masa de 1Kg alarga un resorte en 49/320 metros. Si la masa se estira hacia abajo en 1/4 de metro más y se suelta, encontrar la amplitud, período y frecuencia del resultado del movimiento, sin tener en cuenta la resistencia del aire. (Use g = 9,8 m/seg2). Solución. Ya que mg  kL , se tiene

mg 1Kg  9.8 m s 2 k   64N / m L 49 320 m 1/ 2 T  2 w0 y w0  k m , se tiene y como T  2 m k  , ya que 1/ 2

T  2 1 k 

1/ 2

 2 1 64( N / m)

1/ 2

w0  64 N m 1kg 

1/ 2

 4, y

 8 N m  Kg

Como el movimiento es libre, la ecuación que gobierna el movimiento es m

d2y  ky  0 dt 2 ,

y ésta ecuación tiene solución y (t )  a cos w0t  b sen w0t . Con las condiciones iniciales y (0)  0.25 y y(0)  0 , obtenemos que a  0.25 y b  0 ; luego, la amplitud R que se 2 2 define por R  a  b es R  0.25 m.

3.6.1.5. CIRCUITOS ELÉCTRICOS. Ahora se estudiará brevemente un circuito en serie simple, del tipo representado en la Figura 15.

FIGURA 15: Circuito eléctrico simple en serie. El símbolo E representa la fuerza electromotriz, que puede ser una batería o un generador, y produce una diferencia de potencial o voltaje el cual produce una corriente I que recorre el circuito cuando el interruptor s se cierra. El símbolo R representa una resistencia que está en el flujo de la corriente y puede ser producida por una bombilla o un tostador. Cuando la corriente pasa a través del alambre en espiral L, se produce un campo magnético, el cual se opone a cualquier cambio de la corriente y la constante de proporcionalidad es llamada inductancia del alambre. Un capacitor o condensador, indicado por C usualmente consiste de dos placas metálicas separadas por un material que permite el paso de muy poca corriente. Un capacitor tiene la propiedad de llevar la corriente de un lugar a otro. Sea Q(t) la carga del capacitor en un tiempo t. Para encontrar la ecuación diferencial que satisface Q(t) se usa la siguiente ley.

Segunda ley de Kirchoff. i. La caída de potencial a través de la resistencia R Ohmios es igual a RI (Ley de Ohm.). ii. La caída de potencial a través de la inductancia de L Henrrios es igual a LdI dt  . La caída de potencial a través de la capacitancia de C Faradios es igual a Q C . dI dQ(t ) E (t )  L  RI  Q C I (t )  dt dt , se tiene Por tanto, , y como iii.

E (t )  L

d 2Q dQ R Q C 2 dt dt

(62) Nótese la semejanza existente entre la ecuación (62) y la ecuación de la masa vibratoria (50). Otra similitud que existe entre vibraciones mecánicas y circuitos eléctricos es la resonancia que también existe en los circuitos eléctricos, aunque la resonancia está en buen uso para los circuitos eléctricos. Por ejemplo, la perilla del tuning de un radio es usada para variar la capacidad en el tuning del circuito. De esta manera, la resonancia fue cambiada hasta concordar con la frecuencia de entrada de una señal de radio. La amplitud de la corriente producida por esta señal será mucho más grande que las otras señales; así el tuning del circuito escoge sobre las estaciones emisoras de frecuencias. A causa de esta correspondencia, la resolución de numerosos problemas eléctricos implica la misma marcha matemática que la resolución de problemas sobre movimientos de cuerpos. Para dar una idea del empleo de la ecuación (62) se hará un ejemplo para circuitos sencillos con fuerza electromotriz constante y otro con una fuerza electromotriz senoidal. En el primero se considera un condensador de capacidad C a través de una resistencia R y una inductancia L mediante una FEM E constante. En este caso la ecuación (62) se convierte en L

d 2q dq R  1 C q  E 2 dt dt

(63)

rt Se supone como condiciones iniciales q  0 , I  0 cuando t  0 . Haciendo q(t )  e , se consigue la ecuación característica asociada Lr 2  Rr  1 C   0 ,

de la cual se obtiene las raíces:

r

 R  R 2  4L(1 / C ) 2L

o bien

 R  i 4L(1 / C )  R 2 r 2 2L donde i  1 . Suponiendo que las raíces son imaginarias y escribiendo R 2  4L(1 / C ) R a w  2L , 1 2L , se tiene que r  a  w1i . La solución de (63) es entonces

q(t )  e  at C1sen w1t  C2 cos w1t   CE .

Con las condiciones iniciales q  0 , I  0 en t = 0, se determinan las constantes C1   aCE w1 y C2  CE , con las cuales

q(t )  

CE at e a sen w1t  w1 cos w1t   CE w1 I

para encontrar I basta recordar que

I

(64)

dq dt , por tanto de (64) se consigue

E at e a sen w1t w1L .

En el caso del circuito con fuerza electromotriz senoidal, la ecuación a considerar es de la forma L

d 2q dq R  1 C q  E sen wt 2 dt dt

(65) siendo ésta una ecuación diferencial lineal de segundo orden no homogénea; por lo tanto su solución es de la forma

q  qc  q p

 at , donde qc  e C1sen w1t  C2 cos w1t  es la solución de

q

la ecuación homogénea asociada y p es la solución particular, la cual se puede hallar brevemente considerando la parte imaginaria de la solución correspondiente a la ecuación diferencial d 2q dq L 2 R  1 C q  Ee iwt dt dt

(66)

q  Ae Efectivamente, suponemos p , donde A es constante. Por lo tanto después de hacer las sustituciones y las debidas simplificaciones se obtiene la solución particular siguiente: iwt

qp 

 Lw  1 C E sen wt  RE cos wt  Lw  1 C   R w 2

2

2

2

2

(67)

Si se introducen las magnitudes X  Lw  1 Cw , Z  R 2  X 2 , siendo X la reactancia y Z la impedancia, (67) queda: E  X sen wt  R cos wt  qp  wZ 2 Así tenemos: E q  qc  q p  e  at C1sen w1t  C2 cos w1t   wZ 2  X sen wt  R cos wt   at En ésta expresión, la parte que contiene el factor e que se hace generalmente despreciable al transcurso del tiempo, se llama parte transitoria. La otra parte, es la solución permanente. Si se prescinde del término transitorio, se deduce E  X sen wt  R cos wt  q wZ 2 El valor de la intensidad de la corriente, para el valor permanente, es : dq E R sen wt  X cos wt  I  dt Z 2

EJERCICIOS En los problemas 1 al 5 resolver las ecuaciones diferenciales. Si se dan condiciones iniciales, encuentre la solución que satisfaga las condiciones establecidas 2

t2

1.

d 2 y  dy  dy     2t  0, 2 dt dt  dt 

t 0

2

d 2 y  dy  dy     2e y 0 2 dt dt dt   2. 2 d 2 y  dy      e y 2 dt  dt  3. d2y  3 y 2  0 y (0)  2, y(0)  4 2 4. dt dy d 2 y  t  0 y (1)  2, y(1)  1 2 5. dt dt .

6. Demostrar que y1 (t )  t y y2 (t )  1 t son soluciones de la ecuación

2t 2

d2y dy  3t y0 2 dt dt en el intervalo 0  t   .

d2y y0 2 7. Demuestre que la solución general de dt se puede expresar por: y  A1 cos(t  1 ) o como

y  A2 sen(t   2 ) ,

donde A1 , A2 , 1 , y  2 son constantes. 8. Demostrar que y1 (t )  e cial



t2 2

y

y2 (t )  e



t2 2

t

e 0

s2 2

ds

, son soluciones de la ecuación diferen-

d2y dy t y0 2 dt dt en el intervalo    t   . 2 y (t )  t t 9. Sea y1 (t )  t y 2 .

a. Demostrar que y1 y y2 son linealmente dependientes en el intervalo 0  t 1 . b. Demostrar que y1 y y2 son linealmente independientes en el intervalo 1  t  1 . c. Demostrar que wy1 , y2 (t ) es idénticamente cero. d. Demostrar que y1 y y2 no podrían ser soluciones de la ecuación d2y dy  p(t )  q(t ) y  0 2 dt dt en el intervalo 1  t  1 , si ambas p y q son continuas en este

intervalo. 10. Suponga que y1 y y2 son un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación d2y dy  p(t )  q(t ) y  0 2 dt dt

en el intervalo    t   . Demostrar que hay uno y solamente un cero de y1 entre ceros consecutivos de y 2 . Sugerencia: diferenciar ( y2 y1 ) y utilizar el teorema de Rolle's. 11. Dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel de orden ½ t2

d2y dy 1 t  (t 2  ) y  0, 2 dt dt 4

t 0

,

son t

1

2

sen t y t

1

t2

2

cost . Encuentre la solución general de

d2y dy 1 t  (t 2  ) y  3t 3 2sen t , 2 dt dt 4

t 0

En los problemas 12 al 16 encontrar la solución general de cada ecuación. En los casos que se determinen condiciones sobre la solución, resolver el problema de valor inicial. d 2 y dy   y  1 t  t 2. 2 dt 12. dt 2 d y  4 y  12 cosh 2t 2 13. dt 3

14.

d2y dy  2  4 y  0, 2 dt dt

y (2)  1, y(2)  1

d2y dy  4  4 y  t 5 2 e  2t , 2 dt 15. dt

y (0)  y(0).

d2y  4 y  t 2  3et , y (0)  0, y(0)  2. 2 16. dt 17. Considérese la ecuación general de Riccati dw  q1 (t )  q2 (t ) w  q3 (t ) w 2 dt .

w Demuestre que la transformación homogénea de segundo orden q2 (t )

y yq2 conduce a la ecuación diferencial lineal

d2y dy  q2 (t )  q1 (t )q2 (t )  q22 (t )q0 (t ) y  0 2 dt dt .

18. Un peso de 8 Kgs está colocado en el extremo inferior de un resorte que está suspendido verticalmente desde un punto fijo. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y el resorte está estirado 16cms. Determine el desplazamiento resultante como una función del tiempo en cada uno de los siguientes casos: a. . Si el peso se empuja 10cm hacia abajo de su posición de equilibrio y se suelta en t  0 con una velocidad inicial de 61cm/seg, dirigida hacia abajo. b. Si el peso se empuja 10 cm hacia abajo de su posición de equilibrio y se suelta en t  0 con una velocidad inicial de 61cm/seg dirigida hacia arriba. c.

Si el peso se empuja después 10 cm por encima de su posición de equilibrio y se suelta en t  0 con una velocidad inicial de 61cm/seg, dirigida hacia abajo.

19. Un peso de 32Kg está colocado en el extremo inferior de un resorte que está suspendido de una viga rígida. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y el resorte está estirado 61cms. El peso se empuja 30,5 cm hacia abajo de su posición de equilibrio y se suelta desde el reposo en t  0 . a. Cuál es la posición del peso en t  5 12 ? Con qué rapidez y de qué manera se está moviendo en este instante? b. En qué instante el peso se encuentra a 15cm por encima de su posición de equilibrio y se está moviendo hacia abajo? Cuál es su velocidad en ese instante? 20. Un peso de 8 libras está unido al extremo inferior de un resorte que está suspendido de un punto fijo. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y se ha estirado 6 pulgadas. Después, el peso se desplaza 9 pulgadas hacia abajo de su posición de equilibrio y se suelta en t  0 . El medio ofrece una resistencia en libras numéricamente igual a 4 dy dt , donde dy dt es la velocidad instantánea en pies por segundo. Determine el desplazamiento del peso como una función del tiempo y trace la gráfica de su desplazamiento. 21. Un peso de 16 libras está unido al extremo inferior de un resorte que está suspendido del techo. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y el resorte está alargado 0,4 pies. Después al empezar en t  0 , se aplica al sistema una fuerza externa dada por F (t )  40 cos16t . El medio ofrece una resistencia en libras numéricamente igual a 4 dy dt , donde dy dt es la velocidad instantánea en pies por segundo. a. Determine el desplazamiento del peso función del tiempo. b. Construya las gráficas por separado del estado transitorio y del estado permanente en términos del movimiento encontrado en el paso (a) y después utilice las curvas obtenidas para construir toda la gráfica del desplazamiento. 22. Un circuito tiene en serie una fuerza electromotriz constante de 100v, un resistor de 10Ω y un capacitor de 2x10-4 faradios. El interruptor se cierra en el instante t  0 , y la carga en el capacitor en este instante es cero. Calcule la carga y la corriente en el tiempo t  0.

E (t )  E0 sen wt voltios, un resistor 23. Un circuito tiene una fuerza electromotriz dada por de R ohmios, un inductor de L Henrios y un capacitor de C faradios. a. Demuestre que la corriente de estado permanente es

I

E0  R X   sen wt  cos wt  z z z  1 X  Lw  y z  X 2  R2 Cw

donde X se llama reactancia del circuito y z se llama impedancia. b. Utilizando el resultado de la parte (a), demuestre que la corriente del estado E I  0 sen ( wt   ) z permanente se puede escribir como , donde está determinado por las ecuaciones cos  R z , sen   X z . En consecuencia, demuestre que la corriente del estado permanente alcanza su máximo 1 2n  1 tn  w 2 valor absoluto E0 z en los tiempos t n   w donde , n= 1, 2, 3, ..., son los tiempos en los que la fuerza electromotriz alcanza su máximo valor absoluto. c. Demuestre que la amplitud de la corriente de estado permanente es un máximo cuando w  1 / LC . Para este valor de w se dice que se presenta resonancia eléctrica. d. Si R = 20, L = 1/4, C = 10-4 y E = 100, calcule el valor de w que dá lugar a la resonancia eléctrica y determine la amplitud de la corriente de estado permanente en este caso. 24. Una bobina de impedancia que tiene una resistencia de 14 Ohmios y una inductancia de 0,05 Henrios, y una rama que tiene resistencia no inductiva de 15 Ohmios y un condensador de capacidad 10-4 faradios en serie, están conectados en paralelo a través de los terminales de una FEM de 220 Voltios. Hallar las expresiones en función del tiempo para la carga del condensador, la corriente en la bobina de impedancia, la corriente en la resistencia no inductiva y la corriente total.